توزيع وايبل

‫ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑـل‬

‫‪Weibull Distribution‬‬

‫أﻗﺗــرح اﻟﻌــﺎﻟم ‪ W. Weibull‬ﺗوزﯾــﻊ واﯾﺑــل ﻻﺳــﺗﺧداﻣﻪ ﻓــﻲ اﻟﺗطﺑﯾﻘــﺎت اﻟرﻗﻣﯾــﺔ ﻣﺛــل أزﻣﻧــﺔ‬ ‫اﻟﺣﯾﺎة أو ﻗوة اﻟﻛﺳر ﻟﻠﻣﻌﺎدن ‪.‬‬

‫ﯾﻘــﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ ‪ X‬أﻧــﻪ ﯾﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ واﯾﺑــل ﺑﻣﻌﻠﻣﺗــﯾن ‪   0 ,   0‬إذا ﻛﺎﻧــت‬

‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ -1‬‬ ‫‪(x/ )‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪, x  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 , e.w .‬‬ ‫ﺳــوف ﻧﻛﺗــب ) ‪ X ~ WEI (  , ‬ﻟﻠدﻻﻟــﺔ ﻋﻠــﻰ أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ واﯾﺑــل‬ ‫‪f ( x;  ,  ) ‬‬

‫ﺑﻣﻌﻠﻣﺗـﯾن ‪ . , ‬ﺗﺳــﻣﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣـﺔ ‪ ‬ﻣﻌﻠﻣــﺔ اﻟﺷـﻛل وذﻟــك ﻛﻣـﺎ ﻫــو اﻟﺣـﺎل ﻓــﻲ ﺗوزﯾـﻊ ﺟﺎﻣــﺎ‪ .‬ﯾوﺟــد‬

‫ﻟﺗوزﯾـﻊ واﯾﺑـل ﺛﻼﺛـﺔ أﺷـﻛﺎل وذﻟـك ﺑﺎﻻﻋﺗﻣـﺎد ﻋﻠـﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣـﺔ ‪ ‬ﺣﯾـث ‪  < 1‬أو ‪  = 1‬أو > ‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .1‬ﻋﻧـدﻣﺎ ‪  > 1‬ﻓـﺈن ‪ f (0;  ,  )  0‬وﻋﻧـدﻣﺎ ‪  = 1‬ﻓـﺈن ‪ f (0;  , 1 ) ‬أي أن‬ ‫‪‬‬ ‫اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﯾﻘطﻊ اﻟﻣﺣور اﻷﺳﻰ ﻋﻧد اﻟﻧﻘطﺔ ‪ . 1 / ‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪  1‬‬ ‫ﻓـﺈن اﻟﻣﺣـور اﻟ ارﺳـﻲ ﯾﺣـﺎذى ) ‪. y = f (x;  , ‬أﺷـﻛﺎل ﻣﺧﺗﻠﻔـﺔ ﻣـن ﺗوزﯾـﻊ واﯾﺑـل ﻣوﺿــﺣﺔ‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪x  0.‬‬

‫‪‬‬

‫)‪F (x; ,  )  1  e (x/‬‬

‫ﯾﻣﻛ ــن ﻛﺗﺎﺑ ــﺔ داﻟـ ــﺔ اﻟﺗوزﯾ ــﻊ ﻋﻠ ــﻰ اﻟﺷـ ــﻛل ) ‪ F ( x/ ; , 1 , ‬واﻟﺗ ــﻲ ﺗﻌﻧ ــﻰ أن ‪ ‬ﻫـ ــﻲ‬ ‫ﻣﻌﻠﻣـﺔ اﻟﻣﻘﯾـﺎس ‪ .‬ﻋﻧــدﻣﺎ ‪  = 2‬ﻓﺈﻧﻧـﺎ ﻧﺣﺻـل ﻋﻠــﻰ ﺗوزﯾـﻊ ﯾﺳــﻣﻰ رﯾـﻸي‬

‫‪Rayleigh‬‬

‫‪. distribution‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ‪٤‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ) ﻣﻘﺎس ﺑﺎﻟﺑوﺻـﺔ( ﺑـﯾن اﻟﺗﺻـوﯾب ﻟﻠﻬـدف وﻣرﻛـز اﻟﻬـدف ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ واﯾﺑـل ﺣﯾـث‬ ‫) ‪ X ~ WEI (10, 2‬أوﺟد ) ‪. P( X < 5‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪P ( X  5 )  F ( 5; 10, 2 )  1 - e (5/ 10)  .221 .‬‬

‫اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾـن ‪:‬‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر )‪ X ~ WEI (, ‬ﻫو ‪:‬‬

‫واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻫو ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1  )   2 (1  )].‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪Var (X)  2‬‬

‫ﻣن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ )‪ (100 p‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫])‪x  [ ln(1  p‬‬ ‫‪p‬‬