تحليل التباين

‫ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن‬ ‫ﺗﻌرﯾﻔﺎت‬ ‫ﺗﻌرﯾف‬ ‫اﻷﺷﯾﺎء اﻟﺗﻲ ﺗؤﺧذ ﻋﻠﯾﮭﺎ اﻟﻘﯾﺎﺳﺎت ﺗﺳﻣﻰ وﺣدات اﻟﺗﺟرﺑﺔ ‪.experimental units‬‬ ‫ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل إذا ﻛﺎﻧ ت وﺣ دات اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ﺗﻣﺛ ل ﻓﺋ ﺔ ﻣ ن ﻋﺷ رة ﻓﺋ ران وﺗ م ﻗﯾ ﺎس اﻟزﯾ ﺎدة ﻓ ﻲ‬ ‫وزن ﻛل ﻓﺄر ﺑﻌد ﻓﺗرة ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻣن ﺗﻧﺎوﻟﮫ ﺧﻠطﺔ ﻏذاﺋﯾﺔ ﻓ ﺈن اﻟﻔ ﺄر ھﻧ ﺎ ﯾﻣﺛ ل وﺣ دة اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ‪ .‬اﻟﺗﺟﻣ ﻊ‬ ‫ﻣ ن ‪ n=10‬ﻗﯾﺎﺳ ﺎت )ﻣﺷ ﺎھدات( ﯾﻣﺛ ل ﻋﯾﻧ ﺔ‪ .‬وﺗﻌﺗﺑ ر اﻟوﺣ دة اﻟﺗﺟرﯾﺑﯾ ﺔ أﺻ ﻐر ﺟ زء ﻟﻣ ﺎدة‬ ‫اﻟﺗﺟرﺑﺔ وﺗﺧﺗﻠف ﺑﺎﺧﺗﻼف اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻓﻘد ﺗﻛون إﻧﺳ ﺎن أو ﺣﯾ وان أو ﻗطﻌ ﺔ أرض ‪.‬ﻣ ﺎ ﯾﻘ وم اﻟﺑﺎﺣ ث‬ ‫ﺑﻌﻣﻠ ﮫ ﻋﻠ ﻰ وﺣ دات اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ﺑﺣﯾ ث ﯾﺟﻌﻠﮭ ﺎ ﺗﺧﺗﻠ ف ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣ ﻊ إﻟ ﻰ آﺧ ر ﯾﺳ ﻣﻰ ﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ ‪ .‬ﻓﻌﻠ ﻰ‬ ‫ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻗ د ﯾرﻏ ب ﺑﺎﺣ ث ﻓ ﻲ دراﺳ ﺔ ﻛﺛﺎﻓ ﺔ ﻧ وع ﻣﻌ ﯾن ﻣ ن اﻟﻛﯾ ك ‪ ،‬واﻟﻣﺧﺑ وز ﻋﻧ د درﺟ ﺎت‬ ‫ﺣ رارة ‪ ، x  350 o F ، x  400 o F ، x  450 o F‬وذﻟ ك ﻓ ﻲ ﻓ رن ﻣﻌط ﻰ ‪ .‬وﺣ دة‬ ‫اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ھﻧ ﺎ ھ ﻲ اﻟﻛﯾﻛ ﺔ ﻗﺑ ل اﻟﺧﺑ ز ﻋﻧ د اﻟﻧﻘط ﺔ اﻟﻣﻌط ﺎة ﻣ ن درﺟ ﺔ اﻟﺣ رارة واﻟ زﻣن اﻟﻣﺣ دد ‪.‬‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت اﻟﺛﻼث ھن درﺟ ﺎت اﻟﺣ رارة اﻟﺛﻼﺛ ﺔ ‪x  350 o F ، x  400 o F ، x  450 o F‬‬ ‫‪ .‬اﻟﻣﻼﯾﯾن واﻟﻣﻼﯾﯾن ﻣن اﻟﻛﯾﻛ ﺎت واﻟﺗ ﻲ ﺗ م ﺧﺑزھ ﺎ ﻋﻧ د ‪ x  350 o F‬ﺳ وف ﺗﻘ وم ﺑﺗوﻟﯾ د ﻣﺟﺗﻣ ﻊ‬ ‫ﻣ ن اﻟﻛﺛﺎﻓ ﺎت ‪ ،‬وﺑ ﻧﻔس اﻟﺷ ﻛل ﯾﻣﻛ ن ﺗﻛ وﯾن ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣ ن اﻟﻛﺛﺎﻓ ﺎت اﻟﻣﻘﺎﺑﻠ ﺔ ﻟدرﺟ ﺔ اﻟﺣ رارة‬ ‫‪ x  450 o F ، x  400 o F‬وﯾﻛ ون اﻟﮭ دف ﻣ ن اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ﻛﺛﺎﻓ ﺔ اﻟﻛﯾ ك ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻌ ﺎت‬ ‫اﻟﺛﻼﺛﺔ‪.‬‬ ‫ﻓ ﻲ ﺗﺟرﺑ ﺔ أﺧ رى ﻗ د ﯾرﻏ ب ﺑﺎﺣ ث ﻓ ﻲ ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ﻧ وﻋﯾن ﻣ ن إط ﺎرات اﻟﺳ ﯾﺎرات ‪ A , B‬وﻛ ل‬ ‫إطﺎر ﯾﺧﺗﺑر ﻋﻧد زﻣن ﻣﺣدد ﺳوف ﯾﻣﺛل وﺣدة ﺗﺟرﺑﺔ ‪ ،‬وﻛل واﺣ د ﻣ ن اﻟﻣﺻ ﻧﻌﯾن ﯾﻣﺛ ل ﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ‪.‬‬ ‫وﯾﺟب أن ﻧوﺿﺢ ھﻧﺎ أن اﻟﺑﺎﺣث ﻻ ﯾﻘ وم ﺑ ﺄي ﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ ﻟﻺط ﺎرات ﻟﺟﻌﻠﮭ م ﻣﺧﺗﻠﻔ ﯾن ‪ ،‬وﻟﻛ ن ﯾﻘﺻ د‬ ‫ﺑﺎﻟﻣﻌ ﺎﻟﺟﺗﯾن اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺗ ﯾن ھﻧ ﺎ أن اﻹط ﺎرات ﺗ م ﺗﺻ ﻧﯾﻌﮭﺎ ﻣ ن ﻗﺑ ل ﻣﺻ ﻧﻌﯾن ﻣﺧﺗﻠﻔ ﯾن ﻓ ﻲ ﻣ وﻗﻌﯾن‬ ‫ﻣﺧﺗﻠﻔﯾن‪.‬‬ ‫وﻛﻣﺛ ﺎل ﺛﺎﻟ ث ﺗﺟرﺑ ﺔ ﻟدراﺳ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر اﻟﻛﻣﯾ ﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻣ ن اﻟﻧﯾﺗ روﺟﯾن واﻟﻔوﺳ ﻔﺎت ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻻﺳﺗﺟﺎﺑﺔ )اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﻌﺗﻣد( )‪، response (yield‬أي ﻋﻠﻰ اﻟﻛﻣﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛ ن ﻗﯾﺎﺳ ﮭﺎ ﻋﻠ ﻰ وﺣ دة‬ ‫اﻟﺗﺟرﺑﺔ ‪ ،‬وذﻟك ﻟﻧوع ﻣﻌﯾن ﻣن اﻟﻘﻣﺢ ‪ .‬وﺣدة اﻟﺗﺟرﺑﺔ ھﻧﺎ ﺳوف ﺗﻛون ﻗطﻌ ﺔ ﻣﺣ ددة ﻣ ن اﻷرض‬ ‫‪ ،‬ﻟ ﺗﻛن ﻗطﻌ ﺔ ﻣﺳ ﺎﺣﺗﮭﺎ ﻓ دان ﻣزروﻋ ﺔ ﺑ ﺎﻟﻘﻣﺢ ‪ .‬اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ ﺳ وف ﺗﻛ ون ﻋ دد ﻣﺣ دد ﻣ ن أرط ﺎل‬ ‫اﻟﻧﯾﺗ روﺟﯾن ‪ x 1‬واﻟﻔوﺳ ﻔﺎت ‪ x 2‬واﻟﺗ ﻲ ﺗطﺑ ق ﻋﻠ ﻰ ﻓ دان ﻣ زروع ﺑ ﺎﻟﻘﻣﺢ ‪ .‬ﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ اﻷوﻟﻰ ﯾﺳﺗﺧدم ﻓﯾﮭﺎ ‪ x 1  100‬رطل ﻣن اﻟﻧﯾﺗروﺟﯾن ﻟﻛل ﻓدان و ‪ x 2  200‬رطل ﻣ ن‬ ‫اﻟﻔوﺳ ﻔﺎت‪ .‬واﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ ﯾﺳ ﺗﺧدم ﻓﯾﮭ ﺎ ‪ x 1  150‬و ‪ . x 2  100‬وﯾﺟ ب أن ﻧﺗ ذﻛر ھﻧ ﺎ أن‬ ‫أي ﺗوﻟﯾﻔ ﺎت ﻣ ن اﻟﻧﯾﺗ روﺟﯾن ‪،‬‬ ‫اﻟﻘ ﺎﺋم ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ﻗ د ﯾﺳ ﺗﺧدم ﻛﻣﯾ ﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ) ‪( x1 , x 2‬‬ ‫واﻟﻔوﺳﻔﺎت ‪ ،‬وﻛل ﺗوﻟﯾﻔﺔ ﺗﻣﺛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﻌظ م اﻟﺗﺟ ﺎرب ﺗﺷ ﺗﻣل ﻋﻠ ﻰ دراﺳ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر واﺣ د أو أﻛﺛ ر ﻣ ن اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻟﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻻﺳﺗﺟﺎﺑﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻟﻠﺗﺟرﺑﺔ ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻌواﻣل ‪ . factors‬وﻗد ﺗﻛون ﻛﻣﯾﺔ أو وﺻﻔﯾﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‬ ‫‪١‬‬

‫اﻟﻌﺎﻣ ل اﻟﻛﻣ ﻲ ‪ ،quantitative factor‬ھ و اﻟﻌﺎﻣ ل اﻟ ذي ﯾﺄﺧ ذ ﻗ ﯾم ﻣﻘﺎﺑﻠ ﺔ ﻟﻧﻘ ﺎط ﻋﻠ ﻰ ﺧ ط‬ ‫اﻷﻋ داد اﻟﺣﻘﯾﻘﯾ ﺔ‪ .‬اﻟﻌواﻣ ل اﻟﻐﯾ ر ﻛﻣﯾ ﺔ ﺗﺳ ﻣﻰ وﺻ ﻔﯾﺔ ‪ .qualitative‬ﻓدرﺟ ﺔ ﺣ رارة اﻟﻔ رن ‪،‬‬ ‫أرطﺎل اﻟﻧﯾﺗروﺟﯾن ‪ ،‬وأرطﺎل اﻟﻔوﺳﻔﺎت ‪ ،‬ﺗﻣﺛ ل ﻛﻠﮭ ﺎ ﻋواﻣ ل ﻛﻣﯾ ﺔ ﺑﯾﻧﻣ ﺎ أﻧ واع اﻟﻣﺻ ﺎﻧﻊ ‪ ،‬أﻧ واع‬ ‫اﻷدوﯾﺔ ‪ ،‬أﻧواع اﻟﻘﻣﺢ ‪ ،‬أﻧواع اﻷﺳﻣدة ‪ ،‬ﺗﻣﺛل ﻋواﻣل وﺻﻔﯾﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣل ﺗﺳﻣﻰ ﻣﺳﺗوى ‪. level‬‬ ‫وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك درﺟ ﺔ اﻟﺣ رارة ‪ 350o ، 400o ، 450o‬ﺗﻣﺛ ل ﺛ ﻼث ﻣﺳ ﺗوﯾﺎت ﻟﻌﺎﻣ ل ﻛﻣ ﻲ‬ ‫"درﺟﺔ اﻟﺣرارة "‪ .‬وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺗﯾن ‪ ،‬اﻟﻣﺻﻧﻊ ‪ A‬واﻟﻣﺻﻧﻊ ‪ ، B‬ﯾﻣﺛﻼن ﻣﺳ ﺗوﯾﺎن ﻟﻌﺎﻣ ل‬ ‫وﺻﻔﻰ ‪ ،‬وذﻟك ﻓﻲ ﺗﺟرﺑﺔ اﻹطﺎرات‪.‬‬ ‫ذﻛرﻧﺎ أﻋﻼه أن ﻣﺎ ﯾﻘوم ﺑﮫ اﻟﺑﺎﺣث ﻣن ﻋﻣﻠ ﮫ ﻋﻠ ﻰ وﺣ دة اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ﻟﺟﻌﻠﮭ ﺎ ﺗﺧﺗﻠ ف ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣ ﻊ‬ ‫إﻟ ﻰ آﺧ ر ﯾﺳ ﻣﻰ ﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ ‪ .‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت ﺗﻣﺛ ل ﻣﺳ ﺗوﯾﺎت ﻟﻌﺎﻣ ل واﺣ د أو ﺗوﻟﯾﻔ ﺎت ﻣ ن‬ ‫ﻣﺳﺗوﯾﺎت ﻋﺎﻣﻠﯾن أو أﻛﺛر‪.‬‬

‫ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن‬ ‫ﺑﻔرض ان ﻟدﯾﻧﺎ أرﺑﻊ طرق ﻟﻠﺗﻌﻠﯾم ‪ A , B , C , D‬ﯾﺣوي اﻟواﺣد ﻣﻧﮭﺎ ﻛل اﻷطﻔﺎل اﻟذﯾن‬ ‫ﯾﺗﻠﻘون ﺗﻌﻠﯾﻣﮭم ﺑﺈﺣدى ھذه اﻟطرق واﻟﻣطﻠوب ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌرﻓﺔ اﻟﻣﻛﺗﺳﺑﺔ ﻓﻲ ﻛل ﻣن‬ ‫ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﻟﻛل زوج ﻣن‬ ‫اﻟطرق اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪ .‬ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﺧﺗﺑﺎر ‪ t‬ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻣﺗوﺳطﻲ‬ ‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻷرﺑﻌﺔ ‪ ،‬أي اﺳﺗﺧدام اﺧﺗﺑﺎر ‪ t‬ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻟطرﯾﻘﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻟطرﯾﻘﺔ ‪ B‬ﺛم اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻣرة‬ ‫أﺧري ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻟطرﯾﻘﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻟطرﯾﻘﺔ ‪ C‬وھﻛذا ‪ ،‬إﻻ أن ھذه اﻟطرﯾﻘﺔ ﻟﮭﺎ ﻣﺷﺎﻛل ﻛﺛﯾرة‬ ‫ﻟﺣﺳن اﻟﺣظ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻐﻠب ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺷﺎﻛل اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ‪ ،‬وﻣﺷﺎﻛل أﺧرى‪ ،‬ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام اﺧﺗﺑ ﺎر إﺣﺻ ﺎﺋﻲ‬ ‫ﯾﺳ ﻣﻰ ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن واﻟ ذي ﯾﻌﺗﺑ ر واﺣ د ﻣ ن أﻛﺛ ر اﻟط رق اﻹﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ اﺳ ﺗﺧداﻣﺎ‪ .‬ﺳ وف ﻧوﺿ ﺢ‬ ‫أﺳﻠوب ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﺑﺎﻟﻣﺛ ﺎل اﻟﺗ ﺎﻟﻲ‪ .‬إذا أﺟرﯾ ت ﺗﺟرﺑ ﺔ زراﻋﯾ ﺔ ﻟدراﺳ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر اﻷوﻗ ﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ‬ ‫ﻟﻠزراﻋ ﺔ ) ﻓﺑراﯾ ر – ﻣ ﺎرس – ﻧ وﻓﻣﺑر – أﻛﺗ وﺑر( ﻋﻠ ﻰ إﻧﺗﺎﺟﯾ ﮫ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب وإذا ﻛ ﺎن‬ ‫اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ھ و اﺧﺗﺑ ﺎر ﻓ رض اﻟﻌ دم أن ﻣﺗوﺳ ط إﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب واﺣ د ﻟﻸوﻗ ﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ‪.‬‬ ‫ﯾﻌﺗﻣد أﺳﻠوب ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن‪ ،‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺗﺟزﺋﺔ اﻻﺧﺗﻼف اﻟﻛﻠﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدات إﻟ ﻰ ﻣﻛ وﻧﯾن‬ ‫ﻟﮭﻣ ﺎ ﻣﻌﻧ ﻲ ﯾﺳ ﺗﺧدﻣﺎن ﻓ ﻲ ﻗﯾ ﺎس اﻟﻣﺻ ﺎدر اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻟﻼﺧ ﺗﻼف‪ .‬اﻟﻣﻛ ون اﻷول ﯾﻘ ﯾس اﻻﺧ ﺗﻼف‬ ‫اﻟذي ﯾرﺟﻊ إﻟﻰ ﺧط ﺄ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ واﻟﺛ ﺎﻧﻲ ﯾﻘ ﯾس اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟ ذي ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ ﺧط ﺄ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ﺑﺎﻹﺿ ﺎﻓﺔ‬ ‫إﻟﻰ اﻻﺧﺗﻼف اﻟذي ﯾرﺟﻊ إﻟﻰ أوﻗﺎت اﻟزراﻋﺎت اﻷرﺑﻌ ﺔ‪ .‬ﻋﻧ دﻣﺎ ﯾﻛ ون ﻓ رض اﻟﻌ دم ﺻ ﺣﯾﺢ‪ ،‬أي‬ ‫أن ﻣﺗوﺳ ط إﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب واﺣ دة ﻟﻸوﻗ ﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ‪ ،‬ﻓ ﺈن ﻛ ﻼ ﻣ ن اﻟﻣﻛ وﻧﯾن ﺳ وف‬ ‫ﯾﻣدوﻧﻧﺎ ﺑﺗﻘدﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻟﺧطﺄ اﻟﺗﺟرﺑﺔ‪ ،‬وﻋﻠﻰ ذﻟ ك ﯾﻌﺗﻣ د اﺧﺗﺑﺎرﻧ ﺎ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟﻣﻛ وﻧﯾن‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ‪.F‬‬ ‫ﺑﻔرض أن اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺳوف ﯾﻛون ﻓ ﻲ ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ﻣﺗوﺳ ط إﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب ﻋﻧ د أوﻗ ﺎت‬ ‫ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻟﻠزراﻋ ﺔ وﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ﺛﻼﺛ ﺔ ط رق ﻟﻠزراﻋ ﺔ )‪ .( 1, 2, 3‬اھﺗﻣﺎﻣﻧ ﺎ ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﺳ وف‬ ‫ﯾﻛ ون ﻓ ﻲ اﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ﺎ إذا ﻛ ﺎن اﻻﺧ ﺗﻼف ﻓ ﻲ إﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ اﻟﻔ روق ﻓ ﻲ‬ ‫ﻣواﻋﯾد اﻟزراﻋﺔ أو اﻟﻔروق ﻓﻲ طرق اﻟزراﻋﺔ أو رﺑﻣﺎ اﻟﻔروق ﻓﻲ ﻛﻼھﻣ ﺎ‪ .‬ﯾﻌﺗﻣ د ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن‬ ‫‪ ،‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺗﺟزﺋﺔ اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟﻛﻠ ﻲ ﻹﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب إﻟ ﻰ ﺛﻼﺛ ﺔ ﻣﻛوﻧ ﺎت ‪،‬‬ ‫اﻷول ﯾﻘﯾس ﺧطﺄ اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻓﻘط واﻟﺛﺎﻧﻲ ﯾﻘﯾس ﺧط ﺄ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ﺑﺎﻹﺿ ﺎﻓﺔ إﻟ ﻰ أي اﺧ ﺗﻼف ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ‬ ‫ﻣواﻋﯾ د اﻟزراﻋ ﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ‪ ،‬واﻟﺛﺎﻟ ث ﯾﻘ ﯾس ﺧط ﺄ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ﺑﺎﻹﺿ ﺎﻓﺔ إﻟ ﻰ أي اﺧ ﺗﻼف ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ‬ ‫ط رق اﻟزراﻋ ﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ‪ .‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻓ ﺈن ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ اﻟﻣﻛ ون اﻷول ﺑﺎﻟﺛ ﺎﻧﻲ ﺳ وف ﯾﻣ دﻧﺎ ﺑﺎﺧﺗﺑ ﺎر‬ ‫اﻟﻔرض أن ﻣﺗوﺳط إﻧﺗﺎﺟﯾﺔ ﻣﺣﺻول اﻟﻘﺻب واﺣدة ﻋﻧد ﻣواﻋﯾ د اﻟزراﻋ ﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ‪ .‬ﺑ ﻧﻔس اﻟﺷ ﻛل‬ ‫ﯾﻣﻛ ن اﺧﺗﺑ ﺎر اﻟﻔ رض أن ﻣﺗوﺳ ط إﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب واﺣ د ﻟط رق اﻟزراﻋ ﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻋ ن‬ ‫طرﯾق ﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻟﻣﻛون اﻷول ﺑﺎﻟﺛﺎﻟث‪.‬‬ ‫‪٢‬‬

‫إذا ﺻ ﻧﻔت اﻟﻣﺷ ﺎھدات وﻓﻘ ﺎ ً ﻟﺻ ﻔﺔ )ﺧﺎﺻ ﯾﺔ( واﺣ دة ﻣﺛ ل اﻻﺧ ﺗﻼف ﻓ ﻲ ط رق اﻟزراﻋ ﺔ أو‬ ‫اﻟﺟ ﻧس أو اﻟﻌﻣ ر‪ ...‬اﻟ ﺦ ﻓﺳ وف ﯾﻛ ون ﻟ دﯾﻧﺎ ﺗﺻ ﻧﯾف أﺣ ﺎدي ‪ . one-way classification‬أﻣ ﺎ‬ ‫إذا ﺻ ﻧﻔت اﻟﻣﺷ ﺎھدات وﻓﻘ ﺎ ﻟﺻ ﻔﺗﯾن ﻣﺛ ل أﺻ ﻧﺎف اﻟﻘﻣ ﺢ وأﻧ واع اﻷﺳ ﻣدة ﻓﺳ وف ﯾﻛ ون ﻟ دﯾﻧﺎ‬ ‫ﺗﺻ ﻧﯾف ﺛﻧ ﺎﺋﻲ ‪ . two-way classification‬ﻓ ﻲ اﻟﺑﻧ ود اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ ﺳ وف ﻧﺗﻧ ﺎول ط رق ﺗﺣﻠﯾ ل‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻓﻲ ﻛﻼ اﻟﺗﺻﻧﯾﻔﯾن‪.‬‬

‫اﻟﺗﺻﻧﯾف اﻷﺣﺎدي‪:‬‬

‫‪One-way Classification‬‬

‫ﺑﻔرض أن ﻋﯾﻧﺎت ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬ﺗم اﺧﺗﯾﺎرھﺎ ﻣن ‪ k‬ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت‪ .‬ﺳوف ﻧﻔﺗرض‬ ‫أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ ‪ k‬ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ وﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت طﺑﯾﻌﯾﺔ ﺑﻣﺗوﺳطﺎت ‪μ1,μ 2 ,,μ K‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪H 0 : 1   2  ...   k‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‪:‬‬ ‫واﺣد ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻣن ‪ i‬ﯾﺧﺗﻠف ﻋن اﻟﺑﺎﻗﻲ ‪H1 :‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ xij‬ﺗرﻣز ﻟﻠﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ j‬اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ رﻗ م ‪ i‬وأن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺗ م ﺗرﺗﯾﺑﮭ ﺎ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث ‪ Ti .‬ﺗرﻣز ﻟﻣﺟﻣوع ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ رﻗ م‬ ‫‪ i‬و ‪ x i .‬ﺗرﻣ ز ﻟﻣﺗوﺳ ط ﻛ ل اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟﻣﺧﺗ ﺎرة ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ رﻗ م ‪ i‬و ‪ T..‬ﺗرﻣ ز‬ ‫ﻟﻣﺟﻣوع ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ ‪ nk‬و ‪ x ..‬ﺗرﻣز ﻟﻣﺗوﺳ ط ﻛ ل اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﺗ ﻲ ﻋ ددھﺎ ‪nk‬‬ ‫‪.‬‬ ‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت‬ ‫…‪2‬‬ ‫…‪i‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪x 21.... x i1... x k1‬‬ ‫‪x 22 .... x i2 ... x k2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x 2n .... x in ... x kn‬‬ ‫‪T..‬‬ ‫‪x..‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x11‬‬ ‫‪x12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x1n‬‬

‫‪T1. T2.... Ti.... Tk.‬‬

‫‪x 2.... x i.... x k.‬‬

‫‪x1.‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋن ﻛل ﻣﺷﺎھدة وﻓﻘﺎ ً ﻟﻠﻧﻣوذج اﻟرﯾﺎﺿﻲ اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x ij  i  ij ,‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ ij‬ﯾﻘﯾس اﻧﺣراف اﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ j‬ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ رﻗ م ‪ i‬ﻋ ن ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ رﻗ م ‪ .i‬وﺑوﺿ ﻊ‬ ‫‪ i     i‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪ i‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪k‬‬

‫‪‬‬

‫ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻟﻧﻣوذج أﻋﻼه ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪x ij    i  ij ,‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪k‬‬

‫ﺗﺣ ت ﺷ رط أن ‪   i  0‬ﺣﯾ ث ‪ i‬ﺗﻌﺑ ر ﻋ ن ﺗ ﺄﺛﯾر اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ رﻗ م ‪ . i‬وﺑﺎﺳ ﺗﻌﻣﺎل اﻟﻧﻣ وذج‬ ‫‪i 1‬‬

‫اﻷﺧﯾر ﯾﺻﺑﺢ ﻓرض اﻟﻌدم ‪H 0 : 1   2  ...   k‬‬ ‫ﻣﻛﺎﻓﺊ ﻟﻠﻔرض‪:‬‬ ‫‪H 0 : 1   2  ...   k  0‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‪:‬‬ ‫واﺣد ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻣن ‪  i‬ﻻ ﯾﺳﺎوى ﺻﻔرا ً ‪H1 :‬‬

‫اﺧﺗﺑﺎرﻧﺎ ﺳوف ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺗﻘدﯾرﯾن ﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن ﻟﺗﺑ ﺎﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ‪ .  2‬ﯾ ﺗم اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟﺗﻘ دﯾرﯾن ﺑﺗﺟزﺋ ﮫ اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟﻛﻠ ﻲ ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدات إﻟ ﻰ ﻣﻛ وﻧﯾن ‪ .‬ﻣ ن اﻟﻣﻌ روف أن اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻟﻛ ل‬ ‫اﻟﻣﺷﺎھدات ﻣﺟﺗﻣﻌﮫ ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ واﺣدة ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ nk‬ﯾﻌطﻰ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪k n‬‬

‫) ‪  (x ij  x..‬‬

‫‪i 1 j1‬‬

‫‪s2 ‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪nk  1‬‬ ‫اﻟﺑﺳ ط ﻓ ﻲ اﻟﺻ ﯾﻐﺔ اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ ﯾﺳ ﻣﻰ ﻣﺟﻣ وع اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﻛﻠ ﻲ ‪ total sum of squares‬واﻟ ذي‬ ‫ﯾﻘﯾس اﻻﺧﺗﻼف اﻟﻛﻠﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدات ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪k n‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i 1 j1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  (x ij  x .. )  n  (x i.  x.. ) ‬‬ ‫‪k n‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪  (x ij  x i. ) .‬‬

‫‪i 1 j1‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋن اﻟﺣدود ﻓﻲ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟرﻣوز ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪SSTO = SSC + SSE‬‬ ‫ﺣﯾث ﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﻛﻠﻲ ھو ‪:‬‬ ‫‪k n‬‬

‫‪SSTO    (x ij  x.. )2 ,‬‬ ‫‪i 1 j1‬‬

‫وﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت ﻟﻣﺗوﺳطﺎت اﻷﻋﻣدة ‪ sum of squares for columns means‬ھو‬ ‫‪k‬‬

‫‪SSC  n  (x i.  x.. ) 2 ,‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫وﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت ﻟﻠﺧطﺄ ‪ error sum of squares‬ھو ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪k‬‬

‫‪SSE    (x ij  x i. ) 2 ,‬‬ ‫‪i 1 j1‬‬

‫أﯾﺿﺎ ﺗﺟزئ درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪nk-1= k-1 + k (n-1).‬‬ ‫ﻋ ﺎدة ﯾﺷ ﺎر ﻟﻣﺟﻣ وع اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت ﻟﻣﺗوﺳ طﺎت اﻷﻋﻣ دة ﻣ ن ﻗﺑ ل ﻛﺛﯾ ر ﻣ ن اﻟﻣ ؤﻟﻔﯾن ﺑﻣﺟﻣ وع‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت ‪ . treatment sum of squares‬وھ ذه اﻟﺗﺳ ﻣﯾﺔ ﺗرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ اﻟﺣﻘﯾﻘ ﺔ أن ‪k‬‬ ‫ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻏﺎﻟﺑﺎ ً ﻣﺎ ﺗﺻﻧف ﺗﺑﻌﺎ ً ﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ وﻋﻠ ﻲ ذﻟ ك ﻓ ﺈن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ‪xij‬‬ ‫)‪ ;(j = 1,2,…,n‬ﺗﻣﺛل ‪ n‬ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟﺔ رﻗ م ‪ . i‬اﻵن ﻛﻠﻣ ﺔ ﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ ﺗﺳ ﺗﺧدم‬ ‫أﻛﺛر ﻟﺗوﺿﯾﺢ اﻟﺗﺻﻧﯾﻔﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﺳ واء أﺳ ﻣدة ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ أو ﻣﺻ ﺎﻧﻊ ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ أو ﻣﻧ ﺎطق ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻓ ﻲ‬ ‫ﻣدﯾﻧﺔ ﻣﺎ أو ﻣﺣﻠﻠﯾن ﻣﺧﺗﻠﻔﯾن‪.‬‬ ‫‪٤‬‬

‫اﻟﺗﻘدﯾر اﻷول ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ،  2‬ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻲ ‪ k-1‬درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ،‬وﯾﻌطﻲ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ ‪:‬‬ ‫‪SSC‬‬ ‫‪MSC ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺛﺎﻧﻲ اﻟﻣﺳﺗﻘل ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪  2‬ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻲ )‪ k(n-1‬درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ وﯾﻌطﻲ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ ‪:‬‬

‫‪SSE‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪k (n  1‬‬

‫‪MSE ‬‬

‫ﻧﻌرف ﻣﻣﺎ ﺳﺑق أن اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻛل ﻣﺷﺎھدات اﻟﻌﯾﻧﺔ‪ ،‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ، nk-1‬ھو ‪:‬‬

‫‪SSTO‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪nk  1‬‬

‫‪s2 ‬‬

‫اﻟﻧﺳﺑﺔ‪:‬‬

‫‪MSC‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪MSE‬‬ ‫ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ F‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ )‪ 1  k  1,  2  k(n  1‬ﻋﻧ دﻣﺎ‬ ‫‪ H 0‬ﺻ ﺣﯾﺢ‪ .‬ﻟﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪ ‬ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ) ‪ F  f  (1,  2‬ﺣﯾ ث ) ‪f  (1,  2‬‬ ‫ﺗﺳ ﺗﺧرج ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ F‬ﻓ ﻲ ﻋﻧ د ‪  = 0.05‬أو ﻋﻧ د ‪ . = 0.01‬إذا وﻗﻌ ت ‪ f‬ﻓ ﻲ‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض ‪. H 0‬‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺎ ً ﯾﺗم أوﻻ ً ﺣﺳﺎب ‪ SSTO , SSC‬ﺛم ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻲ ‪ SSE‬ﺑطرح ‪ SSC‬ﻣن ‪ SSTO‬أي أن‪:‬‬ ‫‪SSE = SSTO – SSC.‬‬ ‫ﺑﺈﻣﻛﺎﻧﻧ ﺎ ﺣﺳ ﺎب اﻟﺻ ﯾﻎ اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ واﻟﻣﻌرﻓ ﺔ ﻟﻛ ل ﻣ ن ‪ SSTO‬و ‪ SSC‬ﺑطرﯾﻘ ﺔ ﺣﺳ ﺎﺑﯾﺔ ﻣﺑﺳ طﺔ‬ ‫)ﻣﻧﺎﺳﺑﺔ ﻟﻶﻟﺔ اﻟﺣﺎﺳﺑﺔ ( ﻋﻠﻲ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬

‫‪x ij2  CF ،‬‬

‫‪k n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i 1 j1‬‬

‫‪SSTO ‬‬

‫‪T..2‬‬ ‫‪ CF ‬ﯾﺳﻣﻲ ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺻﺣﯾﺢ ‪ .correction factor‬أﯾﺿﺎ‪:‬‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫‪nk‬‬

‫‪ CF .‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ Ti.‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪SSC ‬‬

‫ﻋﺎدةً اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت ﻓﻲ ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﺗﻠﺧ ص ﻓ ﻲ ﺟ دول ﯾﺳ ﻣﻲ ﺟ دول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ‪Analysis of‬‬ ‫‪ ) Variance‬ﻋﺎدة ﯾﺳﻣﻰ ‪ ( ANOVA‬واﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ‬

‫ﻣﺗوﺳط اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬

‫‪MSC‬‬ ‫‪MSE‬‬

‫‪SSC‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪SSE‬‬ ‫‪MSE ‬‬ ‫)‪k (n  1‬‬ ‫‪MSC ‬‬

‫ﻣﺟﻣوع‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫‪SSC‬‬

‫درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ‬

‫ﻣﺻدر اﻻﺧﺗﻼف‬

‫‪k-1‬‬

‫ﻣﺗوﺳطﺎت اﻷﻋﻣدة‬

‫‪SSE‬‬

‫)‪k(n-1‬‬

‫‪SSTO‬‬

‫‪nk-1‬‬

‫اﻟﺧطﺄ‬

‫‪٥‬‬

‫اﻟﻛﻠﻲ‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١‬‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗﻣﺛل اﻟطول ) ﻣﻘﺎس ﺑﺎﻟﺳﻧﺗﯾﻣﺗر ( ﻟﻧﺑﺎﺗﺎت ﺗم زراﻋﺗﮭﺎ ﻓﻲ ﺛﻼﺛ ﺔ أوﺳ ﺎط‬ ‫ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ‪ 5 ) A, B, C‬ﻧﺑﺎﺗﺎت ﻓﻲ ﻛل وﺳط (‪ .‬أوﺟد ﺟدول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن وأﺧﺗﺑ ر ﻓ رض اﻟﻌ دم‬ ‫أن ‪ 1   2   3‬وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوي ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.=0.05‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪15‬‬

‫اﻷوﺳﺎط‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬

‫‪H 0 : 1   2  3‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‪:‬‬ ‫واﺣد ﻋﻠﻲ اﻷﻗل ﻣن ‪ i‬ﯾﺧﺗﻠف ﻋن اﻟﺑﺎﻗﻲ ‪H1 :‬‬ ‫‪  0.05  .‬‬ ‫‪ f.05 (2,12) = 3.89‬واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ F‬ﻓ ﻲ ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ‬ ‫‪ . 1  2,  2  12‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪. F > 3.89‬‬

‫‪x ij2  CF‬‬

‫‪k n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i 1 j1‬‬

‫‪SSTO ‬‬

‫‪(216) 2‬‬ ‫‪ 10  14  ...  10  13 ‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪ 3304  3110 .4  193.6,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪k‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ Ti‬‬

‫‪SSC  i 1‬‬

‫‪ CF‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪692  892  582 (216)2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪ 3209.2  3110.4  98.8.‬‬ ‫ﺗﻠﺧص اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪ f‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ‬ ‫*‪6.25316‬‬

‫ﻣﺗوﺳط‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫‪49.4‬‬ ‫‪7.9‬‬

‫ﻣﺟﻣوع‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫‪98.8‬‬ ‫‪94.8‬‬ ‫‪193.6‬‬

‫‪٦‬‬

‫درﺟﺎت‬ ‫اﻟﺣرﯾﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬

‫ﻣﺻدر اﻻﺧﺗﻼف‬ ‫ﻣﺗوﺳطﺎت اﻷﻋﻣدة‬ ‫اﻟﺧطﺄ‬ ‫اﻟﻛﻠﻲ‬

‫وﺑﻣ ﺎ أن ‪ (6.25316) f‬ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧ رﻓض ‪ H 0‬وﻧﻌﺗﺑ ر أن ھﻧ ﺎك ﻓروﻗ ﺎ ً‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻷوﺳﺎط اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪ .‬اﻟﻧﺟﻣﺔ * ﺗﻌﻧﻲ أن اﻟﻔرق ﻣﻌﻧوي ﻋﻧد ‪.   0.05‬‬ ‫اﻵن ﺑﻔ رض أن اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﺗ ﻲ ﻋ ددھﺎ ‪ k‬ذات أﺣﺟ ﺎم ‪) n1, n2, …,nK‬ﻋ دم ﺗﺳ ﺎوى ﺣﺟ وم‬ ‫‪k‬‬

‫اﻟﻌﯾﻧﺎت( ﺣﯾث ‪. N   n i‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫درﺟ ﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ ﺳ وف ﺗﺻ ﺑﺢ )‪ (N-1‬ﻟﻣﺟﻣ وع اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﻛﻠﯾ ﺔ ‪ SSTO‬و )‪ (k-1‬ﻟﻣﺟﻣ وع‬ ‫ﻣرﺑﻌﺎت ﻣﺗوﺳطﺎت اﻷﻋﻣدة ‪ SSC‬و ‪ N-1-(k-1) = N-k‬ﻟﻣﺟﻣوع ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺧطﺄ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٢‬‬ ‫أﺟرﯾ ت ﺗﺟرﺑ ﺔ ﻟدراﺳ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر أرﺑﻌ ﺔ أﻧ واع ﻣ ن اﻷدوﯾ ﺔ ‪ A, B, C, D‬ﻋﻠ ﻰ اﻟﺷ ﻔﺎء ﻣ ن ﻣ رض‬ ‫ﻣﻌﯾن‪ .‬اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻷﯾﺎم اﻟﻼزﻣ ﺔ ﻟﻠﺷ ﻔﺎء ‪ .‬اﺳ ﺗﺧدم طرﯾﻘ ﺔ‬ ‫ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ﺎ إذا ﻛ ﺎن ھﻧ ﺎك ﻓ رق ﻣﻌﻧ وي ﺑ ﯾن اﻟﻣﺗوﺳ طﺎت ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ‬ ‫‪.   0.05‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫أﻧواع اﻷدوﯾﺔ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪H 0 : 1   2   3   4‬‬

‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬

‫واﺣد ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻣن ‪ i‬ﯾﺧﺗﻠف ﻋن اﻟﺑﺎﻗﻲ ‪H1 :‬‬ ‫‪  0.05 ‬‬ ‫‪ f.05(3,20)=3.1‬واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ F‬ﻓ ﻲ ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪. 1  3,  2  20‬‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪. F > 3.1‬‬

‫‪x ij2  CF ,‬‬

‫‪k n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i 1 j1‬‬

‫‪SSTO ‬‬

‫‪(134) 2‬‬ ‫‪ 3  4  ...  10  9 ‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪ 1030  748.17  281.83 ,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪٧‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Ti2.‬‬ ‫‪ CF‬‬ ‫‪ni‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪SSC‬‬

‫‪152 352 182 662 (134) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪964.04  748.17  215.87 ,‬‬ ‫‪SSE  281.83 - 215.87  65.96 .‬‬ ‫ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻣﻌطﻲ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪ f‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ‬ ‫ﻣﺟﻣوع‬ ‫ﻣﺗوﺳط‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫‪3‬‬ ‫‪215.87‬‬ ‫‪71.9567‬‬ ‫*‪21.818‬‬ ‫ﻣﺗوﺳط اﻷﻋﻣدة‬ ‫‪20‬‬ ‫‪65.96‬‬ ‫‪3.298‬‬ ‫اﻟﺧطﺄ‬ ‫‪23‬‬ ‫‪281.83‬‬ ‫اﻟﻛﻠﻲ‬ ‫وﺣﯾث أن ‪ f‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ )‪ (21.818‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض ‪ . H 0‬أي أن ھﻧ ﺎك ﻓ رق‬ ‫ﻣﻌﻧوي ﺑﯾن اﻟﻣﺗوﺳطﺎت‪.‬‬ ‫درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ‬

‫ﻣﺻدر اﻻﺧﺗﻼف‬

‫اﺧﺗﺑﺎرات ﺗﺟﺎﻧس ﻋدة ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ‪:‬‬ ‫‪Test for the Equality of Several Variances‬‬ ‫اﺧﺗﺑﺎر ﻛوﻛران ‪Cochran:‬‬ ‫ذﻛرﻧﺎ ﻓﻲ ﺳﺎﺑﻘﺎ أن ھﻧﺎك اﻓﺗراﺿﺎت أﺳﺎﺳﯾﺔ وﺿرورﯾﺔ ﻹﺟراء ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن وھم ‪ :‬أن‬ ‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ ‪ k‬ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ وﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت طﺑﯾﻌﯾﺔ ﺑﻣﺗوﺳطﺎت ‪ 1,  2 ,...,  k‬وﺗﺑﺎﯾن‬ ‫ﻣﺷﺗرك ‪.  2‬‬ ‫ھﻧ ﺎك اﻟﻌدﯾ د ﻣ ن اﻟط رق‬ ‫اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬

‫‪H 0 : σ12  σ 22  ...  σ k2‬‬

‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﻟﯾﺳت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪H1 :‬‬ ‫اﻗﺗرح ‪ [ Winer et al (1991)] Cochran‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫أﻛﺒﺮ ‪s 2‬‬ ‫‪s1.2‬‬

‫‪c‬‬

‫واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ C‬وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن ‪ H 0‬ﺻﺣﯾﺢ‪ .‬اﻟﻘﯾم اﻟﺣرﺟﺔ ) ‪c  (1,  2‬‬ ‫ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ C‬ﺗﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟ دول ‪ Cochran‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪ 1  k ,  2  n  1‬وذﻟ ك‬ ‫ﻋﻧد ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪ =0.05‬أو ‪ . =0.01‬ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ) ‪ . C  c  (1 ,  2‬إذا وﻗﻌ ت‬ ‫‪ c‬ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض ‪. H 0‬‬ ‫‪٨‬‬

‫ﺑﻔ رض أن اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﺗ ﻲ ﻋ ددھﺎ ‪ k‬ذات أﺣﺟ ﺎم ‪) n1, n2, … ,nk‬ﻋ دم ﺗﺳ ﺎوى ﺣﺟ وم اﻟﻌﯾﻧ ﺎت (‬ ‫وإذا ﻛﺎﻧ ت اﻷﺣﺟ ﺎم ﻣﺗﻘﺎرﺑ ﺔ ﻓ ﯾﻣﻛن اﺳ ﺗﺧدام أﻛﺑ ر ‪ni‬ﺑ دﻻ ً ﻣ ن ‪ n‬ﻓ ﻲ ﺣﺳ ﺎب درﺟ ﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ‬ ‫اﻟﻼزﻣﺔ ﻹﯾﺟﺎد ) ‪. c  (1 ,  2‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ واﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﻣﺛﺎل ) ‪ ( ٢‬أﺧﺗﺑر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪H 0 : 12   22  32   24‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﻟﯾﺳت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪H1 :‬‬ ‫وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪. =0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻌطﻲ ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ وﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ ﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5.9524‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1.0714‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪5.0000‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5.9524‬‬ ‫‪12.9405‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0.9167‬‬ ‫‪4‬‬

‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪s‬‬

‫‪ni‬‬

‫أﻛﺒﺮ‪s 2‬‬

‫‪c k‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ si‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪= 0.459982.‬‬ ‫وﺑﻣﺎ أن اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ ‪ 4‬ذات أﺣﺟ ﺎم ﻏﯾ ر ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ﻓﺳ وف ﻧﺄﺧ ذ ‪ n = 8‬ﺣﯾ ث ‪ 8‬ھ ﻲ ﻋ دد‬ ‫اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ رﻗ م ‪ ) 3‬أﻛﺑ ر ‪ ( ni‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ‪ 1  4,  2  8  1  7‬و‬ ‫‪ . c.05 (4,7)  0.5365‬ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ‪ .C > 0.5365‬وﺑﻣ ﺎ أن ‪ c= 0.459982‬ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل ‪. H 0‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٣‬‬ ‫ﯾرﻏب ﺑﺎﺣث ﻓﻲ اﻟﻌﻠوم اﻟﺑﯾوﻟوﺟﯾﺔ ﻓﻲ دراﺳﺔ ﺗﺄﺛﯾر اﻟﻣﺳﺗوﯾﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن اﻹﺛﯾﺎﻧول ﻋﻠﻰ زﻣن‬ ‫اﻟﻧوم‪ .‬اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 5‬ﻓﺄر ) ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻲ اﻟوزن واﻟﻌﻣر ( ﻟﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ‪ .‬وﻗد ﺗم‬ ‫ﺣﻘن ﻛل ﻓﺄر ‪ .‬وﻗد ﺗم ﺗﺳﺟﯾل ﺳرﻋﺔ ﺣرﻛﺔ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓﻲ زﻣن اﻟﻧوم ‪rapid eye movement‬‬ ‫‪sleep time‬ﺧﻼل ﻓﺗرة ‪ 24‬ﺳﺎﻋﺔ واﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫)أ( أوﺟد ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن؟‬ ‫)ب( أﺧﺗﺑر ﻣﻌﻧوﯾﺔ اﻟﻔروق ﺑﯾن اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت اﻟﺛﻼﺛﺔ ؟‬ ‫)ج( أﺳﺗﺧدم اﺧﺗﺑﺎر ‪ Cochran‬ﻟﻠﺗﺄﻛد ﻣن ﺗﺟﺎﻧس اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪. =0.01‬‬ ‫‪75.2‬‬ ‫‪71.5‬‬ ‫‪38.7‬‬ ‫‪22.7‬‬

‫‪68.0‬‬ ‫‪50.1‬‬ ‫‪56.3‬‬ ‫‪25.2‬‬

‫‪73.2‬‬ ‫‪53.9‬‬ ‫‪59.5‬‬ ‫‪39.6‬‬

‫‪91.4‬‬ ‫‪69.2‬‬ ‫‪40.2‬‬ ‫‪45.3‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪88.6‬‬ ‫‪63.0‬‬ ‫‪44.9‬‬ ‫‪31.0‬‬

‫‪0 g/kg‬‬ ‫‪1 g/kg‬‬ ‫‪2 g/kg‬‬ ‫‪4 g/kg‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪H 0 : μ1  μ 2  μ 3  μ 4‬‬

‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬

‫واﺣد ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻣن ‪ i‬ﯾﺧﺗﻠف ﻋن اﻟﺑﺎﻗﻲ ‪H1 :‬‬ ‫‪α=0.01‬‬ ‫‪ f.01(3,16) = 5.29‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ F‬ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪. 1  3,  2  16‬‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪. F > 5.29‬‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪21.0922‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪mss‬‬ ‫‪1960.79‬‬ ‫‪92.9625‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ANOVA‬‬ ‫‪df‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪ss‬‬ ‫‪5882.36‬‬ ‫‪1487.4‬‬ ‫‪7369.76‬‬

‫‪S.V‬‬ ‫‪bet‬‬ ‫‪within‬‬ ‫‪total‬‬

‫وﺑﻣﺎ أن ‪ (21.0922) f‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧ رﻓض ‪. H 0‬أى أن ھﻧ ﺎك ﻓروﻗ ﺎ ً ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ‬ ‫ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻷوﺳﺎط اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪H 0 : 1   2  3   4‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﻟﯾﺳت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪H1 :‬‬ ‫وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪. =0.01‬‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻌطﻲ ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ وﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ ﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪91.512‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪89.512‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪87.313‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪103.652‬‬ ‫‪371.988‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪103.652‬‬ ‫‪4‬‬

‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ‪i‬‬

‫‪si2‬‬ ‫‪ni‬‬

‫‪2‬‬

‫أﻛﺒﺮ ‪s‬‬

‫‪‬‬

‫‪k‬‬

‫‪s 2i‬‬

‫‪c‬‬

‫‪‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪=0.278643‬‬ ‫وﺑﻣ ﺎ أن اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﺗ ﻲ ﻋ ددھﺎ ‪ 4‬ذات أﺣﺟ ﺎم ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ﻓﺳ وف ﻧﺄﺧ ذ ‪ n = 4‬ﺣﯾ ث ‪ 4‬ھ ﻲ ﻋ دد‬ ‫اﻟﻣﺷﺎھدات وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪ 1  4,  2  4  1  3‬و ‪ . c.01 (4,3)  0.7814‬ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض‬ ‫‪ . C  0.7814‬وﺑﻣﺎ أن ‪ c= 0.278643‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل ‪. H 0‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٤‬‬ ‫ﺑﻔرض أن أرﺑﻌﺔ أﻧواع ﻣن اﻟﻔﯾﺗﺎﻣﯾﻧﺎت ‪ A, B, C, D‬وﺗﻐذي ﻋﻠﯾﮭﺎ أرﺑﻌﺔ ﻣﺟﻣوﻋﺎت ﻣن‬ ‫اﻷطﻔﺎل ﻣﺗﺷﺎﺑﮭﯾن ﺗﻣﺎﻣﺎ ً ) أرﺑﻌﺔ ﻋﯾﻧﺎت ﻋﺷواﺋﯾﺔ ( وﻛﺎﻧت اﻟزﯾﺎدة ﻓﻲ وزن ﻛل ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ أوﺟد اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻛل ﻣﺟﻣوﻋﺔ ‪ ،‬وأﺟري اﺧﺗﺑﺎر ‪. Cochran‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫اﻟﻔﯾﺗﺎﻣﯾﻧﺎت‬ ‫‪C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪H 0 : 12   22  32   24‬‬

‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬

‫اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﻟﯾﺳت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪H1 :‬‬ ‫وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪. =0.01‬‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻌطﻲ ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ وﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ ﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ‪i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0.333333‬‬ ‫‪0.666667‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.666667‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪0.666667‬‬ ‫‪1.916667‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ni‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫أﻛﺒﺮ ‪s‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪s i2‬‬

‫‪c‬‬

‫‪‬‬ ‫‪i1‬‬

‫‪=0.347826‬‬ ‫وﺑﻣﺎ أن اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ ‪ 4‬ذات أﺣﺟ ﺎم ﻏﯾ ر ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ﻓﺳ وف ﻧﺄﺧ ذ ‪ n = 4‬ﺣﯾ ث ‪ 4‬ھ ﻲ ﻋ دد‬ ‫اﻟﻣﺷ ﺎھدات وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ‪ 1  4,  2  4  1  3‬و ‪ . c.01 (4,3)  0.7814‬ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض‬ ‫‪ . C  0.7814‬وﺑﻣﺎ أن ‪ c= 0.347826‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل ‪. H 0‬‬

‫‪١١‬‬