اختبار شيفيه لتجانس التباين

‫اﺧﺗﺑﺎر ﺷﯾﻔﯾﮫ ‪Scheffe‬‬ ‫ﻟ ﺗﻛن ‪ n1 , n 2 ,..., n i ,. .., n k‬ﺗرﻣ ز ﻟﺣﺟ وم اﻟﻌﯾﻧ ﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت اﻟﺗ ﻰ ﻋ ددھﺎ ‪ .k‬ﺗﻘﺳ م‬ ‫اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ ﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ اﻟﻰ ﻋﯾﻧﺎت ﺟزﺋﯾﮫ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪. n i1, n i 2 ,..., n ij , ..., n ip‬‬ ‫‪i‬‬

‫ﺣﯾث ﻋدد اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﺟزﯾﺋﺔ ﯾﻛون اﺧﺗﯾﺎرﯾﺎ وﯾﻔﺿ ل ان ﺗﻛ ون اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﺟزﺋﯾ ﮫ ذات ﺣﺟ وم ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ‬ ‫ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‪ .‬ﻟﻛل ﻋﯾﻧﮫ ﺟزﺋﯾﮫ ﯾﺗم ﺣﺳ ﺎب اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ‪ . s ij2‬ﻟ ﯾﻛن ‪ . x ij  ln s ij2‬إن ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﯾ ﺗم‬ ‫ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ‪ x ij‬ﻛﻣﺷ ﺎھدات اﺳﺎﺳ ﯾﺔ ﻛ ل ‪ x ij‬ﯾﻛ ون ﻟﮭ ﺎ ‪ f ij  n ij  1‬درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﮫ‪ .‬ﺗﺣﻠﯾ ل‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن ھﻧﺎ ﯾﺳﻣﻰ ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣ رﺟﺢ‪ .‬اﻟﺗ رﺟﯾﺢ ھﻧ ﺎ ﯾ ﺗم ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ‪ . f ij‬ﯾﻔﺗ رض ان ‪ x ij‬ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ‬ ‫ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ‪ .‬ﻻﯾﺟﺎد ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﯾﺗم اﺟراء اﻟﻌﻣﻠﯾﺎت اﻟﺣﺳﺎﺑﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪ fi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪ Yi. , f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪x ij , Y.. ‬‬

‫‪pi‬‬ ‫‪ f ij‬‬ ‫‪j1‬‬

‫‪, Yi. ‬‬

‫‪pi‬‬ ‫‪ f ij‬‬ ‫‪j1‬‬

‫‪fi ‬‬

‫‪(1)  Y..2 / f ,‬‬ ‫‪(2)    f ij x 2ij ,‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪(3)   Yi2. / f i ,‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﺳﯾﻛون ‪:‬‬ ‫‪SSTr = (3) - (1).‬‬ ‫ﻣﺟﻣوع ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺧطﺄ ﺳﯾﻛون‪:‬‬ ‫‪SSE = (2) - (3).‬‬ ‫ﻻﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔرض‬

‫‪12   22  ....   2k‬‬ ‫ﯾﺳﺗﺧدم اﻹﺣﺻﺎء اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫)‪SSTr /(k  1‬‬ ‫)‪SSE / (p i  1‬‬ ‫إذا ﻛ ﺎن اﻟﻔ رض اﻟﻣ راد اﺧﺗﺑ ﺎره ﺻ ﺣﯾﺢ ﻓ ﺈن ‪ F‬ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ﺗﺗﺑ ﻊ ﺗوزﯾ ﻊ ‪ F‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﮫ‬ ‫‪F‬‬

‫‪k‬‬

‫)‪. k  1,  (p i  1‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻛﻣﺛ ﺎل ﻟﺗطﺑﯾ ق ھ ذا اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ‪ ،‬ﺑﻔ رض أن ‪ k=5‬و ‪ n=12‬ﻣﺷ ﺎھدة ﺗﺣ ت ﻛ ل ﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ‪.‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺗﻘﺳﯾم )ﻋﺷواﺋﯾﺎ( ﻛل ﻓﺋﮫ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﻰ ﻋددھﺎ ‪ 12‬اﻟ ﻰ ‪ pi = 3‬ﻋﯾﻧ ﺎت ﺟزﺋﯾ ﮫ وﻛ ل‬ ‫ﻋﯾﻧﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ . n ij  4‬ﺗﺣ ت ظ روف ﻛ ل ﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ ﺳ وف ﯾﻛ ون ھﻧ ﺎك ﺛ ﻼث ﺗﺑﺎﯾﻧ ﺎت‪.‬‬ ‫درﺟ ﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ ﻟﻺﺣﺻ ﺎء ‪ F‬ﺳ وف ﺗﻛ ون )‪ . k  1, ( p i  1‬ﻟ ﯾس ﻣ ن اﻟﺿ رورى ان ﯾﻛ ون‬ ‫ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗﺣت ﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‪ .‬ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﺣﺟوم اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻏﯾ ر ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ﻓﮭ ذا ﯾ ؤدى اﻟ ﻰ‬ ‫ان ﺣﺟوم اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﺟزﺋﯾﺔ داﺧل ﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ﻏﯾر ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‪ ،‬وﻟﻛن ﻛل ﻋﯾﻧﺔ ﺟزﺋﯾ ﮫ ﻻ ﺑ د ان ﯾﻛ ون‬ ‫ﺣﺟﻣﮭﺎ ‪ 3‬او اﻛﺛر‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‪:‬‬ ‫‪١‬‬

‫ﯾﻌطﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ درﺟﺎت ﺳﻣﮫ اﻻﻧﺑﺳﺎطﯾﮫ ﻟدى أرﺑﻊ ﻣﺟﻣوﻋﺎت‬ ‫واﻟﻣطﻠوب‪:‬‬ ‫اﺳ ﺗﺧدام اﺧﺗﺑ ﺎر ﺷ ﯾﻔﯾﮫ ﻻﺧﺗﺑ ﺎر اﻟﻔ رض ‪   0.01‬ان ﺗﺑﺎﯾﻧ ﺎت اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﺎت ﻟﻼﺟﻧ ﺎس‬ ‫اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪.‬‬ ‫أﻣرﯾﻛﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻓرﻧﺳﯾون ‪:‬‬ ‫اﻧﺟﻠﯾز ‪:‬‬ ‫ﯾﺎﺑﺎﻧﯾون‪:‬‬

‫‪5, 4, 7, 3, 8, 2, 8, 6, 4‬‬ ‫‪7, 5, 5, 4, 8, 3, 11, 9‬‬ ‫‪6, 12, 8, 14, 5, 13, 9, 9, 8, 7‬‬ ‫‪11, 8, 3, 16, 9, 4, 10, 5, 8, 7, 11, 6‬‬

‫اﻟﺣل‪:‬‬ ‫ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم‬

‫‪H 0 : 12   22  ....   2k‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﻟﯾﺳت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪H1:‬‬ ‫اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﺟزﺋﯾ ﺔ ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ ﺟ دول اﻟﺳ ﺎﺑق ﻣﻌط ﺎه ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ‪ .‬ﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﻓ رض‬ ‫اﻟﻌدم ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ‪:‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪A‬‬ ‫ﯾﺎﺑﺎﻧﯾـون‬ ‫‪A2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪n 43‬‬ ‫‪n 42‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪s 242‬‬ ‫‪s 243‬‬ ‫‪4.67‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ln s 242 ln s 243‬‬ ‫‪1.54‬‬ ‫‪2.3‬‬ ‫‪x 42‬‬ ‫‪x 43‬‬ ‫‪f 42‬‬ ‫‪f 43‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 33 3‬‬

‫‪B‬‬ ‫اﻧﺟﻠﯾـز‬ ‫‪A3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪n 41‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪s 241‬‬ ‫‪28.33‬‬ ‫‪ln s 241‬‬ ‫‪3.34‬‬ ‫‪x 41‬‬ ‫‪f 41‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f4‬‬

‫‪B1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪n 32‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s 32‬‬ ‫‪13.3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln s 32‬‬

‫‪B2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪n 31‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s 31‬‬ ‫‪6.70‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln s 31‬‬

‫‪2.59‬‬

‫‪1.90‬‬

‫‪x 32‬‬ ‫‪f 32‬‬

‫‪x 31‬‬ ‫‪f 31‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪f3  8‬‬

‫‪44‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪C‬‬ ‫ﻓرﻧﺳﯾـون‬ ‫‪C2‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪n 21‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪s 221‬‬ ‫‪2.92‬‬ ‫‪ln s 221‬‬

‫‪n 22‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪s 222‬‬ ‫‪12.92‬‬ ‫‪ln s 222‬‬ ‫‪1.07‬‬ ‫‪2.56‬‬ ‫‪x 21‬‬ ‫‪x 22‬‬ ‫‪f 21‬‬ ‫‪f 22‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f2  6‬‬ ‫‪ 3 3‬‬

‫‪D‬‬ ‫اﻣرﯾﻛﯾـون‬ ‫‪D2‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪n11‬‬ ‫‪n12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s11‬‬ ‫‪s12‬‬ ‫‪5.8‬‬ ‫‪4.67‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln s11‬‬ ‫‪ln s12‬‬

‫‪1.54‬‬

‫‪1.76‬‬

‫‪x 11‬‬ ‫‪x 12‬‬ ‫‪f 12‬‬ ‫‪f11‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f1  7‬‬ ‫‪43‬‬

‫‪3‬‬

‫‪Y4.   f 4 j x 4j‬‬ ‫‪j1‬‬

‫‪ 21.54‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪j1‬‬

‫‪j1‬‬

‫‪ 17.96‬‬

‫‪ 10.89‬‬

‫‪Y2.   f 2 j x 2j Y3.   f 3 j x 3j‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Y1.   f1 j x 1j‬‬ ‫‪j1‬‬

‫‪ 11.66‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪Y..   Yi.  62.05.‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪(62.05) 2‬‬ ‫‪/f ‬‬ ‫‪ 128.34‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪Y..2‬‬

‫‪(1) ‬‬

‫‪(2)  f ij x ij2  12.39  7.11  3.43  19.66‬‬ ‫‪ 14.44  26.83  33.47‬‬ ‫‪ 7.11  15.87  140.31‬‬ ‫‪(11 .66) 2 (10.89) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(3)  (Yi. / f i ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪(17.96) 2 (21.54) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 19.42  19.77  40.32‬‬ ‫‪ 51.55  131.06.‬‬ ‫‪SSTr  (3)  (1)  131.06  128.34  2.72,‬‬ ‫‪SSE  (2)  (3)  140.31  131.06  9.25,‬‬ ‫‪SSTr 2.72‬‬ ‫‪MSTr ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.91,‬‬ ‫‪k -1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪SSE‬‬ ‫‪9.25‬‬ ‫‪9.25‬‬ ‫‪MSE ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1.85.‬‬ ‫‪(p i  1) 1  1  1  2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ F‬ھﻰ‪:‬‬ ‫‪0.91‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ 0.49.‬‬ ‫‪1.85‬‬ ‫اﻣ ﺎ ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ F‬اﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪   0.01‬ﻓﮭ ﻰ ‪ . F.01 [3, 5] = 12.06‬وﺑﻣ ﺎ أن‬ ‫اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ أﺻ ﻐر ﻣ ن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘﺑ ل ﻓ رض اﻟﻌ دم ﻋﻧ د ‪   0.01‬ﺑﺗﺳ ﺎوى‬ ‫ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ﻟﻼﺟﻧﺎس اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪.‬‬

‫‪٣‬‬