اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ
Normal Distribution
ﻳﻌﺘﺒــﺮ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌــﻲ ﻣــﻦ أﻫــﻢ اﻟﺘﻮزﻳﻌــﺎت اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴــﺔ اﻟﻤﺘﺼــﻠﺔ ﻓــﻲ ﻋﻠــﻢ اﻹﺣﺼــﺎء ،ﺣﻴــﺚ
ﻳﺼــﻒ ﻛﺜﻴ ـﺮا ﻣــﻦ اﻟﻤﺠﺘﻤﻌــﺎت اﻟﻤﻮﺟــﻮدة ﻓــﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌــﺔ ،اﻟﺼــﻨﺎﻋﺔ ،اﻷﺑﺤــﺎث .داﻟــﺔ ﻛﺜﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺘﻤــﺎل ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﻫﻲ: ( x ) 2 2 2
1 e 2
f (x)
ﻋﻠ ـ ـﻰ اﻟﻔﺘـ ــﺮة x ﺣﻴـ ــﺚ … e=2.71828و … =3.14159و و ﻫﻤـ ــﺎ
اﻟﻮﺳـﻂ اﻟﺤﺴــﺎﺑﻲ ) اﻟﻤﺘﻮﺳـﻂ ( واﻻﻧﺤـﺮاف اﻟﻤﻌﻴــﺎري ﻋﻠـﻰ اﻟﺘــﻮاﻟﻲ .ﺑﻴــﺎن ) f(xﻓـﻲ اﻟﺸــﻜﻞ اﻟﺘــﺎﻟﻰ ﻋﻠﻰ ﺷـﻜﻞ ﻧـﺎﻗﻮس ﻣﺘﻤﺎﺛـﻞ ﺣـﻮل اﻟﻌﻤـﻮد اﻟﻤﻘـﺎم ﻋﻠـﻰ اﻟﻮﺳـﻂ اﻟﺤﺴـﺎﺑﻰ ٠ﻳﻨﻄﺒـﻖ اﻟﻮﺳـﻂ اﻟﺤﺴـﺎﺑﻲ
ﻋﻠـﻰ اﻟﻮﺳـﻴﻂ وأﻳﻀـﺎ ﻋﻠـﻰ اﻟﻤﻨـﻮال ٠ﻳﺘﻘـﺎرب ﻃﺮﻓـﺎ ﻣﻨﺤﻨـﻰ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ ﻣـﻦ اﻟﺼـﻔﺮ ﻋﻨـﺪﻣﺎ x أو ٠ x
ﻷي ﺗﻮزﻳﻊ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻓﺈن -:
)ا( اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﺑﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ و ) ( + ﺗﻤﺜﻞ 34.13%
ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﺘﻀﺢ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ.
)ب( اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ ﺑـﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘـﻴﻦ و ) ( +2ﺗﻤﺜـﻞ 47.72ﻣـﻦ
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﺘﻀﺢ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ.
)ﺟـ( اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﺑﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ و ) ( +3ﺗﻤﺜـﻞ 49.86 %ﻣـﻦ
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﺘﻀﺢ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ.
١
وﺑﻤــﺎ أن اﻟﻤﻨﺤﻨــﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌــﻲ ﻣﺘﻤﺎﺛــﻞ ﻓــﺈن اﻟﻘــﻴﻢ اﻟﺴــﺎﺑﻘﺔ ﺗﺘﺤﻘــﻖ ﻋﻨــﺪ ﻃــﺮح اﻻﻧﺤ ـﺮاف اﻟﻤﻌﻴــﺎري ﻣــﻦ
اﻟﻤﺘﻮﺳﻂ٠
اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ : Standard Normal Distribution
إذا ﻛــﺎن اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌــﻲ ﻣﺘﻮﺳــﻄﻪ ﺻــﻔﺮ وﺗﺒﺎﻳﻨــﻪ اﻟﻮاﺣــﺪ اﻟﺼــﺤﻴﺢ ﻓﺈﻧــﻪ ﻳﺴــﻤﻲ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌــﻲ
اﻟﻘﻴﺎﺳــﻲ .ﺑﻔــﺮض أن Zﺗﺮﻣــﺰ ﻟﻤﺘﻐﻴــﺮ ﻋﺸــﻮاﺋﻲ ﻣﺘﺼــﻞ ﻟــﻪ ﺗﻮزﻳــﻊ ﻃﺒﻴﻌــﻲ ﻗﻴﺎﺳــﻲ ﻓــﺈن داﻟــﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻟﺬﻟﻚ اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺗﺄﺧﺬ اﻟﺸﻜﻞ اﻵﺗﻲ : - z .
,
z2 2
1 e 2
f (z )
إذا ﻛﺎن z1ﻋـﺪد ﺣﻘﻴﻘـﻲ ﻣﻮﺟـﺐ ﻓـﺎن اﻻﺣﺘﻤـﺎل ) ( 0 < Z < z1ﻳﺴـﺎوي اﻟﻤﺴـﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠـﺔ
ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ،وﻳﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻣﻦ ﺟﺪول اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻲ اﻟﻤﺴـﺎﺣﺎت اﻟﻮاﻗﻌـﺔ ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ﻏﻴـﺮ ﻣﻌﻄـﺎة ﻓـﻲ اﻟﺠـﺪول ﻟﻘـﻴﻢ zاﻟﺴـﺎﻟﺒﺔ وﻟﻜـﻦ ﻳﻤﻜـﻦ ﺣﺴـﺎﺑﻬﻢ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺧﺎﺻﻴﺔ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ .اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ﺑﻴﻦ z 0و z z1ﺗﺴـﺎوي اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻮاﻗﻌﺔ ﺑﻴﻦ z z1و z 0أي أن :
٢
ﻣﻌﻈﻢ اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ﺗﻘـﻊ ﻓـﻲ اﻟﻔﺘـﺮة ) (-3,3وﻧـﺎدرا ﻣـﺎ ﻧﺠـﺪ ﻗـﻴﻢ ﺗﻘـﻊ
ﺧﺎرج ﻫﺬﻩ اﻟﻔﺘﺮة .
z
ﻣﺜﺎل إذا ﻛﺎن Zﻣﺘﻐﻴـﺮ ﻋﺸـﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒـﻊ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻲ اﺣﺴـﺐ اﻻﺣﺘﻤـﺎﻻت اﻵﺗﻴـﺔ ﻣـﻊ
ﺗﻮﺿﻴﺢ ذﻟﻚ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ .
)ا( )) P(0 Z 1.05ب( )P (1.06 Z 1.06 )ﺟـ( )) P (0.47 Z 0.95د( )P (1.6 Z 2
)ﻫـ( )) P ( Z 2.02و( )) P( Z 0.45ز( )P ( Z 1.07
اﻟﺤـ ــﻞ ) .أ( ﻹﻳﺠـ ــﺎد ﻗﻴﻤـ ــﺔ اﻻﺣﺘﻤـ ــﺎل ) P(0 Z 1.05ﻧﺒﺤـ ــﺚ ﻓـ ــﻲ اﻟﻌﻤـ ــﻮد اﻷول ﻋﻠـ ــﻰ
اﻟﺸﻤﺎل ﻣﻦ ﺟـﺪول اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻲ ﻓـﻲ ﻣﻠﺤـﻖ ) (٣ﻋـﻦ اﻟﻘﻴﻤـﺔ 1.0ﺛـﻢ ﻧﺘﺤـﺮك أﻣـﺎم ﻫـﺬﻩ
اﻟﻘﻴﻤﺔ أﻓﻘﻴﺎ ﺣﺘﻰ ﻧﺼﻞ إﻟﻰ اﻟﻌﻤـﻮد اﻟـﺬي رأس ﻋﻨﻮاﻧـﻪ اﻟـﺮﻗﻢ 0.05ﻓﺘﻜـﻮن ﻫـﻲ اﻟﻤﺴـﺎﺣﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺑـﺔ أي أن : P(0 Z 1.05) 0.3531.
واﻟﺘﻲ ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ٠
٣
)ب( اﻻﺣﺘﻤ ــﺎل اﻟﻤﻄﻠ ــﻮب ﻫ ــﻮ ) P (1.06 Z 1.06وﻫ ــﻮ ﻳﺴ ــﺎوي اﻟﻤﺴ ــﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠ ــﺔ ﻓ ــﻲ
اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ :
وﻧﻈﺮا ﻟﺘﻤﺎﺛﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﻓﺎن : )P (1.06 Z 1.06) P(1.06 Z 0) P(0 Z 1.06 2P(0 Z 1.06) 2(0.3554) 0.7108.
) ﺟ ـ( اﻻﺣﺘﻤـﺎل اﻟﻤﻄﻠـﻮب ﻫـﻮ ) P (0.47 Z 0.95وﻫـﻮ ﻳﺴـﺎوي اﻟﻤﺴـﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠـﺔ ﻓــﻲ
اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ٠وﻧﻈﺮا ﻟﺘﻤﺎﺛﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﻓﺈن :
٤
)P (0.47 Z 0.95) P(0.47 Z 0) P(0 Z 0.95 P(0 Z 0.47) P(0 Z 0.95) 0.1808 0.3289 0.5097.
) د( اﻻﺣﺘﻤــﺎل اﻟﻤﻄﻠــﻮب ﻫــﻮ ) P (1.6 Z 2وﻫــﻮ ﻳﺴــﺎوي اﻟﻤﺴــﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠــﺔ ﻓــﻲ اﻟﺸــﻜﻞ
اﻟﺘﺎﻟﻰ:
أي أن : )P (1.6 Z 2) P(0 Z 2) P(0 Z 1.6 0.4772 0.4452 0.032.
) ﻫـ( ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺣﻘﻴﻘﺔ أن ) P( Z 0ﻳﺴﺎوي ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ ﺗﺤـﺖ
اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ أي أن P ( Z 0) 0.5وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ :
٥
)P ( Z 2.02) P( Z 0) P(0 Z 2.02 0.5 0.4783 0.0217.
)و( اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻫﻮ ) P( Z 0.45وﻫﻮ ﻳﺴﺎوي اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘـﺎﻟﻰ وﻧﻈﺮا ﻟﺘﻤﺎﺛﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﻓﺈن : )P ( Z 0.45) P( Z 0.45 ) P( Z 0) P(0 Z 0.45 0.5 0.1736 0.3264. ) ز( اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻫﻮ ) P ( Z 1.07وﻫﻮ ﻳﺴـﺎوي اﻟﻤﺴـﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠـﺔ ﻓـﻲ اﻟﺸـﻜﻞ اﻟﺘـﺎﻟﻰ.
وﻻن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ وﻣﺴﺎﺣﺔ ﻛﻞ ﺟﺎﻧﺐ ﻣﻦ ﺟﺎﻧﺒﻲ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺗﺴﺎوي 0.5ﻓﺎن : )P ( Z 1.07) P( Z 0) P(0 Z 1.07 0.5 0.3577 0.8577.
٦
اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻰ ﻻﺳﺘﺨﺮاج اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ
اﻵن ﻧﻌ ــﻮد ﻣ ــﺮة أﺧ ــﺮي إﻟ ــﻰ ﺣﺎﻟ ــﺔ ﻣﺘﻐﻴ ــﺮ ﻋﺸ ــﻮاﺋﻲ ﻃﺒﻴﻌ ــﻲ ﻣﺘﻮﺳ ــﻄﻪ واﻧﺤﺮاﻓ ــﻪ
اﻟﻤﻌﻴــﺎري . ﻳﻤﻜــﻦ ﺗﺤﻮﻳــﻞ اﻟﻤﺘﻐﻴــﺮ Xإﻟــﻰ ﻣﺘﻐﻴــﺮ ﻃﺒﻴﻌــﻲ ﻗﻴﺎﺳــﻲ Zﺑﺎﺳــﺘﺨﺪام اﻟﺼــﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ : X .
Z
اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻣﻦ Xإﻟﻰ Zﻳﻤﺜﻞ اﻧﺘﻘﺎل ﻟﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﻣﺼﺤﻮﺑﺎً ﺑﺘﻐﻴﺮ ﻟﻤﻘﻴﺎس اﻟﺮﺳﻢ .ﻋﻨـﺪﻣﺎ x=
ﻓﺈن ، z=0وﻋﻨﺪﻣﺎ x= ﻓﺈن ، z= -1وﻋﻨـﺪﻣﺎ x= +2ﻓـﺈن z=2وﻫﻜـﺬا .أي أن ﻣﻘﻴــﺎس اﻟﺮﺳــﻢ ﻗــﺪ ﺗﻐﻴــﺮ ﺣﻴــﺚ ﺗﻨــﺎﻇﺮ ﻣﺴــﺎﻓﺔ ﻋﻠــﻰ ﻣﺤــﻮر اﻟﺴــﻴﻨﺎت ﻣﺴــﺎﻓﺔ ﻗــﺪرﻫﺎ واﺣــﺪ ﻋﻠــﻰ
ﻣﺤـﻮر ،zوﻋﻠـﻰ ذﻟـﻚ ﻳﻤﻜـﻦ اﺳـﺘﺨﺪام ﺟـﺪاول اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻲ ﻓـﻲ ﻣﻠﺤـﻖ ) (٣ﻟﺤﺴـﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت ﻷي ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻛﻤﺎ ﻳﺘﻀﺢ ﻣﻦ اﻷﻣﺜﻠﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ .
ﻣﺜﺎل ﻓﻲ ﻣﺪﻳﻨﺔ ﺻﻐﻴﺮة وﺟﺪ أن أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣﺮارة ﻣﺴﺠﻠﺔ ﻳﻮﻣﻴﺎ ﺧـﻼل ﻓﺼـﻞ اﻟﺮﺑﻴـﻊ ﻟﻬـﺎ ﻣﺘﻮﺳـﻂ
20°cواﻧﺤﺮاف ﻣﻌﻴﺎري .5°cﺑﻔﺮض أن اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﻌﺸـﻮاﺋﻲ ) Xأﻋﻠـﻰ درﺟـﺔ ﺣـﺮارة ﻳﻮﻣﻴـﺎ ( ﻳﺨﻀـﻊ
ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ،أوﺟﺪ اﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﻟﻸﻳﺎم اﻟﺘﻲ ﻓﻴﻬﺎ أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣﺮارة : ) أ( ﺑﻴﻦ 22°cو 26°c ) ب( ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ 28°c
اﻟﺤﻞ ) .أ( إذا ﻛﺎن Xﻳﺮﻣﺰ ﻷﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣﺮارة ﻣﺴﺠﻠﺔ ﻳﻮﻣﻴﺎ ﻓﺎن Xﻳﻜﻮن ﻣﺘﻐﻴـﺮ ﻋﺸـﻮاﺋﻲ ﻃﺒﻴﻌـﻲ ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ =20واﻧﺤﺮاﻓﻪ اﻟﻤﻌﻴﺎري . =5اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ اﻟﻤﻨﺎﻇﺮ ﻫﻮ :
ﻋﻨﺪﻣﺎ x1 22ﻓﺈن :
X - X 20 . 5 22 20 0.4. 5
Z
z1
وﻋﻨﺪﻣﺎ x 2 26ﻓﺎن : 26 20 1.2. 5
z2
اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻫﻮ ) p (22X26وﻫﻮ ﻳﺴﺎوي اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ .
أي أن :
٧
)P (22 X 26) P (0.4 Z 1.2 0.3849 0.1554 0.2295.
أي أن اﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﻟﻸﻳﺎم اﻟﺘﻲ ﻓﻴﻬـﺎ أﻋﻠـﻰ درﺟـﺔ ﺣـﺮارة ﺑـﻴﻦ ) 22°cو ( 26°cﻫـﻲ 22.95 %
.
) ب( ﻋﻨﺪﻣﺎ x1 28ﻓﺈن :
28 20 1.6. 5 اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻫﻮ ) P (X 28وﻫﻮ ﻳﺴﺎوي اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ .أي أن )P( X 28) P( Z 1.6 ) P( Z 0) P(0 Z 1.6 z1
0.5 0.4452 0.0548.
أي أن اﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺌﻮﻳﺔ ﻟﻸﻳﺎم اﻟﺘﻲ ﻓﻴﻬﺎ أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣﺮارة ﻓﻮق 28°cﻫﻲ . 5.48 %
ﺗﻮزﻳـﻊ t
t Distribution
ﰲ ﻣﻌﻈــﻢ اﻷﲝــﺎث وﻏﺎﻟﺒــﺎ ﻳﻜــﻮن ﺗﺒــﺎﻳﻦ ا ﺘﻤــﻊ اﻟــﺬى ﲣﺘــﺎر ﻣﻨــﻪ اﻟﻌﻴﻨــﺎت ﳎﻬــﻮﻻ .ﻟﻠﻌﻴﻨــﺎت اﻟﻌﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣــﻦ اﳊﺠــﻢ n >30ﻓــﺈن اﻟﺘﻘــﺪﻳﺮ اﳉﻴــﺪ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤــﺔ 2ﻫــﻮ .s2إذا ﻛﺎﻧــﺖ n > 30 واﺳﺘﺒﺪﻟﻨﺎ ﺑﺎﻟﻘﻴﻤﺔ Sﰲ ﺻﻴﻐﺔ Zاﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻓﺈن :
٨
x s n
z
ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ Zﺗﻘﺮﻳﺒﺎً ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ اﻟﻘﻴﺎﺳﻰ .أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﺣﺠﻢ اﻟﻌﻴﻨﺔ ﺻﻐﲑ ً (
) n < 30ﻓـﺈن ﻗـﻴﻢ ) ( x ) /(s / nﻻ ﺗﺘﺒـﻊ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻰ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻰ .ﰲ ﻫـﺬﻩ اﳊﺎﻟـﺔ ﻳﻜﻮن اﻫﺘﻤﺎﻣﻨﺎ ﺑﺘﻮزﻳﻊ ﻹﺣﺼﺎء ﻣﺎ ﺳﻮف ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ، Tواﻟﺬى ﻗﻴﻤﻪ ﺗﻌﻄﻰ ﻣـﻦ اﻟﺼـﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴـﺔ : x s n
t
ﻟﻘﺪ ﲤﻜﻦ ﺳﺘﻴﻮدﻧﺖ " "Studentوﻫﻮ ﻟﻘـﺐ ﻟﻌـﺎﱂ إﺣﺼـﺎﺋﻲ ،ﻛـﺎن ﻳﻨﺸـﺮ أﲝﺎﺛـﻪ ﺑﺘﻮﻗﻴـﻊ ﺳـﺘﻴﻮدﻧﺖ، أن ﻳﺸﺘﻖ اﻟﻌﺒﺎرة اﳌﻀﺒﻮﻃﺔ ﻟﺘﻮزﻳﻊ tوﻳﺴﻤﻰ ﻫﺬا اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﰲ ﻛﺘـﺐ اﻹﺣﺼـﺎء اﳌﺨﺘﻠﻔـﺔ " ﺗﻮزﻳـﻊ "tأو " ﺗﻮزﻳــﻊ ت " ٠ﻳﺸــﺒﻪ ﺗﻮزﻳــﻊ tاﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌــﻰ اﻟﻘﻴﺎﺳــﻰ ﻓﻜﻼﳘــﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛــﻞ ﺣــﻮل اﻟﺼــﻔﺮ ﻛﻤــﺎ أن ﻛــﻼ اﻟﺘـﻮزﻳﻌﻴﲔ ﳍﻤـﺎ ﺷـﻜﻞ اﻟﻨـﺎﻗﻮس وﻟﻜـﻦ ﺗﻮزﻳـﻊ tأﻛﺜـﺮ ﺗﺸـﺘﺘﺎ وذﻟـﻚ راﺟـﻊ إﱃ اﳊﻘﻴﻘـﺔ أن ﻗـﻴﻢ tﺗﻌﺘﻤـﺪ ﻋﻠـﻰ اﻻﺧــﺘﻼف ﰲ ﻗﻴﻤــﱵ xو s2ﺑﻴﻨﻤـﺎ ﻗــﻴﻢ zﺗﻌﺘﻤــﺪ ﻓﻘـﻂ ﻋﻠــﻰ اﻟﺘﻐــﲑ ﰲ ﻗﻴﻤـﺔ xﻣــﻦ ﻋﻴﻨــﺔ إﱃ أﺧﺮى .ﳜﺘﻠـﻒ ﺗﻮزﻳـﻊ اﳌﺘﻐـﲑ Tﻋـﻦ اﳌﺘﻐـﲑ Zﰲ إن اﻟﺘﺒـﺎﻳﻦ ﻳﻌﺘﻤـﺪ ﻋﻠـﻰ ﺣﺠـﻢ اﻟﻌﻴﻨـﺔ nوداﺋﻤـﺎ أﻛـﱪ ﻣـﻦ اﻟﻮاﺣـﺪ اﻟﺼـﺤﻴﺢ ،ﻓﻘـﻂ ﻋﻨـﺪﻣﺎ n ﻓــﺈن اﻟﺘـﻮزﻳﻌﲔ ﻳﺘﺴـﺎوﻳﺎن .اﳌﻘـﺎم ) (n-1واﻟـﺬي ﻳﻈﻬــﺮ ﰲ ﺻــﻴﻐﻪ s2ﻳﺴــﻤﻰ درﺟــﺎت اﳊﺮﻳــﺔ degree of freedomاﳌ ـﺮﺗﺒﻂ ﺑﺘﺒــﺎﻳﻦ اﻟﻌﻴﻨــﺔ .s2ﺑﺘﻜ ـﺮار اﳌﻌﺎﻳﻨـﺔ ﻣــﻦ اﳊﺠــﻢ nوﺣﺴــﺎب xو s2ﻟﻜــﻞ ﻋﻴﻨــﺔ ،ﻓــﺈن ﻗــﻴﻢ tاﳌﻘﺎﺑﻠــﺔ ﻳﻘــﺎل أ ــﺎ ﺗﺘﺒــﻊ ﺗﻮزﻳـﻊ t ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ، ﺣﻴـﺚ . = n-1وﻋﻠـﻰ ذﻟـﻚ ﺳـﻮف ﻳﻜـﻮن ﻟـﺪﻳﻨﺎ ﻣﻨﺤﻨﻴـﺎت tﳐﺘﻠﻔـﺔ أو ﺗﻮزﻳـﻊ tﻟﻜـﻞ ﺣﺠـﻢ ﻋﻴﻨـﻪ .ﻣـﻦ ﺧﺼـﺎﺋﺺ ﺗﻮزﻳـﻊ tأﻧـﻪ ﻛﻠﻤـﺎ ﻛـﱪت درﺟـﺎت اﳊﺮﻳـﺔ زاد ارﺗﻔـﺎع ﻣﻨﺤﲎ tوأﺻﺒﺢ أﻛﺜﺮ ﺗﺪﺑﺒﺎ أي اﻗﻞ ﺗﺸﺘﺘﺎ وﰲ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻳﻨﻄﺒﻖ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﲎ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ. اﳌﻨﺤﲎ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﯩﺒﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ = 2ﳝﺜﻞ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻞ ﻗﻴﻢ tاﶈﺴـﻮﺑﺔ ﻣـﻦ ﻋﻴﻨـﺎت ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ n = 3ﺗﻜﺮر اﺧﺘﻴﺎرﻫﺎ ﻣﻦ ﳎﺘﻤﻊ ﻃﺒﻴﻌﻰ .ﺑﻨﻔﺲ اﻟﺸﻜﻞ ،اﳌﻨﺤـﲎ ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ = 20ﳝﺜﻞ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻞ ﻗﻴﻢ tاﶈﺴﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺎت ﻣﻦ اﳊﺠﻢ .n =21
٩
ﻧﻈﺮﻳﺔ إذا ﻛﺎن xو s2ﳘﺎ اﳌﺘﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰉ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ n
ﻣﺄﺧﻮذة ﻣﻦ ﳎﺘﻤﻊ ﻃﺒﻴﻌﻰ ﻟﻪ ﻣﺘﻮﺳﻂ وﺗﺒﺎﻳﻦ 2ﻏﲑ ﻣﻌﺮوف ﻓﺈن : x . s n
t
ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ Tﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ tﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ . = n-1 ﺑﻔﺮض أن t ﺗﺮﻣﺰ ﻟﻘﻴﻤﺔ tاﻟﱴ ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﶈﻮر اﻷﻓﻘـﻲ ﲢـﺖ ﻣﻨﺤـﲎ ﺗﻮزﻳـﻊ tﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ واﻟﱵ اﳌﺴﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﳝﻴﻨﻬﺎ ﻗﺪرﻫﺎ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ.
١٠
اﳉــﺪول tﻳﻌﻄــﻰ ﻗــﻴﻢ t اﻟــﱵ ﺗﻨــﺎﻇﺮ اﻻﺣﺘﻤــﺎل ﻟــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳــﺔ ﺣﻴــﺚ ﺗﺄﺧــﺬ اﻟﻘــﻴﻢ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ .10, .05, .025, .01, .005, .001, .0005 :ودرﺟﺎت اﳊﺮﻳﺔ ﺗﺄﺧﺬ اﻟﻘﻴﻢ ﻣﻦ = 1إﱃ . = ﻳﻮﺿﺢ اﻟﺼﻒ اﻟﺜﺎﱐ ﻣﻦ اﳉﺪول ﻗـﻴﻢ واﻟﻌﻤـﻮد اﻷول ﻣـﻦ اﻟﺸـﻤﺎل ﻗـﻴﻢ درﺟ ـ ــﺎت اﳊﺮﻳ ـ ــﺔ . أﻣ ـ ــﺎ ﳏﺘﻮﻳ ـ ــﺎت اﳉ ـ ــﺪول ﻓﻬ ـ ــﻰ اﻟﻘ ـ ــﻴﻢ . t وﻷن اﳌﻨﺤ ـ ــﲎ ﻣﺘﻤﺎﺛ ـ ــﻞ ﻓ ـ ــﺈن t1 t ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ.
ﻣﺜﺎل أوﺟﺪ
)أ( ﻗﻴﻤﺔ . = 15 , t.005
اﳊﻞ .
)ب( ﻗﻴﻤﺔ . = 15 , t.995
)أ( ﺑﺎﻟﺒﺤﺚ ﰲ ﺟﺪول ﺗﻮزﻳـﻊ tﰲ ﻣﻠﺤـﻖ ) (٤ﻋﻨـﺪ ﺗﻘـﺎﻃﻊ اﻟﺼـﻒ = 15واﻟﻌﻤـﻮد = .005ﳒﺪ أن . t.005 = 2.947 )ب( ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺧﺎﺻﻴﺔ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﳌﻨﺤﲎ ﺗﻮزﻳﻊ tﻓﺈن t.995 = - t.005أى أن . t.995 = -2.947 ﻣﺜﺎل ) ( ١٦-٧أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺣﻴﺚ
, t = - 1.746
= 16
اﳊﻞ . ﺣﻴــﺚ أن ﻗﻴﻤــﺔ tﺳــﺎﻟﺒﺔ ﻓﺈ ــﺎ ﺗﻘــﻊ ﰲ اﻟــﺬﻳﻞ اﻷﻳﺴــﺮ ﻣــﻦ ﺗﻮزﻳــﻊ tوﺑﺎﺳــﺘﺨﺪام ﺧﺎﺻــﻴﺔ اﻟﺘﻤﺎﺛــﻞ ﳌﻨﺤﲎ ﺗﻮزﻳﻊ tﻓﺈن : t1 t 1.746
وﻣﻦ ﺟﺪول ﺗﻮزﻳﻊ tﰲ ﻣﻠﺤﻖ ) (٤ﻓﺈن 1- = .05وﻣﻨﻬﺎ . = .95 ١١
أﻋﻤـﺎر اﳌﺼــﺎﺑﻴﺢ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴــﺔ اﳌﻨﺘﺠــﺔ ﺑﻮاﺳــﻄﺔ أﺣــﺪ اﳌﺼــﺎﻧﻊ ﺗﺘﺒــﻊ ﺗﻮزﻳﻌــﺎً ﻃﺒﻴﻌﻴــﺎً ، ﻣﺜــﺎل إذا ﻛﺎﻧــﺖ ـ وﻳــﺪﻋﻲ ﺻــﺎﺣﺐ اﳌﺼــﻨﻊ أن ﻣﺘﻮﺳــﻂ أﻋﻤــﺎر ﻫــﺬﻩ اﳌﺼــﺎﺑﻴﺢ ﻫــﻮ = 500ﺳــﺎﻋﺔ .ﳌﺘﺎﺑﻌــﺔ ﺟــﻮدة اﻹﻧﺘــﺎج ﻳﺄﺧــﺬ 20ﻣﺼــﺒﺎﺣﺎ ﻛــﻞ ﺷــﻬﺮ ٠وﳛﻘــﻖ اﻹﻧﺘــﺎج ﻟﻠﻤﻮاﺻــﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳــﻴﺔ إذا ﻛﺎﻧــﺖ ﻗﻴﻤــﺔ t اﶈﺴـﻮﺑﺔ ﻣـﻦ ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ n = 20ﺗﻘـﻊ ﰲ اﻟﻔـﱰة) (-t.05 , t.05ﻣـﺎ اﻻﺳﺘﻨﺘﺎج اﻟﺬي ﳝﻜﻦ وﺿﻌﻪ ﻋﻨﺪ اﺧﺘﻴـﺎر ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ n = 20ﳍـﺎ ﻣﺘﻮﺳـﻂ ﺣﺴـﺎﰊ x 530واﳓﺮاف ﻣﻌﻴﺎري s = 20؟ اﳊﻞ . ﻣـﻦ ﺟـﺪول ﺗﻮزﻳـﻊ tﳒـﺪ أن t.05 = 1.729ﻋﻨـﺪ درﺟـﺎت ﺣﺮﻳـﺔ . = 19وﻋﻠـﻰ ذﻟـﻚ ﻓـﺈن اﳌﻨﺘﺞ ﳛﻘﻖ اﳌﻮاﺻﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻗﻴﻤﺔ tاﶈﺴـﻮﺑﺔ ﻣـﻦ ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ n = 20 ﻣﺼﺒﺎﺣﺎ ﺗﻘﻊ ﰲ اﻟﻔﱰة ) . ( -1.729 , 1.729وﳒﺪ أن : x 530 500 6.708 . s 20 n 20 ﻻ ﺗﻘﻊ ﰲ اﻟﻔـﱰة ) ( -1.729 , 1.729إذا ﻛﺎﻧـﺖ 500ﻓـﺈن ﻗﻴﻤـﺔ tاﶈﺴـﻮﺑﺔ ﻣـﻦ اﻟﻌﻴﻨـﺔ t
ﺗﻜﻮن ﺟﻴﺪة وﺗﻌﲏ أن اﻹﻧﺘﺎج أﻓﻀﻞ ﻣﻦ اﳌﻄﻠﻮب. ﻧﻈﺮﻳﺔ ) ( ٢إذا اﺧﺘﲑت ﻋﻴﻨﺎت ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ N1 ، N2ﻣﻦ ﳎﺘﻤﻌﲔ ﻛﺒﲑﻳﻦ ) أو ﻻ ﺎﺋﻴﺘﲔ ( ،ﻣﺘﻘﻄﻌــﺔ أو ﻣﺘﺼــﻠﺔ ،ﲟﺘﻮﺳــﻄﻲ 1 , 2وﺗﺒــﺎﻳﲏ 12 , 22ﻋﻠــﻰ اﻟﺘ ـﻮاﱄ ،ﻓــﺈن اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻌﻴــﲎ ﻟﻔــﺮوق اﳌﺘﻮﺳ ــﻄﺎت ،X1 X 2 ،ﺗﻘﺮﻳﺒ ــﺎً ﻳﺘﺒ ــﻊ ﺗﻮزﻳﻌ ــﺎً ﻃﺒﻴﻌﻴــﺎً ﲟﺘﻮﺳ ــﻂ واﳓ ـﺮاف ﻣﻌﻴ ــﺎري ﻣﻌﻄ ــﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ : X X 1 2 , 1 2 12 22 X X . 1 2 n1 n 2
وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ : ) ( x1 x 2 ) (1 2 12 22 n1 n 2
ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ Zﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ اﻟﻘﻴﺎﺳﻰ٠ ١٢
z
إذا ﻛﺎن ﻛﻞ ﻣﻦ n1 ، n2أﻛﱪ ﻣﻦ أو ﻳﺴﺎوى ، 30ﻓﺈن اﻟﺘﻘﺮﻳﺐ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ ﻟﺘﻮزﻳـﻊ X1 X 2
ﻳﻜﻮن ﺟﻴﺪاً ﺟﺪاً. ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ :إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻌﻴﻨﺘﲔ ﰎ اﺧﺘﻴﺎرﳘﺎ ﻣﻦ ﳎﺘﻤﻌﲔ ﻃﺒﻴﻌﻴﲔ ﻓﺈن : ) ( x1 x 2 ) (1 2 12 22 n1 n 2
z
ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐـﲑ ﻋﺸـﻮاﺋﻲ Zﻳﺘﺒـﻊ اﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳـﻲ ﺑﺼـﺮف اﻟﻨﻈـﺮ ﻋـﻦ ﺣﺠـﻢ ﻛـﻼ ﻣـﻦ n2
٠ n1 ،
إذا ﻛﺎﻧــﺖ ﻟــﺪﻳﻨﺎ ﻋﻴﻨﺘــﺎن ﻋﺸ ـﻮاﺋﻴﺘﺎن ﻣﺄﺧﻮذﺗــﺎن ﻣــﻦ ﳎﺘﻤﻌــﲔ ﻃﺒﻴﻌﻴــﲔ ﲟﺘﻮﺳــﻄﻰ 1 , 2 وﺳـﻮف ﺗﻜــﻮن ﻧﻈﺮﻳـﺔ ) ( ٢ﻣﻔﻴــﺪة ﻓﻘــﻂ إذا ﻛﺎﻧـﺖ اﻟﻌﻴﻨﺘــﺎن ﻣﺴـﺘﻘﻠﺘﺎن وﺗﺒــﺎﻳﲏ ا ﺘﻤﻌــﲔ 12 , 22
ﻣﻌﻠﻮﻣﺘﺎن أو ﳝﻜﻦ ﺗﻘﺪﻳﺮﳘﺎ ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺎت ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ n1 , n2ﺣﻴﺚ . , n2 > 30
n1 > 30
إذا ﻛﺎﻧ ــﺖ 12 , 22ﳎﻬﻮﻟﺘ ــﺎن ﻛﻤ ــﺎ ﳛ ــﺪث ﰲ ﻣﻌﻈ ــﻢ اﳊ ــﺎﻻت ،ﻓ ــﺈن اﻟﺘﻮزﻳ ــﻊ اﳌﻀ ــﺒﻮط ﻟﻠﻤﺘﻐــﲑ Zﰲ ﻧﻈﺮﻳــﺔ ) ( ٢ﻻ ﻳﻜــﻮن ﻣﻌﺮوﻓــﺎ ﻓﻴﻤــﺎ ﻋــﺪا ﻟــﻮ ﻓﺮﺿــﻨﺎ أن 12 22 2واﻟﺘﺒــﺎﻳﻦ ﳝﻜﻦ ﺗﻘﺪﻳﺮﻩ ﻣﻦ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻳﻜﻮن :
( n1 1)s12 ( n 2 1)s 22 n1 n 2 2
) ( x1 x 2 ) (1 2 1 1 sp n1 n 2
s 2p
t
ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎء Tاﻟﺬى ﳜﻀﻊ ﻟﺘﻮزﻳﻊ tﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ . = n1 + n2 - 2 ﻧﻈﺮﻳﺔ ) ( ٣إذا ﻛـﺎن s12 , x1ﳝـﺜﻼن اﳌﺘﻮﺳـﻂ واﻟﺘﺒـﺎﻳﻦ ﻋﻠـﻰ اﻟﺘـﻮاﱄ ﻟﻌﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ n1
ﻣﺄﺧﻮذة ﻣﻦ ﳎﺘﻤﻊ ﻃﺒﻴﻌﻰ ﲟﺘﻮﺳﻂ 1وﺗﺒﺎﻳﻦ ﳎﻬﻮل 12وإذا ﻛﺎﻧﺖ s 22 , x 2ﳝﺜﻼن اﳌﺘﻮﺳـﻂ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ n2ﻣـﺄﺧﻮذة ﻣـﻦ ﳎﺘﻤـﻊ ﻃﺒﻴﻌـﻰ ﲟﺘﻮﺳـﻂ 2وﺗﺒـﺎﻳﻦ 22ﳎﻬﻮل وإذا ﻛﺎﻧﺖ n1ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﻋﻦ n2و 12 22ﻓﺈن :
١٣
) ( x1 x 2 ) (1 2 1 1 sp n1 n 2
t
ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ Tﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ tﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ . = n1 + n2 - 2
ﻣﺜﺎل ﻳﻘﻮم ﻣﺼﻨﻊ ﺑﺈﻧﺘﺎج ﻧﻮﻋﲔ ﻣـﻦ اﳌﺼـﺎﺑﻴﺢ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴـﺔ .A,Bاﳌﺼـﺎﺑﻴﺢ ﻣـﻦ اﻟﻨـﻮع Aﳍـﺎ ﻣﺘﻮﺳـﻂ ﻋﻤــﺮ أﻃــﻮل 100ﺳــﺎﻋﺔ ﻋــﻦ ﻣﺘﻮﺳــﻂ ﻋﻤــﺮ اﳌﺼــﺎﺑﻴﺢ ﻣــﻦ اﻟﻨــﻮع .Bاﻟﺘﺒــﺎﻳﻦ ﻟﻜــﻼ اﻟﻨــﻮﻋﲔ واﺣــﺪ. ﳜﺘﺎر ﺷﻬﺮﻳﺎ 15ﻣﺼﺒﺎﺣﺎ ﻣﻦ اﻟﻨـﻮع اﻷول 10 ،ﻣﺼـﺎﺑﻴﺢ ﻣـﻦ اﻟﻨـﻮع اﻟﺜـﺎﱐ ﻟﻼﺧﺘﺒـﺎر وﲢﺴـﺐ ﻗﻴﻤـﺔ .tﲢﻘﻖ اﻟﻘﻴﻤـﺔ اﳌﻮاﺻـﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳـﻴﺔ إذا وﻗﻌـﺖ ﰲ اﻟﻔـﱰة ) ( -t0.01 , t0.01ﻓـﺈذا ﰎ ﺳ ـ ـ ـ ــﺤﺐ ﰲ ﺷ ـ ـ ـ ــﻬﺮ ﻣـ ـ ـ ـ ــﺎ ﻋﻴﻨ ـ ـ ـ ــﺔ ﻋﺸ ـ ـ ـ ـ ـﻮاﺋﻴﺔ ﻣ ـ ـ ـ ــﻦ 15ﻣﺼ ـ ـ ـ ــﺒﺎﺣﺎ ﻣـ ـ ـ ـ ــﻦ اﳌﺼ ـ ـ ـ ــﻨﻊ Aووﺟـ ـ ـ ـ ــﺪ أن . s1 50, x1 520أﻳﻀ ــﺎ ﰎ ﺳ ــﺤﺐ ﻋﻴﻨ ــﺔ ﻋﺸـ ـﻮاﺋﻴﺔ ﻣ ــﻦ اﳌﺼ ــﻨﻊ Bﻣ ــﻦ اﳊﺠ ــﻢ n2=10 ووﺟﺪ أن s 2 40 , x 2 500ﻫﻞ اﻹﻧﺘﺎج ﳛﻘﻖ اﳌﻮاﺻﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ؟ اﳊﻞ .
ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺟﺪول ﺗﻮزﻳﻊ tﻓﺈن t0.01 = 2.5ﺑﺪرﺟـﺎت ﺣﺮﻳﺔ . = 15 + 10
– 2 = 23وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ اﻹﻧﺘﺎج ﳛﻘﻖ اﳌﻮاﺻﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻗﻴﻤﺔ tاﶈﺴـﻮﺑﺔ ﺗﻘـﻊ ﰲ اﻟﻔـﱰة
. (-2.5 , 2.5) ,اﻟﺘﺒﺎﻳﻦ اﳌﺘﺠﻤﻊ s p2ﻫﻮ : ( n1 1)s12 (n 2 1)s 22 n1 n 2 2
s 2p
(14)(50) 2 (9)(40) 2 2147.826. 15 10 2 وﺑﺄﺧﺬ اﳉﺬر اﻟﱰﺑﻴﻌﻲ ﻟﻠﺘﺒﺎﻳﻦ اﳌﺘﺠﻤﻊ sp2ﻓﺈن . sp= 46.3446وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ :
) ( x1 x 2 ) (1 2 1 1 sp n1 n 2
t
)(520 500) (100 4.228. 1 1 46.3446 15 10
وﲟﺎ أن tﻻ ﺗﻘﻊ ﰲ اﻟﻔﱰة ) ( -2.5 , 2.5ﻓﺈن اﻹﻧﺘﺎج ﻻ ﳛﻘﻖ اﳌﻮاﺻﻔﺎت اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ . ﰲ ﺑﻌــﺾ اﻷﺣﻴــﺎن ﺑــﺪﻻ ﻣــﻦ اﺳــﺘﺨﺪام ﻃﺮﻳﻘــﺔ اﻟﻌﻴﻨــﺎت اﳌﺴـﺘﻘﻠﺔ ﻓﺈﻧــﻪ ﻏﺎﻟﺒــﺎ ﻣــﺎ ﺗﺴــﺘﺨﺪم ﻃﺮﻳﻘــﺔ اﻟﻌﻴﻨـﺎت اﳌﺘﺰاوﺟـﺔ .paired samplesﻓﻔـﻲ ﲡــﺎرب ﺗﻐﺬﻳـﺔ اﳊﻴـﻮان ﻋﻨــﺪ ﻣﻘﺎرﻧـﺔ ﻋﻠﻴﻘﺘـﲔ ،ﺣﻴــﺚ ١٤
ﺗﻮﺿـﻊ اﳊﻴﻮاﻧـﺎت اﳌﺘﺠﺎﻧﺴـﺔ ﰲ أزواج وﻳﺸـﱰط أن ﺗﻜـﻮن ﻫــﺬﻩ اﻷزواج ﻋﻠـﻰ درﺟـﺔ ﻋﺎﻟﻴـﺔ ﻣـﻦ اﻟﺘﻤﺎﺛــﻞ وﻗــﺪ ﲣﺘﻠــﻒ اﻷزواج ﻓﻴﻤــﺎ ﺑﻴﻨﻬــﺎ إﻻ أن أﻓ ـﺮاد ﻛــﻞ زوج ﺗﻜــﻮن ﻣﺘﻤﺎﺛﻠــﺔ وﻳﻌﻄــﻰ أﺣــﺪ أﻓ ـﺮاد ﻛــﻞ زوج ﻋﻠﻴﻘﺔ ﺑﻴﻨﻤﺎ ﻳﻌﻄـﻰ اﻷﺧـﺮ اﻟﻌﻠﻴﻘـﺔ اﻷﺧـﺮى وﺑﺎﻟﺘـﺎﱃ ﻓـﺈن اﳌﻘﺎرﻧـﺔ ﺑـﲔ اﻟﻌﻠﻴﻘﺘـﲔ ﺗـﺘﻢ داﺧـﻞ ﳎﻤﻮﻋـﺎت ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ .ﰲ ﺑﻌﺾ اﻷﺣﻴﺎن ﻳﺘﻢ ازدواج اﳌﺸﺎﻫﺪات ﳌﻔﺮدات اﻟﻌﻴﻨﺔ ﻧﻔﺴﻬﺎ .ﻓﻤﺜﻼ ﳌﻌﺮﻓﺔ ﺗﺄﺛﲑ دواء ﻋﻠﻰ ارﺗﻔﺎع ﺿﻐﻂ اﻟـﺪم ﳔﺘـﺎر ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ nﻣـﻦ اﻷﺷـﺨﺎص وﻳـﺘﻢ ﻗﻴـﺎس ﺿـﻐﻂ اﻟـﺪم اﳋﺎص ﻢ ﰲ أول ﻓـﱰة زﻣﻨﻴـﺔ ﰒ ﻳﻌـﺎﳉﻮن ـﺬا اﻟـﺪواء وﺑﻌـﺪ ﻓـﱰة زﻣﻨﻴـﺔ ﻣﻌﻴﻨـﺔ ﻳـﺘﻢ ﻗﻴـﺎس ﺿـﻐﻂ اﻟـﺪم ﳍـﻢ ﻣـﺮة أﺧـﺮى .أزواج اﳌﺸـﺎﻫﺪات ﺳـﻮف ﺗﻜـﻮن ). (x1 , y1) , (x2 , y2),…,(xn, yn اﻟﻔـﺮوق ﻷزواج اﳌﺸـﺎﻫﺪات ﺳـﻮف ﺗﻜـﻮن . d i x i y i , i= 1, 2, ..., nﻫـﺬﻩ اﻟﻔـﺮوق ﲤﺜﻞ ﻗﻴﻢ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ . Dﻣﺘﻮﺳﻂ ﳎﺘﻤﻊ اﻟﻔﺮوق Dﺳﻮف ﻳﺴﺎوى اﻟﺼـﻔﺮ إذا ﻛـﺎن اﻟـﺪواء ﻟـﻴﺲ ﻟــﻪ ﺗــﺄﺛﲑ .وﺳــﻮف ﻧﺮﻣــﺰ ﳌﺘﻮﺳــﻂ اﻟﻔــﺮوق ﰲ ﻋﻴﻨﺘﻨــﺎ ﺑــﺎﻟﺮﻣﺰ ، dوﺳــﻮف ﲣﺘﻠــﻒ dﻣــﻦ ﻋﻴﻨــﺔ إﱃ أﺧـﺮى وﻟـﺬﻟﻚ ﻳﻌﺘـﱪ dﻗﻴﻤـﺔ ﻟﻺﺣﺼـﺎء . Dﻛﻤــﺎ ﳛﺴـﺐ ﺗﺒـﺎﻳﻦ اﻟﻔـﺮوق s d2واﻟـﺬي ﻳﻌﺘـﱪ ﻗﻴﻤــﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎء S d2ﻷﻧﻪ ﻳﺘﻐﲑ ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ إﱃ أﺧﺮى. ﻧﻈﺮﻳـﺔ ) ( ٤إذا ﻛــﺎن d1, d2, …, dnﲤﺜـﻞ اﻟﻔــﺮوق ﻟﻌــﺪد nﻣــﻦ أزواج اﳌﺸــﺎﻫﺪات وإذا ﻛﺎﻧــﺖ اﻟﻔﺮوق اﻟﱴ ﻋﺪدﻫﺎ nﲤﺜـﻞ ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﳍـﺎ ﻣﺘﻮﺳـﻂ dوﺗﺒـﺎﻳﻦ s d2ﻣـﺄﺧﻮذة ﻣـﻦ ﳎﺘﻤـﻊ اﻟﻔـﺮوق اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ واﻟﺬى ﻟﻪ ﻣﺘﻮﺳﻂ Dوﺗﺒﺎﻳﻦ 2Dﻓﺈن : d D sd n
t
ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ Tﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ tﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ . = n-1 ﻣﺜـﺎل إذا ﻛـﺎن ﻣـﻦ اﳌﻌﺘﻘــﺪ أن أﻛـﻞ اﻟﺴـﻤﻚ ﻳﺴــﺎﻋﺪ ﻋﻠـﻰ زﻳـﺎدة اﻟــﺬﻛﺎء .أﺟﺮﻳـﺖ ﲡﺮﺑـﺔ ﻋﻠــﻰ 11 ﺷﺨﺼﺎ ﰎ اﺧﺘﻴـﺎرﻫﻢ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺎ وأﺟـﺮى ﳍـﻢ أﺣـﺪ اﺧﺘﺒـﺎرات اﻟـﺬﻛﺎء ﰒ أﻋﻄـﻰ ﳍـﻢ ﻃﻌـﺎم ﳛﺘـﻮى أﺳﺎﺳـﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺴﻤﻚ وﺑﻌﺪ ﻓﱰة ﻣﻌﻴﻨﺔ أﺟﺮى ﳍﻢ اﺧﺘﺒﺎر اﻟﺬﻛﺎء ﻣﺮة أﺧﺮى ﻓﻜﺎﻧﺖ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ : 102 103
105 109
90
105
111
114
80
89
120
120
100
117 101
105
104
105
109
112
96
ﻗﺒــﻞ أﻛــﻞ اﻟﺴﻤﻚ
97ﺑﻌـﺪ أﻛــﻞ اﻟﺴﻤﻚ
ـﺬﻛﺎ ﻗﺒــﻞ وﺑﻌــﺪ أﻛــﻞ اﻟﺴــﻤﻚ ﻳﺘﺒــﻊ ﺗﻮزﻳﻌــﺎً ﻃﺒﻴﻌﻴــﺎً وإذا اﻋﺘﱪﻧــﺎ أن اﻟﺴــﻤﻚ ﻟــﻪ ﺑﻔــﺮض أن ﻣﺴــﺘﻮى اﻟـ ء ﺗﺄﺛﲑ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ذﻛﺎء اﻷﺷﺨﺎص إذا ﱂ ﺗﻘﻊ ﻗﻴﻤﺔ tاﶈﺴﻮﺑﺔ ﻣﻦ اﻟﻌﻴﻨـﺔ ﰲ اﻟﻔـﱰة ( -t.05 , ١٥
) t.05ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ٠ n 1 9ﻣـﺎ اﻻﺳــﺘﻨﺘﺎج اﻟـﺬي ﳝﻜـﻦ اﳊﺼـﻮل ﻋﻠﻴـﻪ ﻣـﻦ ﺑﻴﺎﻧــﺎت اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ؟ اﳊﻞ . ﻣ ــﻦ ﺟ ــﺪول tﻓ ــﺈن t.05= 1.812ﺑ ــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳ ــﺔ . 10وﻋﻠ ــﻰ ذﻟ ــﻚ ﻳﻌﺘ ــﱪ أﻛ ــﻞ اﻟﺴـﻤﻚ ﻟـﻪ ﺗـﺄﺛﲑ ﻋﻠـﻰ ﻣﺴـﺘﻮى ذﻛـﺎء اﻷﺷـﺨﺎص إذا وﻗﻌـﺖ ﻗﻴﻤـﺔ tﺧـﺎرج اﻟﻔـﱰة ( -1.812 , ) . 1.812ﻣﻦ ﺑﻴﺎﻧﺎت اﻟﻌﻴﻨﺔ ﻓﺈن اﻟﻔﺮوق : وﻣﻨﻬﺎ :
-1, -3, -1, 15, 3, -1, -9, -3, -15, -3, -6
n 11, d i 24, d i2 606 d i 24 d 2.1818, n 11 1 2 ( d i ) 2 sd d i n 1 n
1 ( 24) 2 606 7.44067. 10 11 d 2.1818 0.97252. s d / n 7.44067 / 11
t
وﺣﻴﺚ أن ﻗﻴﻤﺔ tاﶈﺴﻮﺑﺔ ﺗﻘﻊ ﰱ اﻟﻔﱰة ) (-1.812 , 1.812ﻓﻴﻤﻜﻦ اﻟﻘﻮل أن اﻟﺴﻤﻚ ﻟﻴﺲ ﻟـﻪ ﺗﺄﺛﲑ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى اﻟﺬﻛﺎء . Chi - Square Distribution ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎى إذا ﺗﻜـﺮر ﺳـﺤﺐ ﻋﻴﻨـﺎت ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ nﻣـﻦ ﺗﻮزﻳـﻊ ﻃﺒﻴﻌـﻰ ﺗﺒﺎﻳﻨـﻪ 2وإذا ﰎ ﺣﺴـﺎب ﺗﺒـﺎﻳﻦ اﻟﻌﻴﻨ ــﺔ s2ﻟﻜ ــﻞ ﻋﻴﻨ ــﺔ ﻓﺈﻧﻨ ــﺎ ﳓﺼ ــﻞ ﻋﻠ ــﻰ ﻗ ــﻴﻢ ﻟﻺﺣﺼ ــﺎء . S2اﻟﺘﻮزﻳ ــﻊ اﻟﻌﻴ ــﲎ ﻟﻺﺣﺼ ــﺎء S2ﻟ ــﻪ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻗﻠﻴﻠﺔ ﰲ اﻹﺣﺼﺎء .اﻫﺘﻤﺎﻣﻨﺎ ﺳﻮف ﻳﻜﻮن ﰲ ﺗﻮزﻳـﻊ اﳌﺘﻐـﲑ X2واﻟـﱵ ﲢﺴـﺐ ﻗﻴﻤﺘـﻪ ﻣـﻦ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻵﺗﻴﺔ : .
(n 1)s 2 2
2
١٦
ﺗﻮزﻳﻊ اﳌﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸـﻮاﺋﻰ X2ﻳﺴـﻤﻰ ﺗﻮزﻳـﻊ ) 2ﺗﻮزﻳـﻊ ﻣﺮﺑـﻊ ﻛـﺎى ( ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ . n 1 ﻛﻤﺎ ذﻛﺮﻧﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎ ﻓﺈن ﺗﺴﺎوى اﳌﻘﺎم ﰲ ﺻﻴﻐﺔ .s2 ﻣــﻦ اﻟﻮاﺿــﺢ أن ﻗــﻴﻢ 2ﻻ ﳝﻜــﻦ أن ﺗﻜــﻮن ﺳــﺎﻟﺒﺔ وﻋﻠــﻰ ذﻟــﻚ ﻓــﺈن ﻣﻨﺤــﲎ ﺗﻮزﻳــﻊ 2ﻻ ﳝﻜــﻦ أن ﻳﻜــﻮن ﻣﺘﻤﺎﺛــﻞ ﺣــﻮل اﻟﺼــﻔﺮ .اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻟﻌﻴــﲏ ﻟﻺﺣﺼــﺎء X2ﳝﻜــﻦ اﳊﺼــﻮل ﻋﻠﻴــﻪ ﺑﺎﺧﺘﻴــﺎر ﻋﻴﻨــﺎت ﻋﺸ ـﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺘﻜــﺮرة ﻣــﻦ اﳊﺠــﻢ nﻣــﻦ ﳎﺘﻤــﻊ ﻃﺒﻴﻌــﻰ وﺣﺴــﺎب اﻟﻘــﻴﻢ 2ﻟﻜــﻞ ﻋﻴﻨــﻪ ﰒ ﳝﻜــﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﲎ 2ﺑﺘﻤﻬﻴﺪ اﳌﺪرج اﻟﺘﻜﺮارى ﻟﻘﻴﻢ ٠ 2ﻳﻌﺘﻤﺪ ﺷﻜﻞ اﳌﻨﺤـﲎ ﻋﻠـﻰ ﻗـﻴﻢ
.ﻳﻮﺿـﺢ اﻟﺸـﻜﻞ اﻟﺘـﺎﱃ ﻣﻨﺤﻨﻴـﺎن ﻟﺘﻮزﻳـﻊ 2ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ 7و 10ﺣﻴـﺚ ﳝﺜـﻞ اﳌﻨﺤﲎ ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ 7ﺗﻮزﻳﻊ ﻗﻴﻢ 2اﶈﺴﻮﺑﺔ ﻣـﻦ ﻛـﻞ اﻟﻌﻴﻨـﺎت ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ n = 8ﻣـﻦ ﳎﺘﻤﻊ ﻃﺒﻴﻌﻰ ﺗﺒﺎﻳﻨﻪ . 2ﺑﻨﻔﺲ اﻟﺸﻜﻞ ﳝﺜﻞ اﳌﻨﺤﲎ ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ 10ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻞ ﻗـﻴﻢ 2
اﶈﺴﻮب ﻣﻦ ﻛﻞ اﻟﻌﻴﻨﺎت ﻣﻦ اﳊﺠﻢ .n=11 ﻧﻈﺮﻳـﺔ ) ( ٥إذا ﻛـﺎن s2ﳝﺜـﻞ ﺗﺒـﺎﻳﻦ اﻟﻌﻴﻨـﺔ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ nاﳌـﺄﺧﻮذة ﻣـﻦ ﳎﺘﻤـﻊ ﻃﺒﻴﻌـﻰ ﻟـﻪ ﺗﺒـﺎﻳﻦ 2 ﻓﺈن : (n 1)s 2 2
2
ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻰ X2ﻟﻪ ﺗﻮزﻳﻊ 2ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ . n 1
ﺑﻔﺮض أن 2ﺗﺮﻣﺰ ﻟﻘﻴﻤﺔ 2اﻟﱵ ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﶈﻮر اﻷﻓﻘﻰ ﲢﺖ ﻣﻨﺤﲎ 2ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ واﻟﱵ ﺗﻜﻮن اﳌﺴﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﳝﻴﻨﻬﺎ ﻗﺪرﻫﺎ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ.
١٧
اﳉﺪول ﰲ ﻣﻠﺤﻖ ) (٥ﻳﻌﻄﻰ ﻗﻴﻢ 2وذﻟﻚ ﻟﻘﻴﻢ ﳐﺘﻠﻔﺔ ﻣﻦ و ﺣﻴﺚ ﺗﺄﺧﺬ اﻟﻘﻴﻢ : .995 , .99, .975, .95, .90, .10, .05, 0.025, .01, .005
ودرﺟــﺎت ﺣﺮﻳــﺔ ﻣــﻦ 1إﱃ . 40ﻳﻮﺿــﺢ اﻟﺼــﻒ اﻟﺜــﺎﱏ ﻣــﻦ اﳉــﺪول ﻗــﻴﻢ واﻟﻌﻤــﻮد اﻷول ﻣ ــﻦ اﻟﺸ ــﻤﺎل ﻗ ــﻴﻢ درﺟ ــﺎت اﳊﺮﻳ ــﺔ أﻣ ــﺎ ﳏﺘﻮﻳ ــﺎت اﳉـ ـﺪول ﻓﻬ ــﻲ ﻟﻘ ــﻴﻢ . 2وﻋﻠ ــﻰ ذﻟ ــﻚ 2 ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ 6واﻟﱵ ﺗﻜﻮن اﳌﺴﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﳝﻴﻨﻬـﺎ ﺗﺴـﺎوى .05 ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﻓﺈﻧﻨـﺎ ﻧﺒﺤــﺚ ﰲ اﳉــﺪول ﻋﻨــﺪ ﺗﻘـﺎﻃﻊ اﻟﺼــﻒ اﻟــﺬى ﺑــﻪ 6ﻣـﻊ اﻟﻌﻤــﻮد .05وﻋﻠــﻰ ذﻟــﻚ
. .205 12.592وﻟﻌــﺪم ﲤﺎﺛــﻞ ﻣﻨﺤــﲎ ﺗﻮزﻳــﻊ 2ﻓــﻼ ﺑــﺪ ﻣــﻦ اﺳــﺘﺨﺪام اﳉــﺪول ﻹﳚــﺎد .295 1.635ﻋﻨﺪ . 6 ﻣﺜـﺎل أوﺟـﺪ ﻗﻴﻤـﺔ 2ﻟﺘﻮزﻳـﻊ 2ﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ 14واﻟـﱵ ﺗﻜـﻮن اﳌﺴـﺎﺣﺔ ﻋﻠـﻰ ﳝﻴﻨﻬـﺎ ﺗﺴﺎوى . 0.01 اﳊﻞ . ﺑﺎﻟﺒﺤـﺚ ﰲ ﺟــﺪول ﺗﻮزﻳــﻊ 2ﰲ ﻣﻠﺤــﻖ ) (٥ﻋﻨــﺪ ﺗﻘــﺎﻃﻊ اﻟﺼــﻒ 14ﻣــﻊ اﻟﻌﻤﻮد = 0.01ﳒﺪ أن . 2 29.141 F Distribution ﺗﻮزﻳﻊ F ﻳﻌﺘــﱪ ﺗﻮزﻳــﻊ Fﻣــﻦ اﻟﺘﻮزﻳﻌــﺎت اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴــﺔ اﳍﺎﻣــﺔ اﻟــﱴ ﺗﺴــﺘﺨﺪم ﰲ ﳎــﺎل اﻹﺣﺼــﺎء اﻟﺘﻄﺒﻴﻘــﻰ . ﻧﻈﺮﻳﺎ ﳝﻜﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﻮزﻳﻊ ) Fﺗﻮزﻳﻊ ف ( ﻛﻨﺴﺒﺔ ﻟﺘﻮزﻳﻌﻴﲔ ﻣﺴﺘﻘﻠﲔ ﻳﺘﺒﻌﺎن ﺗﻮزﻳﻊ 2وﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤـﺎ ﻟﻪ درﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﺑﻪ .ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ fﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻰ ، Fﻓﺈن: 22s12
s12 / 12
12 / 1
f 2 2 2 2 2. 2 / 2 s 2 / 2 1 s 2 ﺣﻴــﺚ 12ﻫــﻲ ﻗﻴﻤــﺔ ﻟﺘﻮزﻳــﻊ 2ﺑــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳــﺔ 1 n1 1و 22ﻫــﻲ ﻗﻴﻤــﺔ ﻟﺘﻮزﻳــﻊ
2ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ . 2 n 2 1 ﻟﺤﺴـﺎب ﻗﻴﻤـﺔ fﳔﺘـﺎر ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ n1ﻣـﻦ ﳎﺘﻤـﻊ ﻃﺒﻴﻌـﻰ ﻟـﻪ ﺗﺒـﺎﻳﻦ 12وﳓﺴــﺐ . s12 / 12أﻳﻀــﺎ ﳔﺘــﺎر ﻋﻴﻨــﺔ ﻋﺸ ـﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴــﺘﻘﻠﺔ ﻣــﻦ اﳊﺠــﻢ n2ﻣــﻦ ﳎﺘﻤــﻊ ﻃﺒﻴﻌــﻰ آﺧــﺮ ﻟــﻪ ﺗﺒــﺎﻳﻦ 22وﳓﺴﺐ . s 22 / 22اﻟﻨﺴـﺒﺔ ﻟﻠﻘﻴﻤﺘـﲔ s12 / 12و s 22 / 22ﺗﻨـﺘﺞ ﻗﻴﻤـﺔ ٠fﺗﻮزﻳـﻊ ﻛـﻞ اﻟﻘﻴﻤـﺔ اﳌﻤﻜﻨــﺔ ﻣــﻦ fﺣﻴـﺚ s12 / 12ﳝﺜــﻞ اﻟﺒﺴــﻂ و s 22 / 22ﳝﺜـﻞ اﳌﻘــﺎم ﻳﺴــﻤﻰ ﺗﻮزﻳــﻊ Fﺑ ــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳ ــﺔ . 1, 2إذا اﻋﺘﱪﻧ ــﺎ ﻛ ــﻞ اﻟﻨﺴـ ـﺐ اﳌﻤﻜﻨ ــﺔ ﺣﻴ ــﺚ s 22 / 22ﳝﺜ ــﻞ اﻟﺒﺴ ــﻂ و s12 / 12ﳝﺜﻞ اﳌﻘﺎم ،ﰲ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻞ اﻟﻘﻴﻢ اﳌﻤﻜﻨﺔ اﻟﱴ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳـﻊ Fوﻟﻜـﻦ ١٨
ﺑــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳــﺔ . 2 , 1درﺟــﺎت اﳊﺮﻳــﺔ اﳌﺮﺗﺒﻄــﺔ ﺑﺘﺒــﺎﻳﻦ اﻟﻘﻴﻤــﺔ اﻟــﱴ ﰲ اﻟﺒﺴــﻂ داﺋﻤــﺎ ﻳﻮﺿــﻊ أوﻻ ﻣﺘﺒﻮﻋﺎ ﺑﺪرﺟﺎت اﳊﺮﻳﺔ اﳌﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺘﺒﺎﻳﻦ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻟﱴ ﰲ اﳌﻘﺎم .وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻣﻨﺤﲎ ﺗﻮزﻳـﻊ Fﻳﻌﺘﻤـﺪ ﻟـﻴﺲ ﻓﻘــﻂ ﻋﻠــﻰ اﳌﻌﻠﻤﺘــﲔ . 1, 2وﻟﻜــﻦ أﻳﻀــﺎ ﻋﻠــﻰ ﺗﺮﺗﻴﺒﻬﻤــﺎ وﲟﺠــﺮد اﳊﺼــﻮل ﻋﻠــﻰ اﻟﻘﻴﻤﺘــﲔ ﳝﻜــﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﳌﻨﺤﲎ ٠ﻣﻨﺤﻨﻴﺎن ﻟﺘﻮزﻳﻊ Fﻣﻮﺿﺤﺔ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ٠
ﻧﻈﺮﻳﺔ ) ( ٦إذا ﻛﺎﻧﺖ s 22 , s12ﲤﺜﻼن ﺗﺒﺎﻳﲏ ﻋﻴﻨﺘﲔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺘﲔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺘﲔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ n2 , n1
ﻣﺄﺧﻮذﺗﲔ ﳎﺘﻤﻌﲔ ﻣﻦ ﻃﺒﻴﻌﻴﲔ ﺑﺘﺒﺎﻳﻨﱴ 22 , 12ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ ﻓﺈن : s12 / 12
22 s12
f 2 2 2 2. s 2 / 2 1 s 2 ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸـﻮاﺋﻲ Fﻳﺘﺒـﻊ ﺗﻮزﻳـﻊ Fﺑـﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳـﺔ ٠ 1, 2ﺑﻔـﺮض أن ) f (1 , 2 ﺗﺮﻣــﺰ ﻟﻘﻴﻤــﺔ fﻋﻠــﻰ اﶈــﻮر اﻷﻓﻘــﻲ ﲢــﺖ ﻣﻨﺤــﲎ ﺗﻮزﻳــﻊ Fﺑــﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳــﺔ 1 n1 1و
2 n 2 1واﻟﱵ ﺗﻜﻮن اﳌﺴﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﳝﻴﻨﻬﺎ ﺗﺴﺎوى واﳌﻮﺿﺤﺔ ﰲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ.
اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱃ ﻳﻮﺿﺢ ﺗﻮزﻳﻊ Fﻟﻘﻴﻢ ﳐﺘﻠﻔﺔ ﻣﻦ 1 , 2
١٩
ﻻﺳﺘﺨﺮاج ﻗﻴﻢ ) f (1 , 2ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺪوﻻن اﻷول ﻋﻨﺪ =
.05واﻵﺧــﺮ ﻋﻨــﺪ = .01وﰲ ﻛــﻞ ﻣﻨﻬﻤــﺎ ﻳﻜــﻮن اﻟﺼــﻒ اﻷول ﻟﻘــﻴﻢ 1واﻟﻌﻤــﻮد اﻷول ﻟﻘــﻴﻢ 2أﻣــﺎ ﳏﺘﻮﻳــﺎت اﳉــﺪول ﻓﻬــﻮ ﻟﻘــﻴﻢ ) . f (1 , 2ﻋﻠــﻰ ﺳــﺒﻴﻞ اﳌﺜ ـﺎل ﻣــﻦ ﺟــﺪول ﺗﻮزﻳــﻊ F ﻧﻼﺣﻆ أن : f.01 (5,7) 7.46 , f .05 (1,4) 7.71
f.01 (9,10) 4.94 , f.05 (4,1) 224.6
وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﳝﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪام ﺟﺪول ﺗﻮزﻳﻊ Fﰲ إﳚﺎد ) . f1 (1 , 2 ﻧﻈﺮﻳﺔ ) (٧ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ ) f1 (1 , 2ﺑﺪرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ 1, 2ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ : 1 ) f ( 2 , 1
f1 (1, 2 )
وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻓﺈن ﻗﻴﻤﺔ ) f.95(7,12ﻫﻰ : 1 1 0.2801 f.05 (12,7) 3.57
f.95 (7,12)
ﺣﻴــﺚ أن ) f.05(12 , 7ﻣﺴــﺘﺨﺮﺟﺔ ﻣــﻦ ﺟــﺪول ﺗﻮزﻳــﻊ Fﻋﻨــﺪ ﻣﺴــﺘﻮى ﻣﻌﻨﻮﻳــﺔ = .05
ودرﺟﺎت ﺣﺮﻳﺔ ، 1 = 12, 2 = 7
٢٠