بعض توزيعات المعاينة

‫)‪ ( ١‬ﺗﻮزﻳـﻊ ‪t‬‬

‫‪t Distribution‬‬

‫ﻓــﻲ ﻣﻌﻈــﻢ اﻷﺑﺤــﺎث وﻏﺎﻟﺒــﺎ ﻳﻜــﻮن ﺗﺒــﺎﻳﻦ اﻟﻤﺠﺘﻤــﻊ اﻟــﺬى ﺗﺨﺘــﺎر ﻣﻨــﻪ اﻟﻌﻴﻨــﺎت ﻣﺠﻬــﻮﻻ‪.‬‬

‫ﻟﻠﻌﻴﻨﺎت اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺠﻢ ‪ n >30‬ﻓـﺈن اﻟﺘﻘـﺪﻳﺮ اﻟﺠﻴـﺪ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤـﺔ ‪ 2‬ﻫـﻮ ‪ .s2‬إذا ﻛﺎﻧـﺖ‬ ‫‪ n > 30‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪z‬‬

‫ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﻋﺸـﻮاﺋﻰ ‪ Z‬ﺗﻘﺮﻳﺒـﺎً ﻳﺘﺒـﻊ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻰ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻰ ‪ .‬أﻣـﺎ إذا ﻛـﺎن ﺣﺠـﻢ اﻟﻌﻴﻨـﺔ‬ ‫ﺻﻐﻴﺮ ) ‪ ( n < 30‬ﻓـﺈن ﻗـﻴﻢ ) ‪ ( x   ) /(s / n‬ﻻ ﺗﺘﺒـﻊ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻰ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻰ ‪ .‬ﻓـﻲ‬ ‫ً‬

‫ﻫﺬﻩ اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻳﻜﻮن اﻫﺘﻤﺎﻣﻨﺎ ﺑﺘﻮزﻳﻊ ﻹﺣﺼـﺎء ﻣـﺎ ﺳـﻮف ﻧﺮﻣـﺰ ﻟـﻪ ﺑـﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ ، T‬واﻟـﺬى ﻗﻴﻤـﻪ ﺗﻌﻄـﻰ‬

‫ﻣﻦ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪t‬‬

‫ﻟﻘــﺪ ﺗﻤﻜــﻦ ﺳــﺘﻴﻮدﻧﺖ "‪ "Student‬وﻫــﻮ ﻟﻘــﺐ ﻟﻌــﺎﻟﻢ إﺣﺼــﺎﺋﻲ‪ ،‬ﻛــﺎن ﻳﻨﺸــﺮ أﺑﺤﺎﺛــﻪ ﺑﺘﻮﻗﻴــﻊ‬

‫ﺳ ــﺘﻴﻮدﻧﺖ‪ ،‬أن ﻳﺸ ــﺘﻖ اﻟﻌﺒ ــﺎرة اﻟﻤﻀ ــﺒﻮﻃﺔ ﻟﺘﻮزﻳ ــﻊ ‪ t‬وﻳﺴ ــﻤﻰ ﻫ ــﺬا اﻟﺘﻮزﻳ ــﻊ ﻓ ــﻲ ﻛﺘ ــﺐ اﻹﺣﺼ ــﺎء‬

‫اﻟﻤﺨﺘﻠﻔ ــﺔ " ﺗﻮزﻳ ــﻊ ‪ "t‬أو " ﺗﻮزﻳ ــﻊ ت "‪ ٠‬ﻳﺸ ــﺒﻪ ﺗﻮزﻳ ــﻊ ‪ t‬اﻟﺘﻮزﻳـ ـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌ ــﻰ اﻟﻘﻴﺎﺳ ــﻰ ﻓﻜﻼﻫﻤ ــﺎ‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺛـﻞ ﺣــﻮل اﻟﺼــﻔﺮ ﻛﻤــﺎ أن ﻛــﻼ اﻟﺘــﻮزﻳﻌﻴﻴﻦ ﻟﻬﻤــﺎ ﺷــﻜﻞ اﻟﻨــﺎﻗﻮس وﻟﻜــﻦ ﺗﻮزﻳــﻊ ‪ t‬أﻛﺜــﺮ ﺗﺸــﺘﺘﺎ‬

‫وذﻟــﻚ راﺟــﻊ إﻟــﻰ اﻟﺤﻘﻴﻘــﺔ أن ﻗــﻴﻢ ‪ t‬ﺗﻌﺘﻤــﺪ ﻋﻠــﻰ اﻻﺧــﺘﻼف ﻓــﻲ ﻗﻴﻤﺘــﻲ ‪ x‬و ‪ s2‬ﺑﻴﻨﻤــﺎ ﻗــﻴﻢ ‪z‬‬

‫ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻓﻘﻂ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻐﻴﺮ ﻓﻲ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ إﻟﻰ أﺧﺮى‪ .‬ﻳﺨﺘﻠﻒ ﺗﻮزﻳـﻊ اﻟﻤﺘﻐﻴـﺮ‪ T‬ﻋـﻦ اﻟﻤﺘﻐﻴـﺮ‬

‫‪ Z‬ﻓﻲ إن اﻟﺘﺒـﺎﻳﻦ ﻳﻌﺘﻤـﺪ ﻋﻠـﻰ ﺣﺠـﻢ اﻟﻌﻴﻨـﺔ ‪ n‬وداﺋﻤـﺎ أﻛﺒـﺮ ﻣـﻦ اﻟﻮاﺣـﺪ اﻟﺼـﺤﻴﺢ ‪ ،‬ﻓﻘـﻂ ﻋﻨـﺪﻣﺎ‬ ‫‪ n  ‬ﻓــﺈن اﻟﺘــﻮزﻳﻌﻴﻦ ﻳﺘﺴــﺎوﻳﺎن‪ .‬اﻟﻤﻘــﺎم )‪ (n-1‬واﻟــﺬي ﻳﻈﻬــﺮ ﻓــﻲ ﺻــﻴﻐﻪ ‪ s2‬ﻳﺴــﻤﻰ درﺟــﺎت‬

‫اﻟﺤﺮﻳــﺔ ‪ degree of freedom‬اﻟﻤـﺮﺗﺒﻂ ﺑﺘﺒــﺎﻳﻦ اﻟﻌﻴﻨــﺔ ‪ .s2‬ﺑﺘﻜـﺮار اﻟﻤﻌﺎﻳﻨــﺔ ﻣــﻦ اﻟﺤﺠــﻢ ‪n‬‬

‫وﺣﺴﺎب ‪ x‬و ‪ s2‬ﻟﻜﻞ ﻋﻴﻨﺔ‪ ،‬ﻓﺈن ﻗﻴﻢ ‪ t‬اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻳﻘﺎل أﻧﻬﺎ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ‪‬‬

‫‪ ،‬ﺣﻴـﺚ ‪ .  = n-1‬وﻋﻠـﻰ ذﻟـﻚ ﺳـﻮف ﻳﻜـﻮن ﻟـﺪﻳﻨﺎ ﻣﻨﺤﻨﻴـﺎت ‪ t‬ﻣﺨﺘﻠﻔـﺔ أو ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ t‬ﻟﻜـﻞ‬

‫ﺣﺠﻢ ﻋﻴﻨﻪ‪ .‬ﻣـﻦ ﺧﺼـﺎﺋﺺ ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ t‬أﻧـﻪ ﻛﻠﻤـﺎ ﻛﺒـﺮت درﺟـﺎت اﻟﺤﺮﻳـﺔ ‪ ‬زاد ارﺗﻔـﺎع ﻣﻨﺤﻨـﻰ ‪t‬‬

‫وأﺻﺒﺢ أﻛﺜﺮ ﺗﺪﺑﺒﺎ أي اﻗﻞ ﺗﺸﺘﺘﺎ وﻓﻲ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻳﻨﻄﺒﻖ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ‪.‬‬

‫اﻟﻤﻨﺤﻨـﻰ ﻓـﻲ اﻟﺸـﻜﻞ اﻟﺘـﺎﻟﻰ ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ‪  = 2‬ﻳﻤﺜـﻞ ﺗﻮزﻳـﻊ ﻛـﻞ ﻗـﻴﻢ ‪ t‬اﻟﻤﺤﺴـﻮﺑﺔ ﻣـﻦ‬

‫ﻋﻴﻨــﺎت ﻋﺸــﻮاﺋﻴﺔ ﻣــﻦ اﻟﺤﺠــﻢ ‪ n = 3‬ﺗﻜــﺮر اﺧﺘﻴﺎرﻫــﺎ ﻣــﻦ ﻣﺠﺘﻤــﻊ ﻃﺒﻴﻌــﻰ‪ .‬ﺑــﻨﻔﺲ اﻟﺸــﻜﻞ‪،‬‬

‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪  = 20‬ﻳﻤﺜﻞ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻞ ﻗﻴﻢ ‪ t‬اﻟﻤﺤﺴﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺎت ﻣﻦ اﻟﺤﺠﻢ ‪n‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ إذا ﻛﺎن ‪ x‬و ‪ s2‬ﻫﻤﺎ اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺤﺠﻢ ‪ n‬ﻣﺄﺧﻮذة ﻣﻦ ﻣﺠﺘﻤﻊ ﻃﺒﻴﻌﻰ ﻟﻪ ﻣﺘﻮﺳﻂ ‪ ‬وﺗﺒﺎﻳﻦ ‪ 2‬ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮوف ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪t‬‬

‫ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ‪ T‬ﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪.  = n-1‬‬

‫ﺑﻔﺮض أن ‪ t ‬ﺗﺮﻣﺰ ﻟﻘﻴﻤـﺔ ‪ t‬اﻟﺘـﻰ ﺗﻮﺟـﺪ ﻋﻠـﻰ اﻟﻤﺤـﻮر اﻷﻓﻘـﻲ ﺗﺤـﺖ ﻣﻨﺤﻨـﻰ ﺗﻮزﻳـﻊ ‪t‬‬ ‫ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳــﺔ ‪ ‬واﻟﺘــﻲ اﻟﻤﺴـﺎﺣﺔ ﻋﻠــﻰ ﻳﻤﻴﻨﻬــﺎ ﻗــﺪرﻫﺎ ‪ ‬ﻛﻤــﺎ ﻫـﻮ ﻣﻮﺿــﺢ ﻓــﻲ اﻟﺸــﻜﻞ )‪-٧‬‬

‫‪(١٥‬‬

‫ﺷﻜﻞ ) ‪(١٥-٧‬‬

‫ﺟﺪول ت ﻳﻌﻄﻰ ﻗﻴﻢ ‪ t ‬اﻟﺘﻲ ﺗﻨﺎﻇﺮ اﻻﺣﺘﻤﺎل ‪ ‬ﻟﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ‪ ‬ﺣﻴـﺚ ‪ ‬ﺗﺄﺧـﺬ اﻟﻘـﻴﻢ‬ ‫اﻟﺘﺎﻟﻴـﺔ ‪ .10, .05, .025, .01, .005, .001, .0005 :‬ودرﺟـﺎت اﻟﺤﺮﻳـﺔ ﺗﺄﺧـﺬ اﻟﻘـﻴﻢ‬ ‫ﻣـﻦ ‪  = 1‬إﻟـﻰ ‪ .  = ‬ﻳﻮﺿـﺢ اﻟﺼـﻒ اﻟﺜـﺎﻧﻲ ﻣـﻦ اﻟﺠـﺪول ﻗـﻴﻢ ‪ ‬واﻟﻌﻤـﻮد اﻷول ﻣـﻦ‬

‫اﻟﺸــﻤﺎل ﻗــﻴﻢ درﺟــﺎت اﻟﺤﺮﻳــﺔ ‪ . ‬أﻣــﺎ ﻣﺤﺘﻮﻳــﺎت اﻟﺠــﺪول ﻓﻬــﻰ اﻟﻘــﻴﻢ ‪ . t ‬وﻷن اﻟﻤﻨﺤﻨــﻰ‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﻓﺈن ‪ t1   t ‬ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻲ ﺷﻜﻞ ) ‪.( ١٦-٧‬‬

‫ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ‬

‫ﺷﻜﻞ ) ‪( ١٦-٧‬‬

‫)أ( ﻗﻴﻤﺔ ‪.  = 15 , t.005‬‬

‫)ب( ﻗﻴﻤﺔ ‪.  = 15 , t.995‬‬

‫اﻟﺤﻞ ‪.‬‬

‫)أ( ﺑﺎﻟﺒﺤﺚ ﻓﻲ ﺟﺪول ﺗﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﻋﻨﺪ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﺼﻒ ‪  = 15‬واﻟﻌﻤـﻮد ‪ = .005‬‬

‫ﻧﺠﺪ أن ‪. t.005 = 2.947‬‬

‫)ب( ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺧﺎﺻﻴﺔ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﻓﺈن‬ ‫‪ t.995 = - t.005‬أى أن ‪. t.995 = -2.947‬‬

‫ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ‬ﺣﻴﺚ‬ ‫‪, t  = - 1.746‬‬

‫اﻟﺤﻞ ‪.‬‬

‫‪ = 16‬‬

‫ﺣﻴــﺚ أن ﻗﻴﻤــﺔ ‪ t‬ﺳــﺎﻟﺒﺔ ﻓﺈﻧﻬــﺎ ﺗﻘــﻊ ﻓــﻲ اﻟــﺬﻳﻞ اﻷﻳﺴــﺮ ﻣــﻦ ﺗﻮزﻳــﻊ ‪ t‬وﺑﺎﺳــﺘﺨﺪام ﺧﺎﺻــﻴﺔ‬

‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪t1   t   1.746‬‬

‫وﻣﻦ ﺟﺪول ﺗﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﻓﻲ ﻣﻠﺤﻖ )‪ (٤‬ﻓﺈن ‪ 1- = .05‬وﻣﻨﻬﺎ ‪.  = .95‬‬

‫ﻣﺜــﺎل إذا ﻛﺎﻧــﺖ أﻋﻤــﺎر اﻟﻤﺼــﺎﺑﻴﺢ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴــﺔ اﻟﻤﻨﺘﺠــﺔ ﺑﻮاﺳــﻄﺔ أﺣــﺪ اﻟﻤﺼــﺎﻧﻊ ﺗﺘﺒــﻊ ﺗﻮزﻳﻌــﺎً‬

‫ﻃﺒﻴﻌﻴــﺎً ‪ ،‬وﻳــﺪﻋﻲ ﺻــﺎﺣﺐ اﻟﻤﺼــﻨﻊ أن ﻣﺘﻮﺳــﻂ أﻋﻤــﺎر ﻫــﺬﻩ اﻟﻤﺼــﺎﺑﻴﺢ ﻫــﻮ ‪ = 500‬ﺳــﺎﻋﺔ‪.‬‬ ‫ﻟﻤﺘﺎﺑﻌﺔ ﺟﻮدة اﻹﻧﺘﺎج ﻳﺄﺧـﺬ ‪ 20‬ﻣﺼـﺒﺎﺣﺎ ﻛـﻞ ﺷـﻬﺮ‪ ٠‬وﻳﺤﻘـﻖ اﻹﻧﺘـﺎج ﻟﻠﻤﻮاﺻـﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳـﻴﺔ إذا‬

‫ﻛﺎﻧــﺖ ﻗﻴﻤــﺔ ‪ t‬اﻟﻤﺤﺴــﻮﺑﺔ ﻣــﻦ ﻋﻴﻨــﺔ ﻋﺸــﻮاﺋﻴﺔ ﻣــﻦ اﻟﺤﺠــﻢ ‪ n = 20‬ﺗﻘــﻊ ﻓــﻲ‬

‫اﻟﻔﺘﺮة) ‪ (-t.05 , t.05‬ﻣﺎ اﻻﺳﺘﻨﺘﺎج اﻟﺬي ﻳﻤﻜﻦ وﺿﻌﻪ ﻋﻨﺪ اﺧﺘﻴﺎر ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺠﻢ‬ ‫‪ n = 20‬ﻟﻬﺎ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪ x  530‬واﻧﺤﺮاف ﻣﻌﻴﺎري ‪ s = 20‬؟‬

‫اﻟﺤﻞ ‪.‬‬

‫ﻣـﻦ ﺟـﺪول ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ t‬ﻧﺠـﺪ أن ‪ t.05 = 1.729‬ﻋﻨـﺪ درﺟـﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ‪ .  = 19‬وﻋﻠـﻰ ذﻟـﻚ‬

‫ﻓـﺈن اﻟﻤﻨـﺘﺞ ﻳﺤﻘـﻖ اﻟﻤﻮاﺻـﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳـﻴﺔ إذا ﻛﺎﻧــﺖ ﻗﻴﻤـﺔ ‪ t‬اﻟﻤﺤﺴـﻮﺑﺔ ﻣـﻦ ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣــﻦ‬

‫اﻟﺤﺠﻢ ‪ n = 20‬ﻣﺼﺒﺎﺣﺎ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ) ‪ . ( -1.729 , 1.729‬وﻧﺠﺪ أن ‪:‬‬

‫‪x   530  500‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 6.708 .‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪20‬‬ ‫ﻻ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ) ‪ ( -1.729 , 1.729‬إذا ﻛﺎﻧـﺖ ‪   500‬ﻓـﺈن ﻗﻴﻤـﺔ ‪ t‬اﻟﻤﺤﺴـﻮﺑﺔ ﻣـﻦ‬ ‫‪t‬‬

‫اﻟﻌﻴﻨﺔ ﺗﻜﻮن ﺟﻴﺪة وﺗﻌﻨﻲ أن اﻹﻧﺘﺎج أﻓﻀﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﻄﻠﻮب‪.‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧـ ــﺖ ﻟـ ــﺪﻳﻨﺎ ﻋﻴﻨﺘـ ــﺎن ﻋﺸـ ــﻮاﺋﻴﺘﺎن ﻣﺄﺧﻮذﺗـ ــﺎن ﻣـ ــﻦ ﻣﺠﺘﻤﻌـ ــﻴﻦ ﻃﺒﻴﻌﻴـ ــﻴﻦ ﺑﻤﺘﻮﺳـ ــﻄﻰ‬ ‫‪ 1 , 2‬وإذا ﻛﺎﻧ ـ ــﺖ اﻟﻌﻴﻨﺘ ـ ــﺎن ﻣﺴ ـ ــﺘﻘﻠﺘﺎن وﺗﺒ ـ ــﺎﻳﻨﻲ اﻟﻤﺠﺘﻤﻌ ـ ــﻴﻦ ‪ 12 ,  22‬ﻣﻌﻠﻮﻣﺘ ـ ــﺎن أو‬

‫ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻘﺪﻳﺮﻫﻤﺎ ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺎت ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺠﻢ ‪ n1 , n2‬ﺣﻴﺚ‬

‫> ‪n1 > 30 , n2‬‬

‫‪. 30‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧـ ــﺖ ‪ 12 ,  22‬ﻣﺠﻬﻮﻟﺘـ ــﺎن ﻛﻤـ ــﺎ ﻳﺤـ ــﺪث ﻓـ ــﻲ ﻣﻌﻈـ ــﻢ اﻟﺤـ ــﺎﻻت ‪ ،‬ﻓـ ــﺈن اﻟﺘﻮزﻳـ ــﻊ‬ ‫اﻟﻤﻀــﺒﻮط ﻟﻠﻤﺘﻐﻴــﺮ ‪ Z‬ﻻ ﻳﻜــﻮن ﻣﻌﺮوﻓــﺎ ﻓﻴﻤــﺎ ﻋــﺪا ﻟــﻮ ﻓﺮﺿــﻨﺎ أن ‪ 12   22   2‬واﻟﺘﺒــﺎﻳﻦ‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻘﺪﻳﺮﻩ ﻣﻦ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻳﻜﻮن ‪:‬‬

‫‪( n1  1)s12  ( n 2  1)s 22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1  n 2  2‬‬

‫‪s 2p‬‬

‫) ‪( x1  x 2 )  (1   2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪t‬‬

‫ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎء ‪ T‬اﻟﺬى ﻳﺨﻀﻊ ﻟﺘﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪.  = n1 + n2 - 2‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ إذا ﻛﺎن ‪ s12 , x1‬ﻳﻤﺜﻼن اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺠﻢ ‪n1‬‬

‫ﻣﺄﺧﻮذة ﻣﻦ ﻣﺠﺘﻤﻊ ﻃﺒﻴﻌﻰ ﺑﻤﺘﻮﺳﻂ ‪ 1‬وﺗﺒﺎﻳﻦ ﻣﺠﻬﻮل ‪ 12‬وإذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ s 22 , x 2‬ﻳﻤـﺜﻼن‬ ‫اﻟﻤﺘﻮﺳـﻂ واﻟﺘﺒـﺎﻳﻦ ﻋﻠــﻰ اﻟﺘـﻮاﻟﻲ ﻟﻌﻴﻨـﺔ ﻋﺸــﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ اﻟﺤﺠـﻢ ‪ n2‬ﻣــﺄﺧﻮذة ﻣـﻦ ﻣﺠﺘﻤـﻊ ﻃﺒﻴﻌــﻰ‬ ‫ﺑﻤﺘﻮﺳﻂ ‪ 2‬وﺗﺒﺎﻳﻦ ‪  22‬ﻣﺠﻬﻮل وإذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ n1‬ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﻋﻦ ‪ n2‬و ‪ 12   22‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫) ‪( x1  x 2 )  (1   2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪t‬‬

‫ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ‪ T‬ﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪.  = n1 + n2 - 2‬‬

‫ﻣﺜﺎل ﻳﻘﻮم ﻣﺼﻨﻊ ﺑﺈﻧﺘﺎج ﻧﻮﻋﻴﻦ ﻣـﻦ اﻟﻤﺼـﺎﺑﻴﺢ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴـﺔ ‪ .A,B‬اﻟﻤﺼـﺎﺑﻴﺢ ﻣـﻦ اﻟﻨـﻮع ‪ A‬ﻟﻬـﺎ‬

‫ﻣﺘﻮﺳــﻂ ﻋﻤــﺮ أﻃــﻮل ‪ 100‬ﺳــﺎﻋﺔ ﻋــﻦ ﻣﺘﻮﺳــﻂ ﻋﻤــﺮ اﻟﻤﺼــﺎﺑﻴﺢ ﻣــﻦ اﻟﻨــﻮع ‪ .B‬اﻟﺘﺒــﺎﻳﻦ ﻟﻜــﻼ‬

‫اﻟﻨــﻮﻋﻴﻦ واﺣــﺪ‪ .‬ﻳﺨﺘــﺎر ﺷــﻬﺮﻳﺎ ‪ 15‬ﻣﺼــﺒﺎﺣﺎ ﻣــﻦ اﻟﻨــﻮع اﻷول‪ 10 ،‬ﻣﺼــﺎﺑﻴﺢ ﻣــﻦ اﻟﻨــﻮع اﻟﺜــﺎﻧﻲ‬ ‫ﻟﻼﺧﺘﺒــﺎر وﺗﺤﺴــﺐ ﻗﻴﻤــﺔ ‪ .t‬ﺗﺤﻘــﻖ اﻟﻘﻴﻤــﺔ اﻟﻤﻮاﺻــﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳــﻴﺔ إذا وﻗﻌــﺖ ﻓــﻲ‬

‫اﻟﻔﺘـﺮة )‪ ( -t0.01 , t0.01‬ﻓـﺈذا ﺗـﻢ ﺳـﺤﺐ ﻓـﻲ ﺷـﻬﺮ ﻣـﺎ ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ ‪ 15‬ﻣﺼـﺒﺎﺣﺎ ﻣـﻦ‬ ‫اﻟﻤﺼﻨﻊ ‪ A‬ووﺟﺪ أن ‪ . s1  50, x1  520‬أﻳﻀﺎ ﺗﻢ ﺳـﺤﺐ ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ اﻟﻤﺼـﻨﻊ‬ ‫‪ B‬ﻣـ ـ ــﻦ اﻟﺤﺠ ـ ـ ــﻢ ‪ n2=10‬ووﺟـ ـ ــﺪ أن ‪ s 2  40 , x 2  500‬ﻫ ـ ـ ــﻞ اﻹﻧﺘـ ـ ــﺎج ﻳﺤﻘ ـ ـ ــﻖ‬

‫اﻟﻤﻮاﺻﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ؟‬

‫اﻟﺤﻞ ‪.‬‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺟﺪول ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ t‬ﻓـﺈن ‪ t0.01 = 2.5‬ﺑﺪرﺟــﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ‪.  = 15 +‬‬

‫‪ 10 – 2 = 23‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻹﻧﺘﺎج ﻳﺤﻘﻖ اﻟﻤﻮاﺻـﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳـﻴﺔ إذا ﻛﺎﻧـﺖ ﻗﻴﻤـﺔ ‪ t‬اﻟﻤﺤﺴـﻮﺑﺔ‬ ‫ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ‪ . (-2.5 , 2.5) ,‬اﻟﺘﺒﺎﻳﻦ اﻟﻤﺘﺠﻤﻊ ‪ s p2‬ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪( n1  1)s12  (n 2  1)s 22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1  n 2  2‬‬

‫‪s 2p‬‬

‫‪(14)(50) 2  (9)(40) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2147.826.‬‬ ‫‪15  10  2‬‬ ‫وﺑﺄﺧﺬ اﻟﺠﺬر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻠﺘﺒﺎﻳﻦ اﻟﻤﺘﺠﻤﻊ ‪ sp2‬ﻓﺈن ‪. sp= 46.3446‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ‪:‬‬

‫) ‪( x1  x 2 )  (1   2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪t‬‬

‫)‪(520  500)  (100‬‬ ‫‪ 4.228.‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪46.3446‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪15 10‬‬

‫‪‬‬

‫وﺑﻤﺎ أن ‪ t‬ﻻ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ) ‪ ( -2.5 , 2.5‬ﻓﺈن اﻹﻧﺘﺎج ﻻ ﻳﺤﻘﻖ اﻟﻤﻮاﺻﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ‪.‬‬

‫ﻓــﻲ ﺑﻌــﺾ اﻷﺣﻴــﺎن ﺑــﺪﻻ ﻣــﻦ اﺳــﺘﺨﺪام ﻃﺮﻳﻘــﺔ اﻟﻌﻴﻨــﺎت اﻟﻤﺴــﺘﻘﻠﺔ ﻓﺈﻧــﻪ ﻏﺎﻟﺒــﺎ ﻣــﺎ ﺗﺴــﺘﺨﺪم‬

‫ﻃﺮﻳﻘــﺔ اﻟﻌﻴﻨــﺎت اﻟﻤﺘﺰاوﺟــﺔ ‪ .paired samples‬ﻓﻔــﻲ ﺗﺠــﺎرب ﺗﻐﺬﻳــﺔ اﻟﺤﻴــﻮان ﻋﻨــﺪ ﻣﻘﺎرﻧــﺔ‬ ‫ﻋﻠﻴﻘﺘﻴﻦ‪ ،‬ﺣﻴﺚ ﺗﻮﺿـﻊ اﻟﺤﻴﻮاﻧـﺎت اﻟﻤﺘﺠﺎﻧﺴـﺔ ﻓـﻲ أزواج وﻳﺸـﺘﺮط أن ﺗﻜـﻮن ﻫـﺬﻩ اﻷزواج ﻋﻠـﻰ‬ ‫درﺟﺔ ﻋﺎﻟﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ وﻗـﺪ ﺗﺨﺘﻠـﻒ اﻷزواج ﻓﻴﻤـﺎ ﺑﻴﻨﻬـﺎ إﻻ أن أﻓـﺮاد ﻛـﻞ زوج ﺗﻜـﻮن ﻣﺘﻤﺎﺛﻠـﺔ‬

‫وﻳﻌﻄﻰ أﺣﺪ أﻓﺮاد ﻛﻞ زوج ﻋﻠﻴﻘﺔ ﺑﻴﻨﻤﺎ ﻳﻌﻄﻰ اﻷﺧﺮ اﻟﻌﻠﻴﻘﺔ اﻷﺧﺮى وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻓﺈن اﻟﻤﻘﺎرﻧـﺔ ﺑـﻴﻦ‬ ‫اﻟﻌﻠﻴﻘﺘ ــﻴﻦ ﺗ ــﺘﻢ داﺧ ــﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋ ــﺎت ﻣﺘﺠﺎﻧﺴ ــﺔ‪ .‬ﻓ ــﻲ ﺑﻌ ــﺾ اﻷﺣﻴ ــﺎن ﻳ ــﺘﻢ ازدواج اﻟﻤﺸ ــﺎﻫﺪات‬

‫ﻟﻤﻔﺮدات اﻟﻌﻴﻨﺔ ﻧﻔﺴﻬﺎ‪ .‬ﻓﻤﺜﻼ ﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺗﺄﺛﻴﺮ دواء ﻋﻠﻰ ارﺗﻔﺎع ﺿﻐﻂ اﻟﺪم ﻧﺨﺘﺎر ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ‬ ‫ﻣــﻦ اﻟﺤﺠــﻢ ‪ n‬ﻣــﻦ اﻷﺷــﺨﺎص وﻳــﺘﻢ ﻗﻴــﺎس ﺿــﻐﻂ اﻟــﺪم اﻟﺨــﺎص ﺑﻬــﻢ ﻓــﻲ أول ﻓﺘــﺮة زﻣﻨﻴــﺔ ﺛــﻢ‬

‫ﻳﻌــﺎﻟﺠﻮن ﺑﻬــﺬا اﻟــﺪواء وﺑﻌــﺪ ﻓﺘــﺮة زﻣﻨﻴــﺔ ﻣﻌﻴﻨــﺔ ﻳــﺘﻢ ﻗﻴــﺎس ﺿــﻐﻂ اﻟــﺪم ﻟﻬــﻢ ﻣــﺮة أﺧــﺮى ‪ .‬أزواج‬

‫اﻟﻤﺸــﺎﻫﺪات ﺳــﻮف ﺗﻜــﻮن )‪ . (x1 , y1) , (x2 , y2),…,(xn, yn‬اﻟﻔــﺮوق ﻷزواج‬

‫اﻟﻤﺸـﺎﻫﺪات ﺳـﻮف ﺗﻜـﻮن ‪ . d i  x i  y i , i= 1, 2, ..., n‬ﻫـﺬﻩ اﻟﻔـﺮوق ﺗﻤﺜـﻞ ﻗـﻴﻢ‬ ‫ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ‪ . D‬ﻣﺘﻮﺳـﻂ ﻣﺠﺘﻤـﻊ اﻟﻔـﺮوق ‪ D‬ﺳـﻮف ﻳﺴـﺎوى اﻟﺼـﻔﺮ إذا ﻛـﺎن اﻟـﺪواء ﻟـﻴﺲ‬ ‫ﻟﻪ ﺗﺄﺛﻴﺮ‪ .‬وﺳﻮف ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻤﺘﻮﺳـﻂ اﻟﻔـﺮوق ﻓـﻲ ﻋﻴﻨﺘﻨـﺎ ﺑـﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ ، d‬وﺳـﻮف ﺗﺨﺘﻠـﻒ ‪ d‬ﻣـﻦ ﻋﻴﻨـﺔ‬ ‫إﻟــﻰ أﺧــﺮى وﻟــﺬﻟﻚ ﻳﻌﺘﺒــﺮ ‪ d‬ﻗﻴﻤــﺔ ﻟﻺﺣﺼــﺎء ‪ . D‬ﻛﻤــﺎ ﻳﺤﺴــﺐ ﺗﺒــﺎﻳﻦ اﻟﻔــﺮوق ‪ s d2‬واﻟــﺬي‬ ‫ﻳﻌﺘﺒﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎء ‪ S d2‬ﻷﻧﻪ ﻳﺘﻐﻴﺮ ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ إﻟﻰ أﺧﺮى‪.‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳـﺔ إذا ﻛـﺎن ‪ d1, d2, …, dn‬ﺗﻤﺜـﻞ اﻟﻔـﺮوق ﻟﻌـﺪد ‪ n‬ﻣـﻦ أزواج اﻟﻤﺸـﺎﻫﺪات وإذا ﻛﺎﻧـﺖ‬ ‫اﻟﻔﺮوق اﻟﺘﻰ ﻋﺪدﻫﺎ ‪ n‬ﺗﻤﺜﻞ ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻟﻬـﺎ ﻣﺘﻮﺳـﻂ ‪ d‬وﺗﺒـﺎﻳﻦ ‪ s d2‬ﻣـﺄﺧﻮذة ﻣـﻦ ﻣﺠﺘﻤـﻊ‬ ‫اﻟﻔﺮوق اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ واﻟﺬى ﻟﻪ ﻣﺘﻮﺳﻂ ‪ D‬وﺗﺒﺎﻳﻦ ‪  2D‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪d  D‬‬ ‫‪sd‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪t‬‬

‫ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ‪ T‬ﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪.  = n-1‬‬ ‫) ‪ ( ٢‬ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎى‬

‫‪Chi - Square Distribution‬‬

‫إذا ﺗﻜـﺮر ﺳــﺤﺐ ﻋﻴﻨـﺎت ﻣــﻦ اﻟﺤﺠـﻢ ‪ n‬ﻣـﻦ ﺗﻮزﻳــﻊ ﻃﺒﻴﻌـﻰ ﺗﺒﺎﻳﻨــﻪ ‪  2‬وإذا ﺗـﻢ ﺣﺴــﺎب‬ ‫ﺗﺒﺎﻳﻦ اﻟﻌﻴﻨﺔ ‪ s2‬ﻟﻜﻞ ﻋﻴﻨﺔ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻢ ﻟﻺﺣﺼﺎء ‪ . S2‬اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻌﻴﻨـﻰ ﻟﻺﺣﺼـﺎء ‪S2‬‬

‫ﻟﻪ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻗﻠﻴﻠﺔ ﻓﻲ اﻹﺣﺼﺎء ‪ .‬اﻫﺘﻤﺎﻣﻨﺎ ﺳﻮف ﻳﻜﻮن ﻓﻲ ﺗﻮزﻳﻊ اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ‪ X2‬واﻟﺘـﻲ ﺗﺤﺴـﺐ‬ ‫ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻣﻦ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪(n  1)s 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﺗﻮزﻳ ـ ــﻊ اﻟﻤﺘﻐﻴ ـ ــﺮ اﻟﻌﺸ ـ ــﻮاﺋﻰ ‪ X2‬ﻳﺴ ـ ــﻤﻰ ﺗﻮزﻳ ـ ــﻊ ‪ )  2‬ﺗﻮزﻳ ـ ــﻊ ﻣﺮﺑ ـ ــﻊ ﻛ ـ ــﺎى ( ﺑ ـ ــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳ ـ ــﺔ‬ ‫‪ .   n  1‬ﻛﻤﺎ ذﻛﺮﻧﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎ ﻓﺈن ‪ ‬ﺗﺴﺎوى اﻟﻤﻘﺎم ﻓﻲ ﺻﻴﻐﺔ ‪.s2‬‬

‫ﻣﻦ اﻟﻮاﺿـﺢ أن ﻗـﻴﻢ ‪  2‬ﻻ ﻳﻤﻜـﻦ أن ﺗﻜـﻮن ﺳـﺎﻟﺒﺔ وﻋﻠـﻰ ذﻟـﻚ ﻓـﺈن ﻣﻨﺤﻨـﻰ ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ 2‬‬

‫ﻻ ﻳﻤﻜﻦ أن ﻳﻜﻮن ﻣﺘﻤﺎﺛـﻞ ﺣـﻮل اﻟﺼـﻔﺮ‪ .‬اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻌﻴﻨـﻲ ﻟﻺﺣﺼـﺎء ‪ X2‬ﻳﻤﻜـﻦ اﻟﺤﺼـﻮل ﻋﻠﻴـﻪ‬ ‫ﺑﺎﺧﺘﻴــﺎر ﻋﻴﻨــﺎت ﻋﺸــﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺘﻜــﺮرة ﻣــﻦ اﻟﺤﺠــﻢ ‪ n‬ﻣــﻦ ﻣﺠﺘﻤــﻊ ﻃﺒﻴﻌــﻰ وﺣﺴــﺎب اﻟﻘــﻴﻢ ‪  2‬ﻟﻜــﻞ‬ ‫ﻋﻴﻨﻪ ﺛﻢ ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻰ ‪  2‬ﺑﺘﻤﻬﻴﺪ اﻟﻤﺪرج اﻟﺘﻜﺮارى ﻟﻘﻴﻢ ‪ ٠  2‬ﻳﻌﺘﻤﺪ ﺷﻜﻞ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨ ــﻰ ﻋﻠ ــﻰ ﻗ ــﻴﻢ ‪ . ‬ﻳﻮﺿ ــﺢ ﺷ ــﻜﻞ ) ‪ ( ١٧-٧‬ﻣﻨﺤﻨﻴ ــﺎن ﻟﺘﻮزﻳ ــﻊ ‪  2‬ﺑ ــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳ ــﺔ‬ ‫‪ 7‬و‬

‫‪   10‬ﺣﻴـ ــﺚ ﻳﻤﺜـ ــﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨـ ــﻰ ﺑـ ــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـ ــﺔ ‪   7‬ﺗﻮزﻳـ ــﻊ ﻗـ ــﻴﻢ ‪ 2‬‬

‫اﻟﻤﺤﺴﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﻛﻞ اﻟﻌﻴﻨﺎت ﻣﻦ اﻟﺤﺠﻢ ‪ n = 8‬ﻣﻦ ﻣﺠﺘﻤﻊ ﻃﺒﻴﻌﻰ ﺗﺒﺎﻳﻨﻪ ‪ .  2‬ﺑﻨﻔﺲ اﻟﺸـﻜﻞ‬ ‫ﻳﻤﺜـﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨـﻰ ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ‪   10‬ﺗﻮزﻳـﻊ ﻛـﻞ ﻗـﻴﻢ ‪  2‬اﻟﻤﺤﺴـﻮب ﻣـﻦ ﻛـﻞ اﻟﻌﻴﻨـﺎت ﻣـﻦ‬

‫اﻟﺤﺠﻢ ‪.n=11‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ إذا ﻛﺎن ‪ s2‬ﻳﻤﺜﻞ ﺗﺒﺎﻳﻦ اﻟﻌﻴﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺠﻢ ‪ n‬اﻟﻤﺄﺧﻮذة ﻣﻦ ﻣﺠﺘﻤﻊ ﻃﺒﻴﻌﻰ ﻟـﻪ ﺗﺒـﺎﻳﻦ ‪ 2‬‬

‫ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪(n  1)s 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪2‬‬ ‫ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ‪ X2‬ﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ ‪  2‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪.   n  1‬‬

‫ﺷﻜﻞ ) ‪( ١٧-٧‬‬

‫ﺑﻔ ــﺮض أن ‪  2‬ﺗﺮﻣ ــﺰ ﻟﻘﻴﻤ ــﺔ ‪  2‬اﻟﺘ ــﻲ ﺗﻮﺟ ــﺪ ﻋﻠ ــﻰ اﻟﻤﺤ ــﻮر اﻷﻓﻘ ــﻰ ﺗﺤ ــﺖ ﻣﻨﺤﻨ ــﻰ ‪ 2‬‬

‫ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪ ‬واﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻨﻬﺎ ﻗﺪرﻫﺎ ‪ ‬ﻛﻤـﺎ ﻫـﻮ ﻣﻮﺿـﺢ ﻓـﻲ ﺷـﻜﻞ‬ ‫)‪.(١٨-٧‬‬

‫ﺷﻜﻞ ) ‪( ١٨-٧‬‬ ‫ﻫﻨﺎك ﺟﺪول ﻳﻌﻄﻰ ﻗﻴﻢ ‪  2‬وذﻟﻚ ﻟﻘﻴﻢ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻣﻦ ‪ ‬و ‪ ‬ﺣﻴﺚ ‪ ‬ﺗﺄﺧﺬ اﻟﻘﻴﻢ ‪:‬‬ ‫‪.995 , .99, .975, .95, .90, .10, .05, 0.025, .01, .005‬‬

‫ودرﺟ ــﺎت ﺣﺮﻳ ــﺔ ﻣ ــﻦ ‪   1‬إﻟ ــﻰ ‪ .   40‬ﻳﻮﺿ ــﺢ اﻟﺼ ــﻒ اﻟﺜ ــﺎﻧﻰ ﻣ ــﻦ اﻟﺠ ــﺪول ﻗ ــﻴﻢ ‪‬‬

‫واﻟﻌﻤــﻮد اﻷول ﻣــﻦ اﻟﺸــﻤﺎل ﻗــﻴﻢ درﺟــﺎت اﻟﺤﺮﻳــﺔ أﻣــﺎ ﻣﺤﺘﻮﻳــﺎت اﻟﺠــﺪول ﻓﻬــﻲ ﻟﻘــﻴﻢ ‪.  2‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻟﻠﺤﺼـﻮل ﻋﻠـﻰ ﻗﻴﻤـﺔ ‪  2‬ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ‪   6‬واﻟﺘـﻲ ﺗﻜـﻮن اﻟﻤﺴـﺎﺣﺔ ﻋﻠـﻰ‬

‫ﻳﻤﻴﻨﻬــﺎ ﺗﺴــﺎوى ‪ .05‬ﻓﺈﻧﻨــﺎ ﻧﺒﺤــﺚ ﻓــﻲ اﻟﺠــﺪول ﻋﻨــﺪ ﺗﻘــﺎﻃﻊ اﻟﺼــﻒ اﻟــﺬى ﺑــﻪ ‪   6‬ﻣــﻊ‬

‫اﻟﻌﻤﻮد ‪ .05‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ‪ .  .205  12.592‬وﻟﻌﺪم ﺗﻤﺎﺛـﻞ ﻣﻨﺤﻨـﻰ ﺗﻮزﻳـﻊ ‪  2‬ﻓـﻼ ﺑـﺪ ﻣـﻦ‬ ‫اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺠﺪول ﻹﻳﺠﺎد ‪  .295  1.635‬ﻋﻨﺪ ‪.   6‬‬ ‫ﻣﺜـﺎل أوﺟــﺪ ﻗﻴﻤــﺔ ‪  2‬ﻟﺘﻮزﻳــﻊ ‪  2‬ﺑــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳــﺔ ‪   14‬واﻟﺘــﻲ ﺗﻜــﻮن اﻟﻤﺴــﺎﺣﺔ ﻋﻠــﻰ‬ ‫ﻳﻤﻴﻨﻬﺎ ﺗﺴﺎوى ‪. 0.01‬‬

‫اﻟﺤﻞ ‪.‬‬

‫ﺑﺎﻟﺒﺤﺚ ﻓﻲ ﺟﺪول ﺗﻮزﻳﻊ ‪  2‬ﻋﻨﺪ ﺗﻘـﺎﻃﻊ اﻟﺼـﻒ ‪   14‬ﻣـﻊ اﻟﻌﻤـﻮد ‪= 0.01‬‬

‫‪ ‬ﻧﺠﺪ أن ‪.  2  29.141‬‬ ‫ﻣﺜ ــﺎل أوﺟ ــﺪ ﻗﻴﻤ ــﺔ ‪  2‬اﻟﺘ ــﻲ ﺗﻜ ــﻮن اﻟﻤﺴ ــﺎﺣﺔ ﻋﻠ ــﻰ ﻳﺴ ــﺎرﻫﺎ ﺗﺴ ــﺎوى ‪ 0.99‬ﻟﺘﻮزﻳ ــﻊ ‪ 2‬‬

‫ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪.   4‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪.‬‬

‫ﻗﻴﻤ ــﺔ ‪  2‬اﻟﺘ ــﻲ ﺗﻜ ــﻮن اﻟﻤﺴ ــﺎﺣﺔ ﻋﻠ ــﻰ ﻳﺴ ــﺎرﻫﺎ ﺗﺴ ــﺎوي ‪ .99‬ﻫ ــﻲ ‪ ‬واﻟﺘ ــﻲ ﺗﻜ ــﻮن‬ ‫اﻟﻤﺴـﺎﺣﺔ ﻋﻠـﻰ ﻳﻤﻴﻨﻬـﺎ ﺗﺴـﺎوى ‪ 1- .99 = .01‬وﻋﻠـﻰ ذﻟـﻚ ﻓـﺈن ﻗﻴﻤـﺔ ‪ .201‬ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ‬ ‫‪   4‬ﻫــﻲ ﺗﻠــﻚ اﻟﻘﻴﻤــﺔ ﻓــﻲ ﺟــﺪول ﺗﻮزﻳــﻊ ‪  2‬اﻟﺘــﻲ ﺗﻘــﻊ ﻋﻨــﺪ ﺗﻘــﺎﻃﻊ اﻟﺼــﻒ ‪  4‬‬

‫واﻟﻌﻤﻮد ‪  = .01‬ﻫﻰ ‪.  .201  13.277‬‬ ‫ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺘﻲ ‪  2‬ﻟﺘﻮزﻳـﻊ ‪  2‬ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ‪   15‬اﻟﻠﺘـﻴﻦ ﺗﺤﺼـﺮان ﺑﻴﻨﻬﻤـﺎ ‪99%‬‬

‫ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺑﺤﻴﺚ أن اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﻄﺮف اﻷﻳﺴﺮ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ ﺗﺴـﺎوى اﻟﻤﺴـﺎﺣﺔ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻄﺮف اﻷﻳﻤﻦ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ‪.‬‬ ‫اﻟﺤ ــﻞ ‪ .‬اﻟﻤﻄﻠ ــﻮب ﻫﻨ ــﺎ ﻫ ــﻮ إﻳﺠ ــﺎد ﻗﻴﻤﺘ ــﻰ ‪  2‬اﻟﻠﺘ ــﻴﻦ ﺗﻘﺴ ــﻤﺎن اﻟﻤﻨﺤﻨ ــﻰ ﺑﺤﻴ ــﺚ أن‬ ‫اﻟﻤﺴ ــﺎﺣﺔ ﻓ ــﻲ اﻟﻄ ــﺮف اﻷﻳﻤ ــﻦ ﻫ ــﻰ ‪ .005‬وﻋﻠ ــﻰ ذﻟ ــﻚ ﻗﻴﻤ ــﺔ ‪  2‬ﻓ ــﻲ اﻟﻄ ــﺮف اﻷﻳﻤ ــﻦ ﻫ ــﻰ‬ ‫‪ .  .2005  32.799‬وﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ‪  2‬ﻓﻲ اﻟﻄﺮف اﻷﻳﺴـﺮ واﻟﺘـﻲ اﻟﻤﺴـﺎﺣﺔ اﻟﺘـﻲ‬ ‫ﺗﻘـﻊ ﻋﻠـﻰ ﻳﺴـﺎرﻫﺎ ﻫـﻰ ‪ 0.005‬وﺑﺎﻟﺘـﺎﻟﻲ ﻓـﺈن اﻟﻤﺴـﺎﺣﺔ اﻟﺘـﻰ ﺗﻘـﻊ ﻋﻠـﻰ ﻳﻤﻴﻨﻬـﺎ ﻫـﻰ = ‪1-.005‬‬

‫‪ .995‬وﻋﻠﻰ ذﻟـﻚ ﻓـﺈن ﻗﻴﻤـﺔ ‪  2‬ﻓـﻲ اﻟﻄـﺮف اﻷﻳﺴـﺮ ﻫـﻰ ‪  .2995  4.600‬وﺑﺎﻟﺘـﺎﻟﻲ ﻓـﺈن‬ ‫اﻟﻘﻴﻤﺘﻴﻦ ﻫﻤﺎ ‪. 4.600 , 32.799‬‬ ‫) ‪ ( ٣‬ﺗﻮزﻳﻊ ‪F‬‬

‫‪F Distribution‬‬

‫ﻳﻌﺘﺒ ــﺮ ﺗﻮزﻳ ــﻊ ‪ F‬ﻣ ــﻦ اﻟﺘﻮزﻳﻌ ــﺎت اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴ ــﺔ اﻟﻬﺎﻣ ــﺔ اﻟﺘ ــﻰ ﺗﺴ ــﺘﺨﺪم ﻓ ــﻲ ﻣﺠ ــﺎل اﻹﺣﺼ ــﺎء‬

‫اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻰ ‪ .‬ﻧﻈﺮﻳﺎ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ ) F‬ﺗﻮزﻳﻊ ف ( ﻛﻨﺴﺒﺔ ﻟﺘﻮزﻳﻌﻴﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻠﻴﻦ ﻳﺘﺒﻌﺎن ﺗﻮزﻳـﻊ‬ ‫‪  2‬وﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻟﻪ درﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﺑﻪ ‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻰ ‪ ، F‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪ 22s12‬‬ ‫‪12s 22‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ 12‬ﻫـﻲ ﻗﻴﻤـﺔ ﻟﺘﻮزﻳـﻊ‬

‫‪‬‬

‫‪s12 / 12‬‬ ‫‪/  22‬‬

‫‪s 22‬‬

‫‪‬‬

‫‪12 / 1‬‬ ‫‪/ 2‬‬

‫‪ 22‬‬

‫‪f‬‬

‫‪ ‬ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ‪ 1  n1  1‬و ‪  22‬ﻫـﻲ ﻗﻴﻤـﺔ ﻟﺘﻮزﻳـﻊ‬

‫‪  2‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪.  2  n 2  1‬‬ ‫ﻟﺣﺳــﺎب ﻗﯾﻣــﺔ ‪ f‬ﻧﺨﺘــﺎر ﻋﻴﻨــﺔ ﻋﺸــﻮاﺋﻴﺔ ﻣــﻦ اﻟﺤﺠــﻢ ‪ n1‬ﻣــﻦ ﻣﺠﺘﻤــﻊ ﻃﺒﻴﻌــﻰ ﻟــﻪ ﺗﺒــﺎﻳﻦ ‪12‬‬

‫وﻧﺤﺴﺐ ‪ . s12 / 12‬أﻳﻀﺎ ﻧﺨﺘـﺎر ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴـﺘﻘﻠﺔ ﻣـﻦ اﻟﺤﺠـﻢ ‪ n2‬ﻣـﻦ ﻣﺠﺘﻤـﻊ ﻃﺒﻴﻌـﻰ‬ ‫آﺧــﺮ ﻟــﻪ ﺗﺒــﺎﻳﻦ ‪  22‬وﻧﺤﺴــﺐ ‪ . s 22 /  22‬اﻟﻨﺴــﺒﺔ ﻟﻠﻘﻴﻤﺘــﻴﻦ ‪ s12 / 12‬و ‪ s 22 /  22‬ﺗﻨــﺘﺞ‬ ‫ﻗﻴﻤـﺔ ‪ ٠f‬ﺗﻮزﻳـﻊ ﻛــﻞ اﻟﻘﻴﻤـﺔ اﻟﻤﻤﻜﻨــﺔ ﻣـﻦ ‪ f‬ﺣﻴــﺚ ‪ s12 / 12‬ﻳﻤﺜـﻞ اﻟﺒﺴــﻂ و ‪s 22 /  22‬‬

‫ﻳﻤﺜﻞ اﻟﻤﻘﺎم ﻳﺴﻤﻰ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ F‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪ . 1,  2‬إذا اﻋﺘﺒﺮﻧﺎ ﻛﻞ اﻟﻨﺴـﺐ اﻟﻤﻤﻜﻨـﺔ ﺣﻴـﺚ‬ ‫‪ s 22 /  22‬ﻳﻤﺜـﻞ اﻟﺒﺴـﻂ و ‪ s12 / 12‬ﻳﻤﺜـﻞ اﻟﻤﻘــﺎم ‪ ،‬ﻓـﻲ ﻫـﺬﻩ اﻟﺤﺎﻟـﺔ ﻧﺤﺼــﻞ ﻋﻠـﻰ ﺗﻮزﻳـﻊ ﻛــﻞ‬

‫اﻟﻘــﻴﻢ اﻟﻤﻤﻜﻨــﺔ اﻟﺘــﻰ ﺗﺘﺒــﻊ ﺗﻮزﻳــﻊ ‪ F‬وﻟﻜــﻦ ﺑــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳــﺔ ‪ .  2 , 1‬درﺟــﺎت اﻟﺤﺮﻳــﺔ اﻟﻤﺮﺗﺒﻄــﺔ‬ ‫ﺑﺘﺒﺎﻳﻦ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﻰ ﻓﻲ اﻟﺒﺴﻂ داﺋﻤـﺎ ﻳﻮﺿـﻊ أوﻻ ﻣﺘﺒﻮﻋـﺎ ﺑـﺪرﺟﺎت اﻟﺤﺮﻳـﺔ اﻟﻤﺮﺗﺒﻄـﺔ ﺑﺘﺒـﺎﻳﻦ اﻟﻌﻴﻨـﺔ‬

‫اﻟﺘــﻰ ﻓــﻲ اﻟﻤﻘــﺎم‪ .‬وﻋﻠــﻰ ذﻟــﻚ ﻣﻨﺤﻨــﻰ ﺗﻮزﻳــﻊ ‪ F‬ﻳﻌﺘﻤــﺪ ﻟــﻴﺲ ﻓﻘــﻂ ﻋﻠــﻰ اﻟﻤﻌﻠﻤﺘــﻴﻦ ‪. 1,  2‬‬ ‫وﻟﻜﻦ أﻳﻀﺎ ﻋﻠﻰ ﺗﺮﺗﻴﺒﻬﻤﺎ وﺑﻤﺠﺮد اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠـﻰ اﻟﻘﻴﻤﺘـﻴﻦ ﻳﻤﻜـﻦ ﺗﻌﺮﻳـﻒ اﻟﻤﻨﺤﻨـﻰ‪ ٠‬ﻣﻨﺤﻨﻴـﺎن‬

‫ﻟﺘﻮزﻳﻊ‪ F‬ﻣﻮﺿﺤﺔ ﻓﻲ ﺷﻜﻞ ) ‪٠( ١٩-٧‬‬

‫ﺷﻜﻞ ) ‪( ١٩-٧‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ s 22 , s12‬ﺗﻤﺜﻼن ﺗﺒﺎﻳﻨﻲ ﻋﻴﻨﺘـﻴﻦ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺘﻴﻦ ﻣﺴـﺘﻘﻠﺘﻴﻦ ﻣـﻦ اﻟﺤﺠـﻢ ‪n2 ,‬‬

‫‪ n1‬ﻣﺄﺧﻮذﺗﻴﻦ ﻣﺠﺘﻤﻌﻴﻦ ﻣﻦ ﻃﺒﻴﻌﻴﻴﻦ ﺑﺘﺒﺎﻳﻨﺘﻰ ‪  22 , 12‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪ 22s12‬‬ ‫‪12s 22‬‬

‫‪‬‬

‫‪s12 / 12‬‬ ‫‪s 22 /  22‬‬

‫‪f‬‬

‫ﻫ ـ ــﻲ ﻗﻴﻤ ـ ــﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴ ـ ــﺮ ﻋﺸ ـ ــﻮاﺋﻲ ‪ F‬ﻳﺘﺒ ـ ــﻊ ﺗﻮزﻳ ـ ــﻊ ‪ F‬ﺑ ـ ــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳ ـ ــﺔ ‪ ٠ 1,  2‬ﺑﻔ ـ ــﺮض أن‬ ‫) ‪ f  (1,  2‬ﺗﺮﻣﺰ ﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮر اﻷﻓﻘﻲ ﺗﺤﺖ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ F‬ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ‬

‫‪ 1  n1  1‬و ‪  2  n 2  1‬واﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻨﻬﺎ ﺗﺴﺎوى ‪ ‬واﻟﻤﻮﺿـﺤﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﺷﻜﻞ ) ‪.( ٢٠-٧‬‬

‫ﺷﻜﻞ ) ‪( ٢٠-٧‬‬ ‫ﻻﺳﺘﺨﺮاج ﻗﻴﻢ ) ‪ f  (1 ,  2‬ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺪوﻻن ‪ ،‬اﻷول ﻋﻨﺪ =‪‬‬

‫‪ .05‬واﻵﺧﺮ ﻋﻨﺪ ‪  = .01‬وﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻳﻜﻮن اﻟﺼﻒ اﻷول ﻟﻘﻴﻢ ‪ 1‬واﻟﻌﻤﻮد اﻷول ﻟﻘـﻴﻢ‬ ‫‪  2‬أﻣﺎ ﻣﺤﺘﻮﻳﺎت اﻟﺠﺪول ﻓﻬﻮ ﻟﻘﻴﻢ ) ‪ . f  (1,  2‬ﻋﻠـﻰ ﺳـﺒﻴﻞ اﻟﻤﺜـﺎل ﻣـﻦ ﺟـﺪول ﺗﻮزﻳـﻊ‬

‫‪ F‬ﻧﻼﺣﻆ أن ‪:‬‬

‫‪f.01 (5,7)  7.46 , f .05 (1,4)  7.71‬‬

‫‪f.01 (9,10)  4.94 , f.05 (4,1)  224.6‬‬

‫وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻳﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪام ﺟﺪول ﺗﻮزﻳﻊ ‪ F‬ﻓﻲ إﻳﺠﺎد ) ‪. f1  (1,  2‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ ) ‪ f1  (1,  2‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪ 1,  2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪f  ( 2 , 1‬‬

‫‪f1  (1 ,  2 ) ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻓﺈن ﻗﻴﻤﺔ )‪ f.95(7,12‬ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.2801‬‬ ‫‪f.05 (12,7 ) 3.57‬‬

‫‪f.95 (7,12) ‬‬

‫ﺣﻴﺚ أن ) ‪ f.05(12 , 7‬ﻣﺴﺘﺨﺮﺟﺔ ﻣﻦ ﺟﺪول ﺗﻮزﻳﻊ ‪ F‬ﻓﻲ ﻣﻠﺤﻖ )‪ (٦‬ﻋﻨـﺪ ﻣﺴـﺘﻮى ﻣﻌﻨﻮﻳـﺔ‬ ‫‪  = .05‬ودرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪، 1 = 12,  2 = 7‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ ﺣﺎﺻل اﻟﺿرب واﻟﻘﺳﻣﺔ ‪Distribution of Product and Quotient :‬‬ ‫ﻧظرﯾـﺔ ‪ :‬إذا ﻛـﺎن ‪ X , Y‬ﻣﺗﻐﯾـرﯾن ﻋﺷـواﺋﯾﯾن ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﺻـل ﻟﻬﻣـﺎ داﻟـﻪ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل‬

‫اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ‪ٕ f X,Y  x, y ‬واذا ﻛﺎن ‪ Z = X Y, W = X/Y‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ z‬‬ ‫‪f X ,Y  x,  dx  ‬‬ ‫‪f X,Y  , y  dy,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪y ‬‬

‫‪y f X,Y  wy, y  dy.‬‬

‫‪‬‬

‫‪f Z (z)  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪f W (w)  ‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X , Y‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﺣﯾث )‪ٕ X i ~ UNIF(0,1‬واذا ﻛﺎن ‪W = X/Y ,‬‬ ‫‪ W = X/Y‬أوﺟد داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻛل ﻣن ‪ Z , W‬؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪f X ,Y (x, ) dx.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪‬‬

‫‪f Z (z)  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪z x‬‬ ‫‪  ln Z‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪0  z  1,‬‬

‫اﻧظر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪ .‬أذن‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪y f X ,Y (wy, y)dy‬‬ ‫‪1 1/ w‬‬ ‫‪  y dy‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪1  w  .‬‬

‫ﺗوزﯾﻌﻲ‬

‫‪F , T‬‬

‫‪f W (w)  ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪  y dy ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1 1  2‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪2 w ‬‬

‫‪The t and F Distributio‬‬

‫ﯾﻌــد ﺗوزﯾــﻊ ‪ F , t‬ﻣــن اﻟﺗوزﯾﻌــﺎت اﻹﺣﺻــﺎﺋﯾﺔ اﻟﻬﺎﻣــﺔ اﻟﺗــﻰ ﺗﺳــﺗﺧدم ﻓــﻰ ﻣﺟــﺎل اﻹﺣﺻــﺎء‬ ‫اﻻﺳ ــﺗﻧﺗﺎﺟﻰ ﻹﺟ ـ ـراء اﻟﻌدﯾ ــد ﻣـ ــن اﺧﺗﺑـ ــﺎرات اﻟﻔ ــروض اﻟﻣﺗﻌﻠﻘـ ــﺔ ﺑﺗﺣﻠﯾـ ــل اﻟﺗﺑ ــﺎﯾن وﺗﺻـ ــﻣﯾم اﻟﺗﺟـ ــﺎرب‬

‫واﺧﺗﺑﺎر ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﺧطوط اﻻﻧﺣدار وﻏﯾر ذﻟك ﻣن اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ Z‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ أي أن ‪:‬‬ ‫)‪ٕ ، Z ~ N (0, 1‬واذا ﻛﺎن ‪ W‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي أي أن ) ‪، W ~ 2(‬‬ ‫ٕواذا ﻛﺎن ‪ Z , W‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪Z‬‬ ‫‪W/‬‬ ‫ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ‬وذﻟك ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫]‪[(  1) / 2‬‬ ‫‪f (t) ‬‬ ‫‪,   t  ‬‬ ‫‪ ( / 2)(1  t 2 / ) ( 1) / 2‬‬ ‫‪T‬‬

‫ﯾﻌﺗﺑـ ـ ــر اﻟﻌـ ـ ــدد ‪ ‬ﻫـ ـ ــو ﻣﻌﻠﻣـ ـ ــﺔ ﺗوزﯾـ ـ ــﻊ ‪ . t‬اﻟﺷـ ـ ــﻛل اﻟﺗـ ـ ــﺎﻟﻰ ﯾوﺿـ ـ ــﺢ ﻣﻧﺣﻧﯾـ ـ ــﺎن ﻟﺗوزﯾـ ـ ــﻊ ‪ t‬ﺣﯾـ ـ ــث‬ ‫‪.   2,20‬‬

‫ﻋﻣوﻣــﺎً ﯾﻛــون ﻣــن اﻟﺻــﻌوﺑﺔ ﺗﻘــدﯾر داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌــﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ‪ . T‬ﺟــدول ﺗوزﯾــﻊ ‪t‬‬ ‫ﯾﻌط ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻲ ‪ P[T  t  ( )]  ‬ﻛﻣ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎ ﻫ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــو ﻣوﺿ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺢ ﻓ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻰ اﻟﺷ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻛل‬ ‫اﻟﺗ ــﺎﻟﻰ ﺣﯾ ــث ) ‪ t  (‬ﺗرﻣ ــز ﻟﻘﯾﻣ ــﺔ ‪ t‬اﻟﺗ ــﻲ ﺗوﺟ ــد ﻋﻠ ــﻰ اﻟﻣﺣ ــور اﻷﻓﻘ ــﻲ ﺗﺣ ــت ﻣﻧﺣﻧ ــﻰ ﺗوزﯾ ــﻊ ‪t‬‬ ‫ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ‬واﻟﺗﻲ اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ ﻗدرﻫﺎ ‪.‬‬

‫اﻟﺟدول ﯾﻌطﻰ ﻗﯾم ) ‪ t  (‬اﻟﺗﻲ ﺗﻧﺎظر اﻻﺣﺗﻣﺎل‬ ‫اﻟﻘﯾم اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫ﻟدرﺟﺎت ﺣرﯾـﺔ ‪ ‬ﺣﯾـث‬

‫‪‬‬

‫‪.10, .05, .025, .01, .005, .001, .0005‬‬

‫‪‬‬

‫ﺗﺄﺧـذ‬

‫ودرﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ ﺗﺄﺧذ اﻟﻘﯾم ﻣن‬

‫‪   1‬إﻟـﻰ ‪    .‬ﯾوﺿـﺢ اﻟﺻـف اﻟﺛـﺎﻧﻲ ﻣـن اﻟﺟـدول ﻗـﯾم‬

‫‪‬‬

‫واﻟﻌﻣـود اﻷول ﻣـن‬

‫اﻟﺷــﻣﺎل ﻗــﯾم درﺟــﺎت اﻟﺣرﯾــﺔ ‪ . ‬أﻣــﺎ ﻣﺣﺗوﯾــﺎت اﻟﺟــدول ﻓﻬــﻲ اﻟﻘــﯾم ) ‪ . t  (‬وﻷن‬ ‫اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﻣﺗﻣﺎﺛل ﻓﺈن ) ‪ t1 ( )   t  (‬ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫أوﺟد‬

‫)ب(‬

‫)أ( ‪t .005 15 ,‬‬

‫‪. t ,995 15‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫)أ( ﺑﺎﻟﺑﺣ ــث ﻓ ــﻲ ﺟ ــدول ﺗوزﯾ ــﻊ ‪ t‬ﻓ ــﻲ ﻣﻠﺣ ــق )‪ (٩‬ﻋﻧ ــد ﺗﻘ ــﺎطﻊ اﻟﺻ ــف ‪  15‬‬ ‫‪   .005‬ﻧﺟد أن‬

‫‪. t .005 15   2.947‬‬

‫)ب( ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺧﺎﺻﯾﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛل ﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪t .995 15   t .005 15‬‬

‫أي أن ‪. t .995 15   2.947‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫أوﺟد ﻗﯾﻣﺔ ‪ ‬ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪t  (16)  1.746‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫واﻟﻌﻣ ــود‬

‫ﺣﯾــث أن ﻗﯾﻣــﺔ ‪ t‬ﺳــﺎﻟﺑﺔ ﻓﺈﻧﻬــﺎ ﺗﻘــﻊ ﻓــﻰ اﻟــذﯾل اﻷﯾﺳــر ﻣــن ﺗوزﯾــﻊ ‪ t‬وﺑﺎﺳــﺗﺧدام‬ ‫ﺧﺎﺻﯾﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛل ﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪t1 (16)   t  (16)  1.746‬‬

‫وﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻓﺈن‬

‫‪.05‬‬

‫=‬

‫‪1-‬‬

‫وﻣﻧﻬﺎ‬

‫‪.95‬‬

‫=‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ T‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪   7‬أوﺟد ‪:‬‬

‫)أ( ] ‪P [ T < 1.415‬‬

‫)ب( ] ‪P[T < -1.415‬‬

‫)ج( ) ‪P [ -1.895 < T < 1.415‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫)أ( ‪P [ T < 1.415 ] = 1- P (T > 1.415) = 1- 0.1 = 0.9‬‬ ‫)ب( ‪P [ T < -1.415 ] = P [T > 1.415] = 0.1‬‬ ‫)ج( )‪P [ -1.895 < T < 1.415 ] = 1-P(T > 1.415) – P( T > 1.895‬‬ ‫‪= 1 - 0.1 - .05 = .85 .‬‬

‫ﯾﻼﺣـظ أن اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ ﻟداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣــﺎل ‪ T‬ﻣﺗﻣﺎﺛــل ﺣــول اﻟﻌﻣـود اﻟﻣﻘــﺎم ﻋﻧــد ‪ t = 0‬وﯾﺷــﺑﻪ‬

‫ﻛﺛﯾـ ـ ار ﻣﻧﺣﻧ ــﻰ داﻟ ــﻪ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻲ ‪ Z‬اﻟ ــذي ﯾﺗﺑ ــﻊ اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ــﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳ ــﻲ ‪.‬‬ ‫اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾوﺿﺢ ﺛﻼﺛﺔ اﻟﻣﻧﺣﻧﯾﺎت ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪ T‬ﺑـدرﺟﺎت ﺣرﯾـﺔ ‪   1,3,7‬وﻣﻧﺣﻧـﻲ ‪ . Z‬ﯾﻼﺣـظ‬ ‫ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ أن ذﯾل ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬اوﺳﻊ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ‪.‬‬

‫ﻟﺧﺎﺻـﯾﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛـل ﻟﺗوزﯾـﻊ ‪ t‬ﻋﻧـد ‪ t = 0‬ﻓﺈﻧﻧـﺎ ﻧﺗوﻗـﻊ أن ﻣﺗوﺳـط اﻟﺗوزﯾـﻊ ﻻﺑـد وأن ﯾﺳـﺎوي ﺻـﻔر‪ ،‬أي‬ ‫أن ‪ E  T   0‬ﻋﻧـ ــدﻣﺎ ‪ .   2‬ﻋﻧـ ــدﻣﺎ ‪   1‬ﯾﺻـ ــﺑﺢ اﻟﺗوزﯾـ ــﻊ ‪ t‬ﻫـ ــو ﺗوزﯾـ ــﻊ ﻛوﺷـ ــﻲ وﯾﻣﻛـ ــن‬

‫إﺛﺑﺎت أن اﻟﻣﺗوﺳط ﻏﯾر ﻣوﺟود ﻋﻧدﻣﺎ ‪   1‬ﻛﻣﺎ ذﻛرﻧﺎ ﻓﻲ اﻟﻔﺻل اﻟﺳﺎدس‪ .‬ﺗﺑﺎﯾن ‪ T‬ﻫو ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪  3.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﺗﺑــﺎﯾن ﻏﯾــر ﻣﻌــروف ﻋﻧــدﻣﺎ ‪ .   2 ,   1‬وﻋﻠــﻰ اﻟــرﻏم ﻣــن ﺻــﻌوﺑﺔ اﻟﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ اﻟﻌــزوم‬ ‫‪Var(T)  E(T 2 ) ‬‬

‫ﻣن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ T‬ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗﻌرﯾف‪ T‬واﺳـﺗﻘﻼﻟﯾﺔ ‪W ,‬‬ ‫‪: Z‬‬

‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪E(T)  E(Z)E ‬‬ ‫‪ , E(T )  E(Z )E   .‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪ W‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫أوﺟد ‪. t 0.025  7  , t 0.9  7  , t 0.10  7 ‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻓﻲ ﻣﻠﺣق ) ‪ ( ٩‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪, t 0.025  7   2.365, t 0.9  7    t 0.10  7   1.415, t 0.10  7   1.415‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ T‬ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑﺗﺑﺎﯾن ‪ 5/4‬أوﺟد ‪:‬‬ ‫] ‪.P [ -1.812 < T < 1.812‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻫﻧﺎ ﻫو ‪  10 ,  /(  2)  5/ 4‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪P [ -1.812 < T < 1.812 ]= .90‬‬ ‫ﺣﯾث‪:‬‬

‫‪t 0.05 10   1.812, t.95 10   1.812‬‬ ‫واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪. t‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎن ‪ T‬ﻟ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻪ ﺗوزﯾ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻊ ‪ t‬ﺑ ـ ـ ـ ـ ـ ــدرﺟﺎت ﺣرﯾ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ ‪   14‬أوﺟ ـ ـ ـ ـ ـ ــد اﻟﺛﺎﺑ ـ ـ ـ ـ ـ ــت ‪ c‬ﺑﺣﯾ ـ ـ ـ ـ ـ ــث أن‬

‫‪T  c ]  0.90‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫[‪. P‬‬

‫ﻣـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــن ﺟـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــدول ﺗوزﯾـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻊ ‪ t‬ﻧﺟـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــد أن ‪ P(T  1.761)  0.05‬وﻋﻠـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻰ ذﻟـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــك‬ ‫‪c  1.761  t 0.05 14  .‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ W , V‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻛل ﻣﻧﻬﻣﺎ ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ﻣرﺑـﻊ ﻛـﺎي ﺑـدرﺟﺎت‬ ‫ﺣرﯾﺔ ‪ 1 ,  2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ‪ ،‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪W / 1‬‬ ‫‪V / 2‬‬

‫‪F‬‬

‫ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ . 1 ,  2‬داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪ F‬ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪0u‬‬

‫‪(1   2 ) / 2](1 /  2 ) 1 / 2 u 1 / 21‬‬ ‫‪f (u) ‬‬ ‫‪(1 / 2)  ( 2 / 2) (1  1u /  2 ) ( 1 2 ) / 2‬‬

‫ﯾﻌﺗﻣ ــد ﺗوزﯾـ ــﻊ ‪ F‬ﻋﻠـ ــﻰ ﻣﻌﻠﻣﺗ ــﯾن ‪ 1 ,  2‬ﺑـ ــﻧﻔس اﻟﺗرﺗﯾـ ــب ‪ .‬اﻟﻣﻌﻠﻣ ــﺔ اﻷوﻟـ ــﻰ ‪ 1‬ﻫـ ــﻲ ﻋـ ــدد‬ ‫درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ اﻟﺑﺳط واﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ‪  2‬ﻫﻲ ﻋدد درﺟﺎت ﺣرﯾـﺔ اﻟﻣﻘـﺎم ‪ .‬اﻟﺷـﻛل اﻟﺗـﺎﻟﻰ ﯾوﺿـﺢ ﻣﻧﺣﻧﯾـﺎت‬

‫ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﻟزوﺟﯾن ﻣن درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﺑﻔـرض أن ) ‪ F (1 ,  2‬ﺗرﻣـز ﻟﻘﯾﻣـﺔ ﻣـن ﻗــﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ ‪ F‬ﻋﻠـﻰ اﻟﻣﺣــور‬ ‫اﻷﻓﻘـﻲ ﺗﺣـت ﻣﻧﺣﻧـﻰ ﺗوزﯾـﻊ ‪ F‬ﺑـدرﺟﺎت ﺣرﯾــﺔ ‪  1‬و ‪  2‬واﻟﺗـﻲ ﺗﻛـون اﻟﻣﺳــﺎﺣﺔ‬ ‫ﻋﻠـــــــــــﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬـــــــــــﺎ ﺗﺳـــــــــــﺎوى ‪ ‬واﻟﻣوﺿـــــــــــﺣﺔ ﻓـــــــــــﻰ اﻟﺷـــــــــــﻛل اﻟﺗـــــــــــﺎﻟﻰ أى أن‪:‬‬ ‫‪. P { F  F (1 ,  2 )]  ‬‬

‫ﻻﺳـﺗﺧراج ﻗــﯾم ) ‪ F (1 ,  2‬ﯾوﺟــد ﺟــدوﻻن اﻷول ﻋﻧــد ‪ =.05‬واﻵﺧــر ﻋﻧــد ‪ = .01‬‬

‫وﻓـﻰ ﻛـل ﻣﻧﻬﻣـﺎ ﯾﻛــون اﻟﺻـف اﻷول ﻟﻘـﯾم ‪ 1‬واﻟﻌﻣــود اﻷول ﻟﻘـﯾم ‪  2‬أﻣـﺎ ﻣﺣﺗوﯾــﺎت‬ ‫اﻟﺟدول ﻓﻬو ﻟﻘﯾم ) ‪ . F (1 ,  2‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ‬

‫‪F‬‬

‫ﻧﻼﺣظ أن ‪:‬‬

‫‪F.01 (5,7)  7.46 , F.05 (1, 4)  7.71‬‬ ‫‪F.01 (9,10)  4.94 , F.05 (4,1)  224.6‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎن ﺗوزﯾﻊ ‪ ) F‬ﺳوف ﻧرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز ( ) ‪ F (1 ,  2‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ 1 ,  2‬أوﺟد ‪:‬‬

‫)ب( ‪F.01  9,4 ‬‬

‫)أ( ‪F.05  7,8‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( ﻋﻧدﻣﺎ ‪1  7 ,  2  8‬‬

‫ﻓﺈن ‪. F.05  7,8   3.5‬‬

‫)ب( ﻋﻧدﻣﺎ ‪ 1  9 ,  2  4‬ﻓﺈن ‪. F0.01  9,4   14.66‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﻓﻰ إﯾﺟﺎد ) ‪ F1 (1 ,  2‬ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻻﺗﯾﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪F1 ( 2 , 1 ) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪F (1 ,  2‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻗﯾﻣﺔ ‪ F.95  7,12 ‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.2801‬‬ ‫‪F.05 (12,7) 3.57‬‬

‫‪F.95 (7,12) ‬‬

‫ﺣﯾـــث أن ‪ F.05 12,7 ‬ﻣﺳـــﺗﺧرﺟﺔ ﻣـــن ﺟـــدول ﺗوزﯾـــﻊ‬ ‫ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ‬

‫‪ = .05‬‬

‫ودرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪. 1  12 ,  2  7‬‬

‫‪F‬‬

‫ﻓـــﻲ ﻣﻠﺣـــق )‪ (١٠‬ﻋﻧـــد‬

‫ﻣﺛﺎل‬

‫إذا ﻛﺎن ﺗوزﯾﻊ‬

‫‪F‬‬

‫ﻫو‬

‫)‪F(4,9‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﺛﺎﺑﺗﯾن‬

‫‪P(F  d)  .05‬‬

‫‪c,d‬‬

‫ﺑﺣﯾث أن ‪:‬‬ ‫‪P(F  c)  .01‬‬

‫‪,‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﻣﺎ ﻛﻣﺎ ﯾﺄﺗﻲ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .0682 ,‬‬ ‫‪F.01 (9, 4) 14.66‬‬

‫‪c  F0.99 (4,9) ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .1667.‬‬ ‫‪F.05 (9,4) 6.00‬‬

‫‪d  F0.95 (4,9) ‬‬

‫وأﻛﺛر ﻣن ذﻟك إذا ﻛﺎن ‪ F‬ﻫو ) ‪ F( 6,9‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(F  .2439)  P  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ F 0.2439 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ P   4.100   .05.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪‬‬ ‫وذﻟك ﻷن ﺗوزﯾﻊ ‪ 1 / F‬ﻫو )‪. F (9,6‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اذا ﻛـﺎن ‪ X‬ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ‪ t‬ﺑـدرﺟﺎت ﺣرﯾـﺔ ‪ ‬ﻓﺎﺛﺑـت أن‬

‫‪ X 2‬ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ‪ F‬ﺑـدرﺟﺎت ﺣرﯾـﺔ ‪)1,k‬‬

‫(ﺣﯾث ‪k  ‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪:X‬‬ ‫‪ x ‬‬

‫‪ k 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪fX  x  ‬‬ ‫‪1 x / k  2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 k‬‬ ‫‪k     ‬‬ ‫‪2  2‬‬

‫ﻟﯾﻛن‪:‬‬ ‫‪y  x2  u  x   x   y  w  y‬‬

‫‪ y‬‬

‫‪fX‬‬

‫‪ y‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪dy‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪fX  y ‬‬

‫‪‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫‪dy‬‬

‫‪‬‬

‫‪f Y (y) ‬‬

   k 1    k 1  2   2  1  y / k  2     2 y  k  1    k         2 2      k 1   k 1 1  1  k 1   2    k 2 2 y 2  k  y   2  1 k    2  2  k 1   k  k 1   2  2  12   k y  k  y   2  1 k    2  2  k 1   k  k 1   2  2 12 1   k y  k  y   2  , 0, y <  1 k    2 2 ‫ ﯾﺗﺑﻊ‬Y ‫ أي أن‬:‫ اذن‬F1,2 , 1  1,  2  k ‫وﻫذﻩ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾرﻋﺷواﺋﻰ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ‬ 1 ,  2 ‫ ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ‬F ‫ﺗوزﯾﻊ‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ ﺑـ ــدرﺟﺎت‬F ‫ ﯾﺗﺑ ــﻊ ﺗوزﯾـ ــﻊ‬Y 

1 ‫ أﺛﺑـ ــت أن‬1 ,  2 ‫ ﺑ ــدرﺟﺎت ﺣرﯾـ ــﺔ‬F ‫ ﯾﺗﺑـ ــﻊ ﺗوزﯾـ ــﻊ‬X ‫اذا ﻛ ــﺎن‬ X  2 , 1 :‫اﻟﺣــل‬

‫ ﻓﻰ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ‬1  m,  2  n ‫ﺳوف ﻧﺿﻊ‬ X mn   n m m  mn   2  2 2 2 1  fX  x   n m X  n  mx   2  0 < x <  m n     2  2 :‫ﻟﯾﻛن‬ y = 1 / x = u (x) → x = 1/y = w (y) d 1   w  y    2 dy y

f Y (y) 

d  w(y)  f X  w  y   dy

 mn  mn   m  1   n m   2  1   2   1 2  2 21    2 n m    n  m   y  m n y y           2   2   mn m  m n    n m  1  2 1 2 2  mn   2  2 2   n m   ny  m   2   m n y     2  2

mn   mn   n m n 1   2  2 2  2  n m (y) (ny  m)  2  m n     2  2 mn   m n   n m n   2  2 2 2 1   n m y (m  ny)  2  , 0  y   m n     2  2 1 ‫ أي ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ‬n,m‫ ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ‬F ‫ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ‬Y  ‫وﻫذة داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬ X .  2 , 1 ‫ﻣﺛﺎل‬ :‫أﺛﺑت أن‬

m ,n ‫ ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ‬F ‫ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ‬X ‫اذا ﻛﺎن‬ m X m n n Y ~ B ,  m  2 2 1 X n :‫اﻟﺣــل‬ : X ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ‬

mn   n m m  mn   2  2 2 2 1  f X (x)  n m x  n  mx   2  , 0  x   m n     2  2

:‫ﻟﯾﻛن‬

m x n y  n y  u(x)  x     w(y) m m 1  y   1 x n n d   w(y)   m 2 , dy (1  y) mn   d 2   f Y (y)  w(y) f X (w(y)) , c  dy m n     2  2  mn      2  n  n m m    1 1 y n m 2  y 2  n  m  m 2 cn 2 m 2 ( )  n  m     (1  y) m 1 y  1 y          mn   2 

 m  n2  m2 1 m2 n 1   m  m 11  m 1  12  1    c n   m 2 2  y 2 (1  y) 2    1 y     

m 1 2



m  m n  1  2  2 

 cy (1  y) mn  n  m 1 1 2    y 2 1  y  2 , 0  y  1 m n     2  2 b

n m , a  . ‫وﻫذﻩ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﻠﯾﻣﺗﯾن‬ 2 2