اختبارات وفترات ثقة تخص معامل بيرسون للارتباط

‫ﻣﻌﺎﻣـل اﻻرﺗﺑـﺎط اﻟﺧطﻰ اﻟﺑﺳﯾـط‬ ‫‪The Simple Linear Correlation Coefficient‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺷﻛﻠﺔ اﻻﻧﺣدار ﻛﺎن اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﺎﻟﺗﻧﺑﺄ ﺑﻣﺗﻐﯾر وذﻟك ﻣن اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻟﻣﺗﻐﯾرات‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ‪ ،‬ﺑﯾﻧﻣﺎ ﻓﻲ ﻣﺷﻛﻠﺔ اﻻرﺗﺑﺎط ﻓﺈن اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺳوف ﯾﻛون ﻓﻲ ﻗﯾﺎس اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾرﯾن أو‬ ‫أﻛﺛر‪ .‬ﻣرة أﺧرى ﻓﺈن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻛﺎﻧت ﺛﺎﺑﺗﺔ ﻓﻲ ﻣﺷﻛﻠﺔ اﻻﻧﺣدار ‪.‬اﻵن ﺳوف‬ ‫ﯾﺧﺗﻠف اﻟوﺿﻊ‪ .‬ﺳوف ﻧﻌرف ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺧطﻰ ﺑﺄﻧﮫ ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾرﯾن‬ ‫ﻋﺷواﺋﯾﯾن ‪ .X,Y‬وﺳوف ﻧرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز‪ . r‬ﺳوف ﻧﻔﺗرض أن اﻟﻣﺗﻐﯾران ‪ X,Y‬ﻟﮭﻣﺎ ﺗوزﯾﻊ‬ ‫اﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﺛﻧﺎﺋﻲ‪.‬‬ ‫ﻟﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺧطﻰ ﻧﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن أزواج اﻟﻣﺷﺎھدات ) ‪. ( x , y‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ﻧﻘﺎط ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﺗﺗرﻛز ﻓوق وﺣول ﺧط اﻧﺣدار ﻟﮫ ﻣﯾل ﻣوﺟب ‪ ،‬ﻓﮭذا ﯾدل ﻋﻠﻰ‬ ‫ارﺗﺑﺎط ﻣوﺟب ﻗوى ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ) ارﺗﺑﺎط طردي ( ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ ﺷﻛل ) ‪. (a) (١‬‬ ‫وﻣن ﻧﺎﺣﯾﺔ أﺧرى ‪ ،‬إذا ﻛﺎﻧت ﻧﻘﺎط ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﺗﺗرﻛز ﻓوق وﺣول ﺧط اﻧﺣدار ﻟﮫ ﻣﯾل ﺳﺎﻟب‬ ‫ﻓﮭذا ﯾدل ﻋﻠﻰ ارﺗﺑﺎط ﻗوى ﺳﺎﻟب ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ) ارﺗﺑﺎط ﻋﻛﺳﻲ ( ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ ﺷﻛل )‬ ‫‪ (b) (١‬ﻛﻠﻣﺎ زاد اﻧﺗﺷﺎر ﻧﻘﺎط ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﺣول وﻓوق ﺧط اﻻﻧﺣدار ﻓﺈن اﻻرﺗﺑﺎط ﯾﻘل ﻋددﯾﺎ‬ ‫ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ ،‬إذا ﻛﺎﻧت ﻧﻘﺎط ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﺗﻧﺗﺷر ﺑطرﯾﻘﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻛﻣﺎ ﻓﻲ ﺷﻛل )‪c ) (١‬‬ ‫( ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن ‪ r  0‬وﻧﺳﺗﻧﺗﺞ ﻋدم وﺟود ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن ‪ .X,Y‬وﻟﻣﺎ ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ﺑﯾن‬ ‫ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﯾﻌﺗﺑر ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ اﻟﺧطﯾﮫ ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪ r  0‬ﺗﻌﻧﻰ ﻗﺻور ﻓﻲ اﻟﺧطﯾﺔ‬ ‫وﻟﯾﺳت ﻗﺻور ﻓﻲ اﻻرﺗﺑﺎط ‪ .‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻗد ﺗﻛون ھﻧﺎك ﻋﻼﻗﺔ وﻟﻛﻧﮭﺎ ﻋﻼﻗﺔ ﻏﯾر ﺧطﯾﮫ ‪.‬‬ ‫ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل إذا وﺟدت ﻋﻼﻗﺔ ﻗوﯾﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X,Y‬ﻛﻣﺎ ھوﻣوﺿﺢ‬ ‫ﻓﻲ ﺷﻛل )‪ ( d) ( ١‬ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن ‪. r  0‬‬

‫ﺷﻛل )‪(١‬‬ ‫ﯾﻌﺗﺑر ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺧطﻰ ) ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون ﻟﻼرﺗﺑﺎط ( أو اﺧﺗﺻﺎرا ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط أﻛﺛر‬ ‫ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺧطﻰ اﻧﺗﺷﺎرا‪.‬‬ ‫ﯾﺗم ﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪١‬‬

‫‪x i yi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 (x i )   2 (yi )2 ‬‬ ‫‪x i ‬‬ ‫‪  y i ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x i y i ‬‬

‫‪SXY‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪SXX.SYY‬‬

‫‪‬‬

‫ﺣﯾث ‪ r‬اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١‬‬ ‫ﻟدراﺳﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﺗرﻛﯾز اﻷوزون ‪) (X) Ozone‬ﻣﻘﺎس ‪ (PPM‬وﺗرﻛﯾز اﻟﻛرﺑون )‪(Y‬‬ ‫)ﻣﻘﺎس ‪ (  g / m3‬ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪0.100‬‬ ‫‪11.8‬‬ ‫‪0.110‬‬ ‫‪13.0‬‬

‫‪0.057‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪0.071‬‬ ‫‪2.8‬‬

‫‪0.186‬‬ ‫‪15.4‬‬ ‫‪0.140‬‬ ‫‪17.9‬‬

‫‪0.162‬‬ ‫‪13.8‬‬ ‫‪0.111‬‬ ‫‪9.2‬‬

‫‪0.050‬‬ ‫‪6.3‬‬ ‫‪0.074‬‬ ‫‪16.6‬‬

‫‪0.120‬‬ ‫‪9.5‬‬ ‫‪0.154‬‬ ‫‪20.6‬‬

‫‪0.088‬‬ ‫‪11.6‬‬ ‫‪0.055‬‬ ‫‪7.0‬‬

‫أوﺟد ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺑﺳﯾط ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫‪n  16 , x i  1.656 , yi  170.6 ,‬‬ ‫‪x i2  0.196912 , x i yi  20.0397 ,‬‬ ‫‪yi2  2253.56.‬‬ ‫‪x i yi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪(1.656)(170.6‬‬ ‫‪ 20.0397 ‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪= 2.3826,‬‬ ‫‪(x i ) 2‬‬ ‫‪SXX  x i2 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(1.656‬‬ ‫‪ 0.196912 ‬‬ ‫‪ 0.025516,‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪SXY  x i yi ‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪0.066‬‬ ‫‪4.6‬‬ ‫‪0.112‬‬ ‫‪8.0‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪(yi ) 2‬‬ ‫‪(170.6) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2253.56 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪= 434.5375.‬‬

‫‪ yi2‬‬

‫‪SYY‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪SXY‬‬ ‫‪2.3826‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.716.‬‬ ‫‪SXX.SYY‬‬ ‫)‪(0.025516)(434.5375‬‬

‫‪r‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﻣﻧﺎﻗﺷﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟم ﻧﺿﻊ ﻓروض ﻗوﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذي اﺧﺗﺑرت ﻣﻧﮫ اﻟﻌﯾﻧﺔ وذﻟك‬ ‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬واﻟﺗﻲ ﺗرﻣز إﻟﻰ ﻣﻌﺎﻣل ارﺗﺑﺎط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ‪ .‬ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ (1   )100%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬أو اﺧﺗﺑﺎرات ﻓروض ﺗﺧص ‪ ‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻔﺗرض أن اﻟﻌﯾﻧﺔ‬ ‫ﻣﺄﺧوذة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ ‪ the bivarate normal distribution‬أي‬ ‫أن ‪ X , Y‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺣﯾث داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﮭﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻛل ﻣن ‪ Y , X‬ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ‬ ‫اﻟطﺑﯾﻌﻲ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٢‬‬

‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾوﺿﺢ اﻟﺳن و ﺿﻐط اﻟدم ﻟﻌﺷرة ﻣن اﻻﻧﺎث‪.‬‬ ‫‪68‬‬ ‫‪150‬‬

‫‪66‬‬ ‫‪150‬‬

‫‪67‬‬ ‫‪152‬‬

‫‪48‬‬ ‫‪145‬‬

‫‪41‬‬ ‫‪145‬‬

‫‪58‬‬ ‫‪144‬‬

‫‪52‬‬ ‫‪149‬‬

‫‪62‬‬ ‫‪138‬‬

‫‪35‬‬ ‫‪115‬‬

‫‪41‬‬ ‫‪124‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺧطﻲ اﻟﺑﺳﯾط واﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻼزﻣﮫ ﻣﻌطﺎه ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪15376‬‬ ‫‪13225‬‬ ‫‪19044‬‬ ‫‪22201‬‬ ‫‪21025‬‬ ‫‪20736‬‬ ‫‪21025‬‬ ‫‪23104‬‬ ‫`‪22500‬‬ ‫‪22500‬‬

‫‪200736‬‬

‫‪xy‬‬ ‫`‪5084‬‬ ‫‪4025‬‬ ‫‪8556‬‬ ‫‪7748‬‬ ‫‪5945‬‬ ‫‪8352‬‬ ‫‪6960‬‬ ‫‪10184‬‬ ‫`‪9900‬‬ ‫`‪10200‬‬

‫‪76954‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫`‪1681‬‬ ‫‪1225‬‬ ‫‪3844‬‬ ‫‪2704‬‬ ‫‪1681‬‬ ‫‪3364‬‬ ‫‪2304‬‬ ‫‪4489‬‬ ‫‪4356‬‬ ‫`‪4624‬‬

‫‪124‬‬ ‫‪115‬‬ ‫‪138‬‬ ‫‪149‬‬ ‫‪145‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪145‬‬ ‫‪152‬‬ ‫`‪150‬‬ ‫‪150‬‬

‫‪41‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪66‬‬ ‫`‪68‬‬

‫‪30272‬‬

‫‪1412‬‬

‫‪538‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫‪ x y‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪SXY   xy ‬‬

‫‪٣‬‬

‫)‪(538)(1412‬‬ ‫‪ 988.4,‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪( x)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪SXX   x ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(538)2‬‬ ‫‪ 30272 ‬‬ ‫‪ 1327.6,‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪2 (  y‬‬ ‫‪SYY   y ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(1412‬‬ ‫‪ 200736 ‬‬ ‫‪ 1361.6,‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪SXY‬‬ ‫‪988.4‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.735147‬‬ ‫‪SXX.SYY‬‬ ‫)‪(1327.6)(1361.6‬‬

‫‪ 76954 ‬‬

‫ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﻣﻊ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ ﺷﻛل )‪. (٢‬‬

‫ﺷﻛل )‪(٢‬‬ ‫‪‬‬

‫اﺧﺗﺑﺎرات ﻓروض وﻓﺗرات ﺛﻘﺔ ﺗﺧص‬ ‫‪Tests Hypotheses and Confidence Intervals Concerning ‬‬ ‫ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪ H 0 :   0‬ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ H1 :   0‬أو اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‬ ‫‪ H1 :   0‬أو اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ H1 :   0‬وﺑﺎﻓﺗراض ﺻﺣﺔ ﻓرض اﻟﻌدم ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪r n2‬‬

‫‪t‬‬

‫‪1  r2‬‬ ‫ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ T‬ﻟﮫ ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ .   n  2‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ‬ ‫‪ ‬وﻟﻠﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ ) H1 :   0‬اﺧﺗﺑﺎر ذي ﺟﺎﻧﺑﯾن ( ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﺳوف ﺗﻛون‬ ‫‪ T   t  / 2 or T  t  / 2‬ﺣﯾث ‪ t  / 2‬ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ ‪ t‬اﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ‬ ‫‪ .   n  2‬ﻟﻠﺑدﯾل ‪ H1 :   0‬ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ T  t ‬وﻟﻠﺑدﯾل ‪ H1 :   0‬ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ‬ ‫اﻟرﻓض ‪. T  t ‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٣‬‬ ‫ﺑﻔرض أن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﻣﺛﺎل )‪ (١‬ﻣﺄﺧوذة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ اﻟطﺑﯾﻌﻲ‪ .‬اﻟﻣطﻠوب‬ ‫اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم‪ H 0 :   0 :‬ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ H1 :   0‬وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ‬ ‫‪.   0.01‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫‪ 3.84.‬‬

‫‪0.716 14‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪r n2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪t‬‬

‫‪1 r‬‬ ‫)‪1  (0.716‬‬ ‫‪ t0.01= 2.624‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪.   n  2  16  2  14‬‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ . T > 2.624‬وﺑﻣﺎ أن ‪ t‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ ،‬ﻧرﻓض ‪. H0‬‬ ‫وﺑﻣﺎ أن ‪ ‬ﯾﻘﯾس ﻗوة اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺧطﻰ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X,Y‬ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻓﺈن ﻓرض اﻟﻌدم‬ ‫‪ H 0 :   0‬ﯾدل ﻋﻠﻰ ﻋدم وﺟود ارﺗﺑﺎط ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ‪ .‬ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن‬ ‫‪ t  r n  2 / 1  r 2  b1 / s2 /SXX‬وھذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻻﺧﺗﺑﺎرﯾن ﻣﺗﻛﺎﻓﺋﯾن ‪ .‬وﻋﻠﻰ‬ ‫ذﻟك إذا ﻛﺎن اﻻھﺗﻣﺎم ﻓﻘط ﺑﻘﯾﺎس ﻗوة اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X , Y‬وﻟﯾس اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻻﻧﺣدار اﻟﺧطﻰ ﻓﺈن اﺧﺗﺑﺎر ‪ H 0 :   0‬ﯾﻛون اﺳﮭل ﻣن اﺧﺗﺑﺎر ‪ t‬ﻷﻧﮫ ﯾﺗطﻠب ﻛﻣﯾﺔ ﻗﻠﯾﻠﺔ ﻣن‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫اﻷﺳﻠوب اﻟﻣﺳﺗﺧدم ﻻﺧﺗﺑﺎر ‪ H 0 :   0‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪ 0  0‬ﻻ ﯾﻛﺎﻓﺊ أي طرﯾﻘﺔ ﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﺗﺣﻠﯾل اﻻﻧﺣدار‪ .‬ﺑﻔرض أن أزواج اﻟﻣﺷﺎھدات ) ‪ (x1 , y1), (x2 , y2 ),…,(xn , yn‬ﺗﻣﺛل‬ ‫ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺄﺧوذة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ اﻟطﺑﯾﻌﻲ وإذا ﻛﺎﻧت ‪ n‬ﻛﺑﯾرة وﺑﺎﻓﺗراض‬ ‫ﺻﺣﺔ ﻓرض اﻟﻌدم ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪1 1 r ‬‬ ‫‪v  ln ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 1 r ‬‬

‫‪1  1  0 ‬‬ ‫‪ln ‬‬ ‫ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ V‬ﺗﻘرﯾﺑﺎ ً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﻣﺗوﺳط ‪‬‬ ‫‪2  1  0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ، 2V ‬ﺣﯾث اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻻ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ‪ ، ‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫وﺗﺑﺎﯾن‬ ‫‪n 3‬‬ ‫‪1  1  0 ‬‬ ‫‪v  ln ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  1  0 ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪1/ n  3‬‬

‫‪V ‬‬

‫ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ Z‬ﺗﻘرﯾﺑﺎ ً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ‪ .‬اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻌطﻰ اﻟﻔروض‬ ‫اﻟﺑدﯾﻠﺔ وﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻟﻛل ﻓرض ﺑدﯾل ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.‬‬ ‫اﻟﻔروض اﻟﺑدﯾﻠﺔ‬

‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‬ ‫‪Z   z / 2 or Z  z  / 2 .‬‬ ‫‪Z > z‬‬

‫‪H1 :    0‬‬ ‫‪H1 :   0‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪H1 :    0‬‬

‫‪Z < - z‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟدﯾك اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪n  20 , yi  690.30 , yi2  29040.29 ,‬‬ ‫‪x i yi  10818.56 , xi  285.90 x i2  4409.55,‬‬ ‫أﺧﺗﺑر اﻟﻔرض ‪ 0.5  p  0.8‬ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪  = 0.05‬؟‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫أي أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ اﺧﺗﺑﺎر ‪:‬‬ ‫‪ =0.05.‬‬ ‫وﺣﯾث أن ‪ r  .733‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪H 0 :   0.5 ,‬‬

‫‪H1 :   0.5‬‬

‫‪1  1  .733 ‬‬ ‫‪v  ln ‬‬ ‫‪  .935,‬‬ ‫‪2  1  .733 ‬‬ ‫‪1  1  .5 ‬‬ ‫‪V  ln ‬‬ ‫‪  .549.‬‬ ‫‪2  1  .5 ‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪v  ln  (1  0 ) /(1  0 ) ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪1/ n  3‬‬ ‫‪ (.935  .549) 17  1.59.‬‬ ‫‪ z0.05= 1.645‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ‪ .‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪Z > 1.645‬‬ ‫‪ .‬وﺑﻣﺎ أن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل ‪. H0‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ (1-)100%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪e 2 c2  1‬‬ ‫‪e 2 c2  1‬‬

‫‪z / 2‬‬ ‫ﺣﯾث أن‬ ‫‪n3‬‬ ‫ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﻣﺛﺎل )‪ ( ٤‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪n  20,‬‬

‫‪c1  v ‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪e 2c1  1‬‬ ‫‪e 2c1  1‬‬

‫‪z / 2‬‬ ‫‪n 3‬‬

‫‪v  0.935‬‬

‫‪c2  v ‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪r  0.733‬‬

‫‪c1  .935  1.96 / 17  .460,‬‬ ‫‪c2  .935  1.96/ 17  1.410‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪e 2(1.410)  1‬‬ ‫‪e2(1.410)  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪e 2(.460)  1‬‬ ‫‪e2(.460)  1‬‬

‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪0.43 <  < 0.89‬‬

‫‪٧‬‬