التوزيع الهندسي الزائدي

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ‪Hypergometric Distribution‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﻛـون ﻣـن ﻋـدد ﻣﺣـدود ﻣـن اﻟوﺣـدات ‪ ،‬وﻟـﯾﻛن ‪ ، N‬وأن ﻫﻧـﺎك ‪ ، k‬ﻣـن‬ ‫اﻟوﺣـدات ﻣـن اﻟﻧـوع ‪) A‬ﻧﺟـﺎح( واﻟوﺣـدات اﻟﺑﺎﻗﯾـﺔ ﻣـن ﻧـوع ‪) B‬ﻓﺷـل( ‪ ،‬وﺑﻔـرض أن ﻋﯾﻧـﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ‬ ‫ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬اﺧﺗﯾرت ﻣن ﻫذا اﻟﻣﺟﺗﻣـﻊ وﺑـدون إرﺟـﺎع‪ .‬ﺑﻔـرض أن ‪ X‬ﺗﻣﺛـل ﻋـدد اﻟوﺣـدات ﻣـن ﻧـوع‬

‫‪ A‬اﻟﺗــﻲ ﺗظﻬــر ﻓــﻲ اﻟﻌﯾﻧــﺔ ‪ .‬اﻫﺗﻣﺎﻣﻧــﺎ ﺳــوف ﯾﻛــون ﻓــﻲ ﺑﺈﯾﺟــﺎد ) ‪ . P(X = x‬اﻟﺗﺟرﺑــﺔ اﻟﺳــﺎﺑﻘﺔ‬ ‫ﺗﺳــﻣﻲ ﺗﺟرﺑــﺔ اﻟﻬﻧدﺳــﻲ اﻟ ازﺋــدي‬

‫اﻟزاﺋدي اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪ . hypergeometric experiment‬ﺗﺣﻘــق ﺗﺟرﺑــﺔ اﻟﻬﻧدﺳــﻲ‬

‫أ‪ -‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬ﺗﺧﺗﺎر ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻲ ‪ N‬ﻣن اﻟوﺣدات ‪.‬‬ ‫ب ‪-‬ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذي ﺣﺟﻣﻪ ‪ N‬ﻓﺈن ‪ k‬ﻣن اﻟوﺣدات ﺗﺻﻧف ﻧﺟﺎح و ‪ N – k‬ﺗﺻﻧف ﻓﺷل‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾــف ‪ :‬ﻋــدد ﺣــﺎﻻت اﻟﻧﺟــﺎح ﻓــﻲ ﺗﺟرﺑــﺔ اﻟﻬﻧدﺳــﻲ اﻟ ازﺋــدى ﯾﺳــﻣﻰ ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﻬﻧدﺳــﻲ‬ ‫اﻟزاﺋدى ‪.‬‬

‫اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻻﺣﺘﻤــﺎﻟﻲ ﻟﻤﺘﻐﻴــﺮ ﻋﺸــﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒــﻊ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻬﻨﺪﺳــﻲ اﻟﺰاﺋــﺪى ﻳﺴــﻤﻰ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ‬

‫اﻟﻬﻨﺪﺳـﻲ اﻟﺰاﺋـﺪى وﻳﻤﺜـﻞ ﺑـﺎﻟﺮﻣﺰ )‪ h(x; N, n,k‬وذﻟـﻚ ﻷن ﻋـﺪد ﺣـﺎﻻت اﻟﻨﺠـﺎح ‪x‬‬ ‫ﺗﻌﺘﻤ ــﺪ ﻋﻠ ــﻲ ‪ k‬اﻟﻤﻮﺟ ــﻮدة ﻓ ــﻲ اﻟﻔﺌ ــﺔ ‪ ، N‬ﺣﻴ ــﺚ ﻳﺨﺘ ــﺎر ﻣ ــﻦ ‪ N‬وﺣ ــﺪات ﻋ ــﺪدﻫﺎ ‪. n‬‬ ‫ﺑﻔـــرض ﺻــﻧدوق‬

‫ﺑــﻪ ‪ 10‬ﺛﻣـ ـرات ﻣﻧﻬــﺎ ‪ 3‬ﺗﺎﻟﻔــﺔ ‪ ،‬اﺧﺗﯾــرت ﻣﻧــﻪ ﺛﻣ ـرﺗﯾن ‪ .‬أﺣﺳــب اﺣﺗﻣ ــﺎل أن‬

‫ﺗﻛون واﺣدة ﺗﺎﻟﻔﺔ ) اﻟﺳﺣب ﺑﺈرﺟﺎع (‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫ﻫﻧــﺎ اﻟﺳــﺣب ﺑــدون إرﺟــﺎع ) اﻟﻣﺣــﺎوﻻت ﻏﯾــر ﻣﺳــﺗﻘﻠﺔ ( ‪ .‬ﻓــﻲ ﻫــذﻩ اﻟﺣﺎﻟــﺔ ﺳــوف ﯾﻛــون ﻫﻧــﺎك ‪ ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪7‬‬ ‫طرﯾﻘــﺔ ﻻﺧﺗﯾــﺎر ﺛﻣـرة ﺗﺎﻟﻔــﺔ وﻟﻛــل واﺣــدة ﻣــن ﻫــذﻩ اﻟطــرق ﯾوﺟــد ‪  ‬طرﯾﻘــﺔ ﻻﺧﺗﯾــﺎر ﺛﻣـرة ﺳــﻠﯾﻣﺔ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻋﻧد اﺧﺗﯾـﺎر ﺛﻣـرﺗﯾن ﻣـن اﻟﺻـﻧدوق ﺑـدون إرﺟـﺎع ﻓـﺈن ﻋـدد اﻟطـرق اﻟﻛﻠﯾـﺔ ﻟﻠﺣﺻـول ﻋﻠـﻲ‬ ‫‪3  7 ‬‬ ‫ﺛﻣـرة ﺗﺎﻟﻔـﺔ وﺛﻣـرة ﺳـﻠﯾﻣﺔ ﻫــو ‪ .    ‬اﻟﻌـدد اﻟﻛﻠـﻲ ﻣـن اﻟطــرق ﻻﺧﺗﯾـﺎر ﺛﻣـرﺗﯾن ﻣـن اﻟﺻــﻧدوق‬ ‫‪1   1 ‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫اﻟﻣﺣﺗـوي ﻋﻠـﻲ ‪ 10‬ﺛﻣـرات ﻫـو ‪ .  ‬وﻋﻠـﻲ ذﻟــك اﺣﺗﻣـﺎل اﻟﺣﺻــول ﻋﻠـﻲ ﺛﻣـرة ﺗﺎﻟﻔــﺔ وﺛﻣـرة ﺳــﻠﯾﻣﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻋﻧد اﺧﺗﯾﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n = 2‬ﻣن اﻟﺻﻧدوق اﻟﻣﺣﺗوي ﻋﻠﻲ ‪ 10‬ﺛﻣرات ﻫو ‪:‬‬

‫‪ 3  7 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ 1  1   7 .‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪١‬‬

‫اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾوﺿﺢ ﻣﺎ ﯾﺳﻣﻲ ﺑﺗﺟرﺑﺔ اﻟﻬﻧدﺳﻰ اﻟزاﺋدي ‪.‬‬ ‫ﻣﺛــﺎل)‪ (١‬ﯾ ـراد اﺧﺗﯾــﺎر ﻟﺟﻧــﺔ ﻣــن ﺛﻼﺛــﺔ أﺷــﺧﺎص ﻣــن ﺑــﯾن ‪ 4‬ﺳــﯾدات و ‪ 5‬رﺟــﺎل واﻟﻣطﻠــوب إﯾﺟــﺎد‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﺳﯾدات ﻓﻲ اﻟﻠﺟﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل ‪ :‬ﺑﻔــرض أن اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ‬

‫‪ X‬ﯾﻣﺛــل ﻋــدد اﻟﺳــﯾدات ﻓــﻲ اﻟﻠﺟﻧــﺔ اﻟﻣﺧﺗــﺎرة ‪ .‬اﻟﺷــروط‬

‫ﻟﺗﺟرﺑﺔ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋد ﻣﺗوﻓرة وﻋﻠﻲ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪ 4  5 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪0 3 10‬‬ ‫‪P(X  0)  h (0;9,3,4)      ,‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 4  5 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪P(X  1)  h (1;9,3,4)      ,‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 4  5 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪P(X  2)  h (2;9,3,4)      ,‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 4  5 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪3 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪P(X  3)  h (3;9,3,4)      .‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫وﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدى ﺑﺎﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪84‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪84‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪84‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪84‬‬

‫‪x‬‬ ‫) ‪P(X = x‬‬

‫ﻫذا وﯾﻣﻛن وﺿﻊ ﺻﯾﻐﺔ ﻹﯾﺟﺎد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ 4  5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  3  x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P(X  x )  h ( x;9,3,4) ‬‬ ‫‪, x  0,1,2,3.‬‬ ‫‪ 9‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫اﻵن ﯾﻣﻛـن ﺗﻌﻣــﯾم ﺻـﯾﻐﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣـﺎﻟﻲ ﻓــﻲ اﻟﻣﺛــﺎل اﻟﺳـﺎﺑق وذﻟــك ﻟﻠﺣﺻـول ﻋﻠــﻲ ﺻــﯾﻐﺔ‬ ‫ﻟﻠداﻟــﺔ )‪ . h(x;N, n, k‬اﻟﻌــدد اﻟﻛﻠــﻲ ﻟﻠﻌﯾﻧــﺎت ﻣــن اﻟﺣﺟــم ‪ n‬اﻟﻣﺧﺗــﺎرة ﻣــن ‪ N‬ﻣــن اﻟوﺣــدات ﻫــو‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ N‬‬ ‫‪ .  ‬ﻫذﻩ اﻟﻌﯾﻧﺎت ﯾﻔﺗرض أﻧﻬـﺎ ﻣﺗﺳـﺎوﯾﺔ ﻓـﻲ إﻣﻛﺎﻧﯾـﺔ اﻟﺣـدوث ‪ .‬ﯾوﺟـد ‪  ‬طرﯾﻘـﺔ ﻻﺧﺗﯾـﺎر ‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻣـن ‪ k‬ﺣـﺎﻻت اﻟﻧﺟـﺎح ‪ ،‬وﻟﻛـل طرﯾﻘـﺔ ﻣـن ﻫـذﻩ اﻟطـرق ﯾﻣﻛـن اﺧﺗﯾـﺎر ) ‪ (n – x‬ﻣـن ﺣـﺎﻻت اﻟﻔﺷـل‬

‫‪ N‬‬ ‫‪N  k‬‬ ‫ﺑطـرق ﻋـددﻫﺎ ‪‬‬ ‫‪ . ‬وﻋﻠــﻲ ذﻟـك اﻟﻌـدد اﻟﻛﻠــﻲ ﻣـن اﻟﻌﯾﻧـﺎت اﻟﻣرﻏــوب ﻓﯾﻬـﺎ ﻣـن ‪  ‬ﻋﯾﻧــﺔ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k N  k‬‬ ‫ﻫو ‪‬‬ ‫‪ .   ‬وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﻛﺎﻵﺗﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ k  N  k ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ , x  0,1,2,..., n , n  k , n  N  k‬‬ ‫‪h ( x; N, n, k )   ‬‬ ‫‪ N‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪ (٢‬اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n = 6‬ﻣن ﺻﻧدوق ﯾﺣﺗوي ﻋﻠـﻲ ‪ 5‬ﻛـرات ﺣﻣـراء و‬ ‫‪ 4‬ﻛرات ﺳوداء ‪ .‬ﻣﺎ ﻫو اﺣﺗﻣﺎل ظﻬور ﺛﻼث ﻛرات ﺣﻣراء ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة‪.‬‬ ‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدى ﺣﯾث ‪ x = 3, k = 5 , n = 6, N = 9‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪ 5  4 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪h (3;9,6,5)      .‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 6‬‬ ‫‪k‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ p‬ﻧﺳﺑﺔ اﻟوﺣدات اﻟﺗﻲ ﺗﻧﺗﻣﻲ إﻟﻲ اﻟﻧوع ‪ A‬وﻋﻠﻲ ذﻟك‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ (N-K)/N=1-p=q‬وﻫﻲ ﻧﺳﺑﺔ اﻟوﺣدات اﻟﺗﻲ ﺗﻧﺗﻣﻲ إﻟﻲ اﻟﻧوع ‪ B‬وﺑوﺿﻊ ‪:‬‬

‫‪p‬‬

‫وﻣﻧﻬﺎ‪:‬‬

‫‪ k = Np‬و ‪ N-k =Nq‬ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ )‪ h(x;N,n , k‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻣﻛﺎﻓﺋﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪٣‬‬

 Np  Nq     x  n  x   h ( x; n , p, N )  x  0,1,2,...., n  N   n n  Np, n  Nq = 0 elsewhere . ‫ ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻬﻧدﺳـﻲ‬X ‫ ﻟﻠدﻻﻟـﺔ ﻋﻠـﻲ أن‬X~ HYP (n, p, N) ‫ﺳـوف ﻧﻛﺗـب‬ . ‫اﻟزاﺋدى‬ ‫ﻣﺗطﺎﺑﻘﺔ رﯾﺎﺿﯾﺔ‬

A Mathematical Identity

: ‫ﺑﻣﺎ أن‬

(1  y) a (1  y) b  (1  y) a  b : ‫وﺑﻛﺗﺎﺑﺔ ﻣﻔﻛوك ذى اﻟﺣدﯾن ﻟﻛل ﺣد ﻣن اﻟﻣﺗطﺎﺑﻘﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‬  a  i  0

a  i   b  b j ab a  b r   y      y      y . i j r     j 0     r 0 

: ‫ ﻓﻲ ﻛل طرف ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‬yn ‫وﺑﻣﺳﺎواة ﻣﻌﺎﻣﻼت‬

a   b a   b   a  b a  b           ...          0   n   1   n - 1  n  0  n  : ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬ n a   b 

a  b   . 

( ١)

       j n j   n j 0   

: ‫ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل‬h(x;n, p, N) ‫اﻵن ﺳوف ﻧﺛﺑت أن‬ n  h ( x; n , p, N ) x 0





1 n  Np      N  x  0  x    n

 Nq    n  x  

1  Np  Nq  1 N       1.

N n N       n    n n  

٤

‫ﻣﺛﺎل )‪ (٣‬إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟ ازﺋـدى ﺣﯾـث ‪N = 100 , n = 10 ,‬‬ ‫‪ p = .05‬أوﺟد )‪. P(X  5‬‬ ‫اﻟﺣل‪:‬‬

‫‪ Np  Nq ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫‪P (X  5) ‬‬

‫)‪ h (0)  h (1)  h (2)  h (3)  h (4)  h (5‬‬ ‫‪ .5838  .3394  .0702  .0064  .0002  .0000  1.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل)‪ (٤‬ﺗﺷﺣن ﻣوﺗورات ﻛﻬرﺑﯾﺔ ﺻﻐﯾرة ﻓـﻲ ﻣﺟﻣوﻋـﺎت ﺣﺟـم ﻛـل ﻣﻧﻬـﺎ ‪ 50‬ﻣوﺗـو ار وﻗﺑـل أن ﺗﻘﺑـل‬

‫ﻫـذﻩ اﻟﺷــﺣن ﻓــﺈن ﻣﻔﺗﺷـﺎ ﯾﻘــوم ﺑﺎﺧﺗﺑــﺎر أي ﺧﻣﺳـﺔ ﻣــن ﺑــﯾن ﻣﺟﻣوﻋـﺔ واﺣــدة ) أي ﻣــن ‪ 50‬ﻣوﺗــو ار (‬ ‫وﯾﺧﺗﺑرﻫــﺎ ‪ .‬ﻓــﺈذا ﻟــم ﯾﺟــد أي ﻣــن اﻟﻣوﺗــورات اﻟﺧﻣﺳــﺔ ﻣﻌﯾﺑــﺔ ﻓﺈﻧــﻪ ﯾﻘﺑــل اﻟﺷــﺣﻧﺔ ﻛﻠﻬــﺎ ‪ .‬وأﻣــﺎ إذا وﺟــد‬ ‫ﻣوﺗوراً واﺣداً أو أﻛﺛر ﻣﻌﯾﺑﺎً ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻘـوم ﺑﺎﺧﺗﺑـﺎر اﻟﺷـﺣﻧﻪ ﻛﻠﻬـﺎ‪ .‬ﻓـﺈذا ﻋﻠﻣﻧـﺎ أن ﻓـﻲ ﻛـل ﻣﺟﻣوﻋـﺔ ﯾوﺟـد‬ ‫ﺑﺎﻟﻔﻌل ﺛﻼﺛﺔ ﻣوﺗورات ﻣﻌﯾﺑﺔ ‪ .‬ﻓﻣﺎ ﻫو اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻣﻔﺗش ﺳﯾﻘوم ﺑﺎﺧﺗﺑﺎر اﻟﺷﺣﻧﻪ ﻛﻠﻬﺎ ؟‬

‫اﻟﺣــل ‪ :‬إذا ﻛــﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛــل ﻋــدد اﻟﻘطــﻊ اﻟﻣﻌﯾﺑــﺔ ﻓــﻲ اﻟﻣﺟﻣوﻋــﺔ اﻟواﺣــدة ‪ ،‬ﻓــﺈن ﻗﯾــﺎم‬ ‫اﻟﻣﻔﺗش ﺑﺎﺧﺗﺑﺎر اﻟﺷﺣﻧﺔ ﻛﻠﻬﺎ ﯾﻌﻧﻲ أن ‪ X > 1‬واﺣﺗﻣﺎل ذﻟك ﻫو ‪:‬‬

‫‪ 3  47 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪0 5‬‬ ‫‪P(X  1)  1  P[X  0]  1      .72.‬‬ ‫‪ 50 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪ (٥‬إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳـﻲ اﻟ ازﺋـدى ﺣﯾـث‬ ‫‪ N = 25‬أوﺟد اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫) ‪P( X = 2‬‬ ‫)أ(‬ ‫)ب( ) ‪P ( X < 2‬‬ ‫) ‪P(X = 2 ) = h(2, 10, .2, 25‬‬ ‫اﻟﺣل ‪) :‬أ(‬

‫‪ 5  20 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪2 8‬‬ ‫‪     .385‬‬ ‫‪ 25 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 10 ‬‬ ‫)ب(‬

‫)‪P (X  2)  P (X  0 or 1 or 2‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪k = 5 , n = 10 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪  h ( x;10,.2,25‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫‪ .057  .257  .385  .699‬‬ ‫ﻣﺛـﺎل)‪ (٦‬ﻟـدي ﻣرﻛـز ﻟﺑﯾـﻊ أﺟﻬـزة اﻟرادﯾـو ‪ N = 200‬ﻓـﺈذا ﻛـﺎن ‪(q = .985) Nq = 197‬و ‪, ( p‬‬ ‫‪ = .015) Np = 3‬ﻓـﺈذا اﺧﺗﯾـرت ﻋﯾﻧـﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﺣﺟﻣﻬـﺎ ‪ n = 4‬ﺑـدون إرﺟـﺎع وﺗـم إرﺳـﺎﻟﻬﺎ إﻟـﻲ‬

‫ﻋﻣﯾل ‪ .‬أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل أن ﻋدد اﻷﺟﻬزة اﻟﻐﯾر ﺻﺎﻟﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗﺳﺎوي ‪ 2‬وأوﺟد ) ‪.P(X = 4‬‬ ‫اﻟﺣل ‪:‬‬

‫‪ 3 197 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  57918 = .000895 .‬‬ ‫‪h (2;4,.015,200)  P(X  2)   ‬‬ ‫‪64684950‬‬ ‫‪ 200 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4 ‬‬ ‫وﻣن ﻧﺎﺣﯾﺔ أﺧرى ‪ P(X = 4 ) = 0‬وذﻟك ﻷن ‪. Np = 3‬‬ ‫ﻣﺛـــﺎل)‪ (٧‬وﻋ ــﺎء ﯾﺣﺗ ــوي ﻋﻠ ــﻲ ‪ 100‬وﺣ ــدات ﻣﻧﻬ ــﺎ ‪ 80‬ﺟﯾ ــدة و ‪ 20‬ﺗﺎﻟﻔ ــﺔ ‪ .‬اﺧﺗﯾ ــرت ‪ 10‬وﺣ ــدات‬ ‫ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن اﻟوﻋﺎء ﺑدون إرﺟﺎع أوﺟد )‪ P(X  3‬ﺣﯾث ‪ X‬ﺗﻣﺛل ﻋـدد اﻟوﺣـدات اﻟﺗﺎﻟﻔـﺔ ﻓـﻲ اﻟﻌﯾﻧـﺔ‬ ‫‪.‬‬

‫اﻟﺣل ‪ X :‬ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟذى ﺣﯾث ‪ k = 20 , N = 100 , n = 10‬وﻋﻠﻲ ذﻟك‬

‫‪ 20  80 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3  x 10  x ‬‬ ‫‪  .890‬‬ ‫‪P(X  3)    ‬‬ ‫‪100 ‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣــن اﻟﻣﺛ ــﺎل اﻟﺳــﺎﺑق ﻓ ــﺈن اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل اﻟ ازﺋــدى ﻋﻠ ــﻰ اﻟﺷــﻛل ) ‪ P(X  x‬ﻣﻬ ــم ﺟ ــدا ﻓﻬــو ﯾﻣﺛ ــل داﻟ ــﺔ‬ ‫اﻟﺗوزﯾ ــﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر ‪ . X‬وﻋﻠ ــﻲ ذﻟ ــك ﯾﻣﻛ ــن ﺗﻌرﯾ ــف داﻟ ــﺔ اﻟﺗوزﯾ ــﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾ ــر ‪ X‬ﯾﺗﺑ ــﻊ اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻟﻬﻧدﺳ ــﻰ‬ ‫اﻟزاﺋدى ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪H( x;10,.2,100)   h (i;10,.2,100).‬‬ ‫‪i 0‬‬

‫وﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﺑدﻻﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ‪ .‬ﻓﻌﻠﻲ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ‪:‬‬

‫)‪P( X  3)  H(3;10,.2,100‬‬ ‫)‪P( X  3)  P( X  3)  P(X  2‬‬ ‫)‪ H(3;10,.2,100)  H( 2,10,.2,100‬‬ ‫)‪P( X  3)  1  P( X  3)  1  H(3;10,.2,100‬‬ ‫‪٦‬‬

P (X  3)  1  P( X  2)  1  H ( 2,10,.2,100). . , N=2(1)9 p , n ‫ ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن‬h(x; n , p, N ) ‫وﻫﻧﺎك ﺟدول ﯾﻌطﻲ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت‬ The Recurrence Relation ‫اﻟﻌﻼﻗـﺔ اﻟﻣﺗﻛـررة‬ ‫ ﻓﺈن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺳوف ﺗﻔﯾد ﻓﻲ‬x = 0, 1, 2,…,n ‫ﻟﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻋﻧد ﻛل ﻧﻘطﺔ‬

. ‫ ﻟﻼﺧﺗﺻﺎر‬h(x; n, p, N) = h (x) ‫ﻋﻣﻠﯾﺔ اﻟﺣﺳﺎب ﺑﻌد وﺿﻊ‬

 Np  Nq   N     /  h (x  1)  x  1 n  x  1  n   h( x )  Np  Nq   N     /  x n  x    n ( Np)! ( Nq )! ( x  1)!( Np  x  1)! (n  x  1)!( Nq  n  x  1)!  ( Np)! ( Nq )! x!( Np  x )! (n  x )!( Nq  n  x )! ( Np  x )(n  x )  (x  1)( Nq  n  x  1) : ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺈن‬

h ( x  1) 

( Np  x ) ( n  x ) h ( x ). ( x  1) ( Nq  n  x  1)

(٢)

‫ ﺗﺗم ﻋﻣﻠﯾﺔ‬. ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﺳﻣﻲ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﻣﺗﻛررة ﻟﺣﺳﺎب اﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ اﻟزاﺋدى‬ : ‫اﻟﺣﺳﺎب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‬

 Np  Nq   Nq       0  n  0   n  0   h (0)    N  N     n n

: ‫ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬h(0) ‫ﻧﺣﺳب‬

(‫)أ‬

:‫ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‬h(0) ‫ ﺑدﻻﻟﺔ‬h(1) ‫ ( وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻲ‬٢) ‫ ﻓﻲ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ‬x = 0 ‫)ب( ﻧوﺿﻊ‬ ( Np)(n ) h (1)  h (0) (1)( Nq  n  1)

٧

: ‫ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‬h(1) ‫ ﺑدﻻﻟﺔ‬h(2) ‫( وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻲ‬٢) ‫ ﻓﻲ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ‬x = 1 ‫)ج( ﻧوﺿﻊ‬

h ( 2) 

(np  1)( n  1) h (1) ( 2)( Nq  n  2) . ‫وﻫﻛذا‬ Mean and Variance ‫اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾــن‬ n

n

  E(X )   x h (x )   x h( x ) x 0

x 1

x =1 ‫ وﻋﻠـﻲ ذﻟـك ﻓـﺈن اﻟﻣﺟﻣـوع ﺳـوف ﯾﻛـون ﻣـن‬x h (x) = 0 ‫ ﻓـﺈن‬x = 0 ‫وذﻟـك ﻷﻧـﻪ ﻋﻧـدﻣﺎ‬

. x = n ‫إﻟﻲ‬ : ‫أي أن‬

 Np   Nq  1 n   x.     N  x 1  x   n  x    n 1 n ( Np)!  Nq      x  N  x 1 x!( Np  x )!  n  x    n 



 Nq  1 n ( Np)!     N  x 1 ( x  1)!( Np  x )!  n  x    n  Np n  Np  1 Nq        N  x 1  x  1  n  x    n : ‫ وﻋﻠﻲ ذﻟك‬y =0, 1, 2,…,n-1 ‫ ﯾﺄﺧذ اﻟﻘﯾم‬y ‫ ﻓﺈن اﻟﻣﺗﻐﯾر‬y = x-1 ‫ﺑوﺿﻊ‬ 



Np n 1  Np  1 Nq       N  y  0  y  n  1  y    n : ‫ ( ﻓﺈن‬١ ) ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣﺗطﺎﺑﻘﺔ رﻗم‬

٨

Np  Np  Nq  1 Np  N  1    . n  1   N   n  1   N       n   n :‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬



Np( N  1)! n!( N  n )!  np. (n  1)!( N  n )!

N!

:‫ ﻟﻠﻣﺿروب‬r ‫ ﺳوف ﻧﺣﺳب أوﻻً اﻟﻌزم اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻣن اﻟدرﺟﺔ‬ ‫ﻟﺣﺳﺎب اﻟﺗﺑﺎﯾن‬ n

[ 2]   x ( x  1). h(x). x 0

‫ إﻟـﻲ‬x = 2 ‫ وﻋﻠﻲ ذﻟـك اﻟﻣﺟﻣـوع ﺳـوف ﯾﻛـون ﻣـن‬.‫ ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر‬x = 1 , x = 0 ‫اﻟﺣد اﻟﻣﻘﺎﺑل ﻟـ‬ : ‫ أي أن‬. x = n

[ 2 ]

 Np  Nq     n x  n  x     x ( x  1)  N x 2   n 



1 n ( Np)!  Nq     x (x  1) x!( Np  x )!  n  x   N  x2   n 

 Nq  1 n ( Np)!   .  N  x  2 ( x  2)!( Np  x )!  n  x    n  : ‫ ﻓﺈن‬N p! = (N p)(N p-1)(N p-2)! ‫ﺑوﺿﻊ‬

[ 2] 



 Nq  ( Np)( Np  1) n ( Np  2)!     N x  2 ( x  2)!( Np  x )!  n  x    n  Np( Np  1) n  2  Np  2     N j 0  x  2    n 

 Nq    . n  x   : ‫ ﻓﺈن‬x – 2 = y ‫ﺑوﺿﻊ‬

٩

[ 2] 

Np( Np  1) n  2  Np  2     y  N  y  0   n 

 Nq    n  2  y : ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺈن‬

[ 2 ] 



Np( Np  1)  N   n 

 Np  Nq  2    n  2  

Np( Np  1) N   n 

 N  2   = [ p(N p-1) n (n-1) ] / (N-1). n  2   :‫اﻵن‬

 2  [ 2]     2 

np( Np  1)(n  1)  np  (np) 2 . ( N  1) : ‫واﻟﺗﻲ ﺑﻌد ﺗﺑﺳﯾطﻬﺎ ﺗﺻﺑﺢ‬

2 

Nn npq.

N 1

‫ وﻋﻠـﻲ ذﻟـك‬1 ‫( ﯾﻘﺗـرب إﻟـﻲ‬N-n) / (N-1) ‫ ﻓـﺈن اﻟﺣـد‬N ‫ واﻟﻘـﯾم اﻟﻛﺑﯾـرة ﻣـن‬n ‫ﻟﻠﻘـﯾم اﻟﺻـﻐﯾرة ﻣـن‬ .  2  npq : ‫ وﻣﻧﻬﺎ‬p 

5  .2 ‫ وﻋﻠﻲ ذﻟك‬N = 25 , k = 5 , n = 10 ‫( ﻋﻧدﻣﺎ‬٥ ) ‫( ﻟﻠﻣﺛﺎل‬٨) ‫ﻣﺛﺎل‬ 25

  E( X)  10(.2)  2, 15  2  Var( X)  (10)(2)(8)  (.625)(1.6)  1.

24

‫ و‬N   ‫ وﻋﻧـدﻣﺎ‬x = 0,1,…,n ‫ وﻋﻠـﻲ ذﻟـك ﻟﻘـﯾم‬X ~ HYP(n, p, N) ‫ﻧظرﯾـﺔ إذا ﻛـﺎن‬ : ‫ ﺛﺎﺑت ﻣوﺟب ﻓﺈن‬p ‫ ﺣﯾث‬k / N  p ‫ ﺣﯾث‬k  

 Np  Nq     x n  x    n  p x q n  x . lim   x N   N     n ١٠

: ‫ ﺑﻣﺎ أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدى ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل‬: ‫اﻟﺑرﻫﺎن‬

 Np  Nq     x n  x  h ( x )     N   n

Np! Nq!  x!( Np  x )! ( n  x )!( Nq  n  x )!

N! n!( N  n )!

( Np)! ( Nq )! n! ( Np  x )! ( Nq  n  x )!   N! x!( n  x )! ( N  n )!  n  ( NP)( Np  1)...(Np  x  1) Nq{( Nq  1)( Nq  n  x  1)    ( N)( N  1)...( N  n  1) x

1 x  1  1 n  x  1  p( p  )...(p  q (q  )...(q      n  N N  n N     1   n 1  x (1)1  ) ... (1   N   N   : ‫وﺑﺄﺧذ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﻟﻠطرﻓﯾن ﻓﺈن‬

n lim h ( x )    p x q n  x .

N  x ‫ وﻋﻠ ــﻲ ذﻟ ــك‬n = 10 , p = .1

N = 100 ‫ ( ﺑﻔ ــرض أن‬٩) ‫ﻣﺛـــﺎل‬ 90 ‫ اﻟﺟــدول اﻟﺗ ــﺎﻟﻲ ﯾﻌط ــﻰ اﻟﻣﻘﺎرﻧ ــﺔ ﺑ ــﯾن اﻻﺣﺗﻣ ــﺎﻻت ﺑﺎﻟﺿ ــﺑط‬. ( N  n ) /( N  1)   .909 99 . ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدى واﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن‬ ,

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h(x) .33 .408 .202 .052 .008 .001 .000 .000 .000 .000 .000 b(x,10,.1) .349 .387 .194 .057 .011 .002 .000 .000 .000 .000 .000

١١

‫ﯾﺗﺿــﺢ ﻣــن اﻟﺟــدول اﻟﺳــﺎﺑق أن أﻛﺑــر ﻓــرق ﻫــو ‪ .021‬وﻋﻠــﻲ ذﻟــك ﯾﻔﺿــل اﺳــﺗﺧدام ﺗﻘرﯾــب ذي‬ ‫اﻟﺣدﯾن ﻋﻧدﻣﺎ ‪ N‬ﻛﺑﯾرة ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪ ( ١٠‬اﺧﺗﺑرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﺧﻣس طﻠﺑﺔ ) ‪ ( n = 5‬ﺑدون إرﺟـﺎع ﻣـن ﻣﺟﺗﻣـﻊ اﻟطﻠﺑـﺔ‬ ‫اﻟـذي ﺣﺟﻣـﻪ ‪ N = 300‬وﻗـد ﺗـم ﺳـؤال ﻛـل ﺷـﺧص ﻓﯾﻣـﺎ إذا ﻛـﺎن ﯾﺳـﺗﺧدم دواء ﻣﻌـﯾن أم ﻻ ‪ .‬أوﺟـد‬ ‫)‪ P(X = 2‬إذا ﻋﻠم أن‬

‫‪ 50%‬ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟطﻠﺑﺔ ﯾﺳﺗﺧدﻣون ﻫذا اﻟدواء ‪.‬‬

‫اﻟﺣل ‪:‬‬

‫‪150 150 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P ( X  2) ‬‬ ‫‪ .3146.‬‬ ‫‪ 300 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 5 ‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻـول ﻋﻠـﻲ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﺳـﺎﺑق ﺑﺎﺳـﺗﺧدام ﺗﻘرﯾـب ذي اﻟﺣـدﯾن ﺣﯾـث ‪ n = 5, p = .5‬وﻋﻠـﻲ‬ ‫ذﻟ ـ ـ ـ ــك ﻓـ ـ ـ ـ ــﺈن ‪. h ( 2)  P ( X  2) ~b( 2,5,.5)  .3125‬اﻟﻣﻌﺎﻣـ ـ ـ ـ ــل )‪ ) (N-n)/(N-1‬ﻣﻌﺎﻣـ ـ ـ ـ ــل‬

‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟﻣﺣدود ( ﻓﻲ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻫو ‪:‬‬

‫‪N  n 300  5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .98622.‬‬ ‫‪N  1 300  1‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪ (١١‬اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ﯾوﺿﺢ ﻗﯾم )‪ b (x; n, p) , h(x‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪n  4, p  , N  100‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪b( x; n, p‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫‪.316‬‬ ‫‪.310‬‬ ‫‪.422‬‬ ‫‪.431‬‬ ‫‪.211‬‬ ‫‪.212‬‬ ‫‪.047‬‬ ‫‪.044‬‬ ‫‪.004‬‬ ‫‪.003‬‬ ‫ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺟدول أن ﺗﻘرﯾب ذي اﻟﺣدﯾن ﺟﯾد ﻋﻧدﻣﺎ ‪ N‬ﺗﻛون ﻛﺑﯾرة ‪.‬‬

‫‪١٢‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬