بعض مقاييس الموقع

‫ﺑﻌﺾ ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ اﻟﻤﻮﻗﻊ‬ ‫اﻟﻮﺳﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ‬

‫‪The geometric mean‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ‪ ،‬ﻓﺈن اﻟﻮﺳﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ﻟﻪ اﺳﺘﺨﺪاﻣﺎت ﺧﺎﺻﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺸـﺎﻛﻞ اﻻﻗﺘﺼـﺎدﻳﺔ وﻓـﻲ‬

‫اﻟﻤﺠﺎل اﻟﺴﻜﺎﻧﻰ‪٠‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ :‬إذا ﻛـﺎن ﻟـﺪﻳﻨﺎ اﻟﻔﺌـﺔ ﻣـﻦ اﻟﻤﺸـﺎﻫﺪات ‪ ، x1 , x 2 ,..., x n‬ﻓـﺈن اﻟﻮﺳـﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳـﻲ ﻳﻤﻜـﻦ‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﻪ ﻣﻦ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪-:‬‬

‫‪G  n x1  x 2  ...  x n .‬‬

‫وﻟﺘﺴﻬﻴﻞ ﺣﺴﺎب اﻟﻮﺳﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ﺗﺴﺘﺨﺪم اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ إذا ﻛﺎن ‪-: n  2‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ log x i‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪log G  i 1‬‬

‫ﻣﺜﺎل ﺣﺼﻞ ﻣﺴﺘﺸﻤﺮ ﻋﻠﻰ ﻋﺎﺋﺪ ﻣﻦ رأﺳﻤﺎﻟﻪ اﻟﻤﺴﺘﺜﻤﺮ ﻗﺪرﻩ ‪ 2%‬ﻟﻠﺴﻨﺔ اﻷوﻟﻰ‪ 3% ،‬ﻟﻠﺴﻨﺔ‬

‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ 5% ،‬ﻟﻠﺴﻨﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ أوﺟﺪ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ﻟﻠﻌﺎﺋﺪ اﻟﺴﻨﻮى‪٠‬‬

‫اﻟﺤﻞ ‪٠‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ log x i‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪log G  i 1‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‪ (log 2  log 3  log 5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ log x i‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪log G ‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‪( 0.3010  0.4771  0.6990‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1.4771‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.49237.‬‬ ‫‪3‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻓﺈن ‪٠ G =3.1072‬‬

‫داﺋﻤــﺎ ﻳﻜــﻮن اﻟﻮﺳــﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳــﻲ أﺻــﻐﺮ ﻣــﻦ اﻟﻮﺳــﻂ اﻟﺤﺴــﺎﺑﻰ‪ ٠‬ﻛﻤــﺎ أن اﻟﻮﺳــﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳــﻲ ﻻ ﻳﻤﻜــﻦ‬

‫ﺣﺴﺎﺑﻪ إذا ﻛﺎﻧﺖ إﺣﺪى اﻟﻘﻴﻢ ﻣﺴﺎوﻳﺔ ﻟﻠﺼﻔﺮ أو رﻗﻢ ﺳﺎﻟﺐ‪٠‬‬ ‫اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺘﻮاﻓﻘﻰ‬

‫‪The harmonic mean‬‬ ‫‪١‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳــﻒ ‪ :‬إذا ﻛــﺎن ﻟــﺪﻳﻨﺎ اﻟﻔﺌــﺔ ﻣــﻦ اﻟﻤﺸــﺎﻫﺪات ‪ ، x1 , x 2 ,..., x n‬ﻓــﺈن اﻟﻮﺳــﻂ اﻟﺘــﻮاﻓﻘﻰ ﻳﻤﻜــﻦ‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﻪ ﻣﻦ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪-:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n i1 x i‬‬

‫اﻻﻣﺜﻠﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻟﻠﺘﺴﻬﻴﻞ ﻓﻘﻂ‬ ‫ﻣﺜﺎل اذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻚ اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ 1,2,3,4‬اوﺟﺪ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺘﻮاﻓﻘﻰ‬

‫اﻟﺤﻞ ‪٠‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪.333‬‬ ‫‪.25‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2.083‬‬

‫اﻟﻤﺠﻤﻮع‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺘﻮاﻓﻘﻰ ﻟﻠﻤﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻳﺤﺴﺐ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1.92.‬‬ ‫‪1 n 1 1‬‬ ‫‪.5205‬‬ ‫)‪(2.083‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n i1 x i 4‬‬

‫ﺟﺬر ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﻤﺮﺑﻌﺎت‬

‫‪The root mean square‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳــﻒ ‪ :‬إذا ﻛــﺎن ﻟــﺪﻳﻨﺎ اﻟﻔﺌــﺔ ﻣــﻦ اﻟﻤﺸــﺎﻫﺪات ‪ ، x1 , x 2 ,..., x n‬ﻓــﺈن ﺟــﺬر ﻣﺘﻮﺳــﻂ اﻟﻤﺮﺑﻌــﺎت‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺣﺴﺎﺑﻪ ﻣﻦ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪-:‬‬

‫‪1 n 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪n i1‬‬ ‫‪٢‬‬

‫وﻳﺴﻤﻰ اﻳﻀﺎ ‪quadratic mean‬‬

‫ﻣﺜﺎل اذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻚ اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ 1,2,3,4‬اوﺟﺪ ﺟﺬر ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﻤﺮﺑﻌﺎت‬

‫اﻟﺤﻞ ‪٠‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪30‬‬

‫اﻟﻤﺠﻤﻮع‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﺟﺬر ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﻤﺮﺑﻌﺎت ﻟﻠﻤﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻳﺤﺴﺐ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‬ ‫‪1 n 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪(30)  7.5  2.73.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n i1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪٣‬‬