اﺳﺗﺧدام اﻻﺳﺗدﻻل اﻻﺣﺻﺎﺋﻰ اﻟﺑﯾﯾزى ﻓﻰ ﻣﺟﺎل اﺧﺗﺑﺎرات اﻟﺣﯾﺎه ﺗﺎﻟﯾف اﻟدﻛﺗورة ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم ﻣﺣﻣد اﺳﺗﺎذ ﻣﺷﺎرك ﺟﺎﻣﻌﺔ اﻟدﻣﺎم – ﻛﻠﯾﺔ اﻟﻌﻠوم ﺑﺎﻟدﻣﺎم ﻗﺳم اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت )ﺳﺎﺑﻘﺎ( ٢٠١٢م
١
٢
اھدى ﻛﺗﺎﺑﻰ ھذا إﻟﻰ اﺣﺑﺎﺑﻰ ﻓﻰ ﷲ وھم : د .ﻧﮭ ﻰ اﻟﻣ ﻼ وزوﺟﮭ ﺎ اﻟﻔﺎﺿ ل اﻻﺳ ﺗﺎذ ﺑﻧ در اﻟﻣ ﻼ وواﻟ دﺗﮭﺎ اﻟﻔﺎﺿ ﻠﺔ ﻧﻌﻣ ﺔ اﻟﻔﺎﯾ د ذات اﻻﺧﻼق اﻟﻌﺎﻟﯾﺔ ﻣﻊ ﺗﻘوى ﷲ واﻟﻛرم واﻻم اﻟﻣﺛﺎﻟﯾﺔ . ﻛﻣﺎ اھدى ﻛﺗﺎﺑﻰ ھذا إﻟﻰ اﺣﺑﺎﺑﻰ ﻓﻰ ﷲ وھم : د.ﻣﻧ ﺎل اﻟﻌ وھﻠﻰ -اﯾﻣ ﺎن اﻟﻣﺑ ﯾض -د.ﺳ ﻣﯾﺔ اﻟﮭ ﺎﺟرى – زﯾﻧ ب اﻟﺻ وﻓﻰ – د .ﻧﮭ ﻰ اﻟﺟﺑ ر -د .رﻧ ﺎ اﻟﺧ ﺎل -رﯾ م اﻟﺑﻼﻟ ﻰ – د .ﻧ ورة اﻟﻛﻌﺑ ﻰ – د .ﻧﺑﯾﻠ ﺔ اﻟﺳ ﻠﯾﻣﺎن – د. ﻓﺎطﻣﺔ اﻟرواﺟﺢ -د.ﻧوال اﻟﻔﺎﯾز ﻋﻠ ﻰ اﺧﻼﻗﮭ م اﻟﻌﺎﻟﯾ ﺔ وﺣ ﺑﮭم ﻟ ﻰ ﻓﺎﺳ ﺎل ﷲ ﻟﮭ م اﻟﺻ ﺣﺔ واﻟﻌﺎﻓﯾ ﺔ ﻓ ﻰ اﻟ دﻧﯾﺎ واﻟﺟﻧ ﺔ ﻓ ﻰ اﻻﺧرة د .ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم
٣
ﺑﺳم ﷲ اﻟرﺣﻣن اﻟرﺣﯾم ﺗﻣﮭﯾد اﻟﺣﻣ د رب اﻟﻌ ﺎﻟﻣﯾن واﻟﺻ ﻼة واﻟﺳ ﻼم ﻋﻠ ﻰ أﺷ رف اﻟﻣرﺳ ﻠﯾن ﻣﺣﻣ د وﻋﻠ ﻰ آﻟ ﮫ وﺻﺣﺑﮫ أﺟﻣﻌﯾن .أﻣﺎ ﺑﻌد ،ﻓﺎﻟﺣﻣد اﻟذي ھداﻧﺎ وﻣﺎ ﻛﻧﺎ ﻟﻧﮭﺗدي ﻟوﻻ أن ھ داﻧﺎ ﷲ اﻟ ذي أﻧﻌ م ﻋﻠﻲ ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ ھذا اﻟﻛﺗﺎب ﺗﻠﺑﯾﺔ ﻟﻧداء اﻟﺗﻌرﯾب اﻟذي ﯾﺗﺑﻧﺎه اﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻌﻠﻣﺎء واﻟﻣﺛﻘﻔﯾن. ﯾﻌﺗﺑر ھذا اﻟﻛﺗﺎب ﺛﻣرة ﻣﺟﮭوداﺗﻰ ﻓﻰ اﻟﻣﺟﺎﻻت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: ) (١اﻻطﻼع ﻋﻠﻰ اﺣدث اﻟﻣراﺟﻊ اﻟﻌرﺑﯾﺔ واﻻﺟﻧﺑﯾﺔ ) (٢اﻟﺧﺑ رة ﻓ ﻰ اﻟﺗ درﯾس ﺳ واء ﻓ ﻰ ﻣرﺣﻠ ﺔ اﻟﺑﻛ ﺎﻟورﯾوس او ﺗﻣﮭﯾ دى ﻣﺎﺟﺳ ﺗﯾر او ﺗﻣﮭﯾ دى دﻛﺗوراه وﻛذﻟك اﻻﺷراف ﻋﻠﻰ رﺳﺎﻟﺗﻰ ﻣﺎﺟﺳﺗﯾر وﻣﻧﺎﻗﺷﺔ رﺳﺎﻟﺔ ﻣﺎﺟﺳﺗﯾر واﺧرى دﻛﺗوراه ) (٣اﻻﺳﺗﺷﺎرات اﻻﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﻓﻰ ﻣﺳﺗوى اﻟﻣﺎﺟﺳﺗﯾر واﻟدﻛﺗوراه ) (٤دراﺳﺎﺗﻰ ﻓﻰ ﻣرﺣﻠﺔ اﻟﻣﺎﺟﺳﺗﯾر واﻟدﻛﺗوراه واﺑﺣﺎﺛﻰ ﺑﻌد اﻟدﻛﺗوراه ﻓﻰ ﻣوﺿوع اﻟﻛﺗﺎب ) (٥ﺧﺑرﺗﻰ ﻓﻰ اﻟﺗﺎﻟﯾف ) (٦ﺗدرﯾﺳ ﻰ ﻟﻣﻘ رر اﻟﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺑﯾﯾ زى ﻟﻣرﺣﻠ ﺔ ﺗﻣﮭﯾ دى دﻛﺗ وراه وﻧظ را ﻟﻧ درة اﻟﻣراﺟ ﻊ اﻻﺟﻧﺑﯾﺔ ﻓﻰ ھذا اﻟﻣﺟﺎل واﻧﻌدام اﻟﻣراﺟﻊ اﻟﻌرﺑﯾﺔ ﻓﻘد اﻋﺗﻣ دت ﻓ ﻰ ﺗﺣﺿ ﯾر ھ ذ اﻟﻣﻘ رر ﻋﻠ ﻰ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻻﺑﺣﺎث ﻓﻰ ھذا اﻟﻣﺟﺎل وﻗد ﻗﻣت ﺑﻣﺳﺎﻋدة طﺎﻟﺑﺗﻰ اﻟدﻛﺗورة ﻣﻧﺎل اﻟﻌ وھﻠﻰ ﻓ ﻰ ﻓ ك اﻟﻣﻌﺎدﻻت ﻓﻰ ھذه اﻻﺑﺣﺎث ﻻﻧﮫ ﻣن اﻟﻣﻌروف ان ﻣؤﻟﻔﻰ ﺗﻠك اﻻﺑﺣﺎث ﯾﻛﺗﻔون ﺑﻛﺗﺎﺑ ﺔ اﻟﻧﺗ ﺎﺋﺞ وﻻ ﯾدﺧﻠون ﻓﻰ اﻟﺗﻔﺎﺻﯾل . ھذا اﻟﻛﺗﺎب ﯾﺻﻠﺢ ﻛﻣﻘرر ﻟطﻼب اﻟدراﺳﺎت اﻟﻌﻠﯾﺎ ﻓ ﻰ ﻣرﺣﻠ ﺔ ﺗﻣﮭﯾ دى ﻣﺎﺟﺳ ﺗﯾر او ﺗﻣﮭﯾ دى دﻛﺗ وراه وﯾﻌﺗﺑ ر ھ ذا اﻟﻛﺗ ﺎب اﻟﻣرﺟ ﻊ اﻻول ﻋﻠ ﻰ ﻣﺳ ﺗوى اﻟﻌ ﺎﻟم اﻟﻌرﺑ ﻰ ﻓ ﻰ ھ ذا اﻟﻣﺟﺎل ﻛﻣﺎ اﻋﺗﺑره اﻻﻓﺿل ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺗوى اﻟﻌﺎﻟم وﺳ وف اﺗ رك اﻟﺣﻛ م ﻋﻠﯾ ﮫ ﻟﻠﻘ راء .ﯾﺳ ﺗطﯾﻊ ﻗﺎرئ ھذا اﻟﻛﺗﺎب ان ﯾﺗﻌﻠم ﻛﯾﻔﯾﺔ ﻗراءة اﻻﺑﺣ ﺎث ﻛﻣ ﺎ ﯾﻣﻛ ن ان ﯾﺳ ﺗﻔﯾد ﻣ ن اﻟط رق اﻟﻣوﺟ ودة ﻓﻰ اﻟﻛﺗﺎب ﻓﻰ ﺑﺣﺛﺔ ﺣﯾث ﺗﻌطﯾﮫ اﻓﻛﺎر ﺟدﯾدة .اﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن ان ﯾﺳﺗﻔﯾد اﻟﺑﺎﺣث ﻣ ن اﻟﻛﺗ ﺎب ﻓ ﻰ اﺧﺗﯾﺎر ﻧﻘطﺔ ﺑﺣﺛﺔ ،ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻣﺎ ﺗم ﺗطﺑﯾﻘﺔ ﻓﻰ ھذا اﻟﻛﺗﺎب ﺗﺣت ﻓرض ﺗوزﯾﻊ ﻣﻌﯾن ﯾﻣﻛن ﺗطﺑﯾﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ اﺧر ﻟم ﯾﺗطرق ﻟﮫ ﺑﺎﺣث اﺧر .اﯾﺿﺎ اﻟﻣراﺟ ﻊ ﻓ ﻰ اﺧ ر اﻟﻛﺗ ﺎب ﻟ م اﺳﺗﺧدﻣﮭﺎ ﻛﻠﮭﺎ ﻓﻰ ھذا اﻟﻛﺗﺎب وﻟﻛن اﺳﺗﺧدﻣﺗﮭﺎ ﻓﻰ اﺑﺣﺎث اﺧ رى وﻗ د وﺿ ﻌﺗﮭﺎ ﺣﺗ ﻰ ﺗﺧ دم اﻟﺑﺎﺣث ﻓﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻧﻘﺎط ﺟدﯾدة ﻓﻰ ھذا اﻟﻣﺟﺎل ﯾﺣﺗوي ھذا اﻟﻛﺗﺎب ﻋﻠﻰ ﺧﻣﺳﺔ ﻓﺻول ،ﯾﻘ دم اﻟﻔﺻ ل اﻷول ﺑﻌ ض اﻟﻣﻔ ﺎھﯾم اﻻﺳﺎﺳ ﯾﺔ اﻟﺗﻰ ﻟﮭﺎ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﻣوﺿ وع اﻟﻛﺗ ﺎب ،أﻣ ﺎ اﻟﻔﺻ ل اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ﻓﯾﮭ ﺗم ﺑ ﺑﻌض اﻟﺗوزﯾﻌ ﺎت اﻟﻣﻔﯾ دة ﻓ ﻰ ﻣﺟ ﺎل اﺧﺗﺑ ﺎرات اﻟﺣﯾ ﺎه ،ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﯾﮭ ﺗم اﻟﻔﺻ ل اﻟﺛﺎﻟ ث ﺑﻧظرﯾ ﺔ اﻟﺻ ﻼﺣﯾﺔ ،وﯾﺗط رق اﻟﻔﺻ ل اﻟراﺑ ﻊ إﻟ ﻰ اﻻﺳ ﺗدﻻل اﻻﺣﺻ ﺎﺋﻰ اﻟﺑﯾﯾ زى ،اﻣ ﺎ اﻟﻔﺻ ل اﻟﺧ ﺎﻣس ﻓﯾﮭ ﺗم ﺑﺗطﺑﯾ ق اﻻﺳ ﺗدﻻل اﻻﺣﺻﺎﺋﻰ اﻟﺑﯾﯾزى ﻋﻠﻰ ﺑﻌض اﻟﺗوزﯾﻌﺎت ﻓﻰ ﻣﺟﺎل اﺧﺗﺑﺎرات اﻟﺣﯾﺎه. ٤
ﺧدﻣﺔ ﻟﻘﺿﺎﯾﺎ اﻟﺑﺣث اﻟﻌﻠﻣﻲ ً وأﺳﺄل ﷲ أن أﻛون ﻗد وﻓﻘت ﻓﻲ ھذا اﻟﻣﺟﮭود اﻟﻣﺗواﺿﻊ ﻓﻲ وطﻧﻧﺎ اﻟﻌرﺑﻲ. وإﻧﻧﻲ أرﺣب ﺑﻛل ﻧﻘد ﺑﻧﺎء ﯾﮭدف إﻟﻰ اﻷﻓﺿل ،وﻣﺎ اﻟﻛﻣﺎل إﻻ وﺣده. وﷲ وﻟﻲ اﻟﺗوﻓﯾق
د .ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم
٥
اﻟﻔﺼﻞ اﻻول ﺑﻌﺾ اﻟﻤﻔﺎھﯿﻢ اﻻﺳﺎﺳﯿﺔ )(١ -١
ﻓﻀﺎء )ﻓﺮاغ( اﻟﻌﯿﻨﺔ واﻻﺣﺪاث
)(٢ -١
اﻻﺣﺘﻤﺎل ) (١-٢-١اﻟﻤﻔﮭﻮم اﻟﻘﺪﯾﻢ )اﻟﻤﻔﮭﻮم اﻟﻜﻼﺳﯿﻜﻰ ( ) (٢-٢-١ﻣﻔﮭﻮم اﻟﺘﻜﺮار اﻟﻨﺴﺒﻰ )(٣-٢-١اﻟﻤﻔﮭﻮم اﻟﺸﺨﺼﻰ ) (٤-٢-١اﻟﺨﻮاص اﻟﻤﻤﯿﺰة ﻟﻘﯿﻢ اﻻﺣﺘﻤﺎل
)(٣ -١ )(٤ -١
ﺑﻌﺾ ﻗﻮاﻧﯿﻦ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﺸﺮطﻰ
)(٥-١
اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﻜﻠﻰ و ﻗﺎﻋﺪة ﺑﯿﯿﺰ
)(٦-١
اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻰ
)(٧-١
اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ اﻟﻤﻨﻔﺼﻠﺔ )اﻟﻤﺘﻘﻄﻌﺔ( ) (١-٧-١داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ) (٢-٧-١اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻤﺘﻮﻗﻌﺔ ) (٣-٧-١اﻟﻌﺰوم ) (٤-٧-١اﻟﻤﻨﻮال واﻟﻮﺳﯿﻂ
)(٨-١
اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻟﺤﺘﻤﺎﻟﯿﺔ اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ )اﻟﻤﺴﺘﻤﺮة( ) (١-٨-١داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ) (٢-٨-١اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻤﺘﻮﻗﻌﺔ ) (٣-٨-١اﻟﻤﺌﯿﻨﺎت
)(٩-١
اﻟﺪوال ﻟﻤﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم
)(١٠-١
اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ اﻟﻤﺘﻌﺪدة ) (١-١٠-١اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻟﻤﺘﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ) (٢-١٠-١اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ) (٣-١٠-١اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ) (٤-١٠-١اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻟﺸﺮطﯿﺔ ) (٥-١٠-١ﺧﻮاص اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻤﺘﻮﻗﻌﺔ
)(١١-١
اﻟﺪوال اﻟﻤﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ
)(١٢-١
دوال ﻓﻰ ﻣﺘﻐﯿﺮات ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ) (١-١٢-١طﺮق إﯾﺠﺎد ﺗﻮزﯾﻊ دوال ﻓﻰ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻰ واﺣﺪ ) (٢-١٢-١طﺮق إﯾﺠﺎد ﺗﻮزﯾﻊ دوال ﻓﻰ ﻣﺘﻐﯿﺮﯾﻦ او اﻛﺜﺮ ) (٣-١٢-١طﺮﯾﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم
)(١٣-١
اﻟﻤﺠﺘﻤﻌﺎت واﻟﻌﯿﻨﺎت
)(١٤-١
اﻻﺳﺘﺪﻻل اﻻﺣﺼﺎﺋﻰ ) (١-١٤-١اﻟﺘﻘﺪﯾﺮ ) (٢-١٤-١اﻟﻔﺮوض اﻻﺣﺼﺎﺋﯿﺔ
)(١٥-١
اﻻﺣﺼﺎء اﻟﻐﯿﺮ ﻣﺘﺤﯿﺰ
٦
)(١٦-١
اﻻﺣﺼﺎء اﻟﻜﺎﻓﻰ
)(١٧-١
اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻻﺳﯿﺔ واﻻﺣﺼﺎءات اﻟﻜﺎﻓﯿﺔ
)(١٨-١
داﻟﺔ اﻻﻣﻜﺎن
)(١٩-١
اﻟﻜﻔﺎءة
)(٢٠-١
ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺨﻄﺎ
)(٢١-١
اﻻﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ
)(٢٢-١
اﺧﺘﺒﺎر اﻟﺤﯿﺎه
)(٢٣-١
اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ) (١-٢٣-١اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ اﻟﻤﻔﺮدة ذات اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﻮاﺣﺪة ) (٢-٢٣-١اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ اﻟﻤﺰدوﺟﺔ ذات اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﻮاﺣﺪة ) (٣-٢٣-١اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ) (٢٤-١اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺒﺘﻮرة اﻟﻔﺼـﻞ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﺑﻌﺾ اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ
)(١-٢
اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ) (١-١-٢داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ) (٢-١-٢داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ) (٣-١-٢اﻟﻌﺰوم ) (٤-١-٢اﻟﻤﺌﯿﻨﺎت )(٥-١-٢ﺑﻌﺾ اﻻﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ )(٦-١-٢ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت ) (٧-١-٢اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ اﻟﻤﺒﺘﻮر ) (٨-١-٢اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ ) (٩-١-٢اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ اﻟﻘﯿﺎﺳﻰ
)(٢ -٢
ﺗﻮزﯾﻊ واﯾﺒﻞ ) (١-٢-٢داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ) (٢-٢-٢داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ) (٣-٢-٢اﻟﻌﺰوم ) (٤-٢-٢ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ وﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﻟﺘﻮاء ) (٥-٢-٢اﻟﻤﻨﻮال و اﻟﻮﺳﯿﻂ ) (٦-٢-٢اﻟﻤﺌﯿﻨﺎت
)(٣ -٢
ﺗﻮزﯾﻊ واﯾﺒﻞ اﻟﻌﺎم )ب ٣ﻣﻌﺎﻟﻢ( ) (١-٣-٢داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ) (٢-٣-٢داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ) (٣-٣-٢اﻟﻤﻨﻮال و اﻟﻮﺳﯿﻂ ) (٤-٣-٢اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ ) (٥-٣-٢ﺑﻌﺾ اﻻﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ ) (٦-٣-٢اﻟﻤﺤﺎﻛﺎة
)(٤ -٢
ﺗﻮزﯾﻊ Extreme Value ) (١-٤-٢داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل
٧
) (٢-٤-٢داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ) (٣-٤-٢اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ ) (٤-٤-٢اﻟﻤﺌﯿﻨﺎت )(٥ -٢
ﺗﻮزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ) (١-٥-٢داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل و داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ) (٢-٥-٢اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ ) (٣-٥-٢اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ) (٤-٥-٢اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ
)(٦ -٢
ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺘﻮ ) (١-٦-٢داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل و داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ) (٢-٦-٢اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ واﻟﺘﺒﺎﯾﻦ ) (٣-٦-٢اﻟﻤﺌﯿﻨﺎت ) (٤-٦-٢ﺷﻜﻞ اﺧﺮ ﻟﺘﻮزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺘﻮ
)(٧ -٢
ﺗﻮزﯾﻊ ﻛﻮﺷﻰ
)(٨ -٢
اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻄﺒﯿﻌﻰ
)(٩ -٢
ﺗﻮزﯾﻊ ﻣﻌﻜﻮس ﺟﺎﻣﺎ
)(١٠ -٢
اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻰ اﻟﻄﺒﯿﻌﻰ
)(١١ -٢
ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﯿﯿﺮ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻋﺸﺮ
)(١٢ -٢
ﻣﻌﺎﻟﻢ اﻟﻤﻘﯿﺎس واﻟﻤﻮﻗﻊ اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ
)(١ -٣
اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ ) (١-١-٣ﻣﻘﺎﯾﯿﺲ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ ) (٢-١-٣ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄﻞ اﻟﻄﺒﯿﻌﻰ ) (٣-١-٣ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄﻞ اﻻﺳﻰ ) (٤-١-٣ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄﻞ ﻟﻮاﯾﺒﻞ
)(٢ -٣
ﺻﻼﺣﯿﺔ اﻟﺘﻮاﻟﻰ واﻟﺘﻮازى اﻟﻔﺼـﻞ اﻟﺮاﺑﻊ :اﻻﺳﺘﺪﻻل اﻻﺣﺼﺎﺋﻰ اﻟﺒﯿﯿﺰى
)(١ -٤
ﻣﻘﺪﻣﺔ
)(٢ -٤
اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻟﺒﻌﺪﯾﺔ
)(٣ -٤
اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻟﻘﺒﻠﯿﺔ اﻟﻤﺮاﻓﻘﺔ
)(٤ -٤
اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻟﻘﺒﻠﯿﺔ اﻟﻐﯿﺮ ﻣﻌﻠﻤﺔ ) (١ -٤ -٤اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ) (٢ -٤ -٤ﻣﻌﻠﻮﻣﺎت ﻓﯿﺸﺮ
)(٥ -٤
اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ اﻟﻤﺰﻋﺠﺔ او اﻟﻤﻘﻠﻘﺔ
)(٦ -٤
ﻣﻘﺪر اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻟﺒﯿﯿﺰ
)(٧ -٤
ﻣﻘﺪر ﺑﯿﯿﺰ ﺑﻔﺘﺮة
)(٨ -٤
ﻣﺒﺎدئ ﻓﻰ ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﻘﺮار اﻟﺒﯿﯿﯿﺰى ) (١ -٨ -٤داﻟﺔ اﻟﺨﺴﺎرة ) (٢ -٨ -٤داﻟﺔ اﻟﻤﺨﺎطﺮة
٨
)(٣ -٨ -٤ﻣﺨﺎطﺮة ﺑﯿﯿﺰ )(٩ -٤
ﻣﻘﺪر اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻟﺒﯿﯿﺰ اﻟﻤﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﻘﺮار اﻟﺒﯿﯿﺰى ) (١ -٩ -٤ﺑﻌﺾ دوال اﻟﺨﺴﺎرة ) (٢ -٩ -٤داﻟﺔ اﻟﻤﺨﺎطﺮة ) (٣ -٩ -٤ﻣﻘﺪر ﺑﯿﯿﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺨﻄﺎ وداﻟﺔ ﺧﺴﺎرة اﻟﺨﻄﺎ اﻟﻤﻄﻠﻖ ) (٤ -٩ -٤ﻣﻘﺪر ﺑﯿﯿﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ اﻟﺨﺴﺎرة اﻻﺳﯿﺔ ) (٥ -٩ -٤ﻣﻘﺪر ﺑﯿﯿﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ اﻟﺨﺴﺎرةاﻻﻧﺘﺮروﺑﯿﺎ اﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ) (٦ -٩ -٤ﻣﻘﺪر ﺑﯿﯿﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض Log-odds squared-error loss function
)(١٠ -٤
طﺮق ﺗﻘﺮﯾﺒﯿﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻼت اﻟﺒﯿﯿﺰﯾﺔ ) (١ -١٠ -٤ﺗﻘﺮﯾﺐ ﻟﻨﺪﻟﻰ )(٢ -١٠ -٤ﺗﻘﺮﯾﺐ ﺗﯿﺮﻧﻰ وﻛﺎدﯾﻦ
)(١١ -٤
اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻻﺣﺼﺎﺋﻰ اﻟﺒﯿﯿﺰى ) (٢ -١١ -٤ﺗﻨﺒﺆ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻮاﺣﺪة ) (٢ -١١ -٤ﺗﻨﺒﺆ اﻟﻌﯿﻨﺘﯿﻦ )(٣ -١١ -٤اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻤﻨﻌﺰﻟﺔ
)(١ -٥
اﻟﻔﺼـﻞ اﻟﺨﺎﻣﺲ :اﻻﺳﺘﺪﻻل اﻟﺒﯿﯿﺰى ﻟﺒﻌﺾ اﻟﺘﻮزﯾﻐﺎت ﺗﺤﺖ اﺧﺘﺒﺎرات اﻟﺤﯿﺎه اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻤﻌﻠﻤﺔ واﺣﺪة ) (١ -١ -٥ﻓﺘﺮة ﺛﻘﺔ ﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﺤﯿﺎة و ﺗﻘﺪﯾﺮ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻻﻣﻜﺎن ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ ) (٢ -١ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮ اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﺤﯿﺎة ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻻﻣﻜﺎن ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻻول ) (٣ -١ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮ اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﺤﯿﺎة ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ ) (٤ -١ -٥ﺗﻨﺒﺆ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻮاﺣﺪة ) (٥ -١ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض ﺗﻮزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻌﻜﺴﻰ ﻛﺘﻮزﯾﻊ ﻗﺒﻠﻰ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ
)( ,
) (٦ -١ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة
ﻛﺘﻮزﯾﻊ ﻗﺒﻠﻰ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ
اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ
) (٧ -١ -٥ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻤﻌﻠﻤﺔ
ﻛﺘﻮزﯾﻊ ﻗﺒﻠﻰ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع
اﻟﺜﺎﻧﻰ ) (٨ -١ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض prior quasi- densityﻛﺘﻮزﯾﻊ ﻗﺒﻠﻰ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ ) (٩ -١ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ اﻟﻤﺮاﻓﻖ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ ) (١٠ -١ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻧﻘﺺ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت ﻋﻦ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ ) (١١ -١ -٥اﻟﺘﻘﺪﯾﺮ اﻟﺒﯿﯿﺰى ﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﺤﯿﺎة وداﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ ﻟﻠﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ذو اﻟﺒﺘﺮ اﻟﻤﺰدوج ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ ) (١٢ -١ -٥اﻟﺘﻘﺪﯾﺮ اﻟﺒﯿﯿﺰى ﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﺤﯿﺎة وداﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ ﻟﻠﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻣﻦ ﺟﮭﺘﯿﻦ
) (١٣ -١ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮات اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ ,
ﻟﻠﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ
) (١٤ -١ -٥ﺑﻌﺾ اﻟﻨﻈﺮﯾﺎت اﻟﺘﻰ ﺗﺨﺺ اﻟﺘﻘﺪﯾﺮات اﻟﺒﯿﯿﺰﯾﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ و ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ
ﺗﺤﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ
) (١٥ -١ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﻟﻤﻌﺎﻟﻢ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ وداﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ ) (١٦ -١ -٥ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯿﻦ زﻣﻦ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ واﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ )(٢ -٥
ﺗﻮزﯾﻊ واﯾﺒﻞ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ ) (١ -٢ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ ) (٢ -٢ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﻟﻤﻌﺎﻟﻢ ﺗﻮزﯾﻊ واﯾﺒﻞ ذو اﻟﺒﺘﺮ اﻟﻤﺰدوج ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ
٩
)(٣ -٥
ﺗﻮزﯾﻊ ﻛﻮﺷﻰ ) (١ -٣ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮات اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻟﻤﻌﺎﻟﻢ ﺗﻮزﯾﻊ ﻛﻮﺷﻰ ) (٢ -٣ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮ اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ ) (٣ -٣ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮ ﺑﯿﯿﺰ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ
)(٤ -٥
اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﺗﻤﻰ اﻟﻄﺒﯿﻌﻰ ) (١ -٥ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮات اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺎت اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ ) (٢ -٥ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮ ﺑﯿﯿﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض ﺗﻮزﯾﻊ ﻗﺒﻠﻰ ﻟﻤﻌﻠﻤﺔ اﻟﻤﻘﯿﺎس ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺎت اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ
)(٥ -٥
ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﯿﯿﺮ اﻻﺛﻨﻰ ﻋﺸﺮ ) (١ -٥ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮات اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯿﻨﺎت اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ ) (٢ -٥ -٥ﺗﻘﺪﯾﺮات ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ
)(٦ -٥
ﺗﻨﺒﺆ اﻟﻌﯿﻨﺘﯿﻦ ﻟﺒﯿﯿﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺘﻮ ) (١ -٦ -٥ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ ﻏﯿﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ وﺣﺠﻢ اﻟﻌﯿﻨﺔ ﺛﺎﺑﺖ ) (٢ -٦ -٥ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ ﻏﯿﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ وﺣﺠﻢ اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ) (٣ -٦ -٥وﺟﻮد ﻗﯿﻤﺔ ﻣﻨﻌﺰﻟﺔ اﻟﻤﺮاﺟﻊ اﻟﻤﻼﺣﻖ
١٠
اﻟﻔﺻل اﻻول
ﺑﻌض اﻟﻣﻔﺎھﯾم اﻷﺳﺎﺳﯾﺔ
١١
)١ـ (١ﻓﺿﺎء )ﻓراغ( اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻷﺣداث
Sample Space and Events
ﺗُﺟرى اﻷﺑﺣﺎث ﻓﻲ ﻣﺟﺎﻻت ﻛﺛﯾرة ،ﻓﻔﻲ ﻣﺟﺎل اﻟطب ﻗد ﯾﮭﺗم ﺑﺎﺣث ﺑدراﺳﺔ ﺗﺄﺛﯾر دواء ﻣﻌ ﯾن ﻋﻠ ﻰ ﻣرض ﻣ ﺎ ،وﻓ ﻲ ﻣﺟ ﺎل اﻻﻗﺗﺻ ﺎد ﻗ د ﯾﮭ ﺗم ﺑﺎﺣ ث ﺑدراﺳ ﺔ أﺳ ﻌﺎر ﺛ ﻼث ﺳ ﻠﻊ ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻓ ﻲ ﻓﺗ رات ٍ اﻟﺷﻔﺎء ﻣن زﻣﻧﯾ ﺔ ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ،وﻓ ﻲ ﻣﺟ ﺎل اﻟزراﻋ ﺔ ﻗ د ﯾﮭ ﺗم ﺑﺎﺣ ث ﺑدراﺳ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر ﺳ ﻣﺎد ﻛﯾﻣ ﺎﺋﻲ ﻋﻠ ﻰ ﻛﻣﯾ ﺔ اﻟﻣﺣﺻ ول. اﻟطرﯾ ق اﻟوﺣﯾ د ﻟﻠﺑﺎﺣ ث ﻟﻠﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﻣﻌﻠوﻣ ﺎت ﻋ ن اﻟظ ﺎھرة ﻣوﺿ ﻊ اﻟدراﺳ ﺔ ھ و إﺟ راء ﺗﺟرﺑ ﺔ experimentوھﻰ أي إﺟراء ﻧﺣﺻل ﺑﮫ ﻋﻠ ﻰ ﺑﯾ ﺎن )ﻣﺷ ﺎھدة( ﺳ واء ﻓ ﻲ اﻟطﺑﯾﻌ ﺔ أو ﻓ ﻲ اﻟﻣﻌﻣ ل وھ ذا اﻟﺑﯾﺎن ﻗد ﯾﻛون رﻗﻣﻲ أو وﺻﻔﻰ . ﻧﺟد ﻓﻲ ﻣﻌظم اﻟﺣﺎﻻت أن ﻧﺗﯾﺟﺔ اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻋواﻣل اﻟﺻدﻓﺔ ) ﻋواﻣل ﺧﺎرﺟ ﺔ ﻋ ن إرادة اﻟﺑﺎﺣث أي ﻓﻲ ﻋﻠم ﷲ( وﻻ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻧﺑؤ ﺑﮭﺎ ﺑﺷﻲء ﻣن اﻟﺗﺄﻛﯾد ،وﻟﻛن ﯾﻣﻛن وﺻف ﻓﺋ ﺔ ﻛ ل اﻟﻧﺗ ﺎﺋﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻟﮭﺎ ﻗﺑل إﺟراﺋﮭﺎ. ﺗﻌرﯾف :اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻲ ﻋﻧﺎﺻرھﺎ ﺗﻣﺛل ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻧواﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﺗﺳﻣﻰ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ.
ﻣﺛﺎل)(١-١ ﻗ ﺎم ﻣﺳ ﺋول ﺑﻣراﻗﺑ ﺔ اﻟﺟ ودة ﻓ ﻲ ﻣﺻ ﻧﻊ ﻹﻧﺗ ﺎج أﺳ ﻣﺎك اﻟﺳ ﺎﻟﻣون ﺑﺎﺧﺗﺑ ﺎر ﻛ ل ﺻ ﻧدوق ﻣﻧ ﺗﺞ وأﺧ ذ ﻋﯾﻧ ﺔ واﻻﺳﺗﻣرار ﻓﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ﺣﺗﻰ ظﮭور ﺻﻧدوق ﺗ ﺎﻟف .اذﻛ ر ﻓﺿ ﺎء اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻟﻌﻣﻠﯾ ﺔ اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ﻊ اﻟﻌﻠ م أن y ﺗﻣﺛل اﻟﺻﻧدوق اﻟﺳﻠﯾم و nﺗرﻣز ﻟﻠﺻﻧدوق اﻟﺗﺎﻟف .
اﻟﺣـل: S {n ,yn ,yyn ,yyyn , . . . } ﺗﻌرﯾف :ﯾﺳﻣﻰ أي ﻋﻧﺻر ﻓﻲ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻧﻘطﺔ ﻋﯾﻧﺔ . sample point ﺗﻌرﯾف :اﻟﺣﺎدﺛﺔ eventھﻲ أي ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣن ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ. ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺟزﺋﯾﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻋﻧﺻر واﺣد ﻓﻘ ط ﺗﺳ ﻣﻰ ﺣﺎدﺛ ﺔ ﺑﺳ ﯾطﺔ ٠simple eventأﻣ ﺎ اﻟﺣﺎدﺛﺔ اﻟﻣرﻛﺑﺔ compound eventﻓﮭﻲ اﻟﺗﻲ ﺗﻧﺗﺞ ﻣن اﺗﺣﺎد أﺣداث ﺑﺳﯾطﺔ.
ﻣﺛﺎل)(٢-١ أﻟﻘﻰ زوج ﻣن زھرﺗﻲ اﻟﻧرد ﻣرة واﺣدة ،اذﻛر اﻟﺣﺎدﺛﺔ : )ب( ﻣﺟﻣوع اﻟوﺟﮭﯾن اﻟظﺎھرﯾن إﻣﺎ 4أو.5 )أ( ﻣﺟﻣوع اﻟوﺟﮭﯾن اﻟظﺎھرﯾن ﯾﺳﺎوي .9
اﻟﺣــل: )أ( } )A = {(4,5),(5,4),(3,6),(6,3 )ب( } )B = {(2,2),(4,1),(1,4),(2,3),(3,2) ,(1,3), (3,1 ﺗﻌرﯾف: ﯾﻘﺎل أن A , Bﺣﺎدﺛﺗﺎن ﻣﺎﻧﻌﺗ ﺎن ) ﻣﺗﻧﺎﻓﯾﺗ ﺎن( exclusive eventsإذا ﻛ ﺎن وﻗ وع إﺣ داھﻣﺎ ﯾﻣﻧ ﻊ وﻗ وع اﻵﺧر وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓﺈن . A B
١٢
ﻣﺛﺎل)(٣-١ ﻋﻧد إﻟﻘﺎء زھرة ﻧرد ﻣرة واﺣدة ،ﻣﺎ ھﻲ ﺣﺎدﺛﺔ ظﮭور رﻗم زوﺟ ﻲ وﻣ ﺎ ﺣﺎدﺛ ﺔ ظﮭ ور رﻗ م ﻓ ردي؟ وھ ل اﻟﺣﺎدﺛﺗﯾن ﻣﺗﻧﺎﻓﯾﺗﯾن؟
اﻟﺣــل: ﺣﺎدﺛﺔ ظﮭور رﻗم زوﺟﻲ ھﻲ } A {2,4,6وﺣﺎدﺛﺔ ظﮭور رﻗم ﻓردى ھﻲ }B {1,3,5 و A B وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن Aو Bﺣﺎدﺛﺗﺎن ﻣﺎﻧﻌﺗﺎن.
) (٢-١اﻻﺣﺗﻣﺎل
)(Probability
ﺗﻣدﻧﺎ ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﺑﻔﺋﺔ ﻣن اﻷرﻗﺎم ﺗﺳﻣﻰ اﻷوزان weightsﺗﺗراوح ﻣن اﻟﺻﻔر إﻟﻰ اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ واﻟﺗﻲ ﺗﻣﻛﻧﻧﺎ ﻣن ﺗﻘدﯾر ﻹﻣﻛﺎﻧﯾﺔ )ﻓرﺻﺔ( وﻗوع اﻷﺣداث اﻟﺗﻲ ﺗﻧﺗﺞ ﻣن ﺗﺟﺎرب إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ .ﻟﻛل ﻧﻘطﺔ ﻓﻲ ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻧﻌﯾن وزن ﺑﺣﯾث ﯾﻛون ﻣﺟﻣوع اﻷوزان ﯾﺳﺎوى اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ٠إذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ﺳﺑب ﻟﻛﻲ ﻧﻌﺗﻘد أن ھﻧﺎك إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ ﻛﺑﯾرة ﻟوﻗوع ﻧﻘطﺔ ﻓﻲﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻌﯾن ﻟﮭﺎ رﻗﻣﺎ ً ﻗرﯾﺑﺎ ً ﻣن اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ .وﻣن ﻧﺎﺣﯾﺔ أﺧرى ﯾﻌﯾن وزن ﻗرﯾب ﻣن اﻟﺻﻔر ﻟﻧﻘﺎط اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ وﻗوﻋﮭﺎ ﺿﺋﯾل٠ ﻟﻠﻧﻘﺎط ﺧﺎرج ﻧطﺎق اﻟﻌﯾﻧﺔ ،أي اﻟﻧﻘﺎط اﻟﺗﻲ ﯾﺳﺗﺣﯾل ﺣدوﺛﮭﺎ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻌﯾن ﻟﮭﺎ اﻟرﻗم ﺻﻔر وﺗﺳﻣﻰ اﻷﺣداث اﻟﻣﺳﺗﺣﯾﻠﺔ اﻟﺣدوث .ﻓﻲ ھذا اﻟﺑﻧد ﺳوف ﻧﻧﺎﻗش ﺛﻼﺛﺔ ﻣﻔﺎھﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻘﯾﺎس اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت وھﻰ :اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻘدﯾم )اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﻲ( و ﻣﻔﮭوم اﻟﺗﻛرار اﻟﻧﺳﺑﻲ ،واﻟﻣﻔﮭوم اﻟﺷﺧﺻﻲ.
) ( ١-٢-١اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻘدﯾم ) اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﻲ ( )(Classical Concept ﺗﺑﻌﺎ ﻟﮭذا اﻟﻣﻔﮭوم ﺗﺣدد أرﻗﺎم اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت أو ﯾﻣﻛن ﺗﻘدﯾرھﺎ ﻗَ ْﺑﻠِﻲ ) a prioriﻗﺑل اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ before ٠ ( factوﻋﻠﻰ ذﻟك ،اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﺎﻟﺿﺑط exact probabilityأن ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ ﺗﻘﻊ ﺗﺣدد ﻗﺑل وﻗوع اﻟﺣﺎدﺛﺔ. اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻘدﯾم ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل ﻣﺑﻧﻰ ﻋﻠﻰ أﺳﺎس أﻧﮫ إذا ﻛﺎﻧت ﺗﺟرﺑﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ Mﻣن اﻟﻧﻘﺎط ،أي أن ﻋدد اﻟﻧواﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺎ ھو Mوﻛﺎﻧت ھذه اﻟﻧواﺗﺞ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻲ إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ اﻟﺣدوث وإذا اﺣﺗوت اﻟﺣﺎدﺛﺔ Aﻋﻠﻰ ﻋدد mﻣن اﻟﻧﻘﺎط ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺎدﺛﺔ ھو: m P(A) M
ﻣﺛﺎل)(٤-١ ﺛﻼث أﺟزاء ﻣن ﻛﺗﺎب ﻣوﺿوﻋﺔ ﻋﻠﻰ رف ﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل: )ب( اﻟﺟزء اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻓﻲ اﻟﻣﻛﺎن اﻷول؟ )أ( اﻷﺟزاء ﻓﻲ وﺿﻌﮭﺎ اﻟﺻﺣﯾﺢ؟
اﻟﺣــل: ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو: S 1 2 3 , 1 3 2 , 2 1 3 , 2 3 1 , 3 1 2 , 3 2 1
1 ) A 1 2 3 P(A) أ( 6 ١٣
2 1 ) B 2 1 3 ,(2 3 1 P(B)= .ب( 6 3
) ( ٢-٢-١ﻣﻔﮭوم اﻟﺗﻛرار اﻟﻧﺳﺑﻲ
(Relative Frequency Concept
ﯾﺷﺗرط ھذا اﻟﻣﻔﮭوم إﺟراء اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋدد ﻛﺑﯾر ﻣن اﻟﻣرات وﻣﻌرﻓﺔ ﻧﺗﺎﺋﺟﮭﺎ وﺑﻌد ذﻟك ﻗﯾﺎس اﻻﺣﺗﻣﺎل .ﻓﺈذا ﻛﺎﻧت Nﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻣرات ) اﻟﻣﺣﺎوﻻت ( trailsاﻟﺗﻲ أﺟرﯾت ﺑﮭﺎ ﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺎ ﺗﺣت ﻧﻔس اﻟظروف و nﺗﻣﺛل ﻋدد ﻣرات )اﻟﺗﻛرار( ظﮭور اﻟﺣﺎدﺛﺔ Aﺧﻼل Nﻣن اﻟﻣرات اﻟﺗﻲ ﻛررت ﻓﯾﮭﺎ اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع اﻟﺣﺎدﺛﺔ Aھو -: n P(A) lim N N n ھو اﻟﺗﻛرار اﻟﻧﺳﺑﻲ ﻟﻠﺣﺎدﺛﺔ Aﻓﻲ ھذه اﻟﺗﺟﺎرب اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ N .ﻋﺎدة ﺗﻛون ﻗﯾم ﺣﯾث N اﻟﺗﻛرار اﻟﻧﺳﺑﻲ ﻏرﯾﺑﺔ اﻷطوار ﻟﻠﻘﯾم اﻟﺻﻐﯾرة ﻣن Nوﻟﻛن ﻋﻧدﻣﺎ ﺗزﯾد ﻗﯾﻣﺔ ، Nﻓﻘد أوﺿﺣت اﻟﺧﺑرة n ﺗﻛﺗﺳب ﺑﻌض اﻻﻧﺗظﺎم اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ وﺗﺳﺗﻘر ﺣول ﻗﯾﻣﺔ ﺛﺎﺑﺗﺔ ھﻲ ) P(Aوﻟذﻟك ﻋرف أن اﻟﻧﺳﺑﺔ N n ﻋﻧدﻣﺎ ﯾزداد ﻋدد اﻟﻣﺣﺎوﻻت أو اﻟﺗﺟﺎرب وﯾؤول إﻟﻰ ﻣﺎ ﻻﻧﮭﺎﯾﺔ .اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﺄﻧﮫ ﻧﮭﺎﯾﺔ اﻟﻧﺳﺑﺔ N اﻟﻣﺑﻧﻰ ﻋﻠﻰ ھذا اﻟﻣﻔﮭوم ﯾﻘدر ﺑَﻌْ دِى ) a posterioriﺑﻌد اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ .(after fact
ﻣﺛﺎل ) (٥-١ ﻓﻲ ﻣﺻﻧﻊ ﻹطﺎرات اﻟﺳﯾﺎرات ﺗﺑﯾن أن ﻛل 100000إطﺎر ﻣﻧﺗﺞ ﯾﻛون ﻣن ﺑﯾﻧﮭﺎ 300إطﺎر ﺗ ﺎﻟف .ﻓﻣ ﺎ اﺣﺗﻣﺎل اﺧﺗﯾﺎر إطﺎر ﺗﺎﻟف؟
اﻟﺣــل: ﻋدد اﻹطﺎرات N=100000ﻋدد اﻹطﺎرات اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ ٠ n 300وﻋﻠﻰ ذﻟك اﺣﺗﻣﺎل اﺧﺗﯾﺎر إطﺎر ﺗﺎﻟف ھو -: 300 P(A) 0.003. 100000
) ( ٣-٢-١اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﺷﺧﺻﻲ
Subject Probability
ﺗﺑﻌﺎ ﻟﮭذا اﻟﻣﻔﮭوم ،اﻻﺣﺗﻣﺎل ھو درﺟﺔ اﻟﺛﻘﺔ ﻓﻲ وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ واﻟﻣﻘررة ﻣن ﺷﺧص ﻣﺎ ﺑﻧﺎء ﻋﻠﻰ دﻟﯾل ﻣﺗوﻓر ﻟدﯾﮫ ٠ھذا اﻟدﻟﯾل ﻗد ﯾﻛون أي ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻛﻣﯾﺔ أو ﻏﯾر ﻛﻣﯾﺔ .ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻗد ﯾﺣدد اﻟﺷﺧص اﻟﻘﺎﺋم ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺷﺗرﯾﺎت ﻓﻲ ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ اﻻﺣﺗﻣﺎل 0.25ﻟﻠﺣﺎدﺛﺔ أن ﺷﺣﻧﺔ ﻣﺎ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺛر 2%وﺣدات ﺗﺎﻟﻔﺔ ٠ھذا اﻟﻣﻔﮭوم ﯾﺧﺗﻠف ﻣن ﺷﺧص إﻟﻰ آﺧر وذﻟك ﻟﻌواﻣل ﻛﺛﯾرة ﻣﻧﮭﺎ اﻟﺧﺑرة٠
) (٤-٢-١اﻟﺧ واص اﻟﻣﻣﯾ زة ﻟﻘ ﯾم اﻻﺣﺗﻣ ﺎل Characteristics of Probability Numbers ١٤
إذا ﻛﺎن Sﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣراﻓق ﻟﺗﺟرﺑﺔ وإذا ﻛﺎﻧت A1 ,A 2 ,...ﺗﻣﺛل ﻛل اﻷﺣداث اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻓﺈن ﻗﯾم اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻘدرة ﻟﻸﺣداث اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻻﺑد أن ﺗﺗواﻓر ﻓﯾﮭﺎ اﻟﺷروط اﻵﺗﯾﺔ -: )أ( ﯾراﻓق ﻛل ﺣﺎدﺛﺔ Aﻋدد ﻣﻌﯾن ) P(Aﯾﺳﻣﻰ اﺣﺗﻣﺎل Aوﯾﺣﻘق P(A) 0 . )ب( اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ﻣؤﻛدة ﯾﺳﺎوى اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ،أي أن P(S) 1 )ج( إذا ﻛﺎﻧت A1 ,A 2 ,A3 ...ﻋدد ﻹﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟﺣوادث اﻟﻣﺎﻧﻌﺔ ﺑﺎﻟﺗﺑﺎدل أي Ai A j , i jﻓﺈن:
P(A1 A 2 A 3 ...) P(A1 ) P(A 2 ) P(A3 ) .... وﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أﻧﮫ إذا ﻛﺎﻧت A1 ,A 2 ,...,A nﺗﻣﺛل nﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎﻧﻌﺔ ﺑﺎﻟﺗﺑﺎدل ﻓﺈن -: P(A1 A 2 ... A n ) P(A1 ) P(A 2 ) ... P(A n ). أﯾﺿﺎ إذا ﻛﺎﻧت A1 , A 2 ,...A nﺗﻣﺛل ﺗﺟزﺋﺔ ﻟﻔراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ Sﻓﺈن : P(A1 A 2 ... A n ) P(A1 ) P(A 2 ) ... P(A n ) 1.
ﻣﺛﺎل)(٦-١ ﺻﻧﻌت زھرة ﻧرد ﺑﺣﯾث ﯾﻛون اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور اﻟرﻗم واﺣد ﺛﻼﺛﺔ أﺿﻌﺎف أي رﻗم آﺧر ،ﺑﯾﻧﻣﺎ ﻛ ل اﻟوﺟ وه اﻷﺧرى ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻟﻔرﺻﺔ ﻓﻲ اﻟظﮭور .ﻣﺎ ھ و اﺣﺗﻣ ﺎل ظﮭ ور اﻟ رﻗم اﺛﻧ ﯾن ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء اﻟﻧ رد ﻣ رة واﺣ دة؟ وﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور اﻟرﻗم واﺣد؟
اﻟﺣــل: ﻧﻔرض أن اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور اﻟرﻗم واﺣد ھو )P(1 ﻧﻔرض أن اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور أي رﻗم آﺧر ھو ) P(Aﺑﺣﯾث A 1 اﺣﺗﻣﺎل ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ . P(S) 1P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 P(1) 5 P(A) 1 وﺑﻣﺎ أن : P(1) 3P(A), وﻋﻠﻰ ذﻟك :
1 3P(A) 5P(A) 1 8P(A) 1 P(A) 8 إذن اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور اﻟرﻗم ) (2ھو:
1 P(2) 8 واﺣﺗﻣﺎل ظﮭور رﻗم ) (١ھو:
3 P(1) 8
) (٣-١ﺑﻌض ﻗواﻧﯾن اﻻﺣﺗﻣﺎل
Some Probability Laws ١٥
ﻋﺎدة ﯾﻛون ﻣن اﻟﺳﮭل ﺣﺳﺎب اﺣﺗﻣﺎل ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ ﻣن اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﻣﻌروﻓﺔ ﻟﻸﺣداث اﻷﺧرى وھذا ﯾﻛون ﺻﺣﯾﺢ إذا أﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺣﺎدﺛﺔ ﻛﺎﺗﺣﺎد ﻟﺣﺎدﺛﺗﯾن أﺧرﺗﯾن أو ﻣﻛﻣﻠﺔ ﻟﺣﺎدﺛﺔ ﻧظرﯾﺔ :ﻷي ﺣﺎدﺛﺗﯾن A , Bﻓﺈن: P(A B) P(A) P(B) P(A B).
ﻣﺛﺎل)(٧-١ ﻓ ﻲ ﻣدﯾﻧ ﺔ اﺣﺗﻣ ﺎل أن أﺳ رة ﺗﺷ ﺗري ﺗﻠﻔزﯾ ون ھ و 0.8واﺣﺗﻣ ﺎل أن ﺗﺷ ﺗري ﻏﺳ ﺎﻟﺔ ﻣﻼﺑ س ھ و 0.5 واﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﺷﺗري اﻻﺛﻧﯾن ﻣﻌﺎ ً ھ و ، 0.45ﻣ ﺎ ھ و اﺣﺗﻣ ﺎل أن ﺗﺷ ﺗري اﻷﺳ رة واﺣ د ﻣ ن اﻻﺛﻧ ﯾن ﻋﻠ ﻰ اﻷﻗل؟
اﻟﺣــل: اﺣﺗﻣﺎل أن اﻷﺳرة ﺗﺷﺗري ﺗﻠﻔزﯾون ھو P(A) 0.8 واﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﺷﺗري ﻏﺳﺎﻟﺔ ھو P(B) 0.5 واﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﺷﺗري ﺗﻠﻔزﯾون وﻏﺳﺎﻟﺔ ھو P(A B) 0.45 واﻟﻣطﻠوب اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﺷﺗري اﻷﺳرة ﺗﻠﻔزﯾون أو ﻏﺳﺎﻟﺔ )P(A B P(A B) P(A) P(B) P(A B) 0.8 0.5 0.45 0.85 ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎن Aﺣﺎدﺛﺔ و A cاﻟﺤﺎدﺛﺔ اﻟﻤﻜﻤﻠﺔ ﻟﮭﺎ ﻓﺈن : P(A) 1 P(Ac ).
ﻣﺛﺎل)(٨-١ إذا اﻟﻘﯿﺖ ﻋﻤﻠﺔ 7ﻣﺮات اوﺟﺪ اﺣﺘﻤﺎل ظﮭﻮر ﺻﻮرة ﻣﺮة ﻋﻠﻰ اﻻﻗﻞ .
اﻟﺣــل: ﺑﻔﺮض Aاﻟﺤﺎدﺛﺔ " ظﮭﻮر ﺻﻮرة ﻣﺮة ﻋﻠﻰ اﻻﻗﻞ " .ﻋﺪد اﻟﻨﻘﻂ ﻓﻰ ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ Sھﻮ . 27ﺑﻔﺮض ان اﻟﺤﺎدﺛﺔ A cﺗﻤﺜﻞ ﻋﺪم ظﮭﻮر اى ﺻﻮرة وﺣﯿﺚ ان اﻻﺣﺪاث ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﻰ اﻣﻜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺠﺪوث ﻓﺈن : 1 P(A c ) 7 .0078125. 2 اى ان : c P(A) 1 P(A ) 1 0078125 .9921875.
) (٤-١اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ
Conditional Probability
ﻓﻲ ﺑﻌض اﻟﺗﺟﺎرب ﯾﺗﺄﺛراﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟذي ﯾﺧﺻص ﻟﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ )ﻟﺗﻛن (Aﺑﺎﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﺣدوث أو ﻋدم ﺣدوث ﺣﺎدﺛﺔ أﺧرى وﻟﺗﻛن .Bﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻌﺑﺎرة :اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ Aﺑﺷرط وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ Bواﻟذي ﯾﺳﻣﻰ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ وﯾرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز ) P(A|Bوﯾﻘرأ" اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع A اﻟﺷرط وﻗوع ."B إذا ﻛﺎن ﻋدد اﻟﻧواﺗﺞ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻰ اﻣﻛﺎﻧﯾﺔ اﻟﺣدوث ﻓﺈن: ١٦
)n(A B . )n(B ﺣﯾث ) n(A Bﻋدد ﻧواﺗﺞ اﻟﺣﺎدﺛﺔ A Bو ) n(Bﻋدد ﻧواﺗﺞ اﻟﺣﺎدﺛﺔ . B ﻧﻔس اﻟﺷﺊ: )n(A B P(B | A) . )n(A ﺗﻌرﯾف :اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﺣﺎدﺛﺔ Aﺷرط Bﯾﻣﺛل ﺑﺎﻟﺻﯾﻐﺔ ) P(A | Bوﯾﻌرف ﺑﺎﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ : )P(A B P(A | B) , P(B) 0. )P(B ﯾﻌﺗﺑر ھذا اﻟﺗﻌرﯾف ﻋﺎم وﻻ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻓراغ ﻋﯾﻧﺔ ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ أﺣداث ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻲ إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ اﻟﺣدوث . وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ﯾﻣﻛن اﻟﻘول أن : )P(A B P(B | A) , P(A) 0. )P(A P(A | B)
ﻣﺛﺎل)(٩-١ ﺑﻔرض أن 100ﻣﺳﺗودع ﺗم ﺗﺻﻧﯾﻔﮭم ﺣﺳب اﻹدارة وﺣﺳب اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت)ﻋﺎﻟﻲ ،ﻣﺗوﺳط ، ﻣﻧﺧﻔض( ﻓﻲ ) (A,B,Cﺗﺑﻌﺎ ً ﻟﻠﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ اﻟﻣزدوج-: اﻹدارة
اﻟﻣﺟﻣوع C 2 26
4
20
ﻋﺎﻟﻲ
64
14
46
4
ﻣﺗوﺳط
10
7
2
1
ﻣﻧﺧﻔض
25
اﻟﻣﺟﻣوع
A
B
52 23 100 اﺳﺗﺧدم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﺟدول ﻓﻲ ﺣﺳﺎب: )أ( اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻋﺎﻟﯾﺔ . )ب( اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻣﺗوﺳطﺔ إذا ﻋﻠم أن اﻹدارة .A )ﺟـ( اﺣﺗﻣﺎل ان اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻣﺗوﺳطﺔ إذا ﻋﻠم أن اﻹدارة . B
اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت
اﻟﺣــل: 26 )أ( اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻋﺎﻟﯾﺔ ھو 100
)ب( اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻣﺗوﺳطﮫ إذا ﻋﻠم أن اﻹدارة . A 4 ) Aﻣﺘﻮﺳــــــــ 4 ـﻂ(|A)= Pﻣﺗوﺳط(P 100
25
100
25
)P(A
١٧
B) 4ﻣﺘﻮﺳـــــــــﻂ(n . )n(A 25 وذﻟك ﻻن ﺟﻣﯾﻊ ﻧواﺗﺞ اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻰ اﻣﻛﺎﻧﯾﺔ اﻟﺣدوث. )ج( اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻣﺗوﺳطﺔ إذا ﻋﻠم أن اﻹدارة . B
46 ) Bﻣﺘﻮﺳﻂ (P 46 100 . 52 )P ( B 52 100
= )| Bﻣﺘﻮﺳﻂ (P
ﻧظرﯾﺔ :إذا وﻗﻌت ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ Aﻓﻲ ﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺎ ،ﯾﺗﺑﻌﮭﺎ ﺣﺎدﺛﺔ Bﻓﺈن: P(A B) P(A)P(B | A). وﻋﻠﻰ ذﻟك اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع A , Bﻓﻲ ﺗرﺗﯾب ھو اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﻘﻊ Aأوﻻ ﻣﺿروﺑﺎ ﻓﻲ اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع B ،ﺷرط أن Aوﻗﻌت ٠ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن أن ﯾﻛون-: P(A B) P(B)P(A | B). وھذا ﯾﺗوﻗف ﻋﻠﻰ أي اﻟﺣﺎدﺛﺗﯾن ﻗد ﺗﻘﻊ أوﻻ.
ﻣﺛﺎل)(١٠-١ وﻋﺎء ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ 10وﺣ دات ﻣ ﻧﮭم 3ﺗ ﺎﻟﻔﯾن ﺳ ﺣﺑت وﺣ دﺗﯾن ﻣ ن اﻟوﻋ ﺎء اﻟواﺣ دة ﺗﻠ و اﻷﺧ رى ﺑ دون إرﺟﺎع .اﻟﻣطﻠوب )ب( اﺣﺗﻣﺎل وﺟود وﺣدة واﺣدة ﺗﺎﻟﻔﺔ. )أ( اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟوﺣدﺗﯾن ﻏﯾر ﺗﺎﻟﻔﺗﯾن
اﻟﺣــل: ﻋدد اﻟوﺣدات ،10ﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ ، 3وﻋدد اﻟوﺣدات ﻏﯾر اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ . 7 7 P(A) )أ( اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟوﺣدة اﻷوﻟﻰ ﻏﯾر ﺗﺎﻟﻔﺔ 10 6 واﺣﺗﻣﺎل أن اﻟوﺣدة اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻏﯾر ﺗﺎﻟﻔﺔ P(B) 9 اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ وﺣدﺗﯾن ﻏﯾر ﺗﺎﻟﻔﺗﯾن ھو: 7 6 42 P(A B) P(A) P(B | A) 10 9 90
ﻧظرﯾﺔ : ﻓﻲ أي ﺗﺟرﺑﺔ إذا وﻗﻌت اﻟﺣﺎدﺛﺔ ، A1ﯾﺗﺑﻌﮭﺎ اﻟﺣﺎدﺛﺔ ، A2ﯾﺗﺑﻌﮭﺎ اﻟﺣﺎدﺛﺔ ، A3وھﻛذا ،ﻓﺈن : P(A1 A 2 A 3 ...) P(A1 )P(A 2 | A1 )P(A3 | A1 A 2 )...
١٨
ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ،اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ Aﻻ ﯾﺗﺄﺛر وﻻ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ وﻗوع أو ﻋدم وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ أﺧرى ٠ Bﺑﻌﺑﺎرة أﺧرى وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻘﺎل أن Aﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن Bوﻋﻠﻰ ذﻟك )P(A | B) P(A وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓﺈن:
P(A B) P(A)P(B). ﺗﻌرﯾف :ﯾﻘﺎل أن اﻟﺣﺎدﺛﺗﯾن B ، Aﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن ، independentإذا وﻓﻘط إذا : P(A B) P(A)P(B).
ﻣﺛﺎل)(١١-١ ﺻوب ﺷﺧﺻﺎن ﻧﺎﺣﯾﺔ ھدف ﻣﺎ ،ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻓﻲ اﻟﻣﺗوﺳط Aﯾﻛﺳب 3ﻣن 5و Bﯾﻛﺳب 4ﻣن 8ﻣ ﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﮭدف ﻻ ﯾﺳﺗﮭدف إذا ﺻوب اﻻﺛﻧﯾن ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﮭدف؟
اﻟﺣــل: اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺳﺗﮭدف Aھو:
3 P(A) . 5 اﺣﺗﻣﺎل أن ﻻ ﯾﺳﺗﮭدف Aھو:
3 2 P(A c ) 1 P(A) 1 5 5 اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺳﺗﮭدف Bھو:
4 P(B) 8 اﺣﺗﻣﺎل أن ﻻ ﯾﺳﺗﮭدف Bھو:
4 4 8 8 اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﮭدف ﻻ ﯾﺳﺗﮭدف إذا ﺻوب ) B, Aاﻟﺣﺎدﺛﺗﺎن ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﺎن( ھو: 2 4 8 P(A c Bc ) P(Ac ) P(Bc ) . 5 8 40 إذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ A1, A 2 ,...A nﻣن اﻻﺣداث ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘول اﻧﮭم ﻣﺳﻘﻠﯾن إذا وﻓﻘط إذا : P A1 A2 ... An P A1 P A2 ...P An . P(BC ) 1 P(B) 1
) ( ٥-١اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻛﻠﻰ وﻗﺎﻋدة ﺑﯾﯾزTotal Probability and Bayes` Rule ﺑﻔرض أن اﻷﺣداث A1 ,A 2 ,...,A nﺗﻣﺛل ﺗﺟزﯾﺋﺎ ﻟﻔراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ وﻣﺎﻧﻌﺔ ﻟﺑﻌﺿﮭﺎ اﻟ ﺑﻌض واﺗﺣ ﺎدھم ھ و S
)أﺣداث ﻣﺎﻧﻌﺔ وﺷﺎﻣﻠﺔ ( mutually exclusive and exhaustive ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث ٠ n 6ﺑﻔرض أن Eأي ﺣﺎدﺛﺔ أﺧرى ﻓﺈن -: ١٩
E S E (A1 A 2 ... A n ) E =(A1 E) (A 2 E) ... (A n E).
ﻧظرﯾﺔ ) :ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻛﻠﻰ :(total probability ﺑﻔرض أن A1 ,A 2 ,...,A nﺗﻣﺛل nﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎﻧﻌﺔ وﺷﺎﻣﻠﺔ ،وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻷي ﺣﺎدﺛﺔ Eﻓﺈن -: n
P(E) P(A i )P(E | Ai ). i 1
ﻧظرﯾﺔ ) :ﻧظرﯾﺔ ﺑﯾﯾز (Bayes` Theorem إذا ﻛﺎﻧت A1 ,A 2 ,..., Anﺗﻣﺛل nﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎﻧﻌ ﺔ وﺷ ﺎﻣﻠﺔ وﻛ ﺎن ظﮭ ور إﺣ داھﻣﺎ ﯾﻧ ﺗﺞ ﻋﻧ ﮫ ظﮭ ور ﺣﺎدﺛﺔ أﺧرى ) Eأي أن Eﺗﻘﻊ إذا وﻗﻌت واﺣدة ﻣن اﻟﺣوادث اﻟﻣﺎﻧﻌﺔ ( ﻓﺈن -: ) P(A k )P(E | A k P(A k | E) n ,k 1, 2,...,n. ) P(A i )P(E | A i i 1
ﻣﺛﺎل)(١٢-١ طﺎﺋرة ﺗطﯾر ﯾوﻣﯾﺎ ﺑﯾن ﻣ دﯾﻧﺗﻲ ﻓ ﺈذا ﻛ ﺎن اﺣﺗﻣ ﺎل أن ﺗﻘ وم ﻓ ﻲ ﻣﯾﻌﺎدھ ﺎ 0.8اﺣﺗﻣ ﺎل أن ﯾﻛ ون اﻟﺟ و ﺟﯾ د ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗطﯾ ر ﻓ ﻲ ﻣوﻋ دھﺎ ھ و 0.9وﻋﻧ دﻣﺎ ﻻ ﺗطﯾ ر ﻓ ﻲ ﻣوﻋ دھﺎ ﻓ ﺈن اﺣﺗﻣ ﺎل أن ﯾﻛ ون اﻟﺟ و ردﯾﺋ ﺎ ھو .0.7إذا رﻛب ﺷﺧص اﻟطﺎﺋرة وﻛﺎن اﻟﺟو ﺟﯾد ﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟطﯾران ﯾﻛون ﻓﻲ ﻣﯾﻌﺎده ؟
اﻟﺣــل: ﻧﻔرض أن A1اﻟﺣدث أن ﺗﻘوم اﻟطﺎﺋرة ﻓﻲ ﻣﯾﻌﺎدھﺎ. A 2اﻟﺣدث أن ﺗﻘوم اﻟطﺎﺋرة ﻓﻲ ﻏﯾر ﻣﯾﻌﺎدھﺎ. E1Cاﻟﺟو ﻏﯾر ﺟﯾد . E1اﻟﺟو ﺟﯾد ، اﻟﻣطﻠوبP A1 | E1 : P ( E 1 | A 1 ) 0.9
E1
P ( A 1 ) 0. 8 C
P(E1 | A1 ) 0.1
C
P ( E1 | A 2 ) 0.3
E1
C
P(E1 | A 2 ) 0.7
E1
P ( A 2 ) 0.2 C
٢٠
A1
E1
A2
P A1 E1 0.8 0.9 0.72 , P E1 0.8 0.9 0.2 0.3 0.78. P A1 E1 0.72 P A1 | E1 0.923 , P E1 0.78
) (٦-١اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ
Random Variable
ﺗﺳﺗﺧدم ﻛﻠﻣﺔ ﺗﺟرﺑﺔ )ﻛﻣﺎ ذﻛرﻧﺎ ﺳ ﺎﺑﻘﺎ( ﻷي إﺟ راء ﻧﻌﻠ م ﻣﺳ ﺑﻘﺎ ﺟﻣﯾ ﻊ اﻟﻧ واﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻟ ﮫ وإن ﻛﻧ ﺎ ﻻ ﻧﺳﺗطﯾﻊ أن ﻧﺗﻧﺑﺄ ﺑﺄي ﻣن ھذه اﻟﻧواﺗﺞ ﺳﯾﺗﺣﻘق ﻓﻌﻼ ٠رﺑﻣﺎ ﻻ ﯾﻛون ﻣ ن اﻟﺿ روري دراﺳ ﺔ ﻓﺋ ﺔ ﻛ ل اﻟﻧ واﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ )ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ( ﻟﺗﺟرﺑﺔ إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ وﻟﻛن ﯾﻛون اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﻣﻧﺻﺑﺎ ﻋﻠ ﻰ ﻗ ﯾم رﻗﻣﯾ ﺔ ﻣرﺗﺑط ﺔ ﺑﮭ ذه اﻟﻧ واﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ٠إن اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ھذه ھﻲ ﻣﺎ ﻧﻌﺑر ﻋﻧﮫ ﺑﻘﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ٠ ﺗﻌرﯾف :اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻌرﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺎ واﻟﺗ ﻲ ﺗﺧﺻ ص ﻋ ددا ﺣﻘﯾﻘﯾ ﺎ ﻟﻛ ل ﻧﻘط ﺔ ﻋﯾﻧ ﺔ ﺗﺳ ﻣﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ٠ ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟرﻣز Xﻟﯾﻣﺛل اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ x ،ﻟواﺣدة ﻣن ﻗﯾﻣﮫ٠
ﻣﺛﺎل )(١٣-١ اﺧﺗﯾرت ﺑذرﺗﺎن ﻣن ﻧﺑﺎت ﻣزھر ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣن ﻛﯾس ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﺧﻣس ﺑذور زھورھﺎ ﺣﻣراء وﺛ ﻼث ﺑ ذور زھورھﺎ ﺻﻔراء وذﻟك ﻻﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﻓﻲ ﺗﺟرﺑﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ٠ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﻛون: }S {yy, ry, yr, rr ﺣﯾث rﺗرﻣز إﻟﻰ اﻟﺑذرة اﻟﺗﻲ زھورھﺎ ﺣﻣراء y ،ﺗرﻣز إﻟﻰ اﻟﺑذرة اﻟﺗﻲ زھورھﺎ ﺻﻔراء٠ ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻋرﻓﻧﺎ اﻟداﻟﺔ Xاﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻋ دد اﻟﺑ ذور اﻟﺗ ﻲ زھورھ ﺎ ﺣﻣ راء ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ٠ھ ذه اﻟداﻟ ﺔ ﺳ وف ﺗﺧﺻص ﻋدداﺣﻘﯾﻘﯾﺎ ﻟﻛل ﻧﻘطﺔ ﻋﯾﻧﺔ ﻓﻲ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ Sاﻟﻣراﻓق ﻟﺗﺟرﺑﺗﻧﺎ اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ٠ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻲ ﻧﺟد أن ﻛل ﻧﻘطﺔ ﻓﻲ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ارﺗﺑطت ﺑﻌددﺣﻘﯾﻘﻲ واﺣد ﻋن طرﯾق اﻟداﻟﺔ ٠ X x 0 1 1 2 yy ry yr ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ rr وﻋﻠﻰ ذﻟك Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺄﺧذ اﻟﻘﯾم . 0 , 1 , 2 ﻗ د ﯾﺣﺗ وى ﻓ راغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻋﻠ ﻰ ﻋ دد ﻣﺣ دود ﻣ ن اﻟ ﻧﻘط ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺛ ﺎل اﻟﺳ ﺎﺑق ،أو ﻗ د ﯾﻛ ون ﻓ راغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻻ ﻧﮭ ﺎﺋﻲ ﻣﻌ دود countable infinite sample spaceوھ و اﻟﻔ راغ اﻟ ذي ﯾﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ﻋ دد ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟﻌﻧﺎﺻر ﻟﻛﻧﮫ ﻗﺎﺑل ﻟﻠﻌد ،ﻣﺛل ﻋدد اﻟﺑﻛﺗرﯾﺎ ﻓﻲ ﻟﺗر ﻣن اﻟﻣﺎء اﻟﻧﻘﻲ وﯾﺳﻣﻰ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓراغ ﻋﯾﻧﺔ ﻣﻧﻔﺻل )ﻣﺗﻘطﻊ( ٠discrete sample spaceاﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﻌ رف ﻋﻠ ﻰ ﻓ راغ ﻋﯾﻧﺔ ﻣﻧﻔﺻل ﯾﺳ ﻣﻰ ﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ ﻣﻧﻔﺻ ل )ﻣﺗﻘط ﻊ( .أﯾﺿ ﺎ إذا ﻛ ﺎن ﻓ راغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﯾﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ﻋ دد ﻻ ﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟ ﻧﻘط infinite sample spaceاﻟﻐﯾ ر ﻣﻌ دودة ﻣﺛ ل ﻛ ل اﻷط وال اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ،اﻷوزان ،درﺟ ﺎت اﻟﺣ رارة ...،اﻟ ﺦ ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘ ول أن ﻓ راغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻣﺗﺻ ل )ﻣﺳ ﺗﻣر( ٠continuous sample spaceاﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﻌ رف ﻋﻠ ﻰ ﻓ راغ ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣﺗﺻ ل ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﺗﺻ ل .ﻓ ﻲ ﻣﻌظ م اﻟﺗطﺑﯾﻘ ﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﻧﻔﺻ ﻠﺔ ﺗﻣﺛ ل ﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻗﺎﺑﻠ ﺔ ﻟﻠﻌ د ،ﻣﺛ ل ﻋ دد اﻟﺣ وادث ﻓ ﻲ اﻟﺳ ﻧﺔ ،ﻋ دد اﻷﺧط ﺎء ﻓ ﻲ ﺻﻔﺣﺔ ﻣن ﻗﺎﻣوس ،ﻋدد اﻟﻔﺋران ﻓﻲ ﻓدان ﻣن اﻟﻘﻣ ﺢ٠٠٠اﻟ ﺦ ٠أﻣ ﺎ اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻ ﻠﺔ ﻓﺗﻣﺛ ل ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻘﺎﺳﺔ٠
٢١
) (٧-١اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﻧﻔﺻﻠﺔ )اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ( Discrete Probability Distributions ﻛ ل ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣ ن ﻗ ﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﻧﻔﺻ ل ﯾﻔ رض ﻟﮭ ﺎ اﺣﺗﻣ ﺎل ﻓﻔ ﻲ ﻣﺛ ﺎل ) (١٣-١ﺗﺣﺳ ب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xاﻟذي ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟﺑذور اﻟﺗﻲ زھورھﺎ ﺣﻣراء ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ )إذا ﻛﺎن اﻻﺧﺗﯾﺎر ﺑدون إرﺟﺎع( ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ-: 3 2 6 P(X 0) P(yy) ( ) ( ) , 8 7 56 5 3 3 5 30 P(X 1) P(ry) P(yr)=( ) ( ) ( ) ( ) , 8 7 8 7 56 5 4 20 P(X 2) P(rr) ( ) ( ) . 8 7 56 اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﻣﻊ اﺣﺗﻣﺎﻻﺗﮭﺎ ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ -: 2 20 56
0 6 56
1 30 56
x )P(X=x
ﻣﺟﻣوع اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﺗﺳﺎوى اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ٠ ﺗﻌرﯾف :ﻛل ﺟدول أو ﺻﯾﻐﺔ ﺗﻌطﻰ ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻘﯾم اﻟﺗﻲ ﯾﺄﺧذھﺎ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﻧﻔﺻل ،ﻣﻊ اﺣﺗﻣﺎل ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻧﮭﺎ ﯾﺳﻣﻰ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻣﻧﻔﺻل٠
ﻣﺛﺎل)(١٤-١ إذا ﻛ ﺎن Xﻣﺗﻐﯾ را ﻋﺷ واﺋﯾﺎ ﯾﻣﺛ ل ﻋ دد اﻟﺻ ورة اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء ﻋﻣﻠﺗ ﯾن ﻣ رة واﺣ دة ﻓ ﺈن . x 0,1, 2ﻓﻣﺎ ھو اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X؟
اﻟﺣــل : اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾﻠﮫ ﺑﺎﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ : 2 0.25
1 0.5
0 0.25
x )f(x
ﻟﺗﻛن اﻟداﻟﺔ ) f(xﺑﺣﯾث أن f (x) > 0و x Rﺣﯾث Rﻓﺿﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ ،ﻓـﺈذا أﻣﻛـن اﻟﺗﻌﺑﯾـر ﻋن ) ، B R ، P(Bﻛداﻟﺔ ﻓﻲ ) f(xﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ :
f (x) 1 . R
٢٢
ﻓــﺈن Xﯾﺳ ــﻣﻲ ﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﻣــن اﻟﻧ ــوع اﻟﻣﺗﻘطــﻊ وﯾﻘ ــﺎل أن اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻲ Xﻟــﻪ ﺗوزﯾ ــﻊ ﻣــن اﻟﻧ ــوع اﻟﻣﺗﻘطـﻊ .ﺗﺳـﻣﻰ ) f (xداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﺣﺗﻣـﺎل (p.d. f.) probability densityﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ ﻣﺗﻘطـﻊ
. Xﻛﺛﯾــر ﻣــن اﻟﻣــؤﻟﻔﯾن ﯾطﻠﻘــون اﺳــم داﻟــﺔ اﻟﻛﺗﻠــﺔ mass functionﻋﻠــﻰ داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾــر
ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﻣﺗﻘطــﻊ وذﻟــك ﻷﻧــﻪ ﯾﻣﻛــن اﻋﺗﺑــﺎر ﺑﯾــﺎن داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﻛﻣﺟﻣوﻋــﺔ ﻣــن اﻟﻛﺗــل وﻛــل ﻛﺗﻠــﺔ ﺗﻘــﻊ ﻋﻠـﻰ ﻧﻘطـﺔ ﻣـن اﻟﻧﻘـﺎط … x1 , x2 , x3 ,ﻋﻠـﻰ اﻟﺧـط اﻷﻓﻘـﻲ وﻋﻠـﻰ ذﻟـك ﻓـﺈن اﻟـوزن ﻟﻠﻛﺗﻠـﺔ اﻟﺗـﻲ ﺗﻘـﻊ ﻋﻠـﻰ x iﯾﻘﺎﺑل اﺣﺗﻣﺎل أن Xﺗﺳﺎوى . x i ﻣﺛﺎل )(١٥-١ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﺣﯾث : 4
!4 1 f (x) ; , x 0, 1, 2, 3, 4 x!(4 x)! 2 = 0 e.w. ﻟﯾﻛن :
)P(B) f (x B
وﻛﺎﻟﻌﺎدة ) .(0! = 1إذا ﻛﺎﻧت } B {x x 0,1ﻓﺈن : 4
4
4! 1 4! 1 5 P(B) . 0!4! 2 1!3! 2 16
) ( ١-٧-١داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ
The Distribution Function
ﺑﻔــرض أن Xﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﻣــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺗﻘطــﻊ وﻛــﺎن اﺣﺗﻣــﺎل اﻟﺣﺎدﺛــﺔ Bﻫــو ) P(Bﺣﯾــث Bﻓﺋــﺔ
ﻓـﻲ اﻟﺑﻌــد اﻷولٕ .واذا ﻛــﺎن xﻋـدد ﺣﻘﯾﻘــﻲ وﻛﺎﻧــت Bﻓﺋـﺔ ﻣــن إﻟــﻲ xﺣﯾـث ﺗﺷــﺗﻣل ﻋﻠــﻰ اﻟﻧﻘطــﺔ . x ﻟﻣﺛل ﻫذﻩ اﻟﻔﺋﺎت Bﻓﺈن : P(B) P(X x) .
ﺣﯾــث ﯾﻌﺗﻣــد اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﻋﻠــﻰ اﻟﻧﻘطــﺔ ، xأي أن ﻫــذا اﻻﺣﺗﻣــﺎل داﻟــﺔ ﻓــﻲ اﻟﻧﻘطــﺔ . xﯾرﻣــز ﻟداﻟــﺔ اﻟﻧﻘطــﺔ ﻫــذﻩ ﺑﺎﻟرﻣز ) . F( x ) P(X xﺗﺳﻣﻰ اﻟداﻟﺔ ) F(xداﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ) داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌـﻲ cumulative
٢٣
(distribution functionﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ .Xوﺑﻣــﺎ أن ) ، F( x ) P(X xﺣﯾــث ) f(xداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ،ﻓﺈن : F(x) f (w). wx
ﻣﺛﺎل )(١٦-١ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل : 4
3
2
1
x
.1
.2
.3
.4
)P(X=x
أوﺟد ) F(xوﻣﺛﻠﻬﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ . اﻟﺣــل: F(1) P(X 1) P(X 1) f (1) .4, )F(2) P(X 2) P(X 1 or 2 = f(1) + f(2) = .7,
)F(3) P(X 3) P(X 1 or 2 or 3 f (1) f (2) f (3) .9, )F(4) P(X 4) f (1) f (2) f (3) f (4 1, وﻋﻠﻰ ذﻟك :
F(x) 0
x 1 1 x 2 2x3
.4 .7
3 x 4
.9
4 x.
1
ﺑﯾﺎن ) F(xﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ .
٢٤
ﻫﻧﺎك ﺑﻌض اﻟﺧواص ﻟداﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﻧذﻛر ﺑﻌﺿﻬﺎ : )أ( . 0 F( x ) 1 )ب( اﻟداﻟﺔ ) F(xﻏﯾر ﺗﻧﺎﻗﺻﯾﺔ ﻓﻲ xﺑﻣﻌﻧﻰ أﻧﻪ إذا ﻛﺎﻧت x x ﻓﺈن :
)F(x) F(x )ج( F() 1و . F() 0
)د( )P(X b) F(b) F(b
ﺣﯾث ) F(b-ﻫﻲ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ﻟﻠداﻟﺔ ) F(xﻋﻧد .x = bوﻋﻠﻰ ذﻟك اﻻﺣﺗﻣﺎل أن X = bﻫو
طول اﻟﻘﻔزة اﻟﺗﻲ ﺗﺄﺧذﻫﺎ ) F(xﻋﻧد . x = b )ﻫـ( اﻟداﻟﺔ ) F(xﻣﺗﺻﻠﺔ ﻣن اﻟﯾﻣﯾن ﻋﻧد ﻛل ﻧﻘطﺔ . xأي أن F( a+) - F(a) = 0 : ﺣﯾث ) F(a+ﻫﻲ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﻣن اﻟﯾﻣﯾن ﻟﻠداﻟﺔ ) F(xﻋﻧد .x = aوﻋﻠﻰ ذﻟك ) F(xﻣﺗﺻﻠﺔ ﻣن اﻟﯾﻣﯾن ﻋﻧد ﻛل ﻧﻘطﺔ.
) ( ٢-٧-١اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ
Expected Values
ﯾﻣﻛن ﺗﻌرﯾف اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ اﻟﻣﺗﻘطﻊ Xﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
E(X) X x f (x) . x
ﺣﯾث ) E(Xﻣوﺟود ﻓﻘط إذا ﻛﺎن E x أي أن ، E x x f ( x ) أي ﯾﺗﻘﺎرب اﻟﻣﺟﻣوع x
ﻣطﻠﻘﺎ ٕ .واذا ﻟم ﯾﺗﺣﻘق ﻫذا اﻟﺷرط ﻓﺈﻧﻪ ﻻ ﯾوﺟد ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺗوﻗﻌﺔ أو ﻣﺗوﺳط .ﻋﺎدةً ﯾﺳﺗﺑدل ً ﺗﻘﺎرﺑﺎ
اﻟرﻣز Xﺑﺎﻟرﻣز ﺣﯾث ﯾﺣذف اﻟدﻟﯾل وذﻟك ﻋﻧد اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ واﺣد .
٢٥
ﻓﻲ ﻣﺠﺎل اﻹﺣﺼﺎء ﯾﻌﺘﺒﺮ ﻣﻘﯿﺎس ﻟﻤﻮﻗﻊ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ) أو ﻣﻘﯿﺎس ﻟﻠﻨﺰﻋﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ( ﻣﺛﺎل )(١٧-١ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ًار ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﺑداﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﻌرﻓﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : x , x 1, 2,3 f (x) 6 0 , e.w. أوﺟد ). (X اﻟﺣــل: 3 3 x x2 ( ) xf (x) x( ) 6 x x 1 x 1 6 1 4 9 2.333. 6 6 6
ﻧظرﯾﺔ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل )ٕ f(xواذا ﻛﺎﻧـت ) u(xﻗﯾﻣـﺔ ﺣﻘﯾﻘﯾـﺔ ﻟداﻟـﺔ ﻣﺟﺎﻟﻬـﺎ ﻛـل اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن Xﻓﺈن :
)E u(X) u(x) f (x x
ﺗﺑﻌــﺎً ﻟﻠﻧظرﯾــﺔ اﻟﺳــﺎﺑﻘﺔ ﻓــﺈن ]) E [u (xﯾﻣﻛــن ﺣﺳــﺎﺑﻬﺎ ﺑــﻧﻔس طرﯾﻘــﺔ ﺣﺳــﺎب ) E (Xﻓﯾﻣــﺎ ﻋــدا ) u(xﺗﺣــل ﻣﺣل . x
ﻣﺛﺎل )(١٨-١
ﯾرﻏــب ﻣرﻛــز ﺗﺟــﺎري ﻓــﻲ ﺷ ـراء ﺛﻼﺛــﺔ ﺣواﺳــب آﻟﯾــﺔ ﺑﺳــﻌر $500ﻟﻠﺣﺎﺳــب اﻟواﺣــد ﺛــم ﯾﺑﯾــﻊ اﻟﺣﺎﺳــب اﻟواﺣ ــد ﺑﺳ ــﻌر $1000وﻗ ــد واﻓ ــق اﻟﻣﺻ ــﻧﻊ ﻋﻠ ــﻰ أﻋ ــﺎدة ﺷـ ـراء أي ﺣﺎﺳ ــب ﻻ ﯾﺑ ــﺎع ﺑﻌ ــد ﻓﺗـ ـرة زﻣﻧﯾ ــﺔ ﺑﺳ ــﻌر . $200
إذا ﻛﺎﻧت Xﺗرﻣز ﻟﻌدد اﻟﺣﺎﺳﺑﺎت اﻟﻣﺑﺎﻋﺔ ٕواذا ﻛﺎن f(3) = .4 , f(2) = .3 , f(1) = .2 , f(0) = .1 ٕواذا ﻛﺎن ) u(Xﺗﻣﺛل اﻟرﺑﺢ اﻟﻧﺎﺗﺞ ﻣن ﺑﯾﻊ Xوﺣدة ﻓﺈن : u(X) = 1000X + 200 (3 – X) – 1500 = 800 X - 900 اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠرﺑﺢ ﻫﻲ : )E[ u(X) ] = u(0) . f(0) + u(1) .f(1) + u(2) f(2) + u(3) . f(3 ٢٦
)= (-900) (.1) + (-100) (.2) + (700) (.3) + (1500) (.4 = 700 $ . ﺗﻌرﯾف :اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﻫو :
Var(X) E[(X )2 ﻫﻧ ـ ــﺎك رﻣ ـ ــوز أﺧ ـ ــرى ﻟﻠﺗﺑ ـ ــﺎﯾن ﻣﺛ ـ ــل 2أو . 2Xاﻟﺟ ـ ــذر اﻟﺗرﺑﯾﻌ ـ ــﻲ ﻟﻠﺗﺑ ـ ــﺎﯾن ﯾﺳ ـ ــﻣﻲ اﻻﻧﺣـ ـ ـراف اﻟﻣﻌﯾ ـ ــﺎري standard deviationﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ .Xأي أن :
) X Var(X
ﯾﻌطﻲ اﻟﺗﺑـﺎﯾن ﻣﻘﯾـﺎس ﻟﻠﺗﺷـﺗﯾت variabilityأو ﻛﻣﯾـﺔ اﻻﻧﺗﺷـﺎر spreadﻟداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر X .وﯾﻣﻛن ﺗوﺿـﯾﺢ ذﻟـك ﻣـن اﻟﺷـﻛﻠﯾن اﻟﺗـﺎﻟﯾﯾن واﻟﻠـذان ﯾﻣـﺛﻼن داﻟﺗـﯾن ﻣﺧﺗﻠﻔﺗـﯾن ) (p.d.f.ﺣﯾـث 4ﻟﻛـﻼ اﻟداﻟﺗﯾن ﺑﯾﻧﻣﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻻول ﻟﻪ ﺗﺷﺗت أﻗل ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺷﻛل اﻟﺛﺎﻧﻰ.
٢٧
ﻣﺛﺎل )(١٩-١ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﺑداﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل : 4
3
2
1
x
2 8
3 8
2 8
1 8
)f(x
أوﺟد اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ . X اﻟﺣــل: ﯾﺣﺗوي اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﺣﺳﺎب اﻟﺗﺑﺎﯾن :
) ( x ) 2 f ( x
( x ) 2
)( x
)x f (x
) f (x
x
49 128 18 128 3 128 50 128 120 2 128 أي أن :
49 16 9 16 1 16 25 16
7 4 3 4 1 4 5 4
1 8 4 8 9 8 8 8
1 8 2 8 3 8 2 8
1
22 8 22 , 8
2 3 4 اﻟﻣﺟﻣوع
E(X) xf (x) x
2
Var(X) E[X ]2 120 . 128
(x )2 f (x) x
ﻋدد اﻟﻌﻣﻠﯾﺎت اﻟﺣﺳﺎﺑﯾﺔ اﻟﺿرورﯾﺔ ﻟﺣﺳﺎب 2ﯾﻣﻛن اﺧﺗزاﻟﻬﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺑدﯾﻠﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : Var(X) 2 E(X) 2 [E(X)]2 x 2f (x) 2 . x
٢٨
ﻛﻣــﺎ ذﻛرﻧــﺎ ﺳــﺎﺑﻘﺎ ﻓــﺈن اﻟﺗﺑــﺎﯾن ﯾﻣــدﻧﺎ ﺑﻣﻘﯾــﺎس ﻟﻛﻣﯾــﺔ اﻻﻧﺗﺷــﺎر ﻓــﻲ داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل أو اﻟﺗﺷــﺗت ﺣــول ﻋﻧﺎﺻـر اﻟﻣﺟﺗﻣـﻊ .إذا ﻛـﺎن Xﯾﺄﺧـذ ﻗﯾﻣـﺔ واﺣـدة ﻓﻘـط ،أي أن P(X=c) =1ﻓـﻲ ﻫـذﻩ اﻟﺣﺎﻟـﺔ E(X) = c
و . Var(X) = 0
ﻣﺛﺎل )(٢٠-١ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل : f(x) = .5 x=2 = .25 x = 4, 8 اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻬذﻩ اﻟداﻟﺔ ﯾﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : E(X) = (2) (.5) + (4) (.25) + (8) (.25) = 4 , )E(X2) = (22) (.5) + 42 (.25) + 82 (.25 = 22 . اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻫو : 2
2
2
]) E(X ) [E(X 22 4 2 6.
اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻫو : 6 2.45.
)(٣-٧-١اﻟﻌـزوم Moments ﺑﻔرض أن u(X) = X rﻓﺈن اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﺣول ﻧﻘطﺔ اﻷﺻل ﯾﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : )أ( ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون r = 0ﻓﺈن :
'r E ( X r ) x r f ( x ) , r 1, 2,3,...
'0 E(X 0 ) x 0f (x) f (x) 1 x
x
)ب( ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون r 1ﻓﺈن : 1' E(X) x f (x) . x
ﺑﻔرض أن u ( X ) ( X ) rﻓﺈن اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﯾﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ: r E(X ) r (x ) r f (x), r 1,2,3,... x
)ا( ﻋﻧدﻣﺎ r = 1ﻓﺈن . 1 0 )ب( ﻋﻧدﻣﺎ r = 2ﻓﺈن . 2 2 ٢٩
ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋن اﻟﻌزم ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﺑدﻻﻟﺔ اﻟﻌزم ﺣول اﻟﺻﻔر ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : r r ()r j 'j. j0 j
ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻧدﻣﺎ r = 2ﻓﺈن : 2 2 2 2 ()2 j 'j j 0 j
2 () 2 '0 () 1' '2 1 2 2 2 '2 .
أي أن :
2 '2 2 . r
X u(X) ﻓــﺈن اﻟﻌــزم اﻟﻘﯾﺎﺳــﻲ ﻣــن اﻟدرﺟــﺔ ) rاﻟﻣﻌﯾــﺎري ( ﻟﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ X ﺑﻔــرض أن ﯾﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : r
r
X x r E ) f (x x r 1,2,3,.... ﻋﻧدﻣﺎ r = 1ﻓﺈن :
1 0 . ﻋﻧدﻣﺎ r = 2ﻓﺈن:
2 1. ﻋﻧدﻣﺎ r = 3ﻓﺈن :
3 . 32 / 2
3
واﻟذي ﯾﺳﻣﻲ ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء. ﻋﻧدﻣﺎ r = 4ﻓﺈن :
4 . 22
4 ٣٠
واﻟذي ﯾﺳﻣﻲ ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ . ﻣﺛﺎل)(٢١-١ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل : 4
3
2
x
0.25
0.5
0.25
)f(x
3
أوﺟد اﻟﻌزوم اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ اﻻرﺑﻌﺔ اﻻوﻟﻰ و ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء وﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ. اﻟﺣــل: اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ﯾﻌطﻲ اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﻌزوم اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ :
ﺑﻔرض أن :
اﻟﺟدول ﺳﯾﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺻورﻩ اﻟﺗﺎﻟﯾﻪ:
X .
Z u X
z 4 g z
z 3 g z
z 2 g z
zgz
g z
z
f x
x
0.999 1
0.706
0.455 0.5
0.3535
0.25
1.414
0.25
2
0
0
0
0
0 .5
0
0 .5
3
0.999 1
0.706
0.455 0.5
0.3535
0.25
1.414
0.25
4
1.999 2
0
1
0
1
0
1
اﻟﻣﺟﻣوع
1 0 , 2 1 , 3 0 , 4 1.998 2. ﻣن اﻟواﺿﺢ أن 3ﻫو ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء و ﯾﻌطﻰ اﯾﺿﺎ ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ:
.
3 2 3 2
3
و أن 4ﻫو ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ و ﯾﻌطﻰ اﯾﺿﺎ ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ:
٣١
4 . 2 2
4
)(٤-٧-١اﻟﻣﻧوال واﻟوﺳﯾط Mode and Median ﺗﻌرﯾ ف :اﻟﻣﻧـوال ﻫــو اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﺗــﻰ ﻋﻧـدﻫﺎ ﺗﻛــون داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ ﻣــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺗﻘطــﻊ Xﻟﻬ ــﺎ أﻛﺑ ــر ﻗﯾﻣ ــﺔ أي أن ) أي ﻗﯾﻣ ــﺔ أﺧ ــرى = ) > P ( Xاﻟﻣﻧـ ـوال = P (Xوﻫ ــذا ﯾﻌﻧ ــﻰ أن داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻗد ﯾﻛون ﻟﻬﺎ أﻛﺛر ﻣن ﻣﻧوال . ﻣﺛﺎل)(٢٢-١ أوﺟد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠداﻟﺔ اﻵﺗﯾﺔ : x 1,2,3,....
e.w.
,
1 f (x) ( ) x 2 =0
اﻟﺣــل: 1 اﻟﻣﻧوال ﻫو x = 1وذﻟك ﻷن ) أي ﻗﯾﻣﺔ أﺧرى = P (X 2
. P ( X 1)
ﻣﺛﺎل)(٢٣-١ أوﺟد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠداﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : f(x) = .05 = .1 = .2 = .15 = .1
x=1 x = 2, 3 x = 4, 5 x=6 x = 7, 8 اﻟﺣــل:
٣٢
اﻟﻣﻧـوال ﻫـو x = 4, 5أي أن اﻟﺗوزﯾـﻊ ﺛﻧـﺎﺋﻲ اﻟﻣﻧـوال .unimodalداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ Xﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وﻣوﺿﺢ ﻋﻠﯾﻬﺎ اﻟﻣﻧوال :
ﺗﻌرﯾف :اﻟوﺳﯾط ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﻫو اﻟﻘﯾﻣﺔ xﺑﺣﯾث أن : 1 1 P(X x) and P(X x) . 2 2 ﻣﺛﺎل)(٢٤-١ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل : 4
3
2
1
x
0
½
½
0
)f(x
أوﺟد اﻟوﺳﯾط ؟ اﻟﺣــل: اﻟوﺳﯾط ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﻫو اﻟﻘﯾﻣﺔ xاﻟﺗﻲ ﺗﺣﻘق أن : 1 1 P(X x) and P(X x) . 2 2
PX x
PX x
x
0 1 2
0
1
0
2
٣٣
1 2 1
1 1
3
4
وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟوﺳﯾط أى ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة اﻟﻣﻐﻠﻘﺔ . 2 x 3
) (٨-١اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ )اﻟﻣﺳﺗﻣرة( Continious Probability Distributions ﺑﻔرض أن Rﯾﻣﺛل ﻓﺿﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﻓﻲ اﻟﺑﻌد اﻷول ٕواذا ﻛﺎن : f (x) dx 1. R )ب( ) f(xﻟﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺛر ﻋدد ﻣﺣدود ﻣن ﻋدم اﻻﺗﺻـﺎل ﻓـﻲ ﻛـل ﺣﯾث )أ( f(x) > 0 , x R ﻓﺗـرة ﻣﺣــدودة ﺗﻣﺛــل ﻓﺋــﺔ ﺟزﺋﯾــﺔ ﻣــن ٕ Rواذا ﻛﺎﻧــت داﻟــﺔ اﻟﻔﺋــﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ ) ، B R , P(Bﯾﻣﻛــن اﻟﺗﻌﺑﯾــر ﻋﻧﻬﺎ ﻛﺎﻵﺗﻲ :
P(B) f (x) dx . B ﻓــﻲ ﻫــذﻩ اﻟﺣﺎﻟــﺔ ﯾﻘــﺎل أن Xﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻــﻼً وﻟــﻪ داﻟــﺔ ﻣــن ﻫــذا اﻟﻧــوع ) f (xﺗﺳــﻣﻰ داة ﻛﺛﺎﻓــﺔ
اﻻﺣﺗﻣﺎل .وﻣن أﻣﺛﻠﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻـﻠﺔ ﻛﻣﯾـﺔ زﯾـت اﻟﺑﺗـرول اﻟﻣﺳـﺗﺧرﺟﺔ ﻣـن ﺑﺋـر ﺑﺗـرول ،ﻛﻣﯾـﺔ
اﻟﻛﺣل اﻟﻣﻘطرة ﻓﻲ ﻋﻣﻠﯾﺔ اﻟﺗﻘطﯾـر ،ذﻛـﺎء طﻔـل ،اﻟﻣﺳـﺎﻓﺔ اﻟﺗـﻲ ﺗﻘطﻌﻬـﺎ ﺳـﯾﺎرة ﺑﺟـﺎﻟون ﺑﻧـزﯾن ،ﺿـﻐط اﻟـدم ،اﻟطول ،اﻟوزن . ﻣﺛﺎل ) ( ٢٥ -١ ﻓرض أن اﻟﺷﺧص Iﯾﺳﺗﻘل وﺳﯾﻠﺔ اﻟﻧﻘل اﻟﻌﺎم ﻓﻲ اﻟذﻫﺎب إﻟﻲ ﻋﻣﻠﻪ .وﺑﻔرض أن ﻛل ﺧﻣﺳﺔ
دﻗﺎﺋق ﺗﺻل ﺳﯾﺎرة إﻟﻰ اﻟﻣﺣطﺔ .إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ًار ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻﻼً ﯾﻣﺛل زﻣن اﻻﻧﺗظﺎر ﻟﻬذا اﻟﺷﺧص ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣطﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة ] [ 0 , 5ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل : 0 x 5 , e.w.
1 f (x) 5 0
داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ) f (xﻣوﺿﺣﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣن اﻟواﺿﺢ أن f (x) 0وأن 1 5. 1 . 5 اﺣﺗﻣﺎل أن Iﺳوف ﯾﻧﺗظر ﻣن 1إﻟﻲ 3دﻗﺎﺋق اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗﺳﺎوي ﻫو :
x 3 2 . 5 1 5
dx
3 1
1 5
ﻫذا اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ: 1 . 5
5 4
x 5
٣٤
dx 0 dx 5
3
P(1 X 3) f (x) dx 1 5 1
P(X 4) f (x) dx
4 5
4
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﯾﺳﻣﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم .
) (١-٨-١داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ The Distribution Function داﻟـﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷـواﺋﻲ ﻣﺗﻘطــﻊ ) ، F(xﻷي ﻋــدد ﺣﻘﯾﻘـﻰ ، X ،ﻫــﻲ ) P(X < xوﯾﻣﻛــن اﻟﺣﺻـول ﻋﻠﯾﻬـﺎ ﺑﺟﻣـﻊ ) f(yﻋﻠـﻰ ﺟﻣﯾـﻊ ﻗـﯾم yاﻟﺗـﻲ ﺗﺣﻘـق اﻟﺷـرط أن y < x
.أﯾﺿـﺎ ﻓـﺈن داﻟـﺔ اﻟﺗوزﯾـﻊ
ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ﻣﺗﺻل ﻫﻲ ) P(X < xوﻟﻛن ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑﺗﻛﺎﻣل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺘﻤ ﺎل )f(y ﻣن ﺣﺘﻰ . x
ﺗﻌرﯾف :داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ) F(xﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل ﻷي ﻋدد ﺣﻘﯾﻘﻰ xﺗﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : x
F( x ) P(X x ) f ( y) dy .
ﺗﻣﺛـل اﻟداﻟـﺔ ) F(xﻷي ﻋـدد ﺣﻘﯾﻘـﻲ xاﻟﻣﺳـﺎﺣﺔ ﺗﺣـت اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ ﻟداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻋﻠـﻰ ﯾﺳـﺎر اﻟﻌــدد x ﻛﻣـﺎ ﻫـو ﻣوﺿــﺢ ﻓـﻲ اﻟﺷـﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻰ .أﯾﺿـﺎ ﯾﻼﺣـظ ﻣــن ﺑﯾـﺎن ) F(xأن ) F(xﺗزﯾـد زﯾــﺎدة ﻣﺿـطردة ﻣـﻊ زﯾــﺎدة . x
٣٥
ﺗﺣﻘق داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ) F(xﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
)أ(
0 F(x) 1
)ب( اﻟداﻟـﺔ ) F(xﺗﺗ ازﯾـد ﺗ ازﯾـداً ﻣﺿـطرداً ﻟﺟﻣﯾـﻊ ﻗـﯾم ، xأي أﻧـﻪ إذا ﻛﺎﻧـت a , bﻗﯾﻣﺗـﯾن ﻓـﻲ ﻧطـﺎق اﻟداﻟﺔ ) F(xﻓﺈن ). a b F(a ) F(b )ج( اﻟداﻟﺔ ) F(xﻣﺗﺻﻠﺔ ﻋﻧد ﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم . x
ﯾرﺟﻊ أﻫﻣﯾﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ) F(xﻓﻲ أﻧﻪ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣـﺎﻻت ﻟﻠﻔﺗـرات اﻟﻣﺧﺗﻠﻔـﺔ وذﻟـك ﻣـن ﺻـﯾﻐﺔ )F(x أو ﺟدول ﺧﺎص ﺑداﻟـﺔ اﻟﺗوزﯾـﻊ ) . F(xﻓـﺈذا ﻛـﺎن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﺑداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﺣﺗﻣـﺎل ) f (xوداﻟـﺔ ﺗوزﯾـﻊ ) F(xﻓﺈﻧﻪ ﻷي ﻗﯾﻣﺗﯾن a , bﺣﯾث a < bﯾﻛون: P(a X b) F(b) F(a ) .
واﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
٣٦
ﻣﺛﺎل)(٢٦-١
إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻﻼً وﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل: 1 f (x) , 0x6 6 0 , e.w. ﻟﻘـﯾم
x < 0ﻓـﺈن F(x) = 0وذﻟـك ﻟﻌـدم وﺟـود ﻣﺳـﺎﺣﺔ ﺗﺣـت اﻟﻣﻧﺣﻧـﻰ ﻟداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻋﻠـﻰ
ﯾﺳـﺎر اﻟﻘﯾﻣـﺔ Xﻟﻘـﯾم x > 6ﻓـﺈن F(x) = 1وذﻟـك ﻷن ﻛـل اﻟﻣﺳـﺎﺣﺔ ﺗﺗﺟﻣـﻊ إﻟـﻲ اﻟﯾﺳـﺎر ﻣـن X ﻓﻲ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﻟﻘﯾم 0 x 6ﻓﺈن : x
x 1
x 1 x F(x) f (y) dy dy y . 0 6 6 0 6 وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻫﻲ -: F(x) 0 x0
x 6 1
0x 6 x 6.
٣٧
ﺑﯾﺎن ) F(xﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
) (٢-٨-١اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ Expected Values ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﻘطﻊ ،ﻛﻣﺎ ﻋرﻓﻧﺎ ﻣن اﻟﻔﺻـل اﻟﺛـﺎﻧﻲ ،ﻓـﺈن ) E(Xﯾﻣﻛـن اﻟﺣﺻـول ﻋﻠﯾـﻪ ﺑﺟﻣـﻊ )x f(x
ﻟﺟﻣﯾــﻊ ﻗ ــﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻲ
.Xﻫﻧ ــﺎ ) ﺑﺎﻟﻧﺳ ــﺑﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾ ــر ﻋﺷـ ـواﺋﻲ ﻣﺗﺻ ــل ( ﺳ ــوف ﻧﺳ ــﺗﺑدل اﻟﻣﺟﻣ ــوع
ﺑﺎﻟﺗﻛﺎﻣل . ﺗﻌرﯾف :اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ أو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ) f (xﻫو : ٣٨
E(X) xf (x) dx .
وﯾﻘﺎل أن ) E(Xﻣوﺟودة إذا و إذا ﻓﻘط ﻛﺎن :
x f (x) dx
Ex
ﻣﺛﺎل )( ٢٧-١ إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺑﯾﻌﺎت اﻷﺳﺑوﻋﯾﺔ ﻟﺳﻠﻌﺔ ﻣﺎ ﻫﻲ : 3 ) f (x) (1 x 2 0 x 1 2 0 , e.w. أوﺟد اﻟﺗوﻗﻊ ؟ اﻟﺣــل:
1
3 E(X) xf (x) dx x (1 x 2 )dx 0 2 1
3 . 0 8
31 3 x2 x4 3 ) (x x )dx ( 20 2 2 4
ﺟﻣﯾﻊ اﻟﺗﻌﺎرﯾف واﻟﻧظرﯾﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﺧص ﺗوﻗﻌﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﺗﺗﺣﻘق ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ ﻣﻊ اﺳﺗﺑدال اﻟﻣﺟﻣوع ﺑﺎﻟﺗﻛﺎﻣل . ﻣﺛﺎل )( ٢٨-١ ﻣﺗﺻﻼ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : ً إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ًار ﻋﺷواﺋﯾﺎً 1.4430 f (x) 1 x 2 x
0 , e.w. )ا( أوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر . X )ب( أوﺟد اﻟﺗﺑﺎﯾن . اﻟﺣــل:
٣٩
1 2 1.4430 E(X) xf (x)dx 0 x dx 0 1.4430 x 1
2
1.433 E(X ) x f (x) dx 0 x 2 dx 0 x 1 2
2
2.1645
1
1.443 2 x 2
2
)ب(
2 E(X2 ) [E(X)]2 2.1645 (1.4430)2 .08225.
) (٣-٨-١اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت Percentiles ﯾﻣﻛن وﺻف ﺧﺻﺎﺋص أﺧرى ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻣن ﺧﻼل ﻛﻣﯾﺎت ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت. ﺗﻌرﯾ ف :إذا ﻛـﺎن ، 0 < p < 1ﻓـﺈن اﻟﻣﺋـﯾن ذو اﻟرﺗﺑـﺔ ) (100pﻟﺗوزﯾـﻊ ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﺻـل )أو ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷواﺋﻲ ( Xﻫو اﻟﺣل xpﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
xp p F(x p ) f (y) dy . ﺗﺑﻌــﺎً ﻟﻠﺻــﯾﻐﺔ اﻟﺳــﺎﺑﻘﺔ ،ﻓــﺈن x pﻫــو اﻟﻘﯾﻣــﺔ ﻋﻠــﻰ اﻟﻣﺣــور اﻷﻓﻘــﻲ ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ﺑﺣﯾــث أن 100p% ﻣ ﻦ اﻟﻣﺳ ــﺎﺣﺔ ﺗﺣ ــت ﻣﻧﺣﻧ ــﻰ ) f (xﯾﻘ ــﻊ ﻋﻠ ــﻰ ﯾﺳ ــﺎر x pو 100(1-p)%ﺗﻘ ــﻊ ﻋﻠ ــﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬ ــﺎ .ﻋﻠ ــﻰ ﺳ ــﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل x .75ھﻮ اﻟﻣﺋﯾن اﻟﺧـﺎﻣس واﻟﺳـﺑﻌﯾن واﻟـذي اﻟﻣﺳـﺎﺣﺔ ﺗﺣـت ﻣﻧﺣﻧـﻲ ) f (xﻋﻠـﻰ ﯾﺳـﺎر اﻟﻘﯾﻣـﺔ x.75 ﻫو . p=0.75اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾوﺿﺢ اﻟﺗﻌرﯾف : ﻋﻣوﻣﺎً ،ﻗد ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﻣﺗﺻل وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺳوف ﯾوﺟـد ﺑﻌـض اﻟﻘـﯾم pواﻟﺗـﻲ ﺗﻛـون اﻟﻣﻌﺎدﻟـﺔ p = F
) (xpﻟﻬـﺎ أﻛﺛـر ﻣـن ﺣــل .وﺑـﺎﻟرﻏم ﻣـن اﻫﺗﻣﺎﻣﻧـﺎ ﻓــﻲ ﻫـذا اﻟﻛﺗـﺎب ﺑﺎﻟﺣﺎﻟـﺔ اﻟﻣﺗﺻــﻠﺔ ﻓﺈﻧـﻪ ﯾﻣﻛـن وﺿـﻊ ﺗﻌرﯾــف ﻋﺎم ﻟﻠﻣﺋﯾن ﺣﯾث اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ ) ( 100 pﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﻫو اﻟﻘﯾﻣﺔ xpﺑﺣﯾث أن :
٤٠
P [ X x p ] p and P [ X x p ] 1-p .
ﻣﺛﺎل ) (٢٩ -١ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻﻼً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل :
0 x 1
3 ) f (x) (1 x 2 2 0 , e.w .
أوﺟد داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ وﻣﻧﻬﺎ أوﺟد اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ)(100p اﻟﺣــل: داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﻫﻲ :
x 3 3 y3 x 2 F(x) ) (1 y )dy (y 2 2 3 0 0 3 x3 (x ) , 0 x 1 , F(x) 1 , x 1 , F(x) 0 , x 0. 2 3 ﺑﯾﺎن ) F(x) , f (xﻣوﺿﺣﺎن ﻓﻲ اﻟﺷﻛﻠﯾﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ .
٤١
اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ ) (100pﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﺣﻘق اﻟﻌﻼﻗﺔ :
3
) (x p 3 p F(x p ) x p 2 3
أي أن :
3x p 2p 0 ﻟﻠﻣﺋﯾن اﻟﺧﻣﺳﯾن و p = .5وﺑﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ
3
xp
x 3 3x 10
ﻓﺈن اﻟﺣل ﻫو . x x.5 .347 ٤٢
ﺗﻌرﯾ ف :اﻟوﺳــﯾط ﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﺗﺻــل ﻣــﺎ ،ﯾرﻣــز ﻟــﻪ ﺑــﺎﻟرﻣز ، m0ﻫــو اﻟﻣﺋــﯾن اﻟﺧﻣﺳــﯾن وﻋﻠــﻰ ذﻟــك m0ﯾﺣﻘــق اﻟﻌﻼﻗﺔ . F(m0) = .5أي أن ﻧﺻـﻧف اﻟﻣﺳـﺎﺣﺔ ﺗﺣـت داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﺗﻘـﻊ ﻋﻠـﻰ ﯾﺳـﺎر m0و اﻟﻧﺻـف
اﻵﺧــر ﯾﻘــﻊ ﻋﻠــﻰ ﯾﻣــﯾن . m0ﻓــﻲ ﻛﺛﯾــر ﻣــن اﻟﺗطﺑﯾﻘــﺎت ﯾﺳــﺗﺧدم اﻟوﺳــﯾط ﺑــدﻻ ﻣــن اﻟﻣﺗوﺳــط ﻛﻣﻘﯾــﺎس ﻟﻠﻧزﻋــﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ . ﻣﺛﺎل ) (٣٠ -١ ﺑﻔرض أن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
x0
2
)F(x) 1 e (x / 3 0 , e.w.
اﻟوﺳﯾط ﻫو : 1 m0 3[ ln(1 .5)] 2 3 ln 2 2.498.
ﻣﺛﺎل ) (٣١ -١ ﻟﯾﻛن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻﻼً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل : f (x) 4x 3
0 x 1
= 0 , e.w.
أوﺟد اﻟوﺳﯾط ٠ اﻟﺣــل: x0 x4
وﻋﻠﻰ ذﻟك :
x 0
4y 4 4y dy 4 0 3
F( m 0 ) . 5
أي أن :
F(x) 0
( m 0 ) 4 .5
m0 = (.5)1/4 .
ﻣﺛﺎل ) (٣٢-١ ٤٣
x
إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: x 0
0 x 1 x 1
0 F(x) x 1
أوﺟد اﻟوﺳﯾط واﻟﻣدى٠ اﻟﺣــل: ﻻﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط ﻧﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ:
اﻟﻣدى ﻫو : x 0.75 x 0.25
1 F(m) , 2 1 m m0.25 2
وﺑﻣﺎ أن : x 0.75 (0.75) 2 x 0.25 (0.25) 2
إذن :
x 0.75 x 0.25 (0.75)2 (0.25)2 0.5. ﺗﻌرﯾ ف :إذا ﻛﺎﻧـت داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ Xﻟﻬـﺎ ﻗﯾﻣـﺔ ﻋظﻣـﻰ وﺣﯾـدة ﻋﻨ ﺪ x = m
أي أن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌظﻣﻰ ﻟﻠداﻟﺔ ) f (xﺗﺴﺎوى ) f(mوﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن mﯾﺳﻣﻰ ﻣﻧـوال اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ X
.
ﻣﺛﺎل ) (٣٣ -١ أوﺟد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠدوال اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : )أ(
f (x) 12 x 2 (1 x) , 0 x = 0 , e.w.
٤٤
)ب(
1 2 x x e 2 = 0 , e.w.
f (x)
اﻟﺣــل: )df (x )أ( 24x 36x 2 , dx )df (x 0 اﻟﻣﻧوال ﻫو اﻟﺣل ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ : dx 2 وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﻣﻧوال ﻫو m 3 )df (x )ب( اﻟﻣﻧوال ﻫو اﻟﺣل ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ 0 dx أي أن : 2xe x x 2 e x 0
وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﻣﻧوال ﻫو . m 2
ﻋﻣوﻣــﺎ ،ﯾﺧﺗﻠــف اﻟﻣﺗوﺳــط ﻋــن اﻟوﺳــﯾط ﻋــن اﻟﻣﻧـوال وﻟﻛــن ﻫﻧــﺎك ﺣــﺎﻻت ﯾﻛــون ﻓﯾﻬــﺎ اﻟﺛﻼﺛــﺔ ﻣﺗﺳــﺎوﯾﯾن . ﯾﻘــﺎل ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ أﻧــﻪ ﻣﺗﻣﺎﺛــل symmetricإذا ﻛــﺎن ﺑﯾــﺎن ) f (xﻋﻠــﻰ ﯾﺳــﺎر ﻧﻘطــﺔ ﻣــﺎ ،ﻟــﺗﻛن ، cﻫ ـﻰ اﻟﺻــورة ﻓـﻲ اﻟﻣـرآة ﻋﻠـﻰ ﯾﻣـﯾن ﻫـذﻩ اﻟﻧﻘطـﺔ .ﺗﺳـﻣﻰ اﻟﻧﻘطــﺔ cﻧﻘطـﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛـل .وﺑﻣﻌﻧـﻰ آﺧـر إذا أﻣﻛﻧﻧـﺎ أﻗﺎﻣـﺔ ﻋﻣــود
ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺣﯾث ﯾﻘﺳم اﻟﻌﻣود اﻟﺗوزﯾﻊ إﻟﻰ ﻗﺳﻣﯾن ﯾﻧطﺑﻘـﺎن ﻋﻠـﻰ ﺑﻌﺿـﻬﻣﺎ ﺗﻣـﺎم اﻻﻧطﺑـﺎق .اﻟﻧﻘطـﺔ
cاﻟﺗ ــﻲ ﺗﻣﻛﻧﻧ ــﺎ ﻣ ــن إﻗﺎﻣ ــﺔ اﻟﻌﻣ ــود ﺗﺳ ــﻣﻰ ﻧﻘط ــﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛ ــل .إذا ﻛﺎﻧ ــت ) f (xﻣﺗﻣﺎﺛﻠ ــﺔ ﺣ ــول اﻟﻧﻘط ــﺔ cوﻛ ــﺎن اﻟﻣﺗوﺳط ﻣوﺟود ﻓﺈن . c وﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ ﻋﻠﻰ ذﻟـك إذا ﻛﺎﻧـت ﻟﻠداﻟـﺔ ) f (xﻧﻘطـﺔ ﻋظﻣـﻲ وﺣﯾـدة ﻋﻧـد ) m
اﻟﻣﻧوال( ووﺳﯾط وﺣﯾد m0ﻓﺈن m m 0ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ .
٤٥
إذا ﻛــﺎن اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻏﯾــر ﻣﺗﻣﺎﺛــل ﻓﺈﻧــﻪ ﯾﻛــون ﻣﻠﺗوﯾــﺎً وﻗــد ﯾﻛــون ﻣﻠﺗوﯾــﺎً ﻧﺎﺣﯾــﺔ اﻟﯾﻣــﯾن ﻛﻣــﺎ ﻫــو ﻣوﺿــﺢ ﻓــﻲ اﻟﺷــﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻰ أو ﻣﻠﺗوﯾــﺎً ﻧﺎﺣﯾــﺔ اﻟﯾﺳــﺎر ﻛﻣــﺎ ﻫــو ﻣوﺿــﺢ ﻓــﻲ اﻟﺻــﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾــﺔ .ﯾﻛــون اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﻠﺗوﯾــﺎ ﻧﺎﺣﯾــﺔ اﻟﯾﻣـﯾن أو ﻣوﺟـب اﻻﻟﺗـواء positive skewed
إذا ﻛـﺎن ﻣﻌـدل اﻟﺗﻧـﺎﻗص ﻓـﻲ اﻟﻣﻧﺣﻧـﻰ أﺳـرع ﺟﻬـﺔ اﻟﯾﻣـﯾن
ﻣﻧــﻪ ﺟﻬــﺔ اﻟﯾﺳــﺎر ﺑﺣﯾــث ﯾﻛــون اﻟﺟﺎﻧــب اﻷﯾﻣــن ﻣــن اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ أطــول ﻣــن اﻟﺟﺎﻧــب اﻷﯾﺳــر ﺑﯾﻧﻣــﺎ ﯾﻛــون اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﻠﺗوﯾـﺎً إﻟـﻰ اﻟﯾﺳـﺎر وﺳـﺎﻟب اﻻﻟﺗـواء negative skewedإذا ﻛـﺎن ﻣﻌـدل اﻟﺗﻧـﺎﻗص ﻓـﻲ اﻟﻣﻧﺣﻧـﻰ أﺳـرع ﺟﻬـﺔ اﻟﯾﺳــﺎر ﻣﻧــﻪ ﺟﻬــﺔ اﻟﯾﻣــﯾن ﺑﺣﯾــث ﯾﻛــون اﻟﺟﺎﻧــب اﻷﯾﺳــر ﻣــن اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ أطــول ﻣــن اﻟﺟﺎﻧــب اﻷﯾﻣــن .ﯾﺳــﺗﺧدم
ﻣﻌﺎﻣــل اﻻﻟﺗ ـواء ﻓــﻲ ﻗﯾــﺎس اﻻﻟﺗ ـواء وﯾﻌﺗﺑــر ﻣﻘﯾــﺎس ﻧﺳــﺑﻲ ﻻ ﯾﻌﺗﻣــد ﻋﻠــﻰ وﺣــدات اﻟﻘﯾــﺎس ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ ﺣﯾث : 3
3
X 3 E . 3/ 2 2
٤٦
ﯾﺄﺧذ ﻛل ﻣن 3 , 3اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣوﺟﺑـﺔ أو اﻟﺳـﺎﻟﺑﺔ أو اﻟﺻـﻔر وداﺋﻣـﺎً ﯾﻛوﻧـﺎن ﻣﺗﻔﻘـﺎن ﻓـﻲ اﻹﺷـﺎرة .اﻟﻘﯾﻣـﺔ
اﻟﺳــﺎﻟﺑﺔ ﻣــن 3داﺋﻣــﺎ ﺗوﺟــد ﻋﻧــدﻣﺎ ﯾﻛــون اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﻠﺗوﯾــﺎً ﻧﺎﺣﯾــﺔ اﻟﯾﺳــﺎر ﺑﯾﻧﻣــﺎ اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﻣوﺟﺑــﺔ ﻣــن 3 ﺗوﺟد داﺋﻣﺎً ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻠﺗوﯾﺎً ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﯾﻣﯾن.
ﯾﺳــﺗﺧدم اﻟﻌــزم اﻟ ارﺑــﻊ ﺣــول اﻟﻣﺗوﺳــط ﻛــدﻟﯾل ﻟﻠــﺗﻔﻠطﺢ أو اﻟﺗــدﺑب ﻟﺗوزﯾــﻊ اﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ،وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ﻓــﺈن
ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ 4ﻫو : 4
4
X 4 E . 22 واﻟ ــذي ﻻ ﯾﻌﺗﻣ ــد ﻋﻠ ــﻰ وﺣ ــدات اﻟﻘﯾ ــﺎس ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻲ . Xﻟﺗﻘ ــدﯾر ﺗ ــدﺑب اﻟﻘﻣ ــﺔ ﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﺣﺗﻣ ــﺎﻟﻲ
ﯾﺳــﺗﺧدم ﺗوزﯾــﻊ ﻣﺷــﻬور وﻫــو اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻲ اﻟــذي ﺳــوف ﻧﺗﻧﺎوﻟــﻪ ﻓــﻲ اﻟﻔﺻــل اﻟﺛــﺎﻧﻰ ﻛﻣﻘﯾــﺎس ﻷن 4 ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﺗﺳﺎوي . 3ﻷي ﺗوزﯾﻊ آﺧر ﻧﻘول أن اﻟﺗوزﯾﻊ أﻛﺛر ﺗـدﺑﺑﺎ ﻣـن اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻲ إذا ﻛـﺎن 4
. > 3أﯾﺿﺎ ﻧﻘول أن اﻟﺗوزﯾﻊ أﻛﺛر ﺗﻔﻠطﺣﺎً ﻣـن اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻲ إذا ﻛـﺎن . 4 < 3اﻷﻧـواع اﻟﺛﻼﺛـﺔ
ﻣن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت ﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ .
٤٧
ﻓﻔـﻲ اﻟﺷــﻛل اﻟﺳـﺎﺑق ﺛــﻼث ﻣﻧﺣﻧﯾـﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ ﻓـﻲ ﻛﻣﯾــﺔ اﻟـﺗﻔﻠطﺢ .اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ ، A ،ذو اﻟﻘﻣـﺔ اﻟﻣدﺑﺑــﺔ .اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ اﻟﺛ ــﺎﻧﻲ ، B ،وﻫ ــو اﻟﻣﻌﺗ ــدل ﯾﻛ ــون ﻣﺗوﺳ ــط اﻟ ــﺗﻔﻠطﺢ .وأﺧﯾـ ـراً اﻟﻣﻧﺣﻧ ــﻰ
، C ،اﻟﻣﻔﻠط ــﺢ واﻟ ــذى ﯾﻛ ــون
ﻣﻧﺑﺳ ــطﺎً وﺗ ــﻧﺧﻔض ﻗﻣﺗ ــﻪ ﻋ ــن ﻗﻣ ــﺔ اﻟﻣﻧﺣﻧ ــﻰ اﻟﻣﻌﺗ ــدل .وأﺧﯾـ ـراً اﻟﻣﻌﻠوﻣ ــﺎت ﻋ ــن اﻟﺗﺷ ــﺗت واﻟﻣوﻗ ــﻊ واﻻﻟﺗـ ـواء واﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻟﺗوزﯾﻊ ﻋﺎدة ﻣﺎ ﺗﻛون ﻣﻔﯾدة ﻓﻲ إﻋطﺎء ﺻورة ﻋن اﻟﺗوزﯾﻊ
ﻧظرﯾ ﺔ :إذا ﻛــﺎن ﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ Xﻣﺗﻣﺎﺛــل ﺣــول اﻟﻣﺗوﺳــط ) E(Xﻓــﺈن اﻟﻌــزم اﻟﺛﺎﻟــث ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر أي أن . 3 0
ﺗﻌﻧﻲ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳـﺎﺑﻘﺔ أﻧـﻪ إذا ﻛـﺎن 3 0ﻓـﺈن اﻟﺗوزﯾـﻊ ﻻ ﯾﻛـون ﻣﺗﻣﺎﺛـل واﻟﻌﻛـس ﻏﯾـر ﺻـﺣﯾﺢ ﺑﻣﻌﻧـﻲ أﻧﻪ إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﻣﺗﻣﺎﺛل ﻓﻣن اﻟﻣﻣﻛن أن ﯾﻛون . 3 0 ﻣﺛﺎل ) ( ٣٤ -١
إذا ﻛﺎن X ﻣﺗﻐﯾر ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ا 0x 1 أوﺟد:أ( اﻟﻌزوم اﻻرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﺻﻔر٠
1 f (x) 0 , e.w.
ب( اﻟﻌزوم اﻻرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط٠
ج( ﻣﻌﺎﻣل اﻹﻟﺗواء وﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ٠ اﻟﺣــل:
أ( ٤٨
وﻋﻠﻰ ذﻟك ب(
وﻋﻠﻰ ذﻟك: ج(ﻣﻌﺎﻣل اﻹﻟﺗواء ﻫو:
r 1 1 1 x r E(X r ) x r dx , r 1 0 0 1 r 1,2,3, r 1 1 1 1 1 1 , 2 , 3 , 4 . 2 3 4 5
1 r E(X 0.5)r (x 0.5)r dx, 0 1 (x 0.5)r 1 1 r 1 0.5 (0.5)r 1 . r 1 r 1 0
1 0 , 2 0.083 , 3 0 , 4 0.0125. 3 0. 3 2 2
ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻫو:
3
0.0125 4 4 1.81. 22 (0.083) 2
ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ وﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﻟﺘﻮاء ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ إﯾﺠﺎد اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ .وﺑﻤﺎ أن إﯾﺠﺎدھﺎ ﺻﻌﺐ ﻓﯿﻤﻜﻦ إﯾﺠﺎدھﺎ ﺑﺪﻻﻟﺔ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ: r
(x ) f (x)dx.
r
r E(X )
ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺘﺼﻞ ،أﻣﺎ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺘﻘﻄﻊ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺴﺘﺒﺪل اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﻤﺠﻤﻮع.
٤٩
then
r r j j j () x f (x)dx j0 r r r j () x jf (x)dx j 0 j 0 r r ()r j j. j 0 j r
r
ﻋﻠﻰ ﺳﺒﯿﻞ اﻟﻤﺜﺎل ﻋﻨﺪﻣﺎ r 2ﻓﺈن: 2 2 2 2 () 2 j j j0 j 2 2 0 1 2 1
2 2 2 2 2
2 2 E(X 2 ) E(X) .
وﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ: 3 3 32 23 , 4 4 43 6 22 3 4 .
) (٩-١اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم Moments Generating Functions ﺗﻌﺗﺑ ــر اﻟ ــدوال اﻟﻣوﻟ ــدة ﻟﻠﻌ ــزوم أداة ﻗوﯾ ــﺔ ﻓ ــﻲ ﻧظرﯾ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎﻻت ،ﻓﺑﺎﺳ ــﺗﺧدام اﻟ ــدوال اﻟﻣوﻟ ــدة ﯾﻣﻛ ــن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻌـﺎت أو ﻋـزوم ﻟﺗوزﯾﻌـﺎت ﺑطرﯾﻘـﺔ ﻣﺑﺎﺷـرة واﻗـل ﺗﻌﻘﯾـدا ﻣـن طـرق اﻟﺣﺳـﺎب اﻷﺧـرى .ﯾوﺟـد
اﻟﻌدﯾ ــد ﻣ ــن اﻟ ــدوال اﻟﻣوﻟ ــدة ،وﻛ ــل واﺣ ــدة ﻣﻔﯾ ــدة ﻷﻧـ ـواع ﻣﺧﺗﻠﻔ ــﺔ ﻣ ــن اﻟﻣﺷ ــﺎﻛل وأﯾﺿ ــﺎ ﻷﻧـ ـواع ﻣﺧﺗﻠﻔ ــﺔ ﻣ ــن
اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ . )ا( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﺑﻔـرض وﺟـود رﻗـم ﻣوﺟـب hﺑﺣﯾـث ﻟﻠﻔﺗـرة -h < t < hﯾﻛـون اﻟﺗوﻗـﻊ ) E(e tXﻣوﺟـود ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ . Xﺗﺑﻌﺎ ﻟذﻟك ﻓﺎن :
f (x) dx
tx
e
ﻋﻧدﻣﺎ Xﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل أو: ٥٠
E(e tX )
E(e tx ) e tX f (x), x
ﻋﻧـدﻣﺎ Xﻣﺗﻐﯾـ ار ﻋﺷـواﺋﯾﺎ ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﻘطـﻊ .ﻫـذا اﻟﺗوﻗـﻊ ﯾﺳـﻣﻰ اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣوﻟـدة ﻟﻠﻌـزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ )Xأو اﻟﺗوزﯾﻊ ( وﯾرﻣز ﻟﻬﺎ اﻟرﻣز ) MX (tﺣﯾث :
) M X (t) E(e tX
ﻋﻧــدﻣﺎ t 0
ﻓ ــﺈن . M X (0) 1إن وﺟ ــود اﻟداﻟ ــﺔ اﻟﻣوﻟ ــدة ﻟﻠﻌ ــزوم ﻣـ ـرﺗﺑط ﺑﻛ ــون اﻟﻣﺟﻣ ــوع أو اﻟﺗﻛﺎﻣ ــل
ﻣﺗﻘﺎرب ﻋﻠﻰ ﻧﺣو ﻣطﻠق ٕواذا ﻟم ﯾﻛن ﻛذﻟك ﻓﻌﻧدﺋذ ﯾﻘﺎل أن اﻟداﻟﺔ ﻏﯾر ﻣوﺟودة. ﻣﺛﺎل ) (٣٥ -١ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣﺗﻘطﻌﺎ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل: 1 , x = 1, 2, 3,...,n n = 0 , e.w.
f (x)
أوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ . X اﻟﺣــل:
ﺑوﺿﻊ :
n 1 1 n M X ( t ) e tx e tx n n x 1 x 1
n 1 e t e 2 t ... e ( n 1) t
ﻓﺈن : وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن : أي أن :
e t n e t e 2t e3t ... e nt , n e t n 1 e nt ,
,
وﻣﻧﻬﺎ : ,
ﺗﺑﻌﺎ ﻟذﻟك ﻓﺈن :
1 ent 1 et
n
) e t .(1 e nt 1 et
٥١
t
e n
1 ) e t .(1 e nt M X (t) .e t n . t n ) n(1 e
ﻣﺛﺎل ) (٣٦ -١ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل: , x = 1, 2, 3,...
أوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم؟
6 2 x 2
f (x)
اﻟﺣــل: اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠداﻟﺔ ) f (xﻫﻲ : 6e tx MX (t) E(e ) e f (x) 2 2 . x x 1 x
tX
tx
ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن اﻟﻣﺗﺳﻠﺳﻠﺔ ﺗﺑﺎﻋدﯾﻪ ﻋﻧدﻣﺎ t 0وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﺧﺗﺑﺎر اﻟﻧﺳﺑﺔ وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻻ ﯾوﺟـد ﻋـدد ﻣوﺟـب hﺣﯾــث ) MX (tﺗﻛــون ﻣوﺟـودة و . h t hوﺗﺑﻌــﺎ ﻟــذﻟك
) f (xﻟﻬــذا اﻟﻣﺛـﺎل ﻟــﯾس ﻟﻬــﺎ داﻟــﺔ
ﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم. ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎن X2 , X1ﻣﺘﻐﯿﺮﯾﻦ ﻋﺸ ﻮاﺋﯿﯿﻦ وإذا ﻛ ﺎن X1ﻟ ﮫ داﻟ ﺔ اﻟﺘﻮزﯾ ﻊ ) F1(xواﻟﺪاﻟ ﺔ اﻟﻤﻮﻟ ﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ) . M1(tأﯾﻀﺎ إذا ﻛﺎن X2ﻟﮫ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ) F2(xواﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻮﻟ ﺪة ﻟﻠﻌ ﺰوم ) M2(tﻓ ﺈن )F1(x ) = F2(xﻟﺠﻤﯿﻊ ﻗﯿﻢ xاﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ إذا وﻛﺎﻧﺖ ﻓﻘﻂ )M1(t) = M2(tوذﻟﻚ ﻟﺠﻤﯿﻊ ﻗﯿﻢ tﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة < – h .t <h وﺑﻤﺎ أن اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ Xﺗﻜﻮن وﺣﯿ ﺪه ) وإذا وﺟ ﺪت ( ﻓﺈﻧﮭ ﺎ ﺗﺴ ﺘﺨﺪم ﻓ ﻰ اﻟﺘﻌﺮف ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ، Xأي أﻧﮭﺎ ﺗﻤﺘﻠﻚ ﺧﺎﺻﯿﺔ اﻟﻮﺣﺪاﻧﯿﺔ .إن ﻋﻣﻠﯾـﺔ اﻟﺗﻌـرف ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻣن ﺧﻼل اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﯾﺳت ﺳﻬﻠﺔ ﻓﻰ ﻛل اﻟﺣﺎﻻت .
ﺑﻌــض اﻟﺧﺻــﺎﺋص اﻟﻣﻣﯾ ـزة ﻟﺗوزﯾــﻊ ﻟــﻪ داﻟــﺔ ﻣوﻟ ــدة ﻟﻠﻌــزوم ) MX (tﯾﻣﻛــن اﻟﺣﺻــول ﻋﻠﯾﻬــﺎ ﻣﺑﺎﺷ ـرة ﻣ ــن
) . M X (tﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ،وﺟود ) M X (tﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة h t hﺗﻌﻧـﻲ إن اﻟﻣﺷـﺗﻘﺎت ﻣـن ﻛـل اﻟرﺗـب ﻣوﺟودة ﻋﻧد t 0ﺣﯾث :
)dM X (t MX (t) xe tx f (x)dx dt ﻋﻧدﻣﺎ Xﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ،أو:
٥٢
)dM X (t ) MX (t) xe tx f (x dt x ﻋﻧدﻣﺎ Xﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ .ﺑوﺿﻊ t = 0ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻓﻲ ﻛﻼ ﻣن اﻟﺣﺎﻟﺗﯾن ﻋﻠﻰ :
MX (0) E(X) اﻟﻣﺷﺗﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻟﻠداﻟﺔ ) M X (tﻫﻲ:
f (x)dx,
2 tx
xe
M X (t)
أو: MX (t) x 2 e tx f (x)dx x
وﻋﻠﻰ ذﻟك :
) M X (0) E(X 2 وﺗﺑﻌﺎ ﻟذﻟك : 2 E(X 2 ) 2 M X (0) M X (0) . 2
r r وﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ إذا أﻣﻛن ﺗﻔﺎﺿـل اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣوﻟـدة ﻟﻠﻌـزوم rﻣـن اﻟﻣـرات ﻓـﺈن ) . E(X ) M X (0ﻋﻠـﻰ ﺳـﺑﯾل
اﻟﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎن ) t 1, M X (t) (1 tﻓﺎن اﻟﻣﺷﺗﻘﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﻟﻠداﻟﺔ )M X (t 1
ﻫﻲ :
M X ( r ) (t) r !(1 t) r 1 r اﻟﻌزوم ﺣول اﻟﺻﻔر ) E(Xﻣن اﻟدرﺟﺔ ، rﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
!E(X r ) M X (r ) (0) r اﻟﻣﺗوﺳط ﻫو:
E(X) 1! 1 اﻟﺗﺑﺎﯾن:
2 E(X 2 ) 2 2 (1)2 1.
ﺑﺎﻟطﺑﻊ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﺣﺳﺎب , ﻣن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺣﯾث : 2
xf (x)dx ،
.
2
2
x f (x)dx
2
ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎﻧت اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﻣوﺟودة ،ﻓﺎن
E(X r ) M X (r ) (0), r 1, 2,... ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﯾﻛون ﻫﻧﺎك طرﯾﻘﺔ أﺳﻬل ﻣن اﻷﺧرى ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺣﯾث ٥٣
ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ﻣﺳﻠﺳﻠﺔ ﻣﺎﻛﻠورﯾن ﻓﻰ وﺿﻊ ) MX (tﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : ﻧظرﯾﺔ :
E(Xr )t r MX (t) 1 . !r r 1 t ﻓـﻲ اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣوﻟـدة ﻟﻠﻌـزوم ﺑﻌـد وﺿـﻌﻬﺎ ﻓـﻲ ﺻـﯾﻐﺔ ﻣﺳﻠﺳـﻠﺔ أي أن اﻟﻌزم اﻷول ﺣول اﻟﺻـﻔر ﻫـو ﻣﻌﺎﻣـل !1 t2 ﻓــﻲ اﻟداﻟــﺔ ،واﻟﻌــزم اﻟﺛﺎﻟــث ﺣــول اﻟﺻــﻔر ﻫــو ﻣﻌﺎﻣــل ﻣــﺎﻛﻠورﯾن واﻟﻌــزم اﻟﺛــﺎﻧﻲ ﺣــول اﻟﺻــﻔر ﻫــو ﻣﻌﺎﻣــل !2
tr t3 ﻓﻲ اﻟداﻟﺔ. أﺧﯾر اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﺣول اﻟﺻﻔر ﻫو ﻣﻌﺎﻣل ﻓﻲ اﻟداﻟﺔ و ا !r !3 ﻣﺛﺎل ) (٣٧ -١ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم : 2
, - < t < .
t 2
M X (t) e
أوﺟد اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﺣول اﻟﺻﻔر. اﻟﺣــل: r
2
t2 2
1 t2 1 t2 1 t2 MX (t) e 1 ... ... 1! 2 2! 2 r! 2 1 2 (3)(4) 4t 2 r (2r 1)...(3)(1) 2r 1 t t ... t ... !2 !4 !)(2r 2 !r !t 2r 2r
t 2r
r r 2 !r r 0 )!r 0 2 r! (2r
t 2r ﻓﻲ ﻣﻔﻛوك ) MX (tﻫو ) E(Xﻓﺈن: وﺑﻣﺎ إن ﻣﻌﺎﻣل !2r 2r ! , r = 1,2,3,... E(X2r ) !2r r و 2r-1 … E(X ) = 0 , r = 1, 2, 3, 2r
٥٤
ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎن Y = a X + bﻓﺈن :
) M Y ( t ) e bt M X (at واﺣـ ــد ﻣـ ــن اﻟﺗطﺑﯾﻘـ ــﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧـ ــﺔ ﻟﻬـ ــذﻩ اﻟﻧظرﯾـ ــﺔ ﻫـ ــو ﺣﺳـ ــﺎب اﻟﻌـ ــزم ﻣـ ــن اﻟدرﺟـ ــﺔ rﺣـ ــول اﻟﻣﺗوﺳـ ــط ، ، E(X ) rوذﻟــك ﻷن ) ) M X ( t ) e t M X ( tاﻟداﻟــﺔ اﻟﻣوﻟــدة ﻟﻠﻌــزوم اﻟﻣرﻛزﯾــﺔ أو ﺣــول اﻟوﺳط ( وﻋﻠﻰ ذﻟك :
[ e t M X ( t )]t 0 .
dr r
r
E ( X )
dt
ﻣﺛﺎل ) (٣٨ -١ إذا ﻋﻠﻣ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــت أن اﻟداﻟـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ اﻟﻣوﻟ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــدة ﻟﻠﻌـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــر Xﻫـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻲ :
1 2 t 2
M X (t) eاوﺟـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــد
) Y , E(X 3) E(Y؟ 2
اﻟﺣــل:
MY (t) M(X3) (t) E et(X3)
) E(e tX 3 t ) e 3 t E(e tX 1 2 t 2
3t
3t
e M X (t) e e
. 1 3t t 2 }2 {3 t
2
1 3t t 2 2
e
M 'X 3 (t) e 2
M ''X 3 (t) e3t t .(1) (3 t)2.e 3t t
E (X 3) E (Y ) M Y (0 ) 3, 2
) 2Y M Y (0 ) M Y (0 10 9 1.
)ب( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟﺔ ﻟﻌزوم اﻟﻣﺿروب :
٥٥
إذا ﻛـﺎن Xﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷـواﺋﻲ ﻣﺗﻘطﻌــﺎً ﯾﺄﺧـذ ﻗﯾﻣــﺎً ﻏﯾــر ﺳــﺎﻟﺑﺔ وﻛﺎﻧـت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ داﻟﺗــﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ ﻫــﻲ )f(x ﻓﺈﻧــﻪ ﯾﻛــون ﻣــن اﻟﺳــﻬل اﺷــﺗﻘﺎق اﻟﻌــزوم ﺑﺎﺳــﺗﺧدام ﻋــزوم اﻟﻣﺿــروب واﻟﺗــﻲ ﺗﻘــوم ﺑﺗوﻟﯾــدﻫﺎ داﻟــﺔ ﺗﺳــﻣﻰ اﻟداﻟــﺔ
اﻟﻣوﻟدة ﻟﻌزم اﻟﻣﺿروب واﻟﺗﻲ ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ :
G X t E t X t x f (x). x
وذﻟــك إذا ﻛــﺎن اﻟﺗوﻗــﻊ
X ) E(tﻣوﺟــود ﻟﺟﻣﯾــﻊ ﻗــﯾم tﻓــﻲ اﻟﻔﺗ ـرة . 1-h < t<1+hﯾوﺟــد ﻋﻼﻗــﺔ ﺑــﯾن اﻟداﻟــﺔ
M X t وﺑﯾن اﻟداﻟﺔ G X t ﺣﯾث :
G X t E t X E e X ln t M X (ln t). ﺗذﻛر :اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻌزم اﻟﻣﺿروب ﻻ ﺗﺳﺗﺧدم إﻻ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﻓﻘط . ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ) G X (tﻓﺈن:
G X (1) E(X), G X (1) E[X(X 1)], G (Xr ) (1) E[X(X 1) (X r 1)]. r وﻣـن اﻟﻣﻣﻛـن ﺣﺳــﺎب اﻟﻌـزوم ﻣــن اﻟدرﺟـﺔ rﺣــول اﻟﺻـﻔر ، E(X ) ،ﻣــن ﻋـزوم اﻟﻣﺿــروب .ﻓﻌﻠـﻰ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل :
]E[X(X 1)] E[X 2 X E(X2 ) E(X). وﻋﻠﻰ ذﻟك :
E(X2 ) E(X) E[X(X 1)]. ﺗﺳﻣﻰ اﻟداﻟﺔ ) G X (tﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﺑﺎﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟـدة ﻟﻼﺣﺗﻣـﺎل .أي أﻧـﻪ ﺑوﺿـﻊ اﻟداﻟـﺔ ) G X (tﻋﻠـﻰ
اﻟﺻ ـ ــورة اﻟﺗﺎﻟﯾ ـ ــﺔ GX (t) f(0) tf(1) ... trf(r) ... :
،ﯾﻛ ـ ــون ﻣﻌﺎﻣ ـ ــل t r
ﻓ ـ ــﻲ ﻣﻔﻛ ـ ــوك اﻟداﻟ ـ ــﺔ
x ) G X (tﻫو ) f (r) P(X rأي أن ، GX (t) f (0) t f (x) :واﻟذي ﯾﻌﻧﻲ أن : x1
)1 ( r G X (0) P(X r) , r = 1,2,... !r
أي أن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل ﺗﺣدد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻷي ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﻣﻌـرف ﻋﻠـﻰ ﻗـﯾم ﺻـﺣﯾﺣﺔ وﻏﯾر ﺳﺎﻟﺑﺔ. ٥٦
ﻣﺛﺎل ) (٣٩ -١ إذا ﻛﺎﻧت اﻟداﻟﺔ ) G X (tﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة:
ﺣﯾث 0 t 1,
pt و ، 0<p<1 1 (1 p)t
GX (t)
أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر . X اﻟﺣــل: ﻓﺈن : f (0) G X (0) 0, p p, [1 (1 p)0]2 1 )1 2p(1 p f (2) G X (0) p(1 p). 2 2 [1 (1 p)0]3 f (1) G X (0)
ﻋﻣوﻣﺎً ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن , x=1,2,… :
f (x) p(1 p) x 1
)ج( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة : ﻛﻣ ــﺎ ﻻﺣظﻧ ــﺎ ﺳ ــﺎﺑﻘﺎً ،ﻓ ــﺈن اﻟﻌﯾ ــب اﻟرﺋﯾﺳ ــﻲ ﻟﻛ ــل ﻣ ــن اﻟداﻟ ــﺔ ) X (tواﻟداﻟ ــﺔ ) G X (tأﻧﻬﻣ ــﺎ ﻏﯾ ــر ﻣوﺟـودﯾن ﻟـﺑﻌض اﻟﺗوزﯾﻌـﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾـﺔ .ﻋﻠـﻰ ﺧـﻼف ذﻟـك ﻓـﺈن اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣﻣﯾـزة )أو ﺗﺣوﯾﻠـﻪ ﻓـورﯾر fourier (transformﻣﻌرﻓﺔ ﻟﺟﻣﯾﻊ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ .اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﺗﻌرف ﻛﺎﻵﺗﻲ:
X (t) eitxf(x). X
ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﺑﯾﻧﻣﺎ:
X (t) eitx f (x) , - < t < .
ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل .ﻫﻧﺎ
i 1
أي اﻟﻌـدد اﻟﺗﺧﯾﻠـﻲ .ﻗـﯾم اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣﻣﯾـزة ﻗـد ﺗﻛـون
ﻣرﻛﺑﺔ وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻓﻬم واﺳﺗﺧدام ﻫذا اﻟﻧوع ﻣن اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﯾﺣﺗﺎج إﻟﻰ ﻣﻌﻠوﻣـﺎت ﻓـﻲ ﻧظرﯾـﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻣرﻛﺑـﺔ .وﺗﺑﻌــﺎ ﻟـذﻟك ﻓــﺈن د ارﺳـﺔ اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣﻣﯾـزة ﯾﻘﺗﺻــر ﻋﻠـﻰ اﻟﻛﺗــب اﻟﻣﺗﻘدﻣـﺔ ﻓــﻲ ﻧظرﯾـﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل.ﻛﺛﯾـر ﻣــن اﻟﻌﻼﻗـﺎت ﺑـﯾن اﻟﺗوزﯾﻌـﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾـﺔ ﯾﻣﻛـن اﺷـﺗﻘﺎﻗﻬﺎ ﺑﺳــﻬوﻟﺔ ﺑﺎﺳـﺗﺧدام اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣﻣﯾـزة أﻛﺛـر ﻣـن اﺳـﺗﺧدام داﻟــﺔ
اﻟﺗوزﯾﻊ . اﻟﻌزوم ﺑدﻻﻟﺔ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة : ٥٧
ﺑﺗﻔﺎﺿل اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ إﻟﻰ tووﺿﻊ t 0ﻓﺈن . x (0) iاﯾﺿﺎ x (0) i22 ﻋﻣوﻣﺎ اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﺣول اﻟﺻﻔر ﻫو:
)1 (r (0). ir
ﻋﻼﻗﺎت ﻣﻬﻣﺔ :
r
اﺋﯾﺎ ﺑداﻟﺔ ﻣﻣﯾزة )ٕ X (tواذا ﻛﺎن Y=aX+bﻓﺄن: إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷو ً
Y (t) eitb(at) .
ﺑوﺿﻊ itﺑدﻻ ﻣن tﻓﻰ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدﻩ ﻟﻠﻌزوم ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟداﻟﻪ اﻟﻣﻣﯾزة .اى أن
M X (it) X (t). ﻣﺛﺎل ) (٤٠ -١ إذا ﻛــﺎن Yﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻟــﻪ اﻟداﻟــﺔ ﺣﯾث
X
t2 2
Y ( t ) eاﻟﻣطﻠــوب إﯾﺟــﺎد اﻟداﻟــﺔ اﻟﻣﻣﯾـزة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر
.Y
اﻟﺣــل:
X Y . ﺑوﺿﻊ a و b
ﻓﺈن :
) X (t) Y eit Y (t 1 ( t) 2 eit e 2
1 it ( )t 2 2 2 e .
ﻣﺛﺎل ) (٤١ -١
إذا ﻛﺎن X ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻل ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل : ًا ٥٨
X
1 , 2a
, a X a أوﺟد :أ( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X؟
f (x )
)ب( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ؟
اﻟﺣــل: أ( a
f (x)dx
tx
e
tx
M X (t) E(e )
a a
a a
1 1 e tx tx e dx 2a a 2a t 1 ta ta (e e ). 2at
ب( a
1 X (t) E(e ) eitx dx 2a a itx
1 eitx a a 2a it 1 (eita e ita ). 2ait
أو ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟداﻟﻪ ﻟﻠﻌزوم واﻟداﻟﻪ اﻟﻣﻣﯾزة ﺣﯾث : )M X (it) X (t
1 eita e ita . 2a it
=
) (١٠-١اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺗﻌددة Joint Random Variables ﻓﻰ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت ﯾﻛـون اﻻﻫﺗﻣـﺎم ﺑـﺄﻛﺛر ﻣـن ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻰ . X1,X2,…,X3ﻟـذﻟك ﯾﻛـون ﻣ ـ ـ ـ ـ ــن اﻟﻣﻧﺎﺳ ـ ـ ـ ـ ــب رﯾﺎﺿ ـ ـ ـ ـ ــﯾﺎ اﻟﻧظـ ـ ـ ـ ــر إﻟ ـ ـ ـ ـ ــﻰ ﺗﻠ ـ ـ ـ ـ ــك اﻟﻣﺗﻐﯾـ ـ ـ ـ ـ ـرات ﻛﻣﻛوﻧ ـ ـ ـ ـ ــﺎت ﻟﻣﺗﺟ ـ ـ ـ ـ ــﻪ Xأﺑﻌ ـ ـ ـ ـ ــﺎدﻩ )، (kx1 ) ، X=(X1,X2,…,Xkواﻟﻣﺳــﻣﻰ ﺑﺎﻟﻣﺗﺟــﻪ اﻟﻌﺷ ـواﺋﻰ وﻫــذا ﯾﺟﻌﻠﻧــﺎ ﻧﻔﺗــرض اﻟﻘــﯾم ) x=(x1,x2,…,xkﻓــﻲ اﻟﺑﻌد . kﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺷﺎﻫدة xﻫـﻰ ﻧﺗﯾﺟـﺔ ﻗﯾـﺎس kﻣـن اﻟﺻـﻔﺎت ﻣﺛـل ﻗﯾـﺎس اﻟطـول واﻟـوزن ٥٩
وﺿــﻐط اﻟــدم … إﻟــﻰ kﻣــن اﻟﺻــﻔﺎت ﻟﻣﺷــﺎﻫدة ﻣــﺎ أو ﻗــد ﺗﻛــون اﻟﻧﺗــﺎﺋﺞ اﻟﺗــﻰ ﻋــددﻫﺎ kﻟﻣﺣــﺎوﻻت ﻣﺗﻛــررة ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺗﻬﺗم ﺑﻣﺗﻐﯾر واﺣد
) (١-١٠-١اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ Joint Descrete Distributions
ﯾﻣﻛـن ﺗﻌﻣـﯾم اﻟﺻـﯾﻐﺔ اﻟﻣﺳـﺗﺧدﻣﺔ ﻟداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻓـﻲ ﺣﺎﻟـﺔ ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ واﺣـد إﻟـﻰ اﻟﺻـﯾﻐﺔ ﻟداﻟـﺔ
ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن أو أﻛﺛر .
ﺗﻌرﯾ ف :داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻣﺷـﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﺟـﻪ ﻋﺷـواﺋﻲ ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﻘطـﻊ ) X = (X1 X,2,...,Xkﺗﻌـرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
) f(x1,x2 ,...,xk ) = P(X1 = x1 ,X2 = x2 ,...,Xk = xk وذﻟك ﻟﻛل اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن ) . x = ( x 1 , x 2 ,..., x k
ﻧظرﯾﺔ : ﯾﻘﺎل ﻟﻠداﻟﺔ ) f(x1,x2,…,xkأﻧﻬﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣـﺎل ﻣﺷـﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﺟـﻪ اﻟﻌﺷـواﺋﻲ ) x (x1,x2,...,xkﻣـن
اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ إذا وﻓﻘط إذا ﺣﻘﻘت اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: )أ( f(x1,x2,…,xk) 0ﻟﺟﻣﯾﻊ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ
)ب( ,..., x k ) 1.
2
)(x1,x2,…,xk
... f (x , x 1
x1
xk
وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﺔ اﻟﻔﺋﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ) P(Bﺣﯾث B Rﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل: .
) P(B) . . . f(x1 ,x 2 ,...,x k B
ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﯾﻣﻛن وﺿﻊ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻓـﻰ ﺟـدول ﻣـزدوج ﯾﺑــﯾن ﻗــﯾم ﻛــل اﻟﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن X1,X2ﻣــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻻت اﻟﻣﻘﺎﺑﻠــﺔ ﻟﻬﻣــﺎ وﺧﺻوﺻــﺎ إذا ﻛﺎﻧــت اﻟﺻــﯾﻐﺔ ﻟداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن X1,X2ﻏﯾر ﻣﻌروﻓﺔ.
٦٠
ﻣﺛﺎل ) (٤٢ -١ إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن X1,X2ﻣﻌطﺎة ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ : x2 0 1 2 3 x1 0 .008 .048 .096 .064 .216 .432
.000
0.192
.192
.048
1
.288
.000
.000
.192
.096
2
.064 1
.000 .064
.000 .288
.000 .432
.064 .216
3
ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺟدول أن : 3
) 1 .
2
3
f (x , x 1
x 2 =0
x1 =0
ﻛﻣــﺎ أن ﻫﻧــﺎك ﺑﻌــض اﻟﻧﺗــﺎﺋﺞ اﻟﻣﺳــﺗﺣﯾﻠﺔ اﻟﺣــدوث ﻣﺛــل ) (3,3أو ) (1,3واﻟﺗــﻰ ﯾﻌــﯾن ﻟﻛــل ﻣﻧﻬﻣــﺎ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﺻﻔر .ﻛﻣﺎ أن ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل : f(0,0) = P(X1=0,X2=0) = .008, f(1,2) = P(X1=1, X2=2) =0.192. ﺑﯾﺎن ) . f (x1 , x 2
ﺗﻌرﯾ ف :إذا ﻛــﺎن ﻟﻠﻣﺗﺟــﻪ اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ ) X=(X1 ,X 2داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ ) f(x1 ,x 2ﻓــﺈن اﻟداﻟــﺔ اﻟﻬﺎﻣﺷـﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر X1واﻟﺗـﻲ ﯾرﻣـز ﻟﻬـﺎ ﺑـﺎﻟرﻣز ) f1 (x1واﻟداﻟـﺔ اﻟﻬﺎﻣﺷـﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر X 2واﻟﺗـﻲ ﯾرﻣـز ﻟﻬـﺎ ﺑــﺎﻟرﻣز ) f 2 (x 2
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﻣﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : ٦١
f (x 1 )= f(x 1 ,x 2 ), 1 x2 f (x 2 )= f(x 1 ,x 2 ). 2 x1
وأﻛﺛر ﻣن ذﻟك إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﻓﺈن : f j ( x j ) ... f ( x1 ,..., x j ,..., x k ) . all i j
ﻣﺛﺎل ) (٤٣ -١
إذا ﻛﺎن X1و X2ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﻬﻣﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ: x1 1 2 3 x2 1
2 3
أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻛل ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾر X1و . X2 اﻟﺣــل:
+ + = = ,
= )f(1,x2
+ + = = ,
= )f(2,x2
x
+ + = = ,
= )f(3, x2
x
x
= )P(X1=1) = f1(1
2
= )P(X1=2) = f1(2
2
= )P(X1=3) = f1(3
2
أى أن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X1ﻫﻰ : ,
x1 = 1,2,3
f1 (x1 )
= 0 , e.w . وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X2ﻫﻲ : , x2 = 1,2,3 , e.w.
f 2 (x 2 )
=0
) (٢-١٠-١اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ Joint Continuous Distributions ٦٢
ﺗﻌرﯾ ف :ﯾﻘــﺎل ﻟﻠﻣﺗﺟ ــﻪ اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻲ ) X = (X1 ,X 2 ,...,X kأﻧ ــﻪ ﻣــن اﻟﻧ ــوع اﻟﻣﺗﺻ ــل إذا ﻛ ــﺎن ﻟ ــﻪ اﻟداﻟــﺔ
ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﺟــﻪ Xﺑﺣﯾــث أن داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ
) f(x1 ,x 2 ,...,x kواﻟﻣﺳــﻣﺎة داﻟــﺔ
اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻬم ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
x1
)dt1...dt k
k
xk
f(t , t ,.., t 2
1
ﻟﻛل ﻗﯾم ) x = ( x1,x2,…,xk
F(x1 , x 2 ,..., x k )
.
وﻛﻣ ـ ــﺎ ﻓ ـ ــﻲ ﺣﺎﻟ ـ ــﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾ ـ ــر اﻟﻌﺷـ ـ ـواﺋﻰ ﻓ ـ ــﻰ اﻟﺑﻌ ـ ــد اﻟواﺣ ـ ــد ،ﻓ ـ ــﺈن داﻟ ـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ـ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ـ ــﺎل اﻟﻣﺷ ـ ــﺗرﻛﺔ ) f(x1,x2,..,xkﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ:
) k F(x1 , x 2 ,..., x k =) f(x1 ,x 2 ,...,x k x1x 2 x k ﺣﯾث اﻟﺗﻔﺎﺿﻼت اﻟﺟزﺋﯾﺔ ﻣوﺟودة. ﻧظرﯾ ﺔ :ﯾﻘـ ـ ـ ــﺎل ﻟﻠداﻟـ ـ ـ ــﺔ ) f(x1,x2,…,xkأﻧﻬـ ـ ـ ــﺎ داﻟـ ـ ـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓـ ـ ـ ــﺔ اﺣﺗﻣـ ـ ـ ــﺎل ﻣﺷـ ـ ـ ــﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﺟـ ـ ـ ــﻪ اﻟﻌﺷ ـ ـ ـ ـواﺋﻲ ) X (X1, X2 ,...Xkإذا وﻓﻘط إذا ﺣﻘﻘت اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:
)أ( f(x1,x2,…,xk) 0ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم
)ب( 1
x1,x2,…,xk
f(x1, x 2 ,..., x k )dx1...dx k
ﻣﺛﺎل ) (٤٤ -١ إذا ﻛﺎن X2 ,X1ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : f(x1,x2) = 4 x1 x2 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1 =0 , e.w . أوﺟد داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ). F(x1,x2 اﻟﺣــل: x1
)dt1dt 2
2
x2
f(t , t 1
x1
t 2 dt1dt 2
1
٦٣
x2
4t 0
0 x1 1, 0 x 2 1.
F(x1 , x 2 )
0 2 1
x x 22
ﻫذا اﻟﺗﻌرﯾف ﻟﻠداﻟﺔ) F(x1,x2ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة 0 < x1 < 1و 0 < x2 < 1وﻟﻛن ﯾوﺟـد ﻓـﻰ اﻟﺣﻘﯾﻘـﺔ أرﺑﻌـﺔ ﻣﻧـﺎطق
أﺧرى ﻓﻲ اﻟﻣﺳﺗوى ﻟﻠداﻟﺔ ) F(x1,x2ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺳﺎﺑق .
) (٣-١٠-١اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ Independent Random Variables إذا ﻛﺎﻧـت داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻣﺷـﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾـرﯾن ﻋﺷـواﺋﯾﯾن X1, X2ﻫـﻲ ) ٕ f(x1 ,x 2واذا ﻛﺎﻧـت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X1ﻫﻲ ) ، f1(xو داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷـﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر X2ﻫـﻲ )ٕ ، f 2 (xواذا ﻛﺎﻧت : f(x1 ,x 2 ) = f X1 (x1 ) . f X2 (x 2 ).
ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘول أن X1, X2ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن.وﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم اﻟﺻﯾﻐﺔ ﻷﻛﺛر ﻣن ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن.
ﺗﻌرﯾف :اﺳﺗﻘﻼل اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ :ﯾﻘـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ X1, X2 ,...,Xk ,أﻧﻬـم ﻣﺳـﺗﻘﻠﯾن إذا ﻛﺎن ﻟﻛل ai < biﻓﺈن : )P(a1 X b1 ,..., ak Xk bk k
P(ai Xk bi).
=
i=1
ﻧظرﯾﺔ :ﯾﻘﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ X1,X2 ,...,Xkأﻧﻬم ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن إذا ﻛﺎن : f(x1,x2,...,xk) = f1(x1),...,fk(xk). ٦٤
ﻋﻧدﻣﺎ ﻻ ﯾﺗﺣﻘق اﻟﺷرط اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻘﺎل أن X1,X2,…,Xkﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠون. ﯾﻔﯾــد اﻻﺳــﺗﻘﻼل ﻟﻣﺗﻐﯾ ـرات ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ﻓــﻲ وﺻــف اﻟﺗﺟرﺑــﺔ ﺗﺣــت اﻟد ارﺳــﺔ ﺣﯾــث ﯾــدل ﻋﻠــﻰ ﻋــدم وﺟــود
ﺗــﺄﺛﯾر أي ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﻠــﻰ اﻵﺧــر .وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ﺑﻣﺟــرد ﻣﻌرﻓــﺔ اﻟداﻟــﺔ اﻟﻬﺎﻣﺷــﯾﺔ ﻟﻛــل ﻣــن X1,X2,…,Xkﯾﻣﻛﻧﻧــﺎ ﻣﻌرﻓﺔ اﻟداﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ) f(x1,x2,...,xkﺣﯾث: f(x1,x2,...,xk) = f1(x1),...,fk(xk). ﻣﺛﺎل ) (٤٥ -١ إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن X1, X2ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
f (x1,x 2 ) e(x1 x2 ) ، x1 > 0, x2 > 0 = 0 , e.w . ﻫل X1, X2ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ؟
اﻟﺣــل: f1 (x 1 ) f(x1 ,x 2 )dx x 2 2 - ) -(x +x -x x 1 2 e dx 2 = e e 2 dx 2 =e x , 0 0 x f1 (x) e x1 0 1
1
1
e.w.
,
=0
وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل : x2 > 0. , e.w.
x2
f2(x2) = e =0
أي أن X2,X1ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻷن : f(x1x2) = f1(x1) . f2(x2) .
) (٤-١٠-١اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺷرطﯾﺔ Conditional Distributions
٦٥
ﺗﻌرﯾ ف :إذا ﻛـ ــﺎن X1,X2ﻣﺗﻐﯾ ـ ـران ﻋﺷ ـ ـواﺋﯾﺎن ﻟﻬﻣـ ــﺎ داﻟـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣـ ــﺎل اﻟﻣﺷـ ــﺗرﻛﺔ )ٕ f(x1,x2واذا ﻛﺎﻧ ــت داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷ ــﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X1إذا ﻋﻠم أن X1=x1ﻫﻲ
) f(x1 ,x 2 . ) f1 (x1
X1ﻫ ــﻲ ) ، f1(x1ﻓ ــﺈن داﻟ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل
= ) g 2 (x 2 x1
وذﻟ ــك ﻷي ﻗﯾﻣ ــﺔ x1ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر X1ﺣﯾ ــث . f1(x1) > 0اﻟداﻟ ــﺔ ) g(x 2 x 1ﺗﺣﻘ ــق ﺷ ــرطﻲ داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل .
ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ،ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﻓﺈن داﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﺷـرطﯾﺔ ﻫـﻲ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﺷـرطﻲ .
ﻓﻌﻠــﻰ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل إذا ﻛــﺎن X1,X2ﻣﺗﻐﯾـران ﻋﺷ ـواﺋﯾﯾن ﻣــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺗﻘطــﻊ ﻓــﺈن ) g(x 1 x 2ﻫــو اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﺷ ــرطﻲ ﻟﻠﺣﺎدﺛ ــﺔ ] [X2=x1إذا ﻋﻠ ــم أن اﻟﺣﺎدﺛـ ـﺔ ] . [X1=x2ﻓ ــﻲ ﺣ ــﺎل اﻟﻣﺗﻐﯾـ ـرات اﻟﻌﺷـ ـواﺋﯾﺔ ﻣ ــن اﻟﻧ ــوع اﻟﻣﺗﺻل ﻓﺈن اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺗﺧﺗﻠف ﻷن P[X1=x1]=0ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ:
) P(a X2 b X1 =x1 b
= g2 ( x 2 x1 ) dx 2 . a
ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ﻣﺗﺟﻪ ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﻛوﻧﺎﺗﻪ ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻋـددﻫﺎ X=(X1,X2,X3) ، kﺑداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ) f(x1,x2,…,xkﻓﺈﻧﻪ ﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم ﻣﻔﻬـوم اﻟﺗوزﯾﻌـﺎت اﻟﺷـرطﯾﺔ ﻟﻣﺗﺟﻬـﺎت ﻣـن اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷـ ـواﺋﯾﺔ .ﻋﻠ ــﻰ ﺳ ــﺑﯾل اﻟﻣﺛ ــﺎل إذا ﻛﺎﻧ ــت X1,X2,X3ﻣﺗﻐﯾـ ـرات ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺔ ﻟﻬ ــﺎ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل اﻟﻣﺷ ــﺗرﻛﺔ
) f(x1,x2,x3ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X1إذا ﻋﻠم أن X2=x2 ,X3=x3ﻫﻲ :
) f(x1 ,x 2 ,x 3 ) f13 (x 2 ,x 3
=) g1 (x1 x 2 ,x 3
أﯾﺿﺎ داﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X1إذا ﻋﻠم أن X2 = x2ﻫﻲ: ً
) f(x 1 ,x 2 . ) f 2 (x 2
= ) g 1 (x 1 x 2
وﺑﺎﻟﻣﺛل :
) f(x1,x 2 ,x3 . ) f3 (x 3
=) g12 (x1,x 2 x 3
ﻧظرﯾﺔ : ٦٦
إذا ﻛﺎن X2,X1ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ )ٕ f(x1,x2واذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﻲ ﻟﻛل ﻣن X2,X1ﻫﻣﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ) f1(x),f2(xﻓﺈن : ) f(x 1 , x 2 ) = f1 ( x 1 ) g 2 (x 2 x 1 = f 2 (x 2 ) g 2 (x 1 x 2 ).
ٕواذا ﻛﺎن X2,X1ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻓﺈن: g 2 (x 2 x 1 ) = f 2 (x 2 ) , g 1 (x 1 x 2 ) = f1 (x 1 ) .
ﻣﺛﺎل ) (٤٦-١ ﻓﻲ د ارﺳـﺔ ﻋـن ﻋـﺎدة اﻟﺗـدﺧﯾن ٕواذا ﻛـﺎن X1=1إذا ﻛـﺎن اﻟﺷـﺧص اﻟـذي اﺧﺗﯾـر ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾـدﺧن و X1=0إذا
ﻛــﺎن اﻟﺷــﺧص ﻻ ﯾــدﺧن .أﯾﺿــﺎً إذا ﻛــﺎن X2=1اﻟﺷــﺧص ﻣﺻــﺎب ﺑﺎﻟﺳــرطﺎن X2= 0إذا ﻛــﺎن اﻟﺷــﺧص ﻏﯾر ﻣﺻﺎب ﺑﺎﻟﺳرطﺎن .ﯾﻌطﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ : داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻔﺗرﺿﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن . X2, X1
أوﺟد :
2
1
0
.003
.002
.001
1.000
.989
.011
)g 2 (x 2 1) , g 2 (x 2 0 )g1 (x1 0) , g1 (x1 1 اﻟﺣــل:
٦٧
X1
x2 0 )f2 (x1
f(0,0) .001 1 = = f 2 (0) .011 11
=)g1 (0 0
f(1,0) .010 10 = = f 2 (0) .011 11
=)g1 (1 0
f(0,1) .002 2 = = f 2 (1) .989 989
=)g1 (0 1
f(1,1) .987 987 = = f 2 (0) .989 989
=)g1 (11
f(0,0) .001 1 = = f1 (0) .003 3 f(0,1) .002 2 =)g 2 (1 0 = = , f1 (0) .003 3 =)g 2 (0 0
f(1,0) .01 10 = = f1 (1) .998 997
=)g 2 (0 1
f(1,1) .987 987 = = . f1 (1) .997 997
=)g 2 (11
ﺣﯾث ﯾﻣن ﺗﻠﺧﯾﺻﻬم ﻓﻲ اﻟﺟداول اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: 1
0
x1
987 989
2 989
)g1 (x1 1
1
0
x2
987 997
10 997
)g2 (x2 1
1
0
x1
10 11
1 11
)g1 (x1 0
1
0
x2
2 3
1 3
)g2 (x2 0
ﻣﺛﺎل ) (٤٧-١ إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن X,Yﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : ,y>0
x+y<1 ,x0 e.w.
) أ ( أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر . X )ب (
.f y | x ٦٨
, ,
2 f x ,y = 0
اﻟﺣــل: 1 x
)2dy 2(1 x
f1 (x)
0
f x| y 2 1 = = , x + y < 1 , 0 < x <1, f x 2 1-x 1-x
= g2 y | x
وﻋﻠﻰ ذﻟك : 0 < y < 1 x e.w.
, ,
1 g 2 y | x = 1-x 0
) (٥-١٠-١ﺧـواص اﻟﻘﯾـم اﻟﻣﺗوﻗﻌـﺔ Properties of Expected Values : ﻋﻧـد د ارﺳـﺔ ﻣﺗﺟــﻪ ﻣـن اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ) X = ( X k X1 , X2….,ﺑداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ إﺣﺗﻣــﺎل ﻣﺷﺗرﻛــﺔ ) f( x1 , x2….,xKﯾﻛـون ﻣــن اﻟﺿــروري ﻣﻌرﻓــﺔ اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌـﺔ ﻟـﺑﻌض اﻟـدوال ،ﻟﺗﻛــن ) Y = u(Xﯾﻣﻛـن إﺳﺗﺧدام اﻟرﻣز ) E (Yأو اﻟرﻣز
]) . E [u ( X
ﻧظرﯾﺔ : إذا ﻛــﺎن ) X = ( X1 , … , XKداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻹﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛــﺔ
) f ( X1 , X2…., Xkو إذا
ﻛﺎﻧت ] ) Y = E [ u ( Xداﻟـﺔ ﻓــﻲ Xﻓـﺈن ]) E( Y ) = E[ u ( X1 , X2…., Xkﯾﻛـون اﻟﺗـﺎﻟﻲ : E[u(x1 ,x 2 ....,x k )]= ... u(x1 ,x 2 ....,x k ).f(x1 ,x 2 ....,x k ). xk
x1
إذا ﻛﺎن Xﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ و ﯾﻛون ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
) E[u(x1 ,x 2 ...,x k )]= ... u(x1 ,x 2 ...,x k -
-
×f (x1 , x 2 ...., x K ) dx 1dx 2 ..dx K
إذا ﻛﺎن Xﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل : اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠداﻟﺔ ) u ( x1 , x2…., xkﺗﺧﺿﻊ ﻟﺧﺎﺻﯾﺗﯾن ﻫﺎﻣﺗﯾن : ) أ ( ﻷي داﻟﺗﯾن ) u1 ( x1 , x2…., xkو ) u2 ( x1 , x2…., xkو ﻷي ﺛﺎﺑﺗﯾـن a , bﻓﺈن : ])E [ au1 ( x1 , x2…., xk) + bu2 ( x1 , x2…., xk
])= aE [ u1 ( x1 , x2…., xk)] + bE [ u2 ( x1 , x2…., xk ٦٩
)ب( إذا ﻛﺎن u ( x1 , x2…., xk) ≥ 0ﻓﺈن E [u ( x1 , x2…., xK)] ≥ 0 ﻣﺛﺎل ) (٤٨-١ إذا ﻛﺎن X1 ، X2ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﻬﻣﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ 1 = ) f ( x1 , x 2 , x1 =1,2,3,4,5 ; x 2 =1,2,3,4,5 x1 x 2 20 = 0 , e.w. أوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠداﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : u( X1 , X 2 ) = ( |X 1 X 2 | 1).
اﻟﺣــل: ﻟﻠﺗﺳﻬﯾل ﺗوﺿﻊ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻓﻲ ﺟدول ﻣزدوج ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : 5 1 20 1 20 1 20 1 20
3 1 20 1 20
4 1 20 1 20 1 20
X2
0
1 20 1 20 1 20 1 20
0
1 20 1 20 1 20
1 20 1 20
1 20
0
2 1 20
0
0
1
X1 1 2 3 4 5
و ﻋﻠﻰ ذﻟك : x1 x 2 .
,
1 =1 20
5
)( | x1 - x 2 | -1
5
E[u(X1 ,X 2 )]
x 2 =1 x 2 =1
إذا ﻛﺎﻧـت اﻟداﻟـﺔ ) u ( X1 , X2…., XKﻣﻌرﻓـﺔ ﻓـﻲ ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ واﺣـد ،ﻋﻠـﻲ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل .. ﻟــﯾﻛن X1ﻓ ــﺈن اﻟﺗوﻗــﻊ اﻟرﯾﺎﺿ ــﻲ ﻟﻠداﻟــﺔ ) u( X1ﯾﻣﻛ ــن اﻟﺣﺻــول ﻋﻠﯾ ــﻪ ﻣﺑﺎﺷ ـرة ﻣ ــن داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻹﺣﺗﻣ ــﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر . X1
E[u(X1 )]= u(x 1 ) f(x 1 )dx 1. -
ﻓﻲ اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﯾﺳﺗﺑدل اﻟﺗﻛﺎﻣل ﺑﺎﻟﻣﺟﻣوع :
٧٠
ﻧظرﯾﺔ : إذا ﻛﺎن X1 , X2ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ إﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ) f( x1 , x2ﻓﺈن: ) E ( X1 + X2 ) = E ( X1 ) + E ( X 2 ﻣﺛﺎل ) (٤٩-١ إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن X1 , X2ﻫﻲ : 3-x1 x 2 = ) f ( x1 ,x 2 , x1 = 0,1, x 2 0,1 8 أوﺟـد E ( X1 + X2 ) : اﻟﺣــل:
3-x1 -x 2 8
1
) (x1 +x 2
1
E(X1 +X 2 )=
x 2 0 x1 0
3 2 2 1 ) ( 0( ) 1( ) 1( ) 2 8 8 8 8 3 = . 4 3 3 6 3 E(X1 +X 2 )=E(X1 E(X1 ) . 8 8 8 4 اﻟﺗوﻗﻌﺎت اﻟرﯾﺎﺿﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﺄﺧذ أﺳﻣﺎء ﺧﺎﺻﺔ .
)أ(
إذا ﻛﺎﻧـت= u1 ( X1, X2 , … , Xk ) X iﻓـﺈن E (Xi) = µiأو iوﯾﺳـﻣﻰ ﻣﺗوﺳـط Xi ﺣﯾث i=1,2,…,kو ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻪ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
).
k
... x f(x , x ,...x 2
1
i
x2
xk
µi x1
إذا ﻛﺎﻧت ) ( X1, X2 , … , Xkﺗﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ أو ﺣﺳﺎﺑﻪ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ:
,...x k ) dx 1 dx 2 ...dx k .
2
x f(x , x 1
i
µi
إذا ﻛﺎﻧت ) ( X1, X2 , … , Xkﺗﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل . )ب (
إذا ﻛﺎﻧت ، u2 ( X1, X2 , … , Xk ) = (Xi - µi )2ﻓﺈن :
E[u 2 (X1 ,X 2 ,...,X k )]=E(Xi -μ i )2 =i2 =Var(μi ). و اﻟذي ﺗﺳﻣﻰ ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xiﺣﯾث i = 1,2,…,k ٧١
ﺗﻌرﯾف: اﻟﺗﻐﺎﯾر ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن X,Yﯾﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
12 XY Cov(X,Y) E (X x )(Y Y ). ﺑﻌض ﺧﺻﺎﺋص اﻟﺗﻐﺎﯾر ﺗﻌطﻰ ﻓﻲ اﻟﻧظرﯾﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : ﻧظرﯾﺔ : إذا ﻛﺎن X , Yﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن و إذا ﻛﺎن a,bﺛﺎﺑﺗﺎن ﻓﺈن : ) Cov ( aX , bY ) = ab Cov ( X,Y ) Cov ( X + a, Y+b ) = Cov ( X , Y Cov ( X ,aX + b ) = a Var ( X). ﻧظرﯾﺔ : إذا ﻛﺎن X , Yﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻓﺈن : )Cov ( X, Y ) = E (X Y) – E (X ) E (Y و Cov ( X, Y ) = 0إذا ﻛـﺎن X , Yﻣﺳﺗﻘﻠﯾـن . ﻣﺛﺎل ) (٥٠-١ إذا ﻛﺎن X , Yﻟﻬﻣﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ و اﻟﻣﻌطﺎﻩ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﻣزدوج اﻟﺗﺎﻟﻲ :
)f1 (x
3
2
1
.31 .51 .18 1
.01 .06 .1 .17
.1 .3 .05 .45
.2 .15 .03 .38
y x 1 2 3 )f 2 (y
أوﺟد σ XY : اﻟﺣــل: ﻣن داﻟﺗﻲ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ) f1(x) , f2(yﻓﺈن : = 1.87 , Y = 1.79و Xأﯾﺿـﺎً : 3
)xy f ( x,y
y=1
3
E (XY) = x=1
= (1)(1)(.2) + (1)(2)(.1) + ... )+ (3)(2)(.05) + (3)(3)(.1 = 3.58. ٧٢
و ﻣﻧﻬـﺎ
XY = E ( X Y ) - µ X µ Y = 3.58 - 1.87 ( 1.79 ) = .2327.
ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎن ) ( X1, X2 , … , Xkﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻓﺈن :
k k ] Var X i = Var [ X i ] + 2 Cov [X i , X j i<j i=1 i=1 ﻧﺗﯾﺟﺔ :إذا ﻛﺎﻧت ) ( X1, X2 , … , Xkﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻏﯾر ﻣرﺗﺑطﺔ ﻓﺈن : k k Var X i Var X i . i=1 i=1
ﻣﺛﺎل ) (٥١-١ إذا ﻛـﺎن ) Y ~ BIN (n,pأوﺟـد اﻟﺗﺑﺎﯾـن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر . Y اﻟﺣــل: اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yﻫو :
n n Var(Y)=Var X i pq=npq j=1 i=1 ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎن X1, X2 , … , Xnو Y1, Y2 , … , Ymﻓﺋﺗﯾن ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ و إذا ﻛﺎﻧـت a1 … anو b1 … bmﻓﺋﺗﯾن ﻣن اﻟﺛواﺑت ﻓﺈن : m n n m Cov a i X i , bi Yi a i b i cov X i ,Yi . j=1 i=1 i=1 j=1 ﻧﺗﯾﺟﺔ :إذا ﻛﺎﻧت X1, X2 , … , Xkﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ و a1 ,a2 ,..akﺛواﺑت ،ﻓﺈن :
k
a ia j Cov X i ,Yj .
j=1
k k Var a i Xi i=1 i=1
k
a ia j Cov X i , Yj .
k
a i2 Var X i i=1
i j
ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎن X , Yﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺑﺗﺑﺎﯾﻧﻲ , ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ و ﺗﻐﺎﯾر 2 X
2 Y
Cov (X , Y) = σXYﻓﺈن ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑـﺎط correlation coefficientﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن X , Yﻫو :
٧٣
σ XY . σX σY
=
ﻋﻣوﻣﺎً إذا ﻛﺎﻧت X1, X2 , … , Xkﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻋددﻫﺎ kﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ إﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ) x1, x2 , f ( … , xkو إذا ﻛﺎن اﻹﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري σj ، σjﻣوﺟﺑﺎن ﻓﺈن : ) Cov(X i ,Yj σ = ij ij . σi σ j σi σ j
ﯾﻘــﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـرﯾن X , Yأﻧﻬﻣــﺎ ﻏﯾــر ﻣ ـرﺗﺑطﯾن uncorrectedإذا ﻛــﺎن ρ = 0و ﻏﯾــر ذﻟــك ﯾﻘــﺎل أﻧﻬﻣــﺎ ﻣرﺗﺑطﯾن .
ﻣﺛﺎل ) (٥٢-١ إذا ﻛــﺎن X1, X2ﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن ﻋﺷ ـواﺋﯾﯾن ﯾﺗﺑﻌــﺎن اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﺛﻼﺛــﻲ اﻟﺣــدود ﺑداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ إﺣﺗﻣــﺎل ﻣﺷــﺗرﻛﺔ ﻋﻠــﻰ
اﻟﺷﻛل :
n- x1 x 2
!n ) p1x1 p 2x 2 (1- p1 - p2 !) x1! x 2!(n-x1 - x 2
= ) f(x1 , x 2
ﺣﯾث x1 x2 ، 0 ≤ x1 + x2 ≤ nﻗﯾم ﺻﺣﯾﺣﺔ ﻣوﺟﺑﺔ .أوﺟـد ﻣﻌﺎﻣـل اﻹرﺗﺑـﺎط ρﺑـﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾـرﯾن X1, X2 . اﻟﺣــل:
) f(x1 , x 2
x x 2
1
x2
!n . !) x1! x 2!(n-x1 - x 2
٧٤
x1
n-x1
x 1x 2
= ) E(X1 , X 2
n
x 2 0
x1 0
=
n-1
n-x1
=
x1 1 x 2 1 n-1
=
n-x1
x1 0
x 2 0
n! × p1x1 p x2 2 (1- p1 - p 2 ) (x1 -1)! (x 2 -1)!(n-x1 - x 2 )! n! × p1x1 p x2 2 (1- p1 - p 2 ) (x1 -1)! (x 2 -1)!(n-x1 - x 2 )!
n-2 = n(n-1)p1p 2 i=0 = n(n-1)p1p 2 .
n-2-i
j 0
(n-2)! × p1i p 2j (1- p1 - p 2 ) i!j!(n-2-i-j)!
n-x1 x 2
n-x1 x 2
n- 2-i-j
σ12 = E [X1X2]- µ1µ2 = n ( n – 1 ) p1 p2 - n2 p1 p2 = - n p1 p2 . : ﻫوX1, X2 و ﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑﺎط ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن -np1p 2 12 = np1 (n-p1 )np2 (1-p 2 )
=-
p1p2 . (1-p1 )(1-p2 ) (٥٣-١ ) ﻣﺛﺎل : ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛلX, Y إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن f(x,y) = x + y , 0 < x < 1 , 0 < y < 1 . أوﺟد ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑﺎط ؟ :اﻟﺣــل 1
µ X = E(X) =
1
0 1
0 1
2x = E(x 2 )-µ 2x
0
x(x+y) dx dy =
7 12
x 2 (x+y) dx dy
0
2
11 7 - . 12 144 : و ﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل
٧٥
7 2 11 , y = E(Y2 )-µY2 , 12 144 XY = E(XY)-µxµy
= )µY = E(Y
2
1
1
7 11 = xy(x+y) dx dy- . 12 144 0 0 و ﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑﺎط ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن X , Yﻫو : 1 1 144 = . 11 11 11 144 144 ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎن ρﻫو ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑﺎط ﺑﯾن X , Yﻓﺈن : )أ(
- 1 ≤ ρ≤ 1 ρ = ± 1و إذا ﻛﺎن ﻓﻘط Y = aX + bﺑﺈﺣﺗﻣﺎل 1ﻟﻘﯾم a ≠ 0 , b
)ب( ﻧظرﯾﺔ : إذا ﻛﺎن X , Yﻣﺳﺗﻘﻼن ﻓﺈن ρ = 0و ﻟﻛن ρ = 0ﻻ ﺗﻌﻧﻲ أن X , Yﻣﺳﺗﻘﻼن . ﻣﺛﺎل ) (٥٤-١ إذا ﻛﺎن X, Yﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣﺗﻘطﻌﯾن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ إﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : 1 = )f(x;y ), (x,y) = (-4,1) , (4,-1) , (2,2) , (-2,-2 4 = 0 e.w. أوﺟد :ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑﺎط ρو ﻫل اﻟﻣﺗﻐﯾرات ﻣﺳﺗﻘﻼن . اﻟﺣــل: X = Y = 0. 1 1 1 1 E(XY)=(-4) (-4) (4) (4) 0. 4 4 4 4
و ﻋﻠﻰ ذﻟك : )Cov ( X , Y ) = E ( XY) – E (X) E(Y =0 -0 =0. و ﻋﻠﻰ ذﻟك ρ = 0ﺑﺎﻟرﻏم ﻣن أن X , Yﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن و ذﻟك ﻷن :
٧٦
1 f(- 4.1) = , 4 1 1 f X ( - 4) = ,f Y (1)= , 4 4 F(- 4.1) f X ( - 4) f Y (1). ﻣﺛﺎل ) (٥٥-١ إذا ﻛﺎن X, Yﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﻬﻣﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
1 3 1 = 6 =0
= )f(x,y
)(x,y) = (-1,1) , (1,1 )(x,y) = (-2,4) , (2,4 , e.w.
ﺗـذﻛر أن ، P ( Y = x2 ) = 1و ﻋﻠـﻰ ذﻟـك ﻟﻬـذا اﻟﺗوزﯾـﻊ X , Yﻏﯾـر ﻣﺳـﺗﻘﻠﯾن و ﯾﻣﻛـن إﺛﺑـﺎت ذﻟـك ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
1 1 1 2 , f Y (1) = 3 3 3 3 1 1 1 f (1,1) . 3 3 3 = )f X (-1
أﯾﺿﺎً ﻣن اﻟﺳﻬل إﺛﺑﺎت أن X 0 , E(XY) = 0و ﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن :
)Cov (X,Y )E (XY) - E(X) E(Y = XY XY 0 = 0. XY ﯾﺗﺿﺢ ﻣن ذﻟك أن ﻋدم اﻹرﺗﺑﺎط ﺑﯾن X , Yﻻ ﯾﻌﻧﻲ ﺑﺎﻟﺿرورة أﻧﻬﻣﺎ ﻣﺳﺗﻘﻼن . ﻣﺛﺎل ) (٥٦-١ ﺑﻔرض أن X, Yﻣﺗﻐﯾران ﻋﺷواﺋﯾﺎن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ إﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻣﻌرﻓﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ : 3 2 2 (2 x y ) , 1 x 1 , 1 y 1 f (x, y) 16 0 , e.w. ٧٧
=ρ =
إذا ﻛﺎﻧت u(X,Y) = XYأوﺟد ]) E [u (X,Yواﺛﺑت ان اﻟﺗﻐﺎﯾر ﯾﺳﺎوى ﺻﻔر وﻋﻠق ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ . اﻟﺣــل:
xy f(x,y) dy dx
E u(XY) E(XY)
-
3 ) (2-x 2 -y 2 )dy dx 16
-
1
( xy
=
1 1 1
(2xy-x 3 y-xy3 ) dy dx
1
1
1
3 = 16 1
1
1 1 2xy 2 x 3 y 2 xy 4 3 3 = dx= 0 dx=0. 16 1 2 2 4 16 1 و ﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟﺗوﻗﻊ أﻣﺎ ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـرﯾن أو ﺑﺈﺳﺗﺧــدام دوال ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻹﺣﺗﻣـﺎل
اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻛل ﻣﻧﻬﻣﺎ ﻛﻣﺎﯾﺄﺗﻰ:
1
x f(x ,y) d y d x
1
3 ) (2 -x 2 -y 2 )d y d x 16
1
(x 1
(2 x -x 3 -x y 2 ) d y d x
1
1
xy 3 3 2 x y-x y dx 3 -1
1
1
1
3 2 3 x 2 x -2 x =0. 3 -1
1
3 3 2x 4 x -2 x= dx 3 16
1 1
1
E (X )
1
1
1
1
=
1
3 = 16 3 = 16 3 = 16
و ﺑﺎﻟﻣﺛل ﻓﺈن E(Y) = 0و ﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈن E[u ( X,Y )]= 0ﻣن ﺧﻼل ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل وﺟدﻧﺎ أن . E (XY) = E( X) E(Y) = 0و ﻟﻛـن ﻫـل ﻫـذا ﯾﻌﻧـﻲ أن اﻟﻣﺗﻐﯾـرﯾﯾن اﻟﻌﺷـواﺋﯾﯾن ﻣﺳـﺗﻘﻠﯾن ؟
اﻹﺟﺎﺑﺔ ،ﻻ ،و ﻟﻛن إذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾران اﻟﻌﺷواﺋﯾﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻓﺈن. E(X Y) = E(X) E(Y) :
) (١١-١اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ Joint Moment Generating functions ٧٨
ﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات ﻓﻰ اﻟﺑﻌد اﻻول وذﻟك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﺑﻌد . k
ﺗﻌرﯾف :اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌـزوم ﻟﻣﺗﺟـﻪ ﻣـن اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ ) X (X1, X 2 ,..., X kﯾﻌـرف ﻛﺎﻟﺗـﺎﻟﻲ : k M X (t) E exp t i Xi . i1 ﺣﯾث ) – h < ti < h , t = ( t1 , … , tkو . h > 0
ﻟﻛـل داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﺣﺗﻣــﺎل ﻣﺷـﺗرﻛﺔ داﻟــﺔ ﻣوﻟـدة ) إذا وﺟــدت ( وﺣﯾـدة أي أن ﻟﻬــﺎ ﺧﺎﺻـﯾﺔ اﻟوﺣداﻧﯾــﺔ وﻋﻠـﻰ ذﻟــك
ﺗﺳــﺗﺧدم ﻓــﻲ ﺗﻘــدﯾر داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ وأﯾﺿــﺎ ﻛــل اﻟــدوال اﻟﻬﺎﻣﺷــﯾﺔ .ﻓﻌﻠــﻰ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل اﻟداﻟــﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X iﻫﻲ : M ( 0, 0 , 0, t i , 0 , … , 0 ).
ﺣﯿﺚ . i 1,2,...,nأﯾﻀﺎ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮﯾﻦ X i , X jھﻲ : M ( 0, 0 , … , t i , 0 , 0 , … , t j ,0, 0, … ,0 ). ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎﻧت ) MX,Y (t1 , t2ﻣوﺟودة ﻓﺈن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن اﻟﻌﺷواﺋﯾﯾن X , Yﯾﻛوﻧﺎن ﻣﺳﺗﻘﻼن إذا وﻓﻘط إذا . MX,Y (t1 , t2) = MX,Y (t1 , 0) MX,Y (0 , t2) . ﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﺣﺎﻟﺔ kﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ X1, X 2 ,..., X kﺣﯾث : k
)M X ( t1, t 2 ,..., t k ) M X (0,...,0, t i ,0,...,0 إذا ٕواذا ﻓﻘط ﻛﺎن X1, X 2 ,..., X kﻣﺳﺗﻘﻠﯾن .
i 1
إذا ﻛﺎن X , Yﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﻓﺈن :
y m e t 1 x t 2 y f(x, y) dx dy , y m f(x, y) dx dy ,
k x -
k x
t t 0 1 2 -
E Xk Ym . وﻋﻠﻰ ذﻟك : ٧٩
) k m M X , Y ( t1 , t 2 t1k t m 2 ) k m M X , Y ( t1 , t 2 t1k t m 2
1 E ( X ) 2 E (Y ) 12
22
E (X
2
E (Y
2
XY
M X , Y (0,0) t1 M X , Y (0,0) t2
) 12
) 22
, ,
2 M X , Y (0,0) 2 t12
2 M X, Y (0,0)
2 M X, Y (0,0) t1 t 2
t 22
- 12 ,
- 22 ,
- 1 2 .
(٥٧-١ ) ﻣﺛﺎل : ﻫﻰX , Y إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن y
-1
0
1
2
1 6
0
0 1 6
x -2
0 1 3 -1 0 1 6 0 0 f 2 (y),f1 (x) , Cov(X,Y) اﯾﺟﺎد ﻣﻧﻬﺎ
0 1 6 0 ﺛمY ,X اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد اﻟداﻟﻪ اﻟﻣوﻟدﻩ ﻟﻠﻌزوم ﻟـ :اﻟﺣــل
1 1 t t M X,Y (t1 , t 2 ) e 2 t1 e 1 2 6 3 1 1 1 + e 2t 2 t1 e t 2 e t 2 6 6 6 ٨٠
:اﯾﻀﺎ
M x,y (t1 , t 2 ) t1 M x,y (t1 , t 2 ) t 2 M x,y (t1 , t 2 ) t 1t 2
1 1 1 e 2t1 e (t1 ,t2 ) e2t 2 t1 , 3 3 6 1 1 1 1 e (t1 ,t2 ) e 2t1 t 2 ) e t 2 e t 2 , 3 3 6 6 1 1 e (t1 ,t2 ) e 2t2 t1 , 3 3
: وﻋﻠﻲ ذﻟﻚ M (t , t ) 5 E(X) X,y 1 2 , t1 6 t1 t 2 0 M (t , t ) E(Y) X,y 1 2 0 t 2 t1 t 2 0 2 M X,y (t1 , t 2 ) E(XY) 0. t , t 1 2 t1 t 2 0
: وﻋﻠﻲ ذﻟك
Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 0. : اﯾﺿﺎ 1 1 t1 1 2 t1 e e , 3 2 6 1 1 1 1 M X (t 2 ) M X,Y (0, t 2 ) e t 2 e t1 e 2 t 2 , 6 2 6 6 : ﻫﻰf1 (x) وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺈن M X (t1 ) M X,Y (t1 ,0)
٨١
-2 1 6
0 1 3
-1 1 2
x )f1 (x
و ) f 2 (yﻫﻰ: 2 1 6
1 1 6
-1 1 2
0 1 6
y )f 2 (y
) (١٢-١دوال ﻓﻰ ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻓـﻲ ﻛﺛﯾــر ﻣــن اﻷﺑﺣـﺎث ﻧﺟــد أن اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ اﻟﺗـﻲ ﻧﺳــﺗﺧدﻣﻬﺎ ﻓــﻲ ﺧﻼﺻـﺔ ﻧﺗــﺎﺋﺞ اﻟﺗﺟرﺑــﺔ ﻟــﯾس
داﺋﻣــﺎ ﻫــﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳــﺎت اﻟﺗــﻲ ﻧﺣﺻــل ﻋﻠﯾﻬــﺎ ﺑﺣــد ذاﺗﻬــﺎ وﻟﻛــن ﺗﻛــون دوال ﻣــن ﻫــذﻩ اﻟﻘﯾﺎﺳــﺎت .ﻓﻣــﺛﻼ ﻗــد ﯾﻛــون Xاﻟﻣﻘﺎﺳـ ــﻪ ﺑـ ــﺎﻟﻔﻬر ﻧﻬﯾـ ــت إﻟـ ــﻰ ﻗ ـ ـراءات ﺑﺎﻟـ ــدرﺟﺎت اﻟﻣﺋوﯾـ ــﺔ
اﻟﻣطﻠ ــوب ﺗﺣوﯾـ ــل ﻗ ـ ـراءات درﺟـ ــﺎت اﻟﺣ ـ ـ اررة 5 160 . Y X اﯾﺿــﺎً ﻓــﻲ أﺑﺣــﺎث أﺧــرى ﻗــد ﯾﻣﺛــل اﻟﻌﻣــر Xﺑﺎﻷﺳــﺎﺑﯾﻊ ﻟﻣﻛــون ﻣــﺎ ﺑﯾﻧﻣــﺎ ﻓــﻲ ﺗﺟرﺑــﺔ 9 9 أﺧرى ﻗد ﯾﻣﺛل اﻟﻌﻣـر Wﺑﺎﻷﯾـﺎم وﻋﻠـﻰ ذﻟـك . W=7Xﺑـﻧﻔس اﻟﺷـﻛل Z=lnX :أو دوال أﺧـرى ﻓـﻲ X ﻗــد ﺗﻛــون ﻣوﺿــﻊ اﻻﻫﺗﻣــﺎم .أي داﻟــﺔ ﻓــﻲ ﻣﺗﻐﯾ ــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ Xﻧﻔﺳــﻬﺎ ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ وﯾﻣﻛــن ﺗﻘــدﯾر داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓﺗﻬﺎ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﺑدﻻﻟﺔ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر . Xﻋﻠـﻲ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر Wاﻟﻣـذﻛور أﻋـﻼﻩ
ﻓﺈن P 14 W 21 P 2 X 3
ﻣن اﻟواﺿﺢ أن اﻻﺣﺗﻣـﺎﻻت اﻟﺗـﻲ ﺗﺧـص دوال ﻓـﻲ ﻣﺗﻐﯾـرات
ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺔ ﺗﻛ ــون ﻣوﺿ ــﻊ اﻻﻫﺗﻣ ــﺎم وﯾﻛ ــون ﻣ ــن اﻟﻣﻔﯾ ــد اﻟﺗﻌﺑﯾ ــر ﻋﻧﻬ ــﺎ ﺑدﻻﻟ ــﺔ داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل ،أو داﻟ ــﺔ
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ،ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻷﺻﻠﻲ .أﯾﺿﺎً ﻓﻲ اﻟﺗﺟﺎرب اﻟﻣرﻛﺑـﺔ ﻗـد ﯾﻛـون اﻻﻫﺗﻣـﺎم ﻓـﻲ ﺗﺣوﯾـل اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷ ـ ـواﺋﯾﺔ اﻷﺻـ ــﻠﯾﺔ اﻟﻣﻘﺎﺳ ـ ــﺔ ﺣﯾث i =1,2,…,k
X1 ,X 2 ,..., X Kاﻟـ ــﻰ ﻣﺗﻐﯾ ـ ـرات ﺟدﯾ ـ ــدة
Yi ui X1,X2 ,...,X k
.ﻓﻌﻠﻲ ﻋﻠﻰ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل ،ﻗـد ﻧﻼﺣـظ اﻷوزان X1 ,X 2 ,..., X k
ﻟﻛـﺎﺋن ﻣﺎﻋﻧـد
اﻷزﻣﻧﺔ t1, t 2 ,..., t k :وﻟﻛن ﻗد ﯾﻛون اﻻﻫﺗﻣﺎم ﻓـﻲ ﺗﻌرﯾـف ) Y1 X1اﻟـوزن اﻟﻣﺑـدﺋﻲ( وأﯾﺿـﺎ اﻟزﯾـﺎدة ﻓـﻲ اﻟــوزن Xi X i1ﺣﯾــث i=2,…,kوذﻟــك ﻓــﻲ ﻓﺗ ـرات زﻣﻧﯾــﺔ ﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ .ﻓــﻲ ﻫــذا اﻟﺑﻧــد ﺳ ـوف ﻧﻧــﺎﻗش طــرق ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻻﺷﺗﻘﺎق داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟداﻟﺔ ﻓﻲ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ أو أﻛﺛر او ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم .
) (١-١٢-١طرق إﯾﺟﺎد ﺗوزﯾﻊ دوال ﻓﻲ ﻣﺗﻐﯾرﻋﺷواﺋﻰ واﺣد : ٨٢
) ا( اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ Discrete Case ﻟﺗﻛن ) u(xداﻟﺔ ذات ﻗﯾﻣﺔ ﺣﻘﯾﻘﯾـﺔ ﻓـﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﺣﻘﯾﻘـﻲ . xإذا أﻣﻛـن ﺣـل اﻟﻣﻌﺎدﻟـﺔ )y= u(x
ﺑطرﯾﻘـﺔ وﺣﯾـدة ﻟـﺗﻛن ) ، x = w(yﻓﺈﻧﻧـﺎ ﻧﻘـول أن اﻟﺗﺣوﯾﻠـﺔ ﺗﺑﺎدﻟﯾـﺔ وﺣﯾـدة أو ﺗﻧﺎظرﯾـﺔ one – to – one transformationوﻏﯾر ذﻟك ﻧﻘول أن اﻟﺗﺣوﯾﻠﺔ ﻏﯾر ﺗﻧﺎظرﯾﺔ . ﻧظرﯾ ﺔ :إذا ﻛـﺎن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﻘطـﻊ ﺑداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﺣﺗﻣـﺎل ٕ f X x واذا ﻛـﺎن Y=u ) (Xﺗﻌــرف ﺗﺣوﻟﯾــﺔ ﺗﻧﺎظرﯾــﺔ ،ﺑﻣﻌﻧــﻲ آﺧــر اﻟﻣﻌﺎدﻟــﺔ ) y = u(xﯾﻣﻛــن ﺣﻠﻬــﺎ ﺑطرﯾﻘــﺔ وﺣﯾــدة ،ﻟــﺗﻛن ، x w y وﻋﻠﻲ ذﻟك داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yﻫﻲ :
y ,
,
))f Y (y) f X (w(y
{y fY (y) 0}. ﻣﺛﺎل ) (٥٨ -١ اذا ﻛـﺎن Xﻣﺗﻐﯾـ ار ﻋﺷـواﺋﻲ ﺣﯾـث ) X ~ GEO (Pﻓـﺎن داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر Xﺗﻛـون ﻋﻠـﻰ
اﻟﺷﻛل :
x = 1,2,... e.w.
f X (x,p) = p q x-1
,
=0
,
ٕواذا ﻛﺎن Y= X– 1ﯾﺗﺑﻊ ﺷﻛل آﺧر ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ أوﺟد داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر.Y اﻟﺣــل: إذا ﻛﺎن y = u(x) = x-1ﻓﺈن x = w(y) = y + 1وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yﯾﻣﻛن
إﯾﺟﺎدﻫﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ :
f Y y 1 p q y , y 0,1,... = 0 , e.w. واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻌدد ﺣﺎﻻت اﻟﻔﺷل ﻗﺑل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ أول ﻧﺟﺎح . ﺑﻔرض أن اﻟداﻟﺔ ) u (xﻟﯾﺳت داﻟﺔ ﺗﻧﺎظرﯾﺔ ﻋﻠـﻲ اﻟﻔﺿـﺎء } R A {x f x (x) 0وﻫـذا ﯾﻌﻧـﻲ ﻋـدم وﺟـود ﺣـل وﺣﯾـد ﻟﻠداﻟـﺔ ) . y = u (xﻋـﺎدة ﯾﻛـون ﻣـن اﻟﻣﻣﻛـن ﺗﺟزﺋـﻪ اﻟﻔﺿـﺎء Aإﻟـﻲ ﻓﺋـﺎت ﺟزﺋﯾـﻪ ﻣﺗﻧﺎﻓﯾـﺔ A1, A2,...ﺑﺣﯾث ﺗﻛون ) u(xﺗﻧﺎظرﯾﺔ ﻋﻠﻲ ﻛل . A jوﻋﻠﻲ ذﻟك ﻟﻛـل yﻓـﻲ اﻟﻣـدى ﻟﻠداﻟـﺔ ) ، u (xﻓـﺈن
اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ) y = u(xﯾﻛون ﻟﻬﺎ ﺣل وﺣﯾد x j w j y ﻋﻠﻲ اﻟﻔﺋﺔ . A j ﻧظرﯾﺔ :ﻟﻠدوال اﻟﻐﯾر ﺗﻧﺎظرﯾﺔ ﻓﺈن :
f Y (y) f X (w j (y)). j
٨٣
ﻣﺛﺎل ) (٥٩ -١ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: 2
1
0
2 9
1 9
-1
1 9 2 إذا ﻛﺎن Y Xأوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Y؟ 3 9
-2
X
2 9
fX x
اﻟﺣــل: داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ: 2
1
0
Y
3 9
5 9
1 9
fY y
) ب ( اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ
Continuous Case
ﻓﻲ ﻫذا اﻟﺟزء ﺳوف ﻧﻧﺎﻗش طرﯾﻘﺗﯾن ﻻﺷﺗﻘﺎق ﺗوزﯾﻊ دوال ﻓﻲ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل وﻫﻲ
طرﯾﻘﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ وطرﯾﻘﺔ اﻟﺗﺣوﯾل .
طرﯾﻘﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ Cumulative – Distribution Function Technique ﺑﻔــرض أن Xﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﻟــﻪ داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌــﻲ )ٕ FX (xواذا ﻛــﺎن ) Y = u(Xداﻟــﺔ ﻓــﻲ . X ﺗﻌﺗﻣد ﻫذﻩ اﻟطرﯾﻘﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yﺑدﻻﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾر X ﺣﯾث :
] F Y y = P [ u(X) < y
٨٤
وﻋﻠﻰ ذﻟك:
dFY y . dy
f Y y
ﻣﺛﺎل ) (٦٠ -١
إذا ﻛــﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﺣﯾــث f (x) e x ,x 0وﻛــﺎن Y eX
أوﺟــد داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل
ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر .Y اﻟﺣــل:
]FY (y) P[Y y] P[eX y ln y
P[X ln y] e t dt 0
1].
ln y
ln y
e t 0 [e
أي أن : FY (y) 1 y
1 y .
وﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yﺳﺗﻛون ﻛﺎﻵﺗﻲ :
d FY (y) y1 dy
, 1 y
f Y (y)
= 0 , e.w.
طرﯾﻘﺔ اﻟﺗﺣوﯾل ﻧظرﯾ ﺔ :ﺑﻔ ــرض أن Xﻣﺗﻐﯾـ ـراً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﻣ ــن اﻟﻧ ــوع اﻟﻣﺗﺻ ــل ﺑداﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﺣﺗﻣ ــﺎل f X x وﺑﻔ ــرض أن Y u x ﺗﻌـرف ﺗﺣوﯾﻠـﺔ ﺗﻧﺎظرﯾـﺔ ﻣـن } R {x f x (x) 0إﻟـﻲ } {y f y (y) 0ﺑﺗﺣوﯾﻠـﻪ
dw y ) . x = w (yإذا ﻛﺎﻧـت اﻟﻣﺷـﺗﻘﺔ dy
ﻣﺗﺻـﻠﺔ وﻻ ﺗﺳـﺎوي اﻟﺻـﻔر ﻋﻠـﻲ ﻓـﺈن داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل
ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yﻫﻲ :
y
d )w(y dy
))f Y (y) f X (w(y
ﻋـﺎدة ﯾﺷـﺎر اﻟـﻰ اﻟﻣﺷـﺗﻘﺔ ﻟﻠداﻟـﺔ ) w(yﺑﺟﺎﻛوﺑﯾـﺎن اﻟﺗﺣوﯾـل )ﻣﻌﺎﻣـل اﻟﺗﺣوﯾـل او اﻟﯾﻌﻘوﺑﯾـﺔ ،وﯾرﻣـز ﻟـﻪ ﺑـﺎﻟرﻣز )dw(y . J dy ﻣﺛﺎل ) (٦١ -١ ٨٥
إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل : fX x e x , x > 0 =0
, e.w. 5 160 Y X؟ أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر 9 9
. اﻟﺣــل: إذا ﻛﺎن :
5 160 y u(x) x . 9 9
ﻓﺈن:
9 160 x w(y) (y ). 5 9
وﻋﻠﻲ ذﻟك :
dw(y) 9 . dy 5
J
وﻣﻧﻬﺎ :
9 160 9 f Y f X ( (y )) 5 9 5 160 9
][9 y 160 / 5
y
9 e , 5 0 , e.w.
) (٢-١٢-١طرق إﯾﺟﺎد ﺗوزﯾﻊ دوال ﻓﻲ ﻣﺗﻐﯾرﯾن أو أﻛﺛر : ﻓـﻲ اﻟﺑﻧــد ) (١-١٢-١ﺗﻧﺎوﻟﻧـﺎ ﻣﺷــﻛﻠﺔ اﻟﺣﺻـول ﻋﻠــﻲ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣـﺎﻟﻲ ﻟداﻟــﺔ ﻓـﻲ ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷـواﺋﻲ ﻓـﻲ اﻟﺑﻌـداﻻول .اﻻن ﯾﻛـون ﻣـن اﻟطﺑﯾﻌـﻲ ﺗﻧـﺎول ﻣﺷـﻛﻠﺔ اﻟﺣﺻـول ﻋﻠـﻲ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﺷـﺗرك ﻟـدوال ﻓـﻲ ﻣﺗﻐﯾـرﯾن
ﻋﺷـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـواﺋﯾن او اﻛﺛ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــر .ﺑﻔ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــرض ﻣﺗﺟ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ ﻋﺷـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـواﺋﻲ ) X (X1, X 2 ,..., X kواذاﻛ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎن
u 1 x , u 2 x ,..., u K x دوال ﻓــﻲ Xﻋــددﻫﺎ . kوﻋﻠــﻰ ذﻟــك Y j u j X ﺣﯾــث j=1,2,….,k ﯾﻌرف ﻣﺗﺟﺔ اﺧر ) . Y (Y1, Y2 ,..., Ykﻟﻠﺗﺳﻬﯾل ﺳوف ﻧﻌﺑر ﻋﻧﺔ ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ ).Y=U(X ٨٦
)ا ( اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ :Discrete Case : ﻧظرﯾ ﺔ :إذا ﻛــﺎن Xﻣﺗﺟــﻪ ﻣــن اﻟﻣﺗﻐﯾ ـرات اﻟﻌﺷ ـواﺋﯾﺔ اﻟﻣﻌطــﺎة ﻣــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺗﻘطــﻊ ﺑداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣــﺎل ﻣﺷــﺗرﻛﺔ ٕ f X x واذا ﻛــﺎن ) Y = u(Xﯾﻌــرف ﺗﺣوﯾﻠــﻪ ﺗﻧﺎظرﯾــﺔ ،ﻓــﺈن داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yﻫﻲ :
) f Y (y1, y 2 ,...., y k ) f X (x1 , x 2 ,..., x k ﺣﯾـث x 1 , x 2 ,..., x Kﯾﻣﺛﻠـون اﻟﺣﻠـول ﻟﻠداﻟـﺔ ) y = u (xواﻟﺗـﻲ ﺗﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻲ y1, y 2,..., y nﺣﯾـث xﻫﻧـﺎ ﯾﻌﺑرﻋن ﻣﺗﺟﺔ ) . x (x 1, x 2 ,...., x K ﻣﺛﺎل ) (٦٢-١ 1x i ei ) F(x i ) ﺗوزﯾــﻊ ﺑواﺳــون( اﻟﻣطﻠــوب إذا ﻛــﺎن X1, X2ﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن ﻣﺳــﺗﻘﻠﯾن ﺣﯾــث , x i 0,1,... ! xi
إﯾﺟﺎد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر . Y1 X1 X 2 اﻟﺣــل:
ﻓﻲ ﻫـذﻩ اﻟﺣﺎﻟـﺔ ﻧﺣﺗـﺎج ﻟﺗﻌرﯾـف ﺟدﯾـد ﻟـﯾﻛن Y2وﻷن Y2ﻟـﯾس ﻣوﺿـﻊ اﻻﻫﺗﻣـﺎم ﻓﺳـوف ﻧﺧﺗـﺎر y2 x 2 ﻟﻠﺗﺳـ ــﻬﯾل .وﻋﻠـ ــﻲ ذﻟـ ــك
,
y1 x1 x 2 , y 2 x 2ﯾﻣﺛﻠـ ــون ﺗﺣوﯾﻠـ ــﻪ ﺗﻧﺎظرﯾـ ــﺔ وﻋﻠـ ــﻲ ذﻟـ ــك
x 2 y 2, x1 y1 y 2 .داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن Y1 ,Y2ﻫﻲ :
) fY (y1, y2 ) f X1 ,X2 (y1 y2 , y2 1y1 y2 2y2 e1 2 , ! (y1 y 2 )!y 2 y1 0,1,2,..., y2 0,1, 2,..., y1
,
e.w.
=0
داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Y1ﻫﻲ : y1
) f Y1 (y) f Y ,Y (y1 , y 2 y 2 0 1 2
1 1 2 y1 ! y1 e 1y1 y2 2y2 ! y 2 0 (y y )!y !y1 1 2 2 y1 ( )1 2 ) ( 2 1 e , y1 0,1,2,... ! y1
, e.w. ٨٧
0
أي أن Y1 X1 X 2ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن . 1 , 2 ﻋﻧـدﻣﺎ ﺗﻛـون اﻟﺗﺣوﯾﻠـﺔ ﻏﯾـر ﺗﻧﺎظرﯾـﺔ ٕواذا ﺗـوﻓرت اﻟﺗﺟزﺋـﺔ ،ﻟـﺗﻛن A1, A2,…,ﺑﺣﯾـث أن اﻟﻣﻌﺎدﻟـﺔ y = u ) (xﻟﻬﺎ ﺣل وﺣﯾد x x jأو :
) x j (x1j , x 2 j ,...,x kj ﻋﻠﻲ اﻟﻔﺋﺔ . Ajوﻋﻠﻲ ذﻟك داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yﻫﻲ : ) f Y (y1,..., y k ) f X (x1j ,...., x kj j
ﻣﺛﺎل ) (٦٣ -١
X1, X2ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل : 2
1
1 9
1 9 1 9 1 9 , Y1 X1 X2
1 9 1 9 وﺑﻔ ـ ـ ـ ــرض أن
) . Y (Y1 ,Y2 ) , X=(X1,X 2
-2
x1 x2 -2
1 9 1 1 9 2 1 9 Y2 X22أوﺟ ـ ـ ـ ــد داﻟ ـ ـ ـ ــﻪ ﻛﺛﺎﻓ ـ ـ ـ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ـ ـ ـ ــﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷ ـ ـ ـ ــﯾﺔ ﻟﻛ ـ ـ ـ ــل ﻣ ـ ـ ـ ــن
اﻟﺣــل:
1 f Y (4,4) f X (2, 2) , 9 1 f Y (1,1) f X (2,1) , 9 1 1 2 f Y (0,4) f X (2,2) f X (2, 2) , 9 9 9 1 f Y (1,4) f X (1, 2) , 9 1 f Y (2,1) f X (1,1) , 9 1 f Y (3,4) f X (1,2) , 9 ٨٨
1 f Y (3,1) f X (2,1) , 9 1 f Y (4,4) f X (2, 2) . 9
ﯾﻣﻛن وﺿﻊ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن Y1 ,Y2ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ :
)fY2 (y
3
4
2
1 3 9 9 1 1 6 9 9 9 1 2 1 9 9 ﻣـ ــن اﻟﺟـ ــدول اﻟﺳـ ــﺎﺑق ﻓ ـ ــﺈن داﻟـ ــﻪ
0
-4
-1
1 1 9 9 4 1 1 2 9 9 9 1 2 2 1 )fY1 (y 9 9 9 9 ﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ـ ــﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷـ ــﯾﺔ ﻟﻛـ ــل ﻣ ـ ــن Y2,Y1ﯾﻣﻛـ ــن اﻟﺣﺻـ ــول ﻋﻠﯾﻬ ـ ــﺎ 2
0
-1
-4
2 9
1 9
2 9
2 9
1 9
)ب( اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ :
y2
1
ﻣن اﻟﺟدوﻟﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن: 3 4
1 9
y1
4
1
y2
6 9
3 9
)f Y2 (y
Continuous Case : ٨٩
y1 )fY1 (y
ﻓﻲ ﻫذا اﻟﺟزء ﺳوف ﻧﻧﺎﻗش طرﯾﻘﺗﯾن ﻻﺷﺗﻘﺎق ﺗوزﯾﻊ دوال ﻓﻲ ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ وﻫﻣﺎ طرﯾﻘﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ وطرﯾﻘﺔ اﻟﺗﺣوﯾل .
طرﯾﻘﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ Cumulative Distribution ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎن X X1 , X 2 ,...X kﻣﺗﺟﻪ ﻋﺷواﺋﻲ ﻣن ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻋددﻫﺎ k
ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ إﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ) f X (x1, x 2 ,...x k وﻛﺎﻧت ) Y U(Xداﻟﺔ ﻓﻲ X ﻓﺈن :
]FY (y) P[u(X) y ... f X (x1 , x 2 ,..., x k )dx1....dx k Ay
ﻣﺛﺎل ) (٦٤ -١ إذا ﻛﺎن X1, X2ﻣﺗﻐﯾران ﻋﺷواﺋﯾﺎن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻣﻌرﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ :
, 0 x1 x 2 1 e.w.
,
2 f X1 , X 2 (x1 , x 2 ) 0
ﺑﻔرض أن Y X1 X2أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر . Y اﻟﺣــل:
ﻋﻧدﻣﺎ y < 0ﻓﺈن P Y y 0 :وﻋﻧدﻣﺎ y > 2ﻓﺈن P Y y 1 :ﻋﻧـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــدﻣﺎ 0 y 2ﻓﺈن:
FY (y) P(Y y) P(X1 X 2 y).
وﻫﻧﺎك ﺣﺎﻟﺗﯾن :
أ – إذا ﻛﺎﻧت 0 y1 2و ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
٩٠
:ﻓﺎن y 2
y x1
0
x1
FY y P Y y y 2
2dx 2dx1
2
y 2 y 2x1 dx1 . 2 0 : وﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ1 y 2 ب – اذا ﻛﺎﻧت
:ﻓﺎن ٩١
FY y P Y y 1 P Y y x2
2dx1 dx 2
1
1
y 2
yx 2
y dx 2
1 1 2 y2
2x 2
2
y2 1 . 2 وﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yﺳﺗﻛون ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ : y 0 y 1 d FY y fY y 2 y 1 y 2 dy 0 , e.w.
طرﯾﻘﺔ اﻟﺗﺣوﯾـل اﻟﺗﺣوﯾﻼت اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺗﺻﻠﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑﺗﻌﻣﯾم ﺻﯾﻐﺔ ﺟﺎﻛوﺑﯾﺎن
اﻟﺗﺣوﯾل .ﺑﻔرض ،ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ،أن u x , x , u x , x اﻟﺣﻠﯾن اﻟوﺣﯾدﯾن ﻟﻠﺗﺣوﯾﻠﺔ , y u x , x , y u x , x 2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
1
1
1
,داﻟﺗﯾن ٕواذا ﻛﺎن x1 , x 2 وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﺟﺎﻛوﺑﯾﺎن
اﻟﺗﺣوﯾل ﯾﻌرف ﺑﺎﻟﻣﺣدد اﻟﺗﺎﻟﻲ : x 1 y J 1 x 2 y1
x1 y 2 . x 2 y 2
ﻣﺛﺎل ) (٦٥ -١
ﻟﺗﺣوﯾـل x1 , x 2إﻟـﻲ x 1
x1 , x 2ﻓـﺈن
y1 x1 ,
اﻟﺗﺣوﯾل.
٩٢
y2 x1x 2 ,
أوﺟـد ﺟﺎﻛوﺑﯾـﺎن
اﻟﺣــل: y x 1 y , x 2 2ﺟﺎﻛوﺑﯾﺎن اﻟﺗﺣوﯾل ﻫو : 1 y1 1 / y1.
ﻟﯾﻛن
X
ﻣن
ﻣﺗﺟﻪ
1
0
y 2 / y12 1 / y1
اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ
اﻟﻣﺗﻐﯾرات
J
اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ
ﻋددﻫﺎ
k
.
وﺑﻔرض
أن
) u1 ( x ), u 2 ( x ),..., u k ( xدوال ﻋددﻫﺎ kﻓﻰ . xﻋﻠﻰ ذﻟك ) ، Yi u i (Xﺣﯾث i 1,...,k
ﺗﻌرف ﻣﺗﺟﻪ آﺧر ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ) Y (Y1, Y2 ,..., Ykوﻟﻠﺳﻬوﻟﺔ ) . Y u (Xﻟﺗﺣوﯾل اﻟدوال ) y = u(xاﻟﺗﻲ ﻋددﻫﺎ kﺑﺣل وﺣﯾد
x x 1 , x 2 ,..., x Kﻓﺈن ﺟﺎﻛوﺑﯾﺎن اﻟﺗﺣوﯾل ﺳوف
ﯾﻛون ﻫو اﻟﻣﺣدد ﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ ،ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ ، k x kﻟﻣﺷﺗﻘﺎت ﺟزﺋﯾﺔ :
x1 x1 ... y 2 y k
x k y k ﻧظرﯾﺔ : ﺑﻔرض أن
...
x1 y1 x 2 J y1 x k y1
X X 1 , X 2 ,..., X Kﻣﺗﺟﻪ ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ
, x 2 ,..., x K 0
1
x
X
fﻋﻠﻰ اﻟﻔﺿﺎءٕ Rواذا ﻛﺎن ) Y (Y1, Y2 ,..., Ykﯾﻌرف ﺑﺗﺣوﯾﻠﺔ ﺗﻧﺎظرﯾﺔ :
i 1,2,..., k .
) Yi u i (X1, X 2 ,..., X k
إذا ﻛﺎن ﺟﺎﻛوﺑﯾﺎن اﻟﺗﺣوﯾل ﻣﺗﺻل وﻻ ﯾﺳﺎوى ﺻﻔر ﻋﻠﻰ ﻣدي اﻟﺗﺣوﯾل ،ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل
اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yﻫﻲ :
J
y , y ,..., y f x , x ,.., x K
2
1
X
K
ﺣﯾث x x1, x 2 ,..., x k ﻫو اﻟﺣل ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ ). y = u(x
ﻣﺛﺎل ) (٦٦ -١ ٩٣
2
1
fX
إذا ﻛﺎن X1 , X 2ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺣﯾث :
)X i ~ UNIF(0,1
,
i 1,2وﺑﻔـرض أن
, Y1 X1 X 2 , Y 2 X1 X 2
أوﺟـد
داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن , Y 2 , Y1؟. اﻟﺣــل:
0 x1 1,0 x 2 1}. ﻋﻧدﻣﺎ x 2 :
ﻋﻧدﻣﺎ :
1
) R {x1,x 2
y 1 x 1 x 2 , y 2 xﻓﺈن اﻟﺣل ﻫو: 1 1 . x1 (y1 y 2 ), x 2 (y1 y 2 ). 2 2
y1 y 2 0 2 y1 y 2 1 2 y1 y 2 0 2 y1 y 2 1. 2 وﻋﻠﻰ ذﻟك }0 y1 y 2 2,0 y1 y 2 2 اﻟﺗﺎﻟﻰ .
٩٤
x1 0 x1 1 x2 0 x2 1
) {(y1 , y 2
ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻣن اﻟﺷﻛل
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺟﺎﻛوﺑﯾﺎن اﻟﺗﺣوﯾل ﻫو :
1 2 1 1 2 2
1 J 2 1 2
وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن اﻟﻌﺷواﺋﯾﯾن y1 , y 2ﻫﻲ :
f Y1 , Y2 ( y1 , y 2 ) f X1 , X 2 [(w1 ( y1 , y 2 ), w 2 ( y1 , y 2 )] J 1 y y 2 y1 y 2 f X1 , X 2 1 , J 2 2 2 0 , e.w.
y1 , y 2
ﻣﺛﺎل ) (٦٧ -١ fi (xi ) e xi i 1,2أوﺟـ ــد داﻟـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ
إذا ﻛـ ــﺎن X1 , X 2ﻣﺗﻐﯾ ـ ـرﯾن ﻋﺷ ـ ـواﺋﯾﯾن ﻣﺳـ ــﺗﻘﻠﯾن ﺣﯾـ ــث
اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن :
Y1 X1 | X 2 , Y 2 X1 X1 X 2 وأﺛﺑت أن Y1 , Y2ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن. اﻟﺣــل: داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن X1 , X 2ﻫﻣﺎ : , 0 x1 , 0 x 2
x 1 x 2
f ( x1 , x 2 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) e 0 , e.w .
ﻋﻧدﻣﺎ :
x1 . x1 x 2
y1 u1 ( x1 , x 2 ) x1 x 2 , y 2 u 2 ( x1 , x 2 )
ﻓﺈن :
) x1 y1y 2 , x 2 y1 (1 y 2 وﻋﻠﻰ ذﻟك :
y1 y1 0. y1
y2 1 y2
J
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن Y1 , Y2ﻫﻲ :
٩٥
g ( y1 , y 2 ) y1 e y1
0 y1 , 0 y 2 1
0 , e. w.
داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن Y1 , Y2ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ﻫﻲ :
dy 2 y1e y1
0 y1 ,
y1
1
g1 ( y1 ) y1 e 0
dy1 (2) 1
, 0 y 2 1.
y1
g 2 ( y 2 ) y1 e 0
ﻣن اﻟواﺿﺢ أن Y1 , Y2ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن .
ﻣﺛﺎل ) (٦٨ -١ X1 , X 2ﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن ﻣﺳــﺗﻘﻠﯾن ﻣــن اﻟﻧــوع
ﻓــﻰ ﻫــذا اﻟﻣﺛــﺎل ﺳــوف ﻧﺣﺻــل ﻋﻠــﻰ ﻧﺗﯾﺟــﺔ ﻣﻬﻣــﺔ .ﻟــﯾﻛن
اﻟﻣﺗﺻ ـ ــل ﺑداﻟ ـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ـ ــﺔ اﺣﺗﻣ ـ ــﺎل ﻣﺷ ـ ــﺗرﻛﺔ ) f X1 ( x1 )f X 2 ( x 2ﻣوﺟﺑ ـ ــﺔ ﻓ ـ ــﻲ ﻓﺿ ـ ــﺎء اﻟﺑﻌ ـ ــد اﻟﺛ ـ ــﺎﻧﻲ ﻟ ـ ــﯾﻛن Y1 u1 X1 داﻟــﺔ ﻓــﻰ X1
ﻓﻘــط و Y2 u 2 X 2 داﻟــﺔ ﻓــﻰ
ﻓﻘــط .وﻋﻠــﻰ ذﻟــك اﻟﺗﺣوﯾــل
X2
y1 u1 x1 و y 2 u 2 x 2 ﯾﻌرف ﺗﺣوﯾﻠﻪ ﺗﻧﺎظرﯾـﺔ ﻣـن Rإﻟـﻲ ﻓـﻲ اﻟﺑﻌـد اﻟﺛـﺎﻧﻲ .وﻋﻠـﻰ ذﻟـك x 1 w 1 y1 , x 2 w 2 y 2 وﻣﻧﻬﺎ :
0
w1` y1 w `2 y 2 0. ﺣﯾث
w1` y1
J
w `2 y 2 ) dw1 ( y1 ) dw 2 ( y 2 . w 1 ( y1 ) , w 2 ( y 2 ) dy1 dy 2 0
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن اﻟﻌﺷواﺋﯾﯾن Y1 , Y2ﻫﻲ : f Y , Y ( y1 , y 2) f Y ( w 1 ( y1 )) f Y w 2 y 2 w '1 ( y1 ) w ` 2 y 2 1 2 2 1
y1, y 2 ﻣن اﻟﻣﻌروف أﻧـﻪ ﻓـﻰ ﺣﺎﻟـﺔ ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ ﻓـﻰ اﻟﺑﻌـد اﻷول ﻓـﺈن داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻛـل ﻣـن Y1 , Y2 ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : ( w 1 ( y1 )) w '1 ( y1 ) ,
1
f Y ( y1 ) f X 1
f Y ( y 2 ) f X ( w 2 ( y 2 )) w ' 2 ( y 2 ) , 2
2
وﻋﻠﻰ ذﻟك : ) ( y1 , y 2 ) f Y ( y1 ) f Y ( y 2 2
1
,Y2
fY
1
وﻣﻧﻬﺎ ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أﻧﻪ إذا ﻛﺎن X1 , X 2ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻓﺈن : ٩٦
Y 2 u 2 X 2
Y1 u 1 X1 ,أﯾﺿـ ــﺎ ﻣﺗﻐﯾ ـ ـرﯾن ﻋﺷـ ـواﺋﯾﯾن ﻣﺳـ ــﺗﻘﻠﯾن .اﻟﻧﺗﯾﺟـ ــﺔ ﺻـ ــﺣﯾﺣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾ ـ ـرﯾن
ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ .
) (٣-١٢-١طرﯾﻘﺔ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم Moment – Generating – Function Method ﺗﻌﺗﺑر ﻫذﻩ اﻟطرﯾﻘﺔ ﻣﻔﯾدة ﻓﻲ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺣﺎﻻت وذﻟك ﻹﯾﺟﺎد ﺗوزﯾﻊ دوال ﻓﻲ ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ . ﻟﯾﻛن X1 , X 2 ,..., X kﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﻌطﺎة ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ: ﺣﯾث
) f X1 , X 2 ,...,X k (x1 , x 2 ,..., x k
X1 , X 2 ,..., X kﻣﺗﺟﻪ
ﻋﺷواﺋﻲ
ٕواذا
ﻛﺎن
) Yi u i (X1 , X 2 ,..., X kو i 1,2,...,kﺗﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻟدوال ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ . X1 , X 2 ,..., X kاﻵن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات ، Y1 , Y2 ,..., Ykإذا ﻛﺎﻧت ﻣوﺟودة ،
ﻫﻲ :
M Y1 , Y2 ,...,Yk ( t1 , t 2 ,..., t k ) E e t 1Y1 t 2 Y2 ... t k Yk
) ... e t 1u 1 ( x 1 ,...,x k ) ... t k u k ( x 1 ,...,x k k
f X1,...,Xk (x1,..., x k ) dx i . i 1
ٕواذا أﺟرﯾﻧﺎ اﻟﺗﻛﺎﻣل أو ) اﻟﻣﺟﻣوع ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ( ،أﻣﻛﻧﻧﺎ اﻟﺗﻌرف ﻋﻠﻲ اﻟداﻟﺔ ﻓﻲ , t1 , t 2 ,..., t kاﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻛداﻟﺔ ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻣوﻟدﻩ ﻟﻠﻌزوم ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺷﺗرك ﻣﻌروف ﺑﺄﻧﻪ ﺳﯾﻛون ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ Y1 , Y2 ,..., Ykوذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﺳﺗﻧﺎداً إﻟﻲ ﺧﺎﺻﯾﺔ اﻟوﺣداﻧﯾﺔ ﻟﻠداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم . ﻫذﻩ اﻟطرﯾﻘﺔ ﺗﻛون ﻣﺣدودة اﻻﺳﺗﺧدام ﻋﻧدﻣﺎ k > 1وذﻟك ﻷﻧﻪ ﻫﻧﺎك ﻋدد ﺑﺳﯾط ﻣن اﻟدوال اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ
اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم واﻟﻣﻌروﻓﺔ ﻟدﯾﻧﺎ .وﻟﻛن إذا ﻛﺎﻧت k =1ﻓﺈن اﻟﻔرﺻﺔ أﻣﺎﻣﻧﺎ أﻓﺿل ﻟﻠﺗﻌرف ﻋﻠﻲ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم . ﻣﺛﺎل ) (٦٩ -١ 1 2
x 1 ) f (x) اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳـﻰ( ٕواذا إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﺣﯾـث e 2 , x 2 2 ﻛﺎن Y Xأوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Y؟
اﻟﺣــل: 1 2
x 1 e 2 dx 2
tx 2
tY
M Y ( t ) E[e ] e
٩٧
dx
1 2 ) (1 2 t
1 2x e 2
1 1 2 )1 (1 2t) 2 2 x (1 2t e dx 1 2 (1 2t) 2
1 2
1 1 (1 2t) 2 2 1
1 t , 2 t 2 واﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻣﺗﻐﯾر ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى ﺑدرﺟﺔ ﺣرﯾﺔ واﺣدة ﻛﻣﺎ ﺳﻧﻌرف ﻋن ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﻰ اﻟﻔﺻل اﻟﺗﺎﻟﻰ . ﻣﺛﺎل ) (٧٠ -١ إذا ﻛ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎن X1 , X 2ﻣﺗﻐﯾـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـرﯾن ﻋﺷـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـواﺋﯾﯾن ﻣﺳ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺗﻘﻠﯾن ﺣﯾ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــث 1 2 t2 xi e 2 , x i ,M X (t) e 2
1 2 . X2أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن . Y1 , Y2
. fi (x) ﻟﯾﻛن Y2 = X2 – X1 , Y1= X1 +
اﻟﺣــل: ] M Y1 ,Y2 ( t 1 , t 2 ) E[e Y1t1 Y2t 2
] E[e (X1 X 2 ) t 1 (X 2 X1 ) t 2 ] ) E[e ( X1 ( t 1 t 2 ) X 2 ( t 1 t 2 ] ) E[e ( X1 ( t 1 t 2 ) ] E[e X 2 ( t 1 t 2 ) M X 1 ( t1 t 2 ) M X 2 ( t 1 t 2
(t t ) 2 (t t ) 2 exp 1 2 exp 1 2 2 2 2 t 12 2 t 22 2 2 exp t 1 t 2 exp exp 2 2 M Y1 ( t1 ) M Y2 ( t 2 ).
٩٨
ﺣﯾـث Y1 , Y2ﻣﺗﻐﯾـرﯾن ﻋﺷـواﺋﯾﯾن ﻣﺳـﺗﻘﻠﯾن وﻛـل ﻣﻧﻬﻣــﺎ ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻲ ﺑﻣﺗوﺳـط 0وﺗﺑــﺎﯾن 2
.
) (١٣-١اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت واﻟﻌﯾﻧﺎت Population and Samples ﺗﺳﺟل ﻧﺗﯾﺟﺔ ﻛل ﺗﺟرﺑﺔ إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ،إﻣﺎ ﺑﻘﯾﻣﺔ رﻗﻣﯾﺔ أو ﺗﻣﺛﯾل وﺻﻔﻰ .ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء زھرة ﻧرد ﻣ ره واﺣ دة وإذا ﻛ ﺎن اﻻھﺗﻣ ﺎم ﺑﻌ دد اﻟﻧﻘ ﺎط اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻋﻠ ﻰ اﻟﺳ طﺢ اﻟﻌﻠ وي ﻟﻠﻧ رد ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺳ ﺟل ﻗﯾﻣﺔ رﻗﻣﯾﺔ .ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻋﻧ د ﺳ ؤال ﻣﺟﻣوﻋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻌ ﺎﻣﻠﯾن ﻓ ﻲ ھﯾﺋ ﺔ ﻣ ﺎ ﻋ ن اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾ ﺔ ﻟﻛ ل ﻣ ﻧﮭم ،ﻓ ﺈن اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟوﺻﻔﻲ ﯾﻛون أﻛﺛ ر ﻓﺎﺋ دة .ﻋ ﺎدة ﯾﮭ ﺗم اﻹﺣﺻ ﺎﺋﻲ ﺑ ﺎﻟﻘﯾم اﻟرﻗﻣﯾ ﺔ ﻟ ذﻟك ﻓ ﺈن اﻟﺗﻣﺛﯾ ل اﻟوﺻ ﻔﻲ ﯾﻣﻛ ن ﺗﺣوﯾﻠﮫ إﻟﻰ ﻗﯾم ﻋددﯾﺔ .اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ ﺟل ﻣ ن ﻧﺗﯾﺟ ﺔ ﺗﺟرﺑ ﺔ إﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ ﺗﺳ ﻣﻰ ﺑﯾ ﺎن أو ﻣﺷ ﺎھدة )ﻣﻘﯾ ﺎس( . ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻘوم ﺑﺎﺣث ﺑﺗﺻﻧﯾف اﻟﻌﺎﻣﻠﯾن ﻓﻲ ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ ﺣﺳب اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾﺔ ،ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻛون ﻟدﯾ ﮫ ﻋ دد ﻣﺣدود ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات .ﺑﯾﻧﻣﺎ ﻋﻧد إﻟﻘﺎء زھرة ﻧرد ﻋدد ﻻﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟﻣرات وﺗﺳﺟﯾل ﻋدد اﻟﻧﻘط اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻓﻲ ﻛل ﻣرة ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻓﺋﺔ ﻻﻧﮭﺎﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻘﯾم .ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗﺣت اﻟدراﺳﺔ ،ﺳواء ﻛﺎﻧت ﻣﺣ دودة أو ﻏﯾر ﻣﺣدودة ،ﺗﺳﻣﻰ ﻣﺟﺗﻣﻊ ٠populationﻓﻲ اﻟﺳﻧوات اﻟﻣﺎﺿﯾﺔ ﻛﺎﻧت ﻛﻠﻣﺔ ﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺷﯾر إﻟ ﻰ ﻣﺷ ﺎھدات ﻣن دراﺳﺎت إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﺗﺷﻣل أﺷﺧﺎص .أﻣﺎ اﻵن ﻓﺈن اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ ﯾﺳ ﺗﺧدم ھ ذه اﻟﻛﻠﻣ ﺔ ﻟﺗﺷ ﯾر إﻟ ﻰ ﻣﺷ ﺎھدات ﻋن أي ﺷﻲء ﻣوﺿﻊ اھﺗﻣﺎﻣﮫ ﺳواء ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻷﺷﺧﺎص ،ﺣﯾواﻧﺎت ،ﻧﺑﺎﺗﺎت… .اﻟﺦ. ﺗﻌرﯾف :ﯾﺗﻛون اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣن ﻛل اﻷﺷﯾﺎء اﻟﺗﻲ ﻧﮭﺗم ﺑﮭﺎ . ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺳﻣﻰ ﺣﺟ م اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ وﻋ ﺎدة ﯾرﻣ ز ﻟﺣﺟ م اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺑ ﺎﻟرﻣز ،Nوﻓ ﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻧﻘ ول أن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣﺣ دود .ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ د ﺗﺻ ﻧﯾف 500ﺷﺧﺻ ﺎ ﻓ ﻲ ﺷ رﻛﺔ ﻣ ﺎ ﺣﺳ ب اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾ ﺔ ،ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘ ول أن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣﺣ دود وﺣﺟﻣ ﮫ ٠N=500اﻷط وال واﻷوزان واﻟ دﺧل اﻟﺳ ﻧوي ﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻷﺷﺧﺎص أﻣﺛﻠﺔ ﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ﻣﺣدودة .ﻓﻲ ﻛل ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌ دد اﻟﻛﻠ ﻰ ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدات رﻗ م ﻣﺣ دود .ﻓ ﻲ ﺑﻌ ض اﻷﺣﯾ ﺎن ﯾﻛ ون ﺣﺟ م اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻏﯾ ر ﻣﺣ دود ،ﻣﺛ ل ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻛ رات اﻟ دم اﻟﺑﯾﺿ ﺎء اﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ رى ﻓ ﻲ دم إﻧﺳﺎن .أﯾﺿﺎ اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﻲ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن ﻗﯾﺎس اﻟﺿ ﻐط اﻟﺟ وى ﻛ ل ﯾ وم ﻣ ن اﻟﻣﺎﺿ ﻲ إﻟ ﻰ اﻟﻣﺳ ﺗﻘﺑل ﺗﻣﺛل ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻏﯾر ﻣﺣدود. ﻛ ل ﻣﺷ ﺎھدة ﻓ ﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺗﻣﺛ ل ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣ ن ﻗ ﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ . Xﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء زھرة ﻧرد ﻋدد ﻻﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟﻣرات وإذا ﻛﺎن Xﯾﻣﺛ ل ﻋ دد اﻟ ﻧﻘط اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻋﻠ ﻰ اﻟﻧ رد ﻛ ل ﻣ رة ،أي أن ، x=1,2,3,4,5,6ﻓﺈن ﻛل ﻣﺷﺎھدة ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐــﯾر اﻟﻌﺷواﺋـﻲ .X ﺗﻌرﯾف :اﻟﻘﯾم اﻟﻌددﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗوﺻف اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻟم. ﯾﮭﺗم اﻟﺑﺎﺣث ﺑﺎﻟوﺻول إﻟﻰ اﺳﺗﻧﺗﺎﺟﺎت ﺗﺧص ﻣﻌﺎﻟم اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ،وﻟﻛ ن ﻋ ﺎدة ﯾﻛ ون ﻣ ن اﻟﻣﺳ ﺗﺣﯾل أو ﻏﯾر ﻋﻣﻠﻲ ﻣﻼﺣظﺔ ﻛل ﻗﯾم اﻟﻔﺋﺔ اﻟﻣﻣﺛﻠﺔ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ .وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻻﺑ د ﻣ ن اﻻﻋﺗﻣ ﺎد ﻋﻠ ﻰ ﻓﺋ ﺔ ﺟزﺋﯾ ﺔ ﻣ ن ﻗ ﯾم اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﺗﺳﺎﻋدﻧﺎ ﻓﻲ اﻟوﺻول إﻟ ﻰ اﺳ ﺗدﻻﻻت ﻋ ن اﻟﻣﻌ ﺎﻟم ،وھ ذا ﯾﺄﺧ ذﻧﺎ إﻟ ﻰ ﻧظرﯾ ﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧ ﺔ theory of . sampling ﺗﻌرﯾف :اﻟﻌﯾﻧﺔ sampleھﻲ ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ. ﺣﺗﻰ ﯾﻛون اﻻﺳﺗدﻻل ﺻﺣﯾﺢ ﻻﺑد ﻣن ﻓﮭم اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ واﻟﻌﯾﻧﺔ .ﻣ ن اﻟﻣؤﻛ د أن اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﺳ وف ﺗﻣﺛل اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟذﻟك ﻻﺑد أن ﺗﻛون ﻏﯾر ﻣﺗﺣﯾزة unbiasedأي ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ . random sample ﺗﻌرﯾف :اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم nھﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﺗﺧﺗﺎر ﺑﺣﯾث أن ﻛل ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﺣﺟﻣﮭﺎ nﻣ ن ﻣﺷ ﺎھدات اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻓﻲ اﻻﺧﺗﯾﺎر. ٩٩
) (١٤-١اﻻﺳﺗدﻻل اﻻﺣﺻﺎﺋﻰ Statisticsal Inference ﯾﻌﺗﺑ ر اﻻﺳ ﺗدﻻل اﻹﺣﺻ ﺎﺋﻲ statistical inferenceﻓ رع ﻓ ﻲ ﻋﻠ م اﻹﺣﺻ ﺎء ﯾﮭ ﺗم ﺑط رق اﻻﺳﺗدﻻل أو اﻟﺗﻌﻣﯾم ﺑﺷﺎن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ وذﻟك ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﯾﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن ﻋﯾﻧ ﺎت ﻣﺧﺗ ﺎرة ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ .وذﻟ ك ﺑﺎﻻﺳ ﺗدﻻل ﻋ ن ﻣﻌ ﺎﻟم ﻣﺟﺗﻣﻌ ﺎت ﻣﺟﮭوﻟ ﺔ ﻣﺛ ل اﻟﻣﺗوﺳ ط ،اﻟﻧﺳ ﺑﺔ ،اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾﺎري . ﯾﻧﻘﺳ م ﻓ رع اﻻﺳ ﺗدﻻل اﻹﺣﺻ ﺎﺋﻲ إﻟ ﻰ ﻓ رﻋﯾن أﺳﺎﺳ ﯾن :اﻟﺗﻘ دﯾر estimationواﺧﺗﺑ ﺎرات اﻟﻔ روض . tests of hypothesesاﻷﻣﺛﻠ ﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ ﺗوﺿ ﺢ اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن اﻟﻔ رﻋﯾن .ﯾﻘ وم ﻣﺻ ﻧﻊ ﺑﺈﻧﺗ ﺎج ﻗﺿ ﺑﺎﻧﺎ ﺣدﯾدﯾ ﺔ ،ﻓ ﺈذا اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣﻛوﻧ ﮫ ﻣ ن 200ﻗﺿ ﯾب ﻣ ن إﻧﺗ ﺎج ھ ذا اﻟﻣﺻ ﻧﻊ وﻗﯾﺳ ت أطواﻟﮭﺎ وﺗم ﺣﺳﺎب ﻣﺗوﺳط ط ول اﻟﻘﺿ ﯾب ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ .ھ ذا اﻟﻣﺗوﺳ ط ﯾﻣﻛ ن أن ﯾﺳ ﺗﺧدم ﻟﺗﻘ دﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾ ﺔ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣ ﻊ . μھ ذه اﻟﻣﺷ ﻛﻠﺔ ﺗﻧﺗﻣ ﻲ إﻟ ﻰ ﻓ رع اﻟﺗﻘ دﯾر .اﻵن إذا ﻛ ﺎن ﻣﻌروﻓ ﺎ أن ﺟﺳ م اﻹﻧﺳ ﺎن اﻟﺑﺎﻟﻎ ﯾﺣﺗﺎج ﯾوﻣﯾﺎ ﻓﻲ اﻟﻣﺗوﺳط إﻟﻰ 800ﻣﻠﻠﯾﺟراﻣ ﺎت ﻣ ن اﻟﻛﺎﻟﺳ ﯾوم ﻟﻛ ﻲ ﯾﻘ وم ﺑوظﺎﺋﻔ ﮫ ﺧﯾ ر ﻗﯾ ﺎم .ﯾﻌﺗﻘ د ﻋﻠﻣ ﺎء اﻟﺗﻐذﯾ ﺔ أن اﻷﻓ راد ذوى اﻟ دﺧل اﻟﻣ ﻧﺧﻔض ﻻ ﯾﺳ ﺗطﯾﻌون ﺗﺣﻘﯾ ق ھ ذا اﻟﻣﺗوﺳ ط .ﻻﺧﺗﺑ ﺎر ذﻟ ك اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن 50ﺷﺧﺻ ﺎ ﺑﺎﻟﻐ ﺎ ﻣ ن ﺑ ﯾن ذوى اﻟ دﺧل اﻟﻣ ﻧﺧﻔض وﺗ م ﺣﺳ ﺎب ﻣﺗوﺳ ط ﻣ ﺎ ﯾﺗﻧﺎوﻟوﻧﮫ ﻣن اﻟﻛﺎﻟﺳﯾوم ﯾوﻣﯾﺎ .ﻓﻲ ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﻟم ﻧﺣﺎول ﺗﻘدﯾر ﻣﻌﻠﻣﺔ وﻟﻛن ﺑدﻻ ﻣن ذﻟك ﻧﺣ ﺎول اﻟوﺻ ول إﻟﻰ ﻗرار ﺻﺣﯾﺢ ﻋن اﻟﻔرض اﻟذي وﺿﻌﮫ ﻋﻠﻣﺎء اﻟﺗﻐذﯾﺔ .
ﺑﻔﺮض ان ھﻨﺎك ظﺎھﺮة Xﻓﺈن ﻣﻔﺮداﺗﮭﺎ ﺗﻜﻮن ﻣﺠﺘﻤﻌﺎ ﯾﻜ ﻮن ﻟ ﮫ ﺗﻮزﯾ ﻊ اﺣﺘﻤ ﺎﻟﻰ وﻟ ﯿﻜﻦ f x; ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﻠﻤﺔ او ﻋﻠﻰ ﻋﺪة ﻣﻌﺎﻟﻢ .ھ ﺬه اﻟﻤﻌ ﺎﻟﻢ ﺗﻜ ﻮن ﻣﺠﮭﻮﻟ ﺔ وﻧﺮﻏ ﺐ ﻓ ﻰ ﻋﻤ ﻞ ﺑﻌ ﺾ اﻻﺳ ﺘﺪﻻل اﻻﺣﺼﺎﺋﻰ ﺣﻮﻟﮭﺎ .ﻣﻦ اﺟﻞ ذﻟﻚ ﻧﺨﺘﺎر ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺑﺴ ﯿﻄﺔ وﻟ ﺘﻜﻦ X1 ,X2 ,...,Xn ﻣ ﻦ ﺑﯿﺎﻧ ﺎت اﻟﻤﺠﺘﻤﻊ ،وﻋﺎدة ﯾﺘﻢ ﺗﻨﻈﯿﻢ وﺗﺼﻨﯿﻒ ﺑﯿﺎﻧﺎت اﻟﻌﯿﻨﺔ وﺣﺴﺎب ﺑﻌﺾ اﻟﻤﻘﺎﯾﯿﺲ ﻣﻨﮭﺎ : اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ: n i
.
X i 1
n
X
وﺗﺒﺎﯾﻦ اﻟﻌﯿﻨﺔ : n
) X .
i
(X i 1
n 1
2
S
اﻟﻤﻘﺎﯾﯿﺲ اﻟﺘﻰ ﺗﺤﺴﺐ ﻣﻦ ﺑﯿﺎﻧﺎت اﻟﻌﯿﻨﺔ ﺗﺴﻤﻰ اﺣﺼﺎءات Statisticsاى ان اﻻﺣﺼﺎء Tﻋﺒﺎرة ﻋﻦ داﻟﺔ ﻓﻰ ﺑﯿﺎﻧﺎت اﻟﻌﯿﻨﺔ اى ان :
T X X1,X2 ,...,Xn .
١٠٠
وھﻮ ﻓﻰ ﺣﺪ ذاﺗﮫ ﻻ ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﻟﻢ اﻟﺘﻮزﯾﻊ وھﻮ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ﻻﻧﮫ ﯾﺘﻐﯿﺮ ﻣﻊ ﺗﻐﯿﺮ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ وﻟﺬا ﻓﺈﻧﮫ ﻟﮫ ﺗﻮزﯾﻊ اﺣﺘﻤﺎﻟﻰ ﯾﺴﻤﻰ ﺗﻮزﯾﻊ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨ ﺔ وﺗﻮزﯾ ﻊ اﻻﺣﺼ ﺎء Tﯾﻌﺘﻤ ﺪ ﻋﻠ ﻰ ﻣﻌ ﺎﻟﻢ اﻟﺘﻮزﯾ ﻊ . f x; ﺳﻮف ﻧﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺗﻮزﯾ ﻊ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨ ﺔ ﻟﻼﺣﺼ ﺎء اﻟ ﺬى ﻧﺴ ﺘﺨﺪﻣﮫ ﻟﯿﻤ ﺪﻧﺎ ﺑﻤﻘﯿ ﺎس ﻟﺪرﺟ ﺔ اﻟﺜﻘ ﺔ ﻓ ﻲ اﻟﻘ ﺮار اﻟ ﺬي ﻧﺘﺨ ﺬه ﻓ ﻰ اى ﻣﺸ ﻜﻠﺔ ﺗﺨ ﺺ اﻻﺳ ﺘﺪﻻل اﻟﺤﺼ ﺎﺋﻰ .ﯾﻨﻘﺴ ﻢ اﻻﺳ ﺘﺪﻻل اﻻﺣﺼ ﺎﺋﻰ اﻟ ﻰ اﻟﺘﻘ ﺪﯾﺮ واﺧﺘﺒ ﺎرات اﻟﻔﺮوض.
) (١-١٤-١اﻟﺗﻘدﯾر
ﯾﺗم ﺗﻘدﯾر ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ إﻣ ﺎ ﻛﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ point estimateأو ﻛﺗﻘ دﯾر ﺑﻔﺗ رة interval . estimateﺗﻘدﯾر اﻟﻧﻘط ﺔ ﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣ ﺎ ھ ﻲ ﻗﯾﻣ ﺔ وﺣﯾ دة ) ﻣﻔ ردة ( ˆ θﻟﻺﺣﺻ ﺎء . Tﻋﻠ ﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﻘﯾﻣ ﺔ xﻟﻺﺣﺻ ﺎء ، Xواﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﻣ ن ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ، nھ ﻲ ﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ x pˆ ھﻲ ﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ pواﻟﺗ ﻲ ﺗﻣﺛ ل ﻧﺳ ﺑﺔ ﺻ ﻔﺔ ﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ . ﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ، n ﻣ ﺎ ﻓ ﻲ ﻣﺟﺗﻣ ﻊ .اﻹﺣﺻ ﺎء اﻟﻣﺳ ﺗﺧدم ﻹﯾﺟ ﺎد ﺗﻘ دﯾر اﻟﻧﻘط ﺔ ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﻣﻘ در estimatorأو داﻟ ﺔ اﻟﻘ رار .decision functionﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل داﻟﺔ اﻟﻘرار ، Xواﻟﺗ ﻲ ﺗﻛ ون داﻟ ﺔ ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ ، ھﻲ ﻣﻘدر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ . xﻋﯾﻧﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﺗؤدى إﻟﻰ ﺗﻘدﯾرات ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ . أي ﺗﻘ دﯾر ﺑﻔﺗ رة ﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ ھ و ﻓﺗ رة ﻋﻠ ﻰ اﻟﺷ ﻛل a bﺣﯾ ث a , bﺗﻌﺗﻣ دان ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ˆ ﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﺧﺎﺻ ﺔ ﻣﺧﺗ ﺎرة ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣوﺿ ﻊ اﻟدراﺳ ﺔ وأﯾﺿ ﺎ ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﻌﯾﻧ ﻲ ﻟﻺﺣﺻﺎء . Tﻋﻠﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل إذا اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﺗﻣﺛ ل درﺟ ﺎت اﻟﺗﺣﺻ ﯾل ﻓ ﻲ اﻣﺗﺣ ﺎن اﻟﻘﺑ ول ﻟﺧﻣﺳﯾن طﺎﻟﺑﺎ ﻣن اﻟﻣﺗﻘدﻣﯾن ﻟﻼﻟﺗﺣﺎق ﻓﻲ ﻛﻠﯾﺔ ﻣﺎ وﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺗ رة 500 , 550واﻟﺗ ﻲ ﻧﺗوﻗ ﻊ أن اﻟﻣﺗوﺳ ط اﻟﺣﻘﯾﻘ ﻲ ﻟ درﺟﺎت اﻟﺗﺣﺻ ﯾل داﺧﻠﮭ ﺎ .اﻟﻘﯾﻣﺗ ﺎن اﻟﻧﮭﺎﺋﯾﺗ ﺎن 500و 550ﺳ وف ﺗﻌﺗﻣ دان ﻋﻠ ﻰ ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ xوأﯾﺿﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻲ . Xﻋﯾﻧﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﺗ ؤدى إﻟ ﻰ ﻗ ﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻟ ـ ˆ وﺑﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ إﻟ ﻰ ﺗﻘ دﯾرات ﺑﻔﺗ رة ﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ . ﺑﻌ ض ھ ذه اﻟﻔﺗ رات ﺳ وف ﺗﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ واﻟ ﺑﻌض اﻵﺧ ر ﻻ ﯾﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ . اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﻌﯾﻧ ﻲ ﻟﻺﺣﺻ ﺎء Tﺳ وف ﯾﺳ ﺎﻋدﻧﺎ ﻓ ﻲ إﯾﺟ ﺎد a , bﻟﻛ ل اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﺑﺣﯾ ث أن أي ﻧﺳ ﺑﺔ ﺧﺎﺻ ﺔ ﻣ ن ھ ذه اﻟﻔﺗ رات ﺳ وف ﺗﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ . ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ،ﯾ ﺗم ﺣﺳﺎب a , bﺑﺣﯾث ﺗﻛون 0. 95ﻣن ﻛل اﻟﻔﺗرات اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ،ﻣﻊ ﺗﻛ رار اﻟﻣﻌﺎﯾﻧ ﺔ ،ﺳ وف ﺗﺣﺗ وي ﻋﻠ ﻰ θ .وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻛ ون ﻟ دﯾﻧﺎ اﺣﺗﻣ ﺎل 0.95ﻻﺧﺗﯾ ﺎر واﺣ دة ﻣ ن ھ ذه اﻟﻌﯾﻧ ﺎت واﻟﺗ ﻲ ﺗ ؤدى إﻟ ﻰ ﻓﺗ رة ﺗﺣﺗ وي ﻋﻠﻰ .ھذه اﻟﻔﺗ رة اﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﻣ ن ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ،ﺗﺳ ﻣﻲ 95%ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ . confidence interval ﺑﻣﻌﻧﻰ آﺧر ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ 95%ﺛﻘﺔ أن ﻓﺗرﺗﻧﺎ اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ . θﻋﻣوﻣﺎ ﺗوزﯾ ﻊ Tﺳ وف ﯾﺳ ﺎﻋدﻧﺎ ﻓ ﻲ ﺣﺳ ﺎب a , bﺑﺣﯾ ث ﯾﻛ ون ﻷي ﻧﺳ ﺑﮫ ﺧﺎﺻ ﺔ ، 0 < α < 1 , 1 αﻣ ن اﻟﻔﺗ رات اﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﻣن ﻛل اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﺳوف ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ . اﻟﻔﺗرة اﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﺗﺳ ﻣﻰ (1 α)100%ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣ ﺔ . θﺗﻌﺗﺑ ر ﻓﺗ رة اﻟﺛﻘ ﺔ اﻷط ول ،ھ ﻲ اﻷﻛﺛ ر ﺛﻘ ﺔ ﻓ ﻲ اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﻓﺗ رة ﺗﺣﺗ وي ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ اﻟﻣﺟﮭوﻟﺔ .ﺑﺎﻟطﺑﻊ ﯾﻛون ﻣن اﻷﻓﺿل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ أن ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﻣر ﻟﻧوع ﻣﻌﯾن ﻣن اﻟﺑطﺎرﯾﺎت ﯾﻧﺣﺻر ﺑ ﯾن 8و 5أﺳ ﺎﺑﯾﻊ ﻋ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ 99%ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ أن ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻌﻣ ر ﯾﻧﺣﺻر ﺑﯾن 11و 2أﺳﺑوﻋﺎ .داﺋﻣﺎ ﯾﻔﺿل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻓﺗرة ﻗﺻﯾرة ﺑدرﺟﺔ ﻋﺎﻟﯾﺔ ﻣن اﻟﺛﻘﺔ . ١٠١
) (٢-١٤-١اﻟﻔروض اﻻﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﺗﻌﺗﺑر اﺧﺗﺑﺎرات اﻟﻔروض اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ أھم ﻓرع ﻓﻲ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻘ رارات ،أوﻻ ،دﻋﻧ ﺎ ﻧﻌ رف ﺑدﻗ ﺔ ﻣ ﺎذا ﻧﻌﻧ ﻲ ﺑﺎﻟﻔرض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ. ﺗﻌرﯾف :اﻟﻔرض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ ھو ﺟﻣﻠﺔ ﻣﺎ ﺗﺧص واﺣد أو أﻛﺛر ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ،ﻣن اﻟﻣﻣﻛن أن ﺗﻛون ﺻﺣﯾﺣﺔ أو ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺣﺔ. ﻟﻠﺗﺄﻛد ﻣن ﺻﺣﺔ أو ﻋدم ﺻﺣﺔ اﻟﻔرض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ ﻻ ﺑد ﻣن دراﺳﺔ ﻛل ﻣﻔردات اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺣت اﻟدراﺳﺔ وھذا ﺑﺎﻟطﺑﻊ ﻏﯾر ﻋﻣﻠﻲ ﻓﻲ ﻣﻌظم اﻟﺣﺎﻻت .ﺑدﻻ ﻣن ذﻟك ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ وﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻧﺗﺧذ ﻗرار ﺑﻘﺑول أو رﻓض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ .اﻟﻘرار اﻟذي ﻧﺗﺧذه ﺳوف ﯾﻛون ﺳﻠﯾم إذا ﻛﺎن اﻟﻔرض ﺻﺣﯾﺢ وﺗم ﻗﺑوﻟﮫ أو ﺧطﺄ وﺗم رﻓﺿﮫ .ﺑﯾﻧﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﻘرار ﻏﯾر ﺳﻠﯾم إذا ﻛﺎن اﻟﻔرض ﺻﺣﯾﺢ وﺗم رﻓﺿﮫ أو ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺢ وﺗم ﻗﺑوﻟﮫ. اﻟﻔروض اﻟﺗﻲ ﻧﺿﻌﮭﺎ ﻋﻠﻰ أﻣل أن ﻧرﻓﺿﮭﺎ ﺗﺳﻣﻰ ﻓروض اﻟﻌدم .null hypothesesوﯾرﻣز ﻟﻔرض اﻟﻌدم ﺑﺎﻟرﻣز . 0رﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ﯾؤدي إﻟﻰ ﻗﺑول ﻓرض ﺑدﯾل hypothesis alternativeوﯾرﻣز ﻟﻠﻔرض اﻟﺑدﯾل ﺑﺎﻟرﻣز . 1ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎن ﻓرض اﻟﻌدم 0أن ﻣﺗوﺳط اﻟطول ﻓﻲ ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ ) 160ﻣﻘﺎﺳﮫ ﺑﺎﻟﺳﻧﺗﯾﻣﺗر( ﻓﺈن اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل 1ﻗد ﯾﻛون 160أو 160أو . 160
) (١٥-١اﻻﺣﺻﺎء اﻟﻐﯾر ﻣﺗﺣﯾز ﺑﻔرض أن Tﻣﻘدر ﺣﯾث اﻟﻘﯾﻣﺔ ˆ ھﻲ ﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣﺟﮭوﻟ ﺔ . ﻣ ن اﻟﻣؤﻛ د أﻧﻧ ﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ إﯾﺟﺎد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻲ ﻟﻺﺣﺻﺎء Tواﻟذي ﻣﺗوﺳطﺔ ﯾﺳﺎوى اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺗﻲ ﻧرﻏب ﻓﻲ ﺗﻘ دﯾرھﺎ. أي ﻣﻘدر ﯾﺣﻘق ھذه اﻟﺧﺎﺻﯾﺔ ﯾﺳﻣﻲ ﻣﻘدر ﻏﯾر ﻣﺗﺣﯾز . unbiased estimator ﺗﻌرﯾف :ﯾﻘﺎل ﻟﻺﺣﺻﺎء Tأﻧﮫ ﻣﻘدر ﻏﯾر ﻣﺗﺣﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ إذا ﻛﺎن . E T
) (١٦-١اﻻﺣﺻﺎء اﻟﻛﺎﻓﻰ
١٠٢
( :إذا ﻛﺎﻧﺖ X1,X2 ,...,Xn ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﻣﺠﺘﻤﻊ ﯾﺘﺒﻊ ﺗﻮزﯾﻊ اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ f x;ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻘﺎل أن اﻹﺣﺼﺎء T X إﺣﺼﺎء ﻛﺎﻓﯿﺎ ً إذا و ﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎن اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺸﺮوط ﻟﻠﻌﯿﻨﺔ X1,X2 ,...,Xn ﺑﺸﺮط أو ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ T tﻻ ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ و ذﻟﻚ ﻷي ﻗﯿﻤﺔ tﻣﻦ ﻗﯿﻢ ، Tأي إذا ﻛﺎن: f x t f x1 , x 2 ,...., x n T t g x, t; . h t;
ﻻ ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺣﯿﺚ أن: h t; ﺗﻮزﯾﻊ اﻹﺣﺼﺎء . T f x t f x1 , x 2 ,...., x n T t اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺸﺮوط ﻟﻠﻌﯿﻨﺔ Xﺑﺸﺮط . t g x, t;اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺸﺘﺮك ﻟﻠﻌﯿﻨﺔ Xو اﻹﺣﺼﺎء Tﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻞ : (:إذا ﻛﺎﻧﺖ X1,X2 ,...,Xn ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﻣﺠﺘﻤﻊ ﯾﺘﺒﻊ ﺗﻮزﯾﻊ اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ f x;وﻛﺎن ﻣﺪى ﺗﻐﯿﺮ Xﻻ ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻘﺎل أن اﻹﺣﺼﺎء T X إﺣﺼﺎء ﻛﺎﻓﯿﺎ ً إذا و ﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎن ﻣﻦ اﻟﻤﻤﻜﻦ ﺗﺤﻠﯿﻞ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻟﻠﻌﯿﻨﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة : f x; k(t; )N(x).
ﺑﺤﯿﺚ ان ) N(xداﻟﺔ ﻟﯿﺴﺖ ﺳﺎﻟﺒﺔ وﻻ ﺗﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ و ) k(t; داﻟﺔ ﻟﯿﺴﺖ ﺳﺎﻟﺒﺔ وﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ وﻋﻠﻰ اﻟﻌﯿﻨﺔ xﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﺪاﻟﺔ ) t (xﻓﻘﻂ. ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎن Tاﺣﺼﺎءا ﻛﺎﻓﯿﺎ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ وﻛﺎن ) u(Tداﻟﺔ وﺣﯿﺪة اﻟﺘﻨﺎظﺮ ﻓﻰ Tﻓﺘﻜﻮن ) u(Tھﻰ اﻻﺧﺮى اﺣﺼﺎءا ﻛﺎﻓﯿﺎ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ وﻟﻠﺪاﻟﺔ ). u( ) (١٧-١اﻟﻌﺎﺋﻠـــﺔ اﻻﺳـــﯾﺔ واﻻﺣﺻـــﺎءات اﻟﻛﺎﻓﯾـــﺔ Sufficient Statistics ponential family and Sufficient Statistics: ﻛﺜﯿﺮ ﻣﻦ اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ ذات اﻟﻤﻌﻠﻤﺔ اﻟﻮاﺣﺪة ﯾﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة : and
Family
Exponential
f x; exp a b x c d x .
و اﻟﺘﻲ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻷﺳﯿﺔ ﺑﻤﻌﻠﻤﺔ واﺣﺪة one parameter exponential family ﺣﯿﺚ: a داﻟﺔ ﻓﻲ ﻓﻘﻂ. b x داﻟﺔ ﻓﻲ xﻓﻘﻂ c داﻟﺔ ﻓﻲ ﻓﻘﻂ. ١٠٣
d x داﻟﺔ ﻓﻲ xﻓﻘﻂ ﻓﺈذا أﻣﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ أو داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ ﻷي ﺗﻮزﯾﻊ اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﯿ ُﻘﺎل أن ھﺬا اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻓﺮد أو ﻋﻀﻮ ﻓﻲ اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻷﺳﯿﺔ ذات اﻟﻤﻌﻠﻤﺔ اﻟﻮاﺣﺪة. و إذا ﻛﺎﻧﺖ X1,X2 ,...,Xn ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺨﺘﺎرة ﻣﻦ ﻣﺠﺘﻤﻊ ﺗﻮزﯾﻌﮫ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻋﻀﻮ ﻓﻲ اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻷﺳﯿﺔ ﻓﺈن اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺸﺘﺮك ﻟﮭﺬه اﻟﻌﯿﻨﺔ ھﻮ: n
f x; f x i ; i 1
exp na b x i c d x i exp na c d x i exp b x i .
و ﻣﻦ ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻞ ﻧﺠﺪ أن T d xi إﺣﺼﺎء ﻛﺎﻓﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ . ) (١٨-١داﻟﺔ اﻻﻣﻛﺎن Likelihood Function Likelihood function داﻟﺔ اﻹﻣﻜﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﻌﻠﻮم أﻧﮫ إذا ﻛﺎﻧﺖ X1,X 2 ,...,Xn ﻣﺘﻐﯿﺮات ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻓﺈن ﺗﻮزﯾﻌﮭﺎ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ اﻟﻤﺸﺘﺮك ﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ . f x1,x 2 ,...,x n ; و إذا اﻋﺘﺒﺮ ھﺬا اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻛﺪاﻟﺔ ﻓﻲ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن و ﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ . L L x; أي أن: L L x; f x; f x1, x 2 ,...,x n ;
و إذا ﻛﺎﻧﺖ ھﺬه اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ و ﯾﺘﺒﻊ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻧﻔﺴﮫ ،أي إذا ﻛﺎﻧﺖ X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺨﺘﺎرة ﻣﻦ ﻣﺠﺘﻤﻊ ﯾﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ f x;ﻓﺈن اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺸﺘﺮك ﻟﻠﻌﯿﻨﺔ ﯾﻜﻮن :
n
f x; f x1 , x 2 ,..., x n ; f x i ; i 1
و ھﻲ ﻛﺪاﻟﺔ ﻓﻲ ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ،أي أن: n
L L x; f x i , . i 1
اى اﻧﮫ ﻟﻘﯿﻤﺔ ﻣﻌﯿﻨﺔ x1 ,x 2 ,...,x n ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮات X1 ,X 2 ,..., Xnﻓﺈن L x;ﺗﺼﺒﺢ داﻟﺔ ﻓﻲ
ﻓﻘﻂ. ١٠٤
) (١٩-١اﻟﻛﻔﺎءة Efficiency إذا ﻛــﺎن ﻟــدﯾﻧﺎ ﻣﺗﻐﯾ ـ ار ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎ Xﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻰ f x;ﯾﻌﺗﻣــد ﻋﻠــﻰ ﻣﻌﻠﻣــﺔ واﺣــدة وﯾﺣﻘــق ﺑﻌــض اﻟﺷروط اﻟﺗﻰ ﺗﺳﻣﻰ ﺷروط اﻻﻧﺗظﺎم ﻓﺈن :
d 2 ln f (x; ) I x () I () E . 2 d ﺗﺳــﻣﻰ ﻣﻌﻠوﻣــﺎت ﻓﯾﺷــر وﺗﻣﺛــل ﻛﻣﯾــﺔ اﻟﻣﻌﻠوﻣــﺎت اﻟﺗــﻰ ﺗﻌطﯾﻬــﺎ اﻟﻘ ـراءة xﺣــول . ﻛﻣــﺎ اﻧــﻪ اذا ﻛــﺎن ﻟــدﯾﻧﺎ
ﻋﯾﻧـ ــﺔ ﻋﺷ ـ ـواﺋﯾﺔ X X1 ,X 2 ,..., X nﺗـ ــوزﯾﻌﻬم اﻟﻣﺷـ ــﺗرك ﻫـ ــو f x;ﯾﻌﺗﻣـ ــد ﻋﻠـ ــﻰ ﻣﻌﻠﻣـ ــﺔ واﺣـ ــدة وﯾﺣﻘق ﺑﻌض اﻟﺷروط اﻟﺗﻰ ﺗﺳﻣﻰ ﺷروط اﻻﻧﺗظﺎم ﻓﺈن :
d 2 ln L I x () I n () E . 2 d ﺗﺳﻣﻰ ﺗﻣﺛل ﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﯾﻬﺎ اﻟﻣﺷﺎﻫدات x x1 ,x 2 ,..., x nﺣول . ﻛﻣﺎ ان :
I x () I n () nI x () nI ().
ﺗﻌرﯾ ف :إذا ﻛ ﺎن T1 , T2ﻣﻘ دران ﻏﯾ ر ﻣﺗﺣﯾ زان ﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺧﺗ ﺎر اﻟﻣﻘ در اﻟ ذي ﺗوزﯾﻌ ﮫ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﮫ أﻗل ﺗﺑﺎﯾن .وﻋﻠﻰ ذﻟك إذا ﻛﺎن ، 2 2ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘول أن T1ﻣﻘدرا أﻛﺛر ﻛﻔﺎءة ﻣن . T2 T2
T1
ﺗﻌرﯾف :اﻋﺗﺑر ﻛل اﻟﻣﻘدرات اﻟﻐﯾر ﻣﺗﺣﯾزة ﻟﻣﻌﻠﻣﺔ . ﯾﺳﻣﻲ اﻟﻣﻘدر اﻟذي ﻟﮫ أﻗل ﺗﺑﺎﯾن ﺑﺎﻟﻣﻘدر اﻷﻛﺛر ﻛﻔﺎءة more efficientﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ . اﻟﻛﻔﺎءة اﻟﻧﺳﺑﯾﺔ ﻟﻠﻣﻘدر T1ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﻣﻘدر T2ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ) Var(T1 . ) Var(T2
ef
إذا ﻛﺎﻧــت X X1 ,X 2 ,..., X nﻋﯾﻧــﺔ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗــﺎرة ﻣــن ﺗوزﯾــﻊ اﺣﺗﻣــﺎﻟﻰ f x;وﻛــﺎن )T* (x اﺣﺻﺎء ﯾﺗوﻓر ﻓﯾﻪ اﻟﺻﻔﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : ١٠٥
)ا( ﻣﻘدر ﻏﯾر ﻣﺗﺣﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ). u( )ب( ﻟﻪ اﻗل ﺗﺑﺎﯾن ﻣن ﺑﯾن اﻟﻣﻘدرات اﻟﻐﯾر ﻣﺗﺣﯾزة ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ). u(
ﻓﯾﻘ ــﺎل ان * Tﻣﻘ ــد ار ﻏﯾ ــر ﻣﺗﺣﯾ ــز ﺑﺎﻗ ــل ﺗﺑ ــﺎﯾن (MVUE) Minimum Variance Unbiase Estimator
وﻋﻧدﺋذن ﻓﺈن :
1 1 = . 2 ) d ln L) nI x ( E d2
Var(T)
ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻹﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻲ ﻋدة ﻣﻌﺎﻟم ،أي إذا ﻛﺎﻧت
ﻣﺗﺟﻪ ﻣن اﻟﻣﻌﺎﻟم ﺑﻣﻌﻧﻰ أن 1, 2 ,..., k وﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر ﯾﺗم
ﺣﺳﺎب اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ ) I() Ix (ﺣﯾث اﻟﻌﻧﺻر ﻓﻰ اﻟﺻف iواﻟﻌﻣود jﻫو: 2 ln f x; I()ij E ,i, j 1,2,...k. i j
وﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﯾﻬﺎ اﻟﻣﺷﺎﻫدات x x1 ,x 2 ,..., x nﺣول ﻫﻰ :
)I x () In () nIx () nI ( ﻧظرﯾ ﺔ ) :راووﺑﻼﻛوﯾــل ( Rao-Blackwellﻛﺎﻧــت X X1 ,X 2 ,..., X nﻋﯾﻧـﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗــﺎرة ﻣــن ﺗوزﯾــﻊ
اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ f x;وﻛﺎن ) S (xاﺣﺻـﺎء ﻛـﺎﻓﻰ وﻛـﺎن ) T (xﻣﻘـدر ﻏﯾـر ﻣﺗﺣﯾـز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣـﺔ )u( ٕواذا ﻛﺎن : ) T* E(T | Sﻓﺈن : )ا( * Tﯾﻛون اﺣﺻﺎء وداﻟﺔ ﻓﻰ اﻻﺣﺻﺎء اﻟﻛﺎﻓﻰ . S )ب( * Tﻣﻘدر ﻏﯾر ﻣﺗﺣﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ). u(
)ج( ) Var(T* ) Var(Tﻟﻛــل ﻗــﯾم ، ﻛﻣــﺎ ان ) Var(T* ) Var(Tﻟــﺑﻌض ﻗــﯾم اﻻ إذا ﻛــﺎن *T
ﯾﺳﺎوى Tﺑﺎﺣﺗﻣﺎل واﺣد .
) (٢٠-١ﻣﺗوﺳط ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺎ Mean – Square- Error ﯾُﻌﺘﺒﺮ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺨﻄﺄ ﻣﻘﯿﺎس ﻟﺠﻮدة اﻟﻤﻘﺪر T x1 ,x 2 ,...,x n ﻟﺪاﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻤﺔ
أي . u
١٠٦
2 ﺗﻌرﯾف :ﺗﺮﻟﯿﻜﻦ T X1 ,X 2 ,...,Xn ﻣﻘﺪر ﻟﺪاﻟﺔ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻤﺔ u ﻓﺈن E T u ھﻮ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺮﺑﻊ ﻟﺨﻄﺄ ﻟﻠﻤﻘﺪر . Tإذا ﻛﺎن اﻟﻤﻘﺪر Tﻏﯿﺮ ﻣﺘﺤﯿﺰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ u ﻓﺈن ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺨﻄﺄ ﻟﻠﻤﻘﺪر Tﯾﺼﺒﺢ ﺗﺒﺎﯾﻦ . T
) (٢١-١اﻻﺣﺻﺎءات اﻟﺗرﺗﯾﺑﯾﺔ اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ ھﻲ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻋﯿﻨﮫ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺮﺗﺒﮫ ﻣﻦ اﻷﺻﻐﺮ إﻟﻰ اﻷﻛﺒﺮ ،وﻟﻘﺪ زادت أھﻤﯿﺘﮭﺎ ﻓﻲ اﻟﺴﻨﻮات اﻷﺧﯿﺮة ﻧﺘﯿﺠﺔ ﻟﺰﯾﺎدة اﺳﺘﺨﺪام اﻻﺳﺘﺪﻻل اﻟﻼﻣﻌﻠﻤﻲ .وﻗﺪ اﻛﺘﺴﺒﺖ ﺷﮭﺮﺗﮭﺎ ﻧﺘﯿﺠﺔ ﻻﺳﺘﺨﺪاﻣﮭﺎ ﻓﻲ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ أﻓﻀﻞ إﺣﺼﺎء ﺑﺴﯿﻂ ﻣﺜﻞ وﺳﯿﻂ اﻟﻌﯿﻨﺔ وﻣﺪى اﻟﻌﯿﻨﺔ إﻟﻰ ﺟﺎﻧﺐ أﻣﻮر أﺧﺮى. ﺗﻌﺮﯾﻒ : إذا ﻛﺎﻧﺖ X1,X 2 ,,X nﻋﻨﺎﺻﺮ ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺠﻢ nﻣﺨﺘﺎرة ﻣﻦ ﺗﻮزﯾﻊ اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻣﺘﺼﻞ وﻟﮫ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ ) f (xﻓﺈن اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ: Y1 Y2 ... Yn , ﺗﺴﻤﻰ اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻌﯿﻨﺔ ﺣﯿﺚ: Y1 Smallest of X1 ,X 2 ,..., X n ,
Y2 Second of X1 ,X 2 ,...,X n , Yn Largest of X1 ,X 2 ,...,X n , ﻋﻤﻮﻣﺎ (r 1, 2,,n) Yrﯾﺴﻤﻰ اﻹﺣﺼﺎء اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﻲ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ rﻟﻠﻌﯿﻨﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ X1,X 2 ,,X n ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎﻧت X X1 ,X 2 ,..., X nﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ f x;ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ Y1 Y2 ... Ynﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻲ: n!f (y1 )f (y2 )...f (yn ) , a y1 y 2 ... y n b, g(y1 , y2 ,..., y n ) , (elsewhere) e.w. 0 ﺣﯿﺚ . b ,a
ﻧظرﯾ ﺔ :إذا ﻛﺎﻧ ﺖ X1,X2 ,,Xnﻋﻨﺎﺻ ﺮ ﻋﯿﻨ ﺔ ﻋﺸ ﻮاﺋﯿﺔ ﻣ ﻦ اﻟﺤﺠ ﻢ nﻣﺴ ﺤﻮﺑﺔ ﻣ ﻦ ﺗﻮزﯾ ﻊ اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻣﺘﺼﻞ وﻟﮫ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ )f (x وﻛﺎﻧ ﺖ اﻟﻤﺘﻐﯿ ﺮات اﻟﻌﺸ ﻮاﺋﯿﺔ Y1 Y2 ... Ynﺗﻤﺜ ﻞ اﻹﺣﺼ ﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿ ﺔ ﻟﺘﻠ ﻚ اﻟﻌﯿﻨ ﺔ. ﻋﻨﺪھﺎ ﻓﺈن Ynاﻹﺣﺼﺎء اﻷﻛﺒﺮ وﻟﮫ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﮭﺎﻣﺸﯿﺔ:
١٠٧
n f (y n ) F(y n ) n 1 , a y n b, g n (y n ) , e.w. 0
ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎﻧ ﺖ X1,X2 ,,Xnﻋﻨﺎﺻ ﺮ ﻋﯿﻨ ﺔ ﻋﺸ ﻮاﺋﯿﺔ ﻣ ﻦ اﻟﺤﺠ ﻢ nﻣﺴ ﺤﻮﺑﺔ ﻣ ﻦ ﺗﻮزﯾ ﻊ اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻣﺘﺼﻞ وﻟﮫ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ ) f (xوﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ Y1 Y2 ... Ynاﻹﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻌﯿﻨﺔ .ﻋﻨ ﺪھﺎ ﻓ ﺈن Y1اﻹﺣﺼ ﺎء اﻷﺻ ﻐﺮ وﻟ ﮫ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﮭﺎﻣﺸﯿﺔ: n f (y1 ) 1 F(y1 ) n 1 , a y1 b, g1 (y1 ) , e.w. 0
ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎﻧ ﺖ X1,X2 ,,Xnﻋﻨﺎﺻ ﺮ ﻋﯿﻨ ﺔ ﻋﺸ ﻮاﺋﯿﺔ ﻣ ﻦ اﻟﺤﺠ ﻢ nﻣﺴ ﺤﻮﺑﺔ ﻣ ﻦ ﺗﻮزﯾ ﻊ اﺣﺘﻤ ﺎﻟﻰ ﻣﺘﺼ ﻞ وﻟ ﮫ داﻟ ﺔ ﻛﺜﺎﻓ ﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﯿ ﺔ ) f (xوﻛﺎﻧ ﺖ اﻟﻤﺘﻐﯿ ﺮات اﻟﻌﺸ ﻮاﺋﯿﺔ Y1 Y2 ... Ynاﻹﺣﺼ ﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿ ﺔ ﻟﺘﻠ ﻚ اﻟﻌﯿﻨ ﺔ .ﻋﻨ ﺪھﺎ ﻓ ﺈن أي إﺣﺼ ﺎء (r 1, 2,,n) Yrﻟﮫ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﮭﺎﻣﺸﯿﺔ: !n r 1 n r f (yr ) F(y r ) 1 F(y r ) , a y r b, !)g r (yr ) (r 1)!(n r 0 , e.w.
) (٢٢-١اﺧﺗﺑﺎراﻟﺣﯾﺎﻩ LifeTesting إن اﺧﺘﺒﺎر اﻟﺤﯿ ﺎة ﻛﻤ ﺎ ﻋﺮﻓ ﮫ ) Zelen (1959ھ ﻮ وﺿ ﻊ ﻋ ﺪد ﻣ ﻦ اﻟﻘﻄ ﻊ اﻟﻤﻤﺜﻠ ﺔ ﻟﻠﻤﺠﺘﻤ ﻊ ﻣﻮﺿﻊ اﻟﺪراﺳﺔ أو أﺟﺰاء ﻣﻨﮭﺎ ﺗﺤﺖ ﻓﺌﺔ ﻣﻌﻄﺎة ﻣﻦ ظﺮوف اﻟﺘﺸﻐﯿﻞ ﻣﻊ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻋﺪد ﺳﺎﻋﺎت اﻷداء اﻟﻤﺮﺿﻲ ﻟﻜ ﻞ ﻗﻄﻌ ﺔ .ﻣ ﺜﻼ ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻘﻄ ﻊ اﻹﻟﻜﺘﺮوﻧﯿ ﺔ ﻓ ﺈن اﻟﺒﯿﺎﻧ ﺎت اﻟﻤﻼﺣﻈ ﺔ ﻋ ﺎده ﺳﻮف ﺗﻤﺜﻞ زﻣﻦ اﻟﻔﺸﻞ ،ﺣﯿﺚ ﯾﺘﻢ ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻔﺸﻞ ھﻨﺎ ﺑﺄن ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻘﻄﻌﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن أداﺋﮭﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﺮﺿﻲ .أﯾﻀﺎ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﺧﺘﺒﺎر اﻹﺟﮭﺎد ﻣﺜﻞ اﺧﺘﺒﺎرات اﻟﻜﺮات اﻟﺤﺎﻣﻠﺔ ) ﻓﻲ ﻧﻘ ﺎط اﻟ ﺪوران ( ﻓﺈن اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت اﻟﻤﺴﺠﻠﺔ ﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ھﻲ ﻋﺪد اﻟﺪورات ﺣﺘﻰ اﻟﻮﺻﻮل إﻟﻰ اﻟﻔﺸﻞ ،واﻟﻔﺸﻞ ھﻨ ﺎ ھﻮ اﻟﻌﻄﻞ ﻓﻲ اﻷداء ﻟﮭﺬه اﻟﻜﺮات . ھﻨ ﺎك ﺗﻌﺮﯾ ﻒ آﺧ ﺮ ﻻﺧﺘﺒ ﺎر اﻟﺤﯿ ﺎة ﺗ ﻢ اﻟﺤﺼ ﻮل ﻋﻠﯿ ﮫ ﻣ ﻦ ) AL-Braheem (1990ﺑﺄﻧ ﮫ اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﺬي ﺗﻌﺮض ﻓﯿﮫ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﻔﺮدات اﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻤﺠﺘﻤﻊ ﻣﻌﯿﻦ ،ﺳﻮاء ﻛﺎﻧ ﺖ ﻛﺎﺋﻨ ﺎت ﺣﯿ ﮫ ) ﻣﺠﻤﻮﻋ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﻤﺮﺿ ﻰ أو ﺣﯿﻮاﻧ ﺎت ﺗﺠ ﺎرب ( أو ﺟﻤ ﺎد ) ﻣﺼ ﺎﺑﯿﺢ ﻛﮭﺮﺑ ﺎء أو أﺟﮭ ﺰة ١٠٨
إﻟﻜﺘﺮوﻧﯿﺔ ( ﻟﻀﻐﻮط وظﺮوف ﺑﯿﺌﯿﺔ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﻠﻈﺮوف اﻟﻄﺒﯿﻌﯿ ﺔ اﻟﻤﻌﺮﺿ ﺔ ﻟﮭ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺤﯿ ﺎة ،ﻣ ﻊ ﻣﻼﺣﻈﺔ أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ ﻟﻠﻤﻔﺮدات ﺗﺤﺖ اﻟﺪراﺳﺔ. إن اﻟﺘﺤﻠﯿ ﻞ اﻹﺣﺼ ﺎﺋﻲ ﻟﻤ ﺎ ﯾﺴ ﻤﻰ ﺑ ﺰﻣﻦ اﻟﺤﯿ ﺎة life timeأو ﺑﯿﺎﻧ ﺎت اﻟﺒﻘ ﺎء survival dataأو ﺑﯿﺎﻧﺎت زﻣﻦ اﻟﻔﺸﻞ failure timeﻗﺪ اﺣﺘ ﻞ أھﻤﯿ ﺔ ﻛﺒ ﺮى ﻓ ﻲ ﻛﺜﯿ ﺮ ﻣ ﻦ اﻟﻤﺠ ﺎﻻت ﺧﺼﻮﺻﺎ ﻓﻲ ﻣﺠﺎﻻت اﻟﻌﻠﻮم اﻟﻄﺒﯿﺔ واﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ،ﻓﻔﻲ ﻣﺠﺎل اﻟﻌﻼج اﻟﻄﺒ ﻲ ﻓ ﺈن اﻻھﺘﻤ ﺎم ﯾﻜ ﻮن ﻓﻲ اﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﻌﺎﻟﺠﺘﯿﻦ أو أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻧﺎﺣﯿﺔ أﻓﻀﻠﯿﺘﮭﻢ ﻋﻠﻰ إﺑﻘﺎء اﻟﻤﺮﯾﺾ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺟﯿﺪة ﺑﯿﻨﻤﺎ ﻓ ﻲ اﻟﻤﺠ ﺎﻻت اﻟﮭﻨﺪﺳ ﯿﺔ ﻓ ﺈن اﻻھﺘﻤ ﺎم ﯾﻜ ﻮن ﻓ ﻲ ﺗﺤﺴ ﯿﻦ ﺟ ﻮدة اﻹﻧﺘ ﺎج أي إطﺎﻟ ﺔ اﻟﻌﻤ ﺮ اﻻﻓﺘﺮاﺿﻲ ﻟﻠﻮﺣﺪات . ﻓﻲ اﺧﺘﺒﺎر اﻟﺤﯿﺎة ﻋﺎدة ﻣﺎ ﯾﺸﺎر إﻟﻰ اﻷﻧﻮاع اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻣ ﻦ اﻟﺒﯿﺎﻧ ﺎت ﺑﺘﻌﺒﯿ ﺮ واﺣ ﺪ وھ ﻮ زﻣ ﻦ اﻟﺤﯿﺎة life timeوھﻮ زﻣﻦ ﺗﺤﻘﻖ ﺣ ﺪث ﻣ ﺎ ﻟﻤﻔ ﺮدة ﺗﺎﺑﻌ ﺔ ﻟﻤﺠﺘﻤ ﻊ ﺗﺤ ﺖ اﻟﺪراﺳ ﺔ .ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن اﻟﺤﺪث اﻟﺬي ﻓﻲ ﻣﻮﺿﻊ اﻟﺪراﺳﺔ ھ ﻮ وﻓ ﺎة اﻟﻤﻔ ﺮدات ﻓ ﺈن زﻣ ﻦ اﻟﺤﯿ ﺎة ﯾﻜ ﻮن ھ ﻮ اﻟﻌﻤ ﺮ اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ﻟﻠﻤﻔﺮدة ،أو رﺑﻤﺎ ﯾﻜ ﻮن زﻣ ﻦ اﻟﺒﻘ ﺎء واﻟ ﺬي ﯾﻘ ﺎس ﻣ ﻦ وﻗ ﺖ اﻟﺘﺸ ﺨﯿﺺ أو ﻣ ﻦ وﻗ ﺖ ﺗﻠﻘﻲ اﻟﻌﻼج ﺣﺘﻰ اﻟﻮﻓﺎة ) وﻟﯿﺲ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺼﻔﺮ ( .أﻣﺎ ﻣﻦ اﻟﻨﺎﺣﯿﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ ﻓﺈن زﻣﻦ اﻟﺤﯿﺎة ھﻮ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻏﯿﺮ ﺳﺎﻟﺐ). Lawless (1982 ) ( ٢٣-١اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣراﻗﺑﺔ Censoring Sample إن ﺑﯿﺎﻧﺎت اﻟﻌﻤﺮ ﻏﺎﻟﺒﺎ ﻣﺎ ﺗﺄﺗﻲ ﺑﺼﻮره ﺗﺨﻠﻖ ﻣﺸﺎﻛﻞ ﺧﺎﺻﺔ ﻓﻲ ﺗﺤﻠﯿﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت وھ ﺬه اﻟﺼ ﻮرة ﺗﻌﺮف ﺑﺄﻧﮭﺎ اﻧﻘﻄ ﺎع اﻟﺒﯿﺎﻧ ﺎت وﺗﺤ ﺪث ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ﺗﻜ ﻮن أزﻣﻨ ﮫ اﻟﺤﯿ ﺎة ﻣﻌﺮوﻓ ﮫ ﺑﺎﻟﻀ ﺒﻂ ﻟﺠ ﺰء ﻣ ﻦ اﻟﻤﻔﺮدات ﺗﺤﺖ اﻟﺪراﺳﺔ .أﻣﺎ ﺑﺎﻗﻲ أزﻣﻨﮫ اﻟﺤﯿﺎة ﻓﻜﻞ اﻟﻤﻌﺮوف ﻋﻨﮭﺎ أﻧﮭﺎ ﺧﺎرج ﻗﯿﻤﮫ ﻣﻌﯿﻨﮫ، ﻟ ﺬى ﯾﻔﻀ ﻞ ﻓ ﻲ ھ ﺬه اﻟﺤﺎﻟ ﺔ اﻋﺘﻤ ﺎد اﻟﻌﯿﻨ ﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ .و ﺗﺴ ﻤﻰ اﻟﻌﯿﻨ ﺔ ﻓ ﻲ ھ ﺬه اﻟﺤﺎﻟ ﺔ ﺑﺎﻟﻌﯿﻨ ﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ،إن ﺗﻮﻗﻒ اﻻﺧﺘﺒﺎر ﻗﺒ ﻞ ﻓﺸ ﻞ ﺟﻤﯿ ﻊ اﻟﻤﻔ ﺮدات ﻟ ﮫ ﻓﻮاﺋ ﺪ ﻛﺜﯿ ﺮة ﻣﻨﮭ ﺎ ﺧﻔ ﺾ ﺗﻜ ﺎﻟﯿﻒ اﻻﺧﺘﺒ ﺎر وﺗ ﻮﻓﯿﺮ اﻟﻮﻗ ﺖ واﻟﺠﮭ ﺪ .اﻟﮭ ﺪف اﻷﺳﺎﺳ ﻲ ﻻﺧﺘﺒ ﺎرات اﻟﺤﯿ ﺎة ھ ﻮ ﺗﻘ ﺪﯾﺮ اﻟﻤﻌ ﺎﻟﻢ ﻣﺜ ﻞ ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﺤﯿﺎة ﻟﻠﺘﻮزﯾﻊ ﺗﺤﺖ اﻟﺪراﺳﺔ .و ﻋﻤﻮﻣﺎ ً ﻓﺈن اﺧﺘﺒﺎر أي ﻧﻮع ﻣﻦ أﻧﻮاع اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﯾﻌﺘﻤ ﺪ ﻋﻠﻰ: -١اﻟﻮﻗﺖ اﻟﻤﺴﺘﻐﺮق ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯿﻨﺔ ، -٢اﻟﺘﻜﺎﻟﯿﻒ اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ،ﻓﺈذا ﻛﺎن ﺗﻮﻓﯿﺮ اﻟﻮﻗﺖ ھ ﻮ اﻻھ ﻢ ﻓ ﯿﻤﻜﻦ اﯾﻘﺎف اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﻌﺪ زﻣﻦ ﻣﺤﺪد ﺛﺎﺑﺖ و ﺗﻜﻮن اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ھ ﻲ ﻋﯿﻨ ﺔ ﻣﺮاﻗﺒ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﻨ ﻮع اﻷول ، Type I Censoringأﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﺗﻮﻓﯿﺮ اﻟﺘﻜﺎﻟﯿﻒ ھ ﻮ اﻷﻛﺜ ﺮ أھﻤﯿ ﺔ ﻓ ﯿﻤﻜﻦ إﯾﻘ ﺎف اﻟﺘﺠﺮﺑ ﺔ ﺑﻌ ﺪ اﻟﺤﺼ ﻮل ﻋﻠ ﻰ ﻋ ﺪد ﻣﻌ ﯿﻦ ﻣ ﻦ اﻟﻤﺸ ﺎھﺪات و ﺗﻜ ﻮن اﻟﻌﯿﻨ ﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠ ﺔ ھ ﻲ ﻋﯿﻨ ﺔ ﻣﺮاﻗﺒ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ . Type II Censoring
) ( ١-٢٣-١اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣراﻗﺑﺔ اﻟﻣﻔردة ذات اﻟﻣرﺣﻠﺔ اﻟواﺣدة ١٠٩
ﯾﻘﺴﻢ ھﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ إﻟﻰ ﻧﻮﻋﯿﻦ :
)ا( ﻋﯿﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻷول :Type I Censoring ﻓﻲ ھﺬا اﻟﻨﻮع ﯾﺠﺮي اﺧﺘﺒﺎر اﻟﺤﯿﺎة ﻓﻲ ﻓﺘﺮة زﻣﻨﯿﺔ ﻣﺤﺪدة Tﺣﯿﺚ أن زﻣﻦ اﻟﺤﯿﺎة ﻟﻤﻔ ﺮدة ﻣﺎ ﻗﺪ ﯾﻜﻮن ﻣﻌﺮوف ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ ﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎن اﻗﻞ ﻣﻦ . Tﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻋﺪد اﻟﻤﺸﺎھﺪات ) rﻣ ﻦ ﻋﯿﻨﺔ ﺣﺠﻤﮭﺎ ( nاﻟﺘﻲ ﺗﻢ ﺗﺴﺠﯿﻠﮭﺎ ﺣﺘﻰ اﻟﺰﻣﻦ Tﺗﻌﺘﺒﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮا ﻋﺸﻮاﺋﯿﺎ وﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻤﺸﺎھﺪات اﻟﺘﻲ ﺗﻢ اﻟﺤﺼ ﻮل ﻋﻠﯿﮭ ﺎ ﺗﻤﺜ ﻞ اﻟﻌﯿﻨ ﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﻨ ﻮع اﻷول اﻟﻤﺴ ﺤﻮﺑﺔ ﻣ ﻦ ﺗﻮزﯾ ﻊ ﻟ ﮫ داﻟ ﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ) f(xوداﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ) ،F(xوداﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻵﺗﯿﺔ : r !n n r L(;x ) 1 F(T) f(x i ; ) , ! n r i=1 x x1 , x 2 ,..., x n , y n T,r 1,2,...,n.
وﯾﺴﻤﻰ ھﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﺑﺎﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﯿﻤﯿﻦ ،وﺑﻨﻔﺲ اﻟﺸﻜﻞ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﯿﺴﺎر ﻋﻨﺪ Tوذﻟ ﻚ ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ﺗﻜ ﻮن اﻟﻘ ﯿﻢ ﺑﺎﻟﻀ ﺒﻂ ﻷزﻣﻨ ﺔ اﻟﻔﺸ ﻞ ﻟﻌ ﺪد ﻣ ﻦ اﻟﻤﻔ ﺮدات ﻣﻌﺮوﻓ ﺔ وﻟﻜﻨﮭﺎ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ أو ﺗﺴﺎوي ، Tوذﻟﻚ ﻣﻦ ﻋﯿﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺠﻢ .n وﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻓﺈن داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ : r
f(x i ; ) .
i=1
!n n r L(;x ) F(T) ! n r
واﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ اﻟﯿﻤﻨ ﻰ ﺷ ﺎﺋﻌﺔ اﻻﺳ ﺘﺨﺪام ﻓ ﻲ ﺑﯿﺎﻧ ﺎت اﻟﺤﯿ ﺎة ﻓ ﻲ ﺣ ﯿﻦ أن اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ اﻟﯿﺴ ﺮى ﻧ ﺎدرة اﻻﺳﺘﺨﺪام .
:Type II Censoring Sample
)ب( ﻋﯿﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ
ﺑﻔﺮض أن ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﻮﺣ ﺪات ذات اﻟﺤﺠ ﻢ nوﺿ ﻌﺖ ﺗﺤ ﺖ اﻻﺧﺘﺒ ﺎر ﻓ ﻲ ﻧﻔ ﺲ اﻟﻮﻗﺖ وﺗﻢ إﻧﮭﺎء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﻌﺪ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ rﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎھﺪات .ﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻋﺪد اﻟﻤﺸﺎھﺪات ) ( r < nﺗﻌﺘﺒﺮ ﺛﺎﺑﺖ وﻟﻜﻦ زﻣﻦ إﻧﮭﺎء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﯾﻜ ﻮن ﻣﺘﻐﯿ ﺮ ﻋﺸ ﻮاﺋﻲ ،اﻟﻌﯿﻨ ﺔ ذات اﻟﺤﺠ ﻢ n اﻟﺘﻲ ﺗﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮭﺎ ﺗﻌﺮف ﺑﺎﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ .داﻟ ﺔ اﻹﻣﻜ ﺎن اﻷﻛﺒ ﺮ ﻓ ﻲ ھ ﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻵﺗﯿﺔ : r
f(y i , ) , y y1 y 2 ... y r
i=1
!n n r L(; y ) 1 F(yr ) ! n r
إذا ﻛﺎﻧ ﺖ اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﯿﺴ ﺎر ﻧﺮاﻗ ﺐ اﻟﻤﺸ ﺎھﺪات ﺑﻌ ﺪ ﻓﺸ ﻞ ) (n-rﻣ ﻦ اﻟﻤﺸ ﺎھﺪات ،وداﻟ ﺔ اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﺒﺮ ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ : r
f(yi ; ) .
i=1
!n n r F(yr ) ! n r ١١٠
L(; y )
) ( ٢-٢٣-١اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣراﻗﺑﺔ اﻟﻣزدوﺟﺔ ذات اﻟﻣرﺣﻠﺔ اﻟواﺣدة ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ﻧﺄﺧ ﺬ ﻋﯿﻨ ﺔ ﻣ ﻦ ﻣﺠﺘﻤ ﻊ ﻛﺎﻣ ﻞ وﻟﻜ ﻦ اﻟﻤﺸ ﺎھﺪات اﻷوﻟ ﻰ اﻟﻘﻠﯿﻠ ﺔ واﻟﻤﺸ ﺎھﺪات اﻟﻘﻠﯿﻠ ﺔ اﻷﺧﯿﺮة ﻏﯿﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﻓﺎن أزﻣﻨﺔ اﻟﺤﯿﺎة اﻟﻐﯿﺮ ﻛﺎﻣﻠﺔ ﻣﻦ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﻦ ﺗﺴﻤﻰ . double censored وھﻨﺎك ﻧﻮﻋﯿﻦ ﻟﻠﻌﯿﻨﺎت اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ذات اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﻦ .
)ا( اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻷول ﻓﻲ ھﺬا اﻟﻨﻮع ﻓﺎن اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﺗﺤﺪث ﻋﻨﺪ أزﻣﻨﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ T1 , T2ﺣﯿﺚ T1 < T2ﺣﯿﺚ m1ﻣﻦ اﻟﻤﺸ ﺎھﺪات ﻋﻤﺮھ ﺎ اﻗ ﻞ ﻣ ﻦ T1و m 2ﻋﻤﺮھ ﺎ اﻛﺒ ﺮ ﻣ ﻦ m1 ، T2و m 2و n - m1 - m 2 ﻣﺘﻐﯿﺮات ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ .داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ : n m2
L(, x ) [ f(x m )] (P(X T1 )) m1 (P(X T2 )) m 2 . i m1 1
)ب( اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻓﻲ ھﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﺗﺮاﻗﺐ اﻟﻤﺸﺎھﺪات ﺑﻌﺪ ﻓﺸﻞ m1ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎھﺪات ﺣﺘﻰ ﻓﺸﻞ اﻟﻮﺣ ﺪة رﻗﻢ . n m 2داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ : n m2
[ f(x i )] [P(X x m1 )]m1 [1-P(X x (n m2 ) )]m 2 .
L(x, )
i m1 1
ﻋﻨﺪﻣﺎ n اﻟﻨﻮﻋﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ﯾﺘﻜﺎﻓﺌﺎن ،أﯾﻀﺎ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻓﻲ اﻟﻌﯿﻨ ﺎت اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ اﻟﻤﻔ ﺮده ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮭﺎ ﻛﺤﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣﻦ اﻟﻌﯿﻨﺎت اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ اﻟﻤﺰدوﺟﺔ وذﻟﻚ ﺑﻮﺿﻊ m1 0أو . m2 0 ) ( ٣-٢٣-١اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣراﻗﺑﺔ اﻟﻣﺗﺗﺎﺑﻌﺔProgressively Censored ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻋﻨﺪ ﺳﺤﺐ ﺑﻌﺾ وﺣﺪات اﻟﻌﯿﻨﺔ ﻗﺒ ﻞ ﻓﺸ ﻠﮭﺎ ﻋﻨ ﺪ ﻣﺮاﺣ ﻞ ﻣﺨﺘﻠﻔ ﺔ ﻣﻦ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ .ﺗﻘﺴﻢ اﻟﻌﯿﻨﺔاﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ إﻟﻰ ﻋﯿﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻷول أو ﻋﯿﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨ ﻮع اﻟﺜ ﺎﻧﻲ .اﻟﻌﯿﻨ ﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﻨ ﻮع اﻷول طﺒﻘﮭ ﺎ ) Cohen(1963ﺗﺤ ﺖ ﻓ ﺮض اﻟﺘﻮزﯾ ﻊ اﻷﺳ ﻲ ،ﺳ ﻮف ﯾﻘﺘﺼﺮ اﻟﺤﺪﯾﺚ ھﻨﺎ ﻋﻦ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ Progressively Type II Censored sampleﻟﻜﻮﻧﮭ ﺎ أھ ﻢ أﻧ ﻮاع اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ و اﻟﺘ ﻲ ﺳ ﻮف ﻧﺴ ﺘﺨﺪاﻣﮭﺎ ﻓ ﻲ اﻟﻔﺼ ﻞ اﻟﺨﺎﻣﺲ .ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻓﻜﺮة اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻲ : ﺗﻮﺿﻊ nﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﻓﻲ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﺗﺤﺖ اﻻﺧﺘﺒﺎر أﻧﯿﺎ . ﻋﻨﺪ ﺗﺴﺠﯿﻞ زﻣﻦ اﻟﻔﺸﻞ اﻷول x1ﻓﺈن R 1ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﯾﺘﻢ ﺳﺤﺒﮭﺎ ﻋﺸ ﻮاﺋﯿﺎ ً ﻣ ﻦ اﻟﻮﺣ ﺪاتاﻟﻤﺘﺒﻘﯿﺔ ذات اﻟﺤﺠﻢ . n 1 ١١١
ﻋﻨﺪ ﺗﺴﺠﯿﻞ زﻣﻦ اﻟﻔﺸﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ x 2ﻓﺈن R 2ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﯾﺘﻢ ﺳﺤﺒﮭﺎ ﻋﺸ ﻮاﺋﯿﺎ ً ﻣ ﻦ اﻟﻮﺣ ﺪاتاﻟﻤﺘﺒﻘﯿﺔ ذات اﻟﺤﺠﻢ . n 2 R1 ﺗﺴﺘﻤﺮ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻤﻨﻮال ﺣﺘﻰ ﯾﺘﻢ ﺗﺴﺠﯿﻞ زﻣﻦ اﻟﻔﺸﻞ رﻗﻢ mوھﻲ x mوﻋﻨﺪھﺎ ﻓﺈناﻟﻮﺣ ﺪات اﻟﻤﺘﺒﻘﯿ ﺔ ﻓ ﻲ اﻟﺘﺠﺮﺑ ﺔ و اﻟﺘ ﻲ ﻋ ﺪدھﺎ ﯾﺼ ﺒﺢ n m R1 R 2 ... R m1 ﯾ ﺘﻢ ﺳﺤﺒﮭﺎ ﻣﻦ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ . اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﺳﻮف ﯾﺮﻣ ﺰ ﻟﻤﻔﺮدﺗﮭ ﺎ ﺑ ﺎﻟﺮﻣﺰ x x1 , x 2 ,..., x mو ھ ﻲ اﻟﻌﯿﻨ ﺔ ذات اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔاﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﻨ ﻮع اﻟﺜ ﺎﻧﻲ ذات اﻟﺤﺠ ﻢ mو اﻟﻤﺮﺗﺒﻄ ﺔ ﺑﻨﻈ ﺎم اﻟﻤﺮاﻗﺒ ﺔ R1,R 2 ,...,R m و اﻟﻤﺨﺘﺎرة ﻣﻦ ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺠﻢ . n وﻣﻦ اﻟﻮاﺿﺢ أن ﻧﻈﺎم اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ﯾﻤﻜﻦ أن ﯾﺆول إﻟﻰ : -١ﻧﻈﺎم ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ : R 1 R 2 ... R m 1 0,R m n m,
-٢
اﻟﻨﻈﺎم اﻟﺨﺎﻟﻲ ﻣﻦ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ) اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ ( complete sampleﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ :
R 1 R 2 ... R m 1 R m 0 .
) (٢٤-١اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺑﺗورة ﺑﻔﺮض أﻧﻨﺎ ﻏﯿﺮ ﻗﺎدرﯾﻦ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺎھﺪات ﻓﻮق أو ﺗﺤﺖ ﻧﻘﺎط ﻣﻌﯿﻨ ﺔ ﻓ ﻲ اﻟﻤﺠﺘﻤ ﻊ . وھ ﺬا ﯾﺤ ﺪث ﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺒﯿﻞ اﻟﻤﺜ ﺎل إذا ﻛﺎﻧ ﺖ وﺣ ﺪات ﻣﻌﺮوﺿ ﺔ ﻟﻠﺒﯿ ﻊ ﺑﺤﯿ ﺚ ﺗﺤﻘ ﻖ اﻟﺸ ﺮط أن ﻋﻤﺮھﺎ اﻛﺒﺮ ﻣﻦ زﻣﻦ ﻣﺎ وﻓﻰ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻌﯿﻨﺎت اﻟﻤﺒﺘﻮرة.
١١٢
اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ ﺑﻌض اﻟﺗوزﯾﻌﺎتاﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ
١١٣
) (١-٢اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ The Exponential Distribution ﺗﻌﻄﻲ ﻋﺎﺋﻠﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﻵﺳﻴﺔ ﳕﺎذج اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﻪ ﻣﻔﻴـﺪة ﰲ ﳎـﺎل اﳍﻨﺪﺳـﺔ واﻟﻌﻠـﻮم ﺣﻴـﺚ ﻳﺼـﻒ ﻛﺜـﲑ ﻣـﻦ اﻟﻈـﻮاﻫﺮ ﻣﺜــﻞ أﻋﻤــﺎر ﺑﻌــﺾ اﻟﺴــﻠﻊ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴــﺔ ،اﻟﻮﻗــﺖ اﻟــﻼزم ﺣــﱴ ﺗﺘﻌﻄــﻞ ﺑﻌــﺾ اﻷﻧﻈﻤــﺔ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴــﺔ ،وﻗــﺖ اﻻﻧﺘﻈــﺎر ﻟﻮﻗــﻮع ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ.
) (١-١-٢داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻳﻘﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ Xأﻧﻪ ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻰ إذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘﻪ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ: 1 x f (x; ) e 0
,x 0 )e.w.(elsewhere
ﺑﻴﻨﻤﺎ ﻳﺴﺘﺨﺪم ﺑﻌﺾ اﳌﺆﻟﻔﲔ اﻟﺼﻮرة e xﺣﻴﺚ . 1 ﺳﻮف ﻧﻜﺘﺐ ) X Exp(ﻟﻠﺪﻻﻟـﺔ ﻋﻠـﻰ أن Xﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ .
) (٢-١-٢داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ 1 ﻫﻲ: x
F(x) e t dt. 0
)(e x 1 1 e x . 1
x
0
e t
أي أن: 1 e x F( x ) 0
x0 e.w .
) (٣-١-٢اﻟﻌﺰوم Moments tX
M X (t) E(e ) e tx e x dx 0
dx
t ) x(1
e 0
١١٤
x(1 t ) e t (1 )
0
0 1
1
.
t t (1 ) (1 ) t M X (t) (1 )1.
:وﻣﻨﻬﺎ ﳝﻜﻨﻨﺎ ﺣﺴﺎب اﳌﺘﻮﺳﻂ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ
MX (t)
d 1 t M X (t) (1 ) 2 (1) dt 1 t (1 )2 .
then : 1 0 (1 ) 2 1 , 2 d 2 t MX (t) 2 M X (t) 2 (1 )3 , dt 2 E(X 2 ) MX (0) 2 , 2 2 1 2 1 1 2X 2 2 2 2 . E(X) MX (0)
: ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ ﻫﻮr وﺑﺎﳌﺜﻞ ﳒﺪ أن اﻟﻌﺰم M (r) (0) r
r! . r
: وﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺑﻪ أﻳﻀﺎً ﻣﻦ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
r
r E(X ) x r ex dx, 0
:ﻹﻛﻤﺎل اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻳﺴﺘﺨﺪم اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ اﻟﺘﺎﱄ y let x y dx dy x . ١١٥
y dy ( ) r e y 0
r
E(X )
1 r y r e ydy 0
1 r y r 11e ydy 0
(r 1) r! r. r
: وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ،وﻫﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﱵ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم 1
1
2 6 24 , 3 3 , 4 4 . 2 3 3 3 32 2
, 2
6 3 2 2 2 3 3 2 3, 4 4 43 6 2 3 4
24 4 6 6 2 3 4 3 2 2 4 9 4. : ﻣﻦ اﻟﻘﺎﻧﻮن ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ 4 وﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ 3 وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﳝﻜﻦ إﳚﺎد ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﻟﺘﻮاء
3
3 32 2
, 4
4 . 22
2 1 3 332 3 2 2
32
2,
2
9 1 4 42 4 2 9. 2
Percentiles ( اﻟﻤﺌﻴﻨﺎت٤-١-٢) : ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎﺑﻪ ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺔ100p اﳌﻴﺌﻦ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ ١١٦
P(X x p ) p F(x p )
1 e
x p
1 e p x p
e e
x p
x p
p 1
1 p
x p ln(1 p) 1 x p ln(1 p).
( ﺑﻌﺾ اﻻﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﻴﺒﻴﺔ٥-١-٢) (١-٢) ﻣﺜﺎل ,
1 i ,i 1,2,...n ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲX1 , X 2 ,..., X n إذا ﻛﺎﻧت i
. E Y1 ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ وأوﺟدYl min[ X1 , ... , X n ] أﺛﺑت أن ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ ؟Y n maxX1, X2 ,...., Xn ﻫل : أذن i ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ
:اﻟﺣــل
X i ﺑﻣﺎأن
fXi (y) iei y , y 0, y
FXi (y) ie
i x
dx e
i x
0
1 ei y . n
FY1 (y) 1 1 FXi (y) i 1 1
n
1 1 (1 ei y ) i 1
١١٧
y 0
:ﺑﻣﺎ أن
n
n
e y 1 e i 1 i
1
n
f Y1 y i i1
e
i y i 1
: ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻲ ﺣﯾثY1 أي أن
n i y i 1
1 , E(Y1 ) Y1 ~ Exp n i i1 n
.
,
1
.
n
i
i 1
n
FYn (y) FXi y (1 e i y ) i 1
i 1
n
f Yn y n
d 1 e i y dy i1
n
y 1 e y je . j1 i j j
i
. ﻻﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲYn أى أن
1 : ﻓﺎنXi ~ Exp وﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﻣﺗﻐﯾرات ﻣﺗطﺎﺑﻘﺔ ﺣﯾث n
f Yn y j1
n
1 e e j y
i y
j
i j
1 e y
e n 1
y
j 1
n e-y 1 ey
n 1
.
( ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت٦-١-٢) (٢-٢) ﻣﺜﺎل ﻣﺘﻐـ اَـﲑ ﻋﺸ ـﻮاﺋﻴﺎَ ﳝﺜــﻞ اﻟــﺰﻣﻦ )ﻣﻘــﺎس ﺑﺎﻟــﺪﻗﺎﺋﻖ( ﺑــﲔ وﺻــﻮل اﻟﺴــﻴﺎرات إﱃ ﻣﻮﻗــﻒ ﺧــﻼل اﻟــﺬروةX إذا ﻛــﺎن . 6 ، 1 َ وP 1 X 2 أوﺟﺪ، X Exp ﺣﻴﺚ ١١٨
اﻟﺣــل: 2
P 1 X 2 6e 6x dx 1
2
e 6x 1 e 6 e 12 0.0025.
ﻣﺜـﺎل )(٣-٢ ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ ﺣﻴﺚ X Exp 36 أوﺟﺪ . P X 48
إذا ﻛــﺎن اﻟــﺰﻣﻦ )ﻣﻘــﺎس ﺑﺎﻟﺴـﺎﻋﺎت( ﺑــﲔ وﻗــﻮع ﺣﺎﻟــﺔ ﻓﺸـﻞ ﰲ ﺟــﺰء ﻣــﻦ ﺣﺎﺳــﺐ آﱄ
اﻟﺣــل: 48
1 36x P X 48 1 e dx 36 0 x 48 36e 36 0 1 36 118 1 e 36 e 0
0.262.
4 3
e
ﻣﺜﺎل )(٤-٢ ﺑﻔﺮض أن اﳌﻜﺎﳌﺎت اﳌﺴﺘﻘﺒﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻟﻮﺣﺔ اﻟﺴﻮﻳﺘﺶ ﺧﻼل 24ﺳﺎﻋﺔ ﺗﺘﺒـﻊ ﺗﻮزﻳـﻊ ﺑﻮاﺳـﻮن ﺣﻴـﺚ 0.5
ﻟﻜــﻞ ﻳــﻮم وﻋﻠــﻰ ذﻟــﻚ اﻟــﺰﻣﻦ ﺑﺎﻷﻳــﺎم ﺑــﲔ ﺣــﺪوث ﻣﻜﺎﳌــﺎت ﻳﺘﺒــﻊ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻷﺳــﻲ ﲟﻌﻠﻤــﻪ 0.5وﻋﻠــﻰ ذﻟــﻚ أوﺟﺪ . P X 2 اﻟﺣــل: P X 2 1 P X 2 0.368.
0.5 2
e
١١٩
) (٧-١-٢اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ اﻟﻤﺒﺘﻮر إذا ﻛﺎﻧﺖ Xﳍﺎ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻵﺳﻲ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺔ و ﻗﺪ ﰎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﱰ ﻣﺰدوج ﺗﻜﻮن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﳍﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ : )f (x ) P(t1 x t 2
f (x | t1 x t 2 )
x
1 e )f(x; = t2 t2 x 1 )f(x dx t t e dx 1 1 x
x
1 e
t2
e
t1
1 e = t2 x
e
e
t1 t2 1 x t1 = e (e e ) 1 ,> 0 , 0 <t1 t 2 ; t1 x t 2 .
اﻳﻀﺎ اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻤﻴﺰة ﻳﺘﻢ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ :
١٢٠
t2 itX
x (t) E(e ) eitx f (x; ) dx t1
t
t2 x 2 (1it ) 1 t1 1 = (e e ) e dx t1 t2
1 t1 = (e 1 t1 = (e =
e
x (1it) e t2 t1 e ) 1 (1 it) t2 t t 2 (1it ) 1 (1it ) 1 e ) (e e ) (1 it )
t1 (1it )
e
(1 it)(e
t1
t2 (1it )
e
t2
. )
.X ﻟﻠﻤﺘﻐﲑm ﺳﻮف ﻳﺘﻢ اﻻﺳﺘﻔﺎدة ﻣﻦ داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻨﺎﻗﺼﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﰱ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺰوم اﻟﻼﻣﺮﻛﺰﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ
(m 1, a) y m e y dy a
aj =(m 1)e , m = 0,1,2, ... j0 j! m
a
: ﻳﺘﻢ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃX ﻟﻠﻤﺘﻐﲑm اﻟﻌﺰوم اﻟﻼﻣﺮﻛﺰﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ
١٢١
t2 ` m
m
E(X ) x m f (x; ) dx. t1
x
1 e
t2
= xm t1
(e
t1
e
t2
dx ) t
t2 x 2 1 t1 1 m = (e e ) x e dx. t1
x w x w dx dw. t t if x = t1 w = 1 , if x = t 2 w 2 . 1 `m = (e
t1
(e
(e
(e
=
t1
t2
)
m (m 1) (e
t1
e
e
t2
w
t1
e
t2
m
e w dw
) t1
)
t t [(m 1, 1 ) (m 1, 1 )]
t t2 j ( 1 )j ) t2 m ( [(m 1)e (m 1)e ] j! j! j0 j0 t 1 m
m
e
t1
t2
m
m
=
m m w w e dw
)
t1
=
=
e
t2 t2 1
t2
)
1 t1 t1 j t2 t 2 j [e ( ) e ( ) ]. j0 j! m
ﻣﻦ اﻟﻌﺰوم اﻟﻼﻣﺮﻛﺰﻳﺔX ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎب اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰉ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ١٢٢
) (٨-١-٢اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﻴﻦ
ﰱ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ واﺣﺪة ﻳﻔﱰض ان زﻣﻦ اﻟﻔﺸـﻞ ﻳﺒـﺪا ﻋﻨـﺪ اﻟﺼـﻔﺮ ،وﻟﻜـﻦ ﰱ ﺑﻌـﺾ اﳊـﺎﻻت ﻳﻔـﱰض ان زﻣﻦ اﻟﻔﺸﻞ ﻳﺒﺪا ﻋﻨﺪ زﻣﻦ ﻣﻌـﲔ وﻟـﻴﻜﻦ ﰱ ﻫـﺬﻩ اﳊﺎﻟـﺔ ﻳﺴـﺘﺨﺪم اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻻﺳـﻰ ﲟﻌﻠﻤﺘـﲔ واﻟـﺬى داﻟـﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘـﻪ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﺗﺎﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ : x 1 exp , x , , e.w.
)f (x; , 0
) (٩-١-٢اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ :Standard Exponential Distribution ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ ﺑﺎﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ: y dy , dx . x 0 , 0 y 0. then :
let x y x
y ) ( 1 e
g(y)
e y , y 0 0 e.w.
اﻟﻤﺤﺎﻛﺎه: ﺳﻮف ﻧﺸﺮح طﺮﯾﻘﺘﯿﻦ ﻟﺘﻮﻟﯿﺪ ﺑﯿﺎﻧﺎت ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ اﻟﻘﯿﺎﺳﻰ وﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪاﻣﮭﺎ ﻻى ﺗﻮزﯾﻊ ﻛﻤﺎ ﺳﻨﺸ ﺎھﺪ ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ :
اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻻوﱃ : ﺗﻌﺗﻣد ﻫذﻩ اﻟطرﯾﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : ﻧظرﯾﺔ : ١٢٣
ﻟﯾﻛن Yﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة ) (0, 1أي أن : ) Y ~ UNIF(0, 1
،ﻟـﺗﻛن ) F(xﻟﻬـﺎ اﻟﺧﺻـﺎﺋص ﻟداﻟـﺔ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌـﻲ ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﺻـل
ﺣﯾـث ، F(b) = 1 , F(a) = 0وﺑﻔـرض أن ) F (xﻣﺗ ازﯾـدة ﺑﺈﺿـطراد ﻣـن اﻟﻔﺗـرة a < x < bﺣﯾـث b , aﻣـن اﻟﻣﻣﻛـن أن ﯾﻛوﻧـﺎن
,
ﻋﻠـﻲ اﻟﺗـواﻟﻲ .وﻋﻠـﻲ ذﻟـك اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ Xﺣﯾـث )X F1 (Y
ﻫو ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﺑداﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ). F (x ﻣﺛﺎل ) (٥ -٢ إذا ﻛــﺎن Yﯾﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﻧــﺗظم ﻓــﻲ اﻟﻔﺗ ـرة ) (0,1أوﺟــد اﻟﺗﺣوﯾﻠــﺔ اﻟﺗــﻲ ﺗﺟﻌــل Xﯾﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻷﺳــﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﯾﺔ ؟ اﻟﺣــل: داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻲ :
0 , x 0 x FX x 1 e , x 0. وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺑوﺿﻊ :
.
X
Y 1 e
ﻓﺈن :
X ln 1 Y . ﺣﯾث Xﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ . ﺑﻔ ــرض أن 1وﻧرﯾ ــد ﺗوﻟﯾ ــد ﻋﯾﻧ ــﺔ ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺔ ﻣ ــن اﻟﺣﺟ ــم n 10ﻣ ــن اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻻﺳ ــﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣ ــﻪ
. 1أوﻻ ﻧوﻟد ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ y1, y 2 ,..., y10ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم :
١٢٤
x1 ln(0.55463) 0.589
y1 0.55463
x 2 ln(0.15389) 1.872
y 2 0.15389
x 3 ln(0.85941) 0.151
y 3 0.85941
x 4 ln(0.05219) 0.492
y 4 0.61149
x 5 ln(0.05219) 2.053
y 5 0.05219
x 6 in(0.41417) 0.881
y 6 0.41417
x 7 ln(0.28357) 1.260
y 7 0.28357
x 8 ln(0.17783) 1.727
y8 0.17783
x 9 ln(0.40950) 0.893
y 9 0.40950
x10 ln(0.82995) 0.186
y10 0.82995
وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻰ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ:
x i ln(1 y i ).
ﻧﺣﺻــل ﻋﻠــﻰ X1 ,X 2 ,...,X10ﺗﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺳــﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣــﺔ . 1وﯾﻣﻛــن اﺧــذ اﻟﺗﺣوﯾﻠــﻪ X ln Y ﺑدﻻ ﻣن ) X ln(1 Yوذﻟك ﻻن ) (1 Yاﯾﺿﺎ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم . اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ :
ﻟﺘﻜﻦ Y1 Y2 ... Ynاﻹﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ ﻟﻌﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺗﻤﺜﻞ زﻣ ﻦ ﺣﯿ ﺎة nﻣ ﻦ اﻟﻮﺣ ﺪات وھ ﻮ ﯾﺘﺒ ﻊ ﺗﻮزﯾ ﻊ ﻣﺘﺼ ﻞ ﻟ ﮫ داﻟ ﺔ ﻛﺜﺎﻓ ﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﯿ ﺔ ) f (xوداﻟ ﺔ اﻟﺘﻮزﯾ ﻊ ) . F(xإذا ﺗ ﻢ إﺟ ﺮاء اﻟﺘﺠﺮﺑ ﺔ وأﺧ ﺬ اﻟﻤﺸﺎھﺪات ﺑﺸﻜﻞ ﺗﺮﺗﯿﺒﻲ ﺣﺘﻰ k nﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎھﺪات ﻟﺬا ﯾﻜ ﻮن ﻣ ﻦ اﻟﻤﺜﯿ ﺮ ﻟﻼھﺘﻤ ﺎم ﻣﺤﺎﻛ ﺎة اﻟﺘﺠﺮﺑ ﺔ وذﻟ ﻚ ﺑﺘﻮﻟﯿ ﺪ ﺑﯿﺎﻧ ﺎت ﺗﺘﺒ ﻊ اﻟﺘﻮزﯾ ﻊ وﻣﺮﺗﺒ ﺔ ﻣ ﻦ اﻷﺻ ﻐﺮ إﻟ ﻰ اﻷﻛﺒ ﺮ .ﺳ ﻨﺤﺎول إﯾﺠ ﺎد اﻻﺣﺘﻤ ﺎل اﻟﺸ ﺮطﻲ ﻟ ـ Yi 1 ﺑﺸﺮط Yi y i ) g (y , y h y i1 | yi i,i1 i i1 , ) g(yi i 1 n i 1 !n f yi f yi1 F y i 1 F y i1 !)(i 1)!(n i 1 , a y i yi1 b,
g i,i1 yi , yi1
i 1 n i !n f y i F yi 1 F yi . !)(i 1)!(n i
١٢٥
gi yi
وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن : ) g i,i1 (yi , yi1 ) g(yi
h yi1 | yi
n i 1
1 F(yi1 ) ) (n i)f (yi1 1 F(yi )ni
, y i yi1 b.
وﻣﻨﮭﺎ ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ إﯾﺠﺎد داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻟﻺﺣﺼﺎء Yi1ﺑﺸﺮط Yi y iﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻲ: dw
yi 1
n i 1
)(n i
f (w) 1 F(w) 1 F(y ) n i
yi
yi 1
1 F(w)n i n i y i
1 F(yi )n i 1 F(yi1 )n i n i
, a yi yi1 b.
H yi1 | y i
i
n i 1 F(yi )ni 1 n i
1 F(yi )
1 F(yi1 ) 1 1 F(yi )
وﻟﺘﻮﻟﯿﺪ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﻧﺒﺪأ ﺑﺘﻮﻟﯿﺪ اﻟﻤﺸﺎھﺪة اﻷوﻟﻰ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﺣﯿﺚ: n
F1:n (y1 ) 1 1 F(y1 ) .
وﺑﺎﻋﺘﺒﺎر: v F1:n (y1 ) ,
ﻧﺠﺪ إن Vﯾﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ) (0,1وﻣﻦ اﻟﺴﮭﻞ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺎھﺪات ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ )ﻣﻦ اﻟﺠﺪاول أو ﺑﺎﻟﺤﺎﺳﻮب( وإذا ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺎھﺪة vﯾﻤﻜﻨﻨﺎ إﯾﺠ ﺎد y1ﻛﻤ ﺎ ﯾﻠﻲ: n
1 v 1 F(y1 )
n
v 1 1 F(y1 )
1
1 v n 1 F(y1 )
1
F(y1 ) 1 1 v n 1 y1 F 1 1 v n . وﻣﻦ ﺛﻢ ﻧﻘﻮم ﺑﺘﻮﻟﯿﺪ اﻟﻤﺸﺎھﺪة yi1ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺸﺎھﺪة اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻟﮭﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻲ: 1
١٢٦
1 F(yi1 ) v 1 1 F(yi )
v H(y i1 | yi )
1 F(y i1 ) 1 F(y i )
n i
n i
1 v
1 1 F(y i1 ) n i 1 v 1 F(y i ) 1
1 F(yi1 ) 1 F(yi ) 1 v n i 1
F(yi1 ) 1 1 F(yi ) 1 v n i
1 yi1 F1 1 1 F(y i ) 1 v n i .
ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ ﺑﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎلn 5 ( ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎk 3) ﻟﺘﻮﻟﻴﺪ اﳌﺸﺎﻫﺪات اﻟﺜﻼث اﻷوﱃ : ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ e x , 0 x, f (x) 0 , e.w.
:وداﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ
1 e x , 0 x, F(x) , e.w. 0 : ﻳﺘﺒﻊ اﻵﰐv1 0.1514, v 2 0.6697, v3 0.0527 وﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ اﻷرﻗﺎم اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ
x F1 (w) ln (1 w). 1 1 y1 F 1 1 v1 n 1 1 F 1 (1 0.1514) 5 F1 (0.0323) ln(1 0.0323) y1 0.0328,
:وﻫﺬﻩ ﻫﻰ اﳌﺸﺎﻫﺪة اﻷوﱃ وﳝﻜﻦ ﻣﻨﻬﺎ إﳚﺎد اﳌﺸﺎﻫﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ ١٢٧
1 51 y 2 F 1 1 F y1 (1 v 2 ) 1
1 F 1 exp( 0.0328) (1 0.6697) 4 F1 1 (0.9677)(0.7581) 1
) F1 (0.2664 ) ln (1 0.2664 y 2 0.3098.
وﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﳌﺸﺎﻫﺪة اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ: 1 y 3 F 1 exp(0.3098) (1 0.0527) 3 F1 1 (0.7336)(0.9821) 1
) F1 (0.2795 ) ln(1 0.2795 y 3 0.3278.
وﻃﺒﻌﺎ ﻣﻦ اﳌﻌﻠﻮﻣﺎت اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺎﻫﺪات ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ واﺣﺪة او ﻣﻌﻠﻤﺘﲔ .
) (٢-٢ﺗﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ Weibull Distribution ) (١-٢-٢داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل exp x . x 0 , 0, 0.
) (٢-٢-٢داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻟﺘﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ ﻫﻲ: ١٢٨
1
f (x) x
x 1
F(x) t 0
let :
t
exp t dt
t u
u
1
,
1
t 1u , 1 1 1 dt 1 u du. x
F(x)
1
u
0
1
1 1 1 exp u 1 u du
x
exp u du
0
x
exp u 1 0
exp x 1 1 F(x) 1 exp x 0 e.w.
x 0,
( اﻟﻌﺰوم٣-٢-٢)
1
r
r E(X ) x r x 0
١٢٩
exp x dx.
let :
t u,
1
x u , 1
x 1u , 1 1 1 dx 1 u du.
1 r 1 1 1 1 r 1u (u )1 exp u 1 u du 0
r
r
u exp( u) du 0
r 1 r r 1 r 1
1 1 1 ,
2
1 2 1 , 2
3
1 3 1 , 3
4
1 4 1 . 4
, r 1,2,...
2
2 E(X 2 ) E(X) 2 2
2
2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 . 3 3 3 2 2 3 , 4 4 43 6 2 3 4 . ١٣٠
( ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ وﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﻟﺘﻮاء٤-٢-٢) 3
3 , 32 2
4
4 . 22
. 4 , 3 اﳌﻄﻠﻮب إﳚﺎد 1 3 3 1 2 2 3 1 1 1 1 1 3 3 3
3
1 2 1 1 3 1 3 1 1 2 3 1 . 3
4 4 43 6 2 3 4
1 4 4 1 3 6 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4
1 4 1 3 1 2 1 4 1 4 1 1 6 1 1 3 1 . 4
3
3 3 3 2 3 2
3 1 2 1 1 3 1 1 23 1 . 32 2 1 2 1 1
١٣١
4
4 2 2
4 1 3 1 2 1 1 4 1 1 6 1 1 3 4 1 . 2 2 1 2 1 1
( اﻟﻤﻨﻮال واﻟﻮﺳﻴﻂ٥-٢-٢) : ﳝﻜﻦ إﳚﺎد اﻟﻮﺳﻴﻂ ﲝﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ F(m) 0.5 1 exp m 0.5 exp m 1 0.5 exp m 0.5
m ln 0.5
m
ln 2 1
m ln 2 m
1 1 ln 2 .
: أﻣﺎ اﳌﻨﻮال ﻓﻴﻤﻜﻦ إﳚﺎدﻩ ﲝﺴﺎب اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ ﻟﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل
١٣٢
1
f t 0 t 0
exp t 0 , 2
f t 0 1 t 0
1 1 exp t 0 t 0 t 0 exp t 0
2 2 2 exp t 0 2 1 t 0 t 0 2 exp t 0 2 t 0 1 t 0 , 2 f t 0 0 exp t 0 2 t 0 1 t 0 0
t0 0
1 t 0
0
t 0 1
t 0
1
1 t 0
1
1
1 1 t0 .
Percentiles ( اﻟﻤﺌﻴﻨﺎت٦-٢-٢)
: ﳓﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ100p ﻹﳚﺎد اﳌﺌﲔ ذو اﻟﺮﺗﺒﺔ F(x p ) p 1 exp x p p exp x p 1 p
x p ln 1 p
x p
ln 1 p 1
x p ln 1 p 1 1 x p ln 1 p .
( ﻣﻌﺎﻟﻢ٣( ﺗﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ اﻟﻌﺎم )ﺑـ٣-٢) ١٣٣
( داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل١-٣-٢) : ﻓﺈن , 0 , 0 ﻣﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ ﺑﺎﳌﻌﺎﱂX إذا ﻛﺎن
X Y .
: ﻟﻪ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ﺑﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎل g(y) e y , y 0.
: اﻟﺬي ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ ﻫﻲX وﻋﻨﺪﻫﺎ ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ
1
x f (x)
e
x
, x .
:اﻟﺒﺮھﺎن
x let : y
x y
1
1
1
1 1 x y , dx y dy 1
1
(1) 1 g(y) y e y y e y
, y 0.
0 , e.w.
( داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ٢-٣-٢) x
F(x) f (t)dt
t t
1
x
e y dy
0
e
t y 0
١٣٤
.
e
t
dt
F(x)
1 e
0
,
x
,
x
x .
( اﻟﻤﻨﻮال واﻟﻮﺳﻴﻂ٣-٣-٢)
وﻳﻜـﻮن ﳍـﺎ ﻣﻨـﻮال وﺣﻴـﺪ، x ﻋﻨـﺪﻣﺎ ﻓﺈن داﻟـﺔ ﻛﺜﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺘﻤـﺎل ﻟﺘﻮزﻳـﻊ واﻳﺒـﻞ ﺗﻘـﱰب ﻣـﻦ 1 ﻋﻨﺪﻣﺎ
:ﻫﻮ
1
1 x .
:اﻟﺒﺮھﺎن
: ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄf (x) اﻟﱵ ﺗﻌﻄﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔx ﻧﻮﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ d ( 1) x f (x) dx 1
x
2
e
x
x
1
e
x
x x . ( 1) e d : ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰf (x) 0 ﻧﻀﻊ dx x x or ( 1) 0. : وﻫﻲ ﻟﻴﺴﺖ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻓﺈنf (x) 0 ﻳﻌﻄﻴﻨﺎx وﺣﻴﺚ إن
x 2
x ( 1) 0
2
x ( 1)
x 1
1
1
1 x , 1.
ﺣﻴـﺚ ﺗﻜـﻮنx ﻓـﺈن اﳌﻨـﻮال ﻫـﻮ0 1 أﻣـﺎ ﻋﻨـﺪﻣﺎ. ﻋﻨـﺪﻣﺎ وﻫﺬﻩ اﻟﻘﻴﻤـﺔ ﺗـﺆول إﱃ . x داﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻟﻜﻞf (x) اﻟﺪاﻟﺔ ١٣٥
:وﻣﻦ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﳝﻜﻨﻨﺎ إﳚﺎد اﻟﻮﺳﻴﻂ ﺑﻮﺿﻊ m
1 F(m) 1 e 2
e
m
1 2
1 2
m ln 2 1 m ln 2 1
m ln 2 .
وﻟـﻪ داﻟـﺔ ﻛﺜﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺘﻤـﺎل وداﻟـﺔ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ 1 , 0 وﳝﻜﻦ اﳊﺼـﻮل ﻋﻠـﻰ اﻟﺸـﻜﻞ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻲ ﻟﻠﺘﻮزﻳـﻊ ﺑﻮﺿـﻊ :اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ f (x) x 1e x
, x0,0
0
e.w.
and : F(x) 1 e x 0
x0 x 0.
:( اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ٤-٣-٢)
x k E(X ) x A k
1
k
x y
x exp dx.
1
1
1 x y , dx y dy. 1
1 k k ( y ) y 0
1
1
k
1
1 y
1
1 e y dy y
1 1
( y ) y e y dy 0
1
( y )k e y dy 0
١٣٦
j
k j k j y y e dy. j0 j 0 k k k jk j j 1 j 0 j k
k 1,2,3,
,
k 1 , 1 1 , k 2 , 2 E(X 2 ) 2 2 1 1 2 2 1 , 2
Var(X) E(X 2 ) E(X)
2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1
2 2 1 1 1
. 2
( ﺑﻌﺾ اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﻴﺒﻴﺔ٥-٣-٢) ﻣﻌ ـ ــﺎﱂ( وﻟ ـ ــﺘﻜﻦ٣ ﻣﺘﻐـ ـ ـﲑات ﻋﺸـ ـ ـﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴ ـ ــﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘ ـ ــﺔ وﺗﺘﺒ ـ ــﻊ ﺗﻮزﻳ ـ ــﻊ واﻳﺒ ـ ــﻞ )ﺑ ـ ـ ـX1 ,X 2 ,,X n ﻟ ـ ــﺘﻜﻦ : ﻫﻲY1 ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻷﺻﻐﺮﻫﺎ. اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﳍﺎY1 Y2 Yn n 1
g Y1 (y) n 1 F(y) y n e
f (y)
n 1
n y
y 1
e
y n
1
e
y
,
x
ﻟﻌﻴﻨــﺔ ﺗﺘﺒــﻊ ﺗﻮزﻳــﻊ واﻳﺒــﻞYr ﺳــﻨﻮﺟﺪ أوﻻً ﺗﻮزﻳــﻊ اﻹﺣﺼــﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴــﺔYr وﺣﻴــﺚ إﻧــﻪ ﻣــﻦ اﻟﺼــﻌﺐ إﳚــﺎد ﺗﻮزﻳــﻊ : اﻟﺬي ﻟﻪ داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ واﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ 1 , 0 اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ﲟﻌﺎﱂ f (x) x 1e x
0 F(x) 1 e x 0
, x0,0 e.w.
x0 x 0.
١٣٧
وﻣﻦ ﰒ ﺳﻨﺴﺘﺨﺪم اﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﳋﻄﻴﺔ Yr Yrﻹﳚﺎد ﺗﻮزﻳﻊ . Yrﺣﻴﺚ داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴـﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐـﲑ (1 r n) Yrﺗﻌﻄﻰ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ: !n r 1 n r f (y) F(y) 1 F(y) !)(r 1)!(n r n r r 1 !n e x x 1e x 1 e x !)(r 1)!(n r r 1 !n x 1e (n r 1)x 1 e x !)(r 1)!(n r أﻣﺎ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ Yrﻓﻬﻰ :
g Yr (y)
(y)dy
k
Yr
yg
E (Yr)k
r 1
dy
!n y1e (n r 1) y 1 e y !)(r 1)!(n r
y k 1 e (n r 1) y dy
r 1
yk 0
!n y 1 e (r 1)!(n r)! 0
r 1 !n j k 1 ( j n r 1) y ( )1 y e dy (r 1)!(n r)! j0 0 1
1 1
, dy 1 u du k
y u
u y
r 1 !n (1) j u e ( jn r 1)u du (r 1)!(n r)! j0 0
, k 1,2,3,
r 1 !n (1) j k 1 k 1 !)(r 1)!(n r )j0 ( j n r 1
وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﲤﻜﻦ (1955)Liebleinو (1967) Weibullﻣﻦ وﺿـﻊ ﺟـﺪاول ﳌﺘﻮﺳـﻄﺎت وﺗﺒﺎﻳﻨ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎت اﻹﺣﺼ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ ﻟ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ n 5(5) 20و . 1 .1(.1)1.0ﻛﻤ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎ ﻗ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎم (1968)Joshi , Govindarajuluﺑﻌ ــﺪ ذﻟ ــﻚ ﺑﻮﺿ ــﻊ ﺟ ــﺪاول ﻟ ـ ـ n 10و . 1,2, 2.5,3(1)10ﻛﻤ ــﺎ وﺿـ ـ ـ ــﻊ (1970) Harterﺟـ ـ ـ ــﺪاول أﺧـ ـ ـ ــﺮى ﳌﺘﻮﺳـ ـ ـ ــﻄﺎت اﻹﺣﺼـ ـ ـ ــﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴـ ـ ـ ــﺔ ﻟﻌﻴﻨـ ـ ـ ــﺎت ﺣـ ـ ـ ــﱴ n 40و .5(.5) 4(1)8ﺑﻌــﺪﻫﺎ ﲤﻜــﻦ (1993)Chan , Balakrishnanﻣــﻦ وﺿــﻊ ﺟــﺪول ﳌﺘﻮﺳــﻄﺎت وﺗﺒﺎﻳﻨــﺎت 1 1 1 1 5 4 3 2
ﻛﻞ اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﻟـ nﺣﱴ 20و . , , , ,1.5(.5)3,4(2)10 ١٣٨
)(٦-٣-٢اﻟﻤﺤﺎﻛﺎه ﻣﺛﺎل ) (٦ -٢ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل:
1 x exp (x / ) , 0 < x < f (x) 0 , e.w. اﺷرح ﻛﯾﻔﯾﺔ ﺗوﻟﯾد ﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل. اﻟﺣــل: داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻰ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ: ﺑوﺿﻊ: X F(X) 1 exp ,
0 < X < .
أذن:
X Y 1 exp X 1 y exp X ln(1 Y)
X ln(1 Y) 1
X ( ln(1 Y)) 1
( ln(1 Y)) X وﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻓﻰ ﺗوﻟﯾد nﻣن اﻟﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ) Yﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ( 1
( ln y) x. ١٣٩
Extreme Value ( ﺗﻮزﻳﻊ٤-٢) (داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل١-٤-٢) :ﺗﻌﺮﻳﻒ
: ﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ ﺑـﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎلT إذا ﻛﺎن اﳌﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ 1
f (t) t
e t
, t 0, 0,0
: ﺣﻴﺚExtreme Value ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊX ln T ﻓﺈن اﳌﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ 1 u ln b .
:اﻟﺒﺮھﺎن 1
f (x) t
1 b
e t
, e u
x ln t t e x
, dt e x dx 1
1 u x 1b 1 e u e x b x f (x) e e e e e b u
1
1 1 e x u b 1 e x u e x u b e b x u b
1 e b 1 f (x) e b
e
x u b
e
x u x u e b b
, x .
( داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ٢-٤-٢)
١٤٠
x
F(x)
1
be
t u t u e b b
ze
t u b
tu b
ln z x u b
e
F(x)
0
1 , dz z dt b
1 ln z z b e dz b z
x u e b
e z dz
0
xu b
e
z e
0
F(x) 1 e
x u b
e
, x , b 0.
u 0 , b 1 وﳝﻜــﻦ اﳊﺼــﻮل ﻋﻠــﻰ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻘﻴﺎﺳــﻲ ﺑﻮﺿــﻊ. ﻣﻌﻠﻤــﺔ اﳌﻮﻗــﻊu ﻣﻌﻠﻤــﺔ اﳌﻘﻴــﺎس وb ﺣﻴــﺚ
وﻋﻨﺪﻫﺎ ﺗﻜﻮن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل
x e x
f (x) e
, x
( اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ٣-٤-٢) : ﺗﻌﻄﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ
M X (t)
e
t x ( x ex )
e
dx
y ex
x ln y , dx
1 M X (t) y t e (ln y y) dy y 0
y t 1 y e y dy 0
y t e y dy 0
(t 1). ١٤١
dy . y
M(t) (t 1) M(0) (1) E(T) (1) 0.5772 M(t) (t 1) 2 M(0) (1) 2 . 6 2 2 Var(T) 2 2 . 6 6
ﻳﺘﺒــﻊ ﺗﻮزﻳــﻊX ﻋﻨــﺪﻫﺎ ﻓــﺈن، ﻣﺘﻐــﲑ ﻋﺸ ـﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒــﻊ ﺗﻮزﻳــﻊ اﻟﻘــﻴﻢ اﳊﺮﺟــﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳــﻲT ﺣﻴــﺚT
Xu وﻟــﻴﻜﻦ b
. u,b اﻟﻘﻴﻢ اﳊﺮﺟﺔ ﺑﺎﳌﻌﺎﱂ E(X) b( ) u 2 V ar(X) b Var(T) b . 6 2
2
Percentiles ( اﻟﻤﺌﻴﻨﺎت٤-٤-٢) : ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ100p وﻳﻌﻄﻰ اﳌﺌﲔ ذو اﻟﺮﺗﺒﺔ F(x p ) p
1 e
xp u b
e
1 p e
p
xp u b e
x p u b
ln(1 p) e
ln(1 p) e
x p u b
ln( ln(1 p))
xp u
b x p bln( ln(1 p)) u.
( ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ٥-٢) ١٤٢
ﻳﻌﺘﱪ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﻣﻦ اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﻟﺸﺎﺋﻌﺔ اﻻﺳﺘﺨﺪام ﰲ اﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ﻓﻜﺜﲑ ﻣﻦ اﳌﺘﻐﲑات اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣـﺎ ﻣﺜﻞ زﻣﻦ اﳋﺪﻣﺔ ﰲ ﻣﺮﻛﺰ ﻟﻠﺒﻴﻊ أو اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻼزم ﻹﻋﺎدة ﲡﺪﻳﺪ ﺳﻴﺎرة.
) (١-٥-٢داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل وداﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ
ﻳﻘﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ Xأﻧﻪ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ k 0و 0إذا ﻛﺎن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘﻪ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻋﻠـﻰ اﻟﺸﻜﻞ: x0
t 1 k 1 f (x) k x e ) (k
وداﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ﻟﻪ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة : x
t 1 k 1 F(x) k t e dt. )(k c
t
وﺑﻮﺿﻊ u ﻓﺈن : x F(x) F( ,1, k). x ﺗﺴــﻤﻰ داﻟــﺔ ﺟﺎﻣــﺎ اﻟﻨﺎﻗﺼــﺔ واﻟــﱵ ﺗﻌﺘﻤــﺪ ﻋﻠــﻰ ﻓﻘــﻂ وذﻟــﻚ ﻣــﻦ ﺧــﻼل اﳌﺘﻐــﲑ x ) F(xﻟﻘــﻴﻢ ﳐﺘﻠﻔــﺔ ﻣــﻦ ) . (k ,وﻋﻤﻮﻣــﺎً داﻟــﺔ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ ﻟﻠﻤﺘﻐــﲑ Xﻻ ﳝﻜــﻦ وﺿــﻌﻬﺎ ﰲ ﺷــﻜﻞ ﺻــﻴﻐﺔ وﻟﻜــﻦ إذا ﻛﺎﻧﺖ kﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻓﺈن اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﳝﻜﻦ اﻟﺘﻌﺒﲑ ﻋﻨﻪ ﻛﻤﺠﻤﻮع ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
وﻫﻨــﺎك ﺟــﺪاول ﳊﺴــﺎب
ﻧﻈﺮﻳﺔ : (x ) j x F(x) 1 e . !j j0 k 1
اﻟﺒﺮھﺎن:
١٤٣
x
e u du
k 1
u 0
x k 2 u
e du.
u 0
x k 2 u
e du
u 0
1 F(x) )(k
x
1 k 1 u k 1 u e )(k )(k 0
(x ) k 1 x 1 e !)(k 1 )(k 1
وذﻟﻚ ﺑﺈﺟﺮاء اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﳉﺰﺋﻲ واﺳﺘﺨﺪام ﺣﻘﻴﻘﺔ أن : !) (k) (k 1) (k 1) (k 1
وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﺠﺰيء ) (k 1ﻣﻦ اﳌﺮات ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ x
du
u
e 0
(x ) j x 1 F(x; ,k) e !j ) (1 j1 k 1
j
k 1
(x ) x e . !j j0
1
x
وﻫﺬا ﻣﺴﺎوي ﻟﻼﺣﺘﻤﺎل ) P(Y kﺣﻴﺚ اﳌﺘﻐﲑ Yﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻮاﺳﻮن ﲟﺘﻮﺳﻂ .
ﻣﺜﺎل )(٧-٢ إذا ﻛﺎن اﳌﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ Xﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ) X ~ GAM(0.2,6أﺣﺴﺐ . P X 2 اﻟﺣــل:
0.2 , k 6
x 1 6 1 0.2 P(X 2) 6 x e dx )0.2 (6 2 5 10 j 10 1 1 e !j j 0 j 5 10 10 e 0.067. !j 0 j
0.2 وﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻩ ﻣﻦ ﺟﺪاول ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻮاﺳﻮن ﲟﺘﻮﺳﻂ 10 2 ١٤٤
.
( اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ٢-٥-٢) : ﲢﺴﺐ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ
x 1 k 1 E(X ) x k x e dx (k) 0 r
r
x 1 k r 1 k x e dx (k) 0
1 (k r) (k) (1 )k r
(k r) r (k)
k
, r 1, 2,....
: ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰉ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃr 1 وﺑﻮﺿﻊ (k 1) k (k) k , (k) (k) (k 2) 2 (k 1) k (k) 2 E(X 2 ) (k 1) k 2 , (k) (k) Var(X) (k 1) k 2 k 2 2 E(X)
k 2 2 k 2 k 2 2 k 2 .
( اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم٣-٥-٢)
x 1 tx k 1 M X (t) E e k e x e dx (k) 0 tX
1 ( t )x 1 k 1 k x e dx (k) 0
1 (k) (k) 1 k t 1 k 1 t . k 1 t
k
١٤٥
( اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ٤-٥-٢) : ﻋﺮﻓﻨﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﺳﺒﻖ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﳌﺘﻮﺳﻂ واﻟﻌﺰوم ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ r r r E(X ) r () r j j j 0 j
: وﻣﻨﻬﺎ r r E(X k ) ( k ) r j E(X j ) j 0 j r r (k j) j (k ) r j (k) j 0 j r
r
r r r r j ( k) (k j). (k) j0 j
: r 3 وﻋﻨﺪﻣﺎ 3
3 3 3 ( k)3 j (k j) (k) j0 j 3 k 3 (k) 3k 2(k 1) 3k (k 2) (k 3) (k)
3 k 3 3k 3 k 2 (k 1) k (k 1)(k 2) 2k 3.
: r 4 وﻋﻨﺪﻣﺎ 4
4 4 4 ( k)4 j (k j) (k) j0 j 4 k 4 (k) 4k 3 (k 1) 6k 2 (k 2) 4k (k 3) (k 4) (k)
4 k 4 4k 4 6k 3 (k 1) 4k 2 (k 1)(k 2) k (k 1)(k 2)(k 3) 3k(k 2) 4
: وﻣﻨﻬﺎ ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎب ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﻟﺘﻮاء وﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ
١٤٦
3 2k 3 2 3 3 2 3 2 k k
4 3k(k 2) 4 3 4 2 (k 2). 2 2 2 k k
) (٦-٢ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ
ﻟﺘﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت واﺳﻌﺔ اﻻﻧﺘﺸﺎر ﰱ اﻟﺪراﺳﺎت اﻟﺘﺠﺎرﻳﺔ واﻻﻗﺘﺼﺎدﻳﺔ وﺗﻮزﻳﻌـﺎت اﻟﻜﺜﺎﻓـﺎت اﻟﺴـﻜﺎﻧﻴﺔ وﺑﻌـﺾ اﻟﻈﻮاﻫﺮ اﻟﺒﻴﻮﻟﻮﺟﻴﺔ واﻟﻔﻴﺰاﺋﻴﺔ وﻏﲑﻫﺎ .وﻳﺴﺘﺨﺪم ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ ﰲ اﻟﻄﺐ ﺣﻴﺚ ﻳﺼﻒ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ﺑﻌﺪ ﻋﻤﻠﻴـﺔ زراﻋـﺔ اﻟﻘﻠﺐ.
) (١-٦-٢داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل وداﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ
ﻳﻘ ــﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐ ــﲑ Xأﻧ ــﻪ ﻳﺘﺒ ــﻊ ﺗﻮزﻳ ــﻊ ﺑ ــﺎرﻳﺘﻮ ﲟﻌﻠﻤﺘ ــﲔ 0 , 0إذا ﻛ ــﺎن داﻟ ــﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘ ــﻪ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴ ــﺔ ﻋﻠ ــﻰ اﻟﺸﻜﻞ: ) ( 1
, x0 , e.w.
x f (x; , ) 1 0
) ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس ،ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ ( وداﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ: x
dt.
) ( 1
) ( t
F(x)
0
وﺑﺄﺧﺬ اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ : y t dy dt.
١٤٧
x
F(x)
y (1)dy
y
x
( x)
( x) x 1 x 1 1
, x 0.
( اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ٢-٦-٢) : ﻳﺤﺴﺐ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ
E(X)
x ( x)
( 1)
dx.
0
: وﺑﺄﺧﺬ اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ y x x y , dy dx
E(X)
(y ) y
( 1)
dx
y y ( 1) dx
١٤٨
y 1 y 1
1 1 1
1 , ( 1) E(X) , 1. 1 2
E(X )
x
2
( x) ( 1) dx,
0
: وﺑﺄﺧﺬ اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ
y x x y , dy dx. 2
E(X )
(y )
2
y ( 1)dx
(y 2 2y 2 ) y ( 1)dx
(y
1
2y 2 y 1 )dx
y 2 2y 1 2 y 2 1
2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 . ( 2)( 1)
١٤٩
2
Var(X) E(X 2 ) E(X)
2 2 2 2 ( 2)( 1) ( 1)2 ( 2)( 1) 2
, 2.
Percentiles ( اﻟﻤﺌﻴﻨﺎت٣-٦-٢) : ﳓﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ100p ﻹﳚﺎد اﳌﺌﲔ ذو اﻟﺮﺗﺒﺔ x 1 1 p
F(x p ) p
p
xp 1 1 p 1 x 1 p 1 p 1 xp 1 p 1 1 x p 1 p 1 .
( ﺷﻜﻞ أﺧﺮ ﻟﺘﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ٤-٦-٢) f (x) kk x (k1)
0, k 0, x
x
F(x) t ( 1) dt 11 t
x
k x 1 x
, 0 , 0 , x .
. ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس و ﺣﻴﺚ ln X Y , e ﻟﻨﺄﺧﺬ اﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ ١٥٠
x e y dx e ydy
وﻣﻨﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ Yﻫﻲ : f1 (y) k e y(1)e y e e y , y , 0.
) k e ( y
ﻻﺣﻆ إﻧﺎ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ .وﻫﺬﻩ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﻮﺛﻴﻘﺔ ﺑﲔ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ و اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ ﳝﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪﻣﻬﺎ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺧﺼﺎﺋﺺ وﻧﺘﺎﺋﺞ ﻛﺜﲑة ﻟﺘﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ اﻋﺘﻤﺎداً ﻋﻠﻰ ﺧﺼﺎﺋﺺ وﻧﺘـﺎﺋﺞ ﻣﺴﺘﺨﻠﺼﺔ ﻣﻦ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ. اﻟﻌﺰم اﳌﺮﻛﺰي ﺣﻮل اﻟﺼﻔﺮ ﳍﺬا اﻟﺸﻜﻞ ﻫﻮ: 1
r E(X ) 1 , r 2 Var(X) , 2. ( 2)( 1) 2 r
r
أﻳﻀﺎً اﻹﻟﺘﻮاء 3و اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ 4ﻳﻌﻄﻴﺎ ﻣﻦ : , 3 , 4
1 2 3 )3( 2)(3 2 2 4 ) ( 3)( 4 3 2
اﻋﺘﻤﺎداً ﻋﻠﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻛﺎﻣﻠﺔ X1 ,X 2 ,,X nﻣﻦ ﺗﻮزﻳـﻊ ﺑـﺎرﻳﺘﻮ ﳝﻜـﻦ اﳊﺼـﻮل ﻋﻠـﻰ ﺗﻘـﺪﻳﺮات اﻹﻣﻜـﺎن اﻷﻛـﱪ ﳌﻌﺎﱂ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ ˆ ˆ , ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻵﺗﻴﺔ: 1
، ˆ min(X i ).
n X ˆ n ln i i1 ˆ
) (٧-٢ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻲ: داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻲ Xﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻲ ﲟﻌﻠﻤﺔ ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ: x .
1 1 1 (x )2
١٥١
f (x; )
ﻳﺸﺒﻪ ﺑﻴﺎن داﻟﺔ ﻛﻮﺷﻲ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﰲ أﻧﻪ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ .ﻫﻨﺎ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷـﻲ ﻣﺘﻤﺎﺛـﻞ ﺣـﻮل . وﻋﻠـﻰ ذﻟﻚ ﺗﻌﺘﱪ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ ﳍـﺬا اﻟﺘﻮزﻳـﻊ .واﻟﺸـﻜﻞ اﻟﺘـﺎﱄ ﻳﻮﺿـﺢ داﻟـﺔ ﻛﻮﺷـﻲ ﻣـﻊ داﻟـﺔ ﻛﺜﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺘﻤـﺎل ﳌﺘﻐـﲑ ﻳﺘﺒـﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ. .3 .25 .2
0 , 1/.67449
.15 .1
0
.05
2
4
4
2
إذا ﻛﺎن Xﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻲ ﻓﺈن ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ ﻏﲑ ﻣﻮﺟﻮد.
1 x E(X) x f (x, )dx dx. 2 1 (x )
وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ : y x , dy dx.
x y
)1 (y 1 y2 dy
E(X)
1 y 1 dy dy 2 1 y 1 y 2 h
1 lim ln(1 y 2 ) h h 1 .
ﻗﻴﻤﺔ ﻏﲑ ﻣﻌﺮﻓﺔ. داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻲ Xﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻲ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ﻳﺄﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ: , x .
1 2 (x ) 2
f (x; , )
اﻟﺪاﻟــﺔ اﳌﻮﻟــﺪة ﻟﻠﻌــﺰوم ﻟﻠﺪاﻟــﺔ ) f (x; , ﻏــﲑ ﻣﻌﺮﻓــﺔ وﻛــﺬﻟﻚ ﻛــﻞ اﻟﻌــﺰوم .واﻟﻮﺳــﻴﻂ ﳝﻜــﻦ اﳊﺼــﻮل ﻋﻠﻴــﻪ ﲝــﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: m
1 0 F(m0 ) 2 dx 0.5 (x )2
١٥٢
m0
1 x tan 1 0.5
1 1 m 0 tan 0.
أو . m 0 وﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﳌﻨﻮال ﲝﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ:
وﻣﻨﻬﺎ m ﺣﻴﺚ : ﻋﻨﺪﻣﺎ . m
1 d 2 2 (m ) 0, dx
)d 2 f (x; , 0 dx 2
ﻣﺛﺎل ) (٨ -٢ اﻟﻣطﻠوب ﺗوﻟﯾد )ﻣﺣﺎﻛﺎﻩ( ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم n = 10ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻲ ؟ اﻟﺣــل: أن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻰ ﻋﻧدﻣﺎ 0ﻫﻲ :
1 F(x) (Arc tan x ) , x . 2 ٕواذا ﻛﺎن Yﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة ) ( 0, 1ﻓﺈن : 1 y (Arc tan x ) . 2 ﺗﻛﺎﻓﺊ أن :
x tan y . 2 ﯾﻌطﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻗﯾم ﻋﺷرة أرﻗﺎم ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﻣود اﻷﺧﯾر ﻓﻲ ﺟدول اﻷرﻗﺎم اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻓﻲ اى ﻛﺗﺎب وذﻟك ﺑﻌد ﻗﺳﻣﺔ ﻛل رﻗم ﻋﻠﻲ 10 4ﻣﻊ ﻗﯾم xاﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻬﺎ . ١٥٣
x 0.1514 0.6697 0.0527 0.4749 0.2900 0.2354 0.9662 0.0043 0.1003 0.9192
y -1.9415 0.5901 -5.9847 -0.0790 -0.7757 -1.0962 9.3820 -74.021 -3.0678 3.8595
) (٨-٢اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ ﯾﻘﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ Xأﻧﮫ ﯾﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘ ﯿﻦ ، 2 , وﻟﻼﺧﺘﺼ ﺎر ﯾﻜﺘ ﺐ ) X N(, 2 ،إذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘﮫ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ : , - < x < ( - < < ,0 < 2 ) .
1 (x ) 2 2
1 2 f (x; , 2 ) e 2
و ﻋﻨﺪ ﺗﻤﺜﯿﻠﮭﺎ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ ً ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺟﺮس وداﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻟﮫ ھﻰ: 2
x
u 1 F(x) e 2 du . 2
ﻛﻼ ً ﻣﻦ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ و اﻟﻮﺳﯿﻂ و اﻟﻤﻨﻮال ﯾﺄﺧﺬ اﻟﻘﯿﻤﺔ ، و اﻟﺘﺒ ﺎﯾﻦ . 2ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﻟﺘ ﻮاء ﯾﺄﺧ ﺬ اﻟﻘﯿﻤ ﺔ ﺻ ﻔﺮ ذﻟ ﻚ ﻷن اﻟﺘﻮزﯾ ﻊ اﻟﻄﺒﯿﻌ ﻲ ﺗﻮزﯾ ﻊ ﻣﺘﻤﺎﺛ ﻞ ﺣ ﻮل اﻟﻤﺘﻮﺳ ﻂ وﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻟ ﺘﻔﻠﻄﺢ ﯾﺎﺧ ﺬ اﻟﻘﯿﻤ ﺔ . 3اﻟﺪاﻟ ﺔ اﻟﻤﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﺗﺎﺧﺬ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ : .
2 t 2 ) 2
( t
M X (t) e
) (٩-٢ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﻌﻜﻮس ﺟﺎﻣﺎ ١٥٤
ﯾﻘﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ Xأﻧﮫ ﯾﺘﺒﻊ ﺗﻮزﯾﻊ ﻣﻌﻜﻮس ﺟﺎﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘﮫ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﯿﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ:
( , 0) .
x
1
e , x0
f (x; , ) [ ()] x 1
داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﺘﺠﻤﯿﻌﻲ ﺗﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ : ) (, x . ) (
اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ : , 1
for > 1 .
اﻟﻤﻨﻮال : . 1
اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ : 2 , )( 1)2 ( 2
for > 2 .
ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﻟﺘﻮاء : >3.
4 2 , 3
for
ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ : for > 4 .
30 66 , )( 3)( 4 ١٥٥
) (١٠-٢اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ
اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ lognormal distributionﻣﻦ اﻟﺘﻮزﯾﻌﺎت اﻹﺣﺼﺎﺋﯿﺔ اﻟﮭﺎﻣﺔ ،وﻟﮫ ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت ﻛﺜﯿﺮة ﻓﮭﻮ ﯾﺴﺘﺨﺪم ﻛﺘﻮزﯾﻊ ﻟﺰﻣﻦ اﻟﻔﺸﻞ ﻓﻲ اﺧﺘﺒﺎرات اﻟﺤﯿﺎة و ﯾﻌﺘﺒﺮ ﻣﻨﺎﻓﺲ ﻟﺘﻮزﯾﻊ و اﯾﺒﻞ ،و ﻓﻲ اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ multiplicative processو ﻓﻲ ﻣﺠﺎل اﻟﺮادار ،و ﻓﻲ اﻟﻔﯿﺰﯾﺎء )ﺗﻮزﯾﻊ اﻟﺠﺰﯾﺌﺎت اﻟﺼﻐﯿﺮة ( ،و اﻻﻗﺘﺼﺎد و اﻷﻋﻤﺎل )اﻟﺪُﺧﻮل ( ،وﻓﻲ اﻷﺣﯿﺎء )ﻧﻤﻮ اﻷﺣﯿﺎء اﻟﺪﻗﯿﻘﺔ ( ،و ﻋﻠﻢ اﻟﺒﯿﺌﺔ ،و اﻟﺠﯿﻮﻟﻮﺟﯿﺎ ،و ﻋﻠﻢ اﻟﺒﯿﺌﺔ ،و اﻟﺠﯿﻮﻟﻮﺟﯿﺎ ،و ﻋﻠﻢ اﻟﻐﻼف اﻟﺠﻮي ،atmospheric sciencesوﻗﺪ وﺻﻒ ﻛﺜﯿﺮﯾﻦ ﺗﻄﺒﯿﻖ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ﻓﻲ اﻟﻔﯿﺰﯾﺎء و اﻻﺟﺘﻤﺎع و اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت اﻟﺼﻨﺎﻋﯿﺔ و ﻣﺮاﻗﺒﺔ اﻟﺠﻮدة ).Aitchison & Brown (1957
اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ﺑﺜﻼث ﻣﻌﺎﻟﻢ ﻧﻤﻮذج ﺷﺎﺋﻊ اﻻﺳﺘﻌﻤﺎل ﻓﻲ اﻟﺼﻨﺎﻋﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﺮاد ﻗﯿﺎس ﻛﻤﯿﺔ ذات ﺻﻠﺔ ﺑﺎﻟﺪرﺟﺔ )اﻟﺴﻤﺎﻛﺔ( ﻣﺜﻞ اﻟﺒﻼﺳﺘﯿﻚ ،و ﻛﺬﻟﻚ ﻓﻲ ﺗﻮزﯾﻊ اﻷﻋﻤﺎر ،و ﻟﮫ ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت ﻓﻲ اﻟﺰراﻋﺔ و ﻋﻠﻢ اﻟﺤﺸﺮات و اﻟﺠﻐﺮاﻓﯿﺎ ،وﻓﻲ ﻛﺜﯿﺮ ﻣﻦ اﻷﺣﯿﺎن ﻣﺎ ﯾﺴﺘﺨﺪم ﻟﻮﺻﻒ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻣﺘﺼﻞ ﻣﻮﺟﺐ وﯾﺘﻢ اﺧﺘﯿﺎره ﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﻌﺪﯾﺪ ﻣﻦ اﻟﻜﻤﯿﺎت اﻟﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ ﻓﻲ ﺗﻄﺒﯿﻖ اﻟﻌﻠﻮم و اﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﯿﺎ اﻟﻨﻮوﯾﺔ ،و ﻟﻤﺰﯾﺪ ﻣﻦ اﻟﺘﻄﺒﯿﻘﺎت ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺮﺟﻮع إﻟﻰ ﻛﺘﺎب ) Johnson et al. (1994اﻟﺬي أﻓﺮد اﻟﺒﺎب اﻟﺮاﺑﻊ ﻋﺸﺮ ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻟﺪراﺳﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ و أھﻢ ﺧﻮاﺻﮫ و ﺗﻄﺒﯿﻘﺎﺗﮫ و اﻟﻤﺮاﺟﻊ ،و ﻛﺘﺎب & Crow ) Shimizu (1988اﻟﺬي أﻓﺮد ﻛﺘﺎﺑﮫ ﻟﺪراﺳﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ و ﺗﻄﺒﯿﻘﺎﺗﮫ .
١٥٦
اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ھﻮ أﺣﺪ أھﻢ اﻟﺘﺤﻮﯾﻼت ﻟﻠﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ،ﻓﺈذا ﻛﺎن Zﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﯾﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ و ، Z ln Xﻓﺈن Xﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﯾﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ . داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﮭﺬا اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﺗﻌﺮف ﺑﺎﻟﺼﻮرة :
1 1 (ln(x ) ) 2 exp[ ] , x f (x; 2 , ) 2 x 2 2 0 ,x< و ﯾﻤﻜﻦ اﻟﻤﻼﺣﻈﺔ أن اﻟﺘﻐﯿﺮ ﻓﻲ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﺤﺪودة ﻻ ﺗﺆﺛﺮ إﻻ ﻓﻲ ﻣﻜﺎن اﻟﺘﻮزﯾﻊ ،أي أﻧﮭﺎ ﻻ ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ أو اﻟﺸﻜﻞ ،و ﺑﺬﻟﻚ ﻣﻦ اﻟﻤﺮﯾﺢ وﺿﻊ ﻗﯿﻤﺔ ﻣﻌﯿﻨﺔ ﻟـ ﻟﻠﺘﺴﮭﯿﻞ ﻣﻦ اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ،ﻣﻊ اﻟﻌﻠﻢ أن اﻟﻌﺪﯾﺪ ﻣﻦ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺘﻲ ﺗﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮭﺎ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﺤﻮﯾﻠﮭﺎ ﻟﺘﺼﺒﺢ أﻛﺜﺮ ﻋﻤﻮﻣﯿﺔ ﻟﻠﺘﻮزﯾﻊ .ﻓﻲ ﻛﺜﯿﺮ ﻣﻦ اﻟﺘﻄﺒﯿﻘﺎت ﺗﻜﻮن ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ و ﺗﺄﺧﺬ اﻟﻘﯿﻤﺔ ﺻﻔﺮ )ﺑﺤﯿﺚ Xﺗﺼﺒﺢ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻣﻮﺟﺐ( .ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﺨﺎﺻﺔ اﻟﻤﮭﻤﺔ ﯾﻄﻠﻖ ﻋﻠﯿﮭﺎ اﺳﻢ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ وﺗﺼﺒﺢ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة :
1 1 (ln x ) 2 exp[ ], x 0 f (x; 2 , ) 2 x 2 2 0 ,x<0 أﻣﺎ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻓﮭﻲ أن ﻻ ﺗﺴﺎوي اﻟﺼﻔﺮ وﯾﺴﻤﻰ ﺣﯿﻦ إذ ﺑﺎﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ﺑﺜﻼث ﻣﻌﺎﻟﻢ. ﻟﻠﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ﺑﻤﻌﺎﻟﻤﺘﯿﻦ ﻓﺈن اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﺘﻮﻗﻌﺔ ﻟـ Xھﻲ : 1 2
' 1
e . ﺣﯿﺚ :
2
e . ١٥٧
و اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ ھﻮ :
Var(X) 2 '2 1' 2 e 2 ( 1). اﻟﻌﺰوم اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﺔ ﺣﻮل اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ ﺗﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ : r 2
r r 1 (r j)(r j1) r j 2 r ( 1) e . j j 0 ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﻟﺘﻮاء : 1 2
3 ( 1) ( 2). ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ :
4 4 23 32 3
ﻧﻼﺣﻆ أن ﻣﻌﺎﻣﻠﻲ اﻻﻟﺘﻮاء و اﻟﺘﻔﻠﻄﺢ ﻻ ﯾﻌﺘﻤﺪان ﻋﻠﻰ و أن 3 > 0 , 4 > 3 1 2
ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺧﺘﻼف ﯾﺴﺎوي ) ( 1وھﻮ ﻻ ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ . وھﺬا اﻟﺘﻮزﯾﻊ أﺣﺎدي اﻟﻤﻨﻮال و ﯾﺄﺧﺬ اﻟﻘﯿﻤﺔ
Mode(X) 1e و اﻟﻮﺳﯿﻂ ﯾﺄﺧﺬ اﻟﻘﯿﻤﺔ
Median(X) x 0.5 e وﻗﺪ وﺟﺪ أن :
)E(X) > Median(X) > Mode(X ١٥٨
و ﺛﻢ ﻧﺠﺪ أن اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ .
اﻟﻤﺤﺎﻛﺎﻩ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ
ﻳـ ــﺘﻢ ﺗﻮﻟﻴـ ــﺪ اﻟﻌﻴﻨـ ــﺎت اﻟﻜﺎﻣﻠـ ــﺔ ) اﶈﺎﻛـ ــﺎة ( simulationو اﻟـ ــﱵ ﺗﺘﺒـ ــﻊ اﻟﺘﻮزﻳـ ــﻊ اﻟﻠﻮﻏـ ــﺎرﻳﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌـ ــﻲ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ Mathematicaاﻹﺻﺪار 5و ذﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼل ﺣﺰم ﺟﺎﻫﺰة ﻟﺘﻮﻟﻴﺪ ﻋﻴﻨـﺎت ﻛﺎﻣﻠـﺔ ﻟﻜﺜـﲑ ﻣـﻦ اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﻟﺸﺎﺋﻌﺔ اﻻﺳﺘﺨﺪام ،ﻟﻠﻌﻴﻨﺎت اﳌﺮاﻗﺒﺔ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وذﻟﻚ ﻟﻨﻈﺎم اﳌﺮاﻗﺒﺔ R1,R 2 ,...,R m و اﳌﺄﺧﻮذ ﻣﻦ أي ﺗﻮزﻳﻊ اﺣﺘﻤﺎﱄ ﻟﻪ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ) F(.ﻓﻴﺘﻢ ﺗﻮﻟﻴﺪﻫﺎ ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ اﳋﺼﺎﺋﺺ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒـﺔ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ ﻣﺄﺧﻮذة ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﰲ اﻟﻔﱰة ) (0,1وذﻟﻚ ﺑﺈﺗﺒﺎع اﳋﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ : -١ﻳ ـ ـ ــﺘﻢ ﺗﻮﻟﻴـ ـ ـ ــﺪ mﻣـ ـ ـ ــﻦ اﳌﺸـ ـ ـ ــﺎﻫﺪات اﳌﺴـ ـ ـ ــﺘﻘﻠﺔ ﻣ ـ ـ ــﻦ اﻟﺘﻮزﻳـ ـ ـ ــﻊ اﳌﻨ ـ ـ ــﺘﻈﻢ ﰲ اﻟﻔـ ـ ـ ــﱰة ) (0,1و ﻟـ ـ ـ ــﺘﻜﻦ . w 1 , w 2 ,..., w m -٢ﻧﻀﻊ : m , i i R j , i 1,2,...,m . jmi1
-٣
1 1 i
vi w i
ﻧﻀﻊ : i 1,2,...,m .
u i 1 v m v m 1...v m i 1 ,
و اﻟﱵ ﲤﺜﻞ ﻋﻴﻨـﺔ ﻣﺮاﻗﺒـﺔ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌـﺔ ﻣـﻦ اﻟﻨـﻮع اﻟﺜـﺎﱐ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ mﻣـﺄﺧﻮذة ﻣـﻦ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﳌﻨـﺘﻈﻢ ﰲ اﻟﻔـﱰة )(0,1
ﻋﻠﻰ أﺳﺎس ﻧﻈﺎم اﳌﺮاﻗﺒﺔ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ .Arnold(1993) R1,R 2 ,...,R m -٤ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻌﻼﻗﺔ ) x i F1 (uiﺗﺒﻌـﺎً ﻟﻨﻈﺮﻳـﺔ اﻟﺘﺤﻮﻳـﻞ اﻟﺘﻜـﺎﻣﻠﻲ ﺣﻴـﺚ ) F1 (.ﻫـﻲ داﻟـﺔ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﳌﺴﺘﺨﺪم و ﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻓـﺈن اﻟﻘـﻴﻢ x1 , x 2 ,..., x mﲤﺜـﻞ اﻟﻌﻴﻨـﺔ ذات اﳌﺮاﻗﺒـﺔ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌـﺔ ﻣـﻦ اﻟﻨـﻮع اﻟﺜـﺎﱐ ذات اﳊﺠـﻢ mﻣـﻦ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ ) F(.و اﳌﺨﺘـﺎرة ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺎً ﻣـﻦ اﻟﻌﻴﻨـﺔ ذات اﳊﺠـﻢ n ﻋﻠﻰ أﺳﺎس ﻧﻈﺎم اﳌﺮاﻗﺒﺔ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ . R1,R 2 ,...,R m وﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺑﻴﺎﻧـﺎت ﻟﻌﻴﻨـﺔ ﻣﺮاﻗﺒـﺔ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌـﺔ ﻣـﻦ اﻟﻨـﻮع اﻟﺜـﺎﱐ ذات اﳊﺠـﻢ mﻣـﻦ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻠﻮﻏـﺎرﻳﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ ﺗﺘﺒﻊ اﳋﻄﻮات اﻵﺗﻴﺔ : -١ﻳ ـ ـ ــﺘﻢ ﺗﻮﻟﻴـ ـ ـ ــﺪ mﻣـ ـ ـ ــﻦ اﳌﺸـ ـ ـ ــﺎﻫﺪات اﳌﺴـ ـ ـ ــﺘﻘﻠﺔ ﻣ ـ ـ ــﻦ اﻟﺘﻮزﻳـ ـ ـ ــﻊ اﳌﻨ ـ ـ ــﺘﻈﻢ ﰲ اﻟﻔـ ـ ـ ــﱰة ) (0,1و ﻟـ ـ ـ ــﺘﻜﻦ . w 1 , w 2 ,..., w m -٢ﻧﻀﻊ : m , i i R j , i 1,2,...,m . jmi1
-٣
ﻧﻀﻊ : ١٥٩
1 1 i
vi w i
i 1,2,...,m . u i 1 v m v m 1...v m i1 , و اﻟﱵ ﲤﺜﻞ ﻋﻴﻨـﺔ ﻣﺮاﻗﺒـﺔ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌـﺔ ﻣـﻦ اﻟﻨـﻮع اﻟﺜـﺎﱐ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ mﻣـﺄﺧﻮذة ﻣـﻦ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﳌﻨـﺘﻈﻢ ﰲ اﻟﻔـﱰة )(0,1
ﻋﻠﻰ أﺳﺎس ﻧﻈﺎم اﳌﺮاﻗﺒﺔ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ . R1,R 2 ,...,R m -٤ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻌﻼﻗﺔ ) x i F1 (uiﺗﺒﻌـﺎً ﻟﻨﻈﺮﻳـﺔ اﻟﺘﺤﻮﻳـﻞ اﻟﺘﻜـﺎﻣﻠﻲ ﺣﻴـﺚ ) F1 (.ﻫـﻲ داﻟـﺔ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ و اﻟﱵ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺣﺴﺎ ﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳊﺎﺳـﺐ اﻵﱄ و ﻋﻠـﻰ ذﻟـﻚ ﻓــﺈن اﻟﻘــﻴﻢ x1 , x 2 ,..., x mﲤﺜــﻞ اﻟﻌﻴﻨــﺔ ذات اﳌﺮاﻗﺒــﺔ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌــﺔ ﻣــﻦ اﻟﻨــﻮع اﻟﺜــﺎﱐ ذات اﳊﺠــﻢ mﻣــﻦ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻠﻮﻏـﺎرﻳﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ و اﳌﺨﺘـﺎرة ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺎً ﻣـﻦ اﻟﻌﻴﻨـﺔ ذات اﳊﺠـﻢ nﻋﻠـﻰ أﺳـﺎس ﻧﻈـﺎم اﳌﺮاﻗﺒـﺔ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ . R1,R 2 ,...,R m ﻛﻤـﺎ ﳝﻜـﻦ اﺳـﺘﺨﺪام داﻟـﺔ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻌﻜﺴـﻴﺔ ﻟﻠﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻰ واﻟﱴ ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎ ﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳊﺎﺳﺐ اﻻﱃ ﺑﻮﺿﻊ : ln x i ln x i zi zi ln x i x i e zi .
zi
) (١١-٢ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻴﻴﺮ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻋﺸﺮ ﯾﻌﺘﺒﺮ ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﯿﯿﺮ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻋﺸﺮ واﺣﺪ ﻣﻦ ﻋﺎﺋﻠﺔ ﺑﯿﯿﺮ .ﯾﺴﺘﺨﺪم ھﺬا اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻛﻨﻤﻮزج ﻻزﻣﻨﺔ اﻟﺤﯿﺎة وﺧﺼﻮﺻﺎ ﻓﻰ اﺧﺘﺒﺎرات اﻟﺤﯿﺎة اﻟﻤﻌﺠﻠﺔ .ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﯿﯿﺮ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻋﺸﺮ ﻟﮫ داﻟﺘﻲ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ و اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻵﺗﯿﺘﯿﻦ : ;f (x;c, k) ckx c1 (1 x c ) (k 1) , x 0, c 0, k 0 F(x;c, k) 1 (1 x c ) k , x 0.
) (١٢-٢ﻣﻌﺎﻟﻢ اﻟﻤﻘﻴﺎس واﻟﻤﻮﻗﻊ اﻟﺘﻮاﱄ:
ﰲ ﻛــﻞ اﻟﺘﻌﺮﻳﻔــﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴــﺔ ) f0 (z) , F0 (zﲤﺜــﻞ ﺗﻮﺻــﻴﻒ ﻛﺎﻣــﻞ ﻟﺪاﻟــﺔ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ وداﻟــﺔ ﻛﺜﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺘﻤــﺎل ﻋﻠــﻰ
ﺗﻌﺮﻳﻒ ) :ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﻤﻮﻗﻊ( اﻟﻘﻴﻤﺔ ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ location parameterﻟﺘﻮزﻳﻊ Xإذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ: F(x; ) F0 (x ) . وﺑﻄﺮﻳﻘﺔ أﺧﺮى : f (x; ) f 0 (x ). ١٦٠
ﻣﺜﺎل )(٩-٢ إذا ﻛﺎن Xﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل : , x
)f (x; ) e(x 0
, e.w.
ﺑﻴــﺎن ) f (x; ﻣﻮﺿــﺢ ﰲ ﺷــﻜﻞ اﻟﺘــﺎﱄ .ﻳﺴــﺘﺨﺪم ﻫــﺬا اﻟﺘﻮزﻳــﻊ ﺑﻜﺜــﺮة ﰲ اﺧﺘﺒــﺎرات اﳊﻴــﺎة وﺗﺴــﺘﺨﺪم ﻣﻌﻠﻤــﺔ اﳌﻮﻗﻊ ﻛﻘﻴﺎس ﻟﻠﻨﺰﻋﺔ اﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ Xﻣﺜﻞ اﳌﺘﻮﺳﻂ و اﻟﻮﺳﻴﻂ. )f (x;
X
ﻣﺜﺎل )(١٠-٢ ﻟﺘﻜﻦ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻲ Zﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة: 1 |f0 (z) e |z 2
z .
إذا ﻛﺎن Xداﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل:
1 |f0 (x; ) e |x x . 2 ﺑﻴﺎن ) f (x; ﻣﻮﺿﺢ ﰲ ﺷـﻜﻞ اﻟﺘـﺎﱄ وﻋﻠـﻰ ذﻟـﻚ ﻫـﻲ )ﻣﻌﻠﻤـﺔ اﳌﻮﻗـﻊ( وﻣﺘﻮﺳـﻂ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ وﻷن )f (x;
ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮل وﳍﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻈﻤﻰ وﺣﻴﺪة وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻫﻮ اﻟﻮﺳﻴﻂ و اﳌﻨﻮال ﳍﺬا اﻟﺘﻮزﻳﻊ. )f (x;
X
١٦١
ﺗﻌﺮﻳﻒ: ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﻮﺟﺒﺔ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس ﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻣﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻲ Xإذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﳍﺎ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ: x F(x; ) F0 . ﻣﻦ ﻧﺎﺣﻴﺔ أﺧﺮى ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ Xﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ: 1 x f (x; ) f 0 .
ﻣﺜﺎل )(١١-٢ إذا ﻛﺎن Xﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﺣﻴﺚ ) X ~ EXP(ﻓﺈن ﲤﺜﻞ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس. اﻟﺣــل:
x 0 , 0.
x
1 f (x) e dx z x , dz .
x
let z
1 f0 (z) e z e z x x f0 e 1 x 1 x f 0 e f (x; ). ﻓﺈن ﲤﺜﻞ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس .واﻻﳓﺮاف اﳌﻌﻴﺎري ﻫﻮ . وﻟﻜﻦ ﻫﺬا ﻻ ﳛﺪث داﺋﻤـﺎً ﻓﻌﻠـﻰ ﺳـﺒﻴﻞ اﳌﺜـﺎل إذا
ﻛﺎن Xﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﺣﻴﺚ ) X ~ WEI(, 2ﻓﺈن ﲤﺜـﻞ ﻣﻌﻠﻤـﺔ اﳌﻘﻴـﺎس وﻟﻜـﻦ ﻟﻴﺴـﺖ اﻻﳓـﺮاف اﳌﻌﻴـﺎري ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ . X
ﻣﺜﺎل )(١٢-٢ ١٦٢
إذا ﻛﺎن Xﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﺣﻴﺚ ) X ~ WEI(, ﻓﺈن ﲤﺜﻞ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس. اﻟﺣــل:
x
f (x; , ) x 1e x 0. x let z z x , dx dz. f0 (z) (z)1 e z
z1e z .
1
x
1
e
1 x x f0
f (x; , ).
ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس. ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ 2 2
x 1
x e
x
2 f (x; ,2) 2 x 21e .
ﺗﻌﺮﻳﻒ: اﻟﻘﻴﻤﺘــﲔ و 0ﳝــﺜﻼن ﻣﻌﻠﻤــﺔ اﳌﻮﻗــﻊ و اﻟﻘﻴــﺎس ﻋﻠــﻰ اﻟﺘـﻮاﱄ ﳌﺘﻐــﲑ ﻋﺸ ـﻮاﺋﻲ Xإذا ﻛﺎﻧــﺖ داﻟــﺔ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ : x F(x; , ) F0 . وﻣﻦ ﻧﺎﺣﻴﺔ أﺧﺮى ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ Xﺗﺄﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ: 1 x f (x; , ) f 0 .
ﻣﺜﺎل )(١٣-٢ ١٦٣
إذا ﻛﺎن Xﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻲ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ , ﻓﺈن ﲤﺜﻞ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس و ﻣﻌﻠﻤﺔ ﻣﻮﻗﻊ.
اﻟﺣــل:
1 2 (x ) 2 1 1 . 2 x 1
f (x)
x z x , dx dz. 1 1 f0 (z) z . 1 z2 1 x 1 1 1 f f (x). x 2 1
let z
ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ ،ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس.
ﻣﺜﺎل )(١٤-٢ إذا ﻛﺎن Xﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل: , x
x
1 f (x; , ) e 0
, e.w.
ﺑﺮﻫﻦ إن ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ و ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس. اﻟﺣــل:
x x z , dx dz.
١٦٤
let z
1 f0 (z) e z . e z
z 0.
then : x 1 x 1 f0 e f (x).
ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ ،ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس.
ﻣﺜﺎل )(١٥-٢ إذا ﻛﺎن Xﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ واﺑﻴﻞ ﺑـﺜﻼث ﻣﻌـﺎﱂ , ,ﻓـﺈن ﲤﺜـﻞ ﻣﻌﻠﻤـﺔ اﳌﻘﻴـﺎس و ﻣﻌﻠﻤـﺔ ﻣﻮﻗﻊ. اﻟﺣــل:
1
x
x f (x) . e x let z x z , dx dz f0 (z) z1e z z1e z .
f (x).
x
1
e
1 x 1 x f0
ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ.
ﻣﺜﺎل )(١٦-٢
إذا ﻛﺎن Xﻣﺘﻐﲑاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑـﺜﻼث ﻣﻌـﺎﱂ , ,kﻓـﺈن ﲤﺜـﻞ ﻣﻌﻠﻤـﺔ اﳌﻘﻴـﺎس و ﻣﻌﻠﻤـﺔ ﻣﻮﻗﻊ. اﻟﺣــل:
.
x
k 1
e
1 x f (x) (k) ١٦٥
x x z , dx dz. 1 k 1 z f0 (z) z e . (k)
let z
1 x 1 x f0 (k)
k 1
e
x
f (x).
. ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞk ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ
١٧-٢) ﻣﺜﺎل ﻣﻌﻠﻤــﺔ ﻣﻌﻠﻤـﺔ اﳌﻮﻗــﻊ و ﺑــﺮﻫﻦ إنX ~ N(, 2 ) ﻣﺘﻐـﲑاً ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺎً ﻳﺘﺒــﻊ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌــﻲX إذا ﻛــﺎن .اﳌﻘﻴﺎس :اﻟﺣــل 1 x
2
1 f (x) e 2 x . 2 x let z x z , dx dz. 1 12 z2 f0 (z) e . 2 then :
1 x
1 x 1 2 f e 2
2
f (x).
. ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ
(١٨-٢) ﻣﺜﺎل 1
: ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس ﻟﺘﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﳌﻄﻠﻮب إﺛﺒﺎت أن f (x)
x 1 x exp .
:اﻟﺣــل ١٦٦
let
1
,
x f (x)
1
x exp 1
.
: y y x dy dx. 1 f0 (z) z1 exp (z) z1 exp (z) . 1 x f x (x) f 0 ( )
1 x 1 x f0 x
1
f (x).
١٦٧
1
x exp
x exp 1
x ﺑﻮﺿﻊ
اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث ﻧظرﯾﺔ اﻟﺻﻼﺣﯾﺔ
١٦٨
) (١-٣اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ Reliability ﺗﻌﺮف اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻋﻠﻰ أ ﺎ اﺣﺘﻤﺎل أن ﻳﺆدي اﳉﻬﺎز أو اﻵﻟﺔ أو اﳉﺰء أو اﻟﻌﻨﺼـﺮ أو اﻟﻮﺣـﺪة اﻟﻌﻤـﻞ اﳌﻄﻠـﻮب ﻣﻨﻪ ﺑﻜﻔﺎﻳﺔ ﺧﻼل اﻟﻮﻗﺖ اﶈﺪد وﰲ ﻇﺮوف ﻣﻌﻴﻨﺔ .أي اﺣﺘﻤﺎل ﺑﻘﺎء اﳉﻬﺎز ﻳﻌﻤﻞ ﻟﻔﱰة زﻣﻨﻴﺔ ﳏﺪدة. وﻣﻌـﲎ ذﻟــﻚ ﻋﻨــﺪﻣﺎ ﻧﻘــﻮل أن ﺻــﻼﺣﻴﺔ اﳉﻬـﺎز ﳌــﺪة 120ﺳــﺎﻋﺔ ﻫــﻲ 0.85ﻓــﺈن ﻫـﺬا ﻳﻌــﲏ أﻧــﻪ ﻣــﻦ ﺑــﲔ ﻛــﻞ 100ﺟﻬﺎز ﳚﺮى اﺧﺘﺒﺎر ﺻﻼﺣﻴﺘﻬﻢ ﳌﺪة 120ﺳﺎﻋﺔ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺘﻮﻗﻊ 85ﺟﻬﺎزاً ﻣﻨﻬﻢ ﻳﻜﻮﻧﻮن ﺻـﺎﳊﲔ ﻟﻠﻌﻤـﻞ ﺑﻌـﺪ ﻫﺬﻩ اﻟﻔﱰة ﻣﻦ اﻟﺰﻣﻦ. ﻧﻌﻠﻢ أن اﳉﻬﺎز أو اﻵﻟﺔ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﻋـﺪة أﺟـﺰاء أو ﻋﻨﺎﺻـﺮ أو وﺣـﺪات وﻟﻜـﻞ ﻋﻨﺼـﺮ ﺻـﻼﺣﻴﺔ ﻣﻌﻴﻨـﺔ .وﻋﻠـﻰ ذﻟﻚ ﻓﺈن ﺻﻼﺣﻴﺔ اﳉﻬﺎز ﺗﻌﺘﻤﺪ أﺳﺎﺳﺎً ﻋﻠﻰ ﺻﻼﺣﻴﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮﻩ .وﰲ اﻟﺒﺪاﻳﺔ ﺳﻨﺮﻛﺰ دراﺳﺘﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻌﻨﺼﺮ ﰒ ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﻧﺘﻜﻠﻢ ﻋﻦ ﺻﻼﺣﻴﺔ اﳉﻬﺎز أو اﻵﻟﺔ اﳌﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﻋﺪة أﺟﺰاء. ﻧﻌﻠــﻢ أن ﺗﻌﻄــﻞ اﻷﺟﻬــﺰة ﻋــﻦ اﻟﻌﻤــﻞ أو ﻓﺸــﻠﻬﺎ ﰲ أداء ﻣﻬﻤﺘﻬــﺎ ﳜﺘﻠــﻒ ﻣــﻦ ﺟﻬــﺎز إﱃ آﺧــﺮ.ﻓﻤــﺜﻼً ﻫﻨــﺎك أﺟﻬــﺰة ﺗﺘﻌﻄــﻞ ﻋــﻦ اﻟﻌﻤــﻞ ﻧﺘﻴﺠــﺔ ﻟﺘﺂﻛﻠﻬــﺎ .وﻫﻨــﺎك أﺟﻬــﺰة ﺗﻌﻤــﻞ ﺑﻜﻔﺎﻳــﺔ وﻓﺠــﺄة ﺗﺘﻌﻄــﻞ وﺑــﺎﻟﻄﺒﻊ ﻋﻤــﺮ اﳉــﺰء أو اﻟﻌﻨﺼـﺮ ﻳﺘﺒــﻊ ﺗﻮزﻳﻌــﺎً اﺣﺘﻤﺎﻟﻴــﺎً ﻣﻌﻴﻨــﺎً .أي ﻫﻨــﺎك ﳕــﺎذج رﻳﺎﺿــﻴﺔ ﺗﺼــﻒ ﻗـﻮاﻧﲔ ﺗﻌﻄــﻞ اﻟﻌﻨﺼــﺮ.ﻓﻤــﺜﻼً ﻋﻤــﺮ اﳌﺼــﺒﺎح اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻲ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻌﺎً اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎً ﻣﻌﻴﻨﺎً ﻳﺴﻤﻰ ﻗﺎﻧﻮن ﺗﻌﻄﻞ اﳌﺼﺒﺎح.
) (١-١-٣ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ
ﻫﻨﺎك ﻋﺪة ﻣﻘﺎﻳﻴﺲ ﺗﻘﺎس ﺎ ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻌﻨﺼﺮ أو اﳉﺰء أو اﻟﻮﺣﺪة ﻧﺬﻛﺮ ﻣﻨﻬﺎ. أ ( داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ )أو اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺒﻘﺎء(. R(t) 1 F(t).
ب( ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻌﻄﻞ )ﻣﻌﺪل اﻟﻔﺸﻞ(. )f (t )f (t d ln 1 F(t). )R(t) 1 F(t dt ﻧﻼﺣــﻆ أن داﻟــﺔ ﻛﺜﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺘﻤــﺎل ) (p.d.fﻟﻠﻤﺘﻐــﲑ اﻟﻌﺸ ـﻮاﺋﻲ ) Tﻋﻤــﺮ اﻟﻌﻨﺼــﺮ( ﳛــﺪد ﲤﺎﻣــﺎً ﻣﻌــﺪل اﻟﺘﻌﻄــﻞ r(t)
واﻟﻌﻜﺲ ﺻﺤﻴﺢ أي أن ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻌﻄﻞ ) r(tﳛﺪد ﲤﺎﻣﺎً داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴـﺔ .أي أن داﻟـﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴـﺔ ﺗﺘﺤﺪد ﲟﻌﺮﻓﺔ ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻌﻄﻞ. وذﻟﻚ ﻷن: .
t r(u)du 0
R(t) e
وﲟﺎ أن : ١٦٩
)f (t . )R(t
r(t)
ﻓﺈن : )f (t) r(t) R(t .
t r (u)du 0
r(t)e
ﻧظرﯾﺔ :
إذا ﻛﺎﻧﺖ ) E(Tﳏﺪودة ﻓﺈن :
E(T) R(t)dt. 0
اﻟﺣــل:
R(t)dt 1 F(t) dt. 0
0
وﳚﺮى ﻫﺬا اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﺠﺰيء ﻣﻊ اﻋﺘﺒﺎر: dv dt
,
)u 1 F(t
v t.
,
du f (t)dt
t 1 F(t) 0 t f (t)dt
R(t)dt 0
0
t f (t)dt 0
E(T).
) (٢-١-٣ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄﻞ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ : ﻫﻨـﺎك اﻟﻌﺪﻳـﺪ ﻣـﻦ اﻟﻌﻨﺎﺻـﺮ اﻟـﺬي ﻳﺘﺒـﻊ ﻗـﺎﻧﻮن ﺗﻌﻄﻠﻬـﺎ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ .ﻓـﺈذا ﻛﺎﻧـﺖ Tﻫـﻲ ﻋﻤـﺮ اﻟﻌﻨﺼـﺮ ﻓــﺈن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘﻪ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻫﻲ: 2
.
1 t
1 f (t) e 2 2
١٧٠
ﻧﻼﺣﻆ أن ﻋﻤﺮ اﳌﺼﺒﺎح ﺣﱴ اﻟﻔﺸﻞ أو اﻟﺘﻌﻄﻞ Tﻻﺑﺪ أن ﻳﻜـﻮن ﻏـﲑ ﺳـﺎﻟﺐ أي أن T 0وﻟـﺬﻟﻚ ﺣـﱴ ﻳﻜﻮن اﻟﻨﻤﻮذج اﻟﺴﺎﺑﻖ ﺻﺎﱀ ﻟﻠﺘﻄﺒﻴﻖ ﻓﻴﺠﺐ أن ﳓﺮص ﻋﻠﻰ أن ﻳﻜﻮن . P(T 0) 0ﻛﻤﺎ ﻧﻌﻠﻢ أن : Var(T) 2 , E(T) .
وﻣــﻦ واﻗــﻊ ﻣﻨﺤــﲎ داﻟــﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴــﺔ ﻓــﺈن ﻗــﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄــﻞ اﻟﻄﺒﻴﻌــﻲ ﻳﺒــﲔ أن ﻣﻌﻈــﻢ اﻟﻌﻨﺎﺻــﺮ ﺗﺘﻌﻄــﻞ أو ﺗﻔﺸﻞ ﺣﻮل اﳌﺘﻮﺳﻂ .ﻛﻤﺎ أن ﻋﺪد اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ اﻟﱵ ﺗﺘﻌﻄﻞ ﺗﻘﻞ ﻛﻠﻤﺎ زاد | | T 0.9544
2
2
داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄﻞ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻣﻦ ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ : )R(t) P(T t) 1 P(T t
dx
1 x 2 2
t
1 e 2 t 1 . 1
و اﻟﺸﻜﻞ اﻵﰐ ﻳﺒﲔ ﻣﻨﺤﲎ ﻫﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ.
)R(t
1
0.5 t
ﻧﻼﺣﻆ أﻧﻪ ﻣﻦ أﺟﻞ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺻﻼﺣﻴﺔ ﻋﺎﻟﻴﺔ ﻓﺈن ﻓﱰة اﻟﺘﺸﻐﻴﻞ أي ﻣـﺪة ﺻـﻼﺣﻴﺔ اﻟﻌﻨﺼـﺮ ﻟﻠﻌﻤـﻞ ﳚـﺐ أن ﺗﻜﻮن أﻗﻞ ﺑﻜﺜﲑ ﻣﻦ ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﻌﻤﺮ .
ﻣﺜﺎل )(١-٣ إذا ﻛﺎن ﻋﻤـﺮ اﻟﻌﻨﺼـﺮ ﻳﺘﺒـﻊ ﺗﻮزﻳﻌـﺎً ﻃﺒﻴﻌﻴـﺎً ﺑـﺎﳓﺮاف ﻣﻌﻴـﺎري 10ﺳـﺎﻋﺎت .ﻓـﺈذا ﻛﺎﻧـﺖ ﺻـﻼﺣﻴﺔ اﻟﻌﻨﺼـﺮ ﻫـﻲ 0.99ﻟﻔﱰة ﺗﺸﻐﻴﻞ 100ﺳﺎﻋﺔ .ﻓﻤﺎ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻋﻤﺮ اﻟﻌﻨﺼﺮ.
١٧١
اﻟﺣــل:
t R(t) 1 . t 100 , 10 , R(t) 0.99. 100 100 1 0.99 0.01. 10 10 ﻣﻦ ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﰱ ﻣﻠﺤﻖ )P(0 Z z1 ) .49 z1 2.33 (٢
100 2.33, 10 123.3.
z1
ﻳﻌﺘـﱪ ﻗـﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄــﻞ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ ﻣﻨﺎﺳــﺐ ﻟﻠﻌﻨﺎﺻـﺮ اﻟــﱵ ﻳﻜـﻮن ﻓﺸـﻠﻬﺎ أو ﺗﻌﻄﻠﻬــﺎ ﻧﺘﻴﺠـﺔ ﺗــﺄﺛﲑ اﻟﺘﺂﻛـﻞ وﻋﻠــﻰ أي ﺣﺎل ﻓﻬﻮ ﻟﻴﺲ ﻣﻦ ﻗﻮاﻧﲔ اﻟﺘﻌﻄﻞ اﳌﻬﻤﺔ .
) (٣-١-٣ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄﻞ اﻷﺳﻲ ﻳﻌﺘــﱪ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻷﺳــﻲ ﻣــﻦ أﻫــﻢ اﻟﻨﻤــﺎذج اﻟــﱵ ﺗﺼــﻒ ﻓﺸــﻞ اﻟﻌﻨﺎﺻــﺮ أو ﺗﻌﻄﻠﻬــﺎ .ﻣﻌــﺪل اﻟﺘﻌﻄــﻞ ﻣﻘــﺪار ﺛﺎﺑــﺖ r(t) وﳝﻜﻦ إﳚﺎد داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻌﻤﺮ اﻟﻌﻨﺼﺮ Tﻛﺎﻵﰐ : t
r (x)dx 0
f (x) r(t)e t
du 0
t 0.
e
et
وﺑﺎﻟﻌﻜﺲ إذا ﻛﺎﻧﺖ ) f (xﻣﻌﻄﺎة ﻓﺈن : f (x) e x r(t) . R(t) e x
ﻣﺜﺎل )(٢-٣ إذا ﺣﺪدﻧﺎ ﻛﻼً ﻣﻦ R(t) , ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ إﳚﺎد ﻗﻴﻤﺔ . tﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ : 0.01 , R(t) 0.9.
ﻓﺈن : e0.01t 0.9 t 10.54. وﻫﺬا ﻳﻌﲏ أﻧﻪ ﻟﻮ ﺷﻐﻠﻨﺎ 100ﻋﻨﺼﺮ ﳌﺪة 10.54ﻓﺈن 90ﻣﻨﻬﺎ ﺳﻮف ﻻ ﺗﺘﻌﻄﻞ ﺧﻼل ﻫﺬﻩ اﳌﺪة. ١٧٢
داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ اﻟﻤﺒﺘﻮر
داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﰱ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ اﳌﺒﺘﻮر ﲟﻌﻠﻤﺔ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ :داﻟﺔ اﻟﺻﻼﺣﯾﺔ ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة : t2
R(t) f (x; ) dx t x
t2
t1 t2 1 = e (e e ) 1dx t t2 t2 1
1 x ) e dx t t2
x 1 ) e t
)
t2
t
1
) (e e )
;t1 < t t 2 .
)
e
t2
t2
t1
e e
=(e
t1
t1
t2
t
t2
t1
=(e =(e
(e e
e
=
(e
) (٤-١-٣ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄﻞ ﻟﻮاﻳﺒﻞ ﻣﺜﺎل )(٣-٣ ﻟﺘﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ اﻟﺬى ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻻﺗﻰ :
x , 0, 0.
t
1
e
t f (x)
ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﺗﺎﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ : )R(t) P(X t 1 F(t). ١٧٣
, t .
t
) R(t
e
ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ داﻟﺔ ﻣﻌﺪل اﻟﻔﺸﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ : )f (t )R(t
t
1
e
t
t 1
, t .
r(t)
e
t
ﳒﺪ إن داﻟﺔ ﻣﻌﺪل اﻟﻔﺸﻞ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ، 1وﺛﺎﺑﺘﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ، 1ﺑﻴﻨﻤﺎ ﺗﻜﻮن ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ . 1
) (٢-٣ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﺘﻮاﻟﻲ واﻟﺘﻮازي: إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻧﻈﺎم ﻣﻜﻮن ﻣﻦ nوﺣﺪة ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻟﻠﻨﻈﺎم ﻫﻲ: n
R(t) R i (t). i 1
ﺣﻴﺚ ) R i (tﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻮﺣﺪة . i وإذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻧﻈﺎم ﻣﻜﻮن ﻣﻦ nوﺣﺪة ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮازي ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻟﻠﻨﻈﺎم ﻫﻲ: n
R(t) 1 1 R i (t) . i 1
ﻣﺜﺎل )(٤-٣ أرﺑﻌﻮن ﻋﻨﺼﺮاً ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ ﻳﺘﺒـﻊ ﻛـﻞ ﻣﻨﻬـﺎ ﻗـﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄـﻞ اﻷﺳـﻲ ﲟﻌﻠﻤـﺔ 0.05أوﺟـﺪ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻟﻠﻨﻈﺎم وأوﺟﺪ داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻟﻌﻤﺮ اﻟﻨﻈﺎم. اﻟﺣــل:
R i (t) e0.05t . n
40
R(t) R i (t) e0.05t e 2t . i 1
١٧٤
داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻟﻌﻤﺮ اﻟﻨﻈﺎم ﻫﻲ: f (t) R(t) 2e2t , t 0. وﺗﺘﺒﻊ ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻌﻄﻞ اﻷﺳﻲ ﲟﻌﻠﻤﺔ . 2
ﻣﺜﺎل )(٥-٣ اﺣﺴﺐ ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻨﻈﺎم إذا ﻛﺎن اﻟﻌﻨﺼﺮان ﻣﺘﺼﻼن ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮازي ﲟﻌﻠﻤﺔ iو i 1,2 اﻟﺣــل:
R(t) 1 (1 R1 (t))(1 R 2 (t)) ) R1 (t) R 2 (t) R 1 (t)R 2 (t
e1t e2t e(1 2 )t .
داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﳍﺬا اﻟﻨﻈﺎم ﻫﻲ: )f (t) R (t
1e1t 2e2t (1 2 )e(12 )t .
وﻫﻲ ﻻ ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ و اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﻗﻌﺔ ﳍﺬا اﻟﻨﻈﺎم :
E(T) R(t)dt 0
1 1 1 . 1 2 1 2
ﻣﺜﺎل )(٦-٣ ﺗﻌﻤـﻞ ﺛﻼﺛــﺔ ﻋﻨﺎﺻــﺮ ﻋﻠـﻰ اﻟﺘـﻮازي ﻣﻌــﺪل ﺗﻌﻄـﻞ ﻛــﻞ ﻣﻨﻬــﺎ ﺛﺎﺑـﺖ وﻳﺴــﺎوي 0.01وﻋﻠــﻰ ذﻟـﻚ ﻓــﺈن داﻟــﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻫﻲ: R i (t) e0.01t
,i 1,2,3.
ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻌﻨﺼﺮ ﻟﻠﻌﻤﻞ 10ﺳﺎﻋﺎت ﻫﻲ: R i (10) e0.01(10) e0.1 0.905.
واﻵن ﳓﺴﺐ ﻣﻘﺪار اﻟﺘﺤﺴﻦ اﻟﺬي ﻳﻄﺮأ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻈﺎم إذا وﺻﻠﺖ اﻟﺜﻼﺛﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮازي. 3
R(10) 1 1 0.905 0.999. ١٧٥
)R(t )R(t
)R i (t
10
ﻣﺜﺎل )(٧-٣ إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻚ اﻟﻨﻈﺎم اﻟﺘﺎﱄ: C2
C4
C1
C5 C3
C6
ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎب ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻨﻈﺎم ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ: ﳝﻜﻦ ﺗﻮزﻳﻊ اﻟﻨﻈﺎم إﱃ ﺛﻼث ﳎﻤﻮﻋﺎت ﻳﻜﻮن ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻧﻈﺎﻣﺎً ﺟﺰﺋﻴﺎً ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ: A C1 , B C2 ,C3 , C C4 ,C5 ,C6 R B (t) 1 1 R 2 (t)1 R 3 (t) R C (t) 1 1 R 4 (t)1 R 5 (t)1 R 6 (t).
وﺑﺬﻟﻚ ﺗﻜﻮن ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻨﻈﺎم ﻛﻜﻞ ﻫﻲ ﺻﻼﺣﻴﺔ A,B,Cﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ : R(t) R A (t).R B (t).R C (t).
وإذا ﻛﺎن R i (t) 0.8ﻓﺈن :
1 R i (t) 0.2. R A (t) 0.8,
R B (t) 1 (0.2)2 0.96, ١٧٦
R C (t) 1 (0.2)3 0.992,
ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻨﻈﺎم ﻛﻜﻞ ﻫﻲ: R(t) (0.8)(0.96)(0.992) 0.76.
ﻣﺜﺎل )(٨-٣ آﻟﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﺛﻼﺛﺔ أﺟﺰاء 1,2,3وﺻﻼﺣﻴﺔ ﻫﺬﻩ اﻷﺟﺰاء ﻫﻲ: R 1 (t) 0.92 , R 2 (t) 0.95 , R 3 (t) 0.96.
اﺣﺴﺐ ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻵﻟﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﺘﻮﺻﻴﻞ: أ .ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ. ب .ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮازي. اﻟﺣــل:
أ .اﻟﺘﻮﺻﻴﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ R(t) (0.92)(0.95)(0.96) 0.84.
ﻧﻼﺣﻆ أﻧﻪ ﻛﻠﻤﺎ زاد ﻋـﺪد اﻷﺟـﺰاء ﻋﻠـﻰ اﻟﺘـﻮاﱄ ﻛﻠﻤـﺎ ﻗﻠـﺖ ﺻـﻼﺣﻴﺔ اﳉﻬـﺎز وﻳﻜـﻮن أﻗـﻞ ﻣـﻦ ﺻـﻼﺣﻴﺔ أﺿـﻌﻒ ﺟﺰء وﻟﺬﻟﻚ ﻓﺈﻧﻪ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺻﻼﺣﻴﺔ ﻣﺮﺗﻔﻌـﺔ ﻋﻠـﻰ اﻟﺘـﻮاﱄ ﻓﺈﻧـﻪ ﻳﻠـﺰم إﻣـﺎ إﻧﻘـﺎص ﻋـﺪد اﻷﺟـﺰاء إﱃ أﻗـﻞ ﻣـﺎ ﳝﻜـﻦ وإﻣﺎ ﲢﺴﲔ ﺻﻼﺣﻴﺔ ﻛﻞ ﺟﺰء ﻣﻦ اﻷﺟﺰاء. ب .اﻟﺘﻮﺻﻴﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮازي R(t) 1 (0.08)(0.05)(0.04) 0.99984.
وﻧﻼﺣﻆ أن ﻫﺬﻩ اﻟﻘﻴﻤﺔ أﻛﱪ ﻣﻦ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﱵ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻟﻨﻔﺲ اﻵﻟﺔ ﺑﻨﻔﺲ اﻷﺟﺰاء وﻧﻔﺲ ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻷﺟﺰاء ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮﺻﻴﻠﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ.
ﻣﺜﺎل )(٩-٣ ﻟﻠﻤﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻷﺟﺰاء ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ : 1 2 3 ١٧٧
اﺣﺴﺐ ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻨﻈﺎم )اﻵﻟﺔ( اﻟﺣــل:
A 2 ,B 1,3 , R A (t) 0.95, R B (t) 1 (0.08)(0.04) 0.9968, R(t) R A (t).R B (t),
(0.95)(0.9968) 0.947.
ﻣﺜﺎل )(١٠-٣ أرﺑﻊ أﺟﺰاء ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﲔ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻵﰐ ﻟﺘﻜﻮن ﺟﻬﺎز : 2
1
4
3
ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ اﻷﺟﺰاء ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ أﺳﻲ ﲟﻌﻠﻤﺔ . 0.03اﺣﺴﺐ ﺻـﻼﺣﻴﺔ اﻵﻟـﺔ وأوﺟـﺪ داﻟـﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴـﺔ ﻟﻌﻤﺮﻫﺎ. اﻟﺣــل:
A 1,2 , B 3,4 , R i (t) e0.03t
,i 1,2,3,4.
R A (t) e0.06t R B (t).
اﻷﺟﺰاء A,Bﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮازي وﻋﻞ ذﻟﻚ ﺻﻼﺣﻴﺔ اﳉﻬﺎز ﻫﻲ: 2
R(t) 1 1 e0.06t
2e0.06t e0.12t .
داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻌﻤﺮ اﳉﻬﺎز : T ١٧٨
f (t) R (t)
0.12e0.06t 0.12e0.12t 0.12e0.06t 1 e0.06t .
(١١-٣) ﻣﺜﺎل : أوﺟﺪ اﳌﻄﻠﻮب ﰲ اﳌﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻷﺟﺰاء ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ 1
3
2
4
:اﻟﺣــل
R A 1,2 , R B 3,4 ,
R A (t) 1 1 e0.03t
2
2e0.03t e0.06t R B (t).
R(t) 2e0.03t e0.06t
2
4e0.06t e0.12t 4e0.09t f (t) R (t) 0.24e 0.06t 0.12e0.12t 0.36e 0.09t .
(١٢-٣) ﻣﺜﺎل :آﻟﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ أرﺑﻊ أﺟﺰاء ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻛﻤﺎ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ 3
1
2 ١٧٩
4
إذا ﻛﺎﻧﺖ أﻋﻤﺎر ﻫﺬﻩ اﻷﺟﺰاء)ﺑﺎﻟﺴﻨﲔ( ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ وﻳﺒﻞ ﲟﻌﺎﱂ . 1, 2أوﺟﺪ: أ ( ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻋﻤﺮ اﳉﺰء. ب( ﻣﻌﺪل ﺗﻌﻄﻞ اﳉﺰء. ج( ﺻﻼﺣﻴﺔ اﳉﺰء ﻟﻔﱰة ﺗﺸﻐﻴﻞ ﻗﺪرﻫﺎ ﺳﺘﺔ ﺷﻬﻮر. د ( ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻵﻟﺔ ﻟﻔﱰة ﺗﺸﻐﻴﻞ ﻗﺪرﻫﺎ ﺳﺘﺔ ﺷﻬﻮر. اﻟﺣــل:
إذا ﻛﺎن Tiﻋﻤﺮ اﳉﺰء iوأن ﻋﻤﺮ Tﻋﻤﺮ اﻵﻟﺔ .داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻌﻤﺮ اﳉﺰء ﻫﻲ:
f (t i ) t i1e ti t 2i
, t i 0.
2t ie
أ ( ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻋﻤﺮ اﳉﺰء iﻫﻮ:
ب( ﻣﻌﺪل ﺗﻌﻄﻞ اﳉﺰء iﻫﻮ:
1 3 E(Ti ) 1 . 2 2 2
2t
, i 1, 2,3, 4.
2t e t 2
ج( ﺻﻼﺣﻴﺔ اﳉﺰء iﻫﻲ:
e t
2
, i 1, 2,3, 4.
ri (t)
R i (t) e t
ﺻﻼﺣﻴﺔ اﳉﺰء iﳌﺪة ﺳﺘﺔ أﺷﻬﺮ ﻫﻲ: 1
1 R i e 4 0.78 2
,i 1, 2,3,4.
ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻔﺮع A 1,2ﻫﻲ: 2
R A (t) R1 (t).R 2 (t) e 2t .
ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻔﺮع B 3,4ﻫﻲ: R B (t) 1 1 R 3 (t)1 R 4 (t) 2
2
2
2
1 1 e t 2e t e 2 t .
د ( ﺻﻼﺣﻴﺔ اﳉﻬﺎز ﻫﻮ: ١٨٠
R(t) R A (t).R B (t) 2
2
2
e 2t (2e t e2t ) 2
2
2e 3t e4t .
1
1
: ﻓﺈنR ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔt وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ 2 2 1 R 2e3/ 4 e1 .58. 2
١٨١
اﻟﻔﺻل اﻟراﺑﻊ
اﻻﺳﺗدﻻل اﻻﺣﺻﺎﺋﻰ اﻟﺑﯾﯾزى
١٨٢
) (١-٤ﻣﻘﺪﻣﻪ
ﯾﻔﺗرض ﻓﻰ اﻟطرق اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﯾﻪ أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ أو اﻟظﺎﻫرﻩ ﺗﺣت اﻟدراﺳﺔ ﺗﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾر
ﻋﺷواﺋﻲ Xﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ
)f (x;
ﻣﻌﻠوم وﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠﻣﻪ
ﺛﺎﺑﺗﺔ )او ﻋدة ﻣﻌﺎﻟم
( وﻟﻛﻧﻬﺎ ﻣﺟﻬوﻟﻪ وﯾراد إﯾﺟﺎد ﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﻪ ﻟﻬﺎ أو ﻓﺗرة ﺛﻘﻪ أو اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض ﻣﻌﯾن ﺣوﻟﻬﺎ وذﻟك ﻣن ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ) X (X1,X2,...,Xnﻣﺳﺣوﺑﻪ ﻣن ﻫذا اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ .ﻓﻰ أﺣﯾﺎن
ﻛﺛﯾرة ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ﻣﻌﻠوﻣﺎت اﺿﺎﻓﯾﺔ ﻣن ﺧﺑرﺗﻧﺎ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ ﻗﯾﻣﺎ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ وان ﻫﻧﺎك ﺷواﻫد ﻋﻠﻰ
ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾﻠﻬﺎ ﺑﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ
)(
ان
وﻗد ﻧﻼﺣظ اﻧﻬﺎ ﺗﺎﺧذ
ﺗﺗﻐﯾر وأن ﻫذا اﻟﺗﻐﯾر أو اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻹﺿﺎﻓﯾﺔ
ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ .وﻗد ظﻬرت ﻫذﻩ اﻟطرﯾﻘﺔ ﻣﻧذ أن
ﻧﺷر ﺗوﻣﺎس ﺑﯾﯾز Tomas Bayesﺑﺣﺛﻪ اﻟﻣﺷﻬور ﻋﺎم ) (1763واﻟذى ﻗدم ﻓﯾﻪ أﺳﺎﺳﯾﺎت
ﻧظرﯾﺔ ﺑﯾﯾز اﻟﻣﻌروﻓﻪ ﺑﺎﺳم اﻻﺳﺗدﻻل اﻻﺣﺻﺎﺋﻲ اﻟﺑﯾﯾزي
bayesian statistical
، inferenceوﺑﻌد ذﻟك ﺗواﻟت اﻻﺑﺣﺎث ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺟﺎل وﻟﻛن ﺑﺷﻛل ﺑطﺊ ﻟﻣﺎ ﯾﺗطﻠﺑﻪ ﻫذا اﻟﻣﻧﻬﺞ ﻣن ﻋﻼﻗﺎت رﯾﺎﺿﯾﺔ ﻣﻌﻘدﻩ ﯾﺻﻌب اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻧﺗﺎﺋﺟﻬﺎ ﺑﺷﻛل ﺗﺣﻠﯾﻠﻰ .وﻓﻰ اﻟﻌﻘود
أﻗﺑﺎﻻ ً اﻟﺛﻼﺛﺔ اﻷﺧﯾرة وﻧظراً ﻟﻠﺗﻘدم اﻟﻛﺑﯾر ﻓﻲ ﺗﻘﻧﯾﺎت اﻟﺣﺎﺳب اﻵﻟﻲ وﺟد أن ﻧﻬﺞ ﺑﯾﯾز ﻻﻗﻰ
ﻛﺑﯾراً ﻣن اﻟﺑﺎﺣﺛﯾن ﻓﻰ ﻣﻌﺎﻟﺟﻪ وﺗﺣﻠﯾل اﻟظواﻫر ﻟﻣﺎ ﻟﻬذا اﻟﻣﻧﻬﺞ ﻣن ﻣﻣﯾزات اﻫﻣﻬﺎ أﻧﻪ ﯾﻣد اﻟﺑﺎﺣث ﺑﻣﻌﻠوﻣﺎت أﻛﺛر ﻋﻣﺎ ﺗﺣﺗوﯾﻪ اﻟﻌﯾﻧﻪ اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﻪ ﻓﻰ اﻻﺳﺗدﻻل اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﻲ ﻋﻼوﻩ ﻋﻠﻰ
أن اﺳﺗﺧدام ﻣﻧﻬﺞ ﺑﯾﯾز ﻓﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻻﺳﺗدﻻﻻت اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﯾﺗطﻠب ﻋﯾﻧﺎت
ﺻﻐﯾرة ﻧﺳﺑﯾﺎ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﻣﺗوﻗﻊ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻧﻬﺞ اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﻰ.
ﻋن أﻫﻣﯾﺔ واﻓﺿﻠﯾﺔ اﺳﺗﺧدام ﻧﻬﺞ ﺑﯾﯾز ﻣن اﻟﺗﺣﻠﯾﻼت اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﺑﺻﻔﻪ ﻋﺎﻣﻪ ﯾﻣﻛن اﻟرﺟوع
ﻟﻠﻣراﺟﻊ اﻵﺗﯾﺔ :اﻟﺻﯾﺎد ١٩٩٣و ﻋﺑد اﻟﺣﻔﯾظ )٢٠٠٠أ( ) ٢٠٠٠ب( , Lee (1989) , Box and Tiao (1973) , Martz and Wasserman (2004), Waller (1982), وﺑذﻟك ﯾﻛون اﻟﻔرق ﺑﯾن اﻟطرق اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﯾﻪ وطرﯾﻘﺔ ﺑﯾﯾز ﻫو اﻋﺗﺑﺎر اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ
ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﯾﻌﺑر ﻋن ﻣﻌﻠوﻣﺎﺗﻧﺎ اﻟﺳﺎﺑﻘﻪ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ
ﻣﺗﻐﯾر
وﯾﺻف درﺟﻪ اﻋﺗﻘﺎدﻧﺎ ﻓﻰ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﻪ ﻟﻬذﻩ اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ وﯾﺻف ﺧﺑرﺗﻧﺎ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ
ﻗﺑل priorاﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ،وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ prior ١٨٣
distributionوﯾرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز
)(
وﻟذﻟك ﯾﻌﺗﺑر اﺳﺎس اى ﺗﺣﻠﯾل ﺑﯾﯾزى .
وﻫو ﯾﺻف اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣﺗوﻓرﻩ ﻟدﯾﻧﺎ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ
ﺗﻌرﯾف :
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ
ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ
ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
)(
ﻫو ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﯾﺻف ﻛل اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت واﻟﺧﺑرات اﻟﻣﺗوﻓرﻩ
ﻗﺑل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ﻛﻣﺎ ﯾﺻف درﺟﻪ اﻋﺗﻘﺎدﻧﺎ ﻓﻲ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﻪ ﻟﻬذﻩ
اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ.
وﻟﺗوﺿﯾﺢ ذﻟك ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر ﻣﺗوﺳط أوزان اﻟطﻼب ﻓﻰ اﻟﺟﺎﻣﻌﻪ وﻟﯾﻛن
اﻟوزن Xﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ طﺑﯾﻌﻰ وﺳطﻪ ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ اﺧذﻧﺎ ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﻛوﻧﻪ ﻣن nطﺎﻟب .ﻧﻌﻠم أن ﻣﻘدر اﻻﻣﻛﺎن اﻻﻛﺑر وﻣﻘدر
اﻟﻌزوم ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
ﻫو
X
وأن
X Xi / n
وﺗﺑﺎﯾﻧﻪ
وأن
2
ﻣﻌﻠوم وأن
وأن
X N , n
). X N(,
وﻟﻛن ﺑﻔرض أﻧﻪ ﻗﺑل
اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ﻛﺎﻧت ﻟدﯾﻧﺎ ﺑﻌض اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻻﺿﺎﻓﯾﻪ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ
وﻫﻰ أﻧﻧﺎ
ﻻﺣظﻧﺎ ﻋﻠﻰ ﻣرور اﻟزﻣن ان ﻣﺗوﺳط اﻟوزن ﯾﺗﻐﯾر ﻣن ﻓﺗرة اﻟﻰ أﺧرى وأن ﻫذا اﻟﺗﻐﯾر ﯾﻣﻛن
ﺗﻣﺛﯾﻠﻪ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ:
() N(0 , 0 ).
ﺣﯾث
0 , 0
ﻣﻘﺎدﯾر ﺛﺎﺑﺗﻪ وﻣﻌﻠوﻣﻪ .ﻛﻣﺛﺎل آﺧر ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر ﻧﺳﺑﻪ اﻟﻣﻌﯾب ﻓﻲ
اﻧﺗﺎج ﻣﺻﻧﻊ ﻣﺎ ﻻﺟﻬزة اﻟﺗﻠﻔزﯾون .ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ اﺧﺗﯾﺎر ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ) X (X1,X2,...,Xnﻣن 10اﺟﻬزة ﺣﯾث
xi 0
إذا ﻛﺎن اﻟﺗﻠﯾﻔزﯾون ﻣﻌﯾب
xi 1
إذا ﻛﺎن
اﻟﺗﻠﯾﻔزﯾون ﻏﯾر ﻣﻌﯾب ،أي ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎر ) X (X1,X2,...,Xnﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ
داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎل:
f (x; ) x (1 ) x 1 , x 0,1 ; 0 < 1.
ﺑﻔرض اﻵن ﺗوﻓر ﺑﻌض اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻻﺿﺎﻓﯾﺔ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ
اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ وﻫﻰ اﻧﻧﺎ ﻻﺣظﻧﺎ ﺧﻼل اﯾﺎم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ان ﻧﺳﺑﺔ اﻟﻣﻌﯾب اﻟﻣﺻﻧﻊ اﻟﻣذﻛور ﻣﺗﻐﯾر
اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﻪ ﻫﻲ:
وذﻟك ﻗﺑل ﺳﺣب اﻟﻌﯾﻧﻪ
ﻓﻲ اﻧﺗﺎج
وان ﻫذا اﻟﺗﻐﯾر ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾﻠﻪ ﺑﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ 0 < < 1.
,
) ( ) 6 (1
١٨٤
داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ
اﻟﺳؤال اﻟﻣﻬم اﻵن ﻫو :ﻛﯾف ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻻﺿﺎﻓﯾﻪ ﻫذﻩ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ
ﻟﺣﺳﺎب ﻗﯾﻣﻪ ﻟـ
ﺑﻌد اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ .ﻧود أن ﻧﻌدل اﻟرﻣوز اﻟﺗﻰ اﺳﺗﺧدﻣﻧﺎﻫﺎ ﺣﺗﻰ
اﻵن ﻓﻌﻧدﻣﺎ ﻧرﯾد أن ﻧؤﻛد أن
Xﺑﺎﻟرﻣز
)f (x
ﺑدﻻ ﻣن
ﺗﺎﺧذ ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻛﻣﺎ أن
ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﺳوف ﻧرﻣز ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر
و
)f (x;
)f (x,
ﺗوزﯾﻊ ﻣﺷروط ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﺑﺷرط أن
)f (x
ﺳوف ﺗرﻣز ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر . , Xاﻵن ﻧﻔﺗرض
أن ) X (X1,X2,...,Xnﺗﻣﺛل ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗوزﯾﻌﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ
)f (x
أﻧﻪ ﺑﻌد اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ﺗﻐﯾرت درﺟﺔ اﻋﺗﻘﺎدﻧﺎ أو ﺛﻘﺗﻧﺎ ﻓﻰ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﻪ ﻟـ
ﺑﺗﺣوﯾل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى .ﻫدﻓﻧﺎ ﻫو إﯾﺟﺎد ﺗﻘدﯾر ﻟـ ])[u(
وذﻟك ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ
واﻟذي ﯾرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز
وذﻟك
أو داﻟﻪ ﻓﻰ )(x
أي
.
) (٢-٤اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﻟﺒﻌﺪﻳﺔ Posterior Distributions ﻫﻲ:
ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣﻌﻠوم ﻓﺈن داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن
)L(x;
واﻟﺗﻰ ﺳوف ﻧرﻣز ﻟﻬﺎ اﻵن ﺑﺎﻟرﻣز
) L(x
n
L(x ) f (x ) f (x i ). i 1
ﺳوف ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣﻌطﺎﻩ ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ﻛﻣﺎ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ .اﻻن ﻓﺈﻧﻧﺎ
ﻧﺣﺗﺎج اﻟﻰ داﻟﻪ ﺟدﯾدة ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻛل اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﺣﺗوﯾﻬﺎ داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻷﺧرى اﻟﺗﻰ ﻧﻌرﻓﻬﺎ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ
ﺑﻌد " "posteriorاﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ،
أي أﻧﻧﺎ ﻧﺑﺣث ﻋن ﺗوزﯾﻊ ﺑﻌدى posterior distributionﺑﻌد اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ) x (x1,x2,...,xnوﯾرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز
)( x
.
ﺗﻌرﯾف :
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي
ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ اﻟﻌﯾﻧﻪ.
x
)( x
ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
ﻫو ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻣﺷروط ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
وﻫو ﯾﺻف درﺟﺔ اﻋﺗﻘﺎدﻧﺎ ﻓﻲ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﻪ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
ﺑﻌد اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ
وﯾﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻣن ﻧظرﯾﺔ ﺑﯾﯾز ﻛﺎﻵﺗﻰ: n
L(x ) f (x ) f (x i ). i 1
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرك
)f (x,
ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن
X,
ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻪ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورﻩ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: ١٨٥
ﺑﺷرط اﻟﺣﺻول
f (x, ) ()f (x | ) f (x)( x).
وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺈن: .
ﺣﯾث
)f (x
ﻫو اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﺎﻣﺷﻰ ﻟـ
)()f (x )f (x
( x)
وﯾﻌﻄﻰ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ:
X
f (x) f (x; )d ()f (x ) d.
إذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ
إذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ
ﻣﺗﺻل ،أو ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﻪ:
f (x) f (x, ) ()f (x ).
ﻣﺗﻘطﻊ .ﻋﻠﻰ أي ﺣﺎل ﻟﯾس ﻫﻧﺎك ﺣﺎﺟﻪ ﻟﺣﺳﺎب
)f (x
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻪ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورﻩ:
ﻻن
( x) ()f (x ).
أو ﻋﻠﻰ اﻟﺻورﻩ: ( x) ()L(x ).
وذﻟك ﻻن اﻟداﻟﻪ
)f (x
ﯾﻣﻛن ان ﺗدﺧل ﻓﻲ ﺛﺎﺑت اﻟﺗﻧﺎﺳب.
ﻣﺛﺎل )(١-٤ ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر ﻧﺳﺑﻪ اﻟﻣﻌﯾب ﻓﻲ اﻧﺗﺎج ﻣﺻﻧﻊ ﻣﺎ ﻻﺟﻬزة اﻟﺗﻠﻔزﯾون .ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ
اﺧﺗﯾﺎرﻧﺎ ﻣﺷﺎﻫدﻩ واﺣدﻩ ﻓﻘط xﺣﯿﺚ
x x1 0
إذا ﻛﺎن اﻟﺗﻠﯾﻔزﯾون ﻣﻌﯾب
x x2 1
إذا ﻛﺎن
اﻟﺗﻠﯾﻔزﯾون ﻏﯾر ﻣﻌﯾب ،اى أن ، n = 1وﻋﻼوة ﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻌﺗﻘد ﻗﺑل إﺟراء اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﺑﺈن
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ
ﻫو:
ﻟـ 2 .4
.6 اوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟـ
) (
1 .3
.4
.
اﻟﺤــﻞ: داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻰ: x = 0, 1.
f (x ) x (1-)1-x ,
وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ: ١٨٦
f (x1 0 .3) (.3)0 (.7)10 .7, f (x 2 1 .3) (.3)1 (.7)11 .3, f (x1 0 .4) (.4)0 (.6)10 .6, f (x 2 1 .4) (.4)1 (.6)11 .4,
: ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰX وﯾﻣﻛن وﺿﻊ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر f (x1 0 ) f (x 2 1 )
1
2
.7 .3
.6 .4 : وﻋﻠﻰ ذﻟك
1 x1 0
(1 )f (x1 1 ) f (x1 )
(.4)(.7) 28 7 , (.4)(.7)+(.6)(.6) 64 16 (2 )f (x1 2 ) 2 x1 0 f (x1 ) =
(.6)(.6) 36 9 , .64 64 16 (1 )f (x 2 1 ) 1 x 2 1 f (x 2 ) =
(.4)(.3) 12 1 , (.4)(.3)+(.6)(.4) 36 3 (2 )f (x 2 2 ) 2 x 2 1 f (x 2 ) =
=
(.6)(.4) 24 2 , (.4)(.3)+(.6)(.4) 36 3
: ﻫو 1 x 2 x ١٨٧
وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟـ
x1 0
x2 1
7/16 9/16
1/3 2/3
ﻣﺛﺎل )(٢-٤ ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﺳﻧﺳﺣب ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﺑﻣﺗوﺳط
واﻟذى ﻧﻌﺗﻘد ﻗﺑل إﺟراء
اﻟﺗﺟرﺑﺔ اﻧﻪ ﯾﺳﺎوى 2أو 4ﻛﻣﺎ أن 2ﻟﻬﺎ ارﺑﻌﺔ اﺿﻌﺎف اﺣﺗﻣﺎل . 4اﻻﺣﺗﻣﺎل
اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﻌطﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ:
,
P( 4) 0.2 .
P( 2) 0.8
ﺑﻔرض أﻧﻪ ﺗم إﺟراء اﻟﺗﺟرﺑﺔ ووﺟدﻧﺎ أن x 6ﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓﺈن 2ﺗﺑدو أﻗل اﺣﺗﻣﺎﻻ
ﻣن ﻗﺑل ،ﻓﺎﻟﻣﺷﺎﻫدة x 6ﺗرﺟﺢ أن 4ﻋﻠﻰ ﻛون ، 2أي ﺑﺗﻌﺑﯾر أوﺿﺢ : )P(X 6 2) P(X 6) P(X 5 .995 .983 .012.
ﺣﯾث ﯾﺗم ﺣﺳﺎب ﻫذا اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﻓﻰ ﻣﻠﺣق ) (١ﻋﻧد 2وﺑﺎﻟﻣﺛل :
)P(X 6 4) P(X 6) P(X 5 .889 .785 .104.
وﻋﻠﻰ ذﻟك:
) 2 P(X 6 2 )(2)P(X 6 2) (4)P(X 6 4
P( 2 X 6)
.8 .012 .316, ).8.012 (.2)(.104 ) 4 P(X 6 4 P( 4 X 6)
)(2)P(X 6 2) (4)P(X 6 4
.2 .104 .684. ).8.012 (.2)(.104
وﻫﻛذا ﯾﺗﺿﺢ أن اﺣﺗﻣﺎل 2ﻧﻘص ﻣن ) .8اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻘﺑﻠﻰ( اﻟﻰ ) .316اﻻﺣﺗﻣﺎل
اﻟﺑﻌدى( ﺑﻌد ﺳﺣب اﻟﻌﯾﻧﻪ واﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ x 6وأن اﻻﺣﺗﻣﺎل 4اﺻﺑﺢ .684وﯾﻣﻛن
ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟـ
ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: 4 2.
.684 6 .316 ١٨٨
ﻣﺛﺎل )(٣-٤ ﺻﻧدوق ﺑﻪ 8وﺣدات ﻣﺷﺣوﻧﻪ ﻣن ﻣﺻدر ﻣﺎ ٕ ،واذا ﻛﺎت اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣﺎﺿﯾﻪ ﺗﺷﯾر
ﻋﻠﻰ أن 70%ﻣن اﻟﺻﻧﺎدﯾق اﻟﻣﺷﺣوﻧﻪ ﻣن ﻫذا اﻟﻣﺻدر ﻻﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ وﺣدات ﻣﻌﯾﺑﻪ و
20%ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ وﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ و 10%ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ وﺣدﺗﯾن ﻣﻌﯾﺑﺗﯾن أى أﻧﻧﺎ ﻧﻔﺗرض أن ﻛل اﻟﺻﻧﺎدﯾق اﻟﺗﻰ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ 8وﺣدات ﺳوف ﯾﻛون ﺑﻬﺎ اﻣﺎ 2 , 1 , 0وﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ .ﺛم
اﺧﺗﯾﺎر 3وﺣدات ﻋﺷواﺋﯾﻪ ﻣن ﺻﻧدوق ﺑﻪ 8وﺣدات ووﺟد أن وﺣدﻩ واﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ .أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل ان ﺻﻧدوق ﻣن 8وﺣدات اﺳﺗﻘﺑل ﻣن اﻟﻣﺻدر ﻓﻰ اﻟﺣﻘﯾﻘﻰ ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ وﺣدﺗﯾن
ﻣﻌﯾﺑﺗﯾن. اﻟﺤــﻞ:
ﺑﻔرض أن Xﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﻣﻌﯾﺑﻪ ﻓﻰ ﻋﯾﻧﻪ ﻣن اﻟﺣﺟم nﻣن اﻟوﺣدات اﻟﻣﺧﺗﺎرة
ﻣن اﻟﺻﻧدوق ﺣﯾث:
ﺣﯾث
n f x x (1 ) n x . x
اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ وﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ .وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن ﻋﻧد n = 3
ووﺟود وﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ ﻫﻰ:
3 f 1 1 (1 )2 3(1 )2 . 1
ﻫﻧﺎك ﺛﻼﺛﻪ اﻣﻛﺎﻧﯾﺎت اﻣﺎ 0أو 1أو 2وﺣدات ﻣﻌﯾﺑﻪ ﻣن اﻟﺻﻧدوق اﻟذى ﺑﻪ 8وﺣدات وﺑﻣﺎ أن
ﺗﻣﺛل اﺣﺗﻣﺎل وﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ ﻓﺈن:
0 , 1/8 , 2/8.
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ 0.125 .25 .1 ﻟﻠﻘﯾم ﻣن
.2
ﻫو: 0 .7
ﻓﺈن داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن ﺳوف ﺗﻛون : 0 0.125 .25 ١٨٩
)(
.42
.287
0
)f (1
وﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻧظرﯾﺔ ﺑﯾﯾز ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل وﺟود وﺣدﺗﯾن ﻣﻌﯾﺑﺗﯾن ﻓﻲ ﺻﻧدوق ﺑﻪ 8وﺣدات إذا
ﻋﻠم أن اﻟﻌﯾﻧﻪ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ وﺣدﻩ واﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ ﻫو: f 1.25 .25
f 1.25 .25 f (1 .125) .125 f 1 0 0
.42 .1 .42 . ).42.1 .287 .2 (0)(.7
( .25 | x 1
ﻓﻲ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﯾﻧﻣﺎ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟوﺟود وﺣدﺗﯾن ﻣﻌﯾﺑﺗﯾن ﻓﻰ اﻟﺷﺣﻧﻪ ﻫو ﻓﻘط .1ﻓﺈن
اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺑﻌدي ﻫو ﺗﻘرﯾﺑﺎً أرﺑﻊ أﺿﻌﺎف ). (.42 ﻣﺛﺎل )(٤-٤
ﺑﻔرض أن ﺷﺣﻧﻪ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ 1000وﺣدﻩ ﻣﺳﺗﻘﺑﻠﻪ ﻣن ﻣﺻدر ﻣﺎ ﺣﯾث ﺗﺣﺗوى
اﻟﺷﺣﻧﻪ ﻋﻠﻲ
)ﻏﯾر ﻣﻌﻠوﻣﻪ( ﻣن اﻟوﺣدات اﻟﻣﻌﯾﺑﻪ .اﯾﺿﺎ اﻧﻪ ﺑﻔرض أن ﻣن اﻟﺧﺑرﻩ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ
وﺟد أن 5%ﻣن اﻟوﺣدات ﻣﻌﯾﺑﻪ .ﺑﻔرض اﻧﻧﺎ وﺿﻌﻧﺎ اﻟﻔرض أن ﻛل وﺣدﻩ ﻣﻧﺗﺟﻪ ﻟﻬﺎ
اﻻﺣﺗﻣﺎل 0.05ﻻن ﺗﻛون ﻣﻌﯾﺑﻪ ،وأن ﺣدوث اﻟﻣﻌﯾب ﻣﺳﺗﻘل .وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ
اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻘﺑﻠﯾﻪ ﻟﻌدد اﻟوﺣدات اﻟﻣﻌﯾﺑﻪ ﻓﻰ اﻟﺷﺣﻧﺔ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن p = .05
. , n = 1000وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻘﺑﻠﯾﺔ ﻫﻰ:
1000 .05 0.951000 , 0 , 1, 2, ....,1000.
ﺑﻔرض اﻧﻧﺎ أﺧﺗرﻧﺎ ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﻪ ﻣن 10وﺣدات ﻣن اﻟﺷﺣﻧﻪ )ﺑدون ارﺟﺎع(ٕ .واذا ﻛﺎن X
ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﻣﻌﯾﺑﻪ ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ،ﻓﺈن داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻰ : 1000 x 10 x f x , x 0,1,2,...,10, 1000 10
وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﻪ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن , X ١٩٠
ﻫﻰ:
1000 x 10 x 1000 f (x, ) .05 (.95)1000 1000 10 , x 0, 1, 2, ... , 10, x, x+1 , ... 990 + x.
ﺣﯾث xﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﻣﻌﯾﺑﻪ ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ و 10 – xﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﺳﻠﯾﻣﻪ )اﻟﻐﯾر ﻣﻌﯾﺑﺔ( ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم . n=10أﻗل ﻗﯾﻣﻪ ﻣﻣﻛﻧﻪ ﻟـ
ﻗﯾﻣﻪ ﻣﻣﻛﻧﻪ ﻫﻰ ) 1000-(10- xوﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻣدى .
ﻫﻰ xواﻛﺑر
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺑﻌد اﺟراء ﺑﻌض اﻻﺧﺗﺻﺎرات ﻧﺟد أن داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﻪ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X
ﻫﻲ :
10 990 1000 x x .05 .95 x 990 x 990 10 x 10 x .05 .95 ).05x .95990( x x x x 990 x
f x
10 x 10 x .05 .95 , x 0,1,2,...,10. x
اي ان Xﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذي ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن n = 10 , p = .05وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل
اﻟﺑﻌدﯾﻪ ﻟـ
ﻫﻰ:
f , x 990 .05x .95 990( x) , x, x 1,...,990 x. f (x) x
x
ﻣﺛﺎل )(٥-٤ إذا ﻛﺎﻧت Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﺑﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟـ
وﺗﺑﺎﯾن 2 ﻣﻌﻠوم ﺣﯾث ) X ~ N(, أوﺟد
ﺗﺣت ﻓرض أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ ﻟـ
ﻫو N 0 , 0 ﺣﯾث 0 , 0ﺛواﺑت
ﻣﻌﻠوﻣﻪ و ﺗﺣت ﻓرض أﻧﻧﺎ ﺣﺻﻠﻧﺎ ﻋﻠﻰ ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم . n = 1 ١٩١
:اﻟﺤــﻞ 1 2
2 1 f x 2 exp x / , 2 1 2 1 20 2 exp 0 / 0 . 2
: وﺑﻣﺎ أن x f x . 1 2 1 x 20 2 exp 0 / 0 2 1 2 1 . 2 2 exp x / 2
1 exp 2 0 1 1 2 (0 / 0 ) (x / ) . 2
:وﻟذﻟك ﯾﻛون ﻣن اﻟﻣﻧﺎﺳب ﻛﺗﺎﺑﻪ 1
ﻛداﻟﻪ ﻓﻰ x ﺣﯾث ﯾﻧظر اﻟﻰ
1 , 0 1 1
1 1 0 / 0 ) (x / .
:وﻋﻠﻲ ذﻟك 01 1 11,
(0 / 0 ) (x / ) 1 / 1 : وﻋﻠﻰ ذﻟك 1 2 1 x 21 2 exp 1 / 1 2
:أي أن x ~ N 1 , 1
(٦-٤) ﻣﺛﺎل :ﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ
١٩٢
ﺳوف ﻧﺄﺧذn=1 وﻟﻛن ﺑدﻻ ﻣن اﺧذ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ~ N 0 , 0 إذا ﻛﺎن : وﻋﻠﻰ ذﻟكX ~ N , ﺣﯾث
X (X1,X2,...,Xn ) ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ
x f x 1 2 1 20 2 exp 0 / 0 2 1 2 1 . 2 2 exp x1 / 2 1 2
2 1 . 2 exp x 2 / 2 1 2 1 ... 2 2 exp x n / 2 1 exp - 2 (1/ 0 ) (n / ) 2(0 / 0 ) (x i / ) . 2
:وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن x ~ N 1, 1 .
:ﺣﯾث 1
1 (1/ 0 ) (n / ) , 1 1 0 / 0 (x i / ) .
:أو
1
1 01 ( / n) 1
,
1 1{ 0 / 0 x /( / n).
ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﻪ اﻟﺗوزﯾﻊ
h(t )
وﺗوزﯾﻌﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ اذا ﻛﺎن ﻫﻧﺎك إﺣﺻﺎء ﻛﺎﻓﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
:اﻟﺑﻌدى ﻋﻠﻰ اﻟﺻورﻩ
( x) () h(t ) N(x).
: ﻓﻰ ﺛﺎﺑت اﻟﺗﻧﺎﺳب ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ( t) () h(t ).
١٩٣
N(x)
ﯾﻣﻛن أن ﺗدﺧل
إذا ﻋﻠم x
ﻷي ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟـ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
ﻫو ﻧﻔﺳﻪ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟـ
إذا ﻋﻠم .tﻓﺈذا وﺟد اﻹﺣﺻﺎء اﻟﻛﺎﻓﻰ ﻓﯾﻛون ﻣن اﻷﻓﺿل اﺳﺗﺧدام اﻟﺻﯾﻐﻪ اﻷﺧﯾرة وذﻟك
ﻻﻫﻣﯾﺔ اﻹﺣﺻﺎء اﻟﻛﺎﻓﻰ ،وﯾﺗم ﺣﺳﺎب ﺛﺎﺑت اﻟﺗﻧﺎﺳب ﺑﺈﻋﺗﺑﺎر أن
)( t
ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ.
ﻣﺛﺎل )(٧-٤ إذا ﻛﺎن ) X (X1,X2,...,Xnﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﻪ ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون وﻋﻠﻲ ذﻟك: f (x ) t exp(-n) .
ﺣﯾث
n
t= x i i=1
وﻣن اﻟﻣﻌروف أن
n
T= X i i=1
إﺣﺻﺎء ﻛﺎﻓﺊ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ إذا ﻋﻠم
x
ﺣﯾث:
)(n) t exp[n h(t ) . !t
ﻣﺛﺎل )(٨-٤ ﺑﻔرض أن ) X (X1,X2,...,Xnﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﻪ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ
ﺑﻣﺗوﺳط ﻣﻌﻠوم وﺗﺑﺎﯾن 2 ﻏﯾر ﻣﻌﻠوم ﻓﺈن: 1 exp - z/ . 2
n 2
-
f (x )
ﺣﯾث: z= (x i -) 2 .
ﺑﻣﺎ
ان Z= (X i - ) 2
اﺣﺻﺎء ﻛﺎﻓﻲ ﻟـ إذا ﻋﻠم
.ﻣن اﻟﻣﻌروف أن:
x
(Xi -)/ ~ N(0,1),
وﺣﯾث أن
وﻋﻠﻰ ذﻟك
Z/
ﯾﻣﺛل ﻣﺟﻣوع ﻣرﺑﻌﺎت nﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﻪ وﻛل ﻣﺗﻐﯾر ﯾﺗﺑﻊ )N(0 , 1
Z/ ~ 2n
ﺑوﺿﻊ
ﻓﺈن:
Y=Z/
y > 0.
,
1 exp y 2
n 1 2
g(y) y
ﻣن اﻟﺳﻬل أﺛﺑﺎت أن: 1 exp z / , z > 0. 2
١٩٤
n 2
-
n 1
h(z | ) z 2
ﻣﺛﺎل )(٩-٤ ﺑﻔرض ان ﻛل وﺣدﻩ ﻋﻠﻰ ﺧط اﻹﻧﺗﺎج اﻣﺎ أن ﺗﻛون ﻣﻌﯾﺑﻪ أو ﻏﯾر ﻣﻌﯾﺑﻪ ،وﻋﻠﻲ ذﻟك
ﯾﻣﻛن ﺗﺳﻣﯾﻪ ﻛل وﺣدﻩ ﻣﺣﺎوﻟﻪ ﺑرﻧوﻟﻰ .ﺑﻔرض أن اﻟﻣﺣﺎوﻻت ﻣﺳﺗﻘﻠﻪ ﺣﯾث ) =ﻣﻌﯿﺒﮫ( P xi 0
إذا ﻛﺎﻧت اﻟوﺣدﻩ ﻏﯾر ﻣﻌﯾﺑﻪ.
ﻟﻛل وﺣدة ،وﻋﻠﻲ ذﻟك
وﻋﻠﻰ ذﻟك ) X (X1,X2,...,Xnﺗﻣﺛل ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﻪٕ .واذا ﻛﺎﻧت
ﺣﯾث داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﻪ
xi 1
إذا ﻛﺎﻧت اﻟوﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ و
n
xi t
i 1
اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻲ: x=0,1.
ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ .
f (x ) x (1 ) x 1 ,
ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم a , bأوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى
اﻟﺤــﻞ: ﻣن اﻟﻣﻌﻠوم أن
n
T Xi i 1
اﺣﺻﺎء ﻛﺎﻓﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ وﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﺑﻣﻌﺎﻟم
) . (n, أى أن: n h(t ) t (1-) n-t , t = 0, 1, 2...,n. t
وﺑﻔرض أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﻫو: 1 a 1 (1 )b1 , 0 1, )(a, b
()
t h t a-1 (1 )b 1 t (1-)n-t t c a-1 (1 )b 1 t (1-) n-t .
أى أن : | t c a+t-1 (1 )b n t 1 0 1,
ﻻﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﻪ اﻟﺛﺎﺑت cﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ:
١٩٥
1
( x)d 1
0
1
c a t 1 (1 )b n t 1 d 1 0
c (a+t, b+n-t)=1 1 =c . )(a+t , b+n-t
a t 1 (1 )b n t 1 ( t) , 0 1. )(a t , b+n-t =0 e.w.
ﺑﻔرض أن b = 2 , a = 2ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﻫو: 6 (1-) ,
0 1,
واﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﻫو: 0 1,
t 2 1 (1-) n-t+2-1 )(t 2 , n-t+2
,
t
ﻣﺛﺎل )(١٠-٤ ﺑﻔرض ﻣﺣﺎوﻻت ﻣﺳﺗﻘﻠﻪ ﻟﺗﺟرﺑﻪ ﻟﻬﺎ ﻧﺗﯾﺟﺗﯾن ﻓﻰ ﻛل ﻣﺣﺎوﻟﻪ اﻣﺎ "ﻧﺟﺎح" أو "ﻓﺷل" إذا
ﻛﺎﻧت tﺗﻣﺛل ﻋدد ﺣﺎﻻت اﻟﻧﺟﺎح ﻓﻰ nﻣن اﻟﻣﺣﺎوﻻت ٕواذا ﻛﺎﻧت ﺗﻣﺛل اﺣﺗﻣﺎل اﻟﻧﺟﺎح ﻓﻰ ﻣﺣﺎوﻟﻪ ﻣﻌرﻓﻪ وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Tﻫﻰ : t= 0 , 1, ... , n.
n h t t (1-) n-t , t
ﺑﻔرض وﺟود ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻣﺳﺑﻘﻪ ﻗﺑل ﺳﺣب اﻟﻌﯾﻧﻪ وﻫﻰ أن ﺗﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺗﯾن ﺣﯾث .6 , =0.3وأن P( .3) 0.1 , P( 0.6)=.9وﻋﻠﻲ ذﻟﻚ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﻫو: = .3 = .6 .
0.1 = .9
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﻫو: ١٩٦
t h t . t (1 )n t t . )(.3) t (.7)n t (.3) (.6) t (.4)n t (.6
وﺑﻔرض أن
t2 , n=5
وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل :
ﻓﺈن:
)(.3) 2 (.7)52 (.3 . )(.3)2 (.7)52 (.3) (.6) 2 (.4)52 (.6 .1296 .13
= )(.3 t = 2
(.6 t 2) = .8704 .87.
وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
= .3 = .6.
ﻫو: .13 ( t 2) .87
ﻣﺛﺎل )(١١-٤ إذا ﻛﺎن ) X (X1,X2,...,Xnﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﻪ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ
:
وﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
1 ; 0 < x < .
f (x )
ﻫو:
0 < < 1.
() 1 ,
أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ . اﻟﺤــﻞ: ﻣن اﻟﻣﻌﻠوم أن ) U= max (Xإﺣﺻﺎء ﻛﺎﻓﻲ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ وأن: u < .
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن:
nu n 1 h(u ) n ,
١٩٧
1 ; u < ; 0 < < 1. n c ( u) n ; u < ; 0 < < 1. ( u)
: ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲc ﻹﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﻪ
1
( u) d = 1.
u 1
1
c c1-n n d = 1 1, 1 n u u
1 u1n c = 1. 1 n 1 n
1 1 c =1 n 1 n 1 (n 1)u 1 u n 1 c =1 n 1 (n 1)u (n 1)u n 1 c n 1 1 u u
n 1 u n 1 1 . 1 u n 1
n
; u < < 1.
(١٢-٤) ﻣﺛﺎل ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﻪ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﻪ اﺣﺗﻣﺎلX (X1,X2,...,Xn ) إذا ﻛﺎن
:ﺑواﺳون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل
f (x )
e x x!
, x = 0 , 1, 2, ...
: ﻫو ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣﻘﺗرح ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
ba () a-1 eb , > 0. (a)
. ( اﻟﻤﻄﻠﻮب إﯾﺠﺎد اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪa , b ) أى ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ ١٩٨
:اﻟﺤــﻞ : ﻛﺎﻵﺗﻲ ﯾﻤﻜﻦ إﯾﺠﺎد اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ n
L(x ) f (x ) f (x i | )
e n x n
,
x !
i 1
i
i 1
: وﻋﻠﻰ ذﻟك f (x )
ba a t 1e (b n) n
.
(a) x i ! i 1 n
: اﻵن. t x1 ﺣﯾث i 1
f (x) () f(x )d
ba
=
n
(a) x i !
a t 1e (n b) d.
0
i=1
:ﺑﺈﺟراء اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻛﺎﻵﺗﻰ let u = (n+b) , =
u du d . n+b nb
ba u f (x) (a)x1 ! 0 n b
e u
du (n b)
ba
=
a t 1
n
(a)(b+n)a+t x i !
u a t 1e u du
0
i=1
a
=
b (a t)
.
n
(a)(b+n)
a+t
x ! i
i=1
x
f x | . f x
:وﺑﺈﺟراء اﻟﻘﺳﻣﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ
١٩٩
) b a a t 1e (bn n
! (a) x i
x
i 1
.
)b a (a t n
! (a)(b n)a t x i i 1
ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ:
) (b n) a t a t 1 (b n x e ; > 0. ) (a t
واﻟذى ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﻌﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم ) .(a + t , b +n اﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ
ﺑﻣﺎ ان
n
T= Xi i=1
| x
ﺑطرﯾﻘﺔ اﺧرى ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
وﻣن اﻟﻣﻌروف أن Tإﺣﺻﺎء ﻛﺎﻓﺊ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ إذا ﻋﻠم )(n) t exp[n . !t
وﺣﯾث ان :
x
ﺣﯾث:
h(t )
| x h(t|), x a t 1e (b n ) ; > 0,
)(b n) a t a t 1 (b n e ; > 0. ) (a t
x
ﺑﻔرض أن b = 3 , a = 2
ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﻫو: 9 e 3 , > 0.
واﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﻫو: (n 3) t 2 t 1 (n 3) x e , > 0. ) (t 2
وﯾﺟب أن ﻧﻌﻠم أن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻘﺑﻠﯾﻪ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ اﺧﺗﯾﺎرﯾﺔ وﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻧوع اﻟﻔروض .وﻫﻧﺎك
ﻣﺋﺎت اﻟﻔروض اﻟﺗﻰ ﯾﻣﻛن وﺿﻌﻬﺎ ،وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈﻧﻪ ﺑﻣﻛن ﻟﻠﺑﺎﺣﺛﯾن اﺳﺗﺧدام ﻧﻔس اﻟﻌﯾﻧﻪ
وﺳوف ﯾﺻﻠون اﻟﻰ ﺗوزﯾﻌﺎت ﺑﻌدﯾﻪ ﻣﺧﺗﻠﻔﻪ وذﻟك اﻋﺗﻣﺎداً ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣﻔﺗرض. ٢٠٠
اﻵن ﺳوف ﻧوﺿﺢ ﻛﯾف أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
ﻣن اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ .
ﺳوف ﯾﻐﯾر اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺑﻌدﯾﻪ
ﻣﺛﺎل )(١٣-٤ ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ اﻟﻘﯾﻧﺎ ﻋﻣﻠﻪ وﺑﻔرض أن x = 1إذا ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ وﺟﻪ و x = 0إذا ﺗم
اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻛﺗﺎﺑﻪ .وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻰ: f x 1
x 0
ﺑﻔرض أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻫو:
x 1.
, 0 1.
1
اذن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻛل ﻣن X,ﺳوف ﯾﻛون: f x, 1
x0
x 1.
وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﺎﻣﺷﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻰ: , x 0
1 2
, x 1.
1
1 d
f (0) 0
1 2
1
f (1) d 0
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ﻫو: x 2 1 , x 0 , 0 1 , x 1 , 0 1.
2
1 1 أى اﻧﻧﺎ ﻗﺑل اﻟﻘﺎء اﻟﻌﻣﻠﻪ ﻛﻧﺎ ﻧﺷﻌر ان اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗزﯾد ﻋن ﻫو 2 2 1 واﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ) x = 1وﺟﻪ( ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗزﯾد ﻋن ﻫو : 2 1 3 2 d = 4 , 1
وﺑﻌد اﻟﻘﺎء اﻟﻌﻣﻠﻪ
2
1 او ﻋﻧدﻣﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻛﺗﺎﺑﻪ ) (x = 0ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل ان ﺗزﯾد ﻋن 2 ٢٠١
ﻫو:
1 , 4
1
= d
2 1 1 2
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺑﻌدي أن
1 2
ﻧﺗﯾﺟﻪ اﻟﻌﻣﻠﻪ ﻫل ﻫﻰ وﺟﻪ أو ﻛﺗﺎﺑﻪ.
> ﻫو اﻣﺎ
أو
3 4
1 4
وذﻟك اﻋﺗﻣﺎداً ﻋﻠﻰ
وﻣن ﻧﺎﺣﯾﺔ اﺧرى اذا اﺧﺗرﻧﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ: , .4 .6 .
5
وذﻟك ﻛﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻟـ وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﺎﻣﺷﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫو: .6
f (x) 5 1 d .5
, x 0
.4 .6
5 d .5
, x 1 .
.4
وﯾﺟب ان ﻧﻌﻠم ان اﻟﺗوزﯾﻊ ) f(xﻫو ﻧﻔﺳﻪ اﻟذى ﺣﺻﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾﻪ ﻣن ﻗﺑل ذﻟك.
اﻵن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ﻫو:
x 10 1- , x 0 .4 .6 , x 1 , .4 < < .6 .
10
وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل إذا اﺳﺗﺧدﻣﻧﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ: , .4 ; .6 , .5 .
وﻋﻠﻲ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ﻫو:
1 4 1 2
1 1 .4 4 .4 x 0 1 1 1 1 .4 1 .6 .5 4 4 2 6 3 40 .3, 6 4 10 10 40 40 40 ٢٠٢
1 1 .6 4 .6 x 0 1 1 1 1 .6 1 .4 .5 4 4 2 4 2 40 .2, 4 6 10 10 40 40 40 1 .5 2 .5 x 0 1 1 1 1 .4 1 .6 .5 4 4 2 10 10 40 0.5 . 6 4 10 20 40 40 40
وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﻫو: .4
x 0 . 3
.5
.5
.6 .
.2
وﺑﻨﻔﺲ اﻟﺸﻜﻞ ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ | x 1ﺣﯿﺚ : .4 .5 .6 .
x 1 .2 .5 .3
ﻋﺎدة ﻓﻰ اﻟﺗﺣﻠﯾل اﻟﺑﯾﯾزى ﻣﺎ ﻧواﺟﻪ ﻣﺷﻛﻠﺔ اﺧﺗﯾﺎر اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟذى ﯾﻣﺛل ﻣﻌﻠوﻣﺎﺗﻧﺎ أو
ﺧﺑرﺗﻧﺎ او اﻓﻛﺎرﻧﺎ أو اراؤﻧﺎ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ
ﻗﺑل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ .ﺗوﺟد ﻋدة
طرق ﻻﺧﺗﯾﺎر اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻘﺑﻠﯾﻪ ﻧذﻛر ﻣﻧﻬﺎ اﺛﻧﯾن ﻓﻘط ﻻﻧﻬﻣﺎ ﻛﺛﯾ ار اﻻﺳﺗﺧدام ﻓﻰ اﻟﺗﺣﻠﯾل
اﻟﺑﯾﯾزى وﻫﻣﺎ:
اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻘﺑﻠﯾﻪ اﻟﻣراﻓﻘﺔ. اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻘﺑﻠﯾﻪ اﻟﻐﯾر َﻣﻌﻠﻣﺔ ٢٠٣
) (٣-٤اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﻟﻘﺒﻠﻴﺔ اﻟﻤﺮاﻓﻘﺔ Conjugate Prior Distributions ﺗﻌرﯾف :
ﯾﻘﺎل أن ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻘﺑﻠﯾﺔ ﺗﻛون ﻋﺎﺋﻠﺔ ﻣﺗراﻓﻘﺔ ﻣﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ اﻟﻣﺳﺣوب ﻣﻧﻪ اﻟﻌﯾﻧﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﯾﻧﺗﻣﻰ اﻟﻰ ﻧﻔس اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻟﺗﻰ ﯾﻧﺗﻣﻰ ﻋﻠﯾﻬﺎ أﺣﯾﺎﻧﺎ ﺑﺧﺎﺻﯾﺔ اﻻﻧﻐﻼق ﺗﺣت ً اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻣﻬﻣﺎ ﻛﺎﻧت اﻟﻣﺷﺎﻫدات وﺗﺳﻣﻰ ﻫذﻩ اﻟﺧﺎﺻﯾﺔ
اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ . closed under sampling
اﻵن ﺳوف ﻧوﺿﺢ ﻛﯾﻔﯾﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣراﻓق.
ﺗﺣت ﻓرض أن ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ وﻣن اﻟﻣﻣﻛن أن
ﺗﻣﺛل ﻣﺗﺟﻪ ﺣﯾث
ٕ 1, 2 ,..., k واذا ﻛﺎﻧت X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺣﺟﻣﻬﺎ n
ﻣﺳﺣوﺑﺔ
ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗوزﯾﻌﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ٕ f x واذا ﻛﺎﻧت x x1,x 2 ,...,xn ﺗرﻣز ﻟﻘراءات ﻋﯾﻧﻪ ٕ .واذا ﻛﺎﻧت f x ﻋﺿو ﻓﻰ اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻷﺳﯾﺔ ﻓﺈن: f x ea b(x)c d(x) .
وﺑﺎﻟﻧظر اﻟﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ أﻧﻪ داﻟﻪ ﻓﻰ ﻓﺈن داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن ﺗﻛون ﻋﻠﻰ
اﻟﺻورﻩ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:
n
na c d x i i1
L e
اﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة: n
n na c d x L , n; d x i e i 1 i
i 1
وﺑﺎﺧﺗﯾﺎر اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﯾﺗﻧﺎﺳب ﻣﻊ داﻟﻪ اﻹﻣﻛﺎن ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ: ; 1 , 1 e a c , 1
1
وﯾدﻣﺞ داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن ﻣﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﯾﺄﺧذ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: ; 2 , 2 e a c , 2
2
ﺣﯾث : n
2 1 d x i , 2 1 n. i 1
٢٠٤
اﻟﺟدول اﻻﺗﻰ ﯾﻌطﻰ ﺑﻌض اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xواﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻘﺑﻠﯾﻪ اﻟﻣراﻓﻘﺔ ﻟﻬﺎ: ﺗوزﯾﻊ X
اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣراﻓق
ذى اﻟﺣدﯾن
اﺣﺗﻣﺎل اﻟﻧﺟﺎح
ﺑﯾﺗﺎ
ﺑواﺳون
اﻟﻣﺗوﺳط
ﺟﺎﻣﺎ
اﻷﺳﻲ
ﻣﻘﻠوب اﻟﻣﺗوﺳط
ﺟﺎﻣﺎ
اﻟطﺑﯾﻌﻰ
اﻟﻣﺗوﺳط)اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻣﻌﻠوم(
اﻟطﺑﯾﻌﻰ
اﻟطﺑﯾﻌﻰ
اﻟﺗﺑﺎﯾن)اﻟﻣﺗوﺳط ﻣﻌﻠوم(
ﻣﻌﻛوس ﺟﺎﻣﺎ
ﻣن ﻣزاﯾﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣراﻓق اﻧﻪ ﻣن اﻟﺳﻬل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗوﻗﻌﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻪ
ﻛﻣﺎ أن اﻓراد اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻟﻣراﻓﻘﺔ ﻛﺛﯾرون ﺑﺣﯾث ﯾﺳﺗطﯾﻊ اﻟﺷﺧص ان ﯾﻣﺛل ﻣﻌﻠوﻣﺎﺗﻪ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑﻔرد
ﻣن أﻓراد اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ ،ﻟذﻟك ﯾﻘﺎل ان اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻟﻣراﻓﻘﺔ ﻏﻧﯾﺔ ﻣرﻧﻪ. ﻣﺛﺎل )(١٤-٢
ﻟﻠﻣﺛﺎل ) (٩-٤وﺑﻔرض أن Xﺗﺄﺧذ اﻟﻘﯾﻣﻪ 0أو 1ﺣﯾث Xﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﻪ
ﺣﯾث )= وﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ( . P
واﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣراﻓق . اﻟﺤــﻞ: i
L x x (1 )n x i
) e x ln n x ln(1 i
i
n ln1-x i ln ln1
وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣراﻓق ﺳوف ﯾﻛون: a ln 1 b ln ln 1 a ln 1 b ln 1 b
e
e
e
b 1
a
1-
b .
a b
1-
٢٠٥
أى أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ اﻟﻣراﻓق ﻫو: , 0 1.
a-b
c b 1-
ﻹﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺔ اﻟﺛﺎﺑت cﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ : 1
d 1 0
d 1
a b
1
cb 1
0
d 1
a b
1
c b 1 0
c(b 1,a b 1) 1 1 c b 1,a b 1 b (1 )a b 0 1. b 1,a b 1
اى ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم ).(b+1),(a-b+1 اى أن :
) ~ (A, B
ﺣﯾث b 1 A
,
a b 1 B
وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺑﻌدﯾﻪ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﻫﻰ:
1-b+n-t-1 0<<1.
x a +t-1
ﺣﯾث . t x i
اى ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم ). (a t),(b n t
ﯾﻼﺣظ ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﯾﻧﺗﻣﻰ اﻟﻰ ﻧﻔس اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻟﺗﻰ ﯾﻧﺗﻣﻰ اﻟﯾﻬﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ أى أن
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻋﺿو أو ﻓرد ﻓﻰ ﻧﻔس اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻟﺗﻰ ﯾﻧﺗﻣﻰ اﻟﯾﻬﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻓﻰ ﻣﺛل ﻫذﻩ
اﻟﺣﺎﻟﻪ ﻧﻘول ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻣراﻓق ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ اﻟﻣﺳﺣوب ﻣﻧﻪ اﻟﻌﯾﻧﻪ. ٢٠٦
ﻣﺛﺎل )(١٥-٤ إذا ﻛﺎﻧت X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل: , x 1, 2,....
e - x f x !x
اوﺟدي اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣراﻓق واﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟ ـ . اﻟﺤــﻞ: داﻟﺔ اﻹﻣﻛﺎن ﻫﻰ:
e x ! xi
n
L(x ) i 1
L(x ) e -n + ( x i ) ln اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ ﯾﺎﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
e a b ln c e a b ln 0 < < .
c ea b
ﻟﺣﺳﺎب ﻗﯾﻣﺔ cﻧﺗﺑﻊ اﻻﺗﻰ:
d 1 0
ce a b d 1
0
c b e a d 1. 0
ﺑوﺿﻊ: ٢٠٧
du a u a b u u du 1 e a a d
c 0
u b e u du 1
c b 1
0
b 1 1
a
c a b 1
a b 1 c b 1 a b 1 b e a b 1
0 .
إذن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم ) (b 1),(aﺣﯾث b > -1و a > 0وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺳوف ﯾﻛون :
ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟـ
n a
.
b t 1
bte ) (b t 1
n a
x
أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى واﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻋﺿوان ﻓﻰ ﻋﺎﺋﻠﺔ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ. ﻣﺛﺎل )(١٦-٤ إذا ﻛﺎﻧت X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ
اﻻﺣﺗﻣﺎل:
, x > 0.
f (x ) e x
اوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ اﻟﻣراﻓق. اﻟﺤــﻞ: داﻟﺔ اﻹﻣﻛﺎن ﻫﻰ: ٢٠٨
n
L(x ) e x i 1
L(x ) n e x i c a e b 0. : ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻰc ﻻﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺔ اﻟﺛﺎﺑت
d 1
0
c
a
e b d 1
0
c a e bd 1 . 0
:ﺑوﺿﻊ
d
1 u du b u. b b
٢٠٩
a
du b cb e u ( ) 1 u b 0 ua u e 1 b a 1
u a e u du 1
0
c 0
c a 1
b
b a 1 a 1 a 1 1 c b a 1 c
0.
b a 1 a e b a 1
اذن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم ). (a 1),(b ﻣﺛﺎل )(١٧-٤ إذا ﻛﺎﻧت X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ
اﻻﺣﺗﻣﺎل:
, 0 < x < .
1
f (x )
أوﺟد ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻣراﻓق وﻣن ﺛم أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى.
اﻟﺤــﻞ: ﻣن اﻟﻣﻌﻠوم أن داﻟﺔ اﻹﻣﻛﺎن ﻫﻲ:
; i = 1, 2, ...,n.
, 0 < xi <
وﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: ٢١٠
1 n
L(x )
L(x )
1 n
,>u u = max (xi) ﺣﯾث
:وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﺎﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ
()
1
,>b
a 1
ﺛواﺑت اﻟﺗوزﯾﻊa , b > 0 ﺣﯾث .
( )
k , > b. a 1
: ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲk ﻹﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺔ اﻟﺛﺎﺑت
d 1 b
k d 1 a 1
b
k b
d a 1 k a 1 a
1 b
k 1 0 1 a b a k a 1 ab
k ab a
ab a a 1
x
; > b.
:وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﯾﻛون
1 a n 1
; >t
: وﻋﻠﻰ ذﻟك
٢١١
t = max (b,u) ﺣﯾث
c
; > t.
a n 1
وﻹﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺔ cﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ:
x
x d 1 t
(a n 1)1
c
1 d c d c t an1 t (a n 1) 1 an1 t
t
c 1 c 1 0 a n a n t a n t a n c 1 a n t a n
c a n t an ; > t max (b, u) .
a n t a n a+n+1
x
) (٤-٤اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﻟﻘﺒﻠﻴﺔ اﻟﻐﻴﺮ ﻣﻌﻠﻤﺔ Non-Information Prior Distributions
ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻘﺑﻠﯾﺔ )ﻗﺑل ﺳﺣب ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ( ﻋن اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ﻗﻠﯾﻠﺔ أو ﻧﺎدرة
ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻛون ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺟﻬل ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻬذﻩ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ،أي أن ﻣﻌرﻓﺗﻧﺎ ﻗﻠﯾﻠﺔ وﻧرﻏب ﻓﻰ ﺗﻣﺛﯾل ﻫذﻩ
اﻟﻣﻌرﻓﺔ اﻟﻣﺣدودة ﺟداً ﺑﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﯾﻌﺑر ﻋﻧﻬﺎ ،واﻟذى ﯾدﻋﻰ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻐﯾر ﻣﻌﻠم أو اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﺟﺎﻫل ، ignorance priorﺣﯾث ﺗﻛون اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣﺗوﻓرة ﺣول
اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ﻗﺑل اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﻏﯾر ﺟوﻫرﯾﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻏﻠﻲ اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣﺗوﻗﻊ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن اﻟﻌﯾﻧﺔ ٢١٢
ﺧﺎﺻﺎ ﻷي ً اﻫﺗﻣﺎﻣﺎ ً .ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺟﻬل او اﻟﻣﻌرﻓﺔ اﻟﻣﺣدودة ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ﺗﻔرض ﻋﻠﯾﻧﺎ اﻻ ﻧﻌطﻰ ﻗﯾﻣﺔ ﻣن اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﻬذﻩ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ.
وﻫﻧﺎك ﻋدة طرق ﻟﻠﺗﻌﺑﯾر ﻋﻠﻰ ذﻟك ﻧذﻛر ﻣﻧﻬﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم واﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﻣﻌﺗﻣدة ﻋﻠﻰ
ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر.
) (١-٤-٤اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ Uniform Distribution ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ
ﻗﯾم ﻓﻰ ﻣدى ﻣﺣدود )ﻓﺗرة( ﻓﯾﺧﺗﺎر ﻟﻬﺎ ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻣﻧﺗظم ﻋﻠﻰ
ﻫذﻩ اﻟﻔﺗرة أي أذا ﻛﺎﻧت a bﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻬﺎ ﻫو :
1 , a b. ba ﻗﯾم ﻓﻰ اﻟﻣدي , ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ()
اﻣﺎ اذا ﻛﺎﻧت ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ
:
)(١-٤
< < .
,
c
ﺣﯾث cﺛﺎﺑت
وأﺧﯾراً اذا ﻛﺎﻧت اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ
اﻟﺷﻛل :
)(٢-٤
ﺗﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺎً ﻓﻰ اﻟﻣدي 0, ﻓﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﻛون ﻋﻠﻰ
, 0 < < .
1
()
اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻘﺑﻠﯾﻪ اﻟﻐﯾر ﻣﻌﻠﻣﺔ ﻓﻰ ) (٢-٤) ، (١-٤ﺗﺳﻣﻰ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻏﯾر ﻛﺎﻣﻠﺔ ،ﻏﯾر ﺗﺎﻣﺔ
، improperﻷن ﺗﻛﺎﻣل ﻫذﻩ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت ﻋﻠﻰ ﻣدي اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ
ﯾﻌطﻰ ﻣﺎ ﻻﻧﻬﺎﯾﺔ )∞( وﻫذﻩ
ﻋﻣﻠﯾﺎ ﻷﻧﻪ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ ﻛداﻟﺔ وزن ﺗﺧﺻص أوزاﻧﺎً ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ً ﻟﯾﺳت ﻣﺷﻛﻠﺔ ﻛﺑﯾرة ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺎﻓﺔ ﻻﻧﻬﺎﺋﯾﺔ. ﻣﺛﺎل )(١٨-٤ ﺑﻔرض أن ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﻣﻠﻪ وﻛﺎن اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ واﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺻول
ﻋﻠﻰ وﺟﻪ ﻓﻰ اﻟرﻣﯾﻪ اﻟواﺣدﻩ ،ﻧﻌﻠم أن . 0 < < 1إذا ﻟم ﯾﻛن ﻟدﯾﻧﺎ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻛﺎﻓﯾﺔ ٢١٣
ﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﻔﺗرة ﻓﺈﻧﻧﺎ ﯾﻣﻛن أن ﻧﻔﺗرض ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻣﻧﺗظم ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ
وﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻪ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ:
,
1
e.w.
0
0< < 1
ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ) ( 0 , 1
ﺣﯾث ﻧﺷﻌر أن ﻛل اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﻪ ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ) ( 0 , 1ﻟﻬﺎ ﻧﻔس اﻣﻛﺎﻧﯾﺔ اﻟﺣدوث .وﻣن ﻧﺎﺣﯾﻪ أﺧرى ﻗد ﻧﺷﻌر أن
ﯾﻣﻛن ان ﺗﻛون ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة .4 < < .6
اﻟﻌﻣﻠﺔ ﻣﺗزﻧﻪ وﻟذﻟك ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ:
.4 < < .6. وﻗد ﻧﺷﻌر أن ﻗﯾم
اى ﻧﻔﺗرض ان
5
,
ﯾﻣﻛن أن ﺗﻛون ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة .4اﻟﻰ .6وﻟﻛن ﻓﻘط اﻟﻘﯾم .6 , .4 ,
.5ﺣﯾث اﻣﻛﺎﻧﯾﺔ ظﻬور .5ﺿﻌف ظﻬور .4او .6وﻋﻠﻰ ذﻟك :
.4 , .6 .5
1 , 4 1 , 2 0 e.w.
ﻣﺛﺎل )(١٩-٤ ﺑﻔرض أن داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ
0< x < .
,
ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : ٢١٤
ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
1
f x
0 < < 1.
,
1
اﻟﻣطﻠوب :اﯾﺟﺎد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ . اﻟﺤــﻞ:
T max Xi
ﺣﯾث X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ . f x
وﻋﻠﻲ ذﻟك:
٢١٥
h t nf t F(t)
n1
1 t 1 h t n du 0 n t
n 1
n 1
nt n 1 . n
t h t 1.
nt n 1 nt n 1 1 n n , t 1. n 1
t
1
t
1/ n 1/ n 1 1n 1 d n 1
t
n (1 n) t n 1 . t1n 1 t n 1 n 1 t n 1 n . , t . 1 t n 1
(٢٠-٤) ﻣﺛﺎل ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺣﯾث :اﻟﻐﯾر ﻣﻌﻠم ﻫو
c
X X1,X2 ,...,Xn ﺑﻔرض أن
وﺑﻔرض أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟـXi ~ N ,
, < < . :اﻟداﻟﻪ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﯾﺳت داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل وذﻟك ﻷن
d .
او ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ وﺟود اﻛﺛر ﻣن ﻣﻌﻠﻣﺔ
( ﻣﻌﻠﻮﻣﺎت ﻓﻴﺸﺮ٢-٤-٤)
وﺗﺳﺗﺧدم ﻫذﻩ اﻟطرﯾﻘﺔ ﺳواء ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﻌﻠﻣﺔ واﺣدة
٢١٦
.
)ا( ﺣﺎﻟﺔ ﻣﻌﻠﻣﺔ واﺣدة
ﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟطرﯾﻘﺔ ﯾﺗم اﺧﺗﯾﺎر اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ
ﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر أى أن :
1 2.
ﻟﯾﺗﻧﺎﺳب ﻣﻊ اﻟﺟذر اﻟﺗرﺑﯾﻌﻰ
I
ﺣﯾث ) I(ﻫﻲ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر اﻟﻣﻌرﻓﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ: 2 I( ) E 2 ln f (x ) .
وﯾﺳﻣﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ) (ﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ Jeffrey's ﻣﺛﺎل )(٢١-٤ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل:
f x x (1-)1-x , x 0,1; 0 < < 1 أوﺟد ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻏﯾر ﻣﻌﻠم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر
ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر .
اﻟﺤــﻞ: ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻏﯾر ﻣﻌﻠوم ﻟـ
ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر ﺣﯾث:
)In f x xln (1 x)ln(1 x 1 x 1 x 1 x 2 1 2
ln f x
2 ln f x 2
2ln f x 1 I E . 2 1
وذﻟك ﻻن . E(X) وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺈن: 1 1 ٢١٧
()
ﻣﺛﺎل )(٢٢-٤ إذا ﻛﺎن X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﺑداﻟﺔ
ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل:
ex f x , !x
x 0, 1, 2, .... اوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟـ
ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر.
اﻟﺤــﻞ: ln f x xln cons tan t x . 2
وﻣﻧﻬﺎ ﻓﺈن: وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ اﻟﻣﻘﺗرح ﻫو:
1 . 2
2ln f x 2
I()
() 1.
ﻣﺛﺎل )(٢٣-٤ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل:
n f x x (1- )n-x , x 0,1,2, ....,n ; 0 < < 1 . x أوﺟد ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻏﯾر ﻣﻌﻠم ﻟـ
ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر .
اﻟﺤــﻞ: ﯾﻌﺗﺑر اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻏﯾر ﻣﻌﻠم ﻟـ
0 < < 1. وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻟـ
,
.
1
ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ: ٢١٨
n ln f x ln x ln (n x)ln(1 ) x x nx ln f x 1 x nx 2ln f x 2 2 1 2 x nx E 2 ln f (x ) 2 2 1
n n n . 1 1
:وﻋﻠﻲ ذﻟك n . 1
()
(٢٤-٤) ﻣﺛﺎل :ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎلX إذا ﻛﺎن
f x e-x , x 0 ; > 0 . .ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر
أوﺟد ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻏﯾر ﻣﻌﻠم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ﻟـ :اﻟﺤــﻞ :ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر ﻓﺈن
ln f x ln x ln f x
2ln f x
2
1 x,
1 2
2lnf x 1 I E 2. 2 ٢١٩
وﻋﻠﻲ ذﻟك: 1 () .
ﻣﺛﺎل )(٢٥-٤ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺣﯾث , X ~ N , ﻣﻌﻠوﻣﺔ
أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي اﻟﻣﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر ﻟـ . اﻟﺤــﻞ:
1 (x-)2 / constan t . 2
وﻋﻠﻰ ذﻟك:
ln f (x )
) 2ln f (x 1 . 2
واﻟذي ﻻ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ . Xوﻋﻠﻰ ذﻟك:
I() 1/ .
واﻟذي ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻫو : ()1/ .
ٕواذا ﻛﺎﻧت
وﻋﻠﻰ ذﻟك :
ﻣﻌﻠوﻣﻪ و ﻏﯾر ﻣﻌﻠوﻣﻪ ﻓﺈن:
1 1 ln (x-)2 / constan t . 2 2 ٢٢٠
ln f x
1 2 2 x / 3. 2
2ln f x 2
وﻋﻠﻰ ذﻟك:
وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻫو:
1 I() 2 2 2 1 2 . 2
1/ . ﻣﺛﺎل )(٢٦-٤ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﺣﯾث X ~ N 0, , 2أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟـ
ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﯾﺷر. اﻟﺤــﻞ:
-x2 exp . 2 , < x < 0 < < .
٢٢١
1 f x 2
1 1 1 ln f x ln 2 ln x 2 2 2 2 1 x2 2 2 2 1 x2 22 3
ln f x ln f x 2
2 ln f x I() E 2 1 1 2 3 E X2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 I() .
)ب( ﺣﺎﻟﺔ اﻛﺛر ﻣن ﻣﻌﻠﻣﺔ
ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻹﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻲ ﻋدة ﻣﻌﺎﻟم ،أي إذا ﻛﺎﻧت
ﻣﺗﺟﻪ ﻣن اﻟﻣﻌﺎﻟم ﺑﻣﻌﻧﻰ أن 1, 2 ,..., n ﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﻪ ﯾﻣﻛن أن ﻧﻧظر إﻟﻲ
اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻛﻣﺎﯾﻠﻰ:
) (اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﻌﺎﻟم 1, 2 ,..., n ﺣﯾث f x اﻟﺗوزﯾﻊ اﻹﺣﺗﻣﺎﻟﻲ
اﻟﻣﺷروط ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﺑﻣﻌﻠوﻣﯾﺔ x , اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﻌﺎﻟم ﺑﺷرط اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﺔ x x1,x 2 ,...,xn وﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻗﻠﯾﻠﺔ أو ﻧﺎدرة ﻋن وﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺔ ﻓﯾﺷر ﯾﺗم ﺣﺳﺎب اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ )I(
واﻟﻌﻣود jﻫو:
ﺣﯾث اﻟﻌﻧﺻر ﻓﻰ اﻟﺻف i
2 ln f x | I()ij E i j
ٕواذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ﻣﺷﺎﻫدات x x1,x 2 ,...,xn ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ وﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﻪ ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ
اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟـ
ﻫو:
() det I x ٢٢٢
ﺣﯾث det I ﻫو اﻟﻣﺣدد ﻟﻠﻣﺻﻔوﻓﺔ ). I( ﻣﺛﺎل )(٢٧-٤ إذا ﻛﺎن X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن
, ﻏﯾر ﻣﻌﻠوﻣﺗﺎن اوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻛل ﻣن . , اﻟﺤــﻞ:
1 1 ln (x )2 constant 2 2
lnf(x| ,)
وﻋﻠﻰ ذﻟك: ) ln f (x | , ) 2 ln f (x | , x / , 1/ , 2 ) ln f (x | , 1 1 2 ln f (x | , ) 1 2 2 2 1 x / 2 , x / 3 , 2 2 2 2
وﻷن : 2
E(X) , E X ,
ﻋﻠﻰ ذﻟك : 1 0 I(; x) 1 2 0 2 1 وﺑﻣﺎ ان اﻟﻣﺣدد ﻟﻠﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﺳﺎوى 3وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟـ , ﻫو: 2 1 I , x 3. 2
وﯾﻣﻛن ان ﻧﺎﺧذ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ:
(, )3 .
) (٥-٤اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ اﻟﻤﺰﻋﺠﺔ او اﻟﻤﻘﻠﻘﺔ Nuisance Parameters ٢٢٣
ﻣﻧﺻﺑﺎ ً إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻋدة ﻣﻌﺎﻟم ٕواذا ﻛﺎن اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ
ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠﻣﺔ ﺑﻌﯾﻧﻬﺎ ﻓﺈن ﺑﺎﻗﻲ اﻟﻣﻌﺎﻟم ﺗﻌﺗﺑر ﻣﻌﺎﻟم ﻣﻘﻠﻘﺔ أو ﻣزﻋﺟﺔ وﻻ ﻧﺣﺗﺎﺟﻬﺎ وﯾﻣﻛن اﻟﺗﺧﻠص ﻣﻧﻬﺎ ﺑﺈﯾﺟﺎد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي اﻟﻬﺎﻣﺷﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟذى ﯾﻌﻧﯾﻧﺎ .ﻓﻣﺛﻼً ،ﺑﻔرض أن
1, 2 ﻓﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي اﻟﻣﺷﺗرك ﻟـ 1 , 2ﻋﻧد X xﯾرﻣز ﻟﻪ ﺑـ . 1 , 2 x
ٕواذا ﻛﺎن اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﯾﻘﺗﺻر ﻋﻠﻲ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ 1ﻓﺈن اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ 2ﺗﻌﺗﺑر ﻣﻘﻠﻘﺔ أو ﻣزﻋﺟﺔ ،وﯾﻣﻛن
اﻟﺗﺧﻠص ﻣﻧﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻵﺗﻲ:
1 , 2 x d2 , g 1 , x 1 , 2 x . 2
2
ﻣﺛﺎل )(٢٨-٤ إذا ﻛﺎن X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ N ,
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن , ﻫو ﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﻣﻌﻠم ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ : 1 ,
(, )
ﺣﯾث , ﻣﺳﺗﻘﻼن .اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻛل ﻣن . , اﻟﺤــﻞ: داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن ﻫﻲ : 2
.
xi 2
n 2
1 L(, | x) e 2
أذن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي اﻟﻣﺷﺗرك ﻫو : 2
.
x i 2 n 1 2
e
(, x)
وﺑﻣﺎ أن: 2
2
x i n 1 s 2 n x , ٢٢٤
وﻛﺎن
2
xi x i1
,
n 1
ﻫو ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓﺈن: 2
n
(n 1)s2 n x 2
.
s2
e
n 1 2
(, x)
ﯾﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﺎﻣﺷﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ﺑﺎﺟراء اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻟﻠداﻟﻪ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﻪ ﻟـ
ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ :
n 2
1 ( x) 2 2 n 1 s n x 1 n 2 2 n x . 1 2 n 1 s
وﺑوﺿﻊ : n x s
ﻓﺈن: .
1
t
(t x)
n 2
t2 1 n 1
ﺣﯾث
n
x s
ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ tﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﻪ ). (n – 1
اﯾﺿﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﺎﻣﺷﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ﻫو:
٢٢٥
d
( x) 2 2
(n 1)s 2 2
n
e
n( x)2 2
d
e
1 2 2
(n 1)s 2 2
n 1 2
2 e
n 1 2
e
( x)
ﺣﯾث اﻟﺗﻛﺎﻣل ﯾﺳﺎوي واﺣد وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺈن: (n 1)s 2 2
.
n 1 2
e
( x)
n 1 1 (n-1)s 2 أي أن: وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن , ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم 2 2 (n 1)s 2 ~ 2n 1 .
ﻣﺛﺎل )(٢٩-٤ ﻫﻲ:
إذا ﻛﺎن X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ x 0.
,
f (x ) ex
وﻛﺎﻧت :
Y Y1,Y2 ,...,Yn ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻫﻰ: y 0.
اوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
,
f (y ) e y
إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻏﯾر ﻣﻌﻠم و , ﻣﺳﺗﻘﻼن.
اﻟﺤــﻞ: اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺗﯾن , ﻫو: 1 .
(, )
٢٢٦
داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن ﻫﻲ:
m n e t u ﺣﯾث ﻫو:
n
u yi i 1
m
t x i ,وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن , i 1
t mu m (, x, y) m1 n 1 e t u )(m)(n n tm m 1 t u e n 1eu m n
x y .
وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺑﻌدﯾﻪ ﻟﻛل ﻣن , ﻣﺳﺗﻘﻠﻪ ﺣﯾث ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ) (m, tو ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن )(n,u
أي أن 2 T ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ 2mﻛﻣﺎ ان 2 Uﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى
ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ . 2nوﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن :
ﺗﻌﻧﻰ اﻟﺟﻣﻠﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ان
2 T /2m nT ~ F2m,2n . 2U / 2n mU 2 T /2m nT ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ Fﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ 2U / 2n mU
2m,2n
وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﺈن :
ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ Fﺑدﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ).(2m , 2n
nT . mU
ﻓﻰ اﻟﺑﻧدﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن ﺳوف ﻧﻘدم ﻣﻘدرﯾﯾن ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﺑﯾﯾز.
) (٦-٤ﻣﻘﺪر اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻟﺒﻴﻴﺰ
إن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻓﻲ ﺗﺣﻠﯾل ﺑﯾﯾز ﯾﺣل ﻣﺣل داﻟﺔ اﻹﻣﻛﺎن ﻓﻲ أﻧﻪ ﯾﺷﻣل ﻋﻠﻰ ﻛل
اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣﺗوﻓرة ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ﻗﺑل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺣت ٢٢٧
اﻟدراﺳﺔ ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ اﻟﻰ اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣﺣﺗواﻩ ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﻪ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ وﻋﻠﻰ ذﻟك إذا ﻛﻧﺎ
ﻧرﯾد ﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ﻧﻔس اﻷﺳﻠوب اﻟذى أﺗﺑﻌﻧﺎﻩ ﻓﻲ داﻟﺔ اﻹﻣﻛﺎن ،أي ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﺧدام ﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻰ ﺗﻌظم اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي أي اﻟﻣﻧوال ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن
اﺳﺗﺧدام اﺣد ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﻪ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ اﻷﺧرى ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟـ ﻣﺛل اﻟوﺳﯾط وذﻟك ﻟﺗﻘدﯾر
اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ . ﻋﺎدة ﯾﺳﺗﺧدم اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ )اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﻪ( ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟـ ، ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد ﺗﻘدﯾر ﻷي داﻟﺔ ) u(ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠداﻟﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ،ﻓﺈذا رﻣزﻧﺎ ﻟـ * u* (), ﻛﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﺑﻧﻘطﺔ ﻟـ u(), ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ اﻟﻣراﻓﻘﯾن ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ،ﻓﺈن: x d * E() x , u() x d u * () E u() u() x .
ﻣﺛﺎل )(٣٠-٤ إذا ﻛﺎن X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ
اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﻪ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:
.
1 x
f x x 1
وﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﻫو : 1 a 1 (1 )b1. )(a, b
()
اوﺟد ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ وﺗﻘدﯾر ﻟﻠداﻟﺔ ). g() /(1 اﻟﺤــﻞ: ﻧﻌﻠم ان :
٢٢٨
a t 1 (1 )bn t 1 x . )(a t,b n t 1 1 a t (1 )b n t 1 d (a t, b n t) 0
* E()
)(a t 1,b n t )(a t,b n t )(a+t+1) (b+n t) a b n . )(a+b+n 1) (a t) (b+n t at * . abn
ٕواذا ﻛﺎﻧت ) g() /(1 ﻓﺈن:
a t (1 )bn t 2 d g *() E )(a t,b n t (1 ) )(a t 1, b n t 1 )(a t . )(a t,b n t )(b n t 1
إذا ﻛﺎن a = b = 1ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﺻﺑﺢ () 1وﻫذا ﺗوزﯾﻊ ﻣﻧﺗظم ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة ( 0, . ˆ وﻋﻧدﻣﺎ a
t 1 t * ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﺗﻘدﯾر اﻻﻣﻛﺎن اﻻﻛﺑر ) 1وﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﻪ ﻧﺟد أن n 2n 1 ()وﻫو ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻏﯾر ﻣﻌﻠم .وﻓﻰ ﻫذﻩ = b = 0ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﯾﺻﺑﺢ 1 t اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻧﺟد أن ˆ أي ﯾﺳﺎوى ﺗﻘدﯾر اﻻﻣﻛﺎن اﻻﻛﺑر .وﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻛون ﻣﺻدر n ﻣﻌﻠوﻣﺎﺗﻧﺎ اﻷﺳﺎﺳﯾﺔ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ﻫو ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﻪ.
ﻣﺛﺎل )(٣١-٤ إذا ﻛﺎن X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻲ وﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ
اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟ ـ ﻫو:
0 1.
أوﺟد :
,
. * E x ٢٢٩
() 1
:اﻟﺤــﻞ g( x)
1 nt t 1 . (t 1,n t 1)
* E x
1 1 n t t 1 1 dt (t 1,n t 1) 0
(t 2,n t 1) (t 2) (n t 1)(n 2) (t 1,n t 1) (t 1) (n t 1) (n 3)
n t 1 , t xi. n2 i1
: ﻫو أى أن ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟـ n
(1 x i ) /(n 2). i 1
(٣٢-٤) ﻣﺛﺎل ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن وﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊX ﻣﺷﺎﻫدة واﺣدة ﻋﻠﻰ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲX إذا ﻛﺎن
:اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻫو
()
( ) 1 1 1 , 0 1. ( ) ()
. اوﺟد ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟـ :اﻟﺤــﻞ
f (x, )
( ) 1 1 n 1 () () x .x 1
٢٣٠
n x
n ( ) x 1 1 n x1 . x () () 1 n ( ) 1 x 1 f (x) f x; 1 n x 1d x () () 0 0 n ( ) ( x 1)(n x ) , x 0,1,...,n. (n ) x () () f (x; ) ( x) f (x) (n ) n x 1 x 1 1 ( x)(n x )
* E x
1 (n ) n x 1 x 1 d ( x)(n x ) 0
(n ) ( x 1)(n x ) ( x)(n x ) (n 1) x . n
(٣٣-٤) ﻣﺛﺎل : ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﺑواﺳون ﺣﯾثX X1,X2 ,....,Xn إذا ﻛﺎن x f (x ) e x 0,1,2,... x!
: ( أي أن2,3) وﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم () 9e3 , 0.
. اوﺟد ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟـ :اﻟﺤــﻞ : ﻫو اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟـ n
x i 1
n x e t nt n e , t xi . xi ! i 1 xi ! i 1
٢٣١
9
t 1e (n 3)
x
n
! xi i 1
t+1e (n 3) , > 0.
أي أن ) ( xﻫو ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ). (t 2,n 3
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻫو ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن 2,3ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻫو ﺟﺎﻣﺎ
ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ:
ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ
(n 3) t 2 t 1 (n 3) e . t 2
( x)
ﻫو:
(n 3)t 2 t 2 n 1 e d t 2 0 *
(n 3) t 2 t 3 t2 , t xi. t 3 n 3 )(t 2) (n 3 i 1
ﺣﯾث: )(t 3 (n 3) t 3
t 2 (n 1)
e
0
وﻋﻠﻰ ذﻟك: , t xi. i 1
t2 n 3
*
ﻣﺛﺎل )(٣٤-٤ إذا ﻛﺎن X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ: f (x ) e x .
ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟـ ﻫو ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ) (a 1,bأى ان: اوﺟد ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟـ .
ba 1 a -b () e , 0. a 1
اﻟﺤــﻞ: ٢٣٢
a n 1 , b t ﯾﺗﺑﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن
( x) ﺑﻣﺎ ان
:أي أن
(b t)a n 1 a n -(b+t) ( x) e , 0. (a n 1) (b t)a n 1 a n - (b+t) E( x) d e (a n 1) 0 *
(b t)a n t a n 2 a n 1 . an2 bt (a n 1) (b t)
(٣٥-٤) ﻣﺛﺎل ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ
ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔX X1,X2 ,...,Xn إذا ﻛﺎن
: اﻻﺣﺗﻣﺎل
f x
1 , 0 x .
: ﻫو ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
1 , 0 1.
: ﻫو واﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ n 1
( t)
(n 1)t 1 , t 1. 1 t n 1 n n1
(n 1)t E( | t) 1 t n 1 *
1
t
:ﻓﺈن
d d n 1
n 1 1 t n 2 t . n 2 1 t n 1
:ﯾﻼﺣظ أن اﻟﻣﻘدار ﺑﯾن اﻟﻘوﺳﯾن ﯾﺳﺎوى ﺗﻘرﯾﺑﺎ اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن *
n 1 t. n2
٢٣٣
(٣٦-٤) ﻣﺛﺎل ﺣﯾثN(, ) ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ
ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔX X1,X2 ,...,Xn إذا ﻛﺎن
ﻣﻘﺎدﯾر ﺛﺎﺑﺗﻪ ﻣﻌﻠوﻣﻪa,b2 ﺣﯾثN a,b2 ﯾﺗﺑﻊ ﻣﻌﻠوﻣﺔ وﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ . اوﺟد ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ :اﻟﺤــﻞ : وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈنX N , وأن إﺣﺻﺎء ﻛﺎﻓﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪX ﺑﻣﺎ أن n x h x .
x e
n
(x )2 2
( a) 2 2 e 2b
nb2 x a b2 x N , 2 2 nb nb 2 2 2 b x n a b n N , 2 2 b b n n 1 n x b2 a 1 N , . n 1 n 1 2 2 b b
:وﻋﻠﻲ ذﻟك ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻫو n a x 2 b * . n 1 b2
٢٣٤
ٕواذا ﻛﺎﻧت b 2 ﻓﺈن ﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن cﺣﯾث cﺛﺎﺑت .اى اﻧﻪ ﻻ ﯾوﺟد اﻻ
ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻗﻠﯾﻠﺔ ﺣول
ﻗﺑل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌﯾﻧﺔ وان ﻣﻌﻠوﻣﺎﺗﻧﺎ اﺳﺎﺳﺎ ﺳﯾﻛون ﻣﺻدرﻫﺎ
ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺔ.وﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﻪ ﻧﺟد أن * xوﻫوﻧﻔس ﺗﻘدﯾر اﻻﻣﻛﺎن اﻻﻛﺑر وﺗﻘدﯾر اﻟﻌزوم. ﻣﺛﺎل )(٣٧-٤
ﻓﻰ ﻣﺛﺎل ) ( ٤-٤وﺟدﻧﺎ أن داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺑﻌدﯾﻪ ﻟﻌدد اﻟوﺣدات اﻟﻣﻌﯾﺑﻪ ﻓﻰ
ﺷﺣﻧﻪ ﻣن 1000ﻫو:
990 x ) 0.05x 0.95990( x x , x, x 1,...,990 x.
ﺣﯾث: x 0,1,2,...,10.
ﻣن اﻟﻣﻌﻠوم أن xﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن p 0.05 , n 990وﻋﻠﻰ ذﻟك: E x x E( x) x (990)(0.05) 49.5 E( x) 49.5 x.
ﺣﯾث xﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﻣﻌﯾﺑﻪ ﻓﻰ ﻋﯾﻧﻪ ﻣن اﻟﺣﺟم . n = 10وﺑﻣﺎ أن داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻛﺎﻧت ﺗﺗﺑﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﺑﻣﻌﻠﻣﻪ p 0.05 , n 1000وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺗوﻗﻊ ان اﻟﺷﺣﻧﻪ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ (1000) (0.05) = 50وﺣدﻩ ﻣﻌﯾﺑﻪ ﻗﺑل اﺧذ اﻟﻌﯾﻧﻪ اﻟﺗﻰ ﺣﺟﻣﻬﺎ .10
ﺑﻔرض أن x = 0ﻓﻰ ﻋﯾﻧﻪ ﻣن اﻟﺣﺟم n = 10ﻓﺈن اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺑﯾزى ﺳوف ﯾﻛون
* 49.5 0 49.5ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﻓﻲ ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺣﯾث x 0ﻓﺈن اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺑﯾزى
ﺳوف ﯾزﯾد اى ان . 49.5 + x > 50 ﻣﺛﺎل )(٣٨-٤
ﻟﻠﻣﺛﺎل ) (١٣-٤واﻟﺧﺎص ﺑﺈﻟﻘﺎء ﻋﻣﻠﻪ ٕواذا ﻛﺎن x = 0إذا ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻛﺗﺎﺑﺔ و
x = 1إذا ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ وﺟﻪ وﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ﺗﺣت ﻓرض اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺑﻌدﯾﻪ اﻟﺛﻼﺛﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:
٢٣٥
ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي : 0 1
,
0 1.
x0 ,
| x) 2(1
,
x 1
2
,
ﻧﺟد أن : x0
,
x 1 .
,
1 3 2 3
*
ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى : ,
.4 .6 .4 .6 .
,
x0
,
x 1
,
| x) 10(1 10
ﻓﺈن: x 0 x 1 .
* .4933 .5067
, ,
ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي اﻟﻣﺗﻘطﻊ: .4
,
x 0 =.3
.5
,
.5
.6 .4
, ,
.2 | x 1 =.2
.5
,
.5
.6 .
,
.3
ﻧﺟد أن : x 0, x 1.
, ,
* .49 .51
) (٧-٤ﻣﻘﺪر ﻳﻴﻴﺰ ﺑﻔﺘﺮة Bayes Interval Estimation ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر اﻟﻧﻘطﻪ ﻛﻧﺎ ﻧﺧﺗﺎر ﻗﯾﻣﺔ وﺣﯾدﻩ ﺗﻛون ﻣﻘد ار ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ وﻋﺎدة ﺗﻛون اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ E x أو اﻟﻣﻧوال وﻟﻛن ﻟم ﻧرﻓق ﻣﺛل ﻫذا اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﺄي ﻣﻘﯾﺎس ﯾﻌﺑر ﻋن درﺟﺔ اﻟﺛﻘﺔ اﻟﺗﻰ ﯾﺗﻣﺗﻊ ﺑﻬﺎ .ﻟذﻟك ﻓﻲ ﺣﺎﻻت ﻋدﻩ ﯾﻛون ﻣن اﻟﻣﻔﯾد اﺳﺗﺑدال اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ٢٣٦
ﺑﻣﺟﻣوﻋﻪ ﻣن اﻟﻧﻘﺎط أي ﺑﻔﺗرة واﻟﺗﻰ ﻧﻌﺗﻘد اﻧﻬﺎ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل 1 واﻟذى ﯾﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺛﻘﺔ وﺗﺳﻣﻰ ﻫذﻩ اﻟﻔﺗرة 100(1 )%ﻓﺗرة ﺛﻘﻪ واﺣﺗﻣﺎل اﻧﻬﺎ
ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣﻪ ﻫو ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺛﻘﻪ .اﯾﺿﺎ ﺗﺳﻣﻰ ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز ﻓﺗرة اﺣﺗﻣﺎﻟﯾﻪ ﻻﻧﻬﺎ ﺗﻌطﻰ اﺣﺗﻣﺎل ان ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة اﻟﻣﻌطﺎﻩ .ﻓﻰ طرق ﺑﯾﯾز ﻓﺈن ﻫذﻩ اﻟﻔﺗرات ﯾﻣﻛن ﺗﻛوﯾﻧﻬﺎ ﺣﺗﻰ ﻗﺑل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﺷﺎﻫدات اﻟﻌﯾﻧﻪ .ﻓﺈذا ﻛﺎﻧت ﻟﻬﺎ ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻣﺗﺻل داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ
اﻟﻘﺑﻠﯾﻪ ﻫﻰ وﻛﺎن :
b
d 1 . a
ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣﺑﯾن ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ:
1
a
b
ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺳﺗطﯾﻊ ان ﻧدﻋﻰ ان اﻟﻔﺗرة ) (a,bﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ﻗدرﻩ 1 اﻣﺎ ﺑﻌد اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺷﺎﻫدات وﺣﺳﺎب اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي x ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺳﺗطﯾﻊ اﺧﺗﯾﺎر ﻗﯾﻣﺗﯾن t1,t 2 ﺑﺣﯾث ﯾﻛون: t2
x d 1 P(t1 t 2 ) 1 )(٣-٤
t1
ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣﺑﯾن ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ:
|x
٢٣٧
t2
t1
وﯾﺟب ﻣﻼﺣظﺔ أن t i t i (x),i 1,2ﻫﻣﺎ دوال ﻓﻲ ﻣﺷﺎﻫدات اﻟﻌﯾﻧﻪ x ،أي أن اﻟزوج t1, t 2ﺣﯾث t1 t 2اﻟﻣﺗﺣﻘق ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ) (٣-٤ﻟﯾس وﺣﯾد ﺑل ﺗوﺟد أزواج ﻋدﻩ ﺗﺣﻘق ﺗﻠك
اﻟﻌﻼﻗﻪ .وﯾﻔﺿل داﺋﻣﺎً ﻓﺗرﻩ اﻟﺛﻘﺔ t1,t 2 اﻟﻣراﻓﻘﻪ ﻻﺻﻐر ﻓرق . t 2 , t1ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻔﺗرات اﻟﺗﻰ
ﻧﻛوﻧﻬﺎ ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﺑﻔﺗرات ﺑﯾﯾز واﺣﯾﺎﻧﺎ ﺗﺳﻣﻰ ﻓﺗرات ﻣﻘﺑوﻟﺔ اوﻣﻌﺗﻣدة credible . interval ﺗﻌﺮﻳﻒ: إذا ﻛﺎﻧت x ﻫﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
وﻛﺎﻧت I x ﻫﻲ ﻓﺗرة ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
x d 1 ﻓﺈن I ﺗﺳﻣﻰ 100 1 %ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﺑﺣﯾث أن I
.
اﯾﺿﺎ ﻫﻧﺎك ﻓﺗرﻩ اﺣﺗﻣﺎل ﺑﯾﯾز اﻟﻣﺗﻣﺎﺛﻠﻪ ذات اﻟﺟﺎﻧﺑﯾن Symmetric 100(1-)% Two Side Bayes Probability Interval ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ) ﻟﻼﺧﺗﺻﺎر ﺗﻛﺗب (100 1 %TBPIوﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑﺣل
اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن:
, 2
x d
t1
x d 2 .
t2
واﻟﻔﺗرة اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﺳﻣﻰ ﻣﺗﻣﺎﺛﻠﺔ ﻻن ﻗﺳﻣت ﺑﺎﻟﺗﺳﺎوى ﺑﯾن طرﻓﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﺣﯾث t1ﻫو اﻟﺣد اﻻدﻧﻰ و t 2ﻫو اﻟﺣد اﻻﻋﻠﻰ ﺑﺣﯾث أن :
P(t1 t 2 ) 1 .
وﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد 100 1 %ﻓﺗرة اﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟﺑﯾﯾز دﻧﯾﺎ ﻣن ﺟﺎﻧب واﺣد
Lower One – Side Bayes Probability Intervalﻟﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ
اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ:
٢٣٨
ﺑﺣل
t1
x d .
ﻋﻣوﻣﺎ ﯾﻔﺿل اﺧﺗﯾﺎر t1, t 2ﺑﺣﯾث ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ أﻗﺻر ﻓﺗرة ﺛﻘﻪ )اﻟﻣرﻏوﺑﻪ او اﻟﻣﻌﺗﻣدة( وذﻟك
ﺑﺈﺗﺑﺎع اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
)ا( P(t1 t 2 ) 1
) ب(
t1 x t 2 x
ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻣﻧوال وﺣﯾد ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﺳﻣﻰ اﻋﻠﻰ ﻓﺗرة ﺛﻘﻪ .ﻓﻌﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﻟﻠﺗوزﯾﻊ
ﻣﻧوال وﺣﯾد ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺑﺣث ﻋن أﻗﺻر ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ t1,t1 h ﺑﺣﯾث أن :
t1 x t1 h x ﺗﺣت ﺷرط أن P(t1 t1 h) 1 وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ أﻗل ﻗﯾﻣﺔ ﻟـ .Zellner (1971), Box and Tiao(1973) (t 2 t1 h) hوﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻔﺗرة اﻋﻠﻰ ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ .ﻋﻠﻲ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﺑﻔرض أن : 1 b 1 (1 ) b 1. ) (b1 ,b 2 2
ﺣﯾث
b1 0
,
b2 0
1
x
ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺧﺗﺎر ذﯾﻠﯾﯾن ﻣﺗﺳﺎوﯾﯾن أي أن :
ﻋﻧدﻣﺎ b1 b 2ﻓﺈن x ﺳوف ﯾﻛون ﻟﻬﺎ ﻣﻧوال وﺣﯾد وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻧﺧﺗﺎر: t1 x t1 h x
t1 h b 1 (1 t1 h)b 1 t1b 1 (1 t1 ) b 1. 1
2
1
2
أو: b 2 1
1.
1 t1 h 1 t1
b1 1
t1 h t1
واﻟذى ﯾﻌطﻰ ﻋﻼﻗﻪ ﺑدﻻﻟﺔ t1وذﻟك ﺑﻌد وﺿﻊ ﻗﯾﻣﻪ ﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟـ hوذﻟك ﻣﻊ ﺗﺣﻘق اﻟﻌﻼﻗﺔ : 1 b 1 (1 ) b 1 d 1 . ) (b1 ,b 2 2
1
t1 h
F t1 h F t1
t1
ﺑﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن اﻟﺳﺎﺑﻘﺗﯾن أﻧﯾﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ t1 , hوﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺣﺎﺳب اﻵﻟﻲ ﻓﻲ ذﻟك .
ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﻟﻠﺗوزﯾﻊ أﻛﺛر ﻣن ﻣﻧوال ﻓﺈن اﻟﺣل ﯾﻛون اﻛﺛر ﺻﻌوﺑﻪ واﻟﺣل ﻗد ﻻ ﯾﻛون وﺣﯾد. ٢٣٩
ﻣﺛﺎل )(٣٩-٤ إذا ﻛﺎﻧت X X1,X2 ,....,Xn ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ ) N(,1وﻛﺎﻧت
) N(0,1أوﺟد ﻓﺗرة ﺑﯾﯾزﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ
ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ﻗدرة 1 ﺣﯾث . .05ﯾﻌﺗﺑر ﻫذا
اﻟﻣﺛﺎل ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن اﻟﻣﺛﺎل ) (٣٦-٤ﺣﯾث . b 1,a 0 اﻟﺤــﻞ:
1 nx x N , , n 1 n 1 nx n 1 ~ N(0,1), 1 n 1
t1, t 2 اﻟﻠﺗﺎن ﺗﻌطﯾﺎن أﻗﺻر ﻓﺗرة ﺑﺷرط: P t1 t 2 1 .
ﺗﻛﺎﻓﺋﺎن اﻟﺑﺣث ﻋن z1,z 2اﻟﻠﺗﺎن ﺗﻌطﯾﺎن أﻗﺻر ﻓﺗرة ﺑﺷرط أن: z1 nx z2 nx P 1 . n 1 n 1 n 1 n 1
وﻟﻛن ﻣن ﺧﺻﺎﺋص اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ أن اﻗﺻر ﻓﺗرة ﻫﻰ اﻟﺗﻰ ﺗﻘﺎﺑل ذﯾﻠﯾﯾن ﻣﺗﺳﺎوى
اﻻﺣﺗﻣﺎل ،اي أن:
z 2 z ,
, 2
2
z1 z
nx z1 , n 1 n 1 nx z1 t2 , n 1 n 1 t1
ﺣﯾث أن z / 2
ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ z
اﻟﺗﻰ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ ﯾﺳﺎوى 2وﺗﺳﺗﺧرج ﻣن
ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ ﻓﻰ ﻣﻠﺣق ) (٢ﺑﺣﯾث أن : . 2
P 0 Z z 2 .5
ﺑﻔرض أن x 5 , n 30 , z / 2 1.96ﻓﺈن: ٢٤٠
30 5
1.96 .777, 30 1 30 1 30 5 1.96 1.481. t2 30 1 30 1 t1
ﻣﺛﺎل )(٤٠-٤ إذا ﻛﺎﻧت X X1X2 ,....,Xn ﻋﯾﻧﻪ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن : f x (1 ) x 1 , x 1, 2,3...
ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ ﻫو 1أوﺟد ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل . 1 اﻟﺤــﻞ: L x n (1 ) x n
ﺑوﺿﻊ t xﻓﺈن: x n (1 ) t n n (1 ) t n x . )(n 1, t n 1
أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم ) (n +1 , t – n +1واﻵن ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد ﻋددﯾن t1, t 2ﺑﺣﯾث أن: P t1 t 2 1 . وﻋﺎدة ﻓﻰ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﻠﺗوﯾﺔ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺧﺗﺎر t1ﺑﺣﯾث ﺗﻧﺣﺻر ﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎرﻫﺎ ﻣﺳﺎﺣﻪ ﻗدرﻫﺎ 2
وﻧﺧﺗﺎر t 2ﺑﺣﯾث ﺗﻧﺣﺻر ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ 2أي أن: . 2
1
x d
x d / 2 ,
t2
t1
0
وﯾﻣﻛن اﻻﺳﺗﻔﺎدة ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ وﺗوزﯾﻊ Fﻓﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز اﻟﻣطﻠوﺑﺔ ﻓﺈذا ﻛﺎﻧت U
ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن a,bأي ان ) U ~ (a,bﻓﺈن:
٢٤١
b U ~ F2a,2b )a (1 U t n 1 F ~ F2(n 1),2(t n 1) . )n 1 (1 V
وﻋﻠﻰ ذﻟك: t n 1 P F1 F2 1 . n 1 1
وﻣﻧﻬﺎ ﻧﺟد أن : F1 F2 P 1 . t n 1 t n 1 F1 F2 n 1 n 1
وﺗﺣدد ﻗﯾﻣﺔ F1 ,F2ﻣن ﺟدول Fﻣن ﻣﻠﺣق ) (٣ﻋﻧد .05او ﻣن ﻣﻠﺣق ) (٤ﻋﻧد
.01وﺑﻌد ﻣﻌرﻓﺔ ) (1 وﺑﺄﺧذ ) F2 f / 2 (1 , 2 ) , F1 f1 / 2 (1, 2ﺣﯾث ) F2 f / 2 (1 , 2ﻫﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻻﻓﻘﻰ ﺗﺣت ﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗوزﯾﻊ Fﺑدرﺟﺎت
ﺣرﯾﺔ ) 1 2(n 1), 2 2(t n 1واﻟﺗﻰ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ ﺗﺳﺎوى . 2اﻣﺎ ) F1 f1 / 2 (1 , 2ﻓﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 1 . ) f / 2 ( 2 , 1
F1 f1 / 2 (1, 2 )
وﺑذﻟك ﺗﻛون اﻟﻔﺗرة اﻟﻣطﻠوﺑﺔ ﻫﻲ: F1 F2 , . t n 1 t n 1 F1 F2 n 1 n 1
ﻣﺛﺎل )(٤١-٤
إذا ﻛﺎﻧت X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﻪ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن : f x x 1 , 0 x 1. ٢٤٢
1 ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ ﻫو
أوﺟد ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل . 1
اﻟﺤــﻞ: ﺑﻣﺎ أن U ln X iإﺣﺻﺎء ﻛﺎﻓﻲ ﻓﺈن: n n 1 u h u u e , u0 n u h u n 1e u .
اى أن: u n n 1 u u e )(n
أي أن
ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم )(n , u
واﻵن ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ وﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﻻﯾﺟﺎد ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز اﻟﻣطﻠوﺑﻪ ﺣﯾث: 2U ~ 22n
واﻵن ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺗﯾن ﻓﻰ ﻣﻠﺣق ) (٥ﺣﯾث
) 22 2 / 2 (2n) , 12 =1-2 /2 (2nﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى
12 =1-2 /2ﻫﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻻﻓﻘﻰ ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى
ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ 2nواﻟﺗﻰ اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ ﺗﺳﺎوى 1 2و ) 22 2 / 2 (2nﻫﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻻﻓﻘﻰ ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ 2nواﻟﺘﻰ اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ ﺗﺳﺎوى 2ﺑﺣﯾث أن :
P 12 2u 22 1 . 2 2 P 1 2 1 . 2u 2u
وﺑذﻟك ﺗﻛون ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز اﻟﻣطﻠوﺑﻪ ﻫﻰ: 12 / 2 2 /2 , . 2u 2u 2 2 0, ٕواذا ﻛﺎﻧت ﻣن ﺟﺎﻧب واﺣد ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل 1 ﻓﺗﻛون . 2u ٢٤٣
ﻓﻣﺛﻼ إذا ﻛﺎن: n 10 , u 8 , 1 .95
ﻓﺈن: 2n 20 , 12 9.591 , 22 34.17
وﺗﻛون اﻟﻔﺗرة ﻣن اﻟﺟﺎﻧﺑﯾن ﻫﻰ: 9.591 34.17 , .6,2.1 16 16
ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل .95وﺗﻛون اﻟﻔﺗرة ﻣن ﺟﺎﻧب واﺣد ﻫﻰ:
ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل .95
2 .05 31.41 0, 0, 0,1.96 . 16 16
ﻣﺛﺎل )(٤٢-٤ إذا ﻛﺎﻧت X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﻪ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن : 1 f x , 0 x .
و ﻛﺎن ﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ ﻣﻧﺗظم ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة ) ( 0, 1أوﺟد ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل . 1 اﻟﺤــﻞ: (n 1)t n 1 1 . , t 1. 1 t n 1 n
x
وذﻟك ﻣن اﻟﻣﺛﺎل ) (١١-٤و ). t max(xﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﻋﺑﺎرﻩ ﻋن داﻟﻪ ﻣﺗﻧﺎﻗﺻﻪ ﻓﻰ . وﻧﻼﺣظ أن أﻗﺻر ﻓﺗرة ﻫﻰ اﻟﺗﻰ ﯾﻛون ﺣدﻫﺎ اﻷدﻧﻰ tوﯾﺗﺣدد ﺣدﻫﺎ اﻻﻋﻠﻰ t 2ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ t2
| t d 1 . t
وﻣﻧﻬﺎ ﻧﺟد أن: ٢٤٤
.
t n 1
(1 )t
n 1
t2
وﺑذﻟك ﺗﻛون ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل 1 ﻫﻲ: (1 )t n 1 ).
n 1
(t , t
ﻣﺛﺎل )(٤٣-٤ إذا ﻛﺎﻧت X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرﻩ ﻣن N , وﻛﺎﻧت ,
ﻣﺟﻬوﻟﺗﯾن أوﺟد ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل 1 ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
إذا ﻋﻠﻣت أن :
1 , .
اﻟﺤــﻞ: ﻧﻌﻠم ﻣن ﻣﺛﺎل ) (٢٨-٤أن : n ~ t n 1 S
1 n (X i X) 2 و n 1 i1
S
اﻟﻠﺗﺎن ﺗﻌطﯾﺎن اﻗﺻر ﻓﺗرة ﻫﻣﺎ:
X
وﺣﯾث أن ﺗوزﯾﻊ
)t 2 t / 2 (n 1
,
tﻣﺗﻣﺎﺛل ﺣول ﻧﻘطﻪ اﻻﺻل ﻓﺈن t1, t 2
)t1 t / 2 (n 1
ﺣﯾث ) t 2 t / 2 (n 1ﺗﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟدول tﻣن ﻣﻠﺣق ) (٦وﻫﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻻﻓﻘﻰ ﺗﺣت ﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗوزﯾﻊ
tﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ )(n 1
واﻟﺗﻰ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ
ﺗﺳﺎوى . 2وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻓﺗرة ﺑﯾﯾز ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل 1 ﻫﻰ: s s < X t 2 ) 1 . n n
P(t1
وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﺈن:
s s t1 x + t 2 ) 1 . n n
وﺗﻛون اﻟﻔﺗرة ﻣن اﻟﺟﺎﻧﺑﯾن ﻫﻰ: ٢٤٥
P(x
ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل . 1
s s t1, x + t 2 ). n n
(x
ﻣﺛﺎل )(٤٤-٤ إذا ﻛﺎﻧت X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻲ ﻋﻠﻲ
اﻟﺷﻛل:
f x 1 , x 0,1
وإذا ﻛﺎن اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ اﻟﻤﺮاﻓﻖ ھﻮ ﺑﯿﺘﺎ .ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ a , bواﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﺒﻌﺪى ھﻮ ﺑﯿﺘﺎ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ n
) (a+t) , (b+n-tوﻋﻠﻲ ذﻟﻚ ﻓﺘﺮة ﺛﻘﮫ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﮫ ﺣﯿﺚ t x iﺗﺤﺴﺐ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ: i 1
P t1 t 2 1 )a b n a t 1 (1 ) b n t 1 d ) (a t)b n t
t2
t1 t2
x d 1 . t1
وﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ: )(n 1 y r 1 (1 y) n r dy )(r) (n r 1
u
0
r 1 n
1 u k (1 u)n k . k 0 k
ﺣﯾث أن : ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﻪ :
a t r , b n t n r 1 y , t t1 or t 2 .
٢٤٦
t2
t1
t1
t1
0
0
x d x d x d
a t 1 a b n k a bnk 1 t 1 t 2 2 k k 0 a t 1 a b n k abnk 1 t 1 t 1 1 k k 0 a t 1
k 0 a t 1
k 0
a b n k n k t1 1 t1 k a b n k n k t 2 1 t 2 . k
ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮭﺎ ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام t1 , t 2 ﻋﺪدﯾﻦ ﺻﺤﯿﺤﯿﻦ ﻓﺈن اﻟﻔﺘﺮةa, b وطﺎﻟﻤﺎ ﻛﺎن ﺑﺤﯿﺚ أنa b n ,c 2 واﻵﺧﺮ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎﻟﻢa b n , t1 واﺣﺪ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎﻟﻢ.ﻗﺎﻧﻮن ذى اﻟﺤﺪﯾﻦ وﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺤﺎﺳﺐ اﻻﻟﻰ ﻓﻰ. 1 ﯾﺴﺎوىk a t 1 اﻟﻔﺮق ﻓﻰ اﻟﺘﻮزﯾﻌﯿﻦ ﻋﻨﺪ وﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻘﺮﯾﺐ اﻟﻄﺒﯿﻌﻰ ﻛﻤﺎ. a , b, n, t ﻟﻘﯿﻢt1 , t 2 ﯾﻤﻜﻦ إﯾﺠﺎد.ﺣﺴﺎب ذﻟﻚ .ﯾﺘﻀﺢ ﻣﻦ اﻟﻤﺜﺎل اﻟﺘﺎﻟﻰ (٤٥-٤) ﻣﺜﺎل ، اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺤﮫ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻘﺮﯾﺐ اﻟﻄﺒﯿﻌﻰa, b ﻛﺒﯿﺮة وأنa+ b+n ﺑﻔﺮض أن :ﺣﯿﺚ a t 1 a
b n k a+b+n-k t1 1 t1 k k 0 a t 1 a b n t1 P(Z z1 ), z1 , (a b n)t (1 t ) 1 1 a t 1 a b n a+b+n-k k t k2 1 t 2 k 0 a t 1 a b n t2 P(Z<z 2 ), z 2 . (a b n)t (1 t ) 2 2
: ﺑﺣﯾث أنt1 , t 2 أي أﻧﻪ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ٢٤٧
P(Z z1 ) P(Z z 2 ) 1 .
ﯾﻣﻛن ﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن ﻻﯾﺟﺎد t1 , t 2ﺣﯾث: z / 2 z . 2
a t 1 a b n t1
) a b n) t1 (1 t1 a t 1 a b n t 2
) a b n) t 2 (1 t 2
ﺣﯾث ﻓﺗرة اﻟﺛﻘﺔ ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﺗﺻﺑﺢ : ) ** (1 , abn ) ** (1 . abn
t1 * -z /2 *
t 2 +z /2
ﺣﯾث: t 1 a . abn
*
ﻣﺛﺎل )(٤٦-٤ ﻣﺻﻧﻊ ﻻﻧﺗﺎج اﻟﻣﺻﺎﺑﯾﺢ اﻟﻛﻬرﺑﺎﺋﯾﺔ ﺑﺣﯾث ان ﻋﻣر اﻟﻣﺻﺑﺎح Xﻣﻘدر ﺑﺳﺎﻋﻪ اﺿﺎءﻩ ﯾﺗﺑﻊ ﺗﻘرﯾﺑﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ﻏﯾر ﻣﻌﻠوم واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري ﯾﺳﺎوى 100ﺳﺎﻋﻪ اﺿﺎءة .ﺗﺷﯾر اﻟﺧﺑرة اﻟﻣﺎﺿﯾﻪ اﻟﻰ أن ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط
800ﺳﺎﻋﻪ إﺿﺎءة واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري 10ﺳﺎﻋﻪ اﺿﺎءة .اﺧذت ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن 25
ﻣﺻﺑﺎﺣﺎً ﻣن اﻧﺗﺎج اﻟﻣﺻﻧﻊ ﻓﻧﯾﯾن أن ﻣﺗوﺳط ﻋﻣر ﻣﺻﺎﺑﯾﺢ ﻫذﻩ اﻟﻌﯾﻧﻪ ﯾﺳﺎوى 780 ﺳﺎﻋﻪ اﺿﺎءة .أوﺟد 95%ﻓﺗرﻩ ﺛﻘﻪ ﺑﯾﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ .
اﻟﺤــﻞ: ٢٤٨
1 25 x i 2 f x exp , x i , (2) 25/ 210025 2 i1 100 1
1 800 2 1 exp , . 10 2 2 10
: وﻋﻠﻲ ذﻟك f x, ) f x
25 x 2 800 2 exp i 13 51 100 10 i 1 2 10 1
1 25 x i 780 2 exp 13 51 2 10 2 i1 100 1
2 2 1 780 800 .exp 25 . 2 100 10
:ﻷن 25
2
25
x i
i1
i1
2
x i 7802 25 780 2 . :وﺑﺈﻛﻣﺎل اﻟﻣرﺑﻊ ﻓﺈن 2
2 780 800 1592 633680 25 80 100 10 2 796 1664 .
80
:وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ
1 796 2 f x, c exp . 2 80
: وﻋﻠﻲ ذﻟك. داﻟﺔ ﻓﻰ ﻗﯾم اﻟﻌﯾﻧﻪc ﺣﯾث ٢٤٩
f x, d c
2 80
f x
2
1
796 1 e2 d 2 80
.
c 2 80.
وﻋﻠﻲ ذﻟك اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟـ ﯾﻛون : 1 796 2 f x, 1 x exp . f x 2 2 80 80 وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟـ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط * 796واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى * 80
.وﯾﻌﺗﺑر ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن ﻣﺛﺎل )(٦-٤ x ~ N 1, 1 , 01 1 11,
(0 / 0 ) (x / ) 1 / 1. وﺑوﺿﻊ 0 800, 0 100, 10000
وﻋﻠﻰ ذﻟك :
1 800 780 25 1 1 80 796, 1 80. 10000 100 100 10000 25
اى ان : x ~ N 796,80 ,
وﻋﻠﻰ ذﻟك 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﻪ ﺑﯾﯾز ﺳﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ : 1 1.96 1 1 1.96 1 .
اى ان : 796 1.96 80 796 1.96 80.
أو 778.5 813.5.
) (٨-٤ﻣﺒﺎدئ ﻓﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﻘﺮار اﻟﺒﻴﻴﺰى
٢٥٠
ﺣﯾث :
ﻛﺛﯾ ار ﻣﺎ ﯾواﺟﻪ ﻛل ﻣﻧﺎ ﻣواﻗف ﺗﻔرض ﻋﻠﯾﻪ ان ﯾﺧﺗﺎر ﻗرار decisionاو اﺟراء
actionﻣن ﺑﯾن ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻻﺟراءات ﻓﻰ ظل ﻋدم اﻟﺗﺎﻛد او ﻓﻰ ظل ﻋدم وﺟود
ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻛﺎﻓﯾﺔ ﻋن اوﺿﺎع او ظروف او اﺣوال ﺗﺳﻣﻰ ﺣﺎﻻت اﻟطﺑﯾﻌﺔ state of
. natureﺳوف ﻧﻔﺗرض ان اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟطﺑﯾﻌﺔ او ﻟﻠظروف او اﻻوﺿﺎع او
اﻟﺣﺎﻻت ﺗﻛون ﻓراغ ﯾﺳﻣﻰ ﻓراغ اﻟطﺑﯾﻌﺔ وﯾرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز } {وﻣﻔردات ﻫذا اﻟﻔراغ
او ﻧﻘطﻪ وﻫﻰ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﻣﻌﺎﻟم اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠظﺎﻫرة اﻟﺗﻰ ﻧﺣن ﺑﺻددﻫﺎ.
ﺳوف ﻧﻔﺗرض ان ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻘ اررات او اﻻﺟراءات اﻟﻣﺗﺎﺣﺔ او اﻟﻣﺗوﻓرة ﺗﻣﺛل ﻓراغ
} D {d1,d2 ,...,dpوﻣﻔردات ﻫذا اﻟﻔراغ ﻫﻰ اﻻﺟراءات او اﻟﻘ اررات اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ وﺗﻛون ﻣﺷﻛﻠﺗﻧﺎ ﻓﻰ اﺧﺗﯾﺎر واﺣد ﻣن ﻫذﻩ اﻟﻘ اررات .
ﻓﻣﺛﻼ ﻋﻧد ﻣراﻗﺑﺔ اﻧﺗﺎج ﺑطرﯾﻘﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﯾﺗطﻠب اﻻﻣر اﺗﺧﺎذ اﺣد اﺟراﺋﯾن : d1ﻗﺑول ﺷﺣﻧﺔ اﻻﻧﺗﺎج
d 2رﻓض ﺷﺣﻧﺔ اﻻﻧﺗﺎج
وﻛﻣﺛﺎل ﺛﺎﻧﻰ ﻓﺈن اﻟطﺑﯾب ﺑﻧﺎء ﻋﻠﻰ ﺗﺷﺧﯾص اﻟﻣرﯾض ﯾﺟب ان ﯾﻧﺗﻬﻰ إﻟﻰ واﺣدة ﻣن
ﻣن ﻋدد ﻣﻧﺗﻬﻰ ﻣن اﻟﺣﻠول اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ .
وﻛﻣﺛﺎل اﺧر ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﺻﻧﻊ ﯾﻧﺗﺞ ﺳﻠﻌﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ،وﻧظ ار ﻻن ﻧﺳﺑﺔ اﻟﺗﺎﻟف ﻏﯾر ﻣﻌﻠوﻣﺔ
ﻓﺈن اﻣﺎم ﻣدﯾر اﻟﻣﺻﻧﻊ اﺣد اﻻﺟراءات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : d1ارﺳﺎل اﻻﻧﺗﺎج إﻟﻰ اﻟﺑﯾﻊ
d 2اﻋﺎدة ﺗﺻﻧﯾﻊ اﻻﻧﺗﺎج ﺛم ارﺳﺎﻟﻪ إﻟﻰ اﻟﺳوق
d3رﻓض ﺷﺣﻧﺔ اﻻﻧﺗﺎج
اى ان }D {d1,d 2 ,d3
وﺣﯾث ان ﻧﺳﺑﺔ اﻟﺗﺎﻟف واﻟﺗﻰ ﻗد ﺗﻛون : 1 0.1, 2 0.1 .3, 3 0.3
اى ان ﻓراغ ﺣﺎﻟﺔ اﻟطﺑﯾﻌﺔ ﻫو : } {1, 2 , 3
٢٥١
ﻓﻰ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺣﺎﻻت ﯾﺗﺧذ اﻟﺣل ﺑﻧﺎء ﻋﻠﻰ اﺳﺎس ﺗﺣﻠﯾل اﻟﻣﻼﺣظﺔ xواﻟﻣﺎﺧوذة ﻣن
اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ اﻟﻣراﻓق Xواﻟذى ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ) f (x; وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ذﻟك اﻟﺣل
ﯾﻣﺛل ﺑداﻟﺔ ) (Xﻣﻌرﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ Sوﺗﺎﺧذ ﻗﯾﻣﻬﺎ ﻣن . Dاى ان ) (Xﻋﺑﺎرة ﻋن ﻗﺎﻋدة ﺗﺧﺻص اﺟراء ﻣن اﻻﺟراءات ) d (xاﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﻛل ﻣﻼﺣظﺔ x S
.ﺗدﻋﻰ اﻟداﻟﺔ ) (Xﺑداﻟﺔ اﻟﻘرار ،اى ان )(X
ﻣﻌرﻓﺔ ﻋﻠﻰ Sوﺗﺎﺧذ ﻗﯾﻣﻬﺎ ﻣن
.Dوﯾﺟب ان ﯾﻛون اﺧﺗﯾﺎر ) (Xﻣﻧﺎﺳب ﻟﻠﻣﺳﺎﻟﺔ ﻗﯾد اﻟدراﺳﺔ وﺗﺑﻌﺎ ﻟﻣطﻠﺑﺎت ﻣﺛﻠﻰ
.ﻓﻣﺛﻼ إذا ﻛﺎﻧت Xﺗﻣﺛل ﻧﺳﺑﺔ اﻟﻌطب ﻓﻰ ﺷﺣﻧﺔ اﻻﻧﺗﺎج ﻓﻘﺎﻋدة اﻟﻘرار ) (Xﯾﻣﻛن ان ﺗﻛون ) d1 (xﻗﺑول اﻟﺷﺣﻧﺔ إذا ﻛﺎﻧت x 0.01و ) d 2 (xرﻓض اﻟﺷﺣﻧﺔ إذا
ﻛﺎﻧت x 0.01واﻟﺳؤال اﻟذى ﯾﺗﺑﺎدر إﻟﻰ اﻟذﻫن اﻻن ﻋن ﻋدد دوال اﻟﻘرار ﻓﻰ ﻣﺳﺎﻟﺔ ﻣﺎ
؟ اﻟﺟواب ﺑﺷﻛل ﻋﺎم ﻫﻧﺎك ﻋدد ﻣن دوال اﻟﻘرار اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻓﻰ ﻣﺳﺎﻟﺔ اﺗﺧﺎذ اﻟﻘرار ،ﻓﻣﺛﻼ
إذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ pاﺟراء او ﺣل ﻣﺧﺗﻠف اى ان } D {d1,d2 ,...,dpوﻫﻧﺎك rﻗﯾم ﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xوﻫﻰ } {x1, x 2 ,...x rﻓﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ p rداﻟﺔ ﻗرار ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ .وﺑﺎزدﯾﺎد pاو rاو
ﻛﻠﯾﻬﻣﺎ ﻣﻌﺎ ﯾزداد ﻋدد دوال اﻟﻘرار اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻓﻰ اﻟﻣﺷﻛﻠﺔ ﻣوﺿﻊ اﻟدراﺳﺔ .وﻣﻬﻣﺔ اﻻﺣﺻﺎﺋﻰ ﻫو اﺧﺗﯾﺎر دوال اﻟﻘرار اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ )ﺗﻌطﻰ اﻻﺟراء اﻻﻓﺿل( ﻣن ﻣﺟﻣوﻋﺔ دوال
اﻟﻘرار اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻣﺷﻛﻠﺔ اﻟﻣﻔروﺿﺔ. ﻣﺛﺎل )(٤٧-٤
إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻰ ﺣﯾث : } f x x (1 )1 x , x 0,1 , 0 1 , {1 , 2
ٕواذا ﻛﺎن اﺣﺗﻣﺎل اﻟﻧﺟﺎح ﻫو 2 1/ 2 , 1 1/ 3
. D d1,d 2اﻟﻣطﻠوب اﯾﺟﺎد دوال اﻟﻘرار اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﻪ.
وﺑﻔرض أن ﻓﺋﻪ اﻟﺣﻠول اﻟﻣﻣﻛﻧﻪ
ﺣﯾث ﯾوﺟد ﻋدد ﻣﺣدود ﻣن اﻻﺟراءات p 2و ﻋدد ﻣﺣدود ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ Xوﻋﻠﻰ ذﻟك ﻋدد دوال اﻟﻘرار ﻣﺣدودة وﺗﺳﺎوى . 22 دوال اﻟﻘرار ﻫم:
٢٥٢
d1 , x 0 1 x d1 , x 0,1 , 2 (x) d 2 , x 1, d 2 , x 0 3 x d1 , x 1, 4 x d 2 , x 0,1.
ﻧﻼﺣظ ان 1 ,4ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﺧﺗﺎر ﺗﻬﻣل اﻟﻘ اررات ﺣﯾث 1ﺗﺧﺗﺎر d1ﻣﻬﻣﺎ ﻛﺎﻧت اﻟﻘ اررات وﻛذﻟك 4ﺗﺧﺗﺎر d 2ﺑﻐض اﻟﻧظر ﻋﻠﻰ ﻗﯾم اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻰ .X
ﻣﺛﺎل )(٤٨-٤ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻌطﻰ ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ : 2
1
.1 .9
.8 .2
x1 x2
وﺑﻔرض أن ﻓﺋﻪ اﻟﺣﻠول اﻟﻣﻣﻛﻧﻪ . D d1,d2 ,d3اﻟﻣطﻠوب اﯾﺟﺎد دوال اﻟﻘرار اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﻪ. اﻟﺤــﻞ: ﺣﯾث ﯾوﺟد ﻋدد ﻣﺣدود ﻣن اﻻﺟراءات p = 3وﻋدد ﻣﺣدود ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ 2 (r=2) Xﻓﺈن ﻋدد دوال اﻟﻘرار ﻣﺣدود وﯾﺳﺎوى 3 9ودوال اﻟﻘرار اﻟﺗﺳﻌﻪ ﻣﺑﻧﯾﻪ ﻓﻰ
اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ:
9 d3 d3
8 d3 d2
7 d3 d1
6 d2 d3
5 d2 d2
4 d2 d1
٢٥٣
3 d1 d3
2 d1 d2
1 d1 d1
x
x1 x2
ﻛل داﻟﺔ ﻣن اﻟدوال ﺗﺧﺻص اﺟراء ﻟﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم Xﻓﻣﺛﻼ 2ﺗﻧص ﻋﻠﻰ اﻻﺗﻰ إذا
ﻛﺎﻧت X x1ﻧﺎﺧذ d1إذا ﻛﺎﻧت X x 2ﻧﺎﺧذ d 2و 6ﺗﻧص ﻋﻠﻰ اﻻﺗﻰ
إذا ﻛﺎﻧت
X x1ﻧﺎﺧذ d 2إذا ﻛﺎﻧت X x 2ﻧﺎﺧذ d 3وﻫﻛذا ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﺑﺎﻗﻰ اﻟدوال وﻧﻼﺣظ ان 1و 5 ررات وﻛذﻟك 5ﺗﺧﺗﺎر d 2و 9 و 9ﺗﻬﻣل اﻟﻘراءات ﺣﯾث 1ﺗﺧﺗﺎر d1ﻣﻬﻣﺎ ﻛﺎﻧت اﻟﻘ ا
ﺗﺧﺗﺎر d 3ﺑﻐض اﻟﻧظر ﻋن ﻗﯾم . X
) (١-٨-٤داﻟﺔ اﻟﺨﺴﺎرة
ان ﻣﻬﻣﺔ اﻻﺣﺻﺎﺋﻰ ﻫﻰ اﺧﺗﯾﺎر داﻟﺔ اﻟﻘرار اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ ﻟذﻟك ﯾﺗم ﺗﻘﯾﯾم ﻧﺗﺎﺋﺞ اﺧﺗﯾﺎر اﻟﻘ اررات
ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻣﻘﯾﺎس ﻛﻣﻰ ﻋﺑﺎرة ﻋن داﻟﺔ ﺗﺑﯾن اﻟﺧﺳﺎرة ﻟﻛل ﺗوﻟﯾﻔﺔ ﻣن اﻻﺟراءات dوﺣﺎﻟﺔ اﻟطﺑﯾﻌﺔ . اى ﺳﻧﻔﺗرض ان اﻟداﻟﺔ ) L(d, ﻣﻌطﺎﻩ وﺗﻘﯾس اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺗﻰ ﻧﺗﻛﺑدﻫﺎ إذا اﺧﺗرﻧﺎ اﻻﺟراء dﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون اﻟطﺑﯾﻌﺔ ﻓﻰ اﻟﺣﺎﻟﺔ . ﻫذﻩ اﻟداﻟﺔ ﺗﺳﻣﻰ داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة .loss functionو إذا ﻛﺎن ﻫﻧﺎك ﻓﻰ اﻟواﻗﻊ ﻣﻛﺳب ﻟﺑﻌض اﻟﺗوﻟﯾﻔﺎت ﻣن اﻻﺟراءات وﺣﺎﻟﺔ اﻟطﺑﯾﻌﺔ ﻓﺈن ﻫذﻩ ﺗﻌد ﺧﺳﺎرة ﺳﺎﻟﺑﺔ .ﻓﺈذا ﻧظرﻧﺎ إﻟﻰ اﻟﺟدول اﻻﺗﻰ
واﻟذى ﯾﺑﯾن داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون :
{1, 2}, D {d1,d 2}, 2 ) L(d1, 2 ) L(d 2 , 2
1 )L(d1, 1 ) L(d 2 , 1
d1 d2
ﻣﺛﺎل )(٤٩-٤ ﻣﺻﻧﻊ ﯾﻧﺗﺞ ﻣﺻﺎﺑﯾﺢ ﻛﻬرﺑﺎﺋﯾﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ٕواذا ﻛﺎن ﻋﻣر اﻟﻣﺻﺑﺎح ﻓﻰ اﻟﺷﺣﻧﺔ ﻏﯾر ﻣﻌﻠوم ٕواذا ﻛﺎن اﻣﺎم ﻣدﯾر اﻟﻣﺻﻧﻊ اﺣد اﻟﺧﯾﺎرات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : d1ﻗﺑول ﺷﺣﻧﺔ اﻻﻧﺗﺎج
d 2رﻓض ﺷﺣﻧﺔ اﻻﻧﺗﺎج ٢٥٤
ﺣﯾث اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ﻏﯾر ﻣﻌﻠوﻣﺔ وﻟﻛن ﺳوف ﻧﻔﺗرض ﻗﯾﻣﺗﯾن ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ . ﺑﻔرض 1 1000 hوﻫو اﻟﻣطﻠوب و 1 250 hوﻫو اﻻﻗل زﻣن ﻣطﻠوب
.وﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺣﻠﯾل اﻻﻗﺗﺻﺎدى ﻟﻠﺷرﻛﺔ ﻟﻛل اﺟراء وﻟﻛل ﺣﺎﻟﺔ طﺑﯾﻌﯾﺔ ﻓﺈن اﻟﺧﺳﺎرة )ﺑﺎﻟدوﻻر( ﻣﻌطﺎة ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
d1
d2
10 5
1 1000
0 15
2 250
ﺣﯾث: L(1,d1 ) 0 ,L(1,d 2 ) 10, L(2 ,d1 ) 15, L(2 ,d 2 ) 5.
) (٢-٨-٤داﻟﺔ اﻟﻤﺨﺎﻃﺮة وﻟﻣﺎ ﻛﺎﻧت داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة L , (x)ﻻ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻓﻘط ﺑل ﻋﻠﻰ ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ Xاﻟﻣﺗﻐﯾرة ﻟذا ﻓﺈن اﻟﺧﺳﺎرة ﺗﻛون ﻣﺗﻐﯾرة وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﺳﻧﺑﻧﻰ ﺗﺣﻠﯾﻠﻧﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ X
وﻫﻰ ﻣﺗوﺳط اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻣن
اﺳﺗﺧدام داﻟﺔ اﻟﻘرار ) (Xﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺣﻘﯾﻘﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﻫو ) f (x | واﻟﺗﻰ
ﺗﺳﻣﻰ داﻟﺔ اﻟﺧﺎطرة .وﺑﻔرض ان اﻟﻣﻼﺣظﺔ اﻟﻣﺎﺧوذة x
ﻗد ﺗﻣﺛل ﻣﺗﺟﻪ ﻣﺎﺧوذة ﻋﻠﻰ
اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ) Xأى اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ( وﻟذﻟك ﺗﺣﺳب داﻟﺔ اﻟﺧﺎطرة ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : R(, ) E X L , , X
او :
L , x f (x | )dx. x
R(, ) E T L(,T) L(, t)h(t | )dt.
ﺣﯾث h t | ﻫو اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﻘدر Tواﻟذى ﯾﻛون ﻣﻘدر ﻛﺎﻓﻲ. اﻣﺎ إذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾر Xﻣﺗﻘطﻌﺎ ﻓﺈن :
٢٥٥
n
R(, ) E X L , X L , (x i ) f (x i | ) . i 1
ﻣن ﺗﻌرﯾف داﻟﻪ اﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﻧﺟد أن:
داﻟﻪ اﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ داﻟﻪ اﻟﻘرار x واﻟﻣﻌﻠﻣﻪ . ﻟﻛل داﻟﻪ ﻗرار داﻟﻪ ﻣﺧﺎطرﻩ وﺣﯾدﻩ ﻛداﻟﻪ ﻓﻰ . داﻟﻪ اﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﻋﻧد ﻛل داﻟﺔ ﻗرار وﻛل ﺗﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺔ ﻋددﯾﻪ وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈندوال اﻟﻣﺧﺎطرﻩ اﻟﻣراﻓﻘﻪ ﻟدوال اﻟﻘرار ﻓﻰ ﻣﺳﺄﻟﻪ ﻣﺎ ،ﻋﻧد ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﯾﻧﻪ ﺗﻣﺛل اﻋداد وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﻛن ﺗرﺗﯾب دوال اﻟﻘرار ﺣﺳب ﺗﻠك اﻻﻋداد. ﻣﺛﺎل )(٥٠-٤ ﻟﻠﻣﺛﺎل ):(٤٧-٤
ٕواذا ﻛﺎﻧت داﻟﻪ اﻟﺧﺳﺎرﻩ ﻟﻪ ﻣﻌطﺎﻩ ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ: d2
d1
2 1
0 3
1 2
اﻟﻣطﻠوب ﺣﺳﺎب دوال اﻟﻣﺧﺎطرة. اﻟﺤــﻞ: ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب دوال اﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ: R 1, 1 L 1 , 1 (0) 1 1 L 1, 1 (1) 1 L 1,d1 1 1 L 1 ,d1 1, 2 1 0 0 0, 3 3
٢٥٦
R 2 , 1 L 2 ,d1 1 2 L 2 ,d1 2 1 1 3 3 3, 2 2 R 1, 2 L 1,d1 1 1 L 2 ,d2 1
2 1 2 0 2 , 3 3 3 R 2 , 2 L 2 ,d1 1 2 L 2 ,d 2 2 1 1 3 1 2, 2 2 R 1, 3 L 1,d 2 1 1 L 1,d1 1 2 1 4 2 0 , 3 3 3 R 2 , 3 L 2 ,d1 1 2 L 2 ,d2 2 1 1 1 3 2, 2 2 R 1, 4 L 1,d 2 1 1 L 1 ,d1 1 2 1 2 2 2, 3 3 R 2 , 4 L 2 ,d 2 1 2 L 2 ,d 2 2 1 1 1 1 1, 2 2
(٥١-٤) ﻣﺛﺎل ( اﻟﻣطﻠوب ﺣﺳﺎب داﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة ﻟدوال اﻟﻘرار اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﺣﯾث اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ٤٨-٤) ﻟﻠﻣﺛﺎل
:ﯾﺑﯾن داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة
1 d1 d2 d3
2
4 5 2
4 0 5 ٢٥٧
:اﻟﺤــﻞ وﻋﻧد ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم ﻋﻧد ﻛل داﻟﺔ ﻗرارL(, ) ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب دوال اﻟﻣﺧﺎطرﻩ
: ﻧﺟد ان 1 وﻋﻧد 1 ﻓﻣﺛﻼ ﻋﻧد
R 1, 1 L 1, 1 (x1 ) f (x1 | 1 ) L 1, 1(x 2 ) f (x 2 | 1) L 1,d1 0.8 L 1,d1 0.2 4 0.8 4 0.2 4,
: ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰL(, ) وﺑﺎﻟﻣﺛل ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﺑﺎﻗﻰ ﻗﯾم L(1, 2 ) (4)(0.8) (5)(0.2) 4.2, L(1 , 3 ) (4)(0.8) (2)(0.2) 3.6, L(1 , 4 ) (5)(0.8) (4)(0.2) 4.8, L(1, 5 ) (5)(0.8) (5)(0.2) 5, L(1 , 6 ) (5)(0.8) (2)(0.2) 4.4, L(1, 7 ) (2)(0.8) (4)(0.2) 2.4, L(1 , 8 ) (2)(0.8) (5)(0.2) 2.6, L(1, 9 ) (2)(0.8) (2)(0.2) 2, L(2 , 1 ) (4)(0.1) (0)(0.9) 0.4, L(2 , 2 ) (4)(0.1) (0)(0.9) 0.4, L(2 , 3 ) (4)(0.1) (5)(0.9) 4.9, L(2 , 4 ) (0)(0.1) (4)(0.9) 3.6, L(2 , 5 ) ()(0.1) (0)(0.9) 0, L(2 , 6 ) (0)(0.1) (5)(0.9) 4.5, L(2 , 7 ) (5)(0.1) (4)(0.9) 4.1, L(1, 8 ) (5)(0.1) (0)(0.9) 0.5, L(1, 9 ) (5)(0.1) (5)(0.9) 5, ٢٥٨
وﻣن اﻟﻘﯾم اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ : 9 2 5
7 2.4 4.1
8 2.6 0.5
6 4.4 4.5
5 5 0
3 3.6 4.9
4 4.8 3.6
1 4 4
2 4.2 0.4
1 2
ﻣﺛﺎل )(٥٢-٤ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻣﺗﻐﯾر Xوداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة واﻟﻣطﻠوب ﺣﺳﺎب داﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة ﻟدوال اﻟﻘرار اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ . 1
2
0.2 0.3 0.5
0
0.7 0.2 0.1
2
1
4 0
0 3
1 2
d1 d2
اﻟﺤــﻞ: ﺣﯾث ﯾوﺟد ﻋدد ﻣﺣدود ﻣن اﻻﺟراءات p = 2وﻋدد ﻣﺣدود ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ 3 (r=3) Xﻓﺈن ﻋدد دوال اﻟﻘرار ﻣﺣدود وﯾﺳﺎوى 2 8ودوال اﻟﻘرار اﻟﺗﺳﻌﻪ ﻣﺑﻧﯾﻪ ﻓﻰ
اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ:
x
8 d2
7 d2
6 d2
5 d2
4 d1
3 d1
2 d1
1 d1
0
d1 d1
d1 d2
d2 d1
d2 d2
d2 d2
d2 d1
d1 d2
d1 d1
1 2
٢٥٩
وﻋﻧد ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم ﻋﻧد ﻛل داﻟﺔ ﻗرارL(, ) ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب دوال اﻟﻣﺧﺎطرﻩ
: ﻧﺟد ان 1 وﻋﻧد 1 ﻓﻣﺛﻼ ﻋﻧد
R 1, 1 L 1, 1 (0) f (0 | 1 ) L 1, 1 (1) f (1| 1 ) +L 1, 1 (2) f (2 | 1 ) L 1,d1 0.7 L 1,d1 0.2 L 1,d1 0.1 0 0.7 0 0.2 0 0.1 0,
: ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰL(, ) وﺑﺎﻟﻣﺛل ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﺑﺎﻗﻰ ﻗﯾم L(1, 2 ) (0)(0.7) (0)(0.2) (3)(0.1) 0.3, L(1, 3 ) (0)(0.7) (3)(0.2) (0)(0.1) 0.6, L(1, 4 ) (0)(0.7) (3)(0.2) (3)(0.1) 0.9, L(1, 5 ) (3)(0.7) (3)(0.2) (3)(0.1) 3, L(1, 6 ) (3)(0.7) (3)(0.2) (0)(0.1) 2.7, L(1, 7 ) (3)(0.7) (0)(0.2) (3)(0.1) 2.4, L(1, 8 ) (3)(0.7) (0)(0.2) (0)(0.1) 2.1, L(2 , 1 ) (4)(0.2) (4)(0.3) (4)(0.5) 4, L(2 , 2 ) (4)(0.2) (4)(0.3) (0)(0.5) 2, L(2 , 3 ) (4)(0.2) (0)(0.3) (4)(0.5) 2.8, L(2 , 4 ) (4)(0.2) (0)(0.3) (0)(0.5) 0.8, L(2 , 5 ) (0)(0.2) (0)(0.3) (0)(0.5) 0, L(2 , 6 ) (0)(0.2) (0)(0.3) (4)(0.5) 2, L(2 , 7 ) (0)(0.2) (4)(0.3) (0)(0.5) 1.2, L(2 , 8 ) (0)(0.2) (4)(0.3) (4)(0.5) 3.2,
: وﻣن اﻟﻘﯾم اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ٢٦٠
8 2.1 3.2
7 2.4 1.2
6 2.7 2
5 3 0
4 0.9 0.8
3 0.6 4.8
2 0.3 2
1 0 4
1 2
اﻻن اﻟﻣﺷﻛﻠﺔ ﻫو اﻋﺗﻣﺎد داﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺟﻬوﻟﺔ .ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻫﻧﺎك ﻣﺛﻼ داﻟﺗﯾن 1, 2ﻓﻛﻠﻬﻣﺎ ﻟﯾس أﻓﺿل ﻣن اﻵﺧر ﻷن دوال اﻟﻣﺧﺎطرة ﻟﻬﻣﺎ ﺗﺗﻘﺎطﻊ وﺗﻛون إﺣداﻫﻣﺎ أﻓﺿل
ﻟﺑﻌض ﻗﯾم واﻵﺧر أﻓﺿل ﻟﺑﻌض ﻗﯾم اﻷﺧرى .ﻟذﻟك ﻣن اﺟل ﺗرﺗﯾب دوال اﻟﻘرار واﺧﺗﯾﺎر اﻷﻓﺿل ﻣﻧﻬﺎ ﻻﺑد ﻣن ﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻷﺿﺎﻓﯾﺔ ﺣﯾث ﯾﺳﺗﺧدم ﻣﺑدا ﺑﯾﯾز واﻟذى ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت اﺿﺎﻓﯾﺔ ﺣول اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ﻏﯾر اﻟﻣﻌﻠوﻣﺔ ﺗﺑﯾن اﻧﻬﺎ ﻣﺗﻐﯾرة ،اى اﻋﺗﺑرﻫﺎ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ
وﻫذا اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻗﺑﻠﻰ ﻣﻌطﻰ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل . وﻓﻰ ﻫذﻩ
اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻣﻛن ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣﺗوﺳط اﻟﺧﺳﺎرة ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﻧﺗﯾﺟﻪ ﻻﺳﺗﺧدام داﻟﻪ اﻟﻘرار x واﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ﺑﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز.
) (٣-٨-٤ﻣﺨﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ
ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز bayes riskوﯾرﻣز ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟرﻣز ) r(وﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : r() E R , R(, ) d R j , j . j
)(٤-٤
وﻣﺧﺎطرﻩ ﺑﯾﯾز bayes riskﻻﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ وﻻ ﻋﻠﻰ . وﻫﻛذا ،ﻓﻰ ﺗﻠك اﻟﺣﺎﻟﻪ ﻛل داﻟﻪ
ﻗرار ﻣوﺻوﻓﻪ ﺑﻌدد واﺣد )ﻣﺧﺎطرﻩ ﺑﯾﯾز( وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻛل دوال اﻟﻘرار ﯾﻣﻛن ﺗرﺗﯾﺑﻬﺎ ﺣﺳب ﺗﻠك اﻻﻋداد ،وأﻓﺿل ﻗﺎﻋدة ﻗرار * ﻫﻲ ﻋﺑﺎرﻩ ﻋن داﻟﻪ اﻟﻘرار اﻟﻣراﻓﻘﻪ ﻷﻗل ﻗﯾﻣﻪ ﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﺑﯾﯾز
.وﺑﻌﺑﺎرة اﺧرى داﻟﺔ ﻗرار ﺑﯾﯾز ﻫﻰ اﻟداﻟﺔ * اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ اﻗل ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ،أي أن: r(* ) r(). ٢٦١
ﻷي داﻟﻪ ﻗرار أﺧرى . ﯾﻼﺣظ ﻣن ﺗﻌرﯾف داﻟﺔ ﻗرار ﺑﯾﯾز أﻧﻬﺎ ﻣرﺗﺑطﻪ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ
وﻟذﻟك ﻣن اﺟل ﺗوزﯾﻌﺎت ﻗﺑﻠﯾﻪ ﻣﺧﺗﻠﻔﻪ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﻓﺈن دوال ﻗرار ﺑﯾﯾز ﻣﺧﺗﻠﻔﻪ ﺑﺷﻛل ﻋﺎم. ﻣﺛﺎل )(٥٣-٤ ﻟﻠﻣﺛﺎل ) (٥٠-٤إذا ﻋﻠم أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﻫو: 2 1/ 2
1 1/ 3
3/4
1/4
أوﺟد ﻣﺧﺎطرﻩ ﺑﯾﯾز اﻟﻣراﻓﻘﻪ ﻟﻛل ﻣن اﻟدوال k x ,k 1,2,3,4واوﺟد داﻟﺔ ﻗرار ﺑﯾﯾز اﻟﺗﻰ
ﻟﻬﺎ اﻗل ﻣﺧﺎطرة. اﻟﺤــﻞ:
ﻣن اﻟﻣﺛﺎل ) (٥٠-٤داﻟﻪ اﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﻟدوال اﻟﻘرار 1 x , 2 x , 3 x , 4 x ﻣﻌطﺎﻩ
ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ:
1 2
2
1 3
1
R 2 , 1 3
R 1, 1 0
1
R 2 , 2 2
R 1, 2 2/ 3 4 R 1, 3 3 R 1, 4 2
2
R 2 , 3 2 R 2 , 4 1
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﺧﺎطرﻩ ﺑﯾﯾز ﻟﻛل داﻟﺔ ﻗرار ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ:
٢٦٢
3 4
r 1 R 1, 2 R 2 , 1 2 1 3 0 3 2.25, 4 4 r 2 R 1 , 2 1 R 2 , 2 2 2 1 3 2 1.67, 3 4 4 r 3 R 1, 3 1 R 2 , 3 2 4 1 3 2 1.833. 3 4 4 r 4 R 1 , 4 1 R 2 , 4 2 1 3 r 4 2 1 1.25, 4 4 4 وﻣن ﺛم ﻓﺈن1.25 ﺗواﻓق اﺻﻐر ﻗﯾﻣﻪ ﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﺑﯾﯾز وﻫﻲ 4 وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن داﻟﻪ اﻟﻘرار
. ﺗﻛون داﻟﻪ ﻗرار ﺑﯾﯾز
(٥٤-٤) ﻣﺛﺎل : ﻫﻰX( وﺑﻔرض ان داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر٤٩-٤) ﻟﻠﻣﺛﺎل f x
1 1 exp ,
: ﻫو وﺑﻔرض أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻲ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ
()
1 1000
2 250
.9
0.1
: ﻛﺎﻧت ﻣﻌطﺎﻩ ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰd1,d 2 وﺑﻣﺎ ان داﻟﻪ اﻟﺧﺳﺎرة ﻟﻠﻘ ارراﯾن d1 1 1000 2 250
d2
0 15 ٢٦٣
10 5
أي: L 2 ,d1 15,
,
L 1,d1 0
L 2 ,d 2 5.
,
L 1,d 2 10
ﺑﻔرض اﻧﻪ ﺗم اﺧﺗﯾﺎر ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ٕ n = 6واذا ﻛﺎﻧت اﻟﻛﻠﻰ ﻟزﻣن اﻟﻔﺷل ﻓﻰ اﻻﺧﺗﺑﺎر .ﺑﻔرض اﻧﻧﺎ ﻋرﻓﻧﺎ داﻟﺔ اﻟﻘ ارراﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : t 2613h
6
t xiﺗﻣﺛل اﻟزﻣن i 1
d if 1 x 1 d 2 if
t 2613h.
) hﺗﻌﻧﻰ ﺳﺎﻋﻪ( ﺣﯾث xﻣﻼﺣظﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻛل ﻣﺗﺟﻪ . x x1,x 2 ,...,xn ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام داﻟﻪ ﻗرار أﺧرى ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل:
min x1, x 2 ,..., x 6 1000h min x1, x 2 ,...,x 6 1000h.
d if 2 x 1 d 2 if
اﻻن ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب داﻟﻪ اﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﻟﻛل ﻣن 1 , 2ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ: 2613
h t 1 dt.
h t dt 10
0
R 1, 1 0
2613
وﻋﻠﻰ ذﻟك: R 1, 1 0P T 2613 1 10P T 2613 . 6
ﺣﯾث Tﻫو Xiواﻟﺗﻰ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن , 6 وﻋﻠﻰ ذﻟك: i 1
5
2613
t 1 t exp dt 1(6) 1 0 1 10(6,2613/ 1 ) / (6).
R 1, 1 10
ﺣﯾث ) (a, xﻫﻰ داﻟﻪ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻧﺎﻗﺻﻪ وﻋﻠﻲ ذﻟك: !R 1000, 1 10 (6, 2.61) / 5 10(5.97) /120) 0.5.
وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل : 2613
g t 2 dt
g t 2 dt 5
0
R 2 , 1 15
2613
10(6,10.45)6 )10(113.78 15 5.52. 120 )(6 ٢٦٤
15
اﻵن ﺑﻔرض أن W min X1X2 ,...,Xn ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺷرطﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Wإذا ﻋﻠم ﻫو
ﺗوزﯾﻊ أﺳﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : وﻋﻠﻰ ذﻟك:
6 h(w | ) exp(6w / ) , w 0.
) R 1, 2 0P(W 1000 1 ) 10P(W 1000 1 10 1 exp(6000 / 1 ) .
وﻋﻠﻰ ذﻟك: R 1000, 2 101 exp(6) 9.98,
وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل : ) R 2 , 2 15P W 1000 2 5P(W 1000 2 5 10exp(24) 5. وﺑﻣﻘﺎرﻧﺔ داﻟﻪ اﻟﻣﺧﺎطرﻩ 1, 2ﻧﺟد أن 1ﻫﻲ أﻓﺿل ﻣن 2ﻋﻧدﻣﺎ 1000hاﯾﺿﺎ 2
ﺗﻛون اﻓﺿل ﻣن 1ﻋﻧدﻣﺎ . 250 h
ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز اﻟﻣرﺗﺑطﺔ ﺑـ 1و 2ﻫﻰ: r(1 ) .9(.5) .1(5.52) 1.0, r(2 ) .9(98) .1(5.00) 9.4.
أي أﻧﻪ ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻓﺈن ﺻﺎﻧﻊ اﻟﻘرار ﺳوف ﯾﻔﺿل 1ﻷن ﻟﻬﺎ أﻗل ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز. ﻣﺛﺎل )(٥٥-٤ ﻟﻠﻣﺛﺎل ) (٥٢-٤اوﺟد ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ﻟﻛل داﻟﺔ ﻗرار . اﻟﺤــﻞ: ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز اﻟﻣرﺗﺑطﺔ ﺑدوال اﻟﻘرار ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﻫم :
٢٦٥
1 2 8 r(1 ) (0) (4) , 3 3 3 1 2 4.3 r( 2 ) (0.3) (2) ,. 3 3 3 1 2 6.2 r(3 ) (0.6) (2.8) , 3 3 3 1 2 2.5 r( 4 ) (0.9) (0.8) . 3 3 3 1 2 3 r(5 ) (3) (0) , 3 3 3 1 2 6.6 r(6 ) (2.6) (2) . 3 3 3 1 2 4.8 r(7 ) (2.4) (1.2) , 3 3 3 1 2 8.5 r(8 ) (2.1) (3.2) . 3 3 3
وﻣﻧﻬﺎ ﯾﺗﺿﺢ ان 4ﻫﻰ داﻟﺔ ﻗرار ﺑﯾﯾز.
اﺳﺘﺧدام اﻟﺘوزﻳﻊ اﻟﺑﻌدى ﻓﻰ إﻳﺟﺎد ﻣﺧﺎطﺮة ﺑﻴﻴﺰ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ﻋﻧد X xﻓﻰ اﯾﺟﺎد داﻟﺔ ﻗرار ﺑﯾﯾز ﺑدﻻ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ وﺑﺈﺳﻠوب اﺳﻬل واﺑﺳط وذﻟك ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ) (٤-٤وﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ إذا ﻛﺎن X,ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺗﺻﻠﯾن ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : f x dx
f x d f x
L , x
r( )
x
f x L , x x d dx.
ان اﯾﺟﺎد x اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﻣﻘدار ) r(ﺗﻛﺎﻓﺊ إﯾﺟﺎد x اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﻣﻘدار ﺑﯾن اﻟﻘوﺳﯾن أي اﻟﻣﻘدار:
L , x x d. وﻫو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﺧﺳﺎرة ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ أﻟﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ وﻫذا اﻟﻣﻘدار أﺣﯾﺎﻧﺎ
ﯾﺳﻣﻰ اﻟﻣﺧﺎطرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ posterior riskأو اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ expected .posterior loss
٢٦٦
وﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﺎ إذا ﻛﺎن X,ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺗﻘطﻌﯾن ﻓﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد x اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ
اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﻣﻘدار ) r(ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
r() E R , R j , j j
L[(x i ), j ] f(x i |) j . j
i
واﻟذى ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : r() f (x i )[ L[(x i ), j ] j | x i ]. i
j
ﻧﻼﺣظ ان اﻟﻣﻘدار ﺑﯾن ﻗوﺳﯾن ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ x iاﻟﻣﺷﺎﻫدة وﻋﻠﻰ اﻻﺟراء اﻟذى ﺧﺻص ﻟﻬذﻩ اﻟﻘﯾﻣﺔ x iﺑواﺳطﺔ داﻟﺔ اﻟﻘرار اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ .وﻋﻠﻰ ذﻟك إذا وﺿﻌﻧﺎ
rx (d) E |x L[(x i ), L[(x i ), j( j | x i ). i
j
i
ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﺧﺳﺎرة ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ اواﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ
اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ .وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ﯾﺻﺑﺢ :
r() E|x L(,x i )f (x i ). i
i
وﻫﻰ ﻋﺑﺎرة ﻋن اﻟﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺟﺢ )ﺑﺎوزان ﻏﯾر ﺳﺎﻟﺑﺔ ) ( f (x iﻟﻠﺧﺳﺎرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ
وﺗﻛون اﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن إذا ﻛﺎﻧت اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ اﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن .ان اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ
ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
rx (d) L[d, j ] ( j | x i ). j
٢٦٧
i
وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ اﻧﻪ ﻟﻛل ﻗﯾﻣﺔ x iﻧﺣدد اﻻﺟراء اﻟذى ﯾﻌطﻰ اﻗل ﺧﺳﺎرة ﺑﻌدﯾﺔ ﻣﺗوﻗﻌﺔ وﻣﻧﻪ ﻧﺣدد داﻟﺔ اﻟﻘرار اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐرى ﻟﻣﺧﺎطرﻩ ﺑﯾﯾز ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ .
ﻣﺛﺎل )(٥٦-٤ ﻟﻠﻣﺛﺎل )(٤٧-٤
إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻰ ﺑﺣﯾث إن اﺣﺗﻣﺎل اﻟﻧﺟﺎح ﯾﻣﻛن ان
ﯾﻛون 1 1/ 3أو 1 1/ 2ﺑﻔرض أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﻫو: 2 1/ 2
1 1/ 3
2/3
1/3
ﺑﻔرض داﻟﻪ اﻟﺧﺳﺎرﻩ اﻟﻣﻌطﺎﻩ ﻟﻼﺟراﺋﯾن d1 , d 2ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ: d2
d1
2 1
0 3
d 1 2
ٕواذا ﻛﺎﻧت داﻟﻪ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻲ: 1 2
2
1 3
1 2 1 2
1 2 3 1 3
اوﺟد اﺟراء ﺑﯾﯾز ﻣﺳﺗﺧدﻣﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى . اﻟﺤــﻞ: ٢٦٨
x1 0 x2 1
: ﻫوX ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ x اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى j xi
j f xi j f xi
2
,i 1,2; j 1,2.
f xi j f xi j . j1
f (x1 0) 1 f x1 1 2 f x1 2
3 2 3 23 12 59 .
1
f (x 2 1) 1 f x 2 1 2 f x 2 2
3 13 23 12 94 .
1
: وﻋﻠﻲ ذﻟك 1
1 2 3 2, x 0 3 f x 59 5 f x 2 3 12 3 x 0 , 5 f x 9 5 f x 13 13 1 x 1 , 4 f x 9 4 f x 2 3 12 3 x 1 . 1 f x1 1
1
1
2
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
f x2
2
4
4
9
:أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻪ ﺑﺎﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ X x1 0 x2 1
1 1/ 3
2 1/ 2
2/5 1/4
3/5 3/4 : ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰx x1 0 ﻋﻧدﻣﺎ
٢٦٩
2
rx d1 L j ,d 2 j x1 1
j1
=L 1 ,d1 1 | x1 L 2 ,d1 2 | x1 2 3 9 0 3 . 5 5 5 rx d 2 =L 1,d 2 1 | d 2 L 2 ,d 2 2 ,d 2 1
2 3 7 2 1 . 5 5 5
. d 2 وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾز ﺳوف ﯾﻛون
: ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰx x 2 1 ﻋﻧدﻣﺎ
2
rx d1 L j ,d1 j x 2 2
j1
=L 1,d1 1 | x 2 L 2 ,d1 2 | x 2
rx d 2 2
1 3 9 0 3 . 4 4 4 =L 1 ,d 2 1 | x 2 L 2 ,d 2 2 | x 2 1 3 5 2 1 . 4 4 4
: ﻫﻛذا ﻧﺟد. اﯾﺿﺎd 2 وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾز ﺳوف ﯾﻛون
. d 2 ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾزx=0 ﻋﻧدﻣﺎ
. d 2 ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾزx=1 ﻋﻧدﻣﺎ
وﻫﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ 4 اى ان داﻟﺔ ﻗرار ﺑﯾﯾز ﻫﻰ. 4 وﻫذان اﻻﺟراءان ﯾواﻓﻘﺎن داﻟﺔ اﻟﻘرار
.(٥٣-٤)اﻟﺗﻰ ﺣﺻﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن ﻣﺛﺎل (٥٧-٤) ﻣﺛﺎل : ( ﻧﻌﻠم ان٥٢-٤) ﻟﻠﻣﺛﺎل
٢٧٠
داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ﻫﻰ : 2
1
4 0
0 3
d1 d2
واﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫو :
1
2
0.7 0.2 0.1
0.2 0.3 0.5
0
1 2
واﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﻫو:
2
1
2/3
1/3
اوﺟد اﺟراء ﺑﯾﯾز ﻣﺳﺗﺧدﻣﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى . اﻟﺤــﻞ:
٢٧١
: ﻫوX ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ x اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى j xi
j f xi j f xi
2
f xi j f xi j j1
,i 1, 2,3; j 1, 2.
f (x1 0) 1 f x1 1 2 f x1 2 . 3 0.7 23 0.2 11 30
1
f (x 2 1) 1 f x 2 1 2 f x 2 2
3 0.2 23 0.3 308 ,
1
f (x 2 1) 1 f x 2 1 2 f x 2 2 . 3 0.1 23 0.5 11 30
1
: وﻋﻠﻲ ذﻟك 1 0.7 7 x 0 3 , f x 1130 11 f x 2 3 0.2 4 x 0 , 11 f x 30 11 f x 13 0.2 1 x 1 , 8 f x 30 4 f x 2 3 0.3 3 x 1 , 1 f x1 1
1
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1 x 3 2
2 x 3 2
2
2
(8
f x2
2 f x 3 f x3 ٢٧٢
4
1 1 3 , 1130 11 2 3 0.5 10 ,
1 f x 2 1 f x2
) 30 0.1
2
(11 ) 30
11
:أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻪ ﺑﺎﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ 1 x1 0
2
7 11 1 4 1 11
x2 1 x3 2
4 11 3 4 10 11
: ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰx x1 0 ﻋﻧدﻣﺎ 2
rx d1 L d1 , j j x1 1
j1
=L d1, 1 1 | x1 L d1, 2 2 | x1 7 4 16 0 4 , 11 11 11 rx d 2 =L d 2 , 1 1 | d 2 L d 2 , 2 2 | d 2 1
7 4 21 3 0 , 11 11 11
. d1 وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾز ﺳوف ﯾﻛون
: ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰx x 2 1 ﻋﻧدﻣﺎ
٢٧٣
2
rx d1 L d1, j j x 2 j1
2
=L d1, 1 1 | x 2 L d1 , 2 2 | x 2 1 3 0 4 3. 4 4 =L d 2 , 1 1 | x 2 L 2 ,d 2 2 | x 2
rx d 2 2
1 3 3 3 0 . 4 4 4
وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾز ﺳوف ﯾﻛون . d 2
ﻋﻧدﻣﺎ x x 3 2ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ:
2
rx d1 L d1, j , j x 3 j1
3
=L d1, 1 1 | x 3 L d12 2 | x 3 1 10 40 0 4 , 11 11 11 =L d 2 , 1 1 | x 3 L d 2 , 2 2 | x 3
rx d 2 3
1 10 3 3 0 . 11 11 11
ﻫﻛذا ﻧﺟد :
ﻋﻧدﻣﺎ x=0ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾز . d1
ﻋﻧدﻣﺎ x=1ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾز . d 2 ﻋﻧدﻣﺎ x=3ﻓﺈن اﺟراء ﺑﯾﯾز . d 2
اﻻﺟراءات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗواﻓق داﻟﺔ اﻟﻘرار . 4اى ان داﻟﺔ ﻗرار ﺑﯾﯾز ﻫﻰ 4وﻫﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ
اﻟﺗﻰ ﺣﺻﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن ﻣﺛﺎل).(٥٥-٤
) (٩-٤ﻣﻘﺪر اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻟﺒﻴﻴﺰ اﻟﻤﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﺗﺨﺎذ اﻟﻘﺮار اﻟﺒﻴﻴﺰى ٢٧٤
ﻣن اﻷﻫداف اﻷﺳﺎﺳﯾﺔ ﻟﻧظرﯾﺔ اﺗﺧﺎذ اﻟﻘرار اﻟﺑﯾزى ﻫﻰ وﺿﻊ ﻫﯾﻛل ﻧظري ﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ﻣﺷﻛﻠﺔ
اﻻﺳﺗدﻻل اﻟﺑﯾﯾزى ﻋﻠﻰ أﻧﻬﺎ ﻣﺳﺎﺋل اﺗﺧﺎذ ﻗرار .أي ﯾﻧظر إﻟﻰ ﻣوﺿوع اﺧﺗﯾﺎر ﻣﻘدر ﻋﻠﻰ أﻧﻪ
اﺧﺗﯾﺎر ﻗرار أو إﺟراء ﻣن ﺑﯾن ﻣﺟﻣوع اﻹﺟراءات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ذﻟك ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﻔﺗرض
أن ﻧﺗﺎﺋﺞ ﻫذﻩ اﻹﺟراءات اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﯾﻣﻛن ﺗﻘﯾﻣﻬﺎ.
اﻵن ﺳوف ﻧﺷرح ﻛﯾﻔﯾﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺑﯾﯾزي وذﻟك ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻧظرﯾﺔ
اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺑﯾﯾزى . bayesian decision theory
ﻋﻧد ﻣﻧﺎﻗﺷﺔ ﻣﺷﻛﻠﺔ اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻣﻌﻠﻣﻪ ﻣﺎ واﻟﻣﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻘرار اﻟﺑﯾﯾزى وﺑﻔرض
أن X X1,X2 ,....,Xn ﺗﻣﺛل ﻋﯾﻧﻪ ﻋﺷواﺋﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم nﻣن ﺗوزﯾﻊ ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ
اﻻﺣﺗﻣﺎل , ,f x; ﻫو ﻓراغ اﻟﻣﻌﺎﻟم ،وﻫﻧﺎ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻗد ﯾﻛون ﻣﺗﺻل أو ﻣﺗﻘطﻊ و اﻟﻣطﻠوب ﺗﻘدﯾر أو داﻟﺔ ﻓﻰ
او ) u(ھﻨﺎ ﻓﺈن ﻣﺸﻜﻠﺔ اﻟﺘﻘﺪﯾﺮ ﺗﺼﺒﺢ ﻣﺸﻜﻠﺔ اﺗﺨﺎذ ﻗﺮار
ﯾﻜﻮن ﻓﯿﮭﺎ ﻓﺮاغ اﻻﺟﺮاءات Dھﻮ ﻧﻔﺴﮫ ﻓﺮاغ اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ اى ان . D ﻓﻌﻧدﻣﺎ ﺗﻛون اﻟﻘراءات x x1,x 2 ,....,x n ﻫﻰ ﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﻌﯾﻧﻪ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ X X1,X2 ,....,Xn ﻓﺈن ) T (Xﺗﻣﺛل داﻟﻪ ﻗرار ، decision functionﺗﻌﯾن أو ﺗﺧﺻص اﺣد اﻟﻘ اررات او
اﻹﺟراءات * d x ﻛﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ او ). u(وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎر داﻟﻪ اﻟﻘرار ) T (Xﻣﻘدر واﻋﺗﺑﺎر اﻟﻘرار d x ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ أو ) u(ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﻫﻲ
اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ وﯾﺟب أن ﯾﻛون اﺧﺗﯾﺎر x ﻣﻧﺎﺳب ﻟﻠﻣﺳﺄﻟﺔ ﻗﯾد اﻟدراﺳﺔ وذﻟك وﻓق
اﻟﻣﺗطﻠﺑﺎت اﻟﻣﺛﻠﻰ .اﻵن اﻟﻘرار ﻗد ﯾﻛون ﺻﺣﯾﺢ أو ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺢ ﻟذﻟك ﯾﻛون ﻣن اﻟﻣﻔﯾد ﻗﯾﺎس
ﺧطورة اﻟﻔرق ،إذا وﺟد ﺑﯾن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ واﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ . d x ﺗﺑﻌﺎ ﻟذﻟك ،ﻟﻛل زوج , L x , ﯾرﺗﺑط رﻗم ﻏﯾر ﺳﺎﻟب L x , واﻟذى ﯾﻌﻛس ﺗﻠك اﻟﺧطورة. ﺳوف ﺗﺳﻣﻰ اﻟداﻟﺔ L x , داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة .loss functionﻋﻧدﻣﺎ ﺗﺄﺧذ dﻛﺗﻘدﯾر
ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة L x , ﺗﻛون ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺧطﺄ أو اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻣن اﺧﺗﯾﺎر اﻟﻘرار dﻛﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﻫﻲ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ،وﻫﻲ داﻟﺔ ﻏﯾر ﺳﺎﻟﺑﺔ وﺗﺣﻘق اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: )(i
L(d, ) 0ﻟﺟﻣﯾﻊ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﻪ ﻣن . d,
)(ii
L(d, ) 0ﻟﻛل . d ٢٧٥
واﻵن ﻓﺈن اﺣد اﻟﻌﻧﺎﺻر اﻷﺳﺎﺳﯾﺔ ﻓﻲ ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ﻣﺷﻛﻠﺔ اﻟﺗﻘدﯾر ﻋﻠﻲ أﻧﻬﺎ ﻣﺳﺄﻟﺔ اﺗﺧﺎذ ﻗرار ﻫو
ﺗﺣدﯾد داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻟﻛل ﻣﺳﺄﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻧﻛون ﺑﺻدد دراﺳﺗﻬﺎ.
وﻧظراً ﻷﻧﻬﺎ ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺧطﺄ ﻓﯾﺟب ان ﺗﻛون ﻛﺑﯾرة ﻟﻠﺧطﺄ اﻟﻛﺑﯾر وﺻﻐﯾرة ﻟﻠﺧطﺄ اﻟﺻﻐﯾر.
وﺑﺎﻟطﺑﻊ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻰ أن ﺗﻛون اﻟﺧﺳﺎرة ﻗﻠﯾﻠﺔ ﺟداً ﺑﻣﻌﻧﻰ أن ﯾﻛون اﻟﻘرار ﻗرﯾب ﺟدا ﻣن اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺗﻰ ﻧﻘدرﻫﺎ.
اﻹﺣﺻﺎء ﻋﻧد اﻟﺗﻘدﯾر.
ﻓﻰ اﻟﺑﻧد اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺳوف ﻧﻘدم ﺑﻌض دوال اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ ﻓﻰ
) (١-٩-٤ﺑﻌﺾ دوال اﻟﺨﺴﺎرة أ -داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ
Squared Error Loss Function
ﻫذﻩ اﻟداﻟﺔ ﺗﺄﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: 2
L(d, ) c d ,
)(٥-٤
ﺣﯾث cﺛﺎﺑت )ﯾﻣﻛن ﻣﺳﺎواﺗﻪ ﺑﺎﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ( ،وﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺗﻛون ﻋﺑﺎرة ﻋن ﻣرﺑﻊ
ﻋﻣوﻣﺎ ً اﻟﺧطﺄ وﻟذﻟك ﺗﺳﻣﻰ داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ .وﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ u ﺑﺪﻻ ﻣﻦ ﰲ )(٥-٤
ﻓﺈن اﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺑﺎﺣﺛﯾن ﯾﻣﯾﻠون ﻻﺳﺗﺧدام ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ ﻛداﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻧظراً ﻟﺳﻬوﻟﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻘدرات اﻟﻣﻌﺗﻣدة ﻋﻠﯾﻬﺎ ) ﺣﯾث ان ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﻪ ﻫو ﺑﺑﺳﺎطﺔ ﻋﺑﺎرة ﻋن
ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣﺟﻬوﻟﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ذﻟك ﻓﯾﻣﺎ ﺑﻌد( .وﻟﻛن ﻫذا اﻻﺗﺟﺎﻩ
ﻋﺎرﺿﺔ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺑﺎﺣﺛﯾن ﺣﯾث أن طﺑﯾﻌﺔ داﻟﺔ ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ وﻫﻲ داﻟﺔ ﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ ﻣﺗﻣﺎﺛﻠﺔ ﺗﻌطﻰ اﻫﻣﯾﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻟﺣﺎﻟﺗﻰ اﻟﺗﻘدﯾر اﻷﻋﻠﻰ واﻷدﻧﻲ وﻫذا ﻣﺎ أﻛدﻩ اﻟﺑﺎﺣﺛﯾن Basu and
).Ebrahimi (1991
٢٧٦
ب -داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺧطﯾﺔ اﻷﺳﯾﺔ
)Linear-Exponential Loss Function (LINEX
ﻫذﻩ اﻟداﻟﻪ ﺗﺄﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: L() ec c 1.
)(٦-٤
ﺣﯾث c 0ﺛﺎﺑت ﯾﻣﺛل ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺷﻛل ﻟﻠداﻟﺔ L ﺣﯾث . d وﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ u
ﺑﺪﻻ ﻣﻦ ﻓﻲ ) . (٦-٤ﻣن أﻫم ﺧواص ﻫذﻩ اﻟداﻟﺔ اﻧﻬﺎ ﻏﯾر ﻣﺗﻣﺎﺛﻠﺔ ﺣول ﻧﻘطﺔ اﻷﺻل ،
ﺣﯾث أﻧﻬﺎ ﺗﻘﺗرب ﺷﻛﻠﻬﺎ ﻣن ﺷﻛل اﻟداﻟﺔ اﻷﺳﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﺣد ﺟﺎﻧﺑﻲ ﻧﻘطﺔ اﻷﺻل وﺗﻘﺗرب ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺧطﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺟﺎﻧب اﻵﺧر .ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺷﻛل cﺗﺗﺣﻛم ﻓﻰ درﺟﺔ واﺗﺟﺎﻩ ﻋدم اﻟﺗﻣﺎﺛل ﻟﻠداﻟﺔ ،ﺣﯾث ان ﻗﯾﻣﺔ cاﻟﻌددﯾﺔ ﺗﺗﺣﻛم ﻓﻰ درﺟﺔ ﻋدم اﻟﺗﻣﺎﺛل ﻟداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة .أﻣﺎ
إﺷﺎرة cﻓﺗﺣﻛم اﺗﺟﺎﻩ ﻋدم اﻟﺗﻣﺎﺛل .ﺑﻣﻌﻧﻰ أﻧﻪ ﻟﻘﯾم c > 0ﻓﺈن اﻟﺗﻘدﯾر اﻷﻋﻠﻲ ﯾﻛون أﻛﺛر
ﺧطورة ﻣن اﻟﺗﻘدﯾر اﻷدﻧﻲ واﻟﻌﻛس أﯾﺿﺎً ﺻﺣﯾﺢ ﺑﻣﻌﻧﻰ أﻧﻪ ﻟﻘﯾم c < 0ﯾﻛون اﻟﺗﻘدﯾر اﻷدﻧﻰ أﻛﺛر ﺧطورة ﻣن اﻟﺗﻘدﯾر اﻷﻋﻠﻲ.
وﻟﻘﯾم c
اﻟﺻﻐﯾرة ﺟداً ﺗؤول داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة
اﻟﺧطﯾﺔ اﻻﺳﯾﺔ إﻟﻰ داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ وﻫﻲ ﺑﺎﻟطﺑﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛﻠﺔ وﻫﻧﺎك اﻟﻌدﯾد ﻣن أﺷﻛﺎل
اﻟداﻟﺔ اﻟﺧطﯾﺔ اﻷﺳﯾﺔ واﻟﺗﻰ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ طرﯾﻘﺔ اﺧﺗﯾﺎر . داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة اﻷﺳﯾﺔ )(LINEX
ﺑﺄﺷﻛﺎﻟﻬﺎ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ اﺳﺗﺧدﻣﻬﺎ اﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺑﺎﺣﺛﯾن ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﺳﺗدﻻﻻت ﺑﯾﯾز ﻟﻣﺧﺗﻠف
اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ . )Soliman (2005 وﻋﻠﻰ ااﻟرﻏم ﻣن ﻣروﻧﺔ وﺷﻌﺑﯾﺔ ﻫذﻩ اﻟداﻟﺔ ﻓﻰ ﺗﻘدﯾر ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣوﻗﻊ وﻟﻛﻧﻬﺎ ﻏﯾر ﻣﻧﺎﺳﺑﺔ
ﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺷﻛل واﻟﻛﻣﯾﺎت اﻻﺧرى .
ج -داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة اﻟﺧطﺄ اﻟﻣطﻠق
Absolute Loss Function
ﻫذﻩ اﻟداﻟﻪ ﺗﺎﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: L(d, ) d |.
)(٧-٤
وﻫﻲ ﻋﺑﺎرة ﻋن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣطﻠق ﻟﻠﺧطﺄ .وﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ u ﺑﺪﻻ ﻣﻦ ﻓﻲ ).(٧-٤ ٢٧٧
د -داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة اﻻﻧﺘﺮوﺑﻴﺎ اﻟﻣﻌﻣﻣﺔ
General Entropy Loss Function
ﺗﺄﺧذ ﻫذﻩ اﻟداﻟﻪ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:
q
d d L ,d, qln 1.
)(٨-٤
وﻳﻤﻜـﻦ وﺿـﻊ ) u(ﺑـﺪﻻ ﻣـﻦ ﻓـﻰ )(٨-٤وﻫـﺬﻩ اﻟﺪاﻟـﺔ ﻣﻌﺮﻓـﺔ ﻣـﻦ ﻗﺒـﻞ Calabria and Pulaini ) (1996و ﺗﻌﺘﺒـﺮ اﻟﺪاﻟـﺔ ﺗﻌﻤـﻴﻢ ﻟﺪاﻟـﺔ اﻻﻧﺘﺮوﺑﻴـﺎ و اﻟﺘــﻲ ﻓﻴﻬـﺎ q 1و اﻟﻤﺴـﺘﺨﺪﻣﻪ ﻣـﻦ ﻗﺒـﻞ Dey and
) .Lee (1992ﻣــﻦ اﻟﻮاﺿــﺢ أن اﻟﺼــﻴﻐﺔ ) (٨-٤ﺗﻌﺘﺒــﺮ أﻛﺜـﺮ ﻋﻤﻮﻣﻴــﺔ ﻟﻜﻮﻧﻬــﺎ ﺗﻌﻄــﻲ أﻛﺜــﺮ ﻣــﻦ ﺷــﻜﻞ ﻟﺪاﻟــﺔ
اﻟﺨﺴﺎرة و ذﻟﻚ ﺗﺒﻌـﺎً ﻟﻘـﻴﻢ qاﻟﻤﺨﺘـﺎرة .ﺣﻴـﺚ أن ﻗـﻴﻢ q 0ﺗﻨﺎﺳـﺐ اﻟﺤﺎﻟـﺔ اﻟﺘـﻲ ﻓﻴﻬـﺎ اﻟﻤﻘـﺪر اﻷﻋﻠـﻰ ذو ﺧﻄﻮرة أﻛﺒﺮ ﻋﻨﻪ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻘﺪر اﻻدﻧﻰ و اﻟﻌﻜـﺲ ﺻـﺤﻴﺢ .أﻳﻀـﺎً ﻣـﻦ ) (٨-٤ﻋﻨـﺪﻣﺎ اﻟﻘﻴﻤـﺔ q 1ﻓـﺈن داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة اﻻﻧﺘﺮوﺑﻴﺎ اﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﺗﺆول إﻟﻰ داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺨﻄﺄ .
دLog – Odds Ratio Squared Loss Function - ﺗﺄﺧﺬ ﻫﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
)(٩-٤
2
d (L d, ln () ln ) 1 1 d
وﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ u ﺑﺪﻻ ﻣﻦ ﻓﻲ ) (٩-٤وﻫﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﺗﺤﻮﻳﻠﻪ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻣﻦ ] [0,1ﻋﻠﻰ ﺧﻂ
اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ وﺗﻌﻄﻲ ﻫﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻘﺪﻳﺮ ﺟﻴﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﻟﻤﻐﻠﻘﺔ ] [0,1وﻫﻲ ﺗﺤﺴﺐ ﻋﺎدة ﻓﻲ ﺗﻘﺪﻳﺮ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻷﻧﻬﺎ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]. [0,1
ﺑﻌد ﺗﺣدﯾد داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ ﻟﻣﺷﻛﻠﺔ اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺗﻰ ﻧﺣن ﺑﺻددﻫﺎ ﯾﻛون ﻫدﻓﻧﺎ اﺧﺗﯾﺎر
اﻟﻣﻘدر ) T (Xاﻟذى ﯾﺟﻌل اﻟﺧﺳﺎرة أﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن .وﻧظراً ﻷن داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ d x وأن dﻫﻲ ﻗﯾﻣﺔ ) T (Xﻓﺈن اﻟﺧﺳﺎرة ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ أي أن داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة
ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎرﻫﺎ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﻌﯾﻧﺔ وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﺳﯾﻛون ﻣن اﻟﺻﻌب ان ٢٧٨
ﻧﺟﻌل اﻟﺧﺳﺎرة أﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن ﻟﻛل ﻋﯾﻧﺔ ﻣﻣﻛﻧﺔ وﻟﻛن ﯾﻣﻛن ﺟﻌل اﻟﺧﺳﺎرة أﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن ﻓﻰ اﻟﻣﺗوﺳط ﻓﺈذا ﻏﯾرﻧﺎ ﻫدﻓﻧﺎ ﻣن اﺧﺗﯾﺎر اﻟﻣﻘدر اﻟذى ﯾﺟﻌل اﻟﺧﺳﺎرة أﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن إﻟﻰ اﺧﺗﯾﺎر
اﻟﻣﻘدر اﻟذى ﯾﺟﻌل ﻣﺗوﺳط اﻟﺧﺳﺎرة اﻗل ﻣﺎ وذﻟك ﺑﺈﺳﺗﺧدام داﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة .
) (٢-٩-٤داﻟﺔ اﻟﻤﺨﺎﻃﺮة
داﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة risk functionﻟﻠﻣﻘدر ) T d(Xﺗﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ:
R(d, ) E T L(T, ) E X L d X , .
)(١٠-٤
وﺗﺳﻣﻰ داﻟﻪ اﻟﻣﺧﺎطرة اﻟﻣراﻓﻘﺔ ﻟﻠﺗﻘدﯾر dﻋﻧد . ﻫذا ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد داﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة ﻟداﻟﺔ ﻓﻲ
اي ). u( :
ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﻣﺗﻐﯾر Xﻣﺗﺻﻼ ﻓﺈن اﻟﺗوﻗﻊ ﻓﻲ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ) (١٠-٤ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻪ ﺑطرﯾﻘﯾﺗن
اﻟطرﯾﻘﺔ اﻷوﻟﻲ: R( ,d) E X L X , L x , f (x | )dx. x
اﻣﺎ إذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾر Xﻣﺗﻘطﻌﺎً ﻓﺈن: n
R(d, ) E X L X , L (x i ), f (x i | ) .
اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ:
i 1
R(d, ) E T L(T,) L(t, )h(t | )dt.
ﺣﯾث h t | ﻫو اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﻘدر Tﺑﺷرط واﻟذى ﯾﻛون ﻣﻘدر ﻛﺎﻓﻲ واﻵن
ﻫدﻓﻧﺎ ان ﻧﺧﺗﺎر اﻟﻣﻘدر اﻟذى ﯾﻛون ﻟﻪ أﻗل ﻣﺧﺎطرة ﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ﺣﯾث ﻓراغ ٢٧٩
اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ .وﻟﻛن ﻟﻸﺳف ﻻﯾوﺟد ﻋﺎدة ﻣﻘدر ﺑﺣﯾث ﺗﻛون داﻟﺔ ﻣﺧﺎطرﺗﻪ أﻗل ﻣﺎﯾﻣﻛن ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم
واﻟﻣﺷﻛﻠﺔ ﻫو اﻋﺗﻣﺎد داﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺟﻬوﻟﺔ .ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻫﻧﺎك ﻣﺛﻼ ﺗﻘدﯾرﯾن
d1,d 2ﻓﻛﻠﻬﻣﺎ ﻟﯾس أﻓﺿل ﻣن اﻵﺧر ﻷن دوال اﻟﻣﺧﺎطرة ﻟﻬﻣﺎ ﺗﺗﻘﺎطﻊ وﺗﻛون إﺣداﻫﻣﺎ أﻓﺿل
ﻟﺑﻌض ﻗﯾم واﻵﺧر أﻓﺿل ﻟﺑﻌض ﻗﯾم اﻷﺧرى. ﻣﺛﺎل )(٥٨-٤ ﻟﯾﻛن
ﺑﻔرض أن X X1,X2 ,...,X25 ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ ). , N(,1 ﻫو اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ وﻟﯾﻛن
TX
2
L x , x
t , 2 (x) 0 , 1 (x) tﺣﯾث tﻫو ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻘدر .T
دوال اﻟﻣﺧﺎطرة اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﺳوف ﺗﻛون: 1 , 25
2
R 1 x , E T| T 2
R 2 x , E 0 2 , ﻣن اﻟواﺿﺢ أﻧﻪ ﻋﻧدﻣﺎ 0ﻓﺈن 2 x ﺳوف ﺗﻛون ﻗرار ﻣﻣﺗﺎز ﺣﯾث R 2 x , 0
ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﺧﺗﻠف
ﻋن اﻟﺻﻔر ﺑﻣﻘدار ﻛﺑﯾر ﻓﺈن 2 x ﺳوف ﯾﻛون ﻗرار ردئ.
1 ﻋﻠﻲ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻧدﻣﺎ 2ﻓﺈن R 2 x ,2 4 25
ﻋﻣوﻣﺎً
،
ﻓﺈن
ﻋﻧدﻣﺎ
R 2 x , R 1 x ,
. R 2 x , R 1 x ,
. R 1 x ,2 1 1 5 5
أي أن واﺣدﻩ ﻣن ﺗﻠك اﻟدوال ﺗﻛون أﻓﺿل ﻣن اﻷﺧرى ﻟﺑﻌض ﻗﯾم
ﺗﻛون أﻓﺿل ﻟﻘﯾم أﺧرى ﻣن .
وداﻟﺔ اﻟﻘرار اﻷﺧرى
R d 2 x , 2
1 25
R d1 x ,
٢٨٠
1 5
وﻏﯾر
ذﻟك
1 5
اذا اﻋﺗﺑرﻧﺎ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻣﻌرف ﻋﻠﻲ ﻓﯾﻣﻛن إزاﻟﺔ اﻋﺗﻣﺎد داﻟﺔ
اﻟﻣﺧﺎطرة ) R(d, ﻋﻠﻰ وذﻟك ﺑﺄﺧذ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟداﻟﺔ اﻟﻣﺧﺎطرة ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر
ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز .Bayes Risk
ﺗﻌرﯾف:
إن ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ﻟداﻟﺔ اﻟﻘرار )اﻟﻣﻘدر( ) T (Xﺗﻌرف ﻛﺎﻵﺗﻰ: R() E R(d, )
ﻓﺈذا ﻛﺎﻧت X,ﻣﺗﻐﯾرات ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻓﺈن: R(d) R((x), ) d L((x, )f x dx d L((x, )f x, dx d.
)(١١-٤
ﺣﯾث اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ و f x اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ Xﺑﺷرط و f x,
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ Xواﻟﻣﺗﻐﯾر ٕ واذا ﻛﺎﻧت X,ﻣﺗﻐﯾرات ﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻓﺈن: L , x f x .
x
r(d)
إن ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ﻟﻠﻘرار dﻫﻲ ﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺧﺎطرة وﻫﻲ داﻟﺔ ﺣﻘﯾﻘﯾﺔ وﻟذﻟك ﻧﺳﺗطﯾﻊ ﻣﻘﺎرﻧﺔ
اﻟﻘ اررات اﻟﻣﺗﻧﺎﻓﺳﺔ واﺧﺗﯾﺎر اﻟﻘرار اﻟذي ﻟﻪ أﻗل ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز )أي اﻟﺗﻘدﯾر اﻟذى ﻟﻪ أﻗل
ﻣﺧﺎطرة(. ﺗﻌرﯾف:
ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ أو داﻟﺔ ﻓﻰ u() واﻟﻣﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻘرار اﻟﯾﺑﯾزى ﻫو
اﻟﺗﻘدﯾر * dاﻟذى ﯾﺣﻘق اﻟﻌﻼﻗﺔ:
r(d* ) r(d).
ﺣﯾث dأي ﺗﻘدﯾر آﺧر .اي أن * d* ﯾﺣﻘق اﻟﺷرط اﻟﺗﺎﻟﻰ: r(d* ) min r(d). d
٢٨١
ﺑﻔرض داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة L , x ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺑﺣث ﻋن اﻟﺗﻘدﯾر * d* * x اﻟذى ﯾﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐري ﻟﻠﻣﻘدار ﻓﻰ ) (١١-٤واﻟذى ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﻪ ﺑﺈﺗﺑﺎع اﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:
اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ) (١١-٤ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : f x dx
f x d f x
r(d) L x , x
f x L x , x d dx.
ان اﯾﺟﺎد x اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﻣﻘدار ) r(dﺗﻛﺎﻓﺊ إﯾﺟﺎد x اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﻣﻘدار ﺑﯾن اﻟﻘوﺳﯾن أي اﻟﻣﻘدار:
L x , x d. وﻫذا اﻟﻣﻘدار أﺣﯾﺎﻧﺎ ﯾﺳﻣﻰ اﻟﻣﺧﺎطرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ posterior riskأو اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ.
) (٣-٩-٤ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺨﻄﺎ وداﻟﺔ ﺧﺴﺎرة اﻟﺨﻄﺎ اﻟﻤﻄﻠﻖ
ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ اﻋﺗﻣﺎداً ﻋﻠﻰ داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ ﻫو ﻋﺑﺎرة ﻋن ﻣﺗوﺳط
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ أي ﯾﺳﺎوى E|x وﺳوف ﻧﺳﺗﻧﺗﺟﻪ ﻣن اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: ﻧظرﯾﺔ:
إذا ﻛﺎﻧت
2
L x , d أى داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺎ ﺗﺣت ﻓرض ان c 1
اﻟﻣﻌرﻓﺔ ﻓﻰ ) (٥-٤ﻓﺈن ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻫو ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى أي أن: d * E |x .
اﻟﺑرﻫﺎن:
٢٨٢
ﺳوف ﻧﺑرﻫن ﻫذﻩ اﻟﻧظرﯾﺔ ﻋﻧدﻣﺎ X , ﻣﺗﻐﯾرات ﻣﺗﺻﻠﺔ ﺣﯾث اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر
ﻫو:
f x | . f x | d
x
ﻓﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﻪ ) r(dﻋﻠﻰ اﻟﺻورة: f x f x ddx
2
f x
r() x x
2 x x d f x dx. x
إن إﯾﺟﺎد x اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐرى xﻟﻠﻣﻘدار ) r(ﺗﻛﺎﻓﺊ إﯾﺟﺎد x اﻟﺗﻰ
ﺗﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﻣﻘدار ﺑﯾن اﻟﻘوﺳﯾن أى اﻟﻣﻘدار: 2
d x d.
وﻹﯾﺟﺎد x اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ اﻟﻘﯾﻣﻪ اﻟﺻﻐرى ﻟﻬذا اﻟﻣﻘدار ﻧﻔﺎﺿل ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟـ dوﻧﺳﺎوى ﺑﺎﻟﺻﻔر ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ:
2 d x d 0.
وﻫذﻩ ﺗﻌطﻰ ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز اﻵﺗﻰ: d* x d
E |x .
وﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺗﻛون ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ﻫﻲ: r(d* ) f (x) (d* ) 2 x d dx. x
وﻣن اﻟﻣﻬم أن ﻧﻼﺣظ أن ﻫذا اﻟﻣﻘدار ﻫو: r(d* ) Var x f (x)dx, x
٢٨٣
ﺣﯾث
ﻫو
Var x
ﺗﺑﺎﯾن
اﻟﺗوزﯾﻊ
ل .
اﻟﺑﻌدى
وﺑﺎﻟﻣﺛل
إذا
ﻛﺎﻧت
L((x), ) d g()2ﻓﺈن ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻫو: d* * (x) u x d E |x u() .
اﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ﻋﺎﻣﻪ ) L( x , ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺑﺣث ﻋن اﻟﻘرار x اﻟذى ﯾﻌطﻰ *
اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺻﻐري ﻟﻠﻣﻘدار:
r(d) f (x) L((x), ) x d dx. x
وﻫذا ﯾﻛﺎﻓﺊ إﯾﺟﺎد d* x اﻟﺗﻰ ﺗﺟﻌل اﻟﻣﻘدار:
L((x), ) x d.
اﺻﻐر ﻣﺎ ﯾﻣﻛن ،وﻫذا اﻟﻣﻘدار ﯾﺳﻣﻰ اﺣﯾﺎﻧﺎ ﺑﺎﻟﻣﺧﺎطرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ posterior riskأو
اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ.
وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻘدر اﻟذى ﻟﻪ أﻗل ﻣﺧﺎطرة ﺗﺣت داﻟﻪ اﻟﺧﺳﺎرة (d )2وذﻟك ﺑطرﯾﻘﺔ ﺳﻬﻠﺔ وذﻟك ﻣن ﻣن اﻟﺗوﻗﻊ ﻟداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة ﺑﺎﻟﻧﺑﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﻟـ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
E |x L(d, ) E |x (d )2 d 2 2dE |x E |x 2 .
وﺑﺈﺟراء اﻟﺗﻔﺎﺿل ﻟﻠﻣﺧﺎطرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟـ dﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﺣﯾث : 2d 2E |x 0.
وﺑﺎﻟﻣﺳﺎواﻩ ﺑﺎﻟﺻﻔر ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ : 2d * 2E |x .
وﻋﻠﻰ ذﻟك : d * E |x .
ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﺗﺣت ﻓرض داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﻌرﻓﺔ ﻓﻰ ) (٥-٤ﻫو:
E X * E X E |x E .
أى ان ﻣﺗوﺳط ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻫو ﻧﻔﺳﻪ ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠﻰ وﯾﺳﻣﻰ ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ
ﻣﻘدر ﺑﯾﯾزى ﻏﯾر ﻣﺗﺣﯾز.
٢٨٤
ﻣﺛﺎل )(٥٩-٤ إذا ﻛﺎﻧت X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ
وﻛﺎﻧت 1وﺗﺣت ﻓرض داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ اﻟﺗﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل (d )2أوﺟد
ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز وأﺣﺳب ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز. اﻟﺤــﻞ:
f x x (1 )1x , x 0 , 0 1, 1
, 0 1.
داﻟﻪ اﻻﻣﻛﺎن ﺳوف ﺗﻛون: n
f x f x i x (1 ) n x . i
i
i 1
وﺑدﻻ ﻣن اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ اﻟﻌﯾﻧﺔ xﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻹﺣﺻﺎء اﻟﻛﺎﻓﻲ t x iوﻋﻠﻲ ذﻟك tﯾﺗﺑﻊ
ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﺑﻣﻌﺎﻟم
وﻋﻠﻲ ذﻟك :
n ,أي أن :
n h t t (1 )n t , t 0,1,..., n. t f (t) h(t ) d 1 ;, t 0,1,2,...,n n 1 n )n(2n 1 E(t) , E(t 2 ) . 2 6
ﻛﻣﺎ أن :
t h t 1 t (1 ) n t ,0<<1, )(t 1,n t 1 t 1 E |t t , n2 )(t 1)(n t 1 Var t . (n 3)(n 2)2
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﯾﻛون: ٢٨٥
d* * E |x ()
t 1 . n2
: وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ﻟﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﺑطرﯾﻘﺗﯾن :اﻟطرﯾﻘﺔ اﻷوﻟﻲ
R(d* ) R d* , d
L(d , )f (x )dx d. *
2
1 n
t 1 f t d 0 t 0 n 2
2 t 1 E T| d n 2 0 1
2 Var(t ) (1 2 ) d 2 n 2 0 1 1 n(1 ) (1 2) 2 d 2 n 2 0
1
1
1 . 6(n 2)
:اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ
٢٨٦
r(d* ) f (x) L d* , x d dx X
n f (t) ( d* ) 2 x d t 0 |x n
Var t f (t) t 0 n
(t 1)(n t 1) f (t) 2 t 0 n 3 (n 2)
n
1
{n 1 (nt t 2 )}f (t). 2
(n 3) n 2 t 0 1 (n 1) nE(t) E(t 2 ) 2 (n 3)(n 2)
1 n2 n(2n 1) n 1 2 2 6 (n 3)(n 2) 1 . 6(n 2)
(٦٠-٤) ﻣﺛﺎل وﻛﺎﻧتN(,1) ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣنX X1,X2 ,...,Xn إذا ﻛﺎﻧت
. أوﺟد ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز وأﺣﺳب ﻣﺧﺎطرﺗﻪL(d, ) (d ) 2 وأن ~ N(a,1) :اﻟﺤــﻞ : ﺑﻣﺎ أن X ~ N(,1), ~ N(a,1) : ﺣﯾث
(٦-٤) وﯾﻌﺗﺑر ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن ﻣﺛﺎل
x ~ N 1, 1 ,
٢٨٧
1
1 n 0 ( ) 1 , (0 / 0 ) (x / ) 1 / 1 وﺑوﺿﻊ 0 a, 0 1, 1
وﻋﻠﻰ ذﻟك :
اى ان
1 1 a x nx a 1 1 n 1 , 1 . 1 n 1 1 n 1 1 1 n 1 n
nx a 1 x N , . n 1 n 1
وﺣﯾث أن داﻟﻪ اﻟﺧﺳﺎرة ﻫﻰ ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ ﻓﺈن ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻫو: nx a . n 1
d* E |x
وﻣن اﻟواﺿﺢ أن ﻣﺧﺎطرﻩ ﻫذا اﻟﻣﻘدر ﻫﻲ:
r d * f (x)Var x dx. x
1 وﺣﯾث أن n 1
Var | x ﻻﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ xﻓﺈن:
1 . n 1 Xi 1 X ﺑدﻻ ﻣن Xﺣﯾث X ~ N , وﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ اﻹﺣﺻﺎء اﻟﻛﺎﻓﻰ n n
r d*
وﻫذا ﻣﺎ ﻧﻔﻌﻠﻪ ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل ) (٥٢-٤وﻫو اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﺣﯾث : X | ~ N(, ), ) ~ N(0 , 0
ﯾﻼﺣظ أن ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز * dﻫو ﻛذﻟك ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة d ﻻن وﺳﯾط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﯾﺳﺎوى ﻗﯾﻣﺗﻪ اﻟﻣﺗوﻗﻌﻪ. ﻣﺛﺎل )(٦١-٤ ٢٨٨
إذا ﻛﺎﻧت X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرﻩ
) (0, وﻛﺎﻧت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ) (0 , 1وداﻟﻪ اﻟﺧﺳﺎرة ﻫﻰ: L(,d) (d ) 2 / 2 .
اوﺟد ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز. اﻟﺤــﻞ: 1
0 0,
,
0 1
,
0 max(x i ) .
,
اﻹﺣﺻﺎء اﻟﻛﺎﻓﺊ ) U max(Xوﻋﻠﻰ ذﻟك : 0 u .
وﻋﻠﻰ ذﻟك:
f x 1
1 n
f x
nu n 1 h(u ) n
(n 1)u n 1 1 u . , u 1. 1 u n 1 n
واﻵن ﺗﺑﺣث ﻋن اﻟﺗﻰ ﺗﻌطﻰ أﻗل ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻠﻣﻘدار
(d ) 2 r(d) u d. 2
ﻧﻔﺎﺿل ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟـ dوﻧﺳﺎوى ﺑﺎﻟﺻﻔر ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ :
1 d 1 u d n 2 * u d 1 1 d 2 u d n 2 u
n 1 1 un .u . . n 1 u n 1
ﻣﺛﺎل )(٦٢-٤ إذا ﻛﺎﻧت X X1,X2 ,...,Xn ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ) N(, وﻛﺎﻧت
) ~ N(0 , 0وأن L(d, ) (d ) 2أوﺟد ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز وأﺣﺳب ﻣﺧﺎطرﺗﻪ. ٢٨٩
:اﻟﺤــﻞ
: ( ﺑﻣﺎ أن٥٠-٤) ﯾﻌﺗﺑر ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺗﻌﻣﯾم ﻟﻠﻣﺛﺎل X | ~ N(, ), ~ N(0 , 0 ).
X وﻻﯾﺟﺎدX ~ N , . ﺣﯾثX ﺑدﻻ ﻣنX i ﺳوف ﻧﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ اﻹﺣﺻﺎء اﻟﻛﺎﻓﻰ
n
n
: ﻧﺗﺑﻊ ﻣﺎ ﯾﻠﻰ x اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى x f x e
2 2 1 n x 0 - 2 0
e -
e
e
1 2 n0 (x ) 2 0 2 0
2 n0 2 2 (n0 x 0) n0 x 0 2 0 (n0 ) n0
n0 n0 x 0 2 0 n0
2
.
: ﺣﯾثN(1, 1 ) ﻣﺎﻫو اﻻ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔg( x) وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن 1
n0 x 0 0 , 1 . n0 n0
: وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻫو d*
n0 x 0 . n0 ٢٩٠
: ﻣﺧﺎطرة ﺑﯾﯾز ﻟﻬذا اﻟﻣﻘدار ﻫﻰ *
r( ) E |x ()
[ (d
*
) 2 f (x | )dx]()d
[ (d
*
)2 ( | x)d]f (x)dx
Var( | x)f (x)dx
0 f (x)dx n 0
0 0 f (x)dx . n0 n0
واﺧﯾ ار ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﺗﺣت ﻓرض داﻟﻪ ﺧﺳﺎرة اﻟﺧطﺄ اﻟﻣطﻠق ﻫو اﻟوﺳﯾط وﻫذا ﻣﺎ ﺳوف ﻧﺑرﻫﻧﻪ
: ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ
E L(d, )
d ( x)d
d
d ( x)d
d ( x)d. d
: ﻫﻰd وﺑﺈﺟراء ﺗﻔﺎﺿل اﻟﻣﺧﺎطرة اﻟﺑﻌدﯾﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟـ E L(d, ) d
( x)d. d
E |x L( ,d) d
F d 1 F d . ٢٩١
d
( x)d
وﺑﻣﺳﺎواة اﻟﻧﺎﺗﺞ اﻟﺳﺎﺑق ﺑﺎﻟﺻﻔر ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ :
F d* 1 F d * 0.
وﻋﻠﻰ ذﻟك :
1 Fd 2
2F d* 1 *
أى أن ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻫو اﻟوﺳﯾط.
) (٤-٩-٤ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ اﻟﺨﺴﺎرة اﻻﺳﻴﺔ
ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﻟداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة اﻷﺳﯾﺔ اﻟﻣﻌرﻓﺔ ﻓﻰ ) (٦-٤ﻫو اﻟﻘﯾﻣﺔ * dاﻟﺗﻰ ﺗﺟﻌل اﻟﻘﯾﻣﺔ
اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة أﻗل ﻣﺎﯾﻣﻛن )اﻟﺗوﻗﻊ ﯾﻛون ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى وﯾﺳﻣﯨﺎﻟﻣﺧﺎطرة
اﻟﺑﻌدﯾﺔ( وﯾﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﺑﺎﺗﺑﺎع اﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة
ﻫﻰ :
E x L(d, ) E x ec(d ) E x c(d ) 1.
وﻟﺟﻌل اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ أﻗل ﻣﺎﯾﻣﻛن ،ﻧﻔﺎﺿل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ل dوﻧﺳﺎوﯾﻬﺎ
ﺑﺎﻟﺻﻔر ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ * dﻛﻣﺎﯾﻠﻰ :
٢٩٢
E (L(d, ) E x c e cd c d
c0
c d *
c
E x c e
c d *
1
c d *
cE x e
E x e
*
E |x e cd e c 1
*
ecd E |x e c 1.
*
e cd E |x e c
cd * ln E |x e c .
وﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈن ﻣﻘدر * dﺑﺎﺳﺗﺧدام داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة اﻟﺧطﯾﺔ اﻷﺳﯾﺔ ﯾﻛون: 1 d* ln E|x (e c ) c
) (٥-٩-٤ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ اﻟﺨﺴﺎرة اﻻﻧﺘﺮوﺑﻴﺎ اﻟﻤﻌﻤﻤﺔ
ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز * dﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ واﻟذى ﯾﺟﻌل اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟداﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة اﻻﻧﺗروﺑﯾﺎ اﻟﻣﻌﻣﻣﺔ
) (٨-٤أﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﻪ ﺑﺄﺧذ اﻟﺗوﻗﻊ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﺛم ﻧﻔﺎﺿل اﻟﻧﺎﺗﺞ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ل dوﻧﺳﺎوﯾﺔ ﺑﺎﻟﺻﻔر ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ * dﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ: q
d d E x E x q ln 1 1 (d q )E x ( ) q q ln d E x q
q 1 q(d ) E x * 0 d 1 1 (d* ) q1 E x ( )q * . d * q 1
وﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈن ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز * dﻟـ
ﺑﺈﺳﺗﺧدام داﻟﺔ اﻟﺧﺳﺎرة اﻹﻧﺗروﺑﯾﺎ اﻟﻣﻌﻣﻣﺔ ﻫو: ٢٩٣
.
1 q q
*
)d E x (
وﻛﺣﺎﻟﻪ ﺧﺎﺻﺔ ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون q = -1ﻓﺈن داﻟﻪ ﺧﺳﺎرة اﻻﻧﺗروﺑﯾﺎ ﺗؤول اﻟﻰ داﻟﻪ ﺧﺳﺎرة ﻣرﺑﻊ اﻟﺧطﺄ.
) (٦-٩-٤ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض Logg-odds Squared-Error Loss ﻣﻘدر ﺑﯾﯾز ﺗﺣت ﻓرض داﻟﺔ ﺧﺳﺎرة (٩-٤) Functionھﻮ:
Log-odds Squared - Error Loss
1 , 1 e E |x ln . 1 d* 1
) (١٠-٤ﻃﺮق ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻼت اﻟﺒﻴﻴﺰﻳﺔ Approximate Evaluation of Bayesian Integrals ﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣﺔ ﻓﻰ ﻃﺮق ﺑﻴﻴﺰ ﻛﺜﻴﺮا ﻣﺎ ﻳﺘﻌﺮض اﻟﺒﺎﺣﺚ إﻟﻰ ﺣﺴﺎب اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﺘﻮﻗﻌﺔ اﻟﺒﻌﺪﻳﺔ ﻟﻤﻌﺎﻟﻢ اﻟﺘﻮزﻳﻊ او داﻟﺔ
ﻓﻰ ﻫﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ واﻟﺘﻰ ﻏﺎﻟﺒﺎ ﻣﺎ ﺗﻜﻮن ﻧﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﺗﻜﺎﻣﻠﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
u()g()f (x | )d
E[u( ) | x]
.
g()f (x | )d
)(١٢-٤ ﺣﻴﺚ : ٢٩٤
n
L(x| )= f (x j | ) f (x | ) . j1
داﻟﺔ اﻻﻣﻜﺎن و ) (, ,..., kﻣﻌﺎﻟﻢ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻰ ﻟﻠﻈﺎﻫﺮة ﻣﻮﺿﻊ اﻟﺪراﺳـﺔ و ) g(اﻟﺘﻮزﻳـﻊ
اﻟﻘﺒﻠـﻰ ﻟﻤﻌـﺎﻟﻢ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ وﻓـﻰ ﻛﺜﻴـﺮ ﻣــﻦ اﻻﺣﻴـﺎن ﻳﻜـﻮن ﻣـﻦ اﻟﺼـﻌﺐ اﻟﺤﺼــﻮل ﻋﻠـﻰ ﺷـﻜﻞ ﻣﺤـﺪد ﻟﻨﺘﻴﺠـﺔ ﻫــﺬﻩ اﻟﺘﻜـﺎﻣﻼت ﺧﺎﺻــﺔ وإذا ﻛــﺎن اﻟﺘــﻮز ﻳــﻊ ﺗﺤـﺖ اﻟﺪراﺳــﺔ ﻳﻌﺘﻤــﺪ ﻋﻠــﻰ اﻛﺜــﺮ ﻣـﻦ ﻣﻌﻠﻤــﺔ وﻛﺎﻧــﺖ اﻟﺘﻮزﻳﻌــﺎت اﻟﻘﺒﻠﻴــﺔ
ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ ﻣﺘﺼﻠﺔ .اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) (١٢-٤ﻳﻤﻜﻦ وﺿﻌﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ : d
) L( ) Q(
u() e
uˆ B E[u( ) | x]
. d
) L( ) Q(
e
)(١٣-٤ ﺣﯿﺚ ) L( ھﻮ ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ) L(x | و )Q( ) ln g( أي ﻟﻮﻏ ﺎرﯾﺘﻢ اﻟﺪاﻟ ﺔ اﻟﻘﺒﻠﯿ ﺔ و ) u( داﻟ ﺔ اﺧﺘﯿﺎرﯾ ﺔ ﻓ ﻲ . ﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺒﯿﻞ اﻟﻤﺜ ﺎل ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺒﻌﺪ اﻷول ﻓﺈن u() ھﻮ ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﺒﻌﺪي ) اﻟﻤﻘﺪر اﻟﺒﯿﺰي ﻟـ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺨﻄﺄ وﻗﺪ ﺗﻜﻮن u() kو اﻟﺘﻲ ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻌﺰوم ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ kﻟﻠﺘﻮزﯾ ﻊ اﻟﺒﻌ ﺪي ( .اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﺗﻜﻮن ) . (1 , 2 ,..., mﺑﺤﺴﺎب اﻟﻤﻘﺎم ﻓ ﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﺔ ) (١٣-٤ﻧﺤﺼ ﻞ ﻋﻠﻰ ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﺒﻌﺪﯾﺔ .ﻓﻲ اﻟﺠﺰء اﻟﺘﺎﻟﻲ ﺳﻮف ﻧﻘﺪم ﻋﺪة طﺮق ﺗﻘﺮﯾﺒﯿﺔ ﻟﺤﺴﺎب )-٤ .(١٣
) (١-١٠-٤ﺗﻘﺮﻳﺐ ﻟﻨﺪﻟﻰ Lindley Approximation
٢٩٥
ھﺬا اﻟﺘﻘﺮﯾﺐ ﻗﺪم ﻣﻦ ﻗﺒﻞ ) Lindley (1980و ﯾﻌﺘﺒﺮ ﻣﻔﯿﺪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن ﻋﺪد اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ 1 أﻗﻞ ﻣﻦ ، 5و اﻟﺨﻄﺄ ﻓﻲ ھﺬا اﻟﺘﻘﺮﯾﺐ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ n
ﺣﯿﺚ nھﻮ ﺣﺠﻢ اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ.
ﻧظرﯾﺔ :
ﻋﻨﺪﻣﺎ nﻛﺒﯿﺮة ﺑﺪرﺟﺔ ﻛﺎﻓﯿﺔ ﻓﺈن اﻟﺼﯿﻐﺔ ﻓﻲ) (١٣-٤ﺗﺮﺗﻜ ﺰ ﺣ ﻮل ﻣﻘ ﺪر اﻹﻣﻜ ﺎن اﻟﻮﺣﯿ ﺪ ˆ . و ﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﺼﯿﻐﺔ ) (١٣-٤ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻨﮭﺎ ﺑﺼﻮرة ﺗﻘﺮﯾﺒﯿﺔ ﻛﺎﻷﺗﻲ :
ML
2u iQ j ij L ijk u ij k i j k ˆ
ij
u
1 E u x uˆ 2 i j
)(١٤-٤ ﺣﻴﺚ: Q ، (1 , 2 ,..., m ) , i,j,k,=1,2,...,m i
ln g Q , Q i
و ) g( ﻫﻮ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ و ) L( ﺗﻤﺜﻞ ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن .و ijﺗﻤﺜﻞ اﻟﻌﻨﺼﺮ ذو اﻟﺼﻒ iو اﻟﻌﻤﻮد jﻓﻲ ﻣﻌﻜﻮس اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﺘﻰ ﻋﻨﺎﺻﺮﻫﺎ } {Lijﺣﻴﺚ :
u 2u 2u 2L 3L ui ,u ij ,u ii Lij , Lijk . i i j j i j i jk
ﻛﻞ ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻄﺮف اﻷﻳﻤﻦ ﻓﻲ ) (١٤-٤ﺗﺤﺴﺐ ﻋﻨﺪ ﻗﻴﻢ ﻣﻘﺪرات اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﺒﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎﻟﻢ iﺣﻴﺚ . i 1,2,...,mأي أن ) (١٤-٤ﻫﻲ اﻟﺘﻮﻗﻊ ﻟﻠﺪاﻟﺔ u ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻟـ .
ﻏﺎﻟﺒــﺎً ﻣــﺎ ﻳﺴــﺘﺨﺪم ﻫــﺬا اﻟﺘﻘﺮﻳــﺐ ﻋﻨــﺪﻣﺎ ) (1 , 2وﻓــﻲ ﻫــﺬﻩ اﻟﺤﺎﻟــﺔ ﻓــﺈن ﺗﻘﺮﻳــﺐ ﻟﻨــﺪﻟﻲ ﻳﺄﺧــﺬ اﻟﺼــﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
٢٩٦
1 uˆ [(u11 2u1Q1 )11 (u12 2u1Q 2 )12 (u 21 2u 2 Q1 ) 21 (u 22 2u 2 Q 2 )22 ] 2 1 [L111 u111 11 L111 u 2 1112 L112 u1 1121 L112 u 2 11 22 L121 u112 11 L121 u 2 12 12 2 L122 u112 21 L122 u 2 12 22 L 211u121 11 L211 u 2 2112 L 212 u121 21 L212 u 2 2122 L221 u1 22 11 L 211u1 2111 L 211u 2 21 12 L212 u1 2121 L 212 u 2 21 22 L 221 u1 22 11
L 221u 2 22 12 L222 u122 21 L 222 u 2 22 22 ] . 1 uˆ [2Q1 (u111 u 2 21 ) 2Q 2 (u112 u 2 22 ) u1111 2u 2112 u 22 22 ] 2 1 [L111 (u1112 u 2 1112 ) L112 (u11121 u 21122 u112 11 u 212 2 u12111 u 2 12 2 ) 2 L122 (u112 2 u 2 12 22 u12121 u 2 21 22 u122 11 u 2 2212 ) L 222 (u122 21 u 2 22 2 )].
: وﯾﻤﻜﻦ اﺧﺘﺼﺎره إﻟﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ 1 uˆ Q1 (u111 u 2 21 ) Q 2 (u112 u 2 22 ) [u1111 2u 2112 u 22 22 ] 2 1 [L111 (u1112 u 2 1112 ) L112 (u 2 (1122 212 2 ) 3u12111 ). 2 L122 (u1 (22 11 2212 ) 3u 2 12 22 ) L 222 (u12221 u 2 22 2 )].
: ﻓﺈن اﻟﺼﻴﻐﺔ ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲE(L12 ) E(L21 ) 0 و ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن 1 uˆ Q1u1 11 Q 2 u 2 22 [u1111 u 22 22 ] 2 1 [L111 u1112 L112 u 2 1122 L122 u122 11 L 222 u 2 22 2 ]. 2
: وﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻓﺈن ﺗﻘﺮﯾﺐ ﻟﻨﺪﻟﻲ ﯾﺄﺧﺬ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ 1 ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ 1 2
1 2
uˆ u1Q111 u1111 L111u1112 .
ﺗﻘﺮﻳــﺐ ﻟﻨــﺪﻟﻲ اﺳــﺘﺨﺪﻣﻪ ﻛﺜﻴــﺮ ﻣــﻦ اﻟﺒــﺎﺣﺜﻴﻦ ﻟﻜﻮﻧــﻪ ﻣــﻦ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒــﺎت اﻟﻌﺪدﻳــﺔ اﻟﺠﻴــﺪة ﻟﻤﺜــﻞ ﻫــﺬﻩ اﻟﻨﻮﻋﻴــﺔ ﻣــﻦ و ﻫﻨ ـ ـ ـ ــﺎك ﻛﺜﻴ ـ ـ ـ ــﺮ ﻣ ـ ـ ـ ــﻦ اﻷﺑﺤ ـ ـ ـ ــﺎث اﻟﺘ ـ ـ ـ ــﻲ اﺳ ـ ـ ـ ــﺘﺨﺪﻣﺖ ﻫ ـ ـ ـ ــﺬا اﻟﺘﻘﺮﻳ ـ ـ ـ ــﺐ ﻧ ـ ـ ـ ــﺬﻛﺮ ﻣ ـ ـ ـ ــﻨﻬﻢ، اﻟﺘﻜ ـ ـ ـ ــﺎﻣﻼت Sinha (1985), Howlader &Weiss (1988), Soliman(2001).
( ﺗﻘﺮﻳﺐ ﺗﻴﺮﻧﻰ وﻛﺎدﻳﻦ٢-١٠-٤) The Tierney-Kadane Approximate ٢٩٧
ﻫذا اﻟﺗﻘرﯾب ﻗدم ﻣن ﻗﺑل ) Tierney-Kadane (1986وﻗد ﺻرح Al-Houssaini 1 ) and Joheen (1994اﻧﻪ أدق ﻣن ﺗﻘرﯾب ﻟﻧدﻟﻲ واﻟﺧطﺄ ﻓﻰ ﻫذا اﻟﺗﻘرﯾب ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ n2
ﺣﯾث nﻫو ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ إﻻ أن اﺳﺗﺧداﻣﻪ ﯾﺗطﻠب إﺛﺑﺎت ان ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي وﺣﯾد اﻟﻣﻧوال وﻫذا اﻟﺷرط ﯾﺻﻌب ﺗﺣﻘﯾﻘﻪ ﻓﻲ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻣﺳﺎﺋل.
ﻧظرﯾـﺔ:
ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون nﻛﺑﯾرة ﺑدرﺟﺔ ﻛﺎﻓﯾﺔ ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠداﻟﺔ )) u(ﯾﻌطﻰ
ﺑﯾﺎﻧﺎت( ﺗﺗرﻛز ﻋﻠﻲ ﻧﺻف ﺧط اﻷﻋداد اﻟﻣوﺟب )أو اﻟﺳﺎﻟب( ﺣﯿﺚ ) L( ھﻮ ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن و ) ( ھﻮ ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ ) g( ﻓﺈن L ﺗﺗرﻛز ﺣول ﻗﯾﻣﺔ
ﻋظﻣﻰ وﺣﯾدة ﻓﺈن اﻟﺗﻛﺎﻣل اﻟﻣﻌرف ﻓﻲ ) (١٣-٤ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻪ ﺑﺎﻟﺻورة اﻵﺗﯾﺔ:
d
* n
e
uˆ B E[u( ) | x]
. d
n
e
)(١٥-٤
ﺣﯾث :
1 1 L , * ln u L n n
اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ) (١٥-٤ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 1
det * 2 n E u . e det *
*
)(١٦-٤
ﺣﯾث :
٢٩٨
u BT
* ﻫﻲ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌظﻣﻰ ﻟـ * * , ﻫﻲ ﻣﻧوال اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي واﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌظﻣﻰ ﻟـ و
* , ﻫﻣﺎ ﻣﻌﻛوس ﺳﺎﻟب اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت ﻟﻠﺗﻔﺎﺿل اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻟﻛل ﻣن * , ﻋﻧد * , ﻋﻠﻰ
اﻟﺗواﻟﻰ .و det * ,det ﳘﺎ اﶈﺪدان ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺘﺎن . * , وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ u BTﰱ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻫﻰ ﺗﻘﺮﻳﺐ
ﺗﲑﱏ وﻛﺎدﻳﻦ ﻟﻠﺪاﻟﺔ . uﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ وﺟود ﻣﻌﻠﻣﺔ واﺣدة ﻧﻬﺗم ﺑﻬﺎ ﻓﺈن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ) (١٦-٤ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
* n e . *
*
uˆ BT
)(١٧-٤
ﺣﯾث :
* ﻫﻲ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌظﻣﻰ ﻟـ * و ﻫو ﻣﻧوال اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي واﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌظﻣﻰ ﻟـ
و:
2 2* *2 2 , 2 2
*
) (١١-٤اﻟﺘﻨﺒﺎ اﻻﺣﺼﺎﺋﻰ اﻟﺒﻴﻴﺰى اﻟﺘﻨﺒﺆات اﻻﺣﺼﺎﺋﯿﺔ ﻟﮭﺎ اﺳﺘﺨﺪاﻣﺎت ﻛﺜﯿﺮة ﻓﻰ اﻟﺤﯿﺎة اﻟﻌﻤﻠﯿﺔ ،ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺒﯿﻞ اﻟﻤﺜﺎل ،ﻓﻰ اﻟﻄﺐ ﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪام ﻓﻜﺮة اﻟﺘﻨﺒﺆ ﻓﻰ اﻟﺘﻜﮭﻦ ﺑﺎﻻﺗﺠﺎه اﻟﺬى ﯾﺎﺧﺬه ﻣﺮض ﻣﻌﯿﻦ ﻣﺴﺘﻘﺒﻼ ، وﻛﺬﻟﻚ ﻓﻰ ﺗﺠﺎرب اﻟﻤﻀﺎدات اﻟﺤﯿﻮﯾﺔ اﻟﻤﺴﺘﺤﺪﺛﺔ واﯾﻀﺎ ﻓﻰ اﻟﺘﺸﺨﯿﺺ اﻟﺴﻠﯿﻢ ﻗﺒﻞ اﺟﺮاء اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت اﻟﺠﺮاﺣﯿﺔ وﻣﺎ ﺷﺎﺑﮫ ذﻟﻚ وﻓﻰ ﻣﺠﺎل اﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﺗﻤﻜﻨﺎ ﻓﺘﺮات اﻟﺘﻨﺒﺆ ﻓﻰ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻣﺪى اﻟﻜﻔﺎءة اﻟﻤﺴﺘﻘﺒﻠﯿﺔ ﻟﻠﻤﻨﺘﺠﺎت وﻗﻄﻊ اﻟﻐﯿﺎر وﻛﺬﻟﻚ ﻓﻰ ﺣﻞ ﻛﺜﯿﺮ ﻣﻦ ﻣﺸﺎﻛﻞ اﻟﺘﺤﻜﻢ ﻓﻰ ﺟﻮدة اﻻﻧﺘﺎج .اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻻﺣﺼﺎﺋﻰ ﻣﻦ اﻟﻤﻮاﺿﯿﻊ اﻻﺳﺎﺳﯿﺔ ﻓﻰ اﻻﺳﺘﺪﻻل اﻻﺣﺼﺎﺋﻰ .ﻓﻔﻰ ﻛﺜﯿﺮ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻻﺣﺼﺎﺋﯿﺔ ﻓﻰ ﺣﯿﺎﺗﻨﺎ اﻟﻌﻤﻠﯿﺔ ﻧﺮﯾﺪ اﻻﺳﺘﻔﺎدة ﻣﻦ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﺴﺘﺨﻠﺼﺔ ﻣﻦ ﻋﯿﻨﺔ او ﺗﺠﺮﺑﺔ ﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠﺘﻨﺒﺆ ﺑﻨﺘﺎﺋﺞ ﺗﺨﺺ ﻋﯿﻨﺔ او ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻣﺴﺘﻘﺒﻠﯿﺔ ،اﻟﻌﯿﻨﺘﺎن او اﻟﺘﺠﺮﺑﺘﺎن ﯾﺤﻜﻤﮭﻤﺎ ﻗﺎﻧﻮن اﺣﺘﻤﺎﻟﻰ ﻣﻌﯿﻦ ،اﺣﺪى ھﺬه اﻟﻄﺮق اﻟﺘﻰ ﺗﻤﻜﻨﻨﺎ ﻣﻦ ذﻟﻚ ھﻰ ﻣﺤﺎوﻟﺔ ﺗﻜﻮﯾﻦ ﻓﺘﺮة – ﺑﻤﺴﺘﻮى اﺣﺘﻤﺎﻟﻰ ﻣﻌﯿﻦ – ﺗﺤﻮى ھﺬه اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﺴﺘﻘﺒﻠﯿﺔ وھﻰ اﻟﺘﻰ ﺗﺴﻤﻰ ﺑﻔﺘﺮات اﻟﺘﻨﺒﺆ . prediction intervalﻓﺘﺮات اﻟﺘﻨﺒﺆ ھﺬه ﺗﺎﺧﺬ اﺷﻜﺎﻻ ﻋﺪﯾﺪة ﺗﺘﺤﺪد ﺗﺒﻌﺎ ﻟﻨﻮﻋﯿﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮب ٢٩٩
اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﮫ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻌﯿﻨﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﺒﻠﯿﺔ وﻣﻦ اھﻢ اﻟﻄﺮق اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮات اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻟﻄﺮق اﻟﻜﻼﺳﻜﯿﺔ او ﻏﯿﺮ ﺑﯿﯿﺰﯾﺔ .
) (١-١١-٤ﺗﻨﺒﺆ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻟﻮاﺣﺪة ﺑﻔﺮض ان y1, y2 ,, yrھﻰ ال rاﻻوﻟﻰ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎھﺪات اﻟﻤﺮﺗﺒﺔ ﻣﻦ ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺣﺠﻤﮭﺎ
nﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻰ )) f (x | ﺣﯿﺚ ﻗﺪ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺠﮫ ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ( ﺣﯿﺚ ان . r n ﻓﻰ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻓﺈن اﻟﺘﻨﺒﺆ ﺳﯿﻜﻮن ﻻﺣﺪ اﻟﻤﺸﺎھﺪات اﻟﻤﺮﺗﺒﺔ اﻟﻤﺘﺒﻘﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺠﻢ ) (n rوھﻰ . y r1, yr 2 ,, ynﻟﻠﻤﺸﺎھﺪات اﻟﻤﺘﺒﻘﯿﺔ ذات اﻟﺤﺠﻢ ) (n rإذا وﺿﻌﻨﺎ zs y rsﻟﻠﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ اﻟﻤﺸﺎھﺪة ذات اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ sﺣﯿﺚ 1 s n rﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﻟﻠﻤﺸﺎھﺪة zsﺑﺸﺮط وﺟﻮد اﻟﻤﺸﺎھﺪات y1, y2 ,, yrﺗﻌﻄﻰ ﻣﻦ : s1 n r s ) (n r n r h r (z s | ) s F(z s | ) F(yr | ) 1 F(zs | ) 1 F(y r | ) f (ys | ). s ﺣﯿﺚ ) F(.| .داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ .داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺑﯿﯿﺰ اﻟﺘﻨﺒﺆﯾﺔ ﻟﻠﻤﺸﺎھﺪة zsﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة :
p1 (zs | x) h r (zs | )( | x)d .
ﺣﯿﺚ ) ( | xھﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻟﺒﻌﺪﯾﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ﺑﺸﺮط ﻣﻌﻠﻮﻣﯿﺔ . xﺣﺪود ﺗﻨﺒﺆ ﺑﯿﯿﺰ ﻟﻠﻤﺸﺎھﺪة zsﺑﻤﺴﺘﻮى ﺛﻘﺔ ) (100%ھﻰ ) L(X), U(Xﺑﺤﯿﺚ : P L(x) zs U(x) .
ﺣﯿﺚ ) L(x), U(xھﻤﺎ اﻟﺤﺪﯾﻦ اﻻدﻧﻰ واﻻﻋﻠﻰ ﻟﻔﺘﺮة اﻟﺘﻨﺒﺆ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ .اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺗﻜﺎﻓﺊ : 1 , 2 1 P zs U(x) | x . 2 P zs L(x) | x
اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﯾﻤﻜﻦ ﺣﻠﮭﺎ ﻋﺪدﯾﺎ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺣﺪود ﺗﻨﺒﺆ ﺑﯿﯿﺰ ) L(x), U(xﻟﻘﯿﻢ
اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ .اﻟﻔﺘﺮة اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺗﺴﻤﻰ ﻓﺘﺮة اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻟﻤﺤﺪودة ﻣﻦ ﺟﮭﺘﯿﻦ two side
. prediction intervalﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻛﻮن L(x) ﻓﺈن ﻓﺘﺮة اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ذات اﻟﺸﻜﻞ
, U(x)ﺗﺴﻤﻰ ﻓﺘﺮة اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻟﻤﺤﺪودة ﻣﻦ اﻋﻠﻰ one –side upper prediction
.intervalوﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻛﻮن L(x) ﻓﺈن ﻓﺘﺮة اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ذات اﻟﺸﻜﻞ L(x),ﺗﺴﻤﻰ ﻓﺘﺮة اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻟﻤﺤﺪودة ﻣﻦ اﺳﻔﻞ one –side lower ٣٠٠
) (٢-١١-٤ﺗﻨﺒﺆ اﻟﻌﻴﻨﺘﲔ ﺑﻔﺮض ان y1, y2 ,, yrھﻰ ﻋﯿﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎھﺪات اﻟﻤﺮﺗﺒﺔ ﻣﻦ ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺣﺠﻤﮭﺎ nﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻰ ). f (x | وﺑﻔﺮض ان z1, z2 ,,z rﻫﻰ ﻋﯾﻧﺔ اﺧرى ﻣن اﻟﻣﺷﺎﻫدات
اﻟﻣﺳﺗﻘﺑﻠﯾﺔ ﺗﺗﺑﻊ ﻧﻔس اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ وذات اﻟﺣﺟم mﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓﺈن اﻟﺗﻧﺑؤ ﺳوف
ﯾﻛون ﻻﺣد اﻟﻣﺷﺎﻫدات zsﻣن اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺳﺗﻘﺑﻠﯾﺔ ﺣﯾث 1 s mداﻟﺔ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ ﻟﻠﻠﻣﺷﺎﻫدة اﻟﻣﺳﺗﻘﺑﻠﯾﺔ zsﺑﺷرط وﺟود اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻻوﻟﻰ ﻫﻰ :
m s s1 m h* (zs | ) s 1 F(zs | ) F(zs | ) f (zs | ). s
) (٣-١١-٤اﻟﻘﻴﻢ اﳌﻨﻌﺰﻟﺔ ﻣن اﻟﻣﻌﻠوم اﻧﻪ ﻓﻰ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣن اى ﻣﺟﺗﻣﻊ اﺣﺻﺎﺋﻰ ﻧﺟد ان
ﻫﻧﺎك ﻣﻔردة او اﻛﺛر ﺑﻌﯾدة ﻋن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ .ﻫذﻩ اﻟﻣﻔردات ﻋﺎدة ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة او
اﻟﻣﻧﻌزﻟﺔ . outliersﻋن ﻫذﻩ اﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة وطرق ﻣﻌﺎﻟﺟﺗﻬﺎ ﯾﻣﻛن اﻟرﺟوع اﻟﻰ ﻛﺗﺎب Barnett
) . and Lewis (1994اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺳوف ﯾﻛون ﺗﺣت ﻓرض ﺗوزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺗو ﺣﯾث ﻣﻌﻠﻣﺔ
اﻟﻘﯾﺎس و ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺷﻛل وﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﻧﻌزﻟﺔ اﻟﻣﻔردة ﻣن اﻟﻧوع single outlier of
. type o ﺑﻔﺮض ان y y1, y2 ,, yrھﻰ ﻋﯿﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎھﺪات اﻟﻤﺮﺗﺒﺔ ﻣﻦ ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺣﺠﻤﮭﺎ n
ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻰ ). f (x | وﺑﻔﺮض ان اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﻣﻧﻌزﻟﺔ وﻟﺗﻛن
yiﺣﯾث 1 i mﻓﻰ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻧﻌﺗﺑر ان اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﻧﻌزﻟﺔ ﯾﺣﻛﻣﻬﺎ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻣﺧﺗﻠف
وﻟﯾﻛن ) f * (x | o , واﻟذى ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎرﻩ ﻧﻔس اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ وﻟﻛن ﻟﻘﯾم ﻣﻌﺎﻟم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ
.اى ان ) (m 1ﻣن اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﯾﺣﻛﻣﻬﺎ ﻗﺎﻧون ﺑﺎرﯾﺗو ذو اﻟﻣﻌﺎﻟم ) (, واﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗﺑﻘﯾﺔ ﯾﺣﻛﻣﻬﺎ ﻗﺎﻧون ﺑﺎرﯾﺗو ذو اﻟﻣﻌﺎﻟم ). (o ,
ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ داﻟﺔ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻻى ﻗراءة yiﻣن اﻟﻌﯾﻧﺔ yﺣﯾث 1 i mﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ
اﺣﺗواء اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ اﺣد اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻧﻌزﻟﺔ ﺗﻌطﻰ ﻣن :
٣٠١
m s m1 h(ys | ) [(s 1)Fs2 1 F F* f (ys | ) s1
f * (ys | ) 1 F* f (ys | )].
m s
Fs1 1 F
m s 1
(m s)Fs1 1 F
ﺣﯾـ ــث ) f (ys | ),F(ys | ﻫﻣـ ــﺎ داﻟﺗـ ــﻰ اﻟﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ واﻟﺗوزﯾـ ــﻊ ﻟﻛـ ــل ﻗـ ــﯾم yاﻟﻐﯾـ ــر اﻟﻣﻧﻌزﻟـ ــﺔ ﺑﯾﻧﻣـ ــﺎ ) f * (ys | ),F* (ys | ﻫﻣﺎ داﻟﺗﻰ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ واﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻛل ﻗﯾم yاﻟﻣﻧﻌزﻟﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺗرﺗﯾب.
٣٠٢