مقاييس النزعlة المركزية وقاييس التشتت

‫ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ وﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗت‬ ‫)‪ (١-١‬اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت واﻟﻌﯾﻧﺎت‬

‫‪Populations and Samples‬‬

‫ﺗﺳﺟل ﻧﺗﯾﺟﺔ ﻛل ﺗﺟرﺑﺔ إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ‪ ،‬إﻣﺎ ﺑﻘﯾﻣﺔ رﻗﻣﯾﺔ أو ﺗﻣﺛﯾل وﺻﻔﻰ‪ .‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻧ د‬ ‫إﻟﻘﺎء زھرة ﻧ رد ﻣ ره واﺣ دة وإذا ﻛ ﺎن اﻻھﺗﻣ ﺎم ﺑﻌ دد اﻟﻧﻘ ﺎط اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻋﻠ ﻰ اﻟﺳ طﺢ اﻟﻌﻠ وي ﻟﻠﻧ رد‬ ‫ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺳﺟل ﻗﯾﻣﺔ رﻗﻣﯾﺔ‪ .‬ﺑﯾﻧﻣﺎ ﻋﻧد ﺳؤال ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟﻌ ﺎﻣﻠﯾن ﻓ ﻲ ھﯾﺋ ﺔ ﻣ ﺎ ﻋ ن اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾ ﺔ‬ ‫ﻟﻛ ل ﻣ ﻧﮭم‪ ،‬ﻓ ﺈن اﻟﺗﻣﺛﯾ ل اﻟوﺻ ﻔﻲ ﯾﻛ ون أﻛﺛ ر ﻓﺎﺋ دة‪ .‬ﻋ ﺎدة ﯾﮭ ﺗم اﻹﺣﺻ ﺎﺋﻲ ﺑ ﺎﻟﻘﯾم اﻟرﻗﻣﯾ ﺔ ﻟ ذﻟك ﻓ ﺈن‬ ‫اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟوﺻﻔﻲ ﯾﻣﻛن ﺗﺣوﯾﻠﮫ إﻟﻰ ﻗﯾم ﻋددﯾﺔ‪ .‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ ﺟل ﻣ ن ﻧﺗﯾﺟ ﺔ ﺗﺟرﺑ ﺔ إﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ ﺗﺳ ﻣﻰ‬ ‫ﺑﯾ ﺎن أو ﻣﺷ ﺎھدة )ﻣﻘﯾ ﺎس( ‪ .‬ﻋﻧ دﻣﺎ ﯾﻘ وم ﺑﺎﺣ ث ﺑﺗﺻ ﻧﯾف اﻟﻌ ﺎﻣﻠﯾن ﻓ ﻲ ﺷ رﻛﺔ ﻣ ﺎ ﺣﺳ ب اﻟﺣﺎﻟ ﺔ‬ ‫اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾﺔ‪ ،‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻛون ﻟدﯾﮫ ﻋدد ﻣﺣدود ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات‪ .‬ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء زھ رة ﻧ رد ﻋ دد‬ ‫ﻻﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟﻣرات وﺗﺳﺟﯾل ﻋدد اﻟﻧﻘط اﻟﺗﻲ ﺗظﮭر ﻓﻲ ﻛل ﻣ رة ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺣﺻ ل ﻋﻠ ﻰ ﻓﺋ ﺔ ﻻﻧﮭﺎﺋﯾ ﺔ ﻣ ن‬ ‫اﻟﻘ ﯾم‪ .‬ﻛ ل اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺗﺣ ت اﻟدراﺳ ﺔ‪ ،‬ﺳ واء ﻛﺎﻧ ت ﻣﺣ دودة أو ﻏﯾ ر ﻣﺣ دودة‪ ،‬ﺗﺳ ﻣﻰ ﻣﺟﺗﻣ ﻊ‬ ‫‪ ٠population‬ﻓ ﻲ اﻟﺳ ﻧوات اﻟﻣﺎﺿ ﯾﺔ ﻛﺎﻧ ت ﻛﻠﻣ ﺔ ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺗﺷ ﯾر إﻟ ﻰ ﻣﺷ ﺎھدات ﻣ ن دراﺳ ﺎت‬ ‫إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﺗﺷﻣل أﺷﺧﺎص‪ .‬أﻣﺎ اﻵن ﻓﺈن اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ ﯾﺳﺗﺧدم ھذه اﻟﻛﻠﻣﺔ ﻟﺗﺷﯾر إﻟﻰ ﻣﺷ ﺎھدات ﻋ ن أي‬ ‫ﺷﻲء ﻣوﺿﻊ اھﺗﻣﺎﻣﮫ ﺳواء ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻷﺷﺧﺎص‪ ،‬ﺣﯾواﻧﺎت‪ ،‬ﻧﺑﺎﺗﺎت…‪ .‬اﻟﺦ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﯾﺗﻛون اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣن ﻛل اﻷﺷﯾﺎء اﻟﺗﻲ ﻧﮭﺗم ﺑﮭﺎ ‪.‬‬ ‫ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺳﻣﻰ ﺣﺟم اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ وﻋﺎدة ﯾرﻣ ز ﻟﺣﺟ م اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺑ ﺎﻟرﻣز ‪،N‬‬ ‫وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻧﻘول أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺣدود‪ .‬ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ د ﺗﺻ ﻧﯾف ‪ 500‬ﺷﺧﺻ ﺎ ﻓ ﻲ ﺷ رﻛﺔ‬ ‫ﻣﺎ ﺣﺳ ب اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾ ﺔ‪ ،‬ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘ ول أن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣﺣ دود وﺣﺟﻣ ﮫ ‪ ٠N=500‬اﻷط وال واﻷوزان‬ ‫واﻟ دﺧل اﻟﺳ ﻧوي ﻟﻣﺟﻣوﻋ ﺔ ﻣ ن اﻷﺷ ﺧﺎص أﻣﺛﻠ ﺔ ﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﺎت ﻣﺣ دودة‪ .‬ﻓ ﻲ ﻛ ل ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻌ دد اﻟﻛﻠ ﻰ‬ ‫ﻟﻠﻣﺷﺎھدات رﻗم ﻣﺣدود‪ .‬ﻓﻲ ﺑﻌ ض اﻷﺣﯾ ﺎن ﯾﻛ ون ﺣﺟ م اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻏﯾ ر ﻣﺣ دود‪ ،‬ﻣﺛ ل ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻛ رات‬ ‫اﻟ دم اﻟﺑﯾﺿ ﺎء اﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ رى ﻓ ﻲ دم إﻧﺳ ﺎن‪ .‬أﯾﺿ ﺎ اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﺗ ﻲ ﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﻣ ن ﻗﯾ ﺎس اﻟﺿ ﻐط‬ ‫اﻟﺟوى ﻛل ﯾوم ﻣن اﻟﻣﺎﺿﻲ إﻟﻰ اﻟﻣﺳﺗﻘﺑل ﺗﻣﺛل ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻏﯾر ﻣﺣدود‪.‬‬ ‫ﻛل ﻣﺷ ﺎھدة ﻓ ﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺗﻣﺛ ل ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣ ن ﻗ ﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ‪. X‬ﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ د‬ ‫إﻟﻘﺎء زھرة ﻧرد ﻋدد ﻻﻧﮭ ﺎﺋﻲ ﻣ ن اﻟﻣ رات وإذا ﻛ ﺎن ‪ X‬ﯾﻣﺛ ل ﻋ دد اﻟ ﻧﻘط اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻋﻠ ﻰ اﻟﻧ رد ﻛ ل‬ ‫ﻣرة‪ ،‬أي أن ‪ ، x=1,2,3,4,5,6‬ﻓﺈن ﻛل ﻣﺷﺎھدة ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐــﯾر اﻟﻌﺷواﺋـﻲ ‪X‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬اﻟﻘﯾم اﻟﻌددﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗوﺻف اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻟم‪.‬‬ ‫ﯾﮭ ﺗم اﻟﺑﺎﺣ ث ﺑﺎﻟوﺻ ول إﻟ ﻰ اﺳ ﺗﻧﺗﺎﺟﺎت ﺗﺧ ص ﻣﻌ ﺎﻟم اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ‪ ،‬وﻟﻛ ن ﻋ ﺎدة ﯾﻛ ون ﻣ ن‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﺣﯾل أو ﻏﯾر ﻋﻣﻠﻲ ﻣﻼﺣظﺔ ﻛل ﻗﯾم اﻟﻔﺋﺔ اﻟﻣﻣﺛﻠﺔ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ‪ .‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻻﺑ د ﻣ ن اﻻﻋﺗﻣ ﺎد ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣ ن ﻗ ﯾم اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻟﺗﺳ ﺎﻋدﻧﺎ ﻓ ﻲ اﻟوﺻ ول إﻟ ﻰ اﺳ ﺗدﻻﻻت ﻋ ن اﻟﻣﻌ ﺎﻟم‪ ،‬وھ ذا ﯾﺄﺧ ذﻧﺎ إﻟ ﻰ‬ ‫ﻧظرﯾﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ‪. theory of sampling‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ sample‬ھﻲ ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ‪.‬‬ ‫ﺣﺗﻰ ﯾﻛون اﻻﺳﺗدﻻل ﺻﺣﯾﺢ ﻻﺑد ﻣن ﻓﮭم اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ واﻟﻌﯾﻧ ﺔ‪ .‬ﻣ ن اﻟﻣؤﻛ د أن اﻟﻌﯾﻧ ﺔ‬ ‫ﺳ وف ﺗﻣﺛ ل اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻟ ذﻟك ﻻﺑ د أن ﺗﻛ ون ﻏﯾ ر ﻣﺗﺣﯾ زة ‪ unbiased‬أي ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ‪random‬‬ ‫‪. sample‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ n‬ھ ﻲ ﻋﯾﻧ ﺔ ﺗﺧﺗ ﺎر ﺑﺣﯾ ث أن ﻛ ل ﻓﺋ ﺔ ﺟزﺋﯾ ﺔ ﺣﺟﻣﮭ ﺎ ‪ n‬ﻣ ن‬ ‫ﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻓﻲ اﻻﺧﺗﯾﺎر‪.‬‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻣن اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﺗﺳ ﻣﻰ اﻹﺣﺻ ﺎء ‪ . statistic‬وﺑﻣ ﺎ أن ﻋﯾﻧ ﺎت ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻛﺛﯾ رة ﯾﻣﻛ ن‬ ‫اﺧﺗﯾﺎرھﺎ ﻣن ﻧﻔس اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺗوﻗﻊ أن ﯾﺧﺗﻠف اﻹﺣﺻﺎء ﻣن ﻋﯾﻧﺔ إﻟﻰ أﺧرى‪ ،‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﯾﻌﺗﺑ ر‬ ‫اﻹﺣﺻﺎء ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ‪.‬‬ ‫‪١‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻹﺣﺻﺎء ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﻌﺗﻣد ﻓﻘط ﻋﻠﻰ ﻗﯾم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة‪.‬‬

‫)‪ (٢-١‬اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري‬

‫‪Frequency Distribution‬‬

‫ﻏﺎﻟﺑﺎ ﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻏﯾر ﻣﻌروف‪ .‬ﺗﻌﺗﺑ ر اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻹﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ‬ ‫اﻟﺗﻲ ﯾﺟﻣﻌﮭﺎ اﻟﺑﺎﺣث ﺑﻛﻣﯾﺎت ﻛﺑﯾ رة ﻣﻔﯾ دة ﺟ دا ﻓ ﻲ دراﺳ ﺔ ﺳ ﻠوك اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ إذا ﺗ م ﻋرﺿ ﮭﺎ‬ ‫ﺑﺷﻛل ﻣﻧﺎﺳب‪ .‬اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻛﺛﯾرة ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮭﺎ ﺑﺗﺟﻣﯾ ﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻓ ﻲ ﻓﺋ ﺎت ‪ classes‬وﺣﺳ ﺎب‬ ‫ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ ﻛل ﻓﺋﺔ‪ .‬ﻣﺛل ھذا اﻟﺗﻧظﯾم ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري‪ .‬ﻋﻧ دﻣﺎ ﻧﻘ وم ﺑﺗﺟﻣﯾ ﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت‬ ‫ﻓﻲ ﻓﺋﺎت ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ أﺣﺳن ﺻورة ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣوﺿﻊ اﻟدراﺳﺔ وﻟﻛﻧﻧﺎ ﻓﻲ اﻟﻣﻘﺎﺑل ﻧﻔﻘد اﻟﻛﺛﯾر ﻣ ن‬ ‫اﻟﺗﻔﺻﯾﻼت ﻋ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ‪ .‬ﻋ دد اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ ﻓﺋ ﺔ ﺧﺎﺻ ﺔ ﯾﺳ ﻣﻰ ﺗﻛ رار اﻟﻔﺋ ﺔ ‪class‬‬ ‫‪ frequency‬وﯾرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز ‪ . f‬اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻷط وال ‪ 22‬ﻧﺑ ﺎت ﻣ ن ﻧ وع‬ ‫ﻣﺎ )اﻟﻣﺷﺎھدات ﻣﻌطﺎة ﻷﻗرب ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ(‪ .‬ﻓﻲ ھ ذا اﻟﻣﺛ ﺎل ﻟ دﯾﻧﺎ ‪ 6‬ﻓﺋ ﺎت وھ م ‪35-39 , 40-44 , :‬‬ ‫‪ . 45 -49 , 50-54 , 55-59 , 60-64‬ﯾﺷﺎر إﻟﻰ أﺻﻐر وأﻛﺑ ر اﻟﻘ ﯾم اﻟﺗ ﻲ ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻓﺋ ﺔ ﻣﻌط ﺎة ﺑﺣ دود‬ ‫ھذه اﻟﻔﺋﺔ ‪ . class limits‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻟﻠﻔﺋ ﺔ ‪ 55 – 59‬أﺻ ﻐر رﻗ م ھ و ‪ 55‬وﯾﻣﺛ ل اﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ‬ ‫ﻟﻠﻔﺋﺔ ‪ lower class limit‬وأﻛﺑ ر رﻗ م ھ و ‪ 59‬وﯾﻣﺛ ل اﻟﺣ د اﻷﻋﻠ ﻰ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ ‪ ٠upper class limit‬وﺣﯾ ث‬ ‫أن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻷﺻﻠﯾﺔ ﻣﺳﺟﻠﺔ ﻷﻗرب رﻗم ﺻﺣﯾﺢ‪ ،‬ﻓ ﺈن ‪ 4‬ﻣﺷ ﺎھدات ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ اﻟﻔﺋ ﺔ ‪ 55-59‬ﯾﻣﺛﻠ ون ﻛ ل‬ ‫اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﻗ ﯾﻣﮭم أﻛﺑ ر ﻣ ن أو ﯾﺳ ﺎوى ‪ 54.5‬وأﺻ ﻐر ﻣ ن ‪ . 59.5‬اﻷرﻗ ﺎم ‪ 54.5‬و‬ ‫‪ 59.5‬ﺗﺳ ﻣﻰ اﻟﺣ دود اﻟﻔﻌﻠﯾ ﺔ ‪ class boundaries‬ﻟﻠﻔﺋ ﺔ ‪ . 55-59‬اﻟ رﻗم ‪ 54.5‬ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ‬ ‫اﻟﻔﻌﻠﻲ ‪ lower class boundary‬واﻟ رﻗم ‪ 59.5‬ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﺣ د اﻷﻋﻠ ﻰ اﻟﻔﻌﻠ ﻲ‪٠upper class boundary‬‬ ‫أﯾﺿﺎ اﻟرﻗم ‪ 59.5‬ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ أي اﻟﻔﺋﺔ ‪ . 60-64‬وﯾﻼﺣظ أﻧﮫ ﺑﺎﻟرﻏم ﻣ ن أن‬ ‫اﻟﻔﺋﺎت ﻟﮭﺎ ﺣدود ﻓﻌﻠﯾﺔ ﻣﺷﺗرﻛﺔ إﻻ أﻧﮫ ﻣن ﻏﯾر اﻟﻣﻣﻛن أن ﺗﻘﻊ ﻣﺷﺎھدة واﺣدة ﻋﻠﻰ أﺣ د ھ ذه اﻟﺣ دود‬ ‫وذﻟك ﻷن اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﻟﻠﻔﺋ ﺎت ﺗﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ﺧﺎﻧ ﺎت ﻋﺷ رﯾﺔ أﻛﺑ ر ﻣ ن ﺗﻠ ك اﻟﻣوﺟ ودة ﻓ ﻲ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت‬ ‫ﻧﻔﺳﮭﺎ‪.‬‬ ‫‪60-64‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪55-59‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪50-54‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪45-49‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪40-44‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪35-39‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ‬ ‫اﻟﺗﻛرار‬

‫ﯾﻌ رف اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن اﻟﺣ د اﻷﻋﻠ ﻰ اﻟﻔﻌﻠ ﻲ واﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ اﻟﻔﻌﻠ ﻲ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ ﺑط ول اﻟﻔﺋ ﺔ ‪class width‬‬

‫وﯾﺳﺎوى أﯾﺿﺎ اﻟﻔرق ﺑﯾن اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ واﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ زاﺋدا وﺣ دة دﻗ ﺔ‪ ،‬أي وﺣ دة ﻣ ن اﻟوﺣ دات‬ ‫اﻟﺗﻲ ﻗرﺑت إﻟﯾﮭﺎ اﻷﻋداد ﻓﻲ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت )ﻓﻲ ھذا اﻟﻣﺛﺎل وﺣدة اﻟدﻗ ﺔ ھ ﻲ اﻟواﺣ د اﻟﺻ ﺣﯾﺢ ﻷﻧﻧ ﺎ ﻗرﺑﻧ ﺎ‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻷﻗرب رﻗم ﺻﺣﯾﺢ(‪ .‬ﻣن اﻟﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ ﯾﻔﺿ ل اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﻓﺋ ﺎت ذات أط وال ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ‬ ‫ﻣﺎ أﻣﻛن‪ .‬ﺳوف ﻧرﻣز ﻟطول اﻟﻔﺋﺔ ﺑ ﺎﻟرﻣز ‪  .‬أط وال اﻟﻔﺋ ﺎت ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺳ ﺎﺑق ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ وﺗﺳ ﺎوى‬ ‫‪.  5‬‬ ‫ﻣﻧﺗﺻ ف اﻟﻔﺋ ﺔ ‪ midpoint‬ﺗﺳ ﻣﻰ ﻣرﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺔ ‪ class midpoint‬أو ‪ class mark‬وﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾﮭ ﺎ‬ ‫ﺑﺟﻣﻊ اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ واﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻔﺋﺔ وﻗﺳﻣﺔ اﻟﻣﺟﻣوع ﻋﻠ ﻰ ‪ 2‬وذﻟ ك ﺗﺣ ت ﻓ رض أن‬ ‫ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻣﺷﺎھدات داﺧل اﻟﻔﺋﺔ ﺗﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺎ ﺗﺗطﺎﺑق ﻣﻊ ﻣرﻛز اﻟﻔﺋ ﺔ‪ .‬ﻣﺛ ﺎل ذﻟ ك اﻓﺗ راض أن ‪ 8‬ﺗﻛ رارات‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻔﺋﺔ ‪ 60-64‬ﺗﺄﺧذ اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ 62‬واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻣرﻛز ھذه اﻟﻔﺋﺔ‪ .‬أﯾﺿ ﺎ ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﻣرﻛ ز‬ ‫اﻟﻔﺋﺔ ﺑﺟﻣﻊ اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ واﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ وﻗﺳﻣﺔ اﻟﻣﺟﻣ وع ﻋﻠ ﻰ ‪ . 2‬ﻣ ن اﻟﺟ دول اﻟﺳ ﺎﺑق ﻣراﻛ ز‬ ‫اﻟﻔﺋ ﺎت ھ م ‪ ٠ 37 , 42 , 47 , 52 , 57 , 62 :‬ﯾﻣﺛ ل اﻟﺟ دول اﻟﺳ ﺎﺑق ﺗوزﯾ ﻊ ﺗﻛ راري ﻣ ن اﻟﻧ وع اﻟ ذي‬ ‫ﻧﺷ ﺎھده ﻓ ﻲ اﻟﺗﻘ ﺎرﯾر اﻟﻣﻧﺷ ورة ﻓ ﻲ اﻟﺻ ﺣف‪ .‬ﻟﻸﻏ راض اﻹﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ ﯾﻛ ون ﻣ ن اﻷﻓﺿ ل اﻟﺣﺻ ول‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻌﺎت ذات ﺗﻔﺻﯾﻼت أﻛﺛر‪ ،‬ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿ ﺢ ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﻟ ﻧﻔس اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﻣﻌط ﺎة ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﺟدوﻻﻟﺳﺎﺑق ‪.‬‬ ‫‪٢‬‬

‫اﻟﺗﻛرار‬

‫ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ‬

‫اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ‬ ‫اﻟﻔﺋﺔ‬

‫ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪37‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪62‬‬

‫‪34.5-39.5‬‬ ‫‪39.5-44.5‬‬ ‫‪44.5-49.5‬‬ ‫‪49.5-54.5‬‬ ‫‪54.5-59.5‬‬ ‫‪59.5-64.5‬‬

‫‪35-39‬‬ ‫‪40-44‬‬ ‫‪45-49‬‬ ‫‪50-54‬‬ ‫‪55-59‬‬ ‫‪60-64‬‬

‫) ‪ ( ٣-١‬ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ‬

‫‪Measures of Central Tendency‬‬

‫ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻲ وﺣده ﻻ ﯾﻣد اﻟﺑﺎﺣث ﺑﻛل اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻲ ﯾﺣﺗﺎج إﻟﯾﮭﺎ‬ ‫ﻣن ﻓﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗﺣت اﻟدراﺳﺔ‪ ،‬ﻓﺎﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻﺑد أن ﺗوﺻف وﺗﺣﻠل‪ .‬واﺣد ﻣن اﻟطرق ﻟوﺻف ﻓﺋﺔ‬ ‫ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات‪ ،‬ﺳواء ﻋﯾﻧﺔ أو ﻣﺟﺗﻣﻊ ‪ ،‬ھو اﺳﺗﺧدام اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ‪ ) averages‬ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ‬ ‫اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ( ‪ .‬ﻓﺎﻟﻣﺗوﺳط ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺗرﻛز ﺣوﻟﮭﺎ ﻣﻌظم اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ .‬ﻓﻲ ھذا اﻟﺑﻧد ﺳوف‬ ‫ﻧﺳﺗﻌرض أرﺑﻌﺔ ﻣﻘﺎﯾﯾس ﻟﻠﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ‪.‬‬

‫) ‪ (١-٣-١‬اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‬

‫‪Arithmetic Mean‬‬

‫ﯾﻌﺗﺑر اﻟو ﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻣن أﻓﺿل ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ﻟﺗﻣﺛﯾل ﻣرﻛز ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ ، x1 , x 2 ,..., x N‬ﻟﯾس ﻣن اﻟﺿروري أن ﺗﻛون ﻛﻠﮭﺎ‬ ‫ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ‪ ،‬ﺗﻣﺛل ﻣﺷﺎھدات ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺣدود ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ ، N‬ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪.‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪N‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺷﺎھداﺗﮫ ھﻲ ‪8,10,13,9,7,11,10,12,10,9,11 . :‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪8  10  13  9  7  11  10  12  10  9  11‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪i‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 10.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ ، x1 , x 2 ,..., x n‬ﻟﯾس ﻣن اﻟﺿروري أن ﺗﻛون ﻛﻠﮭﺎ‬ ‫ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ‪ ،‬ﺗﻣﺛل ﻣﺷﺎھدات ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ ، n‬ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﮫ‬ ‫ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫‪n‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣﺷﺎھداﺗﮭﺎ ھﻲ ‪6,7,7,8. :‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪6 7 7 8‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x‬‬

‫‪28‬‬ ‫‪ 7.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫ﻋﻧد وﺿﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻔﻘد اﻟﮭوﯾﺔ ﻷي ﻣﺷﺎھدة ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪.‬‬ ‫اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﺑﻘﻰ ھﻲ ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﻲ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻛل ﻓﺋﺔ‪ .‬ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻣن ﺗوزﯾﻊ‬ ‫ﺗﻛراري ﻧﻔﺗرض أن ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات داﺧل ﻓﺋﺔ ﻣﻌطﺎة ﺗﻘﻊ ﻋﻧد ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت ‪ x1 , x 2 ,..., x k‬ھﻲ ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت ﻟﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻣﻊ ﺗﻛراراﺗﮭﺎ اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ‬ ‫‪) f1 , f 2 ,..., f k‬ﺣﯾث ‪ k‬ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت ( ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪f x‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟزﺟﺎﺟﺎت ﺳﻌﺔ ﻛل ﻣﻧﮭﺎ ﻟﺗرا واﺣدا ﺗم ﻗﯾﺎس ﻣﺎ ﺗﺣﺗوﯾﮫ ﻣن ﺳﺎﺋل ﺑﺎﻟﻣﻠﻠﯾﺗر وﺗم‬ ‫وﺿﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫ﺣدود‬ ‫‪900  909‬‬ ‫‪910  919 920  929‬‬ ‫‪930  939‬‬ ‫‪940  949‬‬ ‫اﻟﻔﺋﺔ‬ ‫اﻟﺗﻛرار‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪24‬‬ ‫أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻣﺎ ﺗﺣﺗوﯾﮫ اﻟزﺟﺎﺟﺎت ﻣن ﺳﺎﺋل ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫‪ X  ‬ﺣﯾث ‪ x i‬ھﻲ ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت ‪ ،‬اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫‪x ifi‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‬ ‫‪ fi‬‬ ‫‪fi x i‬‬

‫ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ ‪x i‬‬

‫اﻟﺗﻛرار ‪f i‬‬

‫ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ‬

‫‪4522.5‬‬ ‫‪7316‬‬ ‫‪7396‬‬ ‫‪22428‬‬ ‫‪14167.5‬‬

‫‪904.5‬‬ ‫‪914.5‬‬ ‫‪924.5‬‬ ‫‪934.5‬‬ ‫‪944.5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪900  909‬‬ ‫‪910  919‬‬ ‫‪920  929‬‬ ‫‪930  939‬‬ ‫‪940  949‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪ 55830‬‬

‫‪x f‬‬

‫‪ 60‬‬

‫‪i i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪f‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫إذا اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ھو ‪:‬‬ ‫‪. x‬‬

‫‪x i f i 55830‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 930.5‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ﻣﻣﯾزات اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ وﻋﯾوﺑﮫ ‪:‬‬ ‫ﻣن ﻣﻣﯾزات ا ﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ أﻧﮫ ﻣﺄﻟوف وﺳﮭل اﻟﻔﮭم ﻛﻣﺎ أﻧﮫ ﻣﻌرف ﻷي ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت‬ ‫وﻗﯾﻣﺗﮫ وﺣﯾدة ‪ .‬أﯾﺿﺎ ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻲ ﻓﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗدﺧل ﻓﻲ ﺣﺳﺎﺑﮫ ‪.‬أﻣﺎ ﻋﯾوﺑﮫ ﻓﮭﻲ ﺗﺄﺛره ﺑﺎﻟﻘﯾم‬ ‫اﻟﺷﺎذة وﻟذﻟك ﻻ ﯾﻧﺻﺢ ﺑﺎﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻲ ﻣﻧﺣﻧﺎھﺎ ﺷدﯾد اﻻﻟﺗواء‪ .‬أﯾﺿﺎ ﻻ ﯾﻣﻛن ﺗﻘدﯾره ﻣن‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻓﺋﺎت ﻣﻔﺗوﺣﺔ‪ .‬وأﺧﯾرا ﻻ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﮫ ﺑﺎﻟرﺳم ‪.‬‬ ‫ﻋﻧد ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﻔﺗرض أن ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻷھﻣﯾﺔ‪ ،‬ﻣﺛل ھذا اﻟﻔرض ﻗد‬ ‫ﯾﻛون ﺧﺎطﺊ‪ .‬ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ‪ ،‬إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻘﯾم ﻟﯾس ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻷھﻣﯾﺔ ﯾﻛون ﻣن اﻷﻓﺿل ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧت ‪ x1 , x 2 ,..., x n‬ﺗﻣﺛل ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ ، X‬وﻛﺎﻧت ‪w 1 , w1 ,..., w n‬‬ ‫اﻷوزان اﻟﻣﻧﺎظرة ﻟﮭﺎ ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ ﯾﻛون ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪w x‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪xw ‬‬

‫‪w‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﯾﻌﺎب ﻋﻠﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ ھو ﻋدم وﺟود ﻗﺎﻋدة ﻟﺗﺣدﯾد اﻷوزان وﺗﺧﺿﻊ ﻟﻠﺗﻘدﯾر‬ ‫اﻟﺷﺧﺻﻲ‪ .‬ﯾﻌﺗﺑر اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ إذا ﻛﺎﻧت اﻷوزان‬ ‫ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﺷ ﺗري ﺷ ﺧص ‪ 4‬ﻗﻣﺻ ﺎن ﻣ ن اﻟﺷ رﻛﺔ ‪ A‬ﺑﺳ ﻌر اﻟواﺣ د ‪ 22$‬و ‪ 4‬ﻗﻣﺻ ﺎن ﻣ ن اﻟﺷ رﻛﺔ ‪B‬‬ ‫ﺑﺳﻌر اﻟواﺣد ‪ 25$‬و ‪ 7‬ﻗﻣﺻﺎن ﻣن اﻟﺷرﻛﺔ ‪ C‬ﺑﺳﻌر اﻟواﺣد ‪ . 30$‬أوﺟد ﻣﺗوﺳط ﺳﻌر اﻟﻘﻣﯾص‪.‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫ﻹﯾﺟﺎد ﻣﺗوﺳط ﺳﻌر اﻟﻘﻣﯾص ﻧوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ اﻟذي ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪w x‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪i‬‬

‫‪xw ‬‬

‫‪w‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪x1  22, x 2  25, x 3  30‬‬ ‫‪w 1  4, w 2  4, w 3  7‬‬ ‫اﻵن ﻧﻌوض ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻧون اﻟذي ﯾﻌطﻲ ﻗﯾﻣﺔ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ‬ ‫‪ 22  4   25 4   30  7  398  26.53.‬‬ ‫‪xw ‬‬ ‫‪447‬‬ ‫‪15‬‬

‫) ‪ ( ٢-٣-١‬اﻟوﺳﯾط ‪Median‬‬ ‫‪٥‬‬

‫ﯾﻌﺗﺑر اﻟوﺳﯾط ھو اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻷﻓﺿل ﺑﻌد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‪ .‬ﺳوف ﻧرﻣز ﻟوﺳﯾط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ‬ ‫ﺑﺎﻟرﻣز ~‪ ‬ووﺳﯾط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺑﺎﻟرﻣز ‪ . ~x‬اﻟوﺳﯾط ﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ﻣرﺗﺑﺔ ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ) أو ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ ( ھو‬ ‫اﻟﻌدد اﻷوﺳط ﻣﻧﮭﺎ إذا ﻛﺎن ﻋددھﺎ ﻓردﯾﺎ وھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻌددﯾن اﻷوﺳطﯾﯾن إذا ﻛﺎن ﻋددھﺎ‬ ‫زوﺟﯾﺎ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت ‪ x1 , x 2 ,..., x n‬ﺗﻣﺛل ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﻣرﺗﺑﺔ ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ) أو ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ ( ﻓﺈن‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟوﺳﯾط ﻟﮭذه اﻟﻔﺋﺔ ھو اﻟﻌدد ‪ x n 1‬إذا ﻛﺎن ‪ n‬ﻓردﯾﺎ وھو اﻟﻌدد ] ‪ [x n  x n  2‬إذا‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‪2 (2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻛﺎﻧت ‪ n‬زوﺟﯾﺎ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫أوﺟد اﻟوﺳﯾط ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذي ﻣﺷﺎھداﺗﮫ ‪. 10,9,8,6,7‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﺗرﺗﯾب اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ أي ‪ ، 6,7,8,9,10‬ھﻧﺎ ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ n‬ﻓردﯾﺎ وﻟذﻟك ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط‬ ‫ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟوﺳطﯾﺔ أي أن وﺳﯾط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ھو ‪.   8‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫أوﺟد اﻟوﺳﯾط ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ ﻣﺷﺎھداﺗﮭﺎ ھﻲ ‪.10,9,6,1,2,7‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﺗرﺗﯾب اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ أي ‪ ، 1,2,6,7,9,10‬ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ n‬زوﺟﻲ وﻟذﻟك اﻟوﺳﯾط ھو اﻟوﺳط‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻘﯾﻣﺗﯾن اﻟوﺳطﯾﺗﯾن أي أن وﺳﯾط اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو ‪:‬‬ ‫‪6  7 13‬‬ ‫‪. x ‬‬ ‫‪  6.50‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﻣﯾزات اﻟوﺳﯾط وﻋﯾوﺑﮫ ‪:‬‬ ‫ﻣن ﻣﻣﯾزات اﻟوﺳﯾط أﻧﮫ ﺳﮭل اﻟﻔﮭم وﻻ ﯾﺗﺄﺛر ﺑﺎﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة‪.‬ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻓﺋﺎت ﻣﻔﺗوﺣﺔ ‪.‬وﻣن ﻋﯾوب اﻟوﺳﯾط أن ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات ﻻ ﺗدﺧل ﻓﻲ‬ ‫ﺣﺳﺎﺑﮫ‪ .‬ﻛﻣﺎ أﻧﮫ ﻣﺛل اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ‪ ،‬ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ‪ ،‬ﯾﻛون ﻗﯾﻣﺔ ﺻﻧﺎﻋﯾﺔ ‪، artificial‬‬ ‫ﺑﻣﻌﻧﻰ ﻋدم وﺟود ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻲ ﻓﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ ،‬ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ‪ ،‬ﺗﻣﺛل اﻟوﺳﯾط‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﻷي ﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻓﺈن اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟوﺳﯾـط ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾطﺔ ‪median‬‬ ‫‪. class‬‬ ‫وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 F‬‬ ‫‪x  L  ‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ m ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪  F‬اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ‪،‬‬ ‫‪  L‬اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ‪،‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪  f m‬ﺗﻛرار ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ‪.‬‬ ‫‪  ‬طول ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ‪،‬‬ ‫ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط ﺑﺎﻟرﺳم ﻣن اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ وﯾﺗم ﺗﺣدﯾد ﻣوﻗﻊ اﻟوﺳﯾط ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻣﺣور اﻟرأﺳﻲ ﺛم ﻧﺳﻘط ﻋﻣود ﻣن ﻧﻘطﺔ ﻣوﻗﻊ اﻟوﺳﯾط ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ وﻋﻧد‬ ‫اﻟﺗﻘﺎﺋﮫ ﺑﺎﻟﻣﺿﻠﻊ ﻧﺳﻘط ﻋﻣود ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ ﻓﺗﻛون ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ اﻟوﺳﯾط ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻗﺎﻣت ﺷرﻛﺔ ﻣﺗﺧﺻﺻﺔ ﻓﻲ ﺑﯾﻊ اﻟﺑراﻣﺞ اﻟﺟﺎھزة ﺑﺗﺳﺟﯾل ﺣﺻﯾﻠﺔ اﻟﺑﯾﻊ اﻟﺷﮭري ﺑﺎﻟدوﻻر وذﻟك‬ ‫ﻓﻲ ﻣدة ‪ 28‬ﺷﮭرا وﻛﺎﻧت اﻟﻣﺷﺎھدات ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪710.99‬‬

‫‪820.54‬‬

‫‪858.29‬‬

‫‪871.54‬‬

‫‪118 .01‬‬

‫‪990.16‬‬

‫‪757.34‬‬

‫‪1018.6‬‬

‫‪657.98‬‬

‫‪1230.9‬‬

‫‪876.09‬‬

‫‪723.06‬‬

‫‪1280.3‬‬

‫‪1150 .5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪345.89‬‬

‫‪800.75‬‬

‫‪1140 .8‬‬

‫‪999.98‬‬

‫‪657.90‬‬

‫‪997.05‬‬

‫‪1140 .6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪678.98‬‬

‫‪670.01‬‬

‫‪1209.0‬‬

‫‪887.09‬‬

‫‪723.06‬‬

‫‪1280.3‬‬

‫‪1234.8‬‬

‫‪8‬‬

‫) ا ( ﻛون ﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻣﻧﺎﺳب ‪.‬‬ ‫) ب ( أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﮭذا اﻟﺗوزﯾﻊ‪.‬‬ ‫) ﺟـ ( أوﺟد اﻟوﺳﯾط ﻟﮭذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﺣﺳﺎﺑﯾﺎ وﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫)أ( ﺗﻛوﯾن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري‬ ‫‪ ،‬أﻛﺑر ﻣﺷﺎھدة = ‪1280.3‬‬ ‫ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت اﻟﻣﻘﺗرﺣﺔ = ‪ 6‬أﺻﻐر ﻣﺷﺎھدة = ‪118 .01‬‬ ‫اﻟﻣدى = أﻛﺑر ﻣﺷﺎھدة – أﺻﻐر ﻣﺷﺎھدة‬ ‫‪ 1280.3  118 .01‬‬ ‫‪ 1162 .29‬‬ ‫وﺣدة اﻟدﻗﺔ ‪0.01‬‬ ‫اﻟﻤﺪى‬ ‫‪1162 .29‬‬ ‫=‬ ‫= ‪193.715  193.72‬‬ ‫ﻋﺪداﻟﻔﺌﺎت‬ ‫‪6‬‬

‫طول اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﻲ =‬

‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ ﺟدول اﻟﺳﺎﺑق‪.‬‬ ‫‪x ifi‬‬

‫اﻟﺗﻛرار‬

‫ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ‬

‫‪fi‬‬

‫‪xi‬‬

‫اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﻟﻠﻔﺋﺔ‬

‫ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ‬

‫‪214.865‬‬

‫‪1‬‬

‫‪214.865‬‬

‫‪118 .005  311 .725‬‬

‫‪118 .01  311 .72‬‬

‫‪408.585‬‬

‫‪1‬‬

‫‪408.585‬‬

‫‪311 .725  505.445‬‬

‫‪311 .73  505.44‬‬

‫‪2409.22‬‬

‫‪4‬‬

‫‪602.305‬‬

‫‪505.445  699.165‬‬

‫‪505.45  699.16‬‬

‫‪7960.25‬‬

‫‪10‬‬

‫‪796.025‬‬

‫‪699.165  892.885‬‬

‫‪699.17  892.88‬‬

‫‪3958.98‬‬

‫‪4‬‬

‫‪989.745‬‬

‫‪892.885  1086.605‬‬

‫‪892.89  1086.6‬‬

‫‪9467.72‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1183 .465‬‬

‫‪1086.605  1280.325‬‬

‫‪1086.61  1280.32‬‬

‫‪24419.62‬‬

‫‪28‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬ ‫‪٧‬‬

‫)ب(اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x i fi 24419.62‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 872.129.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪i‬‬ ‫)ﺟـ( ﻹﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺔ اﻟوﺳﯾط ﺣﺳﺎﺑﯾﺎ ًﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 F‬‬ ‫‪x  L  ‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ m ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ = L‬اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ‪ = F ،‬اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ‪‬‬ ‫= طول ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ‪ = f m ،‬ﺗﻛرار ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ﻧﺣﺳب أوﻻ اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ وﺛﺎﻧﯾﺎ ً ﻧﺣﺳب ﻓﺋﺔ‬ ‫‪n 28‬‬ ‫‪‬‬ ‫اﻟوﺳﯾط ﺣﯾث ﺗرﺗﯾب اﻟوﺳﯾط ھو‪ 14 :‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫ﺣﯾث ‪ n‬ﯾﺳﺎوي ﻣﺟﻣوع اﻟﺗﻛرارات اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت‬

‫اﻟﻼزﻣﮫ ﻣﻌطﺎة ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ‬

‫اﻟﺣدود اﻟﻌﻠﯾﺎ ﻟﻠﻔﺋﺎت‬

‫اﻟﺗﻛرار ‪f i‬‬

‫اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﻟﻠﻔﺋﺔ‬

‫‪1‬‬

‫أﻗل ﻣن ‪311 .725‬‬

‫‪1‬‬

‫‪118 .005  311 .725‬‬

‫‪2‬‬

‫أﻗل ﻣن ‪505.445‬‬

‫‪1‬‬

‫‪311 .725  505.445‬‬

‫‪6‬‬

‫أﻗل ﻣن ‪699.165‬‬

‫‪4‬‬

‫‪505.445  699.165‬‬

‫‪16‬‬

‫أﻗل ﻣن ‪892.885‬‬

‫‪10‬‬

‫‪699.165  892.885‬‬

‫‪20‬‬

‫أﻗل ﻣن ‪1086.605‬‬

‫‪4‬‬

‫‪892.885  1086.605‬‬

‫‪28‬‬

‫أﻗل ﻣن ‪1280.325‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1086.605  1280.325‬‬

‫‪28‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫إذا ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ھﻲ اﻟﻔﺋﺔ اﻟراﺑﻌﺔ‪ .‬اﻵن ﻧﻘوم ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ ﻗﺎﻧون اﻟوﺳﯾط ‪:‬‬ ‫‪ 14  6 ‬‬ ‫~‬ ‫‪x  699.165  ‬‬ ‫‪193.72  699.165  154.976  854.141‬‬ ‫‪ 10 ‬‬

‫ﯾﺗم ﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰً ‪:‬‬

‫‪٨‬‬

‫)‪ ( ٣-٣-١‬اﻟﻣﻧوال‬

‫‪Mode‬‬

‫ﯾﻌرف اﻟﻣﻧوال ﺑﺄﻧﮫ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ أو اﻟﺗﻲ ﺗﺗﻛرر أﻛﺛر ﻣن ﻏﯾرھﺎ‪ .‬ﻓﻲ ﺑﻌض‬ ‫اﻷﺣﯾﺎن ﻻ ﯾوﺟد ﻣﻧوال ﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ﺣﯾث ﻻ ﺗﺗﻛرر اﻟﻘﯾم أﻛﺛر ﻣن ﻣرة ‪ ،‬وإذا وﺟد ﻗد ﻻ‬ ‫ﯾﻛون وﺣﯾدا ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫أوﺟد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠﻣﺷﺎھدات ‪3,5,5,5,5,5,5,5,7,7,9‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ أﺣﺎدي اﻟﻣﻧوال وﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﻧوال ﺗﺳﺎوي ‪. 5‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫أوﺟد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠﻣﺷﺎھدات ‪. 2,4,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,8,9‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻛون ﺛﻧﺎﺋﻲ اﻟﻣﻧوال ﺣﯾث اﻟﻣﻧوال ھو ‪. 6,7‬‬ ‫ﯾﻌﺗﺑر اﻟﻣﻧوال أﻗل ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ اﺳﺗﺧداﻣﺎ‪ .‬ﻟﻠﻔﺋﺎت اﻟﺻﻐﯾرة ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻ‬ ‫ﯾﻛون ﻟﮫ ﻓﺎﺋدة ‪ ،‬ﻓﻘط ﯾﻛون ﻟﮫ ﻣﻌﻧﻰ إذا ﻛﺎن ﺣﺟم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛﺑﯾرا ‪ .‬وﻣن ﻣﻣﯾزاﺗﮫ أﻧﮫ ﻻ ﯾﺣﺗﺎج إﻟﻰ‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺎت ﺣﺳﺎﺑﯾﺔ‪ ،‬ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟوﺻﻔﯾﺔ ‪ .‬وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟﻣﻧوال ﺑﺎﻟرﺳم ﻣن اﻟﻣدرج‬ ‫اﻟﺗﻛراري‪ .‬ﻧﺻل اﻟرأس اﻷﯾﻣن اﻟﻌﻠوي ﻟﻠﻣﺳﺗطﯾـل اﻟذي ﯾﻣﺛـل أﻛﺑر ﺗﻛرار ﺑﺎﻟرأس اﻷﯾﻣن‬ ‫ﻟﻠﻣﺳﺗطﯾل اﻟﺳﺎﺑق ﻟﮫ أﯾﺿﺎ ﻧﺻل اﻟرأس اﻷﯾﺳر اﻟﻌﻠوي ﻷطول ﻣﺳﺗطﯾل ﺑﺎﻟرأس اﻷﯾﺳر اﻟﻌﻠوي‬ ‫ﻟﻠﻣﺳﺗطﯾل اﻟﺗﺎﻟﻲ ﻟﮫ ﻓﯾﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻣﺳﺗﻘﯾﻣﺎن ﻓﻲ ﻧﻘطﺔ‪ ،‬ﻧﺳﻘط ﻋﻣود ﻣن ھذه اﻟﻧﻘطﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ‬ ‫ﻓﯾﻛون ھو اﻟﻣﻧوال‪.‬‬ ‫ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ ﻓﺈن اﻟﻣﻧوال ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل )‪ f (x‬ھو ﻗﯾﻣﺔ ‪ x‬اﻟﺗﻲ ﻋﻧدھﺎ ﯾﺄﺧذ‬ ‫اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ أﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎر ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻘﺎﺑﻠﮭﺎ أﻋﻠﻰ ﺗﻛرار ھو ﺗﻘدﯾر‬ ‫ﻟﻠﻣﻧوال ‪.‬‬

‫) ‪ ( ٤-٣-١‬اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ‬

‫‪The geometric Mean‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ‪ ،‬ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻟﮫ اﺳﺗﺧداﻣﺎت ﺧﺎﺻﺔ ﻓﻲ اﻟﻣﺷﺎﻛل اﻻﻗﺗﺻﺎدﯾﺔ وﻓﻲ اﻟﻣﺟﺎل‬ ‫اﻟﺳﻛﺎﻧﻲ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ ، x1 , x 2 ,..., x n‬ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﮫ ﻣن‬ ‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪G  n x1  x 2  ...  x n .‬‬ ‫وﻟﺗﺳﮭﯾل ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﺗﺳﺗﺧدم اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ log x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪LogG ‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻣﻌدل اﻟﺗﺿﺧم ﻟﺷﻌب ﻣﺎ ھو ‪ 3%‬ﻓﻲ اﻟﺳﻧﺔ اﻷوﻟﻰ و ‪ 4%‬ﻓ ﻲ اﻟﺳ ﻧﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ و ‪ 8%‬ﻟﻠﺳ ﻧﺔ‬ ‫اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻟﻣﻌدﻻت اﻟﺗﺿﺧم ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪ log‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ log3  log 4  log8‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  0.4771  0.6020  0.9030   1.9821  0.6607.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻵن ﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﺔ ‪ G‬واﻟﺗﻲ ﺗﺳﺎوي اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ‪. G  4.5782‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪LogG ‬‬

‫داﺋﻣﺎ ﯾﻛون اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ أﺻﻐر ﻣن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‪ .‬ﻛﻣﺎ أن اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻻ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﮫ‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت إﺣدى اﻟﻘﯾم ﻣﺳﺎوﯾﺔ ﻟﻠﺻﻔر أو رﻗم ﺳﺎﻟب‪.‬ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻣن ﺟداول‬ ‫ﺗﻛرارﯾﺔ ﻣن اﻟﺗﻌرﯾف اﻟﺗﺎﻟﻲ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت ‪ x1 , x 2 ,..., x k‬ﺗﻣﺛل ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت ﻟﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻣﻊ ﺗﻛراراﺗﮭﺎ اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ‬ ‫‪ ) f1 ,f 2 ,...,f k‬ﺣﯾث ‪ k‬ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت ( ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ‪ G‬ﯾﺣﺳب ﻣن‬ ‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪ f log x‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪LogG ‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﺗﻣﺛ ل اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺗﻛ راري ﻷط وال ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣ ن ﺧﻣﺳ ﯾن ﻧﺑ ﺎت ﻣ ن ﻧ وع ﻣ ﺎ‬ ‫واﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻰ‪٠‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻓﺈن ‪-:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪55.1799‬‬ ‫‪ 1.103598.‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ f log x‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻓﺈن اﻟﻮﺳﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ﻫﻮ ‪٠ G  12.69399.‬‬

‫‪١٠‬‬

‫‪LogG ‬‬

‫‪f i log x i‬‬

‫‪log x i‬‬

‫ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ ‪x i‬‬

‫اﻟﺗﻛرار ‪fi‬‬

‫ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ‬

‫‪5.0706‬‬ ‫‪10.0000‬‬ ‫‪16.7085‬‬ ‫‪14.4492‬‬ ‫‪8.9516‬‬ ‫‪55.1799‬‬

‫‪0.8451‬‬ ‫‪1.0000‬‬ ‫‪1.1139‬‬ ‫‪1.2041‬‬ ‫‪1.2788‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪6-8‬‬ ‫‪9-11‬‬ ‫‪12-14‬‬ ‫‪15-17‬‬ ‫‪18-20‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫)‪ (٤-١‬اﻟرﺑﯾﻌﺎت واﻟﻣﺋﯾﻧﺎت واﻟﻌﺷﯾرات ‪uartiles, Percentiles, Deciles‬‬ ‫ﻛﻣﺎ ذﻛرﻧﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎ‪ ،‬إذا رﺗﺑﻧﺎ ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ﺣﺳب ﻗﯾﻣﮭ ﺎ ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ ﻓ ﺈن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺗﻛ ون‬ ‫ﻓ ﻲ اﻟﻣﻧﺗﺻ ف واﻟﺗ ﻲ ﺗﻘﺳ م اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت إﻟ ﻰ ﻗﺳ ﻣﯾن ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﯾن ﻓ ﻲ اﻟﻌ دد ھ ﻲ اﻟوﺳ ﯾط‪ ٠‬وﺑﺗﻌﻣ ﯾم اﻟﻔﻛ رة‬ ‫وﺗﻘﺳﯾم اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت إﻟ ﻰ أرﺑﻌ ﺔ أﺟ زاء ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ) ﺑﻌ د ﺗرﺗﯾ ب اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ ( ﻓ ﺈن ﻧﻘ ﺎط اﻟﺗﻘﺳ ﯾم‬ ‫ﯾرﻣ ز ﻟﮭ ﺎ ﺑ ﺎﻟرﻣوز ‪ Q1 ، Q 2 ، Q3‬ﺣﯾ ث ‪ Q1‬ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷول ‪) first quartile‬اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷدﻧ ﻰ‬ ‫‪ (lower quartile‬و ‪ Q 2‬ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ‪) second quartile‬ﻧﻔﺳ ﮫ اﻟوﺳ ﯾط( و ‪ Q3‬ﯾﺳ ﻣﻰ‬ ‫اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛﺎﻟ ث ‪) third quartile‬اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷﻋﻠ ﻰ ‪ upper quartile‬ﻓ ﺎﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ھ و اﻟﻘﯾﻣ ﺔ ‪Q1‬‬ ‫اﻟﺗ ﻲ ﯾﺳ ﺑﻘﮭﺎ رﺑ ﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت وﯾﻠﯾﮭ ﺎ ﺛﻼﺛ ﺔ أرﺑ ﺎع اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت‪ ٠‬واﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ )وھ و أﯾﺿ ﺎ اﻟوﺳ ﯾط( ھ و‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ Q 2‬اﻟﺗﻲ ﯾﺳﺑﻘﮭﺎ ﻧﺻف اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﻠﯾﮭﺎ ﻧﺻف اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت‪ ٠‬وﻓﻲ اﻟﻧﮭﺎﯾﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟ ث وھ و اﻟﻘﯾﻣ ﺔ‬ ‫‪ Q3‬اﻟﺗﻲ ﯾﺳﺑﻘﮭﺎ ﺛﻼﺛﺔ أرﺑﺎع اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﻠﯾﮭﺎ رﺑﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت‪ ٠‬ﻋﻧ د اﺳ ﺗﺧدام ﻓﺋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﺈن‬ ‫‪n2‬‬ ‫واﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ‬ ‫اﻟرﺑﯾﻌ ﺎت اﻟﺛﻼﺛ ﺔ ﯾ ﺗم ﺣﺳ ﺎﺑﮭﺎ ﺑﺗﻌ ﯾن ﻣوﻗﻌﮭ ﺎ أوﻻ ﻓﻣوﻗ ﻊ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷول ھ و‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3n  2‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ﻣوﻗﻌﮫ ھو‬ ‫ﻣوﻗﻌﮫ ھو‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12  2‬‬ ‫إﻣ ﺎ ﻗﯾﻣﺗ ﮫ ﻓﮭ ﻲ‬ ‫ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﻣوﻗ ﻊ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷول ھ و ‪ 3.5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪ ٠ Q1 ‬أﯾﺿﺎ ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻧﻲ واﻟﺛﺎﻟ ث ھﻣ ﺎ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﻣﺗوﺳط اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ واﻟراﺑﻌﺔ أي ‪ 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪36  2‬‬ ‫‪12  1‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ واﻟﺛﺎﻟ ث ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗ واﻟﻲ‬ ‫‪ 9.5 ،‬‬ ‫اﻟﺗواﻟﻲ ‪ 6.5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪17  19‬‬ ‫‪11  13‬‬ ‫‪٠ Q3 ‬‬ ‫‪ 18 ، Q 2 ‬‬ ‫ھﻣﺎ ‪ 12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪20‬‬

‫‪16 17‬‬

‫‪19‬‬

‫‪11‬‬

‫‪13‬‬

‫‪10‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫ﻋﻧد اﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ‪ ،‬ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول واﻟﺛﺎﻟث ﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن‪-:‬‬ ‫‪ 3n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q3  L   4‬‬ ‫‪، Q1  L   4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ Q ‬‬ ‫‪ Q ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪١١‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪  L‬اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻔﺋﺔ اﻟرﺑﯾﻊ ‪،‬‬ ‫‪  ‬طول ﻓﺋﺔ اﻟرﺑﯾﻊ ‪،‬‬

‫‪  F‬اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻔﺋﺔ اﻟرﺑﯾﻊ‬ ‫‪  f Q‬ﺗﻛرار ﻓﺋﺔ اﻟرﺑﯾﻊ‪٠‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻟﻠﺿراﺋب اﻟﺗﻲ ﺗم ﺗﺣﺻﯾﻠﮭﺎ ﻣن ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟﻣوظﻔﯾن‬ ‫ﻓﻲ ﺷرﻛﺔ ﻟﺗﺳﺧﯾن اﻟﺑﺗرول ﻓﻲ ﻋﺎم ‪. 1990‬‬ ‫ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ‬ ‫‪400  500 501 601 602  702 703  803 804  904‬‬ ‫اﻟﺗﻛرار‬ ‫‪17‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪28‬‬ ‫) ا ( ارﺳم اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ ﺛم ﻣن اﻟرﺳم ﺣدد اﻟوﺳﯾط واﻟرﺑﯾﻊ اﻷول واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث‬ ‫)ب ( أﺣﺳب ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ‪.‬‬ ‫)ج ( ﻣﺎ ﻧﺳﺑﺔ اﻟﻌﺎﻣﻠﯾن اﻟذﯾن ﯾدﻓﻌون ﺿراﺋب أﻗل ﻣن ‪ 702.5‬؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫وﺣدة اﻟدﻗﺔ = ‪1‬‬

‫)ب( ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ‪:‬‬ ‫طول اﻟﻔﺋﺔ = اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﻲ – اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﻲ ‪ +‬وﺣدة اﻟدﻗﺔ = ‪101‬‬ ‫ اﻵن ﻧوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬‫‪x ifi‬‬

‫ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت ‪x i‬‬

‫اﻟﺗﻛرار ‪f i‬‬

‫ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ‬

‫‪7650‬‬ ‫‪13775‬‬ ‫‪18908‬‬ ‫‪18825‬‬ ‫‪23912‬‬ ‫‪83070‬‬

‫‪450‬‬ ‫‪551‬‬ ‫‪652‬‬ ‫‪753‬‬ ‫‪854‬‬

‫‪17‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪124‬‬

‫‪400  500‬‬ ‫‪501 601‬‬ ‫‪602  702‬‬ ‫‪703  803‬‬ ‫‪804  904‬‬

‫إذا اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﺳﺎوي ‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x i fi 83070‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 669.919.‬‬ ‫‪124‬‬ ‫‪ fi‬‬ ‫ اﻟوﺳﯾط ھو ‪:‬‬‫‪١٢‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  L   2‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ m ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ = L‬اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ‪ = F ،‬اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط‬ ‫‪ = f m ،‬ﺗﻛرار ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ‪.‬‬ ‫‪ = ‬طول ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط‬ ‫‪n 124‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻧﺣﺳ ب أوﻻ اﻟﺗﻛ رار اﻟﻣﺗﺟﻣ ﻊ وﺛﺎﻧﯾ ﺎ ً ﻧﺣﺳ ب ﻓﺋ ﺔ اﻟوﺳ ﯾط واﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ ﺎوي ‪ 62‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ،‬ﺣﯾ ث‬

‫‪ n‬ﯾﺳﺎوي ﻣﺟﻣوع اﻟﺗﻛرارات وذﻟك ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ‬ ‫‪17‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪96‬‬ ‫‪124‬‬

‫اﻟﺣدود اﻟﻌﻠﯾﺎ‬ ‫ﻟﻠﻔﺋﺎت‬ ‫أﻗل ﻣن ‪500.5‬‬ ‫أﻗل ﻣن ‪601.5‬‬ ‫أﻗل ﻣن ‪702.5‬‬ ‫أﻗل ﻣن ‪803.5‬‬ ‫أﻗل ﻣن ‪904.5‬‬

‫اﻟﺗﻛرار ‪f i‬‬

‫اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ‬ ‫ﻟﻠﻔﺋﺔ‬

‫‪17‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪124‬‬

‫‪399.5  500.5‬‬ ‫‪500.5  601.5‬‬ ‫‪601.5  702.5‬‬ ‫‪702.5  803.5‬‬ ‫‪803.5  904.5‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ھﻲ اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ‬ ‫اﻵن ﻧﻌوض ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻧون‬

‫‪ 62  42 ‬‬ ‫‪. x  601.5  ‬‬ ‫‪101  601.5  69.655  671.155.‬‬ ‫‪ 29 ‬‬ ‫ اﻟﻣﻧوال ھو ﻣرﻛز اﻟﻔﺋ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﻘﺎﺑﻠﮭ ﺎ أﻋﻠ ﻰ ﺗﻛ رار‪ ،‬وأﻋﻠ ﻰ ﺗﻛ رار ﻓ ﻲ اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﻣﻌط ﻰ ھ و‬‫‪ 29‬وﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ اﻟذي ﯾﻘﺎﺑﻠﮫ ھو ‪ ، 652‬أي أن اﻟﻣﻧوال ﯾﺳﺎوي ‪. 652‬‬ ‫ ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬‫‪f i log x i‬‬

‫‪log x i‬‬

‫اﻟﺗﻛرار ‪f i‬‬

‫ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت ‪x i‬‬

‫‪45.1044‬‬ ‫‪68.5275‬‬ ‫‪81.6118‬‬ ‫‪71.9175‬‬ ‫‪82.0792‬‬ ‫‪349.2404‬‬

‫‪2.6532‬‬ ‫‪2.7411‬‬ ‫‪2.8142‬‬ ‫‪2.8767‬‬ ‫‪2.9314‬‬

‫‪17‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪124‬‬

‫‪450‬‬ ‫‪551‬‬ ‫‪652‬‬ ‫‪753‬‬ ‫‪854‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫اﻵن ﻧﻌوض ﻓﻲ ﻗﺎﻧون اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ‬ ‫‪k‬‬

‫‪349.2472‬‬ ‫‪ 2.81651‬‬ ‫‪124‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ f log x‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪log G ‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪G  655.4058. .‬‬ ‫)ج( ﻋدد اﻟﻌﺎﻣﻠﯾن اﻟذﯾن ﯾدﻓﻌون ﺿراﺋب أﻗل ﻣن ‪ 702.5‬ﯾﺳﺎوي ‪ 71‬وﻋﻠﻲ ذﻟ ك اﻟﻧﺳ ﺑﺔ اﻟﻣطﻠوﺑ ﺔ‬ ‫ﺗﺳﺎوي ‪:‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪71‬‬ ‫‪(100)   0.5725 100   57.2580%. .‬‬ ‫‪124‬‬ ‫‪Q1  49.5 Q3  77‬‬ ‫أﯾﺿ ﺎ ﯾﻣﻛ ن إﯾﺟ ﺎد اﻟﻘ ﯾم اﻟﺗ ﻲ ﺗﻘﺳ م ﻓﺋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات )ﺑﻌ د ﺗرﺗﯾﺑﮭ ﺎ ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ( إﻟ ﻰ ﻋﺷ رة أﻗﺳ ﺎم‬ ‫وﻧرﻣز ﻟﻧﻘط اﻟﺗﻘﺳﯾم ﺑﺎﻟرﻣوز ‪ D1 , D 2 ,..., D9‬ﺣﯾث ‪ D1‬اﻟﻌﺷﯾر اﻷول وھ و ﯾﻣﺛ ل اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﺳ ﺑﻘﮭﺎ‬ ‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت و ‪ D 2‬اﻟﻌﺷ ﯾر اﻟﺛ ﺎﻧﻲ وھ و ﯾﻣﺛ ل اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﺳ ﺑﻘﮭﺎ‬ ‫ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﻠﯾﮭ ﺎ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وھﻛذا ﻟﻠﻌﺷﯾرات اﻷﺧرى‪ ٠‬ﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ﯾﻣﻛ ن إﯾﺟ ﺎد اﻟﻘ ﯾم اﻟﺗ ﻲ‬ ‫ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﻠﯾﮭﺎ‬ ‫‪10‬‬

‫ﺗﻘﺳ م ﻓﺋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات )ﺑﻌ د ﺗرﺗﯾﺑﮭ ﺎ ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ( إﻟ ﻰ ﻣﺎﺋ ﺔ ﻗﺳ م وﻧرﻣ ز ﻟ ﻧﻘط اﻟﺗﻘﺳ ﯾم ﺑ ﺎﻟرﻣوز‬ ‫‪99‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﻠﯾﮭ ﺎ‬ ‫‪ P1 , P2 ,..., P99‬ﺣﯾث ‪ P1‬اﻟﻣﺋﯾن اﻷول ھو ﯾﻣﺛل اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﺳﺑﻘﮭﺎ‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت وﯾﻠﯾﮭ ﺎ‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت و ‪ P2‬اﻟﻣﺋ ﯾن اﻟﺛ ﺎﻧﻲ وھ و ﯾﻣﺛ ل اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﺳ ﺑﻘﮭﺎ‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬

‫ﻣن‬

‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وھﻛذا ﻟﺑﺎﻗﻲ اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت‪ ٠‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛرارﯾ ﺔ ﯾﻣﻛ ن ﺣﺳ ﺎب اﻟﻌﺷ ﯾرات و اﻟﻣﺋﯾﻧ ﺎت‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫ﻟﻠﻌﺷ ﯾر اﻷول و‬ ‫ﺑـ‬ ‫ﺑ ﻧﻔس طرﯾﻘ ﺔ ﺣﺳ ﺎب اﻟوﺳ ﯾط ﻣ ﻊ اﺳ ﺗﺑدال‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺋ ﯾن اﻟﺛ ﺎﻧﻲ وھﻛ ذا اﻟﺑ ﺎﻗﻲ‬ ‫ﻟﻠﻣﺋ ﯾن اﻷول و‬ ‫ﻟﺑ ﺎﻗﻲ اﻟﻌﺷ ﯾرات‪ ٠‬أﯾﺿ ﺎ اﺳ ﺗﺑدال ﺑ ـ‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻟﻠﻌﺷ ﯾر اﻟﺛ ﺎﻧﻲ وھﻛ ذا‬

‫اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت‪٠‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻟﺗﻛﺎﻟﯾف ﺗﺟﮭﯾز ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﻧﺑﺎت ﻟﻠﺗﺻدﯾر‪.‬‬ ‫‪ 1.00-1.02 1.03-1.05 1.06-1.08 1.09-1.11 1.12-1.14‬ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪41‬‬ ‫اﻟﺗﻛرار‬ ‫اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد‪:‬‬ ‫)أ( اﻟوﺳﯾط واﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال‪) ٠‬ب( اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث‪٠‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﺣﺳﺎب )أ( و )ب( ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ ‫اﻟﺗﻛرار‬ ‫اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪87‬‬ ‫‪127‬‬ ‫‪168‬‬

‫اﻟﺣدود اﻟﻌﻠﯾﺎ‬ ‫ﻟﻠﻔﺋﺔ‬ ‫أﻗل ﻣن ‪1.025‬‬ ‫أﻗل ﻣن ‪1.055‬‬ ‫أﻗل ﻣن ‪1.085‬‬ ‫أﻗل ﻣن ‪1.115‬‬ ‫أﻗل ﻣن ‪1.145‬‬

‫ﻣرﻛز‬ ‫اﻟﻔﺋﺔ‬

‫اﻟﺗﻛرار‬

‫اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ‬ ‫ﻟﻠﻔﺋﺔ‬

‫ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ‬

‫‪1.01‬‬ ‫‪1.04‬‬ ‫‪1.07‬‬ ‫‪1. 1‬‬ ‫‪1.13‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪168‬‬

‫‪0.995  1.025‬‬ ‫‪1.025  1.055‬‬ ‫‪1.055  1.085‬‬ ‫‪1.085  1.115‬‬ ‫‪1.115  1.145‬‬

‫‪1.00  1.02‬‬ ‫‪1.03  1.05‬‬ ‫‪1.06  1.08‬‬ ‫‪1.09  1.11‬‬ ‫‪1.12  1.14‬‬

‫‪١٤‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫)أ( اﻟوﺳﯾط واﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال‪:‬‬ ‫ اﻟوﺳﯾط ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  Fm ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪Q  L ‬‬ ‫‪fm‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪  F‬اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط‬ ‫‪  f m‬ﺗﻛرار ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط‪.‬‬

‫‪  L‬اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط‪،‬‬ ‫‪  ‬طول ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط‪،‬‬

‫‪n 168‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 84,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Fm  30,‬‬ ‫‪f m  57,‬‬ ‫‪L  1.055,‬‬ ‫‪  0.03,‬‬ ‫)‪(84  30‬‬ ‫‪Q  1.055 ‬‬ ‫‪ (0.03)  1.0834  1.083‬‬ ‫‪57‬‬

‫ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬‫‪k‬‬

‫‪182.37‬‬ ‫‪ 1.085‬‬ ‫‪168‬‬

‫‪fi xi‬‬

‫‪‬‬

‫‪i 1‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪‬‬ ‫‪fi‬‬

‫‪‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ اﻟﻣﻧوال ھو ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻘﺎﺑﻠﮭﺎ أﻋﻠﻰ ﺗﻛرار أي‪:‬‬‫‪x   1.070 ‬‬

‫)ب( اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث‪:‬‬ ‫ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q1  L   4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ Q ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪n 168‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 42, F  30, f Q  57, L  1.055,   0.03‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬

‫أي أن ‪:‬‬

‫‪42  30‬‬ ‫‪ (0.03)  1.0613 ‬‬ ‫‪57‬‬ ‫ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬‫‪ 3n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q3  L   4‬‬ ‫‪  .‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ Q ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪Q1  1.055 ‬‬

‫‪3‬‬

‫‪١٥‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪3n 3(168‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 126, F  87, f Q  40, L  1.085,   0.03.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬

‫‪126  87‬‬ ‫‪ (0.03)  1.114.‬‬ ‫‪40‬‬

‫)‪ (٥-١‬ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗت‬

‫‪Q3  1.085 ‬‬

‫‪Measures of Dispersion‬‬

‫ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﻣت ﻣﻧﺎﻗﺷﺗﮭﺎ ﻓﻲ اﻟﺑﻧد اﻟﺳﺎﺑق ﻻ ﺗﻛﻔﻲ ﻹﻋطﺎء وﺻف ﻛ ﺎﻓﻲ‬ ‫ﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻼ ﺗوﺿ ﺢ طﺑﯾﻌﺗﮭ ﺎ وﻻ ﻛﯾﻔﯾ ﺔ ﺗوزﯾ ﻊ ﻣﺷ ﺎھداﺗﮭﺎ‪ .‬ﻛﻣ ﺎ أن اﻻﻋﺗﻣ ﺎد ﻓﻘ ط‬ ‫ﻋﻠﻰ أي ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﻧزﻋ ﺔ اﻟﻣرﻛزﯾ ﺔ ﻟﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ﻋ دة ﻣﺟﻣوﻋ ﺎت ﻻ ﯾﻛﻔ ﻲ ﻹظﮭ ﺎر ﺣﻘﯾﻘ ﺔ اﻟﻣﻘﺎرﻧ ﺔ‪ ،‬ﻓﻣ ن‬ ‫اﻟﻣﻣﻛن أن ﯾﻛون ﻟﻌدة ﻣﺟﻣوﻋﺎت ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻧﻔ س اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ واﻟوﺳ ﯾط وﻟﻛ ﻧﮭم ﯾﺧﺗﻠﻔ وا ﻋ ن‬ ‫ﺑﻌﺿ ﮭم ﺗﻣ ﺎم اﻻﺧ ﺗﻼف‪ .‬ﻓﻘ د ﺗﻛ ون ﻣﺷ ﺎھدات إﺣ دى اﻟﻣﺟﻣوﻋ ﺎت ﻣﺗﻘﺎرﺑ ﺔ ﺑﻌﺿ ﮭﺎ ﻣ ن ﺑﻌ ض‬ ‫)ﻣﺗﻣرﻛزة ﺣول ﻣﺗوﺳطﮭﺎ ( أو ﻣﺑﻌﺛرة )ﻣﺗﺷﺗﺗﺔ ( ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺟزء اﻟﺗﺎﻟﻲ ﺳوف ﻧﻘدم ﺑﻌض ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗت اﻷﻛﺛر أھﻣﯾﺔ‪.‬‬

‫) ‪ (١-٥-١‬اﻟﻣدى وﻧﺻف اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ‬ ‫‪The range and semi interquartile range‬‬ ‫ﯾﻌﺗﺑر اﻟﻣدى ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺗﺷﺗت ﻣن اﻟﺳﮭل ﺟدا ﺣﺳﺎﺑﮫ وﯾﻌطﻰ ﻓﻛرة ﺳرﯾﻌﺔ ﺟدا ﻋن طﺑﯾﻌﺔ‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﺳﺗﺧدم ﻛﺛﯾرا ﻓﻲ ﻣراﻗﺑﺔ اﻟﺟودة وﻛذﻟك ﻓﻲ وﺻف اﻷﺣوال اﻟﺟوﯾﺔ‪ ٠‬وﻟﻛن ﻣن ﻋﯾوﺑﮫ‬ ‫أﻧﮫ ﯾﺗﺄﺛر ﺑﺎﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة وﯾﻌطﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﺧﺎطﺋﺔ ﻋن اﻻﻧﺗﺷﺎر اﻟﺣﻘﯾﻘﻲ ﻟﻣﻌظم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛﻣﺎ أﻧﮫ ﻻ‬ ‫ﯾﺳﺗﺧدم ﺟﻣﯾﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﺣﺳﺎﺑﮫ‪٠‬‬ ‫ﻋﻧد اﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ ﻓﺈن اﻟﻣدى ﯾﺣﺳب ﺑﻌدة طرق ﺳوف ﻧذﻛر ﻣﻧﮭﺎ اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫اﻟﻣدى= اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷﺧﯾرة‪-‬اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷوﻟﻰ‪.‬‬ ‫ھﻧﺎك ﻣﻘﺎﯾﯾس أﺧرى ﻟﻠﺗﺷﺗت ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﺑدﻻ ﻣن اﻟﻣدى ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ وﺟود ﻗﯾم ﺷﺎذة‪٠‬‬ ‫ﺗﻌﺗﻣد ھذه اﻟﻣﻘﺎﯾﯾس ﻋﻠﻰ إھﻣﺎل ﺟزء ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﻧد طرﻓﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ ﺣﺗﻰ ﻧﺗﺧﻠص ﻣن اﻟﻘﯾم‬ ‫اﻟﺷﺎذة وﺗﺳﻣﻰ ﺷﺑﯾﮭﺎت اﻟﻣدى‪ ٠‬ﻓﻣﺛﻼ ﺑﺣذف أﻋﻠﻰ ‪ 10%‬ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات وأﺻﻐر ‪ 10%‬ﻣﻧﮭﺎ‬ ‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣدى اﻟﻣﺋﯾﻧﻲ أي ‪. P90  P10‬‬ ‫أﯾﺿﺎ ﺑﺣذف أﻋﻠﻰ ‪ 25%‬ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وأﺻﻐر ‪ 25%‬ﻣﻧﮭﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ أي ‪Q 3  Q 1‬‬ ‫)‬ ‫‪ ٠‬وأﺧﯾرا ھﻧﺎك ﻣﻘﯾﺎس آﺧر ﯾﺳﺗﻧﺗﺞ ﻣن اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ وھو ﻧﺻف اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ‬ ‫اﻻﻧﺣراف اﻟرﺑﯾﻌﻲ ( ‪ semi interquartile range‬وﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮫ ﺑﻘﺳﻣﺔ اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ ﻋﻠﻰ ‪2‬‬ ‫ﻓﺈذا رﻣزﻧﺎ ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز ‪ MR‬ﻓﺈن ‪-:‬‬ ‫‪Q 3  Q1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪MR ‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎﻧ ت درﺟ ﺔ اﻟﺣ رارة اﻟﻣﺋوﯾ ﺔ ﻓ ﻲ إﺣ دى اﻟﻣ دن ﺧ ﻼل أﯾ ﺎم إﺣ دى اﻷﺳ ﺎﺑﯾﻊ ھ ﻲ ‪:‬‬ ‫‪22,9,13,12,18,15,9‬‬

‫أﺣﺳب ﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫) ا ( اﻟوﺳﯾط واﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال‪.‬‬ ‫‪١٦‬‬

‫) ب ( اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ واﻟﻣدى‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( اﻟوﺳﯾط‬ ‫ﺑﺎﻟﺗرﺗﯾب ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ً ‪9,9,12,13,15,18,22‬‬ ‫وﺑﻣﺎ أن اﻟﻌدد ﻓردي ‪ 7 ‬إذا ً اﻟوﺳﯾط ھو اﻟﻌدد اﻟذي ﯾﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻣﻧﺗﺻف ‪13 ‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ‪:‬‬ ‫‪9  15  18  12  13  9  22 98‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 14‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫اﻟﻣﻧوال‪ :‬ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ ً ‪9‬‬ ‫‪Q  Q1‬‬ ‫‪MR  3‬‬ ‫)ب( اﻻﻧﺣراف اﻟرﺑﯾﻌﻲ‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ﯾﺣدد ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪3n  2‬‬ ‫‪ 5.75,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أي ﯾﻘ ﻊ ﺑ ﯾن اﻟﻣﺷ ﺎھدة رﻗ م ‪ 5‬واﻟﻣﺷ ﺎھدة رﻗ م ‪ 6‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﯾﻛ ون ﻗﯾﻣ ﺔ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛﺎﻟ ث ھ و اﻟوﺳ ط‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ 5‬واﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ 6‬أي‪:‬‬ ‫‪15  18  16.5.‬‬ ‫‪Q3 ‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ﯾﺣدد ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪ 2.25.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أي ﯾﻘ ﻊ ﺑ ﯾن اﻟﻣﺷ ﺎھدة رﻗ م ‪ 2‬واﻟﻣﺷ ﺎھدة رﻗ م ‪ 3‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﯾﻛ ون ﻗﯾﻣ ﺔ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻻول ھ و اﻟوﺳ ط‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ 2‬واﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ 3‬أي‪:‬‬ ‫‪9  12  10.5.‬‬ ‫‪Q1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Q 3  Q1 16.5  10.5‬‬ ‫‪ MR ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫اﻟﻣدى‪ :‬أﻛﺑر ﻗﯾﻣﺔ – أﺻﻐر ﻗﯾﻣﺔ ‪:‬‬

‫‪ 22  9  13.‬‬

‫) ‪ (٢-٥-١‬اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ‪The average Deviation‬‬ ‫ﺗﻣﺛ ل | ‪ | x i  ‬أو | ‪ | x i  x‬اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﻣطﻠﻘ ﺔ ﻻﻧﺣ راف أي ﻗﯾﻣ ﺔ ﻋ ن اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ‬ ‫ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ أو اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ‪٠‬‬ ‫ﺗﻌرﯾ ف ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧ ت ﻟ دﯾﻧﺎ اﻟﻔﺋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ‪ ، x 1 , x 2 ,..., x n‬ﻓ ﺈن اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﺗوﺳ ط ﯾﻣﻛ ن‬ ‫ﺣﺳﺎﺑﮫ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪-:‬‬ ‫‪n‬‬

‫|‪x‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪i‬‬

‫‪| x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪M.D ‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 20‬طﺎﻟب ﻓﻲ ﻛﻠﯾﺔ ﻣﺎ ﺗم ﺗﺳﺟﯾل ﻋدد أﯾ ﺎم اﻟﻐﯾ ﺎب ﻟﻛ ل طﺎﻟ ب ﺧ ﻼل اﻟﻔﺻ ل‬ ‫اﻟدراﺳﻲ اﻷول وﻛﺎﻧت ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪1,0,3, 4,5,4,1,1,1,1,1,0,0,0,0,3,3,2,2,1 :‬‬ ‫‪١٧‬‬

‫أﺣﺳب ﻛﻼ ﻣن ‪:‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ‪ -‬اﻟوﺳﯾط ‪ -‬اﻟﻣﻧوال ‪ -‬اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪1  2  2  3  3  0  0  0  0 111 1 1 4  5  4  3  0 1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1.65‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪i‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫اﻟوﺳﯾط‪:‬‬ ‫ﺑﻌد اﻟﺗرﺗﯾب اﻟﺗﺻﺎﻋدي ﻟﻠﻘﯾم‬ ‫‪0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,3,4,4,5‬‬

‫وﺑﻣﺎ أن ﻋدد اﻟﻘﯾم زوﺟﻲ ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط ھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻘﯾﻣﺗﯾن اﻟوﺳطﺗﯾن أي‪:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫اﻟﻣﻧوال‪:‬‬ ‫ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ ً أي أن اﻟﻣﻧوال ھو ‪. x  1‬‬ ‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪25.6‬‬ ‫‪ 1.28‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪x‬‬

‫‪i‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪M.D ‬‬

‫ﺗﻌرﯾ ف ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧ ت ‪ x 1 , x 2 ,..., x k‬ﺗﻣﺛ ل ﻣراﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺔ ﻟﺗوزﯾ ﻊ ﺗﻛ راري ﻣ ﻊ ﺗﻛراراﺗﮭ ﺎ اﻟﻣﻘﺎﺑﻠ ﺔ‬ ‫‪ f1 , f 2 ,..., f k‬ﻓﺈن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ھو ‪-:‬‬ ‫‪k‬‬

‫| ‪| xi  x‬‬

‫‪i‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪M.D ‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫أوﺟد اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫| ‪fi | xi  x‬‬ ‫‪325.6‬‬ ‫‪235.2‬‬ ‫‪153.6‬‬ ‫‪9.2‬‬ ‫‪176.8‬‬ ‫‪224.4‬‬ ‫‪304‬‬ ‫‪1428.8‬‬

‫‪xi  x‬‬ ‫‪-29.6‬‬ ‫‪-19.6‬‬ ‫‪-9.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪10.4‬‬ ‫‪20.4‬‬ ‫‪30.4‬‬

‫اﻟﺗﻛرار‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪١٨‬‬

‫‪fi‬‬

‫ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ ‪x i‬‬ ‫‪34.5‬‬ ‫‪44.5‬‬ ‫‪54.5‬‬ ‫‪64.5‬‬ ‫‪74.5‬‬ ‫‪84.5‬‬ ‫‪94.5‬‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ھو ‪٠ x  64.1‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ‪-:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪1428.8‬‬ ‫‪ 14.288.‬‬ ‫‪100‬‬

‫| ‪| xi  x‬‬

‫‪i‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪M.D ‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫) ‪ (٣-٥-١‬اﻟﺗﺑﺎﯾن ‪The Variance‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا أﻋطﯾت ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺣدود ‪ x 1 , x 2 ,..., x N‬ﻓﺈن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ھو‪-:‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪) 2‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ (x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪N‬‬

‫‪2 ‬‬

‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري‪ ،‬وﯾرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز ‪ ‬ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮫ ﺑﺄﺧذ اﻟﺟذر اﻟﺗرﺑﯾﻌﻲ ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا ﺳﺣﺑت اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ‪ x 1 , x 2 ,..., x n‬ﻓﺈن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻐﯾر ﻣﺗﺣﯾز ھو ‪-:‬‬

‫‪ x)2‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪ (x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪s2 ‬‬

‫واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ھو ‪s  s 2‬‬ ‫ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ ﻓﺈن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪-:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪( x i f i ) 2‬‬ ‫‪].‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[ x 2i f i ‬‬ ‫‪n  1 i 1‬‬

‫‪s2 ‬‬

‫) ﺣﯾث‬

‫‪k‬‬

‫‪n‬‬

‫‪(  fi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫أﺳرة ﻟدﯾﮭﺎ ‪ 8‬أطﻔﺎل‪ ،‬أﻋﻣﺎرھم ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪ 8,10,6,14,14,12,18,20 :‬أوﺟد ‪:‬‬ ‫) ا ( ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ﻟﮭذه اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت‪.‬‬ ‫) ب ( اﻟﻣدى ‪ -‬اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ ‪ -‬اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ‪ -‬اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫) ا ( ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ‪:‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪8  10  6  14  14  12  18  20 102‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 12.75.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪i‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪N‬‬

‫‪‬‬

‫اﻟوﺳﯾط‪:‬‬ ‫ﺑﺗرﺗﯾب اﻟﻘﯾم ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ً ‪6,8,10,12,14,14,18,20‬‬

‫وﺑﻣﺎ أن ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات زوﺟﻲ ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط ھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻘﯾﻣﺗﯾن اﻟوﺳطﺗﯾن‪،‬‬ ‫أي‪:‬‬ ‫‪12  14‬‬ ‫‪ 13.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪١٩‬‬

‫‪x ‬‬

‫اﻟﻣﻧوال ‪ :‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ ً ‪ ،‬أي أن اﻟﻣﻧوال ھو ‪. X  14‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ‪:‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪ log‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪Log G ‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪log8  log10  log6  log14  log14  log12  log18  log 20 8.6083‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪Log G  1.076‬‬

‫‪G  11.915.‬‬ ‫اﻟﻣدى = أﻛﺑر ﻗﯾﻣﺔ – أﺻﻐر ﻗﯾﻣﺔ ‪:‬‬

‫‪ 20  6  14.‬‬ ‫اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ‪. Q3  Q1 :‬‬ ‫ﺗرﺗﯾب اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ھو ‪:‬‬

‫‪n  2 8 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2.5.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أي أن اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ 2‬واﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ 3‬ﺑﻌد ﺗرﺗﯾب اﻟﻣﺷﺎھدات‬ ‫‪ ،‬أي أن ‪:‬‬ ‫‪8  10‬‬ ‫‪Q1 ‬‬ ‫‪ 9.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺗرﺗﯾب اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ھو‪:‬‬ ‫‪3n  2 (3  8)  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 6.5.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أي أن اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ 6‬و اﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ 7‬ﺑﻌد ﺗرﺗﯾب‬ ‫اﻟﻣﺷﺎھدات‪ ،‬أي أن ‪:‬‬ ‫‪14  18‬‬ ‫‪Q3 ‬‬ ‫‪ 16.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ ھو ‪:‬‬ ‫‪16  9  7.‬‬ ‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ‪:‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪x‬‬

‫‪i‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M.D ‬‬

‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ھو ‪:‬‬ ‫‪6  12.75  8  12.75  10  12.75  12  12.75  14  12.75  14  12.75  18  12.75  20  12.75‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪ 3.75‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪‬‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪8‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪٢٠‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬

‫واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو‪:‬‬ ‫‪  2  19.938  4.465.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛ ﺎن ﻋ دد أﺳ ﻣﺎك اﻟﺳ ﺎﻟﻣون اﻟﺗ ﻲ ﺗ م ﺻ ﯾدھﺎ ﺑواﺳ طﺔ ‪ 10‬ﺻ ﯾﺎدﯾن ﻓ ﻲ اﻟﯾ وم اﻷول ﻣ ن اﻟﻣوﺳ م‬ ‫ھﻲ‪ ، 3,5,6,7,7,7,7,8,9,10 :‬أوﺟد ‪ :‬اﻟوﺳﯾط ‪ -‬اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ‪ -‬اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ‪:‬ﺗرﺗب اﻟﻘﯾم ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ً ‪3,5,6,7,7,7,7,8,9,10‬‬ ‫وﺑﻣﺎ أن ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات زوﺟﻲ ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط ھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻘﯾﻣﺗﯾن اﻟوﺳطﺗﯾن ‪:‬‬ ‫‪77‬‬ ‫‪.7 ‬‬ ‫اﻟوﺳﯾط ‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ھو‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪13.4‬‬ ‫‪ 1.34‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪ xi  x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪M.D  i 1‬‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ھو ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪34.902‬‬ ‫‪ 3.878‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪  xi  x ‬‬ ‫‪n 1‬‬

‫‪s2  i 1‬‬

‫‪s  3.878  1.969‬‬ ‫ھﻧﺎك ﺻﯾﻐﺔ أﺧرى ﻟﺣﺳﺎب ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗﻔﯾد ﻋﻧد اﺳﺗﺧدام اﻵﻟﺔ اﻟﺣﺎﺳﺑﺔ وھﻲ ‪-:‬‬ ‫‪( x i ) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s ‬‬ ‫‪[ x i ‬‬ ‫‪].‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(69) 2‬‬ ‫‪ [511 ‬‬ ‫‪]  3.878.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬

‫)‪ (٤-٥-١‬ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف‬

‫‪Coefficient of Variation‬‬

‫ﺗﻌﺗﺑر ﻛل ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻣﻘﺎﯾﯾس ﻣطﻠﻘﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﺗﺄﺧذ ﺗﻣﯾﯾز اﻟوﺣدات اﻷﺻﻠﯾﺔ وﻟذﻟك‬ ‫ﻻ ﺗﺻﻠﺢ ﻟﻠﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن ﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن وﺣدات اﻟﻘﯾﺎس ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ‪ .‬ﻟذﻟك ﺳوف ﻧﻧﺎﻗش ﻣﻘﯾﺎس ﻧﺳﺑﻲ‬ ‫ﯾﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف واﻟذي ﯾﺣول اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري إﻟﻰ ﻣﻘﯾﺎس ﻧﺳﺑﻲ ﺑﺎﻋﺗﺑﺎر أﻧﮫ ﻧﺳﺑﺔ ﻣﺋوﯾﺔ‬ ‫ﻣن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ‪ .‬وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف‬ ‫ﻣن إﺣدى اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﺗﯾن ‪:‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪V   100‬‬ ‫‪x‬‬

‫أو‬

‫‪‬‬ ‫‪V   100‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻟﺗﺳﮭﯾل اﺳﺗﺧدام ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻧﻘدم اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻲ واﻟذي ﯾوﺿﺢ ﻛﻣﯾﺔ اﻹﻧﺗﺎج ﻓﻲ ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ‬ ‫ﺧﻼل ‪ 80‬ﺷﮭرا ﺛم ﻛﻣﯾﺔ اﻹﻧﺗﺎج ﺧﻼل ﻓﺗرة ﺛﺎﻧﯾﺔ ﻣﻘدارھﺎ ‪ 15‬ﺷﮭرا وﻗد ﺗم ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‬ ‫واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري وﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻟﻛل ﻣﺟﻣوﻋﺔ واﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪ .‬ﻧﻼﺣظ‬ ‫ﻣن اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ أن اﻹﻧﺗﺎج ﺧﻼل ‪ 15‬ﺷﮭرا ﻟﮫ وﺳط ﺣﺳﺎﺑﻲ أﻛﺑر وﻣﻌﺎﻣل اﺧﺗﻼف أﻗل واﻟذي ﯾﻌﺗﺑر‬ ‫‪٢١‬‬

‫ﻧﺗﺎﺋﺞ ﺟﯾدة ﻟﻣدﯾر اﻹﻧﺗﺎج واﻟذي ﯾﮭﺗم ﺑزﯾﺎدة اﻹ ﻧﺗﺎج واﻧﺧﻔﺎض ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ‪ .‬وﺑﺎﻟرﻏم ﻣن أن‬ ‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻗد زاد ﻣن ‪ 13.2‬إﻟﻰ ‪ 15‬إﻻ أﻧﮫ ﯾﻣﻛن اﻟﻘول ﺑﻧﺎء ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف أن‬ ‫اﻟﻔﺗرة اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ أﻗل ﺗﺷﺗﺗﺎ ﻣن اﻟﻔﺗرة اﻷوﻟﻰ ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪V   100‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪10.56‬‬ ‫‪9.375‬‬

‫‪x‬‬

‫اﻟﻔﺗرة‬

‫‪13.2‬‬

‫‪125‬‬

‫‪80‬‬

‫‪15‬‬

‫‪160‬‬

‫‪15‬‬

‫‪s‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓﻲ ﺟﺎﻣﻌﺔ ﻣﺎ ﯾﺗﻘﺎﺿﻰ اﻷﺳﺗﺎذ ﻓﻲ اﻟﻣﺗوﺳط ‪ $15,000‬دوﻻر ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري ‪ $5,000‬ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻓ ﻲ‬ ‫ﺟﺎﻣﻌ ﺔ أﺧ رى ﯾﺗﻘﺎﺿ ﻰ اﻷﺳ ﺗﺎذ أﺟ ر ﻗ دره ‪ $10,000‬ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري ‪ $3,000‬أوﺟ د ﻣﻌﺎﻣ ل‬ ‫اﻻﺧﺗﻼف ﻟﻛل ﺟﺎﻣﻌﺔ وأي اﻟﺟﺎﻣﻌﺗﯾن أﻛﺛر ﺗﺷﺗﺗﺎ ؟‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻹﯾﺟﺎد ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻟﻛل ﺟﺎﻣﻌﺔ ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف‬

‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري‬

‫اﻟﻣﺗوﺳط‬

‫‪5000‬‬

‫‪15000‬‬

‫اﻟﺟﺎﻣﻌﺔ اﻷوﻟﻰ‬

‫‪3000‬‬

‫‪10000‬‬

‫اﻟﺟﺎﻣﻌﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬

‫‪s1‬‬ ‫‪5000‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.333‬‬ ‫‪x 1 15000‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫‪V2  1 ‬‬ ‫‪ 0.3‬‬ ‫‪x 2 10000‬‬

‫‪V1 ‬‬

‫إذن اﻟﺟﺎﻣﻌﺔ اﻷوﻟﻰ أﻛﺛر ﺗﺷﺗﺗﺎ ً‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫>>>>>>>>>>‬

‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻷﻋﻣﺎر ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟذﻛور واﻹﻧﺎث ﻓﻲ ﻛﻠﯾﺔ ﻣﺎ ‪.‬‬ ‫‪23  24‬‬

‫‪21 22‬‬

‫‪19  20‬‬

‫‪17  18‬‬

‫‪15  16‬‬

‫اﻟﻌﻣر‬

‫‪190‬‬

‫‪160‬‬

‫‪130‬‬

‫‪125‬‬

‫‪100‬‬

‫اﻹﻧﺎث‬

‫‪200‬‬

‫‪146‬‬

‫‪150‬‬

‫‪131‬‬

‫‪110‬‬

‫اﻟذﻛور‬

‫)أ( أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻛل ﻣن اﻟذﻛور واﻹﻧﺎث ‪.‬‬ ‫)ب(أوﺟد ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻟﻛل ﻣن اﻟذﻛور واﻹﻧﺎث وأي اﻟﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن أﻛﺛر ﺗﺷﺗﺗﺎ ً‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻔﺌﺔ‬

‫ﺗﻜﺮار اﻟﺬﻛﻮر‬

‫ﺗﻜﺮار اﻹﻧﺎث‬

‫اﻟﺤﺪود اﻟﻔﻌﻠﻴﺔ‬

‫ﺣﺪود اﻟﻔﺌﺔ‬

‫‪15.5‬‬

‫‪110‬‬

‫‪100‬‬

‫‪14.5  16.5‬‬

‫‪15  16‬‬

‫‪٢٢‬‬

‫‪17.5‬‬

‫‪131‬‬

‫‪125‬‬

‫‪16.5  18.5‬‬

‫‪17  18‬‬

‫‪19.5‬‬

‫‪150‬‬

‫‪130‬‬

‫‪18.5  20.5‬‬

‫‪19  20‬‬

‫‪21.5‬‬

‫‪146‬‬

‫‪160‬‬

‫‪20.5  22.5‬‬

‫‪23.5‬‬

‫‪200‬‬

‫‪190‬‬

‫‪22.5  24.5‬‬

‫‪737‬‬

‫‪705‬‬

‫‪21 22‬‬ ‫‪23  24‬‬

‫اﻟذﻛور‬

‫اﻹﻧﺎث‬

‫‪x  14861.5/ 737  20.02‬‬

‫‪x  14272.5/ 705  20.10‬‬ ‫‪s1 ‬‬

‫‪s2 ‬‬

‫]‪1/ 704[295138.75  (14272.5)2 / 705‬‬

‫‪1/ 736(306272.25)  (14861.5) 2 / 737‬‬

‫‪ 2.799‬‬

‫‪ 2.822‬‬

‫‪V1  2.799 / 20.20  0.139‬‬

‫‪V2  2.822 / 20.02  0.1409‬‬ ‫ﻧﺳﺗﻧﺗﺞ أن اﻟذﻛور أﻛﺛر ﺗﺷﺗﺗﺎ ً ‪.‬‬

‫)‪ (٦-١‬اﻻﻟﺗواء واﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟوﺳﯾط واﻟﻣﻧوال‬ ‫‪Skewness and the Relation of the Mean , Median , and Mode‬‬ ‫ﻋرﻓﻧﺎ ﻣﻣﺎ ﺳﺑق أن اﻻﻟﺗواء ھو ﺑﻌد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻋن اﻟﺗﻣﺎﺛل‪ ٠‬ﻓﺈذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ‬ ‫ﻣﺗﻣﺎﺛﻼ ﻓﺳوف ﻧﺟد أن ‪ 50%‬ﻣن اﻟﻘﯾم ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻛل ﺟﺎﻧب ﻣن اﻟﻣﻧوال ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‬

‫)‪f(x‬‬

‫‪50%‬‬

‫‪50%‬‬

‫‪x‬‬ ‫اﻟﻤﻨﻮال=اﻟﻮﺳﻴﻂ=اﻟﻮﺳﻂ‬

‫اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ‬

‫أﯾﺿﺎ ﻧﻼﺣظ ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺳﺎﺑق أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﮫ ﻣﻧ وال واﺣ د ‪) unimodal‬وﺣﯾ د اﻟﻣﻧ وال( وأن‬ ‫اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ = اﻟوﺳ ﯾط= اﻟﻣﻧ وال‪ ٠‬ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﻧﺟ د أن ھﻧ ﺎك ﻋﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟوﺳ ط‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟوﺳﯾط واﻟﻣﻧوال ﺣﯾث اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ > اﻟوﺳ ﯾط > اﻟﻣﻧ وال وذﻟ ك ﻷن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﻠﺗوﯾ ﺎ‬ ‫ﺟﮭ ﺔ اﻟﯾﺳ ﺎر‪ ٠‬ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻻﺧﯾ ر ﻧﺟ د أن اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ < اﻟوﺳ ﯾط < اﻟﻣﻧ وال وذﻟ ك ﻷن‬ ‫‪٢٣‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻠﺗوﯾﺎ ﺟﮭﺔ اﻟﯾﻣﯾن‪ ٠‬وﻓﻲ ﻛﻠﺗﺎ اﻟﺣﺎﻟﺗﯾن ﻓﺈن اﻟوﺳ ﯾط ﯾﻘ ﻊ ﺑ ﯾن اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧ وال ﻛﻣ ﺎ‬ ‫أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﻘﻊ داﺋﻣﺎ ﻓﻲ اﺗﺟﺎه اﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة‪٠‬‬

‫اﳌﻨﻮال‬ ‫)‪f(x‬‬

‫اﻟﻮﺳﻴﻂ‬

‫اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰊ‬ ‫‪x‬‬

‫اﳌﻨﻮال‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰊ‬

‫اﻟﻮﺳﻴﻂ‬

‫‪x‬‬

‫)‪ (٧-١‬ﺑﻌض ﻣﻘﺎﯾﯾـس اﻻﻟﺗـواء واﻟﺗﻔﻠطـﺢ‬ ‫‪Some Measures of Skewness and Kurtosis‬‬ ‫أوﻻ ً ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻣﻘﺎﯾﯾس اﻻﻟﺗواء‪ ،‬ﺳوف ﻧﺗﻧﺎول ﻣﻘﯾﺎﺳﯾن ﻟﻼﻟﺗواء اﻷول وﯾﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون‬ ‫ﻟﻼﻟﺗواء ‪ Pearsonian coefficient for skewness‬ﺗﻌرف ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪-:‬‬

‫~ ‪3( x ‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪s‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ x‬اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ و ‪ ~x‬اﻟوﺳﯾط و ‪ s‬اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ‪ .‬ﯾﻧﺣﺻر ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﺎﻣل‬ ‫ﺑﯾرﺳون ﺑﯾن ‪  3‬إﻟﻰ ‪.  3‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪ Sk  0‬ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛل‪ .‬وإذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ ‪Sk‬‬ ‫‪Sk ‬‬

‫ﻣوﺟﺑﺔ ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ أﻛﺑر ﻣن اﻟوﺳﯾط وﻣن اﻟﻣﻧوال وﺑذﻟك ﯾﻛون اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﻣﻠﺗوﯾﺎ‬ ‫وﻟﮫ ذﯾل ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﯾﻣﯾن وﯾﻛون اﻻﻟﺗواء ﻣوﺟﺑﺎ‪ .‬وأﺧﯾرا وإذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ ‪ Sk‬ﺳﺎﻟﺑﺔ ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ أﺻﻐر ﻣن اﻟوﺳﯾط وﻣن اﻟﻣﻧوال‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫‪٢٤‬‬

‫ﺗﻣﺗﻠك ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ ‪ 10‬ﻗ وارب ﻟﻠﺻ ﯾد ‪ ،‬ﻗﺎﻣ ت اﻟﺷ رﻛﺔ ﺑﺗﺳ ﺟﯾل ﺗﻛ ﺎﻟﯾف ﺻ ﯾﺎﻧﺔ ﻛ ل ﻗ ﺎرب )ﺑﺎﻟ دوﻻر(‬ ‫وﻛﺎﻧت ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪ 500,505, 460, 470,530,506,994,880,600,460 :‬أوﺟد ‪:‬‬ ‫)ب( اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث‪.‬‬ ‫)د( ﻣﻘﯾﺎس ﺑﯾرﺳون ﻟﻼ ﻟﺗواء ‪.‬‬

‫)ا( اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟوﺳﯾط واﻟﻣﻧوال‪.‬‬ ‫)ج( اﻟﻣدى واﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‬

‫‪5905‬‬ ‫‪ 590.5.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ﺗرﺗب اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗرﺗﯾب ﺗﺻﺎﻋدي ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪460,460,470,500,505,506,530,600,880,994.‬‬ ‫~‬ ‫‪505  506‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 505.5.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﻣﻧوال‪ :‬ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ أي أن اﻟﻣﻧوال ھو ‪460 :‬‬ ‫)ب( ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ھو‪:‬‬ ‫‪n  2 12‬‬ ‫‪  3.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ھﻲ= ‪470‬‬ ‫ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ‪:‬‬ ‫‪3n  2 32‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 8.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ھﻲ = ‪600‬‬ ‫)ج( اﻟﻣدى ھو ‪:‬‬ ‫‪994  460  534.‬‬ ‫اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ ھو ‪:‬‬ ‫‪Q3  Q1  600  470  130.‬‬ ‫)د( ﻣﻘﯾﺎس ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪3(x  x‬‬ ‫‪Sk ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(5905‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪x2  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(3808497) ‬‬ ‫‪ 189.03.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‪3(590.5  505.5‬‬ ‫‪ 1.3489.‬‬ ‫‪189.031‬‬ ‫أي أن ھﻧﺎك ﻛﻣﯾﺔ ﻣن اﻻﻟﺗواء اﻟﻣوﺟب‪.‬‬

‫‪Sk ‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﯾﻌﺗﻣد اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻼﻟﺗواء ﻋﻠﻰ أﻧﮫ ﻓ ﻲ اﻟﺗوزﯾﻌ ﺎت اﻟﻣﻠﺗوﯾ ﺔ ﻓ ﺈن اﻟوﺳ ﯾط ﯾﻘ ﻊ ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ﻓ ﻲ‬ ‫‪3‬‬

‫اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال ﻓﻲ اﺗﺟﺎه اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ ﺷ ﻛل ) ‪ (١٧-٣‬وﺷ ﻛل )‬ ‫‪٢٥‬‬

‫‪ ( ١٨-٣‬وھذا ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺢ داﺋﻣﺎ‪ .‬وﻟذﻟك ﺳوف ﻧﺗﻧﺎول ﻣﻘﯾﺎس آﺧر ﻟﻼﻟﺗواء ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌزم اﻟﻣﻘ در‬ ‫ﻣن ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪:‬‬

‫اﻟﻌزم ‪ r‬ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻔﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ x1, x 2 ,..., x n‬ھو ‪-:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ (x i  x)r‬‬

‫‪m r  i 1‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻟﻼﻟﺗواء و اﻟذي ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌزم اﻟﺛﺎﻟث ﺣول اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ھو‪:‬‬ ‫‪m3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪s3‬‬

‫‪a1 ‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ ، a1  0‬ﻓﮭ ذا ﻻﯾ دل ﻋﻠ ﻰ أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛ ل‪ .‬وإذا ﻛ ﺎن ‪ a 1  0‬ﯾﻛ ون اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣوﺟ ب‬ ‫اﻹﻟﺗواء‪ ٠‬وإذا ﻛﺎن ‪ a1  0‬ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ ﺳﺎﻟب اﻻﻟﺗواء‪ .‬إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛل ﻓﺈن ‪. a1  0‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯾ ﺎ ﺑﺎﻟﻧﺳ ﺑﺔ ﻟﻣﻘ ﺎﯾﯾس اﻟ ﺗﻔﻠطﺢ ﺳ وف ﻧﺗﻧ ﺎول ﻣﻘﯾ ﺎس ﯾﻌﺗﻣ د ﻋﻠ ﻰ اﻟﻌ زم اﻟراﺑ ﻊ ﺣ ول اﻟﻣﺗوﺳ ط‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺗﮫ ھﻲ ‪-:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪a2  4 .‬‬ ‫‪s‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧ ت ‪ ، a 2  3‬ﻓ ذﻟك ﯾﻌﻧ ﻰ أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﺗوﺳ ط اﻟ ﺗﻔﻠطﺢ‪ .‬وإذا ﻛ ﺎن ‪ a 2  3‬ﻓ ذﻟك ﯾﻌﻧ ﻰ أن‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﮫ ﻗﻣﺔ ﻣدﺑﺑﺔ وإذا ﻛﺎن ‪ a 2  3‬ﻓﮭذا ﯾدل ﻋﻠﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻔﻠطﺣﺎ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن ‪ 10‬ﻣﺳ ﺎﻣﯾر ﻟﺗﻘ دﯾر ﻛﻣﯾ ﺔ اﻟﺿ ﻐط اﻟﺿ روري ﻟﻛﺳ ر اﻟﻣﺳ ﻣﺎر وﻛﺎﻧ ت‬ ‫اﻟﻧﺗ ﺎﺋﺞ ﻛﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ ‪ 18,22, 26,25,27, 26,19,17,22, 20 :‬أﺣﺳ ب ﻛ ﻼ ﻣ ن ‪:‬اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ –‬ ‫اﻟوﺳ ﯾط – اﻟﻣﻧ وال – اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﺗوﺳ ط – اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري‪ -‬ﻣﻘﯾ ﺎس اﻻﻟﺗ واء ‪ a1‬وﻣﻘﯾ ﺎس‬ ‫اﻟﺗﻔﻠطﺢ ‪. a 2‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ xi‬‬

‫‪18  22  26  25  27  26  19  17  22  20‬‬ ‫‪ 22.2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻹﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط‪:‬‬ ‫ﺑﺗرﺗﯾب اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ أي ‪ 17,18,19,20,22,22, 25,26,26,27‬ﻓﺈن وﺳﯾط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﻛون ‪:‬‬ ‫~‬ ‫‪22  22‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﻣﻧوال ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ أي أن‬ ‫اﻟﻣﻧوال ھو‪22,26 :‬‬ ‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪٢٦‬‬

‫‪x  i 1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪4.2  0.2  3.8  2.8  4.8  3.8  3.2  5.2  0.2  2.2‬‬ ‫‪ 3.04.‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪i‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪M..D ‬‬

‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪x i )2 ‬‬ ‫‪1 n 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪n  1  i 1‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s  3.64.‬‬ ‫ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪a1  3‬‬ ‫‪s‬‬ ‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪15.84‬‬ ‫‪ 1.58 ,‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪ x)3‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ (x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪m3 ‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪1.584‬‬ ‫‪a1 ‬‬ ‫‪ 0.0327.‬‬ ‫‪(3.645)3‬‬ ‫أي أن ھﻧﺎك اﻟﺗواء ﺳﺎﻟب ﺑﺳﯾط ﻷن ﻗﯾﻣﺗﮫ ﺳﺎﻟﺑﺔ ‪.‬‬ ‫ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪a2  4 ,‬‬ ‫‪s‬‬ ‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪ x) 4‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪ (x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪m4 ‬‬

‫‪2179.95‬‬ ‫‪ 217.9 ,‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪217.9‬‬ ‫‪a2 ‬‬ ‫‪ 1.234.‬‬ ‫‪176.510‬‬ ‫أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻔﻠطﺢ ﻷن ﻗﯾﻣﺗﮫ أﻗل ﻣن ‪. 3‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓﯾﻣ ﺎ ﯾﻠ ﻲ ﺗوزﯾ ﻊ ﻋ دد اﻟﻣﺷ ﺎرﯾﻊ اﻟﻣﻧﻔ ذة ﺷ ﮭرﯾﺎ ﺧ ﻼل ﻋ ﺎم ‪1995‬ﻓ ﻲ ﺷ رﻛﺔ ﺑﺗ رول‪:‬‬ ‫‪ 15,11,7,6,8,10,12,6,8,9,6,13‬اﺣﺳب ‪:‬‬ ‫)أ( اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ –اﻟوﺳﯾط – اﻟﻣﻧوال – اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري – اﻟﻣدى‪ -‬اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ ‪.‬‬ ‫)ب(ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻼﻟﺗواء ‪ a1‬وﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺗﻔﻠطﺢ‪ -‬ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﻟﺑﯾرﺳون‪.‬‬ ‫‪٢٧‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‬

‫‪111‬‬ ‫‪ 9.25.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ﻧرﺗب اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪6,6,6,7,8,8,9,10,11,12,13,15.‬‬ ‫ﻓﯾﻛون اﻟوﺳﯾط ‪:‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪ 8.5.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﻣﻧوال ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ أي أن اﻟﻣﻧوال = ‪6‬‬

‫ﻹﯾﺟﺎد اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻧوﺟد أوﻻ اﻟﺗﺑﺎﯾن‬ ‫‪(x  x) 98.25‬‬ ‫‪s2   i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 8.9318.‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫إذن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو‬ ‫‪7.178  2.9886.‬‬ ‫ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ھو ‪:‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪ 3.5.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪Q1 ‬‬ ‫‪ 6.5.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ھو‬ ‫‪3n  2‬‬ ‫‪ 9.5.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪11  12‬‬ ‫‪Q3 ‬‬ ‫‪ 11.5.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ ھو‪Q3  Q1  5 :‬‬ ‫ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﻟﺑﯾرﺳون‬ ‫)ب(‬ ‫)‪3(9.25  8.5‬‬ ‫‪ 0.7530 .‬‬ ‫‪2.988‬‬ ‫ﯾﺣﺳب ﻛل ﻣن ‪ a 2 ,a 1‬ﻛﺗﻣرﯾن‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٤٩-٣‬‬

‫‪٢٨‬‬

‫ﺗ م ﺳ ؤال ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن ‪ 10‬ﻋﻣ ﺎل ﻋ ن اﻟﻣﺳ ﺎﻓﺔ )ﺑﺎﻷﻣﯾ ﺎل ( اﻟﺗ ﻲ ﯾﻘطﻌوﻧﮭ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟ ذھﺎب إﻟ ﻰ‬ ‫اﻟﻣزرﻋ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﻌﻣﻠ ون ﺑﮭ ﺎ وﻛﺎﻧ ت ﻛﻣ ﺎ ﯾﻠ ﻲ‪ . 25,6,1, 2,4,8,5,6,5,4 :‬أوﺟ د ‪ :‬اﻟوﺳ ﯾط واﻟرﺑﯾ ﻊ‬ ‫اﻷول واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث واﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ – ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻼﻟﺗواء وآﺧر ﻟﻠﺗﻔﻠطﺢ ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻹﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط ﻧرﺗب اﻟﻔﺋﺎت ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ‪1,2,4,4,5,5,6,6,8,25‬‬ ‫‪55‬‬ ‫ﻗﯾﻣﺔ اﻟوﺳﯾط ھﻰ‪ 5 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n  2 12‬‬ ‫إذن اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ‪Q 1  4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ‪ 3 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3n  2 32‬‬ ‫‪ .‬إذن اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ‪Q 3  6‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ‪ 8 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ‪Q 3  Q 1  6  4  2 :‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ھو ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪s3‬‬

‫‪a1 ‬‬

‫‪(x i  x) 4‬‬

‫‪(x i  x) 3‬‬

‫‪(x i  x) 2‬‬

‫)‪(x i  x‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪114622 .8736‬‬ ‫‪.1296‬‬ ‫‪983.4496‬‬ ‫‪447.7456‬‬ ‫‪45.6976‬‬ ‫‪3.8416‬‬ ‫‪6.5536‬‬ ‫‪.1296‬‬ ‫‪6.5536‬‬ ‫‪45.6976‬‬ ‫‪116162 .672‬‬

‫‪6229.504‬‬ ‫‪ .216‬‬ ‫‪ 175.616‬‬ ‫‪ 97.336‬‬ ‫‪ 17.576‬‬ ‫‪2.744‬‬ ‫‪ 4.096‬‬ ‫‪ .216‬‬ ‫‪ 4.096‬‬ ‫‪ 17.576‬‬

‫‪338.56‬‬ ‫‪.36‬‬ ‫‪31.36‬‬ ‫‪21.16‬‬ ‫‪6.76‬‬ ‫‪1.96‬‬ ‫‪2.56‬‬ ‫‪.36‬‬ ‫‪2.56‬‬ ‫‪6.76‬‬

‫‪18.4‬‬ ‫‪ .6‬‬ ‫‪ 5.6‬‬ ‫‪ 4. 6‬‬ ‫‪ 2. 6‬‬ ‫‪1. 4‬‬ ‫‪ 1. 6‬‬ ‫‪ .6‬‬ ‫‪ 1. 6‬‬ ‫‪ 2. 6‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫‪5915.52‬‬

‫ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو‪:‬‬

‫‪  45.8222‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪848  435.6‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫)‪( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x 2i   i‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪s  6.7692.‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪m3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪s3‬‬

‫‪a1 ‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪s4‬‬

‫‪a2 ‬‬

‫‪٢٩‬‬

‫‪s2 ‬‬