امثلة على التوزيع الطبيعى

‫اﻣﺛﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓ ــﻲ ﻣدﯾﻧ ــﺔ ﺻ ــﻐﯾرة وﺟ ــد أن أﻋﻠ ــﻰ درﺟ ــﺔ ﺣـ ـ اررة ﻣﺳ ــﺟﻠﺔ ﯾوﻣﯾ ــﺎ ﺧ ــﻼل ﻓﺻ ــل اﻟرﺑﯾ ــﻊ ﻟﻬ ــﺎ ﻣﺗوﺳ ــط‬

‫‪ 20°c‬واﻧﺣ ـ ـراف ﻣﻌﯾـ ــﺎري ‪ .5°c‬ﺑﻔـ ــرض أن اﻟﻣﺗﻐﯾـ ــر اﻟﻌﺷ ـ ـواﺋﻲ ‪ ) X‬أﻋﻠـ ــﻰ درﺟـ ــﺔ ﺣ ـ ـ اررة ﯾوﻣﯾـ ــﺎ (‬ ‫ﯾﺧﺿﻊ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ‪ ،‬أوﺟد اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﻣﺋوﯾﺔ ﻟﻸﯾﺎم اﻟﺗﻲ ﻓﯾﻬﺎ أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣ اررة ‪:‬‬ ‫) أ( ﺑﯾن ‪ 22°c‬و ‪٠ 26°c‬‬

‫) ب( ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ‪٠28°c‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( إذا ﻛــﺎن ‪ X‬ﯾرﻣــز ﻷﻋﻠــﻰ درﺟــﺔ ﺣ ـ اررة ﻣﺳــﺟﻠﺔ ﯾوﻣﯾــﺎ ﻓــﺎن ‪ X‬ﯾﻛــون ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ طﺑﯾﻌــﻲ‬ ‫ﻣﺗوﺳطﻪ ‪  =20‬واﻧﺣراﻓﻪ اﻟﻣﻌﯾﺎري ‪ .  =5‬اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ اﻟﻣﻧﺎظر ﻫو ‪:‬‬ ‫‪X -  X  20‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ x1  22‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪22  20‬‬ ‫‪z1 ‬‬ ‫‪ 0.4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫وﻋﻧدﻣﺎ ‪ x1  26‬ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫‪26  20‬‬ ‫‪z2 ‬‬ ‫‪ 1.2.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﻫو )‪ P( 22  X  26‬وﻫو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬ ‫أي أن ‪:‬‬

‫)‪P(22  X  26)  P(0.4  Z  1.2‬‬ ‫‪ 0.3849  0.1554  0.2295.‬‬

‫‪١‬‬

‫أي أن اﻟﻧﺳـﺑﺔ اﻟﻣﺋوﯾــﺔ ﻟﻸﯾـﺎم اﻟﺗــﻲ ﻓﯾﻬـﺎ أﻋﻠــﻰ درﺟـﺔ ﺣـ اررة ﺑـﯾن ) ‪ 22°c‬و ‪ ( 26°c‬ﻫــﻲ ‪%‬‬ ‫‪. 22.95‬‬

‫) ب( ﻋﻧدﻣﺎ ‪ x1  28‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪28  20‬‬ ‫‪ 1.6.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﻫو )‪ P (X 28‬وﻫو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪ .‬أي أن‪:‬‬ ‫‪z1 ‬‬

‫)‪P(X  28)  P(Z  1.6‬‬ ‫)‪ P(Z  0)  P(0  Z  1.6‬‬ ‫‪ 0.5  0.4452  0.0548.‬‬

‫أي أن اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﻣﺋوﯾﺔ ﻟﻸﯾﺎم اﻟﺗﻲ ﻓﯾﻬﺎ أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣ اررة ﻓوق ‪ 28°c‬ﻫﻲ ‪. 5.48 %‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎﻧــت ﻣﺑﯾﻌــﺎت اﻟﻐــﺎز اﻟطﺑﯾﻌــﻲ ﻓــﻲ اﻷﺳــﺑوع ﻓــﻲ ﻣﺣطــﺔ ﻟﺗﻌﺑﺋــﺔ اﻟﻐــﺎز ﯾﺧﺿــﻊ ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻲ‬

‫ﺑﻣﺗوﺳــط ‪   3000‬ﺟــﺎﻟون واﻧﺣ ـراف ﻣﻌﯾــﺎري ‪   200‬ﺟــﺎﻟون‪ .‬أوﺟــد اﻻﺣﺗﻣــﺎل أن اﻟﻣﺑﯾﻌــﺎت‬ ‫ﻓﻲ اﻷﺳﺑوع ﻣﺎ ﺑﯾن ‪ 3200‬و ‪ 3500‬ﺟﺎﻟون ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫إذا ﻛـﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ ﯾرﻣـز ﻟﻣﺑﯾﻌـﺎت اﻟﻐـﺎز اﻟطﺑﯾﻌـﻲ ﻓـﻲ اﻷﺳـﺑوع ‪ ،‬ﻓـﺎن ‪ X‬ﯾﻛـون ﻣﺗﻐﯾـر‬ ‫ﻋﺷواﺋﻲ طﺑﯾﻌﻲ ﻣﺗوﺳطﻪ ‪  =3000‬واﻧﺣراﻓﻪ اﻟﻣﻌﯾﺎري ‪.  =200‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ x1  3200‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪3200  3000‬‬ ‫‪ 1.0.‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪z1 ‬‬

‫وﻋﻧدﻣﺎ ‪ x 2  3500‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﻫو ‪:‬‬

‫‪3500  3000‬‬ ‫‪ 2.5.‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪z2‬‬

‫)‪P (3200  X  3500‬‬ ‫وﻫو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ أي أن ‪:‬‬ ‫)‪P(3200  X  3500)  P(1.0  Z  2.5‬‬

‫)‪P(0  Z  2.5)  P(0  Z  1‬‬ ‫‪ 0.4938  0.3413  0.1525.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎﻧــت ﻛﻣﯾــﺔ اﻟﻣطــر اﻟــذي ﯾﺳــﻘط ﺳــﻧوﯾﺎ ﻓــﻲ ﻣﻧطﻘــﺔ ﻣﻌﯾﻧــﺔ ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﯾﺧﺿــﻊ ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ‬ ‫اﻟطﺑﯾﻌـﻲ ﺑـﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾــﺎري ‪  = 2‬ﺑوﺻـﺔ‪ .‬أوﺟــد اﻟﻣﺗوﺳـط اﻟﺳـﻧوي ﻟﺳــﻘوط اﻟﻣطـر ﻓــﻲ ﻋـﺎم ﻣﺣــدد‬ ‫إذا ﻛﺎن اﺣﺗﻣﺎل ﺳﻘوط أﻛﺛر ﻣن ‪ 30‬ﺑوﺻﺔ ﻣن اﻟﻣطر ﻓﻲ ﻫذا اﻟﻌﺎم ﯾﺳﺎوي ‪. 0.0548‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﻔـ ــرض أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـ ــر ﻋﺷ ـ ـواﺋﻲ طﺑﯾﻌـ ــﻲ ﻟـ ــﻪ ﻣﺗوﺳـ ــط ﻏﯾـ ــر ﻣﻌـ ــروف واﻧﺣ ـ ـراف ﻣﻌﯾـ ــﺎري ‪،  = 2‬‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ اﻟﻣﻧﺎظر ﯾﻛون ‪:‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ x1  30‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪X-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪30  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪z1 ‬‬

‫وﻟﻛن اﺣﺗﻣﺎل أن ‪ X‬أﻛﺛر ﻣن ‪ 30‬ﻫو ‪ ،0.0548‬ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣﻌطﻰ‪ ،‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺎن ‪:‬‬

‫‪30  ‬‬ ‫‪)  0.0548.‬‬ ‫‪2‬‬

‫أي أن ‪:‬‬

‫‪30  ‬‬ ‫‪)  0.4452.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪P( Z ‬‬

‫‪P (0  Z ‬‬

‫وﻟﻛن ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ اﻟﻣﻌطﻰ ﻓﺎن ‪:‬‬

‫‪P (0  Z  1.6)  0.4452.‬‬ ‫أي أن‬

‫‪30  ‬‬ ‫‪ 1.6‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﻣﻧﻪ‬

‫‪   26.8‬ﺑوﺻﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ﺣﻣوﺿﺔ اﻟـدم اﻵدﻣـﻲ ﻣﻘـﺎس ﺑدﻻﻟـﺔ اﻷس اﻷﯾـدروﺟﯾن ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ طﺑﯾﻌـﻲ ﻣﺗوﺳـطﻪ‬

‫‪ .  = 7.2‬إذا ﻛ ـ ــﺎن اﺣﺗﻣ ـ ــﺎل أن ﯾﻛ ـ ــون ﻣﺳ ـ ــﺗوى اﻷس اﻻﯾ ـ ــدروﺟﯾﻧﻲ اﻛﺑ ـ ــر ﻣ ـ ــن ‪ 7.5‬ﯾﺳ ـ ــﺎوي‬ ‫‪ 0.0222‬أوﺟد اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ x1  7.5‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪7.5  7.2 0.3‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫أي أن ‪:‬‬

‫‪0.3‬‬ ‫‪)  0.0222.‬‬ ‫‪‬‬

‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻓﺎن ‪:‬‬

‫‪z1 ‬‬

‫‪P(Z ‬‬

‫‪0.3‬‬ ‫‪)  0.5  0.0222  0.4778.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪P (0  Z ‬‬

‫وﻟﻛن ﻣن اﻟﺟدول اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻧﺟد أن ‪:‬‬

‫‪P (0  Z  2.01)  0.4778.‬‬

‫‪0.3‬‬ ‫أي أن ‪ 2.01‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻣﻧﻪ ‪.  = 0.149‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذاﻛ ــﺎن دﺧ ــل اﻷﺳ ــر ﻓ ــﻲ ﻣدﯾﻧ ــﺔ ﻣ ــﺎ ﯾﺗﺑ ــﻊ اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ــﻲ ﺑﻣﺗوﺳ ــط ‪ٕ 15000$‬واﻧﺣـ ـراف ﻣﻌﯾ ــﺎري‬ ‫‪ 3000$‬ﻣﺎﻫو إﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون دﺧل أﺳرة اﺧﺗﯾرت ﻋﺷواﺋﯾﺂﺑﯾن‪:‬‬

‫أ( ﻣن ‪ 16000$‬إﻟﻰ ‪18000$‬‬ ‫ب( أﻗل ﻣن ‪12000$‬‬ ‫ج( أﻋﻠﻰ ‪15000$‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪  15000,   3000‬‬ ‫أ( اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون دﺧل اﻷﺳرة ﻣن ‪ 16000$‬إﻟﻰ ‪ 18000$‬ﻫو ‪:‬‬ ‫‪1600015000‬‬ ‫‪1800015000‬‬ ‫(‪P(16000  X 18000)  P‬‬ ‫‪ Z‬‬ ‫‪)  P(0.33  Z 1).‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫‪3000‬‬

‫)‪P(0.33  Z  1)  P(0  Z  1)  P(0  Z  0.33‬‬ ‫‪ 0.3413  0.12930.212.‬‬ ‫ب( أﻗل ﻣن ‪: 12000$‬‬ ‫‪1200015000‬‬ ‫‪P(X  12000)  P(Z ‬‬ ‫‪)  P(Z  1),‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫‪ P(Z1) P(Z0) P(0 Z1)0.50.34130.1587.‬‬ ‫ج(أﻋﻠﻰ ‪: 15000$‬‬

‫‪1500015000‬‬ ‫‪)  P(Z  1),‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫‪P(Z0)0.5.‬‬

‫‪P(X  15000)  P(Z ‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎﻧــت اﻟــدرﺟﺎت اﻟﺗــﻲ ﺣﺻــل ﻋﻠﯾﻬــﺎ طﺎﻟــب ﺗﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻲ ﺑﻣﺗوﺳــط ‪ 60‬درﺟــﺔ وﺗﺑــﺎﯾن‬ ‫‪ 0.5‬اﺧﺗﯾر طﺎﻟب ﺑطرﯾﻘﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ‬

‫أ( ﻣﺎﻫو اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗزﯾد درﺟﺗﻪ ﻋن ‪ 72‬؟‬ ‫ب( ﻣﺎﻫو ﻋدد اﻟطﻼب اﻟذﯾن ﺗﻘل درﺟﺎﺗﻬم ﻋن ‪ 56‬؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫أ(‬

‫‪7260‬‬ ‫‪)  P(Z  16.9),‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪P(Z0) P(0 Z16.9)0.50.50.‬‬ ‫‪P(X  72)  P(Z ‬‬

‫‪٥‬‬

‫ب(‬

‫‪5660‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪)  P(Z ‬‬ ‫)‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪ P(Z5.65) P(Z5.65),‬‬ ‫‪ P(Z0) P(0 Z5.65)0.50.50.‬‬

‫‪P(X  56)  P(Z ‬‬

‫إذآ ﻋدد اﻟطﻼب ﯾﺳﺎوي ‪٠ 0  100  0‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎن اﻟزﻣن اﻟـﻼزم ﻟﻬﺿـم وﺣـدة واﺣـدة ﻣـن طﻌـﺎم ﻣﻌـﯾن ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻲ ﺑﻣﺗوﺳـط ﻗـدرﻩ ‪25‬‬ ‫دﻗﯾﻘــﺔ واﻧﺣ ـراف ﻣﻌﯾــﺎري ﻗــدرﻩ ﺛــﻼث دﻗــﺎﺋق ‪.‬ﻣــﺎﻫو اﺣﺗﻣــﺎل أن ﺗﻬﺿــم وﺣــدة طﻌــﺎم ﻓــﻲ أﻗــل ﻣــن ‪30‬‬ ‫دﻗﯾﻘﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪  3,   25,‬‬ ‫‪30 25‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) ‪) P(Z‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪P(Z1.66) P(Z0) P(0 Z1.66‬‬

‫‪P(X 30) P(Z‬‬

‫‪0.50.45150.9515.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫أوزان اﻟدﺟﺎج ﻓﻲ ﻣزرﻋﺔ ﻣﺎ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﻣﺗوﺳط رطل واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري أوﺟد‪:‬‬ ‫أ( إﺣﺗﻣﺎل ان ﯾﻛون وزن دﺟﺎﺟﺔ اﺧﺗﯾرت ﻋﺷواﺋﯾﺂ أﻛﺑر ﻣن ﺳﺑﻌﺔ أرطﺎل‪.‬‬

‫ب( ﻧﺳﺑﺔ اﻟدﺟﺎج اﻟذي وزﻧﻪ أﻗل ﻣن أرﺑﻌﺔ أرطﺎل ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪  1.5 ,   6‬‬ ‫‪7 6‬‬ ‫)‪)  P(Z  0.66‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫)‪ P(Z0) P(0 Z0.66‬‬

‫‪P(X  7)  P(Z ‬‬

‫أ(‬

‫‪0.50.2454.‬‬ ‫ب( اﺣﺗﻣﺎل اﺧﺗﯾﺎر دﺟﺎﺟﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺂ وزﻧﻬﺎ أﻗل ﻣن أرﺑﻌﺔ أرطﺎل‬ ‫‪46‬‬ ‫‪P(X  4)  P(Z ‬‬ ‫)‪)  P(Z  1.33‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫)‪ P(Z1.33) P(Z0) P(0 Z1.33‬‬ ‫‪0.50.40820.0918.‬‬ ‫‪٦‬‬

‫إذن اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﻣطﻠوﺑﻪ ﺗﺳﺎوي ‪:‬‬

‫‪0.0918  100  9.18%.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺗﻧﺗﺞ ﻣﺎﻛﯾﻧـﺔ ﻟﻠﻠﻣﺷـروﺑﺎت اﻟﺑـﺎردة ﻓـﻲ اﻟﻣﺗوﺳـط ‪ 7‬أوﻗﯾـﺎت ﻣـن اﻟﻌﺻـﯾر ﻟﻛـل ﻛـوب‪ .‬ﺑﻔـرض أن ﻛﻣﯾـﺔ‬

‫اﻟﺷراب ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري ‪ 0.5‬أوﻗﯾﺔ‪.‬أوﺟد‪:‬‬ ‫أ( ﻧﺳﺑﺔ اﻷﻛواب اﻟﺗﻲ ﺗﺣﺗوي ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ‪ 7.8‬أوﻗﯾﺔ‬ ‫ب( إﺣﺗﻣﺎل أن ﻛوب ﯾﺣﺗوي ﻣن ﺑﯾن ‪ 6.7‬إﻟﻰ ‪ 7.9‬أوﻗﯾﺔ‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪  7 ,   0.5‬‬ ‫‪P(X  7.8)  1  P(X  7.8),‬‬ ‫‪7.87‬‬ ‫‪1 P(Z‬‬ ‫‪)1[P(Z1.6)],‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪1[P(Z0) P(0 Z1.6)]‬‬ ‫‪1[0.50.4452]0.0548.‬‬ ‫إذا اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﻣطﻠوﺑﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪0.0548  100  5.48‬‬ ‫ب( اﺣﺗﻣﺎل اﺧﺗﯾﺎر ﻛوب ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﯾﺣﺗوي ﻣن ﺑﯾن ‪ 6.7‬إﻟﻰ ‪ 7.9‬أوﻗﯾﺔ ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪6.7 7‬‬ ‫‪7.97‬‬ ‫(‪P(6.7  X  7.9)  P‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪),‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪P(0.6  Z  1.8)  P(0  Z  0.6)  P(0  Z  1.8),‬‬ ‫‪ 0.2257  0.4641  0.6898.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﻘطـﻊ ﺷــﺧص اﻟﻣﺳـﺎﻓﺔ ﻣــن ﻣﻧزﻟـﻪ إﻟــﻰ ﻋﻣﻠـﻪ ﯾوﻣﯾــﺎ ﻓـﻲ زﻣــن ﻗـدرﻩ ‪ 24‬دﻗﯾﻘــﺔ ﻓـﻲ اﻟﻣﺗوﺳــط ﺑــﺎﻧﺣراف‬ ‫ﻣﻌﯾــﺎري ﻗــدرﻩ ‪ 3.8‬دﻗﯾﻘــﺔ ﺑﻔــرض أن اﻟــزﻣن اﻟــذي ﯾﺳــﺗﻐرﻗﻪ ﻋﻠــﻰ اﻷﻗــل ﯾوﻣﯾــﺎ ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻲ‬

‫أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟزﻣن اﻟذي ﯾﺳﺗﻐرﻗﻪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻧﺻف ﺳﺎﻋﺔ‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪  3.8 ,   24‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟزﻣن اﻟذي ﯾﺳﺗﻐرﻗﻪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻧﺻف ﺳﺎﻋﺔ ) ‪ 30‬دﻗﯾﻘﺔ( ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪P(X  30)  1  P(X  30),‬‬ ‫‪30 24‬‬ ‫‪1P(Z‬‬ ‫])‪)1[P(Z1.57‬‬ ‫‪3.8‬‬ ‫])‪1[P(Z0) P(0 Z1.57‬‬ ‫‪1[0.5 0.4418]0.0582.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎﻧـ ــت أط ـ ـوال طﺎﻟـ ــب ﺗﺗﺑـ ــﻊ اﻟﺗوزﯾـ ــﻊ اﻟطﺑﯾﻌـ ــﻲ ﺑﻣﺗوﺳـ ــط ‪ 68.5‬ﺑوﺻـ ــﺔ واﻧﺣ ـ ـراف ﻣﻌﯾـ ــﺎري ‪2.7‬‬ ‫ﺑوﺻﺔ ﻛم ﻋدد اﻟطﻠﺑﺔ اﻟﺗوﻗﻊ أن ﺗﻛون أطواﻟﻬم‬ ‫أ( أﻗل ﻣن ‪ 63‬ﺑوﺻﺔ‬

‫ج( أﻛﺑر ﻣن ‪ 74‬ﺑوﺻﺔ‬

‫ب( ﺑﯾن ‪ 67.5‬و‪ 71‬ﺑوﺻﺔ‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪  2.7 ,   68.5‬‬ ‫‪6368.5‬‬ ‫)‬ ‫‪2.7‬‬ ‫)‪P(Z2.03) P(Z 2.03‬‬ ‫)‪P(Z0) P(0 Z 2.03‬‬

‫‪P(Z  63)  P(Z ‬‬

‫ا(‬

‫‪0.50.47880.0212.‬‬ ‫أى أن ﻋدد اﻟطﻼب اﻟذﯾن ﯾﺗوﻗﻊ أن ﺗﻛون أطواﻟﻬم أﻗل ﻣن ‪ 63‬ﺑوﺻﺔ ﯾﺳﺎوي‪:‬‬

‫‪0.0212  1000  21.2.‬‬ ‫ب(‬

‫‪67.568.5‬‬ ‫‪7168.5‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫)‬ ‫‪2.7‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫)‪ P(0.37 Z0.92) P(0 Z0.37)  P(0 Z0.92‬‬

‫(‪P(67.5  X  71)  P‬‬

‫‪0.1443 0.32120.4655.‬‬ ‫إذا ﻋدد اﻟطﻼب اﻟﻣﺗوﻗﻊ أن ﺗﻛون أطواﻟﻬم ﺑﯾن ‪ 67.5‬إﻟﻰ ‪ 71‬ﺑوﺻﺔﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫ج(‬

‫‪0.4655  1000  465.5.‬‬ ‫‪7468.5‬‬ ‫)‪)  P(Z  2.03‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫‪ P(Z0)P(0 Z 2.03)0.50.47880.0212‬‬ ‫‪P(X  74)  P(Z ‬‬

‫أى أن ﻋدد اﻟطﻼب اﻟﻣﺗوﻗﻊ أن ﯾﻛون طوﻟﻬم أﻛﺑر ﻣن ‪ 74‬ﺑوﺻﺔ ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪٨‬‬

‫‪0.0212  1000  21.2  21.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺗــدﻓﻊ ﺷ ــرﻛﺔ أﺟ ــور اﻟﻌ ــﺎﻣﻠﯾن ﻓﯾ ــﻪ ﺑﻣﺗوﺳ ــط ‪ 100‬ﺟﻧﯾــﻪ ﻟﻛ ــل ﺳ ــﺎﻋﺔ ﺑ ــﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ــﺎري ‪ 5‬ﺟﻧﯾ ــﻪ إذا‬ ‫ﻛﺎﻧت اﻷﺟور ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻲ ﻣـﺎﻫﻲ اﻟﻧﺳـﺑﺔ اﻟﻣﺋوﯾـﺔ ﻣـن اﻟﻌـﺎﻣﻠﯾن اﻟـذﯾن أﺟـورﻫم ﺗﺗـراوح‬ ‫ﺑﯾن ‪ 80‬إﻟﻰ ‪ 90‬ﻓﻲ اﻟﺳﺎﻋﺔ‪٠‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪  5 ,   100‬‬ ‫‪80100‬‬ ‫‪90100‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫)‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪ P(4 Z2) P(2 Z 4‬‬ ‫)‪ P(0 Z 4) P(0 Z2‬‬

‫(‪P(80  X  90)  P‬‬

‫‪0.50.47720.0228.‬‬ ‫اى أن اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﻣﺋوﯾﺔ ﺗﺳﺎوي‪:‬‬

‫‪0.0228  100  2.28.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛ ــﺎن ﻣﺗوﺳ ــط اﻟﻌﻣ ــر ﻟﻣوﻟ ــد ﻛﻬرﺑ ــﺎﺋﻲ ﺻ ــﻐﯾر ﻫ ــو ‪ 10‬ﺳ ــﻧوات ﺑ ــﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ــﺎري ‪ 2‬ﺳ ــﻧﺔ أوﺟ ــد‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل ان ﯾﻘل ﻋﻣر اﻟﻣوﻟد ﻋن ‪ 8‬ﺳﻧﺔ ‪٠‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪  2 ,   10‬‬ ‫‪810‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ P(Z1) P(Z1‬‬

‫‪P(X  8)  P(Z ‬‬

‫)‪ P(Z0) P(0 Z1‬‬ ‫‪0.50.34130.1587.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎﻧـت درﺟــﺔ اﻟﺣـ اررة ﻓــﻲ ﻣدﯾﻧـﺔ ﻣــﺎ ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻲ ﺑﻣﺗوﺳــط ‪ 20‬درﺟــﺔ واﻧﺣـراف ﻣﻌﯾــﺎري‬ ‫‪ 3‬درﺟﺎت أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﻛون درﺟﺔ اﻟﺣ اررة ﻓﻲ أﺣد اﻷﯾﺎم أﻗل ﻣن ‪ 25‬درﺟﺔ‪٠‬‬ ‫‪٩‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪  3 ,   20‬‬ ‫‪2520‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬

‫‪P(X  25)  P(Z ‬‬

‫‪5‬‬ ‫)‪P(Z ) P(Z1.66‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪P(Z0)  P(0Z1.66‬‬ ‫‪0.50.45150.9515.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛ ــﺎن ﻗط ــر اﻟﺳ ــﻠك اﻟﻛﻬرﺑ ــﺎﺋﻲ ﻣ ــن إﻧﺗ ــﺎج ﺷ ــرﻛﺔ ﻣ ــﺎ ﯾﺗﺑ ــﻊ اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ــﻲ ﺑﻣﺗوﺳ ــط ‪ 8‬ﻣﻠﻠﯾﻣﺗ ــر‬ ‫وﺗﺑﺎﯾن ‪ 0.0004‬ﻣﻠﻠﯾﻣﺗ ٕ ارﺷﺗرى ﺷﺧص ﺳﻠك ﻓﻣﺎ ﻫو إﺣﺗﻣﺎل أن ﻻﯾزﯾد ﻗطرﻩ ﻋن ‪ 8‬ﻣﻠﻠﯾﻣﺗر‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪  0.0004  0.02 ,   8‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪)  P(Z  0)  0.5.‬‬ ‫‪0.02‬‬

‫‪P(X  8)  P(Z ‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛــﺎن اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﺗﻛ ـراري ﻟﺿــﻐط اﻟــدم طﺑﯾﻌﯾــﺎ وﻛــﺎن ﻣﺗوﺳــط اﻟﺿــﻐط اﻟطﺑﯾﻌــﻲ ﻫــو‪ 120‬ﺳــم ﻣــن‬ ‫اﻟزﺋﺑق واﻹﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻫو ‪ 15‬ﺳم ﻣن اﻟزﺋﺑق‬ ‫أ( ﻣﺎﻫﻲ ﻧﺳﺑﺔ اﻷﺷﺧﺎص اﻟذﯾن ﻣن اﻟﻣﺣﺗﻣل أن ﯾﻛون ﺿﻐطﻬم ‪ 150‬ﺳم ﻓﺄﻛﺛر؟‬

‫ب( إذا ﻋﻠﻣــت أن إﺣﺗﻣــﺎل اﻟﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ ﺷــﺧص ﺿــﻐط دﻣــﻪ أﻗــل ﻣــن ﻗﯾﻣــﺔ ﻣﻌﯾﻧــﺔ ﻫــﻲ ‪ a1‬ﻣــﺛﻼ‬ ‫ﻫو ‪ 0.8942‬ﻓﻣﺎ ﻫﻲ ﻗﯾﻣﺔ ‪ a1‬؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫أ( إﺣﺗﻣﺎل اﻷﺷﺧﺎص اﻟذﯾن ﻣن اﻟﻣﺣﺗﻣل أن ﯾﻛون ﺿﻐطﻬم ‪ 150‬ﺳم ﻓﺄﻛﺛر ﯾﺳﺎوي ‪:‬‬ ‫‪150120‬‬ ‫‪P(X  150)  P(Z ‬‬ ‫)‪)  P(Z  2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫])‪1P(Z2) 1[P(Z0)  P(0 Z2‬‬ ‫‪1[0.50.4772]10.97720.228.‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫ب(‬

‫‪a 120‬‬ ‫‪P(X  a )  P(Z  1‬‬ ‫‪)  0.8942.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬

‫وﺣﯾث أن‬

‫‪a 120‬‬ ‫‪a 120‬‬ ‫‪P(Z  1‬‬ ‫‪)  P(Z  0)  P(0  Z  1‬‬ ‫‪),‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪a 120‬‬ ‫‪0.5 P(0 Z 1‬‬ ‫‪)0.8942.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪a 120‬‬ ‫‪P(0 Z 1‬‬ ‫‪)0.8942 0.50.3942.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ﻧﺑﺣ ـ ــث ﻓ ـ ــﻲ داﺧ ـ ــل ﺟ ـ ــداول اﻟﺗوزﯾ ـ ــﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ـ ــﻲ ﻋ ـ ــن اﻟﻘﯾﻣ ـ ــﺔ ‪ 0.3942‬ﻧﺟ ـ ــد أﻧﻬ ـ ــﺎ ﺗﺗﺣﻘ ـ ــق ﻋﻧ ـ ــدﻣﺎ‬ ‫)‪ P(0  Z  1.25‬ﺗﻘرﯾﺑﺎ أي أن‪:‬‬

‫‪a1 120‬‬ ‫‪ 1.25  a  120  18.75,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪ a1138.75.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻣﻌدل اﻟذﻛﺎء ﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟطﻠﺑﺔ اﻟراﻏﺑﯾن ﻓﻲ اﻹﻟﺗﺣﺎق ﺑﺟﺎﻣﻌـﺔ ﻣـﺎ ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻲ‬ ‫ﺑﻣﺗوﺳط ‪ 115‬واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري ‪ 12‬أوﺟد إﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون ﻣﻌدل اﻟذﻛﺎء أﻛﺑرﻣن ‪٠120‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪  12 ,   115‬‬ ‫‪120 115‬‬ ‫‪)  P(Z  0.416),‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ P(Z0) P(0 Z0.416)0.50.16280.3372.‬‬

‫‪P(X  120)  P(Z ‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﺣﺻــل ‪ 10%‬ﻣــن اﻟطــﻼب ﻋﻠــﻰ ﺟ ـواﺋز ﺑﺳــﺑب إرﺗﻔــﺎع درﺟــﺎﺗﻬم ﻓﻣــﺎ ﻫــﻲ أدﻧــﻰ درﺟــﺔ ﯾﺟــب أن‬

‫ﯾﺣﺻل ﻋﻠﯾﻬﺎ اﻟطﺎﻟب ﺣﺗﻰ ﯾﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺟﺎﺋزة ﻣﻊ اﻟﻌﻠم أن درﺟﺎت اﻟطـﻼب ﺗﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻲ‬ ‫ﺑﻣﺗوﺳط ‪ 60‬وﺗﺑﺎﯾن ‪0.5‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ﻫﻲ أدﻧﻰ درﺟﺔ ﯾﺟب أن ﯾﺣﺻل ﻋﻠﯾﻬﺎ اﻟطﺎﻟب ﺣﺗﻰ ﯾﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺟﺎﺋزة وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‬ ‫ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪x 60‬‬ ‫‪x 60‬‬ ‫‪)  P(Z  0)  P(0  Z ‬‬ ‫‪)  0.1,‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪x 60‬‬ ‫‪P(0 Z‬‬ ‫‪)0.50.10.4.‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺑﺣث ﻓﻲ ﺟداول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻋن اﻟﻘﯾﻣﺔ ﻧﺟد أﻧﻬﺎ ﺗﻌطﻰ ﻋﻧد )‪ P(0  Z  1.29‬أي‬ ‫‪P(Z ‬‬

‫أن‪:‬‬

‫‪x 60‬‬ ‫‪ 1.29  x  60  0.912,‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪x 60.921.‬‬

‫إذن أدﻧﻰ درﺟﺔ ﯾﺟب أن ﯾﺣﺻل ﻋﻠﯾﻬﺎ اﻟطﺎﻟب ﺣﺗﻰ ﯾﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺟﺎﺋزة ﺗﺳﺎوي ‪٠ 60.921‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻣﺗوﺳط أطوال ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟﺟﻧود ﻓﻲ ﻣﻌرﻛﺔ ﻫـو ‪ 70‬ﺑوﺻـﺔ ٕواذا ﻛـﺎن‪ 10%‬ﻣـن اﻟﺟﻧـود‬ ‫ﻣـن أطــول ﻣـن ‪ 72‬ﺑوﺻــﺔ ﺑﻔــرض ان أطـوال اﻟﺟﻧــود ﻓــﻲ ﻫـذﻩ اﻟﻣﻌرﻛــﺔ ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻲ ﻣــﺎﻫو‬

‫اﻹﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري‪٠‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪  ? ,   70‬‬ ‫"إذا ﻛﺎن ‪ 10%‬ﻣن اﻟﺟﻧود أطول ﻣن ‪" 72‬ﺗﻌﻧﻲ أن ‪P(X  72)  0.1‬‬ ‫‪72 70‬‬ ‫‪P(X  72)  P(Z ‬‬ ‫‪)  0.1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪P(Z ) P(Z0) P(0 Z )0.1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪P(0 Z ) P(Z0)0.10.50.10.4.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻧﺑﺣ ــث داﺧ ــل ﺟ ــداول اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ــﻲ ﻋ ــن اﻟﻘﯾﻣ ــﺔ اﻟﺗ ــﻲ ﺗﻌط ــﻲ ‪ 0.4‬واﻟﺗ ــﻲ ﺗﺳ ــﺎوي ‪1.29‬ﺗﻘرﯾﺑ ــﺎ‬ ‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ 1.29‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1.55.‬‬ ‫‪1.29‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬

‫‪١٢‬‬

‫ﺗﺗﺑﻊ درﺟﺎت إﺧﺗﺑﺎر اﻟذﻛﺎء ﻟﻣﺗطوﻋﻲ اﻟﺟﯾش ﻓﻲ ﺳـﻧﺔ ﻣـﺎ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻲ ﺑﻣﺗوﺳـط ‪ٕ 110‬واﻧﺣـراف‬ ‫ﻣﻌﯾﺎري ‪ 10‬وﯾرﯾد اﻟﺟﯾش أن ﯾﻌطﻲ ﺗدرﯾﺑﺎ ﻣﺗﻘدﻣﺎ ﻷﻋﻠﻰ ‪ 10%‬ﻣـن درﺟـﺎت إﺧﺗﺑـﺎر اﻟـذﻛﺎء ‪.‬ﻣـﺎﻫﻲ‬

‫أﻗل درﺟﺔ ﻓﻲ إﺧﺗﺑﺎرات اﻟذﻛﺎء اﻟﺗﻲ ﺗﻘﺑل ﻟﺣﺿور اﻟﺗدرﯾب اﻟﻣﺗﻘدم؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪  10 ,   110‬‬ ‫ﺑﻔرض أن أﻗل درﺟﺔ ﻓﻲ إﺧﺗﺑﺎ ارت اﻟذﻛﺎء اﻟﺗﻲ ﺗﻘﺑل ﻟﺣﺿور اﻟﺗدرﯾب اﻟﻣﺗﻘدم ﻫﻲ ‪ x‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬ ‫‪x 110‬‬ ‫‪P(X  x)  P(Z ‬‬ ‫‪)  0.1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪x 110‬‬ ‫‪x 110‬‬ ‫‪P(Z‬‬ ‫‪) P(Z0) P(0 Z‬‬ ‫‪)0.1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪x 110‬‬ ‫‪P(0 Z‬‬ ‫‪) P(Z0)0.10.50.10.4.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻧﺑﺣ ــث داﺧ ــل ﺟ ــداول اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ــﻲ ﻋ ــن اﻟﻘﯾﻣ ــﺔ اﻟﺗ ــﻲ ﺗﻌط ــﻲ ‪ 0.4‬واﻟﺗ ــﻲ ﺗﺳ ــﺎوي ‪1.29‬ﺗﻘرﯾﺑ ــﺎ‬ ‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪x 110‬‬ ‫‪1.29,‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪x 12.9 110 122.9.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺗﺳﺗﻬﻠك ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ ﻛﻣﯾﺔ ﻣن اﻟﺛﻠﺞ ﯾوﻣﯾﺎ ﻓـﻲ اﻟﻣﺗوﺳـط ‪ 600‬رطـل ﺑـﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾـﺎري ‪ 25‬رطـل ﻓـﺈذا‬ ‫ﻛﺎﻧت اﻟﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﺳﺗﻬﻠﻛﺔ ﯾوﻣﯾﺎ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ أوﺟد‪:‬‬ ‫أ( إﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﺳﺗﻬﻠك اﻟﺷرﻛﺔ أﻛﺛر ﻣن ‪ 700‬رطل ﯾوﻣﯾﺎ‬ ‫ب( اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﺳﺗﻬﻠك ﻣن ‪ 500‬إﻟﻰ ‪ 800‬ﯾوﻣﯾﺎ‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫أ(‬

‫‪700600‬‬ ‫)‪)  P(Z  4‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪ P(Z  0)  P(0  Z  4)  0.5  0.5  0.‬‬ ‫‪P(X  700)  P(Z ‬‬

‫ب(‬

‫‪500600‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ x  500‬ﻓﺈن ‪ 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪٠z ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪800600‬‬ ‫وﻋﻧدﻣﺎ ‪ x  800‬ﻓﺈن ‪ 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪25‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫)‪P(500  X  800)  P(4  Z  8‬‬ ‫‪٠z ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ P(0 Z4) P(0Z8) 0.50.51.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛـ ــﺎن ﻣﻌـ ــروف أن ﻧﻘطـ ــﺔ اﻟـ ــذوﺑﺎن ﻟﻠـ ــذﻫب ﻫـ ــﻲ ‪) 1.06 C‬ﻓـ ــﻲ اﻟﻣﺗوﺳـ ــط( ﺑـ ــﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾـ ــﺎري‬ ‫‪ 0.3C‬أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل )‪٠ P(X  1.77‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪1.77 1.06‬‬ ‫‪)  P(Z  2.36),‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪ P(Z0) P(0 Z 2.36)0.50.49090.01.‬‬ ‫‪P(X  1.77)  P(Z ‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا اﻛـﺎن اﻟطﻠــب ﻋﻠــﻰ اﻟﻠﺣــوم ﻓــﻲ ﻣﺧــزن ﻟﺑﯾــﻊ اﻟﻠﺣـوم ‪ ،‬ﺧــﻼل أﺳــﺑوع ‪،‬ﺗﻘرﯾﺑــﺎ ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻲ‬ ‫ﺑﻣﺗوﺳط ‪ 5000‬رطل ٕواﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري ‪ 300‬رطل أوﺟدي )‪ P(X  5300‬ﻓﻲ أﺳﺑوع‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪53005000‬‬ ‫‪)  P(Z  1),‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪ P(Z0) P(0 Z1)0.50.34310.1587.‬‬

‫‪P(X  5300)  P(Z ‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ‪ :‬إذا ﻛﺎن ) ‪ X ~ N(, 2‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫)أ(‬

‫‪1‬‬ ‫‪t  2 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪M X (t)  e‬‬

‫)ب(‬

‫‪, r =1,2,...‬‬

‫)ج(‬

‫‪, r = 1,2,...‬‬

‫‪2! 2r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪2r‬‬

‫)‪E(X  ‬‬

‫‪r!2r‬‬ ‫‪E(X  )2r1  0‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻫو ‪:‬‬

‫‪1  32 / 3/2 2  0‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻫو ‪:‬‬

‫‪ 2   4 /  22  3.‬‬ ‫‪١٤‬‬