ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ
Gamma Distribution
ﯾﻌﺗﺑر ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣـﺎ واﺣـد ﻣـن اﻟﺗوزﯾﻌـﺎت اﻟﻣﺗﺻـﻠﺔ اﻟﺷـﺎﺋﻌﺔ اﻻﺳـﺗﺧدام ﻓـﻲ اﻟﺗطﺑﯾـق ،ﻓﻛﺛﯾـر ﻣـن
اﻟﻣﺗﻐﯾ ـرات اﻟﻌﺷ ـواﺋﯾﺔ ﺗﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ ﺟﺎﻣــﺎ ﻣﺛــل زﻣــن اﻟﺧدﻣــﺔ ﻓــﻲ ﻣرﻛــز ﻟﻠﺑﯾــﻊ أو اﻟــزﻣن اﻟــﻼزم ﻹﻋــﺎدة ﺗﺟدﯾد اﻟﺳﯾﺎرة .ﻟﻘد أﺷﺗق اﺳم اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣن ﻋﻼﻗﺗﻪ ﺑداﻟﺔ ﺗﺳﻣﻰ داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ . gamma function ﺗﻌرﯾف :داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ وﯾرﻣز ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟرﻣز ) ، ( kﻷي k > 0ﺗﻌطﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
(k ) t k 1 e t dt .
ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻧدﻣﺎ k = 1ﻓﺈن e t dt 1
0 0
. (1)
ﻣﺛﺎل )(١
1 أﺛﺑت أن ٠ 2 اﻟﺣــل: ﺑوﺿﻊ
1 1 x 2 e x dx 2 0 1 x y2 dx ydy. 2 1 y2 1 1 ( ) ( y 2 ) 2 e 2 y dy 2 0 2 1 y2 1 ( ) 2 e 2 dy 2 0 1 1 2 y2 y 1 1 2 2 2e dy e dy 2 2 2 2 0 1 ( ) 2 . 2 2
وﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻫذﻩ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻓﺈن ﻷي ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب nﻓﺈن: )2n 1 1.3.5(2n 1 ( ) . n 2 2 ﻓﻣﺛﻼ :
1 n 0 ( ) 2 3 1 n 1 ( ) 2 2 5 3 r 2 ( ) . 2 4 وﻫﻛذا اﻟﺣﺎل ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻷي ﻗﯾﻣﺔ أﺧرى. ﻣﺛﺎل ) (٢
أﺛﺑت ان ! (n 1) n
٠ n 1, 2,3,...
اﻟﺣــل: ﻣن ﺗﻌرﯾف اﻟداﻟﺔ ﻧﺟد ان:
x 0. ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗﺟزيء ﻟﻠﺗﻛﺎﻣل ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ:
(n 1) x n e x dx 0
(n 1) x n e x dx 0 [ x n e x ] nx n 1e x dx 0 0 n x n 1e x dx n(n). 0 ﻛذﻟك ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد اﻟﺗﻛﺎﻣل x n 1e x dxﺑﺎﻟﺗﺟزيء ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ: 0 (n) (n 1) (n 1), وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻓﺈن ﺗﻛرار ﺗطﺑﯾق اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾؤدي إﻟﻰ :
(n) (n 1)(n 2)3 2 1,
أي أن :
!(n 1) n(n 1)(n 2) 3 2 1 n
k k 1 k 1 , k > 1 ﻧظرﯾـﺔ :ﯾﻘـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ Xأﻧــﻪ ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ﺟﺎﻣــﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗـﯾن 0 , k 0إذا ﻛﺎﻧــت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : 1 x k-1 e x/ , x 0 ) (k 0 , e.w . k
f (x; , k)
ﺗﺣﻘـ ــق اﻟداﻟ ـ ــﺔ ) f (x; , kﺷ ـ ــرطﻲ داﻟ ـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ـ ــﺎل ﺣﯾ ـ ــث f (x; , k) 0وﺑوﺿ ـ ــﻊ
t x / ﻓ ـ ــﻲ اﻟﺗﻛﺎﻣ ـ ــل f (x; , k) dxﻧﺣﺻ ـ ــل ﻋﻠ ـ ــﻰ . (k ) / ( k ) 1ﺳ ـ ــوف 0
ﻧﻛﺗــب ) X ~ GAM (, kﻟﻠدﻻﻟــﺔ ﻋﻠــﻰ أن
Xﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﻟــﻪ داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل .
)f (x; , k ﯾوﺟد ﺛﻼث أﺷﻛﺎل أﺳﺎﺳﯾﺔ ﻟﻠداﻟﺔ ) f (x; , kﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﺎ إذا k < 1أو k = 1أو k . > 1أﺷــﻛﺎل ﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ ﻟﻠداﻟــﺔ ) f (x; , kﻣوﺿــﺣﺔ ﻓــﻲ اﻟﺷــﻛل اﻟﺗــﺎﻟﯾﯾن وذﻟــك ﻟﻘــﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ ﻣــن . k,
ﻋﻨـﺪﻣﺎ k = 1ﻓـﺈن f ( 0, , 1 ) 1/وﻋﻨـﺪﻣﺎ k > 1ﻓـﺈن . f (0; , k) 0وﻋﻨـﺪﻣﺎk<1
ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺮاﺳﻲ ﻳﺤﺎذى ) (x; , k
. y= f
داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ) X ~ GAM (, kﻫﻲ : t dt.
t k -1e
x F (x; , k) 0
1 ) k ( k
ﺑوﺿﻊ u t / ﻓـﻲ اﻟﺗﻛﺎﻣـل ﻓـﺈن ) F (x; , k) F( x ; 1 , kﺣﯾـث ) F (. , kﺗﺳـﻣﻰ داﻟـﺔ
ﺟﺎﻣـﺎ اﻟﻧﺎﻗﺻـﺔ incomplete gamma functionواﻟﺗـﻰ ﺗﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻰ ﻓﻘـط ) ﻣﻌﻠﻣـﺔ اﻟﻘﯾـﺎس ( وذﻟـك ﻣـن ﺧـﻼل اﻟﻣﺗﻐﯾـر . x / ﻋـﺎدة ،ﯾﻛـون ﻣـن اﻟﺿـرورى وﺟـود ﻓـﻲ اﻟﻧﻣـوذج ﺣﺗـﻰ ﻻ ﺗﻌﺗﻣد اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻋﻠﻰ وﺣدة اﻟﻘﯾﺎس اﻟﻣﺳـﺗﺧدﻣﺔ .ﻋﻠـﻰ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل إذا ﻛـﺎن Xﯾﻣﺛـل اﻟـزﻣن ﺑﺎﻷﺷـﻬر ﺣﯾث ) X ~ GAM (, kو = 12وﻋﻠﻰ ذﻟك : F (24/12 ; 1, k) = F ( 2; 1, k ) .
= ) ﺷﻬر P (X 24
ﺑﻔ ــرض أن Yﻣﺗﻐﯾـ ـراً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﻣﻘ ــﺎس ﻗﯾﻣ ــﺔ ﺑﺎﻷﺳ ــﺑوع ﻓ ــﺈن ) Y ~ GAM (48, kﺣﯾ ــث . 4.12 48ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل :
) أﺳﺑوع ) = P(Y 96ﺷﻬر P(X 24 ) = F (96 / 48 ; 1, k ) = F ( 2; 1, k أي ﻧﻔس اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ .
ﻋﻣوﻣــﺎً داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر Xﺣﯾــث ) X ~ GAM (, kﻻ ﯾﻣﻛــن وﺿــﻌﻬﺎ ﻓــﻲ ﺷــﻛل ﺻﯾﻐﺔ وﻟﻛن إذا ﻛﺎﻧت kﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب ﻓﺈن اﻟﺗﻛﺎﻣل ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻪ ﻛﻣﺟﻣوع . ﻧظرﯾﺔ :
( x / )i x/ e . !i
k -1 F ( x; , k ) 1 - i0
ﻣﺛﺎل )(٣ إذا ﻛﺎﻧت ﻛﻣﯾﺔ اﻟﺗرﺳﯾب ﻓﻲ ﻧﻬر ) ﻣﻘﺎس ﺑﺎﻟﺑوﺻﺔ ( ﺗﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﺣﯾث ). X ~ GAM (.2, 6 اﻟﻣطﻠوب ٠P ( X > 2 ) : اﻟﺣــل:
x 6-1 e (x/.2) dx
1
6
P( X 2 )
)(.2) (6 ) 1- F ( 2; .2, 6 2
10i 10 e 0.067 . i0 !i واﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﻋﻧد . 10 5
ﻫﻧﺎك ﺟداول ﻟﺣﺳﺎب ) F (x; kﺣﯾث :
, 1,
k 1 (1) 5 , x .2(.2) 8.0 (.5) 15. k 6(1) 10, x 1(.2) 8.0 (.5) 17.
وﻓﻰ ﺑﻌض اﻻﺣﯾﺎن ﯾﻣﻛن ﺣل اﻟﺗﻛﺎﻣل ﺑدون ﺟداول. ﻣﺛﺎل ) (٤ ﺑﻔرض أن ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﺣﯾث ) X ~ GAM (0.5, 10
أوﺟد )P(X 5),P(5 X 7
٠
اﻟﺣــل: ﺑﻣﺎ أن k=10ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب ﻓﺈن ) P(X 5ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
P(X 5) F(5,0.5,10) 5 i 5 ) ( 9 9 (10)i 10 0.5 0.5 1 e 1 e 10.4580.542. !i !i i 0 i 0 9 (10)i 10 e ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﻣن ﺟداول ﺑواﺳون ﺣﯾث 10 ﺣﯾث !i i 0 P(5 X 7) F(7) F(5) 9 (14)i 14 9 (10)i 10 (1 e )(1 e )0.349. !i !i i 0 i 0 ﻣﺛﺎل ) (٥ إذا ﻛﺎن زﻣن اﻟﺗﻔﺎﻋل ﯾﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﺣﯾث ) X ~ GAM (1, 2أوﺟد : )أ(
)٠ P( 3 X 5
)ب(
) ٠P( X > 4
اﻟﺣــل: اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻓﻲ )أ( و )ب( ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎدﻫﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺟدول ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻧﺎﻗﺻﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : )أ(
) P( 3 X 5 ) F (5, 2 ) - F (3, 2 .95957 - .80085 .15872 . ) P( X 4 ) 1 - P( X 4
)ب(
= 1 – F (4; 2) = 1 - .90842 = .09158 .
ﻣﺛﺎل )(٦ إذا ﻛــﺎن زﻣــن اﻟﺑﻘــﺎء ) ﻣﻘــﺎس ﺑﺎﻷﺳــﺑوع ( ﻟــذﻛر اﻟﻔــﺄر اﻟﻣﻌــﺎﻟﺞ ﺑﺄﺷــﻌﺔ ﺟﺎﻣــﺎ ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻰ
Xﺣﯾث ) X ~ GAM (15, 8
)أ( أوﺟد اﻻﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻔﺄر ﺳوف ﯾﺑﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﻗﯾد اﻟﺣﯾﺎة ﺑﯾن 120 , 60أﺳﺑوع . )ب( ﻋﻠﻰ اﻷﻗل 30أﺳﺑوﻋﺎً . اﻟﺣــل:
اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻓﻲ )أ( و )ب( ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎدﻫﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟداول ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻧﺎﻗﺻﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : )أ(
) P(60 X 120 ) P(X 120 ) - P( X 60
) = F (120 / 15 ; 8 ) - F( 60/15 ; 8 ) = F (8; 8 ) - F (4; 8 = .54704 - .05113 = . 49591 . )ب(
) P(X 30 ) 1 - P( X 30 ) 1 - P( X 30 ) = 1 – F ( 30/15; 8 ) = 1 – F ( 2; 8 = 1 - .0011 = .9989 . ﻣﺛﺎل ) (٧ ﺑﻔــرض أن ﻋــدد اﻟﻣﻛﺎﻟﻣــﺎت اﻟﻣﺳــﺗﻘﺑﻠﺔ ﻓــﻲ ﺳــوﯾﺗش ﺗﺗﺑــﻊ ﻋﻣﻠﯾــﺔ ﺑواﺳــون ﺣﯾــث 5ﻣﻛﺎﻟﻣــﺎت ﻓــﻲ
اﻟدﻗﯾﻘــﺔ .ﻓــﺈذا ﻛــﺎن Xﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﯾﻣﺛــل اﻟــزﻣن ﺑﺎﻟــدﻗﺎﺋق ﺣﺗــﻰ اﺳــﺗﻘﺑﺎل ﻣﻛــﺎﻟﻣﺗﯾن ﺣﯾــث X 1 ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن , k 2أوﺟد )٠ P(X 1 5 اﻟﺣــل:
x 1 1 P(X 1) xe dx. 2 0 1 P(X 1) 25 xe5x dx 0
ﻣﺛﺎل ) (٨ ﻓــﻲ د ارﺳــﺔ طﺑﯾــﺔ ﻋــن ﺗــﺄﺛﯾر دواء ﻣﻌــﯾن ﻋﻠ ــﻰ زﻣــن اﻟﺣﯾــﺎة واﻟــذي ﯾﻘــﺎس ﺑﺎﻷﺳــﺎﺑﯾﻊ وﯾﺗﻌﺑــر ﻣﺗﻐﯾ ــر
ﻋﺷـواﺋﻲ ﯾﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ ﺟﺎﻣــﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗــﯾن 10,k 5ﻣــﺎ ﻫــو اﺣﺗﻣــﺎل أن ﻣﻌــدل اﻟﺣﯾــﺎة ﻻﯾزﯾــد ﻋــن 60أﺳﺑوع؟ اﻟﺣــل: إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﻣﺛل زﻣن اﻟﺣﯾﺎة )اﻟزﻣن ﺣﺗﻰ اﻟوﻓﺎة ( ﻓﺈن اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﻫو:
x x 1 P(X x) x k 1e dx, k )0 (k x 1 60 1 51 10 P(X 60) x e dx. 5 )(5 10 0 ﻫذا اﻟﺗﻛﺎﻣل ﯾﻣﻛن ﺣﻠﻪ ﺑﺈﺳﺗﺧدام داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻧﺎﻗﺻﺔ واﻟﺗﻲ ﺗﻛﺗب ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة x y51 y x F( ;5) e dy, )(5 0 وﻋﻠﻰ ذﻟك : 6 y4 y P(X 60) e dy. )(5 0 وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻫذا اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻣن ﺟداول ﺟﺎﻣﺎ اﻟﻧﺎﻗﺻﺔ ﻋﻧد ) F(6 ; 5وﻋﻠﻰ ذﻟك :
P(X 60) F(6 ; 5) 0.71494. ﻣﺛﺎل ) (٩ ﺑﻔ ــرض أﻧ ــﻪ ﻓ ــﻲ اﻟﻣﺗوﺳ ــط 30ﯾﺻ ــل ﻋﻣﯾ ــل ﻟﻛ ــل ﺳ ــﺎﻋﺔ ﯾﺻ ــﻠون إﻟ ــﻰ ﺳ ــوﺑر ﻣﺎرﻛ ــت ﻓ ــﻲ ﻋﻣﻠﯾ ــﺔ 1 ﺑواﺳــون.إذا ﻛﺎﻧــت اﻟوﺣــدة ﻫــﻲ اﻟدﻗﯾﻘــﺔ ﻓــﺈن ﻣــﺎ ﻫــو اﺣﺗﻣــﺎل أن اﻟﺑــﺎﺋﻊ ﺳــوف ﯾﻧﺗظــر ﻻﻛﺛــر 2 ﻣـن 5دﻗـﺎﺋق ﻗﺑـل وﺻــول اﻟﻌﻣﯾﻠـﯾن اﻷوﻟﯾـﯾن ؟ إذا ﻛــﺎن Xﯾﻣﺛـل زﻣـن وﺻــول اﻟﻌﻣﯾـل اﻟﺛـﺎﻧﻲ ﻓــﺈن 1 Xﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن k 2 ٠ 2 اﻟﺣــل:
x x 21e 2 P(X 5) dx, 2 2 2 5 x x x xe 2 1 2xe 2 4e 2 , 4 5 4 5
5 7 2 e 0.287. 2 ﺑﻣﺎ أن 2ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب ﻓﺈن ) P(X 5ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻪ ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
x x i k 1 ( ) e P(X x) , !i i 0
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻋﻧدﻣﺎ 2 , k 2 x 5ﻓﺈن : 5 5 i 5 5 21 ( ) e 2 5 7 P(X 5) 2 e 2 (1 ) e 2 . !i 2 2 i 0 ﻣﺛﺎل ) (١٠ إذا ﻛـﺎن وﺻـول اﻟﻣﻛﺎﻟﻣــﺎت اﻟﺗﻠﯾﻔوﻧﯾـﺔ إﻟــﻰ ﺳـوﯾﺗش ﯾﺗﺑـﻊ ﻋﻣﻠﯾــﺔ ﺑواﺳـون ﺑﻣﺗوﺳــط 3ﻓـﻲ اﻟدﻗﯾﻘــﺔ ﻣﺎ ﻫو اﺣﺗﻣﺎل ﻣرور ﻋﻠﻰ اﻷﻗل دﻗﯾﻘﺗﯾن ﻗﺑل وﺻول اﻟﻣﻛﺎﻟﻣﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ إذا ﻛﺎن . k=2 اﻟﺣــل: Xﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﯾﻣﺛــل زﻣــن اﻹﻧﺗظــﺎر ﺣﺗــﻰ وﺻــول اﻟﻣﻛﺎﻟﻣــﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾــﺔ ،وﻋﻠــﻰ ذﻟــك Xﯾﺗﺑــﻊ 1 ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن k 2 , 3 )1 (23)i e(23 P(X 2) 1 F(2) , !i i 0
وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟداول ﺑواﺳون ﻓﻰ ﻣﻠﺣق ) (١ﺣﯾث 6ﻓﺈن
P(X 2) 0.017. اﻟﻣﺗوﺳـط واﻟﺗﺑﺎﯾــن : ﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺗﻐﯾر Xﺣﯾث ) X ~ GAM ( , kﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎدﻩ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
x k -1 e x/ dx
1
x
) k ( k
0
E (X)
1 (1 k ) 1 x/ k e dx x (k ) 0 x (1 k ) 1 e x/ dx
1 k (1 k )
1 ) (1 k
k k / k k.
1 k
0
k
) (k
) 1 k (1 k k
) (k ﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ) E (X 2 ) 2 k ( 1 kوﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻫو:
Var (X) 2 k ( 1 k ) - ( k) 2 k 2 ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل )، (٣ﻓﺈن ﻛﻣﯾﺔ اﻟﺗرﺳﯾب اﻟﯾوﻣﯾﺔ ﺗﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ﺟﺎﻣـﺎ ﺑﻣﺗوﺳـط 1. 2ﺑوﺻـﺔ وﺗﺑـﺎﯾن 0.24 . ﻣﺛﺎل ) (١١ إذا ﻛ ــﺎن ) X ~ GAM (, kأﺛﺑ ــت أن اﻟﻣﻧـ ـوال ﻟﻬ ــذا اﻟﺗوزﯾ ــﻊ ﻫ ــو ) m (k 1وأن ﻫﻧﺎﻟ ــك o ﻧﻘطﺗﺎ إﻧﻘﻼب ﻓﻲ ﻣﻧﺣﻧﻰ داﻟﻪ ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ وﻫﻣﺎ ٠ x (k 1) k 1 اﻟﺣــل:
x 1 x k 1e , x 0 f (x) k ) (k , e.w. 0 1 x (ln f (x) ln ) (k 1)ln x , )k (k وﺑﺈﯾﺟﺎد اﻟﻣﺷﺗﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﻪ اﻟﻰ xﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ :
f (x) k 1 1 , )f (x x k 1 1 ()f (x)f (x ). x
وﺑوﺿﻊ f (x) 0ﻓﺈن :
k 1 1 ) 0, x k 1 1 0 ,f(x)>0 x
()f (x
وﻫذا ﯾﻌﻧﻲ أن:
x (k 1). أﯾﺿﺎ:
k 1 k 1 1 2 ( ) ], 2 x x
وأن :
f (x (k 1)) 0.
f (x) f (x)[
1 )2 (k 1
f (x) x (k 1)
وﻣن ذﻟك ﻧﺳﺗﻧﺗﺞ أن اﻟﻣﻧوال ﻟﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﻫو )٠ x (k 1
ﺑوﺿﻊ f (x) 0وذﻟك ﻹﯾﺟﺎد ﻧﻘطﺗﻲ اﻻﻧﻘﻼب ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ : k 1 k 1 1 2 f (x)[ ( ) ] 0, 2 x x وﻟﻛن f (x) 0وﻋﻠﻰ ذﻟك:
k 1 k 1 1 2 ( ) ] 0. 2 x x
[
وﺑﺣل اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟـ xﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ: ,k 1.
x (k 1) k 1
وﻧﺗـ ــرك ﻟﻠﻘـ ــﺎرئ أﺛﺑـ ــﺎت اﻧـ ــﻪ ﻋﻧـ ــدﻣﺎ x (k 1) k 1ﻓـ ــﺈن f (x) 0وﻫـ ــذا ﯾﻌﻧـ ــﻲ ان ﻟﻣﻧﺣﺗـ ـ ــﻰ اﻟداﻟـ ـ ــﺔ ﺟﺎﻣـ ـ ــﺎ ﻧﻘطﺗـ ـ ــﺎ إﻧﻘـ ـ ــﻼب ﻋﻠـ ـ ــﻰ ﺑﻌـ ـ ــد ﻣﺗﺳـ ـ ــﺎوي إﻟـ ـ ــﻰ ﯾﻣـ ـ ــﯾن وﯾﺳـ ـ ــﺎر اﻟﻣﻧ ـ ـ ـوال ﻫﻣـ ـ ــﺎ . x (k 1) k 1 ﻣﺛﺎل ) (١٢
1 إذا ﻛﺎن اﻟدﺧل ﻟﻸﺳرة اﻟواﺣدة ﻓﻲ ﺑﻠد ﻣﺎ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺣﯾث ) , 2 2 ) ﻣﻘﺎس .( $ 10000أوﺟد اﻟﻣﺗوﺳط و ) . P ( X >2
( X ~ GAM
اﻟﺣــل:
1 ﻣﺗوﺳط اﻟدﺧل ﻟﻸﺳرة اﻟواﺣدة ﻓﻲ اﻟﺑﻠد اﻟﻣﻌﻧﻰ ﻫو 1 2
) ( k ) 2.ﻣﻘﺎس $
.( 10000وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛـل اﻟـدﺧل ،ﺑوﺣـدات ، $ 1000ﻷﺳـرة ﻣﺧﺗـﺎرة ﯾﺗم ﺣﺳﺎب ) P( X > 2ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ:
1 P (X 2) x 2 1 e 2x dx, 1 ( )2 (2) 2 2 4 x e 2x dx, 2 x 2x ( 4) e 2 e 2x dx, 2 2 2 (-2 . e 2x - e 2x ) , 2 ,
2
- ( 2x 1 ) e 2x
.0916 .
5 e4
اﻟﻌزوم ﺣـول اﻟﺻﻔـر : ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﺣول اﻟﺻﻔر ﻣن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﺣﯾث :
x k 1 e x/ M X (t) e k dx ) (k 0 1 k 1 k e(t-1/)x dx x (k) 0 tx
ﺑوﺿﻊ u - (t - 1/) xﻓﺈن : -k
1 1 k 1 u M X (t) t k u e du. (k) 0
أي أن :
-k
t 1/.
M X (t) 1 t
اﻟﻣﺷﺗﻘﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ ، rﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ،ﻫﻲ :
M (Xr ) ( t ) ( k r - 1 )... (k 1 ) k r (1 - t)- k - r (k r) r ( 1- t)-k-r . )(k
وﻋﻠﻰ ذﻟك M X (0) :ﺗﻌطﻰ اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﺣول اﻟﺻﻔر ﺣﯾث : ) (r
(k r ) r . ) ( k
E(X r )
ﯾﻣﻛن وﺿﻊ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزم ﻋﻠﻰ ﺻورة ﻣﺳﻠﺳﻠﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
(k r) r r t !(k) r
1 r 1
)M X (t
ﻋﻧــدﻣﺎ k / 2 , 2ﻧﺣﺻــل ﻋﻠــﻰ ﺻــورة ﺧﺎﺻــﺔ ﻟﺗوزﯾــﻊ ﺟﺎﻣــﺎ ﺗﺳــﻣﻰ ﺗوزﯾــﻊ ﻣرﺑــﻊ ﻛــﺎي chi – square distributionﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ﺗﺳـﻣﻰ درﺟـﺎت اﻟﺣرﯾـﺔ .ﻋﻧـدﻣﺎ k = 1ﻧﺣﺻـل ﻋﻠـﻰ
ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﺗﺳﻣﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻰ . exponential distribution اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة : اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﻫﻰ : وﻣﻧﻬﺎ ﯾﻣﻛن اﺛﺑﺎت أن :
X (t ) ( 1 - it ) - k
)r (k r r 1, 2,... ) (k
r
ﺣﯾث :
1 k )2 2 k ( k 1 )3 3 k ( k 1) (k 2 4 4 k ( k 1) (k 2) (k 3) . ﻣﺛﺎل ) (١٣
٠ f (x) , M (t) , E(X r ) , F(x) أوﺟدX ~ GAM (3, 2) إذا ﻛﺎن X :اﻟﺣــل
x 1 f (x) xe 3 9
M x (t)(13t)2
,
x0 , t
1 3
x k 6. 2 2k 18. E(X r )3r (r 2)
,r 1,2,3...
x u 1 x 3 x F(x) ue du 1 ( 1)e 3 . 90 3
F(0) 0. F(10) 0.8454132. F(1) 0.04462. (١٤ ) ﻣﺛﺎل [ ﻣﺳـﺎو
1 1 E( )] ﺣﯾـثH ﺑـرﻫن ﻋﻠـﻰ أن اﻟوﺳـط اﻟﺗـواﻓﻘﻲX ~ GAM (, k) إذا ﻛـﺎن H X ٠ ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟبr وE(X r ) ﻟﻠﻣﻧوال ﺛم اﺷﺗق ﺻﯾﻐﺔ :اﻟﺣــل :ﺣﺳب ﺗﻌرﯾف اﻟوﺳط اﻟﺗواﻓﻘﻲ ﻓﺈن
x 1 1 1 1 k 1 E( ) x e dx, H X (k)k 0 x x 1 x (k 1)1e dx, (k)k 0 1 1 (k 1)k 1 . (k 1) (k)k
وﻋﻠﻰ ذﻟك:
H (k 1). واﻟذى ﯾﺳﺎوى اﻟﻣﻧوال اﻟذى أوﺟدﻧﺎﻩ ﻣن ﻣﺛﺎل ).(١١