اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ
Normal Distribution
ﯾﻌﺗﺑر اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻣن أھم اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ ﻓﻲ ﻋﻠم اﻹﺣﺻﺎء ،ﺣﯾث ﯾﺻف ﻛﺛﯾرا ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟطﺑﯾﻌﺔ ،اﻟﺻﻧﺎﻋﺔ ،اﻷﺑﺣﺎث .داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ھﻲ : ( x ) 2 2 2
1 f (x) e 2
ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺗرة x ﺣﯾث e 2.71828و 3.14159و و ھﻣﺎ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ )اﻟﻣﺗوﺳط( واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ .ﺑﯾﺎن ) f(xﻓﻲ ﺷﻛل )(٢-٤ ﻋﻠﻰ ﺷﻛل ﻧﺎﻗوس ﻣﺗﻣﺎﺛل ﺣول اﻟﻌﻣود اﻟﻣﻘﺎم ﻋﻠﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ .ﯾﻧطﺑق اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻋﻠﻰ اﻟوﺳﯾط وأﯾﺿﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻧوال .ﯾﺗﻘﺎرب طرﻓﺎ ﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻣن اﻟﺻﻔر ﻋﻧدﻣﺎ x أو . x ﻷي ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻲ ﻓﺈن : )أ( اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟواﻗﻌﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻲ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﯾن اﻟﻧﻘطﺗﯾن و ) ( ﺗﻣﺛل 34.13%ﻣن اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ )ب( اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟواﻗﻌﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﯾن اﻟﻧﻘطﺗﯾن و ) (2 ﺗﻣﺛل 47.72%ﻣن اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ )ج( اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟواﻗﻌﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﯾن اﻟﻧﻘطﺗﯾن و ) (3 ﺗﻣﺛل 49.86%ﻣن اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن ﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ
وﺑﻣﺎ أن اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻣﺗﻣﺎﺛل ﻓﺈن اﻟﻘﯾم اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﺗﺣﻘق ﻋﻧد طرح اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻣن اﻟﻣﺗوﺳط .
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ :
Standard Normal Distribution
إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻣﺗوﺳطﮫ ﺻﻔر وﺗﺑﺎﯾﻧﮫ اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﺳﻣﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ .ﺑﻔرض أن Zﺗرﻣز ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل ﻟﮫ ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻲ ﻗﯾﺎﺳﻲ ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟذﻟك اﻟﻣﺗﻐﯾر ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻵﺗﻲ : z2
1 2 f (z) e , - z 2 إذا ﻛﺎن z1ﻋدد ﺣﻘﯾﻘﻲ ﻣوﺟب ﻓﺎن اﻻﺣﺗﻣﺎل ) ( z1 Z 0ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ،وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻓﻰ اﻟﻣﻠﺣق ). (١ ١