اﻻﺣﺻﺎءات اﻟﺗرﺗﯾﺑﯾﺔ ﻣﻘﺪﻣﺔ: اﻹﺣﺼ ــﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴ ــﺔ ﻫ ــﻲ ﻋﻨﺎﺻ ــﺮ ﻋﻴﻨ ــﺔ ﻋﺸـ ـﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺮﺗﺒ ــﺔ ﻣ ــﻦ اﻷﺻ ــﻐﺮ إﱃ اﻷﻛ ــﱪ .وﰲ أﻏﻠ ــﺐ ﻣﻨﺎﻗﺸ ــﺘﻨﺎ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﺳﻮف ﻧﻌﺘﱪ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻌﺎت ﻣﺘﺼﻠﺔ.
ﻣﺛﺎل: إذا ﻛﺎﻧـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺖ x1 .62 , x 2 .98 , x 3 .31 , x 4 .81 , x 5 .53
ﻗﻴﻢ ﻣﺸﺎﻫﺪة ﻣﻦ ﲬﺲ ﳏﺎوﻻت ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻣﺎ ﻓﺈن ﻗﻴﻢ اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﻫﻲ:
y1 .31 y 2 .53 y3 .62 y 4 .81 y5 .98 ,
واﻟﻘﻴﻤــﺔ اﻟﻮﺳــﻄﻰ ﺑﻌــﺪ ﺗﺮﺗﻴــﺐ اﻟﻌﻨﺎﺻــﺮ ﻫــﻲ .62وﺗﺴــﻤﻰ وﺳــﻴﻂ اﻟﻌﻴﻨــﺔ ﺑﻴﻨﻤــﺎ اﻟﻔــﺮق ﺑــﲔ أﻛــﱪ ﻗﻴﻤــﺔ وأﺻﻐﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻫﻮ ، y 5 y1 .98 .31 .67ﻳﺴﻤﻰ ﻣﺪى اﻟﻌﻴﻨﺔ.
ﺗﻌﺮﻳﻒ: إذا ﻛﺎﻧـﺖ X1 , X 2 ,, X nﻋﻨﺎﺻــﺮ ﻋﻴﻨــﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣــﻦ اﳊﺠـﻢ nﳐﺘــﺎرة ﻣــﻦ ﺗﻮزﻳــﻊ اﺣﺘﻤــﺎﱄ ﻣﺘﺼــﻞ وﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ) f (xﻓﺈن اﳌﺘﻐﲑات اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ: Y1 Y2 ... Yn , ﺗﺴﻤﻰ اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻌﻴﻨﺔ ﺣﻴﺚ: Y1 Smallest of X1 ,X 2 ,...,X n , Y2 Second of X1 ,X 2 ,...,X n , Yn Largest of X1 ,X 2 ,...,X n ,
ﻋﻤﻮﻣﺎ (r 1,2,, n) Yrﻳﺴﻤﻰ اﻹﺣﺼﺎء اﻟﱰﺗﻴﱯ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ rﻟﻠﻌﻴﻨﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ . X1 , X 2 ,, X n
ﻧﻈﺮﻳﺔ: داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ Y1 Y2 ... Ynﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ: , a y1 y 2 ... y n b, ), (elsewhere
) n!f (y1 )f (y 2 )...f (y n g(y1 , y 2 ,..., y n ) 0
ﺣﻴﺚ . b ,a ١
ﻣﺜﺎل:
ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﳌﻨﺘﻈﻢ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ واﻟﺬي ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل: 1 , 0 x 1, f (x) 0 , e.w. داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ Y1 Y2 ... Ynﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ: , 0 y1 y 2 ... y n 1, , e.w.
!n g(y1 , y 2 ,..., y n ) 0
وﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ واﻟﺬي ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل: e x , 0 x, f (x) 0 , e.w, داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ Y1 Y2 ... Ynﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ: n
yi n! e i 1 g(y1 , y 2 ,..., y n ) 0
, 0 y1 y 2 ... y n , , e.w.
اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﻟﻬﺎﻣﺸﻴﺔ واﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﻴﺒﻴﺔ: ﳓﺘﺎج اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﳍﺎﻣﺸﻴﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﻹﳚﺎد ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻌﺾ اﻹﺣﺼﺎءات اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻣﺜـﻞ ﺗﻮزﻳـﻊ اﻟﻮﺳﻴﻂ وﺗﻮزﻳـﻊ أﺻـﻐﺮ وأﻛـﱪ اﻟﻘـﻴﻢ أﻣـﺎ اﻟﺘﻮزﻳﻌـﺎت اﳌﺸـﱰﻛﺔ ﻷﺛﻨـﲔ أو أﻛﺜـﺮ ﻣـﻦ اﻹﺣﺼـﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴـﺔ ﻓﻠﻬـﺎ 1 2
أﳘﻴﺔ ﰲ إﳚﺎد ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﺪى اﻟﻌﻴﻨﺔ َ W Yn Y1و اﳌﺪى اﳌﺘﻮﺳﻂ ) Z (Y1 Ynواﻟﱵ ﺗﺴـﺘﺨﺪم ﰲ اﻟﻜﺜﲑ ﻣﻦ اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎت. ﻧﻈﺮﻳﺔ):ﺗﻮزﻳﻊ أﻛﱪ اﻟﻘﻴﻢ( إذا ﻛﺎﻧﺖ X1 , X 2 ,, X nﻋﻨﺎﺻﺮ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ nﻣﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ اﺣﺘﻤﺎﱄ ﻣﺘﺼﻞ وﻟــﻪ داﻟــﺔ ﻛﺜﺎﻓــﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴــﺔ ) f (xوﻛﺎﻧــﺖ اﳌﺘﻐ ـﲑات اﻟﻌﺸ ـﻮاﺋﻴﺔ Y1 Y2 ... Ynﲤﺜــﻞ اﻹﺣﺼــﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻌﻴﻨﺔ .ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻓﺈن Ynاﻹﺣﺼﺎء اﻷﻛﱪ وﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳍﺎﻣﺸﻴﺔ: n f (y n ) F(y n )n 1 , a y n b, g n (yn ) , e.w. 0 ٢
ﻧﻈﺮﻳﺔ):ﺗﻮزﻳﻊ أﺻﻐﺮ اﻟﻘﻴﻢ( إذا ﻛﺎﻧﺖ X1 , X 2 ,, X nﻋﻨﺎﺻﺮ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ nﻣﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ اﺣﺘﻤﺎﱄ ﻣﺘﺼﻞ وﻟﻪ داﻟـﺔ ﻛﺜﺎﻓـﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴـﺔ ) f (xوﻛﺎﻧـﺖ اﳌﺘﻐـﲑات اﻟﻌﺸـﻮاﺋﻴﺔ Y1 Y2 ... Ynاﻹﺣﺼـﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴـﺔ ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻌﻴﻨﺔ .ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻓﺈن Y1اﻹﺣﺼﺎء اﻷﺻﻐﺮ وﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳍﺎﻣﺸﻴﺔ: n f (y1 ) 1 F(y1 )n 1 , a y1 b, g1 (y1 ) , e.w. 0
وﳝﻜﻦ إﳚﺎد داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ Y1وﻫﻲ:
y1
F1:n (y1 ) g1 (x)dx a
dx
y1
n 1
n f (x) 1 F(x) a
.
n y1 a
y1 a. a y1 b, y1 b.
وﻛﺬﻟﻚ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻟـ Ynﻫﻲ:
1 F(x)
0 n F1:n (y1 ) 1 1 F(y1 ) 1 yn
Fn:n (y n ) g n (x)dx a
dx
yn
n 1
n f (x) F(x) a
.
n yn a
y n a,
F(x)
0 n Fn:n (y n ) F(y n ) 1
a y n b, y n b.
ﻧﻈﺮﻳﺔ:
٣
إذا ﻛﺎﻧﺖ X1 , X 2 ,, X nﻋﻨﺎﺻﺮ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ nﻣﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ اﺣﺘﻤﺎﱄ ﻣﺘﺼﻞ وﻟﻪ داﻟـﺔ ﻛﺜﺎﻓـﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴـﺔ ) f (xوﻛﺎﻧـﺖ اﳌﺘﻐـﲑات اﻟﻌﺸـﻮاﺋﻴﺔ Y1 Y2 ... Ynاﻹﺣﺼـﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴـﺔ ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻌﻴﻨﺔ .ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻓﺈن أي إﺣﺼﺎء (r 1,2,, n) Yrﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳍﺎﻣﺸﻴﺔ: !n r 1 n r f (y r ) F(y r ) 1 F(y r ) , a y r b, !)g r (y r ) (r 1)!(n r 0 , e.w.
ﻧﻈﺮﻳﺔ: إذا ﻛﺎﻧﺖ X1 , X 2 ,, X nﻋﻨﺎﺻﺮ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ nﻣﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ اﺣﺘﻤﺎﱄ ﻣﺘﺼﻞ وﻟﻪ داﻟـﺔ ﻛﺜﺎﻓـﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴـﺔ ) f (xوﻛﺎﻧـﺖ اﳌﺘﻐـﲑات اﻟﻌﺸـﻮاﺋﻴﺔ Y1 Y2 ... Ynاﻹﺣﺼـﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴـﺔ ﻟﺘﻠــﻚ اﻟﻌﻴﻨــﺔ .ﻋﻨــﺪﻫﺎ ﻓــﺈن أي إﺣﺼــﺎءﻳﻦ Yi , Yjﲝﻴــﺚ i, j 1,2,,n , i jﳍﻤــﺎ داﻟــﺔ ﻛﺜﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳌﺸﱰﻛﺔ: !n i 1 f (yi ) f (y j ) F(yi ) !)(i 1)!( j i 1)!(n j , a yi y j b,
n j
1 F(y j )
ji 1
gij (yi , y j )
F(y j ) F(yi ) 0
, e.w.
ﻣﺜﺎل: ﻟﺘﻜﻦ Y1 Y2 ... Y6اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ n 6ﺳﺤﺒﺖ ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ: , 0 x 2, , e.w.
1 f (x) 2 0
أوﺟﺪ: ) (1) g r (y r ) (2) g1 (y1 ) (3) g 6 (y 6 (4) g1,6 (y1 , y 6 ).
اﻟﺤﻞ:
٤
0 x F(x) 2 1
, x 0, , 0 x 2, , x 2.
أذن : 6r
, 0 y r 2, , e.w.
r 1
yr !6 1 yr g r (y r ) 1 (r 1)! (6 r)! 2 2 2 !6 6 r y r 1 2 y r 6 r (r 1)! (6 r)! 2 0
)(1
وﻋﻠﻴﻪ إذا ﻛﺎﻧﺖ r 1ﻓﺈن: , 0 y1 2, , e.w.
5 6 6 2 y1 g1 (y1 ) 2 0
)(2
وﻋﻨﺪﻣﺎ r 6ﻓﺈن: , 0 y 6 2, , e.w.
6 5 y g 6 (y 6 ) 26 6 0
)(3
4
y 6! 1 1 y g1,6 (y1 , y 6 ) 6 1 4! 2 2 2 2 4 30 6 y 6 y1 , 0 y1 y 6 2, 2 0 , e.w.
)(4
داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﻴﺒﻴﺔ: ﻟﻨﻌﺘــﱪ X1 , X 2 ,...,X nﻣﺘﻐ ـﲑات ﻋﺸ ـﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴــﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘ ــﺔ وﻟﻜ ــﻞ ﻣﻨﻬــﺎ داﻟ ــﺔ اﻟﺘﻮزﻳ ــﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌ ــﻲ ) . F(xوﻟﺘﻜﻦ ) r 1, 2,,n , Fr:n (xداﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ﻟﻺﺣﺼـﺎء Yrوﺳـﻨﺤﺎول إﳚـﺎد ﺻـﻴﻐﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ) Fr:n (xوذﻟﻚ ﺑﺈﺳﺘﺨﺪم أرﺑﻊ ﻃﺮق ﳐﺘﻠﻔﺔ. ٥
:اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻷوﻟﻰ :ﺳﻨﻮﺟﺪﻫﺎ ﻣﺒﺎﺷﺮة ﺑﺎﻟﺘﻜﺎﻣﻞ واﺳﺘﺨﺪام ﻣﻔﻜﻮك ذي اﳊﺪﻳﻦ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ x
Fr:n (x)
g (t)dt r
n! (r 1)!(n r)!
x r 1
n r
f (t) F(t) 1 F(t)
dt
x
n r n r n! r 1 j f (t) F(t) (1) j F(t) dt j (r 1)!(n r)! j0 x n r n r n! r j1 j (1) f (t) F(t) dt (r 1)!(n r)! j0 j r j
n r n r n! F(x) . Fr:n (x) (1) j (r 1)!(n r)! j0 j (r j)
:وﻣﻨﻬﺎ ﳝﻜﻦ إﺛﺒﺎت أن
Fr:n () 0, Fr:n ()
n r n r n! 1 (1) j (r 1)!(n r)! j0 j (r j)
1 n r n r n! j (1) x r j1 dx (r 1)!(n r)! j0 j 0 1 n r n r n! r 1 j j x ( 1) x dx (r 1)!(n r)! 0 j j 0 1
n! x r 1 (1 x)n r dx (r 1)!(n r)! 0 n! B r,n r 1 (r 1)!(n r)! n! (r 1)!(n r)! 1. (r 1)!(n r)! n!
: ﻓﺈنr n وﻛﺤﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﺑﻮﺿﻊ
٦
n
n! F(t) n Fn:n (x) F(t) . (n 1)! n
:أو ﳝﻜﻨﻨﺎ إﺟﺮاء اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺼﻮرة أﺧﺮى x
Fr:n (x)
g (t)dt r
n! (r 1)!(n r)! n! (r 1)!(n r)! n! (r 1)!(n r)!
x r 1
f (t) F(t)
n r
1 F(t)
dt
x
f (t) 1 1 F(t)
r 1
n r
1 F(t)
dt
x n r
f (t) 1 F(t)
r 1 j ( 1) j 1 F(t) dt j j0
r 1
x r 1 n r j j dt j (1) f (t) 1 F(t) j 0 n r j1 r 1 r 1 n! j 1 1 F(x) Fr:n (x) ( 1) . (r 1)!(n r)! j0 j n r j 1 : ﰲ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﺈنr 1 وﻛﺤﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﺑﻮﺿﻊ
n! (r 1)!(n r)!
r 1
1 1 F(x)n n
n! F1:n (x) (n 1)!
n
1 1 F(x) .
:اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ :ﳝﻜﻨﻨﺎ إﳚﺎد داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺟﺪاول ﺑﻴﺘﺎ اﻟﻨﺎﻗﺼﺔ واﻟﱵ ﺗﻌﺮف ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ x
1 I x ( , ) t 1 (1 t)1 dt , B(, ) 0
:ﲟﺎ أن n! Fr:n (x) (r 1)!(n r)!
x r 1
n r
f (t) F(t) 1 F(t)
dt.
:وﺑﺄﺧﺬ اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ y F(t) dy f (t)dt
٧
Fr:n (x)
n! (r 1)!(n r)! 1 B(r,n r 1)
F(x )
y r 1 (1 y) n r dy
0
F(x )
y r 1 (1 y)n r dy
0
IF( x) (r,n r 1).
:وﻣﻦ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﳝﻜﻦ إﳚﺎد داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﺑﺎﻻﺷﺘﻘﺎق ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ 1 d g r (x) B(r, n r 1) dx
F(x)
y r1 (1 y) n r dy
0
n! r 1 n r F(x) 1 F(x) f (x) , a x b. (r 1)!(n r)!
:ﻣﺜﺎل : ﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻫﺎ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲFr:n (x) ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻓﺈنX ~ U(0,1) ﻟﻴﻜﻦ x
n! Fr:n (x) t r 1 (1 t) n r dt (r 1)!(n r)! 0 1 B(r, n r 1)
x
t
r 1
(1 t) n r dt
0
I x (r,n r 1),
. Fr:n (x) ﰒ ﻧﺴﺘﺨﺪم ﺟﺪاول ﺑﻴﺘﺎ اﻟﻨﺎﻗﺼﺔ ﻹﳚﺎد ﻗﻴﻢ
:اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ : ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﻪ ﺑﲔ داﻟﺔ ﺑﻴﺘﺎ اﻟﻨﺎﻗﺼﺔ وﳎﻤﻮع ذي اﳊﺪﻳﻦFr:n (x) ﳝﻜﻦ إﳚﺎد n I x (r,n r 1) x j (1 x) n j. j r j n
:وﺳﻮف ﻧﱪﻫﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ :اﻟﺒﺮﻫﺎن x
n! I x (r, n r 1) t r 1 (1 t) n r dt (r 1)!(n r)! 0 x
n 1 r 1 n t (1 t)n r dt. r 1 0 ٨
: ﻣﻦ اﳌﺮات ﺣﻴﺚn r ﺳﻨﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﺠﺰيء u (1 t)n r
, dv t r1dt,
1 du (n r)(1 t) n r1 dt , v t r , r x n 1 r n n 1 r nr I x (r,n r 1) x (1 x) n r n t (1 t) n r 1 dt r r 1 r 0 r 1 x n r n 1 r n r x (1 x) n t (1 t)n r 1 dt r r 0 n n r 1 x r (1 x)n r x (1 x) n r 1 r r 1 x
n 1 r 1 n t (1 t)n r 2 dt r 1 0 n n r 1 x r (1 x) n r x (1 x) n r 1 r r 1 x n n 1 n 1 n 1 x (1 x) n t (1 t)0 dt n 1 n 1 0 n n r 1 x r (1 x) n r x (1 x)n r 1 r r 1
n n 1 x (1 x) x n n 1 n n x j (1 x) n j. j r j
:وﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﺈن Fr:n (x) IF( x) (r, n r 1) n n j n j F(x) 1 F(x) . j r j
: أو ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة
n r j n r j Fr:n (x) F(x) 1 F(x) . j0 r j n r
ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ ﺗﻮزﻳـﻊ ﻣﺘﺼـﻞ ﻓﺈﻧـﻪ ﳝﻜـﻦ اﺷـﺘﻘﺎقX1 , X 2 ,, X n وﺑﺸﻜﻞ ﻋﺎم إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻟﺪﻳﻨﺎ : ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲg r (x) ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰFr:n (x) ٩
d Fr:n (x) dx d n n j n j F(x) 1 F(x) dx jr j n 1 n n 1 j1 n j n f (x) F(x) j F(x) 1 F(x) f (x) jr j n 1 n j n j1 (n j) F(x) 1 F(x) f (x). j r j n n! j j ( j 1)!(n j)! ,
g r (x)
n n! . j (n j) ( j)!(n j 1)!
:وﺣﻴﺚ إن
ﰲ ا ﻤ ـ ــﻮع اﻷول وﻋﻨ ـ ــﺪj r ﻻﺣ ـ ــﻆ إن ﺣ ـ ــﺪود ا ـ ــﺎﻣﻴﻊ ﺳﺘﺘﻼﺷ ـ ــﻰ ﻣ ـ ــﻊ ﺑﻌ ـ ــﺾ ﻣ ـ ــﺎ ﻋ ـ ــﺪا ﻋﻨ ـ ــﺪ : ﰲ ا ﻤﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﻋﻠﻰ ذﻟﻚj n 1 n 1
g r (x) n f (x) F(x)
n! r 1 n r F(x) 1 F(x) f (x) (r 1)!(n r)!
n! n 1 F(x) f (x) (n 1)!(0)! n! n 1 r 1 n r n f (x) F(x) F(x) 1 F(x) f (x) (r 1)!(n r)!
n 1
n f (x) F(x)
n! r 1 n r F(x) 1 F(x) f (x). (r 1)!(n r)!
:اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﺮاﺑﻌﺔ Fr:n (x) P(Yr x) n j n j F(x) 1 F(x) j r j n
:اﻟﺒﺮﻫﺎن :ُ ﻧﻌﺮف، ﺛﺎﺑﺖx ﻟﻴﻜﻦ Zi 0 , if Xi x 1 , if Xi x. ١٠
n
ﻋﻨــﺪﻫﺎ ﻓــﺈن ﻋــﺪد اﳌﺘﻐ ـﲑات اﻟــﱵ ﲢﻘــﻖ اﻟﺸــﺮط إن X i xﻫــﻮ ، W Ziﺣﻴــﺚ Wﻣﺘﻐــﲑ i 1
ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ذي اﳊﺪﻳﻦ ﺑﺎﳌﻌﺎﱂ ) n,F(xواﻵن: )Fr:n (x) P(Yr x n
) P( Zi r i 1
) P(W r n n j n j F(x) 1 F(x) . j r j
n
اﺳـﺘﻨﺪﻧﺎ ﰲ اﻟﱪﻫـﺎن اﻟﺴــﺎﺑﻖ ﻋﻠـﻰ اﳌﺴــﺎواة ﺑـﲔ اﳊـﺎدﺛﺘﲔ Yr xو ، Zi rﻷﻧــﻪ ﻋﻨـﺪﻣﺎ ﻳﻜــﻮن i 1
اﻹﺣﺼـﺎء اﻟﱰﺗﻴـﱯ ذو اﻟﺮﺗﺒـﺔ rأﻗـﻞ ﻣـﻦ أو ﻳﺴـﺎوي xﻓﺈﻧـﻪ ﻣـﻦ اﳌﺆﻛـﺪ أن ﻋـﺪد X iأﻗـﻞ ﻣـﻦ أو ﻳﺴــﺎوي x n
أﻛﱪ ﻣﻦ أو ﻳﺴـﺎوي rأي أن . Zi rوﻳﻼﺣـﻆ إﻧـﻪ ﰲ اﻟﱪﻫـﺎن ﱂ ﻧﺸـﱰط أن ﻳﻜـﻮناﻟﺘﻮزﻳـﻊ ﻣﺘﺼـﻼً i 1
ﻟﺬا ﻓﺎﻟﺼﻴﻐﺔ ﺗﺼﻠﺢ ﻟﻠﻤﺘﻘﻄﻊ أﻳﻀﺎً. وﻛﺤﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ r nﻓﺈن: n n j n j Fn:n (x) F(x) 1 F(x) j n j n n n n F(x) 1 F(x) n n
F(x) .
وﻋﻨﺪﻣﺎ r 1ﻓﺈن: n j n j F1:n (x) F(x) 1 F(x) j1 j n 0 n 0 1 F(x) 1 F(x) 0 n
n
1 1 F(x) .
ﻣﺜﺎل: ﻟـﺘﻜﻦ Y1 Y2 Y5اﻹﺣﺼـﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴـﺔ ﻟﻌﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ n 5ﻣﺴـﺤﻮﺑﺔ ﻣــﻦ ﺗﻮزﻳﻊ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎل : ١١
2 x f (x) 0
, 0 x 1, , e.w.
. P(Y4 12 ) اﺣﺴﺐ :اﻟﺤﻞ 1 2
1 P(X 12 ) 2x dx , 4 0 5 5 j 5 j P(Y4 12 ) F( 12 ) 1 F( 12 ) j 4 j 4 5 0 5 1 3 5 1 3 4 4 4 5 4 4 16 0.0156. 45
:داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻹﺣﺼﺎءﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺒﻴﻴﻦ : ﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻫﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄYr , Ys داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءﻳﻦ x y
Fr,s (x , y)
g
r,s
(x, y)dydx
x y
,
x
n! . (r 1)! (s r 1)! (n s)!
x y r 1
f (x)f (y) F(x)
s r 1
F(y) F(x)
n s
1 F(y)
dydx.
x
:وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ اﻟﺘﺎﱄ t1 F(x)
,
t 2 F(y)
dt1 f (x)dx
,
dt 2 f (y)dy,
F( x ) F( y )
Fr,s (x, y) C
t1r1 (t 2 t1 )s r 1 (1 t 2 )n s dt1 dt 2
t1
.C
n! ﺣﻴﺚ (r 1)! (s r 1)! (n s)!
: ﳝﻜﻦ إﺛﺒﺎت إن.واﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻫﻮ داﻟﺔ ﺑﻴﺘﺎ اﻟﺜﻨﺎﺋﻴﺔ اﻟﻨﺎﻗﺼﺔ n
j
Fr,s (x, y) js i r
n! i ji n j F(x) F(y) F(x) 1 F(y) . i!( j i)!(n j)! ١٢
أﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ x yﻓﺈن: y y
(x, y)dx dy
r,s
g
Fr,s (x, y)
y
g (y)dy s
Fs (y).
أﻣﺎ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﳌﺘﻐﲑات اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ اﳌﺘﻘﻄﻌﺔ وإذا ﻛﺎﻧﺖ ) f (xداﻟﺔ اﻟﻜﺘﻠﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻓﺈن: g r (x) P(Yr x) . وﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻫﺎ ﻣﻦ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ: )Fr:n (x) IF(x) (r,n r 1
ﺣﻴﺚ: )g r (x) IF( x) (r, n r 1) I F(x 1) (r, n r 1
وﺑﺎﳌﺜﻞ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳌﺸﱰﻛﺔ: )g r,s (x, y) P(Yr x,Ys y Fr,s (x, y) Fr,s (x 1, y) Fr,s (x, y 1) Fr,s (x 1, y 1).
اﻣﺛﻠﺔ ﻣﺗﻧوﻋﺔ
ﻣﺛﺎل ﺑﻔـرض أن ﻋﻣـر ﻣﺻــﺑﺎح ﻛﻬرﺑـﺎﺋﻰ ﻣـن ﻧــوع ﻣـﺎ ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻷﺳـﻰ ﺑﻣﺗوﺳــط ١٠٠ﺳـﺎﻋﺔ .ﺑﻔــرض ان ١٠ﻣﺻ ــﺎﺑﯾﺢ ﺟﻬ ــزت ﻟﻠﻌﻣ ــل ﻓ ــﻰ آن واﺣ ــد ﻣ ــﺎ ﻫ ــو ﺗوزﯾ ــﻊ اﻟﻌﻣ ــر ﻟﻠﻣﺻ ــﺑﺎح اﻟ ــذي ﯾﻔﺷ ــل أوﻻ
وأوﺟد E Y1 اﻟﺣــل:
١٣
إذا ﻛﺎن X iﯾﻣﺛل اﻟﻌﻣر ﻟﻠﻣﺻﺑﺎح رﻗم iﻓﺈن ] Yl min[X 1 , ... , X 10وﺗﺣت ﻓرض أن اﻟﻣﺗﻐﯾرات X 1 , ..., X 10ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻓﺈن : 1
,0 x
x 1 (x) e 100 100 0 , e .w.
i
fX
وداﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻫﻲ : 1 x 100
,x 0
FX (x ) 1 e i
0 , e .w. وﻋﻠﻰ ذﻟك : 10
y0
1 y 100 (e )10 1
1
y 1 10 100 y e 100 e 100 100
f Y ( y) 10 1
0 , e .w.
1 أي أن ) f Y ( yداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل أﺳﯾﺔ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ 1 10 E ( Y1 ) 1 / 10.
وﻋﻠﻰ ذﻟك :
ﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎﻧـ ــت X1 ,..., X nﻣﺗﻐﯾ ـ ـرات ﻋﺷ ـ ـواﺋﯾﺔ ﻣﺳـ ــﺗﻘﻠﺔ ﻣﺗطﺎﺑﻘـ ــﺔ اﻟﺗوزﯾـ ــﻊ ﺗﻣﺛـ ــل اﻟﺿ ـ ـراﺋب اﻟﺗـ ــﻲ ﺗـ ــم ﺗﺣﺻـ ــﯾﻠﻬﺎ ﻣـ ــن nﻣـ ــن اﻷﺷـ ــﺧﺎص ٕواذا ﻛـ ــﺎن i 1,..., n , X iﺗﺗﺑـ ــﻊ ﺗوزﯾـ ــﻊ ﺑـ ــﺎرﺗﯾو ﺑداﻟـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ اﺣﺗﻣﺎل :
x x0
( x 0 )
f X (x )
x 1 0 , e .w.
أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Yl min[ X1 , ... , X n ] .
اﻟﺣــل: داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Y1ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
y x0
x0 y2
n 1
١٤
x f Y ( y ) n 0 1 y 0 , e.w.
أي أن : , y x0
nx 0n y n 1
f Y ( y) 1
0 , e.w.
ﻣﺛﺎل إذا ﻛـﺎن X1 ,..., X nﻣﺗﻐﯾـرات ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣﺳــﺗﻘﻠﺔ وﻣﺗطﺎﺑﻘـﺔ اﻟﺗوزﯾـﻊ ﺣﯾـث
)X i ~ UNIF(0,1
أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ] Y1 min[X1 , ... , X n؟ اﻟﺣــل: داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Y1ﻫﻲ :
,
0 y 1
f Y (y) n (1 y)n 1 1
0 , e .w. ﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎﻧت X1 , X 2 ,..., X nﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ وﻟﻬﺎ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ : 1 Fx 1 , x0 1 x واذا ﻛﺎن:
Z n min X1 , X 2 ,..., X n أوﺟد ﻧﻬﺎﯾﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر .Z
اﻟﺣــل:
ﻟﯾﻛن
Y1 min X1 , X 2 ,...., X n
اذن: n
FY1 y 1 1 FX y n
1 1 . 1 y
١٥
1 z FZ z FY1 1 1 z n n z 1 1 n Lim FZ z 1 e z
n
n
,z 0
n
: ﻣﻣﺎ ﯾﻌﻧﻲ أن
Z ~ Exp (1) . ﻣﺛﺎل i ﻣﺗﻐﯾ ارت ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲX1 , X 2 ,..., X n إذاﻛﺎﻧت
E Y1 . ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ وأوﺟدYl min[ X1 , ... , X n ] أﺛﺑت أن
ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ ؟Y n maxX1 , X2 ,...., Xn ﻫل :اﻟﺣــل : أذن i ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ
X i ﺑﻣﺎأن
f X i ( y) i e i y , y 0 y
FX i (y) ie i x dx ei x 0
y 0
1 e i y
:ﺑﻣﺎ أن n
FY1 (y) 1 1 FXi (y) i 1 1
n
1 1 (1 ei y ) i 1
n
n
1 e i y 1 e i 1
i y i 1
: ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻲ ﺣﯾثY1 أي أن n
f Y1 y i i1 ١٦
e
n i y i 1
1 1 ,E(Y1 ) n Y1 ~ Exp n i i i1 i 1 n
n
FYn (y) FXi y (1 ei y ) i1
i 1
n
f Yn y n
n
d 1 e i y dy i1
1 e i y je j 1 i j
jy
. ﻻﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲYn أى أن
1 : ﻓﺎن Xi ~ Exp وﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﻣﺗﻐﯾرات ﻣﺗطﺎﺑﻘﺔ ﺣﯾث n
f Yn y j1
n
1 e e j y
i y
j
i j
e 1 e
1 e y j 1
n e - y
n 1
y
y n 1
ﻣﺛﺎل ﻣﺗﻐﯾ ـ ـران ﻋﺷ ـ ـواﺋﯾﺔ ﻣﺳـ ــﺗﻘﻠﺔ وﻣﺗطﺎﺑﻘـ ــﺔ ﺗﺗﺑـ ــﻊ اﻟﺗوزﯾـ ــﻊ اﻟﻣﻧـ ــﺗظم
X1 , X 2 ,..., X n
إذاﻛﺎﻧـ ــت
. Yn max X 1, X 2,..., X n أوﺟد داﻟﺔ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرX~UNIF(0.1) :اﻟﺣــل f Xi x 1
0 x 1 y
FX (y) dy y 0
Fy n y F X y n y n y n f y n y n y n 1
١٧