اختبار مان وتنى واختبار كلوموجروف لعينتين

‫)‪(١‬اﺧﺗﺑﺎر ‪Mann – Whitney – Wilcoxon‬‬ ‫ﯾﺷ ﺗرط ﻓ ﻲ اﺧﺗﺑ ﺎر ‪ t‬اﻟ ذي ﯾﺧ ص اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن ﻣﺗوﺳ طﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ‪ ،‬اﻟ ذي ﺗﻧﺎوﻟﻧ ﺎه ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﻔﺻل اﻟﺳﺎدس‪ ،‬أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن اﻟﻠذﯾن اﺧﺗرﻧﺎ ﻣﻧﮭﻣﺎ اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﯾﺗﺑﻌ ﺎن ﺗوزﯾﻌ ﺎ ً طﺑﯾﻌﯾ ﺎ ً ‪ .‬ﻋﻧ دﻣﺎ ﻻ‬ ‫ﯾﺗوﻓر ھذا اﻟﺷرط ﻓﺈن اﺧﺗﺑﺎر ‪ Mann-Whitney‬ﯾﻛون اﻟﺑدﯾل ‪.‬‬ ‫ﺗﺗﻛون اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﻠﺗﺣﻠﯾل ﻣ ن ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ n1‬ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات‬ ‫‪ x1, x 2 ,..., x n‬ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻷول اﻟﻣﺗﺻ ل ‪ .‬أﯾﺿ ﺎ ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ أﺧ رى ﻣ ن اﻟﺣﺟ م‬ ‫‪ n 2‬ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ y1, y 2 ,..., y n 2‬ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ اﻟﻣﺗﺻ ل وﯾﺷ ﺗرط أن ﺗﻛ ون اﻟﻌﯾﻧﺗ ﯾن‬ ‫ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن‪ .‬ﻓرض اﻟﻌدم واﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﺳوف ﯾﻛوﻧﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪ : H 0‬اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﻟﮭﻣﺎ ﻧﻔس اﻟﺗوزﯾﻊ ‪.‬‬ ‫‪ : H1‬ﻗﯾم ‪ xs‬ﺗﺗﺟﮫ ﻷن ﺗﻛون أﺻﻐر ﻣن ﻗﯾم ‪. ys‬‬ ‫ﻹﺟ راء اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﻧﻘ وم ﺑ دﻣﺞ ﻣﺷ ﺎھدات اﻟﻌﯾﻧﺗ ﯾن ﻣﻌ ﺎ ﻓ ﻲ ﻋﯾﻧ ﺔ واﺣ دة ﺛ م ﻧﻘ وم ﺑﺗرﺗﯾ ب‬ ‫اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ ً ﻓﻧﻌط ﻲ اﻟرﺗﺑ ﺔ ‪ 1‬ﻷﺻ ﻐر ﻣﺷ ﺎھدة واﻟرﺗﺑ ﺔ ‪ 2‬ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدة اﻟﺗ ﻲ ﺗﻠﯾﮭ ﺎ ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ وھﻛذا ﺣﺗﻰ اﻟﻣﺷ ﺎھدة اﻷﺧﯾ رة واﻟﺗ ﻲ ﺗﻣﺛ ل أﻛﺑ ر ﻗﯾﻣ ﺔ ﺣﯾ ث ﺗﻌط ﻰ اﻟرﺗﺑ ﺔ ‪ . n1  n 2‬إذا‬ ‫ظﮭرت ﻣﺷﺎھدات ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ) ﺗ داﺧﻼت ( ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧرﺗ ب اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻛﻣ ﺎ ﻟ و أﻧﮭ ﺎ ﻟﯾﺳ ت‬ ‫ﻓﯾﮭ ﺎ ﻣﺷ ﺎھدات ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﺛ م ﻧﺣﺳ ب اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ ﻟرﺗ ب اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ ﻓﺋ ﺔ‬ ‫اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻘﯾﻣﺔ وﻧﻌﺗﺑر اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ رﺗﺑ ﺔ ﻟﻛ ل ﻣﺷ ﺎھدة ﻓ ﻲ اﻟﻔﺋ ﺔ ‪ .‬ﻧﺣﺳ ب‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪:‬‬ ‫)‪n (n  1‬‬ ‫‪w s 1 1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺣﯾ ث ‪ s‬ﺗﻣﺛ ل ﻣﺟﻣ وع اﻟرﺗ ب ﻟﻠﻌﯾﻧ ﺔ اﻟﻣﺧﺗ ﺎرة ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻷول و ‪ w‬ﻗﯾﻣ ﺔ ﻟﻺﺣﺻ ﺎء ‪W‬‬ ‫وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن ‪ H 0‬ﺻﺣﯾﺢ ‪ .‬ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ‬ﻓﺈن ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ‪ W  w ‬ﺣﯾ ث‬ ‫‪ w ‬ھﻲ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣرﺟﺔ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ W‬وﺗﺳﺗﺧرج ﻣن اﻟﺟدول ﻓﻲ اﻟﻣﻠﺣق اﻟﺧ ﺎص ﻋﻧ د ‪n1 ,‬‬ ‫‪ n 2‬وﻣﺳ ﺗوﯾﺎت ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ‪ .‬ﻟﻠﻔ رض اﻟﺑ دﯾل ‪ : H 0‬ﻗ ﯾم ‪ xs‬ﺗﺗﺟ ﮫ ﻷن ﺗﻛ ون أﻛﺑ ر ﻣ ن ﻗ ﯾم‬ ‫‪ ys‬ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ W  w1‬ﺣﯾث ‪ w1‬ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪w1  n1n 2  w  ,‬‬ ‫ﻟﻠﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ : H1‬اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﺎن ﯾﺧﺗﻠﻔ ﺎن ﺑﺎﻟﻧﺳ ﺑﺔ ﻟﻠﻣوﻗ ﻊ ‪ ،‬ﻓ ﺈن ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ‪W  w ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫أو ‪ W  w ‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ n1n 2  w  .‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪w‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﻌط ﻰ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ أزﻣﻧ ﺔ اﻟﻔﺷ ل ﻟﻧ وﻋﯾن ﻣ ن اﻷﺟﮭ زة اﻹﻟﻛﺗروﻧﯾ ﺔ واﻟﻣطﻠ وب اﺧﺗﺑ ﺎر‬ ‫ﻓ رض اﻟﻌ دم ‪ : H 0‬اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ﻟﮭﻣ ﺎ ﻧﻔ س اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﺿ د اﻟﻔ رض اﻟﺑ دﯾل ‪ : H1‬اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن‬ ‫ﻟﯾس ﻟﮭﻣﺎ ﻧﻔس اﻟﺗوزﯾﻊ ) ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.(   0.05‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪120 14‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪47 225 71 246 21‬‬ ‫‪x 23 261 87‬‬ ‫‪y 55 320 56 104 220 239 47 246 176 182 33‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﺗم ﺣﺳﺎب ﻣﺟﻣوع اﻟرﺗب ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ اﻷوﻟﻲ وھﻲ ‪. s  124‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪87‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪320‬‬ ‫‪23‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪261‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪246 246‬‬ ‫‪20.5 20.5‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪6.5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪239‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪6.5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪182‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪17‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪176‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪13‬‬

‫اﻟرﺗب‬ ‫اﻟرﺗب‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬

‫)‪n1 (n1  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪12(12  1‬‬ ‫‪ 124 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 124  78  46.‬‬ ‫‪w s‬‬

‫ﻣن اﻟﺟدول ﻓﻲ اﻟﺧﺎص ﺑﮭذا اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓﺈن ‪ w 0.025  34‬ﻋﻧد ‪ n 2  11, n1  12‬وﺑﻣﺎ أن ‪:‬‬ ‫‪w   n1n 2  w  ,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪w 0.975  (12)(11)  34  98 .‬‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ W  98‬أو ‪ W  34‬وﺑﻣ ﺎ أن ‪ w  46‬ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟﻘﺑ ول ﻧﻘﺑ ل ‪. H 0‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ n 2 ,n1‬أﻛﺑ ر ﻣ ن ‪ 20‬ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻻ ﻧﺳ ﺗطﯾﻊ اﺳ ﺗﺧدام اﻟﺟ دول ﻓ ﻲ اﻟﻣﻠﺣ ق وﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪nn‬‬ ‫‪w 1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(n1n 2 )(n1  n 2  1) /12‬‬

‫واﻟﺗ ﻲ ﺗﻣﺛ ل ﻗﯾﻣ ﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ‪Z‬وھ و ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ً ﯾﺗﺑ ﻊ اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳ ﻲ وذﻟ ك ﺗﺣ ت‬ ‫ﻓرض أن ‪ H 0‬ﺻﺣﯾﺢ ‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻣﺷﻛﻠﺔ اﻟﺗداﺧﻼت واﻟﺗﻲ ﻗد ﺗﺣدث داﺧل ﻛل ﻣﺟﻣوﻋ ﺔ أو ﺑ ﯾن ﻗ ﯾم اﻟﻣﺟﻣ وﻋﺗﯾن ﻓﻘ د‬ ‫ﺗ م إﺛﺑ ﺎت أن اﻟﺗ داﺧﻼت داﺧ ل اﻟﻣﺟﻣوﻋ ﺔ ﻟ ﯾس ﻟﮭ ﺎ ﺗ ﺄﺛﯾر ﻋﻠ ﻰ ﻗﯾﻣ ﺔ اﻹﺣﺻ ﺎء وﻟﻛ ن وﺟ ود‬ ‫ﺗداﺧﻼت ﺑﯾن اﻟﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن ﯾؤﺛر ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ‪ .‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﻻ ﺑ د ﻣ ن ﻋﻣ ل ﺗﺻ ﺣﯾﺢ ﻟﻘﯾﻣ ﺔ ‪z‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ u‬ﺗرﻣز ﻟﻌدد اﻟﺗداﺧﻼت ﻟرﺗب ﻣﻌط ﺎة ﻓ ﺈن ﻣﻌﺎﻣ ل اﻟﺗﺻ ﺣﯾﺢ ﻟﻠﺗ داﺧﻼت ﯾﺣﺳ ب ﻣ ن‬ ‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫)‪n1n 2 (u 3  u‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪12(n1  n 2 )(n1  n 2  1‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗطرح ﻣن اﻟﻣﻘﺎم ﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ ‪ z‬ﺗﺣت اﻟﺟذر ‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﻣﻘﺎم ﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ ‪ z‬ﯾﺻﺑﺢ ‪:‬‬

‫)‪(n1n 2 )(n1  n 2  1‬‬ ‫)‪n1n 2 (u 3  u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫)‪12(n1  n 2 )(n1  n 2  1‬‬

‫)‪ (٢‬اﺧﺗﺑﺎر ﻛوﻟوﻣﺟروف ﺳﻣﯾر ﻧوف ﻟﻌﯾﻧﺗﯾن‬ ‫‪The Kolmogorov-Smirnov Two-sample Test‬‬ ‫ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻛوﻟوﻣﺟروف ﺳﻣﯾر ﻧوف ﺣﺳﺎﺳﯾﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻷي اﺧﺗﻼف ﺑﯾن اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن ‪،‬‬ ‫ﻓﮭو ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﻣن ان ﻧﻌرف أن ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻌﯾﻧﺗﯾن ﻣﺧﺗﻠﻔﺎ أم ﻻ‪ ،‬وﯾرﻣز ﻟﮭذا اﻻﺧﺗﺑﺎر‬ ‫ﺑﺎﻟرﻣز ‪ K  S‬وذﻟك ﻟﻼﺧﺗﺻﺎر ‪ .‬ﻻﺟراء ذﻟك ﯾﺷﺗرط اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫ﻋﯾﻧﺗﯾن ﻗﯾﻣﮭﺎ ‪ x1 ,..., x n‬و ‪ y1 ,..., y m‬ﺣﺟﻣﮭﻣﺎ ‪ n‬و ‪ m‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ‪..‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن‪..‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﺧﺎﺻﺗﯾن ﺑﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﻘﺎﺳﯾن ﺑوﺣدة ﺗرﺗﯾﺑﯾﮫ ﻋﻠﻰ اﻷﻗل‪..‬‬ ‫)‪(٣‬‬ ‫ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ﻧﻔرض أن )‪ F(x )1, F2 ( x‬ھﻣﺎ دوال اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻌﺎت‬ ‫اﻟﻣﺳﺣوﺑﺔ ﻣﻧﮭﺎ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻷوﻟﻰ واﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ‪ .‬ﯾﻣﻛن اﺧﺗﺑﺎر ﻓروض ﻣن طرﻓﯾن وﻣن‬ ‫طرف واﺣد ﻛﺎﻷﺗﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﻔرض )‪ :(A‬اﻟﻌدﻣﻲ ‪، F(x )1  F2 (x ) : H 0‬واﻟﺑدﯾل ‪F(x )1  F2 (x ) : H1‬‬ ‫اﻟﻔرض )‪:(B‬اﻟﻌدﻣﻲ ‪، F( x )2  F1 ( x ) : H 0‬واﻟﺑدﯾل ‪F( x )2  F1 ( x ) : H1‬‬ ‫اﻟﻔرض )‪:(C‬اﻟﻌدﻣﻲ ‪، F( x )2  F1 ( x ) : H 0‬واﻟﺑدﯾل ) ‪H1 : F( x )2  F1 ( x‬‬ ‫اﻟﻔرض اﻟﻌدﻣﻲ ﻓﻲ اﻟﻔروض اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻛون ﺻﺣﯾﺣﺎ ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪ x‬واﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﯾﻛون‬ ‫ﺻﺣﯾﺣﺎ ﻟﻘﯾﻣﺔ واﺣدة ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ x‬ﻋﻠﻰ اﻷﻗل‪.‬‬ ‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻲ ﻟﻛل ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ y , x‬وﺳﻧرﻣز ﻟﮭﻣﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ﺑﺎﻟرﻣز ‪ S2  x  ,S1  x ‬وﯾﻛون إﺣﺻﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻟﻠﻔروض اﻟﻣذﻛورة‬ ‫ﻛﺎﻷﺗﻲ‪:‬‬ ‫) ‪. D  max imum S1 ( x )  S2 ( x‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﻔرض ‪ A‬ﯾﻛون‬ ‫‪‬‬ ‫‪. D  max imum S1 (x )  S2 ( x )‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﻔرض ‪ B‬ﯾﻛون‬ ‫‪‬‬ ‫‪. D  max imum S2 ( x )  S1 (x )‬‬ ‫وﻛذﻟك ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﻔرض ‪ C‬ﻛﺎﻷﺗﻲ‬ ‫وأﺧﯾرا ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟدول اﻟﺧﺎص ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ ﺟدوﻟﯾﮫ ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ‬وﻗﯾم‬ ‫ﻛل ﻣن ‪. m , n‬‬ ‫وﯾﺳﺗﺧدم اﻟﺟدول اﻟﺧﺎص ﻋﻧد ﺗﺳﺎوي ‪ m , n‬وﻋﻧد ﻋدم ﺗﺳﺎوﯾﮭﻣﺎ وﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻻﺧﺗﺑﺎر‬ ‫ﻣن طرف وﻣن طرﻓﯾن‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻧﻔرض أن ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﻌﯾﯾﻧﺗﯾن اﻵﺗﯾﯾن‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪236‬‬ ‫‪209‬‬ ‫‪278‬‬ ‫‪276‬‬ ‫‪252‬‬ ‫‪251‬‬ ‫‪206‬‬ ‫‪238‬‬ ‫‪224‬‬ ‫‪257‬‬ ‫‪230‬‬ ‫‪x‬‬ ‫اﻟﻣطــﻠوب ‪:‬ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪   0.05‬ﻧرﯾد اﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔرض اﻟﻌدﻣﻲ واﻟﺑدﯾل اﻻﺗﯾﯾن‪:‬‬ ‫‪H 0 : F1 (x)  F2 (x) ، H1 : F1 (x)  F2 (x).‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻻﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔروض اﻟﻣذﻛورة ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ )‪ S1(x),S2 (x‬واﻟﻔرق اﻟﻣطﻠق ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ )وﺳﻧرﻣز‬ ‫ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز‪ D‬ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫)‪S1 (x)  S2 (x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪S1 (x‬‬ ‫)‪S2 (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6/30‬‬ ‫‪1/30‬‬ ‫‪7/30‬‬ ‫‪13/30‬‬ ‫‪8/30‬‬ ‫‪14/30‬‬ ‫‪9/30‬‬ ‫‪4/30‬‬ ‫‪10/30‬‬ ‫‪5/30‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1/6‬‬ ‫‪1/6‬‬ ‫‪1/6‬‬ ‫‪2/6‬‬ ‫‪2/6‬‬ ‫‪3/6‬‬ ‫‪4/6‬‬ ‫‪4/6‬‬ ‫‪5/6‬‬ ‫‪6/6‬‬

‫‪1/5‬‬ ‫‪1/5‬‬ ‫‪2/5‬‬ ‫‪3/5‬‬ ‫‪3/5‬‬ ‫‪4/5‬‬ ‫‪4/5‬‬ ‫‪4/5‬‬ ‫‪5/5‬‬ ‫‪5/5‬‬ ‫‪5/5‬‬

‫‪206‬‬ ‫‪209‬‬ ‫‪224‬‬ ‫‪230‬‬ ‫‪236‬‬ ‫‪238‬‬ ‫‪251‬‬ ‫‪252‬‬ ‫‪257‬‬ ‫‪276‬‬ ‫‪278‬‬

‫ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻧﺟد أن ﻗﯾﻣﺔ إﺣﺻﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر واﻟذى ﯾﺄﺧذ أﻗﺻﻰ ﻓرق ﻣﻣﻛن وھو‪:‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 0.47‬‬ ‫‪30‬‬ ‫ﻧدﺧل اﻟﺟدول اﻟﺧﺎص ﺑﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﻋﻧد ‪   0.05‬ﻣن طرﻓﯾن ﻧﺟد‬ ‫‪ m  5 , n = 8‬وﺑﻣﺎ أن ‪ 0.47‬أﺻﻐر ﻣن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺟدوﻟﯾﺔ ‪ 2 / 3  0.66‬ﻧﻘﺑل ﻓرض‬ ‫اﻟﻌدم ‪.‬‬