(استخدام الاستدلال الاحصائى البييزى فى مجال اختبارات الحياه ( الجزء الاول

‫اﺳﺗﺧدام اﻻﺳﺗدﻻل اﻻﺣﺻﺎﺋﻰ اﻟﺑﯾﯾزى‬ ‫ﻓﻰ ﻣﺟﺎل‬ ‫اﺧﺗﺑﺎرات اﻟﺣﯾﺎه‬ ‫ﺗﺎﻟﯾف‬ ‫اﻟدﻛﺗورة ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم ﻣﺣﻣد‬ ‫اﺳﺗﺎذ ﻣﺷﺎرك‬ ‫ﺟﺎﻣﻌﺔ اﻟدﻣﺎم – ﻛﻠﯾﺔ اﻟﻌﻠوم ﺑﺎﻟدﻣﺎم‬ ‫ﻗﺳم اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت )ﺳﺎﺑﻘﺎ(‬ ‫‪٢٠١٢‬م‬

‫‪١‬‬

٢

‫اھدى ﻛﺗﺎﺑﻰ ھذا إﻟﻰ اﺣﺑﺎﺑﻰ ﻓﻰ ﷲ وھم ‪:‬‬ ‫د‪ .‬ﻧﮭ ﻰ اﻟﻣ ﻼ وزوﺟﮭ ﺎ اﻟﻔﺎﺿ ل اﻻﺳ ﺗﺎذ ﺑﻧ در اﻟﻣ ﻼ وواﻟ دﺗﮭﺎ اﻟﻔﺎﺿ ﻠﺔ ﻧﻌﻣ ﺔ اﻟﻔﺎﯾ د ذات‬ ‫اﻻﺧﻼق اﻟﻌﺎﻟﯾﺔ ﻣﻊ ﺗﻘوى ﷲ واﻟﻛرم واﻻم اﻟﻣﺛﺎﻟﯾﺔ ‪.‬‬ ‫ﻛﻣﺎ اھدى ﻛﺗﺎﺑﻰ ھذا إﻟﻰ اﺣﺑﺎﺑﻰ ﻓﻰ ﷲ وھم ‪:‬‬ ‫د‪.‬ﻣﻧ ﺎل اﻟﻌ وھﻠﻰ ‪ -‬اﯾﻣ ﺎن اﻟﻣﺑ ﯾض ‪ -‬د‪.‬ﺳ ﻣﯾﺔ اﻟﮭ ﺎﺟرى – زﯾﻧ ب اﻟﺻ وﻓﻰ – د‪ .‬ﻧﮭ ﻰ‬ ‫اﻟﺟﺑ ر‪ -‬د‪ .‬رﻧ ﺎ اﻟﺧ ﺎل‪ -‬رﯾ م اﻟﺑﻼﻟ ﻰ – د‪ .‬ﻧ ورة اﻟﻛﻌﺑ ﻰ – د‪ .‬ﻧﺑﯾﻠ ﺔ اﻟﺳ ﻠﯾﻣﺎن – د‪.‬‬ ‫ﻓﺎطﻣﺔ اﻟرواﺟﺢ ‪ -‬د‪.‬ﻧوال اﻟﻔﺎﯾز‬ ‫ﻋﻠ ﻰ اﺧﻼﻗﮭ م اﻟﻌﺎﻟﯾ ﺔ وﺣ ﺑﮭم ﻟ ﻰ ﻓﺎﺳ ﺎل ﷲ ﻟﮭ م اﻟﺻ ﺣﺔ واﻟﻌﺎﻓﯾ ﺔ ﻓ ﻰ اﻟ دﻧﯾﺎ واﻟﺟﻧ ﺔ ﻓ ﻰ‬ ‫اﻻﺧرة‬ ‫د‪ .‬ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم‬

‫‪٣‬‬

‫ﺑﺳم ﷲ اﻟرﺣﻣن اﻟرﺣﯾم‬ ‫ﺗﻣﮭﯾد‬ ‫اﻟﺣﻣ د رب اﻟﻌ ﺎﻟﻣﯾن واﻟﺻ ﻼة واﻟﺳ ﻼم ﻋﻠ ﻰ أﺷ رف اﻟﻣرﺳ ﻠﯾن ﻣﺣﻣ د وﻋﻠ ﻰ آﻟ ﮫ‬ ‫وﺻﺣﺑﮫ أﺟﻣﻌﯾن‪ .‬أﻣﺎ ﺑﻌد‪ ،‬ﻓﺎﻟﺣﻣد اﻟذي ھداﻧﺎ وﻣﺎ ﻛﻧﺎ ﻟﻧﮭﺗدي ﻟوﻻ أن ھ داﻧﺎ ﷲ اﻟ ذي أﻧﻌ م‬ ‫ﻋﻠﻲ ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ ھذا اﻟﻛﺗﺎب ﺗﻠﺑﯾﺔ ﻟﻧداء اﻟﺗﻌرﯾب اﻟذي ﯾﺗﺑﻧﺎه اﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻌﻠﻣﺎء واﻟﻣﺛﻘﻔﯾن‪.‬‬ ‫ﯾﻌﺗﺑر ھذا اﻟﻛﺗﺎب ﺛﻣرة ﻣﺟﮭوداﺗﻰ ﻓﻰ اﻟﻣﺟﺎﻻت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫)‪ (١‬اﻻطﻼع ﻋﻠﻰ اﺣدث اﻟﻣراﺟﻊ اﻟﻌرﺑﯾﺔ واﻻﺟﻧﺑﯾﺔ‬ ‫)‪ (٢‬اﻟﺧﺑ رة ﻓ ﻰ اﻟﺗ درﯾس ﺳ واء ﻓ ﻰ ﻣرﺣﻠ ﺔ اﻟﺑﻛ ﺎﻟورﯾوس او ﺗﻣﮭﯾ دى ﻣﺎﺟﺳ ﺗﯾر او ﺗﻣﮭﯾ دى‬ ‫دﻛﺗوراه وﻛذﻟك اﻻﺷراف ﻋﻠﻰ رﺳﺎﻟﺗﻰ ﻣﺎﺟﺳﺗﯾر وﻣﻧﺎﻗﺷﺔ رﺳﺎﻟﺔ ﻣﺎﺟﺳﺗﯾر واﺧرى دﻛﺗوراه‬ ‫)‪ (٣‬اﻻﺳﺗﺷﺎرات اﻻﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﻓﻰ ﻣﺳﺗوى اﻟﻣﺎﺟﺳﺗﯾر واﻟدﻛﺗوراه‬ ‫)‪ (٤‬دراﺳﺎﺗﻰ ﻓﻰ ﻣرﺣﻠﺔ اﻟﻣﺎﺟﺳﺗﯾر واﻟدﻛﺗوراه واﺑﺣﺎﺛﻰ ﺑﻌد اﻟدﻛﺗوراه ﻓﻰ ﻣوﺿوع اﻟﻛﺗﺎب‬ ‫)‪ (٥‬ﺧﺑرﺗﻰ ﻓﻰ اﻟﺗﺎﻟﯾف‬ ‫)‪ (٦‬ﺗدرﯾﺳ ﻰ ﻟﻣﻘ رر اﻟﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺑﯾﯾ زى ﻟﻣرﺣﻠ ﺔ ﺗﻣﮭﯾ دى دﻛﺗ وراه وﻧظ را ﻟﻧ درة اﻟﻣراﺟ ﻊ‬ ‫اﻻﺟﻧﺑﯾﺔ ﻓﻰ ھذا اﻟﻣﺟﺎل واﻧﻌدام اﻟﻣراﺟﻊ اﻟﻌرﺑﯾﺔ ﻓﻘد اﻋﺗﻣ دت ﻓ ﻰ ﺗﺣﺿ ﯾر ھ ذ اﻟﻣﻘ رر ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﻛﺛﯾر ﻣن اﻻﺑﺣﺎث ﻓﻰ ھذا اﻟﻣﺟﺎل وﻗد ﻗﻣت ﺑﻣﺳﺎﻋدة طﺎﻟﺑﺗﻰ اﻟدﻛﺗورة ﻣﻧﺎل اﻟﻌ وھﻠﻰ ﻓ ﻰ ﻓ ك‬ ‫اﻟﻣﻌﺎدﻻت ﻓﻰ ھذه اﻻﺑﺣﺎث ﻻﻧﮫ ﻣن اﻟﻣﻌروف ان ﻣؤﻟﻔﻰ ﺗﻠك اﻻﺑﺣﺎث ﯾﻛﺗﻔون ﺑﻛﺗﺎﺑ ﺔ اﻟﻧﺗ ﺎﺋﺞ‬ ‫وﻻ ﯾدﺧﻠون ﻓﻰ اﻟﺗﻔﺎﺻﯾل ‪.‬‬ ‫ھذا اﻟﻛﺗﺎب ﯾﺻﻠﺢ ﻛﻣﻘرر ﻟطﻼب اﻟدراﺳﺎت اﻟﻌﻠﯾﺎ ﻓ ﻰ ﻣرﺣﻠ ﺔ ﺗﻣﮭﯾ دى ﻣﺎﺟﺳ ﺗﯾر او‬ ‫ﺗﻣﮭﯾ دى دﻛﺗ وراه وﯾﻌﺗﺑ ر ھ ذا اﻟﻛﺗ ﺎب اﻟﻣرﺟ ﻊ اﻻول ﻋﻠ ﻰ ﻣﺳ ﺗوى اﻟﻌ ﺎﻟم اﻟﻌرﺑ ﻰ ﻓ ﻰ ھ ذا‬ ‫اﻟﻣﺟﺎل ﻛﻣﺎ اﻋﺗﺑره اﻻﻓﺿل ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺗوى اﻟﻌﺎﻟم وﺳ وف اﺗ رك اﻟﺣﻛ م ﻋﻠﯾ ﮫ ﻟﻠﻘ راء ‪ .‬ﯾﺳ ﺗطﯾﻊ‬ ‫ﻗﺎرئ ھذا اﻟﻛﺗﺎب ان ﯾﺗﻌﻠم ﻛﯾﻔﯾﺔ ﻗراءة اﻻﺑﺣ ﺎث ﻛﻣ ﺎ ﯾﻣﻛ ن ان ﯾﺳ ﺗﻔﯾد ﻣ ن اﻟط رق اﻟﻣوﺟ ودة‬ ‫ﻓﻰ اﻟﻛﺗﺎب ﻓﻰ ﺑﺣﺛﺔ ﺣﯾث ﺗﻌطﯾﮫ اﻓﻛﺎر ﺟدﯾدة ‪.‬اﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن ان ﯾﺳﺗﻔﯾد اﻟﺑﺎﺣث ﻣ ن اﻟﻛﺗ ﺎب ﻓ ﻰ‬ ‫اﺧﺗﯾﺎر ﻧﻘطﺔ ﺑﺣﺛﺔ ‪ ،‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻣﺎ ﺗم ﺗطﺑﯾﻘﺔ ﻓﻰ ھذا اﻟﻛﺗﺎب ﺗﺣت ﻓرض ﺗوزﯾﻊ ﻣﻌﯾن‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺗطﺑﯾﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ اﺧر ﻟم ﯾﺗطرق ﻟﮫ ﺑﺎﺣث اﺧر ‪ .‬اﯾﺿﺎ اﻟﻣراﺟ ﻊ ﻓ ﻰ اﺧ ر اﻟﻛﺗ ﺎب ﻟ م‬ ‫اﺳﺗﺧدﻣﮭﺎ ﻛﻠﮭﺎ ﻓﻰ ھذا اﻟﻛﺗﺎب وﻟﻛن اﺳﺗﺧدﻣﺗﮭﺎ ﻓﻰ اﺑﺣﺎث اﺧ رى وﻗ د وﺿ ﻌﺗﮭﺎ ﺣﺗ ﻰ ﺗﺧ دم‬ ‫اﻟﺑﺎﺣث ﻓﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻧﻘﺎط ﺟدﯾدة ﻓﻰ ھذا اﻟﻣﺟﺎل‬ ‫ﯾﺣﺗوي ھذا اﻟﻛﺗﺎب ﻋﻠﻰ ﺧﻣﺳﺔ ﻓﺻول‪ ،‬ﯾﻘ دم اﻟﻔﺻ ل اﻷول ﺑﻌ ض اﻟﻣﻔ ﺎھﯾم اﻻﺳﺎﺳ ﯾﺔ‬ ‫اﻟﺗﻰ ﻟﮭﺎ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﻣوﺿ وع اﻟﻛﺗ ﺎب ‪ ،‬أﻣ ﺎ اﻟﻔﺻ ل اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ﻓﯾﮭ ﺗم ﺑ ﺑﻌض اﻟﺗوزﯾﻌ ﺎت اﻟﻣﻔﯾ دة ﻓ ﻰ‬ ‫ﻣﺟ ﺎل اﺧﺗﺑ ﺎرات اﻟﺣﯾ ﺎه ‪ ،‬ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﯾﮭ ﺗم اﻟﻔﺻ ل اﻟﺛﺎﻟ ث ﺑﻧظرﯾ ﺔ اﻟﺻ ﻼﺣﯾﺔ ‪ ،‬وﯾﺗط رق اﻟﻔﺻ ل‬ ‫اﻟراﺑ ﻊ إﻟ ﻰ اﻻﺳ ﺗدﻻل اﻻﺣﺻ ﺎﺋﻰ اﻟﺑﯾﯾ زى ‪ ،‬اﻣ ﺎ اﻟﻔﺻ ل اﻟﺧ ﺎﻣس ﻓﯾﮭ ﺗم ﺑﺗطﺑﯾ ق اﻻﺳ ﺗدﻻل‬ ‫اﻻﺣﺻﺎﺋﻰ اﻟﺑﯾﯾزى ﻋﻠﻰ ﺑﻌض اﻟﺗوزﯾﻌﺎت ﻓﻰ ﻣﺟﺎل اﺧﺗﺑﺎرات اﻟﺣﯾﺎه‪.‬‬ ‫‪٤‬‬

‫ﺧدﻣﺔ ﻟﻘﺿﺎﯾﺎ اﻟﺑﺣث اﻟﻌﻠﻣﻲ‬ ‫ً‬ ‫وأﺳﺄل ﷲ أن أﻛون ﻗد وﻓﻘت ﻓﻲ ھذا اﻟﻣﺟﮭود اﻟﻣﺗواﺿﻊ‬ ‫ﻓﻲ وطﻧﻧﺎ اﻟﻌرﺑﻲ‪.‬‬ ‫وإﻧﻧﻲ أرﺣب ﺑﻛل ﻧﻘد ﺑﻧﺎء ﯾﮭدف إﻟﻰ اﻷﻓﺿل‪ ،‬وﻣﺎ اﻟﻛﻣﺎل إﻻ وﺣده‪.‬‬ ‫وﷲ وﻟﻲ اﻟﺗوﻓﯾق‬

‫د‪ .‬ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم ‪‬‬

‫‪٥‬‬

‫اﻟﻔﺼﻞ اﻻول ﺑﻌﺾ اﻟﻤﻔﺎھﯿﻢ اﻻﺳﺎﺳﯿﺔ‬ ‫)‪(١ -١‬‬

‫ﻓﻀﺎء )ﻓﺮاغ( اﻟﻌﯿﻨﺔ واﻻﺣﺪاث‬

‫)‪(٢ -١‬‬

‫اﻻﺣﺘﻤﺎل‬ ‫)‪ (١-٢-١‬اﻟﻤﻔﮭﻮم اﻟﻘﺪﯾﻢ )اﻟﻤﻔﮭﻮم اﻟﻜﻼﺳﯿﻜﻰ (‬ ‫)‪ (٢-٢-١‬ﻣﻔﮭﻮم اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻨﺴﺒﻰ‬ ‫)‪(٣-٢-١‬اﻟﻤﻔﮭﻮم اﻟﺸﺨﺼﻰ‬ ‫)‪ (٤-٢-١‬اﻟﺨﻮاص اﻟﻤﻤﯿﺰة ﻟﻘﯿﻢ اﻻﺣﺘﻤﺎل‬

‫)‪(٣ -١‬‬ ‫)‪(٤ -١‬‬

‫ﺑﻌﺾ ﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻻﺣﺘﻤﺎل‬ ‫اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﺸﺮطﻰ‬

‫)‪(٥-١‬‬

‫اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﻜﻠﻰ و ﻗﺎﻋﺪة ﺑﯿﯿﺰ‬

‫)‪(٦-١‬‬

‫اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻰ‬

‫)‪(٧-١‬‬

‫اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ اﻟﻤﻨﻔﺼﻠﺔ )اﻟﻤﺘﻘﻄﻌﺔ(‬ ‫)‪ (١-٧-١‬داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ‬ ‫)‪ (٢-٧-١‬اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻤﺘﻮﻗﻌﺔ‬ ‫)‪ (٣-٧-١‬اﻟﻌﺰوم‬ ‫)‪ (٤-٧-١‬اﻟﻤﻨﻮال واﻟﻮﺳﯿﻂ‬

‫)‪(٨-١‬‬

‫اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻟﺤﺘﻤﺎﻟﯿﺔ اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ )اﻟﻤﺴﺘﻤﺮة(‬ ‫)‪ (١-٨-١‬داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ‬ ‫)‪ (٢-٨-١‬اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻤﺘﻮﻗﻌﺔ‬ ‫)‪ (٣-٨-١‬اﻟﻤﺌﯿﻨﺎت‬

‫)‪(٩-١‬‬

‫اﻟﺪوال ﻟﻤﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم‬

‫)‪(١٠-١‬‬

‫اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ اﻟﻤﺘﻌﺪدة‬ ‫)‪ (١-١٠-١‬اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻟﻤﺘﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ‬ ‫)‪ (٢-١٠-١‬اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ‬ ‫)‪ (٣-١٠-١‬اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ‬ ‫)‪ (٤-١٠-١‬اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻟﺸﺮطﯿﺔ‬ ‫)‪ (٥-١٠-١‬ﺧﻮاص اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻤﺘﻮﻗﻌﺔ‬

‫)‪(١١-١‬‬

‫اﻟﺪوال اﻟﻤﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ‬

‫)‪(١٢-١‬‬

‫دوال ﻓﻰ ﻣﺘﻐﯿﺮات ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ‬ ‫)‪ (١-١٢-١‬طﺮق إﯾﺠﺎد ﺗﻮزﯾﻊ دوال ﻓﻰ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻰ واﺣﺪ‬ ‫)‪ (٢-١٢-١‬طﺮق إﯾﺠﺎد ﺗﻮزﯾﻊ دوال ﻓﻰ ﻣﺘﻐﯿﺮﯾﻦ او اﻛﺜﺮ‬ ‫)‪ (٣-١٢-١‬طﺮﯾﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم‬

‫)‪(١٣-١‬‬

‫اﻟﻤﺠﺘﻤﻌﺎت واﻟﻌﯿﻨﺎت‬

‫)‪(١٤-١‬‬

‫اﻻﺳﺘﺪﻻل اﻻﺣﺼﺎﺋﻰ‬ ‫)‪ (١-١٤-١‬اﻟﺘﻘﺪﯾﺮ‬ ‫)‪ (٢-١٤-١‬اﻟﻔﺮوض اﻻﺣﺼﺎﺋﯿﺔ‬

‫)‪(١٥-١‬‬

‫اﻻﺣﺼﺎء اﻟﻐﯿﺮ ﻣﺘﺤﯿﺰ‬

‫‪٦‬‬

‫)‪(١٦-١‬‬

‫اﻻﺣﺼﺎء اﻟﻜﺎﻓﻰ‬

‫)‪(١٧-١‬‬

‫اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻻﺳﯿﺔ واﻻﺣﺼﺎءات اﻟﻜﺎﻓﯿﺔ‬

‫)‪(١٨-١‬‬

‫داﻟﺔ اﻻﻣﻜﺎن‬

‫)‪(١٩-١‬‬

‫اﻟﻜﻔﺎءة‬

‫)‪(٢٠-١‬‬

‫ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺨﻄﺎ‬

‫)‪(٢١-١‬‬

‫اﻻﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ‬

‫)‪(٢٢-١‬‬

‫اﺧﺘﺒﺎر اﻟﺤﯿﺎه‬

‫)‪(٢٣-١‬‬

‫اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ‬ ‫)‪ (١-٢٣-١‬اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ اﻟﻤﻔﺮدة ذات اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﻮاﺣﺪة‬ ‫)‪ (٢-٢٣-١‬اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ اﻟﻤﺰدوﺟﺔ ذات اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﻮاﺣﺪة‬ ‫)‪ (٣-٢٣-١‬اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ‬ ‫)‪ (٢٤-١‬اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺒﺘﻮرة‬ ‫اﻟﻔﺼـﻞ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﺑﻌﺾ اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ‬

‫)‪(١-٢‬‬

‫اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ‬ ‫)‪ (١-١-٢‬داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل‬ ‫)‪ (٢-١-٢‬داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ‬ ‫)‪ (٣-١-٢‬اﻟﻌﺰوم‬ ‫)‪ (٤-١-٢‬اﻟﻤﺌﯿﻨﺎت‬ ‫)‪(٥-١-٢‬ﺑﻌﺾ اﻻﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ‬ ‫)‪(٦-١-٢‬ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت‬ ‫)‪ (٧-١-٢‬اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ اﻟﻤﺒﺘﻮر‬ ‫)‪ (٨-١-٢‬اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ‬ ‫)‪ (٩-١-٢‬اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ اﻟﻘﯿﺎﺳﻰ‬

‫)‪(٢ -٢‬‬

‫ﺗﻮزﯾﻊ واﯾﺒﻞ‬ ‫)‪ (١-٢-٢‬داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل‬ ‫)‪ (٢-٢-٢‬داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ‬ ‫)‪ (٣-٢-٢‬اﻟﻌﺰوم‬ ‫)‪ (٤-٢-٢‬ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ وﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﻟﺘﻮاء‬ ‫)‪ (٥-٢-٢‬اﻟﻤﻨﻮال و اﻟﻮﺳﯿﻂ‬ ‫)‪ (٦-٢-٢‬اﻟﻤﺌﯿﻨﺎت‬

‫)‪(٣ -٢‬‬

‫ﺗﻮزﯾﻊ واﯾﺒﻞ اﻟﻌﺎم )ب ‪ ٣‬ﻣﻌﺎﻟﻢ(‬ ‫)‪ (١-٣-٢‬داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل‬ ‫)‪ (٢-٣-٢‬داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ‬ ‫)‪ (٣-٣-٢‬اﻟﻤﻨﻮال و اﻟﻮﺳﯿﻂ‬ ‫)‪ (٤-٣-٢‬اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ‬ ‫)‪ (٥-٣-٢‬ﺑﻌﺾ اﻻﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ‬ ‫)‪ (٦-٣-٢‬اﻟﻤﺤﺎﻛﺎة‬

‫)‪(٤ -٢‬‬

‫ﺗﻮزﯾﻊ ‪Extreme Value‬‬ ‫)‪ (١-٤-٢‬داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل‬

‫‪٧‬‬

‫)‪ (٢-٤-٢‬داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ‬ ‫)‪ (٣-٤-٢‬اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ‬ ‫)‪ (٤-٤-٢‬اﻟﻤﺌﯿﻨﺎت‬ ‫)‪(٥ -٢‬‬

‫ﺗﻮزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ‬ ‫)‪ (١-٥-٢‬داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل و داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ‬ ‫)‪ (٢-٥-٢‬اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ‬ ‫)‪ (٣-٥-٢‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم‬ ‫)‪ (٤-٥-٢‬اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ‬

‫)‪(٦ -٢‬‬

‫ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺘﻮ‬ ‫)‪ (١-٦-٢‬داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل و داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ‬ ‫)‪ (٢-٦-٢‬اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ واﻟﺘﺒﺎﯾﻦ‬ ‫)‪ (٣-٦-٢‬اﻟﻤﺌﯿﻨﺎت‬ ‫)‪ (٤-٦-٢‬ﺷﻜﻞ اﺧﺮ ﻟﺘﻮزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺘﻮ‬

‫)‪(٧ -٢‬‬

‫ﺗﻮزﯾﻊ ﻛﻮﺷﻰ‬

‫)‪(٨ -٢‬‬

‫اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻄﺒﯿﻌﻰ‬

‫)‪(٩ -٢‬‬

‫ﺗﻮزﯾﻊ ﻣﻌﻜﻮس ﺟﺎﻣﺎ‬

‫)‪(١٠ -٢‬‬

‫اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻰ اﻟﻄﺒﯿﻌﻰ‬

‫)‪(١١ -٢‬‬

‫ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﯿﯿﺮ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻋﺸﺮ‬

‫)‪(١٢ -٢‬‬

‫ﻣﻌﺎﻟﻢ اﻟﻤﻘﯿﺎس واﻟﻤﻮﻗﻊ‬ ‫اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ‬

‫)‪(١ -٣‬‬

‫اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ‬ ‫)‪ (١-١-٣‬ﻣﻘﺎﯾﯿﺲ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ‬ ‫)‪ (٢-١-٣‬ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄﻞ اﻟﻄﺒﯿﻌﻰ‬ ‫)‪ (٣-١-٣‬ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄﻞ اﻻﺳﻰ‬ ‫)‪ (٤-١-٣‬ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄﻞ ﻟﻮاﯾﺒﻞ‬

‫)‪(٢ -٣‬‬

‫ﺻﻼﺣﯿﺔ اﻟﺘﻮاﻟﻰ واﻟﺘﻮازى‬ ‫اﻟﻔﺼـﻞ اﻟﺮاﺑﻊ ‪ :‬اﻻﺳﺘﺪﻻل اﻻﺣﺼﺎﺋﻰ اﻟﺒﯿﯿﺰى‬

‫)‪(١ -٤‬‬

‫ﻣﻘﺪﻣﺔ‬

‫)‪(٢ -٤‬‬

‫اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻟﺒﻌﺪﯾﺔ‬

‫)‪(٣ -٤‬‬

‫اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻟﻘﺒﻠﯿﺔ اﻟﻤﺮاﻓﻘﺔ‬

‫)‪(٤ -٤‬‬

‫اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻟﻘﺒﻠﯿﺔ اﻟﻐﯿﺮ ﻣﻌﻠﻤﺔ‬ ‫)‪ (١ -٤ -٤‬اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ‬ ‫)‪ (٢ -٤ -٤‬ﻣﻌﻠﻮﻣﺎت ﻓﯿﺸﺮ‬

‫)‪(٥ -٤‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ اﻟﻤﺰﻋﺠﺔ او اﻟﻤﻘﻠﻘﺔ‬

‫)‪(٦ -٤‬‬

‫ﻣﻘﺪر اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻟﺒﯿﯿﺰ‬

‫)‪(٧ -٤‬‬

‫ﻣﻘﺪر ﺑﯿﯿﺰ ﺑﻔﺘﺮة‬

‫)‪(٨ -٤‬‬

‫ﻣﺒﺎدئ ﻓﻰ ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﻘﺮار اﻟﺒﯿﯿﯿﺰى‬ ‫)‪ (١ -٨ -٤‬داﻟﺔ اﻟﺨﺴﺎرة‬ ‫)‪ (٢ -٨ -٤‬داﻟﺔ اﻟﻤﺨﺎطﺮة‬

‫‪٨‬‬

‫)‪(٣ -٨ -٤‬ﻣﺨﺎطﺮة ﺑﯿﯿﺰ‬ ‫)‪(٩ -٤‬‬

‫ﻣﻘﺪر اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻟﺒﯿﯿﺰ اﻟﻤﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﻘﺮار اﻟﺒﯿﯿﺰى‬ ‫)‪ (١ -٩ -٤‬ﺑﻌﺾ دوال اﻟﺨﺴﺎرة‬ ‫)‪ (٢ -٩ -٤‬داﻟﺔ اﻟﻤﺨﺎطﺮة‬ ‫)‪ (٣ -٩ -٤‬ﻣﻘﺪر ﺑﯿﯿﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺨﻄﺎ وداﻟﺔ ﺧﺴﺎرة اﻟﺨﻄﺎ اﻟﻤﻄﻠﻖ‬ ‫)‪ (٤ -٩ -٤‬ﻣﻘﺪر ﺑﯿﯿﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ اﻟﺨﺴﺎرة اﻻﺳﯿﺔ‬ ‫)‪ (٥ -٩ -٤‬ﻣﻘﺪر ﺑﯿﯿﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ اﻟﺨﺴﺎرةاﻻﻧﺘﺮروﺑﯿﺎ اﻟﻤﻌﻤﻤﺔ‬ ‫)‪ (٦ -٩ -٤‬ﻣﻘﺪر ﺑﯿﯿﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض ‪Log-odds squared-error loss function‬‬

‫)‪(١٠ -٤‬‬

‫طﺮق ﺗﻘﺮﯾﺒﯿﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻼت اﻟﺒﯿﯿﺰﯾﺔ‬ ‫)‪ (١ -١٠ -٤‬ﺗﻘﺮﯾﺐ ﻟﻨﺪﻟﻰ‬ ‫)‪(٢ -١٠ -٤‬ﺗﻘﺮﯾﺐ ﺗﯿﺮﻧﻰ وﻛﺎدﯾﻦ‬

‫)‪(١١ -٤‬‬

‫اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻻﺣﺼﺎﺋﻰ اﻟﺒﯿﯿﺰى‬ ‫)‪ (٢ -١١ -٤‬ﺗﻨﺒﺆ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻮاﺣﺪة‬ ‫)‪ (٢ -١١ -٤‬ﺗﻨﺒﺆ اﻟﻌﯿﻨﺘﯿﻦ‬ ‫)‪(٣ -١١ -٤‬اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻤﻨﻌﺰﻟﺔ‬

‫)‪(١ -٥‬‬

‫اﻟﻔﺼـﻞ اﻟﺨﺎﻣﺲ‪ :‬اﻻﺳﺘﺪﻻل اﻟﺒﯿﯿﺰى ﻟﺒﻌﺾ اﻟﺘﻮزﯾﻐﺎت ﺗﺤﺖ اﺧﺘﺒﺎرات اﻟﺤﯿﺎه‬ ‫اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻤﻌﻠﻤﺔ واﺣﺪة‬ ‫)‪ (١ -١ -٥‬ﻓﺘﺮة ﺛﻘﺔ ﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﺤﯿﺎة و ﺗﻘﺪﯾﺮ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻻﻣﻜﺎن ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ‬ ‫)‪ (٢ -١ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮ اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﺤﯿﺎة ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻻﻣﻜﺎن ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻻول‬ ‫)‪ (٣ -١ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮ اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﺤﯿﺎة ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫)‪ (٤ -١ -٥‬ﺗﻨﺒﺆ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻮاﺣﺪة‬ ‫)‪ (٥ -١ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض ﺗﻮزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻌﻜﺴﻰ ﻛﺘﻮزﯾﻊ ﻗﺒﻠﻰ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫)‪( , ‬‬

‫)‪ (٦ -١ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة‬

‫ﻛﺘﻮزﯾﻊ ﻗﺒﻠﻰ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ‬

‫اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫)‪ (٧ -١ -٥‬ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻤﻌﻠﻤﺔ ‪‬‬

‫ﻛﺘﻮزﯾﻊ ﻗﺒﻠﻰ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع‬

‫اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫)‪ (٨ -١ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض ‪ prior quasi- density‬ﻛﺘﻮزﯾﻊ ﻗﺒﻠﻰ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫)‪ (٩ -١ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ اﻟﻤﺮاﻓﻖ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫)‪ (١٠ -١ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻧﻘﺺ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت ﻋﻦ ‪ ‬ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫)‪ (١١ -١ -٥‬اﻟﺘﻘﺪﯾﺮ اﻟﺒﯿﯿﺰى ﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﺤﯿﺎة وداﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ ﻟﻠﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ذو اﻟﺒﺘﺮ اﻟﻤﺰدوج ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ‬ ‫اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ‬ ‫)‪ (١٢ -١ -٥‬اﻟﺘﻘﺪﯾﺮ اﻟﺒﯿﯿﺰى ﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﺤﯿﺎة وداﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ ﻟﻠﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻣﻦ ﺟﮭﺘﯿﻦ‬

‫)‪ (١٣ -١ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮات اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ ‪, ‬‬

‫ﻟﻠﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ‬

‫)‪ (١٤ -١ -٥‬ﺑﻌﺾ اﻟﻨﻈﺮﯾﺎت اﻟﺘﻰ ﺗﺨﺺ اﻟﺘﻘﺪﯾﺮات اﻟﺒﯿﯿﺰﯾﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ ‫ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ و ‪ ‬ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ‬

‫‪‬‬

‫ﺗﺤﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ‬

‫)‪ (١٥ -١ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﻟﻤﻌﺎﻟﻢ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ وداﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫)‪ (١٦ -١ -٥‬ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯿﻦ زﻣﻦ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ واﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫)‪(٢ -٥‬‬

‫ﺗﻮزﯾﻊ واﯾﺒﻞ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ‬ ‫)‪ (١ -٢ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ‬ ‫)‪ (٢ -٢ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﻟﻤﻌﺎﻟﻢ ﺗﻮزﯾﻊ واﯾﺒﻞ ذو اﻟﺒﺘﺮ اﻟﻤﺰدوج ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ‬

‫‪٩‬‬

‫)‪(٣ -٥‬‬

‫ﺗﻮزﯾﻊ ﻛﻮﺷﻰ‬ ‫)‪ (١ -٣ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮات اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻟﻤﻌﺎﻟﻢ ﺗﻮزﯾﻊ ﻛﻮﺷﻰ‬ ‫)‪ (٢ -٣ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮ اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ‬ ‫)‪ (٣ -٣ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮ ﺑﯿﯿﺰ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ‬

‫)‪(٤ -٥‬‬

‫اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﺗﻤﻰ اﻟﻄﺒﯿﻌﻰ‬ ‫)‪ (١ -٥ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮات اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺎت اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫)‪ (٢ -٥ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮ ﺑﯿﯿﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض ﺗﻮزﯾﻊ ﻗﺒﻠﻰ ﻟﻤﻌﻠﻤﺔ اﻟﻤﻘﯿﺎس ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺎت اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ‬

‫)‪(٥ -٥‬‬

‫ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﯿﯿﺮ اﻻﺛﻨﻰ ﻋﺸﺮ‬ ‫)‪ (١ -٥ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮات اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺎت اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫)‪ (٢ -٥ -٥‬ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫)‪(٦ -٥‬‬

‫ﺗﻨﺒﺆ اﻟﻌﯿﻨﺘﯿﻦ ﻟﺒﯿﯿﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺘﻮ‬ ‫)‪ (١ -٦ -٥‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ ﻏﯿﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ وﺣﺠﻢ اﻟﻌﯿﻨﺔ ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫)‪ (٢ -٦ -٥‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ ﻏﯿﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ وﺣﺠﻢ اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻰ‬ ‫)‪ (٣ -٦ -٥‬وﺟﻮد ﻗﯿﻤﺔ ﻣﻨﻌﺰﻟﺔ‬ ‫اﻟﻤﺮاﺟﻊ‬ ‫اﻟﻤﻼﺣﻖ‬

‫‪١٠‬‬

‫اﻟﻔﺻل اﻻول‬

‫ﺑﻌض اﻟﻣﻔﺎھﯾم اﻷﺳﺎﺳﯾﺔ‬

‫‪١١‬‬

‫)‪١‬ـ‪ (١‬ﻓﺿﺎء )ﻓراغ( اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻷﺣداث‬

‫‪Sample Space and Events‬‬

‫ﺗُﺟرى اﻷﺑﺣﺎث ﻓﻲ ﻣﺟﺎﻻت ﻛﺛﯾرة‪ ،‬ﻓﻔﻲ ﻣﺟﺎل اﻟطب ﻗد ﯾﮭﺗم ﺑﺎﺣث ﺑدراﺳﺔ ﺗﺄﺛﯾر دواء ﻣﻌ ﯾن ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﻣرض ﻣ ﺎ‪ ،‬وﻓ ﻲ ﻣﺟ ﺎل اﻻﻗﺗﺻ ﺎد ﻗ د ﯾﮭ ﺗم ﺑﺎﺣ ث ﺑدراﺳ ﺔ أﺳ ﻌﺎر ﺛ ﻼث ﺳ ﻠﻊ ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻓ ﻲ ﻓﺗ رات‬ ‫ٍ‬ ‫اﻟﺷﻔﺎء ﻣن‬ ‫زﻣﻧﯾ ﺔ ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ‪ ،‬وﻓ ﻲ ﻣﺟ ﺎل اﻟزراﻋ ﺔ ﻗ د ﯾﮭ ﺗم ﺑﺎﺣ ث ﺑدراﺳ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر ﺳ ﻣﺎد ﻛﯾﻣ ﺎﺋﻲ ﻋﻠ ﻰ ﻛﻣﯾ ﺔ اﻟﻣﺣﺻ ول‪.‬‬ ‫اﻟطرﯾ ق اﻟوﺣﯾ د ﻟﻠﺑﺎﺣ ث ﻟﻠﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﻣﻌﻠوﻣ ﺎت ﻋ ن اﻟظ ﺎھرة ﻣوﺿ ﻊ اﻟدراﺳ ﺔ ھ و إﺟ راء ﺗﺟرﺑ ﺔ‬ ‫‪ experiment‬وھﻰ أي إﺟراء ﻧﺣﺻل ﺑﮫ ﻋﻠ ﻰ ﺑﯾ ﺎن )ﻣﺷ ﺎھدة( ﺳ واء ﻓ ﻲ اﻟطﺑﯾﻌ ﺔ أو ﻓ ﻲ اﻟﻣﻌﻣ ل وھ ذا‬ ‫اﻟﺑﯾﺎن ﻗد ﯾﻛون رﻗﻣﻲ أو وﺻﻔﻰ ‪.‬‬ ‫ﻧﺟد ﻓﻲ ﻣﻌظم اﻟﺣﺎﻻت أن ﻧﺗﯾﺟﺔ اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻋواﻣل اﻟﺻدﻓﺔ ) ﻋواﻣل ﺧﺎرﺟ ﺔ ﻋ ن إرادة‬ ‫اﻟﺑﺎﺣث أي ﻓﻲ ﻋﻠم ﷲ( وﻻ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻧﺑؤ ﺑﮭﺎ ﺑﺷﻲء ﻣن اﻟﺗﺄﻛﯾد‪ ،‬وﻟﻛن ﯾﻣﻛن وﺻف ﻓﺋ ﺔ ﻛ ل اﻟﻧﺗ ﺎﺋﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ‬ ‫ﻟﮭﺎ ﻗﺑل إﺟراﺋﮭﺎ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻲ ﻋﻧﺎﺻرھﺎ ﺗﻣﺛل ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻧواﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﺗﺳﻣﻰ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١-١‬‬ ‫ﻗ ﺎم ﻣﺳ ﺋول ﺑﻣراﻗﺑ ﺔ اﻟﺟ ودة ﻓ ﻲ ﻣﺻ ﻧﻊ ﻹﻧﺗ ﺎج أﺳ ﻣﺎك اﻟﺳ ﺎﻟﻣون ﺑﺎﺧﺗﺑ ﺎر ﻛ ل ﺻ ﻧدوق ﻣﻧ ﺗﺞ وأﺧ ذ ﻋﯾﻧ ﺔ‬ ‫واﻻﺳﺗﻣرار ﻓﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ﺣﺗﻰ ظﮭور ﺻﻧدوق ﺗ ﺎﻟف ‪ .‬اذﻛ ر ﻓﺿ ﺎء اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻟﻌﻣﻠﯾ ﺔ اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ﻊ اﻟﻌﻠ م أن ‪y‬‬ ‫ﺗﻣﺛل اﻟﺻﻧدوق اﻟﺳﻠﯾم و ‪ n‬ﺗرﻣز ﻟﻠﺻﻧدوق اﻟﺗﺎﻟف ‪.‬‬

‫اﻟﺣـل‪:‬‬ ‫‪S  {n ,yn ,yyn ,yyyn , . . . } ‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬ﯾﺳﻣﻰ أي ﻋﻧﺻر ﻓﻲ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻧﻘطﺔ ﻋﯾﻧﺔ ‪. sample point‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪ event‬ھﻲ أي ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣن ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺟزﺋﯾﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻋﻧﺻر واﺣد ﻓﻘ ط ﺗﺳ ﻣﻰ ﺣﺎدﺛ ﺔ ﺑﺳ ﯾطﺔ‪ ٠simple event‬أﻣ ﺎ‬ ‫اﻟﺣﺎدﺛﺔ اﻟﻣرﻛﺑﺔ ‪ compound event‬ﻓﮭﻲ اﻟﺗﻲ ﺗﻧﺗﺞ ﻣن اﺗﺣﺎد أﺣداث ﺑﺳﯾطﺔ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٢-١‬‬ ‫أﻟﻘﻰ زوج ﻣن زھرﺗﻲ اﻟﻧرد ﻣرة واﺣدة‪ ،‬اذﻛر اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪:‬‬ ‫)ب( ﻣﺟﻣوع اﻟوﺟﮭﯾن اﻟظﺎھرﯾن إﻣﺎ ‪ 4‬أو‪.5‬‬ ‫)أ( ﻣﺟﻣوع اﻟوﺟﮭﯾن اﻟظﺎھرﯾن ﯾﺳﺎوي ‪.9‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( } )‪A = {(4,5),(5,4),(3,6),(6,3‬‬ ‫)ب( } )‪B = {(2,2),(4,1),(1,4),(2,3),(3,2) ,(1,3), (3,1‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪:‬‬ ‫ﯾﻘﺎل أن ‪ A , B‬ﺣﺎدﺛﺗﺎن ﻣﺎﻧﻌﺗ ﺎن ) ﻣﺗﻧﺎﻓﯾﺗ ﺎن( ‪ exclusive events‬إذا ﻛ ﺎن وﻗ وع إﺣ داھﻣﺎ ﯾﻣﻧ ﻊ وﻗ وع‬ ‫اﻵﺧر وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓﺈن ‪. A  B ‬‬

‫‪١٢‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٣-١‬‬ ‫ﻋﻧد إﻟﻘﺎء زھرة ﻧرد ﻣرة واﺣدة‪ ،‬ﻣﺎ ھﻲ ﺣﺎدﺛﺔ ظﮭور رﻗم زوﺟ ﻲ وﻣ ﺎ ﺣﺎدﺛ ﺔ ظﮭ ور رﻗ م ﻓ ردي؟ وھ ل‬ ‫اﻟﺣﺎدﺛﺗﯾن ﻣﺗﻧﺎﻓﯾﺗﯾن؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺣﺎدﺛﺔ ظﮭور رﻗم زوﺟﻲ ھﻲ }‪ A  {2,4,6‬وﺣﺎدﺛﺔ ظﮭور رﻗم ﻓردى ھﻲ }‪B  {1,3,5‬‬ ‫و ‪ A  B  ‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪ A‬و ‪ B‬ﺣﺎدﺛﺗﺎن ﻣﺎﻧﻌﺗﺎن‪.‬‬

‫)‪ (٢-١‬اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

‫)‪(Probability‬‬

‫ﺗﻣدﻧﺎ ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﺑﻔﺋﺔ ﻣن اﻷرﻗﺎم ﺗﺳﻣﻰ اﻷوزان ‪ weights‬ﺗﺗراوح ﻣن اﻟﺻﻔر إﻟﻰ اﻟواﺣد‬ ‫اﻟﺻﺣﯾﺢ واﻟﺗﻲ ﺗﻣﻛﻧﻧﺎ ﻣن ﺗﻘدﯾر ﻹﻣﻛﺎﻧﯾﺔ )ﻓرﺻﺔ( وﻗوع اﻷﺣداث اﻟﺗﻲ ﺗﻧﺗﺞ ﻣن ﺗﺟﺎرب إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ‪ .‬ﻟﻛل‬ ‫ﻧﻘطﺔ ﻓﻲ ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻧﻌﯾن وزن ﺑﺣﯾث ﯾﻛون ﻣﺟﻣوع اﻷوزان ﯾﺳﺎوى اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ‪ ٠‬إذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ‬ ‫ﺳﺑب ﻟﻛﻲ ﻧﻌﺗﻘد أن ھﻧﺎك إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ ﻛﺑﯾرة ﻟوﻗوع ﻧﻘطﺔ ﻓﻲﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻌﯾن ﻟﮭﺎ رﻗﻣﺎ ً ﻗرﯾﺑﺎ ً ﻣن اﻟواﺣد‬ ‫اﻟﺻﺣﯾﺢ‪ .‬وﻣن ﻧﺎﺣﯾﺔ أﺧرى ﯾﻌﯾن وزن ﻗرﯾب ﻣن اﻟﺻﻔر ﻟﻧﻘﺎط اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ وﻗوﻋﮭﺎ ﺿﺋﯾل‪٠‬‬ ‫ﻟﻠﻧﻘﺎط ﺧﺎرج ﻧطﺎق اﻟﻌﯾﻧﺔ‪ ،‬أي اﻟﻧﻘﺎط اﻟﺗﻲ ﯾﺳﺗﺣﯾل ﺣدوﺛﮭﺎ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻌﯾن ﻟﮭﺎ اﻟرﻗم ﺻﻔر وﺗﺳﻣﻰ اﻷﺣداث‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﺣﯾﻠﺔ اﻟﺣدوث‪ .‬ﻓﻲ ھذا اﻟﺑﻧد ﺳوف ﻧﻧﺎﻗش ﺛﻼﺛﺔ ﻣﻔﺎھﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻘﯾﺎس اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت وھﻰ ‪ :‬اﻟﻣﻔﮭوم‬ ‫اﻟﻘدﯾم )اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﻲ( و ﻣﻔﮭوم اﻟﺗﻛرار اﻟﻧﺳﺑﻲ‪ ،‬واﻟﻣﻔﮭوم اﻟﺷﺧﺻﻲ‪.‬‬

‫) ‪ ( ١-٢-١‬اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻘدﯾم ) اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﻲ ( )‪(Classical Concept‬‬ ‫ﺗﺑﻌﺎ ﻟﮭذا اﻟﻣﻔﮭوم ﺗﺣدد أرﻗﺎم اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت أو ﯾﻣﻛن ﺗﻘدﯾرھﺎ ﻗَ ْﺑﻠِﻲ ‪ ) a priori‬ﻗﺑل اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ‪before‬‬ ‫‪ ٠ ( fact‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‪ ،‬اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﺎﻟﺿﺑط ‪ exact probability‬أن ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ ﺗﻘﻊ ﺗﺣدد ﻗﺑل وﻗوع اﻟﺣﺎدﺛﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻘدﯾم ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل ﻣﺑﻧﻰ ﻋﻠﻰ أﺳﺎس أﻧﮫ إذا ﻛﺎﻧت ﺗﺟرﺑﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ‪ M‬ﻣن اﻟﻧﻘﺎط‪ ،‬أي أن ﻋدد‬ ‫اﻟﻧواﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺎ ھو ‪ M‬وﻛﺎﻧت ھذه اﻟﻧواﺗﺞ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻲ إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ اﻟﺣدوث وإذا اﺣﺗوت اﻟﺣﺎدﺛﺔ‬ ‫‪ A‬ﻋﻠﻰ ﻋدد ‪ m‬ﻣن اﻟﻧﻘﺎط ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺎدﺛﺔ ھو‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪P(A)  ‬‬ ‫‪M‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٤-١‬‬ ‫ﺛﻼث أﺟزاء ﻣن ﻛﺗﺎب ﻣوﺿوﻋﺔ ﻋﻠﻰ رف ﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬ ‫)ب( اﻟﺟزء اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻓﻲ اﻟﻣﻛﺎن اﻷول؟‬ ‫)أ( اﻷﺟزاء ﻓﻲ وﺿﻌﮭﺎ اﻟﺻﺣﯾﺢ؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو‪:‬‬ ‫‪S  1 2 3 , 1 3 2  ,  2 1 3  ,  2 3 1 ,  3 1 2  ,  3 2 1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪) A  1 2 3   P(A)  ‬أ(‬ ‫‪6‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪2 1‬‬ ‫‪) B   2 1 3 ,(2 3 1  P(B)=  .‬ب(‬ ‫‪6 3‬‬

‫) ‪ ( ٢-٢-١‬ﻣﻔﮭوم اﻟﺗﻛرار اﻟﻧﺳﺑﻲ‬

‫‪(Relative Frequency Concept‬‬

‫ﯾﺷﺗرط ھذا اﻟﻣﻔﮭوم إﺟراء اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋدد ﻛﺑﯾر ﻣن اﻟﻣرات وﻣﻌرﻓﺔ ﻧﺗﺎﺋﺟﮭﺎ وﺑﻌد ذﻟك ﻗﯾﺎس‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧت ‪ N‬ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻣرات ) اﻟﻣﺣﺎوﻻت ‪ ( trails‬اﻟﺗﻲ أﺟرﯾت ﺑﮭﺎ ﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺎ ﺗﺣت ﻧﻔس‬ ‫اﻟظروف و ‪ n‬ﺗﻣﺛل ﻋدد ﻣرات )اﻟﺗﻛرار( ظﮭور اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪ A‬ﺧﻼل ‪ N‬ﻣن اﻟﻣرات اﻟﺗﻲ ﻛررت ﻓﯾﮭﺎ‬ ‫اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪ A‬ھو ‪-:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P(A)  lim‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ھو اﻟﺗﻛرار اﻟﻧﺳﺑﻲ ﻟﻠﺣﺎدﺛﺔ ‪ A‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺗﺟﺎرب اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ ‪ N .‬ﻋﺎدة ﺗﻛون ﻗﯾم‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫‪N‬‬ ‫اﻟﺗﻛرار اﻟﻧﺳﺑﻲ ﻏرﯾﺑﺔ اﻷطوار ﻟﻠﻘﯾم اﻟﺻﻐﯾرة ﻣن ‪ N‬وﻟﻛن ﻋﻧدﻣﺎ ﺗزﯾد ﻗﯾﻣﺔ ‪ ، N‬ﻓﻘد أوﺿﺣت اﻟﺧﺑرة‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺗﻛﺗﺳب ﺑﻌض اﻻﻧﺗظﺎم اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ وﺗﺳﺗﻘر ﺣول ﻗﯾﻣﺔ ﺛﺎﺑﺗﺔ ھﻲ )‪ P(A‬وﻟذﻟك ﻋرف‬ ‫أن اﻟﻧﺳﺑﺔ‬ ‫‪N‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ﯾزداد ﻋدد اﻟﻣﺣﺎوﻻت أو اﻟﺗﺟﺎرب وﯾؤول إﻟﻰ ﻣﺎ ﻻﻧﮭﺎﯾﺔ‪ .‬اﻻﺣﺗﻣﺎل‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﺄﻧﮫ ﻧﮭﺎﯾﺔ اﻟﻧﺳﺑﺔ‬ ‫‪N‬‬ ‫اﻟﻣﺑﻧﻰ ﻋﻠﻰ ھذا اﻟﻣﻔﮭوم ﯾﻘدر ﺑَﻌْ دِى ‪) a posteriori‬ﺑﻌد اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ‪.(after fact‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥-١‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺻﻧﻊ ﻹطﺎرات اﻟﺳﯾﺎرات ﺗﺑﯾن أن ﻛل ‪ 100000‬إطﺎر ﻣﻧﺗﺞ ﯾﻛون ﻣن ﺑﯾﻧﮭﺎ ‪ 300‬إطﺎر ﺗ ﺎﻟف‪ .‬ﻓﻣ ﺎ‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل اﺧﺗﯾﺎر إطﺎر ﺗﺎﻟف؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋدد اﻹطﺎرات ‪ N=100000‬ﻋدد اﻹطﺎرات اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ ‪ ٠ n  300‬وﻋﻠﻰ ذﻟك اﺣﺗﻣﺎل اﺧﺗﯾﺎر إطﺎر‬ ‫ﺗﺎﻟف ھو ‪-:‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪P(A) ‬‬ ‫‪ 0.003.‬‬ ‫‪100000‬‬

‫)‪ ( ٣-٢-١‬اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﺷﺧﺻﻲ‬

‫‪Subject Probability‬‬

‫ﺗﺑﻌﺎ ﻟﮭذا اﻟﻣﻔﮭوم‪ ،‬اﻻﺣﺗﻣﺎل ھو درﺟﺔ اﻟﺛﻘﺔ ﻓﻲ وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ واﻟﻣﻘررة ﻣن ﺷﺧص ﻣﺎ ﺑﻧﺎء ﻋﻠﻰ‬ ‫دﻟﯾل ﻣﺗوﻓر ﻟدﯾﮫ‪ ٠‬ھذا اﻟدﻟﯾل ﻗد ﯾﻛون أي ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻛﻣﯾﺔ أو ﻏﯾر ﻛﻣﯾﺔ‪ .‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻗد ﯾﺣدد‬ ‫اﻟﺷﺧص اﻟﻘﺎﺋم ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺷﺗرﯾﺎت ﻓﻲ ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪ 0.25‬ﻟﻠﺣﺎدﺛﺔ أن ﺷﺣﻧﺔ ﻣﺎ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺛر‬ ‫‪ 2%‬وﺣدات ﺗﺎﻟﻔﺔ‪ ٠‬ھذا اﻟﻣﻔﮭوم ﯾﺧﺗﻠف ﻣن ﺷﺧص إﻟﻰ آﺧر وذﻟك ﻟﻌواﻣل ﻛﺛﯾرة ﻣﻧﮭﺎ اﻟﺧﺑرة‪٠‬‬

‫) ‪ (٤-٢-١‬اﻟﺧ واص اﻟﻣﻣﯾ زة ﻟﻘ ﯾم اﻻﺣﺗﻣ ﺎل ‪Characteristics of Probability‬‬ ‫‪Numbers‬‬ ‫‪١٤‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ S‬ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣراﻓق ﻟﺗﺟرﺑﺔ وإذا ﻛﺎﻧت ‪ A1 ,A 2 ,...‬ﺗﻣﺛل ﻛل اﻷﺣداث اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻓﺈن ﻗﯾم‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻘدرة ﻟﻸﺣداث اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻻﺑد أن ﺗﺗواﻓر ﻓﯾﮭﺎ اﻟﺷروط اﻵﺗﯾﺔ ‪-:‬‬ ‫)أ( ﯾراﻓق ﻛل ﺣﺎدﺛﺔ ‪ A‬ﻋدد ﻣﻌﯾن )‪ P(A‬ﯾﺳﻣﻰ اﺣﺗﻣﺎل ‪ A‬وﯾﺣﻘق ‪P(A)  0 .‬‬ ‫)ب( اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ﻣؤﻛدة ﯾﺳﺎوى اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ‪ ،‬أي أن ‪P(S)  1‬‬ ‫)ج( إذا ﻛﺎﻧت ‪ A1 ,A 2 ,A3 ...‬ﻋدد ﻹﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟﺣوادث اﻟﻣﺎﻧﻌﺔ ﺑﺎﻟﺗﺑﺎدل أي‬ ‫‪ Ai  A j   , i  j‬ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪P(A1  A 2  A 3  ...)  P(A1 )  P(A 2 )  P(A3 )  ....‬‬ ‫وﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أﻧﮫ إذا ﻛﺎﻧت ‪ A1 ,A 2 ,...,A n‬ﺗﻣﺛل ‪ n‬ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎﻧﻌﺔ ﺑﺎﻟﺗﺑﺎدل ﻓﺈن ‪-:‬‬ ‫‪P(A1  A 2  ...  A n )  P(A1 )  P(A 2 )  ...  P(A n ).‬‬ ‫أﯾﺿﺎ إذا ﻛﺎﻧت ‪ A1 , A 2 ,...A n‬ﺗﻣﺛل ﺗﺟزﺋﺔ ﻟﻔراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ S‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪P(A1  A 2  ...  A n )  P(A1 )  P(A 2 )  ...  P(A n )  1.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٦-١‬‬ ‫ﺻﻧﻌت زھرة ﻧرد ﺑﺣﯾث ﯾﻛون اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور اﻟرﻗم واﺣد ﺛﻼﺛﺔ أﺿﻌﺎف أي رﻗم آﺧر‪ ،‬ﺑﯾﻧﻣﺎ ﻛ ل اﻟوﺟ وه‬ ‫اﻷﺧرى ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻟﻔرﺻﺔ ﻓﻲ اﻟظﮭور‪ .‬ﻣﺎ ھ و اﺣﺗﻣ ﺎل ظﮭ ور اﻟ رﻗم اﺛﻧ ﯾن ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء اﻟﻧ رد ﻣ رة واﺣ دة؟‬ ‫وﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور اﻟرﻗم واﺣد؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ ﻧﻔرض أن اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور اﻟرﻗم واﺣد ھو )‪P(1‬‬‫ ﻧﻔرض أن اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور أي رﻗم آﺧر ھو )‪ P(A‬ﺑﺣﯾث ‪A  1‬‬‫ اﺣﺗﻣﺎل ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪. P(S)  1‬‬‫‪P(1)  P(2)  P(3)  P(4)  P(5)  P(6)  1‬‬ ‫‪P(1)  5 P(A)  1‬‬ ‫وﺑﻣﺎ أن ‪:‬‬ ‫‪P(1)  3P(A),‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3P(A)  5P(A)  1  8P(A)  1  P(A)  ‬‬ ‫‪8‬‬ ‫إذن اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور اﻟرﻗم )‪ (2‬ھو‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪P(2)  ‬‬ ‫‪8‬‬ ‫واﺣﺗﻣﺎل ظﮭور رﻗم )‪ (١‬ھو‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪P(1)  ‬‬ ‫‪8‬‬

‫)‪ (٣-١‬ﺑﻌض ﻗواﻧﯾن اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

‫‪Some Probability Laws‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫ﻋﺎدة ﯾﻛون ﻣن اﻟﺳﮭل ﺣﺳﺎب اﺣﺗﻣﺎل ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ ﻣن اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﻣﻌروﻓﺔ ﻟﻸﺣداث اﻷﺧرى وھذا ﯾﻛون‬ ‫ﺻﺣﯾﺢ إذا أﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺣﺎدﺛﺔ ﻛﺎﺗﺣﺎد ﻟﺣﺎدﺛﺗﯾن أﺧرﺗﯾن أو ﻣﻛﻣﻠﺔ ﻟﺣﺎدﺛﺔ‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬ﻷي ﺣﺎدﺛﺗﯾن ‪ A , B‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B).‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٧-١‬‬ ‫ﻓ ﻲ ﻣدﯾﻧ ﺔ اﺣﺗﻣ ﺎل أن أﺳ رة ﺗﺷ ﺗري ﺗﻠﻔزﯾ ون ھ و ‪ 0.8‬واﺣﺗﻣ ﺎل أن ﺗﺷ ﺗري ﻏﺳ ﺎﻟﺔ ﻣﻼﺑ س ھ و ‪0.5‬‬ ‫واﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﺷﺗري اﻻﺛﻧﯾن ﻣﻌﺎ ً ھ و ‪ ، 0.45‬ﻣ ﺎ ھ و اﺣﺗﻣ ﺎل أن ﺗﺷ ﺗري اﻷﺳ رة واﺣ د ﻣ ن اﻻﺛﻧ ﯾن ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻷﻗل؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أن اﻷﺳرة ﺗﺷﺗري ﺗﻠﻔزﯾون ھو ‪P(A)  0.8‬‬ ‫واﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﺷﺗري ﻏﺳﺎﻟﺔ ھو ‪P(B)  0.5‬‬ ‫واﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﺷﺗري ﺗﻠﻔزﯾون وﻏﺳﺎﻟﺔ ھو ‪P(A  B)  0.45‬‬ ‫واﻟﻣطﻠوب اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﺷﺗري اﻷﺳرة ﺗﻠﻔزﯾون أو ﻏﺳﺎﻟﺔ )‪P(A  B‬‬ ‫‪P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B)  0.8  0.5  0.45  0.85 ‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ A‬ﺣﺎدﺛﺔ و ‪ A c‬اﻟﺤﺎدﺛﺔ اﻟﻤﻜﻤﻠﺔ ﻟﮭﺎ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪P(A)  1  P(Ac ).‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٨-١‬‬ ‫إذا اﻟﻘﯿﺖ ﻋﻤﻠﺔ ‪ 7‬ﻣﺮات اوﺟﺪ اﺣﺘﻤﺎل ظﮭﻮر ﺻﻮرة ﻣﺮة ﻋﻠﻰ اﻻﻗﻞ ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﻔﺮض ‪ A‬اﻟﺤﺎدﺛﺔ " ظﮭﻮر ﺻﻮرة ﻣﺮة ﻋﻠﻰ اﻻﻗﻞ " ‪.‬ﻋﺪد اﻟﻨﻘﻂ ﻓﻰ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ ‪ S‬ھﻮ ‪. 27‬ﺑﻔﺮض ان‬ ‫اﻟﺤﺎدﺛﺔ ‪ A c‬ﺗﻤﺜﻞ ﻋﺪم ظﮭﻮر اى ﺻﻮرة وﺣﯿﺚ ان اﻻﺣﺪاث ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﻰ اﻣﻜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺠﺪوث ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(A c )  7  .0078125.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اى ان ‪:‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪P(A)  1  P(A )  1  0078125  .9921875.‬‬

‫)‪ (٤-١‬اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ‬

‫‪Conditional Probability‬‬

‫ﻓﻲ ﺑﻌض اﻟﺗﺟﺎرب ﯾﺗﺄﺛراﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟذي ﯾﺧﺻص ﻟﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ )ﻟﺗﻛن ‪ (A‬ﺑﺎﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﺣدوث أو ﻋدم‬ ‫ﺣدوث ﺣﺎدﺛﺔ أﺧرى وﻟﺗﻛن ‪ .B‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻌﺑﺎرة ‪ :‬اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ‪ A‬ﺑﺷرط‬ ‫وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ‪ B‬واﻟذي ﯾﺳﻣﻰ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ وﯾرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز )‪ P(A|B‬وﯾﻘرأ" اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ‪A‬‬ ‫اﻟﺷرط وﻗوع ‪."B‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻋدد اﻟﻧواﺗﺞ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻰ اﻣﻛﺎﻧﯾﺔ اﻟﺣدوث ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪١٦‬‬

‫)‪n(A  B‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪n(B‬‬ ‫ﺣﯾث )‪ n(A  B‬ﻋدد ﻧواﺗﺞ اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪ A  B‬و )‪ n(B‬ﻋدد ﻧواﺗﺞ اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪. B‬‬ ‫ﻧﻔس اﻟﺷﺊ‪:‬‬ ‫)‪n(A  B‬‬ ‫‪P(B | A) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪n(A‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﺣﺎدﺛﺔ ‪ A‬ﺷرط ‪ B‬ﯾﻣﺛل ﺑﺎﻟﺻﯾﻐﺔ )‪ P(A | B‬وﯾﻌرف ﺑﺎﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬ ‫)‪P(A  B‬‬ ‫‪P(A | B) ‬‬ ‫‪, P(B)  0.‬‬ ‫)‪P(B‬‬ ‫ﯾﻌﺗﺑر ھذا اﻟﺗﻌرﯾف ﻋﺎم وﻻ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻓراغ ﻋﯾﻧﺔ ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ أﺣداث ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻲ إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ اﻟﺣدوث ‪.‬‬ ‫وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ﯾﻣﻛن اﻟﻘول أن ‪:‬‬ ‫)‪P(A  B‬‬ ‫‪P(B | A) ‬‬ ‫‪, P(A)  0.‬‬ ‫)‪P(A‬‬ ‫‪P(A | B) ‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٩-١‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ 100‬ﻣﺳﺗودع ﺗم ﺗﺻﻧﯾﻔﮭم ﺣﺳب اﻹدارة وﺣﺳب اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت)ﻋﺎﻟﻲ‪ ،‬ﻣﺗوﺳط ‪،‬‬ ‫ﻣﻧﺧﻔض( ﻓﻲ )‪ (A,B,C‬ﺗﺑﻌﺎ ً ﻟﻠﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ اﻟﻣزدوج‪-:‬‬ ‫اﻹدارة‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع ‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪4‬‬

‫‪20‬‬

‫ﻋﺎﻟﻲ‬

‫‪64‬‬

‫‪14‬‬

‫‪46‬‬

‫‪4‬‬

‫ﻣﺗوﺳط‬

‫‪10‬‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ﻣﻧﺧﻔض‬

‫‪25‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪52‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪100‬‬ ‫اﺳﺗﺧدم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﺟدول ﻓﻲ ﺣﺳﺎب‪:‬‬ ‫)أ( اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻋﺎﻟﯾﺔ ‪.‬‬ ‫)ب( اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻣﺗوﺳطﺔ إذا ﻋﻠم أن اﻹدارة ‪.A‬‬ ‫)ﺟـ( اﺣﺗﻣﺎل ان اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻣﺗوﺳطﺔ إذا ﻋﻠم أن اﻹدارة ‪. B‬‬

‫اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪26‬‬ ‫)أ( اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻋﺎﻟﯾﺔ ھو‬ ‫‪100‬‬

‫)ب( اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻣﺗوﺳطﮫ إذا ﻋﻠم أن اﻹدارة ‪. A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪  A‬ﻣﺘﻮﺳــــــــ‬ ‫‪4‬‬ ‫ـﻂ(‪|A)= P‬ﻣﺗوﺳط(‪P‬‬ ‫‪ 100 ‬‬

‫‪25‬‬

‫‪100‬‬

‫‪25‬‬

‫)‪P(A‬‬

‫‪١٧‬‬

‫‪  B) 4‬ﻣﺘﻮﺳـــــــــﻂ(‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪n(A‬‬ ‫‪25‬‬ ‫وذﻟك ﻻن ﺟﻣﯾﻊ ﻧواﺗﺞ اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻰ اﻣﻛﺎﻧﯾﺔ اﻟﺣدوث‪.‬‬ ‫)ج( اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻣﺗوﺳطﺔ إذا ﻋﻠم أن اﻹدارة ‪. B‬‬

‫‪‬‬

‫‪46‬‬ ‫)‪  B‬ﻣﺘﻮﺳﻂ (‪P‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪ 100 ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪52‬‬ ‫)‪P ( B‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪100‬‬

‫= )‪| B‬ﻣﺘﻮﺳﻂ (‪P‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ‪ :‬إذا وﻗﻌت ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ ‪ A‬ﻓﻲ ﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺎ‪ ،‬ﯾﺗﺑﻌﮭﺎ ﺣﺎدﺛﺔ ‪ B‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪P(A  B)  P(A)P(B | A).‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ‪ A , B‬ﻓﻲ ﺗرﺗﯾب ھو اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﻘﻊ ‪ A‬أوﻻ ﻣﺿروﺑﺎ ﻓﻲ اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ‪B‬‬ ‫‪ ،‬ﺷرط أن ‪ A‬وﻗﻌت‪ ٠‬ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن أن ﯾﻛون‪-:‬‬ ‫‪P(A  B)  P(B)P(A | B).‬‬ ‫وھذا ﯾﺗوﻗف ﻋﻠﻰ أي اﻟﺣﺎدﺛﺗﯾن ﻗد ﺗﻘﻊ أوﻻ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٠-١‬‬ ‫وﻋﺎء ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ ‪ 10‬وﺣ دات ﻣ ﻧﮭم ‪ 3‬ﺗ ﺎﻟﻔﯾن ﺳ ﺣﺑت وﺣ دﺗﯾن ﻣ ن اﻟوﻋ ﺎء اﻟواﺣ دة ﺗﻠ و اﻷﺧ رى ﺑ دون‬ ‫إرﺟﺎع‪ .‬اﻟﻣطﻠوب‬ ‫)ب( اﺣﺗﻣﺎل وﺟود وﺣدة واﺣدة ﺗﺎﻟﻔﺔ‪.‬‬ ‫)أ( اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟوﺣدﺗﯾن ﻏﯾر ﺗﺎﻟﻔﺗﯾن‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋدد اﻟوﺣدات ‪ ،10‬ﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ ‪ ، 3‬وﻋدد اﻟوﺣدات ﻏﯾر اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ ‪. 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪P(A) ‬‬ ‫)أ( اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟوﺣدة اﻷوﻟﻰ ﻏﯾر ﺗﺎﻟﻔﺔ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪6‬‬ ‫واﺣﺗﻣﺎل أن اﻟوﺣدة اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻏﯾر ﺗﺎﻟﻔﺔ ‪P(B) ‬‬ ‫‪9‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ وﺣدﺗﯾن ﻏﯾر ﺗﺎﻟﻔﺗﯾن ھو‪:‬‬ ‫‪ 7   6  42‬‬ ‫‪P(A  B)  P(A)  P(B | A)        ‬‬ ‫‪ 10   9  90‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ أي ﺗﺟرﺑﺔ إذا وﻗﻌت اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪ ، A1‬ﯾﺗﺑﻌﮭﺎ اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪ ، A2‬ﯾﺗﺑﻌﮭﺎ اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪ ، A3‬وھﻛذا‪ ،‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪P(A1  A 2  A 3  ...)  P(A1 )P(A 2 | A1 )P(A3 | A1  A 2 )...‬‬

‫‪١٨‬‬

‫ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ‪ ،‬اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ ‪ A‬ﻻ ﯾﺗﺄﺛر وﻻ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ وﻗوع أو ﻋدم وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ‬ ‫أﺧرى ‪ ٠ B‬ﺑﻌﺑﺎرة أﺧرى وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻘﺎل أن ‪ A‬ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن ‪ B‬وﻋﻠﻰ ذﻟك )‪P(A | B)  P(A‬‬ ‫وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪P(A  B)  P(A)P(B).‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﯾﻘﺎل أن اﻟﺣﺎدﺛﺗﯾن ‪ B ، A‬ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن ‪ ، independent‬إذا وﻓﻘط إذا ‪:‬‬ ‫‪P(A  B)  P(A)P(B).‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١١-١‬‬ ‫ﺻوب ﺷﺧﺻﺎن ﻧﺎﺣﯾﺔ ھدف ﻣﺎ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻓﻲ اﻟﻣﺗوﺳط ‪ A‬ﯾﻛﺳب ‪ 3‬ﻣن ‪ 5‬و ‪ B‬ﯾﻛﺳب ‪ 4‬ﻣن ‪ 8‬ﻣ ﺎ‬ ‫ھو اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﮭدف ﻻ ﯾﺳﺗﮭدف إذا ﺻوب اﻻﺛﻧﯾن ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﮭدف؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺳﺗﮭدف ‪ A‬ھو‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪P(A)  .‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أن ﻻ ﯾﺳﺗﮭدف ‪ A‬ھو‪:‬‬

‫‪3 2‬‬ ‫‪P(A c )  1  P(A)  1   ‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺳﺗﮭدف ‪ B‬ھو‪:‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪P(B)  ‬‬ ‫‪8‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أن ﻻ ﯾﺳﺗﮭدف ‪ B‬ھو‪:‬‬

‫‪4 4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪8 8‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﮭدف ﻻ ﯾﺳﺗﮭدف إذا ﺻوب ‪) B, A‬اﻟﺣﺎدﺛﺗﺎن ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﺎن( ھو‪:‬‬ ‫‪2 4 8‬‬ ‫‪P(A c  Bc )  P(Ac ) P(Bc ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪5 8 40‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ‪ A1, A 2 ,...A n‬ﻣن اﻻﺣداث ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘول اﻧﮭم ﻣﺳﻘﻠﯾن إذا وﻓﻘط إذا ‪:‬‬ ‫‪P  A1  A2  ...  An   P  A1  P  A2 ...P  An .‬‬ ‫‪P(BC )  1  P(B)  1 ‬‬

‫)‪ ( ٥-١‬اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻛﻠﻰ وﻗﺎﻋدة ﺑﯾﯾز‪Total Probability and Bayes` Rule‬‬ ‫ﺑﻔرض أن اﻷﺣداث ‪ A1 ,A 2 ,...,A n‬ﺗﻣﺛل ﺗﺟزﯾﺋﺎ ﻟﻔراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ وﻣﺎﻧﻌﺔ ﻟﺑﻌﺿﮭﺎ اﻟ ﺑﻌض واﺗﺣ ﺎدھم ھ و ‪S‬‬

‫)أﺣداث ﻣﺎﻧﻌﺔ وﺷﺎﻣﻠﺔ ‪( mutually exclusive and exhaustive‬‬ ‫ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث ‪٠ n  6‬ﺑﻔرض أن ‪ E‬أي ﺣﺎدﺛﺔ أﺧرى ﻓﺈن ‪-:‬‬ ‫‪١٩‬‬

‫‪E  S  E  (A1  A 2  ...  A n )  E‬‬ ‫‪=(A1  E)  (A 2  E)  ...  (A n  E).‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪) :‬ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻛﻠﻰ ‪:(total probability‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ A1 ,A 2 ,...,A n‬ﺗﻣﺛل ‪ n‬ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎﻧﻌﺔ وﺷﺎﻣﻠﺔ‪ ،‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻷي ﺣﺎدﺛﺔ ‪ E‬ﻓﺈن ‪-:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪P(E)   P(A i )P(E | Ai ).‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪) :‬ﻧظرﯾﺔ ﺑﯾﯾز ‪(Bayes` Theorem‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ A1 ,A 2 ,..., An‬ﺗﻣﺛل ‪ n‬ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎﻧﻌ ﺔ وﺷ ﺎﻣﻠﺔ وﻛ ﺎن ظﮭ ور إﺣ داھﻣﺎ ﯾﻧ ﺗﺞ ﻋﻧ ﮫ ظﮭ ور‬ ‫ﺣﺎدﺛﺔ أﺧرى ‪ ) E‬أي أن ‪ E‬ﺗﻘﻊ إذا وﻗﻌت واﺣدة ﻣن اﻟﺣوادث اﻟﻣﺎﻧﻌﺔ ( ﻓﺈن ‪-:‬‬ ‫) ‪P(A k )P(E | A k‬‬ ‫‪P(A k | E)  n‬‬ ‫‪,k  1, 2,...,n.‬‬ ‫) ‪ P(A i )P(E | A i‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٢-١‬‬ ‫طﺎﺋرة ﺗطﯾر ﯾوﻣﯾﺎ ﺑﯾن ﻣ دﯾﻧﺗﻲ ﻓ ﺈذا ﻛ ﺎن اﺣﺗﻣ ﺎل أن ﺗﻘ وم ﻓ ﻲ ﻣﯾﻌﺎدھ ﺎ ‪ 0.8‬اﺣﺗﻣ ﺎل أن ﯾﻛ ون اﻟﺟ و ﺟﯾ د‬ ‫ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗطﯾ ر ﻓ ﻲ ﻣوﻋ دھﺎ ھ و ‪ 0.9‬وﻋﻧ دﻣﺎ ﻻ ﺗطﯾ ر ﻓ ﻲ ﻣوﻋ دھﺎ ﻓ ﺈن اﺣﺗﻣ ﺎل أن ﯾﻛ ون اﻟﺟ و ردﯾﺋ ﺎ‬ ‫ھو ‪ .0.7‬إذا رﻛب ﺷﺧص اﻟطﺎﺋرة وﻛﺎن اﻟﺟو ﺟﯾد ﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟطﯾران ﯾﻛون ﻓﻲ ﻣﯾﻌﺎده ؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻧﻔرض أن ‪ A1‬اﻟﺣدث أن ﺗﻘوم اﻟطﺎﺋرة ﻓﻲ ﻣﯾﻌﺎدھﺎ‪.‬‬ ‫‪ A 2‬اﻟﺣدث أن ﺗﻘوم اﻟطﺎﺋرة ﻓﻲ ﻏﯾر ﻣﯾﻌﺎدھﺎ‪.‬‬ ‫‪ E1C‬اﻟﺟو ﻏﯾر ﺟﯾد ‪.‬‬ ‫‪ E1‬اﻟﺟو ﺟﯾد ‪،‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب‪P  A1 | E1  :‬‬ ‫‪P ( E 1 | A 1 )  0.9‬‬

‫‪E1‬‬

‫‪P ( A 1 )  0. 8‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪P(E1 | A1 )  0.1‬‬

‫‪C‬‬

‫‪P ( E1 | A 2 )  0.3‬‬

‫‪E1‬‬

‫‪C‬‬

‫‪P(E1 | A 2 )  0.7‬‬

‫‪E1‬‬

‫‪P ( A 2 )  0.2‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫‪A1‬‬

‫‪E1‬‬

‫‪A2‬‬

‫‪ P  A1  E1    0.8 0.9  0.72 ,‬‬ ‫‪P  E1    0.8 0.9   0.2 0.3  0.78.‬‬ ‫‪P  A1  E1  0.72‬‬ ‫‪ P  A1 | E1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.923 ,‬‬ ‫‪P  E1 ‬‬ ‫‪0.78‬‬

‫)‪ (٦-١‬اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ‬

‫‪Random Variable‬‬

‫ﺗﺳﺗﺧدم ﻛﻠﻣﺔ ﺗﺟرﺑﺔ )ﻛﻣﺎ ذﻛرﻧﺎ ﺳ ﺎﺑﻘﺎ( ﻷي إﺟ راء ﻧﻌﻠ م ﻣﺳ ﺑﻘﺎ ﺟﻣﯾ ﻊ اﻟﻧ واﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻟ ﮫ وإن ﻛﻧ ﺎ ﻻ‬ ‫ﻧﺳﺗطﯾﻊ أن ﻧﺗﻧﺑﺄ ﺑﺄي ﻣن ھذه اﻟﻧواﺗﺞ ﺳﯾﺗﺣﻘق ﻓﻌﻼ‪ ٠‬رﺑﻣﺎ ﻻ ﯾﻛون ﻣ ن اﻟﺿ روري دراﺳ ﺔ ﻓﺋ ﺔ ﻛ ل اﻟﻧ واﺗﺞ‬ ‫اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ )ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ( ﻟﺗﺟرﺑﺔ إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ وﻟﻛن ﯾﻛون اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﻣﻧﺻﺑﺎ ﻋﻠ ﻰ ﻗ ﯾم رﻗﻣﯾ ﺔ ﻣرﺗﺑط ﺔ ﺑﮭ ذه اﻟﻧ واﺗﺞ‬ ‫اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ‪ ٠‬إن اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ھذه ھﻲ ﻣﺎ ﻧﻌﺑر ﻋﻧﮫ ﺑﻘﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ‪٠‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻌرﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺎ واﻟﺗ ﻲ ﺗﺧﺻ ص ﻋ ددا ﺣﻘﯾﻘﯾ ﺎ ﻟﻛ ل ﻧﻘط ﺔ ﻋﯾﻧ ﺔ ﺗﺳ ﻣﻰ‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ‪٠‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟرﻣز ‪ X‬ﻟﯾﻣﺛل اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ x ،‬ﻟواﺣدة ﻣن ﻗﯾﻣﮫ‪٠‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١٣-١‬‬ ‫اﺧﺗﯾرت ﺑذرﺗﺎن ﻣن ﻧﺑﺎت ﻣزھر ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣن ﻛﯾس ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﺧﻣس ﺑذور زھورھﺎ ﺣﻣراء وﺛ ﻼث ﺑ ذور‬ ‫زھورھﺎ ﺻﻔراء وذﻟك ﻻﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﻓﻲ ﺗﺟرﺑﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ‪ ٠‬ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﻛون‪:‬‬ ‫}‪S  {yy, ry, yr, rr‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ r‬ﺗرﻣز إﻟﻰ اﻟﺑذرة اﻟﺗﻲ زھورھﺎ ﺣﻣراء‪ y ،‬ﺗرﻣز إﻟﻰ اﻟﺑذرة اﻟﺗﻲ زھورھﺎ ﺻﻔراء‪٠‬‬ ‫ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻋرﻓﻧﺎ اﻟداﻟﺔ ‪ X‬اﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻋ دد اﻟﺑ ذور اﻟﺗ ﻲ زھورھ ﺎ ﺣﻣ راء ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ‪ ٠‬ھ ذه اﻟداﻟ ﺔ ﺳ وف‬ ‫ﺗﺧﺻص ﻋدداﺣﻘﯾﻘﯾﺎ ﻟﻛل ﻧﻘطﺔ ﻋﯾﻧﺔ ﻓﻲ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ S‬اﻟﻣراﻓق ﻟﺗﺟرﺑﺗﻧﺎ اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ‪ ٠‬ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻲ‬ ‫ﻧﺟد أن ﻛل ﻧﻘطﺔ ﻓﻲ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ارﺗﺑطت ﺑﻌددﺣﻘﯾﻘﻲ واﺣد ﻋن طرﯾق اﻟداﻟﺔ ‪٠ X‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪yy‬‬ ‫‪ry‬‬ ‫‪yr‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ‬ ‫‪rr‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺄﺧذ اﻟﻘﯾم ‪. 0 , 1 , 2‬‬ ‫ﻗ د ﯾﺣﺗ وى ﻓ راغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻋﻠ ﻰ ﻋ دد ﻣﺣ دود ﻣ ن اﻟ ﻧﻘط ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺛ ﺎل اﻟﺳ ﺎﺑق‪ ،‬أو ﻗ د ﯾﻛ ون ﻓ راغ‬ ‫اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻻ ﻧﮭ ﺎﺋﻲ ﻣﻌ دود ‪ countable infinite sample space‬وھ و اﻟﻔ راغ اﻟ ذي ﯾﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ﻋ دد ﻻ‬ ‫ﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟﻌﻧﺎﺻر ﻟﻛﻧﮫ ﻗﺎﺑل ﻟﻠﻌد ‪ ،‬ﻣﺛل ﻋدد اﻟﺑﻛﺗرﯾﺎ ﻓﻲ ﻟﺗر ﻣن اﻟﻣﺎء اﻟﻧﻘﻲ وﯾﺳﻣﻰ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓ ﻲ ھ ذه‬ ‫اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓراغ ﻋﯾﻧﺔ ﻣﻧﻔﺻل )ﻣﺗﻘطﻊ( ‪ ٠discrete sample space‬اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﻌ رف ﻋﻠ ﻰ ﻓ راغ‬ ‫ﻋﯾﻧﺔ ﻣﻧﻔﺻل ﯾﺳ ﻣﻰ ﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ ﻣﻧﻔﺻ ل )ﻣﺗﻘط ﻊ(‪ .‬أﯾﺿ ﺎ إذا ﻛ ﺎن ﻓ راغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﯾﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ﻋ دد ﻻ‬ ‫ﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟ ﻧﻘط ‪ infinite sample space‬اﻟﻐﯾ ر ﻣﻌ دودة ﻣﺛ ل ﻛ ل اﻷط وال اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ‪ ،‬اﻷوزان‪ ،‬درﺟ ﺎت‬ ‫اﻟﺣ رارة ‪...،‬اﻟ ﺦ ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘ ول أن ﻓ راغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻣﺗﺻ ل )ﻣﺳ ﺗﻣر( ‪ ٠continuous sample space‬اﻟﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﻌ رف ﻋﻠ ﻰ ﻓ راغ ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣﺗﺻ ل ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﺗﺻ ل‪ .‬ﻓ ﻲ ﻣﻌظ م اﻟﺗطﺑﯾﻘ ﺎت‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﻧﻔﺻ ﻠﺔ ﺗﻣﺛ ل ﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻗﺎﺑﻠ ﺔ ﻟﻠﻌ د‪ ،‬ﻣﺛ ل ﻋ دد اﻟﺣ وادث ﻓ ﻲ اﻟﺳ ﻧﺔ‪ ،‬ﻋ دد اﻷﺧط ﺎء ﻓ ﻲ‬ ‫ﺻﻔﺣﺔ ﻣن ﻗﺎﻣوس ‪ ،‬ﻋدد اﻟﻔﺋران ﻓﻲ ﻓدان ﻣن اﻟﻘﻣ ﺢ‪٠٠٠‬اﻟ ﺦ‪ ٠‬أﻣ ﺎ اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻ ﻠﺔ ﻓﺗﻣﺛ ل‬ ‫ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻘﺎﺳﺔ‪٠‬‬

‫‪٢١‬‬

‫)‪ (٧-١‬اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﻧﻔﺻﻠﺔ )اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ(‬ ‫‪Discrete Probability Distributions‬‬ ‫ﻛ ل ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣ ن ﻗ ﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﻧﻔﺻ ل ﯾﻔ رض ﻟﮭ ﺎ اﺣﺗﻣ ﺎل ﻓﻔ ﻲ ﻣﺛ ﺎل )‪ (١٣-١‬ﺗﺣﺳ ب‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬اﻟذي ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟﺑذور اﻟﺗﻲ زھورھﺎ ﺣﻣراء ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ )إذا‬ ‫ﻛﺎن اﻻﺧﺗﯾﺎر ﺑدون إرﺟﺎع( ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪-:‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪P(X  0)  P(yy)  ( ) ( ) ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪8 7 56‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫‪3 5 30‬‬ ‫‪P(X  1)  P(ry)  P(yr)=( ) ( )  ( ) ( )  ,‬‬ ‫‪8 7‬‬ ‫‪8 7 56‬‬ ‫‪5 4 20‬‬ ‫‪P(X  2)  P(rr)  ( ) ( )  .‬‬ ‫‪8 7 56‬‬ ‫اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻣﻊ اﺣﺗﻣﺎﻻﺗﮭﺎ ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪-:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪56‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪56‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪56‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪P(X=x‬‬

‫ﻣﺟﻣوع اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﺗﺳﺎوى اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ‪٠‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬ﻛل ﺟدول أو ﺻﯾﻐﺔ ﺗﻌطﻰ ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻘﯾم اﻟﺗﻲ ﯾﺄﺧذھﺎ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﻧﻔﺻل‪ ،‬ﻣﻊ اﺣﺗﻣﺎل ﻛل‬ ‫ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻧﮭﺎ ﯾﺳﻣﻰ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻣﻧﻔﺻل‪٠‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٤-١‬‬ ‫إذا ﻛ ﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ را ﻋﺷ واﺋﯾﺎ ﯾﻣﺛ ل ﻋ دد اﻟﺻ ورة اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء ﻋﻣﻠﺗ ﯾن ﻣ رة واﺣ دة ﻓ ﺈن‬ ‫‪ . x  0,1, 2‬ﻓﻣﺎ ھو اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬؟‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾﻠﮫ ﺑﺎﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.25‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0.5‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0.25‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f(x‬‬

‫ﻟﺗﻛن اﻟداﻟﺔ )‪ f(x‬ﺑﺣﯾث أن ‪ f (x) > 0‬و ‪ x  R‬ﺣﯾث ‪ R‬ﻓﺿﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ ‪ ،‬ﻓـﺈذا أﻣﻛـن اﻟﺗﻌﺑﯾـر‬ ‫ﻋن )‪ ، B  R ، P(B‬ﻛداﻟﺔ ﻓﻲ )‪ f(x‬ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪ f (x)  1 .‬‬ ‫‪R‬‬

‫‪٢٢‬‬

‫ﻓــﺈن ‪ X‬ﯾﺳ ــﻣﻲ ﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﻣــن اﻟﻧ ــوع اﻟﻣﺗﻘطــﻊ وﯾﻘ ــﺎل أن اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻲ ‪ X‬ﻟــﻪ ﺗوزﯾ ــﻊ ﻣــن اﻟﻧ ــوع‬ ‫اﻟﻣﺗﻘطـﻊ‪ .‬ﺗﺳـﻣﻰ )‪ f (x‬داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﺣﺗﻣـﺎل ‪ (p.d. f.) probability density‬ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ ﻣﺗﻘطـﻊ‬

‫‪ . X‬ﻛﺛﯾــر ﻣــن اﻟﻣــؤﻟﻔﯾن ﯾطﻠﻘــون اﺳــم داﻟــﺔ اﻟﻛﺗﻠــﺔ ‪ mass function‬ﻋﻠــﻰ داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾــر‬

‫ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﻣﺗﻘطــﻊ وذﻟــك ﻷﻧــﻪ ﯾﻣﻛــن اﻋﺗﺑــﺎر ﺑﯾــﺎن داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﻛﻣﺟﻣوﻋــﺔ ﻣــن اﻟﻛﺗــل وﻛــل ﻛﺗﻠــﺔ ﺗﻘــﻊ‬ ‫ﻋﻠـﻰ ﻧﻘطـﺔ ﻣـن اﻟﻧﻘـﺎط …‪ x1 , x2 , x3 ,‬ﻋﻠـﻰ اﻟﺧـط اﻷﻓﻘـﻲ وﻋﻠـﻰ ذﻟـك ﻓـﺈن اﻟـوزن ﻟﻠﻛﺗﻠـﺔ اﻟﺗـﻲ ﺗﻘـﻊ ﻋﻠـﻰ‬ ‫‪ x i‬ﯾﻘﺎﺑل اﺣﺗﻣﺎل أن ‪ X‬ﺗﺳﺎوى ‪. x i‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(١٥-١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫!‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x) ‬‬ ‫;‪  , x  0, 1, 2, 3, 4‬‬ ‫‪x!(4  x)!  2 ‬‬ ‫‪= 0 e.w.‬‬ ‫ﻟﯾﻛن ‪:‬‬

‫)‪P(B)   f (x‬‬ ‫‪B‬‬

‫وﻛﺎﻟﻌﺎدة ) ‪ .(0! = 1‬إذا ﻛﺎﻧت }‪ B  {x x  0,1‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4!  1 ‬‬ ‫‪4!  1 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪P(B) ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪   .‬‬ ‫‪0!4! 2  1!3!  2  16‬‬

‫) ‪ ( ١-٧-١‬داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ‬

‫‪The Distribution Function‬‬

‫ﺑﻔــرض أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﻣــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺗﻘطــﻊ وﻛــﺎن اﺣﺗﻣــﺎل اﻟﺣﺎدﺛــﺔ ‪ B‬ﻫــو )‪ P(B‬ﺣﯾــث ‪ B‬ﻓﺋــﺔ‬

‫ﻓـﻲ اﻟﺑﻌــد اﻷول‪ٕ .‬واذا ﻛــﺎن ‪ x‬ﻋـدد ﺣﻘﯾﻘــﻲ وﻛﺎﻧــت ‪ B‬ﻓﺋـﺔ ﻣــن ‪  ‬إﻟــﻲ ‪ x‬ﺣﯾـث ﺗﺷــﺗﻣل ﻋﻠــﻰ اﻟﻧﻘطــﺔ ‪. x‬‬ ‫ﻟﻣﺛل ﻫذﻩ اﻟﻔﺋﺎت ‪ B‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪P(B)  P(X  x) .‬‬

‫ﺣﯾــث ﯾﻌﺗﻣــد اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﻋﻠــﻰ اﻟﻧﻘطــﺔ ‪ ، x‬أي أن ﻫــذا اﻻﺣﺗﻣــﺎل داﻟــﺔ ﻓــﻲ اﻟﻧﻘطــﺔ ‪ . x‬ﯾرﻣــز ﻟداﻟــﺔ اﻟﻧﻘطــﺔ ﻫــذﻩ‬ ‫ﺑﺎﻟرﻣز ) ‪ . F( x )  P(X  x‬ﺗﺳﻣﻰ اﻟداﻟﺔ )‪ F(x‬داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ) داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌـﻲ ‪cumulative‬‬

‫‪٢٣‬‬

‫‪ (distribution function‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ ‪ .X‬وﺑﻣــﺎ أن ) ‪ ، F( x )  P(X  x‬ﺣﯾــث )‪ f(x‬داﻟــﺔ‬ ‫ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪ ،‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪F(x)   f (w).‬‬ ‫‪wx‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١٦-١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪.1‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪.4‬‬

‫)‪P(X=x‬‬

‫أوﺟد )‪ F(x‬وﻣﺛﻠﻬﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪F(1)  P(X  1)  P(X  1)  f (1)  .4,‬‬ ‫)‪F(2)  P(X  2)  P(X  1 or 2‬‬ ‫‪= f(1) + f(2) = .7,‬‬

‫)‪F(3)  P(X  3)  P(X  1 or 2 or 3‬‬ ‫‪ f (1)  f (2)  f (3)  .9,‬‬ ‫)‪F(4)  P(X  4)  f (1)  f (2)  f (3)  f (4‬‬ ‫‪ 1,‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪F(x)  0‬‬

‫‪x 1‬‬ ‫‪1 x  2‬‬ ‫‪2x3‬‬

‫‪ .4‬‬ ‫‪ .7‬‬

‫‪3 x  4‬‬

‫‪ .9‬‬

‫‪4  x.‬‬

‫‪ 1‬‬

‫ﺑﯾﺎن )‪ F(x‬ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫‪٢٤‬‬

‫ﻫﻧﺎك ﺑﻌض اﻟﺧواص ﻟداﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻧذﻛر ﺑﻌﺿﻬﺎ ‪:‬‬ ‫)أ( ‪. 0  F( x )  1‬‬ ‫)ب( اﻟداﻟﺔ )‪ F(x‬ﻏﯾر ﺗﻧﺎﻗﺻﯾﺔ ﻓﻲ ‪ x‬ﺑﻣﻌﻧﻰ أﻧﻪ إذا ﻛﺎﻧت ‪ x   x ‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫)‪F(x)  F(x‬‬ ‫)ج( ‪ F()  1‬و ‪. F()  0‬‬

‫)د( )‪P(X  b)  F(b)  F(b ‬‬

‫ﺣﯾث )‪ F(b-‬ﻫﻲ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ﻟﻠداﻟﺔ )‪ F(x‬ﻋﻧد ‪ .x = b‬وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻻﺣﺗﻣﺎل أن ‪ X = b‬ﻫو‬

‫طول اﻟﻘﻔزة اﻟﺗﻲ ﺗﺄﺧذﻫﺎ )‪ F(x‬ﻋﻧد ‪. x = b‬‬ ‫)ﻫـ( اﻟداﻟﺔ )‪ F(x‬ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻣن اﻟﯾﻣﯾن ﻋﻧد ﻛل ﻧﻘطﺔ ‪ . x‬أي أن ‪F( a+) - F(a) = 0 :‬‬ ‫ﺣﯾث )‪ F(a+‬ﻫﻲ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﻣن اﻟﯾﻣﯾن ﻟﻠداﻟﺔ )‪ F(x‬ﻋﻧد ‪ .x = a‬وﻋﻠﻰ ذﻟك )‪ F(x‬ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻣن اﻟﯾﻣﯾن‬ ‫ﻋﻧد ﻛل ﻧﻘطﺔ‪.‬‬

‫) ‪ ( ٢-٧-١‬اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ‬

‫‪Expected Values‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﺗﻌرﯾف اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ اﻟﻣﺗﻘطﻊ ‪ X‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪E(X)   X   x f (x) .‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﺣﯾث )‪ E(X‬ﻣوﺟود ﻓﻘط إذا ﻛﺎن ‪ E x  ‬أي أن ‪ ، E x   x f ( x )  ‬أي ﯾﺗﻘﺎرب اﻟﻣﺟﻣوع‬ ‫‪x‬‬

‫ﻣطﻠﻘﺎ ‪ٕ .‬واذا ﻟم ﯾﺗﺣﻘق ﻫذا اﻟﺷرط ﻓﺈﻧﻪ ﻻ ﯾوﺟد ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺗوﻗﻌﺔ أو ﻣﺗوﺳط ‪.‬ﻋﺎدةً ﯾﺳﺗﺑدل‬ ‫ً‬ ‫ﺗﻘﺎرﺑﺎ‬

‫اﻟرﻣز ‪ X‬ﺑﺎﻟرﻣز ‪ ‬ﺣﯾث ﯾﺣذف اﻟدﻟﯾل وذﻟك ﻋﻧد اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ واﺣد ‪.‬‬

‫‪٢٥‬‬

‫ﻓﻲ ﻣﺠﺎل اﻹﺣﺼﺎء ﯾﻌﺘﺒﺮ ‪ ‬ﻣﻘﯿﺎس ﻟﻤﻮﻗﻊ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ) أو ﻣﻘﯿﺎس ﻟﻠﻨﺰﻋﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ(‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(١٧-١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ًار ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﺑداﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﻌرﻓﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪, x  1, 2,3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x)   6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪, e.w.‬‬ ‫أوﺟد )‪. (X‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪( )   xf (x)   x( )  ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x 1 6‬‬ ‫‪1 4 9‬‬ ‫‪    2.333.‬‬ ‫‪6 6 6‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل )‪ٕ f(x‬واذا ﻛﺎﻧـت )‪ u(x‬ﻗﯾﻣـﺔ ﺣﻘﯾﻘﯾـﺔ ﻟداﻟـﺔ ﻣﺟﺎﻟﻬـﺎ ﻛـل‬ ‫اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن ‪ X‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫)‪E  u(X)   u(x) f (x‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﺗﺑﻌــﺎً ﻟﻠﻧظرﯾــﺔ اﻟﺳــﺎﺑﻘﺔ ﻓــﺈن ])‪ E [u (x‬ﯾﻣﻛــن ﺣﺳــﺎﺑﻬﺎ ﺑــﻧﻔس طرﯾﻘــﺔ ﺣﺳــﺎب )‪ E (X‬ﻓﯾﻣــﺎ ﻋــدا )‪ u(x‬ﺗﺣــل‬ ‫ﻣﺣل ‪. x‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١٨-١‬‬

‫ﯾرﻏــب ﻣرﻛــز ﺗﺟــﺎري ﻓــﻲ ﺷ ـراء ﺛﻼﺛــﺔ ﺣواﺳــب آﻟﯾــﺔ ﺑﺳــﻌر ‪ $500‬ﻟﻠﺣﺎﺳــب اﻟواﺣــد ﺛــم ﯾﺑﯾــﻊ اﻟﺣﺎﺳــب‬ ‫اﻟواﺣ ــد ﺑﺳ ــﻌر ‪ $1000‬وﻗ ــد واﻓ ــق اﻟﻣﺻ ــﻧﻊ ﻋﻠ ــﻰ أﻋ ــﺎدة ﺷـ ـراء أي ﺣﺎﺳ ــب ﻻ ﯾﺑ ــﺎع ﺑﻌ ــد ﻓﺗـ ـرة زﻣﻧﯾ ــﺔ ﺑﺳ ــﻌر‬ ‫‪. $200‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ X‬ﺗرﻣز ﻟﻌدد اﻟﺣﺎﺳﺑﺎت اﻟﻣﺑﺎﻋﺔ ٕواذا ﻛﺎن‬ ‫‪f(3) = .4 , f(2) = .3 , f(1) = .2 , f(0) = .1‬‬ ‫ٕواذا ﻛﺎن )‪ u(X‬ﺗﻣﺛل اﻟرﺑﺢ اﻟﻧﺎﺗﺞ ﻣن ﺑﯾﻊ ‪ X‬وﺣدة ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪u(X) = 1000X + 200 (3 – X) – 1500 = 800 X - 900‬‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠرﺑﺢ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫)‪E[ u(X) ] = u(0) . f(0) + u(1) .f(1) + u(2) f(2) + u(3) . f(3‬‬ ‫‪٢٦‬‬

‫)‪= (-900) (.1) + (-100) (.2) + (700) (.3) + (1500) (.4‬‬ ‫‪= 700 $ .‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻫو ‪:‬‬

‫‪Var(X)  E[(X  )2‬‬ ‫ﻫﻧ ـ ــﺎك رﻣ ـ ــوز أﺧ ـ ــرى ﻟﻠﺗﺑ ـ ــﺎﯾن ﻣﺛ ـ ــل ‪  2‬أو ‪ . 2X‬اﻟﺟ ـ ــذر اﻟﺗرﺑﯾﻌ ـ ــﻲ ﻟﻠﺗﺑ ـ ــﺎﯾن ﯾﺳ ـ ــﻣﻲ اﻻﻧﺣـ ـ ـراف اﻟﻣﻌﯾ ـ ــﺎري‬ ‫‪ standard deviation‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ .X‬أي أن ‪:‬‬

‫)‪   X  Var(X‬‬

‫ﯾﻌطﻲ اﻟﺗﺑـﺎﯾن ﻣﻘﯾـﺎس ﻟﻠﺗﺷـﺗﯾت ‪ variability‬أو ﻛﻣﯾـﺔ اﻻﻧﺗﺷـﺎر ‪ spread‬ﻟداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪X‬‬ ‫‪ .‬وﯾﻣﻛن ﺗوﺿـﯾﺢ ذﻟـك ﻣـن اﻟﺷـﻛﻠﯾن اﻟﺗـﺎﻟﯾﯾن واﻟﻠـذان ﯾﻣـﺛﻼن داﻟﺗـﯾن ﻣﺧﺗﻠﻔﺗـﯾن )‪ (p.d.f.‬ﺣﯾـث ‪   4‬ﻟﻛـﻼ‬ ‫اﻟداﻟﺗﯾن ﺑﯾﻧﻣﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻻول ﻟﻪ ﺗﺷﺗت أﻗل ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺷﻛل اﻟﺛﺎﻧﻰ‪.‬‬

‫‪٢٧‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١٩-١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﺑداﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫)‪f(x‬‬

‫أوﺟد اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪. X‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﯾﺣﺗوي اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﺣﺳﺎب اﻟﺗﺑﺎﯾن ‪:‬‬

‫) ‪( x  ) 2 f ( x‬‬

‫‪( x  ) 2‬‬

‫)‪( x  ‬‬

‫)‪x f (x‬‬

‫) ‪f (x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪49‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪128‬‬ ‫أي أن ‪:‬‬

‫‪49‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪22‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫‪‬‬

‫‪  E(X)   xf (x) ‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪  Var(X)  E[X  ]2‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪128‬‬

‫‪  (x  )2 f (x) ‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻋدد اﻟﻌﻣﻠﯾﺎت اﻟﺣﺳﺎﺑﯾﺔ اﻟﺿرورﯾﺔ ﻟﺣﺳﺎب ‪  2‬ﯾﻣﻛن اﺧﺗزاﻟﻬﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺑدﯾﻠﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪Var(X)   2  E(X) 2  [E(X)]2‬‬ ‫‪  x 2f (x)   2 .‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪٢٨‬‬

‫ﻛﻣــﺎ ذﻛرﻧــﺎ ﺳــﺎﺑﻘﺎ ﻓــﺈن اﻟﺗﺑــﺎﯾن ﯾﻣــدﻧﺎ ﺑﻣﻘﯾــﺎس ﻟﻛﻣﯾــﺔ اﻻﻧﺗﺷــﺎر ﻓــﻲ داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل أو اﻟﺗﺷــﺗت ﺣــول‬ ‫ﻋﻧﺎﺻـر اﻟﻣﺟﺗﻣـﻊ ‪ .‬إذا ﻛـﺎن ‪ X‬ﯾﺄﺧـذ ﻗﯾﻣـﺔ واﺣـدة ﻓﻘـط ‪ ،‬أي أن ‪ P(X=c) =1‬ﻓـﻲ ﻫـذﻩ اﻟﺣﺎﻟـﺔ ‪E(X) = c‬‬

‫و ‪. Var(X) = 0‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٢٠-١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪f(x) = .5‬‬ ‫‪x=2‬‬ ‫‪= .25‬‬ ‫‪x = 4, 8‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻬذﻩ اﻟداﻟﺔ ﯾﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪E(X) = (2) (.5) + (4) (.25) + (8) (.25) = 4 ,‬‬ ‫)‪E(X2) = (22) (.5) + 42 (.25) + 82 (.25‬‬ ‫‪= 22 .‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻫو ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫])‪  E(X )  [E(X‬‬ ‫‪ 22  4 2  6.‬‬

‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻫو ‪:‬‬ ‫‪  6  2.45.‬‬

‫)‪(٣-٧-١‬اﻟﻌـزوم ‪Moments‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ u(X) = X r‬ﻓﺈن اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ r‬ﺣول ﻧﻘطﺔ اﻷﺻل ﯾﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫)أ( ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ‪ r = 0‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪ 'r  E ( X r )   x r f ( x ) , r  1, 2,3,...‬‬

‫‪'0  E(X 0 )   x 0f (x)   f (x)  1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫)ب( ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ‪ r  1‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪1'  E(X)   x f (x)   .‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﺑﻔرض أن ‪ u ( X )  ( X  ) r‬ﻓﺈن اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ r‬ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﯾﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪ r  E(X   ) r   (x  ) r f (x), r  1,2,3,...‬‬ ‫‪x‬‬

‫)ا( ﻋﻧدﻣﺎ ‪ r = 1‬ﻓﺈن ‪. 1  0‬‬ ‫)ب( ﻋﻧدﻣﺎ ‪ r = 2‬ﻓﺈن ‪. 2  2‬‬ ‫‪٢٩‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋن اﻟﻌزم ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﺑدﻻﻟﺔ اﻟﻌزم ﺣول اﻟﺻﻔر ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪    ()r  j 'j.‬‬ ‫‪j0  j ‬‬

‫ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻧدﻣﺎ ‪ r = 2‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪2  2     ()2 j 'j‬‬ ‫‪j 0  j ‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫‪ () 2  '0    () 1'   '2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪  2  2 2   '2 .‬‬

‫أي أن ‪:‬‬

‫‪ 2   '2   2 .‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪ X ‬‬ ‫‪ u(X)  ‬ﻓــﺈن اﻟﻌــزم اﻟﻘﯾﺎﺳــﻲ ﻣــن اﻟدرﺟــﺔ ‪ ) r‬اﻟﻣﻌﯾــﺎري ( ﻟﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ‪X‬‬ ‫ﺑﻔــرض أن ‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫ﯾﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫‪X ‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪ r  E‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫)‪ f (x‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪x   ‬‬ ‫‪r  1,2,3,....‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ r = 1‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪1  0 .‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ r = 2‬ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪ 2  1.‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ r = 3‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 32 / 2‬‬

‫‪3 ‬‬

‫واﻟذي ﯾﺳﻣﻲ ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء‪.‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ r = 4‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 22‬‬

‫‪4 ‬‬ ‫‪٣٠‬‬

‫واﻟذي ﯾﺳﻣﻲ ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل)‪(٢١-١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪0.25‬‬

‫)‪f(x‬‬

‫‪3‬‬

‫أوﺟد اﻟﻌزوم اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ اﻻرﺑﻌﺔ اﻻوﻟﻰ و ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء وﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ﯾﻌطﻲ اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﻌزوم اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ ‪:‬‬

‫ﺑﻔرض أن ‪:‬‬

‫اﻟﺟدول ﺳﯾﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺻورﻩ اﻟﺗﺎﻟﯾﻪ‪:‬‬

‫‪X ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪Z  u X ‬‬

‫‪z 4 g z ‬‬

‫‪z 3 g z ‬‬

‫‪z 2 g z ‬‬

‫‪zgz‬‬

‫‪g z ‬‬

‫‪z‬‬

‫‪f x ‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0.999  1‬‬

‫‪ 0.706‬‬

‫‪0.455  0.5‬‬

‫‪ 0.3535‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪1.414‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0 .5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0 .5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0.999  1‬‬

‫‪0.706‬‬

‫‪0.455  0.5‬‬

‫‪0.3535‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪1.414‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1.999  2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫‪1  0 ,  2  1 , 3  0 ,  4  1.998  2.‬‬ ‫ﻣن اﻟواﺿﺢ أن ‪  3‬ﻫو ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء و ﯾﻌطﻰ اﯾﺿﺎ ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3 ‬‬

‫‪‬‬

‫و أن ‪  4‬ﻫو ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ و ﯾﻌطﻰ اﯾﺿﺎ ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬

‫‪٣١‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4 ‬‬

‫)‪(٤-٧-١‬اﻟﻣﻧوال واﻟوﺳﯾط ‪Mode and Median‬‬ ‫ﺗﻌرﯾ ف ‪ :‬اﻟﻣﻧـوال ﻫــو اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﺗــﻰ ﻋﻧـدﻫﺎ ﺗﻛــون داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ ﻣــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺗﻘطــﻊ‬ ‫‪ X‬ﻟﻬ ــﺎ أﻛﺑ ــر ﻗﯾﻣ ــﺔ أي أن ) أي ﻗﯾﻣ ــﺔ أﺧ ــرى = ‪) > P ( X‬اﻟﻣﻧـ ـوال = ‪ P (X‬وﻫ ــذا ﯾﻌﻧ ــﻰ أن داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻗد ﯾﻛون ﻟﻬﺎ أﻛﺛر ﻣن ﻣﻧوال ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل)‪(٢٢-١‬‬ ‫أوﺟد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠداﻟﺔ اﻵﺗﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪x  1,2,3,....‬‬

‫‪e.w.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪f (x)  ( ) x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=0‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﻣﻧوال ﻫو ‪ x = 1‬وذﻟك ﻷن ) أي ﻗﯾﻣﺔ أﺧرى = ‪ P (X‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪. P ( X  1) ‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٢٣-١‬‬ ‫أوﺟد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠداﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪f(x) = .05‬‬ ‫‪= .1‬‬ ‫‪= .2‬‬ ‫‪= .15‬‬ ‫‪= .1‬‬

‫‪x=1‬‬ ‫‪x = 2, 3‬‬ ‫‪x = 4, 5‬‬ ‫‪x=6‬‬ ‫‪x = 7, 8‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪٣٢‬‬

‫اﻟﻣﻧـوال ﻫـو ‪ x = 4, 5‬أي أن اﻟﺗوزﯾـﻊ ﺛﻧـﺎﺋﻲ اﻟﻣﻧـوال ‪ .unimodal‬داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ‬ ‫‪ X‬ﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وﻣوﺿﺢ ﻋﻠﯾﻬﺎ اﻟﻣﻧوال ‪:‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟوﺳﯾط ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻫو اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ x‬ﺑﺣﯾث أن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(X  x)  and P(X  x)  .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﺛﺎل)‪(٢٤-١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫½‬

‫½‬

‫‪0‬‬

‫)‪f(x‬‬

‫أوﺟد اﻟوﺳﯾط ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟوﺳﯾط ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻫو اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ x‬اﻟﺗﻲ ﺗﺣﻘق أن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(X  x)  and P(X  x)  .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪PX  x ‬‬

‫‪PX  x ‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪٣٣‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟوﺳﯾط أى ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة اﻟﻣﻐﻠﻘﺔ ‪. 2  x  3‬‬

‫)‪ (٨-١‬اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ )اﻟﻣﺳﺗﻣرة(‬ ‫‪Continious Probability Distributions‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ R‬ﯾﻣﺛل ﻓﺿﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻓﻲ اﻟﺑﻌد اﻷول ٕواذا ﻛﺎن ‪:‬‬ ‫‪ f (x) dx  1.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫)ب( )‪ f(x‬ﻟﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺛر ﻋدد ﻣﺣدود ﻣن ﻋدم اﻻﺗﺻـﺎل ﻓـﻲ ﻛـل‬ ‫ﺣﯾث )أ( ‪f(x) > 0 , x  R‬‬ ‫ﻓﺗـرة ﻣﺣــدودة ﺗﻣﺛــل ﻓﺋــﺔ ﺟزﺋﯾــﺔ ﻣــن ‪ٕ R‬واذا ﻛﺎﻧــت داﻟــﺔ اﻟﻔﺋــﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ )‪ ، B  R , P(B‬ﯾﻣﻛــن اﻟﺗﻌﺑﯾــر‬ ‫ﻋﻧﻬﺎ ﻛﺎﻵﺗﻲ ‪:‬‬

‫‪P(B)   f (x) dx .‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻓــﻲ ﻫــذﻩ اﻟﺣﺎﻟــﺔ ﯾﻘــﺎل أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻــﻼً وﻟــﻪ داﻟــﺔ ﻣــن ﻫــذا اﻟﻧــوع )‪ f (x‬ﺗﺳــﻣﻰ داة ﻛﺛﺎﻓــﺔ‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل‪ .‬وﻣن أﻣﺛﻠﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻـﻠﺔ ﻛﻣﯾـﺔ زﯾـت اﻟﺑﺗـرول اﻟﻣﺳـﺗﺧرﺟﺔ ﻣـن ﺑﺋـر ﺑﺗـرول ‪ ،‬ﻛﻣﯾـﺔ‬

‫اﻟﻛﺣل اﻟﻣﻘطرة ﻓﻲ ﻋﻣﻠﯾﺔ اﻟﺗﻘطﯾـر ‪ ،‬ذﻛـﺎء طﻔـل ‪ ،‬اﻟﻣﺳـﺎﻓﺔ اﻟﺗـﻲ ﺗﻘطﻌﻬـﺎ ﺳـﯾﺎرة ﺑﺟـﺎﻟون ﺑﻧـزﯾن ‪ ،‬ﺿـﻐط اﻟـدم‬ ‫‪ ،‬اﻟطول ‪ ،‬اﻟوزن ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪( ٢٥ -١‬‬ ‫ﻓرض أن اﻟﺷﺧص ‪ I‬ﯾﺳﺗﻘل وﺳﯾﻠﺔ اﻟﻧﻘل اﻟﻌﺎم ﻓﻲ اﻟذﻫﺎب إﻟﻲ ﻋﻣﻠﻪ ‪ .‬وﺑﻔرض أن ﻛل ﺧﻣﺳﺔ‬

‫دﻗﺎﺋق ﺗﺻل ﺳﯾﺎرة إﻟﻰ اﻟﻣﺣطﺔ ‪.‬إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ًار ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻﻼً ﯾﻣﺛل زﻣن اﻻﻧﺗظﺎر ﻟﻬذا‬ ‫اﻟﺷﺧص ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣطﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة ] ‪ [ 0 , 5‬ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪0 x 5‬‬ ‫‪, e.w.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x)   5‬‬ ‫‪0‬‬

‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل )‪ f (x‬ﻣوﺿﺣﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣن اﻟواﺿﺢ أن ‪ f (x)  0‬وأن‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5.   1‬‬ ‫‪ .  5 ‬اﺣﺗﻣﺎل أن ‪ I‬ﺳوف ﯾﻧﺗظر ﻣن ‪ 1‬إﻟﻲ ‪ 3‬دﻗﺎﺋق‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗﺳﺎوي‬ ‫ﻫو ‪:‬‬

‫‪x 3 2‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪5 1 5‬‬

‫‪dx ‬‬

‫‪3 1‬‬

‫‪1 5‬‬

‫ﻫذا اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪‬‬

‫‪٣٤‬‬

‫‪dx   0 dx ‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪P(1  X  3)   f (x) dx  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪P(X  4)   f (x) dx  ‬‬

‫‪4 5‬‬

‫‪4‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﯾﺳﻣﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ‪.‬‬

‫)‪ (١-٨-١‬داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ‪The Distribution Function‬‬ ‫داﻟـﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷـواﺋﻲ ﻣﺗﻘطــﻊ )‪ ، F(x‬ﻷي ﻋــدد ﺣﻘﯾﻘـﻰ ‪ ، X ،‬ﻫــﻲ ) ‪ P(X < x‬وﯾﻣﻛــن‬ ‫اﻟﺣﺻـول ﻋﻠﯾﻬـﺎ ﺑﺟﻣـﻊ )‪ f(y‬ﻋﻠـﻰ ﺟﻣﯾـﻊ ﻗـﯾم ‪ y‬اﻟﺗـﻲ ﺗﺣﻘـق اﻟﺷـرط أن ‪y < x‬‬

‫‪ .‬أﯾﺿـﺎ ﻓـﺈن داﻟـﺔ اﻟﺗوزﯾـﻊ‬

‫ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ﻣﺗﺻل ﻫﻲ ) ‪ P(X < x‬وﻟﻛن ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑﺗﻛﺎﻣل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺘﻤ ﺎل )‪f(y‬‬ ‫ﻣن ‪  ‬ﺣﺘﻰ ‪. x‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ )‪ F(x‬ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل ﻷي ﻋدد ﺣﻘﯾﻘﻰ ‪ x‬ﺗﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪F( x )  P(X  x )   f ( y) dy .‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺗﻣﺛـل اﻟداﻟـﺔ )‪ F(x‬ﻷي ﻋـدد ﺣﻘﯾﻘـﻲ ‪ x‬اﻟﻣﺳـﺎﺣﺔ ﺗﺣـت اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ ﻟداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻋﻠـﻰ ﯾﺳـﺎر اﻟﻌــدد ‪x‬‬ ‫ﻛﻣـﺎ ﻫـو ﻣوﺿــﺢ ﻓـﻲ اﻟﺷـﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻰ ‪ .‬أﯾﺿـﺎ ﯾﻼﺣـظ ﻣــن ﺑﯾـﺎن )‪ F(x‬أن )‪ F(x‬ﺗزﯾـد زﯾــﺎدة ﻣﺿـطردة ﻣـﻊ زﯾــﺎدة‬ ‫‪. x‬‬

‫‪٣٥‬‬

‫ﺗﺣﻘق داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ )‪ F(x‬ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫)أ(‬

‫‪0  F(x)  1‬‬

‫)ب( اﻟداﻟـﺔ )‪ F(x‬ﺗﺗ ازﯾـد ﺗ ازﯾـداً ﻣﺿـطرداً ﻟﺟﻣﯾـﻊ ﻗـﯾم ‪ ، x‬أي أﻧـﻪ إذا ﻛﺎﻧـت ‪ a , b‬ﻗﯾﻣﺗـﯾن ﻓـﻲ ﻧطـﺎق‬ ‫اﻟداﻟﺔ )‪ F(x‬ﻓﺈن )‪. a  b  F(a )  F(b‬‬ ‫)ج( اﻟداﻟﺔ )‪ F(x‬ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻋﻧد ﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪. x‬‬

‫ﯾرﺟﻊ أﻫﻣﯾﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ )‪ F(x‬ﻓﻲ أﻧﻪ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣـﺎﻻت ﻟﻠﻔﺗـرات اﻟﻣﺧﺗﻠﻔـﺔ وذﻟـك ﻣـن ﺻـﯾﻐﺔ )‪F(x‬‬ ‫أو ﺟدول ﺧﺎص ﺑداﻟـﺔ اﻟﺗوزﯾـﻊ )‪ . F(x‬ﻓـﺈذا ﻛـﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﺑداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﺣﺗﻣـﺎل )‪ f (x‬وداﻟـﺔ ﺗوزﯾـﻊ‬ ‫)‪ F(x‬ﻓﺈﻧﻪ ﻷي ﻗﯾﻣﺗﯾن ‪ a , b‬ﺣﯾث ‪ a < b‬ﯾﻛون‪:‬‬ ‫‪P(a  X  b)  F(b)  F(a ) .‬‬

‫واﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٣٦‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٢٦-١‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻﻼً وﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x) ‬‬ ‫‪, 0x6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬ ‫ﻟﻘـﯾم‬

‫‪ x < 0‬ﻓـﺈن ‪ F(x) = 0‬وذﻟـك ﻟﻌـدم وﺟـود ﻣﺳـﺎﺣﺔ ﺗﺣـت اﻟﻣﻧﺣﻧـﻰ ﻟداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻋﻠـﻰ‬

‫ﯾﺳـﺎر اﻟﻘﯾﻣـﺔ ‪ X‬ﻟﻘـﯾم ‪ x > 6‬ﻓـﺈن ‪ F(x) = 1‬وذﻟـك ﻷن ﻛـل اﻟﻣﺳـﺎﺣﺔ ﺗﺗﺟﻣـﻊ إﻟـﻲ اﻟﯾﺳـﺎر ﻣـن ‪X‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﻟﻘﯾم ‪ 0  x  6‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x 1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪F(x)   f (y) dy  ‬‬ ‫‪dy  y  .‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 6‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻫﻲ ‪-:‬‬ ‫‪F(x)  0‬‬ ‫‪x0‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪0x 6‬‬ ‫‪x  6.‬‬

‫‪٣٧‬‬

‫ﺑﯾﺎن )‪ F(x‬ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫)‪ (٢-٨-١‬اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ‪Expected Values‬‬ ‫ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﻘطﻊ ‪ ،‬ﻛﻣﺎ ﻋرﻓﻧﺎ ﻣن اﻟﻔﺻـل اﻟﺛـﺎﻧﻲ ‪ ،‬ﻓـﺈن )‪ E(X‬ﯾﻣﻛـن اﻟﺣﺻـول ﻋﻠﯾـﻪ ﺑﺟﻣـﻊ )‪x f(x‬‬

‫ﻟﺟﻣﯾــﻊ ﻗ ــﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻲ‬

‫‪ .X‬ﻫﻧ ــﺎ ) ﺑﺎﻟﻧﺳ ــﺑﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾ ــر ﻋﺷـ ـواﺋﻲ ﻣﺗﺻ ــل ( ﺳ ــوف ﻧﺳ ــﺗﺑدل اﻟﻣﺟﻣ ــوع‬

‫ﺑﺎﻟﺗﻛﺎﻣل ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ أو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ )‪ f (x‬ﻫو ‪:‬‬ ‫‪٣٨‬‬

‫‪‬‬

‫‪  E(X)   xf (x) dx .‬‬

‫وﯾﻘﺎل أن )‪ E(X‬ﻣوﺟودة إذا و إذا ﻓﻘط ﻛﺎن ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x f (x) dx  ‬‬

‫‪Ex  ‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪( ٢٧-١‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺑﯾﻌﺎت اﻷﺳﺑوﻋﯾﺔ ﻟﺳﻠﻌﺔ ﻣﺎ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪f (x)  (1  x 2‬‬ ‫‪0  x 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬ ‫أوﺟد اﻟﺗوﻗﻊ ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪  E(X)   xf (x) dx   x (1  x 2 )dx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪31‬‬ ‫‪3 x2 x4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪  (x  x )dx  ( ‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﺟﻣﯾﻊ اﻟﺗﻌﺎرﯾف واﻟﻧظرﯾﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﺧص ﺗوﻗﻌﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﺗﺗﺣﻘق ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ ﻣﻊ اﺳﺗﺑدال اﻟﻣﺟﻣوع ﺑﺎﻟﺗﻛﺎﻣل ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪( ٢٨-١‬‬ ‫ﻣﺗﺻﻼ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ًار ﻋﺷواﺋﯾﺎً‬ ‫‪1.4430‬‬ ‫‪f (x) ‬‬ ‫‪1 x  2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ 0 , e.w.‬‬ ‫)ا( أوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪. X‬‬ ‫)ب( أوﺟد اﻟﺗﺑﺎﯾن ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪٣٩‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2  1.4430 ‬‬ ‫‪  E(X)   xf (x)dx  0   x ‬‬ ‫‪ dx  0  1.4430‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 1.433 ‬‬ ‫‪E(X )   x f (x) dx  0   x 2 ‬‬ ‫‪ dx  0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 2.1645‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1.443 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫)ب(‬

‫‪2  E(X2 )  [E(X)]2  2.1645  (1.4430)2  .08225.‬‬

‫)‪ (٣-٨-١‬اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت ‪Percentiles‬‬ ‫ﯾﻣﻛن وﺻف ﺧﺻﺎﺋص أﺧرى ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻣن ﺧﻼل ﻛﻣﯾﺎت ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾ ف ‪ :‬إذا ﻛـﺎن ‪ ، 0 < p < 1‬ﻓـﺈن اﻟﻣﺋـﯾن ذو اﻟرﺗﺑـﺔ )‪ (100p‬ﻟﺗوزﯾـﻊ ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﺻـل )أو ﻟﻣﺗﻐﯾـر‬ ‫ﻋﺷواﺋﻲ ‪ ( X‬ﻫو اﻟﺣل ‪ xp‬ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪xp‬‬ ‫‪p  F(x p )   f (y) dy .‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺗﺑﻌــﺎً ﻟﻠﺻــﯾﻐﺔ اﻟﺳــﺎﺑﻘﺔ ‪ ،‬ﻓــﺈن ‪ x p‬ﻫــو اﻟﻘﯾﻣــﺔ ﻋﻠــﻰ اﻟﻣﺣــور اﻷﻓﻘــﻲ ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ﺑﺣﯾــث أن ‪100p%‬‬ ‫ﻣ ﻦ اﻟﻣﺳ ــﺎﺣﺔ ﺗﺣ ــت ﻣﻧﺣﻧ ــﻰ )‪ f (x‬ﯾﻘ ــﻊ ﻋﻠ ــﻰ ﯾﺳ ــﺎر ‪ x p‬و ‪ 100(1-p)%‬ﺗﻘ ــﻊ ﻋﻠ ــﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬ ــﺎ‪ .‬ﻋﻠ ــﻰ ﺳ ــﺑﯾل‬ ‫اﻟﻣﺛﺎل ‪ x .75‬ھﻮ اﻟﻣﺋﯾن اﻟﺧـﺎﻣس واﻟﺳـﺑﻌﯾن واﻟـذي اﻟﻣﺳـﺎﺣﺔ ﺗﺣـت ﻣﻧﺣﻧـﻲ )‪ f (x‬ﻋﻠـﻰ ﯾﺳـﺎر اﻟﻘﯾﻣـﺔ ‪x.75‬‬ ‫ﻫو ‪ . p=0.75‬اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾوﺿﺢ اﻟﺗﻌرﯾف ‪:‬‬ ‫ﻋﻣوﻣﺎً ‪ ،‬ﻗد ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﻣﺗﺻل وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺳوف ﯾوﺟـد ﺑﻌـض اﻟﻘـﯾم ‪ p‬واﻟﺗـﻲ ﺗﻛـون اﻟﻣﻌﺎدﻟـﺔ ‪p = F‬‬

‫)‪ (xp‬ﻟﻬـﺎ أﻛﺛـر ﻣـن ﺣــل ‪ .‬وﺑـﺎﻟرﻏم ﻣـن اﻫﺗﻣﺎﻣﻧـﺎ ﻓــﻲ ﻫـذا اﻟﻛﺗـﺎب ﺑﺎﻟﺣﺎﻟـﺔ اﻟﻣﺗﺻــﻠﺔ ﻓﺈﻧـﻪ ﯾﻣﻛـن وﺿـﻊ ﺗﻌرﯾــف‬ ‫ﻋﺎم ﻟﻠﻣﺋﯾن ﺣﯾث اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ )‪ ( 100 p‬ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻫو اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ xp‬ﺑﺣﯾث أن ‪:‬‬

‫‪٤٠‬‬

‫‪P [ X  x p ]  p and P [ X  x p ]  1-p .‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٩ -١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻﻼً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬

‫‪0  x 1‬‬

‫‪3‬‬ ‫) ‪f (x)  (1  x 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0 , e.w .‬‬

‫أوﺟد داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ وﻣﻧﻬﺎ أوﺟد اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ)‪(100p‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪x 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y3 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪F(x)  ‬‬ ‫) ‪(1  y )dy  (y ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪ (x  ) , 0  x  1 , F(x)  1 , x  1 , F(x)  0 , x  0.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺑﯾﺎن )‪ F(x) , f (x‬ﻣوﺿﺣﺎن ﻓﻲ اﻟﺷﻛﻠﯾﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ ‪.‬‬

‫‪٤١‬‬

‫اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ )‪ (100p‬ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﺣﻘق اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫) ‪(x p‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪p  F(x p )   x p ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬

‫أي أن ‪:‬‬

‫‪ 3x p  2p  0‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺋﯾن اﻟﺧﻣﺳﯾن و ‪ p = .5‬وﺑﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ‬

‫‪3‬‬

‫‪ xp ‬‬

‫‪x 3 3x 10‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﺣل ﻫو ‪. x  x.5  .347‬‬ ‫‪٤٢‬‬

‫ﺗﻌرﯾ ف ‪ :‬اﻟوﺳــﯾط ﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﺗﺻــل ﻣــﺎ ‪ ،‬ﯾرﻣــز ﻟــﻪ ﺑــﺎﻟرﻣز ‪ ، m0‬ﻫــو اﻟﻣﺋــﯾن اﻟﺧﻣﺳــﯾن وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ‪ m0‬ﯾﺣﻘــق‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪. F(m0) = .5‬أي أن ﻧﺻـﻧف اﻟﻣﺳـﺎﺣﺔ ﺗﺣـت داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﺗﻘـﻊ ﻋﻠـﻰ ﯾﺳـﺎر ‪ m0‬و اﻟﻧﺻـف‬

‫اﻵﺧــر ﯾﻘــﻊ ﻋﻠــﻰ ﯾﻣــﯾن ‪ . m0‬ﻓــﻲ ﻛﺛﯾــر ﻣــن اﻟﺗطﺑﯾﻘــﺎت ﯾﺳــﺗﺧدم اﻟوﺳــﯾط ﺑــدﻻ ﻣــن اﻟﻣﺗوﺳــط ﻛﻣﻘﯾــﺎس ﻟﻠﻧزﻋــﺔ‬ ‫اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٠ -١‬‬ ‫ﺑﻔرض أن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪x0‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪F(x)  1  e (x / 3‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬

‫اﻟوﺳﯾط ﻫو ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m0  3[ ln(1  .5)] 2  3 ln 2  2.498.‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣١ -١‬‬ ‫ﻟﯾﻛن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻﻼً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪f (x)  4x 3‬‬

‫‪0  x 1‬‬

‫‪= 0 , e.w.‬‬

‫أوﺟد اﻟوﺳﯾط ‪٠‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪ x4‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪4y 4‬‬ ‫‪  4y dy ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪F( m 0 )  . 5‬‬

‫أي أن ‪:‬‬

‫‪F(x)  0‬‬

‫‪( m 0 ) 4  .5‬‬

‫‪m0 = (.5)1/4 .‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٢-١‬‬ ‫‪٤٣‬‬

‫‪x‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫‪0 x 1‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F(x)   x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫أوﺟد اﻟوﺳﯾط واﻟﻣدى‪٠‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻻﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط ﻧﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ‪:‬‬

‫اﻟﻣدى ﻫو ‪: x 0.75  x 0.25‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪F(m)  ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m  m0.25‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﺑﻣﺎ أن ‪:‬‬ ‫‪x 0.75  (0.75) 2‬‬ ‫‪x 0.25 (0.25) 2‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪x 0.75  x 0.25  (0.75)2  (0.25)2  0.5.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾ ف ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧـت داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ ‪ X‬ﻟﻬـﺎ ﻗﯾﻣـﺔ ﻋظﻣـﻰ وﺣﯾـدة ﻋﻨ ﺪ ‪x = m‬‬

‫أي أن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌظﻣﻰ ﻟﻠداﻟﺔ )‪ f (x‬ﺗﺴﺎوى )‪ f(m‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪ m‬ﯾﺳﻣﻰ ﻣﻧـوال اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ ‪X‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٣ -١‬‬ ‫أوﺟد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠدوال اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫)أ(‬

‫‪f (x)  12 x 2 (1  x) , 0  x‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬

‫‪٤٤‬‬

‫)ب(‬

‫‪1 2 x‬‬ ‫‪x e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬

‫‪f (x) ‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)‪df (x‬‬ ‫)أ(‬ ‫‪ 24x  36x 2 ,‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪df (x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫اﻟﻣﻧوال ﻫو اﻟﺣل ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﻣﻧوال ﻫو ‪m ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪df (x‬‬ ‫)ب( اﻟﻣﻧوال ﻫو اﻟﺣل ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪ 0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫أي أن ‪:‬‬ ‫‪2xe x  x 2 e x  0‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﻣﻧوال ﻫو ‪. m  2‬‬

‫ﻋﻣوﻣــﺎ ‪ ،‬ﯾﺧﺗﻠــف اﻟﻣﺗوﺳــط ﻋــن اﻟوﺳــﯾط ﻋــن اﻟﻣﻧـوال وﻟﻛــن ﻫﻧــﺎك ﺣــﺎﻻت ﯾﻛــون ﻓﯾﻬــﺎ اﻟﺛﻼﺛــﺔ ﻣﺗﺳــﺎوﯾﯾن ‪.‬‬ ‫ﯾﻘــﺎل ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ أﻧــﻪ ﻣﺗﻣﺎﺛــل ‪ symmetric‬إذا ﻛــﺎن ﺑﯾــﺎن )‪ f (x‬ﻋﻠــﻰ ﯾﺳــﺎر ﻧﻘطــﺔ ﻣــﺎ ‪ ،‬ﻟــﺗﻛن ‪ ، c‬ﻫ ـﻰ اﻟﺻــورة‬ ‫ﻓـﻲ اﻟﻣـرآة ﻋﻠـﻰ ﯾﻣـﯾن ﻫـذﻩ اﻟﻧﻘطـﺔ ‪ .‬ﺗﺳـﻣﻰ اﻟﻧﻘطــﺔ ‪ c‬ﻧﻘطـﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛـل ‪ .‬وﺑﻣﻌﻧـﻰ آﺧـر إذا أﻣﻛﻧﻧـﺎ أﻗﺎﻣـﺔ ﻋﻣــود‬

‫ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺣﯾث ﯾﻘﺳم اﻟﻌﻣود اﻟﺗوزﯾﻊ إﻟﻰ ﻗﺳﻣﯾن ﯾﻧطﺑﻘـﺎن ﻋﻠـﻰ ﺑﻌﺿـﻬﻣﺎ ﺗﻣـﺎم اﻻﻧطﺑـﺎق ‪ .‬اﻟﻧﻘطـﺔ‬

‫‪ c‬اﻟﺗ ــﻲ ﺗﻣﻛﻧﻧ ــﺎ ﻣ ــن إﻗﺎﻣ ــﺔ اﻟﻌﻣ ــود ﺗﺳ ــﻣﻰ ﻧﻘط ــﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛ ــل ‪ .‬إذا ﻛﺎﻧ ــت )‪ f (x‬ﻣﺗﻣﺎﺛﻠ ــﺔ ﺣ ــول اﻟﻧﻘط ــﺔ ‪ c‬وﻛ ــﺎن‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط ﻣوﺟود ﻓﺈن ‪ . c  ‬وﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ ﻋﻠﻰ ذﻟـك إذا ﻛﺎﻧـت ﻟﻠداﻟـﺔ )‪ f (x‬ﻧﻘطـﺔ ﻋظﻣـﻲ وﺣﯾـدة ﻋﻧـد ‪) m‬‬

‫اﻟﻣﻧوال( ووﺳﯾط وﺣﯾد ‪ m0‬ﻓﺈن ‪   m  m 0‬ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫‪٤٥‬‬

‫إذا ﻛــﺎن اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻏﯾــر ﻣﺗﻣﺎﺛــل ﻓﺈﻧــﻪ ﯾﻛــون ﻣﻠﺗوﯾــﺎً وﻗــد ﯾﻛــون ﻣﻠﺗوﯾــﺎً ﻧﺎﺣﯾــﺔ اﻟﯾﻣــﯾن ﻛﻣــﺎ ﻫــو ﻣوﺿــﺢ ﻓــﻲ اﻟﺷــﻛل‬ ‫اﻟﺗــﺎﻟﻰ أو ﻣﻠﺗوﯾــﺎً ﻧﺎﺣﯾــﺔ اﻟﯾﺳــﺎر ﻛﻣــﺎ ﻫــو ﻣوﺿــﺢ ﻓــﻲ اﻟﺻــﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾــﺔ ‪ .‬ﯾﻛــون اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﻠﺗوﯾــﺎ ﻧﺎﺣﯾــﺔ‬ ‫اﻟﯾﻣـﯾن أو ﻣوﺟـب اﻻﻟﺗـواء ‪positive skewed‬‬

‫إذا ﻛـﺎن ﻣﻌـدل اﻟﺗﻧـﺎﻗص ﻓـﻲ اﻟﻣﻧﺣﻧـﻰ أﺳـرع ﺟﻬـﺔ اﻟﯾﻣـﯾن‬

‫ﻣﻧــﻪ ﺟﻬــﺔ اﻟﯾﺳــﺎر ﺑﺣﯾــث ﯾﻛــون اﻟﺟﺎﻧــب اﻷﯾﻣــن ﻣــن اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ أطــول ﻣــن اﻟﺟﺎﻧــب اﻷﯾﺳــر ﺑﯾﻧﻣــﺎ ﯾﻛــون اﻟﺗوزﯾــﻊ‬ ‫ﻣﻠﺗوﯾـﺎً إﻟـﻰ اﻟﯾﺳـﺎر وﺳـﺎﻟب اﻻﻟﺗـواء ‪ negative skewed‬إذا ﻛـﺎن ﻣﻌـدل اﻟﺗﻧـﺎﻗص ﻓـﻲ اﻟﻣﻧﺣﻧـﻰ أﺳـرع ﺟﻬـﺔ‬ ‫اﻟﯾﺳــﺎر ﻣﻧــﻪ ﺟﻬــﺔ اﻟﯾﻣــﯾن ﺑﺣﯾــث ﯾﻛــون اﻟﺟﺎﻧــب اﻷﯾﺳــر ﻣــن اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ أطــول ﻣــن اﻟﺟﺎﻧــب اﻷﯾﻣــن ‪ .‬ﯾﺳــﺗﺧدم‬

‫ﻣﻌﺎﻣــل اﻻﻟﺗ ـواء ﻓــﻲ ﻗﯾــﺎس اﻻﻟﺗ ـواء وﯾﻌﺗﺑــر ﻣﻘﯾــﺎس ﻧﺳــﺑﻲ ﻻ ﯾﻌﺗﻣــد ﻋﻠــﻰ وﺣــدات اﻟﻘﯾــﺎس ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ‬ ‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ X ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪ E‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪3/ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪٤٦‬‬

‫ﯾﺄﺧذ ﻛل ﻣن ‪  3 , 3‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣوﺟﺑـﺔ أو اﻟﺳـﺎﻟﺑﺔ أو اﻟﺻـﻔر وداﺋﻣـﺎً ﯾﻛوﻧـﺎن ﻣﺗﻔﻘـﺎن ﻓـﻲ اﻹﺷـﺎرة ‪ .‬اﻟﻘﯾﻣـﺔ‬

‫اﻟﺳــﺎﻟﺑﺔ ﻣــن ‪ 3‬داﺋﻣــﺎ ﺗوﺟــد ﻋﻧــدﻣﺎ ﯾﻛــون اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﻠﺗوﯾــﺎً ﻧﺎﺣﯾــﺔ اﻟﯾﺳــﺎر ﺑﯾﻧﻣــﺎ اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﻣوﺟﺑــﺔ ﻣــن ‪3‬‬ ‫ﺗوﺟد داﺋﻣﺎً ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻠﺗوﯾﺎً ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﯾﻣﯾن‪.‬‬

‫ﯾﺳــﺗﺧدم اﻟﻌــزم اﻟ ارﺑــﻊ ﺣــول اﻟﻣﺗوﺳــط ﻛــدﻟﯾل ﻟﻠــﺗﻔﻠطﺢ أو اﻟﺗــدﺑب ﻟﺗوزﯾــﻊ اﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ‪ ،‬وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ﻓــﺈن‬

‫ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ‪  4‬ﻫو ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪ E‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪22‬‬ ‫واﻟ ــذي ﻻ ﯾﻌﺗﻣ ــد ﻋﻠ ــﻰ وﺣ ــدات اﻟﻘﯾ ــﺎس ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻲ ‪ . X‬ﻟﺗﻘ ــدﯾر ﺗ ــدﺑب اﻟﻘﻣ ــﺔ ﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﺣﺗﻣ ــﺎﻟﻲ‬

‫ﯾﺳــﺗﺧدم ﺗوزﯾــﻊ ﻣﺷــﻬور وﻫــو اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻲ اﻟــذي ﺳــوف ﻧﺗﻧﺎوﻟــﻪ ﻓــﻲ اﻟﻔﺻــل اﻟﺛــﺎﻧﻰ ﻛﻣﻘﯾــﺎس ﻷن ‪ 4‬‬ ‫ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﺗﺳﺎوي ‪ . 3‬ﻷي ﺗوزﯾﻊ آﺧر ﻧﻘول أن اﻟﺗوزﯾﻊ أﻛﺛر ﺗـدﺑﺑﺎ ﻣـن اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻲ إذا ﻛـﺎن ‪ 4‬‬

‫‪ . > 3‬أﯾﺿﺎ ﻧﻘول أن اﻟﺗوزﯾﻊ أﻛﺛر ﺗﻔﻠطﺣﺎً ﻣـن اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻲ إذا ﻛـﺎن ‪ .  4 < 3‬اﻷﻧـواع اﻟﺛﻼﺛـﺔ‬

‫ﻣن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت ﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫‪٤٧‬‬

‫ﻓﻔـﻲ اﻟﺷــﻛل اﻟﺳـﺎﺑق ﺛــﻼث ﻣﻧﺣﻧﯾـﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ ﻓـﻲ ﻛﻣﯾــﺔ اﻟـﺗﻔﻠطﺢ‪ .‬اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ ‪ ، A ،‬ذو اﻟﻘﻣـﺔ اﻟﻣدﺑﺑــﺔ‪ .‬اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ‬ ‫اﻟﺛ ــﺎﻧﻲ ‪ ، B ،‬وﻫ ــو اﻟﻣﻌﺗ ــدل ﯾﻛ ــون ﻣﺗوﺳ ــط اﻟ ــﺗﻔﻠطﺢ‪ .‬وأﺧﯾـ ـراً اﻟﻣﻧﺣﻧ ــﻰ‬

‫‪ ، C ،‬اﻟﻣﻔﻠط ــﺢ واﻟ ــذى ﯾﻛ ــون‬

‫ﻣﻧﺑﺳ ــطﺎً وﺗ ــﻧﺧﻔض ﻗﻣﺗ ــﻪ ﻋ ــن ﻗﻣ ــﺔ اﻟﻣﻧﺣﻧ ــﻰ اﻟﻣﻌﺗ ــدل ‪ .‬وأﺧﯾـ ـراً اﻟﻣﻌﻠوﻣ ــﺎت ﻋ ــن اﻟﺗﺷ ــﺗت واﻟﻣوﻗ ــﻊ واﻻﻟﺗـ ـواء‬ ‫واﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻟﺗوزﯾﻊ ﻋﺎدة ﻣﺎ ﺗﻛون ﻣﻔﯾدة ﻓﻲ إﻋطﺎء ﺻورة ﻋن اﻟﺗوزﯾﻊ‬

‫ﻧظرﯾ ﺔ ‪ :‬إذا ﻛــﺎن ﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ ‪ X‬ﻣﺗﻣﺎﺛــل ﺣــول اﻟﻣﺗوﺳــط ) ‪   E(X‬ﻓــﺈن اﻟﻌــزم اﻟﺛﺎﻟــث‬ ‫ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ‪ ‬ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر أي أن ‪. 3  0‬‬

‫ﺗﻌﻧﻲ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳـﺎﺑﻘﺔ أﻧـﻪ إذا ﻛـﺎن ‪ 3  0‬ﻓـﺈن اﻟﺗوزﯾـﻊ ﻻ ﯾﻛـون ﻣﺗﻣﺎﺛـل واﻟﻌﻛـس ﻏﯾـر ﺻـﺣﯾﺢ ﺑﻣﻌﻧـﻲ‬ ‫أﻧﻪ إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﻣﺗﻣﺎﺛل ﻓﻣن اﻟﻣﻣﻛن أن ﯾﻛون ‪. 3  0‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪( ٣٤ -١‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪X‬‬ ‫ﻣﺗﻐﯾر ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل‬ ‫ا‬ ‫‪0x 1‬‬ ‫أوﺟد‪:‬أ( اﻟﻌزوم اﻻرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﺻﻔر‪٠‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪f (x)  ‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬

‫ب( اﻟﻌزوم اﻻرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط‪٠‬‬

‫ج( ﻣﻌﺎﻣل اﻹﻟﺗواء وﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ‪٠‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫أ(‬ ‫‪٤٨‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬ ‫ب(‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬ ‫ج(ﻣﻌﺎﻣل اﻹﻟﺗواء ﻫو‪:‬‬

‫‪r 1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪r  E(X r )   x r dx ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r 1,2,3,‬‬ ‫‪r 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  , 2  , 3  , 4  .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪r  E(X  0.5)r   (x 0.5)r dx,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (x 0.5)r 1 ‬‬ ‫‪1  r 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0.5 (0.5)r 1 .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ r 1 ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1  0 , 2  0.083 , 3  0 , 4  0.0125.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 0.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻫو‪:‬‬

‫‪3 ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0.0125‬‬ ‫‪4  4 ‬‬ ‫‪ 1.81.‬‬ ‫‪ 22 (0.083) 2‬‬

‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ وﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﻟﺘﻮاء ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ إﯾﺠﺎد اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ‪ .‬وﺑﻤﺎ‬ ‫أن إﯾﺠﺎدھﺎ ﺻﻌﺐ ﻓﯿﻤﻜﻦ إﯾﺠﺎدھﺎ ﺑﺪﻻﻟﺔ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪ (x  ) f (x)dx.‬‬

‫‪r‬‬

‫‪r  E(X  ) ‬‬

‫‪‬‬

‫ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺘﺼﻞ‪ ،‬أﻣﺎ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺘﻘﻄﻊ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺴﺘﺒﺪل اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﻤﺠﻤﻮع‪.‬‬

‫‪٤٩‬‬

‫‪then‬‬ ‫‪‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪r j j‬‬ ‫‪ j () x f (x)dx‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪j0  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r j‬‬ ‫‪   ()  x jf (x)dx‬‬ ‫‪j 0  j ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪   ()r  j  j.‬‬ ‫‪j 0  j ‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪r ‬‬

‫ﻋﻠﻰ ﺳﺒﯿﻞ اﻟﻤﺜﺎل ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ r  2‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2   2    () 2 j j‬‬ ‫‪j0  j ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪    0       1  2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪  2  2 2  2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 2   2  E(X 2 )   E(X)  .‬‬

‫وﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ‪:‬‬ ‫‪3  3  32  23 ,‬‬ ‫‪4  4  43  6 22  3 4 .‬‬

‫)‪ (٩-١‬اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ‪Moments Generating Functions‬‬ ‫ﺗﻌﺗﺑ ــر اﻟ ــدوال اﻟﻣوﻟ ــدة ﻟﻠﻌ ــزوم أداة ﻗوﯾ ــﺔ ﻓ ــﻲ ﻧظرﯾ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎﻻت ‪ ،‬ﻓﺑﺎﺳ ــﺗﺧدام اﻟ ــدوال اﻟﻣوﻟ ــدة ﯾﻣﻛ ــن‬ ‫اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻌـﺎت أو ﻋـزوم ﻟﺗوزﯾﻌـﺎت ﺑطرﯾﻘـﺔ ﻣﺑﺎﺷـرة واﻗـل ﺗﻌﻘﯾـدا ﻣـن طـرق اﻟﺣﺳـﺎب اﻷﺧـرى‪ .‬ﯾوﺟـد‬

‫اﻟﻌدﯾ ــد ﻣ ــن اﻟ ــدوال اﻟﻣوﻟ ــدة ‪ ،‬وﻛ ــل واﺣ ــدة ﻣﻔﯾ ــدة ﻷﻧـ ـواع ﻣﺧﺗﻠﻔ ــﺔ ﻣ ــن اﻟﻣﺷ ــﺎﻛل وأﯾﺿ ــﺎ ﻷﻧـ ـواع ﻣﺧﺗﻠﻔ ــﺔ ﻣ ــن‬

‫اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ‪.‬‬ ‫)ا( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم‬ ‫ﺑﻔـرض وﺟـود رﻗـم ﻣوﺟـب ‪ h‬ﺑﺣﯾـث ﻟﻠﻔﺗـرة ‪ -h < t < h‬ﯾﻛـون اﻟﺗوﻗـﻊ ) ‪ E(e tX‬ﻣوﺟـود ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ‬ ‫‪ . X‬ﺗﺑﻌﺎ ﻟذﻟك ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f (x) dx‬‬

‫‪tx‬‬

‫‪e‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل أو‪:‬‬ ‫‪٥٠‬‬

‫‪E(e tX ) ‬‬

‫‪E(e tx )   e tX f (x),‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻋﻧـدﻣﺎ ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـ ار ﻋﺷـواﺋﯾﺎ ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﻘطـﻊ‪ .‬ﻫـذا اﻟﺗوﻗـﻊ ﯾﺳـﻣﻰ اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣوﻟـدة ﻟﻠﻌـزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ‬ ‫‪)X‬أو اﻟﺗوزﯾﻊ ( وﯾرﻣز ﻟﻬﺎ اﻟرﻣز )‪ MX (t‬ﺣﯾث ‪:‬‬

‫) ‪M X (t)  E(e tX‬‬

‫ﻋﻧــدﻣﺎ ‪t  0‬‬

‫ﻓ ــﺈن ‪ . M X (0)  1‬إن وﺟ ــود اﻟداﻟ ــﺔ اﻟﻣوﻟ ــدة ﻟﻠﻌ ــزوم ﻣـ ـرﺗﺑط ﺑﻛ ــون اﻟﻣﺟﻣ ــوع أو اﻟﺗﻛﺎﻣ ــل‬

‫ﻣﺗﻘﺎرب ﻋﻠﻰ ﻧﺣو ﻣطﻠق ٕواذا ﻟم ﯾﻛن ﻛذﻟك ﻓﻌﻧدﺋذ ﯾﻘﺎل أن اﻟداﻟﺔ ﻏﯾر ﻣوﺟودة‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٥ -١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣﺗﻘطﻌﺎ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, x = 1, 2, 3,...,n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬

‫‪f (x) ‬‬

‫أوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪. X‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫ﺑوﺿﻊ ‪:‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪1 1 n‬‬ ‫‪M X ( t )   e tx       e tx‬‬ ‫‪ n   n  x 1‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪ n  1  e t  e 2 t  ...  e ( n 1) t‬‬

‫ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫أي أن ‪:‬‬

‫‪e t  n  e t  e 2t  e3t  ...  e nt ,‬‬ ‫‪ n  e t  n  1  e nt ,‬‬

‫‪,‬‬

‫وﻣﻧﻬﺎ ‪:‬‬ ‫‪,‬‬

‫ﺗﺑﻌﺎ ﻟذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪1  ent‬‬ ‫‪1  et‬‬

‫‪n ‬‬

‫) ‪e t .(1  e nt‬‬ ‫‪1  et‬‬

‫‪٥١‬‬

‫‪t‬‬

‫‪e n ‬‬

‫‪1‬‬ ‫) ‪e t .(1  e nt‬‬ ‫‪M X (t)  .e t  n ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪n(1  e‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٦ -١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬ ‫‪, x = 1, 2, 3,...‬‬

‫أوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم؟‬

‫‪6‬‬ ‫‪2 x 2‬‬

‫‪f (x) ‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠداﻟﺔ )‪ f (x‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪6e tx‬‬ ‫‪MX (t)  E(e )   e f (x)   2 2 .‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 1  x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪tX‬‬

‫‪tx‬‬

‫ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن اﻟﻣﺗﺳﻠﺳﻠﺔ ﺗﺑﺎﻋدﯾﻪ ﻋﻧدﻣﺎ ‪ t  0‬وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﺧﺗﺑﺎر اﻟﻧﺳﺑﺔ وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻻ ﯾوﺟـد ﻋـدد‬ ‫ﻣوﺟـب ‪ h‬ﺣﯾــث )‪ MX (t‬ﺗﻛــون ﻣوﺟـودة و ‪ . h  t  h‬وﺗﺑﻌــﺎ ﻟــذﻟك‬

‫)‪ f (x‬ﻟﻬــذا اﻟﻣﺛـﺎل ﻟــﯾس ﻟﻬــﺎ داﻟــﺔ‬

‫ﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ X2 , X1‬ﻣﺘﻐﯿﺮﯾﻦ ﻋﺸ ﻮاﺋﯿﯿﻦ وإذا ﻛ ﺎن ‪ X1‬ﻟ ﮫ داﻟ ﺔ اﻟﺘﻮزﯾ ﻊ )‪ F1(x‬واﻟﺪاﻟ ﺔ اﻟﻤﻮﻟ ﺪة‬ ‫ﻟﻠﻌﺰوم )‪ . M1(t‬أﯾﻀﺎ إذا ﻛﺎن ‪ X2‬ﻟﮫ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ )‪ F2(x‬واﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻮﻟ ﺪة ﻟﻠﻌ ﺰوم )‪ M2(t‬ﻓ ﺈن )‪F1(x‬‬ ‫)‪ = F2(x‬ﻟﺠﻤﯿﻊ ﻗﯿﻢ ‪ x‬اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ إذا وﻛﺎﻧﺖ ﻓﻘﻂ )‪M1(t) = M2(t‬وذﻟﻚ ﻟﺠﻤﯿﻊ ﻗﯿﻢ ‪ t‬ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة < ‪– h‬‬ ‫‪.t <h‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ‪ X‬ﺗﻜﻮن وﺣﯿ ﺪه ) وإذا وﺟ ﺪت ( ﻓﺈﻧﮭ ﺎ ﺗﺴ ﺘﺨﺪم ﻓ ﻰ‬ ‫اﻟﺘﻌﺮف ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ‪ ، X‬أي أﻧﮭﺎ ﺗﻤﺘﻠﻚ ﺧﺎﺻﯿﺔ اﻟﻮﺣﺪاﻧﯿﺔ‪ .‬إن ﻋﻣﻠﯾـﺔ اﻟﺗﻌـرف‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻣن ﺧﻼل اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﯾﺳت ﺳﻬﻠﺔ ﻓﻰ ﻛل اﻟﺣﺎﻻت ‪.‬‬

‫ﺑﻌــض اﻟﺧﺻــﺎﺋص اﻟﻣﻣﯾ ـزة ﻟﺗوزﯾــﻊ ﻟــﻪ داﻟــﺔ ﻣوﻟ ــدة ﻟﻠﻌــزوم )‪ MX (t‬ﯾﻣﻛــن اﻟﺣﺻــول ﻋﻠﯾﻬــﺎ ﻣﺑﺎﺷ ـرة ﻣ ــن‬

‫)‪ . M X (t‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ‪ ،‬وﺟود )‪ M X (t‬ﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة ‪  h  t  h‬ﺗﻌﻧـﻲ إن اﻟﻣﺷـﺗﻘﺎت ﻣـن ﻛـل اﻟرﺗـب‬ ‫ﻣوﺟودة ﻋﻧد ‪ t  0‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪dM X (t‬‬ ‫‪ MX (t)   xe tx f (x)dx‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل‪ ،‬أو‪:‬‬

‫‪٥٢‬‬

‫)‪dM X (t‬‬ ‫)‪ MX (t)   xe tx f (x‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ‪ .‬ﺑوﺿﻊ ‪ t = 0‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻓﻲ ﻛﻼ ﻣن اﻟﺣﺎﻟﺗﯾن ﻋﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪MX (0)  E(X)  ‬‬ ‫اﻟﻣﺷﺗﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻟﻠداﻟﺔ )‪ M X (t‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f (x)dx,‬‬

‫‪2 tx‬‬

‫‪xe‬‬

‫‪M X (t) ‬‬

‫‪‬‬

‫أو‪:‬‬ ‫‪MX (t)   x 2 e tx f (x)dx‬‬ ‫‪x‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫) ‪M X (0)  E(X 2‬‬ ‫وﺗﺑﻌﺎ ﻟذﻟك ‪:‬‬ ‫‪ 2  E(X 2 )   2  M X (0)   M X (0)  .‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫وﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ إذا أﻣﻛن ﺗﻔﺎﺿـل اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣوﻟـدة ﻟﻠﻌـزوم ‪ r‬ﻣـن اﻟﻣـرات ﻓـﺈن )‪ . E(X )  M X (0‬ﻋﻠـﻰ ﺳـﺑﯾل‬

‫اﻟﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎن )‪ t  1, M X (t)  (1  t‬ﻓﺎن اﻟﻣﺷﺗﻘﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ r‬ﻟﻠداﻟﺔ )‪M X (t‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪M X ( r ) (t)  r !(1  t)  r 1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫اﻟﻌزوم ﺣول اﻟﺻﻔر ) ‪ E(X‬ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ ، r‬ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫!‪E(X r )  M X (r ) (0)  r‬‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط ‪ ‬ﻫو‪:‬‬

‫‪  E(X)  1!  1‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن‪:‬‬

‫‪2  E(X 2 )   2  2  (1)2  1.‬‬

‫ﺑﺎﻟطﺑﻊ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﺣﺳﺎب ‪  , ‬ﻣن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ xf (x)dx ،‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ x f (x)dx  ‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻣوﺟودة ‪ ،‬ﻓﺎن‬

‫‪E(X r )  M X (r ) (0), r  1, 2,...‬‬ ‫ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﯾﻛون ﻫﻧﺎك طرﯾﻘﺔ أﺳﻬل ﻣن اﻷﺧرى ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺣﯾث‬ ‫‪٥٣‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ﻣﺳﻠﺳﻠﺔ ﻣﺎﻛﻠورﯾن ﻓﻰ وﺿﻊ )‪ MX (t‬ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪E(Xr )t r‬‬ ‫‪MX (t)  1  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫!‪r‬‬ ‫‪r 1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫ﻓـﻲ اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣوﻟـدة ﻟﻠﻌـزوم ﺑﻌـد وﺿـﻌﻬﺎ ﻓـﻲ ﺻـﯾﻐﺔ ﻣﺳﻠﺳـﻠﺔ‬ ‫أي أن اﻟﻌزم اﻷول ﺣول اﻟﺻـﻔر ﻫـو ﻣﻌﺎﻣـل‬ ‫!‪1‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫ﻓــﻲ اﻟداﻟــﺔ ‪ ،‬واﻟﻌــزم اﻟﺛﺎﻟــث ﺣــول اﻟﺻــﻔر ﻫــو ﻣﻌﺎﻣــل‬ ‫ﻣــﺎﻛﻠورﯾن واﻟﻌــزم اﻟﺛــﺎﻧﻲ ﺣــول اﻟﺻــﻔر ﻫــو ﻣﻌﺎﻣــل‬ ‫!‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪tr‬‬ ‫‪t3‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟداﻟﺔ‪.‬‬ ‫أﺧﯾر اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ r‬ﺣول اﻟﺻﻔر ﻫو ﻣﻌﺎﻣل‬ ‫ﻓﻲ اﻟداﻟﺔ و ا‬ ‫!‪r‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٧ -١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪, -  < t < .‬‬

‫‪t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪M X (t)  e‬‬

‫أوﺟد اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ r‬ﺣول اﻟﺻﻔر‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1  t2  1  t2 ‬‬ ‫‪1  t2 ‬‬ ‫‪MX (t)  e  1        ...     ...‬‬ ‫‪1!  2  2!  2 ‬‬ ‫‪r!  2 ‬‬ ‫‪1 2 (3)(4)  4t 2  r (2r 1)...(3)(1) 2r‬‬ ‫‪ 1 t ‬‬ ‫‪t  ...‬‬ ‫‪t  ... ‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫!‪4‬‬ ‫!)‪(2r‬‬ ‫‪  2 ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫!‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫!‪t 2r  2r ‬‬

‫‪‬‬

‫‪t 2r‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫!‪r‬‬ ‫‪r 0‬‬ ‫)!‪r 0 2 r! (2r‬‬

‫‪t 2r‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﻔﻛوك )‪ MX (t‬ﻫو ) ‪ E(X‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫وﺑﻣﺎ إن ﻣﻌﺎﻣل‬ ‫!‪2r‬‬ ‫‪ 2r ! , r = 1,2,3,...‬‬ ‫‪E(X2r ) ‬‬ ‫!‪2r r‬‬ ‫و‬ ‫‪2r-1‬‬ ‫… ‪E(X ) = 0 , r = 1, 2, 3,‬‬ ‫‪2r‬‬

‫‪٥٤‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ Y = a X + b‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫) ‪M Y ( t )  e bt M X (at‬‬ ‫واﺣـ ــد ﻣـ ــن اﻟﺗطﺑﯾﻘـ ــﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧـ ــﺔ ﻟﻬـ ــذﻩ اﻟﻧظرﯾـ ــﺔ ﻫـ ــو ﺣﺳـ ــﺎب اﻟﻌـ ــزم ﻣـ ــن اﻟدرﺟـ ــﺔ ‪ r‬ﺣـ ــول اﻟﻣﺗوﺳـ ــط ‪،‬‬ ‫‪ ، E(X  ) r‬وذﻟــك ﻷن ) ‪ ) M X  ( t )  e t M X ( t‬اﻟداﻟــﺔ اﻟﻣوﻟــدة ﻟﻠﻌــزوم اﻟﻣرﻛزﯾــﺔ أو ﺣــول‬ ‫اﻟوﺳط ( وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪[ e t M X ( t )]t  0 .‬‬

‫‪dr‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫‪E ( X  ) ‬‬

‫‪dt‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٨ -١‬‬ ‫إذا ﻋﻠﻣ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــت أن اﻟداﻟـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ اﻟﻣوﻟ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــدة ﻟﻠﻌـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــر ‪ X‬ﻫـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻲ ‪:‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ M X (t)  e‬اوﺟـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــد‬

‫)‪ Y , E(X  3)  E(Y‬؟‬ ‫‪2‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪MY (t)  M(X3) (t)  E et(X3) ‬‬

‫) ‪ E(e tX  3 t )  e 3 t E(e tX‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3t‬‬

‫‪3t‬‬

‫‪ e M X (t)  e e‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3t  t 2‬‬ ‫}‪2 {3  t‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3t  t 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪e‬‬

‫‪M 'X 3 (t)  e‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪M ''X 3 (t)  e3t  t .(1)  (3  t)2.e 3t  t‬‬

‫‪E (X  3)  E (Y )  M Y (0 )   3,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫) ‪ 2Y  M Y (0 )   M Y (0‬‬ ‫‪ 10  9  1.‬‬

‫)ب( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟﺔ ﻟﻌزوم اﻟﻣﺿروب ‪:‬‬

‫‪٥٥‬‬

‫إذا ﻛـﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷـواﺋﻲ ﻣﺗﻘطﻌــﺎً ﯾﺄﺧـذ ﻗﯾﻣــﺎً ﻏﯾــر ﺳــﺎﻟﺑﺔ وﻛﺎﻧـت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ داﻟﺗــﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ ﻫــﻲ )‪f(x‬‬ ‫ﻓﺈﻧــﻪ ﯾﻛــون ﻣــن اﻟﺳــﻬل اﺷــﺗﻘﺎق اﻟﻌــزوم ﺑﺎﺳــﺗﺧدام ﻋــزوم اﻟﻣﺿــروب واﻟﺗــﻲ ﺗﻘــوم ﺑﺗوﻟﯾــدﻫﺎ داﻟــﺔ ﺗﺳــﻣﻰ اﻟداﻟــﺔ‬

‫اﻟﻣوﻟدة ﻟﻌزم اﻟﻣﺿروب واﻟﺗﻲ ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪G X  t   E t X   t x f (x).‬‬ ‫‪x‬‬

‫وذﻟــك إذا ﻛــﺎن اﻟﺗوﻗــﻊ‬

‫‪X‬‬ ‫) ‪ E(t‬ﻣوﺟــود ﻟﺟﻣﯾــﻊ ﻗــﯾم ‪ t‬ﻓــﻲ اﻟﻔﺗ ـرة ‪ . 1-h < t<1+h‬ﯾوﺟــد ﻋﻼﻗــﺔ ﺑــﯾن اﻟداﻟــﺔ‬

‫‪ M X  t ‬وﺑﯾن اﻟداﻟﺔ ‪ G X  t ‬ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪G X  t   E t X  E e X ln t ‬‬ ‫‪ M X (ln t).‬‬ ‫ﺗذﻛر‪ :‬اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻌزم اﻟﻣﺿروب ﻻ ﺗﺳﺗﺧدم إﻻ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﻓﻘط ‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ )‪ G X (t‬ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪G X (1)  E(X),‬‬ ‫‪G X (1)  E[X(X  1)],‬‬ ‫‪G (Xr ) (1)  E[X(X  1)  (X  r  1)].‬‬ ‫‪r‬‬ ‫وﻣـن اﻟﻣﻣﻛـن ﺣﺳــﺎب اﻟﻌـزوم ﻣــن اﻟدرﺟـﺔ ‪ r‬ﺣــول اﻟﺻـﻔر‪ ، E(X ) ،‬ﻣــن ﻋـزوم اﻟﻣﺿــروب ‪ .‬ﻓﻌﻠـﻰ ﺳــﺑﯾل‬ ‫اﻟﻣﺛﺎل ‪:‬‬

‫]‪E[X(X  1)]  E[X 2  X‬‬ ‫‪ E(X2 )  E(X).‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪E(X2 )  E(X)  E[X(X 1)].‬‬ ‫ﺗﺳﻣﻰ اﻟداﻟﺔ )‪ G X (t‬ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﺑﺎﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟـدة ﻟﻼﺣﺗﻣـﺎل ‪.‬أي أﻧـﻪ ﺑوﺿـﻊ اﻟداﻟـﺔ )‪ G X (t‬ﻋﻠـﻰ‬

‫اﻟﺻ ـ ــورة اﻟﺗﺎﻟﯾ ـ ــﺔ ‪GX (t)  f(0)  tf(1)  ...  trf(r)  ... :‬‬

‫‪ ،‬ﯾﻛ ـ ــون ﻣﻌﺎﻣ ـ ــل ‪t r‬‬

‫ﻓ ـ ــﻲ ﻣﻔﻛ ـ ــوك اﻟداﻟ ـ ــﺔ‬

‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪ G X (t‬ﻫو )‪ f (r)  P(X  r‬أي أن ‪ ، GX (t)  f (0)   t f (x) :‬واﻟذي ﯾﻌﻧﻲ أن ‪:‬‬ ‫‪x1‬‬

‫)‪1 ( r‬‬ ‫‪G X (0)  P(X  r) , r = 1,2,...‬‬ ‫!‪r‬‬

‫أي أن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل ﺗﺣدد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻷي ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻣﻌـرف ﻋﻠـﻰ ﻗـﯾم ﺻـﺣﯾﺣﺔ‬ ‫وﻏﯾر ﺳﺎﻟﺑﺔ‪.‬‬ ‫‪٥٦‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٩ -١‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت اﻟداﻟﺔ )‪ G X (t‬ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة‪:‬‬

‫ﺣﯾث ‪0  t  1,‬‬

‫‪pt‬‬ ‫و ‪، 0<p<1‬‬ ‫‪1  (1 p)t‬‬

‫‪GX (t) ‬‬

‫أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪. X‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪f (0)  G X (0)  0,‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ p,‬‬ ‫‪[1  (1  p)0]2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪1 2p(1  p‬‬ ‫‪f (2)  G X (0) ‬‬ ‫‪ p(1  p).‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 [1  (1  p)0]3‬‬ ‫‪f (1)  G X (0) ‬‬

‫ﻋﻣوﻣﺎً ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن ‪, x=1,2,… :‬‬

‫‪f (x)  p(1  p) x 1‬‬

‫)ج( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ‪:‬‬ ‫ﻛﻣ ــﺎ ﻻﺣظﻧ ــﺎ ﺳ ــﺎﺑﻘﺎً ‪ ،‬ﻓ ــﺈن اﻟﻌﯾ ــب اﻟرﺋﯾﺳ ــﻲ ﻟﻛ ــل ﻣ ــن اﻟداﻟ ــﺔ )‪  X (t‬واﻟداﻟ ــﺔ )‪ G X (t‬أﻧﻬﻣ ــﺎ ﻏﯾ ــر‬ ‫ﻣوﺟـودﯾن ﻟـﺑﻌض اﻟﺗوزﯾﻌـﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾـﺔ ‪ .‬ﻋﻠـﻰ ﺧـﻼف ذﻟـك ﻓـﺈن اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣﻣﯾـزة )أو ﺗﺣوﯾﻠـﻪ ﻓـورﯾر ‪fourier‬‬ ‫‪ (transform‬ﻣﻌرﻓﺔ ﻟﺟﻣﯾﻊ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ‪ .‬اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﺗﻌرف ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬

‫‪X (t)  eitxf(x).‬‬ ‫‪X‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﺑﯾﻧﻣﺎ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪X (t)   eitx f (x) , - < t < .‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل ‪ .‬ﻫﻧﺎ‬

‫‪i  1‬‬

‫أي اﻟﻌـدد اﻟﺗﺧﯾﻠـﻲ‪ .‬ﻗـﯾم اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣﻣﯾـزة ﻗـد ﺗﻛـون‬

‫ﻣرﻛﺑﺔ وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻓﻬم واﺳﺗﺧدام ﻫذا اﻟﻧوع ﻣن اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﯾﺣﺗﺎج إﻟﻰ ﻣﻌﻠوﻣـﺎت ﻓـﻲ ﻧظرﯾـﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾـرات‬ ‫اﻟﻣرﻛﺑـﺔ‪ .‬وﺗﺑﻌــﺎ ﻟـذﻟك ﻓــﺈن د ارﺳـﺔ اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣﻣﯾـزة ﯾﻘﺗﺻــر ﻋﻠـﻰ اﻟﻛﺗــب اﻟﻣﺗﻘدﻣـﺔ ﻓــﻲ ﻧظرﯾـﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل‪.‬ﻛﺛﯾـر ﻣــن‬ ‫اﻟﻌﻼﻗـﺎت ﺑـﯾن اﻟﺗوزﯾﻌـﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾـﺔ ﯾﻣﻛـن اﺷـﺗﻘﺎﻗﻬﺎ ﺑﺳــﻬوﻟﺔ ﺑﺎﺳـﺗﺧدام اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣﻣﯾـزة أﻛﺛـر ﻣـن اﺳـﺗﺧدام داﻟــﺔ‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ ‪.‬‬ ‫اﻟﻌزوم ﺑدﻻﻟﺔ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ‪:‬‬ ‫‪٥٧‬‬

‫ﺑﺗﻔﺎﺿل اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ إﻟﻰ ‪ t‬ووﺿﻊ ‪ t  0‬ﻓﺈن ‪ . x (0)  i‬اﯾﺿﺎ ‪x (0)  i22‬‬ ‫ﻋﻣوﻣﺎ اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ r‬ﺣول اﻟﺻﻔر ﻫو‪:‬‬

‫)‪1 (r‬‬ ‫‪ (0).‬‬ ‫‪ir‬‬

‫ﻋﻼﻗﺎت ﻣﻬﻣﺔ ‪:‬‬

‫‪r ‬‬

‫اﺋﯾﺎ ﺑداﻟﺔ ﻣﻣﯾزة )‪ٕ  X (t‬واذا ﻛﺎن ‪ Y=aX+b‬ﻓﺄن‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷو ً‬

‫‪Y (t)  eitb(at) .‬‬

‫ﺑوﺿﻊ ‪ it‬ﺑدﻻ ﻣن ‪ t‬ﻓﻰ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدﻩ ﻟﻠﻌزوم ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟداﻟﻪ اﻟﻣﻣﯾزة ‪ .‬اى أن‬

‫‪M X (it)  X (t).‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٠ -١‬‬ ‫إذا ﻛــﺎن ‪Y‬ﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻟــﻪ اﻟداﻟــﺔ‬ ‫ﺣﯾث‬

‫‪X‬‬ ‫‪‬‬

‫‪t2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪  Y ( t )  e‬اﻟﻣطﻠــوب إﯾﺟــﺎد اﻟداﻟــﺔ اﻟﻣﻣﯾـزة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر‬

‫‪.Y ‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪X  Y   .‬‬ ‫ﺑوﺿﻊ ‪ a  ‬و ‪  b‬‬

‫ﻓﺈن ‪:‬‬

‫)‪ X (t)   Y  eit  Y (t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ( t) 2‬‬ ‫‪eit e 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪it ( )t 2  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤١ -١‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪X‬‬ ‫ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻل ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫ًا‬ ‫‪٥٨‬‬

‫‪X‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2a‬‬

‫‪, a  X  a‬‬ ‫أوﺟد‪ :‬أ( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬؟‬

‫‪f (x ) ‬‬

‫)ب( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫أ(‬ ‫‪a‬‬

‫‪f (x)dx‬‬

‫‪tx‬‬

‫‪e‬‬

‫‪tx‬‬

‫‪M X (t)  E(e ) ‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 e tx‬‬ ‫‪tx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e dx ‬‬ ‫‪2a a‬‬ ‫‪2a t‬‬ ‫‪1 ta  ta‬‬ ‫‪(e  e ).‬‬ ‫‪2at‬‬

‫‪‬‬

‫ب(‬ ‫‪a‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪X (t)  E(e ) ‬‬ ‫‪eitx dx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2a  a‬‬ ‫‪itx‬‬

‫‪1 eitx a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2a it‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(eita  e ita ).‬‬ ‫‪2ait‬‬

‫أو ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟداﻟﻪ ﻟﻠﻌزوم واﻟداﻟﻪ اﻟﻣﻣﯾزة ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫)‪M X (it)  X (t‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪eita  e ita .‬‬ ‫‪2a it‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫=‬

‫)‪ (١٠-١‬اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺗﻌددة ‪Joint Random Variables‬‬ ‫ﻓﻰ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت ﯾﻛـون اﻻﻫﺗﻣـﺎم ﺑـﺄﻛﺛر ﻣـن ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻰ ‪ . X1,X2,…,X3‬ﻟـذﻟك ﯾﻛـون‬ ‫ﻣ ـ ـ ـ ـ ــن اﻟﻣﻧﺎﺳ ـ ـ ـ ـ ــب رﯾﺎﺿ ـ ـ ـ ـ ــﯾﺎ اﻟﻧظـ ـ ـ ـ ــر إﻟ ـ ـ ـ ـ ــﻰ ﺗﻠ ـ ـ ـ ـ ــك اﻟﻣﺗﻐﯾـ ـ ـ ـ ـ ـرات ﻛﻣﻛوﻧ ـ ـ ـ ـ ــﺎت ﻟﻣﺗﺟ ـ ـ ـ ـ ــﻪ ‪ X‬أﺑﻌ ـ ـ ـ ـ ــﺎدﻩ )‪، (kx1‬‬ ‫)‪ ، X=(X1,X2,…,Xk‬واﻟﻣﺳــﻣﻰ ﺑﺎﻟﻣﺗﺟــﻪ اﻟﻌﺷ ـواﺋﻰ وﻫــذا ﯾﺟﻌﻠﻧــﺎ ﻧﻔﺗــرض اﻟﻘــﯾم )‪ x=(x1,x2,…,xk‬ﻓــﻲ‬ ‫اﻟﺑﻌد ‪ . k‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺷﺎﻫدة ‪ x‬ﻫـﻰ ﻧﺗﯾﺟـﺔ ﻗﯾـﺎس ‪ k‬ﻣـن اﻟﺻـﻔﺎت ﻣﺛـل ﻗﯾـﺎس اﻟطـول واﻟـوزن‬ ‫‪٥٩‬‬

‫وﺿــﻐط اﻟــدم … إﻟــﻰ ‪ k‬ﻣــن اﻟﺻــﻔﺎت ﻟﻣﺷــﺎﻫدة ﻣــﺎ أو ﻗــد ﺗﻛــون اﻟﻧﺗــﺎﺋﺞ اﻟﺗــﻰ ﻋــددﻫﺎ ‪ k‬ﻟﻣﺣــﺎوﻻت ﻣﺗﻛــررة‬ ‫ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺗﻬﺗم ﺑﻣﺗﻐﯾر واﺣد‬

‫)‪ (١-١٠-١‬اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ‪Joint Descrete Distributions‬‬

‫ﯾﻣﻛـن ﺗﻌﻣـﯾم اﻟﺻـﯾﻐﺔ اﻟﻣﺳـﺗﺧدﻣﺔ ﻟداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻓـﻲ ﺣﺎﻟـﺔ ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ واﺣـد إﻟـﻰ اﻟﺻـﯾﻐﺔ ﻟداﻟـﺔ‬

‫ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن أو أﻛﺛر ‪.‬‬

‫ﺗﻌرﯾ ف ‪ :‬داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻣﺷـﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﺟـﻪ ﻋﺷـواﺋﻲ ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﻘطـﻊ ) ‪ X = (X1 X,2,...,Xk‬ﺗﻌـرف‬ ‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫) ‪f(x1,x2 ,...,xk ) = P(X1 = x1 ,X2 = x2 ,...,Xk = xk‬‬ ‫وذﻟك ﻟﻛل اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن ) ‪. x = ( x 1 , x 2 ,..., x k‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﯾﻘﺎل ﻟﻠداﻟﺔ )‪ f(x1,x2,…,xk‬أﻧﻬﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣـﺎل ﻣﺷـﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﺟـﻪ اﻟﻌﺷـواﺋﻲ ) ‪ x  (x1,x2,...,xk‬ﻣـن‬

‫اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ إذا وﻓﻘط إذا ﺣﻘﻘت اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫)أ( ‪ f(x1,x2,…,xk)  0‬ﻟﺟﻣﯾﻊ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ‬

‫)ب( ‪,..., x k )  1.‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪(x1,x2,…,xk‬‬

‫‪ ... f (x , x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪xk‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﺔ اﻟﻔﺋﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ )‪ P(B‬ﺣﯾث ‪ B  R‬ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫) ‪P(B)   . . . f(x1 ,x 2 ,...,x k‬‬ ‫‪B‬‬

‫ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﯾﻣﻛن وﺿﻊ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻓـﻰ ﺟـدول ﻣـزدوج‬ ‫ﯾﺑــﯾن ﻗــﯾم ﻛــل اﻟﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن ‪ X1,X2‬ﻣــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻻت اﻟﻣﻘﺎﺑﻠــﺔ ﻟﻬﻣــﺎ وﺧﺻوﺻــﺎ إذا ﻛﺎﻧــت اﻟﺻــﯾﻐﺔ ﻟداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X1,X2‬ﻏﯾر ﻣﻌروﻓﺔ‪.‬‬

‫‪٦٠‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٢ -١‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X1,X2‬ﻣﻌطﺎة ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.008‬‬ ‫‪.048 .096 .064‬‬ ‫‪.216‬‬ ‫‪.432‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪0.192‬‬

‫‪.192‬‬

‫‪.048‬‬

‫‪1‬‬

‫‪.288‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.192‬‬

‫‪.096‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.064‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪.000‬‬ ‫‪.064‬‬

‫‪.000‬‬ ‫‪.288‬‬

‫‪.000‬‬ ‫‪.432‬‬

‫‪.064‬‬ ‫‪.216‬‬

‫‪3‬‬

‫ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺟدول أن ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪) 1 .‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪  f (x , x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x 2 =0‬‬

‫‪x1 =0‬‬

‫ﻛﻣــﺎ أن ﻫﻧــﺎك ﺑﻌــض اﻟﻧﺗــﺎﺋﺞ اﻟﻣﺳــﺗﺣﯾﻠﺔ اﻟﺣــدوث ﻣﺛــل )‪ (3,3‬أو )‪ (1,3‬واﻟﺗــﻰ ﯾﻌــﯾن ﻟﻛــل ﻣﻧﻬﻣــﺎ اﻻﺣﺗﻣــﺎل‬ ‫ﺻﻔر‪ .‬ﻛﻣﺎ أن ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ‪:‬‬ ‫‪f(0,0) = P(X1=0,X2=0) = .008, f(1,2) = P(X1=1, X2=2) =0.192.‬‬ ‫ﺑﯾﺎن ) ‪. f (x1 , x 2‬‬

‫ﺗﻌرﯾ ف ‪ :‬إذا ﻛــﺎن ﻟﻠﻣﺗﺟــﻪ اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ ) ‪ X=(X1 ,X 2‬داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ ) ‪ f(x1 ,x 2‬ﻓــﺈن اﻟداﻟــﺔ‬ ‫اﻟﻬﺎﻣﺷـﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪ X1‬واﻟﺗـﻲ ﯾرﻣـز ﻟﻬـﺎ ﺑـﺎﻟرﻣز ) ‪ f1 (x1‬واﻟداﻟـﺔ اﻟﻬﺎﻣﺷـﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪ X 2‬واﻟﺗـﻲ ﯾرﻣـز ﻟﻬـﺎ ﺑــﺎﻟرﻣز‬ ‫) ‪f 2 (x 2‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﻣﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪٦١‬‬

‫‪f (x 1 )=  f(x 1 ,x 2 ),‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪f (x 2 )=  f(x 1 ,x 2 ).‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x1‬‬

‫وأﻛﺛر ﻣن ذﻟك إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪f j ( x j )   ...  f ( x1 ,..., x j ,..., x k ) .‬‬ ‫‪all i  j‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٣ -١‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X1‬و ‪ X2‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﻬﻣﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻛل ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ X1‬و ‪. X2‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+ + = = ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫= )‪f(1,x2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+ + = = ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫= )‪f(2,x2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+ + = = ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫= )‪f(3, x2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x‬‬

‫= )‪P(X1=1) = f1(1‬‬

‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬

‫= )‪P(X1=2) = f1(2‬‬

‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬

‫= )‪P(X1=3) = f1(3‬‬

‫‪2 ‬‬

‫أى أن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X1‬ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x1 = 1,2,3‬‬

‫‪f1 (x1 ) ‬‬

‫‪= 0 , e.w .‬‬ ‫وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X2‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪, x2 = 1,2,3‬‬ ‫‪, e.w.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f 2 (x 2 ) ‬‬

‫‪=0‬‬

‫)‪ (٢-١٠-١‬اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ‪Joint Continuous Distributions‬‬ ‫‪٦٢‬‬

‫ﺗﻌرﯾ ف ‪ :‬ﯾﻘــﺎل ﻟﻠﻣﺗﺟ ــﻪ اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻲ ) ‪ X = (X1 ,X 2 ,...,X k‬أﻧ ــﻪ ﻣــن اﻟﻧ ــوع اﻟﻣﺗﺻ ــل إذا ﻛ ــﺎن ﻟ ــﻪ‬ ‫اﻟداﻟــﺔ‬

‫ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﺟــﻪ ‪ X‬ﺑﺣﯾــث أن داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ‬

‫) ‪ f(x1 ,x 2 ,...,x k‬واﻟﻣﺳــﻣﺎة داﻟــﺔ‬

‫اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻬم ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪)dt1...dt k‬‬

‫‪k‬‬

‫‪xk‬‬

‫‪   f(t , t ,.., t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫ﻟﻛل ﻗﯾم ) ‪x = ( x1,x2,…,xk‬‬

‫‪F(x1 , x 2 ,..., x k ) ‬‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫وﻛﻣ ـ ــﺎ ﻓ ـ ــﻲ ﺣﺎﻟ ـ ــﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾ ـ ــر اﻟﻌﺷـ ـ ـواﺋﻰ ﻓ ـ ــﻰ اﻟﺑﻌ ـ ــد اﻟواﺣ ـ ــد ‪ ،‬ﻓ ـ ــﺈن داﻟ ـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ـ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ـ ــﺎل اﻟﻣﺷ ـ ــﺗرﻛﺔ‬ ‫)‪ f(x1,x2,..,xk‬ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫) ‪ k F(x1 , x 2 ,..., x k‬‬ ‫=) ‪f(x1 ,x 2 ,...,x k‬‬ ‫‪x1x 2 x k‬‬ ‫ﺣﯾث اﻟﺗﻔﺎﺿﻼت اﻟﺟزﺋﯾﺔ ﻣوﺟودة‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾ ﺔ ‪ :‬ﯾﻘـ ـ ـ ــﺎل ﻟﻠداﻟـ ـ ـ ــﺔ )‪ f(x1,x2,…,xk‬أﻧﻬـ ـ ـ ــﺎ داﻟـ ـ ـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓـ ـ ـ ــﺔ اﺣﺗﻣـ ـ ـ ــﺎل ﻣﺷـ ـ ـ ــﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﺟـ ـ ـ ــﻪ اﻟﻌﺷ ـ ـ ـ ـواﺋﻲ‬ ‫) ‪ X  (X1, X2 ,...Xk‬إذا وﻓﻘط إذا ﺣﻘﻘت اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫)أ( ‪ f(x1,x2,…,xk)  0‬ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم‬

‫)ب( ‪ 1‬‬

‫‪x1,x2,…,xk‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪   f(x1, x 2 ,..., x k )dx1...dx k‬‬ ‫‪  ‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٤ -١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X2 ,X1‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪f(x1,x2) = 4 x1 x2‬‬ ‫‪0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1‬‬ ‫‪=0 ,‬‬ ‫‪e.w .‬‬ ‫أوﺟد داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ )‪. F(x1,x2‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪x1‬‬

‫‪)dt1dt 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪  f(t , t‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪t 2 dt1dt 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪٦٣‬‬

‫‪‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪ 4t‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0  x1  1, 0  x 2  1.‬‬

‫‪F(x1 , x 2 ) ‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ x x 22‬‬

‫ﻫذا اﻟﺗﻌرﯾف ﻟﻠداﻟﺔ)‪ F(x1,x2‬ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ‪ 0 < x1 < 1‬و ‪ 0 < x2 < 1‬وﻟﻛن ﯾوﺟـد ﻓـﻰ اﻟﺣﻘﯾﻘـﺔ أرﺑﻌـﺔ ﻣﻧـﺎطق‬

‫أﺧرى ﻓﻲ اﻟﻣﺳﺗوى ﻟﻠداﻟﺔ )‪ F(x1,x2‬ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺳﺎﺑق ‪.‬‬

‫)‪ (٣-١٠-١‬اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ‪Independent Random Variables‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧـت داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻣﺷـﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾـرﯾن ﻋﺷـواﺋﯾﯾن ‪ X1, X2‬ﻫـﻲ ) ‪ٕ f(x1 ,x 2‬واذا ﻛﺎﻧـت‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X1‬ﻫﻲ )‪ ، f1(x‬و داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷـﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪ X2‬ﻫـﻲ‬ ‫)‪ٕ ، f 2 (x‬واذا ﻛﺎﻧت ‪:‬‬ ‫‪f(x1 ,x 2 ) = f X1 (x1 ) . f X2 (x 2 ).‬‬

‫ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘول أن ‪ X1, X2‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن‪.‬وﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم اﻟﺻﯾﻐﺔ ﻷﻛﺛر ﻣن ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن‪.‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﺳﺗﻘﻼل اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ‪ :‬ﯾﻘـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ ‪ X1, X2 ,...,Xk ,‬أﻧﻬـم ﻣﺳـﺗﻘﻠﯾن إذا‬ ‫ﻛﺎن ﻟﻛل ‪ ai < bi‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)‪P(a1  X  b1 ,..., ak  Xk  bk‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪P(ai  Xk  bi).‬‬

‫‪‬‬

‫=‬

‫‪i=1‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬ﯾﻘﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ‪ X1,X2 ,...,Xk‬أﻧﻬم ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن إذا ﻛﺎن ‪:‬‬ ‫‪f(x1,x2,...,xk) = f1(x1),...,fk(xk).‬‬ ‫‪٦٤‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ﻻ ﯾﺗﺣﻘق اﻟﺷرط اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻘﺎل أن ‪ X1,X2,…,Xk‬ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠون‪.‬‬ ‫ﯾﻔﯾــد اﻻﺳــﺗﻘﻼل ﻟﻣﺗﻐﯾ ـرات ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ﻓــﻲ وﺻــف اﻟﺗﺟرﺑــﺔ ﺗﺣــت اﻟد ارﺳــﺔ ﺣﯾــث ﯾــدل ﻋﻠــﻰ ﻋــدم وﺟــود‬

‫ﺗــﺄﺛﯾر أي ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﻠــﻰ اﻵﺧــر‪ .‬وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ﺑﻣﺟــرد ﻣﻌرﻓــﺔ اﻟداﻟــﺔ اﻟﻬﺎﻣﺷــﯾﺔ ﻟﻛــل ﻣــن‪ X1,X2,…,Xk‬ﯾﻣﻛﻧﻧــﺎ‬ ‫ﻣﻌرﻓﺔ اﻟداﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ )‪ f(x1,x2,...,xk‬ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪f(x1,x2,...,xk) = f1(x1),...,fk(xk).‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٥ -١‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X1, X2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪f (x1,x 2 )  e(x1 x2 ) ، x1 > 0, x2 > 0‬‬ ‫‪= 0 , e.w .‬‬ ‫ﻫل ‪ X1, X2‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f1 (x 1 )   f(x1 ,x 2 )dx x 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫) ‪ -(x +x‬‬ ‫‪ -x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪dx 2 = e  e 2 dx 2 =e  x ,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f1 (x)  e‬‬ ‫‪x1  0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪e.w.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪=0‬‬

‫وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪x2 > 0.‬‬ ‫‪, e.w.‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪f2(x2) = e‬‬ ‫‪=0‬‬

‫أي أن ‪ X2,X1‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻷن ‪:‬‬ ‫‪f(x1x2) = f1(x1) . f2(x2) .‬‬

‫)‪ (٤-١٠-١‬اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺷرطﯾﺔ ‪Conditional Distributions‬‬

‫‪٦٥‬‬

‫ﺗﻌرﯾ ف ‪ :‬إذا ﻛـ ــﺎن ‪ X1,X2‬ﻣﺗﻐﯾ ـ ـران ﻋﺷ ـ ـواﺋﯾﺎن ﻟﻬﻣـ ــﺎ داﻟـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣـ ــﺎل اﻟﻣﺷـ ــﺗرﻛﺔ‬ ‫)‪ٕ f(x1,x2‬واذا ﻛﺎﻧ ــت داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷ ــﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر‬ ‫اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X1‬إذا ﻋﻠم أن ‪ X1=x1‬ﻫﻲ‬

‫) ‪f(x1 ,x 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪f1 (x1‬‬

‫‪ X1‬ﻫ ــﻲ )‪ ، f1(x1‬ﻓ ــﺈن داﻟ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل‬

‫= ) ‪g 2 (x 2 x1‬‬

‫وذﻟ ــك ﻷي ﻗﯾﻣ ــﺔ ‪ x1‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر ‪ X1‬ﺣﯾ ــث ‪ . f1(x1) > 0‬اﻟداﻟ ــﺔ ) ‪ g(x 2 x 1‬ﺗﺣﻘ ــق ﺷ ــرطﻲ داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪.‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ‪ ،‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﻓﺈن داﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﺷـرطﯾﺔ ﻫـﻲ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﺷـرطﻲ ‪.‬‬

‫ﻓﻌﻠــﻰ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل إذا ﻛــﺎن ‪ X1,X2‬ﻣﺗﻐﯾـران ﻋﺷ ـواﺋﯾﯾن ﻣــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺗﻘطــﻊ ﻓــﺈن ) ‪ g(x 1 x 2‬ﻫــو اﻻﺣﺗﻣــﺎل‬ ‫اﻟﺷ ــرطﻲ ﻟﻠﺣﺎدﺛ ــﺔ ]‪ [X2=x1‬إذا ﻋﻠ ــم أن اﻟﺣﺎدﺛـ ـﺔ ]‪ . [X1=x2‬ﻓ ــﻲ ﺣ ــﺎل اﻟﻣﺗﻐﯾـ ـرات اﻟﻌﺷـ ـواﺋﯾﺔ ﻣ ــن اﻟﻧ ــوع‬ ‫اﻟﻣﺗﺻل ﻓﺈن اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺗﺧﺗﻠف ﻷن ‪ P[X1=x1]=0‬ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫) ‪P(a  X2  b X1 =x1‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪=  g2 ( x 2 x1 ) dx 2 .‬‬ ‫‪a‬‬

‫ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ﻣﺗﺟﻪ ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﻛوﻧﺎﺗﻪ ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻋـددﻫﺎ ‪ X=(X1,X2,X3) ، k‬ﺑداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ )‪ f(x1,x2,…,xk‬ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم ﻣﻔﻬـوم اﻟﺗوزﯾﻌـﺎت اﻟﺷـرطﯾﺔ ﻟﻣﺗﺟﻬـﺎت ﻣـن اﻟﻣﺗﻐﯾـرات‬ ‫اﻟﻌﺷـ ـواﺋﯾﺔ ‪ .‬ﻋﻠ ــﻰ ﺳ ــﺑﯾل اﻟﻣﺛ ــﺎل إذا ﻛﺎﻧ ــت ‪ X1,X2,X3‬ﻣﺗﻐﯾـ ـرات ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺔ ﻟﻬ ــﺎ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل اﻟﻣﺷ ــﺗرﻛﺔ‬

‫)‪ f(x1,x2,x3‬ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X1‬إذا ﻋﻠم أن ‪ X2=x2 ,X3=x3‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫) ‪f(x1 ,x 2 ,x 3‬‬ ‫) ‪f13 (x 2 ,x 3‬‬

‫=) ‪g1 (x1 x 2 ,x 3‬‬

‫أﯾﺿﺎ داﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X1‬إذا ﻋﻠم أن ‪ X2 = x2‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫ً‬

‫) ‪f(x 1 ,x 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪f 2 (x 2‬‬

‫= ) ‪g 1 (x 1 x 2‬‬

‫وﺑﺎﻟﻣﺛل ‪:‬‬

‫) ‪f(x1,x 2 ,x3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪f3 (x 3‬‬

‫=) ‪g12 (x1,x 2 x 3‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪٦٦‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X2,X1‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ )‪ٕ f(x1,x2‬واذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‬ ‫اﻟﻬﺎﻣﺷﻲ ﻟﻛل ﻣن ‪ X2,X1‬ﻫﻣﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ )‪ f1(x),f2(x‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫) ‪f(x 1 , x 2 ) = f1 ( x 1 ) g 2 (x 2 x 1‬‬ ‫‪= f 2 (x 2 ) g 2 (x 1 x 2 ).‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎن ‪ X2,X1‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪g 2 (x 2 x 1 ) = f 2 (x 2 ) ,‬‬ ‫‪g 1 (x 1 x 2 ) = f1 (x 1 ) .‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٦-١‬‬ ‫ﻓﻲ د ارﺳـﺔ ﻋـن ﻋـﺎدة اﻟﺗـدﺧﯾن ٕواذا ﻛـﺎن ‪ X1=1‬إذا ﻛـﺎن اﻟﺷـﺧص اﻟـذي اﺧﺗﯾـر ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾـدﺧن و ‪ X1=0‬إذا‬

‫ﻛــﺎن اﻟﺷــﺧص ﻻ ﯾــدﺧن ‪ .‬أﯾﺿــﺎً إذا ﻛــﺎن ‪ X2=1‬اﻟﺷــﺧص ﻣﺻــﺎب ﺑﺎﻟﺳــرطﺎن ‪ X2= 0‬إذا ﻛــﺎن اﻟﺷــﺧص‬ ‫ﻏﯾر ﻣﺻﺎب ﺑﺎﻟﺳرطﺎن ‪ .‬ﯾﻌطﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻔﺗرﺿﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪. X2, X1‬‬

‫أوﺟد ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪.003‬‬

‫‪.002‬‬

‫‪.001‬‬

‫‪1.000‬‬

‫‪.989‬‬

‫‪.011‬‬

‫)‪g 2 (x 2 1) , g 2 (x 2 0‬‬ ‫)‪g1 (x1 0) , g1 (x1 1‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪٦٧‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪f2 (x1‬‬

‫‪f(0,0) .001 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪f 2 (0) .011 11‬‬

‫=)‪g1 (0 0‬‬

‫‪f(1,0) .010 10‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪f 2 (0) .011 11‬‬

‫=)‪g1 (1 0‬‬

‫‪f(0,1) .002 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪f 2 (1) .989 989‬‬

‫=)‪g1 (0 1‬‬

‫‪f(1,1) .987 987‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪f 2 (0) .989 989‬‬

‫=)‪g1 (11‬‬

‫‪f(0,0) .001 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪f1 (0) .003 3‬‬ ‫‪f(0,1) .002 2‬‬ ‫=)‪g 2 (1 0‬‬ ‫=‬ ‫‪= ,‬‬ ‫‪f1 (0) .003 3‬‬ ‫=)‪g 2 (0 0‬‬

‫‪f(1,0) .01 10‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪f1 (1) .998 997‬‬

‫=)‪g 2 (0 1‬‬

‫‪f(1,1) .987 987‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪f1 (1) .997 997‬‬

‫=)‪g 2 (11‬‬

‫ﺣﯾث ﯾﻣن ﺗﻠﺧﯾﺻﻬم ﻓﻲ اﻟﺟداول اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪987‬‬ ‫‪989‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪989‬‬

‫)‪g1 (x1 1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪987‬‬ ‫‪997‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪997‬‬

‫)‪g2 (x2 1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬

‫)‪g1 (x1 0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪g2 (x2 0‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٧-١‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X,Y‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪,y>0‬‬

‫‪x+y<1 ,x0‬‬ ‫‪e.w.‬‬

‫) أ ( أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪. X‬‬ ‫)ب (‬

‫‪.f  y | x ‬‬ ‫‪٦٨‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪f  x ,y  = ‬‬ ‫‪0‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪1 x‬‬

‫)‪2dy  2(1  x‬‬

‫‪‬‬

‫‪f1 (x) ‬‬

‫‪0‬‬

‫‪f  x| y ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪, x + y < 1 , 0 < x <1,‬‬ ‫‪f x‬‬ ‫‪2 1-x  1-x‬‬

‫= ‪g2  y | x ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪0 < y < 1 x‬‬ ‫‪e.w.‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g 2  y | x  = 1-x‬‬ ‫‪ 0‬‬

‫)‪ (٥-١٠-١‬ﺧـواص اﻟﻘﯾـم اﻟﻣﺗوﻗﻌـﺔ ‪Properties of Expected Values :‬‬ ‫ﻋﻧـد د ارﺳـﺔ ﻣﺗﺟــﻪ ﻣـن اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ)‪ X = ( X k X1 , X2….,‬ﺑداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ إﺣﺗﻣــﺎل ﻣﺷﺗرﻛــﺔ‬ ‫)‪ f( x1 , x2….,xK‬ﯾﻛـون ﻣــن اﻟﺿــروري ﻣﻌرﻓــﺔ اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌـﺔ ﻟـﺑﻌض اﻟـدوال ‪ ،‬ﻟﺗﻛــن )‪ Y = u(X‬ﯾﻣﻛـن‬ ‫إﺳﺗﺧدام اﻟرﻣز )‪ E (Y‬أو اﻟرﻣز‬

‫]) ‪. E [u ( X‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛــﺎن ) ‪ X = ( X1 , … , XK‬داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻹﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛــﺔ‬

‫)‪ f ( X1 , X2…., Xk‬و إذا‬

‫ﻛﺎﻧت ] ) ‪ Y = E [ u ( X‬داﻟـﺔ ﻓــﻲ ‪ X‬ﻓـﺈن ])‪ E( Y ) = E[ u ( X1 , X2…., Xk‬ﯾﻛـون اﻟﺗـﺎﻟﻲ‬ ‫‪:‬‬ ‫‪E[u(x1 ,x 2 ....,x k )]= ... u(x1 ,x 2 ....,x k ).f(x1 ,x 2 ....,x k ).‬‬ ‫‪xk‬‬

‫‪x1‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ و ﯾﻛون ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫) ‪E[u(x1 ,x 2 ...,x k )]=  ...  u(x1 ,x 2 ...,x k‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪×f (x1 , x 2 ...., x K ) dx 1dx 2 ..dx K‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ‪:‬‬ ‫اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠداﻟﺔ )‪ u ( x1 , x2…., xk‬ﺗﺧﺿﻊ ﻟﺧﺎﺻﯾﺗﯾن ﻫﺎﻣﺗﯾن ‪:‬‬ ‫) أ ( ﻷي داﻟﺗﯾن )‪ u1 ( x1 , x2…., xk‬و )‪ u2 ( x1 , x2…., xk‬و ﻷي ﺛﺎﺑﺗﯾـن ‪ a , b‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫])‪E [ au1 ( x1 , x2…., xk) + bu2 ( x1 , x2…., xk‬‬

‫])‪= aE [ u1 ( x1 , x2…., xk)] + bE [ u2 ( x1 , x2…., xk‬‬ ‫‪٦٩‬‬

‫)ب( إذا ﻛﺎن ‪ u ( x1 , x2…., xk) ≥ 0‬ﻓﺈن ‪E [u ( x1 , x2…., xK)] ≥ 0‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٨-١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X1 ، X2‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﻬﻣﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) ‪f ( x1 , x 2‬‬ ‫‪, x1 =1,2,3,4,5 ; x 2 =1,2,3,4,5 x1  x 2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬ ‫أوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠداﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪u( X1 , X 2 ) = ( |X 1  X 2 |  1).‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻟﻠﺗﺳﻬﯾل ﺗوﺿﻊ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻓﻲ ﺟدول ﻣزدوج ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫و ﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪x1  x 2 .‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪5‬‬

‫)‪( | x1 - x 2 | -1‬‬

‫‪‬‬

‫‪5‬‬

‫‪E[u(X1 ,X 2 )] ‬‬

‫‪x 2 =1 x 2 =1‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧـت اﻟداﻟـﺔ )‪ u ( X1 , X2…., XK‬ﻣﻌرﻓـﺔ ﻓـﻲ ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ واﺣـد ‪ ،‬ﻋﻠـﻲ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل ‪..‬‬ ‫ﻟــﯾﻛن ‪ X1‬ﻓ ــﺈن اﻟﺗوﻗــﻊ اﻟرﯾﺎﺿ ــﻲ ﻟﻠداﻟــﺔ ) ‪ u( X1‬ﯾﻣﻛ ــن اﻟﺣﺻــول ﻋﻠﯾ ــﻪ ﻣﺑﺎﺷ ـرة ﻣ ــن داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻹﺣﺗﻣ ــﺎل‬ ‫اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪. X1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪E[u(X1 )]=  u(x 1 ) f(x 1 )dx 1.‬‬ ‫‪-‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﯾﺳﺗﺑدل اﻟﺗﻛﺎﻣل ﺑﺎﻟﻣﺟﻣوع ‪:‬‬

‫‪٧٠‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X1 , X2‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ إﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ) ‪ f( x1 , x2‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫) ‪E ( X1 + X2 ) = E ( X1 ) + E ( X 2‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٩-١‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ‪ X1 , X2‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪3-x1  x 2‬‬ ‫= ) ‪f ( x1 ,x 2‬‬ ‫‪, x1 = 0,1, x 2  0,1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫أوﺟـد ‪E ( X1 + X2 ) :‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪3-x1 -x 2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫) ‪(x1 +x 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪E(X1 +X 2 )= ‬‬

‫‪‬‬

‫‪x 2 0 x1 0‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) (‪ 0( )  1( )  1( )  2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 3 6 3‬‬ ‫‪E(X1 +X 2 )=E(X1  E(X1 )     .‬‬ ‫‪8 8 8 4‬‬ ‫اﻟﺗوﻗﻌﺎت اﻟرﯾﺎﺿﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﺄﺧذ أﺳﻣﺎء ﺧﺎﺻﺔ ‪.‬‬

‫)أ(‬

‫إذا ﻛﺎﻧـت= ‪ u1 ( X1, X2 , … , Xk ) X i‬ﻓـﺈن ‪ E (Xi) = µi‬أو ‪ i‬وﯾﺳـﻣﻰ ﻣﺗوﺳـط ‪Xi‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ i=1,2,…,k‬و ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻪ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪).‬‬

‫‪k‬‬

‫‪ ... x f(x , x ,...x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪xk‬‬

‫‪µi  ‬‬ ‫‪x1‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت ) ‪ ( X1, X2 , … , Xk‬ﺗﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ أو ﺣﺳﺎﺑﻪ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪,...x k ) dx 1 dx 2 ...dx k .‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪   x f(x , x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪µi ‬‬

‫‪‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت ) ‪ ( X1, X2 , … , Xk‬ﺗﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ‪.‬‬ ‫)ب (‬

‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ ، u2 ( X1, X2 , … , Xk ) = (Xi - µi )2‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪E[u 2 (X1 ,X 2 ,...,X k )]=E(Xi -μ i )2‬‬ ‫‪=i2 =Var(μi ).‬‬ ‫و اﻟذي ﺗﺳﻣﻰ ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ Xi‬ﺣﯾث ‪i = 1,2,…,k‬‬ ‫‪٧١‬‬

‫ﺗﻌرﯾف‪:‬‬ ‫اﻟﺗﻐﺎﯾر ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ‪ X,Y‬ﯾﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪12  XY  Cov(X,Y)  E  (X   x )(Y  Y ).‬‬ ‫ﺑﻌض ﺧﺻﺎﺋص اﻟﺗﻐﺎﯾر ﺗﻌطﻰ ﻓﻲ اﻟﻧظرﯾﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X , Y‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن و إذا ﻛﺎن ‪ a,b‬ﺛﺎﺑﺗﺎن ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫) ‪Cov ( aX , bY ) = ab Cov ( X,Y‬‬ ‫) ‪Cov ( X + a, Y+b ) = Cov ( X , Y‬‬ ‫‪Cov ( X ,aX + b ) = a Var ( X).‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X , Y‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)‪Cov ( X, Y ) = E (X Y) – E (X ) E (Y‬‬ ‫و ‪ Cov ( X, Y ) = 0‬إذا ﻛـﺎن ‪ X , Y‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾـن ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٠-١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X , Y‬ﻟﻬﻣﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ و اﻟﻣﻌطﺎﻩ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﻣزدوج اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫)‪f1 (x‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪.31‬‬ ‫‪.51‬‬ ‫‪.18‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪.01‬‬ ‫‪.06‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.17‬‬

‫‪.1‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.05‬‬ ‫‪.45‬‬

‫‪.2‬‬ ‫‪.15‬‬ ‫‪.03‬‬ ‫‪.38‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪f 2 (y‬‬

‫أوﺟد ‪σ XY :‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣن داﻟﺗﻲ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ )‪ f1(x) , f2(y‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪= 1.87 , Y = 1.79‬و ‪ X‬أﯾﺿـﺎً ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪xy f ( x,y‬‬

‫‪‬‬ ‫‪y=1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪E (XY) =‬‬ ‫‪x=1‬‬

‫‪= (1)(1)(.2) + (1)(2)(.1) + ...‬‬ ‫)‪+ (3)(2)(.05) + (3)(3)(.1‬‬ ‫‪= 3.58.‬‬ ‫‪٧٢‬‬

‫و ﻣﻧﻬـﺎ‬

‫‪ XY = E ( X Y ) - µ X µ Y‬‬ ‫‪= 3.58 - 1.87 ( 1.79 ) = .2327.‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ) ‪ ( X1, X2 , … , Xk‬ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪ k‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫] ‪Var   X i  =  Var [ X i ] + 2  Cov [X i , X j‬‬ ‫‪i<j‬‬ ‫‪ i=1  i=1‬‬ ‫ﻧﺗﯾﺟﺔ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت ) ‪ ( X1, X2 , … , Xk‬ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻏﯾر ﻣرﺗﺑطﺔ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫‪Var   X i    Var  X i  .‬‬ ‫‪ i=1‬‬ ‫‪ i=1‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥١-١‬‬ ‫إذا ﻛـﺎن )‪ Y ~ BIN (n,p‬أوﺟـد اﻟﺗﺑﺎﯾـن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪. Y‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﻫو ‪:‬‬

‫‪ n‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪Var(Y)=Var   X i    pq=npq‬‬ ‫‪ j=1‬‬ ‫‪ i=1‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ X1, X2 , … , Xn‬و ‪ Y1, Y2 , … , Ym‬ﻓﺋﺗﯾن ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ و إذا ﻛﺎﻧـت‬ ‫‪ a1 … an‬و ‪ b1 … bm‬ﻓﺋﺗﯾن ﻣن اﻟﺛواﺑت ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪ n m‬‬ ‫‪Cov   a i X i ,  bi Yi     a i b i cov  X i ,Yi .‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪ i=1‬‬ ‫‪ i=1 j=1‬‬ ‫ﻧﺗﯾﺟﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت ‪ X1, X2 , … , Xk‬ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ و ‪ a1 ,a2 ,..ak‬ﺛواﺑت ‪ ،‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪k‬‬

‫‪a ia j Cov  X i ,Yj  .‬‬

‫‪‬‬ ‫‪j=1‬‬

‫‪ k‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫‪Var   a i Xi   ‬‬ ‫‪ i=1‬‬ ‫‪ i=1‬‬

‫‪k‬‬

‫‪a ia j Cov  X i , Yj  .‬‬

‫‪‬‬

‫‪k‬‬

‫‪  a i2 Var  X i   ‬‬ ‫‪i=1‬‬

‫‪i j‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ X , Y‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺑﺗﺑﺎﯾﻧﻲ ‪  , ‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ و ﺗﻐﺎﯾر‬ ‫‪2‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪Y‬‬

‫‪ Cov (X , Y) = σXY‬ﻓﺈن ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑـﺎط ‪ correlation coefficient‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X , Y‬ﻫو ‪:‬‬

‫‪٧٣‬‬

‫‪σ XY‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪σX σY‬‬

‫=‪‬‬

‫ﻋﻣوﻣﺎً إذا ﻛﺎﻧت ‪ X1, X2 , … , Xk‬ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻋددﻫﺎ ‪ k‬ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ إﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ) ‪x1, x2 ,‬‬ ‫‪ f ( … , xk‬و إذا ﻛﺎن اﻹﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ‪ σj ، σj‬ﻣوﺟﺑﺎن ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫) ‪Cov(X i ,Yj‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫= ‪ij‬‬ ‫‪ ij .‬‬ ‫‪σi σ j‬‬ ‫‪σi σ j‬‬

‫ﯾﻘــﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـرﯾن ‪ X , Y‬أﻧﻬﻣــﺎ ﻏﯾــر ﻣ ـرﺗﺑطﯾن ‪ uncorrected‬إذا ﻛــﺎن ‪ ρ = 0‬و ﻏﯾــر ذﻟــك ﯾﻘــﺎل أﻧﻬﻣــﺎ‬ ‫ﻣرﺗﺑطﯾن ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٢-١‬‬ ‫إذا ﻛــﺎن ‪ X1, X2‬ﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن ﻋﺷ ـواﺋﯾﯾن ﯾﺗﺑﻌــﺎن اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﺛﻼﺛــﻲ اﻟﺣــدود ﺑداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ إﺣﺗﻣــﺎل ﻣﺷــﺗرﻛﺔ ﻋﻠــﻰ‬

‫اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪n- x1 x 2‬‬

‫!‪n‬‬ ‫) ‪p1x1 p 2x 2 (1- p1 - p2‬‬ ‫!) ‪x1! x 2!(n-x1 - x 2‬‬

‫= ) ‪f(x1 , x 2‬‬

‫ﺣﯾث ‪ x1 x2 ، 0 ≤ x1 + x2 ≤ n‬ﻗﯾم ﺻﺣﯾﺣﺔ ﻣوﺟﺑﺔ ‪ .‬أوﺟـد ﻣﻌﺎﻣـل اﻹرﺗﺑـﺎط ‪ ρ‬ﺑـﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾـرﯾن ‪X1, X2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫) ‪f(x1 , x 2‬‬

‫‪x x ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x2‬‬

‫!‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫!) ‪x1! x 2!(n-x1 - x 2‬‬

‫‪٧٤‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪n-x1‬‬

‫‪x 1x 2‬‬

‫= ) ‪E(X1 , X 2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪x 2 0‬‬

‫‪x1  0‬‬

‫=‬

n-1

n-x1

 

=

x1 1 x 2 1 n-1

=

n-x1

 

x1  0

x 2 0

n! × p1x1 p x2 2 (1- p1 - p 2 ) (x1 -1)! (x 2 -1)!(n-x1 - x 2 )! n! × p1x1 p x2 2 (1- p1 - p 2 ) (x1 -1)! (x 2 -1)!(n-x1 - x 2 )!

 n-2 = n(n-1)p1p 2    i=0 = n(n-1)p1p 2 .

n-2-i

 j 0

(n-2)! × p1i p 2j (1- p1 - p 2 ) i!j!(n-2-i-j)!

n-x1  x 2

n-x1  x 2

n- 2-i-j

  

σ12 = E [X1X2]- µ1µ2 = n ( n – 1 ) p1 p2 - n2 p1 p2 = - n p1 p2 . : ‫ ﻫو‬X1, X2 ‫و ﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑﺎط ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن‬ -np1p 2 12 = np1 (n-p1 )np2 (1-p 2 )

=-

p1p2 .

(1-p1 )(1-p2 ) (٥٣-١ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‬X, Y ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن‬ f(x,y) = x + y , 0 < x < 1 , 0 < y < 1 . ‫أوﺟد ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑﺎط ؟‬ :‫اﻟﺣــل‬ 1

µ X = E(X) =

1

  0 1

0 1

 2x = E(x 2 )-µ 2x 



0

x(x+y) dx dy =

7 12

x 2 (x+y) dx dy

0

2

11 7 -   .  12  144 : ‫و ﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل‬

٧٥

‫‪7 2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪,  y = E(Y2 )-µY2 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪XY = E(XY)-µxµy‬‬

‫= )‪µY = E(Y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ 7  11‬‬ ‫‪=   xy(x+y) dx dy-   ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫و ﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑﺎط ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X , Y‬ﻫو ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬‫‪1‬‬ ‫‪144‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ 11  11 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 144  144 ‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ ρ‬ﻫو ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑﺎط ﺑﯾن ‪ X , Y‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)أ(‬

‫‪- 1 ≤ ρ≤ 1‬‬ ‫‪ ρ = ± 1‬و إذا ﻛﺎن ﻓﻘط ‪ Y = aX + b‬ﺑﺈﺣﺗﻣﺎل ‪ 1‬ﻟﻘﯾم ‪a ≠ 0 , b‬‬

‫)ب(‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X , Y‬ﻣﺳﺗﻘﻼن ﻓﺈن ‪ ρ = 0‬و ﻟﻛن ‪ ρ = 0‬ﻻ ﺗﻌﻧﻲ أن ‪ X , Y‬ﻣﺳﺗﻘﻼن ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٤-١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X, Y‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣﺗﻘطﻌﯾن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ إﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪f(x;y‬‬ ‫)‪, (x,y) = (-4,1) , (4,-1) , (2,2) , (-2,-2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 0 e.w.‬‬ ‫أوﺟد‪ :‬ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑﺎط ‪ ρ‬و ﻫل اﻟﻣﺗﻐﯾرات ﻣﺳﺗﻘﻼن ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪ X =  Y = 0.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E(XY)=(-4)    (-4)    (4)    (4)    0.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 4‬‬

‫و ﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫)‪Cov ( X , Y ) = E ( XY) – E (X) E(Y‬‬ ‫‪=0 -0 =0.‬‬ ‫و ﻋﻠﻰ ذﻟك ‪ ρ = 0‬ﺑﺎﻟرﻏم ﻣن أن ‪ X , Y‬ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن و ذﻟك ﻷن ‪:‬‬

‫‪٧٦‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪f(- 4.1) = ,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f X ( - 4) = ,f Y (1)= ,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪F(- 4.1)  f X ( - 4) f Y (1).‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٥-١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X, Y‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﻬﻣﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪=0‬‬

‫= )‪f(x,y‬‬

‫)‪(x,y) = (-1,1) , (1,1‬‬ ‫)‪(x,y) = (-2,4) , (2,4‬‬ ‫‪, e.w.‬‬

‫ﺗـذﻛر أن ‪ ، P ( Y = x2 ) = 1‬و ﻋﻠـﻰ ذﻟـك ﻟﻬـذا اﻟﺗوزﯾـﻊ ‪ X , Y‬ﻏﯾـر ﻣﺳـﺗﻘﻠﯾن و ﯾﻣﻛـن إﺛﺑـﺎت ذﻟـك‬ ‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 1 2‬‬ ‫‪, f Y (1) =  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3 3‬‬ ‫‪1  1  1 ‬‬ ‫‪f (1,1)      .‬‬ ‫‪3  3  3 ‬‬ ‫= )‪f X (-1‬‬

‫أﯾﺿﺎً ﻣن اﻟﺳﻬل إﺛﺑﺎت أن ‪ X  0 , E(XY) = 0‬و ﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬

‫)‪Cov (X,Y‬‬ ‫)‪E (XY) - E(X) E(Y‬‬ ‫=‬ ‫‪XY‬‬ ‫‪XY‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪= 0.‬‬ ‫‪XY‬‬ ‫ﯾﺗﺿﺢ ﻣن ذﻟك أن ﻋدم اﻹرﺗﺑﺎط ﺑﯾن ‪ X , Y‬ﻻ ﯾﻌﻧﻲ ﺑﺎﻟﺿرورة أﻧﻬﻣﺎ ﻣﺳﺗﻘﻼن ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٦-١‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ X, Y‬ﻣﺗﻐﯾران ﻋﺷواﺋﯾﺎن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ إﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻣﻌرﻓﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (2  x  y ) ,  1  x  1 ,  1  y  1‬‬ ‫‪f (x, y)  16‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪, e.w.‬‬ ‫‪٧٧‬‬

‫=‪ρ‬‬ ‫=‬

‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ u(X,Y) = XY‬أوﺟد ])‪ E [u (X,Y‬واﺛﺑت ان اﻟﺗﻐﺎﯾر ﯾﺳﺎوى ﺻﻔر وﻋﻠق ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪xy f(x,y) dy dx‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪E  u(XY)  E(XY) ‬‬

‫‪-‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪) (2-x 2 -y 2 )dy dx‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪-‬‬

‫‪1‬‬

‫( ‪xy‬‬

‫=‬

‫‪ ‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪(2xy-x 3 y-xy3 ) dy dx‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪16 1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2xy 2 x 3 y 2 xy 4 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‬‫‬‫‪dx=  0 dx=0.‬‬ ‫‪16 1  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪16 1‬‬ ‫و ﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟﺗوﻗﻊ أﻣﺎ ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـرﯾن أو ﺑﺈﺳﺗﺧــدام دوال ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻹﺣﺗﻣـﺎل‬

‫اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻛل ﻣﻧﻬﻣﺎ ﻛﻣﺎﯾﺄﺗﻰ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x f(x ,y) d y d x‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪) (2 -x 2 -y 2 )d y d x‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪1‬‬

‫(‪x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪(2 x -x 3 -x y 2 ) d y d x‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪xy 3 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‪ 2 x y-x y‬‬‫‪ dx‬‬ ‫‪3  -1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪3 x ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬‫‪‬‬ ‫‪ =0.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 2x ‬‬ ‫ ‪ 4 x -2 x‬‬‫=‪ dx‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪E (X ) ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬

‫و ﺑﺎﻟﻣﺛل ﻓﺈن ‪ E(Y) = 0‬و ﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈن ‪ E[u ( X,Y )]= 0‬ﻣن ﺧﻼل ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل وﺟدﻧﺎ أن‬ ‫‪ . E (XY) = E( X) E(Y) = 0‬و ﻟﻛـن ﻫـل ﻫـذا ﯾﻌﻧـﻲ أن اﻟﻣﺗﻐﯾـرﯾﯾن اﻟﻌﺷـواﺋﯾﯾن ﻣﺳـﺗﻘﻠﯾن ؟‬

‫اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ،‬ﻻ ‪ ،‬و ﻟﻛن إذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾران اﻟﻌﺷواﺋﯾﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻓﺈن‪. E(X Y) = E(X) E(Y) :‬‬

‫) ‪ (١١-١‬اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ‬ ‫‪Joint Moment Generating functions‬‬ ‫‪٧٨‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات ﻓﻰ اﻟﺑﻌد اﻻول وذﻟك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﺑﻌد ‪. k‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌـزوم ﻟﻣﺗﺟـﻪ ﻣـن اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ ) ‪ X  (X1, X 2 ,..., X k‬ﯾﻌـرف ﻛﺎﻟﺗـﺎﻟﻲ‬ ‫‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪M X (t)  E exp   t i Xi   .‬‬ ‫‪ i1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﯾث ) ‪ – h < ti < h , t = ( t1 , … , tk‬و ‪. h > 0‬‬

‫ﻟﻛـل داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﺣﺗﻣــﺎل ﻣﺷـﺗرﻛﺔ داﻟــﺔ ﻣوﻟـدة ) إذا وﺟــدت ( وﺣﯾـدة أي أن ﻟﻬــﺎ ﺧﺎﺻـﯾﺔ اﻟوﺣداﻧﯾــﺔ وﻋﻠـﻰ ذﻟــك‬

‫ﺗﺳــﺗﺧدم ﻓــﻲ ﺗﻘــدﯾر داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ وأﯾﺿــﺎ ﻛــل اﻟــدوال اﻟﻬﺎﻣﺷــﯾﺔ ‪.‬ﻓﻌﻠــﻰ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل اﻟداﻟــﺔ‬ ‫اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X i‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪M ( 0, 0 , 0, t i , 0 , … , 0 ).‬‬

‫ﺣﯿﺚ ‪ . i  1,2,...,n‬أﯾﻀﺎ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮﯾﻦ ‪ X i , X j‬ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪M ( 0, 0 , … , t i , 0 , 0 , … , t j ,0, 0, … ,0 ).‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت )‪ MX,Y (t1 , t2‬ﻣوﺟودة ﻓﺈن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن اﻟﻌﺷواﺋﯾﯾن ‪ X , Y‬ﯾﻛوﻧﺎن ﻣﺳﺗﻘﻼن إذا وﻓﻘط‬ ‫إذا ‪.‬‬ ‫‪MX,Y (t1 , t2) = MX,Y (t1 , 0) MX,Y (0 , t2) .‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﺣﺎﻟﺔ ‪ k‬ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ‪ X1, X 2 ,..., X k‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪k‬‬

‫)‪M X ( t1, t 2 ,..., t k )   M X (0,...,0, t i ,0,...,0‬‬ ‫إذا ٕواذا ﻓﻘط ﻛﺎن ‪ X1, X 2 ,..., X k‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬

‫‪i 1‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X , Y‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪y m e t 1 x  t 2 y f(x, y) dx dy ,‬‬ ‫‪y m f(x, y) dx dy ,‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪  x‬‬ ‫‪-  ‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪t  t 0  ‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ E Xk Ym .‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪٧٩‬‬

‫) ‪ k  m M X , Y ( t1 , t 2‬‬ ‫‪t1k t m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ k  m M X , Y ( t1 , t 2‬‬ ‫‪t1k t m‬‬ ‫‪2‬‬

1  E ( X )   2  E (Y )  12

 22

 E (X

2

 E (Y

2

 XY 

M X , Y (0,0)  t1 M X , Y (0,0)  t2

)  12

)   22





, ,

 2 M X , Y (0,0)  2 t12

 2 M X, Y (0,0)

 2 M X, Y (0,0)  t1  t 2

 t 22

- 12 ,

-  22 ,

- 1  2 .

(٥٧-١ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫ ﻫﻰ‬X , Y ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن‬ y

-1

0

1

2

1 6

0

0 1 6

x -2

0 1 3 -1 0 1 6 0 0 f 2 (y),f1 (x) , Cov(X,Y) ‫اﯾﺟﺎد ﻣﻧﻬﺎ‬

0 1 6 0 ‫ ﺛم‬Y ,X ‫اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد اﻟداﻟﻪ اﻟﻣوﻟدﻩ ﻟﻠﻌزوم ﻟـ‬ :‫اﻟﺣــل‬

1 1 t t M X,Y (t1 , t 2 )  e 2 t1  e 1 2  6 3 1 1 1 + e 2t 2 t1  e t 2  e t 2 6 6 6 ٨٠

:‫اﯾﻀﺎ‬

M x,y (t1 , t 2 ) t1 M x,y (t1 , t 2 ) t 2 M x,y (t1 , t 2 )  t 1t 2

1 1 1  e 2t1  e (t1 ,t2 )  e2t 2 t1 , 3 3 6 1 1 1 1  e (t1 ,t2 )  e 2t1 t 2 )  e t 2  e t 2 , 3 3 6 6 1 1  e (t1 ,t2 )  e 2t2  t1 , 3 3

: ‫وﻋﻠﻲ ذﻟﻚ‬  M (t , t )  5 E(X)   X,y 1 2   , t1 6  t1 t 2 0  M (t , t )  E(Y)   X,y 1 2  0  t  2 t1 t 2 0 2   M X,y (t1 , t 2 )  E(XY)    0.   t , t 1 2  t1 t 2 0

: ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك‬

Cov(X,Y)  E(XY)  E(X)E(Y)  0. : ‫اﯾﺿﺎ‬ 1 1  t1 1 2 t1  e  e , 3 2 6 1 1 1 1 M X (t 2 )  M X,Y (0, t 2 )   e  t 2  e  t1  e 2 t 2 , 6 2 6 6 :‫ ﻫﻰ‬f1 (x) ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺈن‬ M X (t1 )  M X,Y (t1 ,0) 

٨١

‫‪-2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f1 (x‬‬

‫و )‪ f 2 (y‬ﻫﻰ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪y‬‬ ‫)‪f 2 (y‬‬

‫)‪ (١٢-١‬دوال ﻓﻰ ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ‬ ‫ﻓـﻲ ﻛﺛﯾــر ﻣــن اﻷﺑﺣـﺎث ﻧﺟــد أن اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ اﻟﺗـﻲ ﻧﺳــﺗﺧدﻣﻬﺎ ﻓــﻲ ﺧﻼﺻـﺔ ﻧﺗــﺎﺋﺞ اﻟﺗﺟرﺑــﺔ ﻟــﯾس‬

‫داﺋﻣــﺎ ﻫــﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳــﺎت اﻟﺗــﻲ ﻧﺣﺻــل ﻋﻠﯾﻬــﺎ ﺑﺣــد ذاﺗﻬــﺎ وﻟﻛــن ﺗﻛــون دوال ﻣــن ﻫــذﻩ اﻟﻘﯾﺎﺳــﺎت‪ .‬ﻓﻣــﺛﻼ ﻗــد ﯾﻛــون‬ ‫‪ X‬اﻟﻣﻘﺎﺳـ ــﻪ ﺑـ ــﺎﻟﻔﻬر ﻧﻬﯾـ ــت إﻟـ ــﻰ ﻗ ـ ـراءات ﺑﺎﻟـ ــدرﺟﺎت اﻟﻣﺋوﯾـ ــﺔ‬

‫اﻟﻣطﻠ ــوب ﺗﺣوﯾـ ــل ﻗ ـ ـراءات درﺟـ ــﺎت اﻟﺣ ـ ـ اررة‬ ‫‪5‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪ . Y  X ‬اﯾﺿــﺎً ﻓــﻲ أﺑﺣــﺎث أﺧــرى ﻗــد ﯾﻣﺛــل اﻟﻌﻣــر ‪ X‬ﺑﺎﻷﺳــﺎﺑﯾﻊ ﻟﻣﻛــون ﻣــﺎ ﺑﯾﻧﻣــﺎ ﻓــﻲ ﺗﺟرﺑــﺔ‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫أﺧرى ﻗد ﯾﻣﺛل اﻟﻌﻣـر‪ W‬ﺑﺎﻷﯾـﺎم وﻋﻠـﻰ ذﻟـك ‪ . W=7X‬ﺑـﻧﻔس اﻟﺷـﻛل‪ Z=lnX :‬أو دوال أﺧـرى ﻓـﻲ ‪X‬‬ ‫ﻗــد ﺗﻛــون ﻣوﺿــﻊ اﻻﻫﺗﻣــﺎم‪ .‬أي داﻟــﺔ ﻓــﻲ ﻣﺗﻐﯾ ــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ‪ X‬ﻧﻔﺳــﻬﺎ ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ وﯾﻣﻛــن ﺗﻘــدﯾر داﻟ ــﺔ‬ ‫ﻛﺛﺎﻓﺗﻬﺎ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﺑدﻻﻟﺔ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪ . X‬ﻋﻠـﻲ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر‪ W‬اﻟﻣـذﻛور أﻋـﻼﻩ‬

‫ﻓﺈن ‪P 14  W  21  P  2  X  3‬‬

‫ﻣن اﻟواﺿﺢ أن اﻻﺣﺗﻣـﺎﻻت اﻟﺗـﻲ ﺗﺧـص دوال ﻓـﻲ ﻣﺗﻐﯾـرات‬

‫ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺔ ﺗﻛ ــون ﻣوﺿ ــﻊ اﻻﻫﺗﻣ ــﺎم وﯾﻛ ــون ﻣ ــن اﻟﻣﻔﯾ ــد اﻟﺗﻌﺑﯾ ــر ﻋﻧﻬ ــﺎ ﺑدﻻﻟ ــﺔ داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل‪ ،‬أو داﻟ ــﺔ‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ‪ ،‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻷﺻﻠﻲ‪ .‬أﯾﺿﺎً ﻓﻲ اﻟﺗﺟﺎرب اﻟﻣرﻛﺑـﺔ ﻗـد ﯾﻛـون اﻻﻫﺗﻣـﺎم ﻓـﻲ ﺗﺣوﯾـل اﻟﻣﺗﻐﯾـرات‬ ‫اﻟﻌﺷ ـ ـواﺋﯾﺔ اﻷﺻـ ــﻠﯾﺔ اﻟﻣﻘﺎﺳ ـ ــﺔ‬ ‫ﺣﯾث ‪i =1,2,…,k‬‬

‫‪ X1 ,X 2 ,..., X K‬اﻟـ ــﻰ ﻣﺗﻐﯾ ـ ـرات ﺟدﯾ ـ ــدة‬

‫‪Yi  ui  X1,X2 ,...,X k ‬‬

‫‪ .‬ﻓﻌﻠﻲ ﻋﻠﻰ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل‪ ،‬ﻗـد ﻧﻼﺣـظ اﻷوزان ‪X1 ,X 2 ,..., X k‬‬

‫ﻟﻛـﺎﺋن ﻣﺎﻋﻧـد‬

‫اﻷزﻣﻧﺔ‪ t1, t 2 ,..., t k :‬وﻟﻛن ﻗد ﯾﻛون اﻻﻫﺗﻣﺎم ﻓـﻲ ﺗﻌرﯾـف ‪) Y1  X1‬اﻟـوزن اﻟﻣﺑـدﺋﻲ( وأﯾﺿـﺎ اﻟزﯾـﺎدة ﻓـﻲ‬ ‫اﻟــوزن ‪ Xi  X i1‬ﺣﯾــث ‪ i=2,…,k‬وذﻟــك ﻓــﻲ ﻓﺗ ـرات زﻣﻧﯾــﺔ ﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ‪ .‬ﻓــﻲ ﻫــذا اﻟﺑﻧــد ﺳ ـوف ﻧﻧــﺎﻗش طــرق‬ ‫ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻻﺷﺗﻘﺎق داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟداﻟﺔ ﻓﻲ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ أو أﻛﺛر او ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ‪.‬‬

‫) ‪ (١-١٢-١‬طرق إﯾﺟﺎد ﺗوزﯾﻊ دوال ﻓﻲ ﻣﺗﻐﯾرﻋﺷواﺋﻰ واﺣد ‪:‬‬ ‫‪٨٢‬‬

‫) ا( اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪Discrete Case‬‬ ‫ﻟﺗﻛن )‪ u(x‬داﻟﺔ ذات ﻗﯾﻣﺔ ﺣﻘﯾﻘﯾـﺔ ﻓـﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﺣﻘﯾﻘـﻲ ‪ . x‬إذا أﻣﻛـن ﺣـل اﻟﻣﻌﺎدﻟـﺔ )‪y= u(x‬‬

‫ﺑطرﯾﻘـﺔ وﺣﯾـدة ﻟـﺗﻛن )‪ ، x = w(y‬ﻓﺈﻧﻧـﺎ ﻧﻘـول أن اﻟﺗﺣوﯾﻠـﺔ ﺗﺑﺎدﻟﯾـﺔ وﺣﯾـدة أو ﺗﻧﺎظرﯾـﺔ ‪one – to – one‬‬ ‫‪ transformation‬وﻏﯾر ذﻟك ﻧﻘول أن اﻟﺗﺣوﯾﻠﺔ ﻏﯾر ﺗﻧﺎظرﯾﺔ ‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾ ﺔ ‪ :‬إذا ﻛـﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﻘطـﻊ ﺑداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﺣﺗﻣـﺎل ‪ٕ f X  x ‬واذا ﻛـﺎن ‪Y=u‬‬ ‫)‪ (X‬ﺗﻌــرف ﺗﺣوﻟﯾــﺔ ﺗﻧﺎظرﯾــﺔ ‪ ،‬ﺑﻣﻌﻧــﻲ آﺧــر اﻟﻣﻌﺎدﻟــﺔ )‪ y = u(x‬ﯾﻣﻛــن ﺣﻠﻬــﺎ ﺑطرﯾﻘــﺔ وﺣﯾــدة‪ ،‬ﻟــﺗﻛن‬ ‫‪ ، x  w  y ‬وﻋﻠﻲ ذﻟك داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪y ,‬‬

‫‪,‬‬

‫))‪f Y (y)  f X (w(y‬‬

‫‪  {y fY (y)  0}.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٨ -١‬‬ ‫اذا ﻛـﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـ ار ﻋﺷـواﺋﻲ ﺣﯾـث )‪ X ~ GEO (P‬ﻓـﺎن داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪ X‬ﺗﻛـون ﻋﻠـﻰ‬

‫اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪x = 1,2,...‬‬ ‫‪e.w.‬‬

‫‪f X (x,p) = p q x-1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪,‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎن ‪ Y= X– 1‬ﯾﺗﺑﻊ ﺷﻛل آﺧر ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ أوﺟد داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‪.Y‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ y = u(x) = x-1‬ﻓﺈن ‪ x = w(y) = y + 1‬وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﯾﻣﻛن‬

‫إﯾﺟﺎدﻫﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪f Y  y  1  p q y , y  0,1,...‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻌدد ﺣﺎﻻت اﻟﻔﺷل ﻗﺑل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ أول ﻧﺟﺎح ‪.‬‬ ‫ﺑﻔرض أن اﻟداﻟﺔ )‪ u (x‬ﻟﯾﺳت داﻟﺔ ﺗﻧﺎظرﯾﺔ ﻋﻠـﻲ اﻟﻔﺿـﺎء }‪ R  A  {x f x (x)  0‬وﻫـذا ﯾﻌﻧـﻲ ﻋـدم‬ ‫وﺟـود ﺣـل وﺣﯾـد ﻟﻠداﻟـﺔ )‪ . y = u (x‬ﻋـﺎدة ﯾﻛـون ﻣـن اﻟﻣﻣﻛـن ﺗﺟزﺋـﻪ اﻟﻔﺿـﺎء ‪ A‬إﻟـﻲ ﻓﺋـﺎت ﺟزﺋﯾـﻪ ﻣﺗﻧﺎﻓﯾـﺔ‬ ‫‪ A1, A2,...‬ﺑﺣﯾث ﺗﻛون )‪ u(x‬ﺗﻧﺎظرﯾﺔ ﻋﻠﻲ ﻛل ‪ . A j‬وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻟﻛـل ‪ y‬ﻓـﻲ اﻟﻣـدى ﻟﻠداﻟـﺔ )‪ ، u (x‬ﻓـﺈن‬

‫اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ )‪ y = u(x‬ﯾﻛون ﻟﻬﺎ ﺣل وﺣﯾد ‪ x j  w j  y ‬ﻋﻠﻲ اﻟﻔﺋﺔ ‪. A j‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬ﻟﻠدوال اﻟﻐﯾر ﺗﻧﺎظرﯾﺔ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪f Y (y)   f X (w j (y)).‬‬ ‫‪j‬‬

‫‪٨٣‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٩ -١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ Y  X‬أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪X‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪fX  x ‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪fY  y ‬‬

‫) ب ( اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ‬

‫‪Continuous Case‬‬

‫ﻓﻲ ﻫذا اﻟﺟزء ﺳوف ﻧﻧﺎﻗش طرﯾﻘﺗﯾن ﻻﺷﺗﻘﺎق ﺗوزﯾﻊ دوال ﻓﻲ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل وﻫﻲ‬

‫طرﯾﻘﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ وطرﯾﻘﺔ اﻟﺗﺣوﯾل ‪.‬‬

‫طرﯾﻘﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ‬ ‫‪Cumulative – Distribution Function Technique‬‬ ‫ﺑﻔــرض أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﻟــﻪ داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌــﻲ )‪ٕ FX (x‬واذا ﻛــﺎن )‪ Y = u(X‬داﻟــﺔ ﻓــﻲ ‪. X‬‬ ‫ﺗﻌﺗﻣد ﻫذﻩ اﻟطرﯾﻘﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﺑدﻻﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪X‬‬ ‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫] ‪F Y  y  = P [ u(X) < y‬‬

‫‪٨٤‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬

‫‪dFY  y ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪dy‬‬

‫‪f Y  y ‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦٠ -١‬‬

‫إذا ﻛــﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﺣﯾــث ‪ f (x)  e x ,x  0‬وﻛــﺎن ‪Y  eX‬‬

‫أوﺟــد داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل‬

‫ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪.Y‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫]‪FY (y)  P[Y  y]  P[eX  y‬‬ ‫‪ln y‬‬

‫‪ P[X  ln y]    e t dt‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ 1].‬‬

‫‪ln y‬‬

‫‪ln y‬‬

‫‪  e t 0  [e ‬‬

‫أي أن ‪:‬‬ ‫‪FY (y)  1  y ‬‬

‫‪1  y  .‬‬

‫وﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﺳﺗﻛون ﻛﺎﻵﺗﻲ ‪:‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪FY (y)  y1‬‬ ‫‪dy‬‬

‫‪, 1 y  ‬‬

‫‪f Y (y) ‬‬

‫‪= 0 , e.w.‬‬

‫طرﯾﻘﺔ اﻟﺗﺣوﯾل‬ ‫ﻧظرﯾ ﺔ ‪ :‬ﺑﻔ ــرض أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـ ـراً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﻣ ــن اﻟﻧ ــوع اﻟﻣﺗﺻ ــل ﺑداﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﺣﺗﻣ ــﺎل ‪ f X  x ‬وﺑﻔ ــرض أن‬ ‫‪ Y  u  x ‬ﺗﻌـرف ﺗﺣوﯾﻠـﺔ ﺗﻧﺎظرﯾـﺔ ﻣـن }‪ R  {x f x (x)  0‬إﻟـﻲ }‪   {y f y (y)  0‬ﺑﺗﺣوﯾﻠـﻪ‬

‫‪dw  y ‬‬ ‫)‪ . x = w (y‬إذا ﻛﺎﻧـت اﻟﻣﺷـﺗﻘﺔ‬ ‫‪dy‬‬

‫ﻣﺗﺻـﻠﺔ وﻻ ﺗﺳـﺎوي اﻟﺻـﻔر ﻋﻠـﻲ ‪ ‬ﻓـﺈن داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل‬

‫ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪d‬‬ ‫)‪w(y‬‬ ‫‪dy‬‬

‫))‪f Y (y)  f X (w(y‬‬

‫ﻋـﺎدة ﯾﺷـﺎر اﻟـﻰ اﻟﻣﺷـﺗﻘﺔ ﻟﻠداﻟـﺔ )‪ w(y‬ﺑﺟﺎﻛوﺑﯾـﺎن اﻟﺗﺣوﯾـل )ﻣﻌﺎﻣـل اﻟﺗﺣوﯾـل او اﻟﯾﻌﻘوﺑﯾـﺔ ‪ ،‬وﯾرﻣـز ﻟـﻪ ﺑـﺎﻟرﻣز‬ ‫)‪dw(y‬‬ ‫‪. J‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦١ -١‬‬ ‫‪٨٥‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪fX  x   e  x , x > 0‬‬ ‫‪=0‬‬

‫‪, e.w.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪ Y X‬؟‬ ‫أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪:‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪y  u(x)  x ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬

‫ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪x  w(y)  (y ‬‬ ‫‪).‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬

‫وﻋﻠﻲ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪dw(y) 9‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪J‬‬

‫وﻣﻧﻬﺎ ‪:‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪160 9‬‬ ‫‪f Y  f X ( (y ‬‬ ‫))‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪9‬‬

‫]‪[9 y 160 / 5‬‬

‫‪y‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬

‫)‪ (٢-١٢-١‬طرق إﯾﺟﺎد ﺗوزﯾﻊ دوال ﻓﻲ ﻣﺗﻐﯾرﯾن أو أﻛﺛر ‪:‬‬ ‫ﻓـﻲ اﻟﺑﻧــد )‪ (١-١٢-١‬ﺗﻧﺎوﻟﻧـﺎ ﻣﺷــﻛﻠﺔ اﻟﺣﺻـول ﻋﻠــﻲ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣـﺎﻟﻲ ﻟداﻟــﺔ ﻓـﻲ ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷـواﺋﻲ‬ ‫ﻓـﻲ اﻟﺑﻌـداﻻول‪ .‬اﻻن ﯾﻛـون ﻣـن اﻟطﺑﯾﻌـﻲ ﺗﻧـﺎول ﻣﺷـﻛﻠﺔ اﻟﺣﺻـول ﻋﻠـﻲ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﺷـﺗرك ﻟـدوال ﻓـﻲ ﻣﺗﻐﯾـرﯾن‬

‫ﻋﺷـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـواﺋﯾن او اﻛﺛ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــر ‪.‬ﺑﻔ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــرض ﻣﺗﺟ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ ﻋﺷـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـواﺋﻲ ) ‪ X  (X1, X 2 ,..., X k‬واذاﻛ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎن‬

‫‪ u 1  x  , u 2  x  ,..., u K  x ‬دوال ﻓــﻲ ‪ X‬ﻋــددﻫﺎ ‪. k‬وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ‪ Y j  u j  X ‬ﺣﯾــث ‪j=1,2,….,k‬‬ ‫ﯾﻌرف ﻣﺗﺟﺔ اﺧر ) ‪ . Y  (Y1, Y2 ,..., Yk‬ﻟﻠﺗﺳﻬﯾل ﺳوف ﻧﻌﺑر ﻋﻧﺔ ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ )‪.Y=U(X‬‬ ‫‪٨٦‬‬

‫)ا ( اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:Discrete Case :‬‬ ‫ﻧظرﯾ ﺔ ‪ :‬إذا ﻛــﺎن ‪ X‬ﻣﺗﺟــﻪ ﻣــن اﻟﻣﺗﻐﯾ ـرات اﻟﻌﺷ ـواﺋﯾﺔ اﻟﻣﻌطــﺎة ﻣــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺗﻘطــﻊ ﺑداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣــﺎل‬ ‫ﻣﺷــﺗرﻛﺔ ‪ٕ f X  x ‬واذا ﻛــﺎن )‪ Y = u(X‬ﯾﻌــرف ﺗﺣوﯾﻠــﻪ ﺗﻧﺎظرﯾــﺔ ‪ ،‬ﻓــﺈن داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ‬ ‫ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫) ‪f Y (y1, y 2 ,...., y k )  f X (x1 , x 2 ,..., x k‬‬ ‫ﺣﯾـث ‪ x 1 , x 2 ,..., x K‬ﯾﻣﺛﻠـون اﻟﺣﻠـول ﻟﻠداﻟـﺔ )‪ y = u (x‬واﻟﺗـﻲ ﺗﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻲ ‪ y1, y 2,..., y n‬ﺣﯾـث ‪ x‬ﻫﻧـﺎ‬ ‫ﯾﻌﺑرﻋن ﻣﺗﺟﺔ ) ‪. x  (x 1, x 2 ,...., x K‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦٢-١‬‬ ‫‪1x i ei‬‬ ‫‪) F(x i ) ‬ﺗوزﯾــﻊ ﺑواﺳــون( اﻟﻣطﻠــوب‬ ‫إذا ﻛــﺎن ‪ X1, X2‬ﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن ﻣﺳــﺗﻘﻠﯾن ﺣﯾــث ‪, x i  0,1,...‬‬ ‫! ‪xi‬‬

‫إﯾﺟﺎد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪. Y1  X1  X 2‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫ﻓﻲ ﻫـذﻩ اﻟﺣﺎﻟـﺔ ﻧﺣﺗـﺎج ﻟﺗﻌرﯾـف ﺟدﯾـد ﻟـﯾﻛن ‪ Y2‬وﻷن ‪ Y2‬ﻟـﯾس ﻣوﺿـﻊ اﻻﻫﺗﻣـﺎم ﻓﺳـوف ﻧﺧﺗـﺎر ‪y2  x 2‬‬ ‫ﻟﻠﺗﺳـ ــﻬﯾل ‪ .‬وﻋﻠـ ــﻲ ذﻟـ ــك‬

‫‪,‬‬

‫‪ y1  x1  x 2 , y 2  x 2‬ﯾﻣﺛﻠـ ــون ﺗﺣوﯾﻠـ ــﻪ ﺗﻧﺎظرﯾـ ــﺔ وﻋﻠـ ــﻲ ذﻟـ ــك‬

‫‪ x 2  y 2, x1  y1  y 2 .‬داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ Y1 ,Y2‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫) ‪fY (y1, y2 )  f X1 ,X2 (y1  y2 , y2‬‬ ‫‪1y1  y2  2y2 e1 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫! ‪(y1  y 2 )!y 2‬‬ ‫‪y1  0,1,2,..., y2  0,1, 2,..., y1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪e.w.‬‬

‫‪=0‬‬

‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y1‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪y1‬‬

‫) ‪f Y1 (y)   f Y ,Y (y1 , y 2‬‬ ‫‪y 2 0 1 2‬‬

‫‪1 1 2 y1‬‬ ‫! ‪y1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪1y1  y2  2y2‬‬ ‫‪‬‬ ‫! ‪y 2  0 (y  y )!y‬‬ ‫!‪y1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪1 2‬‬ ‫) ‪(   2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪, y1  0,1,2,...‬‬ ‫! ‪y1‬‬

‫‪‬‬

‫‪, e.w.‬‬ ‫‪٨٧‬‬

‫‪0‬‬

‫أي أن ‪ Y1  X1  X 2‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪. 1 , 2‬‬ ‫ﻋﻧـدﻣﺎ ﺗﻛـون اﻟﺗﺣوﯾﻠـﺔ ﻏﯾـر ﺗﻧﺎظرﯾـﺔ ٕواذا ﺗـوﻓرت اﻟﺗﺟزﺋـﺔ ‪ ،‬ﻟـﺗﻛن ‪ A1, A2,…,‬ﺑﺣﯾـث أن اﻟﻣﻌﺎدﻟـﺔ ‪y = u‬‬ ‫)‪ (x‬ﻟﻬﺎ ﺣل وﺣﯾد ‪ x  x j‬أو ‪:‬‬

‫) ‪x j  (x1j , x 2 j ,...,x kj‬‬ ‫ﻋﻠﻲ اﻟﻔﺋﺔ ‪ . Aj‬وﻋﻠﻲ ذﻟك داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫) ‪f Y (y1,..., y k )   f X (x1j ,...., x kj‬‬ ‫‪j‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦٣ -١‬‬

‫‪ X1, X2‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪, Y1  X1  X2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫وﺑﻔ ـ ـ ـ ــرض أن‬

‫) ‪. Y  (Y1 ,Y2 ) , X=(X1,X 2‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪-2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ Y2  X22‬أوﺟ ـ ـ ـ ــد داﻟ ـ ـ ـ ــﻪ ﻛﺛﺎﻓ ـ ـ ـ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ـ ـ ـ ــﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷ ـ ـ ـ ــﯾﺔ ﻟﻛ ـ ـ ـ ــل ﻣ ـ ـ ـ ــن‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪f Y (4,4)  f X (2, 2)  ,‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f Y (1,1)  f X (2,1)  ,‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1 1 2‬‬ ‫‪f Y (0,4)  f X (2,2)  f X (2, 2)    ,‬‬ ‫‪9 9 9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f Y (1,4)  f X (1, 2)  ,‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f Y (2,1)  f X (1,1)  ,‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f Y (3,4)  f X (1,2)  ,‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪٨٨‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪f Y (3,1)  f X (2,1)  ,‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f Y (4,4)  f X (2, 2)  .‬‬ ‫‪9‬‬

‫ﯾﻣﻛن وﺿﻊ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ Y1 ,Y2‬ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫)‪fY2 (y‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻣـ ــن اﻟﺟـ ــدول اﻟﺳـ ــﺎﺑق ﻓ ـ ــﺈن داﻟـ ــﻪ‬

‫‪0‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪fY1 (y‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ـ ــﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷـ ــﯾﺔ ﻟﻛـ ــل ﻣ ـ ــن ‪ Y2,Y1‬ﯾﻣﻛـ ــن اﻟﺣﺻـ ــول ﻋﻠﯾﻬ ـ ــﺎ‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬

‫)ب( اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ ‪:‬‬

‫‪y2‬‬

‫‪1‬‬

‫ﻣن اﻟﺟدوﻟﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪y1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪y2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫)‪f Y2 (y‬‬

‫‪Continuous Case :‬‬ ‫‪٨٩‬‬

‫‪y1‬‬ ‫)‪fY1 (y‬‬

‫ﻓﻲ ﻫذا اﻟﺟزء ﺳوف ﻧﻧﺎﻗش طرﯾﻘﺗﯾن ﻻﺷﺗﻘﺎق ﺗوزﯾﻊ دوال ﻓﻲ ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ وﻫﻣﺎ‬ ‫طرﯾﻘﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ وطرﯾﻘﺔ اﻟﺗﺣوﯾل ‪.‬‬

‫طرﯾﻘﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ‪Cumulative Distribution‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ X  X1 , X 2 ,...X k‬ﻣﺗﺟﻪ ﻋﺷواﺋﻲ ﻣن ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻋددﻫﺎ ‪k‬‬

‫ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ إﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ) ‪f X (x1, x 2 ,...x k‬‬ ‫وﻛﺎﻧت )‪ Y  U(X‬داﻟﺔ ﻓﻲ ‪X‬‬ ‫ﻓﺈن ‪:‬‬

‫]‪FY (y)  P[u(X)  y‬‬ ‫‪  ...  f X (x1 , x 2 ,..., x k )dx1....dx k‬‬ ‫‪Ay‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦٤ -١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X1, X2‬ﻣﺗﻐﯾران ﻋﺷواﺋﯾﺎن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻣﻌرﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪, 0  x1  x 2  1‬‬ ‫‪e.w.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪f X1 , X 2 (x1 , x 2 )  ‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﺑﻔرض أن ‪ Y  X1  X2‬أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪. Y‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ y < 0‬ﻓﺈن‪ P  Y  y   0 :‬وﻋﻧدﻣﺎ ‪ y > 2‬ﻓﺈن ‪ P  Y  y   1 :‬ﻋﻧـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــدﻣﺎ‬ ‫‪ 0  y  2‬ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪FY (y)  P(Y  y)  P(X1  X 2  y).‬‬

‫وﻫﻧﺎك ﺣﺎﻟﺗﯾن ‪:‬‬

‫أ – إذا ﻛﺎﻧت ‪ 0  y1  2‬و ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٩٠‬‬

:‫ﻓﺎن‬ y 2

y  x1

0

x1

FY  y   P  Y  y    y 2

2dx 2dx1

 2

y  2   y  2x1  dx1  .

2 0 : ‫ وﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‬1  y  2 ‫ب – اذا ﻛﺎﻧت‬

:‫ﻓﺎن‬ ٩١

‫‪FY  y   P  Y  y   1  P  Y  y ‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪2dx1 dx 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ 1 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪yx 2‬‬

‫‪y  dx 2‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1  2 ‬‬ ‫‪ y2‬‬

‫‪ 2x 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ y2‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫وﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﺳﺗﻛون ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪y 0  y  1‬‬ ‫‪d FY  y  ‬‬ ‫‪fY  y  ‬‬ ‫‪ 2  y 1  y  2‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬ ‫‪‬‬

‫طرﯾﻘﺔ اﻟﺗﺣوﯾـل‬ ‫اﻟﺗﺣوﯾﻼت اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺗﺻﻠﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑﺗﻌﻣﯾم ﺻﯾﻐﺔ ﺟﺎﻛوﺑﯾﺎن‬

‫اﻟﺗﺣوﯾل ‪ .‬ﺑﻔرض ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ‪ ،‬أن ‪u  x , x  , u  x , x ‬‬ ‫اﻟﺣﻠﯾن اﻟوﺣﯾدﯾن ﻟﻠﺗﺣوﯾﻠﺔ ‪, y  u  x , x  , y  u  x , x ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ ,‬داﻟﺗﯾن ٕواذا ﻛﺎن ‪x1 , x 2‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﺟﺎﻛوﺑﯾﺎن‬

‫اﻟﺗﺣوﯾل ﯾﻌرف ﺑﺎﻟﻣﺣدد اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪J 1‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪y1‬‬

‫‪x1‬‬ ‫‪y 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪y 2‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦٥ -١‬‬

‫ﻟﺗﺣوﯾـل ‪ x1 , x 2‬إﻟـﻲ ‪x 1‬‬

‫‪ x1 , x 2‬ﻓـﺈن‬

‫‪y1  x1 ,‬‬

‫اﻟﺗﺣوﯾل‪.‬‬

‫‪٩٢‬‬

‫‪y2  x1x 2 ,‬‬

‫أوﺟـد ﺟﺎﻛوﺑﯾـﺎن‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ x 1  y , x 2  2‬ﺟﺎﻛوﺑﯾﺎن اﻟﺗﺣوﯾل ﻫو ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫‪ 1 / y1.‬‬

‫ﻟﯾﻛن‬

‫‪X‬‬

‫ﻣن‬

‫ﻣﺗﺟﻪ‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ y 2 / y12 1 / y1‬‬

‫اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ‬

‫اﻟﻣﺗﻐﯾرات‬

‫‪J‬‬

‫اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ‬

‫ﻋددﻫﺎ‬

‫‪k‬‬

‫‪.‬‬

‫وﺑﻔرض‬

‫أن‬

‫) ‪ u1 ( x ), u 2 ( x ),..., u k ( x‬دوال ﻋددﻫﺎ ‪ k‬ﻓﻰ ‪ . x‬ﻋﻠﻰ ذﻟك )‪ ، Yi  u i (X‬ﺣﯾث ‪i  1,...,k‬‬

‫ﺗﻌرف ﻣﺗﺟﻪ آﺧر ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ) ‪ Y  (Y1, Y2 ,..., Yk‬وﻟﻠﺳﻬوﻟﺔ ) ‪ . Y  u (X‬ﻟﺗﺣوﯾل‬ ‫اﻟدوال )‪ y = u(x‬اﻟﺗﻲ ﻋددﻫﺎ ‪ k‬ﺑﺣل وﺣﯾد‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ x  x 1 , x 2 ,..., x K‬ﻓﺈن ﺟﺎﻛوﺑﯾﺎن اﻟﺗﺣوﯾل ﺳوف‬

‫ﯾﻛون ﻫو اﻟﻣﺣدد ﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ ‪ ،‬ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ ‪ ، k x k‬ﻟﻣﺷﺗﻘﺎت ﺟزﺋﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪x1‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪y 2‬‬ ‫‪y k‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x k‬‬ ‫‪y k‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﺑﻔرض أن‬

‫‪‬‬

‫‪...‬‬

‫‪x1‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪J  y1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x k‬‬ ‫‪y1‬‬

‫‪‬‬

‫‪ X  X 1 , X 2 ,..., X K‬ﻣﺗﺟﻪ ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ‬

‫‪, x 2 ,..., x K   0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪X‬‬

‫‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺿﺎء‪ٕ R‬واذا ﻛﺎن ) ‪ Y  (Y1, Y2 ,..., Yk‬ﯾﻌرف ﺑﺗﺣوﯾﻠﺔ ﺗﻧﺎظرﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪i  1,2,..., k .‬‬

‫) ‪Yi  u i (X1, X 2 ,..., X k‬‬

‫إذا ﻛﺎن ﺟﺎﻛوﺑﯾﺎن اﻟﺗﺣوﯾل ﻣﺗﺻل وﻻ ﯾﺳﺎوى ﺻﻔر ﻋﻠﻰ ﻣدي اﻟﺗﺣوﯾل ‪ ،‬ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

‫اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪J‬‬

‫‪ y , y ,..., y   f  x , x ,.., x ‬‬ ‫‪K‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X‬‬

‫‪K‬‬

‫ﺣﯾث ‪ x  x1, x 2 ,..., x k ‬ﻫو اﻟﺣل ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ )‪. y = u(x‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦٦ -١‬‬ ‫‪٩٣‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪fX‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X1 , X 2‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺣﯾث ‪:‬‬

‫)‪X i ~ UNIF(0,1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ i  1,2‬وﺑﻔـرض أن‬

‫‪, Y1  X1  X 2 , Y 2  X1  X 2‬‬

‫أوﺟـد‬

‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪, Y 2 , Y1‬؟‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪0  x1  1,0  x 2  1}.‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ x 2 :‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫) ‪R  {x1,x 2‬‬

‫‪ y 1  x 1  x 2 , y 2  x‬ﻓﺈن اﻟﺣل ﻫو‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. x1  (y1  y 2 ), x 2  (y1  y 2 ).‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪y1  y 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y1  y 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y1  y 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y1  y 2‬‬ ‫‪ 1.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك }‪0  y1  y 2  2,0  y1  y 2  2‬‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫‪٩٤‬‬

‫‪x1  0 ‬‬ ‫‪x1  1 ‬‬ ‫‪x2  0 ‬‬ ‫‪x2  1 ‬‬

‫) ‪  {(y1 , y 2‬‬

‫ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻣن اﻟﺷﻛل‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺟﺎﻛوﺑﯾﺎن اﻟﺗﺣوﯾل ﻫو ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪J 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن اﻟﻌﺷواﺋﯾﯾن ‪ y1 , y 2‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪f Y1 , Y2 ( y1 , y 2 )  f X1 , X 2 [(w1 ( y1 , y 2 ), w 2 ( y1 , y 2 )] J‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ y  y 2 y1  y 2 ‬‬ ‫‪ f X1 , X 2  1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬

‫‪y1 , y 2  ‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦٧ -١‬‬ ‫‪ fi (xi )  e xi i  1,2‬أوﺟـ ــد داﻟـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ‬

‫إذا ﻛـ ــﺎن ‪ X1 , X 2‬ﻣﺗﻐﯾ ـ ـرﯾن ﻋﺷ ـ ـواﺋﯾﯾن ﻣﺳـ ــﺗﻘﻠﯾن ﺣﯾـ ــث‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪:‬‬

‫‪ Y1  X1 |  X 2 , Y 2  X1 X1  X 2 ‬وأﺛﺑت أن ‪ Y1 , Y2‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X1 , X 2‬ﻫﻣﺎ ‪:‬‬ ‫‪, 0  x1   , 0  x 2  ‬‬

‫‪x 1  x 2‬‬

‫‪f ( x1 , x 2 )  f ( x1 ) f ( x 2 )  e‬‬ ‫‪ 0 , e.w .‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪:‬‬

‫‪x1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x1  x 2‬‬

‫‪y1  u1 ( x1 , x 2 )  x1  x 2 , y 2  u 2 ( x1 , x 2 ) ‬‬

‫ﻓﺈن ‪:‬‬

‫) ‪x1  y1y 2 , x 2  y1 (1  y 2‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪y1‬‬ ‫‪  y1  0.‬‬ ‫‪ y1‬‬

‫‪y2‬‬ ‫‪1  y2‬‬

‫‪J‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ Y1 , Y2‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪٩٥‬‬

‫‪g ( y1 , y 2 )  y1 e  y1‬‬

‫‪0  y1  , 0  y 2  1‬‬

‫‪ 0 , e. w.‬‬

‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ Y1 , Y2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪dy 2  y1e  y1‬‬

‫‪0  y1  ,‬‬

‫‪ y1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪g1 ( y1 )   y1 e‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪dy1  (2)  1‬‬

‫‪, 0  y 2  1.‬‬

‫‪ y1‬‬

‫‪‬‬

‫‪g 2 ( y 2 )   y1 e‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﻣن اﻟواﺿﺢ أن ‪ Y1 , Y2‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦٨ -١‬‬ ‫‪ X1 , X 2‬ﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن ﻣﺳــﺗﻘﻠﯾن ﻣــن اﻟﻧــوع‬

‫ﻓــﻰ ﻫــذا اﻟﻣﺛــﺎل ﺳــوف ﻧﺣﺻــل ﻋﻠــﻰ ﻧﺗﯾﺟــﺔ ﻣﻬﻣــﺔ ‪ .‬ﻟــﯾﻛن‬

‫اﻟﻣﺗﺻ ـ ــل ﺑداﻟ ـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ـ ــﺔ اﺣﺗﻣ ـ ــﺎل ﻣﺷ ـ ــﺗرﻛﺔ ) ‪ f X1 ( x1 )f X 2 ( x 2‬ﻣوﺟﺑ ـ ــﺔ ﻓ ـ ــﻲ ﻓﺿ ـ ــﺎء اﻟﺑﻌ ـ ــد اﻟﺛ ـ ــﺎﻧﻲ ﻟ ـ ــﯾﻛن‬ ‫‪ Y1  u1 X1 ‬داﻟــﺔ ﻓــﻰ ‪X1‬‬

‫ﻓﻘــط و ‪ Y2  u 2 X 2 ‬داﻟــﺔ ﻓــﻰ‬

‫ﻓﻘــط ‪ .‬وﻋﻠــﻰ ذﻟــك اﻟﺗﺣوﯾــل‬

‫‪X2‬‬

‫‪ y1  u1 x1 ‬و ‪ y 2  u 2 x 2 ‬ﯾﻌرف ﺗﺣوﯾﻠﻪ ﺗﻧﺎظرﯾـﺔ ﻣـن ‪ R‬إﻟـﻲ ‪ ‬ﻓـﻲ اﻟﺑﻌـد اﻟﺛـﺎﻧﻲ ‪ .‬وﻋﻠـﻰ ذﻟـك‬ ‫‪ x 1  w 1 y1 , x 2  w 2 y 2 ‬وﻣﻧﻬﺎ ‪:‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ w1`  y1 w `2 y 2   0.‬‬ ‫ﺣﯾث‬

‫‪w1` y1 ‬‬

‫‪J‬‬

‫‪w `2  y 2 ‬‬ ‫) ‪dw1 ( y1‬‬ ‫) ‪dw 2 ( y 2‬‬ ‫‪. w 1 ( y1 ) ‬‬ ‫‪, w 2 ( y 2 ) ‬‬ ‫‪dy1‬‬ ‫‪dy 2‬‬ ‫‪0‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن اﻟﻌﺷواﺋﯾﯾن ‪ Y1 , Y2‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪f Y , Y ( y1 , y 2)  f Y ( w 1 ( y1 )) f Y w 2 y 2  w '1 ( y1 ) w ` 2 y 2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪y1, y 2  ‬‬ ‫ﻣن اﻟﻣﻌروف أﻧـﻪ ﻓـﻰ ﺣﺎﻟـﺔ ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ ﻓـﻰ اﻟﺑﻌـد اﻷول ﻓـﺈن داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻛـل ﻣـن ‪Y1 , Y2‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪( w 1 ( y1 )) w '1 ( y1 ) ,‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f Y ( y1 )  f X‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪f Y ( y 2 )  f X ( w 2 ( y 2 )) w ' 2 ( y 2 ) ,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫) ‪( y1 , y 2 )  f Y ( y1 ) f Y ( y 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪,Y2‬‬

‫‪fY‬‬

‫‪1‬‬

‫وﻣﻧﻬﺎ ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أﻧﻪ إذا ﻛﺎن ‪ X1 , X 2‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪٩٦‬‬

‫‪Y 2  u 2 X 2‬‬

‫‪ Y1  u 1 X1 ,‬أﯾﺿـ ــﺎ ﻣﺗﻐﯾ ـ ـرﯾن ﻋﺷـ ـواﺋﯾﯾن ﻣﺳـ ــﺗﻘﻠﯾن ‪ .‬اﻟﻧﺗﯾﺟـ ــﺔ ﺻـ ــﺣﯾﺣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾ ـ ـرﯾن‬

‫ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ‪.‬‬

‫)‪ (٣-١٢-١‬طرﯾﻘﺔ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم‬ ‫‪Moment – Generating – Function Method‬‬ ‫ﺗﻌﺗﺑر ﻫذﻩ اﻟطرﯾﻘﺔ ﻣﻔﯾدة ﻓﻲ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺣﺎﻻت وذﻟك ﻹﯾﺟﺎد ﺗوزﯾﻊ دوال ﻓﻲ ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ‪.‬‬ ‫ﻟﯾﻛن ‪ X1 , X 2 ,..., X k‬ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﻌطﺎة ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ‪:‬‬ ‫ﺣﯾث‬

‫) ‪f X1 , X 2 ,...,X k (x1 , x 2 ,..., x k‬‬

‫‪ X1 , X 2 ,..., X k‬ﻣﺗﺟﻪ‬

‫ﻋﺷواﺋﻲ‬

‫ٕواذا‬

‫ﻛﺎن‬

‫) ‪ Yi  u i (X1 , X 2 ,..., X k‬و ‪ i  1,2,...,k‬ﺗﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻟدوال ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ‬ ‫‪ . X1 , X 2 ,..., X k‬اﻵن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات ‪ ، Y1 , Y2 ,..., Yk‬إذا ﻛﺎﻧت ﻣوﺟودة ‪،‬‬

‫ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪M Y1 , Y2 ,...,Yk ( t1 , t 2 ,..., t k )  E e t 1Y1  t 2 Y2 ... t k Yk‬‬

‫) ‪  ... e t 1u 1 ( x 1 ,...,x k ) ... t k u k ( x 1 ,...,x k‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪ f X1,...,Xk (x1,..., x k )  dx i .‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ٕواذا أﺟرﯾﻧﺎ اﻟﺗﻛﺎﻣل أو ) اﻟﻣﺟﻣوع ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ( ‪ ،‬أﻣﻛﻧﻧﺎ اﻟﺗﻌرف‬ ‫ﻋﻠﻲ اﻟداﻟﺔ ﻓﻲ ‪ , t1 , t 2 ,..., t k‬اﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻛداﻟﺔ ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻣوﻟدﻩ ﻟﻠﻌزوم ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺷﺗرك ﻣﻌروف ﺑﺄﻧﻪ ﺳﯾﻛون‬ ‫ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ‪ Y1 , Y2 ,..., Yk‬وذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﺳﺗﻧﺎداً إﻟﻲ ﺧﺎﺻﯾﺔ اﻟوﺣداﻧﯾﺔ ﻟﻠداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ‪.‬‬ ‫ﻫذﻩ اﻟطرﯾﻘﺔ ﺗﻛون ﻣﺣدودة اﻻﺳﺗﺧدام ﻋﻧدﻣﺎ ‪ k > 1‬وذﻟك ﻷﻧﻪ ﻫﻧﺎك ﻋدد ﺑﺳﯾط ﻣن اﻟدوال اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ‬

‫اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم واﻟﻣﻌروﻓﺔ ﻟدﯾﻧﺎ ‪ .‬وﻟﻛن إذا ﻛﺎﻧت ‪ k =1‬ﻓﺈن اﻟﻔرﺻﺔ أﻣﺎﻣﻧﺎ أﻓﺿل ﻟﻠﺗﻌرف ﻋﻠﻲ اﻟداﻟﺔ‬ ‫اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦٩ -١‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ) f (x) ‬اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳـﻰ( ٕواذا‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﺣﯾـث ‪e 2 ,   x  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻛﺎن ‪ Y  X‬أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e 2 dx‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪tx 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪tY‬‬

‫‪M Y ( t )  E[e ]   e‬‬ ‫‪‬‬

‫‪٩٧‬‬

‫‪dx‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫) ‪(1 2 t‬‬

‫‪1  2x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪2  ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫)‪1 (1  2t) 2  2 x (1 2t‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪(1  2t) 2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪1  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (1  2t) 2   2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫واﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻣﺗﻐﯾر ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى ﺑدرﺟﺔ ﺣرﯾﺔ واﺣدة ﻛﻣﺎ ﺳﻧﻌرف ﻋن ﻫذا‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﻰ اﻟﻔﺻل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٧٠ -١‬‬ ‫إذا ﻛ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎن ‪ X1 , X 2‬ﻣﺗﻐﯾـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـرﯾن ﻋﺷـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـواﺋﯾﯾن ﻣﺳ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺗﻘﻠﯾن ﺣﯾ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــث‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e 2 ,   x i  ,M X (t)  e 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. X2‬أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪. Y1 , Y2‬‬

‫‪ . fi (x) ‬ﻟﯾﻛن ‪Y2 = X2 – X1 , Y1= X1 +‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫] ‪M Y1 ,Y2 ( t 1 , t 2 )  E[e Y1t1 Y2t 2‬‬

‫] ‪ E[e (X1  X 2 ) t 1  (X 2  X1 ) t 2‬‬ ‫] ) ‪ E[e ( X1 ( t 1  t 2 )  X 2 ( t 1  t 2‬‬ ‫] ) ‪ E[e ( X1 ( t 1  t 2 ) ] E[e X 2 ( t 1  t 2‬‬ ‫) ‪ M X 1 ( t1  t 2 ) M X 2 ( t 1  t 2‬‬

‫‪ (t  t ) 2 ‬‬ ‫‪ (t  t ) 2 ‬‬ ‫‪ exp  1 2  exp  1 2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 t 12 ‬‬ ‫‪ 2 t 22 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ exp t 1  t 2  exp ‬‬ ‫‪ exp ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪ M Y1 ( t1 ) M Y2 ( t 2 ).‬‬

‫‪‬‬

‫‪٩٨‬‬

‫‪‬‬

‫ﺣﯾـث ‪ Y1 , Y2‬ﻣﺗﻐﯾـرﯾن ﻋﺷـواﺋﯾﯾن ﻣﺳـﺗﻘﻠﯾن وﻛـل ﻣﻧﻬﻣــﺎ ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻲ ﺑﻣﺗوﺳـط ‪ 0‬وﺗﺑــﺎﯾن ‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫)‪ (١٣-١‬اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت واﻟﻌﯾﻧﺎت ‪Population and Samples‬‬ ‫ﺗﺳﺟل ﻧﺗﯾﺟﺔ ﻛل ﺗﺟرﺑﺔ إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ‪ ،‬إﻣﺎ ﺑﻘﯾﻣﺔ رﻗﻣﯾﺔ أو ﺗﻣﺛﯾل وﺻﻔﻰ‪ .‬ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء‬ ‫زھرة ﻧرد ﻣ ره واﺣ دة وإذا ﻛ ﺎن اﻻھﺗﻣ ﺎم ﺑﻌ دد اﻟﻧﻘ ﺎط اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻋﻠ ﻰ اﻟﺳ طﺢ اﻟﻌﻠ وي ﻟﻠﻧ رد ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺳ ﺟل‬ ‫ﻗﯾﻣﺔ رﻗﻣﯾﺔ‪ .‬ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻋﻧ د ﺳ ؤال ﻣﺟﻣوﻋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻌ ﺎﻣﻠﯾن ﻓ ﻲ ھﯾﺋ ﺔ ﻣ ﺎ ﻋ ن اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾ ﺔ ﻟﻛ ل ﻣ ﻧﮭم‪ ،‬ﻓ ﺈن‬ ‫اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟوﺻﻔﻲ ﯾﻛون أﻛﺛ ر ﻓﺎﺋ دة‪ .‬ﻋ ﺎدة ﯾﮭ ﺗم اﻹﺣﺻ ﺎﺋﻲ ﺑ ﺎﻟﻘﯾم اﻟرﻗﻣﯾ ﺔ ﻟ ذﻟك ﻓ ﺈن اﻟﺗﻣﺛﯾ ل اﻟوﺻ ﻔﻲ ﯾﻣﻛ ن‬ ‫ﺗﺣوﯾﻠﮫ إﻟﻰ ﻗﯾم ﻋددﯾﺔ‪ .‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ ﺟل ﻣ ن ﻧﺗﯾﺟ ﺔ ﺗﺟرﺑ ﺔ إﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ ﺗﺳ ﻣﻰ ﺑﯾ ﺎن أو ﻣﺷ ﺎھدة )ﻣﻘﯾ ﺎس( ‪.‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻘوم ﺑﺎﺣث ﺑﺗﺻﻧﯾف اﻟﻌﺎﻣﻠﯾن ﻓﻲ ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ ﺣﺳب اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾﺔ‪ ،‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻛون ﻟدﯾ ﮫ ﻋ دد‬ ‫ﻣﺣدود ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات‪ .‬ﺑﯾﻧﻣﺎ ﻋﻧد إﻟﻘﺎء زھرة ﻧرد ﻋدد ﻻﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟﻣرات وﺗﺳﺟﯾل ﻋدد اﻟﻧﻘط اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر‬ ‫ﻓﻲ ﻛل ﻣرة ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻓﺋﺔ ﻻﻧﮭﺎﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻘﯾم‪ .‬ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗﺣت اﻟدراﺳﺔ‪ ،‬ﺳواء ﻛﺎﻧت ﻣﺣ دودة أو‬ ‫ﻏﯾر ﻣﺣدودة‪ ،‬ﺗﺳﻣﻰ ﻣﺟﺗﻣﻊ ‪ ٠population‬ﻓﻲ اﻟﺳﻧوات اﻟﻣﺎﺿﯾﺔ ﻛﺎﻧت ﻛﻠﻣﺔ ﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺷﯾر إﻟ ﻰ ﻣﺷ ﺎھدات‬ ‫ﻣن دراﺳﺎت إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﺗﺷﻣل أﺷﺧﺎص‪ .‬أﻣﺎ اﻵن ﻓﺈن اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ ﯾﺳ ﺗﺧدم ھ ذه اﻟﻛﻠﻣ ﺔ ﻟﺗﺷ ﯾر إﻟ ﻰ ﻣﺷ ﺎھدات‬ ‫ﻋن أي ﺷﻲء ﻣوﺿﻊ اھﺗﻣﺎﻣﮫ ﺳواء ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻷﺷﺧﺎص‪ ،‬ﺣﯾواﻧﺎت‪ ،‬ﻧﺑﺎﺗﺎت…‪ .‬اﻟﺦ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﯾﺗﻛون اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣن ﻛل اﻷﺷﯾﺎء اﻟﺗﻲ ﻧﮭﺗم ﺑﮭﺎ ‪.‬‬ ‫ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺳﻣﻰ ﺣﺟ م اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ وﻋ ﺎدة ﯾرﻣ ز ﻟﺣﺟ م اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺑ ﺎﻟرﻣز ‪ ،N‬وﻓ ﻲ‬ ‫ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻧﻘ ول أن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣﺣ دود‪ .‬ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ د ﺗﺻ ﻧﯾف ‪ 500‬ﺷﺧﺻ ﺎ ﻓ ﻲ ﺷ رﻛﺔ ﻣ ﺎ ﺣﺳ ب‬ ‫اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾ ﺔ‪ ،‬ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘ ول أن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣﺣ دود وﺣﺟﻣ ﮫ ‪ ٠N=500‬اﻷط وال واﻷوزان واﻟ دﺧل اﻟﺳ ﻧوي‬ ‫ﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻷﺷﺧﺎص أﻣﺛﻠﺔ ﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ﻣﺣدودة‪ .‬ﻓﻲ ﻛل ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌ دد اﻟﻛﻠ ﻰ ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدات رﻗ م ﻣﺣ دود‪ .‬ﻓ ﻲ‬ ‫ﺑﻌ ض اﻷﺣﯾ ﺎن ﯾﻛ ون ﺣﺟ م اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻏﯾ ر ﻣﺣ دود‪ ،‬ﻣﺛ ل ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻛ رات اﻟ دم اﻟﺑﯾﺿ ﺎء اﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ رى ﻓ ﻲ دم‬ ‫إﻧﺳﺎن‪ .‬أﯾﺿﺎ اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﻲ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن ﻗﯾﺎس اﻟﺿ ﻐط اﻟﺟ وى ﻛ ل ﯾ وم ﻣ ن اﻟﻣﺎﺿ ﻲ إﻟ ﻰ اﻟﻣﺳ ﺗﻘﺑل‬ ‫ﺗﻣﺛل ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻏﯾر ﻣﺣدود‪.‬‬ ‫ﻛ ل ﻣﺷ ﺎھدة ﻓ ﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺗﻣﺛ ل ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣ ن ﻗ ﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ‪. X‬ﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء‬ ‫زھرة ﻧرد ﻋدد ﻻﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟﻣرات وإذا ﻛﺎن ‪ X‬ﯾﻣﺛ ل ﻋ دد اﻟ ﻧﻘط اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻋﻠ ﻰ اﻟﻧ رد ﻛ ل ﻣ رة‪ ،‬أي أن‬ ‫‪ ، x=1,2,3,4,5,6‬ﻓﺈن ﻛل ﻣﺷﺎھدة ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐــﯾر اﻟﻌﺷواﺋـﻲ ‪.X‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬اﻟﻘﯾم اﻟﻌددﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗوﺻف اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻟم‪.‬‬ ‫ﯾﮭﺗم اﻟﺑﺎﺣث ﺑﺎﻟوﺻول إﻟﻰ اﺳﺗﻧﺗﺎﺟﺎت ﺗﺧص ﻣﻌﺎﻟم اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ‪ ،‬وﻟﻛ ن ﻋ ﺎدة ﯾﻛ ون ﻣ ن اﻟﻣﺳ ﺗﺣﯾل أو‬ ‫ﻏﯾر ﻋﻣﻠﻲ ﻣﻼﺣظﺔ ﻛل ﻗﯾم اﻟﻔﺋﺔ اﻟﻣﻣﺛﻠﺔ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ‪ .‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻻﺑ د ﻣ ن اﻻﻋﺗﻣ ﺎد ﻋﻠ ﻰ ﻓﺋ ﺔ ﺟزﺋﯾ ﺔ ﻣ ن ﻗ ﯾم‬ ‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﺗﺳﺎﻋدﻧﺎ ﻓﻲ اﻟوﺻول إﻟ ﻰ اﺳ ﺗدﻻﻻت ﻋ ن اﻟﻣﻌ ﺎﻟم‪ ،‬وھ ذا ﯾﺄﺧ ذﻧﺎ إﻟ ﻰ ﻧظرﯾ ﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧ ﺔ ‪theory of‬‬ ‫‪. sampling‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ sample‬ھﻲ ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ‪.‬‬ ‫ﺣﺗﻰ ﯾﻛون اﻻﺳﺗدﻻل ﺻﺣﯾﺢ ﻻﺑد ﻣن ﻓﮭم اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ واﻟﻌﯾﻧﺔ‪ .‬ﻣ ن اﻟﻣؤﻛ د أن اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﺳ وف‬ ‫ﺗﻣﺛل اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟذﻟك ﻻﺑد أن ﺗﻛون ﻏﯾر ﻣﺗﺣﯾزة ‪ unbiased‬أي ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ‪. random sample‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬ھﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﺗﺧﺗﺎر ﺑﺣﯾث أن ﻛل ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﺣﺟﻣﮭﺎ ‪ n‬ﻣ ن ﻣﺷ ﺎھدات‬ ‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻓﻲ اﻻﺧﺗﯾﺎر‪.‬‬ ‫‪٩٩‬‬

‫)‪ (١٤-١‬اﻻﺳﺗدﻻل اﻻﺣﺻﺎﺋﻰ ‪Statisticsal Inference‬‬ ‫ﯾﻌﺗﺑ ر اﻻﺳ ﺗدﻻل اﻹﺣﺻ ﺎﺋﻲ ‪ statistical inference‬ﻓ رع ﻓ ﻲ ﻋﻠ م اﻹﺣﺻ ﺎء ﯾﮭ ﺗم ﺑط رق‬ ‫اﻻﺳﺗدﻻل أو اﻟﺗﻌﻣﯾم ﺑﺷﺎن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ وذﻟك ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﯾﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن ﻋﯾﻧ ﺎت ﻣﺧﺗ ﺎرة‬ ‫ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ‪ .‬وذﻟ ك ﺑﺎﻻﺳ ﺗدﻻل ﻋ ن ﻣﻌ ﺎﻟم ﻣﺟﺗﻣﻌ ﺎت ﻣﺟﮭوﻟ ﺔ ﻣﺛ ل اﻟﻣﺗوﺳ ط ‪ ،‬اﻟﻧﺳ ﺑﺔ ‪ ،‬اﻻﻧﺣ راف‬ ‫اﻟﻣﻌﯾﺎري ‪.‬‬ ‫ﯾﻧﻘﺳ م ﻓ رع اﻻﺳ ﺗدﻻل اﻹﺣﺻ ﺎﺋﻲ إﻟ ﻰ ﻓ رﻋﯾن أﺳﺎﺳ ﯾن ‪ :‬اﻟﺗﻘ دﯾر ‪ estimation‬واﺧﺗﺑ ﺎرات‬ ‫اﻟﻔ روض ‪ . tests of hypotheses‬اﻷﻣﺛﻠ ﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ ﺗوﺿ ﺢ اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن اﻟﻔ رﻋﯾن‪ .‬ﯾﻘ وم ﻣﺻ ﻧﻊ ﺑﺈﻧﺗ ﺎج‬ ‫ﻗﺿ ﺑﺎﻧﺎ ﺣدﯾدﯾ ﺔ ‪ ،‬ﻓ ﺈذا اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣﻛوﻧ ﮫ ﻣ ن ‪ 200‬ﻗﺿ ﯾب ﻣ ن إﻧﺗ ﺎج ھ ذا اﻟﻣﺻ ﻧﻊ وﻗﯾﺳ ت‬ ‫أطواﻟﮭﺎ وﺗم ﺣﺳﺎب ﻣﺗوﺳط ط ول اﻟﻘﺿ ﯾب ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ‪ .‬ھ ذا اﻟﻣﺗوﺳ ط ﯾﻣﻛ ن أن ﯾﺳ ﺗﺧدم ﻟﺗﻘ دﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ‬ ‫اﻟﺣﻘﯾﻘﯾ ﺔ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣ ﻊ ‪ . μ‬ھ ذه اﻟﻣﺷ ﻛﻠﺔ ﺗﻧﺗﻣ ﻲ إﻟ ﻰ ﻓ رع اﻟﺗﻘ دﯾر ‪ .‬اﻵن إذا ﻛ ﺎن ﻣﻌروﻓ ﺎ أن ﺟﺳ م اﻹﻧﺳ ﺎن‬ ‫اﻟﺑﺎﻟﻎ ﯾﺣﺗﺎج ﯾوﻣﯾﺎ ﻓﻲ اﻟﻣﺗوﺳط إﻟﻰ ‪ 800‬ﻣﻠﻠﯾﺟراﻣ ﺎت ﻣ ن اﻟﻛﺎﻟﺳ ﯾوم ﻟﻛ ﻲ ﯾﻘ وم ﺑوظﺎﺋﻔ ﮫ ﺧﯾ ر ﻗﯾ ﺎم‪ .‬ﯾﻌﺗﻘ د‬ ‫ﻋﻠﻣ ﺎء اﻟﺗﻐذﯾ ﺔ أن اﻷﻓ راد ذوى اﻟ دﺧل اﻟﻣ ﻧﺧﻔض ﻻ ﯾﺳ ﺗطﯾﻌون ﺗﺣﻘﯾ ق ھ ذا اﻟﻣﺗوﺳ ط ‪ .‬ﻻﺧﺗﺑ ﺎر ذﻟ ك‬ ‫اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن ‪ 50‬ﺷﺧﺻ ﺎ ﺑﺎﻟﻐ ﺎ ﻣ ن ﺑ ﯾن ذوى اﻟ دﺧل اﻟﻣ ﻧﺧﻔض وﺗ م ﺣﺳ ﺎب ﻣﺗوﺳ ط ﻣ ﺎ‬ ‫ﯾﺗﻧﺎوﻟوﻧﮫ ﻣن اﻟﻛﺎﻟﺳﯾوم ﯾوﻣﯾﺎ‪ .‬ﻓﻲ ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﻟم ﻧﺣﺎول ﺗﻘدﯾر ﻣﻌﻠﻣﺔ وﻟﻛن ﺑدﻻ ﻣن ذﻟك ﻧﺣ ﺎول اﻟوﺻ ول‬ ‫إﻟﻰ ﻗرار ﺻﺣﯾﺢ ﻋن اﻟﻔرض اﻟذي وﺿﻌﮫ ﻋﻠﻣﺎء اﻟﺗﻐذﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﺑﻔﺮض ان ھﻨﺎك ظﺎھﺮة ‪ X‬ﻓﺈن ﻣﻔﺮداﺗﮭﺎ ﺗﻜﻮن ﻣﺠﺘﻤﻌﺎ ﯾﻜ ﻮن ﻟ ﮫ ﺗﻮزﯾ ﻊ اﺣﺘﻤ ﺎﻟﻰ وﻟ ﯿﻜﻦ ‪f  x;‬‬ ‫ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬او ﻋﻠﻰ ﻋﺪة ﻣﻌﺎﻟﻢ ‪.‬ھ ﺬه اﻟﻤﻌ ﺎﻟﻢ ﺗﻜ ﻮن ﻣﺠﮭﻮﻟ ﺔ وﻧﺮﻏ ﺐ ﻓ ﻰ ﻋﻤ ﻞ ﺑﻌ ﺾ اﻻﺳ ﺘﺪﻻل‬ ‫اﻻﺣﺼﺎﺋﻰ ﺣﻮﻟﮭﺎ ‪.‬ﻣﻦ اﺟﻞ ذﻟﻚ ﻧﺨﺘﺎر ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺑﺴ ﯿﻄﺔ وﻟ ﺘﻜﻦ ‪    X1 ,X2 ,...,Xn ‬ﻣ ﻦ ﺑﯿﺎﻧ ﺎت‬ ‫اﻟﻤﺠﺘﻤﻊ‪ ،‬وﻋﺎدة ﯾﺘﻢ ﺗﻨﻈﯿﻢ وﺗﺼﻨﯿﻒ ﺑﯿﺎﻧﺎت اﻟﻌﯿﻨﺔ وﺣﺴﺎب ﺑﻌﺾ اﻟﻤﻘﺎﯾﯿﺲ ﻣﻨﮭﺎ ‪:‬‬ ‫اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪.‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪X‬‬

‫وﺗﺒﺎﯾﻦ اﻟﻌﯿﻨﺔ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫)‪ X‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ (X‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S ‬‬

‫اﻟﻤﻘﺎﯾﯿﺲ اﻟﺘﻰ ﺗﺤﺴﺐ ﻣﻦ ﺑﯿﺎﻧﺎت اﻟﻌﯿﻨﺔ ﺗﺴﻤﻰ اﺣﺼﺎءات ‪ Statistics‬اى ان اﻻﺣﺼﺎء ‪ T‬ﻋﺒﺎرة‬ ‫ﻋﻦ داﻟﺔ ﻓﻰ ﺑﯿﺎﻧﺎت اﻟﻌﯿﻨﺔ اى ان ‪:‬‬

‫‪T    X     X1,X2 ,...,Xn  .‬‬

‫‪١٠٠‬‬

‫وھﻮ ﻓﻰ ﺣﺪ ذاﺗﮫ ﻻ ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﻟﻢ اﻟﺘﻮزﯾﻊ وھﻮ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ﻻﻧﮫ ﯾﺘﻐﯿﺮ ﻣﻊ ﺗﻐﯿﺮ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻟﺬا‬ ‫ﻓﺈﻧﮫ ﻟﮫ ﺗﻮزﯾﻊ اﺣﺘﻤﺎﻟﻰ ﯾﺴﻤﻰ ﺗﻮزﯾﻊ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨ ﺔ وﺗﻮزﯾ ﻊ اﻻﺣﺼ ﺎء ‪ T‬ﯾﻌﺘﻤ ﺪ ﻋﻠ ﻰ ﻣﻌ ﺎﻟﻢ اﻟﺘﻮزﯾ ﻊ ‪. f  x;‬‬ ‫ﺳﻮف ﻧﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺗﻮزﯾ ﻊ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨ ﺔ ﻟﻼﺣﺼ ﺎء اﻟ ﺬى ﻧﺴ ﺘﺨﺪﻣﮫ ﻟﯿﻤ ﺪﻧﺎ ﺑﻤﻘﯿ ﺎس ﻟﺪرﺟ ﺔ اﻟﺜﻘ ﺔ ﻓ ﻲ اﻟﻘ ﺮار اﻟ ﺬي‬ ‫ﻧﺘﺨ ﺬه ﻓ ﻰ اى ﻣﺸ ﻜﻠﺔ ﺗﺨ ﺺ اﻻﺳ ﺘﺪﻻل اﻟﺤﺼ ﺎﺋﻰ‪ .‬ﯾﻨﻘﺴ ﻢ اﻻﺳ ﺘﺪﻻل اﻻﺣﺼ ﺎﺋﻰ اﻟ ﻰ اﻟﺘﻘ ﺪﯾﺮ واﺧﺘﺒ ﺎرات‬ ‫اﻟﻔﺮوض‪.‬‬

‫)‪ (١-١٤-١‬اﻟﺗﻘدﯾر‬

‫ﯾﺗم ﺗﻘدﯾر ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ إﻣ ﺎ ﻛﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ‪ point estimate‬أو ﻛﺗﻘ دﯾر ﺑﻔﺗ رة ‪interval‬‬ ‫‪ . estimate‬ﺗﻘدﯾر اﻟﻧﻘط ﺔ ﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣ ﺎ ‪ ‬ھ ﻲ ﻗﯾﻣ ﺔ وﺣﯾ دة ) ﻣﻔ ردة ( ˆ‪ θ‬ﻟﻺﺣﺻ ﺎء ‪ . T‬ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﻘﯾﻣ ﺔ ‪ x‬ﻟﻺﺣﺻ ﺎء ‪ ، X‬واﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﻣ ن ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ ، n‬ھ ﻲ ﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ pˆ ‬ھﻲ ﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ‪ p‬واﻟﺗ ﻲ ﺗﻣﺛ ل ﻧﺳ ﺑﺔ ﺻ ﻔﺔ‬ ‫ﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ‪ . ‬ﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ‪،‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻣ ﺎ ﻓ ﻲ ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ‪ .‬اﻹﺣﺻ ﺎء اﻟﻣﺳ ﺗﺧدم ﻹﯾﺟ ﺎد ﺗﻘ دﯾر اﻟﻧﻘط ﺔ ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﻣﻘ در ‪ estimator‬أو داﻟ ﺔ اﻟﻘ رار‬ ‫‪ .decision function‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل داﻟﺔ اﻟﻘرار ‪ ، X‬واﻟﺗ ﻲ ﺗﻛ ون داﻟ ﺔ ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ ‪،‬‬ ‫ھﻲ ﻣﻘدر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ . x‬ﻋﯾﻧﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﺗؤدى إﻟﻰ ﺗﻘدﯾرات ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ‪.‬‬ ‫أي ﺗﻘ دﯾر ﺑﻔﺗ رة ﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ ‪ ‬ھ و ﻓﺗ رة ﻋﻠ ﻰ اﻟﺷ ﻛل ‪ a    b‬ﺣﯾ ث ‪ a , b‬ﺗﻌﺗﻣ دان ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗﻘ دﯾر‬ ‫ﺑﻧﻘط ﺔ ˆ‪ ‬ﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﺧﺎﺻ ﺔ ﻣﺧﺗ ﺎرة ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣوﺿ ﻊ اﻟدراﺳ ﺔ وأﯾﺿ ﺎ ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﻌﯾﻧ ﻲ‬ ‫ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ . T‬ﻋﻠﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل إذا اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﺗﻣﺛ ل درﺟ ﺎت اﻟﺗﺣﺻ ﯾل ﻓ ﻲ اﻣﺗﺣ ﺎن اﻟﻘﺑ ول‬ ‫ﻟﺧﻣﺳﯾن طﺎﻟﺑﺎ ﻣن اﻟﻣﺗﻘدﻣﯾن ﻟﻼﻟﺗﺣﺎق ﻓﻲ ﻛﻠﯾﺔ ﻣﺎ وﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺗ رة ‪ 500 , 550‬واﻟﺗ ﻲ ﻧﺗوﻗ ﻊ أن‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳ ط اﻟﺣﻘﯾﻘ ﻲ ﻟ درﺟﺎت اﻟﺗﺣﺻ ﯾل داﺧﻠﮭ ﺎ ‪ .‬اﻟﻘﯾﻣﺗ ﺎن اﻟﻧﮭﺎﺋﯾﺗ ﺎن ‪ 500‬و ‪ 550‬ﺳ وف ﺗﻌﺗﻣ دان ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ‪ x‬وأﯾﺿﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻲ ‪ . X‬ﻋﯾﻧﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﺗ ؤدى إﻟ ﻰ ﻗ ﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻟ ـ ˆ‪‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ إﻟ ﻰ ﺗﻘ دﯾرات ﺑﻔﺗ رة ﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ‪ . ‬ﺑﻌ ض ھ ذه اﻟﻔﺗ رات ﺳ وف ﺗﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ‪ ‬واﻟ ﺑﻌض‬ ‫اﻵﺧ ر ﻻ ﯾﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ‪ . ‬اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﻌﯾﻧ ﻲ ﻟﻺﺣﺻ ﺎء ‪ T‬ﺳ وف ﯾﺳ ﺎﻋدﻧﺎ ﻓ ﻲ إﯾﺟ ﺎد ‪ a , b‬ﻟﻛ ل اﻟﻌﯾﻧ ﺎت‬ ‫اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﺑﺣﯾ ث أن أي ﻧﺳ ﺑﺔ ﺧﺎﺻ ﺔ ﻣ ن ھ ذه اﻟﻔﺗ رات ﺳ وف ﺗﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ‪ . ‬ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ‪ ،‬ﯾ ﺗم‬ ‫ﺣﺳﺎب ‪ a , b‬ﺑﺣﯾث ﺗﻛون ‪ 0. 95‬ﻣن ﻛل اﻟﻔﺗرات اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ‪ ،‬ﻣﻊ ﺗﻛ رار اﻟﻣﻌﺎﯾﻧ ﺔ ‪ ،‬ﺳ وف ﺗﺣﺗ وي ﻋﻠ ﻰ ‪θ‬‬ ‫‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻛ ون ﻟ دﯾﻧﺎ اﺣﺗﻣ ﺎل ‪ 0.95‬ﻻﺧﺗﯾ ﺎر واﺣ دة ﻣ ن ھ ذه اﻟﻌﯾﻧ ﺎت واﻟﺗ ﻲ ﺗ ؤدى إﻟ ﻰ ﻓﺗ رة ﺗﺣﺗ وي‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ .‬ھذه اﻟﻔﺗ رة اﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﻣ ن ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ‪ ،‬ﺗﺳ ﻣﻲ ‪ 95%‬ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ‪. confidence interval‬‬ ‫ﺑﻣﻌﻧﻰ آﺧر ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ‪ 95%‬ﺛﻘﺔ أن ﻓﺗرﺗﻧﺎ اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ . θ‬ﻋﻣوﻣﺎ ﺗوزﯾ ﻊ ‪ T‬ﺳ وف‬ ‫ﯾﺳ ﺎﻋدﻧﺎ ﻓ ﻲ ﺣﺳ ﺎب ‪ a , b‬ﺑﺣﯾ ث ﯾﻛ ون ﻷي ﻧﺳ ﺑﮫ ﺧﺎﺻ ﺔ ‪ ، 0 < α < 1 , 1 α‬ﻣ ن اﻟﻔﺗ رات اﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ‬ ‫ﻣن ﻛل اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﺳوف ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ . ‬اﻟﻔﺗرة اﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﺗﺳ ﻣﻰ ‪ (1 α)100%‬ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ‬ ‫ﻟﻠﻣﻌﻠﻣ ﺔ ‪ . θ‬ﺗﻌﺗﺑ ر ﻓﺗ رة اﻟﺛﻘ ﺔ اﻷط ول ‪ ،‬ھ ﻲ اﻷﻛﺛ ر ﺛﻘ ﺔ ﻓ ﻲ اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﻓﺗ رة ﺗﺣﺗ وي ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ‬ ‫اﻟﻣﺟﮭوﻟﺔ ‪ .‬ﺑﺎﻟطﺑﻊ ﯾﻛون ﻣن اﻷﻓﺿل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ أن ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﻣر ﻟﻧوع ﻣﻌﯾن ﻣن‬ ‫اﻟﺑطﺎرﯾﺎت ﯾﻧﺣﺻر ﺑ ﯾن ‪ 8‬و ‪ 5‬أﺳ ﺎﺑﯾﻊ ﻋ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ‪ 99%‬ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ أن ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻌﻣ ر‬ ‫ﯾﻧﺣﺻر ﺑﯾن ‪ 11‬و ‪ 2‬أﺳﺑوﻋﺎ ‪ .‬داﺋﻣﺎ ﯾﻔﺿل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻓﺗرة ﻗﺻﯾرة ﺑدرﺟﺔ ﻋﺎﻟﯾﺔ ﻣن اﻟﺛﻘﺔ ‪.‬‬ ‫‪١٠١‬‬

‫)‪ (٢-١٤-١‬اﻟﻔروض اﻻﺣﺻﺎﺋﯾﺔ‬ ‫ﺗﻌﺗﺑر اﺧﺗﺑﺎرات اﻟﻔروض اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ أھم ﻓرع ﻓﻲ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻘ رارات‪ ،‬أوﻻ‪ ،‬دﻋﻧ ﺎ ﻧﻌ رف ﺑدﻗ ﺔ ﻣ ﺎذا ﻧﻌﻧ ﻲ‬ ‫ﺑﺎﻟﻔرض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟﻔرض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ ھو ﺟﻣﻠﺔ ﻣﺎ ﺗﺧص واﺣد أو أﻛﺛر ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت‪ ،‬ﻣن اﻟﻣﻣﻛن أن ﺗﻛون‬ ‫ﺻﺣﯾﺣﺔ أو ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺣﺔ‪.‬‬ ‫ﻟﻠﺗﺄﻛد ﻣن ﺻﺣﺔ أو ﻋدم ﺻﺣﺔ اﻟﻔرض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ ﻻ ﺑد ﻣن دراﺳﺔ ﻛل ﻣﻔردات اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺣت اﻟدراﺳﺔ‬ ‫وھذا ﺑﺎﻟطﺑﻊ ﻏﯾر ﻋﻣﻠﻲ ﻓﻲ ﻣﻌظم اﻟﺣﺎﻻت‪ .‬ﺑدﻻ ﻣن ذﻟك ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ وﻧﺳﺗﺧدم‬ ‫اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻧﺗﺧذ ﻗرار ﺑﻘﺑول أو رﻓض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ‪ .‬اﻟﻘرار اﻟذي ﻧﺗﺧذه ﺳوف ﯾﻛون‬ ‫ﺳﻠﯾم إذا ﻛﺎن اﻟﻔرض ﺻﺣﯾﺢ وﺗم ﻗﺑوﻟﮫ أو ﺧطﺄ وﺗم رﻓﺿﮫ‪ .‬ﺑﯾﻧﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﻘرار ﻏﯾر ﺳﻠﯾم إذا ﻛﺎن اﻟﻔرض‬ ‫ﺻﺣﯾﺢ وﺗم رﻓﺿﮫ أو ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺢ وﺗم ﻗﺑوﻟﮫ‪.‬‬ ‫اﻟﻔروض اﻟﺗﻲ ﻧﺿﻌﮭﺎ ﻋﻠﻰ أﻣل أن ﻧرﻓﺿﮭﺎ ﺗﺳﻣﻰ ﻓروض اﻟﻌدم ‪ .null hypotheses‬وﯾرﻣز ﻟﻔرض‬ ‫اﻟﻌدم ﺑﺎﻟرﻣز ‪ .  0‬رﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ﯾؤدي إﻟﻰ ﻗﺑول ﻓرض ﺑدﯾل ‪ hypothesis alternative‬وﯾرﻣز‬ ‫ﻟﻠﻔرض اﻟﺑدﯾل ﺑﺎﻟرﻣز ‪ . 1‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎن ﻓرض اﻟﻌدم ‪  0‬أن ﻣﺗوﺳط اﻟطول ﻓﻲ ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ‬ ‫‪)   160‬ﻣﻘﺎﺳﮫ ﺑﺎﻟﺳﻧﺗﯾﻣﺗر( ﻓﺈن اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ 1‬ﻗد ﯾﻛون ‪   160‬أو ‪   160‬أو ‪.   160‬‬

‫)‪ (١٥-١‬اﻻﺣﺻﺎء اﻟﻐﯾر ﻣﺗﺣﯾز‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ T‬ﻣﻘدر ﺣﯾث اﻟﻘﯾﻣﺔ ˆ‪ ‬ھﻲ ﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣﺟﮭوﻟ ﺔ ‪ . ‬ﻣ ن اﻟﻣؤﻛ د أﻧﻧ ﺎ‬ ‫ﻧرﻏب ﻓﻲ إﯾﺟﺎد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻲ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ T‬واﻟذي ﻣﺗوﺳطﺔ ﯾﺳﺎوى اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺗﻲ ﻧرﻏب ﻓﻲ ﺗﻘ دﯾرھﺎ‪.‬‬ ‫أي ﻣﻘدر ﯾﺣﻘق ھذه اﻟﺧﺎﺻﯾﺔ ﯾﺳﻣﻲ ﻣﻘدر ﻏﯾر ﻣﺗﺣﯾز ‪. unbiased estimator‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﯾﻘﺎل ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ T‬أﻧﮫ ﻣﻘدر ﻏﯾر ﻣﺗﺣﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬إذا ﻛﺎن ‪. E  T   ‬‬

‫)‪ (١٦-١‬اﻻﺣﺻﺎء اﻟﻛﺎﻓﻰ‬

‫‪١٠٢‬‬

‫(‪ :‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪    X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﻣﺠﺘﻤﻊ ﯾﺘﺒﻊ ﺗﻮزﯾﻊ اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ‬ ‫‪ f  x;‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻘﺎل أن اﻹﺣﺼﺎء ‪ T    X ‬إﺣﺼﺎء ﻛﺎﻓﯿﺎ ً إذا و ﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎن اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺸﺮوط‬ ‫ﻟﻠﻌﯿﻨﺔ ‪    X1,X2 ,...,Xn ‬ﺑﺸﺮط أو ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ ‪ T  t‬ﻻ ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ‪ ‬و ذﻟﻚ ﻷي ﻗﯿﻤﺔ ‪ t‬ﻣﻦ‬ ‫ﻗﯿﻢ ‪ ، T‬أي إذا ﻛﺎن‪:‬‬ ‫‪f  x t   f  x1 , x 2 ,...., x n T  t ‬‬ ‫‪g  x, t;  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪h  t;  ‬‬

‫‪‬‬

‫ﻻ ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ‪ ‬ﺣﯿﺚ أن‪:‬‬ ‫ ‪ h  t; ‬ﺗﻮزﯾﻊ اﻹﺣﺼﺎء ‪. T‬‬‫ ‪ f  x t   f  x1 , x 2 ,...., x n T  t ‬اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺸﺮوط ﻟﻠﻌﯿﻨﺔ ‪ X‬ﺑﺸﺮط ‪. t‬‬‫ ‪ g  x, t;‬اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺸﺘﺮك ﻟﻠﻌﯿﻨﺔ ‪ X‬و اﻹﺣﺼﺎء ‪T‬‬‫ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻞ ‪:‬‬ ‫(‪:‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪    X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﻣﺠﺘﻤﻊ ﯾﺘﺒﻊ ﺗﻮزﯾﻊ اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ‬ ‫‪ f  x;‬وﻛﺎن ﻣﺪى ﺗﻐﯿﺮ ‪ X‬ﻻ ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ‪ ‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻘﺎل أن اﻹﺣﺼﺎء ‪ T    X ‬إﺣﺼﺎء ﻛﺎﻓﯿﺎ ً‬ ‫إذا و ﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎن ﻣﻦ اﻟﻤﻤﻜﻦ ﺗﺤﻠﯿﻞ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻟﻠﻌﯿﻨﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة ‪:‬‬ ‫‪f  x;   k(t; )N(x).‬‬

‫ﺑﺤﯿﺚ ان )‪ N(x‬داﻟﺔ ﻟﯿﺴﺖ ﺳﺎﻟﺒﺔ وﻻ ﺗﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ ‪ ‬و )‪ k(t; ‬داﻟﺔ ﻟﯿﺴﺖ ﺳﺎﻟﺒﺔ وﺗﻌﺘﻤﺪ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ ‬وﻋﻠﻰ اﻟﻌﯿﻨﺔ ‪ x‬ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﺪاﻟﺔ )‪ t  (x‬ﻓﻘﻂ‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ T‬اﺣﺼﺎءا ﻛﺎﻓﯿﺎ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬وﻛﺎن )‪ u(T‬داﻟﺔ وﺣﯿﺪة اﻟﺘﻨﺎظﺮ ﻓﻰ ‪ T‬ﻓﺘﻜﻮن‬ ‫)‪ u(T‬ھﻰ اﻻﺧﺮى اﺣﺼﺎءا ﻛﺎﻓﯿﺎ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬وﻟﻠﺪاﻟﺔ )‪. u(‬‬ ‫)‪ (١٧-١‬اﻟﻌﺎﺋﻠـــﺔ اﻻﺳـــﯾﺔ واﻻﺣﺻـــﺎءات اﻟﻛﺎﻓﯾـــﺔ‬ ‫‪Sufficient Statistics‬‬ ‫‪ponential family and Sufficient Statistics:‬‬ ‫ﻛﺜﯿﺮ ﻣﻦ اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ ذات اﻟﻤﻌﻠﻤﺔ اﻟﻮاﺣﺪة ﯾﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة ‪:‬‬ ‫‪and‬‬

‫‪Family‬‬

‫‪Exponential‬‬

‫‪f  x;    exp a     b  x   c    d  x .‬‬

‫و اﻟﺘﻲ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻷﺳﯿﺔ ﺑﻤﻌﻠﻤﺔ واﺣﺪة ‪one parameter exponential family‬‬ ‫ﺣﯿﺚ‪:‬‬ ‫‪ a   ‬داﻟﺔ ﻓﻲ ‪ ‬ﻓﻘﻂ‪.‬‬ ‫‪ b  x ‬داﻟﺔ ﻓﻲ ‪ x‬ﻓﻘﻂ‬ ‫‪ c   ‬داﻟﺔ ﻓﻲ ‪ ‬ﻓﻘﻂ‪.‬‬ ‫‪١٠٣‬‬

‫‪ d  x ‬داﻟﺔ ﻓﻲ ‪ x‬ﻓﻘﻂ‬ ‫ﻓﺈذا أﻣﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ أو داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ ﻷي ﺗﻮزﯾﻊ اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة‬ ‫اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﯿ ُﻘﺎل أن ھﺬا اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻓﺮد أو ﻋﻀﻮ ﻓﻲ اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻷﺳﯿﺔ ذات اﻟﻤﻌﻠﻤﺔ اﻟﻮاﺣﺪة‪.‬‬ ‫و إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪    X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺨﺘﺎرة ﻣﻦ ﻣﺠﺘﻤﻊ ﺗﻮزﯾﻌﮫ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻋﻀﻮ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻷﺳﯿﺔ ﻓﺈن اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺸﺘﺮك ﻟﮭﺬه اﻟﻌﯿﻨﺔ ھﻮ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪f  x;     f  x i ;  ‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪ exp  na     b  x i   c    d  x i  ‬‬ ‫‪ exp  na     c    d  x i   exp b  x i  .‬‬

‫و ﻣﻦ ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻞ ﻧﺠﺪ أن ‪ T  d  xi ‬إﺣﺼﺎء ﻛﺎﻓﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪. ‬‬ ‫)‪ (١٨-١‬داﻟﺔ اﻻﻣﻛﺎن ‪Likelihood Function‬‬ ‫‪Likelihood function‬‬ ‫داﻟﺔ اﻹﻣﻜﻦ‬ ‫ﻣﻦ اﻟﻤﻌﻠﻮم أﻧﮫ إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪  X1,X 2 ,...,Xn ‬ﻣﺘﻐﯿﺮات ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻓﺈن ﺗﻮزﯾﻌﮭﺎ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﺮك ﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪. f  x1,x 2 ,...,x n ;‬‬ ‫و إذا اﻋﺘﺒﺮ ھﺬا اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻛﺪاﻟﺔ ﻓﻲ ‪ ‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن و ﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪. L  L  x; ‬‬ ‫أي أن‪:‬‬ ‫‪L  L  x;   f  x;   f  x1, x 2 ,...,x n ; ‬‬

‫و إذا ﻛﺎﻧﺖ ھﺬه اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ و ﯾﺘﺒﻊ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻧﻔﺴﮫ‪ ،‬أي إذا ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺨﺘﺎرة ﻣﻦ ﻣﺠﺘﻤﻊ ﯾﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ‪ f  x;‬ﻓﺈن‬ ‫اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺸﺘﺮك ﻟﻠﻌﯿﻨﺔ ﯾﻜﻮن ‪:‬‬

‫‪n‬‬

‫‪f  x;    f  x1 , x 2 ,..., x n ;     f  x i ;  ‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫و ھﻲ ﻛﺪاﻟﺔ ﻓﻲ ‪ ‬ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن‪ ،‬أي أن‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪L  L  x;     f  x i ,   .‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫اى اﻧﮫ ﻟﻘﯿﻤﺔ ﻣﻌﯿﻨﺔ ‪  x1 ,x 2 ,...,x n ‬ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮات ‪ X1 ,X 2 ,..., Xn‬ﻓﺈن ‪ L  x;‬ﺗﺼﺒﺢ داﻟﺔ ﻓﻲ ‪‬‬

‫ﻓﻘﻂ‪.‬‬ ‫‪١٠٤‬‬

‫)‪ (١٩-١‬اﻟﻛﻔﺎءة ‪Efficiency‬‬ ‫إذا ﻛــﺎن ﻟــدﯾﻧﺎ ﻣﺗﻐﯾ ـ ار ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎ ‪ X‬ﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻰ ‪ f  x;‬ﯾﻌﺗﻣــد ﻋﻠــﻰ ﻣﻌﻠﻣــﺔ واﺣــدة ‪ ‬وﯾﺣﻘــق ﺑﻌــض‬ ‫اﻟﺷروط اﻟﺗﻰ ﺗﺳﻣﻰ ﺷروط اﻻﻧﺗظﺎم ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪ d 2 ln f (x; ) ‬‬ ‫‪I x ()  I ()  E  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺗﺳــﻣﻰ ﻣﻌﻠوﻣــﺎت ﻓﯾﺷــر وﺗﻣﺛــل ﻛﻣﯾــﺔ اﻟﻣﻌﻠوﻣــﺎت اﻟﺗــﻰ ﺗﻌطﯾﻬــﺎ اﻟﻘ ـراءة ‪ x‬ﺣــول ‪ . ‬ﻛﻣــﺎ اﻧــﻪ اذا ﻛــﺎن ﻟــدﯾﻧﺎ‬

‫ﻋﯾﻧـ ــﺔ ﻋﺷ ـ ـواﺋﯾﺔ ‪ X  X1 ,X 2 ,..., X n‬ﺗـ ــوزﯾﻌﻬم اﻟﻣﺷـ ــﺗرك ﻫـ ــو ‪ f  x;‬ﯾﻌﺗﻣـ ــد ﻋﻠـ ــﻰ ﻣﻌﻠﻣـ ــﺔ واﺣـ ــدة ‪‬‬ ‫وﯾﺣﻘق ﺑﻌض اﻟﺷروط اﻟﺗﻰ ﺗﺳﻣﻰ ﺷروط اﻻﻧﺗظﺎم ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪ d 2 ln L ‬‬ ‫‪I x ()  I n ()  E  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ d ‬‬ ‫ﺗﺳﻣﻰ ﺗﻣﺛل ﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﯾﻬﺎ اﻟﻣﺷﺎﻫدات ‪ x  x1 ,x 2 ,..., x n‬ﺣول ‪ . ‬ﻛﻣﺎ ان ‪:‬‬

‫‪I x ()  I n ()  nI x ()  nI ().‬‬

‫ﺗﻌرﯾ ف ‪ :‬إذا ﻛ ﺎن ‪ T1 , T2‬ﻣﻘ دران ﻏﯾ ر ﻣﺗﺣﯾ زان ﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ‪ ‬ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺧﺗ ﺎر اﻟﻣﻘ در اﻟ ذي ﺗوزﯾﻌ ﮫ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﮫ أﻗل ﺗﺑﺎﯾن ‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك إذا ﻛﺎن ‪ ، 2  2‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘول أن ‪ T1‬ﻣﻘدرا أﻛﺛر ﻛﻔﺎءة ﻣن ‪. T2‬‬ ‫‪T2‬‬

‫‪T1‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻋﺗﺑر ﻛل اﻟﻣﻘدرات اﻟﻐﯾر ﻣﺗﺣﯾزة ﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ . ‬ﯾﺳﻣﻲ اﻟﻣﻘدر اﻟذي ﻟﮫ أﻗل ﺗﺑﺎﯾن ﺑﺎﻟﻣﻘدر اﻷﻛﺛر‬ ‫ﻛﻔﺎءة ‪ more efficient‬ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪. ‬‬ ‫اﻟﻛﻔﺎءة اﻟﻧﺳﺑﯾﺔ ﻟﻠﻣﻘدر ‪ T1‬ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﻣﻘدر ‪ T2‬ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫) ‪Var(T1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪Var(T2‬‬

‫‪ef ‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧــت ‪ X  X1 ,X 2 ,..., X n‬ﻋﯾﻧــﺔ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗــﺎرة ﻣــن ﺗوزﯾــﻊ اﺣﺗﻣــﺎﻟﻰ ‪ f  x;‬وﻛــﺎن )‪T*  (x‬‬ ‫اﺣﺻﺎء ﯾﺗوﻓر ﻓﯾﻪ اﻟﺻﻔﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪١٠٥‬‬

‫)ا( ﻣﻘدر ﻏﯾر ﻣﺗﺣﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ )‪. u(‬‬ ‫)ب( ﻟﻪ اﻗل ﺗﺑﺎﯾن ﻣن ﺑﯾن اﻟﻣﻘدرات اﻟﻐﯾر ﻣﺗﺣﯾزة ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ )‪. u(‬‬

‫ﻓﯾﻘ ــﺎل ان *‪ T‬ﻣﻘ ــد ار ﻏﯾ ــر ﻣﺗﺣﯾ ــز ﺑﺎﻗ ــل ﺗﺑ ــﺎﯾن ‪(MVUE) Minimum Variance Unbiase Estimator‬‬

‫وﻋﻧدﺋذن ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ d ln L)  nI x (‬‬ ‫‪E ‬‬ ‫‪d2 ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪Var(T) ‬‬

‫ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻹﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻲ ﻋدة ﻣﻌﺎﻟم ‪ ،‬أي إذا ﻛﺎﻧت‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﺗﺟﻪ ﻣن اﻟﻣﻌﺎﻟم ﺑﻣﻌﻧﻰ أن ‪    1, 2 ,..., k ‬وﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر ﯾﺗم‬

‫ﺣﺳﺎب اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ )‪ I()  Ix (‬ﺣﯾث اﻟﻌﻧﺻر ﻓﻰ اﻟﺻف ‪ i‬واﻟﻌﻣود ‪ j‬ﻫو‪:‬‬ ‫‪  2 ln f  x;   ‬‬ ‫‪ I()ij  E ‬‬ ‫‪ ,i, j  1,2,...k.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﯾﻬﺎ اﻟﻣﺷﺎﻫدات ‪ x  x1 ,x 2 ,..., x n‬ﺣول ‪ ‬ﻫﻰ ‪:‬‬

‫)‪I x ()  In ()  nIx ()  nI (‬‬ ‫ﻧظرﯾ ﺔ‪ ) :‬راووﺑﻼﻛوﯾــل ‪ ( Rao-Blackwell‬ﻛﺎﻧــت ‪ X  X1 ,X 2 ,..., X n‬ﻋﯾﻧـﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗــﺎرة ﻣــن ﺗوزﯾــﻊ‬

‫اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ‪ f  x;‬وﻛﺎن )‪ S   (x‬اﺣﺻـﺎء ﻛـﺎﻓﻰ وﻛـﺎن )‪ T  (x‬ﻣﻘـدر ﻏﯾـر ﻣﺗﺣﯾـز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣـﺔ )‪u(‬‬ ‫ٕواذا ﻛﺎن ‪:‬‬ ‫)‪ T*  E(T | S‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)ا( *‪ T‬ﯾﻛون اﺣﺻﺎء وداﻟﺔ ﻓﻰ اﻻﺣﺻﺎء اﻟﻛﺎﻓﻰ ‪. S‬‬ ‫)ب( *‪ T‬ﻣﻘدر ﻏﯾر ﻣﺗﺣﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ )‪. u(‬‬

‫)ج( )‪ Var(T* )  Var(T‬ﻟﻛــل ﻗــﯾم ‪ ، ‬ﻛﻣــﺎ ان )‪ Var(T* )  Var(T‬ﻟــﺑﻌض ﻗــﯾم ‪ ‬اﻻ إذا ﻛــﺎن *‪T‬‬

‫ﯾﺳﺎوى ‪ T‬ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل واﺣد ‪.‬‬

‫)‪ (٢٠-١‬ﻣﺗوﺳط ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺎ ‪Mean – Square- Error‬‬ ‫ﯾُﻌﺘﺒﺮ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺨﻄﺄ ﻣﻘﯿﺎس ﻟﺠﻮدة اﻟﻤﻘﺪر ‪ T    x1 ,x 2 ,...,x n ‬ﻟﺪاﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻤﺔ ‪‬‬

‫أي ‪. u   ‬‬

‫‪١٠٦‬‬

‫‪2‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﺗﺮﻟﯿﻜﻦ ‪ T    X1 ,X 2 ,...,Xn ‬ﻣﻘﺪر ﻟﺪاﻟﺔ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻤﺔ ‪ u   ‬ﻓﺈن ‪E  T  u    ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ھﻮ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺮﺑﻊ ﻟﺨﻄﺄ ﻟﻠﻤﻘﺪر ‪ . T‬إذا ﻛﺎن اﻟﻤﻘﺪر ‪ T‬ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺤﯿﺰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪u   ‬‬ ‫ﻓﺈن ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺨﻄﺄ ﻟﻠﻤﻘﺪر ‪ T‬ﯾﺼﺒﺢ ﺗﺒﺎﯾﻦ ‪. T‬‬

‫)‪ (٢١-١‬اﻻﺣﺻﺎءات اﻟﺗرﺗﯾﺑﯾﺔ‬ ‫اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ ھﻲ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻋﯿﻨﮫ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺮﺗﺒﮫ ﻣﻦ اﻷﺻﻐﺮ إﻟﻰ اﻷﻛﺒﺮ‪ ،‬وﻟﻘﺪ زادت أھﻤﯿﺘﮭﺎ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺴﻨﻮات اﻷﺧﯿﺮة ﻧﺘﯿﺠﺔ ﻟﺰﯾﺎدة اﺳﺘﺨﺪام اﻻﺳﺘﺪﻻل اﻟﻼﻣﻌﻠﻤﻲ‪ .‬وﻗﺪ اﻛﺘﺴﺒﺖ ﺷﮭﺮﺗﮭﺎ ﻧﺘﯿﺠﺔ ﻻﺳﺘﺨﺪاﻣﮭﺎ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ أﻓﻀﻞ إﺣﺼﺎء ﺑﺴﯿﻂ ﻣﺜﻞ وﺳﯿﻂ اﻟﻌﯿﻨﺔ وﻣﺪى اﻟﻌﯿﻨﺔ إﻟﻰ ﺟﺎﻧﺐ أﻣﻮر أﺧﺮى‪.‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ X1,X 2 ,,X n‬ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺠﻢ ‪ n‬ﻣﺨﺘﺎرة ﻣﻦ ﺗﻮزﯾﻊ اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻣﺘﺼﻞ وﻟﮫ‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ )‪ f (x‬ﻓﺈن اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ‪:‬‬ ‫‪Y1  Y2  ...  Yn ,‬‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻌﯿﻨﺔ ﺣﯿﺚ‪:‬‬ ‫‪Y1  Smallest of X1 ,X 2 ,..., X n ,‬‬

‫‪Y2  Second of X1 ,X 2 ,...,X n ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Yn  Largest of X1 ,X 2 ,...,X n ,‬‬ ‫ﻋﻤﻮﻣﺎ ‪ (r  1, 2,,n) Yr‬ﯾﺴﻤﻰ اﻹﺣﺼﺎء اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﻲ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ ‪ r‬ﻟﻠﻌﯿﻨﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ ‪X1,X 2 ,,X n‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت ‪ X  X1 ,X 2 ,..., X n‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ‪ f  x;‬ﻓﺈن داﻟﺔ‬ ‫ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ ‪ Y1  Y2  ...  Yn‬ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪n!f (y1 )f (y2 )...f (yn ) , a  y1  y 2  ...  y n  b,‬‬ ‫‪g(y1 , y2 ,..., y n )  ‬‬ ‫‪, (elsewhere) e.w.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺣﯿﺚ ‪. b   ,a  ‬‬

‫ﻧظرﯾ ﺔ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧ ﺖ ‪ X1,X2 ,,Xn‬ﻋﻨﺎﺻ ﺮ ﻋﯿﻨ ﺔ ﻋﺸ ﻮاﺋﯿﺔ ﻣ ﻦ اﻟﺤﺠ ﻢ ‪ n‬ﻣﺴ ﺤﻮﺑﺔ ﻣ ﻦ ﺗﻮزﯾ ﻊ‬ ‫اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻣﺘﺼﻞ وﻟﮫ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ )‪f (x‬‬ ‫وﻛﺎﻧ ﺖ اﻟﻤﺘﻐﯿ ﺮات اﻟﻌﺸ ﻮاﺋﯿﺔ ‪ Y1  Y2  ...  Yn‬ﺗﻤﺜ ﻞ اﻹﺣﺼ ﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿ ﺔ ﻟﺘﻠ ﻚ اﻟﻌﯿﻨ ﺔ‪.‬‬ ‫ﻋﻨﺪھﺎ ﻓﺈن ‪ Yn‬اﻹﺣﺼﺎء اﻷﻛﺒﺮ وﻟﮫ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﮭﺎﻣﺸﯿﺔ‪:‬‬

‫‪١٠٧‬‬

‫‪ n f (y n )  F(y n ) n 1 , a  y n  b,‬‬ ‫‪g n (y n )  ‬‬ ‫‪, e.w.‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧ ﺖ ‪ X1,X2 ,,Xn‬ﻋﻨﺎﺻ ﺮ ﻋﯿﻨ ﺔ ﻋﺸ ﻮاﺋﯿﺔ ﻣ ﻦ اﻟﺤﺠ ﻢ ‪ n‬ﻣﺴ ﺤﻮﺑﺔ ﻣ ﻦ ﺗﻮزﯾ ﻊ‬ ‫اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻣﺘﺼﻞ وﻟﮫ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ )‪ f (x‬وﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ‬ ‫‪ Y1  Y2  ...  Yn‬اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻌﯿﻨﺔ‪ .‬ﻋﻨ ﺪھﺎ ﻓ ﺈن ‪ Y1‬اﻹﺣﺼ ﺎء اﻷﺻ ﻐﺮ وﻟ ﮫ‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﮭﺎﻣﺸﯿﺔ‪:‬‬ ‫‪n f (y1 ) 1  F(y1 ) n 1 , a  y1  b,‬‬ ‫‪g1 (y1 )  ‬‬ ‫‪, e.w.‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧ ﺖ ‪ X1,X2 ,,Xn‬ﻋﻨﺎﺻ ﺮ ﻋﯿﻨ ﺔ ﻋﺸ ﻮاﺋﯿﺔ ﻣ ﻦ اﻟﺤﺠ ﻢ ‪ n‬ﻣﺴ ﺤﻮﺑﺔ ﻣ ﻦ ﺗﻮزﯾ ﻊ‬ ‫اﺣﺘﻤ ﺎﻟﻰ ﻣﺘﺼ ﻞ وﻟ ﮫ داﻟ ﺔ ﻛﺜﺎﻓ ﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﯿ ﺔ )‪ f (x‬وﻛﺎﻧ ﺖ اﻟﻤﺘﻐﯿ ﺮات اﻟﻌﺸ ﻮاﺋﯿﺔ‬ ‫‪ Y1  Y2  ...  Yn‬اﻹﺣﺼ ﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿ ﺔ ﻟﺘﻠ ﻚ اﻟﻌﯿﻨ ﺔ‪ .‬ﻋﻨ ﺪھﺎ ﻓ ﺈن أي إﺣﺼ ﺎء‬ ‫‪ (r  1, 2,,n) Yr‬ﻟﮫ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﮭﺎﻣﺸﯿﺔ‪:‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪r 1‬‬ ‫‪n r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (yr )  F(y r ) 1  F(y r ) , a  y r  b,‬‬ ‫‪‬‬ ‫!)‪g r (yr )   (r  1)!(n  r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪, e.w.‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪ (٢٢-١‬اﺧﺗﺑﺎراﻟﺣﯾﺎﻩ ‪LifeTesting‬‬ ‫إن اﺧﺘﺒﺎر اﻟﺤﯿ ﺎة ﻛﻤ ﺎ ﻋﺮﻓ ﮫ )‪ Zelen (1959‬ھ ﻮ وﺿ ﻊ ﻋ ﺪد ﻣ ﻦ اﻟﻘﻄ ﻊ اﻟﻤﻤﺜﻠ ﺔ ﻟﻠﻤﺠﺘﻤ ﻊ‬ ‫ﻣﻮﺿﻊ اﻟﺪراﺳﺔ أو أﺟﺰاء ﻣﻨﮭﺎ ﺗﺤﺖ ﻓﺌﺔ ﻣﻌﻄﺎة ﻣﻦ ظﺮوف اﻟﺘﺸﻐﯿﻞ ﻣﻊ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻋﺪد ﺳﺎﻋﺎت‬ ‫اﻷداء اﻟﻤﺮﺿﻲ ﻟﻜ ﻞ ﻗﻄﻌ ﺔ‪ .‬ﻣ ﺜﻼ ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻘﻄ ﻊ اﻹﻟﻜﺘﺮوﻧﯿ ﺔ ﻓ ﺈن اﻟﺒﯿﺎﻧ ﺎت اﻟﻤﻼﺣﻈ ﺔ ﻋ ﺎده‬ ‫ﺳﻮف ﺗﻤﺜﻞ زﻣﻦ اﻟﻔﺸﻞ ‪ ،‬ﺣﯿﺚ ﯾﺘﻢ ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻔﺸﻞ ھﻨﺎ ﺑﺄن ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن أداﺋﮭﺎ ﻏﯿﺮ‬ ‫ﻣﺮﺿﻲ ‪ .‬أﯾﻀﺎ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﺧﺘﺒﺎر اﻹﺟﮭﺎد ﻣﺜﻞ اﺧﺘﺒﺎرات اﻟﻜﺮات اﻟﺤﺎﻣﻠﺔ ) ﻓﻲ ﻧﻘ ﺎط اﻟ ﺪوران (‬ ‫ﻓﺈن اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻤﺴﺠﻠﺔ ﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ھﻲ ﻋﺪد اﻟﺪورات ﺣﺘﻰ اﻟﻮﺻﻮل إﻟﻰ اﻟﻔﺸﻞ‪ ،‬واﻟﻔﺸﻞ ھﻨ ﺎ‬ ‫ھﻮ اﻟﻌﻄﻞ ﻓﻲ اﻷداء ﻟﮭﺬه اﻟﻜﺮات ‪.‬‬ ‫ھﻨ ﺎك ﺗﻌﺮﯾ ﻒ آﺧ ﺮ ﻻﺧﺘﺒ ﺎر اﻟﺤﯿ ﺎة ﺗ ﻢ اﻟﺤﺼ ﻮل ﻋﻠﯿ ﮫ ﻣ ﻦ )‪ AL-Braheem (1990‬ﺑﺄﻧ ﮫ‬ ‫اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﺬي ﺗﻌﺮض ﻓﯿﮫ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﻔﺮدات اﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻤﺠﺘﻤﻊ ﻣﻌﯿﻦ ‪ ،‬ﺳﻮاء ﻛﺎﻧ ﺖ ﻛﺎﺋﻨ ﺎت‬ ‫ﺣﯿ ﮫ ) ﻣﺠﻤﻮﻋ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﻤﺮﺿ ﻰ أو ﺣﯿﻮاﻧ ﺎت ﺗﺠ ﺎرب ( أو ﺟﻤ ﺎد ) ﻣﺼ ﺎﺑﯿﺢ ﻛﮭﺮﺑ ﺎء أو أﺟﮭ ﺰة‬ ‫‪١٠٨‬‬

‫إﻟﻜﺘﺮوﻧﯿﺔ ( ﻟﻀﻐﻮط وظﺮوف ﺑﯿﺌﯿﺔ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﻠﻈﺮوف اﻟﻄﺒﯿﻌﯿ ﺔ اﻟﻤﻌﺮﺿ ﺔ ﻟﮭ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺤﯿ ﺎة ‪ ،‬ﻣ ﻊ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ ﻟﻠﻤﻔﺮدات ﺗﺤﺖ اﻟﺪراﺳﺔ‪.‬‬ ‫إن اﻟﺘﺤﻠﯿ ﻞ اﻹﺣﺼ ﺎﺋﻲ ﻟﻤ ﺎ ﯾﺴ ﻤﻰ ﺑ ﺰﻣﻦ اﻟﺤﯿ ﺎة ‪ life time‬أو ﺑﯿﺎﻧ ﺎت اﻟﺒﻘ ﺎء ‪survival‬‬ ‫‪ data‬أو ﺑﯿﺎﻧﺎت زﻣﻦ اﻟﻔﺸﻞ ‪ failure time‬ﻗﺪ اﺣﺘ ﻞ أھﻤﯿ ﺔ ﻛﺒ ﺮى ﻓ ﻲ ﻛﺜﯿ ﺮ ﻣ ﻦ اﻟﻤﺠ ﺎﻻت‬ ‫ﺧﺼﻮﺻﺎ ﻓﻲ ﻣﺠﺎﻻت اﻟﻌﻠﻮم اﻟﻄﺒﯿﺔ واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ‪ ،‬ﻓﻔﻲ ﻣﺠﺎل اﻟﻌﻼج اﻟﻄﺒ ﻲ ﻓ ﺈن اﻻھﺘﻤ ﺎم ﯾﻜ ﻮن‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﻌﺎﻟﺠﺘﯿﻦ أو أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻧﺎﺣﯿﺔ أﻓﻀﻠﯿﺘﮭﻢ ﻋﻠﻰ إﺑﻘﺎء اﻟﻤﺮﯾﺾ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺟﯿﺪة ﺑﯿﻨﻤﺎ‬ ‫ﻓ ﻲ اﻟﻤﺠ ﺎﻻت اﻟﮭﻨﺪﺳ ﯿﺔ ﻓ ﺈن اﻻھﺘﻤ ﺎم ﯾﻜ ﻮن ﻓ ﻲ ﺗﺤﺴ ﯿﻦ ﺟ ﻮدة اﻹﻧﺘ ﺎج أي إطﺎﻟ ﺔ اﻟﻌﻤ ﺮ‬ ‫اﻻﻓﺘﺮاﺿﻲ ﻟﻠﻮﺣﺪات ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﺧﺘﺒﺎر اﻟﺤﯿﺎة ﻋﺎدة ﻣﺎ ﯾﺸﺎر إﻟﻰ اﻷﻧﻮاع اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻣ ﻦ اﻟﺒﯿﺎﻧ ﺎت ﺑﺘﻌﺒﯿ ﺮ واﺣ ﺪ وھ ﻮ زﻣ ﻦ‬ ‫اﻟﺤﯿﺎة ‪ life time‬وھﻮ زﻣﻦ ﺗﺤﻘﻖ ﺣ ﺪث ﻣ ﺎ ﻟﻤﻔ ﺮدة ﺗﺎﺑﻌ ﺔ ﻟﻤﺠﺘﻤ ﻊ ﺗﺤ ﺖ اﻟﺪراﺳ ﺔ ‪ .‬ﻋﻨ ﺪﻣﺎ‬ ‫ﯾﻜﻮن اﻟﺤﺪث اﻟﺬي ﻓﻲ ﻣﻮﺿﻊ اﻟﺪراﺳﺔ ھ ﻮ وﻓ ﺎة اﻟﻤﻔ ﺮدات ﻓ ﺈن زﻣ ﻦ اﻟﺤﯿ ﺎة ﯾﻜ ﻮن ھ ﻮ اﻟﻌﻤ ﺮ‬ ‫اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ﻟﻠﻤﻔﺮدة ‪ ،‬أو رﺑﻤﺎ ﯾﻜ ﻮن زﻣ ﻦ اﻟﺒﻘ ﺎء واﻟ ﺬي ﯾﻘ ﺎس ﻣ ﻦ وﻗ ﺖ اﻟﺘﺸ ﺨﯿﺺ أو ﻣ ﻦ وﻗ ﺖ‬ ‫ﺗﻠﻘﻲ اﻟﻌﻼج ﺣﺘﻰ اﻟﻮﻓﺎة ) وﻟﯿﺲ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺼﻔﺮ ( ‪ .‬أﻣﺎ ﻣﻦ اﻟﻨﺎﺣﯿﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ ﻓﺈن زﻣﻦ اﻟﺤﯿﺎة‬ ‫ھﻮ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻏﯿﺮ ﺳﺎﻟﺐ)‪. Lawless (1982‬‬ ‫)‪ ( ٢٣-١‬اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣراﻗﺑﺔ ‪Censoring Sample‬‬ ‫إن ﺑﯿﺎﻧﺎت اﻟﻌﻤﺮ ﻏﺎﻟﺒﺎ ﻣﺎ ﺗﺄﺗﻲ ﺑﺼﻮره ﺗﺨﻠﻖ ﻣﺸﺎﻛﻞ ﺧﺎﺻﺔ ﻓﻲ ﺗﺤﻠﯿﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت وھ ﺬه اﻟﺼ ﻮرة‬ ‫ﺗﻌﺮف ﺑﺄﻧﮭﺎ اﻧﻘﻄ ﺎع اﻟﺒﯿﺎﻧ ﺎت وﺗﺤ ﺪث ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ﺗﻜ ﻮن أزﻣﻨ ﮫ اﻟﺤﯿ ﺎة ﻣﻌﺮوﻓ ﮫ ﺑﺎﻟﻀ ﺒﻂ ﻟﺠ ﺰء ﻣ ﻦ‬ ‫اﻟﻤﻔﺮدات ﺗﺤﺖ اﻟﺪراﺳﺔ ‪ .‬أﻣﺎ ﺑﺎﻗﻲ أزﻣﻨﮫ اﻟﺤﯿﺎة ﻓﻜﻞ اﻟﻤﻌﺮوف ﻋﻨﮭﺎ أﻧﮭﺎ ﺧﺎرج ﻗﯿﻤﮫ ﻣﻌﯿﻨﮫ‪،‬‬ ‫ﻟ ﺬى ﯾﻔﻀ ﻞ ﻓ ﻲ ھ ﺬه اﻟﺤﺎﻟ ﺔ اﻋﺘﻤ ﺎد اﻟﻌﯿﻨ ﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ‪ .‬و ﺗﺴ ﻤﻰ اﻟﻌﯿﻨ ﺔ ﻓ ﻲ ھ ﺬه اﻟﺤﺎﻟ ﺔ ﺑﺎﻟﻌﯿﻨ ﺔ‬ ‫اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ‪ ،‬إن ﺗﻮﻗﻒ اﻻﺧﺘﺒﺎر ﻗﺒ ﻞ ﻓﺸ ﻞ ﺟﻤﯿ ﻊ اﻟﻤﻔ ﺮدات ﻟ ﮫ ﻓﻮاﺋ ﺪ ﻛﺜﯿ ﺮة ﻣﻨﮭ ﺎ ﺧﻔ ﺾ ﺗﻜ ﺎﻟﯿﻒ‬ ‫اﻻﺧﺘﺒ ﺎر وﺗ ﻮﻓﯿﺮ اﻟﻮﻗ ﺖ واﻟﺠﮭ ﺪ‪ .‬اﻟﮭ ﺪف اﻷﺳﺎﺳ ﻲ ﻻﺧﺘﺒ ﺎرات اﻟﺤﯿ ﺎة ھ ﻮ ﺗﻘ ﺪﯾﺮ اﻟﻤﻌ ﺎﻟﻢ ﻣﺜ ﻞ‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﺤﯿﺎة ﻟﻠﺘﻮزﯾﻊ ﺗﺤﺖ اﻟﺪراﺳﺔ ‪ .‬و ﻋﻤﻮﻣﺎ ً ﻓﺈن اﺧﺘﺒﺎر أي ﻧﻮع ﻣﻦ أﻧﻮاع اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﯾﻌﺘﻤ ﺪ‬ ‫ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪-١‬اﻟﻮﻗﺖ اﻟﻤﺴﺘﻐﺮق ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯿﻨﺔ ‪،‬‬ ‫‪ -٢‬اﻟﺘﻜﺎﻟﯿﻒ اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﺗﻮﻓﯿﺮ اﻟﻮﻗﺖ ھ ﻮ اﻻھ ﻢ ﻓ ﯿﻤﻜﻦ‬ ‫اﯾﻘﺎف اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﻌﺪ زﻣﻦ ﻣﺤﺪد ﺛﺎﺑﺖ و ﺗﻜﻮن اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ھ ﻲ ﻋﯿﻨ ﺔ ﻣﺮاﻗﺒ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﻨ ﻮع اﻷول‬ ‫‪ ، Type I Censoring‬أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﺗﻮﻓﯿﺮ اﻟﺘﻜﺎﻟﯿﻒ ھ ﻮ اﻷﻛﺜ ﺮ أھﻤﯿ ﺔ ﻓ ﯿﻤﻜﻦ إﯾﻘ ﺎف اﻟﺘﺠﺮﺑ ﺔ‬ ‫ﺑﻌ ﺪ اﻟﺤﺼ ﻮل ﻋﻠ ﻰ ﻋ ﺪد ﻣﻌ ﯿﻦ ﻣ ﻦ اﻟﻤﺸ ﺎھﺪات و ﺗﻜ ﻮن اﻟﻌﯿﻨ ﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠ ﺔ ھ ﻲ ﻋﯿﻨ ﺔ ﻣﺮاﻗﺒ ﺔ ﻣ ﻦ‬ ‫اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪. Type II Censoring‬‬

‫)‪ ( ١-٢٣-١‬اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣراﻗﺑﺔ اﻟﻣﻔردة ذات اﻟﻣرﺣﻠﺔ اﻟواﺣدة‬ ‫‪١٠٩‬‬

‫ﯾﻘﺴﻢ ھﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ إﻟﻰ ﻧﻮﻋﯿﻦ ‪:‬‬

‫)ا( ﻋﯿﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻷول ‪:Type I Censoring‬‬ ‫ﻓﻲ ھﺬا اﻟﻨﻮع ﯾﺠﺮي اﺧﺘﺒﺎر اﻟﺤﯿﺎة ﻓﻲ ﻓﺘﺮة زﻣﻨﯿﺔ ﻣﺤﺪدة ‪ T‬ﺣﯿﺚ أن زﻣﻦ اﻟﺤﯿﺎة ﻟﻤﻔ ﺮدة‬ ‫ﻣﺎ ﻗﺪ ﯾﻜﻮن ﻣﻌﺮوف ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ ﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎن اﻗﻞ ﻣﻦ ‪ . T‬ﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻋﺪد اﻟﻤﺸﺎھﺪات ‪ ) r‬ﻣ ﻦ‬ ‫ﻋﯿﻨﺔ ﺣﺠﻤﮭﺎ ‪ ( n‬اﻟﺘﻲ ﺗﻢ ﺗﺴﺠﯿﻠﮭﺎ ﺣﺘﻰ اﻟﺰﻣﻦ ‪ T‬ﺗﻌﺘﺒﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮا ﻋﺸﻮاﺋﯿﺎ وﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻤﺸﺎھﺪات‬ ‫اﻟﺘﻲ ﺗﻢ اﻟﺤﺼ ﻮل ﻋﻠﯿﮭ ﺎ ﺗﻤﺜ ﻞ اﻟﻌﯿﻨ ﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﻨ ﻮع اﻷول اﻟﻤﺴ ﺤﻮﺑﺔ ﻣ ﻦ ﺗﻮزﯾ ﻊ ﻟ ﮫ داﻟ ﺔ‬ ‫ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل )‪ f(x‬وداﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ )‪ ،F(x‬وداﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻵﺗﯿﺔ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪n r‬‬ ‫‪L(;x ) ‬‬ ‫‪1  F(T)  f(x i ; ) ,‬‬ ‫!‪ n  r ‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪x  x1 , x 2 ,..., x n , y n  T,r  1,2,...,n.‬‬

‫وﯾﺴﻤﻰ ھﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﺑﺎﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﯿﻤﯿﻦ ‪ ،‬وﺑﻨﻔﺲ اﻟﺸﻜﻞ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﯿﺴﺎر ﻋﻨﺪ ‪ T‬وذﻟ ﻚ ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ﺗﻜ ﻮن اﻟﻘ ﯿﻢ ﺑﺎﻟﻀ ﺒﻂ ﻷزﻣﻨ ﺔ اﻟﻔﺸ ﻞ ﻟﻌ ﺪد ﻣ ﻦ اﻟﻤﻔ ﺮدات ﻣﻌﺮوﻓ ﺔ‬ ‫وﻟﻜﻨﮭﺎ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ أو ﺗﺴﺎوي‪ ، T‬وذﻟﻚ ﻣﻦ ﻋﯿﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺠﻢ ‪.n‬‬ ‫وﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻓﺈن داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪f(x i ; ) .‬‬

‫‪‬‬ ‫‪i=1‬‬

‫!‪n‬‬ ‫‪n r‬‬ ‫‪L(;x ) ‬‬ ‫‪ F(T)‬‬ ‫!‪ n  r ‬‬

‫واﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ اﻟﯿﻤﻨ ﻰ ﺷ ﺎﺋﻌﺔ اﻻﺳ ﺘﺨﺪام ﻓ ﻲ ﺑﯿﺎﻧ ﺎت اﻟﺤﯿ ﺎة ﻓ ﻲ ﺣ ﯿﻦ أن اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ اﻟﯿﺴ ﺮى ﻧ ﺎدرة‬ ‫اﻻﺳﺘﺨﺪام ‪.‬‬

‫‪:Type II Censoring Sample‬‬

‫)ب( ﻋﯿﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﺑﻔﺮض أن ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﻮﺣ ﺪات ذات اﻟﺤﺠ ﻢ ‪ n‬وﺿ ﻌﺖ ﺗﺤ ﺖ اﻻﺧﺘﺒ ﺎر ﻓ ﻲ ﻧﻔ ﺲ‬ ‫اﻟﻮﻗﺖ وﺗﻢ إﻧﮭﺎء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﻌﺪ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ‪ r‬ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎھﺪات ‪ .‬ﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻋﺪد اﻟﻤﺸﺎھﺪات‬ ‫) ‪ ( r < n‬ﺗﻌﺘﺒﺮ ﺛﺎﺑﺖ وﻟﻜﻦ زﻣﻦ إﻧﮭﺎء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﯾﻜ ﻮن ﻣﺘﻐﯿ ﺮ ﻋﺸ ﻮاﺋﻲ‪ ،‬اﻟﻌﯿﻨ ﺔ ذات اﻟﺤﺠ ﻢ ‪n‬‬ ‫اﻟﺘﻲ ﺗﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮭﺎ ﺗﻌﺮف ﺑﺎﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ .‬داﻟ ﺔ اﻹﻣﻜ ﺎن اﻷﻛﺒ ﺮ ﻓ ﻲ ھ ﺬه‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻵﺗﯿﺔ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪f(y i , ) , y  y1  y 2  ...  y r‬‬

‫‪‬‬ ‫‪i=1‬‬

‫!‪n‬‬ ‫‪n r‬‬ ‫‪L(; y ) ‬‬ ‫‪1  F(yr )‬‬ ‫!‪ n  r ‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧ ﺖ اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﯿﺴ ﺎر ﻧﺮاﻗ ﺐ اﻟﻤﺸ ﺎھﺪات ﺑﻌ ﺪ ﻓﺸ ﻞ )‪ (n-r‬ﻣ ﻦ اﻟﻤﺸ ﺎھﺪات‪ ،‬وداﻟ ﺔ‬ ‫اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﺒﺮ ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪f(yi ; ) .‬‬

‫‪‬‬ ‫‪i=1‬‬

‫!‪n‬‬ ‫‪n r‬‬ ‫‪ F(yr ) ‬‬ ‫!‪ n  r ‬‬ ‫‪١١٠‬‬

‫‪L(; y ) ‬‬

‫)‪ ( ٢-٢٣-١‬اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣراﻗﺑﺔ اﻟﻣزدوﺟﺔ ذات اﻟﻣرﺣﻠﺔ اﻟواﺣدة‬ ‫ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ﻧﺄﺧ ﺬ ﻋﯿﻨ ﺔ ﻣ ﻦ ﻣﺠﺘﻤ ﻊ ﻛﺎﻣ ﻞ وﻟﻜ ﻦ اﻟﻤﺸ ﺎھﺪات اﻷوﻟ ﻰ اﻟﻘﻠﯿﻠ ﺔ واﻟﻤﺸ ﺎھﺪات اﻟﻘﻠﯿﻠ ﺔ‬ ‫اﻷﺧﯿﺮة ﻏﯿﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﻓﺎن أزﻣﻨﺔ اﻟﺤﯿﺎة اﻟﻐﯿﺮ ﻛﺎﻣﻠﺔ ﻣﻦ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﻦ ﺗﺴﻤﻰ ‪. double censored‬‬ ‫وھﻨﺎك ﻧﻮﻋﯿﻦ ﻟﻠﻌﯿﻨﺎت اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ذات اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﻦ ‪.‬‬

‫)ا( اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻷول‬ ‫ﻓﻲ ھﺬا اﻟﻨﻮع ﻓﺎن اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﺗﺤﺪث ﻋﻨﺪ أزﻣﻨﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ‪ T1 , T2‬ﺣﯿﺚ ‪ T1 < T2‬ﺣﯿﺚ ‪ m1‬ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺸ ﺎھﺪات ﻋﻤﺮھ ﺎ اﻗ ﻞ ﻣ ﻦ ‪ T1‬و ‪ m 2‬ﻋﻤﺮھ ﺎ اﻛﺒ ﺮ ﻣ ﻦ ‪ m1 ، T2‬و ‪ m 2‬و ‪n - m1 - m 2‬‬ ‫ﻣﺘﻐﯿﺮات ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ‪ .‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪:‬‬ ‫‪n m2‬‬

‫‪L(, x )  [  f(x m )] (P(X  T1 )) m1 (P(X  T2 )) m 2 .‬‬ ‫‪i m1 1‬‬

‫)ب( اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫ﻓﻲ ھﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﺗﺮاﻗﺐ اﻟﻤﺸﺎھﺪات ﺑﻌﺪ ﻓﺸﻞ ‪ m1‬ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎھﺪات ﺣﺘﻰ ﻓﺸﻞ اﻟﻮﺣ ﺪة‬ ‫رﻗﻢ ‪ . n  m 2‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪:‬‬ ‫‪n m2‬‬

‫‪[  f(x i )] [P(X  x m1 )]m1 [1-P(X  x (n m2 ) )]m 2 .‬‬

‫‪L(x, ) ‬‬

‫‪i  m1 1‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ n  ‬اﻟﻨﻮﻋﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﯾﺘﻜﺎﻓﺌﺎن ‪ ،‬أﯾﻀﺎ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻓﻲ اﻟﻌﯿﻨ ﺎت اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ اﻟﻤﻔ ﺮده‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮭﺎ ﻛﺤﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣﻦ اﻟﻌﯿﻨﺎت اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ اﻟﻤﺰدوﺟﺔ وذﻟﻚ ﺑﻮﺿﻊ ‪ m1  0‬أو‬ ‫‪. m2  0‬‬ ‫)‪ ( ٣-٢٣-١‬اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣراﻗﺑﺔ اﻟﻣﺗﺗﺎﺑﻌﺔ‪Progressively Censored‬‬ ‫ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻋﻨﺪ ﺳﺤﺐ ﺑﻌﺾ وﺣﺪات اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻗﺒ ﻞ ﻓﺸ ﻠﮭﺎ ﻋﻨ ﺪ ﻣﺮاﺣ ﻞ ﻣﺨﺘﻠﻔ ﺔ‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ‪ .‬ﺗﻘﺴﻢ اﻟﻌﯿﻨﺔاﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ إﻟﻰ ﻋﯿﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻷول أو ﻋﯿﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨ ﻮع اﻟﺜ ﺎﻧﻲ ‪ .‬اﻟﻌﯿﻨ ﺔ‬ ‫اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﻨ ﻮع اﻷول طﺒﻘﮭ ﺎ )‪ Cohen(1963‬ﺗﺤ ﺖ ﻓ ﺮض اﻟﺘﻮزﯾ ﻊ اﻷﺳ ﻲ ‪ ،‬ﺳ ﻮف‬ ‫ﯾﻘﺘﺼﺮ اﻟﺤﺪﯾﺚ ھﻨﺎ ﻋﻦ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪Progressively Type II‬‬ ‫‪ Censored sample‬ﻟﻜﻮﻧﮭ ﺎ أھ ﻢ أﻧ ﻮاع اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ و اﻟﺘ ﻲ ﺳ ﻮف ﻧﺴ ﺘﺨﺪاﻣﮭﺎ ﻓ ﻲ اﻟﻔﺼ ﻞ‬ ‫اﻟﺨﺎﻣﺲ ‪ .‬ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻓﻜﺮة اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ ﺗﻮﺿﻊ ‪ n‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﻓﻲ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﺗﺤﺖ اﻻﺧﺘﺒﺎر أﻧﯿﺎ ‪.‬‬‫ ﻋﻨﺪ ﺗﺴﺠﯿﻞ زﻣﻦ اﻟﻔﺸﻞ اﻷول ‪ x1‬ﻓﺈن ‪ R 1‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﯾﺘﻢ ﺳﺤﺒﮭﺎ ﻋﺸ ﻮاﺋﯿﺎ ً ﻣ ﻦ اﻟﻮﺣ ﺪات‬‫اﻟﻤﺘﺒﻘﯿﺔ ذات اﻟﺤﺠﻢ ‪. n  1‬‬ ‫‪١١١‬‬

‫ ﻋﻨﺪ ﺗﺴﺠﯿﻞ زﻣﻦ اﻟﻔﺸﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ x 2‬ﻓﺈن ‪ R 2‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﯾﺘﻢ ﺳﺤﺒﮭﺎ ﻋﺸ ﻮاﺋﯿﺎ ً ﻣ ﻦ اﻟﻮﺣ ﺪات‬‫اﻟﻤﺘﺒﻘﯿﺔ ذات اﻟﺤﺠﻢ ‪.  n  2  R1 ‬‬ ‫ ﺗﺴﺘﻤﺮ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻤﻨﻮال ﺣﺘﻰ ﯾﺘﻢ ﺗﺴﺠﯿﻞ زﻣﻦ اﻟﻔﺸﻞ رﻗﻢ ‪ m‬وھﻲ ‪ x m‬وﻋﻨﺪھﺎ ﻓﺈن‬‫اﻟﻮﺣ ﺪات اﻟﻤﺘﺒﻘﯿ ﺔ ﻓ ﻲ اﻟﺘﺠﺮﺑ ﺔ و اﻟﺘ ﻲ ﻋ ﺪدھﺎ ﯾﺼ ﺒﺢ ‪  n  m  R1  R 2  ...  R m1 ‬ﯾ ﺘﻢ‬ ‫ﺳﺤﺒﮭﺎ ﻣﻦ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ‪.‬‬ ‫ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﺳﻮف ﯾﺮﻣ ﺰ ﻟﻤﻔﺮدﺗﮭ ﺎ ﺑ ﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ x  x1 , x 2 ,..., x m‬و ھ ﻲ اﻟﻌﯿﻨ ﺔ ذات اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ‬‫اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﻨ ﻮع اﻟﺜ ﺎﻧﻲ ذات اﻟﺤﺠ ﻢ ‪ m‬و اﻟﻤﺮﺗﺒﻄ ﺔ ﺑﻨﻈ ﺎم اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ ‪  R1,R 2 ,...,R m ‬و‬ ‫اﻟﻤﺨﺘﺎرة ﻣﻦ ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺠﻢ ‪. n‬‬ ‫وﻣﻦ اﻟﻮاﺿﺢ أن ﻧﻈﺎم اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ﯾﻤﻜﻦ أن ﯾﺆول إﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪ -١‬ﻧﻈﺎم ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪R 1  R 2  ...  R m 1  0,R m  n  m,‬‬

‫‪-٢‬‬

‫اﻟﻨﻈﺎم اﻟﺨﺎﻟﻲ ﻣﻦ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ) اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ ( ‪ complete sample‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ‪:‬‬

‫‪R 1  R 2  ...  R m 1  R m  0 .‬‬

‫)‪ (٢٤-١‬اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺑﺗورة‬ ‫ﺑﻔﺮض أﻧﻨﺎ ﻏﯿﺮ ﻗﺎدرﯾﻦ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺎھﺪات ﻓﻮق أو ﺗﺤﺖ ﻧﻘﺎط ﻣﻌﯿﻨ ﺔ ﻓ ﻲ اﻟﻤﺠﺘﻤ ﻊ ‪.‬‬ ‫وھ ﺬا ﯾﺤ ﺪث ﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺒﯿﻞ اﻟﻤﺜ ﺎل إذا ﻛﺎﻧ ﺖ وﺣ ﺪات ﻣﻌﺮوﺿ ﺔ ﻟﻠﺒﯿ ﻊ ﺑﺤﯿ ﺚ ﺗﺤﻘ ﻖ اﻟﺸ ﺮط أن‬ ‫ﻋﻤﺮھﺎ اﻛﺒﺮ ﻣﻦ زﻣﻦ ﻣﺎ وﻓﻰ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻌﯿﻨﺎت اﻟﻤﺒﺘﻮرة‪.‬‬

‫‪١١٢‬‬

‫اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ‬ ‫ﺑﻌض اﻟﺗوزﯾﻌﺎتاﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ‬

‫‪١١٣‬‬

‫)‪ (١-٢‬اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ ‪The Exponential Distribution‬‬ ‫ﺗﻌﻄﻲ ﻋﺎﺋﻠﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﻵﺳﻴﺔ ﳕﺎذج اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﻪ ﻣﻔﻴـﺪة ﰲ ﳎـﺎل اﳍﻨﺪﺳـﺔ واﻟﻌﻠـﻮم ﺣﻴـﺚ ﻳﺼـﻒ ﻛﺜـﲑ ﻣـﻦ اﻟﻈـﻮاﻫﺮ‬ ‫ﻣﺜــﻞ أﻋﻤــﺎر ﺑﻌــﺾ اﻟﺴــﻠﻊ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴــﺔ‪ ،‬اﻟﻮﻗــﺖ اﻟــﻼزم ﺣــﱴ ﺗﺘﻌﻄــﻞ ﺑﻌــﺾ اﻷﻧﻈﻤــﺔ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴــﺔ‪ ،‬وﻗــﺖ اﻻﻧﺘﻈــﺎر ﻟﻮﻗــﻮع‬ ‫ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ‪.‬‬

‫)‪ (١-١-٢‬داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل‬ ‫ﻳﻘﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ‪ X‬أﻧﻪ ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻰ إذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘﻪ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ‪:‬‬ ‫‪1  x‬‬ ‫‪f (x; )  e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪,x  0‬‬ ‫)‪e.w.(elsewhere‬‬

‫ﺑﻴﻨﻤﺎ ﻳﺴﺘﺨﺪم ﺑﻌﺾ اﳌﺆﻟﻔﲔ اﻟﺼﻮرة ‪  e x‬ﺣﻴﺚ ‪ .   1 ‬ﺳﻮف ﻧﻜﺘﺐ )‪ X  Exp(‬ﻟﻠﺪﻻﻟـﺔ ﻋﻠـﻰ‬ ‫أن ‪X‬ﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪. ‬‬

‫)‪ (٢-١-٢‬داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ‬ ‫داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪   1 ‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪F(x)   e  t dt.‬‬ ‫‪0‬‬

‫)‪(e  x  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1  e  x .‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪e  t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫أي أن‪:‬‬ ‫‪1  e   x‬‬ ‫‪F( x )  ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x0‬‬ ‫‪e.w .‬‬

‫)‪ (٣-١-٢‬اﻟﻌﺰوم ‪Moments‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪tX‬‬

‫‪M X (t)  E(e )   e tx e x dx‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪dx‬‬

‫‪t‬‬ ‫) ‪x(1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪  e‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪١١٤‬‬

 x(1 t )   e     t (1  ) 



0



 0  1



1

.

t t (1  ) (1  )   t  M X (t)  (1  )1. 

:‫وﻣﻨﻬﺎ ﳝﻜﻨﻨﺎ ﺣﺴﺎب اﳌﺘﻮﺳﻂ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬

MX (t) 

d 1 t M X (t)  (1  ) 2 (1) dt   1 t  (1  )2 .  

then : 1 0 (1  ) 2   1  ,  2 d 2 t MX (t)  2 M X (t)  2 (1  )3 , dt   2  E(X 2 )  MX (0)  2 ,  2 2 1 2 1 1 2X  2     2  2  2 .      E(X)  MX (0) 

:‫ ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ ﻫﻮ‬r ‫وﺑﺎﳌﺜﻞ ﳒﺪ أن اﻟﻌﺰم‬ M (r) (0)  r 

r! . r

: ‫وﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺑﻪ أﻳﻀﺎً ﻣﻦ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

 r

r  E(X )   x r ex dx, 0

:‫ﻹﻛﻤﺎل اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻳﺴﺘﺨﺪم اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ اﻟﺘﺎﱄ‬ y let x  y  dx  dy  x  .  ١١٥



y dy   ( ) r e  y   0

r

 E(X )



1  r  y r e  ydy  0 

1  r  y r 11e  ydy  0 

(r  1) r!  r. r 

:‫ وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ‬،‫وﻫﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﱵ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم‬ 1 

1 

2 6 24 , 3  3 , 4  4 .

2    3 3  3  32  2

, 2 

6 3 2 2   2 3 3     2  3,  4  4  43  6 2  3 4 

24 4 6 6 2 3       4  3  2 2  4 9  4.  :‫ ﻣﻦ اﻟﻘﺎﻧﻮن ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬ 4 ‫ وﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ‬ 3 ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﳝﻜﻦ إﳚﺎد ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﻟﺘﻮاء‬ 

3 

3 32 2

, 4 

4 .  22

  2  1  3  332   3   2  2    

32

 2,

2

  9   1   4  42   4   2   9. 2      

Percentiles ‫( اﻟﻤﺌﻴﻨﺎت‬٤-١-٢) : ‫ ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺑﻪ ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺔ‬100p ‫اﳌﻴﺌﻦ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ‬ ١١٦

P(X  x p )  p  F(x p )



 1 e 

x p



1  e   p x p

 e  e

x p

x p

 p 1

1 p

 x p  ln(1  p) 1  x p   ln(1  p). 

‫( ﺑﻌﺾ اﻻﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﻴﺒﻴﺔ‬٥-١-٢) (١-٢) ‫ﻣﺜﺎل‬ ,

1   i ,i  1,2,...n ‫ ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ‬X1 , X 2 ,..., X n ‫إذا ﻛﺎﻧت‬ i

. E Y1  ‫ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ وأوﺟد‬Yl  min[ X1 , ... , X n ] ‫أﺛﺑت أن‬ ‫ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ ؟‬Y n  maxX1, X2 ,...., Xn  ‫ﻫل‬ :‫ أذن‬ i ‫ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ‬

:‫اﻟﺣــل‬

X i ‫ﺑﻣﺎأن‬

fXi (y)  iei y , y  0, y

FXi (y)   ie

i x

dx  e

i x

0

 1  ei y . n

FY1 (y)  1   1  FXi (y)  i 1 1

n

 1   1  (1  ei y )  i 1

١١٧

y 0

:‫ﺑﻣﺎ أن‬

n

n

e y   1  e  i 1 i

1 

n

  f Y1  y      i   i1 

e

  i y i 1

: ‫ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻲ ﺣﯾث‬Y1 ‫أي أن‬

 n    i  y    i 1 



   1   , E(Y1 )  Y1 ~ Exp  n     i   i1  n

.

,

1

.

n



i

i 1

n

 FYn (y)   FXi  y    (1  e i y ) i 1

i 1

n

f Yn  y   n

d 1  e i y    dy i1

n

 y  1  e y    je .    j1 i  j j

i

  

. ‫ ﻻﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ‬Yn ‫أى أن‬

1 : ‫ ﻓﺎن‬Xi ~ Exp   ‫وﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﻣﺗﻐﯾرات ﻣﺗطﺎﺑﻘﺔ ﺣﯾث‬  n

f Yn  y    j1

n

 1  e    e   j y

 i y

j

i j



  1  e  y

 e  n 1

 y

j 1



 n e-y 1  ey



n 1

.

‫( ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت‬٦-١-٢) (٢-٢) ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ ﻣﺘﻐـ اَـﲑ ﻋﺸ ـﻮاﺋﻴﺎَ ﳝﺜــﻞ اﻟــﺰﻣﻦ )ﻣﻘــﺎس ﺑﺎﻟــﺪﻗﺎﺋﻖ( ﺑــﲔ وﺻــﻮل اﻟﺴــﻴﺎرات إﱃ ﻣﻮﻗــﻒ ﺧــﻼل اﻟــﺬروة‬X ‫إذا ﻛــﺎن‬ .   6 ،   1  ‫ َ و‬P 1  X  2 ‫ أوﺟﺪ‬، X  Exp   ‫ﺣﻴﺚ‬ ١١٨

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪P 1  X  2    6e 6x dx‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ e 6x 1  e 6  e 12  0.0025.‬‬

‫ﻣﺜـﺎل )‪(٣-٢‬‬ ‫ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ ﺣﻴﺚ ‪ X  Exp  36 ‬أوﺟﺪ ‪. P  X  48‬‬

‫إذا ﻛــﺎن اﻟــﺰﻣﻦ )ﻣﻘــﺎس ﺑﺎﻟﺴـﺎﻋﺎت( ﺑــﲔ وﻗــﻮع ﺣﺎﻟــﺔ ﻓﺸـﻞ ﰲ ﺟــﺰء ﻣــﻦ ﺣﺎﺳــﺐ آﱄ‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪48‬‬

‫‪1  36x‬‬ ‫‪P  X  48   1   e dx‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x 48 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 36e 36 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪118‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1     e 36  e 0  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪ 0.262.‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(٤-٢‬‬ ‫ﺑﻔﺮض أن اﳌﻜﺎﳌﺎت اﳌﺴﺘﻘﺒﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻟﻮﺣﺔ اﻟﺴﻮﻳﺘﺶ ﺧﻼل ‪ 24‬ﺳﺎﻋﺔ ﺗﺘﺒـﻊ ﺗﻮزﻳـﻊ ﺑﻮاﺳـﻮن ﺣﻴـﺚ ‪  0.5‬‬

‫ﻟﻜــﻞ ﻳــﻮم وﻋﻠــﻰ ذﻟــﻚ اﻟــﺰﻣﻦ ﺑﺎﻷﻳــﺎم ﺑــﲔ ﺣــﺪوث ﻣﻜﺎﳌــﺎت ﻳﺘﺒــﻊ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻷﺳــﻲ ﲟﻌﻠﻤــﻪ ‪   0.5‬وﻋﻠــﻰ ذﻟــﻚ‬ ‫أوﺟﺪ ‪. P  X  2‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪P  X  2  1  P  X  2‬‬ ‫‪ 0.368.‬‬

‫‪ 0.5 2 ‬‬

‫‪e‬‬

‫‪١١٩‬‬

‫)‪ (٧-١-٢‬اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ اﻟﻤﺒﺘﻮر‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ X‬ﳍﺎ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻵﺳﻲ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬و ﻗﺪ ﰎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﱰ ﻣﺰدوج ﺗﻜﻮن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﳍﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫اﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫) ‪P(t1  x  t 2‬‬

‫‪f (x | t1  x  t 2 ) ‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫)‪f(x;‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= t2‬‬ ‫‪ t2 x‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t  e dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ t2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪ t1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪e‬‬

‫‪t1‬‬ ‫‪ t2‬‬ ‫‪1 x t1‬‬ ‫‪= e (e  e  ) 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,> 0 , 0 <t1  t 2   ; t1  x  t 2 .‬‬

‫اﻳﻀﺎ اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻤﻴﺰة ﻳﺘﻢ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪١٢٠‬‬

t2 itX

 x (t)  E(e )   eitx f (x; ) dx t1

t

t2 x 2 (1it ) 1 t1  1  = (e  e )  e dx  t1 t2

1 t1 = (e  1 t1 = (e  =

e



  x (1it)  e  t2   t1  e  ) 1 (1  it)   t2 t t  2 (1it )  1 (1it )     1   e )  (e e  ) (1  it  )  

t1 (1it ) 

e

(1  it)(e

 t1 



t2 (1it ) 

e

 t2 

. )

.X ‫ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ‬m ‫ﺳﻮف ﻳﺘﻢ اﻻﺳﺘﻔﺎدة ﻣﻦ داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻨﺎﻗﺼﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﰱ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺰوم اﻟﻼﻣﺮﻛﺰﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ‬ 

(m  1, a)   y m e  y dy a

aj =(m  1)e  , m = 0,1,2, ... j0 j! m

a

: ‫ ﻳﺘﻢ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬X ‫ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ‬m ‫اﻟﻌﺰوم اﻟﻼﻣﺮﻛﺰﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ‬

١٢١

t2 ` m

m

  E(X )   x m f (x; ) dx. t1

x

1  e 

t2

= xm t1

(e

 t1 

e

 t2 

dx ) t

 t2 x 2 1 t1  1 m = (e  e  )  x e  dx.  t1

x  w  x  w  dx  dw.  t t if x = t1  w = 1 , if x = t 2  w  2 .   1 `m = (e 

 t1 

(e

(e

 (e

=

 t1 

 t2 

)

m (m  1) (e

 t1 

e

e

 t2 

w

 t1 

e

t2 

m

e  w dw

) t1

)

t t [(m  1, 1 )  (m  1, 1 )]  

t t2 j ( 1 )j ) t2 m (    [(m  1)e   (m  1)e   ] j! j! j0 j0 t  1 m 

m

e

 t1 

t2 

m

m

=

m m w  w e dw 

)

t1 



=

=

e

t2 t2   1

 t2 

)

1  t1 t1 j  t2 t 2 j [e ( )  e ( ) ].    j0 j! m

‫ ﻣﻦ اﻟﻌﺰوم اﻟﻼﻣﺮﻛﺰﻳﺔ‬X ‫ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎب اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰉ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ‬ ١٢٢

‫)‪ (٨-١-٢‬اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﻴﻦ‬

‫ﰱ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ واﺣﺪة ‪ ‬ﻳﻔﱰض ان زﻣﻦ اﻟﻔﺸـﻞ ﻳﺒـﺪا ﻋﻨـﺪ اﻟﺼـﻔﺮ ‪ ،‬وﻟﻜـﻦ ﰱ ﺑﻌـﺾ اﳊـﺎﻻت ﻳﻔـﱰض‬ ‫ان زﻣﻦ اﻟﻔﺸﻞ ﻳﺒﺪا ﻋﻨﺪ زﻣﻦ ﻣﻌـﲔ وﻟـﻴﻜﻦ ‪ ‬ﰱ ﻫـﺬﻩ اﳊﺎﻟـﺔ ﻳﺴـﺘﺨﺪم اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻻﺳـﻰ ﲟﻌﻠﻤﺘـﲔ واﻟـﺬى داﻟـﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘـﻪ‬ ‫اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﺗﺎﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪  x   ‬‬ ‫‪ 1 exp  ‬‬ ‫‪ , x  ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪, e.w.‬‬

‫)‪f (x; , ‬‬ ‫‪0‬‬

‫)‪ (٩-١-٢‬اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ‪:Standard Exponential Distribution‬‬ ‫ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ ﺑﺎﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪, dx  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  0 ,   0  y  0.‬‬ ‫‪then :‬‬

‫‪let x  y  x ‬‬

‫‪y‬‬ ‫) ( ‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ e ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪g(y) ‬‬

‫‪ e y , y  0‬‬ ‫‪ 0 e.w.‬‬

‫اﻟﻤﺤﺎﻛﺎه‪:‬‬ ‫ﺳﻮف ﻧﺸﺮح طﺮﯾﻘﺘﯿﻦ ﻟﺘﻮﻟﯿﺪ ﺑﯿﺎﻧﺎت ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ اﻟﻘﯿﺎﺳﻰ وﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪاﻣﮭﺎ ﻻى ﺗﻮزﯾﻊ ﻛﻤﺎ ﺳﻨﺸ ﺎھﺪ‬ ‫ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ‪:‬‬

‫اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻻوﱃ ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺗﻣد ﻫذﻩ اﻟطرﯾﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪١٢٣‬‬

‫ﻟﯾﻛن ‪ Y‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة )‪ (0, 1‬أي أن ‪:‬‬ ‫) ‪Y ~ UNIF(0, 1‬‬

‫‪ ،‬ﻟـﺗﻛن )‪ F(x‬ﻟﻬـﺎ اﻟﺧﺻـﺎﺋص ﻟداﻟـﺔ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌـﻲ ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﺻـل‬

‫ﺣﯾـث ‪ ، F(b) = 1 , F(a) = 0‬وﺑﻔـرض أن )‪ F (x‬ﻣﺗ ازﯾـدة ﺑﺈﺿـطراد ﻣـن اﻟﻔﺗـرة ‪ a < x < b‬ﺣﯾـث ‪b ,‬‬ ‫‪ a‬ﻣـن اﻟﻣﻣﻛـن أن ﯾﻛوﻧـﺎن‬

‫‪, ‬‬

‫ﻋﻠـﻲ اﻟﺗـواﻟﻲ ‪ .‬وﻋﻠـﻲ ذﻟـك اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ ‪ X‬ﺣﯾـث )‪X  F1 (Y‬‬

‫ﻫو ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﺑداﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﺗﺟﻣﯾﻌﻲ )‪. F (x‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥ -٢‬‬ ‫إذا ﻛــﺎن ‪ Y‬ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﻧــﺗظم ﻓــﻲ اﻟﻔﺗ ـرة )‪ (0,1‬أوﺟــد اﻟﺗﺣوﯾﻠــﺔ اﻟﺗــﻲ ﺗﺟﻌــل ‪ X‬ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻷﺳــﻲ‬ ‫ﺑﻣﻌﻠﻣﯾﺔ ‪ ‬؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪0 , x  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪FX  x   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  e  , x  0.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺑوﺿﻊ ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪Y  1 e‬‬

‫ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪X    ln 1 Y  .‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪. ‬‬ ‫ﺑﻔ ــرض أن ‪   1‬وﻧرﯾ ــد ﺗوﻟﯾ ــد ﻋﯾﻧ ــﺔ ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺔ ﻣ ــن اﻟﺣﺟ ــم ‪ n  10‬ﻣ ــن اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻻﺳ ــﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣ ــﻪ‬

‫‪ .   1‬أوﻻ ﻧوﻟد ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ‪ y1, y 2 ,..., y10‬ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ‪:‬‬

‫‪١٢٤‬‬

‫‪x1   ln(0.55463)  0.589‬‬

‫‪y1  0.55463‬‬

‫‪x 2   ln(0.15389)  1.872‬‬

‫‪y 2  0.15389‬‬

‫‪x 3  ln(0.85941)  0.151‬‬

‫‪y 3  0.85941‬‬

‫‪x 4   ln(0.05219)  0.492‬‬

‫‪y 4  0.61149‬‬

‫‪x 5   ln(0.05219)  2.053‬‬

‫‪y 5  0.05219‬‬

‫‪x 6  in(0.41417)  0.881‬‬

‫‪y 6  0.41417‬‬

‫‪x 7   ln(0.28357)  1.260‬‬

‫‪y 7  0.28357‬‬

‫‪x 8   ln(0.17783)  1.727‬‬

‫‪y8  0.17783‬‬

‫‪x 9   ln(0.40950)  0.893‬‬

‫‪y 9  0.40950‬‬

‫‪x10   ln(0.82995)  0.186‬‬

‫‪y10  0.82995‬‬

‫وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻰ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ‪:‬‬

‫‪x i  ln(1  y i ).‬‬

‫ﻧﺣﺻــل ﻋﻠــﻰ ‪ X1 ,X 2 ,...,X10‬ﺗﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺳــﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣــﺔ ‪.   1‬وﯾﻣﻛــن اﺧــذ اﻟﺗﺣوﯾﻠــﻪ ‪X   ln Y‬‬ ‫ﺑدﻻ ﻣن )‪ X   ln(1  Y‬وذﻟك ﻻن )‪ (1  Y‬اﯾﺿﺎ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ‪.‬‬ ‫اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ‪:‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ Y1  Y2  ...  Yn‬اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ ﻟﻌﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺗﻤﺜﻞ زﻣ ﻦ ﺣﯿ ﺎة ‪ n‬ﻣ ﻦ اﻟﻮﺣ ﺪات وھ ﻮ‬ ‫ﯾﺘﺒ ﻊ ﺗﻮزﯾ ﻊ ﻣﺘﺼ ﻞ ﻟ ﮫ داﻟ ﺔ ﻛﺜﺎﻓ ﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﯿ ﺔ )‪ f (x‬وداﻟ ﺔ اﻟﺘﻮزﯾ ﻊ )‪ . F(x‬إذا ﺗ ﻢ إﺟ ﺮاء اﻟﺘﺠﺮﺑ ﺔ وأﺧ ﺬ‬ ‫اﻟﻤﺸﺎھﺪات ﺑﺸﻜﻞ ﺗﺮﺗﯿﺒﻲ ﺣﺘﻰ ‪ k  n‬ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎھﺪات ﻟﺬا ﯾﻜ ﻮن ﻣ ﻦ اﻟﻤﺜﯿ ﺮ ﻟﻼھﺘﻤ ﺎم ﻣﺤﺎﻛ ﺎة اﻟﺘﺠﺮﺑ ﺔ وذﻟ ﻚ‬ ‫ﺑﺘﻮﻟﯿ ﺪ ﺑﯿﺎﻧ ﺎت ﺗﺘﺒ ﻊ اﻟﺘﻮزﯾ ﻊ وﻣﺮﺗﺒ ﺔ ﻣ ﻦ اﻷﺻ ﻐﺮ إﻟ ﻰ اﻷﻛﺒ ﺮ‪ .‬ﺳ ﻨﺤﺎول إﯾﺠ ﺎد اﻻﺣﺘﻤ ﺎل اﻟﺸ ﺮطﻲ ﻟ ـ ‪Yi 1‬‬ ‫ﺑﺸﺮط ‪Yi  y i‬‬ ‫) ‪g (y , y‬‬ ‫‪h  y i1 | yi   i,i1 i i1 ,‬‬ ‫) ‪g(yi‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪n i 1‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪f  yi  f  yi1   F  y i   1  F  y i1 ‬‬ ‫!)‪(i  1)!(n  i  1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a  y i  yi1  b,‬‬

‫‪g i,i1  yi , yi1  ‬‬

‫‪i 1‬‬ ‫‪n i‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪f  y i   F  yi   1  F  yi  .‬‬ ‫!)‪(i  1)!(n  i‬‬

‫‪١٢٥‬‬

‫‪gi  yi  ‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫) ‪g i,i1 (yi , yi1‬‬ ‫) ‪g(yi‬‬

‫‪h  yi1 | yi  ‬‬

‫‪n i 1‬‬

‫‪1  F(yi1 )‬‬ ‫) ‪ (n  i)f (yi1‬‬ ‫‪1  F(yi )ni‬‬

‫‪, y i  yi1  b.‬‬

‫وﻣﻨﮭﺎ ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ إﯾﺠﺎد داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻟﻺﺣﺼﺎء ‪ Yi1‬ﺑﺸﺮط ‪ Yi  y i‬ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪dw‬‬

‫‪yi 1‬‬

‫‪n i 1‬‬

‫)‪(n  i‬‬

‫‪f (w) 1  F(w) ‬‬ ‫‪1  F(y ) ‬‬ ‫‪n i‬‬

‫‪yi‬‬

‫‪yi 1‬‬

‫‪ 1  F(w)n i ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n  i   y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪1  F(yi )n i  1  F(yi1 )n i ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n i‬‬

‫‪, a  yi  yi1  b.‬‬

‫‪H  yi1 | y i  ‬‬

‫‪i‬‬

‫‪n  i‬‬ ‫‪1  F(yi )ni‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n i‬‬

‫‪1  F(yi )‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1  F(yi1 ) ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1  F(yi ) ‬‬

‫وﻟﺘﻮﻟﯿﺪ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﻧﺒﺪأ ﺑﺘﻮﻟﯿﺪ اﻟﻤﺸﺎھﺪة اﻷوﻟﻰ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﺣﯿﺚ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪F1:n (y1 )  1  1  F(y1 )  .‬‬

‫وﺑﺎﻋﺘﺒﺎر‪:‬‬ ‫‪v  F1:n (y1 ) ,‬‬

‫ﻧﺠﺪ إن ‪ V‬ﯾﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة )‪ (0,1‬وﻣﻦ اﻟﺴﮭﻞ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺎھﺪات ﺗﺘﺒﻊ‬ ‫اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ )ﻣﻦ اﻟﺠﺪاول أو ﺑﺎﻟﺤﺎﺳﻮب( وإذا ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺎھﺪة ‪ v‬ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ إﯾﺠ ﺎد ‪ y1‬ﻛﻤ ﺎ‬ ‫ﯾﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ 1  v  1  F(y1 ) ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪v  1  1  F(y1 ) ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1  v  n  1  F(y1 )‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ F(y1 )  1  1  v  n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y1  F 1  1  v  n  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫وﻣﻦ ﺛﻢ ﻧﻘﻮم ﺑﺘﻮﻟﯿﺪ اﻟﻤﺸﺎھﺪة ‪ yi1‬ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺸﺎھﺪة اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻟﮭﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪١٢٦‬‬

1  F(yi1 )   v 1    1  F(yi ) 

v  H(y i1 | yi )

1  F(y i1 )      1  F(y i ) 

n i

n i

1 v

1 1  F(y i1 )  n i    1  v     1  F(y i )  1

 1  F(yi1 )  1  F(yi ) 1  v  n i 1

 F(yi1 )  1  1  F(yi ) 1  v  n i 

1   yi1  F1 1  1  F(y i ) 1  v  n i  .  

‫ ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ ﺑﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎل‬n  5 ‫( ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ‬k  3) ‫ﻟﺘﻮﻟﻴﺪ اﳌﺸﺎﻫﺪات اﻟﺜﻼث اﻷوﱃ‬ : ‫ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ‬ e x , 0  x, f (x)    0 , e.w.

:‫وداﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ‬

1  e  x , 0  x, F(x)   , e.w. 0 :‫ ﻳﺘﺒﻊ اﻵﰐ‬v1  0.1514, v 2  0.6697, v3  0.0527 ‫وﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ اﻷرﻗﺎم اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ‬

x  F1 (w)   ln (1  w).

1  1  y1  F 1  1  v1  n    1  1   F 1  (1  0.1514) 5     F1 (0.0323)   ln(1  0.0323) y1  0.0328,

:‫وﻫﺬﻩ ﻫﻰ اﳌﺸﺎﻫﺪة اﻷوﱃ وﳝﻜﻦ ﻣﻨﻬﺎ إﳚﺎد اﳌﺸﺎﻫﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬ ١٢٧

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪y 2  F 1  1  F  y1   (1  v 2 ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ F 1   exp( 0.0328) (1  0.6697) 4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ F1 1  (0.9677)(0.7581)‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪ F1 (0.2664‬‬ ‫)‪  ln (1  0.2664‬‬ ‫‪ y 2  0.3098.‬‬

‫وﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﳌﺸﺎﻫﺪة اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y 3  F 1  exp(0.3098) (1  0.0527) 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ F1 1  (0.7336)(0.9821)‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪ F1 (0.2795‬‬ ‫)‪  ln(1  0.2795‬‬ ‫‪y 3  0.3278.‬‬

‫وﻃﺒﻌﺎ ﻣﻦ اﳌﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺎﻫﺪات ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ واﺣﺪة او ﻣﻌﻠﻤﺘﲔ ‪.‬‬

‫)‪ (٢-٢‬ﺗﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ ‪Weibull Distribution‬‬ ‫)‪ (١-٢-٢‬داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل‬ ‫‪‬‬ ‫‪exp    x   . x  0 ,   0,   0.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪ (٢-٢-٢‬داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ‬ ‫داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻟﺘﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪١٢٨‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f (x)    x ‬‬

x 1

F(x)     t  0

let :



 t 

 exp    t   dt  

 t   u

u 

1 

,

1

 t   1u  , 1 1 1  dt   1 u  du.   x 

F(x) 



1

 

 u

0

1 

 1  1 1 exp   u   1   u  du 

 x 





exp   u  du

0

 x 

exp   u   1 0

exp    x    1     1  F(x)  1  exp    x      0 e.w.

x  0,

‫( اﻟﻌﺰوم‬٣-٢-٢)

 1

r

r  E(X )   x r   x  0

١٢٩

 exp    x   dx.  

let :



 t   u, 

1

 x   u  , 1

 x   1u  , 1 1 1  dx   1 u  du.  

1 r 1 1 1 1 r    1u  (u  )1 exp   u  1 u  du  0





 r

r 

   u exp( u) du 0

r     1 r      r    1   r     1 

1 1   1 ,    

2 

1 2   1 ,  2   

3 

1 3   1 ,  3   

4 

1 4   1 .  4   

, r  1,2,...

2

2  E(X 2 )   E(X)   2   2

2

2   1     1     1       2             1  1  2   2     1   2   1  .         3   3  3 2  2 3 ,  4   4  43  6 2  3 4 . ١٣٠

‫( ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ وﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﻟﺘﻮاء‬٤-٢-٢) 3 

3 , 32 2

4 

4 .  22

.  4 ,  3 ‫اﳌﻄﻠﻮب إﳚﺎد‬ 1  3 3  1   2  2 3 1   1   1  1   1  3     3        3   

3  

 1  2  1  1   3  1    3 1    1    2 3 1    .

3             

 4   4  43  6 2  3 4 

1  4 4  1  3 6  1  2 3 4 1  1   1  1   1  1   1  4     4        4        4   



1   4  1  3  1  2 1  4  1   4  1   1   6  1   1   3  1              .  4              

3 

3 3  3   2 3 2

 3  1  2  1  1    3 1    1    23 1         .   32   2 1  2   1     1         

١٣١

4 

4 2 2

 

 4  1  3  1  2  1  1    4 1    1    6  1     1    3 4  1             .   2   2 1  2   1     1         

‫( اﻟﻤﻨﻮال واﻟﻮﺳﻴﻂ‬٥-٢-٢) : ‫ﳝﻜﻦ إﳚﺎد اﻟﻮﺳﻴﻂ ﲝﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬  F(m)  0.5  1  exp    m    0.5     exp    m    1  0.5     exp    m    0.5   

   m   ln 0.5 



 m 

 ln 2 1

 m   ln 2    m

1 1  ln 2   . 

: ‫أﻣﺎ اﳌﻨﻮال ﻓﻴﻤﻜﻦ إﳚﺎدﻩ ﲝﺴﺎب اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ ﻟﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل‬

١٣٢

1

f  t 0     t 0 

 exp    t 0   ,    2

f   t 0      1   t 0 

 1 1  exp    t 0      t 0    t 0  exp    t 0      

  2 2  2  exp    t 0    2   1  t 0     t 0         2   exp    t 0    2  t 0     1    t 0   ,       2  f   t 0   0  exp    t 0    2  t 0    1    t 0    0    

 t0  0 



  1    t 0 

0



   t 0     1 



 t 0 



 1 

  1  t 0      

1 

1

1   1   t0   .    

Percentiles ‫( اﻟﻤﺌﻴﻨﺎت‬٦-٢-٢)

: ‫ ﳓﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬100p ‫ﻹﳚﺎد اﳌﺌﲔ ذو اﻟﺮﺗﺒﺔ‬  F(x p )  p  1  exp   x p    p     exp    x p    1  p   

   x p   ln 1  p  



 x  p

  ln 1  p  1

 x p    ln 1  p    1 1   x p    ln 1  p   . 

(‫ ﻣﻌﺎﻟﻢ‬٣‫( ﺗﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ اﻟﻌﺎم )ﺑـ‬٣-٢) ١٣٣

‫( داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل‬١-٣-٢) : ‫ ﻓﺈن‬ ,   0 ,   0 ‫ ﻣﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ ﺑﺎﳌﻌﺎﱂ‬X ‫إذا ﻛﺎن‬ 

 X   Y  .   

: ‫ﻟﻪ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ﺑﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎل‬ g(y)  e y , y  0.

: ‫ اﻟﺬي ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ ﻫﻲ‬X ‫وﻋﻨﺪﻫﺎ ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ‬ 

1

 x  f (x)      

e

 x       

, x  .

:‫اﻟﺒﺮھﺎن‬ 

 x  let :   y   

x y 



1 

1 

1

1 1  x   y   , dx   y  dy  1

1

 (1)  1 g(y)  y  e  y y     e y

, y  0.

 0 , e.w.

‫( داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ‬٢-٣-٢) x

F(x)   f (t)dt 

 t           t       





1

x





e  y dy

0

 e

 t    y    0

١٣٤



.

e

 t       

dt

 F(x)

1 e

0

,

 x       



,

x

x  .

‫( اﻟﻤﻨﻮال واﻟﻮﺳﻴﻂ‬٣-٣-٢)

‫ وﻳﻜـﻮن ﳍـﺎ ﻣﻨـﻮال وﺣﻴـﺪ‬، x   ‫ ﻋﻨـﺪﻣﺎ‬ ‫ ﻓﺈن داﻟـﺔ ﻛﺜﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺘﻤـﺎل ﻟﺘﻮزﻳـﻊ واﻳﺒـﻞ ﺗﻘـﱰب ﻣـﻦ‬  1 ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬

:‫ﻫﻮ‬

1 

  1  x     .   

:‫اﻟﺒﺮھﺎن‬

:‫ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬f (x) ‫ اﻟﱵ ﺗﻌﻄﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬x ‫ﻧﻮﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ‬ d  (  1)  x    f (x)    dx      1

 x       



 2

e

 x       

 x       

1

e

 x       





  x     x        .  (  1)      e      d :‫ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬f (x)  0 ‫ﻧﻀﻊ‬ dx   x  x   or (  1)      0.    :‫ وﻫﻲ ﻟﻴﺴﺖ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻓﺈن‬f (x)  0 ‫ ﻳﻌﻄﻴﻨﺎ‬x   ‫وﺣﻴﺚ إن‬

  x   2     



 x  (  1)     0   

 2



 x    (  1)         

x     1      

1 

1 

  1  x      ,   1.   

‫ ﺣﻴـﺚ ﺗﻜـﻮن‬x   ‫ ﻓـﺈن اﳌﻨـﻮال ﻫـﻮ‬0    1 ‫ أﻣـﺎ ﻋﻨـﺪﻣﺎ‬.    ‫ ﻋﻨـﺪﻣﺎ‬   ‫وﻫﺬﻩ اﻟﻘﻴﻤـﺔ ﺗـﺆول إﱃ‬ . x   ‫ داﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻟﻜﻞ‬f (x) ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ١٣٥

:‫وﻣﻦ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﳝﻜﻨﻨﺎ إﳚﺎد اﻟﻮﺳﻴﻂ ﺑﻮﺿﻊ‬  m     



 1 F(m)   1 e  2

 e

 m       



1 2





1 2 

 m        ln 2    1 m    ln 2    1

 m    ln 2    .

‫ وﻟـﻪ داﻟـﺔ ﻛﺜﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺘﻤـﺎل وداﻟـﺔ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ‬  1 ,   0 ‫وﳝﻜﻦ اﳊﺼـﻮل ﻋﻠـﻰ اﻟﺸـﻜﻞ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻲ ﻟﻠﺘﻮزﻳـﻊ ﺑﻮﺿـﻊ‬ :‫اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ f (x)   x 1e  x



, x0,0

0

e.w.

and : F(x)  1  e  x 0



x0 x  0.

:‫( اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ‬٤-٣-٢) 

 x  k  E(X )   x      A k

1

k



 x  y    



  x     exp     dx.     

1 

1

 1 x   y   , dx  y  dy.  1

 1  k  k   ( y  )  y     0 



1 

1 

k

1

1  y

1

  1 e y dy  y

1 1 

  ( y  ) y e y dy 0



1 

  ( y  )k e y dy 0

١٣٦

j

 k  j k j   y        y e dy. j0  j  0 k k  k      jk  j  j  1 j 0  j  k

k  1,2,3,

,

k  1 ,        1  1 , k  2 , 2  E(X 2 )  2  2   1  1  2  2  1 , 2

Var(X)  E(X 2 )   E(X) 

 2  2   1  1  2  2  1 2  2  2   1  1  2   1  1   







 2   2  1    1  1



 .

2

‫( ﺑﻌﺾ اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﻴﺒﻴﺔ‬٥-٣-٢) ‫ ﻣﻌ ـ ــﺎﱂ( وﻟ ـ ــﺘﻜﻦ‬٣‫ ﻣﺘﻐـ ـ ـﲑات ﻋﺸـ ـ ـﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴ ـ ــﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘ ـ ــﺔ وﺗﺘﺒ ـ ــﻊ ﺗﻮزﻳ ـ ــﻊ واﻳﺒ ـ ــﻞ )ﺑ ـ ـ ـ‬X1 ,X 2 ,,X n ‫ﻟ ـ ــﺘﻜﻦ‬ :‫ ﻫﻲ‬Y1 ‫ ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻷﺻﻐﺮﻫﺎ‬.‫ اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﳍﺎ‬Y1  Y2    Yn n 1

g Y1 (y)  n 1  F(y)    y   n e    



  

f (y)

n 1

n  y          

 y       1

e

 y   n     

1

e

 y       





,

x

‫ ﻟﻌﻴﻨــﺔ ﺗﺘﺒــﻊ ﺗﻮزﻳــﻊ واﻳﺒــﻞ‬Yr ‫ ﺳــﻨﻮﺟﺪ أوﻻً ﺗﻮزﻳــﻊ اﻹﺣﺼــﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴــﺔ‬Yr ‫وﺣﻴــﺚ إﻧــﻪ ﻣــﻦ اﻟﺼــﻌﺐ إﳚــﺎد ﺗﻮزﻳــﻊ‬ :‫ اﻟﺬي ﻟﻪ داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ واﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬  1 ,   0 ‫اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ﲟﻌﺎﱂ‬ f (x)   x 1e  x



0 F(x)  1  e  x 0

, x0,0 e.w.



x0 x  0.

١٣٧

‫وﻣﻦ ﰒ ﺳﻨﺴﺘﺨﺪم اﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﳋﻄﻴﺔ ‪ Yr     Yr‬ﻹﳚﺎد ﺗﻮزﻳﻊ ‪ . Yr‬ﺣﻴﺚ داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴـﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐـﲑ‬ ‫‪ (1  r  n) Yr‬ﺗﻌﻄﻰ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪r 1‬‬ ‫‪n r‬‬ ‫‪f (y)  F(y)  1  F(y) ‬‬ ‫!)‪(r  1)!(n  r‬‬ ‫‪n r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ r 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪e x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x 1e  x 1  e  x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫!)‪(r  1)!(n  r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ r 1‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x 1e  (n r 1)x 1  e  x‬‬ ‫!)‪(r  1)!(n  r‬‬ ‫أﻣﺎ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ‪ Yr‬ﻓﻬﻰ ‪:‬‬

‫‪g Yr (y) ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪(y)dy‬‬

‫‪k‬‬

‫‪Yr‬‬

‫‪yg‬‬

‫‪E (Yr)k  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪r 1‬‬

‫‪dy‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪ y1e (n r 1) y 1  e  y‬‬ ‫!)‪(r  1)!(n  r‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ y k 1 e  (n r 1) y dy‬‬

‫‪r 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪  yk‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫!‪n‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪(r  1)!(n  r)! 0‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪r 1‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪k 1  ( j n  r 1) y‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪(r  1)!(n  r)! j0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1 1‬‬

‫‪, dy  1 u  du‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪y  u‬‬

‫‪‬‬

‫‪u  y‬‬

‫‪‬‬

‫‪r 1‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(1) j  u  e  ( jn r 1)u du‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(r  1)!(n  r)! j0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪, k  1,2,3,‬‬

‫‪r 1‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪(1) j‬‬ ‫‪  k  1 ‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫!)‪(r  1)!(n  r‬‬ ‫)‪j0 ( j  n  r  1‬‬

‫‪‬‬

‫وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﲤﻜﻦ ‪ (1955)Lieblein‬و ‪ (1967) Weibull‬ﻣﻦ وﺿـﻊ ﺟـﺪاول ﳌﺘﻮﺳـﻄﺎت‬ ‫وﺗﺒﺎﻳﻨ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎت اﻹﺣﺼ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ ﻟ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ‪ n  5(5) 20‬و ‪ . 1  .1(.1)1.0‬ﻛﻤ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎ ﻗ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎم‬ ‫‪ (1968)Joshi , Govindarajulu‬ﺑﻌ ــﺪ ذﻟ ــﻚ ﺑﻮﺿ ــﻊ ﺟ ــﺪاول ﻟ ـ ـ ‪ n  10‬و ‪ .   1,2, 2.5,3(1)10‬ﻛﻤ ــﺎ‬ ‫وﺿـ ـ ـ ــﻊ ‪ (1970) Harter‬ﺟـ ـ ـ ــﺪاول أﺧـ ـ ـ ــﺮى ﳌﺘﻮﺳـ ـ ـ ــﻄﺎت اﻹﺣﺼـ ـ ـ ــﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴـ ـ ـ ــﺔ ﻟﻌﻴﻨـ ـ ـ ــﺎت ﺣـ ـ ـ ــﱴ ‪ n  40‬و‬ ‫‪   .5(.5) 4(1)8‬ﺑﻌــﺪﻫﺎ ﲤﻜــﻦ ‪ (1993)Chan , Balakrishnan‬ﻣــﻦ وﺿــﻊ ﺟــﺪول ﳌﺘﻮﺳــﻄﺎت وﺗﺒﺎﻳﻨــﺎت‬ ‫‪1 1 1 1‬‬ ‫‪5 4 3 2‬‬

‫ﻛﻞ اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﻟـ ‪ n‬ﺣﱴ ‪ 20‬و ‪.   , , , ,1.5(.5)3,4(2)10‬‬ ‫‪١٣٨‬‬

‫)‪(٦-٣-٢‬اﻟﻤﺤﺎﻛﺎه‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦ -٢‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬

‫‪   1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   x exp (x / )  , 0 < x < ‬‬ ‫‪f (x)    ‬‬ ‫‪0 ,‬‬ ‫‪e.w.‬‬ ‫‪‬‬ ‫اﺷرح ﻛﯾﻔﯾﺔ ﺗوﻟﯾد ﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻰ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫ﺑوﺿﻊ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  X  ‬‬ ‫‪F(X)  1  exp     ,‬‬ ‫‪    ‬‬

‫‪0 < X < .‬‬

‫أذن‪:‬‬

‫‪  X  ‬‬ ‫‪Y  1  exp    ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪  X  ‬‬ ‫‪1  y  exp    ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪  X  ‬‬ ‫‪ln(1  Y)     ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪ ln(1  Y)   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪( ln(1  Y))  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪( ln(1  Y))  X‬‬ ‫وﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻓﻰ ﺗوﻟﯾد ‪ n‬ﻣن اﻟﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ) ‪ Y‬ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم (‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪(  ln y)  x.‬‬ ‫‪١٣٩‬‬

Extreme Value ‫( ﺗﻮزﻳﻊ‬٤-٢) ‫(داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل‬١-٤-٢) :‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

: ‫ ﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ ﺑـﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎل‬T ‫إذا ﻛﺎن اﳌﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ‬ 1

f (t)     t 



e   t 

, t 0, 0,0

: ‫ ﺣﻴﺚ‬Extreme Value ‫ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ‬X  ln T ‫ﻓﺈن اﳌﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ‬ 1 u   ln   b  . 

:‫اﻟﺒﺮھﺎن‬ 1

f (x)     t  

1 b



e   t 

,   e u

x  ln t  t  e x

, dt  e x dx 1

1  u x 1b 1  e u e x  b x f (x)  e e e e  e b u

1

1 1  e x  u  b 1  e x u  e x u  b e b  x u   b 

1   e b 1 f (x)  e b

e

 x u    b 

 e

 x u       x  u   e b      b    

,    x  .

‫( داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ‬٢-٤-٢)

١٤٠

x

F(x) 

1

 be

 t u       t u  e b      b    



ze

 t u     b 

tu b

 ln z   x u    b 

e

F(x) 

 0

1 , dz  z dt b

1  ln z z  b e dz b z

 x u    e b 



e  z dz

 0

 xu    b 

 e

 z e

0

F(x)  1  e

 x u    b 

 e

,    x   , b  0.

u  0 , b  1 ‫ وﳝﻜــﻦ اﳊﺼــﻮل ﻋﻠــﻰ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳــﻲ ﺑﻮﺿــﻊ‬.‫ ﻣﻌﻠﻤــﺔ اﳌﻮﻗــﻊ‬u ‫ ﻣﻌﻠﻤــﺔ اﳌﻘﻴــﺎس و‬b ‫ﺣﻴــﺚ‬

‫وﻋﻨﺪﻫﺎ ﺗﻜﻮن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل‬

 x e  x

f (x)  e

,   x 

‫( اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ‬٣-٤-٢) : ‫ﺗﻌﻄﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬ 

M X (t) 

e

t x ( x ex )

e

dx



y  ex

 x  ln y , dx  

1 M X (t)   y t e (ln y  y) dy y 0 

  y t 1 y e y dy 0



  y t e  y dy 0

 (t  1). ١٤١

dy . y

M(t)  (t  1)  M(0)  (1) E(T)  (1)    0.5772 M(t)  (t  1) 2 M(0)  (1)    2 .

6 2  2 Var(T)    2   2  .

6 6

‫ ﻳﺘﺒــﻊ ﺗﻮزﻳــﻊ‬X ‫ ﻋﻨــﺪﻫﺎ ﻓــﺈن‬،‫ ﻣﺘﻐــﲑ ﻋﺸ ـﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒــﻊ ﺗﻮزﻳــﻊ اﻟﻘــﻴﻢ اﳊﺮﺟــﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳــﻲ‬T ‫ ﺣﻴــﺚ‬T 

Xu ‫وﻟــﻴﻜﻦ‬ b

. u,b ‫اﻟﻘﻴﻢ اﳊﺮﺟﺔ ﺑﺎﳌﻌﺎﱂ‬ E(X)  b( )  u 2 V ar(X)  b Var(T)  b .

6 2

2

Percentiles ‫( اﻟﻤﺌﻴﻨﺎت‬٤-٤-٢) : ‫ ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬100p ‫وﻳﻌﻄﻰ اﳌﺌﲔ ذو اﻟﺮﺗﺒﺔ‬ F(x p )  p

 1 e

 xp u    b 

 e

 1 p  e

p

 xp  u    b   e

 x p u     b 

 ln(1  p)  e

  ln(1  p)  e

 x p u     b 

 ln( ln(1  p)) 

xp  u

b  x p  bln( ln(1  p))  u.

‫( ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ‬٥-٢) ١٤٢

‫ﻳﻌﺘﱪ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﻣﻦ اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﻟﺸﺎﺋﻌﺔ اﻻﺳﺘﺨﺪام ﰲ اﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ﻓﻜﺜﲑ ﻣﻦ اﳌﺘﻐﲑات اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣـﺎ‬ ‫ﻣﺜﻞ زﻣﻦ اﳋﺪﻣﺔ ﰲ ﻣﺮﻛﺰ ﻟﻠﺒﻴﻊ أو اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻼزم ﻹﻋﺎدة ﲡﺪﻳﺪ ﺳﻴﺎرة‪.‬‬

‫)‪ (١-٥-٢‬داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل وداﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ‬

‫ﻳﻘﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ‪ X‬أﻧﻪ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ‪ k  0‬و ‪   0‬إذا ﻛﺎن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘﻪ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻋﻠـﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‪:‬‬ ‫‪x0‬‬

‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k 1 ‬‬ ‫‪f (x)  k‬‬ ‫‪x e‬‬ ‫)‪ (k‬‬

‫وداﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ﻟﻪ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k 1 ‬‬ ‫‪F(x)   k‬‬ ‫‪t e dt.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(k‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪t‬‬ ‫‪‬‬

‫وﺑﻮﺿﻊ ‪ u ‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪F(x)  F( ,1, k).‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺗﺴــﻤﻰ داﻟــﺔ ﺟﺎﻣــﺎ اﻟﻨﺎﻗﺼــﺔ واﻟــﱵ ﺗﻌﺘﻤــﺪ ﻋﻠــﻰ ‪ ‬ﻓﻘــﻂ وذﻟــﻚ ﻣــﻦ ﺧــﻼل اﳌﺘﻐــﲑ‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪ F(x‬ﻟﻘــﻴﻢ ﳐﺘﻠﻔــﺔ ﻣــﻦ ) ‪ . (k ,‬وﻋﻤﻮﻣــﺎً داﻟــﺔ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ ﻟﻠﻤﺘﻐــﲑ ‪ X‬ﻻ ﳝﻜــﻦ وﺿــﻌﻬﺎ ﰲ ﺷــﻜﻞ ﺻــﻴﻐﺔ وﻟﻜــﻦ إذا‬ ‫‪‬‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ ‪ k‬ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻓﺈن اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﳝﻜﻦ اﻟﺘﻌﺒﲑ ﻋﻨﻪ ﻛﻤﺠﻤﻮع ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬

‫وﻫﻨــﺎك ﺟــﺪاول ﳊﺴــﺎب‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ ‪:‬‬ ‫‪(x ) j  x ‬‬ ‫‪F(x)  1  ‬‬ ‫‪e .‬‬ ‫!‪j‬‬ ‫‪j0‬‬ ‫‪k 1‬‬

‫اﻟﺒﺮھﺎن‪:‬‬

‫‪١٤٣‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪e u du‬‬

‫‪k 1‬‬

‫‪u‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪k 2  u‬‬

‫‪e du.‬‬

‫‪u‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x ‬‬ ‫‪k 2  u‬‬

‫‪e du‬‬

‫‪u‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪F(x) ‬‬ ‫)‪(k‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪1 k 1  u‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u e‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(k‬‬ ‫)‪(k‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪(x ) k 1 x ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫!)‪(k  1‬‬ ‫)‪(k  1‬‬

‫وذﻟﻚ ﺑﺈﺟﺮاء اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﳉﺰﺋﻲ واﺳﺘﺨﺪام ﺣﻘﻴﻘﺔ أن ‪:‬‬ ‫!)‪ (k)  (k  1) (k  1)  (k  1‬‬

‫وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﺠﺰيء )‪ (k  1‬ﻣﻦ اﳌﺮات ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪x ‬‬

‫‪du‬‬

‫‪u‬‬

‫‪e‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪(x ) j x ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪F(x; ,k)  ‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫!‪j‬‬ ‫)‪ (1‬‬ ‫‪j1‬‬ ‫‪k 1‬‬

‫‪j‬‬

‫‪k 1‬‬

‫‪(x )  x ‬‬ ‫‪e .‬‬ ‫!‪j‬‬ ‫‪j0‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻫﺬا ﻣﺴﺎوي ﻟﻼﺣﺘﻤﺎل )‪ P(Y  k‬ﺣﻴﺚ اﳌﺘﻐﲑ ‪ Y‬ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻮاﺳﻮن ﲟﺘﻮﺳﻂ ‪.  ‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(٧-٢‬‬ ‫إذا ﻛﺎن اﳌﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ‪ X‬ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ )‪ X ~ GAM(0.2,6‬أﺣﺴﺐ ‪. P  X  2‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪  0.2 , k  6‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6 1‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪P(X  2)   6‬‬ ‫‪x e dx‬‬ ‫)‪0.2  (6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10 j 10 ‬‬ ‫‪ 1  1  ‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫!‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10 10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e  0.067.‬‬ ‫!‪j 0 j‬‬

‫‪0.2‬‬ ‫وﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻩ ﻣﻦ ﺟﺪاول ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻮاﺳﻮن ﲟﺘﻮﺳﻂ ‪ 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪١٤٤‬‬

‫‪. ‬‬

‫( اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ‬٢-٥-٢) : ‫ﲢﺴﺐ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬ 

x  1 k 1  E(X )   x k x e dx  (k) 0 r

r



x  1 k  r 1   k x e dx  (k) 0



1 (k  r)  (k) (1 )k r



(k  r) r   (k)

k

, r  1, 2,....

: ‫ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰉ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬r  1 ‫وﺑﻮﺿﻊ‬ (k  1) k (k)    k , (k) (k) (k  2) 2 (k  1) k (k) 2 E(X 2 )      (k  1) k 2 , (k) (k) Var(X)  (k  1) k 2  k 2 2 E(X) 

 k 2 2  k 2  k 2 2  k 2 .

‫( اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم‬٣-٥-٢) 

x  1 tx k 1  M X (t)  E  e   k e x e dx   (k) 0 tX



1  (  t )x 1 k 1  k x e  dx  (k) 0

1  (k)  (k)  1  k   t   1 k   1   t  . k 1   t  

k

١٤٥

‫( اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ‬٤-٥-٢) : ‫ﻋﺮﻓﻨﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﺳﺒﻖ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﳌﺘﻮﺳﻂ واﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬ r r  r  E(X  ) r    () r  j  j j 0  j 

: ‫وﻣﻨﻬﺎ‬ r  r  E(X  k )    (  k ) r  j E(X j ) j 0  j  r r (k  j) j     (k ) r  j  (k) j 0  j  r

r

r r  r  r j     ( k)  (k  j).  (k) j0  j 

: r  3 ‫وﻋﻨﺪﻣﺎ‬ 3  

3 3  3  ( k)3 j (k  j)    (k) j0  j  3  k 3 (k)  3k 2(k  1)  3k (k  2)  (k  3)  (k)

 3   k 3  3k 3  k 2 (k  1)  k (k  1)(k  2)   2k 3.

: r  4 ‫وﻋﻨﺪﻣﺎ‬ 4  

4 4  4  ( k)4 j (k  j)    (k) j0  j  4  k 4 (k)  4k 3 (k  1)  6k 2 (k  2)  4k (k  3)  (k  4)  (k)

 4  k 4  4k 4  6k 3 (k  1)  4k 2 (k  1)(k  2)  k (k  1)(k  2)(k  3)   3k(k  2) 4

: ‫وﻣﻨﻬﺎ ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎب ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﻟﺘﻮاء وﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬

١٤٦

‫‪3‬‬ ‫‪2k 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3  3 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 4 3k(k  2) 4 3‬‬ ‫‪4  2 ‬‬ ‫‪ (k  2).‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬

‫)‪ (٦-٢‬ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ‬

‫ﻟﺘﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت واﺳﻌﺔ اﻻﻧﺘﺸﺎر ﰱ اﻟﺪراﺳﺎت اﻟﺘﺠﺎرﻳﺔ واﻻﻗﺘﺼﺎدﻳﺔ وﺗﻮزﻳﻌـﺎت اﻟﻜﺜﺎﻓـﺎت اﻟﺴـﻜﺎﻧﻴﺔ وﺑﻌـﺾ‬ ‫اﻟﻈﻮاﻫﺮ اﻟﺒﻴﻮﻟﻮﺟﻴﺔ واﻟﻔﻴﺰاﺋﻴﺔ وﻏﲑﻫﺎ‪ .‬وﻳﺴﺘﺨﺪم ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ ﰲ اﻟﻄﺐ ﺣﻴﺚ ﻳﺼﻒ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ﺑﻌﺪ ﻋﻤﻠﻴـﺔ زراﻋـﺔ‬ ‫اﻟﻘﻠﺐ‪.‬‬

‫)‪ (١-٦-٢‬داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل وداﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ‬

‫ﻳﻘ ــﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐ ــﲑ ‪ X‬أﻧ ــﻪ ﻳﺘﺒ ــﻊ ﺗﻮزﻳ ــﻊ ﺑ ــﺎرﻳﺘﻮ ﲟﻌﻠﻤﺘ ــﲔ ‪   0 ,   0‬إذا ﻛ ــﺎن داﻟ ــﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘ ــﻪ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴ ــﺔ ﻋﻠ ــﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‪:‬‬ ‫)‪ ( 1‬‬

‫‪, x0‬‬ ‫‪, e.w.‬‬

‫‪ x ‬‬ ‫‪f (x; , )  1  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬

‫) ‪ ‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس ‪  ،‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ (‬ ‫وداﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪dt.‬‬

‫)‪ ( 1‬‬

‫)‪ (  t‬‬

‫‪‬‬

‫‪F(x)  ‬‬

‫‪0‬‬

‫وﺑﺄﺧﺬ اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ‪:‬‬ ‫‪y    t  dy  dt.‬‬

‫‪١٤٧‬‬

 x

F(x)  





y  (1)dy



y    

 x





    (  x)     

     (  x) x 1       x  1  1    





, x  0.

‫( اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ‬٢-٦-٢) : ‫ﻳﺤﺴﺐ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‬ 

E(X)   



 x (  x)

 ( 1)

dx.

0

: ‫وﺑﺄﺧﺬ اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ‬ y    x  x  y   , dy  dx 

E(X)   



 (y  ) y

 ( 1)

dx





     y    y  ( 1)  dx 

١٤٨



 y 1  y          1     

 1 1          1   

    1    ,   (  1)   E(X)  ,   1.  1  2

E(X )   



x

2

(  x) ( 1) dx,

0

: ‫وﺑﺄﺧﺬ اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ‬

y    x  x  y   , dy  dx.  2

E(X )   



 (y  )

2

y  ( 1)dx





     (y 2  2y   2 ) y  ( 1)dx 



 



 (y

1

 2y    2 y 1 )dx





 y  2 2y 1  2 y          2   1     

  2 2 2  2             2   1 2 1  1   2       2  1   2 2  . (  2)(  1) 

١٤٩

2

Var(X)  E(X 2 )   E(X) 

2 2 2  2   (  2)(  1) (  1)2 (  2)(  1) 2

,   2.

Percentiles ‫( اﻟﻤﺌﻴﻨﺎت‬٣-٦-٢) : ‫ ﳓﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ‬100p ‫ﻹﳚﺎد اﳌﺌﲔ ذو اﻟﺮﺗﺒﺔ‬  x   1  1  p   

F(x p )  p



p



   

 xp  1     1  p   1 x  1  p  1  p    1 xp    1  p   1  1    x p   1  p    1 .  

‫( ﺷﻜﻞ أﺧﺮ ﻟﺘﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ‬٤-٦-٢) f (x)  kk x (k1)

 0, k 0, x 

x

F(x)    t  ( 1) dt  11  t   

x



  k  x       1   x



,   0 ,   0 , x  .

.‫ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس و‬ ‫ﺣﻴﺚ‬ ln X  Y ,   e ‫ﻟﻨﺄﺧﺬ اﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ‬ ١٥٠

‫‪x  e y  dx  e ydy‬‬

‫وﻣﻨﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ‪ Y‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪f1 (y)  k e  y(1)e y‬‬ ‫‪  e  e  y‬‬ ‫‪,   y   ,   0.‬‬

‫) ‪ k e  ( y ‬‬

‫ﻻﺣﻆ إﻧﺎ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ‪ .‬وﻫﺬﻩ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﻮﺛﻴﻘﺔ ﺑﲔ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ و‬ ‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ ﳝﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪﻣﻬﺎ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺧﺼﺎﺋﺺ وﻧﺘﺎﺋﺞ ﻛﺜﲑة ﻟﺘﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ اﻋﺘﻤﺎداً ﻋﻠﻰ ﺧﺼﺎﺋﺺ وﻧﺘـﺎﺋﺞ‬ ‫ﻣﺴﺘﺨﻠﺼﺔ ﻣﻦ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ‪.‬‬ ‫اﻟﻌﺰم اﳌﺮﻛﺰي ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ ﳍﺬا اﻟﺸﻜﻞ ﻫﻮ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E(X )   1  ‬‬ ‫‪, r‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪Var(X) ‬‬ ‫‪,   2.‬‬ ‫‪(  2)(  1) 2‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫أﻳﻀﺎً اﻹﻟﺘﻮاء ‪  3‬و اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ ‪  4‬ﻳﻌﻄﻴﺎ ﻣﻦ ‪:‬‬ ‫‪, 3‬‬ ‫‪, 4‬‬

‫‪ 1   2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪3(  2)(3 2    2‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫)‪ (  3)(  4‬‬ ‫‪3  2‬‬

‫اﻋﺘﻤﺎداً ﻋﻠﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻛﺎﻣﻠﺔ ‪ X1 ,X 2 ,,X n‬ﻣﻦ ﺗﻮزﻳـﻊ ﺑـﺎرﻳﺘﻮ ﳝﻜـﻦ اﳊﺼـﻮل ﻋﻠـﻰ ﺗﻘـﺪﻳﺮات اﻹﻣﻜـﺎن اﻷﻛـﱪ‬ ‫ﳌﻌﺎﱂ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ ˆ‪ ˆ , ‬ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻵﺗﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪، ˆ  min(X i ).‬‬

‫‪ n  X ‬‬ ‫‪ˆ  n  ln  i  ‬‬ ‫‪ i1  ˆ  ‬‬

‫)‪ (٧-٢‬ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻲ‪:‬‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ‪ X‬ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻲ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫‪x .‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1  (x  )2‬‬

‫‪١٥١‬‬

‫‪f (x; ) ‬‬

‫ﻳﺸﺒﻪ ﺑﻴﺎن داﻟﺔ ﻛﻮﺷﻲ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﰲ أﻧﻪ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ‪ .‬ﻫﻨﺎ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷـﻲ ﻣﺘﻤﺎﺛـﻞ ﺣـﻮل ‪ . ‬وﻋﻠـﻰ‬ ‫ذﻟﻚ ﺗﻌﺘﱪ ‪ ‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ ﳍـﺬا اﻟﺘﻮزﻳـﻊ‪ .‬واﻟﺸـﻜﻞ اﻟﺘـﺎﱄ ﻳﻮﺿـﺢ داﻟـﺔ ﻛﻮﺷـﻲ ﻣـﻊ داﻟـﺔ ﻛﺜﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺘﻤـﺎل ﳌﺘﻐـﲑ ﻳﺘﺒـﻊ‬ ‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.25‬‬ ‫‪.2‬‬

‫‪  0 ,   1/.67449‬‬

‫‪.15‬‬ ‫‪.1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪.05‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻲ ﻓﺈن ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ ﻏﲑ ﻣﻮﺟﻮد‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪  E(X)   x f (x, )dx  ‬‬ ‫‪dx.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ‪:‬‬ ‫‪y    x , dy  dx.‬‬

‫‪x  y ‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪1 (y  ‬‬ ‫‪ 1  y2 dy‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪  E(X) ‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪dy  ‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  1  y‬‬ ‫‪  1  y 2‬‬ ‫‪h‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ lim ln(1  y 2 )  ‬‬ ‫‪ h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪      .‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻗﻴﻤﺔ ﻏﲑ ﻣﻌﺮﻓﺔ‪.‬‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ‪ X‬ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻲ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ﻳﺄﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ‪:‬‬ ‫‪,  x  .‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪   (x  ) 2‬‬

‫‪f (x; , ) ‬‬

‫اﻟﺪاﻟــﺔ اﳌﻮﻟــﺪة ﻟﻠﻌــﺰوم ﻟﻠﺪاﻟــﺔ )‪ f (x; , ‬ﻏــﲑ ﻣﻌﺮﻓــﺔ وﻛــﺬﻟﻚ ﻛــﻞ اﻟﻌــﺰوم‪ .‬واﻟﻮﺳــﻴﻂ ﳝﻜــﻦ اﳊﺼــﻮل ﻋﻠﻴــﻪ ﲝــﻞ‬ ‫اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F(m0 )   2‬‬ ‫‪dx  0.5‬‬ ‫‪    (x  )2‬‬

‫‪١٥٢‬‬

‫‪m0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ x   ‬‬ ‫‪  tan 1 ‬‬ ‫‪   0.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    ‬‬

‫‪1  1  m 0    ‬‬ ‫‪tan ‬‬ ‫‪   0.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫أو ‪. m 0  ‬‬ ‫وﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﳌﻨﻮال ﲝﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ‪:‬‬

‫وﻣﻨﻬﺎ ‪ m  ‬ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪. m  ‬‬

‫‪ 1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d    2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪      (m  )    0,‬‬ ‫‪dx‬‬

‫)‪d 2 f (x; , ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪dx 2‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٨ -٢‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب ﺗوﻟﯾد )ﻣﺣﺎﻛﺎﻩ( ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n = 10‬ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻲ ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫أن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻰ ﻋﻧدﻣﺎ ‪   0‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪F(x)  (Arc tan x  )   ,    x  .‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ٕواذا ﻛﺎن ‪ Y‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة ) ‪ ( 0, 1‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪y  (Arc tan x  )  .‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ﺗﻛﺎﻓﺊ أن ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  tan  y   .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﯾﻌطﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻗﯾم ﻋﺷرة أرﻗﺎم ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﻣود اﻷﺧﯾر ﻓﻲ ﺟدول اﻷرﻗﺎم اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻓﻲ اى‬ ‫ﻛﺗﺎب وذﻟك ﺑﻌد ﻗﺳﻣﺔ ﻛل رﻗم ﻋﻠﻲ ‪ 10 4‬ﻣﻊ ﻗﯾم ‪ x‬اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪١٥٣‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0.1514‬‬ ‫‪0.6697‬‬ ‫‪0.0527‬‬ ‫‪0.4749‬‬ ‫‪0.2900‬‬ ‫‪0.2354‬‬ ‫‪0.9662‬‬ ‫‪0.0043‬‬ ‫‪0.1003‬‬ ‫‪0.9192‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪-1.9415‬‬ ‫‪0.5901‬‬ ‫‪-5.9847‬‬ ‫‪-0.0790‬‬ ‫‪-0.7757‬‬ ‫‪-1.0962‬‬ ‫‪9.3820‬‬ ‫‪-74.021‬‬ ‫‪-3.0678‬‬ ‫‪3.8595‬‬

‫)‪ (٨-٢‬اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ‬ ‫ﯾﻘﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ‪ X‬أﻧﮫ ﯾﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘ ﯿﻦ ‪، 2 , ‬وﻟﻼﺧﺘﺼ ﺎر ﯾﻜﺘ ﺐ ) ‪X  N(, 2‬‬ ‫‪ ،‬إذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘﮫ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬ ‫‪, - < x <  ( - <  < ,0 <  2 ) .‬‬

‫‪1 (x  ) 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪f (x; ,  2 ) ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪2‬‬

‫و ﻋﻨﺪ ﺗﻤﺜﯿﻠﮭﺎ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ ً ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺟﺮس وداﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻟﮫ ھﻰ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪F(x) ‬‬ ‫‪e 2 du .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬

‫ﻛﻼ ً ﻣﻦ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ و اﻟﻮﺳﯿﻂ و اﻟﻤﻨﻮال ﯾﺄﺧﺬ اﻟﻘﯿﻤﺔ ‪ ، ‬و اﻟﺘﺒ ﺎﯾﻦ ‪ .  2‬ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﻟﺘ ﻮاء ﯾﺄﺧ ﺬ اﻟﻘﯿﻤ ﺔ‬ ‫ﺻ ﻔﺮ ذﻟ ﻚ ﻷن اﻟﺘﻮزﯾ ﻊ اﻟﻄﺒﯿﻌ ﻲ ﺗﻮزﯾ ﻊ ﻣﺘﻤﺎﺛ ﻞ ﺣ ﻮل اﻟﻤﺘﻮﺳ ﻂ وﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻟ ﺘﻔﻠﻄﺢ ﯾﺎﺧ ﺬ اﻟﻘﯿﻤ ﺔ ‪ . 3‬اﻟﺪاﻟ ﺔ‬ ‫اﻟﻤﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﺗﺎﺧﺬ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪2 t 2‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬

‫‪( t ‬‬

‫‪M X (t)  e‬‬

‫)‪ (٩-٢‬ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﻌﻜﻮس ﺟﺎﻣﺎ‬ ‫‪١٥٤‬‬

‫ﯾﻘﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ‪ X‬أﻧﮫ ﯾﺘﺒﻊ ﺗﻮزﯾﻊ ﻣﻌﻜﻮس ﺟﺎﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘﮫ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ‪:‬‬

‫‪(  ,   0) .‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪e , x0‬‬

‫‪‬‬ ‫‪f (x;  , )  [ ()]  ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﺘﺠﻤﯿﻌﻲ ﺗﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ (,‬‬ ‫‪x .‬‬ ‫) ‪ (‬‬

‫اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ 1‬‬

‫‪for  > 1 .‬‬

‫اﻟﻤﻨﻮال ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 1‬‬

‫اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪(  1)2 (  2‬‬

‫‪for  > 2 .‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﻟﺘﻮاء ‪:‬‬ ‫‪ >3.‬‬

‫‪4 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪for‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ ‪:‬‬ ‫‪for  > 4 .‬‬

‫‪30  66‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪(  3)(  4‬‬ ‫‪١٥٥‬‬

‫)‪ (١٠-٢‬اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ‬

‫اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ‪ lognormal distribution‬ﻣﻦ اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻹﺣﺼﺎﺋﯿﺔ اﻟﮭﺎﻣﺔ ‪ ،‬وﻟﮫ‬ ‫ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت ﻛﺜﯿﺮة ﻓﮭﻮ ﯾﺴﺘﺨﺪم ﻛﺘﻮزﯾﻊ ﻟﺰﻣﻦ اﻟﻔﺸﻞ ﻓﻲ اﺧﺘﺒﺎرات اﻟﺤﯿﺎة و ﯾﻌﺘﺒﺮ ﻣﻨﺎﻓﺲ ﻟﺘﻮزﯾﻊ و اﯾﺒﻞ ‪ ،‬و ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ‪ multiplicative process‬و ﻓﻲ ﻣﺠﺎل اﻟﺮادار ‪ ،‬و ﻓﻲ اﻟﻔﯿﺰﯾﺎء )ﺗﻮزﯾﻊ اﻟﺠﺰﯾﺌﺎت‬ ‫اﻟﺼﻐﯿﺮة ( ‪ ،‬و اﻻﻗﺘﺼﺎد و اﻷﻋﻤﺎل )اﻟﺪُﺧﻮل ( ‪ ،‬وﻓﻲ اﻷﺣﯿﺎء )ﻧﻤﻮ اﻷﺣﯿﺎء اﻟﺪﻗﯿﻘﺔ ( ‪ ،‬و ﻋﻠﻢ اﻟﺒﯿﺌﺔ ‪ ،‬و‬ ‫اﻟﺠﯿﻮﻟﻮﺟﯿﺎ ‪ ،‬و ﻋﻠﻢ اﻟﺒﯿﺌﺔ ‪ ،‬و اﻟﺠﯿﻮﻟﻮﺟﯿﺎ ‪ ،‬و ﻋﻠﻢ اﻟﻐﻼف اﻟﺠﻮي ‪ ،atmospheric sciences‬وﻗﺪ وﺻﻒ‬ ‫ﻛﺜﯿﺮﯾﻦ ﺗﻄﺒﯿﻖ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ﻓﻲ اﻟﻔﯿﺰﯾﺎء و اﻻﺟﺘﻤﺎع و اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت اﻟﺼﻨﺎﻋﯿﺔ و ﻣﺮاﻗﺒﺔ‬ ‫اﻟﺠﻮدة )‪.Aitchison & Brown (1957‬‬

‫اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ﺑﺜﻼث ﻣﻌﺎﻟﻢ ﻧﻤﻮذج ﺷﺎﺋﻊ اﻻﺳﺘﻌﻤﺎل ﻓﻲ اﻟﺼﻨﺎﻋﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﺮاد ﻗﯿﺎس ﻛﻤﯿﺔ‬ ‫ذات ﺻﻠﺔ ﺑﺎﻟﺪرﺟﺔ )اﻟﺴﻤﺎﻛﺔ( ﻣﺜﻞ اﻟﺒﻼﺳﺘﯿﻚ ‪ ،‬و ﻛﺬﻟﻚ ﻓﻲ ﺗﻮزﯾﻊ اﻷﻋﻤﺎر ‪ ،‬و ﻟﮫ ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت ﻓﻲ اﻟﺰراﻋﺔ و‬ ‫ﻋﻠﻢ اﻟﺤﺸﺮات و اﻟﺠﻐﺮاﻓﯿﺎ ‪ ،‬وﻓﻲ ﻛﺜﯿﺮ ﻣﻦ اﻷﺣﯿﺎن ﻣﺎ ﯾﺴﺘﺨﺪم ﻟﻮﺻﻒ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻣﺘﺼﻞ ﻣﻮﺟﺐ وﯾﺘﻢ‬ ‫اﺧﺘﯿﺎره ﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﻌﺪﯾﺪ ﻣﻦ اﻟﻜﻤﯿﺎت اﻟﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ ﻓﻲ ﺗﻄﺒﯿﻖ اﻟﻌﻠﻮم و اﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﯿﺎ اﻟﻨﻮوﯾﺔ ‪ ،‬و ﻟﻤﺰﯾﺪ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺘﻄﺒﯿﻘﺎت ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺮﺟﻮع إﻟﻰ ﻛﺘﺎب )‪ Johnson et al. (1994‬اﻟﺬي أﻓﺮد اﻟﺒﺎب اﻟﺮاﺑﻊ ﻋﺸﺮ ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ‬ ‫ﻟﺪراﺳﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ و أھﻢ ﺧﻮاﺻﮫ و ﺗﻄﺒﯿﻘﺎﺗﮫ و اﻟﻤﺮاﺟﻊ ‪ ،‬و ﻛﺘﺎب & ‪Crow‬‬ ‫)‪ Shimizu (1988‬اﻟﺬي أﻓﺮد ﻛﺘﺎﺑﮫ ﻟﺪراﺳﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ و ﺗﻄﺒﯿﻘﺎﺗﮫ ‪.‬‬

‫‪١٥٦‬‬

‫اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ھﻮ أﺣﺪ أھﻢ اﻟﺘﺤﻮﯾﻼت ﻟﻠﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ‪ Z‬ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ‬ ‫ﯾﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ و ‪ ، Z  ln X‬ﻓﺈن ‪ X‬ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﯾﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ‪.‬‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﮭﺬا اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﺗﻌﺮف ﺑﺎﻟﺼﻮرة ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 (ln(x  )  ) 2‬‬ ‫‪exp[ ‬‬ ‫‪] , x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x;  2 , )   2   x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪,x<‬‬ ‫‪‬‬ ‫و ﯾﻤﻜﻦ اﻟﻤﻼﺣﻈﺔ أن اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻓﻲ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪودة ‪ ‬ﻻ ﺗﺆﺛﺮ إﻻ ﻓﻲ ﻣﻜﺎن اﻟﺘﻮزﯾﻊ ‪ ،‬أي أﻧﮭﺎ ﻻ ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ أو اﻟﺸﻜﻞ ‪ ،‬و ﺑﺬﻟﻚ ﻣﻦ اﻟﻤﺮﯾﺢ وﺿﻊ ﻗﯿﻤﺔ ﻣﻌﯿﻨﺔ ﻟـ ‪ ‬ﻟﻠﺘﺴﮭﯿﻞ ﻣﻦ اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ‪ ،‬ﻣﻊ اﻟﻌﻠﻢ أن‬ ‫اﻟﻌﺪﯾﺪ ﻣﻦ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺘﻲ ﺗﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮭﺎ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﺤﻮﯾﻠﮭﺎ ﻟﺘﺼﺒﺢ أﻛﺜﺮ ﻋﻤﻮﻣﯿﺔ ﻟﻠﺘﻮزﯾﻊ ‪ .‬ﻓﻲ ﻛﺜﯿﺮ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺘﻄﺒﯿﻘﺎت ﺗﻜﻮن ‪ ‬ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ و ﺗﺄﺧﺬ اﻟﻘﯿﻤﺔ ﺻﻔﺮ )ﺑﺤﯿﺚ ‪ X‬ﺗﺼﺒﺢ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻣﻮﺟﺐ( ‪ .‬ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫اﻟﺨﺎﺻﺔ اﻟﻤﮭﻤﺔ ﯾﻄﻠﻖ ﻋﻠﯿﮭﺎ اﺳﻢ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ وﺗﺼﺒﺢ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺼﻮرة ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 (ln x  ) 2‬‬ ‫‪exp[ ‬‬ ‫‪], x  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x;  2 , )   2  x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪,x<0‬‬ ‫‪‬‬ ‫أﻣﺎ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻓﮭﻲ أن ‪ ‬ﻻ ﺗﺴﺎوي اﻟﺼﻔﺮ وﯾﺴﻤﻰ ﺣﯿﻦ إذ ﺑﺎﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ﺑﺜﻼث ﻣﻌﺎﻟﻢ‪.‬‬ ‫ﻟﻠﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ﺑﻤﻌﺎﻟﻤﺘﯿﻦ ﻓﺈن اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﺘﻮﻗﻌﺔ ﻟـ ‪ X‬ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫'‬ ‫‪1‬‬

‫‪ e  .‬‬ ‫ﺣﯿﺚ ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪  e .‬‬ ‫‪١٥٧‬‬

‫و اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ ھﻮ ‪:‬‬

‫‪Var(X)   2   '2  1' 2  e 2  (  1).‬‬ ‫اﻟﻌﺰوم اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ﺣﻮل اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ ﺗﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ r‬‬ ‫‪r 1 (r  j)(r  j1)  r‬‬ ‫‪j  2‬‬ ‫‪ r     ( 1)   ‬‬ ‫‪ e .‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ j 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﻟﺘﻮاء ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 3  (  1) (  2).‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ ‪:‬‬

‫‪ 4  4  23  32  3‬‬

‫ﻧﻼﺣﻆ أن ﻣﻌﺎﻣﻠﻲ اﻻﻟﺘﻮاء و اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ ﻻ ﯾﻌﺘﻤﺪان ﻋﻠﻰ ‪ ‬و أن ‪3 > 0 ,  4 > 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺧﺘﻼف ﯾﺴﺎوي )‪ (  1‬وھﻮ ﻻ ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ‪. ‬‬ ‫وھﺬا اﻟﺘﻮزﯾﻊ أﺣﺎدي اﻟﻤﻨﻮال و ﯾﺄﺧﺬ اﻟﻘﯿﻤﺔ‬

‫‪Mode(X)  1e‬‬ ‫و اﻟﻮﺳﯿﻂ ﯾﺄﺧﺬ اﻟﻘﯿﻤﺔ‬

‫‪Median(X)  x 0.5  e‬‬ ‫وﻗﺪ وﺟﺪ أن ‪:‬‬

‫)‪E(X) > Median(X) > Mode(X‬‬ ‫‪١٥٨‬‬

‫و ﺛﻢ ﻧﺠﺪ أن اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ‪.‬‬

‫اﻟﻤﺤﺎﻛﺎﻩ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ‬

‫ﻳـ ــﺘﻢ ﺗﻮﻟﻴـ ــﺪ اﻟﻌﻴﻨـ ــﺎت اﻟﻜﺎﻣﻠـ ــﺔ ) اﶈﺎﻛـ ــﺎة ( ‪ simulation‬و اﻟـ ــﱵ ﺗﺘﺒـ ــﻊ اﻟﺘﻮزﻳـ ــﻊ اﻟﻠﻮﻏـ ــﺎرﻳﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌـ ــﻲ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ‪ Mathematica‬اﻹﺻﺪار ‪ 5‬و ذﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼل ﺣﺰم ﺟﺎﻫﺰة ﻟﺘﻮﻟﻴﺪ ﻋﻴﻨـﺎت ﻛﺎﻣﻠـﺔ ﻟﻜﺜـﲑ ﻣـﻦ‬ ‫اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﻟﺸﺎﺋﻌﺔ اﻻﺳﺘﺨﺪام ‪ ،‬ﻟﻠﻌﻴﻨﺎت اﳌﺮاﻗﺒﺔ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وذﻟﻚ ﻟﻨﻈﺎم اﳌﺮاﻗﺒﺔ ‪ R1,R 2 ,...,R m ‬‬ ‫و اﳌﺄﺧﻮذ ﻣﻦ أي ﺗﻮزﻳﻊ اﺣﺘﻤﺎﱄ ﻟﻪ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ )‪ F(.‬ﻓﻴﺘﻢ ﺗﻮﻟﻴﺪﻫﺎ ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ اﳋﺼﺎﺋﺺ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒـﺔ‬ ‫ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ ﻣﺄﺧﻮذة ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﰲ اﻟﻔﱰة )‪ (0,1‬وذﻟﻚ ﺑﺈﺗﺒﺎع اﳋﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -١‬ﻳ ـ ـ ــﺘﻢ ﺗﻮﻟﻴـ ـ ـ ــﺪ ‪ m‬ﻣـ ـ ـ ــﻦ اﳌﺸـ ـ ـ ــﺎﻫﺪات اﳌﺴـ ـ ـ ــﺘﻘﻠﺔ ﻣ ـ ـ ــﻦ اﻟﺘﻮزﻳـ ـ ـ ــﻊ اﳌﻨ ـ ـ ــﺘﻈﻢ ﰲ اﻟﻔـ ـ ـ ــﱰة )‪ (0,1‬و ﻟـ ـ ـ ــﺘﻜﻦ‬ ‫‪. w 1 , w 2 ,..., w m‬‬ ‫‪ -٢‬ﻧﻀﻊ ‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪, i   i   R j  , i  1,2,...,m .‬‬ ‫‪ jmi1 ‬‬

‫‪-٣‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪vi  w i‬‬

‫ﻧﻀﻊ ‪:‬‬ ‫‪i  1,2,...,m .‬‬

‫‪u i  1  v m v m 1...v m i 1 ,‬‬

‫و اﻟﱵ ﲤﺜﻞ ﻋﻴﻨـﺔ ﻣﺮاﻗﺒـﺔ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌـﺔ ﻣـﻦ اﻟﻨـﻮع اﻟﺜـﺎﱐ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ ‪ m‬ﻣـﺄﺧﻮذة ﻣـﻦ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﳌﻨـﺘﻈﻢ ﰲ اﻟﻔـﱰة )‪(0,1‬‬

‫ﻋﻠﻰ أﺳﺎس ﻧﻈﺎم اﳌﺮاﻗﺒﺔ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ‪.Arnold(1993)  R1,R 2 ,...,R m ‬‬ ‫‪ -٤‬ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻌﻼﻗﺔ ) ‪ x i  F1 (ui‬ﺗﺒﻌـﺎً ﻟﻨﻈﺮﻳـﺔ اﻟﺘﺤﻮﻳـﻞ اﻟﺘﻜـﺎﻣﻠﻲ ﺣﻴـﺚ )‪ F1 (.‬ﻫـﻲ داﻟـﺔ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ‬ ‫اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﳌﺴﺘﺨﺪم و ﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻓـﺈن اﻟﻘـﻴﻢ ‪ x1 , x 2 ,..., x m‬ﲤﺜـﻞ اﻟﻌﻴﻨـﺔ ذات اﳌﺮاﻗﺒـﺔ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌـﺔ‬ ‫ﻣـﻦ اﻟﻨـﻮع اﻟﺜـﺎﱐ ذات اﳊﺠـﻢ ‪ m‬ﻣـﻦ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ )‪ F(.‬و اﳌﺨﺘـﺎرة ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺎً ﻣـﻦ اﻟﻌﻴﻨـﺔ ذات اﳊﺠـﻢ ‪n‬‬ ‫ﻋﻠﻰ أﺳﺎس ﻧﻈﺎم اﳌﺮاﻗﺒﺔ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ‪.  R1,R 2 ,...,R m ‬‬ ‫وﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺑﻴﺎﻧـﺎت ﻟﻌﻴﻨـﺔ ﻣﺮاﻗﺒـﺔ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌـﺔ ﻣـﻦ اﻟﻨـﻮع اﻟﺜـﺎﱐ ذات اﳊﺠـﻢ ‪ m‬ﻣـﻦ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻠﻮﻏـﺎرﻳﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ‬ ‫ﺗﺘﺒﻊ اﳋﻄﻮات اﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -١‬ﻳ ـ ـ ــﺘﻢ ﺗﻮﻟﻴـ ـ ـ ــﺪ ‪ m‬ﻣـ ـ ـ ــﻦ اﳌﺸـ ـ ـ ــﺎﻫﺪات اﳌﺴـ ـ ـ ــﺘﻘﻠﺔ ﻣ ـ ـ ــﻦ اﻟﺘﻮزﻳـ ـ ـ ــﻊ اﳌﻨ ـ ـ ــﺘﻈﻢ ﰲ اﻟﻔـ ـ ـ ــﱰة )‪ (0,1‬و ﻟـ ـ ـ ــﺘﻜﻦ‬ ‫‪. w 1 , w 2 ,..., w m‬‬ ‫‪ -٢‬ﻧﻀﻊ ‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪, i   i   R j  , i  1,2,...,m .‬‬ ‫‪ jmi1 ‬‬

‫‪-٣‬‬

‫ﻧﻀﻊ ‪:‬‬ ‫‪١٥٩‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪vi  w i‬‬

‫‪i  1,2,...,m . u i  1  v m v m 1...v m i1 ,‬‬ ‫و اﻟﱵ ﲤﺜﻞ ﻋﻴﻨـﺔ ﻣﺮاﻗﺒـﺔ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌـﺔ ﻣـﻦ اﻟﻨـﻮع اﻟﺜـﺎﱐ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ ‪ m‬ﻣـﺄﺧﻮذة ﻣـﻦ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﳌﻨـﺘﻈﻢ ﰲ اﻟﻔـﱰة )‪(0,1‬‬

‫ﻋﻠﻰ أﺳﺎس ﻧﻈﺎم اﳌﺮاﻗﺒﺔ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ‪.  R1,R 2 ,...,R m ‬‬ ‫‪ -٤‬ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻌﻼﻗﺔ ) ‪ x i  F1 (ui‬ﺗﺒﻌـﺎً ﻟﻨﻈﺮﻳـﺔ اﻟﺘﺤﻮﻳـﻞ اﻟﺘﻜـﺎﻣﻠﻲ ﺣﻴـﺚ )‪ F1 (.‬ﻫـﻲ داﻟـﺔ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ‬ ‫اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ و اﻟﱵ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺣﺴﺎ ﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳊﺎﺳـﺐ اﻵﱄ و ﻋﻠـﻰ ذﻟـﻚ‬ ‫ﻓــﺈن اﻟﻘــﻴﻢ ‪ x1 , x 2 ,..., x m‬ﲤﺜــﻞ اﻟﻌﻴﻨــﺔ ذات اﳌﺮاﻗﺒــﺔ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌــﺔ ﻣــﻦ اﻟﻨــﻮع اﻟﺜــﺎﱐ ذات اﳊﺠــﻢ ‪ m‬ﻣــﻦ‬ ‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻠﻮﻏـﺎرﻳﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ و اﳌﺨﺘـﺎرة ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺎً ﻣـﻦ اﻟﻌﻴﻨـﺔ ذات اﳊﺠـﻢ ‪ n‬ﻋﻠـﻰ أﺳـﺎس ﻧﻈـﺎم اﳌﺮاﻗﺒـﺔ‬ ‫اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ‪ .  R1,R 2 ,...,R m ‬ﻛﻤـﺎ ﳝﻜـﻦ اﺳـﺘﺨﺪام داﻟـﺔ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻌﻜﺴـﻴﺔ ﻟﻠﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻰ‬ ‫واﻟﱴ ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎ ﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳊﺎﺳﺐ اﻻﱃ ﺑﻮﺿﻊ ‪:‬‬ ‫‪ln x i  ‬‬ ‫‪ ln x i    zi    zi  ln x i  x i  e zi  .‬‬ ‫‪‬‬

‫‪zi ‬‬

‫)‪ (١١-٢‬ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻴﻴﺮ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻋﺸﺮ‬ ‫ﯾﻌﺘﺒﺮ ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﯿﯿﺮ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻋﺸﺮ واﺣﺪ ﻣﻦ ﻋﺎﺋﻠﺔ ﺑﯿﯿﺮ‪ .‬ﯾﺴﺘﺨﺪم ھﺬا اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻛﻨﻤﻮزج ﻻزﻣﻨﺔ اﻟﺤﯿﺎة‬ ‫وﺧﺼﻮﺻﺎ ﻓﻰ اﺧﺘﺒﺎرات اﻟﺤﯿﺎة اﻟﻤﻌﺠﻠﺔ ‪.‬ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﯿﯿﺮ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻋﺸﺮ ﻟﮫ داﻟﺘﻲ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ و اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻵﺗﯿﺘﯿﻦ ‪:‬‬ ‫;‪f (x;c, k)  ckx c1 (1  x c ) (k 1) , x  0, c  0, k  0‬‬ ‫‪F(x;c, k)  1  (1  x c ) k , x  0.‬‬

‫)‪ (١٢-٢‬ﻣﻌﺎﻟﻢ اﻟﻤﻘﻴﺎس واﻟﻤﻮﻗﻊ‬ ‫اﻟﺘﻮاﱄ‪:‬‬

‫ﰲ ﻛــﻞ اﻟﺘﻌﺮﻳﻔــﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴــﺔ )‪ f0 (z) , F0 (z‬ﲤﺜــﻞ ﺗﻮﺻــﻴﻒ ﻛﺎﻣــﻞ ﻟﺪاﻟــﺔ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ وداﻟــﺔ ﻛﺜﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺘﻤــﺎل ﻋﻠــﻰ‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪) :‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﻤﻮﻗﻊ(‬ ‫اﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ ‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ ‪ location parameter‬ﻟﺘﻮزﻳﻊ ‪ X‬إذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ‪:‬‬ ‫‪F(x; )  F0 (x  ) .‬‬ ‫وﺑﻄﺮﻳﻘﺔ أﺧﺮى ‪:‬‬ ‫‪f (x; )  f 0 (x  ).‬‬ ‫‪١٦٠‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(٩-٢‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪X‬ﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ‪:‬‬ ‫‪, x‬‬

‫)‪f (x; )  e(x ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪, e.w.‬‬

‫ﺑﻴــﺎن )‪ f (x; ‬ﻣﻮﺿــﺢ ﰲ ﺷــﻜﻞ اﻟﺘــﺎﱄ‪ .‬ﻳﺴــﺘﺨﺪم ﻫــﺬا اﻟﺘﻮزﻳــﻊ ﺑﻜﺜــﺮة ﰲ اﺧﺘﺒــﺎرات اﳊﻴــﺎة وﺗﺴــﺘﺨﺪم ﻣﻌﻠﻤــﺔ‬ ‫اﳌﻮﻗﻊ ﻛﻘﻴﺎس ﻟﻠﻨﺰﻋﺔ اﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ‪ X‬ﻣﺜﻞ اﳌﺘﻮﺳﻂ و اﻟﻮﺳﻴﻂ‪.‬‬ ‫)‪f (x; ‬‬

‫‪X‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(١٠-٢‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ‪ Z‬ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫|‪f0 (z)  e |z‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪  z  .‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫|‪f0 (x; )  e |x ‬‬ ‫‪  x  .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﻴﺎن )‪ f (x; ‬ﻣﻮﺿﺢ ﰲ ﺷـﻜﻞ اﻟﺘـﺎﱄ وﻋﻠـﻰ ذﻟـﻚ ‪ ‬ﻫـﻲ )ﻣﻌﻠﻤـﺔ اﳌﻮﻗـﻊ( وﻣﺘﻮﺳـﻂ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ وﻷن )‪f (x; ‬‬

‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل ‪ ‬وﳍﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻈﻤﻰ وﺣﻴﺪة ‪ ‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ‪ ‬ﻫﻮ اﻟﻮﺳﻴﻂ و اﳌﻨﻮال ﳍﺬا اﻟﺘﻮزﻳﻊ‪.‬‬ ‫)‪f (x; ‬‬

‫‪X‬‬

‫‪‬‬

‫‪١٦١‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﻮﺟﺒﺔ ‪ ‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس ﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻣﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ‪ X‬إذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﳍﺎ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪F(x; )  F0   .‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﻦ ﻧﺎﺣﻴﺔ أﺧﺮى ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ‪ X‬ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ‪:‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪f (x; )  f 0   .‬‬ ‫‪ ‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(١١-٢‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪X‬ﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﺣﻴﺚ )‪ X ~ EXP(‬ﻓﺈن ‪ ‬ﲤﺜﻞ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪x  0 ,   0.‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪f (x)  e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ z  x , dz  .‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪let z ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪f0 (z)  e z   e  z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ x  ‬‬ ‫‪ f0    e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  x  1  x‬‬ ‫‪ f 0    e  f (x; ).‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫ﻓﺈن ‪ ‬ﲤﺜﻞ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس‪ .‬واﻻﳓﺮاف اﳌﻌﻴﺎري ‪ ‬ﻫﻮ ‪ . ‬وﻟﻜﻦ ﻫﺬا ﻻ ﳛﺪث داﺋﻤـﺎً ﻓﻌﻠـﻰ ﺳـﺒﻴﻞ اﳌﺜـﺎل إذا‬

‫ﻛﺎن ‪X‬ﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﺣﻴﺚ )‪ X ~ WEI(, 2‬ﻓﺈن ‪ ‬ﲤﺜـﻞ ﻣﻌﻠﻤـﺔ اﳌﻘﻴـﺎس وﻟﻜـﻦ ﻟﻴﺴـﺖ اﻻﳓـﺮاف اﳌﻌﻴـﺎري‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ‪. X‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(١٢-٢‬‬ ‫‪١٦٢‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪X‬ﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﺣﻴﺚ )‪ X ~ WEI(, ‬ﻓﺈن ‪ ‬ﲤﺜﻞ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x; , )   x 1e   ‬‬ ‫‪x  0.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪let‬‬ ‫‪ z  z  x , dx   dz.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f0 (z)   (z)1 e  z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ z1e  z .‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪e‬‬

‫‪1 x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ f0      ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ f (x; , ).‬‬

‫‪ ‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس‪.‬‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪  2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1   ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x e‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f (x; ,2)  2 x 21e    .‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬ ‫اﻟﻘﻴﻤﺘــﲔ ‪ ‬و ‪   0‬ﳝــﺜﻼن ﻣﻌﻠﻤــﺔ اﳌﻮﻗــﻊ و اﻟﻘﻴــﺎس ﻋﻠــﻰ اﻟﺘـﻮاﱄ ﳌﺘﻐــﲑ ﻋﺸ ـﻮاﺋﻲ ‪ X‬إذا ﻛﺎﻧــﺖ داﻟــﺔ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ‬ ‫ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪F(x; , )  F0 ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫وﻣﻦ ﻧﺎﺣﻴﺔ أﺧﺮى ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ‪ X‬ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫‪1  x ‬‬ ‫‪f (x; , )  f 0 ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪   ‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(١٣-٢‬‬ ‫‪١٦٣‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪X‬ﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻲ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ‪ , ‬ﻓﺈن ‪ ‬ﲤﺜﻞ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس و ‪ ‬ﻣﻌﻠﻤﺔ ﻣﻮﻗﻊ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2  (x  ) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪f (x) ‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪ z    x , dx   dz.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪f0 (z) ‬‬ ‫‪   z  .‬‬ ‫‪ 1  z2‬‬ ‫‪1  x  1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f ‬‬ ‫‪ f (x).‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪       x   2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪let z ‬‬

‫‪ ‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ ‪  ،‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(١٤-٢‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪X‬ﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل‪:‬‬ ‫‪, x‬‬

‫‪ x  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪f (x; , )  e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪, e.w.‬‬

‫ﺑﺮﻫﻦ إن ‪ ‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ و ‪ ‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪x ‬‬ ‫‪ x   z   , dx   dz.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪١٦٤‬‬

‫‪let z ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪f0 (z)  e z .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ e z‬‬

‫‪z  0.‬‬

‫‪then :‬‬ ‫‪ x  ‬‬ ‫‪1  x    1   ‬‬ ‫‪f0 ‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪ f (x).‬‬

‫‪ ‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ ‪  ،‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(١٥-٢‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ واﺑﻴﻞ ﺑـﺜﻼث ﻣﻌـﺎﱂ ‪ , ,‬ﻓـﺈن ‪ ‬ﲤﺜـﻞ ﻣﻌﻠﻤـﺔ اﳌﻘﻴـﺎس و ‪ ‬ﻣﻌﻠﻤـﺔ‬ ‫ﻣﻮﻗﻊ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ x  ‬‬

‫‪  x      ‬‬ ‫‪f (x)  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪let z ‬‬ ‫‪ x   z   , dx   dz‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f0 (z)  z1e z   z1e  z .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ f (x).‬‬

‫‪ x  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪e‬‬

‫‪1  x  1  x ‬‬ ‫‪ f0 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪       ‬‬

‫‪ ‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ ‪ ‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس ‪ ‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(١٦-٢‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑـﺜﻼث ﻣﻌـﺎﱂ ‪ , ,k‬ﻓـﺈن ‪ ‬ﲤﺜـﻞ ﻣﻌﻠﻤـﺔ اﳌﻘﻴـﺎس و ‪ ‬ﻣﻌﻠﻤـﺔ‬ ‫ﻣﻮﻗﻊ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ x  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪k 1‬‬

‫‪e‬‬

‫‪1  x ‬‬ ‫‪f (x) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(k)   ‬‬ ‫‪١٦٥‬‬

x   x   z   , dx   dz.  1 k 1  z  f0 (z)  z e . (k)

let z 

1  x  1  x  f0          (k)   

k 1

e

 x       

 f (x).

.‫ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ‬k ‫ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس‬ ‫ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ‬

١٧-٢) ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ ﻣﻌﻠﻤــﺔ‬ ‫ ﻣﻌﻠﻤـﺔ اﳌﻮﻗــﻊ و‬ ‫ ﺑــﺮﻫﻦ إن‬X ~ N(, 2 ) ‫ﻣﺘﻐـﲑاً ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺎً ﻳﺘﺒــﻊ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌــﻲ‬X ‫إذا ﻛــﺎن‬ .‫اﳌﻘﻴﺎس‬ :‫اﻟﺣــل‬ 1  x  

2

   1 f (x)  e 2      x  .

2  x  let z   x   z   , dx   dz.  1  12 z2 f0 (z)  e .

2 then :

1  x     

  1  x 1 2 f  e      2

2

 f (x).

.‫ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس‬ ‫ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ‬

(١٨-٢) ‫ﻣﺜﺎل‬ 1 

: ‫ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس ﻟﺘﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫اﳌﻄﻠﻮب إﺛﺒﺎت أن‬ f (x) 

 x   1 x exp   .   

:‫اﻟﺣــل‬ ١٦٦

let

1 

   ,

 x  f (x)       

1

  x   exp         1



 . 

: y y  x  dy  dx. 1  f0 (z)  z1 exp (z)      z1 exp (z) .  1 x  f x (x)  f 0 ( )  









1 x 1  x   f0                x        

1

 f (x).

١٦٧

1

  x    exp          

  x    exp          1

x ‫ﺑﻮﺿﻊ‬ 

‫اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث‬ ‫ﻧظرﯾﺔ اﻟﺻﻼﺣﯾﺔ‬

‫‪١٦٨‬‬

‫)‪ (١-٣‬اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ‪Reliability‬‬ ‫ﺗﻌﺮف اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻋﻠﻰ أ ﺎ اﺣﺘﻤﺎل أن ﻳﺆدي اﳉﻬﺎز أو اﻵﻟﺔ أو اﳉﺰء أو اﻟﻌﻨﺼـﺮ أو اﻟﻮﺣـﺪة اﻟﻌﻤـﻞ اﳌﻄﻠـﻮب‬ ‫ﻣﻨﻪ ﺑﻜﻔﺎﻳﺔ ﺧﻼل اﻟﻮﻗﺖ اﶈﺪد وﰲ ﻇﺮوف ﻣﻌﻴﻨﺔ‪ .‬أي اﺣﺘﻤﺎل ﺑﻘﺎء اﳉﻬﺎز ﻳﻌﻤﻞ ﻟﻔﱰة زﻣﻨﻴﺔ ﳏﺪدة‪.‬‬ ‫وﻣﻌـﲎ ذﻟــﻚ ﻋﻨــﺪﻣﺎ ﻧﻘــﻮل أن ﺻــﻼﺣﻴﺔ اﳉﻬـﺎز ﳌــﺪة ‪ 120‬ﺳــﺎﻋﺔ ﻫــﻲ ‪ 0.85‬ﻓــﺈن ﻫـﺬا ﻳﻌــﲏ أﻧــﻪ ﻣــﻦ ﺑــﲔ ﻛــﻞ‬ ‫‪ 100‬ﺟﻬﺎز ﳚﺮى اﺧﺘﺒﺎر ﺻﻼﺣﻴﺘﻬﻢ ﳌﺪة ‪ 120‬ﺳﺎﻋﺔ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺘﻮﻗﻊ ‪ 85‬ﺟﻬﺎزاً ﻣﻨﻬﻢ ﻳﻜﻮﻧﻮن ﺻـﺎﳊﲔ ﻟﻠﻌﻤـﻞ ﺑﻌـﺪ‬ ‫ﻫﺬﻩ اﻟﻔﱰة ﻣﻦ اﻟﺰﻣﻦ‪.‬‬ ‫ﻧﻌﻠﻢ أن اﳉﻬﺎز أو اﻵﻟﺔ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﻋـﺪة أﺟـﺰاء أو ﻋﻨﺎﺻـﺮ أو وﺣـﺪات وﻟﻜـﻞ ﻋﻨﺼـﺮ ﺻـﻼﺣﻴﺔ ﻣﻌﻴﻨـﺔ‪ .‬وﻋﻠـﻰ‬ ‫ذﻟﻚ ﻓﺈن ﺻﻼﺣﻴﺔ اﳉﻬﺎز ﺗﻌﺘﻤﺪ أﺳﺎﺳﺎً ﻋﻠﻰ ﺻﻼﺣﻴﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮﻩ‪ .‬وﰲ اﻟﺒﺪاﻳﺔ ﺳﻨﺮﻛﺰ دراﺳﺘﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻌﻨﺼﺮ‬ ‫ﰒ ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﻧﺘﻜﻠﻢ ﻋﻦ ﺻﻼﺣﻴﺔ اﳉﻬﺎز أو اﻵﻟﺔ اﳌﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﻋﺪة أﺟﺰاء‪.‬‬ ‫ﻧﻌﻠــﻢ أن ﺗﻌﻄــﻞ اﻷﺟﻬــﺰة ﻋــﻦ اﻟﻌﻤــﻞ أو ﻓﺸــﻠﻬﺎ ﰲ أداء ﻣﻬﻤﺘﻬــﺎ ﳜﺘﻠــﻒ ﻣــﻦ ﺟﻬــﺎز إﱃ آﺧــﺮ‪.‬ﻓﻤــﺜﻼً ﻫﻨــﺎك‬ ‫أﺟﻬــﺰة ﺗﺘﻌﻄــﻞ ﻋــﻦ اﻟﻌﻤــﻞ ﻧﺘﻴﺠــﺔ ﻟﺘﺂﻛﻠﻬــﺎ‪ .‬وﻫﻨــﺎك أﺟﻬــﺰة ﺗﻌﻤــﻞ ﺑﻜﻔﺎﻳــﺔ وﻓﺠــﺄة ﺗﺘﻌﻄــﻞ وﺑــﺎﻟﻄﺒﻊ ﻋﻤــﺮ اﳉــﺰء أو‬ ‫اﻟﻌﻨﺼـﺮ ﻳﺘﺒــﻊ ﺗﻮزﻳﻌــﺎً اﺣﺘﻤﺎﻟﻴــﺎً ﻣﻌﻴﻨــﺎً‪ .‬أي ﻫﻨــﺎك ﳕــﺎذج رﻳﺎﺿــﻴﺔ ﺗﺼــﻒ ﻗـﻮاﻧﲔ ﺗﻌﻄــﻞ اﻟﻌﻨﺼــﺮ‪.‬ﻓﻤــﺜﻼً ﻋﻤــﺮ اﳌﺼــﺒﺎح‬ ‫اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻲ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻌﺎً اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎً ﻣﻌﻴﻨﺎً ﻳﺴﻤﻰ ﻗﺎﻧﻮن ﺗﻌﻄﻞ اﳌﺼﺒﺎح‪.‬‬

‫)‪ (١-١-٣‬ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬

‫ﻫﻨﺎك ﻋﺪة ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺗﻘﺎس ﺎ ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻌﻨﺼﺮ أو اﳉﺰء أو اﻟﻮﺣﺪة ﻧﺬﻛﺮ ﻣﻨﻬﺎ‪.‬‬ ‫أ ( داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ )أو اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺒﻘﺎء(‪.‬‬ ‫‪R(t)  1  F(t).‬‬

‫ب( ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻌﻄﻞ )ﻣﻌﺪل اﻟﻔﺸﻞ(‪.‬‬ ‫)‪f (t‬‬ ‫)‪f (t‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ln 1  F(t).‬‬ ‫)‪R(t) 1  F(t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ﻧﻼﺣــﻆ أن داﻟــﺔ ﻛﺜﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺘﻤــﺎل ) ‪ (p.d.f‬ﻟﻠﻤﺘﻐــﲑ اﻟﻌﺸ ـﻮاﺋﻲ ‪) T‬ﻋﻤــﺮ اﻟﻌﻨﺼــﺮ( ﳛــﺪد ﲤﺎﻣــﺎً ﻣﻌــﺪل اﻟﺘﻌﻄــﻞ‬ ‫‪r(t) ‬‬

‫واﻟﻌﻜﺲ ﺻﺤﻴﺢ أي أن ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻌﻄﻞ )‪ r(t‬ﳛﺪد ﲤﺎﻣﺎً داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴـﺔ‪ .‬أي أن داﻟـﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴـﺔ‬ ‫ﺗﺘﺤﺪد ﲟﻌﺮﻓﺔ ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻌﻄﻞ‪.‬‬ ‫وذﻟﻚ ﻷن‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪ t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ r(u)du ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪R(t)  e‬‬

‫وﲟﺎ أن ‪:‬‬ ‫‪١٦٩‬‬

‫)‪f (t‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪R(t‬‬

‫‪r(t) ‬‬

‫ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)‪f (t)  r(t) R(t‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪ t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ r (u)du ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ r(t)e‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ )‪ E(T‬ﳏﺪودة ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪E(T)   R(t)dt.‬‬ ‫‪0‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ R(t)dt   1  F(t) dt.‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫وﳚﺮى ﻫﺬا اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﺠﺰيء ﻣﻊ اﻋﺘﺒﺎر‪:‬‬ ‫‪dv  dt‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪u  1  F(t‬‬

‫‪v  t.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪du  f (t)dt‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ t 1  F(t) 0   t f (t)dt‬‬

‫‪  R(t)dt‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪  t f (t)dt‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ E(T).‬‬

‫)‪ (٢-١-٣‬ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄﻞ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ‪:‬‬ ‫ﻫﻨـﺎك اﻟﻌﺪﻳـﺪ ﻣـﻦ اﻟﻌﻨﺎﺻـﺮ اﻟـﺬي ﻳﺘﺒـﻊ ﻗـﺎﻧﻮن ﺗﻌﻄﻠﻬـﺎ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ‪ .‬ﻓـﺈذا ﻛﺎﻧـﺖ ‪ T‬ﻫـﻲ ﻋﻤـﺮ اﻟﻌﻨﺼـﺮ ﻓــﺈن‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘﻪ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪1  t  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (t) ‬‬ ‫‪e 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪١٧٠‬‬

‫ﻧﻼﺣﻆ أن ﻋﻤﺮ اﳌﺼﺒﺎح ﺣﱴ اﻟﻔﺸﻞ أو اﻟﺘﻌﻄﻞ ‪ T‬ﻻﺑﺪ أن ﻳﻜـﻮن ﻏـﲑ ﺳـﺎﻟﺐ أي أن ‪ T  0‬وﻟـﺬﻟﻚ ﺣـﱴ‬ ‫ﻳﻜﻮن اﻟﻨﻤﻮذج اﻟﺴﺎﺑﻖ ﺻﺎﱀ ﻟﻠﺘﻄﺒﻴﻖ ﻓﻴﺠﺐ أن ﳓﺮص ﻋﻠﻰ أن ﻳﻜﻮن ‪ . P(T  0)  0‬ﻛﻤﺎ ﻧﻌﻠﻢ أن ‪:‬‬ ‫‪Var(T)  2 , E(T)  .‬‬

‫وﻣــﻦ واﻗــﻊ ﻣﻨﺤــﲎ داﻟــﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴــﺔ ﻓــﺈن ﻗــﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄــﻞ اﻟﻄﺒﻴﻌــﻲ ﻳﺒــﲔ أن ﻣﻌﻈــﻢ اﻟﻌﻨﺎﺻــﺮ ﺗﺘﻌﻄــﻞ أو‬ ‫ﺗﻔﺸﻞ ﺣﻮل اﳌﺘﻮﺳﻂ‪ .‬ﻛﻤﺎ أن ﻋﺪد اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ اﻟﱵ ﺗﺘﻌﻄﻞ ﺗﻘﻞ ﻛﻠﻤﺎ زاد | ‪| T  ‬‬ ‫‪0.9544‬‬

‫‪  2‬‬

‫‪  2‬‬

‫‪‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄﻞ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻣﻦ ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ‪:‬‬ ‫)‪R(t)  P(T  t)  1  P(T  t‬‬

‫‪dx‬‬

‫‪ 1  x   2 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 2    ‬‬

‫‪t‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪1‬‬

‫و اﻟﺸﻜﻞ اﻵﰐ ﻳﺒﲔ ﻣﻨﺤﲎ ﻫﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ‪.‬‬

‫)‪R(t‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.5‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻧﻼﺣﻆ أﻧﻪ ﻣﻦ أﺟﻞ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺻﻼﺣﻴﺔ ﻋﺎﻟﻴﺔ ﻓﺈن ﻓﱰة اﻟﺘﺸﻐﻴﻞ أي ﻣـﺪة ﺻـﻼﺣﻴﺔ اﻟﻌﻨﺼـﺮ ﻟﻠﻌﻤـﻞ ﳚـﺐ‬ ‫أن ﺗﻜﻮن أﻗﻞ ﺑﻜﺜﲑ ﻣﻦ ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﻌﻤﺮ ‪. ‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(١-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻋﻤـﺮ اﻟﻌﻨﺼـﺮ ﻳﺘﺒـﻊ ﺗﻮزﻳﻌـﺎً ﻃﺒﻴﻌﻴـﺎً ﺑـﺎﳓﺮاف ﻣﻌﻴـﺎري ‪ 10‬ﺳـﺎﻋﺎت‪ .‬ﻓـﺈذا ﻛﺎﻧـﺖ ﺻـﻼﺣﻴﺔ اﻟﻌﻨﺼـﺮ ﻫـﻲ‬ ‫‪ 0.99‬ﻟﻔﱰة ﺗﺸﻐﻴﻞ ‪ 100‬ﺳﺎﻋﺔ‪ .‬ﻓﻤﺎ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻋﻤﺮ اﻟﻌﻨﺼﺮ‪.‬‬

‫‪١٧١‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪ t‬‬ ‫‪R(t)  1   ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪t  100 ,   10 , R(t)  0.99.‬‬ ‫‪ 100   ‬‬ ‫‪ 100   ‬‬ ‫‪1   ‬‬ ‫‪  0.99   ‬‬ ‫‪  0.01.‬‬ ‫‪ 10 ‬‬ ‫‪ 10 ‬‬ ‫ﻣﻦ ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﰱ ﻣﻠﺤﻖ )‪P(0  Z  z1 )  .49  z1  2.33 (٢‬‬

‫‪100  ‬‬ ‫‪ 2.33,‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪   123.3.‬‬

‫‪ z1 ‬‬

‫ﻳﻌﺘـﱪ ﻗـﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄــﻞ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ ﻣﻨﺎﺳــﺐ ﻟﻠﻌﻨﺎﺻـﺮ اﻟــﱵ ﻳﻜـﻮن ﻓﺸـﻠﻬﺎ أو ﺗﻌﻄﻠﻬــﺎ ﻧﺘﻴﺠـﺔ ﺗــﺄﺛﲑ اﻟﺘﺂﻛـﻞ وﻋﻠــﻰ أي‬ ‫ﺣﺎل ﻓﻬﻮ ﻟﻴﺲ ﻣﻦ ﻗﻮاﻧﲔ اﻟﺘﻌﻄﻞ اﳌﻬﻤﺔ ‪.‬‬

‫)‪ (٣-١-٣‬ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄﻞ اﻷﺳﻲ‬ ‫ﻳﻌﺘــﱪ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻷﺳــﻲ ﻣــﻦ أﻫــﻢ اﻟﻨﻤــﺎذج اﻟــﱵ ﺗﺼــﻒ ﻓﺸــﻞ اﻟﻌﻨﺎﺻــﺮ أو ﺗﻌﻄﻠﻬــﺎ‪ .‬ﻣﻌــﺪل اﻟﺘﻌﻄــﻞ ﻣﻘــﺪار ﺛﺎﺑــﺖ‬ ‫‪ r(t)  ‬وﳝﻜﻦ إﳚﺎد داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻌﻤﺮ اﻟﻌﻨﺼﺮ ‪ T‬ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪‬‬

‫‪ r (x)dx‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪f (x)  r(t)e‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪‬‬

‫‪ du‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪t  0.‬‬

‫‪ e‬‬

‫‪ et‬‬

‫وﺑﺎﻟﻌﻜﺲ إذا ﻛﺎﻧﺖ )‪ f (x‬ﻣﻌﻄﺎة ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪f (x) e x‬‬ ‫‪r(t) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪R(t) e  x‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(٢-٣‬‬ ‫إذا ﺣﺪدﻧﺎ ﻛﻼً ﻣﻦ ‪ R(t) , ‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ إﳚﺎد ﻗﻴﻤﺔ ‪ . t‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ ‪:‬‬ ‫‪  0.01 , R(t)  0.9.‬‬

‫ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪e0.01t  0.9  t  10.54.‬‬ ‫وﻫﺬا ﻳﻌﲏ أﻧﻪ ﻟﻮ ﺷﻐﻠﻨﺎ ‪ 100‬ﻋﻨﺼﺮ ﳌﺪة ‪ 10.54‬ﻓﺈن ‪ 90‬ﻣﻨﻬﺎ ﺳﻮف ﻻ ﺗﺘﻌﻄﻞ ﺧﻼل ﻫﺬﻩ اﳌﺪة‪.‬‬ ‫‪١٧٢‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ اﻟﻤﺒﺘﻮر‬

‫داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﰱ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ اﳌﺒﺘﻮر ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪ :‬داﻟﺔ اﻟﺻﻼﺣﯾﺔ ﺗﻛون ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺻورة ‪:‬‬ ‫‪t2‬‬

‫‪R(t)   f (x; ) dx‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪t2‬‬

‫‪ t1‬‬ ‫‪ t2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=  e (e  e  ) 1dx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪ 1‬‬

‫‪1 x‬‬ ‫‪)  e dx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪)  e  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬

‫)‬

‫‪t2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪t‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪) (e  e‬‬ ‫)‬

‫‪;t1 < t  t 2 .‬‬

‫)‬

‫‪e‬‬

‫‪t2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪t2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ t1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬

‫‪=(e‬‬

‫‪ t1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ t1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ t2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪t‬‬ ‫‪‬‬

‫‪t2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ t1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪=(e‬‬ ‫‪=(e‬‬

‫‪(e  e‬‬

‫‪e‬‬

‫=‬

‫‪(e‬‬

‫)‪ (٤-١-٣‬ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄﻞ ﻟﻮاﻳﺒﻞ‬ ‫ﻣﺜﺎل )‪(٣-٣‬‬ ‫ﻟﺘﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ اﻟﺬى ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻻﺗﻰ ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x   ,   0,   0.‬‬

‫‪ t  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪e‬‬

‫‪ t ‬‬ ‫‪f (x)  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﺗﺎﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫)‪R(t)  P(X  t‬‬ ‫‪ 1  F(t).‬‬ ‫‪١٧٣‬‬

‫‪‬‬

‫‪, t  .‬‬

‫‪ t  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫)‪ R(t‬‬

‫‪e‬‬

‫ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ داﻟﺔ ﻣﻌﺪل اﻟﻔﺸﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫)‪f (t‬‬ ‫)‪R(t‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ t  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪e‬‬

‫‪ t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ t  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪, t  .‬‬

‫‪r(t) ‬‬

‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪ t ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫ﳒﺪ إن داﻟﺔ ﻣﻌﺪل اﻟﻔﺸﻞ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ‪ ،   1‬وﺛﺎﺑﺘﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ ،   1‬ﺑﻴﻨﻤﺎ ﺗﻜﻮن ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪.   1‬‬

‫)‪ (٢-٣‬ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﺘﻮاﻟﻲ واﻟﺘﻮازي‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻧﻈﺎم ﻣﻜﻮن ﻣﻦ ‪ n‬وﺣﺪة ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻟﻠﻨﻈﺎم ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪R(t)   R i (t).‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﺣﻴﺚ )‪ R i (t‬ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻮﺣﺪة ‪. i‬‬ ‫وإذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻧﻈﺎم ﻣﻜﻮن ﻣﻦ ‪ n‬وﺣﺪة ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮازي ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻟﻠﻨﻈﺎم ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪R(t)  1   1  R i (t) .‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(٤-٣‬‬ ‫أرﺑﻌﻮن ﻋﻨﺼﺮاً ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ ﻳﺘﺒـﻊ ﻛـﻞ ﻣﻨﻬـﺎ ﻗـﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄـﻞ اﻷﺳـﻲ ﲟﻌﻠﻤـﺔ ‪   0.05‬أوﺟـﺪ‬ ‫داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻟﻠﻨﻈﺎم وأوﺟﺪ داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻟﻌﻤﺮ اﻟﻨﻈﺎم‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪R i (t)  e0.05t .‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪40‬‬

‫‪R(t)   R i (t)  e0.05t   e 2t .‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪١٧٤‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻟﻌﻤﺮ اﻟﻨﻈﺎم ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪f (t)  R(t)  2e2t , t  0.‬‬ ‫وﺗﺘﺒﻊ ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄﻞ اﻷﺳﻲ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪.   2‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(٥-٣‬‬ ‫اﺣﺴﺐ ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻨﻈﺎم إذا ﻛﺎن اﻟﻌﻨﺼﺮان ﻣﺘﺼﻼن ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮازي ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪  i‬و ‪i  1,2‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪R(t)  1  (1  R1 (t))(1  R 2 (t))‬‬ ‫)‪ R1 (t)  R 2 (t)  R 1 (t)R 2 (t‬‬

‫‪ e1t  e2t  e(1  2 )t .‬‬

‫داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﳍﺬا اﻟﻨﻈﺎم ﻫﻲ‪:‬‬ ‫)‪f (t)   R (t‬‬

‫‪ 1e1t  2e2t  (1  2 )e(12 )t .‬‬

‫وﻫﻲ ﻻ ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ و اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﻗﻌﺔ ﳍﺬا اﻟﻨﻈﺎم ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪E(T)   R(t)dt‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1  2 1   2‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(٦-٣‬‬ ‫ﺗﻌﻤـﻞ ﺛﻼﺛــﺔ ﻋﻨﺎﺻــﺮ ﻋﻠـﻰ اﻟﺘـﻮازي ﻣﻌــﺪل ﺗﻌﻄـﻞ ﻛــﻞ ﻣﻨﻬــﺎ ﺛﺎﺑـﺖ وﻳﺴــﺎوي ‪   0.01‬وﻋﻠــﻰ ذﻟـﻚ ﻓــﺈن داﻟــﺔ‬ ‫اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪R i (t)  e0.01t‬‬

‫‪,i  1,2,3.‬‬

‫ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻌﻨﺼﺮ ﻟﻠﻌﻤﻞ ‪ 10‬ﺳﺎﻋﺎت ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪R i (10)  e0.01(10)  e0.1  0.905.‬‬

‫واﻵن ﳓﺴﺐ ﻣﻘﺪار اﻟﺘﺤﺴﻦ اﻟﺬي ﻳﻄﺮأ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻈﺎم إذا وﺻﻠﺖ اﻟﺜﻼﺛﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮازي‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪R(10)  1  1  0.905  0.999.‬‬ ‫‪١٧٥‬‬

‫)‪R(t‬‬ ‫)‪R(t‬‬

‫)‪R i (t‬‬

‫‪10‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(٧-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻚ اﻟﻨﻈﺎم اﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫‪C2‬‬

‫‪C4‬‬

‫‪C1‬‬

‫‪C5‬‬ ‫‪C3‬‬

‫‪C6‬‬

‫ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎب ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻨﻈﺎم ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫ﳝﻜﻦ ﺗﻮزﻳﻊ اﻟﻨﻈﺎم إﱃ ﺛﻼث ﳎﻤﻮﻋﺎت ﻳﻜﻮن ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻧﻈﺎﻣﺎً ﺟﺰﺋﻴﺎً ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪A  C1 , B  C2 ,C3 , C  C4 ,C5 ,C6‬‬ ‫‪R B (t)  1  1  R 2 (t)1  R 3 (t)‬‬ ‫‪R C (t)  1  1  R 4 (t)1  R 5 (t)1  R 6 (t).‬‬

‫وﺑﺬﻟﻚ ﺗﻜﻮن ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻨﻈﺎم ﻛﻜﻞ ﻫﻲ ﺻﻼﺣﻴﺔ ‪ A,B,C‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ ‪:‬‬ ‫‪R(t)  R A (t).R B (t).R C (t).‬‬

‫وإذا ﻛﺎن ‪ R i (t)  0.8‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪1  R i (t)  0.2.‬‬ ‫‪R A (t)  0.8,‬‬

‫‪R B (t)  1  (0.2)2  0.96,‬‬ ‫‪١٧٦‬‬

‫‪R C (t)  1  (0.2)3  0.992,‬‬

‫ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻨﻈﺎم ﻛﻜﻞ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪R(t)  (0.8)(0.96)(0.992)  0.76.‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(٨-٣‬‬ ‫آﻟﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﺛﻼﺛﺔ أﺟﺰاء ‪ 1,2,3‬وﺻﻼﺣﻴﺔ ﻫﺬﻩ اﻷﺟﺰاء ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪R 1 (t)  0.92 , R 2 (t)  0.95 , R 3 (t)  0.96.‬‬

‫اﺣﺴﺐ ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻵﻟﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﺘﻮﺻﻴﻞ‪:‬‬ ‫أ‪ .‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ‪.‬‬ ‫ب‪ .‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮازي‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫أ‪ .‬اﻟﺘﻮﺻﻴﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ‬ ‫‪R(t)  (0.92)(0.95)(0.96)  0.84.‬‬

‫ﻧﻼﺣﻆ أﻧﻪ ﻛﻠﻤﺎ زاد ﻋـﺪد اﻷﺟـﺰاء ﻋﻠـﻰ اﻟﺘـﻮاﱄ ﻛﻠﻤـﺎ ﻗﻠـﺖ ﺻـﻼﺣﻴﺔ اﳉﻬـﺎز وﻳﻜـﻮن أﻗـﻞ ﻣـﻦ ﺻـﻼﺣﻴﺔ أﺿـﻌﻒ‬ ‫ﺟﺰء وﻟﺬﻟﻚ ﻓﺈﻧﻪ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺻﻼﺣﻴﺔ ﻣﺮﺗﻔﻌـﺔ ﻋﻠـﻰ اﻟﺘـﻮاﱄ ﻓﺈﻧـﻪ ﻳﻠـﺰم إﻣـﺎ إﻧﻘـﺎص ﻋـﺪد اﻷﺟـﺰاء إﱃ أﻗـﻞ ﻣـﺎ ﳝﻜـﻦ‬ ‫وإﻣﺎ ﲢﺴﲔ ﺻﻼﺣﻴﺔ ﻛﻞ ﺟﺰء ﻣﻦ اﻷﺟﺰاء‪.‬‬ ‫ب‪ .‬اﻟﺘﻮﺻﻴﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮازي‬ ‫‪R(t)  1  (0.08)(0.05)(0.04)  0.99984.‬‬

‫وﻧﻼﺣﻆ أن ﻫﺬﻩ اﻟﻘﻴﻤﺔ أﻛﱪ ﻣﻦ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﱵ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻟﻨﻔﺲ اﻵﻟﺔ ﺑﻨﻔﺲ اﻷﺟﺰاء وﻧﻔﺲ ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻷﺟﺰاء‬ ‫ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮﺻﻴﻠﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(٩-٣‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻷﺟﺰاء ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪١٧٧‬‬

‫اﺣﺴﺐ ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻨﻈﺎم )اﻵﻟﺔ(‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪A  2 ,B  1,3 ,‬‬ ‫‪R A (t)  0.95,‬‬ ‫‪R B (t)  1  (0.08)(0.04)  0.9968,‬‬ ‫‪R(t)  R A (t).R B (t),‬‬

‫‪ (0.95)(0.9968)  0.947.‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(١٠-٣‬‬ ‫أرﺑﻊ أﺟﺰاء ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻵﰐ ﻟﺘﻜﻮن ﺟﻬﺎز ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ اﻷﺟﺰاء ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ أﺳﻲ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ .   0.03‬اﺣﺴﺐ ﺻـﻼﺣﻴﺔ اﻵﻟـﺔ وأوﺟـﺪ داﻟـﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴـﺔ‬ ‫ﻟﻌﻤﺮﻫﺎ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪A  1,2 , B  3,4 ,‬‬ ‫‪R i (t)  e0.03t‬‬

‫‪,i  1,2,3,4.‬‬

‫‪R A (t)  e0.06t  R B (t).‬‬

‫اﻷﺟﺰاء ‪ A,B‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮازي وﻋﻞ ذﻟﻚ ﺻﻼﺣﻴﺔ اﳉﻬﺎز ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪R(t)  1  1  e0.06t ‬‬

‫‪ 2e0.06t  e0.12t .‬‬

‫داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻌﻤﺮ اﳉﻬﺎز ‪: T‬‬ ‫‪١٧٨‬‬

f (t)   R (t)

 0.12e0.06t  0.12e0.12t  0.12e0.06t 1  e0.06t  .

(١١-٣) ‫ﻣﺜﺎل‬ : ‫أوﺟﺪ اﳌﻄﻠﻮب ﰲ اﳌﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻷﺟﺰاء ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬ 1

3

2

4

:‫اﻟﺣــل‬

R A  1,2 , R B  3,4 ,

R A (t)  1  1  e0.03t 

2

 2e0.03t  e0.06t  R B (t).

 R(t)   2e0.03t  e0.06t 

2

 4e0.06t  e0.12t  4e0.09t f (t)  R (t)  0.24e 0.06t  0.12e0.12t  0.36e 0.09t  .

(١٢-٣) ‫ﻣﺜﺎل‬ :‫آﻟﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ أرﺑﻊ أﺟﺰاء ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻛﻤﺎ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ‬ 3

1

2 ١٧٩

4

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ أﻋﻤﺎر ﻫﺬﻩ اﻷﺟﺰاء)ﺑﺎﻟﺴﻨﲔ( ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ وﻳﺒﻞ ﲟﻌﺎﱂ ‪ .   1,   2‬أوﺟﺪ‪:‬‬ ‫أ ( ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻋﻤﺮ اﳉﺰء‪.‬‬ ‫ب( ﻣﻌﺪل ﺗﻌﻄﻞ اﳉﺰء‪.‬‬ ‫ج( ﺻﻼﺣﻴﺔ اﳉﺰء ﻟﻔﱰة ﺗﺸﻐﻴﻞ ﻗﺪرﻫﺎ ﺳﺘﺔ ﺷﻬﻮر‪.‬‬ ‫د ( ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻵﻟﺔ ﻟﻔﱰة ﺗﺸﻐﻴﻞ ﻗﺪرﻫﺎ ﺳﺘﺔ ﺷﻬﻮر‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ Ti‬ﻋﻤﺮ اﳉﺰء ‪ i‬وأن ﻋﻤﺮ ‪ T‬ﻋﻤﺮ اﻵﻟﺔ‪ .‬داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻌﻤﺮ اﳉﺰء ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f (t i )   t i1e  ti‬‬ ‫‪ t 2i‬‬

‫‪, t i  0.‬‬

‫‪ 2t ie‬‬

‫أ ( ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻋﻤﺮ اﳉﺰء ‪ i‬ﻫﻮ‪:‬‬

‫ب( ﻣﻌﺪل ﺗﻌﻄﻞ اﳉﺰء ‪ i‬ﻫﻮ‪:‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪E(Ti )     1     ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 2t‬‬

‫‪, i  1, 2,3, 4.‬‬

‫‪2t e  t‬‬ ‫‪2‬‬

‫ج( ﺻﻼﺣﻴﺔ اﳉﺰء ‪ i‬ﻫﻲ‪:‬‬

‫‪e t‬‬

‫‪2‬‬

‫‪, i  1, 2,3, 4.‬‬

‫‪ri (t) ‬‬

‫‪R i (t)  e  t‬‬

‫ﺻﻼﺣﻴﺔ اﳉﺰء ‪ i‬ﳌﺪة ﺳﺘﺔ أﺷﻬﺮ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪R i    e 4  0.78‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪,i  1, 2,3,4.‬‬

‫ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻔﺮع ‪ A  1,2‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪R A (t)  R1 (t).R 2 (t)  e 2t .‬‬

‫ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻔﺮع ‪ B  3,4‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪R B (t)  1  1  R 3 (t)1  R 4 (t)‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 1  1  e  t   2e  t  e 2 t .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫د ( ﺻﻼﺣﻴﺔ اﳉﻬﺎز ﻫﻮ‪:‬‬ ‫‪١٨٠‬‬

R(t)  R A (t).R B (t) 2

2

2

 e 2t (2e  t  e2t ) 2

2

 2e 3t  e4t .

1

1

: ‫ ﻓﺈن‬R   ‫ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ‬t  ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ‬ 2 2 1 R    2e3/ 4  e1  .58. 2

١٨١

‫اﻟﻔﺻل اﻟراﺑﻊ‬

‫اﻻﺳﺗدﻻل اﻻﺣﺻﺎﺋﻰ اﻟﺑﯾﯾزى‬

‫‪١٨٢‬‬

‫)‪ (١-٤‬ﻣﻘﺪﻣﻪ‬

‫ﯾﻔﺗرض ﻓﻰ اﻟطرق اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﯾﻪ أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ أو اﻟظﺎﻫرﻩ ﺗﺣت اﻟدراﺳﺔ ﺗﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾر‬

‫ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ‬

‫)‪f (x; ‬‬

‫ﻣﻌﻠوم وﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫‪‬‬

‫ﺛﺎﺑﺗﺔ )او ﻋدة ﻣﻌﺎﻟم‬

‫( وﻟﻛﻧﻬﺎ ﻣﺟﻬوﻟﻪ وﯾراد إﯾﺟﺎد ﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﻪ ﻟﻬﺎ أو ﻓﺗرة ﺛﻘﻪ أو اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض ﻣﻌﯾن ﺣوﻟﻬﺎ‬ ‫وذﻟك ﻣن ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ) ‪ X  (X1,X2,...,Xn‬ﻣﺳﺣوﺑﻪ ﻣن ﻫذا اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ‪ .‬ﻓﻰ أﺣﯾﺎن‬

‫ﻛﺛﯾرة ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ﻣﻌﻠوﻣﺎت اﺿﺎﻓﯾﺔ ﻣن ﺧﺑرﺗﻧﺎ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ‬ ‫ﻗﯾﻣﺎ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ وان ﻫﻧﺎك ﺷواﻫد ﻋﻠﻰ‬

‫ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾﻠﻬﺎ ﺑﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ‬

‫)‪(‬‬

‫ان ‪‬‬

‫‪‬‬

‫وﻗد ﻧﻼﺣظ اﻧﻬﺎ ﺗﺎﺧذ‬

‫ﺗﺗﻐﯾر وأن ﻫذا اﻟﺗﻐﯾر أو اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻹﺿﺎﻓﯾﺔ‬

‫ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ‪ .‬وﻗد ظﻬرت ﻫذﻩ اﻟطرﯾﻘﺔ ﻣﻧذ أن‬

‫ﻧﺷر ﺗوﻣﺎس ﺑﯾﯾز ‪ Tomas Bayes‬ﺑﺣﺛﻪ اﻟﻣﺷﻬور ﻋﺎم )‪ (1763‬واﻟذى ﻗدم ﻓﯾﻪ أﺳﺎﺳﯾﺎت‬

‫ﻧظرﯾﺔ ﺑﯾﯾز اﻟﻣﻌروﻓﻪ ﺑﺎﺳم اﻻﺳﺗدﻻل اﻻﺣﺻﺎﺋﻲ اﻟﺑﯾﯾزي‬

‫‪bayesian statistical‬‬

‫‪ ، inference‬وﺑﻌد ذﻟك ﺗواﻟت اﻻﺑﺣﺎث ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺟﺎل وﻟﻛن ﺑﺷﻛل ﺑطﺊ ﻟﻣﺎ ﯾﺗطﻠﺑﻪ ﻫذا‬ ‫اﻟﻣﻧﻬﺞ ﻣن ﻋﻼﻗﺎت رﯾﺎﺿﯾﺔ ﻣﻌﻘدﻩ ﯾﺻﻌب اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻧﺗﺎﺋﺟﻬﺎ ﺑﺷﻛل ﺗﺣﻠﯾﻠﻰ‪ .‬وﻓﻰ اﻟﻌﻘود‬

‫أﻗﺑﺎﻻ‬ ‫ً‬ ‫اﻟﺛﻼﺛﺔ اﻷﺧﯾرة وﻧظراً ﻟﻠﺗﻘدم اﻟﻛﺑﯾر ﻓﻲ ﺗﻘﻧﯾﺎت اﻟﺣﺎﺳب اﻵﻟﻲ وﺟد أن ﻧﻬﺞ ﺑﯾﯾز ﻻﻗﻰ‬

‫ﻛﺑﯾراً ﻣن اﻟﺑﺎﺣﺛﯾن ﻓﻰ ﻣﻌﺎﻟﺟﻪ وﺗﺣﻠﯾل اﻟظواﻫر ﻟﻣﺎ ﻟﻬذا اﻟﻣﻧﻬﺞ ﻣن ﻣﻣﯾزات اﻫﻣﻬﺎ أﻧﻪ ﯾﻣد‬ ‫اﻟﺑﺎﺣث ﺑﻣﻌﻠوﻣﺎت أﻛﺛر ﻋﻣﺎ ﺗﺣﺗوﯾﻪ اﻟﻌﯾﻧﻪ اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﻪ ﻓﻰ اﻻﺳﺗدﻻل اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﻲ ﻋﻼوﻩ ﻋﻠﻰ‬

‫أن اﺳﺗﺧدام ﻣﻧﻬﺞ ﺑﯾﯾز ﻓﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻻﺳﺗدﻻﻻت اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﯾﺗطﻠب ﻋﯾﻧﺎت‬

‫ﺻﻐﯾرة ﻧﺳﺑﯾﺎ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﻣﺗوﻗﻊ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻧﻬﺞ اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﻰ‪.‬‬

‫ﻋن أﻫﻣﯾﺔ واﻓﺿﻠﯾﺔ اﺳﺗﺧدام ﻧﻬﺞ ﺑﯾﯾز ﻣن اﻟﺗﺣﻠﯾﻼت اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﺑﺻﻔﻪ ﻋﺎﻣﻪ ﯾﻣﻛن اﻟرﺟوع‬

‫ﻟﻠﻣراﺟﻊ اﻵﺗﯾﺔ‪ :‬اﻟﺻﯾﺎد ‪ ١٩٩٣‬و ﻋﺑد اﻟﺣﻔﯾظ )‪٢٠٠٠‬أ( )‪ ٢٠٠٠‬ب( ‪, Lee (1989) ,‬‬ ‫‪Box and Tiao (1973) , Martz and Wasserman (2004), Waller (1982),‬‬ ‫وﺑذﻟك ﯾﻛون اﻟﻔرق ﺑﯾن اﻟطرق اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﯾﻪ وطرﯾﻘﺔ ﺑﯾﯾز ﻫو اﻋﺗﺑﺎر اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﯾﻌﺑر ﻋن ﻣﻌﻠوﻣﺎﺗﻧﺎ اﻟﺳﺎﺑﻘﻪ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫‪‬‬

‫ﻣﺗﻐﯾر‬

‫‪‬‬

‫وﯾﺻف درﺟﻪ اﻋﺗﻘﺎدﻧﺎ ﻓﻰ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﻪ ﻟﻬذﻩ اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ وﯾﺻف ﺧﺑرﺗﻧﺎ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫ﻗﺑل ‪ prior‬اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ‪ ،‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ‪prior‬‬ ‫‪١٨٣‬‬

‫‪ distribution‬وﯾرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز‬

‫)‪(‬‬

‫وﻟذﻟك ﯾﻌﺗﺑر اﺳﺎس اى ﺗﺣﻠﯾل ﺑﯾﯾزى ‪.‬‬

‫وﻫو ﯾﺻف اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣﺗوﻓرﻩ ﻟدﯾﻧﺎ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫‪‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪:‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ‬

‫ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫)‪(‬‬

‫‪‬‬

‫ﻫو ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﯾﺻف ﻛل اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت واﻟﺧﺑرات اﻟﻣﺗوﻓرﻩ‬

‫ﻗﺑل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ﻛﻣﺎ ﯾﺻف درﺟﻪ اﻋﺗﻘﺎدﻧﺎ ﻓﻲ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﻪ ﻟﻬذﻩ‬

‫‪‬‬

‫اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ‪.‬‬

‫وﻟﺗوﺿﯾﺢ ذﻟك ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر ﻣﺗوﺳط أوزان اﻟطﻼب ﻓﻰ اﻟﺟﺎﻣﻌﻪ وﻟﯾﻛن‬

‫اﻟوزن ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ طﺑﯾﻌﻰ وﺳطﻪ‬ ‫ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ اﺧذﻧﺎ ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﻛوﻧﻪ ﻣن ‪ n‬طﺎﻟب‪ .‬ﻧﻌﻠم أن ﻣﻘدر اﻻﻣﻛﺎن اﻻﻛﺑر وﻣﻘدر‬ ‫‪‬‬

‫اﻟﻌزوم ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫‪‬‬

‫ﻫو‬

‫‪X‬‬

‫وأن‬

‫‪X   Xi / n‬‬

‫وﺗﺑﺎﯾﻧﻪ‬

‫وأن‬

‫‪2  ‬‬

‫ﻣﻌﻠوم وأن‬

‫‪‬‬

‫وأن‬

‫‪ ‬‬ ‫‪X  N  , ‬‬ ‫‪ n‬‬

‫)‪. X  N(, ‬‬

‫وﻟﻛن ﺑﻔرض أﻧﻪ ﻗﺑل‬

‫اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ﻛﺎﻧت ﻟدﯾﻧﺎ ﺑﻌض اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻻﺿﺎﻓﯾﻪ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫‪‬‬

‫وﻫﻰ أﻧﻧﺎ‬

‫ﻻﺣظﻧﺎ ﻋﻠﻰ ﻣرور اﻟزﻣن ان ﻣﺗوﺳط اﻟوزن ﯾﺗﻐﯾر ﻣن ﻓﺗرة اﻟﻰ أﺧرى وأن ﻫذا اﻟﺗﻐﯾر ﯾﻣﻛن‬

‫ﺗﻣﺛﯾﻠﻪ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫‪()  N(0 , 0 ).‬‬

‫ﺣﯾث‬

‫‪0 , 0‬‬

‫ﻣﻘﺎدﯾر ﺛﺎﺑﺗﻪ وﻣﻌﻠوﻣﻪ‪ .‬ﻛﻣﺛﺎل آﺧر ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر ﻧﺳﺑﻪ اﻟﻣﻌﯾب ﻓﻲ‬

‫اﻧﺗﺎج ﻣﺻﻧﻊ ﻣﺎ ﻻﺟﻬزة اﻟﺗﻠﻔزﯾون‪ .‬ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ اﺧﺗﯾﺎر ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ‬ ‫) ‪ X  (X1,X2,...,Xn‬ﻣن ‪ 10‬اﺟﻬزة ﺣﯾث‬

‫‪xi  0‬‬

‫إذا ﻛﺎن اﻟﺗﻠﯾﻔزﯾون ﻣﻌﯾب‬

‫‪xi  1‬‬

‫إذا ﻛﺎن‬

‫اﻟﺗﻠﯾﻔزﯾون ﻏﯾر ﻣﻌﯾب ‪ ،‬أي ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎر ) ‪ X  (X1,X2,...,Xn‬ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ‬

‫داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬

‫‪f (x; )  x (1  ) x 1 , x  0,1 ; 0 <   1.‬‬

‫ﺑﻔرض اﻵن ﺗوﻓر ﺑﻌض اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻻﺿﺎﻓﯾﺔ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ وﻫﻰ اﻧﻧﺎ ﻻﺣظﻧﺎ ﺧﻼل اﯾﺎم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ان ﻧﺳﺑﺔ اﻟﻣﻌﯾب‬ ‫اﻟﻣﺻﻧﻊ اﻟﻣذﻛور ﻣﺗﻐﯾر‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﻪ ﻫﻲ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫وذﻟك ﻗﺑل ﺳﺣب اﻟﻌﯾﻧﻪ‬

‫ﻓﻲ اﻧﺗﺎج‬

‫وان ﻫذا اﻟﺗﻐﯾر ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾﻠﻪ ﺑﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ‬ ‫‪0 <  < 1.‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪ ( )  6 (1  ‬‬

‫‪١٨٤‬‬

‫‪‬‬

‫داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ‬

‫اﻟﺳؤال اﻟﻣﻬم اﻵن ﻫو‪ :‬ﻛﯾف ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻻﺿﺎﻓﯾﻪ ﻫذﻩ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫ﻟﺣﺳﺎب ﻗﯾﻣﻪ ﻟـ‬

‫‪‬‬

‫ﺑﻌد اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ‪ .‬ﻧود أن ﻧﻌدل اﻟرﻣوز اﻟﺗﻰ اﺳﺗﺧدﻣﻧﺎﻫﺎ ﺣﺗﻰ‬

‫اﻵن ﻓﻌﻧدﻣﺎ ﻧرﯾد أن ﻧؤﻛد أن‬

‫‪ X‬ﺑﺎﻟرﻣز‬

‫)‪f (x ‬‬

‫ﺑدﻻ ﻣن‬

‫ﺗﺎﺧذ ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻛﻣﺎ أن‬

‫ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﺳوف ﻧرﻣز ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬

‫‪‬‬

‫و‬

‫)‪f (x; ‬‬

‫)‪f (x, ‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ ﻣﺷروط ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﺑﺷرط أن‬

‫)‪f (x ‬‬

‫‪‬‬

‫ﺳوف ﺗرﻣز ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ . , X‬اﻵن ﻧﻔﺗرض‬

‫أن ) ‪ X  (X1,X2,...,Xn‬ﺗﻣﺛل ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗوزﯾﻌﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ‬

‫)‪f (x ‬‬

‫أﻧﻪ ﺑﻌد اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ﺗﻐﯾرت درﺟﺔ اﻋﺗﻘﺎدﻧﺎ أو ﺛﻘﺗﻧﺎ ﻓﻰ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﻪ ﻟـ‬

‫ﺑﺗﺣوﯾل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ‪ .‬ﻫدﻓﻧﺎ ﻫو إﯾﺟﺎد ﺗﻘدﯾر ﻟـ‬ ‫])‪[u(‬‬

‫‪‬‬

‫وذﻟك ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫واﻟذي ﯾرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز‬

‫‪‬‬

‫وذﻟك‬

‫أو داﻟﻪ ﻓﻰ‬ ‫)‪(x ‬‬

‫أي‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫)‪ (٢-٤‬اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﻟﺒﻌﺪﻳﺔ ‪Posterior Distributions‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬

‫ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣﻌﻠوم ﻓﺈن داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن‬

‫)‪L(x; ‬‬

‫واﻟﺗﻰ ﺳوف ﻧرﻣز ﻟﻬﺎ اﻵن ﺑﺎﻟرﻣز‬

‫) ‪L(x ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪L(x )  f (x )   f (x i ).‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﺳوف ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣﻌطﺎﻩ ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ﻛﻣﺎ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ‪ .‬اﻻن ﻓﺈﻧﻧﺎ‬

‫ﻧﺣﺗﺎج اﻟﻰ داﻟﻪ ﺟدﯾدة ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻛل اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﺣﺗوﯾﻬﺎ داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ‬ ‫اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻷﺧرى اﻟﺗﻰ ﻧﻌرﻓﻬﺎ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫ﺑﻌد "‪ "posterior‬اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ‪،‬‬

‫أي أﻧﻧﺎ ﻧﺑﺣث ﻋن ﺗوزﯾﻊ ﺑﻌدى ‪ posterior distribution‬ﺑﻌد اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ‬ ‫) ‪ x  (x1,x2,...,xn‬وﯾرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز‬

‫)‪(  x‬‬

‫‪.‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪:‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي‬

‫ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﻪ‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪(  x‬‬

‫ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫ﻫو ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻣﺷروط ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫وﻫو ﯾﺻف درﺟﺔ اﻋﺗﻘﺎدﻧﺎ ﻓﻲ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﻪ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫‪‬‬

‫ﺑﻌد اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ‬

‫وﯾﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻣن ﻧظرﯾﺔ ﺑﯾﯾز ﻛﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪L(x )  f (x )   f (x i ).‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرك‬

‫)‪f (x, ‬‬

‫ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن‬

‫‪X,‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻪ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورﻩ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪١٨٥‬‬

‫ﺑﺷرط اﻟﺣﺻول‬

‫‪f (x, )  ()f (x | )  f (x)( x).‬‬

‫وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫ﺣﯾث‬

‫)‪f (x‬‬

‫ﻫو اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﺎﻣﺷﻰ ﻟـ‬

‫)‪()f (x ‬‬ ‫)‪f (x‬‬

‫‪( x) ‬‬

‫وﯾﻌﻄﻰ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‪:‬‬

‫‪X‬‬

‫‪f (x)   f (x; )d   ()f (x ) d.‬‬

‫إذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ‬

‫‪‬‬

‫إذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ‬

‫‪‬‬

‫ﻣﺗﺻل ‪ ،‬أو ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﻪ‪:‬‬

‫‪f (x)   f (x, )   ()f (x ).‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣﺗﻘطﻊ ‪ .‬ﻋﻠﻰ أي ﺣﺎل ﻟﯾس ﻫﻧﺎك ﺣﺎﺟﻪ ﻟﺣﺳﺎب‬

‫)‪f (x‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻪ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورﻩ‪:‬‬

‫ﻻن‬

‫‪( x)  ()f (x ).‬‬

‫أو ﻋﻠﻰ اﻟﺻورﻩ‪:‬‬ ‫‪( x)  ()L(x ).‬‬

‫وذﻟك ﻻن اﻟداﻟﻪ‬

‫)‪f (x‬‬

‫ﯾﻣﻛن ان ﺗدﺧل ﻓﻲ ﺛﺎﺑت اﻟﺗﻧﺎﺳب‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١-٤‬‬ ‫ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر ﻧﺳﺑﻪ اﻟﻣﻌﯾب ﻓﻲ اﻧﺗﺎج ﻣﺻﻧﻊ ﻣﺎ ﻻﺟﻬزة اﻟﺗﻠﻔزﯾون‪ .‬ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ‬

‫اﺧﺗﯾﺎرﻧﺎ ﻣﺷﺎﻫدﻩ واﺣدﻩ ﻓﻘط ‪ x‬ﺣﯿﺚ‬

‫‪x  x1  0‬‬

‫إذا ﻛﺎن اﻟﺗﻠﯾﻔزﯾون ﻣﻌﯾب‬

‫‪x  x2  1‬‬

‫إذا ﻛﺎن‬

‫اﻟﺗﻠﯾﻔزﯾون ﻏﯾر ﻣﻌﯾب ‪ ،‬اى أن ‪ ، n = 1‬وﻋﻼوة ﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻌﺗﻘد ﻗﺑل إﺟراء اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﺑﺈن‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ‬

‫ﻫو‪:‬‬

‫ﻟـ ‪‬‬ ‫‪2  .4‬‬

‫‪.6‬‬ ‫اوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟـ‬

‫‪‬‬ ‫)‪ ( ‬‬

‫‪1  .3‬‬

‫‪.4‬‬ ‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻰ‪:‬‬ ‫‪x = 0, 1.‬‬

‫‪f (x )   x (1-)1-x ,‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪١٨٦‬‬

f (x1  0   .3)  (.3)0 (.7)10  .7, f (x 2  1   .3)  (.3)1 (.7)11  .3, f (x1  0   .4)  (.4)0 (.6)10  .6, f (x 2  1   .4)  (.4)1 (.6)11  .4,

:‫ ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‬X ‫وﯾﻣﻛن وﺿﻊ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬ f (x1  0 ) f (x 2  1  )

1

2

.7 .3

.6 .4 : ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬

  1 x1  0  

(1 )f (x1 1 )     f (x1 ) 

(.4)(.7) 28 7   , (.4)(.7)+(.6)(.6) 64 16 (2 )f (x1 2 )    2 x1  0       f (x1 ) =



(.6)(.6) 36 9   , .64 64 16 (1 )f (x 2 1 )   1 x 2  1       f (x 2 ) =



(.4)(.3) 12 1   , (.4)(.3)+(.6)(.4) 36 3 (2 )f (x 2 2 )    2 x 2  1       f (x 2 ) =



=

(.6)(.4) 24 2   , (.4)(.3)+(.6)(.4) 36 3

: ‫ﻫو‬   1 x    2 x  ١٨٧



‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟـ‬

x1  0

x2  1

7/16 9/16

1/3 2/3

‫ﻣﺛﺎل )‪(٢-٤‬‬ ‫ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﺳﻧﺳﺣب ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﺑﻣﺗوﺳط‬

‫واﻟذى ﻧﻌﺗﻘد ﻗﺑل إﺟراء‬

‫اﻟﺗﺟرﺑﺔ اﻧﻪ ﯾﺳﺎوى ‪ 2‬أو ‪ 4‬ﻛﻣﺎ أن ‪   2‬ﻟﻬﺎ ارﺑﻌﺔ اﺿﻌﺎف اﺣﺗﻣﺎل ‪ .   4‬اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

‫اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﻌطﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪P(  4)  0.2 .‬‬

‫‪P(  2)  0.8‬‬

‫ﺑﻔرض أﻧﻪ ﺗم إﺟراء اﻟﺗﺟرﺑﺔ ووﺟدﻧﺎ أن ‪ x  6‬ﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓﺈن ‪   2‬ﺗﺑدو أﻗل اﺣﺗﻣﺎﻻ‬

‫ﻣن ﻗﺑل‪ ،‬ﻓﺎﻟﻣﺷﺎﻫدة ‪ x  6‬ﺗرﺟﺢ أن ‪   4‬ﻋﻠﻰ ﻛون ‪ ،   2‬أي ﺑﺗﻌﺑﯾر أوﺿﺢ ‪:‬‬ ‫)‪P(X  6   2)  P(X  6)  P(X  5‬‬ ‫‪ .995  .983  .012.‬‬

‫ﺣﯾث ﯾﺗم ﺣﺳﺎب ﻫذا اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﻓﻰ ﻣﻠﺣق )‪ (١‬ﻋﻧد ‪   2‬وﺑﺎﻟﻣﺛل‬ ‫‪:‬‬

‫)‪P(X  6   4)  P(X  6)  P(X  5‬‬ ‫‪ .889  .785  .104.‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬

‫)‪  2  P(X  6   2‬‬ ‫)‪(2)P(X  6   2)  (4)P(X  6   4‬‬

‫‪P(  2 X  6) ‬‬

‫‪.8 .012 ‬‬ ‫‪ .316,‬‬ ‫)‪.8.012   (.2)(.104‬‬ ‫)‪  4  P(X  6   4‬‬ ‫‪P(  4 X  6) ‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪(2)P(X  6   2)  (4)P(X  6   4‬‬

‫‪.2 .104 ‬‬ ‫‪ .684.‬‬ ‫)‪.8.012   (.2)(.104‬‬

‫‪‬‬

‫وﻫﻛذا ﯾﺗﺿﺢ أن اﺣﺗﻣﺎل ‪   2‬ﻧﻘص ﻣن ‪) .8‬اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻘﺑﻠﻰ( اﻟﻰ ‪) .316‬اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

‫اﻟﺑﻌدى( ﺑﻌد ﺳﺣب اﻟﻌﯾﻧﻪ واﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ x  6‬وأن اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪   4‬اﺻﺑﺢ ‪ .684‬وﯾﻣﻛن‬

‫ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟـ‬

‫‪‬‬

‫ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪  2.‬‬

‫‪ .684‬‬ ‫‪   6  ‬‬ ‫‪.316‬‬ ‫‪١٨٨‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٣-٤‬‬ ‫ﺻﻧدوق ﺑﻪ ‪ 8‬وﺣدات ﻣﺷﺣوﻧﻪ ﻣن ﻣﺻدر ﻣﺎ ‪ٕ ،‬واذا ﻛﺎت اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣﺎﺿﯾﻪ ﺗﺷﯾر‬

‫ﻋﻠﻰ أن ‪ 70%‬ﻣن اﻟﺻﻧﺎدﯾق اﻟﻣﺷﺣوﻧﻪ ﻣن ﻫذا اﻟﻣﺻدر ﻻﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ وﺣدات ﻣﻌﯾﺑﻪ و‬

‫‪ 20%‬ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ وﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ و‪ 10%‬ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ وﺣدﺗﯾن ﻣﻌﯾﺑﺗﯾن أى أﻧﻧﺎ ﻧﻔﺗرض أن‬ ‫ﻛل اﻟﺻﻧﺎدﯾق اﻟﺗﻰ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ‪ 8‬وﺣدات ﺳوف ﯾﻛون ﺑﻬﺎ اﻣﺎ ‪ 2 , 1 , 0‬وﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ‪ .‬ﺛم‬

‫اﺧﺗﯾﺎر ‪ 3‬وﺣدات ﻋﺷواﺋﯾﻪ ﻣن ﺻﻧدوق ﺑﻪ ‪ 8‬وﺣدات ووﺟد أن وﺣدﻩ واﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ‪ .‬أوﺟد‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل ان ﺻﻧدوق ﻣن ‪ 8‬وﺣدات اﺳﺗﻘﺑل ﻣن اﻟﻣﺻدر ﻓﻰ اﻟﺣﻘﯾﻘﻰ ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ وﺣدﺗﯾن‬

‫ﻣﻌﯾﺑﺗﯾن‪.‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬

‫ﺑﻔرض أن ‪ X‬ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﻣﻌﯾﺑﻪ ﻓﻰ ﻋﯾﻧﻪ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬ﻣن اﻟوﺣدات اﻟﻣﺧﺗﺎرة‬

‫ﻣن اﻟﺻﻧدوق ﺣﯾث‪:‬‬

‫ﺣﯾث‬

‫‪n‬‬ ‫‪f  x      x (1  ) n x .‬‬ ‫‪x‬‬

‫اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ وﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ ‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن ﻋﻧد ‪n = 3‬‬

‫‪‬‬

‫ووﺟود وﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ ﻫﻰ‪:‬‬

‫‪ 3‬‬ ‫‪f 1      1 (1  )2  3(1  )2 .‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻫﻧﺎك ﺛﻼﺛﻪ اﻣﻛﺎﻧﯾﺎت اﻣﺎ ‪ 0‬أو ‪ 1‬أو ‪ 2‬وﺣدات ﻣﻌﯾﺑﻪ ﻣن اﻟﺻﻧدوق اﻟذى ﺑﻪ ‪ 8‬وﺣدات‬ ‫وﺑﻣﺎ أن‬

‫‪‬‬

‫ﺗﻣﺛل اﺣﺗﻣﺎل وﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪  0 , 1/8 , 2/8.‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬ ‫‪0.125‬‬ ‫‪.25‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫ﻟﻠﻘﯾم ﻣن‬

‫‪‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪‬‬

‫ﻫو‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.7‬‬

‫ﻓﺈن داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن ﺳوف ﺗﻛون ‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.125‬‬ ‫‪.25‬‬ ‫‪١٨٩‬‬

‫)‪(‬‬

‫‪.42‬‬

‫‪.287‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪f (1 ‬‬

‫وﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻧظرﯾﺔ ﺑﯾﯾز ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل وﺟود وﺣدﺗﯾن ﻣﻌﯾﺑﺗﯾن ﻓﻲ ﺻﻧدوق ﺑﻪ ‪ 8‬وﺣدات إذا‬

‫ﻋﻠم أن اﻟﻌﯾﻧﻪ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ وﺣدﻩ واﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ ﻫو‪:‬‬ ‫‪f 1.25   .25‬‬

‫‪f 1.25  .25  f (1 .125)  .125  f 1 0    0 ‬‬

‫‪.42 .1‬‬ ‫‪ .42 .‬‬ ‫)‪.42.1  .287 .2   (0)(.7‬‬

‫‪(  .25 | x  1 ‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻓﻲ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﯾﻧﻣﺎ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟوﺟود وﺣدﺗﯾن ﻣﻌﯾﺑﺗﯾن ﻓﻰ اﻟﺷﺣﻧﻪ ﻫو ﻓﻘط ‪ .1‬ﻓﺈن‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺑﻌدي ﻫو ﺗﻘرﯾﺑﺎً أرﺑﻊ أﺿﻌﺎف )‪. (.42‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٤-٤‬‬

‫ﺑﻔرض أن ﺷﺣﻧﻪ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ‪ 1000‬وﺣدﻩ ﻣﺳﺗﻘﺑﻠﻪ ﻣن ﻣﺻدر ﻣﺎ ﺣﯾث ﺗﺣﺗوى‬

‫اﻟﺷﺣﻧﻪ ﻋﻠﻲ‬

‫‪‬‬

‫)ﻏﯾر ﻣﻌﻠوﻣﻪ( ﻣن اﻟوﺣدات اﻟﻣﻌﯾﺑﻪ‪ .‬اﯾﺿﺎ اﻧﻪ ﺑﻔرض أن ﻣن اﻟﺧﺑرﻩ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ‬

‫وﺟد أن ‪ 5%‬ﻣن اﻟوﺣدات ﻣﻌﯾﺑﻪ‪ .‬ﺑﻔرض اﻧﻧﺎ وﺿﻌﻧﺎ اﻟﻔرض أن ﻛل وﺣدﻩ ﻣﻧﺗﺟﻪ ﻟﻬﺎ‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪ 0.05‬ﻻن ﺗﻛون ﻣﻌﯾﺑﻪ ‪ ،‬وأن ﺣدوث اﻟﻣﻌﯾب ﻣﺳﺗﻘل‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻘﺑﻠﯾﻪ ﻟﻌدد اﻟوﺣدات اﻟﻣﻌﯾﺑﻪ ﻓﻰ اﻟﺷﺣﻧﺔ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪p = .05‬‬

‫‪ . , n = 1000‬وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻘﺑﻠﯾﺔ ﻫﻰ‪:‬‬

‫‪1000 ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪.05  0.951000‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪,   0 , 1, 2, ....,1000.‬‬

‫ﺑﻔرض اﻧﻧﺎ أﺧﺗرﻧﺎ ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﻪ ﻣن ‪ 10‬وﺣدات ﻣن اﻟﺷﺣﻧﻪ )ﺑدون ارﺟﺎع(‪ٕ .‬واذا ﻛﺎن ‪X‬‬

‫ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﻣﻌﯾﺑﻪ ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ‪ ،‬ﻓﺈن داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪  1000   ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  10  x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f  x  ‬‬ ‫‪, x  0,1,2,...,10,‬‬ ‫‪ 1000 ‬‬ ‫‪ 10 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﻪ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪, X‬‬ ‫‪١٩٠‬‬

‫‪‬‬

‫ﻫﻰ‪:‬‬

‫‪   1000   ‬‬ ‫‪ x  10  x  1000‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x, )   ‬‬ ‫‪.05  (.95)1000‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1000 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ 10 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪, x  0, 1, 2, ... , 10,‬‬ ‫‪  x, x+1 , ... 990 + x.‬‬

‫ﺣﯾث ‪ x‬ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﻣﻌﯾﺑﻪ ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ و ‪ 10 – x‬ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﺳﻠﯾﻣﻪ‬ ‫)اﻟﻐﯾر ﻣﻌﯾﺑﺔ( ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ . n=10‬أﻗل ﻗﯾﻣﻪ ﻣﻣﻛﻧﻪ ﻟـ‬

‫‪‬‬

‫ﻗﯾﻣﻪ ﻣﻣﻛﻧﻪ ﻫﻰ )‪ 1000-(10- x‬وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻣدى ‪. ‬‬

‫ﻫﻰ ‪ x‬واﻛﺑر‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺑﻌد اﺟراء ﺑﻌض اﻻﺧﺗﺻﺎرات ﻧﺟد أن داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﻪ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪X‬‬

‫ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪10  990 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪ x    x  .05  .95 ‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪990 x  990 ‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪10 x‬‬ ‫‪    .05  .95 ‬‬ ‫)‪.05x .95990( x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x    x ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪990  x‬‬

‫‪‬‬

‫‪f x ‬‬

‫‪10 ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪10  x‬‬ ‫‪   .05  .95 ‬‬ ‫‪, x  0,1,2,...,10.‬‬ ‫‪x‬‬

‫اي ان ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذي ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪ n = 10 , p = .05‬وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

‫اﻟﺑﻌدﯾﻪ ﻟـ‬

‫‪‬‬

‫ﻫﻰ‪:‬‬

‫‪f  , x   990 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.05x .95 990( x) ,   x, x  1,...,990  x.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x)    x ‬‬

‫‪ x  ‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٥-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﺑﻣﺗوﺳط‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟـ‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫وﺗﺑﺎﯾن ‪ 2  ‬ﻣﻌﻠوم ﺣﯾث )‪ X ~ N(, ‬أوﺟد‬

‫ﺗﺣت ﻓرض أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ ﻟـ‬

‫‪‬‬

‫ﻫو ‪ N  0 , 0 ‬ﺣﯾث ‪ 0 , 0‬ﺛواﺑت‬

‫ﻣﻌﻠوﻣﻪ و ﺗﺣت ﻓرض أﻧﻧﺎ ﺣﺻﻠﻧﺎ ﻋﻠﻰ ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪. n = 1‬‬ ‫‪١٩١‬‬

:‫اﻟﺤــﻞ‬ 1 2

2  1  f  x     2  exp   x    /   ,  2  1  2  1        20  2 exp     0  / 0 .  2  

: ‫وﺑﻣﺎ أن‬    x       f  x  .

1  2  1      x    20  2 exp     0  / 0   2  1  2  1  . 2  2 exp   x   /   2 

 1   exp  2 0 1  1  2  (0 / 0 )  (x / )  .   2





:‫وﻟذﻟك ﯾﻛون ﻣن اﻟﻣﻧﺎﺳب ﻛﺗﺎﺑﻪ‬ 1 



‫ ﻛداﻟﻪ ﻓﻰ‬   x  ‫ﺣﯾث ﯾﻧظر اﻟﻰ‬

1 , 0 1  1

1  1  0 / 0 )  (x /    .

:‫وﻋﻠﻲ ذﻟك‬ 01  1  11,

(0 / 0 )  (x / )  1 / 1 : ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬ 1  2  1     x    21  2 exp     1  / 1   2 

:‫أي أن‬    x  ~ N  1 , 1 

(٦-٤) ‫ﻣﺛﺎل‬ :‫ﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬

١٩٢

‫ ﺳوف ﻧﺄﺧذ‬n=1 ‫ وﻟﻛن ﺑدﻻ ﻣن اﺧذ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم‬ ~ N  0 , 0  ‫إذا ﻛﺎن‬ :‫ وﻋﻠﻰ ذﻟك‬X ~ N  ,  ‫ﺣﯾث‬

X  (X1,X2,...,Xn ) ‫ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ‬

   x      f  x   1  2  1   20  2 exp     0  / 0  2 1  2  1  .  2 2 exp   x1    /    2  1 2

2  1  .  2 exp   x 2    /   2  1  2  1  ... 2  2 exp   x n    /    2   1   exp -  2 (1/ 0 )  (n / )   2(0 / 0 )  (x i / )  .  2  

:‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن‬  x ~ N  1, 1  .

:‫ﺣﯾث‬ 1

1   (1/ 0 )  (n / )  , 1  1  0 / 0   (x i / )  .

:‫أو‬



1



1  01  ( / n) 1

,

1  1{ 0 / 0   x /( / n).

‫ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﻪ اﻟﺗوزﯾﻊ‬

h(t )

‫ وﺗوزﯾﻌﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ‬ ‫اذا ﻛﺎن ﻫﻧﺎك إﺣﺻﺎء ﻛﺎﻓﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬

:‫اﻟﺑﻌدى ﻋﻠﻰ اﻟﺻورﻩ‬

( x)  () h(t ) N(x).

: ‫ﻓﻰ ﺛﺎﺑت اﻟﺗﻧﺎﺳب ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‬ ( t)  () h(t ).

١٩٣

N(x)

‫ﯾﻣﻛن أن ﺗدﺧل‬

‫إذا ﻋﻠم ‪x‬‬

‫ﻷي ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟـ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪‬‬

‫ﻫو ﻧﻔﺳﻪ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟـ‬

‫إذا ﻋﻠم ‪ .t‬ﻓﺈذا وﺟد اﻹﺣﺻﺎء اﻟﻛﺎﻓﻰ ﻓﯾﻛون ﻣن اﻷﻓﺿل اﺳﺗﺧدام اﻟﺻﯾﻐﻪ اﻷﺧﯾرة وذﻟك‬

‫‪‬‬

‫ﻻﻫﻣﯾﺔ اﻹﺣﺻﺎء اﻟﻛﺎﻓﻰ ‪ ،‬وﯾﺗم ﺣﺳﺎب ﺛﺎﺑت اﻟﺗﻧﺎﺳب ﺑﺈﻋﺗﺑﺎر أن‬

‫)‪( t‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٧-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ) ‪ X  (X1,X2,...,Xn‬ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﻪ ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون وﻋﻠﻲ ذﻟك‪:‬‬ ‫‪f (x )   t exp(-n) .‬‬

‫ﺣﯾث‬

‫‪n‬‬

‫‪t=  x i‬‬ ‫‪i=1‬‬

‫وﻣن اﻟﻣﻌروف أن‬

‫‪n‬‬

‫‪T=  X i‬‬ ‫‪i=1‬‬

‫إﺣﺻﺎء ﻛﺎﻓﺊ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬إذا ﻋﻠم‬

‫‪x‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬

‫)‪(n) t exp[n‬‬ ‫‪h(t ) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫!‪t‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٨-٤‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ) ‪ X  (X1,X2,...,Xn‬ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﻪ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ‬

‫ﺑﻣﺗوﺳط ‪ ‬ﻣﻌﻠوم وﺗﺑﺎﯾن ‪ 2  ‬ﻏﯾر ﻣﻌﻠوم ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪exp  - z/  .‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪f (x )  ‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪z=  (x i -) 2 .‬‬

‫ﺑﻣﺎ‬

‫ان ‪Z=  (X i - ) 2‬‬

‫اﺣﺻﺎء ﻛﺎﻓﻲ ﻟـ ‪ ‬إذا ﻋﻠم‬

‫‪ .‬ﻣن اﻟﻣﻌروف أن‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪(Xi -)/  ~ N(0,1),‬‬

‫وﺣﯾث أن‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬

‫‪Z/‬‬

‫ﯾﻣﺛل ﻣﺟﻣوع ﻣرﺑﻌﺎت ‪ n‬ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﻪ وﻛل ﻣﺗﻐﯾر ﯾﺗﺑﻊ )‪N(0 , 1‬‬

‫‪Z/ ~  2n‬‬

‫ﺑوﺿﻊ‬

‫ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪Y=Z/‬‬

‫‪y > 0.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ 1 ‬‬ ‫‪exp   y ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪g(y)  y‬‬

‫ﻣن اﻟﺳﻬل أﺛﺑﺎت أن‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪exp   z /   , z > 0.‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪١٩٤‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪h(z | )  z 2‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٩-٤‬‬ ‫ﺑﻔرض ان ﻛل وﺣدﻩ ﻋﻠﻰ ﺧط اﻹﻧﺗﺎج اﻣﺎ أن ﺗﻛون ﻣﻌﯾﺑﻪ أو ﻏﯾر ﻣﻌﯾﺑﻪ ‪ ،‬وﻋﻠﻲ ذﻟك‬

‫ﯾﻣﻛن ﺗﺳﻣﯾﻪ ﻛل وﺣدﻩ ﻣﺣﺎوﻟﻪ ﺑرﻧوﻟﻰ‪ .‬ﺑﻔرض أن اﻟﻣﺣﺎوﻻت ﻣﺳﺗﻘﻠﻪ ﺣﯾث ‪) =‬ﻣﻌﯿﺒﮫ( ‪P‬‬ ‫‪xi  0‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت اﻟوﺣدﻩ ﻏﯾر ﻣﻌﯾﺑﻪ‪.‬‬

‫ﻟﻛل وﺣدة ‪ ،‬وﻋﻠﻲ ذﻟك‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ) ‪ X  (X1,X2,...,Xn‬ﺗﻣﺛل ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﻪ‪ٕ .‬واذا ﻛﺎﻧت‬

‫‪ ‬ﺣﯾث داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﻪ‬

‫‪xi  1‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت اﻟوﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ و‬

‫‪n‬‬

‫‪xi  t‬‬

‫‪i 1‬‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪x=0,1.‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪‬‬

‫ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪. ‬‬

‫‪f (x )   x (1  ) x 1 ,‬‬

‫ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم ‪ a , b‬أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى‬

‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫ﻣن اﻟﻣﻌﻠوم أن‬

‫‪n‬‬

‫‪T   Xi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫اﺣﺻﺎء ﻛﺎﻓﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬وﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﺑﻣﻌﺎﻟم‬

‫)‪ . (n, ‬أى أن‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪h(t )     t (1-) n-t , t = 0, 1, 2...,n.‬‬ ‫‪t‬‬

‫وﺑﻔرض أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬ﻫو‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a 1 (1  )b1 , 0    1,‬‬ ‫)‪(a, b‬‬

‫‪() ‬‬

‫‪   t       h  t ‬‬ ‫‪ a-1 (1  )b 1 t (1-)n-t‬‬ ‫‪   t   c a-1 (1  )b 1  t (1-) n-t .‬‬

‫أى أن ‪:‬‬ ‫‪   | t   c a+t-1 (1  )b n t 1 0    1,‬‬

‫ﻻﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﻪ اﻟﺛﺎﺑت ‪ c‬ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ‪:‬‬

‫‪١٩٥‬‬

‫‪1‬‬

‫‪( x)d  1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ c  a  t 1 (1  )b n t 1 d  1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ c (a+t, b+n-t)=1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪c‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪(a+t , b+n-t‬‬

‫‪a  t 1 (1  )b n t 1‬‬ ‫‪( t) ‬‬ ‫‪, 0    1.‬‬ ‫)‪(a  t , b+n-t‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪e.w.‬‬

‫ﺑﻔرض أن ‪ b = 2 , a = 2‬ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬ﻫو‪:‬‬ ‫‪     6 (1-) ,‬‬

‫‪0    1,‬‬

‫واﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬ﻫو‪:‬‬ ‫‪0    1,‬‬

‫‪ t  2 1 (1-) n-t+2-1‬‬ ‫)‪(t  2 , n-t+2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪  t  ‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١٠-٤‬‬ ‫ﺑﻔرض ﻣﺣﺎوﻻت ﻣﺳﺗﻘﻠﻪ ﻟﺗﺟرﺑﻪ ﻟﻬﺎ ﻧﺗﯾﺟﺗﯾن ﻓﻰ ﻛل ﻣﺣﺎوﻟﻪ اﻣﺎ "ﻧﺟﺎح" أو "ﻓﺷل" إذا‬

‫ﻛﺎﻧت ‪ t‬ﺗﻣﺛل ﻋدد ﺣﺎﻻت اﻟﻧﺟﺎح ﻓﻰ ‪ n‬ﻣن اﻟﻣﺣﺎوﻻت ٕواذا ﻛﺎﻧت ‪ ‬ﺗﻣﺛل اﺣﺗﻣﺎل اﻟﻧﺟﺎح‬ ‫ﻓﻰ ﻣﺣﺎوﻟﻪ ﻣﻌرﻓﻪ وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ T‬ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪t= 0 , 1, ... , n.‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪h  t      t (1-) n-t ,‬‬ ‫‪t‬‬

‫ﺑﻔرض وﺟود ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻣﺳﺑﻘﻪ ﻗﺑل ﺳﺣب اﻟﻌﯾﻧﻪ وﻫﻰ أن ‪ ‬ﺗﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺗﯾن ﺣﯾث‬ ‫‪   .6 , =0.3‬وأن ‪ P(  .3)  0.1 , P(   0.6)=.9‬وﻋﻠﻲ ذﻟﻚ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ‬ ‫ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬ﻫو‪:‬‬ ‫‪ = .3‬‬ ‫‪ = .6 .‬‬

‫‪ 0.1‬‬ ‫‪  = ‬‬ ‫‪.9‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬ﻫو‪:‬‬ ‫‪١٩٦‬‬

‫‪   t   h  t    .‬‬ ‫‪t (1  )n t    ‬‬ ‫‪  t  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪(.3) t (.7)n t (.3)  (.6) t (.4)n t (.6‬‬

‫وﺑﻔرض أن‬

‫‪t2 , n=5‬‬

‫وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫ﻓﺈن‪:‬‬

‫)‪(.3) 2 (.7)52 (.3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪(.3)2 (.7)52 (.3)  (.6) 2 (.4)52 (.6‬‬ ‫‪ .1296  .13‬‬

‫= )‪(.3 t = 2‬‬

‫‪(.6 t  2) = .8704  .87.‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪‬‬

‫‪ = .3‬‬ ‫‪ = .6.‬‬

‫ﻫو‪:‬‬ ‫‪ .13‬‬ ‫‪( t  2)  ‬‬ ‫‪.87‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١١-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ) ‪ X  (X1,X2,...,Xn‬ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﻪ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬

‫‪:‬‬

‫وﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪; 0 < x < .‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f (x ) ‬‬

‫ﻫو‪:‬‬

‫‪0 <  < 1.‬‬

‫‪()  1 ,‬‬

‫أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪. ‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫ﻣن اﻟﻣﻌﻠوم أن )‪ U= max (X‬إﺣﺻﺎء ﻛﺎﻓﻲ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬وأن‪:‬‬ ‫‪u < .‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪nu n 1‬‬ ‫‪h(u )  n‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬

‫‪١٩٧‬‬

1 ; u <  ; 0 <  < 1. n c ( u)  n ; u <  ; 0 <  < 1.  ( u)

:‫ ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ‬c ‫ﻹﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﻪ‬

1



( u) d = 1.

u 1

1

c c1-n   n d = 1   1,  1  n u u

 1 u1n   c   = 1.

1  n 1  n  

 1  1  c  =1 n 1  n  1 (n  1)u    1  u n 1   c =1 n 1  (n  1)u    (n  1)u n 1  c n 1   1 u     u 

n  1 u n 1 1   .

1  u n 1

n

; u <  < 1.

(١٢-٤) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﻪ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﻪ اﺣﺗﻣﺎل‬X  (X1,X2,...,Xn ) ‫إذا ﻛﺎن‬

:‫ﺑواﺳون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‬

f (x ) 

e x x!

, x = 0 , 1, 2, ...

: ‫ ﻫو‬ ‫ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣﻘﺗرح ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬

ba ()  a-1 eb ,  > 0. (a)

.  ‫( اﻟﻤﻄﻠﻮب إﯾﺠﺎد اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬a , b ) ‫أى ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ‬ ١٩٨

:‫اﻟﺤــﻞ‬ :‫ ﻛﺎﻵﺗﻲ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ إﯾﺠﺎد اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬ n

L(x )  f (x )   f (x i | ) 

e n x n

,

x !

i 1

i

i 1

: ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬     f (x ) 

ba a  t 1e (b n) n

.

(a) x i ! i 1 n

:‫ اﻵن‬. t   x1 ‫ﺣﯾث‬ i 1

f (x)   () f(x )d 

ba

=



n

(a) x i !

a  t 1e  (n  b) d.

0

i=1

:‫ﺑﺈﺟراء اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻛﺎﻵﺗﻰ‬ let u = (n+b) ,  =

u du  d  . n+b nb 

ba  u   f (x)    (a)x1 ! 0  n  b 

e u

du (n  b)



ba

=

a  t 1

n

 (a)(b+n)a+t  x i !



u a  t 1e  u du

0

i=1

a

=

b  (a  t)

.

n

(a)(b+n)

a+t

x ! i

i=1

   x  

   f  x |  . f x

:‫وﺑﺈﺟراء اﻟﻘﺳﻣﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬

١٩٩

‫) ‪b a a  t 1e (bn‬‬ ‫‪n‬‬

‫! ‪(a) x i‬‬

‫‪ x  ‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪.‬‬

‫)‪b a (a  t‬‬ ‫‪n‬‬

‫! ‪(a)(b  n)a  t  x i‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪‬‬

‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫) ‪(b  n) a  t a  t 1  (b n‬‬ ‫‪ x  ‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪;  > 0.‬‬ ‫)‪ (a  t‬‬

‫واﻟذى ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﻌﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم ) ‪.(a + t , b +n‬‬ ‫اﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ‬

‫ﺑﻣﺎ ان‬

‫‪n‬‬

‫‪T=  Xi‬‬ ‫‪i=1‬‬

‫‪  | x ‬‬

‫ﺑطرﯾﻘﺔ اﺧرى ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫وﻣن اﻟﻣﻌروف أن ‪ T‬إﺣﺻﺎء ﻛﺎﻓﺊ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬إذا ﻋﻠم‬ ‫)‪(n) t exp[n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫!‪t‬‬

‫وﺣﯾث ان ‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬

‫‪h(t ) ‬‬

‫‪   | x      h(t|),‬‬ ‫‪   x  a  t 1e  (b n ) ;  > 0,‬‬

‫)‪(b  n) a  t a  t 1 (b n‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪;  > 0.‬‬ ‫)‪ (a  t‬‬

‫‪   x  ‬‬

‫ﺑﻔرض أن ‪b = 3 , a = 2‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬ﻫو‪:‬‬ ‫‪     9  e 3 ,  > 0.‬‬

‫واﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬ﻫو‪:‬‬ ‫‪(n  3) t 2 t 1  (n 3) ‬‬ ‫‪ x  ‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪,  > 0.‬‬ ‫)‪ (t  2‬‬

‫وﯾﺟب أن ﻧﻌﻠم أن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻘﺑﻠﯾﻪ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ اﺧﺗﯾﺎرﯾﺔ وﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻧوع اﻟﻔروض‪ .‬وﻫﻧﺎك‬

‫ﻣﺋﺎت اﻟﻔروض اﻟﺗﻰ ﯾﻣﻛن وﺿﻌﻬﺎ ‪ ،‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈﻧﻪ ﺑﻣﻛن ﻟﻠﺑﺎﺣﺛﯾن اﺳﺗﺧدام ﻧﻔس اﻟﻌﯾﻧﻪ‬

‫وﺳوف ﯾﺻﻠون اﻟﻰ ﺗوزﯾﻌﺎت ﺑﻌدﯾﻪ ﻣﺧﺗﻠﻔﻪ وذﻟك اﻋﺗﻣﺎداً ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣﻔﺗرض‪.‬‬ ‫‪٢٠٠‬‬

‫اﻵن ﺳوف ﻧوﺿﺢ ﻛﯾف أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪‬‬

‫ﻣن اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫ﺳوف ﯾﻐﯾر اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺑﻌدﯾﻪ‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١٣-٤‬‬ ‫ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ اﻟﻘﯾﻧﺎ ﻋﻣﻠﻪ وﺑﻔرض أن ‪ x = 1‬إذا ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ وﺟﻪ و‪ x = 0‬إذا ﺗم‬

‫اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻛﺗﺎﺑﻪ ‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻰ‪:‬‬ ‫‪f  x   1  ‬‬

‫‪x 0‬‬

‫ﺑﻔرض أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻫو‪:‬‬

‫‪x  1.‬‬

‫‪‬‬

‫‪, 0    1.‬‬

‫‪    1‬‬

‫اذن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻛل ﻣن ‪ X,‬ﺳوف ﯾﻛون‪:‬‬ ‫‪f  x,    1   ‬‬

‫‪x0‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪x  1.‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﺎﻣﺷﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻰ‪:‬‬ ‫‪, x 0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪, x  1.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1   d ‬‬

‫‪f (0)  ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f (1)    d ‬‬ ‫‪0‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﻫو‪:‬‬ ‫‪   x   2 1    , x  0 , 0    1‬‬ ‫‪, x  1 , 0    1.‬‬

‫‪ 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أى اﻧﻧﺎ ﻗﺑل اﻟﻘﺎء اﻟﻌﻣﻠﻪ ﻛﻧﺎ ﻧﺷﻌر ان اﺣﺗﻣﺎل أن ‪ ‬ﺗزﯾد ﻋن ﻫو‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫واﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪) x = 1‬وﺟﻪ( ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗزﯾد ‪ ‬ﻋن ﻫو ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2 d = 4 ,‬‬ ‫‪1‬‬

‫وﺑﻌد اﻟﻘﺎء اﻟﻌﻣﻠﻪ‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫او ﻋﻧدﻣﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻛﺗﺎﺑﻪ )‪ (x = 0‬ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل ان ﺗزﯾد ‪ ‬ﻋن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪٢٠١‬‬

‫ﻫو‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫= ‪d‬‬

‫‪ 2 1   ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺑﻌدي أن‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻧﺗﯾﺟﻪ اﻟﻌﻣﻠﻪ ﻫل ﻫﻰ وﺟﻪ أو ﻛﺗﺎﺑﻪ‪.‬‬

‫> ‪ ‬ﻫو اﻣﺎ‬

‫أو‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫وذﻟك اﻋﺗﻣﺎداً ﻋﻠﻰ‬

‫وﻣن ﻧﺎﺣﯾﺔ اﺧرى اذا اﺧﺗرﻧﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪, .4    .6 .‬‬

‫‪   5‬‬

‫وذﻟك ﻛﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻟـ ‪ ‬وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﺎﻣﺷﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫو‪:‬‬ ‫‪.6‬‬

‫‪f (x)   5 1    d  .5‬‬

‫‪, x 0‬‬

‫‪.4‬‬ ‫‪.6‬‬

‫‪  5 d  .5‬‬

‫‪, x 1 .‬‬

‫‪.4‬‬

‫وﯾﺟب ان ﻧﻌﻠم ان اﻟﺗوزﯾﻊ )‪ f(x‬ﻫو ﻧﻔﺳﻪ اﻟذى ﺣﺻﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾﻪ ﻣن ﻗﺑل ذﻟك‪.‬‬

‫اﻵن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﻫو‪:‬‬

‫‪   x   10 1-  , x  0‬‬ ‫‪.4    .6‬‬ ‫‪, x  1 , .4 <  < .6 .‬‬

‫‪ 10 ‬‬

‫وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل إذا اﺳﺗﺧدﻣﻧﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪,   .4 ; .6‬‬ ‫‪,   .5 .‬‬

‫وﻋﻠﻲ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﻫو‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪   ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1  .4 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪    .4 x  0  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  .4   1  .6   .5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  .3,‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4 10 10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪40 40 40‬‬ ‫‪٢٠٢‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1  .6 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪    .6 x  0  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  .6   1  .4   .5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  .2,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6 10 10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪40 40 40‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪    .5 x  0  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  .4   1  .6   .5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.5 .‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4 10 20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪40 40 40‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬ﻫو‪:‬‬ ‫‪  .4‬‬

‫‪ x  0  . 3‬‬

‫‪  .5‬‬

‫‪ .5‬‬

‫‪  .6 .‬‬

‫‪ .2‬‬

‫وﺑﻨﻔﺲ اﻟﺸﻜﻞ ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ‪    | x  1‬ﺣﯿﺚ ‪:‬‬ ‫‪  .4‬‬ ‫‪  .5‬‬ ‫‪  .6 .‬‬

‫‪   x  1  .2‬‬ ‫‪ .5‬‬ ‫‪ .3‬‬

‫ﻋﺎدة ﻓﻰ اﻟﺗﺣﻠﯾل اﻟﺑﯾﯾزى ﻣﺎ ﻧواﺟﻪ ﻣﺷﻛﻠﺔ اﺧﺗﯾﺎر اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟذى ﯾﻣﺛل ﻣﻌﻠوﻣﺎﺗﻧﺎ أو‬

‫ﺧﺑرﺗﻧﺎ او اﻓﻛﺎرﻧﺎ أو اراؤﻧﺎ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫ﻗﺑل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ‪ .‬ﺗوﺟد ﻋدة‬

‫طرق ﻻﺧﺗﯾﺎر اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻘﺑﻠﯾﻪ ﻧذﻛر ﻣﻧﻬﺎ اﺛﻧﯾن ﻓﻘط ﻻﻧﻬﻣﺎ ﻛﺛﯾ ار اﻻﺳﺗﺧدام ﻓﻰ اﻟﺗﺣﻠﯾل‬

‫اﻟﺑﯾﯾزى وﻫﻣﺎ‪:‬‬

‫‪ ‬اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻘﺑﻠﯾﻪ اﻟﻣراﻓﻘﺔ‪.‬‬ ‫‪ ‬اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻘﺑﻠﯾﻪ اﻟﻐﯾر َﻣﻌﻠﻣﺔ‬ ‫‪٢٠٣‬‬

‫)‪ (٣-٤‬اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﻟﻘﺒﻠﻴﺔ اﻟﻤﺮاﻓﻘﺔ ‪Conjugate Prior Distributions‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪:‬‬

‫ﯾﻘﺎل أن ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻘﺑﻠﯾﺔ ﺗﻛون ﻋﺎﺋﻠﺔ ﻣﺗراﻓﻘﺔ ﻣﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ‬ ‫اﻟﻣﺳﺣوب ﻣﻧﻪ اﻟﻌﯾﻧﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﯾﻧﺗﻣﻰ اﻟﻰ ﻧﻔس اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻟﺗﻰ ﯾﻧﺗﻣﻰ ﻋﻠﯾﻬﺎ‬ ‫أﺣﯾﺎﻧﺎ ﺑﺧﺎﺻﯾﺔ اﻻﻧﻐﻼق ﺗﺣت‬ ‫ً‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻣﻬﻣﺎ ﻛﺎﻧت اﻟﻣﺷﺎﻫدات وﺗﺳﻣﻰ ﻫذﻩ اﻟﺧﺎﺻﯾﺔ‬

‫اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ‪. closed under sampling‬‬

‫اﻵن ﺳوف ﻧوﺿﺢ ﻛﯾﻔﯾﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣراﻓق‪.‬‬

‫ﺗﺣت ﻓرض أن ‪ ‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ وﻣن اﻟﻣﻣﻛن أن‬

‫‪‬‬

‫ﺗﻣﺛل ﻣﺗﺟﻪ ﺣﯾث‬

‫‪ٕ    1, 2 ,..., k ‬واذا ﻛﺎﻧت ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺣﺟﻣﻬﺎ ‪n‬‬

‫ﻣﺳﺣوﺑﺔ‬

‫ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗوزﯾﻌﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ‪ٕ f  x  ‬واذا ﻛﺎﻧت ‪ x   x1,x 2 ,...,xn ‬ﺗرﻣز ﻟﻘراءات ﻋﯾﻧﻪ‬ ‫‪ٕ .‬واذا ﻛﺎﻧت ‪ f  x  ‬ﻋﺿو ﻓﻰ اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻷﺳﯾﺔ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪f  x    ea   b(x)c d(x) .‬‬

‫وﺑﺎﻟﻧظر اﻟﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ أﻧﻪ داﻟﻪ ﻓﻰ ‪ ‬ﻓﺈن داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن ﺗﻛون ﻋﻠﻰ‬

‫اﻟﺻورﻩ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪n‬‬

‫‪na    c   d x i ‬‬ ‫‪i1‬‬

‫‪L    e‬‬

‫اﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪na   c   d  x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L  , n;  d  x i    e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫وﺑﺎﺧﺗﯾﺎر اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﯾﺗﻧﺎﺳب ﻣﻊ داﻟﻪ اﻹﻣﻛﺎن ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪  ; 1 , 1   e  a   c   ,‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫وﯾدﻣﺞ داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن ﻣﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﯾﺄﺧذ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪  ;  2 ,  2   e a    c   ,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪2  1   d  x i  ,  2  1  n.‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪٢٠٤‬‬

‫اﻟﺟدول اﻻﺗﻰ ﯾﻌطﻰ ﺑﻌض اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬واﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻘﺑﻠﯾﻪ اﻟﻣراﻓﻘﺔ ﻟﻬﺎ‪:‬‬ ‫ﺗوزﯾﻊ ‪X‬‬

‫اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣراﻓق‬

‫ذى اﻟﺣدﯾن‬

‫اﺣﺗﻣﺎل اﻟﻧﺟﺎح‬

‫ﺑﯾﺗﺎ‬

‫ﺑواﺳون‬

‫اﻟﻣﺗوﺳط‬

‫ﺟﺎﻣﺎ‬

‫اﻷﺳﻲ‬

‫ﻣﻘﻠوب اﻟﻣﺗوﺳط‬

‫ﺟﺎﻣﺎ‬

‫اﻟطﺑﯾﻌﻰ‬

‫اﻟﻣﺗوﺳط)اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻣﻌﻠوم(‬

‫اﻟطﺑﯾﻌﻰ‬

‫اﻟطﺑﯾﻌﻰ‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾن)اﻟﻣﺗوﺳط ﻣﻌﻠوم(‬

‫ﻣﻌﻛوس ﺟﺎﻣﺎ‬

‫ﻣن ﻣزاﯾﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣراﻓق اﻧﻪ ﻣن اﻟﺳﻬل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗوﻗﻌﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻪ‬

‫ﻛﻣﺎ أن اﻓراد اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻟﻣراﻓﻘﺔ ﻛﺛﯾرون ﺑﺣﯾث ﯾﺳﺗطﯾﻊ اﻟﺷﺧص ان ﯾﻣﺛل ﻣﻌﻠوﻣﺎﺗﻪ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑﻔرد‬

‫ﻣن أﻓراد اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ ‪ ،‬ﻟذﻟك ﯾﻘﺎل ان اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻟﻣراﻓﻘﺔ ﻏﻧﯾﺔ ﻣرﻧﻪ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(١٤-٢‬‬

‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (٩-٤‬وﺑﻔرض أن ‪ X‬ﺗﺄﺧذ اﻟﻘﯾﻣﻪ ‪ 0‬أو ‪ 1‬ﺣﯾث ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫‪ ‬ﺣﯾث ‪)= ‬وﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ( ‪. P‬‬

‫واﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣراﻓق ‪.‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪L  x    x (1  )n x‬‬ ‫‪i‬‬

‫)‪ e x ln n x  ln(1‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪n ln1-x i ln ln1 ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣراﻓق ﺳوف ﯾﻛون‪:‬‬ ‫‪a ln 1  b ln ln 1  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪a ln 1  b ln‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪ e‬‬

‫‪    e‬‬

‫‪ e‬‬

‫‪b 1   ‬‬

‫‪a‬‬

‫‪ 1- ‬‬

‫‪b .‬‬

‫‪a b‬‬

‫‪ 1- ‬‬

‫‪٢٠٥‬‬

‫أى أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ اﻟﻣراﻓق ﻫو‪:‬‬ ‫‪, 0    1.‬‬

‫‪a-b‬‬

‫‪     c  b 1- ‬‬

‫ﻹﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺔ اﻟﺛﺎﺑت ‪ c‬ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪     d  1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪d  1‬‬

‫‪a b‬‬

‫‪1‬‬

‫‪cb 1   ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪d  1‬‬

‫‪a b‬‬

‫‪1‬‬

‫‪c  b 1   ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪c(b  1,a  b  1)  1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪  b  1,a  b  1‬‬ ‫‪b (1  )a b‬‬ ‫‪0    1.‬‬ ‫‪  b  1,a  b  1‬‬

‫‪    ‬‬

‫اى ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم )‪.(b+1),(a-b+1‬‬ ‫اى أن ‪:‬‬

‫)‪ ~ (A, B‬‬

‫ﺣﯾث ‪b  1  A‬‬

‫‪,‬‬

‫‪a  b 1  B‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺑﻌدﯾﻪ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬ﻫﻰ‪:‬‬

‫‪1-b+n-t-1 0<<1.‬‬

‫‪   x   a +t-1‬‬

‫ﺣﯾث ‪. t  x i‬‬

‫اى ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم )‪. (a  t),(b  n  t‬‬

‫ﯾﻼﺣظ ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﯾﻧﺗﻣﻰ اﻟﻰ ﻧﻔس اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻟﺗﻰ ﯾﻧﺗﻣﻰ اﻟﯾﻬﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ أى أن‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻋﺿو أو ﻓرد ﻓﻰ ﻧﻔس اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻟﺗﻰ ﯾﻧﺗﻣﻰ اﻟﯾﻬﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻓﻰ ﻣﺛل ﻫذﻩ‬

‫اﻟﺣﺎﻟﻪ ﻧﻘول ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻣراﻓق ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ اﻟﻣﺳﺣوب ﻣﻧﻪ اﻟﻌﯾﻧﻪ‪.‬‬ ‫‪٢٠٦‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١٥-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬ ‫‪, x  1, 2,....‬‬

‫‪e -  x‬‬ ‫‪f  x ‬‬ ‫!‪x‬‬

‫اوﺟدي اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣراﻓق واﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟ ـ ‪. ‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫داﻟﺔ اﻹﻣﻛﺎن ﻫﻰ‪:‬‬

‫‪e   x‬‬ ‫! ‪xi‬‬

‫‪n‬‬

‫‪L(x  )  ‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪L(x  )  e -n + ( x i ) ln ‬‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ ﯾﺎﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪     e  a b ln ‬‬ ‫‪      c e  a  b ln ‬‬ ‫‪0 <  < .‬‬

‫‪   c ea b‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب ﻗﯾﻣﺔ ‪ c‬ﻧﺗﺑﻊ اﻻﺗﻰ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪     d  1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪ce  a b d  1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪ c   b e  a d  1.‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﺑوﺿﻊ‪:‬‬ ‫‪٢٠٧‬‬

‫‪du‬‬ ‫‪ a  u‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ u   u du‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  e‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪d ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ c‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪u b e  u du  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪b 1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪  b  1  1‬‬

‫‪a‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪a b 1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪a b 1‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪  b  1‬‬ ‫‪a b 1 b e  a‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪  b  1‬‬

‫‪0    .‬‬

‫إذن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم )‪ (b  1),(a‬ﺣﯾث ‪ b > -1‬و ‪ a > 0‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‬ ‫ﺳوف ﯾﻛون ‪:‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟـ‬

‫‪ n  a ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪b  t 1‬‬

‫‪bte ‬‬ ‫)‪ (b  t  1‬‬

‫‪n  a ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪  x ‬‬

‫أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى واﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻋﺿوان ﻓﻰ ﻋﺎﺋﻠﺔ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(١٦-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬

‫‪, x > 0.‬‬

‫‪f (x  )   e  x ‬‬

‫اوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ اﻟﻣراﻓق‪.‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫داﻟﺔ اﻹﻣﻛﺎن ﻫﻰ‪:‬‬ ‫‪٢٠٨‬‬

n

L(x  )     e  x  i 1

L(x  )   n e  x i       c  a e  b   0. :‫ ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻰ‬c ‫ﻻﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺔ اﻟﺛﺎﺑت‬





  d   1

0





 c

a

e  b d   1

0



c   a e  bd   1 .

0

:‫ﺑوﺿﻊ‬

d 

1 u du     b   u. b b

٢٠٩

‫‪a‬‬

‫‪‬‬

‫‪du‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ cb    e  u ( )  1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ua u‬‬ ‫‪e 1‬‬ ‫‪b a 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪u a e  u du  1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪a 1‬‬

‫‪b‬‬

‫‪b a 1‬‬ ‫‪ a 1   a  1  1  c ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪  a  1‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪  0.‬‬

‫‪b a 1  a e  b ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪  a  1‬‬

‫اذن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم )‪. (a  1),(b‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(١٧-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬

‫‪, 0 < x < .‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f (x  ) ‬‬

‫أوﺟد ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻣراﻓق وﻣن ﺛم أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى‪.‬‬

‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫ﻣن اﻟﻣﻌﻠوم أن داﻟﺔ اﻹﻣﻛﺎن ﻫﻲ‪:‬‬

‫‪; i = 1, 2, ...,n.‬‬

‫‪, 0 < xi < ‬‬

‫وﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪٢١٠‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪L(x  ) ‬‬

L(x  ) 

1 n

,>u u = max (xi) ‫ﺣﯾث‬

:‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﺎﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‬

 ()

1

,>b

 a 1

‫ ﺛواﺑت اﻟﺗوزﯾﻊ‬a , b > 0 ‫ﺣﯾث‬ .

  ( ) 

k ,  > b. a 1 

:‫ ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ‬k ‫ﻹﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺔ اﻟﺛﺎﺑت‬



     d  1 b



k d  1 a 1 

 b



k b

d a 1 k a 1  a



1 b

k  1  0  1  a  b a  k  a 1 ab 

 k  ab a    

ab a  a 1

  x 

;  > b.

:‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﯾﻛون‬

1  a  n 1

; >t

: ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬

٢١١

t = max (b,u) ‫ﺣﯾث‬

‫‪c‬‬

‫‪;  > t.‬‬

‫‪a  n 1‬‬

‫وﻹﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺔ ‪ c‬ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪  x  ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪   x  d  1‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪‬‬

‫‪ (a n 1)1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪c‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪t an1‬‬ ‫‪t (a  n  1)  1‬‬ ‫‪an1‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪‬‬

‫‪c  1 ‬‬ ‫‪c ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a n  ‬‬ ‫‪  a  n     t  a  n   t a n ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ a  n  t a n‬‬

‫‪‬‬

‫‪ c   a  n  t an‬‬ ‫‪;  > t  max (b, u) .‬‬

‫‪a  n  t a n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a+n+1‬‬

‫‪  x ‬‬

‫)‪ (٤-٤‬اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﻟﻘﺒﻠﻴﺔ اﻟﻐﻴﺮ ﻣﻌﻠﻤﺔ ‪Non-Information Prior‬‬ ‫‪Distributions‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻘﺑﻠﯾﺔ )ﻗﺑل ﺳﺣب ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ( ﻋن اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ﻗﻠﯾﻠﺔ أو ﻧﺎدرة‬

‫ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻛون ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺟﻬل ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻬذﻩ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ،‬أي أن ﻣﻌرﻓﺗﻧﺎ ﻗﻠﯾﻠﺔ وﻧرﻏب ﻓﻰ ﺗﻣﺛﯾل ﻫذﻩ‬

‫اﻟﻣﻌرﻓﺔ اﻟﻣﺣدودة ﺟداً ﺑﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﯾﻌﺑر ﻋﻧﻬﺎ ‪ ،‬واﻟذى ﯾدﻋﻰ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻐﯾر ﻣﻌﻠم‬ ‫أو اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﺟﺎﻫل ‪ ، ignorance prior‬ﺣﯾث ﺗﻛون اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣﺗوﻓرة ﺣول‬

‫اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ﻗﺑل اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﻏﯾر ﺟوﻫرﯾﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻏﻠﻲ اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣﺗوﻗﻊ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن اﻟﻌﯾﻧﺔ‬ ‫‪٢١٢‬‬

‫ﺧﺎﺻﺎ ﻷي‬ ‫ً‬ ‫اﻫﺗﻣﺎﻣﺎ‬ ‫ً‬ ‫‪ .‬ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺟﻬل او اﻟﻣﻌرﻓﺔ اﻟﻣﺣدودة ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ﺗﻔرض ﻋﻠﯾﻧﺎ اﻻ ﻧﻌطﻰ‬ ‫ﻗﯾﻣﺔ ﻣن اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﻬذﻩ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ‪.‬‬

‫وﻫﻧﺎك ﻋدة طرق ﻟﻠﺗﻌﺑﯾر ﻋﻠﻰ ذﻟك ﻧذﻛر ﻣﻧﻬﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم واﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﻣﻌﺗﻣدة ﻋﻠﻰ‬

‫ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر‪.‬‬

‫)‪ (١-٤-٤‬اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ‪Uniform Distribution‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫‪‬‬

‫ﻗﯾم ﻓﻰ ﻣدى ﻣﺣدود )ﻓﺗرة( ﻓﯾﺧﺗﺎر ﻟﻬﺎ ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻣﻧﺗظم ﻋﻠﻰ‬

‫ﻫذﻩ اﻟﻔﺗرة أي أذا ﻛﺎﻧت ‪ a    b‬ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻬﺎ ﻫو ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪, a    b.‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫ﻗﯾم ﻓﻰ اﻟﻣدي ‪   ,  ‬ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‬ ‫‪() ‬‬

‫اﻣﺎ اذا ﻛﺎﻧت ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫‪‬‬

‫‪:‬‬

‫)‪(١-٤‬‬

‫‪ <  <  .‬‬

‫‪,‬‬

‫‪    c‬‬

‫ﺣﯾث ‪ c‬ﺛﺎﺑت‬

‫وأﺧﯾراً اذا ﻛﺎﻧت اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫)‪(٢-٤‬‬

‫‪‬‬

‫ﺗﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺎً ﻓﻰ اﻟﻣدي ‪  0,  ‬ﻓﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﻛون ﻋﻠﻰ‬

‫‪, 0 <  < .‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ () ‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻘﺑﻠﯾﻪ اﻟﻐﯾر ﻣﻌﻠﻣﺔ ﻓﻰ )‪ (٢-٤) ، (١-٤‬ﺗﺳﻣﻰ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻏﯾر ﻛﺎﻣﻠﺔ ‪ ،‬ﻏﯾر ﺗﺎﻣﺔ‬

‫‪ ، improper‬ﻷن ﺗﻛﺎﻣل ﻫذﻩ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت ﻋﻠﻰ ﻣدي اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫‪‬‬

‫ﯾﻌطﻰ ﻣﺎ ﻻﻧﻬﺎﯾﺔ )∞( وﻫذﻩ‬

‫ﻋﻣﻠﯾﺎ ﻷﻧﻪ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ ﻛداﻟﺔ وزن ﺗﺧﺻص أوزاﻧﺎً ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‬ ‫ً‬ ‫ﻟﯾﺳت ﻣﺷﻛﻠﺔ ﻛﺑﯾرة‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺎﻓﺔ ﻻﻧﻬﺎﺋﯾﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(١٨-٤‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﻣﻠﻪ وﻛﺎن اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ واﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺻول‬

‫ﻋﻠﻰ وﺟﻪ ﻓﻰ اﻟرﻣﯾﻪ اﻟواﺣدﻩ ‪ ،‬ﻧﻌﻠم أن ‪. 0 <  < 1‬إذا ﻟم ﯾﻛن ﻟدﯾﻧﺎ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻛﺎﻓﯾﺔ‬ ‫‪٢١٣‬‬

‫ﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﻔﺗرة ﻓﺈﻧﻧﺎ ﯾﻣﻛن أن ﻧﻔﺗرض ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻣﻧﺗظم ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫‪‬‬

‫وﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻪ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪    1‬‬

‫‪e.w.‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0<  < 1‬‬

‫ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ) ‪( 0 , 1‬‬

‫ﺣﯾث ﻧﺷﻌر أن ﻛل اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﻪ ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ) ‪ ( 0 , 1‬ﻟﻬﺎ ﻧﻔس اﻣﻛﺎﻧﯾﺔ اﻟﺣدوث‪ .‬وﻣن ﻧﺎﺣﯾﻪ‬ ‫أﺧرى ﻗد ﻧﺷﻌر أن‬

‫‪‬‬

‫ﯾﻣﻛن ان ﺗﻛون ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ‪.4 <  < .6‬‬

‫اﻟﻌﻣﻠﺔ ﻣﺗزﻧﻪ وﻟذﻟك ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫‪.4 <  < .6.‬‬ ‫وﻗد ﻧﺷﻌر أن ﻗﯾم‬

‫‪‬‬

‫اى ﻧﻔﺗرض ان‬

‫‪    5‬‬

‫‪,‬‬

‫ﯾﻣﻛن أن ﺗﻛون ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ‪ .4‬اﻟﻰ ‪ .6‬وﻟﻛن ﻓﻘط اﻟﻘﯾم ‪.6 , .4 ,‬‬

‫‪ .5‬ﺣﯾث اﻣﻛﺎﻧﯾﺔ ظﻬور ‪ .5‬ﺿﻌف ظﻬور ‪ .4‬او ‪ .6‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪  .4 , .6‬‬ ‫‪  .5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0 e.w.‬‬

‫‪   ‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١٩-٤‬‬ ‫ﺑﻔرض أن داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ‬

‫‪0< x < .‬‬

‫‪,‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪٢١٤‬‬

‫‪‬‬

‫ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f  x  ‬‬

‫‪0 <  < 1.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪    1‬‬

‫اﻟﻣطﻠوب‪ :‬اﯾﺟﺎد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪. ‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬

‫‪T  max  Xi ‬‬

‫ﺣﯾث ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ ‪. f  x  ‬‬

‫وﻋﻠﻲ ذﻟك‪:‬‬

‫‪٢١٥‬‬

h  t    nf  t   F(t)

n1

1 t 1   h  t    n   du  0   n t      

n 1



n 1

nt n 1 . n

   t      h  t   1.

nt n 1 nt n 1 1  n  n , t    1. n   1

 t  

1

 t

1/ n 1/ n  1 1n 1   d  n  1  

t

 n (1  n) t n 1 . t1n  1 t n 1 n  1 t n 1  n . , t  .  1  t n 1 

(٢٠-٤) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺣﯾث‬ :‫اﻟﻐﯾر ﻣﻌﻠم ﻫو‬

    c



X   X1,X2 ,...,Xn  ‫ﺑﻔرض أن‬

‫ وﺑﻔرض أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟـ‬Xi ~ N  , 

,   <  < . :‫اﻟداﻟﻪ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﯾﺳت داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل وذﻟك ﻷن‬



     d   .



‫او ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ وﺟود اﻛﺛر ﻣن ﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫( ﻣﻌﻠﻮﻣﺎت ﻓﻴﺸﺮ‬٢-٤-٤)



‫وﺗﺳﺗﺧدم ﻫذﻩ اﻟطرﯾﻘﺔ ﺳواء ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﻌﻠﻣﺔ واﺣدة‬

٢١٦

.

‫)ا( ﺣﺎﻟﺔ ﻣﻌﻠﻣﺔ واﺣدة‬

‫ﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟطرﯾﻘﺔ ﯾﺗم اﺧﺗﯾﺎر اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫‪‬‬

‫ﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر أى أن ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2.‬‬

‫ﻟﯾﺗﻧﺎﺳب ﻣﻊ اﻟﺟذر اﻟﺗرﺑﯾﻌﻰ‬

‫‪   I ‬‬

‫ﺣﯾث )‪ I(‬ﻫﻲ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر اﻟﻣﻌرﻓﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪I(  )  E   2 ln f (x  )  .‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫وﯾﺳﻣﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ )‪ (‬ﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ ‪Jeffrey's‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٢١-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬

‫‪f  x    x (1-)1-x , x  0,1; 0 <  < 1‬‬ ‫أوﺟد ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻏﯾر ﻣﻌﻠم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬

‫‪‬‬

‫ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر ‪.‬‬

‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻏﯾر ﻣﻌﻠوم ﻟـ‬

‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر ﺣﯾث‪:‬‬

‫‪‬‬

‫)‪In f  x    xln   (1  x)ln(1  ‬‬ ‫‪x 1 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ln f  x  ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ 2 ln f  x  ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪  2ln f  x   ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪I    E ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫وذﻟك ﻻن ‪ . E(X)  ‬وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1   ‬‬ ‫‪٢١٧‬‬

‫‪()‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٢٢-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﺑداﻟﺔ‬

‫ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬

‫‪ex‬‬ ‫‪f  x  ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫!‪x‬‬

‫‪x  0, 1, 2, ....‬‬ ‫اوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟـ‬

‫‪‬‬

‫ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر‪.‬‬

‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫‪ln f  x    xln    cons tan t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﻣﻧﻬﺎ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ اﻟﻣﻘﺗرح ﻫو‪:‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪2 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 2ln f  x  ‬‬ ‫‪ 2‬‬

‫‪I() ‬‬

‫‪() 1.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٢٣-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪f  x     x (1- )n-x , x  0,1,2, ....,n ; 0 <  < 1 .‬‬ ‫‪x‬‬ ‫أوﺟد ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻏﯾر ﻣﻌﻠم ﻟـ‬

‫ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر ‪.‬‬

‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫ﯾﻌﺗﺑر اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻏﯾر ﻣﻌﻠم ﻟـ‬

‫‪0 <  < 1.‬‬ ‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻟـ‬

‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫‪    1‬‬

‫ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪٢١٨‬‬

n ln f  x    ln    x ln   (n  x)ln(1  ) x x nx ln f  x      1  x nx   2ln f  x     2  2  1        2  x nx  E  2 ln f (x )    2  2   1         

n n n   .  1    1   

:‫وﻋﻠﻲ ذﻟك‬ n .  1   

()

(٢٤-٤) ‫ﻣﺛﺎل‬ :‫ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‬X ‫إذا ﻛﺎن‬

f  x    e-x , x  0 ;  > 0 . .‫ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر‬



‫أوﺟد ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻏﯾر ﻣﻌﻠم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ﻟـ‬ :‫اﻟﺤــﻞ‬ :‫ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر ﻓﺈن‬

ln f  x    ln   x ln f  x  



  2ln f  x  

2

1  x, 



1 2

  2lnf  x    1 I    E   2.

2      ٢١٩

‫وﻋﻠﻲ ذﻟك‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪() .‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٢٥-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺣﯾث ‪  , X ~ N  , ‬ﻣﻌﻠوﻣﺔ‬

‫أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي اﻟﻣﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر ﻟـ ‪. ‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(x-)2 /  constan t .‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬

‫‪ln f (x )  ‬‬

‫) ‪ 2ln f (x ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫واﻟذي ﻻ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ‪ . X‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬

‫‪I()  1/ .‬‬

‫واﻟذي ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻫو ‪:‬‬ ‫‪()1/ .‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎﻧت‬

‫‪‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫ﻣﻌﻠوﻣﻪ و ‪ ‬ﻏﯾر ﻣﻌﻠوﻣﻪ ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln   (x-)2 /  constan t .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪٢٢٠‬‬

‫‪ln f  x   ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2   x   / 3.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 2ln f  x  ‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬

‫وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻫو‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪I()   2  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2 .‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪    1/ .‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٢٦-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﺣﯾث ‪ X ~ N  0,  ,   2‬أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟـ‬

‫‪ ‬ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر‪.‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬

‫‪ -x2 ‬‬ ‫‪exp   .‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪,  < x < ‬‬ ‫‪0 <  < .‬‬

‫‪٢٢١‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪f  x  ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln f  x     ln 2  ln   x 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪  2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪22 3‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ln f  x  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ln f  x  ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪  2 ln f  x   ‬‬ ‫‪I()  E ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  2  3 E X2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2  2  2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪     I()  .‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫)ب( ﺣﺎﻟﺔ اﻛﺛر ﻣن ﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻹﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻲ ﻋدة ﻣﻌﺎﻟم ‪ ،‬أي إذا ﻛﺎﻧت‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﺗﺟﻪ ﻣن اﻟﻣﻌﺎﻟم ﺑﻣﻌﻧﻰ أن ‪    1, 2 ,..., n ‬ﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﻪ ﯾﻣﻛن أن ﻧﻧظر إﻟﻲ‬

‫اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻛﻣﺎﯾﻠﻰ‪:‬‬

‫)‪ (‬اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﻌﺎﻟم ‪    1, 2 ,..., n ‬ﺣﯾث ‪ f  x  ‬اﻟﺗوزﯾﻊ اﻹﺣﺗﻣﺎﻟﻲ‬

‫اﻟﻣﺷروط ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﺑﻣﻌﻠوﻣﯾﺔ ‪    x  , ‬اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﻌﺎﻟم ‪ ‬ﺑﺷرط‬ ‫اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ x   x1,x 2 ,...,xn ‬وﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻗﻠﯾﻠﺔ أو ﻧﺎدرة ﻋن ‪‬‬ ‫وﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺔ ﻓﯾﺷر ﯾﺗم ﺣﺳﺎب اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ )‪I(‬‬

‫واﻟﻌﻣود ‪ j‬ﻫو‪:‬‬

‫ﺣﯾث اﻟﻌﻧﺻر ﻓﻰ اﻟﺻف ‪i‬‬

‫‪  2 ln f  x |   ‬‬ ‫‪ I()ij  E ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ﻣﺷﺎﻫدات ‪ x   x1,x 2 ,...,xn ‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ وﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﻪ ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ‬

‫اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟـ‬

‫‪‬‬

‫ﻫو‪:‬‬

‫‪() det  I   x  ‬‬ ‫‪٢٢٢‬‬

‫ﺣﯾث ‪ det  I   ‬ﻫو اﻟﻣﺣدد ﻟﻠﻣﺻﻔوﻓﺔ )‪. I(‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٢٧-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن‬

‫‪ , ‬ﻏﯾر ﻣﻌﻠوﻣﺗﺎن اوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻛل ﻣن ‪. , ‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln  (x )2  constant‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪lnf(x| ,) ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬ ‫)‪ ln f (x | , ‬‬ ‫)‪ 2 ln f (x | , ‬‬ ‫‪  x    / ,‬‬ ‫‪ 1/ ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ ln f (x | , ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2 ln f (x | , ) 1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪   1   x    /  2 ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪/ 3 ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻷن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪E(X)   , E  X     ,‬‬

‫ﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪I(;  x) ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وﺑﻣﺎ ان اﻟﻣﺣدد ﻟﻠﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﺳﺎوى ‪ 3‬وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟـ ‪ , ‬ﻫو‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪I  ,  x   3.‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﯾﻣﻛن ان ﻧﺎﺧذ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫‪(, )3 .‬‬

‫)‪ (٥-٤‬اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ اﻟﻤﺰﻋﺠﺔ او اﻟﻤﻘﻠﻘﺔ ‪Nuisance Parameters‬‬ ‫‪٢٢٣‬‬

‫ﻣﻧﺻﺑﺎ‬ ‫ً‬ ‫إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻋدة ﻣﻌﺎﻟم ٕواذا ﻛﺎن اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ‬

‫ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠﻣﺔ ﺑﻌﯾﻧﻬﺎ ﻓﺈن ﺑﺎﻗﻲ اﻟﻣﻌﺎﻟم ﺗﻌﺗﺑر ﻣﻌﺎﻟم ﻣﻘﻠﻘﺔ أو ﻣزﻋﺟﺔ وﻻ ﻧﺣﺗﺎﺟﻬﺎ وﯾﻣﻛن‬ ‫اﻟﺗﺧﻠص ﻣﻧﻬﺎ ﺑﺈﯾﺟﺎد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي اﻟﻬﺎﻣﺷﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟذى ﯾﻌﻧﯾﻧﺎ‪ .‬ﻓﻣﺛﻼً ‪ ،‬ﺑﻔرض أن‬

‫‪    1, 2 ‬ﻓﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي اﻟﻣﺷﺗرك ﻟـ ‪ 1 ,  2‬ﻋﻧد ‪ X  x‬ﯾرﻣز ﻟﻪ ﺑـ ‪.   1 , 2 x ‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎن اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﯾﻘﺗﺻر ﻋﻠﻲ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ 1‬ﻓﺈن اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪  2‬ﺗﻌﺗﺑر ﻣﻘﻠﻘﺔ أو ﻣزﻋﺟﺔ ‪ ،‬وﯾﻣﻛن‬

‫اﻟﺗﺧﻠص ﻣﻧﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻵﺗﻲ‪:‬‬

‫‪    1 , 2 x  d2 ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g  1 , x   ‬‬ ‫‪    1 , 2 x  .‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٢٨-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ ‪N  , ‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪  , ‬ﻫو ﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﻣﻌﻠم ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬

‫‪(, )‬‬

‫ﺣﯾث ‪ , ‬ﻣﺳﺗﻘﻼن‪ .‬اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻛل ﻣن ‪.  , ‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ xi  ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪L(,  | x)  ‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫أذن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي اﻟﻣﺷﺗرك ﻫو ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ x i  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪(,  x)‬‬

‫وﺑﻣﺎ أن‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪  x i      n  1 s 2  n  x    ,‬‬ ‫‪٢٢٤‬‬

‫وﻛﺎن‬

‫‪2‬‬

‫‪  xi  x ‬‬ ‫‪i1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪n 1‬‬

‫ﻫو ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪(n 1)s2  n  x  ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪s2 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(,  x)‬‬

‫ﯾﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﺎﻣﺷﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ ‬ﺑﺎﺟراء اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻟﻠداﻟﻪ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﻪ ﻟـ ‪‬‬

‫ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( x) ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  n  1 s  n    x  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪ n   x  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫وﺑوﺿﻊ ‪:‬‬ ‫‪n   x ‬‬ ‫‪s‬‬

‫ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪t‬‬

‫‪(t x) ‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n 1‬‬

‫ﺣﯾث‬

‫‪n‬‬

‫‪  x ‬‬ ‫‪s‬‬

‫ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﻪ )‪. (n – 1‬‬

‫اﯾﺿﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﺎﻣﺷﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ ‬ﻫو‪:‬‬

‫‪٢٢٥‬‬

‫‪d‬‬

‫‪(  x) 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(n 1)s 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n(  x)2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪d‬‬

‫‪e‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪(n 1)s 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2 e‬‬

‫‪n 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪( x) ‬‬

‫‪‬‬

‫ﺣﯾث اﻟﺗﻛﺎﻣل ﯾﺳﺎوي واﺣد وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪(n 1)s 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪n 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪e‬‬

‫‪( x)‬‬

‫‪ n 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(n-1)s 2 ‬‬ ‫‪ ‬أي أن‪:‬‬ ‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن‬ ‫‪,‬‬ ‫ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم ‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪(n  1)s 2‬‬ ‫‪~ 2n 1 .‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٢٩-٤‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ‬ ‫‪x  0.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪f (x )  ex‬‬

‫وﻛﺎﻧت ‪:‬‬

‫‪ Y   Y1,Y2 ,...,Yn ‬ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻫﻰ‪:‬‬ ‫‪y  0.‬‬

‫‪‬‬ ‫اوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬ ‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪f (y )  e y‬‬

‫‪  ‬إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻏﯾر ﻣﻌﻠم و ‪ , ‬ﻣﺳﺗﻘﻼن‪.‬‬

‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪  , ‬ﻫو‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪(, )          ‬‬

‫‪٢٢٦‬‬

‫داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن ﻫﻲ‪:‬‬

‫‪ m  n e t  u‬‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫ﻫو‪:‬‬

‫‪n‬‬

‫‪u   yi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪m‬‬

‫‪ t   x i ,‬وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ , ‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪t mu m‬‬ ‫‪(,  x, y) ‬‬ ‫‪m1 n 1 e t u‬‬ ‫)‪(m)(n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪tm‬‬ ‫‪m 1 t u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪n 1eu‬‬ ‫‪  m‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪    x     y .‬‬

‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺑﻌدﯾﻪ ﻟﻛل ﻣن ‪ , ‬ﻣﺳﺗﻘﻠﻪ ﺣﯾث ‪ ‬ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن‬ ‫)‪ (m, t‬و ‪ ‬ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن )‪(n,u‬‬

‫أي أن ‪ 2 T ‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ 2m‬ﻛﻣﺎ ان ‪ 2 U‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى‬

‫ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ . 2n‬وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن ‪:‬‬

‫ﺗﻌﻧﻰ اﻟﺟﻣﻠﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ان‬

‫‪2 T /2m nT ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪~ F2m,2n .‬‬ ‫‪2U / 2n mU ‬‬ ‫‪2 T /2m nT ‬‬ ‫ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2U / 2n mU ‬‬

‫‪2m,2n‬‬

‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑدﺟﺎت ﺣرﯾﺔ )‪.(2m , 2n‬‬

‫‪nT‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪mU‬‬

‫ﻓﻰ اﻟﺑﻧدﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن ﺳوف ﻧﻘدم ﻣﻘدرﯾﯾن ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﺑﯾﯾز‪.‬‬

‫)‪ (٦-٤‬ﻣﻘﺪر اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻟﺒﻴﻴﺰ‬

‫إن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻓﻲ ﺗﺣﻠﯾل ﺑﯾﯾز ﯾﺣل ﻣﺣل داﻟﺔ اﻹﻣﻛﺎن ﻓﻲ أﻧﻪ ﯾﺷﻣل ﻋﻠﻰ ﻛل‬

‫اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣﺗوﻓرة ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﻗﺑل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺣت‬ ‫‪٢٢٧‬‬

‫اﻟدراﺳﺔ ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ اﻟﻰ اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣﺣﺗواﻩ ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬وﻋﻠﻰ ذﻟك إذا ﻛﻧﺎ‬

‫ﻧرﯾد ﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ﻧﻔس اﻷﺳﻠوب اﻟذى أﺗﺑﻌﻧﺎﻩ ﻓﻲ داﻟﺔ اﻹﻣﻛﺎن ‪ ،‬أي‬ ‫ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﺧدام ﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻰ ﺗﻌظم اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي أي اﻟﻣﻧوال ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن‬

‫اﺳﺗﺧدام اﺣد ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﻪ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ اﻷﺧرى ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟـ ‪ ‬ﻣﺛل اﻟوﺳﯾط وذﻟك ﻟﺗﻘدﯾر‬

‫اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ . ‬ﻋﺎدة ﯾﺳﺗﺧدم اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ )اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﻪ( ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟـ ‪ ، ‬ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن‬ ‫إﯾﺟﺎد ﺗﻘدﯾر ﻷي داﻟﺔ )‪ u(‬ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠداﻟﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ‪ ،‬ﻓﺈذا رﻣزﻧﺎ ﻟـ‬ ‫*‪ u* (), ‬ﻛﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﺑﻧﻘطﺔ ﻟـ ‪ u(), ‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ اﻟﻣراﻓﻘﯾن ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ‪ ،‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪      x  d‬‬ ‫‪*  E()  ‬‬ ‫‪    x  ,‬‬ ‫‪  u()    x  d‬‬ ‫‪u * ()  E  u()   ‬‬ ‫‪ u()    x .‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٣٠-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﻪ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪1 x‬‬

‫‪f  x    x 1   ‬‬

‫وﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬ﻫو ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a 1 (1  )b1.‬‬ ‫)‪(a, b‬‬

‫‪() ‬‬

‫اوﺟد ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬وﺗﻘدﯾر ﻟﻠداﻟﺔ )‪. g()   /(1  ‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫ﻧﻌﻠم ان ‪:‬‬

‫‪٢٢٨‬‬

‫‪a  t 1 (1  )bn t 1‬‬ ‫‪ x  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪(a  t,b  n  t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a  t (1  )b n t 1 d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(a  t, b  n  t) 0‬‬

‫‪*  E() ‬‬

‫)‪(a  t  1,b  n  t‬‬ ‫)‪(a  t,b  n  t‬‬ ‫)‪(a+t+1) (b+n  t) a  b  n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪(a+b+n  1) (a t) (b+n  t‬‬ ‫‪at‬‬ ‫‪* ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪abn‬‬ ‫‪‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎﻧت )‪ g()   /(1  ‬ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪  ‬‬ ‫‪a  t (1  )bn t 2 d‬‬ ‫‪g *()  E ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫)‪(a  t,b  n  t‬‬ ‫‪ (1  ) ‬‬ ‫)‪(a  t  1, b  n  t  1‬‬ ‫)‪(a  t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪(a  t,b  n  t‬‬ ‫)‪(b  n  t  1‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ a = b = 1‬ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﺻﺑﺢ ‪ ()  1‬وﻫذا ﺗوزﯾﻊ ﻣﻧﺗظم ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة ‪( 0,‬‬ ‫‪ . ˆ ‬وﻋﻧدﻣﺎ ‪a‬‬

‫‪t‬‬ ‫‪1 t‬‬ ‫‪ * ‬ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﺗﻘدﯾر اﻻﻣﻛﺎن اﻻﻛﺑر‬ ‫)‪ 1‬وﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﻪ ﻧﺟد أن‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ()‬وﻫو ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻏﯾر ﻣﻌﻠم‪ .‬وﻓﻰ ﻫذﻩ‬ ‫‪ = b = 0‬ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﺻﺑﺢ‬ ‫‪ 1   ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻧﺟد أن ‪ ˆ ‬أي ﯾﺳﺎوى ﺗﻘدﯾر اﻻﻣﻛﺎن اﻻﻛﺑر ‪ .‬وﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻛون ﻣﺻدر‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻣﻌﻠوﻣﺎﺗﻧﺎ اﻷﺳﺎﺳﯾﺔ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﻫو ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﻪ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٣١-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻲ وﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ‬

‫اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟ ـ ‪ ‬ﻫو‪:‬‬

‫‪0    1.‬‬

‫أوﺟد ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪. *  E   x ‬‬ ‫‪٢٢٩‬‬

‫‪()  1‬‬

:‫اﻟﺤــﻞ‬ g( x) 

1 nt t 1    . (t  1,n  t  1)

*  E   x  

1 1 n t t 1 1    dt  (t  1,n  t  1) 0



(t  2,n  t  1)  (t  2)  (n  t  1)(n  2)  (t  1,n  t  1) (t  1)  (n  t  1) (n  3)



n t 1 , t   xi. n2 i1

:‫ ﻫو‬ ‫أى أن ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟـ‬ n

(1   x i ) /(n  2). i 1

(٣٢-٤) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن وﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ‬X ‫ ﻣﺷﺎﻫدة واﺣدة ﻋﻠﻰ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ‬X ‫إذا ﻛﺎن‬

:‫اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻫو‬

() 

(  ) 1 1  1    , 0    1. ( ) ()

.  ‫اوﺟد ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟـ‬ :‫اﻟﺤــﻞ‬

f (x, ) 

(  ) 1 1  n   1      () () x .x 1   

٢٣٠

n x

 n  (  ) x 1    1   n x1 .  x   ()  () 1  n   (  ) 1 x 1  f (x)   f  x;       1   n  x 1d   x  () () 0 0  n   (  )  (  x  1)(n  x  )   , x  0,1,...,n.  (n    )  x  () () f (x; ) ( x)  f (x) (n    ) n  x 1  x 1 1    (  x)(n  x  )

 *  E   x  

1 (n    ) n  x 1 x  1    d  (  x)(n  x  ) 0

(n    ) (  x  1)(n  x  ) (  x)(n  x  ) (n      1) x  .  n 

(٣٣-٤) ‫ﻣﺛﺎل‬ :‫ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﺑواﺳون ﺣﯾث‬X   X1,X2 ,....,Xn  ‫إذا ﻛﺎن‬ x  f (x )  e  x  0,1,2,... x!

: ‫( أي أن‬2,3) ‫وﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم‬ ()  9e3 ,   0.

.  ‫اوﺟد ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟـ‬ :‫اﻟﺤــﻞ‬ :‫ ﻫو‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟـ‬ n

 x    i 1

n x e  t  nt  n e , t   xi . xi ! i 1  xi ! i 1

٢٣١

‫‪9‬‬

‫‪ t 1e  (n 3) ‬‬

‫‪   x  ‬‬

‫‪n‬‬

‫! ‪ xi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪ t+1e  (n 3)  ,  > 0.‬‬

‫أي أن )‪ ( x‬ﻫو ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن )‪. (t  2,n  3‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻫو ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪ 2,3‬ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻫو ﺟﺎﻣﺎ‬

‫ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫‪(n  3) t  2 t 1  (n 3) ‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪t 2‬‬

‫‪( x) ‬‬

‫ﻫو‪:‬‬

‫‪(n  3)t 2  t  2  n 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  e d‬‬ ‫‪t 2 0‬‬ ‫*‬

‫‪(n  3) t  2 t 3‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪, t   xi.‬‬ ‫‪t 3‬‬ ‫‪n 3‬‬ ‫)‪(t 2) (n  3‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫)‪(t 3‬‬ ‫‪(n  3) t 3‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪t  2  (n 1) ‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬ ‫‪, t   xi.‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪t2‬‬ ‫‪n 3‬‬

‫‪* ‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٣٤-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪f (x )   e x .‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟـ ‪ ‬ﻫو ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن )‪ (a  1,b‬أى ان‪:‬‬ ‫اوﺟد ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟـ ‪. ‬‬

‫‪ba 1 a -b‬‬ ‫‪() ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪,   0.‬‬ ‫‪a 1‬‬

‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫‪٢٣٢‬‬

 a  n  1 ,  b  t  ‫ﯾﺗﺑﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن‬

( x) ‫ﺑﻣﺎ ان‬

:‫أي أن‬

(b  t)a n 1 a  n -(b+t) ( x)   e ,   0. (a  n  1) (b  t)a  n 1  a  n - (b+t)   E( x)  d   e (a  n  1) 0 *

(b  t)a  n  t a n  2 a  n 1   . an2 bt (a  n  1) (b  t)

(٣٥-٤) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ‬

‫ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ‬X   X1,X2 ,...,Xn  ‫إذا ﻛﺎن‬

: ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

f  x  

1 , 0  x  . 

:‫ ﻫو‬ ‫ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬

     1 , 0    1.

:‫ ﻫو‬ ‫واﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬ n 1

( t) 

(n  1)t 1 , t    1.

1  t n 1 n n1

(n  1)t   E( | t)  1  t n 1 *

1

 t

:‫ﻓﺈن‬

d d n 1

n  1  1  t n 2   t . n  2  1  t n 1 

:‫ﯾﻼﺣظ أن اﻟﻣﻘدار ﺑﯾن اﻟﻘوﺳﯾن ﯾﺳﺎوى ﺗﻘرﯾﺑﺎ اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن‬ * 

n 1 t. n2

٢٣٣

(٣٦-٤) ‫ﻣﺛﺎل‬  ‫ ﺣﯾث‬N(, ) ‫ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ‬

‫ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ‬X   X1,X2 ,...,Xn  ‫إذا ﻛﺎن‬

‫ ﻣﻘﺎدﯾر ﺛﺎﺑﺗﻪ ﻣﻌﻠوﻣﻪ‬a,b2 ‫ ﺣﯾث‬N  a,b2  ‫ ﯾﺗﺑﻊ‬ ‫ﻣﻌﻠوﻣﺔ وﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ‬ .  ‫اوﺟد ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬ :‫اﻟﺤــﻞ‬  :‫ وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن‬X  N  ,  ‫ وأن‬ ‫ إﺣﺻﺎء ﻛﺎﻓﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬X ‫ﺑﻣﺎ أن‬  n    x      h  x .

   x   e

n

(x  )2 2

( a) 2 2 e 2b

 nb2 x  a b2     x   N  , 2  2  nb   nb     2 2  2 b x  n a b  n   N ,    2 2  b  b    n n  1 n    x  b2 a 1   N , . n 1 n 1   2  2  b    b

:‫وﻋﻠﻲ ذﻟك ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻫو‬ n a x 2  b *  . n 1   b2

٢٣٤

‫ٕواذا ﻛﺎﻧت ‪ b 2  ‬ﻓﺈن ﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن ‪     c‬ﺣﯾث ‪ c‬ﺛﺎﺑت ‪.‬اى اﻧﻪ ﻻ ﯾوﺟد اﻻ‬

‫ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻗﻠﯾﻠﺔ ﺣول ‪‬‬

‫ﻗﺑل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﺔ وان ﻣﻌﻠوﻣﺎﺗﻧﺎ اﺳﺎﺳﺎ ﺳﯾﻛون ﻣﺻدرﻫﺎ‬

‫ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺔ‪.‬وﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﻪ ﻧﺟد أن ‪ *  x‬وﻫوﻧﻔس ﺗﻘدﯾر اﻻﻣﻛﺎن اﻻﻛﺑر وﺗﻘدﯾر اﻟﻌزوم‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٣٧-٤‬‬

‫ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )‪ ( ٤-٤‬وﺟدﻧﺎ أن داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺑﻌدﯾﻪ ﻟﻌدد اﻟوﺣدات اﻟﻣﻌﯾﺑﻪ ‪ ‬ﻓﻰ‬

‫ﺷﺣﻧﻪ ﻣن ‪ 1000‬ﻫو‪:‬‬

‫‪ 990 ‬‬ ‫‪ x   ‬‬ ‫) ‪ 0.05x  0.95990( x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪,   x, x  1,...,990  x.‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪x  0,1,2,...,10.‬‬

‫ﻣن اﻟﻣﻌﻠوم أن ‪   x‬ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪ p  0.05 , n  990‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬ ‫‪E    x x   E( x)  x  (990)(0.05)  49.5‬‬ ‫‪ E( x)  49.5  x.‬‬

‫ﺣﯾث ‪ x‬ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﻣﻌﯾﺑﻪ ﻓﻰ ﻋﯾﻧﻪ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ . n = 10‬وﺑﻣﺎ أن داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻛﺎﻧت ﺗﺗﺑﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﺑﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ p  0.05 , n  1000‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺗوﻗﻊ ان‬ ‫اﻟﺷﺣﻧﻪ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ‪ (1000) (0.05) = 50‬وﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ ﻗﺑل اﺧذ اﻟﻌﯾﻧﻪ اﻟﺗﻰ ﺣﺟﻣﻬﺎ ‪.10‬‬

‫ﺑﻔرض أن ‪ x = 0‬ﻓﻰ ﻋﯾﻧﻪ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n = 10‬ﻓﺈن اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺑﯾزى ﺳوف ﯾﻛون‬

‫‪ *  49.5  0  49.5‬ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﻓﻲ ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺣﯾث ‪ x  0‬ﻓﺈن اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺑﯾزى‬

‫ﺳوف ﯾزﯾد اى ان ‪. 49.5 + x > 50‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٣٨-٤‬‬

‫ﻟﻠﻣﺛﺎل ) ‪ (١٣-٤‬واﻟﺧﺎص ﺑﺈﻟﻘﺎء ﻋﻣﻠﻪ ٕواذا ﻛﺎن‪ x = 0‬إذا ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻛﺗﺎﺑﺔ و‬

‫‪ x = 1‬إذا ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ وﺟﻪ وﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬ ‫ﺗﺣت ﻓرض اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺑﻌدﯾﻪ اﻟﺛﻼﺛﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪٢٣٥‬‬

‫ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ‪:‬‬ ‫‪0   1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪0    1.‬‬

‫‪x0‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪   | x)  2(1   ‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x 1‬‬

‫‪ 2‬‬

‫‪,‬‬

‫ﻧﺟد أن ‪:‬‬ ‫‪x0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x 1 .‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪* ‬‬

‫ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ‪:‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪.4    .6‬‬ ‫‪.4    .6 .‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x 1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪   | x)  10(1   ‬‬ ‫‪ 10 ‬‬

‫ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x 1 .‬‬

‫‪*  .4933‬‬ ‫‪ .5067‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي اﻟﻣﺗﻘطﻊ‪:‬‬ ‫‪  .4‬‬

‫‪,‬‬

‫‪   x  0  =.3‬‬

‫‪  .5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪.5‬‬

‫‪  .6‬‬ ‫‪  .4‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪.2‬‬ ‫‪   | x  1 =.2‬‬

‫‪  .5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪.5‬‬

‫‪  .6 .‬‬

‫‪,‬‬

‫‪.3‬‬

‫ﻧﺟد أن ‪:‬‬ ‫‪x  0,‬‬ ‫‪x  1.‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪*  .49‬‬ ‫‪ .51‬‬

‫)‪ (٧-٤‬ﻣﻘﺪر ﻳﻴﻴﺰ ﺑﻔﺘﺮة ‪Bayes Interval Estimation‬‬ ‫ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر اﻟﻧﻘطﻪ ﻛﻧﺎ ﻧﺧﺗﺎر ﻗﯾﻣﺔ وﺣﯾدﻩ ﺗﻛون ﻣﻘد ار ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬وﻋﺎدة ﺗﻛون اﻟﻘﯾﻣﺔ‬ ‫اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ‪ E   x ‬أو اﻟﻣﻧوال وﻟﻛن ﻟم ﻧرﻓق ﻣﺛل ﻫذا اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﺄي ﻣﻘﯾﺎس ﯾﻌﺑر ﻋن درﺟﺔ‬ ‫اﻟﺛﻘﺔ اﻟﺗﻰ ﯾﺗﻣﺗﻊ ﺑﻬﺎ‪ .‬ﻟذﻟك ﻓﻲ ﺣﺎﻻت ﻋدﻩ ﯾﻛون ﻣن اﻟﻣﻔﯾد اﺳﺗﺑدال اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ‬ ‫‪٢٣٦‬‬

‫‪ ‬ﺑﻣﺟﻣوﻋﻪ ﻣن اﻟﻧﻘﺎط أي ﺑﻔﺗرة واﻟﺗﻰ ﻧﻌﺗﻘد اﻧﻬﺎ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل‬ ‫‪ 1  ‬واﻟذى ﯾﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺛﻘﺔ وﺗﺳﻣﻰ ﻫذﻩ اﻟﻔﺗرة ‪ 100(1  )%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﻪ واﺣﺗﻣﺎل اﻧﻬﺎ‬

‫ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ ﻫو ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺛﻘﻪ‪ .‬اﯾﺿﺎ ﺗﺳﻣﻰ ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز ﻓﺗرة اﺣﺗﻣﺎﻟﯾﻪ ﻻﻧﻬﺎ ﺗﻌطﻰ‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل ان ‪ ‬ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة اﻟﻣﻌطﺎﻩ ‪.‬ﻓﻰ طرق ﺑﯾﯾز ﻓﺈن ﻫذﻩ اﻟﻔﺗرات ﯾﻣﻛن ﺗﻛوﯾﻧﻬﺎ ﺣﺗﻰ‬ ‫ﻗﺑل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﺷﺎﻫدات اﻟﻌﯾﻧﻪ‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧت ‪ ‬ﻟﻬﺎ ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻣﺗﺻل داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ‬

‫اﻟﻘﺑﻠﯾﻪ ﻫﻰ ‪    ‬وﻛﺎن ‪:‬‬

‫‪b‬‬

‫‪     d  1   .‬‬ ‫‪a‬‬

‫ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣﺑﯾن ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺳﺗطﯾﻊ ان ﻧدﻋﻰ ان اﻟﻔﺗرة )‪ (a,b‬ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ‪ ‬ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ﻗدرﻩ ‪ 1  ‬اﻣﺎ ﺑﻌد‬ ‫اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺷﺎﻫدات وﺣﺳﺎب اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ‪    x ‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺳﺗطﯾﻊ اﺧﺗﯾﺎر ﻗﯾﻣﺗﯾن‬ ‫‪  t1,t 2 ‬ﺑﺣﯾث ﯾﻛون‪:‬‬ ‫‪t2‬‬

‫‪    x  d  1    P(t1    t 2 )  1  ‬‬ ‫)‪(٣-٤‬‬

‫‪t1‬‬

‫ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣﺑﯾن ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫‪ |x‬‬

‫‪‬‬

‫‪٢٣٧‬‬

‫‪t2‬‬

‫‪t1‬‬

‫وﯾﺟب ﻣﻼﺣظﺔ أن ‪ t i  t i (x),i  1,2‬ﻫﻣﺎ دوال ﻓﻲ ﻣﺷﺎﻫدات اﻟﻌﯾﻧﻪ‪ x ،‬أي أن اﻟزوج‬ ‫‪ t1, t 2‬ﺣﯾث ‪ t1  t 2‬اﻟﻣﺗﺣﻘق ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (٣-٤‬ﻟﯾس وﺣﯾد ﺑل ﺗوﺟد أزواج ﻋدﻩ ﺗﺣﻘق ﺗﻠك‬

‫اﻟﻌﻼﻗﻪ‪ .‬وﯾﻔﺿل داﺋﻣﺎً ﻓﺗرﻩ اﻟﺛﻘﺔ ‪  t1,t 2 ‬اﻟﻣراﻓﻘﻪ ﻻﺻﻐر ﻓرق ‪ . t 2 , t1‬ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻔﺗرات اﻟﺗﻰ‬

‫ﻧﻛوﻧﻬﺎ ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﺑﻔﺗرات ﺑﯾﯾز واﺣﯾﺎﻧﺎ ﺗﺳﻣﻰ ﻓﺗرات ﻣﻘﺑوﻟﺔ اوﻣﻌﺗﻣدة ‪credible‬‬ ‫‪. interval‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪    x ‬ﻫﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫‪ ‬وﻛﺎﻧت ‪ I  x ‬ﻫﻲ ﻓﺗرة ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬

‫‪   x  d  1  ‬‬ ‫‪ ‬ﻓﺈن ‪ I  ‬ﺗﺳﻣﻰ ‪ 100 1    %‬ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬ ‫ﺑﺣﯾث أن‬ ‫‪I  ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪. ‬‬

‫اﯾﺿﺎ ﻫﻧﺎك ﻓﺗرﻩ اﺣﺗﻣﺎل ﺑﯾﯾز اﻟﻣﺗﻣﺎﺛﻠﻪ ذات اﻟﺟﺎﻧﺑﯾن‬ ‫‪Symmetric 100(1-)% Two Side Bayes Probability Interval‬‬ ‫ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ) ‬ﻟﻼﺧﺗﺻﺎر ﺗﻛﺗب ‪ (100 1    %TBPI‬وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑﺣل‬

‫اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪   x  d ‬‬

‫‪t1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪    x  d  2 .‬‬

‫‪t2‬‬

‫واﻟﻔﺗرة اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﺳﻣﻰ ﻣﺗﻣﺎﺛﻠﺔ ﻻن ‪ ‬ﻗﺳﻣت ﺑﺎﻟﺗﺳﺎوى ﺑﯾن طرﻓﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﺣﯾث ‪ t1‬ﻫو‬ ‫اﻟﺣد اﻻدﻧﻰ و ‪ t 2‬ﻫو اﻟﺣد اﻻﻋﻠﻰ ﺑﺣﯾث أن ‪:‬‬

‫‪P(t1    t 2 )  1   .‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد ‪ 100 1    %‬ﻓﺗرة اﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟﺑﯾﯾز دﻧﯾﺎ ﻣن ﺟﺎﻧب واﺣد‬

‫‪ Lower One – Side Bayes Probability Interval‬ﻟﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ‪:‬‬

‫‪٢٣٨‬‬

‫‪ ‬ﺑﺣل‬

‫‪t1‬‬

‫‪   x  d   .‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻋﻣوﻣﺎ ﯾﻔﺿل اﺧﺗﯾﺎر ‪ t1, t 2‬ﺑﺣﯾث ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ أﻗﺻر ﻓﺗرة ﺛﻘﻪ )اﻟﻣرﻏوﺑﻪ او اﻟﻣﻌﺗﻣدة( وذﻟك‬

‫ﺑﺈﺗﺑﺎع اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫)ا( ‪P(t1    t 2 )  1  ‬‬

‫) ب(‬

‫‪  t1 x     t 2 x ‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻣﻧوال وﺣﯾد ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﺳﻣﻰ اﻋﻠﻰ ﻓﺗرة ﺛﻘﻪ‪ .‬ﻓﻌﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﻟﻠﺗوزﯾﻊ‬

‫ﻣﻧوال وﺣﯾد ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺑﺣث ﻋن أﻗﺻر ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ‪  t1,t1  h ‬ﺑﺣﯾث أن ‪:‬‬

‫‪   t1 x     t1  h x ‬ﺗﺣت ﺷرط أن ‪ P(t1    t1  h)  1  ‬وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ‬ ‫أﻗل ﻗﯾﻣﺔ ﻟـ ‪ .Zellner (1971), Box and Tiao(1973) (t 2  t1  h) h‬وﻓﻰ ﻫذﻩ‬ ‫اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻔﺗرة اﻋﻠﻰ ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ‪ .‬ﻋﻠﻲ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﺑﻔرض أن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ b 1 (1  ) b 1.‬‬ ‫) ‪(b1 ,b 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﯾث‬

‫‪b1  0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪b2  0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ x  ‬‬

‫ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺧﺗﺎر ذﯾﻠﯾﯾن ﻣﺗﺳﺎوﯾﯾن أي أن ‪:‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ b1  b 2‬ﻓﺈن ‪    x ‬ﺳوف ﯾﻛون ﻟﻬﺎ ﻣﻧوال وﺣﯾد وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻧﺧﺗﺎر‪:‬‬ ‫‪  t1 x     t1  h x  ‬‬

‫‪ t1  h b 1 (1  t1  h)b 1  t1b 1 (1  t1 ) b 1.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫أو‪:‬‬ ‫‪b 2 1‬‬

‫‪ 1.‬‬

‫‪ 1  t1  h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1  t1 ‬‬

‫‪b1 1‬‬

‫‪ t1  h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ t1 ‬‬

‫واﻟذى ﯾﻌطﻰ ﻋﻼﻗﻪ ﺑدﻻﻟﺔ ‪ t1‬وذﻟك ﺑﻌد وﺿﻊ ﻗﯾﻣﻪ ﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟـ ‪ h‬وذﻟك ﻣﻊ ﺗﺣﻘق اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b 1 (1  ) b 1 d  1   .‬‬ ‫) ‪(b1 ,b 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪t1  h‬‬

‫‪‬‬

‫‪F  t1  h   F  t1  ‬‬

‫‪t1‬‬

‫ﺑﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن اﻟﺳﺎﺑﻘﺗﯾن أﻧﯾﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪ t1 , h‬وﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺣﺎﺳب اﻵﻟﻲ ﻓﻲ ذﻟك ‪.‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﻟﻠﺗوزﯾﻊ أﻛﺛر ﻣن ﻣﻧوال ﻓﺈن اﻟﺣل ﯾﻛون اﻛﺛر ﺻﻌوﺑﻪ واﻟﺣل ﻗد ﻻ ﯾﻛون وﺣﯾد‪.‬‬ ‫‪٢٣٩‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٣٩-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ X   X1,X2 ,....,Xn ‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ )‪ N(,1‬وﻛﺎﻧت‬

‫)‪   N(0,1‬أوﺟد ﻓﺗرة ﺑﯾﯾزﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫‪‬‬

‫ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ﻗدرة ‪ 1  ‬ﺣﯾث ‪ .   .05‬ﯾﻌﺗﺑر ﻫذا‬

‫اﻟﻣﺛﺎل ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن اﻟﻣﺛﺎل )‪ (٣٦-٤‬ﺣﯾث ‪. b  1,a  0‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪ nx‬‬ ‫‪ x  N ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ n  1 n  1 ‬‬ ‫‪nx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n  1 ~ N(0,1),‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n 1‬‬

‫‪ t1, t 2 ‬اﻟﻠﺗﺎن ﺗﻌطﯾﺎن أﻗﺻر ﻓﺗرة ﺑﺷرط‪:‬‬ ‫‪P  t1    t 2   1   .‬‬

‫ﺗﻛﺎﻓﺋﺎن اﻟﺑﺣث ﻋن ‪ z1,z 2‬اﻟﻠﺗﺎن ﺗﻌطﯾﺎن أﻗﺻر ﻓﺗرة ﺑﺷرط أن‪:‬‬ ‫‪z1‬‬ ‫‪nx‬‬ ‫‪z2 ‬‬ ‫‪ nx‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  1  .‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n 1 ‬‬ ‫‪ n 1‬‬

‫وﻟﻛن ﻣن ﺧﺻﺎﺋص اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ أن اﻗﺻر ﻓﺗرة ﻫﻰ اﻟﺗﻰ ﺗﻘﺎﺑل ذﯾﻠﯾﯾن ﻣﺗﺳﺎوى‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪ ،‬اي أن‪:‬‬

‫‪z 2  z ,‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪z1  z ‬‬

‫‪nx‬‬ ‫‪z1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪nx‬‬ ‫‪z1‬‬ ‫‪t2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪t1 ‬‬

‫ﺣﯾث أن ‪z  / 2‬‬

‫ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ‪z‬‬

‫‪‬‬ ‫اﻟﺗﻰ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ ﯾﺳﺎوى ‪ 2‬وﺗﺳﺗﺧرج ﻣن‬

‫ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ ﻓﻰ ﻣﻠﺣق )‪ (٢‬ﺑﺣﯾث أن ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪P  0  Z  z 2   .5 ‬‬

‫ﺑﻔرض أن ‪ x  5 , n  30 , z  / 2  1.96‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪٢٤٠‬‬

‫‪ 30  5  ‬‬

‫‪1.96‬‬ ‫‪ .777,‬‬ ‫‪30  1‬‬ ‫‪30  1‬‬ ‫‪ 30  5  1.96  1.481.‬‬ ‫‪t2 ‬‬ ‫‪30  1‬‬ ‫‪30  1‬‬ ‫‪t1 ‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٤٠-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ X   X1X2 ,....,Xn ‬ﻋﯾﻧﻪ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن ‪:‬‬ ‫‪f  x     (1  ) x 1 , x  1, 2,3...‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ ﻫو ‪      1‬أوﺟد ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ‪. 1  ‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫‪L  x    n (1  ) x  n‬‬

‫ﺑوﺿﻊ ‪ t  x‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪   x  n (1  ) t n‬‬ ‫‪n (1  ) t n‬‬ ‫‪   x  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪(n  1, t  n  1‬‬

‫أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ ‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم ) ‪ (n +1 , t – n +1‬واﻵن‬ ‫ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد ﻋددﯾن ‪ t1, t 2‬ﺑﺣﯾث أن‪:‬‬ ‫‪P  t1    t 2   1  .‬‬ ‫وﻋﺎدة ﻓﻰ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﻠﺗوﯾﺔ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺧﺗﺎر ‪ t1‬ﺑﺣﯾث ﺗﻧﺣﺻر ﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎرﻫﺎ ﻣﺳﺎﺣﻪ ﻗدرﻫﺎ ‪ 2‬‬

‫وﻧﺧﺗﺎر ‪ t 2‬ﺑﺣﯾث ﺗﻧﺣﺻر ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ ‪  2‬أي أن‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪    x  d ‬‬

‫‪   x  d   / 2 ,‬‬

‫‪t2‬‬

‫‪t1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﻻﺳﺗﻔﺎدة ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ وﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﻓﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز اﻟﻣطﻠوﺑﺔ‬ ‫ﻓﺈذا ﻛﺎﻧت ‪U‬‬

‫ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪ a,b‬أي ان )‪ U ~ (a,b‬ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪٢٤١‬‬

‫‪b U‬‬ ‫‪~ F2a,2b‬‬ ‫)‪a (1  U‬‬ ‫‪t  n 1 ‬‬ ‫‪F ‬‬ ‫‪~ F2(n 1),2(t n 1) .‬‬ ‫)‪n  1 (1  ‬‬ ‫‪V‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬ ‫‪t  n 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P  F1 ‬‬ ‫‪ F2   1  .‬‬ ‫‪n 1 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻣﻧﻬﺎ ﻧﺟد أن ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F1‬‬ ‫‪F2‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1  .‬‬ ‫‪t  n 1‬‬ ‫‪t  n 1‬‬ ‫‪ F1 ‬‬ ‫‪F2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n 1 ‬‬

‫وﺗﺣدد ﻗﯾﻣﺔ ‪ F1 ,F2‬ﻣن ﺟدول ‪ F‬ﻣن ﻣﻠﺣق )‪ (٣‬ﻋﻧد ‪   .05‬او ﻣن ﻣﻠﺣق )‪ (٤‬ﻋﻧد‬

‫‪   .01‬وﺑﻌد ﻣﻌرﻓﺔ )‪ (1  ‬وﺑﺄﺧذ ) ‪ F2  f  / 2 (1 ,  2 ) , F1  f1 / 2 (1,  2‬ﺣﯾث‬ ‫) ‪ F2  f / 2 (1 ,  2‬ﻫﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻻﻓﻘﻰ ﺗﺣت ﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑدرﺟﺎت‬ ‫‪‬‬

‫ﺣرﯾﺔ )‪ 1  2(n  1),  2  2(t  n  1‬واﻟﺗﻰ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ ﺗﺳﺎوى ‪ . 2‬اﻣﺎ‬ ‫) ‪ F1  f1 / 2 (1 ,  2‬ﻓﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪f  / 2 ( 2 , 1‬‬

‫‪F1  f1 / 2 (1,  2 ) ‬‬

‫وﺑذﻟك ﺗﻛون اﻟﻔﺗرة اﻟﻣطﻠوﺑﺔ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F1‬‬ ‫‪F2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t  n 1‬‬ ‫‪t  n 1 ‬‬ ‫‪ F1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n 1 ‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٤١-٤‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﻪ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن ‪:‬‬ ‫‪f  x    x 1 , 0  x  1.‬‬ ‫‪٢٤٢‬‬

‫‪1‬‬ ‫ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ ﻫو‬ ‫‪‬‬

‫‪     ‬أوﺟد ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ‪. 1  ‬‬

‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫ﺑﻣﺎ أن ‪ U   ln X i‬إﺣﺻﺎء ﻛﺎﻓﻲ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪n n 1 u‬‬ ‫‪h  u   u e‬‬ ‫‪, u0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪   u      h  u    n 1e u .‬‬

‫اى أن‪:‬‬ ‫‪u n n 1 u‬‬ ‫‪ u  ‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫)‪(n‬‬

‫أي أن‬

‫‪‬‬

‫ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم )‪(n , u‬‬

‫واﻵن ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ وﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﻻﯾﺟﺎد ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز اﻟﻣطﻠوﺑﻪ ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪2U ~  22n‬‬

‫واﻵن ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺗﯾن‬ ‫ﻓﻰ ﻣﻠﺣق )‪ (٥‬ﺣﯾث‬

‫)‪  22   2 / 2 (2n) , 12 =1-2 /2 (2n‬ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى‬

‫‪ 12 =1-2 /2‬ﻫﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻻﻓﻘﻰ ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى‬ ‫‪‬‬

‫ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ 2n‬واﻟﺗﻰ اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ ﺗﺳﺎوى ‪ 1  2‬و )‪  22  2 / 2 (2n‬ﻫﻰ‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻻﻓﻘﻰ ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ 2n‬واﻟﺘﻰ اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪‬‬ ‫ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ ﺗﺳﺎوى ‪ 2‬ﺑﺣﯾث أن ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪P 12  2u   22  1  .‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ P  1    2   1  .‬‬ ‫‪2u ‬‬ ‫‪ 2u‬‬

‫وﺑذﻟك ﺗﻛون ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز اﻟﻣطﻠوﺑﻪ ﻫﻰ‪:‬‬ ‫‪ 12 / 2‬‬ ‫‪2 /2 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2u‬‬ ‫‪2u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ٕواذا ﻛﺎﻧت ﻣن ﺟﺎﻧب واﺣد ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ‪ 1  ‬ﻓﺗﻛون ‪.  2u ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢٤٣‬‬

‫ﻓﻣﺛﻼ إذا ﻛﺎن‪:‬‬ ‫‪n  10 , u  8 , 1    .95‬‬

‫ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪2n  20 , 12  9.591 ,  22  34.17‬‬

‫وﺗﻛون اﻟﻔﺗرة ﻣن اﻟﺟﺎﻧﺑﯾن ﻫﻰ‪:‬‬ ‫‪ 9.591 34.17 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   .6,2.1‬‬ ‫‪16 ‬‬ ‫‪ 16‬‬

‫ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ‪ .95‬وﺗﻛون اﻟﻔﺗرة ﻣن ﺟﺎﻧب واﺣد ﻫﻰ‪:‬‬

‫ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ‪.95‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ .05‬‬ ‫‪  31.41 ‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   0,‬‬ ‫‪   0,1.96 .‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٤٢-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﻪ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f  x    , 0  x  .‬‬ ‫‪‬‬

‫و ﻛﺎن ﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ ﻣﻧﺗظم ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة )‪ ( 0, 1‬أوﺟد ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ‪. 1  ‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫‪(n  1)t n 1 1‬‬ ‫‪. , t    1.‬‬ ‫‪1  t n 1  n‬‬

‫‪ x  ‬‬

‫وذﻟك ﻣن اﻟﻣﺛﺎل )‪ (١١-٤‬و )‪. t  max(x‬ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﻋﺑﺎرﻩ ﻋن داﻟﻪ ﻣﺗﻧﺎﻗﺻﻪ ﻓﻰ ‪. ‬‬ ‫وﻧﻼﺣظ أن أﻗﺻر ﻓﺗرة ﻫﻰ اﻟﺗﻰ ﯾﻛون ﺣدﻫﺎ اﻷدﻧﻰ ‪ t‬وﯾﺗﺣدد ﺣدﻫﺎ اﻻﻋﻠﻰ ‪ t 2‬ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫‪t2‬‬

‫‪    | t  d  1   .‬‬ ‫‪t‬‬

‫وﻣﻧﻬﺎ ﻧﺟد أن‪:‬‬ ‫‪٢٤٤‬‬

‫‪.‬‬

‫‪t‬‬ ‫‪n 1‬‬

‫‪  (1  )t‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪t2 ‬‬

‫وﺑذﻟك ﺗﻛون ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ‪ 1  ‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪  (1   )t n 1 ).‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪(t , t‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٤٣-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن ‪ N  , ‬وﻛﺎﻧت ‪, ‬‬

‫ﻣﺟﻬوﻟﺗﯾن أوﺟد ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ‪ 1  ‬ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪‬‬

‫إذا ﻋﻠﻣت أن ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪  ,    .‬‬ ‫‪‬‬

‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫ﻧﻌﻠم ﻣن ﻣﺛﺎل )‪ (٢٨-٤‬أن ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪~ t n 1‬‬ ‫‪S‬‬

‫‪1 n‬‬ ‫‪(X i  X) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫و‬ ‫‪n  1 i1‬‬

‫‪S‬‬

‫اﻟﻠﺗﺎن ﺗﻌطﯾﺎن اﻗﺻر ﻓﺗرة ﻫﻣﺎ‪:‬‬

‫‪  X ‬‬

‫وﺣﯾث أن ﺗوزﯾﻊ‬

‫)‪t 2  t  / 2 (n  1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ t‬ﻣﺗﻣﺎﺛل ﺣول ﻧﻘطﻪ اﻻﺻل ﻓﺈن ‪t1, t 2‬‬

‫)‪t1   t  / 2 (n  1‬‬

‫ﺣﯾث )‪ t 2  t  / 2 (n  1‬ﺗﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟدول ‪ t‬ﻣن ﻣﻠﺣق )‪ (٦‬وﻫﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور‬ ‫اﻻﻓﻘﻰ ﺗﺣت ﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗوزﯾﻊ‬

‫‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ )‪(n  1‬‬

‫واﻟﺗﻰ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ‬

‫‪‬‬ ‫ﺗﺳﺎوى ‪ . 2‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ‪ 1  ‬ﻫﻰ‪:‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪< X‬‬ ‫‪ t 2 )  1  .‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪P(t1‬‬

‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪t1    x +‬‬ ‫‪t 2 )  1  .‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫وﺗﻛون اﻟﻔﺗرة ﻣن اﻟﺟﺎﻧﺑﯾن ﻫﻰ‪:‬‬ ‫‪٢٤٥‬‬

‫‪P(x ‬‬

‫ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ‪. 1  ‬‬

‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪t1, x +‬‬ ‫‪t 2 ).‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪(x ‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٤٤-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻲ ﻋﻠﻲ‬

‫اﻟﺷﻛل‪:‬‬

‫‪f  x     1    , x  0,1‬‬

‫وإذا ﻛﺎن اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ اﻟﻤﺮاﻓﻖ ھﻮ ﺑﯿﺘﺎ‪ .‬ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ ‪ a , b‬واﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﺒﻌﺪى ھﻮ ﺑﯿﺘﺎ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ‬ ‫‪n‬‬

‫)‪ (a+t) , (b+n-t‬وﻋﻠﻲ ذﻟﻚ ﻓﺘﺮة ﺛﻘﮫ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﮫ ‪ ‬ﺣﯿﺚ ‪ t   x i‬ﺗﺤﺴﺐ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪P  t1    t 2   1  ‬‬ ‫)‪a  b  n‬‬ ‫‪a  t 1 (1  ) b n t 1 d‬‬ ‫)‪ (a  t)b  n  t‬‬

‫‪t2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪t2‬‬

‫‪     x  d  1   .‬‬ ‫‪t1‬‬

‫وﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫)‪(n  1‬‬ ‫‪y r 1 (1  y) n r dy‬‬ ‫)‪(r) (n  r  1‬‬

‫‪u‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪r 1  n ‬‬

‫‪ 1     u k (1  u)n k .‬‬ ‫‪k 0  k ‬‬

‫ﺣﯾث أن ‪:‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﻪ ‪:‬‬

‫‪a  t  r , b  n  t  n  r 1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪, t  t1 or t 2 .‬‬

‫‪٢٤٦‬‬

t2

t1

t1

t1

0

0

    x  d      x  d      x  d

 a  t 1  a  b  n  k a bnk   1    t 1  t    2  2 k k  0      a  t 1  a  b  n  k abnk   1    t 1  t    1 1  k k 0     a  t 1



 k 0 a  t 1



 k 0

a  b  n k n k t1 1  t1    k   a  b  n k n k t 2 1  t 2  .   k  

‫ ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮭﺎ ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام‬ t1 , t 2  ‫ ﻋﺪدﯾﻦ ﺻﺤﯿﺤﯿﻦ ﻓﺈن اﻟﻔﺘﺮة‬a, b ‫وطﺎﻟﻤﺎ ﻛﺎن‬ ‫ ﺑﺤﯿﺚ أن‬a  b  n ,c 2 ‫ واﻵﺧﺮ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎﻟﻢ‬a  b  n , t1 ‫ واﺣﺪ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎﻟﻢ‬.‫ﻗﺎﻧﻮن ذى اﻟﺤﺪﯾﻦ‬ ‫ وﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺤﺎﺳﺐ اﻻﻟﻰ ﻓﻰ‬. 1   ‫ ﯾﺴﺎوى‬k  a  t  1 ‫اﻟﻔﺮق ﻓﻰ اﻟﺘﻮزﯾﻌﯿﻦ ﻋﻨﺪ‬ ‫ وﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻘﺮﯾﺐ اﻟﻄﺒﯿﻌﻰ ﻛﻤﺎ‬. a , b, n, t ‫ ﻟﻘﯿﻢ‬t1 , t 2 ‫ ﯾﻤﻜﻦ إﯾﺠﺎد‬.‫ﺣﺴﺎب ذﻟﻚ‬ .‫ﯾﺘﻀﺢ ﻣﻦ اﻟﻤﺜﺎل اﻟﺘﺎﻟﻰ‬ (٤٥-٤) ‫ﻣﺜﺎل‬ ، ‫ اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺤﮫ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻘﺮﯾﺐ اﻟﻄﺒﯿﻌﻰ‬a, b ‫ ﻛﺒﯿﺮة وأن‬a+ b+n ‫ﺑﻔﺮض أن‬ :‫ﺣﯿﺚ‬ a  t 1  a

 b n k a+b+n-k t1 1  t1    k k 0    a  t  1   a  b  n  t1   P(Z  z1 ), z1   ,  (a  b  n)t (1  t )  1 1   a  t 1  a  b  n  a+b+n-k   k  t k2 1  t 2  k 0    a  t 1  a  b  n  t2   P(Z<z 2 ), z 2   .  (a  b  n)t (1  t )  2 2  



:‫ ﺑﺣﯾث أن‬t1 , t 2 ‫أي أﻧﻪ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ‬ ٢٤٧

‫‪P(Z  z1 )  P(Z  z 2 )  1  .‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن ﻻﯾﺟﺎد ‪ t1 , t 2‬ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪ z / 2‬‬ ‫‪ z  .‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪a  t  1   a  b  n  t1‬‬

‫) ‪ a  b  n)  t1 (1  t1‬‬ ‫‪a  t  1  a  b  n  t 2‬‬

‫) ‪ a  b  n)  t 2 (1  t 2‬‬

‫ﺣﯾث ﻓﺗرة اﻟﺛﻘﺔ ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﺗﺻﺑﺢ ‪:‬‬ ‫) *‪* (1  ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪abn‬‬ ‫) *‪* (1  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪abn‬‬

‫‪t1  * -z  /2‬‬ ‫*‬

‫‪t 2   +z /2‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪t 1  a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪abn‬‬

‫‪* ‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٤٦-٤‬‬ ‫ﻣﺻﻧﻊ ﻻﻧﺗﺎج اﻟﻣﺻﺎﺑﯾﺢ اﻟﻛﻬرﺑﺎﺋﯾﺔ ﺑﺣﯾث ان ﻋﻣر اﻟﻣﺻﺑﺎح ‪ X‬ﻣﻘدر ﺑﺳﺎﻋﻪ اﺿﺎءﻩ ﯾﺗﺑﻊ‬ ‫ﺗﻘرﯾﺑﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ﻏﯾر ﻣﻌﻠوم ‪ ‬واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري ﯾﺳﺎوى ‪ 100‬ﺳﺎﻋﻪ‬ ‫اﺿﺎءة‪ .‬ﺗﺷﯾر اﻟﺧﺑرة اﻟﻣﺎﺿﯾﻪ اﻟﻰ أن ‪ ‬ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ طﺑﯾﻌﻰ ‪ ‬ﺑﻣﺗوﺳط‬

‫‪ 800‬ﺳﺎﻋﻪ إﺿﺎءة واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري ‪ 10‬ﺳﺎﻋﻪ اﺿﺎءة‪ .‬اﺧذت ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪25‬‬

‫ﻣﺻﺑﺎﺣﺎً ﻣن اﻧﺗﺎج اﻟﻣﺻﻧﻊ ﻓﻧﯾﯾن أن ﻣﺗوﺳط ﻋﻣر ﻣﺻﺎﺑﯾﺢ ﻫذﻩ اﻟﻌﯾﻧﻪ ﯾﺳﺎوى ‪780‬‬ ‫ﺳﺎﻋﻪ اﺿﺎءة ‪ .‬أوﺟد ‪ 95%‬ﻓﺗرﻩ ﺛﻘﻪ ﺑﯾﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪. ‬‬

‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫‪٢٤٨‬‬

 1 25  x i   2  f  x   exp       ,   x i  , (2) 25/ 210025  2 i1  100   1

 1    800 2  1    exp      ,     .

10 2  2  10  

: ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك‬ f  x, )       f  x  

  25  x    2    800  2    exp     i     13 51 100 10       i  1  2  10    1

 1 25  x i  780  2   exp       13 51  2  10  2 i1  100   1

2 2  1   780        800   .exp   25       .

2 100 10          

:‫ﻷن‬ 25

2

25



 x i    

i1

i1

2

 x i  7802  25 780  2 . :‫وﺑﺈﻛﻣﺎل اﻟﻣرﺑﻊ ﻓﺈن‬ 2

2  780       800    1592  633680 25      80  100   10  2   796   1664   .

80

:‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬

 1    796 2  f  x,    c exp    .

2 80    

:‫ وﻋﻠﻲ ذﻟك‬.‫ داﻟﺔ ﻓﻰ ﻗﯾم اﻟﻌﯾﻧﻪ‬c ‫ﺣﯾث‬ ٢٤٩

‫‪‬‬

‫‪ f  x,   d  c‬‬

‫‪2 80‬‬

‫‪f x ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ 796 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2 80‬‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ c 2 80.‬‬

‫وﻋﻠﻲ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟـ ‪ ‬ﯾﻛون ‪:‬‬ ‫‪ 1    796  2 ‬‬ ‫‪f  x,  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  x  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪exp   ‬‬ ‫‪       .‬‬ ‫‪f x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 80‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟـ ‪ ‬طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ‪ *  796‬واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى ‪*  80‬‬

‫‪.‬وﯾﻌﺗﺑر ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن ﻣﺛﺎل )‪(٦-٤‬‬ ‫‪   x  ~ N  1, 1  ,‬‬ ‫‪01  1  11,‬‬

‫‪(0 / 0 )  (x / )  1 / 1.‬‬ ‫وﺑوﺿﻊ ‪0  800, 0  100,   10000‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 800‬‬ ‫‪780 ‬‬ ‫‪25 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1  80 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 796, 1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  80.‬‬ ‫‪10000 ‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪10000‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪25 ‬‬ ‫‪‬‬

‫اى ان ‪:‬‬ ‫‪   x  ~ N  796,80  ,‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﻪ ‪ ‬ﺑﯾﯾز ﺳﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪1  1.96 1    1  1.96 1 .‬‬

‫اى ان ‪:‬‬ ‫‪796  1.96 80    796  1.96 80.‬‬

‫أو‬ ‫‪778.5    813.5.‬‬

‫)‪ (٨-٤‬ﻣﺒﺎدئ ﻓﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﻘﺮار اﻟﺒﻴﻴﺰى‬

‫‪٢٥٠‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫ﻛﺛﯾ ار ﻣﺎ ﯾواﺟﻪ ﻛل ﻣﻧﺎ ﻣواﻗف ﺗﻔرض ﻋﻠﯾﻪ ان ﯾﺧﺗﺎر ﻗرار ‪ decision‬او اﺟراء‬

‫‪ action‬ﻣن ﺑﯾن ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻻﺟراءات ﻓﻰ ظل ﻋدم اﻟﺗﺎﻛد او ﻓﻰ ظل ﻋدم وﺟود‬

‫ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻛﺎﻓﯾﺔ ﻋن اوﺿﺎع او ظروف او اﺣوال ﺗﺳﻣﻰ ﺣﺎﻻت اﻟطﺑﯾﻌﺔ ‪state of‬‬

‫‪ . nature‬ﺳوف ﻧﻔﺗرض ان اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟطﺑﯾﻌﺔ او ﻟﻠظروف او اﻻوﺿﺎع او‬

‫اﻟﺣﺎﻻت ﺗﻛون ﻓراغ ﯾﺳﻣﻰ ﻓراغ اﻟطﺑﯾﻌﺔ وﯾرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز }‪   {‬وﻣﻔردات ﻫذا اﻟﻔراغ‬

‫او ﻧﻘطﻪ ‪ ‬وﻫﻰ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﻣﻌﺎﻟم اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠظﺎﻫرة اﻟﺗﻰ ﻧﺣن ﺑﺻددﻫﺎ‪.‬‬

‫ﺳوف ﻧﻔﺗرض ان ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻘ اررات او اﻻﺟراءات اﻟﻣﺗﺎﺣﺔ او اﻟﻣﺗوﻓرة ﺗﻣﺛل ﻓراغ‬

‫}‪ D  {d1,d2 ,...,dp‬وﻣﻔردات ﻫذا اﻟﻔراغ ﻫﻰ اﻻﺟراءات او اﻟﻘ اررات اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ وﺗﻛون‬ ‫ﻣﺷﻛﻠﺗﻧﺎ ﻓﻰ اﺧﺗﯾﺎر واﺣد ﻣن ﻫذﻩ اﻟﻘ اررات ‪.‬‬

‫ﻓﻣﺛﻼ ﻋﻧد ﻣراﻗﺑﺔ اﻧﺗﺎج ﺑطرﯾﻘﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﯾﺗطﻠب اﻻﻣر اﺗﺧﺎذ اﺣد اﺟراﺋﯾن ‪:‬‬ ‫‪ d1‬ﻗﺑول ﺷﺣﻧﺔ اﻻﻧﺗﺎج‬

‫‪ d 2‬رﻓض ﺷﺣﻧﺔ اﻻﻧﺗﺎج‬

‫وﻛﻣﺛﺎل ﺛﺎﻧﻰ ﻓﺈن اﻟطﺑﯾب ﺑﻧﺎء ﻋﻠﻰ ﺗﺷﺧﯾص اﻟﻣرﯾض ﯾﺟب ان ﯾﻧﺗﻬﻰ إﻟﻰ واﺣدة ﻣن‬

‫ﻣن ﻋدد ﻣﻧﺗﻬﻰ ﻣن اﻟﺣﻠول اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ‪.‬‬

‫وﻛﻣﺛﺎل اﺧر ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﺻﻧﻊ ﯾﻧﺗﺞ ﺳﻠﻌﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ‪ ،‬وﻧظ ار ﻻن ﻧﺳﺑﺔ اﻟﺗﺎﻟف ﻏﯾر ﻣﻌﻠوﻣﺔ‬

‫ﻓﺈن اﻣﺎم ﻣدﯾر اﻟﻣﺻﻧﻊ اﺣد اﻻﺟراءات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪ d1‬ارﺳﺎل اﻻﻧﺗﺎج إﻟﻰ اﻟﺑﯾﻊ‬

‫‪ d 2‬اﻋﺎدة ﺗﺻﻧﯾﻊ اﻻﻧﺗﺎج ﺛم ارﺳﺎﻟﻪ إﻟﻰ اﻟﺳوق‬

‫‪ d3‬رﻓض ﺷﺣﻧﺔ اﻻﻧﺗﺎج‬

‫اى ان }‪D  {d1,d 2 ,d3‬‬

‫وﺣﯾث ان ﻧﺳﺑﺔ اﻟﺗﺎﻟف ‪ ‬واﻟﺗﻰ ﻗد ﺗﻛون ‪:‬‬ ‫‪1    0.1, 2  0.1    .3, 3    0.3‬‬

‫اى ان ﻓراغ ﺣﺎﻟﺔ اﻟطﺑﯾﻌﺔ ﻫو ‪:‬‬ ‫}‪  {1, 2 , 3‬‬

‫‪٢٥١‬‬

‫ﻓﻰ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺣﺎﻻت ﯾﺗﺧذ اﻟﺣل ﺑﻧﺎء ﻋﻠﻰ اﺳﺎس ﺗﺣﻠﯾل اﻟﻣﻼﺣظﺔ ‪ x‬واﻟﻣﺎﺧوذة ﻣن‬

‫اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ اﻟﻣراﻓق ‪ X‬واﻟذى ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل )‪ f (x; ‬وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ذﻟك اﻟﺣل‬

‫ﯾﻣﺛل ﺑداﻟﺔ )‪ (X‬ﻣﻌرﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ S‬وﺗﺎﺧذ ﻗﯾﻣﻬﺎ ﻣن ‪. D‬اى ان )‪ (X‬ﻋﺑﺎرة‬ ‫ﻋن ﻗﺎﻋدة ﺗﺧﺻص اﺟراء ﻣن اﻻﺟراءات )‪ d  (x‬اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﻛل ﻣﻼﺣظﺔ ‪x  S‬‬

‫‪.‬ﺗدﻋﻰ اﻟداﻟﺔ )‪ (X‬ﺑداﻟﺔ اﻟﻘرار ‪،‬اى ان )‪(X‬‬

‫ﻣﻌرﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ S‬وﺗﺎﺧذ ﻗﯾﻣﻬﺎ ﻣن‬

‫‪.D‬وﯾﺟب ان ﯾﻛون اﺧﺗﯾﺎر )‪ (X‬ﻣﻧﺎﺳب ﻟﻠﻣﺳﺎﻟﺔ ﻗﯾد اﻟدراﺳﺔ وﺗﺑﻌﺎ ﻟﻣطﻠﺑﺎت ﻣﺛﻠﻰ‬

‫‪.‬ﻓﻣﺛﻼ إذا ﻛﺎﻧت ‪ X‬ﺗﻣﺛل ﻧﺳﺑﺔ اﻟﻌطب ﻓﻰ ﺷﺣﻧﺔ اﻻﻧﺗﺎج ﻓﻘﺎﻋدة اﻟﻘرار )‪ (X‬ﯾﻣﻛن ان‬ ‫ﺗﻛون )‪ d1  (x‬ﻗﺑول اﻟﺷﺣﻧﺔ إذا ﻛﺎﻧت ‪ x  0.01‬و )‪ d 2  (x‬رﻓض اﻟﺷﺣﻧﺔ إذا‬

‫ﻛﺎﻧت ‪ x  0.01‬واﻟﺳؤال اﻟذى ﯾﺗﺑﺎدر إﻟﻰ اﻟذﻫن اﻻن ﻋن ﻋدد دوال اﻟﻘرار ﻓﻰ ﻣﺳﺎﻟﺔ ﻣﺎ‬

‫؟ اﻟﺟواب ﺑﺷﻛل ﻋﺎم ﻫﻧﺎك ﻋدد ﻣن دوال اﻟﻘرار اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻓﻰ ﻣﺳﺎﻟﺔ اﺗﺧﺎذ اﻟﻘرار ‪ ،‬ﻓﻣﺛﻼ‬

‫إذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ‪ p‬اﺟراء او ﺣل ﻣﺧﺗﻠف اى ان }‪ D  {d1,d2 ,...,dp‬وﻫﻧﺎك ‪ r‬ﻗﯾم ﻣﻣﻛﻧﺔ‬ ‫ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬وﻫﻰ } ‪ {x1, x 2 ,...x r‬ﻓﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ‪ p r‬داﻟﺔ ﻗرار ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪ .‬وﺑﺎزدﯾﺎد ‪ p‬او ‪ r‬او‬

‫ﻛﻠﯾﻬﻣﺎ ﻣﻌﺎ ﯾزداد ﻋدد دوال اﻟﻘرار اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻓﻰ اﻟﻣﺷﻛﻠﺔ ﻣوﺿﻊ اﻟدراﺳﺔ ‪.‬وﻣﻬﻣﺔ‬ ‫اﻻﺣﺻﺎﺋﻰ ﻫو اﺧﺗﯾﺎر دوال اﻟﻘرار اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ )ﺗﻌطﻰ اﻻﺟراء اﻻﻓﺿل( ﻣن ﻣﺟﻣوﻋﺔ دوال‬

‫اﻟﻘرار اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻣﺷﻛﻠﺔ اﻟﻣﻔروﺿﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٤٧-٤‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻰ ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫} ‪f  x    x (1  )1 x , x  0,1 , 0    1 ,   {1 ,  2‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎن اﺣﺗﻣﺎل اﻟﻧﺟﺎح ﻫو ‪2  1/ 2 , 1  1/ 3‬‬

‫‪. D  d1,d 2‬اﻟﻣطﻠوب اﯾﺟﺎد دوال اﻟﻘرار اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﻪ‪.‬‬

‫وﺑﻔرض أن ﻓﺋﻪ اﻟﺣﻠول اﻟﻣﻣﻛﻧﻪ‬

‫ﺣﯾث ﯾوﺟد ﻋدد ﻣﺣدود ﻣن اﻻﺟراءات ‪ p  2‬و ﻋدد ﻣﺣدود ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ‬ ‫‪ X‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻋدد دوال اﻟﻘرار ﻣﺣدودة وﺗﺳﺎوى ‪. 22‬‬ ‫دوال اﻟﻘرار ﻫم‪:‬‬

‫‪٢٥٢‬‬

‫‪d1 , x  0‬‬ ‫‪1  x   d1 , x  0,1 , 2 (x)  ‬‬ ‫‪d 2 , x  1,‬‬ ‫‪d 2 , x  0‬‬ ‫‪3  x   ‬‬ ‫‪d1 , x  1,‬‬ ‫‪ 4  x   d 2 , x  0,1.‬‬

‫ﻧﻼﺣظ ان ‪ 1 ,4‬ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﺧﺗﺎر ﺗﻬﻣل اﻟﻘ اررات ﺣﯾث ‪ 1‬ﺗﺧﺗﺎر ‪ d1‬ﻣﻬﻣﺎ ﻛﺎﻧت اﻟﻘ اررات‬ ‫وﻛذﻟك ‪  4‬ﺗﺧﺗﺎر ‪ d 2‬ﺑﻐض اﻟﻧظر ﻋﻠﻰ ﻗﯾم اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻰ ‪.X‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٤٨-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻌطﻰ ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪.1‬‬ ‫‪.9‬‬

‫‪.8‬‬ ‫‪.2‬‬

‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬

‫وﺑﻔرض أن ﻓﺋﻪ اﻟﺣﻠول اﻟﻣﻣﻛﻧﻪ ‪ . D  d1,d2 ,d3‬اﻟﻣطﻠوب اﯾﺟﺎد دوال اﻟﻘرار اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﻪ‪.‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫ﺣﯾث ﯾوﺟد ﻋدد ﻣﺣدود ﻣن اﻻﺟراءات ‪ p = 3‬وﻋدد ﻣﺣدود ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (r=2) X‬ﻓﺈن ﻋدد دوال اﻟﻘرار ﻣﺣدود وﯾﺳﺎوى ‪ 3  9‬ودوال اﻟﻘرار اﻟﺗﺳﻌﻪ ﻣﺑﻧﯾﻪ ﻓﻰ‬

‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪d3‬‬ ‫‪d3‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪d3‬‬ ‫‪d2‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪d3‬‬ ‫‪d1‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪d3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪d2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪d1‬‬

‫‪٢٥٣‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪d3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪d2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪d1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬

‫ﻛل داﻟﺔ ﻣن اﻟدوال ﺗﺧﺻص اﺟراء ﻟﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم ‪ X‬ﻓﻣﺛﻼ ‪  2‬ﺗﻧص ﻋﻠﻰ اﻻﺗﻰ إذا‬

‫ﻛﺎﻧت ‪ X  x1‬ﻧﺎﺧذ ‪ d1‬إذا ﻛﺎﻧت ‪ X  x 2‬ﻧﺎﺧذ ‪ d 2‬و ‪ 6‬ﺗﻧص ﻋﻠﻰ اﻻﺗﻰ‬

‫إذا ﻛﺎﻧت‬

‫‪ X  x1‬ﻧﺎﺧذ ‪ d 2‬إذا ﻛﺎﻧت ‪ X  x 2‬ﻧﺎﺧذ ‪ d 3‬وﻫﻛذا ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﺑﺎﻗﻰ اﻟدوال وﻧﻼﺣظ ان ‪ 1‬و ‪5‬‬ ‫ررات وﻛذﻟك ‪ 5‬ﺗﺧﺗﺎر ‪ d 2‬و ‪9‬‬ ‫و ‪ 9‬ﺗﻬﻣل اﻟﻘراءات ﺣﯾث ‪ 1‬ﺗﺧﺗﺎر ‪ d1‬ﻣﻬﻣﺎ ﻛﺎﻧت اﻟﻘ ا‬

‫ﺗﺧﺗﺎر ‪ d 3‬ﺑﻐض اﻟﻧظر ﻋن ﻗﯾم ‪. X‬‬

‫)‪ (١-٨-٤‬داﻟﺔ اﻟﺨﺴﺎرة‬

‫ان ﻣﻬﻣﺔ اﻻﺣﺻﺎﺋﻰ ﻫﻰ اﺧﺗﯾﺎر داﻟﺔ اﻟﻘرار اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ ﻟذﻟك ﯾﺗم ﺗﻘﯾﯾم ﻧﺗﺎﺋﺞ اﺧﺗﯾﺎر اﻟﻘ اررات‬

‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻣﻘﯾﺎس ﻛﻣﻰ ﻋﺑﺎرة ﻋن داﻟﺔ ﺗﺑﯾن اﻟﺧﺳﺎرة ﻟﻛل ﺗوﻟﯾﻔﺔ ﻣن اﻻﺟراءات ‪ d‬وﺣﺎﻟﺔ‬ ‫اﻟطﺑﯾﻌﺔ ‪ . ‬اى ﺳﻧﻔﺗرض ان اﻟداﻟﺔ )‪ L(d, ‬ﻣﻌطﺎﻩ وﺗﻘﯾس اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺗﻰ ﻧﺗﻛﺑدﻫﺎ إذا‬ ‫اﺧﺗرﻧﺎ اﻻﺟراء ‪ d‬ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون اﻟطﺑﯾﻌﺔ ﻓﻰ اﻟﺣﺎﻟﺔ ‪. ‬ﻫذﻩ اﻟداﻟﺔ ﺗﺳﻣﻰ داﻟﺔ‬ ‫اﻟﺧﺳﺎرة ‪ .loss function‬و إذا ﻛﺎن ﻫﻧﺎك ﻓﻰ اﻟواﻗﻊ ﻣﻛﺳب ﻟﺑﻌض اﻟﺗوﻟﯾﻔﺎت ﻣن‬ ‫اﻻﺟراءات وﺣﺎﻟﺔ اﻟطﺑﯾﻌﺔ ﻓﺈن ﻫذﻩ ﺗﻌد ﺧﺳﺎرة ﺳﺎﻟﺑﺔ ‪ .‬ﻓﺈذا ﻧظرﻧﺎ إﻟﻰ اﻟﺟدول اﻻﺗﻰ‬

‫واﻟذى ﯾﺑﯾن داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ‪:‬‬

‫‪  {1, 2},‬‬ ‫‪D  {d1,d 2},‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪L(d1, 2‬‬ ‫) ‪L(d 2 , 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‪L(d1, 1‬‬ ‫) ‪L(d 2 , 1‬‬

‫‪d1‬‬ ‫‪d2‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٤٩-٤‬‬ ‫ﻣﺻﻧﻊ ﯾﻧﺗﺞ ﻣﺻﺎﺑﯾﺢ ﻛﻬرﺑﺎﺋﯾﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ٕواذا ﻛﺎن ﻋﻣر اﻟﻣﺻﺑﺎح ‪ ‬ﻓﻰ اﻟﺷﺣﻧﺔ ﻏﯾر‬ ‫ﻣﻌﻠوم ٕواذا ﻛﺎن اﻣﺎم ﻣدﯾر اﻟﻣﺻﻧﻊ اﺣد اﻟﺧﯾﺎرات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪ d1‬ﻗﺑول ﺷﺣﻧﺔ اﻻﻧﺗﺎج‬

‫‪ d 2‬رﻓض ﺷﺣﻧﺔ اﻻﻧﺗﺎج‬ ‫‪٢٥٤‬‬

‫ﺣﯾث اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﻏﯾر ﻣﻌﻠوﻣﺔ وﻟﻛن ﺳوف ﻧﻔﺗرض ﻗﯾﻣﺗﯾن ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪. ‬‬ ‫ﺑﻔرض ‪ 1  1000 h‬وﻫو اﻟﻣطﻠوب و ‪ 1  250 h‬وﻫو اﻻﻗل زﻣن ﻣطﻠوب‬

‫‪.‬وﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺣﻠﯾل اﻻﻗﺗﺻﺎدى ﻟﻠﺷرﻛﺔ ﻟﻛل اﺟراء وﻟﻛل ﺣﺎﻟﺔ طﺑﯾﻌﯾﺔ ﻓﺈن اﻟﺧﺳﺎرة‬ ‫)ﺑﺎﻟدوﻻر( ﻣﻌطﺎة ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪d1‬‬

‫‪d2‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1  1000‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪2  250‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪L(1,d1 )  0 ,L(1,d 2 )  10, L(2 ,d1 )  15, L(2 ,d 2 )  5.‬‬

‫)‪ (٢-٨-٤‬داﻟﺔ اﻟﻤﺨﺎﻃﺮة‬ ‫وﻟﻣﺎ ﻛﺎﻧت داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ‪ L , (x)‬ﻻ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ‪ ‬ﻓﻘط ﺑل ﻋﻠﻰ ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر‬ ‫اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪ X‬اﻟﻣﺗﻐﯾرة ﻟذا ﻓﺈن اﻟﺧﺳﺎرة ﺗﻛون ﻣﺗﻐﯾرة وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﺳﻧﺑﻧﻰ ﺗﺣﻠﯾﻠﻧﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ‬ ‫اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪X‬‬

‫وﻫﻰ ﻣﺗوﺳط اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻣن‬

‫اﺳﺗﺧدام داﻟﺔ اﻟﻘرار )‪ (X‬ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺣﻘﯾﻘﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﻫو )‪ f (x | ‬واﻟﺗﻰ‬

‫ﺗﺳﻣﻰ داﻟﺔ اﻟﺧﺎطرة ‪ .‬وﺑﻔرض ان اﻟﻣﻼﺣظﺔ اﻟﻣﺎﺧوذة ‪x‬‬

‫ﻗد ﺗﻣﺛل ﻣﺗﺟﻪ ﻣﺎﺧوذة ﻋﻠﻰ‬

‫اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪ ) X‬أى اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ( وﻟذﻟك ﺗﺣﺳب داﻟﺔ اﻟﺧﺎطرة ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪R(, )  E X  L , ,   X ‬‬

‫او ‪:‬‬

‫‪  L ,   x   f (x | )dx.‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪R(, )  E T L(,T)   L(, t)h(t | )dt.‬‬

‫ﺣﯾث ‪ h  t | ‬ﻫو اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﻘدر ‪ T‬واﻟذى ﯾﻛون ﻣﻘدر ﻛﺎﻓﻲ‪.‬‬ ‫اﻣﺎ إذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻣﺗﻘطﻌﺎ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪٢٥٥‬‬

‫‪n‬‬

‫‪R(, )  E X  L ,   X    L , (x i )  f (x i | ) .‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻣن ﺗﻌرﯾف داﻟﻪ اﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﻧﺟد أن‪:‬‬

‫ داﻟﻪ اﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ داﻟﻪ اﻟﻘرار ‪     x ‬واﻟﻣﻌﻠﻣﻪ ‪.‬‬‫ ﻟﻛل داﻟﻪ ﻗرار داﻟﻪ ﻣﺧﺎطرﻩ وﺣﯾدﻩ ﻛداﻟﻪ ﻓﻰ ‪. ‬‬‫ داﻟﻪ اﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﻋﻧد ﻛل داﻟﺔ ﻗرار ‪ ‬وﻛل ‪  ‬ﺗﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺔ ﻋددﯾﻪ وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن‬‫دوال اﻟﻣﺧﺎطرﻩ اﻟﻣراﻓﻘﻪ ﻟدوال اﻟﻘرار ﻓﻰ ﻣﺳﺄﻟﻪ ﻣﺎ ‪ ،‬ﻋﻧد ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﯾﻧﻪ ‪  ‬ﺗﻣﺛل‬ ‫اﻋداد وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﻛن ﺗرﺗﯾب دوال اﻟﻘرار ﺣﺳب ﺗﻠك اﻻﻋداد‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٥٠-٤‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪:(٤٧-٤‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎﻧت داﻟﻪ اﻟﺧﺳﺎرﻩ ﻟﻪ ﻣﻌطﺎﻩ ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪d2‬‬

‫‪d1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫اﻟﻣطﻠوب ﺣﺳﺎب دوال اﻟﻣﺧﺎطرة‪.‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب دوال اﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪R  1, 1   L  1 , 1 (0) 1  1   L  1, 1 (1)   1‬‬ ‫‪ L  1,d1  1  1   L  1 ,d1   1,‬‬ ‫‪ 2 1‬‬ ‫‪ 0    0    0,‬‬ ‫‪ 3 3‬‬

‫‪٢٥٦‬‬

R  2 , 1   L  2 ,d1  1  2   L  2 ,d1   2 1 1  3   3   3,  2  2 R  1, 2   L 1,d1  1  1   L  2 ,d2   1

 2 1 2  0    2   ,  3 3 3 R  2 , 2   L 2 ,d1  1  2   L  2 ,d 2   2 1 1   3    1   2,  2  2 R  1, 3   L 1,d 2 1  1   L  1,d1  1  2 1 4  2   0   ,  3   3 3 R  2 , 3   L 2 ,d1  1  2   L  2 ,d2   2 1 1  1    3   2, 2  2 R  1, 4   L 1,d 2  1  1   L  1 ,d1   1  2 1  2    2    2,  3 3 R  2 , 4   L  2 ,d 2  1  2   L  2 ,d 2   2 1 1  1    1   1, 2 2

(٥١-٤) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫( اﻟﻣطﻠوب ﺣﺳﺎب داﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة ﻟدوال اﻟﻘرار اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﺣﯾث اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‬٤٨-٤) ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل‬

:‫ﯾﺑﯾن داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة‬

1 d1 d2 d3

2

4 5 2

4 0 5 ٢٥٧

:‫اﻟﺤــﻞ‬  ‫ وﻋﻧد ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم‬ ‫ ﻋﻧد ﻛل داﻟﺔ ﻗرار‬L(, ) ‫ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب دوال اﻟﻣﺧﺎطرﻩ‬

: ‫ ﻧﺟد ان‬  1 ‫ وﻋﻧد‬  1 ‫ﻓﻣﺛﻼ ﻋﻧد‬

R  1, 1   L 1, 1 (x1 ) f (x1 | 1 )  L  1, 1(x 2 )   f (x 2 | 1)  L  1,d1  0.8  L  1,d1   0.2  4  0.8  4  0.2   4,

: ‫ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬L(, ) ‫وﺑﺎﻟﻣﺛل ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﺑﺎﻗﻰ ﻗﯾم‬ L(1, 2 )  (4)(0.8)  (5)(0.2)  4.2, L(1 , 3 )  (4)(0.8)  (2)(0.2)  3.6, L(1 , 4 )  (5)(0.8)  (4)(0.2)  4.8, L(1, 5 )  (5)(0.8)  (5)(0.2)  5, L(1 , 6 )  (5)(0.8)  (2)(0.2)  4.4, L(1, 7 )  (2)(0.8)  (4)(0.2)  2.4, L(1 , 8 )  (2)(0.8)  (5)(0.2)  2.6, L(1, 9 )  (2)(0.8)  (2)(0.2)  2, L(2 , 1 )  (4)(0.1)  (0)(0.9)  0.4, L(2 , 2 )  (4)(0.1)  (0)(0.9)  0.4, L(2 , 3 )  (4)(0.1)  (5)(0.9)  4.9, L(2 ,  4 )  (0)(0.1)  (4)(0.9)  3.6, L(2 , 5 )  ()(0.1)  (0)(0.9)  0, L(2 , 6 )  (0)(0.1)  (5)(0.9)  4.5, L(2 , 7 )  (5)(0.1)  (4)(0.9)  4.1, L(1, 8 )  (5)(0.1)  (0)(0.9)  0.5, L(1, 9 )  (5)(0.1)  (5)(0.9)  5, ٢٥٨

‫وﻣن اﻟﻘﯾم اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫‪4.1‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪2.6‬‬ ‫‪0.5‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪4.4‬‬ ‫‪4.5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3.6‬‬ ‫‪4.9‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4.8‬‬ ‫‪3.6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4.2‬‬ ‫‪0.4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٥٢-٤‬‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬وداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة واﻟﻣطﻠوب ﺣﺳﺎب داﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة ﻟدوال‬ ‫اﻟﻘرار اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0.2‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0.7‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪d1‬‬ ‫‪d2‬‬

‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫ﺣﯾث ﯾوﺟد ﻋدد ﻣﺣدود ﻣن اﻻﺟراءات ‪ p = 2‬وﻋدد ﻣﺣدود ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (r=3) X‬ﻓﺈن ﻋدد دوال اﻟﻘرار ﻣﺣدود وﯾﺳﺎوى ‪ 2  8‬ودوال اﻟﻘرار اﻟﺗﺳﻌﻪ ﻣﺑﻧﯾﻪ ﻓﻰ‬

‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪d2‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪d2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪d2‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪d2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪d1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪d1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪d1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪d1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪d1‬‬ ‫‪d1‬‬

‫‪d1‬‬ ‫‪d2‬‬

‫‪d2‬‬ ‫‪d1‬‬

‫‪d2‬‬ ‫‪d2‬‬

‫‪d2‬‬ ‫‪d2‬‬

‫‪d2‬‬ ‫‪d1‬‬

‫‪d1‬‬ ‫‪d2‬‬

‫‪d1‬‬ ‫‪d1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪٢٥٩‬‬

 ‫ وﻋﻧد ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم‬ ‫ ﻋﻧد ﻛل داﻟﺔ ﻗرار‬L(, ) ‫ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب دوال اﻟﻣﺧﺎطرﻩ‬

: ‫ ﻧﺟد ان‬  1 ‫ وﻋﻧد‬  1 ‫ﻓﻣﺛﻼ ﻋﻧد‬

R  1, 1   L  1, 1 (0) f (0 | 1 )  L  1, 1 (1)   f (1| 1 ) +L  1, 1 (2) f (2 | 1 )  L  1,d1  0.7  L  1,d1   0.2  L  1,d1  0.1  0  0.7   0  0.2   0  0.1  0,

: ‫ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬L(, ) ‫وﺑﺎﻟﻣﺛل ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﺑﺎﻗﻰ ﻗﯾم‬ L(1, 2 )  (0)(0.7)  (0)(0.2)  (3)(0.1)  0.3, L(1, 3 )  (0)(0.7)  (3)(0.2)  (0)(0.1)  0.6, L(1, 4 )  (0)(0.7)  (3)(0.2)  (3)(0.1)  0.9, L(1, 5 )  (3)(0.7)  (3)(0.2)  (3)(0.1)  3, L(1, 6 )  (3)(0.7)  (3)(0.2)  (0)(0.1)  2.7, L(1, 7 )  (3)(0.7)  (0)(0.2)  (3)(0.1)  2.4, L(1, 8 )  (3)(0.7)  (0)(0.2)  (0)(0.1)  2.1, L(2 , 1 )  (4)(0.2)  (4)(0.3)  (4)(0.5)  4, L(2 , 2 )  (4)(0.2)  (4)(0.3)  (0)(0.5)  2, L(2 , 3 )  (4)(0.2)  (0)(0.3)  (4)(0.5)  2.8, L(2 , 4 )  (4)(0.2)  (0)(0.3)  (0)(0.5)  0.8, L(2 , 5 )  (0)(0.2)  (0)(0.3)  (0)(0.5)  0, L(2 , 6 )  (0)(0.2)  (0)(0.3)  (4)(0.5)  2, L(2 , 7 )  (0)(0.2)  (4)(0.3)  (0)(0.5)  1.2, L(2 , 8 )  (0)(0.2)  (4)(0.3)  (4)(0.5)  3.2,

: ‫وﻣن اﻟﻘﯾم اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ ٢٦٠

‫‪8‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫‪3.2‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫‪1.2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪0.9‬‬ ‫‪0.8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪4.8‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫اﻻن اﻟﻣﺷﻛﻠﺔ ﻫو اﻋﺗﻣﺎد داﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة ﻋﻠﻰ ‪ ‬اﻟﻣﺟﻬوﻟﺔ‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻫﻧﺎك ﻣﺛﻼ داﻟﺗﯾن‬ ‫‪ 1, 2‬ﻓﻛﻠﻬﻣﺎ ﻟﯾس أﻓﺿل ﻣن اﻵﺧر ﻷن دوال اﻟﻣﺧﺎطرة ﻟﻬﻣﺎ ﺗﺗﻘﺎطﻊ وﺗﻛون إﺣداﻫﻣﺎ أﻓﺿل‬

‫ﻟﺑﻌض ﻗﯾم ‪ ‬واﻵﺧر أﻓﺿل ﻟﺑﻌض ﻗﯾم ‪ ‬اﻷﺧرى‪ .‬ﻟذﻟك ﻣن اﺟل ﺗرﺗﯾب دوال اﻟﻘرار‬ ‫واﺧﺗﯾﺎر اﻷﻓﺿل ﻣﻧﻬﺎ ﻻﺑد ﻣن ﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻷﺿﺎﻓﯾﺔ ﺣﯾث ﯾﺳﺗﺧدم ﻣﺑدا ﺑﯾﯾز واﻟذى ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﻌﻠوﻣﺎت اﺿﺎﻓﯾﺔ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ﻏﯾر اﻟﻣﻌﻠوﻣﺔ ﺗﺑﯾن اﻧﻬﺎ ﻣﺗﻐﯾرة ‪ ،‬اى اﻋﺗﺑرﻫﺎ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ‬

‫وﻫذا اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻗﺑﻠﻰ ﻣﻌطﻰ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪.  ‬وﻓﻰ ﻫذﻩ‬

‫اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻣﻛن ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣﺗوﺳط اﻟﺧﺳﺎرة ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ‪  ‬ﻧﺗﯾﺟﻪ ﻻﺳﺗﺧدام داﻟﻪ اﻟﻘرار‬ ‫‪   x ‬واﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ﺑﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز‪.‬‬

‫)‪ (٣-٨-٤‬ﻣﺨﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ‬

‫ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ‪ bayes risk‬وﯾرﻣز ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟرﻣز )‪ r(‬وﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪r()  E R  ,   ‬‬ ‫‪  R(, )     d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R   j ,      j  .‬‬ ‫‪ j‬‬

‫)‪(٤-٤‬‬

‫وﻣﺧﺎطرﻩ ﺑﯾﯾز ‪ bayes risk‬ﻻﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ‪ ‬وﻻ ﻋﻠﻰ ‪ . ‬وﻫﻛذا ‪ ،‬ﻓﻰ ﺗﻠك اﻟﺣﺎﻟﻪ ﻛل داﻟﻪ‬

‫ﻗرار ﻣوﺻوﻓﻪ ﺑﻌدد واﺣد )ﻣﺧﺎطرﻩ ﺑﯾﯾز( وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻛل دوال اﻟﻘرار ﯾﻣﻛن ﺗرﺗﯾﺑﻬﺎ ﺣﺳب ﺗﻠك‬ ‫اﻻﻋداد ‪ ،‬وأﻓﺿل ﻗﺎﻋدة ﻗرار *‪ ‬ﻫﻲ ﻋﺑﺎرﻩ ﻋن داﻟﻪ اﻟﻘرار اﻟﻣراﻓﻘﻪ ﻷﻗل ﻗﯾﻣﻪ ﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﺑﯾﯾز‬

‫‪.‬وﺑﻌﺑﺎرة اﺧرى داﻟﺔ ﻗرار ﺑﯾﯾز ﻫﻰ اﻟداﻟﺔ *‪ ‬اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ اﻗل ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ‪ ،‬أي أن‪:‬‬ ‫‪r(* )  r().‬‬ ‫‪٢٦١‬‬

‫ﻷي داﻟﻪ ﻗرار أﺧرى ‪ . ‬ﯾﻼﺣظ ﻣن ﺗﻌرﯾف داﻟﺔ ﻗرار ﺑﯾﯾز أﻧﻬﺎ ﻣرﺗﺑطﻪ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ‪ ‬‬

‫وﻟذﻟك ﻣن اﺟل ﺗوزﯾﻌﺎت ﻗﺑﻠﯾﻪ ﻣﺧﺗﻠﻔﻪ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬ﻓﺈن دوال ﻗرار ﺑﯾﯾز ﻣﺧﺗﻠﻔﻪ ﺑﺷﻛل ﻋﺎم‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٥٣-٤‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (٥٠-٤‬إذا ﻋﻠم أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬ﻫو‪:‬‬ ‫‪2  1/ 2‬‬

‫‪1  1/ 3‬‬

‫‪‬‬

‫‪3/4‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪  ‬‬

‫أوﺟد ﻣﺧﺎطرﻩ ﺑﯾﯾز اﻟﻣراﻓﻘﻪ ﻟﻛل ﻣن اﻟدوال ‪ k  x  ,k  1,2,3,4‬واوﺟد داﻟﺔ ﻗرار ﺑﯾﯾز اﻟﺗﻰ‬

‫ﻟﻬﺎ اﻗل ﻣﺧﺎطرة‪.‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬

‫ﻣن اﻟﻣﺛﺎل )‪ (٥٠-٤‬داﻟﻪ اﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﻟدوال اﻟﻘرار ‪ 1  x  , 2  x  , 3  x  , 4  x ‬ﻣﻌطﺎﻩ‬

‫ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪R  2 , 1   3‬‬

‫‪R  1, 1   0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R  2 , 2   2‬‬

‫‪R  1, 2   2/ 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪R  1, 3  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪R  1, 4   2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R  2 , 3   2‬‬ ‫‪R  2 ,  4   1‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﺧﺎطرﻩ ﺑﯾﯾز ﻟﻛل داﻟﺔ ﻗرار ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫‪٢٦٢‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

r  1   R  1, 2       R  2 , 1    2  1  3  0    3   2.25,  4  4 r  2   R  1 , 2    1   R  2 , 2    2   2  1   3       2    1.67,  3  4   4  r  3   R  1, 3    1   R  2 , 3    2  4 1  3     2    1.833.

3 4  4 r  4   R  1 , 4    1   R  2 , 4    2  1 3 r  4   2    1    1.25, 4 4  4 ‫ وﻣن ﺛم ﻓﺈن‬1.25 ‫ ﺗواﻓق اﺻﻐر ﻗﯾﻣﻪ ﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﺑﯾﯾز وﻫﻲ‬ 4 ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن داﻟﻪ اﻟﻘرار‬

. ‫ﺗﻛون داﻟﻪ ﻗرار ﺑﯾﯾز‬

(٥٤-٤) ‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫ ﻫﻰ‬X‫( وﺑﻔرض ان داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬٤٩-٤) ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل‬ f  x  

1  1 exp    ,   

:‫ ﻫو‬ ‫وﺑﻔرض أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ‬

()

1  1000

2  250

.9

0.1

:‫ ﻛﺎﻧت ﻣﻌطﺎﻩ ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‬d1,d 2 ‫وﺑﻣﺎ ان داﻟﻪ اﻟﺧﺳﺎرة ﻟﻠﻘ ارراﯾن‬ d1 1  1000 2  250

d2

0 15 ٢٦٣

10 5

‫أي‪:‬‬ ‫‪L  2 ,d1   15,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪L  1,d1   0‬‬

‫‪L  2 ,d 2   5.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪L  1,d 2   10‬‬

‫ﺑﻔرض اﻧﻪ ﺗم اﺧﺗﯾﺎر ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ٕ n = 6‬واذا ﻛﺎﻧت‬ ‫اﻟﻛﻠﻰ ﻟزﻣن اﻟﻔﺷل ﻓﻰ اﻻﺧﺗﺑﺎر‪ .‬ﺑﻔرض اﻧﻧﺎ ﻋرﻓﻧﺎ داﻟﺔ اﻟﻘ ارراﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪t  2613h‬‬

‫‪6‬‬

‫‪ t   xi‬ﺗﻣﺛل اﻟزﻣن‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪d if‬‬ ‫‪1  x    1‬‬ ‫‪ d 2 if‬‬

‫‪t  2613h.‬‬

‫) ‪ h‬ﺗﻌﻧﻰ ﺳﺎﻋﻪ( ﺣﯾث ‪ x‬ﻣﻼﺣظﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻛل ﻣﺗﺟﻪ ‪. x   x1,x 2 ,...,xn ‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام داﻟﻪ ﻗرار أﺧرى ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬

‫‪min  x1, x 2 ,..., x 6   1000h‬‬ ‫‪min  x1, x 2 ,...,x 6   1000h.‬‬

‫‪d if‬‬ ‫‪2  x    1‬‬ ‫‪ d 2 if‬‬

‫اﻻن ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب داﻟﻪ اﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﻟﻛل ﻣن ‪ 1 ,  2‬ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪2613‬‬

‫‪h  t 1  dt.‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪h  t   dt  10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪R  1, 1   0‬‬

‫‪2613‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬ ‫‪R  1, 1   0P  T  2613 1   10P  T  2613 .‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﺣﯾث ‪ T‬ﻫو ‪  Xi‬واﻟﺗﻰ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪  , 6 ‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2613‬‬

‫‪ t ‬‬ ‫‪1  t ‬‬ ‫‪  exp   dt‬‬ ‫‪1(6)  1 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪ 10(6,2613/ 1 ) / (6).‬‬

‫‪‬‬

‫‪R  1, 1   10‬‬

‫ﺣﯾث )‪ (a, x‬ﻫﻰ داﻟﻪ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻧﺎﻗﺻﻪ وﻋﻠﻲ ذﻟك‪:‬‬ ‫!‪R 1000, 1   10  (6, 2.61) / 5‬‬ ‫‪ 10(5.97) /120)  0.5.‬‬

‫وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪2613‬‬

‫‪g  t 2  dt‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪g  t 2  dt  5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪R  2 , 1   15‬‬

‫‪2613‬‬

‫‪10(6,10.45)6‬‬ ‫)‪10(113.78‬‬ ‫‪ 15 ‬‬ ‫‪ 5.52.‬‬ ‫‪120‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫‪٢٦٤‬‬

‫‪ 15 ‬‬

‫اﻵن ﺑﻔرض أن ‪ W  min  X1X2 ,...,Xn ‬ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺷرطﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ W‬إذا ﻋﻠم ‪ ‬ﻫو‬

‫ﺗوزﯾﻊ أﺳﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪h(w | )  exp(6w / ) , w  0.‬‬ ‫‪‬‬

‫) ‪R  1,  2   0P(W  1000 1‬‬ ‫) ‪ 10P(W  1000 1‬‬ ‫‪ 10 1  exp(6000 / 1 ) .‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬ ‫‪R 1000, 2   101  exp(6)  9.98,‬‬

‫وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫) ‪R  2 , 2   15P  W  1000 2   5P(W  1000 2‬‬ ‫‪ 5  10exp(24)  5.‬‬ ‫وﺑﻣﻘﺎرﻧﺔ داﻟﻪ اﻟﻣﺧﺎطرﻩ ‪ 1, 2‬ﻧﺟد أن ‪ 1‬ﻫﻲ أﻓﺿل ﻣن ‪  2‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪   1000h‬اﯾﺿﺎ ‪ 2‬‬

‫ﺗﻛون اﻓﺿل ﻣن ‪ 1‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪.   250 h‬‬

‫ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز اﻟﻣرﺗﺑطﺔ ﺑـ ‪ 1‬و ‪  2‬ﻫﻰ‪:‬‬ ‫‪r(1 )  .9(.5)  .1(5.52)  1.0,‬‬ ‫‪r(2 )  .9(98)  .1(5.00)  9.4.‬‬

‫أي أﻧﻪ ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻓﺈن ﺻﺎﻧﻊ اﻟﻘرار ﺳوف ﯾﻔﺿل ‪ 1‬ﻷن ﻟﻬﺎ أﻗل ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٥٥-٤‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (٥٢-٤‬اوﺟد ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ﻟﻛل داﻟﺔ ﻗرار ‪.‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز اﻟﻣرﺗﺑطﺔ ﺑدوال اﻟﻘرار ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﻫم ‪:‬‬

‫‪٢٦٥‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪r(1 )  (0)  (4)  ,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4.3‬‬ ‫‪r( 2 )  (0.3)  (2) ‬‬ ‫‪,.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6.2‬‬ ‫‪r(3 )  (0.6)  (2.8) ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪r( 4 )  (0.9)  (0.8) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪r(5 )  (3)  (0)  ,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6.6‬‬ ‫‪r(6 )  (2.6)  (2) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4.8‬‬ ‫‪r(7 )  (2.4)  (1.2) ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8.5‬‬ ‫‪r(8 )  (2.1)  (3.2) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫وﻣﻧﻬﺎ ﯾﺗﺿﺢ ان ‪  4‬ﻫﻰ داﻟﺔ ﻗرار ﺑﯾﯾز‪.‬‬

‫اﺳﺘﺧدام اﻟﺘوزﻳﻊ اﻟﺑﻌدى ﻓﻰ إﻳﺟﺎد ﻣﺧﺎطﺮة ﺑﻴﻴﺰ‬ ‫ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﻋﻧد ‪ X  x‬ﻓﻰ اﯾﺟﺎد داﻟﺔ ﻗرار ﺑﯾﯾز ﺑدﻻ ﻣن‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ وﺑﺈﺳﻠوب اﺳﻬل واﺑﺳط وذﻟك ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ )‪ (٤-٤‬وﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ إذا ﻛﺎن ‪ X,‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺗﺻﻠﯾن ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪f  x  dx‬‬

‫‪f  x       d‬‬ ‫‪f x‬‬

‫‪L  ,   x  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪r( )  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪  f  x    L  ,   x      x  d  dx.‬‬

‫ان اﯾﺟﺎد ‪   x ‬اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﻣﻘدار )‪ r(‬ﺗﻛﺎﻓﺊ إﯾﺟﺎد ‪   x ‬اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﻣﻘدار ﺑﯾن اﻟﻘوﺳﯾن أي اﻟﻣﻘدار‪:‬‬

‫‪ L ,   x     x  d.‬‬ ‫وﻫو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﺧﺳﺎرة ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ أﻟﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬وﻫذا اﻟﻣﻘدار أﺣﯾﺎﻧﺎ‬

‫ﯾﺳﻣﻰ اﻟﻣﺧﺎطرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ ‪ posterior risk‬أو اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ‪expected‬‬ ‫‪.posterior loss‬‬

‫‪٢٦٦‬‬

‫وﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﺎ إذا ﻛﺎن ‪ X,‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺗﻘطﻌﯾن ﻓﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد ‪   x ‬اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ‬

‫اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﻣﻘدار )‪ r(‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪r()  E  R  ,      R   j ,      j ‬‬ ‫‪j‬‬

‫‪  L[(x i ),  j ] f(x i |)   j  .‬‬ ‫‪j‬‬

‫‪i‬‬

‫واﻟذى ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪r()   f (x i )[ L[(x i ),  j ]    j | x i ].‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪j‬‬

‫ﻧﻼﺣظ ان اﻟﻣﻘدار ﺑﯾن ﻗوﺳﯾن ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ x i‬اﻟﻣﺷﺎﻫدة وﻋﻠﻰ اﻻﺟراء اﻟذى ﺧﺻص‬ ‫ﻟﻬذﻩ اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ x i‬ﺑواﺳطﺔ داﻟﺔ اﻟﻘرار اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ ‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك إذا وﺿﻌﻧﺎ‬

‫‪rx (d)  E |x L[(x i ),    L[(x i ),  j( j | x i ).‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪j‬‬

‫‪i‬‬

‫ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﺧﺳﺎرة ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬اواﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ‬

‫اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ‪.‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ﯾﺻﺑﺢ ‪:‬‬

‫‪r()   E|x  L(,x i )f (x i ).‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫وﻫﻰ ﻋﺑﺎرة ﻋن اﻟﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺟﺢ )ﺑﺎوزان ﻏﯾر ﺳﺎﻟﺑﺔ ) ‪ ( f (x i‬ﻟﻠﺧﺳﺎرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ‬

‫وﺗﻛون اﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن إذا ﻛﺎﻧت اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ اﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن ‪ .‬ان اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ‬

‫ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪rx (d)   L[d,  j ] ( j | x i ).‬‬ ‫‪j‬‬

‫‪٢٦٧‬‬

‫‪i‬‬

‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ اﻧﻪ ﻟﻛل ﻗﯾﻣﺔ ‪ x i‬ﻧﺣدد اﻻﺟراء اﻟذى ﯾﻌطﻰ اﻗل ﺧﺳﺎرة ﺑﻌدﯾﺔ ﻣﺗوﻗﻌﺔ وﻣﻧﻪ ﻧﺣدد‬ ‫داﻟﺔ اﻟﻘرار اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐرى ﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﺑﯾﯾز ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٥٦-٤‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪(٤٧-٤‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻰ ﺑﺣﯾث إن اﺣﺗﻣﺎل اﻟﻧﺟﺎح ‪ ‬ﯾﻣﻛن ان‬

‫ﯾﻛون ‪ 1  1/ 3‬أو ‪ 1  1/ 2‬ﺑﻔرض أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬ﻫو‪:‬‬ ‫‪2  1/ 2‬‬

‫‪1  1/ 3‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﺑﻔرض داﻟﻪ اﻟﺧﺳﺎرﻩ اﻟﻣﻌطﺎﻩ ﻟﻼﺟراﺋﯾن ‪ d1 , d 2‬ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪d2‬‬

‫‪d1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎﻧت داﻟﻪ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫اوﺟد اﺟراء ﺑﯾﯾز ﻣﺳﺗﺧدﻣﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ‪.‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫‪٢٦٨‬‬

‫‪x1  0‬‬ ‫‪x2  1‬‬

:‫ ﻫو‬X ‫ ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ‬   x  ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى‬   j xi  



  j  f xi  j f  xi 

2

 ,i  1,2; j  1,2.





f  xi       j  f xi  j . j1

f (x1  0)    1  f  x1 1     2  f  x1 2 

 3  2 3    23  12   59 .

 1

f (x 2  1)    1  f  x 2 1     2  f  x 2 2 

 3  13    23  12   94 .

 1

: ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك‬   1

1  2   3  2, x  0   3 f x   59  5     f  x    2 3   12  3 x  0    , 5 f x   9 5     f  x    13  13  1 x  1    , 4 f x   9 4     f  x    2 3   12  3 x  1    .   1  f  x1 1 

1

1

  2

2

1

2

1

1

  1

1

2

1

2

2

  2

2

2

2

f  x2 

2

4

4

9

:‫أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻪ ﺑﺎﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ X x1  0 x2  1

1  1/ 3

2  1/ 2

2/5 1/4

3/5 3/4 :‫ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‬x  x1  0 ‫ﻋﻧدﻣﺎ‬

٢٦٩

2

rx  d1    L   j ,d 2     j x1  1

j1

=L  1 ,d1    1 | x1   L  2 ,d1    2 | x1   2  3 9  0    3   . 5 5 5 rx  d 2  =L  1,d 2    1 | d 2   L  2 ,d 2    2 ,d 2  1

 2 3 7  2    1   .  5 5 5

. d 2 ‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾز ﺳوف ﯾﻛون‬

:‫ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‬x  x 2  1 ‫ﻋﻧدﻣﺎ‬

2

rx  d1    L   j ,d1     j x 2  2

j1

=L  1,d1    1 | x 2   L  2 ,d1    2 | x 2 

rx  d 2  2

1 3 9  0    3   .  4  4 4 =L  1 ,d 2    1 | x 2   L  2 ,d 2    2 | x 2   1  3 5  2    1   .  4  4 4

: ‫ﻫﻛذا ﻧﺟد‬. ‫ اﯾﺿﺎ‬d 2 ‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾز ﺳوف ﯾﻛون‬

. d 2 ‫ ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾز‬x=0 ‫ﻋﻧدﻣﺎ‬

. d 2 ‫ ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾز‬x=1 ‫ﻋﻧدﻣﺎ‬

‫ وﻫﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ‬ 4 ‫اى ان داﻟﺔ ﻗرار ﺑﯾﯾز ﻫﻰ‬.  4 ‫وﻫذان اﻻﺟراءان ﯾواﻓﻘﺎن داﻟﺔ اﻟﻘرار‬

.(٥٣-٤)‫اﻟﺗﻰ ﺣﺻﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن ﻣﺛﺎل‬ (٥٧-٤) ‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫( ﻧﻌﻠم ان‬٥٢-٤) ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل‬

٢٧٠

‫داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪d1‬‬ ‫‪d2‬‬

‫واﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫو ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0.7‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.1‬‬

‫‪0.2‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫واﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬ﻫو‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫اوﺟد اﺟراء ﺑﯾﯾز ﻣﺳﺗﺧدﻣﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ‪.‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬

‫‪٢٧١‬‬

‫‪ ‬‬

:‫ ﻫو‬X ‫ ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ‬   x  ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى‬   j xi  



  j  f xi  j f  xi 

2



f  xi       j  f xi  j j1

 ,i  1, 2,3; j  1, 2.



f (x1  0)    1  f  x1 1     2  f  x1 2  .  3  0.7    23   0.2  11 30

 1

f (x 2  1)    1  f  x 2 1     2  f  x 2 2 

 3  0.2    23   0.3  308 ,

 1

f (x 2  1)    1  f  x 2 1     2  f  x 2 2  .  3  0.1   23  0.5  11 30

 1

: ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك‬ 1   0.7   7    x  0   3  , f x  1130  11     f  x    2 3   0.2  4    x  0    , 11 f x   30 11     f  x    13   0.2  1    x  1    , 8 f x   30  4     f  x    2 3   0.3 3    x  1    ,   1  f  x1 1 

1

1

1

2

2

1

2

2

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

  1 x 3  2  

  2 x 3  2  

2

2

(8

f  x2 

  2  f  x 3 f  x3  ٢٧٢

4

1   1  3  , 1130 11    2 3   0.5  10   ,

  1  f  x 2 1  f  x2 

) 30  0.1

2

(11 ) 30

11

:‫أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻪ ﺑﺎﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ 1 x1  0

2

7 11 1 4 1 11

x2  1 x3  2

4 11 3 4 10 11

:‫ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‬x  x1  0 ‫ﻋﻧدﻣﺎ‬ 2

rx  d1    L  d1 ,  j     j x1  1

j1

=L  d1, 1    1 | x1   L  d1, 2    2 | x1  7  4  16  0   4   ,  11   11  11 rx  d 2  =L  d 2 , 1    1 | d 2   L  d 2 , 2    2 | d 2  1

 7   4  21  3   0    ,  11   11  11

. d1 ‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾز ﺳوف ﯾﻛون‬

:‫ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‬x  x 2  1 ‫ﻋﻧدﻣﺎ‬

٢٧٣

‫‪2‬‬

‫‪rx  d1    L  d1,  j     j x 2 ‬‬ ‫‪j1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪=L  d1, 1    1 | x 2   L  d1 , 2    2 | x 2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 0    4    3.‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪=L  d 2 , 1    1 | x 2   L  2 ,d 2    2 | x 2 ‬‬

‫‪rx  d 2 ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1 3 3‬‬ ‫‪ 3   0    .‬‬ ‫‪4 4 4‬‬

‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾز ﺳوف ﯾﻛون ‪. d 2‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ x  x 3  2‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪rx  d1    L  d1,  j  ,   j x 3 ‬‬ ‫‪j1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪=L  d1, 1    1 | x 3   L  d12    2 | x 3 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 10  40‬‬ ‫‪ 0   4   ,‬‬ ‫‪ 11 ‬‬ ‫‪ 11  11‬‬ ‫‪=L  d 2 , 1    1 | x 3   L  d 2 , 2    2 | x 3 ‬‬

‫‪rx  d 2 ‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 1   10  3‬‬ ‫‪ 3   0    .‬‬ ‫‪ 11   11  11‬‬

‫ﻫﻛذا ﻧﺟد ‪:‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ x=0‬ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾز ‪. d1‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ x=1‬ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾز ‪. d 2‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ x=3‬ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾز ‪. d 2‬‬

‫اﻻﺟراءات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗواﻓق داﻟﺔ اﻟﻘرار ‪.  4‬اى ان داﻟﺔ ﻗرار ﺑﯾﯾز ﻫﻰ ‪  4‬وﻫﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ‬

‫اﻟﺗﻰ ﺣﺻﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن ﻣﺛﺎل)‪.(٥٥-٤‬‬

‫)‪ (٩-٤‬ﻣﻘﺪر اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻟﺒﻴﻴﺰ اﻟﻤﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﺗﺨﺎذ اﻟﻘﺮار اﻟﺒﻴﻴﺰى‬ ‫‪٢٧٤‬‬

‫ﻣن اﻷﻫداف اﻷﺳﺎﺳﯾﺔ ﻟﻧظرﯾﺔ اﺗﺧﺎذ اﻟﻘرار اﻟﺑﯾزى ﻫﻰ وﺿﻊ ﻫﯾﻛل ﻧظري ﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ﻣﺷﻛﻠﺔ‬

‫اﻻﺳﺗدﻻل اﻟﺑﯾﯾزى ﻋﻠﻰ أﻧﻬﺎ ﻣﺳﺎﺋل اﺗﺧﺎذ ﻗرار‪ .‬أي ﯾﻧظر إﻟﻰ ﻣوﺿوع اﺧﺗﯾﺎر ﻣﻘدر ﻋﻠﻰ أﻧﻪ‬

‫اﺧﺗﯾﺎر ﻗرار أو إﺟراء ﻣن ﺑﯾن ﻣﺟﻣوع اﻹﺟراءات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ذﻟك ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﻔﺗرض‬

‫أن ﻧﺗﺎﺋﺞ ﻫذﻩ اﻹﺟراءات اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﯾﻣﻛن ﺗﻘﯾﻣﻬﺎ‪.‬‬

‫اﻵن ﺳوف ﻧﺷرح ﻛﯾﻔﯾﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺑﯾﯾزي وذﻟك ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻧظرﯾﺔ‬

‫اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺑﯾﯾزى ‪. bayesian decision theory‬‬

‫ﻋﻧد ﻣﻧﺎﻗﺷﺔ ﻣﺷﻛﻠﺔ اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻣﻌﻠﻣﻪ ﻣﺎ واﻟﻣﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻘرار اﻟﺑﯾﯾزى وﺑﻔرض‬

‫أن ‪ X   X1,X2 ,....,Xn ‬ﺗﻣﺛل ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪ , ,f  x; ‬ﻫو ﻓراغ اﻟﻣﻌﺎﻟم‪ ،‬وﻫﻧﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻗد ﯾﻛون ﻣﺗﺻل أو ﻣﺗﻘطﻊ و‬ ‫اﻟﻣطﻠوب ﺗﻘدﯾر ‪ ‬أو داﻟﺔ ﻓﻰ‬

‫او )‪ u(‬ھﻨﺎ ﻓﺈن ﻣﺸﻜﻠﺔ اﻟﺘﻘﺪﯾﺮ ﺗﺼﺒﺢ ﻣﺸﻜﻠﺔ اﺗﺨﺎذ ﻗﺮار‬

‫ﯾﻜﻮن ﻓﯿﮭﺎ ﻓﺮاغ اﻻﺟﺮاءات ‪ D‬ھﻮ ﻧﻔﺴﮫ ﻓﺮاغ اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ ‪ ‬اى ان ‪ . D  ‬ﻓﻌﻧدﻣﺎ ﺗﻛون‬ ‫اﻟﻘراءات ‪ x   x1,x 2 ,....,x n ‬ﻫﻰ ﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﻌﯾﻧﻪ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ‪ X   X1,X2 ,....,Xn ‬ﻓﺈن‬ ‫)‪ T  (X‬ﺗﻣﺛل داﻟﻪ ﻗرار ‪ ، decision function‬ﺗﻌﯾن أو ﺗﺧﺻص اﺣد اﻟﻘ اررات او‬

‫اﻹﺟراءات ‪ *  d    x ‬ﻛﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬او )‪. u(‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎر داﻟﻪ اﻟﻘرار‬ ‫)‪ T  (X‬ﻣﻘدر واﻋﺗﺑﺎر اﻟﻘرار ‪ d    x ‬ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬أو )‪ u(‬ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ‪ ‬ﻫﻲ‬

‫اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ وﯾﺟب أن ﯾﻛون اﺧﺗﯾﺎر ‪   x ‬ﻣﻧﺎﺳب ﻟﻠﻣﺳﺄﻟﺔ ﻗﯾد اﻟدراﺳﺔ وذﻟك وﻓق‬

‫اﻟﻣﺗطﻠﺑﺎت اﻟﻣﺛﻠﻰ‪ .‬اﻵن اﻟﻘرار ﻗد ﯾﻛون ﺻﺣﯾﺢ أو ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺢ ﻟذﻟك ﯾﻛون ﻣن اﻟﻣﻔﯾد ﻗﯾﺎس‬

‫ﺧطورة اﻟﻔرق ‪ ،‬إذا وﺟد ﺑﯾن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ‪ ‬واﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ‪ . d    x ‬ﺗﺑﻌﺎ ﻟذﻟك ‪ ،‬ﻟﻛل‬ ‫زوج ‪  , L   x  , ‬ﯾرﺗﺑط رﻗم ﻏﯾر ﺳﺎﻟب ‪ L   x  , ‬واﻟذى ﯾﻌﻛس ﺗﻠك اﻟﺧطورة‪.‬‬ ‫ﺳوف ﺗﺳﻣﻰ اﻟداﻟﺔ ‪ L   x  , ‬داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ‪ .loss function‬ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﺄﺧذ ‪ d‬ﻛﺗﻘدﯾر‬

‫ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ‪ L   x  , ‬ﺗﻛون ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺧطﺄ أو اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻣن‬ ‫اﺧﺗﯾﺎر اﻟﻘرار ‪ d‬ﻛﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ‬ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ‪ ‬ﻫﻲ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ‪ ،‬وﻫﻲ داﻟﺔ ﻏﯾر‬ ‫ﺳﺎﻟﺑﺔ وﺗﺣﻘق اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫)‪(i‬‬

‫‪ L(d, )  0‬ﻟﺟﻣﯾﻊ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﻪ ﻣن ‪. d,‬‬

‫)‪(ii‬‬

‫‪ L(d, )  0‬ﻟﻛل ‪. d  ‬‬ ‫‪٢٧٥‬‬

‫واﻵن ﻓﺈن اﺣد اﻟﻌﻧﺎﺻر اﻷﺳﺎﺳﯾﺔ ﻓﻲ ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ﻣﺷﻛﻠﺔ اﻟﺗﻘدﯾر ﻋﻠﻲ أﻧﻬﺎ ﻣﺳﺄﻟﺔ اﺗﺧﺎذ ﻗرار ﻫو‬

‫ﺗﺣدﯾد داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻟﻛل ﻣﺳﺄﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻧﻛون ﺑﺻدد دراﺳﺗﻬﺎ‪.‬‬

‫وﻧظراً ﻷﻧﻬﺎ ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺧطﺄ ﻓﯾﺟب ان ﺗﻛون ﻛﺑﯾرة ﻟﻠﺧطﺄ اﻟﻛﺑﯾر وﺻﻐﯾرة ﻟﻠﺧطﺄ اﻟﺻﻐﯾر‪.‬‬

‫وﺑﺎﻟطﺑﻊ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻰ أن ﺗﻛون اﻟﺧﺳﺎرة ﻗﻠﯾﻠﺔ ﺟداً ﺑﻣﻌﻧﻰ أن ﯾﻛون اﻟﻘرار ﻗرﯾب ﺟدا ﻣن‬ ‫اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺗﻰ ﻧﻘدرﻫﺎ‪.‬‬

‫اﻹﺣﺻﺎء ﻋﻧد اﻟﺗﻘدﯾر‪.‬‬

‫ﻓﻰ اﻟﺑﻧد اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺳوف ﻧﻘدم ﺑﻌض دوال اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ ﻓﻰ‬

‫)‪ (١-٩-٤‬ﺑﻌﺾ دوال اﻟﺨﺴﺎرة‬ ‫أ‪ -‬داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ‬

‫‪Squared Error Loss Function‬‬

‫ﻫذﻩ اﻟداﻟﺔ ﺗﺄﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪L(d, )  c  d   ,‬‬

‫)‪(٥-٤‬‬

‫ﺣﯾث ‪ c‬ﺛﺎﺑت )ﯾﻣﻛن ﻣﺳﺎواﺗﻪ ﺑﺎﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ( ‪ ،‬وﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺗﻛون ﻋﺑﺎرة ﻋن ﻣرﺑﻊ‬

‫ﻋﻣوﻣﺎ‬ ‫ً‬ ‫اﻟﺧطﺄ وﻟذﻟك ﺗﺳﻣﻰ داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ ‪ .‬وﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ ‪ u   ‬ﺑﺪﻻ ﻣﻦ ‪ ‬ﰲ )‪(٥-٤‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺑﺎﺣﺛﯾن ﯾﻣﯾﻠون ﻻﺳﺗﺧدام ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ ﻛداﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻧظراً ﻟﺳﻬوﻟﺔ اﻟﺣﺻول‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻘدرات اﻟﻣﻌﺗﻣدة ﻋﻠﯾﻬﺎ ) ﺣﯾث ان ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﻪ ﻫو ﺑﺑﺳﺎطﺔ ﻋﺑﺎرة ﻋن‬

‫ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣﺟﻬوﻟﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ذﻟك ﻓﯾﻣﺎ ﺑﻌد(‪ .‬وﻟﻛن ﻫذا اﻻﺗﺟﺎﻩ‬

‫ﻋﺎرﺿﺔ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺑﺎﺣﺛﯾن ﺣﯾث أن طﺑﯾﻌﺔ داﻟﺔ ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ وﻫﻲ داﻟﺔ ﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ ﻣﺗﻣﺎﺛﻠﺔ ﺗﻌطﻰ‬ ‫اﻫﻣﯾﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻟﺣﺎﻟﺗﻰ اﻟﺗﻘدﯾر اﻷﻋﻠﻰ واﻷدﻧﻲ وﻫذا ﻣﺎ أﻛدﻩ اﻟﺑﺎﺣﺛﯾن ‪Basu and‬‬

‫)‪.Ebrahimi (1991‬‬

‫‪٢٧٦‬‬

‫ب ‪-‬داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺧطﯾﺔ اﻷﺳﯾﺔ‬

‫)‪Linear-Exponential Loss Function (LINEX‬‬

‫ﻫذﻩ اﻟداﻟﻪ ﺗﺄﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪L()  ec  c  1.‬‬

‫)‪(٦-٤‬‬

‫ﺣﯾث ‪ c  0‬ﺛﺎﺑت ﯾﻣﺛل ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺷﻛل ﻟﻠداﻟﺔ ‪ L   ‬ﺣﯾث ‪ .    d  ‬وﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ ‪u   ‬‬

‫ﺑﺪﻻ ﻣﻦ ‪ ‬ﻓﻲ )‪ . (٦-٤‬ﻣن أﻫم ﺧواص ﻫذﻩ اﻟداﻟﺔ اﻧﻬﺎ ﻏﯾر ﻣﺗﻣﺎﺛﻠﺔ ﺣول ﻧﻘطﺔ اﻷﺻل ‪،‬‬

‫ﺣﯾث أﻧﻬﺎ ﺗﻘﺗرب ﺷﻛﻠﻬﺎ ﻣن ﺷﻛل اﻟداﻟﺔ اﻷﺳﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﺣد ﺟﺎﻧﺑﻲ ﻧﻘطﺔ اﻷﺻل وﺗﻘﺗرب ﻣن‬ ‫اﻟﺷﻛل اﻟﺧطﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺟﺎﻧب اﻵﺧر‪ .‬ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺷﻛل ‪ c‬ﺗﺗﺣﻛم ﻓﻰ درﺟﺔ واﺗﺟﺎﻩ ﻋدم اﻟﺗﻣﺎﺛل‬ ‫ﻟﻠداﻟﺔ ‪ ،‬ﺣﯾث ان ﻗﯾﻣﺔ ‪ c‬اﻟﻌددﯾﺔ ﺗﺗﺣﻛم ﻓﻰ درﺟﺔ ﻋدم اﻟﺗﻣﺎﺛل ﻟداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ‪ .‬أﻣﺎ‬

‫إﺷﺎرة ‪ c‬ﻓﺗﺣﻛم اﺗﺟﺎﻩ ﻋدم اﻟﺗﻣﺎﺛل‪ .‬ﺑﻣﻌﻧﻰ أﻧﻪ ﻟﻘﯾم ‪ c > 0‬ﻓﺈن اﻟﺗﻘدﯾر اﻷﻋﻠﻲ ﯾﻛون أﻛﺛر‬

‫ﺧطورة ﻣن اﻟﺗﻘدﯾر اﻷدﻧﻲ واﻟﻌﻛس أﯾﺿﺎً ﺻﺣﯾﺢ ﺑﻣﻌﻧﻰ أﻧﻪ ﻟﻘﯾم ‪ c < 0‬ﯾﻛون اﻟﺗﻘدﯾر‬ ‫اﻷدﻧﻰ أﻛﺛر ﺧطورة ﻣن اﻟﺗﻘدﯾر اﻷﻋﻠﻲ‪.‬‬

‫وﻟﻘﯾم ‪c‬‬

‫اﻟﺻﻐﯾرة ﺟداً ﺗؤول داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة‬

‫اﻟﺧطﯾﺔ اﻻﺳﯾﺔ إﻟﻰ داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ وﻫﻲ ﺑﺎﻟطﺑﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛﻠﺔ وﻫﻧﺎك اﻟﻌدﯾد ﻣن أﺷﻛﺎل‬

‫اﻟداﻟﺔ اﻟﺧطﯾﺔ اﻷﺳﯾﺔ واﻟﺗﻰ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ طرﯾﻘﺔ اﺧﺗﯾﺎر ‪ . ‬داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة اﻷﺳﯾﺔ )‪(LINEX‬‬

‫ﺑﺄﺷﻛﺎﻟﻬﺎ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ اﺳﺗﺧدﻣﻬﺎ اﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺑﺎﺣﺛﯾن ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﺳﺗدﻻﻻت ﺑﯾﯾز ﻟﻣﺧﺗﻠف‬

‫اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ‪.‬‬ ‫)‪Soliman (2005‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ااﻟرﻏم ﻣن ﻣروﻧﺔ وﺷﻌﺑﯾﺔ ﻫذﻩ اﻟداﻟﺔ ﻓﻰ ﺗﻘدﯾر ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣوﻗﻊ وﻟﻛﻧﻬﺎ ﻏﯾر ﻣﻧﺎﺳﺑﺔ‬

‫ﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺷﻛل واﻟﻛﻣﯾﺎت اﻻﺧرى ‪.‬‬

‫ج‪ -‬داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة اﻟﺧطﺄ اﻟﻣطﻠق‬

‫‪Absolute Loss Function‬‬

‫ﻫذﻩ اﻟداﻟﻪ ﺗﺎﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪L(d, )  d   |.‬‬

‫)‪(٧-٤‬‬

‫وﻫﻲ ﻋﺑﺎرة ﻋن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣطﻠق ﻟﻠﺧطﺄ‪ .‬وﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ ‪ u   ‬ﺑﺪﻻ ﻣﻦ ‪ ‬ﻓﻲ )‪.(٧-٤‬‬ ‫‪٢٧٧‬‬

‫د‪ -‬داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة اﻻﻧﺘﺮوﺑﻴﺎ اﻟﻣﻌﻣﻣﺔ‬

‫‪General Entropy Loss Function‬‬

‫ﺗﺄﺧذ ﻫذﻩ اﻟداﻟﻪ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪q‬‬

‫‪d ‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪L ,d,      qln    1.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪(٨-٤‬‬

‫وﻳﻤﻜـﻦ وﺿـﻊ )‪ u(‬ﺑـﺪﻻ ﻣـﻦ ‪ ‬ﻓـﻰ )‪(٨-٤‬وﻫـﺬﻩ اﻟﺪاﻟـﺔ ﻣﻌﺮﻓـﺔ ﻣـﻦ ﻗﺒـﻞ ‪Calabria and Pulaini‬‬ ‫)‪ (1996‬و ﺗﻌﺘﺒـﺮ اﻟﺪاﻟـﺔ ﺗﻌﻤـﻴﻢ ﻟﺪاﻟـﺔ اﻻﻧﺘﺮوﺑﻴـﺎ و اﻟﺘــﻲ ﻓﻴﻬـﺎ ‪  q  1‬و اﻟﻤﺴـﺘﺨﺪﻣﻪ ﻣـﻦ ﻗﺒـﻞ ‪Dey and‬‬

‫)‪ .Lee (1992‬ﻣــﻦ اﻟﻮاﺿــﺢ أن اﻟﺼــﻴﻐﺔ )‪ (٨-٤‬ﺗﻌﺘﺒــﺮ أﻛﺜـﺮ ﻋﻤﻮﻣﻴــﺔ ﻟﻜﻮﻧﻬــﺎ ﺗﻌﻄــﻲ أﻛﺜــﺮ ﻣــﻦ ﺷــﻜﻞ ﻟﺪاﻟــﺔ‬

‫اﻟﺨﺴﺎرة و ذﻟﻚ ﺗﺒﻌـﺎً ﻟﻘـﻴﻢ ‪ q‬اﻟﻤﺨﺘـﺎرة‪ .‬ﺣﻴـﺚ أن ﻗـﻴﻢ ‪ q  0‬ﺗﻨﺎﺳـﺐ اﻟﺤﺎﻟـﺔ اﻟﺘـﻲ ﻓﻴﻬـﺎ اﻟﻤﻘـﺪر اﻷﻋﻠـﻰ ذو‬ ‫ﺧﻄﻮرة أﻛﺒﺮ ﻋﻨﻪ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻘﺪر اﻻدﻧﻰ و اﻟﻌﻜـﺲ ﺻـﺤﻴﺢ‪ .‬أﻳﻀـﺎً ﻣـﻦ )‪ (٨-٤‬ﻋﻨـﺪﻣﺎ اﻟﻘﻴﻤـﺔ ‪ q  1‬ﻓـﺈن‬ ‫داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة اﻻﻧﺘﺮوﺑﻴﺎ اﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﺗﺆول إﻟﻰ داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺨﻄﺄ ‪.‬‬

‫د‪Log – Odds Ratio Squared Loss Function -‬‬ ‫ﺗﺄﺧﺬ ﻫﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬

‫)‪(٩-٤‬‬

‫‪2‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪L  d,   ln‬‬ ‫(‪)  ln‬‬ ‫)‬ ‫‪1   ‬‬ ‫‪ 1 d‬‬

‫وﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ ‪ u   ‬ﺑﺪﻻ ﻣﻦ ‪ ‬ﻓﻲ )‪ (٩-٤‬وﻫﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﺗﺤﻮﻳﻠﻪ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻣﻦ ]‪ [0,1‬ﻋﻠﻰ ﺧﻂ‬

‫اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ وﺗﻌﻄﻲ ﻫﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻘﺪﻳﺮ ﺟﻴﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﻟﻤﻐﻠﻘﺔ ]‪ [0,1‬وﻫﻲ ﺗﺤﺴﺐ ﻋﺎدة ﻓﻲ ﺗﻘﺪﻳﺮ‬ ‫داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻷﻧﻬﺎ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]‪. [0,1‬‬

‫ﺑﻌد ﺗﺣدﯾد داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ ﻟﻣﺷﻛﻠﺔ اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺗﻰ ﻧﺣن ﺑﺻددﻫﺎ ﯾﻛون ﻫدﻓﻧﺎ اﺧﺗﯾﺎر‬

‫اﻟﻣﻘدر )‪ T  (X‬اﻟذى ﯾﺟﻌل اﻟﺧﺳﺎرة أﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن‪ .‬وﻧظراً ﻷن داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ d    x ‬وأن ‪ d‬ﻫﻲ ﻗﯾﻣﺔ )‪ T  (X‬ﻓﺈن اﻟﺧﺳﺎرة ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ أي أن داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة‬

‫ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎرﻫﺎ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﻌﯾﻧﺔ وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﺳﯾﻛون ﻣن اﻟﺻﻌب ان‬ ‫‪٢٧٨‬‬

‫ﻧﺟﻌل اﻟﺧﺳﺎرة أﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن ﻟﻛل ﻋﯾﻧﺔ ﻣﻣﻛﻧﺔ وﻟﻛن ﯾﻣﻛن ﺟﻌل اﻟﺧﺳﺎرة أﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط ﻓﺈذا ﻏﯾرﻧﺎ ﻫدﻓﻧﺎ ﻣن اﺧﺗﯾﺎر اﻟﻣﻘدر اﻟذى ﯾﺟﻌل اﻟﺧﺳﺎرة أﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن إﻟﻰ اﺧﺗﯾﺎر‬

‫اﻟﻣﻘدر اﻟذى ﯾﺟﻌل ﻣﺗوﺳط اﻟﺧﺳﺎرة اﻗل ﻣﺎ وذﻟك ﺑﺈﺳﺗﺧدام داﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة ‪.‬‬

‫)‪ (٢-٩-٤‬داﻟﺔ اﻟﻤﺨﺎﻃﺮة‬

‫داﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة ‪ risk function‬ﻟﻠﻣﻘدر )‪ T  d(X‬ﺗﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪R(d, )  E T L(T, )  E X L d  X  ,  .‬‬

‫)‪(١٠-٤‬‬

‫وﺗﺳﻣﻰ داﻟﻪ اﻟﻣﺧﺎطرة اﻟﻣراﻓﻘﺔ ﻟﻠﺗﻘدﯾر ‪ d‬ﻋﻧد ‪. ‬ﻫذا ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد داﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة ﻟداﻟﺔ ﻓﻲ ‪‬‬

‫اي )‪. u(‬‬ ‫‪:‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﻣﺗﻐﯾر‪ X‬ﻣﺗﺻﻼ ﻓﺈن اﻟﺗوﻗﻊ ﻓﻲ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ )‪ (١٠-٤‬ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻪ ﺑطرﯾﻘﯾﺗن‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻷوﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪R( ,d)  E X  L   X  , ‬‬ ‫‪  L    x  ,   f (x | )dx.‬‬ ‫‪x‬‬

‫اﻣﺎ إذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪R(d, )  E X  L   X  ,    L (x i ),  f (x i | ) .‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‪:‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪R(d, )  E T L(T,)   L(t, )h(t | )dt.‬‬

‫ﺣﯾث ‪ h  t | ‬ﻫو اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﻘدر ‪ T‬ﺑﺷرط ‪ ‬واﻟذى ﯾﻛون ﻣﻘدر ﻛﺎﻓﻲ واﻵن‬

‫ﻫدﻓﻧﺎ ان ﻧﺧﺗﺎر اﻟﻣﻘدر اﻟذى ﯾﻛون ﻟﻪ أﻗل ﻣﺧﺎطرة ﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪  ‬ﺣﯾث ‪ ‬ﻓراغ‬ ‫‪٢٧٩‬‬

‫اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ‪ .‬وﻟﻛن ﻟﻸﺳف ﻻﯾوﺟد ﻋﺎدة ﻣﻘدر ﺑﺣﯾث ﺗﻛون داﻟﺔ ﻣﺧﺎطرﺗﻪ أﻗل ﻣﺎﯾﻣﻛن ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم‬ ‫‪‬‬

‫واﻟﻣﺷﻛﻠﺔ ﻫو اﻋﺗﻣﺎد داﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة ﻋﻠﻰ ‪ ‬اﻟﻣﺟﻬوﻟﺔ‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻫﻧﺎك ﻣﺛﻼ ﺗﻘدﯾرﯾن‬

‫‪ d1,d 2‬ﻓﻛﻠﻬﻣﺎ ﻟﯾس أﻓﺿل ﻣن اﻵﺧر ﻷن دوال اﻟﻣﺧﺎطرة ﻟﻬﻣﺎ ﺗﺗﻘﺎطﻊ وﺗﻛون إﺣداﻫﻣﺎ أﻓﺿل‬

‫ﻟﺑﻌض ﻗﯾم ‪ ‬واﻵﺧر أﻓﺿل ﻟﺑﻌض ﻗﯾم ‪ ‬اﻷﺧرى‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٥٨-٤‬‬ ‫ﻟﯾﻛن‬

‫ﺑﻔرض أن ‪ X   X1,X2 ,...,X25 ‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ )‪.      , N(,1‬‬ ‫ﻫو اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ وﻟﯾﻛن‬

‫‪TX‬‬

‫‪2‬‬

‫‪L    x  ,      x   ‬‬

‫‪   t   ,  2 (x)  0 , 1 (x)  t‬ﺣﯾث ‪ t‬ﻫو ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻘدر ‪.T‬‬

‫دوال اﻟﻣﺧﺎطرة اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﺳوف ﺗﻛون‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R  1  x  ,    E T|  T   ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪R   2  x  ,    E  0     2 ,‬‬ ‫ﻣن اﻟواﺿﺢ أﻧﻪ ﻋﻧدﻣﺎ ‪   0‬ﻓﺈن ‪ 2  x ‬ﺳوف ﺗﻛون ﻗرار ﻣﻣﺗﺎز ﺣﯾث ‪R  2  x  ,    0‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﺧﺗﻠف‬

‫ﻋن اﻟﺻﻔر ﺑﻣﻘدار ﻛﺑﯾر ﻓﺈن ‪ 2  x ‬ﺳوف ﯾﻛون ﻗرار ردئ‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻋﻠﻲ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻧدﻣﺎ ‪   2‬ﻓﺈن ‪ R  2  x  ,2   4‬‬ ‫‪25‬‬

‫ﻋﻣوﻣﺎً‬

‫‪،‬‬

‫ﻓﺈن‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ‬

‫‪R   2  x  ,    R  1  x  ,  ‬‬

‫‪. R  2  x  ,    R  1  x  ,  ‬‬

‫‪. R  1  x  ,2  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫أي أن واﺣدﻩ ﻣن ﺗﻠك اﻟدوال ﺗﻛون أﻓﺿل ﻣن اﻷﺧرى ﻟﺑﻌض ﻗﯾم‬

‫ﺗﻛون أﻓﺿل ﻟﻘﯾم أﺧرى ﻣن ‪.‬‬

‫وداﻟﺔ اﻟﻘرار اﻷﺧرى‬

‫‪R  d 2  x  ,   2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪R  d1  x  ,   ‬‬

‫‪٢٨٠‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪‬‬

‫وﻏﯾر‬

‫ذﻟك‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪‬‬

‫اذا اﻋﺗﺑرﻧﺎ ‪ ‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻣﻌرف ﻋﻠﻲ ‪ ‬ﻓﯾﻣﻛن إزاﻟﺔ اﻋﺗﻣﺎد داﻟﺔ‬

‫اﻟﻣﺧﺎطرة )‪ R(d, ‬ﻋﻠﻰ ‪ ‬وذﻟك ﺑﺄﺧذ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟداﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪‬‬

‫ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ‪.Bayes Risk‬‬

‫ﺗﻌرﯾف‪:‬‬

‫إن ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ﻟداﻟﺔ اﻟﻘرار )اﻟﻣﻘدر( )‪ T  (X‬ﺗﻌرف ﻛﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫‪R()  E R(d, )‬‬

‫ﻓﺈذا ﻛﺎﻧت ‪ X,‬ﻣﺗﻐﯾرات ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪R(d)   R((x), )     d‬‬ ‫‪   L((x, )f  x       dx d‬‬ ‫‪   L((x, )f  x,   dx d.‬‬

‫)‪(١١-٤‬‬

‫ﺣﯾث ‪    ‬اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬و ‪ f  x  ‬اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ‪ X‬ﺑﺷرط ‪ ‬و ‪f  x,‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ‪ X‬واﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ٕ ‬واذا ﻛﺎﻧت ‪ X,‬ﻣﺗﻐﯾرات ﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪L  ,   x   f  x      .‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪r(d)  ‬‬ ‫‪‬‬

‫إن ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ﻟﻠﻘرار ‪ d‬ﻫﻲ ﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺧﺎطرة وﻫﻲ داﻟﺔ ﺣﻘﯾﻘﯾﺔ وﻟذﻟك ﻧﺳﺗطﯾﻊ ﻣﻘﺎرﻧﺔ‬

‫اﻟﻘ اررات اﻟﻣﺗﻧﺎﻓﺳﺔ واﺧﺗﯾﺎر اﻟﻘرار اﻟذي ﻟﻪ أﻗل ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز )أي اﻟﺗﻘدﯾر اﻟذى ﻟﻪ أﻗل‬

‫ﻣﺧﺎطرة(‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪:‬‬

‫ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬أو داﻟﺔ ﻓﻰ ‪  u() ‬واﻟﻣﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻘرار اﻟﯾﺑﯾزى ﻫو‬

‫اﻟﺗﻘدﯾر *‪ d‬اﻟذى ﯾﺣﻘق اﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬

‫‪r(d* )  r(d).‬‬

‫ﺣﯾث ‪ d‬أي ﺗﻘدﯾر آﺧر‪ .‬اي أن *‪ d*  ‬ﯾﺣﻘق اﻟﺷرط اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪r(d* )  min r(d).‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪٢٨١‬‬

‫ﺑﻔرض داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ‪ L  ,   x  ‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺑﺣث ﻋن اﻟﺗﻘدﯾر ‪ *  d*  *  x ‬اﻟذى ﯾﻌطﻰ‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐري ﻟﻠﻣﻘدار ﻓﻰ )‪ (١١-٤‬واﻟذى ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﻪ ﺑﺈﺗﺑﺎع اﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ )‪ (١١-٤‬ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪f  x  dx‬‬

‫‪f  x       d‬‬ ‫‪f x‬‬

‫‪r(d)    L    x  ,  ‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪  f  x    L    x  ,      x  d  dx.‬‬

‫ان اﯾﺟﺎد ‪   x ‬اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﻣﻘدار )‪ r(d‬ﺗﻛﺎﻓﺊ إﯾﺟﺎد ‪   x ‬اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﻣﻘدار ﺑﯾن اﻟﻘوﺳﯾن أي اﻟﻣﻘدار‪:‬‬

‫‪ L   x  ,     x  d.‬‬ ‫وﻫذا اﻟﻣﻘدار أﺣﯾﺎﻧﺎ ﯾﺳﻣﻰ اﻟﻣﺧﺎطرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ ‪ posterior risk‬أو اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ‪.‬‬

‫)‪ (٣-٩-٤‬ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺨﻄﺎ وداﻟﺔ ﺧﺴﺎرة اﻟﺨﻄﺎ اﻟﻤﻄﻠﻖ‬

‫ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬اﻋﺗﻣﺎداً ﻋﻠﻰ داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ ﻫو ﻋﺑﺎرة ﻋن ﻣﺗوﺳط‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬أي ﯾﺳﺎوى ‪ E|x  ‬وﺳوف ﻧﺳﺗﻧﺗﺟﻪ ﻣن اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ‪:‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت‬

‫‪2‬‬

‫‪ L    x  ,     d   ‬أى داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺎ ﺗﺣت ﻓرض ان ‪c  1‬‬

‫اﻟﻣﻌرﻓﺔ ﻓﻰ )‪ (٥-٤‬ﻓﺈن ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻫو ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى أي أن‪:‬‬ ‫‪d *  E |x    .‬‬

‫اﻟﺑرﻫﺎن‪:‬‬

‫‪٢٨٢‬‬

‫ﺳوف ﻧﺑرﻫن ﻫذﻩ اﻟﻧظرﯾﺔ ﻋﻧدﻣﺎ ‪ X , ‬ﻣﺗﻐﯾرات ﻣﺗﺻﻠﺔ ﺣﯾث اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬

‫‪ ‬ﻫو‪:‬‬

‫‪f  x |    ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ f  x |      d‬‬

‫‪ x  ‬‬

‫ﻓﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﻪ )‪ r(d‬ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة‪:‬‬ ‫‪f  x       f  x  ddx‬‬

‫‪2‬‬

‫‪f x‬‬

‫‪r()      x   ‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪      x       x  d  f  x  dx.‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪‬‬

‫إن إﯾﺟﺎد ‪   x ‬اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐرى ‪ x‬ﻟﻠﻣﻘدار )‪ r(‬ﺗﻛﺎﻓﺊ إﯾﺟﺎد ‪   x ‬اﻟﺗﻰ‬

‫ﺗﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﻣﻘدار ﺑﯾن اﻟﻘوﺳﯾن أى اﻟﻣﻘدار‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪  d       x  d.‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻹﯾﺟﺎد ‪   x ‬اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﻪ اﻟﺻﻐرى ﻟﻬذا اﻟﻣﻘدار ﻧﻔﺎﺿل ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟـ ‪ d‬وﻧﺳﺎوى ﺑﺎﻟﺻﻔر‬ ‫ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬

‫‪2  d      x  d  0.‬‬

‫وﻫذﻩ ﺗﻌطﻰ ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز اﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫‪d*       x  d‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ E |x   .‬‬

‫وﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺗﻛون ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r(d* )   f (x)   (d*  ) 2    x  d  dx.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻣن اﻟﻣﻬم أن ﻧﻼﺣظ أن ﻫذا اﻟﻣﻘدار ﻫو‪:‬‬ ‫‪r(d* )   Var   x  f (x)dx,‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪٢٨٣‬‬

‫ﺣﯾث‬

‫ﻫو‬

‫‪Var   x ‬‬

‫ﺗﺑﺎﯾن‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ‬

‫ل ‪.‬‬

‫اﻟﺑﻌدى‬

‫وﺑﺎﻟﻣﺛل‬

‫إذا‬

‫ﻛﺎﻧت‬

‫‪ L((x), )  d  g()2‬ﻓﺈن ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻫو‪:‬‬ ‫‪d*  * (x)   u       x  d  E |x  u() .‬‬ ‫‪‬‬

‫اﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ﻋﺎﻣﻪ )‪ L(  x  , ‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺑﺣث ﻋن اﻟﻘرار ‪   x ‬اﻟذى ﯾﻌطﻰ‬ ‫*‬

‫اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐري ﻟﻠﻣﻘدار‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r(d)   f (x)   L((x), )    x  d dx.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻫذا ﯾﻛﺎﻓﺊ إﯾﺟﺎد ‪ d*  x ‬اﻟﺗﻰ ﺗﺟﻌل اﻟﻣﻘدار‪:‬‬

‫‪ L((x), )   x  d.‬‬ ‫‪‬‬

‫اﺻﻐر ﻣﺎ ﯾﻣﻛن ‪ ،‬وﻫذا اﻟﻣﻘدار ﯾﺳﻣﻰ اﺣﯾﺎﻧﺎ ﺑﺎﻟﻣﺧﺎطرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ ‪ posterior risk‬أو‬

‫اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ‪.‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻘدر اﻟذى ﻟﻪ أﻗل ﻣﺧﺎطرة ﺗﺣت داﻟﻪ اﻟﺧﺳﺎرة ‪ (d  )2‬وذﻟك ﺑطرﯾﻘﺔ‬ ‫ﺳﻬﻠﺔ وذﻟك ﻣن ﻣن اﻟﺗوﻗﻊ ﻟداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ﺑﺎﻟﻧﺑﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟـ ‪ ‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪E |x  L(d, )  E |x (d  )2   d 2  2dE |x     E |x 2 .‬‬

‫وﺑﺈﺟراء اﻟﺗﻔﺎﺿل ﻟﻠﻣﺧﺎطرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟـ ‪ d‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪2d  2E |x     0.‬‬

‫وﺑﺎﻟﻣﺳﺎواﻩ ﺑﺎﻟﺻﻔر ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪2d *  2E |x    .‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪d *  E |x    .‬‬

‫ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﺗﺣت ﻓرض داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﻌرﻓﺔ ﻓﻰ )‪ (٥-٤‬ﻫو‪:‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪E X *  E X  E |x      E    .‬‬

‫أى ان ﻣﺗوﺳط ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻫو ﻧﻔﺳﻪ ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ وﯾﺳﻣﻰ ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ‬

‫ﻣﻘدر ﺑﯾﯾزى ﻏﯾر ﻣﺗﺣﯾز‪.‬‬

‫‪٢٨٤‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٥٩-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫وﻛﺎﻧت ‪      1‬وﺗﺣت ﻓرض داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ اﻟﺗﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪ (d  )2‬أوﺟد‬

‫ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز وأﺣﺳب ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز‪.‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬

‫‪f  x     x (1  )1x , x  0 , 0    1,‬‬ ‫‪    1‬‬

‫‪, 0    1.‬‬

‫داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن ﺳوف ﺗﻛون‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪f  x     f  x i    x (1  ) n x .‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫وﺑدﻻ ﻣن اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ x‬ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻹﺣﺻﺎء اﻟﻛﺎﻓﻲ ‪ t  x i‬وﻋﻠﻲ ذﻟك ‪ t‬ﯾﺗﺑﻊ‬

‫ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﺑﻣﻌﺎﻟم‬

‫وﻋﻠﻲ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪ n ,‬أي أن ‪:‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪h  t      t (1  )n  t , t  0,1,..., n.‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪f (t)   h(t )    d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‪, t  0,1,2,...,n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪n(2n  1‬‬ ‫‪E(t) ‬‬ ‫‪, E(t 2 ) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻛﻣﺎ أن ‪:‬‬

‫‪   t      h  t  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t (1  ) n t ,0<<1,‬‬ ‫)‪(t  1,n  t  1‬‬ ‫‪t 1‬‬ ‫‪E |t   t  ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫)‪(t  1)(n  t  1‬‬ ‫‪Var   t  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(n  3)(n  2)2‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﯾﻛون‪:‬‬ ‫‪٢٨٥‬‬

d*  *  E |x () 

t 1 . n2

: ‫وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ﻟﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﺑطرﯾﻘﺗﯾن‬ :‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻷوﻟﻲ‬





R(d* )   R d* ,      d 

 L(d , )f (x )dx    d. *

2

1 n

 t 1      f  t   d  0 t 0  n  2



2  t 1     E T|       d n  2   0  1

 2 Var(t  )  (1  2  )  d 2  n  2   0  1 1  n(1  )  (1  2) 2 d 2   n  2 0 

1

1







1 .

6(n  2)

:‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬

٢٨٦

  r(d* )   f (x)   L d* ,     x  d dx X  





n     f (t)   (  d* ) 2    x  d t 0 |x  n





  Var   t  f (t) t 0 n

(t  1)(n  t  1) f (t) 2 t 0  n  3 (n  2)

 

n

1

{n  1  (nt  t 2 )}f (t).

2 

(n  3)  n  2  t 0 1  (n  1)  nE(t)  E(t 2 ) 2  (n  3)(n  2)





1 n2 n(2n  1)   n 1  2   2 6 (n  3)(n  2)  1  .

6(n  2) 

(٦٠-٤) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ وﻛﺎﻧت‬N(,1) ‫ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن‬X   X1,X2 ,...,Xn  ‫إذا ﻛﺎﻧت‬

.‫ أوﺟد ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز وأﺣﺳب ﻣﺧﺎطرﺗﻪ‬L(d, )  (d  ) 2 ‫ وأن‬ ~ N(a,1) :‫اﻟﺤــﻞ‬ : ‫ﺑﻣﺎ أن‬ X ~ N(,1),  ~ N(a,1) : ‫ﺣﯾث‬

(٦-٤) ‫وﯾﻌﺗﺑر ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن ﻣﺛﺎل‬

   x  ~ N  1, 1  ,

٢٨٧

‫‪1‬‬

‫‪ 1 n ‬‬ ‫‪ 0  (  )   1 ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(0 / 0 )  (x / )  1 / 1‬‬ ‫وﺑوﺿﻊ ‪0  a, 0  1,   1‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫اى ان‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 a x   nx  a ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 n ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪, 1     ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪  1 ‬‬ ‫‪n  1 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ nx  a 1 ‬‬ ‫‪ x  N‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ n 1 n 1‬‬

‫وﺣﯾث أن داﻟﻪ اﻟﺧﺳﺎرة ﻫﻰ ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ ﻓﺈن ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻫو‪:‬‬ ‫‪nx  a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n 1‬‬

‫‪d*  E |x    ‬‬

‫وﻣن اﻟواﺿﺢ أن ﻣﺧﺎطرﻩ ﻫذا اﻟﻣﻘدر ﻫﻲ‪:‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪r d *   f (x)Var   x  dx.‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫وﺣﯾث أن‬ ‫‪n 1‬‬

‫‪ Var   | x  ‬ﻻﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ‪ x‬ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪Xi‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ X ‬ﺑدﻻ ﻣن ‪ X‬ﺣﯾث ‪X  ~ N  , ‬‬ ‫وﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ اﻹﺣﺻﺎء اﻟﻛﺎﻓﻰ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪r d* ‬‬

‫وﻫذا ﻣﺎ ﻧﻔﻌﻠﻪ ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل )‪ (٥٢-٤‬وﻫو اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪X |  ~ N(, ),‬‬ ‫) ‪ ~ N(0 , 0‬‬

‫ﯾﻼﺣظ أن ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز *‪ d‬ﻫو ﻛذﻟك ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ‪ d  ‬ﻻن وﺳﯾط‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﯾﺳﺎوى ﻗﯾﻣﺗﻪ اﻟﻣﺗوﻗﻌﻪ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٦١-٤‬‬ ‫‪٢٨٨‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرﻩ‬

‫)‪ (0, ‬وﻛﺎﻧت ‪ ‬ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة )‪ (0 , 1‬وداﻟﻪ اﻟﺧﺳﺎرة ﻫﻰ‪:‬‬ ‫‪L(,d)  (d  ) 2 / 2 .‬‬

‫اوﺟد ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز‪.‬‬ ‫اﻟﺤــﻞ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪0    0,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪0   1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪0  max(x i )  .‬‬

‫‪,‬‬

‫اﻹﺣﺻﺎء اﻟﻛﺎﻓﺊ )‪ U  max(X‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪0  u  .‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬

‫‪f  x  ‬‬ ‫‪    1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪f  x  ‬‬

‫‪nu n 1‬‬ ‫‪h(u )  n‬‬ ‫‪‬‬

‫‪(n  1)u n 1 1‬‬ ‫‪ u  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪, u    1.‬‬ ‫‪1  u n 1 n‬‬

‫واﻵن ﺗﺑﺣث ﻋن ‪ ‬اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ أﻗل ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻠﻣﻘدار‬

‫‪(d  ) 2‬‬ ‫‪r(d)  ‬‬ ‫‪   u  d.‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻧﻔﺎﺿل ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟـ ‪ d‬وﻧﺳﺎوى ﺑﺎﻟﺻﻔر ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫*‬ ‫‪u‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ 2    u  d  n  2‬‬ ‫‪u‬‬

‫‪n 1‬‬ ‫‪1  un‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.u .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1  u n 1‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٦٢-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ X   X1,X2 ,...,Xn ‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن )‪ N(, ‬وﻛﺎﻧت‬

‫) ‪  ~ N(0 , 0‬وأن ‪ L(d, )  (d  ) 2‬أوﺟد ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز وأﺣﺳب ﻣﺧﺎطرﺗﻪ‪.‬‬ ‫‪٢٨٩‬‬

:‫اﻟﺤــﻞ‬

: ‫( ﺑﻣﺎ أن‬٥٠-٤) ‫ﯾﻌﺗﺑر ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺗﻌﻣﯾم ﻟﻠﻣﺛﺎل‬ X |  ~ N(, ),  ~ N(0 , 0 ).

X  ‫ وﻻﯾﺟﺎد‬X  ~ N  ,  . ‫ ﺣﯾث‬X ‫ ﺑدﻻ ﻣن‬X  i ‫ﺳوف ﻧﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ اﻹﺣﺻﺎء اﻟﻛﺎﻓﻰ‬ 

n

n

: ‫ ﻧﺗﺑﻊ ﻣﺎ ﯾﻠﻰ‬   x  ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى‬    x  f  x       e

2 2 1  n x    0   -    2   0 



e -

e



e

1  2 n0 (x ) 2  0    2 0 

2 n0   2 2  (n0 x 0)  n0 x 0        2 0  (n0 )  n0    

n0   n0 x 0    2 0  n0  

2

.

:‫ ﺣﯾث‬N(1, 1 ) ‫ ﻣﺎﻫو اﻻ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ‬ ‫ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ‬g( x) ‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن‬ 1 

n0 x  0 0 , 1  . n0   n0  

: ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻫو‬ d* 

n0 x  0 . n0   ٢٩٠

: ‫ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ﻟﻬذا اﻟﻣﻘدار ﻫﻰ‬  *

r( )  E |x () 



 [  (d

*

 ) 2 f (x | )dx]()d

  





 [  (d

*

 )2 ( | x)d]f (x)dx

  



 Var( | x)f (x)dx  



 0 f (x)dx n     0



0   0  f (x)dx  .  n0    n0  

‫واﺧﯾ ار ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﺗﺣت ﻓرض داﻟﻪ ﺧﺳﺎرة اﻟﺧطﺄ اﻟﻣطﻠق ﻫو اﻟوﺳﯾط وﻫذا ﻣﺎ ﺳوف ﻧﺑرﻫﻧﻪ‬

: ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ‬



E  L(d, )  

d   ( x)d

 

d

  d    ( x)d



 

     d  ( x)d. d

: ‫ ﻫﻰ‬d ‫وﺑﺈﺟراء ﺗﻔﺎﺿل اﻟﻣﺧﺎطرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟـ‬ E  L(d, )  d 

  ( x)d. d



E |x  L( ,d)  d

 F  d   1  F  d   . ٢٩١

d



 ( x)d 

‫وﺑﻣﺳﺎواة اﻟﻧﺎﺗﺞ اﻟﺳﺎﺑق ﺑﺎﻟﺻﻔر ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪F d*  1  F  d *   0.‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ Fd  ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2F d*  1‬‬ ‫*‬

‫أى أن ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻫو اﻟوﺳﯾط‪.‬‬

‫)‪ (٤-٩-٤‬ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ اﻟﺨﺴﺎرة اﻻﺳﻴﺔ‬

‫ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻟداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة اﻷﺳﯾﺔ اﻟﻣﻌرﻓﺔ ﻓﻰ )‪ (٦-٤‬ﻫو اﻟﻘﯾﻣﺔ *‪ d‬اﻟﺗﻰ ﺗﺟﻌل اﻟﻘﯾﻣﺔ‬

‫اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة أﻗل ﻣﺎﯾﻣﻛن )اﻟﺗوﻗﻊ ﯾﻛون ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى وﯾﺳﻣﯨﺎﻟﻣﺧﺎطرة‬

‫اﻟﺑﻌدﯾﺔ( وﯾﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﺑﺎﺗﺑﺎع اﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪ :‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة‬

‫ﻫﻰ ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪E  x  L(d, )   E  x ec(d )  E  x  c(d  )   1.‬‬

‫وﻟﺟﻌل اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ أﻗل ﻣﺎﯾﻣﻛن ‪ ،‬ﻧﻔﺎﺿل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ل ‪ d‬وﻧﺳﺎوﯾﻬﺎ‬

‫ﺑﺎﻟﺻﻔر ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ *‪ d‬ﻛﻣﺎﯾﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪٢٩٢‬‬

‫‪E  (L(d, ) ‬‬ ‫‪ E  x c e cd   c‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪c0‬‬

‫‪c  d *  ‬‬

‫‪c‬‬

‫‪‬‬

‫‪ E x c e‬‬

‫‪c d *  ‬‬

‫‪ 1‬‬

‫‪c d *  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪cE  x e‬‬

‫‪‬‬

‫‪E x e‬‬

‫*‬

‫‪‬‬

‫‪E |x e cd e  c  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫*‬

‫‪ecd E |x e  c  1.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫*‬

‫‪e  cd  E |x e  c‬‬

‫‪‬‬

‫‪cd *  ln  E |x e  c  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈن ﻣﻘدر *‪ d‬ﺑﺎﺳﺗﺧدام داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺧطﯾﺔ اﻷﺳﯾﺔ ﯾﻛون‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d*   ln  E|x (e c ) ‬‬ ‫‪c‬‬

‫)‪ (٥-٩-٤‬ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ اﻟﺨﺴﺎرة اﻻﻧﺘﺮوﺑﻴﺎ اﻟﻤﻌﻤﻤﺔ‬

‫ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز *‪ d‬ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬واﻟذى ﯾﺟﻌل اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة اﻻﻧﺗروﺑﯾﺎ اﻟﻣﻌﻣﻣﺔ‬

‫)‪ (٨-٤‬أﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﻪ ﺑﺄﺧذ اﻟﺗوﻗﻊ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﺛم ﻧﻔﺎﺿل اﻟﻧﺎﺗﺞ‬ ‫ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ل ‪ d‬وﻧﺳﺎوﯾﺔ ﺑﺎﻟﺻﻔر ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ *‪ d‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪d ‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E  x    E  x  q ln ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪(d q )E  x  ( ) q   q ln d  E  x   ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ q(d ) E  x    *  0‬‬ ‫‪ d‬‬ ‫‪1  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (d* ) q1  E  x ( )q   * .‬‬ ‫‪  d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪* q 1‬‬

‫وﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈن ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز *‪ d‬ﻟـ‬

‫ﺑﺈﺳﺗﺧدام داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة اﻹﻧﺗروﺑﯾﺎ اﻟﻣﻌﻣﻣﺔ ﻫو‪:‬‬ ‫‪٢٩٣‬‬

‫‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪q   q‬‬

‫*‬

‫)‪d   E  x (‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻛﺣﺎﻟﻪ ﺧﺎﺻﺔ ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ‪ q = -1‬ﻓﺈن داﻟﻪ ﺧﺳﺎرة اﻻﻧﺗروﺑﯾﺎ ﺗؤول اﻟﻰ داﻟﻪ ﺧﺳﺎرة ﻣرﺑﻊ‬ ‫اﻟﺧطﺄ‪.‬‬

‫)‪ (٦-٩-٤‬ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض ‪Logg-odds Squared-Error Loss‬‬ ‫ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﺗﺣت ﻓرض داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة‬ ‫‪ (٩-٤) Function‬ھﻮ‪:‬‬

‫‪Log-odds Squared - Error Loss‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1  e‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪  E |x ln ‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪  1   ‬‬ ‫‪d*  1 ‬‬

‫)‪ (١٠-٤‬ﻃﺮق ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻼت اﻟﺒﻴﻴﺰﻳﺔ‬ ‫‪Approximate Evaluation of Bayesian Integrals‬‬ ‫ﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣﺔ ﻓﻰ ﻃﺮق ﺑﻴﻴﺰ ﻛﺜﻴﺮا ﻣﺎ ﻳﺘﻌﺮض اﻟﺒﺎﺣﺚ إﻟﻰ ﺣﺴﺎب اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﺘﻮﻗﻌﺔ اﻟﺒﻌﺪﻳﺔ ﻟﻤﻌﺎﻟﻢ اﻟﺘﻮزﻳﻊ او داﻟﺔ‬

‫ﻓﻰ ﻫﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ واﻟﺘﻰ ﻏﺎﻟﺒﺎ ﻣﺎ ﺗﻜﻮن ﻧﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﺗﻜﺎﻣﻠﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪ u()g()f (x | )d ‬‬

‫‪E[u( ) | x]  ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ g()f (x | )d‬‬

‫‪‬‬

‫)‪(١٢-٤‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪٢٩٤‬‬

‫‪n‬‬

‫‪L(x| )= f (x j | )  f (x | ) .‬‬ ‫‪j1‬‬

‫داﻟﺔ اﻻﻣﻜﺎن و ) ‪   (, ,..., k‬ﻣﻌﺎﻟﻢ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻰ ﻟﻠﻈﺎﻫﺮة ﻣﻮﺿﻊ اﻟﺪراﺳـﺔ و )‪ g(‬اﻟﺘﻮزﻳـﻊ‬

‫اﻟﻘﺒﻠـﻰ ﻟﻤﻌـﺎﻟﻢ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ وﻓـﻰ ﻛﺜﻴـﺮ ﻣــﻦ اﻻﺣﻴـﺎن ﻳﻜـﻮن ﻣـﻦ اﻟﺼـﻌﺐ اﻟﺤﺼــﻮل ﻋﻠـﻰ ﺷـﻜﻞ ﻣﺤـﺪد ﻟﻨﺘﻴﺠـﺔ ﻫــﺬﻩ‬ ‫اﻟﺘﻜـﺎﻣﻼت ﺧﺎﺻــﺔ وإذا ﻛــﺎن اﻟﺘــﻮز ﻳــﻊ ﺗﺤـﺖ اﻟﺪراﺳــﺔ ﻳﻌﺘﻤــﺪ ﻋﻠــﻰ اﻛﺜــﺮ ﻣـﻦ ﻣﻌﻠﻤــﺔ وﻛﺎﻧــﺖ اﻟﺘﻮزﻳﻌــﺎت اﻟﻘﺒﻠﻴــﺔ‬

‫ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ ﻣﺘﺼﻠﺔ ‪.‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (١٢-٤‬ﻳﻤﻜﻦ وﺿﻌﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪d‬‬

‫) ‪L( )  Q( ‬‬

‫‪ u() e‬‬

‫‪uˆ B  E[u( ) | x]  ‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪d‬‬

‫) ‪L( )  Q( ‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫)‪(١٣-٤‬‬ ‫ﺣﯿﺚ )‪ L( ‬ھﻮ ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن )‪ L(x | ‬و )‪Q( )  ln g( ‬‬ ‫أي ﻟﻮﻏ ﺎرﯾﺘﻢ اﻟﺪاﻟ ﺔ اﻟﻘﺒﻠﯿ ﺔ و )‪ u( ‬داﻟ ﺔ اﺧﺘﯿﺎرﯾ ﺔ ﻓ ﻲ ‪ . ‬ﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺒﯿﻞ اﻟﻤﺜ ﺎل ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ‪ ‬ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﺒﻌﺪ اﻷول ﻓﺈن ‪ u()  ‬ھﻮ ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﺒﻌﺪي ) اﻟﻤﻘﺪر اﻟﺒﯿﺰي ﻟـ ‪ ‬ﺗﺤﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ‬ ‫ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺨﻄﺄ وﻗﺪ ﺗﻜﻮن ‪ u()  k‬و اﻟﺘﻲ ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻌﺰوم ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ ‪ k‬ﻟﻠﺘﻮزﯾ ﻊ اﻟﺒﻌ ﺪي‬ ‫( ‪ .‬اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﺗﻜﻮن ) ‪ .   (1 ,  2 ,..., m‬ﺑﺤﺴﺎب اﻟﻤﻘﺎم ﻓ ﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﺔ )‪ (١٣-٤‬ﻧﺤﺼ ﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﺒﻌﺪﯾﺔ ‪ .‬ﻓﻲ اﻟﺠﺰء اﻟﺘﺎﻟﻲ ﺳﻮف ﻧﻘﺪم ﻋﺪة طﺮق ﺗﻘﺮﯾﺒﯿﺔ ﻟﺤﺴﺎب )‪-٤‬‬ ‫‪.(١٣‬‬

‫)‪ (١-١٠-٤‬ﺗﻘﺮﻳﺐ ﻟﻨﺪﻟﻰ‬ ‫‪Lindley Approximation‬‬

‫‪٢٩٥‬‬

‫ھﺬا اﻟﺘﻘﺮﯾﺐ ﻗﺪم ﻣﻦ ﻗﺒﻞ )‪ Lindley (1980‬و ﯾﻌﺘﺒﺮ ﻣﻔﯿﺪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن ﻋﺪد اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ‬ ‫‪1‬‬ ‫أﻗﻞ ﻣﻦ ‪ ، 5‬و اﻟﺨﻄﺄ ﻓﻲ ھﺬا اﻟﺘﻘﺮﯾﺐ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ‬ ‫‪n‬‬

‫ﺣﯿﺚ ‪ n‬ھﻮ ﺣﺠﻢ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ‪.‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ n‬ﻛﺒﯿﺮة ﺑﺪرﺟﺔ ﻛﺎﻓﯿﺔ ﻓﺈن اﻟﺼﯿﻐﺔ ﻓﻲ)‪ (١٣-٤‬ﺗﺮﺗﻜ ﺰ ﺣ ﻮل ﻣﻘ ﺪر اﻹﻣﻜ ﺎن اﻟﻮﺣﯿ ﺪ‬ ‫ˆ‪ . ‬و ﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﺼﯿﻐﺔ )‪ (١٣-٤‬ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻨﮭﺎ ﺑﺼﻮرة ﺗﻘﺮﯾﺒﯿﺔ ﻛﺎﻷﺗﻲ ‪:‬‬

‫‪ML‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ 2u iQ j  ij   L ijk u  ij k  ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪  ‬‬

‫‪ij‬‬

‫‪u‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E u    x    uˆ      ‬‬ ‫‪2 i j‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪(١٤-٤‬‬ ‫ﺣﻴﺚ‪:‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪،   (1 , 2 ,..., m ) , i,j,k,=1,2,...,m‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪ln g     Q    , Q i ‬‬

‫و )‪ g( ‬ﻫﻮ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬و )‪ L( ‬ﺗﻤﺜﻞ ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ‪ .‬و ‪ ij‬ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻌﻨﺼﺮ ذو‬ ‫اﻟﺼﻒ ‪ i‬و اﻟﻌﻤﻮد ‪ j‬ﻓﻲ ﻣﻌﻜﻮس اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﺘﻰ ﻋﻨﺎﺻﺮﻫﺎ }‪ {Lij‬ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫‪u‬‬ ‫‪ 2u‬‬ ‫‪ 2u‬‬ ‫‪ 2L‬‬ ‫‪ 3L‬‬ ‫‪ui ‬‬ ‫‪,u ij ‬‬ ‫‪,u ii ‬‬ ‫‪Lij ‬‬ ‫‪, Lijk ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i  j‬‬ ‫‪ j‬‬ ‫‪i  j‬‬ ‫‪i  jk‬‬

‫ﻛﻞ ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻄﺮف اﻷﻳﻤﻦ ﻓﻲ )‪ (١٤-٤‬ﺗﺤﺴﺐ ﻋﻨﺪ ﻗﻴﻢ ﻣﻘﺪرات اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﺒﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎﻟﻢ ‪ i‬ﺣﻴﺚ‬ ‫‪ . i  1,2,...,m‬أي أن )‪ (١٤-٤‬ﻫﻲ اﻟﺘﻮﻗﻊ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ u   ‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻟـ ‪. ‬‬

‫ﻏﺎﻟﺒــﺎً ﻣــﺎ ﻳﺴــﺘﺨﺪم ﻫــﺬا اﻟﺘﻘﺮﻳــﺐ ﻋﻨــﺪﻣﺎ ) ‪   (1 , 2‬وﻓــﻲ ﻫــﺬﻩ اﻟﺤﺎﻟــﺔ ﻓــﺈن ﺗﻘﺮﻳــﺐ ﻟﻨــﺪﻟﻲ ﻳﺄﺧــﺬ اﻟﺼــﻴﻐﺔ‬ ‫اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪٢٩٦‬‬

1  uˆ  [(u11  2u1Q1 )11  (u12  2u1Q 2 )12  (u 21  2u 2 Q1 ) 21  (u 22  2u 2 Q 2 )22 ] 2 1  [L111 u111 11  L111 u 2 1112  L112 u1 1121  L112 u 2 11 22  L121 u112 11  L121 u 2 12 12  2 L122 u112 21  L122 u 2 12 22  L 211u121 11  L211 u 2 2112  L 212 u121 21  L212 u 2 2122  L221 u1 22 11  L 211u1 2111  L 211u 2 21 12  L212 u1 2121  L 212 u 2 21 22  L 221 u1  22 11 

L 221u 2 22 12  L222 u122 21  L 222 u 2 22 22 ] .

1  uˆ  [2Q1 (u111  u 2 21 )  2Q 2 (u112  u 2 22 )  u1111  2u 2112  u 22 22 ] 2 1  [L111 (u1112  u 2 1112 )  L112 (u11121  u 21122  u112 11  u 212 2  u12111  u 2 12 2 ) 2  L122 (u112 2  u 2 12 22  u12121  u 2 21 22  u122 11  u 2 2212 )  L 222 (u122 21  u 2 22 2 )].

: ‫وﯾﻤﻜﻦ اﺧﺘﺼﺎره إﻟﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ 1  uˆ  Q1 (u111  u 2 21 )  Q 2 (u112  u 2 22 )  [u1111  2u 2112  u 22 22 ] 2 1  [L111 (u1112  u 2 1112 )  L112 (u 2 (1122  212 2 )  3u12111 ).

2  L122 (u1 (22 11  2212 )  3u 2 12 22 )  L 222 (u12221  u 2 22 2 )].

: ‫ ﻓﺈن اﻟﺼﻴﻐﺔ ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‬E(L12 )  E(L21 )  0 ‫و ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن‬ 1  uˆ  Q1u1 11  Q 2 u 2 22  [u1111  u 22 22 ] 2 1  [L111 u1112  L112 u 2 1122  L122 u122 11  L 222 u 2 22 2 ].

2

: ‫ وﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻓﺈن ﺗﻘﺮﯾﺐ ﻟﻨﺪﻟﻲ ﯾﺄﺧﺬ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‬  1 ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ 1 2

1 2

 uˆ  u1Q111  u1111  L111u1112 .

‫ﺗﻘﺮﻳــﺐ ﻟﻨــﺪﻟﻲ اﺳــﺘﺨﺪﻣﻪ ﻛﺜﻴــﺮ ﻣــﻦ اﻟﺒــﺎﺣﺜﻴﻦ ﻟﻜﻮﻧــﻪ ﻣــﻦ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒــﺎت اﻟﻌﺪدﻳــﺔ اﻟﺠﻴــﺪة ﻟﻤﺜــﻞ ﻫــﺬﻩ اﻟﻨﻮﻋﻴــﺔ ﻣــﻦ‬ ‫ و ﻫﻨ ـ ـ ـ ــﺎك ﻛﺜﻴ ـ ـ ـ ــﺮ ﻣ ـ ـ ـ ــﻦ اﻷﺑﺤ ـ ـ ـ ــﺎث اﻟﺘ ـ ـ ـ ــﻲ اﺳ ـ ـ ـ ــﺘﺨﺪﻣﺖ ﻫ ـ ـ ـ ــﺬا اﻟﺘﻘﺮﻳ ـ ـ ـ ــﺐ ﻧ ـ ـ ـ ــﺬﻛﺮ ﻣ ـ ـ ـ ــﻨﻬﻢ‬، ‫اﻟﺘﻜ ـ ـ ـ ــﺎﻣﻼت‬ Sinha (1985), Howlader &Weiss (1988), Soliman(2001).

‫( ﺗﻘﺮﻳﺐ ﺗﻴﺮﻧﻰ وﻛﺎدﻳﻦ‬٢-١٠-٤) The Tierney-Kadane Approximate ٢٩٧

‫ﻫذا اﻟﺗﻘرﯾب ﻗدم ﻣن ﻗﺑل )‪ Tierney-Kadane (1986‬وﻗد ﺻرح ‪Al-Houssaini‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ and Joheen (1994‬اﻧﻪ أدق ﻣن ﺗﻘرﯾب ﻟﻧدﻟﻲ واﻟﺧطﺄ ﻓﻰ ﻫذا اﻟﺗﻘرﯾب ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ‬ ‫‪n2‬‬

‫ﺣﯾث ‪ n‬ﻫو ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ إﻻ أن اﺳﺗﺧداﻣﻪ ﯾﺗطﻠب إﺛﺑﺎت ان ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي‬ ‫وﺣﯾد اﻟﻣﻧوال وﻫذا اﻟﺷرط ﯾﺻﻌب ﺗﺣﻘﯾﻘﻪ ﻓﻲ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻣﺳﺎﺋل‪.‬‬

‫ﻧظرﯾـﺔ‪:‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ‪ n‬ﻛﺑﯾرة ﺑدرﺟﺔ ﻛﺎﻓﯾﺔ ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠداﻟﺔ )‪) u(‬ﯾﻌطﻰ‬

‫ﺑﯾﺎﻧﺎت( ﺗﺗرﻛز ﻋﻠﻲ ﻧﺻف ﺧط اﻷﻋداد اﻟﻣوﺟب )أو اﻟﺳﺎﻟب( ﺣﯿﺚ )‪ L( ‬ھﻮ ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ داﻟﺔ‬ ‫اﻹﻣﻜﺎن و )‪ ( ‬ھﻮ ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ )‪ g( ‬ﻓﺈن ‪ L        ‬ﺗﺗرﻛز ﺣول ﻗﯾﻣﺔ‬

‫ﻋظﻣﻰ وﺣﯾدة ﻓﺈن اﻟﺗﻛﺎﻣل اﻟﻣﻌرف ﻓﻲ )‪ (١٣-٤‬ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻪ ﺑﺎﻟﺻورة اﻵﺗﯾﺔ‪:‬‬

‫‪d‬‬

‫* ‪n‬‬

‫‪e‬‬

‫‪uˆ B  E[u( ) | x]  ‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪n‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫)‪(١٥-٤‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ L          , *   ln u     L         ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ )‪ (١٥-٤‬ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ det *  2 n        ‬‬ ‫‪ E  u      ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪ det  ‬‬ ‫*‬

‫*‬

‫)‪(١٦-٤‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪٢٩٨‬‬

‫‪u BT‬‬

‫‪‬‬

‫* ‪ ‬ﻫﻲ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌظﻣﻰ ﻟـ *‪  * , ‬ﻫﻲ ﻣﻧوال اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي واﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌظﻣﻰ ﻟـ ‪ ‬و‬

‫‪ * , ‬ﻫﻣﺎ ﻣﻌﻛوس ﺳﺎﻟب اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت ﻟﻠﺗﻔﺎﺿل اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻟﻛل ﻣن ‪ * , ‬ﻋﻧد ‪  * , ‬ﻋﻠﻰ‬

‫اﻟﺗواﻟﻰ‪ .‬و ‪ det * ,det ‬ﳘﺎ اﶈﺪدان ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺘﺎن ‪ . * , ‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ‪ u BT‬ﰱ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻫﻰ ﺗﻘﺮﻳﺐ‬

‫ﺗﲑﱏ وﻛﺎدﻳﻦ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ . u‬ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ وﺟود ﻣﻌﻠﻣﺔ واﺣدة ﻧﻬﺗم ﺑﻬﺎ ﻓﺈن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ )‪ (١٦-٤‬ﯾﻣﻛن‬ ‫ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪* n      ‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‬

‫*‬

‫‪uˆ BT‬‬

‫)‪(١٧-٤‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫* ‪ ‬ﻫﻲ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌظﻣﻰ ﻟـ ‪ *   ‬و ‪ ‬ﻫو ﻣﻧوال اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي واﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌظﻣﻰ ﻟـ ‪   ‬‬

‫و‪:‬‬

‫‪  2 ‬‬ ‫‪  2* ‬‬ ‫‪*2‬‬ ‫‪   2  ,    2 ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪2‬‬

‫*‬

‫)‪ (١١-٤‬اﻟﺘﻨﺒﺎ اﻻﺣﺼﺎﺋﻰ اﻟﺒﻴﻴﺰى‬ ‫اﻟﺘﻨﺒﺆات اﻻﺣﺼﺎﺋﯿﺔ ﻟﮭﺎ اﺳﺘﺨﺪاﻣﺎت ﻛﺜﯿﺮة ﻓﻰ اﻟﺤﯿﺎة اﻟﻌﻤﻠﯿﺔ ‪،‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺒﯿﻞ اﻟﻤﺜﺎل ‪ ،‬ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻄﺐ ﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪام ﻓﻜﺮة اﻟﺘﻨﺒﺆ ﻓﻰ اﻟﺘﻜﮭﻦ ﺑﺎﻻﺗﺠﺎه اﻟﺬى ﯾﺎﺧﺬه ﻣﺮض ﻣﻌﯿﻦ ﻣﺴﺘﻘﺒﻼ ‪،‬‬ ‫وﻛﺬﻟﻚ ﻓﻰ ﺗﺠﺎرب اﻟﻤﻀﺎدات اﻟﺤﯿﻮﯾﺔ اﻟﻤﺴﺘﺤﺪﺛﺔ واﯾﻀﺎ ﻓﻰ اﻟﺘﺸﺨﯿﺺ اﻟﺴﻠﯿﻢ ﻗﺒﻞ اﺟﺮاء‬ ‫اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت اﻟﺠﺮاﺣﯿﺔ وﻣﺎ ﺷﺎﺑﮫ ذﻟﻚ وﻓﻰ ﻣﺠﺎل اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﺗﻤﻜﻨﺎ ﻓﺘﺮات اﻟﺘﻨﺒﺆ ﻓﻰ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻣﺪى‬ ‫اﻟﻜﻔﺎءة اﻟﻤﺴﺘﻘﺒﻠﯿﺔ ﻟﻠﻤﻨﺘﺠﺎت وﻗﻄﻊ اﻟﻐﯿﺎر وﻛﺬﻟﻚ ﻓﻰ ﺣﻞ ﻛﺜﯿﺮ ﻣﻦ ﻣﺸﺎﻛﻞ اﻟﺘﺤﻜﻢ ﻓﻰ ﺟﻮدة‬ ‫اﻻﻧﺘﺎج ‪ .‬اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻻﺣﺼﺎﺋﻰ ﻣﻦ اﻟﻤﻮاﺿﯿﻊ اﻻﺳﺎﺳﯿﺔ ﻓﻰ اﻻﺳﺘﺪﻻل اﻻﺣﺼﺎﺋﻰ ‪.‬ﻓﻔﻰ ﻛﺜﯿﺮ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻻﺣﺼﺎﺋﯿﺔ ﻓﻰ ﺣﯿﺎﺗﻨﺎ اﻟﻌﻤﻠﯿﺔ ﻧﺮﯾﺪ اﻻﺳﺘﻔﺎدة ﻣﻦ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﺴﺘﺨﻠﺼﺔ ﻣﻦ ﻋﯿﻨﺔ او‬ ‫ﺗﺠﺮﺑﺔ ﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠﺘﻨﺒﺆ ﺑﻨﺘﺎﺋﺞ ﺗﺨﺺ ﻋﯿﻨﺔ او ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻣﺴﺘﻘﺒﻠﯿﺔ ‪ ،‬اﻟﻌﯿﻨﺘﺎن او اﻟﺘﺠﺮﺑﺘﺎن ﯾﺤﻜﻤﮭﻤﺎ‬ ‫ﻗﺎﻧﻮن اﺣﺘﻤﺎﻟﻰ ﻣﻌﯿﻦ ‪ ،‬اﺣﺪى ھﺬه اﻟﻄﺮق اﻟﺘﻰ ﺗﻤﻜﻨﻨﺎ ﻣﻦ ذﻟﻚ ھﻰ ﻣﺤﺎوﻟﺔ ﺗﻜﻮﯾﻦ ﻓﺘﺮة –‬ ‫ﺑﻤﺴﺘﻮى اﺣﺘﻤﺎﻟﻰ ﻣﻌﯿﻦ – ﺗﺤﻮى ھﺬه اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﺴﺘﻘﺒﻠﯿﺔ وھﻰ اﻟﺘﻰ ﺗﺴﻤﻰ ﺑﻔﺘﺮات اﻟﺘﻨﺒﺆ‬ ‫‪. prediction interval‬ﻓﺘﺮات اﻟﺘﻨﺒﺆ ھﺬه ﺗﺎﺧﺬ اﺷﻜﺎﻻ ﻋﺪﯾﺪة ﺗﺘﺤﺪد ﺗﺒﻌﺎ ﻟﻨﻮﻋﯿﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮب‬ ‫‪٢٩٩‬‬

‫اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﮫ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﺒﻠﯿﺔ وﻣﻦ اھﻢ اﻟﻄﺮق اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮات اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻟﻄﺮق‬ ‫اﻟﻜﻼﺳﻜﯿﺔ او ﻏﯿﺮ ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ‪.‬‬

‫)‪ (١-١١-٤‬ﺗﻨﺒﺆ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻟﻮاﺣﺪة‬ ‫ﺑﻔﺮض ان ‪ y1, y2 ,, yr‬ھﻰ ال ‪ r‬اﻻوﻟﻰ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎھﺪات اﻟﻤﺮﺗﺒﺔ ﻣﻦ ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺣﺠﻤﮭﺎ‬

‫‪ n‬ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻰ )‪) f (x | ‬ﺣﯿﺚ ‪ ‬ﻗﺪ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺠﮫ ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ( ﺣﯿﺚ ان ‪. r  n‬‬ ‫ﻓﻰ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻓﺈن اﻟﺘﻨﺒﺆ ﺳﯿﻜﻮن ﻻﺣﺪ اﻟﻤﺸﺎھﺪات اﻟﻤﺮﺗﺒﺔ اﻟﻤﺘﺒﻘﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺠﻢ )‪ (n  r‬وھﻰ‬ ‫‪ . y r1, yr 2 ,, yn‬ﻟﻠﻤﺸﺎھﺪات اﻟﻤﺘﺒﻘﯿﺔ ذات اﻟﺤﺠﻢ )‪ (n  r‬إذا وﺿﻌﻨﺎ ‪ zs  y rs‬ﻟﻠﺘﻌﺒﯿﺮ‬ ‫ﻋﻦ اﻟﻤﺸﺎھﺪة ذات اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ s‬ﺣﯿﺚ ‪ 1  s  n  r‬ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﻟﻠﻤﺸﺎھﺪة ‪ zs‬ﺑﺸﺮط‬ ‫وﺟﻮد اﻟﻤﺸﺎھﺪات ‪ y1, y2 ,, yr‬ﺗﻌﻄﻰ ﻣﻦ ‪:‬‬ ‫‪s1‬‬ ‫‪n  r s‬‬ ‫) ‪ (n r‬‬ ‫‪ n r ‬‬ ‫‪h r (z s | )  s    F(z s | )  F(yr | )  1  F(zs | ) ‬‬ ‫‪1  F(y r | ) ‬‬ ‫‪f (ys | ).‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ s ‬‬ ‫ﺣﯿﺚ )‪ F(.| .‬داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ‪ .‬داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺑﯿﯿﺰ اﻟﺘﻨﺒﺆﯾﺔ ﻟﻠﻤﺸﺎھﺪة ‪ zs‬ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة ‪:‬‬

‫‪p1 (zs | x)   h r (zs | )( | x)d .‬‬

‫ﺣﯿﺚ )‪ ( | x‬ھﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻟﺒﻌﺪﯾﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﺑﺸﺮط ﻣﻌﻠﻮﻣﯿﺔ ‪ . x‬ﺣﺪود ﺗﻨﺒﺆ ﺑﯿﯿﺰ‬ ‫ﻟﻠﻤﺸﺎھﺪة ‪ zs‬ﺑﻤﺴﺘﻮى ﺛﻘﺔ )‪ (100%‬ھﻰ )‪ L(X), U(X‬ﺑﺤﯿﺚ ‪:‬‬ ‫‪P  L(x)  zs  U(x)  .‬‬

‫ﺣﯿﺚ )‪ L(x), U(x‬ھﻤﺎ اﻟﺤﺪﯾﻦ اﻻدﻧﻰ واﻻﻋﻠﻰ ﻟﻔﺘﺮة اﻟﺘﻨﺒﺆ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪.‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‬ ‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪P  zs  U(x) | x  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪P  zs  L(x) | x  ‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﯾﻤﻜﻦ ﺣﻠﮭﺎ ﻋﺪدﯾﺎ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺣﺪود ﺗﻨﺒﺆ ﺑﯿﯿﺰ )‪ L(x), U(x‬ﻟﻘﯿﻢ ‪‬‬

‫اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ‪.‬اﻟﻔﺘﺮة اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺗﺴﻤﻰ ﻓﺘﺮة اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻟﻤﺤﺪودة ﻣﻦ ﺟﮭﺘﯿﻦ ‪two side‬‬

‫‪ . prediction interval‬ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻛﻮن ‪ L(x)  ‬ﻓﺈن ﻓﺘﺮة اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ذات اﻟﺸﻜﻞ‬

‫‪  , U(x)‬ﺗﺴﻤﻰ ﻓﺘﺮة اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻟﻤﺤﺪودة ﻣﻦ اﻋﻠﻰ ‪one –side upper prediction‬‬

‫‪.interval‬وﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻛﻮن ‪ L(x)  ‬ﻓﺈن ﻓﺘﺮة اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ذات اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫‪  L(x),‬ﺗﺴﻤﻰ ﻓﺘﺮة اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻟﻤﺤﺪودة ﻣﻦ اﺳﻔﻞ ‪one –side lower‬‬ ‫‪٣٠٠‬‬

‫)‪ (٢-١١-٤‬ﺗﻨﺒﺆ اﻟﻌﻴﻨﺘﲔ‬ ‫ﺑﻔﺮض ان ‪ y1, y2 ,, yr‬ھﻰ ﻋﯿﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎھﺪات اﻟﻤﺮﺗﺒﺔ ﻣﻦ ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺣﺠﻤﮭﺎ ‪ n‬ﺗﺘﺒﻊ‬ ‫اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻰ )‪. f (x | ‬وﺑﻔﺮض ان ‪ z1, z2 ,,z r‬ﻫﻰ ﻋﯾﻧﺔ اﺧرى ﻣن اﻟﻣﺷﺎﻫدات‬

‫اﻟﻣﺳﺗﻘﺑﻠﯾﺔ ﺗﺗﺑﻊ ﻧﻔس اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ وذات اﻟﺣﺟم ‪ m‬ﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓﺈن اﻟﺗﻧﺑؤ ﺳوف‬

‫ﯾﻛون ﻻﺣد اﻟﻣﺷﺎﻫدات ‪ zs‬ﻣن اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺳﺗﻘﺑﻠﯾﺔ ﺣﯾث ‪ 1  s  m‬داﻟﺔ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ ﻟﻠﻠﻣﺷﺎﻫدة‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﻘﺑﻠﯾﺔ ‪ zs‬ﺑﺷرط وﺟود اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻻوﻟﻰ ﻫﻰ ‪:‬‬

‫‪m s‬‬ ‫‪s1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪h* (zs | )  s  1  F(zs | )  F(zs | )  f (zs | ).‬‬ ‫‪s‬‬

‫)‪ (٣-١١-٤‬اﻟﻘﻴﻢ اﳌﻨﻌﺰﻟﺔ‬ ‫ﻣن اﻟﻣﻌﻠوم اﻧﻪ ﻓﻰ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣن اى ﻣﺟﺗﻣﻊ اﺣﺻﺎﺋﻰ ﻧﺟد ان‬

‫ﻫﻧﺎك ﻣﻔردة او اﻛﺛر ﺑﻌﯾدة ﻋن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ‪.‬ﻫذﻩ اﻟﻣﻔردات ﻋﺎدة ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة او‬

‫اﻟﻣﻧﻌزﻟﺔ ‪. outliers‬ﻋن ﻫذﻩ اﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة وطرق ﻣﻌﺎﻟﺟﺗﻬﺎ ﯾﻣﻛن اﻟرﺟوع اﻟﻰ ﻛﺗﺎب ‪Barnett‬‬

‫)‪ . and Lewis (1994‬اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺳوف ﯾﻛون ﺗﺣت ﻓرض ﺗوزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺗو ﺣﯾث ‪ ‬ﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫اﻟﻘﯾﺎس و ‪ ‬ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺷﻛل وﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﻧﻌزﻟﺔ اﻟﻣﻔردة ﻣن اﻟﻧوع ‪single outlier of‬‬

‫‪. type  o‬‬ ‫ﺑﻔﺮض ان ‪ y  y1, y2 ,, yr‬ھﻰ ﻋﯿﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎھﺪات اﻟﻤﺮﺗﺒﺔ ﻣﻦ ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺣﺠﻤﮭﺎ ‪n‬‬

‫ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻰ )‪. f (x | ‬وﺑﻔﺮض ان اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﻣﻧﻌزﻟﺔ وﻟﺗﻛن‬

‫‪ yi‬ﺣﯾث ‪ 1  i  m‬ﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻧﻌﺗﺑر ان اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﻧﻌزﻟﺔ ﯾﺣﻛﻣﻬﺎ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻣﺧﺗﻠف‬

‫وﻟﯾﻛن )‪ f * (x | o , ‬واﻟذى ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎرﻩ ﻧﻔس اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ وﻟﻛن ﻟﻘﯾم ﻣﻌﺎﻟم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‬

‫‪.‬اى ان )‪ (m  1‬ﻣن اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﯾﺣﻛﻣﻬﺎ ﻗﺎﻧون ﺑﺎرﯾﺗو ذو اﻟﻣﻌﺎﻟم )‪ (, ‬واﻟﻘﯾﻣﺔ‬ ‫اﻟﻣﺗﺑﻘﯾﺔ ﯾﺣﻛﻣﻬﺎ ﻗﺎﻧون ﺑﺎرﯾﺗو ذو اﻟﻣﻌﺎﻟم )‪. (o , ‬‬

‫ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ داﻟﺔ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻻى ﻗراءة ‪ yi‬ﻣن اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ y‬ﺣﯾث ‪ 1  i  m‬ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ‬

‫اﺣﺗواء اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ اﺣد اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻧﻌزﻟﺔ ﺗﻌطﻰ ﻣن ‪:‬‬

‫‪٣٠١‬‬

‫‪m s‬‬ ‫‪ m1 ‬‬ ‫‪h(ys | )   [(s  1)Fs2 1  F F* f (ys | ) ‬‬ ‫‪ s1 ‬‬

‫‪f * (ys | ) ‬‬ ‫‪1  F*  f (ys | )].‬‬

‫‪m s‬‬

‫‪Fs1 1  F‬‬

‫‪m s 1‬‬

‫‪(m  s)Fs1 1  F‬‬

‫ﺣﯾـ ــث )‪ f (ys | ),F(ys | ‬ﻫﻣـ ــﺎ داﻟﺗـ ــﻰ اﻟﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ واﻟﺗوزﯾـ ــﻊ ﻟﻛـ ــل ﻗـ ــﯾم ‪ y‬اﻟﻐﯾـ ــر اﻟﻣﻧﻌزﻟـ ــﺔ ﺑﯾﻧﻣـ ــﺎ‬ ‫)‪ f * (ys | ),F* (ys | ‬ﻫﻣﺎ داﻟﺗﻰ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ واﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻛل ﻗﯾم ‪ y‬اﻟﻣﻧﻌزﻟﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺗرﺗﯾب‪.‬‬

‫‪٣٠٢‬‬