الاحصاء والاحتمالات باستخدام برنامج ماثيماتيكا by Tharwat Abdelmonem

‫اﻟﻔﺻل اﻟﺗﺎﺳﻊ‬ ‫اﺳﺎﺳﯾﺎت ﺗﺣﻠﯾل اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺗﻌددة‬

‫‪٤٨٦‬‬

‫)‪ (١-٩‬ﺗﻧظم ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺗﻌددة‬ ‫ﺳ ــوف ﺗﺗرﻛ ــز اﻟد ارﺳ ــﺔ ﻓ ــﻰ ﻫ ــذا اﻟﻔﺻ ــل ﺣ ــول ﺗﺣﻠﯾ ــل اﻟﻘﯾﺎﺳ ــﺎت )اﻟﺑﯾﺎﻧ ــﺎت أو اﻟﻣﺷ ــﺎﻫدات(‬

‫اﻟﻣﺄﺧوذة ﻋﻠﻰ اﻟﻌدﯾد ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات‪ .‬ﺳوف ﻧﺣﺗﺎج ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻔﺻل اﻟﻰ اﻟﺣزﻣﺔ‬

‫‪ MultiDescriptiveStatistics‬ﺗﺣـ ـت اﻟ ــدﻟﯾل ‪Statistics‬‬ ‫اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ‪.‬‬ ‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذﻩ اﻟﺣزﻣﺔ وﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟرﺋﯾﺳﯾﺔ ﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺧﺗﺎر ‪Help‬‬

‫واﻟﻣوﺟ ودة ﻓ ﻰ ﺑرﻧ ﺎﻣﺞ‬

‫وﻣﻧﻬﺎ ﻧﺧﺗﺎر ‪ Help Broswer‬ﻟﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫وﻣن اﻟﺿروري ﻹﺟراء ﻫذا اﻟﺗﺣﻠﯾل ﺗﻧظﯾم اﺳﺗﺧدام ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت‪.‬‬ ‫‪٤٨٧‬‬

‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت )‪:(Data Matrix‬‬

‫ﺗﻧﺷـﺄ ﺑﯾﺎﻧـﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻣﺗﻌـددة ﻣــن ﺣﺎﺟـﺔ اﻟﺑﺎﺣـث ) اﻻﻗﺗﺻــﺎدي – اﻻﺟﺗﻣـﺎﻋﻲ – اﻟﺟﯾوﻟــوﺟﻲ‬

‫‪ ..‬أﻟ ــﺦ ( ﻟد ارﺳـ ــﺔ ﻋـ ــدد ‪ p  1‬ﻣـ ــن اﻟﻣﺗﻐﯾ ـ ـرات آﻧﯾـ ــﺎً ) أي ﻓـ ــﻲ ﻧﻔـ ــس اﻟوﻗـ ــت (‪ .‬وﺗﺳـ ــﺟل ﻗـ ــﯾم ﻫـ ــذﻩ‬

‫اﻟﻣﺗﻐﯾ ـرات ﻟﻛــل ﻣﻔــردة ﻣــن ﻣﻔــردات اﻟﻌﯾﻧــﺔ ‪ .‬ﻟــذﻟك ﯾﺳــﺗﺧدم اﻟرﻣــز ‪ x ij‬ﻟﻠﺗﻌﺑﯾــر ﻋــن ﻗﯾﻣــﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾــر ‪i‬‬ ‫اﻟﻣﺄﺧوذة ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻔردة ‪ j‬أي أن‪:‬‬

‫ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ i‬اﻟﻣﺄﺧوذة ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻔردة ‪x ij  j‬‬ ‫ﻟذﻟك ﻓﺈن ‪ n‬ﻣن اﻟﻘﯾﺎﺳﺎت اﻟﻣﺄﺧوذة ﻋﻠﻰ ‪ p‬ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات ﯾﻣﻛن ﺗﻧظﯾﻣﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫)‪(1‬‬

‫اﻟﻣﻔردة‬ ‫)‪(2)  ( j)  (n‬‬

‫)‪(1‬‬

‫‪x12  x1 j  x1n‬‬ ‫‪x 22  x 2 j  x 2n‬‬

‫‪x11‬‬ ‫‪x 21‬‬

‫‪‬‬ ‫‪xi 2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x i1‬‬

‫)‪(2‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪(i‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ x in‬‬

‫‪‬‬ ‫)‪(p‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xp1 xp 2  xpj  x pn‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ x ij‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬

‫اﻟﻣﺗﻐﯾر‬

‫‪‬‬ ‫‪p‬‬

‫وﯾﻣﻛن وﺿﻊ ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﻣﺻﻔوﻓﺔ ﯾرﻣز ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟرﻣز ‪ ‬ﻣن درﺟﺔ ‪  p  n ‬ﺣﯾث‬ ‫‪ p  1 , n  1‬وﺗﺳﻣﻰ ﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪ x1j  x1n ‬‬ ‫‪ x 2 j  x 2n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x ij  x in ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xpj  xpn ‬‬

‫‪ x11 x12‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 21 x 22‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪pn ‬‬ ‫‪ x i1 xi 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x p1 x p 2‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١-٩‬‬ ‫أﺣد ﻣراﻛز ﺑﯾﻊ اﻟﻛﺗب اﻟﺟﺎﻣﻌﯾﺔ ﺗم اﺧﺗﯾﺎر أرﺑﻊ ﻓواﺗﯾر ﻟﻔﺣص طﺑﯾﻌﺔ اﻟﻛﺗب اﻟﻣﺑﺎﻋﺔ‪.‬‬

‫وﺗﺷﻣل ﻛل ﻓﺎﺗورة )ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ ﻷﺷﯾﺎء أﺧرى( ﻋﻠﻰ ﻋدد اﻟﻛﺗب اﻟﻣﺑﺎﻋﺔ وﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت‪ .‬و ﺑﻔرض‬ ‫‪٤٨٨‬‬

‫أن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻷول ﻫو ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت وأن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻫو ﻋدد اﻟﻛﺗب اﻟﻣﺑﺎﻋﺔ‪ .‬وﺑﻧﺎء ﻋﻠﻰ ذﻟك‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﻧظر إﻟﻰ اﻷﻋداد اﻟﻣﺗﻧﺎظرة ﻓﻲ اﻟﻔواﺗﯾر اﻷرﺑﻊ ﻛﺄرﺑﻊ ﻗﯾﺎﺳﺎت ﻣﺄﺧوذة ﻋﻠﻰ ﻣﺗﻐﯾرﯾن‪.‬‬ ‫وﯾﻣﻛن ﻋرﺿﻬﺎ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ‪:‬‬

‫اﻟﻣﻔردات‬

‫ﻓﺎﺗورة )‪(4‬‬

‫ﻓﺎﺗورة )‪(3‬‬

‫ﻓﺎﺗورة )‪(2‬‬

‫ﻓﺎﺗورة )‪(1‬‬

‫‪58‬‬

‫‪48‬‬

‫‪52‬‬

‫‪42‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫اﻟﻣﺗﻐﯾر )‪ (1‬ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾر )‪ (2‬ﻋدد اﻟﻛﺗب‬ ‫اﻟﻣﺑﺎﻋﺔ‬

‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﺳﻠوب اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت ﻧﺟد أن‪:‬‬ ‫‪x11  42 x12  52 x13  48 x14  58‬‬

‫‪x 24  3‬‬

‫‪x23  4‬‬

‫‪x22  5‬‬

‫‪x 21  4‬‬

‫وﺗﻛون ﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ‪ ‬ﻣن اﻟدرﺟﺔ )‪ (2  4‬ﻫﻲ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪ 42 52 48 58 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪4 5 4 3 ‬‬ ‫وﻻ ﺷــك إن ﻋــرض ﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾ ـرات اﻟﻣﺗﻌــددة ﻓــﻲ ﺻــورة ﻣﺻــﻔوﻓﺎت ﯾﺟﻌﻠﻧــﺎ ﻧﺳــﺗﻔﯾد ﺑﻛــل ﻣــﺎ‬

‫‪‬‬

‫ﺗﻘدﻣـ ــﻪ ﻟﻧـ ــﺎ ﻧظرﯾـ ــﺔ اﻟﻣﺻـ ــﻔوﻓﺎت ﻣـ ــن أدوات ﻓـ ــﻲ اﻟﺗﺣﻠﯾـ ــل واﻟﺣﺳـ ــﺎب وﺗﺳـ ــﻬﯾل اﺳـ ــﺗﺧدام اﻟﺣﺎﺳـ ــﺑﺎت‬ ‫اﻻﻟﻛﺗروﻧﯾﺔ‪.‬‬

‫)‪ (٢-٩‬اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺎت اﻟوﺻﻔﯾﺔ‬

‫اﻟواﻗﻊ أن ﺿﺧﺎﻣﺔ ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺗﻌددة ﺗﺷﻛل ﻋﺎﺋﻘﺎً ﻷي ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﺗﻬدف ﻟﻼﺳﺗﻔﺎدة‬

‫واﺳﺗﺧﻼص اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻣن ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ‪ .‬وﻣﻊ ذﻟك ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻣﻛن ﺗﻘﯾﯾﻣﻬﺎ ﺑﺣﺳﺎب ﺑﻌض‬

‫اﻹﺣﺻﺎءات اﻟوﺻﻔﯾﺔ‪ .‬ﻓﻣﺛﻼً ﯾﻌﺗﺑر اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ )‪ (Sample Mean‬ﯾﺳﺗﺧدم ﻛﻣﻘﯾﺎس‬ ‫ﻟﻠﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ‪ .‬اﯾﺿﺎ ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ )‪ (Sample Variance‬ﯾﻌﺗﺑر ﻣﻘﯾﺎس ﯾﻌﺑر ﻋن اﻻﺧﺗﻼف‬ ‫أو اﻟﺗﺷﺗت ﻓﻲ ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت أي ﯾﺳﺗﺧدم ﻛﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺗﺷﺗت‪.‬‬

‫)‪ (١-٢-٩‬ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ‬

‫ﺑﻔرض أن ‪ x i1 , xi 2 , x in‬ﻫﻲ ‪ n‬ﻣن ﻣﺷﺎﻫدات اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ i‬ﻟذا ﻓﺈن ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ‬

‫)اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ( ﻟﻬذﻩ اﻟﻣﺷﺎﻫدات ‪ ،‬وﯾرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز ‪ xi‬ﻫو‪:‬‬

‫‪1 n‬‬ ‫‪xi   xij , i  1, 2,, p‬‬ ‫‪n j1‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﺑﻔرض أن ‪ x11 , x12 , x1n‬ﻫﻲ ‪ n‬ﻣن ﻣﺷﺎﻫدات اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻷول ‪ .‬ﻟذا ﻓﺈن‬ ‫‪٤٨٩‬‬

‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻬذﻩ اﻟﻣﺷﺎﻫدات ‪ ،‬وﯾرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز ‪ x1‬ﻫو ‪:‬‬

‫‪1 n‬‬ ‫‪ x1j‬‬ ‫‪n j1‬‬

‫‪x1 ‬‬

‫وﯾﺳﻣﻰ ‪ x1‬اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻷول وﺑﺎﻟﻣﺛل ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻛل ﻣﺗﻐﯾر ﻣن‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾرات‬

‫إذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ‪ x1 , x2 , xp‬ﻣن اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻬﺎ ﺑﺎﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪ x1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ xp ‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪:(٢-٩‬‬

‫ﺑﻔرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟواردة ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل )‪ (١-٩‬واﻟﻣطﻠوب اﻵن ﺣﺳﺎب‪:‬‬

‫ﻣﺗﺟﻪ ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪. x‬‬

‫اﻟــﺣــل‪:‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x1   x1j   42  52  48  58 ‬‬ ‫‪4 j1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 50 ,‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2   x 2 j   4  5  4  3‬‬ ‫‪4 j1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 ,‬‬ ‫‪ x1   50 ‬‬ ‫‪  ,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 2  4 ‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺳوف ﻧﺣل ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣوﺿوﻋﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ‬ ‫‪ nbastat‬اﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل اﻟﻣﻧﻘول ‪ Transpose‬ﻟﻠﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪٤٩٠‬‬

 42 52 48 58   4 5 4 3  Mean[nbastats] ‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﻪ ﻣن ﻣﺧرج‬



24

‫ﻣﺗﺟﻪ ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ‬

<<Statistics`MultiDescriptiveStatistics` nbastats={{42,4},{52,5},{48,4},{58,3}}; MatrixForm[nbastats] 42 4        52 5          48 4     58 3   Mean[nbastats] {50,4}

:(٣-٩) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﻟﻣوﺟودة ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬

nbastats

‫ﺑﻔرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻرﺑﻌﺔ ﻣﺗﻐﯾرات ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ‬ . x ‫واﻟﻣطﻠوب ﺣﺳﺎب ﻣﺗﺟﻪ ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ‬

:‫اﻟــﺣــل‬ <<Statistics`MultiDescriptiveStatistics` nbastats={{0.878,105.2,92.9, 0.54},{0.634,99.3, 96.1,0.517},{0.573,91.1, 88.5, 0.49},{0.561,98.3, 97.1,0.499},{0.561,95.4, 92.9, 0.507},{0.5, 102.8,103.4,0.495},{0.305,95.5, 100.9,0.487},{0.256,97.5, 105.,0.494}}; MatrixForm[nbastats] 0.878 105.2 92.9 0.54        0.634 99.3 96.1 0.517          0.573 91.1 88.5 0.49        0.561 98.3 97.1 0.499          0.561 95.4 92.9 0.507        0.5 102.8 103.4 0.495          0.305 95.5 100.9 0.487      0.256 97.5 105. 0.494  Mean[nbastats] {0.5335,98.1375,97.1,0.503625}

‫( ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ‬٢-٢-٩)

٤٩١

‫ﻣن ﻋﯾﻧﺔ ﺣﺟﻣﻬﺎ ‪ n‬ﻣن اﻟﻘﯾﺎﺳﺎت ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﺣﺳﺎب ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻛل ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﺗﻲ‬

‫ﻋددﻫﺎ ‪ p‬ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪, i  1, 2,, p.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪xij  xi ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n j1‬‬

‫‪si2 ‬‬

‫ﺣﯾث ﯾﺳﺗﺧدم ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻛﻣﻘﯾﺎس ﻟﻣدى ﺗﺷﺗت اﻟﻣﻔردات ﺣول وﺳطﻬﺎ اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ‪.‬‬ ‫وﻧﻧوﻩ ﻫﻧﺎ إﻟﻰ اﻟﻣﻼﺣظﺗﯾن اﻵﺗﯾﺗﯾن ‪:‬‬ ‫‪ ‬أﺣﯾﺎﻧ ــﺎً ﯾﻌـ ــرف ﺗﺑ ــﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧـ ــﺔ ﻣ ــن ﺧـ ــﻼل اﻟﻘﺳ ــﻣﺔ ﻋﻠـ ــﻰ ‪  n  1‬ﺑ ــدﻻً ﻣـ ــن ‪ . n‬وذﻟـ ــك‬ ‫ﻷﺳﺑﺎب ﻧظرﯾﺔ ﺗﺳﺗدﻋﻲ ذﻟك وﻻﺳﯾﻣﺎ ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﻋدد اﻟﻘﯾﺎﺳﺎت ‪ n‬ﺻﻐﯾراً ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻓﻲ دراﺳﺗﻧﺎ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺳﻧﺣﺗﺎج إﻟﻰ ﺗﻧظﯾم ﻣﺻﻔوﻓﺔ ‪  p  p ‬ﺑﺣﯾـث ﺗﻛـون اﻟﺗﺑﺎﯾﻧـﺎت ﻋﻠـﻰ‬ ‫اﻟﻘطــر اﻟرﺋﯾﺳــﻲ ﻟﻠﻣﺻــﻔوﻓﺔ‪ .‬ﻟــذﻟك ﯾﻔﺿــل اﻟﺗﻌﺑﯾ ـر ﻋــن ﺗﺑــﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧــﺔ ﺑــﺎﻟرﻣز ‪ . sii‬وﺑﻧــﺎء‬ ‫ﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪, i  1, 2,, p.‬‬

‫واﻟﺟذر اﻟﺗرﺑﯾﻌﻲ اﻟﻣوﺟب ﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪s ii‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪sii  s    xij  xi ‬‬ ‫‪n j1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬

‫ﯾﻌرف ﺑﺎﺳم اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ‬

‫)‪ ، (Sample Standard Deviation‬وﻫو ﯾﻘﯾس اﻟﺗﺷﺗت ﺑﻧﻔس وﺣدات ﻗﯾﺎس اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪:(٤-٩‬‬

‫ﺑﻔ ـ ــرض اﻟﺑﯾﺎﻧ ـ ــﺎت اﻟـ ـ ـواردة ﻓ ـ ــﻲ اﻟﻣﺛ ـ ــﺎل )‪ (١-٩‬واﻟﻣطﻠ ـ ــوب اﻵن ﺣﺳ ـ ــﺎب ﺗﺑﺎﯾﻧـ ـ ـﺎت اﻟﻌﯾﻧ ـ ــﺔ‬

‫واﻻﻧﺣراﻓﺎت اﻟﻣﻌﯾﺎرﯾﺔ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ‪.‬‬

‫اﻟــﺣــل‪:‬‬ ‫ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑﺎﺗﺑﺎع اﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪٤٩٢‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫] ‪ [ 42  50    52  50    48  50    58  50 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1j‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 34 ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫] ‪x 2 j  x2   [ 4  4    5  4    4  4    3  4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 0.7071 ,‬‬

‫‪s11 ‬‬

‫‪s 22 ‬‬

‫واﻻﻧﺣراﻓﺎت اﻟﻣﻌﯾﺎرﯨﺔ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﺑﺎﺧذ اﻟﺟذر‬ ‫اﻟﺗرﺑﯾﻌﻰ ﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ .‬وﻟﻠﻌﻠم ﻫﻧﺎك اﺷﻛﺎل اﺧرى ﻟﻣﻘﺎﯾﯾس‬ ‫اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ وﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗت ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ‬

‫ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋﻧﻬﺎ ﻣن ‪ Help‬ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﺳﺑق ان وﺿﺣﻧﺎ‬ ‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺳوف ﯾﻛون ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫;}}‪nbastats={{42,4},{52,5},{48,4},{58,3‬‬ ‫]‪MatrixForm[nbastats‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪42‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 48‬‬ ‫‪ 58‬‬

‫‪VarianceMLE[nbastats]//N‬‬ ‫}‪{34.,0.5‬‬ ‫‪StandardDeviationMLE[nbastats]//N‬‬ ‫}‪{5.83095,0.707107‬‬

‫)‪ (٣-٢-٩‬ﺗﻐﺎﯾر اﻟﻌﯾﻧﺔ‬ ‫ﻟﻧﻔرض أزواج اﻟﻘﯾﺎﺳﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ وﻋددﻫﺎ ‪ n‬ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪: 2 , 1‬‬ ‫‪ x11   x12 ‬‬ ‫‪ x1n ‬‬ ‫‪x  , x  , , x ‬‬ ‫‪ 21   22 ‬‬ ‫‪ 2n ‬‬ ‫ﻋﻧدﺋــذ ﺗﻘــﺎس اﻟﻌﻼﻗــﺔ اﻟﺧطﯾــﺔ )‪ (Linear Association‬ﺑــﯾن ﻗﯾﺎﺳــﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن ‪ 2,1‬ﻣــن‬

‫ﺧﻼل ﻣﺎ ﯾﻌرف ﺑﺗﻐﺎﯾر اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻟذي ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪1 n‬‬ ‫‪  x1j  x1  x2 j  x2 .‬‬ ‫‪n j1‬‬ ‫وﺑﺷﻛل ﻋﺎم ﻓﺈن ﺗﻐﺎﯾر اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪٤٩٣‬‬

‫‪s12 ‬‬

1 n sik    xij  xi  xkj  xk  n j1 i  1,2,, p

ik

k  1, 2,, p. ً‫ وﯾﻼﺣ ــظ أن اﻟﺗﻐ ــﺎﯾر ﯾﺻ ــﺑﺢ ﻣﺳ ــﺎوﯾﺎ‬. k ‫ واﻟﻣﺗﻐﯾ ــر‬i ‫وﻫ ــو ﯾﻘ ــﯾس اﻟﻌﻼﻗ ــﺔ اﻟﺧطﯾ ــﺔ ﺑ ــﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾ ــر‬

. k , i ‫ ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم‬sik  ski ‫ ﻛﻣﺎ أن‬. i  k ‫ﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻧدﻣﺎ‬

:‫ ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن واﻟﺗﻐﺎﯾر ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ‬ p  p  ‫واﻵن ﯾﻣﻛن ﺗﻧظﯾم ﻣﺻﻔوﻓﺔ ﻣرﺑﻌﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ‬

 s11 s12  s1p  s  s  s 21 22 2 p  S       pp    s s  s p 1 p 2 pp   ‫ أﻣــﺎ اﻟﻘــﯾم‬.‫ ﻣﺻــﻔوﻓﺔ ﻣﺗﻣﺎﺛﻠــﺔ‬Sn ‫ ﻓــﺈن ﻣﺻــﻔوﻓﺔ ﺗﺑﺎﯾﻧـﺎت و ﺗﻐــﺎﯾرات اﻟﻌﯾﻧــﺔ‬sik  ski ‫وﺣﯾــث أن‬

‫وﻟﻠﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ ﻣﻌﻠوﻣــﺎت ﻋــن ﻫــذﻩ اﻟﻣﺻــﻔوﻓﺔ ﻧﻧﻔــذ‬. sii ‫اﻟﺗــﻲ ﺗﻘــﻊ ﻋﻠــﻰ اﻟﻘطــر ﻓﻬــﻲ ﺗﺑﺎﯾﻧــﺎت اﻟﻌﯾﻧــﺔ‬ : ‫اﻻﻣرﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن‬ <<Statistics`MultinormalDistribution` ?CovarianceMatrix CovarianceMatrix[{{x11, ..., x1p}, ..., {xn1, ..., xnp}}] gives the p x p covariance matrix of the n p-dimensional vectors. Division by n-1 (rather than n) is used, giving an unbiased estimate of the population covariance (use CovarianceMatrixMLE for a maximum likelihood estimate). CovarianceMatrix[{{x11, ..., x1p}, ..., {xn1, ..., xnp}}, {{y11, ..., y1q}, ..., {yn1, ..., ynq}}] gives the p x q covariance matrix between the n p-dimensional vectors and the n qdimensional vectors. CovarianceMatrix[distribution] gives the covariance matrix of the specified multivariate statistical distribution.

:(٥-٩) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫( واﻟﻣطﻠ ـ ــوب اﻵن ﺣﺳ ـ ــﺎب ﺗﻐ ـ ــﺎﯾرات اﻟﻌﯾﻧ ـ ــﺔ‬١-٩) ‫ﺑﻔـ ــرض اﻟﺑﯾﺎﻧ ـ ــﺎت اﻟـ ـ ـواردة ﻓ ـ ــﻲ اﻟﻣﺛ ـ ــﺎل‬

. ‫واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرﯨﺔ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ‬

:‫اﻟــﺣــل‬ : ‫ﺗﻐﺎﯾر اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬

٤٩٤

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x1j  x  x 2 j  x   [ 42  50  4  4    52  50  5  4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫]‪  48  50  4  4    58  50  3  4 ‬‬

‫‪s12 ‬‬

‫‪ 1.5 ,‬‬ ‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺳوف ﯾﻛون ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`MultiDescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪aa1={42,52,48,58‬‬ ‫;}‪aa2={4,5,4,3‬‬ ‫]‪CovarianceMLE[aa1,aa2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫واﻻن ﯾﻣﻛن ﺗﻧظﯾم ﻣﺻﻔوﻓﺔ ﻣرﺑﻌﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪  2  2 ‬ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن واﻟﺗﻐﺎﯾر ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪1.5 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪0.5 ‬‬

‫‪s   34‬‬

‫‪s‬‬

‫‪S   11 12   ‬‬ ‫‪ s 21 s 22   1.5‬‬

‫)‪ (٤-٢-٩‬ﻣﻌﺎﻣل ارﺗﺑﺎط اﻟﻌﯾﻧﺔ‬ ‫أ‪ .‬ﻣﺻﻔوﻓﺔ ﻣﻌﺎﻣﻼت ارﺗﺑﺎط اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪. R‬‬

‫وﻫو ﻣﻘﯾﺎس ﻟدرﺟﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺧطﯾﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾرﯾن وﻟﻛﻧﻪ ﻋﻠﻰ ﻋﻛس ﺗﻐﺎﯾر اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻻ‬ ‫ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ وﺣدات اﻟﻘﯾﺎس‪ .‬ﻣﻌﺎﻣل ارﺗﺑﺎط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ i, k‬ﯾﻌرف ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪٤٩٥‬‬

‫‪s ik‬‬ ‫‪sii skk‬‬ ‫‪ xi  xkj  xk ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ij‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪j1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ xk ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪kj‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪j1‬‬

‫‪ik‬‬

‫‪2‬‬

‫‪rik ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪  xij  xi ‬‬ ‫‪j1‬‬

‫‪i  1,2,, p‬‬ ‫‪k  1, 2,, p.‬‬

‫وﯾﻼﺣظ أن ‪ rik  rki‬ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪ . i, k‬ﻛﻣﺎ أن ﻣﻌﺎﻣل ارﺗﺑﺎط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﺗﻣﺗﻊ ﺑﺎﻟﺧﺻﺎﺋص‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫أ‪ .‬ﺗﻧﺣﺻر ﻗﯾﻣﺔ ‪ rik‬ﺑﯾن ‪. 1 ,  1‬‬

‫ب‪ .‬ﯾﻘﯾس ‪ rik‬ﻗوة اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺧطﯾﺔ‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ‪ rik  0‬ﻓﺈن ﻫذا ﯾﻌﻧﻲ ﻓﻘط ﻋدم وﺟود ﻋﻼﻗﺔ‬ ‫ﺧطﯾﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ i‬واﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ ، k‬ﺑل ﻗد ﯾﻌﻧﻲ أن ﻫﻧﺎك ﻋﻼﻗﺔ ﻏﯾر ﺧطﯾﺔ‪.‬‬ ‫وﻣن ﺟﻬﺔ أﺧرى ﺗوﺿﺢ إﺷﺎرة ‪ rik‬ﻧوع اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺧطﯾﺔ‪:‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ rik  0‬ﻓﻬذا ﯾﻌﻧﻲ وﺟود ﻋﻼﻗﺔ ﻋﻛﺳﯾﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن‪.‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ rik  0‬ﻓﻬذا ﯾﻌﻧﻲ وﺟود ﻋﻼﻗﺔ طردﯾﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن‪.‬‬

‫ج‪ .‬ﻻ ﺗﺗﻐﯾر ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ‪ rik‬إذا ﺗﻐﯾرت ﻗﯾﺎﺳﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ i‬وﻗﯾﺎﺳﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ k‬إﻟﻰ‬

‫‪y ij  a x ij  b ‬‬ ‫‪ j  1, 2,, n , i  k‬‬ ‫‪y kj  c x kj  d ‬‬ ‫ﺑﺷرط أن ﺗﻛون اﻟﺛواﺑت ‪ c , a‬ﻟﻬﺎ ﻧﻔس اﻹﺷﺎرة‪.‬‬ ‫ﻫذا وﯾﻣﻛن ﺗﻧظﯾم ﻣﻌﺎﻣﻼت اﻻرﺗﺑﺎط ﻓﻲ ﻣﺻﻔوﻓﺔ ﻣرﺑﻌﺔ ﺗﺳﻣﻰ ﻣﺻﻔوﻓﺔ ﻣﻌﺎﻣﻼت ارﺗﺑﺎط‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪ r1p ‬‬ ‫‪ r2p ‬‬ ‫‪ r3p ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 1 ‬‬

‫‪r12 r13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r 1‬‬ ‫‪r23‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪R   r13 r23 1‬‬ ‫‪pp  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪ 1p 2p r3p‬‬ ‫‪٤٩٦‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪:(٦-٩‬‬ ‫ﺑﻔرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟواردة ﻓﻲ اﻟﻣﺛـﺎل )‪ (١-٩‬واﻟﻣطﻠـوب اﻵن ﺣﺳـﺎب ﻣﻌﺎﻣـل اﻻرﺗﺑـﺎط ﻟﻠﻌﯾﻧـﺔ‬ ‫وﻣﺻﻔوﻓﺔ ﻣﻌﺎﻣﻼت اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﻌﯾﻧﺔ‬

‫اﻟــﺣــل‪:‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ﺗم ﺣﺳﺎﺑﺔ وﯾﺳﺎوى ‪ 0.36‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻼت اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗﻛون ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ r12‬‬

‫‪r12   1‬‬ ‫‪0.36 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1   0.36‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺳوف ﯾﻛون ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪R ‬‬

‫`‪<<Statistics`MultiDescriptiveStatistics‬‬ ‫;}}‪nbastats={{42,4},{52,5},{48,4},{58,3‬‬ ‫‪Correlation[aa1,aa2]//N‬‬ ‫‪-0.363803‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪:(٧-٩‬‬ ‫اﺳﺗﺧدم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﻪ اﻟﻣﺄﺧوذﻩ ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات ‪ X1 , X 2 ,X 3‬ﻓﻲ ﺣﺳﺎب ‪: x,S , R‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪x3‬‬

‫اﻟــﺣــل ‪:‬‬ ‫ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪٤٩٧‬‬

‫‪x1‬‬

x1 

1 n 1 x1j  [9+2+6+5+8]  n j1 5 =6,

x2 

1 n 1 x 2 j  [12  8  6  4  10]  n j1 5 =8,

1 n 1 x 3   x 3 j  [3  4  0  2  1] n j1 5  2.

: ‫ﻛذﻟك ﻓﺎن ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﻪ ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‬

2 1 n 1 2 2 2 2 2 s11    x1j  x1   [ 9  6    2  6    6  6    5  6   8  6  ] n j1 5

6, 2 1 n 1 2 2 2 2 2 s 22    x 2 j  x 2   [12  8    8  8    6  8    4  8   10  8  ] n j1 5

8 , 2 1 n 1 2 2 2 2 2 s33    x 3 j  x 3   [ 3  2    4  2    0  2    2  2   1  2  ] n j1 5

2, n

s12 

1 1 x1j  x1  x 2 j  x 2   [ 9  6 12  8    2  6 8  8    n j1 5   6  6  6  8  +  5  6  4  8   8  6 10  8 ] =4,

٤٩٨

s13 

1 n 1 x1j  x1  x 3 j  x 3   [ 9  6  3  2    2  6  4  2    n j1 5   6  6  0  2  +  5  6  2  2   8  6 1  2 ]  1.4 ,

1 n 1 s 23    x 2 j  x 2  x 3 j  x 3   [12  8  3  2   8  8   4  2  n j1 5   6  8  0  2  +  4  8  2  2   10  8 1  2 ]  1.2 .

:‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﺻﻔوﻓﺔ ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت و ﺗﻐﺎﯾرات اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻫﻲ‬ 4 1.4   6 S  4 8 1.2  .   1.4 1.2 2  : ‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ <<Statistics`MultiDescriptiveStatistics` nbastats={{9,12,3},{2,8,4},{6,6,0},{5,4,2},{8,10,1}}; me=Mean[ nbastats] {6,8,2} aa1= CovarianceMatrixMLE[nbastats]//N {{6.56,4.8,-1.4},{4.8,8.,1.2},{-1.4,1.2,2.}} aa1=MatrixForm[aa1]

6. 4.  1.4         4. 8. 1.2      1.4 1.2 2.  

:‫ﻛذﻟك ﻓﺈن ﻣﻌﺎﻣﻼت ارﺗﺑﺎط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻫﻲ‬

s11  1  r22  r33 , s11s11 s12 4 4 r12     0.58 , s11 s 22 6 8 48 s13 1.4 1.4 r13     0.405 , s11 s33 6 2 12 s 23 1.2 1.2 r23     0.3 . s 22 s33 8 2 16 r11 

: ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻣﺻﻔوﻓﺔ ﻣﻌﺎﻣﻼت ارﺗﺑﺎط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻫﻲ‬ ٤٩٩

‫‪0.58 0.405‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪R   0.58‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 0.405 0.3‬‬ ‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`MultiDescriptiveStatistics‬‬ ‫;}}‪aa1={{9,12,3},{2,8,4},{6,6,0},{5,4,2},{8,10,1‬‬ ‫‪cor=CorrelationMatrix[aa1]//N‬‬ ‫‪cor//MatrixForm‬‬

‫{‪{{1.,0.57735,-0.404145},{0.57735,1.,0.3},‬‬‫}}‪0.404145,0.3,1.‬‬ ‫‪1.‬‬ ‫‪0.57735  0.404145 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.57735‬‬ ‫‪1.‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪1.‬‬ ‫‪  0.404145‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻫﻧﺎك اﺧﺗﻼﻓﺎت ﺑﺳﯾطﺔ ﻓﻰ اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻧﺗﯾﺟﺔ ﻟﻌﻣﻠﯾﺔ اﻟﺗﻘرﯾب ﻓﻰ اﻟﺣل اﻟﯾدوى ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪:(٨-٩‬‬

‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻲ ﺛﻣﺎﻧﯾﺔ أزواج ﻣن اﻟﻘﯾﺎﺳﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪: X1 , X 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬

‫‪-6‬‬ ‫‪-3‬‬

‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬

‫واﻟﻣطﻠوب‪:‬‬ ‫أ‪ .‬ﺣﺳﺎب ﻣﺗﺟﻪ ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ وﻣﺻﻔوﻓﺔ ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت و ﺗﻐﺎﯾرات اﻟﻌﯾﻧﺔ وﻛذﻟك ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻼت اﻻرﺗﺑﺎط ‪.‬‬

‫اﻟــﺣــل ‪:‬‬

‫‪1 8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x1j   6  3  3  1  2  5  6  8   2 ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8 j1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪x1 ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 3  4  2  2  2  1  5  3   1 ,‬‬ ‫‪8‬‬ ‫وﯾﺻﺑﺢ ﻣﺗﺟﻪ ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻫو ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x  ,‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪٥٠٠‬‬

‫‪x2 ‬‬

s11  

2 1 8 x1j  x1    8 j1

1 2 2 2 2 [ 6  2    3  2    3  2   1  2  8 2

  2  2    5  2    6  2   8  2  ] 1 [64  25  1  1  0  9  16  36] 8  19 , 2 1 8 s 22    x 2 j  x2  8 j1 



1 2 2 2 2 [ 3  1   4  1   2  1   2  1 8 2

  2  1  1  1   5  1   3  1 ] 1 [16  25  1  1  1  0  16  4] 8 =8, 

s12

1 8    x1j  x1  x 2 j  x2  8 j1 1 [ 6  2  3  1   3  2  4  1   3  2  2  1  1  2  2  1 8   2  2  2  1   5  2 1  1   6  2  5  1   8  2  3  1] 

1  32  25  1  1  0  0  16  12  8  10.625 , 

:‫وﻣﺻﻔوﻓﺔ ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت و ﺗﻐﺎﯾرات اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻫﻲ‬

10.625   19 S  , 10.625 8   r11  r22  1 , s12 10.625 r12   s11 s 22 19 8

 0.86 . ٥٠١

: ‫وﻣﺻﻔوﻓﺔ ﻣﻌﺎﻣﻼت ارﺗﺑﺎط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻫﻲ‬ 0.86   1 R  . 0.86 1   : ‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ <<Statistics`MultiDescriptiveStatistics` aa1={{-6,-3},{-3,-4},{3,2},{1,2},{2,2},{5,1},{6,5},{8,3}}; Mean[aa1] {2,1} aa2= CovarianceMatrixMLE[aa1]//N aa3=MatrixForm[aa2] {{19.,10.625},{10.625,8.}}



19. 10.625  10.625 8.

cor//MatrixForm



1. 0.861801  0.861801 1.

:(٩-٩) ‫ﻣﺛﺎل‬ R,S , x ‫ ﻓﻲ ﺣﺳﺎب‬X1 , X 2 ‫اﺳﺗﺧدم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﻪ اﻟﻣﺄﺧوذﻩ ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات‬ x1

5.5

7.5

: ‫اﻟــﺣــل‬ x1 

1 7 1 x1j  [3  4  2  6  8  2  5]  7 j1 7  4.29 ,

1 7 1 x 2   x 2 j  [5  5.5  4  7  10  5  7.5] 7 j1 7  6.29 ,

: ‫ﻣﺗﺟﻪ ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﻪ ﻫو‬

٥٠٢

 4.29  x ,  6.29  :‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت و ﺗﻐﺎﯾرات اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻫﻲ‬

s11 

2 1 7 x1j  x1    7 j1

1 2 2 2 2 [  3  4.29    4  4.29    2  4.29    6  4.29  7 2

  8  4.29    2  4.29    5  4.29  ] 1 [1.66  0.08  5.24  2.92  13.76  5.24  0.5] 7  4.2 , 2 1 7 s22   x 2 j  x 2  7 j1 =

1 2 2 2 2 [ 5  6.29   5.5  6.29    4  6.29    7  6.29  7 2

 10  6.29    5  6.29   7.5  6.29  ] 1 [1.66  0.62  5.24  0.5  13.76  1.66  1.46] 7  3.56 , 1 7 s12 =   x1j  x  x 2 j  x  7 j1 =

1 [  3  4.29  5  6.29    4  4.29  5.5  6.29  7   2  4.29  4  6.29    6  4.29  7  6.29  

  8  4.29 10  6.29    2  4.29  5  6.29    5  4.29  7.5  6.29 ] 1 [1.66  0.23  5.24  1.21  13.76  2.95  0.86] 7  3.7 , s12  s 21  3.7 . =

: ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت و ﺗﻐﺎﯾرات اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻫﻲ‬ ٥٠٣

‫‪4.2 3.7 ‬‬ ‫‪S ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3.7 3.56 ‬‬ ‫ﻛذﻟك ﻓﺈن ﻣﻌﺎﻣﻼت إرﺗﺑﺎط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪r11  r22  1 ,‬‬ ‫‪s12‬‬ ‫‪3.7‬‬ ‫‪r12 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s11 s 22‬‬ ‫‪4.2 3.56‬‬

‫‪ 0.957 .‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﺻﻔوﻓﺔ ﻣﻌﺎﻣﻼت ارﺗﺑﺎط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻫﻲ‪:‬‬

‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪0.957 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪R ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 0.957‬‬

‫`‪<<Statistics`MultiDescriptiveStatistics‬‬ ‫;}}‪aa1={{3,5},{4,5.5},{2,4},{6,7},{8,10},{2,5},{5,7.5‬‬ ‫‪Mean[aa1]//N‬‬ ‫}‪{4.28571,6.28571‬‬ ‫‪aa2= CovarianceMatrixMLE[aa1]//N‬‬ ‫}}‪{{4.20408,3.70408},{3.70408,3.56122‬‬ ‫]‪aa3=MatrixForm[aa2‬‬

‫‪4.20408 3.70408‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3.70408 3.56122‬‬

‫‪‬‬

‫‪cor//MatrixForm‬‬

‫‪1.‬‬ ‫‪0.861801‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.861801‬‬ ‫‪1.‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪:(١٠-٩‬‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ‪ testavg‬واﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل درﺟﺎت اﻋﻣﺎل اﻟﺳﻧﺔ ﻟﻌﺷرون‬ ‫طﺎﻟب واﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ‪ fscore‬واﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل درﺟﺎت اﺧر اﻟﻌﺎم ﻓﻰ ﻣﺎدة ﻣﺎ‬

‫واﻟﻣطﻠوب اﯾﺟﺎد ﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺗﻐﺎﯾر واﻟﺗﺑﺎﯾن وﻣﺗﺟﻪ اﻟﻣﺗوﺳط ورﺳم‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﺛﻧﺎﺋﻰ‬

‫واﻟﻛوﻧﺗور ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﺗم اﻟﺗﺣﺻل ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺣﯾث اﻟﻛوﻧﺗور ﻫو ‪ f(x,y)=c‬ﺣﯾث ‪ c‬ﺛﺎﺑت ‪:‬‬ ‫‪٥٠٤‬‬

‫اﻟﺣل‪:‬‬ ‫‪testavg={55.667,84.667,91,75.667,66.667,79,74.667,65,80.3‬‬ ‫;}‪33,91.667,71,49,41,88,79,79.667,61.333,56,61,72.667‬‬ ‫‪fscore={47,94,85,89,72,82,82,77,80,95,72,61,52,93,84,91,7‬‬ ‫;}‪3,35,46,88‬‬ ‫]‪Clear[sig,mn‬‬

‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد ﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺗﻐﺎﯾر واﻟﺗﺑﺎﯾن ‪:‬‬ ‫‪sig=CovarianceMatrix[Transpose[{testavg,fscore}]]//N‬‬ ‫}}‪{{195.948,207.526},{207.526,315.042‬‬

‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد ﻣﺗﺟﻪ اﻟﻣﺗوﺳط ‪:‬‬ ‫‪mn=Mean[Transpose[{testavg,fscore}]]//N‬‬ ‫}‪{71.1501,74.9‬‬

‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﺟذور اﻟﻣﻣﯾزة‪:‬‬ ‫]‪Eigenvalues[sig‬‬ ‫}‪{471.395,39.5955‬‬ ‫]‪Clear[f‬‬ ‫‪f[x_,y_]:=PDF[MultinormalDistribution[mn,‬‬ ‫]}‪sig],{x,y‬‬

‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﺛﻧﺎﺋﻰ ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗﺣﺻل ﻋﻠﯾﻬﺎ ‪:‬‬ ‫]‪Plot3D[f[x,y],{x,40,100},{y,30,100},PlotPoints->25‬‬

‫‪0.001‬‬ ‫‪0.00075‬‬ ‫‪0.0005‬‬ ‫‪0.00025‬‬

‫‪100‬‬ ‫‪80‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪60‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪80‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪SurfaceGraphics‬‬

‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﺛﻧﺎﺋﻰ ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗﺣﺻل ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑﺷﻛل اﺧر ‪:‬‬ ‫‪Plot3D[f[x,y],{x,40,100},{y,30,100},PlotPoints‬‬‫]}‪>25,ViewPoint->{2.376, -0.028, 2.409‬‬

‫‪٥٠٥‬‬

100 0.001 0.00075 0.0005 0.00025 0 100

SurfaceGraphics

: ‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ اﻟﻛوﻧﺗور ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗﺣﺻل ﻋﻠﯾﻬﺎ‬ ContourPlot[f[x,y],{x,40,100},{y,30,100},PlotPoints>30,ContourShading->False] 100

30 40

ContourGraphics

٥٠٦

100

‫اﻟﻔﺻل اﻟﻌﺎﺷر‬

‫اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ‬

‫‪٥٠٧‬‬

‫ﻓﻰ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت ﯾﻛون اﻻﻫﺗﻣﺎم ﺑﺄﻛﺛر ﻣن ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻰ ‪ . X1,X2,…,X3‬ﻟـذﻟك ﯾﻛـون‬ ‫ﻣـ ـ ــن اﻟﻣﻧﺎﺳ ـ ـ ــب رﯾﺎﺿ ـ ـ ــﯾﺎ اﻟﻧظ ـ ـ ــر إﻟ ـ ـ ــﻰ ﺗﻠـ ـ ــك اﻟﻣﺗﻐﯾـ ـ ـ ـرات ﻛﻣﻛوﻧ ـ ـ ــﺎت ﻟﻣﺗﺟ ـ ـ ــﻪ ‪ X‬أﺑﻌ ـ ـ ــﺎدﻩ )‪، (kx1‬‬

‫)‪ ، X=(X1,X2,…,Xk‬واﻟﻣﺳـ ـ ـ ـ ـ ــﻣﻰ ﺑﺎﻟﻣﺗﺟـ ـ ـ ـ ـ ــﻪ اﻟﻌﺷ ـ ـ ـ ـ ـ ـواﺋﻰ وﻫـ ـ ـ ـ ـ ــذا ﯾﺟﻌﻠﻧـ ـ ـ ـ ـ ــﺎ ﻧﻔﺗـ ـ ـ ـ ـ ــرض اﻟﻘ ـ ـ ـ ـ ـ ــﯾم‬ ‫)‪ x=(x1,x2,…,xk‬ﻓﻲ اﻟﺑﻌد ‪ . k‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﻘﯾﻣـﺔ اﻟﻣﺷـﺎﻫدة ‪ x‬ﻫـﻰ ﻧﺗﯾﺟـﺔ ﻗﯾـﺎس ‪ k‬ﻣـن‬ ‫اﻟﺻﻔﺎت ﻣﺛل ﻗﯾﺎس اﻟطـول واﻟـوزن وﺿـﻐط اﻟـدم … إﻟـﻰ ‪ k‬ﻣـن اﻟﺻـﻔﺎت ﻟﻣﺷـﺎﻫدة ﻣـﺎ أو ﻗـد ﺗﻛـون‬ ‫اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﻰ ﻋددﻫﺎ ‪ k‬ﻟﻣﺣﺎوﻻت ﻣﺗﻛررة ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺗﻬﺗم ﺑﻣﺗﻐﯾر واﺣد ‪.‬‬

‫)‪ (١-١٠‬اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ‪Joint Discrete Distributions-‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻓـﻲ ﺣﺎﻟـﺔ ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ واﺣـد إﻟـﻰ‬ ‫اﻟﺻﯾﻐﺔ ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن أو أﻛﺛر ‪.‬‬

‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻣﺷـﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﺟـﻪ ﻋﺷـواﺋﻲ ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﻘطـﻊ ) ‪X = (X1 X,2,...,Xk‬‬

‫ﺗﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫) ‪f(x1 ,x 2 ,...,x k ) = P(X1 = x1 ,X 2 = x 2 ,...,X k = x k‬‬ ‫وذﻟك ﻟﻛل اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن ) ‪. x = ( x 1 , x 2 ,..., x k‬‬ ‫ﻧظرﯾــــﺔ ‪ :‬ﯾﻘـ ــﺎل ﻟﻠداﻟـ ــﺔ )‪ f(x1,x2,…,xk‬أﻧﻬـ ــﺎ داﻟـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ اﺣﺗﻣـ ــﺎل ﻣﺷـ ــﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﺟـ ــﻪ اﻟﻌﺷ ـ ـواﺋﻲ‬ ‫) ‪ x  (x1,x2,...,xk‬ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ إذا وﻓﻘط إذا ﺣﻘﻘت اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫)أ( ‪ f(x1,x2,…,xk)  0‬ﻟﺟﻣﯾﻊ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ‬

‫)‪(x1,x2,…,xk‬‬

‫)ب( ‪...  f(x ,x ,...,xk ) = 1.‬‬ ‫‪x1 x2 1 2‬‬ ‫وﻋﻠــﻰ ذﻟــك )‪ P(B‬اﺣﺗﻣــﺎل اﻟﺣﺎدﺛ ـﺔ ‪) B‬ﺣﯾــث ‪ B‬ﻓﺋــﺔ ﺟزﺋﯾــﺔ ﻣــن ﻓﺿــﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾــرات اﻟﻌﺷ ـواﺋﯾﺔ ﻓــﻰ‬ ‫اﻟﺑﻌد ‪ ( k‬ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫) ‪P(B)   . . . f(x1 ,x 2 ,...,x k‬‬ ‫‪B‬‬

‫ﻟﻠﺗﺳﮭﯾل ﺑﻔرض أن ﻟدﯾﻧﺎ ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ‪ Y,X‬ﺑﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻲ )‪ h(y),g(x‬ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺗواﻟﻲ ‪ .‬اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟوﻗوع ‪ Y,X‬ﻓﻲ آن واﺣد ﻋﺑﺎرة ﻋن ﺻﯾﻐﺔ داﻟﺔ ﻋﺎدة ﯾﺷﺎر إﻟﯾﮭﺎ‬ ‫ﺑﺎﻟرﻣز )‪ f (x, y‬وﺗﺳﻣﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ Y,X‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﻔﺻل ‪ ،‬ﻓﺈن )‪ f (x, y)  P(X  x, Y  y‬أي أن )‪ f (x, y‬ﺗﻌطﻰ اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع‬ ‫‪ Y,X‬ﻓﻲ آن واﺣد ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ Y,X‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﮭﻣﺎ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ اﻟﻣﺷﺗرك )‪، f (x, y‬‬ ‫ﻓﺈن ھذه اﻟداﻟﺔ ﺗﺣﻘق اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪-:‬‬ ‫) ا ( ‪ f (x, y)  0‬ﻟﺟﻣﯾﻊ اﻟﻘﯾم )‪، (x, y‬‬ ‫‪٥٠٨‬‬

‫) ب ( ‪ f (x, y)  1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك )‪ P(B‬اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪) B‬ﺣﯾث ‪ B‬ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣـن ﻓﺿـﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ ﻓـﻰ اﻟﺑﻌـد‬ ‫)‪ ( k=2‬ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬

‫‪ f(x ,x ) .‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪P(B)  ‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١-١٠‬‬ ‫إذا أﻟﻘﯾﻧﺎ زھرﺗﻲ ﻧرد ﻣرة واﺣدة وإذا ﻛﺎﻧت ‪ X‬ﺗﻣﺛل اﻟﻧﻘط اﻟﺗﻲ ﺗظﮭر ﻋﻠﻰ اﻟﺳطﺢ اﻟﻌﻠوي‬ ‫ﻟﻠزھرة اﻷوﻟﻰ و ‪ Y‬ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻧﻘط اﻟﺗﻲ ﺗظﮭر ﻋﻠﻰ اﻟﺳطﺢ اﻟﻌﻠوي ﻟﻠزھرة اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ‪ .‬أوﺟد‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X,Y‬وﺣﻘق ﻋﻠﯾﮫ اﻟﺷروط‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, x  1,2,3,4,5,6.‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪y  1,2,3,4,5,6.‬‬ ‫اﻟﺷرط اﻷول ﻣﺗﺣﻘق ﻷن ‪:‬‬

‫‪P(X  x , Y  y)  f(x,y) ‬‬

‫‪ f (x, y)  0‬ﻟﺟﻣﯾﻊ اﻟﻘﯾم )‪. (x, y‬‬ ‫اﻟﺷرط اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻣﺗﺣﻘق ﻷن ‪:‬‬

‫‪ f (x, y)  1 ,x  1,2,3,4,5,6 ; y  1,2,3,4,5,6.‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫ﺳوف ﻧﺛﺑت اﻟﺷرط اﻟﺛﺎﻧﻰ ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪fx_, y_ :‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪  fx, y‬‬ ‫‪y1 x1‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻟﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن ﻋﺷ ـواﺋﯾﯾن ﻣــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺗﻘطــﻊ ﯾﻣﻛــن وﺿــﻊ داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ ﻓــﻰ‬ ‫ﺟـدول ﻣــزدوج ﯾﺑــﯾن ﻗــﯾم ﻛــل اﻟﻣﺗﻐﯾـرﯾن ‪ X1,X2‬ﻣـﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻻت اﻟﻣﻘﺎﺑﻠــﺔ ﻟﻬﻣــﺎ وﺧﺻوﺻــﺎ إذا ﻛﺎﻧــت‬ ‫اﻟﺻﯾﻐﺔ ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X1,X2‬ﻏﯾر ﻣﻌروﻓﺔ ‪.‬‬ ‫‪٥٠٩‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢-١٠‬‬

‫وﻋــﺎء ﯾﺣﺗــوى ﻋﻠــﻰ ﺛــﻼث ﻛـرات ﻣرﻗﻣــﺔ ﻣــن ‪ 1‬إﻟــﻰ ‪ . 3‬اﺧﺗﯾــرت ﻛـرﺗﯾن ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎ ﻣــن اﻟوﻋــﺎء واﺣــدة‬ ‫ﺗﻠـو اﻷﺧـرى ﺑـدون إرﺟـﺎع ﻓــﺈن ﻛـﺎن ‪ X1‬ﯾﻣﺛـل رﻗـم اﻟﻛـرة اﻷوﻟــﻰ و ‪ X2‬ﯾﻣﺛـل رﻗـم اﻟﻛـرة اﻟﺛﺎﻧﯾـﺔ‪ .‬داﻟــﺔ‬ ‫ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X1,X2‬ﻣﻌطﺎة ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺟدول أن ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪) 1 .‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪  f (x , x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x1 =1 x 2 =1‬‬

‫ﻛﻣ ــﺎ أن ﻫﻧ ــﺎك ﺑﻌ ــض اﻟﻧﺗ ــﺎﺋﺞ اﻟﻣﺳ ــﺗﺣﯾﻠﺔ اﻟﺣ ــدوث ﻣﺛ ــل )‪ (3,3‬أو )‪ (1,3‬واﻟﺗ ــﻰ ﯾﻌ ــﯾن ﻟﻛ ــل ﻣﻧﻬﻣ ــﺎ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺻﻔر‪.‬‬ ‫وﯾﻣﻛن ﺗﻧﻔﯾذ ذﻟك ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫;‪, ,  , 0, ,  , , 0‬‬ ‫‪6 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6 6‬‬

‫‪jointpmf  0,‬‬

‫]‪aa1=Apply[Plus,jointpmf‬‬

‫‪1 1 1‬‬ ‫‪, , ‬‬ ‫‪3 3 3‬‬

‫‪‬‬

‫]‪aa2=Apply[Plus,aa1‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﺣﯾث ‪ jointpmf‬اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟﻘﯾم ﻣﺣﺗوﯾﺎت اﻟﺟدول ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٣ -١٠‬‬ ‫‪٥١٠‬‬

‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (٢-١٠‬أوﺟد ‪.P(X1 < X2) :‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)‪P(X1 < X2) = f(1,2) + f(1,3) + f(2,3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+ + = 0.5 .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫=‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٤ -١٠‬‬ ‫إذا ﻛــﺎن‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن ﻋﺷ ـواﺋﯾﯾن ﺑداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣــﺎل ﻣﺷــﺗرﻛﺔ ﻣﻌطــﺎة ﻓــﻰ اﻟﺟــدول‬

‫اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬

‫‪.10‬‬ ‫‪.15‬‬

‫‪.2‬‬ ‫‪.05‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪250‬‬

‫أوﺟد ‪. P(X2  100) :‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)‪P(X2  100) = f(100,100) + f(250,100) + f(100,200) + f(250,200‬‬ ‫‪= .1 + .15+.2 + .3 = .75.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥ -١٠‬‬ ‫أﺛﺑت أن اﻟداﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻣﺛل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬

‫‪, x1  1,2,3,... ; x 2  1,2,3...‬‬ ‫‪e.w.‬‬

‫‪ 9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x1 , x 2 )   4 x 1  x 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪,‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺷرط اﻷول ﻣﺗﺣﻘق ﺣﯾث ‪ f  x1, x 2   0‬ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪x1 , x2‬‬ ‫ﯾﺑﻘﻲ اﺛﺑﺎت أن ‪:‬‬

‫‪)=1.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ f(x ,x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪٥١١‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪ 1  1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4   4  =1 .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=9‬‬ ‫‪ x2   1     1  ‬‬ ‫‪x 2 =2 4‬‬ ‫‪1‬‬‫‪1‬‬‫‪  4     4  ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪9‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪=9  x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 1 +x 2‬‬ ‫‪x 2 =1 4‬‬ ‫‪x 1 =1 4‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x1 1‬‬

‫ﺳوف ﻧﺛﺑت ذﻟك ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪4x y‬‬

‫‪fx_, y_ :‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪  fx, y‬‬ ‫‪y1 x1‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٦ -١٠‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ X1 , X 2 ,X 3‬ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺑداﻟﺔ ﻛﺗﻠﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻣﻌرﻓﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ‪-:‬‬ ‫‪ 2 x 2  x 3 ) , x 1  1, 2 , x 2  0 , 1, 2 x 3  0 , 1‬‬ ‫‪e .w .‬‬

‫ﺣﯾث ‪ c‬ﻣﻘدار ﺛﺎﺑت ‪ .‬أوﺟد ﻗﯾﻣﺔ اﻟﺛﺎﺑت ‪ c‬ﺛم اوﺟد اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

‫‪c ( x 1‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪f (x1, x 2 , x 3 ) ‬‬

‫‪= 0‬‬

‫)‪P ( X 1  1, X 2  1, X 3  0‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺣﯾث أن اﻟداﻟﺔ‬

‫) ‪f (x1, x 2 , x 3‬‬

‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ وﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪   f (x1, x 2 , x 3 )  1‬‬ ‫‪x1 x 2 x 3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪   f (x1, x 2 , x 3 )  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪x 1 1 x 2  0 x 3  0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪c    (x1  2x 2  x 3 )  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪x 1 1 x 2  0 x 3  0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪36‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫=‪c‬‬

‫‪‬‬

‫‪36c=1‬‬

‫‪‬‬

‫)‪f[x1_,x2_,x3_]:=(x1+2x2-x3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪aa1     fx1, x2, x3‬‬ ‫‪x30 x20 x11‬‬

‫‪36‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪aa1‬‬

‫‪٥١٢‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪36‬‬

‫وﻋﻧد ﺗﻌوﯾض ﻫذﻩ اﻟﻘﯾﻣﺔ ﻓﻲ داﻟﺔ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ‪X1,X2,X3‬‬ ‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪f (x1, x 2 , x 3 )  ‬‬ ‫‪( x 1  2 x 2  x 3 ) , x 1  1, 2 , x 2  0 , 1, 2 x 3  0 , 1‬‬ ‫‪ 36‬‬ ‫‪= 0 , e .w .‬‬

‫وﻣﻧﻬﺎ ﻧﺟد أن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪, x 2 , 0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪  f (x‬‬

‫‪‬‬

‫)‪P (X 1  1, X 2  1, X 3  0‬‬

‫‪x1 1 x 2 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪( x 1  2 x 2 ) 18‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x1 1 x 2 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫وﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪aa2  c    fx1, x2, 0‬‬ ‫‪x11 x21‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٧ -١٠‬‬

‫إذا ﻛــﺎن‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫و‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن ﻋﺷ ـواﺋﯾﯾن ﺑداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣــﺎل ﻣﺷــﺗرﻛﺔ ﻣﻌطــﺎة ﻓــﻰ اﻟﺟــدول‬

‫اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬

‫‪.10‬‬ ‫‪.15‬‬

‫‪.2‬‬ ‫‪.05‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪250‬‬

‫أوﺟد ‪. P(X2  100) :‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)‪P(X2  100) = f(100,100) + f(250,100) + f(100,200) + f(250,200‬‬ ‫‪= .1 + .15+.2 + .3 = .75.‬‬ ‫ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾــف ‪ :‬إذا ﻛــﺎن ﻟﻠﻣﺗﺟــﻪ اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ ) ‪ X=(X1 ,X 2‬داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ ) ‪ f(x1 ,x 2‬ﻓــﺈن‬ ‫اﻟداﻟــﺔ اﻟﻬﺎﻣﺷــﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر ‪ X1‬واﻟﺗــﻲ ﯾرﻣــز ﻟﻬــﺎ ﺑــﺎﻟرﻣز ) ‪ f1 (x1‬واﻟداﻟــﺔ اﻟﻬﺎﻣﺷــﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر ‪ X 2‬واﻟﺗــﻲ‬ ‫ﯾرﻣز ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟرﻣز ) ‪f 2 (x 2‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﻣﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪٥١٣‬‬

‫‪f (x 1 )=  f(x 1 ,x 2 ),‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪f 2 (x 2 )=  f(x 1 ,x 2 ).‬‬ ‫‪x1‬‬

‫وأﻛﺛر ﻣن ذﻟك إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪f ( x1 ,..., x j ,..., x k ) .‬‬

‫‪‬‬

‫‪f j ( x j )   ...‬‬

‫‪all i  j‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٨ -١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X1‬و ‪ X2‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﻬﻣﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻛل ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ X1‬و ‪. X2‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+ + = = ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫= )‪f(1,x2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+ + = = ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫= )‪f(2,x2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+ + = = ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫= )‪f(3, x2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x‬‬

‫= )‪P(X1=1) = f1(1‬‬

‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬

‫= )‪P(X1=2) = f1(2‬‬

‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬

‫= )‪P(X1=3) = f1(3‬‬

‫‪2 ‬‬

‫وﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ واﻟﻣوﺟودة ﻓﻰ ‪aa2‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪aa1   , , ,  , , ,  , , ‬‬ ‫‪9 9 9‬‬ ‫‪9 9 9‬‬ ‫‪9 9 9‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪ , ,‬‬ ‫‪,  ,‬‬ ‫‪, ,  , , ‬‬ ‫‪9 9 9‬‬ ‫‪9 9 9‬‬ ‫‪9 9 9‬‬ ‫]‪aa2=Apply[Plus,aa1‬‬

‫‪1 1 1‬‬ ‫‪, , ‬‬ ‫‪3 3 3‬‬ ‫‪٥١٤‬‬

‫‪‬‬

‫أى أن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X1‬ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x1 = 1,2,3‬‬

‫‪f1 ( x 1 ) ‬‬

‫‪= 0 , e.w .‬‬ ‫وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X2‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪, x2 = 1,2,3‬‬ ‫‪, e.w.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f 2 (x 2 ) ‬‬

‫‪=0‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٩ -١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ‪ X1‬و ‪ X2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪; x 2  1, 2‬‬

‫‪x1  x 2‬‬ ‫‪, x1  1, 2,3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬

‫‪f (x1 , x 2 ) ‬‬

‫أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻛل ﻣن ‪ X1‬و ‪. X2‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X1‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪2x1 +3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪2‬‬

‫=) ‪f1 (x1 )=  f(x1 ,x 2‬‬ ‫‪x 2 =1‬‬

‫أي أن ‪:‬‬ ‫‪2x1  3‬‬ ‫‪, x1  1, 2, 3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬

‫‪f1 (x1 ) ‬‬

‫وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X2‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪6  3x 2‬‬ ‫‪, x1  1, 2‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬

‫‪f (x 2 ) ‬‬

‫وﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ واﻟﻣوﺟودة ﻓﻰ ‪ aa1,aa2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪x1  x2‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪fx1_, x2_ :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3  2 x1‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪٥١٥‬‬

‫‪3‬‬

‫‪aa2  Simplify  fx1, x2‬‬ ‫‪x11‬‬

‫‪2  x2‬‬ ‫‪7‬‬

‫)‪ (١-١-١٠‬داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X1 , X2‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺣﯾث ‪ x1 , x2‬أﻋدادا ﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫) ‪F(x1 , x 2 )= P(X1  x 1 , X 2  x 2‬‬

‫ﻫذﻩ اﻟداﻟﺔ ﻟﻠﻧﻘطﺔ )‪ (x1,x2‬ﺗﺳﻣﻰ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X1 , X2‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫) ‪F(x1 ,x 2 ) = P(X1  x1 , X 2  x 2‬‬ ‫‪= f(t1 ,t 2 ) .‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪t1  x1 t 2  x 2‬‬

‫وﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﺟﻪ اﻟﻌﺷواﺋﻲ ) ‪ X=(X1 ,X 2 ,...X k‬ﻫﻲ داﻟﺔ اﻟﻧﻘطﺔ ‪:‬‬ ‫)‪F(x1,x2,…,xk) = P(X1  x1,X2  x2,…,Xk xk‬‬ ‫‪f(t1 ,t 2 ,...,t k ).‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪tk  xk‬‬

‫‪‬‬

‫‪t1  x1 t 2  x 2‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬اﻟداﻟﺔ )‪ F(x1,x2‬ﻫﻲ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ إذا وﻓﻘط إذا ‪:‬‬ ‫‪lim F(x1 ,x 2 ) = F(-,x 2 ) = 0‬‬

‫‪x1 ‬‬

‫ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪x2‬‬ ‫‪lim F(x1 ,x 2 ) = F(x1 ,-) = 0‬‬

‫‪x 2 ‬‬

‫ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪x1‬‬ ‫‪lim F(x ,x ) = F( ,) = 1‬‬ ‫‪x1 1 2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪F(b,d) – F(b,c) – F(a,d) + F(a,c)  0‬‬ ‫ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪. c < d , a < b‬‬ ‫) ‪lim F( x1  h , x 2 ) = lim F( x 1 , x 2  h )  F( x 1 , x 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪h 0‬‬

‫ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪. x1,x2‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٠ -١٠‬‬ ‫ﻫل اﻟداﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﺣﻘق ﺷروط داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ‪:‬‬

‫‪٥١٦‬‬

‫‪h 0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F(x1 , x 2 )  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x1  x 2   1 ,‬‬ ‫‪x1  x 2   1 .‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ a = c = -1‬و ‪ b=d=1‬ﻓﻲ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ‪:‬‬ ‫)‪F(1,1) - F(1,-1) - F(-1,1) + F(-1,-1‬‬ ‫‪= 1 – 1 – 1 + 0 = -1‬‬ ‫أى ﻻ ﺗﺣﻘــق ﺷــرط ﻣــن ﺷــروط اﻟداﻟــﻪ )‪ F(x,y‬وﻋﻠــﻰ ذﻟــك )‪ F(x1,x2‬ﻻ ﺗﻣﺛــل داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣــﺎل‬ ‫ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪. X1 , X 2‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١١ -١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪:‬‬ ‫‪f(x1,x2) = c , x1 = 1,2,3,4,5‬‬ ‫‪x2 = 1,2,3,4‬‬ ‫ﺗﻣﺛل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X1 ,X2‬أوﺟد ﻗﯾم ‪ c‬ﺛم أوﺟد داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪4‬‬

‫‪=1‬‬

‫) ‪f(x 1 ,x 2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪‬‬

‫‪x1 = 1 x 2 = 1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪c‬‬

‫‪=1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x1 =1 x 2 =1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪x 2 = 1 ,2 ,3 ,4‬‬

‫;‬

‫‪5‬‬

‫‪‬‬

‫= ‪c‬‬

‫‪ 4c =20c = 1‬‬ ‫‪x1 1‬‬

‫‪x 1 = 1 ,2 ,3 ,4 ,5‬‬ ‫‪, e .w .‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f(x 1 ,x 2 )   2 0‬‬ ‫‪ 0‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪1 x 1x 2‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪w1=1 w2=1‬‬

‫‪‬‬

‫‪F(x 1 ,x 2 )= ‬‬

‫‪x 1 <1 or x 2 <1 ,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ F(x 1 ,x 2 )  1 2‬‬ ‫‪1٥١٧‬‬ ‫‪ x1  5 , 1  x 2  4‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 1  5 , x 2  4.‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻻﺣظ ان ‪:‬‬

‫‪F(5,4)  1 , F(0,x 2 )  F(x1,0)  0,‬‬ ‫‪P(3  X1  5,2  X 2  4) ‬‬ ‫)‪F(5,4)+F(3,2)  F(3,4)-F(5,2‬‬ ‫‪6 12 10 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪20 20 20 5‬‬ ‫ﺗﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ‪.‬‬

‫)‪ (٢-١-١٠‬اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻌدد اﻟﺣدود ‪Multinomial Distribution‬‬ ‫ﺗﺟرﺑ ــﺔ ذى اﻟﺣ ــدﯾن ﺗﺳ ــﻣﻰ ﺗﺟرﺑ ــﺔ ﻣﺗﻌ ــددة اﻟﺣ ــدود ‪ multinomial experiment‬إذا‬ ‫ﻛﺎﻧــت ﻛــل ﻣﺣﺎوﻟــﺔ ﻟﻬــﺎ ‪ k‬ﻣــن اﻟﻧ ـواﺗﺞ ﺣﯾــث ‪ . k > 2‬ﻋﻣوﻣــﺎ إذا ﻛﺎﻧــت ﻟﻣﺣﺎوﻟــﺔ ﻣﻌطــﺎة ‪ k‬ﻣــن‬ ‫اﻟﻧ ـواﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧــﺔ ‪ E1,E2,…,Ek‬ﺑﺎﺣﺗﻣــﺎﻻت ‪ ، p1,p1,…,pk‬ﻓــﺈن اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﺗﻌــدد اﻟﺣــدود ﺳــوف‬ ‫ﯾﻌطﻰ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت أن ‪ E1‬ﺗﺣدث ‪ x1‬ﻣن اﻟﻣرات وأن ‪ E2‬ﺗﺣـدث ‪ x2‬ﻣـن اﻟﻣـرات و…و ‪ Ek‬ﺗﺣـدث‬ ‫‪ xk‬ﻣــن اﻟﻣ ـرات ﻓــﻰ ‪ n‬ﻣــن اﻟﻣﺣــﺎوﻻت اﻟﻣﺳــﺗﻘﻠﺔ ‪ ،‬ﺣﯾــث ‪ . x1+x2+…+xk = n‬ﺳــوف ﻧرﻣــز‬

‫ﻟﻠﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﺗﻌـدد ﺑـﺎﻟرﻣز )‪ . f(x1,x2,…,xk;p1,p2,…,pk,n‬ﻣـن اﻟواﺿــﺢ أن ‪p1+p2+…+pk=1‬‬ ‫ﻷن ﻧﺗﯾﺟــﺔ ﻛــل ﻣﺣﺎوﻟــﺔ ﻻﺑــد أن ﺗﻛــون واﺣــدة ﻣــن اﻟﻧ ـواﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧــﺔ ‪ .‬اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﺗﻌــدد اﻟﺣــدود ﯾﻛــون‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫)‪f(x1,x2,…,xk; p1,p2,…,pk,n‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪p1x1 p x2 2 ... p xk k ,‬‬ ‫! ‪x1! x 2!...x k‬‬

‫‪k‬‬

‫‪‬‬

‫‪k‬‬

‫ﺣﯾـ ـ ـ ـ ـ ـ ــث ‪.  pi  1,  x i  n‬ﻛﺛﯾـ ـ ـ ـ ـ ـ ــر ﻣـ ـ ـ ـ ـ ـ ــن اﻟﻣ ارﺟـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻊ ﺗﺿـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻊ داﻟـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎل‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫)‪ f(x1,x2,…,xk;p1,p2,…,pk,n‬ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة ‪:‬‬ ‫)‪f(x1,x2,…,xk-1;p1,p2,…,pk-1‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪p1x1 p x2 2 ... p xk k ,‬‬ ‫! ‪x1! x 2!...x k-1!x k‬‬

‫ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪0  xi  n‬‬

‫‪k-1‬‬

‫‪i=1‬‬

‫‪p k = 1-  p i , x k  n -  x i‬‬

‫ﺣﯾث ﯾﺧﺗزل ﻋدد اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ إﻟﻰ )‪ (k-1‬ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات ‪.‬‬ ‫‪٥١٨‬‬

‫ﺳوف ﻧﻛﺗب )‪ X ~ MULT(n,p1,p2,…,pk-1‬ﻟﻠدﻻﻟـﺔ ﻋﻠـﻰ إن )‪ X = (X1,X2,…,Xk-1‬ﯾﺗﺑـﻊ‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻌدد اﻟﺣدود ﺑﻣﻌﺎﻟم ‪. n , p1 , p2 ,…, pk-1‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٢ -١٠‬‬ ‫إذا أﻟﻘﯾت زﻫرة ﻧرد ﻣﺗزﻧﺔ ﻟﻬﺎ أرﺑﻌﺔ اوﺟﻪ ‪ 20‬ﻣرة وﺗـم ﺗﺳـﺟﯾل اﻟـرﻗم اﻟـذى ﯾظﻬـر ﻓـﻲ ﻛـل ﻣـرة‪ .‬أوﺟـد‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟرﻗم ‪ 1‬أرﺑـﻊ ﻣـرات واﻟـرﻗم ‪ 2‬ﺳـﺗﺔ ﻣـرات واﻟـرﻗم ‪ 3‬ﺧﻣـس ﻣـرات واﻟـرﻗم ارﺑﻌـﺔ‬ ‫ﺧﻣس ﻣرات‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪ pi = .25‬ﺣﯾـث ‪ i = 1,2,3,4‬ﺑﻔـرض ‪ X1‬ﯾﻣﺛـل ظﻬـور اﻟـرﻗم ‪ 1‬و ‪ X2‬ﯾﻣﺛـل ظﻬـور اﻟـرﻗم ‪2‬‬ ‫و‪ X3‬ﯾﻣﺛل ظﻬور اﻟرﻗم ‪ 3‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫)‪P(X1 = 4, X2 = 6 , X3 = 5‬‬ ‫!‪20‬‬ ‫‪(.25)20  .0089.‬‬ ‫)!‪(4!)(6!)(5!)(5‬‬

‫‪‬‬

‫وﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ واﻟﻣوﺟودة ﻓﻰ ‪: aa1‬‬

‫‪20 ‬‬ ‫‪0.2520‬‬ ‫‪4 655 ‬‬

‫‪aa1 ‬‬ ‫‪0.00889239‬‬

‫إذا ﻛـﺎن )‪ X1,X2 ~ MULT(n,p1,p2‬ﻓـﺈن داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷـﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪ X1‬ﺳــوف‬ ‫ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ , n,p1‬أى أن )‪ X1 ~ BIN(n,p1‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫)‪,x2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f(x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬

‫= ) ‪f 1 (x 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪n x 1‬‬

‫) ‪f(x 1 ,x 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x 2 0‬‬

‫‪(n-x1 )-x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪x1 n-x1 (n-x1 )!p2 2  (1-p1 )-p2 ‬‬ ‫=‬ ‫‪p1 ‬‬ ‫!) ‪x1!(n-x1‬‬ ‫!‪x 2! (n-x1 )-x2 ‬‬ ‫‪x2 =0‬‬ ‫‪n-x1‬‬ ‫‪ n-x ‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪(n-x )-x‬‬ ‫=‬ ‫‪p1x1   1  p 2 x 2  (1-p1 )-p 2  1 2‬‬ ‫!) ‪x1!(n-x1‬‬ ‫‪x 2 =0  x 2 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪=   p1x1 [p 2 +(1-p1 )-p 2 ]n-x1‬‬ ‫‪ x1 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪=   p1x1 (1-p1 ) n-x1‬‬ ‫‪ x1 ‬‬

‫وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن )‪. X2 ~ BIN(n,p2‬‬ ‫‪٥١٩‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣن اﻟﺣزﻣﺔ‬ ‫`‪MultiDiscreteDistributions‬‬

‫ﻣن اﻟدﻟﯾل ‪. Statistics‬‬ ‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذﻩ اﻟﺣزﻣﺔ وﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟرﺋﯾﺳﯾﺔ ﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺧﺗﺎر ‪Help‬‬ ‫وﻣﻧﻬﺎ ﻧﺧﺗﺎر ‪ Help Broswer‬ﻟﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫وﯾﻣﻛن ﺗﺣﻣﯾل ﻫذﻩ اﻟﺣزم ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ ﻣﺎ ﯾﺎﺗﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`MultiDiscreteDistributions‬‬

‫اﻻواﻣر اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻟﺗﻌرﯾف داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﺛﻧﺎﺋﻰ اﻟﺣدود ﺑﺎﻟﻣﻌﺎﻟم }‪. p = {.4, .6‬‬ ‫ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﻌﺗﺑر ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﺣﯾث ‪x 2  n  x1‬‬ ‫;}‪(p = {.4, .6‬‬ ‫)]‪mdist = MultinomialDistribution[10, p‬‬ ‫‪٥٢٠‬‬

‫]}‪MultinomialDistribution[10,{0.4,0.6‬‬ ‫]}‪pdf = PDF[mdist, {x1, x2‬‬ ‫‪Ifx1  x2  10, 0.4x1 0.6x2 Multinomialx1, x2, 0‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾﻠﻬﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫;]}‪(r = Range[0, 10]; t = Transpose[{r + .5, r‬‬ ‫[‪ListDensityPlot‬‬ ‫‪Table[pdf, {x1, 0, 10}, {x2, 0, 10}],‬‬ ‫)]}‪FrameTicks -> {t, t‬‬ ‫‪0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10‬‬

‫‪DensityGraphics‬‬

‫)‪P(6  X  7‬‬ ‫]}‪CDF[mdist, {6, 7‬‬ ‫‪0.777948‬‬ ‫وﻟﻠﻌﻠم ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﺑﺎﻟﻣﻌﺎﻟم اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ اى ﯾﺳﻣﻰ ﺗوزﯾﻊ ﺛﻧﺎﺋﻰ اﻟﺣدﯾن ﺣﯾث ‪. x2=n-x1‬‬

‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺣﺳﺎب اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﺛﻼﺛﻰ ﻣن اﻟﻣﺧرج اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪Mean[MultinomialDistribution[n, {p1, p2, p3}]],‬‬ ‫]]}‪Mean[MultinomialDistribution[n, {p1, p2, p3‬‬ ‫}‪{n p1,n p2,n p3‬‬

‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺗوﻟﯾد ﻣﺗﺟﻪ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﺛﻼﺛﺔ ﻣن اﻟﻣﺧرج اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪. :‬‬ ‫]]}‪Random[MultinomialDistribution[10, {.2, .3, .5‬‬ ‫}‪{5,3,2‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٣ -١٠‬‬ ‫ﺑﻔرض أﻧﻪ ﺗم اﺧﺗﯾـﺎر ‪ 10‬ﺳـﻣﻛﺎت ﻣـن ﺑﺣﯾـرة ﻛﺑﯾـرة وﺗﺻـﻧﯾﻔﻬﺎ ﻋﻠـﻰ ﺣﺳـب ﻧوﻋﻬـﺎ إﻟـﻰ اﻟﻧـوع ‪ A‬أو‬

‫‪ B‬أو ‪ . C‬ﻓﺈذا ﻛـﺎن ‪ X1‬ﯾﻣﺛـل ﻋـدد اﻟﺳـﻣﻛﺎت ﻓـﻰ اﻟﻌﯾﻧـﺔ ﻣـن اﻟﻧـوع ‪ A‬و ‪ X2‬ﯾﻣﺛـل ﻋـدد اﻟﺳـﻣﻛﺎت‬ ‫ﻣــن اﻟﻧــوع ‪ B‬و ‪ X3‬ﯾﻣﺛــل ﻋــدد اﻟﺳــﻣﻛﺎت ﻣــن اﻟﻧــوع ‪ . C‬وﺑﻔــرض أن ﻧﺳــﺑﺔ اﻷﺳــﻣﺎك ﻣــن اﻟﻧــوع ‪A‬‬ ‫ﻓﻰ اﻟﺑﺣﯾرة ﻫو ‪ p1=.25‬واﻟﻧوع ‪ B‬ﻫو ‪ p2=.3‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪. p3=1-.25-.3=.45‬‬ ‫‪٥٢١‬‬

P(X1  3 , X 2  4 , X 3  3)

: ‫أوﺟد‬ :‫اﻟﺣــل‬



10! (.25)3 (.3)4 (.45)3 3!4!3!

 .0484. : ‫ ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ‬Sec2.5 ‫ ﻣن اﻟﺟزء‬KnoxProb ‫اﻟﺣل ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ‬

Multinomial3, 4, 3  .253  .34  .453 0.0484386

(١٤ -١٠ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫إذا ﻛﺎن‬ (X1,X2) ~ MULT(10,.25,.5)

: ‫أوﺟد‬

P(X1 = 2, X2 =5) :‫اﻟﺣــل‬ 10! (.25)2 (.5)5 (.25)3 2!5!3!  0.0769.

P(X1 = 2, X 2 =5) 

:aa1 ‫ ﺳوف ﯾﺗم اﻟﺣل ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ‬: ‫اوﻻ‬ p1=.25;p2=.5;n=10;

fx1_, x2_ :

n  p1x1 p2x2 x1 x2n  x1  x2 

1 p1  p2 nx1x2 f[2,5] 0.0769043

aa1 

10 .252.55.252 2 53

0.307617 f[2,5] 0.0769043

: ‫ ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ‬Sec2.5 ‫ ﻣن اﻟﺟزء‬KnoxProb ‫ اﻟﺣل ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ‬:‫ﺛﺎﻧﯾﺎ‬ Multinomial2, 5, 3  .252  .55  .253 0.0769043

٥٢٢

‫ﺗﻌﻣﯾم ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدى‪Extended Hypergeometric Distribution‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ اﻟزاﺋدى ﻟﯾﻌﺎﻣل ﻟﻠﺣﺎﻟﺔ اﻟﺗﻰ ﯾﻛون ﻓﯾﻬـﺎ اﻟﻣﺟﺗﻣـﻊ ﻣﻘﺳـم إﻟـﻰ ‪k‬‬

‫ﻣن اﻟﺧﻼﯾﺎ ‪ A1,A2,…,Ak‬ﺣﯾث ‪ a1‬وﺣدة ﻓﻰ اﻟﺧﻠﯾـﺔ ‪ A1‬و ‪ a2‬وﺣـدة ﻓـﻰ اﻟﺧﻠﯾـﺔ ‪ A2‬و…و ‪ak‬‬

‫وﺣدة ﻓﻰ اﻟﺧﻠﯾﺔ ‪. Ak‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ اﻟزاﺋدى ﯾﺎﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪ a1  a 2   a k ‬‬ ‫‪   ...  ‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f(x1 ,x 2 ,...,x k ; a1 ,a 2 ,...,a k ,N,n) =  1  2   k ‬‬ ‫‪ N‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪k‬‬

‫‪i=1‬‬

‫ﺣﯾث ‪ x i  n, a i  N‬‬ ‫ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻣراﺟﻊ ﯾﺿﻊ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫)‪f(x1,x2,…,xk;; a1,a2,…,ak,N,n‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة ‪:‬‬ ‫)‪f(x1,x2,…,xk-1; a1,a2,…,ak-1,N,n‬‬ ‫‪ N‬‬ ‫‪/  ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪k -1‬‬

‫ﺣﯾث‬

‫‪i‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪a k ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ xk ‬‬ ‫‪k -1‬‬

‫‪ ak  N ‬و ‪ xi‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a  a ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=  1   2  …  k ‬‬ ‫‪ x 1   x 2   x k -1 ‬‬

‫‪ x k  n ‬و ‪0  xi  n‬‬

‫‪i 1‬‬

‫ﺳــوف ﻧﻛﺗــب )‪ X ~ HYP(n,a1,a2,…,ak-1,N‬ﻟﻠدﻻﻟــﺔ ﻋﻠــﻰ أن )‪ X=(X1,X2,…,Xk-1‬ﯾﺗﺑــﻊ‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ اﻟﻣﻌﻣم‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٥ -١٠‬‬ ‫ﯾوﺟـد ﻓــﻲ وﻋــﺎء ‪ 12‬ﻛـرة ﻣﺗﺷــﺎﺑﻬﺔ ﻣﻧﻬــﺎ ‪ 3‬ﺣﻣـراء و ‪ 4‬ﺑﯾﺿــﺎء و ‪ 5‬زرﻗــﺎء ﺳــﺣﺑت ﺛــﻼث ﻛـرات ﻣــن‬ ‫اﻟوﻋﺎء ﺑدون ارﺟﺎع ‪ .‬ﺑﻔرض أن ‪ X,Y‬ﺗﻣﺛـل ﻋـدد اﻟﻛـرات اﻟﺣﻣـراء واﻟﺑﯾﺿـﺎء اﻟﻣﺧﺗـﺎرة ﻋﻠـﻲ اﻟﺗـواﻟﻲ‬ ‫أوﺟد ‪:‬‬

‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪X,Y‬‬

‫أ‪-‬‬

‫ب ‪ -‬أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻛل ﻣن ‪X,Y‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫أ ‪ -‬داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X,Y‬ﻣﻌطﺎﻩ ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪٥٢٣‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f1(y‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪56‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪220‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪220‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪220‬‬

‫‪0‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪220‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪220‬‬

‫‪27‬‬ ‫‪220‬‬

‫‪108‬‬ ‫‪220‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪220‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪f2(x‬‬

‫ب – اﻟدوال اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X ,Y‬ﻫﻣﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪   ,‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪12-3‬‬ ‫‪3-x‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪12-3-4‬‬ ‫‪3-x-y‬‬

‫‪=  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪y=0‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪  ‬‬ ‫‪f (x)=  f(x,y)= ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪12-3-4‬‬ ‫‪3-x-y‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪y=0‬‬

‫وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣﺗطﺎﺑﻘﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪ a  b   a  b ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ j  n  j   n ‬‬

‫‪ =     , y  0,1, 2,3.‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12-4‬‬ ‫‪3-y‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬ ‫‪j=0‬‬

‫‪  ‬‬ ‫‪(y)=  f(x,y)= ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪12-3-4‬‬ ‫‪3-x-y‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪3‬‬

‫‪x=0‬‬

‫‪f2‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٦ -١٠‬‬ ‫ﯾﺣﺗوى وﻋـﺎء ﻋﻠـﻰ ‪ 1000‬ﺑـذرة زﻫـور ﺣﯾـث ‪ 400‬ﺑـذرة ﻟزﻫـور ﻟوﻧﻬـﺎ اﺣﻣـر و‪ 400‬ﺑـذرة ﻟزﻫـور ﻟوﻧﻬـﺎ‬ ‫أﺑــﯾض و‪ 200‬ﺑــذرة ﻟزﻫــور ﻟوﻧﻬــﺎ زرﻗــﺎء ‪ .‬ﻓــﺈذا اﺧﺗﯾــرت ‪ 10‬ﺑــذور ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎ ﺑــدون إرﺟــﺎع ﻓــﺈن‬

‫‪X1‬‬

‫ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟﺑذور اﻟﺗﻰ ﻟوﻧﻬﺎ أﺣﻣر ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧـﺔ و‪ X2‬ﯾﻣﺛـل ﻋـدد اﻟﺑـذور اﻟﺗـﻰ ﻟوﻧﻬـﺎ أﺑـﯾض ﻓـﻰ اﻟﻌﯾﻧـﺔ‬ ‫و‪ X3‬ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟﺑذور اﻟﺗﻰ ﻟوﻧﻬﺎ أزرق ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ .‬داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‬ ‫‪٥٢٤‬‬

‫اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات ‪ X1,X2,X3‬ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)‪f(x1,x2 ; 400,400,1000,10‬‬ ‫‪ 400  400 1000  400  400 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 1  x 2  10  x 1  x 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪1000 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 10 ‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ x i  10  n ,‬‬

‫‪i 1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 400  400  200  1000  .‬‬

‫‪i‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫اﺣﺗﻣــﺎل اﻟﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ ﺑــذرﺗﯾن ﻟزﻫــور ﻟــوﻧﻬم أﺣﻣــر ﺑﺎﻟﺿــﺑط و‪ 5‬ﺑــذور ﻟزﻫــور ﻟــوﻧﻬم أﺑــﯾض وﺛﻼﺛــﺔ‬ ‫ﺑذور ﻟوﻧﻬم أزرق ﻫو ‪ . f(2,5 ) = .0331‬ﻫﻧﺎ ﻗﯾم ‪ x2,x1‬ﺗم ﺗﺣدﯾـدﻫم أﯾﺿـﺎ وﻋـدد اﻟﺑـذور اﻟزرﻗـﺎء‬ ‫ﺗم ﺗﺣدﯾدﻩ ﻋن طرﯾق ‪.10-x1-x2‬‬ ‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪a=400;b=400;N1=1000;n=10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪f[x_,y_]:=(Binomial[a,x]*Binomial[b,y]*Binomial[N1-a‬‬‫]‪b,n-x-y])/Binomial[N1,n‬‬ ‫‪f[2,5]//N‬‬ ‫‪0.0331123‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٧-١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪:‬‬ ‫)‪(X1,X2,X3,X4)~ HYP(40,60,70,20,200,25‬‬ ‫أوﺟـ ــد داﻟـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣـ ــﺎل اﻟﻣﺷـ ــﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ـ ـرات ‪ X1,X2,X3,X4‬وأوﺟـ ــد داﻟـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣـ ــﺎل‬ ‫اﻟﻬﺎﻣﺷﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X3‬وداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪X1,X2‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)‪f(x1,x2,x3, x4 ; 40,60,70,20, 200,25‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 40  60  70  20 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 1  x 2  x 3  x 4  25  x1 - x 2 - x 3  x 4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 200 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 25 ‬‬ ‫‪٥٢٥‬‬

‫ﺣﯾث ‪x1+x2+x3+x4  25‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺑدون ﺗﺟﻣﯾﻊ ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X 3‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 70  130 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 3  25  x 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ) ‪f3 (x 3‬‬ ‫‪, x 3  0,1, 2,..., 25,‬‬ ‫‪ 200 ‬‬ ‫‪ 25 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫و داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X1 , X 2‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 40  60  100‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 1  x 2  25  x 1 - x 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,0  x 1 ,0  x 2 , x 1  x 2  25.‬‬ ‫‪f 12 x1 , x 2  ‬‬ ‫‪ 200 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 25 ‬‬

‫)‪(٢-٩‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ‬ ‫‪Joint Continuous Distributions‬‬

‫ﺗﻌرﯾـــف‪ :‬ﯾﻘ ــﺎل ﻟﻠﻣﺗﺟ ــﻪ اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻲ ) ‪ X = (X1 ,X 2 ,...,X k‬أﻧ ــﻪ ﻣ ــن اﻟﻧ ــوع اﻟﻣﺗﺻ ــل إذا ﻛ ــﺎن ﻟ ــﻪ‬ ‫) ‪ f(x1 ,x 2 ,...,x k‬واﻟﻣﺳ ــﻣﺎة داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل اﻟﻣﺷ ــﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﺟ ــﻪ ‪ X‬ﺑﺣﯾ ــث أن داﻟ ــﺔ‬

‫اﻟداﻟ ــﺔ‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻬم ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪x1‬‬

‫‪,.., t k )dt1...dt k‬‬

‫‪2‬‬

‫‪   f(t , t‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫ﻟﻛل ﻗﯾم ) ‪x = ( x1,x2,…,xk‬‬

‫‪xk‬‬

‫‪F(x1 , x 2 ,..., x k ) ‬‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫وﻛﻣــﺎ ﻓــﻲ ﺣﺎﻟــﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻰ ﻓــﻰ اﻟﺑﻌــد اﻟواﺣــد ‪ ،‬ﻓــﺈن داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ‬

‫)‪ f(x1,x2,..,xk‬ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫) ‪ k F(x1, x 2 ,..., x k‬‬ ‫=) ‪f(x1 ,x 2 ,...,x k‬‬ ‫‪x1x 2 x k‬‬ ‫ﺣﯾث اﻟﺗﻔﺎﺿﻼت اﻟﺟزﺋﯾﺔ ﻣوﺟودة‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾــــﺔ ‪ :‬ﯾﻘـ ــﺎل ﻟﻠداﻟـ ــﺔ )‪ f(x1,x2,…,xk‬أﻧﻬـ ــﺎ داﻟـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ اﺣﺗﻣـ ــﺎل ﻣﺷـ ــﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﺟـ ــﻪ اﻟﻌﺷ ـ ـواﺋﻲ‬ ‫) ‪ X  ( X1 , X 2 ,...X k‬إذا وﻓﻘط إذا ﺣﻘﻘت اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫)أ( ‪ f(x1,x2,…,xk)  0‬ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم‬

‫)ب( ‪ 1‬‬

‫‪x1,x2,…,xk‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪   f(x1 , x 2 ,..., x k )dx1...dx k‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪٥٢٦‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٨ -١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X2 ,X1‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪f(x1,x2) = 4 x1 x2‬‬ ‫‪0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1‬‬ ‫‪=0 ,‬‬ ‫‪e.w .‬‬ ‫أوﺟد داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ )‪. F(x1,x2‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪x1‬‬

‫‪)dt1dt 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪  f(t , t‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪t 2 dt1dt 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪ 4t‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0  x1  1, 0  x 2  1.‬‬

‫‪F(x1 , x 2 ) ‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ x x 22‬‬

‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪x1‬‬

‫‪4  t1  t2 t1 t2‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪‬‬

‫‪0 0‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪x1 x2‬‬

‫ﻫـذا اﻟﺗﻌرﯾـف ﻟﻠداﻟـﺔ)‪ F(x1,x2‬ﻓـﻰ اﻟﻔﺗـرة ‪ 0 < x1 < 1‬و ‪ 0 < x2 < 1‬وﻟﻛـن ﯾوﺟـد ﻓـﻰ اﻟﺣﻘﯾﻘـﺔ‬

‫أرﺑﻌﺔ ﻣﻧﺎطق أﺧرى ﻓﻲ اﻟﻣﺳﺗوى ﻟﻠداﻟﺔ )‪ F(x1,x2‬ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫‪٥٢٧‬‬

‫وأﺧﯾـ ار اﺣﺗﻣـﺎل وﻗـوع اﻟﺣﺎدﺛـﺔ ‪ B‬اى )‪) P(B‬ﺣﯾـث ‪ B‬ﻓﺋـﺔ ﺟزﺋﯾـﺔ ﻣـن ﻓﺿـﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ‬ ‫( ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪P(B)   ...  f(x 1 , x 2 ,..., x k )dx 1...dx k‬‬ ‫‪B‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٩ -١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X1 , X 2‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﻬﻣﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬ ‫‪f (x1 , x 2 )  1 ,0  x1  1 ,0  x 2  1‬‬ ‫‪= 0 e.w.‬‬

‫أوﺟد‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪. P(0  X1  ,0  X 2 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)¾ ‪P(0  X1  ¼ , ½  X2 ‬‬ ‫‪1/ 4‬‬

‫‪f (x1 , x 2 ) dx1 dx 2‬‬

‫‪3/ 4‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪1/ 4‬‬

‫‪1 dx1 dx 2 ‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪3/ 4‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬

‫=‬

‫‪1/2‬‬

‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪1x y‬‬

‫‪34‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪12‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٠ -١٠‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X1 , X 2‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﻬﻣﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪f (x1 , x 2 )  (x1  x 22 ), 0  x1  1 ,0  x 2  1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= 0 e.w.‬‬ ‫‪٥٢٨‬‬

: ‫ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل )ب( أوﺟد‬f (x1 , x 2 ) ‫)أ( ﺗﺣﻘق ﻣن أن‬ P(0  X1 

  , 0  X2  ).  

:‫اﻟﺣــل‬ (‫)ا‬ 



 

f(x1 , x 2 )dx1dx 2  





6 (x1  x 22 )dx1dx 2 5











  0



6 2 x 2 dx1 dx 2 5

6 x1 dx1dx 2 5

6 6 x1 dx1   x 22 dx 2 5 5 0

6 6   1. 10 15 : ‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬

fx_, y_ :

6 x  y2 5

  fx, y x y 0 0

٥٢٩

: ‫ ﻣﻊ ﺗﻣﺛﯾل اﻟداﻟﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ‬Sec3.2 ‫ اﻟﺟزء‬KnoxProb ‫اﻟﺣل ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ‬

(‫)ب‬ P(0  X1  1/ 4



1/ 4

6 (x1  x 22 )dx1dx 2 5

  0

6  5

1/ 4

 1 , 0  X2  )  4

1/ 4

  0

6 x1 dx dx 2  5

6 x 2 1/ 4   |  20 3 0

6 x 32  20 3

1/ 4 1/ 4

  0

1/ 4

| 0

x 22 dx1dx 2



7 . 640 : ‫ اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬: ‫اوﻻ‬

6 x  y2 5 14 14 fx, yx y  

fx_, y_ : 0

٥٣٠

‫‪7‬‬ ‫‪640‬‬

‫ﺛﺎﻧﯾﺎ ‪ :‬اﻟﺣل ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬اﻟﺟزء ‪ Sec3.2‬ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث ‪:‬‬ ‫‪x  y2  x  y‬‬

‫‪14 6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪14‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪640‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢١ -١٠‬‬ ‫ﺑﻔرض أن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن اﻟﻌﺷواﺋﯾﯾن ‪ x , y‬ﻣﻌرﻓﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪-:‬‬ ‫‪, x2  y  1‬‬ ‫‪e.w.‬‬

‫‪cx 2 y‬‬ ‫‪f  x,y  = ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪0‬‬

‫أوﺟد أوﻻ ﻗﯾﻣﺔ اﻟﺛﺎﺑت ‪ c‬ﺛم ﻗﯾﻣﺔ ) ‪P(X ≥ Y‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺣﯾث أن ‪ f(x ,y) = 0‬ﺧﺎرج اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل أدﻧﺎﻩ وﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫= ‪  f(x,y)dxdy =   cx y dy dx‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪ - ‬‬ ‫‪-1 x‬‬ ‫وﺣﯾث أن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪  f(x,y)dx dy = 1‬‬

‫‪ ‬‬

‫وﻣﻧﻪ ﻧﺟد أن ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪c =1‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪‬‬

‫‪٥٣١‬‬

‫‪21‬‬ ‫‪4‬‬

‫=‪c‬‬

‫‪‬‬

‫اوﻻ ‪ :‬اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪fx_, y_ : x2  y‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪aa1    2fx, y yx‬‬ ‫‪1 x‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪c=1/aa1‬‬

‫‪21‬‬ ‫‪4‬‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﻣوﺿﺢ ﺑﺎﻟﺷﻛل اﻟﺳﺎﺑق وﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪21 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x y dy dx = .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪1 x‬‬

‫‪‬‬

‫‪P(X  Y)= ‬‬

‫‪0 x2‬‬

‫ﺛﺎﻧﯾﺎ ‪ :‬اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪fx_, y_ : x2  y‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪  2c  fx, y yx‬‬ ‫‪0 x‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪20‬‬

‫)‪ (٣-١٠‬اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ‬ ‫‪Independent Random Variables‬‬ ‫ﻓ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻲ اﻟﻔﺻـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــل اﻷول ﺗﻧﺎوﻟﻧ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎ اﺳ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺗﻘﻼل ﺣﺎدﺛﺗ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﯾن ‪ A,B‬واﻟﺗ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻲ ﺗﻌﻧ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻰ أن‬

‫)‪ . P(A  B)=P(A).P(B‬ﻓ ــﻲ ﻫ ــذا اﻟﺑﻧ ــد ﺳ ــوف ﻧﻌ ــرف اﺳ ــﺗﻘﻼل اﻟﻣﺗﻐﯾـ ـرات اﻟﻌﺷـ ـواﺋﯾﺔ ﺑﺄﺳ ــﻠوب‬ ‫‪٥٣٢‬‬

‫ﻣﺷﺎﺑﻪ‪.‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل إذا ﻛﺎﻧـت داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻣﺷـﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾـرﯾن ﻋﺷـواﺋﯾﯾن ‪X1, X 2‬‬ ‫ﻫــﻲ ) ‪ٕ f(x1 ,x 2‬واذا ﻛﺎﻧــت داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷــﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر ‪ X1‬ﻫــﻲ ) ‪ ، f1 ( x‬و داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X 2‬ﻫﻲ ) ‪ٕ ، f 2 ( x‬واذا ﻛﺎﻧت ‪:‬‬ ‫) ‪f(x1 ,x 2 ) = f1 (x1 ) . f 2 (x 2‬‬

‫ﻓﺈﻧﻧــﺎ ﻧﻘــول أن ‪ X1 , X 2‬ﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن ﻋﺷ ـواﺋﯾﯾن ﻣﺳــﺗﻘﻠﯾن‪.‬وﯾﻣﻛــن ﺗﻌﻣــﯾم اﻟﺻــﯾﻐﺔ ﻷﻛﺛــر ﻣــن ﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن‬ ‫ﻋﺷواﺋﯾﯾن‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾـــــﺔ ‪ :‬ﯾﻘ ـ ــﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـ ـ ـرات اﻟﻌﺷـ ـ ـواﺋﯾﺔ ‪ X1, X2 ,...,X k‬أﻧﻬ ـ ــم ﻣﺳ ـ ــﺗﻘﻠﯾن إذا ﺗﺣﻘ ـ ــق واﺣ ـ ــد ﻣ ـ ــن‬

‫اﻟﺧﺻﺎﺋص اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫)‪F(x1,x2,...,xk) = F1(x1),...,Fk(xk‬‬ ‫‪f(x1,x2,...,xk) = f1(x1),...,fk(xk).‬‬ ‫ﺗﻌرﯾــف‪ :‬اﺳــﺗﻘﻼل اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷ ـواﺋﯾﺔ ‪ :‬ﯾﻘــﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ‬

‫‪ X1, X 2 ,..., X k ,‬أﻧﻬــم‬

‫ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن إذا ﻛﺎن ﻟﻛل ‪ ai < bi‬ﻓﺈن‬ ‫)‪P(a1  X  b1 ,..., ak  Xk  bk‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪P(ai  Xk  bi).‬‬

‫‪‬‬

‫=‬

‫‪i=1‬‬

‫ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل ﻟﻣﺛﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل وﺑﻔرض أن ‪:‬‬ ‫) ‪f (x1 , x 2 )  f1 (x1 )f 2 (x 2‬‬ ‫ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪ٕ x1,x2‬واذا ﻛﺎن ‪ a < b‬و ‪ c < d‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)‪P(a  X1  b, c  X2  d) = P(a  X1  b) P(c  X2  d‬‬

‫‪ d ).‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ b )P (c  X‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ P (a  X‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ﻻ ﯾﺗﺣﻘق اﻟﺷرط اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻘﺎل أن ‪ X1,X2,…,Xk‬ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن‪.‬‬ ‫ﯾﻔﯾد اﻻﺳﺗﻘﻼل ﻟﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻓـﻲ وﺻـف اﻟﺗﺟرﺑـﺔ ﺗﺣـت اﻟد ارﺳـﺔ ﺣﯾـث ﯾـدل ﻋﻠـﻰ ﻋـدم‬ ‫وﺟ ــود ﺗـ ــﺄﺛﯾر أي ﻣﺗﻐﯾـ ــر ﻋﻠـ ــﻰ اﻵﺧـ ــر‪ .‬وﻋﻠـ ــﻰ ذﻟ ــك ﺑﻣﺟـ ــرد ﻣﻌرﻓـ ــﺔ اﻟداﻟـ ــﺔ اﻟﻬﺎﻣﺷـ ــﯾﺔ ﻟﻛـ ــل ﻣـ ــن‬ ‫‪ X1,X2,…,Xk‬ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﻣﻌرﻓﺔ اﻟداﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ )‪ f(x1,x2,...,xk‬ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪f(x1,x2,...,xk) = f1(x1),...,fk(xk).‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٢ -١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X1 , X 2‬ﯾﻣﺛﻼن زﻣن اﻟﺣﯾﺎة ﻟﻣﻛوﻧﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻋن ﺑﻌﺿﻬﻣﺎ اﻟﺑﻌض ٕواذا ﻛﺎن‬ ‫)‪ X2 ~ EXP(1/2‬و)‪X1 ~ Exp(1/1‬‬

‫ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X1 , X 2‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪٥٣٣‬‬

f(x1,x2) = f1(x1)f2(x2) = 1 e -1x1 2 e -2x2 - x - x = 1 2 e 1 1 2 2 x1 > 0, x2 > 0 = 0 , e.w. ‫ ﻫﻣـﺎ‬X1 , X 2 ‫ ﻓـﺈن زﻣـن اﻟﺣﯾـﺎة اﻟﻣﺗوﻗـﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـرﯾن‬2 = 1/1200 ‫ و‬1 = 1/1000 ‫ٕواذا ﻛـﺎن‬

: ‫ أﯾﺿﺎ‬. ‫ ﺳﺎﻋﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ‬1200 ‫ و‬1000

P(1500  X1 , 1500  X 2 ) = P(1500  X1 ). P(1500  X 2 )

e  1 (1500)  e   2 (1500) = (.2231)(.2865) = .0639. : ‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬  1=1/1000;2=1/1200

1 1200 15001 15002  N 0.0639279

: : ‫ ﻣﻣﺛﻠﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ‬X1 , X 2 ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن‬

fx_, y_ : x1  1000  y11200; Plot3Dfx, y, x, 0, 10, y, 0, 10, DefaultFont  "TimesRoman", 8, AxesLabel  "x", "y", "fx,y";

0.0004 10

0.0003 fx,y  0.0002 0.0001 0 0

8 6 4

2 4 x

6 8 10

٥٣٤

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٣ -١٠‬‬ ‫ﯾﺣﺗــوى وﻋــﺎء ﻋﻠــﻰ ﺛــﻼث ﻛ ـرات ﺣﻣ ـراء وﻛ ـرﺗﯾن ﻟوﻧﻬﻣــﺎ أﺧﺿــر ‪ .‬ﺳــﺣﺑت ﻛ ـرﺗﯾن ﻣــن اﻟوﻋــﺎء ﻣ ــﻊ‬ ‫اﻹرﺟﺎع ﻣن ٕواذا ﻛﺎن ‪:‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻛرة اﻷوﻟﻰ ﺧﺿراء ‪X1 = 0‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻛرة اﻷوﻟﻰ ﺣﻣراء‬

‫و‬

‫‪=1‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻛرة اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﺧﺿراء‬

‫‪X2 = 0‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻛرة اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﺣﻣراء‬

‫‪=1‬‬

‫‪ X2,X1‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن وﻋﻠﻰ ذﻟك داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X1‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪f1(x1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪5‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫وﺑـﻧﻔس اﻟﺷـﻛل داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷـﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪ . X 2‬أﯾﺿــﺎ داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ‬ ‫ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X2 , X1‬ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪f1(x1‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪f2(x2‬‬

‫اﻟﻣﺗﻐﯾـرﯾن ‪ X1 , X2‬ﻣﺳـﺗﻘﻠﯾن وذﻟــك ﻻن )‪ f(x1,x2)=f1(x1),f2(x2‬ﺣﯾــث ‪ x1=0,1‬و ‪x2=0,1‬‬ ‫ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ‪:‬‬

‫)‪P (X1  0, X 2  1)  P(X1  0)P( X 2  1‬‬ ‫‪ 2  3  6‬‬ ‫‪=    ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 5  5  25‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺛﺑت ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ‬

‫‪ KnoxProb‬اﻟﺟزء‪ Sec2.5‬ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ ان اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن‬

‫اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﺣﯾث ﯾﻘوم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺑﺣﺳﺎب ﻗﯾم ‪:‬‬

‫)‪ f(x1,x2)=f1(x1),f2(x2‬و‪ x2=0,1‬و ‪ . x1=0,1‬ﺣﯾث ‪ jointpmf‬ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺑﻣﺣﺗوﯾﺎت اﻟﺟدول‬ ‫‪٥٣٥‬‬

‫و ‪ xmarginal‬اﻟﻌﻣود اﻻﺧﯾر ﻣن اﻟﺟدول و‪ ymargina‬اﻟﺻف اﻻﺧﯾر ﻣن اﻟﺟدول واﻟﻣﺧرج‬ ‫ﻣﻘرب اﻟﻰ ﺛﻼث ارﻗﺎم ﻋﺷرﯾﺔ وﻛل ﻋﻧﺻر ﻓﻰ اﻟﻣﺧرج ﯾﻣﺛل )‪ f(x1,x2‬وﺗﺣﺗﻪ )‪.f1(x1) f2(x2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪jointpmf   ,‬‬ ‫‪, ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫;‪‬‬ ‫‪25 25‬‬ ‫‪25 25‬‬ ‫‪10 15‬‬ ‫‪xmarginal   ,‬‬ ‫;‪‬‬ ‫‪25 25‬‬ ‫‪10 15‬‬ ‫‪ymarginal   ,‬‬ ‫;‪‬‬ ‫‪25 25‬‬ ‫‪NPlacesnumber_, places_ :‬‬ ‫‪NRound10places  number  10places‬‬ ‫‪TableForm[Table[{{{NPlaces[jointpmf[[i,j]],2],NPlaces[xma‬‬ ‫]]}‪rginal[[i]]*ymarginal[[j]],2]}}},{i,1,2},{j,1,2‬‬

‫‪0.24‬‬ ‫‪0.24‬‬ ‫‪0.36‬‬ ‫‪0.36‬‬

‫‪0.16‬‬ ‫‪0.16‬‬ ‫‪0.24‬‬ ‫‪0.24‬‬

‫ﯾﻼﺣظ ﻣن اﻟﻣﺧرج ان ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﺗﺳﺎوى اﻟﺗﻰ ﺗﻠﯾﻬﺎ وﻫذا دﻟﯾل ﻋﻠﻰ ان ‪:‬‬ ‫) ‪f(x1 ,x 2 ) = f1 (x1 ) . f 2 (x 2‬‬

‫ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪. X1 ,X 2‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٤ -١٠‬‬ ‫ﺑﻔرض ان داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X2 , X1‬ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫)‪f1(x1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺛﺑت ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪f2(x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ KnoxProb‬اﻟﺟزء‪ Sec2.5‬ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ ان اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن‬

‫‪ X1 , X2‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬

‫‪٥٣٦‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫;‪jointpmf   , ,  , ‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫;‪xmarginal   , ‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫;‪ymarginal   , ‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪NPlacesnumber_, places_ :‬‬ ‫‪NRound10places  number  10places‬‬ ‫‪TableForm[Table[{{{NPlaces[jointpmf[[i,j]],2],NPlaces[xma‬‬ ‫]]}‪rginal[[i]]*ymarginal[[j]],2]}}},{i,1,2},{j,1,2‬‬

‫‪0.25‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.25‬‬

‫ﯾﻼﺣظ ﻣن اﻟﻣﺧرج ان ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﺗﺳﺎوى اﻟﺗﻰ ﺗﻠﯾﻬﺎ وﻫذا دﻟﯾل ﻋﻠﻰ ان ‪:‬‬ ‫) ‪f(x1 ,x 2 ) = f1 (x1 ) . f 2 (x 2‬‬

‫ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪. X1 ,X 2‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٥-١٠‬‬ ‫ﻓــﻲ د ارﺳــﺔ ﻋــن ﻋــﺎدة اﻟﺗــدﺧﯾن ٕواذا ﻛــﺎن ‪ X1=1‬إذا ﻛــﺎن اﻟﺷــﺧص اﻟــذي اﺧﺗﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﯾــدﺧن و‬

‫‪ X1=0‬إذا ﻛﺎن اﻟﺷﺧص ﻻ ﯾـدﺧن ‪ .‬أﯾﺿـﺎً إذا ﻛـﺎن ‪ X2=1‬اﻟﺷـﺧص ﻣﺻـﺎب ﺑﺎﻟﺳـرطﺎن ‪X2= 0‬‬ ‫إذا ﻛـﺎن اﻟﺷـﺧص ﻏﯾــر ﻣﺻـﺎب ﺑﺎﻟﺳـرطﺎن ‪ .‬ﯾﻌطــﻲ اﻟﺟـدول اﻟﺗـﺎﻟﻲ داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻣﻔﺗرﺿــﺔ‬ ‫ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪: X2, X1‬‬ ‫)‪f 2 (x‬‬ ‫‪.003‬‬ ‫‪.977‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪.001‬‬ ‫‪.01‬‬ ‫‪.011‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪.002‬‬ ‫‪.987‬‬ ‫‪.989‬‬

‫اﺛﺑت ان اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X1 , X2‬ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪٥٣٧‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪f1 (x‬‬

‫ﺳوف ﻧﺛﺑت ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ‬

‫‪ KnoxProb‬اﻟﺟزء‪ Sec2.5‬ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ ان اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن‬

‫‪ X1 , X2‬ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬ ‫;}}‪jointpmf={{.001,.002},{.01,.987‬‬ ‫;}‪xmarginal={.003,.977‬‬ ‫;}‪ymarginal = {.011,.989‬‬ ‫‪NPlacesnumber_, places_ :‬‬

‫‪NRound10places  number  10places‬‬ ‫‪TableForm[Table[{{{NPlaces[jointpmf[[i,j]],3],NPlaces[xma‬‬ ‫]]}‪rginal[[i]]*ymarginal[[j]],3]}}},{i,1,2},{j,1,2‬‬

‫‪0.002‬‬ ‫‪0.003‬‬ ‫‪0.987‬‬ ‫‪0.966‬‬

‫‪0.001‬‬ ‫‪0.‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.011‬‬

‫ﯾﺗﺿـﺢ ﻣـن اﻟﻣﺧرﺟـﺎت ان اﻟﻣﺗﻐﯾـرﯾن ‪ X1 , X2‬ﻏﯾـر ﻣﺳـﺗﻘﻠﯾن ﺣﯾـث ﻛـل ﻗﯾﻣـﺔ ﺗﺧﺗﻠـف ﻋـن اﻟﺗـﻰ‬ ‫ﺗﺣﺗﻬﺎ ‪ .‬اى ان اﻟﺷرط اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻ ﯾﺗﺣﻘق ‪:‬‬

‫‪f(x1 ,x 2 ) = f1 (x1 ) . f 2 (x 2 ).‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٦ -١٠‬‬

‫ﺑﻔرض ان اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻣﺷﺎﻫدات ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺻﻧﻔﯾﯾن ﺗﺑﻊ ﺻﻔﺗﯾن ‪:‬‬ ‫‪4 rowsum‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪171‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪41‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪Y  visualcorrect 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪X  oral‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪correct‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪colsum‬‬ ‫‪10‬‬

‫اﯾﺿﺎ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﯾوﺿﺢ ﻛﯾف ﺗﻛون اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣـﻊ واﻟﺗوزﯾـﻊ اﻻﺣﺗﻣـﺎﻟﻰ وﻛﯾـف اﻧﻧـﺎ ﯾﻣﻛـن ان‬

‫ﻧدرس ﺻﻔﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻣﺎ ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ او ﻣن ﺧﻼل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪X2 , X1‬‬ ‫ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ‬

‫‪ KnoxProb‬اﻟﺟزء‪ Sec2.5‬ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ ‪.‬‬

‫‪٥٣٨‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﺛﺑﺎت ان اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X1 , X2‬ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٧ -١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X1, X 2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪f (x1 , x 2 )  e ( x1  x 2 ) ، x1 > 0, x2 > 0‬‬ ‫‪= 0 , e.w .‬‬ ‫ﻫل ‪ X1, X 2‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪f1 (x1 )   f(x1 ,x 2 )dx x 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫) ‪ -(x +x‬‬ ‫‪ -x‬‬ ‫‪  e 1 2 dx 2 = e  x  e 2 dx 2 =e  x ,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f1 (x)  e‬‬ ‫‪x1  0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪e.w.‬‬ ‫‪٥٣٩‬‬

‫‪,‬‬

‫‪=0‬‬

‫وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪x2 > 0‬‬ ‫‪, e.w.‬‬ ‫أي أن ‪ X2,X1‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻷن ‪:‬‬ ‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪f2(x2) = e  x 2‬‬ ‫‪=0‬‬

‫‪f(x1x2) = f1(x1) . f2(x2) .‬‬

‫‪‬‬

‫‪aa1   x1x2x1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪‬‬

‫‪aa2   x1x2x2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪‬‬

‫‪aa1 aa2  x1x2‬‬ ‫‪True‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٨ -١٠‬‬ ‫)ا( اﻟﻣطﻠــوب ﺗوﻟﯾــد ‪ 2000‬ﻣــن ازواج اﻟﻘــﯾم ﻟﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن‬

‫‪X,Y‬‬

‫ﻣﺳــﺗﻘﻠﯾن و ﯾﺗﺑﻌــﺎن ﺗوزﯾــﻊ واﯾﺑــل‬

‫ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪   2,   3‬وﺗﻣﺛﯾـل ازواج اﻟﻘـﯾم ﺑﯾﺎﻧﯾـﺎ‪) .‬ب( ﺗوﻟﯾـد ‪ 2000‬ﻣـن ازواج اﻟﻘـﯾم ﻟﻣﺗﻐﯾـرﯾن‬ ‫‪ X,Y‬ﻣﺳـﺗﻘﻠﯾن و ﯾﺗﺑﻌـﺎن ﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم ﻓـﻰ اﻟﻔﺗـرة )‪ (0,1‬وﺗﻣﺛﯾـل ازواج اﻟﻘـﯾم اﻟﺻـﻐرى واﻟﻌﻠﯾـﺎ‬

‫ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺣل ﻣﺎﺧوذ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬اﻟﺟزء ‪ Sec3.2‬اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث ‪:‬‬

‫)ا(‬ ‫‪٥٤٠‬‬

‫)ب(‬

‫‪٥٤١‬‬

‫ﺗــذﻛر أن‪ :‬إذا ﻛــﺎن ‪ X1,X2,X3‬ﻣﺗﻐﯾ ـرات ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ٕواذا ﻛــﺎن ‪ i  j‬و ‪ Xi,Xj‬ﺣﯾــث ‪i=1,2,3‬‬ ‫ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻓﺈن اﺳﺗﻘﻼل اﻷزواج ﻻ ﯾﻌﻧﻰ أن ‪ X1,X2,X3‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٩ -١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫)‪f(x1,x2,x3) = ¼ , (x1,x2,x3) = (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬

‫‪٥٤٢‬‬

‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ Xi,Xj‬و ‪ ij‬ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫)‪fij(xi,xj) = ¼ , (xi,xj) = (0,0),(1,0),(0,1),(1,1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪,e.w.‬‬

‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Xi‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪, x i =0,1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬ ‫=) ‪fi (x i‬‬

‫ﻣن اﻟواﺿﺢ أﻧﻪ ‪ ،‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪ ij‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪fij (x i , x j )  f i (x i )f j (x j ).‬‬

‫أي أن ‪ ij Xi,Xj‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﺑﯾﻧﻣﺎ ) ‪f (x1, x 2 , x 3 )  f1(x1 )f 2 (x 2 )f3 (x3‬‬ ‫أي أن ‪ X1,X2,X‬ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﺑن‪.‬‬

‫)‪ (٤-١٠‬اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺷرطﯾﺔ‬ ‫‪Conditional Distributions‬‬ ‫ﺗﻌرﯾــف‪ :‬إذا ﻛــﺎن ‪ X1,X2‬ﻣﺗﻐﯾ ـران ﻋﺷـواﺋﯾﺎن ﻟﻬﻣــﺎ داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ )‪ٕ f(x1,x2‬واذا‬ ‫ﻛﺎﻧــت داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷــﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر‬

‫‪ X1‬ﻫــﻲ )‪ ، f1(x1‬ﻓــﺈن داﻟــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﺷــرطﻲ‬

‫ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X1‬إذا ﻋﻠم أن ‪ X1=x1‬ﻫﻲ‬

‫) ‪f(x1 ,x 2‬‬ ‫) ‪f1 (x 1‬‬

‫= ) ‪g 2 (x 2 x1‬‬

‫وذﻟك ﻷي ﻗﯾﻣﺔ ‪ x1‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X1‬ﺣﯾث ‪. f1(x1) > 0‬‬ ‫اﻟداﻟﺔ ) ‪ g(x 2 x1‬ﺗﺣﻘق ﺷرطﻲ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪.‬‬ ‫ﻓــﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘــﺔ ‪ ،‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ـرات اﻟﻌﺷ ـواﺋﯾﺔ ﻣــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺗﻘطــﻊ ﻓــﺈن داﻟــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﺷــرطﯾﺔ ﻫــﻲ اﻻﺣﺗﻣــﺎل‬

‫اﻟﺷـ ــرطﻲ ‪ .‬ﻓﻌﻠـ ــﻰ ﺳـ ــﺑﯾل اﻟﻣﺛـ ــﺎل إذا ﻛـ ــﺎن ‪ X1,X2‬ﻣﺗﻐﯾ ـ ـران ﻋﺷ ـ ـواﺋﯾﯾن ﻣـ ــن اﻟﻧـ ــوع اﻟﻣﺗﻘطـ ــﻊ ﻓـ ــﺈن‬ ‫‪٥٤٣‬‬

‫) ‪ g(x1 x 2‬ﻫو اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﺣﺎدﺛﺔ ]‪ [X2=x1‬إذا ﻋﻠم أن اﻟﺣﺎدﺛـﺔ ]‪ . [X1=x2‬ﻓـﻲ ﺣـﺎل‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﻓﺈن اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺗﺧﺗﻠف ﻷن ‪ P[X1=x1]=0‬ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫) ‪P(a  X2  b X1 =x1‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪=  g2 ( x2 x1 ) dx 2 .‬‬ ‫‪a‬‬

‫ﻓــﺈذا ﻛــﺎن ﻟــدﯾﻧﺎ ﻣﺗﺟــﻪ ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﻣﻛوﻧﺎﺗــﻪ ﻣﺗﻐﯾ ـرات ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ﻋــددﻫﺎ ‪X=(X1,X2,X3) ، k‬‬

‫ﺑداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷ ــﺗرﻛﺔ )‪ f(x1,x2,…,xk‬ﻓﺈﻧــﻪ ﯾﻣﻛــن ﺗﻌﻣ ــﯾم ﻣﻔﻬــوم اﻟﺗوزﯾﻌــﺎت اﻟﺷ ــرطﯾﺔ‬ ‫ﻟﻣﺗﺟﻬــﺎت ﻣــن اﻟﻣﺗﻐﯾ ـرات اﻟﻌﺷ ـواﺋﯾﺔ ‪ .‬ﻋﻠــﻰ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل إذا ﻛﺎﻧــت ‪ X1,X2,X3‬ﻣﺗﻐﯾ ـرات ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ‬ ‫ﻟﻬﺎ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ )‪ f(x1,x2,x3‬ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﺷـرطﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪ X1‬إذا ﻋﻠـم‬ ‫أن ‪ X2=x2 ,X3=x3‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫) ‪f(x1,x 2 ,x 3‬‬ ‫) ‪f13 (x 2 ,x3‬‬

‫=) ‪g1 (x1 x 2 ,x3‬‬

‫أﯾﺿﺎ داﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X1‬إذا ﻋﻠم أن ‪ X2 = x2‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫ً‬

‫) ‪f(x 1 ,x 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪f 2 (x 2‬‬

‫= ) ‪g 1 (x 1 x 2‬‬

‫وﺑﺎﻟﻣﺛل ‪:‬‬

‫) ‪f(x1,x 2 ,x3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪f3 (x 3‬‬

‫=) ‪g12 (x1,x 2 x 3‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ X2,X1‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ )‪ٕ f(x1,x2‬واذا ﻛﺎﻧت‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﻲ ﻟﻛل ﻣن ‪ X2,X1‬ﻫﻣﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ )‪ f1(x),f2(x‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫) ‪f(x 1 , x 2 ) = f1 ( x 1 ) g 2 (x 2 x 1‬‬ ‫‪= f 2 (x 2 ) g 2 (x 1 x 2 ).‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎن ‪ X2,X1‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪g 2 (x 2 x 1 ) = f 2 (x 2 ) ,‬‬ ‫‪g 1 (x 1 x 2 ) = f 1 (x 1 ) .‬‬

‫‪٥٤٤‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٠-١٠‬‬ ‫ﻓــﻲ د ارﺳــﺔ ﻋــن ﻋــﺎدة اﻟﺗــدﺧﯾن ٕواذا ﻛــﺎن ‪ X1=1‬إذا ﻛــﺎن اﻟﺷــﺧص اﻟــذي اﺧﺗﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﯾــدﺧن و‬ ‫‪ X1=0‬إذا ﻛﺎن اﻟﺷﺧص ﻻ ﯾـدﺧن ‪ .‬أﯾﺿـﺎً إذا ﻛـﺎن ‪ X2=1‬اﻟﺷـﺧص ﻣﺻـﺎب ﺑﺎﻟﺳـرطﺎن ‪X2= 0‬‬

‫إذا ﻛـﺎن اﻟﺷـﺧص ﻏﯾـر ﻣﺻــﺎب ﺑﺎﻟﺳـرطﺎن ‪) .‬ﻣﺛـﺎل )‪ (٢٥-٩‬اﺛﺑﺗﻧــﺎ ان اﻟﻣﺗﻐﯾـرﯾن ﻏﯾـر ﻣﺳــﺗﻘﻠﯾن (‬ ‫ﯾﻌطﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻔﺗرﺿﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪: X2, X1‬‬ ‫)‪f 2 (x‬‬ ‫‪.003‬‬ ‫‪.977‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪.001‬‬ ‫‪.01‬‬ ‫‪.011‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪.002‬‬ ‫‪.987‬‬ ‫‪.989‬‬

‫أوﺟد ‪:‬‬

‫)‪g 2 (x 2 1) , g 2 (x 2 0‬‬ ‫)‪g1 (x1 0) , g1 (x1 1‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪f(0,0) .001 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪f 2 (0) .011 11‬‬

‫=)‪g1 (0 0‬‬

‫‪f(1,0) .010 10‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪f 2 (0) .011 11‬‬

‫=)‪g1 (1 0‬‬

‫‪f(0,1) .002 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪f 2 (1) .989 989‬‬

‫=)‪g1 (0 1‬‬

‫‪f(1,1) .987 987‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪f 2 (0) .989 989‬‬

‫=)‪g1 (11‬‬

‫‪f(0,0) .001 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪f1 (0) .003 3‬‬ ‫‪f(0,1) .002 2‬‬ ‫=)‪g 2 (1 0‬‬ ‫=‬ ‫‪= ,‬‬ ‫‪f1 (0) .003 3‬‬ ‫=)‪g 2 (0 0‬‬

‫‪f(1,0) .01 10‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪f1 (1) .998 997‬‬

‫=)‪g 2 (0 1‬‬

‫‪f(1,1) .987 987‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪f1 (1) .997 997‬‬

‫=)‪g 2 (11‬‬

‫‪٥٤٥‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪f1 (x‬‬

‫ﺣﯾث ﯾﻣﻛن ﺗﻠﺧﯾﺻﻬم ﻓﻲ اﻟﺟداول اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪987‬‬ ‫‪989‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪989‬‬

‫)‪g1 (x1 1‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬

‫)‪g1 (x1 0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪987‬‬ ‫‪997‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪997‬‬

‫)‪g 2 (x 2 1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪g 2 (x 2 0‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣١ -١٠‬‬

‫ﺑﻔـ ــرض أن داﻟـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣـ ــﺎل اﻟﻣﺷـ ــﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾ ـ ـرﯾن ﻋﺷ ـ ـواﺋﯾن ‪ X,Y‬ﻣﺳـ ــﺗﻘﻠﯾن وﺑﻔـ ــرض اﻧﻧـ ــﺎ‬ ‫ﺣﺻـ ــﻠﻧﺎ ﻋﻠـ ــﻰ اﻟﻣﺷ ـ ــﺎﻫدات ﻟﻬﻣـ ــﺎ ) ‪ (x1 ,y1 ),(x 2 ,y 2 ),...,(x n ,y n‬ﻣﺳ ـ ــﺗﻘﻠﯾن ‪ ،‬اﻟﺳ ـ ـؤال اﻻن ﻣ ـ ــﺎذا‬ ‫ﯾﺣدث اذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾران ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪ .‬اﻻﺟﺎﺑﺔ ﻋﻠﻰ ﻫـذا اﻟﺳـؤال ﺳـوف ﻧﺗﻌـرف ﻋﻠﯾﻬـﺎ ﻣـن ﺧـﻼل‬

‫ﺗوﻟﯾد ﻗﺎﺋﻣﺔ ﻣن ‪ n‬اﻻزواج ) ‪ . (x i ,yi‬وﺑﻔرض ان ‪ X‬ﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪x1‬‬ ‫)‪f1(x1‬‬

‫وان ‪ Y‬ﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪x2‬‬ ‫)‪f2(x2‬‬

‫اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﺗــﺎﻟﻰ ﯾﻘــوم ﺑﺗوﻟﯾــد ﻗــﯾم ﻟـ ـ‪ X‬و ﻗــﯾم ﻟـ ـ ‪ Y‬ﻛــل ﻋﻠــﻰ ﺣــدﻩ ‪ ،‬وﻫــذا ﯾﻌﻧــﻰ اﻧﻬﻣــﺎ ﻣﺳــﺗﻘﻠﯾن‪.‬‬ ‫ﺳــوف ﻧرﺗــب ﻋــدد اﻻزواج اﻟﻣوﻟــدة ﻓــﻰ ﺟــدول ﻣــزدوج ﻣــن اﻟرﺗﺑــﺔ ‪ 9X9‬ﺣﯾــث ﺧﻼﯾــﺎﻩ ﺗﻛــون‬ ‫)‪ (1,1),(1,2),…(1,3‬اﻻن ﺳوف ﻧدرس ﺳـﻠوك اﻟﻣﺗﻐﯾـرﯾﯾن اﻟﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﺗـﺎﻟﻰ واﻟﻣـﺎﺧوذ ﻣـن ﺑرﻧـﺎﻣﺞ‬

‫‪٥٤٦‬‬

‫‪ KnoxProb‬اﻟﺟزء ‪ Sec2.5‬ﺣﯾث اﻻﻣر اﻻول ﻟﺗوﻟﯾد ﻗﯾم ‪ X‬واﻻﻣر اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻟﺗوﻟﯾـد ﻗـﯾم ‪ Y‬واﻻﻣـر‬ ‫اﻟﺛﺎﻟث ﻟوﺿﻊ اﻋداد اﻟﻘﯾم ﻓﻰ ﺟدول ﻣزدوج ‪:‬‬

‫‪٥٤٧‬‬

‫‪ . X 2‬أﯾﺿـﺎ داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻣﺷـﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـرﯾن ‪ X2 , X1‬ﺳـوف ﺗﻛـون ﻋﻠـﻰ اﻟﺷـﻛل اﻟﺗـﺎﻟﻰ‬ ‫وذﻟك ﺑﻘﺳﻣﺔ ﻛل رﻗم ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺟﻣوع اﻟﻛﻠﻰ ﻟﻠﻘﯾم اﻟﻣوﻟدة ‪:‬‬

‫‪p x‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1  16‬‬ ‫‪1  16‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪3 8‬‬

‫‪Y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1  16‬‬ ‫‪1 8‬‬ ‫‪1 8‬‬ ‫‪5  16‬‬ ‫‪٥٤٨‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 8‬‬ ‫‪1  16‬‬ ‫‪1 8‬‬ ‫‪5  16‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪q  y ‬‬

‫دوال ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﺗﺣت ﺷرط ان ‪ X‬ﺗﺎﺧذ اﻟﻘﯾم ‪ 1,2,3‬ﻣﻌطﺎﻩ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ‬ ‫واﻟذى ﯾﺛﺑت ان اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X,Y‬ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬

‫‪y 1‬‬ ‫‪y 2‬‬ ‫‪y 3‬‬

‫‪1  4 if‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  4 if‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q(y|3) =  1  2 if‬‬

‫‪y 1‬‬ ‫‪y 2‬‬ ‫‪y 3‬‬

‫‪1  4 if‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  2 if‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q(y|2) =  1  4 if‬‬

‫‪y 1‬‬ ‫‪y 2‬‬ ‫‪y 3‬‬

‫‪1  2 if‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  4 if‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q(y|1) =  1  4 if‬‬

‫اﻻن ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺗوزﯾﺎت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﻰ ﺗوﻟﯾـد ﻗـﯾم ‪ Y‬ﻟ ـ ﺗﺣـت ﺷـرط ‪ X=1,2,3‬ﺛـم اﺳـﺗﺧداﻣﻬﺎ ﻓـﻰ‬ ‫ﺗوﻟﯾد ازواج ﻣن ‪ x,y‬ﺛم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺟدول ﻣزدوج ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻗﯾم ‪: x,y‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٢-١٠‬‬

‫‪٥٤٩‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت ﻓﺈن ) ‪ X1 ,X 2  MULT(n ; p1 , p 2‬داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﺷـرطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪X1‬‬ ‫إذا ﻋﻠم أن ‪ X2=x2‬ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫!‪n‬‬ ‫‪p1x1 p 2x 2 (1-p1 -p2 )n-x1 -x 2‬‬ ‫!‪x !x ! n-x1 -x 2 ‬‬ ‫‪g1 (x1|x 2 )= 1 2‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪p x2 2 (1-p 2 )n-x 2‬‬ ‫!‪x 2! n-x 2 ‬‬ ‫‪n-x1 -x 2‬‬

‫‪p1‬‬ ‫وﺑوﺿﻊ‬ ‫‪1 -p 2‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪ n-x   p   1-p -p ‬‬ ‫‪=  2  1   1 2 ‬‬ ‫‪ x1  1-p2   1-p2 ‬‬

‫= ‪ p‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪ n-x 2  x1‬‬ ‫‪n-x1 -x 2‬‬ ‫‪g1 (x1| x 2 )= ‬‬ ‫)‪ p (1-p‬‬ ‫‪ x1 ‬‬ ‫واﻟذي ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪. n - x2 , p‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٣-١٠‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X1, X 2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪0 < x1 < 1 , 0 < x 2 < 1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪f(x1 ,x 2 ) = x1 + x 2‬‬

‫) ‪P(0  X  0.5 X1  .25) , g 2 (x 2 x1‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻧﺟد أن‬ ‫‪0 < x1 , x 2 < 1‬‬

‫‪f(x 1 ,x 2 ) x1 +x 2‬‬ ‫=‬ ‫) ‪f(x 1‬‬ ‫‪x 1 +0.5‬‬

‫=) ‪g 2 (x 2 |x1‬‬

‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪a1   x1  x2x2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪٥٥٠‬‬

1  x1 2

a2 

x1  x2 a1

x1  x2 1  x1 2

P (0 < X 2 < .5 |x 1 = .2 5 ) .5

= 0

.2 5 + x 2 1 dx 2 = . .2 5 + .5 3

a1   x1  x2x2 0

1  x1 2

a2 

x1  x2 a1

x1  x2 1  x1 2

a3 

.25  x2 1  .25 2

1.33333 (0.25 +x2) .5



a3x2

0 0.333333

(٣٤-١٠ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‬X,Y ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن‬ 2 , f  x ,y  =  0 ,

x+ y< 1 , x 0 , y> 0 e.w.

. X ‫) أ ( أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬ . g 2  y | x  ‫)ب ( اوﺟد‬ :‫اﻟﺣــل‬ 1 x

f1 (x) 



2dy  2(1  x)

g2  y | x  =

f  x, y  2 1 = = , x + y < 1 , 0 < x <1, f x 2 1-x  1-x ٥٥١

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪0 < y < 1 x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪e.w.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g 2  y | x  = 1-x‬‬ ‫‪ 0‬‬

‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪1x‬‬

‫‪2 y‬‬

‫‪aa1  ‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2-2 x‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪aa1‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٥-١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X,Y‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪g2  y | x ‬‬

‫‪3 2 2‬‬ ‫‪ (x +y ) , 0<x<1,0<y<1‬‬ ‫‪f  x ,y  =  2‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬ ‫وﻣﺛﻠﻬﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ‪ .‬واوﺟد )‪. P(Y>1/2|x=1/2‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫ﺳوف ﻧﺣل ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬اﻟﺟزء ‪ Sec3.2‬ﺣﯾث ‪g 2  y | x ‬‬ ‫ﻣﻌرﻓﺔ ﺑﺎﻻﺳم ‪ gygivenx‬واﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﻣﺧرج ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن ‪. x‬‬

‫‪٥٥٢‬‬

‫‪aa2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪22x‬‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل )‪P(Y>1/2|x=1/2‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪1  22  y2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪12 1  22  1  3‬‬

‫)‪ (٥-١٠‬ﺧـواص اﻟﻘﯾـم اﻟﻣﺗوﻗﻌـﺔ ‪Properties of Expected Values :‬‬ ‫ﻋﻧ ــد د ارﺳ ــﺔ ﻣﺗﺟ ــﻪ ﻣــن اﻟﻣﺗﻐﯾ ـرات اﻟﻌﺷ ـواﺋﯾﺔ)‪X2…., XK‬‬

‫‪1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪ X = ( X1‬ﺑداﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ‬

‫إﺣﺗﻣـﺎل ﻣﺷﺗرﻛـﺔ )‪ f( x1 , x2….,xK‬ﯾﻛـون ﻣـن اﻟﺿــروري ﻣﻌرﻓــﺔ اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌـﺔ ﻟـﺑﻌض اﻟـدوال ‪،‬‬ ‫ﻟﺗﻛــن )‪ Y = u(X‬ﯾﻣﻛـن إﺳـﺗﺧدام اﻟرﻣـز ) ‪ E ( Y‬أو اﻟرﻣـز‬

‫] ) ‪ E [ u ( X‬أو اﻟرﻣـز ‪Ex‬‬

‫] ) ‪ [u ( X‬ﺣﯾـث اﻟـدﻟﯾل ‪ X‬ﯾﻌﻧـﻲ أن اﻟﻣﺟﻣـوع أو اﻟﺗﻛﺎﻣـل ﯾﺣﺳـب ﺑﺎﻟﻧﺳـﺑﺔ ﻟداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻹﺣﺗﻣـﺎل‬ ‫اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﺟﻪ اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬و ﻫذا ﻣﺎ ﺗﻧص ﻋﻠﯾﻪ اﻟﻧظرﯾﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫ﻧظرﯾـﺔ ‪ :‬إذا ﻛـﺎن ) ‪ X = ( X1 , … , XK‬داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻹﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛـﺔ‬ ‫‪ f ( Xk‬و إذا ﻛﺎﻧـت ] ) ‪ Y = E [ u ( X‬داﻟــﺔ ﻓــﻲ ‪ X‬ﻓـﺈن‬ ‫‪ E( Y ) = E[ u‬ﯾﻛون اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪٥٥٣‬‬

‫) ‪X1 , X2….,‬‬

‫])‪( X1 , X2…., Xk‬‬

‫) ‪E[u(x1 ,x 2 ....,x k )] ... u(x1 ,x 2 ....,x k ).f(x1,x 2 ....,x k‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪x1‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل و ﯾﻛون ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫) ‪E[u(x1 ,x 2 ....,x k )]=  ...  u(x1 ,x 2 ....,x k‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪×f (x1 , x 2 ...., x K ) dx1dx 2 ..dx K‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ‪:‬‬ ‫اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠداﻟﺔ )‪ u ( x1 , x2…., xk‬ﺗﺧﺿﻊ ﻟﺧﺎﺻﯾﺗﯾن ﻫﺎﻣﺗﯾن ‪:‬‬ ‫) أ ( ﻷي داﻟﺗﯾن )‪ u1 ( x1 , x2…., xk‬و )‪ u2 ( x1 , x2…., xk‬و ﻷي ﺛﺎﺑﺗﯾـن ‪ a , b‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫])‪E [ au1 ( x1 , x2…., xk) + bu2 ( x1 , x2…., xk‬‬

‫])‪= aE [ u1 ( x1 , x2…., xk)] + bE [ u2 ( x1 , x2…., xk‬‬ ‫)ب( إذا ﻛﺎن ‪ u ( x1 , x2…., xk) ≥ 0‬ﻓﺈن ‪E [u ( x1 , x2…., xK)] ≥ 0‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧـت اﻟداﻟـﺔ )‪ u ( X1 , X2…., XK‬ﻣﻌرﻓـﺔ ﻓــﻲ ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ واﺣــد ‪ ،‬ﻋﻠـﻲ ﺳــﺑﯾل‬

‫اﻟﻣﺛــﺎل ‪ ..‬ﻟــﯾﻛن ‪ X1‬ﻓــﺈن اﻟﺗوﻗــﻊ اﻟرﯾﺎﺿــﻲ ﻟﻠداﻟــﺔ ) ‪ u( X1‬ﯾﻣﻛــن اﻟﺣﺻــول ﻋﻠﯾــﻪ ﻣﺑﺎﺷـرة ﻣــن داﻟــﺔ‬ ‫ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪. X1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪E[u(x1 )]=  u(x1 )f(x1 )dx1.‬‬ ‫‪-‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﯾﺳﺗﺑدل اﻟﺗﻛﺎﻣل ﺑﺎﻟﻣﺟﻣوع ‪:‬‬

‫ﻧظرﯾـﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ X1 , X2‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ إﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ) ‪ f( x1 , x2‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫) ‪E ( X1 + X2 ) = E ( X1 ) + E ( X 2‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٦-١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X1 , X2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪f(x1 ,x 2 )  24x1x 2 , 0  x1  , 0  x 2  1 , x1  x 2  1‬‬

‫‪= 0 , e.w.‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪u( X1 , X2 ) = .5 + .5 X1 + X2‬‬ ‫أوﺟـد ‪E [ u ( x1 , x2 )] :‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪٥٥٤‬‬

‫‪‬‬

‫‪)f(x1 ,x 2 )dx1dx 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪E[u(x1 ,x 2 )]=E[.5+.5x1 +x 2 ]= ‬‬

‫‪ u(x ,x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪-‬‬

‫‪1-x1‬‬

‫‪)24x1x 2dx 2dx1 =1.1.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ (.5+.5x +x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪=‬‬ ‫‪0‬‬

‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪1x1‬‬

‫‪.5  .5  x1  x224  x1  x2x2x1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪0 0‬‬ ‫‪1.1‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٧-١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ‪ X1 , X2‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪3-x1  x 2‬‬ ‫= ) ‪f ( x1 ,x 2‬‬ ‫‪, x1 = 0,1, x 2  0,1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫أوﺟـد ‪E ( X1 + X2 ) :‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪3-x1 -x 2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫) ‪(x1 +x 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪x1 0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪E(X1 +X 2 )= ‬‬

‫‪x 2 0‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) (‪ 0( )  1( )  1( )  2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪3  x1  x2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪  x1  x2 ‬‬ ‫‪x20 x10‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﺛﺑﺎت ان ) ‪ E ( X1 + X2 ) = E ( X1 ) + E ( X2‬ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث‬ ‫ﺣﯾث) ‪ E ( X1 + X2‬ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ ‪: xx‬‬ ‫‪٥٥٥‬‬

‫‪3  x1  x2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪fx1_, x2_ :‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪xx    x1  x2  fx1, x2‬‬ ‫‪x20 x10‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪fx1   fx1, x2‬‬ ‫‪x20‬‬

‫‪2  x1 3  x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪fx2   fx1, x2‬‬ ‫‪x10‬‬

‫‪2  x2 3  x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪Ex   x1  fx1‬‬ ‫‪x10‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪Ey   x2 fx2‬‬ ‫‪x20‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪xx=Ex+Ey‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٨-١٠‬‬ ‫ﻟﺗﻛن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن‪ X , Y‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫) ‪ x(1+3y 2‬‬ ‫‪, 0 < x < 2,0 < y <1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F(x,y)= ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬ ‫‪‬‬ ‫أوﺟـد ‪E(X) , E(Y) , E(X+Y) , E(XY) :‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻧﻼﺣظ أﻧﻪ ﻹﯾﺟﺎد )‪ E(X) , E(Y‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺗﺎج إﻟﻰ اﻟـدوال اﻟﻬﺎﻣﺷـﯾﺔ ﻟﻛـل ﻣـن اﻟﻣﺗﻐﯾـرﯾن ‪X,Y‬‬ ‫؛ أي ﻧرﯾد إﯾﺟﺎد اﻟدوال )‪ f(x) , f(y‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ‪ .‬ﻣن ﺗﻌرﯾف اﻟدوال اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪٥٥٦‬‬



f1 (x)=  f(x,y)dy - 1

x(1+3y 2 ) dy 4

= 0

1 x 1 =  xy+xy3  = ,0 < x < 2 4 0 2 

f1 (y)=  f(x,y)dx -

x(1+3y2 ) dx 4

= 0

2 1 1  x2 =  +3xy 2  = (1+3y 2 ) ,0<y<1 4 2 0 2 :‫ﻣن ﺗﻌرﯾف اﻟﺗوﻗﻊ اﻟرﯾﺎﺿﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ اﻟﻣﺗﺻل ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‬ 

E(X)=  xf(x)dx  2

x.x dx 2 0

=

1  x3  2 4 =   = 2  3 0 3 

E(Y)=  yf(y)dy 

1 =  y(1+3y 2 )dy 20 1  y 2 3y 4  1 1  1 3  5 =  + = + = . 2 2 4  0 2  2 4  8

: ‫ﻣن ﺗﻌرﯾف اﻟﺗوﻗﻊ اﻟرﯾﺎﺿﻲ ﻟداﻟﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ اﻟﻣﺗﺻل ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‬

٥٥٧

‫‪‬‬

‫‪(x+y)f(x,y)dx dy‬‬

‫‪ ‬‬

‫) ‪x(1+3y 2‬‬ ‫)‪(x+y‬‬ ‫‪dx dy‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪xy+3xy 3‬‬ ‫‪dx dy‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x 2 +3x 2 y 2‬‬ ‫‪dx dy +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪-‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2x 2  dx +‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫= ) ‪E (X +Y‬‬ ‫=‬ ‫=‬

‫‪1  x 3x ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 4  2  4  dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1  x3 ‬‬ ‫‪1  x 2 3x 2 ‬‬ ‫‪47‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪8 ‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪47‬‬ ‫‪24‬‬

‫=)‪E(X+Y‬‬

‫ﻣ ــن اﻟﻣﻼﺣـ ــظ أﻧـ ــﻪ ﯾﻣﻛﻧﻧ ــﺎ إﯾﺟـ ــﺎد اﻟﻘﯾﻣـ ــﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌ ــﺔ‬

‫)‪ E(X+Y‬ﺑطرﯾﻘـ ــﺔ ﻣﺑﺎﺷ ـ ـرة و ذﻟـ ــك‬

‫ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﺧواص اﻟﺗوﻗﻊ اﻟرﯾﺎﺿﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬

‫ﻣن ﺧواص اﻟﺗوﻗﻊ اﻟرﯾﺎﺿﻲ ﻧﺟد أن ‪:‬‬ ‫‪4 5 32+15 47‬‬ ‫=‪E(X+Y)=E(X)+E(Y)= + +‬‬ ‫=‪+‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3 8‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪‬‬

‫‪xy f(x,y)dx dy‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪-‬‬

‫) ‪x(1+3y2‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪dx dy‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  x 2 y 2 3x 2 y 4 ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪4  2‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x 2 y+3x 2 y3‬‬ ‫‪dx dy‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫‪-‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪-‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1  5x 2 ‬‬ ‫‪1  5x 3  5‬‬ ‫= ‪dx‬‬ ‫‪= .‬‬ ‫‪4  4 ‬‬ ‫‪4  12  6‬‬ ‫‪0‬‬

‫= ) ‪E (X Y‬‬ ‫=‬

‫=‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫=‬

‫‪0‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﺛﺑﺎت ان ) ‪ E ( X1 + X2 ) = E ( X1 ) + E ( X2‬ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث‬ ‫‪٥٥٨‬‬

:Exy ‫ ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ‬E(XY) ‫ ﻛﻣﺎ ان‬xx ‫ ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ‬E ( X1 + X2 )‫ﺣﯾث‬

x1  3 y2 4 1 fx   fx, y y

fx_, y_ :

x 2

fy   fx, y x 0

1 1  3 y2 2 2

Ex   x  fx x 4 3

Ey   y  fy y 5 8

xx=Ex+Ey

47 24

xx    x y  fx, y yx 47 24

Exy    x y  fx, y yx 5 6

(٣٩-١٠ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫ ﻣﺗﻐﯾران ﻋﺷواﺋﯾﺎن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ إﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻣﻌرﻓﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ‬Y , X ‫ﺑﻔرض أن‬

 3x 2 y  f(x,y)=  2 0 

0  x  1,0  y  2 e.w . E(

1 ) E(X) ‫اﺛﺑت ان اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن وأوﺟـد‬ Y , :‫اﻟﺣــل‬

٥٥٩

‫‪ 3x 2 , 0  x  1‬‬ ‫‪3x 2 y‬‬ ‫‪dy = ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪e.w.‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪f1 (x)  ‬‬ ‫‪0‬‬

‫و‬

‫و ﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪, 0x2‬‬ ‫‪3x 2 y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx =  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪, e.w.‬‬ ‫)‪f(x,y) = f(x) f(y‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f 2 (y)  ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﺑﻣــﺎ ان )‬ ‫‪Y‬‬ ‫اﻟﺷﻛل )‪: E(X‬‬

‫(‪ E‬داﻟــﺔ ﻓــﻰ ‪ Y‬ﻓﻘــط ﻓــﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎدﻫــﺎ ﻣــن داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻰ ‪ .Y‬وﺑــﻧﻔس‬

‫ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎدﻫﺎ ﻣن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪ X‬ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 y‬‬ ‫‪E( )=  ( )( )dy =1.0 , E(X)=  x(3x 2 )dx = 0.75‬‬ ‫‪Y 0 y 2‬‬ ‫‪0‬‬

‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪3  x2  y‬‬

‫‪fx_, y_ :‬‬

‫‪2‬‬

‫‪fx   fx, y y‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3x‬‬ ‫‪fy  01fx, y x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Ex   x  fx x‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪Ex    x  fx, y y x‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ fy y‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0 y‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪Ey  ‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪Ey     1y   fx, y y x‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪٥٦٠‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ Y,X‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪E(X,Y)  E(X)E(Y).‬‬ ‫ﻋﻠﻲ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻧد اﻟﻘ ﺎء ﻧ ردﯾن ﻣ رة واﺣ دة ‪ X,Y‬ﺗﻣﺛ ل ﺣﺎﺻ ل اﻟﺿ رب ﻟﻠﻌ ددﯾن اﻟظ ﺎھرﯾن‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻧردﯾن‪.‬‬

‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠداﻟﺔ ) ‪ (X   X )(Y   Y‬ﺗﻌرف ﺑﺎﻟﺗﻐﺎﯾر ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪Y,X‬‬ ‫وﯾرﻣز ﻟﮭﺎ ﺑﺎﻟرﻣز )‪ Cov(X,Y‬أي أن ‪:‬‬ ‫‪Cov(X,Y)  E[(X   X )(Y   Y )] .‬‬ ‫وھو ﯾﻘﯾس درﺟﺔ اﻟﺗراﻓق ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ Y, X‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن‪ ،‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪Cov(X,Y)  E(XY)  E(X)E(Y).‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت ‪ Y,X‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن و ‪ b, a‬ﺛﺎﺑﺗﯾن ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪Cov(aX,bY)  abCov(X, Y),‬‬ ‫‪Cov(X  a,Y  b)  Cov(X, Y),‬‬

‫‪Cov(X,aX  b)  a 2X .‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ Y,X‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﺔ )‪ ، f (x, y‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫)‪2X  Y  X2  Y2  2Cov(X, Y‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ Y,X‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺑﺗﺑﺎﯾﻧﻲ ‪ 2X , 2Y‬وﺗﻐﺎﯾر )‪ ، Cov(X,Y‬ﻓﺈن ﻣﻌﺎﻣل‬ ‫اﻻرﺗﺑﺎط ﺑﯾن ‪ Y,X‬ھو‪:‬‬ ‫)‪Cov(X,Y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪XY‬‬

‫ﻧظرﯾـﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ ρ‬ﻫو ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑﺎط ﺑﯾن ‪ X , Y‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)أ(‬

‫‪- 1 ≤ ρ≤ 1‬‬

‫)ب(‬

‫‪ ρ = ± 1‬و إذا ﻛﺎن ﻓﻘط ‪ Y = aX + b‬ﺑﺈﺣﺗﻣﺎل ‪ 1‬ﻟﻘﯾم ‪a ≠ 0 , b‬‬

‫ﻧظرﯾـﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ X , Y‬ﻣﺳﺗﻘﻼن ﻓﺈن ‪ ρ = 0‬و ﻟﻛن ‪ ρ = 0‬ﻻ ﺗﻌﻧﻲ أن ‪ X , Y‬ﻣﺳﺗﻘﻼن ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٤٠-١٠‬‬ ‫‪٥٦١‬‬

, ‫ اﺣﺳب ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط وأوﺟد‬Y , X ‫اﻟﺟدول اﻵﺗﻲ ﯾﻌطﻲ اﻟداﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن‬ 2 Cov (X,3X-7) E  7 X 2Y  Cov (2X,Y) ,  3x  2 y X Y 0 1 g(x)

h(y)

6 15 4 15 10 15

4 15 1 15 5 15

10 15 5 15

:‫اﻟﺣــل‬ ً ‫ ﻓﻧﺟد إﻧﮭﻣﺎ ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻷﻧﮫ ﻣﺛﻼ‬X,Y ‫ﻧﺑﺣث ﻓﻲ اﺳﺗﻘﻼل اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن اﻟﻌﺷواﺋﯾﯾن‬ 4 10 5 f  0,1  , g  0   , h 1  ‫ ﺣﯾث‬f  0,1  g  0  h 1 15 15 15 : ‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ھو‬ Cov(X,Y)  X  Y : ‫ﺣﯾث‬

Cov(X,Y)  E(XY)  E(X)E(Y) :  X ,  Y ,E(X 2 ) , E(Y 2 ) ,E(XY) , X 2 , Y 2 , X , Y ‫ﻧوﺟد اﻟﻘﯾم اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬  10   5  5  X  E(X)   x g(x)  0    1   .  15   15  15

 10   5  5  Y  E(Y)   y h(y)  0    1   ,  15   15  15  10   5  5 E(X 2 )   x 2 g(x)  0    1   ,  15   15  15  10   5  5 E(Y 2 )   y 2 h(x)  0    1   , 15 15 15    

: ‫اﻵن ﻧوﺟد اﻟﺗﺑﺎﯾن‬ 5 5 5 25 75  25 50 2X  E(X)2  [E(X)]2         , 15  15  15 255 225 225 2

٥٦٢

‫‪2‬‬

‫‪5 5‬‬ ‫‪5 25 75  25 50‬‬ ‫‪  E(Y)  [E(Y)]      ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪15  15  15 225‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪Y‬‬

‫اﻵن ﻧوﺟد اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري‬

‫‪50‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪Y ‬‬

‫‪50‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪x ‬‬

‫اﻵن ﻧوﺟد )‪: E(XY‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪E(XY)   xy f  x, y    0  0      0 1    1 0     11   ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 15 ‬‬ ‫‪ 15 ‬‬ ‫‪ 15 ‬‬ ‫‪ 15  15‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك )‪ Cov(X,Y)  E(XY)  E(X)E(Y‬ﺗﺳﺎوي ‪:‬‬

‫‪1 5 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪25 15  25‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪15  15   15 ‬‬ ‫‪15 225‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪225‬‬

‫‪Cov(X,Y) ‬‬

‫وﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ‪ ‬ﻧوﺟده ﻣن اﻟﻘﺎﻧون ‪:‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫)‪cov(x, y‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪X Y‬‬

‫‪‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪255‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 255     .‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50‬‬ ‫(‬ ‫()‬ ‫)‬ ‫‪225‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﻣن اﻟﺟزء ‪ Sec2.6‬ﻣن‬ ‫‪‬‬

‫اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ ﺣﯾث ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﺗوﺳط وﺗﺑﺎﯾن ﻛل ﻣن ‪ X,Y‬ﺛم )‪ E(XY‬ﺛم اﻟﺗﻐﺎﯾر‬ ‫واﺧﯾرا ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط وﯾﻣﻛن ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺗﻌﻠم ﻛﯾﻔﯾﺔ ادﺧﺎل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت‬ ‫‪٥٦٣‬‬

: ‫اﻵن ﻧوﺟد ﺑﻘﯾﺔ اﻟﻣطﻠوب وﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن‬  5   5  35  10 25 5 E  7 X  2Y   7E(X)  2E(Y)  7    2      . 15 15 3  15   15  2 2 3X  3X   22 Y  2Cov(3X, 2Y)  2Y 2

  3  2X   2   2Y  2(2)(3)Cov(X,Y)  9 2X  4 2Y  12Cov(X, Y)  50   50   10   9   4   12     225   225   225  450  200  120 530   . 225 225 ٥٦٤

20  10  Cov (2X,Y)  2Cov(X,Y)  2  ,  225  225  Cov (X,3X-7)  1  3 Cov(X,X)  3Cov(X, X)  50  150  3 X 2  3 .   225  225 (٤١-١٠ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ 2(1  y1 ) , 0  y1  1,0  y 2  1 f (y1 , y 2 )   , e.w. 0

:‫أوﺟد‬ ‫( ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن أم ﻻ ؟‬Y1Y2 ) ‫ وﻫل‬Cov(Y1Y2 ) ‫ و أﺛﺑت أن‬E(Y1Y2 ) :‫اﻟﺣــل‬ 1

E(Y1 ,Y2 )= 



2 y1 y 2 1-y1  dy 2 dy1

1 =2  y 1 1-y 1    dy 1 2 0 1

= 0

 y 12 y13  1 1 1 ( y 1 ,y 2 )dy 1       2  0 2 3 6  2 1

y  1 1 y y 1  2 1-y1   dy1 =2  1  1   , E(y 2 )= 3 0 3 2  2

E(Y1 )=  0

: ‫( و ﻋﻠﻰ ذﻟك‬0.1 ) ‫ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣﻧﺗظم ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة‬y2 ‫و ذﻟك ﻷن‬

 1  1  E(Y1Y2 )  E(Y1 )E(Y2 )      1/ 6  2  2  : ‫ ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻷن‬Y1,Y2 ‫ و‬ρ = 0 ‫ و ﻣﻌﺎﻣل اﻹرﺗﺑﺎط‬Cov(Y1Y2 )  0 ‫أي أن‬ f1(y1) f2(y2) = f(y1 , y2 ) E(Y1Y2 ) ‫ اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ‬Ey1y2 ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑﻧﺎﻣﺞ ﻟﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﺣﯾث‬ . E(Y2 ) ‫ اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ‬Ey2 ‫ و‬E(Y1 ) ‫ اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ‬Ey1 ‫و‬ . f (y 2 ) ‫ اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ‬Ey2 ‫ و‬f (y1 ) ‫ اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ‬fy1 ‫و‬ f[y1_,y2_]:=2(1-y1) 1

fy1   f y1, y2 y2 0

2-2 y1 ٥٦٥

fy2   f y1, y2 y1 0

1 1

Ey1    y1  fy1, y2 y1 y2 1 3

0 0

Ey1   y1  fy1 y1 1 3

Ey2   y2  fy2 y2 1 2

Ey2    y2  fy1, y2 y2 y1 1 2

0 0

Ey1y2    y1  y2 fy1, y2 y2 y1 0

1 6 Ey1y2=Ey1*Ey2

1 6

(٤٢-١٠ ) ‫ﻣﺛﺎل‬

: ‫ ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﻬﻣﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻣﻌطﺎة ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ‬Y1 , Y2 ‫إذا ﻛﺎن‬

,0  y1  1 2 y f(y1,y2 ) =  1 0 , e.w

,0  y2  1

E ( Y1 Y2 ) , Var (Y1) , Var (Y2) , Cov ( Y1 , Y2 ) : ‫ﻓﺄوﺟد‬ :‫اﻟﺣــل‬

٥٦٦

 

E( Y1Y2 ) =

y

y 2f (y1 , y 2 ) dy1dy 2

-    



2y  =   y1 y 2 (2y1 ) dy1 dy 2 =  y 2 1  dy 2 3 0   - 1

2 2 y 22  1  y2dy 2 = 3 2  = 3  3 0 

 

E( Y1 ) =

 y

f (y1 , y 2 ) dy1 dy 2

  

  =  y1   f (y1 , y 2 ) dy 2  dy1 -   

 f (y

, y 2 ) dy 2 = f ( y1 )

-

: ‫وﻣﻧﻪ ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ‬ 

E(Y1 ) =  y1f(y1 )dy1  

E(Y1 ) =  y 2 (2y1 ) dy1dy 2 

 2 y 13  2 =  dy 2   dy 2  3 0   3 

2  2 = y2   3 0 3 : E(Y2) ‫و ﻛذﻟك ﺑﺎﻟﻣﺛل ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد‬ 1 1

E(Y2 ) =   y 2 (2y1 )dy1dy2 0 0

=  y 2 (2y1 ) dy1dy 2 0

1 2 y 12  = y2 dy 2   y 2dy 2 2 0 0 0 1

y 22  1 =   2 0 2 : ‫ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ‬Y1 Y2 ‫ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟدوال اﻟﻬﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن‬

٥٦٧

‫‪1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ = 2y1 , 0  y1  1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f(y1 ) =  f( y1 ,y2 ) dy2 =  2y1dy 2 = 2y1 y 2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪f(y 2 ) =  f( y1 ,y2 ) dy1 =  2y1dy1 = y1  = 1, 0  y2  1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫‪Var(Y1 ) = E(Y12 ) - [ E(Y1 )]2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2y1k+2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪E(Y1 ) =  y1 f( y1 ) dy1 =  y1 2y1dy1‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪k+2 0 k+2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذا أﺧذﻧﺎ ‪ k = 1‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪E(Y1 ) ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إذا أﺧذﻧﺎ ‪ k = 2‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪E(Y12 ) ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫و ﻣن ذﻟك ﯾﻧﺗﺞ أن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪k‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Var(Y1 )  E(Y1 )   E(Y1 )      ,‬‬ ‫‪2  3  18‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫و ﻣن ﺗﻌرﯾف اﻟﺗﻐﺎﯾر ‪:‬‬ ‫‪Cov(Y1, Y2) = E(Y1 Y2) - E(Y1) E(Y2) = E(Y1 Y2) - µ1 µ2‬‬ ‫ﻧﻼﺣظ ﻣﻣﺎ ﺳﺑق أﻧﻪ ﻟدﯾﻧﺎ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) ‪E(Y2 ) = , E(Y1 ) = ( ) , E(Y1Y2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫و ﯾﻛون ‪:‬‬ ‫‪1 2 1‬‬ ‫‪Cov(Y1Y2 )   ( )( )  0‬‬ ‫‪3 3 2‬‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑﻧﺎﻣﺞ ﻟﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﺣﯾث ‪ Ey1y2‬اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ ) ‪E(Y1Y2‬‬ ‫و ‪ Ey1‬اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ ) ‪ E(Y1‬و ‪ Ey2‬اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ ) ‪E(Y2‬‬ ‫و ‪ fy1‬اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ ) ‪ f (y1‬و ‪ Ey2‬اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ ) ‪f (y 2‬‬

‫و ‪ Ey11‬اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ ) ‪ E(Y12‬و ‪ Ey22‬اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ ) ‪E(Y22‬‬ ‫و ‪ fy1‬اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ ) ‪ f (y1‬و ‪ Ey2‬اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ ) ‪f (y 2‬‬

‫و ‪ Var1‬اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ ‪ 12‬و ‪ Ey22‬اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ ‪22‬‬ ‫‪٥٦٨‬‬

‫ اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ اﻟﺗﻐﺎﯾر‬Covv ‫و‬

f[y1_,y2_]:=2*y1 1

fy1   f y1, y2 y2 0

2 y1 1

fy2   f y1, y2 y1 0

1 1

Ey1    y1  fy1, y2 y1 y2 2 3

0 0

Ey1   y1  fy1 y1 2 3

Ey11    y1^2 f y1, y2 y2 y1 0

1 2

Ey11   y1^2  fy1 y1 1 2

Ey2   y2  fy2 y2 1 2

Ey2    y2  fy1, y2 y2 y1 1 2

0 0

Ey22    y2^2 f y1, y2 y2 y1 1 3

Ey1y2    y1  y2 fy1, y2 y2 y1 1 3

Var1=Ey11-Ey1*Ey1 Covv=Ey1y2-Ey1*Ey2 ٥٦٩

‫‪0‬‬

‫‪Covv‬‬ ‫‪p  ‬‬ ‫‪Var1  Var2‬‬ ‫‪0‬‬

‫) ‪ ( ٦ -١٠‬اﻟﺗوﻗﻊ اﻟﺷرطﻲ‬

‫‪Conditional Expectation‬‬

‫ﺑﻔـرض أن )‪ u(Y|x‬أي داﻟـﺔ ﻓـﻲ ‪ٕ . Y‬واذا ﻛﺎﻧـت اﻟـدال اﻟﺷـرطﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪ Y‬ﻫـﻲ )‪f(y| x‬‬

‫ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﺗﻌرﯾف اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠداﻟﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ X , Y‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﻬﻣﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ )‪ f(x,y‬ﻓﺈن‬

‫اﻟﺗوﻗﻊ اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬إذا ﻋﻠم أن ‪ X = x‬ﯾﻌطﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪-:‬‬

‫‪ y f(y | x).‬‬

‫) ‪ Y | x  E (Y | X‬‬

‫‪y‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ X ,Y‬ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ وﯾﻌطﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪dy.‬‬

‫)‪ y f(y|x‬‬

‫)‪ Y|X  E(Y | X‬‬

‫‪-‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ﻛﺎن ‪ X, Y‬ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٣-١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬إذا ﻋﻠم أن ‪ X  x‬ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= )‪f(y | x‬‬ ‫<‪, 0< y‬‬ ‫‪0 < y <1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أوﺟد ‪ Y | x :‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪2 x‬‬ ‫‪( )( ) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ E (Y | X )   y( )dy  x 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0<x<2‬‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ اﻟﺣل ﻟﻬذااﻟﻣﺛﺎل ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ Y|x‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪٥٧٠‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٤-١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X ,Y‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﻬﻣﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪f(x,y) = 2 , 0 < x  y  1‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪, e.w.‬‬ ‫أوﺟد ) ‪E( X | Y ) , E ( Y | x‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻬﺎﻣﺷﻲ ﻟﻛل ﻣن ‪ X , Y‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ﻫﻣﺎ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0 x  1‬‬

‫)‪f X (x)=  2dy=2(1-x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪e.w.‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪y‬‬

‫‪f Y (y)=  2dx=2y‬‬

‫‪0 y  1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪e.w.‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪,‬‬

‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬إذا ﻋﻠم أن ‪ X = x‬ﻫﻲ‪:‬‬

‫)‪f(x,y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪, x  y  1 , 0  x  1.‬‬ ‫)‪fx (x) 2(1  x) (1  x‬‬

‫=) ‪f( y| x‬‬

‫اﻟﻣﺗوﺳط اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬إذا ﻋﻠم أن ‪ X = x‬ﻫو ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ y2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E(Y| x)=  y‬‬ ‫‪dy= ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1-x‬‬ ‫‪ 2(1-x0  x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1+x‬‬ ‫‪, 0  x 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﯾﻼﺣظ أن ‪ μ Y | x‬داﻟﺔ ﺧطﯾﺔ ﻓﻲ ‪ x‬ﺗﺳﻣﻰ داﻟﺔ اﻻﻧﺣدار‪.‬‬

‫=‬

‫أﯾﺿﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬إذا ﻋﻠم أن ‪ Y=y‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫‪2 1‬‬ ‫=) ‪f( x ,y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0<x<y ,0<y<1‬‬ ‫‪2y y‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪, e.w.‬‬ ‫ﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن ‪:‬‬

‫‪0  y 1‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪٥٧١‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬

‫= )‪E( X | y‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث‬ ‫)‪ E(X|y),E(Y|x‬ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ ‪ Ex,Ey‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪fx   2 y‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪2-2 x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪fy   2x‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2 y‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪fx‬‬

‫‪fxy ‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪22x‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪fy‬‬

‫‪fyx ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪Ex   x  fyx x‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪Ey   y  fxy y‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1 x‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٥-١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X,Y‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ٕواذا ﻛﺎﻧـت داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﺷـرطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪ Y‬إذا ﻋﻠـم أن‬ ‫‪ X= x‬ﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ‪ :‬أوﺟد ‪ μ Y | x‬ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪. X‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪0.000‬‬ ‫‪0.056‬‬ ‫‪0.027‬‬ ‫‪0.069‬‬ ‫‪0.600‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪0.000‬‬ ‫‪0.111‬‬ ‫‪0.135‬‬ ‫‪0.690‬‬ ‫‪0.200‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0.333‬‬ ‫‪0.444‬‬ ‫‪0.135‬‬ ‫‪0.069‬‬ ‫‪0.100‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪0.167‬‬ ‫‪0.278‬‬ ‫‪0.676‬‬ ‫‪0.172‬‬ ‫‪0.100‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪٥٧٢‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.111‬‬ ‫‪0.027‬‬ ‫‪0.000‬‬ ‫‪0.000‬‬

‫‪y‬‬ ‫)‪f(y|1‬‬ ‫)‪f(y|2‬‬ ‫)‪f(y|3‬‬ ‫)‪f(y|4‬‬ ‫)‪f(y|5‬‬

‫‪ ) μ Y | x‬داﻟﺔ اﻻﻧﺣدار ( ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻬﺎ ﻛﺎﻵﺗﻲ‬ ‫‪ 1.667‬‬ ‫‪x =1‬‬

‫‪x=2‬‬

‫‪= 2.557‬‬

‫‪x=3‬‬

‫‪= 3.0‬‬

‫‪x= 4‬‬

‫‪= 3.759‬‬

‫‪μY |x‬‬

‫‪= 4.3‬‬ ‫‪x=5‬‬ ‫ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ‪ μ Y | x‬ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪5‬‬

‫)‪μ Y | 3 =  y f( y | 3‬‬ ‫‪y=1‬‬

‫‪= (1)(0.027)+(2)(0.135)+(3)(0.676)+(4)(0.135)+(5)(0.027) = 3.0‬‬ ‫ﯾﺟب أن ﻧﻌﻠم أن اﻟﺗوﻗﻊ اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬إذا ﻋﻠم أن ‪ X=x‬داﻟﺔ ﻓﻲ ‪x‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ X,Y‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﻬﻣﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ )‪ f(x,y‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫) ‪E [ E( Y | x)] = E( Y‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٦-١٠‬‬ ‫ٕواذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪, 0<x<2‬‬

‫‪x‬‬ ‫أوﺟد )‪ E(Y‬اذا ﻛﺎن‬ ‫‪4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫= )‪f1 (x‬‬

‫=)‪. E(Y|x‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ x  x ‬‬ ‫= ‪E (Y )= E [E (Y |x)]=      dx‬‬ ‫‪4  2 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 ‬‬

‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ اﻟﺣل ﻟﻬذااﻟﻣﺛﺎل ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪2x‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ X, Y‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻓﺈن‬ ‫) ‪E[ X | y ] = E( X ) , E( Y | x ) = E ( Y‬‬ ‫أﯾﺿـ ـ ـ ـ ــﺎً ﯾﻛـ ـ ـ ـ ــون ﻣـ ـ ـ ـ ــن اﻟﻣﻔﯾـ ـ ـ ـ ــد د ارﺳـ ـ ـ ـ ــﺔ اﻟﺗﺑـ ـ ـ ـ ــﺎﯾن ﻟﻠﺗوزﯾﻌـ ـ ـ ـ ــﺎت اﻟﺷـ ـ ـ ـ ــرطﯾﺔ واﻟﺗـ ـ ـ ـ ــﻲ ﯾﺷـ ـ ـ ـ ــﺎر إﻟﯾﻬـ ـ ـ ـ ــﺎ‬ ‫ﺑﺎﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﺷرطﻲ‪.‬‬ ‫‪٥٧٣‬‬

‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬إذا ﻋﻠم ‪ X= x‬ﻫو‬

‫}‪Var(Y| x) =E{[Y-E(Y|x)]2 | x‬‬ ‫ﻫﻧﺎك ﺻﯾﻐﺔ ﻣﻛﺎﻓﺋﺔ ﻟﻠﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪Var(Y| x)=E(Y 2 | x)-[E(Y | x] 2‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٤٧-١٠‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (٤١-١٠‬ﺣﯾث أن ‪ Y , X‬ﻣﺗﻐﯾران ﻋﺷواﺋﯾﺎن ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﻌطﺎﻩ ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬

‫‪2 , 0  x  1 , 0  x  y  1‬‬ ‫‪f (x, y)  ‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬ ‫)أ( اوﺟـد اﻟﺗﺑـﺎﯾن اﻟﺷـرطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪ Y‬إذا ﻋﻠـم ‪) X= x‬ب( اوﺟـد )‪ P(Y>.5‬و)‪P(Y>2X‬‬ ‫وﻣﺛﻠﻬم ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪0  x 1‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪e.w.‬‬

‫‪1 x‬‬

‫)‪2(1  x‬‬ ‫‪2dy  ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪f1 (x) ‬‬

‫‪0‬‬

‫وﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪ 0  x  1‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪, 0  y  1-x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g 2 (y x) ‬‬ ‫‪ 1  x‬‬ ‫)‪f X (x‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬ ‫)‪f x,y (x, y‬‬

‫وﻋﻠﯾﻪ ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪1  x‬‬ ‫‪, 0  x 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 x ‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬

‫‪1 x‬‬

‫‪‬‬

‫‪E(Y X  x) ‬‬

‫‪0‬‬

‫ٕوان‪:‬‬

‫‪ 1  x  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪, 0  x 1‬‬ ‫‪y2 ‬‬ ‫‪ dy   3‬‬ ‫‪1 x ‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬ ‫‪‬‬ ‫إذن‪:‬‬

‫‪٥٧٤‬‬

‫‪1 x‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪E(Y 2 X  x) ‬‬

Var(Y X  x)  E(Y 2 X  x)   E(Y X  x) 

 1  x 2 (1  x) (1  x)  , 0  x 1 =    12 3 4 0 , e.w.  2

‫ إذا ﻋﻠـم‬Y ‫ﻫو اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟﻠﺗﺑـﺎﯾن اﻟﺷـرطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر‬

Varg

‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺣل )ا( ﻟﻠﻣﺛﺎل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺣﯾث‬ . X= x :

f[x_,y_]:=2

fx  

1x

fx, y y

2-2 x

g2 

fx, y fx

2 22x

Eg1   1 x 2

1x

y g2 y

Eg2  

1x 2

y  g2 y

1 1  x2 3 Varg=Eg2-(Eg1)^2

1 1 1  x2   1  x4 3 9

: ‫ ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث‬Sec3.2 ‫ اﻟﺟزء‬KnoxProb ‫ﻟﺣل )ب( واﻟﻣﺎﺧوذ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ‬ 1 v

  2 u  v .5 0

0.75 g1=Graphics[Line[{{0,0},{0,1},{1,1},{0,0}}]]; g2=Graphics[Polygon[{{0,.5},{0,1},{1,1},{.5,.5}}]]; G1=Show[g1,g2,Axes->True,AxesLabel>{"u","v"},AspectRatio->1,DefaultFont{"TimesRoman",8},DisplayFunctionIdentity]; g3=Graphics[Line[{{0,0},{0,1},{1,1},{0,0}}]]; ٥٧٥

‫;]]}}‪g4=Graphics[Polygon[{{0,0},{0,1},{.5,1‬‬ ‫‪G2=Show[g3,g4,Axes->True,AxesLabel‬‬‫‪>{"u","v"},AspectRatio->1,DefaultFont{"Times‬‬‫;]‪Roman",8},DisplayFunctionIdentity‬‬ ‫‪Show[GraphicsArray[{G1,G2}],DisplayFunction$DisplayFunct‬‬ ‫;]‪ion‬‬ ‫‪v‬‬

‫‪u‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.8‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪v‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.8‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.2‬‬ ‫‪u‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.8‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.4‬‬

‫ﺣﯾث اﻟرﺳﻣﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯾﺳﺎر ﺗﻣﺛل )‪ P(Y>.5‬و واﻟرﺳﻣﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯾﻣﯾن ﺗﻣﺛل) ‪P(Y>2X‬‬

‫‪0.2‬‬ ‫‪.‬‬

‫) ‪ (٧-١٠‬اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ‬ ‫‪Joint Moment Generating function‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة وذﻟك ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﺑﻌد ‪. k‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌـزوم ﻟﻣﺗﺟـﻪ ﻣـن اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ ) ‪ X  ( X1, X 2 ,..., X k‬ﯾﻌـرف‬ ‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪  k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪M X ( t )  E exp  t i X i  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  i 1‬‬ ‫ﺣﯾث ) ‪ – h < ti < h , t = ( t1 , … , tk‬و ‪. h > 0‬‬ ‫ﻟﻛــل داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣــﺎل ﻣﺷــﺗرﻛﺔ داﻟــﺔ ﻣوﻟــدة ) إذا وﺟــدت ( وﺣﯾــدة أي أن ﻟﻬــﺎ ﺧﺎﺻــﯾﺔ اﻟوﺣداﻧﯾــﺔ‬ ‫وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ﺗﺳــﺗﺧدم ﻓــﻲ ﺗﻘــدﯾر داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻣﺷــﺗرﻛﺔ وأﯾﺿــﺎ ﻛــل اﻟــدوال اﻟﻬﺎﻣﺷــﯾﺔ ‪.‬ﻓﻌﻠــﻰ‬

‫ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X i‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪M ( 0, 0 , 0, t i , 0 , … , 0 ).‬‬

‫ﺣﯾث ‪ . i  1,2,..., n‬أﯾﺿﺎ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X i , X j‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪M ( 0, 0 , … , t i , 0 , 0 , … , t j ,0, 0, … ,0 ).‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت )‪ MX,Y (t1 , t2‬ﻣوﺟودة ﻓﺈن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن اﻟﻌﺷواﺋﯾﯾن ‪ X , Y‬ﯾﻛوﻧﺎن ﻣﺳﺗﻘﻼن‬

‫إذا وﻓﻘط إذا ‪.‬‬ ‫‪MX,Y (t1 , t2) = MX,Y (t1 , 0) MX,Y (0 , t2) .‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺗﻌﻣﯾم اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﺣﺎﻟﺔ ‪ k‬ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ‪ X1, X 2 ,..., X k‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪٥٧٦‬‬

M X ( t1, t 2 ,..., t k )   M X (0,...,0, t i ,0,...,0) i 1

. ‫ ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن‬X1, X 2 ,..., X k ‫إذا ٕواذا ﻓﻘط ﻛﺎن‬ : ‫ ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﻓﺈن‬X , Y ‫إذا ﻛﺎن‬

 k  m M X , Y ( t1 , t 2 ) t1k t m 2

  k   x -  

 k  m M X , Y ( t1 , t 2 )

y m e t 1x  t 2 y f(x, y) dx dy ,   k  x 

t  t 0   1 2 -

t1k t m 2



y m f(x, y) dx dy ,



 E Xk Ym . : ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬

1  E (X )   2  E(Y)  12

 22

 E(X

 E(Y

 XY 

M X , Y (0,0)  t1 M X, Y (0,0)

)  12

)   22

 t2 



, ,

 2 M X , Y (0,0)  2 t12

 2 M X, Y (0,0) 

 2 M X, Y (0,0)  t1  t 2

t 22

- 12 ,

-  22 ,

- 1  2 . (٤٨-١٠ ) ‫ﻣﺛﺎل‬

. ‫ ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرك‬X , Y ‫إذا ﻛﺎن‬ f (x, y) = e  y , 0<x<y<  = 0 , e.w, . (t1 , t2) M X ,Y ‫أوﺟد‬ :‫اﻟﺣــل‬ ٥٧٧

‫‪exp( t1x  t 2 y  y) dy dx‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0 x‬‬

‫‪M X, Y ( t1 , t 2 ) ‬‬

‫‪1‬‬ ‫) ‪(1 - t1  t 2 ) ( 1 - t 2‬‬

‫‪‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪. t2 < 1 , t1 + t2 < 1‬‬

‫ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪1  1 ,  2  2 ,‬‬ ‫‪12  1 ,  22  2 ,‬‬ ‫‪ XY  1 .‬‬ ‫أﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ )‪ MX(t1‬و )‪ MY(t2‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,t1  1,‬‬ ‫‪1-t1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, t 2  1.‬‬ ‫‪(1-t 2 ) 2‬‬

‫‪M(t1 , 0 ) ‬‬ ‫‪M( 0 , t 2 ) ‬‬

‫واﳌﻘﺎﺑﻼن ﻟـ )‪ f1(y) , f2(x‬ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫‪0 x  ,‬‬ ‫‪0y .‬‬

‫‪e y dy  e x‬‬ ‫‪dx  y e y‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪f1 ( x) ‬‬

‫‪f 2 ( y)  e y‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٩-١٠‬‬ ‫إذا ﻛـ ـ ــﺎن ) ‪ ( X1 , X 2 ,..., X k 1 ) ~ MULT(n , p1 , p 2 ,..., p k 1‬أوﺟـ ـ ــد اﻟداﻟـ ـ ــﺔ اﻟﻣوﻟـ ـ ــدة‬ ‫ﻟﻠﻌزوم إذا ﻛﺎن ﻋدد اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﯾﺳﺎوى ‪ k-1‬وأﺛﺑـت أن اﻟداﻟـﺔ اﻟﻬﺎﻣﺷـﯾﺔ واﻟﺧﺎﺻـﺔ ﺑﻣﺗﻐﯾـر‬ ‫ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X1‬ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﺣﯾث )‪. X1 ~ BIN (n, p1‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪٥٧٨‬‬

  k 1   M X (t)  E exp   t i X i    i1    n   ... x1 ! x 2 !...x k  

p

e t1  ...  p k 1 e t k-1 

x k 1

 pk 

e t1  ...  p k 1 e t k-1  p k 

k 1

i 1

. x k  n   x i , p k  1   pi

‫ﺣﯾث‬

: ‫ ﻓﺈن‬X  ( X1 , X 2 , X 3 ) ~ MULT( n, p1 , p 2 , p3 ) ‫ﺑﻔرض أن‬

M X1 , X 2 ( t1 , t 2 )  M X ( t1 , t 2 ,0)

  p e

 p1e t 1  p 2 e t 2  p 3  1  p1  p 2  p3 1



 p 2 e t 2  (1  p1  p 2 ) n .

(X1 , X2) ~ MULT (n, p1 , p2) : ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬



‫و‬



M X1 ( t1 ,0, 0 )  p1 e t 1  (1  p1 ) n . X1 ‫ﻫﻲ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬ (٥٠-١٠ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫ﺑﻔرض أن‬ 6!  1  f (x1 , x 2 )    x1 !x 2 !  4 

3 .  , x1  0,1,...,6, x 2  6  x1 4

: ‫ وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻓﺎن‬X1 , X 2 ‫ﺗﻣﺛل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن‬

٥٧٩

M(t1 , t 2 )   x



x1  0 6

6!  1 t1   e  x1 !x 2 !  4 

3  . e t2  4 

1 6!  1 t1   3 t2   e  . e  x1 !(6  x1 )!  4   4 

1  1 t1   3 t 2    ( )  e  . e  x  4  x1  0 1  4

6  x1

. x1

: ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻧظرﯾﺔ ذى اﻟﺣدﯾن ﻓﺎن‬ 6 x x 6  6   1 t1  1  3 t 2  2  1 t1 3 t 2   e  e     x   e  . e  4  x1 0  1   4   4  4 : ‫ﻣن ذﻟك ﻧﺳﺗﻧﺗﺞ أن‬ 6

3  1 M(t1 , t 2 )   e t1  e t2  . 4  4 : ‫ﻻﺣظ أن‬ 6

1 3 M(0,0)      1 4 4 : ‫وأن‬ 6

3 1 3  1 M(0, t 2 )    e t 2  ,M(t1 ,0)   e t1   4 4 4  4

: ‫اﯾﺿﺎ ﻓﺎن‬ 5

M(t1 , t 2 ) 6 t1  1 t1 3 t 2   e  e  e  . t1 4 4 4 

: ‫ وان‬E(X1 )  M(t1  t 2 ) 18 t 2  1 t1 3 t 2   e  e  e  t 2 4 4 4 

3 ‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن‬ 2

9 ‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن‬ 2 171  , 8 0

: ‫ وان‬E(X 2 ) 

 2 M(t1  t 2 )   t12  t t 1

2 0

27  2 M(t1  t 2 )   ,  8 t 22  t t 1

: ‫وأن‬ ٥٨٠

‫‪2‬‬

‫‪27  3  9‬‬ ‫‪171  9  9‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪    ,  22 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪8 2 8‬‬ ‫‪8 2 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫اﯾﺿﺎ ﻓﺎن‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ 2 M(t1  t 2 ) 45 t1 t 2  1 t1 3 t2 ‬‬ ‫‪ e e  e  e ‬‬ ‫‪t1t 2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪4‬‬

‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن ‪:‬‬

‫‪45‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪ E(X1X 2 ) ‬‬ ‫‪2 0‬‬

‫‪ 2 M(t1  t 2 ) ‬‬ ‫‪t1 .t 2  t t‬‬ ‫‪1‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪45  3   9 ‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪8 2 2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪12‬‬

‫ﻋﻠﯾﺔ ﻓﺎن ‪:‬‬

‫)‪ (٨-١٠‬اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ‬

‫‪12 ‬‬

‫‪12 ‬‬

‫‪Bivariate Normal Distribution‬‬

‫ﯾﻘـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـرﯾن اﻟﻌﺷـواﺋﯾﯾن ‪ X , Y‬أن ﻟﻬﻣـﺎ داﻟـﺔ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻲ اﻟﺛﻧـﺎﺋﻲ إذا ﻛﺎﻧـت داﻟـﺔ‬

‫ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ﻟﻬﻣﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2  1  2 1 -  2‬‬ ‫‪ x   2‬‬ ‫‪ x  1   y   2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  2 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   1 ‬‬ ‫‪ 1    2 ‬‬ ‫‪-  x   , -  y  ‬‬

‫‪f (x, y) ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪ exp ‬‬‫‪2‬‬ ‫) ‪ 2(1- ‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ y   2   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  2   ‬‬

‫ﺳوف ﻧﻛﺗـب ))‪ ( X, Y) ~ BVN(1 ,  2 , (12 ,  22 , ‬ﻟﻠدﻻﻟـﺔ ﻋﻠـﻰ أن ‪ X , Y‬ﻣﺗﻐﯾـرﯾن‬ ‫ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﻬﻣﺎ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ ﺑﻣﻌﺎﻟم ‪ 1 ,  2 , 1 ,  2 , ‬ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪- 1    1 ,  2  0 , 1  0 , -    2   , -   1  ‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ‪ :‬إذا ﻛﺎن ))‪ ( X, Y) ~ BVN(1 ,  2 , (12 ,  22 , ‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫) ‪ X ~ N (1 , 12 ), Y ~ N (  2 ,  22‬ﺣﯾث ‪ ‬ﻫو ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ﺑﯾن ‪. X, Y‬‬ ‫‪٥٨١‬‬

‫أﯾﺿﺎً أي ﻋﻼﻗﺔ ﺧطﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪ a X + b Y + c‬ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪aX  bY  c ~ N(a1  b 2  c,a 212  2ab  1 2  b2 22 ) ,‬‬ ‫ﯾﻌﺗﺑـر اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻲ اﻟﺛﻧــﺎﺋﻲ ﻫــو اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﺷــﺗرك اﻟوﺣﯾــد ﻟﻣﺗﻐﯾـرﯾن ‪ X , Y‬ﻟــﻪ ﻫــذﻩ اﻟﺧﺎﺻــﯾﺔ‬ ‫ﻟﻛـل اﻟﺛواﺑـت ‪ . a, b, c‬وﻣـن ﻧﺎﺣﯾـﺔ أﺧـرى ﻓـﺈن ﻛﺛﯾـر ﻣـن اﻟﺗوزﯾﻌـﺎت اﻟﺛﻧﺎﺋﯾـﺔ اﻟﻐﯾـر طﺑﯾﻌﯾـﺔ ﻟﻬـﺎ دوال‬

‫ﻫﺎﻣﺷــﯾﺔ ﺗﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻰ ‪ .‬وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ﻓــﺈن ﺧﺎﺻــﯾﺔ أن اﻟــدوال اﻟﻬﺎﻣﺷــﯾﺔ طﺑﯾﻌﯾــﺔ ﻻ ﺗﻣﯾ ــز‬

‫اﻟﺗوزﯾ ـ ــﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ـ ــﻲ اﻟﺛﻧـ ــﺎﺋﻲ ﺑﻣﻌﻧ ـ ــﻰ أﻧ ـ ــﻪ إذا ﻛ ـ ــﺎن ) ‪ X ~ N( X , 12‬و ) ‪Y ~ N ( Y ,  2Y‬‬ ‫ﻓﻬذا ﻻ ﯾﻌﻧﻰ أن ‪ X, Y‬ﻟﻬﻣﺎ ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻲ ﺛﻧﺎﺋﻲ ‪.‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت اﺧرى ﻣن اﻟﺣزﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪MultinormalDistribution‬‬

‫ﺗﺣت اﻟدﻟﯾل ‪. Statistics‬‬ ‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذﻩ اﻟﺣزﻣﺔ وﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟرﺋﯾﺳﯾﺔ ﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺧﺗﺎر ‪Help‬‬ ‫وﻣﻧﻬﺎ ﻧﺧﺗﺎر ‪ Help Broswer‬ﻟﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫وﯾﻣﻛن ﺗﺣﻣﯾل ﻫذﻩ اﻟﺣزﻣﺔ ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ ﻣﺎ ﯾﺎﺗﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`MultinormalDistribution‬‬ ‫‪٥٨٢‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥١-١٠‬‬

‫اذا ﻛﺎﻧت ))‪( X, Y) ~ BVN(1 ,  2 , (12 ,  22 , ‬‬ ‫ﺣﯾث ﻣﺗﺟﺔ اﻟﻣﺗوﺳط ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ ﻓﻰ }‪mn={0,0‬‬ ‫وﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺗﻐﺎﯾر واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ}}‪sig={{1,0},{0,1‬‬ ‫ﺣﯾث ﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺗﻐﺎﯾر واﻟﺗﺑﺎﯾن ﺗﺎﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪ 12‬‬ ‫‪1 2   1 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   =0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اى ان ))‪ (X,Y) ~ BVN(0,0, (1,1,0‬واﻟﻣطﻠوب )ا( ﺑﯾﺎن)‪. f (x, y‬‬ ‫)ب( ﺑﯾﺎن)‪ f (x, y‬ﺣﯾث ﻣﺗﺟﺔ اﻟﻣﺗوﺳط ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ ﻓﻰ}‪mn={0,0‬‬

‫وﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺗﻐﺎﯾر واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ }}‪sig={{1,0},{0,2‬‬

‫ﺣﯾث ﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺗﻐﺎﯾر واﻟﺗﺑﺎﯾن ﺗﺎﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪ 12‬‬ ‫‪1 2   1 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   =0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اى ان ))‪. (X, Y) ~ BVN(0,0, (1,2,0‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)ا(‬ ‫;}‪<<Statistics`MultinormalDistribution`mn={0,0‬‬

‫;}}‪sig={{1,0},{0,1‬‬ ‫]}‪f[x_,y_]:=PDF[MultinormalDistribution[mn, sig],{x,y‬‬ ‫]‪Plot3D[f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints->25‬‬

‫‪0.15‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0.05‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪SurfaceGraphics‬‬ ‫‪٥٨٣‬‬

‫) ب(‬ ‫`‪<<Statistics`MultinormalDistribution‬‬

‫]‪Clear[sig‬‬ ‫;}}‪sig={{1,0},{0,2‬‬ ‫‪Plot3D[f[x,y],{x,-3,3},{y,-6,6},PlotPoints->25,PlotRange‬‬‫]‪>All‬‬

‫‪0.1‬‬ ‫‪0.075‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0.025‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-2.5‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪-5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ SurfaceGraphics‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٢-١٠‬‬

‫اذا ﻛﺎﻧت ))‪( X, Y) ~ BVN(1 ,  2 , (12 ,  22 , ‬‬ ‫ﺣﯾث ﻣﺗﺟﺔ اﻟﻣﺗوﺳط ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ ﻓﻰ }‪meanvector={0,2‬‬

‫وﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺗﻐﺎﯾر واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ }}‪sig={{1,1.2},{1.2,4‬‬ ‫وﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺗﻐﺎﯾر واﻟﺗﺑﺎﯾن ﺗﺎﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪ 12‬‬ ‫‪1 2   1 1.2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  1 2  (0.6)(1)(2)  1.2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫اى ان ))‪. (X,Y) ~ BVN(0,2, (1,4,0.6‬‬ ‫واﻟﻣطﻠـوب )ا( ﺑﯾـﺎن )‪ f (x, y‬ورﺳـم اﻟﻛوﻧﺗـور ﻟـﻪ )ب( ﺗوﻟﯾـد ‪ 200‬ﺑﯾـﺎن ﺗﺗﺑـﻊ ﻫـذا اﻟﺗوزﯾـﻊ وﺗﻣﺛﯾـل‬

‫ﺗﻠك اﻻزواج ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪٥٨٤‬‬

: ‫ ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟراﺑﻊ‬Sec4.2 ‫ اﻟﺟزء‬KnoxProb ‫ﺳوف ﻧﺣل ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ‬

(‫) ب‬ simlist=RandomArray[MultinormalDistribution[meanvector,co variancematrix],{200}]; ListPlot[simlist,PlotStyle{PointSize[.015]},DefaultFont {"Times-Roman",8}]; 6

2

1

2

٥٨٥

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٣-١٠‬‬

‫ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣﺎﺧوذ ﻣن ﺑرﻧـﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﻓـﻰ اﻟﺟـزء ‪ Sec4.2‬ﻣـن اﻟﻔﺻـل اﻟ ارﺑـﻊ ‪ .‬اﻟﺑﯾﺎﻧـﺎت ﻓـﻰ‬ ‫اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ ‪: homedata‬‬ ‫ﺗﺣﺗــوى ﻋﻠــﻰ ﺛــﻼث ﻣﺗﻐﯾ ـرات اﻻرﺑــﺎح ‪ prices‬واﻟﻣﻧطﻘــﺔ ‪ area‬واﻟﺿ ـراﺋب‪ [taxes‬وﻫــﻰ ﻣوﺿــوﻋﺔ ﻓــﻰ‬ ‫ﺻورة ﻣﺧﺗﺻرة ﻓﻰ ﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﻧﺎوﻟﻧﺎﻫﺎ ﻓﻰ اﻟﻔﺻـل اﻟﺳـﺎﺑق ‪ .‬ﺳـوف ﯾـﺗم اﯾﺟـﺎد اﻟﻣﻧﻘـول‬ ‫ﻟﻬ ـ ــذﻩ اﻟﻘﺎﺋﻣ ـ ــﺔ واﻟﺣﺻ ـ ــول ﻋﻠ ـ ــﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣ ـ ــﺔ ;]‪.{prices,area,taxes}=Transpose[homedata‬اﻟﺧط ـ ــوة‬

‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ اﯾﺟﺎد ﻟوﻏﺎرﯾﻣﺎت اﻟﻘﯾم ﻟﺗﺣوﯾﻠﻬﺎ اﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﺎﻻواﻣر‪:‬‬

‫;]]‪logprices=N[Log[prices‬‬ ‫;]]‪logarea=N[Log[area‬‬ ‫;]]‪logtaxes=N[Log[taxes‬‬

‫اﻻﻣر ]"`‪ Needs["KnoxProb`Utilities‬ﺿرورى ﻛﺣزﻣﺔ ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.KnoxProb‬‬

‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟرﺳم ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ price‬ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﯾﺳﺎر و‪ erea‬ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﯾﻣﯾن ‪.‬‬

‫‪Show[GraphicsArray[{DotPlot[logprices,DisplayFunction Identity,DefaultF‬‬ ‫‪ont {"Times‬‬‫‪Roman",8}],DotPlot[logarea,DisplayFunction Identity,DefaultFont {"Times‬‬ ‫;]‪-Roman",8}]}],DisplayFunction $DisplayFunction‬‬

‫‪٥٨٦‬‬

‫اﻟرﺳم اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾوﺿﺢ ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﻻزواج اﻟﻘﯾم اﻟﺗﻰ ﺗﺧص ‪.price,area‬‬ ‫‪ListPlot[Transpose[{logarea,logprices}],DefaultFont{"Tim‬‬ ‫;]}‪es-Roman",8‬‬ ‫‪7.6‬‬ ‫‪7.4‬‬ ‫‪7.2‬‬

‫‪8.2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7.8‬‬

‫‪7.4‬‬

‫‪7.6‬‬

‫‪6.8‬‬

‫‪7.2‬‬ ‫‪6.8‬‬ ‫‪6.6‬‬ ‫‪6.4‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﺗﺟﻪ اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ price,area‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٥٨٧‬‬

‫‪ ‬ﯾﻣﻛـن اﻟﺣﺻـول ﻋﻠـﻰ اﻟﺗﺑـﺎﯾن واﻻﻧﺣـراف اﻟﻣﻌﯾـﺎرى ﻟﻛـل ﻣـن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـرﯾن ‪price,area‬‬ ‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث ﺗم ﺣﺳﺎب ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣن ﺧﻼل اﻟﻘﺳﻣﺔ ﻋﻠﻰ ‪  n  1‬ﺑدﻻً ﻣن ‪. n‬‬

‫ﯾﻣﻛــن اﻟﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ ﻣﻌﺎﻣــل اﻻرﺗﺑــﺎط ﺑــﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـرﯾن ‪ price,area‬وﻣﺻــﻔوﻓﺔ اﻟﺗﻐــﺎﯾر واﻟﺗﺑــﺎﯾن‬ ‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ )‪ P(6  X  ,7  Y  7‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٥٨٨‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ‪ :‬إذا ﻛﺎن ))‪ ( X, Y) ~ BVN(1,  2 , (12 ,  22 , ‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Y x ~ N   2   2 ( x  1 ) ,  22 (1   2 )  ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y ~ N   1   1 ( y   2 ) ,  12 (1   2 )  .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫) ‪( x  1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪X‬‬

‫‪ Y|x   2 ‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪x  ( 2 ‬‬ ‫) ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬إذا ﻋﻠم أن ‪ Y = y‬ﻫو‪:‬‬

‫)) ‪X | y ~ N(1  (1 /  2 )( y   2 ), 12 (1  2‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٤-١٠‬‬ ‫ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣﺎﺧوذ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﻓﻰ اﻟﺟزء ‪ . Sec4.2‬اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ ‪hwydata‬‬

‫ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻗواﺋم داﺧﻠﯾﺔ وﻛل ﻗﺎﺋﻣﺔ داﺧﻠﯾﺔ ﺑﻬﺎ ﺛـﻼث ﻋﻧﺎﺻـر ﺣﯾـث اﻟﻌﻧﺻـر اﻻول ﯾﻣﺛـل اﻟﺳـﻧﺔ‬ ‫ﺣﯾث ‪ 1‬ﺗﻣﺛل اﻟﻌﺎم اﻻول وﻫﻛـذا ‪ .‬اﻟﻌﻧﺻـر اﻟﺛـﺎﻧﻰ ﺑﯾـﺎن ﻋـن اﻟوﻓﯾـﺎت ﻓـﻰ ﺑﻠـد ﻣـﺎ واﻟﻌﻧﺻـر اﻟﺛﺎﻟـث‬

‫ﯾﻣﺛــل اﻟوﻓﯾ ــﺎت ﻓ ــﻰ ﺑﻠ ــد اﺧ ــرى ‪ .‬ﺳ ــوف ﯾ ــﺗم اﯾﺟ ــﺎد اﻟﻣﻧﻘ ــول ﻟﻬ ــذﻩ اﻟﻘﺎﺋﻣ ــﺔ واﻟﺣﺻ ــول ﻋﻠ ــﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣ ــﺔ‬ ‫;]‪. {year,newmexico,us}=Transpose[hwydata‬‬ ‫اﻟﺧطوة اﻟﺗﻰ ﺗﻠﯾﻬﺎ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾﯾن ﻣن اﻻواﻣر اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪٥٨٩‬‬

ListPlot[Transpose[{newmexico,us}],AxesLabel {"New Mex","U.S."},PlotStyle {PointSize[.02]},DefaultFont {"Times-Roman",8}]; U.S.

NewMex

. ‫اﻟﻣﺗﻐﯾرن ﯾﺗﺑﻌﺎن ﺗوزﯾﻌﺎت طﺑﯾﻌﯾﺔ‬ ‫ا‬ ‫وﺑﻣﺎ ان ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﻻ ﯾﻌﺑر ﻋﻠﻰ ان‬

: ‫اﯾﺿﺎ ﺑرﺳم اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى ﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛل ﻣﺗﻐﯾر ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻣدرﺟﺎت ﻣﻠﺗوﯾﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ‬ Show[GraphicsArray[{Histogram[newmexico,5,DisplayFunction Identity],Histogram[us,5,DisplayFunctionIdentity]}],Dis playFunction$DisplayFunction]; 0.4

0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05

0.3 0.2 0.1 4.87 7.01 9.15 11.29 13.43

3.56 5.28

8.72 10.44

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾـﺗم اﯾﺟـﺎد ﻟوﻏﺎرﯾﻣـﺎت اﻟﻘـﯾم ﻟﺗﺣوﯾﻠﻬـﺎ اﻟـﻰ ﺑﯾﺎﻧـﺎت ﺗﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻰ ﺑـﺎﻻواﻣر اﻟﺗﺎﻟﯾـﺔ‬ ‫ﺛم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾﯾن‬ loggeddata=Transpose[{Log[newmexico],Log[us]}]; {lognewmex,logus}=Transpose[loggeddata]; ListPlot[loggeddata,PlotStyle{PointSize[.02]},DefaultFon t{"Times-Roman",8}]; 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2

1.4

1.6

1.8

2.2

2.4

٥٩٠

2.6

‫ﯾﻼﺣظ ﻣن ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ان اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺣوﻟﺔ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺣﯾث ﯾﻠﺗﻔﺎن ﺣول ﺑﻌﺿﻬﻣﺎ ‪.‬‬ ‫اﻻواﻣـر اﻟﺗﺎﻟﯾــﺔ ﻟﻠﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ ﻣﺗوﺳــطﺎت اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟﻣﺣوﻟــﺔ واﻧﺣراﻓﺎﺗﻬــﺎ اﻟﻣﻌﯾﺎرﯾــﺔ وﻣﻌﺎﻣــل اﻻرﺗﺑــﺎط‬ ‫ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪.‬‬ ‫‪1, 2, 1, 2,  ‬‬ ‫‪Meanlognewmex, Meanlogus,‬‬

‫‪StandardDeviationlognewmex,‬‬ ‫‪StandardDeviationlogus,‬‬ ‫‪Correlationlognewmex, logus‬‬ ‫}‪{2.05947,1.64157,0.346194,0.356417,0.960863‬‬

‫ﯾﻼﺣظ ﻣن اﻟﻣﺧرﺟﺎت ان ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ﻗﯾﻣﺗﻪ ﻛﺑﯾرة ‪ .‬اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫)‪: P(1.7  X  2.3‬‬

‫‪CDFNormalDistribution1, 1, 2.3‬‬ ‫‪ CDFNormalDistribution1, 1, 1.7‬‬ ‫‪0.756408‬‬ ‫‪-0.149556‬‬

‫اﻟﻣﺧرج ﻣﻌﻧﺎﻩ ان ‪:‬‬ ‫‪0.606852‬‬

‫= ‪0.756408- 0.149556‬‬

‫اﻻن ﺑﻔرض اﻧﻧﺎ ﻣﻬﺗﻣﯾن ﺑﺎﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Y x ~ N   2   2 ( x  1 ) ,  22 (1   2 )  ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط اﻟﺷرطﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y|x‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﻪ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫;‪x  1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪Yx_ : 2 ‬‬ ‫‪Yx‬‬

‫)‪1.64157 +0.989239 (-2.05947+x‬‬

‫وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻰ اﻟﻣﺧرج ﻋن ‪ x=2.2‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻣﺗوﺳط ‪ Y‬ﺗﺣت ﺷرط ان ‪x=2.2‬‬ ‫اى‬

‫‪.  Y|2.2‬‬ ‫]‪Y[2.2‬‬ ‫‪1.78059‬‬

‫اﯾﺿﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ Y|x‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪221 2‬‬ ‫‪0.00974876‬‬

‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻻﺣﺗﻣﺎل) ‪ P(Y|202> 2‬ﻧﺗﺑﻊ اﻻﺗﻰ ‪:‬‬ ‫‪٥٩١‬‬

1  CDFNormalDistribution1.78059,



.00974876 , 2

0.92043

(٥٥-١٠ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ ﯾﻣﺛل اﻟطول ﻟزوج وزوﺟﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ ٕواذا ﻛﺎن‬X2 , X1 ‫إذا ﻛﺎن‬ (X1 , X2) ~ BVN (5.8 , 5.3, ((.2)2 , (.2)2 , .6 )) 1- P (X<4,Y<5) : ‫)أ( ﻣﺛل اﻟداﻟﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ واوﺟد‬

P (X<4,Y<5)‫و‬

: ‫واﺛﺑت ان ﻣﺟﻣوع اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾن ﯾﺳﺎوى واﺣد ﺻﺣﯾﺢ واوﺟد‬ P (6<X<7,7<Y<5) : ‫ وأوﺟد‬X1 = 6.3 ‫ إذا ﻋﻠم أن‬X2 ‫أوﺟد اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬ P (5.28 < X2 < 5. 92 | X = 6.3 ).

(‫)ب‬

: ‫اﻟﺣل‬ :‫)أ( ﺑﻣﺎ ان‬ : ‫ذن ﻣﺻﻔوﻓﺔ اﻟﺗﻐﺎﯾر واﻟﺗﺑﺎﯾن ﺗﺎﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‬١   (2)(2)(.6)  0.024

 12 0.024  1 2   2     2   22   0.024  1 2 : ‫اﻟﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺳوف ﯾﻛون ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ <<Statistics`MultinormalDistribution` (r = {{2, .024}, {.024, 2}}; ndist = MultinormalDistribution[{5.8, 5.3}, r]); pdf = PDF[ndist, {x1, x2}]

0.0795832 1 5.8x10.5000725.8x10.006000865.3x20.006000865.8x10.5000725.3x25.3x2

2 Plot3D[pdf, {x1, 0,10}, {x2, 0, 10}, PlotRange->All]

٥٩٢

‫‪0.08‬‬ ‫‪0.06‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10 0‬‬

‫‪SurfaceGraphics‬‬ ‫]}‪aa1=CDF[ndist,{4,5‬‬ ‫‪0.0430753‬‬ ‫]}‪aa2=1-CDF[ndist,{4,5‬‬ ‫‪0.956925‬‬ ‫‪aa1+aa2‬‬ ‫‪1.‬‬ ‫]}‪f[x_,y_]:=PDF[ndist,{x,y‬‬ ‫]}‪NIntegrate[f[x,y],{x,6,7},{y,6,7‬‬ ‫‪0.0482925‬‬

‫)ب( داﻟــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻟﺷــرطﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر‬

‫‪ X2‬إذا ﻋﻠــم أن ‪ X1 = 6.3‬ﺗﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻰ‬

‫ﺑﻣﺗوﺳـط ‪ 5.3 + (.6) ( 6.3 – 5.8 ) = 5.6‬واﻧﺣـراف ﻣﻌﯾـﺎري ﯾﺳـﺎوى ‪(.2) 1  .36 =.16‬‬

‫وﺗﺑﻌﺎ ﻟذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫) ‪P ( 5.28 < X2 < 5. 92 | 6.3‬‬ ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺑدﻻﻟﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ X 2‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﯾﯾﺟﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪CDF[NormalDistribution[5.6,.16],5.92‬‬‫]‪CDF[NormalDistribution[5.6,.16],5.28‬‬ ‫‪0.9545‬‬

‫او ﯾﻣﻛن اﻟﺣل ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫) ‪P ( 5.28 < X2 < 5. 92 | 6.3‬‬

‫‪ (2)   (2)  2(0.4772)  .9544.‬‬ ‫وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟداول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻓﻰ ﻣﻠﺣق )‪. ( ٣‬‬

‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺑدﻻﻟﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ Z‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﯾﯾﺟﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪٥٩٣‬‬

<<Statistics`ContinuousDistributions` (CDF[NormalDistribution[0,1],2]CDF[NormalDistribution[0,1],-2] )//N 0.9545

(٥٦-١٠ ) ‫ﻣﺛﺎل‬

Y , X ‫ﻓﻰ ﺟﺎﻣﻌﺔ ﻣﺎ ﻛﺎﻧت درﺟﺎت ﻣﺎدﻩ اﻟﻔﯾزﯾﺎء واﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻰ اﻟﻔرﻗﺔ اﻻول ﯾﻣﺛل ﺑﺎﻟﻣﺗﻐﯾر‬ : ‫ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﺗﺗﺑﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ ﺣﯾث‬

: ‫ أوﺟد‬X  60 ,  Y  55 , X =6 , Y = 8 , =.7

Var(Y X  50) (‫)ب‬

. E(Y X  50)

(‫)أ‬

P(50  Y  60 X  50) (‫)ج‬ :‫اﻟﺣــل‬

E(Y X  50)   Y  

Y (x   X ) X

8  55  (.7)   (50  55)  50.33, 6 Var(Y X  50)   2Y (1  2 )  64(1  0.49)  18.36. P(50  Y  60 X  50)

(‫)أ‬

(‫)ب‬

 60  49.75   50  49.75         ( ‫)ج‬ 18.36 18.36       2.39     0.06   0.4677.

. ( ٣) ‫وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟداول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻓﻰ ﻣﻠﺣق‬ ‫( وﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ‬٥٦-١٠) ‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺧطوات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل‬ 

18.36 , 60   CDF NormalDistribution49.75, 18.36 , 50

CDFNormalDistribution49.75, 0.468362

٥٩٤

: ‫اﻟﻧﺎﺗﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٧-١٠‬‬ ‫ﺑﻔــرض أن ﻣﺟﺗﻣــﻊ ﻣــن طﻠﺑــﺔ ﻛﻠﯾــﺔ ﻣــﺎ ٕواذا ﻛﺎﻧــت درﺟــﺎﺗﻬم ﻓــﻰ اﻟﻔﺻــل اﻻول واﻟﺛــﺎﻧﻰ ﻋﻠــﻰ اﻟﺗ ـواﻟﻰ‬ ‫وﻟﺗﻛن ‪ X , Y‬ﯾﺗﺑﻌوا ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﺗوزﯾﻊ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﻌﺎﻟم ‪:‬‬ ‫‪ Y  2.4 ,  X  2.9 , =.8 , Y =.5 ,  X = .4‬‬

‫اوﺟد ‪:‬‬

‫)أ( )‪P(2.1  Y  3.3‬‬

‫)ب( )‪P(2.1  Y  3.3 X  3.2‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪ 2.1  2.4 Y  2.4 3.2  2.4 ‬‬ ‫‪P(2.1  Y  3.3)  P ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪ .5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= (1.8)  ( .6)  0.6898.‬‬ ‫وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟداول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻓﻰ ﻣﻠﺣق )‪. ( ٣‬‬ ‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺧطوات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل )‪ (٥٦-١٠‬وﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻧﺎﺗﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪CDF[NormalDistribution[2.4,.5],3.2‬‬‫]‪CDF[NormalDistribution[2.4,.5],2.1‬‬ ‫‪0.670948‬‬

‫وﺑﻣﺎ أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺷرطﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬إذا ﻋﻠم أن ‪ X = 3.2‬طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ‪:‬‬

‫‪ .5 ‬‬ ‫‪2.4  .8   (3.2  2.9)  2.7‬‬ ‫‪ .4 ‬‬ ‫واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى ‪ (0.5) 1  .64  .3‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫)‪P(2.1  Y  3.3 X  3.2‬‬ ‫‪ 2.1  2.7 Y  2.7 3.3  2.7 ‬‬ ‫‪= P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.3 ‬‬ ‫‪ .3‬‬ ‫‪= (2)  (2)  2(0.4772)  0.9544.‬‬ ‫وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟداول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻓﻰ ﻣﻠﺣق )‪. ( ٣‬‬ ‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺧطوات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل )‪ (٥٦-١٠‬وﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ‬

‫اﻟﻧﺎﺗﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫]‪CDF[NormalDistribution[2.7,.3],3.3‬‬‫]‪CDF[NormalDistribution[2.7,.3],2.1‬‬ ‫‪٥٩٥‬‬

‫‪0.9545‬‬

‫ﻧظرﯾـﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧـت ))‪ ( X, Y ) ~ BVN(1 ,  2 , (12 ,  22 , ‬ﻓـﺈن ‪ X, Y‬ﻣﺳـﺗﻘﻠﯾن إذا ﻓﻘـط‬ ‫ٕواذا ﻛﺎن ‪.   0‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ))‪ ( X, Y ) ~ BVN(1 ,  2 , (12 ,  22 , ‬ﻓﺈن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم‬ ‫ﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X, Y‬ﺣﯾث ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ 12 t 12  2  1  2 t 1 t 2   22 t 22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪M X , Y ( t 1 , t 2 )  exp  1 t 1   2 t 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻟﺟﻣﯾﻊ اﻟﻘﯾم اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ‪. t1 , t 2‬‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ‪:‬‬ ‫ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ٕواذا ﻛﺎن ) ‪ X ~ N (,  2‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫])‪FX ( x )  [(x   ) / ‬‬ ‫ﺣﯾث )‪ (.‬داﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ) ‪ Z ~ N (0, 1‬ﻟـﻪ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳـﻰ وﻋﻠـﻰ ذﻟـك‬

‫ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻷى ﺗوزﯾـﻊ طﺑﯾﻌـﻰ ﻣـن ﺟـدول واﺣـد ‪ ،‬ﻛﻣـﺎ ذﻛرﻧـﺎ ﻓـﻰ اﻟﻔﺻـل اﻟﺳـﺎدس ‪،‬‬ ‫أي ﻣن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ‪ Z‬ﺣﯾث ) ‪. Z ~ N (0, 1‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ))‪ ( X, Y ) ~ BVN(1 ,  2 , (12 ,  22 , ‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪ x  1 y -  2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪FX, Y ( x, y)  FZ1 , Z 2 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ﺣﯾث ) ‪ ( Z1 , Z2 ) ~ BVN ( 0, 0, 1, 1, ‬أﯾﺿﺎ ﻓـﺈن أى زوج ﻣـن اﻟﻣﺗﻐﯾـرات ‪ X, Y‬ﯾﻣﻛـن‬ ‫ﺗﺣوﯾﻠﻬﺎ إﻟﻰ ﻣﺗﻐﯾرات ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﺛﻧﺎﺋﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺗﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن ‪:‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪Y - 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪, Z2 ‬‬

‫‪ Z 2  1 ,  Z1Z 2   XY  ‬‬

‫‪٥٩٦‬‬

‫‪X  1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪Z1 ‬‬

‫‪ Z1  0 ,  Z 2  0 ,  Z1  1 ,‬‬

‫ﻋﻠـﻰ اﻟــرﻏم ﻣـن وﺟــود ﺗوزﯾــﻊ طﺑﯾﻌـﻰ ﻗﯾﺎﺳــﻲ واﺣــد ﻓـﻲ ﺣﺎﻟــﺔ ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷـواﺋﻰ ‪ X‬ﻓــﻰ اﻟﺑﻌــد اﻷول‬ ‫ﻓﺈﻧــﻪ ﯾوﺟــد ﺗوزﯾﻌــﺎت طﺑﯾﻌﯾــﺔ ﻗﯾﺎﺳــﯾﺔ ﻛﺛﯾـرة وﻛــل ﺗوزﯾــﻊ ﻟــﻪ اﻟﻘﯾﻣــﺔ ‪ . ‬ﯾوﺟــد ﺟــداول ﺧﺎﺻــﺔ ﻟﺣﺳــﺎب‬ ‫) ‪. FZ , Z (z1, z 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪٥٩٧‬‬

٥٩٨

‫اﻟﻤﺮاﺟـﻊ‬ ‫‪REFERENCES‬‬ ‫أوﻻً ‪ :‬اﻟﻤﺮاﺟﻊ اﻟﻌﺮﺑﻴﺔ‬ ‫‪ -١‬أﺣﻣ د ﻋﺑ ﺎدة ﺳ رﺣﺎن ‪ ، (١٩٦٨) ،‬ﻣﻘدﻣ ﺔ ﻓ ﻰ ط رق اﻟﺗﺣﻠﯾ ل اﻹﺣﺻ ﺎﺋﻲ ‪ ،‬ﻣﻌﮭ د‬ ‫اﻟدراﺳﺎت واﻟﺑﺣوث اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ – ﺟﺎﻣﻌﺔ اﻟﻘﺎھرة‪.‬‬

‫‪ -٢‬أﻧ ﯾس إﺳ ﻣﺎﻋﯾل ﻛﻧﺟ و ‪ ، (١٩٩٣) ،‬اﻹﺣﺻ ﺎء واﻹﺣﺗﻣ ﺎل – ﺟﺎﻣﻌ ﺔ اﻟﻣﻠ ك ﺳ ﻌود –‬ ‫ﻋﻣﺎﻧﮫ ﺷؤن اﻟﻣﻛﺗﺑﺎت‪.‬‬ ‫‪ -٣‬ﺑدرﯾ ﺔ ﺷ وﻗﻰ ﻋﺑ د اﻟوھ ﺎب وﻣﺣﻣ د ﻛﺎﻣ ل اﻟﺷ رﺑﯾﻧﻰ ‪ ، (١٩٨٤) ،‬اﻟﻣﺑ ﺎدئ اﻷوﻟﯾ ﺔ ﻓ ﻰ‬ ‫اﻹﺣﺻﺎء – ﺗرﺟﻣﺔ ﻟﻛﺗﺎب ﺑول ج‪ .‬ھوﯾل – اﻟطﺑﻌﺔ اﻟراﺑﻌﺔ – دار ﺟون واﯾﻠﻰ وأﺑﻧﺎﺋﮫ‪.‬‬ ‫‪ -٤‬ﺛ روت ﻣﺣﻣ د ﻋﺑ د اﻟﻣ ﻧﻌم ‪ ، (٢٠١١) ،‬ﻣ دﺧل ﺣ دﯾث ﻟﻼﺣﺻ ﺎء واﻻﺣﺗﻣ ﺎﻻت– اﻟطﺑﻌ ﺔ‬ ‫اﻟراﺑﻌﺔ – ﻣﻛﺗﺑﺔ اﻟﻌﺑﯾﻛﺎن – اﻟدﻣﺎم – اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ‪.‬‬ ‫‪ -٥‬ﺟ ﻼل ﻣﺻ طﻔﻰ اﻟﺻ ﯾﺎد وﻣﺣﻣ د اﻟدﺳ وﻗﻰ ﺣﺑﯾ ب ‪ ، (١٩٩٠) ،‬ﻣﻘدﻣ ﺔ ﻓ ﻰ اﻟط رق‬ ‫اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ – اﻟطﺑﻌﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ – ﺗﮭﺎﻣﺔ – ﺟدة – اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ‪.‬‬ ‫‪ -٦‬ﺳ ﻌدﯾﺔ ﺣ ﺎﻓظ ﻣﻧﺗﺻ ر ‪ ، (١٩٨٢) ،‬ﻣﻠﺧﺻ ﺎت ﺷ وم – ﻧظرﯾ ﺎت وﻣﺳ ﺎﺋل ﻓ ﻲ اﻹﺣﺻ ﺎء‬ ‫واﻻﻗﺗﺻﺎد اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ – ﺗرﺟﻣﺔ ﻟﻛﺗﺎب دوﻣﯾﻧﯾك ﺳﺎﻟﻔﺎﺗور – دار ﻣﺎﻛﺟروھﯾل – ﻧﯾوﯾورك‪.‬‬ ‫‪ -٧‬ﺳﻣﯾر ﻛﺎﻣل ﻋﺎﺷور وﺳﺎﻣﯾﺔ ﺳﺎﻟم أﺑو اﻟﻔﺗوح ‪ ، (١٩٩٠) ،‬ﻣﻘدﻣﺔ ﻓﻰ اﻹﺣﺻﺎء اﻟوﺻ ﻔﻰ‬ ‫ ﻣﻌﮭد اﻟدراﺳﺎت واﻟﺑﺣوث اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ – ﺟﺎﻣﻌﺔ اﻟﻘﺎھرة‪.‬‬‫‪ -٨‬ﻋدﻧﺎن ﺑن ﻣﺎﺟد ﻋﺑد اﻟرﺣﻣن ﺑرى وﻣﺣﻣود ﻣﺣﻣد ﺑراھﯾم ھﻧﯾدى وأﻧور أﺣﻣد ﻣﺣﻣد ﻋﺑد‬ ‫ﷲ ‪ ، (١٩٩١) ،‬ﻣﺑ ﺎدئ اﻹﺣﺻ ﺎء واﻻﺣﺗﻣ ﺎﻻت – ﻋﻣ ﺎده ﺷ ؤون اﻟﻣﻛﺗﺑ ﺎت – ﺟﺎﻣﻌ ﺔ‬ ‫اﻟﻣﻠك ﺳﻌود – اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ‪.‬‬

‫‪٥٩٩‬‬

‫ اﻹﺣﺻ ﺎء اﻟﺗطﺑﯾﻘ ﻰ ﻟﻠﺗﺟ ﺎرﯾﯾن – اﻟطﺑﻌ ﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ – ﺟﺎﻣﻌ ﺔ‬، (١٩٩٤) ، ‫ ﻋﻔ ﺎف اﻟ دش‬-٩ .‫ﺣﻠوان – اﻟﻘﺎھرة‬ – ‫ ﻣﻘدﻣ ﺔ ﻓ ﻰ اﻹﺣﺻ ﺎء‬، (٠١٩٨٣ ، ‫ ﻣﺣﻣد ﺻﺑﺣﻰ أﺑ و ﺻ ﺎﻟﺢ وﻋ دﻧﺎن ﻣﺣﻣ د ﻋ وض‬-١٠ .‫اﻟطﺑﻌﺔ اﻟراﺑﻌﺔ – دار ﺟون واﯾﻠﻰ وأﺑﻧﺎﺋﺔ – ﻧﯾوﯾورك‬

‫ اﻟﻤﺮاﺟﻊ اﻷﺟﻨﺒﻴﺔ‬: ‫ﺛﺎﻧﻴﺎ‬ 1- Abell, M. L. et.al. (1999) Statistics with Mathematica, Academic Press, New York.

2- Abell, M. L. et.al. (1992) The Mathematica Handbook, Academic Press, New York.

3- Bain, L. J. (1992) Introduction to Probability and Mathematical Statistics, Second Edition, Duxbury Press - An Imprint of Wadsworth Publishing Company Belmont, California.

4- Cangelosi, V. E.; Taylor, P. H. and Rice, P. F. (1979) Basic statistics - A Real World Approach, Second Edition, West Publishing Company, New York.

5- Devore, J. L. (1995) Probability and Statistics for Engineering and the Sciences, Fourth Edition, Duxburg Press-An International Themson Publishing Company, London.

6- Frank, H. and Althoen, S. C. (1997) Statistics- Concepts and Applications, Low Price Edition, Cambridge University Press. 1 7- Hamburg, M. (1979) Basic Statistics : A Modern Approach, Second Edition, Harcourt Brace Jovanovich, Inc., New York.

8- Mendenhall, W. (1975) Introduction to Probability and Statistics, Company, Inc. Belmont, California Fourth Edition, Duxburg Press, A Division of Wadsworth Publishing

9- Owen, F. and Jones, R. (1994) Statistics, Fourth Edition, Pitman Publishing, London.

10- Schelfer, W. (1979) Statistics for the Bidogical Sciences, Second Edition, Addison-Wesly Publishing Company. Inc. Philippines.

11-Walpole, R. E. (1982) Introduction to Statistics, Macmillan Publishing Co. Inc. New York.

٦٠٠

٦٠١

‫اﻟﻤﻼﺣﻖ‬ ‫ﻣﻠﺤﻖ ) ‪ ( ١‬ﺟﺪول ﺣﺴﺎب‬ ‫ﻣﻠﺤﻖ ) ‪ ( ٢‬ﺟﺪول ﺣﺴﺎب‬

‫‪r‬‬ ‫)‪ b( x ; n , p‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪  p (k; ‬ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ‬ ‫‪k 0‬‬

‫ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ذي اﻟﺤﺪﻳﻦ ‪.‬‬ ‫ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻮاﺳﻮن ‪.‬‬

‫ﻣﻠﺤﻖ ) ‪ ( ٣‬ﺟﺪول اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ )‪. P(0  Z  z‬‬ ‫ﻣﻠﺤﻖ ) ‪ ( ٤‬ﺟﺪول اﻟﻘﻴﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ ‪  2‬ﻟﺘﻮزﻳﻊ ‪.  2‬‬ ‫ﻣﻠﺤﻖ ) ‪ ( ٥‬ﺟﺪول اﻟﻘﻴﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ ‪ t ‬ﻟﺘﻮزﻳﻊ ‪. t‬‬

‫ﻣﻠﺤﻖ ) ‪ ( ٦‬ﺟﺪول اﻟﻘﻴﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ ) ‪ f  (1,  2‬ﻟﺘﻮزﻳﻊ ‪ F‬ﻋﻨﺪ ) ‪. (  0.05‬‬ ‫ﻣﻠﺤﻖ ) ‪ (٧‬ﺟﺪول اﻟﻘﻴﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ ) ‪ f  (1,  2‬ﻟﺘﻮزﻳﻊ ‪ F‬ﻋﻨﺪ ) ‪. (  0.01‬‬

‫‪٦٠٢‬‬

‫ﻣﻠﺤﻖ )‪(١‬‬ ‫ﺟﺪول ﺣﺴﺎب‬

‫‪x‬‬ ‫)‪ b( k ; n , p‬‬ ‫‪k 0‬‬

‫ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ذي اﻟﺤﺪﻳﻦ‬ ‫‪n=5‬‬ ‫‪p‬‬

‫‪0.99‬‬

‫‪0.95‬‬

‫‪0.90‬‬

‫‪0.80‬‬

‫‪0.75‬‬

‫‪0.70‬‬

‫‪0.60‬‬

‫‪0.50‬‬

‫‪0.40‬‬

‫‪0.30‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪0.20‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪0.05‬‬

‫‪0.01‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.001‬‬

‫‪.002‬‬

‫‪.010‬‬

‫‪.031‬‬

‫‪.078‬‬

‫‪.168‬‬

‫‪.237‬‬

‫‪.328‬‬

‫‪.590‬‬

‫‪.774‬‬

‫‪.951‬‬

‫‪0‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.007‬‬

‫‪.016‬‬

‫‪.031‬‬

‫‪.087‬‬

‫‪.188‬‬

‫‪.337‬‬

‫‪.528‬‬

‫‪.633‬‬

‫‪.737‬‬

‫‪.919‬‬

‫‪.977‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪1‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.001‬‬

‫‪.009‬‬

‫‪.058‬‬

‫‪.104‬‬

‫‪.163‬‬

‫‪.317‬‬

‫‪.500‬‬

‫‪.683‬‬

‫‪.837‬‬

‫‪.896‬‬

‫‪.942‬‬

‫‪.991‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.001‬‬

‫‪.023‬‬

‫‪.081‬‬

‫‪.263‬‬

‫‪.367‬‬

‫‪.472‬‬

‫‪.663‬‬

‫‪.812‬‬

‫‪.913‬‬

‫‪.969‬‬

‫‪.984‬‬

‫‪.993‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪3‬‬

‫‪.049‬‬

‫‪.226‬‬

‫‪.410‬‬

‫‪.672‬‬

‫‪.763‬‬

‫‪.832‬‬

‫‪.922‬‬

‫‪.969‬‬

‫‪.990‬‬

‫‪.998‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪4‬‬

‫‪٦٠٣‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻠﺤﻖ )‪(١‬‬ ‫ﺟﺪول ﺣﺴﺎب‬

‫‪x‬‬ ‫)‪ b( k ; n , p‬‬ ‫‪k 0‬‬

‫ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ذي اﻟﺤﺪﻳﻦ‬ ‫‪n=10‬‬ ‫‪p‬‬

‫‪0.99‬‬

‫‪0.95‬‬

‫‪0.90‬‬

‫‪0.80‬‬

‫‪0.75‬‬

‫‪0.70‬‬

‫‪0.60‬‬

‫‪0.50‬‬

‫‪0.40‬‬

‫‪0.30‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪0.20‬‬

‫‪0.10‬‬

‫‪0.05‬‬

‫‪0.01‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.001‬‬

‫‪.006‬‬

‫‪.028‬‬

‫‪.056‬‬

‫‪.107‬‬

‫‪.349‬‬

‫‪.599‬‬

‫‪.904‬‬

‫‪0‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.002‬‬

‫‪.011‬‬

‫‪.046‬‬

‫‪.149‬‬

‫‪.244‬‬

‫‪.376‬‬

‫‪.736‬‬

‫‪.914‬‬

‫‪.996‬‬

‫‪1‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.002‬‬

‫‪.012‬‬

‫‪.055‬‬

‫‪.167‬‬

‫‪.383‬‬

‫‪.526‬‬

‫‪.678‬‬

‫‪.930‬‬

‫‪.988‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.001‬‬

‫‪.004‬‬

‫‪.011‬‬

‫‪.055‬‬

‫‪.172‬‬

‫‪.382‬‬

‫‪.650‬‬

‫‪.776‬‬

‫‪.879‬‬

‫‪.987‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪3‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.006‬‬

‫‪.020‬‬

‫‪.047‬‬

‫‪.166‬‬

‫‪.377‬‬

‫‪.633‬‬

‫‪.850‬‬

‫‪.922‬‬

‫‪.967‬‬

‫‪.998‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪4‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.002‬‬

‫‪.033‬‬

‫‪.078‬‬

‫‪.150‬‬

‫‪.367‬‬

‫‪.623‬‬

‫‪.834‬‬

‫‪.953‬‬

‫‪.980‬‬

‫‪.994‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪5‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.001‬‬

‫‪.013‬‬

‫‪.121‬‬

‫‪.224‬‬

‫‪.350‬‬

‫‪.618‬‬

‫‪.828‬‬

‫‪.945‬‬

‫‪.989‬‬

‫‪.996‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪6‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.012‬‬

‫‪.070‬‬

‫‪.322‬‬

‫‪.474‬‬

‫‪.617‬‬

‫‪.833‬‬

‫‪.945‬‬

‫‪.988‬‬

‫‪.998‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪7‬‬

‫‪.004‬‬

‫‪.086‬‬

‫‪.264‬‬

‫‪.624‬‬

‫‪.756‬‬

‫‪.851‬‬

‫‪.954‬‬

‫‪.989‬‬

‫‪.998‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪8‬‬

‫‪.096‬‬

‫‪.401‬‬

‫‪.651‬‬

‫‪.893‬‬

‫‪.944‬‬

‫‪.972‬‬

‫‪.994‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪9‬‬

‫‪٦٠٤‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻠﺤﻖ )‪(١‬‬ ‫ﺟﺪول ﺣﺴﺎب‬

‫‪x‬‬ ‫)‪ b( k ; n , p‬‬ ‫‪k 0‬‬

‫ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ذي اﻟﺤﺪﻳﻦ‬ ‫‪c. n=15‬‬ ‫‪p‬‬

‫‪0.99‬‬

‫‪0.95‬‬

‫‪0.90‬‬

‫‪0.80‬‬

‫‪0.75‬‬

‫‪0.70‬‬

‫‪0.60‬‬

‫‪0.50‬‬

‫‪0.40‬‬

‫‪0.30‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪0.20‬‬

‫‪0.10‬‬

‫‪0.05‬‬

‫‪0.01‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.005‬‬

‫‪.013‬‬

‫‪.035‬‬

‫‪.206‬‬

‫‪.463‬‬

‫‪.860‬‬

‫‪0‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.005‬‬

‫‪.035‬‬

‫‪.080‬‬

‫‪.167‬‬

‫‪.549‬‬

‫‪.829‬‬

‫‪.990‬‬

‫‪1‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.004‬‬

‫‪.027‬‬

‫‪.127‬‬

‫‪.236‬‬

‫‪.398‬‬

‫‪.816‬‬

‫‪.964‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.002‬‬

‫‪.018‬‬

‫‪.091‬‬

‫‪.297‬‬

‫‪.461‬‬

‫‪.648‬‬

‫‪.944‬‬

‫‪.995‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪3‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.001‬‬

‫‪.009‬‬

‫‪.059‬‬

‫‪.217‬‬

‫‪.515‬‬

‫‪.686‬‬

‫‪.836‬‬

‫‪.987‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪4‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.001‬‬

‫‪.004‬‬

‫‪.034‬‬

‫‪.151‬‬

‫‪.403‬‬

‫‪.722‬‬

‫‪.852‬‬

‫‪.939‬‬

‫‪.998‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪5‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.001‬‬

‫‪.004‬‬

‫‪.015‬‬

‫‪.095‬‬

‫‪.304‬‬

‫‪.610‬‬

‫‪.869‬‬

‫‪.943‬‬

‫‪.982‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪6‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.004‬‬

‫‪.017‬‬

‫‪.050‬‬

‫‪.213‬‬

‫‪.500‬‬

‫‪.787‬‬

‫‪.950‬‬

‫‪.983‬‬

‫‪.996‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪7‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.018‬‬

‫‪.057‬‬

‫‪.131‬‬

‫‪.390‬‬

‫‪.696‬‬

‫‪.905‬‬

‫‪.985‬‬

‫‪.996‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪8‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.002‬‬

‫‪.061‬‬

‫‪.148‬‬

‫‪.278‬‬

‫‪.597‬‬

‫‪.849‬‬

‫‪.966‬‬

‫‪.996‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪9‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.001‬‬

‫‪.013‬‬

‫‪.164‬‬

‫‪.314‬‬

‫‪.485‬‬

‫‪.783‬‬

‫‪.941‬‬

‫‪.991‬‬

‫‪.999‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪10‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.005‬‬

‫‪.056‬‬

‫‪.352‬‬

‫‪.539‬‬

‫‪.703‬‬

‫‪.909‬‬

‫‪.982‬‬

‫‪.998‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪11‬‬

‫‪.000‬‬

‫‪.036‬‬

‫‪.184‬‬

‫‪.602‬‬

‫‪.764‬‬

‫‪.873‬‬

‫‪.973‬‬

‫‪.996‬‬

‫‪1.00‬‬

‫‪12‬‬

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‫اﻟﻤﺼﺪر ﻋﻦ ‪[Devore (1995)] :‬‬ ‫‪٦٠٧‬‬

‫‪X‬‬

‫ﻣﻠﺤﻖ )‪(٣‬‬ ‫ﺟدول اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ‬ ‫)‪P(0<Z<z‬‬ ‫‪.09‬‬ ‫‪.0359‬‬ ‫‪.0753‬‬ ‫‪.1141‬‬ ‫‪.1517‬‬ ‫‪.1879‬‬ ‫‪.2224‬‬ ‫‪.2549‬‬ ‫‪.2852‬‬ ‫‪.3133‬‬ ‫‪.3389‬‬ ‫‪.3621‬‬ ‫‪.3830‬‬ ‫‪.4015‬‬ ‫‪.4177‬‬ ‫‪.4319‬‬ ‫‪.4441‬‬ ‫‪.4545‬‬ ‫‪.4633‬‬ ‫‪.4706‬‬ ‫‪.4767‬‬ ‫‪.4817‬‬ ‫‪.4857‬‬ ‫‪.4890‬‬ ‫‪.4916‬‬ ‫‪.4936‬‬ ‫‪.4952‬‬ ‫‪.4964‬‬ ‫‪.4974‬‬ ‫‪.4981‬‬ ‫‪.4986‬‬ ‫‪.4990‬‬

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‫اﻟﻤﺼﺪر ‪ :‬ﻋﻦ ])‪[Daniel (1978‬‬

‫‪٦٠٨‬‬

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‫‪0.016‬‬ ‫‪0.211‬‬ ‫‪0.584‬‬ ‫‪1.064‬‬ ‫‪1.610‬‬ ‫‪2.204‬‬ ‫‪2.833‬‬ ‫‪3.490‬‬ ‫‪4.168‬‬ ‫‪4.865‬‬ ‫‪5.578‬‬ ‫‪6.304‬‬ ‫‪7.041‬‬ ‫‪7.790‬‬ ‫‪8.547‬‬ ‫‪9.312‬‬ ‫‪10.085‬‬ ‫‪10.865‬‬ ‫‪11.651‬‬ ‫‪12.443‬‬ ‫‪13.240‬‬ ‫‪14.042‬‬ ‫‪14.848‬‬ ‫‪15.659‬‬ ‫‪16.473‬‬ ‫‪17.292‬‬ ‫‪18.114‬‬ ‫‪18.939‬‬ ‫‪19.768‬‬ ‫‪20.599‬‬ ‫‪21.433‬‬ ‫‪22.271‬‬ ‫‪23.110‬‬ ‫‪23.952‬‬ ‫‪24.796‬‬ ‫‪25.643‬‬ ‫‪26.492‬‬ ‫‪27.343‬‬ ‫‪28.196‬‬ ‫‪29.050‬‬

‫‪0.004‬‬ ‫‪0.103‬‬ ‫‪0.352‬‬ ‫‪0.711‬‬ ‫‪1.145‬‬ ‫‪1.635‬‬ ‫‪2.167‬‬ ‫‪2.733‬‬ ‫‪3.325‬‬ ‫‪3.940‬‬ ‫‪4.575‬‬ ‫‪5.226‬‬ ‫‪5.892‬‬ ‫‪6.571‬‬ ‫‪7.261‬‬ ‫‪7.962‬‬ ‫‪8.682‬‬ ‫‪9.390‬‬ ‫‪10.117‬‬ ‫‪10.851‬‬ ‫‪11.591‬‬ ‫‪12.338‬‬ ‫‪13.090‬‬ ‫‪13.848‬‬ ‫‪14.611‬‬ ‫‪15.379‬‬ ‫‪16.151‬‬ ‫‪16.928‬‬ ‫‪17.708‬‬ ‫‪18.493‬‬ ‫‪19.280‬‬ ‫‪20.072‬‬ ‫‪20.866‬‬ ‫‪21.664‬‬ ‫‪22.465‬‬ ‫‪23.269‬‬ ‫‪24.075‬‬ ‫‪24.884‬‬ ‫‪25.695‬‬ ‫‪26.509‬‬

‫‪0.001‬‬ ‫‪0.051‬‬ ‫‪0.216‬‬ ‫‪0.484‬‬ ‫‪0.831‬‬ ‫‪1.237‬‬ ‫‪1.690‬‬ ‫‪2.180‬‬ ‫‪2.700‬‬ ‫‪3.247‬‬ ‫‪3.816‬‬ ‫‪4.404‬‬ ‫‪5.009‬‬ ‫‪5.629‬‬ ‫‪6.262‬‬ ‫‪6.908‬‬ ‫‪7.564‬‬ ‫‪8.231‬‬ ‫‪8.906‬‬ ‫‪9.591‬‬ ‫‪10.283‬‬ ‫‪10.982‬‬ ‫‪11.688‬‬ ‫‪12.401‬‬ ‫‪13.120‬‬ ‫‪13.844‬‬ ‫‪14.573‬‬ ‫‪15.308‬‬ ‫‪16.147‬‬ ‫‪16.791‬‬ ‫‪17.538‬‬ ‫‪18.291‬‬ ‫‪19.046‬‬ ‫‪19.806‬‬ ‫‪20.569‬‬ ‫‪21.336‬‬ ‫‪22.105‬‬ ‫‪22.878‬‬ ‫‪23.654‬‬ ‫‪24.433‬‬

‫‪0.000‬‬ ‫‪0.020‬‬ ‫‪0.115‬‬ ‫‪0.297‬‬ ‫‪0.554‬‬ ‫‪0.872‬‬ ‫‪1.239‬‬ ‫‪1.646‬‬ ‫‪2.088‬‬ ‫‪2.558‬‬ ‫‪3.053‬‬ ‫‪3.571‬‬ ‫‪4.107‬‬ ‫‪4.660‬‬ ‫‪5.229‬‬ ‫‪5.812‬‬ ‫‪6.407‬‬ ‫‪7.015‬‬ ‫‪7.632‬‬ ‫‪8.260‬‬ ‫‪8.897‬‬ ‫‪9.542‬‬ ‫‪10.195‬‬ ‫‪10.856‬‬ ‫‪11.523‬‬ ‫‪12.198‬‬ ‫‪12.878‬‬ ‫‪13.565‬‬ ‫‪14.256‬‬ ‫‪14.954‬‬ ‫‪15.655‬‬ ‫‪16.362‬‬ ‫‪17.073‬‬ ‫‪17.789‬‬ ‫‪18.508‬‬ ‫‪19.233‬‬ ‫‪19.960‬‬ ‫‪20.691‬‬ ‫‪21.425‬‬ ‫‪22.164‬‬

‫‪0.000‬‬ ‫‪0.010‬‬ ‫‪0.072‬‬ ‫‪0.207‬‬ ‫‪0.412‬‬ ‫‪0.676‬‬ ‫‪0.989‬‬ ‫‪1.344‬‬ ‫‪1.735‬‬ ‫‪2.156‬‬ ‫‪2.603‬‬ ‫‪3.074‬‬ ‫‪3.565‬‬ ‫‪4.075‬‬ ‫‪4.600‬‬ ‫‪5.142‬‬ ‫‪5.697‬‬ ‫‪6.265‬‬ ‫‪6.843‬‬ ‫‪7.434‬‬ ‫‪8.033‬‬ ‫‪8.643‬‬ ‫‪9.260‬‬ ‫‪9.886‬‬ ‫‪10.519‬‬ ‫‪11.160‬‬ ‫‪11.807‬‬ ‫‪12.461‬‬ ‫‪13.120‬‬ ‫‪13.787‬‬ ‫‪14.457‬‬ ‫‪15.134‬‬ ‫‪15.814‬‬ ‫‪16.501‬‬ ‫‪17.191‬‬ ‫‪17.887‬‬ ‫‪18.584‬‬ ‫‪19.289‬‬ ‫‪19.994‬‬ ‫‪20.706‬‬

‫اﻟﻤﺼﺪر ‪ :‬ﻋﻦ ])‪[Devore(1995‬‬

‫‪٦٠٩‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪40‬‬

‫ﻣﻠﺣق )‪(٥‬‬ ‫ﺟﺪول اﻟﻘﻴﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ ‪ t ‬ﻟﺘﻮزﻳﻊ‬

‫‪t‬‬

‫‪‬‬ ‫‪.0005‬‬ ‫‪636.62‬‬ ‫‪31.598‬‬ ‫‪12.924‬‬ ‫‪8.610‬‬ ‫‪6.869‬‬ ‫‪5.959‬‬ ‫‪5.408‬‬ ‫‪5.041‬‬ ‫‪4.781‬‬ ‫‪4.587‬‬ ‫‪4.437‬‬ ‫‪4.318‬‬ ‫‪4.221‬‬ ‫‪4.140‬‬ ‫‪4.073‬‬ ‫‪4.015‬‬ ‫‪3.965‬‬ ‫‪3.922‬‬ ‫‪3.883‬‬ ‫‪3.850‬‬ ‫‪3.819‬‬ ‫‪3.792‬‬ ‫‪3.767‬‬ ‫‪3.745‬‬ ‫‪3.725‬‬ ‫‪3.707‬‬ ‫‪3.690‬‬ ‫‪3.674‬‬ ‫‪3.659‬‬ ‫‪3.646‬‬ ‫‪3.551‬‬ ‫‪3.460‬‬ ‫‪3.373‬‬ ‫‪3.291‬‬

‫‪.001‬‬ ‫‪318.31‬‬ ‫‪22.326‬‬ ‫‪10.213‬‬ ‫‪7.173‬‬ ‫‪5.893‬‬ ‫‪5.208‬‬ ‫‪4.785‬‬ ‫‪4.501‬‬ ‫‪4.297‬‬ ‫‪4.144‬‬ ‫‪4.025‬‬ ‫‪3.930‬‬ ‫‪3.852‬‬ ‫‪3.787‬‬ ‫‪3.733‬‬ ‫‪3.686‬‬ ‫‪3.646‬‬ ‫‪3.610‬‬ ‫‪3.579‬‬ ‫‪3.552‬‬ ‫‪3.527‬‬ ‫‪3.505‬‬ ‫‪3.485‬‬ ‫‪3.467‬‬ ‫‪3.450‬‬ ‫‪3.435‬‬ ‫‪3.421‬‬ ‫‪3.408‬‬ ‫‪3.396‬‬ ‫‪3.385‬‬ ‫‪3.307‬‬ ‫‪3.232‬‬ ‫‪3.160‬‬ ‫‪3.090‬‬

‫‪.005‬‬ ‫‪63.657‬‬ ‫‪9.925‬‬ ‫‪5.841‬‬ ‫‪4.604‬‬ ‫‪4.032‬‬ ‫‪3.707‬‬ ‫‪3.499‬‬ ‫‪3.355‬‬ ‫‪3.250‬‬ ‫‪3.169‬‬ ‫‪3.106‬‬ ‫‪3.055‬‬ ‫‪3.012‬‬ ‫‪2.977‬‬ ‫‪2.947‬‬ ‫‪2.921‬‬ ‫‪2.898‬‬ ‫‪2.878‬‬ ‫‪2.861‬‬ ‫‪2.845‬‬ ‫‪2.831‬‬ ‫‪2.819‬‬ ‫‪2.807‬‬ ‫‪2.797‬‬ ‫‪2.787‬‬ ‫‪2.779‬‬ ‫‪2.771‬‬ ‫‪2.763‬‬ ‫‪2.756‬‬ ‫‪2.750‬‬ ‫‪2.704‬‬ ‫‪2.660‬‬ ‫‪2.617‬‬ ‫‪2.576‬‬

‫‪.01‬‬ ‫‪31.821‬‬ ‫‪6.965‬‬ ‫‪4.541‬‬ ‫‪3.747‬‬ ‫‪3.365‬‬ ‫‪3.143‬‬ ‫‪2.998‬‬ ‫‪2.896‬‬ ‫‪2.821‬‬ ‫‪2.764‬‬ ‫‪2.718‬‬ ‫‪2.681‬‬ ‫‪2.650‬‬ ‫‪2.624‬‬ ‫‪2.602‬‬ ‫‪2.583‬‬ ‫‪2.567‬‬ ‫‪2.552‬‬ ‫‪2.539‬‬ ‫‪2.528‬‬ ‫‪2.518‬‬ ‫‪2.508‬‬ ‫‪2.500‬‬ ‫‪2.492‬‬ ‫‪2.485‬‬ ‫‪2.479‬‬ ‫‪2.473‬‬ ‫‪2.467‬‬ ‫‪2.462‬‬ ‫‪2.457‬‬ ‫‪2.423‬‬ ‫‪2.390‬‬ ‫‪2.358‬‬ ‫‪2.326‬‬

‫اﻟﻤﺼﺪر ‪ :‬ﻋﻦ ])‪[Devore (1995‬‬

‫‪٦١٠‬‬

‫‪.025‬‬ ‫‪12.706‬‬ ‫‪4.303‬‬ ‫‪3.182‬‬ ‫‪2.776‬‬ ‫‪2.571‬‬ ‫‪2.447‬‬ ‫‪2.365‬‬ ‫‪2.306‬‬ ‫‪2.262‬‬ ‫‪2.228‬‬ ‫‪2.201‬‬ ‫‪2.179‬‬ ‫‪2.160‬‬ ‫‪2.145‬‬ ‫‪2.131‬‬ ‫‪2.120‬‬ ‫‪2.110‬‬ ‫‪2.101‬‬ ‫‪2.093‬‬ ‫‪2.086‬‬ ‫‪2.080‬‬ ‫‪2.074‬‬ ‫‪2.069‬‬ ‫‪2.064‬‬ ‫‪2.060‬‬ ‫‪2.056‬‬ ‫‪2.052‬‬ ‫‪2.048‬‬ ‫‪2.045‬‬ ‫‪2.042‬‬ ‫‪2.021‬‬ ‫‪2.000‬‬ ‫‪1.980‬‬ ‫‪1.960‬‬

‫‪.05‬‬ ‫‪6.314‬‬ ‫‪2.920‬‬ ‫‪2.353‬‬ ‫‪2.132‬‬ ‫‪2.015‬‬ ‫‪1.943‬‬ ‫‪1.895‬‬ ‫‪1.860‬‬ ‫‪1.833‬‬ ‫‪1.812‬‬ ‫‪1.796‬‬ ‫‪1.782‬‬ ‫‪1.771‬‬ ‫‪1.761‬‬ ‫‪1.753‬‬ ‫‪1.746‬‬ ‫‪1.740‬‬ ‫‪1.734‬‬ ‫‪1.729‬‬ ‫‪1.725‬‬ ‫‪1.721‬‬ ‫‪1.717‬‬ ‫‪1.714‬‬ ‫‪1.711‬‬ ‫‪1.708‬‬ ‫‪1.706‬‬ ‫‪1.703‬‬ ‫‪1.701‬‬ ‫‪1.699‬‬ ‫‪1.697‬‬ ‫‪1.684‬‬ ‫‪1.671‬‬ ‫‪1.658‬‬ ‫‪1.645‬‬

‫‪.10‬‬ ‫‪3.078‬‬ ‫‪1.886‬‬ ‫‪1.638‬‬ ‫‪1.533‬‬ ‫‪1.476‬‬ ‫‪1.440‬‬ ‫‪1.415‬‬ ‫‪1.397‬‬ ‫‪1.383‬‬ ‫‪1.372‬‬ ‫‪1.363‬‬ ‫‪1.356‬‬ ‫‪1.350‬‬ ‫‪1.345‬‬ ‫‪1.341‬‬ ‫‪1.337‬‬ ‫‪1.333‬‬ ‫‪1.330‬‬ ‫‪1.328‬‬ ‫‪1.325‬‬ ‫‪1.323‬‬ ‫‪1.321‬‬ ‫‪1.319‬‬ ‫‪1.318‬‬ ‫‪1.316‬‬ ‫‪1.315‬‬ ‫‪1.314‬‬ ‫‪1.313‬‬ ‫‪1.311‬‬ ‫‪1.310‬‬ ‫‪1.303‬‬ ‫‪1.296‬‬ ‫‪1.289‬‬ ‫‪1.282‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﻠﺤﻖ )‪(٦‬‬

‫ﺟﺪول اﻟﻘﻴﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ ) ‪ f  (1,  2‬ﻟﺘﻮزﻳﻊ ‪ F‬ﻋﻨﺪ‬

‫)‪(  0.05‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪120‬‬

‫‪60‬‬

‫‪40‬‬

‫‪30‬‬

‫‪24‬‬

‫‪20‬‬

‫‪15‬‬

‫‪12‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪236. 238. 240. 241. 243. 245. 248. 249. 250. 251. 252. 253.3 254.‬‬ ‫‪8 19.3‬‬ ‫‪9 19.3‬‬ ‫‪5 19.4‬‬ ‫‪9 19.4‬‬ ‫‪9 19.4‬‬ ‫‪9 19.4‬‬ ‫‪0 19.4‬‬ ‫‪1 19.4‬‬ ‫‪1 19.4‬‬ ‫‪1 19.4‬‬ ‫‪2 19.49 19.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪19.3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.70 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.53‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪161. 199. 215. 224. 230. 234.‬‬ ‫‪4 19.0‬‬ ‫‪5 19.1‬‬ ‫‪7 19.2‬‬ ‫‪6 19.3‬‬ ‫‪2 19.3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪18.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10.1 9..55 9.28 9.12 9.01 8.94‬‬ ‫‪3 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16‬‬ ‫‪7.71‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪6.09 6.04 6.00 5.96 5.91 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63‬‬ ‫‪6.‬‬ ‫‪6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 4.43 4.40 4.36‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.00 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.70 3.67‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.30 3.27 3.23‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.62 2.58 2.54‬‬

‫‪10‬‬

‫‪4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.40‬‬

‫‪11‬‬

‫‪4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.30‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.60 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.30 2.25 2.21‬‬

‫‪13‬‬

‫‪4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13‬‬

‫‪14‬‬

‫‪4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2.16 2.11 2.07‬‬

‫‪15‬‬

‫‪4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.07‬‬

‫‪16‬‬

‫‪4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01 1.96‬‬

‫‪17‬‬

‫‪4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92‬‬

‫‪18‬‬

‫‪4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88‬‬

‫‪19‬‬

‫‪4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.90 1.84‬‬

‫‪20‬‬

‫‪4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81‬‬

‫‪21‬‬

‫‪4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78‬‬

‫‪22‬‬

‫‪4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.20 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.76‬‬

‫‪23‬‬

‫‪4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73‬‬

‫‪24‬‬

‫‪2.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71‬‬

‫‪25‬‬

‫‪4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.15 2.07 1.99 1.95 1.90 1.58 1.80 1.75 1.69‬‬

‫‪26‬‬

‫‪4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 2.13 2.06 1.97 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73 1.67‬‬

‫‪27‬‬

‫‪4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.12 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.77 1.71 1.65‬‬

‫‪28‬‬

‫‪4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.10 2.03 1.94 1.90 1.85 1.81 1.75 1.70 1.64‬‬

‫‪29‬‬

‫‪4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62‬‬

‫‪30‬‬

‫‪4.08 3.23 2.48 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.00 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58 1.51‬‬

‫‪40‬‬

‫‪4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.92 1.84 1.75 1.70 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39‬‬

‫‪60‬‬

‫‪3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.17 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.50 1.43 1.35 1.25‬‬

‫‪120‬‬

‫‪3.84 3.84 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.22 1.00‬‬

‫‪‬‬

‫‪٦١١‬‬

‫ﻣﻠﺤﻖ )‪(٧‬‬ ‫ﺟﺪول اﻟﻘﻴﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ ) ‪ f  (1,  2‬ﻟﺘﻮزﻳﻊ‬

‫‪ F‬ﻋﻨﺪ ) ‪(  0.01‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪120‬‬

‫‪60‬‬

‫‪40‬‬

‫‪30‬‬

‫‪24‬‬

‫‪20‬‬

‫‪12‬‬

‫‪15‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

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‫‪1‬‬

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‫‪2‬‬

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‫‪3‬‬

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‫‪4‬‬

‫‪9.02‬‬

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‫‪5‬‬

‫‪6.88‬‬

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‫‪7.72‬‬

‫‪7.87‬‬

‫‪7.98‬‬

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‫‪9.15‬‬

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‫‪6‬‬

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‫‪7‬‬

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‫‪5.52‬‬

‫‪5.67‬‬

‫‪5.81‬‬

‫‪5.91‬‬

‫‪6.03‬‬

‫‪6.18‬‬

‫‪6.37‬‬

‫‪6.63‬‬

‫‪7.01‬‬

‫‪7.59‬‬

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‫‪8‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪4.31‬‬

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‫‪4.73‬‬

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‫‪5.11‬‬

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‫‪9‬‬

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‫‪12‬‬

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‫‪4.30‬‬

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‫‪13‬‬

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‫‪3.94‬‬

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‫‪5.56‬‬

‫‪6.51‬‬

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‫‪3.13‬‬

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‫‪4.14‬‬

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‫‪15‬‬

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‫‪16‬‬

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‫‪18‬‬

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‫‪2.84‬‬

‫‪2.92‬‬

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‫‪3.03‬‬

‫‪3.17‬‬

‫‪3.31‬‬

‫‪3.40‬‬

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‫‪4.04‬‬

‫‪4.37‬‬

‫‪4.87‬‬

‫‪5.78‬‬

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‫‪21‬‬

‫‪2.31‬‬

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‫‪2.50‬‬

‫‪2.58‬‬

‫‪2.67‬‬

‫‪2.75‬‬

‫‪2.83‬‬

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‫‪3.12‬‬

‫‪3.26‬‬

‫‪3.35‬‬

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‫‪4.31‬‬

‫‪4.82‬‬

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‫‪7.95‬‬

‫‪22‬‬

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‫‪2.78‬‬

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‫‪3.07‬‬

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‫‪3.30‬‬

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‫‪23‬‬

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‫‪24‬‬

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‫‪27‬‬

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‫‪3.03‬‬

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‫‪28‬‬

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‫‪3.02‬‬

‫‪3.32‬‬

‫‪3.78‬‬

‫‪4.61‬‬

‫‪6.63‬‬

‫‪‬‬

‫اﻟﻤﺼﺪر ‪ :‬ﻋﻦ ])‪[Devore (1995‬‬

‫‪٦١٢‬‬

٦١٣