الارتباط الذاتى وطرق معالجته by Tharwat Abdelmonem

‫اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ وطرق ﻣﻌﺎﻟﺟﺗﮫ‬ ‫)‪ (١‬ﻣﻘدﻣــﮫ‬ ‫ﻟﺗﻘ دﯾر ﻣﻌ ﺎﻟم ﻧﻣ وذج اﻹﻧﺣ دار اﻟﺧط ﻲ ﻓﯾﺟ ب ﺗﺣﻘ ق اﻟﻔ روض اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ ﻟﺣ دود‬ ‫اﻟﺧطﺄ ‪:‬‬ ‫‪E( i  j )  0 , i  j‬‬

‫‪Var( i )   2‬‬

‫‪E ( i )  0‬‬

‫ﻟﻐ رض إﺧﺗﺑﺎرات اﻟﻔروض واﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻓﺗرات ﺛﻘﺔ ﻋﺎدة ﯾﺿﺎف ﻓرض اﻹﻋﺗدال‬ ‫إي أن ‪ .  i ~ NID(0,  2 ) :‬ﺑﻌ ض ﺗطﺑﯾﻘ ﺎت اﻹﻧﺣ دار ﺗﺷ ﺗﻣل ﻋﻠ ﻰ ﻣﺗﻐﯾ رات‬ ‫ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ وﻣﺗﻐﯾر إﺳﺗﺟﺎﺑﺔ ﯾﻛون ﻟﮫ طﺑﯾﻌﺔ اﻟﺗﺗﺎﺑﻊ ﻣﻊ اﻟ زﻣن و اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ‬ ‫ﺗﺳﻣﻰ اﻟﺳﻼﺳل اﻟزﻣﻧﯾﺔ ‪ .‬ﻣﻌظم اﻟﻣﺳﺎﺋل اﻹﻗﺗﺻﺎدﯾﺔ ﺗﻛون ﻋﻠﻰ ﺷ ﻛل ﺳﻼﺳ ل زﻣﻧﯾ ﺔ‬ ‫ﻣﻣﺎ ﯾؤدي إﻟﻰ أن اﻟﺧطﺄ ﻓ ﻲ ﻓﺗ رة زﻣﻧﯾ ﺔ ‪  i‬ﯾﻛ ون ﻣرﺗﺑط ﺎ ﻣ ﻊ اﻟﺧط ﺄ ‪  j‬ﻓ ﻲ ﻓﺗ رة‬ ‫زﻣﻧﯾﺔ أﺧرى )‪ (i  j‬وھذا ﯾﺧﺎﻟف إﺣدى ﻓروض ﻧﻣوذج اﻹﻧﺣدار اﻟﺧطﻲ وھو ﻋدم‬ ‫إرﺗﺑﺎط ﻗﯾﻣﺔ ‪ ‬ﻓﻲ ﻓﺗرة زﻣﻧﯾﺔ ﻣﺎ ﻋن ﻗﯾﻣﺗﮭﺎ ﻓﻲ ﻓﺗرة زﻣﻧﯾﺔ ﺳﺎﺑﻘﺔ ‪ ،‬إي أن اﻹرﺗﺑ ﺎط‬ ‫ﺑﯾن ‪  i ,  j‬ﻻ ﯾﺳﺎوي اﻟﺻﻔر )‪ . ( E( i  j )  0‬وﻣﻌﻧﻰ ذﻟك وﺟود اﻹرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ‬ ‫أو اﻹرﺗﺑﺎط اﻟﺗﺳﻠﺳﻠﻲ ‪ .‬واﻹرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن اﻹرﺗﺑﺎط إذ ﯾﻘﯾس ﻟﻧﺎ درﺟﺔ‬ ‫اﻹرﺗﺑ ﺎط ﺑ ﯾن اﻟﻘ ﯾم اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾ ﺔ ﻟ ﻧﻔس اﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﺧ ﻼل ﻓﺗ رة زﻣﻧﯾ ﺔ ﻣﺣ ددة وﻟ ﯾس ﺑ ﯾن‬ ‫ﻣﺗﻐﯾ رﯾن أو أﻛﺛ ر ‪ .‬وﺳﺗﻘﺗﺻ ر دراﺳ ﺗﻧﺎ ھﻧ ﺎ ﻓﻘ ط ﻋﻠ ﻰ اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﺑﺳ ﯾطﺔ وھ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺧطﯾﺔ ﺑﯾن إي ﻗﯾﻣﺗﯾن ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺗﯾن ﻣن ﻗﯾم ‪ ‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪ i   i 1  u i‬‬

‫ﺣﯾث ‪ u i‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷ واﺋﻲ)ﯾﺳ ﻣﻰ ﺣ د اﻹﺿ طراب( ﯾﺗﺑ ﻊ اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ﻲ ﺑﻣﺗوﺳ ط‬ ‫ﯾﺳ ﺎوي ﺻ ﻔر وﺗﺑ ﺎﯾن ‪  2u‬و ‪ E (u i u j )  0 , i  j‬و ‪ ‬ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ‬ ‫اﻟﺑﺳﯾط ﺣﯾث ‪.   1‬وﺗﻌـرف اﻟﻌـﻼﻗﺔ اﻟﺳـﺎﺑﻘـﺔ ﺑﺄﻧﮭـﺎ إﻧﺣـدار ذاﺗـﻲ‬ ‫)‪ (autoregressive‬ﻣن اﻟدرﺟ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ ‪ ،‬وﺳ ﻧﺑدأ اﻟﺗﺣﻠﯾ ل ﺑﺻ ﯾﻐﺔ اﻟﻌﻼﻗ ﺔ اﻟﺑﺳ ﯾطﺔ‬ ‫ﺑ ﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ ‪ ،‬وﺑﻣﻌﻧ ﻰ آﺧ ر ﺳ ﻧﺑدأ ﺑﻣﻌﺎﻣ ل اﻹرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ اﻟﺑﺳ ﯾط ‪‬‬ ‫ﻛﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻟﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑﺎط اﻟﺑﺳﯾط ‪ . r‬واﻟﻣﻌﺎﻣﻼن ﯾﺗﺷ ﺎﺑﮭﺎن ﻣ ن ﺣﯾ ث أن ﻛﻠﯾﮭﻣ ﺎ‬ ‫ﻻ ﯾﻧﺎﺳب اﻟﻌﻼﻗ ﺎت اﻟﻐﯾ ر ﺧطﯾ ﺔ ‪ ،‬وإن ‪ ‬ﯾﻛ ون ﻣﻧﺎﺳ ﺑﺎ ﻓﻘ ط إذا ﻛﺎﻧ ت ﻗﯾﻣ ﺔ ‪  i‬ﻓ ﻲ‬ ‫ﻧﻘطﺔ زﻣﻧﯾﺔ ﺗﺗﺑﻊ ﻗﯾﻣﺗﮭﺎ ﻓﻲ اﻟﻧﻘطﺔ اﻟزﻣﻧﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺳﺑﻘﮭﺎ ﻓﻘط ‪.‬أﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾم ‪  i‬ﺗﺗﺑﻊ‬ ‫ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻧﻘطﺗﯾن اﻟﺳﺎﺑﻘﺗﯾن ﻓﺈن ﺻﯾﻐﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺗﻛون ﻣن ﻧوع اﻹﻧﺣدار اﻟذاﺗﻲ ﻣن اﻟدرﺟﺔ‬ ‫اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ‪ .‬واﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﻣﺳ ﺗﺧدﻣﺔ ﻓ ﻲ ﺑﺣ وث اﻹﻗﺗﺻ ﺎد اﻟﻘﯾﺎﺳ ﻲ اﻟﺗطﺑﯾﻘ ﻲ ﻟﻠﺗﻌ رف ﻋﻠ ﻰ‬ ‫وﺟ ود اﻹرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ ھ و رﺳ م اﻟﺑ واﻗﻲ اﻟﻣﻌﯾﺎرﯾ ﺔ ﻣﻘﺎﺑ ل اﻟ زﻣن ﻓ ﺈذا أﺧ ذت ھ ذه‬ ‫اﻟﺑواﻗﻲ ﺷﻛﻼ ﻣﻧﺗظﻣﺎ ﻛﺎﻷﺳﻧﺎن أو اﻟدورات أﻛـد ذﻟك وﺟود اﻹرﺗﺑـﺎط‬

‫اﻟذاﺗﻲ ﺑﯾن اﻷﺧطﺎء ‪ .‬وﺗﺗﺣدد إﺷﺎرة ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑﺎط اﻟ ذاﺗﻲ ﺣﺳ ب ﺗﻐﯾ ر إﺷ ﺎرة ﻗ ﯾم‬ ‫اﻟﺑواﻗﻲ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﺗﻐﯾرت إﺷﺎرة اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾ ﺔ ﺑﺈﺳ ﺗﻣرار ﻓﯾﺄﺧ ذ اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ اﻟﺗ ﺎرﯾﺧﻲ ﺷ ﻛل‬ ‫اﻷﺳ ﻧﺎن ﻛ ﺎن اﻹرﺗﺑ ﺎط ﺳ ﺎﻟﺑﺎ ‪ ،‬واﻟﻌﻛ س إذا ﺣ دث اﻟﺗﻐﯾ ر ﺑ ﺄن ﯾﺗﻠ و ﻋ ددا ﻣ ن اﻟﻘ ﯾم‬ ‫اﻟﻣوﺟﺑﺔ ﻋددا أﺧر ﻣن اﻟﻘﯾم اﻟﺳﺎﻟﺑﺔ ﻛﺎن اﻹرﺗﺑﺎط ﻣوﺟﺑﺎ ‪.‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ﺣدود اﻟﺧطﺄ ﻓﻲ ﻧﻣوذج اﻹﻧﺣدار ﻣرﺗﺑطﺔ إرﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﻣوﺟب ‪ ،‬ﻓﺈن‬ ‫إﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ﯾﺗرﺗب ﻋﻠﯾﮫ ﻋدد ﻣن اﻟﻌواﻗب اﻟﻣﮭﻣﺔ وھﻲ ‪:‬‬ ‫‪ -١‬ﻻ ﺗزال ﻣﻌ ﺎﻣﻼت اﻹﻧﺣ دار اﻟﻣﻘ درة ﻏﯾ ر ﻣﺗﺣﯾ زة إﻻ أﻧﮭ ﺎ ﻻ ﺗﻣﺗﻠ ك ﺧﺎﺻ ﯾﺔ أﻗ ل‬ ‫ﺗﺑﺎﯾن ‪.‬‬ ‫‪ -٢‬ﻣﺗوﺳط ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺧطﺄ ﯾﻣﻛن أن ﯾﺷﻛل ﺗﻘدﯾرا ﺑﺎﻟﻧﻘﺻﺎن ﻟﺗﺑﺎﯾن ﺣدود اﻟﺧطﺄ ‪.‬‬ ‫‪ -٣‬ﺗﻌطﻰ اﻟﺗﻘدﯾرات ﻟﻸﺧطﺎء اﻟﻣﻌﯾﺎرﯾﺔ ﻟﻣﻘدرات ﻣﻌﺎﻣﻼت اﻹﻧﺣدار‪،‬‬ ‫‪ ، s  e ( B i ) , i  0,1,2,..., k‬واﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﺑطرﯾﻘ ﺔ اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﺻ ﻐرى ﺗﻘ دﯾرا‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻧﻘﺻﺎن ﻟﻺﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري اﻟﺣﻘﯾﻘﻲ ﻟﻠﻣﻘدر ‪B i‬‬ ‫‪ -٤‬ﻟم ﺗﻌد ﻓﺗرات اﻟﺛﻘﺔ واﻹﺧﺗﺑﺎرات اﻟﺗﻲ ﺗﺳﺗﺧدم ﺗوزﯾﻌﺎت ‪ t‬أو ‪ F‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺗطﺑﯾق ‪.‬‬

‫)‪ (٢‬أﺳﺑﺎب اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ‬ ‫ﺗﺑدأ ﻣﺷﻛﻠﺔ اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ﻓﻲ ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺳﻼﺳل اﻟزﻣﻧﯾ ﺔ ﺑطﺑﯾﻌ ﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻧﻔﺳ ﮭﺎ‬ ‫وط رق ﺗﺟﻣﯾﻌﮭ ﺎ‪ .‬ﻓﻘ د ﯾﺗرﺗ ب ﻋﻠ ﻰ وﺟ ود أﺧط ﺎء اﻟﻘﯾ ﺎس ﻓ ﻲ ﺗﺟﻣﯾ ﻊ ھ ذا اﻟﻧ وع ﻣ ن‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت أﺧط ﺎء ﺗراﻛﻣﯾ ﺔ ﻓ ﻲ اﻟﺳ ﻧوات أو اﻟﻧﻘ ﺎط اﻟزﻣﻧﯾ ﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ‪ .‬ﯾﻠ ﻲ ذﻟ ك اﻟﺻ ﯾﻐﺔ‬ ‫اﻟداﻟﯾﮫ اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ ﻟﺗﻘدﯾر اﻟﻧﻣوذج اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ﻋدم إﺟراء اﻟﺗﺣوﯾﻼت‬ ‫اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات ﻟﺟﻌل ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار ﺧطﻰ ﻓﻲ اﻟﻣﻌﺎﻟم‪ .‬وﻛذﻟك ﻗد ﯾؤدي إﻏﻔ ﺎل‬ ‫إدﺧ ﺎل ﻣﺗﻐﯾ رات ﻓ ﻲ اﻟداﻟ ﺔ إﻟ ﻰ وﺟ ود ارﺗﺑ ﺎط ذاﺗ ﻲ‪ .‬وﻣ ن اﻟﻌواﻣ ل اﻟﺗ ﻰ ﺗ ؤدي اﻟ ﻰ‬ ‫وﺟود ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺳﺗﻛﻣﻠﺔ ﻧﺗﯾﺟﺔ ﻻﺳ ﺗﺧدام ﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﺗﻌ دادات ﻋﻠ ﻰ ﻓﺗ رات‬ ‫زﻣﻧﯾﺔ ﻣﺗﺑﺎﻋدة وھذا ﻣﺎﯾﺗم ﻓﻲ ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﻌداد اﻟﺳﻛﺎن ﺣﯾث ﻻ ﯾﺟرى اﻹﺟراء اﻹﺣﺻﺎء‬ ‫اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻛل ﻋﺎم وإﻧﻣﺎ ﻛل ﺧﻣس ﺳﻧوات أو ﻋﺷر ﺳﻧوات ﺛ م ﺗﻘ در ﻗﯾﻣ ﺔ اﻟﺳ ﻧوات ﺑ ﯾن‬ ‫ھذه اﻟﻔﺗرات وﻛذﻟك ھو اﻟﺣﺎل ﺣﯾن ﯾﺗم اﺳﺗﻛﻣﺎل ﻧوع ﻣ ﺎ ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻟﻠﺗﻌ وﯾض ﻋ ن‬ ‫ﻗ ﯾم ﻣﻔﻘ ودة‪ .‬ﺗوﺟ د ط رق ﻛﺛﯾ رة ﻻﻛﺗﺷ ﺎف ﻋ دم اﺳ ﺗﻘﻼل اﻷﺧط ﺎء وﺳ وف ﺗﻘﺗﺻ ر‬ ‫دراﺳﺗﻧﺎ ﻋﻠﻰ اﺧﺗﺑﺎر درﺑن _ واﺗﺳون‪.‬‬

‫)‪ (٣‬اﺧﺗﺑﺎر درﺑن _ واﺗﺳون‬ ‫إن اﻟﻧﻣوذج اﻟﺧطﻰ اﻟﺑﺳﯾط ﻓﻲ وﺟود ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﻣن اﻟرﺗﺑﮫ اﻷوﻟﻰ‬ ‫ھو‪:‬‬

‫‪Yi   0  1x i   i‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪ i   i 1  u i‬‬

‫ﺣﯾث ‪ ‬ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻰ ﺑﺣﯾ ث ‪   1‬و ‪ u i‬ﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ ﯾﺗﺑ ﻊ اﻟﺗوزﯾ ﻊ‬ ‫اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﻣﺗوﺳط ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر وﺗﺑﺎﯾن ﺛﺎﺑت ‪  2u‬و ‪. E (u i u j )  0, i  j‬‬ ‫ﯾﺳﺗﺧدم اﺧﺗﺑﺎر درﺑن _ واﺗﺳون ﻻﺧﺗﺑﺎر ﺛﻼﺛﺔ ﻓروض وھﻲ ‪:‬‬ ‫‪ -١‬وﺟود ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﻣوﺟب ‪:‬‬ ‫ﻓرض اﻟﻌدم ‪H 0 :   0‬‬

‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬ ‫‪. H0 :   0‬‬ ‫‪ -٢‬وﺟود ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﺳﺎﻟب ‪:‬‬ ‫ﻓرض اﻟﻌدم ‪H 0 :   0‬‬

‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬ ‫‪. H0 :   0‬‬ ‫‪ -٣‬وﺟود ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﺳﺎﻟب أو ﻣوﺟب )اﺧﺗﺑﺎر ذو ﺟﺎﻧﺑﯾن ( ‪:‬‬ ‫ﻓرض اﻟﻌدم ‪H 0 :   0‬‬

‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬ ‫‪. H1 :   0‬‬ ‫وﯾﻧﺣﺻر اﻻﺧﺗﺑﺎر ﺑﺎﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎﻟم اﻻﻧﺣدار ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام أﺳ ﻠوب اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﺻ ﻐرى ﻟﻠﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻼت اﻻﻧﺣدار‪.‬‬ ‫ب‪ -‬طرح ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ ﻣن اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺷﺎھدة ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺑواﻗﻲ‪:‬‬ ‫‪e i  y i  yˆ i .‬‬

‫ج‪ -‬ﺣﺳﺎب ﻗﯾﻣﺔ إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﻣﻘدرة ﻧرﻣز ﻟﮭﺎ ﺑﺎﻟرﻣز ‪ DW‬ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪(e i  e i 1 ) 2‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 2‬‬

‫‪n 2‬‬ ‫‪ ei‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪DW ‬‬

‫ﻣﻊ ﻣﻼﺣظﺔ أن‪:‬‬ ‫‪0  DW  4.‬‬

‫د‪ -‬اﺳﺗﺧدام ﺟداول درﺑن _ واﺗﺳون ﻹﺟراء اﻻﺧﺗﺑﺎر وﻣ ن اﻟﻣﻼﺣ ظ أن ﺟ داول‬ ‫درﺑ ن _ واﺗﺳ ون ﺗﺄﺧ ذ ﻓ ﻲ اﻻﻋﺗﺑ ﺎر ﻛ ل ﻣ ن ﻋ دد اﻟﻣﺷ ﺎھدات ‪ n‬وﻋ دد‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻟﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ) ‪ ( k‬وﻣﺳ ﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪ ‬ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ اﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ن ﺟﺎﻧ ب‬ ‫واﺣد و ‪ 2‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﺧﺗﺑﺎر ذو ﺟﺎﻧﺑﯾن ‪ .‬وﻣﻣﺎ ھ و ﺟ دﯾر ﺑﺎﻟ ذﻛر أن اﻟﻔ رض‬ ‫اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ ھو اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ H1 :   0 :‬وﯾﺣﺗوي اﻟﺟدول ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺗﯾن‬ ‫إﺣداھﻣﺎ ‪ dL‬وھﻲ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻ ﻐرى و ‪ d U‬اﻟﻌﻠﯾ ﺎ ﺛ م ﺗ ﺗم اﻟﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻧﺣ و‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﻲ اﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬ ‫اﻟﻘرار‬

‫ﻗﯾﻣﺔ ‪ DW‬اﻟﻣﻘدره‬

‫اﻟﺣﺎﻟﺔ‬

‫ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﺳﺎﻟب‬

‫‪4-dL < DW < 4‬‬

‫‪1‬‬

‫ﻗرار ﻏﯾر ﻣﺣدد‬

‫‪4-dU<DW<4-dL‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻻﯾوﺟد ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ‬

‫‪2 < DW < 4-dU‬‬

‫‪3‬‬

‫ﻻﯾوﺟد ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ‬

‫‪dU < DW < 2‬‬

‫‪4‬‬

‫ﻗرار ﻏﯾر ﻣﺣدد‬

‫‪d L < DW < dU‬‬

‫‪5‬‬

‫ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﻣوﺟب‬

‫‪0 < DW < dL‬‬

‫‪6‬‬

‫ﻣﻣﺎ ﺗﻘدم ﻧﺟد أن ھﻧﺎك ﺛﻼث ﻧﺗﺎﺋﺞ ﻟﻼﺧﺗﺑﺎر‪:‬‬ ‫‪ .١‬ﻻ ﯾوﺟد ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﻓﻲ اﻟﺣﺎﻟﺗﯾن ‪. 3 ,4‬‬ ‫‪ .٢‬ﻗرار ﻏﯾر ﻣﺣدد أي ﻻﯾﻣﻛن اﻟﺟزم ﺑوﺟود أو ﻋ دم وﺟ ود ارﺗﺑ ﺎط ذاﺗ ﻲ وذﻟ ك‬ ‫ﯾﺳﺗﻠزم إﺿﺎﻓﺔ ﺑﯾﺎﻧﺎت إﻟﻰ اﻟﺳﻠﺳﻠﺔ اﻟزﻣﻧﯾﺔ إن أﻣﻛن ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺣﺎﻟﺗﯾن ‪.2,5‬‬ ‫‪ .٣‬وﺟ ود ارﺗﺑ ﺎط ذاﺗ ﻲ ﺳ ﺎﻟب ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻻوﻟ ﻰ أو وﺟ ود ارﺗﺑ ﺎط ذاﺗ ﻲ‬ ‫ﻣوﺟب ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﺳﺎدﺳﺔ‪.‬‬ ‫ﯾوﺿﺢ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﻧﺎطق اﺗﺧﺎذ اﻟﻘرار ﻣﺑﯾﻧﺔ ﻋﻠﯾﮫ ﻗﯾم ‪ DW‬و ‪. d L , d U‬‬

‫وﯾﺟ ب ﺣﺳ ﺎب ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟﺑﺳ ﯾط ﺑ ﯾن اﻷﺧط ﺎء وﺑﻌﺿ ﮭﺎ ˆ‪ ‬وذﻟ ك ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﺗﻰ ﯾوﺟد ﻓﯾﮭﺎ ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﻧﺗﯾﺟﺔ اﻻﺧﺗﺑﺎر وﺗوﺟد ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻘرﯾﺑﯾ ﺔ ﻟﺣﺳ ﺎب ˆ‪‬‬ ‫ﻣن ‪ DW‬ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪ˆ  1  DW / 2.‬‬

‫وﻗد ﺳ ﺑق أن ذﻛرﻧ ﺎ ان ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ DW‬ﺗﺗ راوح ﺑ ﯾن اﻟﺻ ﻔر وأرﺑﻌ ﺔ‪ .‬إذا ﻛﺎﻧ ت ‪DW=0‬‬ ‫ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻲ أن ‪ ˆ  1‬وإذا ﻛﺎﻧت ‪ DW=4‬ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻲ أن ‪. ˆ  1‬‬ ‫أى أﻧ ﮫ إذا اﻗﺗرﺑ ت ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ DW‬ﻣ ن اﻟﺻ ﻔر ﻧﺟ د أن ھﻧ ﺎك ارﺗﺑ ﺎط ذاﺗﯾ ﺎ ﻣوﺟﺑ ﺎ وﻛﻠﻣ ﺎ‬ ‫اﻗﺗرﺑت ﻗﯾﻣﺔ ‪ DW‬ﻣن ‪ 4‬ﺳﻧﺟد ان ھﻧﺎك ارﺗﺑﺎطﺎ ذاﺗﯾﺎ ﻋﻛﺳﯾﺎ‪.‬‬

‫ﻻ ﯾوﺟد‬ ‫ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ‬

‫ﻗرار ﻏﯾر‬ ‫ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ‬ ‫ﺳﺎﻟب‬ ‫‪4 4  dL‬‬

‫ﻗرار ﻏﯾر‬ ‫ارﺗﺑﺎط‬ ‫ذاﺗـﻲ‬ ‫ﻣﺣدد‬ ‫ﻣوﺟب‬

‫ﻣﺣدد‬

‫‪4  dU‬‬

‫‪2‬‬

‫‪dU‬‬

‫‪dL‬‬

‫‪0‬‬

‫ﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻻ ﯾوﺟد ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﺑﯾن اﻷﺧطﺎء وﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم ‪. H 0 :   0‬‬

‫)‪ (٤‬ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻲ أھم اﻟطرق ﻟﻠﺗﺧﻠص ﻣن وﺟود اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ﺑﯾن اﻻﺧطﺎء ﻓﻛﻣ ﺎ ھ و‬ ‫ﻣﻌروف ان وﺟود اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ ﯾرﺟ ﻊ اﻟ ﻰ ﻋ دة ﻋواﻣ ل ﻣﻧﮭ ﺎ اﻟداﻟ ﺔ اﻟﻣﺳ ﺗﺧدﻣﺔ‬

‫وإﻏﻔ ﺎل ﺑﻌ ض اﻟﻣﺗﻐﯾ رات وﺳ ﻧﺣﺎول اﻟﺗﺄﻛ د ﻣ ن ذﻟ ك ﻣ ن ﺧ ﻼل اﺳ ﺗﺧدام اﻟط رق‬ ‫اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠﺗﺧﻠص ﻣن اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ‪.‬‬ ‫وﯾﺟ ب ان ﻧﻧ وه ھﻧ ﺎ أن ﺑﻌ ض اﻟط رق اﻟﻣﺳ ﺗﺧدﻣﺔ ﺳ وف ﺗﻘ دم ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻻﻧﺣ دار‬ ‫اﻟﺧطﻲ اﻟﺑﺳﯾط وذﻟك ﻟﻠﺗﺳ ﮭﯾل وﯾﻣﻛ ن ﺗﻌﻣ ﯾم ﺗﻠ ك اﻟط رق ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻻﻧﺣ دار اﻟﺧط ﻲ‬ ‫اﻟﻣﺗﻌدد ‪.‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ‬ ‫ﻏﺎﻟﺑﺎ ﯾﻠﺟﺄ اﻻﻗﺗﺻ ﺎدﯾون ﻟﺗﺳ ﮭﯾل اﻷﻣ ور ﺑﺈدﺧ ﺎل اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ ﻛﻣﺗﻐﯾ ر ﻣﺳ ﺗﻘل‬ ‫ﺑﻣﻌﻧ ﻲ آﺧ ر إذا ﻛﺎﻧ ت اﻟﺳﻠﺳ ﻠﺔ ﺗﺑ دأ ﻣ ن ‪ 1992‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ ‪ .‬وﻛ ذﻟك اﻟﻣﺗﻐﯾ رات‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﮫ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن إدﺧﺎل ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ ﻟﻌﺎم ‪ 1991‬ﻣﻘﺎﺑل اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ ﻟﻌ ﺎم‬ ‫‪ 1992‬وﺗﺳﻣﻰ ھذه اﻟطرﯾﻘﺔ ‪ lagged variable‬أى ﻣﺗﻐﯾر اﺑطﺎء‪ .‬وﻟﻛن ﻻﺗﺗواﻓر ﻓﻲ‬ ‫ﻣﻌظم اﻷﺣﯾﺎن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋن ﻋﺎم ﺳﺎﺑق ﻟﻠﺳﻠﺳ ﻠﺔ اﻟزﻣﻧﯾ ﺔ اﻟﻣﺳ ﺗﺧدﻣﺔ‪ .‬ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ‬ ‫ﯾﻣﻛ ن اﻟﺗﺿ ﺣﯾﺔ ﺑﻣﺷ ﺎھدة واﺣ دة ﻧظﯾ ر اﻟ ﺗﺧﻠص ﻣ ن أﺛ ر اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ وﯾوﺻ ف‬ ‫اﻟﻧﻣوذج ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪Yi   0  1x i   2 Yi1   i .‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﻌط ﻰ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻋ ن دوﻟ ﺔ اﻟﻛوﯾ ت ﻟﻸﻋ ـوام ﺧ ﻼل اﻟﻔ ـﺗرة‬ ‫)‪ (1986-1962‬ﻣﺗﺿﻣﻧﺔ ‪:‬‬ ‫‪= x‬اﻟدﺧل اﻟﻣﺗﺎح أو اﻟدﺧل اﻟذي ﯾﻣﻛن اﻟﺗﺻرف ﺑﮫ‪.‬‬ ‫‪ = y‬اﻻﺳﺗﮭﻼك اﻟﺧﺎص‪.‬‬

‫واﻟﻣطﻠوب ‪ :‬ﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﺑﺳﯾط ﻣﻊ إﺟراء اﺧﺗﺑﺎر وﺟود ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﺑﯾن‬ ‫اﻷﺧط ﺎء ﺛ م اﺳ ﺗﺧدام اﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻻوﻟ ﻰ ﻟﻠ ﺗﺧﻠص ﻣ ن وﺟ ود اﻻرﺗﺑ ﺎط‬ ‫اﻟذاﺗﻰ ﺑﯾن اﻷﺧطﺎء‬

‫اﻟﺳﻧﺔ‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1962‬‬

‫‪188.0‬‬

‫‪460.0‬‬

‫‪1963‬‬

‫‪192.0‬‬

‫‪486.0‬‬

‫‪1964‬‬

‫‪200.0‬‬

‫‪561.0‬‬

‫‪1965‬‬

‫‪191.0‬‬

‫‪553.0‬‬

‫‪1966‬‬

‫‪232.0‬‬

‫‪682.0‬‬

‫‪1967‬‬

‫‪280.0‬‬

‫‪1010.0‬‬

‫‪1968‬‬

‫‪297.0‬‬

‫‪793.0‬‬

‫‪1969‬‬

‫‪306.0‬‬

‫‪840.0‬‬

‫‪1970‬‬

‫‪396.0‬‬

‫‪851.0‬‬

‫‪1971‬‬

‫‪420.0‬‬

‫‪1117.0‬‬

‫‪1972‬‬

‫‪227.0‬‬

‫‪1102.0‬‬

‫‪1973‬‬

‫‪439.0‬‬

‫‪1262.0‬‬

‫‪1974‬‬

‫‪564.0‬‬

‫‪3532.0‬‬

‫‪1975‬‬

‫‪759.0‬‬

‫‪3711.0‬‬

‫‪1976‬‬

‫‪1030.0‬‬

‫‪4281.0‬‬

‫‪1977‬‬

‫‪1368.0‬‬

‫‪4563.0‬‬

‫‪1978‬‬

‫‪1474.0‬‬

‫‪4977.0‬‬

‫‪1979‬‬

‫‪1671.0‬‬

‫‪7597.0‬‬

‫‪1980‬‬

‫‪2196.0‬‬

‫‪8757.0‬‬

‫‪1981‬‬

‫‪2445.0‬‬

‫‪8875.0‬‬

‫‪1982‬‬

‫‪3287.0‬‬

‫‪7612.0‬‬

‫‪1983‬‬

‫‪3179.0‬‬

‫‪7789.0‬‬

‫‪1984‬‬

‫‪2780.0‬‬

‫‪7893.0‬‬

‫‪1985‬‬

‫‪2774.0‬‬

‫‪7322.0‬‬

‫‪1986‬‬

‫‪2575.0‬‬

‫‪7164.0‬‬

‫اﻟﺣــل‬ ‫ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣ ﺔ دارﺑ ن – واﺗﺳ ون ‪ DW‬ﺑﺈﺳ ﺗﺧدام ﺑرﻧ ﺎﻣﺞ ‪ SPSS‬ﺣﯾ ث‬ ‫‪ DW =0.86467‬وﻻﺟ راء اﺧﺗﺑ ﺎر درﺑ ن _ واﺗﺳ ون ﯾﺟ ب اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﻗ ﯾم‬ ‫‪ d L , d U‬اﻟﻣﻧ ﺎظرة ﻟﻣﺗﻐﯾ ر واﺣ د ) ‪ ( k  1‬وﻋ دد اﻟﻣﺷ ﺎھدات ‪ n = 25‬وﻣﺳ ﺗوى‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪   0.05‬ﺣﯾث ‪ d U  1.45 , d L  1.20‬وﻣﻧﮫ ﻧﺟد أن‪:‬‬ ‫‪0  DW  d L‬‬

‫أي أن ‪:‬‬ ‫‪0  0.86467 1.20‬‬

‫وﺑذﻟك ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪H0 :   0‬‬

‫وﻧﻘﺑل اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬ ‫‪H1 :   0‬‬

‫وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ˆ‪ ‬ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪DW‬‬ ‫‪ 1.0  0.86467/ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0.56767‬‬

‫‪ˆ  1 ‬‬

‫وذﻟك ﯾﻌﻧﻲ أن ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑﺎط ﺑﯾن اﻷﺧطﺎء ﯾﺳﺎوي ‪ 0.56767‬ﻟذا ﻻﯾﻣﻛ ن اﻻﻋﺗﻣ ﺎد‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﻲ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة‪:‬‬ ‫‪yˆ  30.43725  0.32233 x .‬‬

‫وﻻ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﻟﻠﺗﻧﺑ ؤ ﻗﺑ ل ﺗﺧﻠﯾﺻ ﮭﺎ ﻣ ن وﺟ ود اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ ﺑ ﯾن اﻷﺧط ﺎء‪.‬‬ ‫اﻵن ﻟﻠﺗﺧﻠص ﻣن وﺟود اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ﺑﯾن اﻷﺧطﺎء ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟطرﯾﻘﺔ اﻷوﻟﻰ‪.‬‬

‫ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﺳ وف ﻧﺳ ﺗﺧدم ﻣﺗﻐﯾ ر اﺑط ﺎء ﻟﻠ ﺗﺧﻠص ﻣ ن وﺟ ود‬ ‫اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ﻣﻊ اﻟﺗﺣﻘق ﻣن ذﻟك ﺑ ﺈﺟراء اﺧﺗﺑ ﺎر درﺑ ن _ واﺗﺳ ون ﻋﻠ ﻰ اﻷﺧط ﺎء‬ ‫اﻟﻣﻘدره طﺑﻘﺎ ﻟﻠﻧﻣوذج اﻟﺟدﯾد‪.‬‬

‫اﻟﺳﻧﮫ‬

‫‪( z) y i 1‬‬

‫‪yi‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪1962‬‬

‫‬‫‪188.0‬‬

‫‪188.0‬‬

‫‪460.0‬‬

‫‪192.0‬‬

‫‪486.0‬‬

‫‪1964‬‬

‫‪192.0‬‬

‫‪200.0‬‬

‫‪561.0‬‬

‫‪1965‬‬

‫‪200.0‬‬

‫‪191.0‬‬

‫‪553.0‬‬

‫‪1966‬‬

‫‪191.0‬‬

‫‪232.0‬‬

‫‪682.0‬‬

‫‪1967‬‬

‫‪232.0‬‬

‫‪280.0‬‬

‫‪1010.0‬‬

‫‪1968‬‬

‫‪280.0‬‬

‫‪297.0‬‬

‫‪793.0‬‬

‫‪1969‬‬

‫‪297.0‬‬

‫‪306.0‬‬

‫‪840.0‬‬

‫‪1970‬‬

‫‪306.0‬‬

‫‪396.0‬‬

‫‪851.0‬‬

‫‪1971‬‬

‫‪396.0‬‬

‫‪420.0‬‬

‫‪1117.0‬‬

‫‪1972‬‬

‫‪420.0‬‬

‫‪227.0‬‬

‫‪1102.0‬‬

‫‪1973‬‬

‫‪227.0‬‬

‫‪439.0‬‬

‫‪1262.0‬‬

‫‪1974‬‬

‫‪439.0‬‬

‫‪564.0‬‬

‫‪3532.0‬‬

‫‪1975‬‬

‫‪564.0‬‬

‫‪759.0‬‬

‫‪3711.0‬‬

‫‪1976‬‬

‫‪759.0‬‬

‫‪1030.0‬‬

‫‪4281.0‬‬

‫‪1977‬‬

‫‪1030.0‬‬

‫‪1368.0‬‬

‫‪4563.0‬‬

‫‪1978‬‬

‫‪1368.0‬‬

‫‪1474.0‬‬

‫‪4977.0‬‬

‫‪1979‬‬

‫‪1474.0‬‬

‫‪1671.0‬‬

‫‪7597.0‬‬

‫‪1980‬‬

‫‪1671.0‬‬

‫‪2196.0‬‬

‫‪8757.0‬‬

‫‪1981‬‬

‫‪2196.0‬‬

‫‪2445.0‬‬

‫‪8875.0‬‬

‫‪1982‬‬

‫‪2445.0‬‬

‫‪3287.0‬‬

‫‪7612.0‬‬

‫‪1983‬‬

‫‪3287.0‬‬

‫‪3179.0‬‬

‫‪7789.0‬‬

‫‪1984‬‬

‫‪3179.0‬‬

‫‪2780.0‬‬

‫‪7893.0‬‬

‫‪1985‬‬

‫‪2780.0‬‬

‫‪2774.0‬‬

‫‪7322.0‬‬

‫‪1986‬‬

‫‪2774.0‬‬

‫‪2575.0‬‬

‫‪7164.0‬‬

‫‪1963‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدره ﺳوف ﺗﻛون‬

‫‪yˆ  4.2508  0.11354 x  0.69095z‬‬

‫ﺣﯾ ث ‪ z‬ھ و ﻣﺗﻐﯾ ر إﺑط ﺎء‪ .‬ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ DW‬ھ ﻲ ‪ 2.23556‬وﻗ ﯾم ‪ d U , d L‬ﻋﻧ دﻣﺎ‬ ‫‪   0.05 , n  24‬وﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ھﻣﺎ)ﺗﻘرﯾﺑﺎ(‪ d L  1.2 , d U  1.45 :‬و‬ ‫) ‪2  DW  ( 4  d U‬‬

‫‪2<2.23556<2.55‬‬ ‫وﺑذﻟك ﻧﺿﻣن ﻋدم وﺟود ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﺑﯾن اﻷﺧطﺎء وﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم ‪H 0 :   0‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ pˆ  1  DW / 2  0.117‬اﻟﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ وھو ارﺗﺑﺎط ﺿﻌﯾف ﺑﯾن اﻷﺧط ﺎء ﻣﻣ ﺎ‬

‫ﯾؤﻛد اﻟﻘرار‪.‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬ ‫أن أھﻣﺎل اﺣد اﻟﻣﺗﻐﯾرات ﻗد ﯾؤدي إﻟـﻰ وﺟود اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ‪ .‬ﻓﻲ ھذه اﻟطرﯾﻘﺔ‬ ‫ﯾﺗم ﺗوﺻﯾف اﻟداﻟﮫ وإدﺧﺎل ﻣﺗﻐﯾرات ﺛم إھﻣﺎﻟﮭﺎ‪ .‬ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق وﻟﻣ ﺎ ﻛﺎﻧ ت اﻟﻔﺗ رة‬ ‫‪ 1986-1982‬ﺗﺗﺻ ف ﺑﺗراﺟ ﻊ اﻟ دﺧل ﻣ ﻊ زﯾ ﺎدة اﻻﺳ ﺗﮭﻼك ﻧﺗﯾﺟ ﺔ ﻟﻌواﻣ ل ﺧﺎرﺟﯾ ﺔ‬ ‫ﻣﻧﮭ ﺎ اﻧﺧﻔ ﺎض اﺳ ﻌﺎر اﻟ ﻧﻔط اﻟﺧ ﺎم وآﺛ ﺎر أزﻣ ﺔ "ﺳ وق اﻟﻣﻧ ﺎخ" ﻓ ﯾﻣﻛن إدﺧ ﺎل ﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫ﺻوري ‪ w‬ﺗﻛون ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺳﺎوﯾﺔ اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ﺧﻼل اﻟﻔﺗرة ‪ 1986-1982‬وﻣﺳﺎوﯾﺔ‬ ‫ﻟﻠﺻﻔر ﻓﯾﻣﺎ ﻋدا ذﻟك واﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﻼزﻣ ﺔ ﻻﯾﺟ ﺎد ﻣﻌﺎدﻟ ﺔ اﻻﻧﺣ دار اﻟﺟدﯾ دة ﻣﻌط ﺎه ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬

‫‪w‬‬

‫اﻟﺳﻧﺔ‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1962‬‬

‫‪188.0‬‬

‫‪460.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1963‬‬

‫‪192.0‬‬

‫‪486.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1964‬‬

‫‪200.0‬‬

‫‪561.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1965‬‬

‫‪191.0‬‬

‫‪553.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1966‬‬

‫‪232.0‬‬

‫‪682.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1967‬‬

‫‪280.0‬‬

‫‪1010.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1968‬‬

‫‪297.0‬‬

‫‪793.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1969‬‬

‫‪306.0‬‬

‫‪840.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1970‬‬

‫‪396.0‬‬

‫‪851.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1971‬‬

‫‪420.0‬‬

‫‪1117.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1972‬‬

‫‪227.0‬‬

‫‪1102.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1973‬‬

‫‪439.0‬‬

‫‪1262.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1974‬‬

‫‪564.0‬‬

‫‪3532.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1975‬‬

‫‪759.0‬‬

‫‪3711.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1976‬‬

‫‪1030.0‬‬

‫‪4281.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1977‬‬

‫‪1368.0‬‬

‫‪4563.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1978‬‬

‫‪1474.0‬‬

‫‪4977.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1979‬‬

‫‪1671.0‬‬

‫‪7597.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1980‬‬

‫‪2196.0‬‬

‫‪8757.0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1981‬‬

‫‪2445.0‬‬

‫‪8875.0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1982‬‬

‫‪3287.0‬‬

‫‪7612.0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1983‬‬

‫‪3179.0‬‬

‫‪7789.0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1984‬‬

‫‪2780.0‬‬

‫‪7893.0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1985‬‬

‫‪2774.0‬‬

‫‪7322.0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1986‬‬

‫‪2575.0‬‬

‫‪7164.0‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدره ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬

‫‪y  61.131  0.24375 x  1016.102 w‬‬

‫ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ DW‬ھ ﻲ ‪ d L  1.21 , d U  1.55 , 1.36727‬وذﻟ‬ ‫‪ n  25 , k  2 ,   0.05‬وﺑﻧﺎء ﻋﻠﯾﮫ ﻧﺟد أن‪:‬‬

‫ك ﻋﻧ‬

‫د‬

‫‪d L  DW  d U‬‬ ‫‪1.21  DW  1.55‬‬ ‫‪1.21  1.36727  1.55‬‬

‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻻ ﯾوﺟد ارﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﺑﯾن اﻷﺧطﺎء وﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم ‪. H 0 :   0‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ‬ ‫اﺗﺿ ﺢ ﻣ ن اﻟط رﯾﻘﺗﯾن اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺗﯾن ان ﺗﺟﺎھ ل أو إﻏﻔ ﺎل ﺑﻌ ض اﻟﻣﺗﻐﯾ رات ﻓ ﻲ‬ ‫ﺗوﺻﯾف اﻟﻧﻣوذج ادى ﺑدوره إﻟﻰ وﺟ ود ارﺗﺑ ﺎط ذاﺗ ﻲ ﻟﻠﺑ واﻗﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻧﻣ وذج اﻷﺻ ﻠﻲ‬ ‫وﺑﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ اﻟﻧﻣ وذج ﻟﻠ ﺗﺧﻠص ﻣ ن اﻹرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ وﺟ د أن ﻛﻠﺗ ﺎ اﻟط رﯾﻘﺗﯾن أدت إﻟ ﻰ‬ ‫ﺗﺣﺳ ﯾن ‪ DW‬ﻟﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘ ﺔ ﻗﺑ ول ﻓ رض اﻟﻌ دم ‪ . H 0 :   0‬واﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ‬ ‫ﺗﺳﺗﺧدم ﻣﺎﯾطﻠق ﻋﻠﯾﮫ اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى‪ .‬وﺗﻌﺗﻣد ھذه اﻟطرﯾﻘ ﺔ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﺗﺣوﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻷﺻﻠﯾﺔ إﻟﻲ اﻟﺻ ورة اﻟﺗ ﻰ ﺗﻣﻛﻧﻧ ﺎ ﻣ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﻧﻣ وذج ﯾﻛ ون‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻓﯾﮫ ﺧﺎﺿﻊ ﻟﻔروض طرﯾﻘ ﺔ اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﺻ ﻐرى اﻟﻌﺎدﯾ ﺔ وﺑﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ‬ ‫ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ھذه اﻟطرﯾﻘﺔ ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﺎﻟم‪.‬‬ ‫ﺑﻔرض اﻟﻧﻣوذج‪:‬‬ ‫)‪(٣‬‬

‫‪Yi   0  1x i   i ,‬‬ ‫‪ 1‬‬

‫و ‪ i   i 1  u i‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪u i ~ N(0,  2u ) , E(u i u j )  0 , i  j‬‬

‫ﺛم ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ اﻟﻧﻣوذج اﻟﺳﺎﺑق ﻓﻲ اﻟﻣﺷﺎھدة‪ i-1‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫)‪(٤‬‬

‫‪Yi 1   0  1x i1   i 1 ,‬‬

‫وﺑﺿرب طرﻓﻲ )‪ (٤‬ﻓﻲ ‪ ‬واﻟطرح ﻣن )‪ (٣‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻧﻣوذج اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫)‪(٥‬‬

‫‪Yi*   0 (1  )  1x *i  u i ,‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫)‪(٦‬‬

‫‪Yi*  Yi  Yi 1 ,‬‬

‫‪x *i  x i  x i 1 ,‬‬ ‫‪u i   i   i 1‬‬

‫)‪(٧‬‬

‫اﻟﻧﻣوذج اﻟﻣﺣول)‪ (٥‬ﯾﺻﺑﺢ ‪:‬‬ ‫‪Yi  0  1 x i  u i‬‬

‫)‪(٨‬‬

‫ﺣﯾث ‪ 0   0 (1  ) , 1  1 :‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫)‪ 0  0 /(1  ‬‬

‫وﺑ ذﻟك أﻣﻛ ن ﺗﺣوﯾ ل اﻟﻧﻣ وذج اﻟ ذي ﯾﺣﺗ وي ﻋﻠ ﻰ اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ إﻟ ﻰ ﻧﻣ وذج‬ ‫ﻻﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ إرﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﺑﯾن اﻟﺑ واﻗﻲ وﺑ ذﻟك ﯾﻣﻛ ن اﺳ ﺗﺧدام طرﯾﻘ ﺔ اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت‬ ‫اﻟﺻ ﻐرى اﻟﻌﺎدﯾ ﺔ ﻻﺷ ﺗﻘﺎق ﺗﻘ دﯾرات اﻟﻣﻌ ﺎﻟم وھ ﻲ ﻧﻔ س ﻣﻌ ﺎﻟم اﻟﻧﻣ وذج اﻷﺻ ﻠﻲ‬ ‫ﻣﺎﻋدا اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ )‪ .  0   0 (1  ‬وﯾﺟب ﻣﻼﺣظ ﺔ أن ﻋ دد اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﻣﺣوﻟ ﺔ‬ ‫اﻟداﺧﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺗﻘدﯾر ھﻲ ‪ n-1‬وأن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ ui‬ﻏﯾر ﻣرﺗﺑط ذاﺗﯾﺎ وﻧﻼﺣظ‬ ‫أن ھ ذه اﻟطرﯾﻘ ﺔ ﺗﻌﺗﻣ د ﻋﻠ ﻰ ﻣﻌرﻓ ﺔ ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ ‪ ‬وﻧ ﺎدر ﻣ ﺎ‬ ‫ﺗﻛون ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟ ذاﺗﻲ ﻣﻌﻠوﻣ ﺔ ‪ ،‬وﺑﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ ﻧﺣﺗ ﺎج ﻟﺗﻘ دﯾرھﺎ‪ .‬وﻟﺣﺳ ن‬ ‫اﻟﺣظ ﯾوﺟد ﻋدد ﻣ ن اﻟط رق اﻟﻣﺳ ﺗﺧدﻣﺔ ﻟﺗﻘ دﯾر ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ ‪‬‬

‫وﺳوف ﻧﺗﻧﺎوﻟﮭﺎ ﻻﺣﻘﺎ ‪.‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺑﻌد اﺧﺗﺑﺎر وﺟود اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ واﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘدﯾر ﻟـ ‪ ‬ﯾﺗم‬ ‫ﺗطﺑﯾق طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌـﺎت اﻟﺻﻐرى اﻟﻌـﺎدﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺟﻣوع اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺣـوﻟﺔ‬ ‫‪ y *i , x *i‬ﺣﯾث ﺗطرح ﻣن اﻟﻣﺷـﺎھدات اﻷﺻـﻠﯾﺔ ﻓﻲ ﻛل ﻧﻘطﺔ زﻣﻧﯾﺔ ﺣﺎﺻل‬ ‫ﺿرب ˆ‪ ‬ﻓﻲ ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾرات ﻓﻲ اﻟﻔﺗرات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪y *i  y i  y i 1 ,‬‬ ‫‪x *i  x i  x i 1‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬ ‫* ‪yˆ*  b *0  b1 x‬‬

‫ﺣﯾث ) ˆ‪ b 0  b 0 /(1  ‬و ‪. b1  b1‬‬

‫طرق ﺗﻘدﯾر‬

‫‪‬‬

‫‪ -١‬طرﯾﻘﺔ درﺑن _ واﺗﺳون ﻟﺗﻘدﯾر ‪‬‬

‫وھذه اﻟطرﯾﻘ ﮫ ﯾﻣﻛ ن ﺗطﺑﯾﻘﮭ ﺎ ﻻي درﺟ ﮫ ﻣ ن اﻻﻧﺣ دار وﺗ ﺗم ھ ذه اﻟطرﯾﻘ ﮫ‬ ‫ﻛﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫ﻧﺑدأ ﺑﺎﻟﻧﻣوذج اﻟﻣﺣول )‪ (٨‬ﺣﯾث ﯾﻛﺗب ﺑﺗﻔﺻﯾل ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫)‪(٩‬‬

‫‪Yi  Yi1   0 (1  )  1 ( x i  x i 1 )  u i‬‬

‫وﺑﺈﻋﺎدة ﺗﻧظﯾم )‪ (٩‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫)‪Yi   0 (1  )  1 ( x i  x i 1 )  Yi 1  u i , i  1,2,3..., n (١٠‬‬

‫وﺑﺈﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ﻟﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎﻟم ھذا اﻟﻧﻣوذج ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺗﻘدﯾر‬ ‫ﻟـ ‪ ، ‬أي ˆ‪ ، ‬واﻟذى ﯾﺳﺎوى ﻣﻌﺎﻣل اﻟﻣﺗﺑﺎطﺊ ‪. Yi1‬‬

‫‪ -٢‬طرﯾﻘﺔ ﻛوﻛران اورﻛت) ‪(Cochrane – Orcult‬‬ ‫وذﻟك ﺑﺎﻟﻧظر اﻟﻰ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪  i   i1  u i‬واﻟﻣﻔروﺿﮫ ﻋﻠﻰ اﻟﻧﻣوذج‬ ‫‪Yi   0  1x i   i‬‬

‫ﻋﻠﻰ أﻧﮭﺎ إﻧﺣدار ﻋﺑر ﻧﻘطﺔ اﻷﺻل أي أن ‪:‬‬ ‫‪ i   i 1  u i‬‬ ‫ﺣﯾ ث ‪  i‬ھ و اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ ‪  i1 ،‬ھ و اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻣﺳ ﺗﻘل ‪ u i ،‬ﺣ د اﻟﺧط ﺄ و ‪‬‬ ‫ﻣﯾل اﻟﺧط ﻋﺑر ﻧﻘطﺔ اﻷﺻل‪ .‬وﺑﻣﺎ أن ‪  i ,  i 1‬ﻏﯾرﻣﻌروﻓﯾن ﻓﻧﺳﺗﺧدم ‪e i , e i 1‬‬

‫اﻟﺗﻰ ﺣﺻ ﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﺑطرﯾﻘ ﺔ اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﺻ ﻐرى اﻟﻌﺎدﯾ ﺔ ﻛﻣﺗﻐﯾ ر ﻣﺳ ﺗﻘل وﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫ﺗ ﺎﺑﻊ ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗرﺗﯾ ب وﻧﺣﺻ ل ﻋﻠ ﻰ ﺗﻘ دﯾر ﻟ ـ ‪ ‬ﺑﺗﻘ دﯾر ﺧ ط ﻣﺳ ﺗﻘﯾم ﻋﺑ ر ﻧﻘط ﺔ‬ ‫اﻷﺻل ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ e i 1e i‬‬ ‫‪i 2‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪ e i1‬‬ ‫‪i 2‬‬

‫‪ˆ ‬‬

‫‪ -٣‬طرﯾﻘﺔ ھﯾﻠدرﯾث‪-‬ﻟ ُو‬ ‫ھﻧ ﺎك طرﯾﻘ ﺔ ھﯾﻠ درﯾث –ﻟ ُ و ﻟﺗﻘ دﯾر ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط ‪ ‬وذﻟ ك ﺑﮭ دف‬ ‫اﺳ ﺗﺧداﻣﮭﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺗﺣ وﯾﻼت )‪ (٦‬و )‪ (٧‬واﻟﺗ ﻰ ﺗﺗﺧ ذ ﻧﻔ س اﻹﺳ ﻠوب اﻟ ذي ﺗﺗﺧ ذه‬ ‫طرﯾﻘ ﺔ ﺑ وﻛس – ﻛ وﻛس ﻟﺗﻘ دﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ ‪ ‬ﻓ ﻲ ﺗﺣوﯾ ل اﻟﻘ وى ‪ Y‬ﺑﻐﯾ ﮫ ﺗﺣﺳ ﯾن‬ ‫ﺻﻼﺣﯾﺔ ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار‪ .‬إذ ﻧﺧﺗﺎر ﻓﻲ طرﯾﻘﺔ ھﯾﻠدرﯾث ‪ -‬ﻟو ﺗﻠك اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ ‬اﻟﺗﻲ‬ ‫ﺗﺟﻌل ﻣﺟﻣوع ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺧطﺄ ﻟﻠﺑواﻗﻲ ﻟﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار اﻟﻣﺣ ول )‪ (٨‬اﺻ ﻐر ﻣ ﺎ‬ ‫ﯾﻣﻛن‪:‬‬ ‫‪SSE   ( y *i  yˆ *i ) 2  ( y*i  b*0  b1* x *i ) 2 .‬‬

‫وﺗﺗ واﻓر ﺑ راﻣﺞ ﺣﺎﺳ ب ﻹﯾﺟ ﺎد ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ ‬اﻟﺗ ﻰ ﺗﺟﻌ ل ‪ SSE‬أﺻ ﻐر ﻣ ﺎﯾﻣﻛن‪.‬‬ ‫وﺑﺻورة ﺑدﯾﻠﺔ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ أن ﻧﺑﺣث ﺣﺳﺎﺑﯾﺎ ﺑﺗﺷﻐﯾل اﻧﺣدارات ﻣﺗﻛررة ﻣﻊ ﻗﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‬ ‫ﻟ ـ ‪ ‬ﻓ ﻲ ﻛ ل إﻧﺣ دار وذﻟ ك ﻻﺳ ﺗطﻼع اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﯾ ﺔ ﻟ ـ ‪ ‬اﻟﺗ ﻰ ﺗﺟﻌ ل ‪SSE‬‬ ‫أﺻ ﻐر ﻣ ﺎﯾﻣﻛن‪ .‬وﻋﻧ د ﻣﻌرﻓ ﺔ اﻟﻔﺗ رة اﻟﺗ ﻲ ﺗﻘ ﻊ ﻓﯾﮭ ﺎ ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ ‬اﻟﺗ ﻲ ﺗﺟﻌ ل ‪SSE‬‬ ‫أﺻ ﻐر ﻣ ﺎ ﯾﻣﻛ ن ‪ ،‬ﯾﻣﻛ ن اﻟﺑﺣ ث ﺿ ﻣن ھ ذه اﻟﻔﺗ رة ﻋﻠ ﻰ ﻗﯾﻣ ﺔ اﻛﺛ ر دﻗ ﺔ ﻟ ـ ‪. ‬‬ ‫وﺑﻣﺟرد اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ ‬اﻟﺗ ﻰ ﺗﺟﻌ ل ‪ SSE‬أﺻ ﻐر ﻣ ﺎﯾﻣﻛن ﯾﻣﻛﻧﻧ ﺎ ﺗﺣدﯾ د‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﺗﻠك اﻟﻘﯾﻣﺔ ﻟـ ‪. ‬‬ ‫وﺑﻣ ﺎ أن ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ ‪ ‬ھ ﻲ ﻗﯾﻣ ﺔ ﻛﺑﯾ رة ﻓ ﻲ اﻟﻐﺎﻟ ب وأن‬ ‫‪ SSE‬ﻛداﻟﺔ ﻓﻲ ‪ ‬ﺗﻛون ﻣﺳﺗﻘرة ﺗﻣﺎﻣﺎ ﻣن أﺟ ل ﻗ ﯾم ﻛﺑﯾ رة ﻟ ـ ‪ ‬ﺣﺗ ﻰ ‪ 1.0‬ﻓﻘ د‬ ‫اﻗﺗرح ﺑﻌض اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﯾن اﺳﺗﺧدام ‪   1.0‬ﻓﻲ اﻟﻧﻣوذج اﻟﻣﺣول )‪ (٨‬وإذا ﻛﺎﻧت‬ ‫‪   1‬ﻓﺈن ‪  0   0 (1  )  0‬ﻓﯾﺻﺑﺢ اﻟﻧﻣوذج اﻟﻣﺣول )‪ (٨‬ﻛﻣﺎﯾﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪Yi  1 x i  u i‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫)‪(١١‬‬ ‫)‪(١٢‬‬

‫‪Yi  Yi  Yi1‬‬ ‫‪x i  x i  x i 1‬‬

‫وھﻛذا ﻧﺟد ﻣرة أﺧ رى أﻧ ﮫ ﯾﻣﻛ ن ﺗﻘ دﯾر ﻣﻌ ﺎﻟم ﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار ﻣﺑﺎﺷ رة ﺑطرﯾﻘ ﺔ‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى وﺗرﺗﻛز ھذه اﻟﻣرة ﻋﻠ ﻰ إﻧﺣ دار ﻋﺑ ر ﻧﻘط ﺔ اﻷﺻ ل‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟ ﺔ‬ ‫اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة ﺳوف ﺗﻛون‪:‬‬ ‫‪yˆ   b1 x ‬‬

‫وﯾﻣﻛن ﺗﺣوﯾﻠﮭﺎ واﻟﻌودة ﻣرة أﺧرى إﻟﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻷﺻﻠﯾﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪yˆ  b 0  b1x‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪b 0  y  b1 x‬‬ ‫‪b1  b1 .‬‬

‫‪-٤‬إﺳﺗﺧدام ﺻﯾﻎ اﺧرى ‪:‬‬ ‫*‪ -‬ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺳﺑق أن ﺗﻧﺎوﻟﻧﺎھﺎ وھﻰ‪ˆ  1  DW / 2. :‬‬

‫*‪ -‬ﯾﻣﻛن ﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ‪ ‬ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ e i e i 1‬‬ ‫‪i 2‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪ ei‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪ˆ ‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﻌطﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟواردات واﻟﻧﺎﺗﺞ اﻟﻘوﻣﻲ ﺑ ﺎﻟﻣﻠﯾون ﺟﻧﯾ ﮫ ﻓ ﻲ ﺑﻠ د ﻣ ﺎ‬ ‫واﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ وﻣﻌﺎﻟﺟﺗﮫ‪.‬‬

‫اﻟواردات‬

‫اﻟﻧﺎﺗﺞ‬ ‫اﻟﻘوﻣﻲ ‪x i‬‬

‫‪1950‬‬

‫‪3748‬‬

‫‪21777‬‬

‫‪3615.5‬‬

‫‪1951‬‬

‫‪4010‬‬

‫‪22418‬‬

‫‪3795.2‬‬

‫‪214.73‬‬

‫‪1952‬‬

‫‪3711‬‬

‫‪22308‬‬

‫‪3764.4‬‬

‫‪-53.42‬‬

‫‪-268.16‬‬

‫‪1953‬‬

‫‪4004‬‬

‫‪23319‬‬

‫‪4047.8‬‬

‫‪-43.84‬‬

‫‪9.58‬‬

‫‪1954‬‬

‫‪4151‬‬

‫‪24180‬‬

‫‪4289.2‬‬

‫‪-138.2‬‬

‫‪-94.37‬‬

‫‪1955‬‬

‫‪4469‬‬

‫‪24893‬‬

‫‪4489.08‬‬

‫‪-20.08‬‬

‫‪118.12‬‬

‫‪1956‬‬

‫‪4582‬‬

‫‪25310‬‬

‫‪4605.9‬‬

‫‪-23.98‬‬

‫‪-3.90‬‬

‫‪1957‬‬

‫‪4697‬‬

‫‪25799‬‬

‫‪4743.07‬‬

‫‪-46.07‬‬

‫‪-22.08‬‬

‫‪1958‬‬

‫‪4753‬‬

‫‪25886‬‬

‫‪4767.4‬‬

‫‪-14.46‬‬

‫‪31.61‬‬

‫‪1959‬‬

‫‪5062‬‬

‫‪26868‬‬

‫‪5042.7‬‬

‫‪19.25‬‬

‫‪33.71‬‬

‫‪1960‬‬

‫‪5669‬‬

‫‪28134‬‬

‫‪5397.6‬‬

‫‪271.35‬‬

‫‪252.10‬‬

‫‪1961‬‬

‫‪5628‬‬

‫‪29091‬‬

‫‪5665.9‬‬

‫‪-37.92‬‬

‫‪-309.28‬‬

‫‪1962‬‬

‫‪5736‬‬

‫‪29450‬‬

‫‪5766.5‬‬

‫‪-30.56‬‬

‫‪7.36‬‬

‫‪1963‬‬

‫‪5946‬‬

‫‪30705‬‬

‫‪6118.3‬‬

‫‪-172.38‬‬

‫‪-141.82‬‬

‫‪1964‬‬

‫‪6501‬‬

‫‪32372‬‬

‫‪6585.7‬‬

‫‪-84.70‬‬

‫‪87.68‬‬

‫‪1965‬‬

‫‪6549‬‬

‫‪33152‬‬

‫‪6804.3‬‬

‫‪-255.36‬‬

‫‪-170.66‬‬

‫‪1966‬‬

‫‪6705‬‬

‫‪33764‬‬

‫‪6975.9‬‬

‫‪-270.92‬‬

‫‪-15.56‬‬

‫‪1967‬‬

‫‪7104‬‬

‫‪34411‬‬

‫‪7157.3‬‬

‫‪-53.30‬‬

‫‪217.62‬‬

‫‪1968‬‬

‫‪7609‬‬

‫‪35429‬‬

‫‪1969‬‬

‫‪8100‬‬

‫‪36200‬‬

‫‪7442.6‬‬ ‫‪7658.8‬‬

‫‪166.31‬‬

‫‪219.62‬‬

‫‪441.18‬‬

‫‪274.86‬‬

‫اﻟﺳﻧﺔ‬

‫‪yi‬‬

‫‪yˆ i‬‬

‫‪y i  yˆ i‬‬

‫‪ei ei1‬‬

‫‪132.42‬‬

‫‬‫‪82.3‬‬

‫ﺑﺈﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى اﻟﻌﺎدﯾﺔ ﻓﺈن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻹﻧﺣدار اﻟﻣﻘدره ھﻲ ‪:‬‬

‫‪yˆ  2489.25  0.28 x‬‬

‫وإذا ﻛﺎن‪:‬‬

‫‪e i2  567861‬‬

‫‪‬‬

‫‪(e i  e i 1 ) 2  491847‬‬

‫‪‬‬

‫وﺑﺗطﺑﯾق اﺧﺗﺑﺎر درﺑن_ واﺗﺳون ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪491847‬‬ ‫‪ 0.866‬‬ ‫‪567861‬‬

‫‪(e i  e i 1 ) 2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 2‬‬

‫‪n 2‬‬ ‫‪ ei‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪DW ‬‬

‫وﺑ ﺎﻟرﺟوع ﻟﻠﺟ دول دارﺑ ن – واﺗﺳ ون ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪   0.05‬وﻋ دد‬ ‫ﻣﺷ ﺎھدات ‪ 20‬وﻣﺗﻐﯾ ر ﻣﺳ ﺗﻘل واﺣ د )‪ (k=1‬ﻓ ﺈن ‪ d L  1.2 , d U  1.41‬وﻟﻣ ﺎ‬ ‫ﻛﺎﻧ ت ‪ DW < dL‬ﻓﻣ ن اﻟواﺿ ﺢ وﺟ ود ارﺗﺑ ﺎط ذاﺗ ﻲ ﻣوﺟ ب وﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ اﻻرﺗﺑ ﺎط‬ ‫اﻟذاﺗﻲ ﻧﺣﺳب أوﻻ ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪215848‬‬ ‫‪ 0.380107‬‬ ‫‪567861‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ e i e i 1‬‬ ‫‪i 2‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪ ei‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪ˆ ‬‬

‫وﺑﺗطﺑﯾق اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪y *i  y i  0.380107 y i 1‬‬ ‫‪x *i  x i  0.380107 x i 1‬‬

‫وﺑﺈﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺣوﻟﺔ ﻛﺎﻧت اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ‪:‬‬ ‫‪yˆ*  1727.4  0.290662x ‬‬ ‫وﻗﯾﻣ ﺔ ‪ DW =1.315‬وﻧﻼﺣ ظ أن ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ DW‬ﺗﻘ ﻊ ﺑ ﯾن ‪ d U‬و ‪ d L‬أي ﺑ ﯾن ‪1.41‬‬ ‫و ‪ 1.20‬واﻟﺗﻲ ﺗﻌﻧﻲ ﻋدم وﺟود اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﻌط ﻰ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻟﻣﺗﻐﯾ رﯾن ‪Y‬‬ ‫اﻟذاﺗﻲ وﻣﻌﺎﻟﺟﺗﮫ‪.‬‬

‫‪ x ,‬واﻟﻣطﻠ وب اﺧﺗﺑ ﺎر اﻻرﺗﺑ ﺎط‬

‫اﻟﻔﺗرة‬

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

e i e i 1

e i2

3.63

0.97

0.2812

0.0791

4.20

0.95

0.3654

0.1028

0.1335

3.33

0.99

0.4670

0.1706

0.2181

4.54

0.91

-0.2662

-0.1243

0.0709

2.89

0.98

-0.2159

0.0575

0.0466

4.87

0.90

-0.1791

0.0387

0.0321

4.90

0.89

-0.3920

0.0702

0.1537

5.29

0.86

-0.7307

0.2864

0.5339

6.18

0.85

-0.0836

0.0611

0.0070

7.20

0.82

0.2077

-0.0174

0.0431

7.25

0.79

-0.4710

-0.0978

0.2218

6.09

0.83

-0.6594

0.3106

0.4348

6.80

0.81

-0.4352

0.2870

0.1894

8.65

0.77

0.4432

-0.1929

0.1964

8.43

0.76

-0.0197

-0.0087

0.0004

8.29

0.80

0.8119

-0.0160

0.6592

7.18

0.83

0.4306

0.3496

0.1854

7.90

0.79

0.1790

0.0771

0.0320

8.45

0.76

0.0003

0.0001

0.0000

8.23

0.78

0.2661

0.0001

0.0708

20  e i e i 1 i 2

 1.3547

20 2  ei i 1

 3.3082

‫اﻟﺣــل‬

‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ﻓﺈن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرﻩ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪yˆ  26.90989  24.28977 x‬‬

‫اﻟﻌﻣود ‪ 3‬ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﯾوﺿﺢ اﻟﺑواﻗﻰ ﻟﻬذا اﻟﻧﻣوذج وﻋﻠﻰ ذﻟـك ﻓـﺈن ﻗﯾﻣـﺔ ‪DW‬‬

‫ﻫـﻲ ‪ 1.14‬واﻟﺗـﻰ ﻋﻧـد ﻣﻘﺎرﻧﺗﻬـﺎ ﻣـﻊ اﻟﻘـﯾم اﻟﺣرﺟـﺔ ﻋﻧـد ‪   0.05‬و ‪ n = 20‬ﺣﯾـث‬ ‫‪ d L  1.2 , d U  1.41‬ﺗوﺿـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺢ أن ﻫﻧـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎك ارﺗﺑـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎط ذاﺗـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻲ ﻣوﺟـ ـ ـ ـ ـ ـ ــب ﻹن‬ ‫‪ . 0  1.14  d L‬اﻟﺗﻘدﯾر ﻟﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ‪:‬‬ ‫‪1.3547‬‬ ‫‪ 0.409.‬‬ ‫‪3.3082‬‬

‫) ‪(e i e i 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i2‬‬

‫‪20 2‬‬ ‫‪ ei‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪ˆ ‬‬

‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺣوﻟﺔ ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x *i  x i  0.409x i 1 , y *i  y i  0.409y i 1‬‬

‫ﺣﯾـث ‪ . i = 1, 2, …,20‬ﻫــذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧـﺎت اﻟﻣﺣوﻟــﺔ ﻣوﺿــﺣﻪ ﻓـﻲ اﻟﺟــدول اﻟﺗــﺎﻟﻰ ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرﻩ ﺑﺎﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ﺳوف ﺗﻛون‪:‬‬

‫‪yˆ   15.85043  24.19991x ‬‬

‫)‪(3‬‬

‫)‪(2‬‬

‫)‪(1‬‬

‫‪e *i‬‬

‫‪y *i‬‬

‫‪x *i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪0.2504‬‬

‫‪2.715‬‬

‫‪0.553‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0.3176‬‬

‫‪1.612‬‬

‫‪0.601‬‬

‫‪3‬‬

‫‪-0.4572‬‬

‫‪3.178‬‬

‫‪0.505‬‬

‫‪4‬‬

‫‪-0.1070‬‬

‫‪1.033‬‬

‫‪0.608‬‬

‫‪5‬‬

‫‪-0.0908‬‬

‫‪3.688‬‬

‫‪0.499‬‬

‫‪6‬‬

‫‪-0.3187‬‬

‫‪2.908‬‬

‫‪0.522‬‬

‫‪7‬‬

‫‪-0.5704‬‬

‫‪3.286‬‬

‫‪0.496‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0.2153‬‬

‫‪4.016‬‬

‫‪0.498‬‬

‫‪9‬‬

‫‪0.2419‬‬

‫‪4.672‬‬

‫‪0.472‬‬

‫‪10‬‬

‫‪-0.5559‬‬

‫‪4.305‬‬

‫‪0.455‬‬

‫‪11‬‬

‫‪-0.4668‬‬

‫‪3.125‬‬

‫‪0.507‬‬

‫‪12‬‬

‫‪-0.1655‬‬

‫‪4.309‬‬

‫‪0.471‬‬

‫‪13‬‬

‫‪0.6212‬‬

‫‪5.869‬‬

‫‪0.439‬‬

‫‪14‬‬

‫‪-0.2010‬‬

‫‪4.892‬‬

‫‪0.445‬‬

‫‪15‬‬

‫‪0.8200‬‬

‫‪4.842‬‬

‫‪0.489‬‬

‫‪16‬‬

‫‪0.0985‬‬

‫‪3.789‬‬

‫‪0.503‬‬

‫‪17‬‬

‫‪0.0029‬‬

‫‪4.963‬‬

‫‪0.451‬‬

‫‪18‬‬

‫‪-0.0729‬‬

‫‪5.219‬‬

‫‪0.437‬‬

‫‪19‬‬

‫‪0.2660‬‬

‫‪4.774‬‬

‫‪0.469‬‬

‫‪20‬‬

‫ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻﺎء ‪ DW‬ﻟﻠﻧﻣوذج اﻟﻣﺣول ھو ‪ .DW = 1.94‬وﺑﻣﻘﺎرﻧﺔ ھ ذه اﻟﻘﯾﻣ ﺔ ﻋﻧ د‬ ‫‪   0.05‬و ‪ n = 19‬و ‪) d U  1.41 , d L  1.20,‬ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ( وﺑﻣ ﺎ أن‬ ‫‪ d U  1.94  2‬أي ‪ . 1.41  1.94  2‬ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺳ ﺗﻧﺗﺞ أن اﻷﺧط ﺎء ﻟﻠﻧﻣ وذج‬ ‫اﻟﻣﺣول ﻏﯾر ﻣرﺗﺑطﺔ وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ اﺧﺗزﻟت ﻣﺷﻛﻠﺔ اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ‪.‬‬ ‫وﯾﺟب أن ﻧﻧوه ھﻧﺎ إﻟﻰ أن ‪ 1‬ﻓﻲ اﻟﻧﻣوذج اﻟﻣﺣول ﺗﺳ ﺎوي ‪ 1‬واﻟﻣوﺟ ودة ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﻧﻣوذج اﻻﺻﻠﻲ ‪ Yi   0  1x i   i‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺑﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ واﻟذى‬ ‫ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻻﺻﻠﯾﺔ واﻟﺟدول اﻟذى ﯾﻠﯾﮫ واﻟذى ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﻣﺣوﻟ ﺔ‬ ‫ﻧﺟد أن ھذه اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ادت اﻟﻰ ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﯾل ﯾﺧﺗﻠف ﻗﻠﯾﻼ ﻋن اﻟذي ﺣﺻ ﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾ ﮫ‬

‫ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام طرﯾﻘ ﺔ اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﺻ ﻐرى ‪ .‬ﺑﻣﻘﺎرﻧ ﺔ اﻷﺧط ﺎء اﻟﻣﻌﯾﺎرﯾ ﺔ ﻟﻠﺗﻘ دﯾرات ﻣ ن‬ ‫اﻟﺟـدوﻟﯾن ﻧﺟد أن ﺗﻘدﯾر اﻟﻣﯾل ﻣن اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛ ﺔ ﻟ ﮫ ﺧط ﺄ ﻣﻌﯾ ﺎري أﻛﺑ ر ﻣ ن ﺗﻘ دﯾر‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﺻ ﻐرى اﻟﻌﺎدﯾ ﺔ‪ .‬ﺑدﻻﻟ ﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻻﺻ ﻠﯾﺔ ﻓ ﺈن اﻟﺟ زء اﻟﻣﻘط وع ﻣ ن‬ ‫ﻣﺣور اﻟﺻﺎدات وﺧطﺄه اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو‪:‬‬ ‫‪b 0‬‬ ‫‪15.85043‬‬ ‫‪b0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1   1  0.409‬‬ ‫‪ 26.81968 ,‬‬

‫اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﮫ ھو‪:‬‬ ‫) ‪s.e( B0‬‬ ‫‪0.9471‬‬ ‫‪s.e( B 0 ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1.6025.‬‬ ‫ˆ‪1  ‬‬ ‫‪1  0.409‬‬

‫اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﻌﯾﺎري‬

‫اﻟﺗﻘدﯾر‬

‫اﻟﻣﻌﺎﻣﻼت‬

‫‪1.1099‬‬

‫‪26.90989‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1.2978‬‬

‫‪-24.28977‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R2 = 0.95‬‬

‫‪MSE = 0.1838‬‬

‫اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﻌﯾﺎري‬

‫اﻟﺗﻘدﯾر‬

‫اﻟﻣﻌﺎﻣﻼت‬

‫‪0.9471‬‬

‫‪15.85043‬‬

‫‪ 0‬‬

‫‪1.9015‬‬

‫‪-24.19991‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R2 = 0.91‬‬

‫‪MSE = 0.1547‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟراﺑﻌﺔ‬ ‫ﻗﺑل ﺗﻧﺎول ھذه اﻟطرﯾﻘﺔ ﺳوف ﻧﺗﻧﺎول ﺧواص ﺣدود اﻟﺧطﺄ‪.‬‬

‫ﺧواص ﺣدود اﻟﺧطﺄ‬ ‫ﻋﻠﻣﻧﺎ ﻣﻣ ﺎ ﺳ ﺑق ان اﻟﺧط ﺄ اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ﻟﻛ ل ﻓﺗ رة زﻣﻧﯾ ﺔ ﯾﻌﺗﻣ د ﺑﺷ ﻛل ﺧط ﻰ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟﺧطﺄ اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻟﻠﻔﺗرات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﮭﺎ إي أن ‪:‬‬ ‫‪ i   i 1  u i ,‬‬

‫وﻣن اﻟﻧﻣوذج ‪ Yi   0  1x i   i‬ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪ i 1   i 2  u i 1 ,‬‬

‫وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪ i  ( i 2  u i1 )  u i   2  i 2  u i 1  u i ,‬‬

‫واﻵن ﺑوﺿﻊ ‪  i3  u i2‬ﻣﻛﺎن ‪  i2‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪ i   3  i 3   2  i 2  u i 1  u i ,‬‬

‫وﺑﺎﻹﺳﺗﻣرار ﺑﮭذه اﻟطرﯾﻘﺔ ﻧﺟد أن ‪:‬‬ ‫)‪(١٣‬‬

‫‪‬‬

‫‪ i  u i  u i1   2 u i 2   3 u i 3  ...    s u i s ,‬‬ ‫‪s 0‬‬

‫أى ان اﻟﺧط ﺄ ﻓ ﻲ اﻟﻔﺗ رة ‪ i‬ﯾﻣﺛ ل ﺗرﻛﯾﺑ ﮫ ﺧطﯾ ﺔ ﻣ ن ﺣ د اﻻﺿ طراب اﻟ راھن ‪u i‬‬

‫واﻟﺣدود اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﮫ ‪ .‬وﻋﻧدﻣﺎ ‪ 0 <  < 1‬ﻓﺈن )‪ (١٣‬ﺗﺷﯾر إﻟﻰ أن ﻛﻠﻣﺎ ﺑﻌ دت اﻟﻔﺗ رة‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻣﺎﺿﻰ ﻛﻠﻣﺎ ﻛﺎن ﻟﺣد اﻻﺿطراب وزن أﻗل ﻓ ﻲ ﺗﺣدﯾ د ﻗﯾﻣ ﺔ ‪.  i‬وﯾﻣﻛ ن اﺛﺑ ﺎت‬ ‫أن اﻟﻣﺗوﺳط ﻟـ ‪  i‬ﻓﻲ ﻧﻣوذج ﺧط اﻻﻧﺣدار اﻟذاﺗﻲ ﻣن اﻟرﺗـﺑﮫ اﻷوﻟـﻰ‬ ‫‪ i   i 1  u i ,‬‬

‫ھﻲ ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪E ( i )  0‬‬

‫وذﻟك ﺑﺄﺧذ ﺗوﻗﻊ ‪  i‬ﻓﻲ )‪.(١٣‬‬ ‫ﺗﺑﺎﯾن اﻷﺧطﺎء اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ﯾﻛون ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪E( i2 )  E( u i2 )   2 E( u i 1 ) 2   4 E( u i 2 ) 2  ...‬‬

‫وﺑﻣﺎ أن ‪:‬‬ ‫‪E (u i2 )   2u , E(u i u j )  0 , i  j‬‬

‫أذن ‪:‬‬

 2   2u   2  2u   4  2u  ....

: ‫أي أن‬  2   2u (1   2   4  ...)   2u /(1   2 )

(١٤)

‫أﻣ ﺎ اﻟﺗﻐ ﺎﯾر ﺑ ﯾن اﻷﺧط ﺎء ﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ ﻟﻠﻧﻣ وذج اﻟﺧط ﻲ اﻟﻣ دروس ﯾﻣﻛ ن اﻟوﺻ ول اﻟﯾ ﮫ‬ :‫ﺑﺎﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ‬  i  u i  u i 1   2 u i 2  ...

:‫وﻛذﻟك‬  i 1  u i 1  u i 2   2 u i 3  ...

:‫أذن‬ E ( i  i 1 )  E[( u i  u i 1   2 u i 2  ...) (u i 1  u i  2   2 u i 3  ...)]

 E{[ u i  (u i1  u i 2  ...)][u i 1  (u i 2  u i3  ...)]}

:‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬ E ( i  i 1 )  E( u i 1  u i 2  ...) 2   [E ( u i21 )   2 E( u i22 )  ...]   [ 2u   2  2u  ...]

:‫أذن‬ E ( i  i1 )   2u (1   2   4  ...) 

  2u

(١٥)

1 - 2

‫( ﻧﺟد أن‬١٤) ‫( ﻣﻊ‬١٥) ‫وﺑﻣﻘﺎرﻧﺔ‬ E( i  i 1 )   2

(١٦)

 2   2 ‫وﻟﻠﺗﺳﮭﯾل ﺳوف ﻧﺿﻊ‬

‫واﻟﻌﻼﻗﺔ ﻓﻲ )‪ (١٦‬ﯾﻣﻛن أن ﺗوﺿﻊ ﺑﺷﻛل ﻋﺎم ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪E( i  i s )   s  2 , s  0,1,2,..., n - 1 .‬‬

‫ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻟو ﻛﺎﻧت ‪ s = 0‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪E ( i  i  0 )   2‬‬

‫وﻓﻰ ﺣﺎﻟﮫ ‪ s=1‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪E( i  i 1 )   2‬‬

‫أﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧت ‪ s = 2‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪E ( i  i  2 )   2  2‬‬

‫وأﺧﯾرا ً إذا ﻛﺎﻧت ‪ s = n-1‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪E ( i  i ( n 1) )   n 1 2‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ﺑﯾن ﺣدود اﻷﺧطﺎء ھو‪:‬‬ ‫) ‪Cov( i ,  i 1‬‬ ‫‪ i  i 1‬‬

‫‪ .‬‬

‫‪ ii 1 ‬‬

‫‪ 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪1  2 1  2‬‬

‫أي أن ﻣﻌﻠﻣ ﺔ اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟ ذاﺗﻲ ‪ ‬ھ ﻲ ﻧﻔﺳ ﮭﺎ ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط ﺑ ﯾن ﺣ دود اﻷﺧط ﺎء‬ ‫اﻟﻣﺗﺟﺎورة ﺣﯾث ‪.  2   2u‬‬ ‫وﺑﺟﻣ ﻊ ھ ذه اﻟﺣ دود ﻓ ﻲ ﻣﺻ ﻔوﻓﺔ اﻟﺗﻐ ﺎﯾر واﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻟﻸﺧط ﺎء اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ‬ ‫اﻟﻧﻣوذج اﻟﺧطﻲ اﻟﻣﺗﻌدد اﻟذي ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫)‪( ١٧‬‬ ‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪Y  X  ‬‬

‫‪....  n 1 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪....  n 2  2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪....‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪ 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ n 3  2‬‬

‫‪ n2  2‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪Cov( )   .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪ n 1 2‬‬ ‫‪‬‬

‫إي أن ‪:‬‬ ‫‪ n 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ....  n 2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪ n 4 ....‬‬ ‫‪1 ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 3 ....‬‬

‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ n 3‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Cov( )    .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪ n 1  n 2‬‬ ‫‪‬‬

‫إي أن اﻟﺧط ﺄ اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ﻟﻧﻣ وذج اﻹﻧﺣ دار اﻟﺧط ﻲ اﻟﻣﺗﻌ دد )‪ (١٧‬ﺳ وف ﯾﺧﺿ ﻊ‬ ‫ﻟﻔرﺿﯾﺔ وﺟود إرﺗﺑﺎط ذاﺗﻲ ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ ‪ .‬إي أن ‪:‬‬ ‫) ‪ ~ N (0,  2 ‬‬

‫وﻟﺗﻘ دﯾر ﻣﻌ ﺎﻟم ﻧﻣ وذج اﻹﻧﺣ دار اﻟﺧط ﻲ )‪ (١٧‬ﺳ وف ﻧﺗﺑ ﻊ اﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻟراﺑﻌ ﺔ)طرﯾﻘ ﺔ‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى اﻟﻣرﺟﺣﺔ( واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗﻠف ﻋﻣ ﺎ أوﺿ ﺣﻧﺎه ﻓ ﻲ اﻟﻔﺻ ل اﻟراﺑ ﻊ ﻓﻘ ط‬ ‫ﻣ ن ﺣﯾ ث أن اﻟﻣﺻ ﻔوﻓﺔ ‪ ‬ﻟﯾﺳ ت ﻗطرﯾ ﺔ ‪ .‬وﻓ ﻲ ھ ذه اﻟطرﯾﻘ ﺔ ﻻﺑ د ﻣ ن إﯾﺟ ﺎد‬ ‫ﻣﻌﻛ وس اﻟﻣﺻ ﻔوﻓﺔ ‪ ‬وﯾﺟ ب أن ﺗﻛ ون رﺗﺑ ﺔ اﻟﻣﺻ ﻔوﻓﺔ ‪ ‬ﻣﺳ ﺎوﯾﺔ إﻟ ﻰ ﺣﺟ م‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗﺣت اﻟﺑﺣث ‪ .‬ﻓﻣﺛﻼ ﻋﻧد اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ n=2‬ﺗﻛون اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ ‪ ‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻲ‬ ‫‪:‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ n=3‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 1 1   2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻣﻌﻛوس اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬

‫وﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ ﻓﺈن اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪- ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0...0‬‬ ‫‪0...0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0...0‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪  1  2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫ﺳوف ﯾﻛون‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  1   2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫) ‪(1  ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬ﺳوف ﺗﻛون ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  1   2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪  1  2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(1   2 )  ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪W‬‬

‫اﻟﺗﻘدﯾر ﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺗﻐﺎﯾر واﻟﺗﺑﺎﯾن ﺳوف ﺗﻛون ‪s 2 (X  1X ) 1 :‬‬

‫ﺣﯾث أن ‪:‬‬ ‫‪y 1 y  b X  1 y‬‬ ‫‪s ‬‬ ‫‪n  k 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫اﻵن ﺳوف ﻧﺷرح اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟراﺑﻌﺔ ﻟﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎﻟم ﻧﻣوذج اﻹﻧﺣدار )‪ (١٧‬واﻟﻣﺳﻣﻰ‬ ‫ﺑطرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى اﻟﻣرﺟﺣﺔ وذﻟك ﻣن ﺧﻼل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ذات ﺧﻣﺳ ﺔ ﻣﺷ ﺎھدات ‪ ،‬اﺧ ذ ﻓﯾﮭ ﺎ ﻛ ل ﻣ ن اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ )‪(Y‬‬ ‫واﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ) ‪ ( x 2 ), ( x1‬اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪4,8,6,2,9‬‬

‫‪y:‬‬

‫‪x1 : 2 , 5 , 2 , 1 , 10‬‬ ‫‪x2 : 1 , 3 , 7 , 2 , 1‬‬

‫اﻟﻣطﻠوب ‪:‬‬ ‫ﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎﻟم اﻟﻧﻣوذج اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪Y   0  1x 1   2 x 2  .‬‬

‫ﻣﺳﺗﺧدﻣﺎ ً‪:‬‬ ‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟراﺑﻌﺔ ﻋﻠﻣﺎ ﺑﺄن‪:‬‬ ‫)‪ ~ N (0,  2 ‬‬

‫وأن ) ‪ (‬ﯾﺗﺑﻊ اﻻرﺗﺑﺎط اﻟذاﺗﻲ ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ ﻣﻊ )‪(ˆ  0.6‬‬

‫اﻟﺣـل‬ ‫اوﻻ‪:‬‬ ‫‪b 0 ‬‬ ‫‪b   b1   X' WX 1 X' Wy‬‬ ‫‪ b 2 ‬‬

‫ﻋﻠﻣﺎ ً ﺑﺎن‪:‬‬

1  -    1  W 0 2  1    0 0 

-

1  2

-

1  2

-

1  2

-

0   0    0    -  1 

:‫أذن‬ 1 - 0.6   1  W 0 0.64    0 0

- 0.6

 - 0.6 0 0     1.36 - 0.6 0    - 0.6 1.36 - 0.6 0 - 0.6 1 

1.36 - 0.6 0 0

: ‫أذن‬  1 1   1  X WX    2 5    1 3

1 - 0.6  0  0 0

- 0.6

1     1  10     0.64   1 

 1 1.36 - 0.6 0 0  1  - 0.6 1.36 0.6 0  1  0 - 0.6 1.36 - 0.6 1 0 0 - 0.6 1  1

1   5 3   2 7   1 2   10 1  

-1

1.28 6.08 2.72   0.64 6.08 106.4 3.76     2.72 3.76 38.32

1

:‫اﻣـﺎ‬  7.76      1 98.84  , X Wy  0.64      24.2 

b 0   1.28        b1   0.64 6.08        b 2   2.72

6.08 106.4 3.76

1

2.72  7.76       1   3.76    98.84   0.64       24.2  38.32

:‫أى أن‬  b0   0.981  b    0.856   1    b 2   0.478

:‫أذن‬ yˆ  0.981  0.856x1  0.478x 2 .