أﻣﺜﻠﺔ وﺗﻄﺒﯿﻘﺎت ﻋﻠﻰ اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ: اﺧﺘﺒﺎرات اﻟﺤﯿﺎة: ﺗﺴــﺘﺨﺪماﻹﺣﺼــﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴــﺔ ﰲ اﻟﻜﺜــﲑ ﻣــﻦ اﻟﺘﻄﺒﻴﻘــﺎت وﳍــﺎ أﳘﻴــﺔ ﺑــﺎرزة ﰲ اﺧﺘﺒــﺎرات اﳊﻴــﺎة ،ﻣــﺜﻼً إذا ﻛــﺎن ﻟــﺪﻳﻨﺎ X1 , X 2 ,, X nﻣﺘﻐ ـﲑات ﻋﺸ ـﻮاﺋﻴﺔ ﲤﺜــﻞ زﻣــﻦ اﳊﻴــﺎة ﻟـ ـ nﻣــﻦ اﻟﻮﺣــﺪات ﻓــﺈن اﻹﺣﺼــﺎء اﻟﱰﺗﻴﱯ Y1ﳝﺜﻞ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ﻟﻠﻮﺣﺪة اﻟﱵ ﺗﻔﺸﻞ أوﻻً و Y2زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ﻟﻠﻮﺣﺪة اﻟﱵ ﺗﻔﺸﻞ ﺛﺎﻧﻴﺎً وﻫﻜﺬا.
ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ 6وﺣﺪات وﺗﻘﻮم اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﻠﻰ ﺗﺴﺠﻴﻞ زﻣﻦ اﻟﻔﺸﻞ ﻟﻜﻞ وﺣـﺪة وﺗﻨﺘﻬـﻲ اﻟﺘﺠﺮﺑـﺔ ﺑﻔﺸـﻞ اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺴﺎدﺳﺔ وﻛﺎﻧﺖ اﳌﺸﺎﻫﺪات ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ: 5 , 7 ,12 ,15 ,17 , 20.
ﻻﺣﻆ إن زﻣﻦ اﳊﻴﺎة اﻟﻜﻠﻲ ﳉﻤﻴﻊ اﻟﻮﺣﺪات 76وﺣﺪة زﻣﻨﻴﺔ . 20
17
15
12
7
5
y6
y5
y4
y3
y2
y1
y 6 y5
y5 y4
y 4 y3
y3 y 2
y 2 y1
y1
3
2
3
5
2
5
ﻻﺣﻆ إن اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺤﻴﺎة ﰲ اﻟﻔﱰة اﻷوﱃ ny1 (6)(5) 30ﺣﻴﺚ nﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﺗﻌﻤﻞ ﰲ ﻫﺬﻩ اﻟﻔﱰة. اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺤﻴﺎة ﻟﻌﺪد ) (n 1ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﰲ اﻟﻔﱰة y 2 y1ﻫﻮ: (n 1)(y 2 y1 ) (5)(2) 10.
اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺤﻴﺎة ﻟﻌﺪد ) (n 2ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﰲ اﻟﻔﱰة y 3 y 2ﻫﻮ: (n 2)(y3 y 2 ) (4)(5) 20.
اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺤﻴﺎة ﻟﻌﺪد ) (n 3ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﰲ اﻟﻔﱰة y 4 y3ﻫﻮ: (n 3)(y 4 y 3 ) (3)(3) 9.
اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺤﻴﺎة ﻟﻌﺪد ) (n 4ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﰲ اﻟﻔﱰة y 5 y 4ﻫﻮ: ١
(n 4)(y5 y 4 ) (2)(2) 4.
اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺤﻴﺎة ﻟﻌﺪد ) (n 5ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﰲ اﻟﻔﱰة y 6 y 5ﻫﻮ: (n 5)(y 6 y5 ) (1)(3) 3.
وﳝﻜﻦ ﲤﺜﻴﻞ ذﻟﻚ ﺑﺎﳉﺪول اﻟﺘﺎﱄ:
اﻟﻤﺠﻤﻮع
20
17
15
12
7
5
اﻟﻔﺘﺮة
30
5
5
5
5
5
5
ny1
10
2
2
2
2
2
20
5
5
5
5
9
3
3
3
4
2
2
3
3
) (n 1)(y 2 y1 ) (n 2)(y3 y 2 ) (n 3)(y 4 y3 ) (n 4)(y5 y 4 ) (n 5)(y 6 y 5
اﻟﻤﺠﻤﻮع
76
وﳝﻜﻦ اﻋﺘﺒﺎر ) z i (n i 1)(y i yi1ﻣﺸﺎﻫﺪات ﳌﺘﻐﲑات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﲤﺜﻞ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة اﻟﻜﻠﻲ ﺧﻼل اﻟﻔﱰة ﻣﻦ ﻓﺸﻞ اﻟﻮﺣﺪة i 1إﱃ ﻓﺸﻞ اﻟﻮﺣﺪة َ iوﺗﻜﺘﺐ ﺑﺼﻮرة ﻋﺎﻣﺔ: Zi (n i 1)(Yi Yi 1 ) , i 1,2,...,n , Y0 0
وﰲ اﳌﺜﺎل اﻟﺘﺎﱄ ﺳﻨﱪﻫﻦ إن ﻫﺬﻩ اﳌﺘﻐﲑات ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ.
ﻣﺜﺎل
ﻟﺘﻜﻦ X1 , X 2 ,, X nﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ nﻣﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ أﺳﻲ ﲟﺘﻮﺳﻂ ﺣﻴﺚ. 1 x f (x) exp( ) ; 0 , x 0.
داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﰲ اﻟﻌﻴﻨﺔ ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ:
) g(y1 , y 2 ,..., y n ) n!f (y1 )f (y 2 )f (y n n
yi 1 i 1 n! n exp( ) ; 0 y1 y 2 y n . ٢
ﻧﻌﺘﱪ اﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻷﺣﺎدﻳﺔ: Z1 n Y1 ) Z2 (n 1)(Y2 Y1 ) Z3 (n 2)(Y3 Y2 Zi (n i 1)(Yi Yi1 ) , i 1,2,...,n , Y0 0
واﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﳍﺎ ﻫﻲ: Z1 Z Zi 2 ... , i 1,2,,n, n n 1 n i 1
Yi
وﻣﻨﻬﺎ ﻧﻮﺟﺪ ﺟﺎﻛﻮﺑﻴﺎن اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ: 0
0
1 0 1 . n 1 !n 1 1 n 1 n
n
i 1
i 1
1 n 1 n 1 n
y1 z n
y1 z 2
y1 z1
y 2 z n
y 2 z 2
y 2 J z1
y n z 2
y n z1
y n z n
ﻻﺣﻆ إن ، Yi Ziﻟﺬا ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟـ Ziو ) (i 1,2,,nﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ: n
zi 1 ] h(z1 ,z 2 ,...,z n ) n exp[ i1 n z 1 exp[ i ] , 0 z i , i 1 0 , e.w.
ﳑﺎ ﻳﻌﲏ إن اﳌﺘﻐﲑات Ziﻣﺘﻐﲑات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ وﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻲ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺔ . اﻷﺳﻴﺔ. وﺳﻮف ﻧﺴﺘﺨﺪم ﻻﺣﻘﺎ ﻫﺬا اﳌﺜﺎل ﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﺰوم اﻹﺣﺼﺎﺋﻴﺎت اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﰲ ا ﳊﺎﻟﺔ ّ اﻵن ﻣﺎذا ﻟﻮ ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺗﻘﻮم ﻋﻠﻰ اﺧﺘﺒﺎر زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ﻟـ nﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﲝﻴﺚ ﻧﺴﺘﺒﺪل ﻛﻞ وﺣﺪة ﺗﻔﺸﻞ ﺑﻮﺣﺪة أﺧﺮى) .ﺳﺤﺐ ﺑﺈرﺟﺎع( ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻓﺈن ﻫﻨﺎك nﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﺗﻌﻤـﻞ ﰲ ﻛـﻞ ﻓـﱰة وزﻣـﻦ اﳊﻴـﺎة اﻟﻜﻠﻲ ﰲ اﻟﻔﱰة ﻣﻦ ﻓﺸﻞ اﻟﻮﺣﺪة i 1إﱃ ﻓﺸﻞ اﻟﻮﺣﺪة iﻫﻮ: Zi n (Yi Yi 1 ) , i 1, 2,..., n , Y0 0. ٣
ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺴﺤﺐ ﺑﺈرﺟﺎع ﻓﺈﻧﻪ ﳝﻜﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﳌﺘﻐﲑات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: Wi Yi Yi 1 , i 1,2,...,n , Y0 0 ﺣﻴﺚ (i,i,d) Wiوﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻲ ﲟﻌﻠﻤﺔ . n أﻣﺎ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺴﺤﺐ ﺑﺪون إرﺟﺎع ﻓﺈﻧﻪ ﳝﻜﻦ اﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ ﺗﻮزﻳﻊ Ziواﺳـﺘﺨﺪام اﻟﺘﺤﻮﻳﻠـﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴـﺔ ﰲ إﳚـﺎد
اﻟﺘﻮزﻳﻊ
i 1,2,..., n, Wi
ﺣﻴﺚ:
Zi , i 1,2,...,n , n i 1
Wi
وﻫﻲ ﲢﻮﻳﻠﺔ أﺣﺎدﻳﺔ واﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﳍﺎ ﻫﻲ:
, i 1,2,...,n.
Zi (n i 1)Wi
وﻣﻨﻬﺎ ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎب ﺟﺎﻛﻮﺑﻴﺎن اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ : 0 0 n 0 n 1 0 ! n J 0 1 0 1 1 1 h Z (z1 ,z 2 ,...,z n ) exp(z1 / ) exp( z 2 / ) exp( z n / ), n n 1 )h W (w1 , w 2 ,..., w n ) exp( nw1 / exp( (n 1)w 2 / ) 1 exp( w n / ). ﳑــﺎ ﻳﻌــﲏ إن اﳌﺘﻐـﲑات W1 , W2 , , Wnﻣﺘﻐ ـﲑات ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴــﺘﻘﻠﺔ وﻛــﻞ ﻣﻨﻬــﺎ ﻳﺘﺒــﻊ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻻﺳــﻲ
وﻟﻜﻨﻬﺎ ﻟﻴﺴﺖ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﺣﻴﺚ:
). n i 1
(Wi ~ E xp
ﻻﺣﻆ إن ﻫﻨﺎك ﻓﺮق آﺧﺮ ﺑﲔ إﺟﺮاء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﺈرﺟﺎع أو ﺑﺪون إرﺟﺎع .ﻓﺎﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻲ ﳊﻴـﺎة اﻟﻮﺣـﺪات ﻣﻦ ﺑﺪاء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ وﺣﱴ ﻓﺸﻞ اﻟﻮﺣﺪة kﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺴﺤﺐ ﺑﺪون إرﺟﺎع ﻫﻮ: n Y1 (n 1)(Y2 Y1 ) (n k 1)(Yk Yk 1 ) . أﻣﺎ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ إﺟﺮاء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﺈرﺟﺎع ﻓﺈﻧﻪ ﻳﺴﺎوي: n Y1 n(Y2 Y1 ) n(Yk Yk 1 ) nYk .
٤