توزيع جاما

‫ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ‬

‫‪Gamma Distribution‬‬

‫ﯾﻌﺗﺑر ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣـﺎ واﺣـد ﻣـن اﻟﺗوزﯾﻌـﺎت اﻟﻣﺗﺻـﻠﺔ اﻟﺷـﺎﺋﻌﺔ اﻻﺳـﺗﺧدام ﻓـﻲ اﻟﺗطﺑﯾـق‪ ،‬ﻓﻛﺛﯾـر ﻣـن‬

‫اﻟﻣﺗﻐﯾ ـرات اﻟﻌﺷ ـواﺋﯾﺔ ﺗﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ ﺟﺎﻣــﺎ ﻣﺛــل زﻣــن اﻟﺧدﻣــﺔ ﻓــﻲ ﻣرﻛــز ﻟﻠﺑﯾــﻊ أو اﻟــزﻣن اﻟــﻼزم ﻹﻋــﺎدة‬ ‫ﺗﺟدﯾد اﻟﺳﯾﺎرة ‪ .‬ﻟﻘد أﺷﺗق اﺳم اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣن ﻋﻼﻗﺗﻪ ﺑداﻟﺔ ﺗﺳﻣﻰ داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ ‪. gamma function‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ وﯾرﻣز ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟرﻣز ) ‪ ،  ( k‬ﻷي ‪ k > 0‬ﺗﻌطﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪(k )   t k 1 e t dt .‬‬

‫ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻧدﻣﺎ ‪ k = 1‬ﻓﺈن ‪e t dt  1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪.  (1) ‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١‬‬

‫‪1‬‬ ‫أﺛﺑت أن ‪٠     ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑوﺿﻊ‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪     x 2 e x dx‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x  y2  dx  ydy.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 y2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1  1‬‬ ‫‪( )   ( y 2 ) 2 e 2 y dy‬‬ ‫‪2 0 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  y2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( )  2  e 2 dy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪  y2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2e‬‬ ‫‪dy   e‬‬ ‫‪dy  2 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( )  2‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻫذﻩ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻓﺈن ﻷي ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب ‪ n‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫)‪2n 1 1.3.5(2n 1‬‬ ‫(‪‬‬ ‫‪)‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻓﻣﺛﻼ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n  0  ( )  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪n  1  ( ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫‪r  2  ( ) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫وﻫﻛذا اﻟﺣﺎل ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻷي ﻗﯾﻣﺔ أﺧرى‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢‬‬

‫أﺛﺑت ان !‪ (n  1)  n‬‬

‫‪٠ n  1, 2,3,...‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣن ﺗﻌرﯾف اﻟداﻟﺔ ﻧﺟد ان‪:‬‬

‫‪x 0.‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗﺟزيء ﻟﻠﺗﻛﺎﻣل ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪(n  1)   x n e  x dx‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬ ‫‪(n  1)   x n e  x dx‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪[ x n e  x ]   nx n 1e  x dx‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n  x n 1e x dx  n(n).‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻛذﻟك ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد اﻟﺗﻛﺎﻣل ‪  x n 1e x dx‬ﺑﺎﻟﺗﺟزيء ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪(n)  (n  1) (n  1),‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻓﺈن ﺗﻛرار ﺗطﺑﯾق اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾؤدي إﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪(n)  (n  1)(n  2)3  2  1,‬‬

‫أي أن ‪:‬‬

‫!‪(n  1)  n(n  1)(n  2)  3  2  1  n‬‬

‫‪k  k  1 k  1 , k > 1‬‬ ‫ﻧظرﯾـﺔ ‪ :‬ﯾﻘـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ ‪ X‬أﻧــﻪ ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ﺟﺎﻣــﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗـﯾن ‪   0 , k  0‬إذا ﻛﺎﻧــت‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x k-1 e x/ , x  0‬‬ ‫)‪ (k‬‬ ‫‪ 0 , e.w .‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪f (x; , k) ‬‬

‫ﺗﺣﻘـ ــق اﻟداﻟ ـ ــﺔ )‪ f (x; , k‬ﺷ ـ ــرطﻲ داﻟ ـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ـ ــﺎل ﺣﯾ ـ ــث ‪ f (x; , k)  0‬وﺑوﺿ ـ ــﻊ‬ ‫‪‬‬

‫‪ t  x / ‬ﻓ ـ ــﻲ اﻟﺗﻛﺎﻣ ـ ــل ‪  f (x; , k) dx‬ﻧﺣﺻ ـ ــل ﻋﻠ ـ ــﻰ ‪ .  (k ) /  ( k )  1‬ﺳ ـ ــوف‬ ‫‪0‬‬

‫ﻧﻛﺗــب )‪ X ~ GAM (, k‬ﻟﻠدﻻﻟــﺔ ﻋﻠــﻰ أن‬

‫‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﻟــﻪ داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ‪.‬‬

‫)‪f (x; , k‬‬ ‫ﯾوﺟد ﺛﻼث أﺷﻛﺎل أﺳﺎﺳﯾﺔ ﻟﻠداﻟﺔ )‪ f (x; , k‬ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﺎ إذا ‪ k < 1‬أو ‪ k = 1‬أو ‪k‬‬ ‫‪ . > 1‬أﺷــﻛﺎل ﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ ﻟﻠداﻟــﺔ )‪ f (x; , k‬ﻣوﺿــﺣﺔ ﻓــﻲ اﻟﺷــﻛل اﻟﺗــﺎﻟﯾﯾن وذﻟــك ﻟﻘــﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ ﻣــن‬ ‫‪. k, ‬‬

‫ﻋﻨـﺪﻣﺎ ‪ k = 1‬ﻓـﺈن ‪ f ( 0,  , 1 )  1/‬وﻋﻨـﺪﻣﺎ ‪ k > 1‬ﻓـﺈن ‪ . f (0; , k)  0‬وﻋﻨـﺪﻣﺎ‪k<1‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺮاﺳﻲ ﻳﺤﺎذى ) ‪(x;  , k‬‬

‫‪. y= f‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر )‪ X ~ GAM (, k‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ dt.‬‬

‫‪‬‬

‫‪t k -1e‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪F (x; , k)  ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫) ‪ k ( k‬‬

‫ﺑوﺿﻊ ‪ u  t / ‬ﻓـﻲ اﻟﺗﻛﺎﻣـل ﻓـﺈن )‪ F (x; , k)  F( x ; 1 , k‬ﺣﯾـث ) ‪ F (. , k‬ﺗﺳـﻣﻰ داﻟـﺔ‬ ‫‪‬‬

‫ﺟﺎﻣـﺎ اﻟﻧﺎﻗﺻـﺔ ‪ incomplete gamma function‬واﻟﺗـﻰ ﺗﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻰ ‪ ‬ﻓﻘـط ) ﻣﻌﻠﻣـﺔ اﻟﻘﯾـﺎس (‬ ‫وذﻟـك ﻣـن ﺧـﻼل اﻟﻣﺗﻐﯾـر ‪ . x / ‬ﻋـﺎدة ‪ ،‬ﯾﻛـون ﻣـن اﻟﺿـرورى وﺟـود ‪ ‬ﻓـﻲ اﻟﻧﻣـوذج ﺣﺗـﻰ ﻻ‬ ‫ﺗﻌﺗﻣد اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻋﻠﻰ وﺣدة اﻟﻘﯾﺎس اﻟﻣﺳـﺗﺧدﻣﺔ ‪ .‬ﻋﻠـﻰ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل إذا ﻛـﺎن ‪ X‬ﯾﻣﺛـل اﻟـزﻣن ﺑﺎﻷﺷـﻬر‬ ‫ﺣﯾث )‪ X ~ GAM (, k‬و ‪  = 12‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪F (24/12 ; 1, k) = F ( 2; 1, k ) .‬‬

‫= ) ﺷﻬر ‪P (X  24‬‬

‫ﺑﻔ ــرض أن ‪ Y‬ﻣﺗﻐﯾـ ـراً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﻣﻘ ــﺎس ﻗﯾﻣ ــﺔ ﺑﺎﻷﺳ ــﺑوع ﻓ ــﺈن )‪ Y ~ GAM (48, k‬ﺣﯾ ــث‬ ‫‪ .   4.12  48‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ‪:‬‬

‫) أﺳﺑوع ‪ ) = P(Y  96‬ﺷﻬر ‪P(X  24‬‬ ‫) ‪= F (96 / 48 ; 1, k‬‬ ‫) ‪= F ( 2; 1, k‬‬ ‫أي ﻧﻔس اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ‪.‬‬

‫ﻋﻣوﻣــﺎً داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر ‪ X‬ﺣﯾــث )‪ X ~ GAM (, k‬ﻻ ﯾﻣﻛــن وﺿــﻌﻬﺎ ﻓــﻲ ﺷــﻛل‬ ‫ﺻﯾﻐﺔ وﻟﻛن إذا ﻛﺎﻧت ‪ k‬ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب ﻓﺈن اﻟﺗﻛﺎﻣل ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻪ ﻛﻣﺟﻣوع ‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪( x / )i x/‬‬ ‫‪e .‬‬ ‫!‪i‬‬

‫‪k -1‬‬ ‫‪F ( x; , k )  1 - ‬‬ ‫‪i0‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ﻛﻣﯾﺔ اﻟﺗرﺳﯾب ﻓﻲ ﻧﻬر ) ﻣﻘﺎس ﺑﺎﻟﺑوﺻﺔ ( ﺗﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﺣﯾث‬ ‫)‪. X ~ GAM (.2, 6‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب ‪٠P ( X > 2 ) :‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪x 6-1 e (x/.2) dx‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪P( X  2 )  ‬‬

‫)‪(.2) (6‬‬ ‫) ‪ 1- F ( 2; .2, 6‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪10i 10‬‬ ‫‪e  0.067 .‬‬ ‫‪i0‬‬ ‫!‪i‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﻋﻧد ‪.   10‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﻫﻧﺎك ﺟداول ﻟﺣﺳﺎب )‪ F (x; k‬ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪,   1,‬‬

‫‪k  1 (1) 5 , x  .2(.2) 8.0 (.5) 15.‬‬ ‫‪k  6(1) 10, x  1(.2) 8.0 (.5) 17.‬‬

‫وﻓﻰ ﺑﻌض اﻻﺣﯾﺎن ﯾﻣﻛن ﺣل اﻟﺗﻛﺎﻣل ﺑدون ﺟداول‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﺣﯾث ) ‪X ~ GAM (0.5, 10‬‬

‫أوﺟد )‪P(X  5),P(5  X  7‬‬

‫‪٠‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﻣﺎ أن ‪ k=10‬ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب ﻓﺈن )‪ P(X  5‬ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪P(X  5)  F(5,0.5,10) ‬‬ ‫‪5 i 5‬‬ ‫) ( ‪9‬‬ ‫‪9 (10)i 10‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪e 1 ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪10.4580.542.‬‬ ‫!‪i‬‬ ‫!‪i‬‬ ‫‪i 0‬‬ ‫‪i 0‬‬ ‫‪9 (10)i 10‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ ‬ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﻣن ﺟداول ﺑواﺳون ﺣﯾث ‪  10‬‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫!‪i‬‬ ‫‪i 0‬‬ ‫‪P(5  X  7)  F(7)  F(5) ‬‬ ‫‪9 (14)i 14‬‬ ‫‪9 (10)i 10‬‬ ‫‪(1 ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪)(1 ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪)0.349.‬‬ ‫!‪i‬‬ ‫!‪i‬‬ ‫‪i 0‬‬ ‫‪i 0‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥‬‬ ‫إذا ﻛﺎن زﻣن اﻟﺗﻔﺎﻋل ﯾﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﺣﯾث ) ‪ X ~ GAM (1, 2‬أوﺟد ‪:‬‬ ‫)أ(‬

‫)‪٠ P( 3  X  5‬‬

‫)ب(‬

‫) ‪٠P( X > 4‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻓﻲ )أ( و )ب( ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎدﻫﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺟدول ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻧﺎﻗﺻﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫)أ(‬

‫) ‪P( 3  X  5 )  F (5, 2 ) - F (3, 2‬‬ ‫‪ .95957 - .80085‬‬ ‫‪ .15872 .‬‬ ‫) ‪P( X  4 )  1 - P( X  4‬‬

‫)ب(‬

‫‪= 1 – F (4; 2) = 1 - .90842‬‬ ‫‪= .09158 .‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٦‬‬ ‫إذا ﻛــﺎن زﻣــن اﻟﺑﻘــﺎء ) ﻣﻘــﺎس ﺑﺎﻷﺳــﺑوع ( ﻟــذﻛر اﻟﻔــﺄر اﻟﻣﻌــﺎﻟﺞ ﺑﺄﺷــﻌﺔ ﺟﺎﻣــﺎ ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻰ‬

‫‪ X‬ﺣﯾث ) ‪X ~ GAM (15, 8‬‬

‫)أ( أوﺟد اﻻﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻔﺄر ﺳوف ﯾﺑﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﻗﯾد اﻟﺣﯾﺎة ﺑﯾن ‪ 120 , 60‬أﺳﺑوع ‪.‬‬ ‫)ب( ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ‪ 30‬أﺳﺑوﻋﺎً ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻓﻲ )أ( و )ب( ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎدﻫﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟداول ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻧﺎﻗﺻﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫)أ(‬

‫) ‪P(60  X  120 )  P(X  120 ) - P( X  60‬‬

‫) ‪= F (120 / 15 ; 8 ) - F( 60/15 ; 8‬‬ ‫) ‪= F (8; 8 ) - F (4; 8‬‬ ‫‪= .54704 - .05113 = . 49591 .‬‬ ‫)ب(‬

‫) ‪P(X  30 )  1 - P( X  30‬‬ ‫) ‪ 1 - P( X  30‬‬ ‫) ‪= 1 – F ( 30/15; 8‬‬ ‫) ‪= 1 – F ( 2; 8‬‬ ‫‪= 1 - .0011 = .9989 .‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٧‬‬ ‫ﺑﻔــرض أن ﻋــدد اﻟﻣﻛﺎﻟﻣــﺎت اﻟﻣﺳــﺗﻘﺑﻠﺔ ﻓــﻲ ﺳــوﯾﺗش ﺗﺗﺑــﻊ ﻋﻣﻠﯾــﺔ ﺑواﺳــون ﺣﯾــث ‪   5‬ﻣﻛﺎﻟﻣــﺎت ﻓــﻲ‬

‫اﻟدﻗﯾﻘــﺔ ‪ .‬ﻓــﺈذا ﻛــﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﯾﻣﺛــل اﻟــزﻣن ﺑﺎﻟــدﻗﺎﺋق ﺣﺗــﻰ اﺳــﺗﻘﺑﺎل ﻣﻛــﺎﻟﻣﺗﯾن ﺣﯾــث ‪X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪   , k  2‬أوﺟد )‪٠ P(X  1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(X  1) ‬‬ ‫‪ xe  dx.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(X 1) 25  xe5x dx‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٨‬‬ ‫ﻓــﻲ د ارﺳــﺔ طﺑﯾــﺔ ﻋــن ﺗــﺄﺛﯾر دواء ﻣﻌــﯾن ﻋﻠ ــﻰ زﻣــن اﻟﺣﯾــﺎة واﻟــذي ﯾﻘــﺎس ﺑﺎﻷﺳــﺎﺑﯾﻊ وﯾﺗﻌﺑــر ﻣﺗﻐﯾ ــر‬

‫ﻋﺷـواﺋﻲ ﯾﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ ﺟﺎﻣــﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗــﯾن ‪   10,k  5‬ﻣــﺎ ﻫــو اﺣﺗﻣــﺎل أن ﻣﻌــدل اﻟﺣﯾــﺎة ﻻﯾزﯾــد ﻋــن‬ ‫‪ 60‬أﺳﺑوع؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﻣﺛل زﻣن اﻟﺣﯾﺎة )اﻟزﻣن ﺣﺗﻰ اﻟوﻓﺎة ( ﻓﺈن اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﻫو‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪P(X  x)  ‬‬ ‫‪x k 1e  dx,‬‬ ‫‪k‬‬ ‫)‪0  (k‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 60 1 51 10‬‬ ‫‪P(X 60)‬‬ ‫‪x e‬‬ ‫‪dx.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫‪10 0‬‬ ‫ﻫذا اﻟﺗﻛﺎﻣل ﯾﻣﻛن ﺣﻠﻪ ﺑﺈﺳﺗﺧدام داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻧﺎﻗﺻﺔ واﻟﺗﻲ ﺗﻛﺗب ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ y51  y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪F( ;5)  ‬‬ ‫‪e dy,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪6 y4  y‬‬ ‫‪P(X  60)  ‬‬ ‫‪e dy.‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻫذا اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻣن ﺟداول ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻧﺎﻗﺻﺔ ﻋﻧد )‪ F(6 ; 5‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪P(X  60)  F(6 ; 5)  0.71494.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٩‬‬ ‫ﺑﻔ ــرض أﻧ ــﻪ ﻓ ــﻲ اﻟﻣﺗوﺳ ــط ‪ 30‬ﯾﺻ ــل ﻋﻣﯾ ــل ﻟﻛ ــل ﺳ ــﺎﻋﺔ ﯾﺻ ــﻠون إﻟ ــﻰ ﺳ ــوﺑر ﻣﺎرﻛ ــت ﻓ ــﻲ ﻋﻣﻠﯾ ــﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑواﺳــون‪.‬إذا ﻛﺎﻧــت اﻟوﺣــدة ﻫــﻲ اﻟدﻗﯾﻘــﺔ ﻓــﺈن ‪  ‬ﻣــﺎ ﻫــو اﺣﺗﻣــﺎل أن اﻟﺑــﺎﺋﻊ ﺳــوف ﯾﻧﺗظــر ﻻﻛﺛــر‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣـن ‪ 5‬دﻗـﺎﺋق ﻗﺑـل وﺻــول اﻟﻌﻣﯾﻠـﯾن اﻷوﻟﯾـﯾن ؟ إذا ﻛــﺎن ‪ X‬ﯾﻣﺛـل زﻣـن وﺻــول اﻟﻌﻣﯾـل اﻟﺛـﺎﻧﻲ ﻓــﺈن‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪k  2‬‬ ‫‪٠  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪ x 21e 2‬‬ ‫‪P(X  5)  ‬‬ ‫‪dx,‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xe 2 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  2xe 2  4e 2  ,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪7 2‬‬ ‫‪ e 0.287.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﻣﺎ أن ‪   2‬ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب ﻓﺈن )‪ P(X  5‬ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻪ ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ‬ ‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x i‬‬ ‫‪k 1 ( ) e ‬‬ ‫‪P(X  x)   ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫!‪i‬‬ ‫‪i 0‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻋﻧدﻣﺎ ‪   2 , k  2 x  5‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 i‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪21 ( ) e 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪P(X  5)   2‬‬ ‫‪ e 2 (1  )  e 2 .‬‬ ‫!‪i‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪i 0‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٠‬‬ ‫إذا ﻛـﺎن وﺻـول اﻟﻣﻛﺎﻟﻣــﺎت اﻟﺗﻠﯾﻔوﻧﯾـﺔ إﻟــﻰ ﺳـوﯾﺗش ﯾﺗﺑـﻊ ﻋﻣﻠﯾــﺔ ﺑواﺳـون ﺑﻣﺗوﺳــط ‪   3‬ﻓـﻲ اﻟدﻗﯾﻘــﺔ‬ ‫ﻣﺎ ﻫو اﺣﺗﻣﺎل ﻣرور ﻋﻠﻰ اﻷﻗل دﻗﯾﻘﺗﯾن ﻗﺑل وﺻول اﻟﻣﻛﺎﻟﻣﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ إذا ﻛﺎن ‪. k=2‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪ X‬ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﯾﻣﺛــل زﻣــن اﻹﻧﺗظــﺎر ﺣﺗــﻰ وﺻــول اﻟﻣﻛﺎﻟﻣــﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾــﺔ ‪ ،‬وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ‪ X‬ﯾﺗﺑــﻊ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪k  2 ,  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪1 (23)i e(23‬‬ ‫‪ P(X  2)  1  F(2)  ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫!‪i‬‬ ‫‪i 0‬‬

‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟداول ﺑواﺳون ﻓﻰ ﻣﻠﺣق )‪ (١‬ﺣﯾث ‪   6‬ﻓﺈن‬

‫‪P(X  2)  0.017.‬‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳـط واﻟﺗﺑﺎﯾــن ‪:‬‬ ‫ﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﺣﯾث ) ‪ X ~ GAM (  , k‬ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎدﻩ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪x k -1 e x/ dx‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫) ‪ k ( k‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪E (X) ‬‬

‫‪1  (1 k ) 1 x/ ‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪ (k ) 0‬‬ ‫‪x (1 k ) 1 e x/ dx‬‬

‫‪1 k  (1  k ) ‬‬

‫‪1‬‬ ‫) ‪ (1  k‬‬

‫‪  k k / k  k.‬‬

‫‪1 k‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪k‬‬

‫‪‬‬

‫) ‪ (k‬‬

‫) ‪1 k (1  k‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪‬‬

‫) ‪ (k‬‬ ‫ﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ) ‪ E (X 2 )  2 k ( 1  k‬وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻫو‪:‬‬

‫‪Var (X)   2 k ( 1  k ) - ( k) 2  k  2‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل )‪، (٣‬ﻓﺈن ﻛﻣﯾﺔ اﻟﺗرﺳﯾب اﻟﯾوﻣﯾﺔ ﺗﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ﺟﺎﻣـﺎ ﺑﻣﺗوﺳـط ‪ 1. 2‬ﺑوﺻـﺔ وﺗﺑـﺎﯾن ‪0.24‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١١‬‬ ‫إذا ﻛ ــﺎن )‪ X ~ GAM (, k‬أﺛﺑ ــت أن اﻟﻣﻧـ ـوال ﻟﻬ ــذا اﻟﺗوزﯾ ــﻊ ﻫ ــو )‪ m  (k  1‬وأن ﻫﻧﺎﻟ ــك‬ ‫‪o‬‬ ‫ﻧﻘطﺗﺎ إﻧﻘﻼب ﻓﻲ ﻣﻧﺣﻧﻰ داﻟﻪ ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ وﻫﻣﺎ ‪٠ x  (k  1)   k 1‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x k 1e  , x 0‬‬ ‫‪f (x)   k‬‬ ‫)‪ (k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪e.w.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(‪ln f (x)  ln‬‬ ‫‪)  (k  1)ln x  ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪k  (k‬‬ ‫وﺑﺈﯾﺟﺎد اﻟﻣﺷﺗﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﻪ اﻟﻰ ‪ x‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪f (x) k 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ,‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k 1 1‬‬ ‫()‪f (x)f (x‬‬ ‫‪ ).‬‬ ‫‪x ‬‬

‫وﺑوﺿﻊ ‪ f (x)  0‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪k 1 1‬‬ ‫‪ )  0,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k 1 1‬‬ ‫‪ 0 ,f(x)>0‬‬ ‫‪x ‬‬

‫()‪f (x‬‬

‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻲ أن‪:‬‬

‫‪x  (k  1).‬‬ ‫أﯾﺿﺎ‪:‬‬

‫‪k 1 k 1 1 2‬‬ ‫(‪‬‬ ‫‪ ) ],‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬

‫وأن ‪:‬‬

‫‪f (x  (k  1))  0.‬‬

‫‪f (x)  f (x)[‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‪2 (k 1‬‬

‫‪f (x) x (k 1)  ‬‬

‫وﻣن ذﻟك ﻧﺳﺗﻧﺗﺞ أن اﻟﻣﻧوال ﻟﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﻫو )‪٠ x  (k  1‬‬

‫ﺑوﺿﻊ ‪ f (x)  0‬وذﻟك ﻹﯾﺟﺎد ﻧﻘطﺗﻲ اﻻﻧﻘﻼب ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪k 1 k 1 1 2‬‬ ‫‪f (x)[‬‬ ‫(‪‬‬ ‫‪ ) ]  0,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫وﻟﻛن ‪ f (x)  0‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬

‫‪k 1 k 1 1 2‬‬ ‫(‪‬‬ ‫‪ ) ]  0.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪[‬‬

‫وﺑﺣل اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟـ ‪ x‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪,k  1.‬‬

‫‪x  (k  1)   k 1‬‬

‫وﻧﺗـ ــرك ﻟﻠﻘـ ــﺎرئ أﺛﺑـ ــﺎت اﻧـ ــﻪ ﻋﻧـ ــدﻣﺎ ‪ x  (k  1)   k 1‬ﻓـ ــﺈن ‪ f (x)  0‬وﻫـ ــذا ﯾﻌﻧـ ــﻲ ان‬ ‫ﻟﻣﻧﺣﺗـ ـ ــﻰ اﻟداﻟـ ـ ــﺔ ﺟﺎﻣـ ـ ــﺎ ﻧﻘطﺗـ ـ ــﺎ إﻧﻘـ ـ ــﻼب ﻋﻠـ ـ ــﻰ ﺑﻌـ ـ ــد ﻣﺗﺳـ ـ ــﺎوي إﻟـ ـ ــﻰ ﯾﻣـ ـ ــﯾن وﯾﺳـ ـ ــﺎر اﻟﻣﻧ ـ ـ ـوال ﻫﻣـ ـ ــﺎ‬ ‫‪. x  (k  1)   k 1‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٢‬‬

‫‪1‬‬ ‫إذا ﻛﺎن اﻟدﺧل ﻟﻸﺳرة اﻟواﺣدة ﻓﻲ ﺑﻠد ﻣﺎ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺣﯾث ) ‪, 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ﻣﻘﺎس ‪ .( $ 10000‬أوﺟد اﻟﻣﺗوﺳط و ) ‪. P ( X >2‬‬

‫( ‪X ~ GAM‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻣﺗوﺳط اﻟدﺧل ﻟﻸﺳرة اﻟواﺣدة ﻓﻲ اﻟﺑﻠد اﻟﻣﻌﻧﻰ ﻫو ‪ 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ) ( k  )  2.‬ﻣﻘﺎس ‪$‬‬

‫‪ .( 10000‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛـل اﻟـدﺧل ‪ ،‬ﺑوﺣـدات ‪ ، $ 1000‬ﻷﺳـرة ﻣﺧﺗـﺎرة‬ ‫ﯾﺗم ﺣﺳﺎب ) ‪ P( X > 2‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P (X  2) ‬‬ ‫‪x 2 1 e 2x dx,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( )2  (2) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4  x e 2x dx,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 2x ‬‬ ‫( ‪4‬‬‫) ‪e‬‬ ‫‪ 2  e 2x dx,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (-2 . e 2x - e 2x ) ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ - ( 2x  1 ) e 2x‬‬

‫‪ .0916 .‬‬

‫‪ 5 e4‬‬

‫اﻟﻌزوم ﺣـول اﻟﺻﻔـر ‪:‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ r‬ﺣول اﻟﺻﻔر ﻣن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪x k 1 e x/‬‬ ‫‪M X (t)   e k‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪ (k‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫‪e(t-1/)x dx‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪ (k) 0‬‬ ‫‪tx‬‬

‫‪‬‬

‫ﺑوﺿﻊ ‪ u  - (t - 1/) x‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪-k‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪M X (t)    t  k‬‬ ‫‪ u e du.‬‬ ‫‪     (k) 0‬‬

‫أي أن ‪:‬‬

‫‪-k‬‬

‫‪t  1/.‬‬

‫‪M X (t)  1   t ‬‬

‫اﻟﻣﺷﺗﻘﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ ، r‬ﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ‪ ،‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪M (Xr ) ( t )  ( k  r - 1 )... (k  1 ) k r (1 -  t)- k - r‬‬ ‫‪(k  r) r‬‬ ‫‪ ( 1- t)-k-r .‬‬ ‫)‪(k‬‬

‫‪‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪ M X (0) :‬ﺗﻌطﻰ اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ r‬ﺣول اﻟﺻﻔر ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫) ‪(r‬‬

‫‪(k  r ) r‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫) ‪( k‬‬

‫‪E(X r ) ‬‬

‫ﯾﻣﻛن وﺿﻊ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزم ﻋﻠﻰ ﺻورة ﻣﺳﻠﺳﻠﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪(k  r)  r r‬‬ ‫‪t‬‬ ‫!‪(k) r‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪r 1‬‬

‫)‪M X (t‬‬

‫ﻋﻧــدﻣﺎ ‪ k   / 2 ,   2‬ﻧﺣﺻــل ﻋﻠــﻰ ﺻــورة ﺧﺎﺻــﺔ ﻟﺗوزﯾــﻊ ﺟﺎﻣــﺎ ﺗﺳــﻣﻰ ﺗوزﯾــﻊ ﻣرﺑــﻊ ﻛــﺎي‬ ‫‪ chi – square distribution‬ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﺗﺳـﻣﻰ درﺟـﺎت اﻟﺣرﯾـﺔ ‪ .‬ﻋﻧـدﻣﺎ ‪ k = 1‬ﻧﺣﺻـل ﻋﻠـﻰ‬

‫ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﺗﺳﻣﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻰ ‪. exponential distribution‬‬ ‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ‪:‬‬ ‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫وﻣﻧﻬﺎ ﯾﻣﻛن اﺛﺑﺎت أن ‪:‬‬

‫‪X (t )  ( 1 - it ) - k‬‬

‫)‪r (k  r‬‬ ‫‪r  1, 2,...‬‬ ‫)‪ (k‬‬

‫‪r ‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪1   k  ‬‬ ‫)‪2   2 k ( k  1‬‬ ‫)‪3  3 k ( k  1) (k  2‬‬ ‫‪4   4 k ( k  1) (k  2) (k  3) .‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٣‬‬

٠ f (x) , M (t) , E(X r ) , F(x) ‫ أوﺟد‬X ~ GAM (3, 2) ‫إذا ﻛﺎن‬ X :‫اﻟﺣــل‬

x 1 f (x)  xe 3 9 

M x (t)(13t)2

,

x0 , t

1 3

 x  k 6. 2  2k 18.

E(X r )3r (r  2)

,r 1,2,3...

x u  1 x 3 x F(x)   ue du  1  (  1)e 3 .

90 3

F(0)  0.

F(10) 0.8454132.

F(1)  0.04462. (١٤ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫[ ﻣﺳـﺎو‬

1 1  E( )] ‫ ﺣﯾـث‬H ‫ ﺑـرﻫن ﻋﻠـﻰ أن اﻟوﺳـط اﻟﺗـواﻓﻘﻲ‬X ~ GAM (, k) ‫إذا ﻛـﺎن‬ H X ٠‫ ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب‬r ‫ و‬E(X  r ) ‫ﻟﻠﻣﻧوال ﺛم اﺷﺗق ﺻﯾﻐﺔ‬ :‫اﻟﺣــل‬ :‫ﺣﺳب ﺗﻌرﯾف اﻟوﺳط اﻟﺗواﻓﻘﻲ ﻓﺈن‬

x   1 1 1 1 k 1   E( )  x e dx,  H X  (k)k 0 x x   1  x (k 1)1e  dx,  (k)k 0 1 1  (k 1)k 1 . (k 1) (k)k

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬

‫‪H  (k  1).‬‬ ‫واﻟذى ﯾﺳﺎوى اﻟﻣﻧوال اﻟذى أوﺟدﻧﺎﻩ ﻣن ﻣﺛﺎل )‪.(١١‬‬