اﻻﺣﺻﺎء واﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ Mathematica ﺗﺎﻟﯾف اﻟدﻛﺗورة ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم ﻣﺣﻣد اﺳﺗﺎذ ﻣﺷﺎرك ﺟﺎﻣﻌﺔ اﻟدﻣﺎم – ﻛﻠﯾﺔ اﻟﻌﻠوم ﺑﺎﻟدﻣﺎم ﻗﺳم اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت )ﺳﺎﺑﻘﺎ( ٢٠١٣م
١
٢
اﻟﻰ ﺳﻔﯾر اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ ﻓﻰ ﻣﺻر اﻟﻣﻛرم ﺳﻌﺎدة اﻻﺳﺗﺎذ اﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻌزﯾز ﻗطﺎن ٕواﻟﻰ اﻟﻣﻛرم ﺳﻌﺎدة اﻟدﻛﺗور ﻣﺣﻣد اﻟﻌرﯾﻔﻰ ٕواﻟﻰ اﻟﻣﻛرم ﺳﻌﺎدة اﻟﺷﯾﺦ ﻋﺎﺋض اﻟﻘرﻧﻰ وذﻟك ﻟﺣﺑﻬم اﻟﺻﺎدق ﻟﻣﺻر اﻟﺣﺑﯾﺑﺔ واﯾﺿﺎ اﻫدى ﻛﺗﺎﺑﻰ إﻟﻰ اﺧﻰ ﻓﻰ اﷲ اﻟﻣﻛرم ﺳﻌﺎدة اﻻﺳﺗﺎذ اﻟدﻛﺗور ﻋﺑد اﻟرﺣﻣن ﻣﺣﻣد اﺑو ﻋﻣﺔ ٕواﻟﻰ اﺧﻰ ﻓﻰ اﷲ اﻟﻣﻛرم ﺳﻌﺎدة اﻻﺳﺗﺎذ اﻟدﻛﺗور ﻣﺣﻣد اﺑراﻫﯾم ﻋﻘﯾل وذﻟك ﻟﺣﺑﻬﻣﺎ اﻟﺻﺎدق ﻟﻣﺻر اﻟﺣﺑﯾﺑﺔ و ﻟﻣﺎ ﻗدﻣﺎﻩ ﻟﻰ ﻣن ﺗﺷﺟﯾﻊ ﺧﻼل اﻗﺎﻣﺗﻰ ﻓﻰ اﻟﺳﻌودﯾﺔ واﺧﯾرا اﻟﻰ ﻛل ﻣن ﯾﻌﻣل ﺑﺟد ﻟﺻﺎﻟﺢ اﻟﻌﺎﻟم ﺑﺎﻛﻣﻠﻪ وﻻ ﯾﺑﻐﻰ اﻻ وﺟﻪ اﷲ د .ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم
٣
ﺑﺳم اﷲ اﻟرﺣﻣن اﻟرﺣﯾم ﺗﻣﻬﯾد اﻟﺣﻣـد ﷲ رب اﻟﻌــﺎﻟﻣﯾن واﻟﺻـﻼة واﻟﺳــﻼم ﻋﻠـﻰ أﺷــرف اﻟﻣرﺳـﻠﯾن ﻣﺣﻣــد وﻋﻠـﻰ آﻟــﻪ وﺻــﺣﺑﻪ أﺟﻣﻌﯾن .أﻣﺎ ﺑﻌد ،ﻓﺎﻟﺣﻣد ﷲ اﻟـذي ﻫـداﻧﺎ وﻣـﺎ ﻛﻧـﺎ ﻟﻧﻬﺗـدي ﻟـوﻻ أن ﻫـداﻧﺎ اﷲ اﻟـذي أﻧﻌـم ﻋﻠـﻲ ﺑﻛﺗﺎﺑـﺔ
ﻫذا اﻟﻛﺗﺎب ﺗﻠﺑﯾﺔ ﻟﻧداء اﻟﺗﻌرﯾب اﻟذي ﯾﺗﺑﻧﺎﻩ اﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻌﻠﻣﺎء واﻟﻣﺛﻘﻔﯾن.
ﯾﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ Mathematicaﻗطﺎﻋﺎ ﻛﺑﯾ ار ﻣن اﻟﺗﺧﺻﺻـﺎت اﻟﻌﻠﻣﯾـﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔـﺔ ﺣﯾــث ﯾﻘــوم ﺑــﺈﺟراء اﻟﻌﻣﻠﯾــﺎت اﻟﺣﺳــﺎﺑﯾﺔ اﻟﻌددﯾــﺔ Numerical Calculationsاﻟﻣﺗﻌــﺎرف ﻋﻠﯾﻬــﺎ
ﻣﺛ ــل اﻟﺟﻣ ــﻊ واﻟط ــرح واﻟﻘﺳ ــﻣﺔ وﺣﺳ ــﺎب اﻻﺳ ــس واﻟﻠوﻏﺎرﺗﻣ ــﺎت و اﻟ ــدوال اﻟﻣﺛﻠﺛﯾ ــﺔ و اﻟزاﺋدﯾ ــﺔ ﺳـ ـواء
ﻟﻼﻋــداد اﻟﺣﻘﯾﻘﯾــﺔ او اﻻﻋــداد اﻟﻣرﻛﺑــﺔ وﻛــذﻟك ﯾﻘــوم ﺑــﺈﺟراء اﻟﻌﻣﻠﯾــﺎت اﻟرﯾﺎﺿــﯾﺔ اﻟرﻣزﯾــﺔ Symbolic اﻟﻣﺗﻌﺎرف ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻓﻰ ﻓروع ﻛﺛﯾرة ﻣن اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻣﺛل اﻟﺟﺑـر اﻟﺧطـﻰ واﻻﺣﺻـﺎء واﻟﺗﻔﺎﺿـل واﻟﺗﻛﺎﻣـل واﻟ ــدوال اﻟﺧﺎﺻ ــﺔ واﻟﻣﻌ ــﺎدﻻت اﻟﺗﻔﺎﺿ ــﻠﯾﺔ واﻟﺗﺣﻠﯾ ــل اﻟﻌ ــددى واﻟﺑرﻣﺟ ــﺔ اﻟﺧطﯾ ــﺔ .ﻛﻣ ــﺎ ﯾﻘ ــوم ﺑرﺳ ــم
اﻟ ــدوال ﺳـ ـواء اﻟﻣﺑﺎﺷـ ـرة او اﻟﺑﺎراﻣﺗرﯾ ــﺔ ﻓ ــﻰ ﺑﻌ ــدﯾن او ﺛ ــﻼث اﺑﻌ ــﺎد .ﻛﻣ ــﺎ ﯾﻣﻛ ــن اﺳ ــﺗﺧدام ﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻛﻠﻐﺔ ﺑرﻣﺟﺔ ﻟﻛﺗﺎﺑـﺔ ﺑـراﻣﺞ ﺗﺣـل ﻣﺷـﻛﻼت ﻛﺑﯾـرة ،ﻓـﻰ ﻣﺟـﺎﻻت ﻛﺛﯾـرة ﻣﺛـل اﻟرﯾﺎﺿـﯾﺎت واﻻﺣﺻـﺎء واﻻﺣﺗﻣــﺎﻻت ،ﯾﻌﺟــز ﺣﻠﻬــﺎ اﻣـر واﺣــد وﻫــذا ﻫــدﻓﻧﺎ ﻓــﻰ ﻫـذا اﻟﻛﺗــﺎب .وﻟﻘــد اﻋﺗﻣــدت ﻓــﻰ
وﺿ ــﻊ ﻫ ــذا اﻟﻛﺗ ــﺎب ﻋﻠ ــﻰ اﻻﺻ ــدار 5ﻟﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛ ــﺎ وﯾﻣﻛ ــن ﻟﻠﻣﺳ ــﺗﺧدم ﻻى اﺻ ــدار اﺧ ــر اﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﯾﻪ ﻻﻧﻪ ﯾﺗﻧﺎول اﻻﺳﺎﺳﯾﺎت واﻟﻣوﺟودة ﻓﻰ اى اﺻدار . ﯾﻌﺗﺑ ـ ــر ﻫ ـ ــذا اﻟﻛﺗ ـ ــﺎب ﻛﺟ ـ ــزء ﺛ ـ ــﺎﻧﻰ ﻟﻛﺗ ـ ــﺎﺑﻰ ﻣ ـ ــدﺧل ﺣ ـ ــدﯾث ﻟﻠﺑرﻣﺟ ـ ــﺔ ﺑﺎﺳ ـ ــﺗﺧدام ﺑرﻧ ـ ــﺎﻣﺞ
Mathematicaواﻟﻣﻧﺷــور ﻓــﻰ ﻣﻧﺗ ــدى اﻻﺣﺻــﺎﺋﯾﯾن اﻟﻌ ــرب ﻓــﻰ اﻟﻛﺗــب واﻟﻣ ارﺟ ــﻊ اﻟﻌرﺑﯾــﺔ واﻟﻘﺎﺑ ــل ﻟﻠﺗﺻـﻔﺢ واﻟﺗﺣﻣﯾــل و ﻟــذﻟك اﻧﺻــﺢ اﻟﺑــﺎﺣﺛﯾن ﺑﻘـراءة ﻛﺗـﺎﺑﻰ ﻣــدﺧل ﺣــدﯾث ﻟﻠﺑرﻣﺟــﺔ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام ﺑرﻧــﺎﻣﺞ Mathematicaﻗﺑـ ــل ﻗـ ـ ـراءة ﻫ ـ ــذا اﻟﻛﺗ ـ ــﺎب اﻟ ـ ــذى ﺑـ ــﯾن اﯾ ـ ــدﯾﻛم اﻻن ﻻﻧ ـ ــﻪ ﯾﺣﺗ ـ ــوى ﻋﻠ ـ ــﻰ اﻟﻣﺑ ـ ــﺎدئ اﻻﺳﺎﺳﯾﺔ.
ﻫـذا اﻟﻛﺗــﺎب ﯾﺻـﻠﺢ ﻛﻣﻘــرر ﻟطــﻼب اى ﻛﻠﯾـﺔ ﯾــدرس ﻓﯾﻬـﺎ اﻻﺣﺻــﺎء ،ﻛﻣــﺎ ﯾﺻـﻠﺢ ﻷن ﯾﻛــون ﻣﻘــر ار ﻟطــﻼب اﻟد ارﺳــﺎت اﻟﻌﻠﯾــﺎ ﻓــﻰ ﻣﺟــﺎل اﻻﺣﺻــﺎء ﻟﺗﺳــﺎﻋدﻫم ،ﻓــﻰ رﺳــﺎﻟﺔ اﻟﻣﺎﺟﺳــﺗﯾر واﻟــدﻛﺗوراﻩ ،ﻓــﻰ ﻋﻣل ﺑراﻣﺞ ﺑﻠﻐﺔ Mathematicaﻓﻰ ﻣﺟﺎل اﻟﻔرع اﻟذى ﯾﻌﻣﻠون ﻓﯾﻪ .
وﻓــﻲ وﺿــﻊ ﻫــذا اﻟﻛﺗــﺎب اﺳــﺗﻌﻧت ﺑﻌــدد ﻣــن اﻟﻣ ارﺟــﻊ واﻷﺟﻧﺑﯾــﺔ ﻛﻣــﺎ اﺳــﺗﻌﻧت ﺑﺧﺑرﺗــﻲ ﻓــﻲ
ﺗدرﯾس ﻫذا اﻟﻣﻘرر ﻟطﻼب اﻟدراﺳﺎت اﻟﻌﻠﯾﺎ ﻓﻲ ﻣرﺣﻠﺔ اﻟﻣﺎﺟﺳﺗﯾر واﻟدﻛﺗوراﻩ . وﯾﻌﺗﺑر ﻫذا اﻟﻛﺗﺎب اول ﻛﺗﺎب ﻓﻰ اﻟﻌﺎﻟم اﻟﻌرﺑﻰ ﻓـﻰ ﻫـذا اﻟﻣﺟـﺎل ﻛﻣـﺎ اﻋﺗﺑـرﻩ ﻻ ﯾﻘـل ﻋـن اﻟﻛﺗـب
اﻻﺟﻧﺑﯾﺔ وﺳوف اﺗرك اﻟﺣﻛم ﻟﻛم .وﻟﻘد اﻟﻔت ﻣن ﻗﺑل ﻛﺗـﺎب ﻓـﻰ اﻟﺑرﻣﺟـﺔ ﺑﺎﺳـﺗﺧدام اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﻓـﻰ ﻣﺟﺎل اﻻﺳﺗدﻻل اﻻﺣﺻﺎﺋﻰ وﻫو ﻓﻰ ﻣﻧﺗدى اﻻﺣﺻﺎﺋﯾﯾن اﻟﻌرب ﻓﻰ اﻟﻛﺗـب واﻟﻣ ارﺟـﻊ اﻟﻌرﺑﯾـﺔ وﻟﻣـﺎ ﻛﺎن ﻫذا اﻟﻛﺗﺎب ﯾﺣﺗﺎج اﻣﺎ اﻟﻰ ﻋﺿو ﻫﯾﺋـﺔ ﺗـدرﯾس ﻟﺷـرﺣﺔ او ان ﯾﻛـون اﻟﻣﺳـﺗﺧدم ﻋﻧـدﻩ ﻣﻌﻠوﻣـﺎت ٤
ﻋــن اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ ﻟــذﻟك اﻗــدﻣت ﻋﻠــﻰ ﺗــﺎﻟﯾف ﻣــدﺧل ﺣــدﯾث ﻟﻠﺑرﻣﺟــﺔ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام ﺑرﻧــﺎﻣﺞ Mathematica واﻟـ ــذى ﯾﺑـ ــدا ﻣـ ــن ﻧﻘطـ ــﺔ اﻟﺻـ ــﻔر وﯾﻧﺗﻬـ ــﻰ ﺑﻣﻌرﻓـ ــﺔ اﻟﺑرﻣﺟـ ــﺔ ﻓـ ــﻰ ﻣﺟـ ــﺎﻻت ﻛﺛﯾ ـ ـرة ﻣﺛـ ــل اﻟرﯾﺎﺿـ ــﯾﺎت واﻻﺣﺻﺎء .واﻻﻟﻣﺎم ﺑﺎﻟﺑرﻣﺟﺔ ﺑﺎﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺳـﻬل ﺟـدا وﯾﺣﺗـﺎج اﻟـﻰ ﻣﻣﺎرﺳـﺔ واﻟﺗـﻰ ﺗﻌطـﻰ اﻟﻣﺳـﺗﺧدم ﺧﺑ ـرة ﻓــﻰ اﻟﺗﻌﺎﻣــل ﻣــﻊ اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ واﻧــﺎ ﺗﻌﻠﻣــت ﻫــذﻩ اﻟﻠﻐــﺔ ﺑﻧﻔﺳــﻰ ﺑــﺎﻻطﻼع واﻟﻣﻣﺎرﺳــﺔ وﻋﻠﻣﺗﻬــﺎ ﻟﻛﺛﯾــر ﻣن اﻟزﻣﻼء . وﻗـد ﺳـﺗﻌﻧت ﻓـﻰ وﺿـﻊ ﻛﺗـﺎﺑﻰ ﻫـذا ﺑـﺑﻌض اﻟﺑـراﻣﺞ اﻟﺧﺎﺻـﺔ ﺑﺎﻟـدﻛﺗور Kevin Hastingsواﻟـذى
ﯾﻌﻣل ﻓﻰ ﺟﺎﻣﻌﺔ :
Galesburg Illnois
. Knox Collegeوﺗﺑـدا اﻟﻘﺻـﺔ ﻋﻧـدﻣﺎ اﺷـﺗرﯾت ﻛﺗﺎﺑـﺔ ﻣـن اﻟﻧـت
Introduction To Probability with Mathematicaواﻋﺟﺑـت ﺑـﻪ ﻻن اﻟﻛﺗـﺎب ﻟـﻪ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ
ﯾﺳــﻣﻰ KnoxProbوﻫــذا اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ ﻋﺑــﺎرة ﻋــن اﻟﻛﺗــﺎب ﻓــﻰ ﺻــورة اﻟﻛﺗروﻧﯾــﺔ وﻗــد اﺗﺻــﻠت ﺑﺎﻟــدﻛﺗور ﻻﺳــﺗﺎذﻧﻪ ﻓــﻰ اﺳــﺗﺧدام ﺑﻌــض اﻟﺑ ـراﻣﺞ وﻗــد رﺣــب ﺑﺷــدة ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ وﺗداوﻟــﻪ ﻋﻠــﻰ ان اﻛﺗــب اﻟﻣﺻدر .
ﯾﺣﺗ ــوي ﻫ ــذا اﻟﻛﺗ ــﺎب ﻋﻠ ــﻰ ﻋﺷـ ـرة ﻓﺻ ــول ،ﯾﻘ ــدم اﻟﻔﺻ ــل اﻷول ﺷ ــرح واﻓ ــﻰ ﻟﺑ ــدا اﻟﻌﻣ ــل ﺑﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ
KnoxProbواﻟﻔﺻـ ـ ـ ــول اﻟﺑﺎﻗﯾـ ـ ـ ــﺔ ﺗﻬـ ـ ـ ــﺗم ﺑﺑرﻣﺟـ ـ ـ ــﺔ ﻣواﺿـ ـ ـ ــﯾﻊ اﻻﺣﺻـ ـ ـ ــﺎء واﻻﺣﺗﻣـ ـ ـ ــﺎﻻت ﺑﺑرﻧـ ـ ـ ــﺎﻣﺞ . Mathematicaﻓﺎﻟﻔﺻــل اﻟﺛــﺎﻧﻲ
ﯾﻘــدم ﻣﻘدﻣــﺔ ﻓــﻰ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻻت ،ﺑﯾﻧﻣــﺎ ﯾﻬــﺗم اﻟﻔﺻــل اﻟﺛﺎﻟــث
ﺑــﺎﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷ ـواﺋﯾﺔ وﺗوزﯾﻌﺎﺗﻬ ــﺎ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ ،أﻣــﺎ اﻟﻔﺻ ــل اﻟ ارﺑــﻊ ﻓﯾﺗطــرق اﻟ ــﻰ ﻋــرض ووﺻ ــف اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ،و ﯾﺗطرق اﻟﻔﺻل اﻟﺧﺎﻣس إﻟﻰ اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم .اﻣﺎ اﻟﻔﺻـل اﻟﺳـﺎدس ﻓﯾﺗطـرق اﻟـﻰ
ﺑﻌــض اﻟﺗوزﯾﻌــﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌــﺔ ،واﻟﻔﺻــل اﻟﺳــﺎﺑﻊ ﯾﻬ ـﺗم ﺑــﺑﻌض اﻟﺗوزﯾﻌــﺎت اﻟﻣﺗﺻــﻠﺔ .واﻟﻔﺻــل اﻟﺛــﺎﻣن ﯾﻬﺗم ﺑﺗوﻟﯾد اﻻرﻗﺎم اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ واﻟﻣﺣﺎﻛﺎﻩ ،واﻟﻔﺻل اﻟﺗﺎﺳـﻊ ﯾﻬـﺗم ﺑﺎﺳﺎﺳـﯾﺎت ﺗﺣﻠﯾـل اﻟﺑﯾﺎﻧـﺎت اﻟﻣﺗﻌـددة، واﺧﯾ ار اﻟﻔﺻل اﻟﻌﺎﺷر ﯾﻬﺗم ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ .
ﺳــوف ﯾﻠﺣــق ﺑﺎﻟﻛﺗــﺎب ﺑرﻧــﺎﻣﺞ KnoxProbوﺑﻌــض اﻟﺑ ـراﻣﺞ اﻟطوﯾﻠــﺔ او اﻟﺟــﺎﻫزة ﻓــﻰ ﻛــل ﻓﺻــل واﻟﻣﺳــﻣﺎﻩ ﺑﺎﺳــم اﻟﻣﺛــﺎل اﻟﺗــﻰ ﺗﻧﺗﻣــﻰ اﻟﯾــﻪ ،وﺑﺻــورة ﻋﺎﻣــﺔ ﯾﻣﻛــن ﻟﻠﻣﺳــﺗﺧدم ﻻى ﺑرﻧــﺎﻣﺞ اى ﯾﺳــﺗﺑدل ﺑﯾﺎﻧﺎﺗــﺔ ﺑﺎﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟﻣوﺟــودة ﻓــﻰ اﻟﺑـراﻣﺞ ﻟﯾﺣﺻــل ﻋﻠــﻰ ﻧﺗــﺎﺋﺞ ﺗﺧﺻــﺔ ﺑــدون ﻣﻌﺎﻧــﺎﻩ ﻣﺛــل اى ﺑرﻧــﺎﻣﺞ
اﺧــر وﯾﻧﺻــﺢ ﻓــﻰ ﻛــل ﻣ ـرﻩ ﯾﺷــﻐل اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اى ﯾﺧــرج ﻣﻧــﻪ ﻗﺑــل ﺗﻧﻔﯾــذ ﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﺧــر ﻟﺗﺟــب ﺣــدوث ﻣﺷــﺎﻛل ﻓــﻰ ﺑﻌــض اﻻﺣﯾــﺎن .ﻛﻣــﺎ ﯾﻧﺻــﺢ ﻋﻧــد اﺳــﺗﺧدام اﻟﺑـراﻣﺞ اﻟﺟــﺎﻫزة اﺧــذ ﻧﺳــﺧﺔ واﻟﻌﻣــل ﻋﻠﯾﻬــﺎ ﺣﺗﻰ ﻻ ﯾﺣدث ﺗﻐﯾﯾر ﻓﻰ اﻟﺑراﻣﺞ اﻻﺻﻠﯾﺔ .
وأﺳﺄل اﷲ أن أﻛون ﻗد وﻓﻘت ﻓﻲ ﻫذا اﻟﻣﺟﻬود اﻟﻣﺗواﺿﻊ ﺧدﻣﺔً ﻟﻘﺿﺎﯾﺎ اﻟﺑﺣـث اﻟﻌﻠﻣـﻲ ﻓـﻲ
وطﻧﻧﺎ اﻟﻌرﺑﻲ.
ٕواﻧﻧﻲ أرﺣب ﺑﻛل ﻧﻘد ﺑﻧﺎء ﯾﻬدف إﻟﻰ اﻷﻓﺿل ،وﻣﺎ اﻟﻛﻣﺎل إﻻ ﷲ وﺣدﻩ. واﷲ وﻟﻲ اﻟﺗوﻓﯾق د .ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم ٥
اﻟﻔﺻـل اﻷول :ﺑدا اﻟﻌﻣل ﻣﻊ ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProb اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ :ﻣﻘدﻣﺔ ﻓﻰ اﻻﺣﺗﻣﺎل )(١ -٢
ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻻﺣداث
)(٢ -٢
طرق اﻟﻌد
)(٣ -٢
اﻻﺣﺗﻣﺎل
)(٤-٢
اﻟﺧواص اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻘﯾم اﻻﺣﺗﻣﺎل
)(٥ -٢
ﺑﻌض ﻗواﻧﯾن اﻻﺣﺗﻣﺎل
)(٦-٢
اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻰ
)(٧ -٢
اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻛﻠﻰ وﻗﺎﻋدة ﺑﯾﯾز اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث :اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ وﺗوزﯾﻌﺎﺗﻬﺎ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ
)(١-٣
اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ
)(٢ -٣
اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ )اﻟﻣﻧﻔﺻﻠﺔ(
)(٣-٣
اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ )اﻟﻣﺳﺗﻣرة( اﻟﻔﺻـل اﻟراﺑﻊ :ﻋرض ووﺻف اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت
)(١-٤
اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت واﻟﻌﯾﻧﺎت
)(٢-٤
ادﺧﺎل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ
)(٣-٤
ﻋرض اﻟرﺳوم اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ
)(٤-٤
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛرارى
)(٥-٤
ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ
)(٦-٤
اﻟرﺑﯾﻌﺎت واﻟﻌﺷﯾرات واﻟﻣﺋﯾﻧﺎت
)(٧-٤
ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗت
)(٨-٤
اﻻﻟﺗواء واﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ واﻟوﺳﯾط واﻟﻣﻧوال
)(٩-٤
ﺑﻌض ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻻﻟﺗواء واﻟﺗﻔﻠطﺢ اﻟﻔﺻـل اﻟﺧﺎﻣس :اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم
)(١-٥
اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم
)(٢ -٥
اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة اﻟﻔﺻـل اﻟﺳﺎدس :ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﻘطﻌﺔ ﺧﺎﺻﺔ
)(١ -٦
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم
)(٢-٦
ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن
)(٣-٦
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ اﻟزاﺋدى
)(٤-٦
ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ٦
)(٥ -٦
ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب اﻟﻔﺻل اﻟﺳﺎﺑﻊ :ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ ﺧﺎﺻﺔ
)(١-٧
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم
)(٢-٧
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ
)(٣-٧
ﻧﺻف اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ
)(٤-٧
ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ
)(٥-٧
ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى
)(٦-٧
ﺗوزﯾﻊ ﻛﺎى
)(٧-٧
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ
)(٨-٧
ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل
)(٩-٧
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻠوﻏﺎرﺗﻣﻲ اﻟطﺑﯾﻌﻰ
)(١٠-٧
ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ
)(١١-٧
ﺗوزﯾﻊ extreme value
)(١٢-٧
ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻰ
)(١٣-٧
ﺗوزﯾﻊ ت
)(١٤-٧
ﺗوزﯾﻊ F
)(١٥-٧
ﺗوزﯾﻌﺎت اﺧرى اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻣن :ﺗوﻟﯾد اﻻﻋداد اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ واﻟﻣﺣﺎﻛﺎﻩ
)(١-٨
ﺗوﻟﯾد )ﻣﺣﺎﻛﺎة( ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﺗﻧﺎظرﯾﺔ
)(٢-٨
ﺗوﻟﯾد )ﻣﺣﺎﻛﺎة( ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﻘطﻌﺔ
)(٣-٨
ﺗوﻟﯾد )ﻣﺣﺎﻛﺎة( ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﺗﻧﺎظرﯾﺔ
)(٤-٨
اﻟﻣﺣﺎﻛﺎة وﻧظرﯾﺔ اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ
)(٥-٨
اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺿﻌﯾف ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة
)(٦-٨
ﻗﺎﻧون اﻟﻘوة ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة
)(٧-٨
اﻟﻣﺣﺎﻛﺎة ﻓﻰ ﺣل اﻟﻣﺷﺎﻛل اﻟﻔﺻل اﻟﺗﺎﺳﻊ :اﺳﺎﺳﯾﺎت ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻌددة
)(١-٩ )(٢-٩
ﺗﻧظﯾم ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻻﺣﺻﺎﺋﯾﺎت اﻟوﺻﻔﯾﺔ اﻟﻔﺻل اﻟﻌﺎﺷر :اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ
)(١-١٠
اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ
)(٢-١٠
اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ
)(٣-١٠
اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ
)(٤-١٠
اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺷرطﯾﺔ ٧
)(٥-١٠
ﺧواص اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ
)(٦-١٠
اﻟﺗوﻗﻊ اﻟﺷرطﻰ
)(٧-١٠
اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ
)(٨-١٠
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﺛﻧﺎﺋﻰ
٨
اﻟﻔﺻل اﻻول ﺑدا اﻟﻌﻣل ﻣﻊ ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProb
٩
اﻻن ﺳوف ﻧﺷرح ﻛﯾف ﯾﻣﻛن اﻻﺳﺗﻔﺎدة ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProb واﻟذى ﯾﻌﺗﺑر ﻛﺗﺎب اﻟﻛﺗروﻧﻰ واﻟﻣرﻓق ﻣﻊ اﻟﻛﺗﺎب اﻟﺧﺎص ﺑﺎﻟدﻛﺗور )Kevin J. Hastings (2000
وﯾﻣﻛن ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑراﻣﺞ ﻋﻠﯾﻪ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ﻓﻰ اﻟﺑداﯾﺔ ﻻ ﺑد ان ﯾﻛون ﺑرﻧﺎﻣﺞ Mathematicaﻣﺣﻣﻼ ﺛم ﯾﺣﻣل ﺑرﻧﺎﻣﺞ .KnoxProb وﻟﺟﻌل ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbﻣﺗواﺻل ﻣﻊ ﺑرﻧﺎﻣﺞ Mathematicaﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ :
ﻧذﻫب اﻟﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbوﻧﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣن اﻟﻣﻠف اﻟﻣﺣدد ﻓﻰ اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ واﻟﻣﺳﻣﻰ . Utilites.m
١٠
وﻣن ﺳطﺢ اﻟﻣﻛﺗب ﻧﺧﺗﺎر Computerوﻣﻧﻪ ﻧﺧﺗﺎر ) Local Disk( Cﺛم ﻧﺧﺗﺎر اﻟدﻟﯾل Program Filesﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
وﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟدﻟﯾل Program Filesﻣن اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗظﻬر ﻟﻧﺎ اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ وذﻟك ﺑﻌد ﺗﺣدﯾد اﻟدﻟﯾل اﻟرﺋﯾﺳﻰ ﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ واﻟﻣﺳﻣﻰ : : WolfResearch
١١
وﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟدﻟﯾل WolfResearchﻣن اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ
ﺗظﻬر اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﻌد ﺗﺣدﯾد اﻟدﻟﯾل : Mathematica
وﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟدﻟﯾل Mathematicaﻣن اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗظﻬر اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﻌد ﺗﺣدي اﻟدﻟﯾل : 5.0
وﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟدﻟﯾل 5.0ﻣن اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﻌد ﺗﺣدﯾد اﻟدﻟﯾل : AddOns
١٢
وﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟدﻟﯾل AddOnsﻣن اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﻌد ﺗﺣدﯾد اﻟدﻟﯾل : ExtraPackage
وﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟدﻟﯾل ExtraPackageﻣن اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﻌد ﻋﻣل دﻟﯾل ﺑﺎﺳم KnoxProbوﺑﻌد ﺗﺣدﯾدﻩ :
اﻻن ﯾﺗم ﺗﺣﻣﯾل اﻟﻣﻠف Utilites.mﻓﯾﻪ ،واﻟﻣﺎﺧوذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣﻧﻪ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProb ) ﻛﻣﺎ ﺳﺑق ان وﺿﺣﻧﺎ( ،ﻓﻰ اﻟدﻟﯾل KnoxProbاﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ .
واﺧﯾ ار ﻧﺑدا ﻓﻰ ﺗﺷﻐﯾل KnoxProbﻣن اﻟدﻟﯾل اﻟﻣوﺟود ﺑﻪ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ KnoxProb ﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
١٣
ﻓﺗظﻬر ﻟﻧﺎ ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺑﻣﺣﺗوﯾﺎت اﻟﻛﺗﺎب) اى اﻟﻔﺻول اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠﻛﺗﺎب( ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ :
١٤
ﻧﺧﺗﺎر ﻣﻧﻬﺎ اﻟﻔﺻل اﻟﻣطﻠوب اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻌﻪ ،ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اذا ﻛﺎن اﻫﺗﻣﺎﻣﺎ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻧﺿﻐط ﻋﻠﻰ Sec2.1ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
اى اﻟوﺻـول اﻟـﻰ اﻟﺟـزء 2.1ﻣـن ) Chapter 2اﻟﻔﺻـل اﻟﺛـﺎﻧﻰ( واﻟﺧـﺎص ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌـﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌـﺔ واﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وﯾﻣﻛن ﺗﺻﻔﺣﻪ ﻛﻣﺎ ﺳﻧوﺿﺢ ﻋﻧد اﺳﺗﺧداﻣﻪ:
١٥
اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣﻘدﻣﺔ ﻓﻰ اﻻﺣﺗﻣﺎل
١٦
)٢ـ (١ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻷﺣداث
Sample Space and Events
ﺗُﺟرى اﻷﺑﺣﺎث ﻓﻲ ﻣﺟﺎﻻت ﻛﺛﯾرة ،ﻓﻔ ﻲ ﻣﺟ ﺎل اﻟط ب ﻗ د ﯾﮭ ﺗم ﺑﺎﺣ ث ﺑدراﺳ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر دواء ﻣرض ﻣﺎ ،وﻓﻲ ﻣﺟ ﺎل اﻻﻗﺗﺻ ﺎد ﻗ د ﯾﮭ ﺗم ﺑﺎﺣ ث ﺑدراﺳ ﺔ أﺳ ﻌﺎر ﺛ ﻼث ﺳ ﻠﻊ ٍ ﻣﻌﯾن ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻔﺎء ﻣن ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻓﻲ ﻓﺗرات زﻣﻧﯾﺔ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ،وﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻟزراﻋﺔ ﻗ د ﯾﮭ ﺗم ﺑﺎﺣ ث ﺑدراﺳ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر ﺳ ﻣﺎد ﻛﯾﻣ ﺎﺋﻲ ﻋﻠ ﻰ ﻛﻣﯾ ﺔ اﻟﻣﺣﺻ ول .اﻟطرﯾ ق اﻟوﺣﯾ د ﻟﻠﺑﺎﺣ ث ﻟﻠﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﻣﻌﻠوﻣ ﺎت ﻋ ن اﻟظ ﺎھرة ﻣوﺿ ﻊ اﻟدراﺳﺔ ھو إﺟراء ﺗﺟرﺑﺔ experimentوھﻰ أي إﺟراء ﻧﺣﺻل ﺑﮫ ﻋﻠﻰ ﺑﯾ ﺎن )ﻣﺷ ﺎھدة( ﺳ واء ﻓﻲ اﻟطﺑﯾﻌﺔ أو ﻓﻲ اﻟﻣﻌﻣل وھذا اﻟﺑﯾﺎن ﻗد ﯾﻛون رﻗﻣﻲ أو وﺻﻔﻰ . ﻧﺟد ﻓﻲ ﻣﻌظم اﻟﺣﺎﻻت أن ﻧﺗﯾﺟ ﺔ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ﺗﻌﺗﻣ د ﻋﻠ ﻰ ﻋواﻣ ل اﻟﺻ دﻓﺔ ) ﻋواﻣ ل ﺧﺎرﺟ ﺔ ﻋن إرادة اﻟﺑﺎﺣث أي ﻓﻲ ﻋﻠم ﷲ( وﻻ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻧﺑؤ ﺑﮭﺎ ﺑﺷﻲء ﻣن اﻟﺗﺄﻛﯾد ،وﻟﻛ ن ﯾﻣﻛ ن وﺻ ف ﻓﺋ ﺔ ﻛل اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﮭﺎ ﻗﺑل إﺟراﺋﮭﺎ. ﺗﻌرﯾف :اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻲ ﻋﻧﺎﺻرھﺎ ﺗﻣﺛل ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻧواﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﺗﺳﻣﻰ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ.
ﻣﺛﺎل)(١-٢ ﺑﻔرض ﻟدﯾﻧﺎ اﻻرﻗﺎم 1,2,3,4,5واﻟﻣطﻠوب ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟذى ﯾﻣﺛل ﻋرض ﻟﻛل اﻟﻔﺋﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ رﻗﻣﯾن ﻣن ﺗﻠك اﻻرﻗﺎم ﻣﻊ اﻻھﺗﻣﺎم ﺑﺗرﺗﯾب اﻟﻌﻧﺎﺻر داﺧل اﻟﻔﺋﺔ .
اﻟﺣـل: وﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺣل ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ : ﻧﺑدا ﻓﻰ ﺗﺷﻐﯾل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣن اﻟدﻟﯾل اﻟﻣﺣﻔوظ ﻓﯾﻪ ﺣﯾث ﺗظﻬر ﻟﻧﺎ ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺑﻣﺣﺗوﯾﺎت اﻟﻛﺗﺎب) اى اﻟﻔﺻول اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠﻛﺗﺎب ( ﺛم ﻧﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﺟزء sec1.2ﻓﺗظﻬر اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
١٧
وﺑﺗﺻﻔﺢ اﻟﺟزء sec1.2ﺣﺗﻰ ﻧﺻل اﻟﻰ اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:
ﺣﯾث ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻣن اﻟﺟزء اﻟرﻣﺎدى ﻟﺗﺣدﯾدﻩ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ :
ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠـﻰ kernelﻣـن ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ evaluate cellوﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : ١٨
ﻓﻧﺿﻐط okﻓﯾظﻬر اﻟﺣل :
وﯾﻣﻛن ﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻟﻣﺛﺎل اﺧر ﻓﻣﺛﻼ اذا ﻛﺎن اﻟﻣطﻠ وب ﻓﺿ ﺎء اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟ ذى ﯾﻣﺛ ل ﻋ رض ﻟﻛ ل اﻟﻔﺋﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﻋﻧﺎﺻر ﻣن ﺗﻠك اﻟﻌﻧﺎﺻر اﻻرﺑﻌﺔ ﻣﻊ اﻻھﺗﻣ ﺎم ﺑﺗرﺗﯾ ب اﻟﻌﻧﺎﺻ ر داﺧل اﻟﻔﺋﺔ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ :
وداﺋﻣﺎ ﯾﻔﺿل ﻋدم اﺟراء ﺗﻐﯾﯾ ر ﻓ ﻰ ﺑرﻧ ﺎﻣﺞ KnoxProbﺣﯾ ث ﯾﺎﺧـذ ﻧﺳـﺧﺔ ﻣـن اﻟﺟـزء اﻟرﻣـﺎدى ﻣــن اﻟﺷﺎﺷــﺔ اﻟﺳــﺎﺑﻘﺔ )ﺑﻌــد ﺗﻧﻔﯾــذ اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻻﺻ ــﻠﯾﺔ وﻗﺑــل اﺟ ـراء ﺗﻐﯾﯾ ـر ﻓــﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟﺗــﻰ ﺗﺧ ــص اﻟﻣﺳــﺗﺧدم( ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻻﻣــر Copyوﺗﻧﻘــل اﻟــﻰ ﻣﻠــف ﺟدﯾــد ﻓــﻰ ﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛــﺎ وﯾ ﺗم ﺗﻐﯾﯾ ر
١٩
اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻟ ﺗﺧص ﻣﺛﻠﻧ ﺎ ﺛ م اﻟﺗﻧﻔﯾــذ ﻓــﻰ ﺑرﻧــﺎج اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛــﺎ وذﻟــك ﺑﺎﻟﺿــﻐط ﻋﻠــﻰ kernelﻣــن ﻗﺎﺋﻣــﺔ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺛم ﻋﻠﻰ evaluate cellﻓﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ .
ﻓﻧﺿﻐط okﻓﺗظﻬر ﻧﻔس اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ وﻋﻧد اﻟﺧروج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
وﻧﺿﻐط Don'tsaveوذﻟك ﺣﺗﻰ ﻻ ﯾﺣدث ﺗﻐﯾﯾر ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ . ﺗﻌرﯾف :ﯾﺳﻣﻰ أي ﻋﻧﺻر ﻓﻲ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻧﻘطﺔ ﻋﯾﻧﺔ . sample point ﺗﻌرﯾف :اﻟﺣﺎدﺛﺔ eventھﻲ أي ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣن ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ. ﺗﻌرﯾ ف :إذا ﻛﺎﻧ ت اﻟﻔﺋ ﺔ اﻟﺟزﺋﯾ ﺔ ﺗﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ﻋﻧﺻ ر واﺣ د ﻓﻘ ط ﺗﺳ ﻣﻰ ﺣﺎدﺛ ﺔ ﺑﺳ ﯾطﺔ simple ٠eventأﻣ ﺎ اﻟﺣﺎدﺛ ﺔ اﻟﻣرﻛﺑ ﺔ compound eventﻓﮭ ﻲ اﻟﺗ ﻲ ﺗﻧ ﺗﺞ ﻣ ن اﺗﺣ ﺎد أﺣ داث ﺑﺳﯾطﺔ.
ﻣﺛﺎل)(٢-٢ أﻟﻘﯾت ﻋﻣﻠﺗﯾن ﻣرة واﺣدة اذﻛر اﻟﺣﺎدﺛﺔ: )ب( ظﮭور ﻛﺗﺎﺑﺔ واﺣدة ﻋﻠﻰ اﻷﻗل . )أ( ظﮭور ﻛﺗﺎﺑﺔ واﺣدة.
اﻟﺣــل: )أ( })) A = {(TH),(HTﺣﯾث Tﺗﻌﻧﻰ ﻛﺗﺎﺑﺔ و Hﺗﻌﻧﻰ ﺻورة ( )ب( })B = {(TH),(HT),(TT
٢٠
ﻣﺛﺎل)(٣-٢ ﻟﻠﻣﺛﺎل ) (١-٢ﻓﺎن ﻛل اﻻﺣداث اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل ﻋرض ﻟﻛل اﻟﻔﺋ ﺎت اﻟﺗ ﻰ ﺗﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ﺛ ﻼث ارﻗ ﺎم ﻣ ﺎﺧو ذة ﻣ ن اﻻرﻗ ﺎم 1,2,3,4,5ﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﻣ ن ﺑرﻧ ﺎﻣﺞ KnoxProbواﻟﻣﺳﻣﺎه ) (Hﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
وذﻟك ﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﻰ ﻧﻔس اﻟﺟزء sec1.2ﻣن اﻟﻛﺗﺎب .ﯾﻼﺣظ ﻣن اﻟﺣل ظﮭور اﻟﻔﺋﺔ }{ وھذه ﺗﻣﺛل اﻟﺣﺎدﺛﺔ اﻟﻣﺳﺗﺣﯾﻠﺔ اﻟﺣدوث ،اى ﺗﻣﺛل اﻟﻔﺋﺔ اﻟﻔﺎرﻏﺔ . ﺗﻌرﯾف: ﯾﻘﺎل أن A , Bﺣﺎدﺛﺗﺎن ﻣﺎﻧﻌﺗﺎن ) ﻣﺗﻧﺎﻓﯾﺗﺎن( exclusive eventsإذا ﻛﺎن وﻗوع إﺣداھﻣﺎ ﯾﻣﻧﻊ وﻗوع اﻵﺧر وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓﺈن . A B
ﻣﺛﺎل)(٤-٢ ٢١
ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء زھ رة ﻧ رد ﻣ رة واﺣ دة ،ﻣ ﺎ ھ ﻲ ﺣﺎدﺛ ﺔ ظﮭ ور رﻗ م زوﺟ ﻲ وﻣ ﺎ ﺣﺎدﺛ ﺔ ظﮭ ور رﻗ م ﻓردي؟ وھل اﻟﺣﺎدﺛﺗﯾن ﻣﺗﻧﺎﻓﯾﺗﯾن؟
اﻟﺣــل: ﺣﺎدﺛﺔ ظﮭور رﻗم زوﺟﻲ ھﻲ } A {2,4,6وﺣﺎدﺛﺔ ظﮭور رﻗم ﻓردى ھﻲ }B {1,3,5 و A B .وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن Aو Bﺣﺎدﺛﺗﺎن ﻣﺎﻧﻌﺗﺎن.
) (٢ – ٢طرق اﻟﻌد
Counting Methods
ﻧظرﯾ ﺔ :إذا أﻣﻛ ن إﺟ راء ﻋﻣﻠﯾ ﺔ ﻣ ﺎ ﺑط رق ﻋ ددھﺎ n1وإذا أﻣﻛ ن إﺟ راء ﻋﻣﻠﯾ ﺔ ﺛﺎﻧﯾ ﺔ ﺑط رق ﻋددھﺎ n 2و ...وإذا أﻣﻛن إﺟراء ﻋﻣﻠﯾﺔ kﺑطرق ﻋددھﺎ ، n kﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن إﺟراء ھ ذه اﻟﻌﻣﻠﯾ ﺎت ﻣﻌﺎ ﺑطرق ﻋددھﺎ . n1 n 2 ... n k
ﻣﺛﺎل)(٥-٢ ﺷرﻛﺔ طﯾران ﻟﮭﺎ ﺳت رﺣﻼت ﻣ ن ﺑﻠ د Aإﻟ ﻰ Bوﺳ ﺑﻊ رﺣ ﻼت ﻣ ن Bإﻟ ﻰ ) Cﯾوﻣﯾ ﺎ ً( ﻣ ﺎ ﻋدد اﻟرﺣﻼت اﻟﺗﻲ ﺗﻧﺟزھﺎ ﯾوﻣﯾﺎ ً ﻣن Aإﻟﻰ C؟
اﻟﺣــل: 6
7
A B C
n1 6 , n 2 7 إذن ﻋدد اﻟرﺣﻼت اﻟﻣﻧﺟزة ﯾوﻣﯾﺎ ً ﯾﺳﺎوي: n1 n 2 6 7 42. ﻋﺎدة ﯾﻛون اﻻھﺗﻣﺎم ﺑﻔراغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟ ذي ﻋﻧﺎﺻ ره ﻛ ل اﻟﺗرﺗﯾﺑ ﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻟﻣﺟﻣوﻋ ﺔ ﻣ ن اﻷﺷ ﯾﺎء٠ ﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ،ﻗ د ﻧﮭ ﺗم ﺑﻣﻌرﻓ ﺔ ﻋ دد اﻟﺗرﺗﯾﺑ ﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻟﺟﻠ وس ﺳ ﺗﺔ أﺷ ﺧﺎص ﻋﻠ ﻰ ﻣﺎﺋ دة ﻣﺳﺗدﯾرة ٠اﻟﺗرﺗﯾﺑﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﺗﺳﻣﻰ ﺗﺑﺎدﯾل ٠ Permutations ﺗﻌرﯾف :اﻟﺗﺑدﯾل ھﻲ ﺗرﺗﯾب ﻟﻛل أو ﺟزء ﻣن ﻓﺋﺔ ﻣن اﻷﺷﯾﺎء. ﻧظرﯾﺔ : ﻋدد ﺗﺑﺎدﯾل nﻣن اﻷﺷﯾﺎء اﻟﻣﻣﯾزة ﻣﺄﺧوذة ﺟﻣﯾﻌﺎ ﻓﻲ ﻧﻔس اﻟوﻗت ھو !. n
ﻣﺎ ﻋدد اﻟطرق اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﺷﺧص داﺧل ﻣﺣل ﻣﻼﺑس ﻻﺧﺗﯾﺎر رﺑطﺔ ﻋﻧق وﻗﻣ ﯾص إذا ﺗ وﻓر ﻟ ﮫ 4أرﺑطﺔ ﻋﻧق و 5ﻗﻣﺻﺎن ﻓﻲ اﻟﻣﺣل؟
اﻟﺣــل: ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر رﺑطﺔ اﻟﻌﻧق ﯾﺳﺎوي: n1 4
ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر اﻟﻘﻣﯾص ﯾﺳﺎوي: n 2 5.
إذن ﻋدد اﻟطرق ﯾﺳﺎوي: ٢٢
n1n 2 =4 5 20.
ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾ ﺎن ﻗ د ﯾﻛ ون اﻻھﺗﻣ ﺎم ﺑﻌ دد اﻟﺗﺑﺎدﯾ ل ﻷﺷ ﯾﺎء ﻣﻣﯾ زة ﻋ ددھﺎ nﻣ ﺄﺧوذة rﻓ ﻲ ﻛ ل ﻣرة .ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋدد ﺗﺑﺎدﯾل اﻟﺣروف a,b,cﻣﺄﺧوذة اﺛﻧﯾن ﻓﻲ ﻛل ﻣرة ھو : ab ba ac ca bc cb . ﻧظرﯾﺔ : ﻋدد ﺗﺑﺎدﯾل nﻣن اﻷﺷﯾﺎء اﻟﻣﻣﯾزة ﻣﺄﺧوذة rﻓﻲ ﻛل ﻣرة ھو-: !n P(n,r) n (n 1) (n r 1) . !)(n r
ﻣﺛﺎل)(٧-٢ ﺑﺎﻟرﺟوع اﻟﻰ ﻣﺛﺎل ) (١-٢ﺣﯾث ﻟدﯾﻧﺎ اﻻرﻗﺎم 1,2,3,4,5واﻟﻣطﻠوب ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟذى ﯾﻣﺛل ﻋرض ﻟﻛل اﻟﻔﺋﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ رﻗﻣﯾن ﻣن ﺗﻠك اﻻرﻗﺎم ﻣﻊ اﻻھﺗﻣﺎم ﺑﺗرﺗﯾب !n !5 ﻛﻣﺎ ﻓﻰ اﻟﻌﻧﺎﺻراﻻرﻗﺎم داﺧل اﻟﻔﺋﺔ وﺑﻌد ﻋدد اﻟطرق ﻧﺟدھﺎ 20 !)(n r)! (5 2 اﻟﻣﺛﺎل . ﯾراد أﺣﯾﺎﻧﺎ ﻣﻌرﻓﺔ ﻋدد ﺗﺑﺎدﯾل ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻷﺷﯾﺎء ﯾﻛ ون ﺑﻌﺿ ﮭﺎ ﻣﺗﻣ ﺎﺛﻼ وﺗﻧ ﺗﺞ اﻟﺻ ﯾﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣ ﺔ ﻟﮭذا اﻟﻌدد ﻣن اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ. ﻧظرﯾﺔ : n n n ﻋدد اﻟﺗﺑﺎدﯾ ل اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻷﺷ ﯾﺎء ﻋ ددھﺎ nﺣﯾ ث 1ﻣ ن ﻧ وع و 2ﻣ ن ﻧ وع ﺛ ﺎﻧﻲ و…و kﻣ ن اﻟﻧوع رﻗم kھو: !n . ! n1 !n 2 !...n k
ﻣﺛﺎل)(٨-٢ إذا ﻟﻌب ﻓرﯾق ﻛرة اﻟﻘدم ﺛﻣﺎﻧﯾﺔ ﻣﺑﺎرﯾﺎت ﺧﻼل اﻟﻣوﺳ م ﺑﻛ م طرﯾﻘ ﺔ ﯾﺳ ﺗطﯾﻊ اﻟﻔرﯾ ق ﻓ ﻲ ﻧﮭﺎﯾ ﺔ اﻟﻣوﺳم أن ﯾﻛﺳب 4وﯾﻔﻘد 3وﯾﺗﻌﺎدل 1؟
اﻟﺣــل: ﻋدد اﻟطرق ﯾﺳﺎوي:
!8 40320 = = 280 !4! 3! 1 144 ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : .
8 4 31 280
ﻧظرﯾﺔ : ٢٣
ﻋدد اﻟطرق ﻟﺗﺟزﺋﺔ ﻓﺋﺔ nﻣن اﻷﺷﯾﺎء إﻟﻰ rﻣن اﻟﺧﻼﯾﺎ ﺑﻌﻧﺎﺻر ﻋددھﺎ n1ﻓ ﻲ اﻟﺧﻠﯾ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ و n 2ﻣن اﻟﻌﻧﺎﺻر ﻓﻲ اﻟﺧﻠﯾﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ و ...و n rﻣن اﻟﻌﻧﺎﺻر ﻓﻲ اﻟﺧﻠﯾﺔ رﻗم rﯾﻛون: !n . ! n1 !n 2 !...n r ﺣﯾث: n1 n 2 ... n r n ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻟ ﺗﻛن اﻟﻔﺋ ﺔ a, b, c, dاﻟﺗﺟزﺋﯾ ﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻟﮭ ذه اﻟﻔﺋ ﮫ اﻟ ﻰ ﺧﻠﯾﺗ ﯾن ﺗﺣﺗ وى اﻻوﻟﻰ ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﻋﻧﺎﺻر واﻟﺧﻠﯾﮫ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻋﻧﺻر وﺣد ھﻰ: a, b,c ,d, a, b,d ,c, b,c,d ,a, a,c,d ,b.
اﻟﺗرﺗﯾب ﻋﻠﻰ ﺷﻛل داﺋرة :ﻋدد اﻟطرق اﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن ﺑواﺳ طﺗﮭﺎ ﺗرﺗﯾ ب nﻣ ن اﻷﺷ ﯾﺎء اﻟﻣﻣﯾ زة ﻋﻠ ﻰ ﺷﻛل داﺋرة ھو:
!)(n 1
ﻣﺛﺎل)(٩-٢ ﺑﻛم طرﯾﻘﺔ ﯾﻣﻛن زراﻋﺔ 8ﺷﺟرات ﻋﻠﻰ ﺷﻛل داﺋرة؟
اﻟﺣــل: ﻋدد اﻟطرق ﻟزراﻋﺔ اﻟﺷﺟرات ﺑﺷﻛل داﺋرة ﯾﺳﺎوي: (8 1)! 7! 5040. ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ: !)(8-1 5040
ﻓﻲ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻣﺷﺎﻛل ﯾﻛون اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﻌدد اﻟطرق ﻻﺧﺗﯾﺎر أﺷﯾﺎء ﻋ ددھﺎ rﻣ ن ﺑ ﯾن أﺷ ﯾﺎء ﻣﻣﯾ زة ﻋ ددھﺎ nودون اﻋﺗﺑ ﺎر ﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻟﺗرﺗﯾ ب .ھ ذه اﻻﺧﺗﯾ ﺎرات ﺗﺳ ﻣﻰ اﻟﺗواﻓﯾ ق combinations ٠ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ اﻟﺗوﻓﯾﻘﺔ combinationھو ﺗﺟزﺋﺔ ﺑﺧﻠﯾﺗﯾن ،ﺧﻠﯾﺔ ﺗﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ rﻣ ن اﻷﺷ ﯾﺎء واﻟﺧﻠﯾﺔ اﻷﺧرى ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ) (n rﻣن اﻷﺷﯾﺎء اﻟﺑﺎﻗﯾﺔ وﻋ دد ھ ذه اﻟﺗواﻓﯾ ق ﯾرﻣ ز ﻟ ﮫ ﺑ ﺎﻟرﻣز n . r ﻧظرﯾﺔ: n ﻋدد اﻟﺗواﻓﯾق ﻷﺷﯾﺎء ﻣﻣﯾزة ﻋددھﺎ ﻣﺄﺧوذة rﻛل ﻣرة ھو: n !n r r!(n r)!.
ﻣﺛﺎل)(١٠-٢ ﻛم ﻋدد اﻟطرق ﻻﺧﺗﯾﺎر ﺛﻣﺎﻧﯾﺔ أﺷﺧﺎص ﻟﻔرﯾق ﻛرة اﻟﻘدم ﻣن 14ﺷﺧﺻﺎ ً؟
اﻟﺣــل: ٢٤
ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر ﺛﻣﺎﻧﯾﺔ أﺷﺧﺎص ﻣن ﺑﯾن 14ﺷﺧص ﯾﺳﺎوي: 14 !14 3003. !8! . 6 8 ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
14 8 6
3003 ]Binomial[14,8 3003
) (٣-٢اﻻﺣﺗﻣﺎل
Probability
ﺗﻣدﻧﺎ ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﺑﻔﺋﺔ ﻣن اﻷرﻗﺎم ﺗﺳﻣﻰ اﻷوزان weightsﺗﺗراوح ﻣن اﻟﺻﻔر إﻟﻰ اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ واﻟﺗﻲ ﺗﻣﻛﻧﻧﺎ ﻣن ﺗﻘدﯾر ﻹﻣﻛﺎﻧﯾﺔ )ﻓرﺻﺔ( وﻗوع اﻷﺣداث اﻟﺗﻲ ﺗﻧﺗﺞ ﻣن ﺗﺟﺎرب إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ .ﻟﻛل ﻧﻘطﺔ ﻓﻲ ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻧﻌﯾن وزن ﺑﺣﯾث ﯾﻛون ﻣﺟﻣوع اﻷوزان ﯾﺳﺎوى اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ٠إذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ﺳﺑب ﻟﻛﻲ ﻧﻌﺗﻘد أن ھﻧﺎك إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ ﻛﺑﯾرة ﻟوﻗوع ﻧﻘطﺔ ﻓﻲ ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻌﯾن ﻟﮭﺎ رﻗﻣﺎ ً ﻗرﯾﺑﺎ ً ﻣن اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ .وﻣن ﻧﺎﺣﯾﺔ أﺧرى ﯾﻌﯾن وزن ﻗرﯾب ﻣن اﻟﺻﻔر ﻟﻧﻘﺎط اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ وﻗوﻋﮭﺎ ﺿﺋﯾل ٠ﻟﻠﻧﻘﺎط ﺧﺎرج ﻧطﺎق اﻟﻌﯾﻧﺔ ،أي اﻟﻧﻘﺎط اﻟﺗﻲ ﯾﺳﺗﺣﯾل ﺣدوﺛﮭﺎ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻌﯾن ﻟﮭﺎ اﻟرﻗم ﺻﻔر وﺗﺳﻣﻰ اﻷﺣداث اﻟﻣﺳﺗﺣﯾﻠﺔ اﻟﺣدوث .ﻓﻲ ھذا اﻟﺑﻧد ﺳوف ﻧﻧﺎﻗش ﺛﻼﺛﺔ ﻣﻔﺎھﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻘﯾﺎس اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت وھﻰ :اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻘدﯾم )اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﻲ( و ﻣﻔﮭوم اﻟﺗﻛرار اﻟﻧﺳﺑﻲ ،واﻟﻣﻔﮭوم اﻟﺷﺧﺻﻲ.
) ( ١-٣-٢اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻘدﯾم ) اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﻲ ( )(Classical Concept ﺗﺑﻌﺎ ﻟﮭذا اﻟﻣﻔﮭوم ﺗﺣدد أرﻗﺎم اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت أو ﯾﻣﻛن ﺗﻘ دﯾرھﺎ ﻗَ ْﺑﻠِﻲ ) a prioriﻗﺑل اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ٠ ( before factوﻋﻠﻰ ذﻟك ،اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﺎﻟﺿﺑط exact probabilityأن ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ ﺗﻘﻊ ﺗﺣدد ﻗﺑل وﻗوع اﻟﺣﺎدﺛﺔ .اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻘدﯾم ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل ﻣﺑﻧﻰ ﻋﻠﻰ أﺳﺎس أﻧﮫ إذا ﻛﺎﻧت ﺗﺟرﺑﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ Mﻣن اﻟﻧﻘﺎط ،أي أن ﻋدد اﻟﻧواﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺎ ھو Mوﻛﺎﻧت ھذه اﻟﻧواﺗﺞ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻲ إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ اﻟﺣدوث وإذا اﺣﺗوت اﻟﺣﺎدﺛﺔ Aﻋﻠﻰ ﻋدد mﻣن اﻟﻧﻘﺎط ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺎدﺛﺔ ھو: m P(A) M
ﻣﺛﺎل)(١١-٢ ﺛﻼث أﺟزاء ﻣن ﻛﺗﺎب ﻣوﺿوﻋﺔ ﻋﻠﻰ رف ﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل: )أ( اﻷﺟزاء ﻓﻲ وﺿﻌﮭﺎ اﻟﺻﺣﯾﺢ؟ اﻷول؟
)ب( اﻟﺟ زء اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﻛ ﺎن
اﻟﺣــل: ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو: S 1 2 3 , 1 3 2 , 2 1 3 , 2 3 1 , 3 1 2 , 3 2 1
٢٥
1 ) A 1 2 3 P(A) أ( 6 2 1 ) B 2 1 3 ,(2 3 1 P(B)= .ب( 6 3
) ( ٢-٣-٢ﻣﻔﮭوم اﻟﺗﻛرار اﻟﻧﺳﺑﻲ
)(Relative Frequency Concept
ﯾﺷﺗرط ھذا اﻟﻣﻔﮭوم إﺟراء اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋدد ﻛﺑﯾر ﻣن اﻟﻣرات وﻣﻌرﻓﺔ ﻧﺗﺎﺋﺟﮭﺎ وﺑﻌد ذﻟك ﻗﯾﺎس اﻻﺣﺗﻣﺎل .ﻓﺈذا ﻛﺎﻧت Nﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻣرات ) اﻟﻣﺣﺎوﻻت ( trailsاﻟﺗﻲ أﺟرﯾت ﺑﮭﺎ ﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺎ ﺗﺣت ﻧﻔس اﻟظروف و nﺗﻣﺛل ﻋدد ﻣرات )اﻟﺗﻛرار( ظﮭور اﻟﺣﺎدﺛﺔ Aﺧﻼل Nﻣن اﻟﻣرات اﻟﺗﻲ ﻛررت ﻓﯾﮭﺎ اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع اﻟﺣﺎدﺛﺔ Aھو -: n P(A) lim N N n ھو اﻟﺗﻛرار اﻟﻧﺳﺑﻲ ﻟﻠﺣﺎدﺛﺔ Aﻓﻲ ھذه اﻟﺗﺟﺎرب اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ . N ﺣﯾث N
ﻓﻲ ﻣﺻﻧﻊ ﻹطﺎرات اﻟﺳﯾﺎرات ﺗﺑﯾن أن ﻛل 100000إطﺎر ﻣﻧ ﺗﺞ ﯾﻛ ون ﻣ ن ﺑﯾﻧﮭ ﺎ 300إط ﺎر ﺗﺎﻟف .ﻓﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل اﺧﺗﯾﺎر إطﺎر ﺗﺎﻟف؟
اﻟﺣــل: ﻋدد اﻹطﺎرات N=100000ﻋدد اﻹطﺎرات اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ ٠ n 300وﻋﻠﻰ ذﻟك اﺣﺗﻣﺎل اﺧﺗﯾﺎر إطﺎر ﺗﺎﻟف ھو -: 300 P(A) 0.003. 100000
) ( ٣-٣-٢اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﺷﺧﺻﻲ
Subject Probability
ﺗﺑﻌﺎ ﻟﮭذا اﻟﻣﻔﮭوم ،اﻻﺣﺗﻣﺎل ھو درﺟﺔ اﻟﺛﻘﺔ ﻓﻲ وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ واﻟﻣﻘررة ﻣن ﺷﺧص ﻣﺎ ﺑﻧﺎء ﻋﻠﻰ دﻟﯾل ﻣﺗوﻓر ﻟدﯾﮫ ٠ھذا اﻟدﻟﯾل ﻗد ﯾﻛون أي ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻛﻣﯾﺔ أو ﻏﯾر ﻛﻣﯾﺔ .ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻗد ﯾﺣدد اﻟﺷﺧص اﻟﻘﺎﺋم ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺷﺗرﯾﺎت ﻓﻲ ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ اﻻﺣﺗﻣﺎل 0.25ﻟﻠﺣﺎدﺛﺔ أن ﺷﺣﻧﺔ ﻣﺎ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺛر 2%وﺣدات ﺗﺎﻟﻔﺔ ٠ھذا اﻟﻣﻔﮭوم ﯾﺧﺗﻠف ﻣن ﺷﺧص إﻟﻰ آﺧر وذﻟك ﻟﻌواﻣل ﻛﺛﯾرة ﻣﻧﮭﺎ اﻟﺧﺑرة٠
) (٤-٢اﻟﺧواص اﻟﻣﻣﯾ زة ﻟﻘ ﯾم اﻻﺣﺗﻣ ﺎل Characteristics of Probability Numbers إذا ﻛﺎن Sﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣراﻓق ﻟﺗﺟرﺑﺔ وإذا ﻛﺎﻧت A1 ,A 2 ,...ﺗﻣﺛل ﻛل اﻷﺣداث اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻓﺈن ﻗﯾم اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻘدرة ﻟﻸﺣداث اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻻﺑد أن ﺗﺗواﻓر ﻓﯾﮭﺎ اﻟﺷروط اﻵﺗﯾﺔ -: )أ( ﯾراﻓق ﻛل ﺣﺎدﺛﺔ Aﻋدد ﻣﻌﯾن ) P(Aﯾﺳﻣﻰ اﺣﺗﻣﺎل Aوﯾﺣﻘق P(A) 0 . )ب( اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ﻣؤﻛدة ﯾﺳﺎوى اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ،أي أن P(S) 1 )ج( إذا ﻛﺎﻧت A1 ,A 2 ,A 3 ...ﻋدد ﻹﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟﺣوادث اﻟﻣﺎﻧﻌﺔ ﺑﺎﻟﺗﺑﺎدل أي A i A j , i jﻓﺈن: P(A1 A 2 A 3 ...) P(A1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) .... ٢٦
وﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أﻧﮫ إذا ﻛﺎﻧت A1 ,A 2 ,...,A nﺗﻣﺛل nﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎﻧﻌﺔ ﺑﺎﻟﺗﺑﺎدل ﻓﺈن -: P(A1 A 2 ... A n ) P(A1 ) P(A 2 ) ... P(A n ). أﯾﺿﺎ إذا ﻛﺎﻧت A1 ,A 2 ,...A nﺗﻣﺛل ﺗﺟزﺋﺔ ﻟﻔراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ Sﻓﺈن : P(A1 A 2 ... A n ) P(A1 ) P(A 2 ) ... P(A n ) 1.
ﻣﺛﺎل)(١٣-٢ ﺻﻧﻌت زھرة ﻧرد ﺑﺣﯾث ﯾﻛون اﺣﺗﻣﺎل ظﮭ ور اﻟ رﻗم واﺣ د ﺛﻼﺛ ﺔ أﺿ ﻌﺎف أي رﻗ م آﺧ ر ،ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻛل اﻟوﺟوه اﻷﺧرى ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻟﻔرﺻﺔ ﻓﻲ اﻟظﮭور .ﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور اﻟ رﻗم اﺛﻧ ﯾن ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء اﻟﻧرد ﻣرة واﺣدة؟ وﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور اﻟرﻗم واﺣد؟
اﻟﺣــل: ﻧﻔرض أن اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور اﻟرﻗم واﺣد ھو )P(1 ﻧﻔرض أن اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور أي رﻗم آﺧر ھو ) P(Aﺑﺣﯾث A 1 اﺣﺗﻣﺎل ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ . P(S) 1وﺑﻣﺎ أن : وﻋﻠﻰ ذﻟك :
P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 P(1) 5 P(A) 1 P(1) 3P(A),
1 3P(A) 5P(A) 1 8P(A) 1 P(A) 8 إذن اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور اﻟرﻗم ) (2ھو: 1 P(2) 8 واﺣﺗﻣﺎل ظﮭور رﻗم ) (١ھو: 3 P(1) 8
ﻣﺛﺎل)(١٤-٢ اﺧﺗﯾ رت ﺛﻼﺛ ﺔ ﻛﺗ ب ﻋﺷ واﺋﯾﺎ ﻣ ن رف ﯾﺣﺗ وي ﻋﻠ ﻰ 5ﻛﺗ ب ﻓ ﻲ اﻟﺗ ﺎرﯾﺦ و 3ﻛﺗ ب ﻓ ﻲ اﻟﻌﻠ وم وﻗﺎﻣوس ﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل: )ب( ﻗﺎﻣوس و 2ﻋﻠوم )أ( ﻗﺎﻣوس و 2ﺗﺎرﯾﺦ )ج( ﻗﺎﻣوس وﺗﺎرﯾﺦ وﻋﻠوم
اﻟﺣل : ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ :ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر 3ﻛﺗب ﻣن 9ﻛﺗب: 9 3 84 )أ( Aﻣﻛوﻧﺔ ﻣن )ﻗﺎﻣوس و 2ﺗﺎرﯾﺦ( أذن: ٢٧
5 2 10 5 84 42
1 1 9 3
)ب( Bﻣﻛوﻧﺔ ﻣن )ﻗﺎﻣوس و 2ﻋﻠوم( أذن: 3 2 3 1 84 28
1 1 9 3 )ج( Cﻣﻛوﻧﺔ ﻣن )ﻗﺎﻣوس وﺗﺎرﯾﺦ وﻋﻠوم( أذن: 5 3 1 1 15 5 9 84 28 3
3 0 P(A)
5 0 P(B)
1 1 P(C)
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ )ا( ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : Binomial3, 0 Binomial1, 1 Binomial5, 2 A Binomial9, 3 5 42
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ )ب( ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : Binomial5, 0 Binomial1, 1 Binomial3, 2 Binomial9, 3 1 28 ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ )ج( ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
Binomial1, 1 Binomial5, 1 Binomial3, 1 Binomial9, 3
c 5 28
ﻣﺛﺎل)(١٥-٢ ﻣﺳﺗﺣﺿر ﻓﻲ أﻧﺑوﺑﺔ اﺧﺗﺑﺎر ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ ﻋﺷرﯾن ﻣ ن ﺣﺑ وب ﻟﻘ ﺎح اﻟﺻ ﻧوﺑر وﺧﻣﺳ ﺔ ﻣ ن ﻟﻘ ﺎح اﻟﺑﻠوط ،اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺗﺣﺗوي ﻋﻠﻰ أرﺑﻌﺔ ﺣﺑوب ﻟﻘﺎح ،ﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل أن: )أ( ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ أرﺑﻊ ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺻﻧوﺑر. ٢٨
)ب( ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺑﻠوط. )ج( ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑوب ﻟﻘﺎح اﻟﺻﻧوﺑر.
اﻟﺣــل: )أ( اﺣﺗﻣﺎل ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ أرﺑﻊ ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺻﻧوﺑر ھو : 20 5 4 0 969 P(A) 25 2530 4 ﺣﯾث Aﺣﺎدﺛﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ أرﺑﻊ ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺻﻧوﺑر. ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ )ا( ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
Binomial20, 4 Binomial5, 0 Binomial25, 4 969 2530
)ب( اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺑﻠوط: 20 5 1 3 40 P(B) 25 2530 4 ﺣﯾث Bﺣﺎدﺛﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺑﻠوط . ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ )ب( ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
Binomial20, 1 Binomial5, 3 Binomial25, 4 4 253
)ج( ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑوب ﻟﻘﺎح اﻟﺻﻧوﺑر: 20 5 20 5 3 1 4 0 1140 969 P(C) و P(A) 25 2530 25 2530 4 4 1140 969 2109 P(C A) P(C) P(A) 2530 2530 2530 ﺣﯾث Cﺣﺎدﺛﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑﺔ ﻣن ﺣﺑوب اﻟﺻﻧوﺑر وﺣﺑﺔ واﺣدة ﻣن اﻟﺑﻠوط. ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ )ج( ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
٢٩
Binomial20, 3 Binomial5, 1 Binomial25, 4 Binomial20, 4 Binomial5, 0 Binomial25, 4
a
114 253
c
969 2530 a+c
2109 2530
) (٥-٢ﺑﻌض ﻗواﻧﯾن اﻻﺣﺗﻣﺎل
Some Probability Laws
ﻋﺎدة ﯾﻛون ﻣن اﻟﺳﮭل ﺣﺳﺎب اﺣﺗﻣﺎل ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ ﻣن اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﻣﻌروﻓﺔ ﻟﻸﺣداث اﻷﺧرى وھذا ﯾﻛون ﺻﺣﯾﺢ إذا أﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺣﺎدﺛﺔ ﻛﺎﺗﺣﺎد ﻟﺣﺎدﺛﺗﯾن أﺧرﺗﯾن أو ﻣﻛﻣﻠﺔ ﻟﺣﺎدﺛﺔ .ﻓﻲ ھذا اﻟﺑﻧد ﺳوف ﻧﻌرض ﺑﻌض اﻟﻘواﻧﯾن اﻟﺗﻲ ﺗﺳﮭل ﻋﻣﻠﯾﺔ ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت. ﻧظرﯾﺔ :ﻷي ﺣﺎدﺛﺗﯾن A , Bﻓﺈن: P(A B) P(A) P(B) P(A B).
ﻣﺛﺎل)(١٦-٢ ﻓﻲ ﻣﺳﺗﻌﻣرة ﻛﺑﯾرة ﻟذﺑﺎﺑﺔ اﻟﻔﺎﻛﮭﺔ 20% ،ﻣن اﻟذﺑﺎب ﺑﮫ طﻔرة ﻓ ﻲ اﻟﺟﻧ ﺎح 35% ،ﺑ ﮫ طﻔ رة ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾن 10% ،ﺑﮫ طﻔرة ﺑﻛل ﻣن اﻟﺟﻧﺎح واﻟﻌﯾن .اﺧﺗﯾرت ذﺑﺎﺑ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺳ ﺗﻌﻣرة ﻋﺷ واﺋﯾﺎ .ﻣ ﺎ ھ و اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون ﺑﮭﺎ أﺣد اﻟطﻔرﺗﯾن ﻋﻠﻰ اﻷﻗل؟
اﻟﺣــل: اﺣﺗﻣﺎل ﺑﮫ طﻔرة ﻓﻲ اﻟﺟﻧﺎح P(A) 0.2 اﺣﺗﻣﺎل ﺑﮫ طﻔرة ﻓﻲ اﻟﻌﯾن P(B) 0.35 اﺣﺗﻣﺎل ﺑﮫ طﻔرة ﻓﻲ اﻟﺟﻧﺎح واﻟﻌﯾن P(A B) 0.10
AB
C
A B 25%
10%
C
AB
10%
P(A B) P(A) P(B) P(A B) 0.2 0.35 0.10 0.45 . ﻧظرﯾﮫ :إذا ﻛﺎﻧت Aﺣﺎدﺛﺔ وﻛﺎﻧت A cاﻟﺣﺎدﺛﺔ اﻟﻣﻛﻣﻠﺔ ﻟﮭﺎ ﻓﺈن: P(A) 1 P(A c ).
ﻣﺛﺎل)(١٧-٢ ﺣﻘﻧت ﺛﻣﺎﻧﯾﺔ ﻓﺋران ﺑﻌﻘﺎر ﻣﻌﯾن وﺗم رﺻد ﻋدد اﻟﻔﺋران اﻟﺗﻲ ﻣﺎﺗ ت ﺧ ﻼل ﯾ وم ،إذا ﻛ ﺎن اﺣﺗﻣ ﺎل ﻣوت ﺳﺗﺔ ﺑﺎﻟﺿ ﺑط ھ و 0.03واﺣﺗﻣ ﺎل أن ﯾﻣ وت ﺳ ﺑﻌﺔ أو ﺛﻣﺎﻧﯾ ﺔ ھ و ، 004أوﺟ دي اﺣﺗﻣ ﺎل أن: ٣٠
)أ( ﯾﻣوت ﺳﺗﺔ ﻓﺋران أو أﻛﺛر.
)ب( ﯾﻣوت ﺧﻣﺳﺔ أو أﻗل.
اﻟﺣــل: )أ( اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻣوت ﺳﺗﺔ ﻓﺋران أو أﻛﺛر Aاﻟﺣﺎدﺛﺔ ﻣوت ﺳﺗﺔ ﺑﺎﻟﺿﺑط ھو: P(A) 0.03 Bاﻟﺣﺎدﺛﺔ ﻣوت ﺳﺑﻌﺔ أو ﺛﻣﺎﻧﯾﺔ ھو: P(B) 0.04 P(E1 ) P(A B) 0.03 0.04 0.07 ﺣﯾث E1اﻟﺣﺎدﺛﺔ أن ﯾﻣوت ﺳﺗﺔ ﻓﺋران أو أﻛﺛر. )ب( ﯾﻣوت ﺧﻣﺳﺔ أو أﻗل. P(E 2 ) 1 P(E1 ) 1 0.07 0.93 ﺣﯾث E 2اﻟﺣﺎدﺛﺔ أن ﯾﻣوت ﺧﻣﺳﺔ ﻓﺋران أو أﻗل.
) (٦-٢اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ
conditional probability
ﻓﻲ ﺑﻌض اﻟﺗﺟﺎرب ﯾﺗﺄﺛراﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟذي ﯾﺧﺻص ﻟﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ )ﻟﺗﻛن (Aﺑﺎﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﺣدوث أو ﻋدم ﺣدوث ﺣﺎدﺛﺔ أﺧرى وﻟﺗﻛن .Bﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻌﺑﺎرة :اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ Aﺑﺷرط وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ Bواﻟذي ﯾﺳﻣﻰ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ وﯾرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز )P(A|B وﯾﻘرأ" اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع Aاﻟﺷرط وﻗوع ."B ﺗﻌرﯾف :اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﺣﺎدﺛﺔ Aﺷرط Bﯾﻣﺛل ﺑﺎﻟﺻﯾﻐﺔ ) P(A | Bو ﯾﻌرف ﺑﺎﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ : )P(A B P(A | B) , P(B) 0. )P(B ﯾﻌﺗﺑر ھذا اﻟﺗﻌرﯾف ﻋﺎم وﻻ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻓراغ ﻋﯾﻧﺔ ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ أﺣداث ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻲ إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ اﻟﺣدوث وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ﯾﻣﻛن اﻟﻘول أن : )P(A B P(B | A) , P(A) 0. )P(A إذا ﻛﺎن ﻋدد اﻟﻧواﺗﺞ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻰ اﻣﻛﺎﻧﯾﺔ اﻟﺣدوث ﻓﺈن: )n(A B P(A | B) )n(B ﺣﯾث ) n(A Bﻋدد ﻧواﺗﺞ اﻟﺣﺎدﺛﺔ A Bو ) n(Bﻋدد ﻧواﺗﺞ اﻟﺣﺎدﺛﺔ . B ﻧﻔس اﻟﺷﺊ: )n(A B P(B | A) )n(A ﻧظرﯾﺔ :إذا وﻗﻌت ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ Aﻓﻲ ﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺎ ،ﯾﺗﺑﻌﮭﺎ ﺣﺎدﺛﺔ Bﻓﺈن: P(A B) P(A)P(B | A). وﻋﻠﻰ ذﻟك اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع A ,Bﻓﻲ ﺗرﺗﯾب ھو اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﻘﻊ Aأوﻻ ﻣﺿروﺑﺎ ﻓﻲ اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ، Bﺷرط أن Aوﻗﻌت ٠ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن أن ﯾﻛون-: ٣١
P(A B) P(B)P(A | B). وھذا ﯾﺗوﻗف ﻋﻠﻰ أي اﻟﺣﺎدﺛﺗﯾن ﻗد ﺗﻘﻊ أوﻻ٠ ﻧظرﯾﺔ : ﻓﻲ أي ﺗﺟرﺑﺔ إذا وﻗﻌت اﻟﺣﺎدﺛﺔ ، A1ﯾﺗﺑﻌﮭﺎ اﻟﺣﺎدﺛﺔ ، A 2ﯾﺗﺑﻌﮭﺎ اﻟﺣﺎدﺛﺔ ، A 3وھﻛذا ،ﻓﺈن : P(A1 A 2 A 3 ...) P(A1 )P(A 2 | A1 )P(A 3 | A1 A 2 )... ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ،اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ Aﻻ ﯾﺗﺄﺛر وﻻ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ وﻗوع أو ﻋدم وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ أﺧرى ٠ Bﺑﻌﺑﺎرة أﺧرى وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻘﺎل أن Aﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن Bوﻋﻠﻰ ذﻟك ) P(A | B) P(Aوﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓﺈن: )P(A B P(A | B) =P(A). )P(B وﻣﻧﮭﺎ: P(A B) P(A)P(B). إذا ﻛﺎﻧت Aﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن Bﻓﺈن Bﺗﻛون ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن Aﻷن:
)P(A B) P(A)P(B P(B). )P(A )P(A
P(B | A)
وﻣﻧﮭﺎ:
P(A B) P(A)P(B). ﺗﻌرﯾف :ﯾﻘﺎل أن اﻟﺣﺎدﺛﺗﯾن B ، Aﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن ، independentإذا وﻓﻘط إذا : P(A B) P(A)P(B).
ﻣﺛﺎل)(١٨-٢ ﻓﻲ اﺳﺗطﻼع ﻟﻠرأي ﻋن ﺗﺄﺛﯾر اﻹﻋﻼﻧﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺑﯾﻊ ﻓ ﻲ ﻣرﻛ ز ﻟﺗﺳ وﯾق اﻷﻏذﯾ ﺔ ،أﺧ ذت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣ ن 230ﻓرد ﻣن اﻟﻣﺗرددﯾن ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣرﻛ ز وﺳ ﺟﻠت إﺟ ﺎﺑﺗﮭم .اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ اﻟﻣ زدوج اﻟﺗ ﺎﻟﻲ ﯾوﺿ ﺢ ﺗوزﯾ ﻊ اﻷﻓ راد ﺣﺳ ب اﻟﺷ راء )ﯾﺷ ﺗري وﻻ ﯾﺷ ﺗري( وﺣﺳ ب ﻣﺷ ﺎھدة اﻹﻋﻼﻧ ﺎت )ﯾﺷ ﺎھد وﻻ ﯾﺷ ﺎھد( .ﺳ ﺣﺑت اﺳ ﺗﻣﺎرة ﻋﺷ واﺋﯾﺎ ﻓ ﺈذا ﻋﻠ م أن اﻟﺷ ﺧص ﯾﺷ ﺎھد اﻹﻋﻼﻧ ﺎت ﻣ ﺎ ھ و اﺣﺗﻣ ﺎل أن ﯾﺷﺗري؟ اﻟﻣﺟﻣوع 180 50 230
ﻻ ﯾﺷﺗرون)(B 100 30 130
ﯾﺷﺗرون )(A 80 20 100
ﯾﺷﺎھد)(C ﻻ ﯾﺷﺎھد)(D
اﻟﻣﺟﻣوع
اﻟﺣــل: 80 )P(A C 230 80 n(A C) . P(A C) 180 )P(C 180 )n(C 230 ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : }}aa1={{80,100},{20,30 ٣٢
}}{{80,100},{20,30 ]bb1=Apply[Plus,aa1 }{100,130 ]cc1=Apply[Plus,bb1 230 ]dd1=Transpose[aa1 }}{{80,20},{100,30 ]ee1=Apply[Plus,dd1 }{180,50 ]cc1=Apply[Plus,ee1 230 aa11,1 cc1 ee11 cc1
nn1 4 9
واﻧﺗﮭز ھذه اﻟﻔرﺻﺔ ﻻوﺿﺢ ﻛﯾف ﯾﻣﻛن ﻋﻣل ﺟدول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ .ﺑﻔرض اﻟﺟدول اﻟﻣﻌطﻰ ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل وﻧرﯾد اﻧﺷﺎء ﺟدول ﻣﺛﻠﺔ او ان ﻧواﺗﺞ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧرﯾد ان ﻧﺳﺗﺧرﺟﮭﺎ ﻋﻠﻰ ﺷﻛل ﺟدول ﺳوف ﻧﺷرح اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻن ﻋﻠﻰ اﻟﺟدول اﻟذى ﻓﻰ ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ;]"rt2=List["A ","B ","total ;]rt3=List[80,100,180 ;]rt4=List[20,30,50 ;]rt5=List[100,130,230 ;}} zz1=TableHeadings->{{ "","C ","D "},{adress ]uu1=TableForm[{rt2,rt3,rt4,rt5},zz1
total 180 50 230
adress A 80 20 100
B 100 30 130
C D
وﻗد اﺿطررت ﻟﻛﺗﺎﺑﺗﮫ ﺑﺎﻟﻠﻐﺔ اﻻﻧﺟﻠﯾزﯾﺔ ﻻن اﻟﻛﻼم اﻟﻌرﺑﻰ ﻻ ﯾظﮭروﯾﻣﻛن ﻟﻠﻣﺳﺗﺧدم ان ﯾﺣﺎول واﻧﺎ واﺿﺣت اﻟطرﯾﻘﺔ ﻓﻘط .
) ( ٧-٢اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻛﻠﻰ وﻗﺎﻋدة ﺑﯾﯾزTotal Probability and Bayes` Rule ﺑﻔرض أن اﻷﺣداث A1 ,A 2 ,...,A nﺗﻣﺛ ل ﺗﺟزﯾﺋ ﺎ ﻟﻔ راغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ وﻣﺎﻧﻌ ﺔ ﻟﺑﻌﺿ ﮭﺎ اﻟ ﺑﻌض واﺗﺣﺎدھم ھو ) Sأﺣداث ﻣﺎﻧﻌﺔ وﺷﺎﻣﻠﺔ ( mutually exclusive and exhaustive ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث ٠ n 6ﺑﻔرض أن Eأي ﺣﺎدﺛﺔ أﺧرى ﻓﺈن -: E S E (A1 A 2 ... A n ) E
)=(A1 E) (A 2 E) ... (A n E
٣٣
ﻧظرﯾﺔ ) :ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻛﻠﻰ :(total probability ﺑﻔرض أن A1 ,A 2 ,...,A nﺗﻣﺛل nﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎﻧﻌﺔ وﺷﺎﻣﻠﺔ ،وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻷي ﺣﺎدﺛﺔ Eﻓﺈن -: n
P(E) P(A i )P(E | A i ). i 1
ﻧظرﯾﺔ ) :ﻧظرﯾﺔ ﺑﯾﯾز (Bayes` Theorem إذا ﻛﺎﻧت A1 ,A 2 ,...,A nﺗﻣﺛل nﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎﻧﻌﺔ وﺷﺎﻣﻠﺔ وﻛﺎن ظﮭ ور إﺣ داھﻣﺎ ﯾﻧ ﺗﺞ ﻋﻧ ﮫ ظﮭور ﺣﺎدﺛﺔ أﺧرى ) Eأي أن Eﺗﻘﻊ إذا وﻗﻌت واﺣدة ﻣن اﻟﺣوادث اﻟﻣﺎﻧﻌﺔ ( ﻓﺈن -: ) P(A k )P(E | A k P(A k | E) n , k 1,2,...,n. ) P(Ai )P(E | Ai i 1
P A1 E 0.06 0.22 . PE 0.27
P A1 | E
ﻣﺛﺎل)(١٩-٢ ﺗﻣﺛ ل اﻟطﺎﻟﺑ ﺎت 30%ﻣ ن ﺣﺟ م اﻟدارﺳ ﯾن ﻓ ﻲ ﻛﻠﯾ ﺔ ﻣ ﺎ .ﯾ درس 30%ﻣ ن اﻟط ﻼب ﻣ ﺎدة اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت وﺗدرس 20%ﻣن اﻟطﺎﻟﺑﺎت ﻣﺎدة اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت .إذا اﺧﺗﯾ را واﺣ د ﻣ ن اﻟﻛﻠﯾ ﺔ ووﺟ د وإذا اﺧﺗﯾرا واﺣد ﻣن اﻟﻛﻠﯾﺔ اﻧﮫ ﯾدرس اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ،ﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون اﻟﻣﺧﺗﺎر طﺎﻟﺑﺔ؟ إذا اﺧﺗﯾ را واﺣ د ووﺟد اﻧﮫ ﯾدرس اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ،ﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون اﻟﻣﺧﺗﺎر طﺎﻟب؟ وإذا ﻣن اﻟﻛﻠﯾﺔ ووﺟد اﻧﮫ ﯾدرس اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ،ﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون اﻟﻣﺧﺗﺎر طﺎﻟﺑﺔ؟ اﺧﺗﯾ را واﺣ د ﻣ ن اﻟﻛﻠﯾ ﺔ ووﺟ د اﻧ ﮫ ﻻﯾ درس اﻟرﯾﺎﺿ ﯾﺎت ،ﻣ ﺎ ھ و اﺣﺗﻣ ﺎل أن ﯾﻛ ون اﻟﻣﺧﺗ ﺎر طﺎﻟب؟
اﻟﺣــل: ﻧﻔرض A1 :اﻟﺣﺎدﺛﺔ اﺧﺗﯾﺎر طﺎﻟﺑﺔ ﻣن اﻟﻛﻠﯾﮫ و A 2اﻟﺣﺎدﺛﺔ اﺧﺗﯾﺎر طﺎﻟب ﻣن اﻟﻛﻠﯾﺔ و Eواﺣد ﻣن اﻟﻛﻠﯾﺔ ﯾدرس رﯾﺎﺿﯾﺎت و E Cواﺣد ﻣن اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻻ ﯾدرس رﯾﺎﺿﯾﺎت. P(E | A1 ) 0.2 , P(E A1 ) 0.06
E
P(E C | A1 ) 0.8 , P(E C A1 ) 0.24
EC
P(E | A 2 ) 0.3 , P(E A2 ) 0.21
E
P(E C | A 2 ) 0.7 , P(E C A 2 ) 0.49
EC
P(A1 ) 0.3
P(A 2 ) 0.7
P E 0.06 0.21 0.27 .
P E C 0.24 0.49 0.73 . P A1 E 0.06 0.22 . PE 0.27 ٣٤
P A1 | E
A1
A2
P A2 | E
P A1 | E
C
P A2 | E
C
P A 2 E .21 .78 . P E 0.27
P A1 E C P EC P A2 EC PE
C
0.24 0.33 . 0.73
.49 0.67 . 0.73
: ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ
.06 .27 0.222222
.21 .27 0.777778
.24 .73 0.328767
.49 .73 0.671233
٣٥
اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ وﺗوزﯾﻌﺎﺗﮭﺎ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ
٣٦
) (١-٣اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ
Random Variable
ﺗﺳﺗﺧدم ﻛﻠﻣﺔ ﺗﺟرﺑﺔ )ﻛﻣﺎ ذﻛرﻧﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎ( ﻷي إﺟراء ﻧﻌﻠم ﻣﺳﺑﻘﺎ ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻧواﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻟ ﮫ وإن ﻛﻧﺎ ﻻ ﻧﺳﺗطﯾﻊ أن ﻧﺗﻧﺑﺄ ﺑﺄي ﻣن ھذه اﻟﻧواﺗﺞ ﺳﯾﺗﺣﻘق ﻓﻌﻼ ٠رﺑﻣ ﺎ ﻻ ﯾﻛ ون ﻣ ن اﻟﺿ روري دراﺳ ﺔ ﻓﺋ ﺔ ﻛ ل اﻟﻧ واﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ )ﻓ راغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ( ﻟﺗﺟرﺑ ﺔ إﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ وﻟﻛ ن ﯾﻛ ون اھﺗﻣﺎﻣﻧ ﺎ ﻣﻧﺻ ﺑﺎ ﻋﻠ ﻰ ﻗ ﯾم رﻗﻣﯾ ﺔ ﻣرﺗﺑط ﺔ ﺑﮭ ذه اﻟﻧ واﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ٠إن اﻟﻘ ﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ھ ذه ھ ﻲ ﻣ ﺎ ﻧﻌﺑ ر ﻋﻧ ﮫ ﺑﻘ ﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷواﺋﻰ٠ ﺗﻌرﯾف :اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻌرﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺎ واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺻص ﻋددا ﺣﻘﯾﻘﯾﺎ ﻟﻛل ﻧﻘط ﺔ ﻋﯾﻧ ﺔ ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ٠ ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟرﻣز Xﻟﯾﻣﺛل اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ x ،ﻟواﺣدة ﻣن ﻗﯾﻣﮫ٠
ﻣﺛﺎل )(١-٣ اﺧﺗﯾرت ﺑذرﺗﺎن ﻣ ن ﻧﺑ ﺎت ﻣزھ ر ﻋﺷ واﺋﯾﺎ ﻣ ن ﻛ ﯾس ﯾﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ﺧﻣ س ﺑ ذور زھورھ ﺎ ﺣﻣ راء وﺛﻼث ﺑذور زھورھﺎ ﺻﻔراء وذﻟك ﻻﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﻓﻲ ﺗﺟرﺑﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ٠ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﻛون: }S {yy,ry, yr,rr ﺣﯾث rﺗرﻣز إﻟﻰ اﻟﺑذرة اﻟﺗﻲ زھورھﺎ ﺣﻣراء y ،ﺗرﻣز إﻟﻰ اﻟﺑذرة اﻟﺗﻲ زھورھﺎ ﺻﻔراء٠ ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻋرﻓﻧﺎ اﻟداﻟﺔ Xاﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﺑذور اﻟﺗﻲ زھورھﺎ ﺣﻣراء ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ٠ھ ذه اﻟداﻟ ﺔ ﺳوف ﺗﺧﺻص ﻋدداﺣﻘﯾﻘﯾﺎ ﻟﻛل ﻧﻘطﺔ ﻋﯾﻧﺔ ﻓﻲ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ Sاﻟﻣراﻓق ﻟﺗﺟرﺑﺗﻧﺎ اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ٠ﻓ ﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ﻧﺟد أن ﻛل ﻧﻘطﺔ ﻓﻲ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ارﺗﺑطت ﺑﻌددﺣﻘﯾﻘﻲ واﺣد ﻋن طرﯾق اﻟداﻟﺔ ٠ X x 0 1 1 2 yy ry yr ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ rr وﻋﻠﻰ ذﻟك Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺄﺧذ اﻟﻘﯾم . 0 , 1 , 2 ﻗد ﯾﺣﺗوى ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ ﻋدد ﻣﺣدود ﻣ ن اﻟ ﻧﻘط ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺛ ﺎل اﻟﺳ ﺎﺑق ،أو ﻗ د ﯾﻛ ون ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻻ ﻧﮭ ﺎﺋﻲ ﻣﻌ دود countable infinite sample spaceوھ و اﻟﻔ راغ اﻟ ذي ﯾﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ﻋ دد ﻻ ﻧﮭ ﺎﺋﻲ ﻣ ن اﻟﻌﻧﺎﺻ ر ﻟﻛﻧ ﮫ ﻗﺎﺑ ل ﻟﻠﻌ د ،ﻣﺛ ل ﻋ دد اﻟﺑﻛﺗرﯾ ﺎ ﻓ ﻲ ﻟﺗ ر ﻣ ن اﻟﻣ ﺎء اﻟﻧﻘ ﻲ وﯾﺳﻣﻰ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﻓ راغ ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣﻧﻔﺻ ل )ﻣﺗﻘط ﻊ( ٠discrete sample space اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﻌ رف ﻋﻠ ﻰ ﻓ راغ ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣﻧﻔﺻ ل ﯾﺳ ﻣﻰ ﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ ﻣﻧﻔﺻ ل )ﻣﺗﻘط ﻊ(. أﯾﺿ ﺎ إذا ﻛ ﺎن ﻓ راغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﯾﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ﻋ دد ﻻ ﻧﮭ ﺎﺋﻲ ﻣ ن اﻟ ﻧﻘط infinite sample space اﻟﻐﯾر ﻣﻌدودة ﻣﺛل ﻛل اﻷطوال اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ،اﻷوزان ،درﺟﺎت اﻟﺣرارة ...،اﻟﺦ ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘ ول أن ﻓ راغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣﺗﺻل )ﻣﺳﺗﻣر( ٠continuous sample spaceاﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﻌ رف ﻋﻠ ﻰ ﻓ راغ ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣﺗﺻ ل ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﺗﺻ ل .ﻓ ﻲ ﻣﻌظ م اﻟﺗطﺑﯾﻘ ﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ اﻟﻣﻧﻔﺻ ﻠﺔ ﺗﻣﺛ ل ﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻗﺎﺑﻠ ﺔ ﻟﻠﻌ د ،ﻣﺛ ل ﻋ دد اﻟﺣ وادث ﻓ ﻲ اﻟﺳ ﻧﺔ ،ﻋ دد اﻷﺧط ﺎء ﻓ ﻲ ﺻ ﻔﺣﺔ ﻣ ن ﻗ ﺎﻣوس ،ﻋ دد اﻟﻔﺋ ران ﻓ ﻲ ﻓ دان ﻣ ن اﻟﻘﻣ ﺢ٠٠٠اﻟ ﺦ ٠أﻣ ﺎ اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻ ﻠﺔ ﻓﺗﻣﺛ ل ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻘﺎﺳﺔ٠
ﻣﺛﺎل)(٢-٣ ﺻﻧف اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ إﻟﻰ ﻣﻧﻔﺻﻠﺔ وﻣﺗﺻﻠﺔ -: )ب( اﻟزﻣن اﻟﻼزم ﻹﻧﮭﺎء اﻣﺗﺣﺎن. )أ( اﻟزﻣن اﻟﻼزم ﻟوﺻول طﺎﺋرة. )ج( ﻋدد اﻟﻣﺻﺎﺑﯾﺢ اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ ﻓﻲ ﺻﻧدوق ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ 5ﻣﺻﺎﺑﯾﺢ. )د( ﻋدد اﻷﺧطﺎء اﻟﺗﻲ ﯾﺗﻌرض ﻟﮭﺎ ﺷﺧص ﻣﺎ ﻋﻧد ﻛﺗﺎﺑﺔ ﺧطﺎب ﻋﻠﻰ اﻵﻟﺔ اﻟﻛﺎﺗﺑﺔ. ٣٧
)ھـ( ﻛﻣﯾﺔ اﻟﻠﺑن اﻟﺣﻠﯾب اﻟﺗﻲ ﺗدرھﺎ ﺑﻘرة ﻓﻲ اﻟﻌﺎم. )و( ﻋدد اﻟﺑﯾض اﻟذي ﺗﺿﻌﮫ دﺟﺎﺟﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﮭر.
اﻟﺣــل: )أ( ﻣﺗﺻل. )د( ﻣﻧﻔﺻل.
)ج( ﻣﻧﻔﺻل. )و( ﻣﻧﻔﺻل.
)ب( ﻣﺗﺻل. )ھـ( ﻣﺗﺻل.
) (٢-٣اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﻧﻔﺻﻠﺔ )اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ( Discrete Probability Distribution ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ اﻟﻣﻧﻔﺻل ﯾﻔرض ﻟﮭﺎ اﺣﺗﻣﺎل ﻓﻔ ﻲ ﻣﺛ ﺎل ) (١-٣ﺗﺣﺳ ب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ Xاﻟ ذي ﯾﻣﺛ ل ﻋ دد اﻟﺑ ذور اﻟﺗ ﻲ زھورھ ﺎ ﺣﻣ راء ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ )إذا ﻛﺎن اﻻﺧﺗﯾﺎر ﺑدون إرﺟﺎع( ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ-: 3 2 6 P(X 0) P(yy) ( ) ( ) , 8 7 56 5 3 3 5 30 P(X 1) P(ry) P(yr)=( ) ( ) ( ) ( ) , 8 7 8 7 56 5 4 20 P(X 2) P(rr) ( ) ( ) . 8 7 56 اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﻣﻊ اﺣﺗﻣﺎﻻﺗﮭﺎ ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ -: 1 30 56
2 20 56
x )P(X=x
0 6 56
ﻣﺟﻣوع اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﺗﺳﺎوى اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ٠ ﺗﻌرﯾف :ﻛل ﺟدول أو ﺻﯾﻐﺔ ﺗﻌطﻰ ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻘﯾم اﻟﺗﻲ ﯾﺄﺧذھﺎ ﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻣﻧﻔﺻل ،ﻣﻊ اﺣﺗﻣﺎل ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻧﮭﺎ ﯾﺳﻣﻰ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻣﻧﻔﺻل٠
ﻣﺛﺎل)(٣-٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾرا ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟﺻورة اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء ﻋﻣﻠﺗ ﯾن ﻣ رة واﺣ دة ﻓ ﺈن . x 0,1,2ﻓﻣﺎ ھو اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X؟
اﻟﺣــل : اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾﻠﮫ ﺑﺎﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ : 2
1
0 ٣٨
x
0.25
0.25
0.5
)f(x
ﯾﻣﻛن ﻋرض ھذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻷﻋﻣدة bar chartﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ٠
ﺷﻛل )(١-٢ ﺣﯾث ﯾﻣﺛل اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ ﻗﯾم xوﯾﻣﺛل اﻟﻣﺣور اﻟرأﺳﻲ ﻗ ﯾم ) f (xﻓﻣ ﺛﻼ ﻋﻧ د x 0ﯾﻘ ﺎم ﻋﻣ ود ارﺗﻔﺎﻋ ﮫ ﯾﺗﻧﺎﺳ ب ﻣ ﻊ ﻗﯾﻣ ﺔ اﻟداﻟ ﺔ ﻋﻧ د ھ ذه اﻟﻧﻘط ﺔ وھ و 0.25وﻛ ذﻟك ﻋﻧ د x 1ﯾﻘ ﺎم ﻋﻣ ود ارﺗﻔﺎﻋﮫ 0.5وﻋﻧد x 2ﯾﻘﺎم ﻋﻣود ارﺗﻔﺎﻋﮫ 0.25وﺑﺧﻼف ھذه اﻟﻧﻘط ﻓﺎﻟداﻟ ﺔ ﻟ ﯾس ﻟﮭ ﺎ وﺟ ود٠ ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛ ن ﺗﺣوﯾ ل اﻟﺷ ﻛل اﻟﺳ ﺎﺑق إﻟ ﻰ ﻣ ﺎ ﯾﺳ ﻣﻰ ﺑﺎﻟﻣ درج اﻻﺣﺗﻣ ﺎﻟﻲ probability histogram ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وذﻟك ﺑﺗﺣوﯾل اﻷﻋﻣدة اﻟﻣوﺟ ودة إﻟ ﻰ ﻣﺳ ﺗطﯾﻼت ﺑﺣﯾ ث ﯾﻛ ون ارﺗﻔ ﺎع ﻛ ل ﻣﺳ ﺗطﯾل ﻣﺳ ﺎوﯾﺎ ﻻﺣﺗﻣ ﺎل ﻗﯾﻣ ﺔ xاﻟواﻗﻌ ﺔ ﻓ ﻲ ﻣﻧﺗﺻ ف ﻗﺎﻋ دة اﻟﻣﺳ ﺗطﯾل ٠وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻓ ﺈن ) P(X xﯾﺳ ﺎوى ﻣﺳ ﺎﺣﺔ اﻟﻣﺳ ﺗطﯾل اﻟ ذي ﺗﻘ ﻊ xﻓ ﻲ ﻣﻧﺗﺻ ف ﻗﺎﻋدﺗ ﮫ ٠ھ ذا اﻟﻣﻔﮭ وم ﻟﺣﺳ ﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﺿروري ﻓﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ اﻟﻣﺗﺻل٠
ﻣﺛﺎل )(٤-٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ : 4
!4 1 f (x) , x 0, 1, 2, 3, 4 x!(4 x)! 2 = 0 e.w. ٣٩
)ﺣﯾث e.w.اﺧﺗﺻﺎ ار ﻟـ (elsewhere وﻛﺎﻟﻌﺎدة ) .(0! = 1ﻻﯾﺟﺎد ) P(X 0 or X 1ﻧﺗﺑﻊ اﻻﺗﻰ : : 4
4
4! 1 4! 1 5 P(X 0 or X 1) . 0!4! 2 1!3! 2 16 وﻓﯾﻣ ــﺎ ﯾﻠ ــﻰ ﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗ ــوب ﺑﻠﻐ ــﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛ ــﺎ ﺗ ــم اﻋ ــدادﻩ ﻻﯾﺟ ــﺎد اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎﻟﻰ ﻟﻬ ــذا اﻟﻣﺛ ــﺎل ﺑطـ ـرﯾﻘﺗﯾن .b,cوﻗ ــد ﺗ ــم ﺗﻌرﯾ ــف داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل ﺑﺎﻟداﻟ ــﺔ fوﻋ ــدد اﻟﻘ ــﯾم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻰ 4 واﻟﻣﺳــﻣﺎﻩ n
و ﻗــﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻰ اﻟﻣﺳــﻣﺎﻩ . aوﺳــوف ﻧﺳــﺗﺧدم اﻻﻣــر Clearﻻ ازﻟــﺔ اى
ﻣﺳﻣﯾﺎت ﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠداﻟﺔ . f ]Clear[f
n=4 4
fn, x_ : Binomialn, x 1 2n }a={0,1,2,3,4 }{0,1,2,3,4 ]}b=Table[f[n,x],{x,0,n
1 1 3 1 1 , , , , 16 4 8 4 16
}]c= {f[n,0],f[n,1],f[n,2],f[n,3],f[n,4
1 1 3 1 1 , , , , 16 4 8 4 16
واﺧﯾ ار ﺗم اﯾﺟﺎد : 4
4
4! 1 4! 1 5 P(X 0 or X 1) . 0!4! 2 1!3! 2 16 واﻟﻣﺳﻣﺎﻩ dﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ]d=f[n,0]+f[n,1
5 16
ﻣﺛﺎل )(٥-٣
٤٠
إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ٕواذا ﻛﺎن : x
}x {1,2,3,...
,
1 f (x) 2
إذا ﻛﺎﻧت ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﺣﺎدﺛﺔ : }B {x x 1, 3, 5, 7,...
ﻓـﺈن :
1 1 3 1 5 2 ( ) ( ) ... . 2 2 2 3 وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻓﺎن :
P[X B]
1 x fx_ : 2 ]}b=Sum[f[x],{x,1,,2
2 3
ٕواذا ﻛﺎﻧت :
}C {x x 2, 4,6,8,... ﻓـﺈن :
1 1 1 1 P[X C] ( ) 2 ( ) 4 ( )6 ( )8 .... 2 2 2 2 وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻓﺎن : ]}c=Sum[f[x],{x,2,,2
او ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﺑطرﯾﻘﺔ اﺧرى ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : 2 1 P[X C] 1 P[X B] 1 . 3 3 وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻓﺎن :
1 3
1 x fx_ : 2
]}b=Sum[f[x],{x,1,,2
2 3 c=1-b ٤١
1 3
إذا ﻛﺎﻧت :
}D {x x 1, 2,3,4,... ﻓـﺈن :
1 1 2 1 3 1 4 ( ) ( ) ( ) ... 2 2 2 2 P[X B] P[X C] 1. P[X D]
ﻻﻧﻪ ﯾﻣﺛل ﻓﺿﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ .
وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻓﺎن :
]}d=Sum[f[x],{x,1, 1
او ﺑﺎﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ :
fx x1 1
ﻣﺛﺎل )(٦-٣ ﻗﺎم ﺑﺎﺣث ﻓﻲ ﻣﻛﺗﺑـﺔ اﻟﺟﺎﻣﻌـﺔ ﻓـﻲ اﻷﺳـﺑوع اﻷول ﻣـن اﻟد ارﺳـﺔ ﺑﻣﻼﺣظـﺔ اﻟطﺎﻟـب اﻟﺗـﺎﻟﻲ وﻣـﺎ إذا ﻛﺎن ﻗد أﺷﺗرى آﻟﺔ ﺣﺎﺳﺑﺔ ﻣـن ﻧـوع Aأو ﻣـن ﻧـوع . Bﻟـﯾﻛن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﺄﺧـذ اﻟﻘﯾﻣـﺔ 1 إذا أﺷﺗرى اﻟطﺎﻟب اﻟﻧوع Aوﯾﺄﺧذ اﻟﻘﯾﻣﺔ 0إذا أﺷﺗرى اﻟطﺎﻟـب اﻟﻧـوع . Bﻓـﺈذا أﺷـﺗرى 20%ﻣـن اﻟطﻠﺑﺔ اﻵﻟﺔ ﻣن ﻧوع Aﻓﺈن p.d.fﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻲ :
f(0) = P( X = 0 ) = .8 f(1) = P ( X = 1 ) = .2 f(x) = 0 e.w . وﯾﻣﻛن وﺿﻊ p.d.f.ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﻋﻠﻰ اﻟﺻورة : f(x) = .8 x=0 = .2 x=1 = 0
e.w.
وﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠداﻟﺔ ) f(xﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ : ﻧﺑدا ﻓﻰ ﺗﺷﻐﯾل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣن اﻟدﻟﯾل اﻟﻣﺣﻔوظ ﻓﯾﻪ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻻﯾﻘوﻧﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : ٤٢
ﺣﯾث ﺗظﻬر ﻟﻧﺎ ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺑﻣﺣﺗوﯾﺎت اﻟﻛﺗﺎب) اى اﻟﻔﺻول اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠﻛﺗﺎب( ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ :
ﺛم ﻧﺿﻐط ﻋﻠﻰ sec2.1ﻛﻣﺎﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ :
٤٣
اى اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺟزء Sec2.1ﻣن Chapter 2واﻟﺧﺎص ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ :
ﺛم ﻧﺗﺻﻔﺢ Sec 2.1ﻣن Chapter 2ﺣﺗﻰ اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
٤٤
ﺣﯾث ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﺗﺣدﯾدة ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ :
ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠـﻰ kernelﻣـن ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ evaluate cellوﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
ﻓﻧﺿﻐط okﻓﯾظﻬر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
٤٥
وﯾــﺗم ذﻟــك ﻟﺗﺣﻣﯾــل ﻫــذا اﻟﺟــزء .وﻟﻠﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ اﻟﻣــدرج اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻰ ﻟﻠداﻟــﺔ ) f(xاﻟﺧﺎﺻــﺔ ﺑﻣﺛﺎﻟﻧــﺎ ﯾﺎﺧــذ ﻧﺳــﺧﺔ ﻣــن اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﺗــﺎﻟﻰ)ﻻﻧﻧــﺎ اﺳــﺗﻧﺑطﻧﺎ ﻫــذا اﻟﺑ ـراﻣﺞ ﻣــن اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻻﺻــﻠﻰ ﺣﺗــﻰ ﯾﻼﺋ ــم ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ( ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر Copyوﺗﻧﻘل اﻟﻰ ﻣﻠف ﺟدﯾد ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ :
}"}ProbabilityHistogram[{0,1},{.8,.2},AxesLabel{"x","f{x ]
ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
ﺣﯾث ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﺗﺣدﯾدﻩ ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ :
٤٦
ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠـﻰ kernelﻣـن ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ evaluate cellﻓﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ .
ﻓﻧﺿﻐط okﻓﯾظﻬر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ : }"}ProbabilityHistogram[{0,1},{.8,.2},AxesLabel{"x","f{x ] fx 0.8
0.6
0.4
0.2
x 1
0
Graphics
وﯾﻼﺣظ أن اﻟﻌﻣودﯾن اﻟﻣرﺳوﻣﯾن ﻓوق ﻗﯾﻣﺗﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ
ﺗﺗﻧﺎﺳب ﻣﻊ اﺣﺗﻣﺎل ﻫﺎﺗﯾن اﻟﻘﯾﻣﺗﯾن .
ﻫــذا وﯾﻣﻛــن اﻟﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ اﻟﺣــل ﻓــﻰ ﺑرﻧــﺎﻣﺞ KnoxProbﻧﻔﺳــﻪ وذﻟــك ﺑﻌــد ﺗﻐﯾﯾــر اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت ﺛــم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ kernelﻣن ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺛم ﻋﻠﻰ .evaluate ﻓﻲ اﻟﻣﺛـﺎل اﻟﺳـﺎﺑق f(1) = .2 , f(0) = .8ﻷن 20%ﻣـن اﻟﻣﺷـﺗرﯾن اﺧﺗـﺎروا اﻵﻟـﺔ اﻟﺣﺎﺳـﺑﺔ ﻣـن ﻧـوع .Aﻓـﻲ ﻣﻛﺗﺑـﺔ أﺧـرى ﯾﻣﻛـن أن ﺗﻛـون .f(0) = .1 , f(1) = .9ﻋﻣوﻣـﺎ اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ اﻟـذي ﯾﺄﺧــذ اﻟﻘﯾﻣـﺔ 1أو 0ﯾﺳــﻣﻰ ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑـﻊ ﺑرﻧــوﻟﻲ Bernoulliإذا أﻣﻛـن اﻟﺗﻌﺑﯾــر ﻋــن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
٤٧
x0 x 1 e.w.
1 p f (x;p) p 0
ﺣﯾث .0 < p < 1 وﯾﻣﻛــن اﯾﺟــﺎد اﻟﻣــدرج اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻰ ﻻى داﻟــﺔ اﺧــرى ﻓﻌﻠــﻰ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل اذا ﻛــﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾــر ﯾﺎﺧــذ اﻟﻘﯾﻣــﺔ 0,12ﺑﺎﺣﺗﻣﺎﻻت .4,.2,.4ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ ﻓﺎﻧﻧﺎ ﻧﻐﯾر ﻓﻘط ﻓﻰ اﻻﻣر ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ProbabilityHistogram[{0,1,2},{.4,.2,.4},AxesLabel{"x","f ]}"}{x fx 0.4
0.3
0.2
0.1
x 1
2
0 Graphics
وﻫﻛذا ﻻى داﻟﺔ اﺧرى .وﺑﻌد اﻟﺧروج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ Knoxprobﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
وﻧﺿﻐط .Don'tsave ﻣﺛﺎل )(٧-٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل p.d.f.ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : f(x) = .2 , x = 1, 2, 3, 4, 5 .
٤٨
ﻋﻧد اﻟرﻏﺑﺔ ﻓﻰ رﺳم ﻫذا اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻣﻊ اﻟﻣـدرج اﻻﺣﺗﻣـﺎﻟﻰ اﻟﺧـﺎص ﺑﺎﻟﻣﺛـﺎل ) (٦-٣ﻓﺎﻧﻧـﺎ ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ :
ﻧﺗﺻﻔﺢ Sec2.1ﻣن Chapter 2ﻛﻣﺎ اوﺿﺣﻧﺎ ﻣن ﻗﺑل ﺣﺗﻰ اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
ﺣﯾث ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﺗﺣدﯾدة ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ :
ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠـﻰ kernelﻣـن ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ evaluate cellوﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
ﻓﻧﺿﻐط okﻓﯾظﻬر اﻟﺗﺎﻟﻰ : ٤٩
وﯾﺗم ذﻟك ﻟﺗﺣﻣﯾل ﻫذا اﻟﺟزء .وﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣـدرﺟﯾن اﻻﺣﺗﻣـﺎﻟﯾن ﻣﻌـﺎ ﯾﺎﺧـذ ﻧﺳـﺧﺔ ﻣـن اﻟﺟـزء
اﻟرﻣــﺎدى اﻟﻣﺣــدد اﻟﺳــﺎﺑق ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻻﻣــر Copyوﺗﻧﻘــل اﻟــﻰ ﻣﻠــف ﺟدﯾــد ﻓــﻰ ﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛــﺎ وﯾﺗم ﺗﻌدﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﺟزء اﻟﻣﻧﻘول ﺛم ﯾﺗم ﺗﻧﻔﯾذﻩ ﻛﻣﺎ ﺳﺑق ان اوﺿﺣﻧﺎ ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ : g1=ProbabilityHistogram[{0,1},{.8,.2},DisplayFunctionIde ;]}ntity,DefaultFont{"Times-Roman",8 g2=ProbabilityHistogram[{1,2,3,4,5},{.2,.2,.2,.2,.2},Disp ;]}layFunctionIdentity,DefaultFont{"Times-Roman",8 Show[GraphicsArray[{{g1,g2}}],DisplayFunction$DisplayFun ;]ction
5
4
3
2
0.2
0.8
0.15
0.6
0.1
0.4
0.05
0.2
1
1
0
ﺗﻌرﯾف :ﺑﻔرض أن ) f(xﺗﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻰ ﻛﻣﯾـﺔ واﻟﺗـﻲ ﯾﻌـﯾن ﻟﻬـﺎ أي رﻗـم ﻣـن اﻷﻋـداد اﻟﺣﻘﯾﻘﯾـﺔ وﻣـﻊ ﻛـل ﻗﯾﻣــﺔ ﺗﻘــدر داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣــﺎل ﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ .ﻣﺛــل ﻫــذﻩ اﻟﻛﻣﯾــﺔ ﺗﺳــﻣﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣــﺔ parameter ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ .اﻟﺗﺟﻣــﻊ ﻟﻛــل اﻟﺗوزﯾﻌــﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ ﻟﻘــﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ ﻣــن اﻟﻣﻌﻠﻣــﺔ ﺗﺳــﻣﻲ ﻋﺎﺋﻠــﺔ ﻣــن اﻟﺗوزﯾﻌــﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ
. family of probability distributionsﻓﻌﻠــﻰ
ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ) f ( x ; .6ﺗﺧﺗﻠف ﻋن ) . f ( x ; .5 ٥٠
ﻣﺛﺎل )(٨-٣ ﻋﻧد زﻣن ﻣﺣدد إذا ﺗم ﻣﻼﺣظﺔ اﻟﺟﻧس ﻟﻛل طﻔـل ﺣـدﯾث اﻟـوﻻدة ﻓـﻲ ﻣﺳﺗﺷـﻔﻲ ﻣـﺎ ﺣﺗـﻰ وﻻدة طﻔــل ذﻛــر ) .(bﺑﻔــرض أن
)} p = P({bوﺑﻔــرض أن ) (gﺗرﻣــز ﻟﻠﺣﺎدﺛــﺔ أن اﻟطﻔــل أﻧﺛــﻰ
وﺑﻔرض أن اﻟﻣﺣﺎوﻻت ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻓﺈن : f(1) = P ( X = 1 ) = P ({b}) = p, )}f(2) = P ( X = 2 ) = P({g b}) = P({g}) P({b = ( 1-p ) p, )}f(3) = P( X = 3 ) = P ({ggb =P({g}) P({g}) P({b})= ( 1- p )2 p.
وﺑﺎﻻﺳ ــﺗﻣرار ﻋﻠـ ـﻰ ﻫ ــذا اﻟﻣﻧـ ـوال ﻓﺈﻧ ــﻪ ﯾﻣﻛ ــن اﻟﺣﺻ ــول ﻋﻠ ــﻰ اﻟﺻ ــورة ﻋﺎﻣ ــﺔ ﻟداﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
(1 p) x 1 p x 1,2,3,... f (x) 0 e.w. اﻟﻛﻣﯾﺔ pﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﻣﺛل ﻋدد ﯾﻧﺣﺻر ﺑﯾن . 1, 0وﯾﻣﺛل ﻣﻌﻠﻣﺔ ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل . ﻣﺛﺎل )(٩-٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل p.d.f.ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : f(x) = .25 , x = 1, 2, 3, 4 . ﺑﯾﺎن ) f(xﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ : g1=ProbabilityHistogram[{1,2,3,4},{.25,.25,.25,.25},AxesL ]}"}abel{"x","f{x
٥١
fx 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 x 3
4
2
1 Graphics
ﯾﺳـﻣﻰ اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻓــﻲ ﻫــذﻩ اﻟﺣﺎﻟـﺔ ﺑــﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧــﺗظم وذﻟــك ﻷن اﻻﺣﺗﻣــﺎﻻت P ( X=x ) = .25 ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ .
ﻣﺛﺎل )(١٠-٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : f(x) = 1 , x = x1 = 0 , e.w. ﺑﯾﺎن ) f(xﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻋﻧدﻣﺎ . x = 3
ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟذي ﯾﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺧﺎﻣل . degenerated distribution
"}g1=ProbabilityHistogram[{0,3},{0,1},AxesLabel{"x","f{x ]}
٥٢
fx 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x 3
0
Graphics
ﻣﺛﺎل )(١١-٣ إذا أﻟﻘــﻲ زوج ﻣــن اﻟﻧــرد )اﻟﻣﺗــزن( وﻛــل ﻧــرد ﻟــﻪ 12وﺟــﻪ ٕواذا ﻛﺎﻧــت اﻟوﺟــوﻩ ﻣرﻗﻣــﺔ ﺑﺎﻷرﻗــﺎم
اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ ﻣن 1إﻟﻲ . 12وﺑﻔرض أن Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﻣﺛل أﻋﻠـﻰ رﻗـم ﯾظﻬـر ﻋﻠـﻰ اﻟﻧـردﯾن . وﻋﻠﻰ ذﻟـك Xﺳـوف ﯾﺄﺧـذ اﻟﻘـﯾم . 1, 2, 3, …,12داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ X ﺳوف ﺗﻛون : ) f(x) = c (2 x-1 x = 1, 2, …,12 = 0 , e.w . ﺣﯾث ) ( 2 x – 1ﻫﻰ ﻋدد اﻟطرق ﻟوﻗوع أي ﻗﯾﻣﺔ . xﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺛﺎﺑت cﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ:
12 12 12 1 f (x) c (2x 1) c 2 x 12 x 1 x 1 x 1 ) 2(12)(13 c 12 c(12)2 2 وﻋﻠﻰ ذﻟك : c 1 (12) 2 1/144.
وﻓﯾﻣــﺎ ﯾﻠــﻰ ﺑرﻧــﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗــوب ﺑﻠﻐــﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛــﺎ ﺗــم اﻋــدادﻩ ﻻﯾﺟــﺎد اﻟﺛﺎﺑــت cﻟﻠﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻰ ﻟﻬــذا اﻟﻣﺛﺎل وﻗد ﺗم ﺗﻌرﯾف داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﺎﻟداﻟﺔ fواﻟﺛﺎﺑت cﺑﺎﻟﻣﺳﻣﻰ .cوﺳـوف ﻧﺳـﺗﺧدم اﻻﻣـر Clearﻻزاﻟﺔ اى ﻣﺳﻣﯾﺎت ﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠداﻟﺔ fان وﺟدت : ]Clear[f ٥٣
12
d fx x1
144
1 d
) (١-٢-٣داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ The Dstribution Function
c 1 144
ﺑﻔــرض أن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻣــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺗﻘطــﻊ ﻟــﻪ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ) P(Bﺣﯾــث Bﻓﺋــﺔ ﻓــﻲ اﻟﺑﻌــد
اﻷولٕ .واذا ﻛــﺎن xﻋــدد ﺣﻘﯾﻘــﻲ وﻛﺎﻧــت Bﻓﺋــﺔ ﻣــن إﻟــﻲ xﺣﯾــث ﺗﺷــﺗﻣل ﻋﻠــﻰ اﻟﻧﻘطــﺔ . x ﻟﻣﺛل ﻫذﻩ اﻟﻔﺋﺎت Bﻓﺈن : P(B) P[X B] P(X x) .
ﺣﯾ ــث ﯾﻌﺗﻣ ــد اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل ﻋﻠ ــﻰ اﻟﻧﻘط ــﺔ ، xأي أن ﻫ ــذا اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل داﻟ ــﺔ ﻓ ــﻲ اﻟﻧﻘط ــﺔ . xﯾرﻣ ــز ﻟداﻟ ــﺔ اﻟﻧﻘط ــﺔ ﻫـ ــذﻩ ﺑـ ــﺎﻟرﻣز ) . F( x ) P(X xﺗﺳـ ــﻣﻰ اﻟداﻟـ ــﺔ ) F(xداﻟـ ــﺔ اﻟﺗوزﯾـ ــﻊ ) داﻟـ ــﺔ اﻟﺗوزﯾـ ــﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌ ــﻲ
function
(cumulativeﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻲ .Xوﺑﻣـ ــﺎ أن
distribution
) ، F( x ) P(X xﺣﯾث ) f(xداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ،ﻓﺈن : ) F( x ) f ( w w x
ﻣﺛﺎل )(١٢-٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل : 4
3
2
1
x
.1
.2
.3
.4
)P(X=x
أوﺟد ) F(xوﻣﺛﻠﻬﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ . اﻟﺣــل:
F(1) P(X 1) P(X 1) f (1) .4, )F(2) P(X 2) P(X 1 or 2 = f(1) + f(2) = .7,
٥٤
)F(3) P(X 3) P(X 1 or 2 or 3 f (1) f (2) f (3) .9, )F(4) P(X 4) f (1) f (2) f (3) f (4 1, وﻋﻠﻰ ذﻟك :
F(x) 0
x 1 1 x 2 2x3
.4 .7
3 x 4
.9
4 x.
1
ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺑﯾﺎن ﺑﯾﺎن ) F(xﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ : ﻧﺗﺑﻊ ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ اﺗﺑﻌت ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل ) (٦-٣ﺣﺗـﻰ اﻟوﺻـول اﻟـﻰ اﻟﻔﺻـل اﻟﺛـﺎﻧﻰ Sec 2.1 وﻫﻧــﺎ ﯾــﺗم ﺗﺻــﻔﺢ اﻟﺟــزء Sec2.1ﺣﺗــﻰ ﯾــﺗم اﻟوﺻــول اﻟــﻰ اﻟﺷــﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻰ ﺣﯾــث ﯾــﺗم اﻟﺿــﻐط ﻋﻠــﻰ
اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﻠﺟزء اﻟﻣظﻠل ﺑﺎﻟﻠون اﻟرﻣﺎدى :
٥٥
ﺛ ــم ﯾ ــﺗم ﺗﻧﻔﯾ ــذ اﻟﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ وذﻟ ــك ﺑﺎﻟﺿ ــﻐط ﻋﻠ ــﻰ
kernelﻣ ــن ﻗﺎﺋﻣ ــﺔ ﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛ ــﺎ ﺛ ــم ﻋﻠ ــﻰ
evaluate cellوﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ .
ﻓﻧﺿﻐط okﻓﯾظﻬر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
وﯾــﺗم ذﻟــك ﻟﺗﺣﻣﯾــل ﻫــذا اﻟﺟــزء .وﻟﻠﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ ﺑﯾــﺎن ﻟﻠداﻟــﺔ ) F(xﯾﺣــدد اﻟﺟــزء اﻟرﻣــﺎدى ﻛﻣــﺎ ﻓــﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ : ٥٦
وﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣﻧﻪ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر Copyوﺗﻧﻘل اﻟﻰ ﻣﻠف ﺟدﯾد ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ
وﯾﺗم ﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ ﺛم ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘـوس اﻻﯾﺳـر ﻟﺗﺣدﯾـدﻩ ﻛﻣـﺎ ﯾﺗﺿـﺢ ﻓﯾﻣـﺎ
ﯾﻠﻰ :
ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠـﻰ kernelﻣـن ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ evaluate cellﻓﯾظﻬر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
٥٧
F[x_]:=Which[x<1,0,1x<2,.4,2x<3,.7,3x<4,.9,x4,1]; PlotStepFunction[F[x],{x,0,4.6},{1,2,3,4},DotSize.02,Axe sOrigin{0,-.01},PlotRange{.01,1.01},DefaultFont{"Times-Roman",8}]; 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 1
2
3
4
4.6
. ﻛﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎلWord وﻓﻰ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣن اﻟرﺳم وﺗﻧﻘل اﻟﻰ
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 1
2
3
4
4.6
: ﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔKnoxProb وﻋﻧد اﻟﺧروج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ
٥٨
. وذﻟك ﺣﺗﻰ ﻻ ﯾﺣدث ﺗﻐﯾرات ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞDon'tsave وﻧﺿﻐط
(١٣-٣) ﻣﺛﺎل
: ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎلX إذا ﻛﺎن x
1
2
3
4
P(X=x)
.2
.3
.4
.1 . وﻣﺛﻠﻬﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎF(x) أوﺟد :اﻟﺣــل
F(x) 0 .2
x 1 1 x 2
.5
2x3
.9
3 x 4
1
4 x. . ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰF(x) ﺑﯾﺎن
F[x_]:=Which[x<1,0,1x<2,.2,2x<3,.5,3x<4,.9,x4,1]; PlotStepFunction[F[x],{x,0,4.6},{1,2,3,4},DotSize.02,Axe sOrigin{0,-.01},PlotRange{.01,1.01},DefaultFont{"Times-Roman",8}];
٥٩
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 4.6
4
3
1
2
ﻣﺛﺎل )(١٤-٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ وداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻪ ﻫﻲ : f(x) = x/6 , x = 1, 2,3 = 0 e.w. ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻲ :
F(x) 0
x 1 1 x 2 2 x3 3 x.
1 6 3 6 1
ﻫﻧـﺎ ﻛﻣــﺎ ﻫــو ﻣوﺿــﺢ ﻓــﻲ اﻟﺷـﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻰ ) F(xداﻟــﺔ ﺳــﻠﻣﯾﺔ واﻟﺗــﻲ ﺗﻛـون ﺛﺎﺑﺗــﺔ ﻓــﻲ أي ﻓﺗـرة ﻻ ﺗﺣﺗــوي 3 2 1 ﻋﻠــﻰ 1أو 2أو 3وﻟﻛــن ﻟﻬــﺎ ﻗﻔ ـزات ﺑﺎرﺗﻔﺎﻋــﺎت , ,ﻋﻧــد ﺗﻠــك اﻟــﻧﻘط ﻋﻠــﻰ اﻟﺗ ـواﻟﻲ .أﯾﺿــﺎ 6 6 6 ﯾﻼﺣظ أن ) F(xﻣﺗﺻﻠﺔ ﻣن اﻟﯾﻣﯾن . ;]F[x_]:=Which[x<1,0,1x<2,1/6,2x<3,3/6,x1,1 PlotStepFunction[F[x],{x,0,3.6},{1,2,3},DotSize.02,AxesO rigin{0,-.01},PlotRange{-.01,1.01},DefaultFont{"Times;]}Roman",8
٦٠
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 3.6
3
1
2
ﻫﻧﺎك ﺑﻌض اﻟﺧواص ﻟداﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ Xﻧـذﻛر ﺑﻌﺿـﻬﺎ .ﺳـوف ﻧﺳـﺗﺧدم اﻟرﻣـزﯾن
) F(و ) F( ﻟﺗﻌﻧﻲ ) lim F( x) , lim F( x
x
x
ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ .
)أ( . 0 F( x ) 1 )ب( اﻟداﻟﺔ ) F(xﻏﯾر ﺗﻧﺎﻗﺻﯾﺔ ﻓﻲ xﺑﻣﻌﻧﻰ أﻧﻪ إذا ﻛﺎﻧت x x ﻓﺈن : )F(x ) F(x
)ج( F() 1و . F() 0
)د( )P(X b) F(b ) F(b
ﺣﯾث ) F(b-ﻫﻲ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ﻟﻠداﻟـﺔ ) F(xﻋﻧـد .x = bوﻋﻠـﻰ ذﻟـك اﻻﺣﺗﻣـﺎل أن X
= bﻫو طول اﻟﻘﻔزة اﻟﺗﻲ ﺗﺄﺧذﻫﺎ ) F(xﻋﻧد . x = b )ﻫـ( اﻟداﻟﺔ ) F(xﻣﺗﺻﻠﺔ ﻣن اﻟﯾﻣﯾن ﻋﻧد ﻛل ﻧﻘطﺔ . xأي أن F( a+) - F(a) = 0 :
ﺣﯾث ) F(a+ﻫﻲ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﻣـن اﻟﯾﻣـﯾن ﻟﻠداﻟـﺔ ) F(xﻋﻧـد .x = aوﻋﻠـﻰ ذﻟـك ) F(xﻣﺗﺻـﻠﺔ ﻣـن
اﻟﯾﻣﯾن ﻋﻧد ﻛل ﻧﻘطﺔ. ﯾﻌطــﻰ اﻟﺟــدول اﻟﺗــﺎﻟﻲ اﻟﺻــﯾﻎ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ ﻟﺣﺳــﺎب اﻻﺣﺗﻣــﺎﻻت ﻷﺣــداث ﻣﺗﻌــددة وذﻟــك ﺑﺎﺳــﺗﺧدام داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ). F(x اﻟﺣﺎدﺛﺔ
اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﺣﺎدﺛﺔ ﻣﻘدار اﻟﻘﻔزة ﻋﻠﻰ ﺑﯾﺎن ) F(xﻋﻧد x = a )1- F(a } 1- F(a) + P {X = a ٦١
}{X = a } {a < X }{a<X
X<b X<b {a < X < b } {a < X < b } {a < X < b } {a<X<b}
F (b) F(b) – P {X = b } F(b) – F(a) – P{ X = b } F(b) – F(a) + P{X = a } F(b) – F(a) + P(X = a } – P{X = b } F(b) – F (a)
(١٥-٣) ﻣﺛﺎل : إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻫﻲ
0 1 8 4 F(x) 8 7 8 1
,x 0 ,0 x 1 ,1 x 2 ,2 x 3 ,x 3 . f(x) :أوﺟد :اﻟﺣــل
x
: ﺣﯾثF(x) ﻣن اﻟداﻟﺔf (x) ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب 1 1 P(X 0) F(0) F(0 ) 0 8 8 4 1 3 P(X 1) F(1) F(1 ) 8 8 8 7 4 3 P(X 2) F(2) F(2 ) 8 8 8 7 1 P(X 3) F(3) F(3 ) 1 8 8 : ﻣﻌطﺎة ﺑﺎﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲf(x) داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل 1 2 3 4
٦٢
1 8
3 8
1 8
3 8
)f (x
) (٢-٢-٣اﻟﺗوﻗﻊ اﻟرﯾﺎﺿﻰ Mathematical Expectation ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﻧﻔﺻل وﻣﻧﺗﮭﻲ ﻟﮫ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ اﻟﺗﺎﻟﻲ -: x1 x2 xn … x ) P(X x ) f (x1 ) f (x 2 ) f (x n … ﻓﺈن اﻟﺗوﻗﻊ اﻟرﯾﺎﺿ ﻲ ) اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌ ﺔ أو ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ( population mean ﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷواﺋﻲ Xھو -: n
E(X) x i f (x i ) . i 1
ﻣﺛﺎل)(١٦-٣ أوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻌدد اﻟرﺟﺎل اﻟذﯾن ﯾﺗم اﺧﺗﯾﺎرھم ﻟﻣﮭﻣﺔ ﻋﻠﻣﯾﺔ ﻣن 3أﺷﺧﺎص ﻣن ﺑﯾن 5 رﺟﺎل وﺳﯾدﺗﯾن )اﻟﺳﺣب ﺑدون إرﺟﺎع( .
اﻟﺣــل : ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xھﻲ x 1,2,3 :واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟرﺟﺎل اﻟذﯾن ﯾﺗم اﺧﺗﯾﺎرھم ﻟﻣﮭﻣﺔ ﻋﻠﻣﯾﺔ ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن . n 3 اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ھﻲ : 5 2 x 3 x , x 1,2,3 P(X x) 7 3 5 2 1 2 5 P(X 1) , 35 35 5 2 2 1 20 P ( X 2) , 35 35 5 2 3 0 10 P(X 3) . 35 35
٦٣
إذن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xھو:
3
2
x
1
5 35
20 10 35 35 3 5 20 10 E (X) x f(x) 1( ) 2( ) 3( ) 2.143 . 35 35 35 x 1
وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻌﺷواﺋﻰ X
) P(X x
ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر
ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل :
وﻗد ﺗم ﺗﻌرﯾف داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﺎﻟداﻟـﺔ fو n 3ﺗﻣﺛل ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م m=7ﺣﯾ ث n1=5ﺗﻣﺛ ــل ﻋ ــدد اﻟرﺟ ــﺎل ﻓ ــﻰ اﻟﻣﺟﺗﻣ ــﻊ وn2=2
ﺗﻣﺛ ــل ﻋ ــدد اﻟﻧﺳ ــﺎء ﻓ ــﻰ
اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ وﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر Clearﻻزاﻟﺔ اى ﻣﺳﻣﯾﺎت ﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠداﻟﺔ fان وﺟدت : ]Clear[f n=3;n1=5;m=7;n2=2 2
Binomialn1, x Binomialn2, n x Binomialm, n
fx_ :
]}a=Table[f[x],{x,1,n
1 4 2 , , 7 7 7
]}b=Table[x,{x,1,n }{1,2,3 ]}c=Transpose[{a,b
1 4 2 , 1, , 2, , 3 7 7 7
]MatrixForm[c 1 1 7 4 2 7 2 3 7 n
x fx N x1 2.14286
ﻣﺛﺎل)(١٧-٣
٦٤
إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾرا ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﯾﻣﺛل ﻋدد أﺟﮭزة اﻟﺣﺎﺳب اﻵﻟﻲ اﻟﺗﻲ ﺗﺗﻌرض ﻟﻠﺗﻠف ﻣن ﺑﯾن ﺧﻣﺳﺔ أﺟﮭزة وذﻟك أﺛﻧﺎء ﺗوﺻﯾﻠﮭﺎ إﻟﻰ ﻣرﻛز أﺑﺣﺎث ،ﺑﻔرض أن اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﻠف 0.25 ،أﯾﺿﺎ ً ﺑﻔرض أن ﻛل ﺟﮭﺎز ﻣﺳﺗﻘل ﻋن اﻵﺧر ﻓﻲ اﻟﺗﻠف أو ﻋدم اﻟﺗﻠف أوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻸﺟﮭزة اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ.
اﻟﺣــل: x 0,1, 2,3,4,5 ﺑﻣﺎ أن اﺣﺗﻣﺎل ﺗﻠ ف ﺟﮭ ﺎز ﺣﺎﺳ ب آﻟ ﻲ ھ و p 0.25وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك اﺣﺗﻣ ﺎل أن اﻟﺟﮭ ﺎز اﻵﻟﻲ ﺳﻠﯾم ھو q 0.75وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن : 5 P(X x) (0.25) x (0.75)5 x , x 0,1,2,3,4,5 . x 5 243 P(X 0) (0.25)0 (0.75)5 , 1024 0 5 405 P(X 1) (0.25)1 (0.75)4 , 1024 1 5 270 P(X 2) (0.25)2 (0.75)3 , 1024 2 5 90 P(X 3) (0.25)3 (0.75)2 , 1024 3 5 15 P(X 4) (0.25)4 (0.75)1 , 1024 4 5 1 P(X 5) (0.25) 5 (0.75) 0 . 1024 5
5
4
3
2
1
0
1 1024
15 1024
90 1024
270 1024
405 1024
243 1024
x
) P(X x
3 243 405 270 ( E(X) xf (x) 0 ( ) 1 () 2 ) 1024 1024 1024 x o 90 15 1 (3 () 4 () 5 ) 1.25 1024 1024 1024 وﻓﯾﻣـﺎ ﯾﻠــﻰ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗــوب ﺑﻠﻐـﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛــﺎ ﺗـم اﻋــدادﻩ ﻟﺣﺳـﺎب اﻟﺗوﻗــﻊ اﻟرﯾﺎﺿـﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ
اﻟﺧـﺎص ﺑﻬــذا اﻟﻣﺛــﺎل .وﻗـد ﺗــم ﺗﻌرﯾــف داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﺑﺎﻟداﻟــﺔ fوﻋـدد اﻻﺟﻬـزة اﻟﻣوﺻــﻠﺔ ﻓــﻰ اﻟﻣرﻛز واﻟﻣﻌرﺿﺔ ﻟﻠﺗﻠف واﻟﻣﺳﻣﺎﻩ nو ﻗـﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ اﻟﻣﺳـﻣﺎﻩ . aوﺳـوف ﻧﺳـﺗﺧدم اﻻﻣـر ٦٥
Clearﻻزاﻟﺔ اى ﻣﺳـﻣﯾﺎت ﺳـﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠداﻟـﺔ fان وﺟـدت .اﻻﺣﺗﻣـﺎﻻت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔـﺔ ﺗـم اﻟﺣﺻـول ﻋﻠﯾﻬـﺎ ﺑطـ ـرﯾﻘﺗﯾن ،اﻟطرﯾﻘ ــﺔ اﻻوﻟ ــﻰ واﻟﻣﺳ ــﻣﺎﻩ bواﻟطرﯾﻘ ــﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ــﺔ واﻟﻣﺳـ ـﻣﺎﻩ .dاﻻﻣ ــر cاﺛﺑ ــت ان ﻣﺟﻣ ــوع اﻻﺣﺗﻣــﺎﻻت ﻋﻠــﻰ ﻓﺿــﺎء اﻟﻌﯾﻧــﺔ ﯾﺳــﺎوى واﺣــد ﺻــﺣﯾﺢ ،وﻗــد ﺗــم ﻛﺗﺎﺑﺗــﻪ اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ ﺑﺻــﯾﻐﺔ اﻻدﺧــﺎل
وﺑﺎﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ .وﻗد ﺗـم ﺣﺳـﺎب اﻟﻘﯾﻣـﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌـﺔ ﺑطـرﯾﻘﺗﯾن ﻣـرة ﺑﺻـﯾﻐﺔ اﻻدﺧـﺎل وﻣـرة ﺑﺎﻟﺻـﯾﻐﺔ اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ . n=5;p=.25 0.25 ]Clear[f
fx_ : Binomialn, x px 1 p nx ]}a=Table[x,{x,0,n }{0,1,2,3,4,5 ]}b=Table[f[x],{x,0,n {0.237305,0.395508,0.263672,0.0878906,0.0146484,0.0009765 }63 n
c fx x0
1. ]c=Apply[Plus,b 1. ]d=Map[f,a {0.237305,0.395508,0.263672,0.0878906,0.0146484,0.0009765 }63 cc=a*b }{0,0.395508,0.527344,0.263672,0.0585938,0.00488281 ]=Apply[Plus,cc 1.25 n
x fx x0
1.25
ﻣﺛﺎل)(١٨-٣ اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺣﺻل ﻻﻋب ﻛرة اﻟﺗﻧس ﻋﻠﻰ ھدف ﻓﻲ أي ﻣﺑﺎراة ﯾﻠﻌﺑﮭﺎ ھو ، 0.3اوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻌدد اﻷھداف اﻟﺗﻲ ﯾﻛﺳﺑﮭﺎ ﻓﻲ ﺧﻣس ﻣﺑﺎرﯾﺎت ﻗﺎدﻣﺔ.
اﻟﺣــل : x 0 ,1, 2 ,3, 4 ,5
ﺑﻣﺎ أن اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺣﺻل ﻋﻠﻰ ھدف ﻓﻲ أي ﻣﺑﺎراة ﯾﻠﻌﺑﮭﺎ ھو p 0.3وﻋﻠﻰ ذﻟك اﺣﺗﻣﺎل أن ﻻ ﯾﺣﺻل ﻋﻠﻰ ھدف ھو q 0.7وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن:
٦٦
5 P(X x) (0.3) x (0.7)5 x , x 1,2,3,4,5 . x 5 P(X 0) (0.3)0 (0.7)5 0.16807 , 0 5 P(X 1) (0.3) 1 (0.7) 4 0.36015 , 1 5 P(X 2) (0.3) 2 (0.7) 3 0.3087 , 2 5 P(X 3) (0.3) 3 (0.7) 2 0.1323 , 3 5 P(X 4) (0.3)4 (0.7)1 0.02835 , 4 5 P(X 5) (0.3) 5 (0.7) 0 0.002 . 5 x
0
1
2
3
4
5
P(X x )
0.16807
0.36015
0.3087
0.1323
0.02835
0.002
E(X) 0 (0.16807) 1 (0.36015) 2 (0.3087) 3 (0.1323) 4 (0.02835) 5(0.00243) 1.502 .
وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻟﺣﺳﺎب اﻟﺗوﻗﻊ اﻟرﯾﺎﺿﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ . اﻟﺧﺎص ﺑﻬذا اﻟﻣﺛﺎل n=5;p=.3 0.3 Clear[f]
fx_ : Binomialn, x px 1 p nx a=Table[x,{x,0,n}] {0,1,2,3,4,5} b=Table[f[x],{x,0,n}] {0.16807,0.36015,0.3087,0.1323,0.02835,0.00243} n
c fx x0
1. c=Apply[Plus,b] 1. d=Map[f,a] {0.16807,0.36015,0.3087,0.1323,0.02835,0.00243} cc=a*b {0,0.36015,0.6174,0.3969,0.1134,0.01215} =Apply[Plus,cc] 1.5
٦٧
n
x fx x0 1.5
) (٣-٢-٣اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗوﻗﻌﺔ ﻟداﻟﺔ The Expected Value of a Function ﻋ ــﺎدة ﯾﻛـ ــون اﻻﻫﺗﻣـ ــﺎم ﺑﺎﻟﻘﯾﻣـ ــﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌـ ــﺔ ﻟ ــﺑﻌض اﻟـ ــدوال ) u(Xأﻛﺛـ ــر ﻣـ ــن اﻻﻫﺗﻣـ ــﺎم ﺑﺎﻟﻘﯾﻣـ ــﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌـﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر . Xﻓﻌﻠـﻰ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل ﻓـﺈن ﻣﺳـﺎﺣﺔ ﻗـرص ﯾﻛـون داﻟـﺔ ﻓـﻲ ﻧﺻـف اﻟﻘطـر أي أن . Y X2 ﻣﺛﺎل )(١٩-٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل : 8 .2
4 .5
6 .3
x )f(x
ٕواذا ﻛﺎﻧت :
Y u(X) 20 3X .5 X 2 ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ) g(yﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yﻫﻲ : 76 .2
56 .3
y
40 .5
)g(y
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن :
)E(Y) E[u(X)] yg(y y
) (40)(.5) (56)(.3) (76)(.2 ) u(4).(.5) u(6).(.3) u(8).(.2 u(x).f (x) 52. x
وﻓﯾﻣـ ـ ــﺎ ﯾﻠ ـ ـ ــﻰ ﺑرﻧـ ـ ــﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗ ـ ـ ــوب ﺑﻠﻐـ ـ ــﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛ ـ ـ ــﺎ ﺗـ ـ ــم اﻋ ـ ـ ــدادﻩ ﻻﯾﺟـ ـ ــﺎد اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌ ﺔ ﻟ ـ Y u(X) 20 3X .5 X 2وھذه اﻟداﻟﺔ ﺗم ﺗﻌرﯾﻔﮭﺎ ﺑﺎﻻﺳم uو ﻗـﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ
Xاﻟﻣﺳﻣﺎﻩ . aاﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ bو ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ Y
اﻟﻣﺳـﻣﺎﻩ
yو ﻫو اﻟﺗوﻗﻊ اﻟﻣطﻠوب . ]Clear[u,f
ux_ : .5x2 3x 20 }a={4,6,8 ٦٨
}{4,6,8 }b={.5,.3,.2 }{0.5,0.3,0.2 ]y=Map[u,a }{40.,56.,76. c=b*y }{20.,16.8,15.2 ]=Apply[Plus,c 52.
ﺗﺑﻌ ــﺎ ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟ ــﺔ اﻟﺳـ ــﺎﺑﻘﺔ ﯾﻛ ــون ﻣـ ــن اﻟﺿ ــرورى ﺗﻘ ــدﯾر داﻟـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣـ ــﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷ ـ ـواﺋﻲ Y ﻟﻠﺣﺻـول ﻋﻠـﻰ ) . E(Yﺑــدﻻً ﻣـن ذﻟـك ﻓـﺄن اﻟﻘﯾﻣـﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌــﺔ اﻟﻣطﻠوﺑـﺔ ﻫـﻲ اﻟﻣﺗوﺳــطﺔ اﻟﻣـرﺟﺢ ﻟﻛــل ﻗﯾم ) . u (X
ﻧظرﯾــــﺔ :إذا ﻛ ــﺎن Xﻣﺗﻐﯾـ ـراً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﻣﺗﻘطﻌ ــﺎً ﺑداﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﺣﺗﻣ ــﺎل )ٕ f(xواذا ﻛﺎﻧ ــت ) u(xﻗﯾﻣ ــﺔ ﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻟداﻟﺔ ﻣﺟﺎﻟﻬﺎ ﻛل اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن Xﻓﺈن : )E u(X) u(x) f (x x
ﺗﺑﻌـﺎً ﻟﻠﻧظرﯾـﺔ اﻟﺳـﺎﺑﻘﺔ ﻓـﺈن ]) E [u (xﯾﻣﻛـن ﺣﺳـﺎﺑﻬﺎ ﺑـﻧﻔس طرﯾﻘـﺔ ﺣﺳـﺎب ) E (Xﻓﯾﻣـﺎ ﻋـدا )u(x ﺗﺣل ﻣﺣل . x
ﻣﺛﺎل)(٢٠-٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾرا ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﺑﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻣﻌطﻰ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ أوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ 2 ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر )-: (X 1 2 1 4
1 3 8
0 1 4
1 1 8
x ) P(X x
اﻟﺣــل : 2
)E(X 2 1) (x 2 1) f(x I 1
2
) [(1) 1] f(-1) [(0) 2 -1] f(0) [(1)1 1] f(1) [(2)2 1] f(2 1 1 3 1 1 (0)( ) (1)( ) (0)( ) (3)( ) 8 4 8 4 2 2 وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟـ )-: (X 1
٦٩
وﺳـوف ﻧﺳـﺗﺧدم اﻻﻣـر Clearﻻ ازﻟـﺔ اى ﻣﺳـﻣﯾﺎت ﺳـﺎﺑﻘﺔ ﻟ ـ f ,uان وﺟـدت وﻗـد ﺗـم ﺗﻌرﯾـف اﺧـر ﻗﯾﻣـﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ واﻟﻣﺳـﻣﺎﻩ nو ﻗـﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ اﻟﻣﺳـﻣﺎﻩ . aاﻻﺣﺗﻣـﺎﻻت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔـﺔ 2 ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ bو ﻫو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟـ ). (X 1 n=2 2 ]Clear[u,f
ux_ : x2 1 ]}a=Table[x,{x,-1,n }{-1,0,1,2
1 1 3 1 f , , , 8 4 8 4 1 1 3 1 , , , 8 4 8 4
]}b=Table[u[x],{x,-1,n }{0,-1,0,3 c=f*b
1 3 , 0, 4 4
0,
]=Apply[Plus,c
1 2
ﻣﺛﺎل )(٢١-٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ : x 0 1 2 3 4 5 6 ) f (x 1 2 3 3 5 1 1 16 16 16 16 16 16 16 أوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر u(X) = Y = (X – 3 )2ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺻﯾﻐﺔ ]). E[u(X اﻟﺣــل: 6
) E[u ( x )] E(X 3) 2 ( x 3) 2 f ( x x 0
1 1 (0 3) 2 ... (6 3) 2 16 16 19 Y . 8 وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر:Y ٧٠
u(X) = Y = (X – 3 )2وﺳـوف ﻧﺳـﺗﺧدم اﻻﻣـر Clearﻻ ازﻟـﺔ اى ﻣﺳـﻣﯾﺎت ﺳـﺎﺑﻘﺔ ﻟ ـ u, f ان وﺟـدت .ﻗـﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ اﻟﻣﺳـﻣﺎﻩ . aاﻻﺣﺗﻣـﺎﻻت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔـﺔ ﻓـﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣـﺔ اﻟﻣﺳـﻣﺎﻩ fو
ﻫو اﻟﺗوﻗﻊ اﻟﻣطﻠوب .
]Clear[u,f
ux_ : x 32 ]}a=Table[x,{x,0,6 }{0,1,2,3,4,5,6
1 2 3 3 5 1 1 , , , , , , 16 16 16 16 16 16 16
f
1 1 3 3 5 1 1 , , , , , , 16 8 16 16 16 16 16
]}c=Table[u[x],{x,0,6 }{9,4,1,0,1,4,9 d=c*f
9 1 3 5 1 9 , , , 0, , , 16 2 16 16 4 16
]=Apply[Plus,d
19 8
وﺳوف ﻧﺣل ﻧﻔس اﻟﻣﺛﺎل ﺑطرﯾﻘﺔ اﺧرى اﻛﺛر اﺧﺗﺻﺎ ار :
;}x={0,1,2,3,4,5,6 ;}f={1/16,2/16,3/16,3/16,5/16,1/16,1/16
u x 32 }{9,4,1,0,1,4,9 c=u*f
9 1 3 5 1 9 , , , 0, , , 16 2 16 16 4 16
]Apply[Plus,c
ﺑوﺿﻊ u (X ) (X ) 2ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺗوﻗﻌﺔ ﺧﺎﺻﺔ وﻣﻬﻣﺔ :
19 8
ﺗﻌرﯾف :اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﻫو :
Var(X) E[(X )2 ﻫﻧﺎك رﻣوز أﺧرى ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن ﻣﺛل 2أو 2Xأو ) . V(xاﻟﺟذر اﻟﺗرﺑﯾﻌـﻲ ﻟﻠﺗﺑـﺎﯾن ﯾﺳـﻣﻲ اﻻﻧﺣـراف اﻟﻣﻌﯾﺎري standard deviationﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ .Xأي أن :
) X Var(X ﯾﻌطــﻲ اﻟﺗﺑــﺎﯾن ﻣﻘﯾــﺎس ﻟﻠﺗﺷــﺗﯾت variabilityأو ﻛﻣﯾــﺔ اﻻﻧﺗﺷــﺎر spreadﻟداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر . X
٧١
ﻣﺛﺎل )(٢٢-٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﺑداﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل : 4
3
2
1
x
2 8
3 8
2 8
1 8
)f(x
أوﺟد اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ . X اﻟﺣــل: ﯾﺣﺗوي اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﺣﺳﺎب اﻟﺗﺑﺎﯾن : ) ( x ) 2 f ( x
(x ) 2
)(x
)x f (x
) f (x
x
49 128 18 128 3 128 50 128 120 2 128
49 16 9 16 1 16 25 16
7 4 3 4 1 4 5 4
1 8 4 8 9 8 8 8
1 8 2 8 3 8 2 8
1
22 8
أي أن :
٧٢
2 3 4 اﻟﻣﺟﻣوع
22 , 8
E(X) xf (x) x
2 Var(X) E[X ]2 120 . 128
(x )2 f (x) x
وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺧطوات اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ : KnoxProb ﻧﺗﺑــﻊ ﻧﻔــس اﻟﺧط ـوات اﻟﺗــﻰ اﺗﺑﻌــت ﻓــﻰ اﻟﻣﺛــﺎل ) (٦-٣ﺣﺗــﻰ اﻟوﺻــول اﻟــﻰ اﻟﺟــزء Sec 2.1ﻣــن اﻟﻔﺻــل اﻟﺛ ــﺎﻧﻰ .وﻫﻧ ــﺎ ﯾــﺗم ﺗﺻ ــﻔﺢ ﻫ ــذا اﻟﺟــزء ﺣﺗ ــﻰ ﯾ ــﺗم اﻟوﺻــول اﻟ ــﻰ اﻟﺷ ــﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻰ ﺣﯾ ــث ﯾ ــﺗم
اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﻠﺟزء اﻟﻣظﻠل ﺑﺎﻟﻠون اﻟرﻣﺎدى :
ﺛ ــم ﯾ ــﺗم ﺗﻧﻔﯾ ــذ اﻟﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ وذﻟ ــك ﺑﺎﻟﺿ ــﻐط ﻋﻠ ــﻰ
kernelﻣ ــن ﻗﺎﺋﻣ ــﺔ ﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛ ــﺎ ﺛ ــم ﻋﻠ ــﻰ
evaluate cellوﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ .
ﻓﻧﺿﻐط okﻓﯾظﻬر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
٧٣
وﯾﺗم ذﻟك ﻟﺗﺣﻣﯾل ﻫذا اﻟﺟزء .ﺛم ﯾﺗم ﺗﺣدﯾد اﻟﺟزء اﻟرﻣﺎدى ﻛﻣﺎ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
وﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣﻧﻪ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر Copyوﺗﻧﻘل اﻟﻰ ﻣﻠف ﺟدﯾد ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﯾﺗم ﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ ﺛم ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﺗﺣدﯾدﻩ ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠـﻰ kernelﻣـن ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ evaluate cellوﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ .
ﻓﻧﺿﻐط okﻓﯾظﻬر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
٧٤
وﻓﻰ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣن اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ وﻧﻧﻘﻠﻬﺎ اﻟﻰ Wordﻛﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل . وﻋﻧد اﻟﺧروج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ Knoxprobﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
وﻧﺿﻐط Don'tsaveوذﻟك ﺣﺗﻰ ﻻ ﯾﺣدث ﺗﻐﯾرات ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ .Knoxprob
ﻧﻔس اﻟﺧطوات ﺳوف ﻧﺗﺑﻌﻬﺎ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺑﺎﯾن و اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﺣﯾث ﻧﺗﺻﻔﺢ اﻟﺟزء Sec 2.1ﺣﺗﻰ ﻧﺻل اﻟﻰ اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
٧٥
وﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ ﺷرﺣﻧﺎﻫﺎ ﻓﻰ اﯾﺟﺎد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺑﺎﯾن واﻻﻧﺣراف
اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ :
squared
N1 21 8 2 22 8 3 23 8 4 22 8 N squared 0.9375 0.968246
ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﺑداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﺣﺗﻣـﺎل )ٕ f(xواذا ﻛـﺎن a, bﻣﻘـدارﯾن ﺛﺎﺑﺗﯾن وﻛﺎن ) g(x) , h(xﻗﯾﻣﺗﺎن ﺣﻘﯾﻘﯾﺗﺎن ﻟداﻟﺗﯾن ﻣﺟﺎﻟﻬﻣﺎ ﻛل اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن Xﻓﺈن :
])E[a g(X) b h(X)] aE [g(X)] bE[ h(X ﻧﺗﯾﺟﺔ :
E a X + b = a E(X) + b ﻧﺗﯾﺟﺔ : إذا ﻛﺎﻧت b = 0ﻓﺈن : )E ( a X ) = a E (X ﻧﺗﯾﺟﺔ : إذا ﻛﺎﻧت a = 0ﻓﺈن : ٧٦
E (b) = b
ﺻﯾﻐﺔ ﻣﺧﺗﺻرة ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن The Expected A Shortcut Formula 2 ﻋــدد اﻟﻌﻣﻠﯾ ــﺎت اﻟﺣﺳ ــﺎﺑﯾﺔ اﻟﺿ ــرورﯾﺔ ﻟﺣﺳ ــﺎب 2ﯾﻣﻛ ــن اﺧﺗزاﻟﻬ ــﺎ ﺑﺎﺳ ــﺗﺧدام اﻟﺻ ــﯾﻐﺔ اﻟﺑدﯾﻠ ــﺔ
اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
Var(X) 2 E(X) 2 [E(X)]2 x 2f (x) 2 . x
ﻛﻣ ــﺎ ذﻛرﻧ ــﺎ ﺳ ــﺎﺑﻘﺎ ﻓ ــﺈن اﻟﺗﺑ ــﺎﯾن ﯾﻣ ــدﻧﺎ ﺑﻣﻘﯾ ــﺎس ﻟﻛﻣﯾ ــﺔ اﻻﻧﺗﺷ ــﺎر ﻓ ــﻲ داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل أو اﻟﺗﺷـﺗت ﺣــول ﻋﻧﺎﺻــر اﻟﻣﺟﺗﻣــﻊ .إذا ﻛــﺎن Xﯾﺄﺧــذ ﻗﯾﻣــﺔ واﺣــدة ﻓﻘــط ،أي أن P(X=c) =1ﻓــﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ E(X) = cو . Var(X) = 0 ﻣﺛﺎل )(٢٣-٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل : f(x) = .5 x=2 = .25 x = 4, 8 اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻬذﻩ اﻟداﻟﺔ ﯾﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : E(X) = (2) (.5) + (4) (.25) + (8) (.25) = 4 , )E(X2) = (22) (.5) + 42 (.25) + 82 (.25 = 22 . اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻫو : 2 E(X 2 ) [E(X)]2 22 4 2 6.
اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻫو :
. 6 2.45
وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﺗﺑﺎﯾن واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻣﺧﺗﺻرة ﺣﯾث ﻣﺳﻣﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ وSgmasg
ﻣﺳﻣﻰ اﻟﺗﺑﺎﯾن و sigmaﻣﺳﻣﻰ اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ) اﻻن ﯾﻣﻛن ﻟﻠﻘﺎرئ ان ﯾﻔﻬم ﺧطوات اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣن اﻟﺷرح اﻟﺳﺎﺑق (: }xx={2,4,8 }{2,4,8
x2 xx2 }{4,16,64 }fx={.5,.25,.25 }{0.5,0.25,0.25 ٧٧
c=xx*fx {1.,1.,2.}
d xx2 fx {2.,4.,16.} =Apply[Plus,c] 4. ex=Apply[Plus,d] 22.
sgmasq ex 2 6.
sgma
sgmasq
2.44949
(٢٤-٣) ﻣﺛﺎل .(٢٢-٣) أوﺟد اﻟﺗﺑﺎﯾن ﺑﺎﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻣﺧﺗﺻرة ﻟﻠﻣﺛﺎل
x
f (x )
x f (x)
x2
x 2 f (x)
1
1 8 2 8 3 8 2 8
1 8 4 8 9 8 8 8
1
1 8 8 8 27 8 32 8
2 3 4 اﻟﻣﺟﻣوع
4 9 16
22 8
E (X 2 )
68 8 : وﻋﻠﻰ ذﻟك
22 , 8 x 68 x 2 f (x) , 8
E(X) x f (x) E(X 2 ) x
Var(X) E(X 2 ) [E(X)]2 68 22 2 ( ) 0.9375. 8 8
٧٨
15 0.9375 16 وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﺗﺑﺎﯾن واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻬذا
اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻣﺧﺗﺻرة ﺣﯾث ﻣﺳﻣﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ وsgmasg
ﻣﺳﻣﻰ اﻟﺗﺑﺎﯾن و sigmaﻣﺳﻣﻰ اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى :
}xx={1,2,3,4 }{1,2,3,4
x2 xx2 }{1,4,9,16 }fx={1/8,2/8,3/8,2/8
1 1 3 1 , , , 8 4 8 4
c=xx*fx
1 1 9 , , , 1 8 2 8 d xx2 fx 1 27 , 1, , 4 8 8
]=Apply[Plus,c
11 4 ]ex=Apply[Plus,d
17 2
sgmasq Nex 2
0.9375
sgma N sgmasq 0.968246
ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً وﻛﺎن b, aﺛﺎﺑﺗﯾن ﻓﺈن : )Var ( a X + b ) = a2 Var (X اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﻌﻧـﻲ أن إﺿـﺎﻓﺔ اﻟﺛﺎﺑـت bﻻ ﯾـؤﺛر ﻋﻠـﻰ اﻟﺗﺑـﺎﯾن وذﻟـك ﻷن إﺿـﺎﻓﺔ bﻏﯾـر اﻟﻣوﻗـﻊ ) اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ( وﻟم ﯾؤﺛر ﻋﻠﻰ اﻧﺗﺷﺎر اﻟﻘﯾم . ﻧﺗﯾﺟﺔ :
ax a . x
2aX a 2 2X
,
وﺟــود اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌــﺔ ﻓــﻲ ﺻــﯾﻐﺔ اﻻﻧﺣ ـراف اﻟﻣﻌﯾــﺎري aXﺳــﺑﺑﻬﺎ أن aﻗــد ﺗﻛــون ﺳــﺎﻟﺑﺔ ﺑﯾﻧﻣﺎ اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻻ ﯾﻣﻛن أن ﯾﻛون ﺳﺎﻟب .
٧٩
ﻧﺗﯾﺟﺔ :
2X b X2 . إذا ﻛ ـ ــﺎن Xﻣﺗﻐﯾـ ـ ـراً ﻋﺷـ ـ ـواﺋﯾﺎً ﺑﻣﺗوﺳ ـ ــط واﻧﺣـ ـ ـراف ﻣﻌﯾ ـ ــﺎري ﻓ ـ ــﺈن اﻟﻣﺗﻐﯾ ـ ــر اﻟﻌﺷـ ـ ـواﺋﻲ X u(X) Y ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﻣﻌﯾﺎري ) أو اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ( ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر .Xﻣن اﻟﺳﻬل إﺛﺑﺎت أن: E(Y) 0 , Var(Y) =1. ﻣﺛﺎل )(٢٥-٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻷﺳرة اﻟﺗﻲ ﺗـزور ﻋﯾـﺎدة طﺑﯾـﺔ ﺳـﻧوﯾﺎً ٕواذا ﻛﺎﻧـت داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻲ : 4 .03
3
2
1
0
x
.05
.15
.40
.37
)f(x
أوﺟد اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Yﺣﯾث
. Y (X ) /
اﻟﺣــل: X .9891 .9945 .
X2 .9891
,
ﯾﻌطﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ .Y ) P ( X x ) P( Y y اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﻌﯾﺎرﯾﺔ y [(x E(X)]/ .37 .40 .15 .05 .03
-.98 .03 1.04 2.04 3.05
X .97
x 0 1 2 3 4
وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻻﯾﺟﺎد ﻗﯾم. Y وﻗد اﺳﺗﻌﻧﺎ ﺑﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbﻻﯾﺟﺎد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X }a={0,1,2,3,4 }{0,1,2,3,4 ])=N[(0)(.37)+(1)(.4)+(2)(.15)+(3)(.05)+(4)(.03 0.97 ٨٠
squared 02.3712.422.1532.0542.03 N squared
x
0.9891 0.994535
fx_ :
]y=Map[f,a }{-0.97533,0.0301648,1.03566,2.04115,3.04665
ﻣﺛﺎل )(٢٦-٣
e 1 f (x) !x
, x 0,1,2, أوﺟد :
)). ( ( 1
اﻟﺣــل:
e 1 )( ( 1)) x(x 1 !x x 0 1 e e 1 . (x !)2 !y x 2 y 0
ﻻﺣـظ ﻓــﻲ ﻫـذﻩ اﻟﺣﺎﻟــﺔ أن اﻟﻣﺟﻣــوع ﻣﺗﻘـﺎرب ﻧﺣــو اﻟﻌـدد eو ﻫــذا ﯾﻌﻧــﻲ أن اﻟﺗوﻗـﻊ أﻋــﻼﻩ ﻣوﺟــود و ﻣﺳﺎو إﻟﻰ . e1 e 1 ٍ
وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻻﯾﺟﺎد
)): ( ( 1
Exp1 xx 1 x
fx_ :
]}a=Sum[f[x],{x,0, 1
) (٤-٢-٣اﻟﻌزوم Moments ﺑﻔرض أن u(X) = X rﻓﺈن اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﺣول ﻧﻘطﺔ اﻷﺻل ﯾﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
'r E (X r ) x r f ( x ) , r 1,2,3,...
)أ( ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون r = 0ﻓﺈن :
٨١
'0 E(X 0 ) x 0f (x) f (x) 1 x
x
)ب( ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون r 1ﻓﺈن : 1' E(X) x f (x) . x
ﺑﻔرض أن u (X ) (X ) rﻓﺈن اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﯾﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ: r E(X ) r (x ) r f (x),r 1, 2,3,... x
)أ( ﻋﻧدﻣﺎ r = 1ﻓﺈن . 1 0
)ب( ﻋﻧدﻣﺎ r = 2ﻓﺈن . 2 2
ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋن اﻟﻌزم ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﺑدﻻﻟﺔ اﻟﻌزم ﺣول اﻟﺻﻔر ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻧدﻣﺎ r = 2ﻓﺈن :
2 2 ( ) 2 j 'j j0 j 2
2
2 () 2 '0 () 1' '2 1 2 2 2 '2 . أي أن :
2 '2 2 . ﺑﻔرض أن ) u(X) = X(X-1) (X-2) …(X-j+1ﻓﺈن : ﻋزم اﻟﻣﺿروب ) اﻟﻌزم اﻟﻌﺎﻣﻠﻰ ( ﻣن اﻟدرﺟﺔ jﻫو : [ j] E[X(X 1)(X 2)...(X j 1)] . )أ( ﻋزم اﻟﻣﺿروب اﻷول ﻫو : [1] E(X) x f (x) . x
)ب( ﻋزم اﻟﻣﺿروب اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻫو : 2
)[2] E[X(X 1)] x f (x) x f (x) E(X 2 ) E(X x
x
'2 . و ﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن :
'2 [ 2] . ٨٢
)ج( ﻋزم اﻟﻣﺿروب اﻟﺛﺎﻟث ﻫو :
])[3] E[X(X 1)(X 2 3' 3'2 2 . وﻣﻧﻬﺎ :
'3 [3] 3[2] [1] .
r
X u(X) ﻓـ ــﺈن اﻟﻌـ ــزم اﻟﻘﯾﺎﺳـ ــﻲ ﻣ ــن اﻟدرﺟـ ــﺔ ) rاﻟﻣﻌﯾـ ــﺎري ( ﻟﻣﺗﻐﯾـ ــر ﺑﻔ ــرض أن ﻋﺷواﺋﻲ X ﯾﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : r
r
X x r E ) f (x x r 1,2,3,.... ﻋﻧدﻣﺎ r = 1ﻓﺈن : 1 0 .
ﻋﻧدﻣﺎ r = 2ﻓﺈن: 2 1.
ﻋﻧدﻣﺎ r = 3ﻓﺈن :
3 . 32 / 2
3
واﻟذي ﯾﺳﻣﻲ ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء . ﻋﻧدﻣﺎ r = 4ﻓﺈن :
4 . 22
4
واﻟذي ﯾﺳﻣﻲ ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ . ﻣﺛﺎل)(٢٧-٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل : 4 0.25
2 0.25
3 0.5
٨٣
x )3 f(x
)أ( أوﺟد اﻟﻌزوم اﻷرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﺻﻔر وﺣول اﻟﻣﺗوﺳط . )ب( ﺣﺳﺎب ﻋزوم اﻟﻣﺿﺎرﯾب اﻷرﺑﻌﺔ.
)ج( اﻟﻌزوم اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ وﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء وﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ . اﻟﺣــل: ) أ ( اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻼزﻣﻪ ﻟﺣﺳﺎب اﻟﻌزوم اﻷرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﺻﻔر ﻣﻌطﺎﻩ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ : ﻣن اﻟﺟدول ﻧﺟد أن اﻟﻌزوم ﺣول اﻟﺻﻔر ﻫﻲ :
1 3 , 2 9.5 , 3 31.5 , 4 108.5.
x 4 f x
x 3 f x
x 2 f x
xf x
f x
x
4
2
1
0.5
0.25
2
40.5
13.5
4.5
1.5
0.5
3
64
16
4
1
0.25
4
108.5
31.5
9.5
3
1
اﻟﻣﺟﻣوع
اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﺣﺳﺎب اﻟﻌزوم اﻷرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ :
x x f x
x f x x f x x f x 4
2
3
f x
x
0.25
0.25
0.25
0.25
1
0.25
2
0
0
0
0
0
0.5
3
0.25
0.25
0.25
0.25
1
0.25
4
0.5
0
0.5
0
0
1
اﻟﻣﺟﻣوع
,
4 0.5.
3 0
,
2 0.5
1 0 ,
)ب( ﺣﺳﺎب ﻋزوم اﻟﻣﺿﺎرﯾب اﻷرﺑﻌﺔ ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ﻫﻰ : 4 6
,
3 9
, ٨٤
2 6.5
,
1 3
) ج ( اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ﯾﻌطﻲ اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﻌزوم اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ : وﻟﻛن أوﻻً :ﺑﻔرض أن
اﻟﺟدول ﺳﯾﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺻورﻩ اﻟﺗﺎﻟﯾﻪ:
X
Z u X
z 4 gz
z 3 gz
z 2 gz
zg z
gz
z
f x
x
0.999 1
0.706
0.455 0.5
0.3535
0.25
1.414
0.25
2
0
0
0
0
0.5
0
0.5
3
0.999 1
0.706
0.455 0.5
0.3535
0.25
1.414
0.25
4
1.999 2
0
1
0
1
0
1
اﻟﻣﺟﻣوع
4 1.998 2.
3 0 ,
2 1 ,
ﻣن اﻟواﺿﺢ أن 3ﻫو ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء و ﯾﻌطﻰ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ:
3 2 3 2
3
و أن 4ﻫو ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ و ﯾﻌطﻰ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ:
4 22
4
وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﺣﯾث
, 2 , 3 , 4 اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟﻠﻌزوم اﻷرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﺻﻔر و :
z11, z 22, z33, z44 اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟﻌزوم اﻟﻣﺿﺎرﯾب اﻻرﺑﻌﺔ اﻻوﻟﻰ و :
ex1, ex 2, ex 3, ex 4 ٨٥
1 0 ,
: اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟﻠﻌزوم اﻻرﺑﻌﺔ ﺣول اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ و وz1, z 2, z3, z4
. اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟﻠﻌزوم اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ اﻻرﺑﻌﺔ
alf 3, alf 4 و اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ : وﻣﻦ اﻟﻤﻌﻠﻮم ان. ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﻟﺘﻮاء واﻟﺘﻔﻠﻄﺢ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻰ
3 =alf3 , =(2)(.25)+(3)(.5)+(4)(.25) 3. xx={2,3,4}; fx={.25,.5,.25}; c=xx*fx; d=xx^2*fx; e=xx^3*fx; 4=Apply[Plus,f] f=xx^4*fx; 108.5 =Apply[Plus,c] 3. 2=Apply[Plus,d] 9.5 3=Apply[Plus,e] 31.5 4=Apply[Plus,f] 108.5 cc=(xx-)*fx {-0.25,0.,0.25}
dd xx 2 fx {0.25,0.,0.25}
ee xx 3 fx {-0.25,0.,0.25}
ff1 xx 4 fx {0.25,0.,0.25} ex1=Apply[Plus,cc] 0. ex2=Apply[Plus,dd] 0.5 ex3=Apply[Plus,ee] 0. ex4=Apply[Plus,ff1] 0.5
ex4
0.707107 ٨٦
4 =alf4
a1=xx*fx {0.5,1.5,1.} a2=xx(xx-1)*fx {0.5,3.,3.} a3=xx(xx-1)(xx-2)*fx {0,3.,6.} a4=xx(xx-1)(xx-2)(xx-3)*fx {0,0,6.} z11=Apply[Plus,a1] 3. z22=Apply[Plus,a2] 6.5 z33=Apply[Plus,a3] 9. z44=Apply[Plus,a4] 6.
r1
xx
fx
{-0.353553,0.,0.353553}
r2
xx
2
fx
{0.5,0.,0.5}
r3
xx
3
fx
{-0.707107,0.,0.707107}
r4
xx
4
fx
{1.,0.,1.} z1=Apply[Plus,r1] 0. z2=Apply[Plus,r2] 1. z3=Apply[Plus,r3] 0. z4=Apply[Plus,r4] 2.
alf3
z3 2
z2 3 0.
alf4
z4 z22
2.
(( اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ )اﻟﻣﺳﺗﻣرة٣-٣) Continuous Probability Distributions ٨٧
ﻣن ﺻﻔﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ اﻟﻣﺗﺻل اﻧﮫ ﻻ ﯾﻣﻛن أن ﯾﻛون ھﻧﺎك اﺣﺗﻣ ﺎل ﻣوﺟ ب ﻣراﻓ ق ﻟﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر أي أن P(X x) 0وﻟﻛن ﯾﻛون ھﻧﺎك اﺣﺗﻣﺎل ﻣراﻓق ﻟﻛل ﻓﺗ رة ﻣ ن ﻓﺗرات اﻟﻣﺗﻐﯾر .وﻟﮭذا ﻻ ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﺗﺻ ل ﺑﺟ دول وﻟﻛ ن ﻧﻌﺑ ر ﻋﻧ ﮫ ﺑﺻ ﯾﻐﺔ داﻟ ﺔ ) f (xواﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ ﻣﻰ داﻟ ﺔ ﻛﺛﺎﻓ ﺔ اﻻﺣﺗﻣ ﺎل probability density . functionاﻟﺗﻣﺛﯾ ل اﻟﺑﯾ ﺎﻧﻲ ﻟﻠداﻟ ﺔ ) f (xﺳ وف ﯾﻛ ون ﻣﺗﺻ ل وﯾﺄﺧ ذ أﺷ ﻛﺎل ﻛﺛﯾ رة .واﺣ د ﻣ ن ھ ذه اﻷﺷ ﻛﺎل ﻣوﺿ ﺢ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ وﻻﺑ د أن ﺗﻛ ون اﻟﻣﺳ ﺎﺣﺔ ﺗﺣ ت ﻣﻧﺣﻧ ﻰ اﻟداﻟ ﺔ )f (x واﻟﻣﺣددة ﺑﻣﺣور ﺗﺳﺎوي اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ .أﯾﺿﺎ اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺄﺧذ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﻗﯾﻣ ﺔ ﺑ ﯾن x x 2و x x1ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﺗﺣت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓ ﺔ اﻻﺣﺗﻣ ﺎل ﺑ ﯾن x x1و x x 2 .اﻟﻣﺳ ﺎﺣﺔ ﺑﺎﻟﺿ ﺑط ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ط رق اﻟﺗﻛﺎﻣ ل .وﻷن اﻟﻣﺳ ﺎﺣﺎت ﺗﻣﺛ ل اﺣﺗﻣﺎﻻت واﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻗﯾم ﻣوﺟﺑﺔ ،ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻻﺑد أن ﺗﻛون ﻓوق ﻣﻧﺣﻧﻰ . x
ﺗﻌرﯾف: اﻟداﻟﺔ ) f (xﺗﺳﻣﻰ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل Xإذا ﻛﺎﻧت اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻛﻠﯾ ﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ واﻟﻣﺣددة ﺑﻣﺣور xﺗﺳ ﺎوي اﻟواﺣ د اﻟﺻ ﺣﯾﺢ .أﯾﺿ ﺎ اﻟﻣﺳ ﺎﺣﺔ ﺗﺣ ت اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ ﺑﯾن أي ﻗﯾﻣﺗﯾن x x1و x x 2ﺗﻌطﻲ اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ﯾﻘ ﻊ ﺑ ﯾن x x1و . x x2
ﻣﺛﺎل )(٢٨-٣ ﺑﻔرض أن اﻟﺷﺧص Iﯾﺳﺗﻘل وﺳﯾﻠﺔ اﻟﻧﻘل اﻟﻌﺎم ﻓ ﻲ اﻟ ذھﺎب إﻟ ﻲ ﻋﻣﻠ ﮫ .وﺑﻔ رض أن ﻛ ل ﺧﻣﺳ ﺔ دﻗ ﺎﺋق ﺗﺻ ل ﺳ ﯾﺎرة إﻟ ﻰ اﻟﻣﺣط ﺔ .إذا ﻛ ﺎن Xﻣﺗﻐﯾ را ً ﻋﺷ واﺋﯾﺎ ًﻣﺗﺻ ﻼ ً ﯾﻣﺛ ل زﻣ ن اﻻﻧﺗظﺎر ﻟﮭذا اﻟﺷﺧص ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣطﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة ] [ 0 , 5ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل : 1 f (x) ,0 x 5, 5 = 0 e.w . ٨٨
اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ) f (xﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﺔ ﻣن اﻻواﻣر اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
1 5
fx_ :
]}Plot[f[x],{x,0,5
0.4
0.3
0.2
0.1
5
3
4
2
1
Graphics
1 ﻣن اﻟواﺿﺢ أن f ( x ) 0وأن اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗﺳﺎوي . 5. 1 5 اﺣﺗﻣﺎل أن Iﺳوف ﯾﻧﺗظر ﻣن 1إﻟﻲ 3دﻗﺎﺋق ھو : 3 3 1 x 3 2 P(1 X 3) f ( x ) dx dx . 1 5 5 5 1 1 وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮫ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
1 fx_ : 5 3 fxx 2 5
ﻫذا اﻻﺣﺗﻣﺎل ﯾﻣﻛن ﺗوﺿﯾﺣﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbوذﻟك ﺑﺎﻟذﻫﺎب اﻟﻰ اﻟﺟزء Sec3.1ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث. وﺑﺗﺻﻔﺢ ﻫذا اﻟﺟزء ﺣﺗﻰ اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
٨٩
1
. وﺑﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت واﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟذى ﺗﻧﺎوﻟﻧﺎه ﻣن ﻗﺑل ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب
1 PlotContsProb , x, 0, 5, 1, 3, 5 Ticks 0, 1, 3, 5, Automatic, AxesOrigin 0, 0, PlotRange All, DefaultFont "TimesRoman", 8; 0.2
0.15
0.1
0.05
1
3
5 1
P(X 4) f ( x ) dx 4
4 5
dx 0 dx 5
5
x 5
5 4
: وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل 1 . 5
: وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮫ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ
fx_ :
1 5
٩٠
5
fxdx 4
1 5
ﻫذا اﻻﺣﺗﻣﺎل ﯾﻣﻛن ﺗوﺿﯾﺣﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : 1 PlotContsProb , x, 0, 5, 4, 5, 5 Ticks 0, 4, .5, 5, Automatic, AxesOrigin 0, 0, PlotRange All, ;DefaultFont "TimesRoman", 8 0.2
0.15
0.1
0.05
5
0.5
4
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﯾﺳﻣﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم .
) (٣-٣-٣داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ
ﻋرﻓﻧـﺎ ﻣــن اﻟﻔﺻــل اﻟﺛــﺎﻧﻲ أن داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷـواﺋﻲ ﻣﺗﻘطــﻊ ) ، F(xﻷي ﻋــدد ﺣﻘﯾﻘــﻰ ،
، Xﻫـﻲ ) P(X < xوﯾﻣﻛـن اﻟﺣﺻـول ﻋﻠﯾﻬـﺎ ﺑﺟﻣـﻊ ) f(yﻋﻠـﻰ ﺟﻣﯾـﻊ ﻗـﯾم yاﻟﺗـﻲ ﺗﺣﻘـق اﻟﺷـرط
أن y < x
.أﯾﺿـﺎ ﻓـﺈن داﻟـﺔ اﻟﺗوزﯾـﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻰ ﻣﺗﺻـل ﻫـﻲ ) P(X < xوﻟﻛـن ﯾﻣﻛـن
اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑﺗﻛﺎﻣل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ) f(yﻣن ﺣﱴ . x
ﺗﻌرﯾف :داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ) F(xﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل ﻷي ﻋدد ﺣﻘﯾﻘﻰ xﺗﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : x
F( x ) P(X x ) f ( y) dy .
ﺗﻣﺛــل اﻟداﻟــﺔ ) F(xﻷي ﻋــدد ﺣﻘﯾﻘــﻲ xاﻟﻣﺳــﺎﺣﺔ ﺗﺣــت اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ ﻟداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﻋﻠــﻰ ﯾﺳــﺎر اﻟﻌــدد xﻛﻣــﺎ ﻫــو ﻣوﺿــﺢ ﻓــﻲ اﻟﺷــﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻰ .أﯾﺿــﺎ ﯾﻼﺣــظ ﻣــن ﺑﯾــﺎن ) F(xأن ) F(xﺗزﯾــد زﯾــﺎدة ﻣﺿطردة ﻣﻊ زﯾﺎدة . x
٩١
ﺗﺣﻘق داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ) F(xﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : )أ(
0 F(x) 1
)ب( اﻟداﻟﺔ ) F(xﺗﺗزاﯾد ﺗ ازﯾـداً ﻣﺿـطرداً ﻟﺟﻣﯾـﻊ ﻗـﯾم ، xأي أﻧـﻪ إذا ﻛﺎﻧـت a , bﻗﯾﻣﺗـﯾن ﻓـﻲ ﻧطﺎق اﻟداﻟﺔ ) F(xﻓﺈن ). a b F(a ) F(b )ج( اﻟداﻟﺔ ) F(xﻣﺗﺻﻠﺔ ﻋﻧد ﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم . x ﯾرﺟــﻊ أﻫﻣﯾــﺔ داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ ) F(xﻓــﻲ أﻧــﻪ ﯾﻣﻛــن ﺣﺳــﺎب اﻻﺣﺗﻣــﺎﻻت ﻟﻠﻔﺗ ـرات اﻟﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ وذﻟــك ﻣــن
ﺻ ــﯾﻐﺔ ) F(xأو ﺟ ــدول ﺧ ــﺎص ﺑداﻟ ــﺔ اﻟﺗوزﯾ ــﻊ ) . F(xﻓ ــﺈذا ﻛ ــﺎن Xﻣﺗﻐﯾـ ـراً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﺑداﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﺣﺗﻣﺎل ) f (xوداﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ) F(xﻓﺈﻧﻪ ﻷي ﻗﯾﻣﺗﯾن a , bﺣﯾث a < bﯾﻛون: P(a X b) F(b) F(a ) .
واﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
٩٢
ﻣﺛﺎل)(٢٩-٣
إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻﻼً وﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل: 1 f (x) , 0x6 6 0 , e.w. ﻟﻘﯾم x < 0ﻓﺈن F(x) = 0وذﻟك ﻟﻌدم وﺟـود ﻣﺳـﺎﺣﺔ ﺗﺣـت اﻟﻣﻧﺣﻧـﻰ ﻟداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻋﻠـﻰ ﯾﺳـﺎر اﻟﻘﯾﻣـﺔ Xﻟﻘـﯾم x > 6ﻓـﺈن F(x) = 1وذﻟـك ﻷن ﻛـل اﻟﻣﺳـﺎﺣﺔ ﺗﺗﺟﻣـﻊ إﻟـﻲ
اﻟﯾﺳﺎر ﻣن Xﻓﻲ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﻟﻘﯾم 0 x 6ﻓﺈن
x . 6
x 0
1 y 6
dy
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻫﻲ -:
x
x 1
F(x) f (y) dy
0 6
x0 0x6 x 6.
ﺑﯾﺎن ) F(xﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
٩٣
F(x) 0 x 6 1
اﻟﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﺗـﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟـﺎد ) F(xواﯾﺿـﺎ ﻻﯾﺟـﺎد ﺑﯾـﺎن ﻛـل ﻣـن ) f(x) , F(xﻛﻣـﺎ ﻫـو ﻣوﺿـﺢ ﻓـﻲ اﻟﺷﻛﻠﯾﯾن اﻟﺗﺎﻟﯨﯾن : t
x1
6
0
x 6 x gx_ :
6
Plot[g[x],{x,0,6},PlotStyle>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times;]}Roman",8 1
0.8
0.6
0.4
0.2
6
4
5
٩٤
3
2
1
fx_ :
1 6
Plot[f[x],{x,0,6},PlotStyle>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"TimesRoman",8}];
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
1
2
3
4
5
6
(٣٠-٣)ﻣﺛﺎل : ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛلX إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ
0 f ( x) 2 ax a x e
x0 x0 : ﺛﺎﺑت ﻣوﺟب أوﺟد داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊa ﺣﯾث :اﻟﺣــل
0 x 0 x F(x) f (y)dy x 2 ay a y e dy x 0 0 : وﺑﺈﺟراء اﻟﺗﻛﺎﻣل ﺑﺎﻟﺗﺟزﺋﺔ ﻓﺈنu = ay ﺑوﺿﻊ x
ax
ax
0
0
0
2 ay u u a y e dy u e du u( e )
ax e ax ( e u )
ax
( e u )du 0
ax 0
1 (1 ax)e ax , :وﻋﻠﻰ ذﻟك ٩٥
x<0
F (x) = 0
1 (1 ax)e ax , x 0. ﺗﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن .
) (٢-٣-٣اﻟﻣﺋﯾﻧﺎتPercentile ﯾﻣﻛن وﺻف ﺧﺻﺎﺋص أﺧرى ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻣن ﺧﻼل ﻛﻣﯾﺎت ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت.
ﺗﻌرﯾـف :إذا ﻛـﺎن ، 0 < p < 1ﻓـﺈن اﻟﻣﺋـﯾن ذو اﻟرﺗﺑـﺔ ) (100pﻟﺗوزﯾـﻊ ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﺻـل )أو ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ( Xﻫو اﻟﺣل xpﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
xp p F(x p ) f (y) dy .
ﺗﺑﻌــﺎً ﻟﻠﺻــﯾﻐﺔ اﻟﺳــﺎﺑﻘﺔ ،ﻓــﺈن x pﻫــو اﻟﻘﯾﻣــﺔ ﻋﻠــﻰ اﻟﻣﺣــور اﻷﻓﻘــﻲ ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ﺑﺣﯾــث أن 100p%ﻣـ ــﻦ اﻟﻣﺳـ ــﺎﺣﺔ ﺗﺣـ ــت ﻣﻧﺣﻧـ ــﻰ ) f (xﯾﻘـ ــﻊ ﻋﻠـ ــﻰ ﯾﺳـ ــﺎر x pو 100(1-p)%ﺗﻘـ ــﻊ ﻋﻠـ ــﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬ ــﺎ .ﻋﻠ ــﻰ ﺳ ــﺑﯾل اﻟﻣﺛ ــﺎل x .75هو اﻟﻣﺋ ــﯾن اﻟﺧ ــﺎﻣس واﻟﺳ ــﺑﻌﯾن واﻟ ــذي اﻟﻣﺳ ــﺎﺣﺔ ﺗﺣ ــت ﻣﻧﺣﻧ ــﻲ ) f (xﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎر اﻟﻘﯾﻣﺔ x.75ﻫو . p=0.75اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾوﺿﺢ اﻟﺗﻌرﯾف : ﻋﻣوﻣﺎً ،ﻗد ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﻣﺗﺻل وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺳوف ﯾوﺟد ﺑﻌـض اﻟﻘـﯾم pواﻟﺗـﻲ ﺗﻛـون اﻟﻣﻌﺎدﻟـﺔ
) p = F (xpﻟﻬﺎ أﻛﺛـر ﻣـن ﺣـل و ﯾﻣﻛـن وﺿـﻊ ﺗﻌرﯾـف ﻋـﺎم ﻟﻠﻣﺋـﯾن ﺣﯾـث اﻟﻣﺋـﯾن ذو اﻟرﺗﺑـﺔ ( 100 ) pﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﻫو اﻟﻘﯾﻣﺔ xpﺑﺣﯾث أن :
٩٦
P [ X x p ] p and P [ X x p ] 1-p .
ﺗﻌرﯾف : اﻟوﺳــﯾط ﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﺗﺻــل ﻣــﺎ ،ﯾرﻣــز ﻟــﻪ ﺑــﺎﻟرﻣز ، m0ﻫــو اﻟﻣﺋــﯾن اﻟﺧﻣﺳــﯾن وﻋﻠــﻰ ذﻟــك m0ﯾﺣﻘــق اﻟﻌﻼﻗﺔ . F(m0) = .5أي أن ﻧﺻﻧف اﻟﻣﺳـﺎﺣﺔ ﺗﺣـت داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﺗﻘـﻊ ﻋﻠـﻰ ﯾﺳـﺎر m0و اﻟﻧﺻـف اﻵﺧــر ﯾﻘـﻊ ﻋﻠــﻰ ﯾﻣــﯾن . m0ﻓـﻲ ﻛﺛﯾــر ﻣــن اﻟﺗطﺑﯾﻘـﺎت ﯾﺳــﺗﺧدم اﻟوﺳــﯾط ﺑـدﻻ ﻣــن اﻟﻣﺗوﺳــط ﻛﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ .
إﯾﺟﺎد ) f(xﻣن )F(x ﻋرﻓﻧﺎ ﻣﻣﺎ ﺳﺑق أﻧﻪ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷـواﺋﻲ ﻣﺗﻘطـﻊ ﻓـﺈن ) f(xﯾﻣﻛـن اﻟﺣﺻـول ﻋﻠﯾﻬـﺎ ﺑـﺎﻟﻔرق ﺑـﯾن ﻗﯾﻣﺗــﯾن ﻟﻠداﻟــﺔ ) . F(xﺑﯾﻧﻣــﺎ إذا ﻛــﺎن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻــﻼً ﺑداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣــﺎل )f(x
وداﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ) F(xﻓﺈﻧﻪ ﻋﻧد أي ﻧﻘطﺔ xﺣﯾث أن اﻟﻣﺷﺗﻘﺔ اﻷوﻟﻲ ) F(xﻣﻌرﻓﺔ ﻓﺈن: )dF(x f (x) dx ﻣﺛﺎل)(٣١-٣
أوﺟد دوال ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠداﻟﺔ ) F(xاﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : ٩٧
1exp x F(x) 0 , e.w.
,0 x
اﻟﺣــل:
exp x ,x 0 f (x) 0 , e.w. اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠداﻟﺔ ) F(xاﻟﺳﺎﺑﻘﺔ .
Fx_ : 1 x ]D[F[x],x
x
) (٣-٣-٣اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ The Expected Value
ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﻘطﻊ ،ﻛﻣﺎ ﻋرﻓﻧﺎ ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻲ ،ﻓﺈن ) E(Xﯾﻣﻛـن اﻟﺣﺻـول ﻋﻠﯾـﻪ ﺑﺟﻣـﻊ
) x f(xﻟﺟﻣﯾــﻊ ﻗــﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ
.Xﻫﻧــﺎ ) ﺑﺎﻟﻧﺳــﺑﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﻣﺗﺻــل ( ﺳــوف
ﻧﺳﺗﺑدل اﻟﻣﺟﻣوع ﺑﺎﻟﺗﻛﺎﻣل .
ﺗﻌرﯾــف :اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌــﺔ أو اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﻣﺗوﺳــطﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﻣﺗﺻــل ﻟــﻪ داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ ) f (xﻫو :
E(X) xf (x) dx .
وﯾﻘﺎل أن ) E(Xﻣوﺟودة إذا و إذا ﻓﻘط ﻛﺎن :
x f (x) dx
Ex
ﻣﺛﺎل )( ٣٢-٣ إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺑﯾﻌﺎت اﻷﺳﺑوﻋﯾﺔ ﻟﺳﻠﻌﺔ ﻣﺎ ﻫﻲ : 3 ) f (x) (1 x 2 0 x 1 2 0 , e.w. أوﺟد اﻟﺗوﻗﻊ ؟ اﻟﺣــل:
٩٨
1 3 E(X) xf (x) dx x (1 x 2 )dx 0 2 1
3 . 0 8
31 3 x2 x4 3 ) (x x )dx ( 20 2 2 4
اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﺗوﻗﻊ :
3 1 x2x 2
1
x 0
3 8
ﻣﺛﺎل )(٣٣-٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : 1/ f (x) x . 2 1 x أوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر . X اﻟﺣــل:
x/ h 1 E(X) ) dx lim ( log(1 x 2 . 2 h 2 h 1 x واﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻏﯾر ﻣﻌﻠوﻣﺔ ،أي أن ﻏﯾر ﻣوﺟود .
اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﺗوﻗﻊ :
…on , . More
1 x 1 x2
x
Integrate ::idiv : x Integral of does not converge x2
x x 1 x2
ﯾﻼﺣظ ان اﻟﻧﺎﺗﺞ اﺛﺑت ان اﻟﺗوﻗﻊ ﻏﯾر ﻣوﺟود واﺧرج ﻟﻧﺎ ﻣرة اﺧرى اﻟﻣدﺧل ﺑﻌد ارﺳﺎل رﺳﺎﻟﺔ .
٩٩
( ٣٤-٣) ﻣﺛﺎل : ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎلX إذا ﻛﺎن 1 0 x 1 f (x) 2 x 0 , e.w. ٠ 2 X وE(X) أوﺟد :اﻟﺣــل
1 1 1 E(X) x dx . 3 0 2 x 1 1 1 2 E(X ) x 2 dx . 5 0 2 x 2X E(X 2 ) [E(X)]2 , 1 1 4 . 5 9 45 . اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﻣطﻠوب ﻣﻊ ﺗﻣﺛﯾل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ
1
fx_ :
2 x
Plot[f[x],{x,0,1},PlotStyle>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"TimesRoman",8}] 12 10 8 6 4 2
0.2
0.4
0.6
0.8
Graphics
1
xx1 x fx x 0
١٠٠
1
1
1 3
xx2 x2 fxx 0
1 5
var=xx2-xx1^2
4 45
ﺗﻌرﯾف :اﻟوﺳﯾط ﻫو اﻟﻣﺋن اﻟﺧﻣﺳﯾن . ﻣﺛﺎل ) (٣٥ -٣ ﺑﻔرض أن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : x 0
2
)F(x) 1 e (x / 3 0 , e.w.
اﻟوﺳﯾط ﻫو : 2
)0.5 1 e (m0 / 3
وﻋﻠﻰ ذﻟك . 1 m 0 3[ ln(1 .5)]2 3 ln 2 2.498.
اﻟﺣــل: اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻻﯾﺠﺎد اﻟﻮﺳﯿﻂ وﺳﻮف ﻧﺎﺧﺬ اﻟﺤﻞ ان اﻟﻮﺳﯿﻂ ﯾﺳﺎوى x2.49766 x 2
0.5 0, x
3
Solve1
}}{{x-2.49766},{x2.49766
ﻣﺛﺎل ) (٣٦ -٣ ﻟﯾﻛن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻﻼً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل : f (x) 4x 3
0 x 1
= 0 , e.w.
١٠١
أوﺟد اﻟوﺳﯾط ٠ اﻟﺣــل:
x0 x4
x 0
وﻋﻠﻰ ذﻟك :
F(x) 0
4y4 4y dy 4 0 3
x
F(m 0 ) .5
أي أن :
( m 0 ) 4 .5
=0.840896415. اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط:
1/4
)m0 = (.5 m
aa1 4t3t 0
4
m
]Solve[aa1-0.50,m {{m-0.840896},{m0. -0.840896 },{m0. +0.840896 },{m0.840896}} x0.840896
ﺳوف ﻧﺎﺧذ اﻟﺣل ان اﻟوﺳﯾط ﻫو m 0.840896 ﺣل اﺧر : m
3 4 x x 1 2
1 2
وﻣن اﻟﻣﺧرج ﻧﺣﺳب mوﻫو اﻟوﺳﯾط .
0 4
m
ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷـواﺋﻲ Xﻟﻬـﺎ ﻗﯾﻣـﺔ ﻋظﻣـﻰ وﺣﯾـدة ﻋﻨـﺪ x = mأي أن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌظﻣﻰ ﻟﻠداﻟﺔ ) f (xﺗﺴﺎوى ) f(mوﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓـﺈن mﯾﺳـﻣﻰ ﻣﻧـوال اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷواﺋﻰ . X
ﻣﺛﺎل ) ( ٣٧ -٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:
١٠٢
x 0 0 x 1 x 1
0 F(x) x 1
أوﺟد واﻟﻣدى٠ اﻟﺣــل: اﻟﻣدى ﻫو : x 0.75 x 0.25 وﺑﻣﺎ أن،
0.75 x 0.75 x 0.75 (0.75)2 0.25 x 0.25 x 0.25 (0.25)2 إذن
x 0.75 x 0.25 (0.75)2 (0.25)2 0.5. ﻣﺛﺎل ) (٣٨ -٣ أوﺟد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠدوال اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : )أ( )ب(
f (x) 12 x 2 (1 x) , 0 x = 0 , e.w. 1 f (x) x 2 e x 2 = 0 , e.w.
اﻟﺣــل:
)df (x 24x 36x 2 , )أ( dx )df (x 0 اﻟﻣﻧوال ﻫو اﻟﺣل ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ : dx 2 وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﻣﻧوال ﻫو m 3 اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣل )ا(
fx_ : 12x21 x ]aa1=D[f[x],x ١٠٣
24 1 x x 12 x2 ]Solve[aa10,x
ﺳوف ﻧﺧﺗﺎر ﻣن اﻟﻣﺧرج اﻟﻣﻧوال ﯾﺳﺎوى .3/2 )df (x )ب( اﻟﻣﻧوال ﻫو اﻟﺣل ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ 0 dx أي أن : 2xe x x 2 e x 0 وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﻣﻧوال ﻫو . m 2
2 3
x 0, x
اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﻣﻧوال :
1 x 2 x 2
x
x
]Solve[%==0,x }}{{x0},{x2
وﻗد اﻋطﺎﻧﺎ ﺣﻠﯾن وﻟﻛن ﻧﺎﺧذ اﻟﺣل اﻟﻣﻧوال ﯾﺳﺎوى اﺛﻧﯾن .
ﻋﻣوﻣـ ــﺎ ،ﯾﺧﺗﻠـ ــف اﻟﻣﺗوﺳـ ــط ﻋـ ــن اﻟوﺳـ ــﯾط ﻋـ ــن اﻟﻣﻧ ـ ـوال وﻟﻛـ ــن ﻫﻧـ ــﺎك ﺣـ ــﺎﻻت ﯾﻛـ ــون ﻓﯾﻬـ ــﺎ اﻟﺛﻼﺛـ ــﺔ ﻣﺗﺳ ــﺎوﯾﯾن .ﯾﻘ ــﺎل ﻟﻠﺗوزﯾ ــﻊ أﻧ ــﻪ ﻣﺗﻣﺎﺛ ــل symmetricإذا ﻛ ــﺎن ﺑﯾ ــﺎن ) f (xﻋﻠ ــﻰ ﯾﺳ ــﺎر ﻧﻘط ــﺔ ﻣ ــﺎ ، ﻟ ــﺗﻛن ، cﻫ ــﻰ اﻟﺻ ــورة ﻓ ــﻲ اﻟﻣـ ـرآة ﻋﻠ ــﻰ ﯾﻣ ــﯾن ﻫ ــذﻩ اﻟﻧﻘط ــﺔ .ﺗﺳ ــﻣﻰ اﻟﻧﻘط ــﺔ cﻧﻘط ــﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛ ــل . وﺑﻣﻌﻧـﻰ آﺧــر إذا أﻣﻛﻧﻧـﺎ أﻗﺎﻣــﺔ ﻋﻣـود ﻋﻠــﻰ اﻟﻣﺣــور اﻷﻓﻘـﻰ ﺑﺣﯾــث ﯾﻘﺳـم اﻟﻌﻣــود اﻟﺗوزﯾـﻊ إﻟــﻰ ﻗﺳــﻣﯾن
ﯾﻧطﺑﻘــﺎن ﻋﻠــﻰ ﺑﻌﺿــﻬﻣﺎ ﺗﻣــﺎم اﻻﻧطﺑ ــﺎق .اﻟﻧﻘطــﺔ cاﻟﺗــﻲ ﺗﻣﻛﻧﻧــﺎ ﻣ ــن إﻗﺎﻣــﺔ اﻟﻌﻣــود ﺗﺳــﻣﻰ ﻧﻘط ــﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛـ ـ ــل .إذا ﻛﺎﻧـ ـ ــت ) f (xﻣﺗﻣﺎﺛﻠـ ـ ــﺔ ﺣـ ـ ــول اﻟﻧﻘطـ ـ ــﺔ cوﻛـ ـ ــﺎن اﻟﻣﺗوﺳـ ـ ــط ﻣوﺟـ ـ ــود ﻓـ ـ ــﺈن . c وﺑﺎﻹﺿ ــﺎﻓﺔ ﻋﻠ ــﻰ ذﻟ ــك إذا ﻛﺎﻧ ــت ﻟﻠداﻟ ــﺔ ) f (xﻧﻘط ــﺔ ﻋظﻣ ــﻲ وﺣﯾ ــدة ﻋﻧ ــد ) mاﻟﻣﻧـ ـوال( ووﺳ ــﯾط وﺣﯾد m0ﻓﺈن m m 0ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ .
١٠٤
c
إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﻣﺗﻣﺎﺛل ﻓﺈﻧـﻪ ﯾﻛـون ﻣﻠﺗوﯾـﺎً وﻗـد ﯾﻛـون ﻣﻠﺗوﯾـﺎً ﻧﺎﺣﯾـﺔ اﻟﯾﻣـﯾن ﻛﻣـﺎ ﻫـو ﻣوﺿـﺢ ﻓـﻲ
اﻟﺷﻛل اﻟذى ﯾﻠﯾﻪ أو ﻣﻠﺗوﯾﺎً ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﯾﺳـﺎر ﻛﻣـﺎ ﻫـو ﻣوﺿـﺢ ﻓـﻲ اﻟﺷـﻛل اﻟﺗـﺎﻟﻰ .ﯾﻛـون اﻟﺗوزﯾـﻊ ﻣﻠﺗوﯾــﺎ ﻧﺎﺣﯾــﺔ اﻟﯾﻣــﯾن أو ﻣوﺟــب اﻻﻟﺗ ـواء positive skewed
إذا ﻛــﺎن ﻣﻌــدل اﻟﺗﻧــﺎﻗص ﻓــﻲ
اﻟﻣﻧﺣﻧـﻰ أﺳـرع ﺟﻬـﺔ اﻟﯾﻣـﯾن ﻣﻧـﻪ ﺟﻬـﺔ اﻟﯾﺳـﺎر ﺑﺣﯾـث ﯾﻛـون اﻟﺟﺎﻧـب اﻷﯾﻣـن ﻣـن اﻟﻣﻧﺣﻧـﻰ أطـول ﻣـن اﻟﺟﺎﻧــب اﻷﯾﺳــر ﺑﯾﻧﻣــﺎ ﯾﻛــون اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﻠﺗوﯾــﺎً إﻟــﻰ اﻟﯾﺳــﺎر وﺳــﺎﻟب اﻻﻟﺗ ـواء negative skewedإذا ﻛﺎن ﻣﻌدل اﻟﺗﻧﺎﻗص ﻓﻲ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ أﺳرع ﺟﻬﺔ اﻟﯾﺳﺎر ﻣﻧﻪ ﺟﻬﺔ اﻟﯾﻣـﯾن ﺑﺣﯾـث ﯾﻛـون اﻟﺟﺎﻧـب اﻷﯾﺳـر
ﻣــن اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ أطــول ﻣــن اﻟﺟﺎﻧ ــب اﻷﯾﻣــن .ﯾﺳــﺗﺧدم ﻣﻌﺎﻣــل اﻻﻟﺗـ ـواء ،اﻟــذي ﺗﻧﺎوﻟﻧــﺎﻩ ﻓــﻲ اﻟﻔﺻ ــل اﻟﺛــﺎﻧﻲ ﻓــﻲ ﻗﯾــﺎس اﻻﻟﺗ ـواء وﯾﻌﺗﺑــر ﻣﻘﯾــﺎس ﻧﺳــﺑﻲ ﻻ ﯾﻌﺗﻣــد ﻋﻠــﻰ وﺣــدات اﻟﻘﯾــﺎس ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ ﺣﯾث :
3
3
X 3 E . 3/ 2 2
١٠٥
ﯾﺄﺧذ ﻛل ﻣن 3 , 3اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣوﺟﺑـﺔ أو اﻟﺳـﺎﻟﺑﺔ أو اﻟﺻـﻔر وداﺋﻣـﺎً ﯾﻛوﻧـﺎن ﻣﺗﻔﻘـﺎن ﻓـﻲ اﻹﺷـﺎرة .اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﺳــﺎﻟﺑﺔ ﻣــن 3داﺋﻣــﺎ ﺗوﺟــد ﻋﻧــدﻣﺎ ﯾﻛــون اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﻠﺗوﯾــﺎً ﻧﺎﺣﯾــﺔ اﻟﯾﺳــﺎر ﺑﯾﻧﻣــﺎ اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﻣوﺟﺑﺔ ﻣن 3ﺗوﺟد داﺋﻣﺎً ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻠﺗوﯾﺎً ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﯾﻣﯾن. ﯾﺳــﺗﺧدم اﻟﻌــزم اﻟ ارﺑــﻊ ﺣــول اﻟﻣﺗوﺳــط ﻛــدﻟﯾل ﻟﻠــﺗﻔﻠطﺢ أو اﻟﺗــدﺑب ﻟﺗوزﯾــﻊ اﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ،وﻋﻠــﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ 4ﻫو :
4
4
X 4 E . 22 واﻟ ــذي ﻻ ﯾﻌﺗﻣـ ــد ﻋﻠ ــﻰ وﺣـ ــدات اﻟﻘﯾـ ــﺎس ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷ ـ ـواﺋﻲ . Xﻟﺗﻘـ ــدﯾر ﺗ ــدﺑب اﻟﻘﻣـ ــﺔ ﻟﺗوزﯾـ ــﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﯾﺳـﺗﺧدم ﺗوزﯾـﻊ ﻣﺷـﻬور وﻫـو اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻲ اﻟـذي ﺳـوف ﻧﺗﻧﺎوﻟـﻪ ﻓـﻲ اﻟﻔﺻـل اﻟﺳـﺎدس
ﻛﻣﻘﯾــﺎس ﻷن 4ﻟﻬــذا اﻟﺗوزﯾــﻊ ﺗﺳــﺎوي . 3ﻷي ﺗوزﯾــﻊ آﺧــر ﻧﻘــول أن اﻟﺗوزﯾــﻊ أﻛﺛــر ﺗــدﺑﺑﺎ ﻣــن
اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻲ إذا ﻛــﺎن . 4 > 3أﯾﺿــﺎ ﻧﻘــول أن اﻟﺗوزﯾــﻊ أﻛﺛــر ﺗﻔﻠطﺣــﺎً ﻣــن اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ إذا ﻛﺎن . 4 < 3اﻷﻧواع اﻟﺛﻼﺛﺔ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت ﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ .
١٠٦
ﻓﻔـﻲ اﻟﺷــﻛل اﻟﺳــﺎﺑق ﺛــﻼث ﻣﻧﺣﻧﯾـﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ ﻓــﻲ ﻛﻣﯾــﺔ اﻟـﺗﻔﻠطﺢ .اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ ، A ،ذو اﻟﻘﻣــﺔ اﻟﻣدﺑﺑــﺔ.
اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟﺛﺎﻧﻲ ، B ،وﻫو اﻟﻣﻌﺗدل ﯾﻛـون ﻣﺗوﺳـط اﻟـﺗﻔﻠطﺢ .وأﺧﯾـراً اﻟﻣﻧﺣﻧـﻰ
، C ،اﻟﻣﻔﻠطـﺢ
واﻟــذى ﯾﻛــون ﻣﻧﺑﺳــطﺎً وﺗــﻧﺧﻔض ﻗﻣﺗــﻪ ﻋــن ﻗﻣــﺔ اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ اﻟﻣﻌﺗــدل .وأﺧﯾ ـراً اﻟﻣﻌﻠوﻣــﺎت ﻋــن اﻟﺗﺷــﺗت واﻟﻣوﻗﻊ واﻻﻟﺗواء واﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻟﺗوزﯾﻊ ﻋﺎدة ﻣﺎ ﺗﻛون ﻣﻔﯾدة ﻓﻲ إﻋطﺎء ﺻورة ﻋن اﻟﺗوزﯾﻊ .
ﻧظرﯾــﺔ :إذا ﻛ ــﺎن ﺗوزﯾ ــﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻲ Xﻣﺗﻣﺎﺛ ــل ﺣــول اﻟﻣﺗوﺳ ــط ) E(Xﻓ ــﺈن اﻟﻌ ــزم اﻟﺛﺎﻟث ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر أي أن . 3 0 ﺗﻌﻧﻲ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ أﻧﻪ إذا ﻛﺎن 3 0ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻻ ﯾﻛون ﻣﺗﻣﺎﺛل واﻟﻌﻛـس ﻏﯾـر ﺻـﺣﯾﺢ ﺑﻣﻌﻧﻲ أﻧﻪ إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﻣﺗﻣﺎﺛل ﻓﻣن اﻟﻣﻣﻛن أن ﯾﻛون . 3 0
ﻣﺛﺎل ) (٣٩ -٣ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل 2(1 x) 0 x 1 f (x) 0 , e.w. أوﺟد اﻟﻌزوم ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ rﺣول اﻟﺻﻔر٠ اﻟﺣــل:
١٠٧
1 E(X r ) 2 x r (1 x)dx, 0 1 2 (x r x r 1)dx, 0 1 x r 1 x r 2 2 2 . ) r 1 r 2 (r 1)(r 2 0 اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﻌزوم اﻻرﺑﻌﺔ ﺣول اﻟﺻﻔر . 1
fr_ : 2 xr 1 xx 0
]f[1
1 3 ]f[2
1 6 ]f[3
1 10 ]f[4
1 15
ﻣﺛﺎل ) ( ٤٠ -٣ ﻣﺗﻐﯾر ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ا إذا ﻛﺎن X 0x 1
1 f (x) 0 , e.w.
أوﺟد:أ( اﻟﻌزوم اﻻرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﺻﻔر٠
ب( اﻟﻌزوم اﻻرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط٠ ج( ﻣﻌﺎﻣل اﻹﻟﺗواء وﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ٠
اﻟﺣــل: أ( ١٠٨
r 1 1 1 x r E(X r ) x r dx , r 1 0 0 1 r 1,2,3, r 1
1 1 1 1 1 , 2 , 3 , 4 . 2 3 4 5 1 r r E(X 0.5) (x 0.5)r dx, 0 1 (x 0.5)r 1 1 r 1 0.5 (0.5)r 1 . r 1 r 1 0
: وﻋﻠﻰ ذﻟك
(ب
:وﻋﻠﻰ ذﻟك
1 0 , 2 0.083 , 3 0 , 4 0.0125. :ج(ﻣﻌﺎﻣل اﻹﻟﺗواء ﻫو 3 3 0. 3 2 2
:ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻫو
0.0125 4 4 1.81. 22 (0.083)2
1
fr_ : xrx 0
f[1]
1 2 f[2]
1 3 f[3]
1 4 ١٠٩
: اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﺣل
f[4]
1 5
1
gr_ : x mr x 0
g[1] 0
2=g[2]
1 12 3=g[3] 0
4=g[4]
1 80 3
3 3
2 2 0
4
4 N 22
1.8
١١٠
اﻟﻔﺻل اﻟراﺑﻊ ﻋرض ووﺻف اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت
١١١
) (١-٤اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت واﻟﻌﯾﻧﺎت
Populations and Samples
ﺗﺳﺟل ﻧﺗﯾﺟﺔ ﻛل ﺗﺟرﺑﺔ إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ،إﻣﺎ ﺑﻘﯾﻣ ﺔ رﻗﻣﯾ ﺔ أو ﺗﻣﺛﯾ ل وﺻ ﻔﻰ .ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧد إﻟﻘﺎء زھرة ﻧرد ﻣره واﺣ دة وإذا ﻛ ﺎن اﻻھﺗﻣ ﺎم ﺑﻌ دد اﻟﻧﻘ ﺎط اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻋﻠ ﻰ اﻟﺳ طﺢ اﻟﻌﻠ وي ﻟﻠﻧ رد ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺳ ﺟل ﻗﯾﻣ ﺔ رﻗﻣﯾ ﺔ .ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻋﻧ د ﺳ ؤال ﻣﺟﻣوﻋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻌ ﺎﻣﻠﯾن ﻓ ﻲ ھﯾﺋ ﺔ ﻣ ﺎ ﻋ ن اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾﺔ ﻟﻛل ﻣﻧﮭم ،ﻓﺈن اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟوﺻﻔﻲ ﯾﻛون أﻛﺛر ﻓﺎﺋدة .ﻋﺎدة ﯾﮭﺗم اﻹﺣﺻ ﺎﺋﻲ ﺑ ﺎﻟﻘﯾم اﻟرﻗﻣﯾ ﺔ ﻟ ذﻟك ﻓ ﺈن اﻟﺗﻣﺛﯾ ل اﻟوﺻ ﻔﻲ ﯾﻣﻛ ن ﺗﺣوﯾﻠ ﮫ إﻟ ﻰ ﻗ ﯾم ﻋددﯾ ﺔ .اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ ﺟل ﻣ ن ﻧﺗﯾﺟ ﺔ ﺗﺟرﺑ ﺔ إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﺗﺳﻣﻰ ﺑﯾﺎن أو ﻣﺷ ﺎھدة )ﻣﻘﯾ ﺎس( .ﻋﻧ دﻣﺎ ﯾﻘ وم ﺑﺎﺣ ث ﺑﺗﺻ ﻧﯾف اﻟﻌ ﺎﻣﻠﯾن ﻓ ﻲ ﺷ رﻛﺔ ﻣ ﺎ ﺣﺳب اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾﺔ ،ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻛون ﻟدﯾﮫ ﻋدد ﻣﺣ دود ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات .ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء زھرة ﻧرد ﻋدد ﻻﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟﻣرات وﺗﺳﺟﯾل ﻋدد اﻟﻧﻘط اﻟﺗﻲ ﺗظﮭر ﻓﻲ ﻛل ﻣرة ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻ ل ﻋﻠ ﻰ ﻓﺋﺔ ﻻﻧﮭﺎﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻘﯾم .ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗﺣت اﻟدراﺳﺔ ،ﺳواء ﻛﺎﻧت ﻣﺣدودة أو ﻏﯾر ﻣﺣدودة ،ﺗﺳ ﻣﻰ ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ٠populationﻓ ﻲ اﻟﺳ ﻧوات اﻟﻣﺎﺿ ﯾﺔ ﻛﺎﻧ ت ﻛﻠﻣ ﺔ ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺗﺷ ﯾر إﻟ ﻰ ﻣﺷ ﺎھدات ﻣ ن دراﺳ ﺎت إﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ ﺗﺷ ﻣل أﺷ ﺧﺎص .أﻣ ﺎ اﻵن ﻓ ﺈن اﻹﺣﺻ ﺎﺋﻲ ﯾﺳ ﺗﺧدم ھ ذه اﻟﻛﻠﻣ ﺔ ﻟﺗﺷ ﯾر إﻟ ﻰ ﻣﺷ ﺎھدات ﻋ ن أي ﺷ ﻲء ﻣوﺿ ﻊ اھﺗﻣﺎﻣ ﮫ ﺳ واء ﻣﺟﻣوﻋ ﺔ ﻣ ن اﻷﺷ ﺧﺎص ،ﺣﯾواﻧ ﺎت ،ﻧﺑﺎﺗ ﺎت…. اﻟﺦ. ﺗﻌرﯾف :ﯾﺗﻛون اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣن ﻛل اﻷﺷﯾﺎء اﻟﺗﻲ ﻧﮭﺗم ﺑﮭﺎ . ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺳ ﻣﻰ ﺣﺟ م اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ وﻋ ﺎدة ﯾرﻣ ز ﻟﺣﺟ م اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺑ ﺎﻟرﻣز ،Nوﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻧﻘول أن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣﺣ دود .ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ د ﺗﺻ ﻧﯾف 500ﺷﺧﺻ ﺎ ﻓ ﻲ ﺷ رﻛﺔ ﻣ ﺎ ﺣﺳ ب اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾ ﺔ ،ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘ ول أن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣﺣ دود وﺣﺟﻣ ﮫ ٠N=500اﻷط وال واﻷوزان واﻟدﺧل اﻟﺳﻧوي ﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻷﺷﺧﺎص أﻣﺛﻠﺔ ﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ﻣﺣدودة .ﻓﻲ ﻛ ل ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻌ دد اﻟﻛﻠﻰ ﻟﻠﻣﺷﺎھدات رﻗم ﻣﺣدود .ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﯾﻛون ﺣﺟ م اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻏﯾ ر ﻣﺣ دود ،ﻣﺛ ل ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻛ رات اﻟ دم اﻟﺑﯾﺿ ﺎء اﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ رى ﻓ ﻲ دم إﻧﺳ ﺎن .أﯾﺿ ﺎ اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﺗ ﻲ ﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﻣ ن ﻗﯾ ﺎس اﻟﺿﻐط اﻟﺟوى ﻛل ﯾوم ﻣن اﻟﻣﺎﺿﻲ إﻟﻰ اﻟﻣﺳﺗﻘﺑل ﺗﻣﺛل ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻏﯾر ﻣﺣدود. ﻛل ﻣﺷﺎھدة ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗ ﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ . Xﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ د إﻟﻘﺎء زھرة ﻧرد ﻋدد ﻻﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟﻣرات وإذا ﻛﺎن Xﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟ ﻧﻘط اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻋﻠ ﻰ اﻟﻧ رد ﻛ ل ﻣ رة ،أي أن ، x=1,2,3,4,5,6ﻓ ﺈن ﻛ ل ﻣﺷ ﺎھدة ﻓ ﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺗﻣﺛ ل ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣ ن ﻗ ﯾم اﻟﻣﺗﻐـ ـﯾر اﻟﻌﺷواﺋـﻲ .X ﺗﻌرﯾف :اﻟﻘﯾم اﻟﻌددﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗوﺻف اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻟم. ﯾﮭ ﺗم اﻟﺑﺎﺣ ث ﺑﺎﻟوﺻ ول إﻟ ﻰ اﺳ ﺗﻧﺗﺎﺟﺎت ﺗﺧ ص ﻣﻌ ﺎﻟم اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ،وﻟﻛ ن ﻋ ﺎدة ﯾﻛ ون ﻣ ن اﻟﻣﺳﺗﺣﯾل أو ﻏﯾر ﻋﻣﻠﻲ ﻣﻼﺣظﺔ ﻛل ﻗﯾم اﻟﻔﺋﺔ اﻟﻣﻣﺛﻠﺔ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ .وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻻﺑد ﻣن اﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﺗﺳﺎﻋدﻧﺎ ﻓﻲ اﻟوﺻول إﻟ ﻰ اﺳ ﺗدﻻﻻت ﻋ ن اﻟﻣﻌ ﺎﻟم ،وھ ذا ﯾﺄﺧ ذﻧﺎ إﻟ ﻰ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ . theory of sampling ﺗﻌرﯾف :اﻟﻌﯾﻧﺔ sampleھﻲ ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ. ﺣﺗ ﻰ ﯾﻛ ون اﻻﺳ ﺗدﻻل ﺻ ﺣﯾﺢ ﻻﺑ د ﻣ ن ﻓﮭ م اﻟﻌﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ واﻟﻌﯾﻧ ﺔ .ﻣ ن اﻟﻣؤﻛ د أن اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﺳ وف ﺗﻣﺛ ل اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻟ ذﻟك ﻻﺑ د أن ﺗﻛ ون ﻏﯾ ر ﻣﺗﺣﯾ زة unbiasedأي ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ . random sample
ﺗﻌرﯾف :اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم nھﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﺗﺧﺗﺎر ﺑﺣﯾ ث أن ﻛ ل ﻓﺋ ﺔ ﺟزﺋﯾ ﺔ ﺣﺟﻣﮭ ﺎ nﻣ ن ﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻓﻲ اﻻﺧﺗﯾﺎر. اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻣن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗﺳﻣﻰ اﻹﺣﺻﺎء . statisticوﺑﻣﺎ أن ﻋﯾﻧﺎت ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻛﺛﯾ رة ﯾﻣﻛ ن اﺧﺗﯾﺎرھﺎ ﻣ ن ﻧﻔ س اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺗوﻗ ﻊ أن ﯾﺧﺗﻠ ف اﻹﺣﺻ ﺎء ﻣ ن ﻋﯾﻧ ﺔ إﻟ ﻰ أﺧ رى ،وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﯾﻌﺗﺑر اﻹﺣﺻﺎء ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ. ﺗﻌرﯾف :اﻹﺣﺻﺎء ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﻌﺗﻣد ﻓﻘط ﻋﻠﻰ ﻗﯾم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة.
١١٢
Entering Data into
) (٢-٤ادﺧﺎل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ Mathematica
ﻣﺛﺎل ) (١ -٤ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟطﻠﺑﺔ وﻋدد اﻟطﺎﻟﺑﺎت وﻋدد اﻋﺿﺎء ﻫﯾﺋﺔ اﻟﺗدرﯾس ﻓﻰ
اﺣدى اﻟﺟﺎﻣﻌﺎت :
اﻋﺿﺎء ﻫﯾﺋﺔ اﻟﺗدرﯾس
ﻋدد اﻟطﺎﻟﺑﺎت
ﻋدد اﻟطﻠﺑﺔ
اﻟﺳﻧﺔ
20
300
555
1997
23
200
662
1998
26
250
721
1999
28
300
800
2000
30
250
880
2001
36
330
900
2002
40
400
932
2003
41
430
981
2004
وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﻛﯾﻔﯾﺔ اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ ﺗﻠك اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ .ﺳوف ﻧﺿﻊ ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ aa1ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26 {},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36}, ;}}2003,932,400,40},{2004,981,430,41
ﺣﯾث ﯾﺗم ادﺧﺎل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣوﺟودة ﻓﻰ اﻟﺟدول ﺻف ﺻف . وﯾﺗم وﺿﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﺟدول ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر .TableForm ]TableForm[aa1
20 23 26 28 30 36 40 41
١١٣
300 200 250 300 250 330 400 430
555 662 721 800 880 900 932 981
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Selecting Rows
) (١-٢-٤اﺧﺗﯾﺎر اﻟﺻﻔوف
ﻻﺧﺗﯾﺎر ﺻﻔوف ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻣن ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر .Partو ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذا اﻻﻣر ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
?Part
expri or Partexpr, i gives the ith part of expr. expri counts from the end. expr0 gives the head of expr. expri, j, ... or Partexpr, i, j, ... is equivalent to expr i j ... . expr i1, i2, ... gives …a list of the parts i1, i2, ... of expr. More
ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎدﺧﺎل اﻻﻣر : ]Part[aa1,2 }{1998,662,200,23
او : ]]aa1[[2 }{1998,662,200,23
ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن . aa1 وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر:
]}Part[aa1,{2,4,5 }}{{1998,662,200,23},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30
او : ]]}aa1[[{2,4,5 }}{{1998,662,200,23},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30
ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺻﻔوف اﻟﺛﺎﻧﻰ و اﻟراﺑﻊ و اﻟﺧﺎﻣس ﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ . aa1 ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺻﻔوف اﻟﺛﻼﺛﺔ اﻻوﻟﻰ ﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ aa1ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر Takeﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ]Take[aa1,3 }}{{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26
ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻟﺻﻔوف اﻟﺛﻼﺛﺔ اﻻﺧﯾرة ﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ aa1ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر Takeﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ]Take[aa1,-3 }}{{2002,900,330,36},{2003,932,400,40},{2004,981,430,41
ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻟﺻﻔوف ﻣن اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻟث اﻟﻰ اﻟﺻف اﻟﺳﺎدس ﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ aa1 ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر Takeﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
]}Take[aa1,{3,6 {{1999,721,250,26},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330, }}36
١١٤
Selecting Columns
) (٢-٢-٤اﺧﺗﯾﺎر اﻻﻋﻣدة
ﻻﺧﺗﯾﺎر اى اﻋﻣدة ﻣن ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة DataManipulationواﻟﻣوﺟودة ﻓﻰ اﻟدﻟﯾل .Statistics
ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذﻩ اﻟﺣزﻣﺔ وﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟرﺋﯾﺳﯾﺔ اﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺧﺗﺎر Help وﻣﻧﻬﺎ ﻧﺧﺗﺎر Help Broswerﻟﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
ﻟﺗﺣﻣﯾل ﻫذﻩ اﻟﺣزﻣﺔ ﻧﻛﺗب ﻣﺎ ﯾﻠﻰ : `<<Statistics`DataManipulation
اﻻن وﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎدﺧﺎل اﻻﻣر : ]Column[aa1,3 }{300,200,250,300,250,330,400,430
ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻋدد اﻟطﺎﻟﺑﺎت ﺧﻼل اﻻﻋوام 1997 -2004ﻣن اﻟﺟدول ،اى اﻟﻌﻣود اﻟﺛﺎﻟث ﻣن aa1 وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر:
١١٥
]}Column[aa1,{2,4 {{555,20},{662,23},{721,26},{800,28},{880,30},{900,36},{932,40},{981, }}41
ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﻣود اﻟﺛﺎﻧﻰ واﻟﻌﻣود اﻟراﺑﻊ ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ﻣن اﻟﺟدول )او ﻣن .(aa1 وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر: ]}ColumnTake[aa1,{2,4 {{555,300,20},{662,200,23},{721,250,26},{800,300,28},{880,250,30},{90 }}0,330,36},{932,400,40},{981,430,41
ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻻﻋﻣدة ﻣن اﻟﺛﺎﻧﻰ اﻟﻰ اﻟ ارﺑﻊ ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ﻣن اﻟﺟدول)او ﻣن . (aa1
) (٣-٤ﻋرض اﻟرﺳوم اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﯾﻣﻛن ﻋرض اﻧواع اﻟرﺳوم اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﺗﻰ ﯾﻘدﻣﻬﺎ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ) (١-٣-٤اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ
ﺗﻘدم اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ رﺳوﻣﺎ ﺗﺗﻌﻠق ﺑﻘﯾم ﻟﻣﺗﻐﯾر او اﻛﺛر ﺑﺣﯾث ﺗﻌطﻰ ﻓﻛرة ﺑﺳﯾطﺔ إﺟﻣﺎﻟﯾﺔ
وﺳرﯾﻌﺔ وﻣﻧظورة ﻟﻠﻘﺎرئ او ﺻﺎﺣب اﻟﻌﻣل .ﻓﺎﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻣن اﻻدوات اﻟﺗﻰ ﺗﻘوم ﺑﺗﻣﺛﯾل اﻟﻘﯾم ﺗﻣﺛﯾﻼ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺣﯾث ﯾﺳﻬل ﻓﻬم واﺳﺗﯾﻌﺎب ﻫذة اﻟﻘﯾم ﻣن ﺧﻼل ﻧظرة ﻓﺎﺣﺻﺔ ﺳرﯾﻌﺔ . وﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ
Graphics
ﻓﻰ اﻟﺪﻟﯿﻞ Graphics
وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذﻩ اﻟﺣزﻣﺔ .ﻓﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟرﺋﯾﺳﯾﺔ ﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺿﻐط ﻋﻠﻰ Helpوﻣﻧﻬﺎ ﻧﺿﻐط ﻋﻠﻰ Help Broswerﻟﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
١١٦
ﺣﯾث ﻧﺣﺻل ﻣﻧﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت واﻣﺛﻠﺔ ﻋن اﻟﺣزﻣﺔ ﻣوﺿﻊ اﻻﻫﺗﻣﺎم . اﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺗﻧﻔﯾذة : ?BarChart BarChart[list1, list2, ...] generates a bar chart of the data in the lists.
ﻫﻧﺎك ﺛﻼث اﺷﻛﺎل ﻣن اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ : )أ( اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﺑﺳﯾطﺔ Simlple ﻗد ﺗﺳﺗﺧدم اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﺑﺳﯾطﺔ ﻟدراﺳﺔ اﻟﺗطور اﻟذى ﯾﺣدث ﻓﻰ ظﺎﻫرة ﻣﻌﯾﻧﺔ او ﻣوﺿوع
ﻣﻌﯾن ﺧﻼل ﻓﺗرات ﻣن اﻟزﻣن ﺣﯾث ﯾﺗﻧﺎﺳب ارﺗﻔﺎع اﻻﻋﻣدة ﻣﻊ اﺣﺟﺎم او اوزان او اﻋداد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛﻠﻬﺎ .
١١٧
ﻟﻠﻣﺛﺎل ) (١-٤وﺑﻔرض اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﺎﻟﻌﻣود اﻻول واﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن اﻟﺟدول ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ،اى اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟطﻠﺑﺔ ﺧﻼل اﻻﻋوام 1997-2004وﺳوف ﻧﻌرض ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﻠﻰ ﺷﻛل اﻋﻣدة ﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
`<<Graphics`Graphics `<<Statistics`DataManipulation aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26 {},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36}, ;}}2003,932,400,40},{2004,981,430,41 ;]}ruthruns=Column[aa1,{2,1 ;]BarChart[ruthruns 1000 800 600 400 200
2002 2003 2004
2000 2001
1999
1997 1998
ﻟﻠﻣﺛﺎل ) (١-٤وﺑﻔرض اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﺎﻟﻌﻣود اﻻول واﻟراﺑﻊ ﻣن اﻟﺟدول ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ،اى اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻋﺿﺎء ﻫﯾﺋﺔ اﻟﺗدرﯾس ﺧﻼل اﻻﻋوام 1997-2004وﺳوف ﻧﻌرض ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﻠﻰ ﺷﻛل اﻋﻣدة ﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Graphics`Graphics `<<Statistics`DataManipulation aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26 {},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36}, ;}}2003,932,400,40},{2004,981,430,41 ;]}t2=Column[aa1,{4,1 ;]BarChart[t2
١١٨
40
30
20
10
2004
2003
2002
2001
2000
1999
1998
1997
ﻟﻠﻣﺛﺎل ) (١-٤وﺑﻔرض اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﺎﻟﻌﻣود اﻻول واﻟﺛﺎﻟث ﻣن اﻟﺟدول ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ،اى اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟطﺎﻟﺑﺎت ﺧﻼل اﻻﻋوام 1997-2004وﺳوف ﻧﻌرض ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﻠﻰ ﺷﻛل اﻋﻣدة ﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Graphics`Graphics `<<Statistics`DataManipulation aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26 {},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36}, ;}}2003,932,400,40},{2004,981,430,41 ;]}t2=Column[aa1,{3,1 ;]BarChart[t2
400
300
200
100
2004
2003
2002
2000 2001
١١٩
1999
1998
1997
وﯾﻣﻛن اﺟراء ﺑﻌض اﻟﺗﺣﺳﯾﻧﺎت او اﻻﺿﺎﻓﺎت اﻟﻰ اﻻﻋﻣدﯾﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﺣﯾث ﺗﻠون ﺑﺜﻼث اﻟﻮان
ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﺣﺴﺐ طول اﻟﻌﻣود وذﻟك ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺨﯿﺎر . BarStyleاﯾﻀﺎ ﺳﻮف ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﺨﯿﺎر : GridLines -> Automatic
وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺷﻛل ﺷﺑﻛﻰ .
وﺳوف ﯾﺗم ذﻟك ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻋﺿﺎء اﻟﺗدرﯾس ﺧﻼل اﻻﻋوام :1997-2004 `<<Statistics`DataManipulation `<<Graphics`Graphics aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26 {},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36}, ;}}2003,932,400,40},{2004,981,430,41 ]t2=Column[aa1,4 }{20,23,26,28,30,36,40,41 BarChart[t2, >BarStyle - [(Which # >36, RGBColor[0,1,0], # < 26, RGBColor[1,0,0], True, RGBColor[1,1,0]]&), GridLines -> Automatic ,BarLabels{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","20 ]}"03","2004 40
30
20
10
2004
2003
2002
2001
1999 2000
1998
1997
)(Graphics
)ب( اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﻣزدوﺟﺔ SimlplClustered ﺗﺳﺗﺧدم اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﻣزدوﺟﺔ ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ظﺎﻫرﺗﯾن او اﻛﺛر ﻟﻌدد ﻣن اﻟﺳﻧوات ﻛﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻋداد اﻟذﻛور واﻻﻧﺎث ﻟﻌدة ﺳﻧوات . ١٢٠
ﻣﺛﺎل ) (٢ -٤ اظﻬرت اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗﻌﻠﻘﺔ ﺑوداﺋﻊ اﺣد اﻟﺑﻧوك ﺧﻼل اﻟﺳﻧوات ﻣن 1997-2004ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ )ﻣﻠﯾون ﺟﻧﯾﻪ(
وداﺋﻊ اﻟﺗوﻓﯾر
اﻟوداﺋﻊ اﻟﺗﺟﺎرﯾﺔ
وداﺋﻊ اﻻﺟل
اﻟﺳﻧﺔ
1997
22
51
31
1998
25
56
32
1999
27
58
36
2000
28
61
39
2001
30
59
37
2002
35
68
40
2003
37
71
42
2004
37
75
45
اﻟﻣطﻠوب ﺗﻣﺛﯾل وداﺋﻊ اﻟﺑﻧك ﺑﺎﻧواﻋﻬﺎ اﻟﺛﻼﺛﺔ ﻋﻠﻰ اﺳﺎس اﻻﻋﻣدة اﻟﻣزدوﺟﺔ ﻋﻠﻰ ﻣدى اﻟﺳﻧوات اﻟﻣذﻛورة .
`<<Graphics`Graphics
;}kk1={22,25,27,28,30,35,37,37
;}kk2={51,56,58,61,59,68,71,75
;}kk3={31,32,36,39,37,40,42,45
BarChart[kk1,kk2,kk3,BarLabels{"1997","1998","1999","200 ]}"0","2001","2002","2003","2004
١٢١
70 60 50 40 30 20 10 2004
2003
2002
2001
2000
1999
1998
1997
Graphics
وﯾﻣﻛن اﺟراء ﺑﻌض اﻟﺗﺣﺳﯾﻧﺎت او اﻻﺿﺎﻓﺎت اﻟﻰ اﻻﻋﻣدﯾﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Graphics`Graphics ;}kk1={22,25,27,28,30,35,37,37 ;}kk2={51,56,58,61,59,68,71,75 ;}kk3={31,32,36,39,37,40,42,45
BarChart[kk1,kk2,kk3,BarLabels{"1997","1998","1999","200 0","2001","2002","2003","2004"},BarOrientation]>Horizontal 2004 2003 2002 2001 2000 1999 1998 1997 70
60
50
40
30
20
10 Graphics
ھﻨﺎك اﺿﺎﻓﺎت اﺧرى اﻟﻰ اﻻﻋﻣدﯾﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌرف ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن ﺧﻼل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ : ١٢٢
(٣ -٤ ) ﻣﺛﺎل
. ( وﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﻣزدوﺟﺔ ﻟﺗﻣﺛﯾل وداﺋﻊ اﻟﺑﻧوك٢-٤) ﻟﻠرﺟوع اﻟﻰ ﻣﺛﺎل <<Graphics`Graphics` kk1={22,25,27,28,30,35,37,37}; kk2={51,56,58,61,59,68,71,75}; kk3={31,32,36,39,37,40,42,45}; b1=BarChart[kk1,kk2,kk3,BarStyle>{GrayLevel[0.3],GrayLevel[0.6]},BarLabels>{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004" },DisplayFunction->Identity]; b2=BarChart[kk1,kk2,kk3,BarLabels>{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004" },BarEdges->None,DisplayFunction->Identity]; b3=BarChart[kk1,kk2,kk3,BarSpacing->0.2,BarLabels>{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004" },DisplayFunction->Identity]; b4=BarChart[kk1,kk2,kk3,BarSpacing->-0.2,BarLabels>{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004" },DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{{b1,b2},{b3,b4}}]]
70
70
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
70
70
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
GraphicsArray ١٢٣
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻻﻋﻣدة ﻟﻠﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن ﻗﺎﺋﻣﺗﯾن ﻣن اﻻﻋداد وﻻ ﯾﺷﺗرط ﺗﺳﺎوى اﻟﻌدد داﺧل ﻛل . ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺣﯾث ﯾﺗﺿﺢ ذﻟك ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ <<Graphics`Graphics` [{1, -3, 4, 5, 2, 3}, {3, 6, 4, 3}] <<Graphics`Graphics` BarChart[{1, -3, 4, 5, 2, 3}, {3, 6, 4, 3}] 6
4
2
1
2
3
4
5
6
-2
Graphics
ﺣﯾث ﯾﺗم اﺳﺗﺧدامbusiness chart ﺗﻌﺗﺑر اﻻﻋﻣدة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﺛﺎل ﻟـ
{1, 3, 4, 5, 3.5, 3}, {3, 2, 5, 3} اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺗﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﺗﯾن
.TextStyle ﻣﻊ ﺧﯾﺎرات ﻗﯾﺎﺳﯾﺔ ﻣﺛل اﻟﺧﯾﺎر <<Graphics`Graphics` BarChart[{1, 3, 4, 5, 3.5, 3}, {3, 2, 5, 3}, BarSpacing -> -.3, BarGroupSpacing -> .5, BarStyle -> {GrayLevel[.6], Hue[0]}, BarEdgeStyle -> {{Dashing[{.01}],Hue[0]},GrayLevel[0]}, BarLabels -> {"Apr","May","Jun","Jul","Aug","Sep"}, PlotLabel -> "Projected and Current Profit, Tourist Season", TextStyle -> {"FontFamily" -> "Helvetica", "FontSize" -> 9} ] Projected and Current Prof it,
Tourist Season
5 4 3 2 1
Apr
May
Jun
Jul
Aug
١٢٤
Sep
Graphics
)ج( اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﻣﺟزاة Stacked ﺗﺳﺗﺧدم اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﻣﺟزاة اﯾﺿﺎ ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ظﺎﻫرﺗﯾن او اﻛﺛر ﻟﻌدد ﻣن اﻟﺳﻧوات ﻛﻣﻘﺎرﻧﺔ
اﻟﻣدﺧﻧﯾن واﻟﻐﯾر ﻣدﺧﻧﯾن ﻟﻌدة ﺳﻧوات .
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻻﻋﻣدة اﻟﻣﺟزاة ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ?StackedBarChart
StackedBarChartlist1, list2, ... generates a …stacked bar chart of the data in the lists. More
اﻻن ﺳوف ﻧﻣﺛل وداﺋﻊ اﻟﺑﻧك ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل ) (٢-٤ﻋﻠﻰ اﺳﺎس اﻻﻋﻣدة اﻟﻣﺟزﺋﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Graphics`Graphics ;}kk1={22,25,27,28,30,35,37,37 ;}kk2={51,56,58,61,59,68,71,75 ;}kk3={31,32,36,39,37,40,42,45 sb2=StackedBarChart[kk1,kk2,kk2,BarLabels">{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004 ]}
175 150 125 100 75 50 25 2004
2003
2002
2001
2000
1999
1997 1998 Graphics
ﻫﻧﺎك اﺿﺎﻓﺎت اﺧرى اﻟﻰ اﻻﻋﻣدﯾﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌرف ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ واﻟﺧﺎﺻﺔ
ﺑﺎﻟﻣﺛﺎل ): (٢-٤
١٢٥
<<Graphics`Graphics` kk1={22,25,27,28,30,35,37,37}; kk2={51,56,58,61,59,68,71,75}; kk3={31,32,36,39,37,40,42,45}; w=BarLabels>{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004" } sb1=BarChart[kk1,kk2,kk3,w,DisplayFunctionIdentity]; sb2=StackedBarChart[kk1,kk2,kk3,w,PlotRangeAll,DisplayFu nctionIdentity]; sb3=StackedBarChart[kk1,kk2,kk3,w,PlotRangeAll,DisplayFu nctionIdentity]; sb4=StackedBarChart[kk1,kk2,kk2,w,PlotRangeAll,DisplayFu nctionIdentity,BarOrientationVertical]; Show[GraphicsArray[{{sb1,sb2},{sb3,sb4}}]]
70
150
60
125
50
100
40
75
30 50
20
25
10 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
150
175
125
150
100
125 100
75
75 50
50
25
25 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
GraphicsArray
ﻫذا وﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻟﻠﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن ﻗﺎﺋﻣﺗﯾن ﻣن اﻻﻋداد وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻋﻣدة
: ﺣﯾث ﺗﻛون اﻻﻋﻣدة ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻰ اﻟطول ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰpercentile bar اﻟﻣﺋوﯾﺔ : ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﯾﺗم اﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن اﻟﻘﺎﺋﻣﺗﯾن ١٢٦
}{1, -3, 4, 5, 2, 3},{3, 6, 4, 3 `<<Graphics`Graphics PercentileBarChart[{1, -3, 4, 5, 2, 3}, ]}{3, 6, 4, 3 100 % 80% 60% 40% 20% 0% 6
4
5
2
3
1 20%
Graphics
وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﺷﻛﺎل ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻼﻋﻣدة اﻟﻣﺋوﯾﺔ )او اﻻﻋﻣدة ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ ( وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺧﯾﺎرات ﻟرﺳم اﻻﻋﻣدة ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : } {1,3,-4,5,3.5,3},{-3,2,5,3ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ : PercentileBarChart[{1,3,-4,5,3.5,3}, {-3,2,5,3}, BarStyle -> {RGBColor[0,1,0], RGBColor[1,1,0]}, BarOrientation -> Horizontal, ]Axes -> False, Frame -> True 20% 40% 60% 80% 100 %
60% 40% 20% 0%
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
20% 40% 60% 80% 100 %
60% 40% 20% 0% Graphics
)د( اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣوﺿوﻋﺔ ﻓﻰ ﺟداول ﻣزدوﺟﺔ
١٢٧
ﻣﺛﺎل )(٤-٤ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺟﻣﻌت ﻣن اﺳﺗﯾﺑﺎﻧﺔ وزﻋت ﻋﻠﻰ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن 27ﻓرد واﻟﻣطﻠوب وﺿﻊ ھذه اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﺟدول ﻣزدوج وﺗﻣﺛﯾﻠﮭﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻓﻰ اﻟﺑﻌد اﻟﺛﺎﻟث ﺣﯾث fﺗرﻣز اﻟﻰ اﻧﺛﻰ و mﺗرﻣز اﻟﻰ ذﻛر : اﻟﺟﻧس اﻟون اﻟﻣﻔﺿل اﻟﻌﻣر اﻟﺟﻧس f brown ٢٠ ١ f brown ٢٠ ٢ f black ٢١ ٣ m black ٢٣ ٤ f brown ٢١ ٥ f red ٢٢ ٦ f black ٣٠ ٧ f brown ٣٤ ٨ f brown ٢٢ ٩ m blond ٢٣ ١٠ f red ٢٢ ١١ m black ٢١ ١٢ f blond ٢٦ ١٣ m brown ٢٥ ١٤ m brown ٣٢ ١٥ f blond ٢٣ ١٦ f red ٢٣ ١٧ m brown ٢٠ ١٨ f blond ٢٠ ١٩ m brown ٢٢ ٢٠ f blond ٢٣ ٢١ m black ٢٢ ٢٢ f blond ٢٠ ٢٣ m brown ٢١ ٢٤ f red ٢٤ ٢٥ f brown ٢٠ ٢٦ m brown ٤٤ ٢٧ ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺟﺎھز اﻟﺗﺎﻟﻰ وھﻧﺎك ﻧﺳﺧﺔ ﻣﻧﮫ ﻣﻠﺣﻘﺔ ﻣﻊ اﻟﻛﺗﺎب ﺑﻧﻔس اﺳم اﻟﻣﺛﺎل . اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻣوﺿوﻋﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ : dataset وﯾﻣﻛن ﺗﻌدﯾل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﯾﻧﺎﺳب ﺑﯾﺎﻧﺎت اﺧرى . dataset={{f,20,brown},{f,20,brown},{f,21,black},{m,23,bla ck},{f,21,brown},{f,22,red},{f,30,black},{f,24,brown},{f, 22,brown},{m,23,blond},{f,22,red},{m,21,black},{f,26,blon d},{m,25,brown},{m,32,brown},{f,23,blond},{f,23,red},{m,2 0,brown},{f,20,blond},{m,22,brown},{f,23,blond},{m,22,bla ١٢٨
ck},{f,20,blond},{m,21,brown},{f,24,red},{f,20,brown},{m, 44,brown}}; <<Statistics`DataManipulation` Clear[contingencyarray] contingencyarray[dataset_,{rows_,columns_}]:=Module[{data ,rowvars,columnvars}, data=Column[dataset,{rows,columns}]; rowvars=Column[dataset,rows]//Union; columnvars=Column[dataset,columns]//Union; rowsandcolumns=Table[Count[data,{rowvars[[i]],column vars[[j]]}],{i,1,Length[rowvars]},{j,1,Length[columnvars] }]; {rowvars,columnvars,rowsandcolumns} ] Clear[contingencyTableCategory] contingencyTableCategory[dataset_,{rows_,columns_},opts__ _]:=Module[{array}, array=contingencyarray[dataset,{rows,columns}]; TableForm[array[[3]],opts,TableHeadings>{array[[1]],array[[2]]}] ] contingencyTableCategory[dataset,{1,3}] contingencyTableCategory[dataset,{1,3},TableHeadings>{{"Female","Male"},{"Black","Blond","Brown","Red"}}] <<Graphics`Graphics3D` Clear[contingencyGraphCategory] contingencyGraphCategory[dataset_,{rows_,columns_},opts__ _]:=Module[{array}, array=contingencyarray[dataset,{rows,columns}]; BarChart3D[array[[3]],opts,AxesLabel>{array[[1]],array[[2]],None},Ticks>{None,None,Automatic}] ] contingencyGraphCategory[dataset,{1,3}]
black blond brown red f 2 5 6 4 m 3 1 6 0 Black Blond Brown Red Female 2 5 6 4 Male 3 1 6 0
١٢٩
black , blond , brown , red
6
4
2
0
f, m
Graphics3D
) (٢-٣-٤ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر
ﻣﺛﺎل )(٥-٤ ﺗﻣﺛل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣرﺗب ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻻﺷﺧﺎص ﺑﺎﺣدى اﻟﺷرﻛﺎت وذﻟك وﻓق اﻟﻣﺳﺗوى اﻟﺗﻌﻠﯾﻣﻰ .واﻟﻣطﻠوب ﻋرض ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﻠﻰ ﺷﻛل رﺳم ﺑﯾﺎﻧﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر . رﻗم اﻟﻣوظف
اﻟﻣﺳﺗوى اﻟﺗﻌﻠﯾﻣﻰ
اﻟﻣرﺗب
1
1
85
2
2
90
3
2
80
4
4
100
5
4
120
6
4
130
7
4
200
8
3
210 ١٣٠
9
3
100
10
3
120
11
2
190
12
4
160
13
4
85
14
4
140
اﻟﺣل : ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻌرض ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻓﻰ ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر وﺳوف ﻧدﺧل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺗﺳﻣﻰ : aa1 }aa3={{1,85},{2,90},{2,80},{4,100},{4,120},{4,130},{4,200 ;}},{3,210},{3,100},{3,120},{2,190},{4,160},{4,85},{4,140 sp1=ListPlot[aa3,AxesOrigin->{0,7},PlotRange>{{0,5},{5,220}},Ticks>{{{1,"1"},{2,"2"},{3,"3"},{4,"4"}},Automatic},PlotStyle]]>PointSize[0.02 Graphics
200
150
100
50
4
2
3
١٣١
1
) (٣-٣-٤رﺳم
ﺑﺎرﯾﺗوParetoPlot
ﻣﺛﺎل ) (٦ -٤ اﻟﻣطﻠوب ﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ واﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل ﺗﺻﻧﯾف ﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻻﺷﺧﺎص ﺣﺳب ﺧﺎﺻﯾﺔ ﻣﺎ وذﻟك ﺑﻣﺎ ﯾﺳﻣﻰ رﺳم ﺑﺎرﯾﺗو a, b, c, d, d, d, e, d, e, e, f, a, b, c
اﻟﺣل : ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ
StatisticsPlots
ﻓﻰ اﻟﺪﻟﯿﻞ Statistics
وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻣﻊ اﻻﻣر : ParetoPlot `<<Statistics`StatisticsPlots [ParetoPlot }{a, b, c, d, d, d, e, d, e, e, f, a, b, c ] 1 0.8 0.6 0.4 0.2
f
b
a
c
e
d
ﻣﺛﺎل ) (٧ -٤ اﻟﻣطﻠوب ﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ واﻟﻣوﺿوﻋﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﺗداﺧﻠﺔ ﺣﯾث ﻛل ﻗﺎﺋﻣﺔ داﺧﻠﯾﺔ
ﺗﻣﺛل اﻟﻣﺣﺻول واﻟﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﻧﺗﺟﺔ ﻣﻧﻪ وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام رﺳم ﺑﺎرﯾﺗو :
}}{{"Oats", 34.3},{"Wheat", 72.1}, {"Rye", 10.2}, {"Soy", 68.2
اﻟﺣل : ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ StatisticsPlotsﻓﻰ اﻟدﻟﯾل
وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻣﻊ اﻻﻣر : ParetoPlot ١٣٢
Statistics
<<Statistics`StatisticsPlots` ParetoPlot[ {{"Oats", 34.3},{"Wheat", 72.1}, {"Rye", 10.2}, {"Soy", 68.2}} ] 1 0.8 0.6 0.4 0.2
Wheat
Soy
Oats
Rye
Graphics
(٨ -٤ ) ﻣﺛﺎل ﺳوف ﻧوﻟد ﺧﻣﺳون رﻗﻣﺎ ﺻﺣﯾﺢ ﻣن واﺣد اﻟﻰ ﻋﺷرة وﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم رﺳم ﺑﺎرﺗو ﻓﻰ ﻋرﺿﻬم . ﻣﻊ اﺳﺗﺧدام ﺧﯾﺎرات ﻣﺗﻌددة Statistics ﻓﻰ اﻟﺪﻟﯿﻞ
StatisticsPlots
ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ
: ParetoPlot وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻣﻊ اﻻﻣر <<Statistics`StatisticsPlots` ParetoPlot[ Table[Random[Integer, {1,10}], {50}], BarLabels -> None, BarOrientation -> Horizontal, BarStyle -> GrayLevel[1], BarEdgeStyle -> Dashing[{0.02}], PlotJoined -> False, SymbolShape -> PlotSymbol[Box] ]
١٣٣
1
0.6
0.8
0.2
0.4
Graphics
) (٤-٣-٤اﻟدواﺋر اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ PieChart ﺗﺳﺗﺧدم اﻟدواﺋر اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻋﻧد وﺟود ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻌﯾﻧﺔ ﯾﻣﻛن ﺗﻘﺳﯾﻣﻬﺎ اﻟﻰ ﻋدة اﺟزاء او ﺣﺻص
ﺑﺣﯾث ﯾﻣﺛل ﻛل ﺟزء او ﺣﺻﺔ ﻧﺳﺑﺔ ﻣﺋوﯾﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻣﺟﻣوع اﻟﻛﻠﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر . ﻣﺛﺎل ) (٩ -٤
اذا ﻛﺎن ﻋدد اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻰ اﺣدى اﻟﺟﺎﻣﻌﺎت ﺧﻼل اﻟﻌﺎم اﻟدراﺳﻰ 2005-2006ﺣﺳب اﻟﻛﻠﯾﺎت ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ :
اﻟﻛﻠﯾﺎت
ﻋدد اﻟطﻠﺑﺔ
arts
3000
law
2500
engineering
1200
economic
4600
computer
3300
pharmacy
1100
medicin
800
agriculture
900
١٣٤
اﻟﻣطﻠوب ﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗﻌﻠﻘﺔ ﺑﺎﻋداد اﻟطﻠﺑﺔ ﺣﺳب اﻟﻛﻠﯾﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻣن ﺧﻼل اﺳﺗﺧدام . اﻟدواﺋر اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ : اﻟﺣل : spending ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﻰ اﻟﺣل واﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣوﺿوﻋﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ <<Graphics`Graphics` spending={3000,2500,4600,1200,3300,1100,800,900}; PieChart[spending,PieLabels>{"arts","law","economics","engineering","computer","Mpha rmacy","medicine","agriculture"},PieExploded->{{9,0.1}}] (Graphics)
law
arts economics
agriculture medicine engineering
Mpharmacy computer
( ﺣﺳب ﺧﯾﺎرات ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن٩-٤) وﻫﻧﺎك ﺷﻛل اﺧر ﻟﻠداﺋرة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻟﻧﻔس ﻣﺛﺎل :اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ <<Graphics`Graphics` grays=Table[GrayLevel[i],{i,0.4,1,0.6/8}]; PieChart[spending,PieLabels>{"arts","law","economics","engineering","computer","Mpha rmacy","medicine","agriculture"},PieExploded>{{1,0.1},{2,0.3},{3,0.1}},PieStyle->grays]
١٣٥
law
arts economics
agriculture medicine engineering
Mpharmacy computer
Graphics
ﻣﺛﺎل ) (١٠ -٤ اﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣوﺿوﻋﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﺷﻛل اﺧر ﻟﻠداﺋرة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ : 590,157,484,57,15,19,32
اﻟﺣل : ﺳوف ﯾﺗم ﺣل ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ : Revenue `<<Graphics`Graphics ;}revenue={590,157,484,57,15,19,32 ]PieChart[revenue
١٣٦
1
2 7 6 5 4
3
(١١ -٤ ) ﻣﺛﺎل : وﻫﻧﺎك ﺷﻛل اﺧر ﻟﻠداﺋرة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﺣﺳب ﺧﯾﺎرات ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﺧرى ﻣوﺿوﻋﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ : Spending اﻟﻣﺳﻣﺎه
<<Graphics`Graphics` spending={274,20,252,333,157,89,92,114,232}; PieChart[spending,PieLabels>{"Defense","International","National","SS","Medicare","M edicaid","Entitlements","Other","Net Interest"},PieExploded->{{9,0.1}}]
١٣٧
National International Defense SS
Net Interest Medicare Other Medicaid Entitlements
Graphics
: Spending وﻫﻧﺎك ﺷﻛل اﺧر ﻟﻠداﺋرة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﺣﺳب ﺧﯾﺎرات ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻟﻠﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ
<<Graphics`Graphics` grays=Table[GrayLevel[i],{i,0.4,1,0.6/8}]; PieChart[spending,PieLabels>{"Defense","International","National","SS","Medicare","M edicaid","Entitlements","Other","Net Interest"},PieExploded-
١٣٨
International National
Defense SS
Net Interest Medicare Other Medicaid Entitlements
Graphics
. وﻫﻧﺎك اﺷﻛﺎل اﺧرى ﻟﻠداﺋرة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﺣﺳب ﺧﯾﺎرات ﻣﻌﯾﻧﺔ وﺑﺎوﺿﺎع ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ
(١٢ -٤ ) ﻣﺛﺎل
: ﻣن ﺧﻼل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﺷﻛﺎل اﺧرى ﻟﻠداﺋرة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ <<Graphics`Graphics` DisplayTogetherArray[ PieChart[{.2,.3,.1}], PieChart[{.2,.3,.1}, PieExploded->All], PieChart[{.2,.3,.1}, PieExploded->{{3,.2}}] ]
1
1
2
3
2
1 2
3
GraphicsArray ١٣٩
3
(١٣ -٤ ) ﻣﺛﺎل
: وﻗد ﯾﻛرر اﻟﺗﻠوﯾن ﻣن ﺧﻼل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ <<Graphics`Graphics` PieChart[{.1, .2, .3, .4}, PieStyle->{ GrayLevel[.3], GrayLevel[.8]}]
2 3
1
4
Graphics
(١٤ -٤ ) ﻣﺛﺎل :ﻣن ﺧﻼل ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺟدﯾدة ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗوﺿﻊ اﻟﻌﻧﺎوﯾن ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ <<Graphics`Graphics` PieChart[{12, 21, 18}, PieLabels -> {"Joe", "Helen", "Bob"}, PlotLabel -> "Sales" ] Sales
Joe Helen
Bob
Graphics
PieLine Charts ( اﻟﺧطوط اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ٥-٣-٤) ١٤٠
ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﻠﻰ اﺳﺎس ﺧطوط ﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻣﻊ ﻣﻘﺎرﻧﺗﻬﺎ ﻣﻊ ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر وذﻟك ﺑﻬدف ﺗوﺿﯾﺢ اﻻﺗﺟﺎﻩ اﻟﻌﺎم ﻟظﺎﻫرة ﻣﺎ او ﻋدة ظواﻫر ﺧﻼل ﻓﺗرات زﻣﻧﯾﺔ ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ وﻫﻧﺎك ﺛﻼث اﺷﻛﺎل ﻣن اﻟﺧطوط اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ :
)أ( اﻟﺧطوط اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﺑﺳﯾطﺔ : ﺗﺳﺗﺧدم اﻟﺧطوط اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﺑﺳﯾطﺔ ﻛﺛﯾ ار ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﺗﻐﯾر واﺣد ﻟﻣراﻗﺑﺔ ﺗطورة ﻋﻠﻰ ﻣر اﻟﻔﺗرات اﻟزﻣﻧﯾﺔ . ﻣﺛﺎل ) (١٥ -٤ ﻟﻠﻣﺛﺎل ) (١-٤واذا ﻛﺎن اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﺎﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل اﻋداد اﻟطﻠﺑﺔ ﺧﻼل اﻻﻋوام 1997-2004 ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﻬﻣﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DataManipulation aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26 {},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36}, ;}}2003,932,400,40},{2004,981,430,41 ;]}ruthruns=Column[aa1,{1,2 ﻟﻌرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ruthrunsﻋﻠﻰ ﺷﻛل ﺧطوط ﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﺑﺳﯾطﺔ وﻣﻘﺎرﻧﺗﻬﺎ ﻣﻊ ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ : lp1=ListPlot[ruthruns,PlotStyle;]>PointSize[0.02],DisplayFunction->Identity lp2=ListPlot[ruthruns,PlotJoined->True,DisplayFunction;]>Identity ]]}Show[GraphicsArray[{lp1,lp2
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
900
900
800
800
700
700
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
GraphicsArray
اﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻻﻣر ListPlotﺑﻛﺗﺎﺑﺔ اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺗﻧﻔﯾذة : ١٤١
??ListPlot ListPlot[{y1, y2, ... }] plots a list of values. The x coordinates for each point are taken to be 1, 2, ... . ListPlot[{{x1, y1}, {x2, y2}, ... }] plots a list of values with specified x and y coordinates. Attributes[ListPlot] = {Protected} Options[ListPlot] = {AspectRatio -> GoldenRatio^(-1), Axes -> Automatic, AxesLabel -> None, AxesOrigin -> Automatic, AxesStyle -> Automatic, Background -> Automatic, ColorOutput -> Automatic, DefaultColor -> Automatic, Epilog -> {}, Frame -> False, FrameLabel -> None, FrameStyle -> Automatic, FrameTicks -> Automatic, GridLines -> None, ImageSize -> Automatic, PlotJoined -> False, PlotLabel -> None, PlotRange -> Automatic, PlotRegion -> Automatic, PlotStyle -> Automatic, Prolog > {}, RotateLabel -> True, Ticks -> Automatic, DefaultFont :> $DefaultFont, DisplayFunction :> $DisplayFunction, FormatType :> $FormatType, TextStyle :> $TextStyle} <<Statistics`DataManipulation`
Multiple )ب( اﻟﺧطوط اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﻣﺗﻌددة وﯾرﯾد اﻟﺑﺎﺣث ان ﯾراﻗب، ﯾﺳﺗﺧدم ﻫذا اﻟﻧوع ﻣن اﻟرﺳوم اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ وﺟود ﻣﺗﻐﯾﯾرﯾن ﻓﺎﻛﺛر
.ﻋﻠﻰ اﺳﺎس ان ﯾﻛون ذﻟك ﻓﻰ ﻧﻔس اﻟرﺳم، اﻟﺗطورات ﻟﻬذﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﻠﻰ ﻣر ﻓﺗرات ﻣن اﻟزﻣن (١٦ -٤ ) ﻣﺛﺎل . 2000-2005 ﺧﻼل اﻻﻋوامA,B,C اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻣﺛل اﻋداد اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻰ ﺛﻼث ﺟﺎﻣﻌﺎت . واﻟﻣطﻠوب ﺗﻣﺛﯾﻠﻬﺎ ﺑﺎﻟﺧطوط اﻟﻣﺗﻌددة A=1000,1223,1400,1500,1600,1600 B=1300,1600,1820,1880,1890,1900 C=2000,2200,2450,2460,2500,2550
: اﻟﺣل : ﺳوف ﻧدﺧل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﻟﻣﺳﻣﯾﺎت اﻻﺗﯾﺔ وB ﺗﻣﺛل اﻋداد اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻰ اﻟﺟﺎﻣﻊrr2 وA ﺗﻣﺛل اﻋداد اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻰ اﻟﺟﺎﻣﻌﺔrr1 . C ﺗﻣﺛل اﻋداد اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻰ اﻟﺟﺎﻣﻊrr3
MultipleListPlot ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺳوف ﻧﺣﻣل اﻟﺣزﻣﺔ Graphics ﺗﺣت اﻟدﻟﯾل ١٤٢
. ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟرﺳمMultipleListPlot وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر <<Graphics`MultipleListPlot` rr1={1000,1223,1400,1500,1600,1600}; rr2={1300,1600,1820,1880,1890,1900}; rr3={2000,2200,2450,2460,2500,2550}; <<Graphics`MultipleListPlot` MultipleListPlot[rr1,rr2,rr3,PlotJoined>True,PlotLegend->{"A","B","C"}] 2500 2250 A
2000 1750
B
1500 C
1250 1 2 (Graphics)
3
4
5
6
. 2000-2005 ﺗﻘﺎﺑل اﻻﻋوام ﻣن1,2,3,4,5,6 اﻻرﻗﺎم ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻻﻓﻘﻰ (١٧ -٤ ) ﻣﺛﺎل : ﻟﻠﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﺳوف ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﺷﻛﺎل اﺧرى ﺑﺘﻨﻔﯿﺬ اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ <<Graphics`MultipleListPlot` rr1={1000,1223,1400,1500,1600,1600}; rr2={1300,1600,1820,1880,1890,1900}; rr3={2000,2200,2450,2460,2500,2550}; mpl1=MultipleListPlot[rr1,rr2,PlotJoinedTrue,PlotLabel" Number of Students",DisplayFunctionIdentity]; mpl2=MultipleListPlot[rr1,rr3,PlotJoinedTrue,PlotLabel" Number of Students",DisplayFunctionIdentity]; MultipleListPlot[rr2,rr3,PlotJoinedTrue,PlotLabel"Numbe r of Students",PlotLegend{"B","C"}] Show[GraphicsArray[{{mpl1,mpl2}}]]
١٤٣
of Students
Number 2400 2200
B
2000 1800
C 1600 6
5
3
4
1
2
Graphics Number of Students
Number of Students 2500
1800 2250 2000
1600
1750
1400
1500 1200
1250 6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
GraphicsArray
ﺣﯾث اﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﺻف اﻻول ﯾﺧص اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻰ اﻟﺟﺎﻣﻌﺗﯾن B,C
واﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﯾﺳﺎر ﯾﺧص اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻰ اﻟﺟﺎﻣﻌﺗﯾن A,B واﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﯾﻣﯾن ﯾﺧص اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻰ اﻟﺟﺎﻣﻌﺗﯾن A,C
)ج( رﺳوم اﺧرى
ﻣﺛﺎل ) (١٨-٤ ﻓﻰ ﺑﻌض اﻻﺣﯾﺎن ﻧﺣﺗﺎج اﻟﻰ اﺧﺗﺑﺎر ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣن ﺣﯾث ﺗوﻓر ﺷروط ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻫل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﯾﻧﺎﺳﺑﻬﺎ ﺗوﻓﯾق ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻟﻬﺎ ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ او ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ .
ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺳوف ﻧوﻟد ﺑﯾﺎﻧﺎت وﻧﻘﺎرﻧﻬﺎ ﻣﻊ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ وﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ
اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ : {data = Table[{n/15, (n/15)^2 + 2 + Random[Real,.3,.3}]}, ١٤٤
{n, 15}]; fit = Fit[data, {1, x, x^2}, x] 1.60225 1.12205 x 0.148019 x2 altfit = Fit[data, {1,x^3}, x] 1.94133 1.10294 x3 aa1=Plot[altfit, {x,0,1}, PlotStyle -> Hue[.6],DisplayFunction->Identity]; aa2= ListPlot[data, PlotStyle -> {Hue[0], PointSize[.03]},DisplayFunction->Identity]; aa3= Plot[fit, {x,0,1}, PlotStyle -> {GrayLevel[0], Dashing[{.03}]},DisplayFunction->Identity] Show[aa1,aa2,aa3,DisplayFunction->$DisplayFunction] Graphics 3 2.8 2.6 2.4 2.2 0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.8 1.6 Graphics
(١٩ -٤ ) ﻣﺛﺎل
Statistics ﺗﺣت اﻟدﻟﯾلStatisticsPlots ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ
وذﻟــك ﻟﻠﻣﻘﺎرﻧــﺔ ﻣــن ﻣﺟﻣــوﻋﺗﯾن ﻣــن اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت واﺧﺗﺑــﺎر ﻫــل
QuantilePlot
وﺳــوف ﻧﺳــﺗﺧدم اﻻﻣــر
ﯾﻧﺗﻣــون اﻟــﻰ ﻧﻔــس اﻟﺗوزﯾــﻊ واذا ﺗﺣﻘــق ﻫــذا اﻟﺷــرط ﻓﻧﺟــد ان اﻟﺗــوزﯾﻌﯾن ﯾﻠﺗﻔــﺎن ﺣــول اﻟﺧ ـط اﻟﻣﺳــﺗﻘﯾم Quantile- ﻛﻣ ــﺎ ﯾﺗﺿ ــﺢ ﻣ ــن اﻟﺑﯾﺎﻧ ــﺎت اﻟﺗ ــﻰ ﻧوﻟـ ـدﻫﺎ ﻓ ــﻰ ﻫ ــذا اﻟﻣﺛ ــﺎل واﻟﻣﺗﻣﺎﺛﻠ ــﺔ وﯾﺳ ــﻣﻰ ﻫ ــذا اﻟرﺳ ــم
.Quantile Plots <<Statistics`StatisticsPlots` QuantilePlot[ Table[Random[], {300}], Table[Random[], {300}] ] ١٤٥
1 0.8 0.6 0.4 0.2
1
0.8
0.4
0.6
0.2
ﻣﺛﺎل ) (٢٠ -٤
ﻟﻠﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﺳوف ﻧرﺳم Quantile-Quantile Plotsﺑﺧﯾﺎرات ﻣﺗﻌددة .
`<<Statistics`StatisticsPlots QuantilePlot[Table[Random[], {300}], Table[Random[], {300}], SymbolShape -> None, PlotJoined -> True, ]}]}ReferenceLineStyle -> {Hue[0], Dashing[{0.02 1 0.8 0.6 0.4 0.2
1
0.6
0.8
0.4
0.2
Graphics
ﻣﺛﺎل ) (٢١ -٤
اﻟﻣطﻠوب اﯾﺟﺎد ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﺑﯾن ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﻊ اﺧﺗﺑﺎر ﻫل اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﻼﻗﺔ ﺧطﯾﺔ )ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ( ﺣﯾث اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ aa1ﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﻣﺛل ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻻﻓﻘﻰ و اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ aa2ﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﻣﺛل ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻟراﺳﻰ .واﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺧطﯾﺔ ﻣﻣﺛﻠﺔ
ﺑﺎﻟداﻟﺔ . f
١٤٦
: اﻟﺣل : ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ وﯾﻣﻛن ﺗﻐﯾﯾرة ﻻﻣﺛﻠﺔ اﺧرى او ﺣﺎﻻت اﺧرى aa1={1,2,3,4,5,6}; aa2={11,15,19,32,23,34}; aa3=Transpose[{aa1,aa2}] {{1,11},{2,15},{3,19},{4,32},{5,23},{6,34}} f[x_]:=3+4x sp1=ListPlot[aa3,AxesOrigin->{0,0},PlotRange>{{0,10},{0,36}},PlotStyle>PointSize[0.02],DisplayFunction->Identity]; sp2=Plot[f[x],{x,0,10},AxesOrigin->{0,0},PlotRange>{{0,10},{0,36}},DisplayFunction->Identity]; Show[sp1,sp2,DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRangeA ll] 40
30
20
10
Graphics
2
4
6
8
10
(٢٢ -٤ ) ﻣﺛﺎل اى اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ، ( وﺑﻔرض اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﺎﻟﻌﻣود اﻻول واﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن اﻟﺟدول ﻣن اﻟﯾﺳﺎر١-٤) ﻟﻠﻣﺛﺎل وﻗد ﺗم ﻋرض ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﻠﻰ ﺷﻛل اﻋﻣدة1997-2004 ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟطﻠﺑﺔ ﺧﻼل اﻻﻋوام
: ﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ
١٤٧
1000 800 600 400 200
1997 1998
واﻟﻣوﺟود ﻓﻰ اﻟﺣزﻣﺔ
1999
2000 2001
TextListPlotاﻻﻣر
2002 2003 2004
اﻻن واﻟﻣطﻠوب ﻋرﺿﻬﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام :
Graphics
ﻓﻰ اﻟدﻟﯾل
Graphics
<<Statistics`DataManipulation` <<Graphics`Graphics` aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26 },{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},{ 2003,932,400,40},{2004,981,430,41}};
{{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26},{2 000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},{2003 ,932,400,40},{2004,981,430,41}} aa2=Column[aa1,2] {555,662,721,800,880,900,932,981} TextListPlot[aa2] 8 7 900
5
800
6
4 3
700 2
1
2
3
4
5
6
١٤٨
7
8
ﯾﻣﻛن اﻟذﻫﺎب اﻟﻰ اﻟﻔرﺷﺎة Paintواﺳﺗﺑدال ﻗﯾم اﻟﻣﺣور اﻻﻓﻘﻰ ﺑﻘﯾم اﻻﻋوام ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
ﻣﺛﺎل ) (٢٣ -٤ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻣﺛل اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻟﺛﻣﺎﻧﯾﺔ ﻣوظﻔﯾن ﻓﻰ اﺣدى اﻟﺷرﻛﺎت ﻓﻰ ﻋﺎم ﻣﺎ واﻟﻣطﻠوب
ﻋرﺿﻬﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام Graphics
اﻻﻣرTextListPlot
واﻟﻣوﺟود ﻓﻰ اﻟﺣزﻣﺔ
Graphics
ﻓﻰ اﻟدﻟﯾل
:
اﻟﺣل : `<<Graphics`Graphics }aa1={30,40,100,50,90,60,150,180 }{30,40,100,50,90,60,150,180 ]TextListPlot[aa1
١٤٩
180
8
160 7 140 120 100
3 5
80 60
6 4 7
8
5
6
3
4
2 2
1
ﻣﺛﺎل ) (٢٤ -٤
اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق اﻟﻣطﻠوب ﻋرﺿﻪ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر LabeledListPlot
واﻟﻣوﺟود ﻓﻰ اﻟﺣزﻣﺔ
Graphics
ﻓﻰ اﻟدﻟﯾل
Graphics
:
اﻟﺣل : `<<Graphics`Graphics ;}aa1={30,40,100,50,90,60,150,180 ]LabeledListPlot[aa1 180
8
160 7 140 120 100
3 5
80 60
6 4 8
7
6
ﻣﺛﺎل ) (٢٥ -٤
١٥٠
5
4
3
2 2 1 Graphics
ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﻫﻧﺎك ﻣﺗﻐﯾر ﻣﺎ رﻗﻣﻰ ﻣﺻﻧف ﺗﺑﻊ ﺻﻔﺔ ﻣﺎ .ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل
ﻣرﺗﺑﺎت ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟﻌﺎﻣﻠﯾن ﻓﻰ ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ ﻣﺻﻧﻔﺔ ﺗﺑﻌﺎ ﻟدرﺟﺎﺗﻬم اﻟﻰ A,B,C واﻟﻣطﻠوب ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر. اﻟﺣل :
اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺗوﺿﯾﺢ ﺣﯾث اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ aa1ﺗﻣﺛل ازواج
اﻟﻘﯾم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ﺣﯾث . A=1,B=2,C=3
{aa1={{2,13},{2,8},{2,18},{2,18.7`},{2,16},{2,22},{3,26}, 2,19},{2,11.6`},{2,7.5`},{3,16},{2,21},{2,19},{2,15},{3,2 }0},{2,17},{1,15.4`},{2,20},{1,19},{2,18.5`},{1,21},{2,15 {,{2,20},{3,18.2`},{2,11.03`},{2,20},{1,24.1`},{2,21.5`}, 1,18.6`},{2,10.5`},{3,17},{3,22.89`},{3,22.3`},{1,17},{2, {21},{2,17},{3,22},{2,22.4`},{2,26},{2,16},{1,18},{2,20}, }`3,20},{2,19},{1,16},{2,17.7`},{2,23},{1,20.35`},{2,22.2 ;}},{2,9 sp1=ListPlot[aa1,AxesOrigin->{0,7},PlotRange>{{0,5},{7,26}},Ticks>{{{1,"A"},{2,"B"},{3,"C"}},Automatic},PlotStyle]]>PointSize[0.02 25 22.5 20 17.5 15 12.5 10 7.5 C
B
A
Graphics
ﻣﺛﺎل ) (٢٦ -٤ ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺳوف ﯾﺗم ﺗوﻟﯾد ازواج ﻣن اﻟﻘﯾم ﺛم ﺗﻣﺛﯾل اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾﻧﻬم ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر ErrorListPlotﺑﺣﯾث اﻟﺧط ﻋﻧد ﻛل ﻧﻘطﺔ ﯾﺳﺎوى واﺣد ﺻﺣﯾﺢ وﻫذا اﺧﺗﯾﺎرى .
`<<Graphics`Graphics [expdata = Table {x, .92 10^(.94 x) + Random[Real, ]}{-1.0, 1.0}]}, {x, 0.2, 1.2, .1
١٥١
{{{0.2,1.82859},{0.3,1.71064},{0.4,2.37924},{0.5,2.3441}, 0.6,4.35803},{0.7,3.23384},{0.8,4.72316},{0.9,5.73992},{1 }}.,7.40686},{1.1,9.33359},{1.2,12.4843 ]erexpdata = Map[Append[#, 1.0]&, expdata {{0.2,1.82859,1.},{0.3,1.71064,1.},{0.4,2.37924,1.},{0.5, 2.3441,1.},{0.6,4.35803,1.},{0.7,3.23384,1.},{0.8,4.72316 ,1.},{0.9,5.73992,1.},{1.,7.40686,1.},{1.1,9.33359,1.},{1 }}.2,12.4843,1. ]errorp=ErrorListPlot[erexpdata 12 10 8 6 4 2 1.2
) (٤-٤اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري
0.8
1
0.6
0.4
0.2
Graphics
Frequency Distribution
) (١-٤-٤ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻏﺎﻟﺑ ﺎ ﻣ ﺎ ﯾﻛ ون اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺣﺗﻣ ﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ ﻏﯾ ر ﻣﻌ روف .ﺗﻌﺗﺑ ر اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﺟﻣﻌﮭﺎ اﻟﺑﺎﺣث ﺑﻛﻣﯾﺎت ﻛﺑﯾرة ﻣﻔﯾدة ﺟدا ﻓ ﻲ دراﺳ ﺔ ﺳ ﻠوك اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ إذا ﺗ م ﻋرﺿ ﮭﺎ ﺑﺷ ﻛل ﻣﻧﺎﺳ ب .اﻟﻣﻌﻠوﻣ ﺎت اﻟﻛﺛﯾ رة ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﺑﺗﺟﻣﯾ ﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻓ ﻲ ﻓﺋ ﺎت classesوﺣﺳﺎب ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ ﻛل ﻓﺋﺔ .ﻣﺛ ل ھ ذا اﻟﺗﻧظ ﯾم ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺗﻛ راري .ﻋﻧ دﻣﺎ ﻧﻘوم ﺑﺗﺟﻣﯾﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﻓﺋﺎت ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺣﺻ ل ﻋﻠ ﻰ أﺣﺳ ن ﺻ ورة ﻟﻠﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣوﺿ ﻊ اﻟدراﺳ ﺔ وﻟﻛﻧﻧ ﺎ ﻓﻲ اﻟﻣﻘﺎﺑل ﻧﻔﻘد اﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺗﻔﺻﯾﻼت ﻋن اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ .ﻋدد اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ ﻓﺋ ﺔ ﺧﺎﺻ ﺔ ﯾﺳ ﻣﻰ ﺗﻛ رار اﻟﻔﺋ ﺔ class frequencyوﯾرﻣ ز ﻟ ﮫ ﺑ ﺎﻟرﻣز . fاﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛ ل اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺗﻛراري ﻷطوال 22ﻧﺑﺎت ﻣن ﻧوع ﻣﺎ )اﻟﻣﺷﺎھدات ﻣﻌطﺎة ﻷﻗرب ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ( .ﻓ ﻲ ھ ذا اﻟﻣﺛ ﺎل ﻟدﯾﻧﺎ 6ﻓﺋﺎت وھم . 35-39 , 40-44 , 45 -49 , 50-54 , 55-59 , 60-64:ﯾﺷﺎر إﻟﻰ أﺻﻐر وأﻛﺑر اﻟﻘﯾم اﻟﺗﻲ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻓﺋﺔ ﻣﻌطﺎة ﺑﺣدود ھذه اﻟﻔﺋ ﺔ . class limitsﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻟﻠﻔﺋ ﺔ 55 – 59 أﺻﻐر رﻗ م ھ و 55وﯾﻣﺛ ل اﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ lower class limitوأﻛﺑ ر رﻗ م ھ و 59وﯾﻣﺛ ل اﻟﺣ د اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ ٠upper class limitوﺣﯾث أن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻷﺻ ﻠﯾﺔ ﻣﺳ ﺟﻠﺔ ﻷﻗ رب رﻗ م ﺻ ﺣﯾﺢ ،ﻓ ﺈن 4ﻣﺷﺎھدات ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺋﺔ 55-59ﯾﻣﺛﻠون ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ ﻗﯾﻣﮭم أﻛﺑ ر ﻣ ن أو ﯾﺳ ﺎوى 54.5وأﺻ ﻐر ﻣ ن . 59.5اﻷرﻗ ﺎم 54.5و 59.5ﺗﺳ ﻣﻰ اﻟﺣ دود اﻟﻔﻌﻠﯾ ﺔ class boundariesﻟﻠﻔﺋ ﺔ . 55-59اﻟرﻗم 54.5ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ lower class boundaryواﻟرﻗم 59.5ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﺣ د اﻷﻋﻠﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ٠upper class boundaryأﯾﺿﺎ اﻟرﻗم 59.5ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ اﻟﻔﻌﻠ ﻲ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ ١٥٢
أي اﻟﻔﺋ ﺔ . 60-64وﯾﻼﺣ ظ أﻧ ﮫ ﺑ ﺎﻟرﻏم ﻣ ن أن اﻟﻔﺋ ﺎت ﻟﮭ ﺎ ﺣ دود ﻓﻌﻠﯾ ﺔ ﻣﺷ ﺗرﻛﺔ إﻻ أﻧ ﮫ ﻣ ن ﻏﯾ ر اﻟﻣﻣﻛن أن ﺗﻘﻊ ﻣﺷﺎھدة واﺣدة ﻋﻠﻰ أﺣد ھذه اﻟﺣدود وذﻟك ﻷن اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﻟﻠﻔﺋ ﺎت ﺗﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ﺧﺎﻧﺎت ﻋﺷرﯾﺔ أﻛﺑر ﻣن ﺗﻠك اﻟﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻧﻔﺳﮭﺎ. 60-64 8
55-59 4
50-54 4
40-44 2
45-49 3
35-39 1
ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻛرار
ﯾﻌرف اﻟﻔرق ﺑ ﯾن اﻟﺣ د اﻷﻋﻠ ﻰ اﻟﻔﻌﻠ ﻲ واﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ اﻟﻔﻌﻠ ﻲ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ ﺑط ول اﻟﻔﺋ ﺔ class width
وﯾﺳ ﺎوى أﯾﺿ ﺎ اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن اﻟﺣ د اﻷﻋﻠ ﻰ واﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ زاﺋ دا وﺣ دة دﻗ ﺔ ،أي وﺣ دة ﻣ ن اﻟوﺣدات اﻟﺗﻲ ﻗرﺑت إﻟﯾﮭﺎ اﻷﻋداد ﻓﻲ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت )ﻓ ﻲ ھ ذا اﻟﻣﺛ ﺎل وﺣ دة اﻟدﻗ ﺔ ھ ﻲ اﻟواﺣ د اﻟﺻ ﺣﯾﺢ ﻷﻧﻧﺎ ﻗرﺑﻧ ﺎ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻷﻗ رب رﻗ م ﺻ ﺣﯾﺢ( .ﻣ ن اﻟﻧﺎﺣﯾ ﺔ اﻟﻌﻣﻠﯾ ﺔ ﯾﻔﺿ ل اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﻓﺋ ﺎت ذات أطوال ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻣﺎ أﻣﻛن .ﺳوف ﻧرﻣز ﻟطول اﻟﻔﺋﺔ ﺑ ﺎﻟرﻣز .أط وال اﻟﻔﺋ ﺎت ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺳ ﺎﺑق ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ وﺗﺳﺎوى . 5 ﻣﻧﺗﺻف اﻟﻔﺋ ﺔ midpointﺗﺳ ﻣﻰ ﻣرﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺔ class midpointأو class markوﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﺑﺟﻣﻊ اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ واﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ وﻗﺳ ﻣﺔ اﻟﻣﺟﻣ وع ﻋﻠ ﻰ 2وذﻟ ك ﺗﺣ ت ﻓ رض أن ﺟﻣﯾ ﻊ اﻟﻣﺷ ﺎھدات داﺧ ل اﻟﻔﺋ ﺔ ﺗﺄﺧ ذ ﻗﯾﻣ ﺎ ﺗﺗط ﺎﺑق ﻣ ﻊ ﻣرﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺔ .ﻣﺛ ﺎل ذﻟ ك اﻓﺗ راض أن 8 ﺗﻛرارات ﻓﻲ اﻟﻔﺋﺔ 60-64ﺗﺄﺧذ اﻟﻘﯾﻣﺔ 62واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻣرﻛز ھذه اﻟﻔﺋ ﺔ .أﯾﺿ ﺎ ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﻰ ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ ﺑﺟﻣﻊ اﻟﺣد اﻷدﻧ ﻰ واﻟﺣ د اﻷﻋﻠ ﻰ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ وﻗﺳ ﻣﺔ اﻟﻣﺟﻣ وع ﻋﻠ ﻰ . 2ﻣ ن اﻟﺟ دول اﻟﺳﺎﺑق ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت ھ م ٠ 37 , 42 , 47 , 52 , 57 , 62 :ﯾﻣﺛ ل اﻟﺟ دول اﻟﺳ ﺎﺑق ﺗوزﯾ ﻊ ﺗﻛ راري ﻣ ن اﻟﻧ وع اﻟ ذي ﻧﺷ ﺎھده ﻓ ﻲ اﻟﺗﻘ ﺎرﯾر اﻟﻣﻧﺷ ورة ﻓ ﻲ اﻟﺻ ﺣف .ﻟﻸﻏ راض اﻹﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ ﯾﻛ ون ﻣ ن اﻷﻓﺿل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻌﺎت ذات ﺗﻔﺻﯾﻼت أﻛﺛر ،ﻛﻣ ﺎ ھ و ﻣوﺿ ﺢ ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﻟ ﻧﻔس اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق . اﻟﺗﻛرار
ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ
اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ اﻟﻔﺋﺔ
ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ
\ 2 3 4 4 8
37 42 47 52 57 62
34.5-39.5 39.5-44.5 44.5-49.5 49.5-54.5 54.5-59.5 59.5-64.5
35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64
ﻣﺛﺎل )(٢٧-٤ اذا ﻛﺎن ﻟدﯾك اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
::
60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71, 65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63, 62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70
اﻟﻣطﻠوب وﺿﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﺟدول ﺗﻛرارى ﺑﺣﯾث ﯾﻛون ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت 6 ١٥٣
اﻟﺣــل: ::
ﻓﻰ اﻟﺑداﯾﺔ ﻧﻘرر ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت واﻟﺗﻲ ﺳوف ﺗﺗوزع ﻓﯾﮭﺎ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت .ﻋﺎدة ﯾﻔﺿل أن ﺗﻛ ون ﻋ دد اﻟﻔﺋﺎت ﻣن 5إﻟﻰ .20إذا زاد ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت ﻋن ﻋﺷرﯾن ﺧﺳر اﻟﺑﺎﺣ ث اﻟﺑﺳ ﺎطﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﻛﺳ ﺑﮭﺎ ﻋ ﺎدة ﻋﻧد وﺿﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ،وإذا ﻗل ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت ﻋن 5ﻓ ﺈن ذﻟ ك ﯾ ؤدى إﻟ ﻰ ﺿ ﯾﺎع اﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺗﻔﺻﯾﻼت اﻟﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت .ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻗررﻧﺎ أن ﯾﻛون ﻋدد اﻟﻔﺋ ﺎت ،6ﻟﺣﺳ ﺎب طول اﻟﻔﺋﺔ ﻓﺈﻧﻧﺎ أوﻻ ﻧﺣﺳب اﻟﻣدى وھ و ﻋﺑ ﺎرة ﻋ ن اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن أﻛﺑ ر وأﺻ ﻐر ﻣﺷ ﺎھدة ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﯾﻛ ون اﻟﻣ دى . 74-45=29ﺛﺎﻧﯾ ﺎ ﻧﻘﺳ م اﻟﻣ دى ﻋﻠ ﻰ ﻋ دد اﻟﻔﺋ ﺎت اﻟﻣﻘﺗرﺣ ﺔ أي 29 وﯾﻘرب اﻟﻧﺎﺗﺞ ﻣن ﺧ ﺎرج اﻟﻘﺳ ﻣﺔ إﻟ ﻰ أﻗ رب رﻗ م ﺻ ﺣﯾﺢ )ﻷن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﺧ ﺎم 4.83333 6 أﺻ ﻼ ﻣﻘﺎﺳ ﺔ ﻷﻗ رب رﻗ م ﺻ ﺣﯾﺢ( .أي أن ط ول اﻟﻔﺋ ﺔ ﺳ وف ﯾﻛ ون 5 .ﻧﺣ دد ﺑداﯾ ﺔ اﻟﻔﺋ ﺔ اﻷوﻟﻰ )اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷوﻟﻰ( واﻟذي ﻏﺎﻟﺑﺎ ﻣﺎ ﯾﻛون أﺻﻐر رﻗم ﻓﻲ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وھ و ،45وﻛ ذﻟك ﻧﺣدد اﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ ﺑﺈﺿ ﺎﻓﺔ ط ول اﻟﻔﺋ ﺔ إﻟ ﻰ اﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ ،وھﻛ ذا ﻟﺗﻌﯾ ﯾن اﻟﺣدود اﻟدﻧﯾﺎ ﻟﺑﺎﻗﻲ اﻟﻔﺋﺎت .أﻣﺎ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﺗﺣدﯾد اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷوﻟﻰ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛ ن ﺗﻌﯾﯾﻧ ﮫ ﺑﺈﺿ ﺎﻓﺔ ط ول اﻟﻔﺋ ﺔ إﻟ ﻰ اﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ ﺛ م ﻧط رح ﻣ ن ﺣﺎﺻ ل اﻟﺟﻣ ﻊ ﻣﻘ دار وﺣ دة دﻗ ﺔ ﻣ ن اﻟوﺣدات اﻟﺗﻲ ﻗرﺑت إﻟﯾﮭﺎ اﻷﻋداد ﻓﻲ اﻟﻣﺷﺎھدات ،أي . 1وﻛذﻟك ﻧﺣ دد اﻟﺣ د اﻷﻋﻠ ﻰ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ ﺑﺈﺿﺎﻓﺔ طول اﻟﻔﺋﺔ إﻟﻰ اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷوﻟﻰ ،وھﻛذا ﻟﺗﻌﯾﯾن اﻟﺣدود اﻟﻌﻠﯾﺎ ﻟﺑﺎﻗﻲ اﻟﻔﺋﺎت ،وذﻟ ك ﺗﺣت ﺷرط أن اﻟﻔﺋﺎت ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ اﻷطوال. ﺳوف ﯾﺗم ﺣل ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻌطﺎه ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎه : x x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53, 71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74, ;}63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70 ]b=Max[x 74 ]n=Length[x 50 ]a=Min[x 45 r=b-a 29
r N 6
d
4.83333 ]del=Round[d 5 ]}c1=Table[i,{i,a,b,del }{45,50,55,60,65,70 c2=c1+del-1 }{49,54,59,64,69,74
c1 c2 2
mid
}{47,52,57,62,67,72 `<<Statistics`DataManipulation ]RangeCounts[x,c1 }{0,5,9,4,13,10,9 ]ff=Drop[%,1 }{5,9,4,13,10,9 ١٥٤
TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff}],TableHeadings{{},{"L ]}}"ower","Upper","Midpoint","Frequency
Frequency 5 9 4 13 10 9
Midpoint 47 52 57 62 67 72
Upper 49 54 59 64 69 74
Lower 45 50 55 60 65 70
اﻟﻣﺧرج اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﺛل ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛرارى ﻟﻣﺛﺎﻟﻧﺎ . ﻓﻰ ﺑﻌض اﻻﺣﯾﺎن ﯾﻛون اﻻﻫﺗﻣﺎم ﺑﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻧﺳﺑﻰ وﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﻪ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﺳﺎﺑق وذﻟك ﺑﻘﺳﻣﺔ ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻰ ﻋﻣود Frequencyاﻟﺳﺎﺑق ﻋﻠﻰ ﻋدد اﻟﺗﻛرارات . ;aa2=ff/Length[x]//N }{0.1,0.18,0.08,0.26,0.2,0.18 "{TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa2}],TableHeadings{{}, ]}}"Lower","Upper","Midpoint","Frequency
Frequency 0.1 0.18 0.08 0.26 0.2 0.18
Midpoint 47 52 57 62 67 72
Upper 49 54 59 64 69 74
Lower 45 50 55 60 65 70
ﻓﻰ ﺑﻌض اﻻﺣﯾﺎن ﯾﻛون اﻻﻫﺗﻣﺎم ﺑﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻣﺋوى وﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﻪ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻧﺳﺑﻰ اﻟﺳﺎﺑق وذﻟك ﺑﺿرب ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻰ ﻋﻣود Frequencyاﻟﺳﺎﺑق ﻓﻰ . 100 aa3=aa2*100 }{10.,18.,8.,26.,20.,18. "{TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa3}],TableHeadings{{}, ]}}"Lower","Upper","Midpoint","Frequency
Frequency 10. 18. 8. 26. 20. 18.
Midpoint 47 52 57 62 67 72
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ١٥٥
Upper 49 54 59 64 69 74
Lower 45 50 55 60 65 70
aa5=CumulativeSums[ff] {5,14,18,31,41,50} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa5}],TableHeadings{{},{" Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]
Lower 45 50 55 60 65 70
Upper 49 54 59 64 69 74
Midpoint 47 52 57 62 67 72
Frequency 5 14 18 31 41 50
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﻧﺳﺑﻰ وذﻟك ﺑﻘﺳﻣﺔ ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻰ ﻋﻣود : ررات اﻟﺳﺎﺑق ﻋﻠﻰ ﻋدد اﻟﺗﻛ اFrequency aa6=N[aa5/n] {0.1,0.28,0.36,0.62,0.82,1.} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa6}],TableHeadings{{},{" Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]
Lower 45 50 55 60 65 70
Upper 49 54 59 64 69 74
Midpoint 47 52 57 62 67 72
Frequency 0.1 0.28 0.36 0.62 0.82 1.
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﻣﺋوى وذﻟك ﺑﺿرب ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻰ ﻋﻣود .100 اﻟﺳﺎﺑق ﻓﻰ
Frequency
aa7=aa6*100 {10.,28.,36.,62.,82.,100.} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa7}],TableHeadings{{},{" Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]
Lower 45 50 55 60 65 70
Upper 49 54 59 64 69 74
Midpoint 47 52 57 62 67 72
Frequency 10. 28. 36. 62. 82. 100.
اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻲ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻓﻲ ﺷﻛل ﺟدوﻟﻲ ﺗﺻﺑﺢ أﺳﮭل ﻓ ﻲ اﻟﻔﮭ م إذا ﻣ ن أﻛﺛ ر اﻷﺷ ﻛﺎل اﻟﺑﯾﺎﻧﯾ ﺔ اﻟواﺳ ﻌﺔ اﻻﻧﺗﺷ ﺎر ﻓ ﻲ ﺗﻣﺛﯾ ل اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟرﻗﻣﯾ ﺔ ﻣ ﺎ٠ﺗ م ﻋرﺿ ﮭﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾ ﺎ ١٥٦
ﯾﻌرف ﺑﺎﻟﻣدرج اﻟﺗﻛ راري histogramواﻟ ذي ﯾﻧﺎﺳ ب اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﻣﺗﺻ ﻠﺔ .وﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾ ﮫ ﺑﺗﻣﺛﯾ ل ﺗﻛ رار ﻛ ل ﻓﺋ ﺔ ﻣ ن ﻓﺋ ﺎت اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﺑﻣﺳ ﺗطﯾل ﻗﺎﻋدﺗ ﮫ اﻟﺣ دود اﻟﻔﻌﻠﯾ ﺔ ﻟﺗﻠ ك اﻟﻔﺋ ﺔ وارﺗﻔﺎﻋ ﮫ ﯾﺳ ﺎوى ﺗﻛرار اﻟﻔﺋﺔ .وﯾﺗم ذﻟك ﺑرﺳم ﻣﺣورﯾن أﺣدھﻣﺎ أﻓﻘ ﻲ واﻵﺧ ر رأﺳ ﻲ وﻧرﺻ د ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺣ ور اﻷﻓﻘ ﻲ اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﻟﻛل ﻓﺋﺔ ﻣن ﻓﺋ ﺎت اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺗﻛ راري وﻧﻘ ﯾم ﻋﻠ ﻰ ﻛ ل ﻓﺋ ﺔ ﻣﺳ ﺗطﯾل ارﺗﻔ ﺎع ﯾﺳ ﺎوى ﺗﻛرار ﺗﻠك اﻟﻔﺋﺔ .اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛراري ﻟﻣﺛﻠﻧﺎ ﻣوﺿﺢ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Graphics`Graphics x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53, 71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74, ;}63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70 ]b=Max[x 74 ]n=Length[x 50 ]a=Min[x 45 r=b-a 29
r N 6
d
4.83333 ]del=Round[d 5 ]}c1=Table[i,{i,a,b,del }{45,50,55,60,65,70 c2=c1+del-1 }{49,54,59,64,69,74
c1 c2 2
mid
}{47,52,57,62,67,72 `<<Statistics`DataManipulation ]RangeCounts[x,c1 }{0,5,9,4,13,10,9 ]ff=Drop[%,1 }{5,9,4,13,10,9 ]}aa3=Transpose[{ff,mid }}{{5,47},{9,52},{4,57},{13,62},{10,67},{9,72 ">BarChart[aa3,BarSpacing->-.2,PlotLabel- ]}"histogram",AxesLabel->{"limits","frequency
١٥٧
frequency
histogram
12 10 8 6 4 2 limits 67
72
57
62
52
47 Graphics
ﻓﻲ ﺑﻌ ض اﻟﻣﺷ ﺎﻛل ﯾﻛ ون ﻣ ن اﻷﻓﺿ ل وﺿ ﻊ اﻟﺗﻛ رار اﻟﻧﺳ ﺑﻲ أو اﻟﻣﺋ وي ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺣ ور اﻟرأﺳ ﻲ. اﻟﻣ درج اﻟﺗﻛ راري ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﻣ درج اﻟﺗﻛ راري اﻟﻧﺳ ﺑﻲ relative frequency histogramأو اﻟﻣ درج اﻟﺗﻛ راري اﻟﻣﺋ وي ، percentage frequency histogramوﯾﻛ ون ﻟﮭﻣﺎ ﻧﻔس ﺷﻛل اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛراري ،ﻛﻣﺎ أن ﻣﺟﻣ وع ﻣﺳ ﺎﺣﺎت اﻷﻋﻣ دة ﻟﻠﻣ درج اﻟﺗﻛ راري اﻟﻧﺳ ﺑﻲ ﺗﺳﺎوى اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ. وﻣﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛراري اﻟﻧﺳﺑﻲ : aa4=ff/Length[x]//N }{0.1,0.18,0.08,0.26,0.2,0.18 ]}aa5=Transpose[{aa4,mid {{0.1,47},{0.18,52},{0.08,57},{0.26,62},{0.2,67},{0.18,72 }} ]BarChart[aa5,BarSpacing->-.2 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
72
62
67
57
52
47
Graphics
وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى اﻟﻣﺋوى ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ : aa6=aa4*100 }{10.,18.,8.,26.,20.,18. ]BarChart[aa6,BarSpacing->-.2 }{10.,18.,8.,26.,20.,18. ١٥٨
}{10.,18.,8.,26.,20.,18. 25 20 15 10 5
5
6
3
4
1
2
)(Graphics
اﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ اﻟﻣﻔﯾ دة ﻟﺗﻣﺛﯾ ل اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟرﻗﻣﯾ ﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾ ﺎ ھ و اﺳ ﺗﺧدام اﻟﻣﺿ ﻠﻊ اﻟﺗﻛ راري frequency polygonواﻟذي ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮫ ﺗﻧﺻﻧﯾف اﻷﺿﻼع اﻟﻌﻠوﯾﺔ ﻟﻠﻣﺳ ﺗطﯾﻼت ﻓ ﻲ اﻟﻣ درج اﻟﺗﻛراري ﺛم ﻧوﺻل ھ ذه اﻟﻧﻘ ﺎط ﺑﻌﺿ ﮭﺎ ﺑ ﺎﻟﺑﻌض .وﻟﻛ ﻲ ﻧﻐﻠ ق اﻟﺧ ط اﻟﻣﻧﻛﺳ ر اﻟ ذي ﺣﺻ ﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾ ﮫ ﻧﺣدد ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺣ ور اﻷﻓﻘ ﻲ ﻣرﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺔ اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ وﻣرﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺔ اﻟﻼﺣﻘ ﺔ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ اﻷﺧﯾ رة وﻧﻐﻠق اﻟﻣﺿﻠﻊ. وھﻧ ﺎك طرﯾﻘ ﺔ أﺧ رى ﻟرﺳ م اﻟﻣﺿ ﻠﻊ اﻟﺗﻛ راري وذﻟ ك ﺑرﺳ م ﻣﺣ ورﯾن أﺣ دھﻣﺎ أﻓﻘ ﻲ واﻵﺧ ر رأﺳﻲ .ﯾﻣﺛل اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ ﻣراﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺎت وﯾﻣﺛ ل اﻟﻣﺣ ور اﻟرأﺳ ﻲ اﻟﺗﻛ رارات .ﻧﻌﺗﺑ ر ﻣرﻛ ز ﻛ ل ﻓﺋﺔ إﺣداﺛﯾﺎ أﻓﻘﯾﺎ ﻟﻧﻘطﺔ وﻧﻌﺗﺑر ﺗﻛرار ھ ذه اﻟﻔﺋ ﺔ أﻹﺣ داﺛﻲ اﻟرأﺳ ﻲ ﻟﺗﻠ ك اﻟﻧﻘط ﺔ .وﻟﻛ ﻲ ﻧﻐﻠ ق اﻟﺧ ط اﻟﻣﻧﻛﺳر اﻟذي ﺣﺻ ﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾ ﮫ ﻧﺣ دد ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺣ ور اﻷﻓﻘ ﻲ ﻣرﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺔ اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ وﻣرﻛ ز اﻟﻔﺋﺔ اﻟﻼﺣﻘﺔ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷﺧﯾرة وﻧﻐﻠق اﻟﻣﺿﻠﻊ. ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟرﺳم اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛرارى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻣﺛﺎل ):(٢٧-٤ aa11={{42,0},{47,5},{52,9},{57,4},{62,13},{67,10},{72,9}, ;}}{77,0 ]}ListPlot[aa11,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0 12 10 8 6 4 2
75
65
70
60
55
ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟرﺳم اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻧﺳﺑﻰ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻣﺛﺎل ):(٢٧-٤
١٥٩
50
45
Graphics
bb1={{42,0},{47,.1},{52,.18},{57,.08},{62,.26},{67,.2},{7 ;}}2,.18},{77,0
]}ListPlot[bb1,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
75
70
65
60
55
50
45
Graphics
ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟرﺳم اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻣﺋوى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )(٢٧-٤ bb2={{42,0},{47,10},{52,18},{57,8},{62,26},{67,20},{72,18 ;}}},{77,0 ]}ListPlot[bb2,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0 25 20 15 10 5
75
65
70
60
55
50
45
Graphics
ﻋﻧ د اﻟرﻏﺑ ﺔ ﻓ ﻲ ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ﻓﺋﺗ ﯾن ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔﺗ ﯾن ﻓ ﻲ ﻋ دد ﻣﻔرداﺗﮭﻣ ﺎ ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻣﻛ ن ﺗﻣﺛﯾ ل اﻟﻣﺿﻠﻌﯾن اﻟﺗﻛرارﯾﯾن ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟرﺳم .ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﻻﺑ د ﻣ ن اﺳ ﺗﺧدام اﻟﺗﻛ رارات اﻟﻧﺳ ﺑﯾﺔ أو اﻟﻣﺋوﯾﺔ. ١٦٠
أﻣ ﺎ ﺑﺎﻟﻧﺳ ﺑﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻌ ﺎت اﻟﺗﻛرارﯾ ﺔ اﻟﻣﺗﺟﻣﻌ ﺔ ﻓﮭﻧ ﺎك ﻣ ﺎ ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﻣﺿ ﻠﻊ اﻟﺗﻛ راري اﻟﻣﺗﺟﻣ ﻊ cumulative frequency polygonوﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾ ﮫ ﺑرﺳ م ﻣﺣ ورﯾن أﺣ دھﻣﺎ أﻓﻘ ﻲ واﻵﺧ ر رأﺳﻲ وﻛل ﻧﻘط ﺔ ﻋﻠ ﻰ اﻟرﺳ م إﺣ داﺛﯾﺎﺗﮭﺎ اﻟﺣ د اﻷﻋﻠ ﻰ اﻟﻔﻌﻠ ﻲ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ واﻟﺗﻛ رار اﻟﻣﺗﺟﻣ ﻊ وﺑﺗوﺻ ﯾل اﻟﻧﻘﺎط ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ . ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ اﻟرﺳم ﻟﻠﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )(٢٧-٤ bb3={{42,0},{47,5},{52,14},{57,18},{62,31},{67,41},{72,50 ;}} ]}ListPlot[bb3,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0 50 40 30 20 10
70
65
60
55
50
45
Graphics
ﯾﻣﻛ ن ﺗﻣﺛﯾ ل اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺗﻛ راري اﻟﻣﺗﺟﻣ ﻊ اﻟﻧﺳ ﺑﻲ واﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺗﻛ راري اﻟﻣﺗﺟﻣ ﻊ اﻟﻣﺋ وي ﺑﯾﺎﻧﯾ ﺎ، ﺑ ﻧﻔس اﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﻣﺛﻠﻧ ﺎ ﺑﮭ ﺎ اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺗﻛ راري اﻟﻣﺗﺟﻣ ﻊ ﺑﯾﺎﻧﯾ ﺎ ،وذﻟ ك ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام اﻟﺗﻛ رارات اﻟﻣﺗﺟﻣﻌﺔ اﻟﻧﺳﺑﯾﺔ واﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗﺟﻣﻌﺔ اﻟﻣﺋوﯾﺔ٠ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ اﻟرﺳم ﻟﻠﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﻧﺳﺑﻰ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )(٢٧-٤ aa11={{42,0},{47,.1},{52,.28},{57,.36},{62,.62},{67,.82}, ;}}{72,1 ]}lp2=ListPlot[aa11,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0 1 0.8 0.6 0.4 0.2
70
65
60
55
50
45
Graphics
ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ رﺳم اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﻣﺋوى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )(٢٧-٤ ١٦١
bb3={{42,0},{47,10},{52,28},{57,36},{62,62},{67,82},{72,1 ;}}00 ]}ListPlot[bb3,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0 100 80 60 40 20
70
65
60
55
50
45
Graphics
ھﻧ ﺎك طرﯾﻘ ﺔ أﺧ رى ﻟﺗﻣﺛﯾ ل اﻟﺗوزﯾﻌ ﺎت اﻟﺗﻛرارﯾ ﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾ ﺎ وذﻟ ك ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ اﻟﺗﻛ راري . frequencycurveوﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾ ﮫ ﺑرﺳ م اﻟﻣﺿ ﻠﻊ اﻟﺗﻛ راري وﺗﻣﮭﯾ د اﻟﺧط وط اﻟﻣﻧﻛﺳ رة اﻟﺗ ﻲ ﺗﺻ ل ﺑ ﯾن ھ ذه اﻟ ﻧﻘط .وﻗ د ﯾﻛ ون اﻟﺗﻣﮭﯾ د ﺑﺎﻟﯾ د أو ﺑط رق رﯾﺎﺿ ﯾﺔ وﻻ ﯾﺷ ﺗرط أن ﯾﻣ ر اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ ﺑﺟﻣﯾﻊ رؤوس اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري .ﻋﻣوﻣ ﺎ ﻛﻠﻣ ﺎ ﺿ ﺎﻗت أط وال اﻟﻔﺋ ﺎت وزاد ﻋ دد اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﺈن اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري ﯾؤول إﻟﻰ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟﺗﻛراري. ﻋﻧد اﻟرﻏﺑﺔ ﻓ ﻲ ﺗﻘ دﯾر اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺣﺗﻣ ﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ ﻣﺗﺻ ل Xﻧﻘ وم ﺑﺗﻣﮭﯾ د اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ اﻟﺗﻛ راري اﻟﻧﺳ ﺑﻲ ٠ﺷ ﻛل اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ ﯾﺳ ﺎﻋدﻧﺎ ﻓ ﻲ اﻗﺗ راح ﺷ ﻛل ) f (xﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﺗﺻ ل ﻣوﺿﻊ اﻟدراﺳﺔ .ﻋﻠﻰ اﻟرﻏم ﻣن أﻧﻧﺎ ﺗﻣﻛﻧﺎ ﻣن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘ دﯾر ﻟﻠداﻟ ﺔ ) f (xﺑﯾﺎﻧﯾ ﺎ ﻓ ﻼ ﻧ زال ﻧﺟﮭل اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟرﯾﺎﺿﯾﺔ أو اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺧﺎﺻ ﺔ ﺑﺎﻟداﻟ ﺔ ) f (xوﺑﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ ﻻ ﻧﺳ ﺗطﯾﻊ ﺣﺳ ﺎب ﺗﻘ دﯾرات ﻟﻼﺣﺗﻣﺎﻻت .ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾﻠﮭ ﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾ ﺎ ﺑﻣﻧﺣﻧ ﻰ ﻋﻠ ﻰ ﺷ ﻛل اﻟﻧ ﺎﻗوس bell ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ٠اﻟﺻ ﯾﻐﺔ أو اﻟﻣﻌﺎدﻟ ﺔ اﻟﺧﺎﺻ ﺔ ﺑﺎﻟداﻟ ﺔ ) f (xﻣﻌروﻓ ﺔ )داﻟ ﺔ ﻛﺛﺎﻓ ﺔ اﻻﺣﺗﻣ ﺎل( وﺗﻌﺗﻣ د ﻋﻠ ﻰ ﻣﻌﻠﻣﺗ ﯾن , .ﺑﻣﺟ رد اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﺗﻘ دﯾر ﻟﻛ ل ﻣﻧﮭﻣ ﺎ ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻣﻘدرة ﺛم اﺳﺗﺧدام اﻟﺟداول اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ ﻟﺣﺳﺎب أي ﻣﺳﺎﺣﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ٠
)f(x
x
١٦٢
ﻋﺎدة ﺗﺄﺧذ اﻟﻣﻧﺣﻧﯾﺎت أﺷ ﻛﺎل ﻛﺛﯾ رة وﯾﻣﻛ ن اﺷ ﺗﻘﺎق ﻣﻌﺎدﻟﺗﮭ ﺎ ﺑﺗﻘ دﯾر ﻣﻌﺎﻟﻣﮭ ﺎ اﻟﻣﺟﮭوﻟ ﺔ .ﻣﺷ ﺎﻛل اﻟﺗﻘدﯾر ﺻﻌﺑﺔ ﺟدا وﺗﻧﺗﻣﻲ إﻟﻰ ﻓرع اﻹﺣﺻﺎء اﻟرﯾﺎﺿﻲ. ﻋﺎدة ﺗﺄﺧذ اﻟﻣﻧﺣﻧﯾﺎت أﺷﻛﺎل ﻛﺛﯾرة وﯾﻣﻛن اﺷﺗﻘﺎق ﻣﻌﺎدﻟﺗﮭﺎ ﺑﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎﻟﻣﮭﺎ اﻟﻣﺟﮭوﻟﺔ. ﯾﻘ ﺎل ﻟﻠﺗوزﯾ ﻊ أﻧ ﮫ ﻣﺗﻣﺎﺛ ل ، symmetricalﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺳ ﺎﺑق إذا أﻣﻛﻧﻧ ﺎ إﻗﺎﻣ ﺔ ﻋﻣ ود ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺣ ور اﻷﻓﻘ ﻲ ﺑﺣﯾ ث ﯾﻘﺳ م ھ ذا اﻟﻌﻣ ود اﻟﺗوزﯾ ﻊ إﻟ ﻰ ﻗﺳ ﻣﯾن ﯾﻧطﺑﻘ ﺎن ﻋﻠ ﻰ ﺑﻌﺿ ﮭﻣﺎ ﺗﻣ ﺎم اﻻﻧطﺑﺎق .اﻟﻧﻘطﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﻣﻛﻧﻧﺎ ﻣن إﻗﺎﻣﺔ اﻟﻌﻣود ﺗﺳﻣﻰ ﻧﻘطﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛل .أﻣﺎ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻲ ﯾﻛ ون ﻋ دم اﻟﺗﻣﺎﺛل واﺿﺣﺎ ﻓﺗﺳﻣﻰ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﻠﺗوﯾ ﺔ . skewedﯾﻛ ون اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﻠﺗوﯾ ﺎ إﻟ ﻰ اﻟﯾﻣ ﯾن أو ﻣوﺟ ب اﻻﻟﺗ واء positive skewedإذا ﻛ ﺎن ﻣﻌ دل اﻟﺗﻧ ﺎﻗص ﻓ ﻲ اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ أﺳ رع ﺟﮭ ﺔ اﻟﯾﻣ ﯾن ﻣﻧ ﮫ ﺟﮭﺔ اﻟﯾﺳﺎر ﺑﺣﯾث ﯾﻛون اﻟﺟﺎﻧب اﻷﯾﻣ ن ﻣ ن اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ أط ول ﻣ ن اﻟﺟﺎﻧ ب اﻷﯾﺳ ر ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
)f(x
x ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﯾﻛ ون اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﻠﺗوﯾ ﺎ إﻟ ﻰ اﻟﯾﺳ ﺎر وﺳ ﺎﻟب اﻻﻟﺗ واء negative skewedإذا ﻛ ﺎن ﻣﻌ دل اﻟﺗﻧﺎﻗص ﻓﻲ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ أﺳرع ﺟﮭﺔ اﻟﯾﺳﺎر ﻣﻧﮫ ﺟﮭﺔ اﻟﯾﻣﯾن ﺑﺣﯾث ﯾﻛون اﻟﺟﺎﻧب اﻷﯾﺳر ﻣن اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ أطول ﻣن اﻟﺟﺎﻧب اﻷﯾﻣن ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
ﺷﻛل )(٧-٣
x
ﻋﻧد ﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻟﻣﻧﺣﻧﯾﺎت وﺣﯾدة اﻟﻘﻣﺔ ﻗد ﻧﺟدھﺎ ﺗﺧﺗﻠف ﻣن ﺣﯾث ﺷﻛل اﻟﻘﻣﺔ .ﻓﻘد ﺗﻛ ون ﻗﻣ ﺔ إﺣ داھﻣﺎ أﻛﺛر ﺗدﺑﺑﺎ أو ﺗﻔرطﺣﺎ ﻣ ن ﺑﻌ ض اﻟﻘﻣ م اﻷﺧ رى ٠ﻓﻔ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﺛ ﻼث ﻣﻧﺣﻧﯾ ﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻓ ﻲ ﻛﻣﯾ ﺔ اﻟ ﺗﻔﻠطﺢ ٠اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ ، A ،ذو اﻟﻘﻣ ﺔ اﻟﻣدﺑﺑ ﺔ leptokurticﯾﻣﺛ ل ﺗوزﯾ ﻊ ﺑﻘ ﯾم ﺗﺗرﻛ ز ﺑﺷ دة ﺣ ول ﻧﻘط ﺔ اﻟوﺳ ط ٠midpointاﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ، B ،وھ و اﻟﻣﻌﺗ دل mesokurticﯾﻛ ون ﻣﺗوﺳط اﻟﺗﻔﻠطﺢ وﯾﻣﺛل ﺗوزﯾﻊ ﺑﻘ ﯾم ﺗﺗرﻛ ز ﺑدرﺟ ﺔ أﻗ ل ﺣ ول ﻧﻘط ﺔ اﻟوﺳ ط ﻋ ن اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ اﻟﻣ دﺑب٠ وأﺧﯾ را اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ ، Cاﻟﻣﻔﻠط ﺢ platykurticواﻟ ذي ﯾﻛ ون ﻣﻧﺑﺳ طﺎ وﺗ ﻧﺧﻔض ﻗﻣﺗ ﮫ ﻋ ن ﻗﻣ ﺔ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟﻣﻌﺗدل ٠وھذا ﯾدل ﻋﻠﻰ أن ﻗﯾﻣﮫ ﺗﻘﻊ ﺣول ﻧﻘطﺔ اﻟوﺳط ﻓﻲ ﻣدى ﻏﯾر ﺿﯾق٠
١٦٣
) (٢-٤-٤ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺗﻘطﻌﺔ و ﺑﯾﺎﻧﺎت وﺻﻔﯾﺔ ﻣﺛﺎل)(٢٨-٤ ﺗم إﻟﻘ ﺎء 10ﻋﻣ ﻼت 100ﻣ رة وﺗﺳ ﺟﯾل ﻗ ﯾم xاﻟﺗ ﻲ ﺗﻣﺛ ل ﻋ دد ﻣ رات ظﮭ ور اﻟﺻ ورة ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ،واﻟﻣطﻠ وب :إﯾﺟ ﺎد اﻟﻣ درج اﻟﺗﻛ راري ﻟﻠﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺗﻛ راري اﻟ ذي ﯾﻣﺛ ل ﻋ دد ﻣ رات ظﮭور اﻟﺻورة.
اﻟﺣــل: ﺑﻣﺎ أن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻓﺳوف ﺗﺳﺗﺧدم طرﯾﻘﺔ اﻷﻋﻣدة ﻟﺗﻣﺛﯾل ھذه اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت . ﻋدد اﻟﺻور
اﻟﺗﻛرار ) (f i
) (x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8 12 16 20 15 3 12 4 5 0 5 100
اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾرﺳم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑطرﯾﻘﺔ اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﺳﯾطﺔ .وطﺑﻌﺎ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺧﯾﺎرات اﻟﺗﻰ ﺗﻌرﻓﻧﺎ ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻓﻰ ﻋﻣل ﻋﻧوان ﻟﻠرﺳم او ﻟﻠﻣﺣﺎور . `<<Graphics`Graphics
ruthruns={{8,0},{12,1},{16,2},{20,3},{15,4},{3,5},{12,6}, }}{4,7},{5,8},{0,9},{5,10 ;]BarChart[ruthruns ١٦٤
20
15
10
5
10
9
8
6
7
5
4
3
2
1
0
ﻣﺛﺎل)(٢٩-٤ اذا ﻛﺎﻧــت ﻟــدﯾﻧﺎ اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾــﺔ اﻟﻣﻧﻔﺻــﻠﺔ ﻓــﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣــﺔ اﻟﻣﺳــﻣﺎﻩ aa1وﻧرﯾــد وﺿــﻌﻬﺎ ﻓــﻰ ﺟــدول ﺗﻛ ـرارى ﺛــم ﻋرﺿــﻬﺎ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻻﻋﻣــدة اﻟﺑﺳــﯾطﺔ .ﺳــوف ﻧﺳــﺗﺧدم اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﺗــﺎﻟﻰ وﺳــوف ﻧﺳ ــﺗﺧدم اﻟﺣزﻣ ــﺔ DataManipulationﺗﺣ ــت اﻟ ــدﻟﯾل Statisticsواﻻﻣ ــر :Frequencies
`<<Statistics`DataManipulation ;}aa1={1,2,2,4,4,4,4,3,3,3,2,4,4,4 ]Frequencies[aa1 }}{{1,1},{3,2},{3,3},{7,4 Frequencies[aa1]//TableForm
1 3 3 7
1 2 3 4
`<<Graphics`Graphics ]BarChart[Frequencies[aa1],PlotRange->All 7 6 5 4 3 2 1 3
4
١٦٥
2
1
Graphics
ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻻﻣر Frequenciesﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ : ?Frequencies
Frequencieslist gives a list of the distinct elements in list, together with …the frequencies with which they occur. More
) ( ٥-٤ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ
Measures of Central Tendency
ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻲ وﺣده ﻻ ﯾﻣد اﻟﺑﺎﺣث ﺑﻛل اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻲ ﯾﺣﺗﺎج إﻟﯾﮭﺎ ﻣن ﻓﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗﺣت اﻟدراﺳﺔ ،ﻓﺎﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻﺑد أن ﺗوﺻف وﺗﺣﻠل .واﺣد ﻣن اﻟطرق ﻟوﺻف ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ،ﺳواء ﻋﯾﻧﺔ أو ﻣﺟﺗﻣﻊ ،ھو اﺳﺗﺧدام اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ) averagesﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ( .ﻓﺎﻟﻣﺗوﺳط ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺗرﻛز ﺣوﻟﮭﺎ ﻣﻌظم اﻟﻣﺷﺎھدات .ﻓﻲ ھذا اﻟﺑﻧد ﺳوف ﻧﺳﺗﻌرض أرﺑﻌﺔ ﻣﻘﺎﯾﯾس ﻟﻠﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ .
) (١-٥-٤اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ
Arithmetic Mean
ﯾﻌﺗﺑر اﻟو ﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻣن أﻓﺿل ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ﻟﺗﻣﺛﯾل ﻣرﻛز ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎﻫدات. ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎﻫدات ، x1 , x 2 ,..., x Nﻟﯾس ﻣن اﻟﺿروري أن ﺗﻛون ﻛﻠﻬﺎ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ،ﺗﻣﺛل ﻣﺷﺎﻫدات ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺣدود ﻣن اﻟﺣﺟم ، Nﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : N i
.
x i 1
N
ﻣﺛﺎل )(٣٠-٤ أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺷﺎﻫداﺗﻪ ﻫﻲ 8,10,13,9,7,11,10,12,10,9,11 . :
اﻟﺣــل: N
8 10 13 9 7 11 10 12 10 9 11 11
اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ
DescriptiveStatisticsﺗﺣت اﻟدﻟﯾل
i
x i 1
N 110 10. 11
: Statistics
`<<Statistics`DescriptiveStatistics ;}aa1={8,10,13,9,7,11,10,12,10,9,11,10 ]Mean[aa1 ١٦٦
10
ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎﻫدات ، x 1 , x 2 ,..., x nﻟﯾس ﻣن اﻟﺿروري أن ﺗﻛون ﻛﻠﻬﺎ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ،ﺗﻣﺛل ﻣﺷﺎﻫدات ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ، nﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻪ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : n i
x i 1
.
x
n
ﻣﺛﺎل )( ٣١-٤ أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣﺷﺎھداﺗﮭﺎ ھﻲ 6,7,7,8. :
اﻟﺣــل : n
6778 4
i
x i1
n
x
28 7. 4
اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ : : Statistics
DescriptiveStatisticsﺗﺣت اﻟدﻟﯾل
`<<Statistics`DescriptiveStatistics ;}aa1={6,7,7,8 ]Mean[aa1 7
ﻋﻧد وﺿﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻔﻘد اﻟﮭوﯾﺔ ﻷي ﻣﺷﺎھدة ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ. اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﺑﻘﻰ ھﻲ ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﻲ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻛل ﻓﺋﺔ .ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻧﻔﺗرض أن ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات داﺧل ﻓﺋﺔ ﻣﻌطﺎة ﺗﻘﻊ ﻋﻧد ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ . ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎﻧت x1 , x 2 ,..., x kھﻲ ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت ﻟﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻣﻊ ﺗﻛراراﺗﮭﺎ اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ) f1 , f 2 ,..., f kﺣﯾث kﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت ( ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : k i
f x i
i 1 k
. i
f i 1
١٦٧
x
ﻣﺛﺎل )(٣٢ -٤ إذا أﻋطﯾت اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ اﻟﻣﻌطﻰ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ : 3 1 2 0.25 0.25 0.5 )أ( أوﺟد ﻗﯾم ﻗﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ﻣن اﻟﺣﺟم N 100اﻟﺗﻲ ﻣﺛﻠت ھذا اﻟﺗوزﯾﻊ . أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﺑطرﯾﻘﺗﯾن )ب( x ) P(X x
اﻟﺣــل : )أ( ﻓﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﻲ ﻣﺛﻠت اﻟﺟدول ﻧوﺟدھﺎ ﻣن اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺗﺎﻟﻰ: )n(x P(X x) n N ﺣﯾث ) n(xﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻋﻧد xو ) N(xﻋدد ﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ . وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻣﻌطﻰ ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛرارى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ واﻟﺗﻲ ﺗﻌﺗﺑر ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺗﻛرارى ﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ ﺣﯾث طول اﻟﻔﺋﺔ ﺗﺳﺎوى واﺣد ﺻﺣﯾﺢ .وﻣﻣﺎ ھو ﺟدﯾر ﺑﺎﻟذﻛر ان ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﺧﯾر ﻣﺛﺎل ﻟﺗوﺿﯾﺢ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ واﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ . fi
) P(X x
xi
25 25 50
0.25 0.25 0.5
1 2 3
)ب( اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ
اﻟطرﯾﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ : E(X ) x i P(x i ) 1(0.25) 2(0.25) 3(0.5) 2.25 . اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ : .
x f ( x ) 1(25) 2(25) 3(50) 2.25 i
100
i
n
اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : )aa1=1(.25)+2(.25)+3(.5 2.25
125 225 350 100
aa2 N 2.25
اﻻن ﺳوف ﻧﺷرح ﻛﯾﻔﯾﺔ اﯾﺟﺎد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﯾدوﯾﺎ .
ﻣﺛﺎل )(٣٣-٤
١٦٨
اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻟﻠﺿراﺋب اﻟﺗﻲ ﺗم ﺗﺣﺻﯾﻠﮭﺎ ﻣن ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟﻣوظﻔﯾن ﻓﻲ ﺷرﻛﺔ ﻟﺗﺳﺧﯾن اﻟﺑﺗرول ﻓﻲ ﻋﺎم . 1990 ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ 400 500 501 601 602 702 703 803 804 904 اﻟﺗﻛرار 17 25 29 25 28 اﻟﻣطﻠوب ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ
اﻟﺣــل: وﺣدة اﻟدﻗﺔ = 1
ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ : طول اﻟﻔﺋﺔ = اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﻲ – اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﻲ +وﺣدة اﻟدﻗﺔ = 101 اﻵن ﻧوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ : x ifi
ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت x i
اﻟﺗﻛرار fi
ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ
7650 13775 18908 18825
450 551 652 753 854
17 25 29 25 28 124
400 500 501 601 602 702 703 803 804 904
23912 83070
اﻟﻣﺟﻣوع
إذا اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﺳﺎوي :
x
x i f i 83070 669.919. 124 fi
ﻣﺛﺎل )(٣٤-٤ ﻟﻠﻣﺛﺎل ) (٢٧-٤ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ : x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53, 71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74, ;}63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70 ]b=Max[x 74 ]a=Min[x 45 r=b-a 29
r N 6
d
4.83333 ]del=Round[d 5 ]}c1=Table[i,{i,a,b,del ١٦٩
}{45,50,55,60,65,70 c2=c1+del-1 }{49,54,59,64,69,74
c1 c2 2
mid
}{47,52,57,62,67,72 `<<Statistics`DataManipulation ]RangeCounts[x,c1 }{0,5,9,4,13,10,9 ]ff=Drop[%,1 }{5,9,4,13,10,9 TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff}],TableHeadings{{},{"L ]}}"ower","Upper","Midpoint","Frequency
Frequency 5 9 4 13 10 9
Midpoint 47 52 57 62 67 72
Upper 49 54 59 64 69 74
Lower 45 50 55 60 65 70
]n=Length[x 50 `<<Statistics`DescriptiveStatistics
Dot mid, ff N n
xb
61.1
ﻣﻣﯾزات اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ وﻋﯾوﺑﮫ : ﻣن ﻣﻣﯾزات ا ﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ أﻧﮫ ﻣﺄﻟوف وﺳﮭل اﻟﻔﮭم ﻛﻣﺎ أﻧﮫ ﻣﻌرف ﻷي ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﻗﯾﻣﺗﮫ وﺣﯾدة .أﯾﺿﺎ ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻲ ﻓﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗدﺧل ﻓﻲ ﺣﺳﺎﺑﮫ .أﻣﺎ ﻋﯾوﺑﮫ ﻓﮭﻲ ﺗﺄﺛره ﺑﺎﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة وﻟذﻟك ﻻ ﯾﻧﺻﺢ ﺑﺎﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻲ ﻣﻧﺣﻧﺎھﺎ ﺷدﯾد اﻻﻟﺗواء .أﯾﺿﺎ ﻻ ﯾﻣﻛن ﺗﻘدﯾره ﻣن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻓﺋﺎت ﻣﻔﺗوﺣﺔ .وأﺧﯾرا ﻻ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﮫ ﺑﺎﻟرﺳم اﻋﻣدة ﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﺑﺳﯾطﺔ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﺗﺳﺗﺧدم ﻫذﻩ اﻻﻋﻣدة ﻟﺑﯾﺎن اﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾرات ﻣﻧﻔﺻﻠﺔ ﻋن ﺑﻌﺿﻬﺎ ﻣﺛل اﻟﻣﻘﺎرﻧﺎت اﻟﻘﺑﻠﯾﺔ واﻟﺑﻌدﯾﺔ ﻟﻧﻔس اﻟظﺎﻫرة ﺗﺣت اﻟدراﺳﺔ . ﻣﺛﺎل ) (٣٥ -٤
اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت اﻟﺗﻰ ﻗﺎم ﺑﻬﺎ ﻋﺷرة ﻣوظﻔﯾن ﻗﺑل وﺑﻌد ﺣﺿور دورة اﻟﺗدرﯾﺑﯾﺔ وﺑﻌدﻫﺎ واﻟﻣطﻠوب ﺗﻣﺛﯾﻠﻬﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﻻﻋﻣدة . ١٧٠
ﻗﯾم اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻗﺑل اﻟدورة
ﻗﯾم اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﺑﻌد اﻟدوة
200
210
210
220
230
240
300
410
210
220
231
240
600
610
210
220
231
240
312
330
اﻟﺣل : ﻫﻧﺎ ﺳوف ﻧﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﺗوﺳطﺎت ﻛل ﻋﻣود واﻟذى ﯾﺗم ﺣﺳﺎﺑﻪ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ : `<<Statistics`DescriptiveStatistics ;}aa1={200,210,230,300,210,231,660,210,231,312 ;}aa2={210,220,240,410,220,240,610,220,240,330 ]cc1=Mean[aa1 1397 5
]cc2=Mean[aa2 294 `<<Graphics`Graphics ;]}BarChart[{cc1,cc2
١٧١
300 250 200 150 100 50
1
2
ﻣﺛﺎل ) (٣٦-٤ ﺗﻣﺛل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣرﺗب ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣن 14ﻣوظﻔﺎ ﻣن اﻟﻌﺎﻣﻠﯾن ﻓﻰ ﺑﺎﺣدى اﻟﺷرﻛﺎت وذﻟك وﻓق اﻟﺟﻧس واﯾﺿﺎ وﻓق اﻟﻣﺳﺗوى اﻟﺗﻌﻠﯾﻣﻰ . رﻗم اﻟﻣوظف
اﻟﺟﻧس
اﻟﻣﺳﺗوى اﻟﺗﻌﻠﯾﻣﻰ
ﻣرﺗب اﻟﻣوظف
1
1
1
85
2
2
2
90
3
1
2
89
4
1
4
100
5
2
4
120
6
2
4
130
7
1
4
200
8
2
3
210
9
1
3
100
10
2
3
101
11
2
2
90
12
1
4
120
13
1
4
130
14
1
4
140
١٧٢
ﺑﻔرض اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﺎﻟﻌﻣود اﻻول واﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق .اى اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﺗوﺿﺢ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻣرﺗب اﻟﻣوظف وﻣﺳﺗواﻩ اﻟﺗﻌﻠﯾﻣﻰ .ﺳوف ﻧﻌرض ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻋﻣدة
اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﺑﺳﯾطﺔ . وﺳوف ﻧﺣﺗﺎج اﻟﻰ ﻋﻣل ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟذﻟك ﺣﯾث aa1ﺗﻣﺛل ﻣرﺗﺑﺎت اﻟﻣوظﻔﯾن ﻣرﺗﺑﺔ ﺣﺳب اﻟﻣﺳﺗوى اﻟﺗﻌﻠﯾﻣﻰ .ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟداﺧﻠﯾﺔ }{90.,89,90ﺗﻣﺛل ﻣرﺗﺑﺎت اﻟﻣوظﻔﯾن ﻋﻧد
اﻟﻣﺳﺗواﻫم اﻟﺗﻌﻠﯾﻣﻰ 2وﻫﻛذا ،ﺛم ﯾﺣﺳب اﻟﻣﺗوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻟﻣرﺗﺑﺎت اﻟﻣوظﻔﯾن ﻟﻛل ﻣﺳﺗوى ﺗﻌﻠﯾﻣﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟداﻟﺔ . f وﺳوف ﻧﺣﺗﺎج اﻟﻰ اﻟﺣزﻣﺔ DescriptiveStatisticsﺗﺣت اﻟدﻟﯾل Statisticsوﯾﻣﻛن ﻓﻬم ﺑﻘﯾﺔ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ .
aa1={{85.},{90.,89,90},{210.,100,101}, ;}}{100.,120,130,200 `<<Statistics`DescriptiveStatistics ]f[x_]:=Mean[x ]aa2=Map[f,aa1 }{85.,89.6667,137.,137.5 ;}aa3={1,2,3,4 ]}aa4=Transpose[{aa2,aa3 }}{{85.,1},{89.6667,2},{137.,3},{137.5,4 `<<Graphics`Graphics ]BarChart[aa4 140 120 100 80 60 40 20 3
4
ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎﻧت اﻟداﻟﺔ ) f (xﻟﮭﺎ اﻟﻘﯾم ) f (x i ﻟﻠداﻟﺔ ﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
١٧٣
2
1
Graphics
ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ او اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ
1 n ) f (x i n i1 اذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ nﻣن اﻟﻘﯾم x 1 , x 2 ,..., x nﻓﺎن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ھو : 1 n xi n i1 ﻟﻠﻣﺛﺎل ) (٣٠-٤ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ: `<<Statistics`DescriptiveStatistics ;}aa1={8,10,13,9,7,11,10,12,10,9,11,10 ]Mean[aa1 10 f[y_]:=y ]ExpectedValue[f[y],aa1,y 10
ﻋﻧد ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﻔﺗرض أن ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻷھﻣﯾﺔ ،ﻣﺛل ھذا اﻟﻔرض ﻗد ﯾﻛون ﺧﺎطﺊ .ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ،إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻘﯾم ﻟﯾس ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻷھﻣﯾﺔ ﯾﻛون ﻣن اﻷﻓﺿل ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ .ﻓﺈذا ﻛﺎﻧت x 1 , x 2 ,..., x nﺗﻣﺛل ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر ، Xوﻛﺎﻧت w 1 , w 1 ,..., w n اﻷوزان اﻟﻣﻧﺎظرة ﻟﮭﺎ ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ ﯾﻛون : n i
w x i
i 1 n
. i
xw
w i 1
ﯾﻌﺎب ﻋﻠﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ ھو ﻋدم وﺟود ﻗﺎﻋدة ﻟﺗﺣدﯾد اﻷوزان وﺗﺧﺿﻊ ﻟﻠﺗﻘدﯾر اﻟﺷﺧﺻﻲ .ﯾﻌﺗﺑر اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ إذا ﻛﺎﻧت اﻷوزان ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ .
ﻣﺛﺎل )(٣٧-٤ ﯾﺷﺗري ﺷﺧص 4ﻗﻣﺻﺎن ﻣن اﻟﺷرﻛﺔ Aﺑﺳ ﻌر اﻟواﺣ د 22$و 4ﻗﻣﺻ ﺎن ﻣ ن اﻟﺷ رﻛﺔ B ﺑﺳ ﻌر اﻟواﺣ د 25$و 7ﻗﻣﺻ ﺎن ﻣ ن اﻟﺷ رﻛﺔ Cﺑﺳ ﻌر اﻟواﺣ د . 30$أوﺟ د ﻣﺗوﺳ ط ﺳ ﻌر اﻟﻘﻣﯾص.
اﻟﺣــل : ﻹﯾﺟﺎد ﻣﺗوﺳط ﺳﻌر اﻟﻘﻣﯾص ﻧوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ اﻟذي ﯾﺳﺎوي: n i
w x i
i 1 n i
xw
w i 1
x1 22, x 2 25, x 3 30 w1 4, w 2 4, w 3 7 ١٧٤
اﻵن ﻧﻌوض ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻧون اﻟذي ﯾﻌطﻲ ﻗﯾﻣﺔ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ :
22 4 25 4 30 7 398 26.53.
447 15 ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ :
xw
224 254 307 4 4 7
aa1 N 26.5333
) ( ٢-٥-٤اﻟوﺳﯾط Median ﯾﻌﺗﺑر اﻟوﺳﯾط ھو اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻷﻓﺿل ﺑﻌد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ .ﺳوف ﻧرﻣز ﻟوﺳﯾط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺑﺎﻟرﻣز ~ ووﺳﯾط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺑﺎﻟرﻣز . ~xاﻟوﺳﯾط ﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ﻣرﺗﺑﺔ ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ) أو ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ ( ھو اﻟﻌدد اﻷوﺳط ﻣﻧﮭﺎ إذا ﻛﺎن ﻋددھﺎ ﻓردﯾﺎ وھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻌددﯾن اﻷوﺳطﯾﯾن إذا ﻛﺎن ﻋددھﺎ زوﺟﯾﺎ. ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎﻧت x 1 , x 2 ,..., x nﺗﻣﺛل ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﻣرﺗﺑﺔ ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ) أو ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ ( ﻓﺈن 1 اﻟوﺳﯾط ﻟﮭذه اﻟﻔﺋﺔ ھو اﻟﻌدد x n 1إذا ﻛﺎن nﻓردﯾﺎ وھو اﻟﻌدد ] [x n x n 2إذا ( ) ( ) )2 (2 2 2 ﻛﺎﻧت nزوﺟﯾﺎ.
ﻣﺛﺎل )( ٣٨-٤ أوﺟد اﻟوﺳﯾط ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذي ﻣﺷﺎھداﺗﮫ . 10,9,8,6,7
اﻟﺣــل: ﺑﺗرﺗﯾب اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ أي ، 6,7,8,9,10ھﻧﺎ ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات nﻓردﯾﺎ وﻟذﻟك ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟوﺳطﯾﺔ أي أن وﺳﯾط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ھو . 8 اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣﺳﺎب وﺳﯾط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ : ]}aa1=Sort[{10,9,8,6,7 }{6,7,8,9,10 ]n=Length[aa1 5 )]]aa1=If[OddQ[n],aa1[[(n+1)/2]],(aa1[[(n+2)/2]]+aa1[[n/2 ]/2 8
ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﺧر ﻟﺣﺳﺎب وﺳﯾط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ : `<<Statistics`DescriptiveStatistics ;}aa1={10,9,8,6,7 ]Median[aa1 8
١٧٥
ﻣﺛﺎل )( ٣٩-٤ أوﺟد اﻟوﺳﯾط ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ ﻣﺷﺎھداﺗﮭﺎ ھﻲ .10,9,6,1, 2,7
اﻟﺣــل: ﺑﺗرﺗﯾب اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ أي ، 1,2,6,7,9,10ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات nزوﺟﻲ وﻟذﻟك اﻟوﺳﯾط ھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻘﯾﻣﺗﯾن اﻟوﺳطﯾﺗﯾن أي أن وﺳﯾط اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو : 6 7 13 6.50 . x 2 2 اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣﺳﺎب وﺳﯾط اﻟﻌﯾﻧﺔ : ;]}aa1=Sort[{10,9,6,1,2,7 ]n=Length[aa1 6 )]]aa1=If[OddQ[n],aa1[[(n+1)/2]],(aa1[[(n+2)/2]]+aa1[[n/2 ]/2
13 2 ]N[% 6.5
ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ اﺧﺮ ﻟﺣﺳﺎب وﺳﯾط اﻟﻌﯾﻧﺔ : `<<Statistics`DescriptiveStatistics ;}aa2={10,9,6,1,2,7 ]Median[aa2
13 2 ]N[% 6.5
ﻣﻣﯾزات اﻟوﺳﯾط وﻋﯾوﺑﮫ : ﻣن ﻣﻣﯾزات اﻟوﺳﯾط أﻧﮫ ﺳﮭل اﻟﻔﮭم وﻻ ﯾﺗﺄﺛر ﺑﺎﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة.ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻓﻲ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻓﺋﺎت ﻣﻔﺗوﺣﺔ .وﻣن ﻋﯾوب اﻟوﺳﯾط أن ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات ﻻ ﺗدﺧل ﻓﻲ ﺣﺳﺎﺑﮫ .ﻛﻣﺎ أﻧﮫ ﻣﺛل اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ،ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ،ﯾﻛون ﻗﯾﻣﺔ ﺻﻧﺎﻋﯾﺔ ، artificial ﺑﻣﻌﻧﻰ ﻋدم وﺟود ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻲ ﻓﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ،ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ،ﺗﻣﺛل اﻟوﺳﯾط. ﺗﻌرﯾف :ﻷي ﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻓﺈن اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟوﺳﯾـط ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾطﺔ median . class وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : n 2 F x L . f m ﺣﯾث : Fاﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ، Lاﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ، f mﺗﻛرار ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط . طول ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ، ١٧٦
ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط ﺑﺎﻟرﺳم ﻣن اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ وﯾﺗم ﺗﺣدﯾد ﻣوﻗﻊ اﻟوﺳﯾط ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻟرأﺳﻲ ﺛم ﻧﺳﻘط ﻋﻣود ﻣن ﻧﻘطﺔ ﻣوﻗﻊ اﻟوﺳﯾط ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ وﻋﻧد اﻟﺗﻘﺎﺋﮫ ﺑﺎﻟﻣﺿﻠﻊ ﻧﺳﻘط ﻋﻣود ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ ﻓﺗﻛون ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ اﻟوﺳﯾط .
ﻣﺛﺎل )(٤٠-٤ ﻟﻠﻣﺛﺎل ) (٣٣-٤اوﺟد اﻟوﺳﯾط .
اﻟﺣــل: ﺳوف ﯾﺗم ﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﯾدوﯾﺎ ﻟﻣﻌرﻓﺔ طرﯾﻘﺔ اﻟﺣل . وﺣدة اﻟدﻗﺔ = 1 طول اﻟﻔﺋﺔ = اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﻲ – اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﻲ +وﺣدة اﻟدﻗﺔ = 101 اﻟوﺳﯾط ھو : n 2 F x L . f m ﺣﯾث =Lاﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط = F ،اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط = f m ،ﺗﻛرار ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط . = طول ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط n 124 ﻧﺣﺳب أوﻻ اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ وﺛﺎﻧﯾﺎ ً ﻧﺣﺳب ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط واﻟﺗﻲ ﺗﺳﺎوي 62 2 2
،ﺣﯾث
nﯾﺳﺎوي ﻣﺟﻣوع اﻟﺗﻛرارات وذﻟك ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ :
اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ 17 42 71 96 124
اﻟﺣدود اﻟﻌﻠﯾﺎ ﻟﻠﻔﺋﺎت أﻗل ﻣن 500.5 أﻗل ﻣن 601.5 أﻗل ﻣن 702.5 أﻗل ﻣن 803.5 أﻗل ﻣن 904.5
اﻟﺗﻛرار fi
اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﻟﻠﻔﺋﺔ
17 25 29 25 28 124
399.5 500.5 500.5 601.5 601.5 702.5 702.5 803.5 803.5 904.5
اﻟﻣﺟﻣوع
ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ھﻲ اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ : اﻵن ﻧﻌوض ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻧون :
62 42 . x 601.5 101 601.5 69.655 671.155. 29 ١٧٧
ﻣﺛﺎل )(٤١ -٤ ﻟﻠﻣﺛﺎل ) (٢٧-٤اوﺟد اﻟوﺳﯾط وﻣﺛﻠﮫ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ.
اﻟﺣــل : اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط ﺣﺳﺎﺑﯾﺎ ودون اﻟﺣﺎﺟﺔ ﻟوﺿﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﺟدول ﺗﻛرارى اي ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻻﺻﻠﯾﺔ ورﺳم اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ واﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط ﻣﻧﮫ وذﻟك ﺑﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ Statistics`DescriptiveStatistics ﻣن اﻟدﻟﯾل Statisticsوذﻟك ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DescriptiveStatistics x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53, 71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74, ;}63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70
اﻟوﺳﯾط ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ : ]Median[x 63
اﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ :
x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53, 71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74, ;}63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70 ]b=Max[x 74 ]n=Length[x 50 ]a=Min[x 45 r=b-a 29
r N 6
d
4.83333 ]del=Round[d 5 ]}c1=Table[i,{i,a,b,del }{45,50,55,60,65,70 c2=c1+del-1 }{49,54,59,64,69,74
c1 c2 2
mid
}{47,52,57,62,67,72 `<<Statistics`DataManipulation ١٧٨
RangeCounts[x,c1] {0,5,9,4,13,10,9} ff=Drop[%,1] {5,9,4,13,10,9} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff}],TableHeadings{{},{"L ower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]
Lower 45 50 55 60 65 70
Upper 49 54 59 64 69 74
Midpoint 47 52 57 62 67 72
Frequency 5 9 4 13 10 9
aa5=CumulativeSums[ff] {5,14,18,31,41,50} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa5}],TableHeadings{{},{" Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]
Lower 45 50 55 60 65 70
Upper 49 54 59 64 69 74
Midpoint 47 52 57 62 67 72
Frequency 5 14 18 31 41 50
bb3={{42,0},{47,5},{52,14},{57,18},{62,31},{67,41},{72,50 }}; ListPlot[bb3,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0}] 50 40 30 20 10
45
Graphics
50
55
60
65
70
: ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط ﻣن اﻟرﺳم اﻟﺳﺎﺑق ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻌﻣل اﻟﺧطوطPaint ﺣﯾث ﯾﺎﺧذ اﻟرﺳم اﻟﻰ اﻟﻔرﺷﺔ50/2=25.5 ﺑﻣﺎ ان ﺗرﺗﯾب اﻟوﺳﯾط ﻫو : اﻟظﺎﻫرة ﻋﻠﻰ اﻟرﺳم
١٧٩
اى ان اﻟوﺳﯾط ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﯾﺳﺎوى 60ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ
) ( ٣-٥-٤اﻟﻣﻧوال
Mode
ﯾﻌرف اﻟﻣﻧوال ﺑﺄﻧﮫ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ أو اﻟﺗﻲ ﺗﺗﻛرر أﻛﺛر ﻣن ﻏﯾرھﺎ .ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﻻ ﯾوﺟد ﻣﻧوال ﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ﺣﯾث ﻻ ﺗﺗﻛرر اﻟﻘﯾم أﻛﺛر ﻣن ﻣرة ،وإذا وﺟد ﻗد ﻻ ﯾﻛون وﺣﯾدا .
ﻣﺛﺎل )( ٤٢-٤ أوﺟد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠﻣﺷﺎھدات 3,5,5,5,5,5,5,5,7,7,9
اﻟﺣــل : اﻟﺗوزﯾﻊ أﺣﺎدي اﻟﻣﻧوال وﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﻧوال ﺗﺳﺎوي . 5 `<<Statistics`DescriptiveStatistics ;}aa1={3,5,5,5,5,5,7,7,9 ]Mode[aa1 5
ﻣﺛﺎل )( ٤٣-٤ أوﺟد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠﻣﺷﺎھدات . 2,4,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,8,9
اﻟﺣــل : اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻛون ﺛﻧﺎﺋﻲ اﻟﻣﻧوال ﺣﯾث اﻟﻣﻧوال ھو . 6,7 `<<Statistics`DescriptiveStatistics
١٨٠
;}aa2={2,4,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,8,9 ]Mode[aa2 }{6,7
ﯾﻌﺗﺑر اﻟﻣﻧوال أﻗل ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ اﺳﺗﺧداﻣﺎ .ﻟﻠﻔﺋﺎت اﻟﺻﻐﯾرة ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻ ﯾﻛون ﻟﮫ ﻓﺎﺋدة ،ﻓﻘط ﯾﻛون ﻟﮫ ﻣﻌﻧﻰ إذا ﻛﺎن ﺣﺟم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛﺑﯾرا .وﻣن ﻣﻣﯾزاﺗﮫ أﻧﮫ ﻻ ﯾﺣﺗﺎج إﻟﻰ ﻋﻣﻠﯾﺎت ﺣﺳﺎﺑﯾﺔ ،ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟوﺻﻔﯾﺔ . ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ ﯾﻌرف اﻟﻣﻧوال ﺑﺎﻧﮫ ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻘﺎﺑﻠﮭﺎ أﻋﻠﻰ ﺗﻛرار.
ﻓﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻌطﻰ ﻓﻰ ﻣﺛﺎل ) (٤١-٤اﻋﻠﻰ ﺗﻛرار ھو 13وذﻟك ﻋﻧد ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ 62 ،أي أن اﻟﻣﻧوال ﯾﺳﺎوي . 62 وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟﻣﻧوال ﺑﺎﻟرﺳم ﻣن اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛراري ﺣﯾث ﻧﺻل اﻟرأس اﻷﯾﻣن اﻟﻌﻠوي ﻟﻠﻣﺳﺗطﯾـل اﻟذي ﯾﻣﺛـل أﻛﺑر ﺗﻛرار ﺑﺎﻟرأس اﻷﯾﻣن ﻟﻠﻣﺳﺗطﯾل اﻟﺳﺎﺑق ﻟﮫ ،أﯾﺿﺎ ﻧﺻل اﻟرأس اﻷﯾﺳر اﻟﻌﻠوي ﻷطول ﻣﺳﺗطﯾل ﺑﺎﻟرأس اﻷﯾﺳر اﻟﻌﻠوي ﻟﻠﻣﺳﺗطﯾل اﻟﺗﺎﻟﻲ ﻟﮫ ﻓﯾﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻣﺳﺗﻘﯾﻣﺎن ﻓﻲ ﻧﻘطﺔ ،ﻧﺳﻘط ﻋﻣود ﻣن ھذه اﻟﻧﻘطﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ ﻓﯾﻛون ھو اﻟﻣﻧوال .
ﻣﺛﺎل )( ٤٤-٤ اوﺟد اﻟﻣﻧوال ﺣﺳﺎﺑﯾﺎ وﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻟﻠﻣﺛﺎل ): (٤١-٤
اﻟﺣــل : ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد اﻟﻣﻧوال ﻣﺑﺎﺷرة ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻻﺻﻠﯾﺔ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DescriptiveStatistics x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53, 71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74, ;}63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70 ]Mode[x 54
وﻗد ﺗم اﯾﺟﺎد اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى ﻟﮫ وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﻧﺳﺧﺔ ﻣﻧﮫ ﺑﻌد ارﺳﺎﻟﮭﺎ اﻟﻰ اﻟﻔرﺷﺎة
١٨١
ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ ﻓﺈن اﻟﻣﻧوال ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ) f (xھو ﻗﯾﻣﺔ xاﻟﺗﻲ ﻋﻧدھﺎ ﯾﺄﺧذ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ أﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ .وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎر ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻘﺎﺑﻠﮭﺎ أﻋﻠﻰ ﺗﻛرار ھو ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻧوال .
) ( ٤-٥-٤اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ
The geometric Mean
ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ،ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﻬﻧدﺳﻲ ﻟﻪ اﺳﺗﺧداﻣﺎت ﺧﺎﺻﺔ ﻓﻲ اﻟﻣﺷﺎﻛل اﻻﻗﺗﺻﺎدﯾﺔ وﻓﻲ
اﻟﻣﺟﺎل اﻟﺳﻛﺎﻧﻲ.
ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ، x1 , x 2 ,..., x nﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﮫ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : G n x1 x 2 ... x n . وﻟﺗﺳﻬﯾل ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﻬﻧدﺳﻲ ﺗﺳﺗﺧدم اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ إذا ﻛﺎن : n 2 n i
log x i 1
.
n
LogG
ﻣﺛﺎل )( ٤٥-٤ إذا ﻛ ﺎن ﻣﻌ دل اﻟﺗﺿ ﺧم ﻟﺷ ﻌب ﻣ ﺎ ھ و 3%ﻓ ﻲ اﻟﺳ ﻧﺔ اﻷوﻟ ﻰ و 4%ﻓ ﻲ اﻟﺳ ﻧﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ و 8% ﻟﻠﺳﻧﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻟﻣﻌدﻻت اﻟﺗﺿﺧم .
اﻟﺣــل : ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺗﺎﻟﻲ : n
xi
log
1 log3 log 4 log8 n 3 1 1 0.4771 0.6020 0.9030 1.9821 0.6607. 3 3 اﻵن ﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﺔ Gواﻟﺗﻲ ﺗﺳﺎوي اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ . G 4.5782 G
ﻣن اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﻬﻧدﺳﻰ :
i 1
LogG
3
N 3 4 8 4.57886
اﯾﻀﺎ اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﺤﺴﺎب اﻟﻮﺳﻂ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ اﻻﻣﺮ : ExpectedValueواﺳﺗﺧدام اﻟﻘﺎﻧون : n i
.
log x i 1
n
LogG
ﺛﻢ اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺪاﻟﺔ Expﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻰ : `<<Statistics`DescriptiveStatistics }aa1={3,4,8 ١٨٢
]f[y_]:=Log[y ]aa2=ExpectedValue[f[y],aa1,y
1 Log3 Log4 Log8 3 aa3=Exp[aa2]//N 4.57886
داﺋﻣﺎ ﯾﻛون اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ أﺻﻐر ﻣن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ .ﻛﻣﺎ أن اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻻ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﮫ إذا ﻛﺎﻧت إﺣدى اﻟﻘﯾم ﻣﺳﺎوﯾﺔ ﻟﻠﺻﻔر أو رﻗم ﺳﺎﻟب.ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻣن ﺟداول ﺗﻛرارﯾﺔ ﻣن اﻟﺗﻌرﯾف اﻟﺗﺎﻟﻲ. ﺗﻌرﯾف :إذا ﻛﺎﻧت x 1 , x 2 ,..., x kﺗﻣﺛل ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت ﻟﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻣﻊ ﺗﻛراراﺗﮭﺎ اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ) f1 ,f 2 ,...,f kﺣﯾث kﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت ( ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ Gﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
G n x1f x f2 ... x fn . n
1
2
او ﻣن اﻟﻘﺎﻧون : k i
f log x i
i 1
.
k i
LogG
f i 1
ﻣﺛﺎل ) ( ٤٦-٤ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛ راري ﻷط وال ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣ ن ﺧﻣﺳ ﯾن ﻧﺑ ﺎت ﻣ ن ﻧ وع ﻣ ﺎ واﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻰ٠
اﻟﺣــل:
ﻣﻦ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻓﺈن -: k
55.1799 1.103598. 50
i
f log x i
i 1
k i
LogG
f i 1
وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻓﺈن اﻟﻮﺳﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ﻫﻮ ٠ G 12.69399. log x i f i log x i ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ x iاﻟﺗﻛرار fi 5.0706 10.0000 16.7085 14.4492 8.9516 55.1799
0.8451 1.0000 1.1139 1.2041 1.2788
7 10 13 16 19
١٨٣
6 10 15 12 7 50
ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ 6-8 9-11 12-14 15-17 18-20
اﻟﻣﺟﻣوع
ﺳﻮف ﻳﺘﻢ ﺣﻞ ﻫﺬا اﻟﻤﺜﺎل ﺑﺎﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﺣﯾث اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ Gﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
G n x1f x f2 ... x fn . n
2
1
: ;}m={6,10,15,12,7 ]d=Apply[Plus,m 50
;}xx={7,10,13,16,19 ;bb1=xx^m ;]bb=Apply[Times,bb1 d
c N bb 12.6943
) (٦-٤اﻟرﺑﯾﻌﺎت واﻟﻣﺋﯾﻧﺎت واﻟﻌﺷﯾرات uartiles, Percentiles, Deciles ﻛﻣ ﺎ ذﻛرﻧ ﺎ ﺳ ﺎﺑﻘﺎ ،إذا رﺗﺑﻧ ﺎ ﻓﺋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺣﺳ ب ﻗﯾﻣﮭ ﺎ ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ ﻓ ﺈن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺗﻛون ﻓﻲ اﻟﻣﻧﺗﺻف واﻟﺗﻲ ﺗﻘﺳ م اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت إﻟ ﻰ ﻗﺳ ﻣﯾن ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﯾن ﻓ ﻲ اﻟﻌ دد ھ ﻲ اﻟوﺳ ﯾط ٠وﺑﺗﻌﻣ ﯾم اﻟﻔﻛرة وﺗﻘﺳﯾم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت إﻟﻰ أرﺑﻌﺔ أﺟزاء ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ) ﺑﻌ د ﺗرﺗﯾ ب اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ ( ﻓ ﺈن ﻧﻘ ﺎط اﻟﺗﻘﺳﯾم ﯾرﻣز ﻟﮭﺎ ﺑﺎﻟرﻣوز Q1 ، Q 2 ، Q 3ﺣﯾث Q1ﯾﺳﻣﻰ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷول ) first quartileاﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷدﻧ ﻰ (lower quartileو Q 2ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ) second quartileﻧﻔﺳ ﮫ اﻟوﺳ ﯾط( و Q 3ﯾﺳﻣﻰ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟ ث ) third quartileاﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷﻋﻠ ﻰ upper quartileﻓ ﺎﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ھ و اﻟﻘﯾﻣ ﺔ Q1اﻟﺗ ﻲ ﯾﺳ ﺑﻘﮭﺎ رﺑ ﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت وﯾﻠﯾﮭ ﺎ ﺛﻼﺛ ﺔ أرﺑ ﺎع اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ٠واﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ )وھ و أﯾﺿ ﺎ اﻟوﺳﯾط( ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ Q 2اﻟﺗﻲ ﯾﺳﺑﻘﮭﺎ ﻧﺻ ف اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت وﯾﻠﯾﮭ ﺎ ﻧﺻ ف اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ٠وﻓ ﻲ اﻟﻧﮭﺎﯾ ﺔ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛﺎﻟث وھو اﻟﻘﯾﻣﺔ Q 3اﻟﺗﻲ ﯾﺳﺑﻘﮭﺎ ﺛﻼﺛﺔ أرﺑﺎع اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﻠﯾﮭﺎ رﺑﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ٠ﻋﻧ د اﺳ ﺗﺧدام ﻓﺋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﺈن اﻟرﺑﯾﻌ ﺎت اﻟﺛﻼﺛ ﺔ ﯾ ﺗم ﺣﺳ ﺎﺑﮭﺎ ﺑﺗﻌ ﯾن ﻣوﻗﻌﮭ ﺎ أوﻻ ﻓﻣوﻗ ﻊ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷول ھ و 3n 2 n 1 n2 ٠ واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ﻣوﻗﻌﮫ ھو واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻣوﻗﻌﮫ ھو 4 2 4
ﻣﺛﺎل ) ( ٤٧-٤ 12 2 ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﻣوﻗ ﻊ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷول ھ و 3.5 4 57 ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛ ﺔ واﻟراﺑﻌ ﺔ أي 6 ٠ Q1 أﯾﺿ ﺎ ﻣوﻗ ﻊ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ واﻟﺛﺎﻟ ث ھﻣ ﺎ 2 إﻣ ﺎ ﻗﯾﻣﺗ ﮫ ﻓﮭ ﻲ
١٨٤
36 2 12 1 9.5 ، ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ 6.5 4 2 17 19 11 13 18 ، Q2 اﻟﺗواﻟﻲ ھﻣﺎ 12 ٠ Q3 2 2
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻗﯾﻣ ﺔ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ واﻟﺛﺎﻟ ث ﻋﻠ ﻰ
22
20
16 17
19
13
10
11
7
5
4
1
اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟرﺑﯾﻌﺎت ﺣﯾث aa1ﻗﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣدﺧﻼت : `<<Statistics`DescriptiveStatistics ;}aa1={1,4,5,7,10,11,13,16,17,19,20,22 ]Median[aa1 12
اﻟﻣﺧرج ﻟﻼﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻫو اﻟرﺑﯾﻌﺎت : ]bb2=Quartiles[aa1 }{6,12,18 اﻟﻌﻨﺼﺮ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻓﻰ ﻗﺎﺋﻤﺔ اﻟﻤﺨﺮﺟﺎت ھﻮ اﻟﻮﺳﯿﻂ وﻓﻰ اﻟﻮﻗﺖ ﻧﻔﺴﺔ اﻟﺮﺑﯿﻊ اﻟﺜﺎﻧﻰ .
ﻋﻧد اﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول واﻟﺛﺎﻟث ﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن :
n F ، Q1 L 4 . f Q 1
ﺣﯾث: Lاﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻔﺋﺔ اﻟرﺑﯾﻊ ، طول ﻓﺋﺔ اﻟرﺑﯾﻊ ،
3n F Q3 L 4 f Q 3
Fاﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻔﺋﺔ اﻟرﺑﯾﻊ fQﺗﻛرار ﻓﺋﺔ اﻟرﺑﯾﻊ٠
وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول واﻟﺛﺎﻟث ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻣن اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ ﺑ ﻧﻔس اﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻟﺗﻲ اﺳﺗﺧدﻣت ﻓﻲ ﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻣﻊ اﺳﺗﺧدام ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ ﺑدﻻ ﻣن ﻣوﻗﻊ أﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد اﻟﻘ ﯾم اﻟﺗ ﻲ ﺗﻘﺳ م ﻓﺋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات )ﺑﻌ د ﺗرﺗﯾﺑﮭ ﺎ ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ( إﻟ ﻰ ﻋﺷ رة أﻗﺳ ﺎم وﻧرﻣ ز ﻟ ﻧﻘط اﻟﺗﻘﺳ ﯾم ﺑ ﺎﻟرﻣوز D1 , D 2 ,..., D 9ﺣﯾ ث D1اﻟﻌﺷ ﯾر اﻷول وھ و ﯾﻣﺛ ل اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ 9 1 ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت وﯾﻠﯾﮭ ﺎ ﯾﺳ ﺑﻘﮭﺎ 10 10 8 2 ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت وھﻛ ذا ﻟﻠﻌﺷ ﯾرات اﻷﺧ رى ٠ﺑ ﻧﻔس اﻟﺷ ﻛل ﯾﻣﻛ ن ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﻠﯾﮭﺎ ﯾﺳﺑﻘﮭﺎ 10 10
ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت و D2اﻟﻌﺷ ﯾر اﻟﺛ ﺎﻧﻲ وھ و ﯾﻣﺛ ل اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ
إﯾﺟ ﺎد اﻟﻘ ﯾم اﻟﺗ ﻲ ﺗﻘﺳ م ﻓﺋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات )ﺑﻌ د ﺗرﺗﯾﺑﮭ ﺎ ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ( إﻟ ﻰ ﻣﺎﺋ ﺔ ﻗﺳ م وﻧرﻣ ز ﻟ ﻧﻘط 1 اﻟﺗﻘﺳ ﯾم ﺑ ﺎﻟرﻣوز P1 , P2 ,..., P99ﺣﯾ ث P1اﻟﻣﺋ ﯾن اﻷول ھ و ﯾﻣﺛ ل اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﺳ ﺑﻘﮭﺎ 100
١٨٥
ﻣن
2 99 ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت و P2اﻟﻣﺋ ﯾن اﻟﺛ ﺎﻧﻲ وھ و ﯾﻣﺛ ل اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﺳ ﺑﻘﮭﺎ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت وﯾﻠﯾﮭ ﺎ 100 100 98 ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت وھﻛ ذا ﻟﺑ ﺎﻗﻲ اﻟﻣﺋﯾﻧ ﺎت ٠ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﺗوزﯾﻌ ﺎت اﻟﺗﻛرارﯾ ﺔ ﯾﻣﻛ ن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﻠﯾﮭﺎ 100 n n ﻟﻠﻌﺷ ﯾر اﻷول ﺑـ ﺣﺳﺎب اﻟﻌﺷﯾرات و اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت ﺑﻧﻔس طرﯾﻘﺔ ﺣﺳ ﺎب اﻟوﺳ ﯾط ﻣ ﻊ اﺳ ﺗﺑدال 10 2 2n n n 2n ﻟﻠﻣﺋ ﯾن اﻷول و ﻟﻠﻌﺷ ﯾر اﻟﺛ ﺎﻧﻲ وھﻛ ذا ﻟﺑ ﺎﻗﻲ اﻟﻌﺷ ﯾرات ٠أﯾﺿ ﺎ اﺳ ﺗﺑدال ﺑ ـ و 100 100 2 10
ﻣن
ﻟﻠﻣﺋﯾن اﻟﺛﺎﻧﻲ وھﻛذا اﻟﺑﺎﻗﻲ اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت٠ ﻟﻠﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد اﻟﻌﺷﯾرات واﻟﻣﺋﯾﻧﺎت ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DescriptiveStatistics ;}aa1={1,4,5,7,10,11,13,16,17,19,20,22 ]Median[aa1 12
اﻟﻣﺧرج ﻟﻼﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻫو اﻟرﺑﯾﻌﺎت : ]bb2=Quartiles[aa1 }{6,12,18
اﻟﻣﺧرج ﻟﻼﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻫو اﻟوﺳﯾط وﻓﻰ اﻟوﻗت ﻧﻔﺳﺔ اﻟﻣﺋﯾن اﻟﺧﻣﺳﯾن واﯾﺿﺎ اﻟﻌﺷﯾر اﻟﺧﺎﻣس : ]InterpolatedQuantile[aa1,.5 12.
اﻟﻤﺨﺮج ﻟﻼﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ ھﻮ اﻟﺮﺑﯿﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ : ]InterpolatedQuantile[aa1,.75 18.
اﻟﻤﺨﺮج ﻟﻼﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ ھﻮ اﻟﺮﺑﯿﻊ اﻻول : ]InterpolatedQuantile[aa1,.25
) (٧-٤ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗـت
Measures of Dispersion
ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋ ﺔ اﻟﻣرﻛزﯾ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺗﻣ ت ﻣﻧﺎﻗﺷ ﺗﮭﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺑﻧ د اﻟﺳ ﺎﺑق ﻻ ﺗﻛﻔ ﻲ ﻹﻋط ﺎء وﺻ ف ﻛ ﺎﻓﻲ ﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻼ ﺗوﺿﺢ طﺑﯾﻌﺗﮭﺎ وﻻ ﻛﯾﻔﯾﺔ ﺗوزﯾﻊ ﻣﺷ ﺎھداﺗﮭﺎ .ﻛﻣ ﺎ أن اﻻﻋﺗﻣ ﺎد ﻓﻘ ط ﻋﻠﻰ أي ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻋدة ﻣﺟﻣوﻋﺎت ﻻ ﯾﻛﻔﻲ ﻹظﮭ ﺎر ﺣﻘﯾﻘ ﺔ اﻟﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ،ﻓﻣ ن اﻟﻣﻣﻛن أن ﯾﻛون ﻟﻌدة ﻣﺟﻣوﻋﺎت ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻧﻔس اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟوﺳﯾط وﻟﻛﻧﮭم ﯾﺧﺗﻠﻔوا ﻋ ن ﺑﻌﺿ ﮭم ﺗﻣ ﺎم اﻻﺧ ﺗﻼف .ﻓﻘ د ﺗﻛ ون ﻣﺷ ﺎھدات إﺣ دى اﻟﻣﺟﻣوﻋ ﺎت ﻣﺗﻘﺎرﺑ ﺔ ﺑﻌﺿ ﮭﺎ ﻣ ن ﺑﻌ ض )ﻣﺗﻣرﻛزة ﺣول ﻣﺗوﺳطﮭﺎ ( أو ﻣﺑﻌﺛرة )ﻣﺗﺷﺗﺗﺔ ( . ﻓﻲ اﻟﺟزء اﻟﺗﺎﻟﻲ ﺳوف ﻧﻘدم ﺑﻌض ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗت اﻷﻛﺛر أھﻣﯾﺔ.
) (١-٧-٤اﻟﻣدى وﻧﺻف اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ The range and semi interquartile range ١٨٦
ﯾﻌﺗﺑر اﻟﻣدى ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺗﺷﺗت ﻣن اﻟﺳﮭل ﺟدا ﺣﺳﺎﺑﮫ وﯾﻌطﻰ ﻓﻛرة ﺳرﯾﻌﺔ ﺟدا ﻋن طﺑﯾﻌﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﺳﺗﺧدم ﻛﺛﯾرا ﻓﻲ ﻣراﻗﺑﺔ اﻟﺟودة وﻛذﻟك ﻓﻲ وﺻف اﻷﺣوال اﻟﺟوﯾﺔ ٠وﻟﻛن ﻣن ﻋﯾوﺑﮫ أﻧﮫ ﯾﺗﺄﺛر ﺑﺎﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة وﯾﻌطﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﺧﺎطﺋﺔ ﻋن اﻻﻧﺗﺷﺎر اﻟﺣﻘﯾﻘﻲ ﻟﻣﻌظم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛﻣﺎ أﻧﮫ ﻻ ﯾﺳﺗﺧدم ﺟﻣﯾﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﺣﺳﺎﺑﮫ٠ ﻋﻧد اﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ ﻓﺈن اﻟﻣدى ﯾﺣﺳب ﺑﻌدة طرق ﺳوف ﻧذﻛر ﻣﻧﮭ ﺎ اﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ : اﻟﻣدى= اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷﺧﯾرة-اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷوﻟﻰ. ھﻧﺎك ﻣﻘﺎﯾﯾس أﺧرى ﻟﻠﺗﺷﺗت ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﺑدﻻ ﻣن اﻟﻣدى ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ وﺟود ﻗﯾم ﺷﺎذة٠ ﺗﻌﺗﻣد ھذه اﻟﻣﻘﺎﯾﯾس ﻋﻠﻰ إھﻣﺎل ﺟزء ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﻧد طرﻓﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ ﺣﺗﻰ ﻧﺗﺧﻠص ﻣن اﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة وﺗﺳﻣﻰ ﺷﺑﯾﮭﺎت اﻟﻣدى ٠ﻓﻣﺛﻼ ﺑﺣذف أﻋﻠﻰ 10%ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات وأﺻﻐر 10%ﻣﻧﮭﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣدى اﻟﻣﺋﯾﻧﻲ أي . P90 P10 أﯾﺿﺎ ﺑﺣذف أﻋﻠﻰ 25%ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وأﺻﻐر 25%ﻣﻧﮭﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ أي ٠ Q 3 Q 1وأﺧﯾرا ھﻧﺎك ﻣﻘﯾﺎس آﺧر ﯾﺳﺗﻧﺗﺞ ﻣن اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ وھو ﻧﺻف اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ ) اﻻﻧﺣراف اﻟرﺑﯾﻌﻲ ( semi interquartile rangeوﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮫ ﺑﻘﺳﻣﺔ اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ ﻋﻠﻰ 2ﻓﺈذا رﻣزﻧﺎ ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز MRﻓﺈن -: Q 3 Q1 . 2
MR
ﻣﺛﺎل)(٤٨-٤ إذا ﻛﺎﻧ ت درﺟ ﺔ اﻟﺣ رارة اﻟﻣﺋوﯾ ﺔ ﻓ ﻲ إﺣ دى اﻟﻣ دن ﺧ ﻼل أﯾ ﺎم إﺣ دى اﻷﺳ ﺎﺑﯾﻊ ھ ﻲ : 22,9,13,12,18,15,9
أﺣﺳب ﻣﺎ ﯾﻠﻲ : ) ا ( اﻟوﺳﯾط واﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال. ) ب ( اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻰ وﻧﺻف اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ واﻟﻣدى.
اﻟﺣــل: )أ( اﻟوﺳﯾط ﺑﺎﻟﺗرﺗﯾب ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ً 9,9,12,13,15,18,22 وﺑﻣﺎ أن اﻟﻌدد ﻓردي 7 إذا ً اﻟوﺳﯾط ھو اﻟﻌدد اﻟذي ﯾﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻣﻧﺗﺻف 13 اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ : 9 15 18 12 13 9 22 98 14 7 7 اﻟﻣﻧوال :ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ ً 9
)ب(
اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻰ Q3 Q1 ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ﯾﺣدد ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 3n 2 5.75, 4 أي ﯾﻘﻊ ﺑﯾن اﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم 5واﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم 6وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻛون ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدة رﻗم 5واﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم 6أي:
١٨٧
15 18 16.5. 2
Q3
ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ﯾﺣدد ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : n2 2.25. 4 أي ﯾﻘﻊ ﺑﯾن اﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم 2واﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم 3وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻛون ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻻول ھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدة رﻗم 2واﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم 3أي:
اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻰ Q3 Q1 MR 16.5 10.5 6. Q 3 Q1 اﻻﻧﺣراف اﻟرﺑﯾﻌﻲ 2
MR
Q 3 Q 1 16.5 10.5 3. 2 2
MR
اﻟﻣدى :أﻛﺑر ﻗﯾﻣﺔ – أﺻﻐر ﻗﯾﻣﺔ : 22 9 13 `<<Statistics`DescriptiveStatistics ;}aa1={22,9,13,12,18,15,9 ]Median[aa1 13 ]Mode[aa1 9 ]Mean[aa1 14 ]bb2=Quartiles[aa1
39 69 , 13, 4 4
c1=bb2[[3]]-bb2[[1]]//N 7.5
(Last[bb2]-First[bb2])/2
15 4 ]N[% 3.75
ﯾﻼﺣظ اﺧﺗﻼف ﺑﺳﯾط ﻓﻰ اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ اﻻﺧﯾرة ﻋن اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﯾدوﯾﺎ وذﻟك ﻟﻌﻣﻠﯾﺔ اﻟﺗﻘرﯾب . وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر InterquartileRangeﻻﯾﺟﺎد اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻰ ﺛم ﻗﺳﻣﺗﻪ ﻋﻠﻰ اﺛﻧﯾن ﻻﯾﺟﺎد ﻧﺻف اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻰ . `<<Statistics`DescriptiveStatistics ;}aa1={18,22,26,25,27,26,19,17,22,20 c1=InterquartileRange[aa1]//N 7.5 b1=%/2 3.75
اﻟﻣدى ﯾﺣﺳب ﻣن اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : ١٨٨
]SampleRange[aa1 13
ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ : ]aa3=Max[aa1 22 ]aa4= Min[aa1 9 m=aa3-aa4 13
رﺳم اﻟﺻﻧدوق BoxPlot
ﯾﻘوم ﺷﻛل اﻟﺻﻧدوق اﺳﺎﺳﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﻬوم اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت وﯾﺳﺗﺧدم ﻛﺎداة ﻟﺗﻣﺛﯾل ﻋﻣﻠﯾﺔ ﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت .
ﯾﻌرض ﺷﻛل اﻟﺻﻧدوق ﺛﻼث رﺑﯾﻌﺎت ،اﻟرﺑﯾﻊ اﻻول واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻧﻰ او اﻟوﺳﯾط واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ،ﺣﯾث ﯾﻣﺛل اﻟرﺑﯾﻊ اﻻول واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ﺣﺎﻓﺔ اﻟﺻﻧدوق .اﻣﺎ طول اﻟﺻﻧدوق ﻓﻬو ﻋﺑﺎرة ﻋن اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﯾن اﻟرﺑﯾﻊ اﻻول )اﺳﻔل اﻟﺻﻧدوق( واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث )اﻋﻠﻰ اﻟﺻﻧدوق( وﻫو اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻰ
.وﻫﻧﺎك ﺧط اوﺳط داﺧل اﻟﺻﻧدوق ﯾﻣﺛل اﻟوﺳﯾط او اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻧﻰ ،ﻓﺎذاوﻗﻊ ﺧط اﻟوﺳط ﻓﻰ ﻣﻧﺗﺻف اﻟﺻﻧدوق ﻓﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﻌﺗﺑر ﺗوزﯾﻌﺎ ﻣﺗﻣﺎﺛﻼ ﻏﯾر ﻣﻠﺗو ،اﻣﺎ اذا ﻛﺎن اﻗرب اﻟﻰ ﻗﺎﻋدة اﻟﻣﺳﺗطﯾل ﻓﺎن ﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﯾم ﻣﻠﺗوﯾﺎ اﻟﺗواء ﻣوﺟﺑﺎ .واذا ﻛﺎن ﺧط اﻟوﺳط اﻗرب اﻟﻰ ﻗﻣﺔ اﻟﻣﺳﺗطﯾل ﻓﺎن
ﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﯾم ﻣﻠﺗوﯾﺎ اﻟﺗواء ﺳﺎﻟﺑﺎ .وﺗﻌﺗﺑر اﻟﻘﯾم ﻣﺗطرﻓﺔ Extremeاذا ﻛﺎﻧت ﺗﺑﻌد ﻋن ﻗﻣﺔ او ﻗﺎﻋدة اﻟﻣﺳﺗطﯾل ﻣﺳﺎﻓﺔ ﺗزﯾد ﻋن ﺛﻼث اﺿﻌﺎف طول اﻟﻣﺳﺗطﯾل .اﻣﺎ اﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة واﻟﺗﻰ ﯾرﻣز ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟرﻣز outliesﻓﻬﻰ ﺗﻣﺛل اﻟﻣﺷﺎﻫدة او اﻟﻣﺷﺎﻫدات اﻟﺗﻰ ﺗﺑﻌد ﻗﯾﻣﺗﻬﺎ ﻋن ﻗﻣﺔ او ﻗﺎﻋدة اﻟﻣﺳﺗطﯾل ﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﯾن ﻣرة وﻧﺻف وﺛﻼث اﺿﻌﺎف طول اﻟﻣﺳﺗطﯾل . ﻣﺛﺎل ) (٤٩-٤ اﻻرﻗﺎم اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻣﺛل ﺣﺟم ﻣﺑﯾﻌﺎت 24ﻣوظﻔﺎ ﻓﻰ اﺣدى اﻟﺷرﻛﺎت ﻓﻰ ﺳﻧﺔ 1998 71,60,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88,67,65,71, 72,68,66,70,35
وﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﺧﺮى ﺗﻣﺛل ﺣﺟم ﻣﺑﯾﻌﺎت 23ﻣوظﻔﺎ ﻓﻰ ﻧﻔس اﻟﺷرﻛﺔ ﻓﻰ ﺳﻧﺔ 1999 75,64,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88,67,85,71, 72,68,88,188 ١٨٩
. واﻟﻣطﻠوب ﺗﻣﺛﯾل ﺗﻠك اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﺳﺗﺧدام رﺳم اﻟﺻﻧدوق : اﻟﺣل .ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺟﺎھز اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب وﺳوف ﻧﻠﺣق ھذا اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣرﻓﻘﺎت ﻣﻊ اﻟﻛﺗﺎب ﺗﺎﺑﻊ ﻟﻠﻔﺻل اﻟراﺑﻊ وﺑﻧﻔس اﺳم اﻟﻣﺛﺎل : اوﻻ ﯾﺗم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ. ﺑﺣﯾث ﻻ ﯾﻌﺎد ﻛﺗﺎﺑﺗﮫ ﻣرة اﺧرى Off[General::spell1]; <<Statistics`DataManipulation` <<Statistics`DescriptiveStatistics` Horizontal Box and Whiskers boxandwhiskers[list_,i_]:=Module[{data,min,max,iqr,lif,ui f,lof,uof,n,lav,uav,lov,uov}, data=Sort[list]; min=Min[data]; max=Max[data]; med=Median[data]; quarts=N[Quartiles[data]]; iqr=quarts3-quarts1;
lif=quarts1-1.5 iqr;
uif=quarts3+1.5 iqr;
lof=quarts1-3 iqr;
uof=quarts3+3 iqr;
outliers=Select[data,#1<lif&&#1lof||#1>uif&&#1uof& ]; ١٩٠
outliers=Point/@({#1,i}&)/@outliers; extremeoutliers=Select[data,#1<lof||#1>uof&]; extremeoutliers=Thread[Circle[({#1,i}&)/@extremeoutl iers,0.1]];box=Graphics[{Line[{{quarts1,i-
0.2},{quarts1,i+0.2},{quarts3,i+0.2},{quarts3,i-
0.2},{quarts1,i-
0.2}}],Line[{{lif,i},{quarts1,i}}],Line[{{quarts3,i},
{uif,i}}],extremeoutliers,Thickness[0.01],Line[{{quarts2
,i-
0.2},{quarts2,i+0.2}}],PointSize[0.01],outliers}];Show[
box,FrameTrue,FrameTicks{Automatic,None},DisplayFunctio nIdentity]]
boxplotLists[lists_,options___]:=If[ListQ[lists1],graph
١٩١
s=Table[boxandwhiskers[listsi,i-
1],{i,1,Length[lists]}];Show[graphs,options,DisplayFuncti on$DisplayFunction],graph=boxandwhiskers[lists,0];Show[g raph,options,DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRange{ All,{-3,3}}]] boxplotArray[dataset_,columns_,options___]:= Module[{data}, data=ToExpression[Table[Column[dataset,columns[[j]]] ,{j,1,Length[columns]}]]; data=Map[DropNonNumeric,data]; boxplotLists[data,options]] Vertical Box and Whiskers boxandwhiskersv[list_,i_]:=Module[{data,min,max,iqr,lif,u if,lof,uof,n,lav,uav,lov,uov}, data=Sort[list]; min=Min[data]; max=Max[data]; med=Median[data]; quarts=N[Quartiles[data]]; iqr=quarts3-quarts1;
lif=quarts1-1.5 iqr;
uif=quarts3+1.5 iqr;
lof=quarts1-3 iqr;
١٩٢
uof=quarts3+3 iqr;
outliers=Select[data,#1<lif&&#1lof||#1>uif&&#1uof& ];outliers=Point/@({i,#1}&)/@outliers; extremeoutliers=Select[data,#1<lof||#1>uof&]; extremeoutliers=Thread[Circle[({i,#1}&)/@extremeoutl iers,0.1]];box=Graphics[{Line[{{i.2,quarts1},{i+.2,quarts1},{i+.2,quarts3},{i-
.2,quarts3},{i-
.2,quarts1}}],Line[{{i,lif},{i,quarts1}}],Line[{{i,qu
arts3},{i,uif}}],Thickness[0.01],Line[{{i-
.2,quarts2},{i+.2,quarts2}}],PointSize[0.01],outliers
}];Show[box,FrameTrue,FrameTicks{None,Automatic},Displa yFunctionIdentity]]
boxplotListsV[lists_,options___]:=If[ListQ[lists1],grap
١٩٣
hs=Table[boxandwhiskersv[listsi,i-
1],{i,1,Length[lists]}];Show[graphs,options,DisplayFuncti on$DisplayFunction],graph=boxandwhiskersv[lists,0];Show[ graph,options,DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRange {{-3,3},Automatic}]] boxplotArrayV[dataset_,columns_,options___]:= Module[{data}, data=ToExpression[Table[Column[dataset,columns[[j]]] ,{j,1,Length[columns]}]]; data=Map[DropNonNumeric,data]; boxplotListsV[data,options]] <<Statistics`DataManipulation` : ﯾﺘﻢ ادﺧﺎل اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ
وﺳوف ﻧﺳﻣﻰ اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻻوﻟﻰ ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﺳم Column4 واﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔcolumn2 column2={71,60,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88, 67,65,71,72,68,66,70,35};
column4={75,64,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88, 67,85,71,72,68,88,188}; bp1=boxplotLists[column2,PlotRange->All,DisplayFunction>Identity]; bp2=boxplotLists[column4,PlotRange->All,DisplayFunction>Identity]; bp3=boxplotListsV[column2,PlotLabel->"Year 1998",PlotRange->All,DisplayFunction->Identity]; bp4=boxplotListsV[column4,PlotLabel->"Year 1999",PlotRange->All,DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{{bp1,bp2},{bp3,bp4}}]]
40 50 60 70 80 90
40 60 80100120140160180
Year 1998 90 80 70 60
Year 1999 100 90 80 70 60 50
GraphicsArray
١٩٤
اﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﺻف اﻻول ﻋﻠﻰ اﻟﯾﺳﺎر ﯾﻣﺛل ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻟﺳﻧﺔ 1998 وﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟرﺳم وﺟود ﻗﯾﻣﺔ ﺧﺎرﺟﺔ وﻫﻰ 35واﻟﻣوﺿﺣﺔ ﺑﺎﻟﺧط اﻟراﺳﻰ
ﻋﻠﻰ اﻟﯾﺳﺎر .
اﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﺻف اﻻول ﻋﻠﻰ اﻟﯾﻣﯾن ﯾﻣﺛل ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻟﺳﻧﺔ 1999 وﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟرﺳم وﺟود ﻗﯾﻣﺔ ﺧﺎرﺟﺔ وﻫﻰ 188واﻟﻣوﺿﺣﺔ ﺑﺎﻟﺧط اﻟراﺳﻰ
ﻋﻠﻰ اﻟﯾﻣﯾن وﻟم ﯾوﺿﺢ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ان ﻛﺎﻧت ﺷﺎذة ام ﻣﺗطرﻓﺔ .
اﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﯾﻣﯾن ﯾﻣﺛل ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻟﺳﻧﺔ .1999 اﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﯾﺳﺎر ﯾﻣﺛل ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻟﺳﻧﺔ .1998 وﻗد ﺗم ﻋرض اﻟرﺳم ﺑﺷﻛل اﺧر ﻋن اﻟﺻف اﻻول ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟرﺳم ﻛﻣﺎ ان
اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗطرﻓﺔ او اﻟﺷﺎذة ﻻ ﺗظﻬر ﻓﻰ اﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻧﻰ وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ ان اﻟﻣﺳﺗﺧدم اذا ﻛﺎن ﯾرﯾد ﻣﻌرﻓﺔ اﻟﻘﯾم اﻟﺧﺎرﺟﺔ ﯾﻠﺗزم ﺑﺎﻟرﺳوم اﻟﺗﻰ ﻓﻰ اﻟﺻف اﻻول . ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺳوف ﯾﺿم اﻟﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن اﻟﻰ ﻣﺟﻣوﻋﺔ واﺣدة وﺑﺷﻛﻠﯾن ﻣﺧﺗﻠﻔﯾن . ;]both=Join[column2,column4 bothbp=boxplotLists[both,PlotRange->All,DisplayFunction;]>Identity bothbpv=boxplotListsV[both,PlotRange;]>All,DisplayFunction->Identity ]]}Show[GraphicsArray[{bothbp,bothbpv 90 80 70 60 50 40 175
150
125
100
75
50
GraphicsArray
وﺑﻔﺮض ان ھﻨﺎل ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﺧﺮى ﺗﻣﺛل ﺣﺟم ﻣﺑﯾﻌﺎت 23ﻣوظﻔﺎ ﻓﻰ اﺣدى اﻟﺷرﻛﺎت ﻓﻰ ﺳﻧﺔ 2000وﺑﯾﺎﻧﺎﺗﮭﺎ ھﻰ :
١٩٥
61,90,65,88,75,75,67,57,73,98,66,71,65,64,69,88,67,35,81, 72,68,66,70
: واﻻن ﺳوف ﯾﺗم ﻋرض اﻟﺛﻼث ﻣﺟﻣوﻋﺎت ﻓﻰ ﻧﻔس اﻟوﻗت ﺑطرﯾﻘﺗﯾن column6={61,90,65,88,75,75,67,57,73,98,66,71,65,64,69,88,6
7,35,81,72,68,66,70}
percents={column2,column4,column6}; percentsbp=boxplotLists[percents,PlotRange>All,DisplayFunction->Identity]; percentsbpv=boxplotListsV[percents,PlotRange>All,DisplayFunction->Identity];
Show[GraphicsArray[{percentsbp,percentsbpv}]]
100 90 80 70 60 50 50 75 100 125 150 175 GraphicsArray
(٥٠-٤ ) ﻣﺛﺎل ( ﻣﺎ ﯾﺳﻣﻰ ﺻﻧدوق وﯾﺷر٢٧-٤) اﻟﻣطﻠوب ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام واﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﻣﺛﺎل : BoxWhisker 60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71 ,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63 ,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70
: اﻟﺣل Statistics ﻓﻰ اﻟﺪﻟﯿﻞ
StatisticsPlots
وﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ
.x وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻠك اﻻﻋﻣدة وذﻟك ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ <<Statistics`StatisticsPlots` ١٩٦
x={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53 ,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74 ;},63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70 ]BoxWhiskerPlot[x
70
65
60
55
50
45
Graphics
ﻣﺛﺎل ) (٥١-٤ اﻟﻣطﻠوب ﻋرض اﻟﻣﺟﺎﻣﯾﻊ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻌﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺻﻧدوق وﯾﺷر: 12,14,16,18,30,50اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻻوﻟﻰ 13,16,18,20,60,56اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ 20,22,30,40,90,40
اﻟﺣل : ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ
StatisticsPlots
ﻓﻰ اﻟﺪﻟﯿﻞ Statistics
وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب : `<<Statistics`StatisticsPlots ;}bb1={12,14,16,18,30,50 ;}bb2={13,16,18,20,60,56 ;}bb3={20,22,30,40,90,40 ;]}bb4=Transpose[{bb1,bb2,bb3 ]BoxWhiskerPlot[bb4 ١٩٧
80
60
40 20 3
1
2
Graphics
ﻣﺛﺎل ) (٥٢ -٤ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﻣﺛﺎل ) (٣٥-٤واﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت اﻟﺗﻰ ﻗﺎم ﺑﻬﺎ ﻋﺷرة ﻣوظﻔﯾن ﻗﺑل
وﺑﻌد ﺣﺿور دورة اﻟﺗدرﯾﺑﯾﺔ وﺑﻌدﻫﺎ واﻟﻣطﻠوب ﺗﻣﺛﯾﻠﻬﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﻻﻋﻣدة . اﻟﺣل : ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ
StatisticsPlots
ﻓﻰ اﻟﺪﻟﯿﻞ Statistics
وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب : `<<Statistics`StatisticsPlots ;}aa1={200,210,230,300,210,231,660,210,231,312 ;}aa2={210,220,240,410,220,240,610,220,240,330 ;]}aa3=Transpose[{aa1,aa2 ]BoxWhiskerPlot[aa3
١٩٨
600
500
400
300
200 1
2
Graphics
(٥٣ -٤ ) ﻣﺛﺎل ﯾﻣﻛن ﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق وﺑﺷﻛل اﺧر ﻟرﺳم اﻟﺻﻧدوق ﻣﻊ ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﺧرى :ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : اﻟﺣل Statistics ﻓﻰ اﻟﺪﻟﯿﻞ
StatisticsPlots
ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ
: وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب <<Statistics`StatisticsPlots` aa1={200,210,230,300,210,231,660,210,231,312}; aa2={210,220,240,410,220,240,610,220,240,330}; aa3=Transpose[{aa1,aa2}]; aa4={200,240,400,500,330,600}; BoxWhiskerPlot[ aa3,aa4, BoxOrientation -> Horizontal, BoxLabels -> {"a", "b"}, BoxExtraSpacing -> {0, 0.5}, BoxStyle -> {Hue[0], Hue[0.5]}, BoxMedianStyle -> Dashing[{0.05}]
١٩٩
a
b
a
600
500
400
300
200
]
Graphics
ﻣﺛﺎل ) (٥٤-٤ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻣﺛﺎل ) (٥٠-٤اﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗطرﻓﺔ او اﻟﺷﺎذة . اﻟﺣل : وﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ
StatisticsPlots
ﻓﻰ اﻟﺪﻟﯿﻞ Statistics
ﻣﻊ ﻋﻣل ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﺗوﺿﯾﺢ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺷﺎذة واﻟﺗﻰ ﯾرﻣز ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟرﻣز ﻧﺟﻣﺔ او اﻟﻣﺗطرﻓﺔ واﻟﺗﻰ ﯾرﻣز ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟرﻣز ﻣرﺑﻊ وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ رﺳم اﻟﺻﻧدوق وذﻟك ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ x
x={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53 ,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74 ;},63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70 BoxWhiskerPlot[Join[x, {100,150,200, 2.5, 3.,9}], BoxQuantile -> 0.4, BoxOutliers -> All, BoxOutlierShapes -> {PlotSymbol[Star], }]PlotSymbol[Box ]
٢٠٠
200
150
100
50
0
Graphics
) (٢-٧-٤اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط The average Deviation ﺗﻣﺛ ل | | x i أو | | x i xاﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﻣطﻠﻘ ﺔ ﻻﻧﺣ راف أي ﻗﯾﻣ ﺔ ﻋ ن اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ أو اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ٠
ﺗﻌرﯾف :
إذا ﻛﺎﻧت ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ، x 1 , x 2 ,..., x nﻓ ﺈن اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﺗوﺳ ط ﯾﻣﻛ ن ﺣﺳﺎﺑﮫ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ -:
n
|x .
i
| x i 1
n
M.D
ﻣﺛﺎل)(٥٥-٤ ﻓ ﻲ ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن 20طﺎﻟ ب ﻓ ﻲ ﻛﻠﯾ ﺔ ﻣ ﺎ ﺗ م ﺗﺳ ﺟﯾل ﻋ دد أﯾ ﺎم اﻟﻐﯾ ﺎب ﻟﻛ ل طﺎﻟ ب ﺧ ﻼل اﻟﻔﺻل اﻟدراﺳﻲ اﻷول وﻛﺎﻧت ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ 1,0,3,4,5,4,1,1,1,1,1,0,0,0,0,3,3,2,2,1 : أﺣﺳب: اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط . ٢٠١
اﻟﺣــل: اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ: n
1 2 2 3 3 0 0 0 0 11111 4 5 4 3 0 1 20
33 1.65 20
i
x i 1
n
اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط :
n
x
i
x
25.6 1.28. n 20 اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزم اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﺣﺳﺎب اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط : i 1
M.D
`<<Statistics`DescriptiveStatistics ;}aa1={1,0,3,4,5,4,1,1,1,1,1,0,0,0,0,3,3,2,2,1
اﻻﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﺤﺴﺎب اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ : ]MeanDeviation[aa1
32 25 ]N[% 1.28
ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﺧر ﻟﺣﺳﺎب اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط : ;}aa1={1,0,3,4,5,4,1,1,1,1,1,0,0,0,0,3,3,2,2,1 ]b1=Length[aa1 20 ]b2=Apply[Plus,aa1 33 b3=b2/b1
33 20 ]b3=N[% 1.65 ]bb4=Abs[aa1-b3 {0.65,1.65,1.35,2.35,3.35,2.35,0.65,0.65,0.65,0.65,0.65,1 }.65,1.65,1.65,1.65,1.35,1.35,0.35,0.35,0.65 ٢٠٢
x
]b5=Apply[Plus,bb4 25.6 b6=b5/b1 1.28
ﺗﻌرﯾ ف :إذا ﻛﺎﻧ ت x 1 , x 2 ,..., x kﺗﻣﺛ ل ﻣراﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺔ ﻟﺗوزﯾ ﻊ ﺗﻛ راري ﻣ ﻊ ﺗﻛراراﺗﮭ ﺎ اﻟﻣﻘﺎﺑﻠ ﺔ f1 , f 2 ,..., f kﻓﺈن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ھو -:
k
| | xi x
i
f i 1
.
M.D
k i
f i 1
ﻣﺛﺎل)(٥٦-٤ أوﺟد اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ: | fi | xi x 325.6 235.2 153.6 9.2 176.8 224.4 304 1428.8
اﻟﺗﻛرار 11 12 16 23 17 11 10 100
xi x -29.6 -19.6 -9.6 0.4 10.4 20.4 30.4
ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ x i 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5 اﻟﻣﺟﻣوع
fi
اﻟﺣــل:
اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ھو ٠ x 64.1وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق -: k
1428.8 14.288. 100
| | xi x
i
f i 1
k i
M.D
f i 1
اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب : `<<Statistics`DescriptiveStatistics ;}mid={34.5,44.5,54.5,64.5,74.5,84.5,94.5 ;}ff={11,12,16,23,17,11,10 ٢٠٣
;]bb1=Apply[Plus,ff bb2=mid*ff }{379.5,534.,872.,1483.5,1266.5,929.5,945. ]bb3=Apply[Plus,bb2 6410. ;xb=bb3/bb1 64.1
Dot Abs mid xb, ff N bb1
cc
14.288 ]aa3=Abs[mid-xb }{29.6,19.6,9.6,0.4,10.4,20.4,30.4 aa4=aa3*ff }{325.6,235.2,153.6,9.2,176.8,224.4,304. ]aa5=Apply[Plus,aa4 1428.8 aa5=aa5/bb1 14.288
) (٣-٧-٤اﻟﺗﺑﺎﯾن The Variance ﺗﻌرﯾف :إذا أﻋطﯾت ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺣدود x 1 , x 2 ,..., x Nﻓﺈن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻫو-: N
) 2 .
i
(x i 1
N
2
اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ،وﯾرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﺑﺄﺧذ اﻟﺟذر اﻟﺗرﺑﯾﻌﻲ ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن. ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛ اررﯾﺔ ﻓﺈن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ -: k
( x i f i ) 2 ].
i 1
n
k 1 [ x i2 f i n 1 i 1
k
s2
) ﺣﯾث ( f i n i 1
ﻣﺛﺎل)(٥٧-٤ أﺳرة ﻟدﯾﮭﺎ 8أطﻔﺎل ،أﻋﻣﺎرھم ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ 8,10,6,14,14,12,18,20 :أوﺟد : اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ.
اﻟﺣــل: اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ ھو : n
8 10 6 14 14 12 18 20 102 12.75. 8 8 اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﺟﺗﻣﻊ ھو :
٢٠٤
i
x i 1
N
2
8
xi i 1
N
2
واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ ھو: 2 19.93 4.46. اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﺤﺴﺎب اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﯿﺎرى ﻟﻠﻤﺠﺘﻤﻊ:
`<<Statistics`DescriptiveStatistics ;}aa1={8,10,6,14,14,12,18,20 ]VarianceMLE[aa1
319 16 ]N[% 19.9375
%
aa2 4.46514
ﺗﻌرﯾف :
إذا ﺳﺣﺑت اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ x 1 , x 2 ,..., x nﻓﺈن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻐﯾر ﻣﺗﺣﯾز ھو -: n
x) 2 .
i
(x i 1
n 1
s2
واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ھو :
s s2
ﻣﺛﺎل)(٥٨-٤ إذا ﻛﺎن ﻋدد أﺳﻣﺎك اﻟﺳﺎﻟﻣون اﻟﺗﻲ ﺗ م ﺻ ﯾدھﺎ ﺑواﺳ طﺔ 10ﺻ ﯾﺎدﯾن ﻓ ﻲ اﻟﯾ وم اﻷول ﻣ ن اﻟﻣوﺳ م ھﻲ ، 3,5,6,7,7,7,7,8,9,10 :أوﺟد :اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري.
اﻟﺣــل: اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻫو : 2
اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻫﻮ :
34.87 3.874 9
x
n
i
x i 1
n 1
s 3.874 1.96
اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﺤﺴﺎب اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﻴﺎرى ﻟﻠﻌﻴﻨﺔ : ٢٠٥
s2
<<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={3,5,6,7,7,7,7,8,9,10}; Variance[aa1]
349 90 N[%] 3.87778
aa2
%
1.96921
-: ﻫﻧﺎك ﺻﯾﻐﺔ أﺧرى ﻟﺣﺳﺎب ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗﻔﯾد ﻋﻧد اﺳﺗﺧدام اﻵﻟﺔ اﻟﺣﺎﺳﺑﺔ وﻫﻲ ( x i ) 2 1 2 s [ x i ]. n 1 n 2
1 (69) 2 [511 ] 3.874. 9 10
:اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﺤﺴﺎب اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﻴﺎرى ﻟﻠﻌﻴﻨﺔ ﺑﺎﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ aa1={3.,5.,6.,7.,7.,7.,7.,8.,9.,10.}; f[x_]:=Apply[Plus,x] aa2=f[aa1] 69. aa3=f[aa1^2] 511. n=Length[aa1] 10
aa22 N aa4 aa3 n 1 n
1
3.87778
aa5
aa4 N
1.96921
: اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻣن ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﻛ اررﯾﺔ ﯾﺎﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ
( x ifi )2 1 2 s [ x i fi ] , n xi n 1 n 2
(٥٩-٤)ﻣﺛﺎل
٢٠٦
ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻟﻌدد اﻟدﻗﺎﺋق اﻟﺗﻲ ﯾﺗﺄﺧرھﺎ ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻲ دﺧ وﻟﮭم اﻟﻣﺣﺎﺿ رة ﺑﻌد دﺧول اﻷﺳﺗﺎذ : اﻟﺗﺄﺧﯾر ﺑﺎﻟدﻗﺎﺋق 0 3 5 6 1 2 4 اﻟﺗﻛرار 180 3 5 6 6 1 2 أوﺟد اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﮭذا اﻟﺗوزﯾﻊ .
اﻟﺣــل: اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ھو:
2
k xf i i 1 k 2 2 s x i f i i 1 n 1 i 1 n
اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري:
s 2.1637 1.46. ﺳوف ﯾﺗم اﯾﺟﺎد اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ﻣن ﺟدول ﺗﻛرارى ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ : }mid={0,1,2,3,4,5,6 }{0,1,2,3,4,5,6 }ff={180,1,2,3,5,6,6 }{180,1,2,3,5,6,6 ]n=Apply[Plus,ff 203 aa1=ff*mid }{0,1,4,9,20,30,36 ]aa2=Apply[Plus,aa1 100 aa3=mid*mid*ff }{0,1,8,27,80,150,216 ]aa4=Apply[Plus,aa3 482
aa2^2 N n
aa4
1 n 1
s2
2.14227
s2 N
s
1.46365
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘرﯾر ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ واﻟوﺳﯾط واوﺳﺎط اﺧرى ﻣن اﻻﻣر LocationReportﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
ﻣﺛﺎل)(٦٠-٤ ٢٠٧
( ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘرﯾر ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ واﻟوﺳﯾط واوﺳﺎط٢٧-٤) ﻣن اﻟﻣﺛﺎل : ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰLocationReport اﺧرى ﻣن اﻻﻣر <<Statistics`DescriptiveStatistics` x={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53 ,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74 ,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70}; LocationReport[x]//N {Mean61.02,HarmonicMean60.0657,Median63.} : ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎت ﻋﻦ ھﺬا اﻻﻣﺮ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ?LocationReport
LocationReportlist gives the Mean, HarmonicMean, and Median location statistics for list. More…
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘرﯾر ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺑﺎﯾن واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى واﻟﻣدى واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط : ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰDispersionReport وﺗﻘدﯾرات اﺧرى ﻟﻠﺗﺷﺗت ﻣن اﻻﻣر <<Statistics`DescriptiveStatistics` x={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53 ,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74 ,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70}; DispersionReport[x]//N {Variance56.1424,StandardDeviation7.49283,SampleRange2 9.,MeanDeviation6.2184,MedianDeviation7.,QuartileDeviat ion6.}
: ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذا اﻻﻣر ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ?DispersionReport
DispersionReportlist gives the Variance, StandardDeviation, SampleRange, MeanDeviation, MedianDeviation, and QuartileDeviation dispersion statistics for list. More…
Coefficient of Variation
( ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف٤-٧-٤)
ﺗﻌﺗﺑر ﻛل ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻣﻘﺎﯾﯾس ﻣطﻠﻘﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﺗﺄﺧذ ﺗﻣﯾﯾز اﻟوﺣدات اﻷﺻﻠﯾﺔ ﻟذﻟك ﺳوف ﻧﻧﺎﻗش. وﻟذﻟك ﻻ ﺗﺻﻠﺢ ﻟﻠﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن ﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن وﺣدات اﻟﻘﯾﺎس ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣﻘﯾﺎس ﻧﺳﺑﻲ ﯾﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف واﻟذي ﯾﺣول اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري إﻟﻰ ﻣﻘﯾﺎس ﻧﺳﺑﻲ ﺑﺎﻋﺗﺑﺎر وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف. أﻧﮫ ﻧﺳﺑﺔ ﻣﺋوﯾﺔ ﻣن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ٢٠٨
ﻣن إﺣدى اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﺗﯾن : s V 100 x
أو
V 100
ﻟﺗﺳﮭﯾل اﺳﺗﺧدام ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻧﻘدم اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻲ واﻟذي ﯾوﺿﺢ ﻛﻣﯾﺔ اﻹﻧﺗﺎج ﻓﻲ ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ ﺧﻼل 80ﺷﮭرا ﺛم ﻛﻣﯾﺔ اﻹﻧﺗﺎج ﺧﻼل ﻓﺗرة ﺛﺎﻧﯾﺔ ﻣﻘدارھﺎ 15ﺷﮭرا وﻗد ﺗم ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري وﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻟﻛل ﻣﺟﻣوﻋﺔ واﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﺟدول . ﻧﻼﺣظ ﻣن اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ أن اﻹﻧﺗﺎج ﺧﻼل 15ﺷﮭرا ﻟﮫ وﺳط ﺣﺳﺎﺑﻲ أﻛﺑر وﻣﻌﺎﻣل اﺧﺗﻼف أﻗل واﻟذي ﯾﻌﺗﺑر ﻧﺗﺎﺋﺞ ﺟﯾدة ﻟﻣدﯾر اﻹﻧﺗﺎج واﻟذي ﯾﮭﺗم ﺑزﯾﺎدة اﻹ ﻧﺗﺎج واﻧﺧﻔﺎض ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف . وﺑﺎﻟرﻏم ﻣن أن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻗد زاد ﻣن 13.2إﻟﻰ 15إﻻ أﻧﮫ ﯾﻣﻛن اﻟﻘول ﺑﻧﺎء ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف أن اﻟﻔﺗرة اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ أﻗل ﺗﺷﺗﺗﺎ ﻣن اﻟﻔﺗرة اﻷوﻟﻰ ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ . s V 100 x 10.56
9.375
x
اﻟﻔﺗرة
13.2
125
80
15
160
15
s
ﻣﺛﺎل)( ٦١-٤ ﻓﻲ ﺟﺎﻣﻌﺔ ﻣﺎ ﯾﺗﻘﺎﺿ ﻰ اﻷﺳ ﺗﺎذ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺗوﺳ ط $15,000دوﻻر ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري $5,000ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻓ ﻲ ﺟﺎﻣﻌ ﺔ أﺧ رى ﯾﺗﻘﺎﺿ ﻰ اﻷﺳ ﺗﺎذ أﺟ ر ﻗ دره $10,000ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري $3,000أوﺟ د ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻟﻛل ﺟﺎﻣﻌﺔ وأي اﻟﺟﺎﻣﻌﺗﯾن أﻛﺛر ﺗﺷﺗﺗﺎ ؟
اﻟﺣــل : اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻹﯾﺟﺎد ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻟﻛل ﺟﺎﻣﻌﺔ ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ. ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف s1 5000 0.333 x 1 15000 s 3000 V2 1 0. 3 x 2 10000
V1
اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري
اﻟﻣﺗوﺳط
5000
15000
اﻟﺟﺎﻣﻌﺔ اﻷوﻟﻰ
3000
10000
اﻟﺟﺎﻣﻌﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ
إذن اﻟﺟﺎﻣﻌﺔ اﻷوﻟﻰ أﻛﺛر ﺗﺷﺗﺗﺎ ً.
ﻣﺛﺎل)( ٦٢- ٤ >>>>>>>>>>
٢٠٩
اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻷﻋﻣﺎر ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟذﻛور واﻹﻧﺎث ﻓﻲ ﻛﻠﯾﺔ ﻣﺎ . 23 24
21 22
19 20
17 18
15 16
اﻟﻌﻣر
190
160
130
125
100
اﻹﻧﺎث
200
146
150
131
110
اﻟذﻛور
)أ( أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻛل ﻣن اﻟذﻛور واﻹﻧﺎث . )ب(أوﺟد ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻟﻛل ﻣن اﻟذﻛور واﻹﻧﺎث وأي اﻟﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن أﻛﺛر ﺗﺷﺗﺗﺎ ً.
اﻟﺣــل:
ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻔﺌﺔ
ﺗﻜﺮار اﻟﺬﻛﻮر
ﺗﻜﺮار اﻹﻧﺎث
اﻟﺤﺪود اﻟﻔﻌﻠﻴﺔ
ﺣﺪود اﻟﻔﺌﺔ
15.5 17.5 19.5 21.5
110 131 150 146
100 125 130 160
14.5 16.5 16.5 18.5 18.5 20.5 20.5 22.5
15 16 17 18 19 20 21 22
23.5
200 737
190 705
22.5 24.5
23 24
اﻟذﻛور
اﻹﻧﺎث
x 14861.5 / 737 20.02
x 14272.5 / 705 20.10 S2
1 / 736(306272.25) (14861.5) 2 / 737 2.822
S1 ]1 / 704[295138.75 (14272.5) 2 / 705 2.799
V1 2.799 / 20.20 = 0.139
V2 2.822 / 20.02 0.1409
ﻧﺳﺗﻧﺗﺞ أن اﻟذﻛور أﻛﺛر ﺗﺷﺗﺗﺎ ً . اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣل اﻟﻣﺛﺎل :
`<<Statistics`DescriptiveStatistics }c1={15,17,19,21,23 }{15,17,19,21,23 }c2={16,18,20,22,24 ٢١٠
{16,18,20,22,24}
mid N
c1 c2 2
{15.5,17.5,19.5,21.5,23.5} ff1={100,125,130,160,190} {100,125,130,160,190} ff2={110,131,150,146,200} {110,131,150,146,200} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff1}],TableHeadings{{},{" Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]
Lower 15 17 19 21 23
Upper 16 18 20 22 24
Midpoint 15.5 17.5 19.5 21.5 23.5
Frequency 100 125 130 160 190
TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff1}],TableHeadings{{},{" Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]
Lower 15 17 19 21 23
Upper 16 18 20 22 24
Midpoint 15.5 17.5 19.5 21.5 23.5
n1=Apply[Plus,ff1] 705 n2=Apply[Plus,ff2] 737
xb1
Dotmid, ff1 N n1
20.1099
xb2
Dotmid, ff2 N n2
20.0292
var1
Dotmid xb12, ff1 N n1
7.82657
Dotmid xb22, ff2 var2 N n2 7.95336
s1
var1
2.7976
s2
var2
2.82017 v1=s1/xb1 ٢١١
Frequency 100 125 130 160 190
0.139115 v2=s2/xb2 0.140803
) (٨-٤اﻻﻟﺗواء واﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟوﺳﯾط واﻟﻣﻧوال Skewness and the Relation of the Mean , Median , and Mode ﻋرﻓﻧﺎ ﻣﻣﺎ ﺳﺑق أن اﻻﻟﺗواء ھو ﺑﻌد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻋن اﻟﺗﻣﺎﺛل ٠ﻓﺈذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛﻼ ﻓﺳوف ﻧﺟد أن 50%ﻣن اﻟﻘﯾم ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻛل ﺟﺎﻧب ﻣن اﻟﻣﻧوال ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ٠
)f(x
50%
50%
x اﻟﻤﻨﻮال=اﻟﻮﺳﻴﻂ=اﻟﻮﺳﻂ
اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ
أﯾﺿ ﺎ ﻧﻼﺣ ظ ﻣ ن اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻟ ﮫ ﻣﻧ وال واﺣ د ) unimodalوﺣﯾ د اﻟﻣﻧ وال( وأن اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ = اﻟوﺳ ﯾط= اﻟﻣﻧ وال ٠ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﻧﺟ د أن ھﻧ ﺎك ﻋﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ واﻟوﺳ ﯾط واﻟﻣﻧ وال ﺣﯾ ث اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ > اﻟوﺳ ﯾط > اﻟﻣﻧ وال وذﻟ ك ﻷن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻠﺗوﯾﺎ ﺟﮭﺔ اﻟﯾﺳﺎر٠
اﳌﻨﻮال )f(x
اﻟﻮﺳﻴﻂ
اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰊ x ﺑﯾﻧﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻧﺟد أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ < اﻟوﺳﯾط < اﻟﻣﻧوال وذﻟك ﻷن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻠﺗوﯾﺎ ﺟﮭﺔ اﻟﯾﻣﯾن ٠وﻓﻲ ﻛﻠﺗﺎ اﻟﺣﺎﻟﺗﯾن ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط ﯾﻘﻊ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال ﻛﻣﺎ أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﻘﻊ داﺋﻣﺎ ﻓﻲ اﺗﺟﺎه اﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة٠ ٢١٢
اﳌﻨﻮال )f(x اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰊ
اﻟﻮﺳﻴﻂ
x
ﻋﺮض اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﺴﺎق واﻟﻮرﻗﺔ ):(stem –and- leaf ﯾﺳــﺗﺧدم ﺷــﻛل اﻟﺳــﺎق واﻟورﻗــﺔ ﻟﺑﯾــﺎن ﺗوزﯾــﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟﻣﺗﻌﻠﻘــﺔ ﺑــﺎﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻛﻣــﻰ وﯾﺷــﺑﻪ ﻫــذا اﻟﺷــﻛل
اﻟﻣـ ــدرج اﻟﺗﻛ ـ ـرارى اﻻ اﻧـ ــﻪ ﯾﻌطـ ــﻰ ﻓﻛ ـ ـرة اﻓﺿـ ــل ﻟﻠﻘـ ــﺎرئ ﻋـ ــن اﻻرﻗـ ــﺎم واﻟﺗﻛ ـ ـ اررات اﻟﻣﺗﻌﻠﻘـ ــﺔ ﺑـ ــﺎﻟﻣﺗﻐﯾر .ﺑﻣوﺟ ــب ﻫ ــذا اﻟﺷ ــﻛل ﻓ ــﺎن ﻛ ــل رﻗ ــم ﯾﻘﺳ ــم اﻟ ــﻰ ﻗﺳ ــﻣﯾن :اﻟﺟ ــزء اﻻول )اﻟﺳ ــﺎق( وﯾﺗﻛ ــون ﻣ ــن ﺧﺎﻧ ــﺔ اﺳﺎﺳــﯾﺔ او اﻛﺛــر . Leading Digitsواﻟﺟــزء اﻟﺛــﺎﻧﻰ )اﻟورﻗــﺔ( وﯾﺗﻛــون ﻣــن اﻟﺧﺎﻧــﺔ او اﻟﺧﺎﻧــﺎت اﻟﺑﺎﻗﯾﺔ .Remaining ﻣﺛﺎل ) (٦٣ -٤ إذا أردﻧﺎ ﺗطﺑﯾق طرﯾﻘﺔ اﻟﻌرض ) اﻟﺳﺎق واﻟورﻗﺔ ( ﻋﻠﻰ ﻋﯾﻧﻪ ﻣﻛوﻧﻪ ﻣن 30وﺣدﻩ 202 208 208 212 202 193 208 206 206 213 204 204 204 218 204 198 207 218 212 212 205 203 196 216 200 215 202
اﻟﺣل : ﺳوف ﯾﺗم ﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﯾدوﯾﺎ ﻟﺗوﺿﯾﺢ اﻟطرﯾﻘﺔ ﺛم ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ .
ﺑﻣﺎ أن اﻷرﻗﺎم ﻫﻧﺎ ﻣن ﺛﻼث ﺧﺎﻧﺎت ﻓﺳوف ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ : -١ﻧﻘﺳم اﻟوﺣدات إﻟﻰ إﺣدى اﻟﺧﯾﺎرات اﻟﺗﺎﻟﻲ: اﻟﺳﺎق= أول ﺧﺎﻧﺔ واﻟورﻗﺔ = اﻟﺧﺎﻧﺗﯾن اﻻﺧرﯾﺗﯾن. اﻟﺳﺎق= أول ﺧﺎﻧﺗﯾن واﻟورﻗﺔ= اﻟﺧﺎﻧﺔ اﻷﺧﯾرة.
٢١٣
216 206 204
وﺳوف ﻧﺧﺗﺎر اﻟﺧﯾﺎر اﻟﻣﻧﺎﺳب ﻫﻧﺎ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت وﻫـو اﻟﺧﯾـﺎر اﻟﺛـﺎﻧﻲ ﻷﻧﻧـﺎ ﺳـوف ﻧﺣﺻـل ﻣﻧـﻪ ﻋﻠـﻰ ﻋـدد ﺑﯾﻧﻣــﺎ ﻟــو اﺳــﺗﺧدﻣﻧﺎ اﻟﺧﯾــﺎر اﻷول ﻓﺳــوف ﻧﺣﺻــل ﻋﻠــﻰ،)ﺛــﻼث ﺳــﯾﻘﺎن( وﻋــدد ﻣﻌﻘــول ﻣ ـن اﻷوراق .ﻋدد )ﺳﺎﻗﯾن ( ﻣﻊ أوراق ﻛﺛﯾرة وﻫو ﺧﯾﺎر ﻏﯾر ﻣﻧﺎﺳب
. ﻧرﺗب ﻛل ﺳﺎق داﺧل ﻋﻣود-٢ . ﻧرﺗب اﻷوراق ﻓﻲ اﻟﺻﻔوف اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ ﻟﻬﺎ-٣
stem 19 20 21
leaf
Frequency
368 0 2 2 2 3 4 4 4 4 4 5 8 8 86 6 6 7 2 2 2 356 688
3
total
18 9
30
اﻻن ﺳوف ﯾﺗم اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺳــوف ﻧﺳــﺗﺧدم اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﺟــﺎﻫز اﻟﺗــﺎﻟﻰ وﻻﺳــﺗﺧداﻣﺔ ﯾوﺟــد ﻧﺳــﺧﺔ ﻣﻠﺣﻘــﺔ ﺑﺎﻟﻛﺗــﺎب وﺳــوف ﯾوﺟــد ﻓــﻰ
: وﻧﻘوم ﺑﺗﺣﻣﯾﻠﺔ ﺛم ﺗﻧﻔﯾذﻩ. ﺑراﻣﺞ اﻟﻔﺻل اﻟراﺑﻊ
Off[General::spell1]; <<Statistics`DescriptiveStatistics` <<Statistics`DataManipulation` Functions printStats[]:=Module[{}, Print["N: ",n]; Print["Minimum: ",mn]; Print["First Quartile: ",q1]; Print["Median: ",med]; Print["Third Quartile: ",q3]; Print["Maximum: ",mx]] rDigits[x_]:=Module[{}, If[Head[x]==Integer,digitString=intToRealDigits[x]]; If[And[Head[x]==Real,x==0.],digitString={{0},1}]; If[And[Head[x]==Real,x!=0.],digitString=RealDigits[x ]]; digitString] intToRealDigits[x_]:=Module[{}, intDigits=IntegerDigits[x]; addDigitsToLeft[intDigList_]:={intDigList,Length[int DigList]}; addDigitsToLeft[intDigits]] ٢١٤
leaf[x_]:=Module[{}, rd=rDigits[x]; r=rd[[2]]; Take[rd[[1]],{r}]] Clear[stemlist] stemlist[x_]:=Module[{m,r}, rd=rDigits[x]; m=Length[rd[[1]]]; r=rd[[2]]; Drop[rd[[1]],-(m-r+1)]] lub[list1_,val_]:=Module[{newlist}, k=1; newlist=Sort[list1]; While[newlist[[k]]<=val,k=k+1]; newlist[[k]]] glb[list1_,val_]:=Module[{newlist,n}, k=1; n=Length[list1]; newlist=Sort[list1]; While[And[k<=n,newlist[[k]]<val],k=k+1]; newlist[[k-1]]] intQ[x_]:=Module[{rd,k}, rd=rDigits[x]; k=Length[rd[[1]]]; If[k==rd[[2]],True,False]] intListQ[list1_]:=Module[{}, tflist=Map[intQ,list1]; int=Intersection[tflist]; If[int=={True},True,False]] mult[list1_]:=Module[{}, fact=fact+1; 10.0*list1] intConvert[list1_]:=Module[{m,list2}, list2=list1; m=Map[rDigits,list1]; df[rdList_]:=Length[rdList[[1]]]-rdList[[2]]; dfList=Map[df,m]; fct=Max[dfList]; 10^fct*list2] integerCheck[valueList_]:=Module[{}, intFlag=0; intermed=valueList; headInt=Map[Head,valueList]//Intersection; If[headInt=={Integer},intFlag=1]; If[intFlag==1,intermed=1.0*valueList]; intermed] subadd[x_]:=Module[{}, j=1; While[And[j<=Length[inter],MatchQ[inter[[j]],stemlis t[x]]]==False,j=j+1]; ٢١٥
AppendTo[sub[[j]],x]] dp[y_]:=Drop[y,1] addto[x_]:=Module[{sec}, sec=SequenceForm[x]; chars=Join[chars,sec]] trnc[x_]:=Module[{rd,t}, rd=rDigits[x]; r=rd[[2]]; If[r>0,t=rd[[1,r]],t=0]; (x-t)/10] stemchars[st_]:=Module[{m,i}, tempSet=st; If[tempSet=={},tempSet={0}]; m=Length[tempSet]; chars=SequenceForm[tempSet[[1]]]; i=2; While[i<=m,addto[tempSet[[i]]];i++]; chars] leafList[valueset_]:=Module[{}, If[Length[valueset]==0,chars=" ",leaftable[valueset]]; chars] leaftable[valueset_]:=Module[{m}, leaftab=Map[leaf,valueset]//Flatten; m=Length[leaftab]; sortleaftab=Sort[leaftab]; chars=SequenceForm[sortleaftab[[1]]]; i=2; While[i<=m,addto[sortleaftab[[i]]];i++]; chars] printStemAndLeaves[valueset_]:=Module[{}, st=stemlist[valueset[[1]]];stemPrint=stemchars[st]; leafPrint=leafList[valueset]; Print[stemPrint," ",leafPrint]] Clear[modify] modify[n_]:=Module[{}, counter=counter+1; ic=Map[trnc,ic]; statcalc[ic]; If[And[ns<=20,n/ns>1.5],flag=0]] statcalc[vals_]:=Module[{}, mn=Min[vals]//N; mx=Max[vals]//N; q1=Quantile[vals,0.25]//N; med=Median[vals]//N; q3=Quantile[vals,0.75]//N; iqr=q3-q1; lif=q1-1.5(iqr); uif=q3+1.5(iqr); ٢١٦
lof=q1-3(iqr); uof=q3+3(iqr); n=Length[vals]; lav=lub[vals,lif]; uav=glb[vals,uif]; lov=lub[vals,lof]; uov=glb[vals,uof]; lovt=trnc[lov]; uovt=trnc[uov]; ns=uovt-lovt+1] findOutsideVals[vals_]:=Module[{m}, m=Length[vals]; outerlist={0}; i=1; While[i<=m,outside[i];i++]; Drop[outerlist,1]] outside[i_]:=Module[{}, If[Or[lof<=vals[[i]]<lif,uif<vals[[i]]<=uof],AppendT o[outerlist,vals[[i]]]]] findFarOutVals[vals_]:=Module[{}, m=Length[vals]; i=1; outerlist2={0}; While[i<=m,farOutside[i];i++]; Drop[outerlist2,1]] farOutside[i_]:=Module[{}, If[Or[vals[[i]]<lof,vals[[i]]>uof],AppendTo[outerlis t2,vals[[i]]]]] Options[stemAndLeaf]={printStatistics->False}; Clear[stemAndLeaf] stemAndLeaf[valslist_,opts___]:=Module[{}, vals=valslist; fct=0; counter=0; statPrint=printStatistics/. {opts} /. Options[stemAndLeaf]; statcalc[vals]; Print["Title: Stem-and-Leaf Plot"]; If[statPrint===True,printStats[]]; valsOutside=findOutsideVals[vals]; valsOutside=Sort[valsOutside]; valsFarOutside=findFarOutVals[vals]; valsFarOutside=Sort[valsFarOutside]; ic=intConvert[vals]; statcalc[ic]; flag=0; counter=0; If[Or[ns>20,n/ns<=1.5],flag=100]; While[flag>0,modify[n]]; ٢١٧
leafDigitUnit=N[10^(-fct+counter)]; stmlist=Map[stemlist,ic]; inter=Intersection[stmlist]; sub=Table[{0},{j,1,Length[inter]}]; sublists=Table[subadd[ic[[j]]],{j,1,Length[ic]}]; subtable=Table[sub[[j]],{j,1,Length[inter]}]; newsubtable=Map[dp,subtable]; Print["Leaf Unit: ",leafDigitUnit]; If[And[2<=ns<=4,n/ns>13],splitIntoFiveParts[newsubta ble], If[And[2<=ns<=4,n/ns<=13],splitIntoTwoParts[newsubta ble], If[And[5<=ns<=10,n/ns>6.5],splitIntoTwoParts[newsubt able], If[ns==1,splitIntoFiveParts[newsubtable],onePiece[ne wsubtable]]]]]; Print["Outside Values: ",valsOutside]; Print["Far Outside Values: ",valsFarOutside]]; onePiece[newsubtable_]:=Module[{}, Do[printStemAndLeaves[newsubtable[[j]]],{j,1,Length[ newsubtable]}]] findNonEmpty[valueset_]:=Module[{}, j=1; While[valueset[[j]]=={},j=j+1]; st=valueset[[j]]] Split Stem into 2 Parts: splitIntoTwoParts[newsubtable_]:=Module[{n}, n=Length[newsubtable]; ts=Table[split2[j],{j,1,n}]; printpairsFirst[ts[[1]]]; Do[printpairs[ts[[i]]],{i,2,n-1}]; printpairsLast[ts[[n]]]] split2[j_]:=Module[{m1}, sub1={0}; sub2={0}; m1=Length[newsubtable[[j]]]; sortsubtable=Sort[newsubtable[[j]]]; i=1; While[i<=m1,fives[i];i++]; Map[dp,{sub1,sub2}]] fives[i_]:=Module[{}, lf=sortsubtable[[i]]; If[leaf[lf][[1]]<=4,AppendTo[sub1,lf],AppendTo[sub2, lf]]] ٢١٨
printpairs[twosubsets_]:=Module[{st2,stem2}, st2=findNonEmpty[twosubsets]; stlist=stemlist[st2[[1]]]; stem2=stemchars[stlist]; lf2one=leafList[twosubsets[[1]]]; printit[stem2,lf2one]; lf2two=leafList[twosubsets[[2]]]; printit[stem2,lf2two]] printpairsFirst[twosubsets_]:=Module[{st2,stem2}, st2=findNonEmpty[twosubsets]; stlist=stemlist[st2[[1]]]; stem2=stemchars[stlist]; flag2=1; If[twosubsets[[1]]=={},flag2=100]; If[flag2<100,lf2one=leafList[twosubsets[[1]]]]; If[flag2<100,printit[stem2,lf2one]]; lf2two=leafList[twosubsets[[2]]]; printit[stem2,lf2two]] printpairsLast[twosubsets_]:=Module[{st2,stem2}, st2=findNonEmpty[twosubsets]; stlist=stemlist[st2[[1]]]; stem2=stemchars[stlist]; flag2=1; If[twosubsets[[2]]=={},flag2=100]; lf2one=leafList[twosubsets[[1]]]; printit[stem2,lf2one]; If[flag2<100,lf2two=leafList[twosubsets[[2]]]]; If[flag2<100,printit[stem2,lf2two]]] Split Stem into 5 Parts: splitIntoFiveParts[newsubtable_]:=Module[{n}, n=Length[newsubtable]; ts=Table[split5[j],{j,1,n}]; If[n==1,specialPrintFive[ts[[1]]]]; If[n>1,printfivepartsFirst[ts[[1]]]]; If[n>=2,Do[printfiveparts[ts[[i]]],{i,2,n-1}]]; If[n>=3,printfivepartsLast[ts[[n]]]]] split5[j_]:=Module[{}, sub1={0}; sub2={0}; sub3={0}; sub4={0}; sub5={0}; n=Length[newsubtable[[j]]]; sortsubtable=Sort[newsubtable[[j]]]; i=1; While[i<=n,twos[i];i++]; Map[dp,{sub1,sub2,sub3,sub4,sub5}]] findNonEmpty[valueset_]:=Module[{}, j=1; While[valueset[[j]]=={},j=j+1]; st=valueset[[j]]] ٢١٩
twos[i_]:=Module[{}, lf=sortsubtable[[i]]; If[leaf[lf][[1]]<=1,AppendTo[sub1,lf]]; If[2<=leaf[lf][[1]]<=3,AppendTo[sub2,lf]]; If[4<=leaf[lf][[1]]<=5,AppendTo[sub3,lf]]; If[6<=leaf[lf][[1]]<=7,AppendTo[sub4,lf]]; If[8<=leaf[lf][[1]]<=9,AppendTo[sub5,lf]]] printfiveparts[fivesubsets_]:=Module[{}, st5=findNonEmpty[fivesubsets]; st5list=stemlist[st5[[1]]]; stem5=stemchars[st5list]; lf5one=leafList[fivesubsets[[1]]]; printit[stem5,lf5one]; lf5two=leafList[fivesubsets[[2]]]; printit[stem5,lf5two]; lf5three=leafList[fivesubsets[[3]]]; printit[stem5,lf5three]; lf5four=leafList[fivesubsets[[4]]]; printit[stem5,lf5four]; lf5five=leafList[fivesubsets[[5]]]; printit[stem5,lf5five]; ] specialPrintFive[fivesubsets_]:=Module[{}, st5=findNonEmpty[fivesubsets]; flag1=0; flag5=0; If[fivesubsets[[1]]=={},flag1=100]; st5list=stemlist[st5[[1]]]; stem5=stemchars[st5list]; If[flag1<100,lf5one=leafList[fivesubsets[[1]]]]; If[flag1<100,printit[stem5,lf5one]]; lf5two=leafList[fivesubsets[[2]]]; printit[stem5,lf5two]; lf5three=leafList[fivesubsets[[3]]]; printit[stem5,lf5three]; lf5four=leafList[fivesubsets[[4]]]; printit[stem5,lf5four]; If[fivesubsets[[5]]=={},flag5=100]; If[flag5<100,lf5five=leafList[fivesubsets[[5]]]]; If[flag5<100,printit[stem5,lf5five]]; ] printfivepartsFirst[fivesubsets_]:=Module[{}, st5=findNonEmpty[fivesubsets]; flag5=0; ٢٢٠
If[fivesubsets[[1]]=={},flag5=100]; st5list=stemlist[st5[[1]]]; stem5=stemchars[st5list]; If[flag5<100,lf5one=leafList[fivesubsets[[1]]]]; If[flag5<100,printit[stem5,lf5one]]; lf5two=leafList[fivesubsets[[2]]]; printit[stem5,lf5two]; lf5three=leafList[fivesubsets[[3]]]; printit[stem5,lf5three]; lf5four=leafList[fivesubsets[[4]]]; printit[stem5,lf5four]; lf5five=leafList[fivesubsets[[5]]]; printit[stem5,lf5five]; ] printfivepartsLast[fivesubsets_]:=Module[{}, st5=findNonEmpty[fivesubsets]; flag5=0; If[fivesubsets[[5]]=={},flag5=100]; st5list=stemlist[st5[[1]]]; stem5=stemchars[st5list]; lf5one=leafList[fivesubsets[[1]]]; If[flag5<100,printit[stem5,lf5one]]; lf5two=leafList[fivesubsets[[2]]]; printit[stem5,lf5two]; lf5three=leafList[fivesubsets[[3]]]; printit[stem5,lf5three]; lf5four=leafList[fivesubsets[[4]]]; printit[stem5,lf5four]; If[flag5<100,lf5five=leafList[fivesubsets[[5]]]]; If[flag5<100,printit[stem5,lf5five]] ] printit[st_,lf_]:=Print[st," ",lf] column2 ﺳﻮف ﻧﺴﻤﻰ ﻗﺎﺋﻤﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﺑﺎﻻﺳﻢ : وﻧﺪﺧﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ column2={216,202,208,208,212,202,193,208,206,206,206,213, 204,204,204,218,204,198,207,218,204,212,212,205,203,196,2 16,200,215,202}; : وﻧﻜﺘﺐ اﻻﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ stemAndLeaf[column2,printStatistics->True]
: وﻧﻧﻔذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﺗظﻬر اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ Title: Stem-and-Leaf Plot N: 30 Minimum: 193. First Quartile: 203. Median: 206. ٢٢١
Third Quartile: 212. Maximum: 218. Leaf Unit: 1. 1 9 3 1 9 6 8 2 0 0 2 2 2 3 4 4 4 4 4 2 0 5 6 6 6 7 8 8 8 2 1 2 2 2 3 2 1 5 6 6 8 8 }{ Outside Values: }{
Far Outside Values:
ﻧﻼﺣظ ان ﻣﺧرج اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻗد اﺧﺗﻠف ﺑﻌض اﻟﺷﺊ ﻋن اﻟﺣل اﻟﯾدوى وﻟﻛن اﻟﻧﺗﯾﺟﺗﯾن ﺻﺣﯾﺣﺗﯾن. ﻣﺛﺎل ) (٦٤ -٤ اﻟﻣطﻠوب ﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام رﺳم اﻟﺳﺎق واﻟورﻗﺔ :
71,60,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88,67,65,71,72,68,66,7 0 اﻟﺣل : اوﻻ :ﻧﻘوم ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺧﺻوص وﺗﻧﻔﯾذﻩ. ﺛﺎﻧﯾﺎ :ﻧﺳﻣﻰ ﻗﺎﺋﻣﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﻻﺳم column2 وﻧدﺧل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : column2={71,60,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88,67,65,71,7 ;}2,68,66,70 وﻧﻜﺘﺐ اﻻﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ : ]stemAndLeaf[column2,printStatistics->True
وﻧﻧﻔذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﺗظﻬر اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : Title: Stem-and-Leaf Plot N: 23 Minimum: 60. First Quartile: 66. Median: 70. Third Quartile: 75. Maximum: 97.
٢٢٢
Leaf Unit: 1. 6 0 4 6 5 5 5 6 6 7 8 8 9 7 0 1 1 1 2 3 7 5 8 9 8 8 7 8 9 9 7 }Outside Values: {97 }{ Far Outside Values:
وﺑﺎﺳﺗﻌراض ﺷﻛل اﻟورﻗﺔ واﻟﺳﺎق ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﯾﺗﺿﺢ اﻧﻪ ﺗم اﺧﺗﯾﺎر اﻟﻘﯾم اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺳﺎق) .6,6,7,7,8,8,9,9 : (Stemsوﻗد ﻗﺎم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺗﻘﺳﯾم رﻗم 6اﻟﻰ ﺳﺎﻗﯾﯾن
اﻟﺳﺎق اﻻول ﻣن 6.0-7.4واﻟﺳﺎق اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن . 6.5-6.9
وﯾﻣﻛن ﻣﻌرﻓﺔ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ﻟﻠﻣﺷﺎﻫدات ﻣن ﺧﻼل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:
اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻟﻠﻣﺷﺎﻫدة = ﻗﯾﻣﺔ اﻟﺳﺎق ) +ﻗﯾﻣﺔ اﻟورﻗﺔ X (.1Xﻋرض اﻟورﻗﺔ . ﻓﺎذا اﺳﺗﻌرﺿﻧﺎ اﻟﺳطر اﻻول ﻧﺟد ان ﻫﻧﺎك ﻣﺷﺎﻫدﺗﯾن :
اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻟﻠﻣﺷﺎﻫدة اﻻوﻟﻰ = 60=10 X(.1X0)+ 6 اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻟﻠﻣﺷﺎﻫدة اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ = 64=10 X(.1X4)+ 6 ﻣﺛﺎل ) (٦٥ -٤ اﻟﻣطﻠوب ﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام رﺳم اﻟﺳﺎق واﻟورﻗﺔ : 13,12,15,16,18,19,20,33,22,12,23,34,34,34
ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺟﺎﻫز : ﺳوف ﻧﺳﻣﻰ ﻗﺎﺋﻣﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﻻﺳم column2 وﻧدﺧل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : وﻧﻛﺗب اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
;}column2{=13,12,15,16,18,19,20,33,22,12,23,34,34,34
وﻧﻧﻔذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﺗظﻬر اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
]stemAndLeaf[column2,printStatistics->True
٢٢٣
Title: Stem-and-Leaf Plot N: 14 Minimum: 12. First Quartile: 15. Median: 19.5 Third Quartile: 33. Maximum: 34. Leaf Unit: 1. 1 2 2 3 1 5 6 8 9 2 0 2 3 2 3 3 4 4 4 }{ Outside Values: }{
Far Outside Values:
ﻣﺛﺎل ) (٦٦ -٤
ﺳﺣﺑت ﻋﯾﻧﻪ ﺣﺟﻣﻬﺎ n=25ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ اﻟﻣطﻠوب ﻋرض ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑطرﯾﻘﺔ اﻟﺳﺎق واﻟورﻗﺔ : 1.94
1.23
3.76
3.53
1.38
1.16
0.02
0.71
2.41
1.61
1.17 0.96
0.82 3.07
0.19 2.59
1.59
0.75
2.01
0.92
2.10
0.15
4.75 0.47 1.40
اوﻻ :ﻧﺣل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻻول ﯾدوﯾﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ: _١ﻧﻘﺳم اﻟوﺣدات إﻟﻰ ﻗﺳﻣﯾن ﺳﺎق وورﻗﻪ ،وﺑﻣﺎ إن اﻟوﺣـدات ﻣﻛوﻧـﻪ ﻣـن ﺛـﻼث ﺧﺎﻧـﺎت ﺳـﯾﻛون ﻟﻧـﺎ ﺧﯾﺎرﯾن
اﻟﺳﺎق =أول ﺧﺎﻧﻪ واﻟورﻗﺔ = اﻟﺧﺎﻧﺗﯾن اﻷﺧﯾرﺗﯾن او :اﻟﺳﺎق = أول ﺧﺎﻧﺗﯾن واﻟورﻗﺔ = اﻟﺧﺎﻧﺔ اﻟﺧﯾرة وﻟﻬذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺳوف ﻧﺧﺗﺎر اﻟﺧﯾﺎر اﻷول ﻓﻬو اﻷﻧﺳب -٢ﻧرﺗب اﻟﺳﯾﻘﺎن ﻓﻲ ﻋﻣود.
-٣ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻧﺧﺗﺎر اﻷوراق وﻧﺿﻌﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﺻف اﻟﻣﻧﺎﺳب ﻟﻬﺎ. وواﺿــﺢ أن أول ﻋﻧﺻــر ، 0.02واﻟﻌﻧﺻــر اﻟﺛــﺎﻧﻲ 0.15وﻫﻛــذا .و ﺑﺎﻹﻣﻛــﺎن وﺿــﻊ اﻟﻔﺎﺻــﻠﺔ ﻓــﻲ ﻣﻛﺎﻧﻬﺎ اﻟﺻﺣﯾﺢ ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت .
٢٢٤
stem
Leaf frequency
0
0 2 15 19 47 71 75 82 92 69
1
16 17 23 38 40 59 61 94
9
8 2
01 16 41 59
3
07 53 76
4
3 4 total
75
1 25
: ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺟﺎﻫز: ﺛﺎﻧﯾﺎ mm1 ﺳوف ﻧﺳﻣﻰ ﻗﺎﺋﻣﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﻻﺳم وﻧدﺧل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ mm1={1.17,1.61,1.16,1.38,3.53,1.23,3.76,1.94,0.96,4.75,0.15,2.41,0. 71,0.02,1.59,.19,.82,.47,.75,2.59,3.07,1.4};
: وﻧﻛﺗب اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ stemAndLeaf[mm1,printStatistics->True] : وﻧﻧﻔذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﺗظﻬر اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ Title: Stem-and-Leaf Plot N: 15 Minimum: 0.15 First Quartile: 0.75 Median: 1.23 Third Quartile: 1.61 Maximum: 2.41 Part ::partw : Part 17 of 2, 4, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 does not exist . More…
٢٢٥
Part ::partw : Part 17 of 2, 4, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 does not exist . More… 16
Leaf Unit: 1. 10 Outside Values: {} Far Outside Values:
{}
. وﻫذا ﯾوﺿﺢ ان ﺑﻌض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻ ﺗﺳﺟﯾب اﻟﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ
(٦٧ -٤ ) ﻣﺛﺎل : اﻟﻣطﻠوب ﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام رﺳم اﻟﺳﺎق واﻟورﻗﺔ 2.16,2.02,2.08,2.12,2.02,1.93,2.08,2.06,2.06,2.06,2.04,2. 04,2.04,2.18,2.04,1.98,2.07,2.18,2.04,2.12,2.12,2.05,2.03 ,1.96,2.16,2.00,2.15,2.00,2.00,2.15
: اﻟﺣل : ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺟﺎﻫز : وﻧﺪﺧﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ cc1={2.16,2.02,2.08,2.12,2.02,1.93,2.08,2.06,2.06,2.06,2. 04,2.04,2.04,2.18,2.04,1.98,2.07,2.18,2.04,2.12,2.12,2.05 ,2.03,1.96,2.16,2.00,2.15,2.00,2.00,2.15}; : وﻧﻜﺘﺐ اﻻﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ stemAndLeaf[cc1,printStatistics->True]
: وﻧﻧﻔذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﺗظﻬر اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ Title: Stem-and-Leaf Plot N: 30 Minimum: 1.93 First Quartile: 2.02 Median: 2.055 Third Quartile: 2.12 Maximum: 2.18 Leaf Unit: 0.01 1 9 3 1 9 6 8 2 0 0 0 0 2 2 3 4 4 4 4 4 2 0 5 6 6 6 7 8 8 2 1 2 2 2 2 1 5 5 6 6 8 8 Outside Values: {} Far Outside Values:
{}
٢٢٦
) (٩-٤ﺑﻌض ﻣﻘﺎﯾﯾـس اﻻﻟﺗـواء واﻟﺗﻔﻠطـﺢ Some Measures of Skewness and Kurtosis أوﻻ ً ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻣﻘﺎﯾﯾس اﻻﻟﺗواء ،ﺳوف ﻧﺗﻧﺎول ﻣﻘﯾﺎﺳﯾن ﻟﻼﻟﺗواء اﻷول وﯾﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء Pearsonian coefficient for skewnessﺗﻌرف ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ )3(x x Sk . s ﺣﯾث xاﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ و ~xاﻟوﺳﯾط و sاﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ .ﯾﻧﺣﺻر ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون ﺑﯾن 3إﻟﻰ . 3ﻋﻧدﻣﺎ Sk 0ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛل .وإذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ Skﻣوﺟﺑﺔ ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ أﻛﺑر ﻣن اﻟوﺳﯾط وﻣن اﻟﻣﻧوال وﺑذﻟك ﯾﻛون اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﻣﻠﺗوﯾﺎ وﻟﮫ ذﯾل ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﯾﻣﯾن وﯾﻛون اﻻﻟﺗواء ﻣوﺟﺑﺎ .وأﺧﯾرا وإذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ Skﺳﺎﻟﺑﺔ ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ أﺻﻐر ﻣن اﻟوﺳﯾط وﻣن اﻟﻣﻧوال.
ﻣﺛﺎل)(٦٨-٤ ﺗﻣﺗﻠك ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ 10ﻗوارب ﻟﻠﺻﯾد ،ﻗﺎﻣت اﻟﺷرﻛﺔ ﺑﺗﺳﺟﯾل ﺗﻛ ﺎﻟﯾف ﺻ ﯾﺎﻧﺔ ﻛ ل ﻗ ﺎرب )ﺑﺎﻟ دوﻻر( وﻛﺎﻧت ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ 500,505, 460, 470,530,506,994,880,600,460 :أوﺟد : ﻣﻘﯾﺎس ﺑﯾرﺳوف ﻟﻼ ﻟﺗواء .
اﻟﺣــل: )أ( اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ
5905 590.5. 10
x
ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ﺗرﺗب اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗرﺗﯾب ﺗﺻﺎﻋدي ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
460,460,470,500,505,506,530,600,880,994. ~ 505 506 x 505.5. 2 ﻣﻘﯾﺎس ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : )3(x x Sk . s ﺣﯾث : 1 ( x) 2 1 (5905)2 2 s x n 9 (3808497) 10 189.03. n 1 )3(590.5 505.5 1.3489. 189.031 ٢٢٧
Sk
أي أن ھﻧﺎك ﻛﻣﯾﺔ ﻣن اﻻﻟﺗواء اﻟﻣوﺟب. اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣﺳﺎب ﻣﻘﯾﺎس ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء : `<<Statistics`DescriptiveStatistics ;}aa1={500,505,460,470,530,506,994,880,600,460 ]]aa2=N[Mean[aa1 590.5 aa3=Median[aa1]//N 505.5 ]]s=N[StandardDeviation[aa1 189.031 sk=(3(aa2-aa3))/s//N 1.34899
1 ﯾﻌﺗﻣد اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻼﻟﺗواء ﻋﻠﻰ أﻧﮫ ﻓﻲ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﻠﺗوﯾﺔ ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط ﯾﻘﻊ ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ﻓ ﻲ 3
اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال ﻓﻲ اﺗﺟﺎه اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ وھ ذا ﻏﯾ ر ﺻ ﺣﯾﺢ داﺋﻣ ﺎ .وﻟ ذﻟك ﺳوف ﻧﺗﻧﺎول ﻣﻘﯾﺎس آﺧر ﻟﻼﻟﺗواء ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌزوم ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط اﻟﻣﻘدر ﻣن ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺔ. ﺗﻌرﯾف :اﻟﻌزم rﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻔﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات x1 , x 2 ,..., x nھو -: n
x)r .
i
(x i 1
n
mr
ﻟﻠﻣﺛﺎل ) (٢٧-٤ﯾﺗم ﺣﺳﺎب اﻟﻌزوم ﻟﮫ ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﻣن اﻟﺛ ﺎﻧﻰ اﻟ ﻰ اﻟراﺑ ﻊ ) اﻟﻌ زم اﻻول ﺣ ول اﻟﻣﺗوﺳط ﯾﺳﺎوى ﺻﻔر( ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DescriptiveStatistics aa1={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45, 53,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70, ;}74,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70 ]Clear[f f[y_]:=(y-Mean[aa1])^2 aa2=ExpectedValue[f[y],aa1,y]//N 55.0196 ]Clear[f f[y_]:=(y-Mean[aa1])^3 aa3=ExpectedValue[f[y],aa1,y]//N -127.001 ]Clear[f f[y_]:=(y-Mean[aa1])^4 aa4=ExpectedValue[f[y],aa1,y]//N 6736.33
اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻟﻼﻟﺗواء و اﻟذي ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌزم اﻟﺛﺎﻟث ﺣول اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ھو: m3 . s3
a1
٢٢٨
إذا ﻛﺎﻧ ت ، a1 0ﻓﮭ ذا ﯾ دل ﻋﻠ ﻰ أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛ ل .وإذا ﻛ ﺎن a1 0ﯾﻛ ون اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣوﺟ ب اﻹﻟﺗواء ٠وإذا ﻛﺎن a1 0ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ ﺳﺎﻟب اﻻﻟﺗواء. ﺛﺎﻧﯾ ﺎ ﺑﺎﻟﻧﺳ ﺑﺔ ﻟﻣﻘ ﺎﯾﯾس اﻟ ﺗﻔﻠطﺢ ﺳ وف ﻧﺗﻧ ﺎول ﻣﻘﯾ ﺎس ﯾﻌﺗﻣ د ﻋﻠ ﻰ اﻟﻌ زم اﻟراﺑ ﻊ ﺣ ول اﻟﻣﺗوﺳ ط ﻣﻌﺎدﻟﺗﮫ ھﻲ -: m4 . s4
a2
إذا ﻛﺎﻧ ت ، a 2 3ﻓ ذﻟك ﯾﻌﻧ ﻰ أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﺗوﺳ ط اﻟ ﺗﻔﻠطﺢ .وإذا ﻛ ﺎن a 2 3ﻓ ذﻟك ﯾﻌﻧ ﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﮫ ﻗﻣﺔ ﻣدﺑﺑﺔ وإذا ﻛﺎن a 2 3ﻓﮭذا ﯾدل ﻋﻠﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻔﻠطﺣﺎ.
ﻣﺛﺎل)(٦٩-٤ اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن 10ﻣﺳ ﺎﻣﯾر ﻟﺗﻘ دﯾر ﻛﻣﯾ ﺔ اﻟﺿ ﻐط اﻟﺿ روري ﻟﻛﺳ ر اﻟﻣﺳ ﻣﺎر وﻛﺎﻧ ت اﻟﻧﺗ ﺎﺋﺞ ﻛﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ 18,22,26,25, 27,26,19,17,22,20 :أﺣﺳ ب ﻛ ﻼ ﻣ ن :اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ – اﻟوﺳ ﯾط – اﻟﻣﻧ وال – اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﺗوﺳ ط – اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري -ﻣﻘﯾ ﺎس اﻻﻟﺗ واء a1وﻣﻘﯾ ﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ . a 2
اﻟﺣــل: اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ: n
18 22 26 25 27 26 19 17 22 20 22.2 10
i
اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو : n ( x i )2 1 n 2 i 1 s x , i n 1 i 1 n s 3.64.
ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 3
m s3
a1
ﺣﯾث :
15.84 1.58 , 10
x)3
n i
(x i 1
m3
n 1.584 a1 0.0327. (3.645)3 أي أن ھﻧﺎك اﻟﺗواء ﺳﺎﻟب ﺑﺳﯾط ﻷن ﻗﯾﻣﺗﮫ ﺳﺎﻟﺑﺔ . ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : ٢٢٩
x i 1
n
x
a2
m4 , s4
: ﺣﯾث n
m4
(x
i
x) 4
i 1
n
2179.95 217.9 , 10 217.9 a2 1.234. 176.510 . 3 أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻔﻠطﺢ ﻷن ﻗﯾﻣﺗﮫ أﻗل ﻣن ﺗﺣ ت اﻟ دﻟﯾلDescriptiveStatistics ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﺣزﻣﺔ وﻣﻘﯾ ﺎسaa1 ﺣﯾث اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺣ ت اﻟﻣﺳ ﻣﻰExpectedValue وﻋﻠﻰ اﻻﻣرStatistics : a2 وﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰa1 اﻻﻟﺗواء ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ
<<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={18,22,26,25,27,26,19,17,22,20}; f[y_]:=(y-Mean[aa1])^3 s=N[StandardDeviation[aa1]] 3.64539 aa2=ExpectedValue[f[y],aa1,y]//N -1.584 a1=aa2/(s^3) -0.0326981 ff[y_]:=(y-Mean[aa1])^4 aa3=ExpectedValue[ff[y],aa1,y]//N 217.995 a2=aa3/(s^4) 1.23444
: ھذا وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻘﯾﺎﺳﯾن ﺑﻌﻣل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ aa1={18,22,26,25,27,26,19,17,22,20}; f[x_]:=Apply[Plus,x] g[x_]:=Length[x] n=g[aa1] 10 xb=f[aa1]/n//N 22.2
s2
1 n 1
faa1^2
faa1 ^2 N n
13.2889
s
s2
3.64539 aa3=((aa1-xb)^3)//N
٢٣٠
{-74.088,-0.008,54.872,21.952,110.592,54.872,-32.768,140.608,-0.008,-10.648} b1=f[aa3]/n -1.584 a1=b1/(s^3) -0.0326981 aa4=(aa1-xb)^4//N {311.17,0.0016,208.514,61.4656,530.842,208.514,104.858,73 1.162,0.0016,23.4256} b2=f[aa4]/n 217.995 a2=b2/(s^4) 1.23444
:CentralMoment ﯾﻣﻛن ﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﺑطرﯾﻘﺔ اﺧرى ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻻﻣر <<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={18,22,26,25,27,26,19,17,22,20}; var=Variance[aa1]
598 45 aa2=Table[CentralMoment[aa1,r],{r,2,4}]//N {11.96,-1.584,217.995}
a1 aa22 var
var N
-0.0326981 a2=aa2[[3]]/(var*var)//N 1.23444
( ٧٠-٤ ) ﻣﺛﺎل ٠أوﺟد ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺗﻔﻠطﺢ وﻣﻘﯾﺎس ﻟﻼﻟﺗواء ﻟﻠﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ
ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ
اﻟﻣﺟﻣوع
2-6
7-11
12-16
17-21
22-26
4
9
14
19
24
2
3
5
3
7
20
8 -12.5 -25 312.5 -3906.3
27 -7.5 -22.5 168.75 -1265.6
70 -2.5 -12.5 31.25 -78.1
57 2.5 7.5 18.75 46.9
168 7.5 52.5 393.75 2953.1
330
xi fi
اﻟﺘﻜﺮار x i fi
( x i x) ( x i x) fi
( x i x ) 2 fi ( x i x ) 3 fi
٢٣١
925 -2250
80781.7
22148.3
117.3
9492.0
195.3
( x i x ) 4 fi
48828.8
اﻟﺣــل: ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ھو : k
x i fi
330 16.5 20
i 1 k
x
fi i 1
واﻟﺗﺑﺎﯾن ﯾﺳﺎوى : 2
S 46.25 k
s 3 339.6896 , s 4 2370.1523 , ( x i x) 3 fi 2250 . i 1 k
2250 112.5. 20
3 ( x i x ) fi i 1
k
m3
) ( fi i 1
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ -:
m3
112.5 a1 3 0.331185. 339 . 6896 s k
4 وﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ a 2وذﻟك ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ( x i x) fi 80781.7 , i 1
80781.7 4039.085 . 20
x) 4 fi
k (xi i 1
k fi i 1
m4
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺗﻔﻠطﺢ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ -:
m4
4039.085 a2 4 1.704146. 2370 . 1523 s ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﺣل اﻟﻣطﻠوب ﻟﮭذا اﻟﻣﺛﺎل : `<<Statistics`DescriptiveStatistics ;}c1={2,7,12,17,22 ;}c2={6,11,16,21,26
c1 c2 ; 2
٢٣٢
mid N
ff={2,3,5,3,7}; TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff}],TableHeadings{{},{"L ower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]
Lower 2 7 12 17 22
Upper 6 11 16 21 26
Midpoint 4. 9. 14. 19. 24.
n=Apply[Plus,ff] 20
xb
Dot mid, ff N n
16.5
Dotmid xb2, ff var N n 46.25
s
var
6.80074
Dotmid xb3, ff m3 N n -112.5
m4
Dotmid xb4, ff N n
4039.06 a1=m3/(s^3) -0.357672 a2=m4/(s^4) 1.88824
٢٣٣
Frequency 2 3 5 3 7
اﻟﻔﺻل اﻟﺧﺎﻣس
اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم
٢٣٤
ﺗﻌﺗﺑـر اﻟـدوال اﻟﻣوﻟـدة ﻟﻠﻌـزوم أداة ﻗوﯾـﺔ ﻓـﻲ ﻧظرﯾـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎﻻت ،ﻓﺑﺎﺳـﺗﺧدام اﻟـدوال اﻟﻣوﻟـدة ﯾﻣﻛـن اﻟﺣﺻـ ــول ﻋﻠـ ــﻰ ﺗوزﯾﻌـ ــﺎت أو ﻋـ ــزوم ﻟﺗوزﯾﻌـ ــﺎت ﺑطرﯾﻘـ ــﺔ ﻣﺑﺎﺷ ـ ـرة واﻗـ ــل ﺗﻌﻘﯾـ ــدا ﻣـ ــن طـ ــرق اﻟﺣﺳـ ــﺎب اﻷﺧـرى .ﯾوﺟـد اﻟﻌدﯾـد ﻣـن اﻟـدوال اﻟﻣوﻟـدة ،وﻛــل واﺣـدة ﻣﻔﯾـدة ﻷﻧـواع ﻣﺧﺗﻠﻔـﺔ ﻣـن اﻟﻣﺷـﺎﻛل وأﯾﺿــﺎ ﻷﻧواع ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ .
) (١-٥اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم
Moments Generating Function
ﺑﻔـرض وﺟـود رﻗـم ﻣوﺟـب hﺑﺣﯾـث ﻟﻠﻔﺗـرة -h < t < hﯾﻛـون اﻟﺗوﻗـﻊ ) E(e tXﻣوﺟـود ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ . Xﺗﺑﻌﺎ ﻟذﻟك ﻓﺎن :
f (x) dx
tx
e
tX
E(e )
ﻋﻧدﻣﺎ Xﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل أو: E(e tX ) e tX f (x), x
ﻋﻧــدﻣﺎ Xﻣﺗﻐﯾ ـ ار ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎ ﻣــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺗﻘطــﻊ .ﻫــذا اﻟﺗوﻗــﻊ ﯾﺳــﻣﻰ اﻟداﻟــﺔ اﻟﻣوﻟــدة ﻟﻠﻌــزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ) Xأو اﻟﺗوزﯾﻊ ( وﯾرﻣز ﻟﻬﺎ اﻟرﻣز ) M X (tﺣﯾث :
) M X (t) E(e tX
ﻋﻧــدﻣﺎ t 0
ﻓ ــﺈن . M X (0) 1إن وﺟ ــود اﻟداﻟ ــﺔ اﻟﻣوﻟ ــدة ﻟﻠﻌ ــزوم ﻣـ ـرﺗﺑط ﺑﻛ ــون اﻟﻣﺟﻣ ــوع أو
اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻣﺗﻘﺎرب ﻋﻠﻰ ﻧﺣو ﻣطﻠق ٕواذا ﻟم ﯾﻛن ﻛذﻟك ﻓﻌﻧدﺋـذ ﯾﻘـﺎل أن اﻟداﻟـﺔ ﻏﯾـر ﻣوﺟـودة .اﯾﺿـﺎ اذا وﺟدت اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻓﺎﻧﻬﺎ ﺗﻛون وﺣﯾدة . ﻣﺛﺎل ) (١ -٥ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل: x
f (x) e ,0 x = 0 , e.w. أوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم؟ اﻟﺣــل: اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻫﻲ :
٢٣٥
e (1 t ) X dx t 1.
0
e tx e x dx
1 1 t
0
0
M X (t)
1 (1 t ) x e 1 t
وﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم : ]f[x_]:=Exp[t*x
Expxfxx 0
1 , 1 t Integrate1t x, x, 0, , Assumptions Ret 1
IfRet 1,
اﻟﻣﺧرج ﯾﻌﻧﻰ ان اﻟداﻟﺔ ﻣﻌرﻓﺔ ﻋﻧدﻣﺎ .t<1 ﻣﺛﺎل ) (٢ -٥ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل:
, x = 1, 2, 3,... أوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم؟
6 2 x 2
f (x)
اﻟﺣــل: اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠداﻟﺔ ) f (xﻫﻲ : 6e tx M X (t) E(e ) e f (x) 2 2 . x x 1 x
tX
tx
ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن اﻟﻣﺗﺳﻠﺳـﻠﺔ ﺗﺑﺎﻋدﯾـﻪ ﻋﻧـدﻣﺎ t 0وذﻟـك ﺑﺎﺳـﺗﺧدام اﺧﺗﺑـﺎر اﻟﻧﺳـﺑﺔ وﻋﻠـﻰ ذﻟـك ﻻ ﯾوﺟــد ﻋــدد ﻣوﺟــب hﺣﯾــث ) MX (tﺗﻛــون ﻣوﺟــودة و . h t hوﺗﺑﻌــﺎ ﻟــذﻟك
) f (xﻟﻬــذا
اﻟﻣﺛﺎل ﻟﯾس ﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم.
وﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﻛﺷف ﻋن وﺟود اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل : ;]f[x_]:=Exp[t*x
6 fx 2x2
x1
6 PolyLog2, t 2
٢٣٦
ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﻣﺧرج ﻋدم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺻﯾﻐﺔ ﺻرﯾﺣﺔ ﻟﻠداﻟﺔ . ﻣﺛﺎل ) (٣ -٥ ﻫل ﯾﻣﻛن أن ﺗﻛون اﻟداﻟﺔ ) M X (tﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
t . 1 t
M X (t)
وذﻟك ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xوﻟﻣﺎذا ؟ اﻟﺣــل: ﻻ ﯾﻣﻛــن أن ﺗﻛ ــون اﻟداﻟ ــﺔ ) M X (tﻋﻠ ــﻰ اﻟﺷ ــﻛل اﻟﻣﻌط ــﻰ وذﻟ ــك ﻻن ﺷ ــرط اﻟداﻟ ــﺔ اﻟﻣوﻟ ــدة ﻟﻠﻌ ــزوم ) M X (tﻋﻧد t 0ﻫو:
M X (0) 1.
0 وﻟﻛن ﻧﺟد أن اﻟداﻟﺔ ) MX (tاﻟﻣﻌطﺎة ﻋﻧد t 0ﺗﺳﺎوي 0 1 0
M X (t)
وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻻﺗﻣﺛل داﻟﺔ ﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم . ﻣﺛﺎل ) (٤ -٥
إذا ﻛﺎﻧت ) f (xﻫﻲ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ Xﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﻘطـﻊ ٕواذا ﻛﺎﻧـت ﻗـﯾم Xﻫﻲ a, b, c. d :وﻛﺎﻧت اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل:
1 t 2 2t 3 3t 4 4t e e e e 10 10 10 10
وﻫذا ﯾﻌﻧﻲ أن :
٢٣٧
M X (t) e tx f (x) x
1 10 2 b 2 , f (b) 10 3 c 3 , f (c) 10 4 d 4 , f (d) 10 a 1 , f (a)
أو ﺑﺑﺳﺎطﺔ :
x , x = 1, 2, 3, 4 10 0 , e.w. إن ﻋﻣﻠﯾــﺔ اﻟﺗﻌــرف ﻋﻠــﻰ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ﻣــن ﺧــﻼل اﻟداﻟــﺔ اﻟﻣوﻟــدة ﻟﻠﻌــزوم ﻟﯾﺳــت ﺳــﻬﻠﺔ ﻓــﻰ f (x)
ﻛل اﻟﺣﺎﻻت .ﻓﻌﻠـﻰ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل إذا ﻛـﺎن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﺻـل ﺑداﻟـﺔ ﻣوﻟـدة ﻟﻠﻌزوم ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
1
t 1.
2
) (1 t
M X (t)
وﻋﻠﻰ ذﻟك :
t 1.
1
e tx f ( x ) dx, 2 ) (1 t
ﻣن اﻟواﺿﺢ أﻧﻪ ﻣن اﻟﺻﻌب اﻟﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ) f(xﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ وذﻟك ﺑﺎﻟرﻏم ﻣن أﻧﻪ ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
0 x
f (x) x e-x 0 e.w .
ﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
t 1. وﯾﻣﻛن اﺛﺑﺎت ذﻟك ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ :
M X (t) ( 1 - t )-2 ;]f[x_]:=Exp[t*x ٢٣٨
x Expxfxx
,
1 1 t2
0
IfRet 1,
Integrate1t x x, x, 0, , Assumptions Ret 1
ﺑﻌض اﻟﺧﺻﺎﺋص اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻣوﻟـدة ﻟﻠﻌـزوم ) M X (tﯾﻣﻛـن اﻟﺣﺻـول ﻋﻠﯾﻬـﺎ ﻣﺑﺎﺷـرة
ﻣن ). M X (t
ﻓ ــﺈذا أﻣﻛ ــن ﺗﻔﺎﺿ ــل اﻟداﻟ ــﺔ اﻟﻣوﻟ ــدة ﻟﻠﻌ ــزوم rﻣ ــن اﻟﻣـ ـرات ﻓ ــﺈن ) . E(X r ) M r X (0ﻋﻠ ــﻰ ﺳ ــﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎن ) t 1 , M X (t) (1 tﻓﺎن اﻟﻣﺷﺗﻘﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﻟﻠداﻟﺔ )M X (t 1
M X (r ) (t) r!(1 t) r 1 r اﻟﻌزوم ﺣول اﻟﺻﻔر ) E(Xﻣن اﻟدرﺟﺔ ، rﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
!E(X r ) M X (r ) (0) r اﻟﻣﺗوﺳط ﻫو:
E(X) 1! 1 اﻟﺗﺑﺎﯾن:
2 E(X 2 ) 2 2 (1) 2 1.
2 ﺑﺎﻟطﺑﻊ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﺣﺳﺎب , ﻣن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺣﯾث :
xf (x)dx ،
.
2
2
x f (x)dx
2
ﻣﺛﺎل ) (٥ -٥ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل: x
1 2 f (x) , x 1, 2,3,... 2 3 2 اوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم واﺣﺳب ). E(X ), E(X
اﻟﺣــل:
٢٣٩
ﻫﻲ :
12 M X (t) E(e ) e 23 x 1 tX
x
tx
x
1 2e t 2 x 1 3 2e t 1 3 et , 2 2et 3 2e t 1 3 3e t M X (t) 3 2e t
MX (t)
t log
3 2
2
3e t (3 2e t )
3 2e t
3
MX (0) E(X) 3 MX (0) E(X 2 ) 15 ﻫو
ex2 اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ و اﻻن ﺳوف ﯾﺗم اﻟﺣل ﻟﻠﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺣﯾث 2 E(X ) :
f[x_]:=Exp[t*x];
1 2 x fx 3 x1 2
t 3 2 t aa3=D[aa2,t] 3 t
3 2 t2 Ex2 3 aa4=D[aa2,{t,2}] 3 8 2t 2 t t 3 t 2 2 3 2 3 2 ex2=aa4/.t0 15
: وﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺑطرﯾﻘﺔ اﺧرى واﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ
٢٤٠
f[x_]:=Exp[t*x];
1 2 x fx 3 x1 2
t 3 2 t aa3=D[aa2,t]
3 t 3 2 t2 =aa3/.t0 3 aa4=D[aa3,t] 12 2t 3 t 3 2 t3 3 2 t2 ex2=aa4/.t0 15
(٦ -٥ ) ﻣﺛﺎل ﻣــنn ﻋﻧــد إﻟﻘــﺎء ﻋﻣﻠــﺔ ﻣﺗزﻧــﺔ
(H) ﻣﺗﻐﯾـ ار ﻋﺷـواﺋﯾﺎ ﯾﻣﺛــل ﻋــدد ﻣـرات ظﻬــور اﻟﺻــورةX إذا ﻛــﺎن 2 . , E(X) اﻟﻣرات أوﺟد
:اﻟﺣــل : ﻫﻲX داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ
n 1 x 1 n x f (x) , x 0,1, 2,3,... x 2 2
: اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻫﻲ
x
n
n 1 1 M X (t) e tx x 2 2 x 0
n x
n n t 1 x 1 n x
e x 0 x 2 2
: وﻣن ﻧظرﯾﺔ ﺛﻧﺎﺋﻲ اﻟﺣدﯾن ﻓﺎن
٢٤١
1 1 M X (t) e t 2 2 1 e t
n
2n
MX (0)
n
2 : ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ , E(X) وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب
n(1 e t )n 1e t 2n n(1 1)n 1 2n
t 0
n 2
n(n 1)(1 e t )n 2 (e t )2 e t n((1 e t )n 1 e t t 0 μ'2 M"X 0 2n n 2 n 1
n(n 1)(1 1)
n(1 1)
2n
n(n 1) 2n n 2 n 4 4 2
σ E X
2
2
n2 n n n E X . 4 4 2 2
: اﻟﺗﺑﺎﯾن2 اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ و اﻻن ﺳوف ﯾﺗم اﻟﺣل ﻟﻠﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺣﯾث 1 x 1 nx gx_ : Binomialn, x 2 2 f[x_]:=Exp[t*x]; n
aa1 fx gx x0 n
2 1 tn aa2=D[aa1,t]
2n t 1 t1n n =aa2/.t0
n 2 aa3=D[aa2,t]
2n t 1 t1n n 2n 2t 1 t2n 1 n n ٢٤٢
ex2=aa3/.t0
n 1 1 n n 2 4 ]2=Simplify[ex2-^2
n 4
ﻣﺛﺎل ) (٧ -٥ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل: 1 , a<x<b ba =0 , e.w.
f (x)
أوﺟد )أ( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم واﺛﺑت أن . MX (0) 1 )ب(أوﺟد اﻟﻌزوم اﻷرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﺻﻔر . )ج( اﻟﻌزوم ﺣول اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ . اﻟﺣــل: )أ( b
e tx M X (t) E(e ) dx ba a tX
b
1 e tb e ta tx e dx ,t 0 b a a )t(b a 0 ) M X (tأن ﯾﻼﺣـ ــظ ﻣـ ــن اﻟداﻟـ ــﺔ 0 M X (0) 1وﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن M X (0) 1ﻛﺎﻵﺗﻲ :
M X (0) وﻫـ ــو ﺷـ ــﻛل ﻏﯾـ ــر ﻣﺣـ ــدد وﻣـ ــن اﻟﻣﻌـ ــروف أن
)e tb e ta g1 (t M X (t) )t(b a) g 2 (t
ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻗﺎﻋدة ﻟوﺑﯾﺗﺎل واﻟﺗﻲ ﺗﻧص ﻋﻠﻰ أﻧﻪ إذا ﻛﺎن g1 (y) 0,g 2 (y) 0 : ﻓﺈن :
)g1 (t )g2(t tb ta وﺑﻣﺎ أن g1(t) b e a e ،و
)g (t lim 1 lim t0 g2(t) t0 g2 (t) b aإذن
betb aeta b a lim MX(t) lim 1. b a b a t 0 t 0 ٢٤٣
ﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻻﺳﻠوب اﻟﻣﺳﺧدم ﻓﻰ اﻟﺑراﻣﺞ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم وﻋﻠﻰ : اﻟﻌزوم ﺣول اﻟﺻﻔر ﺣﺻﻠﻧﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ
1
gx_ :
b a
f[x_]:=Exp[t*x];
: اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﯾﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن اﻟﻣﺧرج ﻟﻼﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ b
aa1 fx gx x a
at bt
a t b t
: اﻣﺎ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌزوم ﺣول اﻟﺻﻔر ﻓﻠم ﻧﺳﺗطﻊ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻻن 0 M X (0) 0
aa2=D[aa1,t]
a b at bt a t b t2
a at b bt at bt
=aa2/.t0
Power ::infy : Infinite
expression
1 02
encountered . More…
::indet : Indeterminate 0 a b ComplexInfinity
Power ::infy : Infinite Indeterminate aa3=D[aa2,t] 2 a b2 at bt
a t b t3
expression encountered . More… 1 expression encountered . More… 0
2 a b a at b bt a2 at b2 bt a t b t2 at bt ex2=aa3/.t0
Power ::infy : Infinite
expression
1 03
encountered . More…
::indet : Indeterminate expression 2 0 a b ComplexInfinity encountered . More… 1 Power ::infy : Infinite expression encountered . More… 02
Power ::infy : Infinite
expression
1
encountered . More… 0 General ::stop : Further output of Power ::infy will be suppressed during this calculation . More… Indeterminate 2=ex2-^2 Indeterminate Simplify[2] 0
٢٤٤
)ب( ﺑﻣــﺎ أن اﺳــﺗﺧدام اﻟداﻟــﺔ اﻟﻣوﻟــدة ﻟﻠﻌــزوم ﻓــﻲ إﯾﺟــﺎد اﻟﻌــزوم ﺣــول اﻟﺻــﻔر ﺗﺑــدو ﻣﻌﻘــدة ،ﻟ ــذﻟك ﺳــوف ﻧﺳــﺗﻌﯾض ﻋــن ﻫــذﻩ اﻟداﻟــﺔ ﻣــن ﺧــﻼل اﺷــﺗﻘﺎق ﺻــﯾﻐﺔ اﻟﻌــزوم ﻣــن اﻟرﺗﺑــﺔ
اﻟﺻﻔر ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ:
b
r
ﺣــول
b
1 x r 1 r E(X ) x dx b a a (b a)(r 1) a r
b r 1 a r 1 M (rX ) (0) , r 1, 2, 3, )(b a)(r 1
)ج ( r 1
b (a )r 1 1 b r E(X ) (x ) dx (b a) a )(r 1) (b-a r
وﺑﻣﺎ أن:
a b b a 2 2
ab ab وأن: 2 2 وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ٕواﺧراج ﻋﺎﻣل ﻣﺷﺗرك ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ:
(b ) b
(a ) a
] (b a)r 1[1 (1)r 1 E(X ) r 1 . )2 (r 1) (b a r
وﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ أن: زوﺟﻲ , r ﻓردي r
,
(b a)r E(X ) r )2 (r 1 r
=0
ﺗﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن.
) (٢-٤اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة The Characteristic Function ﻛﻣـ ــﺎ ﻻﺣظﻧـ ــﺎ ﺳـ ــﺎﺑﻘﺎً ،ﻓـ ــﺈن اﻟﻌﯾـ ــب اﻟرﺋﯾﺳـ ــﻲ ﻟﻠداﻟـ ــﺔ ) X (tأﻧﻬ ـ ـﺎ ﻏﯾـ ــر ﻣوﺟـ ــودة ﻟـ ــﺑﻌض
اﻟﺗوزﯾﻌ ــﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾـ ــﺔ .ﻋﻠـ ــﻰ ﺧ ــﻼف ذﻟـ ــك ﻓـ ــﺈن اﻟداﻟـ ــﺔ اﻟﻣﻣﯾـ ـزة )أو ﺗﺣوﯾﻠـ ــﻪ ﻓـ ــورﯾر ٢٤٥
Fourier
(transformﻣﻌرﻓ ــﺔ ﻟﺟﻣﯾ ــﻊ اﻟﺗوزﯾﻌ ــﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾ ــﺔ .اﻟداﻟ ــﺔ اﻟﻣﻣﯾـ ـزة ﻟﻣﺗﻐﯾ ــر ﻋﺷـ ـواﺋﻲ Xﺗﻌ ــرف ﻛﺎﻵﺗﻲ:
)X (t) eitxf(x X
ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﺑﯾﻧﻣﺎ :
X (t) eitx f (x) , - < t <
ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل .ﻫﻧﺎ i 1
أي اﻟﻌدد اﻟﺗﺧﯾﻠﻲ .
ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻣن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم واﻟﻌﻛس ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾﻧﻬم ﺣﯾث :
t ) ( X (t) M X (it), M X (t) M X i
اﻟﻌزوم ﺑدﻻﻟﺔ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة :
ﺑﺗﻔﺎﺿـ ــل اﻟداﻟـ ــﺔ اﻟﻣﻣﯾ ـ ـزة ﺑﺎﻟﻧﺳـ ــﺑﺔ إﻟـ ــﻰ
tووﺿـ ــﻊ t 0ﻓـ ــﺈن . x (0) iاﯾﺿـ ــﺎ
x (0) i 22
ﻋﻣوﻣﺎ اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﺣول اﻟﺻﻔر ﻫو:
)1 (r (0). ir
r
ﻣﺛﺎل ) (٨ -٥ أوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌـزوم و اﻟﻌـزوم اﻟﺧﻣﺳـﺔ اﻻوﻟـﻰ ﺣـول اﻟﺻـﻔر ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ Xﯾﻣﺛـل ﻋـدد ﻣرات اﻟظﻬور رﻗم 6ﻋﻧد إﻟﻘﺎء زﻫرﺗﯾن ﻣرة واﺣدة .اوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌـزوم ﺛـم اوﺟـد ﻣﻧﻬـﺎ اﻟداﻟـﺔ
اﻟﻣﻣﯾزة . اﻟﺣــل:
داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻲ :
٢٤٦
x
0
1
2
f(x)
25/36
10/36
1/36
25 10 1 ) e t (1) ( ) e t (2) ( ) 36 36 36 25 t 10 1 M X (t) e ( ) e 2t ( ) 36 36 36 10 2 12 1 M X (t) t 0 e t ( ) e 2t ( ) t 0 36 36 36 10 4 14 2 MX (t) t 0 e t ( ) e 2t ( ) t 0 36 36 36 10 8 18 3 M X (t) t 0 e t ( ) e 2t ( ) t 0 36 36 36 26 t 10 2t 16 4 M (4) (t) e ( ) e ( ) X t 0 t 0 36 36 36 32 42 t 10 5 M (5) ) e 2t ( ) t 0 . X (t) t 0 e ( 36 36 36 M X (t) e tx f (x) e t (0) (
اﻟﻌزم اﻟﺛﺎﻟث ﺣول اﻟﺻﻔر و اﻻن اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺣﯾث
اﻟﻌزم اﻟراﺑﻊ ﺣول اﻟﺻﻔر و
. اﻟﻌزم اﻟﺧﺎﻣس ﺣول اﻟﺻﻔر
aa2 Exp0 t 25 5 t 2t 36 18 36
25 10 1 Exp1 t Exp2 t 36 36 36
aa3=D[aa2,t] 5 t 2t
18
18
=aa3/.t0
1 3 aa4=D[aa3,t] 5 t 2t
18
9
ex2=aa4/.t0
7 18 2=ex2-^2 ٢٤٧
5 18 aa5=D[aa4,t] 5 t 2 2t
18
9
3=aa5/.t0
1 2 aa6=D[aa5,t] 5 t 4 2t
18
9
4=aa6/.t0
13 18 aa7=D[aa6,t] 5 t 8 2t
18
9
5=aa7/.t0
7 6
: ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲX ﻹﯾﺟﺎد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ :ﺑﻣﺎ أن
X (t)
1 (25 10e t e 2 t ) . 36
: ﻫﻲX ﻓﺈن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ
1 (25 10eit e 2it ) 36 25 10 it 1 2it X (t) e e . 36 36 36 X (t) M X (it)
: وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ 25 10 1 aa2 Exp0 t Exp1 t Exp2 t 36 36 36 25 5 t 2t 36 18 36
aa2/.tit 25 5 it 2it
36
18
36
(٩ -٥ ) ﻣﺛﺎل ٢٤٨
إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ًار ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻل ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل :
1 , 2a
, a X a أوﺟد :أ( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X؟
f (x)
)ب( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ؟
اﻟﺣــل: أ( a
f (x)dx
tx
e
tx
M X (t) E(e )
a a
a a
1 1 e tx tx e dx 2a a 2a t 1 ta ta (e e ). 2at
ب( a
1 itx X (t) E(e ) e dx 2a a itx
1 eitx a a 2a it 1 (eita e ita ). 2ait
أو ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟداﻟﻪ ﻟﻠﻌزوم واﻟداﻟﻪ اﻟﻣﻣﯾزة ﺣﯾث : )M X (it) X (t
1 eita e ita . 2a it
ﺗﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن .
=
ﻣﺛﺎل ) (١٠ -٥ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ:
٢٤٩
x
1
2
3
4
5
f(x)
1 8
1 8
4 8
1 8
1 8
أوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ؟ :اﻟﺣــل 5 itx
X (t) E(e ) eitx f (x) x 1
1 1 4 1 1 eit (1) ( ) eit (2) ( ) eit (3) ( ) eit (4) ( ) eit (5) ( ). 8 8 8 8 8 : ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد اﻟﺣل ﺑﺎﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ
1 5 itx aa1 8 x1 1 it 2it 3it 4it 5it 8
٢٥٠
اﻟﻔﺻل اﻟﺳﺎدس
ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﻘطﻌﺔ ﺧﺎﺻﺔ
٢٥١
) (١-٦اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم Uniform Distribution ﺗﻌرﯾــف :إذا ﻛــﺎن ﻓ ـراغ اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ Xﻫــو } R {x1, x 2 ,..., x nﻓــﺈن اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﻧــﺗظم ﯾﺄﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
1 , x x1 , x 2 ,..., x n . n
f (x;n)
ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺻﯾﻐﺔ ) f(x; nﺑدﻻ ﻣن ) f(xﻟﺗوﺿـﯾﺢ أن اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم ﯾﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻲ اﻟﻣﻌﻠﻣـﺔ . nﺳــوف ﻧﻛﺗــب ) X ~ DU(nﻟﻠدﻻﻟــﺔ ﻋﻠــﻲ أن Xﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﻧــﺗظم اﻟﻣﺗﻘطﻊ .
وﻟﻠﺗﻌرف ﻋﻠﻰ اﻟﺧﺻﺎﺋص اﻻﺳﺎﺳﯾﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﯾﺗم ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ DiscreteDistributionsﺗﺣت اﻟدﻟﯾل Statisticsوذﻟك ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ :
` <<Statistics`DiscreteDistributionsﺛم ﺗﻧﻔﯾذة ﻛﻣﺎ ﺷرﺣﻧﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎ .
ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذﻩ اﻟﺣزﻣﺔ وﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟرﺋﯾﺳﯾﺔ ﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺧﺗﺎر Help وﻣﻧﻬﺎ ﻧﺧﺗﺎر Help Broswerﻟﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
٢٥٢
ﻣﺛﺎل ) (١ -٦ ﯾﺗﻛــون اﻟﻛﺗــﺎب اﻟﺧــﺎص ﺑــداﺋرة اﻟﻣﻌﻠوﻣــﺎت اﻟﺑرﯾطﺎﻧﯾــﺔ ﻟﻌــﺎم ﻣــﺎ ﻣــن 20ﺟــزء ،ﻓــﺈذا ﻛــﺎن اﻟﻣطﻠــوب اﺧﺗﯾﺎر ﺟزءاً ﻋﺷواﺋﯾﺎً .أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xاﻟـذي ﯾﻣﺛـل رﻗـم اﻟﺟـزء اﻟﻣﺧﺗـﺎر . اﻟﺣــل: ﻋﻧ ـ ــد اﺧﺗﯾ ـ ــﺎر ﺟ ـ ــزءاً ﻋﺷـ ـ ـواﺋﯾﺎً ﻣ ـ ــن 20ﺟ ـ ــزء ﻓ ـ ــﺈن ﻛ ـ ــل ﻋﻧﺻ ـ ــر ﻓ ـ ــﻲ ﻓـ ـ ـراغ اﻟﻣﺗﻐﯾ ـ ــر اﻟﻌﺷـ ـ ـواﺋﻲ 1 وﻋﻠــﻲ ذﻟــك ﯾﻛــون ﻟــدﯾﻧﺎ ﺗوزﯾــﻊ ﻣﻧــﺗظم ﺑداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ } R {x1 , x 2 ,..., x 20ﯾﻘــﻊ ﺑﺎﺣﺗﻣــﺎل 20 اﻻﺣﺗﻣﺎل : 1 , x 1, 2 , .. ., 2 0 . 20
f (x ; 20)
وﻟﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻧﻛﺗب : `<<Statistics`DiscreteDistributions ٢٥٣
. 20 ﻧﻛﺗب اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗﻌرﯾف ان اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ dist=DiscreteUniformDistribution[20] : اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﮭﺬا اﻻﻣﺮ ھﻰ dist=DiscreteUniformDistribution[n]
. ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟبn ﺣﯾث : وﻟﺗﻌرﯾف ﻓﺿﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﻧﻛﺗب اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ Domain[dist] {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
: اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻌطﻰ ﻧﻔس ﻧﺗﯾﺟﺔ اﻻﻣر اﻟﺳﺎﺑق b=Table[i,{i,1,20}] {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻻﯾﺟﺎد ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ واﻟﻣﻌطﺎﻩ . e ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=DiscreteUniformDistribution[20] DiscreteUniformDistribution[20] Domain[dist] {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} b=Table[i,{i,1,20}] {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} f[x_]:=PDF[dist,X] c=Table[f[x],{x,1,20}]
1 , 20 1 , 20
1 , 20 1 , 20
1 , 20 1 , 20
1 , 20 1 , 20
1 , 20 1 , 20
1 , 20 1 , 20
1 , 20 1 , 20
1 , 20 1 , 20
1 , 20 1 , 20
1 , 20 1 20
e= Transpose[{b,c}]
1 1 1 1 1 , 2, , 3, , 4, , 5, , 20 20 20 20 20 1 1 1 1 1 6, , 7, , 8, , 9, , 10, , 20 20 20 20 20 1 1 1 1 1 11, , 12, , 13, , 14, , 15, , 20 20 20 20 20 1 1 1 1 1 16, , 17, , 18, , 19, , 20, 20 20 20 20 20
1,
٢٥٤
اﻻن ﺳوف ﻧﺷرح ﺧطوات اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ :
وﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﻣﺗﺑﻌﺔ ﻓﻰ ﻣﺛﺎل ) (٦-٣ﺣﺗﻰ ﻧﺻل اﻟﻰ اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣن اﻟﺟزء Sec2.1ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KonoxProbوﺑﻌد ﺗﺣدﯾد اﻟﺟزء
اﻟرﻣﺎدى ﻛﻣﺎ ﻫو واﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
وﺑﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﺳﺑق ان ﺷرﺣﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
٢٥٥
وﯾﺗم ذﻟك ﻟﺗﺣﻣﯾل ﻫذا اﻟﺟزء .وﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣن اﻟﺟزء اﻟرﻣﺎدى ﺑﺎﺳـﺗﺧدام اﻻﻣـر Copyوﺗﻧﻘـل اﻟـﻰ ﻣﻠف ﺟدﯾد ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ
وﯾﺗم ﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ ﺛم ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﺗﺣدﯾدﻩ ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ kernelﻣن ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ evaluate cellوﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ .
ﻓﻧﺿﻐط okﻓﯾظﻬر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ : ;]dist1=DiscreteUniformDistribution[20 ;]}statelist=Table[i,{i,1,20 ;]}problist=Table[PDF[dist1,x],{x,1,20 ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Tim ;]}es-Roman",8
٢٥٦
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
وﻓﻰ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣن اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ وﻧﻧﻘﻠﻬﺎ اﻟﻰ Wordﻛﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل .
وﻋﻧد اﻟﺧروج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
وﻧﺿﻐط Don'tsaveوذﻟك ﺣﺗﻰ ﻻ ﯾﺣدث ﺗﻐﯾرات ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ .KnoxProb ﻣﺛﺎل ) (٢ -٦ أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻛل اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣﻣﻛن اﺧﺗﯾﺎرﻫﺎ ﻣن اﻟﺣﺟم n = 2ﻣن اﻟﻘﯾـم } . { 1, 2, 3, 4 اﻟﺣــل:
4 ﻋ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــدد اﻟﻌﯾﻧ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎت اﻟﻣﻣﻛـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــن اﺧﺗﯾﺎرﻫـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎ ﻫـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــو 6وﻫـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻲ ﻋﻠـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻲ اﻟﺗ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـواﻟﻲ 2 } . {1,2},{1,3},{1,4},[2,3},{2,4},{3,4ﻛــل اﻟﻌﯾﻧــﺎت اﻟﺳــﺎﺑﻘﺔ ﻟﻬــﺎ ﻧﻔــس اﻟﻔرﺻــﺔ ﻓــﻲ اﻟظﻬــور
ﻋﻧد اﺧﺗﯾﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟـم n = 2ﻣـن اﻟﻘـﯾم } . {1,2,3,4ﺗوزﯾـﻊ اﻟﻌﯾﻧـﺎت ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل : ٢٥٧
1 f ( x;6) , x 1,2,..., 6 6 ﺣﯾـث 1ﺗﻌﻧـﻲ اﻟﻌﯾﻧـﺔ } 2, {1,2ﺗﻌﻧـﻲ اﻟﻌﯾﻧـﺔ } … {1,3اﻟـﺦ .وﻋﻠـﻲ ذﻟـك ﻓـﺈن اﺣﺗﻣـﺎل اﺧﺗﯾـﺎر 1 اﻟﻌﯾﻧﺔ 1ﻫو . P({1,2}) P( X 1) ﻋﻣوﻣﺎ ﻋﻧد اﺧﺗﯾﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣـن اﻟﺣﺟـم nﻣـن 6 N ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺣدود ﺣﺟﻣﻪ Nﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ cﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺗﻌطﻲ ﻣن . n ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ﺧﺻﺎﺋص اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions
وﺗﻌرﯾف اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ;]dist=DiscreteUniformDistribution[6
وﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : ]a=PDF[dist,2
1 6 ﻟﺣﺳﺎب ) f ( 2 ) P ( X 2
اﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ )ﻛﺗﻛﻣﻠﺔ ﻟﻠﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺳﺎﺑق( ﻻﺛﺑﺎت ان ﻣﺟﻣوع ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﺗﺳﺎوى واﺣد وﻫﻰ اﺣدى ﺷروط داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل :
]f[x_]:=PDF[dist,x
10
fx x1
1 ﻟﺣﺳﺎب ) P ( X 2
ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : ]CDF[dist,2
1 3
اﯾﺿﺎ ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
٢٥٨
]CDF[dist,5
5 6
ﻟﺣﺳﺎب ) P ( X 5
ﻟﻠﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ﻓﺿﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : ]Domain[dist }{1,2,3,4,5,6
ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : ]Mean[dist
7 2
ﻟﺤﺴﺎب ﺗﺒﺎﯾﻦ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
]Variance[dist
35 12
ﻟﺣﺳﺎب اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
]StandardDeviation[dist 35 3
2
ﻟﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
]Skewness[dist 0
ﻟﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : ]Kurtosis[dist
303 175
ﻟﺣﺳﺎب ) E ( X 2ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
ﻟﺣﺳﺎب ) E ( X 3
ExpectedValuex2, dist, x 91 6
ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
ExpectedValuex3, dist, x 147 2
ﻟﺣﺳﺎب ) E ( X 4ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : ٢٥٩
ExpectedValuex4, dist, x 2275 6 : ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻲ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺑﺎﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ dist1=DiscreteUniformDistribution[6]; statelist={1,2,3,4,5,6}; problist=Table[PDF[dist1,x],{x,1,6}]; ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Tim es-Roman",8}]; 0.15 0.125 0.1 0.075 0.05 0.025
1
2
3
4
5
6
ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ﺧﺻﺎﺋص اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ : وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ
<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=DiscreteUniformDistribution[n]; Domain[dist] Range[n] PDF[dist,x]
1 n Mean[dist]
1 n 2 Variance[dist]
1 1 n2 12 StandardDeviation[dist]
1 n2 2 3 Skewness[dist] 0 ٢٦٠
]Kurtosis[dist
3 4 3 5 1 n2 1 1 n 1 2 n 6 1 n 1 n2 4 1 1 n 1 2 n 1 3 n 3 n2 30
اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻪ ﻫﻰ : ]CharacteristicFunction[dist,t t 1 nt
1 t n
ﻟﺗوﻟﯾد ﻋﺷرة ﻗﯾم ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ 6ﻧﺳﺗﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ :
`<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=DiscreteUniformDistribution[6 ]RandomArray[dist,10 }{6,4,2,1,4,5,6,4,1,6
ﻟﺗوﻟﯾد ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=DiscreteUniformDistribution[6 ]Random[dist 1
ﻣﺛﺎل ) (٣ -٦ ﯾﺣﺗوي اﻣﺗﺣﺎن ﻋﻠﻲ 20ﺳؤال ﻣن ﻧوع ﺻﺢ وﺧطﺄ وﻛـل ﺳـؤال ﻟـﻪ أرﺑـﻊ أﺟوﺑـﺔ ﻣﺣﺗﻣﻠـﺔ ﻣﻧﻬـﺎ واﺣـد
ﻫــو اﻹﺟﺎﺑــﺔ اﻟﺻــﺣﯾﺣﺔ .ﻷي ﺳ ـؤال ﻣﻌطــﻲ ﻓــﺈن اﻹﺟﺎﺑــﺔ اﻟﻌﺷ ـواﺋﯾﺔ ﺗﻣﺛــل ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ Xﺣﯾــث ) X ~ DU(4وﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻫﻲ 1, 2, 3,4واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل أرﻗـﺎم اﻹﺟﺎﺑـﺎت اﻟﻣﺣﺗﻣﻠـﺔ .ﻣﺛـل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل وداﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ. ٢٦١
:اﻟﺣــل : داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾﻠﻬﺎ ﺑﺎﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ statelist={1,2,3,4}; problist=Table[PDF[dist1,x],{x,1,4}]; ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Tim es-Roman",8},AxesLabel{"x","f{x}"}]; f x 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 x 1
2
3
4
: وداﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ
F[x_]:=Which[x<1,0,1x<2,1/4,2x<3,1/2,3x<4,3/4,x4,1]; PlotStepFunction[F[x],{x,0,406},{1,2,3,4},DotSize.02,Axe sOrigin{0,-.01},PlotRange{.01,1.01},DefaultFont{"Times-Roman",8}];
٢٦٢
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 1
2
3
4
ﻣﻌﻠوﻣﺎت اﺧرى ﻋن اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ
: اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ
<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=DiscreteUniformDistribution[4]; f[x_]:=PDF[dist,x] 1
fx x1
1 4 10
fx x1
1 CDF[dist,3]
3 4 CDF[dist,5] 1 Domain[dist] {1,2,3,4} Mean[dist]
5 2 Variance[dist]
5 4 StandardDeviation[dist]
5 2
Skewness[dist] 0 Kurtosis[dist]
41 25 ٢٦٣
ExpectedValuex2, dist, x 15 2
ExpectedValuex3, dist, x 25
ExpectedValuex4, dist, x 177 2
ﻣﺛﺎل ) (٤ -٦ إذا أﻟﻘﯾت زﻫرة ﻧرد ﻣﺗزﻧﺔ ﻟﻬﺎ أرﺑﻌﺔ أوﺟﻪ ٕواذا ﻛـﺎن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛـل اﻟـرﻗم اﻟـذي ﯾظﻬـر ﻋﻠـﻲ
ﺳطﺢ اﻟﻧرد ،وﻋﻠﻲ ذﻟك ) X ~ DU(4ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل: 1 f (x;4) x 1, 2,3, 4 4 0 , e.w . أوﺟد ). P(X 2 ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن . ﻣﺛﺎل ) (٥ -٦ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﻧﻔﺻل ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ،أي أن : 1 f (x;n) , x = 1,2,...,n n أوﺟد ) E(Xوﺗﺑﺎﯾن Xﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ . ﻟﺣــل:
n 1 . 2
n2 1 . 12
N
E(X) xf (x) x 1
2
E (X ) E (X ) 2
2 X
وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ٢٦٤
وذﻟك ﻻﯾﺟﺎد ) E(Xوﺗﺑﺎﯾن Xﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل .
`<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=DiscreteUniformDistribution[n ]Mean[dist 1 n
2 ]Variance[dist
1 1 n2 12
ﻣﺛﺎل ) (٦ -٦ إذا أﻟﻘﯾــت زﻫـ ـرة ﻧ ــرد ﻣﺗزﻧ ــﺔ ﻣـ ـرة واﺣ ــدة ٕ ،واذا ﻛــﺎن Xﯾﻣﺛ ــل ﻋ ــدد اﻟ ــﻧﻘط اﻟﺗ ــﻲ ﺗظﻬ ــر ﻋﻠ ــﻰ اﻟوﺟﻪ اﻟﻌﻠوي ﻟﻠزﻫرة ﻋﻧد اﻟرﻣﻲ.
اﻟﻣطﻠوب ) :أ ( اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ X )ب( )P(X>4
P(X-3<0) ,
)ج( اﻟﺗوﻗﻊ واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ . X
اﻟﺣــل: )أ(
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ :X
1 , x 1,2,3,4,5,6 6 )ب( )P(X 3 0) , P(X 4 2 1 P (X 4) P (X 5) P (X 6) 6 3 2 1 P ( X 3 0 ) P ( X 3 ) P ( X 1) P ( X 2 ) . 6 3 )ج( اﻟﺗوﻗﻊ واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ . X f (x)
6
6 1 7 2 2 62 1 36 1 35 . 12 12 12
) xf (x x 1
ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ﯾﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ
٢٦٥
E (X ) 2
ﻣﺛﺎل ) (٧ -٦ أوﺟــد ﺻــﯾﻐﺔ ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ اﻟﺧــﺎص ﺑــﺎﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ Xاﻟــذي ﯾﻣﺛــل رﻗــم اﻟﻛ ـرة اﻟﻣﺧﺗــﺎرة ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﻣن وﻋﺎء ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ 10ﻛرات ﻣرﻗﻣﺔ ﻣن واﺣد اﻟﻰ . 10
ﻣﺎ ﻫو اﻻﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون اﻟرﻗم اﻟﻣﺧﺗﺎر أﻗل ﻣن 5؟ اﻟﺣــل: ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﻫﻲ : x = 1,2,…10 ,
1 10
f (x)
)P(X<5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4 1 1 1 1 4 . 10 10 10 10 10 ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ﯾﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﺛﺎل ) (٨ -٦ أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻟﻔﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﺣﺟﻣﻬﺎ ﺛﻼﺛﺔ أﺷﻬر ﻣن اﻟﺳﻧﺔ ﺛم أوﺟد ) P(X=90و)E(X اﻟﺣــل: ﺣﯾ ــث أن ﻋ ــدد اﺷ ــﻬر اﻟﺳ ــﻧﺔ ﯾﺳ ــﺎوي 12ﺷ ــﻬراً ،وﻋﻠﯾ ــﻪ ﻓﺈﻧ ــﻪ ﯾﻣﻛ ــن إﺧﺗﯾ ــﺎر ﺛﻼﺛ ــﺔ أﺷ ــﻬر ﺑﺷ ــﻛل 12
ﻋﺷـ ـواﺋﻲ ﺑط ــرق ﻋ ــددﻫﺎ 220طرﯾﻘ ــﺔ ،وﺑﺗ ــرﻗﯾم اﻟﻔﺋ ــﺎت اﻟﺟزﺋﯾ ــﺔ ﻣ ــن 3 اﻟﺗوزﯾﻊ اﻹﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻫو:
1 x =1,2,3,...,220 f (x) 220 0 , e.w. 1 P(X 90) 220 n 1 220 1 E(X) 11.05 2 2 n2 1 2 2 2 E(X ) [E(X)] 4033.25 12
٢٦٦
1اﻟ ــﻰ 220ﻓ ــﺈن
ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ﯾﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ
) (٢-٦ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن Binomial Distribution
ﻓـﻲ ﻛﺛﯾـر ﻣـن اﻷﺣﯾــﺎن ﻗـد ﺗﺷـﺗﻣل ﺗﺟرﺑــﺔ ﻣـﺎ ﻋﻠـﻲ nﻣـن اﻟﻣﺣــﺎوﻻت اﻟﻣﺗﻛـررة اﻟﻣﺳـﺗﻘﻠﺔ ﺑﺣﯾــث
ﯾﻛون ﻟﻛل ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﻧﺗﯾﺟﺗﯾن اﺛﻧﺗﯾن ﻓﻘط ،ﺗﺳﻣﻲ اﻷوﻟﻲ ﻧﺟﺎح وﺗﺳﻣﻲ اﻷﺧرى ﻓﺷـل ،ﺣﯾـث اﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻧﺟـﺎح pواﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻔﺷــل . q = 1-pﺗﺳــﻣﻲ اﻟﺗﺟرﺑــﺔ اﻟﺗــﻲ ﺗﺣﻘـق ﻫــذﻩ اﻟﺷــروط ﺑﺗﺟرﺑــﺔ ﺛﻧــﺎﺋﻲ اﻟﺣدﯾن .binomial experimentﻓﻌﻠﻲ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻧد إﻟﻘـﺎء ﻋﻣﻠـﺔ ﻣﺗزﻧـﺔ 5ﻣـرات ﺣﯾـث ﻛـل
ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﻗد ﺗﻛون ﺻورة أو ﻛﺗﺎﺑﺔ وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن اﻟﻧﺟﺎح ﻫو ظﻬـور اﻟﺻـورة .ﻫﻧـﺎ اﻟﻣﺣـﺎوﻻت 1 . p وﯾﺟـب اﻟﻣﺗﻛررة ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻛﻣـﺎ أن اﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻧﺟـﺎح ﺛﺎﺑـت ﻣـن ﻣﺣﺎوﻟـﺔ إﻟـﻲ أﺧـرى وﯾﺳـﺎوي 2 ﻣﻼﺣظــﺔ أﻧــﻪ ﯾﻣﻛــن ﺗﻌرﯾــف اﻟﻧﺟــﺎح واﻟﻔﺷــل ﻋﻛــس ذﻟــك ﺗﻣﺎﻣــﺎً ،أي ﺟﻌــل ظﻬــور اﻟﻛﺗﺎﺑــﺔ ﻧﺟــﺎح ، وﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺗﺗﺑدل ﻗﯾﻣﺗﻲ . p , q
وﻫﻧﺎك أﻣﺛﻠﺔ ﻛﺛﯾرة ﻋﻠﻲ ﺗﺟـﺎرب ذي اﻟﺣـدﯾن ﻣﺛـل اﺧﺗﯾـﺎر ﻋﯾﻧـﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣـن اﻟﺣﺟـم ) nﻣـﻊ اﻹرﺟـﺎع( ﻣــن ﻣﺟﺗﻣـﻊ ﺗﺣــت اﻟد ارﺳــﺔ .ﻛـل وﺣــدﻩ ﻓـﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣــﻊ ﺗﺻــﻧف إﻟـﻰ واﺣــد ﻣـن ﻧــوﻋﯾن وذﻟــك وﻓﻘــﺎً ﻟﺧﺎﺻــﯾﺔ ﻣــﺎ .ﻋﻠــﻲ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل ،اﻟوﺣــدة ﻗ ــد ﺗﻛــون ﺷــﺧص واﻟﺻــﻔﺔ ﻗــد ﺗﻛــون ﻣــﺎ إذا ﻛ ــﺎن اﻟﺷﺧص ﻗﺎل ﻧﻌم أوﻻ ﻓﻲ اﻟﺗﺻـوﯾت ﻋﻠـﻲ ﺗﺄﯾﯾـد ﺷـﺧص ﻣـﺎ .إذا ﻛﺎﻧـت اﻟوﺣـدة ﺟـزء ﻣـن آﻟـﻪ ،ﻫـذﻩ اﻟﺻﻔﺔ ﻗد ﺗﻛون ﻣﺎ إذا ﻛﺎن اﻟﺟزء ﺳﻠﯾم أو ﺗﺎﻟف .إذا ﻛﺎﻧـت اﻟوﺣـدة ورﻗـﺔ ﺷـﺟرة ﻓﺎﻟﺻـﻔﺔ ﻗـد ﺗﻛـون اﻟورﻗ ــﺔ ﺗﺎﻟﻔ ــﺔ ﻣ ــن اﻹﺻ ــﺎﺑﺔ ﺑﺎﻟﺣﺷـ ـرات أم ﻻ .ﻋﻣوﻣ ــﺎً ﯾﻣﻛ ــن اﻟﻘ ــول أن ﺗﺟرﺑ ــﺔ ذي اﻟﺣ ــدﯾن ﻫ ــﻲ اﻟﺗﺟرﺑﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺣﻘق اﻟﺷروط اﻵﺗﯾﺔ :
أ -اﻟﺗﺟرﺑﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺗﻛون ﻣن nﻣن اﻟﻣﺣﺎوﻻت اﻟﻣﺗﻛررة . ب -ﻧﺗﯾﺟﺔ ﻛل ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﯾﻣﻛن ﺗﺻﻧﯾﻔﻬﺎ إﻟﻲ ﻧﺟﺎح أو ﻓﺷل .
ج -اﺣﺗﻣﺎل اﻟﻧﺟﺎح ،وﻫو pﯾﺑﻘﻲ ﺛﺎﺑت ﻣن ﻣﺣﺎوﻟﺔ إﻟﻲ ﻣﺣﺎوﻟﺔ . د -اﻟﻣﺣﺎوﻻت اﻟﻣﺗﻛررة ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﺑﻌﺿﻬﺎ ﻋن ﺑﻌض . ﻗـد ﺗﺷــﺗﻣل ﺗﺟرﺑــﺔ ﻋﻠــﻲ ﻣﺗﺗﺎﺑﻌـﺔ ) ﻋــددﻫﺎ ( nﻣــن اﻟﻣﺣــﺎوﻻت اﻟﻣﺳـﺗﻘﻠﺔ ﺣﯾــث ﯾوﺟــد أﻛﺛــر ﻣــن
ﻧﺗﯾﺟﺗــﯾن ﻓــﻲ أي ﻣﺣﺎوﻟــﺔ .ﻓــﻲ ﻫــذﻩ اﻟﺣﺎﻟــﺔ ﯾﻣﻛــن اﻋﺗﺑﺎرﻫــﺎ ﺗﺟرﺑــﺔ ذي اﻟﺣــدﯾن ﺑﻌــد ﺗﻘﺳــﯾم اﻟﻧﺗــﺎﺋﺞ
اﻟﻣﻣﻛﻧ ــﺔ إﻟ ــﻲ ﻣﺟﻣ ــوﻋﺗﯾن .ﻋﻠ ــﻲ ﺳ ــﺑﯾل اﻟﻣﺛ ــﺎل إذا أﻟﻘﯾﻧ ــﺎ زﻫـ ـرة ﻧ ــرد ﻣﺗزﻧ ــﺔ 10ﻣـ ـرات ٕواذا ﻛ ــﺎن X 1 ﻣﺗﻐﯾـ ـراً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑ ــﻊ ذي اﻟﺣ ــدﯾن وﯾﻣﺛ ــل ظﻬ ــور اﻟ ــرﻗم واﺣ ــد ) ﻧﺟ ــﺎح( ﺑﺎﺣﺗﻣ ــﺎل p ﻓ ــﺈن ﻗ ــﯾم 6 اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﺳوف ﺗﻛون .0, 1, 2, …, 10اﻟﻔﺷل ﻫﻧﺎ ﻫو ﻋدم ظﻬور 1أي ظﻬور 2, 5 3,…,6واﻟﻔﺷل ﯾﺣدث ﻫﻧﺎ ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل . q 6 ٢٦٧
ﺗﻌرﯾف :ﻋدد ﺣـﺎﻻت اﻟﻧﺟـﺎح Xﻓـﻲ nﻣـن اﻟﻣﺣـﺎوﻻت ﻟﺗﺟرﺑـﺔ ذي اﻟﺣـدﯾن ﯾﺳـﻣﻲ ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ ذي اﻟﺣدﯾن . binomial random variable اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻻﺣﺗﻣـﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ Xﯾﺗﺑـﻊ ذي اﻟﺣـدﯾن ﯾﺳـﻣﻲ ﺗوزﯾـﻊ ذي اﻟﺣـدﯾن binomial
distributionوﺳوف ﻧرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز ) b(x; n, pوذﻟك ﻷن ﻗﯾﻣـﺔ ﺗﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻲ ﻋـدد اﻟﻣﺣـﺎوﻻت واﺣﺗﻣﺎل اﻟﻧﺟﺎح ﻓﻲ ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﻣﻌطﺎة .اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل : n x n x p q , x 0,1,2,..., n b(x,n,p) x 0 e.w.
داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﯾﺗﺑﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل : x
x 0,0 e.w.
)B(x;n,p) b(k, n,p k 0
ﺑﻌض ﻗﯾم ) B (x; n, pﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول ﻓﻲ ﻣﻠﺣق ) (١ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن . n, p ﻗــﯾم داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﯾﻣﻛ ــن اﻟﺣﺻ ــول ﻋﻠﯾﻬــﺎ ﺑﺳ ــﻬوﻟﺔ ﻣ ــن اﻟﺟــدول ﻓ ــﻲ ﻣﻠﺣ ــق ) (١ﺑﺎﺳ ــﺗﺧدام
اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
b (x; n, p) = B (x; n, p) – B (x –1 ; n , p ) . ﺳوف ﺗﻛﺗب ) X ~ BIN (n, pﻟﺗوﺿﯾﺢ أن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑـﻊ ذي اﻟﺣـدﯾن وﯾﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻲ n ﻣن اﻟﻣﺣﺎوﻻت ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ﻧﺟﺎح . p ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ﺧﺻﺎﺋص ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
`<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=BinomialDistribution[n,p
]Domain[dist ]Range[0,n ]PDF[dist,x 1 pnx px Binomialn, x ]Mean[dist n p ]Variance[dist n (1-p) p ٢٦٨
StandardDeviation[dist]
n 1 p p
Skewness[dist] 1 2 p n 1 p p
Kurtosis[dist]
3
1 6 1 p p n 1 p p
ExpectedValuex2, dist, x
n 1 pn p 1 p n p 1
n p 1 p
ExpectedValuex3, dist, x n p n 1 pn p 1 1 3 p 3 n p 2 p2 3 n p2 n2 p2 1 p
ExpectedValuex4, dist, x
٢٦٩
2 1 p 4n 6 p 1p n 1 p1n p 1 p2 p 4n 1p 1 p2
3 n2 p2 1
p 4n 1p 1 p3
3 n2 p3 1
9 n p2 1
2 n p3 1
p 4n 1p 1 p3
n3 p3 1
6 n p 1
p 3n 1p
1 p
p 4n 1p 1 p2 p 4n 1p 1 p3
6 p 1
p 3n 1p
1 p
p 3n 1p 1 p2
3 n p2 1
p 3n 1p 1 2 1 p
3 n2 p2 1
2n p 1p
n p 1
p 2n 1p
1 p
CharacteristicFunction[dist,t] n 1 p t p
: ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﻣﺋﯾن اﻟﺧﺎﻣس واﻟﻌﺷرﯾن،اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت ﻟﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ Quantile[DiscreteUniformDistribution[10],0.25] 3
.
25,50,75 ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺟدول ﺑﺎﻟﻣﺋﯾن
Table[Quantile[DiscreteUniformDistribution[10],0.25k],{k, 2,1,3}] {3,5,8}
(٩ -٦ ) ﻣﺛﺎل ﺑﻔـرض أن اﻟﻣﺳﺗﺷــﻔﻲ. أطﺑـﺎء ﯾﻘــررون دواء ﻣـﺎ40 أطﺑـﺎء ﯾوﺟـد100 ﻓـﻲ ﺑﻠـد ﻣـﺎ وﺟــد أﻧـﻪ ﻣـن ﺑــﯾن
اﻟﻣطﻠـوب ﺗﻣﺛﯾـل اﻟداﻟـﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾـﺎ ﻣـﺎ ﻫـو اﻻﺣﺗﻣـﺎل أﻧـﻪ ﻋﻠـﻰ، ً أطﺑـﺎء ﻋﺷـواﺋﯾﺎ10 ﺳـوف ﺗرﺷـﺢ ﻟﻠﻌﻣـل .اﻷﻛﺛر ﯾوﺟد اﺛﻧﯾن ﻣﻧﻬم ﯾﻘررون ﻫذا اﻟدواء :اﻟﺣــل
p
4 10
, ٢٧٠
n= 10
اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﻫو: )P(X 2) P(X 0) P(X 1) P(X 2
ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ: `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=BinomialDistribution[10,.4 ]CDF[dist,2 0.16729
ﻟﺗوﻟﯾد ﻋﺷرة ﻗﯾم )ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل( ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻧﺳﺗﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=BinomialDistribution[10,.4 ]RandomArray[dist,10 }{3,4,2,4,3,2,3,2,5,8
ﻟﺗوﻟﯾد ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=BinomialDistribution[10,.4 ]Random[dist 6
اﻻن ﺳوف ﻧﺷرح ﺧطوات اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ : وﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ ﻓﻰ ﻣﺛﺎل ) (٦-٣ﺣﯾث ﻧﺻل اﻟﻰ اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣن اﻟﺟزء Sec2.1ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KonoxProbﺑﻌد ﺗﺣدﯾد اﻟﺟزء اﻟرﻣﺎدى
ﻛﻣﺎ ﻫو واﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
٢٧١
وﺑﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﺳﺑق ان ﺷرﺣﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
وﯾ ــﺗم ذﻟ ــك ﻟﺗﺣﻣﯾ ــل ﻫ ــذا اﻟﺟ ــزء .وﯾﺎﺧ ــذ ﻧﺳ ــﺧﺔ ﻣﻧ ــﻪ ﻣ ــن اﻟﺟ ــزء اﻟرﻣ ــﺎدى ﺑﺎﺳ ــﺗﺧدام اﻻﻣ ــر Copy وﺗﻧﻘل اﻟﻰ ﻣﻠف ﺟدﯾد ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻛﻣﺎ ﻫو واﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
وﯾﺗم ﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ ﺛم ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﺗﺣدﯾدﻩ :
٢٧٢
ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠـﻰ kernelﻣـن ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ evaluate cellوﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ .
ﻓﻧﺿﻐط okﻓﯾظﻬر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ : ;]dist1=BinomialDistribution[10,.4 ;}statelist={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ;]}problist=Table[PDF[dist1,x],{x,0,10 ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Tim ;]}es-Roman",8 0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
وﻓﻰ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣن اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ وﻧﻧﻘﻠﻬﺎ اﻟﻰ Wordﻛﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل . وﻋﻧد اﻟﺧروج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ Knoxprobﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
وﻧﺿﻐط Don'tsaveوذﻟك ﺣﺗﻰ ﻻ ﯾﺣدث ﺗﻐﯾرات ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ .Knoxprob
٢٧٣
ﻣﺛﺎل ) (١٠ -٦ أﺷﺎرت اﺣدي اﻟﺑﺣوث اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﻔﺣص اﻷﺑﻧﯾﺔ ﺑﺎن 6أﺑﻧﯾﺔ ﻣن ﻛـل 20ﺑﻧﺎﯾـﺔ ﺟدﯾـدة ﻓـﻲ اﻟﻣدﯾﻧـﺔ ﻻ
ﺗطــﺎﺑق ﻣواﺻــﻔﺎت اﻟﺑﻧــﺎء ﻓــﺈذا أﺧــذت 10اﺑﻧﯾــﻪ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎ ﺑﻐــرض ﻓﺣﺻــﻬﺎ ﻓﻣــﺎ اﺣﺗﻣــﺎل وﺟــود ﺑﻧﺎﯾــﺔ واﺣ ــدة ﻏﯾ ــر ﻣطﺎﺑﻘ ــﺔ ﻟﻣواﺻ ــﻔﺎت اﻟﺑﻧ ــﺎء؟ وﻣ ــﺎ اﺣﺗﻣ ــﺎل وﺟ ــود ﻋﻠ ــﻲ اﻷﻗ ــل ﺑﻧ ــﺎﯾﺗﯾن ﻏﯾ ــر ﻣط ــﺎﺑﻘﺗﯾن ﻟﻠﻣواﺻﻔﺎت ؟ اﻟﺣــل: ﺳوف ﯾﺗم اﻟﺣل ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﺟدول ذى اﻟﺣدﯾن ﻓﻰ ﻣﻠﺣق ) (١ﺣﯾث :
10 P(X 1) (0.3)1 (0.7)9 1 P(X 1) P(X 0) 0.149 .028 .121. )P(X 2) 1 P(X 2 ]) 1 [P(X 0) P(X 1 10 10 1 [ (.3) 0 (.7)10 (.3)1 (.7) 9 ] =1-.149=.851. 0 1
ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
) P(X 1ﯾﻣﻛن ﺣﻠﻬﺎ ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﺣﯾث اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=BinomialDistribution[10,.3 ]PDF[dist,1 0.121061
اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﺣﯾث )P(X 1) P(X 1) P(X 0 ]CDF[dist,1]-CDF[dist,0 0.121061
اﻻن P(X 2) 1 P(X 1) : ٢٧٤
]1-CDF[dist,1 0.850692
ﻣﺛﺎل ) (١١ -٦
1 إذا ﻛﺎﻧــت ﻧﺳــﺑﺔ اﻹﻧــﺎث ﻓــﻲ ﻣﺟﺗﻣــﻊ ﻣــﺎ 2 اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون اﻟطﻔل وﻟد ﻫو . 5اوﺟد :
. p أﺧــذت ﻋﯾﻧــﺔ ﻣــن 5أﺷــﺧﺎص و ﺗﺣــت ﻓــرض أن
أ ( 3أوﻻد .
ب( ﻋدد اﻷوﻻد اﻗل ﻣن ﻋدد اﻟﺑﻧﺎت . اﻟﺣــل: أ( إذا ﻛﺎن Xﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟﺑﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓﺎن Xﯾﺄﺧذ اﻟﻘﯾم اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : x = 0, 1, 2,3,4,5 ٕواذا ﻛﺎن Yﯾﻣﺛل ﻋدد اﻷوﻻد ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓﺎن Yﯾﺄﺧذ اﻟﻘﯾم اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : y = 0, 1, 2,3,4,5 n 5 , p .5,
5 P(Y 3) (.5)3 (.5)2 . 3 )ب( أي أن اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﻣن اﻟﺟدول ﻓﻰ ﻣﻠﺣق ) (١ﻫو : )P(X 3) P(X 3) P(X 4) P(X 5
1 P(X 3) 1 P(X 2) 1 .5 .5. ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=BinomialDistribution[5,.5 ]PDF[dist,3 0.3125 ]1-CDF[dist,2 0.5
ﻣﺛﺎل ) (١٢ -٦
1 إذا ﻛﺎﻧت ﻧﺳﺑﺔ اﻹﻧﺎث ﻓﻲ ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ 2 )أ( ﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون ﻛل أﻓراد اﻟﻌﯾﻧﺔ إﻧﺎث
. p أﺧذت ﻋﯾﻧﺔ ﻣن 10أﺷﺧﺎص :
)ب( ﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾوﺟد ﻋﻠﻲ اﻷﻗل 8إﻧﺎث ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ )ج( ) P ( 4 X 6 اﻟﺣــل: ٢٧٥
ﻣن اﻟﺟدول ﻓﻰ ﻣﻠﺣق ): (١
10 1 1 )P(X 10) ( )10 ( ) 0 P(X 10) P(X 9 10 2 2 1 .999 .001.
أ( ب(
10 1 1 P(X 8) ( )x ( )10 x 2 x 8 x 2 1 P(X 7) 1 .945 .055. 10
ج( 6 10 1 1 P(4 X 6) ( ) x ( )10x 2 x 4 x 2 P(X 6) P(X 3) .828 .172 .656.
ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=BinomialDistribution[10,.5 ]PDF[dist,10 0.000976563 ]CDF[dist,10]-CDF[dist,9 0.000976563
]1-CDF[dist,7 0.0546875
]CDF[dist,6]-CDF[dist,3 0.65625
ﻣﺛﺎل ) (١٣ -٦ ﻓــﻲ ﻓﺗ ـرة زﻣﻧﯾــﺔ طوﯾﻠــﺔ وﺟــد أن دواء ﻟــﻪ ﺗــﺄﺛﯾر ﻋﻠــﻰ 30%ﻣــن اﻟﺣــﺎﻻت اﻟﺗــﻲ وﺻــف ﻟﻬــﺎ ٠إذا
أﻋطــﻲ اﻟطﺑﯾــب ﻫــذا اﻟــدواء إﻟــﻲ 4ﻣرﺿــﻲ ﻣــﺎ ﻫــو اﻻﺣﺗﻣــﺎل أﻧــﺔ ﺳــوف ﯾﻛــون ﻟــﻪ ﺗــﺄﺛﯾر ﻓــﻲ ﺛﻼﺛــﺔ ﻣرﺿﻲ ﻋﻠﻲ اﻷﻗل.
)P(X 3) P(X 3) P(X 4 4 4 (.3)3 (.7)1 (.3)4 (.7)0 3 4 ) 1 P(X 2
٢٧٦
ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=BinomialDistribution[4,.3
وﯾﻣﻛن اﻟﺣل ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﻣﺧﺗﻠﻔﺗﯾن ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ : ]1-CDF[dist,2 0.0837
]PDF[dist,3]+PDF[dist,4 0.0837
ﻣﺛﺎل ) (١٤ -٦ ط ــﺎﺋرة ﺗﺷ ــﺗﻐل ﺑ ــﺎرﺑﻊ ﻣﺣرﻛ ــﺎت ﻣﺳ ــﺗﻘﻠﺔ ﻋـ ــن ﺑﻌﺿ ــﻬﺎ اﻟ ــﺑﻌض و اﺣﺗﻣ ــﺎل ﺗوﻗ ــف أي ﻣﻧﻬ ــﺎ ﯾﺳـ ــﺎوي 0.002وﻟﻛﻲ ﺗواﺻل اﻟطﺎﺋرة رﺣﻠﺗﻬﺎ ﯾﺟب أن ﯾﺷـﺗﻐل ﻋﻠـﻰ اﻷﻗـل اﺛﻧـﺎن ﻣـن ﻫـذﻩ اﻟﻣﺣرﻛـﺎت ،ﻓـﺈذا ﻗﺎﻣت اﻟطﺎﺋرة ﺑرﺣﻠﺔ ﺟوﯾﺔ ﻓﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل أﻧﻬﺎ ﺳﺗﻛﻣل اﻟرﺣﻠﺔ ؟ اﻟﺣــل: ﻫــذﻩ اﻟﺗﺟرﺑــﺔ ﺗﺗﺿــﻣن أرﺑﻌــﺔ ﻣﺣــﺎوﻻت ﻣﺳــﺗﻘﻠﺔ ﻋــن ﺑﻌﺿــﻬﺎ اﻟــﺑﻌض وﻛــل ﻣﺣﺎوﻟــﺔ ﺗﺗﺿــﻣن أﻣــﺎ ﻣﺣــرك ﯾﺷــﺗﻐل ) ﻧﺟــﺎح ( أو ﻻ ﯾﺷ ــﺗﻐل ) ﻓﺷــل ( و ﻋﻠﯾــﻪ إذا ﻛ ــﺎن pﯾﻣﺛــل اﺣﺗﻣــﺎل أن اﻟﻣﺣ ــرك ﯾﺷـﺗﻐل ﻓـﺈن p = 1-0.002=0.998وﻫـو ﻣﺗﺳـﺎوي ﻟﻛـل ﻣﺣـرك وﻋﻠـﻰ ذﻟـك Xﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ
ﯾﻣﺛـل ﻋـدد اﻟﻣﺣرﻛـﺎت اﻟﺗـﻲ ﺗﺷـﺗﻐل وﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ذي اﻟﺣـدﯾن ﺑﻣﻌﻠﻣﺗـﯾن n = 4
p = 0.998 ,
وﻋﻠﻰ ذﻟك :
4 p(X 2) (0.998) x )0.002)4 x x 2 x = 1-P(X < 2)= 1- P(X = 0) + P(X = 1). 4
ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=BinomialDistribution[4,.998 ]1-CDF[dist,1 1.
ﻣﺛﺎل ) (١٥ -٦ اﺣﺗﻣ ــﺎل أن ﯾﺷ ــﻔﻰ ﻣـ ـرﯾض ﻣ ــن ﻣ ــرض ﻧ ــﺎدر ﻓ ــﻲ اﻟ ــدم ﻫ ــو ، 0.2ﻓ ــﺈذا ﻛ ــﺎن ﻣﻌ ــروف أن 15 ﺷﺧص ﻋﻧدﻫم ﻫذا اﻟﻣرض أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل أن : ٢٧٧
)أ( ﯾﺷﻔﻰ 9ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻣن ﻫذا اﻟﻣرض .
)ب( ﯾﺷﻔﻰ ﻣن 4إﻟﻰ 8ﻣن ﻫذا اﻟﻣرض .
)ج( ﯾﺷﻔﻰ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺛر أﺛﻧﯾن ﻣن ﻫذا اﻟﻣرض ؟ اﻟﺣــل: )أ( ﺑﻔرض أن Xﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻣرﺿﻰ اﻟذﯾن ﺳوف ﯾﺷﻔوا ﻣن ﻫذا اﻟﻣرض ﻓﺈن : )P(X 9) 1 P(X 9) 1 P(X 8 8
1 b(x;15,0.2) 1 0.999 0.001. x 0
)ب( اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺷﻔﻰ ﻣن 4إﻟﻰ 8ﻣن ﻫذا اﻟﻣرض : 8
3
)P(4 X 8) b(x;15,0.2) b(x;15,0.2 x 0
x 0
0.999 0.648 0.351. )ﺟـ( اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺷﻔﻰ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺛر أﺛﻧﯾن ﻣن ﻫذا اﻟﻣرض : 2
P(X 2) b(x;15,0.2) 0.3980. x 0
ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=BinomialDistribution[15,.2 ]1-CDF[dist,8 0.000784985 ]CDF[dist,8]-CDF[dist,3 0.351053 ]CDF[dist,2 0.398023
ﻧظرﯾﮫ :
اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ) b(x ; n , pﻫﻣﺎ : 2 npq.
,
np
ﻣﺛﺎل ) (١٦ -٦ ﻳﻮﻟﺪ 30%ﻣن ﻣواﻟﯾد ﺳﻼﻟﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻷرﻧب ﺑﺷﻌر طوﯾل أوﺟد : )أ( اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﺣﯾواﻧﺎت اﻟﺗﻲ ﺗوﻟد ﺑﺷﻌر طوﯾل ﻓﻲ ﺑطن ﻣن أرﺑﻌﺔ أراﻧب . )ب( أوﺟد )P(X = 1
)ج( أوﺟد اﻟﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر . X ٢٧٨
اﻟﺣــل: )أ( اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﺣﯾواﻧﺎت اﻟﺗﻲ ﺗوﻟد ﺑﺷﻌر طوﯾل ﻓﻲ ﺑطن ﻣن أرﺑﻌﺔ أراﻧب ﻫو: p 0.3 , n = 4 4 x 4x b(x;4,0.3) 0.3 0.7 , x 0,1, 2,3,4. x )ب( ) P(X=1ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : 4 1 3 b(1;4,0.3) 0.3 0.7 . 1 )ج( اﻟﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﻫﻣﺎ : E(X) = n p = (4) (0.3) = 1.2
2 npq 0.916. ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=BinomialDistribution[4,.3 ]PDF[dist,1 0.4116 ]Mean[dist 1.2 ]StandardDeviation[dist 0.916515
ﻣﺛﺎل ) (١٧ -٦ أﻋطﯾت ﺳﺗﺔ ﻓﺋران ﺟرﻋﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻣـن ﺳـم وﻟـوﺣظ ﻋـدد اﻟﻔﺋـران اﻟﺗـﻲ ﺗﻣـوت ﺧـﻼل 72ﺳـﺎﻋﺔ .ﻓـﺈذا ﻛــﺎن اﺣﺗﻣــﺎل ﻣــوت ﻛــل ﻓــﺄر ﻫــو . 0.2أوﺟــد اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ﻟﻌــدد اﻟﻔﺋـران اﻟﺗــﻲ ﺗﻣــوت ﺧــﻼل 72ﺳﺎﻋﺔ وأوﺟد اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ . X
اﻟﺣــل: ﺣﯾث
n=6
,
p 0.2
ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﻔﺋران اﻟﺗﻲ ﺗﻣوت ﺧﻼل 72ﺳﺎﻋﺔ ﻫو :
6 x 6x b(x;6,0.2) 0.2 0.8 , x 0,1, 2,3,4,5,6. x اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﯾﺳﺎوي : np (6)(0.2) 1.2
2 npq (6)(0.2)(0.8) 0.96.
٢٧٩
ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=BinomialDistribution[6,.2 ]Mean[dist 1.2 ]Variance[dist 0.96
ﻣﺛﺎل ) (١٨ -٦ دُرِب ﺣﯾـ ـوان ﻋﻠ ــﻰ ﻟﻣ ــس واﺣ ــدة ﻣ ــن راﻓﻌﺗ ــﯾن إذا أﻣ ــر ﺑ ــذﻟك .ﺑﻔ ــرض أن اﺣﺗﻣ ــﺎل ﻟﻣ ــس اﻟراﻓﻌ ــﺔ اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ إذا أﻣر ﺑذﻟك ﻫو . 0.8أوﺟـد اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻻﺣﺗﻣـﺎﻟﻲ ﻟﻌـدد ﻣـرات ﻟﻣـس اﻟراﻓﻌـﺔ اﻟﺻـﺣﯾﺣﺔ ﻓﻲ ﻣﺣﺎوﻻت ﻋددﻫﺎ 10وأوﺟد اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ اﻟذي ﺣﺻﻠت ﻋﻠﯾﻪ . اﻟﺣــل: ﺣﯾث
p = 0.8
,
n = 10
ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد ﻣرات ﻟﻣس اﻟراﻓﻌﺔ اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ ﻫو : 10 b(x;10,0.8) (0.8) x (0.2)10x , x 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. x واﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﯾﺳﺎوي : np (10)(0.8) 8,
2 npq (10)(0.8)(0.2) 1.6 . ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=BinomialDistribution[10,.8 ]Mean[dist 8. ]Variance[dist 1.6
ﻣﺛﺎل ) (١٩ -٦ ﻓـﻲ ﺗﺟرﺑـﺔ زراﻋﯾــﺔ ﻛﺎﻧـت ﻧﺳــﺑﺔ اﻹﺻـﺎﺑﺔ ﺑﻔطــر ﻣـﺎ 0.2ﻓـﻲ ﻧﻬﺎﯾــﺔ اﻟﺗﺟرﺑـﺔ .ﻓــﺈذا ﻛـﺎن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟﻧﺑﺎﺗﺎت اﻟﻣﺻﺎﺑﺔ ﺑﺎﻟﻔطر ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن 10ﻧﺑﺎﺗﺎت ،أوﺟد : أ -اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﻧﺑﺎﺗﺎت اﻟﻣﺻﺎﺑﺔ . ج-
ب -أوﺟد ). P(X = 0 اﻟﺣــل: ٢٨٠
. 2 ,
)أ(
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﻧﺑﺎﺗﺎت اﻟﻣﺻﺎﺑﺔ .
)ب(
10 b(x;10,0.2) (0.2) x (0.8)10x , x 0,1,2,...,10. x ) P (X=0ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : 10 b(0;10,0.2) (0.2)0 (0.8)10 . 0
ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن . ﻣﺛﺎل ) (٢٠-٦ اﺣﺗﻣ ــﺎل أن ﺗﺻ ــﯾب أي ط ــﺎﺋرة أﺣ ــد أﻫ ــداف اﻟﻌ ــدو ﻫ ــو ، 0.9ﻓ ــﺈذا أﻏ ــﺎرت ﺧﻣ ــس ط ــﺎﺋرات ﻋﻠ ــﻰ
اﻟﻬدف ،أوﺟد :
)أ( اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟطﺎﺋرات اﻟﺗﻲ ﺗﺻﯾب اﻟﻬدف . )ب( ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ وﻛذﻟك اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري . اﻟﺣــل: ﻋدد اﻟطﺎﺋرات n = 5 :اﺣﺗﻣﺎل إﺻﺎﺑﺔ اﻟطﺎﺋرة ﻟﻠﻬدف p = 0.9 :اﺣﺗﻣـﺎل ﻋـدم إﺻـﺎﺑﺔ اﻟطـﺎﺋرة ﻟﻠﻬدف q = 0.1 :وﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﻫﻲ x = 0,1,2,3,4,5 : )أ( اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟطﺎﺋرات اﻟﺗﻰ ﺗﺻﯾب اﻟﻬدف ﻫو : 5 b(x;5,0.9) (0.9) x (0.1)5 x . x )ب( ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ ﻫو :
np (5)(0.9) 4.5. اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻫو :
2 npq (5)(0.9)(0.1) 0.6708. ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن .
اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة The Characteristic Function اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﯾﺗﺑﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﻫﻲ : X (t) [p eit +q]n .
٢٨١
اﻻﻟﺗواء واﻟﺗﻔﻠطﺢ Skeweness and Kurtosis ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 3 332 . 2 وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﻫو :
3 npq(1 2p) 1 2p . 32 2 (npq)3 2 npq
3
ﻋﻧدﻣﺎ n ﻓﺎن 4ﯾؤول إﻟﻲ اﻟﺻﻔر ٠ ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﻫو :
4 1 6pq 3 . 2 2 npq ﻋﻧدﻣﺎ n ﻓﺎن
4
4
ﯾؤول إﻟﻲ٠ 3
ﻣﺛﺎل ) (٢١ -٦ إذا ﻋﻠﻣــت أن 10%ﻣــن اﻟﻣﺻــﺎﺑﯾن ﺑﻣــرض ﻣﻌــﯾن ﯾــﺗم ﺷــﻔﺎؤﻫم ،ﻓــﺈذا ﺗــم اﺧﺗﯾــﺎر ﻋﯾﻧــﺔ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ
ﺗﺗﻛـ ــون ﻣـ ــن 6أﺷـ ــﺧﺎص ﯾﻌـ ــﺎﻧون ﻣـ ــن ﻫـ ــذا اﻟﻣـ ــرض وﻛـ ــﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾـ ــر اﻟﻌﺷ ـ ـواﺋﻲ Xﯾﻣﺛـ ــل ﻋـ ــدد اﻻﺷـﺧﺎص اﻟـذﯾن ﺳـﯾﺗم ﺷـﻔﺎؤﻫم ﻣـن ﻫـذا اﻟﻣـرض ﻓـﺈن ) X BIN(6,.1اﻟﻣطﻠـوب اﯾﺟﺎد : )M X (t
وﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء وﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ
اﻟﺣــل: it n
it 6
X (t) (q pe ) (0.9 0.1e ) . وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﻫو :
3 npq(1 2p) 1 2p . 32 2 (npq)3 2 npq
3
ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﻫو :
4 1 6pq 3 . 22 npq
4
ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ٢٨٢
dist=BinomialDistribution[6,.1]; CharacteristicFunction[dist,t] 6
0.9 0.1 t Skewness[dist] 1.08866 Kurtosis[dist] 3.85185
Bernoulli Distribution ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻰ 1 ﯾﺄﺧـذ اﻟﻘـﯾمY ﺣﯾـثY ﻓﻲ ﻛل ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﻣن ﺗﺟرﺑﺔ ذي اﻟﺣدﯾن ﯾﻣﻛن ﺗﻌرﯾف اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ : ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل0 أو
1 f (y,p) p y q1-y y=0,1 y = 0 , e.w. .n=1 وﻋﻣوﻣﺎ ﻫو ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻋﻧدﻣﺎ ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ﺧﺻﺎﺋص اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ : وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BernoulliDistribution[p]; Domain[dist] {0,1} BDF[dist,x] BDF[BernoulliDistribution[p],x] CDF[dist,x] 1-p Mean[dist] p Variance[dist] (1-p) p StandardDeviation[dist]
1 p p Skewness[dist] 1 2 p 1 p p Kurtosis[dist] ٢٨٣
1 6 1 p p 1 p p
3
]CharacteristicFunction[dist,t 1 p t p
) (٣-٦اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي Hypergometric Distribution ﺑﻔـرض أن ﻣﺟﺗﻣــﻊ ﯾﺗﻛـون ﻣــن ﻋـدد ﻣﺣــدود ﻣـن اﻟوﺣــدات ،وﻟـﯾﻛن ، Nوأن ﻫﻧــﺎك ، kﻣــن اﻟوﺣــدات ﻣــن اﻟﻧــوع ) Aﻧﺟــﺎح( واﻟوﺣــدات اﻟﺑﺎﻗﯾــﺔ ﻣــن ﻧــوع ) Bﻓﺷــل( ،وﺑﻔــرض أن ﻋﯾﻧــﺔ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم nﺳﺣﺑت ﻣن ﻫـذا اﻟﻣﺟﺗﻣـﻊ وﺑـدون إرﺟـﺎع.ﺑﻔـرض أن xﺗﻣﺛـل ﻋـدد اﻟوﺣـدات ﻣـن اﻟﻧـوع
Aاﻟﺗﻲ ﺗظﻬر ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ .اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺳوف ﯾﻛون ﻓﻲ إﯾﺟﺎد). P(X=x
اﻟﺗﺟرﺑﺔ اﻟﺳـﺎﺑﻘﺔ ﺗﺳـﻣﻰ ﺗﺟرﺑـﺔ اﻟﻬﻧدﺳـﻲ اﻟ ازﺋـدي . Hypergometric experimentﺗﺣﻘـق ﺗﺟرﺑـﺔ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: أ -ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم nﺗﺧﺗﺎر ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ Nﻣن اﻟوﺣدات
ب -ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذي ﺣﺟﻣﻪ Nﻓﺈن kﻣن اﻟوﺣدات ﺗﺻف ﻧﺟﺎح و N-kﺗﺻف ﻓﺷل. ﺗﻌرﯾــــف :ﻋـ ــدد ﺣ ــﺎﻻت اﻟﻧﺟـ ــﺎح ﻓـ ــﻲ ﺗﺟرﺑ ــﺔ اﻟﻬﻧدﺳـ ــﻲ اﻟ ازﺋـ ــدي ﯾﺳ ــﻣﻰ ﻣﺗﻐﯾـ ــر ﻋﺷ ـ ـواﺋﻲ ﯾﺗﺑـ ــﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي . اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳـﻲ اﻟ ازﺋـدي ﯾﺳـﻣﻰ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻬﻧدﺳـﻲ اﻟ ازﺋـدي
وﯾﻣﺛـل ﺑـﺎﻟرﻣز ) h(x;N,n,kوذﻟـك ﻻن ﻋـدد ﺣـﺎﻻت اﻟﻧﺟـﺎح xﺗﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻰ kاﻟﻣوﺟـودة ﻓـﻲ اﻟﻔﺋﺔ ، Nﺣﯾث ﯾﺧﺗﺎر ﻣن Nوﺣدات ﻋددﻫﺎ . nوﻟﻼﺧﺗﺻﺎر ﺗﻛﺗب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
k N k x n f (x) N n
, x = 0,1,2,3,4,n.
ﻣﺛﺎل ) (٢٢ -٦
٢٨٤
ﯾوﺟـد ﻣﻛﺗﺑــﺔ 20ﻧﺳـﺧﺔ ﻣــن ﻛﺗــﺎب ﻓـﻰ ﻣﻘدﻣــﺔ اﻻﺣﺻـﺎء ،ﻣــﻧﻬم 12طﺑﻌــﺔ أوﻟـﻰ و 8طﺑﻌــﺔ ﺛﺎﻧﯾــﺔ ، ﻓــﺈذا أﺧﺗﯾــرت ﻋﯾﻧــﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣــن اﻟﺣﺟــم ٕ n=5واذا ﻛﺎﻧــت Xﺗﻣﺛــل ﻋــدد اﻟﻛﺗــب اﻟﻣﺧﺗــﺎرة ﻣــن طﺑﻌــﺔ
ﺛﺎﻧﯾﺔ أوﺟد ) P(X=2؟ ﻣﻼﺣظﺔ اﻟﺳﺣب ﺑدون إرﺟﺎع . اﻟﺣــل:
k=8
,
n=5
, x = 0,1,2,3,4,5
N = 20 , 8 12 x 5 x f (x) 20 5
8 12 2 3 28(220) 6160 = P(X = 2) = = = 0.397. 20 15504 15504 5 ﻓﯿﻤﺎ ﯾﻠﻰ اﻟﺤﻞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=HypergeometricDistribution[8,5,20 ]a=PDF[dist,2
385 969 ]N[% 0.397317
اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻼﻣر ] HypergeometricDistribution[8,5,20ھﻮ : ]HypergeometricDistribution[k,n,N
وﻣﻣﺎ ﯾﺟدر اﻻﺷﺎرة اﻟﯾﻪ ان ﻫﻧﺎك ﺟداول ﻟﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت وﻟﻛن اﻛﺗﻔﯾﻧﺎ ﻫﻧﺎ ﺑﺎﻟﺑراﻣﺞ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ . وﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ اﺳﺗﺧدﻣﻧﺎﻫﺎ ﻓﻰ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
;]dist1=HypergeometricDistribution[8,5,20 ;}statelist={0,1,2,3,4,5 ;]}problist=Table[PDF[dist1,x],{x,0,5 ٢٨٥
ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Tim ;]}es-Roman",8 0.4
0.3
0.2
0.1
5
3
4
1
2
0
ﻣﺛﺎل ) (٢٣ -٦ ﺻ ــﻧدوق ﯾﺣﺗ ــوي ﻋﻠ ــﻰ رﻗ ــﺎﺋق ﺑﺎﻟﻐ ــﺔ اﻟﺻ ــﻐر ﻣﻧﻬ ــﺎ 10ﺟﯾ ــدة و 3ﺗﺎﻟﻔ ــﺔ ﻓ ــﺈذا ﺗﻘ ــرر اﺧﺗﯾ ــﺎر ﻋﯾﻧ ــﺔ ﻋﺷـ ـواﺋﯾ ﺔ ﻣ ــن ﺛﻼﺛ ــﺔ رﻗ ــﺎﺋق ٕواذا ﻛﺎﻧ ــت Xﺗﻣﺛ ــل ﻋ ــدد اﻟوﺣ ــدات اﻟﺗﺎﻟﻔ ــﺔ ﻓ ــﻰ اﻟﻌﯾﻧ ــﺔ اﻟﻣﺧﺗ ــﺎرة أوﺟ ــد
) P(X3؟ ﻣﻼﺣظﺔ اﻟﺳﺣب ﺑدون ارﺟﺎع . اﻟﺣــل:
n=3
,
k=3
ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ :
٢٨٦
,
N =13
3 10 x 3 x 13 3
3
P(X 3) x 0
3 10 3 10 3 10 3 10 0 3 1 2 2 1 3 0 = . 13 13 13 13 3 3 3 3 ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=HypergeometricDistribution[3,3,13 ]f[x_]:=PDF[dist,x 3 x0 fx 1
ﻣﺛﺎل ) (٢٤ -٦ ﯾـ ـراد اﺧﺗﯾ ــﺎر ﻟﺟﻧ ــﺔ ﻣ ــن ﺛﻼﺛ ــﺔ أﺷ ــﺧﺎص ﻣ ــن ﺑ ــﯾن 4ﺳ ــﯾدات و 5رﺟ ــﺎل واﻟﻣطﻠ ــوب إﯾﺟ ــﺎد اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﺳﯾدات ﻓﻲ اﻟﻠﺟﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة. اﻟﺣــل: ﺑﻔرض أن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟﺳـﯾدات ﻓـﻲ اﻟﻠﺟﻧـﺔ اﻟﻣﺧﺗـﺎرة .اﻟﺷـروط ﻟﺗﺟرﺑـﺔ اﻟﻬﻧدﺳـﻲ اﻟزاﺋدي ﻣﺗوﻓرة وﻋﻠﻰ ذﻟك:
)P(X 0) h(0;9,3,4 4 5 0 3 10 9 84 3 )P(X 1) h(1;9,3,4 4 5 1 2 40 9 84 3
٢٨٧
)P(X 2) h(2;9,3, 4 4 5 2 1 30 9 84 3 )P(X 3) h(3;9,3,4 4 5 3 0 4 . 9 84 3 وﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ﺑﺎﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ: 1 2 3 4 84
30 84
40 84
0 10 84
x )P(X=x
وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻟﺗﺣﻣﯾل ﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ وﺣﺳﺎب ﻗﯾم داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ اﻟزاﺋدى : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=HypergeometricDistribution[4,3,9 ]}Table[PDF[dist,x],{x,0,3
5 10 5 1 , , , 42 21 14 21
ﻣﺛﺎل ) (٢٥ -٦ اﺧﺗﯾــرت ﻋﯾﻧــﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣــن اﻟﺣﺟــم n = 3ﻣــن ﺻــﻧدوق ﯾﺣﺗــوي ﻋﻠــﻰ 5ﻛـرات ﺣﻣـراء و 4ﻛ ـرات ﺳوداء .ﻣﺎ ﻫو اﺣﺗﻣﺎل ظﻬور ﺛﻼث ﻛرات ﺣﻣراء ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة. اﻟﺣــل: ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ﺣﯾث x = 3, k = 5, n = 3, N = 9ﻓﺈن : 5 4 3 0 P(X 3) 9 3
٢٨٨
وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻫذا اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : Binomial5, 3 Binomial4, 0 a Binomial9, 3 5 42 ﻣﺛﺎل ) (٢٦ -٦ إذا ﻛـﺎن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎ ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻬﻧدﺳـﻲ اﻟ ازﺋـدي ﺣﯾـث k =5, n =4 , N=25أوﺟـد اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: بP(X 2) -
أP(X=2) - اﻟﺣــل: )ا(
5 20 2 2 P(X 2) 25 4 ) ب(
)P(X 2) P(X 0 or X=1 or X=2 وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : ]Clear[f `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=HypergeometricDistribution[5,4,25 ]a=PDF[dist,2
38 253
)ب( ﺳوف ﺗﺣل ﺑطرﯾﻘﺗﯾن : ]f[x_]:=PDF[dist,x 2
fx x0
2489 2530 ]CDF[dist,2 ٢٨٩
2489 2530
ﻟﺗوﻟﯾد ﻋﺷرة ﻗﯾم )ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل( ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ﺣﯾث k =5, n =4 , N=25ﻧﺳﺗﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=HypergeometricDistribution[5,4,25 ]RandomArray[dist,10 }{6,3,5,5,4,1,4,2,4,3
ﻟﺗوﻟﯾد ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ :
`<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=HypergeometricDistribution[5,4,25 ]Random[dist 1
ﻣﺛﺎل ) (٢٧ -٦ ﻟــدى ﻣرﻛــز ﻟﺑﯾــﻊ اﺟﻬـزة اﻟرادﯾــو N=200ﻣــﻧﻬم ﺛﻼﺛــﺔ ﻏﯾــر ﺻــﺎﻟﺣﺔ .ﻓــﺈذا أﺧﺗﯾــرت ﻋﯾﻧــﺔ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ﺣﺟﻣﻬﺎ n = 3ﺑدون إرﺟﺎع وﺗم إرﺳﺎﻟﻬﺎ اﻟـﻰ ﻋﻣﯾـل .أوﺟـد اﺣﺗﻣـﺎل أن ﻋـدد اﻷﺟﻬـزة اﻟﻐﯾـر ﺻـﺎﻟﺣﺔ
ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗﺳﺎوي . 2 اﻟﺣــل:
3 197 2 1 P(X 2) 200 3
ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ :
]Clear[f `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=HypergeometricDistribution[3,3,200 ]a=PDF[dist,2
197 437800 ٢٩٠
ﻣﺛﺎل ) (٢٨ -٦ ﻗﺎم ﺑﺎﺣث ﻓﻲ ﻋﻠم اﻟﺟﯾوﻟوﺟﯾﺎ ﺑﺗﺟﻣﯾﻊ 10وﺣدات ﻣن ﺻـﺧور اﻟﺑﺎزﻟـت و 10وﺣـدات ﻣـن اﻟﺟراﻧﯾـت
ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻟﻠﺑﺎﺣث ﻣﻌﻣل وطﻠب ﻣن ﻣﺳﺎﻋدﻩ ان ﯾﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﻪ ﻣن 5وﺣدة ﻟﻠﺗﺣﻠﯾل أوﺟد : )أ(
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد وﺣدات اﻟﺑﺎزﻟت ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة.
)ب( إﺣﺗﻣﺎل أن اﻟوﺣدات اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﻣن اﻟﺟراﻧﯾت ﺗﺳﺎوى ﺛﻼﺛﺔ . اﻟﺣــل: )أ(
n=5
,
k = 10
, x = 0,1,2,3,4,5.
,
N = 20
10 10 x 5 x f (x) 20 5
ﯾﻣﻛن ﺣل )ا( ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﺣﯾث fxاﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻌدد وﺣدات اﻟﺑﺎزﻟت ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﺔ وaa4 ﺗﺛﺑت ان ﻣﺟﻣوع اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﺗﺳﺎوى واﺣد ﺻﺣﯾﺢ . ]Clear[f `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=HypergeometricDistribution[10,5,20 ]}aa1=Table[x,{x,0,5 }{0,1,2,3,4,5 ]}aa2=Table[PDF[dist,x],{x,0,5
21 175 225 225 175 21 , , , , , 1292 1292 646 646 1292 1292
]aa4=Apply[Plus,aa2 1 ]}fx=Transpose[{aa1,aa2
21 175 225 , 1, , 2, , 1292 1292 646 225 175 21 3, , 4, , 5, 646 1292 1292
0,
)ب( إذا ﻛﺎن Xﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟوﺣدات ﻣـن ﺻـﺧور اﻟﺑﺎزﻟـت ﻓـﺈن xﯾﺎﺧـذ اﻟﻘـﯾم 0,1,2,3,4,5 ٕواذا ﻛـ ـ ــﺎن Yﯾﻣﺛـ ـ ــل ﻋـ ـ ــدد اﻟوﺣـ ـ ــدات ﻣـ ـ ــن ﺻـ ـ ــﺧور اﻟﺟراﻧﯾـ ـ ــت ﻓـ ـ ــﺎن Yﯾﺄﺧـ ـ ــذ اﻟﻘـ ـ ــﯾم 5,4,3,2,1,0وﻋﻠﻰ ذﻟك :
x 0,1, 2,3,4,5 y 5,4,3,2,1,0 ٢٩١
أي أن :
10 10 2 3 P(Y 3) P(X 2) 20 5 ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : ]Clear[f `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=HypergeometricDistribution[10,5,20 ]a=PDF[dist,2
197 437800
ﻣﺛﺎل ) (٢٩ -٦ أوﺟـ ــد اﺣﺗﻣـ ــﺎل أن ﺗﺣﺗـ ــوي ﻣﺟﻣوﻋـ ــﺔ ورق اﻟﻠﻌـ ــب ﻋﻠـ ــﻰ ﻋـ ــدد 2ﻣـ ــن ﻧـ ــوع acesإذا ﺳـ ــﺣﺑﻧﺎ ﻋﯾﻧـ ــﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﺗﺣﺗــوي ﻋﻠــﻰ ارﺑﻌــﺔ ورﻗــﺎت ،وﻓرﺿــﻧﺎ أن ﻋــدد اﻟــورق ﻣــن اﻟﻧــوع acesﯾﻣﺛــل ﻋــدد ﺣــﺎﻻت اﻟﻧﺟﺎح k = 4واﻟﺣﺎﻻت اﻟﻣﺗﺑﻘﯾﺔ N-k=52-4=48ﺗﻣﺛل ﺣﺎﻻت )ﻓﺷل ورﻗﺎت(ﻏﯾر . aces اﻟﺣــل:
4 48 2 2 P(X 2) 52 4
ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : ٢٩٢
]Clear[f `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=HypergeometricDistribution[4,4,52 ]a=PDF[dist,2
6768 270725
ﻣﺛﺎل ) (٣٠ -٦ وﻋــﺎء ﯾﺣﺗــوي ﻋﻠــﻰ 100وﺣ ــدات ﻣﻧﻬــﺎ 80ﺟﯾــدة و 20ﺗﺎﻟﻔــﺔ .أﺧﺗﯾ ــرت 10وﺣــدات ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ﻣ ــن اﻟوﻋﺎء ﺑدون إرﺟﺎع أوﺟد ) P(X 3ﺣﯾث Xﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ. اﻟﺣــل: Xﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدى ﺣﯾث k = 20 , N = 100 , n =10وﻋﻠﻰ ذﻟك:
20 80 3 x 10 x P(X 3) . 100 x 0 10 ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن . ﻧظرﯾﺔ :اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ﻫﻣﺎ: nk Nn k k , 2 .n. (1 ). N N 1 N N اذا ﻛﺎﻧــت nﺻــﻐﯾرة ﺑﺎﻟﻧﺳــﺑﺔ اﻟــﻰ Nﻓﺈﻧــﻪ ﯾﻣﻛــن إﺳــﺗﺧدام ﺗوزﯾــﻊ ذي اﻟﺣــدﯾن ﻛﺗﻘرﯾــب ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ k . p وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن ﺗﻘرﯾب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ: اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ﺣﯾث N nk k k np , 2 npq n. (1 ). N N N ﻣﺛﺎل ) (٣١-٦ ﻓ ــﻲ ﺳ ــﻧﺗرال وﺟ ــد أﻧ ــﻪ ﻣ ــن ﺑ ــﯾن 4000ﺗﻠﯾﻔ ــون ﺗ ــم ﺗ ــرﻛﯾﺑﻬم ﻓ ــﻲ ﻣﻧطﻘ ــﺔ ﺣدﯾﺛ ــﺔ ﯾوﺟ ــد 3000ﻣ ــﻧﻬم
ﯾﺧﺗﻠف ﻟـوﻧﻬم ﻋـن اﻟﻠـون اﻷﺳـود .ﺗﺣـدث 5أﺷـﺧﺎص ﻋﺷـواﺋﯾﺎ ،اوﺟـد اﻟﻣﺗوﺳـط واﻟﺗﺑـﺎﯾن ﻟﻌـدد اﻟـذﯾن ﯾﺗﻛﻠﻣون ﻣن ﺗﻠﯾﻔون ﻟوﻧﻪ اﺳود ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ .
٢٩٣
اﻟﺣــل: ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ :
`<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=HypergeometricDistribution[3000,5,4000 Mean[dist]//N 3.75 Variance[dist]//N 0.936562
ﻣﺛﺎل ) (٣٢ -٦ ﻟﻧﻔ ــرض أن ﻟ ــدﯾﻧﺎ ﻗﺎﺋﻣ ــﺔ ﺗﺿ ــم 1000ﺷ ــﺧص 950 ،ﻣ ــﻧﻬم ﺑ ــﺎﻟﻐﯾن و 50أطﻔ ــﺎل وﺗ ــم ﺳ ــﺣب 5 اﺷﺧﺎص ﺑﺻورة ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺑدون ارﺟﺎع ﻓﻣﺎ ﻫو اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون اﻟﺧﻣس اﺷﺧﺎص ﻣن اﻟﺑﺎﻟﻐﯾن؟ اﻟﺣــل: ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ﻓﺈن:
950 50 5 0 0.7734 P(X 5) 1000 5 ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﻛﺗﻘرﯾب ﻟﻠﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ﻓﺈن k 950 p 0.95 , n 5, N 1000 وﻋﻠﻰ ذﻟك :
5 5 0 P(X 5) .95 .05 5 5
= .95 0.7738. ﻧﻼﺣظ أن اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ ﻣﺗﻘﺎرﺑﺔ ﻣﻊ اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ اﻟﺗﻲ ﺣﺻﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻋﻧد ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺿﺑوط . ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=HypergeometricDistribution[950,5,1000 ٢٩٤
]]N[PDF[dist,5 0.773373 ;]dist=BinomialDistribution[5,.95 ]PDF[dist,5 0.773781
) ( ٤ – ٦ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون Poisson Distribution إن اﻟﺗﺟ ــﺎرب اﻟﺗ ــﻲ ﺗﻌطﯾﻧ ــﺎ ﻋ ــدد ﺣ ــﺎﻻت اﻟﻧﺟ ــﺎح واﻟﺗ ــﻲ ﺗﺣ ــدث ﻓ ــﻲ ﻓﺗـ ـرة زﻣﻧﯾ ــﺔ ﻣﻌﯾﻧ ــﺔ أو ﻓ ــﻲ ﻣﻧطﻘـﺔ ﻣﺣـددة ﺗﺳــﻣﻲ ﺗﺟـﺎرب ﺑواﺳـون ٠ Poisson experimentاﻟﻔﺗـرة اﻟزﻣﻧﯾـﺔ ﻗــد ﺗﻛـون دﻗﯾﻘــﺔ،
ﯾوم ،أﺳﺑوع ،ﺷﻬر أو ﺣﺗﻰ ﺳﻧﺔ ٠وﻋﻠﻲ ذﻟك ﺗﺟرﺑﺔ ﺑواﺳون ﻗـد ﺗﻧـﺗﺞ ﻣﺷـﺎﻫدات ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ Xﯾﻣﺛــل ﻋــدد اﻟﻣﻛﺎﻟﻣــﺎت اﻟﺗﻠﯾﻔوﻧﯾــﺔ ﻓــﻲ اﻟﺳــﺎﻋﺔ واﻟﻣﺳــﺗﻘﺑﻠﺔ ﻣــن ﻣﻛﺗــب ،أو ﻋــدد اﻷﯾــﺎم ﻓــﻲ اﻟﺳــﻧﺔ واﻟﺗﻲ ﺗﻐﻠق ﻓﯾﻬﺎ ﺑﻌض اﻟﻣدارس ﺑﺳﺑب اﻟﺻﻘﯾﻊ ﻓﻲ ﺑﻠد ﻣـﺎ ،اﻟﻣﻧطﻘـﺔ اﻟﻣﺣـددة ﯾﻣﻛـن أن ﺗﻛـون ﺧـط اﻷﻋداد اﻟطﺑﯾﻌﯾﺔ ،ﻣﺳﺎﺣﺔ ،ﺣﺟم أو رﺑﻣـﺎ ﻗطﻌـﺔ ﻣـن اﻟﻣﻌـدن ٠ﻓـﻲ ﻫـذﻩ اﻟﺣﺎﻟـﺔ Xﯾﻣﻛـن أن ﺗﻣﺛـل ﻋدد اﻟﻔﺋران ﻓﻲ ﻓدان ﻣن اﻟﻘﻣﺢ ،ﻋدد اﻟﺑﻛﺗﯾرﯾﺎ ﻓﻲ ﻟﺗر ﻣن اﻟﻣﺎء اﻟﻧﻘﻲ ،ﻋدد اﻷﺧطـﺎء ﻓـﻲ ﺻـﻔﺣﺔ
ﻣن ﻗﺎﻣوس .اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ ﺑواﺳون ﻫو :
e x f (x; ) , x = 0,1,2,... !x ﺣﯾ ــث ﻣﺗوﺳ ــط ﺣـ ــﺎﻻت اﻟﻧﺟ ــﺎح اﻟﺗـ ــﻲ ﺗﺣ ــدث ﻓ ــﻲ اﻟﻔﺗ ـ ـرة اﻟﻣﻌط ــﺎة أو اﻟﻣﻧطﻘـ ــﺔ اﻟﺧﺎﺻ ــﺔ
و
. e 2.71828ﺳــوف ﻧﻛﺗــب ) X POI(ﻟﻠدﻻﻟــﺔ ﻋﻠــﻲ أن Xﻣﺗﻐﯾ ـ ار ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎ ﯾﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ
ﺑواﺳون ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ٠ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﺣﯾث ) X POI(ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ : ][ x
F(x; ) f (k; ), x 0, 0 e.w. k 0
اﻟداﻟ ــﺔ ) F(x; ﻻ ﯾﻣﻛ ــن وﺿ ــﻌﻬﺎ ﻓ ــﻲ ﺻ ــﯾﻐﺔ ﺑﺳ ــﯾطﺔ وﻫﻧ ــﺎك ﺟ ــداول ﻓ ــﻲ ﻣﻠﺣ ــق ) (٢ﻟﺣﺳ ــﺎب ) f (x; وذﻟك ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن و . x اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﻫﻣﺎ : 2 .
E(X)
ﻣﺛﺎل ) (٣٣ -٦
٢٩٥
إذا ﻋﻠﻣــت أن ﻣﺗوﺳــط ﻋــدد اﻟﻣﻛﺎﻟﻣــﺎت اﻟﺗﻠﯾﻔوﻧﯾــﺔ اﻟﺗــﻰ ﯾﺳــﺗﻘﺑﻠﻬﺎ ﻋﺎﻣــل ﻋﻠــﻰ ﻟوﺣــﺔ ﺳــوﯾﺗش ﻫــﻲ 5 ﻣﻛﺎﻟﻣﺎت ﻓﻲ اﻟدﻗﯾﻘﺔ ٕ ،واذا ﻛﺎن أﻗﺻﻰ ﻣﺎ ﯾﻣﻛن ﻟﻠوﺣﺔ اﻟﺳوﯾﺗش اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻌﻬﺎ ﻫـو 8ﻣﻛﺎﻟﻣـﺎت ﻓـﻲ
اﻟدﻗﯾﻘﺔ أوﺟد: أ -اﺣﺗﻣﺎل ﻋدم اﺳﺗطﺎﻋﺔ ﻟوﺣﺔ اﻟﺳوﯾﺗش ﻣن اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻣﻛﺎﻟﻣﺎت ﻓﻲ ﺧﻼل دﻗﯾﻘﺔ ؟ ب -اﺣﺗﻣﺎل وﺻول ﻣﻛﺎﻟﻣﺗﯾن ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺛر ﺧﻼل دﻗﯾﻘﺔ ؟ اﻟﺣــل: )أ( اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﻫﻧﺎ ﻫو ﻋدد اﻟﻣﻛﺎﻟﻣﺎت اﻟﺗﻠﯾﻔوﻧﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺻل اﻟﻰ ﻟوﺣﺔ اﻟﺳوﯾﺗش ﺣﯾث ) XPOI(5واﻟﻣطﻠوب ﺣﺳﺎب ) P( X > 8أي أن :
5k P(X 8) 1 P(X 8) 1 e 0.068. !k k 0 8
5
)ب(
P(X 2) 0.125. ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد
ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ :
`<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist= PoissonDistribution[5. ]1-CDF[dist,8 0.0680936 ]CDF[dist,2 0.124652
ﻟﺗوﻟﯾد ﻋﺷرة ﻗﯾم )ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل( ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﻧﺳﺗﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=PoissonDistribution[5 ]RandomArray[dist,10 }{5,11,4,8,3,2,4,8,3,5
ﻟﺗوﻟﯾد ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DiscreteDistributions }{5,11,4,8,3,2,4,8,3,5 ]Random[dist 6
ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون :
٢٩٦
وﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ اﺳﺗﺧدﻣﻧﺎﻫﺎ ﻓﻰ ﻣﺛﺎل ) (٦-٣ﺣﺗﻰ ﻧﺻل اﻟﻰ اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣن اﻟﺟزء Sec 2.1ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KonoxProbوﺑﻌد ﺗﺣدﯾد اﻟﺟزء اﻟرﻣﺎدى ﻛﻣﺎ ﻫو واﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
وﺑﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﺳﺑق ان ﺷرﺣﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
وﯾﺗم ذﻟك ﻟﺗﺣﻣﯾل ﻫذا اﻟﺟزء .وﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣﻧﻪ ﻣن اﻟﺟزء اﻟرﻣـﺎدى ﺑﺎﺳـﺗﺧدام اﻻﻣـر Copyوﺗﻧﻘـل اﻟﻰ ﻣﻠف ﺟدﯾد ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ٢٩٧
وﯾﺗم ﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ ﺛم ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﺗﺣدﯾدﻩ ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠـﻰ kernelﻣـن ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ evaluate cellوﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ .
ﻓﻧﺿﻐط okﻓﯾظﻬر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ : ;]dist1=PoissonDistribution[5 ;]}statelist=Table[x,{x,0,40 ;]}problist=Table[PDF[dist1,x],{x,0,40 ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Tim ;]}es-Roman",8 0.175 0.15 0.125 0.1 0.075 0.05 0.025
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940
ﻣﺛﺎل ) (٣٤ -٦ إذا ﻛــﺎن ﻣﻌــدل ﻋ ــدد اﻷﯾــﺎم اﻟﺗــﻲ ﺗﻐﻠ ــق ﻓﯾﻬــﺎ ﺑﻌــض اﻟط ــرق ﺑﺳــﺑب ﺳــﻘوط اﻟﺛﻠ ــوج ﺧــﻼل ﻓﺻ ــل اﻟﺷﺗﺎء ﻓﻲ ﻣدﯾﻧﺔ ﻣﺎ ﻫﻲ 5أﯾـﺎم ﻓﻣـﺎ ﻫـو اﺣﺗﻣـﺎل أن ﺗﻐﻠـق ﻫـذﻩ اﻟطـرق ﻟﻣـدة 8أﯾـﺎم ﺧـﻼل اﻟﺷـﺗﺎء اﻟﻘﺎدم. اﻟﺣــل:
٢٩٨
= 5, 8
7
)P(X 8) f (k;5) f (k;5 k 0
k 0
=0.932-0.867=0.065. ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : ;`<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist= PoissonDistribution[5. ]CDF[dist,8]-CDF[dist,7 0.065278 ]PDF[dist,8 0.065278
ﻣﻠﺣوظﺔ :ﻓﻰ اﻻﻣر ] PoissonDistribution[5.ﺗم وﺿﻊ ﻧﻘطﺔ ﺑﻌد اﻟرﻗم ﺧﻣﺳﺔ
ﺣﺗﻰ ﯾﻛون ﻋﻠﻰ ﺻورة ﻋﺷرﯾﺔ وﺣﺗﻰ ﯾﺗم اﻟﺣل. ﻣﺛﺎل ) (٣٥ -٦
ﺗﻌطــل ﻣﺎﻛﯾﻧــﺔ ﻟﺗﺻــﻧﯾﻊ اﻟﺣﻠــوى ﻓــﻲ اﻟﻣﺗوﺳــط ﺧﻣــس ﻣ ـرات ﻓــﻲ اﻻﺳــﺑوع ﻣــﺎ ﻫــو اﻻﺣﺗﻣــﺎل أن ﺗﻌطل اﻟﻣﺎﻛﯾﻧﺔ ﺛﻼث ﻣرات ﻓﻲ اﻻﺳﺑوع . اﻟﺣــل: ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﺣﯾث = 5 , x = 3وﻣن ﺟدول ﺑواﺳون ﻓﻲ ﻣﻠﺣق ) (٣ﻓﺈن : 3 2 e5 53 f (3;5) ) f (k;5) f (k;5 !3 k 0 k 0 = 0.2650-0.125=0.14. ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ
اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ :
;`<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist= PoissonDistribution[5. ]CDF[dist,3]-CDF[dist,2 0.140374 ]PDF[dist,3 0.140374
ﻣﺛﺎل ) (٣٦ -٦
٢٩٩
ﺗﻣــر ﻓــﻲ اﻟﻣﺗوﺳــط 20ﺳــﯾﺎرة ﻓــﻲ اﻟدﻗﯾﻘــﺔ ﻣــن أﻣــﺎم ﻛﺷــك رﺳــوم اﻟﻣــرور ﺧــﻼل ﺳــﺎﻋﺔ اﻟ ـزروة ٠ اوﺟد اﺣﺗﻣﺎل ﻣرور 7ﺳﯾﺎرات ﻣن أﻣﺎم اﻟﻛﺷك ﺧﻼل دﻗﯾﻘﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺎ ٠ اﻟﺣــل: اﺣﺗﻣﺎل ﻣرور 7ﺳﯾﺎرات ﻣن أﻣﺎم اﻟﻛﺷك ﺧﻼل دﻗﯾﻘﺔ ﻫو :
e20 (20)7 P(X 7) . !7 ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ :
;`<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=PoissonDistribution[20. ]CDF[dist,7]-CDF[dist,6 0.000523468 ]PDF[dist,7 0.000523468
ﻧظرﯾــــﺔ :إذا ﻛ ــﺎن ) X BIN(n, pوﻋﻠـ ــﻲ ذﻟ ــك ﻟﻛـ ــل ﻗﯾﻣ ــﺔ 0,1,…….,n
=
xوﻋﻧـ ــدﻣﺎ
p 0ﺣﯾث np ﺛﺎﺑت ﻓﺎن : n x e x n x lim p (1 p) n x !x
ﺗﻔﯾد اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﻲ ﺗﻘرﯾب ) b(x;n, pﻋﻧدﻣﺎ nﻛﺑﯾرة و pﺻﻐﯾرة . اﻟﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ اﻟﺗ ــﺎﻟﻰ ﯾﻌط ــﻰ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎﻻت ﻣ ــن x=0اﻟ ــﻰ x=12ﻟﻛ ــل ﻣ ــن ﺗوزﯾ ــﻊ ﺑواﺳ ــون وﺗوزﯾ ــﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻋﻧدﻣﺎ n=100,p=.04واﻟذى ﯾﺛﺑت اﻟﻧظرﯾﺔ : وﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس ﺧطوات ﻣﺛﺎل ) (٦-٣ﺣﺗﻰ ﻧﺻل اﻟﻰ اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣن اﻟﺟزء Sec2.4ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ :KonoxProb
٣٠٠
وﺑﻌد ﺗﺻﻔﺢ ﻫذا اﻟﺟزء ﻧﺻل اﻟﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وذﻟك ﺑﻌد ﺗﺣدﯾدﻩ .
٣٠١
: وﺑﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﺳﺑق ان ﺷرﺣﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ Needs["Statistics`DiscreteDistributions`"]; Poissonpmf[x_]:=N[PDF[PoissonDistribution[4],x]]; Binomialpmf[x_]:=PDF[BinomialDistribution[100,.04],x]; TableForm[Join[{{"x","Poisson","binomial"}},Table[{x,Pois sonpmf[x],Binomialpmf[x]},{x,0,12}]]]
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Poisson 0.0183156 0.0732626 0.146525 0.195367 0.195367 0.156293 0.104196 0.0595404 0.0297702 0.0132312 0.00529248 0.00192454 0.000641512
binomial 0.0168703 0.070293 0.144979 0.197333 0.199388 0.159511 0.105233 0.0588803 0.0285201 0.0121475 0.00460591 0.0015702 0.000485235
: اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟرﺳم اﻟداﻟﺗﯾن ٣٠٢
;]}Poissonlist=Table[{x,N[Poissonpmf[x]]},{x,0,12 ;]}Binomiallist=Table[{x,N[Binomialpmf[x]]},{x,0,12 g1=ListPlot[Poissonlist,PlotJoined->True, PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction;]>Identity g2=ListPlot[Binomiallist, PlotJoined->True,PlotStyle;]>RGBColor[0,0,1],DisplayFunction->Identity Show[g1,g2,DisplayFunction;]}>$DisplayFunction,DefaultFont{"Times-Roman",8 0.2
0.15
0.1
0.05
12
8
10
6
4
2
ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺳﺎﺑق ان اﻟﻣﻧﺣﻧﯾﯾن ﻟﻠداﻟﺗﯾن ﻣﺗﻘﺎرﺑﺗﺎن . ﻣﺛﺎل ) (٣٧ -٦ ﺗﺷﯾر اﻟدراﺳﺎت ﻋﻠﻲ أن 0.002ﻣـن اﻟﻘـوى اﻟﻌﺎﻣﻠـﺔ اﻟﻘوﻣﯾـﺔ ﻓـﻲ ﺑﻠـد ﻣـﺎ ﯾﺻـﺎﺑون ﺑﻣـرض ﺧطﯾـر ﺧﻼل ﻋﺎم ٠ﻓﺈذا اﺧﺗﯾر n = 30ﺷﺧص ﻋﺷواﺋﯾﺎ ٠أوﺟد : أ -اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻌدد اﻟذﯾن ﯾﻣرﺿون ﻓﻲ اﻟﻌﺎم ٠ ب -اﺣﺗﻣﺎل أن ﻋﺎﻣﻠﯾن ﯾﻣرﺿون ﺧﻼل ﻋﺎم .اﺳﺗﺧدم ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﻛﺗﻘرﯾب ذي اﻟﺣدﯾن. اﻟﺣــل: أ( اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻌدد اﻟذﯾن ﯾﻣرﺿون ﻓﻲ اﻟﻌﺎم ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
n=30 , = np = 30×0.002 = 0.06
p 0.002 ,
ب( اﺣﺗﻣﺎل أن ﻋﺎﻣﻠﯾن ﯾﻣرﺿون ﺧﻼل ﻋﺎم ﻫو :
e 0.06 (0.06) 2 f (2;0.06) . !2 ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد
ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ :
`<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=PoissonDistribution[.06 ٣٠٣
]Mean[dist 0.06
]PDF[dist,2 0.00169518
وﻋــﺎء ﺑــﻪ 10000ﺟــزئ ﻓــﺈذا ﻛــﺎن اﺣﺗﻣــﺎل ﻫــروب ﺟــزئ ﻣــن اﻟوﻋــﺎء ﻫــو 0.0004ﻓﻣــﺎ اﺣﺗﻣــﺎل ﻫروب أﻛﺛر ﻣن 5ﺟزﯾﺋﺎت ؟) ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﺗﻘرﯾب ﺑواﺳون( اﻟﺣــل: اﺣﺗﻣﺎل ﻫروب أﻛﺛر ﻣن 5ﺟزﯾﺋﺎت ﯾﺳﺎوى :
)P(X 5) 1 P(X 5 ])=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4 e4 40 e 4 41 e 4 42 e 4 43 e4 4 4 e 4 45 [1- ]. !0 !1 !2 !3 !4 !5 ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : ;`<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist= PoissonDistribution[4. ]1-CDF[dist,5 0.21487
ﻣﺛﺎل ) (٣٩ -٦ ﻓﻲ ﻋﻣﻠﯾﺔ ﺗﺻﻧﯾﻊ ﻛرات اﻟﺗﺣﻣﯾل وﺟد أن اﺣﺗﻣﺎل وﺟود ﻛرة ﺗﺎﻟﻔﺔ 0.1ﻣﺎ ﻫـو اﺣﺗﻣـﺎل اﻟﺣﺻـول ﻋﻠﻲ 10ﻛرات ﺗﺎﻟﻔﺔ ﻣن ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺑﻬﺎ 1000وﺣدة ؟ اﻟﺣــل:
p= 0.1 q = 0.9
n 1000
1000 f(x)= (0.1) x (0.9)1000 x x ﺑﻣ ــﺎ أن nﻛﺑﯾـ ـرة ﺟ ــدا و pﺗ ــؤول إﻟ ــﻲ اﻟﺻ ــﻔر ﻓ ــﺎن ﺗوزﯾ ــﻊ ذي اﻟﺣ ــدﯾن ﯾﻣﻛ ــن أن ﯾﻌﺑ ــر ﻋﻧ ــﺔ ﺑﺗوزﯾ ــﻊ ﺑواﺳون ﺣﯾث :
٣٠٤
np 1000(0.1) 100, e 100 (100) x x=0,1,... !x e 100 (100)10 =)P(X=10 !10 ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد f (x; )
ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist= PoissonDistribution[100. ]PDF[dist,10
1.02515 1030
اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم : إذا ﻛﺎن X POIﻓﺎن : 1
)M X (t) e (e 1
اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة : The Characteristic Function اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﻫﻲ : )
it
X (t)= e- (1e
ﻣﺛﺎل ) (٤٠ -٦ ﺗﻣﺛل ﻋﻣﻠﯾﺔ وﺻول اﻟﺳﻔن اﻟﺗﺟﺎرﯾﺔ إﻟﻲ اﻟﻣﯾﻧﺎء ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﺑﻣﻌدل ﺳـﻔﯾﻧﺗﯾن ﻓـﻲ اﻟﺳـﺎﻋﺔ أى أﻧـﻪ
ﯾﺗم ﺗﻔرﯾﻎ ﺑﺿﺎﺋﻊ اﻟﺳﻔن ﺑﻣﻌدل 2ﻟﻛل ﺳﺎﻋﺔ واﻟوﻗت اﻟـذي ﯾﺳـﺗﻐرﻗﻪ اﻟﺗﻔرﯾـﻎ ﯾﻣﺛـل ﻋﻣﻠﯾـﺔ ﺑواﺳـون ٠ﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل ﻋدم وﺟود ﺳﻔﯾﻧﺔ ﺗﻧﺗظر دورﻫﺎ ﻓﻲ اﻟﺗﻔرﯾﻎ ؟ ﺛم اوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة.
اﻟﺣــل: ٣٠٥
e 2 20 P(X 0) e 2 0.135. !0 اﻟداﻟﻪ اﻟﻣوﻟدﻩ ﻟﻠﻌزوم ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : ;`<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=PoissonDistribution[2. ]PDF[dist,0 ]CharacteristicFunction[dist,t 0.135335 2. 1 t
ﻣﺛﺎل ) (٤١ -٦ ﻣﺟﻠﺔ ﺗﺣﺗوي ﻋﻠﻰ 100ﺻﻔﺣﺔ وﺗﺣﺗوي ﻋﻠﻰ 100ﺧطﺄ ﺗﺗـوزع ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻋﻠـﻰ ﺻـﻔﺣﺎﺗﻬﺎ ﺳـﺣﺑت
ﺻــﻔﺣﺔ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً .اﺣﺳــب اﺣﺗﻣــﺎل أن ﺗﺣﺗــوي ﺻــﻔﺣﺔ ﻋﻠــﻰ اﻷﻗــل ﻋﻠــﻰ ﺧطﺋــﯾن ﺛــم أوﺟــد اﻟداﻟــﻪ اﻟﻣﻣﯾزة. اﻟﺣــل: ﻣن اﻟواﺿﺢ أن 1وﻋﻠﻰ ذﻟك :
)P(X 2) 1 P(X 2 1 P(X 0) P(X 1) e 1 (1)0 e1 (1)1 1 1 [0.736 0.368] 0.632. !0 !1 ﺗﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن. ﻣﺛﺎل ) (٤٢ -٦ إذا ﻛــﺎن ﻋــدد اﻟﺳــﯾﺎرات اﻟﺗــﻰ ﺗﻣــر ﻋﻧــد ﻧﻘطــﺔ ﻣــﺎ ﻋﻠــﻰ اﻟطرﯾ ـق ﻓــﻲ اﻟدﻗﯾﻘــﺔ ﺗﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ ﺑواﺳــون
ﺑﻣﻌﻠوﻣﯾﺔ 4أوﺟد :
أ -اﺣﺗﻣﺎل أرﺑﻌﺔ ﺳﯾﺎرات ﺗﻣر ﻓﻲ اﻟدﻗﯾﻘﺔ . ب -اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﻣر ﺛﻣﺎﻧﯾﺔ ﺳﯾﺎرات ﺧﻼل دﻗﯾﻘﺗﯾن . اﻟﺣــل: )أ( )ب(
e 4 (4)4 P(X 4) 0.629 0.433 0.196 !4 (2)(4) 8, ٣٠٦
ﺗﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن.
8(8) e 8 P(X 8) 0.593 0.453 .14 !8
) (٥-٦ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب Negative Binomial Distribution ﺑﻔـرض أن ﺗﺟرﺑــﺔ ﻣـﺎ ﻟﻬــﺎ ﻧﻔـس اﻟﺧﺻــﺎﺋص اﻟﺗـﻲ ﺳــﺑق أن ذﻛرﻧﺎﻫـﺎ ﻟﺗوزﯾــﻊ ذي اﻟﺣـدﯾن ،وﻟﻛــن
ﻣﻊ ﺗﻛرار اﻟﻣﺣﺎوﻻت ﺣﺗﻰ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻋدد ﺛﺎﺑت ﻣن ﺣـﺎﻻت اﻟﻧﺟـﺎح .وﻋﻠـﻰ ذﻟـك ،ﺑـدﻻ ﻣـن إﯾﺟــﺎد اﺣﺗﻣـﺎل اﻟﺣﺻــول ﻋﻠـﻰ xﻧﺟــﺎح ﻓــﻲ nﻣـن اﻟﻣﺣــﺎوﻻت ،ﻓـﺈن اﻻﻫﺗﻣــﺎم ﺳـوف ﯾﻛــون ﻓــﻲ إﯾﺟــﺎد أن اﻟﻧﺟــﺎح رﻗ ـم k
ﺳــوف ﯾﺣــدث ﻓــﻰ اﻟﻣﺣــﺎوﻻت رﻗــم . xاﻟﺗﺟــﺎرب ﻣــن ﻫــذا اﻟﻧــوع ﺗﺳــﻣﻰ
ﺗﺟﺎرب اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب . Negative Binomial Distribution
ﺑﻔـ ــرض أن ﻻﻋـ ــب ﻛ ـ ـرة اﻟﺳـ ــﻠﺔ ﯾـ ــﻧﺟﺢ ﻓـ ــﻲ اﻟﺗﺻـ ــوﯾب ﻧﺣـ ــو اﻟﻬـ ــدف ﻓـ ــﻲ 80%ﻣـ ــن اﻟﻣﺣـ ــﺎوﻻت . اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾـﻧﺟﺢ ﻓـﻲ ﺗﺻـوﯾب اﻟﻬـدف اﻟﺧـﺎﻣس ﻓـﻰ اﻟﻣﺣﺎوﻟـﺔ رﻗـم . 8ﺳـوف ﻧرﻣـز
ﻟﻠﻧﺟ ــﺎح ﻓ ــﻲ اﻟﺗﺻ ــوﯾب ﺑ ــﺎﻟرﻣز ' Dوﻧرﻣ ــز ﻟﻠﻔﺷ ــل ﻓ ــﻲ اﻟﺗﺻ ــوﯾب ﺑ ــﺎﻟرﻣز ، Dوﻋﻠ ــﻰ ذﻟ ــك ﻟﺗرﺗﯾ ــب ﻣطﻠوب ﺳوف ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ' D'D'DDDD'D'Dواﻟذي ﯾﺣدث ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل : . (0.8)(0.8)(0.2)(0.2)(0.2)(0.8)(0.8)(0.8)=(0.8)5(0.2)3وﯾﻣﻛـن ﺣﺻـر ﻛـل اﻟﺗرﺗﯾﺑــﺎت
ﺑﺈﻋ ــﺎدة ﺗرﺗﯾ ــب ﺣــﺎﻻت اﻟﻧﺟ ــﺎح واﻟﻔﺷ ــل ﻣﺎﻋ ــد اﻟﻣﺣﺎوﻟ ــﺔ اﻷﺧﯾـ ـرة واﻟﺗ ــﻰ ﻻﺑ ــد أن ﺗﻛ ــون اﻟﻧﺟ ــﺎح رﻗ ــم ﺧﻣﺳﺔ .اﻟﻌدد اﻟﻛﻠﻲ ﻣن اﻟﺗرﺗﯾﺑﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﯾﺳﺎوى ﻋـدد اﻟطـرق ﻟﺗﺑـدﯾل 7ﻋﻧﺎﺻـر ﻣﻧﻬـﺎ 4ﻣـن ﻧـوع ﻧﺟــﺎح و 3ﻣــن ﻧــوع ﻓﺷــل .ﻫــذا اﻟﻌــدد اﻟﻛﻠــﻲ ﻣــن اﻟﺗرﺗﯾﺑــﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧــﺔ ﯾﺣ ـدث ﺑطــرق ﻣﺗﻧﺎﻓﯾــﺔ ﻋــددﻫﺎ 7 . وﺣﯾث أن Xﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻣﺣﺎوﻻت اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ 5أﻫداف ،ﻓﺈن : 4 7 P(X 8) (0.8)5 (0.2)3 0.0917504. 4
ﺗﻌرﯾف :اﻟﻌدد Xﻣن اﻟﺣﺎﻻت واﻟذي ﯾﻧﺗﺞ kﺣﺎﻻت ﻧﺟـﺎح ﻓـﻲ ﺗﺟرﺑـﺔ ذي اﻟﺣـدﯾن اﻟﺳـﺎﻟب ﯾﺳـﻣﻰ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب .
ﺳ ــوف ﻧﻛﺗ ــب ) X~NB(k,pﻟﻠدﻻﻟ ــﺔ ﻋﻠ ــﻰ Xﻣﺗﻐﯾـ ــر ﻋﺷـ ـواﺋﻲ ﯾﺗﺑ ــﻊ ﺗوزﯾ ــﻊ ذي اﻟﺣ ــدﯾن اﻟﺳـ ــﺎﻟب ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن . k , p ﺑﻌض اﻟﻣﺷﺎﻛل اﻟﺗﻰ ﻟﻬﺎ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﻛﺛﯾرة ﻣﻧﻬﺎ :
-١ﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗﺑر ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻋدد ﻣﺣدد ﻣن اﻟوﺣدات اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ . -٢ﻋدد اﻟﻘذاﺋف اﻟﺗﻲ ﺗطﻠق ﺣﺗﻰ اﻟوﺻول إﻟﻰ ﻋدد ﺛﺎﺑت ﻣن اﻷﻫداف . ٣٠٧
اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻰ ﻟﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﯾﺗﺑــﻊ ذي اﻟﺣــدﯾن اﻟﺳــﺎﻟب ﯾﺳــﻣﻰ ﺗوزﯾــﻊ ذي اﻟﺣــدﯾن اﻟﺳــﺎﻟب ، ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﯾﺄﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : x-1 b* (x;k,p) p k q x k , x k,k 1, k 2 k-1 ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ اﺷﺗق اﺳم ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﻣن أن ﻛل ﺣد ﻓﻰ اﻟﻣﻔﻛوك :
pk(1-q)-kﯾﻘﺎﺑل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم ) b*(x; k, pﺣﯾث . x = k, k +1 ,k + 2,... ﻓــﻰ اﻟﺣﻘﯾﻘــﺔ ﻓــﺎن اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ ﻻ ﯾﺗﻌﺎﻣــل ﻣﺑﺎﺷ ـرة ﻣــﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻰ Xوﻟﻛــن ﯾﺗﻌﺎﻣــل ﻣــﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻰ Y=X-kاى ﻋــدد ﺣــﺎﻻت اﻟﻔﺷــل ﺣﺗــﻰ اﻟﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ kﻣــن اﻟﻧﺟﺎﺣــﺎت .وﻋﻠــﻰ ﻟــذﻟك
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣطﻠوب ﯾﺧص اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ Xﺑدﻻﻟﺔ اﻟﺗﻣﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ .Y
داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻌدد ﺣﺎﻻت اﻟﻔﺷل Yﺣﺗﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ kﻣن ﺣﺎﻻت اﻟﻧﺟﺎح ﻫﻲ :
y + k - 1 k y b y k,p = p q , y = 0 , 1 , 2 , ... k-1 = 0 , e.w. ﻫﻧﺎك ﺟداول ﺗﻌطﻲ اﻟداﻟﺔ b y k,p ﻟﻠﻘﯾم اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ y = 0 ,1 ,2, ... ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن
k
و .p
ﻣﺛﺎل ) (٤٣ -٦ 1 إذا ﻛـﺎن اﺣﺗﻣـﺎل وﻻدة ذﻛـر ﻓـﻲ أي وﻻدة ﺗﻣـر ﺑﻬـﺎ ﺳـﯾدة ﻫـو 2
أوﺟـد اﺣﺗﻣـﺎل أن ﺗﺿـﻊ
ذﻛرﯾن ﺑﻌد أرﺑﻊ وﻻدات . اﻟﺣــل:
1 ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﺣﯾث p ,k 2, x 4ﻓﺈن : 2 3 b * (4;2,0.5) 0.520.52 1 2
2
3! 1 1 3 . .1875. 1!2! 2 2 16 اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ Xﯾﺎﺧذ اﻟﻘﯾم x 2,3,4,... )P(X 4) P(Y k 4) P(Y 4 k
P(Y 4 2) P(Y 2). ٣٠٨
ﻫذا اﻻﺣﺗﻣﺎل ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=NegativeBinomialDistribution[2,.5 ]a=PDF[dist,2 0.1875
ﻣﺛﺎل ) (٤٤ -٦ ﻗررت ﻋﺎﺋﻠﺔ ﺗﻧظﯾم اﻹﻧﺟـﺎب إذا رزﻗﻬـﺎ اﷲ ﺑﺧﻣﺳـﺔ ذﻛـور ،ﻓـﺈذا ﻛـﺎن اﺣﺗﻣـﺎل وﻻدة ذﻛـر ﻓـﻲ ﻫـذﻩ
اﻟﻌﺎﺋﻠـ ـ ـ ــﺔ ﻫـ ـ ـ ــو 0.4أوﺟـ ـ ـ ــد اﻟﺗوزﯾـ ـ ـ ــﻊ اﻻﺣﺗﻣـ ـ ـ ــﺎﻟﻲ ﻟﻌـ ـ ـ ــدد ﻣ ـ ـ ـ ـرات اﻟﺣﻣـ ـ ـ ــل ) اﻟوﺿـ ـ ـ ــﻊ ( .اوﺟـ ـ ـ ــد
)P(X 8),P(X 10 اﻟﺣــل: ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﺣﯾث Xﺗﻣﺛل ﻋدد ﻣرات اﻟﺣﻣل . p = 0.4 , q = 0.6 , k = 5 x-1 5 x 5 f (x) 0.4 0.6 , x = 5 , 6 , ... 5-1 ﺑﻔرض اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ Y=X-kاى ﻋدد ﺣﺎﻻت اﻟﻔﺷل ﺣﺗﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ kﻣن اﻟﻧﺟﺎﺣﺎت
وﻋﻠﻰ ذﻟك Yﯾﺎﺧذ اﻟﻘﯾم . y 0,1,2,... )P(X 8) P(Y k 8) P(Y 8 k
P(Y 8 5) P(Y 3), P(X 10) P(Y 5). اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=NegativeBinomialDistribution[5,.4 ]PDF[dist,3 0.0774144 ]PDF[dist,5 0.100329
ﻟﺗوﻟﯾد ﻋﺷرة ﻗﯾم ) yﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل( ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﻧﺳﺗﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=NegativeBinomialDistribution[5,.4 ]RandomArray[dist,10 ٣٠٩
}{17,1,10,6,6,13,9,11,2,15
ﻟﺗوﻟﯾد ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=NegativeBinomialDistribution[5,.4 ]Random[dist 2
ﻣﺛﺎل ) (٤٥ -٦
ﺑﻔرض ان اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ Yﯾﻣﺛل ﻋدد ﺣﺎﻻت اﻟﻔﺷل ﺣﺗﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ kﻣن اﻟﻧﺟﺎﺣﺎت. ﻟﻠﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ اﻟﺗﻣﺛﯾــل اﻟﺑﯾــﺎﻧﻰ ﻟداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر Yﺣﯾــث p=.2,k=20ﻧﺗﺑــﻊ ﻧﻔــس اﻟﺧطـ ـوات اﻟﺗ ــﻰ اﺗﺑﻌ ــت ﻓ ــﻰ اﻟﻣﺛ ــﺎل ) (٦-٣ﺣﺗ ــﻰ اﻟوﺻ ــول اﻟ ــﻰ ﻣﺣﺗوﯾ ــﺎت اﻟﻛﺗ ــﺎب ﺛ ــم اﺧﺗﯾ ــﺎر اﻟﺟزء Sec 2.3ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ :
وﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﯾﻪ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ :
٣١٠
وﻧﺗﺻﻔﺢ ﻫذا اﻟﺟزء ﺣﺗﻰ اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وذﻟك ﺑﻌدﻩ ﺗﺣدﯾدﻩ ﻛﻣﺎ ﺷرﺣﻧﺎ ﻣن ﻗﺑل :
)ﻟﻠﻌﻠم ﻟن ﻧﻐﯾر ﻓﯾﻪ ﻻﻧﻪ ﻧﻔس ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ(
ﺛ ــم ﯾ ــﺗم ﺗﻧﻔﯾ ــذ اﻟﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ وذﻟ ــك ﺑﺎﻟﺿ ــﻐط ﻋﻠ ــﻰ
kernelﻣ ــن ﻗﺎﺋﻣ ــﺔ ﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛ ــﺎ ﺛ ــم ﻋﻠ ــﻰ
evaluate cellوﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ .
٣١١
ﻓﻧﺿﻐط okﻓﯾظﻬر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ : ;]f[x_]:=PDF[NegativeBinomialDistribution[20,.2],x ;]}pmf=Table[{x,f[x]},{x,20,140 ListPlot[pmf,PlotJoined->True,DefaultFont{"Times;]}Roman",8 0.02
0.015
0.01
0.005
140
120
100
80
60
40
20
وﻋﻧد اﻟﺧروج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
وﻧﺿﻐط Don'tsaveوذﻟك ﺣﺗﻰ ﻻ ﯾﺣدث ﺗﻐﯾرات ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ . )وﻟﻠﻌﻠم ﻓﺎن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾر Yوﻟﯾس اﻟﻣﺗﻐﯾر .(X وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ Xﻣـن اﻟﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﺳـﺎﺑق ﺑﺗﺑـﺎع ﺧطـوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
٣١٢
f[x_]:=PDF[NegativeBinomialDistribution[20,.2],x]; pmf=Table[{x,f[x]},{x,20,140}]; ListPlot[pmf,PlotJoined->True,DefaultFont{"TimesRoman",8}]; 0.02
0.015
0.01
0.005
20
40
60
80
100
120
140
: Yﺣﯾث اﻟرﺳم اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ اﻟﺳﺎﺑق ﯾﺧص اﻟﻣﺗﻐﯾر aa1=Transpose[pmf]; aa2=aa1[[1]]; aa3=aa2+20; aa4=aa1[[2]]; aa5={aa3,aa4}; aa6=Transpose[aa5]; ListPlot[aa6,PlotJoined->True,DefaultFont{"TimesRoman",8}]; 0.02
0.015
0.01
0.005
60
80
100
120
140
160
: Xﺣﯾث اﻟرﺳم اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ اﻟﺳﺎﺑق ﯾﺧص اﻟﻣﺗﻐﯾر
٣١٣
ﻣﺛﺎل ) (٤٦ -٦ ﯾﻠﻌــب اﻟﻔرﯾــق Aﻣــﻊ اﻟﻔرﯾــق Bﻓــﻲ ﺳﻠﺳــﻠﺔ ﻣــن اﻟﻣﺑﺎرﯾــﺎت ﻓــﺈذا ﻛــﺎن اﺣﺗﻣــﺎل أن ﯾﻛﺳــب Aﻓــﻰ ﻣﺑﺎراة ﯾﻠﻌﺑﻬـﺎ ﻣـﻊ Bﻫـو . 0.6ﺳـوف ﺗﻧﺗﻬـﻲ اﻟﺳﻠﺳـﻠﺔ ﻣـن اﻟﻣﺑﺎرﯾـﺎت ﻋﻧـدﻣﺎ ﯾﻛﺳـب إﻣـﺎ Aأو B أرﺑﻊ ﻣﺑﺎرﯾﺎت .اوﺟد اﺣﺗﻣﺎل ﻓوز Aأو Bﻓﻰ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟﺳﺎدﺳﺔ. اﻟﺣــل: ) ) = b*(6;4,.6ﯾﻔوز Aﻟﻠﻣرة اﻟراﺑﻌﺔ ﻓﻰ اﻟﻣﺑﺎراة اﻟﺳﺎدﺳﺔ(P
5 4 2 P(X 6)= (.6) (.4) P(Y 2)=.20736. 3 ) ) = b*(6;4,.6ﯾﻔوز Bﻟﻠﻣرة اﻟراﺑﻌﺔ ﻓﻰ اﻟﻣﺑﺎراة اﻟﺳﺎدﺳﺔ(P
5 P (X 6 )= (.4 ) 4 (.6 ) 2 P (Y 2 ) .0 9 2 1 6 . 3 ) =.20736+0.09216 = 0.29952.ﻋدد اﻟﻣﺑﺎرﯾﺎت ﺗﻛون 6ﻋﻧد اﻟﻔوز ﻟﻠﻣرة اﻟراﺑﻌﺔ (P اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=NegativeBinomialDistribution[4,.6 ]a1= PDF[dist,2 0.20736 ;]dist=NegativeBinomialDistribution[4,.4 ]a2= PDF[dist,2 0.09216 a1+a2 0.29952
ﻣﺛﺎل ) (٤٧ -٦ إذا ﻛﺎن اﺣﺗﻣﺎل ﺗﺻدﯾق ﺧﺑر ﻣﻌﯾن ﻫو 0.25أوﺟد إﺣﺗﻣﺎل أن : اﻟﺷﺧص اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻋﺷر ﻫو راﺑﻊ اﻟﻣﺻدﻗﯾن ﻟﻠﺧﺑر. ٣١٤
اﻟﺣــل: ﻧﻔــرض أن Xﺗﻣﺛــل رﻗــم اﻟﺷــﺧص اﻟﺳــﺎﻣﻊ ﻟﻠﺧﺑــر .وﯾﻛــون رﻗــم اﻟﺷــﺧص اﻟﻣﺻــدق ﻟﻠﺧﺑــر ﻫــو ﻋﺑــﺎرة ﻋن ﺣﺎﻟﺔ ﻧﺟﺎح.
ﺣﯾــث أن اﻟﺷــﺧص اﻟﺛــﺎﻧﻲ ﻋﺷــر ﯾﺳــﻣﻊ اﻟﺧﺑــر وﺳــﯾﻛون ارﺑــﻊ اﻟﻣﺻــدﻗﯾن ﻟــﻪ وﻫــذا ﯾﻌﻧــﻲ أن ﺣﺎﻟــﺔ اﻟﻧﺟﺎح اﻟراﺑﻊ ﺗوﺟد ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ رﻗم 12أي أن ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﻋﻧد p = 0.25 , x = 12, k=4وﻋﻠﻰ ذﻟك : 12 1 4 12 4 P(X 12) 0.25 0.75 4 1 8
4
11 1 3 = . 3 4 4
وﻋﻠﻰ ذﻟك : )P(X 12) P(Y k 12) P(Y 12 k P(Y 12 4) P(Y 8). اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ :
`<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=NegativeBinomialDistribution[4,.25 ]PDF[dist,8 0.0645259
ﻣﺛﺎل ) (٤٨ -٦
1 إذا ﻛﺎن اﺣﺗﻣﺎل وﻻدة ذﻛر ﻓﻲ أي وﻻدة ﺗﻣر ﺑﻬﺎ ﺳﯾدة ﻫو 2 ﺑﻌد أرﺑﻊ وﻻدات.
أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﺿﻊ 3ذﻛور
اﻟﺣــل:
1 ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﺣﯾث , k = 3, x = 4 2 3 3 1 b* (4;3,0.5) 0.5 0.5 . 2
p ﻓﺈن:
وﻋﻠﻰ ذﻟك : ٣١٥
)P(X 4) P(Y k 4) P(Y 4 k ) P(Y 4 3) P(Y 1 اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=NegativeBinomialDistribution[3,.5 ]PDF[dist,1 0.1875
ﻣﺛﺎل ) (٤٩ -٦ ﯾﻠﻌب ﻓرﯾق Aﻣﻊ Bﺳﻠﺳﺔ ﻣن اﻟﻣﺑﺎرﯾﺎت .ﻓﺈذا ﻛﺎن اﺣﺗﻣﺎل أن Aﯾﻛﺳب ﻓﻲ اﻟﻣﺑﺎرة
اﻟواﺣدة اﻟﺗﻲ ﯾﻠﻌﺑﻬﺎ ٕ 0.6واذا ﻛﺎﻧت اﻟﻣﺑﺎرﯾﺎت ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ،أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻔرﯾق Aﻗد ﯾﻛون ﻛﺳب أرﺑﻌﺔ ﻣﺑﺎرﯾﺎت ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟﺳﺎدﺳﺔ .
اﻟﺣــل: ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﺣﺑث p = 0.6 , k = 4 , x = 6ﻓﺈن:
(0.4) 2 .
4
0.6 5 3
= )b (6 4,0.6
وﻋﻠﻰ ذﻟك : )P(X 6) P(Y k 6) P(Y 6 k P(Y 6 4) P(Y 2). اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=NegativeBinomialDistribution[4,.6 ]PDF[dist,2
0.20736
اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة
The Characteristic Function
٣١٦
اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Yﯾﺗﺑﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﻫو : k
Y t p k 1 q eit .
ﻟﻠﻣﺛﺎل ) (٤٤-٦ﻓﺎن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻪ ﻫﻰ : اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة :
`<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=NegativeBinomialDistribution[2,.5
]CharacteristicFunction[dist,t
0.25 1 0.5 t2
وﻣن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Yواﻟذى ﯾﺗﺑﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ : اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yوﻫو :
kq p
= Y
واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yوﻫو :
kq p2
2Y
واﻟﻣﺗوﺳط و اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﺑدﻻﻟﺔ اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yﻫﻣﺎ : kq kq 2 k, X . p p2
X
واﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xاﻟذي ﻟﻪ اﻟداﻟﺔ ) b (x k,pﻫﻲ : k
k
X t p eit 1 qeit .
اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم: اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yﻫﻰ : k
k
X t p e t 1 qe t .
ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء واﻟﺗﻔﻠطﺢ :
٣١٧
ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء واﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yﻫﻣﺎ :
1 4q q 2 . kq
,
4
1 q kq
3
ﻟﻠﻣﺛﺎل ) (٤٤-٦وﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ .Y `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=NegativeBinomialDistribution[2,.5
]Mean[dist 2. ]Variance[dist 4. ]StandardDeviation[dist 2. ]Skewness[dist 1.5 ]Kurtosis[dist 6.25 ]CharacteristicFunction[dist,t
0.25 1 0.5 t2
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ
Geometric Distribution
ﻋﻧـدﻣﺎ k = 1ﻓﺈﻧﻧـﺎ ﻧﺣﺻـل ﻋﻠـﻰ اﻟﺣﺎﻟـﺔ اﻟﺧﺎﺻـﺔ ﻣـن ﺗوزﯾـﻊ اﻟﺣـدﯾن اﻟﺳـﺎﻟب ،أي ﻧﺣﺻـل ﻋﻠـﻰ
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﻣﺣﺎوﻻت اﻟﻣطﻠوﺑﺔ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠـﻰ ﺣﺎﻟـﺔ ﻧﺟـﺎح واﺣـدة .ﺗوزﯾـﻊ ذي اﻟﺣـدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﺳوف ﯾﺧﺗزل إﻟﻰ اﻟﺷﻛل : b x p pq x 1 , x = 1,2,3,...
و اﻟذي ﯾﺳﻣﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ و ﺳوف ﻧرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز .g x p ﺳـوف ﻧﻛﺗـب ) X ~ GEO(pﻟﻠداﻟـﺔ ﻋﻠـﻰ أن اﻟﻣﺗﻐﯾـر Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻬﻧدﺳـﻲ q 1 ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ .pأﯾﺿﺎً .2 2 , E X p p ﻣﺛﺎل ) (٥٠ -٦ أوﺟد:
أ -اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ﻟﻌ ــدد اﻟﻣﺣــﺎوﻻت اﻻزﻣــﺔ ﻟﻠﺣﺻ ــول ﻋﻠــﻰ ﺻــورة واﺣ ــدة وذﻟــك ﻋﻧــد اﻟﻘ ــﺎء ﻋﻣﻠﺔ ﻣﺗزﻧﺔ.
٣١٨
ب -اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺻورة ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟراﺑﻌﺔ. اﻟﺣــل:
1 ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ ﺣﯾث 2
p ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ:
) أ ( اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ﻟﻌــدد اﻟﻣﺣـﺎوﻻت اﻻزﻣــﺔ ﻟﻠﺣﺻــول ﻋﻠـﻰ ﺻــورة واﺣــدة وذﻟـك ﻋﻧــد اﻟﻘــﺎء ﻋﻣﻠﺔ ﻣﺗزﻧﺔ ﻫو:
, x = 1,2,3,...
g(x;0.5) (0.5)(0.5) x 1
)ب( اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺻورة ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟراﺑﻌﺔ ﻫو 1 1 )g(4; ) (0.5)(0.5)3 0.0625 P(X 4 2 16 ) P(Y 1 4) P(Y 4 1) P(Y 3 اﯾﺿﺎ وﻟﻠﻌﻠم ﻓﺎن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾر ) Yواﻟذى ﯾﻣﺛل ﻋدد ﺣﺎﻻت اﻟﻔﺷل ﺣﺗﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻧﺟﺎح ( وﻟﯾس اﻟﻣﺗﻐﯾر Xﺣﯾث .( Y=X-1وﯾﻣﻛن ان ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻣﺎ
ﯾﺧص اﻟﻣﺗﻐﯾر Xﺑدﻻﻟﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾر Yﻛﻣﺎ ﺣدث ﻓﻰ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب .
واﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=GeometricDistribution[.5 ]PDF[dist,3 0.0625
اﻻن ﺳوف ﻧﻘدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﺗوﻟﯾد ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ وﺳوف ﻧﻣﺛل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى اﻟﻧﺳﺑﻰ وﺳوف ﻧﻘﺎرﻧﻬﺎ ﻣﻊ اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ ﺣﯾث
).p=.5اﻟﻣﺗﻐﯾر ﻫﻧﺎ ﻫو Yواﻟذى ﯾﻣﺛل ﻋدد ﺣﺎﻻت اﻟﻔﺷل ﺣﺗﻲ اﻟوﺻول اﻟﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻧﺟﺎح . وﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ اﺗﺑﻌت ﻓﻰ ﻣﺛﺎل ) (٣٧-٦واﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺟزء Sec 3.2ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث وﻧﺗﺻﻔﺢ اﻟﺟزء ﺣﺗﻰ اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وذﻟك ﺑﻌد ﺗﺣدﯾدﻩ ﻛﻣﺎ ﺷرﺣﻧﺎ ﻣن ﻗﺑل ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ :
٣١٩
: وﻧﻧﻔذﻩ ﻛﻣﺎ ﺳﺑق ان وﺿﺣﻧﺎ ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ
f[x_]:=PDF[GeometricDistribution[.5],x]; geomprobs=Table[f[x],{x,0,8}]; states={0,1,2,3,4,5,6,7,8}; g1=ProbabilityHistogram[states,geomprobs,DisplayFunction Identity,DefaultFont{"Times-Roman",8}]; geomdatalist=RandomArray[GeometricDistribution[.5],500]; g2=Histogram[geomdatalist,9,DistributionDiscrete,Display FunctionIdentity]; Show[GraphicsArray[{g1,g2}],PlotRange>All,DisplayFunction$DisplayFunction]; 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
. ﯾﻼﺣظ ان اﻟﻣدرﺟﯾن ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﻣﺗطﺎﺑﻘﯾن ﻣﻣﺎ ﯾدل ﻋﻠﻰ ﻧﺟﺎح ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ٣٢٠
وﻓﯾﻣ ــﺎ ﯾﻠ ــﻰ ﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ ﻟﺣﺳ ــﺎب اﻟﻣ ــدرج اﻻﺣﺗﻣ ــﺎﻟﻰ ﻟﻠﺗوزﯾ ــﻊ اﻟﻬﻧدﺳ ــﻰ ﺣﯾ ــث اﻟﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻰ ﻫﻧ ــﺎ X وﻟﯾس Yوﺳوف ﻧﻌدل ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ .KnoxProbوﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ اﻟﺧطوات : ﻧﺗﺻﻔﺢ اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ اﻟﺟزء 3.2ﺣﺗﻰ اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻻﺗﯾﺔ :
وﺑﻌد ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﺷرﺣﻧﺎ ﻣن ﻗﺑل ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ:
;]dist1=HypergeometricDistribution[5,10,20 ;}statelist={0,1,2,3,4,5 ;]}problist=Table[PDF[dist1,x],{x,0,5 ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Tim ;]}es-Roman",8 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
5
4
2
3
1
0
وﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣﻧﻪ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر Copyوﺗﻧﻘل اﻟﻰ ﻣﻠف ﺟدﯾد ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ
وﯾﺗم ﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻟﺗﻧﺎﺳب ﻣﺛﻠﻧﺎ وﺑﻌد ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ :
٣٢١
;]dist=GeometricDistribution[.5 ]f[x_]:=PDF[dist,x ;]}aa1=Table[x,{x,1,21 ;]}aa2=Table[f[x],{x,0,20 ]}"}ProbabilityHistogram[aa1,aa2,AxesLabel{"x","f{x fx 0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
x 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
8
وﻋﻧد اﻟﺧروج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ Knoxprobﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
7
6
5
4
3
2
1
وﻧﺿﻐط Don'tsaveوذﻟك ﺣﺗﻰ ﻻ ﯾﺣدث ﺗﻐﯾرات ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ . ﻣﺛﺎل ) (٥١ -٦ اﺣﺗﻣﺎل أن طﺎﻟب ﯾﺟﺗﺎز اﻣﺗﺣﺎن ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ رﺧﺻﺔ ﻗﯾﺎدة طﺎﺋرة ﻫو . 0.7أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﺷﺧص ﯾﻧﺟﺢ ﻓﻲ اﻷﻣﺗﺣﺎن : ) ب ( ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟراﺑﻌﺔ .
) أ ( ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ . ٣٢٢
اﻟﺣــل: ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ : g(x,0.7) (0.7)(0.3) x 1 , x = 1 , 2, ... ) أ ( اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻧﺟﺢ ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ : ﺣﯾث
x= 3
p = 0.7 ,ﻓﺈن : )b (31,0.7) = g (3,0.7 )= (0.7) (0.3) 2 =P(X=3 =P(Y=2)= 0.063.
) ب ( اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻧﺟﺢ ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟراﺑﻌﺔ : ﺣﯾث
p = 0.7 ,ﻓﺈن :
x= 4
)b (41,0.7) = g (4,0.7 )= (0.7) (0.3) 3 ==P(X=4 =P(Y=3)= 0.0189.
اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=GeometricDistribution[.7 ]PDF[dist,2 0.063 ]PDF[dist,3 0.0189
ﻣﺛﺎل ) (٥٢ -٦ أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل أن ﺷﺧص ﯾﻠﻘﻰ ﻋﻣﻠﺔ ﺳوف ﯾﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺻورة ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻌﺔ ؟ اﻟﺣــل:
p = q = 0.5 )g(7,0.5) = (0.5)(0.5)6 = (0.5)7 =P(X=7 =P(Y=6)=.0078 . اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=GeometricDistribution[.5
٣٢٣
]PDF[dist,6 0.0078125
ﻣﺛﺎل ) (٥٣ -٦ ﻋﻧد إﻟﻘﺎء ﻋﻣﻠﺔ ﻣﺗزﻧﺔ ،أوﺟد :
)أ( اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﻣﺣﺎوﻻت اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺻورة واﺣدة . )ب( اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺻورة ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟراﺑﻌﺔ : اﻟﺣــل:
1 ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ ﺣﯾث 2 x 1 g x p 0.5 0.5 , x = 1,2,3,... )أ(
x 4,p ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ :
3
)ب(
1 1 2 2
4 ;1, p
g
ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن . داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﺣﯾث ) X ~ GEO(pﻫﻲ : x
x
x
G x p pq i1 q i1 1 p q i1 i 1
i 1
i 1
x 1
x
q i1 qi1 1 q x . i2
=
i 1
ﻣﺛﺎل ) (٥٤ -٦ ﻓـﻲ إﺣـدى اﻟﻣﻧــﺎطق ،إذا ﻛـﺎن اﺣﺗﻣــﺎل ﺣـدوث ﻋﺎﺻــﻔﺔ ﺑرﻗﯾـﺔ ﻓـﻲ أي ﯾــوم ﻣـن أﯾــﺎم اﻟﺻـﯾف ﻓــﻲ
ﺷﻬري ﯾوﻟﯾو و أﻏﺳطس ﻫو . 0.1و ﺗﺣت ﻓرض اﻻﺳﺗﻘﻼل ﻣن ﯾـوم إﻟـﻰ آﺧـر ﻓﻣـﺎ ﻫـو اﺣﺗﻣـﺎل أن ﺗﺣدث أول ﻋﺎﺻﻔﺔ ﺑرﻗﯾﺔ ﻓﻲ ﻓﺻل اﻟﺻﯾف ﻓﻲ ﯾوم اﻟﺛﺎﻟث ﻣن أﻏﺳطس ؟ اﻟﺣــل: ﺑﻔــرض أن Xﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛــل ﻋــدد اﻷﯾــﺎم ) اﺑﺗــداء ﻣــن أول ﯾوﻟﯾــو ( ﺣﺗــﻰ ﺣــدوث أول ﻋﺎﺻــﻔﺔ
ﺑرﻗﯾﺔ ﻓﺈن اﻟﻣطﻠوب ﻫو ﺣﺳﺎب] . P [ X=34أي أن : 33
P X 34 .9 .1 .003. ٣٢٤
ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن . ﻣﺛﺎل ) (٥٥ -٦ اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾؤدي اﺧﺗﺑﺎر ﻣﻌﯾن إﻟﻰ رد ﻓﻌل ﻣوﺟب ﻫو 0.4ﻓﻣـﺎ ﻫـو اﺣﺗﻣـﺎل اﻟﺣﺻـول ﻋﻠـﻰ أﻗـل ﻣن ﺧﻣس ردود ﻓﻌل ﺳﺎﻟﺑﺔ ﻗﺑل أن ﯾﺗﺣﻘق أول رد ﻣوﺟب ؟ اﻟﺣــل: ﺑﻔرض أن Y=X-1ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛل ﻋـدد ردود اﻟﻔﻌـل اﻟﺳـﺎﻟﺑﺔ ﻗﺑـل وﻗـوع رد اﻟﻔﻌـل اﻟﻣوﺟـب . وﻋﻠﻰ ذﻟك : P Y y q yp
y = 0,1,2,...
= 0 , e.w .
اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﻫو : 4
y
P Y 5 .6 .4 .92. y 0
اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ :
`<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=GeometricDistribution[.4 ]CDF[dist,4 0.92224
ﻣﺛﺎل ) (٥٦ -٦ ﺑﻔرض أﻧﻪ أﻟﻘﻲ زﻫرة ﻧرد ﻣﺗزﻧﺔ ﺣﺗﻰ ظﻬور اﻟرﻗم . 1ﻓـﺈذا ﻛـﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ Xﯾﻣﺛـل ﻋـدد اﻟﻣﺣﺎوﻻت اﻟﻣطﻠوﺑﺔ ﺣﺗﻰ ظﻬور اﻟرﻗم 1ﻷول ﻣرة .أوﺟد :
) أ ( داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ X )ب( ) P ( X = 3
) ج ( ) 2, E ( X اﻟﺣــل: )أ( داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﻫﻲ : ٣٢٥
5 x 1 1 f x 6 6 0 , e.w.
x = 1 ,2 ,3 ,...
31
5 1 25 P X 3 P Y 2 6 6 216
()ب ()ج
1 E Y 1 E(Y) 1 5 1 6. p 5 q 6 2 2 2 30 Var(Y 1) Var(Y) 30. p 1 6 ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ E X
: اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=GeometricDistribution[1/6]; PDF[dist,2]
25 216 Mean[dist] 5 =%+1 6 Variance[dist] 30
. اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰﺣﯾث )ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل( ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ ﻧﺳﺗﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ اﻟﺗﺎﻟﻰy ﻟﺗوﻟﯾد ﻋﺷرة ﻗﯾم : وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=GeometricDistribution[1/6]; RandomArray[dist,10] {2,1,1,0,1,0,10,2,0,2}
: ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰy ﻟﺗوﻟﯾد ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=GeometricDistribution[1/6]; 5
٣٢٦
ﯾﻘﺎل أن اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻬﻧدﺳـﻲ ﻟﻼﺣﺗﻣـﺎﻻت ﻟـﯾس ﻟـﻪ ذاﻛـرة ﺑﻣﻌﻧـﻰ أﻧـﻪ إذا ﻟـم ﺗﻛـن اﻟﺣﺎدﺛـﺔ Aﻗـد وﻗﻌـت ﺧــﻼل اﻟﺗﻛـ ـ اررات اﻟﺗ ــﻲ ﻋ ــددﻫﺎ jاﻷوﻟ ــﻰ ﻟﻠﺗﺟرﺑ ــﺔ ﻓــﺈن اﺣﺗﻣ ــﺎل ﻋ ــدم وﻗوﻋﻬ ــﺎ ﺧ ــﻼل اﻟﺗﻛـ ـرارت اﻟﺗ ــﻲ ﻋددﻫﺎ kاﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻫو ﻧﻔﺳﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﺄن اﻟﺣﺎدﺛﺔ ﻟن ﺗﻘﻊ ﺧﻼل اﻟﺗﻛرارت اﻟﺗﻲ ﻋددﻫﺎ kاﻷوﻟﻰ. ﻣﺛﺎل ) (٥٧ -٦ إذا ﻛـﺎن اﺣﺗﻣــﺎل أن ﻻﻋــب ﻛـرة اﻟﺳـﻠﺔ ﯾﺣﺻــل ﻋﻠــﻰ ﻫــدف ﻓـﻲ أي ﻣﺣﺎوﻟــﺔ ﻫــو .3وﺑﻔــرض
أن اﻟﻣﺣـﺎوﻻت ﻣﺳــﺗﻘﻠﺔ .ﻓــﺈن اﺣﺗﻣــﺎل اﺣﺗﯾﺎﺟــﻪ إﻟــﻰ ﺧﻣــس ﻣﺣــﺎوﻻت ﻟﻠﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ أول ﻫــدف ﻫــو . g(5.3) = .7 4 .3 ﺑﻔرض أﻧﻪ ﻗﺎم ﺑﻌﺷرة ﻣﺣﺎوﻻت دون اﻟﺣﺻول ﻋﻠـﻰ أي ﻫـدف ﻓـﺈن اﺣﺗﻣـﺎل اﺣﺗﯾﺎﺟـﻪ إﻟــﻰ ﺧﻣـس ﻣﺣــﺎوﻻت ﻟﻠﺣﺻــول ﻋﻠـﻰ أول ﻫــدف ﻣــﺎ زال . 74 .3أﯾﺿـﺎً اﺣﺗﻣــﺎل اﺣﺗﯾﺎﺟــﻪ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺛر ﺧﻣس ﻣﺣﺎوﻻت ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ أول ﻫدف ﻫو : 5
= 1- q 5
i 1
pq
= G 5.3
i=1
5
= 1- .7
= .83193=P(Y 4). اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ :
`<<Statistics`DiscreteDistributions ;]dist=GeometricDistribution[.3 ]CDF[dist,4 0.83193
٣٢٧
اﻟﻔﺻل اﻟﺳﺎﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ ﺧﺎﺻﺔ
٣٢٨
) (١-٧اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم
Uniform Distribution
ﺑﻔرض أن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻﻼً ﯾﺄﺧذ ﻗﯾﻣﻪ ﻓﻲ ﻓﺗرة ﻣﺣدودة ،ﻟﺗﻛن اﻟﻔﺗرة اﻟﻣﻔﺗوﺣﺔ ) ، ( a, bوﺑﻔـرض أن داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻬـذا اﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻫـﻲ f (x) = cﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة ). ( a, b
fﻻﺑ ـ ـ ـ ـ ـ ــد أن ﺗﺣﻘـ ـ ـ ـ ـ ــق اﻟﺷـ ـ ـ ـ ـ ــرط أن f (x)dx 1وﻫـ ـ ـ ـ ـ ــذا ﯾﻌﻧ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻰ أن :
اﻟداﻟـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ )(x
b
) c ( b-a
b a
1 c dx c xوﻋﻠــﻰ ذﻟــك ) . c 1/ ( b - aﺑوﺿــﻊ f(x)=0ﺧــﺎرج a
أﯾﺿـﺎ ﺗﺗﺣﻘـق .ﯾﺳـﻣﻰ ﻫـذا اﻟﺗوزﯾـﻊ ﺑـﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم ﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة
اﻟﻔﺗـرة ﻓـﺈن اﻟﺧﺎﺻـﯾﺔ f (x ) 0
) (a, bﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
1 a x b b-a 0 , e.w.
f (x; a, b)
ﺳـوف ﻧﻛﺗـب ) X ~ UNIF (a , bﻟﻠدﻻﻟـﺔ ﻋﻠـﻰ أن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻـﻼً ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﻧﺗظم .ﯾﻌطﻰ ﻫذا اﻟﻧﻣوذج اﺣﺗﻣﺎل اﺧﺗﯾﺎر ﻧﻘطﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة ) .( a , bأﻫـم ﺗطﺑﯾـق ﻟﻬـذا
اﻟﺗوزﯾﻊ ﻫو ﺗوﻟﯾد اﻷرﻗﺎم اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣﺎﺳب اﻵﻟﻰ وﺗﺣت ﻓـرض أن اﻟﺑﯾﺎﻧـﺎت اﻟﺗـﻰ ﻧﺣﺻـل ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣﺄﺧوذة ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﻣﻧﺗظم ) . UNIF (0, 1 داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ) X ~ UNIF (a, bﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
F( x; a, b) 0 x -a b-a 1
x a a x b b x.
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ
p. أي أن : ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﯾس ﻟﻪ ﻣﻧوال .
) ( 100 pوذﻟك ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
xp a ba
F (x p ; a, b )
xp = a + ( b – a ) p .
ﻣﺛﺎل ) (١ -٧
٣٢٩
إذا ﻛﺎن اﻟزﻣن اﻟذى ﯾﺳـﺗﻐرﻗﻪ ﺷـﺧص ﻟﻠـذﻫﺎب ﻣـن ﻣﻧزﻟـﻪ إﻟـﻰ ﻣﺣطـﺔ اﻟﻘطـﺎر ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم
ﺑـﯾن 20 , 15دﻗﯾﻘـﺔ .ﻓـﺈذا ﻛــﺎن اﻟﺷـﺧص ﯾﻐـﺎدر ﻣﻧزﻟــﻪ ﻋﻧـد اﻟﺳـﺎﻋﺔ 7:30ﺣﺗــﻰ ﯾﻠﺣـق اﻟﻘطــﺎر واﻟذى ﯾﻐﺎدر اﻟﻣﺣطﺔ ﻋﻧد اﻟﺳﺎﻋﺔ . 7: 48اﻟﻣطﻠوب ﺣﺳﺎب اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻠﺣق اﻟرﺟل اﻟﻘطﺎر . اﻟﺣــل: ﺑﻔـرض أن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻـﻼً ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم ﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة ] . [ 15, 20اﻟﻣطﻠـوب
ﺣﺳـ ــﺎب اﻻﺣﺗﻣـ ــﺎل ) P(15 X 18وذﻟـ ــك ﻷن اﻟﻘطـ ــﺎر ﯾﻐـ ــﺎدر اﻟﻣﺣطـ ــﺔ ﺑﻌـ ــد 18دﻗﯾﻘـ ــﺔ ﻣـ ــن ﻣﻐﺎدرة اﻟﺷﺧص ﻟﻣﻧزﻟﻪ .ﺑﻣﺎ أن b – a = 20 – 15 = 5وﻋﻠﻰ ذﻟك : 18
1 dx 5 15 x 18 3 . 5 15 5
P ( 15 X 18 )
اﻻن ﺳوف ﯾﺗم اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣن اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : x
1
18
15 20 15
3 5
وﻟﻠﺗﻌرف ﻋﻠﻰ اﻟﺧﺻﺎﺋص اﻻﺳﺎﺳﯾﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺑﺻورة ﺧﺎﺻﺔ و ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ ﯾﺗم ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ :
ContinuousDistributionsﺗﺣت اﻟدﻟﯾل Statisticsوذﻟك ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ : ` <<Statistics`ContinuousDistributionsﺛم ﺗﻧﻔﯾذة ﻛﻣﺎ ﺷرﺣﻧﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎ . ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذﻩ اﻟﺣزﻣﺔ وﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟرﺋﯾﺳﯾﺔ ﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺧﺗﺎر Help وﻣﻧﻬﺎ ﻧﺧﺗﺎر Help Broswerﻟﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
٣٣٠
اﻻن ﺳوف ﻧﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ﻛﯾﻔﯾﺔ اﻻﺳﺗﻔﺎدة ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﺧص اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻣﺛﺎﻟﻧﺎ ﻧﻛﺗب اﻻﺗﻰ :
`<<Statistics`ContinuousDistributions ]dist=UniformDistribution[15,20 ]UniformDistribution[15,20 ]a=PDF[dist,18
1 5
ﻟﺣﺳﺎب )P ( X =18 ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : ﻻﺛﺑﺎت ان ﻣﺟﻣوع ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﺗﺳﺎوى واﺣد وﻫﻰ اﺣدى ﺷروط داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل
ﻧﻛﺗب :
]CDF[dist,20]-CDF[dist,15 1 ٣٣١
ﻟﺣﺳﺎب ) P ( X 1 8
ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
]CDF[dist,18
3 5
ﻟﺣﺳﺎب ) P ( X 3
ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : ]CDF[dist,3 0
ﻟﺣﺳﺎب ) P ( X 3 0
ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : ]CDF[dist,30 1
ﻟﻠﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ﻓﺿﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : ]Domain[dist ]}Interval[{15,20
ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : ]Mean[dist
35 2
ﻟﺤﺴﺎب ﺗﺒﺎﯾﻦ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
]Variance[dist
ﻟﺣﺳﺎب اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
25 12
]StandardDeviation[dist
5 2 3
ﻟﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
]Skewness[dist 0 ٣٣٢
ﻟﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : ]Kurtosis[dist
9 5
ﻟﺣﺳﺎب ) E ( X 2ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : ExpectedValuex2, dist, x
ﻟﺣﺳﺎب ) E ( X 3
925 3
ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
ExpectedValuex3, dist, x 21875 4
ﻟﺣﺳﺎب ) E ( X 4ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
ExpectedValuex4, dist, x 97625
ﻟﺗوﻟﯾد ﻋﺷرة ﻗﯾم ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : ]RandomArray[dist,10 {16.6861,19.8197,17.1564,19.9501,17.4936,16.0747,19.2026,15.2206,17.5 }121,16.2474
ﻟﺗوﻟﯾد ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ : ]Random[dist 15.603
وﻫﻧﺎك ﺑﻌض اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت ﯾﻣﻛن اﺟراﺋﻬﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗﻛﺎﻣل اﻟﻌﺎدى ودون اﺳﺗﺧدام اﻟﺣزم ،ﻓﻌﻠﻰ
ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻻﺛﺑﺎت ان ﻣﺟﻣوع ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﺗﺳﺎوى واﺣد وﻫﻰ اﺣدى ﺷروط داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻧﻛﺗب : 1
x
1
20
15 20 15
1 1
٣٣٣
ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺑﯾﺎن ) f(x), F(xﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ : ﻣ ــن ﺑرﻧـ ــﺎﻣﺞ KnoxProb
ﻧﺗﺑـ ــﻊ ﻧﻔـ ــس اﻟﺧط ـ ـوات اﻟﺗ ــﻰ اﺗﺑﻌـ ــت ﻓـ ــﻰ اﻟﻣﺛـ ــﺎل ) (٦-٣ﺣﺗـ ــﻰ
اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺟزء Sec 3.2وﻫﻧﺎ ﯾﺗم ﺗﺻﻔﺢ ﻫذا اﻟﺟزء ﺣﺗـﻰ ﯾـﺗم اﻟوﺻـول اﻟـﻰ اﻟﺷـﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
ﺣﯾــث ﯾــﺗم اﻟﺿــﻐط ﻋﻠــﻰ اﻟﻘــوس اﻻﯾﺳــر ﻟﻠﺟــزء اﻟﻣظﻠــل ﺑــﺎﻟﻠون اﻟرﻣــﺎدى واﻟﺗﻧﻔﯾــذ ﻛﻣــﺎ ﺳــﺑق ان اوﺿﺣﻧﺎ ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻻﺗﻰ واﻟذى ﯾوﺿﺢ ﺑﯾﺎن )f(x), F(x
ﻟﺗوزﯾﻊ اﺧر وﻗد ﺗم اﯾﺟﺎد اﻟرﺳﻣﺗﯾن ﻣﻌﺎ.
٣٣٤
وﺑﺎﻟﻧﺳــب ﻟﻣﺛﺎﻟﻧــﺎ ﻓﻠــم ﻧﺳــﺗطﻊ ﻟــذﻟك ﺳــوف ﻧﻐﯾــر ﻓــﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت وﻧرﺳــم ﻛــل رﺳــﻣﺔ ﻋﻠــﻰ ﺣــدة ﻛﻣــﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ : ;]g[x_,a_,b_]:=PDF[UniformDistribution[a,b],x Plot[g[x,15,20],{x,15,20},PlotStyle>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times;]}Roman",8 0.4
0.3
0.2
0.1
20
18
19
17
16
;]G[x_,a_,b_]:=CDF[UniformDistribution[a,b],x Plot[G[x,15,20],{x,15,20},PlotStyle>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times;]}Roman",8 1
0.8
0.6
0.4
0.2
20
18
19
17
16
ﺗوﻟﯾد ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺑﻔرض اﻧﻧﺎ اﺟرﯾﻧﺎ ﻣﺣﺎﻛﺎة ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ) (0,10وذﻟك ﺑﺗوﻟﯾـد ﻋﯾﻧﺗـﯾن ﻛـل ﻣﻧﻬﻣـﺎ ﻣـن
100ﻗﯾﻣــﺔ ﺗﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﻧــﺗظم ﻓــﻰ اﻟﻔﺗـرة ) (0,10وذﻟــك ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻻﻣــر RandomArrayﺛــم اوﺟدﻧﺎ اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى ﻟﺗﻠك اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻋﺷرة اﻋﻣدة ﺳوف ﻧﺟـد ان اﻟﻣـدرج ﻟـﻪ ﻧﻔـس ﺗﺳـطﺢ ﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ وذﻟك ﻣن ﺧﻼل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ : ٣٣٥
uniflist1=RandomArray[UniformDistribution[0,10],100]; uniflist2=RandomArray[UniformDistribution[0,10],100]; Show[GraphicsArray[{Histogram[uniflist1,10,Endpoints{0,1 0},DisplayFunctionIdentity,NumDigits1],Histogram[unifli st2,10,Endpoints{0,10},NumDigits1,DisplayFunctionIdent ity]}],DisplayFunction$DisplayFunction]; 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0.51.52.53.54.55.56.57.58.59.5
0.51.52.53.54.55.56.57.58.59.5
.(٦-٣) وﻗد ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺳﺎﺑق ﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ اﺗﺑﻌت ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل (٢ -٧ ) ﻣﺛﺎل ﻗﺎم ﺑﺎﺣث ﻓﻲ ﻣﺟﺎل ﻋﻠم اﻷﺣﯾﺎء ﺑوﺿـﻊ ﻣﺟﻣوﻋـﺔ ﻣـن اﻟﺣﻣـﺎم ﻓـﻲ ﻏرﻓـﺔ ﻣظﻠﻣـﺔ ﻟﻌـدة أﯾـﺎم ﺛـم ﺑﻌـد
: ﻓﺈذا ﻛﺎن اﺗﺟﺎﻩ اﻟطﯾران ﻟﻠطﺎﺋر ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺣﯾث. ذﻟك ﺗم إطﻼﻗﻬم ﻓﻲ اﻟﺿوء . P ( 210 X 220 )
أوﺟد. X ~ [ 0, 360 ] :اﻟﺣــل
: ﻓﺈنX ~ UNIF (0, 360) ﺗﺣت ﻓرض أن
P ( 210 X 220 ) F (220) - F (210) 220 - 0 210 0 360 - 0 360 0 1 . 36
: اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺳوف ﯾﻛون ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ Statistics`ContinuousDistributions` dist UniformDistribution0, 360; CDFdist, 220 CDFdist, 210
1 36
: اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾــن
: ﻓﺈنX ~ UNIF (a, b) إذا ﻛﺎن
٣٣٦
1 dx b-a
b E(X) x a 2
b a 2 (b a )(b a ) a b , ) 2( b a ) 2( b a 2 b
1 E(X ) x 2 dx b a a 2
) b 3 a 3 (b 2 ab a 2 )(b a ) 3(b a ) 3(b a
b 2 ab a 2 . 3
وﻋﻠﻰ ذﻟك :
b 2 ab a 2 (a b) 2 Var (X) 3 4 2
(b - a) 2 . 12 وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﻧﺗﺎج أن ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ ﻫو ﻧﻘطﺔ اﻟوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﯾﺗﻧﺎﺳب ﻣﻊ طول اﻟﻔﺗرة
) . ( a, bﻋﻠــﻰ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل إذا ﻛﺎﻧــت ﻗـراءة درﺟــﺔ اﻟﺣـ اررة ) ﻣﻘــﺎس ﺑﺎﻟﻔﻬرﻧﻬﯾــت ( ﻋﻧــد ﻧﻘطــﺔ زﻣﻧﯾـﺔ ﻣﺧﺗـﺎرة ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻓـﻲ ﻣوﻗـﻊ ﻣـﺎ ﯾﺗﺑـﻊ ) ٕ X ~ UNIF (50 , 90واذا ﻛﺎﻧـت اﻟﻘـراءة ﻓـﻲ ﻣوﻗـﻊ آﺧ ــر ﯾﺗﺑ ــﻊ )110
(30,
UNIF
~
. Yاﻟﻣﺗوﺳ ــط ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـ ـرﯾن Y
,
Xواﺣ ــد ﺣﯾ ــث
X Y 70ﺑﯾﻧﻣﺎ 2X 400 / 3أﺻﻐر ﻣن . 2Y 1600 / 3 اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺳﯾﻛون ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`ContinuousDistributions ;]dist=UniformDistribution[a,b ]Mean[dist a b
2 ]Variance[dist
1 a b2 12
ﻟﻘد اﺛﺑﺗﻧﺎ ان اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﯾﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﻧﺗﺻف اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﯾن . a,bﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ واﻟﻣﺎﺧوذ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث اﻟﺟزء Sec3.3ﺣﯾث ﺗم ﺗوﻟﯾد 1000ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم 10ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ) (2,6وﻗد ﺗم اﯾﺟﺎد اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻛل ٣٣٧
وﻫو4 ﻋﯾﻧﺔ ﺛم ﺗﻣﺛﯾل ﻫذﻩ اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ وﻗد وﺟد ﻣن اﻟرﺳم ان اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﯾﻘﺗرب ﻣن )ﻗﺎﻧون اﻟﻘوةStronge Law of Large Number اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ وﻫو ﯾﺣﻘق ﻧظرﯾﺔ
. ( ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة واﻟذي ﺳوف ﻧﺗﻧﺎوﻟﻪ ﺑﺎﻟﺗﻔﺻﯾل ﻓﻰ اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻣن
Needs["Statistics`ContinuousDistributions`"] SimMeanSequence[distribution_,nummeans_,m_]:= Module[{nextsample,meanlist,runningsum,currnumobs}, currnumobs=0; runningsum = 0; meanlist = {}; While[currnumobs<nummeans, nextsample=RandomArray[distribution,m]; currnumobs = currnumobs+m; runningsum=runningsum + Apply[Plus,nextsample]; AppendTo[meanlist,runningsum/currnumobs]]; ListPlot[meanlist,PlotStyle->PointSize[.02],PlotJoined>True,DefaultFont{"Times-Roman",8}]]
SeedRandom[439873]; SimMeanSequence[UniformDistribution[2,6],1000,10]; 4.1
4.05
20
40
60
80
100
3.95
3.9 3.85
(٣ -٧ ) ﻣﺛﺎل ( واوﺟـدﻧﺎ اﻟﻣﺗوﺳـط0,2) ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻧـﺗظم ﻓـﻰ اﻟﻔﺗـرة40 ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم100 ﺑﻔرض اﻧﻧﺎ ﻗﻣﻧﺎ ﺑﺗوﻟﯾد ﻟﻛل ﻋﯾﻧﺔ ﺛم ﻗﻣﻧﺎ ﺑﺗﻣﺛﯾل ﺗﻠك اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣـدرج اﻟﺗﻛـررى وذﻟـك ﺑﺎﺳـﺗﺧدام ﺑرﻧـﺎﻣﺞ : ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰSec4.1 اﻟﺟزءKnoxProb SeedRandom[98996]; sampmeans=Table[Mean[RandomArray[UniformDistribution[0,2] ,40]],{i,1,100}]; g1=Histogram[sampmeans,8,Type->Scaled];
٣٣٨
4
3
2
1
1.22
1.16
1.1
1.04
0.92
0.98
0.87
0.81
ﻣن اﻟرﺳم اﻟﺳﺎﺑق ﻧﺟد ان ﻣﻌظم ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت ﺗﻘﺗرب ﻣن اﻟوﺳـط اﻟﺣﺳـﺎﺑﻰ ﻟﻠﺗوزﯾـﻊ وﻫـو واﺣـد
ﺻــﺣﯾﺢ ﻛﻣــﺎ ان اﻟرﺳــم ﯾﻘﺗــرب ﻣــن ﺷــﻛل اﻟﺟــرس ،اى ﺷــﻛل اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻰ وﻫــذا ﻣــﺎ ﺗــﻧص ﻋﻠﯾــﻪ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ان ﺗوﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﺎت ﯾﻘﺗرب ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛﺑر ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ .
اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣوﻟـدة ﻟﻠﻌـزوم :
e tx e bt e at M X ( t ) E(e ) dx b a ) t (b a a b
tx
وﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎدﻫﺎ ﺑﺎﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : x
1 b a
b
Expx t a
at bt
a t b t
ﻣﺛﺎل ) (٤ -٧ إذا ﻛــﺎن Xﻣﺗﻐﯾـ اًـر ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﻟ ــﻪ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﻧــﺗظم ﻓــﻲ اﻟﻔﺗـ ـرة ). (2, 2أوﺟــد داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻹﺣﺗﻣ ــﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر .ﻣﺎﻫو ) . E(Xﻣﺎﻫو: )P(X 1),P(X 0),P(X 0.2),P(X 2),P(X 1
اﻟﺣــل:
1 1 1 ba 2(2) 4 ٣٣٩
f (x)
أي أن ) f (xﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ:
1 -2 x 2 f (x) 4 0 , e.w
a b 2
E(X) ﻫﻧﺎ a 2,b 2وﻋﻠﻰ ذﻟك:
2 2 0. 2 1 1 1 1 1 1 P(X 1) dx x 1 2 . 4 2 4 2 4 4 1 0 1 0 1 1 P(X 0) dx x 0 2 . 4 2 4 2 4 2 1 2 P(X 2) dx 0. 4 2 1 1 1 1 1 3 P(X 1) dx x 1 2 . 4 2 4 2 4 4 1 2 1 2 1 P(X 2) dx x 2 2 1. 4 2 4 2 4 E (X )
.
ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن .
) ( ٢-٧اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻰ The Normal Distribution : ﯾﻌﺗﺑـر اﻟﻌـﺎﻟم ) Abraham de Moivre (1733أول ﻣـن ﻧﺷـر ﺑﺣـث ﻋـن اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻰ وذﻟك ﻛﺗﻘرﯾب ﻟﺗوزﯾـﻊ ﻣﺟﻣـوع ﻣﺗﻐﯾـرات ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﺗﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ذى اﻟﺣـدﯾن .وﯾﻣﻛـن اﻟﻘـول أن اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻰ ) أﺣﯾﺎﻧـﺎ ﯾﺳـﻣﻰ ﺗوزﯾـﻊ ﺟـﺎوس ( Gaussian distributionﯾﻌﺗﺑـر أﻫـم ﺗوزﯾـﻊ اﺣﺗﻣـﺎﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺟﺎل اﻻﺣﺗﻣﺎل واﻹﺣﺻﺎء ﻓﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﻌددﯾﺔ ﯾﻘﺗـرب ﻣﻧﺣﻧﺎﻫـﺎ ﻛﺛﯾـراً ﻣـن
اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل اﻷطـوال ،اﻷوزان ،ﻗﯾﺎﺳـﺎت اﻷﺧطـﺎء ﻓـﻰ اﻟﺗﺟـﺎرب اﻟﻧﻔﺳـﯾﺔ ، ﻗﯾﺎﺳـﺎت اﻟـذﻛﺎء ،اﻟــدرﺟﺎت ﻓـﻰ اﻻﺧﺗﺑــﺎرات اﻟﻣﺧﺗﻠﻔـﺔ ،اﻟﻘﯾﺎﺳــﺎت اﻹﻗﺗﺻـﺎدﯾﺔ … اﻟــﺦ .أﯾﺿـﺎً ﺣﺗــﻰ ٣٤٠
ﻟو ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻘطﻊ ﻓﺈن ﻣﺟﻣوﻋﻬﺎ أو ﻣﺗوﺳطﻬﺎ ﯾﺗﺑـﻊ ﺗﻘرﯾﺑـﺎً اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻰ وذﻟـك ﺗﺣـت ﺷـروط ﻣﻧﺎﺳـﺑﺔ واﻟـذى ﯾﻌﺗﺑــر أﺳـﺎس ﻧظرﯾــﺔ اﻟﻧزﻋـﺔ اﻟﻣرﻛزﯾــﺔ اﻟﺗـﻰ ﺳـوف ﻧﺗﻧﺎوﻟﻬــﺎ ﻓـﻰ اﻟﻔﺻــل اﻟﺛـﺎﻣن .ﯾﻘــﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـ ـ ـ ــر اﻟﻌﺷ ـ ـ ـ ـواﺋﻰ Xإﻧـ ـ ـ ــﻪ ﯾﺗﺑـ ـ ـ ــﻊ اﻟﺗوزﯾـ ـ ـ ــﻊ اﻟطﺑﯾﻌـ ـ ـ ــﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗـ ـ ـ ــﯾن ، ( 2 , ) , , ﺣﯾ ـ ـ ـ ــث 0 , - ﺣﯾ ــث ﻣﻌﻠﻣ ــﺔ اﻟﻣوﻗ ــﻊ و ﻣﻌﻠﻣـ ــﺔ اﻟﻘﯾ ــﺎس إذا ﻛ ــﺎن داﻟ ــﺔ اﻟﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ Xﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : 2 2 1 e (x -) /( 2 ) - x 2 2.71828ﺑﯾﻧﻣــﺎ ﺗﻣﺛــل اﻟﺛﺎﺑــت ﺣﯾــث eﺗرﻣــز ﻷﺳــﺎس اﻟﻠوﻏــﺎرﯾﺗم اﻟطﺑﯾﻌــﻰ وﺗﺳــﺎوى ﺗﻘرﯾﺑــﺎً
f (x; , )
اﻟﻣﺷـﻬور ﻓـﻰ اﻟرﯾﺎﺿــﯾﺎت واﻟـذى ﻗﯾﻣﺗــﻪ ﺗﻘرﯾﺑـﺎً . 2.14159ﺳــوف ﻧﻛﺗـب ) X ~ N(, 2ﻟﻠدﻻﻟــﺔ
ﻋﻠ ـ ــﻰ أن Xﻣﺗﻐﯾـ ـ ـراً ﻋﺷـ ـ ـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑ ـ ــﻊ اﻟﺗوزﯾ ـ ــﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ـ ــﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗ ـ ــﯾن . 2 , ﺑﯾ ـ ــﺎن ) f ( x; , 2
ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ
ﺣﯾ ــث ﯾظﻬ ــر اﻟﻣﻧﺣﻧ ــﻰ اﻟطﺑﯾﻌ ــﻰ ﻣﺗﻣﺎﺛ ــل ﺣ ــول وﯾﺄﺧ ــذ ﺷ ــﻛل اﻟﺟ ــرس ) أو اﻟﻧ ــﺎﻗوس ( وﯾﺗﻘ ــﺎرب طرﻓﺎ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﻣن اﻟﺻﻔر ﻋﻧد x أو . x
ﺗﺣﻘق اﻟداﻟﺔ ) f ( x; , 2ﺷرطﻰ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل وﻫﻣﺎ : )أ(
f ( x ; , 2 ) 0
)ب(
2 f ( x; , ) dx 1
ﻟﻠﺗﻌرف ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻊ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺣﻣل اﻟﺣزﻣﺔ :
NormalDistributionﺗﺣت اﻟدﻟﯾل Statisticsﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ٣٤١
`<<Statistics`NormalDistribution
ﻓﻣﺛﻼ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر: ]CDF[NormalDistribution[,],x وﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻞ اﻟﻤﺌﯿﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ ) (100 pﻧﺴﺘﺨﺪم اﻻﻣﺮ: ]Quantile[NormalDistribution[,],p
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ Standard Normal Distribution : إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻣﺗوﺳطﻪ ﺻﻔر وﺗﺑﺎﯾﻧﻪ اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ﻓﺈﻧﻪ ﯾﺳﻣﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ
اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ .ﺑﻔرض أن Zﺗرﻣز ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻲ ﻗﯾﺎﺳﻲ ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟذﻟك اﻟﻣﺗﻐﯾر ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻵﺗﻲ : z2
1 2 f (z) e , - z 2 إذا ﻛﺎن z1ﻋدد ﺣﻘﯾﻘﻲ ﻣوﺟب ﻓﺎن اﻻﺣﺗﻣﺎل ) ( z1 Z 0ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ،وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻓﻲ ﻣﻠﺣق ). (٣
اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت اﻟواﻗﻌﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻲ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻏﯾر ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ ﻟﻘﯾم zاﻟﺳﺎﻟﺑﺔ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬم ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺧﺎﺻﯾﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛل ﻟﻠﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ .
اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟواﻗﻌﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﺑﯾن z 0و z z1ﺗﺳـﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ
اﻟواﻗﻌﺔ ﺑﯾن z z1و z 0أي أن : ) P( z1 Z 0) P(0 Z z1
ﻣﻌظم اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة ) (-3,3وﻧﺎدرا ﻣﺎ ﻧﺟد ﻗﯾم ﺗﻘﻊ ﺧﺎرج ھذه اﻟﻔﺗرة .
ﻣﺛﺎل)(٥-٧ إذا ﻛﺎن Zﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ اﺣﺳب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻵﺗﯾﺔ ﻣﻊ ﺗوﺿﯾﺢ ٣٤٢
ذﻟك ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ . )أ( )P(0 Z 1.05 )ج( )P( 0.47 Z 0.95 )ھـ( )P( Z 2.02
)ب( )P( 1.06 Z 1.06 )د( )P(1.6 Z 2 )و( )P( Z 0.45
)ز( )P( Z 1.07
اﻟﺣــل : )أ( ﻹﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ) P(0 Z 1.05ﻧﺑﺣث ﻓﻲ اﻟﻌﻣود اﻷول ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻣﺎل ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻋن اﻟﻘﯾﻣﺔ 1.0ﺛم ﻧﺗﺣرك أﻣﺎم ھذه اﻟﻘﯾﻣﺔ أﻓﻘﯾﺎ ﺣﺗﻰ ﻧﺻل إﻟﻰ اﻟﻌﻣود اﻟذي رأس ﻋﻧواﻧﮫ اﻟرﻗم 0.05ﻓﺗﻛون ھﻲ اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣطﻠوﺑﺔ أي أن : . P(0 Z 1.05) 0.3531 واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮫ ﻣﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ KnoxProbاﻟﺠﺰء Sec3.1ﺑﺎﺗﺒﺎع اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺘﻰ ذﻛﺮﻧﺎھﺎ ﻓﻰ ﻣﺜﺎل ) (٦-٣ﻣﻊ
ﺗﻐﯾﯾر ﻓﻰ ﺑﻌض اﻻواﻣر ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﯾﻧﺎﺳب ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
`<<Statistics`Continuous Distributions ]f[x_]:=PDF[NormalDistribution[0,1],x {{PlotContsProb[f[x],{x,-3,3},{0,1.05},Ticks3,0,1.05,3},Automatic},AxesOrigin{0,0},PlotRangeAll,Def ;]}aultFont{"Times-Roman",8 ٣٤٣
0.4
0.3
0.2
0.1
3
3
1.05
)ب( اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ھو ) P(1.06 Z 1.06وھو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
وﻧظرا ﻟﺗﻣﺎﺛل اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻓﺎن : )P(1.06 Z 1.06) P(1.06 Z 0) P(0 Z 1.06
2P(0 Z 1.06) 2(0.3554) 0.7108. )ج( اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ھو ) P(0.47 Z 0.95وھو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
وﻧظرا ﻟﺗﻣﺎﺛل اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻓﺈن : )P (0.47 Z 0.95) P ( 0.47 Z 0) P (0 Z 0.95 P (0 Z 0.47) P (0 Z 0.95) 0.1808 0.3289 0.5097.
٣٤٤
)د( اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ھو ) P(1.6 Z 2وھو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
أي أن : )P(1.6 Z 2) P(0 Z 2) P(0 Z 1.6 0.4772 0.4452 0.032.
)ھـ( ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺣﻘﯾﻘﺔ أن ) P( Z 0ﯾﺳﺎوي ﻧﺻف اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻛﻠﯾﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ أي أن P( Z 0) 0.5وﻋﻠﻰ ذﻟك :
)P(Z 2.02) P( Z 0) P(0 Z 2.02 0.5 0.4783 0.0217.
)و( اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ھو ) P( Z 0.45وھو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
و ﻧظرا ﻟﺗﻣﺎﺛل اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻓﺈن : )P( Z 0.45) P( Z 0.45 ) P(Z 0) P(0 Z 0.45 0.5 0.1736 0.3264.
)ز(اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ھو ) P( Z 1.07وھو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
٣٤٥
وﻻن اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻣﺗﻣﺎﺛل وﻣﺳﺎﺣﺔ ﻛل ﺟﺎﻧب ﻣن ﺟﺎﻧﺑﻲ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗﺳﺎوي 0.5ﻓﺎن : )P( Z 1.07) P( Z 0) P(0 Z 1.07 0.5 0.3577 0.8577.
اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎرھﺎ ﺗﻣﺎرﯾن ﺗﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ .
ﺟداول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﻘوم ﺑرﻧﺎﻣﺞ Mathematicaﺑﺣﺳﺎب اﻟﻘﯾﻣﺔ z1 z ﺣﯾث : 2
) P( z1 Z 0) P(0 Z z1
ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ .
ﻣﺛﺎل )(٦-٧ ﻗدر اﻟﻘﯾم z
ﻟﻠﻘﯾم .1,.05,.01,.001,.0001,.00001
2
اﻟﺣــل : ﺳوف ﯾﺗم ﺣل ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ Mathematicaوذﻟك ﺑﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎھزة : Statistics`ContinuousDistributionsوذﻟك ﻣن ﺧﻼل اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`ContinuousDistributions
وﻟﻠﺗذﻛﯾر ﻓﺈن اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎھزة DiscriptiveStatisticsﺗﺗﺣﻣل ﺗﻠﻘﺎﺋﯾﺎ . ٣٤٦
ﺣﯾث: zdist=NormalDistribution[0,1] اﻻﻣر : ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣرz ﯾﻌرف اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ وﻟﺣﺳﺎب ﻗﯾم ﻋدﯾدة ﻟـzdist 2 commonvalues=Map[{#,(100-#)/100,(100#)/200,Quantile[zdist,(100+#)/200]}&,{90,95,99,99.9,99.99,99.999}]// N
{x,(100 x) /100,(100 x) / 200, z }
وذﻟك ﻟﺗﻘدﯾر اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ
2
: ﺑﺣﯾث انX=90,95,99,99.9,99.999 : ﻟﻛل ﻣن اﻟﻘﯾم
(100 x) (100 x) , . 100 200 2
: ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر
TableFormcommonvalues, TableHeadings , "Confidence Level", , 2, z2 ﯾﺗم اظﮭﺎر اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ 2
Confidence Level
90. 95. 99. 99.9 99.99 99.999
0.1 0.05 0.01 0.001 0.0001 0.00001
0.05 0.025 0.005 0.0005 0.00005 5. 106
z 2
1.64485 1.95996 2.57583 3.29053 3.89059 4.41717
. وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺧطوات اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ واﻟﻣﺧرﺟﺎت <<Statistics`ContinuousDistributions` zdist=NormalDistribution[0,1];
commonvalues=Map[{#,(100-#)/100,(100#)/200,Quantile[zdist,(100+#)/200]}&,{90,95,99,99.9,99.99,99.999}]//N ;
TableFormcommonvalues, TableHeadings , "Confidence Level", , 2, z2
٣٤٧
2
z 2
1.64485 1.95996 2.57583 3.29053 3.89059 4.41717
0.05 0.025 0.005 0.0005 0.00005 5. 106
Confidence Level 90. 95. 99. 99.9 99.99 99.999
0.1 0.05 0.01 0.001 0.0001 0.00001
اﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ ﻻﺳﺗﺧراج اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ : اﻵن ﻧﻌود ﻣرة أﺧري إﻟﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ طﺑﯾﻌﻲ ﻣﺗوﺳطﮫ واﻧﺣراﻓﮫ اﻟﻣﻌﯾﺎري .ﯾﻣﻛن ﺗﺣوﯾل اﻟﻣﺗﻐﯾر Xإﻟﻰ ﻣﺗﻐﯾر طﺑﯾﻌﻲ ﻗﯾﺎﺳﻲ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : X .
Z
اﻟﺗﺣوﯾل ﻣن Xإﻟﻰ ﯾﻣﺛل اﻧﺗﻘﺎل ﻟﻧﻘطﺔ اﻷﺻل ﻣﺻﺣوﺑﺎ ً ﺑﺗﻐﯾر ﻟﻣﻘﯾﺎس اﻟرﺳم .ﻋﻧدﻣﺎ x ﻓﺈن ، z 0وﻋﻧدﻣﺎ x ﻓﺈن ، z - 1وﻋﻧدﻣﺎ x 2ﻓﺈن z 2ھﻛذا .أي أن ﻣﻘﯾﺎس اﻟرﺳم ﻗد ﺗﻐﯾر ﺣﯾث ﺗﻧﺎظر ﻣﺳﺎﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺣور اﻟﺳﯾﻧﺎت ﻣﺳﺎﻓﺔ ﻗدرھﺎ واﺣد ﻋﻠﻰ ﻣﺣور ، zوﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ﺟداول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻟﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻷي ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ طﺑﯾﻌﻲ ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻷﻣﺛﻠﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ .
ﻣﺛﺎل)(٧-٧ ﻓﻲ ﻣدﯾﻧﺔ ﺻﻐﯾرة وﺟد أن أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣرارة ﻣﺳﺟﻠﺔ ﯾوﻣﯾﺎ ﺧﻼل ﻓﺻل اﻟرﺑﯾﻊ ﻟﮭﺎ ﻣﺗوﺳط 20cاﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري 5cﺑﻔرض أن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ) Xأﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣرارة ﯾوﻣﯾﺎ ( ﯾﺧﺿﻊ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ،أوﺟد اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﻣﺋوﯾﺔ ﻟﻸﯾﺎم اﻟﺗﻲ ﻓﯾﮭﺎ أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣرارة : )ب(ﻋﻠﻰ اﻷﻗل 28c )أ(ﺑﯾن 22cو 26c
اﻟﺣــل : )أ( إذا ﻛﺎن Xﯾرﻣز ﻷﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣرارة ﻣﺳﺟﻠﺔ ﯾوﻣﯾﺎ ﻓﺎن Xﯾﻛون ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ طﺑﯾﻌﻲ ﻣﺗوﺳطﮫ 20واﻧﺣراﻓﮫ اﻟﻣﻌﯾﺎري 5 .اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ اﻟﻣﻧﺎظر ھو : X - X 20 . 5
Z
ﻋﻧدﻣﺎ x1 22ﻓﺈن : 22 20 0. 4. 5
z1
وﻋﻧدﻣﺎ x 2 26ﻓﺎن : 26 20 1. 2. 5
٣٤٨
z2
اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ھو ) p(22X26وھو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
أي أن : )P(22 X 26) P(0.4 Z 1.2 0.3849 0.1554 0.2295. أي أن اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﻣﺋوﯾﺔ ﻟﻸﯾﺎم اﻟﺗﻲ ﻓﯾﮭﺎ أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣرارة ﺑﯾن ) 22cو ( 26cھﻲ . %
)ب( ﻋﻧدﻣﺎ x1 28ﻓﺈن : 28 20 1. 6. 5
z1
اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ھو ) P(X 28وھو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
أي أن : )P(X 28) P(Z 1.6 ) P( Z 0) P(0 Z 1.6 0.5 0.4452 0.0548.
أي أن اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﻣﺋوﯾﺔ ﻟﻸﯾﺎم اﻟﺗﻲ ﻓﯾﮭﺎ أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣرارة ﻓوق 28cھﻲ . 5.48 % اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎرھﺎ ﺗﻣﺎرﯾن ﺗﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ . اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X ﺣﯾث ) X ~ N(, 2ﻓﺈن Var(X) 2 ,E(X) اﻟرﺳم اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbاﻟﺟزءSec4.1
ﺑﺎﺗﺑﺎع اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ ذﻛرﻧﺎﻫﺎ ﻓﻰ ﻣﺛﺎل ) . (٦-٣ﻓﻰ ﻫذا اﻟرﺳم اﻋﺗﺑرت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ داﻟﺔ ﻓﻰ . x, ﺑﯾﻧﻣﺎ اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﺛﺎﺑت وﯾﺳﺎوى اﺛﻧﯾن. ٣٤٩
Plot3D[f[x,,2],{x,-8,8},{,-2,2},PlotPoints->30, ViewPoint->{-0.012, -3.293, 0.779},AxesLabel;]}>{"x","",None},DefaultFont{"Times-Roman",8 1 2
0
1
2
0.2 0.15 0.1 0.05 0 0
5
5
x
اﻟوﺳﯾط واﻟﻣﻧوال وﻧﻘﺎط اﻻﻧﻘﻼب : إذا ﻛﺎن ) X ~ N(, 2ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط = اﻟﻣﻧوال = اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ . و ﻧﻘطﺗﻰ اﻻﻧﻘﻼب ﺗﻛون ﻋﻧد x
ﻣﺛﺎل ) (٨ -٧ إذا ﻛـ ـ ــﺎن Xﻣﺗﻐﯾـ ـ ــر ﻋﺷ ـ ـ ـواﺋﻲ ﯾﺗﺑـ ـ ــﻊ اﻟﺗوزﯾـ ـ ــﻊ اﻟطﺑﯾﻌـ ـ ــﻲ ﺑﻣﺗوﺳـ ـ ــط 100واﻧﺣ ـ ـ ـراف ﻣﻌﯾـ ـ ــﺎري 500أوﺟد ) P(X 100؟ وﺑدون إﺳﺗﺧدام اﻟﺟداول. اﻟﺣــل:
X 100 100100 ), 500 500 P(Z0)0.5.
(P(X 100) P
X 100 ﺣﯾث 500 اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ٠Z
`<<Statistics`NormalDistribution
1-CDF[NormalDistribution[100,500^2],100]//N 0.5
٣٥٠
ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎن ) X ~ N(, 2ﻓﺈن: )أ(
1 t 2 2 2
M X (t) e
)ب(
, r =1,2,...
)ج (
, r = 1,2,...
2! 2r r!2r
2r
)E(X
E(X ) 2r 1 0
ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻫو : 1 32 / 32 / 2 0 ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻫو : 2 4 / 22 3. ﯾﺗرك ذﻟك ﻛﺗﻣرﯾن ﻻﺳﺗﺧراﺟﻪ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ . ﻣﺛﺎل ) (٩ -٧ ﻟﻠرﺟــوع اﻟــﻰ ﻣﺛــﺎل ) (٦-٣ﺑﻔــرض اﻧﻧــﺎ ﻗﻣﻧــﺎ ﺑﺗوﻟﯾــد 100ﻋﯾﻧــﺔ ﻣــن اﻟﺣﺟــم 40ﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﻧــﺗظم ﻓــﻰ
اﻟﻔﺗرة ) (0,2واوﺟدﻧﺎ اﻟﻣﺗوﺳـط ﻟﻛـل ﻋﯾﻧـﺔ ﺛـم ﻗﻣﻧـﺎ ﺑﺗﻣﺛﯾـل ﺗﻠـك اﻟﻣﺗوﺳـطﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾـﺎ ﺑﺎﺳـﺗﺧدام اﻟﻣـدرج اﻟﺗﻛررى وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbاﻟﺟزء Sec4.1ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ;]SeedRandom[98996 ]sampmeans=Table[Mean[RandomArray[UniformDistribution[0,2 ;]},40]],{i,1,100 ;]g1=Histogram[sampmeans,8,Type->Scaled 4
3
2
1
1.22
1.16
1.1
1.04
0.98
0.92
0.87
0.81
ﻣن اﻟرﺳم اﻟﺳﺎﺑق ﻧﺟد ان ﻣﻌظم ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت ﺗﻘﺗرب ﻣن اﻟوﺳـط اﻟﺣﺳـﺎﺑﻰ ﻟﻠﺗوزﯾـﻊ وﻫـو واﺣـد ﺻــﺣﯾﺢ ﻛﻣــﺎ ان اﻟرﺳــم ﯾﻘﺗــرب ﻣــن ﺷــﻛل اﻟﺟــرس ،اى ﺷــﻛل اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻰ وﻫــذا ﻣــﺎ ﺗــﻧص ﻋﻠﯾــﻪ
٣٥١
ﻧظرﯾــﺔ اﻟﻧزﻋــﺔ اﻟﻣرﻛزﯾــﺔ ان ﺗوزﯾ ــﻊ ﻣﺗوﺳــطﺎت اﻟﻌﯾﻧــﺎت ﯾﻘﺗــرب ﻣ ــن اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻰ ﻋﻧــدﻣﺎ ﺗﻛﺑ ــر ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ .
اﻻن اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ) (0,2ﻫو واﺣد واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻫو (2 0) 2 /12 1/ 3
وﻣن اﻟﻣﻌروف ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ ﻟـ Xاﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط 2 .وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺗﻧﺎ ﻓﺎن Xﻟﻪ ﻣﺗوﺳط ﯾﺳﺎوى وﺗﺑﺎﯾن 2ﯾﻛون ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط وﺗﺑﺎﯾن n واﺣد ﺻﺣﯾﺢ وﺗﺑﺎﯾن ﯾﺳﺎوى . (1/ 3) / 40 1/120وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺎن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﺳوف
ﯾﻛون . 1/120 0.09اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾوﺿﺢ ﻟﻧﺎ ان اﻟﺗوزﯾﻊ ل Xﯾﻘﺗرب ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط واﺣد ﺻﺣﯾﺢ ﺣﯾث n=40وﻫو ﺗﻛﻣﻠﺔ ﻟﻠﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺳﺎﺑق.
g2 Plotfx, 1, 1 120 , x, .75, 1.25, DisplayFunction Identity, ;DefaultFont "TimesRoman", 8 Showg1, g2, DisplayFunction $DisplayFunction, ;Ticks 0, .75, 1, 1.25, Automatic 4
3
2
1
1
1.25
) ( ٣-٧ﻧﺼﻒ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻰ Half- Normal Distribution : داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ﯾﺗﺑﻊ )ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ( ﺗﻌرف ﺑﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻋﻠﻰ
اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
0 x
- 2 x 2
2 f (x; , ) e
٣٥٢
0.75
Truncated normal وﯾﻌﺗﺑر ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺿﺔ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻣﺑﺗور : اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﻫﻰ. a x b واﻟذى ﯾﻌرف ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺗرةdistribution -1
b 2 2 2 2 1 1 (x- ) /( 2 ) (x- ) /( 2 ) f (x; , ) e e dx a x b 2 2 a و ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ X ﯾﻌرف ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ﻋﻣوﻣﺎ ﺗوزﯾﻊ ﻧﺻف اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ
. ﺗﺳﺎوى ﺻﻔر اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﯾﻬﺗم ﺑﺎﻟﺣﺎﻟﺔ ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻣﻛنHalf-Normal Distribution ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻣﺳﻣﻰ ﺗﺣت اﻟدﻟﯾلContinuousDistributions اﻟرﺟوع اﻟﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻣن اﻟﺣزﻣﺔ
: وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺑﻌض اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊStatistics
<<Statistics`ContinuousDistributions` f[_,x_]=PDF[HalfNormalDistribution[],x] 2 2 x 2E
Mean[HalfNormalDistribution[]]
1 Variance[HalfNormalDistribution[]] 2
2 2 pdfplot[_]:=Plot[f[,x],{x,0,20},DisplayFunction>Identity] graphs=Table[pdfplot[],{,0.1,0.4,0.1}]; Show[Evaluate[graphs],DisplayFunction->$DisplayFunction] 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
5
10
15
20
Graphics
Gamma Distribution ٣٥٣
( ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ٤-٧)
ﯾﻌﺗﺑــر ﺗوزﯾــﻊ ﺟﺎﻣــﺎ واﺣــد ﻣــن اﻟﺗوزﯾﻌــﺎت اﻟﻣﺗﺻــﻠﺔ اﻟﺷــﺎﺋﻌﺔ اﻻﺳــﺗﺧدام ﻓــﻲ اﻟﺗطﺑﯾــق ،ﻓﻛﺛﯾــر ﻣــن
اﻟﻣﺗﻐﯾ ـرات اﻟﻌﺷ ـواﺋﯾﺔ ﺗﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ ﺟﺎﻣــﺎ ﻣﺛــل زﻣــن اﻟﺧدﻣــﺔ ﻓــﻲ ﻣرﻛــز ﻟﻠﺑﯾــﻊ أو اﻟــزﻣن اﻟــﻼزم ﻹﻋــﺎدة ﺗﺟدﯾد اﻟﺳﯾﺎرة .ﻟﻘد أﺷﺗق اﺳم اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣن ﻋﻼﻗﺗﻪ ﺑداﻟﺔ ﺗﺳﻣﻰ داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ . gamma function ﺗﻌرﯾف :داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ وﯾرﻣز ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟرﻣز ) ، ( kﻷي k > 0ﺗﻌطﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
(k ) t k 1 e t dt .
ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻧدﻣﺎ k = 1ﻓﺈن e t dt 1 1 2 ! (n 1) n
0 0
. (1)
n 1, 2,3,...
ﻧظرﯾـﺔ :ﯾﻘـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ Xأﻧــﻪ ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ﺟﺎﻣــﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗـﯾن 0 , k 0إذا ﻛﺎﻧــت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : 1 x k-1 e x/ , x 0 ) (k 0 , e.w . k
f (x; , k)
ﺗﺣﻘ ــق اﻟداﻟ ــﺔ ) f (x; , kﺷ ــرطﻲ داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل ﺣﯾ ــث f (x; , k) 0وﺑوﺿ ــﻊ
t x / ﻓ ــﻲ اﻟﺗﻛﺎﻣ ــل f (x; , k) dxﻧﺣﺻ ــل ﻋﻠ ــﻰ . (k ) / ( k ) 1ﺳ ــوف 0
ﻧﻛﺗـب ) X ~ GAM (, kﻟﻠدﻻﻟــﺔ ﻋﻠـﻰ أن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻟــﻪ داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل .
)f (x; , k ﯾوﺟد ﺛﻼث أﺷﻛﺎل أﺳﺎﺳﯾﺔ ﻟﻠداﻟﺔ ) f (x; , kﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﺎ إذا ﻛﺎن : k < 1أو k = 1أو .k > 1ﻋﻨـﺪﻣﺎ k = 1ﻓـﺈن f ( 0, , 1 ) 1/وﻋﻨـﺪﻣﺎ k > 1ﻓـﺈن
. f (0; , k) 0وﻋﻨﺪﻣﺎ k<1ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺮاﺳﻲ ﻳﺤﺎذى ) (x; , k
٣٥٤
. y= f
أﺷﻛﺎل ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠداﻟﺔ ) f (x; , kﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن وذﻟك ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن . k ,
وﺑﺎﺗﺒــﺎع ﻧﻔــﺲ اﻟﺨﻄــﻮات اﻟﺘــﻰ اﺳــﺘﺨﺪﻣﻨﺎﻫﺎ ﻓــﻰ ﻣﺜــﺎل ) (٦-٣وﻳﻤﻜــﻦ اﻟﺤﺼــﻮل ﻋﻠــﻰ اﻟﺮﺳــﻤﺘﻴﻦ
اﻟﺴﺎﺑﻘﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺠﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﯩﻴﻦ ﻣﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ : KnoxProb
;]g[x_,k_,_]:=PDF[GammaDistribution[k,],x Plot[{g[x,2,2],g[x,2,3],g[x,3,2]},{x,0,20},PlotStyle>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times;]}Roman",8
٣٥٥
0.175 0.15 0.125 0.1 0.075 0.05 0.025 5
10
15
20
g[x_,k_,_]:=PDF[GammaDistribution[k,],x]; Plot[{g[x,.5,.5],g[x,1,5]},{x,0,8},PlotStyle>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"TimesRoman",8}]; 1
0.8
0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
ﻓﻌﻠــﻰ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل، ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﺗــﺎﻟﻰf (x; , k) ﻛﻤــﺎ ﻳﻤﻜــﻦ اﻟﺤﺼــﻮل رﺳــﻢ ﻟﻠﺪاﻟــﺔ . 2, k=3 ﻋﻧد
<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=GammaDistribution[3,2] ChiSquareDistribution[6] Plot[PDF[dist,x],{x,0,20}]
٣٥٦
0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 20
10
15
5
Graphics
داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ) X ~ GAM (, kھﻲ : t dt.
k -1
e
t
1 k
) ( k
x F (x; , k) 0
ﺑوﺿﻊ u t / ﻓـﻲ اﻟﺗﻛﺎﻣـل ﻓـﺈن ) F (x; , k) F( x ; 1 , kﺣﯾـث ) F (. , kﺗﺳـﻣﻰ داﻟـﺔ
ﺟﺎﻣـﺎ اﻟﻧﺎﻗﺻـﺔ incomplete gamma functionواﻟﺗـﻰ ﺗﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻰ ﻓﻘـط ) ﻣﻌﻠﻣـﺔ اﻟﻘﯾـﺎس ( وذﻟك ﻣن ﺧﻼل اﻟﻣﺗﻐﯾر . x / ﻛﻤــﺎ ﻳﻤﻜــﻦ اﻟﺤﺼــﻮل رﺳــﻢ ﻟﻠﺪاﻟــﺔ ) F(x; , kﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﺗــﺎﻟﻰ ،ﻓﻌﻠــﻰ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل ﻋﻧد . 2, k=3
`<<Statistics`ContinuousDistributions ]dist=GammaDistribution[3,2 ]ChiSquareDistribution[6 ]}Plot[CDF[dist,x],{x,0,20 1 0.8 0.6 0.4 0.2
20
15
٣٥٧
10
5
Graphics
ﻛﻤــﺎ ﻳﻤﻜــﻦ اﻟﺤﺼــﻮل رﺳــﻢ ﻟﻠﺪاﻟــﺔ ) F (x; , kﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﺗــﺎﻟﻰ )ﻛﻣــﺎ ﻫــو ﻣﺗﺑــﻊ ﻓــﻰ ﻣﺛﺎل ) (٦-٣ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن ﻣﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ : KnoxProb , k
;]G[x_,k_,_]:=CDF[GammaDistribution[k,],x Plot[{G[x,2,2],G[x,2,3],G[x,3,2]},{x,0,20},PlotStyle>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times;]}Roman",8 1
0.8
0.6
0.4
0.2
20
10
15
5
ﻋﻣوﻣــﺎً داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر Xﺣﯾــث ) X ~ GAM (, kﻻ ﯾﻣﻛــن وﺿــﻌﻬﺎ ﻓــﻲ ﺷــﻛل ﺻﯾﻐﺔ وﻟﻛن إذا ﻛﺎﻧت kﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب ﻓﺈن اﻟﺗﻛﺎﻣل ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻪ ﻛﻣﺟﻣوع . ﻧظرﯾﺔ :
( x / )i x/ e . !i
k -1 F ( x; , k ) 1 - i0
ﻣﺛﺎل ) (١٠ -٧ ٣٥٨
: أوﺟدX ~ GAM (1, 2 ) إذا ﻛﺎن زﻣن اﻟﺗﻔﺎﻋل ﯾﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﺣﯾث ٠ P( 3 X 5)
()أ
٠P( X > 4 )
()ب :اﻟﺣــل
: ( ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ٥) اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻓﻲ )أ( و )ب( ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎدﻫﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺟدول ﻓﻲ ﻣﻠﺣق
P( 3 X 5 ) F (5, 2 ) - F (3, 2 ) .95957 - .80085 .15872 . P( X 4 ) 1 - P( X 4 )
()أ ()ب
= 1 – F (4; 2) = 1 - .90842 = .09158 . : ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=GammaDistribution[2,1] GammaDistribution[2,1] CDF[dist,5]-CDF[dist,3]//N 0.158721 1-CDF[dist,4]//N 0.0915782
Sec4.4 ﺑﺎﻟذﻫﺎب اﻟﻰ اﻟﺟزءKnoxProb ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻓﻰ )ا( ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ : وﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧﺗﻧﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ Needs["KnoxProb`Utilities`"]; f[x_]:=PDF[GammaDistribution[2,1],x]; PlotContsProb[f[x],{x,0,18},{3,5},Ticks{{1,3,5,7,9,11,13 ,15},Automatic},DefaultFont{"Times-Roman",8}];
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
1
3
5
7
9
11
13
٣٥٩
15
اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎدﻩ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ . 5
N fx x 3
0.158721
ﻣﺛﺎل ) (١١ -٧ إذا ﻛــﺎن زﻣــن اﻟﺑﻘــﺎء ) ﻣﻘــﺎس ﺑﺎﻷﺳــﺑوع ( ﻟــذﻛر اﻟﻔــﺄر اﻟﻣﻌــﺎﻟﺞ ﺑﺄﺷــﻌﺔ ﺟﺎﻣــﺎ ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻰ Xﺣﯾث ) X ~ GAM (15, 8 أوﺟد اﻻﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻔﺄر ﺳوف ﯾﺑﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﻗﯾد اﻟﺣﯾﺎة ﺑﯾن 120 , 60أﺳﺑوع . اﻟﺣــل:
ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟدول ﺟﺎﻣﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
) P(60 X 120 ) P(X 120 ) - P( X 60 ) = F (120 / 15 ; 8 ) - F( 60/15 ; 8 ) = F (8; 8 ) - F (4; 8 = .54704 - .05113 = . 49591 .
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ :
`<<Statistics`ContinuousDistributions ]dist=GammaDistribution[8,15 ]GammaDistribution[8,15 CDF[dist,120]-CDF[dist,60]//N 0.495906
ﻣﺛﺎل ) (١٢ -٧ ٣٦٠
ﺑﻔرض أن اﻟﻣﻛﺎﻟﻣﺎت اﻟﻣﺳﺗﻘﺑﻠﺔ ﻓﻲ ﺳوﯾﺗش ﺗﺗﺑﻊ ﻋﻣﻠﯾـﺔ ﺑواﺳـون ﺣﯾـث 5ﻣﻛﺎﻟﻣـﺎت ﻓـﻲ اﻟدﻗﯾﻘـﺔ
.ﻓﺈذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﻣﺛل اﻟزﻣن ﺑﺎﻟدﻗﺎﺋق ﺣﺗـﻰ اﺳـﺗﻘﺑﺎل ﻣﻛـﺎﻟﻣﺗﯾن ﺣﯾـث X 1 ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن , k 2أوﺟد )٠ P(X 1 5
ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ
اﻟﺣــل:
x x 1 P(X x) xe dx. 2 0 2 P(X 1) 25 xe 5x dx 0 P(X 1) 1e5 (15) 0.959. ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن . ﻣﺛﺎل ) (١٣ -٧ إذا ﻛﺎﻧت ﻛﻣﯾﺔ اﻟﺗرﺳﯾب ﻓﻲ ﻧﻬر ) ﻣﻘﺎس ﺑﺎﻟﺑوﺻﺔ ( ﺗﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﺣﯾث ). X ~ GAM (.2, 6
اﻟﻣطﻠوب ٠P ( X > 2 ) : اﻟﺣــل:
x 6-1 e (x/.2) dx
1
6
P( X 2 )
)(.2) (6 ) 1- F ( 2; .2, 6 2
10i 10 e 0.067 . i 0 !i واﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﻓﻰ ﻣﻠﺣق ) (٢ﻋﻧد . 10 5
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ]dist=PoissonDistribution[10 ]PoissonDistribution[10 CDF[dist,5]//N 0.067086
٣٦١
: اﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=GammaDistribution[6,.2] GammaDistribution[6,0.2]
1-CDF[dist,2]//N 0.067086
(١٤ -٧ ) ﻣﺛﺎل X ~ GAM (0.5, 10 ) ﺑﻔرض أن ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﺣﯾث ٠
P(X 5),P(5 X 7) أوﺟد :اﻟﺣــل
: ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ ﺣﯾثP(X 5) ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب ﻓﺈنk=10 ﺑﻣﺎ أن P(X 5) F(5,0.5,10)
5 i 5 9 ( ) 9 (10)i 10 0.5 0.5 1 e 1 e 0.542. i! i! i 0 i 0 9 (10)i 10 e 10 ( ﺣﯾث٢) ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﻣن ﺟداول ﺑواﺳون ﻓﻰ ﻣﻠﺣق ﺣﯾث i! i 0 P(5 X 7) F(7) F(5) 9 (14)i 14 9 (10)i 10 (1 e )(1 e )0.349. i! i! i 0 i 0 اﻟﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث ﻧﺗﯾﺟﺔ اﻟﺣل ﻓﻰ . ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰaa1,aa3 <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=PoissonDistribution[10] PoissonDistribution[10] aa1=1-CDF[dist,9]//N 0.54207 dist1=PoissonDistribution[14] PoissonDistribution[14] aa2=1-CDF[dist1,9]//N 0.890601 aa3 =aa2-aa1 0.34853
٣٦٢
ﻣﺛﺎل ) (١٥ -٧
1 إذا ﻛﺎن اﻟدﺧل ﻟﻸﺳرة اﻟواﺣدة ﻓﻲ ﺑﻠد ﻣﺎ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺣﯾث ) , 2 2 ) ﻣﻘﺎس .( $ 10000أوﺟد اﻟﻣﺗوﺳط و ) . P ( X > 2
( X ~ GAM
اﻟﺣــل:
1 ﻣﺗوﺳــط اﻟــدﺧل ﻟﻸﺳ ـرة اﻟواﺣــدة ﻓــﻲ اﻟﺑﻠــد اﻟﻣﻌﻧــﻰ ﻫــو 1 2
) ( k ) 2.ﻣﻘــﺎس
$
.( 10000وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛـل اﻟـدﺧل ،ﺑوﺣـدات ، $ 1000ﻷﺳـرة ﻣﺧﺗـﺎرة ﯾﺗم ﺣﺳﺎب ) P( X > 2ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ:
1 2 1 e 2x dx, x 1 2 ( ) (2) 2 2 4 x e 2x dx, 2 x 2x ( 4) e 2 e 2x dx, 2 2 2 (-2 . e 2x - e 2x ) , 2
P (X 2)
,
2
- ( 2x 1 ) e 2x
5 e 4 .0916 . ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`ContinuousDistributions ]dist=GammaDistribution[2,.5 ]GammaDistribution[2,0.5 ]1-CDF[dist,2 0.0915782
اﻟﻌزوم ﺣـول اﻟﺻﻔـر : ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﺣول اﻟﺻﻔر ﻣن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﺣﯾث :
٣٦٣
x k 1 e x/ M X (t) e k dx ) (k 0 1 k 1 k e(t-1/)x dx x (k) 0 tx
ﺑوﺿﻊ u - (t - 1/) xﻓﺈن : -k
1 1 k 1 u M X (t) t k u e du. (k) 0
أي أن :
t 1/.
-k
M X (t) 1 t
اﻟﻣﺷﺗﻘﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ ، rﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ،ﻫﻲ :
M (Xr ) ( t ) ( k r - 1 )... (k 1 ) k r (1 - t)- k - r (k r) r ( 1- t)-k-r . )(k
وﻋﻠﻰ ذﻟك M X (0) :ﺗﻌطﻰ اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﺣول اﻟﺻﻔر ﺣﯾث : )(r
( k r ) r . ) (k
E(X r )
وﻣن اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻـول ﻋﻠـﻰ اﻟوﺳـط اﻟﺣﺳـﺎﺑﻰ ﻟﻬـذا اﻟﺗوزﯾـﻊ وﻫـو kواﻟﺗﺑـﺎﯾن وﻫو . 2 kﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻫذﻩ اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`ContinuousDistributions ]dist=GammaDistribution[2,.5 ]GammaDistribution[2,0.5 ]Mean[dist 1. ]Variance[dist 0.5 `<<Statistics`ContinuousDistributions ]dist=GammaDistribution[k, ]GammaDistribution[k, ]Mean[dist k ]Variance[dist k 2
ﻋﻧــدﻣﺎ k / 2 , 2ﻧﺣﺻــل ﻋﻠــﻰ ﺻــورة ﺧﺎﺻــﺔ ﻟﺗوزﯾــﻊ ﺟﺎﻣــﺎ ﺗﺳــﻣﻰ ﺗوزﯾــﻊ ﻣرﺑــﻊ
ﻛـﺎي chi – square distributionﺑﻣﻌﻠﻣـﺔ ﺗﺳـﻣﻰ درﺟـﺎت اﻟﺣرﯾـﺔ .ﺗوزﯾـﻊ ﻣرﺑـﻊ ﻛـﺎي ﺳـوف ﻧﻧﺎﻗﺷـﻪ ﺑﺎﻟﺗﻔﺻـﯾل ﻓـﻲ اﻟﺑﻧـد ) . (٤-٧ﻋﻧـدﻣﺎ k = 1ﻧﺣﺻـل ﻋﻠـﻰ ﺣﺎﻟـﺔ ﺧﺎﺻـﺔ ﺗﺳـﻣﻰ
٣٦٤
اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻷﺳــﻰ exponential distributionواﻟــذى ﺳــوف ﻧﻧﺎﻗﺷــﻪ ﺑﺎﻟﺗﻔﺻــﯾل ﻓــﻲ اﻟﺑﻧ ــد ) . ( ٦-٧ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة : اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﻫﻰ :
X ( t ) ( 1 - it ) - k ﻣﺛﺎل ) (١٦ -٧ إذا ﻛﺎن ) X ~ GAM (3, 2أوﺟد )٠ f (x) , M (t) , E(X r ) , F(x X اﻟﺣــل:
x0 1 3
x 1 3 f (x) xe 9
,
, t
M x (t)(13t)2 x k 6.
,r 1,2,3...
2 2k 18. )E(X r )3r (r 2
x u x 1 x F(x) ue 3 du 1 ( 1)e 3 . 90 3
ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ﯾﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ . ﻣﺛﺎل ) (١٧ -٧
1 1 إذا ﻛـ ــﺎن ) X ~ GAM (, kﺑـ ــرﻫن ﻋﻠـ ــﻰ أن اﻟوﺳـ ــط اﻟﺗ ـ ـواﻓﻘﻲ ﺣﯾـ ــث )) ( E H X ﻟﻠﻣﻧوال ﺛم اﺷﺗق ﺻﯾﻐﺔ ) E(X rو rﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب٠ اﻟﺣــل: ٣٦٥
( ﻣﺳـ ــﺎو
ﺣﺳب ﺗﻌرﯾف اﻟوﺳط اﻟﺗواﻓﻘﻲ ﻓﺈن:
x 1 1 1 1 k 1 E( ) e dx, x H X (k)k 0 x x (k )1 1 e dx, x k (k) 0 1 1 (k 1)k 1 . k (k )1 (k) 1
وﻋﻠﻰ ذﻟك:
H (k 1). ﺗﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ﯾﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ .
) ( ٥-٧ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي
The chi – square Distribution
ﻛﻣــﺎ ﺳــﺑق أن ذﻛرﻧــﺎ ﯾﻌﺗﺑــر ﺗوزﯾــﻊ ﻣرﺑــﻊ ﻛــﺎي ﺣﺎﻟــﺔ ﺧﺎﺻــﺔ ﻣــن ﺗوزﯾــﻊ ﺟﺎﻣــﺎ وﯾﻠﻌــب دور ﻫــﺎم
ﻓـﻲ اﻹﺣﺻـﺎء .ﻟـﯾﻛن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ﺟﺎﻣـﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣـﺔ k / 2 , 2ﺣﯾــث ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب ﯾﺳﻣﻰ درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ .داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻲ : 1 f (x; ) x /2-1 e x/2 , 0 x . /2 (/2)2
0 , e.w. ﯾﺳﺗﺧدم اﻟرﻣز ) 2 (ﻟﻠدﻻﻟﺔ ﻋﻠﻰ أن Xﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ . اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ﻫﻣﺎ :
k , 2 k 2 2 . وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﻣﺗوﺳط ﯾﺳﺎوى ﻋدد درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ ،واﻟﺗﺑﺎﯾن ﯾﺳﺎوى ﺿﻌف ﻋدد درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ .ﻣن اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﻲ ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ،ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻣﻛن اﻟﻘول أن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﺗوزﯾﻊ ) 2 (ﻫﻲ :
1 . 2
t
M X ( t ) ( 1 - 2t ) - /2
ﯾﻌطﻰ ﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺛﻼث ﻣﻧﺣﻧﯾﺎن ﻟﺗوزﯾﻊ ) 2 (ﻋﻧد . 2,3,5 ٣٦٦
. KnoxProb اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟرﺳﻣﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ chisq1= Plot[PDF[ChiSquareDistribution[2],x],{x,0,12},DisplayFunc tion->Identity]; chisq2= Plot[PDF[ChiSquareDistribution[3],x],{x,0,12},DisplayFunc tion->Identity]; chisq3= Plot[PDF[ChiSquareDistribution[5],x],{x,0,12},DisplayFunc tion->Identity]; Show[chisq1,chisq2,chisq3,DisplayFunction>$DisplayFunction] 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
2
Graphics
4
6
8
10
12
. KnoxProb ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻋﻧد ﻗﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن 2 () ﯾﻌطﻰ ﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﻧﺣﻧﯾﺎت ﻟﺗوزﯾﻊ f[x_,r_]:=PDF[ChiSquareDistribution[r],x] Plot[{f[x,5],f[x,6],f[x,7],f[x,8]},{x,0,20}, ٣٦٧
PlotStyle{Dashing[{.01}],GrayLevel[.5],Thickness[.004],T ;]}hickness[.01]},DefaultFont{"Times-Roman",8 0.15 0.125 0.1 0.075 0.05 0.025
15
20
5
10
اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد ﺻﯾﻐﺔ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي : ]PDF[ChiSquareDistribution[n],x 1 n 2
2n2 Ex2 x
Gamma n 2
داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
w /2-1 e w/2dw .
1 (/2)2/2
x 0
F( x; )
واﻟﺗﻲ ﻻ ﯾﻣﻛن وﺿﻌﻬﺎ ﻓﻲ ﺷﻛل ﺻﯾﻐﺔ. اﺋﯾﺎ ﺑﻔرض أن اﺣﺗﻣﺎل ﻣوﺟب ٕواذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷو ً
ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﺑدرﺟﺎت
2 ﻫو اﻟﻌدد ﺑﺣﯾث أن : ﺣرﯾﺔ ﻓﺈن )(
P ( X 2 () ) . 2 و ﻫو اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ ) 100(1 ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ. أي أن )(
٣٦٨
وﻷن ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ذات أﻫﻣﯾﺔ ﻛﺑﯾرة ﻓﻲ اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت ﻓﺈن ﻫﻧﺎك ﺟداول ﻹﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺔ ) 2 ( 2 وذﻟك ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن و ﺣﯾث ﺗﺄﺧذ .اﻟﺟدول ﻓﻲ ﻣﻠﺣق ) (٤ﯾﻌطﻰ ﻗﯾم )( اﻟﻘﯾم :
.995 , .99, .975, .95, .90, .10, .05, 0.025, .01, .005 ودرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ﻣن 1إﻟﻰ . 40ﯾوﺿﺢ اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻣن اﻟﺟدول ﻗﯾم واﻟﻌﻣود 2 . وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻷول ﻣن اﻟﺷﻣﺎل ﻗﯾم درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ أﻣﺎ ﻣﺣﺗوﯾﺎت اﻟﺟدول ﻓﻬﻲ ﻟﻘﯾم )( ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ ) 2 (6واﻟﺗﻲ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ ﺗﺳﺎوى .05ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺑﺣث
ﻓﻲ اﻟﺟدول ﻋﻧد ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﺻف اﻟذي ﺑﻪ 6ﻣﻊ اﻟﻌﻣود .05وﻋﻠﻰ ذﻟك . .205 (6) 12.592وﻟﻌدم ﺗﻣﺎﺛل ﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﻓﻼ ﺑد ﻣن اﺳﺗﺧدام اﻟﺟدول ﻹﯾﺟﺎد . .295 (6) 1.635
ﻣﺛﺎل ):(١٨-٧ أوﺟد اﻟﻧﻘﺎط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ 2ﻓﻲ ﻣﻠﺣق ): (٤ 2 ν=12 ، .95 أ-
2 ν=1 ، .05 ب-
اﻟﺣــل: أ= 5.226 - ب= 3.843 -
2 .95 2 .05
ﻣﺛﺎل ) (١٩ -٧ 2 أوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ ) .01 (14ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي .
اﻟﺣــل: ﺑﺎﻟﺑﺣث ﻓﻲ ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﻓﻲ ﻣﻠﺣق ) (٤ﻋﻧد ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﺻف 14ﻣﻊ اﻟﻌﻣود = 0.01ﻧﺟد أن
. 2.01 (14) 29.141
ﻣﺛﺎل )(٢٠ -٧
٣٦٩
إذا ﻛــﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ ﻣرﺑــﻊ ﻛــﺎي ﺑــدرﺟﺎت ﺣرﯾــﺔ أوﺟــد ﻗﯾﻣــﺔ ) 2 (4اﻟﺗــﻲ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎرﻫﺎ ﺗﺳﺎوى . 0.99 اﻟﺣــل: اﻟﻘﯾﻣﺔ ) 2 (4ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎرﻫﺎ ﺗﺳﺎوي .99وﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ 2 .01ﻫﻲ ﺗﻠك اﻟﻘﯾﻣﺔ ﻓﻲ ﺗﺳﺎوى 1- .99 = .01وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن اﻟﻘﯾﻣﺔ (4) 13.277
ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي اﻟﺗﻲ ﺗﻘﻊ ﻋﻧد ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﺻف 4واﻟﻌﻣود . = .01
وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﺣﺳب ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن و ﻣن ﺧﻼل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ. 2
ﻣﺛﺎل )(٢١-٧ ﻗدر اﻟﻘﯾم 2ﻟﻠﻘﯾم .995,.99,.01,.975,.95وذﻟك ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ﻣن ١اﻟﻰ١٥ 2
اﻟﺣل : ﺳوف ﯾﺗم ﺣل ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ Mathematicaوذﻟك ﺑﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎھزة : Statisticsﺗﺣت اﻟدﻟﯾل ContinuousDistributionsوذﻟك ﻣن ﺧﻼل اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`ContinuousDistributions ﻟﺣﺳﺎب اﻟﻘﯾم اﻟﻣطﻠوﺑﺔ ﯾﻛﺗب ﻣﺎ ﯾﻠﻰ : m=Map[Quantile[ChiSquareDistribution[n],#]&,{0.00 ;]}`5`,0.01`,0.025`,0.05 ;]}cv[n_]=Flatten[{n,m
ﯾﺗم اظﮭﺎر اﻟﺟدول اﻟﻣطﻠوب ﻣن اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ TableForm t, TableHeadings
", .9952, .992, .9752, .952,
, "Degrees ofFreedom
1 وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺧطوات اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ واﻟﻣﺧرﺟﺎت :
٣٧٠
TableSpacing
`<<Statistics`ContinuousDistributions m=Map[Quantile[ChiSquareDistribution[n],#]&,{0.00 ;]}`5`,0.01`,0.025`,0.05 ;]}cv[n_]=Flatten[{n,m TableForm t, TableHeadings
", .9952, .992, .9752, .952,
, "Degrees ofFreedom
1
TableSpacing
2 0.95
2 0.975
2 0.99
2 0.995
0.00393214 0.102587 0.351846 0.710723 1.14548 1.63538 2.16735 2.73264 3.32511 3.9403 4.57481 5.22603 5.89186 6.57063 7.26094
0.000982069 0.0506356 0.215795 0.484419 0.831212 1.23734 1.68987 2.17973 2.70039 3.24697 3.81575 4.40379 5.00875 5.62873 6.26214
0.000157088 0.0201007 0.114832 0.297109 0.554298 0.87209 1.23904 1.6465 2.0879 2.55821 3.05348 3.57057 4.10692 4.66043 5.22935
0.0000392704 0.0100251 0.0717218 0.206989 0.411742 0.675727 0.989256 1.34441 1.73493 2.15586 2.60322 3.07382 3.56503 4.07467 4.60092
Degrees of Freedom
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
إذا ﺗﻛرر ﺳﺣب ﻋﯾﻧﺎت ﻣن اﻟﺣﺟم nﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺗﺑﺎﯾﻧﻪ ٕ 2واذا ﺗم ﺣﺳﺎب ﺗﺑﺎﯾن
اﻟﻌﯾﻧﺔ s2ﻟﻛل ﻋﯾﻧﺔ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻗﯾم ﻟﻺﺣﺻﺎء . S2اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ ﻟﻺﺣﺻﺎء S2ﻟﻪ
ﺗطﺑﯾﻘﺎت ﻗﻠﯾﻠﺔ ﻓﻲ اﻹﺣﺻﺎء .اﻻﻫﺗﻣﺎم ﯾﻛون ﻓﻲ ﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾر X2واﻟﺗﻲ ﺗﺣﺳب ﻗﯾﻣﺗﻪ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻵﺗﯾﺔ : .
(n 1)s 2 2 2
ﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ X2ﯾﺳﻣﻰ ﺗوزﯾﻊ ) 2ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى ( ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ n 1ﺣﯾث ﺗﺳﺎوى اﻟﻣﻘﺎم ﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ . s2 ٣٧١
اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻌرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ crimeratesﺑﯾﺎﻧﯾﺎ واﻟﺗﻰ ﺣﺟﻣﻬﺎ .25 crimerates={7.08,7.04,6.27,5.03,4.75,4.44,4.43,4.33,4.28, 4.09,3.87,3.76,3.67,3.66,3.37,3.22,2.88,2.86,2.73,2.72,2. ;}65,2.59,2.55,2.54,2.42,1.68 ;]}DotPlot[crimerates,DefaultFont{"Times-Roman",8
7
6
5
4
2
3
ﻟﺣﺳﺎب ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ : ]Ssquared=Variance[crimerates ]S=StandardDeviation[crimerates 1.92459 1.3873
ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن 90%ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : n 1S 2 b , n 1S 2 a
ﺣﯾث a,bﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ : ]a=Quantile[ChiSquareDistribution[25],.05 ]b=Quantile[ChiSquareDistribution[25],.95 14.6114 37.6525
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن 90%ﺗﻛون :
25 S
a
,
25 S
b
}{5.39647,8.99452
ﺣﯾث . 25 n 1 اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbﻣن اﻟﺟزء Sec4.5واﻟذى ﯾﻌطﻰ
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣﻣﺛل ﺑﺎﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى واﻟﺗﻰ ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﻣن 200ﻋﯾﻧﺔ ﺗم ﺗوﻟﯾدﻫﺎ ﻣن اﻟﺣﺟم 10ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﻣﺗوﺳطﻪ ﺻﻔر وﺗﺑﺎﯾﻧﻪ واﺣد ﺻﺣﯾﺢ .ﺣﯾث numvarsﺗرﻣز ﻟﻌدد اﻟﻌﯾﻧﺎت و sampsizeﺗرﻣز ﻟﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ و ,ﻫﻣﺎ ﻣﻌﺎﻟم اﻟﺗوزﯾﻊ ٣٧٢
ﯾﻼﺣظ ان اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى ﻣﻠﺗوى ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﯾﺳﺎر وﻫو ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﯾﺷﺑﺔ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى. اﻟطﺑﯾﻌﻰ : 39 ( اىn-1) ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ
Needs["KnoxProb`Utilities`"]; SimSampleVariances[numvars_,sampsize_,_,_]:= Table[Variance[RandomArray[NormalDistribution[,],sampsi ze]],{i,1,numvars}]; SeedRandom[984562]; Histogram[SimSampleVariances[200,10,0,1],8]; 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
0.34
0.64
0.94
1.25
1.55
1.85
2.15
2.46
.,=6 ﻧﻔس اﻟﻛﻼم ﻋن اﻟﻣدرج اﻟﺳﺎﺑق وﻟﻛن ﻫﻧﺎ Needs["KnoxProb`Utilities`"]; SimSampleVariances[numvars_,sampsize_,_,_]:= Table[(Variance[RandomArray[NormalDistribution[,],samps ize]]-)((sampsize-1)/(^2)),{i,1,numvars}]; SeedRandom[984562]; Histogram[SimSampleVariances[200,10,60,6],8]; 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
11.97
9.24
6.52
3.79
1.07
1.66
٣٧٣
4.38
7.11
) (٦-٧ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﺎى Chi Distribution داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﺗوزﯾﻊ ﻛﺎى ﺑدرﺟﺔ ﺣرﯾﺔ 0ﻫﻰ :
0 x , >0
1
2
x -1 e x /2 ,
f (x; )
1 2
(/2)2 0 , e.w.
اذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراﻋﺷواﺋﯾﺎ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﻓﺎن اﻟﺟذر اﻟﺗرﺑﯾﻌﻰ ﻟـ Xﻫو ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ﯾﺗﺑﻊ ﻛﺎي .وﻻن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻌﯾﻧﺎت ﻣﺎﺧوذة ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﻟﻬﺎ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﻓﺎن
اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣﺎﺧوذة ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻛﺎي . ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﺎن ﺗﻣﺛﯾل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻋﻧد 1,2,5ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺗﺗم ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ =chi1 Plot[PDF[ChiDistribution[1],x],{x,0,5},DisplayFunction;]>Identity =chi2 Plot[PDF[ChiDistribution[2],x],{x,0,5},DisplayFunction;]>Identity =chi3 Plot[PDF[ChiDistribution[5],x],{x,0,5},DisplayFunction;]>Identity ]Show[chi1,chi2,chi3,DisplayFunction->$DisplayFunction 0.8
0.6
0.4
0.2
5
3
4
2
1
Graphics
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اى ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﺑﻧﻔس اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺗﻰ ﺣﺻﻠﻧﺎ ﺑﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي .
٣٧٤
) (٧-٧اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻰ The Exponential Distributio ﺗﻌطﻰ ﻋﺎﺋﻠﺔ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻷﺳﯾﻪ ﻧﻣﺎذج اﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻣﻔﯾدة ﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻟﻬﻧدﺳﺔ واﻟﻌﻠوم ﺣﯾث
ﺗﺻف ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟظواﻫر ﻣﺛل أﻋﻣﺎر ﺑﻌض اﻟﺳﻠﻊ اﻟﻛﻬرﺑﺎﺋﯾﺔ ،اﻟوﻗت اﻟﻼزم ﺣﺗﻰ ﺗﺗﻌطل ﺑﻌض اﻷﻧظﻣﺔ اﻹﻟﻛﺗروﻧﯾﺔ – وﻗت اﻻﻧﺗظﺎر ﻟوﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ . ﯾﻘﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ Xأﻧﻪ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻰ إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
x 0
1 x f ( x; ) e , 0 , e.w .
ﺣﯾث ﺗﺳﻣﻰ ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣﻘﯾﺎس ) ﺑﻌض اﻟﻣؤﻟﻔﯾن ﯾﺳﺗﺧدﻣون اﻟﺻورة e xﺣﯾث 1 . ﺳوف ﻧﻛﺗب ) X ~ EXP ( ﻟﻠدﻻﻟﺔ ﻋﻠﻰ أن Xﻣﺗﻐﯾ ًار ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ . ﺑﻣﺎ أن ) X ~ exp ( ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺣﯾث k = 1ﻓﺈن اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻣﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ . 2 2 , أي أن ﻛﻼ ﻣن اﻟﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﯾﺳﺎوﯾﺎن . اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺗﻛﺗب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ]PDF[ExponentialDistribution[ ],x اى اﻧﻪ ﺗﻌرﯾف ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
x 0
1 ﺣﯾث
f ( x; ) e x , 0 , e.w .
.
وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺑﯾﺎن f x; ﻋﻧدﻣﺎ .5 , 2 ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ . 2 , 1/ 2
٣٧٥
<<Statistics`ContinuousDistributions` f[x_]:=PDF[ExponentialDistribution[2],x] g[x_]:=PDF[ExponentialDistribution[1/2],x] Plot[{f[x],g[x]},{x,0,2}] 1 0.8 0.6 0.4 0.2
Graphics
0.5
1
1.5
2
. 2.4 ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻋﻧدﻣﺎf x; اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد ﺑﯾﺎن Plot[PDF[ExponentialDistribution[1/2.4],x],{x,0,8}]
0.4
0.3
0.2
0.1
2
4
6
8
Graphics
: ﻫﻲX داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر F (x; ) 1 - e x/
٣٧٦
,
x 0
. .5 , 2 ﻋﻧدﻣﺎF x; وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻻﯾﺟﺎد ﺑﯾﺎن
<<Statistics`ContinuousDistributions` f[x_]:=CDF[ExponentialDistribution[5],x] g[x_]:=CDF[ExponentialDistribution[1/2],x] Plot[{f[x],g[x]},{x,0,2}] 1 0.8 0.6 0.4 0.2
Graphics
0.5
1
1.5
2
(٢١ -٧ ) ﻣﺛﺎل : أوﺟدX ~ Exp (5) ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻰ ﺣﯾثX إذا ﻛﺎن ٠ P( 5
٠ P( X 10 )
()أ
X 10 )
()ب :اﻟﺣــل
P ( X 10 ) F ( 10 ; 5)
()أ
1 - e (.2) (10) 1- e2 1 - .135 .865 . ()ب
٣٧٧
P ( 5 X 10 ) F (10; 5) - F ( 5, 5) (1 - e 2 ) ( 1 - e1 ) . 233 . ( واﻟﺣل )بaa1 اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﺣﯾث اﻟﺣل )ا( ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ : aa2 ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ
<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=ExponentialDistribution[1/5]; aa1=CDF[dist,10]//N 0.864665
aa1
10 1
5
0
Exp
x x N 5
0.864665 aa2=CDF[dist,10]-CDF[dist,5]//N 0.232544
aa2
10 1
5
5
Exp
x x N 5
0.232544
(٢٢ -٧ ) ﻣﺛﺎل اﻟزﻣن ) ﻣﻘﺎس ﺑﺎﻟﺳﺎﻋﺎت ﺑﯾن ﺣوادث اﻟﺳﯾﺎرات ﻓﻲ ﺗﻘﺎطﻊ ﻣﺎ ﺣﯾثX إذا ﻛﺎن . P(X 24) : أوﺟدX ~ Exp (10) :اﻟﺣــل
P ( X 24 ) 1- P( 0 X 24 ) 1 e x/10 dx 0 10 24 1 e x/10 1 e 24/10 - e 0 0 24
1-
e 24/10 .091 . :aa1 اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﺣﯾث اﻟﺣل ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=ExponentialDistribution[1/10]; aa1=1-CDF[dist,24]//N 0.090718
aa1 1
24 0
1 x Exp x N 10 10
0.090718
٣٧٨
ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳـﻰ Applications of the Exponential Distribution ﻋﺎدة ،ﯾﺳﺗﺧدم اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻰ ﻛﻧﻣوذج ﻟﺗوزﯾﻊ اﻷزﻣﻧﺔ ﺑﯾن وﻗوع أﺣداث ) ﻧﺟﺎﺣﺎت ( ﻣﺛل اﻟﻌﻣﻼء اﻟذﯾن ﯾﺻﻠون إﻟﻰ ﻣرﻛز اﻟﺧدﻣﺔ أو اﻟﻣﻛﺎﻟﻣﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﺳﺗﻘﺑﻠﻬﺎ ﻟوﺣﺔ ﺳوﯾﺗش. ﯾرﺟﻊ ذﻟك إﻟﻰ اﻻرﺗﺑﺎط اﻟوﺛﯾق ﺑﯾن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻰ وﺑﯾن ﻋﻣﻠﯾﺔ ﺑواﺳون. ﻧظرﯾﺔ :ﺑﻔرض أن ﻋدد اﻷﺣداث ) X(tاﻟﺗﻲ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻓﺗرة زﻣﻧﯾﺔ طوﻟﻬﺎ tﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ) tﺣﯾث اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟوﻗوع اﻷﺣداث ﻓﻲ وﺣدة واﺣدة ﻣن اﻟزﻣن ( وأن ﻋدد ﻣرات وﻗوع اﻷﺣداث ﻓﻲ ﻓﺗرات زﻣﻧﯾﺔ ﻏﯾر ﻣﺗﻘﺎطﻌﺔ ) ﻣﺗﻧﺎﻓﯾﺔ ( ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن ﺑﻌﺿﻬﺎ .وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن أطوال اﻟﻔﺗرات اﻟزﻣﻧﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﻔﺻل ﺑﯾن ﻟﺣظﺎت وﻗوع اﻷﺣداث
ﺗﻛون ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣﺗﺻﻼ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ .
ﻣﺛﺎل ) (٢٣ -٧ ﺑﻔرض أن اﻟﻣﻛﺎﻟﻣﺎت اﻟﻣﺳـﺗﻘﺑﻠﺔ ﻋﻠـﻰ ﻟوﺣـﺔ اﻟﺳـوﯾﺗش ﺧـﻼل 24ﺗﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ﺑواﺳـون ﺣﯾـث .5
ﻣﻛﺎﻟﻣـﺔ ﻟﻛــل ﯾــوم .وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ﻋــدد اﻷﯾــﺎم Xﺑـﯾن ﺣــدوث ﻣﻛﺎﻟﻣــﺎت ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻷﺳــﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣــﺔ .5
وﻋﻠﻰ ذﻟك اﺣﺗﻣﺎل أن أﻛﺛر ﻣن ﯾوﻣﯾن ﺗﻔﺻل ﺑﯾن اﻟﻣﻛﺎﻟﻣﺎت ﻫو : ) P( X 2 ) 1 - P( X 2 e (.5) (2) .368 . اﻟزﻣن اﻟﻣﺗوﻗﻊ ﺑﯾن ﻣﻛﺎﻟﻣﺎت ﻧﺎﺟﺣﺔ ﻫو 1/ .5 = 2ﯾوم .
ﻧظرﯾﺔ :ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ﻣﺗﺻل Xﻓﺈن ) X~ EXP (إذا وﻓﻘط إذا :
] P[ X a t X a ] P[ X t ﻟﻛل ﻗﯾم . t > 0 , a > 0 أي أن اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﻻ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ aوﻫذا ﯾوﺿﺢ أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻰ ﻫو اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺗﺻل اﻟوﺣﯾد اﻟذي ﯾﺣﻘق ﻓﻘد اﻟذاﻛرة no – memoryوﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أﻧﻪ إذا ﻛﺎن ﺟﻬﺎز ﻗد اﺳﺗﺧدم ﻟﻣدة aوﺣدة زﻣﻧﯾﺔ ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻌﯾش tوﺣدة زﻣﻧﯾﺔ أو اﻛﺛر ﻻ ﯾﻌﺗﻣد ٣٧٩
ﻋﻠﻰ ، aأي ﻻ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻣدة اﻟﺗﻰ ﺳﺑق اﺳﺗﺧداﻣﻬﺎ ﻓﯾﻬﺎ .وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﺟﻬﺎز ﻏﯾر ﻣﻌرض ﻻن ﯾﺑﻠﻰ ﺑﺎﻻﺳﺗﻌﻣﺎل .
ﻣﺛﺎل ) (٢٤-٧ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛل اﻟزﻣن ﻟﻘراءة رﺳﺎﻟﺔ )ﻣﻘﺎس ﺑﺎﻟدﻗﺎﺋق( ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ ﺣﯾث X
) ~ EXP (2أوﺟد:
أ( )P(X 1 ب( اﻟوﺳﯾط )ج( اﻟﻣﺋﯾن ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ ) (90ﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾرX اﻟﺣــل: أ(
x 1 2 2 f (x) e 2 )P(X 1)1 P(X 1)1 P(0 X 1 x x 1 11 ) 1 e 2 dx 1 (e 2 02 0 1 1 1(e 2 e0 )e 2 0.60653 0.607. ب( اﻟوﺳﯾط
٣٨٠
x F(x) 1 e 2 , 1 F(m ) . 2 m m 1 1 1e 2 e 2 , 2 2 1 m 1 ln 2ln m 2 2 2 m 1.38629.
(90) )ج( اﻟﻣﺋﯾن ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ
P F(x ) P(x x ) p p x 0.9 0.91e 2 x 0.9 x e 2 0.1 0.9 ln(0.1) 2 x 0.9 4.60517 4.601.
و )ب( ﺗﺣتaa1 وﻗد ﺗم ﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺣﯾث )ا( ﺗم ﺣﻠﻪ ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ : aa3 و)ج( ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰaa2 اﻟﻣﺳﻣﻰ <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=ExponentialDistribution[1/2];
aa1
1
1 x Exp x N 2 2
0.606531 aa1=1-CDF[dist,1]//N 0.606531 aa2-Quantile[dist,.5]//N 1.38629 aa3=Quantile[dist,.90]//N 4.60517
(٢٥ -٧ ) ﻣﺛﺎل : ﺑﻔرض أن اﻟزﻣن )ﻣﻘﺎس ﺑﺎﻟﺳﺎﻋﺎت( ﻋﻧد ﻓﺷل ﺗرﻧزﺳﺗور ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﺣﯾث X ~ EXP (100) ٠ P(X 10) وP(X 15) أ( أوﺟد ٣٨١
٠ Var(X) ب( أوﺟد :اﻟﺣــل (أ
P(X 15) 1 P(X 15) 1 F(15), 15 100F(15)1e 100 , 15 15 P(X 15)1[1e 100 ]e 100 0.8607. P(X 10) 1 P(X 10) 1 F(10), 10 F(10)1e 100 , 20 10 P(X 20) 1 [1 e 100 ] e 100 0.8607.
2 62 (100)2 ب( اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻫو : وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﺣل اﻟﻣﺛﺎل
<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=ExponentialDistribution[1/100]; aa1 15
1 Exp x x 100 100
N
0.860708 aa1=1-CDF[dist,15]//N 0.860708
1 x Exp x N 100 20 100
aa2
0.818731 aa2=1-CDF[dist,20]//N 0.818731 Variance[dist] 10000
Weibull Distribution ( ﺗﻮزﻳﻊ واﻳﺒـﻞ٨-٧ ) ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﻻﺳﺗﺧداﻣﻪ ﻓﻲ اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت اﻟرﻗﻣﯾﺔ ﻣﺛل أزﻣﻧﺔW. Weibull أﻗﺗرح اﻟﻌﺎﻟم . اﻟﺣﯾﺎة أو ﻗوة اﻟﻛﺳر ﻟﻠﻣﻌﺎدن إذا ﻛﺎﻧت 0 , 0 أﻧﻪ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾنX ﯾﻘﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ
: داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل
٣٨٢
x 0
-1 (x/ ) x e , 0 , e.w .
f ( x; , )
ﺳوف ﻧﻛﺗب ) X ~ WEI ( , ﻟﻠدﻻﻟﺔ ﻋﻠﻰ أن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل
ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن . , ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺷﻛل وذﻟك ﻛﻣﺎ ﻫو اﻟﺣﺎل ﻓﻲ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ .ﯾوﺟد
ﻟﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﺛﻼﺛﺔ أﺷﻛﺎل وذﻟك ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ﺣﯾث < 1أو = 1أو > 1 .1ﻋﻧدﻣﺎ > 1ﻓﺈن f (0; , ) 0وﻋﻧدﻣﺎ = 1ﻓﺈن f (0; , 1 ) أي أن اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﯾﻘطﻊ اﻟﻣﺣور اﻷﺳﻰ ﻋﻧد اﻟﻧﻘطﺔ . 1 / ﻋﻧدﻣﺎ 1 ﻓﺈن اﻟﻣﺣور اﻟراﺳﻲ ﯾﺣﺎذى ) . y = f (x; , أﺷﻛﺎل ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﻣوﺿﺣﺔ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ :
ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻻﯾﺟﺎد أﺷﻛﺎل ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل : `<<Statistics`ContinuousDistributions plotWeibullpdf[ _, _]:=Plot[PDF[WeibullDistribution[ , ;] ],x],{x,0,4},DisplayFunction->Identity ;]}wgraphs=Table[plotWeibullpdf[a,1],{a,1,4 Show[Evaluate[wgraphs],DisplayFunction]>$DisplayFunction,PlotRange->All
٣٨٣
1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 3
4
1
2
Graphics
داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻲ :
x 0.
)F (x; , ) 1 e (x/
ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ) F ( x/ ; , 1 , واﻟﺗﻲ ﺗﻌﻧﻰ أن ﻫﻲ ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣﻘﯾﺎس .ﻋﻧدﻣﺎ = 2ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﻣﻰ رﯾﻸي Rayleigh . distribution
ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻻﯾﺟﺎد ﺑﯾﺎن داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ واﯾﺒﻞ ﻣﻊ ﺑﯿﺎن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻋﻨﺪﻣﺎ 2, 3 وذﻟك ﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ اﺳﺗﺧدﻣﻧﺎﻫﺎ ﻓﻰ ﻣﺛﺎل ) (٦-٣ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ .KnoxProb ;]g[x_, _, _]:=PDF[WeibullDistribution[ , ],x ;]G[x_, _, _]:=CDF[WeibullDistribution[ , ],x Plot[{g[x,2,3],G[x,2,3]},{x,0,8},PlotStyle>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times;]}Roman",8 1
0.8
0.6
0.4
0.2
8
6
4
٣٨٤
2
(٢٦ -٧ ) ﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ) ﻣﻘﺎس ﺑﺎﻟﺑوﺻـﺔ( ﺑـﯾن اﻟﺗﺻـوﯾب ﻟﻠﻬـدف وﻣرﻛـز اﻟﻬـدف ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ واﯾﺑـل ﺣﯾـث . P( X < 5 ) أوﺟدX ~ WEI (10, 2 ) :اﻟﺣــل 2 P ( X 5 ) F ( 5; 10, 2 ) 1 - e (5/ 10) .221 .
ﺗﻌرﯾف اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﻛون ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ dist=WeibullDistribution[,]
: اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣل اﻟﻣﺛﺎل <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=WeibullDistribution[2,10]; CDF[dist,5]//N 0.221199
: اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾـن : ﻫوX ~ WEI (, ) اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر
1 E(X) (1 ), : واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻫو
Var (X) 2
2 1 (1 ) 2 (1 )].
: ( ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ100 p) ﻣن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ
x [ ln(1 p)] p
1 : وﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﺎن
<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=WeibullDistribution[,]; Mean[dist]
Gamma1
1
Variance[dist] 1 2 2 2 Gamma1 Gamma1 Quantile[dist,p] ٣٨٥
1 Log1 p
اﯾﺿﺎ ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﻋﻧدﻣﺎ 2, 3ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣن اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
1 N 3
2 Gamma1 1.78596
) (٩-٧ﺗﻮزﻳـﻊ ﺑﺎرﻳﺘـﻮ Pareto Distribution ﯾﻘﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ Xأﻧﻪ ﯾﺗﺑﻊ ﺗو\زﯾﻊ ﺑﺎرﺗﯾو ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن k > 0 , a > 0إذا ﻛﺎن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : ) (k 1
x 0
,
k x f ( x; a , k) 1 a a 0 e.w.
اﺋﯾﺎ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺗو . ﺳوف ﻧﻛﺗب ) X ~ PAR ( a, kﻟﻠدﻻﻟﺔ ﻋﻠﻰ أن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷو ً اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ kﺗﺳﻣﻰ ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺷﻛل .
داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﺗﻌطﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : k
x 0.
x a
F ( x; a , k) 1 1
وﻻن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن وﺿﻌﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ) F (x/a ; 1, kﻓﺈن aﺗﻛون ﻣﻌﻠﻣﺔ
اﻟﻣﻘﯾﺎس .ﯾﺳﺗﺧدم ﺗوزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺗو ﻛﻧﻣوذج ﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻟطب ﺣﯾث ﯾﺻف زﻣن اﻟﺣﯾﺎة ﺑﻌد ﻋﻣﻠﯾﺔ زرع اﻟﻘﻠب . إذا ﻛﺎن ) X ~ PAR (a, kﻓﺈن ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ وﺗﺑﺎﯾﻧﻪ ﻫﻣﺎ :
)Var (X) a 2 k / [(k - 2) (k - 1) 2 ] , E(X) a / (k - 1
أﯾﺿﺎ اﻟﻣﯾﺋن ذو اﻟرﺗﺑﺔ ) ( 100pﻫوx p a [ (1 - p)1/k 1] : ﻫﻧﺎك ﺷﻛل آﺧر ﻟﺗوزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺗو وﻫو : ) (k 1
y
,
k y f ( y; , k) 0 , e.w.
٣٨٦
, . k > 0 , 0 ﺣﯾث . ﯾﻬﺗم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺑﺎﻟﺻﯾﻐﺔ اﻻﺧﯾرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺗو : ﺑﯾﺎن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻟﻘﯾم ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻣﻌﺎﻟم ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ <<Statistics`ContinuousDistributions` Ppdf[_,k_,x_]=PDF[ParetoDistribution[,k],x] k x1k k Plot[{Ppdf[1,.5,x],Ppdf[1,1,x]},{x,1,5}] 1 0.8 0.6 0.4 0.2
2
3
4
5
Graphics Plot[{Ppdf[10,5,x],Ppdf[10,10,x]},{x,10,15}] 1 0.8 0.6 0.4 0.2
Graphics
11
12
13
14
15
: ( اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗﻣﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ١٠-٧ ) The Lognormal Distribution
٣٨٧
ﯾﻘﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ Xأﻧﻪ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗﻣﻰ إذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ Y
) = ln (Xﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن . 2 , داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ X
ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
x 0
) /(2 2
1 ] e [ln(x)- 2x 0 , e.w.
2
f1 ( x; , )
ﺳوف ﻧﻛﺗب ) X ~ LOG ( , ﻟﻠدﻻﻟﺔ ﻋﻠﻰ أن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗﻣﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن . , وﯾﺟب أن ﺗﻌﻠم أن , ﻫﻧﺎ ﻟﯾﺳت اﻟﻣﺗوﺳط واﻹﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X وﻟﻛﻧﻬﺎ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ). ln (X اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﺣول اﻟﺻﻔر ﻫو : 2 r 2 2
r 1, 2, 3,...
r
e
وﻣﻧﻬﺎ ﻓﺈن : 2
e / 2 , 2
2
Var(X) e 2 . (e 1).
ﺑﯾﺎن ) f ( x; , ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث ﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗﻣﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻟﻪ إﻟﺗواء ﻣوﺟب .
٣٨٨
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑدﻻﻟﺔ داﻟﺔX ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرln (X) ﻷن : أى أن. x > 0 ﻟﻘﯾمZ ~ N (0, 1 ) ﺣﯾثZ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ (z ) اﻟﺗوزﯾﻊ
F1 (x, , ) P ( X x ) P ( ln (X) ln x ) P(
Z
ln(x)- )
ln (x)- . : ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟرﺳوﻣﺎت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ <<Statistics`ContinuousDistributions` LNrml[_,_,x_]=PDF[LogNormalDistribution[,],x]; Plot[{LNrml[0,.3,x],LNrml[0,.5,x],LNrml[0,1,x]},{x,0,5},P lotStyle->{GrayLevel[0],GrayLevel[0.1],GrayLevel[0.5]}] 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
Graphics
1
2
3
4
5
Plot[{LNrml[2,1,x],LNrml[2.5,1,x],LNrml[3,1,x]},{x,0,50}, PlotStyle->{GrayLevel[0],GrayLevel[0.1],GrayLevel[0.5]}] 0.08
0.06
0.04
0.02
10
20
30
40
Graphics
٣٨٩
50
اﻟﻣﻧوال ﻫو : m exp ( - 2 ).
ﻣﺛﺎل ) (٢٧ -٧
إذا ﻛﺎن ) X ~ LOG (3.5 , 1.2أوﺟﺪ ) Var (X) , E(Xوأوﺟد ) P ( 50 X 250 اﻟﺣــل:
= 68
3.5 + .72
E (X) = e
Var (X) = e8.44 ( e1.44 – 1) = 14907.2 . ) P ( 50 X 250 ) = F (250; 3.5, 1.2 ) – F (50, 3.5 , 1.2
ln (250) - 3.5 ln (50) - 3.5 - 1.2 1.2 ) (1.68) - ( .34 .9535 - .6331 .3204 . وذﻟك ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ ﻓﻰ ﻣﻠﺣق ). (٣ ﯾﻣﻛن ﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`ContinuousDistributions ]Mean[dist 68.0335 ]Variance[dist 14907.2 ]CDF[dist,250]-CDF[dist,50 0.319629
) ( ١١-٧ﺗوزﯾـﻊ ﺑﯾﺗـﺎ Beta Distribution ﯾﻘﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ Xأﻧﻪ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم B , A , ( a > 0 , b > 0 ) a , bإذا ﻛﺎن ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل :
٣٩٠
b 1
A x B
Bx BA
1
1 (a b) x-A f (x, a, b, A, B) . B-A (a)(B) B-A 0 , e.w.
اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ Xﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم A, B, a, bﻫﻣﺎ :
a , ab (B A)2 a b 2 . )(a b) 2 (a b 1
A ( B-A) .
ﻣﺛﺎل ) (٢٨ -٧
إذا ﻛ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎن Xﻣﺗﻐﯾـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـراً ﻋﺷـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻊ ﺗوزﯾ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻊ ﺑﯾﺗ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎ ﺣﯾ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــث : a = 2, b = 3 A = 2 , B = 5
أوﺟد اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﺗوزﯾﻊ و ) P ( X < 3 اﻟﺣــل:
E(X) 2 3 (.4) 3.2 , 3 1 4! x 2 5-x 2 )أ( P( X 3) . dx 3 !1 !2 3 3 2 4 3 4 11 4 2 (x 2) (5-x) dx . .407. 27 2 27 4 27 ﻋﻧدﻣﺎ A = 0 , B = 1ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ اﻟﻣﻌﯾﺎرى )اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ(.ﺑﯾﺎن ) f (x; a, b, A, B
ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن . A,Bاﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﻬﺗم ﺑﻬذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ . اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻟﻠداﻟﺔ ) f ( x; a, , A, Bﺳﻬﻠﺔ ﻓﻘط ﻋﻧدﻣﺎ A,Bﺗﺄﺧذ ﻗﯾم ﺻﺣﯾﺣﺔ .
٣٩١
. a, b ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻻﺷﻛﺎل اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣنf (x; a, b ) ﺑﯾﺎن
: ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟرﺳوم اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ <<Statistics`ContinuousDistributions` p1=Plot[PDF[BetaDistribution[2,3],x],{x,0,1},PlotRange>{{0,1},{0,2}},DisplayFunction->Identity]; p2=Plot[PDF[BetaDistribution[3,2],x],{x,0,1},PlotRange>{{0,1},{0,2}},DisplayFunction->Identity]; p3=Plot[PDF[BetaDistribution[2,2],x],{x,0,1},PlotRange>{{0,1},{0,2}},DisplayFunction->Identity]; p4=Plot[PDF[BetaDistribution[1/2,2],x],{x,0,1},PlotRange>{{0,1},{0,2}},DisplayFunction->Identity]; p5=Plot[PDF[BetaDistribution[1/2,1/2],x],{x,0,1},PlotRang e->{{0,1},{0,2}},DisplayFunction->Identity]; p12=Show[p1,p2,DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{{p12,p3},{p4,p5}}],DisplayFunction>$DisplayFunction]
٣٩٢
2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 1
0.2 0.4 0.6 0.8
2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 1
0.2 0.4 0.6 0.8 GraphicsArray
ﻣﺛﺎل ) (٢٩ -٧ إذا ﻛﺎﻧـ ـ ـ ــت ﻧﺳـ ـ ـ ــﺑﺔ اﻟﻘـ ـ ـ ــوة اﻟﻌﺎﻣﻠـ ـ ـ ــﺔ اﻟﻌﺎطﻠـ ـ ـ ــﺔ ﻓـ ـ ـ ــﻰ ﯾـ ـ ـ ــوم ﻣﻌطـ ـ ـ ــﻰ ﻧﺗﺑـ ـ ـ ــﻊ ﺗوزﯾـ ـ ـ ــﻊ ﺑﯾﺗـ ـ ـ ــﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗـ ـ ـ ــﯾن a = 2 , b =1 8أوﺟد :
) < 1
. P ( 0.2 < X
اﻟﺣــل:
(20) .1 17 P(.2 X 1 ) x (1 x) dx (2)(18) .2 .1
17 x(1 x) dx
) (19.18
0.2
-x(1-x)18 (1 x)19 1 ( 19. 18) 18.19 .2 18 1 19 x (1-x)18 - ( 1-x)19 .0829. .2 اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب : `<<Statistics`ContinuousDistributions ;]dist=BetaDistribution[2,18 ]CDF[dist,1]-CDF[dist,.2 0.0828662
اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﺣول اﻟﺻﻔر ﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﯾﺗن a ,bﻫو:
٣٩٣
E(X)r
1 B( a r , b) (a r) (a B) . B(a,b) B(a,b) (a) (a b r) 1
ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾمf (x; a, b) 0 وﺑﻣﺎ أن f ( x; a, b) dx 1 ﻓﺈنk = 0 وﺑوﺿﻊr 0 ﺣﯾث 0
داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﺑوﺿﻊf (x; a, b ) [ ﻓﺈن ﻫذا ﯾﺑرﻫن أن0, 1 ] ﻓﻰ اﻟﻔﺗرةx : ﻓﺈنr = 2, r = 1
(a+1) (a-b) a , (a) (a b 1) a b (a+2) (a-b) (a 1) (a) E(X 2 ) , (a) (a b 2) (a b 1) (a b) E(X)
: وﻋﻠﻰ ذﻟك
E (X) 2 E(X 2 )
a , ab E (X) 2
ab . (a b) (a b 1) 2
: ﻟﻠﺘﺬﻛﯿﺮ
: ﻣﻦ اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰE ( X ) ﻟﺣﺳﺎب 2
2
ExpectedValuex , dist, x
: ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ
E ( X 3 ) ﻟﺣﺳﺎب
ExpectedValuex3, dist, x
: ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰE ( X 4 ) ﻟﺣﺳﺎب ExpectedValuex4, dist, x
: اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻟﻌزوم ﺣول اﻟﺻﻔر واﻟﺗﺑﺎﯾن <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=BetaDistribution[a,b]; ٣٩٤
Mean[dist]
a a b
ExpectedValuex2, dist, x a 1 a a b 1 a b ExpectedValuex3, dist, x Gamma3 a Gammab Betaa, b Gamma3 a b ExpectedValuex4, dist, x Gamma4 a Gammab Betaa, b Gamma4 a b Variance[dist]
ab a b2 1 a b
: ﻓﺈنa = b = 1 ﻋﻧدﻣﺎ
(a b) (2) . x a-1 ( 1-x) b-1 x 0 ( 1-x)0 1 (a)(B) (1)(10) : وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺗﺻﺑﺢ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﺑﯾﺗﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل
1 f (x) 0
0 x 1 , e.w.
. ( 1, 0 ) أى ﺗﺻﺑﺢ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة (٣٠ -٧ ) ﻣﺛﺎل . , 2 أوﺟدa 2,b 3 ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ًا X إذا ﻛﺎن :اﻟﺣــل
a 2 a b 5 ab 1 2 . (a b 1)(a b)2 25
: اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺣل
٣٩٥
<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=BetaDistribution[2,3]; Mean[dist]
2 5 Variance[dist]
Extreme Value ( ﺗﻮزﻳـﻊ١١-٧ ) :ﺗﻌرﯾف
: ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﺑـT إذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ 1
f (t) t
e t
, t 0, 0,0
: ﺣﯾثExtreme Value ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊX ln T ﻓﺈن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ 1 u ln b : ﻓﺎن
1 f (x) e b
x u x u e b b
, x : داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ
F(x) 1 e
x u b
e
, x , b0
وﯾﻣﻛــن اﻟﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻘﯾﺎﺳــﻲ ﺑوﺿــﻊ. ﻣﻌﻠﻣــﺔ اﻟﻣوﻗــﻊu ﻣﻌﻠﻣــﺔ اﻟﻣﻘﯾــﺎس َ وb ﺣﯾــث وﻋﻧدﻫﺎ ﺗﻛون داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎلu 0 , b 1
x e x
f (x) e
, x : اﻟﻌزوم ﺗﻌطﻰ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ
M X (t) (t 1) ٣٩٦
)M(t) (t 1) M(0) (1 E(T) (1) 0.5772 )M(t) (t 1 2 M(0) (1) 2 6 2 2 Var(T) 2 2 6 6
Xu وﻟــﯾﻛن b Xﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﯾم اﻟﺣرﺟﺔ ﺑﺎﻟﻣﻌﺎﻟم . u,b
T ﺣﯾــث Tﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﯾﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ اﻟﻘــﯾم اﻟﺣرﺟــﺔ اﻟﻘﯾﺎﺳــﻲ ،ﻋﻧــدﻫﺎ ﻓــﺈن
E(X) b( ) u 2 V ar(X) b var(T) b . 6 2
اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت :
2
وﯾﻌطﻰ اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ 100pﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ :
p
xp u b e
xp u b e
x p u b x p u b
xp u
1 e
F(x p ) p
1 p e
ln(1 p) e
ln(1 p) e
ln( ln(1 p))
b x p bln( ln(1 p)) u ﺗﻌرﯾف اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﻛون ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ]dist= ExtremeValueDistribution[u,b ﻟﻠﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ﺧﺻﺎﺋص اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺣﻣل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : `<<Statistics`ContinuousDistributions
ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺑﯾﺎن ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺣﯾث u=0,b=1ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
٣٩٧
Plot[PDF[ExtremeValueDistribution[0,1],x],{x,]}2.5,7.5},AxesOrigin->{-2.5,0 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 6
2
4
0
-2 Graphics
اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻻﯾﺠﺎد ﺑﻌﺾ اﻟﻤﺌﯿﻨﺎت وﻣﻘﯿﺎس ﻟﻼﻟﺘﻮاءوﻣﻘﯿﺎس ﻟﻠﺘﻔﻠﻄﺢ ﻋﻨﺪم : u=0,b=1 `<<Statistics`ContinuousDistributions Table[Quantile[ExtremeValueDistribution[u,b],0.25k],{k,1, ]}3 }{-0.326634 b+u,0.366513 b+u,1.2459 b+u Table[Quantile[ExtremeValueDistribution[0,1],0.25k],{k,1, ]}3 }{-0.326634,0.366513,1.2459 Skewness[ExtremeValueDistribution[u,b]]//N 1.13955 Kurtosis[ExtremeValueDistribution[u,b]]//N 5.4
) (١٢-٧ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻰ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ: 1 1 f (x; ) x 1 (x )2 ﯾﺷــﺑﻪ ﺑﯾــﺎن داﻟــﺔ ﻛوﺷــﻲ داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻲ ﻓــﻲ أﻧــﻪ ﻣﺗﻣﺎﺛــل ﺣــول ﻧﻘطــﺔ .ﻫﻧــﺎ ﺗوزﯾــﻊ ﻛوﺷــﻲ ﻣﺗﻣﺎﺛــل ﺣــول . وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ﺗﻌﺗﺑــر ﻣﻌﻠﻣــﺔ اﻟﻣوﻗــﻊ ﻟﻬــذا اﻟﺗوزﯾــﻊ .واﻟﺷــﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻲ ﯾوﺿــﺢ داﻟــﺔ ﻛوﺷﻲ ﻣﻊ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ. .3 .25 .2 .15
0 , 1/.67449
.1
0
.05
4
2
2
٣٩٨
4
: ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ
<<Statistics`ContinuousDistributions` p1= Plot[PDF[CauchyDistribution[0,1],x],{x,5,5},PlotStyle->{GrayLevel[0]},DisplayFunction>Identity]; p2= Plot[PDF[NormalDistribution[0,1/.67449],x],{x,5,5},PlotStyle->{Dashing[{0.02}]},DisplayFunction>Identity]; Show[p1,p2,DisplayFunction->$DisplayFunction] 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -4
Graphics
-2
2
4
. ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻲ ﻓﺈن ﻣﺗوﺳطﻪ ﻏﯾر ﻣوﺟودX إذا ﻛﺎن : ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ﯾﺄﺧذ اﻟﺷﻛلX داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ 1 f (x; , ) , x 2 (x ) 2 : داﻟﺔ ﻛﺛﺎف اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻌرﻓﺔ ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ PDF[CauchyDistribution[ , ],x]
واﻟوﺳـﯾط ﯾﻣﻛـن اﻟﺣﺻـول. ﻏﯾـر ﻣﻌرﻓـﺔ وﻛـذﻟك ﻛـل اﻟﻌـزومf (x; , ) اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠداﻟـﺔ
:ﻋﻠﯾﻪ ﺑﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ
m
1 0 F(m0 ) 2 dx 0.5 (x )2
٣٩٩
m0
1 x tan 1 0.5
1 1 x m0 tan 0
أو . m 0 وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻧوال ﺑﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ:
1 d 2 2 (m ) 0 dx )d 2 f (x; , وﻣﻧﻬﺎ m ﺣﯾث 0 ﻋﻧدﻣﺎ . m dx 2
) (١٣-٧ﺗوزﯾﻊ ﯾﻌ ــد ﺗوزﯾ ــﻊ t
ت
The t Distribution
ﻣ ــن اﻟﺗوزﯾﻌ ــﺎت اﻹﺣﺻ ــﺎﺋﯾﺔ اﻟﻬﺎﻣ ــﺔ اﻟﺗ ــﻰ ﺗﺳ ــﺗﺧدم ﻓ ــﻰ ﻣﺟ ــﺎل اﻹﺣﺻـ ــﺎء
اﻻﺳ ــﺗﻧﺗﺎﺟﻰ ﻹﺟ ـ ـراء اﻟﻌدﯾ ــد ﻣـ ــن اﺧﺗﺑـ ــﺎرات اﻟﻔ ــروض اﻟﻣﺗﻌﻠﻘـ ــﺔ ﺑﺗﺣﻠﯾـ ــل اﻟﺗﺑ ــﺎﯾن وﺗﺻـ ــﻣﯾم اﻟﺗﺟـ ــﺎرب واﺧﺗﺑﺎر ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﺧطوط اﻻﻧﺣدار وﻏﯾر ذﻟك ﻣن اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ . ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎن Zﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ أي أن : )ٕ ، Z ~ N (0, 1واذا ﻛﺎن Wﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي أي أن ) ، W ~ (2 ٕواذا ﻛﺎن Z , Wﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻓﺈن : Z W/ ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ tﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ وذﻟك ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : ][( 1) / 2 f (t) , t ( / 2)(1 t 2 / )( 1) / 2 T
ﯾﻌﺗﺑر اﻟﻌدد ﻫو ﻣﻌﻠﻣﺔ ﺗوزﯾﻊ . tداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣـﺎل ﻟﺗوزﯾـﻊ tﺑـدرﺟﺎت ﺣرﯾـﺔ rﻣـن ﺑرﻧـﺎﻣﺞ KnoxProbﺗﻌرف ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ : ]f[x_,r_]:=PDF[StudentTDistribution[r],x ]f[x,r 1r r2 2 rx
r Beta r , 1 2
٤٠٠
2
. 2, 20 ﺣﯾثt اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾوﺿﺢ ﻣﻧﺣﻧﯾﺎن ﻟﺗوزﯾﻊ
ﯾﻼﺣظ. Z وﻣﻧﺣﻧﻲ 1,3,7 ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔT اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾوﺿﺢ ﺛﻼﺛﺔ اﻟﻣﻧﺣﻧﯾﺎت ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر . اوﺳﻊ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲt ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ أن ذﯾل ﺗوزﯾﻊ
: ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺳﺎﺑق ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ studentpdf[_,x_]=PDF[StudentTDistribution[],x]; normalpdf[_,_,x_]=PDF[NormalDistribution[,],x]; p1= Plot[studentpdf[1,x],{x,-3,3},PlotStyle>{GrayLevel[0]},DisplayFunction->Identity]; p2= Plot[studentpdf[5,x],{x,-3,3},PlotStyle>{GrayLevel[0.1]},DisplayFunction->Identity];
٤٠١
p3= Plot[studentpdf[10,x],{x,-3,3},PlotStyle>{GrayLevel[0.5]}, ;]DisplayFunction->Identity p4= Plot[normalpdf[0,1,x],{x,-3,3},PlotStyle;]>{Dashing[{0.02}]},DisplayFunction->Identity ]Show[p1,p2,p3,p4,DisplayFunction->$DisplayFunction 0.4
0.3
0.2
0.1
3
2
-1
1
-2
-3
Graphics
ﻟﺧﺎﺻﯾﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛل ﻟﺗوزﯾﻊ tﻋﻧد t = 0ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺗوﻗﻊ أن ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ ﻻﺑد وأن ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر ،أي أن E T 0ﻋﻧـ ــدﻣﺎ . 2ﻋﻧـ ــدﻣﺎ 1ﯾﺻـ ــﺑﺢ اﻟﺗوزﯾـ ــﻊ tﻫـ ــو ﺗوزﯾـ ــﻊ ﻛوﺷـ ــﻲ وﯾﻣﻛـ ــن إﺛﺑﺎت أن اﻟﻣﺗوﺳط ﻏﯾر ﻣوﺟود ﻋﻧدﻣﺎ . 1ﺗﺑﺎﯾن Tﻫو : Var(T) E(T 2 ) 3. 2
ﻋﻣوﻣــﺎً ﯾﻛــون ﻣــن اﻟﺻــﻌوﺑﺔ ﺗﻘــدﯾر داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌــﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ . Tﺟــدول ﺗوزﯾــﻊ t ﻓ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻲ ﻣﻠﺣـ ـ ـ ـ ـ ـ ــق ) ( ٥ﯾﻌط ـ ـ ـ ـ ـ ــﻲ P[T t ( )] ﻛﻣـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎ ﻫ ـ ـ ـ ـ ـ ــو ﻣوﺿـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺢ ﻓ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻰ اﻟﺷـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻛل اﻟﺗ ــﺎﻟﻰ ﺣﯾ ــث ) t (ﺗرﻣ ــز ﻟﻘﯾﻣ ــﺔ tاﻟﺗ ــﻲ ﺗوﺟ ــد ﻋﻠ ــﻰ اﻟﻣﺣ ــور اﻷﻓﻘ ــﻲ ﺗﺣ ــت ﻣﻧﺣﻧ ــﻰ ﺗوزﯾ ــﻊ t ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ واﻟﺗﻲ اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ ﻗدرﻫﺎ .
٤٠٢
اﻟﺟدول ﻓﻲ ﻣﻠﺣق ) (٥ﯾﻌطﻰ ﻗﯾم ) t (اﻟﺗﻲ ﺗﻧﺎظر اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ﺣﯾث ﺗﺄﺧذ اﻟﻘﯾم اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ .10, .05, .025, .01, .005, .001, .0005 :ودرﺟﺎت إﻟﻰ .ﯾوﺿﺢ اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻣن اﻟﺟدول ﻗﯾم
اﻟﺣرﯾﺔ ﺗﺄﺧذ اﻟﻘﯾم ﻣن 1
واﻟﻌﻣود اﻷول ﻣن اﻟﺷﻣﺎل ﻗﯾم درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ . أﻣﺎ ﻣﺣﺗوﯾﺎت اﻟﺟدول ﻓﻬﻲ اﻟﻘﯾم ) . t ( وﻷن اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﻣﺗﻣﺎﺛل ﻓﺈن ) t1 ( ) t (ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
ﻣﺛﺎل ) (٣١ -٧ أوﺟد
)ب(
)أ( t .005 15 ,
. t ,995 15
اﻟﺣــل: )أ( ﺑﺎﻟﺑﺣ ــث ﻓ ــﻲ ﺟ ــدول ﺗوزﯾ ــﻊ tﻓ ــﻲ ﻣﻠﺣ ــق ) (٥ﻋﻧ ــد ﺗﻘ ــﺎطﻊ اﻟﺻ ــف 15
.005ﻧﺟد أن
. t .005 15 2.947
)ب( ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺧﺎﺻﯾﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛل ﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗوزﯾﻊ tﻓﺈن: t .995 15 t .005 15
أي أن . t .995 15 2.947
ﻣﺛﺎل ) (٣٢ -٧ أوﺟد ﻗﯾﻣﺔ ﺣﯾث: t (16) 1.746
٤٠٣
واﻟﻌﻣ ــود
اﻟﺣــل: ﺣﯾث أن ﻗﯾﻣﺔ tﺳﺎﻟﺑﺔ ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟذﯾل اﻷﯾﺳر ﻣن ﺗوزﯾﻊ tوﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺧﺎﺻﯾﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛل ﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗوزﯾﻊ tﻓﺈن : t1 (16) t (16) 1.746
وﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ tﻓﻰ ﻣﻠﺣق ) (٤ﻓﺈن 1- = .05
وﻣﻧﻬﺎ . = .95
وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﺣﺳب t ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن و ﻣن ﺧﻼل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ. 2
ﻣﺛﺎل )(٣٣-٧ ﻗدر اﻟﻘﯾم t ﻟﻠﻘﯾم .05,.025,.01,.005,.001,.0005وذﻟك ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ﻣن ١اﻟﻰ١٥ 2
اﻟﺣل : ﺳوف ﯾﺗم ﺣل ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ Mathematicaوذﻟك ﺑﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎھزة : Statistics`ContinuousDistributionsوذﻟك ﻣن ﺧﻼل اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`ContinuousDistributions
اﻻﻣر ]Quantile[StudentTDistribution[n],1-#
ﯾﻌرف ﺗوزﯾﻊ tو ﻟﺣﺳﺎب اﻟﻘﯾم اﻟﻣطﻠوﺑﺔ ﻟـ t ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣرﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن: 2
tvals[n_]:={n,Map[Quantile[StudentTDistribution[n],1;#]&,{.1,.05,.025,.01,.005,.001,.0005}]}//Flatten ;]}commonvalues=Table[tvals[n],{n,1,15
ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ :
TableFormcommonvalues, TableHeadings , "Degrees of Freedom", t.1, t.05, t.025, t.01, t.005, t.001, t.0005 ﯾﺗم اظﮭﺎر اﻟﺟدول اﻟﻣطﻠوب وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺧطوات اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ واﻟﻣﺧرﺟﺎت . `<<Statistics`ContinuousDistributions tvals[n_]:={n,Map[Quantile[StudentTDistribution[n],1;#]&,{.1,.05,.025,.01,.005,.001,.0005}]}//Flatten
٤٠٤
;]}commonvalues=Table[tvals[n],{n,1,15
TableFormcommonvalues, TableHeadings , "Degrees of Freedom", t.1, t.05, t.025, t.01, t.005, t.001, t.0005 t0.0005 636.619 31.5991 12.924 8.6103 6.86883 5.95882 5.40788 5.04131 4.78091 4.58689 4.43698 4.31779 4.22083 4.14045 4.07277
t0.001 318.309 22.3271 10.2145 7.17318 5.89343 5.20763 4.78529 4.50079 4.29681 4.1437 4.0247 3.92963 3.85198 3.78739 3.73283
t0.005 63.6567 9.92484 5.84091 4.60409 4.03214 3.70743 3.49948 3.35539 3.24984 3.16927 3.10581 3.05454 3.01228 2.97684 2.94671
t0.025 12.7062 4.30265 3.18245 2.77645 2.57058 2.44691 2.36462 2.306 2.26216 2.22814 2.20099 2.17881 2.16037 2.14479 2.13145
t0.01 31.8205 6.96456 4.5407 3.74695 3.36493 3.14267 2.99795 2.89646 2.82144 2.76377 2.71808 2.681 2.65031 2.62449 2.60248
t0.05 6.31375 2.91999 2.35336 2.13185 2.01505 1.94318 1.89458 1.85955 1.83311 1.81246 1.79588 1.78229 1.77093 1.76131 1.75305
t0.1 3.07768 1.88562 1.63774 1.53321 1.47588 1.43976 1.41492 1.39682 1.38303 1.37218 1.36343 1.35622 1.35017 1.34503 1.34061
DegreesofFreedom 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ﻓﻲ ﻣﻌظم اﻷﺑﺣﺎث وﻏﺎﻟﺑﺎ ﯾﻛون ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذى ﺗﺧﺗﺎر ﻣﻧﻪ اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻣﺟﻬوﻻ .ﻟﻠﻌﯾﻧﺎت
اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم n >30ﻓﺈن اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺟﯾد ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ 2ﻫو .s2إذا ﻛﺎﻧت n > 30 ﻓﺈن :
x s n
z
ﻫﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ Zﺗﻘرﯾﺑﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ .أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺻﻐﯾر ) ( n < 30ﻓﺈن ﻗﯾم ) (x ) /(s / nﻻ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ .ﻓﻲ ً ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻛون اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﺗوزﯾﻊ ﻹﺣﺻﺎء ﻣﺎ ﺳوف ﻧرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز ، Tواﻟذى ﻗﯾﻣﻪ ﺗﻌطﻰ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
x , s n
t
٤٠٥
2
n
) (x i x
i 1
,i 1,2,..., n
n 1
s
إذا ﻛﺎن xو s2ﻫﻣﺎ اﻟﻣﺗوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم
nﻣﺄﺧوذة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط وﺗﺑﺎﯾن 2ﻏﯾر ﻣﻌروف ﻓﺈن :
x s n
t
ﻫﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ Tﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ tﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ . n 1ﺑﻔرض ان اﻟﻣﺗوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ
ﻟﻌﯾﻧﺔ
ﻣن
اﻟﺣﺟم
n=25
ﻣﺎﺧوذة
ﻣن
ﺗوزﯾﻊ
وﻛﺎﻧت
طﺑﯾﻌﻰ
x 26.5,s 2 2.7, 28ﻓﺎن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻫﻰ ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ T وذﻟك ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbاﻟﺟزء .4.5
26.5 28
25
t
2.7
-2.77778
اﯾﺿﺎ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ) P(T<-2.7778وذﻟك ﻋﻧد درﺟﺔ ﺣرﯾﺔ 24ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ]CDF[StudentTDistribution[24],-2.7778 0.00522692
اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﺎﺧوذ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbاﻟﺟزء Sec 4.5ﺑﻌد ﺗﻌدﯾﻠﺔ ﺣﯾث ﺗم ﺗوﻟﯾد 200ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم 10ﻣﺳﺣوﺑﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط 60واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى 6
٤٠٦
T ﻟﺗﻠك اﻟﻌﯾﻧﺎت ﺑﻣدرج اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ وﻫو ﯾﻌطﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟـt وﻗد ﺗم ﺗﻣﺛﯾل ﻗﯾم . درﺟﺔ ﺣرﯾﺔ وﻧﻼﺣظ ان اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻠﺗوى ﻣن اﻟﯾﺳﺎر39 ( اىn-1) ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ tt[numvars_,sampsize_,_,_]:= Table[(Mean[RandomArray[NormalDistribution[,],sampsize] ]-)/,{i,1,numvars}]; SeedRandom[984562]; Histogram[tt[200,10,60,6],8]; 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
0.61
0.4
0.19
0.02
0.23
0.44
0.65
0.86
ﻣﺳﺣوﺑﺔ ﻣن20 ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم200 ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ وﻟﻛن ﺗم ﺗوﻟﯾد 6 واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى10 ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط
tt[numvars_,sampsize_,_,_]:= Table[(Mean[RandomArray[NormalDistribution[,],sampsize] ]-)/,{i,1,numvars}]; SeedRandom[984562]; Histogram[tt[200,20,10,2],8]; 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
0.55
0.38
0.22
0.05
0.12
0.29
٤٠٧
0.46
0.63
) (١٤-٧ﺗوزﯾﻊ
F
The F Distribution
ﻧظرﯾــﺔ :إذا ﻛــﺎن W , Vﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن ﻋﺷ ـواﺋﯾﯾن ﻣﺳــﺗﻘﻠﯾن ﻛــل ﻣﻧﻬﻣــﺎ ﯾﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ ﻣرﺑــﻊ ﻛــﺎي
ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ 1 , 2ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ،ﻓﺈن : W / 1 F V / 2
ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ Fﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ . 1 , 2داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل Fﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
0u
(1 2 ) / 2](1 / 2 )1 / 2 u 1 / 21 (1 / 2) ( 2 / 2) (1 1u / 2 )(12 ) / 2
f (u)
داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﺗوزﯾﻊ ﺗوزﯾﻊ Fﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ m,nﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbﻣﻌرﻓﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
]f[x,m,n 1 m 1 mn 2 n m x 2
m m2 nn2 x
Beta m , n 2
2
ﯾﻌﺗﻣــد ﺗوزﯾــﻊ Fﻋﻠــﻰ ﻣﻌﻠﻣﺗــﯾن 1 , 2ﺑــﻧﻔس اﻟﺗرﺗﯾــب .اﻟﻣﻌﻠﻣــﺔ اﻷوﻟــﻰ 1ﻫــﻲ ﻋــدد درﺟــﺎت
ﺣرﯾﺔ اﻟﺑﺳط واﻟﺛﺎﻧﯾﺔ 2ﻫﻲ ﻋدد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ اﻟﻣﻘﺎم .اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾوﺿﺢ ﻣﻧﺣﻧﯾﺎت ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﺗوزﯾﻊ Fﻟزوﺟﯾن ﻣن درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ .
٤٠٨
ﺑﯾﺎن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﺗوزﯾﻊ ﺗوزﯾﻊ Fﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ 20,20ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbﻣن اﻟﺟزء 4.5ﻣﻌطﺎﻩ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ : ;]f[x_,m_,n_]:=PDF[FRatioDistribution[m,n],x ;]}Plot[f[x,20,20],{x,0,6},DefaultFont{"Times-Roman",8 0.8
0.6
0.4
0.2
6
4
5
3
2
1
ﺑﻔرض أن ) F (1 , 2ﺗرﻣز ﻟﻘﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Fﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ ﺗﺣت ﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗوزﯾﻊ Fﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ 1و 2واﻟﺗﻲ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ ﺗﺳﺎوى واﻟﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ أى أن. P { F F (1 , 2 )] :
٤٠٩
ﻻﺳﺗﺧراج ﻗﯾم ) F (1 , 2ﯾوﺟد ﺟدوﻻن ﻓﻰ ﻣﻠﺣق ) (٦وﻣﻠﺣق ) ، (٧اﻷول ﻋﻧد =.05
واﻵﺧر ﻋﻧد = .01وﻓﻰ ﻛل ﻣﻧﻬﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﺻف اﻷول ﻟﻘﯾم 1واﻟﻌﻣود اﻷول ﻟﻘﯾم 2أﻣﺎ ﻣﺣﺗوﯾﺎت اﻟﺟدول ﻓﻬو ﻟﻘﯾم ) . F (1 , 2ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ Fﻧﻼﺣظ أن : F.01 (5,7) 7.46 , F.05 (1,4) 7.71 F.01 (9,10) 4.94 , F.05 (4,1) 224.6
ﻣﺛﺎل ) (٣٤ -٧ إذا ﻛﺎن ﺗوزﯾﻊ ) Fﺳوف ﻧرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز ( ) F (1 , 2ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ 1 , 2أوﺟد : )ب( F.01 9, 4
)أ( F.05 7,8 اﻟﺣــل: )أ( ﻋﻧدﻣﺎ 1 7 , 2 8
ﻓﺈن . F.05 7,8 3.5
)ب( ﻋﻧدﻣﺎ 1 9 , 2 4ﻓﺈن . F0.01 9,4 14.66 ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ﺟدول ﺗوزﯾﻊ Fﻓﻰ إﯾﺟﺎد ) F1 (1 , 2ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻻﺗﯾﺔ 1 F1 ( 2 , 1 ) . ) F (1 , 2 وﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻗﯾﻣﺔ F.95 7,12 ﻫﻲ :
1 1 0.2801 F.05 (12,7) 3.57
F.95 (7,12)
ﺣﯾث أن F.05 12,7 ﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ Fﻓﻲ ﻣﻠﺣق ) (٦ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ = .05ودرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ . 1 12 , 2 7 وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﺣﺳب ) F (1 , 2ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن وذﻟك ﻣن ﺧﻼل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ.
1, 2
ﺣﯾث .05
ﻣﺛﺎل )(٣٥-٧ ﻗ در اﻟﻘ ﯾم ) F (1 , 2ﺣﯾ1ث 1,2,3,4,5,6,…,15و 0.05
ﺗﺎﺧ ذ اﻟﻘ ﯾم 1,2,3,4
٤١٠
و
ﺗﺎﺧ ذ اﻟﻘ ﯾم 2
: وذﻟك ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎھزةMathematica ﺳوف ﯾﺗم ﺣل ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ : وذﻟك ﺑﺗﺣﻣﯾل اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰStatistics`ContinuousDistributions <<Statistics`ContinuousDistributions`
ﻟﺣﺳﺎب اﻟﻘﯾم اﻟﻣطﻠوﺑﺔ ﯾﺳﺗﺧدم اﻟداﻟﺗﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯨﯾن f[n1_,n2_]:=Quantile[FRatioDistribution[n1,n2],1.05]; v[n1_]:=Table[Flatten[{n2,f[n1,n2]}],{n2,1,15}] ﯾﺗم اظﮭﺎر اﻟﺟدول اﻟﻣطﻠوب ﻣن اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ TableForm[v[n1],TableHeadings{{},{"",1,2,3,4}}] . وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺧطوات اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ واﻟﻣﺧرﺟﺎت
<<Statistics`ContinuousDistributions` f[n1_,n2_]:=Quantile[FRatioDistribution[n1,n2],1.05]; v[n1_]:=Table[Flatten[{n2,f[n1,n2]}],{n2,1,15}] n1={1,2,3,4} {1,2,3,4}
TableForm[v[n1],TableHeadings{{},{"",1,2,3,4}}] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 161.448 18.5128 10.128 7.70865 6.60789 5.98738 5.59145 5.31766 5.11736 4.9646 4.84434 4.74723 4.66719 4.60011 4.54308
2 199.5 19. 9.55209 6.94427 5.78614 5.14325 4.73741 4.45897 4.25649 4.10282 3.9823 3.88529 3.80557 3.73889 3.68232
٤١١
3 215.707 19.1643 9.27663 6.59138 5.40945 4.75706 4.34683 4.06618 3.86255 3.70826 3.58743 3.49029 3.41053 3.34389 3.28738
4 224.583 19.2468 9.11718 6.38823 5.19217 4.53368 4.12031 3.83785 3.63309 3.47805 3.35669 3.25917 3.17912 3.11225 3.05557
ﻻﺳﺗﺧراج ﻗﯾم ) F (1 , 2ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق اﻟﻣﺳﺗﺧرج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﻛون اﻟﺻف اﻷول ﻟﻘﯾم 1واﻟﻌﻣود اﻷول ﻟﻘﯾم 2أﻣﺎ ﻣﺣﺗوﯾﺎت اﻟﺟدول ﻓﮭو ﻟﻘﯾم ) . F (1 , 2ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل
اﻟﻣﺛﺎل :
F (1,4) 7.70865,F (1,4) 224.583
ﯾﻌﺗﺑر ﺗوزﯾﻊ Fﻣن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻬﺎﻣﺔ اﻟﺗﻰ ﺗﺳﺗﺧدم ﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻹﺣﺻﺎء
اﻟﺗطﺑﯾﻘﻰ . ﻧظرﯾﺔ:
2 2 إذا ﻛﺎﻧت s2 , s1ﺗﻣﺛﻼن ﺗﺑﺎﯾﻧﻲ ﻋﯾﻧﺗﯾن ﻋﺷواﺋﯾﺗﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن ﻣن اﻟﺣﺟم n 2 , n1
ﻣﺄﺧوذﺗﯾن ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﻣن طﺑﯾﻌﯾﯾن ﺑﺗﺑﺎﯾﻧﺗﻰ 22 , 12ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ﻓﺈن : s12 / 12 22s12 f 2 2 2 2. s 2 / 2 1 s 2
ﻫﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Fﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ Fﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ . 1, 2 اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﺎﺧوذ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbاﻟﺟزء Sec 4.5ﺑﻌد ﺗﻌدﯾﻠﺔ ﺣﯾث ﺗم ﺗوﻟﯾد 200ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم 10ﻣﺳﺣوﺑﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط 60واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى ،6ﺛم ﺗوﻟﯾد 200ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم 10ﻣﺳﺣوﺑﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط
50واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى .5وﻗد ﺗم اﺳﺗﺧداﻣﻬم ﻓﻰ ﺣﺳﺎب اﻟﻘﯾم : s12 / 12 22s12 f 2 2 2 2. s 2 / 2 1 s 2
وﻗد ﺗم ﺗﻣﺛﯾل ﻗﯾم fﻟﺗﻠك اﻟﻌﯾﻧﺎت ﺑﻣدرج اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ وﻫو ﯾﻌطﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟـ F ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ) (9-1) , (9-1وﻧﻼﺣظ ان اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻠﺗوى ﻣن اﻟﯾﺳﺎر .
=ff[numvars_,sampsize_]: Table[(Variance[RandomArray[NormalDistribution[60,6],samp size]]/6^2)/(Variance[RandomArray[NormalDistribution[50,4 ;]}],sampsize]]/5^2),{i,1,numvars ;]SeedRandom[984562 ;]Histogram[ff[200,10],8
٤١٢
0.4
0.3
0.2
0.1
8.91
7.73
6.56
5.38
4.21
3.03
1.86
0.68
اﻟﺟزء اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺳوف ﻧوﺿﺢ ﻛﯾف ﯾﻣﻛن اﻻﺳﺗﻔﺎدة ﻣن Fﻓﻰ اﯾﺟﺎد ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻧﺳﺑﺔ ﺑﯾن ﺗﺑﺎﯾﻧﻧﯾن . 22 , 12
ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbﺗم ﺣﺳﺎب ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺗﯾن year1و year2ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ : year1={9,14,16,8,19,7,14,17,16,7,13,16,11,9,30,14,9,9,9,1 ;}1,13,16,6,17,18,11,12,18,3,12,20,8,13,14,21,11,27,26,5 year2={16,21,12,19,13,14,9,29,21,5,7,11,4,8,17,5,10,8,13, 19,14,16,15,8,6,8,15,9,6,23,19,8,19,7,16,27,13,13,28,9,7, ;}18,12,9,10,7,8,20,19 ]Length[year1 ]Length[year2 ]]VarX=N[Variance[year1 ]]VarY=N[Variance[year2 39 49 35.4103 39.5323
اﯾﺿﺎ اﻟﻣﺋﯾن اﻟﺧﺎﻣس واﻟﻣﺋﯾن ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ 95وذﻟك ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ 38,48 ]a=Quantile[FRatioDistribution[38,48],.05 ]b=Quantile[FRatioDistribution[38,48],.95 0.594734 1.65219
٤١٣
ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ 90%ﻟﻠﻧﺳﺑﺔ ﺑﯾن ﺗﺑﺎﯾﻧﯾن ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق .وﺑﻣﺎ ان اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ داﺧل اﻟﻔﺗرة ﻓﻬذا ﯾﻌﻧﻰ ان اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﯾن ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻌﯾن اﻟﻣﺳﺣوﺑﯾن ﻣﻧﻬﻣﺎ اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﻣﺗﺳﺎوﯾﺎن وﻫذا ﯾﺳﻣﻰ
اﺧﺗﺑﺎر اﻟﺗﺟﺎﻧس :
}{0.542148,1.5061 ﻓﻰ اﯾﺟﺎد ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻔﺗرض ان اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣﺎﺧوذة ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ .وﻻﺧﺗﺑﺎر ان اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﻣدرج ﺗﻛرارى ﻣﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟرﺳم ﺑﻣﺗوﺳط و ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻰ ﻧﺧﺗﺑرﻫﺎ وذﻟك ﻛﻣﺎ ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺛﺎل ): (٢٧-٣
f1={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,5 3,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,7 ;}4,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70 g1=Histogram[f1,8,Type->Scaled,DisplayFunction;]>Identity g2=Plot[f[x,61,7.4],{x,20,100},DefaultFont{"TimesRoman",8},Ticks;]>{{20,61,100},Automatic,},DisplayFunction->Identity Show[g1,g2, DisplayFunction->$DisplayFunction,Ticks;]}>{{20,61,1100},Automatic 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
20
61
٤١٤
) (١٥-٧ﺗوزﯾﻌﺎت اﺧرى ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذﻩ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت ﻓﺎﻧﻧﺎ ﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟرﺋﯾﺳﯾﺔ ﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺧﺗﺎر Helpوﻣﻧﻬﺎ ﻧﺧﺗﺎر Help Broswerﻟﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ااﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺗﻰ ﺳﺑق ان ﺗﻛﻠﻣﻧﺎ ﻋﻧﻬﺎ ﻓﻰ اول
اﻟﻔﺻل وﺑﻛﺗﺎﺑﺔ ` Statistics`ContinuousDistributionsواﻟﺗﻧﻔﯾذ ﯾﻣﻛن اﻟوﺻول اﻟﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﺗﻠك اﻟﺗوزﯾﻌﺎت. )أ(
ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى اﻟﻐﯾر ﻣرﻛزى Noncentral Chi Distribution
)ب(
ﺗوزﯾﻊ ف اﻟﻐﯾر ﻣرﻛزى Noncentral F Distribution
)ت(
ﺗوزﯾﻊ ت اﻟﻐﯾر ﻣرﻛزى Noncentral t Distribution
)ث(
ﺗوزﯾﻊ Rayleigh Distribution
)ج (
ﺗوزﯾﻊ Logistic Distribution
)ح (
ﺗوزﯾﻊ Laplace Distribution
٤١٥
اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻣن
ﺗوﻟﯾد اﻻﻋداد اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ واﻟﻣﺣﺎﻛﺎه
٤١٦
ﯾوﺟ ــد طـ ـرﯾﻘﺗﯾن ﻋ ــﺎﻣﺗﯾن ﻟﺗوﻟﯾ ــد اﻻﻋ ــداد ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺔ :اﻟط ــرق اﻟﻔﯾزاﺋﯾ ــﺔ methods
Physical
واﻟطـرق اﻟرﯾﺎﺿـﯾﺔ . arithmetric methodsوﻣـن اﻣﺛﻠـﺔ اﻟطـرق اﻟﻔﯾزاﺋﯾـﺔ ﺳـﺣب ﻛـرة ﻣـن وﻋـﺎء او اﻟﻘ ـ ــﺎء ﻋﻣﻠ ـ ــﺔ او اﻟﻘ ـ ــﺎء ﻧ ـ ــرد اﻣ ـ ــﺎ اﻟط ـ ــرق اﻟرﯾﺎﺿ ـ ــﯾﺔ ﻓﺗﻌﺗﻣ ـ ــد ﻋﻠ ـ ــﻰ ﺧطـ ـ ـوات رﯾﺎﺿ ـ ــﯾﺔ ﻣﺧﺗﻠﻔ ـ ــﺔ algorithms
. mathematicalاﻻﻋ ـ ــداد اﻟﻌﺷـ ـ ـواﺋﯾﺔ اﻟﺗ ـ ــﻰ ﺗوﻟ ـ ــد ﺑـ ـ ـﺎﻟطرق اﻟرﯾﺎﺿ ـ ــﯾﺔ ﺗﺳ ـ ــﻣﻰ
pseudorandom numberواﻟﻣطﻠـب اﻻوﻟـﻰ ﻟﺗوﻟﯾـد ﺗﻠـك اﻻﻋـداد ﻫـو ﺗوﻟﯾـد اﻋـداد ﺗﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗﺑرة ) . (0,1ﻓـﻰ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﻫـذة اﻟﻛﻔـﺎءة ﺗـﺗم ﻣـن ﺧـﻼل داﻟـﺔ . Randomﻟﻼﻋـداد اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺳـﻣﺎﻩ pseudorandom numbersواﻟﺗـﻰ ﻻ ﺗﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم ،اى اﻻﻋـداد
اﻟﻣطﻠوب ﺗوﻟﯾدﻫﺎ وﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ اﺧر ﻏﯾر اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧظم ﻓﺎن اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗﻘدم ﻟﻧـﺎ اﻟداﻟـﺔ Random واﻟداﻟ ـ ـ ــﺔ RandomArrayواﻟﺗ ـ ـ ــﻰ ﺗﻣ ـ ـ ــدﻧﺎ ﺑﻬ ـ ـ ــذﻩ اﻟﻛﻔ ـ ـ ــﺎءة .ﺗﻠ ـ ـ ــك اﻟ ـ ـ ــدوال ﻣوﺟ ـ ـ ــودة ﻓ ـ ـ ــﻰ اﻟﺣ ـ ـ ــزم ContinuousDistributionsو DiscreteDistributinsﻓﻰ اﻟدﻟﯾل . Statistics
ﺗﻠــك اﻟﺣــزم ﻧﺣﻣﻠﻬــﺎ ﺑﻛﺗﺎﺑــﺔ ' <<Statistics`DiscreteDistributionsﻟﻠﺣزﻣــﺔ اﻻوﻟــﻰ وﺗﻧﻔﯾــذﻫﺎ او ﻛﺗﺎﺑﺔ ' <<Statistics`ContinuousDistributionsﻟﻠﺣزﻣﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ وﺗﻧﻔﯾذﻫﺎ . ﻟﻠﺣﺻ ــول ﻋﻠ ــﻰ ﻣﻌﻠوﻣـ ــﺎت ﻋ ــن اﻟداﻟـ ــﺔ اﻻﻣرﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن وﻧﻧﻔﯾذﻫﻣﺎ :
Randomاواﻟداﻟـ ــﺔ RandomArrayﻓﺎﻧﻧ ــﺎ ﻧﻛﺗـ ــب
`
?Random Random[ ] gives a uniformly distributed pseudorandom Real in the range 0 to 1. Random[type, range] gives a pseudorandom number of the specified type, lying in the specified range. Possible types are: Integer, Real and Complex. The default range is 0 to 1. You can give the range {min, max} explicitly; a range specification of max is equivalent to {0, max}. Random[distribution] gives a random number with the specified statistical distribution.
?RandomArray RandomArray[distribution, n] generates a list of length n, where each element is a random number with the specified statistical distribution. RandomArray[distribution, {n1, n2, ...}] generates an n1 X n2 X ... array of nested lists of random numbers.
ﺗﻌرﯾف:
ﺗﻌرف اﻟﻣﺣﺎﻛﺎة ﻋﻠـﻰ اﻧﻬـﺎ ﻋﻣﻠﯾـﺔ ﻟﺗﺻـﻣﯾم ﻧﻣـوزج رﯾﺎﺿـﻰ mathematical modelاو ﻧﻣـوزج
ﻣﻧطﻘـﻰ logical modelﻟﻧظـﺎم ﺣﻘﯾﻘـﻰ ﺛـم اﺳـﺗﺧدام اﻟﺣﺎﺳـب اﻻﻟـﻰ ﻟوﺻـف او اﻟﺗﻧﺑـﺎ ﺑﺳـﻠوك ﻫـذا اﻟﻧﻣوزج .وﯾﻣﻛن ﺗوﺿﯾﺢ ذﻟك ﻣن اﻻﻣﺛﻠﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ .
) (١-٨ﺗوﻟﯾد)ﻣﺣﺎﻛﺎة( ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﺗﻧﺎظرﯾﺔ اﻻن ﻧﺑدا ﺑﻛﯾﻔﯾﺔ ﺗوﻟﯾد ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ وﻻ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ).(0,1
٤١٧
ﺳ ـ ـ ــوف ﯾ ـ ـ ــﺗم ذﻟ ـ ـ ــك ﺑﺎﺳ ـ ـ ــﺗﺧدام ﺑرﻧ ـ ـ ــﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛ ـ ـ ــﺎ ﺑطـ ـ ـ ـرﯾﻘﺗﯾن .اﻻوﻟ ـ ـ ــﻰ ﺗﻌﺗﻣ ـ ـ ــد ﻋﻠ ـ ـ ــﻰ اﻟﺣزﻣ ـ ـ ــﺔ ، ContinuousDistributionsواﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻧظرﯾﺗﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﺗﯾن :
ﻧظرﯾــﺔ) :(١-٨ﻟ ــﯾﻛن Xﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﻟــﻪ داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌــﻲ ) F(xﻣ ــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺗﺻ ــل وﻣﺗ ازﯾـدة ﺑﺈﺿـطراد .وﻋﻠـﻲ ذﻟـك اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ Yواﻟﻣﻌـرف ﺑﺎﻟﻌﻼﻗـﺔ ) Y = F(Xﻟـﻪ ﺗوزﯾـﻊ ﻣﻧﺗظم ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة ). (0, 1 ﻣﺛﺎل ) (١ -٨ اﺋﯾﺎ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ) ﺗوزﯾﻊ ﻟوﺟﺳﺗﻲ ( ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل: إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ًار ﻋﺷو ً
x
,
ex f X (x) (1 e x ) 2 0 , e.w.
داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﺗﻛون ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل :
ew 1 F(x) dw w 2 1 ex ) (1 e x
x
,
وﻋﻠﻲ ذﻟك :
1 ) F(X 1 e x
Y
ﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل :
g (y) = 1 , 0 < y < 1 = 0 , e.w, أي أن Yﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة ) .( 0,1 ﻧظرﯾـﺔ): (٢-٨
ﻟـﯾﻛن Yﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم ﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة )(0, 1
) Y ~ UNIF(0, 1
أي أن
،ﻟﺗﻛن ) F(xﻟﻬﺎ اﻟﺧﺻﺎﺋص ﻟداﻟﺔ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌـﻲ ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﺻـل
ﺣﯾـث ، F(b) = 1 , F(a) = 0وﺑﻔـرض أن ) F (xﻣﺗ ازﯾـدة ﺑﺈﺿـطراد ﻣـن اﻟﻔﺗـرة a < x < b ﺣﯾـث
b , aﻣــن اﻟﻣﻣﻛــن أن ﯾﻛوﻧــﺎن ,ﻋﻠــﻲ اﻟﺗـواﻟﻲ .وﻋﻠــﻲ ذﻟــك اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ X
ﺣﯾث ) X F 1 (Yﻫو ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﺑداﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ). F (x ﻣﺛﺎل ) (٢ -٨
٤١٨
إذا ﻛـﺎن Yﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﺣﯾـث ) Y ~ UNIF ( 0, 1أوﺟـد داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر . X2 Y اﻟﺣــل:
]FX (x) P[X x] P[2 Y x ] P[Y x 2 / 4 x 2 / 4. وﻋﻠﻲ ذﻟك داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻲ : d FX (x) 2x x f X (x) ,0 x 2 dy 4 2 0 , e.w. ﻧﻼﺣظ ﻫﻧﺎ أن x , yﯾرﺗﺑطﺎن ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : x2 4
واﻟﺗﻲ ﺗﻛﺎﻓﻲء :
y F(x)
)x 2 y F1 (y أي أﻧــﻪ إذا ﻛﺎﻧــت ) Y ~ UNI( 0, 1ﻓــﺈن X F 1 (Y) 2 Yﯾﻛــون ﻟﻬــﺎ داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ إﺣﺗﻣﺎل ﺗﺟﻣﯾﻌﯾﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل :
x2 FX x 0 x 2. 4 ﺑﻔـ ـ ـ ـ ــرض أﻧﻧـ ـ ـ ـ ــﺎ ﺣﺻـ ـ ـ ـ ــﻠﻧﺎ ﻋﻠـ ـ ـ ـ ــﻲ ﻓﺋ ـ ـ ـ ـ ــﺔ اﻷﻋـ ـ ـ ـ ــداد اﻟﻌﺷ ـ ـ ـ ـ ـواﺋﯾﺔ y1, y 2,...., y nﻓـ ـ ـ ـ ــﺈن اﻷﻋ ـ ـ ـ ـ ــداد
x1 F1 (y1 ) 2 y, x 2 2 y2 ,..., x n 2 y nﺗﻣﺛ ـ ـ ـ ــل nﻣ ـ ـ ـ ــن اﻟﻣﺷ ـ ـ ـ ــﺎﻫدات ﻟﻣﺗﻐﯾ ـ ـ ـ ــر ﻋﺷواﺋﻲ . Xﯾوﺿـﺢ اﻟﺷـﻛل اﻟﺗـﺎﻟﻰ داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر . Xﯾﻌطـﻲ اﻟﺟـدول اﻟﺗـﺎﻟﻰ أول أﻋــداد ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ،ﻋــددﻫﺎ ، 15ﻟ ــﺗﻛن y1, y2,..., y nواﻟﻣــﺄﺧوذة ﻣــن اﻟﻌﻣ ــود اﻷﺧﯾــر ﻣــن ﺟ ــدول 4 اﻋـداد ﻋﺷـواﺋﯾﺔ وذﻟـك ﺑﻌـد ﻗﺳـﻣﺔ ﻛـل ﻋـدد ﻋﻠـﻲ 10
ﻣﺷﺎﻫدات ﺗﻘرﯾﺑﺎً
وﺑﺎﻟﺗـﺎﻟﻲ ﺗﻌﺗﺑـر اﻟﻘـﯾم y1, y 2,...., y n
ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم ﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة 0,1
.ﻫـذا وﯾﻣﻛـن اﺳـﺗﺧدام اﻟﺣﺎﺳـب اﻵﻟـﻲ
ﻓﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم. ﻣﻠﺣوظﺔ :
ﺟداول اﻻﻋداد اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻣوﺟودة ﻓﻰ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻛﺗب اﻻﺣﺻﺎﺋﯾﺔ .
٤١٩
y
x2 y 0.7782 1.6367 0.4591 1.3783 1.0770 0.9704 1.9659 0.1311 0.6334 1.9175 1.4101 1.7080 1.900 1.8138 1.5382
0.1514 0.6697 0.0527 0.4749 0.2900 0.2304 0.9662 0.0043 0.1003 0.9192 0.4971 0.7293 0.9118 0.8225 0.5915
اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻟﯾد 10ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ . Xﺣﯾث ﯾﺗم ﺗوﻟﯾد 10ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون اﻟﺗوزﯾﻊ
اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ) (0,1ﺛم اﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن X,Yﻟﺗوﻟﯾد 10ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ X
وذﻟك ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ xxﺛم وﺿﻊ ﻗﯾم Yوﻗﯾم Xﻓﻰ ﺟدول ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر : . Transposeوﯾﻼﺣظ ان اﻻرﻗﺎم اﻟﻣوﻟدة ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺗﺧﺗﻠف ﻋن اﻻرﻗﺎم ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق . `<<Statistics`ContinuousDistributions ]y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],15 0.905693,0.204137,0.57258,0.663607,0.4576,0.770183,0.154581,0.987772, }0.320891,0.652021
xx 2 y N {1.90336,0.903631,1.51338,1.62924,1.35292,1.7552,0.786336,1.98773,1.1 }3294,1.61496
Transpose[{y,xx}]//TableForm
٤٢٠
1.90336 0.903631 1.51338 1.62924 1.35292 1.7552 0.786336 1.98773 1.13294 1.61496
0.905693 0.204137 0.57258 0.663607 0.4576 0.770183 0.154581 0.987772 0.320891 0.652021
ﻣﺛﺎل ) (٣ -٨ اﻟﻣطﻠوب ﺗوﻟﯾد )ﻣﺣﺎﻛﺎﻩ( ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم n = 10ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻲ ؟ اﻟﺣــل: داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻰ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
1 1 F x dt 1 t 2 x
1 tan 1 t 1 tan 1 x 2
1 1 tan x 2 y tan 1 x 2 1 y tan x 2 y
ﺗﻛﺎﻓﺊ أن :
x tan y 2 ﯾﻌطﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻗﯾم ﻋﺷرة أرﻗﺎم ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﻣود اﻷﺧﯾر ﻓﻲ ﺟدول اﻷرﻗﺎم اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻓﻲ وذﻟك ﺑﻌد ﻗﺳﻣﺔ ﻛل رﻗم ﻋﻠﻲ 104ﻣﻊ ﻗﯾم xاﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻬﺎ . ٤٢١
y 0.1514 0.6697 0.0527 0.4749 0.2900 0.2354 0.9662 0.0043 0.1003 0.9192
x -1.9415 0.5901 -5.9847 -0.0790 -0.7757 -1.0962 9.3820 -74.021 -3.0678 3.8595
اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻟﯾد 10ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ Xﺑطرﯾﻘﺗﯾن : اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ) ﻣﺛل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ( : ﯾﺗم ﺗوﻟﯾد 10ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ) (0,1ﺛم اﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن X,Yﻟﺗوﻟﯾد 10ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ X
وذﻟك ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ xxﺛم وﺿﻊ ﻗﯾم Yوﻗﯾم Xﻓﻰ ﺟدول ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر :
. Transposeوﯾﻼﺣظ ان اﻻرﻗﺎم اﻟﻣوﻟدة ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺗﺧﺗﻠف ﻋن اﻻرﻗﺎم ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق . اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ وﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﺣزﻣﺔ ContinuousDistributions
ﺣﯾث ﯾﺗم ﻟﺗوﻟﯾد 10ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ Xوذﻟك ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ. xx1
`<<Statistics`ContinuousDistributions ]y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],10 {0.19519,0.682411,0.679846,0.272077,0.211702,0.510403,0.275044,0.5435 }11,0.191376,0.772952
y N
2
xx Tan
{-1.42105,0.645295,0.633942,-0.870087,-1.27505,0.0326947,}0.853843,0.137551,-1.45786,1.15571
Transpose[{y,xx}]//TableForm
٤٢٢
1.42105
0.645295 0.633942 0.870087 1.27505 0.0326947 0.853843 0.137551 1.45786 1.15571
0.19519 0.682411 0.679846 0.272077 0.211702 0.510403 0.275044 0.543511 0.191376 0.772952
]xx1=RandomArray[CauchyDistribution[0,1],10 {3.92816,8.81074,0.586835,0.452596,2.77515,-10.5211,10.7721,}4.24567,0.826059,-0.0334645
ﻣﺛﺎل ) (٤ -٨ اﻟﻣطﻠوب ﺗوﻟﯾد )ﻣﺣﺎﻛﺎﻩ( ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم n = 10ﺗﺗﺑﻊ اﻷﺳﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ؟ اﻟﺣــل: داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻲ :
0 , x 0 x FX x 1 e , x0 وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺑوﺿﻊ : X
Y 1 e
ﻓﺈن : X ln 1 Y . ﺣﯾث Xﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ . ﺑﻔ ــرض أن 1وﻧرﯾ ــد ﺗوﻟﯾ ــد ﻋﯾﻧ ــﺔ ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺔ ﻣ ــن اﻟﺣﺟ ــم n 10ﻣ ــن اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻻﺳ ــﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﻪ . 1أوﻻ ﻧوﻟد ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ y1 , y 2 ,..., y10ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم :
٤٢٣
x1 ln(0.55463) 0.589
y1 0.55463
x 2 ln(0.15389) 1.872
y 2 0.15389
x 3 ln(0.85941) 0.151
y 3 0.85941
x 4 ln(0.05219) 0.492
y 4 0.61149
x 5 ln(0.05219) 2.053
y 5 0.05219
x 6 in(0.41417) 0.881
y 6 0.41417
x 7 ln(0.28357) 1.260
y 7 0.28357
x 8 ln(0.17783) 1.727
y8 0.17783
x 9 ln(0.40950) 0.893
y 9 0.40950
x10 ln(0.82995) 0.186
y10 0.82995
وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻰ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ: ) x i ln(1 y i
ﻧﺣﺻـ ـ ــل ﻋﻠـ ـ ــﻰ x1 , x 2 ,..., x10ﺗﺗﺑـ ـ ــﻊ اﻟﺗوزﯾـ ـ ــﻊ اﻻﺳـ ـ ــﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣـ ـ ــﺔ . 1وﯾﻣﻛـ ـ ــن اﺧـ ـ ــذ اﻟﺗﺣوﯾﻠـ ـ ــﻪ X ln Yﺑدﻻ ﻣن ) X ln(1 Yوذﻟك ﻻن ) (1 Yاﯾﺿﺎ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم . اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻟﻲ 10ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ Xﺑطرﯾﻘﺗﯾن :
اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ ) ﻣﺛل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ( : ﯾﺗم ﺗوﻟﯾد 10رﻗم ﯾﺗﺑﻌون اﻟﺗوزﯾﻊ
اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ) (0,1ﺛم اﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن X,Yﻟﺗوﻟﯾد 10ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ X
وذﻟك ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ xxﺛم وﺿﻊ ﻗﯾم Yوﻗﯾم Xﻓﻰ ﺟدول ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر . Transposeوﯾﻼﺣظ ان اﻻرﻗﺎم اﻟﻣوﻟدة ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺗﺧﺗﻠف ﻋن اﻻرﻗﺎم ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق . اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ وﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺰﻣﺔ ContinuousDistributions ﺣﯾث ﯾﺗم ﻟﺗوﻟﯾد 10ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ Xوذﻟك ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ. xx1 `<<Statistics`ContinuousDistributions ]y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],10 {0.839409,0.569581,0.903264,0.899301,0.333996,0.00953819, }0.0936295,0.769578,0.594237,0.489813 xx=-(Log[1-y])//N {1.8289,0.842995,2.33577,2.29562,0.40646,0.00958397,0.098 }3071,1.46784,0.901985,0.672978 Transpose[{y,xx}]//TableForm
٤٢٤
0.839409 0.569581 0.903264 0.899301 0.333996 0.00953819 0.0936295 0.769578 0.594237 0.489813
1.8289 0.842995 2.33577 2.29562 0.40646 0.00958397 0.0983071 1.46784 0.901985 0.672978
f[x_]:=ExponentialDistribution[1] xx1=RandomArray[f[x],10] {0.796751,1.47951,0.294558,0.360798,2.80808,0.366114,1.60385,1.73506, 0.297923,0.328113}
(٥ -٨ ) ﻣﺛﺎل
200 ﻟﺗوﻟﯾــدSec4.3 ﻣـن اﻟﻔﺻــل اﻟ ارﺑـﻊ اﻟﺟـزءKnoxProb اﻟﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﺗـﺎﻟﻰ ﻣـﺎﺧوذ ﻣــن ﺑرﻧـﺎﻣﺞ ﺛم اﺳﺗﺧداﻣﻬم ﻓـﻰ اﻟﺣﺻـول ﻋﻠـﻰ اﻟﻣـدرج اﻻﺣﺗﻣـﺎﻟﻰ ﻣـﻊ 2 ﻋﯾﻧﺔ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ وﻗــد اﺳـﺗﺧدم ﻓــﻰ ﺗوﻟﯾـد اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟطرﯾﻘـﺔ اﻻوﻟــﻰ ﻣــن.2 ﺑﯾـﺎن داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻻﺳـﯾﺔ ﺑﻣﻌﻠﻣــﺔ . اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق
SimulateExpn_, _ : 1 Table Log1 Random, n
Needs["KnoxProb`Utilities`"] SeedRandom[13645]
datalist SimulateExp200, .5; g1 Histogramdatalist, 8, Type Scaled, Endpoints .5, 11, DisplayFunction Identity; g2 Plot.5E.5t, t, 0, 10, DefaultFont "TimesRoman", 8, DisplayFunction Identity; Showg1, g2, DisplayFunction $DisplayFunction;
٤٢٥
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
10.34
9.03
7.72
6.41
5.09
3.78
2.47
1.16
ﻣﺛﺎل ) (٦ -٨ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل:
1 x exp (x / ) , 0 < x < f (x) 0 , e.w. اﺷرح ﻛﯾﻔﯾﺔ ﺗوﻟﯾد ﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل. اﻟﺣــل:
داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻰ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ:
0<X<
X F(X) 1 exp ,
أذن :
٤٢٦
X Y 1 exp X 1 y exp
X ln(1 Y)
X ln(1 Y) 1
X ( ln(1 Y)) 1
( ln(1 Y)) X وﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻓﻰ ﺗوﻟﯾد nﻣن اﻟﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل. 1
( ln y) x اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻟﯾد 10ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ Xﺑطرﯾﻘﺗﯾن : اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ : ﯾﺗم ﺗوﻟﯾد 10رﻗم ﯾﺗﺑﻌون اﻟﺗوزﯾﻊ
اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ) (0,1ﺛم اﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن X,Yﻟﺗوﻟﯾد 10ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ X
وذﻟك ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ xxﺛم وﺿﻊ ﻗﯾم Yوﻗﯾم Xﻓﻰ ﺟدول ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر . Transposeوﯾﻼﺣظ ان اﻻرﻗﺎم اﻟﻣوﻟدة ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺗﺧﺗﻠف ﻋن اﻻرﻗﺎم ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق . اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ :
وﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﺣزﻣﺔ ContinuousDistributions ﺣﯾث ﯾﺗم ﻟﺗوﻟﯾد 10ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ Xوذﻟك ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ. xx1 `<<Statistics`ContinuousDistributions ]y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],10 {0.882496,0.476891,0.413881,0.617387,0.400027,0.943363,0. }371596,0.828755,0.656483,0.694251 1
xx 3Logy 2 N {1.06067,2.58151,2.81773,2.08335,2.87159,0.724385,2.98488,1.30018,1.9 }4621,1.81226
Transpose[{y,xx}]//TableForm
٤٢٧
1.06067 2.58151 2.81773 2.08335 2.87159 0.724385 2.98488 1.30018 1.94621 1.81226
0.882496 0.476891 0.413881 0.617387 0.400027 0.943363 0.371596 0.828755 0.656483 0.694251
]f[x_]:=WeibullDistribution[2,3 ]xx1=RandomArray[f[x],10 {1.24877,4.76207,4.12441,1.18024,0.238233,3.49064,3.27543,2.42055,1.8 }9561,1.05821
ﻣﺛﺎل ) (٧ -٨ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل:
exp x / x1 ,0 x () f (x) o ,x 0 اﺷرح ﻛﯾﻔﯾﺔ ﺗوﻟﯾد ﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ. اﻟﺣــل:
ﺑﻔﺮض ان Y1 ,Y2 ,..., Yﺗﻤﺜﻞ ﻣﺘﻐﻴﺮات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة )(0,1 ﻓﺎن :
X log Yi log Yi i 1 i1
ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ : exp x / x1 ,0 x ( ) f (x) o ,x 0
وﻫﺬا ﻳﺘﻄﻠﺐ ﻣﻦ اﻟﻘﻴﻢ Y1 ,Y2 ,..., Yوذﻟﻚ ﻟﺘﻮﻟﻴﺪ ﻗﻴﻤﺔ واﺣﺪة ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﻋﻠﻰ
اﻟﺸﻜﻞ :
٤٢٨
1 x x 1 exp( ), 0 x ()
f (x) 0
elsewhere
ﺣﯾث ﻗﯾﻣﺔ ﺻﺣﯾﺣﺔ .ﺑدﻻ ﻣن اﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ أن X ﺗﻣﺛل اﻟﻣﺟﻣوع ﻟﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ X1 , X 2 ,...,X وﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
x ) f (x) 1 exp( وﯾﻣﻛن ﺑرﻫﻧﺔ ذﻟك ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ :
اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
X (t) (1 t) 1 وﻋﻠﻰ ذﻟك :
(t) (1 t) 1 i 1 xi i 1
(1 t) واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ . اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻟﯾد رﻗم ﻋﺷواﺋﻰ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﺛﻼث طرق ﺣﯾث
=2 ,=3
.
اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ان Xﺗﻤﺜﻞ اﻟﻤﺠﻤﻮع ﻟﻤﺘﻐﯿﺮات ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ X1 , X 2 ,...,X ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻤﻌﻠﻤﺔ . واﻟﻣﺷﺎﻫدة اﻟﺗﻰ ﺗم ﺗوﻟﯾدﻫﺎ ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ . yy
اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
X log Yi log Yi i 1 i1 واﻟﻣﺷﺎﻫدة اﻟﺗﻰ ﺗم ﺗوﻟﯾدﻫﺎ ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ . xx
اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﺣزﻣﺔ ContinuousDistributions واﻟﻣﺷﺎﻫدة اﻟﺗﻰ ﺗم ﺗوﻟﯾدﻫﺎ ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ : dd `<<Statistics`ContinuousDistributions ]ff[x_]:=ExponentialDistribution[3 ]dd=RandomArray[ff[x],2 }{0.087505,0.14882 ]yy=Apply[Plus,dd 0.236325 ٤٢٩
y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],2] {0.669605,0.592058} 2
xx 3Log yi N i1
2.77565 f[x_]:=GammaDistribution[2,3] dd=Random[f[x]] 7.416
:(٨-٨) ﻣﺜﺎل :ﻣﺘﻐﻴﺮاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﺑﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎل )ﺗﻮزﻳﻊ ﻟﻮﺟﺴﺘﻲ( ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞX إذا ﻛﺎن f x
e x
1 e x
2
, x
0 e.w. :اﻟﺣــل : ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛلX داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر
x
F x
e t t 2
1 e 2
x
dt
e 1 e t
t
dt
1 e t
x
1
F x
1 , x 1 e x ٤٣٠
x F1 z y F x
1 1 ex
y 1 1 e x
1 y
1 1 1 e x ln 1 x y y 1 x ln 1 y :اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻟﯾد ﻋﺷرة ارﻗﺎم ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﯾﺗﺑﻊ ﻟﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻰ : و ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ 1 x ln 1 y <<Statistics`ContinuousDistributions` y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],10] {0.448093,0.433954,0.417999,0.675836,0.136709,0.118162,0.200579,0.574 76,0.273067,0.710582}
xx Log
1 1 N y
{-0.208378,-0.265738,-0.330993,0.7347,-1.84289,-2.00995,1.38268,0.301298,-0.979115,0.898213}
Transpose[{y,xx}]//TableForm 0.448093 0.208378 0.433954 0.265738 0.417999 0.330993
0.675836 0.136709 0.118162 0.200579 0.57476 0.273067 0.710582
0.7347 1.84289 2.00995 1.38268 0.301298 0.979115 0.898213
:(٩-٨) ﻣﺜﺎل ٤٣١
:ﻣﺘﻐﻴﺮاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﺑﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎل ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻴﺘﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞX إذا ﻛﺎن ( )x 1 (1 x)1 ,0 x 1 f (x) ( )() 0 e.w.
: ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻴﺘﺎ ﺑﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔX ﻟﻴﻜﻦ ( )x 1 (1 x)1 ,0 x 1 f (x) ( )() 0 e.w. Z1 Uniform Z2 Uniform 1
Y1 Z1 ,Y2 Z2
1
Y1 Z1 , Y2 Z2 f (y1 , y 2 ) f (z1 , z 2 ) | J |
| J |
z1 y1
z1 y 2
z 2 y1
z 2 y 2
y11
0
0
y 21
y11 y 21 0 y1 1, 0 y 2 1
٤٣٢
:ﺑﺎﺧﺬ اﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
X
Y1 , W Y1 Y2 Y1 Y2
y1 xw y 2 w y1 w wx w(1 x) dy1 dx J dy 2 dx
dy1 dx dy 2 dx
٤٣٣
w x w 1 x
w(1 x) xw w wx wx w h(x | 0 W 1) 1
g(x, w)dw
1
0 1
(1 1)
g(x, w)dxdw 0
0
sin ce : 1
1
g(x, w)dw x 0
1
(1 x)1 w 1dw
0
1
x
1
(1 x)
1
w 0
x 1 (1 x)1 sin ce : 1
1
(1 2)
1
x 1 (1 x)1 0 g(x, w)dxdw 0
(, ) () () ( ) ( )
0
(1 3)
: ( ﻓﺎن1-1) ( واﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ1-3) ( و1-2) ﻣﻦ
x 1 (1 x)1 h(x | 0 w 1) ()()
1 x 1 (1 x)1 ,0 x 1 ,
٤٣٤
ﺑﻔﺮض اﻧﻨﺎ ﻧﺮﻏﺐ ﻓﻰ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ ارﺑﻌﺔ ﻣﺸﺎﻫﺪات ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻴﺘﺎ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎﻟﻢ : 14
2 and
ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ واﻟﺘﻰ ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ : z : 0.706, 0.392, 0.020, 0.882, 0.670, 0.922, 0.441, 0.717, 0.577, 0.799, 0.055, 0.628 اﻻن ﺳﻮف ﻧﺮﺗﺐ اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻰ ازواج وﻧﺘﺒﻊ اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺘﻰ ﺗﻠﻰ ذﻟﻚ: Z1 Z2
0.055 0.628
0.577 0.799
0.441 0.717
0.670 0.922
0.020 0.882
0.706 0.392
0.235
0.760
0.664
0.819
0.141
0.840
Y 1 Z1 2
0.156
0.408
0.264
0.722
0.605
0.024
0.391 0.601
1.168 Re ject
0.928 0.716
1.541 Re ject
0.746 0.189
0.864 0.972
Y 2 Z 24 Y 1 Y 2 Y X 1 Y 1 Y 2
اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ ارﺑﻌﺔ ﻣﺸﺎﻫﺪات ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻴﺘﺎ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎﻟﻢ : 14
2 and
`<<Statistics`ContinuousDistributions ]z1=RandomArray[UniformDistribution[0,1],4 }{0.479289,0.949933,0.884424,0.261462 ]z2=RandomArray[UniformDistribution[0,1],4 }{0.348875,0.775947,0.74622,0.342095
y1 z112 }{0.692307,0.974645,0.940438,0.511333
y2 z24 }{0.0148143,0.362517,0.310076,0.0136957
y1 y1 y2
x
}{0.97905,0.728891,0.752041,0.973914
ﻣﺜﺎل )(١٠-٨ ٤٣٥
1
ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺻﻴﻐﺔ ﺻﺮﻳﺤﺔ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ ) F(xﻟﺬﻟﻚ ﺳﻮف ﻧﺴﺘﺨﺪم
ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﻤﺎﺛﻴﻤﺎﺗﻴﻜﺎ ﻓﻰ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺑﻴﺎﻧﺎت ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ و اﻟﺘﻰ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻈﺮﻳﺘﻴﻦ )-٨ (١و).(٢-٨
ﻓﻔﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ xﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ ) x F1 (yوذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام
اﻻﻣر ] . Quantile[distribution,xﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﻣطﻠوب اﯾﺟﺎد xﺣﯾث : ) x F1 (.77337ﻟﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ﺻﻔر واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى اﺛﻧﯾن . وﻗد وﺟد ان . x=1.5
`<<Statistics`ContinuousDistributions ]CDF[NormalDistribution[0,2],1.5 ]Quantile[NormalDistribution[0,2],.773373 0.773373 1.5
ﻣﺜﺎل )(١١-٨ ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ ContinuousDistributionsﻓﻰ اﻟدﻟﯾل Statistics
ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗم ﺗوﻟﯾد 20رﻗم ﻋﺷواﺋﻰ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط 60واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى ﺳﺗﺔ
`<<Statistics`ContinuousDistributions ]z1=RandomArray[NormalDistribution[60,6],20 {65.6032,51.7716,38.0498,65.8617,55.6379,65.9767,59.2237,59.4782,64.5 115,50.4035,55.781,59.4861,56.2899,55.4536,46.6084,61.3402,62.633,61. }7094,63.8373,68.3
ﻣﺜﺎل )(١٢-٨ ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbاﻟﺟزء 3.2ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث ﻓﻰ ﺗوﻟﯾد 200رﻗم
ﯾﺗﺑﻌون اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ﺻﻔر واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى اﺛﻧﯾن وﺳوف ﻧﻣﺛل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ . =SimNormal[n_,_,_]: ]}Table[Quantile[NormalDistribution[,],Random[]],{n ;]datalist=SimNormal[200,0,2 ;]}DotPlot[datalist,DefaultFont{"Times-Roman",8
٤٣٦
4
2
0
2
4
(١٣-٨) ﻣﺜﺎل رﻗم ﯾﺗﺑﻌون اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ1000 ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﻰ ﺗوﻟﯾد
رﻗم ﺗﺣت10000 ﺛم ﺗوﻟﯾدdata ﺑﻣﺗوﺳط ﻋﺷرون واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى اﺛﻧﯾن ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ وﺳوف ﻧﻣﺛل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺷﻛﺎل ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ وﻫﻧﺎك ﻧﺳﺧﺔ ﻣﻧﻪ ﻣﻊ اﻟﻛﺗﺎب ﺑﻧﻔسdata اﻟﻣﺳﻣﻰ . رﻗم اﻟﻣﺛﺎل واﻟﺛـ ـ ــﺎﻧﻰ ﺑﺎﺳ ـ ـ ــمscaleHistogram اﻻول ﺑﺎﺳـ ـ ــم. وﺳـ ـ ــوف ﻧﺣﻣـ ـ ــل ﺑرﻧـ ـ ــﺎﻣﺟﯾن ﺟ ـ ـ ــﺎﻫزﯾن ﻟـ ـ ــذﻟك normalHistogram : ﺣﯾث اﻻول ﻫو scaledHistogram Off[General::spell1]; <<Statistics`DataManipulation` <<Graphics`Graphics` Clear[scaledHistogram] scaledHistogram[datalist_,classes_:10,opts___]:=Module[{m inimum,maximum,classwidth,lowerlimits,counts,step1,step2, step3,step4,frequencylist,heights,midpoints,tograph}, minimum=Min[datalist]; maximum=Max[datalist]; classwidth=(maximum-minimum)/(classes); lowerlimits=Table[i,{i,minimum,maximum, classwidth}]; counts=RangeCounts[datalist,lowerlimits]; step1=Drop[counts,1]; step2=Take[step1,-2]; ٤٣٧
step3=Apply[Plus,step2]; step4=Drop[step1,-2]; frequencylist=Append[step4,step3]; heights=frequencylist/(classwidth Length[datalist]); midpoints=Table[i,{i,minimum+classwidth/2,maximum, classwidth}]; tograph=Table[{midpoints[[i]],heights[[i]],classwidt h},{i,1,classes}]; GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange>All,AxesOrigin->{.98minimum,0},opts] ]
: واﻟﺛﺎﻧﻰ ﻫو normalHistogram Off[General::spell1]; <<Statistics`DataManipulation` <<Graphics`Graphics` Clear[scaledHistogram] scaledHistogram[datalist_,classes_:10,opts___]:=Module[{m inimum,maximum,classwidth,lowerlimits,counts,step1,step2, step3,step4,frequencylist,heights,midpoints,tograph}, minimum=Min[datalist]; maximum=Max[datalist]; classwidth=(maximum-minimum)/(classes); lowerlimits=Table[i,{i,minimum,maximum, classwidth}]; counts=RangeCounts[datalist,lowerlimits]; step1=Drop[counts,1]; step2=Take[step1,-2]; step3=Apply[Plus,step2]; step4=Drop[step1,-2]; frequencylist=Append[step4,step3]; heights=frequencylist/(classwidth Length[datalist]); midpoints=Table[i,{i,minimum+classwidth/2,maximum, classwidth}]; tograph=Table[{midpoints[[i]],heights[[i]],classwidt h},{i,1,classes}]; GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange>All,AxesOrigin->{.98minimum,0},opts] ] <<Statistics`ContinuousDistributions` Clear[normalHistogram] normalHistogram[data_,bars_:10,opts___]:=Module[{p1,mu,si gma,p2},
٤٣٨
p1=scaledHistogram[data,bars,DisplayFunction;]>Identity ;]mu=Mean[data ;]sigma=StandardDeviation[data p2=Plot[PDF[NormalDistribution[mu,sigma],x],{x,mu-3 ;]sigma,mu+3 sigma},DisplayFunction->Identity Show[p1,p2,PlotRange->All,opts,DisplayFunction]>$DisplayFunction ]
ﻓــﻰ اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ scaleHistogramﯾــﺗم ﺗوﻟﯾــد ﻣــدرج ﺑﺣﯾــث ان اﻟﻣﺳــﺎﺣﺔ ﺗﺣــت ﻛــل اﻻﻋﻣــدة ﺗﺳــﺎوى واﺣــد .اﻣ ــﺎ اﻟﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ اﻟﺛ ــﺎﻧﻰ normalHistogramﻓﯾﻛ ــون ﻋﻠــﻰ اﻟرﺳ ــم ﻣ ــﻊ اﻟﻣ ــدرج اﻟﺗﻛـ ـرارى رﺳ ــم
ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى ﻣﺣﺳوب ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣوﻟدة
وﻋ ـ ــدد اﻻﻋﻣ ـ ــدة ﻓ ـ ــﻰ ﻛ ـ ــل طرﯾﻘ ـ ــﺔ ﺗﺧﺗ ـ ــﺎر ﻋﺷـ ـ ـرة وﯾﻣﻛ ـ ــن اﺳ ـ ــﺗﺧدام ﺧﯾ ـ ــﺎر اﺧ ـ ــر ﻟ ـ ــذﻟك ﺑﺎﺳ ـ ــﺗﺧدام .GeneralzedBarChart ﺛم ﻧﻧﻔذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`ContinuousDistributions `<<Statistics`DiscreteDistributions `<<Statistics`DataManipulation
اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗﻌرﯾف ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط 20واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى : 2 ;]dist=NormalDistribution[20,2
اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻟﯾد 1000رﻗم ﻋﺷواﺋﻰ : ;]data=RandomArray[dist,1000
اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ Shortﻻظﻬﺎر ﺟزء ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻘط ﻟﻠﺗوﺿﯾﺢ : ]Short[data,5 {16.6229,18.6393,21.6272,21.1272,16.8867,991,22.278,2 }1.2962,17.0944,19.2237
اﻻﻣرﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن ﻟﺣﺳﺎب اﺻﻐر ﻗﯾﻣﺔ واﻛﺑر ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت : ]min=Min[data ]max=Max[data 13.207 25.7216
اﻻﻣرﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن ﻟﺣﺳﺎب واﻟﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣوﻟدة : ]Mean[data 19.9573 ]StandardDeviation[data 1.9818 `<<Graphics`Graphics ٤٣٩
scaledhistogram[data_,bars_:10,opts___]:=Module[{min,max, stepsize,counts,heights,midpts,tograph}, min=Min[data]; max=Max[data]; stepsize=(max-min)/(bars-1); counts=BinCounts[data,{minstepsize/2,max+stepsize/2,stepsize}]; heights=counts/(stepsize Length[data])//N; midpts=Table[i,{i,min,max,stepsize}]; tograph=Table[{N[midpts[[i]],3],heights[[i]],stepsiz e},{i,1,bars}]; GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange>All,opts] ]
. ﺑﯾﺎن ﻣﻣﺛﻠﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى اﻟﻧﺳﺑﻰ1000 اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻣن ﺗوﻟﯾد p1=scaledhistogram[data] 0.175 0.15 0.125 0.1 0.075 0.05 0.025 16
Graphics
18
20
22
24
26
ﺑﯾــﺎن ﻣﻣﺛﻠــﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾــﺎ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﻣــدرج اﻟﺗﻛ ـرارى اﻟﻧﺳــﺑﻰ ﻣــﻊ1000 اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟﻧﺎﺗﺟــﺔ ﻣــن ﺗوﻟﯾــد اﻟﻣﺣﺳــوﺑﺔ ﻓــﻰ
اﻟﺗﻣﺛﯾــل اﻟﺑﯾــﺎﻧﻰ ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻰ ﺑﻣﺗوﺳــط و اﻧﺣ ـراف اﻟﻣﻌﯾــﺎرى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟﻣوﻟــدة . اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ واﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى ﯾﺗﻛون ﻣن ﻋﺷرة اﻋﻣدة
p2=Plot[PDF[dist,x],{x,14,26},DisplayFunctionIdentity]; Show[p1,p2]
٤٤٠
0.2
0.15
0.1
0.05
26
24
20
22
18
16
Graphics ;]data=RandomArray[dist,10000
اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟﻧﺎﺗﺟــﺔ ﻣــن ﺗوﻟﯾــد 10000ﺑﯾــﺎن ﻣﻣﺛﻠــﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾــﺎ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﻣــدرج اﻟﺗﻛ ـرارى اﻟﻧﺳــﺑﻰ ﻣــﻊ
اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط و ﺗﺑـﺎﯾن اﻟﺑﯾﺎﻧـﺎت اﻟﻣوﻟـدة اﻟﻣﺣﺳـوﺑﺔ ﻓـﻰ اﻟﺑرﻧـﺎﻣﺞ واﻟﻣـدرج اﻟﺗﻛرارى ﯾﺗﻛون ﻣن ارﺑﻌﯾن ﻋﻣود . p1=scaledhistogram[data,40,DisplayFunctionIdentity];Show ][p1,p2,DisplayFunction$DisplayFunction 0.2
0.15
0.1
0.05
27.5
25
20
22.5
17.5
12.5
Graphics
ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﺗم ﺗوﻟﯾدﻫﺎ ﻓـﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣـﺔ dataوﻋدﻫم 10000ﺣﯾث : ]Mean[data 19.9573 ]StandardDeviation[data 1.9818
واﻟﻠـذان ﯾﻘﺗرﺑـﺎن ﻣــن اﻟﻣﺗوﺳــط واﻻﻧﺣـراف اﻟﻣﻌﯾــﺎرى ﻟﻠﻣﺟﺗﻣـﻊ اﻟــذى ﺗــم ﺗوﻟﯾــد اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت ﻣﻧــﻪ واﻟــذى ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ﻋﺷرون ﺗﺑﺎﯾن ﯾﺳﺎوى اﺛﻧﯾن . ٤٤١
) (٢-٨ﺗوﻟﯾد)ﻣﺣﺎﻛﺎة( ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﻘطﻌﺔ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻌﺗﺑر ﺗﻌﻣﯾم ﻟﻠﻧظرﯾﺔ ).(١-٨
ﻧظرﯾﺔ ) :(٣-٨اذا ﻛﺎﻧت ) F(xداﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ،إذا ﻛﺎﻧت ) G(yﻫﻰ :
G(y) min x y F(x) , 0 < y < 1 ٕواذا ﻛﺎﻧت ) Y ~ UNF (0, 1ﻓﺈن :
). X = G (Y) ~ F (x أﻫـم ﺗطﺑﯾـق ﻟﻠﻧظرﯾـﺔ اﻟﺳـﺎﺑﻘﺔ ﻓـﻲ ﺗوﻟﯾـد ﻣﺗﻐﯾـرات ﻋﺷـواﺋﯾﺔ " “ pseudoﻣـن ﺗوزﯾﻌـﺎت ﻣﺗﻘطﻌـﺔ
ﻣﻌﯾﻧﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣﺎﺳـب اﻵﻟـﻲ .إذا ﻛـﺎن nاﻋـداد ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ،ﻟـﺗﻛن y1 , y2 ,…. , ynﺗـم ﺗوﻟﯾـدﻫﺎ ﻋﻠـﻲ اﻟﺣﺎﺳـب اﻵﻟـﻲ ﻣـن ﺗوزﯾـﻊ ﻣﻧـﺗظم ﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة ) (0, 1وﺗﺑﻌـﺎ ﻟـذﻟك ﻓـﺈن x1 , x2 , ….. xn ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻵﺗﻲ : ) x i G(y i
i 1,2,...,n
واﻟﺗــﻲ ﺗﻘﺎﺑــل ﺗوﻟﯾــد ﻋﯾﻧــﺔ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ﻣــن ﺗوزﯾــﻊ ﻟــﻪ ) . F(xﺑــﺎﻟطﺑﻊ ﻓــﻲ ﻛﺛﯾــر ﻣــن اﻷﻣﺛﻠــﻪ ﻓــﺈن )F(x ﺗﻛون ﺗﻧﺎظرﯾﺔ وﻋﻠﻲ ذﻟك ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام
) . x i F1 (yi
ﻟﻠﺗوﺿـﯾﺢ ﺑﻔـرض أن ﻓﺿـﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾـر Xﻫـو }. A = { b1 , b2 , b3 ,….ﻓـﻲ ﻫــذﻩ اﻟﻣﻧﺎﻗﺷـﺔ ﺳـوف ﻧﻔﺗـرض وﺟـود ﺳـﺗﺔ ﻗـﯾم ﻓﻘـط ﻓـﻲ اﻟﻔﺿـﺎء Aوأن . 0 < b1 < b2 < …. < b6 ﻟـﯾﻛن ) pi = p(X = bi) = f(biﺣﯾـث . i 1,2,3,...,6ﻫـذﻩ اﻻﺣﺗﻣـﺎﻻت ﻣوﺿـﺣﺔ ﻣـﻊ )F(x ﻓﻲ اﻟﺷـﻛل اﻟﺗـﺎﻟﻰ .ﻟﺗوﻟﯾـد أي ﻣﺷـﺎﻫدة ﻣـن ، Xﻧﻘـوم ﺑﺗوﻟﯾـد ﻋـدد ﻋﺷـواﺋﻲ Y = yﺣﯾـث Yﯾﺗﺑـﻊ
اﻟﺗوزﯾـ ــﻊ اﻟﻣﻧـ ــﺗظم ﻓـ ــﻲ اﻟﻔﺗ ـ ـرة
)(0,1
إذا ﻛﺎﻧـ ــت y p1ﻓـ ــﺈن b1
=
ٕ Xواذا ﻛﺎﻧـ ــت
p1 y p1 p 2ﻓ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺈن X=b2وﻫﻛ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــذا ﺣﺗ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻰ اﻟوﺻ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــول y p1 .... p 6 1
p1 ... p 2ﻓﺈن . X b 6
٤٤٢
ﻣﺛﺎل ) (١٤ -٨ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ داﻟﻪ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ 6
5
4
3
2
1
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
اﻟﻣطﻠوب ﺗوﻟﯾد ﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﺑﺣﯾث : , x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
e.w.
,
f (x) 1/ 6 =0
اﻟﺣــل:
1 x 1 6 1 2 y x2 6 6 2 3 y x 3 6 6 3 4 y x 4, 6 6
0 y
٤٤٣
x )P(X=1
4 5 y x5 6 6 5 6 y x 6 6 6 ﺣﯾــث yﺗﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﻧــﺗظم ﻓــﻰ اﻟﻔﺗ ـرة ) .(0,1اﻻن ﺑﻔــرض اﻧﻧــﺎ ﻧرﯾــد ﺗوﻟﯾــد ارﺑﻌــﺔ ارﻗــﺎم ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟذى ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل اى ﻣﺣﺎﻛﺎة ﺗﺟرﺑـﺔ اﻟﻘـﺎء ﻧـرد ارﺑﻌـﺔ ﻣـرات واﻟﻣطﻠـوب رﻗـم اﻟوﺟـﻪ اﻟظﺎﻫر .اوﻻ ﻧوﻟد ارﺑﻊ ارﻗﺎم ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم : `<<Statistics`ContinuousDistributions ;]dist=UniformDistribution[0,1 ]z1=RandomArray[dist,4 }{0.337838,0.298263,0.551268,0.818108
2 3 y x3 ﻧﺧﺗﺑر اﻟرﻗم اﻻول ﻓﻰ z1 6 6 1 2 y x2 ﻧﺧﺗﺑر اﻟرﻗم اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻓﻰ z1 6 6
3 4 y x4 ﻧﺧﺗﺑر اﻟرﻗم اﻟﺛﺎﻟث ﻓﻰ z1 6 6
4 5 y x5 ﻧﺧﺗﺑر اﻟرﻗم اﻟراﺑﻊ ﻓﻰ z1 6 6
ﺳوف ﻧﺣل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزم اﻟﺟﺎﻫزة . DiscreteDistributions ﻣﺛﺎل ) (١٥ -٨ اﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﻰ ﻣﺣﺎﻛﺎة ﺗﺟرﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﻧرد ﻣﺗزن 12ﻣرة . اﻟﺣــل: ﻟﺗﺟرﺑـﺔ اﻟﻘـﺎء ﻧـرد ﻣﺗـزن 12ﻣـرة ﻧﺧﺗـﺎر ﻟـﻪ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم اﻟﻣﺗﻘطـﻊ ﺑﺎﻟﻣﻌﻠﻣـﺔ 6وذﻟـك ﻛﻧﻣـوزج ﻟـﻪ
واﻟذى ﻟﻪ اﻟﻘﯾم 1,2,3,4,5,6
٤٤٤
ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ ﺑﻌد ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DiscreteDistributions `<<Statistics`DataManipulation ]trial3=RandomArray[DiscreteUniformDistribution[6],12 }{3,3,3,6,3,5,3,5,6,4,2,4
اﻟﺗﺟرﺑﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ وﻫﻰ اﻟﻘﺎء ﻧردﯾن ﻣﺗزﻧﯾن 100ﻣرة ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DiscreteDistributions }trial4=RandomArray[DiscreteUniformDistribution[6],{100,2 ] {{5,2},{6,6},{5,6},{1,2},{1,2},{2,6},{2,4},{4,2},{4,1},{2,1},{5,5},{4 },3},{1,3},{3,5},{3,2},{6,6},{6,5},{4,6},{3,1},{4,2},{3,1},{3,4},{3,6 ,{3,4},{2,1},{4,4},{2,2},{2,1},{1,6},{4,6},{5,6},{3,4},{1,5},{2,5},{1 },5},{1,1},{5,1},{3,3},{2,5},{1,2},{6,1},{6,2},{2,2},{5,1},{1,5},{6,6 ,{3,5},{4,3},{1,5},{3,4},{3,1},{3,2},{6,5},{2,5},{6,6},{5,5},{6,6},{2 },2},{2,3},{6,6},{1,2},{1,6},{5,1},{5,5},{1,6},{4,6},{3,2},{3,3},{1,4 ,{6,2},{1,4},{4,4},{4,2},{1,5},{1,6},{6,1},{2,2},{2,3},{4,3},{1,5},{3 },4},{1,2},{5,3},{6,2},{1,5},{1,5},{1,6},{6,1},{4,1},{4,2},{4,6},{3,1 }},{5,3},{1,1},{1,1},{2,4},{4,6},{3,5},{3,3},{6,2
ﺑﺎﺳــﺗﺧدام
Mapﻣــﻊ Plusﻧﺣﺻــل ﻋﻠــﻰ ﻣﺟﻣــوع اﻟــوﺟﻬﯾن اﻟظــﺎﻫرﯾن ﻋﻠــﻰ اﻟﻧــردﯾن ﻓــﻰ ﻛــل ﻣ ـرة
اﻟﻘﺎء
]sums=Map[Apply[Plus,#]&,trial4
{7,12,11,3,3,8,6,6,5,3,10,7,4,8,5,12,11,10,4,6,4,7,9,7,3,8,4,3,7,10,1 1,7,6,7,6,2,6,6,7,3,7,8,4,6,6,12,8,7,6,7,4,5,11,7,12,10,12,4,5,12,3,7 ,6,10,7,10,5,6,5,8,5,8,6,6,7,7,4,5,7,6,7,3,8,8,6,6,7,7,5,6,10,4,8,2,2 },6,10,8,6,8
ﻟﻧرى ﻛﯾف ﻛل ﻣﺟﻣوع ﯾﺣدث ﻧﺎﺳﺗﺧدم اﻻﻣر. Frequencie ]Frequencies[sums {{3,2},{8,3},{9,4},{9,5},{20,6},{20,7},{12,8},{1,9},{8,10},{4,11},{6, }}12
ﻣﺛﺎل ) (١٦ -٨
إذا ﻛــﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﺑﺣﯾــث أن ) X ~ BIN(1,1/2ﻓــﺈن داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌــﻲ ﺗﻛــون ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل :
F(x) 0 1/ 2
x0 0 x 1
1
1 x. واﻟداﻟﺔ ) G(yﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل :
٤٤٥
G(y) 0
0 y 1/ 2 1 y 1. 2 واﻟﻣطﻠوب ﺗوﻟﯾد ارﺑﻌﺔ ارﻗﺎم ﺗﺗﺑﻊ ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ .
1/ 2
`<<Statistics`ContinuousDistributions ]z1=RandomArray[UniformDistribution[0,1],4 }{0.2352,0.846453,0.537056,0.974374
1 x 0 ﻧﺧﺗﺑر اﻟرﻗم اﻻول ﻓﻰ z1 2
0y
1 y 1 x 1 ﻧﺧﺗﺑر اﻟرﻗم اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻓﻰ z1 2
1 y 1 x 1 ﻧﺧﺗﺑر اﻟرﻗم اﻟﺛﺎﻟث ﻓﻰ z1 2
1 y 1 x 1 ﻧﺧﺗﺑر اﻟرﻗم اﻟراﺑﻊ ﻓﻰ z1 2
ﻣﺛﺎل ) (١٧ -٨ اﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﻰ ﻣﺣﺎﻛﺎة اﻟﻘﺎء ﻋﻣﻠﺔ 10ﻣرات ﺛم .1000 اﻟﺣــل:
ﺗﻌﺗﺑر اﻟﻘﺎء ﻋﻣﻠﺔ ﺗﺟرﺑﺔ ﺗﺗﻛـون ﻣـن ﻣﺣـﺎوﻻت ﻣﺗﻛـررة ﺑرﻧـوﻟﻰ ﺑﺎﺣﺗﻣـﺎل ﻧﺟـﺎح .1/2ﯾﻣﻛـن ﻣﺣﺎﻛـﺎة
اﻟﻘ ـ ــﺎء ﻋﻣﻠ ـ ــﺔ ﻋﺷـ ـ ـرة ﻣـ ـ ـرات ﺑﺎﺳ ـ ــﺗﺧدام ﺗوزﯾ ـ ــﻊ ﺑرﻧ ـ ــوﻟﻰ ﺑﺎﺣﺗﻣ ـ ــﺎل ﻧﺟ ـ ــﺎح .1/2ﺑﻔ ـ ــرض ان اﻟﺣزﻣ ـ ــﺔ DiscreteDistributionsﻗد ﺗم ﺗﺣﻣﯾﻠﻬﺎ ﻓﺎﻧﻧﺎ ﺳوف ﻧﺳـﺗﺧدم
RandomArray
ﻟﺗوﻟﯾـد ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑطـول
ﻋﺷـرة .ﺑﻔـرض ان Tﺗﻣﺛـل ظﻬـور اﻟﻛﺗﺎﺑـﺔ tailوان Hﺗﻣﺛـل ظﻬـور اﻟﺻـورة ، headﻓـﺎن ﻧﺗﯾﺟـﺔ
اﻟﻣﺣﺎﻛﺎﻩ :
ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻗد ﺗﻛون ﺳﺗﺔ tailsو ارﺑﻌﺔ headsﻓﻰ اﻟﻣﺗﺗﺎﺑﻌﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ . T,T,T,T,T,H,H,T,H,Hوذﻟك ﻋﻧد ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻻواﻣر اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ]trial1=RandomArray[BernoulliDistribution[1/2],10 }{0,0,0,0,0,1,1,0,1,1
٤٤٦
ﻋﻧد ﻣﺣﺎﻛﺎة اﻟﻘﺎء اﻟﻌﻣﻠﺔ 1000ﻣرة ﻓﺎﻧﻧﺎ ﻧﻛﺗب اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DiscreteDistributions
وﺑدﻻ ﻣن اظﻬﺎر ﻗﺎﺋﻣﺔ ﻣن 1000ﻋﻧﺻر ﻓﺎﻧﻧﺎ ﻧﺣﻣل اﻟﺣزﻣﺔ DataManipulation ﺛم ﻧﺳﺗﺧدم Frequenciesواﻟﺗﻰ ﺗوﺿﺢ ﻟﻧﺎ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ 486ﺻﻔر وﻋﻠﻰ 514واﺣد ﺻﺣﯾﺢ .
;]trial2=RandomArray[BernoulliDistribution[1/2],1000 `<<Statistics`DataManipulation ]Frequencies[trial2 }}{{486,0},{514,1
ﻣﺛﺎل ) (١٨ -٨ f (x) p(1 p) x 1 , x 1,2,... اﺷرح ﻛﯾف ﯾﻣﻛن ﺗوﻟﯾد ﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ. اﻟﺣــل: ﺳوف ﻧﺷرح طرﯾﻘﺗﯾن ﻟﺗوﻟﯾد ارﻗﺎم ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ :
اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل واﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ . ﻟﺣﺳﺎب ﻫذا اﻟﻣﺟﻣوع ﺳوف ﻧﺳﺗﻔﯾد ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : k a = 1 p 1 a k 1 w a w 0 k = x 1 1 a 1 (1 p) x t 1 P(X x) F(x) p )1 (1 p
1-(1-p)x x =p 1 (1 p) , x 1 11 p ) = P(Y 1-(1-p)x ) = P(Y (1 p) x ﺣﯾث Yﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم و 1 yﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم اﯾﺿﺎ. ) P(X x) P(X x) P(X x 1
] = p[(1-p) x Y (1 p) x 1
وﻋﻠﻰ ذﻟك إذا ﻛﺎﻧت ﻣﺷﺎﻫدة yﻣن Yﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧوﻟد ﻣﺷﺎﻫدة xﺑﺈﯾﺟﺎد اﺻﻐر رﻗم ﺻﺣﯾﺢ ﺑﺣﯾث ان (1 p) x y ٤٤٧
x log (1-p) log y log y x )log(1 p x= s ﺣﯾث sاﺻﻐر رﻗم ﺻﺣﯾﺢ ﯾﺳﺎوى أو اﻛﺑر ﻣن . s ﻟﯾﻛن:
اﺻﻐر رﻗم ﺻﺣﯾﺢ اﻛﺑر أو ﯾﺳﺎوى . s
y 0.2 1 p 2 log y s )log(1-p s
0.69899 2.32. 0.3010 اﺻﻐر رﻗم ﺻﺣﯾﺢ اﻛﺑر ﻣن أو ﯾﺳﺎوى sﻫو 3أى أن . x =3
ﻣﺛﺎل ) (١٩ -٨ اﺷرح ﻛﯾف ﯾﻣﻛن ﺗوﻟﯾد ﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟذى ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : f (x) p(1 p) x 1 , x 1,2,... اﻟﺣــل:
اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﺳﻮف ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﺘﻮﻟﻴﺪ 10ﻣﺸﺎﻫﺪات ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟﺬى ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ : f (y) p(1 p) y , x 0,1,2,...
ﺛﻢ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻌﻼﻗﺔ x=y+1ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ 10ﻣﺸﺎﻫﺪات ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ : X `<<Statistics`DiscreteDistributions ]y=RandomArray[GeometricDistribution[.5],20 }{1,0,0,1,0,0,2,0,0,7,0,0,0,0,0,2,0,0,1,0 x=y+1 }{2,1,1,2,1,1,3,1,1,8,1,1,1,1,1,3,1,1,2,1
٤٤٨
ﻣﺛﺎل ) (٢٠ -٨ اﺷرح ﻛﯾف ﯾﻣﻛن ﺗوﻟﯾد ارﻗﺎم ﺗﺗﺑﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
n P(X x) p x (1 p)n x , x 0,1, 2,..., n x اﻟﺣــل:
ﺳﻮف ﻧﻮﻟﺪ رﻗﻢ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ذى اﻟﺤﺪﻳﻦ ﺑﻄﺮﻳﻘﺘﻴﻦ : اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ:
n
ﺳﻮف ﻧﺴﺘﻔﻴﺪ ﻣﻦ ان X Xiﺣﻴﺚ X1 , X 2 ,...,X nﻣﺘﻐﻴﺮات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ i 1
ﺑﺮﻧﻮﻟﻰ ﺑﻤﻌﻠﻤﺔ pو Xﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ذى اﻟﺤﺪﻳﻦ ﺑﻤﻌﻠﻤﺔ .n,p ﺳﻮف ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﺘﻮﻟﻴﺪ رﻗﻢ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ﻳﺘﺒﻊ ذى اﻟﺤﺪﻳﻦ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ n=10 , p=1/2
ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ :
`<<Statistics`DiscreteDistributions ]y=RandomArray[BernoulliDistribution[1/2],10 }{0,1,1,1,0,1,0,1,1,0 ]x=Apply[Plus,y 6
اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ: ﺳوف ﻧوﻟد 10ارﻗﺎم ﻋﺷواﺋﯨﺔ ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`DiscreteDistributions ]y=RandomArray[BinomialDistribution[10,.5],10 }{4,6,5,5,6,5,6,5,6,5
ﻣﺛﺎل ) (٢١ -٨ ﺳوف ﻧﻘدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﺗوﻟﯾد 10000ﺗوﻟﯾد رﻗم ﺗﺗﺑﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : n P(X x) p x (1 p)n x , x 0,1, 2,..., n x ﺣﯾث .n=20, p=1/ 4وﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ و اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻣﻌﺎ اﻟذى ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ واﯾﺿﺎ ﻣﻊ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ واﻟذى ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى ﻣﺳﺎوى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣوﻟدة . ٤٤٩
:اﻟﺣــل scaledHistogram ﺳوف ﻧﺣﻣل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ: اوﻻ : ﺛم ﻧﻛﺗب اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ
<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BinomialDistribution[20,1/4]; simulate=Table[Random[dist],{10000}];
. ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ
p1=scaledHistogram[simulate,14] 0.2
0.15
0.1
0.05
2
4
6
8
10
Graphics t1=Table[PDF[dist,x],{x,0,20}]
٤٥٠
12
3486784401 5811307335 36804946455 , , , 1099511627776 274877906944 549755813888 36804946455 208561363245 13904090883 , , , 274877906944 1099511627776 68719476736 23173484805 7724494935 33472811385 , , , 137438953472 68719476736 549755813888 3719201265 2727414261 413244585 , , , 137438953472 274877906944 137438953472 413244585 10596015 3532005 , , , 549755813888 68719476736 137438953472 235467 392445 7695 , , , 68719476736 1099511627776 274877906944 855 15 1 , , 549755813888 274877906944 1099511627776
t1//N 0.00317121, 0.0211414, 0.0669478, 0.133896, 0.189685,
0.202331, 0.168609, 0.112406, 0.0608867, 0.0270608, 0.00992228, 0.00300675, 0.000751688, 0.000154192, 0.0000256987, 3.4265 106, 3.56927 107, 2.79942 108, 1.55524 109, 5.45697 1011, 9.09495 1013
وﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ و اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻣﻌﺎ اﻟذى . ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ p2=ListPlot[t1,PlotStylePointSize[0.03],DisplayFunction Identity];Show[p1,p2] 0.2
0.15
0.1
0.05
5
10
15
Graphics
dist2 NormalDistribution20 0.25, p2a PlotPDFdist2, x, x, 0, 20, DisplayFunction Identity; Show p1, p2, p2a ٤٥١
20
20 0.25 0.75 ;
ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ و اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻣﻌﺎ اﻟذى
ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ واﯾﺿﺎ ﻣﻊ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ واﻟذى ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى ﻣﺳﺎوى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣوﻟدة .
0.2
0.15
0.1
0.05
20
15
10
5
) (٣-٨ﺗوﻟﯾد)ﻣﺣﺎﻛﺎة( ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﺗﻧﺎظرﯾﺔ ﻣﺛﺎل ) (٢٢ -٨ إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل : ½ = )f(x 1<|x–2|<2 = 0 , e.w. ﺑﯾــﺎن داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌــﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر Xﻣﻌطــﻲ ﻓــﻲ اﻟﺷــﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻰ .ﯾﻼﺣــظ أن ) F(xﻟﯾﺳــت داﻟــﺔ ﺗﻧﺎظرﯾﺔ وذﻟك ﻷن اﻟﻘﯾﻣﺔ ½ ﻣﻌرﻓﺔ ﻟﻛل ﻗـﯾم . 1 < x < 3أي أن Xﻻ ﯾﻧطﺑـق ﻋﻠﯾﻬـﺎ ﺷـروط اﻟﻧظرﯾﺔ ) (١-٨و اﻟﻧظرﯾﺔ ). (٢-٨
٤٥٢
اﻵن ﺳوف ﻧﺷرح ﻛﯾﻔﯾﺔ إﺳﺗﺧدام اﻟﻧظرﯾﺗﯾن اﻟﺳﺎﺑﻘﺗﯾن ﻓـﻲ ﺗوﻟﯾـد ﻣﺷـﺎﻫدات ﻣـن اﻟﺗوزﯾـﻊ واﻟﻣﻌطـﻲ
ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ :
ﻣﺛﺎل ) (٢٣ -٨ إذا ﻛﺎن ) Y ~ UNF (0, 1أﺷرح ﻛﯾف ﯾﻣﻛن ﺗوﻟﯾد ﻣﺷﺎﻫدة ﻟﻬﺎ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 1 2
1 x 1
,
1 1 ) f (x) (x (1 x) 2 4 = 0 , e.w.
اﻟﺣــل: ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻟداﻟﺔ ﻓﻲ ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل :
)f (x) a f1 (x) (1 a) f 2 (x 0 a 1
ﺣﯾث :
dx 1
f x dx a f 1 x 1 a f 2 x
ﺣﯾث داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل f1 x ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل : 1
0 x 1
2 x
ﻓـﺈن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : ٤٥٣
f 1 (x)
F1 (x) x
0 x 1
1
x 1
1 2 f 2 x اﯾﺿﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎلX F1 (Y) Y ﻓﺈنY F1 (X) X ﺑوﺿﻊ
: ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل 1 1 f 2 (x) (1 x) 2 2 0 , e.w.
,
0 x 1 : ﺑداﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل
F2 (x) (1 x)
1 2
0 1
0 x 1 x0 x 1 ﺑوﺿﻊ
Y F2 (X) (1 X)
1 2
: ﻓـﺈن X F21 (x) 1 Y 2 : ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛلf (x) أي أن اﻟداﻟﺔ 1 1 2 1 1 1 f (x) x 2 1 x 2 2 2 اذا ﻛـﺎن اﻟﻧـﺎﺗﺞX 1 Y 2 اذا ﻛﺎن اﻟﻧﺎﺗﺞ ﺻـورة ﺑﯾﻧﻣـﺎX Y 2 اﻵن ﻧﻠﻘﻰ ﻋﻣﻠﺔ وﻧﻛﺗب
.ﻛﺗﺎﺑﺔ : ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻻﯾﺟﺎد رﻗم ﻋﺷواﺋﻰ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣذﻛور <<Statistics`DiscreteDistributions` yy=Random[BernoulliDistribution[1/2]] 0 y=Random[UniformDistribution[0,1]] 0.398923 x 1 y2 0.84086
٤٥٤
ﻓﻰ ﻫذا اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﻘوم ﺑﺗوﻟﯾد رﻗم ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻰ وذﻟك ﻟﻣﺣﺎﻛﺎﻩ اﻟﻘﺎء ﻋﻣﻠﺔ وﺑﻣﺎ ان اﻟﻧﺎﺗﺞ ﺻﻔر ﻓﻬذا ﯾﻘﺎﺑل ظﻬور اﻟﻛﺗﺎﺑﺔ وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻗﯾﻣﺔ Xﺳوف ﺗﻛون X 1 Y 2 اى ﺗﺳﺎوى ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺧرج ﻟﻠﻣدﺧل اﻟﻣﺳﻣﻰ xﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺳﺎﺑق . ﻣﺛﺎل ) (٢٤ -٨ إذا ﻛﺎن Yﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﺣﯾـث ) Y ~ UNlF (0,1أﺷـرح ﻛﯾـف ﯾﻣﻛـن اﺳـﺗﺧدام Yﻟﻠﺣﺻـول ﻋﻠﻲ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل : 1 1 1 f (x) 3 ((x ) 2 ) 1 2x 2 ) , 0 x 1 2 8 = 0 , e.w.
اﻟﺣــل: اﻟداﻟﺔ ) f (xﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل : 1 1 12 1 2 3 3 2 f (x) (x ) (1 2x) (2x 1) 2 4 2 8 8 12 3 3 f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x). 8 8 8
ﺣﯾث داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل f 1 x ﺗﻛون ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل : 1 f 1 (x) 12(x ) 2 0 x 1 2 0 , e.w. ﺑداﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
1 1 F1 (x) 4(x )3 , 0 x<1 2 2 0 x0 1 x 1 ﺑوﺿـﻊ:
Y 1 13 1 1 1 Y F1 (X) 4(x )3 ﻓـﺈن X F (Y) ( ) 4 8 2 2 2 اﯾﺿﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل f 2 x ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : 1
٤٥٥
1 2
1 2
0x
1 2
f 2 (x) (1 2x) 1 2x 0 , e.w.
ﻟﻬذة اﻟداﻟﺔ ﻧﺎﺧذ :
1 ) X (1 Y 2 2 ﺣﯾث Xﻫﻧﺎ ﻣﺗﻐﯾرﻋﺷواﺋﻲ ﻟﺔ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل f 2 x وذﻟك ﻻن : 1
1 P X x P 1 Y 2 x 1 1 2x 2 2 ﺗﻣﺛل داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟداﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل . f 2 x واﺧﯾ ار داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل f3 x ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل:
1 x 1 2
1 2
1 2x
1 2
)f 3 (x) (2 x 1
= 0 , e.w.
1 ﻟﻬذة اﻟداﻟﺔ ﻧﺎﺧذ )X (1 Y 2 2 وذﻟك ﻻﻧﺔ ﯾﻣﻛن اﺛﺑﺎت ان داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ : 1 2
)F3 (x) (2x 1
ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ اﻟداﻟﺔ f3 x وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻟﺗوﻟﯾـد ﻣﺷـﺎﻫدة ﺗﺗﺑـﻊ داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ) f (xﻧﻠﻘـﻰ ﻋﻣﻠﺔ ﺛﻼث ﻣرات وﺑﻔرض أن Aاﻟﺣﺎدﺛﺔ ظﻬور ﺛﻼﺛـﺔ وﺟـوﻩ أو ﺛﻼﺛـﺔ ﻛﺗﺎﺑـﺔ ) ﻓـﻲ أي ﺗرﺗﯾـب ( B
اﻟﺣﺎدﺛﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠـﻰ ﺻـورﺗﯾن وﻛﺗﺎﺑـﺔ ﻓـﻰ أي ﺗرﺗﯾـب و Cاﻟﺣﺎدﺛـﺔ اﻟﺣﺻـول ﻋﻠـﻲ أﺛﻧـﯾن ﻛﺗﺎﺑـﺔ ﺻورة ) ﻓﻲ أي ﺗرﺗﯾب ( وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻧﻌرف اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
1
Y 1 3 X 12 4 8 1 ) X (1 Y 2 2 1 ) X (1 Y 2 2
إذا وﻗﻌت A إذا وﻗﻌت B إذا وﻗﻌت C اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﺘﻮﻟﯿﺪ رﻗﻢ ﯾﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺬﻛﻮر :
٤٥٦
`<<Statistics`DiscreteDistributions ]]yy=Random[BinomialDistribution[3,1/2 2 ]]y=Random[UniformDistribution[0,1 0.865914
1 1 y2 2
x
0.125096
ﻓﻰ ﻫذا اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﻘوم ﺑﺗوﻟﯾد رﻗم ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن وذﻟك ﻟﻣﺣﺎﻛﺎﻩ اﻟﻘﺎء ﻋﻣﻠﺔ ﺛﻼﺛﺔ ﻣرات 1 وﺑﻣﺎ ان اﻟﻧﺎﺗﺞ اﺛﻧﯾن ﻓﻬذا ﯾﻘﺎﺑل اﻟﺣﺎدﺛﺔ Cوﻋﻠﻰ ذﻟك ﻗﯾﻣﺔ Xﺳوف ﺗﻛون X 1 Y 2 2 اى ﺗﺳﺎوى ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺧرج ﻟﻠﻣدﺧل اﻟﻣﺳﻣﻰ xﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺳﺎﺑق .
) (٤-٨اﻟﻣﺣﺎﻛﺎة وﻧظرﯾﺔ اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ﻏﺎﻟﺑﺎ ﻓﻰ اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت اﻻﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﯾﻔﺗرض ان اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذى اﺧﺗﯾرت ﻣﻧﮫ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط وﺗﺑﺎﯾن 2وﯾﻛون اﻻھﺗﻣﺎم ﺑﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣﺗﯾن اﻟﻣﺟﮭوﻟﺗﯾن , 2او اﺟراء اﺧﺗﺑﺎرات ﻓروض ﺗﺧص او 2وذﻟك ﻣن ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺔ .
اذا ﻛﺎﻧت X1 , X 2 ,...,X nﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺎﺧوذة ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﻟﮫ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل )f (x 1 n ﻓﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ X X iﯾﻣﺛل اﺣﺻﺎء ،اى ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺔ n i 1 1 n S2 ﯾﻣﺛل اﺣﺻﺎء . ﻓﻘط .اﯾﺿﺎ ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ (X i X) 2 n 1 i 1 اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻻى اﺣﺻﺎء ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ ﺑﻣﺟرد اﺟراء اﻟﺗﺟرﺑﺔ وﺗﻛررھﺎ nﻣن اﻟﻣرات ﻓﺎﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌروﻓﺔ ﻟـﻣﺗوﺳط وﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ x,s 2ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ واﻟﺗﻰ ﻧﺎﻣل ان ﺗﺳﺎﻋدﻧﺎ ﻓﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ) اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣﺟﮭوﻟﺔ ( و ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ) 2اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣﺟﮭوﻟﺔ (. ﺗﻌﺗﺑر x, 2ﻗﯾﻣﺗﯾن ﻣن ﻗﯾم اﻻﺣﺻﺎء X,S2ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ ،اى ان ﻗﯾم x,s 2ﻣن اﻟﻣﻣﻛن ان ﺗﺧﺗﻠف ﻣن ﻋﯾﻧﺔ اﻟﻰ اﺧرى .اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺳوف ﯾﻛون ﻓﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ ﻟﻛل ﻣن X,S2واﻟﻣﺳﻣﻰ .
2 اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ ﻟﻠﻣﺗوﺳط ﻟﮫ اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن n واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ ﻟﻛل ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ . X iاذا ﻛﺎن ﻛل X iﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﻣﺗوﺳط µواﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري σﻓﺎن Xﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ . ﺣﯾث , ھو اﻟﻣﺗوﺳط
٤٥٧
ﻧظرﯾﺔ: إذا أﺧ ذﻧﺎ ﻛ ل اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻣ نﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣﻌ روف أﻧ ﮫ ﯾﺗﺑ ﻊ ﺗوزﯾﻌ ﺎ ً طﺑﯾﻌﯾ ﺎ ً ﺑﻣﺗوﺳ ط µ واﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري σﻓ ﺈن اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﻌﯾﻧ ﻲ ﻟﻺﺣﺻ ﺎء Xﯾﺗﺑ ﻊ ﺗوزﯾﻌ ﺎ ً طﺑﯾﻌﯾ ﺎ ً ﺑﻣﺗوﺳ ط X واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري n
X ﺣﯾث Xو Xﯾرﻣزان ﻟﻠﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ﻋﻠ ﻰ
اﻟﺗواﻟﻲ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻲ ﻟﻺﺣﺻﺎء . Xو n ﺳ وف ﻧﺳ ﮭل ﻓﮭ م ھ ذه اﻟﻧظرﯾ ﺔ ﺑﺎﻟﻣﺛ ﺎل ااﻟﺗ ﺎﻟﻰ وﺳ ــوف ﻧﺣﻣـ ــل اوﻻ اﻟﺑرﻧ ــﺎﻣﺟﯾن اﻟﺟـ ــﺎﻫزﯾن
X ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺧطﺎ اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ
.standard error
normalHistogram scaleHistogramواﻟذى ﺳﺑق ان ﺗﻛﻠﻣﻧﺎ ﻋﻧﻬﻣﺎ. ﻣﺛﺎل ) (٢٥ -٨
ﺳوف ﻧﻘوم ﺑﺗوﻟﯾـد 10000ﻋﯾﻧـﺔ ﻣـن اﻟﺣﺟـم 3ﻣـن ﻣﺟﺗﻣـﻊ ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻰ ﺑﻣﺗوﺳـط 100
واﻧﺣـراف ﻣﻌﯾــﺎرى 16ﺛــم ﻧﺳــﺗﺧدم ﺗﻠــك اﻟﻌﯾﻧــﺎت ﻓــﻰ ﺗﻣﺛﯾــل ﻣﺗوﺳــطﺎت اﻟﻌﯾﻧــﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾــﺎ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﻣـدرج اﻟﺗﻛـرارى )اﻟــذي ﯾﻌﺗﺑــر اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻌﯾﻧــﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑــﻰ ( وﻣﻘﺎرﻧـﺔ ﻫــذا اﻟﻣــدرج ﻣــﻊ ﻣﻧﺣﻧــﻰ اﻟﺗوزﯾــﻊ
اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط و ﺗﺑﺎﯾن ﻣﺣﺳوب ﻣن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﻋددﻫﺎ .10000 اﻟﺣل : اوﻻ :ﺳوف ﻧﺣﻣل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺟﯾن scaleHistogramو normalHistogram ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ :
`<Statistics`DataManipulation `<<Graphics`Graphics scaledhistogram[data_,bars_:10,opts___]:=Module[{min,max, stepsize,counts,heights,midpts,tograph}, ;]min=Min[data ;]max=Max[data ;)stepsize=(max-min)/(bars-1 counts=BinCounts[data,{min;]}stepsize/2,max+stepsize/2,stepsize ;heights=counts/(stepsize Length[data])//N ;]}midpts=Table[i,{i,min,max,stepsize tograph=Table[{N[midpts[[i]],3],heights[[i]],stepsiz ;]}e},{i,1,bars GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange]>All,opts ]
٤٥٨
اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗﻌرﯾف ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط 100واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى : 16 ;]dist=NormalDistribution[100,16
اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻟﯾد 10000ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم : 3 ;]}randomsample=RandomArray[dist,{10000,3
اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ Takeﻟﻌرض ﺧﻣﺳﺔ ﻋﯾﻧﺎت ﻓﻘط ﻟﻠﺗوﺿﯾﺢ : ]Take[randomsample,5 {{91.9725,82.9789,102.084},{134.97,124.844,102.083},{83.4 281,77.5136,85.4568},{127.699,92.6188,105.86},{111.52,108 }}.268,92.7449
اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣﺳﺎب ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺎت : ;]meanrandomsample=Map[Mean,randomsample
اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ Takeﻟﻌرض ﺧﻣﺳﺔ ﻣﺗوﺳطﺎت ﻓﻘط ﻟﻠﺗوﺿﯾﺢ : ]Take[meanrandomsample,5 }{92.3453,120.632,82.1328,108.726,104.177
اﻻواﻣر اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻟﺣﺳﺎب اﺻﻐر ﻣﺗوﺳط واﻛﺑر ﻣﺗوﺳط : ]min=Min[meanrandomsample 65.0632 ]max=Max[meanrandomsample 131.885
اﻻواﻣر اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻟﺣﺳﺎب اﻟﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت : ]Mean[meanrandomsample ]StandardDeviation[meanrandomsample ]Variance[meanrandomsample
99.8608 9.2705 85.9422
ﯾﻼﺣظ ﻫﻧﺎ ان ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ واﻟﻣﺣﺳوب ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ 99.8608 وﻫو ﻗرﯾب ﻣن ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟذى ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ واﻟذى ﻟﻪ اﻟﻣﺗوﺳط 100
ﻛﻣﺎ ان اﻟﺗﺑﺎﯾن
ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ واﻟﻣﺣﺳوب ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ھو :
2 (16) 2 85.9422وﻫو ﻗرﯾب ﻣن 85.33 n 3 ﺣﯾث 2ﺗﺑﺎﯾن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟذى ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ. ٤٥٩
وﻫذا ﯾوﺿﺢ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ .
ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻣﻣﺛﻠﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى اﻟﻧﺳﺑﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام 40ﻋﻣود . ]raph1=scaledhistogram[meanrandomsample,40 0.04
0.03
0.02
0.01
130
110
120
100
90
80
Graphics
ﻣﺗوﺳــط اﻟﻌﯾﻧــﺎت ﻣﻣﺛﻠ ــﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾــﺎ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﻣ ــدرج اﻟﺗﻛ ـرارى اﻟﻧﺳــﺑﻰ .ﻣ ــﻊ اﻟﺗﻣﺛﯾــل اﻟﺑﯾــﺎﻧﻰ ﻟﻠﺗوزﯾ ــﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط و ﺗﺑﺎﯾن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ . ]normalhistogram[meanrandomsample,40 0.04
0.03
0.02
0.01
130
110
120
100
90
80
Graphics
ﯾﻼﺣظ ﻣن اﻟرﺳم اﻟﺳﺎﺑق ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﯾﺗطﺎﺑق اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﻠﻣﺗوﺳط ﻣﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ .وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻧﻛون ﻗد وﺿﺣﻧﺎ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ .
ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺧطوات اﯾﺟﺎد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ : ;]variancerandomsample=Map[Variance,randomsample ]Take[variancerandomsample,5 ٤٦٠
{91.3596,283.699,17.0321,313.823,100.671} min=Min[variancerandomsample] 0.0387583 max=Max[variancerandomsample] 2126.48 Mean[variancerandomsample] StandardDeviation[variancerandomsample] Variance[variancerandomsample] 255.392 251.167 63084.8
ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻣﻣﺛﻠﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى اﻟﻧﺳﺑﻰ scaledhistogram[variancerandomsample,40] 0.003 0.0025 0.002 0.0015 0.001 0.0005 500
1000
1500
2000
Graphics <<Graphics`Graphics` <<Statistics`DataManipulation` pdfapprox[data_,plotpoints_:100,opts___]:=Module[{min,max ,stepsize,counts,heights,midpts,tograph}, min=Min[data]; max=Max[data]; stepsize=(max-min)/(plotpoints-1); counts=BinCounts[data,{minstepsize/2,max+stepsize/2,stepsize}]; heights=counts/(stepsize Length[data])//N; midpts=Table[i,{i,min,max,stepsize}]; tograph=Table[{N[midpts[[i]],3],heights[[i]]},{i,1,p lotpoints}]; ListPlot[tograph,PlotJoined->True,PlotRange>All,opts] ]
: ﺗﻔﯾد اﻟﻣﺣﺎﻛﺎة ﻓﻰ ﻓﻬم اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ
٤٦١
ﻓﻰ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺣﺎﻻت ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺻﻠﻰ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ اﻻﺻﻠﻰ ﻏﯾر طﺑﯾﻌﻰ وﯾﺗطﻠب اﻻﻣر ﻣﻌرﻓﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﺗوﺳط وﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ X,S2ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ .ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﻛﺑﯾرة او
اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﯾﺔ ﺳواء ﻛﺎﻧت ﻣﺗﺻﻠﺔ او ﻣﺗﻘطﻌﺔ ﺗﻧص اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻋﻠﻰ :
ﻧظرﯾﺔ اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ: اذا اﺧﺗﯾرت ﻛل اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم nﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻛﺑﯾر او ﻻﻧﻬﺎﺋﻰ ﺑﻣﺗوﺳط وﺗﺑﺎﯾن 2ﻓﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ ﻟﻼﺣﺻﺎء Xﺗﻘرﯾﺑﺎ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﺎ ﺑﻣﺗوﺳط X X ﻋﻧدﻣﺎ . n واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري n ﻣﻠﺣوظ ــﺔ :ﻓ ــﻰ اﻟﺗطﺑﯾ ــق ﺗﺳ ــﺗﺧدم ﻧظرﯾ ــﺔ اﻟﻧزﻋ ــﺔ اﻟﻣرﻛزﯾ ــﺔ ﻋﻧ ــدﻣﺎ nﻛﺑﯾـ ـرة ﺑدرﺟ ــﺔ ﻛﺎﻓﯾ ــﺔ .اﻟﺗﻘرﯾ ــب اﻟطﺑﯾﻌــﻰ ﺳــوف ﯾﻛــون ﺟﯾــدا اذا ﻛﺎﻧــت n 30ﺑﺻــرف اﻟﻧظــر ﻋــن ﺷــﻛل اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺻــﻠﻰ اﻟــذى اﺧﺗﯾــرت ﻣﻧــﻪ اﻟﻌﯾﻧــﺎت .اذا ﻛﺎﻧــت n 30اﻟﺗﻘرﯾــب ﯾﻛــون ﺟﯾــد ﻓﻘــط اذا ﻛــﺎن اﻟﻣﺟﺗﻣــﻊ ﻻ ﯾﺧﺗﻠــف ﻛﺛﯾ ار ﻋن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ . ﺗﻌﺗﺑــر ﻫــذﻩ اﻟﻧظرﯾــﺔ ﻣــن اﻫــم اﻟﻧظرﯾــﺎت ﻓــﻰ ﻣﺟــﺎل اﻻﺳــﺗدﻻل اﻻﺣﺻــﺎﺋﻰ .ﺳــوف ﻧﺳــﻬل ﻓﻬــم ﻫــذﻩ اﻟﻧظرﯾـ ـ ـ ـ ــﺔ ﺑﺎﺳـ ـ ـ ـ ــﺗﺧدام ﺑرﻧ ـ ـ ـ ـ ـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـ ـ ـ ـ ــﺎ اﻟﺗـ ـ ـ ـ ــﺎﻟﻰ وﺳـ ـ ـ ـ ــوف ﻧﺣﻣـ ـ ـ ـ ــل اﻟﺑرﻧـ ـ ـ ـ ــﺎﻣﺟﯾن اﻟﺟـ ـ ـ ـ ــﺎﻫزﯾن
scaleHistogramو normalHistogramوﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣﺛﻠﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ .
ﻣﺛﺎل ) (٢٦ -٨ ﺳوف ﻧﻘوم ﺑﺗوﻟﯾد 10000ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم اﺛﻧﯾن وارﺑﻌﺔ وﺛﻣﺎﻧﯾﺔ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗطم ﻓــﻰ اﻟﻔﺗ ـرة ) (95,105ﺛــم ﻧﺳــﺗﺧدم ﺗﻠــك اﻟﻌﯾﻧــﺎت ﻓــﻰ ﺗﻣﺛﯾــل ﻣﺗوﺳــطﺎت اﻟﻌﯾﻧــﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾــﺎ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام
اﻟﻣـدرج اﻟﺗﻛـرارى )اﻟــذي ﯾﻌﺗﺑــر اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻌﯾﻧــﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑــﻰ ( وﻣﻘﺎرﻧــﺔ ﻫــذا اﻟﻣــدرج ﻣــﻊ ﻣﻧﺣﻧــﻰ اﻟﺗوزﯾــﻊ
اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط و ﺗﺑﺎﯾن ﻣﺣﺳوب ﻣن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت . اﻟﺣل :
ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺟﺎﻫز :normalHistogram `<<Statistics`ContinuousDistributions `<<Statistics`DataManipulation ;]dist=UniformDistribution[95,105 ;]}sample1=RandomArray[dist,{10000,2 ]Take[sample1,3 }}{{102.725,101.689},{103.266,104.99},{103.905,104.456 ٤٦٢
;]mean1=Map[Mean,sample1 ]Mean[mean1 ]StandardDeviation[mean1 ]Variance[mean1 100.031 2.05377 4.21795 ;]g1=normalhistogram[mean1,50,DisplayFunction->Identity ;]}sample2=RandomArray[dist,{10000,4 ;]mean2=Map[Mean,sample2 ;]g2=normalhistogram[mean2,50,DisplayFunction->Identity ;]}sample3=RandomArray[dist,{10000,8 ;]mean3=Map[Mean,sample3 ;]g3=normalhistogram[mean3,50,DisplayFunction->Identity ]]}Show[GraphicsArray[{g1,g2,g3 0.4
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
0.3 0.2 0.1 98 99100101102103
0.2
98 100 102 104
0.15 0.1 0.05 96 98 100102104106
GraphicsArray
ﯾﻼﺣظ ﻫﻧﺎ ان ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم اﺛﻧﯾن واﻟﻣﺣﺳوب ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ
ﻫو 100.031وﻫو ﻗرﯾب ﻣن ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم اﻟذى ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ واﻟذى ﻟﻪ 105 95 اﻟﻣﺗوﺳط 100 2 ﻛﻣﺎ ان اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ واﻟﻣﺣﺳوب ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ھو :
(105 95)2 2 ﺣﯾث 8.333 4.21795وﻫو ﻗرﯾب ﻣن 12 n 2
2 8.333 2ﺗﺑﺎﯾن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم اﻟذى ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ و 2 4.1665 . n ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟرﺳوم اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﻘﺗرب ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ
ﻛﻠﻣﺎ زادت ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ وﻫذا ﯾوﺿﺢ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ .
ﻣﺛﺎل ) (٢٧ -٨
٤٦٣
ﺳوف ﻧﻘوم ﺑﺗوﻟﯾـد 2000ﻋﯾﻧـﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣـن اﻟﺣﺟـم 5,10,25,35ﻣـن ﻣﺟﺗﻣـﻊ ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ﻣرﺑـﻊ ﻛـﺎى ﺑﻣﺗوﺳـط 1وﺗﺑـﺎﯾن) 2ﺑﻣﻌﻠﻣـﺔ واﺣـد ﺻـﺣﯾﺢ ( ﺛـم ﻧﺳـﺗﺧدم ﺗﻠـك اﻟﻌﯾﻧـﺎت ﻓـﻰ ﺗﻣﺛﯾـل ﻣﺗوﺳـطﺎت
اﻟﻌﯾﻧــﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾــﺎ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﻣــدرج اﻟﺗﻛ ـرارى )اﻟــذي ﯾﻌﺗﺑــر اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻌﯾﻧــﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑــﻰ ( وﻣﻘﺎرﻧــﺔ ﻫــذا اﻟﻣدرج ﻣﻊ ﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط و ﺗﺑﺎﯾن ﻣﺣﺳوب ﻣن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت . اﻟﺣل : ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`ContinuousDistributions `<<Statistics`DataManipulation ;]dist=ChiSquareDistribution[1
داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى ﻣﻣﺛﻠﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ﺗﺳﺎوى
واﺣد ﺻﺣﯾﺢ .
]Plot[PDF[dist,x],{x,0,2},PlotRange->{0,2},AspectRatio->1 2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 1.5
2
1
0.5
Graphics ;]}sample1=RandomArray[dist,{2000,5 ]Take[sample1,3 {{1.33814,0.143846,1.53564,0.15573,0.0660311},{0.754176,0 .0473923,0.106248,0.0108476,0.412087},{0.38653,2.05138,0. }}0587793,0.03298,3.0722 ;]mean1=Map[Mean,sample1 ]Mean[mean1 ]StandardDeviation[mean1 ]Variance[mean1 ٤٦٤
1.01425 0.640086 0.40971 g1=normalhistogram[mean1,50,DisplayFunction->Identity]; sample2=RandomArray[dist,{2000,10}]; mean2=Map[Mean,sample2]; g2=normalhistogram[mean2,50,DisplayFunction->Identity]; sample3=RandomArray[dist,{2000,25}]; mean3=Map[Mean,sample3]; g3=normalhistogram[mean3,50,DisplayFunction->Identity]; sample4=RandomArray[dist,{2000,35}]; mean4=Map[Mean,sample4]; g4=normalhistogram[mean4,50,DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{{g1,g2},{g3,g4}}]] 0.8 1 0.6
0.8
0.4
0.6 0.4
0.2
0.2
-1
1
2
3
4
5
1.5
2
3
1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25
1.25 1 0.75 0.5 0.25 0.5
1
1.5
2
0.5 0.75
1.25 1.5 1.75
GraphicsArray
ﯾﻼﺣظ ﻫﻧﺎ ان ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ﺧﻣﺳﺔ واﻟﻣﺣﺳوب ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وﻫو ﻗرﯾب ﻣن ﻣﺗوﺳط ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى اﻟذى ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ واﻟذى ﻟﻪ
1.01425 ﻫو
ﻛﻣﺎ ان اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ واﻟﻣﺣﺳوب ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ھو. اﻟﻣﺗوﺳط واﺣد ﺻﺣﯾﺢ
2 2 2 وﻫو ﻗرﯾب ﻣن 2 2(1) 2, 0.4 ﺣﯾث n 5 n 2
0.40971
. ﺗﺑﺎﯾن ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى اﻟذى ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ2 و
٤٦٥
2
ﯾﻼﺣظ ﻣن اﻟرﺳم اﻟﺳﺎﺑق ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﻠﻣﺗوﺳط ﯾﻘﺗرب ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻛﻠﻣﺎ زادت ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻟذى ﯾﺛﺑت ﻟﻧﺎ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ .وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻧﻛون ﻗد وﺿﺣﻧﺎ ﻫذﻩ
اﻟﻧظرﯾﺔ .
ﻣﺛﺎل ) (٢٨ -٨ ﺳــوف ﻧﻘ ــوم ﺗوﻟﯾ ــد 2000ﻋﯾﻧ ــﺔ ﻣ ــن ﻣﺟﺗﻣــﻊ ﯾﺗﺑ ــﻊ اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻻﺳ ــﻰ ﻣ ــن اﻟﺣﺟ ــم 30,25,10, 5
ﺑﻣﻌﻠﻣــﺔ اﺛﻧــﯾن ﺛ ــم ﻧﺳــﺗﺧدم ﺗﻠــك اﻟﻌﯾﻧ ــﺎت ﻓــﻰ ﺗﻣﺛﯾ ــل ﻣﺗوﺳــطﺎت اﻟﻌﯾﻧــﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾ ــﺎ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﻣ ــدرج اﻟﺗﻛرارى )اﻟذي ﯾﻌﺗﺑر اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑـﻰ ( وﻣﻘﺎرﻧـﺔ ﻫـذا اﻟﻣـدرج ﻣـﻊ ﻣﻧﺣﻧـﻰ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻰ ﺑﻣﺗوﺳط و ﺗﺑﺎﯾن ﻣﺣﺳوب ﻣن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت .
اﻟﺣل : ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ : `<<Statistics`ContinuousDistributions ;]dist=ExponentialDistribution[1/2 ]}Plot[PDF[dist,x],{x,0,8 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
8
6
4
2
Graphics ;]}sample1=RandomArray[dist,{2000,5 ;]}sample2=RandomArray[dist,{2000,10 ;]}sample3=RandomArray[dist,{2000,25 ;]}sample4=RandomArray[dist,{2000,30 ;]mean1=Map[Mean,sample1 ;]mean2=Map[Mean,sample2 ;]mean3=Map[Mean,sample3 ;]mean4=Map[Mean,sample4 ;]g1=normalHistogram[mean1,50,DisplayFunction->Identity ;]g2=normalHistogram[mean2,50,DisplayFunction->Identity ;]g3=normalHistogram[mean3,50,DisplayFunction->Identity ٤٦٦
;]g4=normalHistogram[mean4,50,DisplayFunction->Identity ]]}}Show[GraphicsArray[{{g1,g2},{g3,g4 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 4
3
2
1
0 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
1 1.5 2 2.5 3 3.5
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 1.5 2 2.5 3 3.5 GraphicsArray
ﻻﺣظ ﻣن اﻟرﺳم اﻟﺳﺎﺑق ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﻠﻣﺗوﺳط ﯾﻘﺗرب ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻛﻠﻣﺎ زادت ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻟذى ﯾﺛﺑت ﻟﻧﺎ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ
) (٥-٨اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺿﻌﯾف ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة
اذا ﻛﺎن E(X) ﯾﻣﺛـل ﻣﺗوﺳـط اﻟﺗوزﯾـﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻰ اﻟﻣﺷـﻛﻠﺔ ﺗﻘـدﯾر . ﻣـن اﻟﻣﻌـروف
ان ) E(Xﻫو اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻌدد ﻻﻧﻬﺎﺋﻰ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ . Xﻓـﻰ اى ﻣﺷـﻛﻠﺔ ﻓﺎﻧﻧـﺎ ﻧﻼﺣـظ ﻋدد ﻣﺣدود ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ )ﻋﯾﻧـﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣـن اﻟﺣﺟـم (nواﻟﺳـؤال اﻻن ﻫـل ﻫـذا اﻟﻌـدد اﻟﻣﺣ ــدود ﻣـ ــن ﻗـ ــﯾم Xﺗﻛﻔـ ــﻰ ﻟﻼﺳـ ــﺗدﻻل ﻋـ ــن ) ، E(Xواﻻﺟﺎﺑـ ــﺔ ﻧﻌـ ــم وذﻟـ ــك ﺑﻣـ ــﺎ ﯾﺳـ ــﻣﻰ ﺑﺎﻟﻘـ ــﺎﻧون
اﻟﺿـﻌﯾف ﻟﻼﻋــداد اﻟﻛﺑﯾـرة . weak law of large numberﯾـﻧص ﻫــذا اﻟﻘـﺎﻧون ﻋﻠــﻰ اﻧــﻪ اذا
اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم nاو اﻛﺑر وذﻟك ﺑداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﺣﺗﻣـﺎل ) ) f(xﺣﯾـث E(X) ( ،ﻓﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﺟﻌل اﻻﺣﺗﻣﺎل ﯾﻘﺗرب ﻣن واﺣد )ﺣﺳب اﻟرﻏﺑﺔ ( ان ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ X
ﯾﻧﺣرف ﻋن ﺑﻣﻘدار اﺧﺗﯾﺎرى ﺻﻐﯾر ﺟدا .ﺑﺻورة اوﺿﺢ ﻓﺎن اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺿﻌﯾف ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة
ﯾـ ــﻧص ﻋﻠ ـ ـﻰ اﻧـ ــﻪ ﯾوﺟـ ــد ﻋـ ــدد ﺻـ ــﺣﯾﺢ nﻻى ﻋـ ــددﯾن اﺧﺗﯾـ ــﺎرﯾﯾن , ﺣﯾـ ــث 0 1, 0
وﺑﺣﯾــث اذا اﺧﺗﯾــرت ﻋﯾﻧــﺔ ﻣــن اﻟﺣﺟــم nاو اﻛﺑــر ﻣــن داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣــﺎل ) f(xواذا ﻛــﺎن ﻣﺗوﺳــط اﻟﻌﯾﻧـﺔ ﻫـو X nﯾــﺗم ﺣﺳـﺎﺑﻪ ،ﻓــﺎن اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﺳــوف ﯾﻛـون اﻛﺑــر ﻣـن ) 1 ﯾﻘﺗــرب ﻣـن واﺣــد ( ان X nﯾﻧﺣــرف ﻋــن ﺑﻘﯾﻣــﺔ اﻗــل ﻣــن ) وﺑﺎﻟﻣﺛــل ﯾﻘﺗــرب ﻣــن .( وﯾﻣﻛــن اﻟﺗﻌﺑﯾــر ﻋــن اﻟﻘــﺎﻧون اﻟﺿﻌﯾف ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ : ﻻى ﻋـ ــددﯾن اﺧﺗﯾـ ــﺎرﯾﯾن , ﺣﯾـ ــث 0 1, 0ﯾوﺟـ ــد ﻋـ ــدد ﺻـ ــﺣﯾﺢ nﺑﺣﯾـ ــث اﻧـ ــﻪ ﻟﻛـ ــل
اﻻﻋداد اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ m nﻓﺎن :
P(| X m | ) 1
٤٦٧
ﻧظرﯾﺔ ):اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺿﻌﯾف ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة(
اذا ﻛﺎﻧــت ) f(xداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﺑﻣﺗوﺳــط وﺗﺑــﺎﯾن ﻣﻧﺗﻬــﻰ 2واذا ﻛــﺎن X n
ﻣﺗوﺳ ــط اﻟﻌﯾﻧ ــﺔ اﻟﻌﺷـ ـواﺋﯾﺔ ﻣ ــن اﻟﺣﺟ ــم nﻣ ــن ) f(xوﻟ ــﯾﻛن , ﻋ ــددﯾن ﺑﺣﯾ ــث ان 2 . 0 1, 0اذا ﻛﺎن nاى ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ اﻛﺑر ﻣن 2
ﻓﺎن :
P( X n ) 1 اى . P(| X n | ) 1 ﻣﺛﺎل ) (٢٩ -٨
ﺑﻔــرض ان ﺗوزﯾــﻊ ﻟــﻪ ﻣﺗوﺳــط ﻏﯾــر ﻣﻌﻠــوم وﺗﺑــﺎﯾن ﯾﺳــﺎوى اﻟواﺣــد اﻟﺻــﺣﯾﺢ .ﻣــﺎ ﺣﺟــم اﻟﻌﯾﻧ ــﺔ اﻻزم اﺧﺗﯾﺎرﻩ ﺑﺣﯾث ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﻠﻰ اﻻﻗل اﺣﺗﻣﺎل ﻗدرﻩ 0.95ان اﻟﻔرق اﻟﻣطﻠق )P(| X n |
اﻗل ﻣن .0.5 اﻟﺣل 2 1, 0.05, 0.5وﻋﻠﻰ ذﻟك :
2 1 n 2 80 0.05(0.5) 2
ﻣﺛﺎل ) (٣٠ -٨
ﻣــﺎ ﻫــو ﺣﺟــم اﻟﻌﯾﻧــﺔ اﻟــﻼزم اﺧﺗﯾــﺎرﻩ ﺑﺣﯾــث ﯾﻛــون اﻟﻔــرق اﻟﻣطﻠــق ) P(| X n | اﻗــل 0.5
ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ﻗدرﻩ ﻋﻠﻰ اﻻﻗل 0.99؟ اﻟﺣل 0.5, 0.01وﻋﻠﻰ ذﻟك : 2 2 400 2 0.01(0.5) 2 2
n
ﺳوف ﻧﺳﺗﻔﯾد ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ KnoxProbﻓﻰ اﻟﺟزء Sec5.1ﻓﻰ ﻓﻬم ﻫـذﻩ اﻟﻧظرﯾـﺔ ﻣـن ﺧـﻼل اﻟﻣﺛـﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ . ﻣﺛﺎل ) (٣١ -٨ ﺳوف ﻧﻘوم ﺑﺗوﻟﯾد 100ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣـن ﻣﺟﺗﻣـﻊ ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم ﻓـﻰ اﻟﻔﺗـرة ) (0,1ﻣـن اﻟﺣﺟــم 100,200,300ﺛــم اﯾﺟــﺎد اﻟﻣﺗوﺳــط ﻟﻛــل ﻋﯾﻧــﺔ ﻓــﻰ ﻛــل ﺣﺎﻟــﺔ .ﻣــن اﻟﻣﻌــروف ان ﻣﺗوﺳــط
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة ) (0,1ﯾﺳﺎوى 1/2و ﺳوف ﻧﺧﺗﺎر . .04
٤٦٨
ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﻠﻣﺗوﺳط ﻋﻧد اﺣﺟﺎم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن : اﻟﻌﯾﻧﺎت
Needs["KnoxProb`Utilities`"] SimulateSampleMeans[nummeans_,distribution_,sampsize_]:=T able[Mean[RandomArray[distribution,{sampsize}]],{nummeans }] SeedRandom[18732] list1=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],10 0]; list2=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],20 0]; list3=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],30 0]; Histogram[list1,6,Endpoints{.38,.62}]; Histogram[list2,6,Endpoints{.38,.62}]; Histogram[list3,6,Endpoints{.38,.62}]; 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.4
0.44
0.48
0.52
0.56
0.6
0.4
0.44
0.48
0.52
0.56
0.6
0.5
0.4 0.3
0.2 0.1
٤٦٩
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.4
0.44
0.48
0.52
0.56
0.6
اﻟﻰ اى ﻣن.54 اﻟﻰ.46 ﯾﻼﺣظ ان اﻟﻌﻣودﯾن اﻻوﺳطﯾن ﻓﻰ ﻛل ﻣدرج ﯾﻧﺣﺻران ﻣن ( ﺣﯾث ﻧﺳﺑﺔ ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت ﺧﺎرج ﻫذﻩ اﻟﻔﺗرة ﺗﻣﺛل ﺑﺎﻟطول اﻟﻛﻠﻰ .04 )ﺣﯾث
ﯾﻼﺣظ ان ﻫذﻩ اﻟﻧﺳﺑﺔ ﺗؤول اﻟﻰ اﻟﺻﻔر ﻛﻠﻣﺎ زادت. ﻟﻠﻌﻣودﯾن ﻋﻠﻰ اﻻطراف ﻓﻰ ﻛل ﻣدرج ، ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ وﻫذا ﻣﺎ ﯾﻔﺳر اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺿﻌﯾف ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة
: ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ500,800,1000 ﺑﺎﻋﺎدة اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻊ ﺟﻌل ﺣﺟوم اﻟﻌﯾﻧﺎت Needs["KnoxProb`Utilities`"] SimulateSampleMeans[nummeans_,distribution_,sampsize_]:=T able[Mean[RandomArray[distribution,{sampsize}]],{nummeans }] SeedRandom[18732] list1=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],50 0]; list2=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],80 0]; list3=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],10 00]; Histogram[list1,6,Endpoints{.38,.62}]; Histogram[list2,6,Endpoints{.38,.62}]; Histogram[list3,6,Endpoints{.38,.62}]; 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.4
0.44
0.48
0.52
0.56
٤٧٠
0.6
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.6
0.56
0.52
0.48
0.44
0.4
0.6
0.56
0.52
0.48
0.44
0.4
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
ﯾﻼﺣظ ان ﻧﺳﺑﺔ ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت ﺧﺎرج اﻟﻔﺗرة ﻣن .46اﻟﻰ .54اى ﺧﺎرج اﻟﻔﺗرة ﻣن اﻟﻰ ) ﺣﯾث ( .04ﺗؤؤل اﻟﻰ اﻟﺻﻔر ﻟﻌﯾﻧﺎت ﻣن اﻟﺣﺟم .500,800,1000
) (٦-٨ﻗﺎﻧون اﻟﻘوة ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة ﯾطﺑق ﻫذا اﻟﻘﺎﻧون ﻋﻠﻰ اى ﻣﺗﺗﺎﺑﻌﺔ ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ واﻟﺗﻰ ﻟﻬﺎ ﻧﻔس اﻟﺗوزﯾﻊ . ﻓﻌﻠـﻰ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل اذا ﻛـﺎن X1 ,X 2 ,...,X nﻣﺗﺗﺎﺑﻌـﺔ ﺑﺣﯾـث ان ﻛـل X iﻟﻬـﺎ اﻟﻣﺗوﺳـط واﻟﺗﺑـﺎﯾن 1 n 2واذا ﻛــﺎن X X iﺗﻣﺛــل ﻣﺗوﺳــط اﻟﻌﯾﻧــﺔ ،ﻓــﺎن اﻻﺣﺗﻣــﺎل ان Xﺗﻘﺗــرب ﻣــن ﯾــؤول n i 1 اﻟـ ـ ـ ـ ــﻰ اﻟواﺣـ ـ ـ ـ ــد اﻟﺻـ ـ ـ ـ ــﺣﯾﺢ ﻋﻧـ ـ ـ ـ ــدﻣﺎ nﺗﻛـ ـ ـ ـ ــون ﻛﺑﯾ ـ ـ ـ ـ ـرة .اﯾﺿـ ـ ـ ـ ــﺎ اﻻﺣﺗﻣـ ـ ـ ـ ــﺎل ان ﺗﺑـ ـ ـ ـ ــﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧـ ـ ـ ـ ــﺔ 1 n 2 2 ) S (X i Xﯾﻘﺗرب ﻣن ﯾؤول اﻟﻰ اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ﻋﻧدﻣﺎ nﺗﻛون ﻛﺑﯾرة . n i 1 ﺳــوف ﻧﺳــﺗﻔﯾد ﻣــن ﺑرﻧــﺎﻣﺞ KnoxProbﻓــﻰ اﻟﺟــزء Sec5.1ﻓــﻰ ﻓﻬــم ﻫــذﻩ اﻟﻧظرﯾــﺔ اﻟﺳــﺎﺑﻘﺔ ﻣــن ﺧﻼل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ . ﻣﺛﺎل ) (٣٢ -٨ ٤٧١
ﺳوف ﻧﻘوم ﺑﺗوﻟﯾـد 2000ﻋﯾﻧـﺔ ﻣـن ﻣﺟﺗﻣـﻊ ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ﺟﺎﻣـﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗـﯾن 2,3ﺛـم ﺗﻌـدﯾل اﻟﻣﺗوﺳـط ﺑﻌد ﻋﺷـرة ﻣﻼﺣظـﺎت اى اﻧـﻪ ﻋﻧـد اﻟﻣﻼﺣظـﺔ اﻟﻌﺎﺷـرة ﯾﺣﺳـب اﻟﻣﺗوﺳـط وﻋﻧـد ﺗوﻟﯾـد اﻟﻣﻼﺣظـﺔ رﻗـم 20ﯾﺣﺳب اﻟﻣﺗوﺳط ﺣﺗﻰ اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﻣﻼﺣظـﺔ 2000ﻓﯾﺣﺳـب اﻟﻣﺗوﺳـط ﻟﺟﻣﯾـﻊ اﻟﻣﻼﺣظـﺎت . ﻣن اﻟﻣﻌروف ان ﻣﺗوﺳط ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﻫو 2.3=6
اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻘوم ﺑﻌﻣل اﻟﻣطﻠوب : ;]SeedRandom[44937 ;]SimMeanSequence[GammaDistribution[2,3],2000,10
200
150
100
50 5.9 5.8 5.7 5.6 5.5
ﻧﻼﺣظ ﻣن اﻟرﺳم ان اﻟﻣﺗﺗﺎﺑﻌﺔ ﻣن اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﺗؤول اﻟﻰ 6وﻫو ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ . ﻣﺛﺎل ) (٣٣ -٨ ﺑﻔــرض ان ﻟــدﯾﻧﺎ ﻣﺳﺗﺷــﻔﯾﺗﯾن ﻟﻠــوﻻدة اﻻوﻟــﻰ ﺳــﻌﺔ 20وﻻدة ﻓــﻰ اﻟﯾــوم واﻟﺛﺎﻧﯾــﺔ ﺳــﻌﺔ 200وﻻدة ﻓــﻰ اﻟﯾوم .ﺑﻔرض اﻧﻪ ﻓﻰ ﻋﺎم ،ﺗم ﺣﺳﺎب ﻋدد اﻻﯾﺎم واﻟﺗﻰ ﻛل ﻣﺳﺗﺷـﻔﻰ ﯾـﺗم ﻓﯾﻬـﺎ وﻻدة ﺣـواﻟﻰ اﻛﺛـر ﻣن 60%ﻣن اﻟﻣواﻟﯾد ذﻛور .اﻟﺳؤال اﻻن ﻣﺎ ﻫﻰ اﻟﻣﺳﺗﺷﻔﻰ اﻟﺗﻰ ﻧﺗوﻗﻊ ان ﺗﻛون اﻛﺛر ﻓـﻰ ﻋـدد اﻻﯾﺎم ؟ وذﻟك ﺗﺣت اﻟﻔرض ان اﺣﺗﻣﺎل وﻻدة طﻔل ذﻛر ﺗﺳﺎوى اﺣﺗﻣﺎل وﻻدة اﻧﺛﻰ . اﻟﺣل :
٤٧٢
اﻻﺟﺎﺑﺔ ﻋﻠﻰ ﻫذا اﻟﺳؤال ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ واﻟﺗﻰ ﺗﻧص ﻋﻠﻰ ان اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻣرﺗﻔﻊ ﻓﻰ ﻛل ﯾوم وﻻدة ﻓﻰ اﻟﻣﺳﺗﺷﻔﻰ اﻟﻛﺑرى ان ﻧﺳﺑﺔ اﻟذﻛور ﻓﻰ ﻛل ﯾوم وﻻدة ﯾﻘﺗرب ﻣن . 50%وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺳوف ﻧﺗوﻗﻊ ﻓﻰ اﻟﻣﺳﺗﺷﻔﻰ اﻟﺻﻐرى ان ﻋدد اﻻﯾﺎم اﻛﺛر ﻣن اﻟﻣﺳﺗﺷﻔﻰ اﻟﻛﺑرى واﻟﺗﻰ ﯾﺗم ﻓﯾﻬﺎ
وﻻدة اﻛﺛر ﻣن 60%ﻣن اﻟﻣواﻟﯾد ذﻛور .ﺳوف ﻧﻘوم ﺑﻌﻣل ﻣﺣﺎﻛﺎة ﻟﻠﺗﺣﻘق ﻣن ﺗﻠك اﻻﺟﺎﺑﺔ . ﺑﻔرض ان 1ﺗﻣﺛل وﻻدة طﻔل ذﻛر و 0ﺗﻣﺛل وﻻدة اﻧﺛﻰ .ﻟﺣﺳﺎب ﻧﺳﺑﺔ اﻻطﻔﺎل اﻟذﻛور اﻟﻣوﻟودون ﻓﻰ ﻗﺎﺋﻣﺔ ﻣن اﻟﻣوﻟودون ﻓﻰ ﯾوم ﻣﺎ ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ : f[x_]:=Module[{sum}, ;]sum=Apply[Plus,x ]boys=sum/Length[x]//N
وﯾﻣﻛن اﺧﺗﯾﺎر ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻰ ﻛﻧﻣوزج ﻟﻣﺣﺎﻛﺎة وﻻدة طﻔل ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ذﻛر 1/2ر .ﺑﻔرض ان اﻟﺣزﻣﺔ DiscreteDistributions
ﺗم ﺗﺣﻣﯾﻠﻬﺎ .ﺳوف ﻧﻌﻣل ﻣﺣﺎﻛﺎﻩ ﻟوﻻدة ﻋﺷرون طﻔل ﻛل ﯾوم ﻟﻣدة ﻋﺎم ﻓﻰ اﻟﻣﺳﺗﺷﻔﻰ اﻟﺻﻐرى . اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ smallوﺳوف ﻧﻌﻣل اﺧﺗﺻﺎر ﻟﻠﻧواﺗﺞ ﻓﻰ smallﺑﺎﻻﻣر .Short ﻟﺣﺳﺎب ﻋدد اﻻﯾﺎم اﻟﺗﻰ ﻋدد اﻟذﻛور اﻛﺛر ﻣن 60% ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم Mapﻟﺟﻣﻊ fﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ smallوﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ
DataManipulationﻧﺳﺗﺧدم BinCountsواﻟﺗﻰ ﺗﺧﺑرﻧﺎ ان 57ﻣن اﻻﯾﺎم ﺗﻛون ﻧﺳﺑﺔ وﻻدة اﻟذﻛور اﻛﺛر ﻣن . 60%اﻟﺧطوات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺳوف ﻧﺗﺑﻌﻬﺎ ﻓﻰ اﻟﻣﺳﺗﺷﻔﻰ اﻟﻛﺑرى واﻟﺗﻰ ﺗﺧﺑرﻧﺎ ﺑﻌدم وﺟود اﯾﺎم ﺗﻛون ﻓﯾﻬﺎ ﺗﻛون ﻧﺳﺑﺔ وﻻدة اﻟذﻛور اﻛﺛر ﻣن .60% `<<Statistics`DiscreteDistributions Let 0 represent the birth of a boy and 1 represent the birth of a girl. ]Clear[f,x f[x_]:=Module[{sum}, ;]sum=Apply[Plus,x ]boys=sum/Length[x]//N ;]}small=RandomArray[BernoulliDistribution[0.5],{365,20 ]Short[small,5 {{0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,0},{1,0,0,0,1,0,1 ,1,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,1,1},361,{1,0,1,0,1,1,1,1,1,1, 0,1,1,0,1,1,0,0,0,0},{1,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,1 }},1,0 ;]smallboys=Map[f,small `<<Statistics`DataManipulation ]}BinCounts[smallboys,{0,1,.1 }{0,1,16,64,123,104,45,12,0,0 ]}BinCounts[smallboys,{.6,1,.4 }{57 ;]}large=RandomArray[BernoulliDistribution[0.5],{365,200 ;]largeboys=Map[f,large ]}BinCounts[largeboys,{0,1,.1 }{0,0,0,2,187,176,0,0,0,0 ٤٧٣
]}BinCounts[largeboys,{.6,1,.4 }{0
ﻫﻧﺎك ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﺧر اﺳﻬل ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﻪ وﻗد وﺟد ان 48ﻣن اﻻﯾﺎم ﺗﻛون ﻧﺳﺑﺔ وﻻدة اﻟذﻛور اﻛﺛر ﻣن 60%ﻟﻠﻣﺳﺗﺷﻔﻰ اﻟﺻﻐرى
وﺑﻌدم وﺟود اﯾﺎم ﺗﻛون ﻓﯾﻬﺎ ﻧﺳﺑﺔ وﻻدة اﻟذﻛور اﻛﺛر ﻣن. 60% ;n=20 ;p=0.5 ;q=0.5 smallboys=RandomArray[BinomialDistribution[n,p],365]/n//N ; ]}BinCounts[smallboys,{0,1,.1 }{0,3,17,89,110,98,41,7,0,0 ]}BinCounts[smallboys,{.6,1,.4 }{48 ;n=200 ;p=0.5 ;q=0.5 largeboys=RandomArray[BinomialDistribution[n,p],365]/n//N ; ]}BinCounts[largeboys,{0,1,.1 }{0,0,0,0,188,177,0,0,0,0 ]}BinCounts[largeboys,{.6,1,.4 }{0
) (٧-٨اﻟﻣﺣﺎﻛﺎة ﻓﻰ ﺣل اﻟﻣﺷﺎﻛل
)(Monte Carlo Methods
اﻟﻣﺷــﺎﻛل اﻟﺗــﻰ ﺗﺣــل ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﻣﺣﺎﻛــﺎﻩ ﺗﺳــﻣﻰ ﻣﺣﺎﻛــﺎﻩ ﻣوﻧــت ﻛــﺎرﻟو .اﻻﺳــﻠوب اﻟﻣﺳــﺗﺧدم ﻫــو
ﺗوﻟﯾد ﺑﯾﺎﻧـﺎت ﺗـرﺗﺑط ﺑﺗوزﯾﻌـﺎت اﺣﺗﻣﺎﻟﯾـﺔ ﺗﻣﺛﻠﻬـﺎ .ﻓﻌﻠـﻰ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل ﻋﻧـد د ارﺳـﺔ اﻻوزان او اﻻطـوال ﻗــد ﯾﺳــﺗﺧدم اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻰ وﻓــﻰ اﺧﺗﺑــﺎرات اﻟﺣﯾــﺎة ﻗــد ﯾﺳــﺗﺧدم اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺳــﻰ او ﺗوزﯾــﻊ واﯾﺑــل . ﺗﻌﺗﻣــد ﻣﺣﺎﻛــﺎة ﻣوﻧــت ﻛــﺎرﻟو ﻋﻠــﻰ ﻗــﺎﻧون اﻟﻘــوة ﻟﻼﻋــداد اﻟﻛﺑﯾ ـرة واﻟﺗــﻰ ﺗــﻧص ﻋﻠــﻰ اﻧــﻪ ﻛﻠﻣــﺎ اﺟرﯾــت اﻟﻣﺣﺎﻛﺎة ﻋدد اﻛﺑـر ﻣـن اﻟﻣـرات ﻛﻠﻣـﺎ ﻛـﺎن اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻛﺑﯾـر ان ﺣـل اﻟﻣﺣﺎﻛـﺎة ﯾﻛـون ﻗرﯾـب ﻣـن اﻟﻘﯾﻣـﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ .
ﻣﺛﺎل ) (٣٤ -٨
٤٧٤
ﻟﺗﻘدﯾر ﻧﺳﺑﺔ ﻋﻠـب اﻟـدﻫﺎن اﻟﺑﻧﯾـﺔ اﻟﻣﻧﺗﺟـﺔ ﻓـﻰ ﺷـﺣﻧﺔ ﻣﺷـﺗراﻩ ﻣـن اﻧﺗـﺎج ﻣﺻـﻧﻊ ﻻﻧﺗـﺎج ﻋﻠـب دﻫـﺎن ﺗﺎﺧذ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن 30ﻋﻠﺑﺔ وﺗﺣﺳب ﻋدد ﻋﻠب اﻟدﻫﺎن اﻟﺑﻧﯾﺔ ﻓـﻰ اﻟﻌﯾﻧـﺔ .وﻻن ﻋـدد ﻋﻠـب اﻟــدﻫﺎن اﻟﺑﻧﯾــﺔ ﻗــد ﺗﺧﺗﻠــف ﻣــن ﻋﯾﻧــﺔ اﻟــﻰ اﺧــرى وﻟــذﻟك ﯾﻛــون اﻻﻫﺗﻣــﺎم ﺑﺎﻟﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ اﻟدﻗــﺔ ﻓــﻰ اﻟﺗﻘ ــدﯾر واﻟﺗ ــﻰ ﯾﺗﺣﺻ ــل ﻋﻠﯾﻬ ــﺎ ﻣ ــن ﻋﯾﻧ ــﺔ واﺣ ــدة وﻋﻠ ــﻰ اﻻﺧ ــﺗﻼف ﺑ ــﯾن اﻟﺗﻘ ــدﯾرات اﻟﻣﻣﻛﻧ ــﺔ ﻣ ــن
اﻟﻌﯾﻧـﺎت اﻻﺧــرى ﻟـذﻟك اﻟﻣطﻠــوب ).ا( اﯾﺟـﺎد ﻧﻣــوزج ﻟﻣﺣﺎﻛـﺎة اﻟـوان اﻟﻌﻠـب ﻓــﻰ اﻟﻣﺻـﻧﻊ اﻟــذﻛور )ب( اﺳــﺗﺧدام اﻟﻣﺣﺎﻛــﺎة ﻟﺗﻣﯾﯾــز اﻟدﻗــﺔ ﻟﻼﺧﺗﻼﻓــﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧــﺔ ﻓــﻰ ﻗــوة اﻟﺗﻘــدﯾرات ﻟﻧﺳــﺑﺔ اﻟﻌﻠــب اﻟﺑﻧﯾــﺔ وذﻟــك ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم 30ﻣن ﻛل ﺷﺣﻧﺔ . اﻟﺣل : )ا( ﺗﺑﻌﺎ ﻟﻔروض اﻟﻣﺻﻧﻊ اﻟﻣﻧﺗﺞ ﻟﻌﻠب اﻟدﻫﺎن ﻓﺎن 10%ﻟوﻧﻬم ﺑرﺗﻘﺎﻟﻰ orangeو 10% ﻟوﻧﻬم اﺧﺿر greenو 10%ﻟوﻧﻬم ازرق blueو 30%ﻟوﻧﻬم ﺑﻧﻰ brownو 20%ﻟوﻧﻬم
اﺻﻔر yellowو 20%ﻟوﻧﻬم اﺣﻣر . redﻟﻣﺣﺎﻛﺎة ﺗﻠك اﻟﻧﺳب ﺳوف ﻧﻘﺳم اﻟﻔﺗرة ﻣن ﺻﻔر اﻟﻰ واﺣد ﺻﺣﯾﺢ اﻟﻰ ﻓﺗرات ﻣﺗﻧﺎﺳﺑﺔ ﻣﻊ ﻧﺳب اﻟﻌﻠب وﻧﻌرف اﻟداﻟﺔ ، mﺛم ﻧﺳﺗﺧدم اﻟداﻟﺔ
] [ Randomواﻟﺗﻰ ﺗوﻟد ﻟﻧﺎ ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﺻﻔر اﻟﻰ واﺣد وﻧﺳﺗﺧدم Tableﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ bag1
وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻗﺎﺋﻣﺔ ﻣن اﻻﻟوان ﻟﺛﻼﺛون ﻋﻠﺑﺔ اﺧﺗﯾرت ﻋﺷواﺋﯾﺎ .
;m[x_]:=o /; 0<x<=.1 ;m[x_]:=g /; .1<x<=.2 ;m[x_]:=bl /; .2<x<=.3 ;m[x_]:=br /;.3<x<=.6 ;m[x_]:=y /;.6<x<=.8 ;m[x_]:=r/; .8<x<=1 ]}bag1=Table[m[Random[]],{30 {bl,g,br,y,br,y,r,y,o,r,r,br,bl,y,o,g,br,br,y,br,br,bl,r, }r,br,g,y,g,o,br
ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟداﻟﺔ countableﯾﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛرارى ﻟﻼﻟوان . ﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل Graphicsﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ رﺳم ﻟﻼﻋﻣدة ﺣﯾث ﻛل ﻋﻣود ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟﻌﻠب ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﺔ . `<<Statistics`DataManipulation ]Clear[countTable countTable[datalist_,opts___]:=Module[{column1,column2,go oddata},column1=Column[Frequencies[datalist],2];column2=C olumn[Frequencies[datalist],1];gooddata=Transpose[{column ;]}1,column2 ٤٧٥
TableForm[gooddata,opts]] countTable[bag1]
bl br g o r y
3 9 4 3 5 6
<<Graphics`Graphics` freq1=Frequencies[bag1]; BarChart[freq1,BarStyle>{{RGBColor[0,0,1]},{RGBColor[.6,.4,.2]},{RGBColor[0,1,0] },{RGBColor[.9,.2,0]},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[1,1,0]} }] 8 6
4
2
bl
br
g
o
r
y
Graphics
brpercent )ب( ﺳوف اﻟداﻟﺔ m وذﻟك ﻟﻣﺣﺎﻛﺎة ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﺷﺣﻧﺔ اﻟﻣﺻﻧﻊ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟداﻟﺔ 100 ﺛم ﺣﺳﺎب ﻧﺳﺑﺔ ﻋﻠب اﻟدﻫﺎن اﻟﺑﻧﯾﺔ ﻓﻰ ﻛل ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﻋددﻫم .brownsimulation1وﯾﺗم ﺗﺧزﯾﻧﻬم ﻓﻰ
.Take اول ﻧﺗﺎﺋﺞ ﯾﻣﻛن اظﻬﺎرﻫﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام. 0.3 ﻗﯾﻣﺔ ﺗﻣﺛل ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ100 ﻛل واﺣدة ﻣن . اى ﻧﺳﺑﺔ ﻋﻠب اﻟدﻫﺎن اﻟﺑﻧﯾﺔ اﻟﻣﻧﺗﺟﺔ ﻓﻰ اﻟﻣﺻﻧﻊ Clear[brpercent] brpercent[n_]:=Module[{bag}, bag=Table[m[Random[]],{n}]; Count[bag,br]/n//N ] brownsimulation1=Table[brpercent[30],{100}] {0.333333,0.266667,0.3,0.266667,0.5,0.3,0.4,0.366667,0.36 6667,0.333333,0.2,0.466667,0.2,0.266667,0.266667,0.333333 ٤٧٦
,0.266667,0.333333,0.266667,0.4,0.3,0.2,0.4,0.266667,0.3, 0.2,0.3,0.433333,0.433333,0.266667,0.233333,0.233333,0.2, 0.233333,0.266667,0.266667,0.166667,0.433333,0.233333,0.4 66667,0.3,0.3,0.233333,0.4,0.166667,0.233333,0.433333,0.2 66667,0.266667,0.2,0.233333,0.2,0.466667,0.3,0.433333,0.3 ,0.233333,0.2,0.233333,0.333333,0.366667,0.266667,0.13333 3,0.166667,0.233333,0.166667,0.266667,0.433333,0.3,0.2333 33,0.166667,0.333333,0.333333,0.166667,0.233333,0.2,0.2,0 .4,0.3,0.366667,0.433333,0.366667,0.3,0.333333,0.2,0.3,0. 5,0.433333,0.3,0.333333,0.233333,0.3,0.266667,0.433333,0. }3,0.0666667,0.333333,0.333333,0.333333,0.366667 ]Take[brownsimulation1,5 }{0.333333,0.266667,0.3,0.266667,0.5
ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ normalHistogramواﻟذى ﺳﺑق ﺗﻧﺎوﻟﻪ ﯾﻣﻛن ﻋرض ﻣدرج ﻟﻣﺋﺔ ﺗﻘدﯾر . وﻣﻣﺎ ﯾﺟدر اﻻﺷﺎرة اﻟﯾﻪ ان اﻟﻣﺋﺔ ﺗﻘدﯾر ﺗﺗﺟﻪ ﻧﺣو اﻟﻣرﻛز اى ﺗﺗﺟﻪ ﻧﺣو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ .0.3 اﻟﻣﺗوﺳط اﻟﺣﻘﯾﻘﻰ ﻟﻠﻣﺋﺔ ﺗﻘدﯾر ﻫو 0.297333ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى .0.0891008
5 4 3 2 1
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Graphics ]Mean[brownsimulation1 ]StandardDeviation[brownsimulation1 0.297333 0.0891008
ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟداﻟﺔ Selectو Lengthﻓﺎﻧﻧﺎ ﻧﻘدر ان 62%داﺧل اﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى واﺣد ) اى ﺣواﻟﻰ (0.09اى اﻧﮫ ﺑﻔرض ان ˆ pﻧﺳﺑﺔ اﻟدھﺎن اﻟﺑﻧﻰ ﻓﻰ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم n=30ﻓﺎن 62% ﻣﻧﮭم ﯾﻘﻌوا ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة )(0.211 ,0.389وﻫذﻩ اﻟﻔﺗرة ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ وﻫﻰ .0.3 ٤٧٧
(1 ) 0.3(0.7) ﻓﻰ اﻻﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﯾﻤﺜﻞ.389 اﻟرﻗم 0.3 n 30 (1 ) 0.3(0.7) ﻓﻰ اﻻﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﯾﻤﺜﻞ.211 و اﻟرﻗم p 0.3 n 30 p
onesigma1=Select[brownsimulation1,And[#<.389,#>.211]&]; Length[onesigma1]/100//N 0.62 .97% ( اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ.18ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻧﺤﺮاﻓﯿﻦ ﻣﻌﯿﺎرﯾﻦ ) اى ﺣواﻟﻰ
(1 ) 0.3(0.7) ﻓﻰ اﻻﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﯾﻤﺜﻞ0.478 اﻟرﻗم 0.3 2 n 30 (1 ) 0.3(0.7) ﻓﻰ اﻻﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﯾﻤﺜﻞ0.122 و اﻟرﻗم p2 0.3 2 n 30 p2
twosigma1=Select[brownsimulation1,And[#<.478,#>.122]&]; Length[twosigma1]/100//N 0.97
وﺗﻛرار اﻟﺧطوات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻧﺗﺎﺋﺞ75 اﻟﻰ30 ﺑزﯾﺎدة ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣن
. اﻓﺿل
brownsimulation2=Table[brpercent[75],{100}] {0.32,0.32,0.293333,0.213333,0.32,0.373333,0.213333,0.186 667,0.253333,0.28,0.293333,0.28,0.4,0.28,0.226667,0.2,0.2 8,0.306667,0.306667,0.293333,0.373333,0.226667,0.386667,0 .253333,0.146667,0.28,0.333333,0.333333,0.213333,0.306667 ,0.253333,0.293333,0.293333,0.4,0.173333,0.32,0.386667,0. 253333,0.32,0.373333,0.28,0.266667,0.226667,0.4,0.306667, 0.306667,0.293333,0.306667,0.32,0.24,0.28,0.293333,0.28,0 .266667,0.373333,0.293333,0.346667,0.266667,0.24,0.4,0.26 6667,0.32,0.36,0.293333,0.346667,0.32,0.24,0.253333,0.333 333,0.28,0.2,0.306667,0.306667,0.386667,0.346667,0.333333 ,0.32,0.346667,0.306667,0.333333,0.346667,0.36,0.373333,0 .32,0.346667,0.333333,0.28,0.24,0.306667,0.173333,0.21333 3,0.2,0.293333,0.373333,0.32,0.293333,0.293333,0.293333,0 .32,0.32} Take[brownsimulation2,5] {0.32,0.32,0.293333,0.213333,0.32} normalHistogram[brownsimulation2]
٤٧٨
8
6
4
2
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Graphics Mean[brownsimulation2] StandardDeviation[brownsimulation2] 0.297467 0.0555659 onesigma2=Select[brownsimulation2,And[#<.356,#>.244]&]; Length[onesigma2]/100//N 0.67 twosigma2=Select[brownsimulation2,And[#<.411,#>.189]&]; Length[twosigma2]/100//N 0.96
(٣٥ -٨ ) ﻣﺛﺎل ﺳـوف ﻧﺷـﺎﻫد اﻟﺗﻐﯾـر ﻓـﻰ10000 ﺛـم اﻟـﻰ100 اﻟـﻰ30 ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﺑزﯾﺎدة ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣـن
اﻟﻣـدرج اﻟﺗﻛـرارى اﻟﻣﻣﺛــل ﺑﯾﺎﻧﯾـﺎ ﻣـن ﺧــﻼل اﻟﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﺗــﺎﻟﻰ وﻧﺟـد ان ﻧﺳــﺑﺔ اﻟﻌﻠـب اﻟﺑﻧﯾــﺔ ﺗﻘﺗـرب ﻣــن . 0.3 ﻧﺳﺑﺔ اﻟﻌﻠب اﻟﻣﻔﺗرﺿﺔ ﻓﻰ اﻟﻣﺻﻧﻊ وﻫﻰ : اﻟﺣل <<Statistics`DataManipulation` <<Statistics`ContinuousDistributions` m[x_]:=o /; 0<x<=.1; m[x_]:=g /; .1<x<=.2; m[x_]:=bl /; .2<x<=.3; m[x_]:=br /;.3<x<=.6; m[x_]:=y /;.6<x<=.8; m[x_]:=r/; .8<x<=1; bag1=Table[m[Random[]],{100}] {br,bl,o,r,br,y,r,g,r,y,br,r,r,r,y,o,r,bl,o,y,bl,r,y,o,r, br,y,g,br,r,y,o,br,br,g,o,br,br,br,o,y,o,br,br,br,bl,r,br ,br,y,bl,g,r,y,br,g,br,br,br,o,r,o,r,o,g,o,br,y,y,y,br,bl ٤٧٩
,br,o,br,o,br,br,r,r,r,r,br,r,o,r,br,r,r,r,g,bl,g,g,y,r,y ,o,bl,r} freq1=Frequencies[bag1] {{8,bl},{27,br},{9,g},{16,o},{25,r},{15,y}} <<Graphics`Graphics` BarChart[freq1,BarStyle>{{RGBColor[0,0,1]},{RGBColor[.8,.4,0]},{RGBColor[0,1,0]} ,{RGBColor[.9,.4,0]},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[1,1,0]}} ] 25 20 15 10 5
bl
br
g
o
r
y
Graphics percents[list_]:=Module[{step1}, step1=Frequencies[list]; Map[{#[[1]]/Length[list]//N,#[[2]]}&,step1] ] percents[bag1] {{0.08,bl},{0.27,br},{0.09,g},{0.16,o},{0.25,r},{0.15,y}} bag2=Table[m[Random[]],{10000}]; freq2=Frequencies[bag2] {{953,bl},{2975,br},{999,g},{1012,o},{2058,r},{2003,y}} BarChart[freq2] 3000 2500 2000 1500 1000 500 bl Graphics
br
g
o
r
٤٨٠
y
ﻣﺛﺎل ) (٣٦ -٨ ﻛﺗﻛﻣﻠــﺔ اﻟﻣﺛــﺎل ) (٣٤-٨ﺳــوف ﻧﻘ ــوم ﺑﻌﻣــل ﻣﻘﺎرﻧــﺔ ﺑــﯾن اﻟﻧﺗ ــﺎﺋﺞ ﻋﻧــدﻣﺎ ﺣﺟــم اﻟﻌﯾﻧــﺔ 60وﺣﺟ ــم اﻟﻌﯾﻧﺔ 200
وﻗد ﺗم ﺗوﻟﯾد 100ﻋﯾﻧﺔ ﻓﻰ ﻛل ﺣﺎﻟﺔ .
اﻟﺣل : ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم ﻧﻔس اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺳﺗﺧدم ﻣﺛﺎل ) (٣٤-٨وﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ : ]percents[bag2 }{{0.0953,bl},{0.2975,br},{0.0999,g},{0.1012,o},{0.2058,r }},{0.2003,y ;m[x_]:=o /; 0<x<=.1 ;m[x_]:=g /; .1<x<=.2 ;m[x_]:=bl /; .2<x<=.3 ;m[x_]:=br /;.3<x<=.6 ;m[x_]:=y /;.6<x<=.8 ;m[x_]:=r/; .8<x<=1 ]}bag3=Table[m[Random[]],{60 {y,br,y,o,r,r,y,r,br,br,g,br,br,bl,g,bl,bl,r,r,br,g,o,g,r ,br,br,br,r,y,br,r,r,bl,bl,y,br,r,o,br,g,y,o,y,y,br,o,br, }y,o,y,o,y,br,o,bl,r,bl,y,br,br ]Count[bag3,br 17 Count[bag3,br]/60//N 0.283333 ]Clear[brpercent brpercent[n_]:=Module[{bag}, ;]}bag=Table[m[Random[]],{n Count[bag,br]/n//N ] ]brpercent[60 0.283333
ﻧﻼﺣظ ﻣن اﻟﻣﺧرج اﻟﺳﺎﺑق ان ﻧﺳﺑﺔ اﻟﻌﻠب اﻟﺑﻧﯾﺔ ﺗﻘﺗرب ﻣن 0.3واﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻣن ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم . 60
اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻣﺛل ﻧﺳب اﻟﻌﻠب اﻟﺑﻧﯾﺔ ﻓﻰ 100ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم n=60 ]}brownsimulation=Table[brpercent[60],{100
{0.283333,0.333333,0.416667,0.233333,0.366667,0.316667,0. 35,0.283333,0.3,0.25,0.283333,0.216667,0.3,0.333333,0.333 333,0.25,0.25,0.4,0.25,0.3,0.233333,0.316667,0.35,0.25,0. ٤٨١
35,0.316667,0.25,0.233333,0.333333,0.233333,0.383333,0.35 ,0.333333,0.333333,0.283333,0.366667,0.3,0.4,0.2,0.283333 ,0.316667,0.3,0.316667,0.333333,0.233333,0.2,0.316667,0.4 16667,0.3,0.383333,0.25,0.183333,0.433333,0.4,0.25,0.2166 67,0.45,0.35,0.366667,0.266667,0.416667,0.333333,0.266667 ,0.3,0.3,0.25,0.333333,0.283333,0.3,0.183333,0.316667,0.3 16667,0.283333,0.316667,0.333333,0.316667,0.35,0.25,0.283 333,0.2,0.233333,0.233333,0.233333,0.383333,0.333333,0.35 ,0.383333,0.35,0.233333,0.183333,0.3,0.316667,0.316667,0. 35,0.233333,0.366667,0.283333,0.283333,0.133333,0.233333}
<<Graphics`Graphics` scaledhistogram[data_,bars_:10,opts___]:=Module[{min,max, stepsize,counts,heights,midpts,tograph}, min=Min[data]; max=Max[data]; stepsize=(max-min)/(bars-1); counts=BinCounts[data,{minstepsize/2,max+stepsize/2,stepsize}]; heights=counts/(stepsize Length[data])//N; midpts=Table[i,{i,min,max,stepsize}]; tograph=Table[{N[midpts[[i]],3],heights[[i]],stepsiz e},{i,1,bars}]; GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange>All,opts] ] graph1=scaledhistogram[brownsimulation] : n=60 ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم100 اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﻧﺳب اﻟﻌﻠب اﻟﺑﻧﯾﺔ ﻓﻰ
: ﻣوﺿﺢ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ
6 5 4 3 2 1
ل
0.15
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Graphics
.0.0624428 ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى0.301اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﻣﺋﺔ ﺗﻘدﯾر ﻫو ٤٨٢
Mean[brownsimulation] Variance[brownsimulation] StandardDeviation[brownsimulation] 0.301 0.0038991 0.0624428 =0.3; n=60;
1 sd n 0.0591608 dist=NormalDistribution[,sd]; graph2=Plot[PDF[dist,x],{x,0,.6},DisplayFunction>Identity]; Show[graph1,graph2]
ﻣﻊ اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰn=60 ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم100 اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﻧﺳب اﻟﻌﻠب اﻟﺑﻧﯾﺔ ﻓﻰ :
واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى=0.3 ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط
1 sd n
: ﻣوﺿﺢ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ
6 5 4 3 2 1 0.1
Graphics
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
ﻣﺣﺳوب ﻓﻰ اﻟﻣﺧرج0.2 اﻻﺣﺗﻣﺎل ان اﻟﺷﺣﻧﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻻﻛﺛر
: ﻟﻼﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ
CDF[dist,.2] 0.0454845 ٤٨٣
ﻣﺣﺳوب ﻓﻰ اﻟﻣﺧرج0.5 اﻻﺣﺗﻣﺎل ان اﻟﺷﺣﻧﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻻﻛﺛر : ﻟﻼﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ CDF[dist,0.5] 0.999638
ﻣﺣﺳوب ﻓﻰ اﻟﻣﺧرج0.5 اﻻﺣﺗﻣﺎل ان اﻟﺷﺣﻧﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻻﻗﻞ : ﻟﻼﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ 1-CDF[dist,0.5]
n=200 ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم100اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻣﺛل ﻧﺳب اﻟﻌﻠب اﻟﺑﻧﯾﺔ ﻓﻰ brownsimulation2=Table[brpercent[200],{100}] {0.365,0.28,0.255,0.37,0.305,0.28,0.245,0.305,0.305,0.24, 0.3,0.28,0.27,0.3,0.265,0.31,0.25,0.32,0.315,0.29,0.295,0 .26,0.295,0.315,0.325,0.335,0.275,0.295,0.305,0.305,0.325 ,0.3,0.33,0.29,0.34,0.29,0.3,0.335,0.275,0.31,0.32,0.29,0 .25,0.265,0.36,0.275,0.32,0.235,0.335,0.285,0.3,0.3,0.24, 0.29,0.325,0.305,0.32,0.3,0.355,0.32,0.285,0.345,0.315,0. 3,0.3,0.3,0.265,0.32,0.305,0.31,0.305,0.3,0.245,0.285,0.3 05,0.31,0.285,0.325,0.335,0.33,0.325,0.33,0.285,0.34,0.32 ,0.27,0.255,0.28,0.31,0.335,0.29,0.335,0.275,0.24,0.275,0 .315,0.295,0.275,0.31,0.24} graph3=scaledhistogram[brownsimulation2] 14 12 10 8 6 4 2 0.24
0.26
Graphics
0.28
0.32
0.34
0.36
0.38
n 200; 1 sd n 0.0324037 dist=NormalDistribution[,sd]; graph4=Plot[PDF[dist,x],{x,0,.6},DisplayFunction>Identity]; Show[graph3,graph4] ٤٨٤
اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﻧﺳب اﻟﻌﻠب اﻟﺑﻧﯾﺔ ﻓﻰ 100ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم n=200ﻣﻊ اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط =0.3واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى
:
1 sd n
ﻣوﺿﺢ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ : 14 12 10 8 6 4 2 0.6
0.4
0.5
0.3
0.2
0.1
Graphics
ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط =0.3واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى
:
1 sd n ﻋﻧدﻣﺎ . n=200 , n=60 Show[graph2,graph4,DisplayFunction]>$DisplayFunction,PlotRange->All 12 10 8 6 4 2
0.6
0.4
0.5
٤٨٥
0.3
0.2
0.1
Graphics