الاحصاءات الترتيبية by Tharwat Abdelmonem

‫اﻻﺣﺻﺎءات اﻟﺗرﺗﯾﺑﯾﺔ‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﺔ‪:‬‬ ‫اﻹﺣﺼ ــﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴ ــﺔ ﻫ ــﻲ ﻋﻨﺎﺻ ــﺮ ﻋﻴﻨ ــﺔ ﻋﺸـ ـﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺮﺗﺒ ــﺔ ﻣ ــﻦ اﻷﺻ ــﻐﺮ إﱃ اﻷﻛ ــﱪ‪ .‬وﰲ أﻏﻠ ــﺐ ﻣﻨﺎﻗﺸ ــﺘﻨﺎ‬ ‫ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﺳﻮف ﻧﻌﺘﱪ اﻟﻌﻴﻨﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻌﺎت ﻣﺘﺼﻠﺔ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺖ ‪x1  .62 , x 2  .98 , x 3  .31 , x 4  .81 , x 5  .53‬‬

‫ﻗﻴﻢ ﻣﺸﺎﻫﺪة ﻣﻦ ﲬﺲ ﳏﺎوﻻت ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻣﺎ ﻓﺈن ﻗﻴﻢ اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﻫﻲ‪:‬‬

‫‪y1  .31  y 2  .53  y3  .62  y 4  .81  y5  .98 ,‬‬

‫واﻟﻘﻴﻤــﺔ اﻟﻮﺳــﻄﻰ ﺑﻌــﺪ ﺗﺮﺗﻴــﺐ اﻟﻌﻨﺎﺻــﺮ ﻫــﻲ ‪ .62‬وﺗﺴــﻤﻰ وﺳــﻴﻂ اﻟﻌﻴﻨــﺔ ﺑﻴﻨﻤــﺎ اﻟﻔــﺮق ﺑــﲔ أﻛــﱪ ﻗﻴﻤــﺔ‬ ‫وأﺻﻐﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻫﻮ ‪ ، y 5  y1  .98  .31  .67‬ﻳﺴﻤﻰ ﻣﺪى اﻟﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧـﺖ ‪ X1 , X 2 ,, X n‬ﻋﻨﺎﺻــﺮ ﻋﻴﻨــﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣــﻦ اﳊﺠـﻢ ‪ n‬ﳐﺘــﺎرة ﻣــﻦ ﺗﻮزﻳــﻊ اﺣﺘﻤــﺎﱄ ﻣﺘﺼــﻞ‬ ‫وﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ )‪ f (x‬ﻓﺈن اﳌﺘﻐﲑات اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪Y1  Y2  ...  Yn ,‬‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻌﻴﻨﺔ ﺣﻴﺚ‪:‬‬ ‫‪Y1  Smallest of X1 ,X 2 ,...,X n ,‬‬ ‫‪Y2  Second of X1 ,X 2 ,...,X n ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Yn  Largest of X1 ,X 2 ,...,X n ,‬‬

‫ﻋﻤﻮﻣﺎ ‪ (r  1,2,, n) Yr‬ﻳﺴﻤﻰ اﻹﺣﺼﺎء اﻟﱰﺗﻴﱯ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ ‪ r‬ﻟﻠﻌﻴﻨﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ ‪. X1 , X 2 ,, X n‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ‪:‬‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ‪ Y1  Y2  ...  Yn‬ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫‪, a  y1  y 2  ...  y n  b,‬‬ ‫)‪, (elsewhere‬‬

‫) ‪n!f (y1 )f (y 2 )...f (y n‬‬ ‫‪g(y1 , y 2 ,..., y n )  ‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪. b   ,a  ‬‬ ‫‪١‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬

‫ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﳌﻨﺘﻈﻢ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ واﻟﺬي ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل‪:‬‬ ‫‪1 , 0  x  1,‬‬ ‫‪f (x)  ‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ‪ Y1  Y2  ...  Yn‬ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫‪, 0  y1  y 2  ...  y n  1,‬‬ ‫‪, e.w.‬‬

‫!‪n‬‬ ‫‪g(y1 , y 2 ,..., y n )  ‬‬ ‫‪0‬‬

‫وﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻲ اﻟﻘﻴﺎﺳﻲ واﻟﺬي ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل‪:‬‬ ‫‪e  x , 0  x,‬‬ ‫‪f (x)  ‬‬ ‫‪0 , e.w,‬‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ‪ Y1  Y2  ...  Yn‬ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ yi‬‬ ‫‪n! e ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪g(y1 , y 2 ,..., y n )  ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪, 0  y1  y 2  ...  y n  ,‬‬ ‫‪, e.w.‬‬

‫اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﻟﻬﺎﻣﺸﻴﺔ واﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﻴﺒﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﳓﺘﺎج اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﳍﺎﻣﺸﻴﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﻹﳚﺎد ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻌﺾ اﻹﺣﺼﺎءات اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻣﺜـﻞ ﺗﻮزﻳـﻊ‬ ‫اﻟﻮﺳﻴﻂ وﺗﻮزﻳـﻊ أﺻـﻐﺮ وأﻛـﱪ اﻟﻘـﻴﻢ أﻣـﺎ اﻟﺘﻮزﻳﻌـﺎت اﳌﺸـﱰﻛﺔ ﻷﺛﻨـﲔ أو أﻛﺜـﺮ ﻣـﻦ اﻹﺣﺼـﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴـﺔ ﻓﻠﻬـﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫أﳘﻴﺔ ﰲ إﳚﺎد ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﺪى اﻟﻌﻴﻨﺔ ‪ َ W  Yn  Y1‬و اﳌﺪى اﳌﺘﻮﺳﻂ ) ‪ Z  (Y1  Yn‬واﻟﱵ ﺗﺴـﺘﺨﺪم‬ ‫ﰲ اﻟﻜﺜﲑ ﻣﻦ اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎت‪.‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ‪):‬ﺗﻮزﻳﻊ أﻛﱪ اﻟﻘﻴﻢ(‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ X1 , X 2 ,, X n‬ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﻣﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ اﺣﺘﻤﺎﱄ ﻣﺘﺼﻞ‬ ‫وﻟــﻪ داﻟــﺔ ﻛﺜﺎﻓــﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴــﺔ )‪ f (x‬وﻛﺎﻧــﺖ اﳌﺘﻐ ـﲑات اﻟﻌﺸ ـﻮاﺋﻴﺔ ‪ Y1  Y2  ...  Yn‬ﲤﺜــﻞ اﻹﺣﺼــﺎءات‬ ‫اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻌﻴﻨﺔ‪ .‬ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻓﺈن ‪ Yn‬اﻹﺣﺼﺎء اﻷﻛﱪ وﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳍﺎﻣﺸﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ n f (y n )  F(y n )n 1 , a  y n  b,‬‬ ‫‪g n (yn )  ‬‬ ‫‪, e.w.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ‪):‬ﺗﻮزﻳﻊ أﺻﻐﺮ اﻟﻘﻴﻢ(‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ X1 , X 2 ,, X n‬ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﻣﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ اﺣﺘﻤﺎﱄ ﻣﺘﺼﻞ‬ ‫وﻟﻪ داﻟـﺔ ﻛﺜﺎﻓـﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴـﺔ )‪ f (x‬وﻛﺎﻧـﺖ اﳌﺘﻐـﲑات اﻟﻌﺸـﻮاﺋﻴﺔ ‪ Y1  Y2  ...  Yn‬اﻹﺣﺼـﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴـﺔ‬ ‫ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻌﻴﻨﺔ‪ .‬ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻓﺈن ‪ Y1‬اﻹﺣﺼﺎء اﻷﺻﻐﺮ وﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳍﺎﻣﺸﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ n f (y1 ) 1  F(y1 )n 1 , a  y1  b,‬‬ ‫‪g1 (y1 )  ‬‬ ‫‪, e.w.‬‬ ‫‪0‬‬

‫وﳝﻜﻦ إﳚﺎد داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ‪ Y1‬وﻫﻲ‪:‬‬

‫‪y1‬‬

‫‪F1:n (y1 )   g1 (x)dx‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪dx‬‬

‫‪y1‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪  n f (x) 1  F(x) ‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪.‬‬

‫‪n y1‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪y1  a.‬‬ ‫‪a  y1  b,‬‬ ‫‪y1  b.‬‬

‫وﻛﺬﻟﻚ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﻟـ ‪ Yn‬ﻫﻲ‪:‬‬

‫‪  1  F(x) ‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ F1:n (y1 )  1  1  F(y1 ) ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yn‬‬

‫‪Fn:n (y n )   g n (x)dx‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪dx‬‬

‫‪yn‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪ n  f (x)  F(x) ‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪.‬‬

‫‪n yn‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪y n  a,‬‬

‫‪  F(x)‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Fn:n (y n )   F(y n ) ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪a  y n  b,‬‬ ‫‪y n  b.‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ‪:‬‬

‫‪٣‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ X1 , X 2 ,, X n‬ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﻣﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ اﺣﺘﻤﺎﱄ ﻣﺘﺼﻞ‬ ‫وﻟﻪ داﻟـﺔ ﻛﺜﺎﻓـﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴـﺔ )‪ f (x‬وﻛﺎﻧـﺖ اﳌﺘﻐـﲑات اﻟﻌﺸـﻮاﺋﻴﺔ ‪ Y1  Y2  ...  Yn‬اﻹﺣﺼـﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴـﺔ‬ ‫ﻟﺘﻠﻚ اﻟﻌﻴﻨﺔ‪ .‬ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻓﺈن أي إﺣﺼﺎء ‪ (r  1,2,, n) Yr‬ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳍﺎﻣﺸﻴﺔ‪:‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪r 1‬‬ ‫‪n r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (y r )  F(y r )  1  F(y r )  , a  y r  b,‬‬ ‫‪‬‬ ‫!)‪g r (y r )   (r  1)!(n  r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪, e.w.‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻧﻈﺮﻳﺔ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ X1 , X 2 ,, X n‬ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ ‪ n‬ﻣﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ اﺣﺘﻤﺎﱄ ﻣﺘﺼﻞ‬ ‫وﻟﻪ داﻟـﺔ ﻛﺜﺎﻓـﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴـﺔ )‪ f (x‬وﻛﺎﻧـﺖ اﳌﺘﻐـﲑات اﻟﻌﺸـﻮاﺋﻴﺔ ‪ Y1  Y2  ...  Yn‬اﻹﺣﺼـﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴـﺔ‬ ‫ﻟﺘﻠــﻚ اﻟﻌﻴﻨــﺔ‪ .‬ﻋﻨــﺪﻫﺎ ﻓــﺈن أي إﺣﺼــﺎءﻳﻦ ‪ Yi , Yj‬ﲝﻴــﺚ ‪ i, j  1,2,,n , i  j‬ﳍﻤــﺎ داﻟــﺔ ﻛﺜﺎﻓــﺔ‬ ‫اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳌﺸﱰﻛﺔ‪:‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪f (yi ) f (y j )  F(yi ) ‬‬ ‫!)‪(i  1)!( j  i  1)!(n  j‬‬ ‫‪, a  yi  y j  b,‬‬

‫‪n j‬‬

‫‪1  F(y j ) ‬‬

‫‪ji 1‬‬

‫‪gij (yi , y j ) ‬‬

‫‪ F(y j )  F(yi ) ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪, e.w.‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ Y1  Y2  ...  Y6‬اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﻟﻌﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ ‪ n  6‬ﺳﺤﺒﺖ ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ‬ ‫ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪, 0  x  2,‬‬ ‫‪, e.w.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x)   2‬‬ ‫‪0‬‬

‫أوﺟﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(1) g r (y r‬‬ ‫) ‪(2) g1 (y1‬‬ ‫) ‪(3) g 6 (y 6‬‬ ‫‪(4) g1,6 (y1 , y 6 ).‬‬

‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F(x)  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪, x  0,‬‬ ‫‪, 0  x  2,‬‬ ‫‪, x  2.‬‬

‫أذن ‪:‬‬ ‫‪6r‬‬

‫‪, 0  y r  2,‬‬ ‫‪, e.w.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪r 1‬‬

‫‪yr‬‬ ‫!‪6‬‬ ‫‪ 1   yr  ‬‬ ‫‪g r (y r ) ‬‬ ‫‪    1 ‬‬ ‫‪(r  1)! (6  r)!  2   2  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫!‪6‬‬ ‫‪6 r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y r 1  2  y r ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6 r‬‬ ‫‪  (r  1)! (6  r)! 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪(1‬‬

‫وﻋﻠﻴﻪ إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ r  1‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪, 0  y1  2,‬‬ ‫‪, e.w.‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 6  2  y1 ‬‬ ‫‪g1 (y1 )   2‬‬ ‫‪0‬‬

‫)‪(2‬‬

‫وﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ r  6‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪, 0  y 6  2,‬‬ ‫‪, e.w.‬‬

‫‪6 5‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫‪g 6 (y 6 )   26 6‬‬ ‫‪0‬‬

‫)‪(3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪y ‬‬ ‫‪6!  1   1   y‬‬ ‫‪g1,6 (y1 , y 6 )       6  1 ‬‬ ‫‪4!  2   2   2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 30‬‬ ‫‪ 6  y 6  y1  , 0  y1  y 6  2,‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪, e.w.‬‬

‫)‪(4‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﻴﺒﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﻨﻌﺘــﱪ ‪ X1 , X 2 ,...,X n‬ﻣﺘﻐ ـﲑات ﻋﺸ ـﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴــﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘ ــﺔ وﻟﻜ ــﻞ ﻣﻨﻬــﺎ داﻟ ــﺔ اﻟﺘﻮزﻳ ــﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌ ــﻲ‬ ‫)‪ . F(x‬وﻟﺘﻜﻦ )‪ r  1, 2,,n , Fr:n (x‬داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ﻟﻺﺣﺼـﺎء ‪ Yr‬وﺳـﻨﺤﺎول إﳚـﺎد ﺻـﻴﻐﺔ‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ )‪ Fr:n (x‬وذﻟﻚ ﺑﺈﺳﺘﺨﺪم أرﺑﻊ ﻃﺮق ﳐﺘﻠﻔﺔ‪.‬‬ ‫‪٥‬‬

:‫اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻷوﻟﻰ‬ :‫ﺳﻨﻮﺟﺪﻫﺎ ﻣﺒﺎﺷﺮة ﺑﺎﻟﺘﻜﺎﻣﻞ واﺳﺘﺨﺪام ﻣﻔﻜﻮك ذي اﳊﺪﻳﻦ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬ x

Fr:n (x) 

 g (t)dt r



n!  (r  1)!(n  r)!

x r 1

n r

 f (t)  F(t) 1  F(t)



n r n  r   n! r 1 j  f (t) F(t) (1) j  F(t)  dt       j  (r  1)!(n  r)!  j0  x n r n  r   n! r  j1 j  (1)  f (t)  F(t) dt    (r  1)!(n  r)! j0  j   r j

n r n  r   n!  F(x) . Fr:n (x)  (1) j    (r  1)!(n  r)! j0  j  (r  j)

:‫وﻣﻨﻬﺎ ﳝﻜﻦ إﺛﺒﺎت أن‬

Fr:n ()  0, Fr:n () 

n r n  r   n! 1 (1) j    (r  1)!(n  r)! j0  j  (r  j)

1 n r n  r   n! j  (1)  x r  j1 dx    (r  1)!(n  r)! j0  j  0 1  n r  n  r   n! r 1 j j  x (  1) x    dx  (r  1)!(n  r)! 0 j j  0     1

n!  x r 1 (1  x)n r dx  (r  1)!(n  r)! 0 n! B  r,n  r  1 (r  1)!(n  r)! n! (r  1)!(n  r)!   1. (r  1)!(n  r)! n! 

:‫ ﻓﺈن‬r  n ‫وﻛﺤﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﺑﻮﺿﻊ‬

n!  F(t)  n Fn:n (x)    F(t)  . (n  1)! n

:‫أو ﳝﻜﻨﻨﺎ إﺟﺮاء اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺼﻮرة أﺧﺮى‬ x

Fr:n (x) 

 g (t)dt r



n!  (r  1)!(n  r)! n!  (r  1)!(n  r)! n!  (r  1)!(n  r)!

x r 1

 f (t) F(t)

n r

1  F(t)

 x

 f (t) 1  1  F(t) 

r 1

n r

1  F(t) 



x n r

 f (t) 1  F(t)



 r  1 j ( 1) j 1  F(t)  dt  j  j0 

r 1



x  r  1 n r  j j dt   j  (1)  f (t) 1  F(t)  j 0    n  r  j1 r 1    r  1 n! j 1  1  F(x)  Fr:n (x)  (  1)  .   (r  1)!(n  r)! j0  j  n  r  j  1   :‫ ﰲ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﺈن‬r  1 ‫وﻛﺤﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﺑﻮﺿﻊ‬

n!  (r  1)!(n  r)!

r 1

1  1  F(x)n    n  

n! F1:n (x)  (n  1)!

 1  1  F(x)  .

:‫اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ :‫ﳝﻜﻨﻨﺎ إﳚﺎد داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺟﺪاول ﺑﻴﺘﺎ اﻟﻨﺎﻗﺼﺔ واﻟﱵ ﺗﻌﺮف ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬ x

1 I x (  , )  t 1 (1  t)1 dt ,  B(, ) 0

:‫ﲟﺎ أن‬ n! Fr:n (x)  (r  1)!(n  r)!

x r 1

n r

 f (t)  F(t) 1  F(t)

dt.



:‫وﺑﺄﺧﺬ اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ‬ y  F(t)  dy  f (t)dt

 Fr:n (x) 

n!  (r  1)!(n  r)! 1 B(r,n  r  1)

F(x )



y r 1 (1  y) n r dy

F(x )



y r 1 (1  y)n r dy

 IF( x) (r,n  r  1).

:‫وﻣﻦ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ﳝﻜﻦ إﳚﺎد داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﺑﺎﻻﺷﺘﻘﺎق ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬ 1 d g r (x)  B(r, n  r  1) dx 

F(x)



y r1 (1  y) n r dy

n! r 1 n r  F(x) 1  F(x) f (x) , a  x  b. (r  1)!(n  r)!

:‫ﻣﺜﺎل‬ :‫ ﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻫﺎ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬Fr:n (x) ‫ ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻓﺈن‬X ~ U(0,1) ‫ﻟﻴﻜﻦ‬ x

n! Fr:n (x)  t r 1 (1  t) n r dt  (r  1)!(n  r)! 0 1  B(r, n  r  1)

t

r 1

(1  t) n r dt

 I x (r,n  r  1),

. Fr:n (x) ‫ﰒ ﻧﺴﺘﺨﺪم ﺟﺪاول ﺑﻴﺘﺎ اﻟﻨﺎﻗﺼﺔ ﻹﳚﺎد ﻗﻴﻢ‬

:‫اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ :‫ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﻪ ﺑﲔ داﻟﺔ ﺑﻴﺘﺎ اﻟﻨﺎﻗﺼﺔ وﳎﻤﻮع ذي اﳊﺪﻳﻦ‬Fr:n (x) ‫ﳝﻜﻦ إﳚﺎد‬ n I x (r,n  r  1)     x j (1  x) n  j. j r  j  n

:‫وﺳﻮف ﻧﱪﻫﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ‬ :‫اﻟﺒﺮﻫﺎن‬ x

n! I x (r, n  r  1)  t r 1 (1  t) n r dt  (r  1)!(n  r)! 0 x

 n  1 r 1  n  t (1  t)n r dt.   r 1 0 ٨

:‫ ﻣﻦ اﳌﺮات ﺣﻴﺚ‬n  r ‫ﺳﻨﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﻟﺘﺠﺰيء‬ u  (1  t)n r

, dv  t r1dt,

1 du  (n  r)(1  t) n r1 dt , v  t r , r x  n  1 r n  n  1 r nr I x (r,n  r  1)   x (1  x) n r  n t (1  t) n r 1 dt     r  r 1 r 0  r 1  x n r  n  1 r n r    x (1  x)   n  t (1  t)n r 1 dt  r  r  0 n  n  r 1    x r (1  x)n r   x (1  x) n r 1  r  r  1 x

 n  1 r 1  n  t (1  t)n r 2 dt   r 1 0 n  n  r 1    x r (1  x) n r   x (1  x) n r 1    r  r  1 x  n  n 1  n  1 n 1  x (1  x)  n t (1  t)0 dt      n  1  n  1 0 n  n  r 1    x r (1  x) n r   x (1  x)n r 1    r  r  1

 n  n 1  x (1  x)  x n   n  1 n n     x j (1  x) n  j. j r  j 

:‫وﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﺈن‬ Fr:n (x)  IF( x) (r, n  r  1) n n j n j      F(x) 1  F(x) . j r  j 

: ‫أو ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة‬

 n  r j n r j Fr:n (x)      F(x)  1  F(x)  . j0  r  j  n r

‫ ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ ﺗﻮزﻳـﻊ ﻣﺘﺼـﻞ ﻓﺈﻧـﻪ ﳝﻜـﻦ اﺷـﺘﻘﺎق‬X1 , X 2 ,, X n ‫وﺑﺸﻜﻞ ﻋﺎم إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ :‫ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬g r (x) ‫ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ‬Fr:n (x) ٩

d Fr:n (x) dx d  n n j n j       F(x) 1  F(x)  dx  jr  j   n 1 n   n 1 j1 n j  n f (x)  F(x)      j F(x)  1  F(x)  f (x) jr  j  n 1 n   j n  j1    (n  j)  F(x) 1  F(x)  f (x). j r  j  n n!  j  j  ( j  1)!(n  j)! ,  

g r (x) 

n n! .  j  (n  j)  ( j)!(n  j  1)!  

:‫وﺣﻴﺚ إن‬

‫ ﰲ ا ﻤ ـ ــﻮع اﻷول وﻋﻨ ـ ــﺪ‬j  r ‫ﻻﺣ ـ ــﻆ إن ﺣ ـ ــﺪود ا ـ ــﺎﻣﻴﻊ ﺳﺘﺘﻼﺷ ـ ــﻰ ﻣ ـ ــﻊ ﺑﻌ ـ ــﺾ ﻣ ـ ــﺎ ﻋ ـ ــﺪا ﻋﻨ ـ ــﺪ‬ :‫ ﰲ ا ﻤﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ‬j  n  1 n 1

g r (x)  n f (x)  F(x) 

n! r 1 n r  F(x)  1  F(x) f (x) (r  1)!(n  r)!



n! n 1  F(x)  f (x) (n  1)!(0)! n! n 1 r 1 n r  n f (x)  F(x)   F(x) 1  F(x)  f (x) (r  1)!(n  r)! 

n 1

n f (x)  F(x) 

n! r 1 n r  F(x) 1  F(x)  f (x). (r  1)!(n  r)!

:‫اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﺮاﺑﻌﺔ‬ Fr:n (x)  P(Yr  x) n j n j      F(x) 1  F(x)  j r  j  n

:‫اﻟﺒﺮﻫﺎن‬ :‫ُ ﻧﻌﺮف‬،‫ ﺛﺎﺑﺖ‬x ‫ﻟﻴﻜﻦ‬ Zi  0 , if Xi  x  1 , if Xi  x. ١٠

‫‪n‬‬

‫ﻋﻨــﺪﻫﺎ ﻓــﺈن ﻋــﺪد اﳌﺘﻐ ـﲑات اﻟــﱵ ﲢﻘــﻖ اﻟﺸــﺮط إن ‪ X i  x‬ﻫــﻮ ‪ ، W   Zi‬ﺣﻴــﺚ ‪ W‬ﻣﺘﻐــﲑ‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ذي اﳊﺪﻳﻦ ﺑﺎﳌﻌﺎﱂ )‪ n,F(x‬واﻵن‪:‬‬ ‫)‪Fr:n (x)  P(Yr  x‬‬ ‫‪n‬‬

‫)‪ P( Zi  r‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫)‪ P(W  r‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪n j‬‬ ‫‪     F(x) 1  F(x) .‬‬ ‫‪j r  j ‬‬

‫‪n‬‬

‫اﺳـﺘﻨﺪﻧﺎ ﰲ اﻟﱪﻫـﺎن اﻟﺴــﺎﺑﻖ ﻋﻠـﻰ اﳌﺴــﺎواة ﺑـﲔ اﳊـﺎدﺛﺘﲔ ‪ Yr  x‬و ‪ ،  Zi  r‬ﻷﻧــﻪ ﻋﻨـﺪﻣﺎ ﻳﻜــﻮن‬ ‫‪i 1‬‬

‫اﻹﺣﺼـﺎء اﻟﱰﺗﻴـﱯ ذو اﻟﺮﺗﺒـﺔ ‪ r‬أﻗـﻞ ﻣـﻦ أو ﻳﺴـﺎوي ‪ x‬ﻓﺈﻧـﻪ ﻣـﻦ اﳌﺆﻛـﺪ أن ﻋـﺪد ‪ X i‬أﻗـﻞ ﻣـﻦ أو ﻳﺴــﺎوي ‪x‬‬ ‫‪n‬‬

‫أﻛﱪ ﻣﻦ أو ﻳﺴـﺎوي ‪ r‬أي أن ‪ .  Zi  r‬وﻳﻼﺣـﻆ إﻧـﻪ ﰲ اﻟﱪﻫـﺎن ﱂ ﻧﺸـﱰط أن ﻳﻜـﻮناﻟﺘﻮزﻳـﻊ ﻣﺘﺼـﻼً‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻟﺬا ﻓﺎﻟﺼﻴﻐﺔ ﺗﺼﻠﺢ ﻟﻠﻤﺘﻘﻄﻊ أﻳﻀﺎً‪.‬‬ ‫وﻛﺤﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ r  n‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪n j‬‬ ‫‪Fn:n (x)      F(x) 1  F(x) ‬‬ ‫‪j n  j ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫‪    F(x)  1  F(x) ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪  F(x) .‬‬

‫وﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ r  1‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪n j‬‬ ‫‪F1:n (x)      F(x) 1  F(x)‬‬ ‫‪j1  j ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪ 1     F(x)  1  F(x)‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ 1  1  F(x)  .‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻟـﺘﻜﻦ ‪ Y1  Y2    Y5‬اﻹﺣﺼـﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴـﺔ ﻟﻌﻴﻨـﺔ ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣـﻦ اﳊﺠـﻢ ‪ n  5‬ﻣﺴـﺤﻮﺑﺔ ﻣــﻦ‬ ‫ﺗﻮزﻳﻊ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎل ‪:‬‬ ‫‪١١‬‬

2 x f (x)   0

, 0  x  1, , e.w.

. P(Y4  12 ) ‫اﺣﺴﺐ‬ :‫اﻟﺤﻞ‬ 1 2

1 P(X  12 )   2x dx  , 4 0 5  5 j 5 j P(Y4  12 )      F( 12 ) 1  F( 12 )  j 4  j  4 5 0  5  1   3   5 1   3              4  4  4   5  4   4  16   0.0156. 45

:‫داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﻹﺣﺼﺎءﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺒﻴﻴﻦ‬ :‫ ﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻫﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‬Yr , Ys ‫داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءﻳﻦ‬ x  y

Fr,s (x , y) 

 g

r,s

(x, y)dydx

x   y

 x



n! . (r  1)! (s  r  1)! (n  s)!

x  y r 1

  f (x)f (y) F(x)

s  r 1

 F(y)  F(x)

n s

1  F(y) 

dydx.

 x

:‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ اﻟﺘﺎﱄ‬ t1  F(x)

t 2  F(y)

dt1  f (x)dx

dt 2  f (y)dy,

F( x ) F( y )

 Fr,s (x, y)  C

  

t1r1 (t 2  t1 )s r 1 (1  t 2 )n s dt1 dt 2

.C 

n! ‫ﺣﻴﺚ‬ (r  1)! (s  r  1)! (n  s)!

:‫ ﳝﻜﻦ إﺛﺒﺎت إن‬.‫واﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻫﻮ داﻟﺔ ﺑﻴﺘﺎ اﻟﺜﻨﺎﺋﻴﺔ اﻟﻨﺎﻗﺼﺔ‬ n

Fr,s (x, y)   js i  r

n! i ji n j  F(x)  F(y)  F(x)  1  F(y) . i!( j  i)!(n  j)! ١٢

‫أﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ x   y‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪y y‬‬

‫‪(x, y)dx dy‬‬

‫‪r,s‬‬

‫‪ g‬‬

‫‪Fr,s (x, y) ‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪ g (y)dy‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ Fs (y).‬‬

‫أﻣﺎ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﳌﺘﻐﲑات اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ اﳌﺘﻘﻄﻌﺔ وإذا ﻛﺎﻧﺖ )‪ f (x‬داﻟﺔ اﻟﻜﺘﻠﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪g r (x)  P(Yr  x) .‬‬ ‫وﳝﻜﻦ إﳚﺎدﻫﺎ ﻣﻦ داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﺘﺠﻤﻴﻌﻲ‪:‬‬ ‫)‪Fr:n (x)  IF(x) (r,n  r  1‬‬

‫ﺣﻴﺚ‪:‬‬ ‫)‪g r (x)  IF( x) (r, n  r  1)  I F(x 1) (r, n  r  1‬‬

‫وﺑﺎﳌﺜﻞ داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳌﺸﱰﻛﺔ‪:‬‬ ‫)‪g r,s (x, y)  P(Yr  x,Ys  y‬‬ ‫‪ Fr,s (x, y)  Fr,s (x  1, y)  Fr,s (x, y  1)  Fr,s (x  1, y  1).‬‬

‫اﻣﺛﻠﺔ ﻣﺗﻧوﻋﺔ‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺑﻔـرض أن ﻋﻣـر ﻣﺻــﺑﺎح ﻛﻬرﺑـﺎﺋﻰ ﻣـن ﻧــوع ﻣـﺎ ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻷﺳـﻰ ﺑﻣﺗوﺳــط ‪ ١٠٠‬ﺳـﺎﻋﺔ ‪.‬ﺑﻔــرض‬ ‫ان ‪ ١٠‬ﻣﺻ ــﺎﺑﯾﺢ ﺟﻬ ــزت ﻟﻠﻌﻣ ــل ﻓ ــﻰ آن واﺣ ــد ﻣ ــﺎ ﻫ ــو ﺗوزﯾ ــﻊ اﻟﻌﻣ ــر ﻟﻠﻣﺻ ــﺑﺎح اﻟ ــذي ﯾﻔﺷ ــل أوﻻ‬

‫وأوﺟد ‪E  Y1 ‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪١٣‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X i‬ﯾﻣﺛل اﻟﻌﻣر ﻟﻠﻣﺻﺑﺎح رﻗم ‪ i‬ﻓﺈن ] ‪ Yl  min[X 1 , ... , X 10‬وﺗﺣت ﻓرض أن‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾرات ‪ X 1 , ..., X 10‬ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪,0  x  ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(x) ‬‬ ‫‪e 100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ 0 , e .w.‬‬

‫‪i‬‬

‫‪fX‬‬

‫وداﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪,x  0‬‬

‫‪‬‬

‫‪FX (x )  1  e‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪ 0 , e .w.‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪y0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪(e‬‬ ‫‪)10 1 ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10  100 y‬‬ ‫‪e 100  ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ 100‬‬ ‫‪ 100‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f Y ( y)  10‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ 0 , e .w.‬‬

‫‪1‬‬ ‫أي أن )‪ f Y ( y‬داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل أﺳﯾﺔ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪E ( Y1 )  1 /   10.‬‬

‫‪  ‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎﻧـ ــت ‪ X1 ,..., X n‬ﻣﺗﻐﯾ ـ ـرات ﻋﺷ ـ ـواﺋﯾﺔ ﻣﺳـ ــﺗﻘﻠﺔ ﻣﺗطﺎﺑﻘـ ــﺔ اﻟﺗوزﯾـ ــﻊ ﺗﻣﺛـ ــل اﻟﺿ ـ ـراﺋب اﻟﺗـ ــﻲ ﺗـ ــم‬ ‫ﺗﺣﺻـ ــﯾﻠﻬﺎ ﻣـ ــن ‪ n‬ﻣـ ــن اﻷﺷـ ــﺧﺎص ٕواذا ﻛـ ــﺎن ‪ i  1,..., n , X i‬ﺗﺗﺑـ ــﻊ ﺗوزﯾـ ــﻊ ﺑـ ــﺎرﺗﯾو ﺑداﻟـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬

‫‪x  x0‬‬

‫‪( x 0 ) ‬‬

‫‪f X (x ) ‬‬

‫‪x  1‬‬ ‫‪ 0 , e .w.‬‬

‫أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪Yl  min[ X1 , ... , X n ] .‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y1‬ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪y  x0‬‬

‫‪  x0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪١٤‬‬

‫‪x ‬‬ ‫‪f Y ( y )   n  0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ y ‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬

‫أي أن ‪:‬‬ ‫‪, y  x0‬‬

‫‪nx 0n‬‬ ‫‪y n  1‬‬

‫‪f Y ( y) ‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ 0 , e.w.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛـﺎن ‪ X1 ,..., X n‬ﻣﺗﻐﯾـرات ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣﺳــﺗﻘﻠﺔ وﻣﺗطﺎﺑﻘـﺔ اﻟﺗوزﯾـﻊ ﺣﯾـث‬

‫)‪X i ~ UNIF(0,1‬‬

‫أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ] ‪ Y1  min[X1 , ... , X n‬؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y1‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪0  y 1‬‬

‫‪f Y (y)  n (1  y)n 1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ 0 , e .w.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ X1 , X 2 ,..., X n‬ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ وﻟﻬﺎ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Fx   1 ‬‬ ‫‪, x0‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫واذا ﻛﺎن‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪ Z  n  min X1 , X 2 ,..., X n ‬أوﺟد ﻧﻬﺎﯾﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪.Z‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫ﻟﯾﻛن‬

‫‪Y1  min X1 , X 2 ,...., X n ‬‬

‫اذن‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪FY1  y   1  1  FX  y  ‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ 1 ‬‬ ‫‪ 1  ‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪١٥‬‬

   1  z  FZ z   FY1    1    1 z  n    n z   1  1    n Lim FZ z   1  e  z

n

,z  0

n 

: ‫ﻣﻣﺎ ﯾﻌﻧﻲ أن‬

Z ~ Exp (1) . ‫ﻣﺛﺎل‬  i ‫ ﻣﺗﻐﯾ ارت ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ‬X1 , X 2 ,..., X n ‫إذاﻛﺎﻧت‬

E Y1  . ‫ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ وأوﺟد‬Yl  min[ X1 , ... , X n ] ‫أﺛﺑت أن‬

‫ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ ؟‬Y n  maxX1 , X2 ,...., Xn  ‫ﻫل‬ :‫اﻟﺣــل‬ :‫ أذن‬ i ‫ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ‬

X i ‫ﺑﻣﺎأن‬

f X i ( y)   i e   i y , y  0 y

FX i (y)    ie i x dx  ei x 0

y 0

 1  e i y

:‫ﺑﻣﺎ أن‬ n

FY1 (y)  1   1  FXi (y)  i 1 1

 1   1  (1  ei y )  i 1





 1   e i y  1  e i 1

i y i 1

: ‫ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻲ ﺣﯾث‬Y1 ‫أي أن‬ n

  f Y1  y      i   i1  ١٦

 n    i  y    i 1 



   1  1  ,E(Y1 )  n Y1 ~ Exp  n   i    i   i1  i 1 n

FYn (y)   FXi  y    (1  ei y ) i1

i 1

f Yn  y   n

d 1  e i y    dy i1





   1  e   i y  je j 1 i  j

 jy



. ‫ ﻻﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ‬Yn ‫أى أن‬

1 : ‫ ﻓﺎن‬  Xi ~ Exp ‫وﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﻣﺗﻐﯾرات ﻣﺗطﺎﺑﻘﺔ ﺣﯾث‬  n

f Yn  y    j1

 1  e    e   j y

 i y

i j



 e  1  e 

  1  e  y j 1

 n  e - y

n 1

 y

  y n 1

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻣﺗﻐﯾ ـ ـران ﻋﺷ ـ ـواﺋﯾﺔ ﻣﺳـ ــﺗﻘﻠﺔ وﻣﺗطﺎﺑﻘـ ــﺔ ﺗﺗﺑـ ــﻊ اﻟﺗوزﯾـ ــﻊ اﻟﻣﻧـ ــﺗظم‬

X1 , X 2 ,..., X n

‫إذاﻛﺎﻧـ ــت‬

. Yn  max  X 1, X 2,..., X n  ‫ أوﺟد داﻟﺔ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬X~UNIF(0.1) :‫اﻟﺣــل‬ f Xi  x   1

0  x 1 y

FX (y)   dy  y 0





Fy n y   F X y  n  y n  y n f y n  y   n y n 1

١٧