اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ Joint Moment Generating function ﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة وذﻟك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﺑﻌد . k
ﺗﻌرﯾف :اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌـزوم ﻟﻣﺗﺟـﻪ ﻣـن اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ ) X ( X1, X 2 ,..., X kﯾﻌـرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
k M X ( t ) E exp t i X i i 1 ﺣﯾث ) – h < ti < h , t = ( t1 , … , tkو . h > 0 ﻟﻛــل داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣــﺎل ﻣﺷــﺗرﻛﺔ داﻟــﺔ ﻣوﻟــدة ) إذا وﺟــدت ( وﺣﯾــدة أي أن ﻟﻬــﺎ ﺧﺎﺻــﯾﺔ اﻟوﺣداﻧﯾــﺔ وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ﺗﺳــﺗﺧدم ﻓــﻲ ﺗﻘــدﯾر داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ وأﯾﺿــﺎ ﻛــل اﻟــدوال اﻟﻬﺎﻣﺷــﯾﺔ .ﻓﻌﻠــﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X iﻫﻲ : M ( 0, 0 , 0, t i , 0 , … , 0 ).
ﺣﯾث . i 1,2,..., nأﯾﺿﺎ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن X i , X jﻫﻲ : M ( 0, 0 , … , t i , 0 , 0 , … , t j ,0, 0, … ,0 ). ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎﻧت ) MX,Y (t1 , t2ﻣوﺟودة ﻓﺈن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن اﻟﻌﺷواﺋﯾﯾن X , Yﯾﻛوﻧﺎن ﻣﺳﺗﻘﻼن
إذا وﻓﻘط إذا . MX,Y (t1 , t2) = MX,Y (t1 , 0) MX,Y (0 , t2) . ﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﺣﺎﻟﺔ kﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ X1, X 2 ,..., X kﺣﯾث : k
)M X ( t1, t 2 ,..., t k ) M X (0,...,0, t i ,0,...,0 i 1
إذا ٕواذا ﻓﻘط ﻛﺎن X1, X 2 ,..., X kﻣﺳﺗﻘﻠﯾن . إذا ﻛﺎن X , Yﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﻓﺈن :
y m e t 1x t 2 y f(x, y) dx dy , y m f(x, y) dx dy ,
k x -
k x
t t 0 1 2 -
E Xk Ym .
١
) k m M X , Y ( t1 , t 2 t1k t m 2 ) k m M X , Y ( t1 , t 2 t m 2
t1k
: وﻋﻠﻰ ذﻟك
1 E (X ) 2 E(Y) 12
22
E(X
2
E(Y
2
XY
M X , Y (0,0) t1 M X, Y (0,0) t2
) 12
) 22
, ,
2 M X , Y (0,0) 2 t12
2 M X, Y (0,0)
2 M X, Y (0,0) t1 t 2
t 22
- 12 ,
- 22 ,
- 1 2 . ﻣﺛﺎل
. ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗركX , Y إذا ﻛﺎن f (x, y) = e y , 0<x<y< = 0 , e.w, . (t1 , t2) M X ,Y أوﺟد :اﻟﺣــل
M X, Y ( t1 , t 2 )
0 x
exp( t1x t 2 y y) dy dx
1 (1 - t1 t 2 ) ( 1 - t 2 )
. t2 < 1 , t1 + t2 < 1 ﺣﯾث
: ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﺈن
1 1 , 2 2 , 12 1 , 22 2 , XY 1 .
: ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰMY(t2) وMX(t1) أﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ
٢
1 ,t1 1, 1-t1
M(t1 , 0 ) M( 0 , t 2 )
1 , t 2 1. (1-t 2 ) 2
: ﺣﯾثf1(y) , f2(x) واﻟﻣﻘﺎﺑﻼن ﻟـ x
f1 ( x)
e y dy e x
f 2 ( y) e y
y 0
dx y e y
0 x , 0y .
ﻣﺛﺎل ( أوﺟـ ـ ــد اﻟداﻟـ ـ ــﺔ اﻟﻣوﻟـ ـ ــدةX1 , X 2 ,..., X k 1 ) ~ MULT(n , p1 , p 2 ,..., p k 1 ) إذا ﻛـ ـ ــﺎن وأﺛﺑـت أن اﻟداﻟـﺔ اﻟﻬﺎﻣﺷـﯾﺔ واﻟﺧﺎﺻـﺔ ﺑﻣﺗﻐﯾـرk-1 ﻟﻠﻌزوم إذا ﻛﺎن ﻋدد اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﯾﺳﺎوى . X1 ~ BIN (n, p1) ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﺣﯾثX1 ﻋﺷواﺋﻲ :اﻟﺣــل
k 1 M X (t) E exp t i X i i1 n ... x1 ! x 2 !...x k
x1
p
1
p
1
e t1 ... p k 1 e t k-1
x k 1
pk
e t1 ... p k 1 e t k-1 p k
xk
n
k 1
k 1
i 1
i 1
. x k n x i , p k 1 pi
ﺣﯾث
: ﻓﺈنX ( X1 , X 2 , X 3 ) ~ MULT( n, p1 , p 2 , p3 ) ﺑﻔرض أن
M X1 , X 2 ( t1 , t 2 ) M X ( t1 , t 2 ,0)
p e
p1e t 1 p 2 e t 2 p 3 1 p1 p 2 p3 1
t1
p 2 e t 2 (1 p1 p 2 ) n .
٣
n
وﻋﻠﻰ ذﻟك (X1 , X2) ~ MULT (n, p1 , p2) : و
M X1 ( t1 ,0, 0 ) p1 e t 1 (1 p1 ) n ﻫﻲ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر . X1
ﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن X , Yﻫﻰ : 2
1
0
0 1 6
0
1 6
-1
y x
0
0 1 6
0 0
0 1 3 1 6
-2 -1 0
اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد اﻟداﻟﻪ اﻟﻣوﻟدﻩ ﻟﻠﻌزوم ﻟـ Y ,Xﺛم اﯾﺟﺎد ﻣﻧﻬﺎ )f 2 (y),f1 (x) , Cov(X,Y
اﻟﺣــل:
٤
1 1 t t M X,Y (t1 , t 2 ) e 2t1 e 1 2 6 3 1 1 1 + e2 t 2 t1 e t 2 e t 2 6 6 6
:اﯾﺿﺎ
M x,y (t1 , t 2 ) t1 M x,y (t1 , t 2 ) t 2 M x,y (t1 , t 2 ) t1t 2
1 1 1 e 2t1 e ( t1 ,t 2 ) e2t 2 t1 , 3 3 6 1 1 1 1 e (t1 ,t 2 ) e 2t1 t 2 ) e t 2 e t 2 , 3 3 6 6 1 1 e (t1 ,t 2 ) e 2t2 t1 , 3 3 : وﻋﻠﻲ ذﻟك
M (t , t ) 5 E(X) X,y 1 2 , t1 6 t1 t2 0 M (t , t ) E(Y) X,y 1 2 0 t 2 t1 t2 0 2 M X,y (t1 , t 2 ) E(XY) 0 t1 , t 2 t1 t 2 0 : وﻋﻠﻲ ذﻟك
Cov(X, Y) E(XY) E(X)E(Y) 0 : اﯾﺿﺎ 1 1 t1 1 2t1 e e , 3 2 6 1 1 1 1 M X (t 2 ) M X,Y (0, t 2 ) e t 2 e t1 e 2t 2 , 6 2 6 6 : ﻫﻰf1 (x) وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺈن x 0 -1 -2 f1 (x) 1 1 1 3 2 6 : ﻫﻰf 2 (y) و M X (t1 ) M X,Y (t1 ,0)
٥
y f 2 (y)
0 1 6
-1 1 2
1 1 6
2 1 6 ﻣﺛﺎل : ﺑﻔرض أن
6! 1 f (x1 , x 2 ) x1 !x 2 ! 4
x1
x2
3 . , x1 0,1,...,6, x 2 6 x1 4
: وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺎنX1 , X 2 ﺗﻣﺛل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن
M(t1 , t 2 ) x
6
x1 0 6
6! 1 t1 e x1 !x 2 ! 4
x1
3 . e t2 4
x2
x
1 6! 1 t1 3 t2 e . e x1 !(6 x1 )! 4 4
x
1 1 3 ( ) e t1 . e t 2 x 4 x1 0 1 4
6
6 x1
6 x1
. x1
: ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻧظرﯾﺔ ذى اﻟﺣدﯾن ﻓﺎن 6 x x 6 6 1 t1 1 3 t 2 2 1 t1 3 t 2 e e x e . e 4 x1 0 1 4 4 4 : ﻣن ذﻟك ﻧﺳﺗﻧﺗﺞ أن 6
3 1 M(t1 , t 2 ) e t1 e t2 . 4 4 : ﻻﺣظ أن 6
1 3 M(0,0) 1 4 4 : وأن 6
3 1 3 1 M(0, t 2 ) e t 2 ,M(t1 ,0) e t1 4 4 4 4
6
: اﯾﺿﺎ ﻓﺎن
٦
5
M(t1 , t 2 ) 6 t1 1 t1 3 t 2 e e e . t1 4 4 4
: وانE(X1 ) M(t1 t 2 ) 18 t 2 1 t1 3 t 2 e e e t 2 4 4 4
3 وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن 2
5
9 وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن 2 171 , 8 0
: وانE(X 2 )
2 M(t1 t 2 ) t12 t t 1
2 0
27 2 M(t1 t 2 ) , 8 t 22 t t 1
2
: وأن 2
2
27 3 9 171 9 9 , 22 8 2 8 8 2 8 2 1
:اﯾﺿﺎ ﻓﺎن 2 M(t1 t 2 ) 45 t1 t 2 1 t1 3 t2 e e e e t1t 2 8 4 4
4
: وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن
2 M(t1 t 2 ) t1 .t 2 t t 1
E(X1X 2 ) 2 0
45 8 : وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن
12
45 3 9 9 8 2 2 8
12
12 1 12
: ﻋﻠﯾﺔ ﻓﺎن
ﻣﺛﺎل ﺗﻣﺛــل داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـرﯾنf (x1 , x 2 ) e ( x1 x 2 ) ;x1 , x 2 0 ﺑﻔـرض أن : وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺎنX1 , X 2 ٧
:اﻟﺣــل
M(t1 t 2 )
0
0
0
0
=
e t1x1 t 2 x 2 e (x1 x 2 ) dx 2dx1 e x1 (1 t1 ) .e x 2 (1 t 2 ) dx 2dx1
e x1 (1 t1 ) dx1.
0
0
e x 2 (1 t 2 ) dx 2
1 ; t1 , t 2 1. (1 t1 )(1 t 2 )
=
وأنM(0,0) 1 أن: ﯾﻼﺣظ ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣﺎﯾﻠﻰ M(t1 t 2 ) t1 t t 1
(1 t1 ) 2 .(1 t 2 ) 1 2 0
2 M(t1 t 2 ) t12 t t 1
3M(t1 t 2 ) t13 t t 1
t1 t 2 0
1 1!
2 (1 t1 )3 .(1 t 2 ) 1
t1 t 2 0
6 (1 t1 ) 4 .(1 t 2 ) 1
t1 t 2 0
2 2!
2 0
6 3!
2 0
: وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن
r M(t1 t 2 ) t1r t t 1
2
r M(t1 t 2 ) t 2r t t 0 1
r! 2 0
: وﯾﺗرك ﻟﻠﻘﺎرئ اﺛﺑﺎت أن
M(t1 t 2 )
0
=
0
=
0
0
0
e t1x1 t 2 x 2 dx 2dx1 e x1 (1 t1 ) .e x 2 (1 t2 ) dx 2dx1
e x1 (1t1 ) dx1.
0
e x 2 (1t 2 )dx 2
1 ; t1 , t 2 1. (1 t1 )(1 t 2 )
: وأنM(0,0) 1 أن: ﯾﻼﺣظ ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣﺎﯾﻠﻰ
٨
M(t1 t 2 ) t1 t t 1
(1 t1 ) 2 .(1 t 2 ) 1 2 0
2 M(t1 t 2 ) t12 t t 1
3M(t1 t 2 ) t13 t t 1
t1 t 2 0
1 1!
2 (1 t1 )3 .(1 t 2 ) 1
t1 t 2 0
6 (1 t1 ) 4 .(1 t 2 ) 1
t1 t 2 0
2 2!
2 0
6 3!
2 0
: وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن
r M(t1 t 2 ) t1r t t 1
2
r M(t1 t 2 ) t 2r t t 0 1
r! 2 0
: وﯾﺗرك ﻟﻠﻘﺎرئ اﻟﺑﯾﺎن أن
r1 r2 M(t1 t 2 ) t1r1 t 2r2 t t 1
٩
(r1 !)(r2 !) 2 0