ﻣﺣﺎﺿرة ﻓﻰ اﻻﻟﺗواء واﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟوﺳﯾط واﻟﻣﻧوال Skewness and the Relation of the Mean , Median , and Mode
ﻣن اﻟﻣﻌروف ان اﻻﻟﺗواء ھو ﺑﻌد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻋن اﻟﺗﻣﺎﺛل ٠ﻓﺈذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛﻼ ﻓﺳوف ﻧﺟد أن 50%ﻣن اﻟﻘﯾم ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻛل ﺟﺎﻧب ﻣن اﻟﻣﻧوال ﻛﻣﺎ ﻓﻲ ﺷﻛل )٠(١
)f(x
50%
50%
x اﻟﻣﻧوال=اﻟوﺳﯾط=اﻟوﺳط
اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﺷﻛل )(١ أﯾﺿﺎ ﻧﻼﺣظ ﻣن ﺷ ﻛل ) (١أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻟ ﮫ ﻣﻧ وال واﺣ د ) unimodalوﺣﯾ د اﻟﻣﻧ وال( وأن اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ = اﻟوﺳ ﯾط= اﻟﻣﻧ وال ٠ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻓ ﻲ ﺷ ﻛل ) (٢ﻧﺟ د أن ھﻧ ﺎك ﻋﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ واﻟوﺳ ﯾط واﻟﻣﻧ وال ﺣﯾ ث اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ > اﻟوﺳ ﯾط > اﻟﻣﻧ وال وذﻟ ك ﻷن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﻠﺗوﯾﺎ ﺟﮭﺔ اﻟﯾﺳﺎر ٠ﺑﯾﻧﻣﺎ ﻓﻲ ﺷﻛل ) (٣ﻧﺟد أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ < اﻟوﺳ ﯾط < اﻟﻣﻧ وال وذﻟ ك ﻷن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻠﺗوﯾﺎ ﺟﮭﺔ اﻟﯾﻣﯾن ٠وﻓﻲ ﻛﻠﺗﺎ اﻟﺣﺎﻟﺗﯾن ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط ﯾﻘﻊ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال ﻛﻣ ﺎ أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﻘﻊ داﺋﻣﺎ ﻓﻲ اﺗﺟﺎه اﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة٠
اﻟﻣﻧوال )f(x اﻟوﺳﯾط
اﻟوﺳط x ﺷﻛل )(٢ اﻟﻣﻧوال )f(x اﻟوﺳﯾط اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ x ﺷﻛل )(٣
ﺑﻌض ﻣﻘﺎﯾﯾـس اﻻﻟﺗـواء واﻟﺗﻔﻠطـﺢ Some Measures of Skewness and Kurtosis
أوﻻ ً ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻣﻘﺎﯾﯾس اﻻﻟﺗواء ،ﺳوف ﻧﺗﻧﺎول ﻣﻘﯾﺎﺳﯾن ﻟﻼﻟﺗواء اﻷول وﯾﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء Pearsonian coefficient for skewnessﺗﻌرف ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ-: ~ 3( x )x s
Sk
ﺣﯾث xاﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ و ~xاﻟوﺳﯾط و sاﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ .ﯾﻧﺣﺻر ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون ﺑﯾن 3إﻟﻰ . 3ﻋﻧدﻣﺎ Sk 0ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛل .وإذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ Skﻣوﺟﺑﺔ ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ أﻛﺑر ﻣن اﻟوﺳﯾط وﻣن اﻟﻣﻧوال وﺑذﻟك ﯾﻛون اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﻣﻠﺗوﯾﺎ وﻟﮫ ذﯾل ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﯾﻣﯾن وﯾﻛون اﻻﻟﺗواء ﻣوﺟﺑﺎ .وأﺧﯾرا وإذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ Skﺳﺎﻟﺑﺔ ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ أﺻﻐر ﻣن اﻟوﺳﯾط وﻣن اﻟﻣﻧوال.
ﻣﺛﺎل ﺗﻣﺗﻠك ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ 10ﻗوارب ﻟﻠﺻﯾد ،ﻗﺎﻣ ت اﻟﺷ رﻛﺔ ﺑﺗﺳ ﺟﯾل ﺗﻛ ﺎﻟﯾف ﺻ ﯾﺎﻧﺔ ﻛ ل ﻗ ﺎرب )ﺑﺎﻟ دوﻻر( وﻛﺎﻧت ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ 500,505, 460, 470,530,506,994,880,600,460 :أوﺟد : اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟوﺳﯾط واﻟﻣﻧوال. ﻣﻘﯾﺎس ﺑﯾرﺳون ﻟﻼ ﻟﺗواء .
اﻟﺣــل: اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ
5905 590.5. 10
x
ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ﺗرﺗب اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗرﺗﯾب ﺗﺻﺎﻋدي ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
460,460,470,500,505,506,530,600,880,994. 505 506 505.5. 2
~
x
ﻣﻘﯾﺎس ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
)3(x x . s
Sk
ﺣﯾث :
1 ( x) 2 1 (5905)2 2 x )(3808497 189.03. n 1 n 9 10
s
)3(590.5 505.5 1.3489. 189.031
Sk
أي أن ھﻧﺎك ﻛﻣﯾﺔ ﻣن اﻻﻟﺗواء اﻟﻣوﺟب.
1 ﯾﻌﺗﻣد اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻼﻟﺗواء ﻋﻠﻰ أﻧﮫ ﻓﻲ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﻠﺗوﯾﺔ ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط ﯾﻘﻊ ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ﻓ ﻲ 3
اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال ﻓﻲ اﺗﺟﺎه اﻟوﺳط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ ﺷ ﻛل ) (٢وﺷ ﻛل ) ٣ ( وھذا ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺢ داﺋﻣﺎ .وﻟذﻟك ﺳوف ﻧﺗﻧﺎول ﻣﻘﯾﺎس آﺧر ﻟﻼﻟﺗواء ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌ زم اﻟﻣﻘ در ﻣ ن ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺔ.
ﺗﻌرﯾف :
اﻟﻌزم rﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻔﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات x1 , x 2 ,..., x nھو -: n
x)r .
i
(x i 1
n
mr
اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻟﻼﻟﺗواء و اﻟذي ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌزم اﻟﺛﺎﻟث ﺣول اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ھو: m3 . s3
a1
إذا ﻛﺎﻧ ت ، a1 0ﻓﮭ ذا ﯾ دل ﻋﻠ ﻰ أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛ ل .وإذا ﻛ ﺎن a1 0ﯾﻛ ون اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣوﺟ ب اﻹﻟﺗواء ٠وإذا ﻛﺎن a1 0ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ ﺳﺎﻟب اﻻﻟﺗواء. ﺛﺎﻧﯾ ﺎ ﺑﺎﻟﻧﺳ ﺑﺔ ﻟﻣﻘ ﺎﯾﯾس اﻟ ﺗﻔﻠطﺢ ﺳ وف ﻧﺗﻧ ﺎول ﻣﻘﯾ ﺎس ﯾﻌﺗﻣ د ﻋﻠ ﻰ اﻟﻌ زم اﻟراﺑ ﻊ ﺣ ول اﻟﻣﺗوﺳ ط ﻣﻌﺎدﻟﺗﮫ ھﻲ -: m4 . s4
a2
إذا ﻛﺎﻧ ت ، a 2 3ﻓ ذﻟك ﯾﻌﻧ ﻰ أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﺗوﺳ ط اﻟ ﺗﻔﻠطﺢ .وإذا ﻛ ﺎن a 2 3ﻓ ذﻟك ﯾﻌﻧ ﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﮫ ﻗﻣﺔ ﻣدﺑﺑﺔ وإذا ﻛﺎن a 2 3ﻓﮭذا ﯾدل ﻋﻠﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻔﻠطﺣﺎ.
ﻣﺛﺎل
اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن 10ﻣﺳ ﺎﻣﯾر ﻟﺗﻘ دﯾر ﻛﻣﯾ ﺔ اﻟﺿ ﻐط اﻟﺿ روري ﻟﻛﺳ ر اﻟﻣﺳ ﻣﺎر وﻛﺎﻧ ت اﻟﻧﺗ ﺎﺋﺞ ﻛﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ 18,22,26,25, 27,26,19,17,22,20 :أﺣﺳ ب ﻛ ﻼ ﻣ ن :اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ – اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري -ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء a1وﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ . a 2
اﻟﺣــل: اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ: n
18 22 26 25 27 26 19 17 22 20 22.2 10
i
اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو : n ( x i )2 1 n 2 s x i i 1 , n 1 i 1 n
s 3.64.
ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : m3 a1 3 s
ﺣﯾث :
15.84 1.58 , 10
x)3
n i
(x i 1
m3
n 1.584 a1 0.0327. (3.645)3
أي أن ھﻧﺎك اﻟﺗواء ﺳﺎﻟب ﺑﺳﯾط ﻷن ﻗﯾﻣﺗﮫ ﺳﺎﻟﺑﺔ . ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
x i 1
n
x
m4 a2 4 , s
ﺣﯾث : n
x) 4
i
(x i 1
n
m4
2179.95 217.9 , 10 217.9 a2 1.234. 176.510
أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻔﻠطﺢ ﻷن ﻗﯾﻣﺗﮫ أﻗل ﻣن . 3
ﻣﺛﺎل ﻓﯾﻣ ﺎ ﯾﻠ ﻲ ﺗوزﯾ ﻊ ﻋ دد اﻟﻣﺷ ﺎرﯾﻊ اﻟﻣﻧﻔ ذة ﺷ ﮭرﯾﺎ ﺧ ﻼل ﻋ ﺎم 1995ﻓ ﻲ ﺷ رﻛﺔ ﺑﺗ رول: 15,11,7,6,8,10,12,6,8,9,6,13اﺣﺳب : اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري. ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻼﻟﺗواء a1وﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺗﻔﻠطﺢ -ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﻟﺑﯾرﺳون.
اﻟﺣــل: اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ
111 9.25. 12
ﻹﯾﺟﺎد اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻧوﺟد أوﻻ اﻟﺗﺑﺎﯾن
x
(x i x) 2 98.25 8.9318. n 1 11
s
إذن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو
7.178 2.9886. ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﻟﺑﯾرﺳون
)3(9.25 8.5 0.7530 . 2.988
ﻣﺛﺎل اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻣرﺿﻰ اﻟذﯾن ﯾﺗم اﻟﻛﺷف ﻋﻠﯾﮭم ﯾوﻣﯾﺎ ﻓ ﻲ ﻣﺳﺗﺷ ﻔﻰ ﺧ ﺎص ﻣ ن ﻗﺑ ل 10أطﺑﺎء ،15,8,6,9,15,18,21,39,5,7 :أوﺟ د اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ – اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري – ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻼﻟﺗواء وآﺧر ﻟﻠﺗﻔﻠطﺢ .
اﻟﺣــل: x 14.3,
10.25,
n ( x i )2 n 1 s x i 2 i 1 n 1 i 1 n
(x i x ) 4
(x i x ) 3
(x i x ) 2
)(x i x
.2401
.343
.49
.7
15
1575.2961
250.047
39.69
6.3
8
4745.8321
571.787
68.89
8.3
6
789.0481
148.877
28.09
5.3
9
.2401
.343
.49
.7
15
xi
187.4161
50.653
13.69
3.7
18
2015.1121
300.763
44.89
6.7
21
372209.81
15069.223
610.09
24.7
39
7480.5201
804.357
86.49
9.3
5
2839.8241
389.017
53.29
7.3
7
391843.3389
13257.24
اﻟﻣﺟﻣوع
ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : m3 a1 3 . s
ﺣﯾث : 3
x) 13257.24 1325.724 ,, n 10 i
1325.724 1.2355. 1076.890625
(x
m3
a1
أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣوﺟب اﻻﻟﺗواء ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : m4 a2 4 s
ﺣﯾث :
x) 4 391843.3389 39184.33389 n 10 i
39184.33389 3.5. 11038.12891 أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﮫ ﻗﻣﺔ ﻣدﺑﺑﺔ.
a2
(x
m4
ﻣﺛﺎل ﺗم ﺳؤال ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن 10ﻋﻣ ﺎل ﻋ ن اﻟﻣﺳ ﺎﻓﺔ )ﺑﺎﻷﻣﯾ ﺎل ( اﻟﺗ ﻲ ﯾﻘطﻌوﻧﮭ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟ ذھﺎب إﻟ ﻰ اﻟﻣزرﻋﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻌﻣﻠون ﺑﮭﺎ وﻛﺎﻧت ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ . 25,6,1,2,4,8,5,6,5, 4 :أوﺟ د :ﻣﻘﯾ ﺎس ﻟﻼﻟﺗ واء وآﺧر ﻟﻠﺗﻔﻠطﺢ .
اﻟﺣــل: ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ھو : m3 a1 3 s
(x i x ) 4
(x i x ) 3
(x i x ) 2
)(x i x
xi
114622.8736
6229.504
338.56
18.4
25
.1296
.216
.36
.6
6
983.4496
175.616
31.36
5.6
1
447.7456
97.336
21.16
4.6
2
45.6976
17.576
6.76
2.6
4
3.8416
2.744
1.96
1.4
8
6.5536
4.096
2.56
1.6
5
.1296
.216
.36
.6
6
6.5536
4.096
2.56
1.6
5
45.6976
17.576
6.76
2.6
4
116162.672
5815.52
ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو:
اﻟﻣﺟﻣوع
45.8222
1 848 435.6 9
( x i ) 2 1 2 s x i n 1 n s 6.7692.
2
ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: m4 3 4 . S
ﻣﺛﺎل أوﺟد ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء a1وﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ a 2ﻟﻔﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ٠ 2,4,6,8,13,15
اﻟﺣــل: اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﺳﮭل ﻋﻣﻠﯾﺔ اﻟﺣﺳﺎب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ -:
( x i x ) ( x x) 2 ( x i x) 3 ( x i x) 4 i 1296
-216
36
-6
2
256
-64
16
-4
4
16
-8
4
-2
6
0
0
0
0
8
625
125
25
5
13
2401
343
49
7
15
4594
180
130
0
48
n
48 8 6
n
xi
xi
x i 1 n n
3 ( xi x) 180
130 26 , 5
2 ) ( xi x
n 1
s2 i 1
،
، s3 (26)(5.09902) 132.5745 , s4 676 ،
i 1
وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﻌزم اﻟﺛﺎﻟث ﺣول اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ھو -:
n
180 30. 6
3 ) ( x i x
m 3 i 1
n
وﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء -:
30 0.226288. 132.5745
m3
s3
a1
وھذا ﯾدل ﻋﻠﻰ أن ﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺎھدات ﻗرﯾب ﻣن اﻹﻋﺗدال٠ وﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ a 2وذﻟك ﺑﺣﺳﺎب اﻟﻘﯾم اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق -: n
n 4594 765.667 ، ( x i x) 4 4594 ٠ 6 i 1
4 ) ( xi x
n
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ -:
765.667 113264 . . 676 وھذا ﯾدل ﻋﻠﻰ أن ﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺎھدات ﻣﻔﻠطﺢ.
m4 s4
a2
m 4 i 1