ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ وﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗت ) (١-١اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت واﻟﻌﯾﻧﺎت
Populations and Samples
ﺗﺳﺟل ﻧﺗﯾﺟﺔ ﻛل ﺗﺟرﺑﺔ إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ،إﻣﺎ ﺑﻘﯾﻣﺔ رﻗﻣﯾﺔ أو ﺗﻣﺛﯾل وﺻﻔﻰ .ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻧ د إﻟﻘﺎء زھرة ﻧ رد ﻣ ره واﺣ دة وإذا ﻛ ﺎن اﻻھﺗﻣ ﺎم ﺑﻌ دد اﻟﻧﻘ ﺎط اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻋﻠ ﻰ اﻟﺳ طﺢ اﻟﻌﻠ وي ﻟﻠﻧ رد ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺳﺟل ﻗﯾﻣﺔ رﻗﻣﯾﺔ .ﺑﯾﻧﻣﺎ ﻋﻧد ﺳؤال ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟﻌ ﺎﻣﻠﯾن ﻓ ﻲ ھﯾﺋ ﺔ ﻣ ﺎ ﻋ ن اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾ ﺔ ﻟﻛ ل ﻣ ﻧﮭم ،ﻓ ﺈن اﻟﺗﻣﺛﯾ ل اﻟوﺻ ﻔﻲ ﯾﻛ ون أﻛﺛ ر ﻓﺎﺋ دة .ﻋ ﺎدة ﯾﮭ ﺗم اﻹﺣﺻ ﺎﺋﻲ ﺑ ﺎﻟﻘﯾم اﻟرﻗﻣﯾ ﺔ ﻟ ذﻟك ﻓ ﺈن اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟوﺻﻔﻲ ﯾﻣﻛن ﺗﺣوﯾﻠﮫ إﻟﻰ ﻗﯾم ﻋددﯾﺔ .اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ ﺟل ﻣ ن ﻧﺗﯾﺟ ﺔ ﺗﺟرﺑ ﺔ إﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ ﺗﺳ ﻣﻰ ﺑﯾ ﺎن أو ﻣﺷ ﺎھدة )ﻣﻘﯾ ﺎس( .ﻋﻧ دﻣﺎ ﯾﻘ وم ﺑﺎﺣ ث ﺑﺗﺻ ﻧﯾف اﻟﻌ ﺎﻣﻠﯾن ﻓ ﻲ ﺷ رﻛﺔ ﻣ ﺎ ﺣﺳ ب اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾﺔ ،ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻛون ﻟدﯾﮫ ﻋدد ﻣﺣدود ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات .ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء زھ رة ﻧ رد ﻋ دد ﻻﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟﻣرات وﺗﺳﺟﯾل ﻋدد اﻟﻧﻘط اﻟﺗﻲ ﺗظﮭر ﻓﻲ ﻛل ﻣ رة ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺣﺻ ل ﻋﻠ ﻰ ﻓﺋ ﺔ ﻻﻧﮭﺎﺋﯾ ﺔ ﻣ ن اﻟﻘ ﯾم .ﻛ ل اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺗﺣ ت اﻟدراﺳ ﺔ ،ﺳ واء ﻛﺎﻧ ت ﻣﺣ دودة أو ﻏﯾ ر ﻣﺣ دودة ،ﺗﺳ ﻣﻰ ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ٠populationﻓ ﻲ اﻟﺳ ﻧوات اﻟﻣﺎﺿ ﯾﺔ ﻛﺎﻧ ت ﻛﻠﻣ ﺔ ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺗﺷ ﯾر إﻟ ﻰ ﻣﺷ ﺎھدات ﻣ ن دراﺳ ﺎت إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﺗﺷﻣل أﺷﺧﺎص .أﻣﺎ اﻵن ﻓﺈن اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ ﯾﺳﺗﺧدم ھذه اﻟﻛﻠﻣﺔ ﻟﺗﺷﯾر إﻟﻰ ﻣﺷ ﺎھدات ﻋ ن أي ﺷﻲء ﻣوﺿﻊ اھﺗﻣﺎﻣﮫ ﺳواء ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻷﺷﺧﺎص ،ﺣﯾواﻧﺎت ،ﻧﺑﺎﺗﺎت… .اﻟﺦ. ﺗﻌرﯾف :ﯾﺗﻛون اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣن ﻛل اﻷﺷﯾﺎء اﻟﺗﻲ ﻧﮭﺗم ﺑﮭﺎ . ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺳﻣﻰ ﺣﺟم اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ وﻋﺎدة ﯾرﻣ ز ﻟﺣﺟ م اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺑ ﺎﻟرﻣز ،N وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻧﻘول أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺣدود .ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ د ﺗﺻ ﻧﯾف 500ﺷﺧﺻ ﺎ ﻓ ﻲ ﺷ رﻛﺔ ﻣﺎ ﺣﺳ ب اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾ ﺔ ،ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘ ول أن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣﺣ دود وﺣﺟﻣ ﮫ ٠N=500اﻷط وال واﻷوزان واﻟ دﺧل اﻟﺳ ﻧوي ﻟﻣﺟﻣوﻋ ﺔ ﻣ ن اﻷﺷ ﺧﺎص أﻣﺛﻠ ﺔ ﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﺎت ﻣﺣ دودة .ﻓ ﻲ ﻛ ل ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻌ دد اﻟﻛﻠ ﻰ ﻟﻠﻣﺷﺎھدات رﻗم ﻣﺣدود .ﻓﻲ ﺑﻌ ض اﻷﺣﯾ ﺎن ﯾﻛ ون ﺣﺟ م اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻏﯾ ر ﻣﺣ دود ،ﻣﺛ ل ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻛ رات اﻟ دم اﻟﺑﯾﺿ ﺎء اﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ رى ﻓ ﻲ دم إﻧﺳ ﺎن .أﯾﺿ ﺎ اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﺗ ﻲ ﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﻣ ن ﻗﯾ ﺎس اﻟﺿ ﻐط اﻟﺟوى ﻛل ﯾوم ﻣن اﻟﻣﺎﺿﻲ إﻟﻰ اﻟﻣﺳﺗﻘﺑل ﺗﻣﺛل ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻏﯾر ﻣﺣدود. ﻛل ﻣﺷ ﺎھدة ﻓ ﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺗﻣﺛ ل ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣ ن ﻗ ﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ . Xﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ د إﻟﻘﺎء زھرة ﻧرد ﻋدد ﻻﻧﮭ ﺎﺋﻲ ﻣ ن اﻟﻣ رات وإذا ﻛ ﺎن Xﯾﻣﺛ ل ﻋ دد اﻟ ﻧﻘط اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻋﻠ ﻰ اﻟﻧ رد ﻛ ل ﻣرة ،أي أن ، x=1,2,3,4,5,6ﻓﺈن ﻛل ﻣﺷﺎھدة ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐــﯾر اﻟﻌﺷواﺋـﻲ X . ﺗﻌرﯾف :اﻟﻘﯾم اﻟﻌددﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗوﺻف اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻟم. ﯾﮭ ﺗم اﻟﺑﺎﺣ ث ﺑﺎﻟوﺻ ول إﻟ ﻰ اﺳ ﺗﻧﺗﺎﺟﺎت ﺗﺧ ص ﻣﻌ ﺎﻟم اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ،وﻟﻛ ن ﻋ ﺎدة ﯾﻛ ون ﻣ ن اﻟﻣﺳﺗﺣﯾل أو ﻏﯾر ﻋﻣﻠﻲ ﻣﻼﺣظﺔ ﻛل ﻗﯾم اﻟﻔﺋﺔ اﻟﻣﻣﺛﻠﺔ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ .وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻻﺑ د ﻣ ن اﻻﻋﺗﻣ ﺎد ﻋﻠ ﻰ ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣ ن ﻗ ﯾم اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻟﺗﺳ ﺎﻋدﻧﺎ ﻓ ﻲ اﻟوﺻ ول إﻟ ﻰ اﺳ ﺗدﻻﻻت ﻋ ن اﻟﻣﻌ ﺎﻟم ،وھ ذا ﯾﺄﺧ ذﻧﺎ إﻟ ﻰ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ . theory of sampling ﺗﻌرﯾف :اﻟﻌﯾﻧﺔ sampleھﻲ ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ. ﺣﺗﻰ ﯾﻛون اﻻﺳﺗدﻻل ﺻﺣﯾﺢ ﻻﺑد ﻣن ﻓﮭم اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ واﻟﻌﯾﻧ ﺔ .ﻣ ن اﻟﻣؤﻛ د أن اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﺳ وف ﺗﻣﺛ ل اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻟ ذﻟك ﻻﺑ د أن ﺗﻛ ون ﻏﯾ ر ﻣﺗﺣﯾ زة unbiasedأي ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ random . sample
ﺗﻌرﯾف :اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م nھ ﻲ ﻋﯾﻧ ﺔ ﺗﺧﺗ ﺎر ﺑﺣﯾ ث أن ﻛ ل ﻓﺋ ﺔ ﺟزﺋﯾ ﺔ ﺣﺟﻣﮭ ﺎ nﻣ ن ﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻓﻲ اﻻﺧﺗﯾﺎر. اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻣن اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﺗﺳ ﻣﻰ اﻹﺣﺻ ﺎء . statisticوﺑﻣ ﺎ أن ﻋﯾﻧ ﺎت ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻛﺛﯾ رة ﯾﻣﻛ ن اﺧﺗﯾﺎرھﺎ ﻣن ﻧﻔس اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺗوﻗﻊ أن ﯾﺧﺗﻠف اﻹﺣﺻﺎء ﻣن ﻋﯾﻧﺔ إﻟﻰ أﺧرى ،وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﯾﻌﺗﺑ ر اﻹﺣﺻﺎء ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ. ١
ﺗﻌرﯾف :اﻹﺣﺻﺎء ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﻌﺗﻣد ﻓﻘط ﻋﻠﻰ ﻗﯾم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة.
) (٢-١اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري
Frequency Distribution
ﻏﺎﻟﺑﺎ ﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻏﯾر ﻣﻌروف .ﺗﻌﺗﺑ ر اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻹﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﺟﻣﻌﮭﺎ اﻟﺑﺎﺣث ﺑﻛﻣﯾﺎت ﻛﺑﯾ رة ﻣﻔﯾ دة ﺟ دا ﻓ ﻲ دراﺳ ﺔ ﺳ ﻠوك اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ إذا ﺗ م ﻋرﺿ ﮭﺎ ﺑﺷﻛل ﻣﻧﺎﺳب .اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻛﺛﯾرة ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮭﺎ ﺑﺗﺟﻣﯾ ﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻓ ﻲ ﻓﺋ ﺎت classesوﺣﺳ ﺎب ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ ﻛل ﻓﺋﺔ .ﻣﺛل ھذا اﻟﺗﻧظﯾم ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري .ﻋﻧ دﻣﺎ ﻧﻘ وم ﺑﺗﺟﻣﯾ ﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻓﻲ ﻓﺋﺎت ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ أﺣﺳن ﺻورة ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣوﺿﻊ اﻟدراﺳﺔ وﻟﻛﻧﻧﺎ ﻓﻲ اﻟﻣﻘﺎﺑل ﻧﻔﻘد اﻟﻛﺛﯾر ﻣ ن اﻟﺗﻔﺻﯾﻼت ﻋ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ .ﻋ دد اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ ﻓﺋ ﺔ ﺧﺎﺻ ﺔ ﯾﺳ ﻣﻰ ﺗﻛ رار اﻟﻔﺋ ﺔ class frequencyوﯾرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز . fاﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻷط وال 22ﻧﺑ ﺎت ﻣ ن ﻧ وع ﻣﺎ )اﻟﻣﺷﺎھدات ﻣﻌطﺎة ﻷﻗرب ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ( .ﻓﻲ ھ ذا اﻟﻣﺛ ﺎل ﻟ دﯾﻧﺎ 6ﻓﺋ ﺎت وھ م 35-39 , 40-44 , : . 45 -49 , 50-54 , 55-59 , 60-64ﯾﺷﺎر إﻟﻰ أﺻﻐر وأﻛﺑ ر اﻟﻘ ﯾم اﻟﺗ ﻲ ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻓﺋ ﺔ ﻣﻌط ﺎة ﺑﺣ دود ھذه اﻟﻔﺋﺔ . class limitsﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻟﻠﻔﺋ ﺔ 55 – 59أﺻ ﻐر رﻗ م ھ و 55وﯾﻣﺛ ل اﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ lower class limitوأﻛﺑ ر رﻗ م ھ و 59وﯾﻣﺛ ل اﻟﺣ د اﻷﻋﻠ ﻰ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ ٠upper class limitوﺣﯾ ث أن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻷﺻﻠﯾﺔ ﻣﺳﺟﻠﺔ ﻷﻗرب رﻗم ﺻﺣﯾﺢ ،ﻓ ﺈن 4ﻣﺷ ﺎھدات ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ اﻟﻔﺋ ﺔ 55-59ﯾﻣﺛﻠ ون ﻛ ل اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﻗ ﯾﻣﮭم أﻛﺑ ر ﻣ ن أو ﯾﺳ ﺎوى 54.5وأﺻ ﻐر ﻣ ن . 59.5اﻷرﻗ ﺎم 54.5و 59.5ﺗﺳ ﻣﻰ اﻟﺣ دود اﻟﻔﻌﻠﯾ ﺔ class boundariesﻟﻠﻔﺋ ﺔ . 55-59اﻟ رﻗم 54.5ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ lower class boundaryواﻟ رﻗم 59.5ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﺣ د اﻷﻋﻠ ﻰ اﻟﻔﻌﻠ ﻲ٠upper class boundary أﯾﺿﺎ اﻟرﻗم 59.5ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ أي اﻟﻔﺋﺔ . 60-64وﯾﻼﺣظ أﻧﮫ ﺑﺎﻟرﻏم ﻣ ن أن اﻟﻔﺋﺎت ﻟﮭﺎ ﺣدود ﻓﻌﻠﯾﺔ ﻣﺷﺗرﻛﺔ إﻻ أﻧﮫ ﻣن ﻏﯾر اﻟﻣﻣﻛن أن ﺗﻘﻊ ﻣﺷﺎھدة واﺣدة ﻋﻠﻰ أﺣ د ھ ذه اﻟﺣ دود وذﻟك ﻷن اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﻟﻠﻔﺋ ﺎت ﺗﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ﺧﺎﻧ ﺎت ﻋﺷ رﯾﺔ أﻛﺑ ر ﻣ ن ﺗﻠ ك اﻟﻣوﺟ ودة ﻓ ﻲ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻧﻔﺳﮭﺎ. 60-64 8
55-59 4
50-54 4
45-49 3
40-44 2
35-39 1
ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻛرار
ﯾﻌ رف اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن اﻟﺣ د اﻷﻋﻠ ﻰ اﻟﻔﻌﻠ ﻲ واﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ اﻟﻔﻌﻠ ﻲ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ ﺑط ول اﻟﻔﺋ ﺔ class width
وﯾﺳﺎوى أﯾﺿﺎ اﻟﻔرق ﺑﯾن اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ واﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ زاﺋدا وﺣ دة دﻗ ﺔ ،أي وﺣ دة ﻣ ن اﻟوﺣ دات اﻟﺗﻲ ﻗرﺑت إﻟﯾﮭﺎ اﻷﻋداد ﻓﻲ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت )ﻓﻲ ھذا اﻟﻣﺛﺎل وﺣدة اﻟدﻗ ﺔ ھ ﻲ اﻟواﺣ د اﻟﺻ ﺣﯾﺢ ﻷﻧﻧ ﺎ ﻗرﺑﻧ ﺎ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻷﻗرب رﻗم ﺻﺣﯾﺢ( .ﻣن اﻟﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ ﯾﻔﺿ ل اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﻓﺋ ﺎت ذات أط وال ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ﻣﺎ أﻣﻛن .ﺳوف ﻧرﻣز ﻟطول اﻟﻔﺋﺔ ﺑ ﺎﻟرﻣز .أط وال اﻟﻔﺋ ﺎت ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺳ ﺎﺑق ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ وﺗﺳ ﺎوى . 5 ﻣﻧﺗﺻ ف اﻟﻔﺋ ﺔ midpointﺗﺳ ﻣﻰ ﻣرﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺔ class midpointأو class markوﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﺑﺟﻣﻊ اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ واﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻔﺋﺔ وﻗﺳﻣﺔ اﻟﻣﺟﻣوع ﻋﻠ ﻰ 2وذﻟ ك ﺗﺣ ت ﻓ رض أن ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻣﺷﺎھدات داﺧل اﻟﻔﺋﺔ ﺗﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺎ ﺗﺗطﺎﺑق ﻣﻊ ﻣرﻛز اﻟﻔﺋ ﺔ .ﻣﺛ ﺎل ذﻟ ك اﻓﺗ راض أن 8ﺗﻛ رارات ﻓﻲ اﻟﻔﺋﺔ 60-64ﺗﺄﺧذ اﻟﻘﯾﻣﺔ 62واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻣرﻛز ھذه اﻟﻔﺋﺔ .أﯾﺿ ﺎ ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﻣرﻛ ز اﻟﻔﺋﺔ ﺑﺟﻣﻊ اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ واﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ وﻗﺳﻣﺔ اﻟﻣﺟﻣ وع ﻋﻠ ﻰ . 2ﻣ ن اﻟﺟ دول اﻟﺳ ﺎﺑق ﻣراﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺎت ھ م ٠ 37 , 42 , 47 , 52 , 57 , 62 :ﯾﻣﺛ ل اﻟﺟ دول اﻟﺳ ﺎﺑق ﺗوزﯾ ﻊ ﺗﻛ راري ﻣ ن اﻟﻧ وع اﻟ ذي ﻧﺷ ﺎھده ﻓ ﻲ اﻟﺗﻘ ﺎرﯾر اﻟﻣﻧﺷ ورة ﻓ ﻲ اﻟﺻ ﺣف .ﻟﻸﻏ راض اﻹﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ ﯾﻛ ون ﻣ ن اﻷﻓﺿ ل اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻌﺎت ذات ﺗﻔﺻﯾﻼت أﻛﺛر ،ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿ ﺢ ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﻟ ﻧﻔس اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﻣﻌط ﺎة ﻓ ﻲ اﻟﺟدوﻻﻟﺳﺎﺑق . ٢
اﻟﺗﻛرار
ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ
اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ اﻟﻔﺋﺔ
ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ
1 2 3 4 4 8
37 42 47 52 57 62
34.5-39.5 39.5-44.5 44.5-49.5 49.5-54.5 54.5-59.5 59.5-64.5
35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64
) ( ٣-١ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ
Measures of Central Tendency
ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻲ وﺣده ﻻ ﯾﻣد اﻟﺑﺎﺣث ﺑﻛل اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻲ ﯾﺣﺗﺎج إﻟﯾﮭﺎ ﻣن ﻓﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗﺣت اﻟدراﺳﺔ ،ﻓﺎﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻﺑد أن ﺗوﺻف وﺗﺣﻠل .واﺣد ﻣن اﻟطرق ﻟوﺻف ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ،ﺳواء ﻋﯾﻧﺔ أو ﻣﺟﺗﻣﻊ ،ھو اﺳﺗﺧدام اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ) averagesﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ( .ﻓﺎﻟﻣﺗوﺳط ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺗرﻛز ﺣوﻟﮭﺎ ﻣﻌظم اﻟﻣﺷﺎھدات .ﻓﻲ ھذا اﻟﺑﻧد ﺳوف ﻧﺳﺗﻌرض أرﺑﻌﺔ ﻣﻘﺎﯾﯾس ﻟﻠﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ.
) (١-٣-١اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ
Arithmetic Mean
ﯾﻌﺗﺑر اﻟو ﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻣن أﻓﺿل ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ﻟﺗﻣﺛﯾل ﻣرﻛز ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات. ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ، x1 , x 2 ,..., x Nﻟﯾس ﻣن اﻟﺿروري أن ﺗﻛون ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ،ﺗﻣﺛل ﻣﺷﺎھدات ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺣدود ﻣن اﻟﺣﺟم ، Nﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : N i
.
x i 1
N
ﻣﺛﺎل أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺷﺎھداﺗﮫ ھﻲ 8,10,13,9,7,11,10,12,10,9,11 . :
اﻟﺣــل: N
8 10 13 9 7 11 10 12 10 9 11 11
i
x i 1
N 110 10. 11 ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ، x1 , x 2 ,..., x nﻟﯾس ﻣن اﻟﺿروري أن ﺗﻛون ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ،ﺗﻣﺛل ﻣﺷﺎھدات ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ، nﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﮫ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
٣
n i
x i 1
.
x
n
ﻣﺛﺎل أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣﺷﺎھداﺗﮭﺎ ھﻲ 6,7,7,8. :
اﻟﺣــل : n i
6 7 7 8 4
x i 1
n
x
28 7. 4
ﻋﻧد وﺿﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻔﻘد اﻟﮭوﯾﺔ ﻷي ﻣﺷﺎھدة ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ . اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﺑﻘﻰ ھﻲ ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﻲ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻛل ﻓﺋﺔ .ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻧﻔﺗرض أن ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات داﺧل ﻓﺋﺔ ﻣﻌطﺎة ﺗﻘﻊ ﻋﻧد ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ . ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎﻧت x1 , x 2 ,..., x kھﻲ ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت ﻟﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻣﻊ ﺗﻛراراﺗﮭﺎ اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ) f1 , f 2 ,..., f kﺣﯾث kﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت ( ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : k i
f x i
i 1 k
. i
x
f i 1
ﻣﺛﺎل ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟزﺟﺎﺟﺎت ﺳﻌﺔ ﻛل ﻣﻧﮭﺎ ﻟﺗرا واﺣدا ﺗم ﻗﯾﺎس ﻣﺎ ﺗﺣﺗوﯾﮫ ﻣن ﺳﺎﺋل ﺑﺎﻟﻣﻠﻠﯾﺗر وﺗم وﺿﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ: ﺣدود 900 909 910 919 920 929 930 939 940 949 اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻛرار 5 8 8 15 24 أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻣﺎ ﺗﺣﺗوﯾﮫ اﻟزﺟﺎﺟﺎت ﻣن ﺳﺎﺋل .
اﻟﺣــل : X ﺣﯾث x iھﻲ ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت ،اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ .
x ifi اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ fi fi x i
ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ x i
اﻟﺗﻛرار f i
ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ
4522.5 7316 7396 22428 14167.5
904.5 914.5 924.5 934.5 944.5
5 8 8 24 15
900 909 910 919 920 929 930 939 940 949
٤
55830
x f
60
i i
i
f
اﻟﻣﺟﻣوع
إذا اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ھو : . x
x i f i 55830 930.5 f 60 i ﻣﻣﯾزات اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ وﻋﯾوﺑﮫ : ﻣن ﻣﻣﯾزات ا ﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ أﻧﮫ ﻣﺄﻟوف وﺳﮭل اﻟﻔﮭم ﻛﻣﺎ أﻧﮫ ﻣﻌرف ﻷي ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﻗﯾﻣﺗﮫ وﺣﯾدة .أﯾﺿﺎ ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻲ ﻓﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗدﺧل ﻓﻲ ﺣﺳﺎﺑﮫ .أﻣﺎ ﻋﯾوﺑﮫ ﻓﮭﻲ ﺗﺄﺛره ﺑﺎﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة وﻟذﻟك ﻻ ﯾﻧﺻﺢ ﺑﺎﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻲ ﻣﻧﺣﻧﺎھﺎ ﺷدﯾد اﻻﻟﺗواء .أﯾﺿﺎ ﻻ ﯾﻣﻛن ﺗﻘدﯾره ﻣن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻓﺋﺎت ﻣﻔﺗوﺣﺔ .وأﺧﯾرا ﻻ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﮫ ﺑﺎﻟرﺳم . ﻋﻧد ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﻔﺗرض أن ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻷھﻣﯾﺔ ،ﻣﺛل ھذا اﻟﻔرض ﻗد ﯾﻛون ﺧﺎطﺊ .ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ،إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻘﯾم ﻟﯾس ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻷھﻣﯾﺔ ﯾﻛون ﻣن اﻷﻓﺿل ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ .ﻓﺈذا ﻛﺎﻧت x1 , x 2 ,..., x nﺗﻣﺛل ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر ، Xوﻛﺎﻧت w 1 , w1 ,..., w n اﻷوزان اﻟﻣﻧﺎظرة ﻟﮭﺎ ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ ﯾﻛون : n i
w x i
i 1 n
. i
xw
w i 1
ﯾﻌﺎب ﻋﻠﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ ھو ﻋدم وﺟود ﻗﺎﻋدة ﻟﺗﺣدﯾد اﻷوزان وﺗﺧﺿﻊ ﻟﻠﺗﻘدﯾر اﻟﺷﺧﺻﻲ .ﯾﻌﺗﺑر اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ إذا ﻛﺎﻧت اﻷوزان ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ .
ﻣﺛﺎل ﯾﺷ ﺗري ﺷ ﺧص 4ﻗﻣﺻ ﺎن ﻣ ن اﻟﺷ رﻛﺔ Aﺑﺳ ﻌر اﻟواﺣ د 22$و 4ﻗﻣﺻ ﺎن ﻣ ن اﻟﺷ رﻛﺔ B ﺑﺳﻌر اﻟواﺣد 25$و 7ﻗﻣﺻﺎن ﻣن اﻟﺷرﻛﺔ Cﺑﺳﻌر اﻟواﺣد . 30$أوﺟد ﻣﺗوﺳط ﺳﻌر اﻟﻘﻣﯾص.
اﻟﺣــل : ﻹﯾﺟﺎد ﻣﺗوﺳط ﺳﻌر اﻟﻘﻣﯾص ﻧوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ اﻟذي ﯾﺳﺎوي: n i
w x i
i 1 n
i
xw
w i 1
x1 22, x 2 25, x 3 30 w 1 4, w 2 4, w 3 7 اﻵن ﻧﻌوض ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻧون اﻟذي ﯾﻌطﻲ ﻗﯾﻣﺔ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ 22 4 25 4 30 7 398 26.53. xw 447 15
) ( ٢-٣-١اﻟوﺳﯾط Median ٥
ﯾﻌﺗﺑر اﻟوﺳﯾط ھو اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻷﻓﺿل ﺑﻌد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ .ﺳوف ﻧرﻣز ﻟوﺳﯾط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺑﺎﻟرﻣز ~ ووﺳﯾط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺑﺎﻟرﻣز . ~xاﻟوﺳﯾط ﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ﻣرﺗﺑﺔ ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ) أو ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ ( ھو اﻟﻌدد اﻷوﺳط ﻣﻧﮭﺎ إذا ﻛﺎن ﻋددھﺎ ﻓردﯾﺎ وھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻌددﯾن اﻷوﺳطﯾﯾن إذا ﻛﺎن ﻋددھﺎ زوﺟﯾﺎ. ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎﻧت x1 , x 2 ,..., x nﺗﻣﺛل ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﻣرﺗﺑﺔ ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ) أو ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ ( ﻓﺈن 1 اﻟوﺳﯾط ﻟﮭذه اﻟﻔﺋﺔ ھو اﻟﻌدد x n 1إذا ﻛﺎن nﻓردﯾﺎ وھو اﻟﻌدد ] [x n x n 2إذا ( ) ( ) )2 (2 2 2 ﻛﺎﻧت nزوﺟﯾﺎ.
ﻣﺛﺎل أوﺟد اﻟوﺳﯾط ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذي ﻣﺷﺎھداﺗﮫ . 10,9,8,6,7
اﻟﺣــل: ﺑﺗرﺗﯾب اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ أي ، 6,7,8,9,10ھﻧﺎ ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات nﻓردﯾﺎ وﻟذﻟك ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟوﺳطﯾﺔ أي أن وﺳﯾط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ھو . 8
ﻣﺛﺎل أوﺟد اﻟوﺳﯾط ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ ﻣﺷﺎھداﺗﮭﺎ ھﻲ .10,9,6,1,2,7
اﻟﺣــل: ﺑﺗرﺗﯾب اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ أي ، 1,2,6,7,9,10ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات nزوﺟﻲ وﻟذﻟك اﻟوﺳﯾط ھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻘﯾﻣﺗﯾن اﻟوﺳطﯾﺗﯾن أي أن وﺳﯾط اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو : 6 7 13 . x 6.50 2 2 ﻣﻣﯾزات اﻟوﺳﯾط وﻋﯾوﺑﮫ : ﻣن ﻣﻣﯾزات اﻟوﺳﯾط أﻧﮫ ﺳﮭل اﻟﻔﮭم وﻻ ﯾﺗﺄﺛر ﺑﺎﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة.ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻓﻲ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻓﺋﺎت ﻣﻔﺗوﺣﺔ .وﻣن ﻋﯾوب اﻟوﺳﯾط أن ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات ﻻ ﺗدﺧل ﻓﻲ ﺣﺳﺎﺑﮫ .ﻛﻣﺎ أﻧﮫ ﻣﺛل اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ،ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ،ﯾﻛون ﻗﯾﻣﺔ ﺻﻧﺎﻋﯾﺔ ، artificial ﺑﻣﻌﻧﻰ ﻋدم وﺟود ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻲ ﻓﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ،ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ،ﺗﻣﺛل اﻟوﺳﯾط. ﺗﻌرﯾف :ﻷي ﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻓﺈن اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟوﺳﯾـط ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾطﺔ median . class وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : n 2 F x L . f m ﺣﯾث : Fاﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ، Lاﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ، ٦
f mﺗﻛرار ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط . طول ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ، ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط ﺑﺎﻟرﺳم ﻣن اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ وﯾﺗم ﺗﺣدﯾد ﻣوﻗﻊ اﻟوﺳﯾط ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻟرأﺳﻲ ﺛم ﻧﺳﻘط ﻋﻣود ﻣن ﻧﻘطﺔ ﻣوﻗﻊ اﻟوﺳﯾط ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ وﻋﻧد اﻟﺗﻘﺎﺋﮫ ﺑﺎﻟﻣﺿﻠﻊ ﻧﺳﻘط ﻋﻣود ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ ﻓﺗﻛون ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ اﻟوﺳﯾط .
ﻣﺛﺎل ﻗﺎﻣت ﺷرﻛﺔ ﻣﺗﺧﺻﺻﺔ ﻓﻲ ﺑﯾﻊ اﻟﺑراﻣﺞ اﻟﺟﺎھزة ﺑﺗﺳﺟﯾل ﺣﺻﯾﻠﺔ اﻟﺑﯾﻊ اﻟﺷﮭري ﺑﺎﻟدوﻻر وذﻟك ﻓﻲ ﻣدة 28ﺷﮭرا وﻛﺎﻧت اﻟﻣﺷﺎھدات ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ : 710.99
820.54
858.29
871.54
118 .01
990.16
757.34
1018.6
657.98
1230.9
876.09
723.06
1280.3
1150 .5
5
345.89
800.75
1140 .8
999.98
657.90
997.05
1140 .6
6
678.98
670.01
1209.0
887.09
723.06
1280.3
1234.8
8
) ا ( ﻛون ﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻣﻧﺎﺳب . ) ب ( أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﮭذا اﻟﺗوزﯾﻊ. ) ﺟـ ( أوﺟد اﻟوﺳﯾط ﻟﮭذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﺣﺳﺎﺑﯾﺎ وﺑﯾﺎﻧﯾﺎ .
اﻟﺣــل : )أ( ﺗﻛوﯾن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ،أﻛﺑر ﻣﺷﺎھدة = 1280.3 ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت اﻟﻣﻘﺗرﺣﺔ = 6أﺻﻐر ﻣﺷﺎھدة = 118 .01 اﻟﻣدى = أﻛﺑر ﻣﺷﺎھدة – أﺻﻐر ﻣﺷﺎھدة 1280.3 118 .01 1162 .29 وﺣدة اﻟدﻗﺔ 0.01 اﻟﻤﺪى 1162 .29 = = 193.715 193.72 ﻋﺪداﻟﻔﺌﺎت 6
طول اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﻲ =
اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ ﺟدول اﻟﺳﺎﺑق. x ifi
اﻟﺗﻛرار
ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ
fi
xi
اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﻟﻠﻔﺋﺔ
ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ
214.865
1
214.865
118 .005 311 .725
118 .01 311 .72
408.585
1
408.585
311 .725 505.445
311 .73 505.44
2409.22
4
602.305
505.445 699.165
505.45 699.16
7960.25
10
796.025
699.165 892.885
699.17 892.88
3958.98
4
989.745
892.885 1086.605
892.89 1086.6
9467.72
8
1183 .465
1086.605 1280.325
1086.61 1280.32
24419.62
28
اﻟﻣﺟﻣوع ٧
)ب(اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ :
x
x i fi 24419.62 872.129. f 28 i )ﺟـ( ﻹﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺔ اﻟوﺳﯾط ﺣﺳﺎﺑﯾﺎ ًﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺗﺎﻟﻲ : n 2 F x L . f m ﺣﯾث = Lاﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط = F ،اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط = طول ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط = f m ،ﺗﻛرار ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ﻧﺣﺳب أوﻻ اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ وﺛﺎﻧﯾﺎ ً ﻧﺣﺳب ﻓﺋﺔ n 28 اﻟوﺳﯾط ﺣﯾث ﺗرﺗﯾب اﻟوﺳﯾط ھو 14 : 2 2
ﺣﯾث nﯾﺳﺎوي ﻣﺟﻣوع اﻟﺗﻛرارات اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت
اﻟﻼزﻣﮫ ﻣﻌطﺎة ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ: اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ
اﻟﺣدود اﻟﻌﻠﯾﺎ ﻟﻠﻔﺋﺎت
اﻟﺗﻛرار f i
اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﻟﻠﻔﺋﺔ
1
أﻗل ﻣن 311 .725
1
118 .005 311 .725
2
أﻗل ﻣن 505.445
1
311 .725 505.445
6
أﻗل ﻣن 699.165
4
505.445 699.165
16
أﻗل ﻣن 892.885
10
699.165 892.885
20
أﻗل ﻣن 1086.605
4
892.885 1086.605
28
أﻗل ﻣن 1280.325
8
1086.605 1280.325
28
اﻟﻣﺟﻣوع
إذا ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ھﻲ اﻟﻔﺋﺔ اﻟراﺑﻌﺔ .اﻵن ﻧﻘوم ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ ﻗﺎﻧون اﻟوﺳﯾط : 14 6 ~ x 699.165 193.72 699.165 154.976 854.141 10
ﯾﺗم ﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰً :
٨
) ( ٣-٣-١اﻟﻣﻧوال
Mode
ﯾﻌرف اﻟﻣﻧوال ﺑﺄﻧﮫ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ أو اﻟﺗﻲ ﺗﺗﻛرر أﻛﺛر ﻣن ﻏﯾرھﺎ .ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﻻ ﯾوﺟد ﻣﻧوال ﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ﺣﯾث ﻻ ﺗﺗﻛرر اﻟﻘﯾم أﻛﺛر ﻣن ﻣرة ،وإذا وﺟد ﻗد ﻻ ﯾﻛون وﺣﯾدا .
ﻣﺛﺎل أوﺟد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠﻣﺷﺎھدات 3,5,5,5,5,5,5,5,7,7,9
اﻟﺣــل : اﻟﺗوزﯾﻊ أﺣﺎدي اﻟﻣﻧوال وﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﻧوال ﺗﺳﺎوي . 5
ﻣﺛﺎل أوﺟد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠﻣﺷﺎھدات . 2,4,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,8,9
اﻟﺣــل : اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻛون ﺛﻧﺎﺋﻲ اﻟﻣﻧوال ﺣﯾث اﻟﻣﻧوال ھو . 6,7 ﯾﻌﺗﺑر اﻟﻣﻧوال أﻗل ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ اﺳﺗﺧداﻣﺎ .ﻟﻠﻔﺋﺎت اﻟﺻﻐﯾرة ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻ ﯾﻛون ﻟﮫ ﻓﺎﺋدة ،ﻓﻘط ﯾﻛون ﻟﮫ ﻣﻌﻧﻰ إذا ﻛﺎن ﺣﺟم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛﺑﯾرا .وﻣن ﻣﻣﯾزاﺗﮫ أﻧﮫ ﻻ ﯾﺣﺗﺎج إﻟﻰ ﻋﻣﻠﯾﺎت ﺣﺳﺎﺑﯾﺔ ،ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟوﺻﻔﯾﺔ .وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟﻣﻧوال ﺑﺎﻟرﺳم ﻣن اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛراري .ﻧﺻل اﻟرأس اﻷﯾﻣن اﻟﻌﻠوي ﻟﻠﻣﺳﺗطﯾـل اﻟذي ﯾﻣﺛـل أﻛﺑر ﺗﻛرار ﺑﺎﻟرأس اﻷﯾﻣن ﻟﻠﻣﺳﺗطﯾل اﻟﺳﺎﺑق ﻟﮫ أﯾﺿﺎ ﻧﺻل اﻟرأس اﻷﯾﺳر اﻟﻌﻠوي ﻷطول ﻣﺳﺗطﯾل ﺑﺎﻟرأس اﻷﯾﺳر اﻟﻌﻠوي ﻟﻠﻣﺳﺗطﯾل اﻟﺗﺎﻟﻲ ﻟﮫ ﻓﯾﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻣﺳﺗﻘﯾﻣﺎن ﻓﻲ ﻧﻘطﺔ ،ﻧﺳﻘط ﻋﻣود ﻣن ھذه اﻟﻧﻘطﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ ﻓﯾﻛون ھو اﻟﻣﻧوال. ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ ﻓﺈن اﻟﻣﻧوال ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ) f (xھو ﻗﯾﻣﺔ xاﻟﺗﻲ ﻋﻧدھﺎ ﯾﺄﺧذ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ أﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ .وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎر ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻘﺎﺑﻠﮭﺎ أﻋﻠﻰ ﺗﻛرار ھو ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻧوال .
) ( ٤-٣-١اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ
The geometric Mean
ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ،ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻟﮫ اﺳﺗﺧداﻣﺎت ﺧﺎﺻﺔ ﻓﻲ اﻟﻣﺷﺎﻛل اﻻﻗﺗﺻﺎدﯾﺔ وﻓﻲ اﻟﻣﺟﺎل اﻟﺳﻛﺎﻧﻲ. ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ، x1 , x 2 ,..., x nﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﮫ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : G n x1 x 2 ... x n . وﻟﺗﺳﮭﯾل ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﺗﺳﺗﺧدم اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : n i
.
log x i 1
n ٩
LogG
ﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎن ﻣﻌدل اﻟﺗﺿﺧم ﻟﺷﻌب ﻣﺎ ھو 3%ﻓﻲ اﻟﺳﻧﺔ اﻷوﻟﻰ و 4%ﻓ ﻲ اﻟﺳ ﻧﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ و 8%ﻟﻠﺳ ﻧﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻟﻣﻌدﻻت اﻟﺗﺿﺧم .
اﻟﺣــل : ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺗﺎﻟﻲ : n
xi
log
1 log3 log 4 log8 n 3 1 1 0.4771 0.6020 0.9030 1.9821 0.6607. 3 3 اﻵن ﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﺔ Gواﻟﺗﻲ ﺗﺳﺎوي اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ . G 4.5782 i 1
LogG
داﺋﻣﺎ ﯾﻛون اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ أﺻﻐر ﻣن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ .ﻛﻣﺎ أن اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻻ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﮫ إذا ﻛﺎﻧت إﺣدى اﻟﻘﯾم ﻣﺳﺎوﯾﺔ ﻟﻠﺻﻔر أو رﻗم ﺳﺎﻟب.ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻣن ﺟداول ﺗﻛرارﯾﺔ ﻣن اﻟﺗﻌرﯾف اﻟﺗﺎﻟﻲ. ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎﻧت x1 , x 2 ,..., x kﺗﻣﺛل ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت ﻟﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻣﻊ ﺗﻛراراﺗﮭﺎ اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ) f1 ,f 2 ,...,f kﺣﯾث kﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت ( ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ Gﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : k i
f log x i
i 1
.
k i
LogG
f i 1
ﻣﺛﺎل اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﺗﻣﺛ ل اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺗﻛ راري ﻷط وال ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣ ن ﺧﻣﺳ ﯾن ﻧﺑ ﺎت ﻣ ن ﻧ وع ﻣ ﺎ واﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻰ٠
اﻟﺣــل: ﻣﻦ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻓﺈن -: k
55.1799 1.103598. 50
i
f log x i
i 1
k i
f i 1
وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻓﺈن اﻟﻮﺳﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ﻫﻮ ٠ G 12.69399.
١٠
LogG
f i log x i
log x i
ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ x i
اﻟﺗﻛرار fi
ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ
5.0706 10.0000 16.7085 14.4492 8.9516 55.1799
0.8451 1.0000 1.1139 1.2041 1.2788
7 10 13 16 19
6 10 15 12 7 50
6-8 9-11 12-14 15-17 18-20
اﻟﻣﺟﻣوع
) (٤-١اﻟرﺑﯾﻌﺎت واﻟﻣﺋﯾﻧﺎت واﻟﻌﺷﯾرات uartiles, Percentiles, Deciles ﻛﻣﺎ ذﻛرﻧﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎ ،إذا رﺗﺑﻧﺎ ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ﺣﺳب ﻗﯾﻣﮭ ﺎ ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ ﻓ ﺈن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺗﻛ ون ﻓ ﻲ اﻟﻣﻧﺗﺻ ف واﻟﺗ ﻲ ﺗﻘﺳ م اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت إﻟ ﻰ ﻗﺳ ﻣﯾن ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﯾن ﻓ ﻲ اﻟﻌ دد ھ ﻲ اﻟوﺳ ﯾط ٠وﺑﺗﻌﻣ ﯾم اﻟﻔﻛ رة وﺗﻘﺳﯾم اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت إﻟ ﻰ أرﺑﻌ ﺔ أﺟ زاء ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ) ﺑﻌ د ﺗرﺗﯾ ب اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ ( ﻓ ﺈن ﻧﻘ ﺎط اﻟﺗﻘﺳ ﯾم ﯾرﻣ ز ﻟﮭ ﺎ ﺑ ﺎﻟرﻣوز Q1 ، Q 2 ، Q3ﺣﯾ ث Q1ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷول ) first quartileاﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷدﻧ ﻰ (lower quartileو Q 2ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ) second quartileﻧﻔﺳ ﮫ اﻟوﺳ ﯾط( و Q3ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛﺎﻟ ث ) third quartileاﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷﻋﻠ ﻰ upper quartileﻓ ﺎﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ھ و اﻟﻘﯾﻣ ﺔ Q1 اﻟﺗ ﻲ ﯾﺳ ﺑﻘﮭﺎ رﺑ ﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت وﯾﻠﯾﮭ ﺎ ﺛﻼﺛ ﺔ أرﺑ ﺎع اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ٠واﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ )وھ و أﯾﺿ ﺎ اﻟوﺳ ﯾط( ھ و اﻟﻘﯾﻣﺔ Q 2اﻟﺗﻲ ﯾﺳﺑﻘﮭﺎ ﻧﺻف اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﻠﯾﮭﺎ ﻧﺻف اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ٠وﻓﻲ اﻟﻧﮭﺎﯾﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟ ث وھ و اﻟﻘﯾﻣ ﺔ Q3اﻟﺗﻲ ﯾﺳﺑﻘﮭﺎ ﺛﻼﺛﺔ أرﺑﺎع اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﻠﯾﮭﺎ رﺑﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ٠ﻋﻧ د اﺳ ﺗﺧدام ﻓﺋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﺈن n2 واﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ اﻟرﺑﯾﻌ ﺎت اﻟﺛﻼﺛ ﺔ ﯾ ﺗم ﺣﺳ ﺎﺑﮭﺎ ﺑﺗﻌ ﯾن ﻣوﻗﻌﮭ ﺎ أوﻻ ﻓﻣوﻗ ﻊ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷول ھ و 4 3n 2 n 1 ٠ واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ﻣوﻗﻌﮫ ھو ﻣوﻗﻌﮫ ھو 4 2 12 2 إﻣ ﺎ ﻗﯾﻣﺗ ﮫ ﻓﮭ ﻲ ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﻣوﻗ ﻊ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷول ھ و 3.5 4 57 ٠ Q1 أﯾﺿﺎ ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻧﻲ واﻟﺛﺎﻟ ث ھﻣ ﺎ ﻋﻠ ﻰ ﻣﺗوﺳط اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ واﻟراﺑﻌﺔ أي 6 2 36 2 12 1 وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ واﻟﺛﺎﻟ ث ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗ واﻟﻲ 9.5 ، اﻟﺗواﻟﻲ 6.5 4 2 17 19 11 13 ٠ Q3 18 ، Q 2 ھﻣﺎ 12 2 2 22
20
16 17
19
11
13
10
7
5
4
1
ﻋﻧد اﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ ،ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول واﻟﺛﺎﻟث ﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن-: 3n n F F Q3 L 4 ، Q1 L 4 . f f Q Q 3
1
١١
ﺣﯾث: Lاﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻔﺋﺔ اﻟرﺑﯾﻊ ، طول ﻓﺋﺔ اﻟرﺑﯾﻊ ،
Fاﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻔﺋﺔ اﻟرﺑﯾﻊ f Qﺗﻛرار ﻓﺋﺔ اﻟرﺑﯾﻊ٠
ﻣﺛﺎل اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻟﻠﺿراﺋب اﻟﺗﻲ ﺗم ﺗﺣﺻﯾﻠﮭﺎ ﻣن ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟﻣوظﻔﯾن ﻓﻲ ﺷرﻛﺔ ﻟﺗﺳﺧﯾن اﻟﺑﺗرول ﻓﻲ ﻋﺎم . 1990 ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ 400 500 501 601 602 702 703 803 804 904 اﻟﺗﻛرار 17 25 29 25 28 ) ا ( ارﺳم اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ ﺛم ﻣن اﻟرﺳم ﺣدد اﻟوﺳﯾط واﻟرﺑﯾﻊ اﻷول واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث )ب ( أﺣﺳب ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ . )ج ( ﻣﺎ ﻧﺳﺑﺔ اﻟﻌﺎﻣﻠﯾن اﻟذﯾن ﯾدﻓﻌون ﺿراﺋب أﻗل ﻣن 702.5؟
اﻟﺣــل: )أ( اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ .
وﺣدة اﻟدﻗﺔ = 1
)ب( ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ : طول اﻟﻔﺋﺔ = اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﻲ – اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﻲ +وﺣدة اﻟدﻗﺔ = 101 اﻵن ﻧوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ :x ifi
ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت x i
اﻟﺗﻛرار f i
ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ
7650 13775 18908 18825 23912 83070
450 551 652 753 854
17 25 29 25 28 124
400 500 501 601 602 702 703 803 804 904
إذا اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﺳﺎوي :
x
x i fi 83070 669.919. 124 fi اﻟوﺳﯾط ھو :١٢
اﻟﻣﺟﻣوع
n F x L 2 . f m ﺣﯾث = Lاﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط = F ،اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط = f m ،ﺗﻛرار ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط . = طول ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط n 124 ﻧﺣﺳ ب أوﻻ اﻟﺗﻛ رار اﻟﻣﺗﺟﻣ ﻊ وﺛﺎﻧﯾ ﺎ ً ﻧﺣﺳ ب ﻓﺋ ﺔ اﻟوﺳ ﯾط واﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ ﺎوي 62 2 2
،ﺣﯾ ث
nﯾﺳﺎوي ﻣﺟﻣوع اﻟﺗﻛرارات وذﻟك ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ: اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ 17 42 71 96 124
اﻟﺣدود اﻟﻌﻠﯾﺎ ﻟﻠﻔﺋﺎت أﻗل ﻣن 500.5 أﻗل ﻣن 601.5 أﻗل ﻣن 702.5 أﻗل ﻣن 803.5 أﻗل ﻣن 904.5
اﻟﺗﻛرار f i
اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﻟﻠﻔﺋﺔ
17 25 29 25 28 124
399.5 500.5 500.5 601.5 601.5 702.5 702.5 803.5 803.5 904.5
اﻟﻣﺟﻣوع
ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ھﻲ اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ اﻵن ﻧﻌوض ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻧون
62 42 . x 601.5 101 601.5 69.655 671.155. 29 اﻟﻣﻧوال ھو ﻣرﻛز اﻟﻔﺋ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﻘﺎﺑﻠﮭ ﺎ أﻋﻠ ﻰ ﺗﻛ رار ،وأﻋﻠ ﻰ ﺗﻛ رار ﻓ ﻲ اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﻣﻌط ﻰ ھ و 29وﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ اﻟذي ﯾﻘﺎﺑﻠﮫ ھو ، 652أي أن اﻟﻣﻧوال ﯾﺳﺎوي . 652 ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ:f i log x i
log x i
اﻟﺗﻛرار f i
ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت x i
45.1044 68.5275 81.6118 71.9175 82.0792 349.2404
2.6532 2.7411 2.8142 2.8767 2.9314
17 25 29 25 28 124
450 551 652 753 854
اﻟﻣﺟﻣوع
اﻵن ﻧﻌوض ﻓﻲ ﻗﺎﻧون اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ k
349.2472 2.81651 124
i
f log x i
i 1
k i
log G
f i 1
G 655.4058. . )ج( ﻋدد اﻟﻌﺎﻣﻠﯾن اﻟذﯾن ﯾدﻓﻌون ﺿراﺋب أﻗل ﻣن 702.5ﯾﺳﺎوي 71وﻋﻠﻲ ذﻟ ك اﻟﻧﺳ ﺑﺔ اﻟﻣطﻠوﺑ ﺔ ﺗﺳﺎوي : ١٣
71 (100) 0.5725 100 57.2580%. . 124 Q1 49.5 Q3 77 أﯾﺿ ﺎ ﯾﻣﻛ ن إﯾﺟ ﺎد اﻟﻘ ﯾم اﻟﺗ ﻲ ﺗﻘﺳ م ﻓﺋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات )ﺑﻌ د ﺗرﺗﯾﺑﮭ ﺎ ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ( إﻟ ﻰ ﻋﺷ رة أﻗﺳ ﺎم وﻧرﻣز ﻟﻧﻘط اﻟﺗﻘﺳﯾم ﺑﺎﻟرﻣوز D1 , D 2 ,..., D9ﺣﯾث D1اﻟﻌﺷﯾر اﻷول وھ و ﯾﻣﺛ ل اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﺳ ﺑﻘﮭﺎ
2 9 1 ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت و D 2اﻟﻌﺷ ﯾر اﻟﺛ ﺎﻧﻲ وھ و ﯾﻣﺛ ل اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﺳ ﺑﻘﮭﺎ ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﻠﯾﮭ ﺎ 10 10 10 8 ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وھﻛذا ﻟﻠﻌﺷﯾرات اﻷﺧرى ٠ﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ﯾﻣﻛ ن إﯾﺟ ﺎد اﻟﻘ ﯾم اﻟﺗ ﻲ ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﻠﯾﮭﺎ 10
ﺗﻘﺳ م ﻓﺋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات )ﺑﻌ د ﺗرﺗﯾﺑﮭ ﺎ ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ( إﻟ ﻰ ﻣﺎﺋ ﺔ ﻗﺳ م وﻧرﻣ ز ﻟ ﻧﻘط اﻟﺗﻘﺳ ﯾم ﺑ ﺎﻟرﻣوز 99 1 ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﻠﯾﮭ ﺎ P1 , P2 ,..., P99ﺣﯾث P1اﻟﻣﺋﯾن اﻷول ھو ﯾﻣﺛل اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﺳﺑﻘﮭﺎ 100 100 98 2 ﻣن ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت وﯾﻠﯾﮭ ﺎ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت و P2اﻟﻣﺋ ﯾن اﻟﺛ ﺎﻧﻲ وھ و ﯾﻣﺛ ل اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﺳ ﺑﻘﮭﺎ 100 100
ﻣن
اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وھﻛذا ﻟﺑﺎﻗﻲ اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت ٠ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛرارﯾ ﺔ ﯾﻣﻛ ن ﺣﺳ ﺎب اﻟﻌﺷ ﯾرات و اﻟﻣﺋﯾﻧ ﺎت n n 2n ﻟﻠﻌﺷ ﯾر اﻷول و ﺑـ ﺑ ﻧﻔس طرﯾﻘ ﺔ ﺣﺳ ﺎب اﻟوﺳ ﯾط ﻣ ﻊ اﺳ ﺗﺑدال 10 10 2 2n n n ﻟﻠﻣﺋ ﯾن اﻟﺛ ﺎﻧﻲ وھﻛ ذا اﻟﺑ ﺎﻗﻲ ﻟﻠﻣﺋ ﯾن اﻷول و ﻟﺑ ﺎﻗﻲ اﻟﻌﺷ ﯾرات ٠أﯾﺿ ﺎ اﺳ ﺗﺑدال ﺑ ـ 100 100 2
ﻟﻠﻌﺷ ﯾر اﻟﺛ ﺎﻧﻲ وھﻛ ذا
اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت٠
ﻣﺛﺎل اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻟﺗﻛﺎﻟﯾف ﺗﺟﮭﯾز ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﻧﺑﺎت ﻟﻠﺗﺻدﯾر. 1.00-1.02 1.03-1.05 1.06-1.08 1.09-1.11 1.12-1.14ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ 5 25 57 40 41 اﻟﺗﻛرار اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد: )أ( اﻟوﺳﯾط واﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال) ٠ب( اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث٠
اﻟﺣــل: اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﺣﺳﺎب )أ( و )ب( ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ 5 30 87 127 168
اﻟﺣدود اﻟﻌﻠﯾﺎ ﻟﻠﻔﺋﺔ أﻗل ﻣن 1.025 أﻗل ﻣن 1.055 أﻗل ﻣن 1.085 أﻗل ﻣن 1.115 أﻗل ﻣن 1.145
ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ
اﻟﺗﻛرار
اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﻟﻠﻔﺋﺔ
ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ
1.01 1.04 1.07 1. 1 1.13
5 25 57 40 41 168
0.995 1.025 1.025 1.055 1.055 1.085 1.085 1.115 1.115 1.145
1.00 1.02 1.03 1.05 1.06 1.08 1.09 1.11 1.12 1.14
١٤
اﻟﻣﺟﻣوع
)أ( اﻟوﺳﯾط واﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال: اﻟوﺳﯾط ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:n Fm 2 Q L fm
ﺣﯾث: Fاﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط f mﺗﻛرار ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط.
Lاﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط، طول ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط،
n 168 84, 2 2 Fm 30, f m 57, L 1.055, 0.03, )(84 30 Q 1.055 (0.03) 1.0834 1.083 57
اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:k
182.37 1.085 168
fi xi
i 1 k
fi
i 1
اﻟﻣﻧوال ھو ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻘﺎﺑﻠﮭﺎ أﻋﻠﻰ ﺗﻛرار أي:x 1.070
)ب( اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث: اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:n F Q1 L 4 f Q 1
n 168 42, F 30, f Q 57, L 1.055, 0.03 4 4 1
أي أن :
42 30 (0.03) 1.0613 57 اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: 3n F Q3 L 4 . f Q
Q1 1.055
3
١٥
x
)3n 3(168 126, F 87, f Q 40, L 1.085, 0.03. 4 4 1
وﻋﻠﻰ ذﻟك:
126 87 (0.03) 1.114. 40
) (٥-١ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗت
Q3 1.085
Measures of Dispersion
ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﻣت ﻣﻧﺎﻗﺷﺗﮭﺎ ﻓﻲ اﻟﺑﻧد اﻟﺳﺎﺑق ﻻ ﺗﻛﻔﻲ ﻹﻋطﺎء وﺻف ﻛ ﺎﻓﻲ ﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻼ ﺗوﺿ ﺢ طﺑﯾﻌﺗﮭ ﺎ وﻻ ﻛﯾﻔﯾ ﺔ ﺗوزﯾ ﻊ ﻣﺷ ﺎھداﺗﮭﺎ .ﻛﻣ ﺎ أن اﻻﻋﺗﻣ ﺎد ﻓﻘ ط ﻋﻠﻰ أي ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﻧزﻋ ﺔ اﻟﻣرﻛزﯾ ﺔ ﻟﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ﻋ دة ﻣﺟﻣوﻋ ﺎت ﻻ ﯾﻛﻔ ﻲ ﻹظﮭ ﺎر ﺣﻘﯾﻘ ﺔ اﻟﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ،ﻓﻣ ن اﻟﻣﻣﻛن أن ﯾﻛون ﻟﻌدة ﻣﺟﻣوﻋﺎت ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻧﻔ س اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ واﻟوﺳ ﯾط وﻟﻛ ﻧﮭم ﯾﺧﺗﻠﻔ وا ﻋ ن ﺑﻌﺿ ﮭم ﺗﻣ ﺎم اﻻﺧ ﺗﻼف .ﻓﻘ د ﺗﻛ ون ﻣﺷ ﺎھدات إﺣ دى اﻟﻣﺟﻣوﻋ ﺎت ﻣﺗﻘﺎرﺑ ﺔ ﺑﻌﺿ ﮭﺎ ﻣ ن ﺑﻌ ض )ﻣﺗﻣرﻛزة ﺣول ﻣﺗوﺳطﮭﺎ ( أو ﻣﺑﻌﺛرة )ﻣﺗﺷﺗﺗﺔ ( . ﻓﻲ اﻟﺟزء اﻟﺗﺎﻟﻲ ﺳوف ﻧﻘدم ﺑﻌض ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗت اﻷﻛﺛر أھﻣﯾﺔ.
) (١-٥-١اﻟﻣدى وﻧﺻف اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ The range and semi interquartile range ﯾﻌﺗﺑر اﻟﻣدى ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺗﺷﺗت ﻣن اﻟﺳﮭل ﺟدا ﺣﺳﺎﺑﮫ وﯾﻌطﻰ ﻓﻛرة ﺳرﯾﻌﺔ ﺟدا ﻋن طﺑﯾﻌﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﺳﺗﺧدم ﻛﺛﯾرا ﻓﻲ ﻣراﻗﺑﺔ اﻟﺟودة وﻛذﻟك ﻓﻲ وﺻف اﻷﺣوال اﻟﺟوﯾﺔ ٠وﻟﻛن ﻣن ﻋﯾوﺑﮫ أﻧﮫ ﯾﺗﺄﺛر ﺑﺎﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة وﯾﻌطﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﺧﺎطﺋﺔ ﻋن اﻻﻧﺗﺷﺎر اﻟﺣﻘﯾﻘﻲ ﻟﻣﻌظم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛﻣﺎ أﻧﮫ ﻻ ﯾﺳﺗﺧدم ﺟﻣﯾﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﺣﺳﺎﺑﮫ٠ ﻋﻧد اﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ ﻓﺈن اﻟﻣدى ﯾﺣﺳب ﺑﻌدة طرق ﺳوف ﻧذﻛر ﻣﻧﮭﺎ اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: اﻟﻣدى= اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷﺧﯾرة-اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷوﻟﻰ. ھﻧﺎك ﻣﻘﺎﯾﯾس أﺧرى ﻟﻠﺗﺷﺗت ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﺑدﻻ ﻣن اﻟﻣدى ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ وﺟود ﻗﯾم ﺷﺎذة٠ ﺗﻌﺗﻣد ھذه اﻟﻣﻘﺎﯾﯾس ﻋﻠﻰ إھﻣﺎل ﺟزء ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﻧد طرﻓﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ ﺣﺗﻰ ﻧﺗﺧﻠص ﻣن اﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة وﺗﺳﻣﻰ ﺷﺑﯾﮭﺎت اﻟﻣدى ٠ﻓﻣﺛﻼ ﺑﺣذف أﻋﻠﻰ 10%ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات وأﺻﻐر 10%ﻣﻧﮭﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣدى اﻟﻣﺋﯾﻧﻲ أي . P90 P10 أﯾﺿﺎ ﺑﺣذف أﻋﻠﻰ 25%ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وأﺻﻐر 25%ﻣﻧﮭﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ أي Q 3 Q 1 ) ٠وأﺧﯾرا ھﻧﺎك ﻣﻘﯾﺎس آﺧر ﯾﺳﺗﻧﺗﺞ ﻣن اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ وھو ﻧﺻف اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ اﻻﻧﺣراف اﻟرﺑﯾﻌﻲ ( semi interquartile rangeوﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮫ ﺑﻘﺳﻣﺔ اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ ﻋﻠﻰ 2 ﻓﺈذا رﻣزﻧﺎ ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز MRﻓﺈن -: Q 3 Q1 . 2
MR
ﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎﻧ ت درﺟ ﺔ اﻟﺣ رارة اﻟﻣﺋوﯾ ﺔ ﻓ ﻲ إﺣ دى اﻟﻣ دن ﺧ ﻼل أﯾ ﺎم إﺣ دى اﻷﺳ ﺎﺑﯾﻊ ھ ﻲ : 22,9,13,12,18,15,9
أﺣﺳب ﻣﺎ ﯾﻠﻲ : ) ا ( اﻟوﺳﯾط واﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال. ١٦
) ب ( اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ واﻟﻣدى.
اﻟﺣــل: )أ( اﻟوﺳﯾط ﺑﺎﻟﺗرﺗﯾب ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ً 9,9,12,13,15,18,22 وﺑﻣﺎ أن اﻟﻌدد ﻓردي 7 إذا ً اﻟوﺳﯾط ھو اﻟﻌدد اﻟذي ﯾﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻣﻧﺗﺻف 13 اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ : 9 15 18 12 13 9 22 98 14 7 7 اﻟﻣﻧوال :ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ ً 9 Q Q1 MR 3 )ب( اﻻﻧﺣراف اﻟرﺑﯾﻌﻲ 2
ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ﯾﺣدد ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 3n 2 5.75, 4 أي ﯾﻘ ﻊ ﺑ ﯾن اﻟﻣﺷ ﺎھدة رﻗ م 5واﻟﻣﺷ ﺎھدة رﻗ م 6وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﯾﻛ ون ﻗﯾﻣ ﺔ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛﺎﻟ ث ھ و اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدة رﻗم 5واﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم 6أي: 15 18 16.5. Q3 2
ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ﯾﺣدد ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : n2 2.25. 4 أي ﯾﻘ ﻊ ﺑ ﯾن اﻟﻣﺷ ﺎھدة رﻗ م 2واﻟﻣﺷ ﺎھدة رﻗ م 3وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﯾﻛ ون ﻗﯾﻣ ﺔ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻻول ھ و اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدة رﻗم 2واﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم 3أي: 9 12 10.5. Q1 2 Q 3 Q1 16.5 10.5 MR 3. 2 2
اﻟﻣدى :أﻛﺑر ﻗﯾﻣﺔ – أﺻﻐر ﻗﯾﻣﺔ :
22 9 13.
) (٢-٥-١اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط The average Deviation ﺗﻣﺛ ل | | x i أو | | x i xاﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﻣطﻠﻘ ﺔ ﻻﻧﺣ راف أي ﻗﯾﻣ ﺔ ﻋ ن اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ أو اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ٠ ﺗﻌرﯾ ف :إذا ﻛﺎﻧ ت ﻟ دﯾﻧﺎ اﻟﻔﺋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ، x 1 , x 2 ,..., x nﻓ ﺈن اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﺗوﺳ ط ﯾﻣﻛ ن ﺣﺳﺎﺑﮫ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ -: n
|x .
i
| x i 1
n
M.D
ﻣﺛﺎل ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن 20طﺎﻟب ﻓﻲ ﻛﻠﯾﺔ ﻣﺎ ﺗم ﺗﺳﺟﯾل ﻋدد أﯾ ﺎم اﻟﻐﯾ ﺎب ﻟﻛ ل طﺎﻟ ب ﺧ ﻼل اﻟﻔﺻ ل اﻟدراﺳﻲ اﻷول وﻛﺎﻧت ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ 1,0,3, 4,5,4,1,1,1,1,1,0,0,0,0,3,3,2,2,1 : ١٧
أﺣﺳب ﻛﻼ ﻣن : اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ -اﻟوﺳﯾط -اﻟﻣﻧوال -اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط .
اﻟﺣــل: اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ: n
1 2 2 3 3 0 0 0 0 111 1 1 4 5 4 3 0 1 20 33 1.65 20
i
x i 1
n
اﻟوﺳﯾط: ﺑﻌد اﻟﺗرﺗﯾب اﻟﺗﺻﺎﻋدي ﻟﻠﻘﯾم 0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,3,4,4,5
وﺑﻣﺎ أن ﻋدد اﻟﻘﯾم زوﺟﻲ ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط ھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻘﯾﻣﺗﯾن اﻟوﺳطﺗﯾن أي: 1 1 1 2
اﻟﻣﻧوال: ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ ً أي أن اﻟﻣﻧوال ھو . x 1 اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط: n
25.6 1.28 20
x
i
x i 1
n
M.D
ﺗﻌرﯾ ف :إذا ﻛﺎﻧ ت x 1 , x 2 ,..., x kﺗﻣﺛ ل ﻣراﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺔ ﻟﺗوزﯾ ﻊ ﺗﻛ راري ﻣ ﻊ ﺗﻛراراﺗﮭ ﺎ اﻟﻣﻘﺎﺑﻠ ﺔ f1 , f 2 ,..., f kﻓﺈن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ھو -: k
| | xi x
i
f i 1
.
k i
M.D
f i 1
ﻣﺛﺎل أوﺟد اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ: | fi | xi x 325.6 235.2 153.6 9.2 176.8 224.4 304 1428.8
xi x -29.6 -19.6 -9.6 0.4 10.4 20.4 30.4
اﻟﺗﻛرار 11 12 16 23 17 11 10 100
١٨
fi
ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ x i 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5 اﻟﻣﺟﻣوع
اﻟﺣــل: اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ھو ٠ x 64.1وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق -: k
1428.8 14.288. 100
| | xi x
i
f i 1
k i
M.D
f i 1
) (٣-٥-١اﻟﺗﺑﺎﯾن The Variance ﺗﻌرﯾف :إذا أﻋطﯾت ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺣدود x 1 , x 2 ,..., x Nﻓﺈن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ھو-: N
) 2
i
(x i 1
.
N
2
اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ،وﯾرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮫ ﺑﺄﺧذ اﻟﺟذر اﻟﺗرﺑﯾﻌﻲ ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن. ﺗﻌرﯾف :إذا ﺳﺣﺑت اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ x 1 , x 2 ,..., x nﻓﺈن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻐﯾر ﻣﺗﺣﯾز ھو -:
x)2 .
n i
(x i 1
n 1
s2
واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ھو s s 2 ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ ﻓﺈن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ -: k
( x i f i ) 2 ].
i 1
n
k 1 [ x 2i f i n 1 i 1
s2
) ﺣﯾث
k
n
( fi i 1
ﻣﺛﺎل أﺳرة ﻟدﯾﮭﺎ 8أطﻔﺎل ،أﻋﻣﺎرھم ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ 8,10,6,14,14,12,18,20 :أوﺟد : ) ا ( ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ﻟﮭذه اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت. ) ب ( اﻟﻣدى -اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ -اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط -اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى.
اﻟﺣــل: ) ا ( ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ: اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ: n
8 10 6 14 14 12 18 20 102 12.75. 8 8
i
x i 1
N
اﻟوﺳﯾط: ﺑﺗرﺗﯾب اﻟﻘﯾم ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ً 6,8,10,12,14,14,18,20
وﺑﻣﺎ أن ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات زوﺟﻲ ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط ھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻘﯾﻣﺗﯾن اﻟوﺳطﺗﯾن، أي: 12 14 13. 2 ١٩
x
اﻟﻣﻧوال :اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ ً ،أي أن اﻟﻣﻧوال ھو . X 14 اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ: 8
xi
log i 1
Log G
N log8 log10 log6 log14 log14 log12 log18 log 20 8.6083 . 8 8 Log G 1.076
G 11.915. اﻟﻣدى = أﻛﺑر ﻗﯾﻣﺔ – أﺻﻐر ﻗﯾﻣﺔ :
20 6 14. اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ. Q3 Q1 : ﺗرﺗﯾب اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ھو :
n 2 8 2 2.5. 4 4 أي أن اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدة رﻗم 2واﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم 3ﺑﻌد ﺗرﺗﯾب اﻟﻣﺷﺎھدات ،أي أن : 8 10 Q1 9. 2 ﺗرﺗﯾب اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ھو: 3n 2 (3 8) 2 6.5. 4 4 أي أن اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدة رﻗم 6و اﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم 7ﺑﻌد ﺗرﺗﯾب اﻟﻣﺷﺎھدات ،أي أن : 14 18 Q3 16. 2 اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ ھو : 16 9 7. اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط : 8
x
i
x i 1
.
N
M.D
اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ھو : 6 12.75 8 12.75 10 12.75 12 12.75 14 12.75 14 12.75 18 12.75 20 12.75 8
30 3.75 8
اﻟﺗﺑﺎﯾن : 2
8
i
x i 1
N ٢٠
2
واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو: 2 19.938 4.465.
ﻣﺛﺎل إذا ﻛ ﺎن ﻋ دد أﺳ ﻣﺎك اﻟﺳ ﺎﻟﻣون اﻟﺗ ﻲ ﺗ م ﺻ ﯾدھﺎ ﺑواﺳ طﺔ 10ﺻ ﯾﺎدﯾن ﻓ ﻲ اﻟﯾ وم اﻷول ﻣ ن اﻟﻣوﺳ م ھﻲ ، 3,5,6,7,7,7,7,8,9,10 :أوﺟد :اﻟوﺳﯾط -اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط -اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري.
اﻟﺣــل: ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط :ﺗرﺗب اﻟﻘﯾم ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ً 3,5,6,7,7,7,7,8,9,10 وﺑﻣﺎ أن ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات زوﺟﻲ ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط ھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻘﯾﻣﺗﯾن اﻟوﺳطﺗﯾن : 77 .7 اﻟوﺳﯾط 2 اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ھو: n
13.4 1.34 10
xi x
n
M.D i 1
اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ھو : 2
34.902 3.878 9
n
xi x n 1
s2 i 1
s 3.878 1.969 ھﻧﺎك ﺻﯾﻐﺔ أﺧرى ﻟﺣﺳﺎب ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗﻔﯾد ﻋﻧد اﺳﺗﺧدام اﻵﻟﺔ اﻟﺣﺎﺳﺑﺔ وھﻲ -: ( x i ) 2 1 2 2 s [ x i ]. n 1 n 1 (69) 2 [511 ] 3.878. 9 10
) (٤-٥-١ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف
Coefficient of Variation
ﺗﻌﺗﺑر ﻛل ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻣﻘﺎﯾﯾس ﻣطﻠﻘﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﺗﺄﺧذ ﺗﻣﯾﯾز اﻟوﺣدات اﻷﺻﻠﯾﺔ وﻟذﻟك ﻻ ﺗﺻﻠﺢ ﻟﻠﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن ﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن وﺣدات اﻟﻘﯾﺎس ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ .ﻟذﻟك ﺳوف ﻧﻧﺎﻗش ﻣﻘﯾﺎس ﻧﺳﺑﻲ ﯾﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف واﻟذي ﯾﺣول اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري إﻟﻰ ﻣﻘﯾﺎس ﻧﺳﺑﻲ ﺑﺎﻋﺗﺑﺎر أﻧﮫ ﻧﺳﺑﺔ ﻣﺋوﯾﺔ ﻣن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ .وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻣن إﺣدى اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﺗﯾن : s V 100 x
أو
V 100
ﻟﺗﺳﮭﯾل اﺳﺗﺧدام ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻧﻘدم اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻲ واﻟذي ﯾوﺿﺢ ﻛﻣﯾﺔ اﻹﻧﺗﺎج ﻓﻲ ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ ﺧﻼل 80ﺷﮭرا ﺛم ﻛﻣﯾﺔ اﻹﻧﺗﺎج ﺧﻼل ﻓﺗرة ﺛﺎﻧﯾﺔ ﻣﻘدارھﺎ 15ﺷﮭرا وﻗد ﺗم ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري وﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻟﻛل ﻣﺟﻣوﻋﺔ واﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ .ﻧﻼﺣظ ﻣن اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ أن اﻹﻧﺗﺎج ﺧﻼل 15ﺷﮭرا ﻟﮫ وﺳط ﺣﺳﺎﺑﻲ أﻛﺑر وﻣﻌﺎﻣل اﺧﺗﻼف أﻗل واﻟذي ﯾﻌﺗﺑر ٢١
ﻧﺗﺎﺋﺞ ﺟﯾدة ﻟﻣدﯾر اﻹﻧﺗﺎج واﻟذي ﯾﮭﺗم ﺑزﯾﺎدة اﻹ ﻧﺗﺎج واﻧﺧﻔﺎض ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف .وﺑﺎﻟرﻏم ﻣن أن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻗد زاد ﻣن 13.2إﻟﻰ 15إﻻ أﻧﮫ ﯾﻣﻛن اﻟﻘول ﺑﻧﺎء ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف أن اﻟﻔﺗرة اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ أﻗل ﺗﺷﺗﺗﺎ ﻣن اﻟﻔﺗرة اﻷوﻟﻰ ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ. s V 100 x 10.56 9.375
x
اﻟﻔﺗرة
13.2
125
80
15
160
15
s
ﻣﺛﺎل ﻓﻲ ﺟﺎﻣﻌﺔ ﻣﺎ ﯾﺗﻘﺎﺿﻰ اﻷﺳﺗﺎذ ﻓﻲ اﻟﻣﺗوﺳط $15,000دوﻻر ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري $5,000ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻓ ﻲ ﺟﺎﻣﻌ ﺔ أﺧ رى ﯾﺗﻘﺎﺿ ﻰ اﻷﺳ ﺗﺎذ أﺟ ر ﻗ دره $10,000ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري $3,000أوﺟ د ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻﺧﺗﻼف ﻟﻛل ﺟﺎﻣﻌﺔ وأي اﻟﺟﺎﻣﻌﺗﯾن أﻛﺛر ﺗﺷﺗﺗﺎ ؟
اﻟﺣــل : اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻹﯾﺟﺎد ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻟﻛل ﺟﺎﻣﻌﺔ ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ. ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف
اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري
اﻟﻣﺗوﺳط
5000
15000
اﻟﺟﺎﻣﻌﺔ اﻷوﻟﻰ
3000
10000
اﻟﺟﺎﻣﻌﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ
s1 5000 0.333 x 1 15000 s 3000 V2 1 0.3 x 2 10000
V1
إذن اﻟﺟﺎﻣﻌﺔ اﻷوﻟﻰ أﻛﺛر ﺗﺷﺗﺗﺎ ً.
ﻣﺛﺎل >>>>>>>>>>
اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻷﻋﻣﺎر ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟذﻛور واﻹﻧﺎث ﻓﻲ ﻛﻠﯾﺔ ﻣﺎ . 23 24
21 22
19 20
17 18
15 16
اﻟﻌﻣر
190
160
130
125
100
اﻹﻧﺎث
200
146
150
131
110
اﻟذﻛور
)أ( أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻛل ﻣن اﻟذﻛور واﻹﻧﺎث . )ب(أوﺟد ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻟﻛل ﻣن اﻟذﻛور واﻹﻧﺎث وأي اﻟﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن أﻛﺛر ﺗﺷﺗﺗﺎ ً.
اﻟﺣــل: ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻔﺌﺔ
ﺗﻜﺮار اﻟﺬﻛﻮر
ﺗﻜﺮار اﻹﻧﺎث
اﻟﺤﺪود اﻟﻔﻌﻠﻴﺔ
ﺣﺪود اﻟﻔﺌﺔ
15.5
110
100
14.5 16.5
15 16
٢٢
17.5
131
125
16.5 18.5
17 18
19.5
150
130
18.5 20.5
19 20
21.5
146
160
20.5 22.5
23.5
200
190
22.5 24.5
737
705
21 22 23 24
اﻟذﻛور
اﻹﻧﺎث
x 14861.5/ 737 20.02
x 14272.5/ 705 20.10 s1
s2
]1/ 704[295138.75 (14272.5)2 / 705
1/ 736(306272.25) (14861.5) 2 / 737
2.799
2.822
V1 2.799 / 20.20 0.139
V2 2.822 / 20.02 0.1409 ﻧﺳﺗﻧﺗﺞ أن اﻟذﻛور أﻛﺛر ﺗﺷﺗﺗﺎ ً .
) (٦-١اﻻﻟﺗواء واﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟوﺳﯾط واﻟﻣﻧوال Skewness and the Relation of the Mean , Median , and Mode ﻋرﻓﻧﺎ ﻣﻣﺎ ﺳﺑق أن اﻻﻟﺗواء ھو ﺑﻌد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻋن اﻟﺗﻣﺎﺛل ٠ﻓﺈذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛﻼ ﻓﺳوف ﻧﺟد أن 50%ﻣن اﻟﻘﯾم ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻛل ﺟﺎﻧب ﻣن اﻟﻣﻧوال ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ
)f(x
50%
50%
x اﻟﻤﻨﻮال=اﻟﻮﺳﻴﻂ=اﻟﻮﺳﻂ
اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ
أﯾﺿﺎ ﻧﻼﺣظ ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺳﺎﺑق أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﮫ ﻣﻧ وال واﺣ د ) unimodalوﺣﯾ د اﻟﻣﻧ وال( وأن اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ = اﻟوﺳ ﯾط= اﻟﻣﻧ وال ٠ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﻧﺟ د أن ھﻧ ﺎك ﻋﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟوﺳﯾط واﻟﻣﻧوال ﺣﯾث اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ > اﻟوﺳ ﯾط > اﻟﻣﻧ وال وذﻟ ك ﻷن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﻠﺗوﯾ ﺎ ﺟﮭ ﺔ اﻟﯾﺳ ﺎر ٠ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻻﺧﯾ ر ﻧﺟ د أن اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ < اﻟوﺳ ﯾط < اﻟﻣﻧ وال وذﻟ ك ﻷن ٢٣
اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻠﺗوﯾﺎ ﺟﮭﺔ اﻟﯾﻣﯾن ٠وﻓﻲ ﻛﻠﺗﺎ اﻟﺣﺎﻟﺗﯾن ﻓﺈن اﻟوﺳ ﯾط ﯾﻘ ﻊ ﺑ ﯾن اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧ وال ﻛﻣ ﺎ أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﻘﻊ داﺋﻣﺎ ﻓﻲ اﺗﺟﺎه اﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة٠
اﳌﻨﻮال )f(x
اﻟﻮﺳﻴﻂ
اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰊ x
اﳌﻨﻮال )f(x اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰊ
اﻟﻮﺳﻴﻂ
x
) (٧-١ﺑﻌض ﻣﻘﺎﯾﯾـس اﻻﻟﺗـواء واﻟﺗﻔﻠطـﺢ Some Measures of Skewness and Kurtosis أوﻻ ً ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻣﻘﺎﯾﯾس اﻻﻟﺗواء ،ﺳوف ﻧﺗﻧﺎول ﻣﻘﯾﺎﺳﯾن ﻟﻼﻟﺗواء اﻷول وﯾﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء Pearsonian coefficient for skewnessﺗﻌرف ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ-:
~ 3( x )x s ﺣﯾث xاﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ و ~xاﻟوﺳﯾط و sاﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ .ﯾﻧﺣﺻر ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون ﺑﯾن 3إﻟﻰ . 3ﻋﻧدﻣﺎ Sk 0ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛل .وإذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ Sk Sk
ﻣوﺟﺑﺔ ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ أﻛﺑر ﻣن اﻟوﺳﯾط وﻣن اﻟﻣﻧوال وﺑذﻟك ﯾﻛون اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﻣﻠﺗوﯾﺎ وﻟﮫ ذﯾل ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﯾﻣﯾن وﯾﻛون اﻻﻟﺗواء ﻣوﺟﺑﺎ .وأﺧﯾرا وإذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ Skﺳﺎﻟﺑﺔ ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ أﺻﻐر ﻣن اﻟوﺳﯾط وﻣن اﻟﻣﻧوال.
ﻣﺛﺎل ٢٤
ﺗﻣﺗﻠك ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ 10ﻗ وارب ﻟﻠﺻ ﯾد ،ﻗﺎﻣ ت اﻟﺷ رﻛﺔ ﺑﺗﺳ ﺟﯾل ﺗﻛ ﺎﻟﯾف ﺻ ﯾﺎﻧﺔ ﻛ ل ﻗ ﺎرب )ﺑﺎﻟ دوﻻر( وﻛﺎﻧت ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ 500,505, 460, 470,530,506,994,880,600,460 :أوﺟد : )ب( اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث. )د( ﻣﻘﯾﺎس ﺑﯾرﺳون ﻟﻼ ﻟﺗواء .
)ا( اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟوﺳﯾط واﻟﻣﻧوال. )ج( اﻟﻣدى واﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ.
اﻟﺣــل: )أ( اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ
5905 590.5. 10 ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ﺗرﺗب اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗرﺗﯾب ﺗﺻﺎﻋدي ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : 460,460,470,500,505,506,530,600,880,994. ~ 505 506 x 505.5. 2 اﻟﻣﻧوال :ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ أي أن اﻟﻣﻧوال ھو 460 : )ب( ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ھو: n 2 12 3. 4 4 ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ھﻲ= 470 ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث : 3n 2 32 8. 4 4 ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ھﻲ = 600 )ج( اﻟﻣدى ھو : 994 460 534. اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ ھو : Q3 Q1 600 470 130. )د( ﻣﻘﯾﺎس ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : )3(x x Sk . s ﺣﯾث : 2 2 )( x 1 1 )(5905 s x2 (3808497) 189.03. n 1 n 9 10 x
)3(590.5 505.5 1.3489. 189.031 أي أن ھﻧﺎك ﻛﻣﯾﺔ ﻣن اﻻﻟﺗواء اﻟﻣوﺟب.
Sk
1 ﯾﻌﺗﻣد اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻼﻟﺗواء ﻋﻠﻰ أﻧﮫ ﻓ ﻲ اﻟﺗوزﯾﻌ ﺎت اﻟﻣﻠﺗوﯾ ﺔ ﻓ ﺈن اﻟوﺳ ﯾط ﯾﻘ ﻊ ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ﻓ ﻲ 3
اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال ﻓﻲ اﺗﺟﺎه اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ ﺷ ﻛل ) (١٧-٣وﺷ ﻛل ) ٢٥
( ١٨-٣وھذا ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺢ داﺋﻣﺎ .وﻟذﻟك ﺳوف ﻧﺗﻧﺎول ﻣﻘﯾﺎس آﺧر ﻟﻼﻟﺗواء ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌزم اﻟﻣﻘ در ﻣن ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺔ. ﺗﻌرﯾف :
اﻟﻌزم rﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻔﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات x1, x 2 ,..., x nھو -: n
(x i x)r
m r i 1
. n اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻟﻼﻟﺗواء و اﻟذي ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌزم اﻟﺛﺎﻟث ﺣول اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ھو: m3 . s3
a1
إذا ﻛﺎﻧت ، a1 0ﻓﮭ ذا ﻻﯾ دل ﻋﻠ ﻰ أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛ ل .وإذا ﻛ ﺎن a 1 0ﯾﻛ ون اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣوﺟ ب اﻹﻟﺗواء ٠وإذا ﻛﺎن a1 0ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ ﺳﺎﻟب اﻻﻟﺗواء .إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛل ﻓﺈن . a1 0 ﺛﺎﻧﯾ ﺎ ﺑﺎﻟﻧﺳ ﺑﺔ ﻟﻣﻘ ﺎﯾﯾس اﻟ ﺗﻔﻠطﺢ ﺳ وف ﻧﺗﻧ ﺎول ﻣﻘﯾ ﺎس ﯾﻌﺗﻣ د ﻋﻠ ﻰ اﻟﻌ زم اﻟراﺑ ﻊ ﺣ ول اﻟﻣﺗوﺳ ط ﻣﻌﺎدﻟﺗﮫ ھﻲ -: 4 m a2 4 . s إذا ﻛﺎﻧ ت ، a 2 3ﻓ ذﻟك ﯾﻌﻧ ﻰ أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﺗوﺳ ط اﻟ ﺗﻔﻠطﺢ .وإذا ﻛ ﺎن a 2 3ﻓ ذﻟك ﯾﻌﻧ ﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﮫ ﻗﻣﺔ ﻣدﺑﺑﺔ وإذا ﻛﺎن a 2 3ﻓﮭذا ﯾدل ﻋﻠﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻔﻠطﺣﺎ.
ﻣﺛﺎل اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن 10ﻣﺳ ﺎﻣﯾر ﻟﺗﻘ دﯾر ﻛﻣﯾ ﺔ اﻟﺿ ﻐط اﻟﺿ روري ﻟﻛﺳ ر اﻟﻣﺳ ﻣﺎر وﻛﺎﻧ ت اﻟﻧﺗ ﺎﺋﺞ ﻛﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ 18,22, 26,25,27, 26,19,17,22, 20 :أﺣﺳ ب ﻛ ﻼ ﻣ ن :اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ – اﻟوﺳ ﯾط – اﻟﻣﻧ وال – اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﺗوﺳ ط – اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري -ﻣﻘﯾ ﺎس اﻻﻟﺗ واء a1وﻣﻘﯾ ﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ . a 2
اﻟﺣــل: اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ: n
xi
18 22 26 25 27 26 19 17 22 20 22.2 10 ﻹﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط: ﺑﺗرﺗﯾب اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ أي 17,18,19,20,22,22, 25,26,26,27ﻓﺈن وﺳﯾط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﻛون : ~ 22 22 x 22 2 اﻟﻣﻧوال ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ أي أن اﻟﻣﻧوال ھو22,26 : اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
٢٦
x i 1 n
n
4.2 0.2 3.8 2.8 4.8 3.8 3.2 5.2 0.2 2.2 3.04. 10
x
i
x i 1
n
M..D
اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو : n ( x i )2 1 n 2 i 1 s x , i n 1 i 1 n s 3.64. ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 3 m a1 3 s ﺣﯾث : n
15.84 1.58 , 10
x)3
i
(x i 1
m3
n 1.584 a1 0.0327. (3.645)3 أي أن ھﻧﺎك اﻟﺗواء ﺳﺎﻟب ﺑﺳﯾط ﻷن ﻗﯾﻣﺗﮫ ﺳﺎﻟﺑﺔ . ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 4 m a2 4 , s ﺣﯾث : x) 4
n i
(x i 1
n
m4
2179.95 217.9 , 10 217.9 a2 1.234. 176.510 أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻔﻠطﺢ ﻷن ﻗﯾﻣﺗﮫ أﻗل ﻣن . 3
ﻣﺛﺎل ﻓﯾﻣ ﺎ ﯾﻠ ﻲ ﺗوزﯾ ﻊ ﻋ دد اﻟﻣﺷ ﺎرﯾﻊ اﻟﻣﻧﻔ ذة ﺷ ﮭرﯾﺎ ﺧ ﻼل ﻋ ﺎم 1995ﻓ ﻲ ﺷ رﻛﺔ ﺑﺗ رول: 15,11,7,6,8,10,12,6,8,9,6,13اﺣﺳب : )أ( اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ –اﻟوﺳﯾط – اﻟﻣﻧوال – اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري – اﻟﻣدى -اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ . )ب(ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻼﻟﺗواء a1وﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺗﻔﻠطﺢ -ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﻟﺑﯾرﺳون. ٢٧
اﻟﺣــل: اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ
111 9.25. 12 ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ﻧرﺗب اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
x
6,6,6,7,8,8,9,10,11,12,13,15. ﻓﯾﻛون اﻟوﺳﯾط : 89 8.5. 2 اﻟﻣﻧوال ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ أي أن اﻟﻣﻧوال = 6
ﻹﯾﺟﺎد اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻧوﺟد أوﻻ اﻟﺗﺑﺎﯾن (x x) 98.25 s2 i 8.9318. n 1 11 إذن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو 7.178 2.9886. ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ھو : n2 3.5. 4 ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ھﻲ : 67 Q1 6.5. 2 ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ھو 3n 2 9.5. 4 ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ھﻲ : 11 12 Q3 11.5. 2 اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ ھوQ3 Q1 5 : ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﻟﺑﯾرﺳون )ب( )3(9.25 8.5 0.7530 . 2.988 ﯾﺣﺳب ﻛل ﻣن a 2 ,a 1ﻛﺗﻣرﯾن. 2
ﻣﺛﺎل)(٤٩-٣
٢٨
ﺗ م ﺳ ؤال ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن 10ﻋﻣ ﺎل ﻋ ن اﻟﻣﺳ ﺎﻓﺔ )ﺑﺎﻷﻣﯾ ﺎل ( اﻟﺗ ﻲ ﯾﻘطﻌوﻧﮭ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟ ذھﺎب إﻟ ﻰ اﻟﻣزرﻋ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﻌﻣﻠ ون ﺑﮭ ﺎ وﻛﺎﻧ ت ﻛﻣ ﺎ ﯾﻠ ﻲ . 25,6,1, 2,4,8,5,6,5,4 :أوﺟ د :اﻟوﺳ ﯾط واﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷول واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث واﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ – ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻼﻟﺗواء وآﺧر ﻟﻠﺗﻔﻠطﺢ .
اﻟﺣــل: ﻹﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط ﻧرﺗب اﻟﻔﺋﺎت ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ 1,2,4,4,5,5,6,6,8,25 55 ﻗﯾﻣﺔ اﻟوﺳﯾط ھﻰ 5 : 2 n 2 12 إذن اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول Q 1 4 . ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول 3 : 4 4 3n 2 32 .إذن اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث Q 3 6 ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث 8 : 4 4 اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲQ 3 Q 1 6 4 2 :
ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ھو : 3
m s3
a1
(x i x) 4
(x i x) 3
(x i x) 2
)(x i x
xi
114622 .8736 .1296 983.4496 447.7456 45.6976 3.8416 6.5536 .1296 6.5536 45.6976 116162 .672
6229.504 .216 175.616 97.336 17.576 2.744 4.096 .216 4.096 17.576
338.56 .36 31.36 21.16 6.76 1.96 2.56 .36 2.56 6.76
18.4 .6 5.6 4. 6 2. 6 1. 4 1. 6 .6 1. 6 2. 6
25 6 1 2 4 8 5 6 5 4
اﻟﻣﺟﻣوع
5915.52
ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو:
45.8222
1 848 435.6 9
2
)( x 1 x 2i i n 1 n s 6.7692.
ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
m3 , s3
a1
ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: 4
m . s4
a2
٢٩
s2