المقارنات البعدية

‫اﻟﻣﻘﺎرﻧﺎت اﻟﺑﻌدﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﻘﺎرﻧ ﺎت اﻟﺑﻌدﯾ ﺔ ﺗﺳ ﺗﺧدم ﻹﺟـ ـراء ﻣﻘﺎرﻧ ﺎت زوﺟﯾ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت ﺑﻌ د اﺟ راء ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن‬ ‫ووﺟ ود ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ﻟﻘﯾﻣ ﺔ ‪ . F‬ﻓ ﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘ ﺔ ﻓ ﺈن اﻟﻣﻘﺎرﻧ ﺔ اﻟزوﺟﯾ ﺔ ﯾﻣﻛ ن اﻟﻧظ ر إﻟﯾﮭ ﺎ ﻛﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ﺑﺳ ﯾطﺔ‬ ‫ﺣﯾث ﻧﺧﺗﺑر‪:‬‬ ‫)‪ 0 :  i   i  0 (١‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‬ ‫‪ 1 :  i   i  0‬‬

‫وذﻟك ﻟﻛل ‪. i  i‬‬ ‫) أ ( طرﯾﻘﺔ أﻗل ﻓرق ﻣﻌﻧوي)‪.(Least-Significant Different‬‬ ‫وھ ذه اﻟطرﯾﻘ ﺔ ﯾرﻣ ز ﻟﮭ ﺎ ﺑ ﺎﻟرﻣز ‪ LSD‬وذﻟ ك اﺧﺗﺻ ﺎر ﻟ ـ ‪Least-Significant‬‬ ‫‪ Different‬وﺟ ﺎءت ﺗﺳ ﻣﯾﺗﮭﺎ ﻣ ن أن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺗﺣﺳ ب وﺗﺳ ﺗﺧدم ﻓ ﻲ اﺧﺗﺑ ﺎر اﻟﻔ روق ﺑ ﯾن‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳ طﺎت ﺗﻣﺛ ل أﻗ ل ﻗﯾﻣ ﺔ ﯾﺟ ب أن ﯾﺗﺟﺎوزھ ﺎ اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن اﻟﻣﺗوﺳ طﯾن ﻟﻛ ﻲ ﯾﻛ ون ﻣﻌﻧوﯾ ﺎ أو‬ ‫ﺟوھرﯾﺎ ‪ ،‬ﻻﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔرض ﻓﻲ )‪ (١‬ﻓﺈن اﻹﺣﺻﺎء‪:‬‬ ‫‪Yi.  Yi.‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪MSE ( ‬‬ ‫)‬ ‫‪n i n i‬‬ ‫ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ .   N  k‬ﺣﯾث‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪MSE( ‬‬ ‫‪n i n i‬‬

‫ھو اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻔرق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﯾن ‪ Yi.  Yi.‬و ‪i  i .‬‬ ‫ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ‬ﻧرﻓض ‪  0‬ﻓﻲ )‪ (١‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫‪n i n i‬‬

‫(‪Yi  Yi   t  ( ) MSE‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﯾث )‪ t  ( ‬ﺗﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪    k‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﯾث )‬ ‫‪n i n i‬‬

‫وﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫( ‪ t  () MSE‬ھو أﻗل ﻓرق ﻣﻌﻧوي أو اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻠﻔرق اﻟﻣﻌﻧوي‪ .‬ﻋﻧ دﻣﺎ‬ ‫‪2‬‬

‫ﺗﻛون ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﺈن أﻗل ﻓرق ﻣﻌﻧوي ﯾﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪2 MSE‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪t  ( ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻣـﺛﺎل )‪(١‬‬ ‫واع ﻣ ن ﻣﺷ روب ﺑ ﺎرد ]ﻣﺻ ﻧﻔﺔ ﺗﺑﻌ ﺎ ﻟﻣﻛﺳ ب اﻟﻠ ون اﻟﻣﺿ ﺎف)ﺑ دون‬ ‫ﻟﻠﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن أرﺑ ﻊ أﻧ ٍ‬ ‫ﻟون‪ -‬أﺣﻣر‪ -‬ﺑرﺗﻘﺎﻟﻲ‪ -‬أﺧﺿر([‪ .‬ﺗم ﺗوزﯾﻊ اﻷﻧواع اﻷرﺑﻌﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺎ ﻋﻠ ﻰ ‪ 20‬ﻣوﻗﻌ ﺎ وﺳ ﺟل ﻋ دد‬ ‫‪١‬‬

‫ﺣﺎﻻت اﻟﺑﯾﻊ ﻟﻛل‪ 1000‬ﺷﺧص ﻓﻲ اﻟﻣوﻗﻊ ﺧ ﻼل ﻓﺗ رة اﻟدراﺳ ﺔ واﻟﻣﺷ ﺎھدات وﺑﻌ ض اﻟﻌﻣﻠﯾ ﺎت‬ ‫اﻟﺣﺳ ﺎﺑﯾﮫ ﻣﻌط ﺎة ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ واﻟﻣطﻠ وب اﺳ ﺗﺧدام طرﯾﻘ ﺔ ‪ LSD‬ﻻﺧﺗﺑ ﺎر اﻟﻔ روق ﺑ ﯾن‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺟدول ) ‪(١‬‬ ‫اﻟﻣــﻌـﺎﻟﺟــﺔ ‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬ ‫اﺣﻣر‬ ‫ﺑرﺗﻘﺎﻟﻲ‬ ‫اﺧﺿر‬ ‫‪31.2‬‬ ‫‪27.9‬‬ ‫‪30.8‬‬ ‫‪Y..  573.9‬‬ ‫‪28.3‬‬ ‫‪25.1‬‬ ‫‪29.6‬‬ ‫‪30.8‬‬ ‫‪28.5‬‬ ‫‪32.4‬‬ ‫‪27.9‬‬ ‫‪24.2‬‬ ‫‪31.7‬‬ ‫‪29.6‬‬ ‫‪26.5‬‬ ‫‪32.8‬‬ ‫‪147.8‬‬ ‫‪132.2‬‬ ‫‪157.3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻣﻌطﻰ ﻓﻲ اﻟﺟدول )‪.(٢‬‬

‫) ‪F ( 1 ,  2‬‬ ‫‪F0.01 (3,16)  5.29‬‬

‫ﺟدول )‪(٢‬‬ ‫‪MS‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪25.62‬‬ ‫‪10.4881‬‬ ‫‪2.44275‬‬

‫‪SS‬‬ ‫‪76.85‬‬ ‫‪39.08‬‬ ‫‪115.93‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﺑدون ﻟون‬ ‫‪26.5‬‬ ‫‪28.7‬‬ ‫‪25.1‬‬ ‫‪29.1‬‬ ‫‪27.2‬‬ ‫‪136.6‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪df‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪Yi.‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪S.O.V‬‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت‬ ‫اﻟﺧطﺄ‬ ‫اﻟﻛﻠﻲ‬

‫ﻣن ﺟدول )‪ (٢‬وﺑﻣﺎ أن ﻗﯾﻣﺔ ‪ F‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﺗزﯾد ﻋن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺟدوﻟﯾﺔ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم‬ ‫‪ 0 : 1   2   3   4 .‬‬ ‫اﻵن ﻹﺟ راء اﻟﻣﻘﺎرﻧ ﺎت اﻟزوﺟﯾ ﺔ أي اﺧﺗﺑ ﺎر اﻟﻔ رض ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﯾ ﺎﺑق ﺳ وف ﻧﺳ ﺗﺧدم‬ ‫اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﻣﻌط ﺎة ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول )‪ ) . (١‬وذﻟ ك ﻟﻠﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺗوﺳ طﺎت واﻟﻣوﺿ ﺣﺔ ﻓ ﻲ‬ ‫ﺟدول )‪.(٣‬‬ ‫ﺟدول )‪(٣‬‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ‪i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺑدون ﻟون‬ ‫أﺣﻣر‬ ‫ﺑرﺗﻘﺎﻟﻲ‬ ‫أﺧﺿر‬ ‫‪Y1.  27.32‬‬ ‫‪Y2.  29.56‬‬ ‫‪Y3.  26.44‬‬ ‫‪Y4.  31.46‬‬ ‫ﻣن ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﻌطﻰ ﻓﻲ ﺟدول )‪ (٢‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪ MSE  2.44275‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ )‪ . =16   k( n  1‬أﯾﺿﺎ ‪:‬‬ ‫‪ t 0.025 (16)  2.120‬و ‪ . t 0.005 (16)  2.921‬إذن ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪2 MSE‬‬ ‫‪n‬‬

‫)‪ ) LSD  t 0.025 ( ‬ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪(   0.05‬‬

‫)‪( 2)(2.44275‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪ ( 2.12)(0.98898‬‬ ‫‪ 2.0955776.‬‬ ‫)‪ ( 2.12‬‬

‫‪2MSE‬‬ ‫‪n‬‬

‫)‪LSD  t .005 (‬‬

‫)ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ‪(   0.01‬‬

‫)‪( 2)( 2.44275‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪ ( 2.921)( 0.98848‬‬ ‫‪ 2.921‬‬

‫‪ 2.8873501.‬‬ ‫ﯾﺗم طرح ﻛل ﻣﺗوﺳطﯾن ﻣن ﺑﻌﺿﮭﻣﺎ ﻓﺈذا ﺟﺎء اﻟﻔرق ﺑﯾن اﻟﻣﺗوﺳطﯾن أﻛﺑر ﻣ ن ﻗﯾﻣ ﺔ ‪LSD‬ﻋﻧ د‬ ‫ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ‪   0.05‬ﻗﯾل إن اﻟﻔرق ﻣﻌﻧوي أو ﻧﺿﻊ ﻋﻠﻰ ھ ذا اﻟﻔ رق ﻧﺟﻣ ﺔ)*( ‪ ،‬وإذا ﺟ ﺎء‬ ‫اﻟﻔرق ﺑﯾن اﻟﻣﺗوﺳطﯾن أﻛﺑر ﻣن‪LSD‬ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ‪   0.01‬ﻗﯾ ل أن اﻟﻔ رق ﻣﻌﻧ وي ﺟ دا‬ ‫وﻧﺿ ﻊ ﻋﻠ ﻰ ھ ذا اﻟﻔ رق ﻧﺟﻣﺗ ﯾن)**( ‪ ،‬وﻟﻠﺳ ﮭوﻟﺔ ﯾﻣﻛ ن ﺗﻠﺧ ﯾص اﻟﻧﺗ ﺎﺋﺞ اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻧﺣ و‬ ‫اﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ ﺟدول )‪ (٤‬ﺣﯾث وﺿﻌت ﻛل اﻟﻔروق اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗوﺳطﺎت داﺧ ل اﻟﺟ دول وﺗﻣ ت‬ ‫ﻣﻘﺎرﻧﺗﮭﺎ ﺑﻘﯾﻣﺔ ‪ LSD‬اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫ﺑرﺗﻘﺎﻟﻲ‬ ‫‪26.44‬‬ ‫**‪5.02‬‬ ‫**‪3.12‬‬ ‫‪0.88‬‬ ‫_‬

‫‪1‬‬ ‫ﺑدون ﻟون‬ ‫‪27.32‬‬ ‫**‪4.14‬‬ ‫*‪2.24‬‬ ‫_‬

‫ﺟدول )‪(٤‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﺣﻣر‬ ‫‪29.56‬‬ ‫‪1.9‬‬ ‫_‬

‫‪4‬‬ ‫اﺧﺿر‬ ‫‪31.46‬‬ ‫_‬

‫اﻟﺗرﺗﯾب‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط‬ ‫‪31.46‬‬ ‫‪29.56‬‬ ‫‪27.32‬‬ ‫‪26.44‬‬

‫أﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن ﻋرض اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻓﻲ ﺟدول ﻛﺎﻟﻣﻌطﻰ ﻓﻲ ﺟدول )‪ (٥‬وﻟﻛن ﺑدون رﺻد ﻗﯾم اﻟﻔروق ﺑ ﯾن‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳطﺎت وﻧﻛﺗﻔﻲ ﺑرﺻد ﻧﺟﻣﺔ أو ﻧﺟﻣﺗﯾن ﻋﻧد ﻣﻛﺎن اﻟﻔرق‪.‬‬ ‫ﺟدول )‪(٥‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪3‬‬ ‫ﺑرﺗﻘﺎﻟﻲ‬ ‫‪26.44‬‬ ‫**‬ ‫**‬

‫‪1‬‬ ‫ﺑدون ﻟون‬ ‫‪27.32‬‬ ‫**‬ ‫*‬

‫‪4‬‬ ‫أﺧﺿر‬ ‫‪31.46‬‬

‫‪2‬‬ ‫أﺣﻣر‬ ‫‪29.56‬‬

‫اﻟﺗرﺗﯾب‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط‬ ‫‪31.46‬‬ ‫‪29.56‬‬ ‫‪27.32‬‬ ‫‪26.44‬‬

‫ﻓﻣﺛﻼ وﺟود )**( ﻋﻧد ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ )‪ (4‬ﻣﻊ اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ)‪ ، (1‬ﯾﻌﻧﻲ وﺟود ﻓرق ﻣﻌﻧوي ﺟ دا ﺑ ﯾن‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺗﯾن‪.‬‬ ‫ﻋﺎدة ﺗﻠﺧص اﻻﺳﺗﻧﺗﺎﺟﺎت ﺑوﺿﻊ ﺧطوط ﺗﺣت اﻟﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﺗﻲ ﻟﯾﺳت ﺑﯾﻧﮭ ﺎ ﻓ روق ﻣﻌﻧوﯾ ﮫ وذﻟ ك‬ ‫ﺑﻌد ﺗرﺗﯾﺑﮭﺎ ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪Y4.‬‬ ‫‪Y2.‬‬ ‫‪Y1.‬‬ ‫‪Y3.‬‬

‫‪26.44‬‬

‫‪27.32‬‬

‫‪31.46‬‬

‫‪29.56‬‬

‫)ب( طرﯾﻘﺔ ﻧﯾوﻣن – ﻛﯾرﻟز )‪(Neman – Kerls‬‬ ‫ﺗﺗﻠﺧص طرﯾﻘﺔ ﻧﯾوﻣن – ﻛﯾرﻟز )أو طرﯾﻘﺔ اﻟﻣدي اﻟﻣﺗﻌدد( ﻓﻲ إﯾﺟﺎد ﻋدة ﻓروق ﻣﻌﻧوﯾﺔ ذات ﻗﯾم‬ ‫ﻣﺗزاﯾدة واﻟﺗﻲ ﯾﺗوﻗف ﺣﺟﻣﮭﺎ ﻋﻠﻰ ﻣدي اﻟﺑﻌد ﺑﯾن اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﺑﻌد ﺗرﺗﯾﺑﮭﺎ وﺗﺗﻠﺧص ﺧطوات‬ ‫ﺗﻧﻔﯾذھﺎ ﻋﻠﻲ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻧرﺗب ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ ً‪.‬‬ ‫‪MSE‬‬ ‫‪ S Y ‬ﺣﯾث ‪ MSE‬ھو ﻣﺗوﺳط ﻣﺟﻣوع‬ ‫‪ ‬ﻧوﺟد اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻣﺗوﺳط‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺧطﺄ واﻟذى ﯾﻌﺗﺑر ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن ‪ 2‬وﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮫ ﻣن ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻧﺳﺗﺧرج ﻗﯾم اﻟﻣدي اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻣن ﺟدول اﻟﻣدي اﻟﻣﻌﯾﺎري ‪(Student zed‬‬ ‫)‪ q  ( p, ) range‬ﺣﯾث ‪ ‬درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﻣﺟﻣوع ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺧطﺄ‬ ‫‪  , MSE‬ﻣﺳﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ اﻟﻣرﻏوب ‪ . p = 2, 3, …, k ،‬وﻣﻣﺎ ھو ﺟدﯾر ﺑﺎﻟذﻛر‬ ‫اﻧﮫ ﻋﻧد اﺳﺗﺧدم ﺟدول داﻧﻛن ﻓﺈن اﻟطرﯾﻘﺔ ﺗﺳﻣﻲ طرﯾﻘﺔ داﻧﻛن‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻧﺣﺳب أﻗل ﻣدي ﻣﻌﻧوي )‪ Rp (least significant range‬وذﻟك ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻛل ﻣن = ‪p‬‬ ‫‪ 2, 3, … , k‬ﺣﯾث ‪.R p  q  (p, ) S Y‬‬ ‫‪ ‬ﻧﻘﺎرن اﻟﻔروق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت وﻧﺑدأ ﺑﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻟﻔرق ﺑﯾن أﻛﺑر ﻣﺗوﺳط وأﻗل‬ ‫ﻣﺗوﺳط ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ Rk‬ﺛم ﻧﻘﺎرن اﻟﻔرق ﺑﯾن اﻛﺑر ﻣﺗوﺳط وﺛﺎﻧﻲ أﺻﻐر ﻣﺗوﺳط ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ ‪Rk-1‬‬

‫‪k‬‬

‫وﻧواﺻل اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ اﻟﻰ أن ﯾﺗم ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻛل اﻷزواج وﻋددھﺎ ‪ .  ‬إذا ﻛﺎن اﻟﻔرق‬ ‫‪2‬‬ ‫‪٤‬‬

‫اﻟﻣﺣﺳوب ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﯾن ﯾﺳﺎوى أو أﻋﻠﻲ ﻣن ‪ Rp‬ﻓﯾﻛون ذﻟك اﻟﻔرق ﻣﻌﻧوﯾﺎ ً‪ .‬ﺗﻠﺧص‬ ‫ﻧﺗﺎﺋﺞ اﻻﺧﺗﺑﺎر ﺑوﺿﻊ ﺧطوط ﻣﺷﺗرﻛﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﺗﻰ ﻟم ﺗﻛن ﻓروﻗﮭﺎ ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﻣﻊ‬ ‫اﻹﺑﻘﺎء ﻋﻠﻰ ﺗرﺗﯾب اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ ً‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪:(٢‬‬ ‫ﻓﻲ ﺗﺟرﺑﺔ ذات ﺗﺻﻣﯾم ﺗﺎم ﻟﻠﺗﻌﯾﺷﺔ ﺑﺳﺑﻌﺔ ﻣﻌﺎﻟﺟﺎت وﺧﻣﺳﺔ ﻣﺷﺎھدات ﻟﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ‪.‬‬ ‫وﺑﻔرض أن ﻣﺗوﺳط ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ھو ‪MSE = 0.8‬‬ ‫وإذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ ‪ F‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻣن ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻣﻌﻧوﯾﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب‪:‬‬ ‫اﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ ﻧﯾوﻣن ﻹﺟراء ﻛل اﻟﻣﻘﺎرﻧﺎت اﻟزوﺟﯾﺔ ‪ ،‬ﺣﯾث ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺟدول )‪ (٦‬وذﻟك ﺑﻌد ﺗرﺗﯾﺑﮭﺎ ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ ً‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺟدول )‪(٦‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪ f‬اﻟﻣﺗوﺳطﺎت‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪5.0‬‬ ‫‪4.8‬‬ ‫‪4.4‬‬ ‫‪3.6‬‬ ‫‪2.6‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫‪2.0‬‬ ‫ﻧﺳﺗﺧرج ﻗﯾم )‪ q  ( p, ‬ﻣن ﺟدول ﻧﯾوﻣن وﯾﺗم ﺣﺳﺎب ﻗﯾم ‪ Rp‬واﻟﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻲ ﺟدول )‪(٧‬‬ ‫ﺣﯾث اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻣﺗوﺳط ﯾﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪MSE‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.4,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪R p  q 0.01 ( p, 28) (SY ), p  2, 3, ... , 7 .‬‬

‫‪SY ‬‬

‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم )‪ q 0.01 ( p, 30‬وذﻟك ﻟﻌدم وﺟود )‪ q 0.01 ( p, 28‬ﻓﻲ اﻟﺟدول(‪.‬‬ ‫ﺟدول )‪(٧‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3.89‬‬ ‫‪4.45‬‬ ‫‪4.80‬‬ ‫‪5.05‬‬ ‫‪5.24‬‬ ‫‪5.40‬‬ ‫)‪q 0.01( p, 30‬‬ ‫‪Rp‬‬ ‫‪1.556‬‬ ‫‪1.78‬‬ ‫‪1.92‬‬ ‫‪2.02‬‬ ‫‪2.096‬‬ ‫‪2.16‬‬ ‫اﻟﻔرق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﻣﻌطﻲ ﻓﻲ ﺟدول )‪.(٨‬‬ ‫ﺟدول )‪(٨‬‬ ‫‪4.4‬‬ ‫‪3.6‬‬ ‫‪2.6‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫‪2.0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪Rp‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬

‫اﻟﻣﺗوﺳط‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ‬

‫‪5.0‬‬ ‫‪4.8‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‬‫‪.2‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫**‪1.4 2.4** 2.6‬‬ ‫**‪3‬‬ ‫‪7 2.16‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‬‫‬‫‪0.4‬‬ ‫**‪1.2 2.2** 2.4** 2.8‬‬ ‫‪6 2.096‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‬‫‬‫‬‫**‪0.8 1.8** 2.0** 2.4‬‬ ‫‪5 2.02‬‬ ‫‬‫‬‫‬‫‬‫‪1.0‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪4 1.92‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‬‫‬‫‬‫‬‫‬‫‪0.2‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪3 1.78‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‬‫‬‫‬‫‬‫‬‫‬‫‪0.4‬‬ ‫‪2 1.556‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‬‫‪c‬‬ ‫ﯾﺗﺿﺢ ﻣن ﺟدول )‪ (٨‬أن اﻟﻔروق ﻋﻠﻲ اﻟﻘطر اﻟواﺣد ﻣن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﯨﺄﻋﻠﻲ اﻟﯾﺳﺎر اﻟﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻰ‬ ‫أدﻧﻲ اﻟﯾﻣﯾن ﻟﮭﺎ ﻧﻔس ﻗﯾم ‪ p‬و ﻋﻠﻲ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﻔروق‪:‬‬ ‫‪0.2 , 0.4 , 0.8 , 1.0 , 0,2 , 0.4‬‬ ‫‪٥‬‬

‫واﻟﺗﻰ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻲ ﻗطر واﺣد ﻟﮭﺎ ‪ p = 2‬واﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣرﺟﺔ ﻟﮭذه اﻟﻔروق ھﻲ آﺧر ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﻣود‬ ‫اﻷﺧﯾر )‪ . (1.556‬أﯾﺿﺎ اﻟﻔروق‪:‬‬ ‫‪0.6 , 1.2 , 1.8 , 1.2 , 0.6‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻲ ﻗطر واﺣد وﻟﮭﺎ ‪ p = 3‬ﺗﻘﺎرن ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ ‪)1.78‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺧﺎﻣﺳﺔ( ﻓﻲ اﻟﻌﻣود اﻷﺧﯾر‪.‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ﺣﺟوم اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﻏﯾر ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﺈن طرﯾﻘﺔ ﻧﯾوﻣن ﺗﺳﻣﺢ ﺑﺈﺳﺗﺑدال ‪ n‬ﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ‬ ‫~ ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪ S Y‬ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ ‪n‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ... ‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫‪nk‬‬

‫~‬ ‫‪n‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪:(٣‬‬ ‫اﺟرﯾت ﺗﺟرﺑﺔ ﻟدراﺳﺔ ﺗﺄﺛﯾر أﻧواع ﻣن اﻷدوﯾﺔ ‪ A, B, C, D‬ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻔﺎء ﻣن ﻣرض ﻣﻌﯾن‪.‬‬ ‫وﺑﻔرض أن ‪ MSE  3.298‬واﻟﻣﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪  20‬‬ ‫وإذا ﻛﺎﻧت ‪ n 1  4, n 2  5, n 3  8, n 4  7‬وﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﻣﻌطﺎه ﻓﻲ ﺟدول )‪(٩‬‬ ‫ﺑﻌد ﺗرﺗﯾﺑﮭﺎ ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ‪.‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪2.25‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪3.75‬‬

‫ﺟدول )‪(٩‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪7.00‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪9.43‬‬

‫اﻟﻣﺗوﺳط‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬

‫‪MSE‬‬ ‫ﻧوﺟد اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻣﺗوﺳط وھو‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺳب اﻟوﺳط اﻟﺗواﻗﻔﻲ ﻟﻠﻘﯾم ‪ n1 , n 2 , n 3 , n 4‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪ S Y ‬وﺑﻣﺎ أن ﺣﺟوم اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻏﯾر ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‬

‫‪k‬‬

‫~‬ ‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2 n 3 n 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 5.5721.‬‬ ‫‪1 1 1 1 .7178571‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪4 5 8 7‬‬ ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك‪:‬‬

‫‪MSE‬‬ ‫‪3.298‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.7693.‬‬ ‫~‬ ‫‪n‬‬ ‫‪5.5721‬‬

‫‪SY ‬‬

‫‪٦‬‬

‫اﻟﻘﯾم )‪ R p , q 0.05 ( p, 20‬ﻣﻌطﺎه ﻓﻲ ﺟدول )‪.(١٠‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3.96‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3.58‬‬

‫ﺟدول )‪(١٠‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2.95‬‬

‫‪3.05‬‬

‫‪2.75‬‬

‫‪2.27‬‬

‫‪p‬‬ ‫)‪q 0.05 (p, 20‬‬ ‫‪Rp‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﺗﻠﺧﯾص اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﻧﺣو اﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻰ ﺟدول )‪.(١١‬‬

‫‪C‬‬

‫‪p‬‬

‫‪Rp‬‬ ‫‪3.05‬‬ ‫‪2.75‬‬ ‫‪2.27‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺟدول )‪(١١‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3.75‬‬ ‫‪2.25‬‬

‫*‪7.18‬‬ ‫*‪4.75‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪-‬‬

‫*‪5.68‬‬ ‫*‪3.25‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪7.00‬‬

‫*‪2.43‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫اﻟﺗرﺗﯾب‬ ‫‪ 9.43‬اﻟﻣﺗوﺳط‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ‬ ‫‪9.43‬‬ ‫‪7.00‬‬ ‫‪3.75‬‬ ‫‪2.25‬‬

‫)ج( طرﯾﻘﺔ ﺷﯾﻔﯾـﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﻣﺎ ﻛﺎن اﺧﺗﺑﺎر ﻧﯾوﻣن – ﻛﯾرﻟز )اﻟﻣدي اﻟﻣﺗﻌدد( ﻣﻔﯾد ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻛل اﻻزواج اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﺑﯾﻧﻣﺎ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻐﺎﻟب ﯾﻛون ﻣن اﻟﻣرﻏوب ﻓﯾﮫ اﺧﺗﺑﺎر ﻣﻘﺎرﻧﺎت اﺧرى ‪ ،‬وﻟذﻟك ﻓﺈن ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺑﺎﺣﺛﯾن ﯾﻔﺿﻠون‬ ‫طرﯾﻘﺔ ﺷﯾﻔﯾﮫ ‪ Scheffe‬وﻟﺗطﺑﯾق طرﯾﻘﺔ ﺷﯾﻔﯾﺔ ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻧﻌﯾن ﻛل اﻟﻣﻘﺎرﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﯾﮭﺗم اﻟﺑﺎﺣث ﺑﮭﺎ وﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﺗﮭﺎ اﻟﻌددﯾﺔ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻧوﺟد ﻗﯾﻣﺔ ) ‪ F ( 1 ,  2‬ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﻓﻲ ﻋﻧد ‪   0.05‬أو ﻋﻧد ‪  0.01‬‬ ‫ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪  2  N  k , 1  k  1‬ﺣﯾث ‪ 1‬درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ اﻟﺧﺎﺻﮫ‬ ‫ﺑﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟﺎت و ‪ k‬ﻋدد اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت و ‪  2‬درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ اﻟﺧﺎﺻﮫ‬ ‫ﺑﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت ﻟﻠﺧطﺄ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻧﺣﺳب ) ‪ A  ( k  1) F ( 1 ,  2‬وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام ) ‪ F ( 1 ,  2‬ﻣن اﻟﺧطوة‬ ‫اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻧﺣﺳب اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻛل ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﯾراد اﺧﺗﺑﺎرھﺎ وﯾﻌطﻰ ھذا اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻣن‬ ‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪A *  MSE  n i c i2 ,‬‬ ‫‪ ‬إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣطﻠﻘﺔ ﻟﻠﻣﻘﺎرﻧﺔ ‪ C‬ﻋددﯾﺎ أﻛﺑر ﻣن *‪ A.A‬ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻲ وﺟود ﻓرق‬ ‫ﻣﻌﻧوي أن * ‪ | C | A.A‬أي رﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ﺑﺄن اﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻣوﺿﻊ اﻻﺧﺗﺑﺎر‬ ‫ﺗﺳﺎوى ﺻﻔر ‪H 0 :  ci i  0 ،‬‬ ‫‪٧‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪:(٤‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (٢‬وﻻﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔرض‪:‬‬

‫‪H 0 : 3f  3e  2 b  2c  2d  0,‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪H1:‬‬ ‫ﻟﯾﺳت ‪H0‬‬ ‫ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﻲ ﺟدول )‪ (٦‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺟدول )‪.(١٠‬‬ ‫ﺟدول )‪(١٠‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬

‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ Yi. 25‬اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫اﻵن‪:‬‬

‫‪C  3(25)  3(24)  2(18)  2(10)  2(13)  65,‬‬ ‫‪ci2  (3) 2  (3) 2  ( 2) 2  (2) 2  ( 2) 2  30,‬‬ ‫‪ F0.01[6,28]  3.53‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪F‬‬ ‫])‪(k - 1) F [k  1, k ( n  1‬‬ ‫)‪(6) (3.53‬‬

‫‪A.A*  (MSE )(n ) ci2‬‬ ‫)‪ (0.8)(5)(30‬‬ ‫‪ 50.41.‬‬

‫وﺑﻣﺎ أن ‪C  65‬‬

‫ﺗزﯾد ﻋن ‪ A.A*=50.41‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض ‪. H0‬‬

‫‪٨‬‬