الدالة المولدة للعزوم المشتركة

‫اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ‬ ‫‪Joint Moment Generating function‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة وذﻟك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﺑﻌد ‪. k‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌـزوم ﻟﻣﺗﺟـﻪ ﻣـن اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ ) ‪ X  ( X1, X 2 ,..., X k‬ﯾﻌـرف‬ ‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪  k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪M X ( t )  E exp  t i X i  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  i 1‬‬ ‫ﺣﯾث ) ‪ – h < ti < h , t = ( t1 , … , tk‬و ‪. h > 0‬‬ ‫ﻟﻛــل داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣــﺎل ﻣﺷــﺗرﻛﺔ داﻟــﺔ ﻣوﻟــدة ) إذا وﺟــدت ( وﺣﯾــدة أي أن ﻟﻬــﺎ ﺧﺎﺻــﯾﺔ اﻟوﺣداﻧﯾــﺔ‬ ‫وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ﺗﺳــﺗﺧدم ﻓــﻲ ﺗﻘــدﯾر داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ وأﯾﺿــﺎ ﻛــل اﻟــدوال اﻟﻬﺎﻣﺷــﯾﺔ ‪.‬ﻓﻌﻠــﻰ‬ ‫ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X i‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪M ( 0, 0 , 0, t i , 0 , … , 0 ).‬‬

‫ﺣﯾث ‪ . i  1,2,..., n‬أﯾﺿﺎ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X i , X j‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪M ( 0, 0 , … , t i , 0 , 0 , … , t j ,0, 0, … ,0 ).‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت )‪ MX,Y (t1 , t2‬ﻣوﺟودة ﻓﺈن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن اﻟﻌﺷواﺋﯾﯾن ‪ X , Y‬ﯾﻛوﻧﺎن ﻣﺳﺗﻘﻼن‬

‫إذا وﻓﻘط إذا ‪.‬‬ ‫‪MX,Y (t1 , t2) = MX,Y (t1 , 0) MX,Y (0 , t2) .‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﺣﺎﻟﺔ ‪ k‬ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ‪ X1, X 2 ,..., X k‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪k‬‬

‫)‪M X ( t1, t 2 ,..., t k )   M X (0,...,0, t i ,0,...,0‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫إذا ٕواذا ﻓﻘط ﻛﺎن ‪ X1, X 2 ,..., X k‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X , Y‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪y m e t 1x  t 2 y f(x, y) dx dy ,‬‬ ‫‪y m f(x, y) dx dy ,‬‬

‫‪  k‬‬ ‫‪  x‬‬ ‫‪-  ‬‬

‫‪  k‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪t  t 0  ‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ E Xk Ym .‬‬

‫‪١‬‬

‫) ‪ k  m M X , Y ( t1 , t 2‬‬ ‫‪t1k t m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ k  m M X , Y ( t1 , t 2‬‬ ‫‪t m‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪t1k‬‬

: ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬

1  E (X )   2  E(Y)  12

 22

 E(X

2

 E(Y

2

 XY 

M X , Y (0,0)  t1 M X, Y (0,0)  t2

)  12

)   22





, ,

 2 M X , Y (0,0)  2 t12

 2 M X, Y (0,0)

 2 M X, Y (0,0)  t1  t 2

 t 22

- 12 ,

-  22 ,

- 1  2 . ‫ﻣﺛﺎل‬

. ‫ ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرك‬X , Y ‫إذا ﻛﺎن‬ f (x, y) = e  y , 0<x<y<  = 0 , e.w, . (t1 , t2) M X ,Y ‫أوﺟد‬ :‫اﻟﺣــل‬

M X, Y ( t1 , t 2 )  

    0 x

exp( t1x  t 2 y  y) dy dx

1 (1 - t1  t 2 ) ( 1 - t 2 )

. t2 < 1 , t1 + t2 < 1 ‫ﺣﯾث‬

: ‫ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﺈن‬

1  1 ,  2  2 , 12  1 ,  22  2 ,  XY  1 .

: ‫ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬MY(t2) ‫ و‬MX(t1) ‫أﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ‬

٢

1 ,t1  1, 1-t1

M(t1 , 0 )  M( 0 , t 2 ) 

1 , t 2  1.

(1-t 2 ) 2

: ‫ ﺣﯾث‬f1(y) , f2(x) ‫واﻟﻣﻘﺎﺑﻼن ﻟـ‬   x

f1 ( x) 

e y dy  e x

f 2 ( y)  e y

y  0

dx  y e y

0 x  , 0y .

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ ( أوﺟـ ـ ــد اﻟداﻟـ ـ ــﺔ اﻟﻣوﻟـ ـ ــدة‬X1 , X 2 ,..., X k 1 ) ~ MULT(n , p1 , p 2 ,..., p k 1 ) ‫إذا ﻛـ ـ ــﺎن‬ ‫ وأﺛﺑـت أن اﻟداﻟـﺔ اﻟﻬﺎﻣﺷـﯾﺔ واﻟﺧﺎﺻـﺔ ﺑﻣﺗﻐﯾـر‬k-1 ‫ﻟﻠﻌزوم إذا ﻛﺎن ﻋدد اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﯾﺳﺎوى‬ . X1 ~ BIN (n, p1) ‫ ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﺣﯾث‬X1 ‫ﻋﺷواﺋﻲ‬ :‫اﻟﺣــل‬

  k 1   M X (t)  E exp   t i X i    i1    n   ... x1 ! x 2 !...x k  

x1

p

1

p

1

e t1  ...  p k 1 e t k-1 

x k 1

 pk 

e t1  ...  p k 1 e t k-1  p k 

xk

n

k 1

k 1

i 1

i 1

. x k  n   x i , p k  1   pi

‫ﺣﯾث‬

: ‫ ﻓﺈن‬X  ( X1 , X 2 , X 3 ) ~ MULT( n, p1 , p 2 , p3 ) ‫ﺑﻔرض أن‬

M X1 , X 2 ( t1 , t 2 )  M X ( t1 , t 2 ,0)

  p e

 p1e t 1  p 2 e t 2  p 3  1  p1  p 2  p3 1

t1



 p 2 e t 2  (1  p1  p 2 ) n .

٣



n

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪(X1 , X2) ~ MULT (n, p1 , p2) :‬‬ ‫و‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪M X1 ( t1 ,0, 0 )  p1 e t 1  (1  p1 ) n‬‬ ‫ﻫﻲ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪. X1‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X , Y‬ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬

‫اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد اﻟداﻟﻪ اﻟﻣوﻟدﻩ ﻟﻠﻌزوم ﻟـ ‪ Y ,X‬ﺛم اﯾﺟﺎد ﻣﻧﻬﺎ )‪f 2 (y),f1 (x) , Cov(X,Y‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪٤‬‬

1 1 t t M X,Y (t1 , t 2 )  e 2t1  e 1 2  6 3 1 1 1 + e2 t 2  t1  e t 2  e t 2 6 6 6

:‫اﯾﺿﺎ‬

M x,y (t1 , t 2 ) t1 M x,y (t1 , t 2 ) t 2 M x,y (t1 , t 2 ) t1t 2

1 1 1  e 2t1  e ( t1 ,t 2 )  e2t 2 t1 , 3 3 6 1 1 1 1  e (t1 ,t 2 )  e 2t1 t 2 )  e t 2  e t 2 , 3 3 6 6 1 1  e (t1 ,t 2 )  e 2t2  t1 , 3 3 : ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك‬

 M (t , t )  5 E(X)   X,y 1 2   , t1 6  t1  t2 0  M (t , t )  E(Y)   X,y 1 2  0  t  2 t1  t2 0   2 M X,y (t1 , t 2 )  E(XY)   0  t1 , t 2  t1 t 2 0 : ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك‬

Cov(X, Y)  E(XY)  E(X)E(Y)  0 : ‫اﯾﺿﺎ‬ 1 1  t1 1 2t1  e  e , 3 2 6 1 1 1 1 M X (t 2 )  M X,Y (0, t 2 )   e  t 2  e  t1  e 2t 2 , 6 2 6 6 :‫ ﻫﻰ‬f1 (x) ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺈن‬ x 0 -1 -2 f1 (x) 1 1 1 3 2 6 :‫ ﻫﻰ‬f 2 (y) ‫و‬ M X (t1 )  M X,Y (t1 ,0) 

٥

y f 2 (y)

0 1 6

-1 1 2

1 1 6

2 1 6 ‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫ﺑﻔرض أن‬

6!  1  f (x1 , x 2 )    x1 !x 2 !  4 

x1

x2

3 .  , x1  0,1,...,6, x 2  6  x1 4

: ‫ وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺎن‬X1 , X 2 ‫ﺗﻣﺛل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن‬

M(t1 , t 2 )   x

6



x1  0 6

6!  1 t1   e  x1 !x 2 !  4 

x1

3  . e t2  4 

x2

x

1 6!  1 t1   3 t2   e  . e  x1 !(6  x1 )!  4   4 

x

1 1  3    ( )  e t1  . e t 2  x  4  x1  0 1  4

6

6  x1

6  x1

. x1

: ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻧظرﯾﺔ ذى اﻟﺣدﯾن ﻓﺎن‬ 6 x x 6  6   1 t1  1  3 t 2  2  1 t1 3 t 2   e  e     x   e  . e  4  x1 0  1   4   4  4 : ‫ﻣن ذﻟك ﻧﺳﺗﻧﺗﺞ أن‬ 6

3  1 M(t1 , t 2 )   e t1  e t2  .

4  4 : ‫ﻻﺣظ أن‬ 6

1 3 M(0,0)      1 4 4 : ‫وأن‬ 6

3 1 3  1 M(0, t 2 )    e t 2  ,M(t1 ,0)   e t1   4 4 4  4

6

: ‫اﯾﺿﺎ ﻓﺎن‬

٦

5

M(t1 , t 2 ) 6 t1  1 t1 3 t 2   e  e  e  . t1 4 4 4 

: ‫ وان‬E(X1 )  M(t1  t 2 ) 18 t 2  1 t1 3 t 2   e  e  e  t 2 4 4 4 

3 ‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن‬ 2

5

9 ‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن‬ 2 171  , 8 0

: ‫ وان‬E(X 2 ) 

 2 M(t1  t 2 )   t12  t t 1

2 0

27  2 M(t1  t 2 )   ,  8 t 22  t t 1

2

: ‫وأن‬ 2

2

27  3  9 171  9  9       ,  22     8 2 8 8 2 8 2 1

:‫اﯾﺿﺎ ﻓﺎن‬  2 M(t1  t 2 ) 45 t1 t 2  1 t1 3 t2   e e  e  e  t1t 2 8 4  4

4

: ‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن‬

 2 M(t1  t 2 )  t1 .t 2  t t 1

 E(X1X 2 )  2 0

45 8 : ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن‬

12 

45  3   9  9      8 2 2 8

12 

12  1 12

: ‫ﻋﻠﯾﺔ ﻓﺎن‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ ﺗﻣﺛــل داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـرﯾن‬f (x1 , x 2 )  e ( x1 x 2 ) ;x1 , x 2  0 ‫ﺑﻔـرض أن‬ : ‫ وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺎن‬X1 , X 2 ٧

:‫اﻟﺣــل‬ 

M(t1  t 2 )  



0

0







0



0



=



e t1x1  t 2 x 2 e  (x1  x 2 ) dx 2dx1 e  x1 (1 t1 ) .e  x 2 (1 t 2 ) dx 2dx1

e  x1 (1 t1 ) dx1.

0



0

e  x 2 (1 t 2 ) dx 2

1 ; t1 , t 2  1.

(1  t1 )(1  t 2 )

=

‫ وأن‬M(0,0)  1 ‫ أن‬: ‫ﯾﻼﺣظ ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣﺎﯾﻠﻰ‬ M(t1  t 2 )   t1  t t 1

  (1  t1 ) 2 .(1  t 2 ) 1  2 0

 2 M(t1  t 2 )   t12  t t 1

 3M(t1  t 2 )   t13  t t 1

t1  t 2  0

 1  1!

 2  (1  t1 )3 .(1  t 2 ) 1 

t1  t 2  0

 6  (1  t1 ) 4 .(1  t 2 ) 1 

t1  t 2  0

 2  2!

2 0

 6  3!

2 0

: ‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن‬

 r M(t1  t 2 )   t1r  t t 1

2

 r M(t1  t 2 )   t 2r  t t 0 1

 r!

2 0

: ‫وﯾﺗرك ﻟﻠﻘﺎرئ اﺛﺑﺎت أن‬



M(t1  t 2 )  



0

 =



0

=

0



0







0

e t1x1  t 2 x 2 dx 2dx1 e  x1 (1 t1 ) .e  x 2 (1 t2 ) dx 2dx1

e  x1 (1t1 ) dx1.



0

e  x 2 (1t 2 )dx 2

1 ; t1 , t 2  1.

(1  t1 )(1  t 2 )

: ‫ وأن‬M(0,0)  1 ‫ أن‬: ‫ﯾﻼﺣظ ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣﺎﯾﻠﻰ‬

٨

M(t1  t 2 )   t1  t t 1

  (1  t1 ) 2 .(1  t 2 ) 1  2 0

 2 M(t1  t 2 )   t12  t t 1

 3M(t1  t 2 )   t13  t t 1

t1  t 2  0

 1  1!

 2  (1  t1 )3 .(1  t 2 ) 1 

t1  t 2  0

 6  (1  t1 ) 4 .(1  t 2 ) 1 

t1  t 2  0

 2  2!

2 0

 6  3!

2 0

: ‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن‬

 r M(t1  t 2 )   t1r  t t 1

2

 r M(t1  t 2 )   t 2r  t t 0 1

 r!

2 0

: ‫وﯾﺗرك ﻟﻠﻘﺎرئ اﻟﺑﯾﺎن أن‬

 r1 r2 M(t1  t 2 )   t1r1 t 2r2  t t 1

٩

 (r1 !)(r2 !)

2 0