ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺷﻴﺒﻴﺸﻰ
Chebyshev’s theorem
ﻫﺬﻩ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﻣﻬﻤﺔ ﻓﻲ وﺻﻒ ﻓﺌﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺸـﺎﻫﺪات ٠إذا ﻛﺎﻧـﺖ x1 , x 2 ,..., x nﻓﺌـﺔ ﻣـﻦ
اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ﻓﺈﻧﻪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ )
1 2
k
(1 ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ﺳﻮف ﺗﻘﻊ ﺿﻤﻦ kاﻧﺤﺮاﻓـﺎت ﻣﻌﻴﺎرﻳـﺔ
ﻣـﻦ وﺳــﻄﻬﺎ اﻟﺤﺴـﺎﺑﻰ ٠ﺗﻌﺘﺒــﺮ اﻟﻨﻈﺮﻳـﺔ ﻏﻴــﺮ ﻣﻔﻴــﺪة ﻋﻨـﺪﻣﺎ kﺗﺴــﺎوى واﺣـﺪ ﻷن ﻫــﺬا ﻳﻌﻨـﻰ أﻧــﻪ ﻋﻠــﻰ اﻷﻗ ــﻞ ) 0
1 2
1
(1 ﻣ ــﻦ اﻟﻤﺸـ ــﺎﻫﺪات ﺗﻘ ــﻊ ﻓـ ــﻲ اﻟﻔﺘ ــﺮة ﻣـ ــﻦ إﻟ ــﻰ ٠ ﻋﻨـ ــﺪﻣﺎ
3 k 2ﻓﻬ ــﺬا ﻳﻌﻨ ــﻰ أﻧ ــﻪ ﻋﻠ ــﻰ اﻷﻗ ــﻞ 4 2إﻟﻰ
1
) 2
2
(1 ﻣ ــﻦ اﻟﻤﺸ ــﺎﻫﺪات ﺗﻘ ــﻊ ﻓ ــﻲ اﻟﻔﺘ ــﺮة ﻣ ــﻦ 1
8 ٠ 2وأﺧﻴـ ـﺮا ﻋﻨ ــﺪﻣﺎ k 3ﻓﻬ ــﺬا ﻳﻌﻨ ــﻰ أﻧ ــﻪ ﻋﻠ ــﻰ اﻷﻗ ــﻞ 9 2 اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ﻣﻦ 3إﻟﻰ ٠ 3ﺑﻔﺮض أن ﻓﺌﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ﺗﻤﺜـﻞ 1 3 ﻋﻴﻨﺔ ،وإذا ﻛﺎﻧﺖ k=2ﻓﺎﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﺗﻨﺺ ﻋﻠـﻰ أﻧـﻪ ﻋﻠـﻰ اﻷﻗـﻞ (1 2 ) ﻣـﻦ اﻟﻤﺸـﺎﻫﺪات ﺗﻘـﻊ 4 2 1 8 ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ﻣﻦ x 2sإﻟﻰ ٠ x 2sﺑﻨﻔﺲ اﻟﺸﻜﻞ ،اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﺗﻨﺺ ﻋﻠﻰ أﻧﻪ (1 3 ) 9 2 ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ﻣﻦ x 3sإﻟﻰ ٠ x 3s ) 3
(1
ﻣ ــﻦ
ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ اﻟﻤﺜﺎل إذا ﻛﺎن اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ واﻻﻧﺤـﺮاف اﻟﻤﻌﻴـﺎري ﻟﻌﻴﻨـﺔ ﻣـﻦ اﻟﻤﺸـﺎﻫﺪات ﻫﻤـﺎ ﻋﻠـﻰ
اﻟﺘﻮاﻟﻲ 60و ٠ 10أﺳﺘﺨﺪم ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺗﺸﻴﺒﻴﺸﻰ ﻟﻮﺻﻒ ﺗﻮزﻳﻊ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات٠
3 اﻟﺤﻞ ) :ا ( ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ 4 8 ) ب ( ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ، 60 30أي ﻣﻦ 30إﻟﻰ ٠ 90 9
ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ، 60 20أي ﻣﻦ 40إﻟﻰ ٠ 80
ﻣﺜـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎل :اﻟﻤﺸـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎﻫﺪات اﻟﺘﺎﻟﻴـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ ﺗﻤﺜـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻞ ﻣﺸـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎﻫﺪات ﻋﻴﻨـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ :
3 14,18,19,19,19,19,20,20,20,20,21,25أﺛﺒــﺖ أﻧــﻪ ﻋﻠــﻰ اﻷﻗــﻞ 4 8 ﺿﻤﻦ أﺛﻨﻴﻦ اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﻴﺎري ﻣﻦ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ وأﻧﻪ ﻋﻠـﻰ اﻷﻗـﻞ ﻣـﻦ اﻟﻤﺸـﺎﻫﺪات ﺗﻘـﻊ ﺿـﻤﻦ 9
ﻣــﻦ اﻟﻤﺸــﺎﻫﺪات ﺗﻘــﻊ
ﺛﻼﺛﺔ اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﻴﺎري ﻣﻦ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ٠
اﻟﺤـﻞ :اﻟﻮﺳــﻂ اﻟﺤﺴـﺎﺑﻲ واﻻﻧﺤـﺮاف اﻟﻤﻌﻴـﺎري ﻫﻤــﺎ x 19.5, s 2.468 :وﻋﻠـﻰ ذﻟــﻚ
٠ x 2s 19.5 (2)(2.468) 19.5 4.94ﻳﻮﺿـ ــﺢ اﻟﻌـ ــﺪ اﻟﺤﻘﻴﻘـ ــﻲ أن اﻟﻔﺘـ ــﺮة ﻣـ ــﻦ
14.56إﻟـ ــﻰ 24.44ﺗﺤﺘـ ــﻮى ﻋﻠـ ــﻰ 10ﻣﺸـ ــﺎﻫﺪة ﻣـ ــﻦ 12ﻣﺸـ ــﺎﻫﺪة ،ﺗﻤﺜـ ــﻞ ﺗﻘﺮﻳﺒـ ــﺎ 83%ﻣـ ــﻦ 3 اﻟﻤﺸ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎﻫﺪات ،أي أﻛﺜ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺮ ﻣ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻦ 4 ٠ x 3s 19.5 (3)(2.468) 19.5 7.4 21.96ﻳﻮﺿ ـ ـ ــﺢ اﻟﻌ ـ ـ ــﺪ اﻟﺤﻘﻴﻘ ـ ـ ــﻲ أن 8 اﻟﻔﺘﺮة ﻣﻦ 12.1إﻟﻰ 26.9ﺗﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ ﻛﻞ اﻟﻘﻴﻢ ﻓﻲ اﻟﻌﻴﻨﺔ وﺑﺎﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﺗﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻋﻠﻰ 9
اﻟﻘ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻴﻢ ٠أﻳﻀ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎ
ﻣﻨﻬﻢ٠
اﻵن ﺳﻮف ﻧﻘﺪم ﻗﺎﻋـﺪة ﺗﺼـﻒ ﺑﺪﻗـﺔ اﻻﻧﺘﺸـﺎر ﻟﻠﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻨﺎﻗﻮﺳـﻰ ٠ﻳﻌـﺮف اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻨﺎﻗﻮﺳـﻰ
ﻋـﺎدة ﺑـﺎﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ ﻛﻤـﺎ ﺗﻌﻄــﻰ ﻫـﺬﻩ اﻟﻘﺎﻋـﺪة ﻧﺘـﺎﺋﺞ ﺟﻴـﺪة ﻟﻠﺘﻮزﻳﻌــﺎت اﻟﻘﺮﻳﺒـﺔ اﻟﺸـﻜﻞ ﻣـﻦ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ
اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ٠
ﻗﺎﻋﺪة ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ Empirical Rule
أﻋﺘﺒﺮ ﺗﻮزﻳﻊ ﻓﺌﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ﻟﻬﺎ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻨﺎﻗﻮس ،اﻟﻔﺘﺮة -:
) ا ( x sﺳﻮف ﺗﺤﺘﻮى ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ ﻋﻠﻰ 68%ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات٠
) ب ( x 2sﺳﻮف ﺗﺤﺘﻮى ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ ﻋﻠﻰ %95ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات٠
) ﺟـ ( x 3sﺳﻮف ﺗﺤﺘﻮى ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ ﻋﻠﻰ 99.7%ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات٠
ﻣﺜــﺎل :اﻟﻤﺸــﺎﻫﺪات ﻓــﻲ ﺟــﺪول ) (١ﺗﻤﺜــﻞ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﺘﻜ ـﺮاري ﻟــﺪرﺟﺎت ﻣﺠﻤﻮﻋــﺔ ﻣــﻦ اﻟﻄﻠﺒــﺔ ﻓــﻲ
ﻣﺎدة اﻹﺣﺼﺎء ،واﻟﻤﻄﻠﻮب إﻳﺠﺎد اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﻜﺮاري ووﺻﻒ اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت ﻣﻨﻪ٠
اﻟﺤــﻞ :ﻟﻠﺒﻴﺎﻧــﺎت ﻓــﻲ ﺟــﺪول ) ٠( ٢اﻟﻮﺳــﻂ اﻟﺤﺴــﺎﺑﻲ واﻻﻧﺤ ـﺮاف اﻟﻤﻌﻴــﺎري ﻋﻠــﻰ اﻟﺘــﻮاﻟﻲ ﻫﻤــﺎ s 13.7 ، x 66.1وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺣﺴﺎب اﻟﻔﺘﺮات:
) ا ( ٠ x s 66.1 13.7
) ب ( ٠ x 2s 66.1 27.4 ٠ x 3s 66.1 411 ) ﺟـ ( . 48 60 64 70 81 86 51
51 59 64 66 76 85 88
40 58 67 69 71 83 80
ﺟﺪول ) ( ١ 45 53 63 68 72 82 72
44 55 62 66 74 78 68
41 56 61 65 75 80 62 92
35 54 60 67 73 79 50 91
اﻟﺘﻜﺮار
ﺣﺪود اﻟﻔﺌﺔ
1 3 2 5 4 8 8 6 4 5 3 2
35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94
ﺟﺪول ) ( ٢
اﻟﻘﺎﻋــﺪة اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴــﺔ اﻟﺴــﺎﺑﻘﺔ ﺳــﻮف ﺗﻔﻴــﺪﻧﺎ ﻛﺜﻴ ـﺮا ﻓــﻲ وﺻــﻒ اﻟﻤﺸــﺎﻫﺪات ﻓــﻲ ﺟــﺪول ) ٠ ( ٢ﺗﺒﻌــﺎ
ﻟﻬــﺬﻩ اﻟﻘﺎﻋــﺪة ﻓﺈﻧﻨــﺎ ﻧﺘﻮﻗــﻊ أن ﺗﻘﺮﻳﺒــﺎ 68%ﻣــﻦ اﻟﻤﺸــﺎﻫﺪات ﺗﻘــﻊ ﻓــﻲ اﻟﻔﺘــﺮة 52.4إﻟــﻰ ٠79.8
ﻳﻮﺿ ــﺢ اﻟﻌ ــﺪ اﻟﺤﻘﻴﻘ ــﻲ ﻣ ــﻦ ﺟ ــﺪول ) (١أن 34ﻣ ــﻦ 51ﻣﺸ ــﺎﻫﺪة ﺗﻘ ــﻊ ﻓ ــﻲ ﻫ ــﺬﻩ اﻟﻔﺘ ــﺮة وﺗﻤﺜ ــﻞ 67.0%ﻣــﻦ اﻟﻤﺸــﺎﻫﺪات ٠أﻳﻀــﺎ ﻧﺘﻮﻗــﻊ أن ﺗﻘﺮﻳﺒــﺎ 95%ﻣــﻦ اﻟﻤﺸــﺎﻫﺪات ﺗﻘــﻊ ﻓــﻲ اﻟﻔﺘــﺮة
38.7إﻟ ــﻰ ٠ 93.5ﻳﻮﺿ ــﺢ اﻟﻌ ــﺪ اﻟﺤﻘﻴﻘ ــﻲ أن 49ﻣ ــﻦ 51ﻣﺸ ــﺎﻫﺪة ﺗﻘ ــﻊ ﻓ ــﻲ ﻫ ــﺬﻩ اﻟﻔﺘ ــﺮة وﺗﻤﺜ ــﻞ
96%ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ٠وأﺧﻴﺮا ﻧﺘﻮﻗﻊ أن ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ 99.7%ﻣﻦ ﻛﻞ اﻟﻤﺸـﺎﻫﺪات ﺗﻘـﻊ ﻓـﻲ اﻟﻔﺘـﺮة 25
إﻟـﻰ ٠107.2اﻟﻌـﺪ اﻟﺤﻘﻴﻘـﻲ ﻳﻮﺿـﺢ أن ﻛـﻞ اﻟﻤﺸـﺎﻫﺪات ﺗﻘـﻊ ﻓـﻲ ﻫـﺬﻩ اﻟﻔﺘـﺮة وﺗﻤﺜـﻞ 100%ﻣـﻦ ﻛﻞ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات٠