اختبارات حول الارتباط

‫اﺧﺗﺑﺎرات ﺣول اﻻرﺗﺑﺎط‬ ‫ﻓﻲ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻷﺣﯾﺎن ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ وﻧﻛون ﻣﮭﺗﻣﯾن ﺑﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ ذﻟك اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ وﯾﻛون‬ ‫اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﻣﻌرﻓﺔ ھل ھﻧﺎك ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ أم ﻻ‪ ،‬وإن وﺟدت ﻣﺎ ﻧوﻋﮭﺎ‪ ،‬وإذا أردﻧﺎ اﺧﺗﺑﺎر ﺑﻌض‬ ‫اﻟﻔروض اﻟﺗﻲ ﺗدور ﺣول اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن وﻛﺎﻧت وﺣدة اﻟﻘﯾﺎس ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ﺑﻔﺗرة ﻋﻠﻰ اﻷﻗل‬ ‫و ﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟﻣﺳﺣوب ﻣﻧﮫ اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل‬ ‫ارﺗﺑﺎط ﺑﯾرﺳون ﻻﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔروض اﻟﺗﻲ ﺗدور ﺣول ﻣﻌﺎﻣل اﻷرﺗﺑﺎط‪ ،‬وﻟﻛن إذا ﻟم ﺗﺳﺗوﻓﻰ ھذه‬ ‫اﻟﺷروط ﻓﻼ ﯾﻣﻛن إﺟراء ھذا اﻻﺧﺗﺑﺎر ‪،‬ﻟﻌﻼج ھذه اﻟﻣﺷﻛﻠﺔ ﻧﺟري اﺧﺗﺑﺎرات ﻻﻣﻌﻠﻣﯾﺔ ﺗﻌﺗﻣد‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟرﺗب ﻣﺛل اﺧﺗﺑﺎر ﺳﺑﯾرﻣﺎن أو ﻛﻧدال وﺑذﻟك ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ذات وﺣدة ﻗﯾﺎس أﻗل‬ ‫ﻣن ﻓﺗرة‪،‬ﻛﺄن ﺗﻛون ﺗرﺗﯾﺑﯾﺔ أو أﺳﻣﯾﺔ‪ ،‬وﻣﻊ أن ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ﻓﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎرﯾن ﺗﺗراوح‬ ‫ﺑﯾن‪1‬و‪ -1‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻻ ﻧﺗوﻗﻊ ﻓﻲ ﺟﻣﯾﻊ اﻟﺣﺎﻻت ﺗﺳﺎوي ﻗﯾﻣﺗﯾﮭﻣﺎ ﻟﻧﻔس اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ‪،‬ﻻﺧﺗﻼف اﻻﺳﺎﻟﯾب‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ ﻓﻲ ﺣﺳﺎب ﻛل ﻣﻧﮭﻣﺎ‪.‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣل ارﺗﺑﺎط ﺳﺑﯾرﻣﺎن ﻟﻠرﺗب‬ ‫‪The Spearman Rank Correlation Coefficient‬‬ ‫ھﻧﺎك اﺧﺗﺑﺎرات اﻟﻔروض )ﻣﻌﻠﻣﯾ ﺔ( اﻟﺗ ﻲ ﺗﺧ ص ﻣﻌﺎﻣ ل ارﺗﺑ ﺎط اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ‪ ‬ﺗﺣ ت ﻓ رض‬ ‫أن ‪ X , Y‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﮭﻣﺎ ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻲ ﺛﻧ ﺎﺋﻲ ‪ .‬ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ ﻋ دم ﺗﺣﻘ ق اﻟﺷ رط اﻟﺳ ﺎﺑق‬ ‫ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻣﻛﻧﻧ ﺎ اﺳ ﺗﺧدام ﻣﻌﺎﻣ ل ﺳ ﺑﯾرﻣﺎن ﻛﺈﺣﺻ ﺎء ﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﻋ دم وﺟ ود ﻋﻼﻗ ﺔ ) ارﺗﺑ ﺎط( ﺑ ﯾن‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾ رﯾن ‪ .X , Y‬أﯾﺿ ﺎ ﯾﻣﻛﻧﻧ ﺎ اﺳ ﺗﺧدام ﻣﻌﺎﻣ ل ﺳ ﺑﯾرﻣﺎن ﻛﻣﻘﯾ ﺎس وﺻ ﻔﻰ ﻟﻘ وة اﻻرﺗﺑ ﺎط ﺑ ﯾن‬ ‫ﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X , Y‬ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻏﯾر ﻣﺗوﻓرة ﻓﻲ ﺷﻛل ﺑﯾﺎﻧ ﺎت رﻗﻣﯾ ﺔ وﻟﻛ ن ﯾﻣﻛ ن‬ ‫ﺗﻌﯾﯾن رﺗب ﻟﮭﺎ‪ .‬ﻹﺟراء اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ ‪:‬‬ ‫ﺗﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ n‬ﻣ ن أزواج اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟرﻗﻣﯾ ﺔ أو اﻟوﺻ ﻔﯾﺔ ‪ .‬ﻛ ل‬ ‫)أ(‬ ‫زوج ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ﯾﻣﺛل ﻗراءﺗﯾن ﻣﺄﺧوذﺗﯾن ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻣﻔردة واﻟﻣﺳﻣﺎة وﺣدة اﻻﻗﺗ ران‬ ‫‪ . unit of association‬أﯾﺿ ﺎ ﻗ د ﺗﻣﺛ ل اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻣﺷ ﺎھدات ﻣ ﺄﺧوذة ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣ ﻊ‬ ‫ﺛﻧﺎﺋﻲ ‪ .‬ﺳوف ﻧرﻣز ﻷزواج اﻟﻣﺷﺎھدات ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ) ‪. (x1, y1 ),(x 2 , y 2 ),...,(x n , y n‬‬ ‫)ب( ﻧرﺗب ﻗﯾم اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻟﺗﺎﺑﻌﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر ‪ X‬ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ )أو ﺗﻧﺎزﻟﯾ ﺎ( وﺗﻌط ﻲ رﺗﺑ ﺔ‬ ‫ﻟﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺷﺎھدة ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻛل ﻗﯾم اﻟﻣﺷﺎھدات اﻷﺧرى‪ .‬ﺳ وف ﻧرﻣ ز ﻟرﺗﺑ ﺔ اﻟﻣﺷ ﺎھدة رﻗ م‬ ‫‪، x i ، i‬ﺑﺎﻟرﻣز ) ‪ . r(x i‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪ r(x i )  1‬ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن ‪ x i‬ﺗﻣﺛل أﻗل ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺷ ﺎھدة‬ ‫ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪.‬‬ ‫)ج( ﻧرﺗب ﻗﯾم اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ واﻟﺗﺎﺑﻌ ﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر ‪ Y‬ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ ً )أو ﺗﻧﺎزﻟﯾ ﺎ ً( وﺗﻌط ﻰ رﺗﺑ ﺔ‬ ‫ﻟﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺷﺎھدة ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻛل ﻗﯾم اﻟﻣﺷﺎھدات اﻷﺧرى ‪.‬ﺳوف ﻧرﻣ ز ﻟرﺗﺑ ﺔ اﻟﻣﺷ ﺎھدة رﻗ م‬ ‫‪ ، y i ، j‬ﺑﺎﻟرﻣز ) ‪. r(yi‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪ r(yi )  1‬ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن ‪ y i‬ﺗﻣﺛل أﻗل ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺷ ﺎھدة‬ ‫ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪.‬‬ ‫)ح( ﻋﻧد ﺣدوث ﺗداﺧﻼت ﻧﻌطﻰ ﻣﺗوﺳط اﻟرﺗب اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑدﻻ ً ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ ﻛﺎﻟﻣﻌﺗﺎد ‪.‬‬ ‫)خ( إذا ﻛﺎﻧت اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﺻﻔﯾﺔ ﺑﺈﻣﻛﺎﻧﻧﺎ ﺗﺣوﯾﻠﮭﺎ إﻟﻲ رﺗب ‪.‬‬ ‫ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻﺎء اﻟذي ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﯾﮫ ﻗرارﻧ ﺎ ھ و ﻣﻌﺎﻣ ل ارﺗﺑ ﺎط ﺳ ﺑﯾرﻣﺎن واﻟ ذي ﯾﺣﺳ ب ﻣ ن اﻟﺻ ﯾﻐﺔ‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪6d i2‬‬ ‫‪rs  1 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪n(n 2  1‬‬ ‫‪٦٠٦‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪d i2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪   r(x i)  r(yi )  .‬‬ ‫ﻟﻛل زوج ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات وﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﻛ ون رﺗﺑ ﺔ ‪ x‬ﻧﻔ س رﺗﺑ ﺔ ‪ ) y‬ارﺗﺑ ﺎط ﺗ ﺎم ط ردي ( ‪ ،‬ﻓ ﺈن ﻛ ل‬ ‫اﻟﻔروق ‪ d i‬ﺳوف ﺗﺳﺎوى ﺻﻔر وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪ . rs  1‬إذا ﻛﺎﻧ ت رﺗﺑ ﺔ ﻛ ل ﻣﺗﻐﯾ ر داﺧ ل ﻛ ل زوج‬ ‫ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ﻋﻛس اﻵﺧر‬ ‫) ارﺗﺑﺎط ﺗﺎم ﻋﻛﺳﻲ ( ‪ ،‬أي إذا ﻛﺎن ‪:‬‬ ‫‪[r(x)  1,r(y)  n],[r(x)  2, r(y)  n  1],...,[r(x)  n, r(y)  1].‬‬ ‫وذﻟ ك ﻷزواج اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﺗ ﻲ ﻋ ددھﺎ ‪ n‬ﻓ ﺈن ‪. rs  1‬ﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل إذا ﻛ ﺎن ﻟ دﯾﻧﺎ أزواج‬ ‫اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻓﺈن اﻟرﺗب ﺗﺻﺑﺢ ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪r(x i ) : 4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪r(yi ) :1‬‬

‫‪‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪  d i2‬ﺳوف )‪ (x i , yi ) : (12,5),(11,6),(10,7),(9,8‬ﺗﻛون ‪:‬‬ ‫‪(3)2  (1)2  (1) 2  (3)2  20,‬‬

‫وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺳﺑﯾرﻣﺎن ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪rs  1  [(6)(20) /(4)(15)  1  2  1.‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣ ل ارﺗﺑ ﺎط ﺳ ﺑﯾرﻣﺎن ﻻ ﯾﻣﻛ ن أن ﯾزﯾ د ﻋ ن ‪ +1‬وﻻ ﯾﻣﻛ ن أن ﯾﻘ ل ﻋ ن ‪ . –1‬ﻓ رض اﻟﻌ دم‬ ‫واﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﺳوف ﯾﻛوﻧﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪ : H 0‬اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬ ‫‪ : H1‬ﺗوﺟد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ ﻧﻔس اﻻﺗﺟﺎه أو اﻻﺗﺟﺎه اﻟﻣﻌﺎﻛس ‪.‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ H 0‬ﺻﺣﯾﺢ ﻓﺈن ‪ rs‬ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ R s‬اﻟذي ﻟﮫ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ‪ .‬اﻟﻘﯾم اﻟﺣرﺟﺔ‬ ‫‪ rs,* ‬ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ R s‬ﺗﺳﺗﺧرج ﻣن اﻟﺟدول ‪ .‬ﻟﻌﯾﻧﺎت ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ 4‬وﺣﺗﻰ اﻟﺣﺟم ‪ 30‬ﻋن ﻣﺳﺗوﯾﺎت‬ ‫ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ .‬ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ‬ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ R s  rs, / 2‬أو‬ ‫‪‬‬

‫‪ . R s  rs,  / 2‬إذا وﻗﻌت ‪rs‬‬

‫ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض ‪ . H 0‬ﻟﻠﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪: H1‬‬

‫ﺗوﺟد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ ﻧﻔس اﻻﺗﺟﺎه ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ R s  rs, ‬وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ . ‬ﻟﻠﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ : H1‬ﺗوﺟد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ اﺗﺟﺎه ﻣﻌﺎﻛس ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ‬ ‫اﻟرﻓض ‪ R s   rs,‬وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪. ‬‬ ‫اﻟﻘرارات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﺳﺗﺧدم ﻋﻧدﻣﺎ ﻻ ﯾﻛون ھﻧﺎك ﺗداﺧل أو أن ﯾﻛون ﻋ ددھﺎ ﺻ ﻐﯾرا ً ‪ .‬ﻋﻧ دﻣﺎ‬ ‫ﯾﻛون ھﻧﺎك ﺗداﺧل و إذا ﻛﺎن ﻋددھﺎ ﻛﺑﯾ را ً ) اﻟﻌ دد اﻟﺻ ﻐﯾر ﻟﻠﺗ داﺧﻼت ﻻ ﯾ ؤﺛر ﻋﻠ ﻰ ‪ ( rs‬ﻓﯾﺟ ب‬ ‫إﺟراء ﺗﺻﺣﯾﺢ ﻋﻠﻰ ‪ rs‬وﻧﺣﺗﺎج ﺟداول ﺧﺎﺻﺔ ﻹﺟ راء اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﺳ وف ﻻ ﻧﺗﻌ رض ﻟﮭ ﺎ‪ .‬ﻋﻧ دﻣﺎ‬ ‫ﯾﻛون ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻛﺑﯾرا ً ) أﻛﺑر ﻣن ‪ (30‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻻ ﻧﺳﺗطﯾﻊ اﺳﺗﺧدام اﻟﺟداول وﻟﻛن ﺗم إﺛﺑﺎت أن ‪:‬‬ ‫‪z  rs / n  1.‬‬

‫‪٦٠٧‬‬

‫ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ‪ Z‬واﻟ ذي ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ً ﯾﺗﺑ ﻊ اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳ ﻲ وذﻟ ك ﺑ ﺎﻓﺗراض أن ‪H 0‬‬ ‫ﺻﺣﯾﺢ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻟدراﺳﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﮭﯾﻣوﺟﻠ وﺑﯾن ‪ ) X‬ﻣﻘﺎﺳ ﺎ ً ‪ ( mg/100 ml‬وﻋ دد ﻛ رات اﻟ دم اﻟﺣﻣ راء‬ ‫‪ Y‬ﺑﺎﻟﻣﻠﯾون ﻟﻛل ﻣﻠﻠﯾﻣﺗر ﻣﻛﻌب ‪ ،‬اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن ‪ 12‬ذﻛ ر ﺑ ﺎﻟﻎ ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣ ﺎ‬ ‫وﺗم ﻗﯾﺎس ﺗرﻛﯾزات اﻟﮭﯾﻣوﺟﻠوﺑﯾن وﻋ دد ﻛ رات اﻟ دم اﻟﺣﻣ راء ﻟﻛ ل ﻣﻔ ردة واﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻣﻌط ﺎة‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫اﻟﺷﺧص‬ ‫اﻟﮭﯾﻣوﺟﻠوﺑﯾن‬ ‫ﻛرات اﻟدم اﻟﺣﻣراء‬ ‫‪x‬‬ ‫رﺗب ‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫رﺗب ‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪15.2‬‬ ‫‪7.5‬‬ ‫‪5.1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪-1.5‬‬ ‫‪2.25‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16.4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5.4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪14.2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4.5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪13.0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪14.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4.3‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪16.1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪6.1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪15.2‬‬ ‫‪7.5‬‬ ‫‪5.2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-2.5‬‬ ‫‪6.25‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪14.8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4.3‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪6.25‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪15.7‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4.7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪14.9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4.8‬‬ ‫‪7.5‬‬ ‫‪-1.5‬‬ ‫‪2.25‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪15.6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4.6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14.7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4.8‬‬ ‫‪7.5‬‬ ‫‪-3.5‬‬ ‫‪12.25‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪ : H 0‬اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ : H1‬ﺗوﺟد‬ ‫ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ ﻧﻔس اﻻﺗﺟﺎه أو اﻻﺗﺟﺎه اﻟﻣﻌﺎﻛس وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ‬ ‫‪.   0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪  d i2  67.5‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪6d i2‬‬ ‫‪rs  1 ‬‬ ‫)‪n(n 2  1‬‬ ‫)‪6(67.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪12(144  1‬‬ ‫‪ 1  0.2360139  0.763986.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ rs  0.5804‬واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن اﻟﺟ دول ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪ 0.025‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ‪ R s  0.5804‬أو ‪ . R s  0.5804‬وﺑﻣ ﺎ أن ‪ rs  0.763986‬ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض ‪. H 0‬‬ ‫‪n  12 ,‬‬

‫‪٦٠٨‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﻌطﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗﻘدﯾرات ‪ 10‬طﻼب ﻓﻲ ﻛل ﻣن اﻹﺣﺻﺎء واﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ‪.‬‬ ‫ﺟﯾد‬

‫ﺟﯾد‬

‫ﻣﻣﺗﺎز‬

‫ﺟﯾد‬

‫ﻣﻣﺗﺎز‬

‫ﺟﯾد ﺟدا‬

‫ﺟﯾد‬

‫ﻣﻘﺑول‬

‫ﺟﯾد‬

‫ﺟﯾد‬ ‫ﺟدا‬

‫ﺟﯾد‬ ‫ﺟدا‬

‫ﺟﯾد‬ ‫ﺟدا‬

‫ﻣﻣﺗﺎز‬

‫ﻣﻘﺑول‬

‫ﺟﯾد‬ ‫ﺟدا‬

‫ﺟﯾد‬

‫ﺟﯾد‬ ‫ﺟدا ً‬

‫ﻣﻘﺑول‬

‫ﺟﯾد‬

‫ﺟﯾد‬

‫ﺗﻘدﯾرات‬ ‫اﻹﺣﺻﺎء‬ ‫ﺗﻘدﯾرات‬ ‫اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‬

‫أﺧﺗﺑر ﻓرض اﻟﻌدم ‪ : H 0‬اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬ ‫‪ : H1‬ﺗوﺟد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ ﻧﻔس اﻻﺗﺟﺎه ‪.‬‬ ‫وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣن ﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬ ‫ا ﻤﻮع‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪9.5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪9.5‬‬

‫‪7.5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7.5‬‬

‫رﺗﺐ‪x‬‬

‫‪7.5‬‬

‫‪7.5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1.5‬‬

‫‪7.5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7.5‬‬

‫‪1.5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫رﺗﺐ‪y‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3.5‬‬

‫‪-3.5‬‬

‫‪-0.5‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3.5‬‬

‫‪-3.5‬‬

‫‪-0.5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3.5‬‬

‫‪72‬‬

‫‪12.25‬‬

‫‪12.25‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪6.25‬‬

‫‪4‬‬

‫‪12.25‬‬

‫‪12.25‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪0‬‬

‫‪12.25‬‬

‫‪di‬‬ ‫‪d i2‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪6 d‬‬ ‫)‪n (n 2  1‬‬

‫‪rs  1 ‬‬

‫)‪6(72‬‬ ‫)‪10(100  1‬‬ ‫‪ 1  0.4363636  0.5636363.‬‬ ‫‪1‬‬

‫*‬ ‫‪ rs,0.05‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن اﻟﺟدول ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ . n  10,   0.05‬ﻣﻧطﻘ ﺔ‬ ‫‪ 0.5515‬‬ ‫اﻟرﻓض ‪ . R s  0.5515‬وﺑﻣﺎ أن ‪ rs  0.5636363‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض ‪. H 0‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻟدراﺳ ﺔ اﻟﻌﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟﺗ دﺧﯾن ‪ X‬و ﻣ دى اﻹﺻ ﺎﺑﺔ ﺑﻣ رض ﺳ رطﺎن اﻟرﺋ ﺔ ‪ Y‬اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ‬ ‫ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 14‬ذﻛر ﺑﺎﻟﻎ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ و اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ ﺟدول‪:‬‬ ‫‪d i2‬‬

‫‪di‬‬

‫رﺗﺐ‬ ‫‪y‬‬

‫رﺗﺐ‬ ‫‪x‬‬

‫‪yi‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪d i2‬‬

‫‪di‬‬

‫رﺗﺐ‬ ‫‪y‬‬

‫رﺗﺐ‬ ‫‪x‬‬

‫‪yi‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪12.25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪-3.5‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-3‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪8.5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪89.3‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪82.2‬‬ ‫‪84.6‬‬ ‫‪84.4‬‬ ‫‪86.3‬‬ ‫‪85.9‬‬

‫‪140.2‬‬ ‫‪140.8‬‬ ‫‪131.7‬‬ ‫‪130.8‬‬ ‫‪135.6‬‬ ‫‪143.6‬‬ ‫‪133.2‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪56.25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪-3‬‬ ‫‪7.5‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪8.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪89.7‬‬ ‫‪74.4‬‬ ‫‪83.5‬‬ ‫‪77.8‬‬ ‫‪85.8‬‬ ‫‪86.5‬‬ ‫‪89.4‬‬

‫‪141‬‬ ‫‪140.2‬‬ ‫‪131.8‬‬ ‫‪132.5‬‬ ‫‪135.7‬‬ ‫‪141.2‬‬ ‫‪143.9‬‬

‫‪٦٠٩‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻛﯾﻔﯾﺔ اﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔرض اﻟﻌدﻣﻲ و اﻟﺑدﯾل اﻵﺗﯾﯾن ‪:‬‬ ‫‪ : H 0‬اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬ ‫‪ : H1‬ﺗوﺟد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ ﻧﻔس اﻻﺗﺟﺎه او اﻻﺗﺟﺎه اﻟﻣﻌﺎﻛﺳﻰ‪.‬‬ ‫وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.05‬‬ ‫وﺑذﻟك ﯾﻛون ‪ ،  d i2  140.5‬وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل ﺳﺑﯾرﻣﺎن ﻛﺎﻵﺗﻲ ‪:‬‬ ‫)‪6(140.5‬‬ ‫‪ 0.69‬‬ ‫)‪14(196  1‬‬

‫‪rs  1 ‬‬

‫‪‬‬ ‫وﻣ ن ﺟ دول ﻣﻌﺎﻣ ل ﺳ ﺑﯾرﻣﺎن ﻋﻧ د ‪ 0.025‬‬ ‫‪s,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ R s  0.5341‬وﺑﻣﺎ أن ‪ r5  0.69‬ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم‪.‬‬

‫‪ ،‬ﻧﺟ د أن ‪ r*   0.5341 :‬ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓﻲ وﻛﺎﻟﺔ ﻟﺑﯾﻊ اﻟﺳﯾﺎرات أﺟرﯾت دراﺳﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 15‬ﻣوظف ﻓﻲ ﻗﺳم اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت وذﻟك ﻟدراﺳﺔ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن درﺟﺔ اﻻﺧﺗﺑﺎر اﻟﺗﻲ ﺣﺻل ﻋﻠﯾﮭﺎ اﻟﻣوظف ﻋﻧد ﺗﻌﯾﻧﮫ وﻋدد اﻟﺳﯾﺎرات اﻟﻣﺑﺎﻋﺔ‬ ‫ﺧﻼل اﻟﺳﻧﺔ اﻷوﻟﻲ ﻣن اﻟﺗﻌﯾﯾن‪:‬‬ ‫‪L‬‬

‫‪K‬‬

‫‪J‬‬

‫‪I‬‬

‫‪H‬‬

‫‪G‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫اﻟﺪرﺟﺔ‬

‫‪82‬‬

‫‪86‬‬

‫‪96‬‬

‫‪98‬‬

‫‪93‬‬

‫‪89‬‬

‫‪85‬‬

‫‪71‬‬

‫‪87‬‬

‫‪70‬‬

‫‪88.5‬‬

‫‪72‬‬

‫‪x‬اﻟﺪرﺟﺔ‬

‫‪390‬‬

‫‪432‬‬

‫‪512‬‬

‫‪510‬‬

‫‪497‬‬

‫‪463‬‬

‫‪415‬‬

‫‪287‬‬

‫‪440‬‬

‫‪362‬‬

‫‪422‬‬

‫‪314‬‬

‫‪y‬ﻋﺪد اﻟﺴﻴﺎرات‬

‫‪O‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫اﻟﺪرﺟﺔ‬

‫‪80‬‬

‫‪83‬‬

‫‪88‬‬

‫‪x‬اﻟﺪرﺟﺔ‬

‫‪385‬‬

‫‪374‬‬

‫‪453‬‬

‫‪y‬ﻋﺪد اﻟﺴﻴﺎرات‬

‫أﺧﺗﺑر ﻓرض اﻟﻌدم ‪ : H 0‬اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪: H1‬ﺗوﺟد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ ﻧﻔس اﻻﺗﺟﺎه اﻟﻌﻛﺳﻲ وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺗﺣوﯾل اﻟدرﺟﺎت إﻟﻰ رﺗب‪:‬‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬

‫‪I‬‬

‫‪H‬‬

‫‪G‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-2‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪d i2‬‬

‫‪O‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬

‫‪L‬‬

‫‪K‬‬

‫‪J‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪8‬‬

‫‪14‬‬

‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫‪X‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪11‬‬

‫‪6‬‬

‫‪9‬‬

‫‪15‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪di‬‬ ‫‪d i2‬‬

‫‪di‬‬

‫‪٦١٠‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪6d i2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪rs  1 ‬‬

‫)‪n(n  1‬‬ ‫)‪6(26‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪15(225  1‬‬ ‫‪ 1  0.046  0.954.‬‬

‫‪ rs  0.5179‬واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن اﻟﺟ دول ﻓ ﻲ ﻣﻠﺣ ق )‪ (١٦‬ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n  15 ,  0.025‬ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ‪ R s  0.5179‬أو ‪ . R s  0.5179‬وﺑﻣ ﺎ أن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ rs  0.954‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض ‪. H 0‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣل ﻛﻧدال‬ ‫إذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن اﻟﻠذﯾن ﻧدرس اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ ھﻣﺎ ‪ x‬و‪ y‬ﻓﺈﻧﮫ ﻟﻌﯾﻧﮫ ﻣﺧﺗﺎرة ﯾﺻﺑﺢ ﻟدﯾﻧﺎ‬ ‫أزواج ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻧرﻣز ﻟﮭﺎ ﺑﺎﻟرﻣز ) ‪. (x i , yi‬‬ ‫وﻧﻘول ﻋن اﻷزواج إﻧﮭﺎ ﻣﺗواﻓﻘﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﻔرق ﺑﯾن ‪ x i‬و ‪ x j‬ﻟﮫ ﻧﻔس إﺷﺎرة اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن ‪ y i‬و ‪y j‬‬

‫‪ ،‬أي أن‪ x i  x j  yi  y j :‬و ‪x i  x j  yi  y j‬‬ ‫وإذا ﻛﺎن اﻟﻔرق ﻟﯾس ﻟﮫ ﻧﻔس اﻹﺷﺎرة ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘول أن اﻷزواج ﻏﯾر ﻣﺗواﻓﻘ ﺔ‪ ،‬وﯾﻌ رف ﻣﻌﺎﻣ ل ﻛﻧ دال‬ ‫ﺑﺄﻧﮫ اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗواﻓق ﻓﻲ أزواج اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻣطروﺣ ﺎ ﻣﻧ ﮫ اﺣﺗﻣ ﺎل ﻋ دم اﻟﺗواﻓ ق وﻧرﻣ ز ﻟ ﮫ ﺑ ﺎﻟرﻣز ‪J‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ وﺑﺎﻟرﻣز ˆ‪ J‬ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺷروط‪:‬‬ ‫ﯾﺟب أن ﺗﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﯾﻧﮫ ﻣﻛوﻧﮫ ﻣن ‪ n‬زوج ﻣن اﻟﻘﯾم اﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن وﺿﻌﮭﺎ ﻓﻲ ﺻورة رﺗب‪.‬‬ ‫اﻟﻔروض‪:‬‬ ‫ﻟدﯾﻧﺎ ﺛﻼﺛﺔ أﻧواع ﻣن اﻟﻔروض وﻓﯾﮭﺎ ﻓرض اﻟﻌدم واﺣد وھ و ‪ x : H 0‬و‪ y‬ﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن)‪ ( J=0‬وﯾﻛ ون‬ ‫اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‪:‬‬ ‫‪A H1 : J  0,‬‬ ‫‪B H1 : J  0,‬‬ ‫‪C H1 : J  0.‬‬ ‫إﺣﺻﺎﺋﻲ اﻷﺧﺗﺑﺎر‪:‬‬ ‫إﺣﺻﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ھو ﻣﻌﺎﻣل ﻛﻧدال ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ˆ‪ J‬وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﮫ ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﻧرﺗب أزواج اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ إﻟﻰ ‪ x‬ﺗرﺗﯾﺑﺎ طﺑﯾﻌﯾﺎ )أي ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ (‪.‬‬ ‫ﻧﻘﺎرن ﻛل ﻗﯾﻣﮫ ﻣن ﻗ ﯾم ‪ y‬ﺑ ﺎﻟﻘﯾم اﻟﺗ ﻲ ﺗﻠﯾﮭ ﺎ‪ ،‬وإذا ﻛﺎﻧ ت اﻟﻘﯾﻣ ﺔ أﻗ ل ﻣ ن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺗﻠﯾﮭ ﺎ ﻧﻘ ول إن‬ ‫ﻗﯾم‪ y‬ﻟﮭﺎ ﺗرﺗﯾب طﺑﯾﻌﻲ وإذا ﻛﺎﻧت أﻛﺑر ﻧﻘول أن ﻗﯾم‪ y‬ﻟﮭﺎ ﺗرﺗﯾب طﺑﯾﻌﻲ ﻣﻌﻛوس‪.‬‬ ‫ﻧﺣﺳب ﻋدد أزواج ‪ y‬اﻟﺗﻲ ﻟﮭﺎ ﺗرﺗﯾب طﺑﯾﻌﻲ وﻧﺳﻣﯾﮫ ‪ ،P‬وﻋدد اﻷزواج اﻟﺗ ﻲ ﻟﮭ ﺎ ﺗرﺗﯾ ب طﺑﯾﻌ ﻲ‬ ‫ﻣﻌﻛوس‪.Q‬‬

‫‪٦١١‬‬

‫‪P‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗواﻓق ھو‬ ‫)‪n(n  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S  P  Q,‬‬ ‫‪ S‬ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪2S‬‬ ‫‪.Jˆ ‬‬ ‫ﻓﺈن ﻣﻌﺎﻣل ﻛﻧدال ھو‪:‬‬ ‫)‪n(n  1‬‬ ‫ﻗﺎﻋدة اﻟﺣﻛم‪:‬‬ ‫ﻧﺳﺗﺧرج اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣرﺟﺔ ﻹﺣﺻﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺧﺎص ﺑﮫ وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام ‪ n‬و ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﻼﺧﺗﺑﺎر ﻣن طرف واﺣد و ‪ n‬و ﻟﻼﺧﺗﺑﺎر ﻣن طرﻓﯾن وﻧرﻣز ﻟﻠﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣرﺟﺔ ﺑﺎﻟرﻣز *‪. J‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﻧﺗﺧذ اﻟﻘرار ﺣﺳب اﻟﻔرض ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﻟﻠﻔ رض ‪ A‬ﻧ رﻓض ﻓ رض اﻟﻌ دم إذا ﻛﺎﻧ ت ‪ Jˆ  0‬و *‪ ، Jˆ  J‬أو إذا ﻛﺎﻧ ت ‪ Jˆ  0‬و *‪ˆJ   J‬‬ ‫وﻟﻠﻔ رض ‪ B‬ﻧ رﻓض ﻓ رض اﻟﻌ دم إذا ﻛﺎﻧ ت ‪ Jˆ  0‬و *‪ ، Jˆ  J‬وﺑﺎﻟﻣﺛ ل ﻟﻠﻔ رض ‪ C‬ﻧ رﻓض ﻓ رض‬ ‫اﻟﻌدم إذا ﻛﺎﻧت ‪ Jˆ  0‬و *‪. Jˆ   J‬‬ ‫ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ وﺟود اﻟﺗداﺧﻼت‪:‬‬ ‫ﻧرﺗب ﻗﯾم ‪ y‬ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗداﺧﻠﺔ‪.‬‬ ‫ﻧﺣﺳب ﻋدد أزواج ‪ y‬اﻟﺗﻲ ﻟﮭﺎ ﺗرﺗﯾب طﺑﯾﻌﻲ واﻟﺗﻲ ﻟﮭﺎ ﺗرﺗﯾب طﺑﯾﻌﻲ ﻣﻌﻛوس ﺑﻐض اﻟﻧظر ﻋن‬ ‫اﻷزواج اﻟﻣﻧﺎظرة ﻟﻘﯾم ‪ x‬اﻟﻣﺗداﺧﻠﺔ‪.‬‬ ‫ﻧﻔرض أن ‪ t x‬ھﻲ ﻋدد ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ x‬اﻟﺗﻲ ﺑﯾﻧﮭﺎ ﺗداﺧل ﻓﻲ اﻟرﺗب‪ ،‬و ‪ t y‬ھﻲ ﻋدد ﻗﯾم ‪ y‬اﻟﺗﻲ‬ ‫ﺑﯾﻧﮭﺎ ﺗداﺧل ﻓﻲ اﻟرﺗب‪ ،‬وﯾﻛون ﺗﺻﺣﯾﺢ ˆ‪ J‬ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪Jˆ ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪0.5n(n  1)  Tx 0.5n(n  1)  Ty‬‬ ‫واﺣﺗﻣﺎل ﻋدم اﻟﺗواﻓق ھو‬

‫‪Q‬‬ ‫)‪n(n  1‬‬

‫وﺑﺗﻌرﯾف‬

‫)‪ Tx  0.5 t x (t x  1‬و )‪.Ty  0.5 t y (t y  1‬‬ ‫ﺣﯾث أن‪:‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻛﺑﯾرا)‪ (n> 40‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺗﻘرﯾب ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ وذﻟك‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ‪:‬‬ ‫)‪3Jˆ n(n  1‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪2(2n  5‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻧﻔرض أن ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ واﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم واﻟﺑدﯾل‬ ‫اﻵﺗﯾﯾن‪ ، H1 : J  0 H 0 : J  0 :‬ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.05‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪113‬‬

‫‪1.3‬‬

‫‪85‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪86‬‬

‫‪0.60‬‬

‫‪110‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0.9‬‬

‫‪107‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪97‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪94‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪102‬‬

‫‪1.6‬‬

‫‪107‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪104‬‬

‫‪1.6‬‬

‫‪104‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪113‬‬

‫‪1.7‬‬

‫‪104‬‬

‫‪1.6‬‬

‫‪104‬‬

‫‪0.9‬‬

‫‪109‬‬

‫‪1.6‬‬

‫‪98‬‬

‫‪0‬‬

‫‪89‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪98‬‬

‫‪2.2‬‬

‫‪115‬‬

‫‪1.6‬‬

‫‪109‬‬

‫‪0.8‬‬

‫‪٦١٢‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺣﯾث أن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﯾوﺟد ﺑﮭﺎ ﺗداﺧﻼت ﻧﻘوم ﺑﺈﺟراء اﻟﺗرﺗﯾ ب ﻋﻠ ﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻲ‪،‬‬ ‫ﺛم ﻧﺣﺳب ﻋدد أزواج ‪ y‬اﻟﺗﻲ ﻟﮭﺎ ﺗرﺗﯾب طﺑﯾﻌﻲ واﻟﺗﻲ ﻟﮭﺎ ﺗرﺗﯾب ﻣﻌﻛوس‪.‬‬ ‫‪ y‬ﺑﻌﺪ اﻟﱰﺗﻴﺐ ‪ x‬ﺑﻌﺪ اﻟﱰﺗﻴﺐ‬ ‫ﻋﺪد أزواج‪y‬اﻟﱵ ﳍﺎ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻃﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﻋﺪد أزواج‪y‬اﻟﱵ ﳍﺎ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﻌﻜﻮس‬ ‫‪8‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪19‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪86‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪94‬‬ ‫‪107‬‬ ‫‪109‬‬ ‫‪94‬‬ ‫‪96‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪107‬‬ ‫‪86‬‬ ‫‪97‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪101‬‬ ‫‪109‬‬ ‫‪109‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪96‬‬ ‫‪113‬‬ ‫‪106‬‬ ‫‪102‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪109‬‬ ‫‪115‬‬ ‫‪113‬‬ ‫‪113‬‬ ‫‪98‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.5.‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.9‬‬ ‫‪0.9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪1.7‬‬ ‫‪1.8‬‬ ‫‪2.2‬‬

‫‪٦١٣‬‬

‫‪P=250‬‬

‫‪Q=144‬‬

‫وﻧﺟد أن‪:‬‬

‫)‪2(1)  3(2)  3(2)  3(2)t 3 (2)  2(1)  5(4‬‬ ‫‪ 24,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪2(1)  2(1)  2(1)  4(3)  2(1)  4(3)  3(2‬‬ ‫‪Ty ‬‬ ‫‪ 19,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S  P  Q  250  144  106,‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ إﺣﺻﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ھو‪:‬‬ ‫‪106‬‬ ‫‪Jˆ ‬‬ ‫‪ 0.26.‬‬ ‫‪15(29)  24 15(29)  19‬‬ ‫وﺑﻣﺎ أن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ أﻛﺑر ﻣن ‪) 0.218‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺟدوﻟﯾﺔ( ﻋﻧد ‪ n  30‬واﻟﻣﻌطﺎه ﻓﻰ ﻣﻠﺣق‬ ‫)‪ (٢٠‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض اﻟﻌدم ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ‪ 0.1‬ﻻﺧﺗﺑﺎر ذى ﺣدﯾن ‪.‬‬ ‫‪Tx ‬‬

‫)‪ (٣-١٧-١٠‬ﻣﻌﺎﻣل ﻛﻧدال ﻟﻼﺗﻔﺎق‬ ‫ﻓﻲ ﻣﻌﺎﻣﻠﻲ ارﺗﺑﺎط ﺳﺑﯾرﻣﺎن و ﻛﻧدال ﻧدرس اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾرﯾن و ﻟﻛن أﺣﯾﺎﻧﺎ و ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺣﯾﺎة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﺗﻛون اﻟﺣﺎﺟﺔ ﻣﻠﺣﺔ ﻟﻠﺣدﯾث ﻋن اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن أﻛﺛر ﻣن ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣن ﺧﻼل رﺗب ﻛل‬ ‫ﻣﺗﻐﯾر‪ ،‬وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﺟﻣوﻋﺎت اﻟرﺗب ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ‪:‬‬ ‫‪ .١‬أﺣﯾﺎﻧﺎ ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﯾﻧﺎت ﺣﺟﻣﮭﺎ ‪ n‬وﻟﻛل ﻣﻔردة ﻣن ھذه اﻟﻣﻔردات ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ رﺗب‬ ‫ﺗﺻﺎﻋدﯾﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر آﺧر‪ ،‬ﻓﻣﺛﻼ ﻟو ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن ﺧﻣﺳﺔ طﻼب وأﺟرﯾﻧﺎ اﺧﺗﺑﺎر‬ ‫ﻗدرات ﻟﮭؤﻻء اﻟطﻼب ﻓﻲ أرﺑﻌﮫ ﻣﻘررات دراﺳﯾﺔ وأﻋطﯾﻧﺎ رﺗﺑﺎ ﻟﻛل طﺎﻟب ﺣﺳب أﺟﺎﺑﺗﮫ‬ ‫ﻓﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫رﻗم اﻟطﺎﻟب‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬ ‫اﻟرﺗب رأﺳﯾﺔ‬

‫اﻟﻣﻘرر )‪(1‬‬

‫) رﺗب ﻛل طﺎﻟب ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن اﻵﺧر (‪.‬‬

‫اﻟﻣﻘرر )‪(2‬‬ ‫اﻟﻣﻘرر )‪(3‬‬ ‫اﻟﻣﻘرر )‪(4‬‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫‪ .٢‬أﺣﯾﺎﻧﺎ ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن ﺧﻣﺳﺔ طﻼب وﻟدﯾﻧﺎ ﺛﻼﺛﺔ ﻣﻣﺗﺣﻧﯾن وأﻋطﻲ ﻟﻛل طﺎﻟب اﻣﺗﺣﺎن و‬ ‫ﻗﺎم ﻛل ﻣﻣﺗﺣن ﺑﺗرﺗﯾب )وﺿﻊ رﺗب ( اﻟطﻼب ﺣﺳب إﺟﺎﺑﺎﺗﮭم‪ .‬ھذا اﻟوﺿﻊ ﯾﻛون ﻛﺎﻷﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫رﻗم اﻟطﺎﻟب‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬ ‫اﻟرﺗب أﻓﻘﯾﺔ‪.‬‬

‫اﻟﻣﻣﺗﺣن )‪(1‬‬ ‫اﻟﻣﻣﺗﺣن)‪(2‬‬ ‫اﻟﻣﻣﺗﺣن)‪(3‬‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫ﻓﻲ اﻟﻣوﻗﻔﯾن اﻟﺳﺎﺑﻘﯾن ﯾﻛ ون ھ دﻓﻧﺎ ﻣﻌرﻓ ﺔ ھ ل ھﻧ ﺎك ﻋﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟرﺗ ب اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ أم ﻻ‪،‬ﻓ ﻲ اﻟﺣﺎﻟ ﺔ‬ ‫اﻷوﻟ ﻰ ﻟ دﯾﻧﺎ ﺧﻣﺳ ﺔ ﻣﺟﻣوﻋ ﺎت ﻣ ن اﻟرﺗ ب‪ ،‬وﻓ ﻲ اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ ﻟ دﯾﻧﺎ ﺛﻼﺛ ﺔ ﻣﺟﻣوﻋ ﺎت وﻧرﯾ د‬ ‫‪٦١٤‬‬

‫اﺧﺗﺑ ﺎر ھ ل ھﻧ ﺎك اﻗﺗ ران ﺑ ﯾن اﻟرﺗ ب أم ﻻ‪،‬ﻣﻌﺎﻣ ل ﻛﻧ دال ﻟﻠﺗواﻓ ق ﯾﺳ ﺎﻋد ﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﺣﯾ ث ﯾﺟ رى‬ ‫اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﻧﻔرض أن ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﯾﻧﮫ ﻣﻛوﻧﮫ ﻣ ن)‪ (n‬ﻣﻔ ردة وﺗ م وﺿ ﻊ اﻟرﺗ ب ﺑ ﺎﻟطرق اﻟﻣوﺿ ﺣﺔ ﻓ ﻲ )‪ (١‬أو)‪(٢‬‬ ‫ﻓﺣﺻﻠﻧﺎ ﻋﻠﻰ ‪ m‬ﻣﺟﻣوﻋﮫ ﻣن اﻟرﺗب وﻧﻔ رض أن وﺣ دة اﻟﻘﯾ ﺎس ﻋﻠ ﻰ اﻷﻗ ل ﺗرﺗﯾﺑﯾ ﮫ وأن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت‬ ‫اﻷﺻﻠﯾﺔ ﻣوﺿوﻋﮫ ﻓﻲ ﺻورة رﺗب أو ﻗﺎﺑﻠﮫ ﻟذﻟك‪.‬‬ ‫ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﻔرض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﻓرض اﻟﻌدم‪ :‬ﻣﺟﻣوﻋﺎت اﻟرﺗب وﻋددھﺎ ‪ m‬ﻟﯾﺳت ﻣرﺗﺑطﺔ)ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ(‪.‬‬ ‫اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‪:‬ﻣﺟﻣوﻋﺎت اﻟرﺗب وﻋددھﺎ ‪ m‬ﻣرﺗﺑطﺔ‪.‬‬ ‫ﻧﻼﺣ ظ إن ﻣﺟﻣوﻋ ﺎت اﻟرﺗ ب وﻋ ددھﺎ )‪ ( m‬ﻻ ﯾﻣﻛ ن أن ﯾﻛ ون ﻓﯾﮭ ﺎ ﻋ دم ﺗواﻓ ق ﺗ ﺎم ﻟﺟﻣﯾ ﻊ‬ ‫اﻷزواج‪.‬‬ ‫ﻧﻔرض أن ‪ R i‬ھو ﻣﺟﻣوع اﻟرﺗب ﻓﻲ اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ رﻗم ‪ ، i‬وﯾﻛون إﺣﺻﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬

‫‪12 R i 2  3m 2n(n  1)2‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪m 2n(n 2  1‬‬ ‫ﻧﺳﺗﺧدم ﺟدول ﺧﺎص ﺑﮭذا اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻹﯾﺟﺎد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣرﺟﺔ ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ‬وﺑﺎﺳﺗﺧدام ‪n‬و‬ ‫‪ ، m‬وﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم إذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﮫ ‪ p‬اﻟﺟدوﻟﯾﺔ أﻗل ﻣن ‪. ‬‬ ‫إذا ﻟم ﺗﻛن اﻟﻘﯾم ﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﺟدول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺗﻘرﯾب ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ)‪n-‬‬ ‫‪ (1‬ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫‪ 2  m(n  1)w,‬‬ ‫ﻋﻧ د وﺟ ود ﺗ داﺧﻼت ﯾﻌط ﻰ ﻣﺗوﺳ ط اﻟرﺗ ب اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾ ﺔ ﻟﻠﻘ ﯾم اﻟﻣﺗداﺧﻠ ﺔ‪ ،‬وﯾﻣﻛ ن ﺗﺻ ﺣﯾﺢ إﺣﺻ ﺎﺋﻲ‬ ‫اﻻﺧﺗﺑﺎر ﺑﺎﺳﺗﺑدال اﻟﻣﻘﺎم ﻓﻲ ‪ w‬ﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪m n(n  1)  m  (t  t).‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ t‬ﻋدد اﻟرﺗب اﻟﻣﺗداﺧﻠﺔ ﻟرﺗﺑﺔ ﻏﯾر ﺻﻔرﯾﺔ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٠٣-١٠‬‬ ‫ﻧﻔرض أن ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ وﺗﻣﺛ ل ﺧﻣﺳ ﮫ ﻋﺷ رة ﻣرﯾﺿ ﺎ ﺗ م ﺗرﺗﯾ ب ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻣ رض ﻋﻧ د ﻛ ل‬ ‫ﻣ ﻧﮭم ﻋ ن طرﯾ ق ﻋﺷ رة أطﺑ ﺎء‪ ،‬واﻟﻣطﻠ وب اﺧﺗﺑ ﺎر ﻓ رض اﻟﻌ دم واﻟﺑ دﯾل اﻵﺗﯾ ﯾن ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪   0.05‬ﻓرض اﻟﻌدم‪ :‬ﻻ ﻓرق ﺑﯾن اﻟﻣرﺿﻰ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣرض‪.‬‬ ‫اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‪ :‬ﯾوﺟد ﻓرق ﺑﯾن اﻟﻣرﺿﻰ‪.‬‬ ‫‪J‬‬

‫‪I‬‬

‫‪H‬‬

‫‪G‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪10‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪10‬‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪11‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪٦١٥ 12‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪13‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻧﺟد أن ‪ ، m  15 ، n  10‬وﻟﺣﺳﺎب إﺣﺻﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻧﺣﺳب اﻵﺗﻲ) اﻧظر اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق‬ ‫اﻟﺻف اﻷﺧﯾر (‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ R i 118  124  88  47  104  106  63  64  52  59  75555,‬‬ ‫ﻓﯾﻛون إﺣﺻﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ھو‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪12(75555)  3(15) 10(11‬‬ ‫‪ 0.4036.‬‬ ‫‪(15)210(99)2‬‬ ‫وﻷﻧﮫ ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻻ ﻧﺳﺗطﯾﻊ اﺳﺗﺧدام اﻟﺟدول اﻟﺧﺎص ﺑﮭذا اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻻن ‪n  10 , m = 15‬‬ ‫ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺗﻘرﯾب ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻧﺣﺳب ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  15(10  1)(0.4036)  54.486.‬‬ ‫وﻧﺟد أن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣرﺟﺔ اﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﻋﻧد درﺟﺔ ﺣرﯾﺔ)‪ (10-1=9‬وﻣﺳﺗوى‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪   0.05‬ھﻲ ‪ ،16.919‬أي أن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ أﻛﺑر ﻣن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺟدوﻟﯾﺔ‪ ،‬وﺑذﻟك‬ ‫ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم وﻧﻘﺑل اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل اﻟﻘﺎﺋل ﺑوﺟود ﻓرق ﻣﻌﻧوي ﺑﯾن اﻟﻣرﺿﻰ‪.‬‬ ‫‪w‬‬

‫)‪ (١٨-١٠‬اﻻﻧﺣدار اﻟﻼﻣﻌﻠﻣﻰ ‪:‬‬ ‫‪Non – Parametric Regression‬‬ ‫)‪ (١-١٨-١٠‬اﻟﺗﻘدﯾر ‪:‬‬ ‫ﻧﻔﺗرض أن ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﯾﻧﺔ ﻣﻛوﻧﺔ ﻣن ‪ n‬زوج ﻣن اﻟﻘﯾم وﺑﯾﺎﻧﺎﺗﮭﺎ ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪ xi , y1  ,  x 2 , y 2  ,...,  x n , yn ‬‬ ‫وﻧرﯾد أن ﻧﺳﺗﺧدم ھذه اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﺗوﻓﯾق أﻓﺿل ﺧط إﻧﺣدار ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﺑﻔرض أن ‪x‬‬ ‫ﻣﺗﻐﯾرا ً ﻣﺳﺗﻘﻼ ‪ Y ،‬ﻣﺗﻐﯾرا ً ﺗﺎﺑﻌﺎ ً واﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ ﻋﻼﻗﺔ ﺧطﯾﺔ ‪ ،‬ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﻟﻧﻣوذج‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪yi  Bc  B1x i  ei , i=1,2,...,n‬‬ ‫ﺣﯾث أن ‪ B‬ھو اﻟﺟزء اﻟﻣﻘطوع ‪ B1‬ھو ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻧﺣدار )ﻣﯾل اﻟﺧط( وأن ‪ ei‬ھو اﻟﺧطﺄ‬ ‫اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻓﻰ اﻻﺧﺗﺑﺎرات اﻟﻣﻌﻠﻣﯾﺔ وﺗﺣت ﺷروطﺎ ً ﻣﻌﯾﻧﺔ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫اﻟﺻﻐرى ﻹﯾﺟﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ أﻓﺿل وھﻲ‪:‬‬ ‫‪yˆ  bc  b1x‬‬ ‫ﻣن اﻟﺷروط اﻟواﺟب اﺳﺗﯾﻔﺎﺋﮭﺎ ﻋﻧد ﺗطﺑﯾق طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ھو اﺳﺗﻘﻼق اﻷﺧطﺎء‬ ‫وﺗﺟﺎﻧﺳﮭﺎ وأن ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﮭﺎ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ‪ ...‬اﻟﺦ‪ .‬ﻏﺎﻟﺑﺎ ً ﻣﺎﻻ ﺗﺗﺣﻘق ھذه اﻟﺷروط وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻ‬

‫‪٦١٦‬‬

‫ﯾﻣﻛن إﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى واﻵن ﺗﻘدم ﺑدﯾﻼ ً ﻋن ذﻟك ھو طرﯾﻘﺔ ﻻﻣﻌﻠﻣﯾﺔ ﯾﻣﻛن‬ ‫اﺟراﺋﮭﺎ ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫)‪ (١‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺷﻛل اﻷﻧﺗﺷﺎر وذﻟك ﻣن ﻓﺋﮫ اﻟﻣﺷﺎھدات ‪  xi , yi  , i = 1,2,...,n‬ﺛم‬ ‫ﻧﺣﺳب وﺳﯾط ‪ x‬وﺗرﺳم ﺧط رأﺳﻲ ﯾﻣﺛل وﺳﯾط ‪ . x‬اﻟﻘﯾم اﻟﻣوﺟودة ﻓﻰ ﺷﻛل اﻷﻧﺗﺷﺎر‬ ‫واﻟواﻗﻌﮫ ﻋﻠﻲ اﻟﺧط اﻟذى ﯾﻣﺛل اﻟوﺳﯾط ﺗزاح ﯾﺳﺎرا ً أو ﯾﻣﯾﻧﺎ ً ﺑﺣﯾث ﯾﻛون ﻋدد اﻟﻘﯾم ﻋﻠﻲ‬ ‫ﯾﻣﯾن اﻟﺧط اﻟذي ﯾﻣﺛل اﻟﺧط اﻟذى ﯾﻣﺛل اﻟوﺳﯾط ﯾﺳﺎوى ﻋدد اﻟﻘﯾم اﻟﺗﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﯾﺳﺎر‪.‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻷزواج اﻟﻘﯾم ﻋﻠﻲ ﯾﻣﯾن اﻟﺧط اﻟذى ﯾﻣﺛل اﻟوﺳﯾط ﻧﺣﺳب وﺳﯾط ﻟﻛل ﻣن ﻗﯾم‬ ‫‪ y , x‬وﻛذﻟك ﻧﺣﺳب وﺳﯾط ﻟﻘﯾم ‪ y , x‬ﻋﻠﻲ ﯾﺳﺎر ﺧط اﻟوﺳﯾط وﺑذﻟك ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ‬ ‫اﻟوﺳﯾط اﻟﻌﺎم ﻟﻛل ﻗﯾم ‪ x‬وارﺑﻌﺔ وﺳﯾط ﻟﻠﻣﺟﻣوﻋﺎت ﻋﻠﻲ ﯾﻣﯾن وﻋﻠﻲ ﯾﺳﺎر ﺧط اﻟوﺳﯾط‪.‬‬ ‫)‪ (٣‬ﻧﺣدد اﻟﻧﻘطﺔ ﻋﻠﻲ ﯾﺳﺎر اﻟﺧط اﻟوﺳﯾط اﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل وﺳﯾط ‪ y , x‬وﻛذﻟك اﻟﻧﻘطﺔ ﻋﻠﻲ ﯾﻣﯾن‬ ‫ﺧط اﻟوﺳﯾط اﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل وﺳﯾط ‪ y , x‬ﺗﺻل ھﺎﺗﯾن اﻟﻧﻘطﺗﯾن ﻣﻌﺎ ً ﻓﺗﺣﺻل ﻋﻠﻰ أول‬ ‫ﺗﻘرﯾب ﻟﻠﺧط اﻟﻣطﻠوب ‪.‬‬ ‫)‪ (٤‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻻﻧﺣراﻓﺎت اﻟرأﺳﯾﺔ ﻟﻠﻧﻘﺎط ﻋن ﺧط اﻷﻧﺣدار ﻓﺄذا ﻛﺎن وﺳﯾطﮭﺎ ﻣﺳﺎوﯾﺎ ً‬ ‫ﻟﻠﺻﻔر ﻓﻰ ﻛﻼ اﻟﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن ﯾﻛون اﻟﺧط اﻟذى ﺣﺻﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾﮫ ﻓﻲ )‪ (٣‬ھو أﻓﺿل ﺧط‬ ‫أﻧﺣدار ان ﻟم ﯾﻛن ﻛذﻟك اﻟﺧط رأﺳﯾﺎ ً اﻟﻰ أن ﺗﺣﻘق ذﻟك اﻟﺷرط أو ﻧﺳﺗﺧدم أى طرﯾﻘﺔ‬ ‫رﯾﺎﺿﯾﺔ ﻟذﻟك ﻣﺛل طرﯾﻘﺔ اﻟﺗﻛرارات )‪. (Iteration‬‬ ‫)‪ (٥‬ﺗﺣدد ﻗﯾﻣﺔ ‪ b 0‬ﺑﺎﻟﺟزء اﻟﻣﻘطوع ﻣن اﻟﻣﺣور اﻟرأﺳﻲ وﺗﺣدد ‪ b1‬اﻟﻣﻘدرة ﻛﺎﻵﺗﻲ ‪:‬‬ ‫‪y  y2‬‬ ‫‪b1  1‬‬ ‫‪x1  x 2‬‬ ‫ﺣﯾث أن ) ‪ (x 2  y 2 ) , (x1  y1‬أن ﻧﻘطﺗﯾن ﻋﻠﻰ اﻟﺧط اﻟﻣﻘدر ‪:‬‬ ‫) ‪(x 2  y 2 ) , (x1  y1‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٠٤-١٠‬‬ ‫ﻧﻔرض أن ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪0.41‬‬

‫‪1.43‬‬

‫‪3.88‬‬

‫‪0.74‬‬

‫‪2,07‬‬

‫‪1.03‬‬

‫‪1.99‬‬

‫‪0.79‬‬

‫‪2.1‬‬

‫‪3.81‬‬

‫‪X‬‬

‫‪029‬‬

‫‪0.93‬‬

‫‪2.3‬‬

‫‪0.39‬‬

‫‪1.29‬‬

‫‪0.62‬‬

‫‪1.18‬‬

‫‪0.44‬‬

‫‪1.03‬‬

‫‪1.9‬‬

‫‪y‬‬

‫‪R‬‬

‫‪R‬‬

‫‪L‬‬

‫‪R‬‬

‫‪L‬‬

‫‪R‬‬

‫‪L‬‬

‫‪R‬‬

‫‪L‬‬

‫‪L‬‬

‫وﻓق أﻓﺿل ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻟﻠﺧط اﻟﻣﺳﺗﻘﯾم ﺑطرﯾﻘﺔ ﻻﻣﻌﻠﻣﯾﺔ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺗوﻓﯾق اﻟﺧط ﺑﺎﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫)‪ (١‬ﻧرﺳم ﺷﻛل اﻷﻧﺗﺷﺎر ﻛﻣﺎ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺛم ﻧﺣﺳب وﺳﯾط ﻗﯾم )‪ (x‬ﻓﻧﺟده ﯾﺳﺎوى ‪ 1.71‬ﺛم‬ ‫ﻧرﺳم ﺧط رأﺳﻲ ﻋﻧد اﻟﻧﻘطﺔ ‪ . x  1.71‬ﻧﻼﺣظ أن ھﻧﺎك ﺧﻣﺳﺔ أزواج ﻣن اﻟﻘﯾم ﻋﻠﻲ ﯾﻣﯾن‬ ‫ﺧط اﻟوﺳﯾط ھﻰ اﻟﺗﻰ رﻣزﻧﺎ ﻟﮭﺎ ﺑﺎﻟرﻣز ‪ R‬ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل وﺧﻣﺳﺔ أزواج ﻣن اﻟﻘﯾم ﻋﻠﻲ ﺳﯾﺎر‬ ‫ﺧط اﻟوﺳﯾط ورﻣزﻧﺎ ﻟﮭﺎ ﺑﺎﻟرﻣز ‪. L‬‬ ‫)‪ (٢‬ﻧﺣﺳب وﺳﯾط ‪ y , x‬ﻟﻠﻘﯾم ﻋﻠﻲ ﯾﻣﯾن اﻟﺧط واﻟﻘﯾم ﻋﻠﻲ ﯾﺳﺎر اﻟﺧط ﻓﻧﺣدة ﻛﺎﻵﺗﻰ ‪:‬‬ ‫ﻋﻠﻲ ﯾﺳﺎر اﻟﺧط‬ ‫ﻋﻠﻲ ﯾﻣﯾن اﻟﺧط‬ ‫‪0.79‬‬ ‫‪0.44‬‬ ‫اﻟوﺳﯾط ﻟﻘﯾم ‪x‬‬ ‫‪2.10‬‬ ‫‪1.29‬‬ ‫اﻟوﺳﯾط ﻟﻘﯾم ‪y‬‬

‫‪٦١٧‬‬

‫)‪ (٣‬ﻧﻼﺣظ ﻋﻠﻰ أول ﺗﻘرﯾب ﻟﻠﺧط اﻟﻣﺳﺗﻘﯾم ﺑﺎﻟﺣﺻول ﻋﻠﻲ ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﯾل اﻟﻣﻘرﺑﺔ وھﻲ ‪:‬‬ ‫‪1.29  0.44‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪ 0.62 ‬‬ ‫‪2.16  0.79‬‬ ‫)‪ (٤‬ﻧﻼﺣظ أن اﻟوﺳﯾط ﻟﻶﻧﺣراﻓﺎت اﻟراﺳﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺧط ﻻﯾﺳﺎوى اﻟﺻﻔر ﻟﻛﻼ اﻟﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن ﺗﺣرك‬ ‫اﻟﺧط ﺣﺗﻰ ﯾﺗﺣﻘق ذﻟك اﻟﺷرط ﻓﺗﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺧط‪.‬‬ ‫‪y  0.0  0.5939x ‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ ﻻﻣﻌﻠﻣﯾﺔ أﺧرى ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻓﺿل ﺧط أﻧﺣدار ﺗﺗﻠﺧص ﻓﻲ اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪yi  B0 ,B1x i  ei , i = 1,2,...,n‬‬ ‫ﻧﻔرض أن اﻷﺧطﺎء ‪ ei‬ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ وﻻﯾوﺟد ﺗداﺧﻼت ﻓﻰ ﻗﯾم ‪ x‬ﺑﺣﯾث ﺗﺣﻘق ﻗﯾم ‪ x‬اﻟﺷرط اﻵﺗﻲ‬ ‫‪ x1  x 2 ,...  x n‬ﻣﻌﻧﻰ ذﻟك أن اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ x‬ﻣﺗﻐﯾرا ً ﻣﺳﺗﻣرا ً ‪ .‬ﻣﻣﺎ ﺳﺑق ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ أزواج اﻟﻘﯾم‬ ‫‪:‬‬ ‫‪(x 2  y 2 ) , (x1  y1 )...(x n , x y ).‬‬

‫‪٦١٨‬‬