اول :حل السؤال الول وليزيد من التفاصيل ينكنك الرجوع ال كتاب على النتدى اتستخدام التستدلل الحصائى البيييزى ف اختبارات الياة الفصل الامس تقدير المكان الكبر لمتوسط الحياة فى حالة المعاينة من النوع الثانى إذا كان لدينا اختبار الياة من عينة مراقبة من النوع الثان وبفرض ان
y1 < y 2 < K < y r
الشاهدات الرتبة والاخوذة من عينة عشوائية من المجم nتتبع التوزيع التسى بلعلمة y = y1 , y 2 ,K , y r
θ
واللطلوب تقدير متوتسط زمن الياة
θ
هى ال rالول من
حيث
r<n
و
.دالة المنكان تلعلطى كاليت :
r !n ∏ f (yi )[1 − F(y r )]n −r (n − r)! i =1 y
= L(y1 , y2 ,..., y n | θ) = L y
r !n ) 1 (− i ) (− r [∏ e θ ][e θ ]n − r (n − r)! i =1 θ r
=
1
] yi + (n − r ) yr ∑ [n! 1 ( − θ i=1 = e . (n − r)! θr
مقدر المنكان الكب MLEللملعلمة ∂ ln L =0 ˆ∂θ θ=θ
r
] [∑ yi + (n − r)y r θ
i =1
ln L = −r ln θ − θ
r
.
] [∑ yi + (n − r)y r θ2
i =1
بوضع :
1
∂ ln L −r ∴ = + ∂θ θ
θ
هو الل للملعادلة :
ويتم باللطوات التالية:
∂ ln L = 0. ˆ∂θ θ=θ
yi + (n − r)y r θˆ 2
r
∑ −r ⇒ = i =1 ˆθ
r u ⇒ θˆ = ,u= ∑ yi + (n − r)y r . r i =1
ˆθ
الن يتم دراتسة التوزيع البضبوط للمقدر . دالة النكثافة الحتمالية الشتكة للحصاءات التتيبية ف اللعينة تلعلطى كالتال: r
)
] [∑ yi + (n − r)y r θ
i =1
1 g(y1 , y 2 ,..., y r ) = r exp(− θ
r
] U = [∑ Yi + (n − r)Yr i =1
الن اللطلوب اياد توزيع بفرض التحويلة الحادية:
. Z1 = n (Y1 − Y0 ), ) Z2 = (n − 1)(Y2 − Y1 ) Z3 = (n − 2)(Y3 − Y2
M Zi = (n − i + 1)(Yi − Yi −1 ) , i = 1,2,...,r , Y0 = 0 والتحويلة اللعنكسية لا هي: Z1 Z Zi + 2 + ... + , i = 1,2,L,r, n n −1 n − i +1 وهذا يلعن ان : r
r
i =1
i =1
∑ Yi + (n − r)Yr = ∑ Zi = U . ومنها يتم اياد جاكوبيان التحويل كالتال:
2
= Yi
∂y1 ∂z r
L
∂y1 ∂z 2
∂y1 ∂z1
L
∂y2 ∂z 2
∂y 2 J = ∂z1 M ∂y r ∂z1
∂y 2 !n = ∂z r . !)(n − r M ∂y r L ∂z r
M ∂yr ∂z 2
ومنها : r
∑ zi ) 1 ( − i =1θ g(z1,z 2 ,...,z r ) = r e . θ ما يلعن إن التغيات
حيث ان توزيع
U
Zi
θ
متغيات عشوائية مستقلة ومتلطابقة وكل منها يتبع التوزيع التسي باللعلمة . Zi : E xp(θ) ⇒ U : G(θ, r).
هو : u > 0.
,
1 ( )r u − h(u) = θ u r-1 e θ )Γ(r r
U = ∑ Zi
كما ينكن ينكن إياد توزيع
i =1
من الدالة الولدة لللعيزوم كالتال :
M Zi (t) = (1 − tθ) −1 ,i = 1, 2,...r (t) = (1 − tθ) − r .
r
∑ Zi
M
i =1
والت تثل الدالة الولدة لللعيزوم لتغي عشوائي يتبع جاما بلعلمتي
3
)(θ, r
ˆθ
.التوزيع البضبوط للمقدر ينكن اياده من الدالة الولدة لللعيزوم كالتال :
tθ − r ) . r
(t) = (1 −
r
∑ Zi
M θˆ (t) = M U (t) = M r
i =1
r
والت تثل الدالة الولدة لللعيزوم لتغي عشوائي يتبع جاما بلعلمتي لياد التوقع والتباين لتوزيع
ˆθ
θ )( , r r
.
) البضبوط ( exactنتبع التال:
1 1 E(θˆ ) = E(U) = (rθ) = θ. r r .
أي ان
ˆθ
θ
مقدر غي متحييز للملعلمة .
التباين للمقدر 1 r ) ∑ Zi r i =1
) ∑ Var(Z i =1
1 n2
1 θ2 2 (r θ =) . r2 r
= =
ودالة كثافة الحتمال للمتغي , θˆ > 0.
يسب كالتال :
(Var(θˆ ) = Var n
i
ˆθ
ˆθ
تنكون على الشنكل التال :
r ( )n ˆrθ − r −1 θ ˆ ˆ = )f(θ θ e θ )Γ(r ˆθ
لبثبات أن القدر غي متحييز بأقل تباين أي MVUEنتبع التال .: ∂ 2 ln L r u = 2 +2 3. 2 ∂θ θ θ 2 ∂ ln L r 2rθ r (E )= 2 − 3 =− 2 2 ∂θ θ θ θ 2 2 1 θ ˆ) = θ . = = (Var θ ∂ 2 ln L r r (−E ) 2 ∂θ 4
ˆθ
أي أن القدر هو مقدر غي متحييز بأقل تباين أي . MVUE لبثبات أن 1 −θu e θr −u θ
ˆθ
إحصاء كاف sufficientنتبع اليت :
=L
L = (1).(θ e ) , N(x) . K(u,θ). -r
−u
حيث
N(x) =1
⇒ U sufficient for θ . ⇒ θˆ sufficient for θ . r
U= ∑ Zi i=1
إحصاء كاف للملعلمة
θ
وبالتال فإن
U = ˆθ n
و
K(u,θ)=θ-r e θ
.
إحصاء كاف أيبضا .
ثانيا :السؤال الثانى يمكنك تتبع المثالين التاليين وسوف تحله ان شاء ال
مثال Y = X2
بفرض أن Xمتغي اًر عشوائيًا من النوع المتصل ،إواذا كان )FY (y) = P[X 2 ≤ y] = P[ − y ≤ X ≤ y] = FX ( y) − FX (− y
أوجد
فإن :
)f Y (y
الحــل: فششي هششذه التحالششة دالششة كثافششة التحتمششال للمتغيششر العششوائي Yيمكششن التعششبير عنهششا بدللششة دالششة كثافششة التحتمال للمتغير العشوائي Xوذلك لن :
5
d ])[FX ( y) − FX ( − y dy d d )= f X ( y )y − f X (− y) ( − y dy dy 1 = ])[f X ( y) + f X ( − y y>0 2 y
= )f Y (y
= 0 ,
e.w.
مثال إذا كانت دالة كثافة التحتمال لمتغير Xهي :
, −2<x <6
1 8
= )f (x
أوجد دالة كثافة التحتمال للمتغير . Y = X2
)
y
(
+ fX −
)( y
الحــل: 1 f 2 y X
1 1 1 + 0<y<4 8 2 y 8 + 0
)( y
1
f 2 y X
, 4 < y < 36
= )f Y (y = = )f Y (y
1 + 0 8 = 2 y
أي أن دالة كثافة التحتمال للمتغير Yهي : 0 < y ≤ 4.
1 8 y f Y (y) = 1 16 y
,
, 4 < y < 36.
6