statistic,normal

Page 1

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ‬

‫‪Normal Distribution‬‬

‫ﯾﻌﺗﺑر اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻣن أھم اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ ﻓﻲ ﻋﻠم اﻹﺣﺻﺎء‪ ،‬ﺣﯾث‬ ‫ﯾﺻف ﻛﺛﯾرا ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟطﺑﯾﻌﺔ ‪ ،‬اﻟﺻﻧﺎﻋﺔ ‪ ،‬اﻷﺑﺣﺎث ‪.‬داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‬ ‫ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪( x  ) 2‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x) ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ 2‬‬

‫ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺗرة ‪    x  ‬ﺣﯾث ‪ e  2.71828‬و ‪   3.14159‬و ‪ ‬و ‪ ‬ھﻣﺎ‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ )اﻟﻣﺗوﺳط( واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ‪.‬ﺑﯾﺎن )‪ f(x‬ﻓﻲ ﺷﻛل )‪(٢-٤‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺷﻛل ﻧﺎﻗوس ﻣﺗﻣﺎﺛل ﺣول اﻟﻌﻣود اﻟﻣﻘﺎم ﻋﻠﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ‪.‬ﯾﻧطﺑق اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟوﺳﯾط وأﯾﺿﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻧوال‪ .‬ﯾﺗﻘﺎرب طرﻓﺎ ﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻣن اﻟﺻﻔر ﻋﻧدﻣﺎ‬ ‫‪ x  ‬أو ‪. x  ‬‬ ‫ﻷي ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻲ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)أ( اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟواﻗﻌﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻲ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﯾن اﻟﻧﻘطﺗﯾن ‪ ‬و )‪ (  ‬ﺗﻣﺛل ‪ 34.13%‬ﻣن‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ ‫)ب( اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟواﻗﻌﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﯾن اﻟﻧﻘطﺗﯾن ‪ ‬و )‪ (2  ‬ﺗﻣﺛل ‪ 47.72%‬ﻣن‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ ‫)ج( اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟواﻗﻌﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﯾن اﻟﻧﻘطﺗﯾن ‪ ‬و )‪ (3  ‬ﺗﻣﺛل ‪ 49.86%‬ﻣن‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن ﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‬

‫وﺑﻣﺎ أن اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻣﺗﻣﺎﺛل ﻓﺈن اﻟﻘﯾم اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﺗﺣﻘق ﻋﻧد طرح اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻣن‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط ‪.‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ‪:‬‬

‫‪Standard Normal Distribution‬‬

‫إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻣﺗوﺳطﮫ ﺻﻔر وﺗﺑﺎﯾﻧﮫ اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﺳﻣﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ‬ ‫اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ‪.‬ﺑﻔرض أن ‪ Z‬ﺗرﻣز ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل ﻟﮫ ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻲ ﻗﯾﺎﺳﻲ ﻓﺈن داﻟﺔ‬ ‫اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟذﻟك اﻟﻣﺗﻐﯾر ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻵﺗﻲ ‪:‬‬ ‫‪z2‬‬

‫‪1  2‬‬ ‫‪f (z) ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-  z  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ z1‬ﻋدد ﺣﻘﯾﻘﻲ ﻣوﺟب ﻓﺎن اﻻﺣﺗﻣﺎل ) ‪ ( z1  Z  0‬ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪ ،‬وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻓﻰ اﻟﻣﻠﺣق )‪. (١‬‬ ‫‪١‬‬


Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.