اختبارات حول متوسط المجتمع

‫اﺧﺗﺑﺎرات ﺣول ﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ‪‬‬ ‫‪Tests About a Population Mean ‬‬ ‫)‪ (١‬اﻟﻔروض اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ‬

‫‪Statistical Hypotheses‬‬

‫ﺗﻌﺗﺑر اﺧﺗﺑﺎرات اﻟﻔروض اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ أھم ﻓرع ﻓ ﻲ ﻧظرﯾ ﺔ اﻟﻘ رارات‪ .‬أوﻻ دﻋﻧ ﺎ ﻧﻌ رف ﺑدﻗ ﺔ‬ ‫ﻣﺎذا ﻧﻌﻧﻲ ﺑﺎﻟﻔرض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟﻔرض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ ھو ﺟﻣﻠﺔ ﻣﺎ ﺗﺧص واﺣد أو أﻛﺛر ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت‪ ،‬ﻣن اﻟﻣﻣﻛن أن‬ ‫ﺗﻛون ﺻﺣﯾﺣﺔ أو ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺣﺔ‪.‬‬ ‫ﻟﻠﺗﺄﻛد ﻣن ﺻﺣﺔ أو ﻋدم ﺻﺣﺔ اﻟﻔرض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ ﻻ ﺑد ﻣن دراﺳﺔ ﻛل ﻣﻔردات اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺣت‬ ‫اﻟدراﺳﺔ وھذا ﺑﺎﻟطﺑﻊ ﻏﯾر ﻋﻣﻠﻲ ﻓﻲ ﻣﻌظم اﻟﺣﺎﻻت‪ .‬ﺑدﻻ ﻣن ذﻟك ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن‬ ‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ وﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻧﺗﺧذ ﻗرار ﺑﻘﺑول أو رﻓض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ‪ .‬اﻟﻘرار‬ ‫اﻟذي ﻧﺗﺧذه ﺳوف ﯾﻛون ﺳﻠﯾم إذا ﻛﺎن اﻟﻔرض ﺻﺣﯾﺢ وﺗم ﻗﺑوﻟﮫ أو ﺧطﺄ وﺗم رﻓﺿﮫ‪ .‬ﺑﯾﻧﻣﺎ ﯾﻛون‬ ‫اﻟﻘرار ﻏﯾر ﺳﻠﯾم إذا ﻛﺎن اﻟﻔرض ﺻﺣﯾﺢ وﺗم رﻓﺿﮫ أو ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺢ وﺗم ﻗﺑوﻟﮫ‪.‬‬ ‫اﻟﻔروض اﻟﺗﻲ ﻧﺿﻌﮭﺎ ﻋﻠﻰ أﻣل أن ﻧرﻓﺿﮭﺎ ﺗﺳﻣﻰ ﻓروض اﻟﻌدم ‪.null hypotheses‬‬ ‫وﯾرﻣز ﻟﻔرض اﻟﻌدم ﺑﺎﻟرﻣز ‪ .  0‬رﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ﯾؤدي إﻟﻰ ﻗﺑول ﻓرض ﺑدﯾل‬ ‫‪ hypothesis alternative‬وﯾرﻣز ﻟﻠﻔرض اﻟﺑدﯾل ﺑﺎﻟرﻣز ‪ . 1‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎن‬ ‫ﻓرض اﻟﻌدم ‪  0‬أن ﻣﺗوﺳط اﻟطول ﻓﻲ ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ ‪)   160‬ﻣﻘﺎﺳﮫ ﺑﺎﻟﺳﻧﺗﯾﻣﺗر( ﻓﺈن اﻟﻔرض‬ ‫اﻟﺑدﯾل ‪ 1‬ﻗد ﯾﻛون ‪   160‬أو ‪   160‬أو ‪.   160‬‬

‫)‪ (٢‬اﻟﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻷول واﻟﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻲ‪:‬‬ ‫‪Type I Error and Type II Error‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﮭل اﻟﻣﻔﺎھﯾم اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ ﻓﻲ اﺧﺗﺑﺎرات اﻟﻔروض واﻟﺗﻲ ﺗﺧص ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ ﺑﺎﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﺑﻔرض أﻧﮫ ﺗم إﺟراء اﺧﺗﺑﺎر ﻗدرات ﻟﻌدد ﻣن اﻟﻣﺗﻘدﻣﯾن ﻟﺷﻐل وظﯾﻔﺔ ﻣﺎ ﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻟﺣﺎﺳب‬ ‫اﻵﻟﻲ‪ .‬ﯾﺷﺗﻣل اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻋﻠﻰ ‪ 15‬ﺳؤال وﻛل ﺳؤال ﻟﮫ ‪ 5‬أﺟوﺑﺔ ﻣﻣﻛﻧﺔ واﺣد ﻣﻧﮭم اﻟﺻﺣﯾﺢ‪ .‬ﻣن‬ ‫ﺷروط اﺟﺗﯾﺎز اﻻﺧﺗﺑﺎر ﺣﺻول اﻟﻣﺗﻘدم ﻋﻠﻰ ‪ 7‬درﺟﺎت ﻓﺄﻛﺛر‪ .‬ھذا ﯾﻌﻧﻲ أن اﻟﻣﺗﻘدم ﻟدﯾﮫ ﺑﻌض‬ ‫اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت واﻟﺗﻲ ﺗؤھﻠﮫ ﻟﻠﻌﻣل ﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻟﺣﺎﺳب اﻵﻟﻲ‪ .‬ﻓرض اﻟﻌدم ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ أن ﻣﻌﻠﻣﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫ذي اﻟﺣدﯾن )اﺣﺗﻣﺎل اﻟﻧﺟﺎح( ﻓﻲ ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﻣﻌطﺎة )ﺳؤال( ھو ‪ ، p ‬أي أن اﻟﺷﺧص اﻟﻣﺗﻘدم‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﻼﺧﺗﺑﺎر ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺧﻣﯾن‪ .‬اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ‪ . p ‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن وﺿﻊ‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻓرض اﻟﻌدم واﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 : p ‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪0 : p ‬‬

‫إن اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﻲ اﺗﺧﺎذ اﻟﻘرار ﻗد ﺗؤدي إﻟﻰ اﺳﺗﻧﺗﺎﺟﯾن ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺣﯾن‪ .‬ﻓﻘد ﯾﺣﺻل اﻟﻣﺗﻘدم‬ ‫ﻟﻠوظﯾﻔﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 7‬درﺟﺎت أو أﻛﺛر ﻋن طرﯾق اﻟﺗﺧﻣﯾن‪ .‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻧﻛون ﻗد وﻗﻌﻧﺎ ﻓﻲ ﺧطﺄ ﻋﻧد‬ ‫‪١‬‬

‫رﻓض ﻓرض اﻟﻌدم وﻗﺑول ﻓرض اﻟﺑدﯾل ﻣﻊ أن ‪  0‬ﺻﺣﯾﺣﺎ ً‪ .‬ﻣﺛل ھذا اﻟﺧطﺄ ﯾﺳﻣﻰ ﺧطﺎ ﻣن‬ ‫اﻟﻧوع اﻷول‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﯾﺣدث اﻟﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻷول إذا ﻛﺎن ﻓرض اﻟﻌدم ﺻﺣﯾﺢ وﯾﺗﺧذ ﻗرار ﺑرﻓﺿﮫ‪.‬‬ ‫اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻣن اﻟﺧطﺄ واﻟذي ﯾﻣﻛن اﻟوﻗوع ﻓﯾﮫ إذا ﺣﺻل اﻟﻣﺗﻘدم ﻟﻠوظﯾﻔﺔ ﻋﻠﻰ درﺟﺔ أﻗل‬ ‫ﻣن ‪ 7‬درﺟﺎت وﺗﺳﺗﻧﺗﺞ أﻧﮫ ﯾﺧﻣن ﺑﯾﻧﻣﺎ ھو ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ﻟدﯾﮫ ﺑﻌض اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﯾﺣدث اﻟﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻲ إذا ﻗﺑﻠﻧﺎ ﻓرض اﻟﻌدم وھو ﺧطﺄ‪.‬‬ ‫ﯾﻌﺗﻣد ﻗرارﻧﺎ ﻓﻲ ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻠﻰ اﻹﺣﺻﺎء ‪ ‬اﻟذي ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻹﺟﺎﺑﺎت اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ اﻟﺗﻲ‬ ‫ﯾﺣﺻل ﻋﻠﯾﮭﺎ اﻟﻣﺗﻘدم ﻓﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ﺣﯾث أن ‪ . x  0,1,2,...,15‬اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن ‪ 0‬إﻟﻰ ‪ 15‬ﺗﻘﺳم‬ ‫إﻟﻰ ﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن‪ .‬ﺗﺿم اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻷوﻟﻰ اﻟﻘﯾم اﻷﻗل ﻣن ‪ 7‬أﻣﺎ اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻓﺗﺿم اﻟﻘﯾم اﻟﺗﻲ‬ ‫ﺗﺳﺎوي ‪ 7‬ﻓﺄﻛﺛر‪ .‬ﻛل اﻟدرﺟﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ واﻟﺗﻲ ﺗﺳﺎوي ‪ 7‬ﻓﺄﻛﺛر ﺗﻛون ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪region‬‬ ‫‪ rejection‬ﺑﯾﻧﻣﺎ اﻟدرﺟﺎت اﻟﺗﻲ أﻗل ﻣن ‪ 7‬ﺗﻛون ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ‪ .acceptance region‬اﻟرﻗم‬ ‫‪ 7‬ﯾﺳﻣﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣرﺟﺔ ‪ .critical region‬إذا وﻗﻌت ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻﺎء اﻟذي ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﯾﮫ ﻗرارﻧﺎ ﻓﻲ‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ‪  0‬وﻧﻘﺑل اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ 1‬ﺑﯾﻧﻣﺎ إذا وﻗﻌت ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻﺎء‬ ‫ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل ‪  0‬وﻧرﻓض ‪. 1‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﺣﺗﻣﺎل اﻟوﻗوع ﻓﻲ ﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻷول ﯾﺳﻣﻰ ﻣﺳﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ‬ ‫‪ significance‬ﻟﻼﺧﺗﺑﺎر وﯾرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز ‪. ‬‬

‫‪level of‬‬

‫اﺣﺗﻣﺎل اﻟوﻗوع ﻓﻲ ﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻲ ﯾرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز ‪ ‬وﻟﺣﺳﺎب ﻗﯾﻣﺔ ‪ ‬ﻻ ﺑد ﻣن‬ ‫وﺿﻊ ﻓرض ﺑدﯾل ﻣﻌﯾن‪.‬‬ ‫ﻋﻣوﻣﺎ ً اﻻﺧﺗﺑﺎر اﻟﺟﯾ د ھ و اﻟ ذي ﯾﺟﻌ ل ﻛ ﻼ ﻣ ن ‪  , ‬أﺻ ﻐر ﻣ ﺎ ﯾﻣﻛ ن وﻣ ن اﻟﺻ ﻌب اﻟﺣﺻ ول‬ ‫ﻋﻠ ﻰ ھ ذا اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﻷﻧ ﮫ ﻻ ﯾﻣﻛ ن ﺗﺻ ﻐﯾر ﻛ ل ﻣ ن ‪  , ‬ﻓ ﻲ آن واﺣ د ﺣﯾ ث أن ﺗﺻ ﻐﯾر إﺣ داھﻣﺎ‬ ‫ﯾؤدى إﻟﻰ ﺗﻛﺑﯾر اﻷﺧرى‪ .‬ﻟذﻟك ﻟﺟﺄ اﻹﺣﺻﺎﺋﯾون إﻟﻰ ﺗﺛﺑﯾت ﻣﺳﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ‬ﻋﻧد ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣﺣ ددة‬ ‫ﺗم اﺧﺗﯾﺎر اﻻﺧﺗﺑﺎر اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ اﻟذي ﯾﺟﻌل ‪ ‬أﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن‪ .‬ﻣ ن اﻟﻘ ﯾم اﻟﺷ ﺎﺋﻌﺔ ﻟﻣﺳ ﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾ ﺔ‬ ‫‪   0.05‬أو ‪ .   0.01‬ﯾﻘ ﺎل ﻟﻼﺧﺗﺑ ﺎر أﻧ ﮫ ﻣﻌﻧ وي ‪ significant‬ﻋﻧ د ‪   0.05‬إذا رﻓ ض‬ ‫ﻓرض اﻟﻌدم ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪   0.05‬وﯾﻌﺗﺑر اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻣﻌﻧوي ﺟ دا إذا رﻓ ض ﻓ رض اﻟﻌ دم‬ ‫ﻋﻧد ﻣﺳﺗوي ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.01‬‬ ‫ﻣن اﻟﺳﮭل ﺗوﺿﯾﺢ اﻟﻣﻔﺎھﯾم اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ً ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺗﺻﻼ‪ .‬ﻋﻠﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻓرض اﻟﻌدم أن ﻣﺗوﺳط اﻟطول ﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻲ ﺟﺎﻣﻌ ﺔ ﻣ ﺎ ھ و ‪   165‬ﺳ م ﺿ د‬ ‫اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل أن ﻣﺗوﺳط اﻟطول ﻻ ﯾﺳﺎوى ‪ 165‬ﺳم ‪ .‬أي أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ اﺧﺗﺑﺎر ‪:‬‬ ‫‪H 0 :   165 ,‬‬ ‫‪H1 :   165 .‬‬ ‫اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﯾﻣﻛن أن ﯾﻛون ‪   165‬أو ‪ .   165‬ﺑﻔرض أن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري‬ ‫ﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻷطوال ‪ ،   10‬اﻹﺣﺻﺎء اﻟذي ﺳوف ﻧﺑﻧﻰ ﻋﻠﯾﮫ ﻗرارﻧﺎ واﻟذي ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻋﯾﻧﺔ‬ ‫ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n  30‬ﺳوف ﯾﻛون ‪ X‬واﻟذي ﯾﻌﺗﺑر اﻟﺗﻘدﯾر اﻷﻛﺛر ﻛﻔﺎءة ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪. ‬‬ ‫ﻣن اﻟﻣﻌروف ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻲ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪X‬ﺗﻘرﯾﺑﺎ ً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري‬ ‫‪ . X   / n  10 / 30  1.8‬ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ اﺧﺗرﻧﺎ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻣﻣﺛﻠﺔ ﻓﻲ ﻗﯾم ‪ x‬اﻷﻗل ﻣن‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ 161‬أو ﻗﯾم ‪ x‬اﻟﺗﻲ أﻛﺑر ﻣن ‪ . 169‬أي أن ‪ X  161‬أو ‪ X  161‬واﻟﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪ .‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﺳوف ﺗﻛون ‪ . 161  X  169‬وﻋﻠﻰ ذﻟك إذا وﻗﻊ ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ x‬ﻓﻲ‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل ‪ H 0‬وﻧرﻓض ‪ H1‬وﻏﯾر ذﻟك ﻧرﻓض ‪ . H 0‬اﺣﺗﻣﺎل اﻟوﻗوع ﻓﻲ ﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع‬ ‫اﻷول‪ ،‬أو ﻣﺳﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ ﻟﻼﺧﺗﺑﺎر‪ ،‬ﯾﺳﺎوى ﻣﺟﻣوع اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ ﻛل ﻣن ﺟﺎﻧﺑﻲ‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻲ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ X‬ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪ H 0 ‬ﺻﺣﯾﺢ | ‪  P X  161‬‬

‫‪‬‬

‫‪ H 0 ‬ﺻﺣﯾﺢ | ‪ P X  169‬‬

‫اﻟﻘﯾﻣﺗ ﯾن اﻟﺣ رﺟﺗﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ‪ Z‬واﻟﻣﻘ ﺎﺑﻠﺗﯾن ﻟﻠﻘﯾﻣﺗ ﯾن ‪x 2  169, x1  161‬‬

‫ﺻﺣﯾﺣﺔ ھﻣﺎ ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ‪H 0‬‬ ‫‪161  165‬‬ ‫‪ 2.22,‬‬ ‫‪1.8‬‬ ‫‪169  165‬‬ ‫‪z2 ‬‬ ‫‪ 2.22.‬‬ ‫‪1. 8‬‬

‫‪z1 ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪  PZ  2.22  PZ  2.22‬‬ ‫‪ 2PZ  2.22‬‬ ‫‪ 20.5  P0  Z  2.22‬‬ ‫‪ 0.0264.‬‬

‫)‪ (٣‬اﺧﺗﺑﺎرات ﺟﺎﻧب واﺣد أو ﻣن ﺟﺎﻧﺑﯾن‪:‬‬ ‫‪One – tailed and Two – tailed Tests‬‬ ‫ﯾﺳﻣﻰ اﻻﺧﺗﺑﺎر ‪ ،‬ﻷي ﻓرض إﺣﺻﺎﺋﻲ ‪ ،‬أﻧﮫ ﻣن ﺟﺎﻧب واﺣد إذا ﻛﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة‬ ‫‪, H 0 :   0‬‬ ‫‪. H1 :   0‬‬ ‫أو ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪, H 0 :   0‬‬ ‫‪. H1 :   0‬‬ ‫‪٣‬‬

‫ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ﻟﻠﺑ دﯾل ‪   0‬ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ اﻟﺟﺎﻧ ب اﻷﯾﻣ ن ﻣ ن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض‬ ‫ﻟﻠﺑدﯾل ‪   0‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﺟﺎﻧب اﻷﯾﺳر ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ‪.‬‬ ‫ﯾﺳﻣﻰ اﻻﺧﺗﺑﺎر‪ ،‬ﻷي ﻓرض إﺣﺻﺎﺋﻲ‪ ،‬أﻧﮫ ﻣن ﺟﺎﻧﺑﯾن إذا ﻛﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة ‪:‬‬ ‫‪, H 0 :   0‬‬ ‫‪. H1 :   0‬‬ ‫ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ﻟﻠﺑ دﯾل ‪   0‬ﺳ وف ﺗﻛ ون ‪   0‬أو ‪ ٠   0‬اﻟﻣﻔﺎﺿ ﻠﺔ ﺑ ﯾن اﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ن‬ ‫ﺟﺎﻧب واﺣد أو ﻣن ﺟﺎﻧﺑﯾن ﺳ وف ﯾﺗوﻗ ف ﻋﻠ ﻰ اﻻﺳ ﺗﻧﺗﺎج اﻟ ذي ﯾرﻏ ب اﻟﺑﺎﺣ ث ﻓ ﻲ اﻟوﺻ ول إﻟﯾ ﮫ‬ ‫ﻋﻧد رﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬

‫)‪ (٤‬اﺧﺗﺑﺎرات ﺣول ﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ‪ ‬ﻣن ﺟﺎﻧﺑﯾن‬ ‫اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻷوﻟﻰ ‪ :‬اﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔرض أن اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻣﺟﺗﻣﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﺗﺑﺎﯾن ﻣﻌﻠوم ‪ ،  2‬ﯾﺳﺎوى ﻗﯾﻣﺔ‬ ‫ﻣﻌﯾﻧﺔ ‪  0‬ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ذي ﺟﺎﻧﺑﯾن أن اﻟﻣﺗوﺳط ﻻ ﯾﺳﺎوى ‪  0‬ﯾﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬ ‫‪, H0 :   0‬‬ ‫‪H1 :    0 .‬‬

‫ﻹﺟراء اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻧﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣوﺿﻊ اﻟدراﺳﺔ‬ ‫وﻧﺣﺳب ﻣﻧﮭﺎ اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪x  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻓﺈذا وﻗﻌت ‪ Z‬ﻓﻲ اﻟﻣﻧطﻘﺔ ‪ .  z   Z  z ‬ﻓﺎﻻﺳﺗﻧﺗﺎج ﺳوف ﯾﻛون‬

‫‪.z ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪    0‬وﻏﯾر ذﻟك ﻧرﻓض‬

‫‪2‬‬

‫‪ H 0‬وﻧﻘﺑل اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪.   0‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺟﮭول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺳب ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ s 2‬وﻧﺳﺗﺧدﻣﮫ ﺑدﻻ ً ﻣن‬ ‫أن ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ أﻛﺑر ﻣن أو ﯾﺳﺎوى ‪. 30 n  30‬‬

‫‪  2‬ﺗﺣت ﺷرط‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﻧﺗﺞ ﻣﺻﻧﻊ ﻟﻸﻏذﯾﺔ اﻟﻣﻌﻠﺑﺔ ﻧوﻋﺎ ﻣن اﻟﻣﻌﻠﺑﺎت‪ .‬ﻗ ﺎم اﻟﻣﺳ ﺋوﻟﯾن ﺧ ﻼل ﻓﺗ رة طوﯾﻠ ﺔ ﺑﻣراﻗﺑ ﺔ أوزان‬ ‫ھذه اﻟﻣﻌﻠﺑﺎت ووﺟد أﻧﮭ ﺎ ﺗﺧﺿ ﻊ ﻟﻠﺗوزﯾ ﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ﻲ ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري ‪ 2.6‬ﺟ رام‪ .‬ﺟ رت اﻟﻌ ﺎدة‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻣﺻﻧﻊ أن ﯾﻛﺗب ﻋﻠﻰ اﻟﻌﻠﺑﺔ اﻟ وزن اﻟﺻ ﺎﻓﻲ وھ و ‪ 300‬ﺟ رام‪ .‬اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن‬ ‫‪ 20‬ﻋﻠﺑﺔ وﻛﺎن ﻣﺗوﺳط اﻟوزن ﻣن اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ . x  305‬أﺧﺗﺑر ﻓرض اﻟﻌ دم ‪  = 300‬ﺿ د اﻟﻔ رض‬ ‫اﻟﺑدﯾل ‪   300‬وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪. = 0.01‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪H 0 :   300,‬‬ ‫‪H1 :   300.‬‬ ‫‪  0.01.‬‬

‫‪ z 0.005  2.575‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ‪ .‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪Z  2.575‬‬ ‫أو ‪Z  2.575‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪x   0 305  300‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 8.6.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2. 6‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪z‬‬

‫ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ﻷن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻣن اﻟﻣﻌروف أن ﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﺣﺻول ﺑﺎﻟﻣﻧﺗﺞ ﻣن إﺣدى اﻟﻣﺣﺎﺻﯾل ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎ ً طﺑﯾﻌﯾﺎ ً‬ ‫ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري ‪ 30‬إردب ﻟﻠﻔدان ‪ ،‬اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺳﺎﺣﺗﮭﺎ ‪ 15‬ﻓداﻧﺎ وﺗم ﺣﺳﺎب‬ ‫ﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺣﺻول ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓﻛﺎﻧت ‪ 490‬إردب ﻟﻠﻔدان أﺧﺗﺑر اﻟﻔرض اﻟﻘﺎﺋل أن اﻟﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ‬ ‫ﻟﻠﻣﺣﺻول ﺗﺳﺎوى ‪ 500‬إردب ﻟﻠﻔدان وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪H 0 :   500,‬‬ ‫‪H1 :   500.‬‬ ‫‪  0.05.‬‬

‫‪ z 0.025  1.96‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ‪.‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ Z  1.96‬أو‬ ‫‪Z  1.96‬‬ ‫‪x   0 490  500‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1.291.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪z‬‬

‫ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم ﻷن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺗﺳﺗﺧدم آﻟﺔ ﻟﻣﻠﺊ أﻛﯾ ﺎس ﺑﺳ ﻠﻌﺔ ﻣ ﺎ ﺑطرﯾﻘ ﺔ أﺗوﻣﺎﺗﯾﻛﯾ ﺔ ﺑﻣﺗوﺳ ط ‪ 55‬ﺟ رام ﻟﻠﻛ ﯾس‪ .‬اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ‬ ‫ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 35‬ﻛﯾس ﻣن ھذه اﻵﻟﺔ وﺗم ﺣﺳ ﺎب ﻣﺗوﺳ ط وزن اﻟﻛ ﯾس ﻓﻛ ﺎن ‪ x  57‬واﻻﻧﺣ راف‬ ‫اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ‪ s  3‬ﺟ رام أﺧﺗﺑ ر ﻓ رض اﻟﻌ دم ‪ H 0 :   55‬ﺿ د اﻟﻔ رض اﻟﺑ دﯾل ‪ H1 :   55‬وذﻟ ك‬ ‫ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪H 0 :   55,‬‬

‫‪H1 :   55.‬‬ ‫‪  0.05.‬‬

‫ﺑﻣﺎ أن ‪ n  30‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﺧدام ‪ s‬ﺑدﻻ ً ﻣن ‪ ‬ﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ ‪. Z‬‬ ‫‪ z 0.025  1.96‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ‪.‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ Z  1.96‬أو‬ ‫‪Z  1.96‬‬ ‫‪x   0 57  55‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3.944.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪35‬‬

‫ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ﻷن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‪.‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪z‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎﻧ ت ‪ ‬ﺗﻣﺛ ل ﻣﺗوﺳ ط ﺳ ﯾر اﻟ دم ﻟﻛ ل اﻟﻧﺳ ﺎء اﻟﺣواﻣ ل ‪ .‬ﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﻓ رض اﻟﻌ دم‬ ‫‪ H 0 :   5.63‬ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑ دﯾل ‪ H1 :   5.63‬وذﻟ ك ﺑﺎﻻﻋﺗﻣ ﺎد ﻋﻠ ﻰ ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن‬ ‫اﻟﻧﺳ ﺎء اﻟﺣواﻣ ل ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ . n  176‬ﻓﮭ ل ﺗﻌﺗﻘ د أﻧ ﮫ ﯾﻣﻛ ن رﻓ ض ‪ H 0‬ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ‬ ‫‪   0.01‬إذا ﻛﺎﻧت ‪ s  0.7 , x  6.1‬؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪H 0 :   5.63,‬‬ ‫‪H1 :   5.63.‬‬ ‫‪  0.01.‬‬

‫ﺑﻣﺎ أن ‪ n  30‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﺧدام ‪ s‬ﺑدﻻ ً ﻣن ‪ ‬ﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ ‪. Z‬‬ ‫‪ z 0.005  2.575‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ‪.‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪Z  2.575‬‬ ‫أو ‪Z  2.575‬‬ ‫‪x   0 6.1  5.63‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 8.908.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪0.7‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪176‬‬

‫‪z‬‬

‫ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ﻷن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 35‬أﺳرة وﺣﺳ ب ﻣﺗوﺳ ط اﻟ دﺧل اﻟﺷ ﮭري ﻟﻸﺳ رة ﻓوﺟ د أﻧ ﮫ ‪500 $‬‬ ‫ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري ‪ . 40 $‬اﺧﺗﺑر ﻓرض اﻟﻌدم أن ﻣﺗوﺳط دﺧل اﻷﺳ رة ﻓ ﻲ ھ ذا اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﯾﺳ ﺎوى‬ ‫‪ $ 450‬ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪   450‬وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.01‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪H 0 :   450,‬‬

‫‪H1 :   450.‬‬ ‫‪  0.01.‬‬ ‫ﺑﻣﺎ أن ‪ n  30‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﺧدام ‪ s‬ﺑدﻻ ً ﻣن ‪ ‬ﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ ‪. Z‬‬ ‫‪ z 0.005  2.575‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ‪.‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪Z  2.575‬‬ ‫أو ‪Z  2.575‬‬ ‫‪x  0 500  450‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 7.395.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪35‬‬

‫ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ﻷن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‪.‬‬ ‫‪٦‬‬

‫ﻋﻧد اﻻھﺗﻣﺎم ﺑﺎﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔرض أن ﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺑﺗﺑ ﺎﯾن ﻣﻌﻠ وم ‪ ،  2 ،‬ﯾﺳ ﺎوى ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣﻌﯾﻧ ﺔ‬ ‫‪  0‬ﺿ د اﻟﻔ رض اﻟﺑ دﯾل ﻣ ن ﺟﺎﻧ ب واﺣ د أي ‪    0‬ﻓ ﺈن ﻓ رض اﻟﻌ دم واﻟﻔ رض اﻟﺑ دﯾل ﺳ وف‬ ‫ﯾﻛوﻧﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪H 0 :   0 ,‬‬ ‫‪:   0‬‬

‫‪. H1‬‬

‫ﻻﺟراء اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻧﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ n‬ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣوﺿ ﻊ اﻟدراﺳ ﺔ ﺗﺣﺳ ب ﻣﻧﮭ ﺎ‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪x  0‬‬ ‫‪z 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ ‬ﺗﺻ ﺑﺢ ‪ ٠ Z  z ‬ﻟﻠﻔ رض اﻟﺑ دﯾل ‪   0‬ﺳ وف ﻧﺗﺑ ﻊ‬ ‫ﺧطوات اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﯾﻣﺎ ﻋدا أن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﺳوف ﺗﻛون ‪. Z  z ‬‬

‫ﻣﺛﺎل(‬ ‫اﺗﻔق أﺣد ﻣﺻدري اﻟﺑﯾض ﻣﻊ أﺣد اﻟﺗﺟﺎر ﻋﻠﻰ أن ﯾورد اﻷﺧﯾر ﻟﻸول ﻋدد ﻣن اﻟﺑﯾض ﻣن اﻟﺣﺟم‬ ‫اﻟﻛﺑﯾر وﻟﻣﺎ أﺣﺿر اﻟﺗﺎﺟر اﻟﺑﯾض ﻗﺎم اﻟﻣﺻدر ﺑﺎﺧﺗﯾﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 100‬ﺑﯾﺿﺔ ﻓوﺟد أن‬ ‫ﻣﺗوﺳط وزن اﻟﺑﯾﺿﺔ ‪ 67‬ﺟراﻣﺎ ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري ‪ . 1.6‬اﺧﺗﺑر ﻓرض اﻟﻌدم ‪ H 0 :   65‬ﺿد‬ ‫اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ ) H1 :   65‬ﻣﺳﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪(   0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪H 0 :   65,‬‬

‫‪H1 :   65.‬‬ ‫‪  0.05.‬‬ ‫‪ n  30‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﺧدام ‪ s‬ﺑدﻻ ً ﻣن ‪‬‬

‫ﺑﻣﺎ أن‬ ‫واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ‪.‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪Z  1.645‬‬ ‫‪x   0 67  65‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 12.5.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪100‬‬

‫ﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ ‪Z‬‬

‫‪z 0.05  1.645 .‬‬

‫‪z‬‬

‫ﻧرﻓض ‪ H 0‬ﻷن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ .‬أي أن اﻟﻣورد ﺳوف ﯾﻘﺑل اﺳﺗﻼم اﻟﺑﯾض‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻗررت ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ أن ﻻ ﺗزﯾد ﻣدة اﻟﻣﻛﺎﻟﻣﺔ اﻟﺗﻠﯾﻔوﻧﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﯾطﻠﺑﮭﺎ اﻟﻣوظف ﻋن ‪ 25‬دﻗﯾﻘﺔ ‪ .‬اﺧﺗﯾ رت‬ ‫ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن ‪ 35‬ﻣﻛﺎﻟﻣ ﺔ ﻓﺄﻋطﯾ ت ﻣﺗوﺳ ط ‪ 26.25‬دﻗﯾﻘ ﺔ ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري ‪ 2.1‬دﻗﯾﻘ ﺔ ﻣ ﺎ‬ ‫اﻻﺳﺗﻧﺗﺎج اﻟذي ﯾﻣﻛن اﺗﺧﺎذه ﺑﻧﺎء ﻋﻠﻰ ھذه اﻟﻌﯾﻧﺔ وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪H 0 :   25,‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪H1 :   25.‬‬ ‫‪  0.05.‬‬ ‫‪ n  30‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﺧدام ‪ s‬ﺑدﻻ ً ﻣن ‪‬‬

‫ﺑﻣﺎ أن‬ ‫واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ‪.‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪Z  1.645‬‬ ‫‪x  0 26.25  25‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3.521.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪35‬‬

‫ﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ ‪z 0.05  1.645 . Z‬‬

‫‪z‬‬

‫ﻧرﻓض ‪ H 0‬ﻷن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‪ .‬أي أن ﻗرار اﻟﺷرﻛﺔ ﯾﻧﻔذ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﻌﺗﻘد ﻣﺳﺋول ﻓ ﻲ دار ﻟﻠﻧﺷ ر أﻧ ﮫ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺗوﺳ ط ﺗطﺑ ﻊ اﻵﻟ ﺔ ‪ 45‬ﻧﺳ ﺧﺔ ﻓ ﻲ اﻟدﻗﯾﻘ ﺔ ﻣ ن ﻣﺟﻠ د ﻣ ﺎ‬ ‫ﻋﻠﻣﺎ ﺑﺄن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذي اﺧﺗﯾرت ﻣﻧﮫ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎ ً طﺑﯾﻌﯾ ﺎ ً ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري ‪   2.1‬دﻗﯾﻘ ﺔ‬ ‫‪ .‬ﻓ ﻲ ﻣﺣﺎوﻟ ﺔ ﻟزﯾ ﺎدة ﻋ دد اﻟﻧﺳ ﺦ اﻟﺗ ﻲ ﺗطﺑ ﻊ ﺗ م إدﺧ ﺎل ﺗﻌ دﯾﻼت ﻋﻠ ﻰ آﻟ ﺔ اﻟطﺑ ﻊ ﺛ م أﺧ ذت ﻋﯾﻧ ﺔ‬ ‫ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ n  25‬ﻓﻛ ﺎن ﻣﺗوﺳ ط ﻋ دد اﻟﻧﺳ ﺦ ﻓ ﻲ اﻟدﻗﯾﻘ ﺔ ‪. x  55‬اﺧﺗﺑ ر ﻓ رض اﻟﻌ دم‬ ‫‪ H 0 :   45‬ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪   45‬ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪٠   0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪H 0 :   45,‬‬

‫‪H1 :   45.‬‬ ‫‪  0.05.‬‬ ‫‪ z 0.05  1.645‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ‪ .‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪Z  1.645‬‬ ‫‪x  0 55  45‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 23.8095.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﻧرﻓض ‪ H 0‬ﻷن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻣن اﻟﻣﻌروف أن أﺣد أدوﯾﺔ إزاﻟﺔ اﻷﻟم اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ ﯾﻣﻛﻧﮭﺎ إزاﻟﺔ اﻷﻟم ﻟﻠﻣرﯾض ﻓﻲ ﻓﺗرة زﻣﻧﯾﺔ‬ ‫ﻣﺗوﺳطﮭﺎ ‪ 3.7‬دﻗﯾﻘﺔ ‪ .‬وﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ھذا اﻟدواء ﺑدواء ﺟدﯾد ﻹزاﻟﺔ اﻷﻟم اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن‬ ‫‪ 60‬ﻣرﯾﺿﺎ وﺗم إﻋطﺎء اﻟدواء اﻟﺟدﯾد ﻟﮭم ﻓﻛﺎن اﻟﻣﺗوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟطول ﻓﺗرة إزاﻟﺔ اﻷﻟم ﻓﻲ ھذه‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ 2.2‬دﻗﯾﻘﺔ ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري ‪ 1.2‬دﻗﯾﻘﺔ ‪ .‬ﻓﮭل ﺗدل ھذه اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ أن اﻟدواء اﻟﺟدﯾد أﻓﺿل‬ ‫ﻣن اﻟدواء اﻟﻘدﯾم ﻣن ﺣﯾث اﻟﻔﺗرة اﻟﻼزﻣﺔ ﻹزاﻟﺔ اﻟﻣرض ؟ وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ‬ ‫‪.   0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪H 0 :   3. 7,‬‬

‫‪H1 :   3.7.‬‬ ‫‪  0.05.‬‬ ‫ﺑﻣﺎ أن ‪ n  30‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﺧدام ‪ s‬ﺑدﻻ ً ﻣن ‪ ‬ﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ ‪. Z‬‬ ‫‪ z 0.05  1.645‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ‪ .‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪Z  1.645‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪x   0 2.2  3.7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 9.682.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪z‬‬

‫ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ﻷن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‪ .‬أي أن اﻟدواء اﻟﺟدﯾد أﻓﺿل ﻣن اﻟدواء اﻟﻘدﯾم‬ ‫ﻣن ﺣﯾث اﻟﻔﺗرة اﻟﻼزﻣﺔ ﻹزاﻟﺔ اﻟﻣرض‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻟﻠﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ إذا ﻋﻠم أن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗم اﺧﺗﯾﺎرھ ﺎ ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻟ ﮫ ﺗوزﯾﻌ ﺎ ً طﺑﯾﻌﯾ ﺎ ً ‪ ،‬أوﺟ د ﻣﻧطﻘ ﺔ‬ ‫اﻟرﻓض وأﺣﺳب ﻗﯾﻣﺔ ‪ z‬وﻗرر ھل ﺗﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم أم ﻻ ؟‬ ‫‪H 0 :   30, H1 :   30,   6, , n  20,   0.05, x  25.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪H 0 :   30,‬‬ ‫‪H1 :   30.‬‬ ‫‪  0.05.‬‬

‫‪ z 0.05  1.645‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ‪ .‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪Z  1.645‬‬ ‫‪x  0 25  30‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3.7268.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪20‬‬ ‫ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ﻷن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓﻲ دراﺳﺔ ﻟﻣﻌرﻓﺔ ﺗﺄﺛﯾر ﻧوع ﻣﻌﯾن ﻣن ﻣﻌﺟون اﻷﺳﻧﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺎوﻣﺔ ﺗﺳوس اﻷﺳﻧﺎن‬ ‫اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 25‬طﺎﻟﺑﺎ وأﺷرف ﻋﻠﯾﮭم أﺣد اﻟﻣدرﺳﯾن ﺣﺗﻰ ﯾﺳﺗﻌﻣﻠوا ھذا اﻟﻣﻌﺟون‬ ‫ﯾوﻣﯾﺎ ﺛم ﻗﯾﺳت اﻟﻣﻘﺎوﻣﺔ ﺑﻌد ﺛﻼﺛﺔ أﺷﮭر ﻣن ھذه اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ ﺑﻣﻘﯾﺎس ﻣﻌﯾن ﻟﻌدد اﻟﻣﯾﻛروﺑﺎت ﻣن‬ ‫ﻧوع ﻣﻌروف ﻣوﺟود ﻓﻲ اﻟﻠﻌﺎب ﻓﻛﺎﻧت ‪. x  5‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌروف ﻟﻠﺑﺎﺣث أن ھذا اﻟﻣﻘﯾﺎس ﯾﺗﺑﻊ‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري ‪ .   0.49‬ﻓﮭل ھﻧﺎك ﻣﺎ ﯾدﻋو إﻟﻰ اﻻﻋﺗﻘﺎد ﺑﺄن ﻟﮭذا‬ ‫اﻟﻣﻌﺟون ﻓﺎﺋدة ﻋﻠﻰ زﯾﺎدة اﻟﻣﻘﺎوﻣﺔ ﺿد اﻟﺗـﺳوس وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧـوﯾﺔ ‪   0.01‬؟ ﻋﻠﻣﺎ‬ ‫ﺑﺄن ‪. H 0 :   3‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪H 0 :   3,‬‬

‫‪H1 :   3.‬‬ ‫‪  0.01.‬‬ ‫‪z 0.01  2.325‬‬

‫واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ‪.‬‬

‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‬

‫‪Z  2.325‬‬ ‫‪x  0 5  3‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 20.40816.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.49‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪25‬‬

‫ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم ﻷن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول‪ .‬أي أن اﻟﻣﻌﺟون ﻟﯾس ﻟﮫ ﻓﺎﺋدة ﻋﻠﻰ زﯾﺎدة‬ ‫اﻟﻣﻘﺎوﻣﺔ ﺿد ﺗﺳوس اﻷﺳﻧﺎن‪.‬‬ ‫‪٩‬‬

‫اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ‪ :‬ﻓﻲ ﺑﻌض اﺧﺗﺑﺎرات اﻟﻔروض اﻟﺗ ﻲ ﺗﺧ ص ﻣﺗوﺳ ط ﻣﺟﺗﻣ ﻊ طﺑﯾﻌ ﻲ ﻋﻧ دﻣﺎ ﯾﻛ ون‬ ‫ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ‪  2‬ﻣﺟﮭول وﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺻ ﻐﯾر ‪ . n  30‬اﺳ ﺗﻧﺗﺎﺟﻧﺎ‪ ،‬ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ‪ ،‬ﺳ وف ﯾﻌﺗﻣ د‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ ‪ . t‬ﺑﻔرض اﺧﺗﺑﺎر ﻣن ﺟﺎﻧب واﺣد ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪H 0 :   0 ,‬‬ ‫‪H1 :    0‬‬ ‫ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ n  30‬ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ وﻧﺣﺳ ب اﻟﻣﺗوﺳ ط ‪ x‬واﻻﻧﺣ راف‬ ‫اﻟﻣﻌﯾﺎري ‪ s‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪x  0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ھﻰ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ T‬ﻟﮫ ﺗوزﯾ ﻊ ‪ t‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪   n  1‬ﻋﻧ دﻣﺎ ‪ H 0‬ﺻ ﺣﯾﺣﺎ ً‪ .‬ﻣﻧطﻘ ﺔ‬

‫اﻟرﻓض ﺳوف ﺗﻛون ﻓﻲ اﻟذﯾل اﻷﯾﺳر ﻣن ﺗوزﯾ ﻊ ‪ . t‬ﻟﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪ ‬ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ‪ t1    t ‬ﺑﺣﯾث أن ‪ T   t ‬ﺗﻣﺛل ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض و ‪ T  t ‬ﺗﻣﺛ ل ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟﻘﺑ ول‪.‬‬ ‫ﺣﺟم ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﯾﺳﺎوى اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻟﻠﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ H 0 :    0‬ﺑﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪ ، ‬ھ ﻰ ‪ . T  t ‬ﻟﻠﻔ رض اﻟﺑ دﯾل‬ ‫‪ H 0 :    0‬ﻓﺈن ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض اﻟﻣﻘﺎﺑﻠ ﺔ ﻟﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪ ، ‬ھ ﻰ ‪ T  t  / 2‬أو ‪T   t  / 2‬‬ ‫‪ ٠‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻﺎء ‪ ،‬أي ﻗﯾﻣﺔ ‪ ، t‬وإذا وﻗﻌت ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ t‬ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟﻘﺑ ول ﻧﻘﺑ ل‬ ‫ﻓرض اﻟﻌدم وﻏﯾر ذﻟك ﻧرﻓض ‪. H 0‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻟﻣﻌرﻓﺔ اﺛر ﻏذاء ﻣﻌﯾن ﻋﻠﻰ زﯾﺎدة اﻟ وزن اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن ﺳ ﺗﺔ ﻓﺋ ران وﺗ م ﺗﻐ ذﯾﺗﮭﺎ‬ ‫ﺑﮭذا اﻟﻐذاء وﻛﺎﻧت اﻟزﯾﺎدة ﻓﻲ أوزاﻧﮭم ﺑﻌد اﻟﺗﻐذﯾﺔ ھﻰ ‪:‬‬ ‫‪2. 5‬‬

‫‪1.7,‬‬

‫‪1.4,‬‬

‫‪1.4,‬‬

‫‪2.5,‬‬

‫‪2.3,‬‬

‫ﻓﮭل ﯾﻣﻛن اﻟﺣﻛم ﻋﻠﻰ أن ھذه اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺗوﺳط اﻟزﯾﺎدة ﻓﻲ اﻟوزن ﻓﯾ ﮫ ‪ 1.2‬أم ﻻ ؟ وذﻟ ك‬ ‫ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ .   0.05‬وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗم اﺧﺗﯾﺎرھﺎ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ طﺑﯾﻌﻲ ‪.‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪H 0 :   1.2,‬‬

‫‪H1 :   1.2.‬‬ ‫‪  0.05.‬‬

‫‪ t .025  2.571‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪.   5‬‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ T  2.571‬أو ‪T  2.571‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪11 .8‬‬ ‫‪ 1.967,‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪i‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( x i ) 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x i2  i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪n  1  i 1‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(11 .8) 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 24.6 ‬‬ ‫‪  0.528.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6 ‬‬ ‫‪x   0 1.967  1.2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3.5582.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪0.528‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪t‬‬

‫ﻧرﻓض ‪ H 0‬ﻷن ‪ t‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 10‬ﻓﻛﺎﻧت أطواﻟﮭم ﺑﺎﻟﺑوﺻﺔ ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪68,‬‬

‫‪70,‬‬

‫‪81,‬‬

‫‪68, 64, 72, 71, 80, 61, 70‬‬ ‫اﺧﺗﺑر اﻟﻔرض اﻟﻘﺎﺋل أن ‪   75‬ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑ دﯾل ‪   75‬ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪.   0.05‬‬

‫ﻣﻊ اﻟﻌﻠم ﺑﺄن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذي اﺧﺗﯾرت ﻣﻧﮫ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎ ً طﺑﯾﻌﯾﺎ ً ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪H 0 :   75,‬‬

‫‪H1 :   75.‬‬ ‫‪  0.05.‬‬

‫‪ t .025  2.262‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪.   9‬‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ T  2.262‬أو ‪T  2.262‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪705‬‬ ‫‪ 70.5,‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪i‬‬

‫‪‬‬

‫‪١١‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( x i ) 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x i2  i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪n  1  i 1‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(705) 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪50051 ‬‬ ‫‪ 6.22.‬‬ ‫‪9 ‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪x  0 70.5  75‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2.29.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪6.22‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪t‬‬

‫ﻧرﻓض ‪ H 0‬ﻷن ‪ t‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 20‬ﻋﺑوة ﻣن ﻣﺷروب ﺑﺎرد اﺳﺗﺧدﻣت آﻟﺔ ﻟﺗﻌﺑﺋﺗﮫ‪ .‬ﻓﺈذا ﻛ ﺎن ﻣﺗوﺳ ط‬ ‫اﻟﻌﺑ وة ‪ x  7.5‬أوﻗﯾ ﺔ ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري ‪ 0.47‬أوﻗﯾ ﺔ‪ .‬اﺧﺗﺑ ر ﻓ رض اﻟﻌ دم أن ‪   7.8‬ﺿ د‬ ‫اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪   7.8‬ﻋﻧد ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪   0.01‬ﺗﺣ ت ﻓ رض أن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻟ ذي اﺧﺗﯾ رت‬ ‫ﻣﻧﮫ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎ ً طﺑﯾﻌﯾﺎ ً ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪H 0 :   7.8,‬‬

‫‪H1 :   7.8.‬‬ ‫‪  0.01.‬‬ ‫‪ t .01  2.539‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪.   19‬‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪T  2.539‬‬ ‫‪x  7.5,‬‬ ‫‪s  0.47‬‬ ‫‪x  0 7.5  7.8‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2.85.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪0.47‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪20‬‬

‫ﻧرﻓض ‪ H 0‬ﻷن ‪ t‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪.‬‬

‫‪١٢‬‬