اﺧﺗﺑﺎرات ﺗﺧص ﺗﺑﺎﯾﻧﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن Tests Concerning Two Populations Variances ﺑﻔ رض أن ﻟ دﯾﻧﺎ ﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن :اﻷول ﯾﺗﺑ ﻊ ﺗوزﯾﻌ ﺎ ً طﺑﯾﻌﯾ ﺎ ً ﻣﺗوﺳ طﺔ 1وﺗﺑﺎﯾﻧ ﮫ 12واﻟﺛ ﺎﻧﻲ: ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎ ً طﺑﯾﻌﯾﺎ ً ﻣﺗوﺳطﺔ 2وﺗﺑﺎﯾﻧﮫ 22واﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ھل اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﻟﮭﻣ ﺎ ﻧﻔ س اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ؟ أي ھل 12 22أم ﻻ ؟ ﻓ ﺈذا ﻛﺎﻧ ت 12 22ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘ ول أن ھﻧ ﺎك ﺗﺟ ﺎﻧس ﺑ ﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن . إن اﻟﺗﺄﻛ د ﻣ ن ﺻ ﺣﺔ اﻟﻔ رض 12 22ﺿ روري ﻻﺧﺗﺑ ﺎر اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن ﻣﺗوﺳ طﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ) اﺧﺗﺑ ﺎر . ( tأﯾﺿ ﺎ ھﻧ ﺎك اﻟﻌدﯾ د ﻣ ن اﻷﺑﺣ ﺎث اﻟﺗ ﻲ ﯾﻛ ون ھ دﻓﮭﺎ اﻟرﺋﯾﺳ ﻲ ھ و ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ 12ﻣ ﻊ 22ﻣﺛل دراﺳﺎت ﺟودة اﻟﺑﺿﺎﺋﻊ اﻟﻣﺳﺗﮭﻠﻛﺔ ﺣﯾث ﯾﻌﺗﺑر اﻟﺗﺑﺎﯾن أھم ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺟودة. ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم : H 0 : 12 22
ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل : 2 2
2 1
H1 :
ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﺣﺟﻣﮭ ﺎ n1ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻷول وﻟ ﯾﻛن ﻣﺗوﺳ طﮭﺎ اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ x 1وﺗﺑﺎﯾﻧﮭ ﺎ s12 وﺗﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ أﺧرى ﺣﺟﻣﮭﺎ n 2ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟﺛﺎﻧﻲ وﻟﯾﻛن ﻣﺗوﺳطﮭﺎ x 2وﺗﺑﺎﯾﻧﮭ ﺎ s 22
٠ ) اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻷوﻟﻰ ( .ﺑﺎﻓﺗراض ﺻﺣﺔ ﻓرض اﻟﻌدم ﻓﺈن : s12 , s 22
f
ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ Fﻟ ﮫ ﺗوزﯾ ﻊ Fﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ 1 n1 1, 2 n 2 1 ٠ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ، ﺳوف ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺗ ﯾن ﺣ رﺟﺗﯾن ) f (1 , 2و ) . f (1 , 2وﻋﻠ ﻰ 2
ذﻟ ك ﻓ ﺈن ) F f (1 , 2أو ) (1 , 2 2
2
1
2
1
F fﺗﻣ ﺛﻼن ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض .ﺣﺟ م ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض
ﯾﺳﺎوى اﻟﻣﺳ ﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠ ﺔ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ .اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺣرﺟ ﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر Fﻓ ﻲ اﻟط رف اﻷﯾﺳ ر ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : إذا وﻗﻌت fاﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض . H 0 1 . ) f ( 2 , 1
(1 , 2 )
2
١
f
1 2
ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم 2 2
2 1
2 2
2 1
H0 :
ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل H1 :
ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ،ﺑﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ، ﺳوف ﺗﻛون ﻓﻲ اﻟﺟﺎﻧب اﻷﯾﺳ ر ﻣ ن اﻟﺗوزﯾ ﻊ )اﻟ ذﯾل اﻷﯾﺳ ر ( .ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﺗﻣﺛ ل ﻛ ل ﻗ ﯾم Fﺑﺣﯾ ث ) . F f1 (1 , 2وأﺧﯾ را ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم : H 0 : 12 22
ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل : 2 2
2 1
H1 :
ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ،ﺑﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ، ﺳوف ﺗﻛون ﻓﻲ اﻟﺟﺎﻧ ب اﻷﯾﻣ ن ﻣ ن اﻟﺗوزﯾ ﻊ )اﻟ ذﯾل اﻷﯾﻣن( .ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺗﻣﺛل ﻛل ﻗﯾم Fﺑﺣﯾث ) . F f (1 , 2
ﻣﺛﺎل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ اﺧﺗﺑر اﻟﺗﺟﺎﻧس ﺑﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ 0.1 اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻷوﻟﻲ
اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ
40.5
50.7
si2
31
41
ni
اﻟﺣــل: 2 2
2 1
H0 : ,
H1 : 12 22 .
0.1 . f.05 40, 30 1.79واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ F
. 1 40, 2 30أﻣﺎ f 0.95 40, 30ﻓﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 1 1 0.575. f 0.05 (30,40) 1.74
f 0.95 (40,30)
ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض F 1.79أو F 0.575
اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﻛﺑر 50.7 1.252. 40.5
2 2 2 1
s s
=
اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﺻﻐر ﻧﻘﺑل H 0ﻷن fﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول .
٢
f
ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ
اﺧﺗﺑﺎرات ﺗﺧص اﻟﻣﺗوﺳطﺎت
Tests Concerning Means
ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﯾﻛون اﻻھﺗﻣﺎم ﺑﺎﺧﺗﺑﺎرات اﻟﻔروض اﻟﺗﻲ ﺗﺧص ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﻣﺧﺗﻠﻔﯾن. أي أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم أن اﻟﻔرق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ، 1 2 ،ﯾﺳﺎوى ﺻﻔر أي 1 2ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل 1 2 0أي 1 2أو اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل 1 2 0أي 1 2أو اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل 1 2 0أي . 1 2ﺗﻌﺗﻣد اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ ﻓﻲ اﺧﺗﯾﺎر اﻟﻔرق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ ﻛل ﻣﺟﺗﻣﻊ وﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﻛل ﻣﺟﺗﻣﻊ .ﻓﻲ اﻟﺟزء اﻟﺗﺎﻟﻲ ﺳوف ﻧﺗﻧﺎول ﺛﻼﺛﺔ ﺣﺎﻻت. اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ :ﻋﻧ د اﺧﺗﺑ ﺎر ﻓ رض اﻟﻌ دم H 0أن اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن ﻣﺗوﺳ طﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ، 1 2 ، ﯾﺳﺎوى ﺻﻔر وذﻟك ﻋﻧدﻣﺎ ﻛل ﻣن 12 , 22ﻣﻌﻠوﻣﺗ ﺎن وﺗﺣ ت ﻓ رض أن ﻛ ل ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻟ ﮫ ﺗوزﯾﻌ ﺎ ً طﺑﯾﻌﯾﺎ ً أو ﺗﻘرﯾﺑﺎ طﺑﯾﻌﯾﺎ ً .أﻣﺎ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻛﺑﯾ رة وإذا ﻛﺎﻧ ت 22 , 12ﻣﺟﮭوﻟﺗ ﺎن ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻣﻛ ن ﺗﻘدﯾرھﻣﺎ ﻣن اﻟﻌﯾﻧﺎت ﺑﺣﺳﺎب . s12 , s 22ﯾﻌﺗﻣ د ﻗرارﻧ ﺎ ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ) اﻹﺣﺻ ﺎء ( . X1 X 2أوﻻ ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م n1ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻷول وﻧﺣﺳ ب ﻣﻧﮭﺎ x 1وﻧﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ أﺧرى ﻣن اﻟﺣﺟم n 2ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟﺛﺎﻧﻲ )ﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ ﻋ ن اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻷوﻟﻰ ( وﻧﺣﺳب ﻣﻧﮭﺎ x 2ﺛم ﻧﺣﺳب اﻟﻔرق ، x1 x 2 ،ﻟﻣﺗوﺳطﻲ اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ٠ﻧﻌﻠم أن : .
( x1 x 2 ) 0 12 22 n1 n 2
z
ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Zﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون H 0ﺻﺣﯾﺣﺎ .وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﻲ اﺧﺗﺑﺎر ﻣن ﺟﺎﻧﺑﯾﯾن وﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﺗﺣدد ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل Z z أو . Z z أﻣﺎ ﻓﻲ 2
2
اﺧﺗﺑﺎر ﻣن ﺟﺎﻧب واﺣد ﺣﯾث اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل 1 2ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ،ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ، ﺳوف ﺗﻛون . Z z وأﺧﯾرا ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﻣن ﺟﺎﻧب واﺣد 1 2ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ، ﺳوف ﺗﻛون . Z z
ﻣﺛﺎل( أﺟرى اﺧﺗﺑﺎر ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻘﺎوﻣﺔ ﻟﻠﺷد tensile strengthﻟﻧوﻋﯾن ﻣن اﻟﺳﻠك .اﻟﻧﺗ ﺎﺋﺞ ﻣﻌط ﺎة ﻓ ﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ : اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ
ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ
ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ
اﻟﻧوع
s1 1.3
x1 107.6
n1 129
A
s 2 2.0
x 2 123.6
n 2 129
B
٣
اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ھل ھﻧﺎك ﻓرﻗﺎ ﻣﻌﻧوﯾﺎ ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن اﻟﻣﺳﺣوﺑﺗﯾن ﻣﻧﮭﻣﺎ اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ؟ ) ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ .( 0.05
اﻟﺣــل: ﺣﯾث أن n1 30و n 2 30ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ : H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
0.05 .
z 0.025 1.96واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ. ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض Z 1.96أو Z 1.96 .
( x1 x 2 ) 0 s12 s 22 n1 n 2
z
107.6 123.6
76.183. 1.32 2 2 129 129 وﺑﻣﺎ أن zﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض . H 0
ﻣﺛﺎل طﺑ ق اﺧﺗﺑ ﺎر ﻟﻠﻌﺻ ﺎﺑﯾﮫ ﻋﻠ ﻰ ﻣﺟﻣ وﻋﺗﯾن ،اﻷوﻟ ﻰ ﻣ ن اﻟ ذﻛور وﺣﺟﻣﮭ ﺎ 35واﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ ﻣ ن اﻹﻧ ﺎث وﺣﺟﻣﮭ ﺎ 40ﻓ ﺈذا ﻛ ﺎن ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻌﺻ ﺎﺑﯾﺔ ﻟ دي اﻟ ذﻛور 21.3ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري 4.6وﻣﺗوﺳ ط اﻟﻌﺻ ﺎﺑﯾﺔ ﻟ دى اﻹﻧ ﺎث 24.2ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري 3.9ﺗﺣﻘ ق ﻣ ن ﺻ ﺣﺔ اﻟﻔ رض اﻟﻘﺎﺋ ل أن H 0 : 1 2ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل H1 : 1 2ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05
اﻟﺣــل: ﺣﯾث أن n1 30و n 2 30ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ : H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
0.05 .
z 0.025 1.96واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ. ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض Z 1.96أو Z 1.96 .
( x1 x 2 ) 0 s12 s 22 n1 n 2
z
21.3 24.2
2.92. 4.62 3.92 35 40 وﺑﻣﺎ أن zﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض . H 0 ٤
اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ :ﺑﻔ رض أن 12 , 22ﻣﺟﮭوﻟﺗ ﺎن وﺣﺟ م ﻛ ﻼ ﻣ ن اﻟﻌﯾﻧﺗ ﯾن ﺻ ﻐﯾر .ﯾﻌﺗﻣ د اﻟﻘ رار اﻟ ذي ﻧﺗﺧ ذه ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﻓ ﻲ اﺧﺗﺑ ﺎر ﻓ رض اﻟﻌ دم ﻋﻠ ﻰ ﺗوزﯾ ﻊ tوذﻟ ك ﺗﺣ ت ﻓ رض ) 12 22 2ھﻧﺎك ﺗﺟﺎﻧس ( وأن ﻛل ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟ ﮫ ﺗوزﯾﻌ ﺎ ً طﺑﯾﻌﯾ ﺎ ً .أوﻻ ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم n1ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻷول وﺗﺣﺳب ﻣﻧﮭﺎ s12 , x 1وﻧﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ أﺧرى ﻣ ن اﻟﺣﺟ م n 2ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ) ﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ ﻋ ن اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻷوﻟ ﻲ ( وﻧﺣﺳ ب ﻣﻧﮭ ﺎ . s12 , x 2اﻟﺗﺑ ﺎﯾن اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ pooled varianceﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮫ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : (n1 1)s12 (n 2 1)s 22 n1 n 2 2
s 2p
وﺗﺣت ﻓرض أن H 0ﺻﺣﯾﺣﺎ ً ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻌﻠم أن .
( x1 x 2 ) 0 1 1 n1 n 2
t
sp
ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Tﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ tﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ٠ n1 n 2 2ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﺧﺗﺑ ﺎر ذي ﺟﺎﻧﺑﯾن وﻋﻧد ﻣﺳﺗوي ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﺳ وف ﺗﻛ ون T t أو . T t ﻟﻠﺑ دﯾل 2
2
ﻣن ﺟﺎﻧب واﺣد 1 2ﻓ ﺈن ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ﺳ وف ﺗﻛ ون . T t وأﺧﯾ را ﻟﻠﺑ دﯾل 1 2
ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﺳوف ﺗﻛون . T t
ﻣﺛﺎل ﻓ ﻲ إﺣ دى ﻣراﻛ ز رﻋﺎﯾ ﺔ اﻟطﻔ ل ﺳ ﺟﻠت اﻷوزان ) ﺑﺎﻟرط ل ( ﻟﻌﯾﻧﺗ ﯾن ﻋﺷ واﺋﯾﺗﯾن ﻣ ن اﻷطﻔ ﺎل ﺣدﯾﺛﻲ اﻟوﻻدة ﻛل ﻣﻧﮭﻣﺎ ﯾﺗﻛون ﻣن ﺧﻣﺳﺔ أطﻔﺎل ﻓﻛﺎﻧت اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛﺎﯾﻠﻲ : 8, 6, 6, 5, 7 اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻷوﻟﻲ 8, 7, 8, 5, 6 اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ 2 2 2 2 أ -اﺧﺗﺑر اﻟﻔرض اﻟﻘﺎﺋل أن 1 2ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل 1 2ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.02ﻣﻊ اﻟﻌﻠم أن اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﺗم اﺧﺗﯾﺎرھﻣﺎ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن . ب -أﺧﺗﺑر ﻓرض اﻟﻌدم H 0 : 1 2ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل H1 : 1 2ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.1
اﻟﺣــل: n1 5, x1 6.4,
s1 1.140
n 2 5, x 2 6.8,
s 2 1.304
أوﻻ ﯾﺟب اﻟﺗﺄﻛد ﻣن أن 22أي اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم : 2 1
H 0 : 12 22
ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل : 2 2
2 1
H1 : . 0.02 .
٥
اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﻛﺑر (1.304) 2 1.3084. (1.140) 2
2 2 2 1
s s
=
f
اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﺻﻐر f.01 4, 4 15.98واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ Fﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ 1 4, 2 4 أﻣﺎ f.99 4, 4 ﻓﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 1 1 0.062578. f0.01 (4, 4) 15.98
f 0.99 (4,4)
F 15.98أو F 0.062578
ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض وﺑﻣﺎ أن fﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم أن . اﻵن ﻧﺧﺗﺑـر : H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 . 0.1. 2 1
2 2
)s12 (n1 1) s 22 (n 2 1 sp n1 n 2 2 )(1.14) 2 (4) (1.304) 2 (4 552
1.2247. (x1 x 2 ) 0 1 1 sp n1 n 2
t
6.4 6.8 0.5164. 1 1 1.2247 5 5
t 0.05 1.860واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ tﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ . 8 ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض T 1.860أو . T 1.860وﺑﻣﺎ أن tﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل . H 0
٦
ﻣﺛﺎل ﯾرﻏب ﻣﺳﺋول ﻓﻲ ﻣﺻﻧﻊ ﻻﻧﺗﺎج ﻣﻌﺟون ﻟﻸﺳﻧﺎن ﻓ ﻲ دراﺳ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر إﺿ ﺎﻓﺔ ﻣ ﺎدة ﻛﯾﻣﺎﺋﯾ ﺔ ﻣﻌﯾﻧ ﺔ إﻟﻰ ﻣﻌﺟون ﻟﺗﺣﺳﯾن ﻣﻔﻌوﻟﮫ .اﺧﺗﺑرت ﻋﯾﻧﺗﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن ﻛل ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣ ن 10أﺷ ﺧﺎص اﺳ ﺗﺧدﻣت أﻓ راد اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻷوﻟ ﻲ اﻟﻣﻌﺟ ون ﻣﺿ ﺎف إﻟﯾ ﮫ اﻟﻣ ﺎدة اﻟﻛﯾﻣﺎﺋﯾ ﺔ ﺑﯾﻧﻣ ﺎ اﺳ ﺗﺧدﻣت أﻓ راد اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ اﻟﻣﻌﺟون ﺑدون إﺿﺎﻓﺔ اﻟﻣﺎدة اﻟﻛﯾﻣﺎﺋﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻣﻘﯾﺎس ﺧﺎص ﺗ م اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ : اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻷوﻟﻰ ) أﺿﯾﻔت اﻟﻣﺎدة اﻟﻛﯾﻣﺎﺋﯾﺔ ( x1 8, s1 3
اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ) ﺑدون إﺿﺎﻓﺔ ( H1 : 1 2ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى اﺧﺗﺑ ر ﻓ رض اﻟﻌ دم H 0 : 1 2ﺿ د اﻟﻔ رض اﻟﺑ دﯾل ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.1ﻣﻊ اﻟﻌﻠم أن اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﺗم اﺧﺗﯾﺎرھﻣﺎ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن . x 2 9,
s2 4
اﻟﺣــل: s1 3 s2 4
n1 10, x1 8, n 2 10, x 2 9,
أوﻻ ﯾﺟب اﻟﺗﺄﻛد ﻣن أن أي اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم : 2 2
2 1
H 0 : 12 22
ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل : 2 2
2 1
H1 : . 0.1 .
اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﻛﺑر (4) 2 1.778. = (3)2
2 2 2 1
s f s
اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﺻﻐر f.05 9, 9 3.18واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾ ﻊ Fﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ 1 9, 2 9أﻣ ﺎ f.95 9, 9 ﻓﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 1 1 0.31447. f 0.05 (9,9) 3.18
f 0.95 (9,9)
F 3.18أو F 0.31447
ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض وﺑﻣﺎ أن fﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم أن . اﻵن ﻧﺧﺗﺑـر : 2 2
H 0 : 1 2 ,
H1 : 1 2 . 0.1 . )s12 (n1 1) s 22 (n 2 1 sp n1 n 2 2
٧
2 1
)(3) 2 (9) (4) 2 (9 10 10 2 3.5355. (x x 2 ) 0 t 1 1 1 sp n1 n 2 89 0.63246. 1 1 3.5355 10 10 t 0.05 1.734واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ tﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ . 18
ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض T 1.734أو . T 1.734وﺑﻣﺎ أن tﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل . H 0 اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ :ﻋﻧد اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم H 0 : 1 2ﺿ د اﻟﻔ رض اﻟﺑ دﯾل H1 : 1 2ﺗﺣ ت اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : )أ( ﻛل ﻣﺟﺗﻣﻊ ) ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﺗﺣت اﻟدراﺳﺔ (ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎ ً طﺑﯾﻌﯾﺎ ً . )ب( ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ، 12 22 ،ﻣﺧﺗﻠﻔﯾن ﻛﺛﯾرا. )ج( اﻟﻌﯾﻧﺗﺎن ﺻﻐﯾرﺗﺎن وإﺣﺟﺎﻣﮭﻣﺎ ﻣﺧﺗﻠﻔﺎن . اﻟﻘرار اﻟذي ﻧﺗﺧذه ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻹﺣﺻﺎء T واﻟذي ﺗﻘرﯾﺑﺎ ً ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ tﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 2
.
s12 s 22 n1 n 2
s2 2 s2 2 1 n1 n2 n 1 n 1 2 1 ﻹﺟراء اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻧﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﺣﺟﻣﮭ ﺎ n1ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻷول ﻛﻣ ﺎ ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ
أﺧ رى ﺣﺟﻣﮭ ﺎ n 2ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ) اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ ﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ ﻋ ن اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻷوﻟ ﻲ ( .ﻧﺣﺳ ب x1 , x 2 , s12 , s 22وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻛون : .
(x 1 x 2 ) 0 s12 s 22 n1 n 2
t
ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر T ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون H 0ﺻﺣﯾﺣﺎ ً .ﻻﺧﺗﺑﺎر ذي ﺟ ﺎﻧﺑﯾن ،ﺑﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ، ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟرﻓض ﺗﻘرﯾﺑﺎ ً ﺗﻌطﻰ ﺣﯾ ث tأو tھﻣ ﺎ اﻟﻘﯾﻣﺗ ﯾن اﻟﺣ رﺟﺗﯾن ﻟﺗوزﯾ ﻊ tﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ 2
و ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﺳوف ﺗﻛ ون
2
2
T' tأو . T' tﻟﺑ دﯾل ﻣ ن ﺟﺎﻧ ب واﺣ د ، 1 2ﻓ ﺈن 2
ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﺳوف ﺗﻛون T' t وﻟﻠﺑدﯾل 1 2ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﺳوف ﺗﻛون T' t
ﻣﺛﺎل ٨
أوﺿﺣت اﻟدراﺳﺔ أن زﯾﺎدة اﻟﻧﺗرات nitrateﻓﻲ اﻻﺳﺗﮭﻼك اﻵدﻣ ﻲ ﻟ ﮫ ﺗ ﺄﺛﯾرات ﺿ ﺎرة ﻣﻧﮭ ﺎ ﻗﻠ ﺔ إﻧﺗﺎج اﻟﺛﯾروﻛﺳﯾن وﻗﻠﺔ إدرار اﻟﻠﺑن ﻋﻧد اﻟﺑﻘر .اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻧﺗﯾﺟﺔ ﺗﺟرﺑﺔ ﻟﻘﯾﺎس اﻟﻧﺳ ﺑﺔ اﻟﻣﺋوﯾ ﺔ ﻟﻠزﯾﺎدة ﻓﻲ وزن ﻓﺋران ﺗﺟﺎرب ﺻﻐﯾرة اﻟﻌﻣر ﺗﻧﺎوﻟت وﺟﺑﺔ ﻗﯾﺎﺳﯾﺔ وﻓﺋران ﺗﻧﺎوﻟت ppm 2000 ﻧﺗرات ﻣن ﻣﯾﺎه اﻟﺷرب. اﻟﻧﺗرات 12.7, 19.3, 20.5, 10.5, 14.0, 10.8, 16.6, 14.0, 17.2 18.2, 32.9, 10.0, 14.3, 16.2, 27.6, 15.7اﻟﻣراﻗﺑﺔ ) اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ( ﺗﺣﻘق ﻣن ﺻﺣﺔ اﻟﻔرض اﻟﻘﺎﺋل :ﻻ ﯾوﺟد ﻓرق ﻣﻌﻧوي ﺑﯾن ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻧﺗرات وﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻣراﻗﺑ ﺔ وذﻟ ك ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ) . 0.1ﺗﺣ ت ﻓ رض أن اﻟﻌﯾﻧﺗ ﯾن ﺛ م اﺧﺗﯾﺎرھﻣ ﺎ ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن (.
اﻟﺣــل: ﯾﺟب ﻋﻠﯾﻧﺎ أوﻻ اﻟﺗﺣﻘق ﻣن . s1 3.558,وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ fھﻰ : s 2 8.053 2 2
2 1
اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﻛﺑر (8.053) 2 5.1228. (3.558) 2
s 22 s12
=
f
اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﺻﻐر f.05 6, 8 3.58واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ Fﻋﻧد درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ . 1 6, 2 8أﻣ ﺎ f.95 6, 8ﻓﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 1 1 0.241. f.05 (8,6) 4.15
f.95 (6,8)
F 3.58أو F 0.241
ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض وﺣﯾث أن fﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض H 0وﻧﺳﺗﻧﺗﺞ أن اﻵن ﻧﺧﺗﺑـر : 2 2
H 0 : 1 2 ,
x 1 15.067
H1 : 1 2 . 0.1 . x 2 19.271 , (x x 2 ) 0 t' 1 . s12 s 22 n1 n 2
1.2869.
15.067 19.271 3.558 2 8.0532 9 7
وﻋﻠﯾﻧﺎ أن ﻧﻘﺎرن ﻗﯾﻣﺔ t اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﺑﻘﯾﻣﺔ tاﻟﺟدوﻟﯾﺔ ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ :
٩
2 1
2
s12 s 22 n1 n 2
s2 2 s2 2 1 n1 n2 n 1 n 1 2 1 2
3.558 2 8.0532 9 7
3.558 2 2 8.0532 2 9 7 8 6 113.87 7.8 8. 14.55 t 0.05 1.86واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ tﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ 8وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻓ ﺈن ﻣﻧطﻘ ﺔ
اﻟرﻓض T 1.86أو . T 1.86ﺑﻣﺎ أن tﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑ ل H 0وھ ذا ﯾﻌﻧ ﻰ ﻋدم وﺟود ﻓرق ﻣﻌﻧوي ﺑﯾن ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻧﺗرات وﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻣراﻗﺑ ﺔ ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ 0.1 .
ﻣﺛﺎل ﺗ م ﺗﻘﺳ ﯾم ﻣﺟﻣوﻋ ﺔ ﻣ ن اﻷطﻔ ﺎل ﺣ دﯾﺛﻲ اﻟ وﻻدة ﻓ ﻲ ﻣﺳﺗﺷ ﻔﻰ إﻟ ﻰ ﻣﺟﻣ وﻋﺗﯾن ،ﻛ ل ﻣﺟﻣوﻋ ﺔ اﺳ ﺗﺧدﻣت ﻧ وع ﻣ ن ﻟ ﺑن اﻷطﻔ ﺎل وﻗ د ﺗ م ﺗﺳ ﺟﯾل وزن اﻷطﻔ ﺎل ﻓ ﻲ ﻛ ل ﻣﺟﻣوﻋ ﺔ وذﻟ ك ﺑﻌ د 6 أﺳﺎﺑﯾﻊ ﻣن اﻟوﻻدة ،ﻛﺎﻧت اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ﺑﺎﻟﻛﯾﻠو : اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ A 3.0, 4.2, 4.5, 5.0, 5.2, 4.6, 6.1, 5.6 اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ B 4.2, 4.5, 4.4, 5.5, 5.8, 8.7, 8.6
اﻟﻣطﻠوب ﻣﻌرﻓﺔ ھل ھﻧﺎك ﻓرق ﻣﻌﻧ وي ﺑ ﯾن اﻟﻧ وﻋﯾن ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ﻋﻠﻣﺎ ﺑﺄن اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﺗم اﺧﺗﯾﺎرھﻣﺎ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن . اﻟﺣــل: ﯾﺟب ﻋﻠﯾﻧﺎ أوﻻ اﻟﺗﺣﻘق ﻣن . s1 0.94528,وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ fھﻰ : s2 1.931 2 2
2 1
اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﻛﺑر (1.931) 2 4.17295. = (0.94528)2
اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﺻﻐر ١٠
2 2 2 1
s f s
0.1
f.05 6, 7 3.87واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ Fﻓ ﻲ ﻣﻠﺣ ق ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ . 1 6, 2 7أﻣﺎ f.95 6, 7 ﻓﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 1 1 0.2375. f.05 (7,6) 4.21
f.95 (6,7)
F 3.87أو F 0.2375
ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض وﺣﯾث أن fﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض H 0وﻧﺳﺗﻧﺗﺞ أن اﻵن ﻧﺧﺗﺑـر : 2 2
2 1
H 0 : 1 2 ,
H1 : 1 2 . 0.1 . x 2 5.9571 , x1 4.775 (x x 2 ) 0 t' 1 . s12 s 22 n1 n 2 4.775 5.9571 1.47. 0.9452 1.9312 8 7
وﻋﻠﯾﻧﺎ أن ﻧﻘﺎرن ﻗﯾﻣﺔ t اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﺑﻘﯾﻣﺔ tاﻟﺟدوﻟﯾﺔ ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ : 2
s12 s 22 n1 n 2
s2 2 s2 2 1 n 1 n2 n 1 n 1 2 1
2
0.9452 1.9312 8 7 2 2 0.9452 1.9312 8 7 7 6
8.5 9. t 0.05 1.833واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ tﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ 9وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻓ ﺈن
ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض
T 1.833أو . T 1.833ﺑﻣﺎ أن tﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل . H 0
١١