ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺷﻴﺒﻴﺸﻰ
Chebyshev’s theorem
ﻫﺬﻩ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﻣﻬﻤﺔ ﻓﻲ وﺻﻒ ﻓﺌﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺸـﺎﻫﺪات ٠إذا ﻛﺎﻧـﺖ x1 , x 2 ,..., x nﻓﺌـﺔ ﻣـﻦ
اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ﻓﺈﻧﻪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ )
1 2
k
(1 ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ﺳﻮف ﺗﻘﻊ ﺿﻤﻦ kاﻧﺤﺮاﻓـﺎت ﻣﻌﻴﺎرﻳـﺔ
ﻣـﻦ وﺳــﻄﻬﺎ اﻟﺤﺴـﺎﺑﻰ ٠ﺗﻌﺘﺒــﺮ اﻟﻨﻈﺮﻳـﺔ ﻏﻴــﺮ ﻣﻔﻴــﺪة ﻋﻨـﺪﻣﺎ kﺗﺴــﺎوى واﺣـﺪ ﻷن ﻫــﺬا ﻳﻌﻨـﻰ أﻧــﻪ ﻋﻠــﻰ اﻷﻗ ــﻞ ) 0
1 2
1
(1 ﻣ ــﻦ اﻟﻤﺸـ ــﺎﻫﺪات ﺗﻘ ــﻊ ﻓـ ــﻲ اﻟﻔﺘ ــﺮة ﻣـ ــﻦ إﻟ ــﻰ ٠ ﻋﻨـ ــﺪﻣﺎ
3 k 2ﻓﻬ ــﺬا ﻳﻌﻨ ــﻰ أﻧ ــﻪ ﻋﻠ ــﻰ اﻷﻗ ــﻞ 4 2إﻟﻰ
1
) 2
2
(1 ﻣ ــﻦ اﻟﻤﺸ ــﺎﻫﺪات ﺗﻘ ــﻊ ﻓ ــﻲ اﻟﻔﺘ ــﺮة ﻣ ــﻦ 1
8 ٠ 2وأﺧﻴـ ـﺮا ﻋﻨ ــﺪﻣﺎ k 3ﻓﻬ ــﺬا ﻳﻌﻨ ــﻰ أﻧ ــﻪ ﻋﻠ ــﻰ اﻷﻗ ــﻞ 9 2 اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ﻣﻦ 3إﻟﻰ ٠ 3ﺑﻔﺮض أن ﻓﺌﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ﺗﻤﺜـﻞ 1 3 ﻋﻴﻨﺔ ،وإذا ﻛﺎﻧﺖ k=2ﻓﺎﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﺗﻨﺺ ﻋﻠـﻰ أﻧـﻪ ﻋﻠـﻰ اﻷﻗـﻞ (1 2 ) ﻣـﻦ اﻟﻤﺸـﺎﻫﺪات ﺗﻘـﻊ 4 2 1 8 ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ﻣﻦ x 2sإﻟﻰ ٠ x 2sﺑﻨﻔﺲ اﻟﺸﻜﻞ ،اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﺗﻨﺺ ﻋﻠﻰ أﻧﻪ (1 3 ) 9 2 ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ﻣﻦ x 3sإﻟﻰ ٠ x 3s ) 3
(1
ﻣ ــﻦ
ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ اﻟﻤﺜﺎل إذا ﻛﺎن اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ واﻻﻧﺤـﺮاف اﻟﻤﻌﻴـﺎري ﻟﻌﻴﻨـﺔ ﻣـﻦ اﻟﻤﺸـﺎﻫﺪات ﻫﻤـﺎ ﻋﻠـﻰ
اﻟﺘﻮاﻟﻲ 60و ٠ 10أﺳﺘﺨﺪم ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺗﺸﻴﺒﻴﺸﻰ ﻟﻮﺻﻒ ﺗﻮزﻳﻊ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات٠
3 اﻟﺤﻞ ) :ا ( ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ 4 8 ) ب ( ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ، 60 30أي ﻣﻦ 30إﻟﻰ ٠ 90 9
ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺎﻫﺪات ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ، 60 20أي ﻣﻦ 40إﻟﻰ ٠ 80
ﻣﺜـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎل :اﻟﻤﺸـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎﻫﺪات اﻟﺘﺎﻟﻴـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ ﺗﻤﺜـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻞ ﻣﺸـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎﻫﺪات ﻋﻴﻨـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ :
3 14,18,19,19,19,19,20,20,20,20,21,25أﺛﺒــﺖ أﻧــﻪ ﻋﻠــﻰ اﻷﻗــﻞ 4 8 ﺿﻤﻦ أﺛﻨﻴﻦ اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﻴﺎري ﻣﻦ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ وأﻧﻪ ﻋﻠـﻰ اﻷﻗـﻞ ﻣـﻦ اﻟﻤﺸـﺎﻫﺪات ﺗﻘـﻊ ﺿـﻤﻦ 9
ﻣــﻦ اﻟﻤﺸــﺎﻫﺪات ﺗﻘــﻊ
ﺛﻼﺛﺔ اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﻴﺎري ﻣﻦ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺑﻰ٠
اﻟﺤـﻞ :اﻟﻮﺳــﻂ اﻟﺤﺴـﺎﺑﻲ واﻻﻧﺤـﺮاف اﻟﻤﻌﻴـﺎري ﻫﻤــﺎ x 19.5, s 2.468 :وﻋﻠـﻰ ذﻟــﻚ
٠ x 2s 19.5 (2)(2.468) 19.5 4.94ﻳﻮﺿـ ــﺢ اﻟﻌـ ــﺪ اﻟﺤﻘﻴﻘـ ــﻲ أن اﻟﻔﺘـ ــﺮة ﻣـ ــﻦ