(استخدام الاستدلال الاحصائى البييزى فى مجال اختبارات الحياة (الجزء الثاتي

‫اﻟﻔﺻل اﻟﺧﺎﻣس‬ ‫اﻟﺗﺣﻠﯾل اﻟﺑﯾﯾزى ﻟﺑﻌض اﻟﺗوزﯾﻌﺎت‬ ‫ﺗﺣت اﺧﺗﺑﺎرات اﻟﺣﯾﺎه‬

‫‪٣٠١‬‬

‫)‪ (١-٥‬اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ واﺣدة‬ ‫)‪ (١-١-٥‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻣﺗوﺳط اﻟﺣﯾﺎة وﺗﻘدﯾر داﻟﺔ اﻟﺻﻼﺣﯾﺔ ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻻﻣﻛ ﺎن ﻓ ﻰ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻛﺎﻣﻠﺔ‬ ‫)ا( ﻓﺘﺮة ﺛﻘﺔ ﻟﻤﺘﻮﺳﻂ اﻟﺤﻴﺎﻩ)اﻟﻤﻌﻠﻤﺔ ‪( ‬‬

‫ﺑﻔﺮض أن ‪ n‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات وﺿﻌﺖ ﻟﻼﺧﺘﺒﺎر وان اﻻﺧﺘﺒﺎر ﻳﻨﺘﻬﻲ ﺑﻌﺪ ﻓﺸﻞ ﻛﻞ اﻟﻮﺣﺪات ‪ .‬ﺑﻔﺮض أن ‪ X1 , X 2 , , X n‬ﻋﻴﻨﺔ‬

‫ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﲤﺜﻞ أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ وان أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﺑﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪x,>0.‬‬

‫‪1  x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫= )‪f(x;‬‬

‫وﺑﺎﻋﺘﺒﺎر أن ﻣﺸﺎﻫﺪات اﻟﻌﻴﻨﺔ ‪ x1 , x 2 , , x n‬ﰎ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ واﳌﻄﻠﻮب ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﺘﻮﺳﻂ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ‪ . ‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ‬ ‫ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬ ‫‪xi‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1  ‬‬ ‫‪L(x1 , x 2 ,..., x n | )  L  n e i1 .‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﻘﺪر اﻹﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ اﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ln L  0 .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪then :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪.‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪ln L = - n ln  -‬‬

‫‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬ ‫‪ ln L  n ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ ln L‬‬ ‫ﺑﻮﺿﻊ ‪ 0‬‬ ‫ˆ‪ ‬‬

‫ﻓﺎن ‪:‬‬

‫‪n  xi‬‬ ‫‪ 2  0.‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪x‬‬

‫‪n i 1 i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ,‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪=x .‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ ˆ ‬‬

‫‪٣٠٢‬‬

‫ﻹﻳﺠﺎد ﺗﻮزﻳﻊ ˆ‪ ) ‬اﻟﻤﻀﺒﻮط ‪ ( exact‬وﺗﻮﻗﻌﻪ وﺗﺒﺎﻳﻨﻪ ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪X‬‬

‫)‬

‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫(‪E(ˆ )  E(X)  E‬‬

‫‪1 n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E(X i )  n    .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n i1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫أي ان ˆ‪ ‬ﻣﻘﺪر ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ . ‬اﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻟﻠﻤﻘﺪر ˆ‪ ‬ﻳﺤﺴﺐ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪1 n‬‬ ‫) ‪ Xi‬‬ ‫‪n i 1‬‬

‫‪‬‬

‫(‪Var(ˆ ) = Var(X) = Var‬‬ ‫‪n‬‬

‫) ‪ Var(X‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫ﺑﻤـﺎ ان ‪ X1 , X 2 , , X n‬ﻣﺘﻐﻴــﺮات ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴــﺘﻘﻠﺔ وﻟﻬــﺎ ﻧﻔـﺲ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ ﻓـﻴﻤﻜﻦ إﻳﺠـﺎد ﺗﻮزﻳــﻊ ˆ‪ ‬ﻣــﻦ اﻟﺪاﻟـﺔ اﻟﻤﻮﻟــﺪة ﻟﻠﻌــﺰوم‬ ‫ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪M Xi (t)  (1  t) 1 ,i  1, 2,...n,‬‬ ‫‪M n (t)  (1  t) n .‬‬ ‫‪ Xi‬‬ ‫‪i1‬‬

‫‪t  n‬‬ ‫‪) ,‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪(t)  (1 ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪M‬‬

‫‪Xi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫واﻟﺘ ــﻲ ﺗﻤﺜ ــﻞ اﻟﺪاﻟ ــﺔ اﻟﻤﻮﻟ ــﺪة ﻟﻠﻌ ــﺰوم ﻟﻤﺘﻐﻴ ــﺮ ﻋﺸ ــﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒ ــﻊ ﺟﺎﻣ ــﺎ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘ ــﻴﻦ )‪ ( , n‬اى )‪ . G( , n‬ﺳ ــﻮف ﻧﺜﺒ ــﺖ ان‬ ‫اﻟﻤﻘﺪر ˆ‪ ‬ﻫﻮ ﻣﻘﺪر ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺤﻴـﺰ ﺑﺄﻗـﻞ ﺗﺒـﺎﻳﻦ أي ‪ MVUE‬وذﻟـﻚ ﺑﺎﺗﺒـﺎع اﻟﺨﻄـﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴـﺔ‪ .‬داﻟـﺔ ﻛﺜﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺘﻤـﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴـﺮ‬ ‫ˆ‪ ‬ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪, ˆ > 0.‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪( )n‬‬ ‫ˆ‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪f() ‬‬ ‫‪ e ‬‬ ‫)‪(n‬‬

‫‪ 2 ln L n‬‬ ‫‪ xi‬‬ ‫‪ 2 2 3 ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ln L‬‬ ‫‪n 2n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫(‪E‬‬ ‫‪) 2  3  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ˆ)   .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪Var‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ln L‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫(‪ E‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻹﺛﺒﺎت أن ˆ‪ ‬إﺣﺼﺎء ﻛﺎﻓﻲ ﻧﺘﺒﻊ اﻵﺗﻲ ‪:‬‬

‫‪٣٠٣‬‬

‫‪  xi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L= n e  ,‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ xi‬‬

‫‪n‬‬

‫‪u=  x i ,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪‬‬

‫)‬

‫‪‬‬

‫‪ L = (1).(-n e‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪N(x) . K(u,).‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ N(x) =1‬و‬

‫‪ xi‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪. K(u,)=-n e‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ U sufficient for  .‬‬

‫‪i‬‬

‫‪X‬‬

‫‪‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪ ˆ sufficient for  .‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪U‬‬ ‫ˆ‬ ‫=‪U‬‬ ‫وﺑﻤﺎ ان ‪Xi‬‬ ‫إﺣﺼﺎء ﻛﺎﻓﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪  ‬إﺣﺼﺎء ﻛﺎﻓﻲ أﻳﻀﺎ )ﻻن اى داﻟﺔ ﻓﻰ اﺣﺼﺎء ﻛﺎﻓﻰ‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻫﻰ اﺣﺼﺎء ﻛﺎﻓﻰ(‪ .‬وﻳﻤﻜﻦ اﺛﺒﺎت ذﻟﻚ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ اﺧﺮى وذﻟﻚ ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﺸﺮﻃﻲ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫)‪L(x, u‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪h(u‬‬

‫‪g(x | u) ‬‬

‫ﺣﻴﺚ )‪ h(u‬داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻺﺣﺼﺎء ‪ . U‬ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ U‬ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪Xi  E xp()  U=  Xi  G(, n),‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪u > 0.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪( )n‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ h(u) =  u n-1 e ‬‬ ‫)‪ (n‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪L(x, u‬‬ ‫)‪h(u‬‬

‫=)‪ g(x|u‬‬

‫‪u‬‬

‫)‪(n‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪u n 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪u n 1e‬‬ ‫)‪  (n‬‬

‫=‬

‫‪n‬‬

‫‪U‬‬ ‫‪ ˆ ‬إﺣﺼــﺎء ﻛــﺎﻓﻲ‬ ‫ﺣﻴــﺚ ان )‪ g(x|u‬ﻻ ﻳﻌﺘﻤــﺪ ﻋﻠــﻰ ‪ ‬أي أن ‪ U= Xi‬إﺣﺼــﺎء ﻛــﺎﻓﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤــﺔ ‪ ‬وﺑﺎﻟﺘــﺎﻟﻲ ﻓــﺎن‬ ‫‪n‬‬

‫ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪. ‬‬

‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮات ﺛﻘـﺔ أو اﺧﺘﺒـﺎرات ﻓـﺮوض ﻧﺤﺘـﺎج ﻹﻳﺠـﺎد ﻗﻴﻤـﺔ ﻣﺤﻮرﻳـﺔ )داﻟـﺔ ﻓـﻰ اﻟﻤﻌﻠﻤـﺔ واﻟﻤﻘـﺪر ﺗﻮزﻳﻌﻬـﺎ ﻻ ﻳﻌﺘﻤـﺪ‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﻠﻤﺔ ( ﻟﺬﻟﻚ ﺳﻨﺴﺘﺨﺪم اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺗﻮزﻳﻊ اﻟﺠﺎﻣﺎ وﺗﻮزﻳﻊ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎي ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫‪٣٠٤‬‬

1 u ( )n   h(u) =  u n-1 ee  (n)

,

u > 0.

2u z 

let

z u 2

 du =

dz .

2

1 ( )n z  z   g1 (z)   ( ) n 1 e 2 (n) 2 2 1 ( )n () n z z   z n 1 n 1 2 2   z e  e (n) 2 n (n) 2n  Z   22n .

:‫وﻣﻨﻬﺎ ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة ﺛﻘﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‬ P(  2

 1 2



2nˆ  2  )  1   .  2

1

 2

2

1

 2

 2

 2

 2

2

٣٠٥

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 )  1  .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  2nˆ  ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫(‪ P‬‬

‫‪2‬‬

‫ˆ‪2n‬‬ ‫ˆ‪2n‬‬ ‫‪   2 )  1  .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫(‪ P‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫ˆ‪ 2nˆ 2n‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪  2   2 ‬ﻳﻤﺜﻼن اﻟﺤﺪﻳﻦ اﻻدﻧﻰ واﻻﻋﻠﻰ ﻟﻔﺘﺮة اﻟﺜﻘﺔ ﻟـ ‪ ‬ﺣﻴﺚ‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 2  , 2‬ﺗﺴﺘﺨﺮﺟﺎن ﻣﻦ ﺟﺪول ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﺮﺑﻊ‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻛﺎى ﻣﻦ اﻟﻤﻠﺤﻖ )‪ (٥‬ﻋﻨﺪ درﺟﺎت ﺣﺮ ﻳﺔ ‪. 2n‬‬

‫)ا(ﺗﻘﺪﻳﺮ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬ ‫ﺻﻼﺣﻴﺔ اﻟﻮﺣﺪة )أو اﻟﻨﻈﺎم( ﺗﻌﺮف ﺑﺄ ﺎ اﺣﺘﻤﺎل أن اﻟﻮﺣﺪة ﺻﺎﳊﺔ ﻟﻠﻌﻤﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻟﻔﱰة ﻣﻌﻴﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﺰﻣﻦ‪.‬‬ ‫‪R  t0   P  X  t0   1 F  t 0 .‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﺑﻔﺮض اﻧﻪ ﰎ اﺧﺘﻴﺎر ﻋﻴﻨﻪ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ ‪ 10‬ﻣﺼﺎﺑﻴﺢ وﺣﺴﺒﺖ أزﻣﻨﺔ ﻓﺸﻠﻬﺎ وﻛﺎﻧﺖ‪:‬‬ ‫‪125,189,210,351,465,580,630,760,810,870‬‬ ‫إذا ﰎ ﺷﺮاء ﻣﺼﺒﺎح ﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻮﻋﻴﺔ‪ ،‬ﻓﻤﺎ اﺣﺘﻤﺎل اﻧﻪ ﺳﻴﻈﻞ ﻳﻌﻤﻞ ﺣﱴ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ‪600‬ﺳﺎﻋﺔ ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫اوﻻ ‪ :‬ﻋﺪم ﺗﻌﻴﲔ ﺗﻮزﻳﻊ ﻷزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ‬ ‫ﳝﻜﻦ ﺗﻘﺪﻳﺮ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﻋﺪد اﳌﺼﺎﺑﻴﺢ اﻟﱵ ﺗﻌﻤﻞ ﺣﱴ اﻟﺰﻣﻦ ‪600 ‬‬ ‫____________________________________ = ‪R *  t 0 ‬‬ ‫ﻋﺪد اﳌﺼﺎﺑﻴﺢ اﳌﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ﰲ اﻻﺧﺘﺒﺎر‬ ‫‪٣٠٦‬‬

=

4 .

10 x  499

: ‫ﺣﻴﺚ‬ :‫ ﺗﻌﻴﲔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻵﺳﻲ ﻛﺘﻮزﻳﻊ ﻷزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ ﻟﻠﻤﺼﺎﺑﻴﺢ‬: ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ‬ x 



1    R  t 0    e    dx  t0  t0     

 e

.   t0  x 

 ˆ  x  Rˆ  t 0   e 

.

 600    Rˆ  600   e  499   0.3006.

: ‫ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ‬

ˆ ) R(t 0

‫ﻻﳚﺎد ﺗﻮﻗﻊ‬

  X  G ,n n 







ˆ )  R(t  R(t 0  ˆ 0 ) g  x  dx 0



 e 0

t   0  x

nx

n

  1 n n 1    x e dx     n   

1 n    n   

n 

 x

n 1   t 0 nx          x  

e

dx.

0

: ‫وﻟﻜﻦ داﻟﺔ ﺑﺴﻞ ﻫﻲ‬

٣٠٧



r 1

  b   ax    r   x 

a 2 x e dx  2   k  r 1 2 ab 0 b nt k  r   k   r  , a  1, b   r  n  1  r   n  1  r  1   n





n   nt   1  2 ˆ  R(t)  2   k  n  2  n   nt       





n

2  nt  2  nt   k n  2 . n      

. ‫ ﻣﻘﺪر ﻟﻴﺲ ﻟﻪ أﻗﻞ ﺗﺒﺎﻳﻦ‬Rˆ  t 0  ‫اى ان ﻣﻘﺪر داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻣﺘﺤﻴﺰ اى ان‬ ˆ ) ‫ﻻﳚﺎد ﺗﺒﺎﻳﻦ‬ : ‫ ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ‬R(t 0



ˆ )   R(t 0 

2







e

  2t 0       x 

n

0

n

n 1 n   x e 

 nx 

dx.

nx  y.  y    x  dy  dx. n n then : let



ˆ )   R(t 0  

2



1 n    n   

 2nt

n 

n 1

  2nt 0 n   y  n 

   n 1    y y e 0  n  n



 y  1  y n 1e  y  dy.  n 0

2nt , n  1  r.  n  r  1

a  1, b 

  n  r  1.

٣٠٨

n  2  2nt 0   2nt   0 ˆ    R(t 0 )   2  k 2       n       n   1   2nt 0  2  2nt 0    2 k n  2  . n          



2









2







ˆ )    R(t ˆ  ˆ   V ar R(t 0  0 )    R  t 0  

2

n

n 2  2nt 0  2  2nt 0  4  nt 0  2  nt 0   k n  2 kn  2   n      n 2        n n   2  2nt 0  2   2nt 0  2  n2  nt 0  2 2  nt 0    k 2  2 k 2  n     n  n        n         2  n n  n  2  2nt 0  2   2nt 0  2 2  nt 0  2 2  nt 0    kn  2 kn  2   . n        n        

: ‫ ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ‬MVUE ‫ﻹﳚﺎد اﳌﻘﺪر اﻟﻐﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰ ﺑﺄﻗﻞ ﺗﺒﺎﻳﻦ‬ ‫ أزﻣﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻟﻠﻔﺸﻞ وﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻰ ﻋﻠﻰ‬X1 ,, X n ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ‬ : ‫اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬  x

1   f  x   e   

, x  0,   0.

MVUE ‫ ﻟﺪاﻟﻪ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﲝﻴﺚ ﻳﻜﻮن‬R  t 0  ‫اﳌﻄﻠﻮب إﳚﺎد اﳌﻘﺪر‬ :‫ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻛﺎﻷﰐ‬G  x1 , x 2 ,..., x n  ‫ﺑﻔﺮض أن اﻟﺪاﻟﺔ‬ G  x1   1 x1  t 0

e.w.

t   G  X1    1 P  X1  t   (0)P  X1  t   R  0  . 

. R  t 0  ‫ ﻣﻘﺪر ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﺪاﻟﻪ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬G  X1  ‫أي أن‬ ‫ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻌﺮف اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺘﺎﱃ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ واﻟﺬى ﻟﻪ‬ ‫ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬MVUE‫ إﺣﺼﺎء ﻛﺎﰲ و‬X  ˆ ‫وﺣﻴﺚ أن‬ :MVUE ‫اﻟﺼﻔﺔ‬

٣٠٩

  t     G(X ) | x)  R 0 1 

  G  x1  g1 (x1 | x)dx1 t0



  g1 (x1 | x)dx1. t0

. X1  Y1 ‫و‬ (, n  1) ‫ﲟﻌﺘﲔ‬

X 2 , X3 ,..., X n  Y2 , Y3 ,..., Yn

‫ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ‬

n

‫ﺣﻴﺚ‬

X1

‫و‬

X 2 , X 3 ,..., X n

‫ﻳﺘﻢ ﺗﻘﺴﻴﻢ اﻟﻌﻴﻨﺔ إﱃ ﻗﺴﻤﲔ‬

‫ﺳﻮف ﻧﺜﺒﺖ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ان اﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻲ‬

Y   Yi i 2

: ‫ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬ 1

n



n

Yi  i 2

 t    1  t  i2

 1  t 

 (n 1)

.

n

Y

i

Y 

i2

n 1

.

    Y  t    n  t   1   Yi  n 1   i 2

 n 1

.

n 1

. 

  , n  1  n 1 

‫إذن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﳌﺸﱰك ﻟﻠﻤﺘﻐﲑﻳﻦ‬. ‫ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ‬ g 2  x1 , y   f1  x1  f 2  y 

Y, X1

Y, X1

  n 1  y  

n 1

x

‫ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ‬

   1  1   n  1 n2   e y e    n  1n 1

 n  1 

n 1

n n  1

 y

n 2

e

 x   n 1 y   1    

.



 G  x1  | x    G  x1  g1  x1 | x  dx1 t0



  g1  x1 | x dx1 t0

g 3  x1 , x  dx1. g4  x  t0 



 g 2  x1 , y 

 n  1 

n 1

n  1n

y

٣١٠

n2

e

1     n 1 y  x1  

.

‫ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ ﻓﺈن‬

Y

‫أي أن‬

Y, X1

‫ﲟﺎ أن‬

nx  x1   n  1 y nx  x1 . n 1 1 0 n . 1 n  n 1 n 1 n  1

y

J=

 g 3  x1 , x 

 n  1 

n 1

 nx x   1   n  n  1  n  1 n  1 

n2

n  n  1  nx x    1   n n  1  n  1 n  1 

n 2

e

n    x 

: ‫ﺣﻴﺚ‬

n 2

e

nx      

n n 1

.

   ,n n 

‫ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ‬

X

‫وﻟﻜﻦ‬

 nx 

g4  x  

g1  x1 | x  

nn n 1     x e . n    n

: ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ‬

g 3  x1 , x  g4  x 

n2

n 2

 nx

  n  n  1  nx x1      e n   n  1  n  1 n  1   nx    nn n 1   x e  n   n n2  n n2 n  nx   nx      n  n  1   nx x1    n 1       n  x    e  n  1  n  1 e n  1 n  



n  n  1

n2

n  n  n  1 n  1 x n  1

 

  n 1

 nx x   1    n 1 n 1

n2

r

n  n  1 1 n n 2   x    nx  x1  . n n

٣١١

: ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ‬

‫‪n2‬‬ ‫‪n  n  1‬‬ ‫‪x1 ‬‬ ‫‪n2 ‬‬ ‫‪1 n ‬‬ ‫‪g1  x1 | x  ‬‬ ‫‪ x   nx  1  ‬‬ ‫‪nn‬‬ ‫‪ nx ‬‬ ‫‪n2‬‬

‫‪ nx.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ x1 ‬‬ ‫‪1  nx ‬‬

‫‪n  n  1 n n 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪nnx‬‬

‫‪ n  1 1  x1  n  2 , 0  x‬‬ ‫‪nx ‬‬

‫‪nx ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪  t   E  G  x  | x   G  x  g  x | x  dx‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪t0‬‬

‫‪‬‬

‫‪  g1  x1 | x  dx1.‬‬ ‫‪t0‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ‪:‬‬ ‫‪n 2‬‬

‫‪dx1‬‬ ‫‪n 1‬‬

‫‪|nx‬‬ ‫‪t0 .‬‬

‫‪nx‬‬

‫‪  t   n  1 1  x1 ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪nx t0  nx ‬‬

‫‪ n  1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1  x1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ nx ‬‬ ‫‪nx‬‬ ‫‪n  1  nx ‬‬ ‫‪n 1‬‬

‫‪|nx‬‬ ‫‪t0‬‬

‫‪ x ‬‬ ‫‪  1  1 ‬‬ ‫‪ nx ‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪t 0  nx.‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪, t 0  nx.‬‬

‫‪t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1  0 ‬‬ ‫‪ nx ‬‬

‫‪  t   1  t 0 ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ nx ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ‪ R  t 0 ‬ﻣﻘﺪر ﻟﻪ ﺻﻔﺔ ‪ MVUE‬ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪  t0 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪  t   R  t   e‬‬ ‫‪  R‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪0‬‬

‫وﺗﺒﺎﻳﻨﻪ اﻗﻞ ﻣﻦ اى ﺗﺒﺎﻳﻦ ﳌﻘﺪر اﺧﺮ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ وﺳﻮف ﻳﱰك اﳚﺎد ﺗﺒﺎﻳﻦ ‪ R  t 0 ‬ﻛﺘﻤﺮﻳﻦ ‪.‬‬ ‫)‪ (٢-١-٥‬ﺗﻘدﯾر اﻻﻣﻛﺎن اﻻﻛﺑر ﻟﻣﺗوﺳط اﻟﺣﯾﺎة ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻻول‬ ‫ﰲ اﺧﺘﺒﺎرات اﳊﻴﺎة ﻏﺎﻟﺒﺎً ﻳﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﻀﺮوري ﺗﻘـﺪﻳﺮ ﻣﺘﻮﺳـﻂ ﺗﻮزﻳـﻊ أﺳـﻲ ﻣـﻦ ﺑﻴﺎﻧـﺎت ﻣﺮاﻗﺒـﺔ‪ .‬ﺳـﻮف ﻳـﺘﻢ ﻣﻨﺎﻗﺸـﺔ اﳌﺸـﻜﻠﺔ ﻋﻨـﺪﻣﺎ‬ ‫ﺗﻼﺣــﻆ ﻛــﻞ وﺣــﺪة ﰲ ﻓــﱰة ﻣﻌﻄــﺎة ﻣــﻦ اﻟــﺰﻣﻦ‪ .‬إذا ﻓﺸــﻠﺖ اﻟﻮﺣــﺪة ﰲ ﻫــﺬﻩ اﻟﻔــﱰة ﻓــﺈن زﻣــﻦ اﻟﻔﺸــﻞ )ﺑﺎﻟﻀــﺒﻂ( ﻟﻠﻮﺣــﺪة ﻳﻌــﺮف‪ .‬وﻏــﲑ‬ ‫ذﻟ ـ ـ ـ ــﻚ ﻓ ـ ـ ـ ــﺈن اﳌﻌ ـ ـ ـ ــﺮوف أن ﻋﻤ ـ ـ ـ ــﺮ اﻟﻮﺣ ـ ـ ـ ــﺪة ﻳﺰﻳ ـ ـ ـ ــﺪ ﻋ ـ ـ ـ ــﻦ ﻫ ـ ـ ـ ــﺬﻩ اﻟﻔ ـ ـ ـ ــﱰة‪ .‬وﻋﻠ ـ ـ ـ ــﻰ ذﻟ ـ ـ ـ ــﻚ ﺑﻔ ـ ـ ـ ــﺮض أن ﻟ ـ ـ ـ ــﺪﻧﻴﺎ ﻋ ـ ـ ـ ــﺪد ﺛﺎﺑ ـ ـ ـ ــﺖ ﻣـ ـ ـ ـ ــﻦ‬ ‫اﳌﺸﺎﻫﺪات ‪ x1 , x 2 ,, x n‬ﻣﺄﺧﻮذﻳﻦ ﻣﻦ ﻣﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ أﺳﻲ ﺑﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎل‪:‬‬ ‫‪٣١٢‬‬

‫‪1  x‬‬ ‫‪f (x)  e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x i  Ti‬‬

‫‪, x  0 ,   0.‬‬ ‫ﲢﺖ اﻟﻘﻴﺪ أن ‪ x i‬ﺗﻌﺮف ﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎﻧﺖ )‪,(i  1,2,...,n‬‬

‫‪T1 ,T2 , ,Tn‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪T1 ,T2 , ,Tn‬‬ ‫ﻗﻴﻢ ﻣﻌﻄﺎة و اﻟﱵ ﰲ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻛﺜﲑة ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ أي أن ‪T1  T2    Tn‬‬ ‫‪let‬‬

‫‪x i  Ti‬‬ ‫‪x i  Ti‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ai ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪if‬‬ ‫‪if‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪r   ai ,‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﺣﻴــﺚ ‪ r‬ﻋــﺪد اﻟﻮﺣــﺪات اﻟــﱵ ﺗﻔﺸــﻞ وﻳﺴــﺠﻞ ﻋﻤﺮﻫــﺎ‪ .‬و ‪ r‬ﻣﺘﻐــﲑ ﻋﺸ ـﻮاﺋﻲ‪ .‬اﳌﻄﻠــﻮب إﳚــﺎد ﺗﻘــﺪﻳﺮ ﺑﻨﻘﻄــﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤــﺔ ‪ ، ‬ﺑﺎﺳــﺘﺨﺪام‬ ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﱪ‪.‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪L   (f (x i ))a i (1  F(Ti ))1a i ‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫) ‪1  a ixi  Ti (1a i‬‬ ‫‪ e e‬‬ ‫‪i 1 ‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪a i x i  (1a i )Ti‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪  ai  ‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪e‬‬

‫‪s‬‬ ‫‪‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪r‬‬

‫‪ e .‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪where s   a i x i  (1  a i )Ti ‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪s‬‬ ‫‪ln L   r ln   ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ln L r s‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪r s‬‬ ‫‪  2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪then :‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪ˆ ‬‬ ‫‪,r  0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ﻟﺪراﺳﺔ ﺧﺼﺎﺋﺺ اﳌﻘﺪر ˆ‪ ‬ﺳﻮف ﻧﻮﺟﺪ أوﻻً ﺗﻮﻗﻊ اﻻﺣﺼﺎء ‪ S‬ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪٣١٣‬‬

n

E(S)  E{ a i X i  (1  a i )Ti } i 1

since : E[a i X i  (1  a i )Ti ]  E(a i X i )  E(1  a i )Ti , E(a i X i )  E(a i )E(X i | a i )  (1)P(a i  1)E(X i | a i  1)  0P(a i  0)E(X i | a i  0)

 P(a i  1)E(X i | a i  1) P(a i  1)  P(X i  Ti )  [1  e



Ti

Ti

x  

Ti

x



]  Pi

1 x 0  e dx E(X i | a i  1)  P(X i  Ti )



1  x 0  e dx (1  e

e

Ti

T  i 

.

)

x

1  0 x  e  dx  .

Pi Ti

1  x   x e dx  0 T

x x i   1 Ti   [e x 0    e  dx]  0 x x   1 Ti T 2   [e x 0   e  (1) 0i ] 

 Ti e



Ti 

 (1  e



Ti 

)

 Pi  TQ i then : E(X i | a i  1) 

(1  e



Ti 

)  Te i 

Ti



Ti 

(1  e  ) Pi  Ti Qi  ٣١٤ ,Q i  1  Pi .

Pi

,

then : E(X i | a i  1)P(a i  1) 

Pi  TQ i i Pi Pi

 Pi  Ti Qi

. (١-٥)

E(1  ai )Ti  E(Ti )  TE(a i i)  Ti  T[(1)P(a i i  1)  (0)P(a i  0)]  Ti  T[P(a i i  1)]  T[1 i  P(a i  1)]

(٢-٥)

 TP(a i i  0)  TP(X i i  Ti ) 

 Te i

Ti 

 TQ i i. : ‫( ﻓﺈن‬٢-٥)‫(و‬١-٥) ‫وﻣﻦ‬

E[a i X i  (1  a i )Ti ]  Pi  TQ i i  TQ i i  Pi  (1  e n

n



Ti 

).

n

E{ [a i X i  (1  a i )Ti ]}   Pi   (1  e i 1

i 1



Ti 

).

i 1

: ‫ﻫﻨﺎك ﻃﺮﻳﻘﺔ أﺧﺮى ﻹﳚﺎد‬ n

E{ a i X i  (1  a i )Ti }. i 1

Ti



x  x 1  x [  e dx  Ti  e dx]   i 1 0  Ti     n

(1)

(2) Ti

x x (1)   e  dx,  0

: ‫ﺑﺎﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﺠﺰيء ﺣﻴﺚ‬ T

x x i   1 Ti  [x e ( 1) 0    e  dx  0

Ti e



x 

 e



x 

Ti

0

٣١٥

 Ti e

 Ti e 



Ti 



Ti 

 [e

 [1  e



Ti





x  



Ti 

].

x  

1 e e dx  Ti  1 Ti

(2) Ti 

  e 0 ]

 Te i



Ti



.

Ti

: ‫( ﻓﺈن‬2) (1) ‫وﻣﻦ‬ n

 E[[a i x i  Ti (1  a i )]] i 1

 Ti e



Ti  

 [1  e



Ti 

]  Tie



Ti 

Ti 

 [1  e ]  Pi . where :

Pi  [1  e



Ti 

].

: ‫ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﳌﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻻول ﻣﻘﺪر ﻣﺘﺤﻴﺰ‬ˆ ‫اﻵن ﺳﻮف ﻧﺜﺒﺖ أن‬  Cov(r, ˆ )  E(rˆ )  E(r)E(ˆ )

sin ce : n

Ti

n

 E(rˆ )  E(S)   Pi   (1  e  ) , i 1

i 1

n

n

E(r)  E( a i )  [E(a i )] i 1

i 1

n

 [(1)P(a i  1)  (0)P(a i  0)] i 1 n

n

  P(a i  1)  P(X i  Ti ) i 1

i 1

n

  (1 e i 1 n

  Pi . i 1

٣١٦



Ti 

)

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪Cov(r, ˆ )   Pi  E(ˆ )  Pi‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪  Pi [  E(ˆ )].‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪then :‬‬ ‫‪   E(ˆ ).‬‬

‫) ˆ‪Cov(r, ‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ Pi‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪then :‬‬ ‫‪ .‬‬

‫) ˆ‪Cov(r, ‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪E(ˆ )   ‬‬

‫‪ Pi‬‬

‫‪i 1‬‬

‫اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﺘﻘ ـﺮﻳﱯ ‪ asymptotic distrihution‬ﻟﻠﻤﻘــﺪر ˆ‪ ‬ﳝﻜــﻦ اﳊﺼــﻮل ﻋﻠﻴــﻪ ﻣــﻦ ﺧﺼــﺎﺋﺺ ﻣﻘــﺪﻳﺮات اﻹﻣﻜــﺎن اﻻﻋﻈــﻢ‬ ‫ﺣﻴﺚ ﳝﻜﻦ إﺛﺒﺎت أن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ˆ ~ N(,  ).‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ Pi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﺣﻴﺚ اﻧﻪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن ﺣﺠﻢ ةاﻟﻌﻴﻨﺔ ﻛﺒﲑا ﻓﺈن ﻣﻦ ﺧﻮاص ﻣﻘﺪرات اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﱪ ان ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ˆ  N(,‬‬ ‫‪),‬‬ ‫)‪nI(‬‬ ‫‪ 2 ln L‬‬ ‫(‪nI()   E‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. n‬‬ ‫اى ان ˆ‪ ‬ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ ﲟﺘﻮﺳﻂ ‪ ‬وﺗﺒﺎﻳﻦ‬ ‫‪ Pi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫اﻟﱪﻫﺎن ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪s‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ln L   r ln  ‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪s  [a i x i  (1  a i )Ti ],‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪ ln L r s‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2 ln L r 2s‬‬ ‫‪ 2  3.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪٣١٧‬‬

‫‪  2 ln L ‬‬ ‫)‪E(S‬‬ ‫‪ r ‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ E  2   2 3‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ P‬‬ ‫‪  2i  2 3 i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫] ‪[2Pi  Pi‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2 Pi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ i‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪ 2  (1  e  ).‬‬ ‫‪ i1‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪ (٣-١-٥‬ﺗﻘدﯾر اﻻﻣﻛﺎن اﻻﻛﺑر ﻟﻣﺗوﺳط اﻟﺣﯾﺎة ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﳊﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﺑﻔﺮض ان ‪ y1  y 2    y r‬ﻫﻰ ال ‪ r‬اﻻوﱃ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬ ‫اﳌﺮﺗﺒﺔ واﳌﺎﺧﻮذة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﺣﻴﺚ ‪ r  n‬و ‪ y  y1 , y 2 , , y r‬واﳌﻄﻠﻮب‬ ‫ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﺘﻮﺳﻂ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ‪ . ‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪ f (yi )[1  F(yr )]n r‬‬ ‫‪(n  r)! i 1‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪L(y1 , y 2 ,..., y n | )  L ‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫) ‪1 ( i ) ( r‬‬ ‫‪[ e  ][e  ]n  r‬‬ ‫‪(n  r)! i 1 ‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫] ‪yi  (n  r) y r‬‬ ‫‪n! 1 (  [‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(n  r)! r‬‬

‫ﻣﻘﺪر اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﱪ ‪ MLE‬ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ اﳊﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ln L‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ˆ‪ ‬‬

‫وﻳﺘﻢ ﺑﺎﳋﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫] ‪[ y i  (n  r)y r‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪ln L‬‬ ‫‪ r ln  ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪r‬‬

‫] ‪[ yi  (n  r)y r‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ln L r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺑﻮﺿﻊ ‪:‬‬ ‫‪٣١٨‬‬

‫‪ ln L‬‬ ‫‪ 0.‬‬ ‫ˆ‪ ‬‬

‫‪r‬‬

‫‪yi  (n  r)y r‬‬ ‫‪r ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪ˆ 2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪ ˆ  ,u=  y i  (n  r)y r .‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫اﻻن ﻳﺘﻢ دراﺳﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﳌﻀﺒﻮط ﻟﻠﻤﻘﺪر ˆ‪. ‬‬ ‫داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﰲ اﻟﻌﻴﻨﺔ ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫] ‪[ y i  (n  r)y r‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫)‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪g(y1 , y 2 ,..., y r )  r exp( ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪r‬‬

‫اﻻن اﳌﻄﻠﻮب اﳚﺎد ﺗﻮزﻳﻊ ] ‪. U  [ Yi  (n  r)Yr‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﺑﻔﺮض اﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻷﺣﺎدﻳﺔ‪:‬‬

‫‪Z1  n (Y1  Y0 ),‬‬ ‫) ‪Z2  (n  1)(Y2  Y1‬‬ ‫) ‪Z3  (n  2)(Y3  Y2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Zi  (n  i  1)(Yi  Yi1 ) , i  1,2,...,r , Y0  0‬‬ ‫واﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﳍﺎ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪Zi‬‬ ‫‪Yi  1  2  ... ‬‬ ‫‪, i  1,2,,r,‬‬ ‫‪n n 1‬‬ ‫‪n  i 1‬‬ ‫وﻫﺬا ﻳﻌﲎ ان ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫‪ Yi  (n  r)Yr   Zi  U .‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪i 1‬‬

‫وﻣﻨﻬﺎ ﻳﺘﻢ اﳚﺎد ﺟﺎﻛﻮﺑﻴﺎن اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬

‫‪٣١٩‬‬

‫‪y1‬‬ ‫‪z r‬‬

‫‪y1‬‬ ‫‪z 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪y1‬‬ ‫‪z1‬‬

‫‪y 2‬‬ ‫‪y 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪z 2‬‬ ‫‪z r ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫!)‪(n  r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y r‬‬ ‫‪z r‬‬

‫‪y 2‬‬ ‫‪J  z1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪y r‬‬ ‫‪z 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪y r‬‬ ‫‪z1‬‬

‫وﻣﻨﻬﺎ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪ zi‬‬ ‫) ‪1 (  i 1‬‬ ‫‪g(z1 ,z 2 ,...,z r )  r e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﳑﺎ ﻳﻌﲏ إن اﳌﺘﻐﲑات ‪ Z i‬ﻣﺘﻐﲑات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ وﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻲ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺔ ‪. ‬‬ ‫‪Zi  E xp()  U  G(, r).‬‬

‫ﺣﻴﺚ ان ﺗﻮزﻳﻊ ‪ U‬ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪u > 0.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪( )r‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r-1‬‬ ‫‪‬‬ ‫= )‪h(u‬‬ ‫‪u e ‬‬ ‫)‪(r‬‬

‫‪,‬‬

‫‪r‬‬

‫ﻛﻤﺎ ﳝﻜﻦ ﳝﻜﻦ إﳚﺎد ﺗﻮزﻳﻊ ‪ U   Zi‬ﻣﻦ اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪M Zi (t)  (1  t) ,i  1, 2,...r‬‬ ‫‪(t)  (1  t) r .‬‬

‫‪r‬‬

‫‪M‬‬

‫‪ Zi‬‬ ‫‪i1‬‬

‫واﻟــﱵ ﲤﺜــﻞ اﻟﺪاﻟــﺔ اﳌﻮﻟــﺪة ﻟﻠﻌــﺰوم ﳌﺘﻐــﲑ ﻋﺸ ـﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒــﻊ ﺟﺎﻣــﺎ ﲟﻌﻠﻤﺘــﲔ )‪. (, r‬اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﳌﻀــﺒﻮط ﻟﻠﻤﻘــﺪر ˆ‪ ‬ﳝﻜــﻦ اﳚــﺎدﻩ ﻣــﻦ اﻟﺪاﻟــﺔ‬ ‫اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪t  r‬‬ ‫‪) .‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪(t)  (1 ‬‬

‫‪r‬‬

‫‪Zi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i1‬‬

‫‪Mˆ (t)  M U (t)  M‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫‪‬‬ ‫‪r‬‬

‫واﻟﱵ ﲤﺜﻞ اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ )‪. ( , r‬‬ ‫ﻹﳚﺎد اﻟﺘﻮﻗﻊ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻟﺘﻮزﻳﻊ ˆ‪ ) ‬اﳌﻀﺒﻮط ‪ ( exact‬ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E(ˆ )  E(U)  (r)  .‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪٣٢٠‬‬

‫أي ان ˆ‪ ‬ﻣﻘﺪر ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪. ‬‬ ‫اﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻟﻠﻤﻘﺪر ˆ‪ ‬ﳛﺴﺐ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫‪1 r‬‬ ‫) ‪ Zi‬‬ ‫‪r i 1‬‬

‫(‪Var(ˆ ) = Var‬‬ ‫‪n‬‬

‫) ‪ Var(Z‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(r‬‬ ‫‪‬‬ ‫=)‬ ‫‪.‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪r‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫وداﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ˆ‪ ‬ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫‪ˆ > 0.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪( )n‬‬ ‫ˆ‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪f() ‬‬ ‫‪ e ‬‬ ‫)‪(r‬‬

‫ﻻﺛﺒﺎت أن اﳌﻘﺪر ˆ‪ ‬ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰ ﺑﺄﻗﻞ ﺗﺒﺎﻳﻦ أي ‪ MVUE‬ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ ‪.:‬‬ ‫‪ 2 ln L r‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪ 2 2 3.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ln L‬‬ ‫‪r 2r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫(‪E‬‬ ‫‪) 2  3  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ˆ)   .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪Var‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ln L‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫(‪ E‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫أي أن اﳌﻘﺪر ˆ‪ ‬ﻫﻮ ﻣﻘﺪر ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰ ﺑﺄﻗﻞ ﺗﺒﺎﻳﻦ أي ‪. MVUE‬‬ ‫ﻹﺛﺒﺎت أن ˆ‪ ‬إﺣﺼﺎء ﻛﺎﰲ ‪ sufficient‬ﻧﺘﺒﻊ اﻵﰐ ‪:‬‬ ‫‪u‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪L= r e‬‬ ‫‪‬‬

‫‪u‬‬

‫‪L = (1).(-r e  ) ,‬‬ ‫‪N(x) . K(u,).‬‬ ‫‪u‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ N(x) =1‬و ‪. K(u,)=-r e ‬‬ ‫‪ U sufficient for  .‬‬ ‫‪ ˆ sufficient for  .‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪ U=  Zi‬إﺣﺼﺎء ﻛﺎﰲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈن‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i=1‬‬

‫‪ ˆ ‬إﺣﺼﺎء ﻛﺎﰲ أﻳﻀﺎ ‪.‬‬

‫)‪ (٤-١-٥‬ﺗﻧﺑؤ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟواﺣدة‬ ‫‪٣٢١‬‬

‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﳊﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﺑﻔﺮض ان ‪ y1  y 2    y r‬ﻫﻰ ال ‪ r‬اﻻوﱃ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬

‫اﳌﺮﺗﺒﺔ واﳌﺎﺧﻮذة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ . ‬ﰱ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻓﺈن اﻟﺘﻨﺒﺆ ﺳﻴﻜﻮن ﻻﺣﺪ‬ ‫اﳌﺸﺎﻫﺪات اﳌﺮﺗﺒﺔ اﳌﺘﺒﻘﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ )‪ (n  r‬وﻫﻰ ‪. y r1, yr 2 ,, yn‬ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪات اﳌﺘﺒﻘﻴﺔ ذات اﳊﺠﻢ‬ ‫)‪ (n  r‬ﺣﻴﺚ ‪ r<n‬إذا وﺿﻌﻨﺎ ‪ ys  yr s‬ﻟﻠﺘﻌﺒﲑ ﻋﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪة ذات اﻟﱰﺗﻴﺐ ‪ s‬ﺣﻴﺚ ‪1  s  n  r‬‬ ‫ﻓﺈن ﻓﱰة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة ‪ ys‬ﺑﺸﺮط وﺟﻮد اﳌﺸﺎﻫﺪات ‪ y1 , y2 ,, yr‬ﺗﻌﻄﻰ ﻣﻦ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ‬ ‫ﺑﻔﺮض أن‪:‬‬

‫‪Ys  Yr‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪U‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻓﱰة اﻟﺜﻘﺔ ﻣﻦ ﺟﺎﻧﺐ واﺣﺪ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة ‪ ys‬ﺑﺸﺮط وﺟﻮد اﳌﺸﺎﻫﺪات ‪ y1 , y2 ,, yr‬ﳝﻜﻦ اﳚﺎدﻫﺎ‬ ‫‪V‬‬

‫ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪P(V  v 0 )  1  .‬‬ ‫‪Ys  Yr‬‬ ‫‪ v 0 )  1  .‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪ P(Ys  uv 0  Yr )  1  .‬‬ ‫(‪ P‬‬

‫ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ‪ v0‬وﲟﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ v 0 , u, y r‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪P(Ys  v 0 u  y r )  1  .‬‬

‫ﺣﻴﺚ اﳊﺪ اﻻدﱏ واﻻﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﱰة ﻫﻮ ) ‪ (0, v0u  yr‬واﻟﱴ ﲤﺜﻞ ﻓﱰة ﺛﻘﺔ ذات ﺟﺎﻧﺐ واﺣﺪ وﺑﻨﻔﺲ اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻓﱰة ﺛﻘﺔ ذات ﺟﺎﻧﺒﲔ‪.‬‬ ‫ﻹﳚﺎد‬

‫‪v0‬‬

‫‪v0‬‬

‫ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻠﻴﺔ ‪  g(v)dv  1  ‬ﻳﻜﻔﻲ أن ﳒﺪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل‬ ‫‪0‬‬

‫‪Z  Ys  Yr ,‬‬

‫و ‪ U‬ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ )‪ ، (,n‬اى ان )‪. U ~ G(, n‬‬ ‫اﳌﻄﻠﻮب ﺗﻮزﻳﻊ ‪:‬‬ ‫وﻟﺬﻟﻚ ﳓﺘﺎج إﱃ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﳌﺸﱰك ﻟـ‪ Z‬و ‪U‬‬ ‫وﻟﺬﻟﻚ ﻧﻮﺟﺪ أوﻻً ﺗﻮزﻳﻊ ‪ Z‬وﻟﻨﺄﺧﺬ اﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ ‪:‬‬

‫‪Z‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪U‬‬

‫‪V‬‬

‫‪٣٢٢‬‬

‫)‪g(v‬‬

‫‪.‬ﺑﻔﺮض ان ‪:‬‬

z yx x  yr

wx

‫ﺣﻴﺚ‬

, y  ys

. J  1 ‫وﻣﻨﻪ ﺟﺎﻛﻮﺑﻴﺎن اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ‬  f (x, y) 

x  w, y  z  w

‫واﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ‬

n! f (x)f (y)[F(x)]r 1[F(y)  F(x)]s r 1[1  F(y)]n s , (r  1)!(s  r  1)!(n  s)!

0x y n! let c  (r  1)!(s  r  1)!(n  s)!

:‫ﺑﻔﺮض أن‬ X1 , X 2 ,, X n

:‫ ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ ﺣﻴﺚ‬i,i,d ‫ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﳍﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﺘﻮزﻳﻊ وﻣﺴﺘﻘﻠﺔ‬ 1  x f (x)  e , x  0,   0,  :‫ ﻫﻮ‬Yr ,Ys ‫وﲢﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ ﻓﺈن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﳌﺸﱰك ﻻﺣﺼﺎﺋﻴﲔ‬ 2

x

x

y

x

y

     (n s 1) 1 f (x, y)  c   (1  e  )r 1 (e   e  )s r 1 e  e  

let z  y  x  wx

yzw

0xy

0z ,

xw 0  w  , 1 1 | J |  1.

0 1

w (n  r 1)w z (n s1)z     1  r 1   s r 1  (1  e ) e (1  e ) e 0  z  ,0  w  , 2   z z w w   (n s 1)   (n  r 1) 1  s  r 1   r 1 f z (z)  c(1  e ) e 0 2 (1  e ) e  dw.

f1 (z, w)  c

let

y1  e



w 

1  w dy1   e dw  

w 

dw  e dy1

٣٢٣



1 z z  (n s 1)  s  r 1 

f 2 (z)  c(1  e )

e

1

  (1  y ) 1

r 1

y1n r dy1

0

z z   (n s 1)  s r 1 

c  (1  e )  

e

(n  r  1,r)

n! (r  1)!(n  r)! (r  1)!(s  r  1)!(n  s)! n!

z z   (n s1) (n  r)!

1  s  r 1   (1  e ) e 0z (s  r  1)!(n  s)!  u  1 r 1  f3 (u)  u e ,u  0,   0; (r) r

U ~ G(,r)

: ‫ ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ‬Z, U ‫ﲟﺎ أن‬ f 4 (z,u)  f 2 (z)f 3 (u).

 f (z,u) 

z z u   (n s1)  (n  r)!

1 r 1  s  r 1   u (1  e ) e e . r 1 (s  r  1)!(n  s)!(r  1)!  z let v  u w 1  u , z  vw 1 w v | J | 1  w1 0 1

wu wu w  1  1 (n s 1)  1 c r1  s r 1   f 5 (v, w1 )  r 1 w1 (1  e ) e e    wv w  1  1 (1 v(n s 1)) c r  s r 1  f 6 (v)  r1  w1 (1  e ) e  dw1  0  w s  r 1 s  r  1  1 (1 u(n s 1 j)   c r j  r 1  w1   (1) e   j   0 j0  

w  1 (1 u(n s1) j) c s r 1  s  r  1 j r  r 1   (1)  w1e  dw1.  j   j0  0 w 1 (1  v(n  s  1)  j) let  y.  y  w1 (1  v(n  s  1)  j)

٣٢٤



dy  dw1 , 1  u(n  s  1)  j

 c s r 1  s  r  1 y j   f 6 (v)  r 1   (1)    j   j0  1  v(n  s  1)  0

r

 y dy e j 1  v(n  s  1)  j 

cr 1 s r 1  s  r  1  1 j  r 1   (  1) y re  ydy  r 1  j   (1  v(n  s  1)  j) 0 j0   s  r  1 (r  1)  c  (1) j .  j  [1  v(n  s  1)  j]r 1 j 0  s  r 1

then : f6 (v) 

s r 1 s  r  1   (n  r)!r 1 j   ( 1) j  (s  r  1)!(n  s)! j0  [1  v(n  s  1)  j]r 1

s r 1 s  r  1   r 1 j    (1) j  (s  r,n  s  1) j0  (1  v(n  s  1)  j) r 1

0  u  .

.  ‫ﻫﺬا اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻻ ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﻠﻤﺔ‬ then : P(V  v 0 )  1   v0

 f (v)dv  1  .

6

0

: ‫ ﻓﺈن‬v 0 , u, y r ‫ وﲟﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ‬v0 ‫ ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ‬v0 P(Ys  v 0 u  y r )  1  .

. ‫( واﻟﱴ ﲤﺜﻞ ﻓﱰة ﺛﻘﺔ ذات ﺟﺎﻧﺐ واﺣﺪ‬0, v0u  yr ) ‫ﺣﻴﺚ اﳊﺪ اﻻدﱏ واﻻﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﱰة ﻫﻮ‬ :‫ﻋﻨﺪ اﻟﺮﻏﺒﺔ ﻓﻲ إﻳﺠﺎد ﻓﺘﺮة ﺛﻘﺔ ذات ﺟﺎﻧﺒﻴﻦ أي ان‬ P(a  V  b)  1  . b

 f (v)dv  1  .

6

a

: ‫ ﻓﺈن‬b,a ‫وﺑﻌﺪ إﻳﺠﺎد‬

: ‫ﺗﺼﺒﺢ‬ ٣٢٥

‫‪Ys  Yr‬‬ ‫‪ b)  1  .‬‬ ‫‪U‬‬ ‫ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ‪ a,b‬وﲟﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ a,b,u, y r‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪P(a ‬‬

‫‪ P(au  y r  Ys  bu  Yr )  1  .‬‬

‫ﺣﻴﺚ اﳊﺪ اﻻدﱏ واﻻﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﱰة ﻫﻮ ) ‪ (au  yr ,bu  yr‬واﻟﱴ ﲤﺜﻞ ﻓﱰة ﺛﻘﺔ ذات ﺟﺎﻧﺒﲔ‪.‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ r  1‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪s 2 s  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪( 1‬‬ ‫‪(s  1, n  s  1) j0  j ‬‬ ‫‪(1  v(n  s  1)  j) 2‬‬

‫‪f6 (v) ‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ r  1,s  n‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪n 2 n  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪f6 (v) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪( 1‬‬ ‫‪(n  1,1) j0  j ‬‬ ‫‪(1  v(1)  j) 2‬‬

‫)‪ (٥-١-٥‬ﺗﻘدﯾرات ﺑﯾﯾزﯾﺔ ﺗﺣت ﻓرض ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻌﻛﺳﻰ ﻛﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧ ﺔ‬ ‫ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ‬ ‫ﻗﺪم ﻫﺬا اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ )‪ Shalaby (1990‬وﻗﺪ ﰎ ﺗﻘﺪﳝﻪ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﳊﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﺑﻔﺮض ان ‪ y1  y 2    y r‬ﻫﻰ ال ‪ r‬اﻻوﱃ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬ ‫اﳌﺮﺗﺒﺔ واﳌﺎﺧﻮذة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﺣﻴﺚ ‪ r  n‬و ‪ y  y1 , y 2 , , y r‬واﳌﻄﻠﻮب‬ ‫ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﺘﻮﺳﻂ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ‪ . ‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪f (yi )[1  F(y r )]n r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(n  r)! i 1‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪L(y | )  L ‬‬

‫‪y‬‬

‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫) ‪1 ( i ) ( r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪[ e  ][e  ]n r‬‬ ‫‪(n  r)! i 1 ‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪1‬‬

‫] ‪yi  (n  r ) yr‬‬ ‫‪n! 1 ( [ ‬‬ ‫‪i1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(n  r)! r‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪u  [ yi  (n  r)y r ].‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪٣٢٦‬‬

: ‫ ﻫﻮ اﳊﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬MLE ‫ﻣﻘﺪر اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﱪ‬ :‫وﻳﺘﻢ ﺑﺎﳋﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

 ln L 0  ˆ

ln L u   r ln   ,    ln L  r u    2.   

: ‫ﺑﻮﺿﻊ‬  ln L 0  ˆ



r u  ˆ ˆ 2 r

u  ˆ   r

y

i

 (n  r)y r

i 1

r

,

: ‫ ﻫﻮ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻌﻜﺴﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ‬ ‫واذا ﻛﺎن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬

() 

 g 1 –g  /   e (g  1)

; g  1 , ,   0.

: ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ‬ 

n!  –(rg-1)  1(u) g1 e d 0 ()L(y | )d  (g 1) (n  r)! 0 

n! g1  . (r  g 1) (u )(r g-1) . (g 1) (n  r)!

( y)  

()L(y | )

 ( u)

 ()L(y | )d 0

(u )(r g1) (rg)   e (r  g 1)

(u ) 

٣٢٧

,r  g  1 ; ,   0.

‫اﻟﻌﺰوم ﻏﻴﺮ اﻟﻤﺮﻛﺰﻳﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬

‫‪‬‬

‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S‬‬

‫‪E( u)   S ( | u) d‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪d‬‬

‫) ‪ (u ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫)‪ (r  g  s 1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫)‪(u   ) (r  g 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ (r  g  1‬‬

‫)‪(u   ) (r  g 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(u   )  (r  g s 1)  (r  g  s  1‬‬ ‫)‪ (r  g  1‬‬ ‫)‪ (r  g  s  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(u   )s‬‬ ‫‪; r  g  1, s  1, 2,....‬‬ ‫)‪ (r  g  1‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻌﺰوم ﻏﲑ اﳌﺮﻛﺰﻳﺔ ﳝﻜﻦ اﻟﺘﻮﺻﻞ ﻟﻠﻤﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ وﺗﺒﺎﻳﻨﻪ ‪ ،‬ﻓﺒﻮﺿﻊ )‪ (s=1‬ﻳﺘﻢ اﻟﺘﻮﺻﻞ ﻟﻠﻤﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ ‫‪ ‬ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﺴﺎرة ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬

‫)‪ (r  g  2‬‬ ‫) ‪(u  ‬‬ ‫)‪(r  g  1‬‬ ‫) ‪(u  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪rg2‬‬

‫‪1*  E( u) ‬‬

‫‪; r  g  2.‬‬

‫وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻌﺰم اﻟﺜﺎﱐ ﳝﻜﻦ اﻟﺘﻮﺻﻞ إﱃ ﺗﺒﺎﻳﻦ اﳌﻘﺪر ‪ ‬ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪Var(1* )  E( 2 u)   E( u) ‬‬ ‫‪(u   ) 2‬‬ ‫‪(u   ) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (r  g  3) ‬‬ ‫)‪ (r  g  2‬‬ ‫‪(r  g  2) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫( ‪ (u   ) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫)‪(r  g  2)(r  g  3‬‬ ‫‪(r  g  2) 2‬‬ ‫‪(u   ) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪(r  g  2) 2 (r  g  3‬‬

‫اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ *2‬وﳝﻜﻦ اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﻪ ﺑﺎﺗﺒﺎع اﳋﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪٣٢٨‬‬

‫أوﻻً ‪ :‬إﳚﺎد اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ‪:‬‬

‫‪ (u )(r g1) ‬‬ ‫)‪(u  ‬‬ ‫‪ln [( u)]  ln ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪  (r  g)ln ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (r  g 1) ‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬ﺑﺎﺷﺘﻘﺎق ﻃﺮﰱ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫)‪ ln [f( u)] (r  g) (u ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺛﺎﻟﺜﺎً ‪ :‬ﲟﺴﺎواة اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﻟﺼﻔﺮ وﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻳﻜﻮن اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻴﻴﺰي ‪:‬‬

‫) ‪(u  ‬‬ ‫‪rg‬‬

‫‪; r  g  0.‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﻟﻠﻤﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬

‫‪*2‬‬

‫‪*2 ‬‬

‫ﻳﺘﻢ اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﻪ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳋﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫أوﻻً ‪ :‬ﻳﺼﺎغ اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻴﻴﺰي ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰊ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫) ‪(u  ‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪rg‬‬ ‫‪rg rg‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ,  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪rg‬‬ ‫‪rg‬‬

‫‪*2 ‬‬

‫أي أن ‪:‬‬

‫‪u  (r  g) ( *2   ).‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎَ ‪ :‬ﲟﺎ أن اﻹﺣﺼﺎء ‪ U‬ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺘﲔ )‪ ( r,θ‬ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪, u  0.‬‬

‫‪u‬‬ ‫‪‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪h (u |  ) ‬‬ ‫‪u r 1 e‬‬ ‫) ‪ (r‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪٣٢٩‬‬

du  (r  g) d *2 . : ‫ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬U ‫ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎء‬*2 ‫ﻓﺈﻧﻪ ﳝﻜﻦ إﳚﺎد داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﻨﻮال اﻟﺒﻴﻴﺰي‬ r * h1 (2 )  (r  g ) r 1 (  *2   ) r 1 e  (r ) 1 rg r *  ( ) (  2   ) r 1 e  (r) 

 ( r  g ) (  *2   ) 

 ( r  g ) (  *2   ) 

: ‫ﻳﺘﻢ إﳚﺎدﻩ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬ 1 rg E (  *2 )     (r )   

r 



* 2

(r  g )

(  *2   ) r 1 e

 ( r  g ) (  *2   ) 

; *2

 *2    0.

‫اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﻗﻌﺔ ﻟﻠﻤﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬

d  *2 .



* : ‫ ﻳﺘﻢ ﺣﻞ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬z  (  2   ) ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ‬

r   (rg )z  1 rg  r 1  E ( )  (z   )z e dz      (r)     0  * 2

r   (rg)z  (rg)z  1 rg  r r 1    z e dz   z e dz     0  (r )     0  r  ( r  1) r 1 rg  rg rg     (r)      (r  1)     (r )           r    rg r   . rg

  

.  ‫ ﻣﻘﺪر ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬*2 ‫وﻳﺘﻀﺢ ﳑﺎ ﺳﺒﻖ ان اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬

٣٣٠

: *2 ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺄ ﻟﻠﻤﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬ :‫ ﻓﺈن‬θ ‫ ﻣﻘﺪر ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬*2 ‫ﲟﺎ أن اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬ M S E (  *2 )  V ar (  *2 ) .

: *2 ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺄ ﻟﻠﻤﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬ M S E (  *2 )  E (  *2   ) 2  E  (  *2 ) 2   2  E (  *2 )   2 . * 2 :‫ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬E[ (  2 ) ] ً‫وﳊﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻳﺘﻢ إﳚﺎد أوﻻ‬

1 rg E[(  ) ]     (r)    * 2

2

r 

   * 2

2

* 2

(   )

r 1

e

 ( r  g ) (  *2   ) 

d  *2



: ‫ ﻳﺘﻢ ﺣﻞ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬z  (  *2   ) ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ‬ r   (r  g)z  1 rg  2 r 1  E[ (  ) ]  (z   ) z e dz   (r)     0  r     (r  g)z  (r  g)z  (r  g)z  1  r  g   r 1 r 2 r 1     z e dz  2  z e dz   z e dz     0 0 (r)     0  r  (r  2)  (r 1) r 1 rg  rg rg rg  2   2 (r  1)     (r)   (r  2)       (r)               * 2

2

2

   r  r(r  1)   2 .   2 rg rg

:‫ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬*2 ‫ ﰲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺎ ﻟﻠﻤﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬E[ (  *2 ) 2 ] ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﻘﻴﻤﺔ‬ M SE (  *2 )  E[ (  *2 ) 2 ]  2  E (  *2 )   2 2

    r    r 2  r(r  1)    2  2    2  rg rg  rg  r 2  ( g   ) 2  .

2 r  g   ‫ﻓﱰات اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰﻳﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬

: ‫ ﲝﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺘﲔ‬ ‫ اﳌﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬100(1-  )% ‫ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻓﱰات اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰﻳﺔ‬ ٣٣١

‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪  ( u ) d ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ ( u ) d  ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪t2‬‬

‫‪t1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﻟﻠﺤﺪ اﻷدﱏ ‪ t1‬واﳊﺪ اﻷﻋﻠﻰ ‪ ، t 2‬أي أن‪:‬‬ ‫‪P(t1    t 2 )  1   .‬‬

‫اﻟﻔﱰة ) ‪ ( t1 , t 2‬ﻫﻲ ﻓﱰة اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰﻳﺔ ‪ 100(1-  )%‬اﳌﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ، ‬وﲟﺎ ان ‪ ‬ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ‬ ‫)‪(   u, r  g  1‬‬

‫ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)‪2(  u‬‬ ‫)‪  22(r  g 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪*2‬‬ ‫)‪ 2 (r  g‬‬ ‫)‪  22(r  g 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫أي أن ‪ P(t1    t 2 )  1  ‬ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2(r  g )  *2‬‬ ‫‪P  2  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ 2  1  ‬‬ ‫‪2 ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ P 2 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫*‬ ‫‪ 1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2(r  g )  *2 ‬‬ ‫‪ 2( r  g )  *2‬‬ ‫‪ P‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  1  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫اى ان ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ 2(r  g )  *2 2(r  g )  *2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻳﻤﺜﻼن اﻟﺤﺪﻳﻦ اﻻدﻧﻰ واﻻﻋﻠﻰ ﻟﻔﺘﺮة اﻟﺜﻘﺔ ﻟـ ‪ ‬ﺣﻴﺚ‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 2  , 2‬ﺗﺴﺘﺨﺮﺟﺎن ﻣﻦ ﺟﺪول ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎى ﻣﻦ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪ (٥‬ﻋﻨﺪ درﺟﺎت ﺣﺮ ﻳﺔ )‪. 2(r  g  1‬‬ ‫‪٣٣٢‬‬

‫ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ ‪:‬‬ ‫أوﻻً ‪:‬ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ ﳌﻘﺪر اﳌﻜﺎن اﻻﻛﱪ ˆ‪) ‬اﳌﻘﺪر ﻏﲑ اﳌﺘﺤﻴﺰ ﺑﺄﻗﻞ ﺗﺒﺎﻳﻦ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪: ( ‬‬ ‫ﲟﺎ أن ˆ‪ ‬ﻣﻘﺪﻳﺮ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪M S E ( ˆ )  V ar ( ˆ ) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ ﳌﻘﺪر اﳌﻜﺎن اﻻﻛﱪ ˆ‪ ‬ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪r ( ˆ ) ‬‬

‫‪ M SE ( ˆ )  (  ) d ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ g 1‬‬ ‫‪ – g e  /  d‬‬ ‫)‪r  (g  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ g 1‬‬ ‫‪ (g  3)  -(g  3 ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪r  (g  1‬‬ ‫‪g  3 , r  0.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪r (g  2)(g  3‬‬

‫;‬

‫ﺛﺎﻧﻴﺎً ‪:‬ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ ﻟﻠﻤﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي *‪: 1‬‬ ‫ﲟﺎ أن *‪ 1‬ﻣﻘﺪﻳﺮ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪M S E (  1* )  V ar (  1* ).‬‬

‫) ‪(u  ‬‬ ‫وﺣﻴﺚ أن‬ ‫‪rg2‬‬

‫‪1* ‬‬

‫داﻟﺔ ﰲ اﻹﺣﺼﺎء ‪ ، U‬ﻓﻴﺠﺐ إﳚﺎد داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻟﻺﺣﺼﺎء ‪ U‬ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ )  (  ) d‬‬

‫‪ h (u‬‬

‫‪g (u ) ‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ r‬‬ ‫‪  g‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r 1‬‬ ‫‪g 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪u e ‬‬ ‫‪ e   d‬‬ ‫)‪ (r‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫)‪   (g  1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ u r 1  g 1 ‬‬ ‫)‪ ( r  g 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫) ‪   (r  g  1)  (u  ‬‬ ‫‪  (r)  (g  1) ‬‬ ‫‪ u r 1  g 1 ‬‬ ‫)‪ ( r  g  1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪ (u  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(r,‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻣﻨﻪ ﳝﻜﻦ اﺳﺘﻨﺘﺎج ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ ﻟﻠﻤﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي *‪ 1‬ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪٣٣٣‬‬

 * 1

r ( ) 

 V ar ( 

* 1

) g (u ) du

0 



 0

   u r 1  g 1 (u   )  ( r  g 1) (u   ) 2   2  (r, g  1)  (r  g  2 ) (r  g  3)  

    ( r  g  3)  g 1    2  (r  g  2) (r  g  3)   (r, g  1)





(1 

0

  du 

u  ( r g 3) ) du. 

: ‫ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬1* ‫ ﻳﺘﻢ ﺣﻞ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺴﺎﺑﻖ وإﳚﺎد ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ ﻟﻠﻤﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي‬z 

u , ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ‬ 

      (r 2) r  (r  g  3) r 1 r(1* )   z dz     (1  z) 2 (r  g  2) (r  g  3)  (r, g  1)    0    (r, g  3)  2      2  (r  g  2) (r  g  3)   (r, g  1)  

2 (r  g  2)(g  2)(g  3)

;

rg 3 .

: *2 ‫ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ ﻟﻠﻤﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟﻠﻤﻨﻮال‬: ً‫ﺛﺎﻟﺜﺎ‬  * 2

r( )   MSE(*2 ) () d 0 

r2  (g )2 g1 –g  /    e d 2  (g  1) (r  g) 0 







g1  r 2–g e /  d  g22–g e/  d   2g1–g e/  d   2–g e/  d 2  (r  g) (g 1) 0 0 0 0 g1  r(g  3)-(g3)  g2(g  3)-(g3)  2g(g  2)-(g2) 2(g 1)-(g1)   2 (r  g) (g 1) 2 (r  g  6)  (r  g)2 (g  2)(g  3)

;

(r  g)  3.

: ‫ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬*2 ‫ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻘﺪر‬1* ‫اﻻن ﻳﺘﻢ ﺣﺴﺎب ﻧﺴﺒﺔ ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﻴﺰ ﻟﻠﻤﻘﺪر‬ ٣٣٤

‫) *‪r( 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪r(g  2)(g  3‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r( 1* , ˆ ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫*‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪r( 2 ) (g  2)(g  3)(r  g  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(r  g  2‬‬ ‫) ‪r(*2‬‬ ‫)‪ 2 (r  g  6‬‬ ‫)‪r(g  2)(g  3) r(r  g  6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(r  g) 2‬‬ ‫)‪r() (r  g) (g  3)(g  3‬‬

‫‪r( *2 , ˆ ) ‬‬

‫اى ان ‪:‬‬ ‫‪ r(1* , ˆ )  r(*2 , ˆ )  r(1* )  r( ˆ )  r( *2 ).‬‬

‫وﻫﺬا ﻳﻌﲎ ان اﻓﻀﻞ ﻣﻘﺪر ﰱ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻫﻮ *‪. 1‬‬ ‫ﻟﻠﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ وﺑﻮﺿﻊ ‪ r  n‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﲣﺺ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ ‪.‬‬

‫)‪ (٦-١-٥‬ﺗﻘدﯾرات ﺑﯾﯾزﯾﺔ ﺗﺣت ﻓرض اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ‬

‫اﻟﻔﺗ رة )‪(, ‬‬

‫ﻛﺗوزﯾ ﻊ ﻗﺑﻠ ﻰ ﻓ ﻰ‬

‫ﻗﺪم ﻫﺬا اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ )‪ Bhattacharya (1967‬وﻗﺪ ﰎ ﺗﻘﺪﳝﻪ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﳊﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﺑﻔﺮض ان ‪ y1  y 2    y r‬ﻫﻰ ال ‪ r‬اﻻوﱃ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬ ‫اﳌﺮﺗﺒﺔ واﳌﺎﺧﻮذة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﺣﻴﺚ ‪ r  n‬و ‪ y  y1 , y 2 , , y r‬واﳌﻄﻠﻮب‬ ‫ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﺘﻮﺳﻂ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ‪ . ‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪f (yi )[1  F(y r )]n r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(n  r)! i 1‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪L(y | ) ‬‬

‫‪y‬‬

‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫) ‪1 ( i ) ( r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪[ e  ][e  ]n r‬‬ ‫‪(n  r)! i 1 ‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪1‬‬

‫] ‪yi  (n  r ) yr‬‬ ‫‪n! 1 (  [ ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(n  r)! r‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪u  [ yi  (n  r)y r ],‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫وإذاﻛﺎن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة )‪ (, ‬اﻟﺘﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪; 0 .‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪(a  1)() a 1‬‬ ‫‪()  a 1‬‬ ‫‪  a 1‬‬

‫‪٣٣٥‬‬

: ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ‬

( y)  

()L(y | )

 ( u)

 ()L(y | )d 0 u









(a 1)()a 1 –a n!   –r  e  a1 a 1 (n  r)! u (a 1)()a1 –a n!   –r  e  d a 1 a1 (n  r)! 

u

 –(a  r) e   – r

 







–(a  r)



u 

,     .

–r

e  d

: ‫اﻻن‬









–(a  r )

  

u 



–r

–(a  r)

e  d    0

let w= 





u 



–r

e  d   

–(a  r)

0



u 

e  – r d

u u u  =  d   2 dz  z z

–(a  r )



u 

u  0

–r

e  d  

 u

 (a  r 1)

u   w

 (a  r )

e

w

u u u   d     2  0 w w

–(a  r )

u  w e d w2

u  u  (a  r 1) 1  w   e dw   w (a  r 1) 1e w dw  .  0 w 0  

u u   (r    1, )   (r    1, )   x

where  (n,x)=  e-t t (n 1)dt.

0



  ( u )  u

– ( a  r  1)

e



u 

,     . u u  (r    1, )   (r    1, )   : ‫ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﺴﺎرة ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬ ‫ﻳﺘﻢ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬

 ( a  r  1)

٣٣٦



*

u  

–(a  r  2)







  E( u) 





 (a  r 1)

–(a  r  2)



u 

e d

u u  (r    1, )   (r    1, )  

,     .

u 

u u e d  u  (a  r  2)  (r    1, )   (r    1, )   

 u u  u   (r    2, )   (r    2, )     *   . u u  (r    1, )   (r    1, )   : ‫ ﻧﺘﺒﻊ اﻻﺗﻰ‬* ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺒﺎﻳﻦ‬



E(2 u) 





u

 (a  r 1)



u

–(a  r 3) e  d

u u  (r    1, )   (r    1, )  

u 2  * (r    3, u) * y y  * ,  (n, y)   (n, )   (n, ).  (r    1, u)  

: ‫اذن‬ * u 2  * (r    3, u) 2   (r    2, u)  Var( )  * u  *   (r    1, u)   (r    2, u) 

2

*





u 2  * (r    3, u)    * (r    2, u)  *

2

[  (r    1, u)]

2

.

n

‫ ﲤﺜﻞ زﻣﻦ‬t 0 ‫ﰱ ﺣﺎﻟﺔ اﳌﻌﺎﻳﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻻول ﻓﺈن‬. u   x i ‫ و‬r  n ‫ﰱ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﺑﻮﺿﻊ‬ i 1

‫ وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ‬. ‫ ﺗﺼﺒﺢ ﻣﺘﻐﲑا ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ‬r ‫اﻧﺘﻬﺎء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ واﶈﺪد ﻣﺴﺒﻘﺎ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ اﻟﺒﺎﺣﺚ وﰱ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻓﺈن‬ : ‫ﻛﺎﻵﰐ‬ r

L(x1 , x 2 ,..., x n | )   f (x i )[1  F(t 0 )]n  r i 1

r

1  [ e i 1 

x ( i ) 

t [(  0 )]nr 

][e

]

u



1 (  ) e r r

where u  

x

i

 (n  r)t 0 .

i 1

٣٣٧

‫)‪ (٧-١-٥‬ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ﺑﯾﯾزﯾ ﺔ ﺗﺣ ت ﻓ رض اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺳ ﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣ ﺔ‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ‬

‫‪‬‬

‫ﻛﺗوزﯾ ﻊ ﻗﺑﻠ ﻰ ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ‬

‫ﻗﺪم ﻫﺬا اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ )‪ Bhattacharya (1967‬وﻗﺪ ﰎ ﺗﻘﺪﳝﻪ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﳊﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﺑﻔﺮض ان ‪ y1  y 2    y r‬ﻫﻰ ال ‪ r‬اﻻوﱃ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬ ‫اﳌﺮﺗﺒﺔ واﳌﺎﺧﻮذة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﺣﻴﺚ ‪ r  n‬و ‪ y  y1 , y 2 , , y r‬واﳌﻄﻠﻮب‬ ‫ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﺘﻮﺳﻂ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ‪ . ‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪f (yi )[1  F(y r )]n r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(n  r)! i 1‬‬

‫‪L(y | ) ‬‬

‫‪y‬‬

‫‪r‬‬ ‫) ‪( r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪[ exp( i )][e  ]n  r‬‬ ‫‪(n  r)! i 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪1‬‬

‫] ‪yi  (n  r) yr‬‬ ‫‪n! 1  [‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(n  r)! r‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪:‬‬

‫‪r‬‬

‫‪u  [ yi  (n  r)y r ].‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫وإذاﻛﺎن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪, 0    ;   0 .‬‬

‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪٣٣٨‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪()  e ‬‬ ‫‪‬‬

( y)  

()L(y | )

 ()L(y | )d 0

u

u

1  n! –r   e  e  (n  r)!







0

 1  e



( u) u 

n! –r  e d (n  r)! 

   u          

– re







0

   u     – r      

 e

. d

: ‫اﻻن‬

٣٣٩





0

  b   ax    x    

x e

a dx  2   b

1 2



K 1 2 ab



1 let a= ,   r 

–r



 e e

( u) 

2 (u)

r 1



u 

r 1 2

   u         

 u K r 1  2   

   u     – r     

(u)  e  u 2K r 1  2   

.

: ‫ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﺴﺎرة ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬ ‫ﻳﺘﻢ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬    u 

    (u) r 1 1–r         E( u)   e d  u  0 2K r 1  2    *

(u) r 1   u 2K r 1  2  

 1  2   u   

 K r2  2   u  K r 1  2 

(r  2) 2

 u K r  2  2    

u   .  u   : ‫ ﻧﺘﺒﻊ اﻻﺗﻰ‬* ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺒﺎﻳﻦ‬

٣٤٠

   u 

    (u) r 1 2–r       E( u)   e d.  u  0 2K r 1  2     1 let a= ,   r, b  u,  2

r 1

E( 2 u) 

(u)  1  2  u   u  2K r 1  2    

 K r 3  2   u  K r 1  2 

(r 3) 2

 u K r 3  2   

u   . u   : ‫اذن‬

  u  K r 3  2  K r 2  2      u   Var(* )  u   K r 1 2 u  K r 1  2  





u     u     

2

2   u  u  u   K r 3  2   2    K r 1  2    K r 2  2    .    u           K r 1  2      

u

R(t) ‫ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬

‫اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰى‬ : ‫ﲟﺎ ان‬

-

t 

R(t)  e , : ‫وﺑﺈﺳﺘﺨﺪام داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺎ ﳝﻜﻦ اﳚﺎد اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬ ٣٤١

 *

R (t )  E[R(t)]   R(t) ( | u) d 0

   u  t     

   (u) r 1 – r      e  u  0 2K r 1  2    1 let a= ,   r, b  u  t,  r 1

d.

(u)  1  2  u   (u  t)  2K r 1  2      ut  r 1 K r 1  2  2  u        u ut K r 1  2     ut   (r 1) K  r 1  2  t 2   .  1    u  u K r 1  2   

 R * (t) 

(r  2) 2

 ut  K r 2  2    

: ‫اﻳﻀﺎ ﳝﻜﻦ اﳚﺎد ﺗﺒﺎﻳﻦ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﰱ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬

٣٤٢

2

Var  R * (t)   E  R 2 (t) u    E(R(t ) u)  , 

E[R 2 (t )]   R 2 (t ) ( | u) d  0

   u 2 t     

   ( u) r 1  – r e     u 0 2K r 1  2    1 let a= ,   r, b  u  2t, 

( u) r 1  E[R (t)]   u 2K r 1  2   2

2t    1   u  

 ( r 1) 2

d.

 u  2t 2K r 1  2     

 u  2t K r 1  2    u K r 1  2   

 ( r 1)     (u  t)  2 

  .

 Var  R * (t)   E  R 2 (t ) u    E(R (t) u) 

2

2

2t    1   u  

1

 (r 1) 2

 u  2t    u  t   (r 1) K r 1  2 K r 1  2         t 2     1   . u      u u  K r 1  2 K r 1  2          

2t    Var  R * (t )   1  2  u    u   K 2  r 1       

 ( r 1) 2

 u  2t K r 1  2  

2

  u   u  t   K r 1  2    K r 1  2  .         

‫ ﻛﺗوزﯾ ﻊ ﻗﺑﻠ ﻰ ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ‬prior quasi-density ‫( ﺗﻘدﯾرات ﺑﯾﯾزﯾ ﺔ ﺗﺣ ت ﻓ رض‬٨-١-٥) ‫اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ‬ : ‫ وﻗﺪ ﰎ ﺗﻘﺪﳝﻪ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬Bhattacharya (1967) ‫ﻗﺪم ﻫﺬا اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻦ‬ ‫ اﻻوﱃ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬r ‫ ﻫﻰ ال‬y1  y 2    y r ‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﳊﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﺑﻔﺮض ان‬ ‫ واﳌﻄﻠﻮب‬y  y1 , y 2 , , y r ‫ و‬r  n ‫ ﺣﻴﺚ‬ ‫ ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ‬n ‫اﳌﺮﺗﺒﺔ واﳌﺎﺧﻮذة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ‬ : ‫ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ‬.  ‫ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﺘﻮﺳﻂ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة‬ ٣٤٣

r n!  f (yi )[1  F(yr )]n r (n  r)! i 1

L(y | ) 

y



r ( r ) n!

1 y [ exp( i )][e  ]n r (n  r)! i 1   r

1

yi  (n  r ) yr ] n! 1 (  [  i 1  e . (n  r)! r

: ‫ﻟﻴﻜﻦ‬ r

u  [ yi  (n  r)y r ] i 1

: ‫ ﻫﻮ‬ ‫ﲢﺖ ﻓﺮض ان اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ ل‬       a ,0    . : ‫ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ‬.Bhattacharya (1967 )‫واﳌﺎﺧﻮذ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ‬

( x)  

() L(y | )

 ( u)

 ()L(y | )d 0

u

n! –r     e (n  r)!  u  n! –r   –a 0  (n  r)!  e d –a









0

–(a  r)



e

–(  r)

u   

e

u   

d u



  1 u ( )(a  r ) e    u  (a  r  1) 

: ‫ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﺴﺎرة ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬ ‫ﻳﺘﻢ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬

٣٤٤

u   (u) (a  r ) –(a  r) 1   E( u)   e  d .  0  (r)  (a  r  1)) u u u let w=   =  d  2 dw.  w w (a  r ) 1  (u)  u  *  u  (a  r ) 1 w (a  r) 1e  w  2  dw   (a  r  1) 0 w  *

*  

 ( a  r 1)1 u w e  w dw  0 (a  r  1)

(u) u  (a  r  2)  , r    2.  (a  r  1) ar2 : ‫ ﻧﺘﺒﻊ اﻻﺗﻰ‬* ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺒﺎﻳﻦ‬ ( a  r 1)1

 ( a  r ) 2 (a  r )  2 u u E( u)  u w e  w 2 dw   (a  r  1) 0 w 2

 ( a  r 3)1 u2  w e  w dw   (a  r  1) 0

u2 u2   (a  r  3)  .  (a  r  1) (a  r  2)(a  r  3) : ‫اذن‬ 2

 u  u2 Var( )    (a  r  2)(a  r  3)  a  r  2  u2 u2  . a  r  2  a  r  3  (r    2)(r    3) (r    2) 2 (r    3) *

‫( ﺗﻘدﯾرات ﺑﯾﯾزﯾﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ ﺗﺣت ﻓرض اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﺑﻠ ﻰ‬٩-١-٥) ‫اﻟﻣراﻓق‬ : ‫ وﻗﺪ ﰎ ﺗﻘﺪﳝﻪ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬Bhattacharya (1967 ) ‫ﻗﺪم ﻫﺬا اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ‬

٣٤٥

‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﳊﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﺑﻔﺮض ان ‪ y1  y 2    y r‬ﻫﻰ ال ‪ r‬اﻻوﱃ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬ ‫اﳌﺮﺗﺒﺔ واﳌﺎﺧﻮذة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﺣﻴﺚ ‪ r  n‬و ‪ y  y1 , y 2 , , y r‬واﳌﻄﻠﻮب‬ ‫ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﺘﻮﺳﻂ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ‪ . ‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪f (yi )[1  F(y r )]n r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(n  r)! i 1‬‬

‫‪L(y1 , y 2 ,..., y n | ) ‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[ exp( i )][exp( r )]n r‬‬ ‫‪(n  r)! i 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪n! 1‬‬ ‫‪1 r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪exp( [ yi  (n  r)y r ].‬‬ ‫‪(n  r)! r‬‬ ‫‪ i 1‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫] ‪u  [ yi  (n  r)y r‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻻﺧﺘﻴﺎر اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ اﳌﺮاﻓﻖ ﻣﻦ اﳌﻌﻠﻮم ان داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻻﺑﺪ ان ﻳﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪a (  )  b( x )  c(  )d (x )]‬‬

‫‪f (x | )  e‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d ( x i )]‬‬ ‫) ‪ na (  ))  c( ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪L(y | )  L  e‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ اﳌﺮاﻓﻖ ﻳﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻻﺗﻰ ‪:‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪1a (  ) 1c(  )]‬‬

‫‪ ( )  e ‬‬

‫واﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻻﺗﻰ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪,  2  1  n,  2  1   d(x i ).‬‬

‫‪ 2 a (  )  2 c(  )]‬‬

‫‪( | x)  e‬‬

‫‪i 1‬‬

‫ﲢﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﻓﺈن ‪ L‬ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪ x i ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ a()   ln , c( )  ‬‬

‫‪i1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  r ln ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x i ‬‬ ‫‪ i 1 ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L re‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ اﳌﺮاﻓﻖ ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  1 ln   ]‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ ( )  e‬‬

‫اى ان ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ 1 ‬‬ ‫] ‪‬‬ ‫‪ 1   ‬‬

‫‪e‬‬

‫‪  ( )  ‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 ln   ]‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫اى ان اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ اﳌﺮاﻓﻖ ﻫﻮ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻌﻜﺴﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪٣٤٦‬‬

‫‪ ( )  e‬‬

1   ( )     (  )   

 1

e

      ]

,0<    , ,   0.

: ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ‬ ()L(y | )

( y)  

 ( | u)

 ()L(y | )d 0 –r







0



 e 

–(  r 1)



let w=

e

u    –r  –(1) 

0



u    –(1) 

 e 







e

–(   r 1)

e d

 u       

e

 u       

. d

u u u   d   2 dw.  w w

: ‫اذن‬





0

 –( r 1) e

 u      w 

 u       

d  

 u    w   



0

–(  r)





0

w

(  r ) 1   w 

e

–(  r 1)

e

 w 

u   dw     w 

u dw w2

–(  r )

(  r).

: ‫اذن‬ ) (u )(r ) –(r1)  (u  ( u)   e (r  ) (r 1)

 u       



(u )

e  . (u )(r )

: ‫ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﺴﺎرة ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬ ‫ﻳﺘﻢ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬

٣٤٧

(u  ) (r  )   E( u)   (r   ) *

(u  ) (r  )    (r   ) *

*  





0







0

 u  w   

–(r  )

 (r  )

e



u  

d

 u e  w  2  dw  w 

(T  )  ( r1)1  w w e dw  (r   ) 0

(u  ) (u  )  (r    1)  , r    1.  (r   ) (r    1) : ‫ ﻧﺘﺒﻊ اﻻﺗﻰ‬* ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺒﺎﻳﻦ‬

(u  ) (r  ) E( u)   (r   ) 2

(u  ) (r  )   (r   )





0





0

 u  w   



–(a  r ) 1

 (r  ) 1

e



u  

d

u e  w  2  dw  w 

(u  ) 2  ( r2 )1  w  w e dw  (r   ) 0 

(u  ) 2 (u  ) 2  (r    2)  .  (r   ) (r    1)(r    2) : ‫اذن‬ 2

 (u  )  (u  )2   (r    1)(r    2)  (r    1)  (u  )2 (u  ) 2  .  r    1  r    2  (r    1)2 (r    2) (r    1) 2 (r    2) Var(* ) 

‫اﻟﻤﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬

:‫ﲟﺎ ان ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻫﻰ‬

-

t 

R(t )  e , : ‫ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺎ ﳝﻜﻦ اﳚﺎد اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬

٣٤٨

 *

R (t )  E[R(t)]   R(t ) ( | u) d 0

(u  )(r  )  (r  ) (u  )(r  )  (r   )







0





0

–(r 1)

e



( t  u  ) 

 t u     w 

(u  )(r  ) (t  u  )  (r   )

d

 (r 1)

 t u  e w   dw 2 w  

 ( r  )





w

0

( r  ) 1

e  w dw

( r  )

 ( r  ) (u  )  (r   )(t  u  ) (r   )

 t  u   u   

 (r  )

 t   1    u 

 (r  )

.

: ‫اﻳﻀﺎ ﳝﻜﻦ اﳚﺎد ﺗﺒﺎﻳﻦ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﰱ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬ 2

Var  R * (t)   E  R 2 (t) u    E(R (t) | u)   2

E[R (t)]   R 2 (t ) ( | u) d 0

(u  )(r  )  (r  ) (u  )(r  )  (r  )





0





0



–(r 1)

e



(2t  u  ) 

 2t  u      w  

(u  )(r  ) (2t  u  )  (r  )

d

 (r 1)

 2t  u    e w   dw 2 w  

 ( r  )





0

w

( r  ) 1

( r  )

 ( r  ) (u  )  (r   )(2t  u  ) (r   )

 2t  u       u 

 (r  )

 2t   1    u  ٣٤٩

 (r  )

.

e  w dw

‫‪2‬‬

‫‪Var  R * (t)   E  R 2 (t u)    E(R (t | u) ‬‬ ‫) ‪2(r ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u ‬‬ ‫‪‬‬

‫) ‪ (r ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2t ‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u ‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪ (١٠-١-٥‬اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺑﯾﯾزى ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻧﻘص اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ‪ ‬ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻧوع‬ ‫اﻟﺛﺎﻧﻰ‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﳊﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﺑﻔﺮض ان ‪ y1  y 2    y r‬ﻫﻰ ال ‪ r‬اﻻوﱃ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬ ‫اﳌﺮﺗﺒﺔ واﳌﺎﺧﻮذة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﺣﻴﺚ ‪ r  n‬و ‪ y  y1 , y 2 , , y r‬واﳌﻄﻠﻮب‬ ‫ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﺘﻮﺳﻂ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ‪ . ‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 1 ‬‬

‫‪r‬‬

‫‪n!  1      y   n  r  y  ‬‬ ‫‪L  y1 , y 2 ,..., y r   ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ n  r !   ‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i1‬‬

‫‪ :‬اﯾﺠﺎد ﻣﻘﺪرات ﺑﯿﯿﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻷﺳﻲ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪u   yi   n  r  y r .‬‬

‫‪let‬‬

‫‪i 1‬‬

‫وﺑﻔﺮض ان ‪:‬‬ ‫‪n!   r 1  u ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e d‬‬ ‫‪ n  r ! 0‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u  r r.‬‬ ‫!‪ n  r ‬‬

‫ﲢﺖ ﻓﺮض ان اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ ل ‪ ‬ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪g    .‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ل ‪ ‬ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪u r r‬‬

‫ﲟﺎ ان داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﻫﻰ ‪:‬‬

‫‪u ‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪e‬‬

‫‪  r 1‬‬

‫‪ u   ‬‬

‫‪u ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u e .‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ t ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪R(t)  e‬‬

‫‪٣٥٠‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪R * (t)  E  R(t) x ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪  R(t)   x  d‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪1  u   u ‬‬ ‫‪  e d‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪ t ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ e‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪u r   r 1  1u  t ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪r 0‬‬ ‫‪u  t‬‬ ‫‪ut‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ur‬‬ ‫‪r‬‬ ‫*‬ ‫‪ R (t)   u  t   r 1e d‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ t  u r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‬ ‫‪ R (t)  1   .‬‬ ‫‪ u‬‬

‫‪ut‬‬ ‫‪‬‬

‫‪let  ‬‬

‫)‪ (١١-١-٥‬اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺑﯾﯾ زى ﻟﻣﺗوﺳ ط اﻟﺣﯾ ﺎة وداﻟ ﺔ اﻟﺻ ﻼﺣﯾﺔ ﻟﻠﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺳ ﻰ ذو اﻟﺑﺗ ر‬ ‫اﻟﻣزدوج ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻛﺎﻣﻠﺔ‬ ‫ﻗﺪم ﻫﺬا اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ )‪ Shalaby (1994‬وﻗﺪ ﰎ ﺗﻘﺪﳝﻪ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ X‬ﳍﺎ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻵﺳﻲ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬و ﻗﺪ ﰎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﱰ ﻣﺰدوج ﺗﻜﻮن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﳍﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫‪ t2‬‬ ‫‪1 x t1‬‬ ‫‪f(x| t1 <X< t 2 ) = e (e  e  ) 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪> 0 , 0 <t1  t 2   ; t1  x  t 2 .‬‬

‫داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻋﻈﻢ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ ‪ n‬ﻣﻦ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻵﺳﻲ ذو اﻟﺒﱰ اﳌﺰدوج ﺗﻜﻮن ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‪:‬‬

‫‪٣٥١‬‬

n

L(x1 , x 2 ,..., x n ; , t1 , t 2 )  L   f (x i ) i 1

n



 xi i 1

n

e  1 =  . n t t 1 2         e  e     t  2    t1 n = e  e  e     

u 

n

n

 t 2  t1   t1    n = e  e   1  e      

= n e = n e



u 



(T nt1 ) 



G 

n

n

(t  t )  2 1    1  e  .  

R     1  e   

n

n

where G = u-nt1

, R= t 2  t1

,u =  x i i=1

: ‫ ﻫﻮ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻌﻜﺴﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﺑﻔﺮض أن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ h  h 1  ()   e  (  1)

; h, > 0 .

 > 1 ‫ ﻫﻲ داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ و‬(  1) ‫ﺣﻴﺚ أن‬ .  ‫ﺳﻮف ﻧﺴﺘﻔﻴﺪ ﻣﻦ داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻨﺎﻗﺼﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﰱ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ 

(m  1, a)   y m e  y dy a

aj =(m  1)e  , m = 0,1,2, ... j0 j! m

a

٣٥٢

: ‫ ﻳﻜﻮن‬ ‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ ( | x) 

L(x | )() 

.

 L(x | )() d 0



f (x)   L(x | ) () d 0



(h+G) R h  -1 -( +n)  =  e (1-e  ) -n d  ( -1) 0 

(h+G)  jR h  -1  n  j1  -  -( +n)  =  e   j e d ( -1) 0  j=0  

(h+G+jR)  -1  n  j1  h -( +n) =   e  d.   j  ( -1) 0 j=0  h+G+jR h+G+jR (h+G+jR) let w =  =  d = dw,  w w2 if =0  w= , if =  w=0, 

٣٥٣

0

 -1  h+G+jR   n  j1  h f (x) =      w  j  (-1)   j=0  

-( +n)

 (h+G+jR)  e-w  dw 2 w  



 -1 1-( +n)  n  j1  h  n 2 -w = w h+G+jR e dw     j  (  -1)  j=0  0 

 -1 1-( +n)  n  j1  h =  h+G+jR (  n  1)    j  ( -1) j=0  

1-( +n)

 -1  n  j1  h (  n  1)  ( n )1  h+jR  =  G  1+  j (-1) h    j=0  

 n 1 h  -1   n  j1  A j =   j  n 1 (  n  1) ( -1) j=0  G

h  -1 = K 1 , ( -1) -1

where

 n 1

  h+jR   n j1  A j -1 A j = 1+  , K    j  n 1 (  n  1) h  G  j=0 

G n 1 K   n  j1  n 1 (  n  1)  Aj j  j=0  R h  -1 -( +n) - (h+G)  e  (1-e  )-n (-1) ( | u)  h  -1 K 1 , ( -1)

 K

-( +n)

e

-

(h+G) 

-

R  -n

(1-e )

; >0 .

: ‫ ﻫﻮ‬U=u ‫ ﺑﺸﺮط‬ ‫ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬m ‫اﻟﻌﺰم اﻟﻼﻣﺮﻛﺰي ذو اﻟﺮﺗﺒﺔ‬  ` m

m

 ( | u)  E( )   m ( | u) d, m  1, 2,...

0

٣٥٤



=K  

-( +n-m)

e

-

(h+G) 

-

(h+G)  

-

R  -n

(1-e ) d

0



=K  

-( +n-m)

e

0





Rj

 n  j1  -    j e d  j=0 

 n j1  -( +n-m) =K   e   j 0 j=0 

(h+G+Rj) 

d



 n  j1  =K   ( +n-m-1) (G+h+Rj)1-( +n-m)  j  j=0  

h+Rj -( +n-m-1)  n  j1  1-( +n-m) =K   G  (  +n-m-1) (1+ )  j G  j=0  

 n  j1  1-( +n-m) =K   G (+n-m-1) A j +n-m-1  j  j=0  

G =

 n 1

 n  j1   +n-m-1 1-( +n-m) G ( +n-m-1)   j Aj   j=0   n  j1   +n-1 ( +n-1)  Aj j  j=0  

 n  j1   +n-m-1   A j G m ( +n-m-1) j=0  j  = .  n j1 where , m = 1,2,... ( +n-1)    +n-1   j Aj  j=0  . m ‫و ﳝﻜﻦ إﳚﺎد اﳌﺘﻮﺳﻂ و اﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻣﻦ اﻟﻌﺰوم اﻟﻼﻣﺮﻛﺰﻳﺔ ذو اﻟﺮﺗﺒﺔ‬

R(t ) ‫ وداﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬ ‫اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﳌﻌﻠﻤﺔ‬ : ‫ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ اﳋﺴﺎرة ﳌﺮﺑﻊ اﳋﻄﺄ ﻫﻮ‬* ‫اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰى‬

٣٥٥



 n  j1   +n-1-1   j Aj G( +n-1-1) j=0   *  E()  1` ( | u)  .  n  j1 ( +n-1)    +n-1   j Aj  j=0  

 n  j1   +n-2   j Aj G( +n-2)   = . j=0 ,  n  j1 ( +n-2)( +n-2)    +n-1   j Aj  j=0  

*

 n  j1   +n-2   j Aj G   = . j=0 .  n  j1 ( +n-2)    +n-1   j Aj  j=0  

 n  j1   +n-3   j Aj 2 G ( +n-3) j=0   E(2 )  `2 ( | u)  .  n  j1 ( +n-1)    +n-1   j Aj  j=0  

 n  j1   +n-3   j Aj G2  j=0   .  n  j1 . ( +n-2)( +n-3)    +n-1   j Aj  j=0  : ( ‫و ﻣﻨﻬﺎ ﻳﻜﻮن اﻟﺘﺒﺎﻳﻦ اﻟﺒﻌﺪي ) اﳌﺨﺎﻃﺮة اﻟﺒﻌﺪﻳﻪ‬

Var(* )  E(2 )   E    

2

2    n  j1   +n-3    n  j1   +n-2     Aj  j  Aj   j G2 (  +n-3)    j=0   j=0   . =    n  j  1 n  j  1 ( +n-2)( +n-3)     +n-1 ( +n-2)     +n-1   A   j  j   j  A j     j=0     j=0    

٣٥٦

 ‫اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬ : ‫ ﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻩ ﺑﺎﺷﺘﻘﺎق داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬ ‫اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪي‬ -( +n)

-

(h+G) 

-

R  -n

( | u)  K e (1-e ) d( | u)  d R R  - (h+G)  -n -(  +n)-1    -n -( +n) e (1-e ) -(  +n)   (1-e )        R  K (h+G) (h+G)  R  (h+G)  n( R)e   -n-1    2 e   -( +n) e   (1-e ) 2            (h+G) R R   -( +n+1)   -n  -n -( +n+2) -(  +n)  e (1-e )  (h+G)(1-e )    K  (h+G) (h+G+R) R  e   nR-( +n-2) e  (1-e  )-(n+1)  R (h+G) R R -  (h+G) nR -( +n+1)   -n   -1  =K(1-e ) e   (1-e ) e  -( +n)+    

d( | u) 0 d R R (h+G) nR  -1   -( +n)+  (1-e ) e  0   -

R R  -1 

 -( +n)+(h+G)  nR(1-e ) e  0.

R R - -  1   -1      (h+G)  nR(1-e ) e  , ( +n)    

R -  1    (h+G)  nRe  . ( +n)  

. ‫و ﻳﺘﻢ إﳚﺎد اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪي ﲝﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻏﲑ اﳋﻄﻴﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‬ ٣٥٧

ˆ ‫ﺗﻘﺪﻳﺮ اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﱪ‬

L(x | )   n e



G 

n

R     1  e  ,  

G R n G R n           G  n n 1e  1  e     n 2 e  1  e          dL    R R  n 1  d   n  G     R         e  n( e ) 1  e      2        

  n e



G 

R     1  e   

n

R 1   n G nR  R       2  2 e  1  e           1

R   dL  n G nR  R  0   2  2 e 1  e    0 d     

n  G  nRe



R 

R     1  e   

1

1

R R   ˆ  1 (G  nRe ˆ 1  e ˆ  ) n    1  Rˆ  1  (G  nR  e  1 ) n   R  ˆ  1 (G  nRe ˆ ) . n ‫وةةة‬

‫ااﻻﻟﻠﻜﻤﻢ‬

٣٥٨

‫ﺗﻘﺪﻳﺮ اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﱪ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬ : ‫ﺣﻴﺚ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻫﻰ‬ R(t) 

t 

 t2 

 t1 

t2 

e e

.

e e ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻣﻘﺪر اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﱪ ﻟﺪاﻟﺔ‬. ‫وان اى داﻟﺔ ﰱ ﻣﻘﺪر اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﱪ ﻫﻰ ﻣﻘﺪر اﳌﻜﺎن اﻻﻛﱪ ﳍﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ‬

: ‫اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻫﻮ‬

t ˆ

t2 ˆ

ˆ )  e e .

R(t  t1  t2 ˆ e  e ˆ

‫اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬ t1  t 0  t 2 ‫ ﺣﯾث‬R(t 0 ) ‫ر اﯾﺎﻟﺔ اﻟﺻﻼﺣﯾﺔ‬ : ‫ ﺣﻴﺚ‬R * (t) ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام داﻟﺔ اﳋﺴﺎرة ﳌﺮﺑﻊ اﳋﻄﺄ ﳝﻜﻦ إﳚﺎد‬

R * (t)  E  R(t )  

=  R(t ) (|u) d 0



= 0

t 

 t2 

 t1 

t2 

(e  e (e

e



=K  

-( +n)

e

t   t1 

)

K

(1  e

e



 (t  t1 ) -( +n) 

e

(1  e

 ( t 2  t1 ) 

-( +n)

e

R 

`

(h+G) 

-

R  -n

(1-e ) d

(1  e

 (R R ` ) 

(1  e

)

e

-

(h+G) 

R 

-

R  -n

(1-e ) d

)

 (t 2  t1 (t  t1 )) 

(1  e



0

 (t 2  t ) 

(1  e

0

=K  

e

-

)

0

=K  

-( +n)

R 

)

)

e

-

(h+G) 

-

R  -n

(1-e ) d

) e

-

(h+G) 

)

R  t 2  t1 , R `  t  t1 ٣٥٩

-

R  -n

(1-e ) d



=K  

 R` -( +n) 

e

(1  e

 (R  R ` ) 

) e

-

(h+G) 

-

(h+G)  

-

R  -(n+1)

(1-e )

d

0



=K  

 R` -( +n) 

e

(1  e

 (R  R ` ) 

) e

0





=K  -( +n) 0



 

=K   0

j

j=0



-( +n)



n+j

   j=0 

n+j j

 e 

 e 

-

-

(jR+R ` h  G) 

(jR+R `  h G ) 

(1  e

jR

 n+j  -    j  e d  j=0 

 (R  R ` ) 

) d



d  K  



-( +n)

0

 n+j    je  j=0 

`

((1+j)R  h G ) 

  (jR+R  h G ) ((1+j)R  h G )   n+j   -( +n) -( +n)   =K       e d    e d  j   0 j=0   0 



 n+j  =K    (  n  1) j  j=0   (jR+R `  h  G) ( n 1)  ((1+j)R  h  G) ( n 1)  

 n+j  =K    (  n  1)G  ( n 1) j  j=0   jR+R `  h (1+j)R  h  (  n 1)  (  n 1)  (  1)  (  1)   G G   

 n+j  ( n 1)  A j1( n 1)    j  Bj  j=0  =   n+j-1  ( n 1)   j Aj  j=0  jR+R `  h (1+j)R  h where B j  (  1) 1 , A j1  (  1) 1 G G

٣٦٠

d

‫ﻓﱰة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪‬‬

‫ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻓﱰة ﺛﻘﺔ ‪ (t1 , t 2 ) HBD‬ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬واﻟﱴ ﳚﺐ ان ﲢﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﲔ اﻟﺘﺎﻟﻴﲔ ‪: :‬‬ ‫) ‪(1)   ( t 1 u )   ( t 2 u‬‬ ‫‪t2‬‬

‫‪f ( u ) d  1  .‬‬

‫‪‬‬

‫‪( 2) ‬‬

‫‪t1‬‬

‫وﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﻩ اﻟﻔﱰة ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪) -n‬‬

‫‪R‬‬ ‫‪t2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪(1 -e‬‬

‫) ‪(h+ G‬‬ ‫‪t2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪e‬‬

‫) ‪-(  +n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ Kt2‬‬

‫‪-n‬‬

‫)‬

‫‪R‬‬ ‫‬‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ 1 -e 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‬‫‪ 1-e t 2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪R‬‬ ‫‬‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ 1 -e 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‬‫‪ 1 -e t 2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪R‬‬ ‫‪t1‬‬

‫‪-‬‬

‫‪(1 -e‬‬ ‫‪1‬‬

‫) ‪(h +G‬‬ ‫‪t1‬‬

‫‪-‬‬

‫‪e‬‬

‫)‪-(  + n‬‬

‫‪(1) K t 1‬‬

‫‪1‬‬

‫]) ‪t 1  ( + n) [-(h +G )( t1 - t 2‬‬ ‫) ( ‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪1‬‬

‫]) ‪t 1  ( + n) (h+ G )[ t1 t 2 )(t 2  t 1‬‬ ‫) ( ‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪t2‬‬

‫ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺣﺪود اﻟﺜﻘﺔ وذﻟﻚ ﲝﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺘﲔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺘﲔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳊﺎﺳﺐ اﻻﱃ ‪.‬‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻰ اﳊﺎﻻت اﳋﺎﺻﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ‪:‬‬ ‫)ا( ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ t 2  ‬ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﳋﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺒﱰ ﻣﻦ اﻟﻴﺴﺎر ‪.‬‬ ‫)ب( ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ t1  0‬ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﳋﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺒﱰ ﻣﻦ اﻟﻴﻤﲔ ‪.‬‬ ‫)ج( ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ t1  0, t 2  ‬ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﳋﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ واﺣﺪة ﰱ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ ‪.‬‬

‫)‪ (١٢-١-٥‬اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺑﯾﯾزى ﻟﻣﺗوﺳ ط اﻟﺣﯾ ﺎة وداﻟ ﺔ اﻟﺻ ﻼﺣﯾﺔ ﻟﻠﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺳ ﻰ ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣراﻗﺑﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن ﺟﮭﺗﯾن‬ ‫‪ ٤‬ﻗﺪم ﻫﺬا اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ )‪ Shalaby (1990‬وﻗﺪ ﰎ ﺗﻘﺪﳝﻪ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪٣٦١‬‬

‫ﺑﻔﺮض ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬وﺿﻌﺖ ﻟﻼﺧﺘﺒﺎر ﲤﺜﻞ أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ وان أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬وﻛﺎﻧﺖ‬ ‫اﻻﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻌﻴﻨﻪ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻫﻰ ‪ Yn1 1 ,Yn1  2 ,...,Yn n 2‬وﺑﺎﻋﺘﺒﺎر أن ‪ y n1 1  yn1  2  ...  y n n 2‬ﰎ‬ ‫اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺣﻴﺚ ‪ n1‬ﰎ ﲢﺪﻳﺪﻫﺎ ﻗﺒﻞ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ وﺑﺎﻟﺘﺎﱃ ﻓﺈن ‪ n1‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات زﻣﻦ ﻓﺸﻠﻬﻤﺎ اﻗﻞ ﻣﻦ ‪. y n1 1‬اﻳﻀﺎ ‪ n 2‬ﰎ‬ ‫ﲢﺪﻳﺪﻫﺎ ﻗﺒﻞ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ وﺑﺎﻟﺘﺎﱃ ﻓﺈن ‪ n 2‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﺻﺎﳊﺔ ﻟﻠﻌﻤﻞ ﺑﻌﺪ اﻟﺰﻣﻦ ‪ . y n n 2‬اى ان ) ‪ (n  n1  n 2‬ﺣﺴﺒﺖ‬

‫ازﻣﻨﺔ ﻓﺸﻠﻬﺎ ‪.‬اﳌﻄﻠﻮب ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ . ‬ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫‪n! n n 2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪f (yi ) P(X  y n11 ) n1 P(X  y n n 2 ) n 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2 in11‬‬ ‫‪n2‬‬

‫‪y n  n2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪n2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n1‬‬

‫ ‪‬‬‫‪e‬‬ ‫‪‬‬

‫‪yn1 1‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪- i‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ -  ‬‬ ‫‪1- e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n  n2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪t1*  1‬‬ ‫‪-  i  ‬‬ ‫‬‫‪‬‬ ‫‪-ne in11  1- e  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬

‫*‬

‫‪ - t2‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n n 2‬‬

‫‪n! ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪n1 n 2  in11 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫!‪n‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪ - t1 ‬‬ ‫‪-n -s‬‬ ‫‪  e  1- e  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫!‪n‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫*‬

‫‪n‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪t‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪  t1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= e  e  e   ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ n 2 t *2 , n =n-n 1 -n 2 . :‬‬

‫‪s‬‬ ‫‪‬‬

‫=‬

‫‪n n2‬‬

‫‪i‬‬

‫‪y‬‬

‫‪‬‬

‫*‬ ‫‪2‬‬

‫*‬ ‫‪1‬‬

‫‪t  y n1 1 , t  y n  n 2 ,s ‬‬

‫‪i  n1 1‬‬

‫اﻟﻌﻴﻨﺔ اﳌﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱏ ﻣﻦ ﺟﺎﻧﺐ واﺣﺪ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﻮﺿﻊ ‪n1  0 or n 2  0‬‬

‫ﺑﻔﺮض أن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻌﻜﺴﻲ ‪:‬‬

‫‪; h, > 0 .‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪h 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪() ‬‬ ‫‪ e ‬‬ ‫)‪(  1‬‬

‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ل ﻫﻮ ‪: ‬‬

‫‪٣٦٢‬‬

( | x) 

L(x | )() 

( | s).

 L(x | )() d 0



f (x)   L(x | ) () d 0

*



(s+h) t -1 n! h  -1 -( +n)   n1 =  e (1-e ) d n1 n 2 (-1) 0 *



(s+h+jt1 ) n1 n! h  -1  j  -( +n) = (1)     e  d  n1 n 2 (-1) j=0  j 0 n1 h+jt1* n! h  -1  j  -(n-1) = (1)  (n-1)s (1  ),n = +n .  j n1 n 2 (-1) j=0 s  

: ‫ ﻫﻮ‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ل‬  ( | s)  k 

-n

e

-

(s+h) 

-

t1* 

(1-e ) n1

n1 h+jt1*  ( n-1   -(n-1) (k )   ( 1)   (n -1)s (1  ) ) j s   j=0 1

n1

n1

j

 n1     ( 1)   (n -1)s -(n -1) D (nj -1) ,  j j=0 j

h+jt1* 1 where D j  (1  ) . s

: ‫ ﻫﻮ‬s ‫ ﺑﺸﺮط‬ ‫ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬m ‫اﻟﻌﺰم اﻟﻼﻣﺮﻛﺰي ذو اﻟﺮﺗﺒﺔ‬

٣٦٣

 ` m

m

 ( | s)  E( )   m ( | s) d 0



 k  

-(n-m)

e

-

(s+h) 

-

t1*  n1

(1-e ) d

0

n1

 n1  =k (1) j  (n-m-1)s -(n-m-1) D(nj -m-1)  j j=0 n1

 n1  (n-m-1)  (1)  j  D j (n -m-1) m j=0  s n1 , n1 (n -1) j   (n-1) (1)   D j   j j=0 m  1,2,... . m ‫و ﳝﻜﻦ إﳚﺎد اﳌﺘﻮﺳﻂ و اﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻣﻦ اﻟﻌﺰوم اﻟﻼﻣﺮﻛﺰﻳﺔ ذو اﻟﺮﺗﺒﺔ‬ R(t ) ‫ وداﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬ ‫اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﳌﻌﻠﻤﺔ‬ j

: ‫ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ اﳋﺴﺎرة ﳌﺮﺑﻊ اﳋﻄﺄ ﻫﻮ‬* ‫اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰى‬ n1

 n1  (n-2) (1)   D j   s  (n -2)  j j=0 * `   E( | s)  1 ( | s)  , n1 (n-1) n1 j   (n-1) (1)   D j   j j=0 n1

j

 n1  (n-3) (1)   D j  2  s  (n -3)  j j=0 E(2 )  `2 ( | s)  . n1 (n -1) n1   (1) j   D(nj -1)   j j=0

٣٦٤

j

Var()  n1

n1 n1  n1 j   (n-3) j   (n-2)  (1)  j  D j   (1)  j  D j s 2 (n -3) j=0 s2    j=0 . n1  n1 n1 (n-1) ((n -1))2  n1 j   n-1) j   (n-1) (1)   D j    (1)  j  D j j     j=0  j=0

     

2

2 n1 n1  n1   n1 j   (n-3) j   (n-2)    (1)   D j   (1)  j  D j   j  s2 (n -3)  j=0      j=0      . n1 n1 n1    (n -2)(n-3)  n1 (n -2)       (1) j   D(nj -1) (1) j   D(nj -1)       j=0  j  j  j=0   

 ‫اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪى‬ : ‫ ﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻩ ﺑﺎﺷﺘﻘﺎق داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬ ‫اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪي‬ ( | s)  k-n e ( | s)  k 

-n

e

-

(s+h) 

-

-

(s+h) 

-

t1*  n1

(1-e )

t1*

(1-e  )n1 .

d( | s)  d t* (h+s)    -1  - (h+s)  -(n+1) -n (h+s)  n1   (-n ) e  (1-e )  e   2        k   (h+s) t1* t1*  *   t1  -n    n1 -1   e (n (1-e ) e ) .   1   2    

٣٦٥

*

*

*

(s  h ) t t  n  s  h n1 t1*  t1    1 1 d( | s)  n   n1   1 0 e (1  e )   2  2 e (1  e )   0 d      * 1 1

  n   s  h  n t (e



t1* 

 1) 1  0

*

t   1 1  * 1    s  h  n t (e  1)   1 1 n    *

t  1  1  *   s  h  n 1 t1 e   . n   

 ‫اﳌﻨﻮال اﻟﺒﻌﺪي‬ . ‫ ﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻩ ﲝﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳊﺎﺳﺐ اﻻﱃ‬ R(t) ‫اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬

: ‫ﲟﺎ ان‬

-

t 

R(t)  e , t1* < t<t *2

: ‫ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺎ ﳝﻜﻦ اﳚﺎد اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬

٣٦٦

 *

R (t 0 )  E[R (t)]   R(t )( | s) d 0



 k  

-n

e

-

(t+s+h) 

-

t1*  n1

(1-e ) d

0

(t+s+h+jt * )



n1

n1 1 j  -n  k  (1)     e d j  0 j=0 n1 n1 k j  = (1)  (t +s+h+jt1* )-(n-1)  (n -1) j=0  j -(n -1)

n1



* 1

k t+h+jt  j   -(n -1)  (  1) s 1    j    (n-1) j=0 s   n1

n1

 n1  n-1 (1)   E j 1   t+h+jt1*   j j=0  n1 ,E j   1   . n1 s     (1) j   D nj -1   j j=0 j

: ‫اﻳﻀﺎ ﳝﻜﻦ اﳚﺎد ﺗﺒﺎﻳﻦ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﰱ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬

Var  R(t)   E(R(t) s)  (E(R (t) s)) 2 .

٣٦٧

 2

E[R (t)]   R 2 (t)( | s) d 0



 k  -n  e

-

(2t+s+h) 

-

t1* 

(1-e ) n1 d

0

n1

n1



  -n  k  ( 1) j     e  j 0 j=0

-

(2t+s+h+jt1* ) 

-

t1* 

(1-e ) n1 d

n1 n1 k (2t+h+jt 1* )  j   -(n-1)    ( 1)  j  s 1  s   (n -1) j=0  

n1

n1 2t+h+jt 1*  j   -(n -1)  ( 1)   s  1   s k  j j=0    n1 n1  (n -1) j  ( 1)   D (nj -1)   j j=0 n1

-(n -1)

-(n -1)

 n1  n-1 ( 1)   H j  * 1 * 1 j     t+h+jt 2t +h+jt   j=0 1 1  n1 ,E  1  , H  1  j   j   . n1 s s j  n -1     ( 1)   D j  j   j=0 j

Var  R(t )   E(R (t) s)  (E(R (t) s)) 2 2

n1

n1 n1  n1 j  n-1 j   n-1  (1)   H j    (1)  j  E j  j      j=0  .  j=0  n1 n n1 n1 1  j   n-1 j   n-1  (  1) D (  1)   j j  j Dj       j=0 j=0  

٣٦٨

‫ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺗ ﯾن ‪, ‬‬

‫)‪ (١٣-١-٥‬ﺗﻘ دﯾرات اﻻﻣﻛ ﺎن اﻻﻛﺑ ر‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻛﺎﻣﻠﺔ‬

‫ﻟﻠﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺳ ﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗ ﯾن ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ‬

‫ﺑﻔـﺮض ان ‪ X   X1 ,X 2 ,..., X n ‬ﻋﻴﻨــﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣــﻦ اﳊﺠــﻢ ‪ n‬ﻣــﻦ اﻟﻮﺣــﺪات ﳐﺘــﺎرة ﻣــﻦ ﺗﻮزﻳــﻊ ﻟــﻪ داﻟــﺔ ﻛﺜﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺘﻤــﺎل‬ ‫اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ‪ , ‬واﻟﱴ ﺗﺎﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪, x  ,‬‬

‫‪  x   ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 1 e‬‬

‫)‪f (x; , ‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪, e.w.‬‬ ‫ﺑﺎﻋﺘﺒﺎر أن ‪ y1  y 2    y n‬ﰎ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺣﻴﺚ ‪ y  y1 , y 2 , , y n‬واﳌﻄﻠﻮب ﺗﻘﺪﻳﺮ اﳌﻌﺎﱂ ‪ . , ‬ﳝﻜﻦ‬ ‫اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬

‫‪yi  ,‬‬

‫‪ 1 n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( y i ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  i 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪L‬‬

‫ﺑﻔــﺮض ان اﳌﻌﻠﻤــﺔ ‪ ‬ﻣﻌﻠﻮﻣــﺔ ﲝﻴــﺚ ان ‪   0‬واﳌ ـﺮاد ﺗﻌﻈــﻴﻢ داﻟــﺔ اﻻﻣﻜــﺎن ‪.‬ﻳــﺘﻢ ذﻟــﻚ ﺑﺘﺼــﻐﲑ )‪ ‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪ (y‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن ﻟـ ‪ ‬أﻛﱪ ﻗﻴﻤﺔ وﺣﻴﺚ إن‪:‬‬ ‫‪  y1 , y 2 , , y n .‬‬

‫وﻟﺬﻟﻚ ﻓﺈن اﳌﻘﺪر ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ‪:‬‬ ‫‪ˆ  M in(X1 ,X 2 , ,X n )  Y1 .‬‬ ‫وﻫﺬا ﻳﻌﲎ ان ˆ‪ ‬ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻋﻦ ‪ 0‬وﺑﺎﻟﺘﺎﱃ ﻋﻦ ‪. ‬‬

‫اﻻن داﻟﺔ اﻻﻣﻜﺎن ﺗﺼﺒﺢ ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ 1‬‬

‫‪1    ( yi  y1 ) ‬‬ ‫‪L  n e  i 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﻘﺪر اﻹﻣﻜﺎن ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ اﳊﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ln L‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ˆ‪ ‬‬

‫‪٣٦٩‬‬

‫وذﻟ ــﻚ‬

‫‪then :‬‬ ‫‪n‬‬

‫) ‪ y1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ (y‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ln L = - n ln  -‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫) ‪(yi  y1‬‬ ‫‪ ln L  n ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ln L‬‬ ‫ﺑﻮﺿﻊ ‪ 0‬‬ ‫ˆ‪ ‬‬

‫ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫) ‪n  (yi  y1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪ˆ 2‬‬ ‫‪n‬‬

‫) ‪ y1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ (y‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ˆ 2‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫) ‪ y1‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ (y‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ ˆ ‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﱃ ﻓﺈن ﻣﻘﺪرات اﻻﻣﻜﺎن ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺘﲔ ‪ , ‬ﳘﺎ ‪:‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪ˆ  Y1 , ˆ   (Yi  Y1 )  X  Y1.‬‬ ‫‪n i 1‬‬

‫اﳌﻘﺪرﻳﻦ ˆ‪ ˆ , ‬ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ ﻻن ˆ‪ , ‬ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ اى ان اﻟﺘﻐﺎﻳﺮ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻳﺴﺎوى ﺻﻔﺮ اى ان ‪. Cov(ˆ , ˆ )  0‬‬ ‫اﻻن ﻳﺘﻢ دراﺳﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﳌﻀﺒﻮط ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﳌﻘﺪرﻳﻦ‪.‬‬ ‫داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﰲ اﻟﻌﻴﻨﺔ ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫) ‪g(y1 , y 2 ,..., y n )  n!f (y1 )f (y 2 )f (y n‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ 1‬‬

‫‪( yi ) ‬‬ ‫‪n!    ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ne‬‬ ‫‪. ;   y1  y 2    y n  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻧﻌﺘﱪ اﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻷﺣﺎدﻳﺔ‪:‬‬ ‫‪Z1  n (Y1  Y0 ),Y0  ,‬‬

‫) ‪Z2  (n  1)(Y2  Y1‬‬ ‫) ‪Z3  (n  2)(Y3  Y2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Zi  (n  i  1)(Yi  Yi1 ) , i  1,2,...,n , Y0  0‬‬ ‫واﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﳍﺎ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪٣٧٠‬‬

Yi 

Z1 Z Zi  2  ...    , i  1,2,,n, n n 1 n  i 1 :‫وﻣﻨﻬﺎ ﻧﻮﺟﺪ ﺟﺎﻛﻮﺑﻴﺎن اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬

y1 z1

y1 z 2



y1 z n

y 2 J  z1 

y 2 z 2



y 2 z n

y n z1

y n z 2



1 n 1  n  1 n

 y n z n



 0

0

1  0 1  . n 1 n!   1  1 n 1 : ‫ﺳﻮف ﻧﺜﺒﺖ ان‬

n

n

 Z   (Y  ). i

i

i 1

i 1

: ‫ﲟﺎ ان‬ Z1  n(Y1  )  nY1  n

(٣-٥) : ‫اﻻن‬ n

n

 (Y  )   Y  n. i

i

i 1

i 1

: ‫( ﻓﺈن‬٣-٥) ‫ ﺑﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﰱ‬n ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﺋﺾ ﻋﻦ‬ n

n

n

 (Y  )   Y  Z i

i 1

i

1

 nY1   Yi  nY1  Z1

i 1

i 1

n

n

n

n

  (Yi  Y1 )  Z1   (Yi  Y1 )  Z1   Zi  Z1   Zi . i 1

i2

i 2

i 1

:‫( ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬i  1,2,,n) ‫ و‬Z i ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟـ‬ n

 zi

1 [  i 1 ] e n n  1 [  zi ]    e  i 1   

h(z1 ,z 2 ,...,z n ) 

, 0  z i  ,

0 , e.w. .  ‫ ﻣﺘﻐﲑات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ وﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻲ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺔ‬Z i ‫ﳑﺎ ﻳﻌﲏ إن اﳌﺘﻐﲑات‬

٣٧١

‫ﲟﺎ إن ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ Z  Y  (n  1)Y   (Y  Y ),‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i 2‬‬

‫‪i2‬‬

‫‪i2‬‬

‫اى ان ‪:‬‬

‫‪1 n‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪ˆ   (Yi  Y1 )   (Yi  Y1 )   Zi .‬‬ ‫‪n i1‬‬ ‫‪n i2‬‬ ‫‪n i2‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﻟﻼﺣﺼﺎء ˆ‪ ‬ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫)‪t  (n 1‬‬ ‫)‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪(t)  (1 ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪Zi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i=2‬‬

‫‪Mˆ (t)  M‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫واﻟﱴ ﲤﺜﻞ اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﲟﻌﺎﱂ )‪ . ( , n  1‬وذﻟﻚ ﻻن ‪:‬‬ ‫اﳌﺘﻐﲑات ‪ Zi ,i  1,2,...n  1‬ﻣﺘﻐﲑات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ وﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻲ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺔ ‪. ‬‬ ‫‪n‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﻟﻠﻤﻘﺪر ‪  Zi‬ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪i2‬‬

‫‪.‬‬

‫اى ان ﺗﻮزﻳﻊ‬

‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪Z‬‬ ‫‪i2‬‬

‫)‪ (n 1‬‬

‫)‪M n (t)  (1  t‬‬ ‫‪Zi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i=2‬‬

‫ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ )‪. ,(n  1‬‬

‫وذﻟﻚ ﻻن اﳌﺘﻐﲑات ‪ Zi ,i  1,2,...n  1‬ﻣﺘﻐﲑات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ وﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻲ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺔ ‪. ‬‬ ‫اﻻن ‪:‬‬ ‫‪ˆ  Y1‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ Y1‬اﻟﱰﺗﻴﺐ اﻻﺣﺼﺎء اﻻﺻﻐﺮوﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﻮزﻳﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪n f (y1 ) 1  F(y1 )n 1 , 0  y1  ,‬‬ ‫‪g1 (y1 )  ‬‬ ‫‪, e.w.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫اى ان ‪ Y1‬ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ‪. , ‬‬ ‫اﻻن ‪:‬‬ ‫‪Z1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ )  E(Z1 )     .‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪٣٧٢‬‬

‫(‪E(ˆ )  E‬‬

: ‫اﻳﻀﺎ‬.  ‫ ﻣﻘﺪر ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ˆ ‫اى ان‬ Z1 1 2  )  2 Var(Z1 )    2 . n n n n n 1 1 n 1 E(ˆ )  E(  Zi )   E(Zi )  . n i 2 n i 2 n

Var(ˆ )  Var(

: ‫اﻳﻀﺎ‬.  ‫ ﻣﻘﺪر ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ˆ ‫اى ان‬ Var(ˆ )  Var(

1 n 1 Zi )  2  n i 2 n

n

 Var(Z )  i

i2

n 1 2 . n2

: ‫ ﻣﻘﺪرﻳﻦ ﻣﺘﺤﻴﺰﻳﻦ ﻓﻴﻤﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺪرﻳﻦ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰﻳﻦ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬ˆ , ˆ ‫ﲟﺎ ان اﳌﻘﺪران‬ n ˆ n  1 n    (Y  Y1 ),   ˆ   Y1  { [ (Y  Y1 )]} n 1 n 1 n 1 n n 1 1 nY  Y  Y1  [ (Y  Y1 )]  1 . n 1 n 1

: ‫اى ان‬

n nY  Y   (Y  Y1 ),   1 . n 1 n 1 E( )  

n n n 1 n2 n 1 E( )  .   , Var( )  . 2 2 2 n 1 n 1 n (n  1) n

2 , n 1

1   E( )  E(ˆ )  E( )      , n n n 1 2 1 2 2 1  Var( )  Var(ˆ )  2 Var()  2  2  2 (1  ). n n n n 1 n n 1

: ‫اﻻن ﻻﺛﺒﺎت ﻫﻞ اﳌﻘﺪرﻳﻦ ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ ام ﻻ ﻧﺘﺒﻊ اﻻﺗﻰ‬

ˆ nˆ ˆ nˆ Cov( ,  )  Cov(ˆ  , )  Cov( , ) n 1 n 1 n 1 n 1 n n  n (n  1)2 ˆ ˆ ˆ  Cov(, )  Var()  . (n  1)2 (n  1)2 (n  1) 2 n2 2  . n(n  1)

. ‫ ﻏﲑ ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ‬ˆ , ˆ ‫اى ان اﳌﻘﺪران‬

٣٧٣

‫‪n‬‬

‫اﻻن ﺳﻮف ﻧﺜﺒﺖ ان }‪ { (Yi  Y1 ), Y1‬اﺣﺼﺎءات ﻛﺎﻓﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺘﲔ ) ˆ‪. (ˆ , ‬ﻧﻔﺮض ان ‪:‬‬ ‫‪i 2‬‬

‫‪n‬‬

‫) ‪. U  Y1 , V   (Yi  Y1‬وﲟﺎ ان ) ˆ‪ (ˆ , ‬ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ ﻓﺈن اى دوال ﻓﻴﻬﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ ‪.‬اى ان )‪ (U, V‬ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ اﻳﻀﺎ ‪.‬ﲟﺎ‬ ‫‪i 2‬‬

‫‪‬‬ ‫ان ‪ U  Y1‬ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ‪, ‬‬ ‫‪n‬‬

‫ﺣﻴﺚ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘﻪ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﺗﺎﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪ n  u  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪, u  ,‬‬

‫‪ n e‬‬

‫)‪g1 (u; , ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪, e.w.‬‬ ‫وﲟﺎ ان ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪V   (Yi  Y1 )  Zi‬‬ ‫‪i 2‬‬

‫‪i 2‬‬

‫اى ان ‪ V‬ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ‪ ، , n  1‬ﺣﻴﺚ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘﻪ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﺗﺎﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪v‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪g 2 (v ;)= n-1‬‬ ‫‪v e ‬‬ ‫)‪ (n  1‬‬

‫‪, v > 0.‬‬

‫اى ان اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﳌﺸﱰك ﻟﻠﻤﺘﻐﲑﻳﻦ )‪ (V, U‬ﻫﻮ ‪:‬‬

‫‪, v > 0,u>.‬‬

‫‪ n  u  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪v‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪v e ‬‬ ‫)‪n-1(n  1‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪‬‬

‫‪g (u,v)  e‬‬

‫وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﺸﺮﻃﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ 1‬‬

‫‪( yi ) ‬‬ ‫‪1    ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪v n  2e ‬‬ ‫‪n-1‬‬ ‫)‪ (n  1‬‬

‫‪ n  u  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪٣٧٤‬‬

‫‪‬‬ ‫‪e‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪L(y; ‬‬ ‫)‪g(u, v‬‬

‫‪h(y, u, v) ‬‬

n

 e



 1 n  ( yi  )     i 1 



 v  n  u     

 n  n v n 2 e  (n  1)

(n  1)  e n vn2

  (     



 yi v n nu  n)     



n   ( yi v  nu)    (n  1)   exp   i 1 n vn2       N  ( yi v  ny1 )   ( n  2)  (n  1)v   exp   i 1 n     

 n  [ (yi  y1 )  v]   ( n  2)  (n  1)v   exp   i  2 n      n  n  [ (y  y )  (yi  y1 )]     ( n  2) i 1  (n  1)v i2  exp   i 1 n      (n  1)v ( n  2)  . n n

‫{ اﺣﺼﺎءات ﻛﺎﻓﻴﺔ ﻣﺸﱰﻛﺔ‬ (Yi  Y1 ), Y1} ‫اى ان‬. ‫ ﺑﻞ داﻟﺔ ﻓﻘﻂ ﰱ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬,  ‫وﻫﺬﻩ اﻟﻨﺴﺒﺔ ﻻ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ‬ i 2

. ,  ‫ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺘﲔ‬ : ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺪر ﳌﺘﻮﺳﻂ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻧﺘﺒﻊ اﻻﺗﻰ‬ : ‫ﲟﺎ ان‬ nˆ ˆ ˆ   ,   ˆ  ,   Y  Y1 , ˆ  Y1 , n 1 n 1

: ‫وﲟﺎ ان‬ E(X)    ,

: ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻣﻘﺪر اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻋﻈﻢ ﳌﺘﻮﺳﻂ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻫﻮ‬ ˆ  ˆ  Y1  Y  Y1  Y. ٣٧٥

‫اﳌﻘﺪر ﳌﺘﻮﺳﻂ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻐﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫ˆ‪n‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪    ˆ    ˆ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ˆ ‬‬ ‫‪(n  1)  ˆ  ˆ  Y.‬‬ ‫‪n 1 n 1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ‪ R(t)  exp  (t  )  , t  ‬ﻓﺈن اﳌﻘﺪر اﻟﺬى ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺪرات اﳌﻜﺎن اﻻﻋﻈﻢ ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ t  Y1 ‬‬ ‫‪R(t)  exp ‬‬ ‫‪ , t  Y1.‬‬ ‫‪ Y  Y1 ‬‬

‫)‪ (١٤-١-٥‬ﺑﻌ ض اﻟﻧظرﯾ ﺎت اﻟﺗ ﻰ ﺗﺧ ص اﻟﺗﻘ دﯾرات اﻟﺑﯾﯾزﯾ ﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣ ﺔ ‪ ‬ﺗﺣ ت ﻓ رض‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن و ‪ ‬ﻣﻌﻠوﻣﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻛﺎﻣﻠﺔ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ X1 , X 2 ,...,X n‬ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ‪ , ‬واﻟﱴ ﺗﺎﺧﺬ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪  x   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪, x  ,‬‬

‫‪ 1 e‬‬

‫)‪f (x; , ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪, e.w.‬‬ ‫‪n‬‬

‫وﻛﺎﻧﺖ ‪ ‬ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ واﳌﻄﻠﻮب اﳚﺎد ﺗﻮزﻳﻊ‬

‫‪i‬‬

‫‪X‬‬

‫‪. U ‬اﻫﺘﻤﺎﻣﻨﺎ ﻫﻨـﺎ ﰱ اﳊﺼـﻮل ﻋﻠـﻰ ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ U‬وذﻟـﻚ ﻻﺳـﺘﺨﺪاﻣﻪ ﰱ‬

‫‪i 1‬‬

‫اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﳐﺎﻃﺮة ﺑﻴﻴﺰ ﻟﺒﻌﺾ اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﻟﻘﺒﻠﻴﺔ اﻟﱴ ﳝﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪاﻣﻬﺎ وﻫﻰ ‪:‬‬

‫)أ( ﺑﻔﺮض أن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻌﻜﺴﻲ‬

‫‪h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪h 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 () ‬‬ ‫‪ e ‬‬ ‫)‪(  1‬‬

‫)‪; h, > 0 (٤-٥‬‬ ‫ﺣﻴﺚ أن )‪ (  1‬ﻫﻲ داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ و ‪ > 1‬‬ ‫ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ U‬ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫)‪(٥-٥‬‬

‫‪‬‬

‫‪h(u)   g(u | ) ( )d .‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﺣﻴﺚ ﺗﻮزﻳﻊ )‪ g(u | ‬اوﺟﺪﻩ )‪ Shalaby and Abdelmoneim (1990‬ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫اﳌﻤﻴﺰة وﻫﻮ ‪:‬‬ ‫)‪(٦-٥‬‬

‫‪, u  n .‬‬

‫‪ ( u  n ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪g(u | ) ‬‬ ‫‪(u  n) n 1 e ‬‬ ‫)‪ (n‬‬

‫‪٣٧٦‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ ‪:‬‬

‫ﺑﻔﺮض أن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ )‪ (٤-٥‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺸﺮﻃﻰ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ‪ U‬ﲢﺖ ﺷﺮط‬ ‫ﻣﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ‪ ‬ﻫﻮ اﳌﻌﻄﻰ ﰱ )‪ (٦-٥‬اذا واذا ﻓﻘﻂ ﻛﺎن ﺗﻮزﻳﻊ ‪ U‬ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪h n‬‬ ‫)‪ ( n 1‬‬ ‫‪f1 (u) ‬‬ ‫‪(u  n) n 1 1  h ‬‬ ‫‪, u  n.‬‬ ‫)‪(n,   1‬‬

‫)‪(٧-٥‬‬ ‫ﺣﻴﺚ )‪  (n,   1‬داﻟﺔ ﺑﻴﺘﺎ و ‪.   1‬‬ ‫اﻟﱪﻫﺎن ‪:‬‬ ‫اﻟﺸﺮط اﻟﻀﺮورى واﻟﻜﺎﰱ ﻟﻠﺤﺎﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻳﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫اوﻻ ‪ :‬اﻟﺸﺮط اﻟﻀﺮورى ‪:‬‬

‫إذا ﻛﺎن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺸﺮﻃﻰ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ‪ U‬ﲢﺖ ﺷﺮط ﻣﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ‪ ‬ﻫﻮ اﳌﻌﻄﻰ ﰱ )‪ (٦-٥‬و ﺑﻔﺮض أن اﻟﺘﻮزﻳﻊ‬ ‫اﻟﻘﺒﻠﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ )‪ (٤-٥‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﺗﺒﻌﺎ ل )‪ (٥-٥‬ﻓﺈن ﺗﻮزﻳﻊ ‪ U‬ﻫﻮ )‪ (٧-٥‬ﻛﻤﺎ ﺳﻮف ﻳﺜﺒﺖ اﻻن‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f1 (u)   g(u | ) 1 ( )d.‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫) ‪(u  n‬‬ ‫‬‫‪ ‬‬ ‫‪  h  -1 -  - h ‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪(u  n) e‬‬ ‫‪ e  d‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ (n‬‬ ‫)‪   (  -1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-n‬‬

‫‪‬‬

‫) ‪h  -1 (u  n) n 1 -(n+ ) - (u  n h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ (  -1) (n) 0‬‬ ‫)‪(u  n  h‬‬ ‫)‪(u  n  h‬‬ ‫‪let‬‬ ‫=‪=z  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫)‪(u  n  h‬‬ ‫= ‪ d‬‬ ‫‪dz.‬‬ ‫‪z2‬‬ ‫)‪(u  n  h‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫‪z2‬‬

‫) ‪ ( n ‬‬

‫‪e -z‬‬

‫‪‬‬

‫‪h 1 (u  n) n 1  u  n  h ‬‬ ‫‪ f1 (u) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ( -1) (n) 0 ‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬

‫‪٣٧٧‬‬



h 1 (u  n) n 1 (u  n  h) -(n+ ) (u  n  h) z n+ -2 e -z dz  0  (  -1) (n) h 1 u  n  (u  n) n 1 (  1) -(n+1) h (n 1)  (n+  1).  ( -1) (n) h h n u  n  f1 (u)= (u  n) n 1 (  1) -(n+1) . (n,  -1) h

: ‫ اﻟﺸﺮط اﻟﻜﺎﰱ‬: ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ‬ hn u  n f1 (u)= (u  n) n 1 (  1) -(n+1)  (n,  -1) h 

h  -1 -  - h   g(u | )  e d  (  -1) 0 h  n  (n   -1) (u  n) n 1[h  (u  n)] ( n  -1)   (n) h  (n  -1)  -

  g(u | )  e

-

h 

h 1d.

0

h 1 (n   -1)  (u  n) n 1[h  (u  n)] (n  -1)  (n)  -

  g(u | )  e

-

h 

h 1d

0 

h  (n   -1)(u  n ) n 1 -     (n)  g(u | )  e d. [h  (u  n)] (n 1) 0

1 1 1  =  d   2 dz.  z z   (n   -1)(u  n) n 1  -hz 1    (n) g(u | z) z e dz. 0 [h  (u  n )] (n 1) z2 let z=

(u  n) (n 1)  (n   -1)    (n)L h  z  2 g(u | z)  ( n 1) [h  (u  n)] ٣٧٨

: ‫ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ و‬h ‫ ﻫﻰ ﲢﻮﻳﻠﺔ ﻻﺑﻼس ﺣﻴﺚ‬L h ‫ﺣﻴﺚ‬ (k)

h  a

k

 z k 1e  za .

let k=n+-1,a=(u-n),h=h,  (u-n) n-1z n2 e  z(u-n)  (n)z 2g(u | z) 1  g (u | z)  (u-n) n-1e  z(u-n) z n . (n) 1 let = , z (u-n)  1 n-1 g(u | )  (u-n) e   n ,u  n. (n)

: ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ‬ : ‫ ﻫﻮ‬ ‫)ب( ﺑﻔﺮض أن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬

h 1 2 ()  2 e h (  1)

; h, > 0, >1. (٨-٥)

. ‫ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ‬ =2 ‫ وﻋﻨﺪﻣﺎ‬ > 1 ‫ ﻫﻲ داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ و‬(  1) ‫ﺣﻴﺚ أن‬ ‫( اذا واذا ﻓﻘﻂ ﻛﺎن‬٦-٥) ‫ ﻫﻮ اﳌﻌﻄﻰ ﰱ‬ ‫ ﲢﺖ ﺷﺮط ﻣﻌﻠﻮﻣﻴﺔ‬U ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺸﺮﻃﻰ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ‬ : ‫ ﻫﻮ‬U ‫ﺗﻮزﻳﻊ‬ 1 (n 1) 2

1 2h ( n 3) f 2 (u)  K ( n 1) 2 h(u  n) , u  n. (u  n) 2  (n) (   1) (٩-٥)



٣٧٩



Johnson and Kotz(1970) ‫واﻟﱴ ﲤﺜﻞ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ اﳌﺮﻛﺐ واﻟﺬى ﻟﻪ ارﺑﻌﺔ ﻣﻌﺎﱂ واﳌﻌﺮف ﻣﻦ ﻗﺒﻞ‬ : ‫اﻟﱪﻫﺎن‬ : ‫ اﻟﺸﺮط اﻟﻀﺮورى ﻳﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬: ‫اوﻻ‬ ‫( وﺑﻔﺮض أن اﻟﺘﻮزﻳﻊ‬٦-٥) ‫ ﻫﻮ اﳌﻌﻄﻰ ﰱ‬ ‫ ﲢﺖ ﺷﺮط ﻣﻌﻠﻮﻣﻴﺔ‬U ‫إذا ﻛﺎن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺸﺮﻃﻰ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ‬

‫( ﻛﻤﺎ ﺳﻮف ﻳﺜﺒﺖ اﻻن‬٩-٥) ‫ ﻫﻮ‬U ‫( ﻓﺈن ﺗﻮزﻳﻊ‬٥-٥) ‫( وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﺗﺒﻌﺎ ل‬٨-٥) ‫ ﻫﻮ‬ ‫اﻟﻘﺒﻠﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ :



f 2 (u)   g(u | )  2 ( )d 0



(u  n )     h  -1  2 -h  n 1    (u  n) e  e  d   (n)  (  -1)   0 -n



h 1 (u  n) n 1  n 2 - (u n )  h   e d.  ( -1) (n) 0 z let h =z  = . h dz  d = , h 

h 1 (u  n) n 1  z   f 2 (u)     ( -1) (n) 0  h  1

(n-1) 

h (u  n) z   ( -1) (n)h  -n-2 0 

h

n 1

(n-1) 

(u  n)  (  -1) (n)



z

 -n-2

 -n-2

0

٣٨٠

(  n  2)

e e

e

-

-

-

(u  n ) h z z

(u  n ) z z

(u  n )h z z

1 dz h 1 dz h .

1 dz h

‫ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ‬K a (b) modified Bessel function ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام داﻟﺔ ﺑﻴﺴﻞ اﳌﻌﺪﻟﺔ‬ ‫ ﺣﻴﺚ ؛‬a ‫ﻣﻦ‬ 



z

1  2 1

0

e

-z 

y z

dz  2K 1 2 (2 y ) .

1 (  2 1 ) y2

: ‫ﻓﺈن‬

2h n 1 f 2 (u)   (  -1) (n)

(u  n) (n-1) h  h(u  n) 

1 (n+1- ) 2





K (n 1) 2 h(u  n) ,

where y=h(u  n), 1  ,  2  n  1 1 (n+ 1) 2

1 (n+ 3) 2h  f 2 (u)  (u  n) 2 K (n 1) 2 h(u  n) , u  n.  (  -1) (n)





: ‫ اﻟﺸﺮط اﻟﻜﺎﰱ‬: ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ‬



f 2 (u)=  g(u | ) 2 ( )d 0

1 (n+1) 2

1 (n+ 3)   2h 2  (u  n  )   K (n 1) 2 h(u  n)  (  -1) (n)  





h 1   2 e-h g(u | )d.   (  -1) 0

٣٨١



1 (n+1) 2



2h  (n)

1 (n+3)   n-1 2 (u  n  )   (u  n)   K ( n 1) 2 h(u  n) (u  n) n-1







h

1



 2 e -h g(u | )d

0

 (u  n)  2  h  

1 ( n 1) 2



K ( n 1) 2 h(u  n)





 (n)   2 e -h g(u | )d. n-1  (u  n) 0



 (n)  2 L (  g(u | )) h (u  n) n-1

 (u  n)   2   h

.Doetsch (1971) 

 n  2

e

-

1 ( n 1) 2

(u  n  ) 



K ( n 1) 2 h(u  n)



‫ﺣﻴﺚ اﳉﺎﻧﺐ اﻻﳝﻦ ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻫﻮ ﲢﻮﻳﻠﺔ ﻻﺑﻼس ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬

(u  n )  (n)  2  n  2   g(u | )   e  . n-1 (u  n)

 (u  n  )    

  n  g(u | )  (u  n) n 1 e   (n)

, u  n.

: ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ‬ ٣٨٢

‫)ج( ﺑﻔﺮض أن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ ‪:‬‬

‫‪1pq p1‬‬ ‫‪3 () ‬‬ ‫‪ (  )q1‬‬ ‫)‪(p,q‬‬

‫‪0< <  ,p,q>0.‬‬ ‫)‪(١٠-٥‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺸﺮﻃﻰ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ‪ U‬ﲢﺖ ﺷﺮط ﻣﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ‪ ‬ﻫﻮ اﳌﻌﻄﻰ ﰱ )‪ (٦-٥‬اذا واذا ﻓﻘﻂ ﻛﺎن‬ ‫ﺗﻮزﻳﻊ ‪ U‬ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪ (u  n ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪‬‬‫‪1‬‬ ‫‪f 3 (u)  n‬‬ ‫‪(u  n) n 1 e ‬‬ ‫)‪  (n) (p,q‬‬ ‫‪x pn 1‬‬ ‫‪x q 1 ux‬‬ ‫( ‪LU‬‬ ‫)‬ ‫‪(1 ‬‬ ‫‪) e .‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪1 x‬‬

‫‪, u  n.‬‬

‫‪ (u  n ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬

‫‪‬‬‫‪1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(1  x‬‬

‫)‪(١١-٥‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ L U‬ﲤﺜﻞ ﲢﻮﻳﻠﺔ ﻻﺑﻼس ﲟﻌﻠﻤﺔ اﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ ‪U‬‬

‫اوﻻ ‪ :‬اﻟﺸﺮط اﻟﻀﺮورى ﻳﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺸﺮﻃﻰ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ‪ U‬ﲢﺖ ﺷﺮط ﻣﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ‪ ‬ﻫﻮ اﳌﻌﻄﻰ ﰱ )‪(٦-٥‬وﺑﻔﺮض أن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻫﻮ )‪ (١٠-٥‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﺗﺒﻌﺎ ل )‪ (٥-٥‬ﻓﺈن ﺗﻮزﻳﻊ ‪ U‬ﻫﻮ )‪ (١١-٥‬ﻛﻤﺎ ﺳﻮف ﻳﺜﺒﺖ‬ ‫اﻻن ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f 3 (u)   g(u | ) 3 ( )d‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪٣٨٣‬‬

: ‫اذن‬  (u n )    

 1pq f 3 (u)  (u  n)n 1  pn 1 (  )q1 e 0 (n) (p,q)

d .

: ‫ﺑﻮﺿﻊ‬ z

 d     z  dz  .    (u  n)   z 

1 1 n 1 p n 1 q 1  f 3 (u)  n (u  n)  z (1  z) e 0  (n) (p,q)

dz

. : ‫ﺑﻮﺿﻊ‬

z

x z dx x  dz  , 1 x 1 z (1  x) 2

: ‫اذن‬

f3(u) 

 1 x pn1 x q1 n1 (u  n  ) ( ) (1  ) 0 1 x n(n) (p,q) 1 x

 (un)  (x1)  x 

.e

1 ux -ux e e dx (1 x)2  (un)   

1 n1   n (u n) e  (n) (p,q)

 (un)   x 

x pn1 x q1 LU( ) (1 ) e 1 x 1 x

1 ux e ),u  n (1 x)2

: ‫ اﻟﺸﺮط اﻟﻜﺎﰱ‬: ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ‬ ٣٨٤



f3 (u)=g(u| )3()d 0



1 1 p1 z (1 z)q1g (u| z) dz  (p,q) 0

=

 1 x p1 x q1 1 x ux -ux ( ) (1 ) g(u| )e e dx 2  (p,q) 0 1 x 1 x (1 x) 1 x



 x p1 1 x q1 1 x ux  LU ( ) (1 ) g (u|)( )e 2 (p,q)  1 x 1 x (1 x) 1 x   (un)    

1  n (u  n)n1e  (n) (p,q) 1 ux e ).

(1 x)2

 (un)   x 

x pn1 x q1 LU ( ) (1 ) e 1 x 1 x

: ‫وﺑﺄﺧﺬ ﻣﻌﻜﻮس ﻻﺑﻼس ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﻄﺮﻓﲔ ﻓﺈن‬ x p1 x q1 1 x ( ) (1  ) g (u|  ) 1 x 1 x (1  x) 2 1 x  (u  n)    

1 = n (u  n) n 1 e   (n)

 (u n)   x 

x pn 1 x q 1 1  ( ) (1  ) e 2 1 x 1 x (1  x)

.

: ‫ﺑﻮﺿﻊ‬ z

x , x 1

: ‫اذن‬  (u n )   (u n)  (1 z)      z 

z -n g(u | z)  n (u  n) n 1 e    (n)

٣٨٥

e

.

‫ﺑﻮﺿﻊ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬

‫‪z‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ (u n )   (u n)   (u n) ‬‬ ‫‪( )n‬‬ ‫‪‬‬‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬‫‪‬‬ ‫‪n 1 ‬‬ ‫‪     ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ g(u | )  n‬‬ ‫‪(u  n) e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e  .‬‬ ‫)‪ (n‬‬

‫اذن ‪:‬‬ ‫‪,u  n.‬‬

‫‪ (u  n) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪‬‬‫‪ n‬‬ ‫‪n 1 ‬‬ ‫‪g(u | ) ‬‬ ‫‪(u  n) e‬‬ ‫)‪(n‬‬

‫)‪ (١٥-١-٥‬ﺗﻘ دﯾرات ﺑﯾﯾزﯾ ﺔ ﻟﻣﻌ ﺎﻟم اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺳ ﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗ ﯾن وداﻟ ﺔ اﻟﺻ ﻼﺣﯾﺔ ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ‬ ‫‪٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﳊﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﺑﻔﺮض ان ‪ y1  y 2    y r‬ﻫﻰ ال ‪ r‬اﻻوﱃ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬ ‫اﳌﺮﺗﺒﺔ واﳌﺎﺧﻮذة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ‪ , ‬ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ‪:‬‬

‫‪, x  ,‬‬

‫‪  x   ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ e‬‬

‫‪, e.w.‬‬

‫)‪f (x; , ‬‬ ‫‪0‬‬

‫وﺑﺎﻋﺘﺒﺎر ان ‪ y  y1 , y 2 , , y r‬ﰎ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ واﳌﻄﻠﻮب اﳚﺎد ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎﱂ ‪ . , ‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬

‫‪ :‬اﯾﺠﺎد ﻣﻘﺪرات ﺑﯿﯿﺰ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻷﺳﻲ ﺑﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ‪:‬‬

‫‪٣٨٦‬‬

r

 1 

r

 

n!  1      y  n  r  y    L y ,   e .  n  r !  



i



r

i 1

: ‫اﻻن‬ r

r

i 1

i 1

  yi     n  r  y r     yi  r   n  r  yr  n  r r

  yi  n   n  r  y r [ry1  ry1  ny1 i 1

 ny1 ] r    y i  ry1     n  r  y r   n  r  y1   i 1    ny1  n  r

   y i  y1    n  r  y r  y1   n  y1   . i 1

r

let s    yi  y1    n  r  y r  y1 

;k 

i 1

n!  n  r !

k  1s n y   L y ,   r e .  : ,  ‫ﲢﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ اﻟﺘﺎﱃ ل‬



g  ,   

1 a



1

;a,   0 , y1    .

: ‫ ﻫﻮ‬,  ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ل‬

  ,  y  

k y1 

k  

 a  r 

 a  r 

e

e

 1     s  n  y1   

 1     s  n  y1     

. dd

 0

: ‫ﺣﻴﺚ‬

٣٨٧

y1 

k

1



 1   a  r   exp  0     s  n  y1      dd y1



 s  n  y

   1

  a  r 1

a  r  1 d



y1

 a  r  1   s  n  y1   

  a  r 1

d



y  a  r  2  a  r 1 s  n y   .     1  n  a  r  2 1



a  r  1   a  r  2 a  r  2  k

1

a r2  ns a  r  2

   ,  x   k  

ns a  r  2 k  ar2 

  a  r 

e

 1     s  n  y1   

.

‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ل‬ The marginal posterior of  :  ‫ﻟـ‬ 



1   y      ,  y  d 0

 

 k 

 a  r 

e

 1     s  n  y1   

d

0

 k   s  n  y1   

  a  r 1

a  r 1

 a  r 1 ns a  r  2   s  n  y1     a  r  2  a  r  2 ar2 n  a  r  2  s  a  r 2    a  r 1 .  s  n  y1   

y1

  E        y  d 

 n  a  r  2s

 a  r  2

y1

  s  n  y



٣٨٨

1

  

  a  r 1

d.

let u   du  d

dv   s  n  y1     v

  a  r 1

 a  r  2  1 s  n  y1      n a  r  2

y   a  r 2      n  a  r  2  sa  r  2  s  n  y1        n  a  r  2 y  a  r  2  1   s  n  y1        n  a  r  2   1

1

  1  sa  r 2 s a  r 2 y1  s   a  r 3   n  a  r  3   s  y1  . n  a  r  3 

The Marginal  y1

   y      ,  y  d  

k 

 a  r 

y1

e

 1     s  n  y1   

d



1



k 

 a  r 

   s n y   e n

y1

1



k  a  r 1  ns   e n s a  r 2 a  r 1  ns    e ar2 

s a  r  2   a  r  2  s    e d  ar20 s  a  r  2    a  r 3  s a r3 ar2 a r3 s  s . ar2  a  r  2 

٣٨٩

,   0.

‫دى ﻟـ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ل‬ :

‫‪s‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪n  a  r  3‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a r3‬‬

‫‪  y1 ‬‬

‫)‪ (١٦-١-٥‬ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن زﻣن اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻛﺎﻣﻠﺔ واﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ اﻟﻣراﻗﺑﺔ ﻣن اﻟﻧوع‬ ‫اﻟﺛﺎﻧﻰ‬ ‫‪ ٤‬ﺑﻔﺮض اﻧﻨﺎ اﺟﺮﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر ﺣﻴﺎة ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱏ وﻗﺪ ﰎ ا ﺎء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﻌﺪ ﻓﺸﻞ ‪r‬‬

‫ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ ‪ n‬واﳌﻄﻠﻮب ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻫﺬﻩ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﺘﺠﺮﺑﺔ اﺳﺘﺨﺪﻣﺖ ﻓﻴﻬﺎ ﻋﻴﻨﺔ ﻛﺎﻣﻠﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ ‪r‬‬

‫وا ﻴﺖ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﻌﺪ ﻓﺸﻞ ﻛﻞ اﻟﻮﺣﺪات اﻟﱴ ﻋﺪدﻫﺎ ‪. r‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫) ‪X (1,n) ,X (2,n ) , ,X (r,n‬‬

‫‪let‬‬

‫‪n r‬‬

‫و‪:‬‬ ‫) ‪X (1,r ) X (2,r ) , ,X (r,r‬‬

‫وﻟﺤﺴﺎب اﻟﻨﺴـﺒﺔ ﺑـﻴﻦ اﻻﺳـﻠﻮﺑﻴﻴﻦ ﻓـﻰ اﻟﻤﻌﺎﻳﻨـﺔ وﻛﻴـﻒ ﺗـﺆدى اﻟﻤﻌﺎﻳﻨـﺔ ﻓـﻰ ﺣﺎﻟـﺔ اﻟﻤﺮاﻗﺒـﺔ ﻣـﻦ اﻟﻨـﻮع اﻟﺜـﺎﻧﻰ اﻟـﻰ‬ ‫اﺧﺘﺼــﺎر زﻣــﻦ اﻟﺘﺠﺮﺑــﺔ ﻋــﻦ اﻟﻤﻌﺎﻳﻨــﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠــﺔ ﻓﺈﻧﻨــﺎ ﻧﺤﺘــﺎج اﻟــﻰ ﺣﺴــﺎب اﻟﻘﻴﻤــﺔ اﻟﻤﺘﻮﻗﻌــﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴــﺮ ) ‪ X (r,r‬أي‪:‬‬ ‫) )‪ E(X (r,r‬و اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﺘﻮﻗﻌﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ) ‪ X (r ,n‬أي‪ E(X (r,n) ) :‬اﻟﻤﻄﻠﻮب اوﻻ إﻳﺠﺎد ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫) ) ‪E(X (r,n‬‬ ‫) ) ‪E(X (r,r‬‬

‫واﺛﺒﺎت ان ﻫﺬﻩ اﻟﻨﺴﺒﺔ أﻗﻞ ﻣﻦ ‪ 1‬وﺑﺬﻟﻚ ﻧﺜﺒﺖ اﻧﻪ اذا اﺟﺮﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر ﺣﻴﺎة ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع‬

‫اﻟﺜﺎﻧﻰ و ﺗﻢ اﻧﻬﺎء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﻌﺪ ﻓﺸﻞ ‪ r‬اﻓﻀﻞ ﻣﻦ اﺟﺮاء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻋﻴﻨﺔ ﻛﺎﻣﻠﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ ‪r‬‬

‫واﻧﻬﺎء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﻌﺪ ﻓﺸﻞ ﻛﻞ اﻟﻮﺣﺪات اﻟﺘﻰ ﻋﺪدﻫﺎ ‪. r‬‬ ‫ﺳﻮف ﻧﺜﺒﺖ ذﻟﻚ ﺗﺤﺖ ﻓﺮض أن‪:‬‬

‫)‬ ‫‪1  ( x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x)  e‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x  n,   0.‬‬ ‫‪٣٩٠‬‬

: ‫ﺳﻮف ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ Z1  n(Y 1 ) Z2  (n  1)(Y2  Y1 )  Zr  (n  r  1)(Yr  Yr 1 ) Zis ~ exp() W1  Y1  

,i,i,d

W2  Y2  Y1  Wr  Yr  Yr 1 r

W  Y  i

r

i 1 r

E( Wi )  E(Yr  ) i 1

Wis ~ exp(

 Z ), Wi  . n  j 1 n  j 1

r

 E(W )  E(Y  ) i

r

i 1

r

 j1

r  1   . n  j 1 j1 n  j  1

٣٩١

r

1 j1 (n  j  1)

E(Yr  )  

r

1 n  j 1

E[X (r,n) ]     j1 r

1 r  j1

E[X (r,r) ]     j1 r

1 j1 n  j  1 E[X (r,n) ]  1 E[X (r,r ) ]    r j1 r  j  1 

r

    (n  j  1)1 j1 r



    (r  j  1)1 j1

 r   (n  j  1)1 j1  r    (r  j  1)1  j1 r

r 1

 (n  j  1)  (r  j  1) j1

1

.

j1

: ‫اى ان‬. ‫اﻹﺷﺎرة ﺳﺎﻟﺒﺔ دﻟﻴﻞ ﻋﻠﻰ ﺣﺪوث ﺗﻮﻓﻴﺮ ﻓﻰ اﻟﺰﻣﻦ ﻋﻨﺪ اﺳﺘﺨﺪم ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ‬ E(X r,n )  E[X (r,r ) ].

. ‫ﻻ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﱂ اﻟﺘﻮزﻳﻊ‬ : ‫ ﻓﺈن‬  0 ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ r

E[X (r,r ) ]   i 1

r

1 . r  i 1

1 E[X (r,n) ] i1 n  i  1)  .

E[X (r,r) ] r ( 1 ) i 1 r  i  1 (

٣٩٢

:‫اﻟﻤﻄﻠﻮب اﻳﻀﺎ ﺣﺴﺎب‬ P(X( r,n)  X (r,r) )

.‫و إﺛﺒﺎت ان ﻫﺬا اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻻ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ‬ let

x (r,n )  x x (r,r )  y.

r cut of n ‫ واﻷﺧﺮى‬r cut of r ‫ﺗﺠﺮﺑﺘﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻠﻴﻦ أﺣﺪﻫﻤﺎ اﻷول‬

g r,n (x) 

n!

(F(x))r1 (1  F(x))n r f (x) (r  1)!(n  r)!  g r,r (y)  r(F(y)) r1 f (y) , y  x (r,r )

x  x (r,n )

,   x  

,   y  .

:‫ ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ ﻓﺈن‬x, y ‫ﲟﺎ أن‬ g r,n (x)g r,r (y)  f1 (x, y). let

 h r,n (u) 

u  F(x) , v  F(y).

n! u r 1 (1  u)n r (r  1)!(n  r)! h r,r (v)  rv r 1

f 2 (u, v) 

0  v 1

n!r v r 1u r 1 (1  u) n r (r  1)!(n  r)!

1

P(X  Y)   rv

r 1

0

P(X  Y)  P(U  V)

0  u  1,

0  v 1

 v n!u r  1(1  u) n r  du  dv,   0 (r  1)!(n  r)! 

let w  1  u  1  v  w  1. w u 1 0 1 v v ٣٩٣

1

 P(X  Y)   rv 0

1

r 1

n!

(1  w)r 1 w n r dwdv  (r  1)!(n  r)!1v

 n  1 1 r 1 1 r 1  r  1  n rv    (1) jw n  jr dwdv    j   r 1 0 1 v j0  1

 n  1 1 r 1 r 1  r  1  w n  jr 1  j  n   rv   j  (1)  n  j  r  1  r  1 j 0   0   1v  r  1 (1) j 1   1 r  1  r 1   n  1 j  r 1 n  r  j1   n dv     v dv   v (1  v)   r  1  j0 (n  r  j  1)  0 0   r  1 (1) j 1  1 r 1    j  r 1 r 1 n  r  j1  c  (1  y) dy  (1  y) y dy  ,  (n  r  j  1) j 0 0 0   n  1 c  rn  , r  1    r  1  (1) j  j0 j  c   I1  I2 , n  j  j 1 1 r 1 r  1   i I1    (1)  yidy  i 0  i  0 r 1

 r  1 (1)i  r 1  i    , i  1 i 0 1 r 1 r  1   i I2    (1)  y n r  ji1dy  i0  i  0  r  1 (1)i  r 1  i    . i 0 n  r  j  i  2

٣٩٤

‫‪‬‬ ‫‪ r  1   r  1‬‬ ‫‪ r  1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r 1‬‬ ‫‪i ‬‬ ‫‪ n  1 r 1  j   r 1  i ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P(X  Y)  nr ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  n  r  j  1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i 0‬‬ ‫‪i 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ i 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r  1‬‬ ‫‪ r  1‬‬ ‫‪j‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪(1)i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ n  1‬‬ ‫‪ n  r  j  i  2  i 1 ‬‬ ‫‪ j ‬‬ ‫‪ i ‬‬ ‫‪ nr ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (i  1)(n  r  j  i  2) ‬‬ ‫‪n  r  j1‬‬ ‫‪ r  1  i  0 i 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ r  1 r  1‬‬ ‫‪(1)i j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ n  1‬‬ ‫‪ j  i ‬‬ ‫‪ nr ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1)(n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ i  0 i 0‬‬

‫اى ان )‪ P(X  Y‬ﻻ ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ اﻟﺘﻮزﻳﻊ‪.‬‬ ‫اﻳﻀﺎ ﻳﻤﻜﻦ ﺣﺴﺎب اﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﻟﻼﺧﺘﺰال ﻓﻲ زﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ وﲢﺴﺐ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫اوﻻ ﳓﺴ ــﺐ اﻟﻘ ــﻴﻢ اﳌﺘﻮﻗﻌ ــﺔ ﻟﻺﺣﺼ ــﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴ ــﺔ‪ ،‬ﰲ ﻋﻴﻨ ــﺎت ﻣ ــﻦ اﳊﺠ ــﻢ ‪ n‬ﻣ ــﻦ ﺗﻮزﻳ ــﻊ أﺳ ــﻲ ﻗﻴﺎﺳ ــﻲ )‪(  1‬‬

‫واﳌﻌﻄﺎة ﰲ اﳉﺪول اﻟﺘﺎﱃ ﺣﻴﺚ ﻣﻌﻄﺎة ﻟﻘﻴﻢ ‪ r=1,2,…,10,n=2,3,…,10,‬وﺗﺴﻤﻰ ﻫﺬﻩ اﻟﻘﻴﻢ درﺟﺎت‬ ‫أﺳﻴﺔ ‪ score exponential‬وﳍﺎ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻣﻔﻴﺪة ﰲ اﻻﺳﺘﺪﻻل اﻟﻼﻣﻌﻠﻤﻲ‪.‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪r n‬‬

‫‪0.100‬‬ ‫‪0.211‬‬ ‫‪0.336‬‬ ‫‪0.479‬‬ ‫‪0.646‬‬ ‫‪0.846‬‬ ‫‪1.096‬‬ ‫‪1.429‬‬ ‫‪1.929‬‬ ‫‪2.929‬‬

‫‪0.111‬‬ ‫‪0.236‬‬ ‫‪0.379‬‬ ‫‪0.546‬‬ ‫‪0.746‬‬ ‫‪0.996‬‬ ‫‪1.329‬‬ ‫‪1.829‬‬ ‫‪2.829‬‬

‫‪0.125‬‬ ‫‪0.268‬‬ ‫‪0.435‬‬ ‫‪0.635‬‬ ‫‪0.885‬‬ ‫‪1.218‬‬ ‫‪1.718‬‬ ‫‪2.718‬‬

‫‪0.143‬‬ ‫‪0.310‬‬ ‫‪0.510‬‬ ‫‪0.760‬‬ ‫‪1.093‬‬ ‫‪1.593‬‬ ‫‪2.593‬‬

‫‪0.167‬‬ ‫‪0.367‬‬ ‫‪0.617‬‬ ‫‪0.950‬‬ ‫‪1.450‬‬ ‫‪2.450‬‬

‫‪0.200‬‬ ‫‪0.450‬‬ ‫‪0.783‬‬ ‫‪1.283‬‬ ‫‪2.283‬‬

‫‪0.250‬‬ ‫‪0.583‬‬ ‫‪1.083‬‬ ‫‪2.083‬‬

‫‪0.333‬‬ ‫‪0.833‬‬ ‫‪1.833‬‬

‫‪0.500‬‬ ‫‪1.500‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪٣٩٥‬‬

‫ﰲ اﺧﺘﺒﺎرات اﳊﻴﺎة‪ ،‬وﺿﻌﺖ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n  9‬ﰲ اﻻﺧﺘﺒﺎر‪ .‬أزﻣﻨﺔ اﳊﻴﺎة ﺑﺎﻟﺴﺎﻋﺎت ﻟﻮﺣﺪات‬ ‫اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﳝﻜﻦ اﻋﺘﺒﺎرﻫﻢ ﻣﺘﻐﲑات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ أﺳﻲ ﲟﺘﻮﺳﻂ ﺣﻴﺎة ‪   100‬ﺳﺎﻋﺔ‪ .‬ﳊﺴﺎب اﻟﺘﻮﻓﲑ‬ ‫ﰲ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة اﻟﻜﻠﻲ ﻋﻨﺪ إ ﺎء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﻌﺪ ﻓﺸﻞ اﻟﻮﺣﺪة رﻗﻢ ‪ . (r  5)5‬وإذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ X5,9‬ﲤﺜﻞ زﻣﻦ اﻧﺘﻬﺎء‬ ‫اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﻌﺪ ﻓﺸﻞ اﻟﻮﺣﺪات اﻟﱵ ﻋﺪدﻫﺎ ‪ r  5‬و ‪ X5,5‬ﳝﺜﻞ زﻣﻦ اﻧﺘﻬﺎء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ إذا أوﻗﻔﻨﺎ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﻌﺪ ﻓﺸﻞ‬ ‫اﻟﻮﺣﺪة رﻗﻢ ‪ 5‬ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ ‪ . n  5‬ﻣﻦ اﳉﺪول اﻟﺴﺎﺑﻖ ﳒﺪ أﻧﻪ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n  9‬ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ‬ ‫أﺳﻲ ﻗﻴﺎﺳﻲ‪ ،‬ﻓﺈن اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﻗﻌﺔ ل ‪ Y5,9‬ﻫﻰ ‪ 0.749‬واﻟﻘﻴﻢ اﳌﺘﻮﻗﻌﺔ ل ‪ Y5,5‬ﻫﻰ ‪ . 2.283‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ‪:‬‬ ‫‪E(X 5,5 )  100(2.283)  228.3,‬‬ ‫‪E(X 5,9 )  100(0.746)  74.6.‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﻨﺴﺒﺔ اﳌﺌﻮﻳﺔ ﻟﻼﺧﺘﺰال ﰲ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ﻫﻮ‪:‬‬ ‫‪228.3  74.6‬‬ ‫‪100  67.32%.‬‬ ‫‪228.3‬‬

‫)‪ (٢-٥‬ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن‬ ‫)‪ (١-٢-٥‬ﺗﻘدﯾرات ﺑﯾﯾز ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻛﺎﻣﻠﺔ‬ ‫ﻗﺪم ﻫﺬا اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ )‪ Sinha and Gutman (1988‬وﻗﺪ ﰎ ﺗﻘﺪﳝﻪ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫ﻳﻌﺘﱪ ﺗﻮزﻳﻊ واﺑﻴﻞ ﳌﻌﻠﻤﺘﲔ ﳕﻮذج ﻣﻔﻴﺪ ﰲ ﳎﺘﻤﻌﺎت اﳊﻴﺎة اﳌﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺪراﺳﺎت اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ و اﻟﻜﻔﺎءة و ﲡﺎرب‬ ‫اﺧﺘﺒﺎرات اﳊﻴﺎة‪ ...‬و ﻷﳘﻴﺔ ﻫﺬا اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﺳﻮف ﻳﻜﻮن اﻫﺘﻤﺎﻣﻨﺎ ﰱ ﻫﺬا اﻟﺒﻨﺪ ﺑﻄﺮق ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﻌﺎﱂ واﺑﻴﻞ ‪ ‬و ‪ p‬و‬ ‫إﳚﺎد اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﳍﺎﻣﺸﻴﺔ اﻟﺒﻌﺪﻳﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﳌﻌﺎﳌﺘﲔ ‪ ‬و ‪. p‬‬ ‫ﺑﻔﺮض أن ‪ n‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات وﺿﻌﺖ ﻟﻼﺧﺘﺒﺎر وان اﻻﺧﺘﺒﺎر ﻳﻨﺘﻬﻲ ﺑﻌﺪ ﻓﺸﻞ ﻛﻞ اﻟﻮﺣﺪات ‪ .‬ﺑﻔﺮض أن ‪ X1 , X 2 , , X n‬ﻋﻴﻨﺔ‬

‫ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﲤﺜﻞ أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ وان أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ﺑﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ xp ‬‬

‫‪, x  0.‬‬

‫داﻟﺔ اﻻﻣﻜﺎن ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺼﻮرة‪:‬‬

‫‪, p,   0‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f  x , p   x p1e  ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪٣٩٦‬‬

n

L  x ,p    f  x i ,p  i 1

 x pi 

 p 1

  n     p    x i  e   .  i 1  Jeffreys' 1961 ‫و ﻋﻠﻰ اﻋﺘﺒﺎر اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ اﳌﻘﱰح ﻣﻦ ﻗﺒﻞ‬ n

n

1 p :‫ ﻳﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﺼﻴﻐﺔ‬x ‫ ﲢﺖ ﺷﺮط‬ , p  ‫ﻓﺈن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻟﻠﻤﻌﺎﱂ‬

  ,p  

p 1

  , p x  

n 1

 p 

 n 1



 

p 1

n 1

p 

  n 1

e

e 



x pi 

x pi 

n

,   xi. i 1

dpd

0 0

‫ واﻗﺻر ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ‬p ‫)أ( ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺷﻛل‬ p ‫ﺗﻘﺪﻳﺮ ﺑﻴﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬: ‫اوﻻ‬

. p ‫ و ﻫﻲ داﻟﺔ ﰲ اﳌﻌﻠﻤﺔ‬1  p x  ‫ ﻣﻘﻠﻘﻠﺔ و ﻟﺬﻟﻚ ﳒﺮي اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﳍﺎ ﻟﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻫﻨﺎ ﺗﻌﺘﱪ‬





p 1

n 1

p 

  n 1

e

1  p x    



x pi 

d

0

 

p 1

n 1

p 

  n 1

e



x pi 

. ddp

0 0

n

n   p   x ip    n   i 1   n n p 1 n 1  p  x i    n  dp 0  p   i 1   p 1p n 1  n ,p  0. n k1  xp   i   i 1  p 1

n 1

: ‫ﺣﻴﺚ‬ n



n  k    p   x ip  dp.  i 1  0 1 1

p 1

n 1

:‫ ﺗﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬p ‫و ﻛﺬﻟﻚ ﳒﺪ أن اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﻗﻌﺔ ﻟـ‬ ٣٩٧

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪E  p x    p1  p x dp    p   x ip  k1dp.‬‬ ‫‪ i 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪p 1‬‬

‫واﻟﱴ ﰎ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳊﺎﺳﺐ اﻻﱃ ﺑﺎﻟﻄﺮق اﻟﻌﺪدﻳﺔ وذﻟﻚ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ ‪Sinha and Gutman‬‬

‫)‪.(1988‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ ‪ :‬اﻗﺼﺮ ﻓﱰة ﺛﻘﺔ‬

‫ﻟﻘﺪ اوﺟﺪ )‪ Sinha and Gutman (1988‬ﻓﺗرﻩ اﺣﺗﻣﺎل ﺑﯾﯾز اﻟﻣﺗﻣﺎﺛﻠﻪ ذات اﻟﺟﺎﻧﺑﯾن‬ ‫‪Symmetric 100(1-)% Two Side Bayes Probability Interval‬‬ ‫ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ ) p‬ﻟﻼﺧﺗﺻﺎر ﺗﻛﺗب ‪ (100 1    %TBPI‬وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑﺣل‬ ‫اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪  p x  dp ‬‬

‫‪t1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪   p x  dp  2 .‬‬

‫‪t2‬‬

‫واﻟﻔﺗرة اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﺳﻣﻰ ﻣﺗﻣﺎﺛﻠﺔ ﻻن ‪ ‬ﻗﺳﻣت ﺑﺎﻟﺗﺳﺎوى ﺑﯾن طرﻓﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ﺣﯾث ‪t1‬‬

‫ﻫو اﻟﺣد اﻻدﻧﻰ و ‪ t 2‬ﻫو اﻟﺣد اﻻﻋﻠﻰ ﺑﺣﯾث أن ‪:‬‬

‫‪P(t1  p  t 2 )  1   .‬‬

‫ﻛﻤﺎ اوﺟﺪ أﻗﺻر ﻓﺗرة ﺛﻘﻪ )اﻟﻣرﻏوﺑﻪ او اﻟﻣﻌﺗﻣدة( ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ p‬وذﻟك ﺑﺈﺗﺑﺎع اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‬‫‪-‬‬

‫‪P(t1  p  t 2 )  1  ‬‬

‫‪. 1  t1 x   1  t 2 x ‬‬

‫وﻟﻣﺎ ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى ل ‪ p‬ﻟﻪ ﻣﻧوال وﺣﯾد ﻓﺈﻧﻪ ﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻋﻠﻰ ﻓﺗرة ﺛﻘﻪ‪.‬‬ ‫اﻟﻔﺘﺮات اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻳﺘﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺤﺎﺳﺐ اﻻﻟﻰ ﺑﺎﻟﻄﺮق اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪.‬‬ ‫)ب( ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻘﯾﺎس ‪ ‬واﻗﺻر ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ‬ ‫اوﻻ ‪ :‬ﺗﻘﺪﻳﺮ ﺑﻴﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪. ‬‬ ‫ﲟﺎ ان اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي اﳌﺸﱰك ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺘﲔ ‪  , p ‬ﻳﻌﻄﻰ ﻣﻦ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪p 1  n 1   n 1‬‬ ‫‪  ,p x  ‬‬ ‫‪ p  e .‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪٣٩٨‬‬

‫ﻫﻨﺎ ﺗﻌﺘﱪ ‪ p‬ﻣﻘﻠﻘﻠﺔ و ﻟﺬﻟﻚ ﳒﺮي اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﳍﺎ ﻟﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪ 2   x ‬و ﻫﻲ داﻟﺔ ﰲ اﳌﻌﻠﻤﺔ ‪. ‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪ p‬ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪k  n 1  p1 n 1  x‬‬ ‫‪2   x  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0  p e dp‬‬ ‫‪n‬‬

‫و اﻟﱵ ﳝﻜﻦ أن ﲢﻞ ﺑﺎﻟﻄﺮق اﻟﻌﺪدﻳﺔ أو ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳊﺎﺳﺐ‪.‬‬ ‫و ﻛﺬﻟﻚ ﳒﺪ أن اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﻗﻌﺔ ﻟـ ‪ ‬ﺗﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪E   x    2   x  d‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪k   n  p1  n 1  x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  p e dpd‬‬ ‫‪  n  0 0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪k  p1  n 1   n  x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ p   e ddp‬‬ ‫‪  n  0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪k  p1  n 1‬‬ ‫‪ p  x pi    n  1 dp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 0‬‬

‫‪‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪k  p1  p ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dp.‬‬ ‫‪ n  1 0  x pi ‬‬

‫واﻟﱴ ﰎ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳊﺎﺳﺐ اﻻﱃ ﺑﺎﻟﻄﺮق اﻟﻌﺪدﻳﺔ وذﻟﻚ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ ‪Sinha and Gutman‬‬

‫)‪.(1988‬‬

‫)ج( ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟداﻟﺔ اﻟﺻﻼﺣﯾﺔ وﻓﺗرة ﺛﻘﺔ‬ ‫اﳌﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ )‪ R(t‬ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫‪dx‬‬

‫‪ xp ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪p 1   ‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪x e‬‬ ‫‪‬‬

‫‪t‬‬

‫‪R(t)  P(X  t)  ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ xp ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪, t  0.‬‬ ‫وﲟﺎ ان داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ داﻟﺔ ﰱ ‪ p,‬ﻓﻴﻤﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ل ) ‪ R(t‬ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪٣٩٩‬‬

‫‪e‬‬

Let R(t )  R  e

 tp    

,w  p

 tp  tp  ln R     , w  p     ,w  p  ln R   : ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ‬

p w | J |  w

p 1 R   0 R

tw  .

R(ln R) 2

w

t R(ln R) 2

: ‫ ﻳﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬x ‫ ﲢﺖ ﺷﺮط‬ , p  ‫وﲟﺎ ان اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻟﻜﻞ ﻣﻦ‬   , p x    p  p 1

n 1

  n 1

e



x ip 

.

: ‫ ﻫﻰ‬ w,R  ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ‬

tp  w n 1  g  w,R | x    w     ln R   tp    w    ln R  w

  n 1

 ( n 1)

n 1

e



( x pi )(ln R ) t  w

e

x ip  tp      ln R 

tw R(ln R) 2

 x ip   w  

 w w n 1 t  w (n 1) t w ln R  t  e R ( ln R) w



 w R

n 1

(ln

1 n 1  wn ) t R R

٤٠٠

tw R(ln R) 2

 x p   i   w   t   

 w w n 1 1  (ln )n 1 t  wn R R R

 x w   i   t w   

n

w

n 1  wn

 w t

xi

( t ) 1 (ln ) n 1 R R

w

1

i1

n w i

1 n 1  y 1 x w n 1  wn   w t (ln ) R , y i  i ,0  R  1, w  0.

R t i1

(١٢-٥) : ‫ وﻫﻰ‬R ‫ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ل‬w ‫( ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ل‬١٢-٥) ‫ﺑﺘﻜﺎﻣﻞ‬ n



g(R | x)  k 3  0

w i

 y 1 1  w w n 1t  wn (ln ) n 1 R dw R i1

n w i

 y 1 1   k 3 (ln )n 1   w w n 1t  wn R dw, R 0 i 1

n

1 1 3

K  0

w i

 y 1 1  (ln ) n 1   w w n 1t  wn R dwdR R 0 i1

n

 1 n 1  y 1  w n 1  wn    w t   (ln ) R dR  dw R 0  0  1 Let u= ln   u  ln R  e  u  R  dR  e  u du R 0  ,1  0 w i

1

i 1

n

 1 3

w

n 1  wn

K    w t 0

  n 1  u  y 1  u  e du  dw  u e  0  w i

i1

n



 0



 0

  n 1  u  y  w n 1  wn  w t  u e du  dw  0   (n)  w w n 1t  wn n dw  yw   i   i 1  w i

i1

 n 1  wn

  (n)   w t 0

n

 x iw    w  . i 1  t  n

w

٤٠١

‫ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺨﻄﺎ اﻣﻜﻦ اﻳﺠﺎد اﻟﻤﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ واﻟﺘﻰ ﻳﺘﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺤﺎﺳﺐ اﻻﻟﻰ ﺑﺎﻟﻄﺮق اﻟﻌﺪدﻳﺔ وذﻟﻚ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ )‪.Sinha and Gutman (1988‬اﯾﺿﺎ‬ ‫ﻓﺗرﻩ اﺣﺗﻣﺎل ﺑﯾﯾز اﻟﻣﺗﻣﺎﺛﻠﻪ ذات اﻟﺟﺎﻧﺑﯾن ﻟداﻟﺔ اﻟﺻﻼﺣﯾﺔ ‪.‬‬ ‫)د( ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟداﻟﺔ اﻟﺻﻼﺣﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام داﻟﺔ اﻟﺗﻧﺑؤ‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ‬

‫و )‪( | x‬‬

‫)‪f (y | ‬‬

‫ﺗﻤﺜﻞ داﻟﺔ ﻛﺘﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ‪ Y‬ﺗﺤﺖ ﺷﺮط‬

‫‪ ‬و )‪(‬‬

‫ﻫﻮ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ل ‪ ‬ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ‪ Y‬ﺗﺤﺖ ﺷﺮط‬

‫‪x‬‬

‫اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪h(y | x)   f (y | ) ( | x)d.‬‬ ‫‪‬‬

‫واﻟﺘﻰ ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻟﺘﻨﺒﺆﻳﺔ ل‪ . Y‬ﺗﺤﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﻟﺨﻄﺎ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪R * (t)  E |x [R(t ) | x]   P(Y  t | x)( | x)d‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ f (y | ) ( | x)d‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    f (y | )( | x)d  dy‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪  f (y | x)dy.‬‬ ‫‪t‬‬

‫واﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل داﻟﺔ اﻟﺻﻼﺣﯾﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺳﺗﻘﺑﻠﯾﺔ ‪ .y‬وﺑﻣﺎ ان ‪:‬‬

‫‪ddp‬‬

‫‪x ip‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ yp ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪ n 1‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪p 1‬‬

‫‪ p ‬‬

‫‪p p1   ‬‬ ‫‪y e‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪h(y | x)  ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ x  y ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n  2 ‬‬ ‫‪p 1 n p 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ py  ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪d  dp‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(n  1‬‬ ‫‪ p 1p n y p1‬‬ ‫‪dp‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪٤٠٢‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ‬

‫ﻫﻮ‬

‫)‪h(y | x‬‬

‫ل‪‬‬

‫ﻳﻤﻜﻦ‬



1

h(y | x)  k 3  (y) p 1 p n

 x

0 



k 



0

0

1 3

( ) p 1 y p 1p n





  () p 1 p n



y p 1

0

0



 x

   p 1p n 1

p i

dp,

n 1

dydp

p(n  1) p  x  y p i





 x

 0

n

p



n 1

dydp

n

0

0

n 1

 x ip  yp 

 (n  1)  1

   p 1p n 1

 yp  1

 yp  p i

p i

0

dp

n

dp

1  p 1 n 1  p (x ip )  n dp  n0   p 1p n 1 1 k3   dp n(x ip ) n 0 



n  p n (y) p 1 h(y | x) 

0 

 0

(n  1) n 1

 x ip  yp  (n  1)  p 1p n 1 dp p n  x i 

dp .

: ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺑﯾﯾزى ﻟداﻟﺔ اﻟﺻﻼﺣﯾﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬

٤٠٣



E(R(t) | x)  h(y | x)dy t



  

np n y p 1



t

0



 0

p 1

dpdy p p n 1  x  y  i  (n  1)  p1p n 1 dp p n  x i  p 1

np n y p 1 0 t x p  y p n 1 dpdy  i    p 1 n 1  (n  1) 0  p x p n dp  i 



  py p 1 np    dy  dp p p n 1  t p  x i  y    p 1 n 1  (n  1) 0  p x p n dp  i



n

 0





 0





 

0



 0 

 

0



 0

p1

  py p1 np    dy  dp p p n 1  t p  x i  y    p 1 n 1 (n  1) 0  p x p n dp  i p1

n

np n 1

p1

n dydp n  x ip  t p   (n  1)  p1p n 1 n dp  x ip 

p n 1

p1

n dydp  tp  . p 1 n 1 (n  1)  p n dp  x ip 

 x

p i

٤٠٤

‫)‪ (٢-٢-٥‬ﺗﻘدﯾرات ﺑﯾﯾز ﻟﻣﻌﺎﻟم ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ذو اﻟﺑﺗر اﻟﻣزدوج ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻛﺎﻣﻠﺔ‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ X‬ﳍﺎ ﺗﻮزﻳﻊ اواﻳﺒﻞ ﺑﺒﻤﻌﻠﻤﺘﲔ ‪ ,b‬و ﻗﺪ ﰎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﱰ ﻣﺰدوج ﺑﺬﻟﻚ ﺗﻜﻮن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ‬ ‫اﻻﺣﺘﻤﺎل ﳍﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬

‫‪  ( x b  t1b ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b-1 ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪,‬‬ ‫)‬ ‫‪> 0 ,b>0, 0 <t1  t 2   ; t1  x  t 2 .‬‬

‫ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻟﺼﻼ ﺣﻴﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪٤٠٥‬‬

‫‪bx e‬‬

‫) ‪ (t b2  t1b‬‬ ‫‪‬‬

‫‪(1  e‬‬

‫= ) ‪f(x| t1 <X< t 2‬‬

e

R(t) =

t1b 

t2

  ( t b2  t1b )  

t1b 

xb 

dx

 t 



1  e 

bx b-1e





b

2

t  t  2   e   e   t 22 t1b    1  (e  e  ) 

e

2

b

1

t t   2 1  tb t2  2  1  (e  e  )       t1b  e  e      e b

2

1

b

2

t   t1  t 2    t  2       e -e   e  e       b t2  t  2  e   e      b , t1  t  t 2 .

2   t1  t 2  e  -e    

‫ﯾﻣﻛﻧﺗﺗت‬

: ‫ ﻫﻮ‬X ‫ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ‬m ‫اﻟﻌﺰم اﻟﻼﻣﺮﻛﺰي ذو اﻟﺮﺗﺒﺔ‬ e ` m

m

 (x)  E(X ) =

t1b 

b



t2

t2

b (bm)1 x x e dx 

(1  e

e

x1b 

e

)

b

1



 (t b2  t1b ) 

x 2b 



t2

t2

x m b b-1 x ( x )e  dx 

٤٠٦

: ‫ﻟﻴﻜﻦ‬ 1 xb b z  x  (z) b  dz  x b1dx.  



t b2  t1b 

m

  b (

m

z b e  z dz m tb m tb  1, 2 )   (  1, 1 ), b  b 

: ‫ ﻫﻰ داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻐﲑ ﻛﺎﻣﻠﺔ واﳌﻌﺮﻓﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬ (d,c) ‫ﺣﻴﺚ‬  (d, c)  

c

0

z d 1e  z dz, d  1.

: ‫ اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰉ ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻪ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬`m (x) ‫ ﰱ‬m  1 ‫ﺑﻮﺿﻊ‬ 1 b

1 t b2 1 t1b E()    (  1, )   (  1, ), b  b 

: ‫ ﻣﻦ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻵﺳﻲ ذو اﻟﺒﱰ اﳌﺰدوج ﺗﻜﻮن‬n ‫داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻋﻈﻢ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ‬ n

L(x1 , x 2 ,..., x n ; ,b, t1 , t 2 )  L   f (x i ) i 1

n

( n

b =  

 xib nt1b ) i 1

b1 e n ( x i )



i 1

 1  e 

tb tb ( 2 1 ) 

  

n

.

n

: ‫ وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ‬   x i ‫ﺑﻔﺮض‬ i 1

٤٠٧

n

(

 xib nt1b )  i 1

n

  



b L     b1e 

n tb  tb  ( 2 1 )   1e

  

.

: ‫ ﻫﻮ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻌﻜﺴﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﺑﻔﺮض أن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬  

(,b)  b  e



h 

; h,  0, > 0,  1,b  B.

.  ‫ﺳﻮف ﻧﺴﺘﻔﻴﺪ ﻣﻦ داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻨﺎﻗﺼﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﰱ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ : ‫ ﻳﻜﻮن‬, b ‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي اﳌﺸﱰك ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺘﲔ‬ L(x; , b)(, b)

(, b | x) 

b

b

.

  L(x; , b)(,b) ddb 0

b

0



  L(x; ,b)(, b) ddb 0

0

n

b

(



= b

n 



b1

0



-( +n)

h 



x ib  nt1b )

i 1

e e



 tb  t b   ( 2  1 )  1e     

0

n

b

=





b

n 



b 1

0



(

 n  j1   j( .  e j  j=0 





h -( +n-1)-1 

e e

0

t b2  t1b 

)

ddb

٤٠٨

 xib nt1b ) i 1



n

ddb

‫‪‬‬

‫‪-( +n-1)-1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪b‬‬

‫‪‬‬

‫‪ n  j1  n  b1‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫‪ b ‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪j=0‬‬ ‫‪n‬‬

‫) ‪ xib (n  j)t1b  jt 2b‬‬

‫‪ (h ‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪-‬‬

‫‪‬‬

‫‪ddb.‬‬

‫‪.e‬‬

‫ﺑﻮﺿﻊ ‪:‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪‬‬

‫‪ n  j1  n  b1‬‬ ‫‪I1 = (n+ -1) ‬‬ ‫‪b  (A j (b))n 1 db,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪j=0 ‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪n‬‬

‫) ‪ xib (n  j)t1b  jt b2‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪A j (b)  (h ‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي اﳌﺸﱰك ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺘﲔ ‪ , b‬ﻳﺎﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫)‪(, b | x)= I -1 b n   b1-( +n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ +n>1.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪t b t b ‬‬ ‫‪( 2 1 ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫) ‪x ib (n  j)t1b  jt b2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪ (h ‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪.e‬‬

‫وﲟﺎ ان اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪ I1‬ﻻ ﳝﻜﻦ ﺗﻘﺪﻳﺮة ﲢﻠﻴﻠﻴﺎ وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻻ ﳝﻜﻦ وﺿﻌﺔ ﰱ ﺻﻴﻐﺔ ﻣﻐﻠﻘﺔ ‪.‬‬

‫اﳌﻨﻮال ‪‬‬ ‫)‪ ( , b‬ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى‬

‫اﳌﻨﻮال ‪‬‬ ‫)‪ ( , b‬ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻩ ﺑﺎﺷﺘﻘﺎق داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪٤٠٩‬‬

‫‪ln ( | u)  -ln I1 + (n-)lnb  (b  1)ln   ( +n)ln‬‬ ‫‪n‬‬

‫) ‪ x ib nt1b‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪(h ‬‬ ‫]‬

‫‪-‬‬

‫)‬

‫‪t b2  t1b‬‬ ‫‪‬‬

‫(‪‬‬

‫‪-nln[1 e‬‬

‫اﳌﻨﻮال ‪‬‬ ‫)‪ ( , b‬ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻩ ﺑﺎﺷﺘﻘﺎق داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫) ‪(h   x ib  nt1b‬‬ ‫‪‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪ ln (, b | u) ( +n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t b2  t1b‬‬ ‫) ‪n( 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫]‬

‫‪t b2  t1b‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬

‫(‪‬‬

‫‪[1  e‬‬

‫اﳌﻨﻮال ‪‬‬ ‫)‪ ( , b‬ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻩ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻪ ﻣﻦ اﳊﻞ ﻟﻨﻈﺎم اﳌﻌﺎدﻟﺘﲔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺘﲔ‪:‬‬

‫)ا(اﻟﺘﺤﻠﻴﻞ اﻟﺒﻴﻴﺰى ﳌﻌﻠﻤﺔ اﻟﻘﻴﺎس ‪‬‬

‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى اﳍﺎﻣﺸﻰ ﳌﻌﻠﻤﺔ اﻟﻘﻴﺎس ﻳﺘﻢ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻪ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪٤١٠‬‬

B

1 ( | x)=  (,b | x)db 0

B

b n  b1 -( +n)   I1

= 0

n

 (h 



x ib  nt1b )

i 1

-

 t b t b  ( 2 1 )     1e     

 e B -( +n)   n  j1  =   I1 j=0  j  0

n

db

b n   b1

n

 (h 

e

 xib (n  j) t1b  jt b2 ) i 1

-

db

 B





-( +n)

1  n  j1  n  b1 (  A j (b) /  ) I  b  e ,   0.  j   j=0 0 : ‫ ﻫﻮ‬ ‫ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺎ ﻓﺈن اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬

1 1

B





 n j1  1 E(|x) =   I1  j   0 j=0 

b

n 



b 1





1 (  A 1 j (b)) -( +n-1) 

e

ddb ,   0

0

B

 n  j1  1 =  I1  j  0 j=0  ‫ﻻﳚﺎد‬ I  2, I1 

b n   b1(+n-2)(A j 1 (b))-( +n-2) db

B

 n  j1  I 2  ( +n-2)   j 0 j=0 

b n   b1 (A j (b))( +n-2) db.

: ‫ ﻧﺘﺒﻊ اﻻﺗﻰ‬ ‫اﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى اﳍﺎﻣﺸﻰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬

٤١١

B





 n j1  1 E( |x) =   I1  j   0 j=0 2



b

n 



b 2





1 (  A j 1 (b)) -( +n-2) 

e

ddb ,   0

0

B

 n j1  1 =  I1  j  0 j=0  I  3, I1

b n   b1( +n-3)(A 1 j (b))-( +n-3) db

B



 n  j1  I3  ( +n-3)   j 0 j=0 

b n   b1 (A j (b))( +n-3) db.

2

Var()  E(2 | x)   E( | x)  I3 I 22   2, I1 I1 B



 n  j1  Is1  ( +n-s-1)   j 0 j=0  s  0,1, 2,...

b n   b1 (A j (b)) ( +n-s-1) db,

. ‫ ﻋﺪدﻳﺎ‬Is1 ,s  0,1, 2. ‫ﻻﳚﺎد اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰉ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻻ ﺑﺪ ﻣﻦ ﺣﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت‬  ‫ﻓﱰة ﺗﻘﺪﻳﺮ ﺑﻴﻴﺰﻳﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬

: ‫ ﲝﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺘﲔ‬ ‫ اﳌﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬100(1-  )% ‫ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻓﱰة ﺗﻘﺪﻳﺮ ﺑﻴﻴﺰﻳﺔ‬ t1

 0

 1 ( u ) d   2



,



t2

1

( u ) d  

 .

2

:‫ أي أن‬، t 2 ‫ واﳊﺪ اﻷﻋﻠﻰ‬t1 ‫ﻟﻠﺤﺪ اﻷدﱏ‬ P(t1    t 2 )  1  .

: ‫ وﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬ ‫ اﳌﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬100(1-  )% ‫ ( ﻫﻲ ﻓﱰة اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰﻳﺔ‬t1 , t 2 ) ‫اﻟﻔﱰة‬

٤١٢

t1





 1 (  u ) d   I1

1

 j=0

0

t1

B

 n  j 1   j   0

b

n 



b 1



 -(  +n) e

(  A j 1 ( b ) /  )

B

   n  j 1    I1  1    j 2 0 j=0 

I   2

 j=0

 n  j 1   j   0

b )) db t1

b n    b 1 (A j (b )) (  +n-1)  (  +n -1,A j (

B



b n    b 1 , I 

d  db

0

I1 ,  ((  +n-1)

: ‫اﻳﻀﺎ‬ I   2



 j=0

B

 n  j1   j   0

b n    b 1 (A j (b )) (  +n-1)  (  +n-1,A j (

b ))db, t2



‫ﯾﻣﻛن‬

 (a , z )  y a 1 e  y dy, a  0,  (a , z )   (a )   (a , z ) z

  (a , z )   (a )   (a , z ).

‫ وذﻟك ﺑﺈﺗﺑﺎع اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬ ‫اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ أﻗﺻر ﻓﺗرة ﺛﻘﻪ )اﻟﻣرﻏوﺑﻪ او اﻟﻣﻌﺗﻣدة( ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ‬

:

1  t1 x   1  t 2 x  (‫) ا‬ P(t1    t 2 )  1  .

(‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺠﺰء )ا‬ 1  t1 x   1  t 2 x 

: ‫ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ‬

٤١٣

(‫)ب‬

-( +n)

 t1

-( +n)

 t2

B



 n  j1  I   j 0 j=0  1 1

b n   b1e

B



 n  j1  I   j 0 j=0  1 1

b

( +n)



 n j1    j  0 j=0  



  j=0

n  j1 B j

  0

db

1 b 1 (  A j (b) / t 2 )

 e

B



t   2   t1 

n 

(  A j 1 (b) / t1 )

b n   b1e

db

(  A j 1 (b) / t 2 )

db .

b n   b1e

(  A j 1 (b) / t1 )

db

(‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺠﺰء )ب‬ P(t1    t 2 )  1  .

: ‫ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ‬ t2

 n j1 B

  j=0 

j

 n b1 -(+n) (Aj1(b)/t1) ddb(1p)I1  b    e 0 t1    -(+n) (A1(b)/t )  n b1  -(+n) (Aj1(b)/t1) j 1 b   e d   e d       0 t1  t2

 n j1 B

 (1p)I1  j=0 

j

 n j1 B

 (1p)I1  j=0 

j

 n b1  1 1  b   (n1),Aj (b)/t1  (n1),Aj (b)/t2db. 0

. ‫( ﺗﺳﻣﻰ اﻋﻠﻰ ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ‬t1 , t 2 ) ‫ ﻟﻬﺎ ﺗوزﯾﻊ ﺑﻌدى ﻟﻪ ﻣﻧوال وﺣﯾد ﻓﺈن اﻟﻔﺗرة‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت‬

b ‫)ب(اﻟﺘﺤﻠﻴﻞ اﻟﺒﻴﻴﺰى ﳌﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ‬ : ‫ ﻳﺘﻢ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻪ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬b ‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى اﳍﺎﻣﺸﻰ ﳌﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ‬

٤١٤



2 ( | x)=  (, b | x)d 0



b n  b1 =   -( +n) I1 0  t b t b  ( 2 1 )   n  1e   (h  x ib ( nt1b )    i 1   

n



e

n   n j1  b    j  I1 j=0  

d





-( +n)

0

n    h  x ib (n  j) t1b  jt b2    d -  i 1 



e



 n  j1  =   j  j=0 

n b n  b1    (n    1)  h   x ib  (n  j)t1b  jt b2  I1 i 1  

 (n 1)

n  b1  n  j1  b    (A j (b))n+ -1 .  j I  j=0  

: ‫ ﻫﻮ‬b ‫ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺎ ﻓﺈن اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ B



 n j1  -1 E(b | x)    I  b n   b1 (A j (b)) n+ -1db  j  0 j=0  B

J = 1 , J1   b n   b1 (A j (b)) n+ -1db.

I 0

: ‫ ﻧﺘﺒﻊ اﻻﺗﻰ‬ ‫ﻻﳚﺎد اﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى اﳍﺎﻣﺸﻰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬ ٤١٥

B



 n  j1  -1 E(b | x)    I  b n  2 b1 (A j (b)) n+ -1db  j  0 j=0  2

B J2 = ,J 2   b n 2  b1 (A j (b)) n+ -1db, I 0 2

Var(b)  E(b 2 | x)   E(b | x)  2

J J  = 2  1  .

I  I

. ‫ ﻋﺪدﻳﺎ‬I, J1 , J 2 ‫ﻻﳚﺎد اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰉ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻻ ﺑﺪ ﻣﻦ ﺣﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت‬ b ‫ﻓﱰة ﺗﻘﺪﻳﺮ ﺑﻴﻴﺰﻳﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬

: ‫ ﲝﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺘﲔ‬b ‫ اﳌﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬100(1-  )% ‫ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻓﱰة ﺗﻘﺪﻳﺮ ﺑﻴﻴﺰﻳﺔ‬ t1

 0

  2 (b u ) db  2



,



2

(b u ) d b 

t2

 .

2

:‫ أي أن‬، t 2 ‫ واﳊﺪ اﻷﻋﻠﻰ‬t1 ‫ﻟﻠﺤﺪ اﻷدﱏ‬ P(t1  b  t 2 )  1  .

: ‫ وﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬ ‫ اﳌﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬100(1-  )% ‫ ( ﻫﻲ ﻓﱰة اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰﻳﺔ‬t1 , t 2 ) ‫اﻟﻔﱰة‬ t1

 0

t1



-1 n 

2

(b u) db   I b 0

 n  j1    (A j (b))n+ -1db  j  j=0  b 1

t

I 1 n  b1   n  j1     b   (A j (b)) n+ -1db,  j 2 0  j=0 

: ‫واﯾﺿﺎ‬ B

 I  n  j1  n  b1   b   (A j (b)) n+ -1db.  j 2 t2  j=0 

٤١٦

‫وﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻰ اﳊﺎﻻت اﳋﺎﺻﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‬ ‫‪-‬اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻟﺘﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ اﳌﺒﺘﻮر ﻣﻦ اﻟﻴﺴﺎر ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﻮﺿﻊ‬

‫‪t2  ‬‬

‫اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻟﺘﻮزﻳﻊ واﻳﺒﻞ ﰱ ﺣﺎﻟﺔ ﻋﺪم ﺣﺪوث ﺑﱰ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﻮﺿﻊ‬‫‪-‬اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻲ ﲟﻌﻠﻤﺔ واﺣﺪة ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺑﻮﺿﻊ‬

‫‪t1  0, t 2  ‬‬

‫‪b 1‬‬

‫)‪ (٣-٥‬ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻰ‬‫)‪ (١-٣-٥‬ﺗﻘدﯾرات اﻻﻣﻛﺎن اﻻﻛﺑر ﻟﻣﻌﺎﻟم ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻰ‬ ‫ﺑﻔــﺮض أن ‪ n‬ﻣــﻦ اﻟﻮﺣــﺪات وﺿــﻌﺖ ﻟﻼﺧﺘﺒــﺎر وان اﻻﺧﺘﺒــﺎر ﻳﻨﺘﻬــﻲ ﺑﻌــﺪ ﻓﺸــﻞ ﻛــﻞ اﻟﻮﺣــﺪات ‪ .‬ﺑﻔــﺮض أن ‪ X1 , X 2 , , X n‬ﻋﻴﻨــﺔ‬ ‫ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﲤﺜﻞ أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ وان أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻰ ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1   x  ‬‬ ‫‪f  x;   ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1  2   x  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ ‬ﻫﻮ وﺳﻴﻂ ا ﺘﻤﻊ )ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ( و ‪ ‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻋﺘﺒﺎر أن اﻟﻌﻴﻨﺔ ‪ x 1 , x 2 ,...x n‬ﰎ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺮﻏﺐ ﰲ ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﻌﺎﱂ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻰ ‪2 , ‬‬

‫‪.‬‬

‫داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪L   n  n   2   x i    ‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ln L   n ln   n ln    ln  2   x i   ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2  x  ‬‬ ‫‪ ln L n‬‬ ‫‪ 2 i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 1     x    ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪٤١٧‬‬



2

2 n  1    x i     2  x i    x i     2 ln L  2 2 2 i 1   2   x i   2   

4  x i  

n

 i 1

2

2   x i  2     2  x i  .2

2

n 2

 i 1



  2   x i   2   

2

 2 ln L n  2  i 1 2   x   2  i   n   x i    4 2 2 i 1  2    x     i    ln L n n 2   2   i 1    x i   2    2 2  2 ln L n n 2    x i     2.2  2 2  2  i 1   2   x i   2    n n n 1 4 2   2  2 2  2 2 2  i 1     x     i 1     x     i i     n   ln L  x     2  2 i 2   i 1     x     i  

then n







 x     x   i

2

 2  0  

  i n  ln L n   2 2 0 2   i 1     x    i   i 1

‫ ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺘﲔ اﻧﻴﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ﻋﻠﻰ‬ˆ ‫ و‬ˆ ‫ أي ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫ و‬ ‫وﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ‬ . Mathematica ‫اﳊﺎﺳﺐ اﻻﱃ ﻣﺜﻞ ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ‬ : ‫ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬k,h ‫ﻛﻤﺎ ﳝﻜﻦ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﺣﺪ اﻟﻄﺮق اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻛﻄﺮﻳﻘﺔ ﻧﻴﻮﺗﻦ راﻓﺴﻮن وذﻟﻚ ﺑﺎﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ‬   2 ln L  2 0  2   ln L   00

 2 ln L    ln L   0 0   h   0       2  ln L   k    ln L        02   0  ٤١٨

‫‪  ln L ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪  ln L ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ 2 ln L ‬‬ ‫‪0 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ln L ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪02 ‬‬

‫‪  2 ln L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   0   h   0‬‬ ‫‪      k    2‬‬ ‫‪ ln L‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 00‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ 0‬و ‪  0‬ﻗﻴﻤﺘﲔ ﻣﺒﺪﺋﻴﺘﲔ‪ .‬ﻧﺴﺘﻤﺮ ﰱ ﻋﻤﻠﻴﺔ اﻟﺘﻜﺮارات ‪ iteration technique‬ﺣﱴ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ‬ ‫ˆ‪ ‬و ˆ‪ ‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن اﻟﻔﺮق ﺑﲔ ‪   0‬و ‪   0‬ﺻﻐﲑ ﺟﺪاً ‪.‬‬ ‫)‪ (٢-٣-٥‬ﺗﻘدﯾر اﻻﻣﻛﺎن اﻻﻛﺑر ﻟداﻟﺔ اﻟﺻﻼﺣﯾﺔ‬ ‫ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ t‬‬

‫‪R t ‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪ z  z    x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪let‬‬

‫‪dx  dz‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  t 1  z2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫‪   tan 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫‪  tan 1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬

‫ﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺪر اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﱪ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ‪ R  t ‬ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ﺗﻘﺪرات اﻻﻣﻜﺎن اﻷﻛﱪ‬ ‫ˆ‪ ˆ , ‬ﰱ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ t  ˆ  .‬‬ ‫‪Rˆ  t    tan 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ‪‬‬

‫وﺑﺬﻟﻚ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺗﻘﺪﻳﺮ اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﱪ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪٤١٩‬‬

‫)‪ (٣-٣-٥‬ﺗﻘدر ﺑﯾﯾز ﻟداﻟﺔ اﻟﺻﻼﺣﯾﺔ‬ ‫ﳝﻜﻦ اﳚﺎد ﺗﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ‪ R  t ‬ﲢﺖ ﻓﺮض اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ ل ‪ , ‬ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪g  ,    .‬‬ ‫‪‬‬

‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ل ‪ , ‬ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪n 1   2   x i    ‬‬

‫‪g1  ,  x  ‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪  x i     dd‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪    ‬‬ ‫‪n 1‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪0 ‬‬

‫ﻋﻨﺪ اﺳﺘﺨﺪام داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺄ ﻓﺈن اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰي ﻟـ ‪ R  t ‬ﻫﻮ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1  t    ‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ i   dd‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0   2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E  R(t) x  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪       x i     dd‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪0 ‬‬

‫)‪(١٣-٥‬‬ ‫وﳝﻜﻦ وﺿﻊ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪ u e‬‬

‫) ‪L  Q ( ‬‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪d‬‬

‫) ‪L   Q ( ‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪E u  x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫)‪(١٤-٥‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫و ‪ u   ‬داﻟﺔ ﰱ‬ ‫) ‪   (1 ,  2 ,...,  m‬و ‪ L     ln L‬ﻫﻮ ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ داﻟﺔ ﻹﻣﻜﺎن‬ ‫و ‪ Q     ln g   ‬و ‪ g   ‬ﻫﻮ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ ل ‪ . ‬أي أن )‪ (١٤-٥‬ﻫﻮ اﻟﺘﻮﻗﻊ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ u   ‬ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻟـ ‪ . ‬وﻛﺤﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﲢﺖ ﻓﺮض ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻰ ﻓﺎن )‪ u     R(t‬و ‪ ‬ﺗﺴﺘﺒﺪل ﺑﺎﳌﻌﺎﱂ‬ ‫‪‬‬

‫‪, ‬‬

‫و ‪g  ‬‬

‫ﺗﺴﺘﺒﺪل‬

‫ب‬

‫‪ g  ,  x ‬و ‪L   ‬‬

‫و ) ‪  (1 , 2 )  (,  2‬‬

‫ﺗﺴﺘﺒﺪل‬

‫ب‬

‫‪ln L  ,  | x ‬‬

‫وﳊﺴﺎب اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺒﻴﻴﺰى ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺗﻘﺮﻳﺐ ﻟﻨﺪﱃ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﳓﺘﺎج اﱃ ﺣﺴﺎب اﻟﻘﻴﻢ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪٤٢٠‬‬

 2u u11  2  2u1u 2   2u u 22  2  2u1u 2   u11   2u u 21  u12     u 22  u12  

: ‫ﻣﻦ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ‬ g  ,   

1 

1   ln .  Q Q 1 Q1  0 , Q2   .    1 1 t  u  R(t)   tan 1  2     u  1 u1   . 2 2      t   

Q  ,    Q  ln g  ,    ln

:‫و ذﻟﻚ ﻷن‬ 1 2  t 1      1 2  .

2   2   t   

u1 

du 1  . d 

1   . 2 2     t  

t   1 2. 2  t 1      1 2  t    . 2 .

2     t   2

u2 

du 1  . d 

1  t    . 2 2     t  

:  ‫ﺑﻀﺮب اﻟﺒﺴﻂ و اﳌﻘﺎم ﰲ‬ ٤٢١

1   t   u2  . 2 .

2     t     t  u1     

:‫( ﻳﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ‬١٤-٥) ‫اى ان اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺘﻘﺮﻳﱮ ﻟﺪاﻟﺔ ا ﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﰱ‬ 1 u B  u    u ij  2u i Q j  ij  Lijk u  ijk  2 1  u  [ u11  2u1Q1  11   u12  2u1Q 2  12   u 21  2u 2Q1  21 2 1   u 22  2u 2Q 2  22 ]  [L111u11111  L111u 2 1112  L112 u11121 2  L112u 2 1122  L121u112 11  L121u 2 12 12  L122 u11221  L122 u 2 1222  L 211u12111  L 211u 2 2112  L 212 u12121  L 212 u 2 2122  L 221u122 11  L 221u 2 22 12  L 222 u122 21  L 222 u 2 22 22 ].

1 2  2     E  R  t  x   u  [{ u1111  u12 12    u12  u1  12   u 22  u 2  22 } 2       1 1  L111 112  u 2 1112   L112 3u11112  u 2  1122  2122  2 2 1 1 2  L122 u1  1122  2 122   3u 2 12 22   L 222 u 122 12  u 2 22  2 2 ˆ , ˆ  ,  2

.

‫ﰱ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﲟﻘﺪرات اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﱪ‬ ‫ﺣﻴﺚ ﺗﺴﺘﺒﺪل اﳌﻌﺎﱂ‬ :‫ ﰲ اﳌﺼﻔﻮﻓﺔ‬E  L12   E  L 21   0  1

L11 L12  L L   12 22 

: ‫واﻟﱴ ﺗﺴﺎوى‬ ٤٢٢

‫‪1‬‬

‫‪ 2 lnL 2 lnL‬‬ ‫‪ 2      ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   11 12 ‬‬ ‫‪ 2 lnL 2 lnL  12 22 ‬‬ ‫‪    2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u B  u  [u1111   u 22  u 2  22 ]  L111112  L 222 u 2 222 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ‪ˆ , ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﰱ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﲟﻘﺪرات اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﱪ ‪.‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ﺗﺴﺘﺒﺪل اﳌﻌﺎﱂ‬

‫ﺣﻴﺚ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪22  ‬‬ ‫‪L 22‬‬ ‫‪11  ‬‬

‫‪L11  2i  42i2‬‬

‫ﺣﻴﺚ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪i   2   x i    ‬‬ ‫‪L12  4  x i    i2  L 21‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪L 22  2  L11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L111  4  x     i  42i  i2‬‬

‫‪2n‬‬ ‫‪ 4  3  4 2i  i2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬

‫‪L 222 ‬‬

‫)‪٤-٥‬اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻠوﻏﺎرﺗﻣﻰ‬ ‫ھﺬا اﻟﺒﻨﺪ ﻣﺎﺧﻮذ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ )‪ Al-mobiad(2010‬ﻣﻦ ﺧﻼل رﺳﺎﻟﺔ اﻟﻤﺎﺟﺴﺘﯿﺮ اﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻄﺎﻟﺒﺔ اﯾﻤﺎن‬ ‫اﻟﻤﺒﯿﺾ وذﻟﻚ ﺗﺤﺖ اﺷﺮاف اﻟﺪﻛﺘﻮرة ﺛﺮوت ﻣﺤﻤﺪ ﻋﺒﺪ اﻟﻤﻨﻌﻢ وﺳﻮف اﻗﺪﻣﮫ ﻛﻤﺎ ھﻮ وذﻟﻚ ﺣﺘﻰ ﻧﻤﻜﻦ‬ ‫‪٤٢٣‬‬

‫اﻟﻘﺎرئ ﻣﻦ اﻟﺘﺪرب ﻋﻠﻰ ﻓﻚ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﻣﻦ ﺧﻼل ﻣﺎ اﻛﺘﺴﺒﮫ ﻣﻦ اﻻﺑﺤﺎث اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻨﺎوﻟﻨﺎھﺎ ﻓﻰ ھﺬا‬ ‫اﻟﻔﺼﻞ وﻟﻦ ﯾﺤﺘﺎج اﻟﺒﺎﺣﺚ اﻟﻰ ﺟﮭﺪ ﻛﺒﯿﺮ ﻓﻰ ﻓﻚ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﻻن اﻟﻄﺎﻟﺒﺔ ﺷﺮﺣﺖ اﻟﺨﻄﻮات ﺑﺎﻟﺘﻔﺼﯿﻞ‪.‬‬

‫)‪(١-٤-٥‬ﺗﻘدﯾرات اﻻﻣﻛﺎن اﻻﻛﺑر ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣﺗﺗﺎﺑﻌﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ‬ ‫ﺗﻢ ﺗﺨﺼﯿﺺ ھﺬا اﻟﺠﺰء ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻘﺪرات اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﺒﺮ ﻟﻤﻌﻠﻤﺘﻲ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ وﻛﺬﻟﻚ‬ ‫داﻟﺘﻲ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ و ﻣﻌﺪل اﻟﻔﺸﻞ ﻟﻨﻔﺲ اﻟﺘﻮزﯾﻊ وذﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻋﯿﻨﺎت ذات ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ‪.‬‬ ‫ﺑﻔﺮض أﻧﻪ ﺗﻢ وﺿﻊ ‪ n‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات اﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﺗﺤﺖ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ‪ ،‬وﺗﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ أزﻣﻨﺔ اﻟﺤﻴﺎة ﻓﻘﻂ ﻟﻠﻌﻴﻨﺔ ذات‬ ‫اﻟﺤﺠﻢ ‪ (m  n) m‬ﺣﻴﺚ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻤﻔﺮدات اﻟﻌﻴﻨﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ‪ ، x  (x1 , x 2 ,..., x m‬وﻫﻲ اﻟﻌﻴﻨﺔ ذات اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ‬ ‫اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ذات اﻟﺤﺠﻢ ‪ m‬و اﻟﻤﺨﺘﺎرة ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ذات اﻟﺤﺠﻢ ‪ ، n‬و اﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﻨﻈﺎم‬ ‫اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ ) ‪ (R1 ,R 2 ,..., R m‬و اﻟﺘﻲ ﺳﻮف ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ‪ . x  (x1 , x 2 ,..., x m‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﻟﻠﻌﻴﻨﺔ ‪ x‬ﺗﻌﻄﻰ‬ ‫ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫)‪(١٥-٥‬‬

‫‪,‬‬

‫‪Ri‬‬

‫‪m‬‬

‫‪ f(x i , 2 , ) 1  F(x i , 2 , ) ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪L(x |  , )  c‬‬

‫‪i 1‬‬

‫ﺣﯿﺚ ‪:‬‬ ‫‪c  n(n  1  R1 )(n  2  R1  R 2 ) ... (n  m+1  R1  ...  R m1 ),‬‬

‫و )‪ F(.) , f(.‬ھﻤﺎ داﻟﺘﻲ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ و اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ﻟﮫ داﻟﺘﻲ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ و اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻵﺗﯿﺘﯿﻦ ‪:‬‬ ‫)‪(١٦-٥‬‬

‫و ‪, x > 0 , > 0, - << .‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(ln x  ) 2‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪e‬‬

‫‪x 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪f (x;  , ) ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪(١٧-٥‬‬

‫‪F(x,  , )  F( )   (t) dt ,‬‬ ‫‪-‬‬

‫ﺣﯿﺚ ‪:‬‬ ‫‪ln x  ‬‬ ‫)‪ (t‬ﺗﻤﺜﻞ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ اﻟﻘﯿﺎﺳﻲ و‬ ‫‪‬‬ ‫‪٤٢٤‬‬

‫‪. ‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ ﻟﻠﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ھﻲ ‪:‬‬ ‫]‪  ln[t‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬

‫)‪(١٨-٥‬‬

‫( ‪R(t)  ‬‬

‫ﺣﯿﺚ )‪  (.‬داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻟﻤﺘﻐﯿ ﺮ ﻋﺸ ﻮاﺋﻲ ﯾﺘﺒ ﻊ اﻟﺘﻮزﯾ ﻊ اﻟﻄﺒﯿﻌ ﻲ اﻟﻘﯿﺎﺳ ﻲ ‪ .‬أو ﯾﻤﻜ ﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﮭ ﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪ln[t]  ‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬

‫( ‪R(t)  1  ‬‬

‫وداﻟﺔ ﻣﻌﺪل اﻟﻔﺸﻞ ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1  ln t  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  ‬‬

‫‪e‬‬ ‫‪ln t   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪2 t 1  ‬‬ ‫‪)‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪(١٩-٥‬‬

‫‪H(t) ‬‬

‫و ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﯿﻦ )‪ (١٦-٥‬و )‪ (١٧-٥‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (١٥-٥‬ﻓﺈن داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﻓﻲ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪m‬‬

‫‪Ri‬‬

‫‪1  F(x ) ‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪m‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ln[ x i ]‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪2 i 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m   x i ‬‬ ‫‪ i1 ‬‬

‫ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ھﻮ ‪:‬‬ ‫‪ln L ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫)‪(٢٠-٥‬‬ ‫‪1 m ln[x i ]  ‬‬ ‫( ‪ m ln[]   ln[x i ]  ‬‬ ‫‪)   R i ln 1  F(x i ) ‬‬ ‫‪2 i1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪m‬‬

‫ﺣﯿﺚ ‪:‬‬ ‫‪٤٢٥‬‬

‫‪L(x; , ) ‬‬

‫) ‪  ( i‬داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ اﻟﻘﯿﺎﺳﻲ ‪.‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪Fi  F(x i )  F( i )   (t) dt ,‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪ln x  ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬

‫‪, i ‬‬

‫‪t2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪1‬‬

‫‪(t)  ( 2 ) e‬‬

‫و ﻟﻠﻮﺻﻮل ﻟﺪاﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن )‪ L(x; 2 , ‬إﻟﻲ ﻧﮭﺎﯾﺘﮭﺎ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ داﺧﻠﯿﺔ ﻓﻲ ﻓﻀﺎء اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ‬ ‫)‪ (2 , ‬ﯾﺘﻢ إﯾﺠﺎد اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ اﻟﺠﺰﺋﻲ ﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻌﻠﻤﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﺴﺎواة‬ ‫ﺑﺎﻟﺼﻔﺮ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻲ اﻹﻣﻜﺎن اﻟﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ‪:‬‬ ‫)‪ ln L(x;  2 , ‬‬ ‫)‪ ln L(x;  2 , ‬‬ ‫‪0 ,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬

‫و ذﻟﻚ ﺑﺎﻟﺘﻔﺎﺿﻞ اﻟﺠﺰﺋﻲ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (٢٠-٥‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﺣﯿﺚ ﯾﺘﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ ln L‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R i  Fi ‬‬ ‫‪  2 (2) (ln[x]  )  ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪i 1 1  Fi  ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 Ri‬‬ ‫‪  2 (2) (ln[x]  )  ‬‬ ‫‪ (  i ) ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪i 1  1  Fi ‬‬

‫) ‪( i‬‬ ‫ﺑﻮﺿﻊ‬ ‫‪1  Fi ‬‬

‫‪ zi ‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ ln L‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 m‬‬ ‫‪  2 (2) (ln[x]  )   R i z i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ i1‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪1 m‬‬ ‫[‬ ‫]‪(ln[x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫] ‪R izi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 i1‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫)‪(٢١-٥‬‬

‫‪٤٢٦‬‬

‫‪‬‬

. ‫ ﺗﻤﺜﻞ داﻟﺔ اﻟﻔﺸﻞ‬zi 

( i ) ‫ﺣﯿﺚ‬ 1  Fi 

: ‫ ﯾﺘﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ‬2 ‫( ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ‬٢٠-٥) ‫وﺑﺎﻟﺘﻔﺎﺿﻞ اﻟﺠﺰﺋﻲ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ m  ln L m 1 m R i  Fi  2 3    (ln[x]   ) (  2  )       2  2 i1 1  F     i 1 i 



m 1 m ln[x]   2 m R i  d i   ( )   ( i )    i1  d  i 1 1  Fi  

m 1 m ln[x]   2 m Ri    ( )   ( i ) i   i1  i 1  1  Fi 

m 1 m ln[x]   2 m R i    ( )   zi  i   i1  i 1  m 1 m 2 2 2  3 [ (ln[x]  )  m    R i i z i ]  i1 i 1



m 1 m 2 2 [ (ln x   )   ( R i i z i  m)] .   3 i1 i 1

(٢٢-٥)

: ‫( ﺑﺎﻟﺼﻔﺮ ﯾﺘﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ‬٢٢-٥) ‫( و‬٢١-٥) ‫و ﺑﻤﺴﺎواة‬ m nL 1 m  Rz]=0  2 [ (ln[x]   )    i i  i1    i 1

(٢٣-٥)

2 m  ln L 1 m 2    3 [  (ln[x]  )   ( R i i z i  m)] = 0  i1  2   i 1

(٢٤-٥)  2 ‫وﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﻘﺪﯾﺮات اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﺒﺮ‬ ‫( و‬٢٣-٥) ‫ ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﯿﻦ‬ ,  ٤٢٧

Newton

‫( ﺑﺎﺳ ﺘﺨﺪام أﺣ ﺪ اﻟﻄ ﺮق اﻟﻌﺪدﯾ ﺔ ﻛﻄﺮﯾﻘ ﺔ )أﺳ ﻠﻮب ( ﻧﯿ ﻮﺗﻦ راﻓﺴ ﻮن‬٢٤-٥) : ‫ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‬k,h ‫ وذﻟﻚ ﺑﺎﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ‬raphson method

  2 ln L  2   0   2 ln L   0 0

 2 ln L 0 0

   ln L       h 0        2  k   ln L   ln L        0 2  0  

:‫ﺣﯿﺚ‬   2 ln L 2     0   h   0       k    2  ln L    0    0 0

1

 2 ln L    ln L   0  0   0    .

2  ln L    ln L    0 2    0 

‫ ﺣﺘ ﻰ‬iteration technique ‫ ﻧﺴ ﺘﻤﺮ ﻓ ﻲ ﻋﻤﻠﯿ ﺔ اﻟﺘﻜ ﺮارت‬. ‫ ﻗﯿﻤﺘ ﯿﻦ ﻣﺒ ﺪﺋﯿﺘﯿﻦ‬0 ‫ و‬0 ‫ أو ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﯿﻦ‬. ً ‫ ﺻﻐﯿﺮ ﺟﺪا‬k ‫ و‬h ‫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن‬ˆ ‫ و‬ˆ ‫اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ‬ ‫( آﻧﯿ ﺎ ً ﺑﺎﺳ ﺘﺨﺪام ﺑﺮﻧ ﺎﻣﺞ ﻋﻠ ﻰ اﻟﺤﺎﺳ ﺐ اﻵﻟ ﻲ ﻣﺜ ﻞ ﺑﺮﻧ ﺎﻣﺞ‬٢٤-٥) ‫( و‬٢٣-٥)  2 ln L  2 ln L  2 ln L : ‫ﻧﺘﺒﻊ اﻵﺗﻲ‬ ‫ ﻹﯾﺠﺎد‬. 5 ‫ اﻻﺻﺪار‬Mathematica , ,  2  2  m  2 ln L 1 z  [  m   R i i ],  2 2    i 1

 ( i )  ( i )  ( )   ( i ) i i  (1   i ( i )) 1   i ( i )  z i      , 2   1  i (i )  ( i )  i ( i )  i ( i ) ( i )  ,  ,     ٤٢٨

z i  

 i ( i ) ( i )  ( i )   2 1   i (i )

(1   i ( i ))

2

1  (1  i ( i )) i ( i )  ( i )   2   1   i ( i )

  

2 ( i )   1  (1   i ( i )) i ( i )    2    1   i ( i )2 1   i (i ) 



zi 1  i  zi   i zi  zi 2   

1 1   A i   zi  z i   i   

: ‫ﺣﯿﺚ‬ A i  zi  zi  i  

m  2 ln L 1 Ai  [  m   R  ]  i  2 2  i 1

m 1   2 [m   R i A i ],  i 1

m  2 ln L m R iAi   [1  ].   2 2 m i 1

m m  2 ln L 1  z 2  3 [2 (ln[x]  )    R i ( i zi   i i )] 2      i 1 i 1



m m 1  z 2 [  2 (ln[x]   )   R i ( i z i   i i )]   3    i 1 i 1

٤٢٩

m m 1 z A 2  3 [2 (ln[x]  )    R i ( i  (1) i i )]    i 1 i 1

m m 1 z A 2 [  2 (ln[x]   )   R i ( i  (1) i i )]   3    i 1 i 1 m m 1  3 [2 (ln[x]  )   R i (z i   i A i )]  i 1 i 1





m m 1 [  2 (ln[x]   )   R i Bi ] .   3 i 1 i 1

: ‫ﺣﯿﺚ‬ Bi  (zi  i Ai ). m  2 ln L 3 m 2 2  [ (ln[x]   )   ( R i i z i  m)]    [ 2 ]2  4 i1 i 1 m m 1  z 2 [2( R i i z i  m)    R i ( 2i z i   i i2 )], 3    i 1 i 1

 i  ( i )  ( i ) i  i ,  ( i ) i 2 , 2i   .

2 2     

z i   2

z i   2

( i )  ( )  ( i ) i i   2 1   i (i )

(1   i ( i ))

( i ) i 2 ( i ) i  ( i )   2 1  i ( i )

(1   i ( i ))

z i 1  ( i ) i 2  i ( i )2      2   1   i ( i ) 1  i ( i )2  ٤٣٠

z i 1 2   i z i   i zi 2  2   z i  i  zi   z i   2  z i i   Ai . 2  m  2 ln L 3 m 2 2   [ (ln[x]  )   ( R i  i z i  m)]  [ 2 ]2  4 i1 i 1 m m 1   2 [2( R i  i z i  m)    R i ([ i ]z i   i [ i A i ])] 3    i 1 i 1



m 3 m 2 2 [ (ln[x]   )   ( R i i z i  m)]     4 i1 i 1

m m 1  i z i Ai i 2 2 [2( R i i z i  m)    R i (  )] 3   i 1 i 1

3 m 3 m 3 2 (ln[x]   )  R z  2 m 4  2  i i i  i1  i1  2 m 2m 1 m R  z  R i i (z i  A i i )]  i i i 2  2   2 i1 i 1



3 m 1 m m 2 (ln[x]   )  Rz  2 4  2  i i i  i1  i1  1 m  2  R i  i Bi  i1 

3 m 1 m m 2  4  (ln[x]  )  2  (R i i zi R i i Bi )  2  i1  i1  

3 m 1 m m 2 (ln[x]   )  R  (z i Bi )  2 4  2  i i  i1  i1  ٤٣١

‫‪m‬‬ ‫‪3 m‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)) ‪ 4  (ln[x]  )  2 ( m   R i i (z i Bi‬‬ ‫‪ i1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪3 m‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫]‪(ln[x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪R i Ci‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 i1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫ﺣﯿﺚ ‪:‬‬ ‫‪Ci   i (zi  Bi ).‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪1  m ln[x]   2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪C‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2  i1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 2 ln L‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 2 ‬‬

‫‪‬‬

‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫)‪ H(t‬ﻟﻜ ﻞ ﻣ ﻦ داﻟ ﺔ اﻟﺼ ﻼﺣﯿﺔ )‪ R(t‬وداﻟ ﺔ ﻣﻌ ﺪل اﻟﻔﺸ ﻞ‬ ‫)‪ R(t‬و‬ ‫ﻣﻘﺪرات اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﺒ ﺮ‬

‫)‪ H(t‬ﻟﻠﺘﻮزﯾ ﻊ اﻟﻠﻮﻏ ﺎرﯾﺘﻤﻲ اﻟﻄﺒﯿﻌ ﻲ ﺑﺎﺳ ﺘﺨﺪام ﻋﯿﻨ ﺔ ذات ﻣﺮاﻗﺒ ﺔ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌ ﺔ ﺗﻌﻄ ﻰ ﻣ ﻦ‬ ‫اﻟﻤﻌ ﺎدﻟﺘﯿﻦ )‪ (١٨-٥‬و )‪ (١٩-٥‬ﻋﻠ ﻰ اﻟﺘ ﻮاﻟﻲ ﺑﻌ ﺪ اﻟﺘﻌ ﻮﯾﺾ ﻋ ﻦ ﻛ ﻞ ﻣ ﻦ ‪ 2‬و ‪ ‬ﺑﻘﯿﻤ ﺔ‬ ‫ﻣﻘﺪرات اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﺒﺮ ‪ ˆ 2‬و ˆ‪ . ‬أي أن ‪:‬‬ ‫)‪(٢٥-٥‬‬

‫‪ˆ   ( ˆ  ln[t] ),‬‬ ‫)‪R(t‬‬ ‫ˆ‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1  ln[t ] ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2  ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫]‪ln[t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪ 1  ‬‬ ‫‪2 t ‬‬ ‫‪)‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪(٢٦-٥‬‬ ‫ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻨﻈﺎم اﻟﺨﺎﻟﻲ ﻣﻦ اﻟﻤﺮاﻗﺒﺔ أو اﻟﻌﯿﻨﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ )‪ (complete sample‬ﺣﯿﺚ‬

‫‪٤٣٢‬‬

‫‪ˆ ‬‬ ‫)‪H(t‬‬

‫ ﻓﺈن داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﺒﺮ وﻣﻌﺎدﻻت اﻹﻣﻜﺎن ﺗﺼﺒﺢ ﻋﻠﻰ‬R1  R 2  ...  R m  0 , n=m :‫اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‬ n

L(x;  2 , ) 

-

n! n 2 2

e

1  ln[x i ]    2 i 1   

2



(٢٧-٥)

 2  

n  ln L    ln[x i ]  ˆ   0  ˆ i1

n  ln L 2 2  0 ˆ  ln[x ]    n     i  2  i1

:‫ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬H(t) ‫ و‬R(t) ‫ و‬ ‫ و‬2 ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺪرات اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﺒﺮ ﻟـ‬ : ‫( ﻓﺈن‬٢٥-٥) ‫ﻣﻦ‬ n

  ln[x i ]  nˆ  0 i 1

 ˆ 

1 n  ln[x i ]. n i1

: ‫( ﻓﺈن‬٢٦-٥) ‫ﻣﻦ‬ n

2 2    ln[x i ]  ˆ   n  i 1

   2

1 n 2  ln[x i ]  ˆ   n i1

٤٣٣

‫‪2‬‬

‫‪1 n ‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    ln  ln[x i ]   ln[x i ]  .‬‬ ‫‪n i1 ‬‬ ‫‪n i1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪ˆ   ( ˆ  ln[t] ),‬‬ ‫)‪R(t‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1  ln[t ] ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2  ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫]‪ln[t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪ 1  ‬‬ ‫‪2 t ‬‬ ‫‪)‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ˆ ‬‬ ‫)‪H(t‬‬

‫)‪(٢-٤-٥‬ﺗﻘدﯾرات ﺑﯾﯾز ﺗﺣت ﻓرض ﺗوزﯾﻊ ﻗﺑﻠﻰ ﻣﻌﻠم ﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻘﯾﺎس ‪ 2‬ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯾﻧﺎت‬ ‫اﻟﻛﺎﻣﻠﺔ‬ ‫)ا(ﺗﻘدﯾرات ﺑﯾﯾز ﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻘﯾﺎس ‪ 2‬‬

‫ﺳﻮف ﻳﻔﱰض أن ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﻘﻴﺎس ‪ 2‬ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻲ وأن اﳌﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻣﻌﻠﻮﻣـﺔ و ﺛﺎﺑﺘـﺔ ‪ .‬ﻗﻴﻤـﺔ ‪ ‬ﻣﻔﺮوﺿـﺔ‬ ‫ﻣﻦ ﺑﻴﺎﻧﺎت اﺧﺘﺒﺎر ﺣﻴﺎة ﺳﺎﺑﻘﺔ أو ﺑﻴﺎﻧﺎت ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻮﺣﺪات ﰲ ﺧـﻂ اﻹﻧﺘـﺎج ﻣﻮﺿـﻊ اﻟﺪراﺳـﺔ‪ .‬ﺑﺎﺳـﺘﺨﺪام ﺗﻮزﻳـﻊ‬ ‫ﻣﻌﻜﻮس ﺟﺎﻣﺎ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺘﲔ )‪ ( , ‬ﻛﺘﻮزﻳـﻊ ﻗﺒﻠـﻲ ﻣﺮاﻓـﻖ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤـﺔ ‪   2  InverseGamma(  , )  2‬ﻳﻜـﻮن‬ ‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫)‪(٢٨-٥‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪( 2 ) 1 e  , 2  0,( ,   0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪g( ;  , )   ()‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻫـﺬا اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﺳـﺘﺨﺪم ﰲ دراﺳـﺔ ﺗﻮزﻳـﻊ واﻳﺒـﻞ ﻣـﻦ ﻗﺒـﻞ )‪Padgett & Johnson , Tsokos (1972‬‬ ‫)‪. (1983‬‬ ‫و ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن اﳌﻌﺮﻓﺔ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﻴﻨﺎت اﻟﻜﺎﻣﻠﺔ )‪ (٢٧-٥‬وﻣﻦ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ )‪ (٢٨-٥‬ﳝﻜﻦ اﳊﺼـﻮل‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪٤٣٤‬‬

g(2 ) L(x;, 2 ) ( | x)  f (x) 2

n



1

 () 

 2   ( 2 ) 1 e    





 1

  () 0

 2   ( 2 ) 1 e    



 (ln xi ) 2 1

-1

n

 i 1  2 -n 2  x i   e 2  i=1  n (ln x i  )2  -1 1 n n  i 1  2 2  x i   -n e 2  d2 i=1 



n



n

 (ln x i ) 2 1



1 1  2 -n  2 i 1 2 ( 2) e  e   n (ln x i  )2   1 i 1  1 1  2 -n  2 2 ( d 2 0 2 ) e  e



n  ( 1 ) 2 2

( )

 

n    2   (ln x i  )2    1 i 1    2 2 

e

n    2   (ln x i  )2    1 i 1    2 2



n  ( 1 ) 2 2

 ( )

e

d2

0

: ‫ﺑﻮﺿﻊ‬ n

2   (ln x i  )2 i 1

y

22 n

2 

2    (ln x i  ) 2 i 1

2y n

d2  

2    (ln x i  )2 i 1

dy

2y 2

n  ( 1 ) 2 2

( )

( 2 | x) 

n    2  (ln x i  )2    1 i 1    2 2 



e

n 

( 0

n

2    (ln x i  ) 2 i 1

2y

)

n  ( 1 ) 2

e y

٤٣٥

2    (ln x i  ) 2 i 1

2y 2

dy

‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2  (ln x i  )2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫) ‪ ( 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪e ydy‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫) ‪ ( ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪e‬‬

‫‪n‬‬ ‫) ‪ ( 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪(‬‬

‫‪ 1 n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(ln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 i1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2   (ln x i  )2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫) ‪ ( ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪n‬‬ ‫) ‪ ( ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪n‬‬ ‫) ‪ (  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪(‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(ln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺑﻮﺿﻊ ‪:‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(ln x i  ) 2 , *   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 i 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫*‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪ 2  0,  * , *  0. (٢٩-٥‬‬

‫*‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪* 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫*‬

‫‪(2 ) 1 e‬‬ ‫) *‪ (‬‬ ‫*‬

‫‪ ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪ ‬‬

‫*‪‬‬

‫*‬ ‫‪* ‬‬

‫‪‬‬

‫‪*   ‬‬

‫‪( | x)   ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪( 2 | x)   *(* ) ‬‬

‫ﻣ ــﻦ اﳌﻌﺎدﻟ ــﺔ )‪ (٢٩-٥‬ﻳﻼﺣ ــﻆ أن اﻟﺘﻮزﻳ ــﻊ اﻟﺒﻌ ــﺪي ﻟﻠﻤﻌﻠﻤ ــﺔ ‪ 2‬ﻫ ــﻮ أﻳﻀ ــﺎً ﺗﻮزﻳ ــﻊ ﻣﻌﻜ ــﻮس ﺟﺎﻣ ــﺎ ﺑـ ــﺎﳌﻌﻠﻤﺘﲔ‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  *    ‬و ‪(ln x i  ) 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 i1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ،  *   ‬و ﳑــﺎ ﳚــﺪر اﻹﺷــﺎرة إﻟﻴــﻪ إﻧﻨــﺎ ﺳــﻮف ﻧﻮﺟــﺪ اﻟﺘﻘــﺪﻳﺮات‬ ‫‪‬‬

‫اﻟﺒﻴﺰﻳــﺔ ﰲ ﺣﺎﻟــﺔ اﻟﻌﻴﻨــﺔ اﻟﻜﺎﻣﻠــﺔ ‪ ،‬وﻛﻨــﺎ ﻧــﻮد اﺳــﺘﺨﺪام ﻋﻴﻨــﺔ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌــﺔ ﻣــﻦ اﻟﻨــﻮع اﻟﺜــﺎﱐ ‪ ،‬و ﻟﻜــﻦ ﻋﻨــﺪ ﺣﺴــﺎب اﻟﺘﻮزﻳــﻊ‬ ‫اﻟﺒﻌﺪي وﺟﺪﻧﺎ أﻧﻪ ﻻ ﻳﻨﺘﻤﻲ ﻟﻨﻔﺲ اﻟﻌﺎﺋﻠﺔ اﻟﱵ ﻳﻨﺘﻤﻲ ﳍﺎ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ اﻧﻪ ﻏﲑ ﻣﺮاﻓﻖ وﻟﺬﻟﻚ اﻗﺘﺼﺮت اﻟﺪراﺳﺔ ﻋﻠـﻰ‬ ‫اﻟﻌﻴﻨـﺎت اﻟﻜﺎﻣﻠـﺔ ‪ .‬ﻧﻔـﺲ اﳌﺸـﻜﻠﺔ ﺻـﺎدﻓﺖ اﻟﺒﺎﺣـﺚ )‪ Calabria and PuLcini (1992‬ﻋﻨـﺪ دراﺳـﺘﻪ‬ ‫ﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻣﻌﻜـﻮس واﻳﺒـﻞ ﻓﻠـﻢ ﻳﺴـﺘﻄﻊ إﳚـﺎد ﺗﻮزﻳـﻊ ﻗﺒﻠـﻲ ﻣﺮاﻓـﻖ ﻟﻠﻌﻴﻨـﺎت اﳌﺘﺘﺎﺑﻌـﺔ واﻛﺘﻔـﻰ ﺑﺪراﺳـﺔ ﺗﻮزﻳـﻊ ﻗﺒﻠـﻲ ﻻ ﻣﻌﻠﻤـﻲ‬ ‫ﻟﻠﻌﻴﻨـﺎت اﳌﺘﺘﺎﺑﻌـﺔ ‪ .‬ﺑﻴﻨﻤــﺎ اﺳـﺘﻄﺎع )‪ AL- Ohali (2006‬و ‪AL- Hussaini and Jaheen‬‬ ‫)‪ (1994‬إﳚﺎد اﻟﺘﻘﺪﻳﺮات اﻟﺒﻴﺰﻳﺔ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﻴﻨﺎت اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ‪.‬‬ ‫ﰲ اﳉﺰء اﻟﺘﺎﱄ ﺳﻮف ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﳌﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس ‪ 2‬ﲢﺖ ﻓﺮض دوال ﺧﺴـﺎرة ﳐﺘﻠﻔـﺔ ‪.‬ﻫـﺬا وﳝﻜـﻦ‬ ‫اﺳ ــﺘﺨﺪام اﻻﺳ ــﻠﻮب اﳌﺴ ــﺘﺨﺪم ﰱ اﳚ ــﺎد ﻣﻘ ــﺪرات ﺑﻴﻴ ــﺰ ﻟﺪاﻟ ــﺔ اﻟﺼ ــﻼﺣﻴﺔ وداﻟ ــﺔ اﻟﻔﺸ ــﻞ ﻛﻤ ــﺎ ﺟ ــﺎء ﰱ رﺳ ــﺎﻟﺔ‬ ‫اﳌﺎﺟﺴﺘﲑ‪.‬‬ ‫‪٤٣٦‬‬

‫)ا(ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ اﳌﻀﺒﻮط ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ ﺧﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺎ‬

‫‪d 2‬‬

‫*‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪* 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫*‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  E[ ]  ‬‬ ‫*‬ ‫‪*  2 ‬‬ ‫‪ ( )    ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪d 2 .‬‬

‫*‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫*‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪sq‬‬

‫‪‬‬

‫*‪‬‬

‫‪ * ‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪ ( ) ‬‬ ‫‪2‬‬

‫*‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪(٣٠-٥‬‬ ‫*‬

‫*‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  ‬و ‪d   2 dy‬‬ ‫ﺑﻮﺿﻊ ‪ y  2‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈن‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬

‫و ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﰲ )‪ (٣٠-٥‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫*‪‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪y2‬‬

‫*‪‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫‪ * ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ y‬‬

‫*‪‬‬

‫‪ * ‬‬

‫‪(* ) 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪E[ ] ‬‬

‫‪‬‬

‫*‪‬‬ ‫‪*  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪e  y dy‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪* ‬‬ ‫‪ ( ) 0‬‬ ‫*‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ (*  1‬‬ ‫*‬ ‫) ‪ (‬‬ ‫*‪‬‬ ‫* ‪‬‬ ‫)‪ (*  1‬‬ ‫*‬ ‫)‪(  1) (  1‬‬ ‫*‪‬‬ ‫* ‪E[ ] ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪(  1‬‬ ‫‪2‬‬

‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈن ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﳌﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس ‪ 2‬ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ اﳋﺴﺎرة ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺄ ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫*‪‬‬ ‫* ‪ ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪(  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪sq‬‬

‫)ب( ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﳌﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس ‪ 2‬ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ اﳋﺴﺎرة اﻻﻧﱰوﺑﻴﺎ اﳌﻌﻤﻤﺔ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪٤٣٧‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪2 q‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ int‬‬ ‫‪ E  ‬‬

* 1



2  int  E  2 

 * 



*

q





*



*

*

*

 2  *   e  2     ( 2 ) q  * * d 2   ( ) 0

2  (q  1) e  ( )



2

 ( ) 0

d 2 .

: ‫ﺑﻮﺿﻊ‬ * y 2 

: ‫ﻓﺈن‬

* * 2    d   2 dy y y 2

 * 

*



 *  (q * 1)  y  * ( ) e dy , (* ) 0 y y2



   *

q

*

*

 ( )

   *

 q  1  y  (y) e dy , 0

q

*

 ( )

(q  * ) ,

: ‫ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ اﳋﺴﺎرة اﻷﻧﱰوﺑﻴﺎ اﳌﻌﻤﻤﺔ ﻫﻮ‬2 ‫ﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈن ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﳌﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس‬ 

1

   *  q  q 2 *  int   (q   )  .   (* )   

: (LINEX) ‫ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ اﳋﺴﺎرة اﳋﻄﻴﺔ اﻷﺳﻴﺔ‬2 ‫)ج( ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﳌﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس‬ 2 1 2  inx   ln E[e  c ] . c





*

* 1





2 inx

 E[e

 c 2

]   e  c 0

2

 2  *   e  2   d 2 * *   ( ) * *  

  

e  ( ) 

 *    c2  2    

*

0

٤٣٨

2

*

( ) (  1) d 2 ,

(٣١-٥)

‫ﺑﺎﻻﺳﺘﻔﺎدة ﻣﻦ داﻟﺔ ﺑﺴﻞ اﻟﱵ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬ ‫‪K (r-1) (2 ab) .‬‬

‫‪r 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪dx  2  ‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ax  ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪r‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ *‪ r  *  1, a  c, b  ‬ﻓﺈن )‪ (٣١-٥‬ﺗﺼﺒﺢ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫*‬

‫*‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    c 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) * ‪K (* ) (2 c ‬‬ ‫‪*   * ‬‬ ‫‪ ( )   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‬

‫*‪‬‬ ‫‪ * * ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1      c  2‬‬ ‫‪* ‬‬ ‫‪  ln ‬‬ ‫‪K (* ) (2 c  )   .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c  (* )    * ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ inx‬‬

‫دراﺳﺔ اﶈﺎﻛﺎة ‪Simulation Study‬‬

‫ﻟﻠﻮﻗﻮف ﻋﻠﻰ ﻣﺪى ﻛﻔﺎءة وﺳﻠﻮك ﻃﺮق اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﱵ ﰎ اﻟﻮﺻﻮل ﻋﻠﻴﻬـﺎ ﰲ ﻫـﺬا اﳉـﺰء ﻻﺑـﺪ ﻣـﻦ ﻋﻤـﻞ ﻣﻘﺎرﻧـﺎت‬ ‫ﻋﺪدﻳــﺔ ﺑﺎﺳــﺘﺨﺪام دراﺳــﺔ اﶈﺎﻛــﺎة ﺣﻴــﺚ ﻳــﺘﻢ ﺗﻮﻟﻴــﺪ ﻋﻴﻨــﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣــﻦ اﳊﺠــﻢ ‪ n‬ﺗﺘﺒــﻊ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻠﻮﻏــﺎرﲤﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌــﻲ‬ ‫ﺑﺎﺗﺒﺎع اﳋﻄﻮات اﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫)‪ (١‬ﻷي ﻗﻴﻤﺘ ــﲔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺘ ــﲔ ) ‪ (,‬و )‪ ( > 0, > 0‬ﻳ ــﺘﻢ ﺗﻮﻟﻴ ــﺪ ‪  2‬ﻣ ــﻦ ﺗﻮزﻳ ــﻊ ﺟﺎﻣ ــﺎ اﻟﻌﻜﺴ ــﻲ اﻟـ ـﻮارد ﰲ‬ ‫اﳌﻌﺎدﻟﺔ )‪.(٢٨-٥‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻗﻴﻤﺔ ‪  2‬اﻟﻨﺎﲡـﺔ ﻣـﻦ )‪ (١‬و ﻣﻌﻠﻮﻣﻴـﺔ اﳌﻌﻠﻤـﺔ ‪ ‬ﻳـﺘﻢ ﺗﻮﻟﻴـﺪ ﳎﻤﻮﻋـﺎت ﻣـﻦ اﻟﺒﻴﺎﻧـﺎت ذات أﺣﺠـﺎم‬ ‫ﳐﺘﻠﻔﺔ ﻣﻦ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﲤﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ‪. (10)50‬‬ ‫وذﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﻈﺎم ﺗﻮﻟﻴﺪ اﻟﻌﻴﻨﺎت ذات اﳌﺮاﻗﺒﺔ اﳌﺘﺘﺎﺑﻌﺔ وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ﻳﺘﻢ إﻋﺪادﻩ ﳍﺬا اﻟﻐﺮض ‪.‬‬ ‫ﰲ ﻫﺬا اﳌﺜﺎل وﺑﺎﻋﺘﺒﺎر ‪ )   2.25‬ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ( ﺳﻴﺘﻢ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻗﻴﻢ ﳐﺘﻠﻔﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪  2‬اﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠـﻰ ﻗـﻴﻢ ﳐﺘﻠﻔـﺔ ﳌﻌـﺎﱂ‬ ‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ ) ‪ (,‬ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪  2‬ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬ ‫)‪ (١‬ﺑﺎﺧﺘﻴـ ــﺎر اﻟﻘـ ــﻴﻢ )‪ (, )=(9,1),,(10,1),(11,1),(9,2),(10,2),(11,2‬ﰎ ﺗﻮﻟﻴـ ــﺪ ﺳـ ــﺘﺔ ﻗـ ــﻴﻢ‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﻠﻤ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ ‪ 2‬ﺑﺎﺳ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺘﺨﺪام ﺗﻮزﻳ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻊ ﺟﺎﻣـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎ اﻟﻌﻜﺴ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻲ ﻓﻜﺎﻧ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺖ ﻋﻠ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻰ اﻟﱰﺗﻴ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺐ‬ ‫)‪(٢‬‬

‫‪2  0.0930109,0.15663,0.12688,0.172181,0.185025,0.179918.‬‬ ‫‪(2 , )  (0.0930109, 2.25),(0.15663,2.25),(0.12688,2.25),‬‬ ‫ﰎ ﺗﻮﻟﻴ ــﺪ‬ ‫ﻟﻘــﻴﻢ‬ ‫‪(0.172181,2.25),(0.185025,2.25),(0.179918,2.25).‬‬

‫ﳎﻤﻮﻋﺎت ﻣﻦ اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت ذات اﳊﺠﻢ )‪. n=10(50‬‬ ‫‪٤٣٩‬‬

‫)‪(٣‬‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﰲ ﰎ ﺣﺴﺎب ﻣﻘﺪرات اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﱪ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪  ML‬و ‪.  ML‬‬

‫)‪(٤‬‬ ‫)‪(٥‬‬

‫ﻣﻘﺪرات ﺑﻴﻴﺰ اﳌﺨﺘﻠﻔﺔ ﰎ ﺣﺴﺎ ﺎ ﳌﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ ‪. 2‬‬ ‫اﳋﻄ ـﻮات اﻟﺴــﺎﺑﻘﺔ ﻣــﻦ )‪ (١‬إﱃ )‪ (٥‬ﰎ ﺗﻜﺮارﻫــﺎ ‪ N  1000‬ﻣــﺮﻩ و ﰎ ﺣﺴــﺎب ﻣﺘﻮﺳــﻂ اﻟﺘﻘــﺪﻳﺮ‬ ‫)‪ (AV‬و ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺄ )‪ (MSE‬ﻟﻜﻞ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﻦ ﺣﺎﻻت ﺣﺠﻢ اﻟﻌﻴﻨﺔ ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ i  ‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪‬‬

‫‪N‬‬

‫‪MSE  ‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪ i‬‬ ‫‪AV  ‬‬ ‫‪i 1 N‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪,‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ ‬ﲤﺜﻞ اﳌﻌﻠﻤﺔ ‪  ،‬ﲤﺜﻞ اﳌﻘﺪر ‪.‬‬ ‫)‪ (٦‬ﰎ اﻋﺘﺒــﺎر ﻗــﻴﻢ اﳌﻌــﺎﱂ اﳌﺴــﺘﺨﺪﻣﺔ ﰲ ﺗﻮﻟﻴــﺪ اﻟﺒﻴﺎﻧــﺎت و اﻟــﺪوال اﳌﻌﺘﻤــﺪة ﻋﻠﻴﻬــﺎ ﻫــﻲ اﻟﻘــﻴﻢ اﻟﺼــﺤﻴﺤﺔ‬ ‫‪ true values‬ﻟﻠﻤﻌﺎﱂ و اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﺤﺴﺎﺑﺎت ﰎ ﻋﺮﺿﻬﺎ ﰱ اﳉﺪاول اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪n=10‬‬ ‫‪ˆ li‬‬ ‫‪0.108647‬‬ ‫)‪(0.00010415‬‬ ‫‪0.211341‬‬

‫‪ˆ int‬‬ ‫‪0.0794765‬‬ ‫)‪(0.000309492‬‬ ‫‪0.154931‬‬

‫)‪(0.00134569‬‬ ‫‪0.122054‬‬ ‫)‪(0.000379084‬‬ ‫‪0.202669‬‬

‫)‪(0.000691752‬‬ ‫‪0.0910037‬‬ ‫)‪(0.00461683‬‬ ‫‪0.15134‬‬

‫‪(0.00143392‬‬ ‫‪0.105328‬‬ ‫)‪(0.000189408‬‬ ‫‪0.184616‬‬

‫)‪(0.00159009‬‬ ‫‪0.0798214‬‬ ‫)‪(0.0025859‬‬ ‫‪0.140105‬‬

‫‪(0.00112254‬‬

‫)‪(0.00192993‬‬

‫‪ˆ sq‬‬ ‫‪0.108897‬‬ ‫)‪(0.000489507‬‬ ‫‪0.212283‬‬ ‫)‪(0.00234816‬‬ ‫‪0.122351‬‬ ‫)‪(0.00173543‬‬ ‫‪0.203471‬‬ ‫)‪(0.00116285‬‬ ‫‪0.105532‬‬ ‫)‪(0.00088222‬‬ ‫‪0.185234‬‬ ‫)‪(0.000631114‬‬

‫‪٤٤٠‬‬

‫‪ˆ ML‬‬ ‫‪0.0784758‬‬ ‫)‪(0.00170063‬‬ ‫‪0.0143794‬‬

‫)‪(0.00541244‬‬ ‫‪0.135181‬‬ ‫)‪(0.00459072‬‬ ‫‪0.16043‬‬ ‫)‪(0.00668462‬‬ ‫‪0.110152‬‬ ‫)‪(0.00326042‬‬ ‫‪0.147243‬‬ ‫)‪(0.00601216‬‬

‫) ‪(, ‬‬ ‫)‪(9, 1‬‬ ‫)‪(9,2‬‬ ‫)‪(10,1‬‬ ‫)‪(10,2‬‬ ‫)‪(11,1‬‬ ‫)‪(11,2‬‬

n=20

(,  )

ˆ ML

ˆ int

ˆ li

(9, 1)

0.0862957

ˆ sq 0.104778

(9,2)

(0.000854259) 0.160646

(0.000396112) 0.202594

(0.000269803) 0.159565

(10,1)

(0.00271308) 0.144278

(0.00174491) 0.13079

(0.000667797) 0.104149

(0.0012335) 0.130544

(10,2)

(0.00255872) 0.172934

(0.00135819) 0.198747

(0.00319207) 0.158264

(0.000434896) 0.19819

(11,1)

(0.00340466) 0.117434

(0.00111611) 0.110297

(0.00130474) 0.104149

(0.00137617) 0.130544

(0.00161124) 0.167083

(0.000724654) 0.185733

(0.00319207) 0.149388

(0.000434896) 0.185272

(0.00312005)

(0.000795962)

(0.00142512)

(0.00113556)

ˆ int

ˆ li

(11,2)

0.0825242

0.104613 (0.0000968908) 0.201984

n=30

(,  )

ˆ ML

(9, 1)

0.0889398

(9,2)

(0.000601277) 0.164182

(10,1)

(0.00190742) 0.149646

(10,2)

(0.00181175) 0.174009

(11,1)

(0.00241778) 0.121656

(11,2)

(0.00111271) 0.168834 (0.00220439)

ˆ sq 0.102529 (0.000343757) 0.19585 (0.00135996) 0.136961 (0.00108784) 0.194094 (0.00100279) 0.11429 (0.000599336) 0.183085 (0.000779926) ٤٤١

0.0845821

0.102407

(0.000243329) 0.161568

(0.0000929052) 0.195408

(0.000656907) 0.1138

(0.00115551) 0.13675

(0.00231833) 0.161272

(0.000475868) 0.193678

(0.00119996) 0.0955973

(0.00131546) 0.11415

(0.00136927) 0.15314

(0.000222249) 0.182729

(0.0012557)

(0.00110557)

n=40

(,  ) (9, 1)

0.0881042

(9,2)

(0.000405069) 0.164698

(10,1)

(0.00151922) 0.151816

(10,2)

(0.00131461) 0.178481

(11,1)

(0.00167176) 0.123204

ˆ sq 0.0994079 (0.000240066) 0.190597 (0.00109967) 0.140625 (0.000877889) 0.193611 (0.000860005) 0.116389

(11,2)

(0.000721703) 0.173769

(0.000464539) 0.183971

(0.00105241) 0.158121

(0.000229043) 0.183674

(0.0016212)

(0.000729982)

(0.00100223)

(0.001115)

ˆ int

ˆ li

ˆ ML

ˆ int

0.0846061

ˆ li

0.0993148

(0.000214896) 0.162217

(0.000087045) 0.190255

(0.000650191) 0.120293

(0.00109549) 0.140444

(0.00177532) 0.165618

(0.000499071) 0.193271

(0.000952209) 0.100035

(0.00130555) 0.11627

n=50

(,  )

ˆ ML

(9, 1)

0.0900798

(9,2)

(0.000326625) 0.166934

ˆ sq 0.0992093 (0.000223454) 0.188277

(10,1)

(0.00111628) 0.152065

0.0863554

0.0991311

(0.000184489) 0.163883

(0.0000866091) 0.187997

(0.000892079) 0.142358

(0.000548439) 0.12438

(0.00106643) 0.142201

(10,2)

(0.000986908) 0.179083

(0.000732338) 0.191807

(0.00144362) 0.167585

(0.000508991) 0.191524

(11,1)

(0.00132919) 0.126169

(0.000755173) 0.119631

(0.000845707) 0.1004896

(0.00127996) 0.119523

(11,2)

(0.000684085) 0.17436

(0.000430318) 0.182974

(0.000833835) 0.160437

(0.000242328) 0.182724

(0.0013101)

(0.000670562)

(0.000887872)

(0.00110207)

٤٤٢

‫اﻟﺘﻌﻠﻴﻖ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﺑﺼﻮرة ﻋﺎﻣﻪ ﻓﺈن ﻣﻘﺪرات ﺑﻴﻴﺰ أﻓﻀﻞ ﻣﻦ ﻣﻘﺪرات اﻹﻣﻜﺎن وذﻟﻚ ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ n  30‬وﻫﺬا ﻣﺎ ﻛﺎن ﻣﺘﻮﻗﻊ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺑﺰﻳﺎدة ﺣﺠﻢ اﻟﻌﻴﻨﺔ ﻳﻘﻞ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺮﺑﻊ اﳋﻄﺄ وﻫﺬا ﻣﺎ ﻛﺎن ﻣﺘﻮﻗﻊ ‪.‬‬ ‫ﻋﻨﺪ اﳌﻘﺎرﻧﺔ ﺑﲔ دوال اﳋﺴـﺎرة ﰲ اﻟﻐﺎﻟـﺐ ﺗﻜـﻮن داﻟـﺔ اﳋﺴـﺎرة اﻻﻧﱰوﺑﻴـﺎ اﳌﻌﻤﻤـﺔ ﳍـﺎ أﻗـﻞ ﻣﺘﻮﺳـﻂ ﻣﺮﺑـﻊ‬ ‫ﺧﻄﺄ ﺑﻴﻨﻤﺎ داﻟﱵ اﳋﺴﺎرة اﳌﺮﺑﻌﺔ واﻵﺳﻴﺔ اﳋﻄﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺘﲔ ﺟﺪاً ﰲ ﺳﻠﻮﻛﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫وﻧﻼﺣﻆ أﻧﻪ ﻋﻨﺪ ﺛﺒﺎت ‪ ‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪   1‬ﻓﺈن اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ أﻓﻀﻞ ﻣﻨﻪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪   2‬و ﻧﺴﺘﺨﻠﺺ ﻣﻨﻪ اﻧﻪ‬ ‫ﻛﻠﻤﺎ ﻗﻠﺖ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ‬ﻓﺈن اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ ﻳﺼﺒﺢ أﻓﻀﻞ ) ﻋﻼﻗﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ( ‪.‬‬ ‫ﳒﺪ أﻧﻪ ﻋﻨﺪ ﺛﺒﺎت ‪ ‬و ﺗﻐﲑ ‪ ‬ﻓﺈن أﻓﻀﻞ ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻳﻜﻮن ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪   9‬ﰒ ‪   11‬و أﺧﲑاً‬ ‫‪   10‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈﻧﻪ ﻋﻨﺪ ﺗﺘﻐﲑ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ‬ﻓﺈن دوال اﳋﺴﺎرة ﻟﻴﺲ ﳍﺎ ﺳﻠﻮك ﻣﻌﲔ ‪.‬‬

‫وﳌﺰﻳﺪ ﻣﻦ اﳌﻌﻠﻮﻣﺎت ﳝﻜﻦ اﻟﺮﺟﻮع اﱃ رﺳﺎﻟﺔ اﳌﺎﺟﺴﺘﲑ اﳋﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺒﺎﺣﺜﺔ‪.‬‬ ‫)ب(ﺗﻘدﯾر ﺑﯾﯾز ﻟداﻟﺔ اﻟﺻﻼﺣﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗﻘرﯾﯾب ﺗﯾرﻧﻰ وﻛﺎدﯾن‬ ‫ﯾﻤﻜ ﻦ اﺳ ﺘﺨﺪام طﺮﯾﻘ ﺔ ﺗﯿﺮﻧ ﻲ وﻛ ﺎدﯾﻦ واﳌﻘﺪﻣـﺔ ﻣـﻦ )‪ Tiernsy and Kadane (1986‬وذﻟـﻚ‬ ‫ﻻﳚﺎد ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﻷي داﻟﺔ ﰲ ‪) 2‬اى داﻟﺔ ﰱ ﻣﻌﻠﻤﺔ واﺣﺪة( ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪d 2 .‬‬

‫*‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪* 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫‪u( 2 )   * ‬‬ ‫‪E[u( 2 )]  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ( * )  *   2 ‬‬ ‫‪0‬‬

‫)‪(٣٢-٥‬‬

‫ﺣﻴﺚ ان اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ )‪ (٣٢-٥‬ﻻ ﳝﻜﻦ ﺣﻠﻪ ﺑﺎﻟﻄﺮق اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ‪.‬ﻓﻰ اﻟﺑﻧد اﻟذى ﯾﻠﯾﻪ ﺳوف ﻧﻬﺗم ﺑﻬذا‬ ‫اﻟﺗﻘرﯾب ﻓﻰ وﺟود ﻣﻌﻠﻣﺗﯾن‪.‬‬

‫ﺗﻘرﯾب ﺗﯾرﻧﻰ وﻛﺎدﯾن‬

‫‪The Tierney-Kadane Approximate‬‬

‫ﻧظرﯾـﺔ‪:‬‬

‫‪٤٤٣‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ‪ n‬ﻛﺑﯾرة ﺑدرﺟﺔ ﻛﺎﻓﯾﺔ ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠداﻟﺔ )‪) u(‬ﯾﻌطﻰ‬

‫ﺑﯾﺎﻧﺎت( ﺗﺗرﻛز ﻋﻠﻲ ﻧﺻف ﺧط اﻷﻋداد اﻟﻣوﺟب )أو اﻟﺳﺎﻟب( ﺣﯿﺚ )‪ L(‬ھﻮ ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ داﻟﺔ‬ ‫اﻹﻣﻜﺎن )‪ L(x | ‬و )‪ (‬ھﻮ ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ )‪ g(‬ﻓﺈن ‪ L    g   ‬ﺗﺗرﻛز‬

‫ﺣول ﻗﯾﻣﺔ ﻋظﻣﻰ وﺣﯾدة ﻓﺈن اﻟﺗﻛﺎﻣل اﻟﻣﻌرف ﻓﻲ )‪ (٣٢-٥‬ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻪ ﺑﺎﻟﺻورة‬ ‫اﻵﺗﯾﺔ‪:‬‬

‫‪d‬‬

‫) ‪n *( ‬‬

‫‪e‬‬

‫‪E[u() | x]  ‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪d‬‬

‫) ‪n ( ‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫)‪(٣٣-٥‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ L          , * ()  ln u     L         ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪() ‬‬

‫وﻟﻤﺎ ﻛﺎن ﻓﻰ ﻛﺜﻴﺮ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻻت ﻣﻦ اﻟﺼﻌﺐ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺤﺪد ﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻫﺬﻩ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت وﻟذﻟك‬

‫اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ )‪ (٣٣-٥‬ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺷﻛل ﺗﻘرﯾﺑﻰ ﺑﺻﯾﻐﺔ ﺗﯾرﻧﻰ وﻛﺎدﯾن ) ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ‬

‫وﺟود ﻣﻌﻠﻣﺔ واﺣدة ﻧﻬﺗم ﺑﻬﺎ( ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪* n      ‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‬

‫*‬

‫‪uˆ BT‬‬

‫)‪(٣٤-٥‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫* ‪ ‬ﻫﻲ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌظﻣﻰ ﻟـ ‪ *   ‬و ‪ ‬ﻫو ﻣﻧوال اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي واﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌظﻣﻰ ﻟـ ‪   ‬‬

‫و‪:‬‬

‫‪  2 ‬‬ ‫‪  2* ‬‬ ‫‪*2‬‬ ‫‪   2  ,    2 ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪2‬‬

‫*‬

‫‪٤٤٤‬‬

‫اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﺒﻌﺪي ﻓﻰ )‪ (٢٩-٥‬ﳛﻘﻖ اﻟﺸﺮط ﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ﻫﺬﻩ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ وﻫﻮ اﻧﻪ آﺣ ﺎدي اﻟﻤﻨ ﻮال وﻣﻌ ﺮف ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟﺠﺰء اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﺨﻂ اﻷﻋ ﺪاد ‪ .‬ﻟﺘﻄﺒﻴـﻖ ﺻـﻴﻐﺔ ﺗﻘﺮﻳـﺐ ﺗـﲑﱐ و ﻛـﺎدﻳﻦ ﻹﳚـﺎد ﻣﻘـﺪرات ﺑﻴﻴـﺰ ﻷي داﻟـﺔ ﰲ ‪ 2‬‬ ‫ﻧﺘﺒﻊ اﻵﰐ ‪:‬‬ ‫ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻘﺒﻠﻲ ل ‪ 2‬ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( 2 ) 1 e  ,‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪( ) = ln g( )   ()‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫و ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﻫﻮ ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪] ,‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ ln[x i ] ‬‬ ‫‪ln ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 i 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪-‬‬

‫‪e‬‬

‫!‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫[‪ln L(x |  2 , )  ln‬‬

‫‪ 2  ‬‬

‫وﳊﺴﺎب ﺻﻴﻐﺔ ﺗﯿﺮﻧﻲ وﻛﺎدﯾﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻓﻲ )‪ (٣٤-٥‬ﻧﺘﺒﻊ اﳋﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫*‪‬‬ ‫;‪n  (  1)ln   2 ,      ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫*‬

‫)‪(٣٥-٥‬‬ ‫*‬

‫* ‪‬‬ ‫*‪,      ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n*  ln u  (*  1)ln 2 ‬‬

‫)‪(٣٦-٥‬‬ ‫وﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻘﯿﻤﺔ ‪‬‬ ‫‪ ‬اﻟﺘﻰ ﺗﻌﻈﻢ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ ‬ﻓﻰ )‪ (٣٥-٥‬ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫* ‪ (*  1) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‬ ‫‪‬‬ ‫*‪(  1) ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 4  0.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫*‪‬‬ ‫* ‪ ‬‬ ‫)‪(  1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﯿﺚ‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ ‬ھﻰ ﻗﯿﻤﺔ ‪ ‬اﻟﺘﻰ ﺗﻌﻈﻢ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ ‬ﻓﻰ )‪.(٣٥-٥‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ‪ ‬ﻧﺤﺴﺐ اوﻻ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪  2 ‬‬

‫ﺣﯿﺚ ‪:‬‬ ‫‪٤٤٥‬‬

 2   2 

2

(*  1) *  2 3, 2   ‫واﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻋﻦ‬ : ‫ ﻓﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬ 2

2

    2 

2 2  2

(v*  1) *  2 * * 2 ( * ) ( * )3 (v  1) (v  1) : ‫ﻛﻤﺎ ﯾﻠﻰ‬

*

2 

 ‫ وذﻟﻚ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ‬ 2

‫واﻟﺘﻰ ﻧﺴﺎوﯾﮭﺎ ب‬

*

(  1)  2 , * *   ( * )2 ( * )3 (  1) (v  1)

(v*  1)3 * (v*  1)3   2 , *2  *2 2

(*  1)3  2* (*  1)3   , *2 2

(1  2 * )(*  1)3   , *2 2

*2   , (1  2 * )(*  1)2 2

1 * 2

(1  2 ) (*  1)    . * 

2

: ‫( ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﻟﻰ‬٣٦-٥) ‫ ﻓﻰ‬ ‫ اﻟﺘﻰ ﺗﻌﻈﻢ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫وﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻘﯿﻤﺔ‬ *

* u (*  1)  *    4, 2 u 2 

(٣٧-٥) : ‫( ﺑﺎﻟﺼﻔﺮ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬٣٧-٥) ‫ﺑﻤﺴﺎواة‬ * u (*  1) * 0   4 0 2 u 2  ٤٤٦

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ اﻣﻜﻦ ﺣﻠﮭﺎ ﻋﺪدﯾﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺤﺎﺳﺐ اﻻﻟﻰ وذﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ‪ Mathematica‬ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻘﯿﻤﺔ‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬اﻟﺘﻰ ﺗﻌﻈﻢ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ . ‬وﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ‪ ‬ﻧﺤﺴﺐ اوﻻ ‪:‬‬ ‫*‬

‫*‬

‫‪2‬‬

‫*‪ ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪  2 ‬‬

‫ﺣﯿﺚ ‪:‬‬

‫)‪u u  u2 (*  1‬‬ ‫*‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 4,‬‬ ‫‪u2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫*‪ ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪  2 ‬‬

‫)‪(٣٨-٥‬‬ ‫ﺣﯿﺚ ‪ u,u‬اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ اﻻوﻟﻰ واﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ) ‪ u(2‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ل ‪ . 2‬وھﻨﺎ ﺳﻮف ﻧﻘﺘﺼﺮ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ وذﻟﻚ ﺑﻮﺿﻊ )‪) u  R(t‬وﻟﻜﻦ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻄﺒﯿﻘﮭﺎ ﻻى داﻟﺔ ﻓﻰ ‪ 2‬ﻣﺜﻼ ﻓﻰ اﯾﺠ ﺎد‬ ‫ﻣﻘﺪر ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻔﺸﻞ( وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻓﺈن اﻟﻤﺸﺘﻘﺎت اﻟﺠﺰﺋﯿﺔ ﻟـ ‪ u‬ﺗﻜﻮن ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪(ln[t]  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫واﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻋﻦ‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪ 2 (ln[ t ]‬‬ ‫‪ 3 e 2‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (ln[t]  )  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪(ln[ t] )2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪u  ‬‬

‫‪2 2‬‬

‫) ‪1   (ln2‬‬ ‫‪u   7  e‬‬ ‫‪8 2 ‬‬

‫) ‪(ln[t ]‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (ln[t]  ) e 2 ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻓﻰ )‪ (٣٨-٥‬ﺑﺎﻟﻘﯿﻤﺔ ‪ ‬ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫*‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 2‬‬

‫‪* 2‬‬

‫) ‪ ( ‬وذﻟﻚ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ‬ ‫واﻟﺘﻰ ﻧﺴﺎوﯾﮭﺎ ب‬ ‫وذﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ‪. Mathematica‬‬

‫*‪‬‬

‫‪  2 ‬‬ ‫*‬

‫‪.‬ھﺬا و ﻗﺪ ﺗﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ‪ ‬ﻋﺪدﯾﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺤﺎﺳﺐ اﻻﻟﻰ‬

‫‪٤٤٧‬‬

‫وﻓﯿﻤﺎ ﯾﻠﻰ ﺧﻄﻮات اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟـﺔ اﳋﺴـﺎرة ﻣﺮﺑـﻊ اﳋﻄـﺄ ﺑﺎﺳـﺘﺨﺪام‬ : (٣٤-٥) ‫ﺻﯿﻐﺔ ﺗﯿﺮﻧﻲ وﻛﺎدﯾﻦ‬  * n  (  )  (  ) R(t)   *  u BT  e  E[R(t)]   * *  2  0 ( )     *

2

2

* 1 

* 2

e d2 .

* n * (  2 ) (  2 )  e    *  *  [  ln[u]( * 1)ln[ 2 ] 2   ( * 1)ln[ 2 ] 2  ]   2  2    2  2 

*





1 * 2

e

(1  2 ) (*  1)  *



** 1 * 2

* *  [ln[u ]  ( * 1)ln[ 2 ] 2 (  * 1)ln[  2 ] 2 ]  

e

(1  2  ) (*  1)



 ** 1 * 2

* *  [ln[u ]  ( * 1)ln[ 2 ] 2  ( * 1)ln[ * ]  (  1)

e

* ] * ( * 1)

(1  2 ) (v*  1) * *





1 * 2

* *  [ln[u]  ( * 1)ln[ 2 ] 2  ( * 1)ln[ * ]( * 1)]  (  1)

e

(1  2 ) (*  1)

٤٤٨

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‪‬‬ ‫*‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫* [‪ln[ 2 ] 2  ( * 1) ln‬‬ ‫] ‪]1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (  1) ‬‬

‫* *‬

‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪* 2‬‬

‫)‪(1  2  ) (*  1‬‬

‫)‪ (٥-٥‬ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﯾر اﻻﺛﻧﻰ ﻋﺷر‬ ‫)‪(١-٥-٥‬ﺗﻘدﯾرات اﻻﻣﻛﺎن اﻻﻛﺑر ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣراﻗﺑﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ‬ ‫‪ ٤‬ﻗﺪم ﻫﺬا اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ )‪ L- Hussaini & Jaheen, (1994‬وﻗﺪ ﰎ ﺗﻘﺪﳝﻪ ﺑﺸﻜﻞ ﻣﻔﺼﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫ﺗﻢ ﺗﺨﺼﯿﺺ ھﺬا اﻟﺒﻨﺪ ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻘﺪرات اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﺒﺮ و ﻣﻘﺪرات ﺑﯿﯿﺰ اﻟﺘﻘﺮﯾﺒﯿﮫ ﻟﻤﻌﻠﻤﺘﻲ ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﯿﯿﺮ‬ ‫اﻻﺛﻨﻰ ﻋﺸﺮ و ﻛﺬﻟﻚ داﻟﺘﻲ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ و ﻣﻌﺪل اﻟﻔﺸﻞ ﻟﻨﻔﺲ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ‪ ،‬و ذﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻰ ‪.‬‬

‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﻟﺤﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ ،‬ﻓﺈن داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﻷول ‪ r‬ﻣﻦ وﺣﺪات اﻟﻔﺸﻞ اﻟﻤﺮﺗﺒﺔ ﺗﻈﻬﺮ‬ ‫ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ‪ n‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﺗﻜﻮن ‪ :‬ﺑﺎﻋﺘﺒﺎر أن ‪ y1  y 2    y r‬ﺗﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ واﻟﻤﻄﻠﻮب اﻳﺠﺎد‬ ‫ﻣﻘﺪرات اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻟﻤﻌﻠﻤﺘﻲ ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﯿﯿﺮ اﻻﺛﻨﻰ ﻋﺸﺮ و ﻛﺬﻟﻚ داﻟﺘﻲ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ و ﻣﻌﺪل اﻟﻔﺸﻞ ﻟﻨﻔﺲ‬ ‫اﻟﺘﻮزﯾﻊ ‪ . ،‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﺗﻲ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪f (y i )[1  F(y r )]n  r .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(n  r)! i 1‬‬

‫‪L(y1 , y 2 ,..., y n | c, k)  L ‬‬

‫)‪(٣٩-٥‬‬ ‫و )‪ F(.) , f(.‬ھﻤﺎ داﻟﺘﻲ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ و اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ‪.‬‬ ‫ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﯿﯿﺮ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻋﺸﺮ ﻟﮫ داﻟﺘﻲ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ و اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻵﺗﯿﺘﯿﻦ ‪:‬‬ ‫;‪f (x;c, k)  ckx c1 (1  x c ) (k 1) , x  0, c  0, k  0‬‬ ‫‪F(x;c, k)  1  (1  x c ) k , x  0.‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ ﻟﺘﻮزﯾﻊ ﺑﯿﯿﺮ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻋﺸﺮ ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪٤٤٩‬‬

‫‪‬‬

R(t)  (1  t c )  k , t  0.

: ‫وداﻟﺔ ﻣﻌﺪل اﻟﻔﺸﻞ ھﻲ‬ H(t) 

kct c 1 , t  0.

(1  t c )

: ‫ﻓﺈن داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻤﻌﺎﯾﻨﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﻧﻰ ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‬ L(y | c, k)  L 

r n! f (y i )[1  F(yr )]n  r .  (n  r)! i 1

: ‫داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﯿﯿﺮ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻋﺸﺮ ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺼﯿﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‬ L

n r n!  r  r  c r k r  yci 1   (1  yic )  (k 1)  (1  y cr )  k  (n  r)!  i 1   i1 

nr  r  n! yic1  (1  ycr ) k  c r k r  c (k 1)   (n  r)!  i 1 (1  yi )  nr  r  n! yci 1  (1  y cr ) k  c r k r  c c k  (n  r)!  i 1 (1  yi )(1  yi )  nr  r y c1   r n!  c r k r  i c   (1  yic )  k   (1  ycr ) k  (n  r)!   i 1 (1  yi )   i 1

٤٥٠

‫‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ln(1 yic )    k  ln(1 yci ) ‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪yic1    k (n  r) ‬‬ ‫‪r r ‬‬ ‫‪i1‬‬ ‫‪ e i1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c k ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪c ‬‬ ‫!)‪(n  r‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ i 1‬‬ ‫‪i ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪  k  ln(1 yic ) k (n  r) ln(1 yrc ) ‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c k v(c; y) e i1‬‬ ‫!)‪(n  r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c r k r v(c; y)e kT ,‬‬ ‫!)‪(n  r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ r y c1 ‬‬ ‫‪v(c; y)   i c  , T  T(c | y)  (n  r) ln(1  ycr )   ln(1  yic ).‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪ i 1 (1  y i ) ‬‬

‫ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ھﻮ ‪:‬‬ ‫‪ln L  r ln k  r ln c  ln v(c; y)  kT.‬‬

‫)‪(٤٠-٥‬‬

‫ﺑﺎﻓﺘﺮاض ان ‪ c‬ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﻓﺈن ﻣﻘﺪر اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ل ‪ k‬ﯾﻜﻮن ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪kˆ ML  .‬‬ ‫‪T‬‬

‫إذا ﻛﺎن ﻛﻼ اﻟﻤﻌﻠﻤﺘﯿﻦ ‪ c,k‬ﻣﺠﮭﻮﻟﺘﯿﻦ ﻓﺈن ﺗﻘﺪﯾﺮ اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ‪ k‬و‪ c‬ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮫ و ذﻟﻚ ﺑﺎﻟﺘﻔﺎﺿﻞ اﻟﺠﺰﺋﻲ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (٤٠-٥‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ c‬و ﻛﺬﻟﻚ‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻔﺎﺿﻞ اﻟﺠﺰﺋﻲ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (٤٠-٥‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ k‬ﻣﻊ اﻟﻤﺴﺎواة ﺑﺎﻟﺼﻔﺮ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻲ اﻹﻣﻜﺎن اﻟﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ‪:‬‬ ‫‪ ln L‬‬ ‫‪ ln L‬‬ ‫‪ 0,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪k‬‬

‫)‪(٤١-٥‬‬

‫‪٤٥١‬‬

‫وﺑﺎﺳ ﺘﺨﺪام أﺣ ﺪ اﻟﻄ ﺮق اﻟﻌﺪدﯾ ﺔ ﻛﻄﺮﯾﻘ ﺔ )أﺳ ﻠﻮب ( ﻧﯿ ﻮﺗﻦ راﻓﺴ ﻮن ‪newton raphson‬‬ ‫‪ method‬وﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﻘ ﺪﯾﺮات اﻹﻣﻜ ﺎن اﻷﻛﺒ ﺮ ﻣ ﻦ اﻟﻤﻌ ﺎدﻟﺘﯿﻦ اﻟﺴ ﺎﺑﻘﺘﯿﻦ )‪-٥‬‬ ‫‪.(٤١‬‬ ‫ﺗﻘﺪﯾﺮات اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﺒﺮ‬

‫ﻟﻜﻞ ﻣﻦ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ )‪ R(t‬وداﻟﺔ ﻣﻌﺪل اﻟﻔﺸﻞ )‪ H(t‬ﻟﺘﻮزﯾﻊ ﺑﯿﯿﺮ اﻟﺜﺎﻧﻰ‬

‫ﻋﺸﺮ ﺗﻌﻄﻰ اﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻋﻦ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ k‬و‪ c‬ﺑﻘﯿﻤﺔ ﻣﻘﺪرات ﺑﺎﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﺒﺮ ˆ‪ cˆ ,k‬ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‪ .‬أي أن‬ ‫ﻣﻘﺪر اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﯿﺔ ھﻮ ‪:‬‬

‫‪ˆ  (1  t cˆ )  kˆ , t  0.‬‬ ‫)‪R(t‬‬

‫وﻣﻘﺪر اﻻﻣﻜﺎن اﻻﻛﺒﺮ ﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻌﺪل اﻟﻔﺸﻞ ھﻮ ‪:‬‬ ‫‪ˆ ˆ cˆ 1‬‬ ‫‪kct‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪H(t) ‬‬ ‫‪, t  0.‬‬ ‫) ˆ‪(1  t c‬‬

‫)‪(٢-٥-٥‬ﺗﻘدﯾرات ﺑﯾﯾز ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣراﻗﺑﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ‬ ‫ﻓﻰ ھﺬا اﻟﺠﺰء ﺳﻮف ﯾﻔﺘﺮض ﺗﻮزﯾﻊ ﻗﺒﻠﻰ ﻣﺸﺘﺮك ﻟﻤﻌﻠﻤﺘﻲ اﻟﻤﻮﻗﻊ و اﻟﻘﯿﺎس ﯾﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪:‬‬ ‫‪g(k, c)  g1 (k | c)g 2 (c),‬‬ ‫‪kc‬‬

‫‪‬‬ ‫‪c 1‬‬ ‫‪k  e  , (  1),   0,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (  1) ‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪g1 (k | c) ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪g 2 (c) ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪,   0,   0,‬‬ ‫‪()‬‬

‫اى ان ‪:‬‬

‫‪٤٥٢‬‬

kc

g(k, c)  



c

  c 1 1  1   k e c e (  1)  1  () k 1  c(  )  



c k e (  1) ()  1

 Rc k  k  e

k 1  c(  )  

, 1

R   (  1) ()  1  , (  1),   0,   0,   0

(٤٢-٥) : ‫ ﻓﻰ ﻣﻌﺎﻟﻢ ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﯿﯿﺮ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻋﺸﺮ ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻪ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ‬u(c,k) ‫اﻟﻤﻘﺪر اﻟﺒﯿﯿﺰى ﻻى داﻟﺔ‬ 



E(u(c,k))  



0

u(c,k)q(c,k | y)dcdk,

0

(٤٣-٥)

: ‫ وﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮫ ﺑﺎﺗﺒﺎع اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‬c,k ‫ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﺒﻌﺪى ل‬q(c, k | y) ‫ﺣﯿﺚ‬

q(c, k | y)  L(y | c, k)g(c,k) r

r

 c k v(c; y)e

 kT 

c

 cr k r v(c; y)e c

 r

k

 r

v(c; y)e



k e

k 1  c(  )  

 k 1   kT  c(  )        c c   k (T  )      

,c  0, k  0 (٤٤-٥) : ‫ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬

٤٥٣

‫)‪Q(c, k | y)  ln q(c,k | y‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪ (    r)ln c +(  r)ln k  (c  1) ln yi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪r‬‬

‫‪c c‬‬ ‫‪ ln(1  yic )  k(T  )  .‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i1‬‬ ‫)‪(٤٥-٥‬‬ ‫وﻟﻤﺎ ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺼﯿﻐﺔ ﻓﻰ )‪ (٤٣-٥‬ﺻﻌﺐ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﺴﻮف ﻧﺴﺘﺨﺪم ﺗﻘﺮﻳﺒﱭ ﳊﺴﺎ ﻤﺎ ‪.‬‬

‫)أ( ﺗﻘرﯾب ﻟﻧدﻟﻰ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺗﻘﺮﻳﺐ ﻟﻨﺪﱃ ﺳﻮف ﻳﺴﺘﺨﺪم اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى اﳌﺸﱰك ل )‪ (٤٤-٥) (c, k‬ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﻘﺮﻳﺐ‬ ‫ﻟﻠﻤﻘﺪر اﻟﺒﻴﻴﺰى ﰱ )‪ (٤٥-٥‬ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﳌﻌﺎﻟﻠﻤﺘﲔ ‪ c,k‬و داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ وداﻟﺔ اﻟﻔﺸﻞ ﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ‬ ‫اﳋﺴﺎرة اﳌﺮﺑﻌﺔ‪ .‬ﺑﺼﻮرة ﻋﺎﻣﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ )‪ u  u( ‬و ‪   (1 , 2 ,..., k )  ‬وﲢﺖ ﻓﺮض داﻟﺔ‬ ‫اﳋﺴﺎرة اﳌﺮﺑﻌﺔ ﻓﺈن ﻣﻘﺪر ﺑﻴﻴﺰ ﻻى داﻟﺔ ﰱ ‪ ‬ﰱ )‪ (٤٣-٥‬ﻳﺎﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪d‬‬

‫) ‪L(  ) ( ‬‬

‫‪ u()e‬‬

‫‪E  u()  ‬‬

‫‪.‬‬ ‫) ‪L(  ) ( ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫)‪(٤٦-٥‬‬ ‫ﺣﯿ ﺚ )‪ L( ‬ھ ﻮ ﻟﻮﻏ ﺎرﯾﺘﻢ داﻟ ﺔ اﻹﻣﻜ ﺎن )‪ L(y | ‬و )‪ ( ‬ھ ﻮ ﻟﻮﻏ ﺎرﯾﺘﻢ اﻟﺘﻮزﯾ ﻊ اﻟﻘﺒﻠ ﻰ‬ ‫)‪ . g( ‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (٤٦-٥‬ﻳﻤﻜﻦ وﺿﻌﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪d‬‬

‫) ‪Q( ‬‬

‫‪ u()e‬‬

‫‪E  u( )  ‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪d‬‬

‫) ‪Q( ‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫)‪(٤٧-٥‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪٤٥٤‬‬

Q( )  L( )  ( )  ln  L(y | ) g( )  .

(٤٨-٥) : ‫ ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬  (1 , 2 ) ‫( ﻓﺈن ﺻﻴﻐﺔ ﺗﻘﺮﻳﺐ ﻻﻧﺪﱃ ﰱ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﻌﻠﻤﺘﲔ‬٤٧-٥) ‫ﻟﻠﺼﻴﻐﺔ ﰱ‬

uˆ B  u( ) 

1  A  Q30 B12  Q21C12  Q12C21  Q03B21 , 2 (٤٩-٥) : ‫ﺣﻴﺚ‬

  Q A   u ijij ,Q    , ,   0,1, 2,3,     3,i, j  1, 2, 1 2 i 1 j1 2

2

u  2u for i, j  1,2, u i  , u ij  and for i  j. i i  j Bij  (u i ii  u j ij )ii ,Cij  3u i ii ij  u j (ii  jj  2ij2 ), :‫( ﰱ ﻣﻌﻜﻮس اﳌﺼﻔﻮﻓﺔ‬ij) ‫ اﻟﻌﻨﺼﺮ‬ij ‫و‬

Q*  (Q*ij ), i, j  1,2,  2Q Q  . i  j * ij

(1 , 2 )  (c, k) ‫ وﰱ ﺣﺎﻟﺘﻨﺎ ﻓﺈن‬. ‫( اﳌﻨﻮال ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى‬ 1 ,  2 ) ‫( ﺗﻘﺪر ﻋﻨﺪ‬٤٩-٥) ‫اﻟﺼﻴﻐﺔ‬ ‫( ﳓﺼﻞ‬c ,k ) ‫ ﻣﻨﻮال اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى واﻟﺬى ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‬.(٤٥-٥) ‫ اﳌﻌﻄﺎﻩ ﰱ‬Q  Q(c, k | y) ‫و‬ D

D

: ‫ﻋﻠﻴﻪ ﲝﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺘﲔ‬ 0

Q r   c   (T  ), k k 

(٥٠-٥) ٤٥٥

‫‪r‬‬ ‫‪Q r     r‬‬ ‫‪1 1 dT‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ln yi - yic a i - -k(  ) ,‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪  dc‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫)‪(٥١-٥‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪ln yi‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪,i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1,,...,r,‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪1  yi‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ai ‬‬

‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ﻗﻴﻤﺔ ‪ k‬اﻟﱴ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻣﻦ )‪ (٥٠-٥‬ﰱ )‪ (٥١-٥‬ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻐﲑ ﺧﻄﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﰱ‬ ‫‪ c‬اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪h(c)  0.‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪1  (r+) 1 dT‬‬ ‫‪h(c) ‬‬ ‫ ‪  ln yi - yic a i -‬‬‫‪(  ),‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(c+‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪T‬‬ ‫‪ dc‬‬ ‫‪i1‬‬ ‫‪i1‬‬ ‫وﻗﺪ اﺛﺒﺖ اﻟﺒﺎﺣﺜﺎن اﻧﻪ ﻻى ﻓﺌﺔ ﻣﻦ ﻗﻴﻢ ‪ yi‬ﻓﺈن )‪ h(c‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺑﺎﻃﺮاد ﰱ )‪ (0, ‬وﺗﻘﻄﻊ اﶈﻮر اﻻﻓﻘﻰ‬ ‫ﻣﺮة واﺣﺪة وﻟﺘﻜﻦ *‪ c‬ﲝﻴﺚ ان ‪ . h(c* )  0‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻣﻦ )‪ (٥٠-٥‬ﻓﺈن ) ‪ (c ,k‬ﻫﻮ اﳌﻨﻮال اﻟﻮﺣﻴﺪ‬

‫‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﰱ )‪(٤٤-٥‬‬

‫اﻻن ﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ﺻﻴﻐﺔ ﻻﻧﺪﱃ ﰱ )‪ (٤٩-٥‬اوﻻ ﳓﺴﺐ اﻟﻘﻴﻢ ‪ ij ,i, j  1,2‬واﻟﱴ ﲤﺜﻞ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﻌﻜﻮس‬ ‫اﳌﺼﻔﻮﻓﺔ ‪ Q*  (Q*ij ),i, j  1, 2,‬ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫‪ 2Q‬‬ ‫‪Q ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪i  j‬‬ ‫*‬ ‫‪ij‬‬

‫‪ 2Q‬‬ ‫‪r r c 2‬‬ ‫‪d 2T‬‬ ‫‪Q  2 ‬‬ ‫‪- y i a i -  k 2 ,‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c2‬‬ ‫‪dc‬‬ ‫‪i1‬‬ ‫*‬ ‫‪11‬‬

‫‪d 2T r c 2‬‬ ‫‪=  yi a i  (n  r)y rc a r2 ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dc‬‬ ‫‪i1‬‬ ‫‪٤٥٦‬‬

: ‫ﺑﻮﺿﻊ‬

d 2T r c 2 M=k 2   yi a i , dc i 1 r c 2 r r

M= (n  r)ky a  (k  1)N, N   yci a i2 , i 1

r -(k+1)N-k(n  r)ycr a 2r , 2 c r (r  ) * * Q11   M,Q   , 12 c2 k2 r r * 1 * Q 22   2 ,Q12   yci a i  (n  r)ycr a r   B, k  i 1 * Q11 

r 1 dT 1 c B=  =  (n  r)y r a r   yic a i ,  dc  i 1

: ‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ‬

 (r    )  c2 * Q   B 

1

 B   11   (r  )   12 k 2 

12  . 22  : ‫اﶈﺪد ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻫﻮ‬

c 2 k 2 det(Q )   2 2 2 , B k c  (r  )(c 2 M      ) *

٤٥٧

(r  )

11  

1 2 (r   )(Mc      ) c2 (r  )c2 (r  )c 2   , B2 k 2 c 2  (r  )(Mc 2      ) D B2 k 2 

D= c2 k 2 det Q*  (r  )(r      Mc 2 )  (Bck) 2 .

B

12 

(r  )(M   B2 

(    ) c2

k2

 Bk 2 c 2 Bk 2c 2   ,  B2 k 2c 2  (r  )(Mc2      ) D

(    ) 2 Bk 2c 2 c 22   (    ) D (r  )(M  2 c  B2  2 k M

٤٥٨

Mk 2 c2  k 2 (    ) 22  B2 k 2 c 2  (   )(Mc 2      ) k 2 (Mc 2      )  B2 k 2 c2  (   )(Mc 2      ) k 2 (Mc2      )  .

D

: ‫وﺑﺎﻻﺿﺎﻓﺔ اﱃ ذﻟﻚ‬

Q12  0,Q 21  (N  (n  r)y rc a r2 1  M  (k  1)N   (N   )    M  N,  k k   2(r  ) 2(r    ) M Q03  ,Q   , 30 k3 c2 c

‫ ﲝﻴﺚ‬uˆ B ‫( وذﻟﻚ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ‬٤٩-٥) ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ اﳌﺬﻛﻮرة اﻋﻼﻩ ﰱ ﺻﻴﻐﺔ ﻻﻧﺪﱃ‬ . (c D ,k D ) ‫( ﺗﻘﺪر ﻋﻨﺪ ﻣﻨﻮال اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى‬٤٩-٥) ‫ان ﻛﻞ اﻟﺪوال ﰱ‬ : ‫(ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬٤٩-٥) ‫ ﰱ‬u  u(c, k) ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ W 1 uˆ B  E  u(c,k | y)   u   cW1u1  kW2 u 2 , 2D 2D 2 (٥٢-٥)

٤٥٩

W  c 2  (r  )u11  Bk 2 (u12  u 21 )   k 2 (r      Mc 2 )u 22 , W1  (r  ) 2  2(r    )  sc3   3(M  N)Bkc3 (r  ) 2Bkc(r  )(r      Mc2 ), W2  2(r  )(r      Mc 2 )2  Bck(r  ) [2(r    )  sc3 ]  2B2 k 2c 4 (M  N)  c 2 (r  )(M  N)(r      Mc2 ).

‫ أي‬. i  1,2,...,m ‫( ﺣﻴﺚ‬c D ,k D ) ‫( ﺗﺤﺴﺐ ﻋﻨﺪ ﻣﻨﻮال اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى‬٥٢-٥) ‫ﻛﻞ اﻟﺪوال ﻓﻰ‬

.‫ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪي‬u    ‫( ﻫﻲ ﺻﻴﻐﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻠﺘﻮﻗﻊ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬٥٢-٥) ‫أن‬

‫ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ‬

: ‫( ﻓﺈن‬٥٢-٥) ‫ ﰱ‬u  u(c, k)  c ‫اذا ﻛﺎﻧﺖ‬ W   c BL  c 1  12  ,  2D 

k BL

. (c D ,k D ) ‫واﳌﻘﺪرة ﻋﻨﺪ‬

: ‫( ﻓﺈن‬٥٢-٥) ‫ ﰱ‬u  u(c,k)  k ‫اذا ﻛﺎﻧﺖ‬ W    c  1  22  ,  2D  . (c D ,k D ) ‫واﳌﻘﺪرة ﻋﻨﺪ‬

: ‫( ﻓﺈن‬٥٢-٥) ‫ ﰱ‬u  u(c,k)  R(t)  (1  t c )  k ‫اذا ﻛﺎن‬

R BL

z1  kt c ln t   R(t) 1   k  k BL ln(1  t c ),    c  c BL  c (1  t )  2D  . (c D ,k D ) ‫واﳌﻘﺪرة ﻋﻨﺪ‬ : ‫ﺣﻴﺚ‬



٤٦٠



‫‪2‬‬

‫‪ ln t ‬‬ ‫‪z1  c [(r  )kt (kt  1) ‬‬ ‫‪c ‬‬ ‫‪1 t ‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪c‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ t c ln t  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2Bk k ln(1  t )  1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪(r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫)‪M‬‬ ‫‪ln(1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫)‬ ‫‪c ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ].‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ckt c1‬‬ ‫‪ u  u(c,k)  H(t) ‬ﰱ )‪ (٥٢-٥‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫اذا ﻛﺎن‬ ‫) ‪(1  t c‬‬ ‫‪ c2 z 2   1‬‬ ‫‪ln t ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪H BL  H(t) 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k  k BL ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪BL‬‬ ‫‪c ‬‬ ‫‪2D   c (1  t ) ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻟﻘﻴﻤﺔ ) ‪. (c D ,k D‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ 2ln t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ln t ‬‬ ‫‪ 1 ln t ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪z 2  (r  ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2kB‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c ‬‬ ‫‪ c  1  t c  .‬‬ ‫‪c(1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫)‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫)ب(ﺗﻘرﯾب ﺗﯾرﻧﻰ وﻛﺎدﯾن ‪The Tierney-Kadane Approximate‬‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪام طﺮﯾﻘﺔ ﺗﯿﺮﻧﻲ وﻛﺎدﯾﻦ واﳌﻘﺪﻣﺔ ﻣﻦ )‪Tiernsy and Kadane (1986‬‬ ‫وذﻟﻚ ﰱ وﺟﻮد اﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻣﻌﻠﻤﺔ‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾـﺔ‪:‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ‪ n‬ﻛﺑﯾرة ﺑدرﺟﺔ ﻛﺎﻓﯾﺔ ٕواذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي ﻟﻠداﻟﺔ )‪u(‬‬

‫و ) ‪)   (, ,..., m‬ﯾﻌطﻰ ﺑﯾﺎﻧﺎت( ﺗﺗرﻛز ﻋﻠﻲ ﻧﺻف ﺧط اﻷﻋداد اﻟﻣوﺟب )أو اﻟﺳﺎﻟب(‬ ‫ﺣﯿﺚ )‪ L( ‬ھﻮ ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن و )‪ ( ‬ھﻮ ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻘﺒﻠﻰ )‪ g( ‬ﻓﺈن‬ ‫‪ L     g   ‬ﺗﺗرﻛز ﺣول ﻗﯾﻣﺔ ﻋظﻣﻰ وﺣﯾدة ﻓﺈن اﻟﺗﻛﺎﻣل اﻟﻣﻌرف ﻓﻲ )‪ (٤٦-٥‬ﯾﻣﻛن‬

‫اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻪ ﺑﺎﻟﺻورة اﻵﺗﯾﺔ‪:‬‬

‫* ‪n‬‬

‫‪d‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪n‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫)‪(٥٣-٥‬‬ ‫‪٤٦١‬‬

‫‪E[u( ) | x] ‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ L     g     , *   ln u     L     g    ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  Q(  ) , *   ln u     Q( )  ,Q( )  L     g    .‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫وﺑﺎﺗﺒﺎع )‪ Tiernsy and Kadane (1986‬اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ )‪ (٥٣-٥‬ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﺑﺻورة‬

‫ﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫*‬

‫‪ det ‬‬ ‫‪n       .‬‬ ‫‪u BT  ‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪ det  ‬‬ ‫*‬

‫*‬

‫)‪(٥٤-٥‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫* ‪ ‬ﻫﻲ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌظﻣﻰ ﻟـ *‪  * , ‬ﻫﻲ ﻣﻧوال اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدي واﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌظﻣﻰ ﻟـ ‪ ‬و‬

‫‪ * , ‬ﻫﻣﺎ ﻣﻌﻛوس ﺳﺎﻟب اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت ﻟﻠﺗﻔﺎﺿل اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻟﻛل ﻣن ‪ * , ‬ﻋﻧد ‪  * , ‬ﻋﻠﻰ‬

‫اﻟﺗواﻟﻰ‪ .‬و ‪ det * ,det ‬ﳘﺎ اﶈﺪدان ﻟﻠﻤﺼﻔﻮﻓﺘﺎن ‪ . * , ‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ‪ u BT‬ﰱ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻫﻰ ﺗﻘﺮﻳﺐ‬ ‫ﺗﲑﱏ وﻛﺎدﻳﻦ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪. u‬‬ ‫ﻟﺘﻮزﻳﻊ ﺑﻴﲑ اﻟﺜﺎﱏ ﻋﺸﺮ ﻓﺈن ‪ * , ‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱃ ﳘﺎ ‪:‬‬

‫)‪(٥٥-٥‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ c‬‬ ‫‪c ‬‬ ‫‪   r      ln c  (r   )ln k  ln v(c | y)  k  (  T)    ,‬‬ ‫‪B ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪*  ln u(c,k)  .‬‬ ‫‪n‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ )‪ (٥٤-٥‬ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ؛‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫*‬

‫‪ det ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪n   c ,k  c,k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪uˆ BT  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪ det  ‬‬ ‫*‬

‫*‬

‫*‬

‫)‪(٥٦-٥‬‬

‫اﻟﺘﻘﺪﻳﺮ اﻟﺴﺎﺑﻖ )‪ (٥٦-٥‬ﳛﺘﺎج اﱃ ﺣﺴﺎب اﻟﻘﻴﻢ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﳊﺴﺎب ‪ det ‬ﳓﺴﺐ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪٤٦٢‬‬

   1   r     1    M ,   B, 2 n n n c  ck  1  r      .

2 n  k 2  k

 1 (r    ) M n c2  B   n

 c 2 n(r  )  D   Bc 2 k 2 n   D

B  n   (r  )  nk 2 

1

  , 2 k n(cM  r    )   D Bc 2 k 2 n

c 2 k 2 n 2 (ckn) 2 det   2 2  .

D Bc k  (r  )(c2 M  r    )

(٥٧-٥)

(c D ,k D ) ‫واﻟذى ﯾﻘدر ﻋﻧد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﻌدى‬

‫ ﻳﻜﻮن ﻟﻪ‬c,k ‫وﳚﺐ اﻟﺘﺬﻛﲑ ان اﺳﺘﺨﺪام ﻫﺬﻩ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻳﺘﻄﻠﺐ ان اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺘﲔ‬ ‫ﰱ اﳉﺰء اﻟﺘﺎﱃ ﱂ ﻧﻔﻚ اﳌﻌﺎدﻻت ﺑﺎﻟﺘﻔﺼﻴﻞ‬. ‫ﻣﻨﻮال وﺣﻴﺪ وﻗﺪ ﲢﻘﻖ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ ﲢﺖ اﳌﻨﺎﻗﺸﺔ‬ . ‫وﻛﻦ ﻧﱰﻛﻬﺎ ﻟﻠﻘﺎرئ ﻟﻜﻰ ﻳﺘﻌﻠﻢ ﻓﻚ اﳌﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ‬ (٥٦-٥) ‫ ﰱ‬u  u(c, k)  c ‫اذا ﻛﺎن‬

c BT

* c

1 2

 det   n * c1* ,k 1*  c D ,k D   .  e det    ٤٦٣

: ‫ﻓﺈن‬

: ‫ﺣﯾث‬ det *c

c2k 2 n 2  , pp

pp  (r  )(c 2 M  r    )  B2c 2 k 2 , . u  u(c,k)  c ‫( ﺣﻴﺚ‬٥٥-٥) * ‫( اﳌﻨﻮال ل‬c1* ,k 1* ) ‫واﻟﱴ ﺗﻘﺪر ﻋﻨﺪ اﻟﻘﻴﻤﺔ‬ : ‫( ﻓﺈن‬٥٦-٥) ‫ ﰱ‬u  u(c,k)  k ‫اذا ﻛﺎن‬ * k

1 2

   * * * k   det   en   c 2 ,k 2  c D ,k D  .   BT  det  

det *k 

: ‫ﺣﯾث‬

c2 k 2n 2 , pp

pp  (r  )(c 2 M R  r    )  (BR ck)2 ,

: ‫ﺣﯾث‬

u  u(c,k)  k ‫( ﺣﻴﺚ‬٥٥-٥) * ‫( اﳌﻨﻮال ل‬c1* ,k 1* ) ‫واﻟﱴ ﺗﻘﺪر ﻋﻨﺪ اﻟﻘﻴﻤﺔ‬

: ‫( ﻓﺈن‬٥٦-٥) ‫ ﰱ‬u  u(c,k)  R(t)  (1  t c )  k ‫اذا ﻛﺎن‬

٤٦٤

* R

1 2

 det   n * cˆ *3 ,kˆ *3  cˆ D ,kˆ D   R BT (t)   .  e det   

det *R



 nck 2





 r    r      M R c 2   BR ck    

: ‫ﺣﯾث‬ ,

2   c 2 c  ln t  M R   k  1 N  k  n  r  x r a r  t  ,  c 1  t     r 1  ln t  BR  (n  r)  x rca r   x ica i  t c  , c   1  t   i 1

u  u(c,k)  R(t) ‫( ﺣﻴﺚ‬٥٥-٥) * ‫( اﳌﻨﻮال ل‬c *3 ,k *3 ) ‫واﻟﱴ ﺗﻘﺪر ﻋﻨﺪ اﻟﻘﻴﻤﺔ‬ : ‫( ﻓﺈن‬٥٦-٥) ‫ ﰱ‬u  u(c, k)  H(t)  * H



, ‫اذا ﻛﺎن‬

1 2

 det   n * cˆ *4 ,kˆ *4  cˆ D ,kˆ D   H BT (t)   .  e det    det *H

ckt c 1 1 t c

 nck 2  r    1 r      1  M H c 2   Bck 2   





: ‫ﺣﻴﺚ‬ ,

M H   k  1 N  k(n  r)x cr a r2

. u  u(c,k)  H(t) ‫( ﺣﻴﺚ‬٥٥-٥) * ‫( اﳌﻨﻮال ل‬c *4 ,k *4 ) ‫واﻟﱴ ﺗﻘﺪر ﻋﻨﺪ اﻟﻘﻴﻤﺔ‬

‫( ﺗﻧﺑؤ اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﻟﺑﯾﯾز ﺗﺣت ﻓرض ﺗوزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺗو‬٦-٥) ٤٦٥

‫)‪ (١-٦-٥‬ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺷﻛل ﻏﯾر ﻣﻌﻠوﻣﺔ وﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺛﺎﺑت‬ ‫ﻫﺬا اﻟﺒﻨﺪ ﻣﺎﺧﻮذ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ )‪ AL-Ohaly(2000‬ﻣﻦ ﺧﻼل رﺳﺎﻟﺔ اﳌﺎﺟﺴﺘﲑ ﻣﻨﺎل داوود اﺑﺮاﻫﻴﻢ اﻟﻌﻮﻫﻠﻰ ﲢﺖ اﺷﺮاف‬ ‫اﻟﺪﻛﺘﻮر اﲪﺪ اﺑﻮ ا ﺪ ﺳﻠﻴﻤﺎن اﻳﻀﺎ )‪ Soliman and AL-Ohaly (2000‬وﺳﻮف ﻧﻘﺪﻣﻪ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ وذﻟﻚ ﺣﱴ‬ ‫ﳕﻜﻦ اﻟﻘﺎرئ ﻣﻦ اﻟﺘﺪرب ﻋﻠﻰ ﻓﻚ اﳌﻌﺎدﻻت ﻣﻦ ﺧﻼل ﻣﺎ اﻛﺘﺴﺒﻪ ﻣﻦ اﻻﲝﺎث اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ اﻟﱴ ﺗﻨﺎوﻟﻨﺎﻫﺎ ﰱ ﻫﺬا اﻟﻔﺼﻞ ‪.‬‬ ‫ﺑﻔـ ــﺮض أن ‪ n‬ﻣـ ــﻦ اﻟﻮﺣ ـ ــﺪات ﻣـ ــﻦ اﻟﻌﻴﻨـ ــﺔ اﻻوﱃ وﺿ ـ ــﻌﺖ ﻟﻼﺧﺘﺒـ ــﺎر وان اﻻﺧﺘﺒ ـ ــﺎر ﻳﻨﺘﻬـ ــﻲ ﺑﻌـ ــﺪ ﻓﺸ ـ ــﻞ ‪ r‬ﻣـ ــﻦ اﻟﻮﺣ ـ ــﺪات ‪ .‬اى أن‬ ‫‪ X1 , X 2 , , X n‬ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﲤﺜﻞ أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ وان أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫)‪f (x)   x -( +1‬‬

‫;‪,>0, >0,x  ‬‬

‫)‪(٨٥-٥‬‬ ‫‪‬‬

‫‪,>0, >0,x  ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪F(x)  1   ‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‪(٨٦-٥‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ ‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس و ‪ ‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻋﺘﺒﺎر ﻣﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﻘﻴﺎس ‪ ‬وﻋﺪم ﻣﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ ‪ ‬و ﺑﻔﺮض ان اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻻوﱃ ذات اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﻣﻌﻠﻮم ﻋﻨﻬﺎ‬ ‫اﳌﺸﺎﻫﺪات ‪ . y  y1  y 2    y r‬داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪ f (y i )[1  F(y r )]n r‬‬ ‫‪(n  r)! i 1‬‬

‫‪L(,  | y)  L ‬‬

‫‪r‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫) ‪(n  r‬‬ ‫‪ r y ‬‬ ‫[‬ ‫‪yi (1) ] n .‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫!)‪(n  r‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫)‪(٨٧-٥‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ )‪ (c,d‬ﻛﺘﻮزﻳﻊ ﻗﺒﻠﻰ ﻣﺮاﻓﻖ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬اى ان )‪   Gamma(c,d‬واﻟﺬى‬ ‫ﻳﺎﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬ ‫‪٤٦٦‬‬

‫‪ c 1e  dd c‬‬ ‫‪( ) ‬‬ ‫)‪(c‬‬

‫‪  0 , c,d  0 .‬‬

‫)‪(٨٨-٥‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺑﻴﻴﺰ واﳌﻌﺎدﻻت )‪ (٨٧-٥‬و)‪ (٨٨-٥‬ﻳﻜﻮن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫)‪ ( 1‬‬

‫‪ r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫‪e   yr ‬‬ ‫‪ i 1 ‬‬ ‫)‪ ( 1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ (n  r)  d ‬‬ ‫‪ yr‬‬ ‫‪e   yr ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ i 1 ‬‬ ‫‪ (n  r )  d‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪n‬‬

‫‪(r  c) 1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ (r c)1‬‬

‫‪( | y) ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫) ‪(d  u)r  c e  (d u‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪(r  c‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ n ln r .‬‬ ‫‪xr‬‬ ‫‪‬‬

‫‪(r  c) 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪r‬‬

‫‪u   ln‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫)‪(٨٩-٥‬‬ ‫ﻳﻼﺣﻆ ان اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ( | y) ‬ﻫﻮ اﻳﻀﺎ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺘﲔ )‪ (d  u),(r  c‬اى ان‬ ‫)‪.   Gamma((r  c),(d  u‬‬ ‫ﺑﻔﺮض ان ‪ z  z1  z 2    z r‬ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ وﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﻋﻦ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻻوﱃ وذات اﳊﺠﻢ اﻟﺜﺎﺑﺖ ‪ m‬واﳌﻄﻠﻮب اﳚﺎد‬ ‫ﻓﱰات ﺗﻨﺒﺆ ﺑﻴﻴﺰ ﻻى ﻣﺸﺎﻫﺪة ‪ z s‬ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات ‪ z‬ﺣﻴﺚ ‪: 1  s  m‬‬ ‫ﲢﺖ ﻓﺮض ان ‪ z s‬ﻫﻰ اﳌﺸﺎﻫﺪة ذات اﻟﱰﺗﻴﺐ ‪ s‬ﰱ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﳌﺮﺗﺒﺔ ‪ z‬ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ل ‪ z s‬ﺗﻌﻄﻰ ﻣﻦ ‪:‬‬

‫)‪f (z s | , ‬‬

‫)‪(s 1‬‬

‫‪ F(zs | , ) ‬‬

‫)‪(m s‬‬

‫‪h * (z s | , )  D1 (s) 1  F(z s | , ) ‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪D1 (s)  s   ,‬‬ ‫‪s‬‬

‫وﰱ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ ﺗﺎﺧﺬ داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪s 1‬‬

‫)‪(٩٠-٥‬‬

‫‪   ‬‬ ‫‪ 1    ‬‬ ‫‪  zs  ‬‬

‫)‪ ( m s 1‬‬

‫‪    ‬‬ ‫‪h (z s |  , )  D1 (s)   ‬‬ ‫‪ z s  z s ‬‬ ‫*‬

‫‪٤٦٧‬‬

‫ اﱃ‬h* (z s | , ) ‫ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ ( ﺗﺆول داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ‬s ‫وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﻔﻜﻮك ذات اﳊﺪﻳﻦ )ﺣﻴﺚ‬ : ‫اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ‬ s 1

s 1      h (z s | , )  D1 (s)   1      j   z s  z s  j 0 *

 ( m s  j1)

j

, z s  .

(٩١-٥) : ‫ ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة‬zs ‫( ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺑﻴﻴﺰ اﻟﺘﻨﺒﺆﻳﺔ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة‬٩١-٥) (٨٩-٥)‫وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳌﻌﺎدﻟﺘﲔ‬ p1 (z s | y)   h * (z s | , ) ( )d 

s 1   (d  u) ( r c) s 1 j  D1 (s)  1  j    ( rc)e (d  u)    z s  (r  c) j0  0  zs 

 (m s  j1)

s 1     (d  u) ( r c)  D1 (s) (r  c)  a j (d  u)  m j ln    zs j 0  zs  

d  (r  c 1)

,

(٩٢-٥) : ‫ﺣﻴﺚ‬ s 1 j  a j   1   , m j  (m  s  j  1).  j : ‫ ﻳﺘﻄﻠﺐ ﺣﺴﺎب داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ اﻻﺗﻴﺔ‬zs ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺣﺪود ﺗﻨﺒﺆ ﺑﻴﻴﺰ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة‬



R(t)  P  z s  t | y    p1 (z s | y)dzs . t

: ‫( وﺑﻌﺾ اﳌﻌﺎﳉﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻳﺘﻢ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ‬٩١-٥) ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺔ‬ s 1



1 P  z s  t | y   D1 (s)(d  u) (r c) (r  c)  a j  z j 0 t s aj   t  (d  u)  m j ln         j 0 m j  s 1

 D1 (s)(d  u)

(r  c)

    (d  u)  m j ln     zs  

 (r  c 1)

dz s

 (r  c)

.

(٩٣-٥) : ‫ ﻳﻌﻄﻴﺎ ﻣﻦ‬100% ‫ ﲟﺴﺘﻮى ﺛﻘﺔ‬zs ‫ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة اﳌﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ‬U(y) ‫ واﻻﻋﻠﻰ‬L(y) ‫ﺣﺪى ﺗﻨﺒﺆ ﺑﻴﻴﺰ اﻻدﱏ‬

٤٦٨

‫‪1 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪P  z s  U(y) | y  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪P  z s  L(y) | y  ‬‬

‫)‪(٩٤-٥‬‬ ‫اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﳝﻜﻦ ﺣﻠﻬﺎ ﻋﺪدﻳﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام )‪ (٩٣-٥‬ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺣﺪود وﻓﱰات ﺗﻨﺒﺆ ﺑﻴﻴﺰ ﻟﻘﻴﻢ ‪ ‬اﳌﺨﺘﻠﻔﺔ ‪.‬‬

‫ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ‬ ‫)ا( ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪s  1‬‬ ‫ﻋﺎدة ﻳﻜﻮن ﻣﻦ اﳌﻬﻢ اﻟﺘﻨﺒﺆ ﺑﺎﻗﻞ ﻣﺸﺎﻫﺪة ﻋﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات اﳌﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ذات اﳊﺠﻢ ‪، m‬وﳝﻜﻨﻨﺎ اﳊﺼﻮل‬ ‫ﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﺑﻮﺿﻊ ‪ s  1‬ﰱ اﳌﻌﺎدﻟﺔ )‪ (٩٣-٥‬ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة ‪) z1‬اﻗﻞ‬ ‫ﻣﺸﺎﻫﺪة( وﻣﻦ اﳌﻌﺎدﺗﲔ ﰱ)‪ (٩٤-٥‬ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺣﺪى ﺗﻨﺒﺆ ﺑﻴﻴﺰ اﻻدﱏ )‪ L(y‬واﻻﻋﻠﻰ )‪U(y‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة اﳌﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ‪ z1‬ﲟﺴﺘﻮى ﺛﻘﺔ ‪ 100%‬وﺳﻮف اﺗﺮﻛﻬﺎ ﻛﺘﻤﺮﻳﻦ ‪.‬‬ ‫)ب( ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪s  m‬‬ ‫ﻟﻮ اﻓﱰﺿﻨﺎ ان ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ (i  1,2,...m),zi‬ﲤﺜﻞ اوﻗﺎت اﻟﻌﻤﻞ ﺑﺪون اﻋﻄﺎل ﻤﻮﻋﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪m‬‬ ‫ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﻓﺈن اﻟﺘﻨﺒﺆ ﺑﺎﳌﺸﺎﻫﺪة ‪ zi‬ﻳﻌﲎ اﻟﺘﻨﺒﺆ ﺑﻌﻤﺮ اﻟﻮﺣﺪة اﻻﺧﲑة ﰱ ﻫﺬﻩ ا ﻤﻮﻋﺔ وﻫﺬا ﻣﻔﻴﺪ‬ ‫اﱃ ﺣﺪ ﻛﺒﲑ ﰱ اﳊﻴﺎة اﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ‪.‬وﺑﻮﺿﻊ ‪ s  m‬ﰱ اﳌﻌﺎدﻟﺔ )‪ (٩٣-٥‬ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة اﻻﺧﲑة ‪ z m‬وﻣﻦ اﳌﻌﺎدﺗﲔ ﰱ)‪ (٩٤-٥‬ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺣﺪى ﺗﻨﺒﺆ ﺑﻴﻴﺰ اﻻدﱏ )‪ L(y‬واﻻﻋﻠﻰ‬ ‫)‪ U(y‬ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة اﳌﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ‪ z m‬ﲟﺴﺘﻮى ﺛﻘﺔ ‪ 100%‬وﺳﻮف اﺗﺮﻛﻬﺎ ﻛﺘﻤﺮﻳﻦ ‪.‬‬ ‫)‪ (٢-٦-٥‬ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺷﻛل ﻏﯾر ﻣﻌﻠوﻣﺔ وﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔﻋﺷواﺋﻰ‬

‫ﻣﻦ اﳌﻌﻠﻮم ﰱ ﻛﺜﲑ ﻣﻦ اﻟﺒﺤﻮث اﻟﺒﻴﻮﻟﻮﺟﻴﺔ واﻟﺰراﻋﻴﺔ وﲡﺎرب اﻟﺘﺤﻜﻢ ﰱ ﺟﻮدة اﻻﻧﺘﺎج ان ﻫﻨﺎك‬ ‫اﺣﺘﻤﺎل ﻛﺒﲑ ﻟﻔﻘﺪ اﺣﺪ او ﺑﻌﺾ اﻋﻀﺎء اﻟﻌﻴﻨﺔ ﲢﺖ اﻟﺪراﺳﺔ ﻻﺳﺒﺎب ﻟﻴﺴﺖ ﲢﺖ اﻟﺴﻴﻄﺮة ‪،‬ﻟﺬا‬ ‫ﳝﻜﻦ اﻻﺧﺬ ﰱ اﻻﻋﺘﺒﺎر ﻋﻨﺪ ﺣﺴﺎب ﻓﱰات اﻟﺘﻨﺒﺆ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻣﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ان ﻳﻜﻮن ﺣﺠﻢ ﻫﺬﻩ اﻟﻌﻴﻨﺔ ﻏﲑ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ اى ﻣﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ‪ ،‬وﻣﺎ ﺗﺎﺛﲑ ذﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﻓﱰات اﻟﺘﻨﺒﺆ اﻟﻨﺎﲡﺔ ؟ ﻫﺬا ﻣﺎ ﺳﻨﺤﺎول اﻻﺟﺎﺑﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﺧﻼل ﻫﺬا اﳉﺰء ‪.‬‬ ‫‪٤٦٩‬‬

‫ﺑﻔﺮض ان ‪ z  z1  z2    zr‬ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ وﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﻋﻦ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻻوﱃ ﺣﺠﻤﻬﺎ ‪m‬‬ ‫‪ ،‬وﺑﻔﺮض ان ‪ m‬ﻣﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻮاﺳﻮن ﻏﲑ اﻟﺘﺎم ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬واﻟﺬى داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺘﻪ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬

‫ﻏﲑ ﺛﺎﺑﺖ اى ﻣﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ‬

‫‪e m‬‬ ‫‪p (m) ‬‬ ‫‪, m  1, 2,3,...‬‬ ‫) ‪m!(1  e ‬‬ ‫*‬

‫)‪(٩٥-٥‬‬ ‫ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺒﺤﺜﻰ )‪ Gupta and Gupta (1984),Consul (1984‬ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ‬ ‫اﻟﺘﻨﺒﺆﻳﺔ ﻻى ﻣﺸﺎﻫﺪة ﻣﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ‪ z‬ﺣﻴﺚ ‪ 1  s  m‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن ‪ m‬ﻣﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ﺗﻌﻄﻰ ﻣﻦ ‪:‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‪p* (m)p(z s | m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P(m  s) m s‬‬

‫‪g(z s | y) ‬‬

‫)‪(٩٦-٥‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫)‪ p(z s | m‬داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة ‪ z‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن ‪ m‬ﺛﺎﺑﺘﺔ ‪.‬‬ ‫ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻻت )‪ (٩١-٥‬و)‪ (٩٥-٥‬و)‪ (٩٦-٥‬ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺑﻴﻴﺰ اﻟﺘﻨﺒﺆﻳﺔ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة‬ ‫ﺣﺠﻢ اﻟﻌﻴﻨﺔ ‪ m‬ﻣﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ﻟﻪ داﻟﺔ اﻟﻜﺘﻠﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ )‪ (٩٥-٥‬ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪s‬‬

‫)‪ (r  c 1‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫‪zs‬‬

‫‪(r  c)H r c  s 1‬‬ ‫‪m ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪g(z s | y) ‬‬ ‫‪a jD1 (s)  H  m j ln( ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k 1z s‬‬ ‫‪m! ‬‬ ‫‪zs ‬‬ ‫‪m s j 0‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪H  (d  u), k1  e   .‬‬ ‫!‪w  0 w‬‬ ‫‪s 1‬‬

‫‪‬‬

‫وﺗﻜﻮن داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﰱ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪P  zs  t | y    g1 (z s | y)dz s‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ (r  c‬‬

‫‪.‬‬

‫‪m ‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫‪D1 (s)  H  m j ln( ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m! ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪m s j0 m j‬‬ ‫‪aj‬‬

‫)‪(٩٧-٥‬‬

‫‪٤٧٠‬‬

‫‪s 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪r c‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k1‬‬

‫ﰱ ﺣﺎﻟﺔ‬

‫ﺣﺪى ﺗﻨﺒﺆ ﺑﻴﻴﺰ اﻻدﱏ )‪ L(y‬واﻻﻋﻠﻰ )‪ U(y‬ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة اﳌﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ‪ zs‬ﲟﺴﺘﻮى ﺛﻘﺔ ‪ 100%‬ﳓﺼﻞ‬ ‫ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ ﺑﺎﳊﻞ اﻟﻌﺪدى ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ اﱃ ‪ t‬ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬ ‫) ‪ (r  c‬‬

‫‪‬‬

‫‪m ‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫‪D‬‬ ‫)‪(s‬‬ ‫‪ H  m j ln( ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m! ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪m  s j 0 m j‬‬ ‫‪aj‬‬

‫‪s 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪H rc‬‬ ‫‪k1‬‬

‫ﻟﻘﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪, ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫ﻋﻠﻰ اﻟﱰﺗﻴﺐ ‪.‬‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪s  1‬‬ ‫ﻋﺎدة ﻳﻜﻮن ﻣﻦ اﳌﻬﻢ اﻟﺘﻨﺒﺆ ﺑﺎﻗﻞ ﻣﺸﺎﻫﺪة ﻋﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات اﳌﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ذات اﳊﺠﻢ ‪، m‬وﳝﻜﻨﻨﺎ اﳊﺼﻮل‬ ‫ﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﺑﻮﺿﻊ ‪ s  1‬ﰱ اﳌﻌﺎدﻟﺔ )‪ (٩٧-٥‬ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة ‪) z1‬اﻗﻞ‬ ‫ﻣﺸﺎﻫﺪة( ‪.‬واﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺣﺪى ﺗﻨﺒﺆ ﺑﻴﻴﺰ اﻻدﱏ )‪ L(y‬واﻻﻋﻠﻰ )‪ U(y‬ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة اﳌﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ‪ z1‬ﲟﺴﺘﻮى‬ ‫ﺛﻘﺔ ‪ 100%‬ﻣﱰوك ﻛﺘﻤﺮﻳﻦ او اﻟﺮﺟﻮع اﱃ اﻟﺮﺳﺎﻟﺔ‪.‬‬

‫)‪ (٣-٦-٥‬وﺟود ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻧﻌزﻟﺔ‬

‫ﻣﻦ اﳉﺪﻳﺮ ﺑﺎﻟﺬﻛﺮ ان دراﺳﺔ اﳊﺎﻻت اﳋﺎﺻﺔ ﺑﻮﺟﻮد اﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻨﻌﺰﻟﺔ ﰱ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﳌﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ﻳﻨﺘﺞ‬ ‫ﻋﻨﻪ ﻋﻼﻗﺎت رﻳﺎﺿﻴﺔ ﻏﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺘﻌﻘﻴﺪ ﳑﺎ ﳚﻌﻞ اﻣﻜﺎﻧﻴﺔ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﳍﺬﻩ اﳊﺎﻻت ﻏﺎﻳﺔ‬ ‫ﰱ اﻟﺼﻌﻮﺑﺔ )‪. Banett and Lewis(1994‬‬ ‫ﺑﻔﺮض أن ‪ n‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﻣﻦ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻻوﱃ وﺿﻌﺖ ﻟﻼﺧﺘﺒﺎر وان اﻻﺧﺘﺒﺎر ﻳﻨﺘﻬﻲ ﺑﻌﺪ ﻓﺸﻞ ‪ r‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ‪ .‬اى أن‬ ‫‪ y  y1 , y 2 ,...y r‬ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﲤﺜﻞ أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ وان أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ﺑﺎﻋﺘﺒﺎر ﻣﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻣﻌﻠﻤﺔ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎس ‪ ‬وﻋﺪم ﻣﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ ‪ ‬و ﺑﻔﺮض ان اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻻوﱃ ذات اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﻣﻌﻠﻮم ﻋﻨﻬﺎ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬

‫‪ . y  y1  y 2    y r‬ﺑﻔﺮض ان ‪ z  z1  z 2    z r‬ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ وﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﻋﻦ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻻوﱃ وذات‬

‫اﳊﺠﻢ اﻟﺜﺎﺑﺖ ‪m‬‬

‫ﺗﺎﺑﻌﺔ ﻟﻨﻔﺲ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺣﺘﻤﺎﱃ وإذا اﻓﱰﺿﻨﺎ وﺟﻮد ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻨﻌﺰﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع ‪  o‬ﰱ اﻟﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫‪٤٧١‬‬

: 1  s  m ‫ ﺣﻴﺚ‬z ‫ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات‬zs ‫واﳌﻄﻠﻮب اﳚﺎد ﻓﱰات ﺗﻨﺒﺆ ﺑﻴﻴﺰ ﻻى ﻣﺸﺎﻫﺪة‬ ‫ ﺗﻌﻄﻰ ﻣﻦ اﻟﺼﻴﻐﺔ‬z s ‫ ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ل‬z ‫ ﰱ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﳌﺮﺗﺒﺔ‬s ‫ ﻫﻰ اﳌﺸﺎﻫﺪة ذات اﻟﱰﺗﻴﺐ‬z s ‫ﲢﺖ ﻓﺮض ان‬ : ‫اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ m s  m1  h(ys | )   [(s  1)Fs2 1  F F* f (ys | )   s1  m s

Fs1 1  F

f * (ys | )  m s 1

(m  s)Fs1 1  F

1  F*  f (ys | )].

‫ اﻟﻐﯾر اﻟﻣﻧﻌزﻟﺔ ﺑﯾﻧﻣﺎ‬y ‫ ﻫﻣﺎ داﻟﺗﻰ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ واﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻛل ﻗﯾم‬f (ys | ),F(ys | ) ‫ﺣﯾث‬

.

.‫ اﻟﻣﻧﻌزﻟﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺗرﺗﯾب‬y ‫ ﻫﻣﺎ داﻟﺗﻰ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ واﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻛل ﻗﯾم‬f * (ys | ),F* (ys | ) : ‫وﰱ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﺎرﻳﺘﻮ ﺗﺎﺧﺬ داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬  (s  2)  (m s)         o            1      1 h(z s | , )    [ (s  1)  1       s  1      zs    zs z z    s   s     m 1

      1       zs    

(s 1)

    zs 

 ( m s)

    

  o   o    o 1   zs 

(s 1)

          (m s 1)     o     (m  s)  1          1 ], z s  .   zs    zs   zs   zs    ‫ اﱃ‬h* (z s | , ) ‫ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ ( ﺗﺆول داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ‬s ‫وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﻔﻜﻮك ذات اﳊﺪﻳﻦ )ﺣﻴﺚ‬

: ‫اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ‬

 m 1     h(z s | , )   [   s 1   z s  s 2

 s2     (s  1)  1      j   zs  j0

m oj

j

s 1

 s2   (s  1)  1    j  j0

 s 1        o  m  s    1     j   zs  j 0 j

s2

j

 (moj 1)

].

: ‫ﺣﻴﺚ‬ ٤٧٢

‫‪m oj   o  m j .‬‬

‫وﺑﻌﺪ ﺑﻌﺾ اﻻﺧﺘﺼﺎرات اﳉﱪﻳﺔ ﺗﺎﺧﺬ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪s 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ m  z , ‬‬ ‫‪ m  z ,‬‬ ‫‪h(zs | , )  D2 (s)  [ s  1  b j e j s  e oj s‬‬ ‫‪j0‬‬ ‫‪ zs ‬‬

‫‪‬‬

‫‪],zs  ‬‬

‫‪  m 1 z , ‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪s1‬‬

‫‪  o  m  s   a je‬‬

‫‪oj‬‬

‫‪j 0‬‬

‫)‪(٩٨-٥‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪s 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪ s 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D 2 (s)    , b j  1   ,  (z s ,  )  ln   .‬‬ ‫‪ j ‬‬ ‫‪ j ‬‬ ‫‪ zs ‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن ﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﺸﻜﻞ ‪ ‬ﻏﲑ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ وﻣﻌﻠﻤﺔ اﻟﻘﻴﺎس ‪ ‬ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﻓﻔﻰ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻳﺴﺘﺨﺪم ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ‬ ‫ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺘﲔ )‪ (c,d‬ﻛﺘﻮزﻳﻊ ﻗﺒﻠﻰ ﻣﺮاﻓﻖ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬واﻟﺬى ﻳﺎﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪c 1e dd c‬‬ ‫‪() ‬‬ ‫)‪(c‬‬

‫‪  0 , c,d  0 .‬‬

‫ﺑﻌﺪ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﻴﻨﺔ ‪ y‬ﻓﺈن اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺒﻌﺪى ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ ‬ﻳﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬ ‫‪ H ‬‬

‫‪,‬‬

‫) ‪( r c‬‬

‫‪ ( r  c) 1H e‬‬ ‫‪( | y) ‬‬ ‫)‪ (r  c‬‬

‫‪xi‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ln r , H  d  u.‬‬ ‫‪xr‬‬ ‫‪‬‬

‫‪r‬‬

‫‪u   ln‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫)‪(٩٩-٥‬‬

‫ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺘﲔ )‪ (٩٨-٥‬و)‪ (٩٧-٥‬ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ ﺑﻴﻴﺰ اﻟﺘﻨﺒﺆﻳﺔ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة ‪ zs‬ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة ‪:‬‬

‫‪٤٧٣‬‬

f1 ( z s | y ) 

h ( z s |  ,  )  (  )d 

 



 D 2 (s )[  0

s2 ( H ) (r c )    ( H  m j  ( z s ,  ))     ( H  m o j  ( z s ,  ))  [(s  1)  b j e   e  (r  c) j 0



s2

 (  o  m  s )  a je

  ( H  ( m o j  1)  ( z s ,  ))



]d  ,

j 0

: ‫وﺑﺎ ﺎء اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت وﻋﺪد ﻣﻦ اﻻﺧﺘﺼﺎرات ﺗﺎﺧﺬ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ‬ f 1 ( z s | y )  D 2 (s )

s2 (rc) ( H ) ( r  c ) (r  c ) [(s  1)  b j  (H  m j  (z s ,  )  zs j 0

  (H  m oj (z s ,  ) 

 ( r  c  1)

s 1

 (  o  m  s )  a j [( H  (m oj  1)  (z s ,  )]

 ( r  c 1 )

, z s  .

j 0

: ‫ ﻳﺘﻄﻠﺐ ﺣﺴﺎب داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ اﻻﺗﻴﺔ‬z s ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺣﺪود ﺑﻴﻴﺰ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة‬ 

R(t)  P  z s  t | y    p1 (z s | y)dzs . t

: ‫( وﺑﻌﺾ اﳌﻌﺎﳉﺎت اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻳﺘﻢ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ‬١٠٠-٥) ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺔ‬ 

P  z s  t | y   D 2 (s)(H)

(r  c)

(r  c)[  t



 t

 (r  c 1) (s  1) s 2 b j{ (H  m j (z s , )  }dz s  z s j0

s 1

 (r  c 1) (  o  m  s) a j  (H  (m oj  1)  (z s , )  dz s ]  zs j 0 s2

 D 2 (s)(H)

(r  c)

{(s  1)  b j ((t,m j )   (t, m oj ) j 0

s 1

 ( o  m  s)  a j ( (t, m oj  1))], j 0

٤٧٤

‫)‪(١٠١-٥‬‬ ‫ﺣﻴﺚ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪ (r  c‬‬ ‫‪ H  x(t, )  .‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺣﺪى ﺗﻨﺒﺆ ﺑﻴﻴﺰ اﻻدﱏ )‪ L(y‬واﻻﻋﻠﻰ )‪ U(y‬ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة اﳌﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ‪ zs‬ﲟﺴﺘﻮى ﺛﻘﺔ ‪ 100%‬ﻳﻌﻄﻴﺎ ﻣﻦ ‪:‬‬ ‫‪ (t, x) ‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪P  z s  U(y) | y  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪P  z s  L(y) | y  ‬‬

‫اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﳝﻜﻦ ﺣﻠﻬﺎ ﻋﺪدﻳﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام )‪ (١٠١-٥‬ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺣﺪود وﻓﱰات ﺗﻨﺒﺆ ﺑﻴﻴﺰ ﻟﻘﻴﻢ ‪‬‬

‫اﳌﺨﺘﻠﻔﺔ ‪.‬‬

‫ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ‬ ‫)ا( ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪s  1‬‬ ‫ﻋﺎدة ﻳﻜﻮن ﻣﻦ اﳌﻬﻢ اﻟﺘﻨﺒﺆ ﺑﺎﻗﻞ ﻣﺸﺎﻫﺪة ﰱ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﳌﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ اﻟﱴ ﲢﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﺣﺪ اﻟﻘﻴﻢ اﳌﻨﻌﺰﻟﺔ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻨﻮع ‪  o‬ﻧﻀﻊ ‪ s  1‬ﰱ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ )‪ (١٠١-٥‬ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ اﻟﻼ زﻣﺔ ﳊﺴﺎب‬ ‫ﺣﺪود ﺗﻨﺒﺆ ﺑﻴﻴﺰ ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة ‪) z1‬اﻗﻞ ﻣﺸﺎﻫﺪة( ﰱ اﻟﺼﻮرة‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫)‪ (r  c‬‬

‫‪P zs  t | y   H(rc)  H  (o  m  1)(t, )‬‬

‫وﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺣﺪى ﺗﻨﺒﺆ ﺑﻴﻴﺰ اﻻدﱏ )‪ L(y‬واﻻﻋﻠﻰ )‪ U(y‬ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة اﳌﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ‪ z1‬ﲟﺴﺘﻮى ﺛﻘﺔ‬

‫‪ 100%‬وﺳﻮف اﺗﺮﻛﻬﺎ ﻛﺘﻤﺮﻳﻦ ‪.‬‬

‫)ب( ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫ﻟﻠﺘﻨﺒﺆ ﺑﺎﳌﺸﺎﻫﺪة اﻻﺧﲑة ﰱ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﳌﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ اﻟﱴ ﲢﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﺣﺪ اﻟﻘﻴﻢ اﳌﻨﻌﺰﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع ‪  o‬ﻧﻀﻊ‬ ‫‪ s  m‬ﰱ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ )‪ (١٠١-٥‬ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻟﺼﻼﺣﻴﺔ اﻟﻼ زﻣﺔ ﳊﺴﺎب ﺣﺪود ﺗﻨﺒﺆ ﺑﻴﻴﺰ‬ ‫ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة ‪ z m‬وﺑﺎﻟﺘﺎﱃ ﻋﻠﻰ ﺣﺪى ﺗﻨﺒﺆ ﺑﻴﻴﺰ اﻻدﱏ )‪ L(y‬واﻻﻋﻠﻰ )‪ U(y‬ﻟﻠﻤﺸﺎﻫﺪة اﳌﺴﺘﻘﺒﻠﻴﺔ ‪z m‬‬ ‫ﲟﺴﺘﻮى ﺛﻘﺔ ‪ 100%‬وﺳﻮف اﺗﺮﻛﻬﺎ ﻛﺘﻤﺮﻳﻦ ‪.‬‬ ‫‪sm‬‬

‫‪٤٧٥‬‬

٤٧٦

‫اﻟﻤﺮاﺟﻊ‬

‫اﻟﻤﺮاﺟﻊ اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ ‪:‬‬

‫‪o‬‬

‫‪ -١‬أﺣﻣد ﻋودة ‪ ، (١٩٩١) ،‬ﻣﻘدﻣﺔ ﻓﻲ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ – ﺟﺎﻣﻌﺔ اﻟﻣﻠك ﺳﻌود‪ -‬ﻋﻣﺎدة‬ ‫ﺷؤون اﻟﻣﻛﺗﺑﺎت ‪.‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -٢‬أﻣﯾر ﺣﻧﺎ ﻫرﻣز ‪ ، (١٩٩٠) ،‬اﻹﺣﺻﺎء اﻟرﯾﺎﺿﻲ – ﻣدﯾرﯾﺔ دار اﻟﻛﺗب ﻟﻠطﺑﺎﻋﺔ واﻟﻧﺷر –‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -٣‬ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم ‪ ، (٢٠٠٠) ،‬ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت – اﻟطﺑﻌﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ‪ -‬ﻣﻛﺗﺑﺔ اﻟﻣﺗﻧﺑﻰ‬

‫اﻟﺟﻣﻬورﯾﺔ اﻟﻌراﻗﯾﺔ – اﻟﻣوﺻل ‪.‬‬

‫– اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ ‪.‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -٤‬ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم ‪ ، (٢٠٠٨) ،‬ﻣدﺧل ﺣدﯾث ﻟﻺﺣﺻﺎء واﻻﺣﺗﻣﺎﻻت – اﻟطﺑﻌﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ‬ ‫– ﻣﻛﺗﺑﺔ اﻟﻌﺑﯾﻛﺎن – اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ ‪.‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -٥‬ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم ‪ ، (٢٠٠٩) ،‬اﻟﻣدﺧل اﻟﺣدﯾث ﻟﻺﺣﺻﺎء واﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻣﻊ اﻟﺣﻠول ل‬ ‫‪ ٧٠٨‬ﻣﺳﺎﻟﺔ‪ -‬اﻟطﺑﻌﺔ اﻻوﻟﻰ– ﻣﻛﺗﺑﺔ اﻟﻣﺗﻧﺑﻰ‪ -‬اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ ‪.‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -٦‬ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم ‪ ، (٢٠١٠) ،‬ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻣﻊ اﻟﺣﻠول ﻟﺣواﻟﻰ ‪١٠٣٥‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -٦‬ﺟﻼل اﻟﺻﯾﺎد ‪ ، (١٩٨٨) ،‬ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت – اﻟطﺑﻌﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ – دار اﻟﺷروق – ﺟدة –‬

‫ﻣﺳﺎﻟﺔ– اﻟطﺑﻌﺔ اﻻوﻟﻰ‪ -‬ﻣﻛﺗﺑﺔ اﻟﻣﺗﻧﺑﻲ – اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ ‪.‬‬

‫اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ ‪.‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -٧‬ﺟﻼل اﻟﺻﯾﺎد ‪ ، (١٩٩٣) ،‬اﻻﺳﺗدﻻل اﻻﺣﺻﺎﺋﻰ – اﻟطﺑﻌﺔ اﻻوﻟﻰ ‪ -‬دار اﻟﻣرﯾﺦ ﻟﻠﻧﺷر –‬ ‫اﻟرﯾﺎض– اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ ‪.‬‬ ‫‪٤٧٧‬‬

‫‪o‬‬

‫‪ -٨‬ﺳﻠﯾم ذﯾﺎب اﻟﺳﻌدي ‪ ، (١٩٨٣) ،‬طرق اﻹﺣﺻﺎء – اﻟﺟﻣﻬورﯾﺔ اﻟﻌراﻗﯾﺔ – و ازرة اﻟﺗﻌﻠﯾم‬ ‫اﻟﻌﺎﻟﻲ واﻟﺑﺣث اﻟﻌﻠﻣﻲ ‪.‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -٩‬ﻋﻠﻲ ﻋﺑد اﻟﺳﻼم اﻟﻌﻣﺎوي وﻋﻠﻲ ﺣﺳﯾن اﻟﻌﺟﯾﻠﻲ ‪ ، (١٩٩٨) ،‬أﺳﺎﺳﯾﺎت اﻻﺣﺻﺎء اﻟرﯾﺎﺿﻲ‬ ‫– إدارة اﻟﻣطﺑوﻋﺎت واﻟﻧﺷر – ﺟﺎﻣﻌﺔ اﻟﻔﺎﺗﺢ ‪.‬‬

‫‪ -١٠ o‬ﻋﺒﺪ اﻟﺤﻔﯿﻆ ﻣﺤﻤﺪ ﻓﻮزي ﻣﺼﻄﻔﻰ ‘)‪٢٠٠٠‬أ ( ‪ ،‬اﻻﺳﺘﺪﻻل اﻻﺣﺼﺎﺋﻲ )‪ ( ١‬ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﺘﻘﺪﯾﺮ‬ ‫‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﯿﻞ اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ ‪ -‬اﻟﻘﺎھﺮة – ﻣﺪﯾﻨﺔ ﻧﺼﺮ ‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ -١١ o‬ﻋﺒﺪ اﻟﺤﻔﯿﻆ ﻣﺤﻤﺪ ﻓﻮزي ﻣﺼﻄﻔﻰ ‪٢٠٠٠) ،‬ب (‪ ،‬اﻻﺳﺘﺪﻻل اﻻﺣﺼﺎﺋﻲ )‪ ( ٢‬ﻧﻈﺮﯾﺔ اﻟﺘﻘﺪﯾﺮ‬ ‫‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﯿﻞ اﻟﻌﺮﺑﯿﺔ ‪ -‬اﻟﻘﺎھﺮة – ﻣﺪﯾﻨﺔ ﻧﺼﺮ ‪.‬‬

‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ -١٢‬ﻣﺣﻣد إﺑراﻫﯾم ﻋﻘﯾل و ﻋﺑد اﻟرﺣﻣن ﻣﺣﻣد أﺑو ﻋﻣﻪ ‪ ، (٢٠٠٠)،‬ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت و‬ ‫ﺗطﺑﯾﻘﺎﺗﻬﺎ – اﻟﻧﺷر اﻟﻌﻠﻣﻲ و اﻟﻣطﺎﺑﻊ – ﺟﺎﻣﻌﺔ اﻟﻣﻠك ﺳﻌود – اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ‪.‬‬

‫‪o‬‬ ‫اﻟﻤﺮاﺟﻊ اﻷﺟﻨﺒﯿﺔ ‪:‬‬

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٤٨٤

٤٨٥

‫اﻟﻤﻼﺣﻖ‬ ‫ﻣﻠﺤﻖ ) ‪ ( ١‬ﺟﺪول ﺣﺴﺎب‬

‫‪r‬‬ ‫)‪ p (x; ‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫ﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﯾﺘﺒﻊ ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﻮاﺳﻮن ‪.‬‬

‫ﻣﻠﺤﻖ ) ‪ ( ٢‬ﺟﺪول اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ اﻟﻘﯿﺎﺳﻲ )‪. P(0  Z  z‬‬ ‫ﻣﻠﺤﻖ ) ‪ ( ٣‬ﺟﺪول اﻟﻘﯿﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ ) ‪ f  (1,  2‬ﻟﺘﻮزﯾﻊ ‪ F‬ﻋﻨﺪ ) ‪. (  0.05‬‬ ‫ﻣﻠﺤﻖ ) ‪ (٤‬ﺟﺪول اﻟﻘﯿﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ ) ‪ f  (1,  2‬ﻟﺘﻮزﯾﻊ ‪ F‬ﻋﻨﺪ ) ‪. (  0.01‬‬ ‫ﻣﻠﺤﻖ ) ‪ ( ٥‬ﺟﺪول اﻟﻘﯿﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ ‪  2‬ﻟﺘﻮزﯾﻊ ‪.  2‬‬ ‫ﻣﻠﺤﻖ ) ‪ ( ٦‬ﺟﺪول اﻟﻘﯿﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ ‪ t ‬ﻟﺘﻮزﯾﻊ ‪. t‬‬

‫‪٤٨٦‬‬

‫ﻣﻠﺤﻖ )‪: (١‬‬ ‫ﺟﺪول ﺣﺴﺎب‬

‫‪r‬‬ ‫)‪ p (x; ‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫ﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﯾﺘﺒﻊ ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﻮاﺳﻮن‬

‫‪‬‬ ‫‪1.0‬‬ ‫‪.368‬‬ ‫‪.736‬‬ ‫‪.920‬‬ ‫‪.981‬‬

‫‪.9‬‬ ‫‪.407‬‬ ‫‪.772‬‬ ‫‪.937‬‬ ‫‪.987‬‬

‫‪.8‬‬ ‫‪.449‬‬ ‫‪.809‬‬ ‫‪.953‬‬ ‫‪.991‬‬

‫‪.7‬‬ ‫‪.497‬‬ ‫‪.844‬‬ ‫‪.966‬‬ ‫‪.994‬‬

‫‪.6‬‬ ‫‪.549‬‬ ‫‪.878‬‬ ‫‪.977‬‬ ‫‪.997‬‬

‫‪.5‬‬ ‫‪.607‬‬ ‫‪.910‬‬ ‫‪.986‬‬ ‫‪.998‬‬

‫‪.4‬‬ ‫‪.670‬‬ ‫‪.938‬‬ ‫‪.992‬‬ ‫‪.999‬‬

‫‪.996‬‬ ‫‪.999‬‬ ‫‪1.00‬‬

‫‪.998‬‬ ‫‪1.00‬‬

‫‪.999‬‬ ‫‪1.00‬‬

‫‪.999‬‬ ‫‪1.00‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪1.00‬‬

‫اﻟﻤﺼﺪر ﻋﻦ ‪[Devore (1995)] :‬‬

‫‪٤٨٧‬‬

‫‪.3‬‬ ‫‪.741‬‬ ‫‪.963‬‬ ‫‪.996‬‬ ‫‪1.00‬‬

‫‪.2‬‬ ‫‪.819‬‬ ‫‪.982‬‬ ‫‪.999‬‬ ‫‪1.00‬‬

‫‪.1‬‬ ‫‪.905‬‬ ‫‪.995‬‬ ‫‪1.00‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻠﺤﻖ )‪ : (١‬ﺟﺪول ﺣﺴﺎب‬

‫‪r‬‬ ‫)‪ p (x; ‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫ﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﯾﺘﺒﻊ ﺗﻮزﯾﻊ ﺑﻮاﺳﻮن‬ ‫‪‬‬

‫‪20.0‬‬

‫‪15.0‬‬

‫‪10.0‬‬

‫‪9.0‬‬

‫‪8.0‬‬

‫‪7.0‬‬

‫‪6.0‬‬

‫‪5.0‬‬

‫‪4.0‬‬

‫‪3.0‬‬

‫‪2.0‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.001‬‬

‫‪.002‬‬

‫‪.007‬‬

‫‪.018‬‬

‫‪.050‬‬

‫‪.135‬‬

‫‪0‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.001‬‬

‫‪.003‬‬

‫‪.007‬‬

‫‪.017‬‬

‫‪.040‬‬

‫‪.092‬‬

‫‪.199‬‬

‫‪.406‬‬

‫‪1‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.003‬‬

‫‪.006‬‬

‫‪.014‬‬

‫‪.030‬‬

‫‪.062‬‬

‫‪.125‬‬

‫‪.238‬‬

‫‪.423‬‬

‫‪.677‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.010‬‬

‫‪.021‬‬

‫‪.042‬‬

‫‪.082‬‬

‫‪.151‬‬

‫‪.265‬‬

‫‪.433‬‬

‫‪.647‬‬

‫‪.857‬‬

‫‪3‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.001‬‬

‫‪.029‬‬

‫‪.055‬‬

‫‪.100‬‬

‫‪.173‬‬

‫‪.285‬‬

‫‪.440‬‬

‫‪.629‬‬

‫‪.815‬‬

‫‪.947‬‬

‫‪4‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.003‬‬

‫‪.067‬‬

‫‪.116‬‬

‫‪.191‬‬

‫‪.301‬‬

‫‪.446‬‬

‫‪.616‬‬

‫‪.785‬‬

‫‪.916‬‬

‫‪.983‬‬

‫‪5‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.008‬‬

‫‪.130‬‬

‫‪.207‬‬

‫‪.313‬‬

‫‪.450‬‬

‫‪.606‬‬

‫‪.762‬‬

‫‪.889‬‬

‫‪.966‬‬

‫‪.995‬‬

‫‪6‬‬

‫‪.001‬‬

‫‪.018‬‬

‫‪.220‬‬

‫‪.324‬‬

‫‪.453‬‬

‫‪.599‬‬

‫‪.744‬‬

‫‪.867‬‬

‫‪.949‬‬

‫‪.988‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪7‬‬

‫‪.002‬‬

‫‪.037‬‬

‫‪.333‬‬

‫‪.456‬‬

‫‪.593‬‬

‫‪.729‬‬

‫‪.847‬‬

‫‪.932‬‬

‫‪.979‬‬

‫‪.996‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪8‬‬

‫‪.005‬‬

‫‪.070‬‬

‫‪.458‬‬

‫‪.587‬‬

‫‪.717‬‬

‫‪.830‬‬

‫‪.916‬‬

‫‪.968‬‬

‫‪.992‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪9‬‬

‫‪.011‬‬

‫‪.118‬‬

‫‪.583‬‬

‫‪.706‬‬

‫‪.816‬‬

‫‪.901‬‬

‫‪.957‬‬

‫‪.986‬‬

‫‪.997‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪10‬‬

‫‪.021‬‬

‫‪.185‬‬

‫‪.697‬‬

‫‪.803‬‬

‫‪.888‬‬

‫‪.947‬‬

‫‪.980‬‬

‫‪.995‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪11‬‬

‫‪.039‬‬

‫‪.268‬‬

‫‪.792‬‬

‫‪.876‬‬

‫‪.936‬‬

‫‪.973‬‬

‫‪.991‬‬

‫‪.998‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪12‬‬

‫‪.066‬‬

‫‪.363‬‬

‫‪.864‬‬

‫‪.926‬‬

‫‪.966‬‬

‫‪.987‬‬

‫‪.996‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪13‬‬

‫‪.105‬‬

‫‪.466‬‬

‫‪.917‬‬

‫‪.959‬‬

‫‪.983‬‬

‫‪.994‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪14‬‬

‫‪.157‬‬

‫‪.568‬‬

‫‪.951‬‬

‫‪.978‬‬

‫‪.992‬‬

‫‪.998‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪15‬‬

‫‪.221‬‬

‫‪.664‬‬

‫‪.973‬‬

‫‪.989‬‬

‫‪.996‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪16‬‬

‫‪.297‬‬

‫‪.749‬‬

‫‪.986‬‬

‫‪.995‬‬

‫‪.998‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪.381‬‬

‫‪.819‬‬

‫‪.993‬‬

‫‪.998‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪18‬‬

‫‪.470‬‬

‫‪.875‬‬

‫‪.997‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪19‬‬

‫‪17‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪1.00 .998 .917 .559‬‬ ‫‪.999 .947 .644‬‬ ‫‪1.00 .967 .721‬‬ ‫‪.981 .787‬‬ ‫‪.989 .843‬‬ ‫‪.994 .888‬‬ ‫‪.997 .922‬‬ ‫‪.948‬‬

‫‪.998‬‬

‫‪27‬‬

‫‪.966‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪28‬‬

‫‪.978‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪29‬‬

‫‪.987‬‬

‫‪30‬‬

‫‪.992‬‬

‫‪31‬‬

‫‪.995‬‬

‫‪32‬‬

‫‪.997‬‬

‫‪33‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪34‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪35‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪36‬‬

‫‪٤٨٨‬‬

‫‪X‬‬

‫ﻣﻠﺤﻖ )‪(٢‬‬ ‫ﺟدول اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ‬ ‫)‪P(0<Z<z‬‬ ‫‪.09‬‬ ‫‪.0359‬‬ ‫‪.0753‬‬ ‫‪.1141‬‬ ‫‪.1517‬‬ ‫‪.1879‬‬ ‫‪.2224‬‬ ‫‪.2549‬‬ ‫‪.2852‬‬ ‫‪.3133‬‬ ‫‪.3389‬‬ ‫‪.3621‬‬ ‫‪.3830‬‬ ‫‪.4015‬‬ ‫‪.4177‬‬ ‫‪.4319‬‬ ‫‪.4441‬‬ ‫‪.4545‬‬ ‫‪.4633‬‬ ‫‪.4706‬‬ ‫‪.4767‬‬ ‫‪.4817‬‬ ‫‪.4857‬‬ ‫‪.4890‬‬ ‫‪.4916‬‬ ‫‪.4936‬‬ ‫‪.4952‬‬ ‫‪.4964‬‬ ‫‪.4974‬‬ ‫‪.4981‬‬ ‫‪.4986‬‬ ‫‪.4990‬‬

‫‪.08‬‬ ‫‪.0319‬‬ ‫‪.0714‬‬ ‫‪.1103‬‬ ‫‪.1480‬‬ ‫‪.1844‬‬ ‫‪.2190‬‬ ‫‪.2517‬‬ ‫‪.2823‬‬ ‫‪.3106‬‬ ‫‪.3365‬‬ ‫‪.3599‬‬ ‫‪.3810‬‬ ‫‪.3997‬‬ ‫‪.4162‬‬ ‫‪.4306‬‬ ‫‪.4429‬‬ ‫‪.4535‬‬ ‫‪.4625‬‬ ‫‪.4699‬‬ ‫‪.4761‬‬ ‫‪.4812‬‬ ‫‪.4854‬‬ ‫‪.4887‬‬ ‫‪.4913‬‬ ‫‪.4934‬‬ ‫‪.4951‬‬ ‫‪.4963‬‬ ‫‪.4973‬‬ ‫‪.4980‬‬ ‫‪.4986‬‬ ‫‪.4990‬‬

‫‪.07‬‬ ‫‪.0279‬‬ ‫‪.0675‬‬ ‫‪.1064‬‬ ‫‪.1443‬‬ ‫‪.1808‬‬ ‫‪.2157‬‬ ‫‪.2486‬‬ ‫‪.2794‬‬ ‫‪.3078‬‬ ‫‪.3340‬‬ ‫‪.3577‬‬ ‫‪.3790‬‬ ‫‪.3980‬‬ ‫‪.4147‬‬ ‫‪.4292‬‬ ‫‪.4418‬‬ ‫‪.4525‬‬ ‫‪.4616‬‬ ‫‪.4693‬‬ ‫‪.4756‬‬ ‫‪.4808‬‬ ‫‪.4850‬‬ ‫‪.4884‬‬ ‫‪.4911‬‬ ‫‪.4932‬‬ ‫‪.4949‬‬ ‫‪.4962‬‬ ‫‪.4972‬‬ ‫‪.4979‬‬ ‫‪.4985‬‬ ‫‪.4989‬‬

‫‪.06‬‬ ‫‪.0239‬‬ ‫‪.0636‬‬ ‫‪.1026‬‬ ‫‪.1406‬‬ ‫‪.1772‬‬ ‫‪.2123‬‬ ‫‪.2454‬‬ ‫‪.2764‬‬ ‫‪.3051‬‬ ‫‪.3315‬‬ ‫‪.3554‬‬ ‫‪.3770‬‬ ‫‪.3962‬‬ ‫‪.4131‬‬ ‫‪.4279‬‬ ‫‪.4406‬‬ ‫‪.4515‬‬ ‫‪.4608‬‬ ‫‪.4686‬‬ ‫‪.4750‬‬ ‫‪.4803‬‬ ‫‪.4846‬‬ ‫‪.4881‬‬ ‫‪.4909‬‬ ‫‪.4931‬‬ ‫‪.4948‬‬ ‫‪.4961‬‬ ‫‪.4971‬‬ ‫‪.4979‬‬ ‫‪.4985‬‬ ‫‪.4989‬‬

‫‪.05‬‬ ‫‪.0199‬‬ ‫‪.0596‬‬ ‫‪.0987‬‬ ‫‪.1368‬‬ ‫‪.1736‬‬ ‫‪.2088‬‬ ‫‪.2422‬‬ ‫‪.2734‬‬ ‫‪.3023‬‬ ‫‪.3289‬‬ ‫‪.3531‬‬ ‫‪.3749‬‬ ‫‪.3944‬‬ ‫‪.4115‬‬ ‫‪.4265‬‬ ‫‪.4394‬‬ ‫‪.4505‬‬ ‫‪.4599‬‬ ‫‪.4678‬‬ ‫‪.4744‬‬ ‫‪.4798‬‬ ‫‪.4842‬‬ ‫‪.4878‬‬ ‫‪.4906‬‬ ‫‪.4929‬‬ ‫‪.4946‬‬ ‫‪.4960‬‬ ‫‪.4970‬‬ ‫‪.4978‬‬ ‫‪.4984‬‬ ‫‪.4989‬‬

‫‪.04‬‬ ‫‪.0160‬‬ ‫‪.0557‬‬ ‫‪.0948‬‬ ‫‪.1331‬‬ ‫‪.1700‬‬ ‫‪.2054‬‬ ‫‪.2389‬‬ ‫‪.2704‬‬ ‫‪.2995‬‬ ‫‪.3264‬‬ ‫‪.3508‬‬ ‫‪.3729‬‬ ‫‪.3925‬‬ ‫‪.4099‬‬ ‫‪.4251‬‬ ‫‪.4382‬‬ ‫‪.4495‬‬ ‫‪.4591‬‬ ‫‪.4671‬‬ ‫‪.4738‬‬ ‫‪.4793‬‬ ‫‪.4838‬‬ ‫‪.4875‬‬ ‫‪.4904‬‬ ‫‪.4927‬‬ ‫‪.4945‬‬ ‫‪.4959‬‬ ‫‪.4969‬‬ ‫‪.4977‬‬ ‫‪.4984‬‬ ‫‪.4988‬‬

‫اﻟﻤﺼﺪر ‪ :‬ﻋﻦ ])‪[Daniel (1978‬‬

‫‪٤٨٩‬‬

‫‪.03‬‬ ‫‪.0120‬‬ ‫‪.0517‬‬ ‫‪.0910‬‬ ‫‪.1293‬‬ ‫‪.1664‬‬ ‫‪.2019‬‬ ‫‪.2357‬‬ ‫‪.2673‬‬ ‫‪.2967‬‬ ‫‪.3238‬‬ ‫‪.3485‬‬ ‫‪.3708‬‬ ‫‪.3907‬‬ ‫‪.4082‬‬ ‫‪.4236‬‬ ‫‪.4370‬‬ ‫‪.4484‬‬ ‫‪.4582‬‬ ‫‪.4664‬‬ ‫‪.4732‬‬ ‫‪.4788‬‬ ‫‪.4834‬‬ ‫‪.4871‬‬ ‫‪.4901‬‬ ‫‪.4925‬‬ ‫‪.4943‬‬ ‫‪.4957‬‬ ‫‪.4968‬‬ ‫‪.4977‬‬ ‫‪.4983‬‬ ‫‪.4988‬‬

‫‪.02‬‬ ‫‪.0080‬‬ ‫‪.0478‬‬ ‫‪.0871‬‬ ‫‪.1255‬‬ ‫‪.1628‬‬ ‫‪.1985‬‬ ‫‪.2324‬‬ ‫‪.2642‬‬ ‫‪.2939‬‬ ‫‪.3212‬‬ ‫‪.3461‬‬ ‫‪.3686‬‬ ‫‪.3888‬‬ ‫‪.4066‬‬ ‫‪.4222‬‬ ‫‪.4357‬‬ ‫‪.4474‬‬ ‫‪.4573‬‬ ‫‪.4656‬‬ ‫‪.4726‬‬ ‫‪.4783‬‬ ‫‪.4830‬‬ ‫‪.4868‬‬ ‫‪.4898‬‬ ‫‪.4922‬‬ ‫‪.4941‬‬ ‫‪.4956‬‬ ‫‪.4967‬‬ ‫‪.4976‬‬ ‫‪.4982‬‬ ‫‪.4987‬‬

‫‪.01‬‬ ‫‪.0040‬‬ ‫‪.0438‬‬ ‫‪.0832‬‬ ‫‪.1217‬‬ ‫‪.1591‬‬ ‫‪.1950‬‬ ‫‪.2291‬‬ ‫‪.2611‬‬ ‫‪.2910‬‬ ‫‪.3186‬‬ ‫‪.3438‬‬ ‫‪.3665‬‬ ‫‪.3869‬‬ ‫‪.4049‬‬ ‫‪.4207‬‬ ‫‪.4345‬‬ ‫‪.4463‬‬ ‫‪.4564‬‬ ‫‪.4649‬‬ ‫‪.4719‬‬ ‫‪.4778‬‬ ‫‪.4826‬‬ ‫‪.4864‬‬ ‫‪.4896‬‬ ‫‪.4920‬‬ ‫‪.4940‬‬ ‫‪.4955‬‬ ‫‪.4966‬‬ ‫‪.4975‬‬ ‫‪.4982‬‬ ‫‪.4987‬‬

‫‪.00‬‬ ‫‪.0000‬‬ ‫‪.0398‬‬ ‫‪.079‬‬ ‫‪.1179‬‬ ‫‪.1554‬‬ ‫‪.1915‬‬ ‫‪.2257‬‬ ‫‪.2580‬‬ ‫‪.2881‬‬ ‫‪.3159‬‬ ‫‪.3413‬‬ ‫‪.3643‬‬ ‫‪.3849‬‬ ‫‪.4032‬‬ ‫‪.4192‬‬ ‫‪.4332‬‬ ‫‪.4452‬‬ ‫‪.4554‬‬ ‫‪.4641‬‬ ‫‪.4713‬‬ ‫‪.4772‬‬ ‫‪.4821‬‬ ‫‪.4861‬‬ ‫‪.4893‬‬ ‫‪.4918‬‬ ‫‪.4938‬‬ ‫‪.4953‬‬ ‫‪.4965‬‬ ‫‪.4974‬‬ ‫‪.4981‬‬ ‫‪.4987‬‬

‫‪Z‬‬ ‫‪0.0‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.7‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.9‬‬ ‫‪1.0‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪1.7‬‬ ‫‪1.8‬‬ ‫‪1.9‬‬ ‫‪2.0‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫‪2.2‬‬ ‫‪2.3‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪2.6‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫‪2.8‬‬ ‫‪2.9‬‬ ‫‪3.0‬‬

‫ﻣﻠﺤﻖ )‪(٣‬‬ ‫ﺟﺪول اﻟﻘﯿﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ ) ‪ f  (1,  2‬ﻟﺘﻮزﯾﻊ ‪ F‬ﻋﻨﺪ‬ ‫‪‬‬

‫‪120‬‬

‫‪60‬‬

‫‪40‬‬

‫‪30‬‬

‫‪24‬‬

‫‪20‬‬

‫‪15‬‬

‫‪12‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫)‪(  0.05‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪236. 238. 240. 241. 243. 245. 248. 249. 250. 251. 252. 253.3 254.‬‬ ‫‪8 19.3‬‬ ‫‪9 19.3‬‬ ‫‪5 19.4‬‬ ‫‪9 19.4‬‬ ‫‪9 19.4‬‬ ‫‪9 19.4‬‬ ‫‪0 19.4‬‬ ‫‪1 19.4‬‬ ‫‪1 19.4‬‬ ‫‪1 19.4‬‬ ‫‪2 19.49 19.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪19.3‬‬ ‫‪5 8.85‬‬ ‫‪7 8.81‬‬ ‫‪8 8.79‬‬ ‫‪0 8.74‬‬ ‫‪1 8.70‬‬ ‫‪3 8.66‬‬ ‫‪5 8.64‬‬ ‫‪5 8.62‬‬ ‫‪6 8.59‬‬ ‫‪7 8.57‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪8.89‬‬ ‫‪8.55 8.53‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪161. 199. 215. 224. 230. 234.‬‬ ‫‪4 19.0‬‬ ‫‪5 19.1‬‬ ‫‪7 19.2‬‬ ‫‪6 19.3‬‬ ‫‪2 19.3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪18.5‬‬ ‫‪1 9..55‬‬ ‫‪0 9.28‬‬ ‫‪6 9.12‬‬ ‫‪5 9.01‬‬ ‫‪0 8.94‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10.1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪6.09 6.04 6.00 5.96 5.91 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63‬‬ ‫‪6.‬‬ ‫‪6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 4.43 4.40 4.36‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.00 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.70 3.67‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.30 3.27 3.23‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.62 2.58 2.54‬‬

‫‪10‬‬

‫‪4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.40‬‬

‫‪11‬‬

‫‪4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.30‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.60 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.30 2.25 2.21‬‬

‫‪13‬‬

‫‪4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13‬‬

‫‪14‬‬

‫‪4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2.16 2.11 2.07‬‬

‫‪15‬‬

‫‪4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.07‬‬

‫‪16‬‬

‫‪4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01 1.96‬‬

‫‪17‬‬

‫‪4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92‬‬

‫‪18‬‬

‫‪4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88‬‬

‫‪19‬‬

‫‪4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.90 1.84‬‬

‫‪20‬‬

‫‪4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81‬‬

‫‪21‬‬

‫‪4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78‬‬

‫‪22‬‬

‫‪4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.20 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.76‬‬

‫‪23‬‬

‫‪4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73‬‬

‫‪24‬‬

‫‪2.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71‬‬

‫‪25‬‬

‫‪4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.15 2.07 1.99 1.95 1.90 1.58 1.80 1.75 1.69‬‬

‫‪26‬‬

‫‪4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 2.13 2.06 1.97 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73 1.67‬‬

‫‪27‬‬

‫‪4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.12 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.77 1.71 1.65‬‬

‫‪28‬‬

‫‪4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.10 2.03 1.94 1.90 1.85 1.81 1.75 1.70 1.64‬‬

‫‪29‬‬

‫‪4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62‬‬

‫‪30‬‬

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‫‪40‬‬

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‫‪60‬‬

‫‪3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.17 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.50 1.43 1.35 1.25‬‬

‫‪120‬‬

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‫اﻟﻤﺼﺪر ‪ :‬ﻋﻦ ])‪[Devore (1995‬‬

‫‪٤٩٠‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣﻠﺤﻖ )‪(٤‬‬ ‫ﺟﺪول اﻟﻘﯿﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ ) ‪ f  (1,  2‬ﻟﺘﻮزﯾﻊ‬ ‫‪‬‬

‫‪120‬‬

‫‪60‬‬

‫‪40‬‬

‫‪30‬‬

‫‪24‬‬

‫‪20‬‬

‫‪15‬‬

‫‪12‬‬

‫‪10‬‬

‫‪ F‬ﻋﻨﺪ ) ‪(  0.01‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6106 6157 6209 6235 6261 6287 6313 6339 6366‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪98.50 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.37 99.39 99.40 99.42 99.43 99.45 99.46 99.47 99.47 99.48 99.49 99.50‬‬

‫‪2‬‬

‫‪34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.35 27.23 27.05 26.87 26.69 26.60 26.50 26.41 26.32 26.22 26.13‬‬

‫‪3‬‬

‫‪21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55 14.37 14.20 14.02 13.93 13.84 13.75 13.65 13.56 13.46‬‬

‫‪4‬‬

‫‪9.02‬‬

‫‪9.11‬‬

‫‪9.20‬‬

‫‪9.29‬‬

‫‪9.38‬‬

‫‪9.47‬‬

‫‪9.55‬‬

‫‪9.72‬‬

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‫‪5‬‬

‫‪6.88‬‬

‫‪6.97‬‬

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‫‪7.14‬‬

‫‪7.23‬‬

‫‪7.31‬‬

‫‪7.40‬‬

‫‪7.56‬‬

‫‪7.72‬‬

‫‪7.87‬‬

‫‪7.98‬‬

‫‪8.10‬‬

‫‪8.26‬‬

‫‪8.47‬‬

‫‪8.75‬‬

‫‪9.15‬‬

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‫‪6‬‬

‫‪5.65‬‬

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‫‪5.99‬‬

‫‪6.07‬‬

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‫‪6.31‬‬

‫‪6.47‬‬

‫‪6.62‬‬

‫‪6.72‬‬

‫‪6.84‬‬

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‫‪7.19‬‬

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‫‪7.85‬‬

‫‪8.45‬‬

‫‪12.25 9.55‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4.86‬‬

‫‪4.95‬‬

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‫‪5.12‬‬

‫‪5.20‬‬

‫‪5.28‬‬

‫‪5.36‬‬

‫‪5.52‬‬

‫‪5.67‬‬

‫‪5.81‬‬

‫‪5.91‬‬

‫‪6.03‬‬

‫‪6.18‬‬

‫‪6.37‬‬

‫‪6.63‬‬

‫‪7.01‬‬

‫‪7.59‬‬

‫‪11.26 8.65‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4.31‬‬

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‫‪4.65‬‬

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‫‪4.81‬‬

‫‪4.96‬‬

‫‪5.11‬‬

‫‪5.26‬‬

‫‪5.35‬‬

‫‪5.47‬‬

‫‪5.61‬‬

‫‪5.80‬‬

‫‪6.06‬‬

‫‪6.42‬‬

‫‪6.99‬‬

‫‪10.56 8.02‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3.91‬‬

‫‪4.00‬‬

‫‪4.08‬‬

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‫‪4.33‬‬

‫‪4.41‬‬

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‫‪4.71‬‬

‫‪4.85‬‬

‫‪4.94‬‬

‫‪5.06‬‬

‫‪5.20‬‬

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‫‪5.99‬‬

‫‪6.55‬‬

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‫‪10‬‬

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‫‪3.86‬‬

‫‪3.94‬‬

‫‪4.02‬‬

‫‪4.10‬‬

‫‪4.25‬‬

‫‪4.40‬‬

‫‪4.54‬‬

‫‪4.63‬‬

‫‪4.74‬‬

‫‪4.89‬‬

‫‪5.07‬‬

‫‪5.32‬‬

‫‪5.67‬‬

‫‪6.22‬‬

‫‪7.21‬‬

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‫‪11‬‬

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‫‪4.01‬‬

‫‪4.16‬‬

‫‪4.30‬‬

‫‪4.39‬‬

‫‪4.50‬‬

‫‪4.64‬‬

‫‪4.82‬‬

‫‪5.06‬‬

‫‪5.41‬‬

‫‪5.95‬‬

‫‪6.93‬‬

‫‪9.33‬‬

‫‪12‬‬

‫‪3.34‬‬

‫‪3.43‬‬

‫‪3.51‬‬

‫‪3.59‬‬

‫‪3.66‬‬

‫‪3.82‬‬

‫‪3.96‬‬

‫‪4.10‬‬

‫‪4.19‬‬

‫‪4.30‬‬

‫‪4.41‬‬

‫‪4.62‬‬

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‫‪5.21‬‬

‫‪5.74‬‬

‫‪6.70‬‬

‫‪9.07‬‬

‫‪13‬‬

‫‪3.00‬‬

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‫‪3.18‬‬

‫‪3.27‬‬

‫‪3.35‬‬

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‫‪3.51‬‬

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‫‪3.94‬‬

‫‪4.03‬‬

‫‪4.14‬‬

‫‪4.28‬‬

‫‪4.46‬‬

‫‪4.69‬‬

‫‪5.04‬‬

‫‪5.56‬‬

‫‪6.51‬‬

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‫‪14‬‬

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‫‪2.96‬‬

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‫‪3.21‬‬

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‫‪3.37‬‬

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‫‪3.67‬‬

‫‪3.80‬‬

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‫‪4.00‬‬

‫‪4.14‬‬

‫‪4.32‬‬

‫‪4.56‬‬

‫‪4.89‬‬

‫‪5.42‬‬

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‫‪15‬‬

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‫‪2.84‬‬

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‫‪3.02‬‬

‫‪3.10‬‬

‫‪3.18‬‬

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‫‪4.03‬‬

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‫‪4.44‬‬

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‫‪5.29‬‬

‫‪6.23‬‬

‫‪8.53‬‬

‫‪16‬‬

‫‪2.65‬‬

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‫‪2.92‬‬

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‫‪3.59‬‬

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‫‪3.93‬‬

‫‪4.10‬‬

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‫‪3.00‬‬

‫‪3.08‬‬

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‫‪3.71‬‬

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‫‪5.09‬‬

‫‪6.01‬‬

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‫‪20‬‬

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‫‪2.88‬‬

‫‪3.03‬‬

‫‪3.17‬‬

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‫‪23‬‬

‫‪2.21‬‬

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‫‪26‬‬

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‫‪2.29‬‬

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‫‪3.03‬‬

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‫‪3.36‬‬

‫‪3.53‬‬

‫‪3.75‬‬

‫‪4.07‬‬

‫‪4.57‬‬

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‫‪28‬‬

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‫‪2.23‬‬

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‫‪3.70‬‬

‫‪4.02‬‬

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‫‪40‬‬

‫‪1.60‬‬

‫‪1.73‬‬

‫‪1.84‬‬

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‫‪2.12‬‬

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‫‪2.82‬‬

‫‪2.95‬‬

‫‪3.12‬‬

‫‪3.34‬‬

‫‪3.65‬‬

‫‪4.13‬‬

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‫‪7.08‬‬

‫‪60‬‬

‫‪1.38‬‬

‫‪1.53‬‬

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‫‪1.86‬‬

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‫‪120‬‬

‫‪1.00‬‬

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‫‪2.32‬‬

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‫‪3.02‬‬

‫‪3.32‬‬

‫‪3.78‬‬

‫‪4.61‬‬

‫‪6.63‬‬

‫‪٤٩١‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣﻠﺤﻖ )‪(٥‬‬ ‫ﺟﺪول اﻟﻘﯿﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ ‪  2‬ﻟﺘﻮزﯾﻊ ‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.005‬‬

‫‪.01‬‬

‫‪.025‬‬

‫‪.05‬‬

‫‪.10‬‬

‫‪.90‬‬

‫‪.95‬‬

‫‪.975‬‬

‫‪.99‬‬

‫‪.995‬‬

‫‪‬‬

‫‪7.882‬‬ ‫‪10.59‬‬ ‫‪12.83‬‬ ‫‪14.86‬‬ ‫‪16.74‬‬ ‫‪18.54‬‬ ‫‪20.27‬‬ ‫‪21.95‬‬ ‫‪23.58‬‬ ‫‪25.18‬‬ ‫‪26.75‬‬ ‫‪28.30‬‬ ‫‪29.81‬‬ ‫‪31.31‬‬ ‫‪32.79‬‬ ‫‪34.26‬‬ ‫‪35.71‬‬ ‫‪37.15‬‬ ‫‪38.58‬‬ ‫‪39.99‬‬ ‫‪41.39‬‬ ‫‪42.79‬‬ ‫‪44.17‬‬ ‫‪45.55‬‬ ‫‪46.92‬‬ ‫‪48.29‬‬ ‫‪49.64‬‬ ‫‪50.99‬‬ ‫‪52.33‬‬ ‫‪53.67‬‬ ‫‪55.00‬‬ ‫‪56.32‬‬ ‫‪57.64‬‬ ‫‪58.96‬‬ ‫‪60.27‬‬ ‫‪61.58‬‬ ‫‪62.88‬‬ ‫‪64.18‬‬ ‫‪65.47‬‬ ‫‪66.76‬‬

‫‪6.637‬‬ ‫‪9.210‬‬ ‫‪11.34‬‬ ‫‪13.27‬‬ ‫‪15.08‬‬ ‫‪16.81‬‬ ‫‪18.47‬‬ ‫‪20.09‬‬ ‫‪21.66‬‬ ‫‪23.20‬‬ ‫‪24.72‬‬ ‫‪26.21‬‬ ‫‪27.68‬‬ ‫‪29.14‬‬ ‫‪30.57‬‬ ‫‪32.00‬‬ ‫‪33.40‬‬ ‫‪34.80‬‬ ‫‪36.19‬‬ ‫‪37.56‬‬ ‫‪38.93‬‬ ‫‪40.28‬‬ ‫‪41.63‬‬ ‫‪42.98‬‬ ‫‪44.31‬‬ ‫‪45.64‬‬ ‫‪46.96‬‬ ‫‪48.27‬‬ ‫‪49.58‬‬ ‫‪50.89‬‬ ‫‪52.19‬‬ ‫‪53.48‬‬ ‫‪54.77‬‬ ‫‪56.06‬‬ ‫‪57.34‬‬ ‫‪58.61‬‬ ‫‪59.89‬‬ ‫‪61.16‬‬ ‫‪62.42‬‬ ‫‪63.69‬‬

‫‪5.025‬‬ ‫‪7.378‬‬ ‫‪9.348‬‬ ‫‪11.14‬‬ ‫‪12.83‬‬ ‫‪14.44‬‬ ‫‪16.01‬‬ ‫‪17.53‬‬ ‫‪19.02‬‬ ‫‪20.48‬‬ ‫‪21.92‬‬ ‫‪23.33‬‬ ‫‪24.73‬‬ ‫‪26.11‬‬ ‫‪27.48‬‬ ‫‪28.84‬‬ ‫‪30.19‬‬ ‫‪31.52‬‬ ‫‪32.85‬‬ ‫‪34.17‬‬ ‫‪35.47‬‬ ‫‪36.78‬‬ ‫‪38.07‬‬ ‫‪39.36‬‬ ‫‪40.64‬‬ ‫‪41.92‬‬ ‫‪43.19‬‬ ‫‪44.46‬‬ ‫‪45.77‬‬ ‫‪46.97‬‬ ‫‪48.23‬‬ ‫‪49.48‬‬ ‫‪50.72‬‬ ‫‪51.96‬‬ ‫‪53.20‬‬ ‫‪54.43‬‬ ‫‪55.66‬‬ ‫‪56.89‬‬ ‫‪58.11‬‬ ‫‪59.34‬‬

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‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪40‬‬

‫اﻟﻤﺼﺪر ‪ :‬ﻋﻦ ])‪[Devore(1995‬‬ ‫‪٤٩٢‬‬

‫ﻣﻠﺤﻖ )‪(٦‬‬ ‫ﺟﺪول اﻟﻘﯿﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ ‪ t ‬ﻟﺘﻮزﯾﻊ‬

‫‪t‬‬

‫‪‬‬ ‫‪.0005‬‬ ‫‪636.62‬‬ ‫‪31.598‬‬ ‫‪12.924‬‬ ‫‪8.610‬‬ ‫‪6.869‬‬ ‫‪5.959‬‬ ‫‪5.408‬‬ ‫‪5.041‬‬ ‫‪4.781‬‬ ‫‪4.587‬‬ ‫‪4.437‬‬ ‫‪4.318‬‬ ‫‪4.221‬‬ ‫‪4.140‬‬ ‫‪4.073‬‬ ‫‪4.015‬‬ ‫‪3.965‬‬ ‫‪3.922‬‬ ‫‪3.883‬‬ ‫‪3.850‬‬ ‫‪3.819‬‬ ‫‪3.792‬‬ ‫‪3.767‬‬ ‫‪3.745‬‬ ‫‪3.725‬‬ ‫‪3.707‬‬ ‫‪3.690‬‬ ‫‪3.674‬‬ ‫‪3.659‬‬ ‫‪3.646‬‬ ‫‪3.551‬‬ ‫‪3.460‬‬ ‫‪3.373‬‬ ‫‪3.291‬‬

‫اﻟﻤﺼﺪر ‪:‬‬

‫‪.001‬‬ ‫‪318.31‬‬ ‫‪22.326‬‬ ‫‪10.213‬‬ ‫‪7.173‬‬ ‫‪5.893‬‬ ‫‪5.208‬‬ ‫‪4.785‬‬ ‫‪4.501‬‬ ‫‪4.297‬‬ ‫‪4.144‬‬ ‫‪4.025‬‬ ‫‪3.930‬‬ ‫‪3.852‬‬ ‫‪3.787‬‬ ‫‪3.733‬‬ ‫‪3.686‬‬ ‫‪3.646‬‬ ‫‪3.610‬‬ ‫‪3.579‬‬ ‫‪3.552‬‬ ‫‪3.527‬‬ ‫‪3.505‬‬ ‫‪3.485‬‬ ‫‪3.467‬‬ ‫‪3.450‬‬ ‫‪3.435‬‬ ‫‪3.421‬‬ ‫‪3.408‬‬ ‫‪3.396‬‬ ‫‪3.385‬‬ ‫‪3.307‬‬ ‫‪3.232‬‬ ‫‪3.160‬‬ ‫‪3.090‬‬

‫‪.005‬‬ ‫‪63.657‬‬ ‫‪9.925‬‬ ‫‪5.841‬‬ ‫‪4.604‬‬ ‫‪4.032‬‬ ‫‪3.707‬‬ ‫‪3.499‬‬ ‫‪3.355‬‬ ‫‪3.250‬‬ ‫‪3.169‬‬ ‫‪3.106‬‬ ‫‪3.055‬‬ ‫‪3.012‬‬ ‫‪2.977‬‬ ‫‪2.947‬‬ ‫‪2.921‬‬ ‫‪2.898‬‬ ‫‪2.878‬‬ ‫‪2.861‬‬ ‫‪2.845‬‬ ‫‪2.831‬‬ ‫‪2.819‬‬ ‫‪2.807‬‬ ‫‪2.797‬‬ ‫‪2.787‬‬ ‫‪2.779‬‬ ‫‪2.771‬‬ ‫‪2.763‬‬ ‫‪2.756‬‬ ‫‪2.750‬‬ ‫‪2.704‬‬ ‫‪2.660‬‬ ‫‪2.617‬‬ ‫‪2.576‬‬

‫‪.01‬‬ ‫‪31.821‬‬ ‫‪6.965‬‬ ‫‪4.541‬‬ ‫‪3.747‬‬ ‫‪3.365‬‬ ‫‪3.143‬‬ ‫‪2.998‬‬ ‫‪2.896‬‬ ‫‪2.821‬‬ ‫‪2.764‬‬ ‫‪2.718‬‬ ‫‪2.681‬‬ ‫‪2.650‬‬ ‫‪2.624‬‬ ‫‪2.602‬‬ ‫‪2.583‬‬ ‫‪2.567‬‬ ‫‪2.552‬‬ ‫‪2.539‬‬ ‫‪2.528‬‬ ‫‪2.518‬‬ ‫‪2.508‬‬ ‫‪2.500‬‬ ‫‪2.492‬‬ ‫‪2.485‬‬ ‫‪2.479‬‬ ‫‪2.473‬‬ ‫‪2.467‬‬ ‫‪2.462‬‬ ‫‪2.457‬‬ ‫‪2.423‬‬ ‫‪2.390‬‬ ‫‪2.358‬‬ ‫‪2.326‬‬

‫ﻋﻦ ])‪[Devore (1995‬‬

‫‪٤٩٣‬‬

‫‪.025‬‬ ‫‪12.706‬‬ ‫‪4.303‬‬ ‫‪3.182‬‬ ‫‪2.776‬‬ ‫‪2.571‬‬ ‫‪2.447‬‬ ‫‪2.365‬‬ ‫‪2.306‬‬ ‫‪2.262‬‬ ‫‪2.228‬‬ ‫‪2.201‬‬ ‫‪2.179‬‬ ‫‪2.160‬‬ ‫‪2.145‬‬ ‫‪2.131‬‬ ‫‪2.120‬‬ ‫‪2.110‬‬ ‫‪2.101‬‬ ‫‪2.093‬‬ ‫‪2.086‬‬ ‫‪2.080‬‬ ‫‪2.074‬‬ ‫‪2.069‬‬ ‫‪2.064‬‬ ‫‪2.060‬‬ ‫‪2.056‬‬ ‫‪2.052‬‬ ‫‪2.048‬‬ ‫‪2.045‬‬ ‫‪2.042‬‬ ‫‪2.021‬‬ ‫‪2.000‬‬ ‫‪1.980‬‬ ‫‪1.960‬‬

‫‪.05‬‬ ‫‪6.314‬‬ ‫‪2.920‬‬ ‫‪2.353‬‬ ‫‪2.132‬‬ ‫‪2.015‬‬ ‫‪1.943‬‬ ‫‪1.895‬‬ ‫‪1.860‬‬ ‫‪1.833‬‬ ‫‪1.812‬‬ ‫‪1.796‬‬ ‫‪1.782‬‬ ‫‪1.771‬‬ ‫‪1.761‬‬ ‫‪1.753‬‬ ‫‪1.746‬‬ ‫‪1.740‬‬ ‫‪1.734‬‬ ‫‪1.729‬‬ ‫‪1.725‬‬ ‫‪1.721‬‬ ‫‪1.717‬‬ ‫‪1.714‬‬ ‫‪1.711‬‬ ‫‪1.708‬‬ ‫‪1.706‬‬ ‫‪1.703‬‬ ‫‪1.701‬‬ ‫‪1.699‬‬ ‫‪1.697‬‬ ‫‪1.684‬‬ ‫‪1.671‬‬ ‫‪1.658‬‬ ‫‪1.645‬‬

‫‪.10‬‬ ‫‪3.078‬‬ ‫‪1.886‬‬ ‫‪1.638‬‬ ‫‪1.533‬‬ ‫‪1.476‬‬ ‫‪1.440‬‬ ‫‪1.415‬‬ ‫‪1.397‬‬ ‫‪1.383‬‬ ‫‪1.372‬‬ ‫‪1.363‬‬ ‫‪1.356‬‬ ‫‪1.350‬‬ ‫‪1.345‬‬ ‫‪1.341‬‬ ‫‪1.337‬‬ ‫‪1.333‬‬ ‫‪1.330‬‬ ‫‪1.328‬‬ ‫‪1.325‬‬ ‫‪1.323‬‬ ‫‪1.321‬‬ ‫‪1.319‬‬ ‫‪1.318‬‬ ‫‪1.316‬‬ ‫‪1.315‬‬ ‫‪1.314‬‬ ‫‪1.313‬‬ ‫‪1.311‬‬ ‫‪1.310‬‬ ‫‪1.303‬‬ ‫‪1.296‬‬ ‫‪1.289‬‬ ‫‪1.282‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪‬‬

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