PERCORSI DIGITALI INTERATTIVI CON 450 VIDEO
ATTIVITÀ DI EDUCAZIONE CIVICA E STEM
ESERCIZI PENSA CON LA FISICA
PERCORSO DI RIPASSO E RECUPERO
1 Nelle figure sono evidenziati corpi in movimento. Quale dei moti non può essere considerato rettilineo?
3 Per fissare un sistema di riferimento che descrive un moto rettilineo occorre effettuare alcune scelte: che cosa non è necessario stabilire?
A Un istante iniziale
B Un’origine sulla retta della traiettoria
C Una posizione sulla traiettoria
D Un verso positivo di percorrenza della traiettoria
4 Quando un corpo che si muove torna nella posizione di partenza:
A il suo spostamento è positivo
B il suo spostamento è nullo
C la lunghezza del cammino che percorre è nulla
D spostamento e cammino percorso sono entrambi nulli
2 Marco sta guidando verso Caserta con lo zaino nel bagagliaio. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
A Lo zaino di Marco è fermo
B Lo zaino di Marco è in movimento
C Lo zaino è fermo nel riferimento della Terra
D Lo zaino è fermo nel riferimento dell’auto
6 SPIEGA Spiega perché un oggetto che si muove per 10 s può avere uno spostamento nullo. Fornisci un esempio di moto rettilineo con queste caratteristiche.
7 INTERPRETA Elisa e Lorena viaggiano sul sedile posteriore di un taxi e passano davanti a Franco e Claudio, che sono seduti su una panchina a lato della strada. Lorena si sta muovendo? Claudio è fermo? Franco ed Elisa darebbero la stessa risposta?
8 CONFRONTA Considera una gara di 100 m piani in una pista di atletica e una di 100 m stile libero in una piscina olimpionica lunga 50 m. Lo spostamento è lo stesso? E il cammino percorso?
10 CHI HA RAGIONE? Il grafico descrive il moto di un bambino che cammina su un marciapiede rettilineo.
Elia: “Il moto è curvilineo perché il grafico spazio-tempo è una curva.”
Ambra: “La curva del grafico posizione-tempo non corrisponde alla traiettoria. Il moto è rettilineo perché avviene lungo una linea retta.”
RISOLVI
Il sistema di riferimento
11 Nella figura a fianco, qual è la posizione di Enzo, Francesco e Paola rispetto all’asse di riferimento indicato?
4 m, s = 5 m, s = 9 m]
5 Il grafico posizione-tempo rappresenta:
A la traiettoria del corpo
B lo spostamento in relazione al tempo
C la posizione in relazione al tempo
D il tempo in relazione allo spostamento
[Una risposta A, una B, due C e una D]
9 TROVA L’ERRORE Un tuo amico riporta su un grafico posizione-tempo i dati di un esperimento, ma il grafico che ha disegnato non è corretto. Trova l’errore.
12 Un uomo si sta muovendo dal bar della stazione verso il binario n. 1 bis, che dista 17 m dal bar. Viene fotografato in un punto a 2 m dal bar all’istante t = 2 s. Se orienti la retta nel senso che va dal bar al binario e fissi l’origine nel bar, qual è la posizione dell’uomo in quell’istante? E se l’origine fosse il binario n. 1 bis? [2 m; -15 m]
13 La distanza tra le tacche riportata in figura è di 2 m. Determina la posizione del gatto se l’asse di riferimento ha l’origine nel punto in cui:
a c’è l’albero ed è orientato verso destra; [+8 m]
b c’è l’albero ed è orientato verso sinistra; [-8 m]
c c’è il cartello stradale ed è orientato verso destra. [-2 m]
2 m
14 ESERCIZIO RISOLTO Una lumaca si arrampica su un palo alto 3 m, partendo da terra. Di giorno sale di 2 m e di notte scivola verso il basso di 1 m.
a Quanti giorni impiega ad arrivare in cima?
b Qual è lo spostamento?
MODELLIZZIAMO LA SITUAZIONE
c Qual è la lunghezza del cammino percorso?
Scegliamo un asse di riferimento verticale orientato verso l’alto.
Δs g = +2 m spostamento di giorno Δsn = –1 m spostamento di notte
g = ? giorni per arrivare in cima Δs = ? spostamento
ℓ = ? lunghezza del cammino
RISOLVIAMO
a La lumaca impiega 2 giorni ad arrivare in cima: il primo giorno la lumaca sale di 2 m, ma poi di notte scende di 1 m e quindi si ritrova a 1 m da terra; il secondo giorno sale di 2 m e raggiunge la cima del palo a 3 m da terra.
b Lo spostamento è quindi di 3 m.
c Il cammino percorso è lungo 5 m (4 m in salita e 1 m in discesa).
15 PROVA TU
Un atleta, per allenarsi, parte dal fondo della palestra e percorre 12 m in avanti e 6 m indietro, poi di nuovo 12 m in avanti e così via, fino alla fine della palestra, che è lunga 24 m. Qual è la lunghezza del cammino percorso? [48 m]
16 Determina lo spostamento di un gatto che si trova nella posizione s1 = -2,5 m e, poi, in s2 = 2,3 m. [4,8 m]
17 Un corpo è inizialmente nella posizione s1 = -1,8 m; successivamente si sposta di 3,7 m. Trova la posizione finale. [+1,9 m]
18 Un carrello, lungo 0,5 m, si sposta di - 1,4 m e arriva nella posizione 0,7 m. Calcola la posizione da cui è partito. Qual è il dato inutile in questo esercizio? [+2,1 m; la lunghezza del carrello]
19 La figura mostra Mattia che passa dal punto A al punto B distanti 5 m. Fissa un asse di riferimento con l’origine in A e orientato verso destra. Determina le posizioni di partenza e di arrivo, la lunghezza del cammino percorso e lo spostamento di Mattia. Come cambierebbe-
20 La distanza tra due piani di un palazzo è 3,0 m. Un ascensore parte dal terzo piano, sale al quinto, scende al primo e sale al secondo piano. Fissa un asse di riferimento verticale orientato verso l’alto e calcola lo spostamento e il cammino percorso dall’ascensore. La risposta dipende dall’origine fissata sull’asse? [-3,0 m, 21 m; no]
ro le risposte se l’asse fosse orientato verso destra, ma si spostasse l’origine in B? E se, invece, si orientasse l’asse verso sinistra con l’origine in A?
21 On a sunny afternoon, a buffalo walks 1500 meters due east to drink water from a creek. Then the buffalo walks 700 meters due west, before running 300 meters due east.
What distance has the buffalo travelled? What is the buffalo’s displacement? [2500 m; 1100 m east]
La legge oraria. Il grafico spazio-tempo
22 ESERCIZIO RISOLTO Il diagramma orario in figura riporta il moto di una ragazza che si muove in un corridoio lungo 20 m. Determina l’intervallo di tempo, lo spostamento e la lunghezza del cammino percorso tra 1 s e 8 s. Qual è il dato non necessario fornito dal problema?
MODELLIZZIAMO LA SITUAZIONE
t1 = 1 s istante iniziale t3 = 8 s istante finale
Δt = ? intervallo di tempo Δs = ? spostamento
ℓ = ? lunghezza del cammino
RISOLVIAMO
Sul grafico riportiamo in rosso i due punti che corrispondono alle posizioni occupate negli istanti t1 = 1 s e t3 = 8 s.
La differenza tra le ascisse è l’intervallo di tempo
= 7 s la differenza tra le ordinate è lo spostamento Δ
- 1 m = +4 m
Per il calcolo della lunghezza del cammino, sul grafico riportiamo in verde il punto che corrisponde alla posizione occupata nell’istante t2 = 3 s. Tra t1 = 1 s e t2 = 3 s la ragazza passa dalla posizione s1 = +1 m alla posizione s2 = -1 m (punto verde), quindi percorre 2 m nel verso negativo. Tra t2 = 3 s e t3 = 8 s, la ragazza passa dalla posizione s2 = -1 m alla posizione s3 = +5 m, quindi percorre 6 m nel verso positivo. La lunghezza complessiva del cammino percorso è ℓ = 2 m + 6 m = 8 m.
OSSERVAZIONI
La lunghezza del corridoio è un dato inutile per la risoluzione del problema.
23 PROVA TU
Determina l’intervallo di tempo, lo spostamento e la lunghezza del cammino percorso tra 0 e
24 Considera il tratto tra i punti evidenziati nel grafico. Determina l’intervallo di tempo e lo spostamento.
25 Considera il diagramma orario in figura e determina:
a in quali istanti il corpo è nella posizione s = 100 m;
b lo spostamento e la lunghezza del cammino percorso tra 0 e 20 s;
c lo spostamento tra 0 e 30 s e tra 20 e 80 s;
d la lunghezza del cammino percorso tra 20 e 80 s.
26 ESERCIZIO GUIDATO Descrivi in poche righe come varia nel tempo la posizione di un punto materiale che si muove con la legge oraria rappresentata in figura.
RISOLVIAMO
Il corpo parte dalla posizione s0 = 40 m. Nell’intervallo di tempo compreso tra 0 e 1 s, il punto materiale si muove in verso opposto all’asse e all’istante t = ...... s si trova nella posizione s = 10 m.
Nell’intervallo di tempo compreso tra 1 s e 3,8 s circa, il punto materiale si muove nel verso ...... dell’asse di riferimento. In quest’ultimo istante si trova a 48 m di distanza dall’origine, inverte il moto e poi si muove nel verso negativo fino al tempo t = ...... s. Quindi per 1,5 s il punto materiale rimane fermo nella posizione s = 36 m.
27 PROVA TU
Descrivi come varia nel tempo la posizione del bambino dell’esercizio 10. Determina, inoltre, in quali istanti il corpo è nella posizione s = 25 m e lo spostamento tra 2 e 5 s.
28 La traversata dello stretto di Messina dura 20 minuti. Un traghetto parte da Messina e, giunto a Villa San Giovanni, si ferma 40 minuti per le operazioni di sbarco e imbarco, quindi riparte per Messina. La distanza fra Messina e Villa San Giovanni è 8 km. Fissa un asse di riferimento nella figura con l’origine nell’approdo di Messina. Disegna un possibile diagramma orario del moto del traghetto per l’intero percorso di andata e ritorno.
30 Rappresenta il diagramma orario di un tram che viaggia su un lungo viale rettilineo e che effettua quattro soste per far salire e scendere i passeggeri. Descrivi come hai fissato l’asse di riferimento e l’istante iniziale.
31 Le immagini mostrano una ragazza che cammina sulla banchina di una stazione. Inserisci in una tabella i tempi registrati dal cronometro e le posizioni occupate dalla ragazza. Costruisci il grafico spazio-tempo. Determina lo spostamento e la lunghezza del cammino percorso nei 10 s considerati.
29 Viola è nel corridoio della scuola e cammina verso la sua amica Alice. Si ferma per 5 secondi per chiederle delle informazioni e poi torna indietro verso la posizione iniziale. La tabella riporta le posizioni di Viola negli istanti successivi. Rappresenta in un disegno l’asse di riferimento e dove si trova Viola negli istanti considerati. Traccia il grafico posizione-tempo e indica quando Viola si muove nel verso positivo, quando nel verso negativo, dove e quando si ferma a parlare con Alice. t (s) 0510152025 s
2416441220
Asse di riferimento curvilineo
32 L’autostrada A11 Firenze-Pisa nord è lunga 81,7 km. Lungo il percorso c’è un cartello ogni kilometro. Procedendo da Firenze verso Pisa, i cartelli sono numerati da 1 a 81. L’immagine a destra mostra l’ultimo cartello che si incontra provenendo da Firenze.
Utilizza i cartelli autostradali per definire un asse di riferimento. Un’automobile proveniente da Firenze è ferma in panne vicino al cartello numero 53, tra i caselli di Capannori e Altopascio. Il carro attrezzi entra in autostrada a Lucca est (kilometro 63,5) e si dirige verso l’auto in panne: poiché però quest’ultima è nella corsia opposta, il carro attrezzi deve arrivare fino al casello di Altopascio (kilometro 49,3), per poi tornare indietro verso l’auto. Qual è la lunghezza del cammino in autostrada che il carro attrezzi compie per raggiungere l’auto in panne? [17,9 km]
Molti incidenti stradali sono causati da un eccesso di velocità. L’installazione di postazioni per il controllo elettronico della velocità ha determinato una netta diminuzione del numero di incidenti.
Sulle strade italiane sono attivi due sistemi di controllo della velocità: l’Autovelox e il Safety Tutor.
L’Autovelox rileva la velocità nell’istante in cui il veicolo passa davanti al dispositivo e segnala alla polizia i veicoli che superano il limite di velocità.
Il Safety Tutor è un sistema diverso, formato da una serie di postazioni installate sulle autostrade e sulle strade ad alto scorrimento.
1 Sai come funziona il Safety Tutor?
2 Il Safety Tutor e l’Autovelox misurano la stessa grandezza?
Nel linguaggio comune, al moto di un corpo si associa spesso la velocità. Vediamo qual è il significato del termine velocità in Fisica.
La velocità media è definita come il rapporto tra lo spostamento Δs e l’intervallo di tempo Δt necessario per compiere tale spostamento:
spostamento
IN ENGLISH
• Velocità media: average velocity velocità
intervallo di tempo
• Come lo spostamento, anche la velocità media è una grandezza vettoriale. Essa ha la stessa direzione e lo stesso verso dello spostamento, perché l’intervallo di tempo
Δt è sempre positivo. Infatti, quando si divide un vettore per uno scalare positivo, si ottiene un vettore con la stessa direzione e lo stesso verso.
• Nel moto rettilineo la direzione è fissata, quindi possiamo descrivere la velocità come uno scalare con il segno che indica il verso. La velocità media è positiva se lo spostamento è positivo, cioè quando il corpo si muove nel verso in cui è orientato l’asse di riferimento. La velocità media è negativa se il corpo si muove nel verso opposto.
• Se il corpo ritorna al punto di partenza, la sua velocità media è nulla, perché lo spostamento è nullo.
• La velocità media dipende dalle posizioni di partenza e di arrivo, non dal cammino percorso.
• La velocità media raddoppia se nello stesso intervallo di tempo lo spostamento è doppio oppure se si effettua lo stesso spostamento in metà tempo.
Applica la definizione Supponi che agli istanti t1 = 2 s e t2 = 3 s i passeggeri incontrati nella lezione precedente si trovino nelle posizioni indicate in figura. Il ragazzo con lo zaino, che si muove nel verso in cui è orientato l’asse, ha una velocità media positiva:
media del signore con la cartella è invece negativa:
La velocità media è positiva quando il moto è nel verso in cui è orientato l’asse di riferimento.
La velocità media è negativa quando il moto è nel verso opposto a quello dell’asse di riferimento.
PROVA TU In un rettilineo un ciclista passa dalla posizione 800 m a 140 m in un minuto. Calcola la velocità media. In che verso si muove? [-11 m/s; opposto all’asse]
La velocità media intorno a noi Poiché nel SI lo spostamento si misura in metri e l’intervallo di tempo in secondi, l’unità di misura della velocità è il metro al secondo: m/s. Nella vita quotidiana si utilizza spesso il km/h, soprattutto per la velocità dei veicoli.
Per esprimere in m/s una velocità in km/h, ricordiamo che:
1 km = 103 m e 1 h = 3600 s = 3,6 × 103 s
Per esempio, data una velocità di 65 km/h, sostituendo abbiamo che:
65 km h = 65 × 103 m
3,6 × 103 s = 65m 3,6s = 18 m s
Per esprimere in km/h la velocità di 15 m/s, invece, si usano le trasformazioni inverse:
La velocità media è sempre riferita a un certo spostamento in un dato intervallo di tempo. Per esempio, in un viaggio da Foggia a Lecce possiamo considerare un dato spostamento e parlare di velocità media nello spostamento da Bari a Brindisi oppure parlare di velocità media nella prima ora di viaggio, considerando quindi un determinato intervallo di tempo. In generale, al variare dello spostamento o dell’intervallo di tempo considerato il valore della velocità media cambia.
La velocità media in un Gran Premio è nulla? Nel linguaggio comune il termine “velocità media” assume spesso un significato diverso da quello appena visto perché, invece di considerare lo spostamento compiuto in un certo intervallo di tempo, si considera la lunghezza del cammino percorso. Per esempio, se un giornale sportivo scrive che un pilota ha vinto il MotoGP alla velocità media di 208 km/h, è evidente che sta parlando del rapporto tra il cammino percorso e l’intervallo di tempo. Infatti, in questo caso lo spostamento è nullo perché il punto di partenza e quello di arrivo coincidono e quindi, per la definizione proposta, anche la velocità media è uguale a zero.
Per evitare confusione tra i due significati di velocità descritti nel box “La fisica che non ti aspetti!”, adottiamo in simili situazioni il termine “rapidità media”. Per indicare la rapidità media usiamo lo stesso simbolo della velocità media: il contesto chiarisce a quale delle due grandezze si riferisce il simbolo.
La rapidità media è il rapporto tra la lunghezza del cammino percorso ℓ e l’intervallo di tempo Δt impiegato a percorrerlo: lunghezza del cammino percorso rapidità media intervallo di tempo vm =
• La rapidità media è una grandezza scalare sempre positiva, perché sia la lunghezza del cammino percorso sia l’intervallo di tempo sono sempre positivi.
• La rapidità media dipende dal cammino percorso per passare dalla posizione di partenza a quella di arrivo.
• Nel linguaggio comune con il termine velocità si intende spesso quello che qui è indicato come rapidità.
Immaginiamo di leggere il valore della velocità sul tachimetro di un’automobile o di una moto. La scritta 91 km/h significa che “in quel momento” il veicolo procede a quella determinata velocità.
In questa situazione la parola “velocità” indica la velocità istantanea, ossia la velocità che ha il corpo in un dato istante. La velocità istantanea indicata dal tachimetro è in realtà la misura della velocità media in un intervallo di tempo molto breve, dell’ordine dei decimi di secondo.
La velocità istantanea è la velocità media calcolata in un intervallo di tempo molto breve, attorno a quell’istante:
IN ENGLISH
• Rapidità media: average speed
IN ENGLISH
• Velocità istantanea: instantaneous velocity
La definizione rigorosa di velocità istantanea richiede concetti matematici che studierai nei prossimi anni. Quella proposta qui è una definizione intuitiva più semplice.
In generale, quando parliamo di velocità, senza aggiungere alcuna precisazione, intendiamo la velocità istantanea.
MATE & FISICA
La pendenza, o coefficiente angolare, di una retta è il rapporto Δy/Δx tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti della retta.
Comprendi la definizione
• La velocità media è riferita a un intervallo di tempo o di spazio, mentre la velocità istantanea è riferita a un preciso istante di tempo.
• Anche la velocità istantanea è un vettore. Nel moto rettilineo la direzione è fissata e il verso è indicato dal segno: la velocità istantanea è positiva negli istanti in cui il corpo si muove nel verso positivo dell’asse di riferimento ed è negativa quando il corpo si muove nel verso opposto.
• Per quanto riguarda l’intervallo di tempo Δt, è chiaro che la velocità media è un’approssimazione della velocità istantanea tanto migliore quanto più Δt è piccolo. In realtà è sufficiente che Δt sia abbastanza piccolo da poter considerare che in quell’intervallo la velocità resti costante.
La misura della velocità nel quotidiano
Alla luce delle definizioni fornite è possibile rispondere alle domande di inizio lezione. L’Autovelox misura l’intervallo di tempo necessario al veicolo per percorrere la distanza tra due fotocellule poste a pochi decimetri l’una dall’altra (Figura 1). Il rapporto tra la distanza delle due fotocellule e l’intervallo di tempo può essere considerato una velocità istantanea perché l’intervallo di tempo è molto breve.
Il sistema Safety Tutor, invece, rileva la rapidità media del veicolo perché misura l’intervallo di tempo impiegato a percorrere un tratto di autostrada compreso tra due postazioni che possono essere distanti qualche decina di kilometri.
Dal grafico posizione-tempo è possibile ricavare informazioni anche sulla velocità del corpo.
1. Nel caso del moto di Figura 2, per esempio, tra gli istanti t1 = 1,0 s e t2 = 5,0 s il corpo si muove dalla posizione s1 = 20 m alla posizione s2 = 30 m. La velocità media in questo intervallo è: vm = s 2 s1 t 2 t1 = (30 20)m (5,0 1,0)s = 2,5 m s Sul grafico posizione-tempo disegniamo il segmento secante che ha per estremi i punti P1 e P2 corrispondenti agli istanti t1 e t2 sulla curva che rappresenta il moto. Per definizione, la pendenza del segmento è il rapporto Δs/Δt, dove lo spostamento Δs e l’intervallo di tempo Δt indicano la differenza delle ordinate e delle ascisse dei due estremi. Per definizione, questo rapporto è proprio la velocità media.
In un grafico posizione-tempo, la velocità media è rappresentata dalla pendenza del segmento secante che ha per estremi i punti della curva corrispondenti all’intervallo considerato.
la velocità media:
= 2,5
2. Per dare un’interpretazione grafica alla velocità istantanea, consideriamo l’istante t = 2 s nella Figura 2. La definizione di velocità istantanea richiede di calcolare la velocità media in un brevissimo intervallo di tempo Δt attorno a questo istante. Al diminuire di Δt, gli estremi del segmento secante P1 e P2 si avvicinano sempre più.
Quando Δt è prossimo allo zero, la velocità media tende alla velocità istantanea. Sul grafico, i punti P1 e P2 si avvicinano fino a diventare un unico punto P corrispondente all’istante considerato e la retta secante approssima la retta tangente alla curva in quel punto (Figura 3).
In un grafico posizione-tempo, la velocità istantanea è rappresentata dalla pendenza della retta tangente alla curva nel punto corrispondente all’istante considerato.
Se vogliamo ricavare dal grafico la velocità all’istante t = 2 s, dobbiamo calcolare il coefficiente angolare della retta tangente tracciata. Scegliamo due punti a caso sulla retta tangente evidenziata in Figura 4, per esempio i punti corrispondenti agli istanti t = 0 e t = 5,5 s.
Lo spostamento “fittizio” in questo intervallo è Δs ′ = 30 m. Lo chiamiamo “fittizio” perché si riferisce alla retta tangente e non alla curva posizione-tempo, che descrive il moto e quindi non rappresenta lo spostamento effettivamente compiuto dal corpo nell’intervallo Δt considerato. La velocità istantanea è quindi:
La secante a una curva è la retta passante per due punti appartenenti alla curva.
Se riduciamo la loro distanza, i due punti si avvicinano fino a sovrapporsi e diventano un unico punto P Contestualmente la retta secante cambia fino ad avvicinarsi a una posizione limite che identifichiamo con la retta tangente alla curva nel punto P
33 Gli atleti corrono i 20 000 metri in 60 minuti circa. Quanto vale approssimativamente la loro velocità media espressa in metri al secondo?
A 5,6 m/s
B 56 m/s
C 0,56 m/s
D 20 m/s
E 34 m/s (Professioni Sanitarie, 2017/18)
34 Quale delle seguenti formule è corretta? A
36 La velocità istantanea di un’automobile è negativa:
A quando fa retromarcia
B quando si muove in verso opposto a quello in cui abbiamo orientato l’asse di riferimento
C quando si muove nel verso in cui abbiamo orientato l’asse di riferimento
D mai
37 In un grafico posizione-tempo, la velocità istantanea in un certo istante t1 è rappresentata da:
A la retta secante alla curva in un intervallo che comprenda al suo interno l’istante t1
35 La rapidità media:
A è definita solo per i moti rettilinei
B è nulla se il corpo torna al punto di partenza
C non è mai negativa
D è una grandezza vettoriale
38 STIMA Collega i valori approssimativi di ciascuna velocità al moto corrispondente, come mostrato nell’esempio.
a. 10 cm/anno 1. velocità di una lumaca
b. 1 mm/s 2. velocità di scorrimento delle placche tettoniche
c. 3 m/s 3. velocità del suono nell’aria
d. 30 m/s 4. velocità della luce
e. 340 m/s 5. velocità di un maratoneta
f. 300 000 km/s 6. velocità di un ghepardo
41 E SE... La fotografia a destra è stata scattata 0,2 s dopo quella a sinistra. Calcola la velocità media di Paola, Francesca e Anna rispetto all’asse di riferimento indicato. Che cosa cambia se si sceglie un asse con la stessa origine ma verso opposto?
42 CHI HA RAGIONE? Durante l’intervallo un professore cammina nel corridoio della scuola.
Enrica: “La rapidità media è sicuramente diversa da zero, perché il professore si sta muovendo.”
Luigi: “Se il professore torna nella posizione iniziale, la rapidità media è nulla.”
43 INTERPRETA In rete si legge quanto segue. “Most people use velocity and speed interchangeably. But to physicists, the two have different meanings. Speed is a
B la pendenza della secante alla curva in un intervallo che comprenda al suo interno l’istante t1
C la retta tangente alla curva nel punto del grafico in corrispondenza dell’istante t1
D la pendenza della tangente alla curva nel punto del grafico in corrispondenza dell’istante t1
[Due risposte A, una B, una C e una D]
39 TROVA L’ERRORE La velocità media è maggiore se si compie lo stesso spostamento in un tempo maggiore o se nello stesso tempo si effettua uno spostamento maggiore.
40 SPERIMENTA Con un’applicazione per smartphone o in rete, trova le indicazioni stradali per andare a piedi dalla tua abitazione a quella di un amico. Leggi la lunghezza del tragitto da percorrere e il tempo che dovresti impiegare. Calcola la rapidità media con cui dovresti camminare per giungere a destinazione nel tempo indicato. Percorri il tragitto realmente, cronometra il tempo che impieghi e confronta la tua rapidità media con quella prevista dall’applicazione.
scalar quantity. The average speed of a particle is the distance traveled divided by the time it took to travel this distance. Velocity is a vector quantity. The average velocity of a particle in a time interval is defined as its displacement divided by the time interval. The instantaneous velocity is the average velocity over a very small interval of time – an instant.”
Associa a ciascuno dei tre termini evidenziati nel testo inglese uno dei seguenti termini italiani: velocità media, rapidità media, velocità istantanea.
44 INTERPRETA Analizza i grafici qui a fianco che rappresentano il moto di un corpo e descrivi a parole le caratteristiche del moto nei punti A, B e C indicati. In particolare, indica in quale verso si sta muovendo il corpo e se la velocità istantanea è positiva, negativa o nulla.
La velocità media. La velocità istantanea
45 Completa le seguenti equivalenze:
a 112 km/h = ............. m/s
b 8,5 km/h = ............. m/s
c 0,61 km/h = ............. m/s
d 4,76 m/s = ............. km/h
e 13 m/s = ............. km/h
f 52 cm/s = .......... m/s = ........ km/h
46 Nel 2016 a Città del Messico, Valtteri Bottas ha stabilito il record di velocità istantanea in Formula 1 con 372,5 km/h. Esprimi la velocità in m/s.
[103,5 m/s]
47 Nei centri urbani il limite di velocità è di 50 km/h. Viaggiando a 12 m/s si è passibili di multa?
[No, perché corrispondono a 43 km/h]
48 Negli Stati Uniti il limite di velocità sulle strade è espresso in miglia all’ora (miles per hour: mph o mi/h). Sapendo che 1 mi = 1,609 km, esprimi il limite di 80 mi/h in km/h e in m/s. [130 km/h; 36 m/s]
49 Completa le seguenti equivalenze:
a 39 cm/s = ............. m/s
b 96 m/min = ............. m/s
c 1,4 km/min = ............. km/h
50 ESERCIZIO RISOLTO Un astronauta sulla Luna comunica con la base a Terra attraverso dei segnali che viaggiano alla velocità della luce (300 000 km/s). Un tecnico fa una domanda all’astronauta: quanto tempo deve aspettare per avere una risposta? (Suggerimento: la distanza Terra-Luna è 384 400 km.)
MODELLIZZIAMO LA SITUAZIONE
d = 384 400 km = 3,844 × 105 × 103 m = 3,844 × 108 m distanza Terra-Luna
vmvm = 300000 km s = 3 ¥ 105 103 m s = 3 ¥ 108 m s velocità della luce
Δtattesa = ? intervallo di tempo
RISOLVIAMO
La luce che trasporta i segnali deve percorrere due volte la distanza Terra-Luna, una volta per la domanda del tecnico e una per la risposta dell’astronauta. La lunghezza del cammino percorso è: ℓ = 2d
Dalla definizione di rapidità media, ricaviamo il tempo necessario per trasmettere i due segnali:
Per ricevere una risposta dall’astronauta, il tecnico deve attendere un intervallo di tempo superiore al tempo necessario per la trasmissione dei segnali:
51 PROVA TU
L’anno luce è un’unità di misura della lunghezza usata in Astronomia e corrisponde alla distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un anno. Esprimi tale distanza in metri.
52 Suppose that you are walking to school when it starts raining. You run 120 meters back home in 28,0 seconds to get your umbrella. If now it takes you 75 seconds to walk 120 meters, what is your average velocity for the 240 meters you travel? What is your average speed?
[0; 2.30 m/s]
× 1015 m]
53 Alle Olimpiadi invernali di Pechino 2022, Francesca Lollobrigida, vincendo la medaglia d’argento sui 3000 m con il tempo di 3 min 58,06 s, è stata la prima italiana della storia a vincere una medaglia olimpica nel pattinaggio di velocità. Qual è stata la sua rapidità media? Esprimi il risultato in m/s e in km/h. [12,6 m/s, 45,4 km/h]
54 Un maratoneta attraversa la linea di partenza alle ore 9:03:12 e termina la corsa (42,195 km) alle 13:01:56. Qual è stata la sua rapidità media durante la gara? Esprimi il risultato in m/s e in km/h. [2,946 m/s, 10,60 km/h]
55 Un guardalinee si muove avanti e indietro lungo la linea di bordo campo. Negli istanti tA = 0 s, tB = 5,0 s, tC = 7,0 s e tD = 15 s raggiunge le posizioni mostrate in figura muovendosi da A a B, da B a C e da C a D. Fissa un asse di riferimento con l’origine nella bandierina e orientato verso destra, poi determina la velocità media e la rapidità media nei tratti AB, BC e AD, sapendo che ogni punto dista dal successivo 7 m. [-2,8 m/s, 3,5 m/s, -1,4 m/s; 2,8 m/s, 3,5 m/s, 2,3 m/s]
57 Alle Olimpiadi di Tokyo 2020, Antonella Palmisano e Massimo Stano hanno vinto la medaglia d’oro nella marcia ed è stata la prima volta che nella stessa olimpiade l’Italia ha conquistato l’oro nella marcia sia maschile che femminile. Stano, con una rapidità media di 4,111 m/s, ha completato la gara in 1 h 21 min 5 s, ossia in 4865 s. Che distanza ha percorso? Palmisano ha impiegato 1 h 29 min 12 s, cioè 5352 s, per percorrere la stessa distanza: qual è stata la sua rapidità media? [20,00 km; 3,737 m/s]
58 Il 1° agosto 2021, alle Olimpiadi di Tokyo, Lamont Marcell Jacobs è stato il primo atleta italiano a vincere la medaglia d’oro nei 100 m piani, percorrendo la distanza con una velocità media di 10,2 m/s. Quanto tempo ha impiegato a completare la gara? [9,80 s]
56 Durante un temporale senti il rumore di un tuono 4,0 s dopo aver visto il lampo. A che distanza ti trovi dal punto in cui è caduto il fulmine? Trascura il tempo che impiega la luce a percorrere la distanza e considera che la velocità del suono è uguale a 340 m/s. [1,4 km]
59 La velocità indicata dal tachimetro delle automobili è la misura della velocità media nell’intervallo di tempo che impiega un sensore posto su una ruota a compiere un giro completo. Ogni giro della ruota corrisponde a uno spostamento dell’auto di circa 2 m. Calcola in quale intervallo di tempo avviene la misura quando l’auto viaggia a 90 km/h. [0,08 s]
60 La tua abitazione dista 1,4 km dalla scuola. Ieri hai impiegato 12 minuti a rientrare a casa. Se la tua rapidità media aumenta del 20%, quanto tempo impieghi? [10 min]
61 ESERCIZIO RISOLTO Un corpo percorre 100 m in 13,0 s, poi altri 200 m alla rapidità media di 5,5 m/s e infine viaggia per altri 15,0 s a 21,0 km/h. Qual è stata la rapidità media su tutto il percorso?
MODELLIZZIAO LA SITUAZIONE Indichiamo con Δℓi (i = 1, 2, 3) gli spazi percorsi nei tre intervalli Δti e con vmi le rispettive rapidità medie:
Δℓ1 = 100 m Δt1 = 13,0 s Δℓ2 = 200 m vm2 = 5,5 m/s Δt3 = 15,0 s vm3 = 21,0 km/h = 5,83 m/s vm = ? rapidità media sull’intero percorso
RISOLVIAMO
Per calcolare la rapidità media su tutto il percorso abbiamo bisogno di conoscere lo spazio totale percorso e il tempo totale impiegato.
Nel secondo intervallo dobbiamo calcolare il tempo:
Nel terzo intervallo invece dobbiamo conoscere la lunghezza del cammino percorso:
La rapidità media su tutto il percorso risulta quindi: 62 PROVA TU
Un treno percorre un primo tratto pianeggiante di 52 km con una rapidità media di 104 km/h e poi un secondo tratto in salita lungo 43 km. Sull’intero tragitto la rapidità media
di 96 km/h. Quante ore dura l’intero viaggio? Qual è, in km/h e in m/s, la rapidità media nel secondo tratto?
63 A man walks at a speed of 1.8 m/s for 750 m and 2.2 m/s for the next 250 m. What is the average speed for the walk of 1 km? [1.9 m/s]
64 Un’automobile viaggia su una strada diritta sempre nello stesso verso per 5,0 min con una velocità media di 10 m/s. Qual è lo spostamento del veicolo? Il guidatore ha mantenuto una velocità costante di 54 km/h, tranne che per una sosta a un semaforo. Qual è la durata della sosta?
[3,0 km; 100 s]
La velocità nel grafico posizione-tempo
66 Il grafico descrive il moto di un nuotatore in una piscina olimpica da 50 m. Calcola la velocità media nella vasca di andata (tratto AB), nella vasca di ritorno (tratto CD) e nei primi 60 s. In che posizione si trova al
65 Un corridore per allenarsi percorre 5,0 km al passo di 5 min 50 s al kilometro e 1,00 km al passo di 5 min 10 s al kilometro. Il passo è il rapporto tra il tempo impiegato a percorrere un certo tragitto e la lunghezza del cammino percorso, e viene usualmente espresso in min/km. Qual è la relazione tra il passo e la rapidità media? Qual è la rapidità media del corridore nel primo tratto, nel secondo e sull’intero percorso?
68 Riferendoti al moto dell’esercizio precedente, considera gli istanti di tempo t1 = 5 s , t2 = 6 s e t3 = 8 s. In quale dei tre istanti la velocità è maggiore? In quale è minore?
69 Per il moto dell’esercizio precedente, individua gli istanti in cui la velocità è nulla. Indica almeno un istantein cui la velocità è negativa. [40 s, 65 s]
70 Le rette in figura sono le tangenti al grafico nei punti indicati. Determina la velocità agli istanti t2 = 10 s e t3 = 60 s. [11,3 m/s, -2,2 m/s]
67 Considera il seguente grafico posizione-tempo.
a In quale istante il corpo inverte il senso del moto?
b Quali sono la velocità media e la rapidità media tra 1 s e 3 s? E tra 2 s e 8 s?
71 Per allenarsi a una gara di resistenza, Giovanna corre per 15 km e poi cammina a passo veloce per altri 15 km.
La tabella riporta i tempi ai passaggi intermedi.
t (h) 00,480,961,482,122,913,71 s (km) 051015202530
a Costruisci il grafico posizione-tempo.
b Calcola la rapidità media, in km/h, nei primi 15 km, nei secondi 15 km e nell’intero tragitto.
c Osservando il grafico, come puoi stabilire se la rapidità media è stata maggiore nella prima parte o nella seconda parte?
72 Considera il moto mostrato in figura.
a Qual è la velocità media tra 0 e 60 s e tra 20 s e 80 s?
b Qual è la rapidità media in questi intervalli’?
c Qual è la velocità negli istanti t = 20 s e t = 50 s?
[a. 0,67 m/s, -1 m/s; b. 2,0 m/s, 1,7 m/s; c. 5 s; 8 s]
Puoi condurre una semplice esperienza con i tuoi compagni per studiare un importante tipo di moto rettilineo, quello più semplice di tutti: il moto rettilineo uniforme.
Per svolgere la loro esperienza, Alessandro ed Emanuele fissano l’asse di riferimento lungo la linea di un campo di pallavolo con l’origine O in corrispondenza del muro della palestra. Con un nastro adesivo segnano sette traguardi a partire dalla posizione s0 = 5 m e distanziati di 3 m uno dall’altro. Alessandro parte dall’origine O e cammina lungo l’asse di riferimento con passo lento e regolare. Con uno smartphone, Emanuele misura i tempi di passaggio ai diversi traguardi, facendo partire il cronometro al passaggio da s0. Ripetono poi la misura con Alessandro che cammina con passo più veloce e regolare. Usa i dati raccolti e riportati nella tabella per disegnare il grafico posizionetempo per entrambe le misure.
1 Come si dispongono i punti su ciascun grafico?
2 Per entrambi i moti, considera lo spostamento dalla posizione iniziale s0 a ciascun traguardo e calcola la velocità media: che cosa osservi?
Consideriamo il moto lento dell’attività iniziale. Se lo rappresentiamo in un grafico posizione-tempo, i punti si dispongono con buona approssimazione lungo una retta (Figura 1).
In questo caso il valore della velocità media è sempre lo stesso, qualunque sia l’intervallo in cui lo calcoliamo.
Nel tratto tra 8 m e 14 m, per esempio, la velocità media è:
Potremmo provare con altri intervalli; come abbiamo anticipato, scopriremmo che, entro i limiti dell’incertezza sperimentale, la velocità media ha sempre lo stesso valore. Possiamo pensare allora che anche la velocità istantanea, che non è altro che la
velocità media calcolata su un piccolissimo intervallo, abbia sempre lo stesso valore, cioè sia costante. In questo caso il moto si dice uniforme.
Un moto rettilineo si definisce uniforme quando il corpo si muove a velocità costante.
In un grafico posizione-tempo, un moto rettilineo uniforme è rappresentato da una retta (Figura 1).
Usando il simbolo v = vist = vm per la velocità, che è costante, abbiamo che:
t è un intervallo qualsiasi (1)
In un moto rettilineo uniforme gli spostamenti Δs sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo Δt in cui avvengono. La costante di proporzionalità è la velocità v del corpo.
Anche la camminata veloce proposta nell’attività iniziale è un moto uniforme, perché il diagramma orario è una retta e gli spostamenti sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo in cui avvengono (Figura 2).
• Moto rettilineo uniforme: uniform linear motion
• Costante di proporzionalità: constant of proportionality
1. Consideriamo per esempio il tratto tra 14 m e 23 m. Nella camminata veloce, questo tratto è percorso in un tempo minore e dunque la velocità media è maggiore:
camminata lenta, invece, abbiamo che:
Graficamente, questo è rappresentato dal fatto che la pendenza della retta verde, corrispondente alla camminata veloce, è maggiore rispetto a quella della camminata lenta (in blu). A una velocità maggiore corrisponde un grafico con pendenza maggiore e viceversa.
2. La posizione iniziale è la stessa perché i cronometri sono stati attivati quando entrambi i camminatori si trovavano in s0 = 5,0 m.
Vogliamo ora scrivere una formula, che prende il nome di legge oraria, che ci consenta di calcolare la posizione del corpo in un qualunque istante. A questo scopo consideriamo un intervallo che ha come istante iniziale quello in cui facciamo partire il cronometro (t = 0) e come istante finale un istante t del tutto generico.
La relazione (1) è valida solo per il moto rettilineo uniforme; negli altri casi dobbiamo scrivere v al posto di v IN
• Legge oraria del moto rettilineo uniforme: equation of uniform linear motion
s
L’equazione s = s + vt è una relazione lineare del tipo y = mx + q Graficamente m e la velocità v indicano la pendenza della retta, mentre q e la posizione iniziale s individuano l’ordinata dell’intersezione con l’asse y v > 0 nel verso positivo
s t
v = 0 il corpo è fermo v < 0 nel verso negativo
Corrispondentemente, indichiamo con s0 la posizione del corpo nell’istante t = 0 e con s quella all’istante t
Considerato che l’intervallo di tempo è Δt = t - 0 = t, abbiamo che:
v = ∆ s ∆t = s s0 t
Con semplici calcoli, ricaviamo l’espressione della posizione s occupata all’istante t:
vt = s - s0 ⇒ s = s0 + vt
LEGGE ORARIA DEL MOTO RETTILINEO UNIFORME
La legge oraria o equazione del moto rettilineo uniforme è:
s = s0 + vt (2) velocità (costante) istante di tempo posizione all’istante t posizione iniziale (all’istante t = 0)
Comprendi la legge
• L’equazione oraria consente di conoscere la posizione s del corpo in un qualunque istante di tempo t per l’intero tratto in cui il corpo si muove con velocità costante.
• Tra la posizione e il tempo c’è una relazione lineare che ha come grafico una porzione di retta. La posizione iniziale s0 corrisponde all’ordinata del punto di intersezione con l’asse y, la velocità v indica la pendenza della retta. Un corpo fermo è un caso particolare di moto rettilineo uniforme con v = 0.
• Se la posizione iniziale è s0 = 0, la relazione tra la posizione e il tempo diventa una proporzionalità diretta: s = vt ⇒ s t = v In questo caso il grafico posizione-tempo è un tratto di retta che passa per l’origine.
• La (1) vale solo per il moto rettilineo uniforme. Come vedremo anche nelle prossime lezioni, questa relazione non vale se la velocità cambia.
Applica la legge
Durante la camminata veloce, in che posizione era Alessandro al tempo t = 5,0 s? In quale istante era nella posizione s = 8,3 m?
Ricaviamo la posizione richiesta sostituendo i valori numerici nella legge oraria: s = s0
Ora ricaviamo il tempo sempre dalla legge oraria: s = s0 + vt ⇒ vt = s s0 ⇒ vt v = s s0 v
Sostituiamo i valori e otteniamo:
t = s s0 v = 8,3 m 5,0m 2,2m/s = 1,5s
PROVA TU Nella camminata lenta, in che posizione si trovava Alessandro quando il cronometro indicava il tempo t = 3,0 s? [8,9 m]
73 Un’automobile che si muove di moto uniforme percorre 75 m in 3 s. In 3 minuti percorre quindi:
A 4500 m
B 4000 m
C 3000 m
D 3500 m
E 5000 m
(Scienze e Tecnologie alimentari, 2019/20)
74 Quale dei seguenti è un moto rettilineo, ma sicuramente non uniforme?
A Una persona sulla scala mobile
B Un’automobile su un rettilineo che frena e si ferma al semaforo
C Una nave che viaggia in linea retta a velocità di crociera
D Un disco da hockey su ghiaccio diretto in porta
75 Nel moto rettilineo uniforme, la relazione tra posizione e tempo è sempre:
A di proporzionalità diretta
B di proporzionalità inversa
C lineare
D quadratica
76 INTERPRETA Le immagini, che non sono in scala, riproducono in tre istanti successivi tre auto che si muovono su una strada diritta a velocità costante. Associa a ogni auto la retta del grafico posizione-tempo che ne descrive il moto. Individua sul grafico
77 CHI HA RAGIONE? Una lumaca si muove di moto rettilineo uniforme con velocità positiva.
Antonio: “La lumaca non può mai passare per l’origine, perché si muove sempre nel verso positivo.”
Manuela: “No, dipende dal sistema di riferimento: se la lumaca partisse da una posizione negativa, durante il suo moto potrebbe passare per l’origine.”
COME RISOLVERE I PROBLEMI DI CINEMATICA
78 SPIEGA Con l’attivazione del cruise control un veicolo mantiene una rapidità costante. Spiega perché in genere non si tratta di un moto rettilineo uniforme.
79 TROVA L’ERRORE Il grafico posizione-tempo di un moto rettilineo è un tratto di retta perché la traiettoria è rettilinea.
1 Stabilisci la natura del moto (rettilineo? uniforme? uniformemente accelerato? …). Se necessario, rappresenta la situazione con uno schema.
2 Fissa il sistema di riferimento più adatto. Scrivi i dati e le incognite e ricorda che essi dipendono dal sistema di riferimento che hai scelto.
3 Per ciascuna delle grandezze da calcolare stabilisci se esiste una formula che la lega alle grandezze note. Se non esiste, combina più formule in modo da ottenere un sistema di equazioni.
4 Risolvi in modo letterale l’equazione o il sistema. Sostituisci quindi i valori numerici dei dati (con le relative unità di misura) e scrivi i risultati richiesti.
80 Una palla da biliardo rimbalza su una sponda e dopo 0,20 s colpisce la sponda adiacente. Nel tratto tra le due sponde la palla si muove con velocità costante di 4,2 m/s. Qual è la distanza percorsa dalla palla tra le due sponde? [84 cm]
81 Un motociclista si muove di moto rettilineo uniforme con una velocità di 80 km/h. Quanto tempo impiega a coprire una distanza di 220 m? [9,9 s]
82 Se un camion viaggia alla velocità di 64 km/h, quanto tempo impiega a percorrere una galleria lunga 2,35 km? Che distanza percorre in 53 s? [132 s; 940 m]
83 3 Anche se il codice della strada vieta l’uso del cellulare mentre si guida, il numero di incidenti stradali provocati da questa cattiva abitudine è ancora molto elevato. Per capire la gravità di questo comportamento considera che la lettura di un messaggio anche breve sullo smartphone può richiedere 10 s. Quando la velocità è di 50 km/h, che distanza percorre l’auto in questo intervallo di tempo in cui il conducente è completamente distratto? E se la velocità fosse di 120 km/h? [140 m; 330 m]
84 Un ragazzo cammina sulla banchina di una stazione ferroviaria con velocità costante. All’istante tA = 2,0 s è nel punto A, al tempo tB = 7,0 s è nel punto B. Calcola la velocità del ragazzo e il tempo che impiega ad andare dal punto B al punto C. [-2,0 m/s, 15 s]
85 Enea si muove di moto rettilineo uniforme percorrendo 480 m in 4,0 min. Qual è il suo spostamento in 2,5 min? Se al tempo t = 3,0 min è nella posizione s = 380 m, qual è la sua posizione iniziale? [300 m; 50 m]
86 ESERCIZIO GUIDATO In un determinato istante, che consideriamo come iniziale, un podista si trova al kilometro 9,30 di un percorso di gara lungo 16,8 km. Tratta il moto come se fosse rettilineo. Supponi che impieghi 36,0 minuti per terminare il percorso e che la sua velocità sia costante: in quale istante si trova al kilometro 11,8?
MODELLIZZIAMO LA SITUAZIONE
s0 = 9,30 km: posizione al tempo t = 0 s s2 = .......... km: posizione al tempo t2 = 36,0 min
s1 = 11,8 km: posizione al tempo t1 = ?
RISOLVIAMO La velocità del podista è costante, perciò possiamo calcolarla in un intervallo di tempo del quale abbiamo tutti i dati, cioè Δt = t2 - 0 = t2: Ricaviamo il tempo dalla legge ....................... :
Inseriamo i valori numerici:
87 PROVA TU
All’istante t = 24,4 min dove si trova il podista?
88 La legge oraria di un moto rettilineo uniforme è s = vt con v = 2,8 m/s. Disegna il grafico posizione-tempo. In che posizione si trova il corpo all’istante t = 3,5 s? In quale istante è nella posizione s = 4,2 m? [9,8 m; 1,5 s]
89 A runner travelling along a straight path maintains a constant velocity of 3.0 m/s east. The positive x – direction along the horizontal axis is defined to be east. At time t = 0, the runner is at x0 = 120 m. At what time is the runner’s position x = 255 m? Where is the runner at time t = 79 s? [45 s; 360 m]
90 Il moto di una bolla d’aria che risale lungo un tubo inclinato è descritto dalla legge oraria: s = vt + s0 con v = 5,0 cm/s e s0 = 4,0 cm. Rappresenta sul quaderno o con un foglio di calcolo il grafico posizione-tempo. Quanto tempo impiega la bolla a percorrere 37 cm? [7,4 s]
91 Una sfera si muove di moto rettilineo uniforme. All’istante iniziale è in s0 = -1,3 cm e al tempo t1 = 1,2 s in s1 = 1,7 cm. Dove si trova al tempo t2 = 3,4 s? In quale istante è nell’origine? [7,2 cm; 0,52 s]
92 I dati in tabella si riferiscono al moto di un corpo che segue una traiettoria rettilinea.
t (s) 01234
s (m) 2,03,24,45,66,8
a Costruisci il grafico spazio-tempo.
b Verifica che è un moto uniforme e calcola la velocità.
c Dove si trova il corpo all’istante t = 2,7 s?
d In quale istante è nella posizione s = 3,9 m?
[b. 1,2 m/s; c. 5,2 m; d. 1,6 s]
93 Un gatto si muove con velocità costante v = -1,4 m/s lungo una linea orientata partendo dalla posizione
s0 = 3,5 m. Dove si trova dopo 4 s? In quale istante passa dall’origine? [-2,1 m; 2,5 s]
94 Il percorso di una gara di canottaggio è lungo 2000 m. In un determinato istante, che consideriamo come iniziale, un equipaggio si trova a 200 m dalla linea di partenza. Supponi che impieghi 7,5 min a terminare il percorso di gara e che la sua velocità sia costante. Quando si trova a metà percorso? [200 s]
95 La tabella fornisce le posizioni di un treno e di una nave. Completala sapendo che entrambi sono moti rettilinei uniformi. Quale tra i due mezzi ha velocità maggiore? (Miglio nautico: 1 NM = 1852 m)
96 The graph in figure describes the straight-line motion of a student. What is his velocity? What is the student’s position at 0 s? And the position at 3.2 s?
97 ESERCIZIO RISOLTO Marco e Anna abitano a 180 m di distanza. Partono dalle loro case contemporaneamente, camminando in linea retta l’uno verso l’altro. Marco ha una velocità costante di 2,00 m/s e Anna di 2,80 m/s. Dopo quanto tempo si incontrano? A che distanza dalla casa di Anna si incontrano?
MODELLIZZIAMO LA SITUAZIONE
Seguiamo il procedimento risolutivo suggerito nello schema.
1. I due moti sono rettilinei uniformi. La situazione è rappresentata nello schema.
2. Poniamo l’origine in corrispondenza della casa di Marco e orientiamo l’asse nel verso del suo moto. Marco si muove quindi nel verso positivo e ha velocità positiva, Anna si muove in verso opposto e la sua velocità è negativa. Facciamo partire il cronometro quando i due ragazzi escono di casa. Scriviamo i dati che derivano da questa scelta del sistema di riferimento.
s0M = 0 posizione iniziale di Marco
vM = 2,00 m/s velocità di Marco
s0A = +180 m posizione iniziale di Anna
vA = -2,80 m/s velocità di Anna
t = ? istante dell’incontro
d = ? distanza dalla casa di Anna
RISOLVIAMO
3. Le equazioni orarie di Marco e di Anna sono rispettivamente:
I due ragazzi si incontrano quando
4. Da questa equazione ricaviamo l’istante t in cui i due ragazzi si incontrano:
Per trovare la posizione in cui si incontrano possiamo sostituire questo valore indifferentemente nell’equazione oraria di Marco o in quella di Anna.
Scegliamo la prima perché il calcolo è più rapido essendo solo una moltiplicazione:
sM = vMt = 2,00 m s · 37,5 s = 75,0 m
Verifichiamo che, se avessimo considerato l’equazione oraria di Anna, avremmo ottenuto lo stesso risultato:
sA = s0A + vAt = 180 m - 2,80 m s · 37,5 s = 75,0 m
La distanza dalla casa di Anna è quindi: d = 180 m - 75,0 m = 105 m
OSSERVAZIONI
Il problema può essere risolto anche graficamente. Si riportano sullo stesso grafico le due equazioni orarie di Anna e Marco e si deducono l’istante e la posizione dell’incontro (pallino nero).
98 PROVA TU
Risolvi l’esercizio fissando l’origine del sistema di riferimento nella casa di Anna e orientandolo nella direzione del moto di Anna. Fornisci una soluzione sia algebrica sia grafica. Spiega perché ottieni un valore numerico diverso per la posizione in cui Marco e Anna si incontrano. [37,5 s; 105 m]
99 Due auto A e B si muovono in verso opposto lungo una strada rettilinea con velocità costante vA = 20 m/s e vB = -25 m/s. L’auto A parte dall’origine mentre l’auto B parte dalla posizione s0B = 1600 m. Qual è la distanza tra le auto al tempo t = 52 s? [740 m]
100 Considera le auto dell’esercizio precedente: in quale istante si incrociano? In che posizione sono quando si incrociano? [36 s; 710 m]
101 Alice e Bianca partono nello stesso punto e muovendosi nello stesso verso percorrono un tratto di strada rettilinea, rispettivamente, a velocità 1,2 m/s e 1,6 m/s. Disegna un grafico posizione-tempo in cui siano rappresentate le posizioni delle due ragazze. Dopo 50 s, qual è la distanza che le separa? [20 m]
102 Maurizio e Dario entrano in autostrada al casello di Novara ovest in momenti diversi e percorrono un tratto dell’A4 che possiamo considerare rettilineo. Poni come istante iniziale il momento in cui Dario entra in autostrada. Deduci dal grafico posizione-tempo la velocità dei due moti e la posizione iniziale di Maurizio. Determina in quale istante e a che distanza dal casello di Novara ovest Dario raggiunge e sorpassa Maurizio.
103 Maria esce di casa e si incammina alla velocità di 2,1 m/s verso la scuola, che dista 630 m dalla sua casa. Dopo 1,5 min, sua mamma parte da casa in bicicletta per portarle un libro che ha dimenticato. Con che velocità minima deve muoversi la mamma per raggiungere Maria prima che arrivi a scuola? [3,0 m/s]
104 Anna e Barbara si muovono in bicicletta su una strada rettilinea nello stesso verso (che scegliamo essere quello positivo). Barbara ha una velocità di 7,0 m/s. All’istante iniziale, Anna è davanti a Barbara a 100 m di distanza. Qual è la velocità di Anna, se Barbara la raggiunge dopo 50 s? Qual è la distanza tra Anna e Barbara all’istante t = 80 s? Risolvi il problema sia algebricamente sia usando un grafico. [5,0 m/s; 60 m]
105 Il grafico riproduce in azzurro il moto di una persona che cammina lungo un viale rettilineo. Individua in quali tratti il moto è uniforme e calcola la velocità nei corrispondenti intervalli di tempo. Individua poi in quale istante e a che distanza dal punto in cui è partito questa persona incontra un amico seduto su una panchina posta sul viale (tratto rosso).
Nel linguaggio comune “accelerare” vuol dire aumentare la velocità. In Fisica si parla di accelerazione anche quando la velocità diminuisce, come durante la frenata di un’automobile e, come vedremo nella prossima unità, quando la velocità cambia direzione, come quando un’automobile percorre una curva.
L’airbag è un dispositivo che, insieme alle cinture di sicurezza, protegge i passeggeri delle automobili dagli urti violenti in caso di incidenti stradali.
1 Qual è la grandezza che diminuisce bruscamente durante un urto?
2 Che cosa fa attivare l’airbag?
Consideriamo un’automobile su una strada diritta che riprende velocità dopo un semaforo e poco più avanti rallenta per far passare dei pedoni. La velocità rilevata dal tachimetro non è costante, ma varia nel tempo. Un moto come quello appena descritto, dove il valore della velocità cambia, è un moto vario.
Se fissiamo un asse di riferimento orientato verso destra, l’auto ha velocità positiva.
1. Dopo il semaforo, quando l’auto va più rapidamente perché riprende velocità, la velocità aumenta, passando da 6 m/s a 12 m/s. La variazione di velocità Δv è positiva e quindi dello stesso segno della velocità.
2. Quando vicino ai pedoni l’auto rallenta, il valore della velocità diminuisce perché la velocità passa da 12 m/s a 2 m/s; Δv è negativo e dunque ha segno opposto alla velocità.
Nella prossima unità studieremo che un moto si definisce vario quando il modulo della velocità cambia.
Ogni cambiamento di velocità è sempre associato a un’accelerazione, una grandezza che esprime la variazione di velocità in funzione del tempo.
L’accelerazione media di un corpo è il rapporto tra la variazione di velocità Δv e l’intervallo di tempo Δt in cui avviene tale variazione:
di velocità
tempo
IN ENGLISH
• Accelerazione media: average acceleration
• Dimensionalmente l’accelerazione è il rapporto tra la velocità e il tempo, che si misurano rispettivamente in metri al secondo e in secondi, quindi nel Sistema Internazionale l’unità di misura dell’accelerazione è il metro al secondo quadrato (m/s2).
• Il valore assoluto dell’accelerazione media ci dà un’idea della rapidità con cui sta cambiando la velocità: è piccolo quando la velocità cambia lentamente, è grande se la velocità cambia rapidamente.
• Come la velocità, anche l’accelerazione media è una grandezza vettoriale. Nel moto rettilineo la direzione è fissata (è quella del moto), pertanto possiamo considerare l’accelerazione come una grandezza scalare, il cui segno indica il verso dell’accelerazione vettoriale.
• Il segno dell’accelerazione media coincide sempre con il segno di Δv, perché Δt è sempre positivo.
Mentre i segni della posizione, dello spostamento e della velocità hanno un’interpretazione abbastanza semplice, il segno dell’accelerazione ha un significato non facile da capire e a volte controintuitivo. Confrontando il segno dell’accelerazione a (o il segno di Δv, che è lo stesso) con il segno della velocità v, possiamo dedurre che:
se la velocità e l’accelerazione hanno lo stesso segno il corpo va più rapidamente, se hanno segno opposto il corpo rallenta
Verifichiamo la proprietà nel caso dell’auto considerata in precedenza:
1. Quando l’auto va più rapidamente, l’accelerazione ha lo stesso segno della velocità (e quindi lo stesso verso): v > 0 e am > 0. Infatti:
am = 12 m/s - 6 m/s
3 s - 0 s = 2 m s 2
2. Quando l’auto rallenta, l’accelerazione ha segno opposto alla velocità (e quindi verso opposto): v > 0 e am < 0. Infatti:
am = 2 m/s - 12 m/s 10 s - 6 s = - 2,5 m s 2
Se orientassimo l’asse di riferimento verso sinistra, la velocità dell’auto sarebbe negativa. In questa situazione, la proprietà del segno dell’accelerazione va contro la nostra intuizione perché ora:
• l’auto va più in fretta se l’accelerazione è negativa e ha lo stesso segno della velocità. Infatti, dopo il semaforo, avremmo v < 0 e am < 0;
• l’auto rallenta se l’accelerazione è positiva (segno opposto alla velocità). Infatti, prima dei pedoni, avremmo v < 0 e am > 0.
Nella fase di atterraggio, una navicella spaziale dispiega il paracadute e passa da 340 km/h a 110 km/h in 30 s. La sua accelerazione media è:
Il segno dell’accelerazione è opposto a quello della velocità e, infatti, la navicella sta rallentando.
PROVA TU Calcola l’accelerazione media dell’auto dell’esempio scegliendo l’asse di riferimento verso sinistra (velocità negativa) e verifica che, quando l’auto va più in fretta, la velocità e l’accelerazione hanno lo stesso segno, mentre hanno segno opposto quando l’auto rallenta. [-2 m/s2; +2,5 m/s2]
La lingua può accelerare più di un’auto?
Lo scatto della lingua di un camaleonte che cattura una cavalletta arriva a ben 300 m/s
È un valore incredibilmente alto se lo si confronta con lo scatto di circa 2 m/s di un velocista e l’accelerazione di 10 m/s che ha un’auto sportiva quando parte. Vince quindi di gran lunga la lingua del camaleonte.
Anche per l’accelerazione si può introdurre il concetto di accelerazione istantanea.
L’accelerazione istantanea è l’accelerazione media calcolata in un intervallo di tempo molto breve, attorno a quell’istante.
L’accelerazione media è riferita a un intervallo di tempo, mentre l’accelerazione istantanea è riferita a un preciso istante di tempo. D’ora in poi, quando parliamo di accelerazione senza aggiungere puntualizzazioni, intendiamo parlare di accelerazione istantanea.
Come abbiamo già visto per la velocità, anche l’accelerazione può variare nel tempo e anche in questo caso possiamo ricavare informazioni sull’accelerazione stessa e sulle caratteristiche del moto in generale da un grafico: il grafico velocità-tempo. Supponiamo di conoscere in ogni istante la velocità di un trenino elettrico su una rotaia diritta. Se riportiamo la velocità sull’asse delle ordinate e il tempo sull’asse delle ascisse, otteniamo il grafico velocità-tempo o grafico v-t
Per esempio, analizziamo il grafico riportato in Figura 1 a pagina seguente.
• Consideriamo il valore della velocità: la velocità iniziale è v0 = +2 cm/s e rimane costante per 2 s, poi inizia ad aumentare fino a raggiungere il valore massimo di 7 cm/s a t = 6 s. Dopodiché la velocità comincia a diminuire.
• Consideriamo il verso: tra 0 e 9 s il treno si muove nel verso positivo perché la velocità è positiva, mentre tra 9 s e 10 s si muove nel verso negativo perché la velocità è negativa. Al tempo t = 9 s la velocità si annulla. In questo istante si ha un’inversione del moto perché la velocità cambia segno.
IN ENGLISH
• Accelerazione istantanea: instantaneous acceleration
• Grafico velocità-tempo: velocity-time graph
Occorre prestare attenzione alla grandezza riportata sull’asse delle ordinate per non confondere il grafico velocità-tempo (v-t) con il grafico posizionetempo (s-t)
v > 0: moto nel verso positivo
v < 0: moto nel verso negativo v cambia segno: inversione del moto
L’accelerazione media nei grafici velocità-tempo
Dal grafico velocità-tempo, si può ricavare il valore dell’accelerazione media in un qualunque intervallo. Per esempio, in Figura 2 tra gli istanti t1 = 3 s e t2 = 10 s, la velocità passa da v1 = 2,5 cm/s a v2 = 2,5 cm/s. L’accelerazione media in questo intervallo è negativa:
Sulla curva velocità-tempo disegniamo il segmento secante che ha per estremi i due punti corrispondenti agli istanti t1 e t2. La differenza tra le ordinate e la differenza tra le ascisse forniscono la variazione della velocità Δv e l’intervallo di tempo Δt. Il rapporto Δv/Δt rappresenta la pendenza del segmento.
In un grafico velocità-tempo, l’accelerazione media in un dato intervallo di tempo è rappresentata dalla pendenza della retta secante che passa per i punti della curva corrispondenti all’intervallo considerato.
L’accelerazione istantanea nei grafici velocità-tempo Analogamente a quanto visto per la velocità istantanea, possiamo considerare l’accelerazione istantanea in un determinato istante come l’accelerazione media in un intervallo di tempo Δt brevissimo, prossimo allo zero.
Gli estremi dell’intervallo si avvicinano e diventano un unico punto corrispondente all’istante considerato e la retta secante approssima la retta tangente alla curva in quel punto (Figura 3).
In un grafico velocità-tempo, l’accelerazione istantanea in un dato istante è rappresentata dalla pendenza della retta tangente al grafico in quell’istante.
L’accelerazione all’istante t = 3,0 s è data dalla pendenza della tangente al grafico nel punto corrispondente: a = (7,5 m/s)/9 s = 0,83 m/s
Dal grafico velocità-tempo si può ricavare anche lo spostamento compiuto dal corpo in un intervallo di tempo.
L’area sotto il grafico velocità-tempo in un dato intervallo di tempo fornisce lo spostamento nell’intervallo considerato.
1. Se consideriamo un corpo in moto rettilineo uniforme, il grafico velocità-tempo è una retta parallela all’asse delle ordinate, perché la velocità è costante. Per questo moto abbiamo visto che la relazione per calcolare lo spostamento in un intervallo di tempo Δt è: Δs = vΔt. Graficamente lo spostamento è uguale all’area del rettangolo che si trova al di sotto della retta che rappresenta la velocità in relazione al tempo e ha per base Δt
2. Analogamente, in un moto qualsiasi, lo spostamento in un intervallo di tempo è dato dall’area sottesa al grafico velocità-tempo, ossia dall’area delimitata dalla curva che rappresenta la velocità, dall’asse delle ascisse e da due rette verticali corrispondenti agli istanti iniziale e finale dell’intervallo. Per esempio, nel grafico v-t del trenino elettrico nell’intervallo t1 = 2 s e t2 = 8 s ci sono in totale 11 quadretti, 7 contenuti completamente e 8 contenuti parzialmente che contiamo a metà. Ogni rettangolo ha la base di 1 s e l’altezza di 2,5 cm/s e dunque ha l’“area” A = 2,5 cm. Quindi l’area totale è di 28 cm e rappresenta lo spostamento Δs.
Nota che dal grafico velocità-tempo si può ricavare lo spostamento, ma non la posizione.
L’“area” di cui parliamo non è la misura della superficie, perché i lati non esprimono delle lunghezze ma le grandezze riportate sugli assi cartesiani. La sua unità di misura, nel SI, è il metro, non il metro quadrato.
area sottesa al grafico: (7 + 8/2) quadretti spostamento: Δ s = 28 cm
Quando la velocità è negativa, il corpo si muove in verso opposto all’asse di riferimento e in un dato intervallo compie uno spostamento negativo. Il tratto corrispondente del grafico velocità-tempo è al di sotto dell’asse delle ascisse; in questo caso lo spostamento (negativo) è individuato dall’area del sottografico cambiata di segno. Nella figura, per esempio, nei primi 6 s lo spostamento è
Δs = 9 m mentre nei 4 s successivi, Δs = - 8 m.
Lo spostamento complessivo nei 10 s è di un metro nel verso dell’asse perché:
Δs = Δs + Δs = 9 m - 8 m = +1 m
106 Un’automobile raggiunge i 72 km/h in 10 s partendo “da ferma”. La sua accelerazione media in m/s2 è:
A 2 m/s2
B 3 m/s2
108 In un grafico velocità-tempo la pendenza della retta tangente al grafico in un certo punto rappresenta:
C 1,5 m/s2
D 2,5 m/s2
E 3,5 m/s2 (Scienze e Tecnologie agrarie, 2019/20)
107 Un corpo rallenta quando:
A si muove molto lentamente
B la sua accelerazione è negativa
C la sua velocità e la sua accelerazione sono entrambe negative
D la sua velocità e la sua accelerazione hanno segno opposto
110 TROVA L’ERRORE Se un corpo in 10 s rallenta da -2 m/s a -1 m/s, la sua accelerazione media è negativa.
111 CHI HA RAGIONE? Un nuotatore ha in un certo istante la velocità v1 = -1,5 m/s e successivamente la velocità v2 = 1,5 m/s.
Sara: “L’accelerazione media è diversa da zero perché è cambiato il verso della velocità.”
Beatrice: “L’accelerazione media è nulla perché all’inizio e alla fine il nuotatore non va né più rapidamente né più lentamente.”
112 STIMA Le riviste e i siti specializzati nel descrivere le prestazioni delle auto riportano il tempo impiegato a passare da 0 a 100 km/h. Trova il dato per tre modelli diversi e calcola il corrispondente valore dell’accelerazione media.
A la velocità istantanea
B la velocità media
C l’accelerazione istantanea
D l’accelerazione media
109 In un grafico velocità-tempo l’area sottesa al grafico rappresenta:
A la posizione
B la velocità media
C lo spostamento
D l’accelerazione media
[Una risposta A, due C e due D]
113 INTERPRETA In figura sono riportati i grafici posizione-tempo e velocità-tempo relativi al moto di tre oggetti.
Associa la lettera di ciascun grafico alla descrizione corrispondente.
Descrizione Grafico
L’oggetto rallenta, cambia verso e prosegue sempre più rapidamente in verso opposto.
L’oggetto si muove a velocità costante e poi accelera.
L’oggetto si muove velocemente con velocità costante e poi lentamente con velocità costante.
La variazione di velocità
114 Un corpo ha in un certo istante la velocità di -2,5 m/s. Successivamente, la sua velocità diminuisce di 0,7 m/s. Trova la velocità finale e stabilisci se rallenta o va più rapidamente.
[-3,2 m/s]
116 È maggiore l’accelerazione media di un motociclista che aumenta la sua velocità da 80 km/h a 100 km/h o quella di un ciclista che da fermo passa a 20 km/h nello stesso intervallo di tempo?
117 Un’auto telecomandata che è in moto in 3 s aumenta la sua velocità di 1,8 m/s e alla fine ha una velocità di 3,9 m/s. Calcola la sua velocità iniziale. Nell’intervallo di tempo considerato, l’auto è andata più rapidamente o ha rallentato?
[2,3 m/s; 0,3 m/s]
115 Un carrello che si muove su una rotaia ha la velocità di 1,0 m/s in un certo istante e, successivamente, di 1,3 m/s. Calcola la variazione di velocità. Ripeti il calcolo supponendo che la velocità iniziale sia di 1,0 m/s.
L’accelerazione media. L’accelerazione istantanea
[2,1 m/s; più rapidamente]
118 ESERCIZIO GUIDATO Una palla che parte da ferma e poi si muove a 5,3 m/s subisce un’accelerazione media di –2,4 m/s2 Calcola il tempo che impiega a fermarsi.
MODELLIZZIAMO LA SITUAZIONE
v1 = 5,3 m/s velocità ............. v2 = 0 velocità ............. (il corpo è fermo)
am = 2,4 m/s2 accelerazione media Δt = ? intervallo di tempo
RISOLVIAMO
Ricaviamo l’intervallo di tempo dalla definizione di accelerazione media:
119 PROVA TU
Un’auto sportiva ha un’accelerazione media alla partenza di 8,9 m/s2. Quanto tempo impiega a raggiungere i 100 km/h? [3,1 s]
120 Il 23 novembre 2014 il razzo Soyuz è partito da Bajkonur in Kazakistan diretto verso la Stazione spaziale internazionale. Samantha Cristoforetti, la prima donna italiana a volare nello spazio, era uno dei tre membri dell’equipaggio. Trascorsi 45 s dal lancio, la velocità del razzo era di 1640 km/h. Calcola l’accelerazione media. [10 m/s2]
121 A car speeds up from 4.0 m/s to 16 m/s in 5 s. Calculate the acceleration. [2.4 m/s2]
122 Una pallina da golf rotola su una collinetta con un’accelerazione media di 0,40 m/s2. Calcola il tempo necessario a diminuire la velocità di 5,0 m/s. [12,5 s]
123 Una ciclista, che inizialmente si muove alla velocità di 8,0 m/s, subisce un’accelerazione media di −1,5 m/s2 per 4,0 s. Calcola la velocità finale. [2,0 m/s]
124 Considera un disco da hockey che colpisce perpendicolarmente la sponda e rimbalza all’indietro. Prima dell’impatto la velocità è di 47 km/h, dopo 1,2 s il disco si muove alla velocità di 45 km/h. Calcola l’accelerazione media del disco. [-21 m/s2]
125 Un corpo subisce una variazione di velocità di 6,0 m/s, con un’accelerazione media di 2,0 m/s2, poi un’ulteriore variazione di 6,0 m/s, con un’accelerazione media di 4,0 m/s2. Calcola l’intervallo di tempo e l’accelerazione media su tutto il percorso. [4,5 s; 2,7 m/s2]
126 Un carrello, che si muove su una rotaia con una velocità di 21,6 km/h, subisce un’accelerazione media di -3,0 m/s2 per 3,0 s. Calcola la velocità finale del corpo. Nell’intervallo di tempo considerato, il corpo inverte il verso del suo moto? [-3,0 m/s; sì]
127 ESERCIZIO RISOLTO Partendo dal grafico posizione-tempo riportato in figura, costruisci il grafico velocità-tempo corrispondente. Calcola la variazione di velocità tra 1 s e 5 s.
Il moto è diviso in tre fasi. In ciascuna di queste i tratti sono rettilinei e dunque la velocità è costante, ma il valore della velocità è diverso (la pendenza dei tratti è diversa).
t1 = 1 s istante iniziale t2 = 5 s istante finale Δv = ? variazione di velocità
RISOLVIAMO
Nella prima fase (tra 0 e 4 s) la velocità è:
v = ∆s ∆t = 4,0 m - 0,8 m 4,0s = 0,80 m s
Analogamente, tra 4 s e 8 s la velocità è costante e uguale a:
v = ∆s ∆t = 6,0 m - 4,0 m 4,0 s = 0,50 m s
Nei secondi finali il corpo non cambia posizione e quindi ha velocità nulla.
Il grafico velocità-tempo è riportato nella figura a lato.
Tra 1 s e 5 s la variazione di velocità è:
Δv = v2 - v1 = 0,5 m/s - 0,8 m/s = -0,3 m/s
Il corpo ha rallentato e infatti la velocità è positiva e la variazione negativa.
OSSERVAZIONI
A rigore, questo grafico v-t non è realistico, perché la velocità non può saltare istantaneamente da un valore a un altro.
128 PROVA TU
Dal grafico velocità-tempo dell’esercizio precedente ricava lo spostamento tra 2 s e 6 s. Confronta poi il risultato con quello che si ricava dal grafico posizione-tempo sovrastante. [2,6 m]
129 Find the displacement of the object represented by the following velocity-time graph in the 20 s considered. [70 m]
b Determina lo spostamento al termine degli 8 s considerati.
c Deduci dal grafico la velocità dopo che sono trascorsi 3 s. [-0,5 m/s2; 20 m; 2,5 m/s]
05101520
130 Su un lungo viale rettilineo, un ciclista parte da fermo, per alcuni secondi aumenta la velocità e poi prosegue a velocità costante. La tabella riporta come varia nel tempo la velocità del ciclista.
t (s) 012345678
v (m/s) 01,42,84,25,67,07,07,07,0
a Costruisci il grafico velocità-tempo.
b Calcola l’accelerazione media nei primi 5 s.
c Determina lo spostamento nei primi 2 s e lo spostamento complessivo. [1,4 m/s2; 2,8 m, 38,5 m]
131 La figura mostra il grafico velocità-tempo di un carrello che percorre una traiettoria rettilinea.
a Calcola l’accelerazione media nei primi 4 s.
132 Nel grafico in figura individua quando il corpo si muove nel verso positivo, quando in verso opposto e quando inverte il verso del moto.
Calcola l’accelerazione media nei primi 7 s e tra 8 s e 15 s. [0; -0,57 m/s2]
Quando l’accelerazione è costante, un moto rettilineo si definisce uniformemente accelerato.
In questo tipo di moto l’accelerazione media del corpo, calcolata su un intervallo di tempo qualsiasi, è sempre la stessa ed è uguale all’accelerazione istantanea; la indichiamo semplicemente con il simbolo a = aist = am. Per calcolarla possiamo applicare la definizione di accelerazione media in un intervallo di tempo qualsiasi:
Visto che il rapporto al secondo membro è costante, possiamo affermare che: in un moto uniformemente accelerato le variazioni di velocità sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo. L’accelerazione a è la costante di proporzionalità tra le due grandezze.
Anche in questo caso, come abbiamo fatto nella Lezione 3 per il moto rettilineo uniforme, conviene considerare un intervallo di tempo compreso tra l’istante iniziale t = 0 e un generico istante t: possiamo quindi scrivere che Δt = t - 0 = t. Se indichiamo con v0 la velocità iniziale, cioè la velocità che ha il corpo all’istante 0, quando facciamo partire il cronometro, e con v la velocità all’istante t, la variazione di velocità è Δv = v - v0. Sostituendo nella (1), otteniamo:
Da qui si ottiene facilmente la relazione che lega la velocità al tempo:
EQUAZIONE DELLA VELOCITÀ
velocità al tempo t istante di tempo
velocità iniziale (all’istante t = 0)
v = v0 + at (2)
accelerazione (costante)
La relazione (1) è valida solo per il moto rettilineo uniformemente accelerato; negli altri casi dobbiamo scrivere a al posto di a
IN ENGLISH
• Moto rettilineo uniformemente accelerato: linear motion with constant acceleration
• Costante di proporzionalità: constant of proportionality
• Equazione della velocità: velocity equation Comprendi la legge
• La relazione scritta consente di conoscere la velocità del corpo in un qualunque istante di tempo t per l’intero tratto in cui il corpo stesso si muove di moto uniformemente accelerato.
• Tra la velocità e il tempo c’è una relazione lineare; se la velocità iniziale è v0 = 0, la relazione diventa una proporzionalità diretta: v = at
1. Nel moto rettilineo uniformemente accelerato, il grafico della velocità in relazione al tempo è quindi una retta
2. L’intersezione con l’asse delle ordinate indica la velocità iniziale v0. Se nell’istante iniziale il corpo si muove nello stesso verso dell’asse allora v0 è positiva (v0 > 0), se si muove in verso opposto, v0 < 0. Se parte da fermo e v0 = 0, la retta passa per l’origine.
3. Il coefficiente angolare della retta rappresenta l’accelerazione a Se l’accelerazione è positiva, la retta è inclinata verso l’alto; se invece a < 0, la retta è inclinata verso il basso.
IN ENGLISH
• Legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato: equation of motion with constant acceleration
Nella lezione precedente abbiamo visto che in un grafico velocità-tempo lo spostamento è uguale all’area delimitata dalla curva che descrive l’andamento della velocità. Se sul grafico del moto uniformemente accelerato consideriamo un intervallo di tempo tra l’istante iniziale (t = 0) e un generico istante t, lo spostamento è dato dall’area totale (quadretti arancioni e quadretti rossi) evidenziata in Figura 1:
La legge oraria del moto uniformemente accelerato è una relazione quadratica del tipo y = Ax + Bx + C che rappresenta l’equazione di una
Da questa relazione possiamo ricavare la posizione s in cui si trova il corpo all’istante t
posizione iniziale (all’istante t = 0)
istante di tempo
s = s0 + v0t + 1 2 at2 posizione all’istante t accelerazione (costante) velocità iniziale
Comprendi la legge
• Il termine v0t (area arancione del rettangolo) rappresenta lo spostamento Δs che avrebbe compiuto il corpo se si fosse mosso con velocità costante v0, seguendo quindi un moto rettilineo uniforme.
• Il termine 1 2 at 2 (area rossa del triangolo) rappresenta lo spostamento Δs che avrebbe compiuto il corpo se si fosse mosso con accelerazione a partendo da fermo
Se rappresentiamo il grafico posizione-tempo per un moto uniformemente accelerato otteniamo un arco di parabola.
1. La concavità è rivolta verso l’alto se l’accelerazione è positiva.
2. La concavità è rivolta verso il basso se l’accelerazione è negativa.
Quando è presente, il vertice della parabola corrisponde a un punto di inversione del moto, cioè al punto in cui la velocità cambia segno ed è istantaneamente nulla. L’intersezione con l’asse delle ordinate rappresenta la posizione iniziale s0
Applica la legge
Supponi che in un parco acquatico un ragazzo parta da fermo e scenda da uno scivolo ad acqua con un’accelerazione costante di 1,4 m/s2. Dopo 2,0 s che velocità ha e di quanto si è spostato?
Dal momento che la velocità iniziale è nulla, dopo 2,0 s la velocità del ragazzo è:
= 1,4
2,8
e lo spostamento è:
PROVA TU In quale istante il ragazzo ha una velocità di 1,7 m/s? Qual è lo spostamento in quell’istante? [1,2 s; 1,0 m]
In alcune situazioni è utile conoscere la relazione tra la posizione e la velocità: v2 = v0 2 + 2a(s - s0) (3)
Questa formula fornisce solo il modulo della velocità e non il suo segno (quindi il suo verso), perché le grandezze fisiche v e v0 sono elevate al quadrato. Talvolta il segno della velocità è evidente dal contesto, altre volte è necessario stabilirlo applicando l’equazione della velocità (1), in cui il verso di v e v0 è sempre esplicitato.
UN PASSO IN PIÙ
Per ottenere la relazione (3), ricaviamo t dall’equazione (1) della velocità:
v = v + at fi t = v - v a
Inseriamo l’espressione di t nella legge oraria (2):
Infine, svolgiamo i calcoli e ricaviamo la formula:
133 Nel moto rettilineo uniformemente accelerato:
a la velocità media non dipende dall’intervallo nel quale la calcoliamo V F
b l’accelerazione è costante V F
c l’accelerazione è sempre positiva V F
d la velocità è sempre direttamente proporzionale al tempo V F
e tra la velocità e il tempo c’è una relazione lineare V F
134 La velocità raggiunta dopo un tempo t in un moto accelerato, con accelerazione costante a e velocità iniziale nulla:
A è uguale a 1 2 at 2
B rimane nulla
C è direttamente proporzionale al tempo
D è uguale a 2at
E è inversamente proporzionale al tempo (CISIA, 2016/17)
[Due risposte V, tre F e una C]
135 CHI HA RAGIONE? Un ciclista frena e si ferma per far attraversare i pedoni.
Giada: “Il moto è uniformemente accelerato con accelerazione negativa perché il ciclista rallenta.”
Mattia: “Non sappiamo se l’accelerazione è costante e quindi non siamo certi che il moto sia uniformemente accelerato.”
136 INTERPRETA Il moto rappresentato in figura è di tipo rettilineo uniformemente accelerato. Descrivi le caratteristiche di questo moto specificando la posizione iniziale, i tratti in cui il moto è nel verso positivo, quelli in cui è nel verso negativo e l’istante in cui avviene l’inversione del moto. L’accelerazione è positiva o negativa?
si muove con un’accelerazione costante a = 1 m/s2, ma ha commesso un errore: puoi indicare quale?
138 INTERPRETA Federica è ferma a un semaforo con la sua automobile che ha una perdita di olio. Quando l’automobile riparte, le gocce di olio, che cadono a ritmo costante, lasciano sull’asfalto la traccia riprodotta in figura. Nell’immagine il semaforo, che non è rappresentato, si trova a destra o a sinistra?
137 TROVA L’ERRORE Uno studente ha disegnato i grafici posizione-tempo e velocità-tempo per un corpo che
Il moto rettilineo uniformemente accelerato
139 E SE... Un’automobilista frena e si ferma dopo 50 m. Come cambierebbe lo spazio di frenata se la velocità iniziale fosse doppia? Supponi che l’accelerazione sia costante e sia la stessa.
140 ESERCIZIO RISOLTO Un ghepardo che parte da fermo raggiunge la velocità di 58 km/h in 2,0 s. Supponi che il moto sia uniformemente accelerato e calcola l’accelerazione. Calcola la velocità in km/h che il ghepardo raggiunge in 3,0 s se mantiene la stessa accelerazione.
MODELLIZZIAMO LA SITUAZIONE
Seguiamo le indicazioni dello schema della Lezione 3.
1. Il moto è rettilineo uniformemente accelerato.
2. Fissiamo l’asse di riferimento orientato nel verso in cui si muove il ghepardo. Scegliamo come istante iniziale l’istante in cui il ghepardo parte.
v0 = 0
v1 = 58 km/h = 16,1 m/s
t1 = 2,0 s a = ?
t2 = 3,0 s v2 = ?
RISOLVIAMO
3. Usiamo l’equazione della velocità per ricavare l’accelerazione dalle grandezze note:
4. Poiché la velocità iniziale è nulla, si ha che:
La velocità dopo 3,0 s è:
Un pullman procede a 45 km/h quando comincia ad accelerare con un’accelerazione costante di 1,3 m/s2. Qual è la sua velocità dopo 2,5 s? [57 km/h]
142 Calcola l’accelerazione di un camion che varia la propria velocità da 14 m/s a 5 m/s in 4,3 s con un’accelerazione costante. [-2,1 m/s2]
143 A motor cyclist accelerates from 5.0 m/s to 20 m/s at 1.5 m/s2. How long does he take to speed up? [10 s]
144 Mentre percorre in motorino un viale diritto, Veronica frena per far passare dei pedoni, fermandosi dopo 4,3 s. Se l’accelerazione è stata di -2,85 m/s2, qual era la velocità (in km/h) appena prima della frenata? [44 km/h]
145 Una palla rotola su per un pendio con accelerazione a = -1,7 m/s2. Se la velocità iniziale è di 4,3 m/s, qual è la velocità dopo 2,0 s? In quale istante la palla si ferma e inverte il moto? [0,9 m/s; 2,5 s]
146 Il tachimetro di un’auto che viaggia su una strada diritta è stato ripreso con una videocamera. La tabella riporta la velocità rilevata in vari istanti di tempo.
Rappresenta il grafico velocità-tempo. Verifica che si tratta di un moto uniformemente accelerato e calcola l’accelerazione. Qual è la velocità dell’auto all’istante t = 2,40 s? In quale istante la sua velocità è di 20,0 m/s? Risolvi il problema algebricamente e graficamente. [1,50 m/s2; 13,6 m/s; 6,67 s]
147 La figura descrive il moto di un corpo che si muove su una traiettoria rettilinea. Indica in quali intervalli è un moto uniforme e calcola la sua velocità. Individua gli intervalli in cui il moto è uniformemente accelerato e determina l’accelerazione. Se nell’istante iniziale il corpo è nell’origine (s0 = 0), dove si trova dopo 1 s?
dopo 3 s? [-0,5 m; +1,5 m]
148 ESERCIZIO RISOLTO In una competizione universitaria un’auto elettrica ha raggiunto i 100 km/h in 1,8 s. Un’auto di Formula 1 alla partenza ha un’accelerazione di 10,0 m/s2. Se le due auto gareggiassero affiancate, quale delle due sarebbe in testa dopo 1,5 s? Con quale distacco? Considera entrambi i moti uniformemente accelerati.
MODELLIZZIAMO LA SITUAZIONE
Seguiamo il procedimento risolutivo proposto nella Lezione 3.
1. Entrambe le auto si muovono di moto rettilineo uniformemente accelerato.
2. Fissiamo l’origine del sistema di riferimento alla partenza, orientato nel senso del moto delle due auto. Facciamo partire il cronometro nel momento in cui avviene la partenza.
Auto elettrica
s0e = 0 m posizione iniziale
v0e = 0 velocità iniziale
t2 = 1,8 s istante
ve = 100 km/h = 27,8 m/s velocità al tempo t2
RISOLVIAMO
3. Consideriamo la legge della velocità:
4. Ricaviamo l’accelerazione dell’auto elettrica:
Dopo 1,5 s è in testa l’auto elettrica perché ha un’accelerazione maggiore dell’auto di Formula 1:
Calcoliamo la posizione delle due auto dopo 1,5 s:
Il distacco è:
149 PROVA TU
Auto di Formula 1
s0F1 = 0 m posizione iniziale
v0F1 = 0 velocità iniziale
aF1 = 10,0 m/s2 accelerazione
t1 = 1,5 s istante
d = ? distacco nell’istante t1
Un’automobile che sta viaggiando a 17 m/s accelera uniformemente per 3,5 s fino alla velocità di 25 m/s.
spostamento dell’auto in questo intervallo di tempo?
150 A bus travelling on a straigh road at 12 m/s accelerates uniformly to a speed of 21 m/s in 16 s. Calculate the total distance traveled by the bus. [260 m]
151 Un ciclista che viaggia a 38 km/h frena con accelerazione costante di -3,1 m/s2 fino a fermarsi. Calcola il tempo e lo spazio di frenata. [3,4 s, 18 m]
152 Un camion che sta viaggiando a 36 km/h, inizia ad accelerare con un’accelerazione di 0,30 m/s2. Calcola la velocità dopo 30 s e lo spostamento. [19 m/s, 440 m]
153 Una pallina parte dalla cima di un piano inclinato lungo 51 cm e rotola con un moto uniformemente accelerato descritto dalla legge oraria s = 1 2 at 2 dove
a = 2,6 m/s2 Qual è la velocità all’istante iniziale? In che posizione si trova al tempo t = 0,34 s? In quale istante arriva alla base del piano? [0; 0,15 m; 0,63 s]
154 La tabella si riferisce a un moto rettilineo uniformemente accelerato la cui legge oraria è: s = 1 2 at 2
Calcola l’accelerazione. Completa la tabella sul quaderno o con un foglio di calcolo e rappresenta in un grafico la posizione in relazione al tempo. [0,4 m/s2]
(s) 01234
(m) 1,8
zione costante di 1,3 m/s2. La moto raggiunge Ernesto dopo 2,4 s. Che distanza ha percorso la moto da quando è stata superata dal monopattino a quando la raggiunge? Qual è la velocità (costante) di Ernesto? [15 m; 6,3 m/s]
159 Una sfera in 2,0 s passa dalla velocità di 1,6 cm/s a 4,0 cm/s con accelerazione costante. Calcola lo spostamento in questo intervallo di tempo. [2,4 cm]
160 I dragster sono veicoli progettati per gare di accelerazione. Partendo da fermo, un dragster percorre 370 m in 4,9 s. Supponi che l’accelerazione sia costante e calcola la velocità finale espressa in km/h. [540 km/h]
155 Il grafico descrive il moto rettilineo uniformemente accelerato di un carrellino che al tempo t = 0 ha velocità nulla. Determina l’accelerazione e la velocità all’istante t = 2,3
[1,6 m/s2, 3,7 m/s]
161 Per il moto rappresentato in figura, trova la velocità iniziale e l’accelerazione. Qual è la velocità al tempo t = 7,5 s? Qual è lo spostamento tra l’istante iniziale e l’istante t = 7,5 s? Risolvi il problema algebricamente e graficamente. [1 m/s, 0,2 m/s2; 2,5 m/s; 13 m]
156 La legge oraria di un moto rettilineo uniformemente accelerato è s = s0 + 1 2 at 2 con s0 = 5,0 cm e a = 7,2 cm/s2 Determina le posizioni occupate negli istanti 0,5 s, 1 s, 1,5 s e 2 s e costruisci il grafico posizione-tempo. In quale istante il corpo è nella posizione s = 14 cm? [1,6 s]
157 Il grafico riporta la velocità in relazione al tempo di due ciclisti che partono dallo stesso punto lungo una strada diritta. Calcola la loro accelerazione e la distanza che li separa dopo 2,4 s. [2,1 m/s2,
162 A train starts from rest and moves with constant acceleration of 1.00 m/s2 for 30 s. The brakes are then applied, and the train comes to rest in one minute. Find the maximum speed attained by the train and the total distance travelled. [30.0 m/s; 1.35 km]
163 3 Una persona alla guida di un’auto attiva i freni 0,20 s dopo essersi accorta della presenza di un ostacolo (tempo di reazione). L’accelerazione durante la frenata è al massimo uguale a -6,3 m/s2. Se sta viaggiando a 90 km/h, qual è la minima distanza che percorre da quando vede l’ostacolo a quando si ferma? [55 m]
158 Ernesto sta viaggiando sul suo monopattino elettrico a velocità costante, quando supera una moto che ha una velocità di 4,7 m/s e accelera con un’accelera-
164 Alcuni studenti hanno riprodotto uno degli esperimenti di Galileo Galilei per lo studio del moto di un corpo lungo un piano inclinato. Si tratta di un piano inclinato con quattro campanelle poste a 10 cm, 40 cm, 90 cm e 160 cm dalla cima del piano. Una pal-
lina inizialmente ferma alla sommità scende lungo il piano con un’accelerazione di 3,2 m/s. In quali istanti senti il suono delle campanelle colpite dalla pallina? Verifica che l’intervallo di tempo tra un suono e il successivo è costante e calcola la velocità con cui la pallina colpisce l’ultima campanella. [0,25 s; 3,2 m/s]
165 Un ciclista procede su una strada diritta alla velocità di 9,0 m/s avvicinandosi a un’auto ferma; nell’istante in cui il ciclista la sorpassa (istante iniziale t = 0),
l’auto parte con un’accelerazione di 3,6 m/s2. In che istante l’auto raggiunge il ciclista e a che distanza dal punto del sorpasso si trova? [5,0 s, 45 m]
166 Disegna il grafico posizione-tempo di un corpo A che parte da fermo e si muove con accelerazione di 4 cm/s2 per 5 s e di un corpo B che parte 10 cm più avanti e si muove parallelamente con velocità costante di 5 cm/s. Determina graficamente l’istante in cui il corpo A raggiunge il corpo B. [3,8 s]
167 ESERCIZIO GUIDATO Un’auto in corsa frena ma non riesce a evitare l’impatto contro un ostacolo. Dall’esame dei danni riportati, la polizia stradale stabilisce che al momento dell’urto l’automobile aveva una velocità di 90 km/h. Sulla strada ci sono tracce di pneumatici che indicano una frenata lunga 50 m. Se l’accelerazione è di -7,0 m/s2, con quale velocità stava viaggiando l’auto prima di frenare? Quanto è durata la frenata?
MODELLIZZIAMO LA SITUAZIONE
Seguiamo il procedimento risolutivo suggerito nella Lezione 3.
1. Il moto è uniformemente accelerato.
2. Analizziamo l’intervallo di tempo della frenata. Orientiamo l’asse di riferimento nel verso in cui si muove l’automobile in modo che la sua velocità e il suo spostamento siano positivi. Visto che l’auto rallenta l’accelerazione ha segno opposto alla velocità, dunque è negativa.
Δs = 50 m spazio di frenata
s = -7,0 m/s2 accelerazione
v = 90 km/h = ....... m/s velocità al momento dell’urto
v0 = ? velocità iniziale
t = ? durata della frenata
RISOLVIAMO
3. Non conoscendo il tempo, per ricavare la velocità iniziale usiamo la relazione che lega la posizione e la velocità e che quindi contiene le variabili note: v
4. Dei due valori, quello positivo fornisce la soluzione al problema perché rispetto all’asse di riferimento scelto la velocità dell’automobile all’inizio della frenata è positiva. v
Calcoliamo il tempo dalla legge della velocità:
168 PROVA TU
Un aereo di linea, per decollare, deve raggiungere la velocità di 260 km/h. Che accelerazione costante deve avere se sulla pista di decollo può percorrere al massimo 1,0 km? Quanto dura la fase di decollo?
169 Nei laboratori della polizia scientifica un proiettile che viaggia a 270 m/s penetra in un blocco di materiale che simula il corpo umano. Calcola la lunghezza di penetrazione, sapendo che l’accelerazione è pari a -1,0 × 105 m/s2 [36 cm]
170 A car starting from rest accelerates uniformly at a rate of 3.1 m/s2. Find the car’s speed after it has traveled 120 m. [27 m/s]
171 Un treno che viaggia a 81 km/h su un tratto diritto accelera per 70 m con un’accelerazione costante di 1,7 m/s2; che velocità ha alla fine della fase di accelerazione? Di quanto è aumentata, in percentuale, la velocità? [27 m/s; 20%]
2,6
172 Durante l’atterraggio, un aereo tocca terra con una velocità di 230 km/h e percorre 1,5 km prima di fermarsi. Calcola l’accelerazione nell’ipotesi che il moto sia uniformemente accelerato. [-1,4 m/s2]
173 Laura e Claudia scendono lungo un pendio innevato con accelerazioni aL = 2,4 m/s2 e aC = 2,1 m/s2. All’istante t = 0, hanno velocità v0L = 0 e v0C = 0,60 m/s. Dopo 3,0 s ha maggior velocità Laura o Claudia? E dopo aver percorso 2,8 m? [7,2 m/s, 6,9 m/s; 3,7 m/s, 3,5 m/s]
174 Un’auto percorre un viale diritto alla velocità di 45 km/h quando la luce del semaforo posto 30 m più avanti diventa gialla. Con che accelerazione deve rallentare, per fermarsi dove c’è il semaforo? Quanto impiega a fermarsi? [-2,6 m/s2; 4,8 s]
Anche se un oggetto che cade è uno dei fenomeni che ci è più familiare, il moto di caduta non sempre viene interpretato in modo corretto.
Quali sono le caratteristiche di un corpo che influiscono sul suo moto di caduta? Secondo te è vero che i corpi più pesanti cadono più velocemente di quelli leggeri?
Per verificarlo, lascia cadere contemporaneamente dalla stessa altezza queste coppie di oggetti e annota quale dei due arriva prima o se arrivano contemporaneamente.
1 Due fogli uguali, uno appallottolato, l’altro disteso.
2 Un foglio e un libro con la copertina rigida. Che cosa cambia se appoggi il foglio sopra il libro e lo lasci cadere insieme al libro?
3 Il tappo di una penna e un astuccio pieno di penne.
Alla luce di queste osservazioni, è corretto dire che i corpi più pesanti cadono più velocemente?
Gli oggetti che si trovano sulla superficie della Terra cadono perché risentono della forza peso che li attrae verso il centro della Terra. La caduta di oggetti leggeri, come le foglie, le piume o i fiocchi di neve, è ostacolata significativamente dalla presenza dell’aria. Si tratta di moti complessi in cui sono coinvolti fenomeni fisici che non abbiamo ancora affrontato.
Se non specificato diversamente, assumeremo che nella caduta la resistenza dell’aria sia trascurabile.
IN ENGLISH
• Caduta libera: free fall
• Accelerazione di gravità: gravitational acceleration
In questa lezione ci limitiamo ad analizzare la situazione più semplice: la caduta di corpi, come i sassi o le monete, che hanno una densità alta e una forma tale da rendere minimo l’effetto della resistenza dell’aria. In questi casi si parla di caduta libera, cioè di un moto che si svolge sotto l’azione della forza peso (caduta) in cui l’effetto della resistenza dell’aria e di altre forze è trascurabile (libera).
La caduta libera è il moto di un corpo su cui agisce solo la forza peso.
La caduta libera si riferisce sia al moto rettilineo verticale degli oggetti che cadono dall’alto verso il basso o sono lanciati verso l’alto 1 sia ai corpi lanciati in altre direzioni (moto di caduta curvilineo) 2
In questa lezione analizzeremo la caduta libera lungo la verticale in prossimità della superficie terrestre, nella prossima unità la caduta con traiettoria curvilinea.
La fotografia multiflash mostra una mela che cade. Durante la caduta, la mela aumenta la propria velocità come si vede dal fatto che la distanza tra due posizioni successive aumenta progressivamente.
Accurate misure mostrano che in prossimità della superficie terrestre, se la resistenza dell’aria è trascurabile, il moto dei corpi in caduta libera è, con ottima approssimazione, uniformemente accelerato e che il valore dell’accelerazione è lo stesso per tutti i corpi indipendentemente dalla loro massa, forma e dimensione. Questa accelerazione è l’accelerazione di gravità g che abbiamo già incontrato nell’Unità 2.
L’accelerazione dei corpi in caduta libera è chiamata accelerazione di gravità ed è indicata con il simbolo g.
Nell’attività iniziale, il libro e il foglio appoggiato sopra il libro, il tappo della penna e l’astuccio cadono con la stessa accelerazione e arrivano a terra insieme perché la resistenza dell’aria è trascurabile. Il moto di questi oggetti è un moto di caduta libera. Numerosi esperimenti hanno dimostrato che nel vuoto, quando l’attrito dell’aria è assente, non solo le monete e le sfere metalliche, ma anche le piume e i ritagli di carta arrivano a terra nello stesso istante perché hanno la stessa accelerazione g
Il valore di g dipende dalla posizione in cui si trova il corpo e varia leggermente a seconda della località: è massimo ai poli, minimo all’equatore e diminuisce all’aumentare dell’altitudine sul livello del mare.
Per i nostri esperimenti, le variazioni di g sono molto piccole e possiamo trascurarle; useremo sempre il valore di 9,81 m/s2 che si ha a 45° di latitudine e al livello del mare. Sulla superficie della Luna, dove non c’è atmosfera e l’attrito dell’aria non è presente, tutti i corpi cadono con accelerazione costante, ma l’accelerazione di gravità sulla Luna è circa un sesto di quella sulla Terra: gL = 1,62 m/s2.
Nella tecnica multiflash si fotografa un corpo in movimento illuminandolo con una lampada stroboscopica che emette lampi a intervalli regolari.
Fu Galileo Galilei (1564-1642) il primo a capire che, nel vuoto dove non c’è l’attrito dell’aria, tutti i corpi cadono di moto uniformemente accelerato e che l’accelerazione non dipende dalla massa, ma è la stessa per tutti i corpi. Galileo però non realizzò mai l’esperimento di caduta in assenza di aria, poiché la pompa per il vuoto fu inventata solo dopo la sua morte.
Nel 1971 l’astronauta dell’Apollo 15 David Scott, mentre si trovava sul suolo lunare, lasciò cadere una piuma e un martello contemporaneamente dalla stessa altezza, e mostrò che toccavano il suolo lunare nello stesso istante. L’immagine, che raffigura l’esperimento di David Scott, è la riproduzione dell’opera d’arte Mister Galileo was correct dell’artista e storico dei voli spaziali Ed Hengeveld.
Con un esperimento spettacolare, nel 2014, il fisico inglese
Brian Cox verificò la legge di caduta libera nella camera a vuoto della stazione NASA in Ohio, la più grande al mondo (è alta quasi 40 m). Dopo che la camera fu svuotata dall’aria, una palla da bowling e alcune piume d’oca furono lasciate cadere contemporaneamente dalla stessa altezza. Come previsto dalle leggi fisiche, esse cadevano a terra contemporaneamente; la conferma delle leggi fu così accurata da sorprendere gli stessi scienziati. Se vuoi stupirti anche tu, cerca in rete il video di questi due famosi esperimenti.
Il simbolo g indica il modulo dell’accelerazione di gravità ed è sempre positivo: g = 9,81 m/s
Per questo, per indicare l’accelerazione negativa si deve scrivere a = -g
Per descrivere il moto verticale di caduta fissiamo un asse di riferimento verticale orientato verso l’alto con l’origine scelta in genere a livello del terreno. Indichiamo con y l’altezza del corpo, cioè la sua posizione verticale. La legge oraria e l’equazione della velocità sono quelle del moto uniformemente accelerato. L’accelerazione a = -g è negativa perché è rivolta verso il basso, nel verso opposto a quello dell’asse di riferimento.
altezza iniziale velocità iniziale altezza all’istante t
y = y 0 + v0t1 2 gt2 (1)
v = v0 - gt (2) velocità all’istante t accelerazione a = -g
Inoltre, come abbiamo visto per il moto rettilineo uniformemente accelerato, è utile ricordare anche la relazione che esprime la velocità in funzione della posizione:
v2 = v0 2 - 2g (y - y0) (3)
Comprendi la legge
• Se il corpo inizia la caduta da fermo, la sua velocità iniziale v0 è nulla. Spesso si usa l’espressione “un corpo è lasciato cadere” per indicare che il corpo è “lanciato” con velocità iniziale nulla.
• Se il corpo è spinto verso il basso la velocità iniziale è negativa 1 , se è lanciato verso l’alto la velocità iniziale è positiva 2 .
• Un corpo lanciato verso l’alto prima sale e poi scende con un’accelerazione che è sempre a = -g, sia durante la salita sia durante la discesa e quindi è sempre negativa. Durante la risalita il corpo rallenta perché l’accelerazione, che è negativa, ha il segno opposto alla velocità, che è positiva 3 . Durante la discesa il corpo va più rapidamente. Infatti, l’accelerazione ha lo stesso segno negativo della velocità 4 .
• Il corpo lanciato verso l’alto, nel punto più alto della sua traiettoria inverte il verso del moto e ha velocità nulla.
Consideriamo un tennista che per effettuare la battuta lancia verso l’alto la palla con velocità iniziale v0 = 5,0 m/s da un’altezza y0 = 1,3 m da terra e la colpisce con la racchetta all’istante t = 0,70 s.
Applicando la legge oraria (1) possiamo calcolare la posizione della pallina al momento dell’impatto:
Dall’equazione della velocità (2) determiniamo la velocità della palla immediatamente prima di essere colpita:
v = v0 gt = 5,0 m s 9,81 m s 2 0,70 s = 1,9 m s
Il segno negativo indica che in quell’istante la velocità ha verso opposto a quello dell’asse di riferimento e dunque la palla sta scendendo.
PROVA TU In quale istante la pallina raggiunge il punto più alto della traiettoria dove la velocità è nulla? A che altezza dal suolo si trova in quell’istante? [0,51 s; 2,6 m]
175 Si ha caduta libera quando un oggetto:
A cade verso terra
B è in prossimità della superficie terrestre
C si muove sotto l’effetto della sola forza peso
D è leggero
176 L’accelerazione di gravità:
A dipende dalla massa del corpo
B dipende dalla forma del corpo
C dipende dalla densità del corpo
D in un dato luogo è la stessa per tutti i corpi
177 Considera un asse di riferimento verticale orientato verso l’alto. Nella caduta libera, l’accelerazione:
A è sempre negativa
B è sempre positiva
179 SPERIMENTA Procurati alcuni oggetti di massa e forma differenti, come posate, tovaglioli, monete, banconote o mazzi di chiavi. Se li lasciassi cadere dalla stessa altezza e nello stesso istante, quali arriverebbero a terra per primi? Ci sono oggetti che puoi considerare in caduta libera e che, quindi, colpiscono il suolo contemporaneamente? Lasciali cadere e verifica se le tue previsioni sono corrette.
180 E SE... In quale punto della sua traiettoria una palla lanciata in verticale verso l’alto va più lentamente? E se fosse lanciata verso il basso?
181 INTERPRETA Uno studente rappresenta mediante un grafico il moto di un oggetto che cade libera-
tempo (s)
C è positiva nella fase di salita e negativa in discesa
D è negativa nella fase di salita e positiva in discesa
178 In una camera a vuoto vengono lasciati cadere, da una distanza di 1 metro dal suolo e nello stesso istante, due oggetti di volume e massa diversi. Si può affermare che:
A l’oggetto di volume minore tocca il suolo per primo
B l’oggetto di massa maggiore tocca il suolo per primo
C l’oggetto di massa minore tocca il suolo per primo
D l’oggetto di volume maggiore tocca il suolo per primo
E i due oggetti toccano il suolo contemporaneamente (Medicina Veterinaria, 2016/17)
[Una risposta A, una C, una D e una E]
mente nel vuoto, ma si dimentica di indicare quale grandezza è riportata sull’asse delle ordinate. Di quale grandezza si tratta? Dal grafico puoi ricavare informazioni sulla posizione e sulla velocità iniziale?
182 CHI HA RAGIONE? Un giocoliere lancia una pallina verso l’alto.
Umberto: “L’accelerazione è sempre negativa.”
Rebecca: “L’accelerazione è negativa quando la palla sale e rallenta ed è positiva quando la palla scende e va più rapidamente.”
183 In campo aerospaziale e automobilistico, l’accelerazione di gravità g è impiegata per esprimere l’accelerazione alla quale sono sottoposti i veicoli, gli astronauti e i piloti. Per esempio, nel resoconto del lancio di una missione spaziale si legge che l’equipaggio ha subito un’accelerazione uguale a 3,5 g. Esprimi l’accelerazione nelle unità del Sistema Internazionale. [34,3 m/s2]
184 Quando eseguono le manovre acrobatiche, i piloti degli aerei acrobatici sono sottoposti ad accelerazioni fino a 9 g. Per evitare i danni provocati da accelerazioni così elevate devono indossare speciali tute. Esprimi in unità del SI l’accelerazione di 9 g. [88 m/s2]
185 L’accelerazione gravitazionale su Marte è il 38% di quella sulla Terra. Calcola l’accelerazione nelle unità del SI. [3,7 m/s2]
186 ESERCIZIO RISOLTO Un vaso cade dal davanzale di una finestra al terzo piano a 9,8 m di altezza. Dopo quanto tempo tocca terra? Che velocità ha al momento dell’impatto con il suolo? Esprimi il risultato in km/h e in m/s.
MODELLIZZIAMO LA SITUAZIONE
1. Seguiamo lo schema risolutivo suggerito nella Lezione 3.
2. Il moto è uniformemente accelerato; il modulo dell’accelerazione è g Scegliamo l’origine a livello del suolo e facciamo partire il cronometro nel momento in cui inizia la caduta.
a = -g accelerazione
v0 = 0 velocità iniziale y0 = 9,8 m posizione iniziale y = 0 posizione finale t = ? tempo v = ? velocità finale
RISOLVIAMO
3. Usiamo la relazione (1) perché contiene i dati y0, y, v0, g e l’incognita t. Attenzione a non confondere la posizione finale, che è nulla, con la posizione iniziale:
4. Risolviamo l’equazione e sostituiamo i valori numerici:
Calcoliamo la velocità finale con l’equazione delle velocità (2):
v = - gt = - 9,81 m/s2 · 1,4 s = -14 m/s = -50,4 km/h
La velocità è negativa perché il corpo sta scendendo e quindi si muove in verso opposto rispetto a quello in cui è orientato l’asse di riferimento.
OSSERVAZIONI
Vediamo ora come si può risolvere l’esercizio scegliendo un diverso sistema di riferimento.
1. Come abbiamo già osservato, il moto è rettilineo uniformemente accelerato
2. Poniamo l’origine nel punto di partenza e orientiamo verso il basso l’asse verticale (asse y). L’istante t = 0 è fissato, come prima, alla partenza. I dati si scrivono in modo diverso: Accelerazione: a = +g (l’accelerazione è verso il basso, come l’asse di riferimento)
v0 = 0 velocità iniziale y = 9,8 m posizione finale v = ? velocità finale y0 = 0 posizione iniziale y = ? tempo
3. In questo sistema di riferimento, la legge oraria si scrive: y = y 0 + v0t + 1 2 gt 2
4. Il tempo è quindi: t = 2 y g = 2 9,8m 9,81 m s 2
= 1,4s
La velocità è ora positiva perché è nello stesso verso dell’asse di riferimento: v = v0 + gt = 14 m s
187 PROVA TU
In un parco dei divertimenti i visitatori entrano in una cabina che, partendo da ferma, è lasciata precipitare in caduta libera verticale per 18,0 m prima di rallentare fino a fermarsi. Quanto tempo dura la caduta libera? Che velocità si raggiunge, espressa in km/h?
188 Un cestista alto 1,90 m lancia una palla verso il basso con velocità iniziale di 2,8 m/s. Se la palla tocca terra dopo 0,25 s, da che altezza è partita? Nel testo c’è un dato inutile? [1,0 m; sì]
189 Una palla è lanciata verso l’alto con una velocità di 3,2 m/s. Stabilisci se, trascorsi 0,5 s dal lancio, la palla sta salendo o scendendo. [v = -1,7 m/s; sta scendendo]
190 Una goccia d’acqua si forma in una nube a 5,0 km dal suolo e inizia la sua caduta. Se non ci fosse l’attrito dell’aria, con quale velocità arriverebbe a terra? Esprimi il risultato in km/h e assumi che l’accelerazione sia costante e pari a g. [1,1 × 103 km/h]
191 Un sasso è lanciato in un pozzo con una velocità iniziale verso il basso di 6,0 m/s. Dopo quanto tempo la velocità è aumentata del 18% rispetto alla velocità iniziale? Quale distanza ha percorso il sasso? [0,82 s; 5,5 m]
192 ESERCIZIO RISOLTO Un mazzo di chiavi viene lanciato verso l’alto da un’altezza di 1,6 m con una velocità di 4,0 m/s. Qual è la massima altezza che raggiunge? Che velocità hanno le chiavi quando sono a 2,0 m da terra?
MODELLIZZIAMO LA SITUAZIONE
Seguiamo il procedimento risolutivo suggerito nella Lezione 3.
1. Il moto è una caduta libera, quindi è uniformemente accelerato con accelerazione di modulo g.
2. Fissiamo un asse orientato verso l’alto. Scegliamo l’origine al suolo e facciamo partire il cronometro nel momento in cui avviene la partenza.
a = -g accelerazione y0 = 1,6 m posizione iniziale v0 = +4,0 m/s velocità iniziale ymax = ? altezza massima y1 = 2,0 m altezza intermedia v1 = ? velocità a 2,0 m C’è anche un dato nascosto nel testo del problema. Alla sommità, il mazzo di chiavi inverte il moto e la sua velocità è nulla, quindi la velocità nel punto di massima altezza è vmax = 0.
RISOLVIAMO
y
3. Per trovare l’altezza massima usiamo la relazione (3) perché contiene i dati y0, vmax, v0, g e l’incognita ymax: v2 max = v2 0 - 2g(ymax - y0) ⇒ v2 0 = 2 g (ymax - y0)
4. Si ricava che: y max = v0 2 2 g + y 0 = (4,0 m/s)2 2 9,81 m/s 2 + 1,6 m =+ 2,4 m
Anche per trovare la velocità a 2,0 m usiamo la relazione tra velocità e posizione, considerando stavolta l’intervallo tra y0 e y1: v1 2 - v0 2 = 2(- g )( y1 - y 0 )
La velocità vale: v1 =± v0 2 - 2 g ( y1 - y 0 ) =± 16 m
OSSERVAZIONI
=± 2,9 m s
Il corpo passa due volte per la posizione y = 2,0 m: una prima volta nella fase di salita e poi nella discesa. Il modulo della velocità è lo stesso nei due casi, cambia solo il verso.
193 PROVA TU
Nel problema precedente, determina l’altezza massima con un metodo diverso: calcola in quale istante il corpo si trova alla massima altezza e la posizione occupata. Quale dei due metodi ti sembra più indicato?
194 A ball is thrown up at a speed of 4.5 m/s. Find the maximum height reached by the ball. [1.0 m]
195 Una pallavolista in schiacciata si alza di 1,20 m in direzione verticale. Qual è la velocità con cui si stacca da terra? Per quanto tempo resta in volo dall’inizio del salto a quando ricade a terra? [4,85 m/s; 0,490 s]
196 Un bicchiere si rompe se, cadendo, arriva a terra con una velocità superiore a 2,0 m/s. Qual è la massima altezza da cui lo possiamo far cadere senza romperlo?
[20 cm]
197 Un giocoliere lancia la palla verso l’alto con una velocità di 3,2 m/s. Qual è la velocità della palla quando
la riprende in mano alla stessa altezza da cui era partita? Quanto tempo è rimasta in volo la palla? [-3,2 m/s; 0,65 s]
198 Un calciatore colpisce la palla a 80 cm di altezza da terra indirizzandola verso l’alto con una velocità iniziale di 9,0 m/s. Che velocità ha la palla quando si trova a 2,3 m da terra? Dopo quanto tempo dal lancio si trova in quella posizione? [±7,2 m/s; 0,19 s, 1,7 s]
199 Dal bordo di un pozzo profondo 20 m vengono lanciati due sassi, uno verso l’alto, l’altro verso il basso. Per entrambi la velocità iniziale è di 2,8 m/s. Quale dei due sassi arriva in fondo con velocità maggiore? Calcola con quale velocità arrivano in fondo e quanto dura la caduta. [v1 = v2 = -20 m/s; t1 = 2,3 s; t2 = 1,8 s]
In questa esperienza misureremo l’accelerazione di una pallina che rotola lungo un piano inclinato, usando un software di videoanalisi, Tracker. Per le esperienze di questo corso abbiamo utilizzato la versione scaricabile più recente di Tracker, ma tutte le indicazioni riportate sono comunque valide anche per le altre versioni (sia scaricabili che online), anche se possono presentare qualche minima differenza nei nomi dei percorsi da seguire.
Che cosa ti serve?
• Una pallina e un piano inclinato (una tavola un po’ lunga inclinata o un tavolino alzato solo da un lato con due rialzi)
• Uno smartphone dotato di fotocamera
• Un righello
• L’applicativo Tracker Video Analysis and Modeling Tool (physlets.org/tracker/) nella versione per computer (https://www.compadre.org/osp/items/detail.cfm?ID=7365) o nella versione on-line.
1. Disponi il set per la ripresa del moto: posiziona il piano inclinato su uno sfondo di colore diverso e ben distinguibile da quello della pallina e inserisci il righello ben visibile in un punto in prossimità della traiettoria della pallina che non interferisca con il moto. Conoscere con precisione una lunghezza all’interno del video serve per la calibrazione del software.
2. Fai rotolare la pallina lungo il piano inclinato e riprendi il moto con lo smartphone.
3. Esporta il video dallo smartphone e importalo all’interno di Tracker (seguendo il percorso “File” → “Importa” → “Video”). Se necessario usa i filtri (che puoi trovare in “Video” → “Filtri”) per migliorare la qualità del video.
4. Seleziona solo i fotogrammi interessanti del video aprendo il menu “Video” → “Impostazioni” → “Clip”: a questo punto si apre una mascherina dove puoi selezionare i frame iniziali e finali del video da analizzare. Per aiutarti in questa fase, puoi anche spostare i cursori a forma di triangolo che si trovano in basso sotto al player del video.
5. Apri il menu “Asta di misura”. Misura con il nastro la lunghezza nota e scrivi il valore corrispondente nella casella “Lunghezza scalata”.
6. Seleziona l’icona ; trascina gli assi cartesiani e posizionali con l’asse delle x orientato lungo la direzione del piano inclinato.
7. Per rilevare la traccia del corpo in movimento (nel nostro caso la pallina) seleziona l’icona “Punto di massa”. Posiziona l’indicatore sulla pallina e premi shift + click (mirino quadrato); ripeti il posizionamento fotogramma per fotogramma.
A questo punto puoi notare che il moto è rettilineo perché, entro l’errore di posizionamento del mirino, la traiettoria corrisponde a una retta.
1. Seguendo il moto della pallina, Tracker raccoglie i dati di posizione e tempo e crea automaticamente dei grafici che mostrano “in diretta” l’andamento di alcune delle grandezze che stai misurando. Puoi personalizzare i grafici cliccando sull’etichetta degli assi 1 .
2. Imposta come separatore decimale la virgola o il punto, a seconda del separatore decimale usato dal Foglio di calcolo (dal menu “Modifica” → “Numeri” → “Formati”).
3. Esporta col comando “File” → “Esporta” → “File dati” i dati relativi al tempo t, alla posizione x e alla velocità v
4. Disegna il grafico con il Foglio di calcolo mettendo in ascissa il tempo e in ordinata la posizione. I punti inseriti nel grafico dovrebbero disegnare un arco di parabola.
5. Inserisci una linea di tendenza sopra i tuoi punti sperimentali, usando un polinomio di secondo grado; visualizza sul grafico l’equazione e il coefficiente R2 .
6. L’equazione oraria è del tipo x = x 0 + v0t + 1 2 at 2 e corrisponde a un moto uniformemente accelerato. Dall’equazione riportata sul foglio di calcolo puoi ricavare la posizione iniziale x0, la velocità iniziale v0 e l’accelerazione a che è costante.
• x0 =
• v0 = ............................ .
• a = ............................ (per il calcolo di a moltiplica per 2 il coefficiente di t2).
7. Controlla il coefficiente R2: tanto più il suo valore è vicino a 1, quanto più la relazione quadratica x = x 0 + v0t + 1 2 at 2 è rispettata.
Sperimenta In questo video studieremo il moto di un carrellino che scende lungo un piano inclinato.
Che cosa ti serve?
• Un piano inclinato
• Aste e morsetti
• Campanellini
• Un carrellino
Che cosa devi fare?
1. Con l’aiuto dei morsetti, fissa le aste lungo il piano inclinato a distanze proporzionali ai numeri dispari.
2. Fissa i campanellini alle aste, in modo tale che tutti i campanellini distino egualmente dal piano inclinato e possano essere urtati dal carrellino che farai scendere lungo il piano.
3. Lascia scendere il carrellino lungo il piano inclinato senza imprimergli alcuna velocità iniziale: per far ciò metti la mano davanti al carrello e poi toglila muovendola lungo la discesa, parallelamente al piano.
Che cosa succede?
Scopri che cosa succede nella scheda di laboratorio completa Il piano inclinato di Galileo che trovi online
I sistemi di rilevamento della velocità per i veicoli stradali sono dei dispositivi che si basano sulla relazione fondamentale tra velocità, spazio e tempo. I due sistemi più diffusi nel nostro Paese sono l’Autovelox e il Safety Tutor. Come risultato della misura effettuata, entrambi forniscono la velocità di un veicolo specifico, ma presentano una sostanziale differenza legata al loro funzionamento.
• L’Autovelox è un sistema portatile (o mobile) di rilevamento della velocità, realizzato con due fotocellule posizionate a una distanza nota (tipicamente 40 cm) che attivano e fermano un cronometro al passaggio del profilo del veicolo lungo la strada. Dividendo la distanza nota tra le fotocellule per il tempo intercorso tra attivazione e blocco del cronometro si ottiene la velocità “istantanea” del veicolo.
• Il sistema Safety Tutor è realizzato da una coppia di sensori disposti a una distanza nota, ma molto maggiore rispetto al primo caso (tipicamente tra i 10 km e i 25 km). La criticità è quella di abbinare le letture al veicolo: a questo scopo i portali del sistema Tutor sono dotati di un sistema di monitoraggio delle targhe che abbinano l’istante di passaggio del veicolo con la targa per poi accoppiare i tempi rilevati alle diverse postazioni di rilevamento per il calcolo della velocità media.
Per le loro caratteristiche, gli Autovelox risultano più efficaci all’interno dei centri cittadini e nelle tratte urbane come deterrente a una guida pericolosa, mentre il Safety Tutor è impiegato sulla rete autostradale.
Lo scopo di queste tecnologie non è tanto quello di sanzionare gli eccessi di velocità, ma anche (e soprattutto) quello di promuovere una guida nei limiti di sicurezza, perché la presenza di sistemi di rilevamento della velocità agisce da deterrente al superamento dei limiti, riducendo significativamente il numero di incidenti con esiti gravi o mortali.
In Italia, infatti, secondo i dati riportati dalla Polizia di Stato, nei tratti gestiti con sistemi Safety Tutor si registra una significativa diminuzione degli incidenti mortali.
GUARDA
Per capire nel dettaglio come funzionano questi sistemi, puoi guardare “Polizia Stradale in azione: Tutor e autovelox, miti e leggende da sfatare”.
• youtube.com/watch?v=0LSpbRSQrT0
• di Moto.it - 2015 - italiano - durata: 4ʹ 30ʹʹ
In una tratta controllata dal Safety Tutor, un veicolo compie un sorpasso di 1,5 km alla velocità di 150 km/h; nel tratto rimanente procede a 129 km/h. Se il limite di velocità è di 130 km/h e i portali sono posti a 12,5 km di distanza, il Safety Tutor rileva una velocità media superiore a quella ammessa? E se ci fosse un Autovelox nella zona del sorpasso?
Il controllo della velocità è uno strumento molto utile per la riduzione degli incidenti mortali, ma non è l’unico.
• Prendi spunto dalla lettura di questo articolo (europeandatajournalism.eu/ita/Notizie/Data-news/Gli-autovelox-le-automobili-vecchie-e-il-numero-di-incidenti-mortali) e cerca in rete le statistiche europee riguardanti la correlazione tra utilizzo dei sistemi di controllo della velocità e riduzione degli incidenti mortali e i possibili accorgimenti che consentono di ridurli.
• Valuta quali altri parametri di rischio possono incidere sul numero di incidenti mortali.
• Crea un’infografica che correli i diversi parametri che hai individuato riassumendo i risultati della tua ricerca.
Traiettoria
È la linea formata dai punti successivi occupati dal corpo in moto.
Velocità media
Moto rettilineo È un moto che avviene lungo una retta.
È il rapporto tra lo spostamento e l’intervallo di tempo impiegato:
Sistema di riferimento
Il moto è relativo perché dipende dal sistema di riferimento adottato.
Accelerazione media
È il rapporto tra la variazione di velocità e l’intervallo di tempo impiegato:
Velocità istantanea È la velocità media calcolata in un intervallo di tempo molto piccolo.
Moto rettilineo uniforme
È un moto che avviene lungo una retta a velocità costante.
Legge oraria: s = s0 + vt
Grafico posizione-tempo:
Accelerazione istantanea È l’accelerazione media calcolata in un intervallo di tempo molto piccolo.
Moto rettilineo uniformemente accelerato È un moto che avviene lungo una retta con accelerazione costante.
Legge oraria: s = s0 + v0 t + 1 2 at 2
Grafico posizione-tempo:
Equazione della velocità: v = v0 + at
Grafico velocità-tempo:
Grafico velocità-tempo:
Velocità e posizione: v 2 = v0 2 + 2as - s0 ( )
Caduta libera
È il moto di un corpo su cui agisce solo la forza peso.
Equazione oraria: y = y 0 + v0 t 1 2 gt 2
Equazione della velocità: v = v0 gt
Accelerazione di gravità: g = 9,81 m s2
Puoi studiare ed esercitarti sugli argomenti di questa unità anche con la playlist Moti in una dimensione disponibile su DEAFLIX: guarda i video con le spiegazioni e gli esercizi e mettiti alla prova con i test autocorrettivi.
1 Rispetto alla lunghezza del cammino percorso, lo spostamento:
A non è mai maggiore
B non è mai minore
C è sempre maggiore
D è sempre minore
2 In un grafico posizione-tempo un segmento verticale (perpendicolare all’asse dei tempi):
A indica che il corpo è fermo
B indica che il corpo ha una velocità positiva
C indica che il corpo ha una velocità negativa
D è impossibile, perché indica che il corpo nello stesso istante è in molte posizioni diverse
3 Nel moto rappresentato nel grafico, in quale, tra i seguenti intervalli di tempo, la velocità media è più alta?
7 In un grafico velocità-tempo, l’accelerazione media in un certo intervallo di tempo (t1; t2) è rappresentata da:
A la pendenza della retta tangente al grafico
B la pendenza della retta secante il grafico nei punti corrispondenti a t1 e t2
C l’area sottesa al grafico tra t1 e t2
D l’area sottesa al grafico tra 0 e t2
8 Un oggetto partendo dalla quiete, muovendosi con accelerazione costante, percorre nel primo secondo 5 m. Qual è la distanza percorsa nel successivo secondo?
A 10 m
B 40 m
C 15 m
D 5 m
E 30 m (Architettura, 2018/19)
B Tra 2 s e 5 s C Tra 5 s e 6 s D Tra 0 e 6 s
A Tra 0 e 2 s
4 La distanza tra due piani di un grattacielo è 3,0 m. Un ascensore parte dal 5° piano, sale al 9° piano e scende al 3° piano in 4,0 minuti. La sua rapidità media è:
A 7,5 m/s
B 0,13 m/s
C 0,04 m/s
D -0,025 m/s
5 Il vincitore di una gara di Ultratrail ha percorso i 40 km di salita a una velocità media di 8 km/h, i 30 km di discesa in media a 15 km/h e i 30 km di falsopiano a 10 km/h. Quale è stata la sua velocità media sull’intero percorso?
A 12 km/h
B 11,5 km/h
C 11 km/h
D 10 km/h
E 9,5 km/h
(Design del prodotto e della nautica, 2018/19)
6 Un cane da caccia addestrato può correre alla velocità di 18 m/s inseguendo una volpe che scappa alla velocità di 13 m/s. Se la volpe a un certo istante ha un vantaggio di 45 m sul cane, quanto tempo ha per infilarsi nella tana prima che il cane la raggiunga?
A 1,5 s B 5 s
C 9 s
D 25 s
(Olimpiadi della Fisica, 1° livello, 2009)
9 Un’automobile che a un certo istante viaggia alla velocità di 58 km/h accelera fino a una velocità di 72 km/h in 1,9 s. Quanto vale l’accelerazione media dell’automobile?
A 0,11 m/s2
B 0,22 m/s2
C 2,0 m/s2
D 4,9 m/s2
(Olimpiadi della Fisica, 1° livello, 2014)
10 Il grafico accelerazione-tempo di un moto rettilineo uniformemente accelerato è:
A una retta obliqua
B una retta orizzontale
C una retta coincidente con l’asse dei tempi
D un arco di parabola
11 Un’automobile che viaggia con velocità v0 frena e si arresta con accelerazione costante. A parità di accelerazione, se v0 raddoppia, lo spazio di frenata:
A non cambia
B dimezza
C raddoppia
D quadruplica
12 Un corpo viene lanciato verticalmente verso l’alto. Nel punto più alto della traiettoria:
A cambiano segno velocità e accelerazione
B cambia segno la velocità ma non l’accelerazione
C cambia segno l’accelerazione ma non la velocità
D non cambia segno né la velocità né l’accelerazione
13 Due oggetti hanno massa e volume diversi l’uno dall’altro. Lasciati cadere dalla stessa altezza, con velocità nulla e in assenza di atmosfera, arrivano al suolo contemporaneamente. Ciò avviene perché:
A la legge di caduta del corpo nel vuoto dipende solo dalla sua velocità iniziale
B il corpo a volume maggiore ha una massa minore
C i due corpi hanno lo stesso peso
D i due corpi hanno masse proporzionali ai volumi (Scienze Motorie, Sport e salute, 2015/16)
1 Un corpo viene lanciato verso l’alto da un’altezza di 5 m e percorre 3 m prima di invertire il moto e cadere a terra. Determina la posizione iniziale (lancio) e finale (arrivo a terra), lo spostamento e la lunghezza del cammino rispetto a un asse di riferimento:
a orientato verso l’alto con origine nel punto in cui tocca terra;
b orientato verso l’alto con l’origine nel punto di lancio. [5 m; 0; -5 m; 11 m; -5 m; 45 m]
2 La tabella (tratta dall’orario di Trenitalia) si riferisce al tragitto percorso da un treno Regionale Veloce.
5 Fulvia entra nell’acqua da una scaletta posta a 5 m dai blocchi di partenza e nuota a rana fino all’estremità più lontana della vasca; dopo la virata percorre a dorso l’intera vasca di ritorno. La corsia è lunga 25 m. Fissa un asse di riferimento con l’origine sui blocchi di partenza e rivolto verso l’altra estremità della vasca.
a Determina lo spostamento di Fulvia da quando entra in acqua a quando completa la vasca di ritorno. Calcola la lunghezza del cammino percorso.
b Sapendo che Fulvia impiega 28 s sia nel tratto a rana sia in quello a dorso, calcola la velocità media e la rapidità media sull’intero percorso.
[-5 m; 45 m; -0,18 m/s, 1,6 m/s]
6 The figure shows the s-t graph of a woman.
a When does she move forward and when backward?
b When does she stop?
c What is her total displacement? What distance does she travel?
d What is the average velocity and the average speed?
e When did she travel fastest? How can you tell it?
a Dove è fissata l’origine dell’asse di riferimento? In quale verso è orientato? Quando è fissata l’origine dei tempi?
b Qual è la lunghezza del cammino percorso dal treno tra le stazioni di Orte e Orvieto? Qual è la rapidità media tra Roma Termini e Orvieto?
[42 km; 93 km/h]
f Draw on your notebook or on a Spread sheet the velocity-time graph.[c. 20 m, 44 m; d. 0.67 m/s, 1.5 m/s]
[Più di 4 d 9 h]
3 SCIENZE Il forapaglie (Acrocephalus schoenobaenus) è un uccello di piccole dimensioni che sverna nelle paludi del Golfo di Guinea. In primavera attraversa le sabbie del Sahara e il Mediterraneo per raggiungere l’Europa, percorrendo circa 4000 km senza fermarsi. Se la sua rapidità media è di 38 km/h, quanto tempo deve volare consecutivamente?
7
SICUREZZA L’introduzione sulle autostrade del sistema Safety Tutor per il controllo elettronico della velocità ha portato a una riduzione del numero di incidenti. Per esempio, sulla rete di Strada dei Parchi (A24 Roma-Teramo e A25 Torano-Pescara) l’installazione del Safety Tutor ha prodotto una diminuzione del tasso di mortalità del 50%.
4 Considera i due esempi seguenti.
a Un’automobile percorre un tratto rettilineo di 400 m. Nella prima metà del percorso la sua velocità media è di 10 m/s, nella seconda metà è di 20 m/s. Qual è la velocità media su tutto il percorso? [13 m/s]
b Un’automobile si muove per un minuto. Nei primi 30 s la sua velocità media è 10 m/s, nel tempo restante è di 20 m/s. Qual è la velocità media su tutto il percorso? [15 m/s]
La tabella riporta la posizione di due postazioni del sistema Safety Tutor e i tempi di transito di un autoveicolo. Qual è stata la rapidità media del veicolo tra le due postazioni? In base a questi dati, puoi avere la certezza che l’automobile abbia sempre rispettato il limite di velocità di 130 km/h? [127 km/h; no]
PosizioneTempo di transito (h : min : s)
Tivoli (km 14,5) 15:03:20
Carsoli (km 49,2) 15:19:47
8 SPORT Alle Paralimpiadi di Tokyo 2020, le atlete Martina Caironi, Monica Contrafatto e Ambra Sabatini hanno realizzato una storica tripletta posizionandosi ai primi tre posti nei 100 m femminili categoria T63. Caironi ha corso in 14,46 s, Contrafatto con una velocità media di 24,44 km/h, Sabatini con una velocità media di 7,087 m/s. Qual è stato l’ordine di arrivo? E il tempo record del mondo della vincitrice? [14,11 s]
9 GEOLOGIA Durante un terremoto vengono emesse onde primarie dette P e onde secondarie dette S. La velocità delle onde P è di circa 5,5 km/s e quella delle S di 3,0 km/s. In una località le onde S sono avvertite 3 minuti dopo delle onde P. Quanto tempo ci hanno messo le onde P per raggiungere la località? A quale distanza si trova tale località dal luogo in cui è avvenuto il terremoto? [220 s; 1200 km]
10 Il 30 settembre 2017 a Barcellona, l’italiano Alex Zanardi è stato il primo paratleta a completare l’Iron Man in meno di 9 ore, stabilendo così il nuovo record mondiale. Il percorso prevede 3,86 km a nuoto, una prova di ciclismo di 180,26 km e una frazione di maratona pari a 42,195 km. Zanardi ha nuotato con una rapidità media di 0,9180 m/s. Per la prova di ciclismo ha usato una handbike concludendo il percorso in 4 h 54 min 21 s. Ha completato la maratona con una sedia a rotelle olimpica in 2 h 48 min 50 s. Quanto tempo ha impiegato complessivamente nelle tre frazioni di gara? Qual è stata la rapidità media sull’intero percorso? [8,8877 h; 25,46 km/h]
di 3,2 m/s. Se Samuele e Giulia camminano a 2,0 m/s, dopo quanto tempo si incontrano? Che distanza ha percorso il cane quando si incontrano? [30 s; 96 m]
13 3 Laura si allena sul lungomare di Pescara alternando tratti di corsa a tratti di marcia. Un sistema GPS che aveva con sé fornisce i dati mostrati in figura. Stabilisci in quali istanti Laura ha corso e in quali ha camminato. Qual è lo spazio percorso camminando? E quello percorso correndo? Determina, inoltre, la rapidità media nell’intero percorso. Presta attenzione alle unità di misura.
[900 m; 6 km; 2,7 m/s]
14 Ai Campionati Mondiali di Roma 2009 Federica Pellegrini ha vinto la medaglia d’oro nei 400 m stile libero stabilendo il record del mondo con il tempo di 3 min e 59,15 s. La gara si è svolta in una piscina olimpionica lunga 50 m. Nella tabella sono riportati i tempi registrati al termine di ogni vasca.
ℓ (m) t (min:s) ℓ (m) t (min:s)
500:28,452502:29,66
1000:58,663002:59,93
1501:28,973503:29,79
2001:59,424003:59,15
a Analizza il grafico posizione-tempo riportato in figura spiegando, in particolare, come è stato scelto l’asse di riferimento.
La tabella riporta i tempi registrati.
1 min 42,26 s500
3 min 25,33 s1000
11 SPORT Alle Olimpiadi di Tokyo 2020, Federica Cesarini e Valentina Rodini, vincendo la gara del doppio pesi leggeri, hanno conquistato la prima medaglia d’oro olimpica nella storia del canottaggio azzurro femminile.
5 min 7,48 s1500
6 min 47,54 s2000
a Esprimi i tempi in secondi e costruisci il grafico posizione-tempo.
b Verifica che il moto è con ottima approssimazione rettilineo uniforme, con velocità v = 4,9 m/s.
c Quanto tempo hanno impiegato le due atlete a percorrere i primi 250 m? [51 s]
12 Samuele e Giulia si trovano a 120 m di distanza quando iniziano a camminare l’uno verso l’altro. Il cane di Giulia corre avanti e indietro tra i due ragazzi alla velocità
b Verifica che tra i 50 m e i 300 m l’atleta ha nuotato a un ritmo regolare.
c Calcola la posizione di Federica Pellegrini a 20 s e a 40 s dopo la partenza. [35 m, 19 m]
d Calcola la velocità media e la rapidità media (in km/h) nell’intera gara. [0; 1,7 m/s]
15 Adele passeggia sulla riva del fiume per un tratto rettilineo. Nei primi 2 minuti si muove a velocità costante e percorre 240 m, nei successivi 5 minuti resta ferma a osservare la natura circostante e per altri 3 minuti si muove alla velocità di 1,5 m/s.
a Disegna il grafico posizione-tempo (con la posizione misurata in metri e il tempo in minuti).
b Determina la velocità (espressa in metri al secondo) di Adele nel primo intervallo di tempo e lo spostamento compiuto nel terzo intervallo. [2,0 m/s, 270 m]
c Marco, un amico di Adele, inizia la passeggiata dallo stesso punto in cui è partita Adele ma un minuto dopo di lei. Se procede a velocità costante di 1,0 m/s riesce a compiere uno spostamento maggiore di quello di Adele, sapendo che i due concludono le rispettive camminate nello stesso istante?
16 Il treno superveloce, che collega l’aeroporto di Shanghai alla città, da quando parte accelera per 2,0 minuti con accelerazione media di 0,81 m/s2. Calcola la velocità del treno al termine di questo intervallo di tempo. Esprimi il risultato in m/s e km/h. [97 m/s; 350 km/h]
viaggia a 50 km/h, un automobilista preme il freno perché vede un pedone che sta attraversando la strada a 15 m di distanza. Per un certo tipo di asfalto asciutto l’auto al massimo può avere un’accelerazione di -7,2 m/s2. L’auto si fermerà in tempo per evitare l’incidente? E se la velocità dell’auto fosse superiore al limite e pari a 60 km/h? In caso di pioggia è consigliabile guidare con prudenza e ridurre la velocità. Rispondi alle domande precedenti sapendo che in caso di asfalto bagnato l’accelerazione massima si riduce a -5,8 m/s2. [13 m; 19 m; 17 m; 24 m]
20 La figura mostra il grafico accelerazione-tempo di un oggetto che parte da fermo e si muove di moto rettilineo.
17 Giacomo percorre in auto un lungo rettilineo. All’istante iniziale ha una velocità di 16 m/s. Dopo un minuto la sua velocità è di 10 m/s.
a Disegna il grafico velocità-tempo supponendo che in questo intervallo di tempo sia una porzione di retta.
b Determina l’accelerazione media e lo spostamento nell’intervallo considerato. [-0,10 m/s , 780 m]
c Deduci dal grafico la velocità dopo che sono trascorsi 20 s dall’istante iniziale. [14 m/s]
18 In tabella sono riportate le velocità di una sfera che rotola su una guida inclinata. Costruisci il grafico velocità-tempo e verifica che si tratta di un moto rettilineo uniformemente accelerato. Determina l’accelerazione e la velocità iniziale. Calcola la velocità che ha la sfera quando il cronometro segna 1,7 s.
t (s) 00,51,01,52,0
v (m/s) –1,5–0,8–0,10,61,3
Qual è lo spostamento tra gli istanti t = 2,0 s e t = 3,0 s? [1,4 m/s , -1,5 m/s; 0,9 m/s, 2 m]
19 3 SICUREZZA Per garantire la sicurezza della circolazione, il codice della strada fissa a 50 km/h il limite di velocità nei centri abitati. Mentre
a Traccia il grafico velocità tempo.
b Qual è la distanza percorsa nel verso positivo?
c Qual è la distanza percorsa nel verso negativo?
d Qual è lo spostamento totale? [10,5 m; 12,5 m; -2,5 m]
21 Una moto supera alla velocità costante di 72 km/h un’auto della polizia che viaggia a 54 km/h. Se al momento del sorpasso l’auto della polizia inizia ad accelerare con accelerazione costante di 2,0 m/s2, che distanza percorre e quanto tempo impiega a raggiungere la moto? Risolvi algebricamente e graficamente disegnando i due moti su un grafico posizione-tempo per un intervallo di tempo di almeno 8 s.
[100 m; 5 s]
22 Una moto da corsa parte da ferma e raggiunge i 100 km/h in 4,8 s. Calcola l’accelerazione nelle unità del SI. Se usassi g per esprimere l’accelerazione, che valore otterresti? [a = 5,8 m/s ; a = 0,59 g]
23 Un corpo viene lanciato verticalmente con una velocità di modulo 2,0 m/s e impiega 0,64 s ad arrivare al suolo. Da quale altezza è stato lanciato, se la velocità iniziale era verso l’alto? E se era verso il basso?
[73 cm; 3,3 m]
24 SPERIMENTA Con le equazioni della caduta libera si può misurare il tempo di reazione di una persona. Martina tiene nell’estremità superiore una riga da disegno disposta verticalmente. Chiara posiziona il pollice e l’indice vicino all’estremità inferiore, in prossimità della tacca che indica lo zero. Quando Martina lascia la riga, Chiara la afferra in corrispondenza della tacca dei 15 cm. Applica la legge di caduta e deduci il tempo di reazione di Chiara.
Ripeti la misura con i tuoi compagni e stabilisci chi ha il minor tempo di reazione. [0,17 s]
27 Un corpo viene lanciato verticalmente verso il basso. Nel primo secondo di caduta percorre lo stesso spazio che avrebbe percorso in 2,00 s se fosse stato lasciato cadere da fermo. Qual è la velocità con cui è stato lanciato? [14,7 m/s]
28 Anna vuole colpire il soffitto della palestra con una palla lanciata verticalmente verso l’alto. Sapendo che il soffitto della palestra si trova a un’altezza di 6,50 m rispetto all’altezza iniziale della palla, qual è la minima velocità con cui deve lanciare la palla perché questa arrivi a toccare il soffitto? [11,3 m/s]
25 Una moneta è lanciata verso l’alto con una velocità di 3,5 m/s da un’altezza di 75 cm. Calcola, meglio con un foglio di calcolo, la posizione occupata agli istanti t = 0,20 s, 0,40 s, 0,60 s e 0,80 s. Disegna il grafico posizione-tempo. Determina graficamente l’altezza massima raggiunta, l’istante in cui la moneta arriva a terra, la durata della salita e della discesa.
[1,4 m, 0,9 s, sale per 0,4 s e scende per 0,5 s]
26 Un escursionista attraversa una forra su un ponte sospeso a 170 m di altezza quando gli cade di mano un fazzoletto. Dopo 6 s il fazzoletto ha già raggiunto il fondo della forra? (Suggerimento: calcola il tempo di caduta libera e considera che, in questo caso, la resistenza dell’aria non è trascurabile ma rallenta di molto la caduta del fazzoletto.) [5,9 s, no]
29 Per sfuggire a un incendio un uomo si lascia cadere dal primo piano di un palazzo su un telo da salto teso dai vigili del fuoco. Il telo è posto 3,5 m più in basso rispetto al punto in cui l’uomo si è lasciato cadere. Qual è la velocità con cui l’uomo giunge sul telo? Se l’uomo affonda nel telo per 95 cm, qual è l’accelerazione che subisce dopo l’impatto? Assumi un asse di riferimento orientato verso il basso. [8,3 m/s; -36 m/s ]
30 Una palla lanciata verso l’alto con una velocità di 5,80 m/s viene fotografata nel momento in cui parte e dopo 0,800 s. La seconda fotografia è stata scattata mentre la palla sta salendo o scendendo? Quali sono lo spostamento e la distanza percorsa dalla palla tra i due scatti?
31 Marco e Luca organizzano una gara di corsa tra due automobiline telecomandate. I grafici mostrano la velocità dei due veicoli in funzione del tempo.
a Descrivi le caratteristiche del moto dei due veicoli. Specifica le fasi nel caso dell’automobilina di Luca.
b Calcola le accelerazioni nelle fasi di moto uniformemente accelerato.
c Traccia i grafici posizione-tempo delle due automobiline (rispetto alla partenza) ogni 2 s. (Suggerimento: ricava gli spostamenti dalle aree sotto ai grafici.)
d Chi è in vantaggio dopo 5 s? Di quanto?
e In quale istante l’auto di Marco supera quella di Luca?
1 Nel grafico a fianco, se la grandezza riportata sull’asse delle ordinate è la posizione espressa in metri, è possibile ricavare il valore:
a della posizione iniziale?
b dell’istante in cui il corpo passa per l’origine e di quello in cui inverte il moto?
c dell’istante in cui il corpo ha velocità nulla e di quello in cui ha la massima velocità?
Come cambiano le tue risposte se la grandezza riportata sull’asse delle ordinate è la velocità espressa in m/s?
2 Un’auto transita dal casello di Lodi centro alla velocità di 126 km/h. Dopo che ha percorso 0,70 km si presenta improvvisamente un ostacolo. L’auto inizia a frenare con un’accelerazione costante di -5,0 m/s2 e riesce a evitare l’ostacolo. Supponi nullo il tempo di reazione e rispondi alle seguenti domande.
a Calcola il tempo necessario all’auto per percorrere i primi 0,70 km.
b Calcola il tempo necessario all’auto per fermarsi dal momento in cui inizia a frenare.
c Disegna il grafico velocità-tempo dal momento in cui l’auto transita dal casello di Lodi centro e utilizzalo per trovare qual è la minima distanza dall’auto a cui si deve trovare l’ostacolo dal momento in cui inizia la frenata.
3 Un giocoliere lancia una pallina verticalmente verso l’alto alla velocità di 6,25 m/s e poi la riprende alla stessa altezza dopo aver fatto una giravolta. Quanto è durata la giravolta?
4 Guido corre a una velocità costante di 4,0 m/s su una strada diritta e raggiunge Paolo che cammina alla velocità di 1,5 m/s. Nel momento in cui si incontrano Paolo inizia ad accelerare con un’accelerazione costante di 1,0 m/s2. Dopo quanto tempo Paolo incontra nuovamente Guido? A che distanza si trova dal punto del primo incontro?
5 Un turista lancia una moneta in un pozzo profondo 34,0 m con una velocità iniziale di 4,20 m/s verso il basso. Quanto impiega la moneta a raggiungere il fondo del pozzo? Quanto tempo passa dal lancio al momento in cui il turista sente il suono dell’entrata in acqua? (Velocità del suono in aria: 340 m/s.)
Nella tabella seguente sono riportati i punteggi in centesimi attribuiti agli esercizi di questa pagina (punteggio massimo = 100).
Quando si parla di animali che saltano è probabile che venga in mente il canguro: questo marsupiale ha zampe posteriori lunghe e potenti che gli consentono di muoversi con una velocità anche di 60 km/h spiccando salti che possono raggiungere i 9 metri di lunghezza.
L’animale che salta più in lungo in assoluto è il leopardo delle nevi, che vive nell’Asia centrale e arriva a fare salti lunghi 12 metri.
Il vero campione di salto in lungo, in proporzione, è però la pulce: compie salti lunghi più di 30 cm, pari a circa 200 volte la sua taglia. È come se un uomo alto 2 metri saltasse oltre 400 metri in lunghezza!
In questa unità studieremo il moto dei corpi nel piano e capiremo qual è il segreto per raggiungere la massima lunghezza nel salto.
Le lezioni di questa Unità
1 Posizione, spostamento e velocità
2 L’accelerazione
3 Il moto parabolico
4 Il moto circolare
Percorso digitale organizzato in playlist con:
Visione d’insieme
Lezione
Esercizio svolto
Mettiti alla prova
Sperimenta
Un’idea in più
Test di verifica
a pagina 417
5 Velocità e accelerazione nel moto circolare
6 Il moto armonico e il pendolo
7 La composizione dei moti
O O 20 10 y (m) x (m) 1020 s s s 1 O s s s 2
Un’imbarcazione che si muove sulla superficie di un lago seguendo una traiettoria curva è un esempio di moto nel piano. Per descrivere questo tipo di moto dobbiamo generalizzare i concetti di posizione, velocità e accelerazione introdotti nello studio del moto rettilineo.
Immaginiamo di trovarci in riva a un lago e di dover indicare a un amico la posizione di una barca.
1. Fissata una coppia di assi cartesiani con origine O nel punto in cui ci troviamo, possiamo individuare la posizione dell’imbarcazione in base alle sue coordinate. Nell’esempio in figura, diremo che la barca è nel punto di coordinate x = 20 m e y = 15 m.
2. In alternativa, possiamo usare un vettore posizione ! s che va dal punto O all’imbarcazione stessa. Con il braccio indichiamo al nostro amico in quale direzione guardare (direzione e verso del vettore posizione) e a quale distanza si trova l’imbarcazione in quella direzione (modulo del vettore posizione: s = 25 m).
Queste due modalità di definire la posizione nel piano sono equivalenti, perché le coordinate x e y del punto non sono altro che le componenti cartesiane scalari sx e sy del vettore posizione: x = sx = 20 m e y = sy = 15 m.
La posizione è una grandezza vettoriale, dunque è caratterizzata da un modulo, una direzione e un verso. Nel moto rettilineo la direzione era fissata, quindi potevamo descrivere la posizione con un numero relativo, usando il segno per individuare il verso. Nel moto in due dimensioni questo non è più possibile. Come vedremo, anche tutti gli altri concetti cinematici (spostamento, velocità e accelerazione) sono grandezze vettoriali
Supponiamo ora che la barca si muova occupando la posizione ! s1 al tempo t1 e successivamente la posizione s2 al tempo t2 (Figura 1): lo spostamento è il vettore che va dalla posizione iniziale a quella finale.
VETTORE SPOSTAMENTO
Nell’Unità 3 abbiamo già studiato alcune proprietà del vettore spostamento.
vettore spostamento
Fig. 1 O y (m) y ′ (m) x´ (m) x (m) O′ ∆s s s ′ s s ′
Comprendi la definizione
• Il vettore spostamento non fornisce informazioni né sulla traiettoria seguita, né sulla lunghezza del cammino percorso, perché dipende soltanto dalle posizioni iniziale e finale
! s1 e ! s2 .
• A differenza della posizione, lo spostamento è indipendente dalla scelta del sistema di riferimento (Figura 1): se spostiamo l’origine degli assi, ! s1 e ! s2 cambiano, ma ∆! s non cambia.
• Il modulo dello spostamento rappresenta la distanza “in linea d’aria” tra il punto di partenza e il punto di arrivo. Se il corpo torna nel punto di partenza, lo spostamento è nullo, perché la posizione iniziale coincide con la posizione finale.
Ricordiamo che, come abbiamo visto nell’Unità 3, la differenza tra due vettori si può effettuare con i seguenti due metodi.
• Si somma a un vettore l’opposto dell’altro: Δ ! s = ! s ! s = ! s + ! s () 1 .
• Si disegnano i due vettori con la coda in comune 2 e si traccia un vettore che va dalla punta del sottraendo s () a quella del minuendo ! s () 3
Per definire la velocità media di un corpo che si muove nel piano, prendiamo come esempio un’auto in curva e supponiamo che nell’intervallo di tempo Δt compia uno spostamento ∆! s .
La velocità media è il rapporto tra lo spostamento e l’intervallo di tempo in cui tale spostamento avviene:
• La velocità media è una grandezza vettoriale, perché è il prodotto del vettore ∆! s per lo scalare 1 ∆t .
• La velocità media ha sempre la stessa direzione dello spostamento, e anche lo stesso verso, perché Δt è sempre positivo.
• Il modulo della velocità media è dato dal modulo del vettore spostamento diviso per l’intervallo di tempo:
• Nel SI, il modulo della velocità si misura in m/s.
• La velocità media dipende dalle posizioni di partenza e di arrivo, non dal cammino percorso.
• Se il corpo ritorna al punto di partenza, la sua velocità media è nulla, perché lo spostamento è nullo.
Dalla definizione segue che le componenti della velocità media sono legate a quelle dello spostamento, come vediamo nell’esempio seguente.
IN ENGLISH
• Vettore spostamento: displacement vector
• Velocità media: average velocity
Per determinare la velocità istantanea, Δt deve essere abbastanza breve da poter assumere che in quell’intervallo di tempo la velocità non cambi.
Applica la definizione
Calcoliamo le componenti e il modulo della velocità di un’auto che in 5 s passa dalla posizione ! s1 = (80 m; 20 m) alla posizione ! s2 = (40 m; 50 m). Lo spostamento in questo intervallo di tempo è ∆! s = (-40 m; 30 m), da cui si ricava che:
Il modulo della velocità media è quindi:
PROVA TU In un sistema di assi che coincidono con due sponde di un tavolo da biliardo, una palla passa dal punto P (10 cm; 25 cm) al punto Q (72 cm; 117 cm) in 2,3 s. Determina le componenti cartesiane della velocità media e il suo modulo.
0,40 m/s), 0,48 m/s]
La velocità istantanea
Come per il moto rettilineo, anche per il moto nel piano, se consideriamo intervalli di tempo molto brevi otteniamo la velocità istantanea.
Il vettore velocità istantanea in un dato istante è la velocità media calcolata in un intervallo di tempo molto breve attorno a quell’istante:
D’ora in avanti, salvo diversa indicazione, con il termine “velocità” intenderemo la velocità istantanea.
La velocità istantanea ha una caratteristica molto importante: in ogni punto la sua direzione è determinata unicamente dalla traiettoria che il corpo sta seguendo. Supponiamo che una motocicletta all’istante t si trovi nel punto P. Se vogliamo determinare la sua velocità istantanea dobbiamo considerare la velocità media in un intervallo di tempo molto breve attorno a t.
1. Prendiamo in considerazione lo spostamento ∆s tra ! s1 e ! s2 compiuto in un intervallo Δt.
2. Scegliamo via via Δ t sempre più piccoli: gli estremi del vettore spostamento si avvicinano tra loro.
3. Quando Δt è piccolissimo, prossimo a zero, gli estremi dello spostamento ∆! s si avvicinano così tanto che quasi coincidono con il punto P e la sua direzione si avvicina sempre più a quella della retta tangente alla traiettoria nel punto P. Di conseguenza, anche la direzione della velocità media, al diminuire di Δt, tende a quella della tangente.
4. Il modulo della velocità istantanea indica invece la rapidità con cui si muove il corpo. Il vettore velocità istantanea ha quindi la direzione della retta tangente alla traiettoria nel punto P ed è rivolto nel verso del moto.
Il vettore velocità istantanea è tangente alla traiettoria nel punto in cui si trova il corpo in quell’istante.
Quando un corpo percorre una traiettoria curva, la direzione della sua velocità istantanea cambia continuamente. La direzione della velocità è costante solo nei tratti rettilinei. Il modulo della velocità istantanea non dipende dalla traiettoria, ma da come il corpo si muove su quella traiettoria.
La velocità istantanea intorno a noi
Considera un’auto che viaggia di notte con i fari accesi; il tachimetro indica il modulo della velocità istantanea mentre i raggi luminosi proiettati dai fari anteriori individuano la direzione e il verso della velocità istantanea. Se il tachimetro indica sempre lo stesso valore, di solito diciamo che l’auto viaggia “a velocità costante”; in realtà, se l’auto curva, resta costante solo il modulo della velocità, mentre la sua direzione cambia continuamente.
1 Vero o falso?
La velocità media:
a è il rapporto tra la posizione e l’intervallo di tempo V F
b è una grandezza vettoriale V F
c è parallela allo spostamento V F
d dipende dal cammino percorso V F
2 Vero o falso?
La velocità istantanea:
a è una grandezza scalare V F
b è tangente alla traiettoria nel punto occupato dal corpo V F
4 SPIEGA Supponi di conoscere le posizioni di una particella in due istanti e il tempo che questa particella impiega per andare dall’una all’altra posizione. Se non conosci la traiettoria che è stata percorsa, sei in grado di determinare la velocità media? Motiva la risposta.
5 CHI HA RAGIONE? In un dato intervallo di tempo, la velocità media di una formica è nulla.
Marta: “La formica non si è mossa perché lo spostamento è nullo.”
Angela: “È possibile che la formica si sia mossa e poi sia tornata nella posizione in cui si trovava alla partenza.”
c è uguale allo spostamento in un intervallo di tempo molto breve V F
d ha il verso coincidente con quello del moto V F
3 Individua l’affermazione corretta.
A Il vettore posizione non dipende dalla scelta dell’origine
B Il vettore posizione è la differenza tra la posizione iniziale e quella finale
C Il vettore spostamento va dall’origine al punto in cui è il corpo
D Il vettore spostamento non dipende dalla scelta dell’origine
[Una risposta D, quattro V e quattro F]
6 TROVA L’ERRORE Uno studente che va a scuola a piedi, percorre lo stesso tragitto all’andata e al ritorno; se impiega lo stesso tempo, la velocità media dell’andata è uguale a quella del ritorno.
7 E SE... La figura si riferisce al tragitto di una scolaresca che è partita da Ancona ed è arrivata a L’Aquila. Fissa l’origine in corrispondenza della città di Rieti e disegna i vettori che individuano la posizione di partenza, la posizione di arrivo e lo spostamento. Che cosa cambia se scegli Chieti come origine?
La posizione. Lo spostamento
8 Determina le coordinate del vettore che indica la posizione di Elia, Ugo e Lisa.
11 Durante una partita a scacchi, la regina si trova nella posizione ! s1 = (4,0 cm; 18 cm) e il giocatore la muove in una nuova posizione. Se lo spostamento è ∆ ! s = (4,0 cm; -4,0 cm), qual è la posizione finale? [(8,0 cm; 14 cm)]
9 Una moto d’acqua viaggia verso nord per 640 m e poi verso ovest per 320 m. Disegna i vettori spostamento e calcola il modulo dello spostamento totale. [720 m]
10 Una barca a vela viaggia verso nord per 1,2 km e poi verso est 700 m.
Disegna i vettori spostamento e calcola il modulo dello spostamento totale. [1,4 km]
12 Matteo esce di casa e corre lungo il percorso indicato in rosso finché non incontra Andrea. Disegna lo spostamento di Matteo e calcolane il modulo. Calcola la lunghezza del percorso. Se scegli l’origine degli assi di riferimento nel punto di incontro con Andrea, il vettore spostamento e la lunghezza del percorso cambiano?
[2,8 km; 14 km; no, no]
13 ESERCIZIO RISOLTO Un gruppo di amici parte da Cagliari alle 9:00 e arriva a Oristano alle 10:30. Determina le coordinate delle due città rispetto agli assi cartesiani in figura. Calcola le componenti della velocità media e il suo modulo.
MODELLIZZIAMO LA SITUAZIONE Cagliari città di partenza Oristano città di arrivo
9:00 orario di partenza 10:30 orario di arrivo
xCA= ? yCA = ? posizione di Cagliari
xOR = ? yOR = ? posizione di Oristano
vmx = ? vmy = ? vm = ? componenti e modulo della velocità media
RISOLVIAMO
Ricaviamo dal grafico le coordinate delle posizioni delle due città rispetto agli assi cartesiani:
Le componenti del vettore spostamento
∆! s = ! sOR! sCA sono quindi:
L’intervallo di tempo impiegato dal gruppo per compiere il percorso è:
Possiamo ora calcolare le componenti del vettore velocità media:
Il modulo della velocità media espresso in km/h è:
xCA = 57 km yCA = 10 km
xOR = 10 km yOR = 86 km
Δsx = xOR - xCA = (10 - 57) km = -47 km
Δsy = yOR - yCA = (86 - 10) km = 76 km
Δ
Esprimendo questo valore nelle unità del SI, otteniamo: vm = 60 1000m 3600s = 17m/s
OSSERVAZIONI
Vsta la difficoltà di lettura dei dati dal grafico, un’altra persona potrebbe ottenere valori leggermente diversi da questi.
14 PROVA TU
La figura mostra delle tracce sulla sabbia. Disegna i vettori posizione dei punti A, B e C. Disegna gli spostamenti da A a B e da B a C. Determina le componenti e il modulo della velocità media da A a B e da B a C se il tempo impiegato a fare un passo è pari a 0,38 s. [4,0 cm/s; 5,1 cm/s]
15 Un giocatore di pallacanestro in 2,0 s corre per 5,0 m parallelamente al lato lungo del campo, poi devia di 90° e percorre altri 2,0 m. Rappresenta graficamente la situazione e calcola il modulo della velocità media. [2,7 m/s]
16 Durante un allenamento in palestra, in 3,0 s Martina fa 12 passi lungo la linea laterale e 5 passi lungo la linea di fondo campo, impiegando 3,0 s in totale e camminando alla velocità media di 2,6 m/s su tutto il percorso. Calcola il modulo dello spostamento e la lunghezza di un passo. [7,8 m, 60 cm]
17 Un impiegato percorre un corridoio lungo 12 m in 8,0 s e poi sale con l’ascensore di 16 m in 12 s. Determina il modulo dello spostamento e della velocità media. [20 m, 1,0 m/s]
18 Un cavallo percorre una curva circolare che ha un raggio di 92 m. Nell’intervallo di tempo impiegato a completare un quarto di circonferenza, il modulo della velocità media è uguale a 12 m/s. Calcola la durata dell’intervallo di tempo e la rapidità media del cavallo. [11 s, 13 m/s]
20 La torre dell’orologio del Palazzo di Westminster è comunemente conosciuta con il nome di Big Ben. La lancetta dei minuti è lunga 4,3 m, la lancetta delle ore 2,7 m. Determina la velocità media della loro punta tra le 15:00 e le 21:00 e tra le 9:00 e le 12:00.
[2,5 · 10-4 m/s; 3,5 · 10-4 m/s; 0 m/s; 0 m/s]
21 Una carovana nel deserto si dirige verso un’oasi procedendo per 2 km verso nord. Raggiunta l’oasi, dopo una breve sosta, riparte e procede per 2 km verso sud-ovest in una direzione che forma un angolo di 30° con la direzione est-ovest. Fissa una scala e rappresenta i due spostamenti e lo spostamento totale. Se la carovana ha impiegato 1 h 30 min a completare il tragitto, qual è il modulo della velocità media?
[0,74 m/s]
19 Una stazione radar individua un aereo 70 km a nord della stazione stessa. Dopo 30 min l’aereo si trova 50 km a est della stazione. Rappresenta graficamente lo spostamento e la velocità media e calcolane il modulo.
[86 km, 48 m/s]
23 Un corpo passa dal punto A (1,4 m; 3,6 m) al punto B (4,9 m; 2,1 m) con una velocità media di 1,3 m/s.
Quanto tempo impiega? [2,9 s]
24 Un trenino che si muove su una pista circolare di raggio
60 cm parte dal punto O e compie mezzo giro, arrivando in A, dopo 6,0 s. Poi compie un quarto di giro, arrivando in B, in altri 4,0 s; infine completa il giro tornando in O in altri 5,0 s.
Determina il modulo delle velocità medie nei tre percorsi OA, AB e BO e il modulo della velocità media sull’intero giro. [0,20 m/s, 0,21 m/s, 0,17 m/s, 0 m/s]
22 Olivia va a fare una passeggiata camminando verso nord per 6,0 km a 4,0 km/h e poi verso ovest per 8,0 km a 5,0 km/h. Determina la velocità media della sua passeggiata. [4,5 km/h]
Come sappiamo, si ha accelerazione quando c’è una variazione di velocità. Supponiamo che un’automobile abbia una velocità ! v1 in un certo istante t1 e una velocità ! v2 in un istante successivo t2. Visto che nel moto in un piano la velocità è una grandezza vettoriale, la variazione di velocità è anch’essa una grandezza vettoriale, perché è la differenza tra due vettori:
Per un corpo che si muove nel piano l’accelerazione media è definita in modo analogo al caso del moto rettilineo.
L’accelerazione media di un corpo è il rapporto tra la variazione della velocità e l’intervallo di tempo in cui avviene: vettore accelerazione media variazione di velocità
Comprendi la definizione
• L’accelerazione media è una grandezza vettoriale perché è il prodotto del vettore
per lo scalare 1
• La direzione dell’accelerazione media è quella della variazione di velocità, ∆ ! v . Anche il verso è lo stesso, perché Δt è sempre positivo.
• Il modulo dell’accelerazione media è: ! am = 1 Δt | Δ ! v | = Δv Δt . Nel SI si misura in m/s2.
Applica la definizione
Un’automobile sta affrontando una curva a gomito. All’ingresso, la sua velocità è rivolta verso est e ha un modulo di 36 km/h = 10 m/s. Quando esce dalla curva, dopo 7,1 s, la sua velocità è diretta verso nord e il modulo è ancora 36 km/h = 10 m/s. Determina l’accelerazione media.
Rappresentiamo la situazione con un disegno schematico.
Poiché ! v1 e ! v2 sono perpendicolari e hanno lo stesso modulo, la variazione di velocità ha modulo:
ed è diretta verso nord-ovest.
L’accelerazione media ha modulo:
La sua direzione e il suo verso sono gli stessi della variazione di velocità ∆v
PROVA TU In un certo istante un’atleta corre su un rettilineo con una velocità di modulo 6,6 m/s. Dopo 30 s si trova sul rettilineo opposto e corre a 6,4 m/s. Qual è il modulo dell’accelerazione media in questo intervallo di tempo? [0,43 m/s2]
L’accelerazione istantanea è l’accelerazione media calcolata in un intervallo di tempo molto breve.
! aist = ∆ ! v ∆t con Δt molto piccolo
Il concetto di accelerazione nel moto sul piano ha delle caratteristiche nuove rispetto al concetto analogo nel moto rettilineo. Nel piano, infatti, la velocità è una grandezza vettoriale e può variare non solo (come accadeva nel moto rettilineo) quando varia il suo modulo, ma anche quando varia la sua direzione, cosa che accade su una traiettoria curva.
A differenza della direzione della velocità, quella dell’accelerazione non è fissata unicamente dalla traiettoria, ma dipende anche da come il corpo si muove su quella traiettoria. Si possono però ricavare interessanti informazioni scomponendo l’accelerazione istantanea lungo due direzioni: una parallela alla velocità (e quindi tangente alla traiettoria) e una perpendicolare alla velocità. Si trovano così due componenti dell’accelerazione, che prendono il nome di accelerazione tangenziale ! at 1 e accelerazione centripeta ! ac 2 . Queste due componenti hanno un importante significato fisico.
L’accelerazione tangenziale è dovuta alla variazione del modulo della velocità, cioè della rapidità.
• Se questa sta aumentando, l’accelerazione tangenziale ha lo stesso verso della velocità e quindi l’angolo tra velocità e accelerazione è acuto 3 .
• Se sta diminuendo (cioè se il corpo sta rallentando), l’accelerazione tangenziale ha verso opposto a quello della velocità e l’angolo tra velocità e accelerazione è ottuso.
• Se è costante, non c’è accelerazione tangenziale. L’accelerazione, se c’è, è perpendicolare alla velocità, perché ha solo la componente centripeta.
Quando vai in automobile, osserva la lancetta del tachimetro: quando questa è ferma, l’automobile non ha accelerazione tangenziale. Un moto in cui non c’è accelerazione tangenziale si dice uniforme.
L’accelerazione centripeta è dovuta al cambiamento della direzione della velocità. Come abbiamo già detto, la direzione della velocità è costante quando il corpo si muove su un tratto rettilineo, mentre cambia nelle curve. Ne segue che nei rettilinei non c’è accelerazione centripeta, nelle curve invece sì.
D’ora in avanti, quando parleremo di accelerazione senza ulteriori specificazioni ci riferiremo all’accelerazione istantanea.
“Centripeta” vuol dire “diretta verso il centro”. In un moto circolare, l’accelerazione centripeta è diretta verso il centro della circonferenza.
In sostanza, l’accelerazione centripeta è la novità che incontriamo nel moto curvilineo; l’accelerazione che abbiamo studiato nel moto rettilineo è quella tangenziale. Nella Lezione 5 dimostreremo che, in un moto circolare, il modulo dell’accelerazione centripeta è:
La formula (1) ci dice che il modulo dell’accelerazione centripeta è direttamente proporzionale al quadrato del modulo della velocità (e inversamente proporzionale al raggio). Perciò, raddoppiando la rapidità con cui affrontiamo una curva, l’accelerazione centripeta quadruplica! Poiché un’accelerazione troppo grande può farvi finire fuori strada, è importante affrontare le curve a velocità ridotta, soprattutto quelle “strette” (cioè con un piccolo raggio). Ricordatevene quando siete (o sarete) alla guida di un veicolo!
Da quanto abbiamo detto fin qui, segue che:
L’unico moto in cui non c’è accelerazione è il moto rettilineo uniforme.
Infatti, se il moto non è rettilineo, c’è senz’altro accelerazione centripeta; se non è uniforme, c’è senz’altro accelerazione tangenziale.
Il raggio di curvatura
Un piccolo tratto di una traiettoria curvilinea qualsiasi può sempre essere visto come un piccolo arco di circonferenza. Il raggio della circonferenza si chiama raggio di curvatura R della traiettoria in quel tratto 1
In una spirale, per esempio, il raggio di curvatura diminuisce man mano che ci si avvicina al centro 2
In automobile (o in bicicletta), il raggio di curvatura della traiettoria in ciascun punto è legato all’angolo di cui è ruotato il volante (o il manubrio): più il raggio di curvatura è piccolo, ossia più la curva è “stretta”, più è necessario ruotare il volante. In una traiettoria curva qualsiasi, il modulo dell’accelerazione centripeta in un punto è dato da a = v / R
25 L’accelerazione media:
a è sempre parallela al vettore spostamento V F
b quando il corpo curva, è diversa da zero V F
c esprime la variazione di velocità in rapporto al tempo V F
d è nulla solo nel moto rettilineo uniforme V F
26 In un’automobile possiamo produrre un’accelerazione agendo:
A solo sull’acceleratore
B solo sul freno
C solo sul volante
D su tutti e tre i dispositivi
29 INTERPRETA L’immagine rappresenta le posizioni occupate da un ciclista in due istanti successivi t1 e t2 Stabilisci quale dei tre vettori a lato rappresenta la velocità ! v1 nel punto 1., la velocità ! v2 nel punto 2. e l’accelerazione media ! am .
27 In un generico moto rettilineo:
A non può esserci accelerazione tangenziale
B non può esserci accelerazione centripeta
C c’è sicuramente accelerazione tangenziale
D c’è sicuramente accelerazione centripeta
28 In un generico moto curvilineo:
A non può esserci accelerazione tangenziale
B non può esserci accelerazione centripeta
C c’è sicuramente accelerazione tangenziale
D c’è sicuramente accelerazione centripeta
31 CHI HA RAGIONE? Un ciclista si sta allenando per una gara su un percorso pianeggiante.
Davide: “Il ciclista ha un’accelerazione se sta rallentando.”
Alessandro: “Il ciclista ha un’accelerazione se sta curvando.”
Considera che potrebbe avere ragione uno solo dei due, entrambi o nessuno dei due.
30 E SE… Se in un certo istante, l’angolo tra velocità e accelerazione è 60°, il modulo della velocità sta aumentando, sta diminuendo o è costante? E se l’angolo fosse di 120°?
L’accelerazione media
32 ESERCIZIO GUIDATO Un podista si allena nella seconda corsia di una pista di atletica. Nel punto A sul rettilineo ha una velocità di 3,2 m/s. Dopo 18 s si trova a metà curva (punto B) e si muove alla velocità di 2,8 m/s. Disegna il vettore accelerazione media e calcolane il modulo.
MODELLIZZIAMO LA SITUAZIONE
Disegniamo i vettori ! vA e ! vB , che sono tangenti alla traiettoria nel verso del moto.
vA = 3,2 m/s modulo della velocità iniziale
vB = 2,8 m/s modulo della velocità finale
Δt = 18 s intervallo di tempo
am = ? modulo dell’accelerazione media
RISOLVIAMO
Possiamo disegnare ∆ ! v = ! vB ! vA utilizzando il metodo punta-coda (riportato al centro del disegno). Il vettore accelerazione media è parallelo a ∆ ! v ed è diretto verso l’interno della curva.
Calcoliamo prima il modulo di ∆v . Osserviamo che i vettori ! vA e ! vB sono ............., quindi si può applicare il teorema di Pitagora:
Il modulo dell’accelerazione media di conseguenza risulta:
33 PROVA TU
34 Una palla da biliardo urta perpendicolarmente contro una sponda con una rapidità di 6,6 m/s e rimbalza indietro con una rapidità di 6,5 m/s. Rappresenta schematicamente la situazione. Qual è la variazione di velocità subita nell’urto?
[13 m/s nel verso della velocità finale]
35 Una palla urta contro il terreno con una velocità di modulo 8,2 m/s, che forma un angolo di 45° con la verticale, e rimbalza con una velocità di modulo 7,9 m/s, che forma un angolo di 45° con la verticale (dunque perpendicolare alla velocità iniziale). Qual è il modulo della variazione di velocità subita nel rimbalzo?
[11 m/s]
36 Un oggetto passa dal punto A al punto B in 8,0 s. I vettori velocità sono disegnati usando la scala indicata in figura. Disegna il vettore ∆ ! v = ! vB! vA . Calcola le componenti orizzontale e verticale dell’accelerazione media e il suo modulo. [(1,5 m/s2; 0,5 m/s2), 1,6 m/s2]
∆v = (-vA )2 + vB 2 = (..... m/s)2 + (..... m/s)2 = ..... m/s
m/s
38 Un corpo sta percorrendo una circonferenza con rapidità costante pari a 4,0 m/s. Calcola il modulo della variazione di velocità dopo:
a un sesto di giro
b un quarto di giro
c mezzo giro
d un giro
[a. 4,0 m/s; b. 5,7 m/s; c. 8,0 m/s; d. 0]
39 A car is traveling at a speed of 60 km/h due south. It makes a 90° left turn without changing the speed, taking 1.3 s. Determine the change in the velocity of the car and its acceleration. [24 m/s, 18 m/s2]
40 Una mongolfiera procede verso est a 60 km/h quando incontra un forte vento che le fa cambiare direzione. Cinque secondi dopo la mongolfiera viaggia verso sud. Se l’accelerazione media è di 4,0 m/s2, qual è il modulo della velocità con cui procede verso sud? [11 m/s]
41 Nei punti indicati, l’imbarcazione in figura ha una velocità di modulo vA = 2 km/h e vB = 3 km/h. Rappresenta i vettori velocità usando una scala in cui 1 cm corrisponde a 1 m/s. Determina graficamente la direzione e il verso dell’accelerazione media nell’intervallo considerato.
37 Una moto entra in un incrocio a 36 km/h e curva per evitare un cane che sta attraversando l’incrocio. La sterzata fa ruotare la moto di 90° e le conferisce una velocità di 27 km/h. Se il modulo dell’accelerazione media è pari a 9,6 m/s2, quanto è durata la sterzata? [1,3 s]
L’accelerazione istantanea e le sue componenti
42 In un certo istante, il modulo dell’accelerazione tangenziale è 2,3 m/s2 e quello dell’accelerazione centripeta è 2,6 m/s. Qual è, in quell’istante, il modulo dell’accelerazione?
[3,5 m/s2]
43 In curva, un’auto di Formula 1 può subire un’accelerazione anche di 6g (dove g è l’accelerazione di gravità). Se l’accelerazione ha questo modulo, e la curva viene affrontata con una rapidità costante di 300 km/h, qual è il raggio della curva? [120 m]
44 3 Un’automobile affronta una curva con un raggio di curvatura di 20 m. Sapendo che il veicolo sbanda se tenta di affrontare la curva con un’accelerazione maggiore di 7,0 m/s2, calcola la massima velocità in km/h con cui può percorrere la curva. [43 km/h]
45 Se, affrontando una certa curva, il modulo della velocità aumenta del 30%, di quanto aumenta, in percentuale, il modulo dell’accelerazione centripeta? [69%]
Il moto parabolico dei proiettili è un moto molto diffuso intorno a noi e lo possiamo riconoscere in vari fenomeni.
La foto mostra i getti d’acqua di una fontana (che si trova nel parco Nova Sofiyivka a Uman, in Ucraina). Le gocce d’acqua escono dalle cannelle con una velocità iniziale obliqua, e seguono una traiettoria curva.
1 Sai di che curva si tratta?
2 Conosci altre situazioni in cui un oggetto segue questo tipo di traiettoria?
Quando lanciamo un oggetto obliquamente, come fa un giocatore di pallacanestro quando tira o un calciatore quando colpisce il pallone, se l’attrito è trascurabile, la traiettoria che l’oggetto descrive è una curva nota in matematica con il nome di parabola; per questo motivo si parla di moto parabolico.
Quando il proiettile è in volo, se l’attrito dell’aria è trascurabile, l’unica forza che agisce su di esso è la forza peso; per questo si può parlare anche in questo caso di un moto di caduta libera. La differenza, rispetto al moto che abbiamo studiato nell’Unità 8, è che ora il corpo descrive una traiettoria curvilinea.
Per capire le caratteristiche di questo moto, è utile fare un confronto con la caduta libera unidimensionale. Supponiamo di far cadere due oggetti nello stesso istante; lasciamo cadere il primo da fermo, mentre al secondo imprimiamo una velocità iniziale orizzontale.
La foto stroboscopica ci aiuta ad analizzare il moto di questi due oggetti: la sfera rossa cade da ferma e descrive il moto rettilineo uniformemente accelerato che conosciamo già, quella bianca è stata lanciata orizzontalmente e descrive il moto che vogliamo studiare accelerato con accelerazione g.
• Analizziamo dapprima il moto verticale. In ogni istante le sfere sono alla stessa altezza, come puoi vedere con l’aiuto delle linee orizzontali che sono state tracciate sulla foto. Questo ci fa capire che il moto verticale delle due sfere è del tutto identico; la velocità orizzontale impressa alla sfera bianca al momento del lancio non ha quindi nessuna influenza sul moto verticale. Questo accade perché, per i due oggetti, la componente verticale della velocità iniziale è la stessa (nulla, in questo caso).
• Esaminiamo ora il moto orizzontale. Come puoi vedere con l’aiuto delle righe verticali tracciate sulla foto, il moto orizzontale della sfera bianca è uniforme: essa conserva la velocità orizzontale che le è stata impressa al momento del lancio. Dunque la caduta verticale non ha nessuna influenza sul moto orizzontale.
Possiamo concludere che il moto di caduta libera della sfera bianca è la composizione di due moti:
• un moto orizzontale uniforme, con velocità costante;
• un moto verticale uniformemente accelerato, con accelerazione di modulo g rivolta verso il basso.
Questi due moti sono del tutto indipendenti tra loro
Il moto di un proiettile si svolge in un piano verticale. Per studiarlo, scegliamo un sistema di assi cartesiani con l’asse x orizzontale e l’asse y verticale. Per fissare le idee, normalmente assumeremo che l’asse y sia orientato verso l’alto.
Supponiamo che un proiettile parta da un punto di coordinate (x0; y0) e che la sua velocità iniziale ! v0 formi un angolo α con il piano orizzontale; le sue componenti sono quindi: v0x = v0 cos α e v0y = v0 sin
v inclinata verso l’alto:
> 0
proiettile lanciato in orizzontale:
inclinata verso il basso:
Per quanto abbiamo osservato, le equazioni del moto lungo la direzione orizzontale x sono quelle di un moto rettilineo uniforme con velocità costante v0x, mentre lungo la direzione verticale y sono quelle di un moto uniformemente accelerato di caduta libera con velocità iniziale v0y e accelerazione verticale di modulo g. Poiché abbiamo orientato l’asse y verso l’alto e l’accelerazione è rivolta verso il basso, abbiamo a = -g.
EQUAZIONI DEL MOTO DI UN PROIETTILE
IN ENGLISH
• Moto di un proiettile: projectile motion
• Gittata: range
• Altezza massima:
maximum altitude
0 + v0 x t
vx = v0 x
Direzione verticale
y = y 0 + v0y t1 2 gt2
vy = v0y - gt
vy 2 = v0y 2 - 2g ( y - y 0 )
Comprendi le formule
• x e y sono le coordinate della posizione all’istante t, vx e v y sono le componenti della velocità sempre al tempo t
• Nella direzione orizzontale il moto è rettilineo uniforme e quindi, nel corso del moto, la componente orizzontale della velocità resta costante
• In verticale il moto è uniformemente accelerato. La direzione del vettore velocità, ! v , cambia continuamente, perché cambia la sua componente verticale: durante la salita v y si riduce 1 , nel punto più alto della traiettoria è uguale a zero e il vettore ! v è orizzontale 2 ; da quel momento in poi v y è negativa e la palla è nella sua fase di discesa 3 .
La velocità è sempre tangente alla traiettoria. L’accelerazione è costante in modulo, direzione e verso: il moto è uniformemente accelerato (ma non rettilineo).
Una palla viene lanciata con una velocità iniziale ! v0 di modulo 10 m/s inclinata di un angolo α = 60° verso l’alto. Calcoliamo posizione e velocità della palla nell’istante t = 1,0 s.
Le componenti di ! v0 sono:
v0x = 10 m/s · cos 60° = 5,0 m/s
v0y = 10 m/s · sin 60° = 8,7 m/s
Se fissiamo l’origine degli assi cartesiani nel punto da cui parte la palla, avremo x0 = 0 e y0 = 0. Con le equazioni del moto possiamo calcolare le coordinate del punto in cui si trova la palla nell’istante t = 1,0 s:
Il segno negativo indica che in quest’istante la palla è nella fase discendente.
PROVA TU Quali sono le coordinate del proiettile e le componenti della sua velocità nell’istante t = 0,50 s?
Una palla in volo verso il canestro o lo zampillo di una fontana sono esempi di moti di proiettili in caduta libera, esattamente come il tuffatore che si tuffa in figura. Dalle immagini si intuisce che la traiettoria potrebbe essere una parabola: per dimostrarlo matematicamente, fissiamo l’origine degli assi cartesiani nel punto da cui parte il corpo.
In questo caso la posizione al tempo t ha coordinate:
Se ricaviamo il tempo dalla prima equazione e sostituiamo nella seconda, otteniamo:
Il grafico della funzione quadratica y = Ax + Bx + C è una parabola con asse parallelo all’asse y
L’equazione trovata rappresenta una parabola: per questo il moto dei proiettili in due dimensioni è chiamato anche moto parabolico.
L’equazione è valida per i corpi puntiformi e per il baricentro di corpi estesi. Quindi, finché l’attrito dell’aria è trascurabile, il baricentro del tuffatore percorre una traiettoria parabolica.
Se C = 0 la parabola passa per l’origine degli assi. Nel nostro caso è:
Il moto parabolico è la forma più generale di moto uniformemente accelerato. Il moto rettilineo uniformemente accelerato, che abbiamo studiato nell’Unità 8, è un caso particolare che si verifica quando la velocità iniziale è nulla oppure ha la stessa direzione dell’accelerazione.
L’asse della parabola è parallelo all’accelerazione e il verso dell’accelerazione determina la concavità: nel moto dei proiettili, l’accelerazione è quella di gravità, la sua direzione è verticale ed è orientata verso il basso; di conseguenza, la traiettoria è una parabola con l’asse verticale e la concavità verso il basso.
Un caso particolare di moto parabolico è quello di oggetti che partono da terra e ricadono a terra, come una pallina da golf o una pulce che salta. Si chiama gittata la distanza orizzontale tra il punto di partenza e il punto di caduta. Indicandola con G, si può dimostrare che essa è data da:
G = 2 v0 x v0 y g = 2 v0 2 cos α sin α g
dove ! v0 è la velocità iniziale e α è la sua inclinazione sull’orizzontale.
• La (1) vale solo se il punto di partenza e di arrivo sono alla stessa quota.
• La prima espressione nella (1) mostra che la gittata dipende da v0x e v0y. Questo perché G è data dal prodotto tra la velocità orizzontale e il tempo di volo: G = vxtv; la velocità orizzontale è uguale a v0y, il tempo di volo dipende da v0y.
• La seconda espressione nella (1) mostra che G dipende da due fattori: il modulo (Figura 1) e l’inclinazione della velocità iniziale (Figura 2).
• A parità di v0, si ottiene la stessa gittata con angoli di partenza complementari (per esempio 20° e 70°).
• La gittata è massima per α = 45° e vale Gmax = v0 2 g .
Calcoliamo con la (1) la gittata di una pallina da golf lanciata con una velocità iniziale di modulo 13 m s e inclinazione di 30°.
PROVA TU Ripeti il calcolo per un angolo di 60° e verifica che la gittata è la stessa perché 30° e 60° sono complementari.
