بعض التوزيات المستخدمة فى الاستدلال الالحصائى

‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ‬

‫‪Normal Distribution‬‬

‫ﻳﻌﺘﺒــﺮ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌــﻲ ﻣــﻦ أﻫــﻢ اﻟﺘﻮزﻳﻌــﺎت اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴــﺔ اﻟﻤﺘﺼــﻠﺔ ﻓــﻲ ﻋﻠــﻢ اﻹﺣﺼــﺎء‪ ،‬ﺣﻴــﺚ‬

‫ﻳﺼــﻒ ﻛﺜﻴ ـﺮا ﻣــﻦ اﻟﻤﺠﺘﻤﻌــﺎت اﻟﻤﻮﺟــﻮدة ﻓــﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌــﺔ ‪ ،‬اﻟﺼــﻨﺎﻋﺔ ‪ ،‬اﻷﺑﺤــﺎث‪ .‬داﻟــﺔ ﻛﺜﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺘﻤــﺎل‬ ‫ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪( x  ) 2‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ 2‬‬

‫‪f (x) ‬‬

‫ﻋﻠ ـ ـﻰ اﻟﻔﺘـ ــﺮة ‪    x  ‬ﺣﻴـ ــﺚ …‪ e=2.71828‬و …‪  =3.14159‬و ‪ ‬و ‪ ‬ﻫﻤـ ــﺎ‬

‫اﻟﻮﺳـﻂ اﻟﺤﺴــﺎﺑﻲ ) اﻟﻤﺘﻮﺳـﻂ ( واﻻﻧﺤـﺮاف اﻟﻤﻌﻴــﺎري ﻋﻠـﻰ اﻟﺘــﻮاﻟﻲ‪ .‬ﺑﻴــﺎن )‪ f(x‬ﻓـﻲ اﻟﺸــﻜﻞ اﻟﺘــﺎﻟﻰ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺷـﻜﻞ ﻧـﺎﻗﻮس ﻣﺘﻤﺎﺛـﻞ ﺣـﻮل اﻟﻌﻤـﻮد اﻟﻤﻘـﺎم ﻋﻠـﻰ اﻟﻮﺳـﻂ اﻟﺤﺴـﺎﺑﻰ‪ ٠‬ﻳﻨﻄﺒـﻖ اﻟﻮﺳـﻂ اﻟﺤﺴـﺎﺑﻲ‬

‫ﻋﻠـﻰ اﻟﻮﺳـﻴﻂ وأﻳﻀـﺎ ﻋﻠـﻰ اﻟﻤﻨـﻮال‪ ٠‬ﻳﺘﻘـﺎرب ﻃﺮﻓـﺎ ﻣﻨﺤﻨـﻰ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ ﻣـﻦ اﻟﺼـﻔﺮ ﻋﻨـﺪﻣﺎ‬ ‫‪ x  ‬أو ‪٠ x  ‬‬

‫ﻷي ﺗﻮزﻳﻊ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻓﺈن ‪-:‬‬

‫)ا( اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﺑﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ ‬و )‪ (  + ‬ﺗﻤﺜﻞ ‪34.13%‬‬

‫ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﺘﻀﺢ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ‪.‬‬

‫)ب( اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ ﺑـﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘـﻴﻦ ‪ ‬و )‪ ( +2‬ﺗﻤﺜـﻞ ‪ 47.72‬ﻣـﻦ‬

‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﺘﻀﺢ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ‪.‬‬

‫)ﺟـ( اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﺑﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ ‬و )‪ ( +3‬ﺗﻤﺜـﻞ ‪ 49.86 %‬ﻣـﻦ‬

‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﺘﻀﺢ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ‪.‬‬

‫‪١‬‬

‫وﺑﻤــﺎ أن اﻟﻤﻨﺤﻨــﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌــﻲ ﻣﺘﻤﺎﺛــﻞ ﻓــﺈن اﻟﻘــﻴﻢ اﻟﺴــﺎﺑﻘﺔ ﺗﺘﺤﻘــﻖ ﻋﻨــﺪ ﻃــﺮح اﻻﻧﺤ ـﺮاف اﻟﻤﻌﻴــﺎري ﻣــﻦ‬

‫اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ‪٠‬‬

‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ‪:‬‬ ‫‪Standard Normal Distribution‬‬

‫إذا ﻛــﺎن اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌــﻲ ﻣﺘﻮﺳــﻄﻪ ﺻــﻔﺮ وﺗﺒﺎﻳﻨــﻪ اﻟﻮاﺣــﺪ اﻟﺼــﺤﻴﺢ ﻓﺈﻧــﻪ ﻳﺴــﻤﻲ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌــﻲ‬

‫اﻟﻘﻴﺎﺳــﻲ ‪ .‬ﺑﻔــﺮض أن ‪ Z‬ﺗﺮﻣــﺰ ﻟﻤﺘﻐﻴــﺮ ﻋﺸــﻮاﺋﻲ ﻣﺘﺼــﻞ ﻟــﻪ ﺗﻮزﻳــﻊ ﻃﺒﻴﻌــﻲ ﻗﻴﺎﺳــﻲ ﻓــﺈن داﻟــﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓــﺔ‬ ‫اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻟﺬﻟﻚ اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻵﺗﻲ ‪:‬‬ ‫‪-   z  .‬‬

‫‪,‬‬

‫‪z2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪f (z ) ‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ z1‬ﻋـﺪد ﺣﻘﻴﻘـﻲ ﻣﻮﺟـﺐ ﻓـﺎن اﻻﺣﺘﻤـﺎل )‪ ( 0 < Z < z1‬ﻳﺴـﺎوي اﻟﻤﺴـﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠـﺔ‬

‫ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ‪ ،‬وﻳﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻣﻦ ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻲ اﻟﻤﺴـﺎﺣﺎت اﻟﻮاﻗﻌـﺔ‬ ‫ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ﻏﻴـﺮ ﻣﻌﻄـﺎة ﻓـﻲ اﻟﺠـﺪول ﻟﻘـﻴﻢ ‪ z‬اﻟﺴـﺎﻟﺒﺔ وﻟﻜـﻦ ﻳﻤﻜـﻦ ﺣﺴـﺎﺑﻬﻢ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺧﺎﺻﻴﺔ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ‪ .‬اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ﺑﻴﻦ‬ ‫‪ z  0‬و ‪ z  z1‬ﺗﺴـﺎوي اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﺑﻴﻦ ‪ z  z1‬و ‪ z  0‬أي أن ‪:‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻣﻌﻈﻢ اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ﺗﻘـﻊ ﻓـﻲ اﻟﻔﺘـﺮة )‪ (-3,3‬وﻧـﺎدرا ﻣـﺎ ﻧﺠـﺪ ﻗـﻴﻢ ﺗﻘـﻊ‬

‫ﺧﺎرج ﻫﺬﻩ اﻟﻔﺘﺮة ‪.‬‬

‫‪z‬‬

‫ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎن ‪ Z‬ﻣﺘﻐﻴـﺮ ﻋﺸـﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒـﻊ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻲ اﺣﺴـﺐ اﻻﺣﺘﻤـﺎﻻت اﻵﺗﻴـﺔ ﻣـﻊ‬

‫ﺗﻮﺿﻴﺢ ذﻟﻚ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ‪.‬‬

‫)ا( )‪) P(0  Z  1.05‬ب( )‪P (1.06  Z  1.06‬‬ ‫)ﺟـ( )‪) P (0.47  Z  0.95‬د( )‪P (1.6  Z  2‬‬

‫)ﻫـ( )‪) P ( Z  2.02‬و( )‪) P( Z  0.45‬ز( )‪P ( Z  1.07‬‬

‫اﻟﺤـ ــﻞ ‪ ) .‬أ( ﻹﻳﺠـ ــﺎد ﻗﻴﻤـ ــﺔ اﻻﺣﺘﻤـ ــﺎل )‪ P(0  Z  1.05‬ﻧﺒﺤـ ــﺚ ﻓـ ــﻲ اﻟﻌﻤـ ــﻮد اﻷول ﻋﻠـ ــﻰ‬

‫اﻟﺸﻤﺎل ﻣﻦ ﺟـﺪول اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻲ ﻓـﻲ ﻣﻠﺤـﻖ )‪ (٣‬ﻋـﻦ اﻟﻘﻴﻤـﺔ ‪ 1.0‬ﺛـﻢ ﻧﺘﺤـﺮك أﻣـﺎم ﻫـﺬﻩ‬

‫اﻟﻘﻴﻤﺔ أﻓﻘﻴﺎ ﺣﺘﻰ ﻧﺼﻞ إﻟﻰ اﻟﻌﻤـﻮد اﻟـﺬي رأس ﻋﻨﻮاﻧـﻪ اﻟـﺮﻗﻢ ‪ 0.05‬ﻓﺘﻜـﻮن ﻫـﻲ اﻟﻤﺴـﺎﺣﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑـﺔ‬ ‫أي أن ‪:‬‬ ‫‪P(0  Z  1.05)  0.3531.‬‬

‫واﻟﺘﻲ ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ‪٠‬‬

‫‪٣‬‬

‫)ب( اﻻﺣﺘﻤ ــﺎل اﻟﻤﻄﻠ ــﻮب ﻫ ــﻮ )‪ P (1.06  Z  1.06‬وﻫ ــﻮ ﻳﺴ ــﺎوي اﻟﻤﺴ ــﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠ ــﺔ ﻓ ــﻲ‬

‫اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫وﻧﻈﺮا ﻟﺘﻤﺎﺛﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫)‪P (1.06  Z  1.06)  P(1.06  Z  0)  P(0  Z  1.06‬‬ ‫‪ 2P(0  Z  1.06)  2(0.3554)  0.7108.‬‬

‫) ﺟ ـ( اﻻﺣﺘﻤـﺎل اﻟﻤﻄﻠـﻮب ﻫـﻮ )‪ P (0.47  Z  0.95‬وﻫـﻮ ﻳﺴـﺎوي اﻟﻤﺴـﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠـﺔ ﻓــﻲ‬

‫اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ‪ ٠‬وﻧﻈﺮا ﻟﺘﻤﺎﺛﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪٤‬‬

‫)‪P (0.47  Z  0.95)  P(0.47  Z  0)  P(0  Z  0.95‬‬ ‫‪ P(0  Z  0.47)  P(0  Z  0.95)  0.1808  0.3289  0.5097.‬‬

‫) د( اﻻﺣﺘﻤــﺎل اﻟﻤﻄﻠــﻮب ﻫــﻮ )‪ P (1.6  Z  2‬وﻫــﻮ ﻳﺴــﺎوي اﻟﻤﺴــﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠــﺔ ﻓــﻲ اﻟﺸــﻜﻞ‬

‫اﻟﺘﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫أي أن ‪:‬‬ ‫)‪P (1.6  Z  2)  P(0  Z  2)  P(0  Z  1.6‬‬ ‫‪ 0.4772  0.4452  0.032.‬‬

‫) ﻫـ( ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺣﻘﻴﻘﺔ أن )‪ P( Z  0‬ﻳﺴﺎوي ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ ﺗﺤـﺖ‬

‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ أي أن ‪ P ( Z  0)  0.5‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ‪:‬‬

‫‪٥‬‬

‫)‪P ( Z  2.02)  P( Z  0)  P(0  Z  2.02‬‬ ‫‪ 0.5  0.4783  0.0217.‬‬

‫)و( اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻫﻮ )‪ P( Z  0.45‬وﻫﻮ ﻳﺴﺎوي اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘـﺎﻟﻰ‬ ‫وﻧﻈﺮا ﻟﺘﻤﺎﺛﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)‪P ( Z  0.45)  P( Z  0.45‬‬ ‫)‪ P( Z  0)  P(0  Z  0.45‬‬ ‫‪ 0.5  0.1736  0.3264.‬‬ ‫) ز( اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻫﻮ ) ‪ P ( Z  1.07‬وﻫﻮ ﻳﺴـﺎوي اﻟﻤﺴـﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠـﺔ ﻓـﻲ اﻟﺸـﻜﻞ اﻟﺘـﺎﻟﻰ‪.‬‬

‫وﻻن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ وﻣﺴﺎﺣﺔ ﻛﻞ ﺟﺎﻧﺐ ﻣﻦ ﺟﺎﻧﺒﻲ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺗﺴﺎوي ‪ 0.5‬ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫)‪P ( Z  1.07)  P( Z  0)  P(0  Z  1.07‬‬ ‫‪ 0.5  0.3577  0.8577.‬‬

‫‪٦‬‬

‫اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻻﺳﺘﺨﺮاج اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ‬

‫اﻵن ﻧﻌ ــﻮد ﻣ ــﺮة أﺧ ــﺮي إﻟ ــﻰ ﺣﺎﻟ ــﺔ ﻣﺘﻐﻴ ــﺮ ﻋﺸ ــﻮاﺋﻲ ﻃﺒﻴﻌ ــﻲ ﻣﺘﻮﺳ ــﻄﻪ ‪ ‬واﻧﺤﺮاﻓ ــﻪ‬

‫اﻟﻤﻌﻴــﺎري ‪ . ‬ﻳﻤﻜــﻦ ﺗﺤﻮﻳــﻞ اﻟﻤﺘﻐﻴــﺮ ‪ X‬إﻟــﻰ ﻣﺘﻐﻴــﺮ ﻃﺒﻴﻌــﻲ ﻗﻴﺎﺳــﻲ ‪ Z‬ﺑﺎﺳــﺘﺨﺪام اﻟﺼــﻴﻐﺔ‬ ‫اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪Z‬‬

‫اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻣﻦ ‪ X‬إﻟﻰ ‪ Z‬ﻳﻤﺜﻞ اﻧﺘﻘﺎل ﻟﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﻣﺼﺤﻮﺑﺎً ﺑﺘﻐﻴﺮ ﻟﻤﻘﻴﺎس اﻟﺮﺳﻢ‪ .‬ﻋﻨـﺪﻣﺎ ‪x= ‬‬

‫ﻓﺈن ‪ ، z=0‬وﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ x=   ‬ﻓﺈن ‪ ، z= -1‬وﻋﻨـﺪﻣﺎ ‪ x= +2‬ﻓـﺈن ‪ z=2‬وﻫﻜـﺬا‪ .‬أي أن‬ ‫ﻣﻘﻴــﺎس اﻟﺮﺳــﻢ ﻗــﺪ ﺗﻐﻴــﺮ ﺣﻴــﺚ ﺗﻨــﺎﻇﺮ ﻣﺴــﺎﻓﺔ ‪ ‬ﻋﻠــﻰ ﻣﺤــﻮر اﻟﺴــﻴﻨﺎت ﻣﺴــﺎﻓﺔ ﻗــﺪرﻫﺎ واﺣــﺪ ﻋﻠــﻰ‬

‫ﻣﺤـﻮر ‪ ،z‬وﻋﻠـﻰ ذﻟـﻚ ﻳﻤﻜـﻦ اﺳـﺘﺨﺪام ﺟـﺪاول اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻲ ﻓـﻲ ﻣﻠﺤـﻖ )‪ (٣‬ﻟﺤﺴـﺎب‬ ‫اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت ﻷي ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻛﻤﺎ ﻳﺘﻀﺢ ﻣﻦ اﻷﻣﺜﻠﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل ﻓﻲ ﻣﺪﻳﻨﺔ ﺻﻐﻴﺮة وﺟﺪ أن أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣﺮارة ﻣﺴﺠﻠﺔ ﻳﻮﻣﻴﺎ ﺧـﻼل ﻓﺼـﻞ اﻟﺮﺑﻴـﻊ ﻟﻬـﺎ ﻣﺘﻮﺳـﻂ‬

‫‪ 20°c‬واﻧﺤﺮاف ﻣﻌﻴﺎري ‪ .5°c‬ﺑﻔﺮض أن اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﻌﺸـﻮاﺋﻲ ‪ ) X‬أﻋﻠـﻰ درﺟـﺔ ﺣـﺮارة ﻳﻮﻣﻴـﺎ ( ﻳﺨﻀـﻊ‬

‫ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ‪ ،‬أوﺟﺪ اﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﻟﻸﻳﺎم اﻟﺘﻲ ﻓﻴﻬﺎ أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣﺮارة ‪:‬‬ ‫) أ( ﺑﻴﻦ ‪ 22°c‬و ‪26°c‬‬ ‫) ب( ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ‪28°c‬‬

‫اﻟﺤﻞ ‪) .‬أ( إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻳﺮﻣﺰ ﻷﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣﺮارة ﻣﺴﺠﻠﺔ ﻳﻮﻣﻴﺎ ﻓﺎن ‪ X‬ﻳﻜﻮن ﻣﺘﻐﻴـﺮ ﻋﺸـﻮاﺋﻲ ﻃﺒﻴﻌـﻲ‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ ‪  =20‬واﻧﺤﺮاﻓﻪ اﻟﻤﻌﻴﺎري ‪ .  =5‬اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ اﻟﻤﻨﺎﻇﺮ ﻫﻮ ‪:‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ x1  22‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪X -  X  20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪22  20‬‬ ‫‪ 0.4.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪z1 ‬‬

‫وﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ x 2  26‬ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫‪26  20‬‬ ‫‪ 1.2.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪z2 ‬‬

‫اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻫﻮ )‪ p (22X26‬وﻫﻮ ﻳﺴﺎوي اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫أي أن ‪:‬‬

‫‪٧‬‬

‫)‪P (22  X  26)  P (0.4  Z  1.2‬‬ ‫‪ 0.3849  0.1554  0.2295.‬‬

‫أي أن اﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﻟﻸﻳﺎم اﻟﺘﻲ ﻓﻴﻬـﺎ أﻋﻠـﻰ درﺟـﺔ ﺣـﺮارة ﺑـﻴﻦ ) ‪ 22°c‬و ‪ ( 26°c‬ﻫـﻲ ‪22.95 %‬‬

‫‪.‬‬

‫) ب( ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ x1  28‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪28  20‬‬ ‫‪ 1.6.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻫﻮ )‪ P (X 28‬وﻫﻮ ﻳﺴﺎوي اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ‪ .‬أي أن‬ ‫)‪P( X  28)  P( Z  1.6‬‬ ‫)‪ P( Z  0)  P(0  Z  1.6‬‬ ‫‪z1 ‬‬

‫‪ 0.5  0.4452  0.0548.‬‬

‫أي أن اﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﻟﻸﻳﺎم اﻟﺘﻲ ﻓﻴﻬﺎ أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣﺮارة ﻓﻮق ‪ 28°c‬ﻫﻲ ‪. 5.48 %‬‬

‫ﺗﻮزﻳـﻊ ‪t‬‬

‫‪t Distribution‬‬

‫ﰲ ﻣﻌﻈــﻢ اﻷﲝــﺎث وﻏﺎﻟﺒــﺎ ﻳﻜــﻮن ﺗﺒــﺎﻳﻦ ا ﺘﻤــﻊ اﻟــﺬى ﲣﺘــﺎر ﻣﻨــﻪ اﻟﻌﻴﻨــﺎت ﳎﻬــﻮﻻ‪ .‬ﻟﻠﻌﻴﻨــﺎت‬ ‫اﻟﻌﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣــﻦ اﳊﺠــﻢ ‪ n >30‬ﻓــﺈن اﻟﺘﻘــﺪﻳﺮ اﳉﻴــﺪ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤــﺔ ‪ 2‬ﻫــﻮ ‪ .s2‬إذا ﻛﺎﻧــﺖ ‪n > 30‬‬ ‫واﺳﺘﺒﺪﻟﻨﺎ ‪ ‬ﺑﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ S‬ﰲ ﺻﻴﻐﺔ ‪ Z‬اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪z‬‬

‫ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ‪ Z‬ﺗﻘﺮﻳﺒﺎً ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ اﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ‪.‬أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﺣﺠﻢ اﻟﻌﻴﻨﺔ ﺻﻐﲑ ً (‬

‫) ‪ n < 30‬ﻓـﺈن ﻗـﻴﻢ ) ‪ ( x   ) /(s / n‬ﻻ ﺗﺘﺒـﻊ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻰ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻰ ‪ .‬ﰲ ﻫـﺬﻩ اﳊﺎﻟـﺔ‬ ‫ﻳﻜﻮن اﻫﺘﻤﺎﻣﻨﺎ ﺑﺘﻮزﻳﻊ ﻹﺣﺼﺎء ﻣﺎ ﺳﻮف ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ ، T‬واﻟﺬى ﻗﻴﻤﻪ ﺗﻌﻄﻰ ﻣـﻦ اﻟﺼـﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴـﺔ‬ ‫‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪t‬‬

‫ﻟﻘﺪ ﲤﻜﻦ ﺳﺘﻴﻮدﻧﺖ "‪ "Student‬وﻫﻮ ﻟﻘـﺐ ﻟﻌـﺎﱂ إﺣﺼـﺎﺋﻲ‪ ،‬ﻛـﺎن ﻳﻨﺸـﺮ أﲝﺎﺛـﻪ ﺑﺘﻮﻗﻴـﻊ ﺳـﺘﻴﻮدﻧﺖ‪،‬‬ ‫أن ﻳﺸﺘﻖ اﻟﻌﺒﺎرة اﳌﻀﺒﻮﻃﺔ ﻟﺘﻮزﻳﻊ ‪ t‬وﻳﺴﻤﻰ ﻫﺬا اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﰲ ﻛﺘـﺐ اﻹﺣﺼـﺎء اﳌﺨﺘﻠﻔـﺔ " ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ "t‬أو "‬ ‫ﺗﻮزﻳــﻊ ت "‪ ٠‬ﻳﺸــﺒﻪ ﺗﻮزﻳــﻊ ‪ t‬اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌــﻰ اﻟﻘﻴﺎﺳــﻰ ﻓﻜﻼﳘــﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛــﻞ ﺣــﻮل اﻟﺼــﻔﺮ ﻛﻤــﺎ أن ﻛــﻼ‬ ‫اﻟﺘـﻮزﻳﻌﻴﲔ ﳍﻤـﺎ ﺷـﻜﻞ اﻟﻨـﺎﻗﻮس وﻟﻜـﻦ ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ t‬أﻛﺜـﺮ ﺗﺸـﺘﺘﺎ وذﻟـﻚ راﺟـﻊ إﱃ اﳊﻘﻴﻘـﺔ أن ﻗـﻴﻢ ‪ t‬ﺗﻌﺘﻤـﺪ‬ ‫ﻋﻠـﻰ اﻻﺧــﺘﻼف ﰲ ﻗﻴﻤــﱵ ‪ x‬و ‪ s2‬ﺑﻴﻨﻤـﺎ ﻗــﻴﻢ ‪ z‬ﺗﻌﺘﻤــﺪ ﻓﻘـﻂ ﻋﻠــﻰ اﻟﺘﻐــﲑ ﰲ ﻗﻴﻤـﺔ ‪ x‬ﻣــﻦ ﻋﻴﻨــﺔ إﱃ‬ ‫أﺧﺮى‪ .‬ﳜﺘﻠـﻒ ﺗﻮزﻳـﻊ اﳌﺘﻐـﲑ‪ T‬ﻋـﻦ اﳌﺘﻐـﲑ ‪ Z‬ﰲ إن اﻟﺘﺒـﺎﻳﻦ ﻳﻌﺘﻤـﺪ ﻋﻠـﻰ ﺣﺠـﻢ اﻟﻌﻴﻨـﺔ ‪ n‬وداﺋﻤـﺎ أﻛـﱪ‬ ‫ﻣـﻦ اﻟﻮاﺣـﺪ اﻟﺼـﺤﻴﺢ ‪ ،‬ﻓﻘـﻂ ﻋﻨـﺪﻣﺎ ‪ n  ‬ﻓــﺈن اﻟﺘـﻮزﻳﻌﲔ ﻳﺘﺴـﺎوﻳﺎن‪ .‬اﳌﻘـﺎم )‪ (n-1‬واﻟـﺬي ﻳﻈﻬــﺮ‬ ‫ﰲ ﺻــﻴﻐﻪ ‪ s2‬ﻳﺴــﻤﻰ درﺟــﺎت اﳊﺮﻳــﺔ ‪ degree of freedom‬اﳌ ـﺮﺗﺒﻂ ﺑﺘﺒــﺎﻳﻦ اﻟﻌﻴﻨــﺔ ‪ .s2‬ﺑﺘﻜ ـﺮار‬ ‫اﳌﻌﺎﻳﻨـﺔ ﻣــﻦ اﳊﺠــﻢ ‪ n‬وﺣﺴــﺎب ‪ x‬و ‪ s2‬ﻟﻜــﻞ ﻋﻴﻨــﺔ‪ ،‬ﻓــﺈن ﻗــﻴﻢ ‪ t‬اﳌﻘﺎﺑﻠــﺔ ﻳﻘــﺎل أ ــﺎ ﺗﺘﺒــﻊ ﺗﻮزﻳـﻊ ‪t‬‬ ‫ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ‪ ، ‬ﺣﻴـﺚ ‪ .  = n-1‬وﻋﻠـﻰ ذﻟـﻚ ﺳـﻮف ﻳﻜـﻮن ﻟـﺪﻳﻨﺎ ﻣﻨﺤﻨﻴـﺎت ‪ t‬ﳐﺘﻠﻔـﺔ أو‬ ‫ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ t‬ﻟﻜـﻞ ﺣﺠـﻢ ﻋﻴﻨـﻪ‪ .‬ﻣـﻦ ﺧﺼـﺎﺋﺺ ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ t‬أﻧـﻪ ﻛﻠﻤـﺎ ﻛـﱪت درﺟـﺎت اﳊﺮﻳـﺔ ‪ ‬زاد ارﺗﻔـﺎع‬ ‫ﻣﻨﺤﲎ ‪ t‬وأﺻﺒﺢ أﻛﺜﺮ ﺗﺪﺑﺒﺎ أي اﻗﻞ ﺗﺸﺘﺘﺎ وﰲ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻳﻨﻄﺒﻖ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﲎ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ‪.‬‬ ‫اﳌﻨﺤﲎ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﯩﺒﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪  = 2‬ﳝﺜﻞ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻞ ﻗﻴﻢ ‪ t‬اﶈﺴـﻮﺑﺔ ﻣـﻦ ﻋﻴﻨـﺎت ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ‬ ‫ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n = 3‬ﺗﻜﺮر اﺧﺘﻴﺎرﻫﺎ ﻣﻦ ﳎﺘﻤﻊ ﻃﺒﻴﻌﻰ‪ .‬ﺑﻨﻔﺲ اﻟﺸﻜﻞ‪ ،‬اﳌﻨﺤـﲎ ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ = ‪‬‬ ‫‪ 20‬ﳝﺜﻞ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻞ ﻗﻴﻢ ‪ t‬اﶈﺴﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺎت ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪.n =21‬‬

‫‪٩‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ إذا ﻛﺎن ‪ x‬و ‪ s2‬ﳘﺎ اﳌﺘﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰉ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪n‬‬

‫ﻣﺄﺧﻮذة ﻣﻦ ﳎﺘﻤﻊ ﻃﺒﻴﻌﻰ ﻟﻪ ﻣﺘﻮﺳﻂ ‪ ‬وﺗﺒﺎﻳﻦ ‪ 2‬ﻏﲑ ﻣﻌﺮوف ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪t‬‬

‫ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ‪ T‬ﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪.  = n-1‬‬ ‫ﺑﻔﺮض أن ‪ t ‬ﺗﺮﻣﺰ ﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ t‬اﻟﱴ ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﶈﻮر اﻷﻓﻘـﻲ ﲢـﺖ ﻣﻨﺤـﲎ ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ t‬ﺑـﺪرﺟﺎت‬ ‫ﺣﺮﻳﺔ ‪ ‬واﻟﱵ اﳌﺴﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﳝﻴﻨﻬﺎ ﻗﺪرﻫﺎ ‪ ‬ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ‪.‬‬

‫‪١٠‬‬

‫اﳉــﺪول ‪ t‬ﻳﻌﻄــﻰ ﻗــﻴﻢ ‪ t ‬اﻟــﱵ ﺗﻨــﺎﻇﺮ اﻻﺣﺘﻤــﺎل ‪ ‬ﻟــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳــﺔ ‪ ‬ﺣﻴــﺚ ‪ ‬ﺗﺄﺧــﺬ اﻟﻘــﻴﻢ‬ ‫اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ .10, .05, .025, .01, .005, .001, .0005 :‬ودرﺟﺎت اﳊﺮﻳﺔ ﺗﺄﺧﺬ اﻟﻘﻴﻢ ﻣﻦ‬ ‫‪  = 1‬إﱃ ‪ .  = ‬ﻳﻮﺿﺢ اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﱐ ﻣﻦ اﳉﺪول ﻗـﻴﻢ ‪ ‬واﻟﻌﻤـﻮد اﻷول ﻣـﻦ اﻟﺸـﻤﺎل ﻗـﻴﻢ‬ ‫درﺟ ـ ــﺎت اﳊﺮﻳ ـ ــﺔ ‪ . ‬أﻣ ـ ــﺎ ﳏﺘﻮﻳ ـ ــﺎت اﳉ ـ ــﺪول ﻓﻬ ـ ــﻰ اﻟﻘ ـ ــﻴﻢ ‪ . t ‬وﻷن اﳌﻨﺤ ـ ــﲎ ﻣﺘﻤﺎﺛ ـ ــﻞ ﻓ ـ ــﺈن‬ ‫‪ t1   t ‬ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ‬

‫)أ( ﻗﻴﻤﺔ ‪.  = 15 , t.005‬‬

‫اﳊﻞ ‪.‬‬

‫)ب( ﻗﻴﻤﺔ ‪.  = 15 , t.995‬‬

‫)أ( ﺑﺎﻟﺒﺤﺚ ﰲ ﺟﺪول ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ t‬ﰲ ﻣﻠﺤـﻖ )‪ (٤‬ﻋﻨـﺪ ﺗﻘـﺎﻃﻊ اﻟﺼـﻒ ‪  = 15‬واﻟﻌﻤـﻮد‬ ‫‪  = .005‬ﳒﺪ أن ‪. t.005 = 2.947‬‬ ‫)ب( ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺧﺎﺻﻴﺔ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﳌﻨﺤﲎ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﻓﺈن‬ ‫‪ t.995 = - t.005‬أى أن ‪. t.995 = -2.947‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ) ‪ ( ١٦-٧‬أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ‬ﺣﻴﺚ‬

‫‪, t  = - 1.746‬‬

‫‪ = 16‬‬

‫اﳊﻞ ‪.‬‬ ‫ﺣﻴــﺚ أن ﻗﻴﻤــﺔ ‪ t‬ﺳــﺎﻟﺒﺔ ﻓﺈ ــﺎ ﺗﻘــﻊ ﰲ اﻟــﺬﻳﻞ اﻷﻳﺴــﺮ ﻣــﻦ ﺗﻮزﻳــﻊ ‪ t‬وﺑﺎﺳــﺘﺨﺪام ﺧﺎﺻــﻴﺔ اﻟﺘﻤﺎﺛــﻞ‬ ‫ﳌﻨﺤﲎ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪t1   t   1.746‬‬

‫وﻣﻦ ﺟﺪول ﺗﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﰲ ﻣﻠﺤﻖ )‪ (٤‬ﻓﺈن ‪ 1- = .05‬وﻣﻨﻬﺎ ‪.  = .95‬‬ ‫‪١١‬‬

‫أﻋﻤـﺎر اﳌﺼــﺎﺑﻴﺢ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴــﺔ اﳌﻨﺘﺠــﺔ ﺑﻮاﺳــﻄﺔ أﺣــﺪ اﳌﺼــﺎﻧﻊ ﺗﺘﺒــﻊ ﺗﻮزﻳﻌــﺎً ﻃﺒﻴﻌﻴــﺎً ‪،‬‬ ‫ﻣﺜــﺎل إذا ﻛﺎﻧــﺖ ـ‬ ‫وﻳــﺪﻋﻲ ﺻــﺎﺣﺐ اﳌﺼــﻨﻊ أن ﻣﺘﻮﺳــﻂ أﻋﻤــﺎر ﻫــﺬﻩ اﳌﺼــﺎﺑﻴﺢ ﻫــﻮ ‪ = 500‬ﺳــﺎﻋﺔ‪ .‬ﳌﺘﺎﺑﻌــﺔ ﺟــﻮدة‬ ‫اﻹﻧﺘــﺎج ﻳﺄﺧــﺬ ‪ 20‬ﻣﺼــﺒﺎﺣﺎ ﻛــﻞ ﺷــﻬﺮ‪ ٠‬وﳛﻘــﻖ اﻹﻧﺘــﺎج ﻟﻠﻤﻮاﺻــﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳــﻴﺔ إذا ﻛﺎﻧــﺖ ﻗﻴﻤــﺔ ‪t‬‬ ‫اﶈﺴـﻮﺑﺔ ﻣـﻦ ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ ‪ n = 20‬ﺗﻘـﻊ ﰲ اﻟﻔـﱰة) ‪ (-t.05 , t.05‬ﻣـﺎ‬ ‫اﻻﺳﺘﻨﺘﺎج اﻟﺬي ﳝﻜﻦ وﺿﻌﻪ ﻋﻨﺪ اﺧﺘﻴـﺎر ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ ‪ n = 20‬ﳍـﺎ ﻣﺘﻮﺳـﻂ ﺣﺴـﺎﰊ‬ ‫‪ x  530‬واﳓﺮاف ﻣﻌﻴﺎري ‪ s = 20‬؟‬ ‫اﳊﻞ ‪.‬‬ ‫ﻣـﻦ ﺟـﺪول ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ t‬ﳒـﺪ أن ‪ t.05 = 1.729‬ﻋﻨـﺪ درﺟـﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ‪ .  = 19‬وﻋﻠـﻰ ذﻟـﻚ ﻓـﺈن‬ ‫اﳌﻨﺘﺞ ﳛﻘﻖ اﳌﻮاﺻﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻗﻴﻤﺔ ‪ t‬اﶈﺴـﻮﺑﺔ ﻣـﻦ ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ ‪n = 20‬‬ ‫ﻣﺼﺒﺎﺣﺎ ﺗﻘﻊ ﰲ اﻟﻔﱰة ) ‪ . ( -1.729 , 1.729‬وﳒﺪ أن ‪:‬‬ ‫‪x   530  500‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 6.708 .‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪20‬‬ ‫ﻻ ﺗﻘﻊ ﰲ اﻟﻔـﱰة ) ‪ ( -1.729 , 1.729‬إذا ﻛﺎﻧـﺖ ‪   500‬ﻓـﺈن ﻗﻴﻤـﺔ ‪ t‬اﶈﺴـﻮﺑﺔ ﻣـﻦ اﻟﻌﻴﻨـﺔ‬ ‫‪t‬‬

‫ﺗﻜﻮن ﺟﻴﺪة وﺗﻌﲏ أن اﻹﻧﺘﺎج أﻓﻀﻞ ﻣﻦ اﳌﻄﻠﻮب‪.‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪ ( ٢‬إذا اﺧﺘﲑت ﻋﻴﻨﺎت ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ N1 ، N2‬ﻣﻦ ﳎﺘﻤﻌﲔ ﻛﺒﲑﻳﻦ ) أو ﻻ ﺎﺋﻴﺘﲔ‬ ‫( ‪ ،‬ﻣﺘﻘﻄﻌــﺔ أو ﻣﺘﺼــﻠﺔ‪ ،‬ﲟﺘﻮﺳــﻄﻲ ‪ 1 , 2‬وﺗﺒــﺎﻳﲏ ‪ 12 ,  22‬ﻋﻠــﻰ اﻟﺘ ـﻮاﱄ‪ ،‬ﻓــﺈن اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻌﻴــﲎ‬ ‫ﻟﻔــﺮوق اﳌﺘﻮﺳ ــﻄﺎت‪ ،X1  X 2 ،‬ﺗﻘﺮﻳﺒ ــﺎً ﻳﺘﺒ ــﻊ ﺗﻮزﻳﻌ ــﺎً ﻃﺒﻴﻌﻴــﺎً ﲟﺘﻮﺳ ــﻂ واﳓ ـﺮاف ﻣﻌﻴ ــﺎري ﻣﻌﻄ ــﻰ‬ ‫ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ ‪:‬‬ ‫‪ X  X  1   2 ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12  22‬‬ ‫‪X X ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ‪:‬‬ ‫) ‪( x1  x 2 )  (1   2‬‬ ‫‪12  22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ‪ Z‬ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ اﻟﻘﻴﺎﺳﻰ‪٠‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫‪z‬‬

‫إذا ﻛﺎن ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ n1 ، n2‬أﻛﱪ ﻣﻦ أو ﻳﺴﺎوى ‪ ، 30‬ﻓﺈن اﻟﺘﻘﺮﻳﺐ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ ﻟﺘﻮزﻳـﻊ ‪X1  X 2‬‬

‫ﻳﻜﻮن ﺟﻴﺪاً ﺟﺪاً‪.‬‬ ‫ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻌﻴﻨﺘﲔ ﰎ اﺧﺘﻴﺎرﳘﺎ ﻣﻦ ﳎﺘﻤﻌﲔ ﻃﺒﻴﻌﻴﲔ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫) ‪( x1  x 2 )  (1   2‬‬ ‫‪12  22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪z‬‬

‫ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐـﲑ ﻋﺸـﻮاﺋﻲ ‪ Z‬ﻳﺘﺒـﻊ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻲ ﺑﺼـﺮف اﻟﻨﻈـﺮ ﻋـﻦ ﺣﺠـﻢ ﻛـﻼ ﻣـﻦ ‪n2‬‬

‫‪٠ n1 ،‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧــﺖ ﻟــﺪﻳﻨﺎ ﻋﻴﻨﺘــﺎن ﻋﺸ ـﻮاﺋﻴﺘﺎن ﻣﺄﺧﻮذﺗــﺎن ﻣــﻦ ﳎﺘﻤﻌــﲔ ﻃﺒﻴﻌﻴــﲔ ﲟﺘﻮﺳــﻄﻰ ‪1 , 2‬‬ ‫وﺳـﻮف ﺗﻜــﻮن ﻧﻈﺮﻳـﺔ ) ‪ ( ٢‬ﻣﻔﻴــﺪة ﻓﻘــﻂ إذا ﻛﺎﻧـﺖ اﻟﻌﻴﻨﺘــﺎن ﻣﺴـﺘﻘﻠﺘﺎن وﺗﺒــﺎﻳﲏ ا ﺘﻤﻌــﲔ ‪12 ,  22‬‬

‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺘﺎن أو ﳝﻜﻦ ﺗﻘﺪﻳﺮﳘﺎ ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺎت ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n1 , n2‬ﺣﻴﺚ‬ ‫‪. , n2 > 30‬‬

‫‪n1 > 30‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧ ــﺖ ‪ 12 ,  22‬ﳎﻬﻮﻟﺘ ــﺎن ﻛﻤ ــﺎ ﳛ ــﺪث ﰲ ﻣﻌﻈ ــﻢ اﳊ ــﺎﻻت ‪ ،‬ﻓ ــﺈن اﻟﺘﻮزﻳ ــﻊ اﳌﻀ ــﺒﻮط‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﻐــﲑ ‪ Z‬ﰲ ﻧﻈﺮﻳــﺔ )‪ ( ٢‬ﻻ ﻳﻜــﻮن ﻣﻌﺮوﻓــﺎ ﻓﻴﻤــﺎ ﻋــﺪا ﻟــﻮ ﻓﺮﺿــﻨﺎ أن ‪ 12   22   2‬واﻟﺘﺒــﺎﻳﻦ‬ ‫ﳝﻜﻦ ﺗﻘﺪﻳﺮﻩ ﻣﻦ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻳﻜﻮن ‪:‬‬

‫‪( n1  1)s12  ( n 2  1)s 22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1  n 2  2‬‬

‫) ‪( x1  x 2 )  (1   2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪s 2p‬‬

‫‪t‬‬

‫ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎء ‪ T‬اﻟﺬى ﳜﻀﻊ ﻟﺘﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪.  = n1 + n2 - 2‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪ ( ٣‬إذا ﻛـﺎن ‪ s12 , x1‬ﳝـﺜﻼن اﳌﺘﻮﺳـﻂ واﻟﺘﺒـﺎﻳﻦ ﻋﻠـﻰ اﻟﺘـﻮاﱄ ﻟﻌﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ ‪n1‬‬

‫ﻣﺄﺧﻮذة ﻣﻦ ﳎﺘﻤﻊ ﻃﺒﻴﻌﻰ ﲟﺘﻮﺳﻂ ‪ 1‬وﺗﺒﺎﻳﻦ ﳎﻬﻮل ‪ 12‬وإذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ s 22 , x 2‬ﳝﺜﻼن اﳌﺘﻮﺳـﻂ‬ ‫واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n2‬ﻣـﺄﺧﻮذة ﻣـﻦ ﳎﺘﻤـﻊ ﻃﺒﻴﻌـﻰ ﲟﺘﻮﺳـﻂ ‪ 2‬وﺗﺒـﺎﻳﻦ‬ ‫‪  22‬ﳎﻬﻮل وإذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ n1‬ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﻋﻦ ‪ n2‬و ‪ 12   22‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪١٣‬‬

‫) ‪( x1  x 2 )  (1   2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪t‬‬

‫ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ‪ T‬ﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪.  = n1 + n2 - 2‬‬

‫ﻣﺜﺎل ﻳﻘﻮم ﻣﺼﻨﻊ ﺑﺈﻧﺘﺎج ﻧﻮﻋﲔ ﻣـﻦ اﳌﺼـﺎﺑﻴﺢ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴـﺔ ‪ .A,B‬اﳌﺼـﺎﺑﻴﺢ ﻣـﻦ اﻟﻨـﻮع ‪ A‬ﳍـﺎ ﻣﺘﻮﺳـﻂ‬ ‫ﻋﻤــﺮ أﻃــﻮل ‪ 100‬ﺳــﺎﻋﺔ ﻋــﻦ ﻣﺘﻮﺳــﻂ ﻋﻤــﺮ اﳌﺼــﺎﺑﻴﺢ ﻣــﻦ اﻟﻨــﻮع ‪ .B‬اﻟﺘﺒــﺎﻳﻦ ﻟﻜــﻼ اﻟﻨــﻮﻋﲔ واﺣــﺪ‪.‬‬ ‫ﳜﺘﺎر ﺷﻬﺮﻳﺎ ‪ 15‬ﻣﺼﺒﺎﺣﺎ ﻣﻦ اﻟﻨـﻮع اﻷول‪ 10 ،‬ﻣﺼـﺎﺑﻴﺢ ﻣـﻦ اﻟﻨـﻮع اﻟﺜـﺎﱐ ﻟﻼﺧﺘﺒـﺎر وﲢﺴـﺐ ﻗﻴﻤـﺔ‬ ‫‪ .t‬ﲢﻘﻖ اﻟﻘﻴﻤـﺔ اﳌﻮاﺻـﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳـﻴﺔ إذا وﻗﻌـﺖ ﰲ اﻟﻔـﱰة )‪ ( -t0.01 , t0.01‬ﻓـﺈذا ﰎ‬ ‫ﺳ ـ ـ ـ ــﺤﺐ ﰲ ﺷ ـ ـ ـ ــﻬﺮ ﻣـ ـ ـ ـ ــﺎ ﻋﻴﻨ ـ ـ ـ ــﺔ ﻋﺸ ـ ـ ـ ـ ـﻮاﺋﻴﺔ ﻣ ـ ـ ـ ــﻦ ‪ 15‬ﻣﺼ ـ ـ ـ ــﺒﺎﺣﺎ ﻣـ ـ ـ ـ ــﻦ اﳌﺼ ـ ـ ـ ــﻨﻊ ‪ A‬ووﺟـ ـ ـ ـ ــﺪ أن‬ ‫‪ . s1  50, x1  520‬أﻳﻀ ــﺎ ﰎ ﺳ ــﺤﺐ ﻋﻴﻨ ــﺔ ﻋﺸـ ـﻮاﺋﻴﺔ ﻣ ــﻦ اﳌﺼ ــﻨﻊ ‪ B‬ﻣ ــﻦ اﳊﺠ ــﻢ ‪n2=10‬‬ ‫ووﺟﺪ أن ‪ s 2  40 , x 2  500‬ﻫﻞ اﻹﻧﺘﺎج ﳛﻘﻖ اﳌﻮاﺻﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ؟‬ ‫اﳊﻞ ‪.‬‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺟﺪول ﺗﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﻓﺈن ‪ t0.01 = 2.5‬ﺑﺪرﺟـﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪.  = 15 + 10‬‬

‫‪ – 2 = 23‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻹﻧﺘﺎج ﳛﻘﻖ اﳌﻮاﺻﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻗﻴﻤﺔ ‪ t‬اﶈﺴـﻮﺑﺔ ﺗﻘـﻊ ﰲ اﻟﻔـﱰة‬

‫‪ . (-2.5 , 2.5) ,‬اﻟﺘﺒﺎﻳﻦ اﳌﺘﺠﻤﻊ ‪ s p2‬ﻫﻮ ‪:‬‬ ‫‪( n1  1)s12  (n 2  1)s 22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1  n 2  2‬‬

‫‪s 2p‬‬

‫‪(14)(50) 2  (9)(40) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2147.826.‬‬ ‫‪15  10  2‬‬ ‫وﺑﺄﺧﺬ اﳉﺬر اﻟﱰﺑﻴﻌﻲ ﻟﻠﺘﺒﺎﻳﻦ اﳌﺘﺠﻤﻊ ‪ sp2‬ﻓﺈن ‪. sp= 46.3446‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ‪:‬‬

‫) ‪( x1  x 2 )  (1   2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪t‬‬

‫)‪(520  500)  (100‬‬ ‫‪ 4.228.‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪46.3446‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪15 10‬‬

‫‪‬‬

‫وﲟﺎ أن ‪ t‬ﻻ ﺗﻘﻊ ﰲ اﻟﻔﱰة ) ‪ ( -2.5 , 2.5‬ﻓﺈن اﻹﻧﺘﺎج ﻻ ﳛﻘﻖ اﳌﻮاﺻﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﰲ ﺑﻌــﺾ اﻷﺣﻴــﺎن ﺑــﺪﻻ ﻣــﻦ اﺳــﺘﺨﺪام ﻃﺮﻳﻘــﺔ اﻟﻌﻴﻨــﺎت اﳌﺴـﺘﻘﻠﺔ ﻓﺈﻧــﻪ ﻏﺎﻟﺒــﺎ ﻣــﺎ ﺗﺴــﺘﺨﺪم ﻃﺮﻳﻘــﺔ‬ ‫اﻟﻌﻴﻨـﺎت اﳌﺘﺰاوﺟـﺔ ‪ .paired samples‬ﻓﻔـﻲ ﲡــﺎرب ﺗﻐﺬﻳـﺔ اﳊﻴـﻮان ﻋﻨــﺪ ﻣﻘﺎرﻧـﺔ ﻋﻠﻴﻘﺘـﲔ‪ ،‬ﺣﻴــﺚ‬ ‫‪١٤‬‬

‫ﺗﻮﺿـﻊ اﳊﻴﻮاﻧـﺎت اﳌﺘﺠﺎﻧﺴـﺔ ﰲ أزواج وﻳﺸـﱰط أن ﺗﻜـﻮن ﻫــﺬﻩ اﻷزواج ﻋﻠـﻰ درﺟـﺔ ﻋﺎﻟﻴـﺔ ﻣـﻦ اﻟﺘﻤﺎﺛــﻞ‬ ‫وﻗــﺪ ﲣﺘﻠــﻒ اﻷزواج ﻓﻴﻤــﺎ ﺑﻴﻨﻬــﺎ إﻻ أن أﻓ ـﺮاد ﻛــﻞ زوج ﺗﻜــﻮن ﻣﺘﻤﺎﺛﻠــﺔ وﻳﻌﻄــﻰ أﺣــﺪ أﻓ ـﺮاد ﻛــﻞ زوج‬ ‫ﻋﻠﻴﻘﺔ ﺑﻴﻨﻤﺎ ﻳﻌﻄـﻰ اﻷﺧـﺮ اﻟﻌﻠﻴﻘـﺔ اﻷﺧـﺮى وﺑﺎﻟﺘـﺎﱃ ﻓـﺈن اﳌﻘﺎرﻧـﺔ ﺑـﲔ اﻟﻌﻠﻴﻘﺘـﲔ ﺗـﺘﻢ داﺧـﻞ ﳎﻤﻮﻋـﺎت‬ ‫ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ‪ .‬ﰲ ﺑﻌﺾ اﻷﺣﻴﺎن ﻳﺘﻢ ازدواج اﳌﺸﺎﻫﺪات ﳌﻔﺮدات اﻟﻌﻴﻨﺔ ﻧﻔﺴﻬﺎ‪ .‬ﻓﻤﺜﻼ ﳌﻌﺮﻓﺔ ﺗﺄﺛﲑ دواء‬ ‫ﻋﻠﻰ ارﺗﻔﺎع ﺿﻐﻂ اﻟـﺪم ﳔﺘـﺎر ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ ‪ n‬ﻣـﻦ اﻷﺷـﺨﺎص وﻳـﺘﻢ ﻗﻴـﺎس ﺿـﻐﻂ اﻟـﺪم‬ ‫اﳋﺎص ﻢ ﰲ أول ﻓـﱰة زﻣﻨﻴـﺔ ﰒ ﻳﻌـﺎﳉﻮن ـﺬا اﻟـﺪواء وﺑﻌـﺪ ﻓـﱰة زﻣﻨﻴـﺔ ﻣﻌﻴﻨـﺔ ﻳـﺘﻢ ﻗﻴـﺎس ﺿـﻐﻂ اﻟـﺪم‬ ‫ﳍـﻢ ﻣـﺮة أﺧـﺮى ‪ .‬أزواج اﳌﺸـﺎﻫﺪات ﺳـﻮف ﺗﻜـﻮن )‪. (x1 , y1) , (x2 , y2),…,(xn, yn‬‬ ‫اﻟﻔـﺮوق ﻷزواج اﳌﺸـﺎﻫﺪات ﺳـﻮف ﺗﻜـﻮن ‪ . d i  x i  y i , i= 1, 2, ..., n‬ﻫـﺬﻩ اﻟﻔـﺮوق‬ ‫ﲤﺜﻞ ﻗﻴﻢ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ‪ . D‬ﻣﺘﻮﺳﻂ ﳎﺘﻤﻊ اﻟﻔﺮوق ‪ D‬ﺳﻮف ﻳﺴﺎوى اﻟﺼـﻔﺮ إذا ﻛـﺎن اﻟـﺪواء ﻟـﻴﺲ‬ ‫ﻟــﻪ ﺗــﺄﺛﲑ‪ .‬وﺳــﻮف ﻧﺮﻣــﺰ ﳌﺘﻮﺳــﻂ اﻟﻔــﺮوق ﰲ ﻋﻴﻨﺘﻨــﺎ ﺑــﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ ، d‬وﺳــﻮف ﲣﺘﻠــﻒ ‪ d‬ﻣــﻦ ﻋﻴﻨــﺔ إﱃ‬ ‫أﺧـﺮى وﻟـﺬﻟﻚ ﻳﻌﺘـﱪ ‪ d‬ﻗﻴﻤـﺔ ﻟﻺﺣﺼـﺎء ‪ . D‬ﻛﻤــﺎ ﳛﺴـﺐ ﺗﺒـﺎﻳﻦ اﻟﻔـﺮوق ‪ s d2‬واﻟـﺬي ﻳﻌﺘـﱪ ﻗﻴﻤــﺔ‬ ‫ﻟﻺﺣﺼﺎء ‪ S d2‬ﻷﻧﻪ ﻳﺘﻐﲑ ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ إﱃ أﺧﺮى‪.‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳـﺔ )‪ ( ٤‬إذا ﻛــﺎن ‪ d1, d2, …, dn‬ﲤﺜـﻞ اﻟﻔــﺮوق ﻟﻌــﺪد ‪ n‬ﻣــﻦ أزواج اﳌﺸــﺎﻫﺪات وإذا ﻛﺎﻧــﺖ‬ ‫اﻟﻔﺮوق اﻟﱴ ﻋﺪدﻫﺎ ‪ n‬ﲤﺜـﻞ ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﳍـﺎ ﻣﺘﻮﺳـﻂ ‪ d‬وﺗﺒـﺎﻳﻦ ‪ s d2‬ﻣـﺄﺧﻮذة ﻣـﻦ ﳎﺘﻤـﻊ اﻟﻔـﺮوق‬ ‫اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ واﻟﺬى ﻟﻪ ﻣﺘﻮﺳﻂ ‪ D‬وﺗﺒﺎﻳﻦ ‪  2D‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪d  D‬‬ ‫‪sd‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪t‬‬

‫ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ‪ T‬ﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ t‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪.  = n-1‬‬ ‫ﻣﺜـﺎل إذا ﻛـﺎن ﻣـﻦ اﳌﻌﺘﻘــﺪ أن أﻛـﻞ اﻟﺴـﻤﻚ ﻳﺴــﺎﻋﺪ ﻋﻠـﻰ زﻳـﺎدة اﻟــﺬﻛﺎء ‪ .‬أﺟﺮﻳـﺖ ﲡﺮﺑـﺔ ﻋﻠــﻰ ‪11‬‬ ‫ﺷﺨﺼﺎ ﰎ اﺧﺘﻴـﺎرﻫﻢ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺎ وأﺟـﺮى ﳍـﻢ أﺣـﺪ اﺧﺘﺒـﺎرات اﻟـﺬﻛﺎء ﰒ أﻋﻄـﻰ ﳍـﻢ ﻃﻌـﺎم ﳛﺘـﻮى أﺳﺎﺳـﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺴﻤﻚ وﺑﻌﺪ ﻓﱰة ﻣﻌﻴﻨﺔ أﺟﺮى ﳍﻢ اﺧﺘﺒﺎر اﻟﺬﻛﺎء ﻣﺮة أﺧﺮى ﻓﻜﺎﻧﺖ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ ‪:‬‬ ‫‪102 103‬‬

‫‪105 109‬‬

‫‪90‬‬

‫‪105‬‬

‫‪111‬‬

‫‪114‬‬

‫‪80‬‬

‫‪89‬‬

‫‪120‬‬

‫‪120‬‬

‫‪100‬‬

‫‪117 101‬‬

‫‪105‬‬

‫‪104‬‬

‫‪105‬‬

‫‪109‬‬

‫‪112‬‬

‫‪96‬‬

‫ﻗﺒــﻞ أﻛــﻞ‬ ‫اﻟﺴﻤﻚ‬

‫‪ 97‬ﺑﻌـﺪ أﻛــﻞ‬ ‫اﻟﺴﻤﻚ‬

‫ـﺬﻛﺎ ﻗﺒــﻞ وﺑﻌــﺪ أﻛــﻞ اﻟﺴــﻤﻚ ﻳﺘﺒــﻊ ﺗﻮزﻳﻌــﺎً ﻃﺒﻴﻌﻴــﺎً وإذا اﻋﺘﱪﻧــﺎ أن اﻟﺴــﻤﻚ ﻟــﻪ‬ ‫ﺑﻔــﺮض أن ﻣﺴــﺘﻮى اﻟـ ء‬ ‫ﺗﺄﺛﲑ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ذﻛﺎء اﻷﺷﺨﺎص إذا ﱂ ﺗﻘﻊ ﻗﻴﻤﺔ ‪ t‬اﶈﺴﻮﺑﺔ ﻣﻦ اﻟﻌﻴﻨـﺔ ﰲ اﻟﻔـﱰة ‪( -t.05 ,‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫)‪ t.05‬ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ‪ ٠   n  1  9‬ﻣـﺎ اﻻﺳــﺘﻨﺘﺎج اﻟـﺬي ﳝﻜـﻦ اﳊﺼـﻮل ﻋﻠﻴـﻪ ﻣـﻦ ﺑﻴﺎﻧــﺎت‬ ‫اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ؟‬ ‫اﳊﻞ ‪.‬‬ ‫ﻣ ــﻦ ﺟ ــﺪول ‪ t‬ﻓ ــﺈن ‪ t.05= 1.812‬ﺑ ــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳ ــﺔ ‪ .   10‬وﻋﻠ ــﻰ ذﻟ ــﻚ ﻳﻌﺘ ــﱪ أﻛ ــﻞ‬ ‫اﻟﺴـﻤﻚ ﻟـﻪ ﺗـﺄﺛﲑ ﻋﻠـﻰ ﻣﺴـﺘﻮى ذﻛـﺎء اﻷﺷـﺨﺎص إذا وﻗﻌـﺖ ﻗﻴﻤـﺔ ‪ t‬ﺧـﺎرج اﻟﻔـﱰة ‪( -1.812 ,‬‬ ‫) ‪ . 1.812‬ﻣﻦ ﺑﻴﺎﻧﺎت اﻟﻌﻴﻨﺔ ﻓﺈن اﻟﻔﺮوق ‪:‬‬ ‫وﻣﻨﻬﺎ ‪:‬‬

‫‪-1, -3, -1, 15, 3, -1, -9, -3, -15, -3, -6‬‬

‫‪n  11,  d i  24,  d i2  606‬‬ ‫‪ d i  24‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2.1818,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1  2 ( d i ) 2 ‬‬ ‫‪sd ‬‬ ‫‪d i ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n  1 ‬‬ ‫‪n ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪( 24) 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪606 ‬‬ ‫‪  7.44067.‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪11 ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2.1818‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.97252.‬‬ ‫‪s d / n 7.44067 / 11‬‬

‫‪t‬‬

‫وﺣﻴﺚ أن ﻗﻴﻤﺔ ‪ t‬اﶈﺴﻮﺑﺔ ﺗﻘﻊ ﰱ اﻟﻔﱰة )‪ (-1.812 , 1.812‬ﻓﻴﻤﻜﻦ اﻟﻘﻮل أن اﻟﺴﻤﻚ ﻟﻴﺲ ﻟـﻪ‬ ‫ﺗﺄﺛﲑ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى اﻟﺬﻛﺎء ‪.‬‬ ‫‪Chi - Square Distribution‬‬ ‫ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎى‬ ‫إذا ﺗﻜـﺮر ﺳـﺤﺐ ﻋﻴﻨـﺎت ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ ‪ n‬ﻣـﻦ ﺗﻮزﻳـﻊ ﻃﺒﻴﻌـﻰ ﺗﺒﺎﻳﻨـﻪ ‪  2‬وإذا ﰎ ﺣﺴـﺎب ﺗﺒـﺎﻳﻦ‬ ‫اﻟﻌﻴﻨ ــﺔ ‪ s2‬ﻟﻜ ــﻞ ﻋﻴﻨ ــﺔ ﻓﺈﻧﻨ ــﺎ ﳓﺼ ــﻞ ﻋﻠ ــﻰ ﻗ ــﻴﻢ ﻟﻺﺣﺼ ــﺎء ‪ . S2‬اﻟﺘﻮزﻳ ــﻊ اﻟﻌﻴ ــﲎ ﻟﻺﺣﺼ ــﺎء ‪ S2‬ﻟ ــﻪ‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻗﻠﻴﻠﺔ ﰲ اﻹﺣﺼﺎء ‪ .‬اﻫﺘﻤﺎﻣﻨﺎ ﺳﻮف ﻳﻜﻮن ﰲ ﺗﻮزﻳـﻊ اﳌﺘﻐـﲑ ‪ X2‬واﻟـﱵ ﲢﺴـﺐ ﻗﻴﻤﺘـﻪ ﻣـﻦ‬ ‫اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪(n  1)s 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪١٦‬‬

‫ﺗﻮزﻳﻊ اﳌﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸـﻮاﺋﻰ ‪ X2‬ﻳﺴـﻤﻰ ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ )  2‬ﺗﻮزﻳـﻊ ﻣﺮﺑـﻊ ﻛـﺎى ( ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ‪.   n  1‬‬ ‫ﻛﻤﺎ ذﻛﺮﻧﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎ ﻓﺈن ‪ ‬ﺗﺴﺎوى اﳌﻘﺎم ﰲ ﺻﻴﻐﺔ ‪.s2‬‬ ‫ﻣــﻦ اﻟﻮاﺿــﺢ أن ﻗــﻴﻢ ‪  2‬ﻻ ﳝﻜــﻦ أن ﺗﻜــﻮن ﺳــﺎﻟﺒﺔ وﻋﻠــﻰ ذﻟــﻚ ﻓــﺈن ﻣﻨﺤــﲎ ﺗﻮزﻳــﻊ ‪  2‬ﻻ‬ ‫ﳝﻜــﻦ أن ﻳﻜــﻮن ﻣﺘﻤﺎﺛــﻞ ﺣــﻮل اﻟﺼــﻔﺮ‪ .‬اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻌﻴــﲏ ﻟﻺﺣﺼــﺎء ‪ X2‬ﳝﻜــﻦ اﳊﺼــﻮل ﻋﻠﻴــﻪ ﺑﺎﺧﺘﻴــﺎر‬ ‫ﻋﻴﻨــﺎت ﻋﺸ ـﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺘﻜــﺮرة ﻣــﻦ اﳊﺠــﻢ ‪ n‬ﻣــﻦ ﳎﺘﻤــﻊ ﻃﺒﻴﻌــﻰ وﺣﺴــﺎب اﻟﻘــﻴﻢ ‪  2‬ﻟﻜــﻞ ﻋﻴﻨــﻪ ﰒ ﳝﻜــﻦ‬ ‫اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﲎ ‪  2‬ﺑﺘﻤﻬﻴﺪ اﳌﺪرج اﻟﺘﻜﺮارى ﻟﻘﻴﻢ ‪ ٠  2‬ﻳﻌﺘﻤﺪ ﺷﻜﻞ اﳌﻨﺤـﲎ ﻋﻠـﻰ ﻗـﻴﻢ ‪‬‬

‫‪ .‬ﻳﻮﺿـﺢ اﻟﺸـﻜﻞ اﻟﺘـﺎﱃ ﻣﻨﺤﻨﻴـﺎن ﻟﺘﻮزﻳـﻊ ‪  2‬ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ‪   7‬و ‪   10‬ﺣﻴـﺚ ﳝﺜـﻞ‬ ‫اﳌﻨﺤﲎ ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪   7‬ﺗﻮزﻳﻊ ﻗﻴﻢ ‪  2‬اﶈﺴﻮﺑﺔ ﻣـﻦ ﻛـﻞ اﻟﻌﻴﻨـﺎت ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ ‪ n = 8‬ﻣـﻦ‬ ‫ﳎﺘﻤﻊ ﻃﺒﻴﻌﻰ ﺗﺒﺎﻳﻨﻪ ‪ .  2‬ﺑﻨﻔﺲ اﻟﺸﻜﻞ ﳝﺜﻞ اﳌﻨﺤﲎ ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪   10‬ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻞ ﻗـﻴﻢ ‪ 2‬‬

‫اﶈﺴﻮب ﻣﻦ ﻛﻞ اﻟﻌﻴﻨﺎت ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪.n=11‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳـﺔ )‪ ( ٥‬إذا ﻛـﺎن ‪ s2‬ﳝﺜـﻞ ﺗﺒـﺎﻳﻦ اﻟﻌﻴﻨـﺔ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ ‪ n‬اﳌـﺄﺧﻮذة ﻣـﻦ ﳎﺘﻤـﻊ ﻃﺒﻴﻌـﻰ ﻟـﻪ ﺗﺒـﺎﻳﻦ ‪ 2‬‬ ‫ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪(n  1)s 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ‪ X2‬ﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ ‪  2‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪.   n  1‬‬

‫ﺑﻔﺮض أن ‪  2‬ﺗﺮﻣﺰ ﻟﻘﻴﻤﺔ ‪  2‬اﻟﱵ ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﶈﻮر اﻷﻓﻘﻰ ﲢﺖ ﻣﻨﺤﲎ ‪  2‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ‬ ‫‪ ‬واﻟﱵ ﺗﻜﻮن اﳌﺴﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﳝﻴﻨﻬﺎ ﻗﺪرﻫﺎ ‪ ‬ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ‪.‬‬

‫‪١٧‬‬

‫اﳉﺪول ﰲ ﻣﻠﺤﻖ )‪ (٥‬ﻳﻌﻄﻰ ﻗﻴﻢ ‪  2‬وذﻟﻚ ﻟﻘﻴﻢ ﳐﺘﻠﻔﺔ ﻣﻦ ‪ ‬و ‪ ‬ﺣﻴﺚ ‪ ‬ﺗﺄﺧﺬ اﻟﻘﻴﻢ ‪:‬‬ ‫‪.995 , .99, .975, .95, .90, .10, .05, 0.025, .01, .005‬‬

‫ودرﺟــﺎت ﺣﺮﻳــﺔ ﻣــﻦ ‪   1‬إﱃ ‪ .   40‬ﻳﻮﺿــﺢ اﻟﺼــﻒ اﻟﺜــﺎﱏ ﻣــﻦ اﳉــﺪول ﻗــﻴﻢ ‪ ‬واﻟﻌﻤــﻮد‬ ‫اﻷول ﻣ ــﻦ اﻟﺸ ــﻤﺎل ﻗ ــﻴﻢ درﺟ ــﺎت اﳊﺮﻳ ــﺔ أﻣ ــﺎ ﳏﺘﻮﻳ ــﺎت اﳉـ ـﺪول ﻓﻬ ــﻲ ﻟﻘ ــﻴﻢ ‪ .  2‬وﻋﻠ ــﻰ ذﻟ ــﻚ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  ‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪   6‬واﻟﱵ ﺗﻜﻮن اﳌﺴﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﳝﻴﻨﻬـﺎ ﺗﺴـﺎوى ‪.05‬‬ ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻓﺈﻧﻨـﺎ ﻧﺒﺤــﺚ ﰲ اﳉــﺪول ﻋﻨــﺪ ﺗﻘـﺎﻃﻊ اﻟﺼــﻒ اﻟــﺬى ﺑــﻪ ‪   6‬ﻣـﻊ اﻟﻌﻤــﻮد ‪ .05‬وﻋﻠــﻰ ذﻟــﻚ‬

‫‪ . .205  12.592‬وﻟﻌــﺪم ﲤﺎﺛــﻞ ﻣﻨﺤــﲎ ﺗﻮزﻳــﻊ ‪  2‬ﻓــﻼ ﺑــﺪ ﻣــﻦ اﺳــﺘﺨﺪام اﳉــﺪول ﻹﳚــﺎد‬ ‫‪ .295  1.635‬ﻋﻨﺪ ‪.   6‬‬ ‫ﻣﺜـﺎل أوﺟـﺪ ﻗﻴﻤـﺔ ‪  2‬ﻟﺘﻮزﻳـﻊ ‪  2‬ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ‪   14‬واﻟـﱵ ﺗﻜـﻮن اﳌﺴـﺎﺣﺔ ﻋﻠـﻰ ﳝﻴﻨﻬـﺎ‬ ‫ﺗﺴﺎوى ‪. 0.01‬‬ ‫اﳊﻞ ‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺒﺤـﺚ ﰲ ﺟــﺪول ﺗﻮزﻳــﻊ ‪  2‬ﰲ ﻣﻠﺤــﻖ )‪ (٥‬ﻋﻨــﺪ ﺗﻘــﺎﻃﻊ اﻟﺼــﻒ ‪   14‬ﻣــﻊ‬ ‫اﻟﻌﻤﻮد ‪  = 0.01‬ﳒﺪ أن ‪.  2  29.141‬‬ ‫‪F Distribution‬‬ ‫ﺗﻮزﻳﻊ ‪F‬‬ ‫ﻳﻌﺘــﱪ ﺗﻮزﻳــﻊ ‪ F‬ﻣــﻦ اﻟﺘﻮزﻳﻌــﺎت اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴــﺔ اﳍﺎﻣــﺔ اﻟــﱴ ﺗﺴــﺘﺨﺪم ﰲ ﳎــﺎل اﻹﺣﺼــﺎء اﻟﺘﻄﺒﻴﻘــﻰ ‪.‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺎ ﳝﻜﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ ) F‬ﺗﻮزﻳﻊ ف ( ﻛﻨﺴﺒﺔ ﻟﺘﻮزﻳﻌﻴﲔ ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ ﻳﺘﺒﻌﺎن ﺗﻮزﻳﻊ ‪  2‬وﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤـﺎ‬ ‫ﻟﻪ درﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﺑﻪ ‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻰ ‪ ، F‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪ 22s12‬‬

‫‪s12 / 12‬‬

‫‪12 / 1‬‬

‫‪f  2‬‬ ‫‪ 2 2  2 2.‬‬ ‫‪ 2 /  2 s 2 /  2 1 s 2‬‬ ‫ﺣﻴــﺚ ‪ 12‬ﻫــﻲ ﻗﻴﻤــﺔ ﻟﺘﻮزﻳــﻊ ‪  2‬ﺑــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳــﺔ ‪ 1  n1  1‬و ‪  22‬ﻫــﻲ ﻗﻴﻤــﺔ ﻟﺘﻮزﻳــﻊ‬

‫‪  2‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪.  2  n 2  1‬‬ ‫ﻟﺤﺴـﺎب ﻗﻴﻤـﺔ ‪ f‬ﳔﺘـﺎر ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ ‪ n1‬ﻣـﻦ ﳎﺘﻤـﻊ ﻃﺒﻴﻌـﻰ ﻟـﻪ ﺗﺒـﺎﻳﻦ ‪ 12‬وﳓﺴــﺐ‬ ‫‪ . s12 / 12‬أﻳﻀــﺎ ﳔﺘــﺎر ﻋﻴﻨــﺔ ﻋﺸ ـﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴــﺘﻘﻠﺔ ﻣــﻦ اﳊﺠــﻢ ‪ n2‬ﻣــﻦ ﳎﺘﻤــﻊ ﻃﺒﻴﻌــﻰ آﺧــﺮ ﻟــﻪ ﺗﺒــﺎﻳﻦ‬ ‫‪  22‬وﳓﺴﺐ ‪ . s 22 /  22‬اﻟﻨﺴـﺒﺔ ﻟﻠﻘﻴﻤﺘـﲔ ‪ s12 / 12‬و ‪ s 22 /  22‬ﺗﻨـﺘﺞ ﻗﻴﻤـﺔ ‪ ٠f‬ﺗﻮزﻳـﻊ ﻛـﻞ‬ ‫اﻟﻘﻴﻤـﺔ اﳌﻤﻜﻨــﺔ ﻣــﻦ ‪ f‬ﺣﻴـﺚ ‪ s12 / 12‬ﳝﺜــﻞ اﻟﺒﺴــﻂ و ‪ s 22 /  22‬ﳝﺜـﻞ اﳌﻘــﺎم ﻳﺴــﻤﻰ ﺗﻮزﻳــﻊ‬ ‫‪ F‬ﺑ ــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳ ــﺔ ‪ . 1,  2‬إذا اﻋﺘﱪﻧ ــﺎ ﻛ ــﻞ اﻟﻨﺴـ ـﺐ اﳌﻤﻜﻨ ــﺔ ﺣﻴ ــﺚ ‪ s 22 /  22‬ﳝﺜ ــﻞ اﻟﺒﺴ ــﻂ و‬ ‫‪ s12 / 12‬ﳝﺜﻞ اﳌﻘﺎم ‪ ،‬ﰲ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻞ اﻟﻘﻴﻢ اﳌﻤﻜﻨﺔ اﻟﱴ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ F‬وﻟﻜـﻦ‬ ‫‪١٨‬‬

‫ﺑــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳــﺔ ‪ .  2 , 1‬درﺟــﺎت اﳊﺮﻳــﺔ اﳌﺮﺗﺒﻄــﺔ ﺑﺘﺒــﺎﻳﻦ اﻟﻘﻴﻤــﺔ اﻟــﱴ ﰲ اﻟﺒﺴــﻂ داﺋﻤــﺎ ﻳﻮﺿــﻊ أوﻻ‬ ‫ﻣﺘﺒﻮﻋﺎ ﺑﺪرﺟﺎت اﳊﺮﻳﺔ اﳌﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺘﺒﺎﻳﻦ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻟﱴ ﰲ اﳌﻘﺎم‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻣﻨﺤﲎ ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ F‬ﻳﻌﺘﻤـﺪ ﻟـﻴﺲ‬ ‫ﻓﻘــﻂ ﻋﻠــﻰ اﳌﻌﻠﻤﺘــﲔ ‪ . 1,  2‬وﻟﻜــﻦ أﻳﻀــﺎ ﻋﻠــﻰ ﺗﺮﺗﻴﺒﻬﻤــﺎ وﲟﺠــﺮد اﳊﺼــﻮل ﻋﻠــﻰ اﻟﻘﻴﻤﺘــﲔ ﳝﻜــﻦ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ اﳌﻨﺤﲎ‪ ٠‬ﻣﻨﺤﻨﻴﺎن ﻟﺘﻮزﻳﻊ‪ F‬ﻣﻮﺿﺤﺔ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ‪٠‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪ ( ٦‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ s 22 , s12‬ﲤﺜﻼن ﺗﺒﺎﻳﲏ ﻋﻴﻨﺘﲔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺘﲔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺘﲔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪n2 , n1‬‬

‫ﻣﺄﺧﻮذﺗﲔ ﳎﺘﻤﻌﲔ ﻣﻦ ﻃﺒﻴﻌﻴﲔ ﺑﺘﺒﺎﻳﻨﱴ ‪  22 , 12‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪s12 / 12‬‬

‫‪ 22 s12‬‬

‫‪f  2 2  2 2.‬‬ ‫‪s 2 /  2 1 s 2‬‬ ‫ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸـﻮاﺋﻲ ‪ F‬ﻳﺘﺒـﻊ ﺗﻮزﻳـﻊ ‪ F‬ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ‪ ٠ 1,  2‬ﺑﻔـﺮض أن ) ‪f  (1 ,  2‬‬ ‫ﺗﺮﻣــﺰ ﻟﻘﻴﻤــﺔ ‪ f‬ﻋﻠــﻰ اﶈــﻮر اﻷﻓﻘــﻲ ﲢــﺖ ﻣﻨﺤــﲎ ﺗﻮزﻳــﻊ ‪ F‬ﺑــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳــﺔ ‪ 1  n1  1‬و‬

‫‪  2  n 2  1‬واﻟﱵ ﺗﻜﻮن اﳌﺴﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﳝﻴﻨﻬﺎ ﺗﺴﺎوى ‪ ‬واﳌﻮﺿﺤﺔ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ‪.‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ﻳﻮﺿﺢ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ F‬ﻟﻘﻴﻢ ﳐﺘﻠﻔﺔ ﻣﻦ ‪1 ,  2‬‬

‫‪١٩‬‬

‫ﻻﺳﺘﺨﺮاج ﻗﻴﻢ ) ‪ f  (1 ,  2‬ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺪوﻻن اﻷول ﻋﻨﺪ =‪‬‬

‫‪ .05‬واﻵﺧــﺮ ﻋﻨــﺪ ‪  = .01‬وﰲ ﻛــﻞ ﻣﻨﻬﻤــﺎ ﻳﻜــﻮن اﻟﺼــﻒ اﻷول ﻟﻘــﻴﻢ ‪ 1‬واﻟﻌﻤــﻮد اﻷول ﻟﻘــﻴﻢ‬ ‫‪  2‬أﻣــﺎ ﳏﺘﻮﻳــﺎت اﳉــﺪول ﻓﻬــﻮ ﻟﻘــﻴﻢ ) ‪ . f  (1 ,  2‬ﻋﻠــﻰ ﺳــﺒﻴﻞ اﳌﺜ ـﺎل ﻣــﻦ ﺟــﺪول ﺗﻮزﻳــﻊ ‪F‬‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ أن ‪:‬‬ ‫‪f.01 (5,7)  7.46 , f .05 (1,4)  7.71‬‬

‫‪f.01 (9,10)  4.94 , f.05 (4,1)  224.6‬‬

‫وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﳝﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪام ﺟﺪول ﺗﻮزﻳﻊ ‪ F‬ﰲ إﳚﺎد ) ‪. f1  (1 ,  2‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ )‪ (٧‬ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ ) ‪ f1  (1 ,  2‬ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪ 1,  2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪f  ( 2 , 1‬‬

‫‪f1  (1,  2 ) ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻓﺈن ﻗﻴﻤﺔ )‪ f.95(7,12‬ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.2801‬‬ ‫‪f.05 (12,7) 3.57‬‬

‫‪f.95 (7,12) ‬‬

‫ﺣﻴــﺚ أن ) ‪ f.05(12 , 7‬ﻣﺴــﺘﺨﺮﺟﺔ ﻣــﻦ ﺟــﺪول ﺗﻮزﻳــﻊ ‪ F‬ﻋﻨــﺪ ﻣﺴــﺘﻮى ﻣﻌﻨﻮﻳــﺔ ‪ = .05‬‬

‫ودرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ‪، 1 = 12,  2 = 7‬‬

‫‪٢٠‬‬