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Playlist: I numeri naturali e le quattro operazioni

Playlist: Numeri decimali e operazioni

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Il sistema di numerazione decimale

Su e giù con la temperatura

Studiando scienze scoprirai che più velocemente si muovono le particelle di cui è fatto un corpo, più alta è la sua temperatura. Quando le particelle sono “ferme” il corpo raggiunge la temperatura più bassa concepibile, lo zero assoluto. Immagina la temperatura come una scala. Partendo dal gradino di zero gradi Celsius, che corrisponde al punto in cui l’acqua diventa ghiaccio, per scendere fino allo zero assoluto devi fare un numero decimale di gradini: 273,15. Se invece sali verso l’alto, i gradini possibili diventano molti di più. La temperatura può raggiungere infatti la classe dei milioni, come nel nucleo del Sole, oppure dei miliardi, misurati in laboratorio con gli acceleratori di particelle. Per effettuare qualsiasi misura è fondamentale tarare lo strumento, come puoi scoprire nell’attività di fine unità «La taratura del termometro» a pagina 106.

1 I numeri naturali

«Quanti amici hai?», oppure: «Quanti regali hai ricevuto?». Rispondere a queste domande significa indicare il numero degli elementi dell’insieme degli amici o dei regali ricevuti.

I numeri con cui è possibile rispondere a questo tipo di domande sono chiamati numeri naturali ed esprimono un’importante caratteristica di ogni insieme finito: il numero dei suoi elementi.

I numeri naturali sono i numeri che indicano quanti sono gli elementi di un insieme finito.

Per indicare il numero di elementi dell’insieme vuoto utilizziamo il numero 0, per indicare il numero di elementi di un insieme che ha un unico elemento il numero 1, per indicare il numero di elementi di un insieme costituito da due elementi il numero 2 e così via. Costruiamo in questo modo la successione dei numeri naturali.

L'insieme N

I termini della successione dei numeri naturali costituiscono a loro volta un insieme: l’insieme dei numeri naturali. Lo si indica con la lettera N, scritta in tondo e in grassetto perché si tratta di un importante insieme numerico. Non esiste un numero naturale «più grande» di tutti gli altri (ossia la successione dei numeri naturali «non ha fine») e i numeri seguono un ordine ben preciso. Possiamo quindi affermare:

L’insieme N dei numeri naturali è un insieme infinito e ordinato.

N = {0, 1 , 2, 3, ...}

1 è il precedente di 2. 3 è il successivo di 2.

I numeri naturali possono essere scritti in ordine, uno dopo l’altro, senza mai arrivare alla fine.

Se indichiamo un generico numero naturale con la lettera n, possiamo indicare genericamente il suo successivo con la scrittura n + 1 e, se il numero n non è lo 0, il suo precedente con la scrittura n – 1.

Rappresentazione su una semiretta orientata

I numeri naturali possono essere rappresentati a distanze uguali su una semiretta orientata la cui origine O corrisponda al numero 0.

1. Tracciamo la semiretta con origine nel punto O e orientata nel verso della freccia.

2. Individuiamo sulla semiretta una serie di punti, partendo dall’origine, posti alla stessa distanza uno dall’altro.

3. Partendo dallo 0 e procedendo verso destra facciamo corrispondere a ogni punto il numero naturale successivo.

I numeri cardinali e i numeri ordinali

I numeri che servono a indicare la quantità di elementi di un insieme sono chiamati numeri cardinali, ma possiamo usare i numeri anche per indicare la posizione, per esempio possiamo stabilire che in una classifica un’atleta è nella terza (3a) posizione o si qualifica al primo (1°) posto in una gara. In questo caso si parla di numeri ordinali.

Confrontare i numeri

Per confrontare due numeri e rappresentare la loro relazione d’ordine utilizziamo i simboli > (maggiore) o < (minore). Esistono anche i simboli ≥ (maggiore o uguale) e ≤ (minore o uguale). Per esempio:

Si legge « n è maggiore di 5 ». n può essere 6, 7, 8, 9, ...

Si legge « n è minore di 5 ». n può essere 0, 1, 2, 3 o 4

IMPARO APPLICANDO

Si legge « n è maggiore o uguale a 5 ». n può essere 5, 6, 7, 8, ...

Si legge «n è maggiore di 3 e minore o uguale a 5». n può essere 4 o 5

18 10 15 20

2. Scrivi tutti i numeri pari successivi di 12 e precedenti di 22. 14, 16, 18, 20

3. Con quale numero si indica la quantità di elementi dell’insieme vuoto? 0

4. Sotto ogni fotografia scrivi se il numero che vedi è ordinale oppure cardinale.

ordinale cardinale cardinale

5. Scrivi come si leggono le seguenti relazioni ed elenca i valori di n che la soddisfano (se sono infiniti usa i puntini):

n < 10 si legge: n è minore di 10  ed è soddisfatta per n = 0, 1,

n ≤ 10 si legge: n è minore o uguale a 10  ed è soddisfatta per n = 0,

n ≥ 3 si legge: n è maggiore o uguale a 3  ed è soddisfatta per n = 3, 4, 5, …

0 ≤ n < 6 si legge: n è maggiore o uguale a 0 e minore di 6  ed è soddisfatta per n = 0, 1,

6. Quale relazione matematica intendiamo dicendo «Verremo almeno in 6»?

1. Rappresenta sulla semiretta orientata i numeri naturali 7, 8, 11 e 18.

2 I sistemi di numerazione

Nel corso della storia della matematica sono stati inventati molti metodi per contare e per scrivere i numeri.

Ogni metodo utilizzato per rappresentare i numeri è detto sistema di numerazione

Nel 1200 il matematico Leonardo Pisano (detto Fibonacci) descrisse un metodo per scrivere i numeri appreso durante un soggiorno nei Paesi arabi.

Il sistema di numerazione decimale

Il sistema proposto da Pisano è il sistema di numerazione decimale, che si diffuse in fretta in tutta Europa. Tale sistema utilizza dieci simboli, chiamati cifre:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ogni numero è rappresentato da una successione di queste cifre. Consideriamo un numero di tre cifre, come 236: andando da destra verso sinistra, la prima cifra a destra (il 6) rappresenta il numero delle unità (unità del primo ordine), la cifra immediatamente alla sua sinistra (il 3) il numero delle decine (unità del secondo ordine), la terza cifra da destra (il 2) il numero delle centinaia (unità del terzo ordine). Dieci unità formano una decina e dieci decine formano un centinaio.

Il nostro sistema di numerazione è decimale perché 10 unità di un dato ordine formano una unità dell’ordine successivo. Il valore di ogni cifra dipende dalla posizione che assume nel numero; per questo motivo il sistema decimale è di tipo posizionale.

Se il numero ha più di tre cifre, come il numero 8 220 236, queste vengono divise da destra a tre a tre in classi (classe delle unità, classe delle migliaia, classe dei milioni…), ognuna con le sue unità, decine e centinaia. Avremo così unità di migliaia, decine di migliaia, centinaia di migliaia e unità di milioni, decine di milioni e centinaia di milioni ecc. I numeri vengono scritti separando le classi con uno spazio o un puntino:

8 220 236 8.220.236

8 2 2 0 2 3 6 unità decine centinaia unità di migliaia unità di milioni decine di migliaia centinaia di migliaia

classe delle unità classe delle migliaia classe dei milioni

Approccio LAB

Proporre in classe la scrittura polinomiale di un numero naturale utilizzando il file allegato all’esercizio 152.

centinaia unità decine

2 3 6

La scrittura polinomiale di un numero naturale

Nel sistema di numerazione decimale possiamo scrivere ogni numero naturale come una somma i cui addendi sono le cifre che compongono il numero, moltiplicate per il loro valore posizionale. Questa scrittura si chiama rappresentazione (o scrittura) polinomiale dei numeri naturali.

Il numero 4236 è formato dalla somma di...

4236 = 4 × 1000 + 2 × 100 + 3 × 10 + 6 × 1

4 unità di migliaia (ognuna vale 1000 unità),

9.

detta a Marco la seguente sottrazione tra due numeri, utilizzando la notazione polinomiale: «Sei migliaia, quattro centinaia e cinque unità meno tre centinaia e due unità».

Scrivi l’operazione esprimendo i due numeri in cifre. 6405 – 302

3 × 10 + 0 × 1 2198

3 decine (ognuna vale 10 unità),

2 centinaia (ognuna vale 100 unità), e 6 unità.

7. Quante decine ci vogliono per formare un migliaio?

8. Completa la tabella.

Anna

10. Scrivi in notazione polinomiale i seguenti numeri, seguendo l'esempio svolto.

3 I numeri decimali

Per descrivere il mondo che ci circonda i numeri naturali non sono sufficienti. Prova per esempio a misurare la lunghezza di una penna o di un qualsiasi altro oggetto: difficilmente riuscirai a esprimerla come un numero naturale di centimetri. Per esprimere queste quantità è necessario utilizzare i numeri decimali. È grazie ai numeri decimali che possiamo misurare le quantità comprese fra due numeri naturali.

Per scrivere i numeri decimali suddividiamo l’unità in 10 parti uguali, ottenendo così i decimi. Se sarà necessario, potremo dividere ogni decimo in dieci parti uguali ottenendo il centesimo. Il centesimo può essere diviso in dieci millesimi uguali, e così via ottenendo i decimillesimi, i centomillesimi, i milionesimi...

1. Le unità individuano sulla semiretta orientata punti posti a distanze uguali.

2. Dividiamo ogni segmento unitario in dieci parti uguali: individuiamo così i decimi.

3. Dividiamo ogni segmento decimale in dieci parti uguali: individuiamo così i centesimi.

4. Continuiamo a suddividere i segmentini ottenuti: otteniamo così i millesimi, i decimillesimi ecc.

14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 0 O 1 2 3 4 1,4 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,5 1 1,1 1,2 1,3 1,7 1,8 1,9 2 1,4 1,5 1,6

Approccio LAB Mostrare la corrispondenza fra numero decimale e punto sulla retta orientata con l’aiuto del file GeoGebra “Punto sulla semiretta”.

Il numero 3,58 è costituito dalla parte intera 3... ... e dalla parte decimale 58.

parte intera parte decimale

tre unità 3,58 3 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 3,5 3,51 3,52 3,53 3,54 3,55 3,56 3,57 3,58 3,59 3,6

La parte decimale è 5 decimi e 8 centesimi.

A differenza di quanto accade con i numeri naturali, è impossibile definire il successivo o il precedente di un numero decimale.

La scrittura polinomiale di un numero decimale

Come per la parte intera, anche la parte decimale di un numero è costituita da una successione di cifre il cui valore dipende dalla posizione. Il valore di ogni decimo sarà 0,1, ogni centesimo varrà 0,01, ogni millesimo 0,001 e così via. Possiamo scrivere un numero decimale come una somma i cui addendi sono le cifre del numero moltiplicate per il valore unitario della loro posizione (nello stesso modo in cui abbiamo scritto in forma polinomiale un numero naturale).

... 5 unità (la sua parte intera),

2

4

11. NELLA REALTÀ Osserva la fotografia e rispondi alle domande.

Qual è il prezzo più alto? 4,50 euro

Qual è il prezzo più basso? 1,20 euro

Qual è il prezzo che ha la parte decimale più alta?

2,80 euro

Qual è il prezzo che ha la parte decimale più bassa?

2,00 euro

12. Rappresenta sulla semiretta orientata i numeri 0,5; 0,75; 1,2.

13. Come si leggono i seguenti numeri? Scrivili in notazione polinomiale.

6,05 si legge 6 e 5 centesimi

42,73 si legge 42 e 73 centesimi

si legge 5 e 809 millesimi

12,054 si legge 12 e 54 millesimi

4 Il sistema di numerazione romano

Fra gli antichi sistemi di numerazione, quello romano è sopravvissuto ai secoli e viene ancora utilizzato per indicare date di avvenimenti remoti e per rappresentare numeri ordinali o le ore sui quadranti di orologi di stile classico.

I Romani rappresentavano i numeri con sette lettere dell’alfabeto, alle quali corrispondevano valori diversi:

I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000

A differenza del sistema di numerazione decimale, il sistema di numerazione romano è additivo: il valore di ogni simbolo non dipende dalla sua posizione e la quantità rappresentata si ottiene sommando o sottraendo i valori dei simboli che compongono il numero.

Le regole per scrivere correttamente i numeri romani sono le seguenti.

1. Un simbolo scritto a destra di un simbolo con valore maggiore o uguale si addiziona a esso.

2. I simboli I, X e C scritti alla sinistra di un simbolo con valore maggiore si sottraggono da esso nelle seguenti modalità:

– il simbolo I può essere sottratto solo da V e da X; – simbolo X può essere sottratto solo da L e da C;

– il simbolo C può essere sottratto solo da D e da M.

X V (10 + 5 = 15)

La V (che vale 5) posta dopo la X (10) indica che al simbolo di valore maggiore (X) deve essere sommato il simbolo con il valore minore (V).

IX (10 – 1 = 9)

I simboli I (1) e C (100) posti prima della X (10) e della D (500) devono essere sottratti.

Proporre a piccoli gruppi una ricerca sugli antichi sistemi di numerazione.

CD (500 – 100 = 400) IC

La scrittura IC è sbagliata: non è possibile sottrarre il simbolo I da C ottenendo 99. Per ottenere 99 dobbiamo sommare 90 (XC) e 9 (IX):

XCIX → (100 – 10) + (10 – 1) = 90 + 9 = 99.

3. I simboli I, X e C non possono essere ripetuti più di tre volte di seguito, mentre i simboli V, L e D non possono essere ripetuti né sottratti.

XXX (10 + 10 + 10 = 30)    DCC (500 + 100 + 100 = 700)

Il simbolo X (10) ripetuto tre volte significa tre volte 10 cioè 30.

Al valore del simbolo D (500) sommiamo due volte il valore del simbolo C.

Il simbolo V non può essere ripetuto (VV non è il modo corretto di scrivere 10) né sottratto.

Un tratto orizzontale posto su un simbolo o un gruppo di simboli indica che il valore dei simboli sottostanti è moltiplicato per 1000:

VV    V X

Approccio LAB

Nella seguente tabella sono riportati i numeri romani da 1 a 50 che si possono ottenere utilizzando le regole spiegate poc'anzi.

14. Spiega perché il numero romano VVX non esiste. Non esiste perché il simbolo V è ripetuto e sottratto da X; entrambe le cose sono vietate.

15. Traduci nel sistema di numerazione decimale i seguenti numeri romani.

16. Traduci nel sistema di numerazione romano i seguenti numeri.

17. NELLA REALTÀ A quale anno risale l’iscrizione mostrata nella fotografia?

1533

18. Come scrivevano i Romani «un milione»?

19. NELLA REALTÀ Nei titoli di coda del film Star Wars Episodio IV compare l’anno di produzione in numeri romani: MCMLXXVII. In quale anno è stato prodotto il film? 1977

20. Scrivi la data di oggi in numeri romani.

21. Il motore di ricerca Google è nato nel 1998. Ha quindi compiuto 18 anni nell'anno:

Il sistema di numerazione decimale

Numeri naturali

N = {0, 1 , 2, 3, ...}

1 è il precedente di 2.

3 è il successivo di 2.

2 3 4

I numeri che usiamo per contare

semiretta orientata

Indichiamo il maggiore e il minore Confrontare i numeri

n è maggiore di 5 n è minore di 5

Sistema di numerazione decimale

n è maggiore di 3 e minore o uguale a 5 n è maggiore o uguale a 5

Con 10 cifre scriviamo infiniti numeri

I dieci simboli che usiamo per scrivere i numeri:

8 2 2 0 2 3 6 unità decine centinaia unità di migliaia unità di milioni decine di migliaia centinaia di migliaia

classe delle unità classe delle migliaia classe dei milioni

n > 5      n < 5      n ≥ 5      3 < n ≤ 5

Studia ed esercitati con le playlist

Puoi studiare ed esercitarti sugli argomenti di questa unità anche con la playlist

I numeri naturali e le quattro operazioni disponibile su Deaflix: guarda i video con le spiegazioni e gli esercizi e mettiti alla prova con i test autocorrettivi!

I NUMERI NATURALI

1. I numeri naturali

2. Esercizio sulla rappresentazione dei numeri naturali

3. Sistema di numerazione decimale

4. Esercizio sulla scrittura di un numero in lettere

5. Esercizio sulla scrittura di un numero in cifre

6. Confronto tra numeri naturali

7. Esercizio sul confronto tra numeri naturali

8. Mettiti alla prova

9. Videomappa

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE DI NUMERI NATURALI

10. Addizione di numeri naturali

11. Esercizio sull’addizione di numeri naturali #1

12. Esercizio sull’addizione di numeri naturali #2

13. Sottrazione di numeri naturali

14. Esercizio sulla sottrazione di numeri naturali #1

15. Esercizio sulla sottrazione di numeri naturali #2

MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE DI NUMERI NATURALI

16. Moltiplicazione di numeri naturali

17. Proprietà della moltiplicazione

18. Esercizio sulla moltiplicazione di numeri naturali #1

19. Esercizio sulla moltiplicazione di numeri naturali #2

20. Divisione con resto di numeri naturali

21. Esercizio sulla divisione con resto di numeri naturali #1

22. Esercizio sulla divisione con resto di numeri naturali #2

23. Problema con numeri naturali

24. Mettiti alla prova

CONCLUSIONE

25. Videomappa

26. Verifica finale

Esercizi di RINFORZO con svolgimento a fine volume, da pag. 479

1 I numeri naturali CONOSCO I CONTENUTI

1. Spiega che cosa sono e a che cosa servono i numeri naturali.

2. Completa il testo inserendo i termini corretti. I numeri naturali indicano quanti sono gli elementi di un  insieme    . La successione dei numeri naturali forma l’insieme dei numeri naturali, che è un insieme  infinito   e  ordinato

3. Spiega come è possibile posizionare i numeri naturali su una semiretta.

4. Spiega perché l’insieme dei numeri naturali è un insieme infinito.

5. Spiega che cosa si intende per successivo di un numero naturale.

6. Indica se le seguenti affermazioni sono vere (V) o false (F).

1. Tutti i numeri naturali hanno il successivo V F

2. Tutti i numeri naturali hanno il precedente V F

3. I numeri naturali indicano la quantità di elementi di un insieme V F

4. Tra due numeri naturali consecutivi non esistono altri numeri naturali V F

7. Spiega il significato dell’affermazione: «l’insieme dei numeri naturali è un insieme ordinato».

8. Completa il testo inserendo i termini corretti. Nell'insieme N ogni numero naturale (escluso lo zero) ha un precedente e ogni numero naturale ha un  successivo . I numeri naturali possono essere posizionati su punti di una  semiretta    orientata a distanze  uguali       .

In VeriMat PLUS altri esercizi per le tue attività in classe

Esercizi interattivi

9. Quale delle seguenti caratteristiche dell’insieme N ci permette di confrontare due numeri naturali per stabilire qual è il maggiore?

A L’insieme dei numeri naturali è un insieme numerico.

B L’insieme dei numeri naturali è un insieme infinito.

C L’insieme dei numeri naturali è un insieme ordinato.

D L’insieme dei numeri naturali è un insieme matematico.

10. Spiega la differenza fra numeri cardinali e numeri ordinali.

11. Se la lettera n rappresenta un numero, quale delle seguenti alternative rappresenta il successivo di n ?

A n + 1 C 2 × n

B n – 1 D 1 – n

12. Se la lettera n rappresenta un numero diverso da 0, quale delle seguenti alternative rappresenta il precedente di n ?

A n + 1 C 2 × n

B n – 1 D 1 – n

13. Spiega il significato dei simboli <, ≤, >, ≥.

14. Scegli il corretto significato della relazione a < b.

A a è minore di b

B a è maggiore di b.

C a è minore o uguale a b.

D a è maggiore o uguale a b

15. Scegli il corretto significato della relazione a ≥ b

A a è minore di b.

B a è maggiore di b

C a è minore o uguale a b.

D a è maggiore o uguale a b.

APPLICO CIÒ CHE HO STUDIATO

precedente e successivo di un numero naturale

16.  RINFORZO  Completa la tabella. Inserisci il precedente e il successivo dei numeri presenti nella tabella.

Inserisci il precedente e il successivo dei numeri presenti o il numero mancante nelle tabelle.

rappresentazione su una semiretta orientata

Rappresenta i numeri dati sulla semiretta orientata.

32. Inseriamo all’interno dei quadrati i numeri corrispondenti alle posizioni indicate sulla semiretta orientata.

Come si può osservare facilmente, una unità corrisponde a due quadratini. Partendo dallo 0 e andando verso destra, o prendendo a riferimento gli altri punti presenti, si ha perciò il seguente completamento:

Inserisci all’interno dei quadrati i numeri naturali corrispondenti alle posizioni indicate sulla semiretta orientata.

Disegna sul quaderno opportune semirette orientate e rappresenta i seguenti numeri nella posizione corretta.

38. 5; 9; 12; 18

39. 4; 9; 18; 20

40. 16; 20; 25; 32

41. 4; 6; 9; 15

42. 11; 12; 14; 17; 20

43.  RINFORZO  50; 60; 80; 110

44. 250; 300; 400; 450

45. 100; 250; 300; 350

46. 500; 750; 1250; 1000

47. 150; 250; 300; 550

Rappresenta sulla semiretta orientata le temperature corrispondenti.

numeri cardinali e numeri ordinali

49.  RINFORZO  Associa le frasi ai numeri, scegliendo la giusta tipologia. Sono

48. La tabella riporta le temperature di fusione di alcuni metalli.

50.  RINFORZO  Associa le frasi ai numeri, scegliendo la giusta tipologia.

Sono rimasta sola. 1 cardinale

Sono arrivata prima.

Siamo due amiche del cuore.

Ho preso la medaglia d’argento.

1 ordinale

2 ordinale

2 cardinale [Svolgimento a pag. 479]

51.  IN DUE  Con una tua compagna o un tuo compagno inventa una frase che contenga in sequenza: un numero cardinale, due numeri ordinali e infine un altro numero cardinale.

Per esempio: Ho partecipato a tre gare: nella prima sono arrivato secondo per soli due punti di differenza.

Oppure: Ho acquistato due libri: il primo mi è piaciuto molto, il secondo invece ho smesso di leggerlo dopo venti pagine.

confronto tra numeri naturali

52. I numeri naturali minori di 9 sono:

A 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

C 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 B 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

53. I numeri naturali n che soddisfano la disuguaglianza n

20; 21; 22; ...

17; 18; 19; 20; ...

16 sono:

54.  NELLA REALTÀ  Collega le frasi del linguaggio comune alle corrispondenti espressioni matematiche.

55.  RINFORZO  Indica se ciascuna delle seguenti scritture è vera o falsa:

Completa con il segno corretto (<, > o =) le seguenti disuguaglianze o uguaglianze.

60. Elenchiamo i numeri naturali che possono essere scritti al posto della lettera n nei tre seguenti casi:

a. n < 12 b. n ≥ 5 c. 13 < n ≤ 21

a. I numeri naturali minori di 12 sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

b. I numeri maggiori o uguali a 5 sono infiniti: 5, 6, 7, 8, ...

c. In questo caso si tratta di una doppia disuguaglianza: dobbiamo cercare i numeri che sono contemporaneamente maggiori di 13 e minori o uguali a 21. I numeri cercati sono dunque: 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.

Elenca i numeri naturali che possono essere scritti al posto della lettera n in ciascuno dei seguenti casi.

63. Segniamo su una semiretta orientata i numeri che possono essere scritti al posto della lettera n nella doppia

17 <

19.

Segna sulla semiretta orientata i numeri che possono essere scritti al posto della lettera n nelle seguenti disuguaglianze doppie o semplici.

Osserva i punti colorati rappresentati su ciascuna semiretta e scrivi la doppia disuguaglianza che individua i numeri naturali n corrispondenti. (Sono possibili più risposte esatte.)

72.  NELLA REALTÀ  Il cartello stradale della foto richiede di non superare i 70 km all’ora. Questo significa che la velocità deve essere:

73.  NELLA REALTÀ  Per avere uno degli sconti comitiva sui biglietti di ingresso al parco viene richiesto che le persone siano almeno otto e non più di sedici. Se il numero delle persone è indicato con n, la notazione che esprime questo fatto è:

A 8 < n ≤ 16 B 8 ≤ n ≤ 16 C 8 ≥ n ≥ 16 D 8 > n > 16

INVALSI

74. Quanti sono i numeri naturali minori o uguali a 9?

A 8 B 9 C 10 D Infiniti

75. Se sommiamo il precedente e il successivo di un numero naturale otteniamo:

A 4

B il doppio del numero dato

C il triplo del numero dato

D 0, perché il precedente e il successivo si annullano a vicenda

76. La lettera n rappresenta un numero naturale. I numeri a = n + 1, b = n − 2, c = n + 3 e d = n sono altrettanti numeri naturali. Se disponiamo i numeri a, b, c e d in ordine crescente, dal minore al maggiore, quale sequenza otteniamo?

A a, b, c e d

B c, a, d e b

C b, d, a e c

D d, b, c e a

77.  GIOCO  Individua nel disegno, partendo dal numero 81, una linea spezzata non intrecciata che unisca altri sette numeri in ordine crescente (sono possibili più soluzioni).

78.  NELLA REALTÀ  Nella classe di Claudia, lei e i suoi compagni hanno tutti una sedia e un banco. Oggi non ci sono assenti e tutte le sedie sono occupate. L’insieme delle sedie, dei banchi e degli alunni hanno in comune una caratteristica, quale?

Il numero degli elementi.

Claudia, alla terza ora, mostra all’insegnante una giustificazione e si allontana con la mamma per una visita medica. Se indichiamo con n il numero degli alunni rimasti in classe, con s il numero delle sedie e con b il numero dei banchi, quale delle seguenti alternative è corretta?

A s < n ed s = b

B s = b ed n < s

C n < s ed s < b

D n = s ed s = b

79.  GIOCO  Mettiti alla prova con il foglio di calcolo allegato inserendo nelle caselle gialle un numero naturale n che soddisfa ciascuna disuguaglianza: per ogni numero inserito ti verrà detto se la risposta è corretta.

Attività con il foglio di calcolo Disuguaglianza fra numeri naturali

80.  GIOCO  Apri il file GeoGebra allegato e mettiti alla prova nell’individuare sulla semiretta orientata il punto corrispondente al numero dato.

Attività con GeoGebra Numeri sulla semiretta orientata

81.  IMMAGINA  In ciascuno dei seguenti gruppi, le tre carte rovesciate rappresentano altrettanti numeri naturali. Individua i tre numeri.

Se mi aggiungi al mio successivo ottieni 13.

3 6 9

Sono la metà del secondo numero.

Sono il triplo del primo numero.

Sono il successivo del minore dei numeri naturali.

Sono la metà del precedente del terzo numero.

Sono il successivo del quadruplo del primo numero.

Sommato al terzo numero do 15.

Sono il doppio del secondo numero.

Il doppio del mio successivo è 20.

In VeriMat PLUS altri esercizi per le tue attività in classe

1. Indica se le seguenti affermazioni sono vere (V) o false (F).

1. L’insieme dei numeri naturali è un insieme finito V F

2. Ogni numero naturale ha un successivo V F

3. Tutti i numeri naturali hanno un numero naturale precedente V F

4. L’insieme dei numeri naturali comprende anche i numeri decimali V F

(1 punto per ogni risposta corretta) /4

2. Completa inserendo il simbolo corretto scelto tra <, > e =.

15  <  18

12  >  11

3  =  2 + 1

5 + 6  >  8 + 2

(1 punto per ogni risposta corretta) /4

3. C’è solo un numero n che soddisfa entrambe le condizioni date. Trovalo.

1. n > 3 ed n ≤ 4 n =   4

2. n > 6 ed n < 8 n =   7

3. n > 101 ed n < 103 n =   102

4. Completa le seguenti uguaglianze.

(2 punti per ogni risposta corretta) /6

5. Inserisci all’interno dei quadrati i numeri naturali corrispondenti alle posizioni indicate sulla semiretta orientata.

per ogni risposta corretta) /4

6. Indica se le seguenti affermazioni sono vere (V) o false (F).

1. Esiste il precedente del numero decimale 0,2

2. L’insieme dei numeri decimali contiene l’insieme dei numeri naturali

3. Non esistono numeri decimali la cui parte intera è zero

4. Il numero di cifre della parte decimale di un numero è sempre minore del numero di cifre della parte intera

(1 punto per ogni risposta corretta) /4

7. Inserisci all’interno dei quadrati i numeri decimali corrispondenti alle posizioni indicate sulla semiretta orientata.

(1 punto per ogni risposta corretta) /5

8. Completa le seguenti uguaglianze.

1. 2,  9  5  6   =   2   ×   1    + 9 × 0,1 +   5   × 0,01 + 6 ×   0,001

2. 0,2  7  71 = 2 × 0,1 + 7 ×   0,01        +   7           × 0,001 + 1 ×   0,0001

(2 punti per ogni uguaglianza corretta) /4

9. Scrivi i seguenti numeri romani nel sistema di numerazione decimale.

CCCXI =  311

CCCXXI =  321

DCCXCVI =  796

DCLX =  660

(1 punto per ogni risposta corretta) /4

10. Metti in ordine crescente i seguenti numeri scritti con il sistema di numerazione romano.

CM CDLXXXVII DXI CXVII CCCLVII

CXVII, CCCLVII, CDLXXXVII, DXI, CM

(2 punti se l’esercizio è corretto) /2

Recupero per obiettivi

OBIETTIVO 1 Conoscere l’insieme dei numeri naturali

1. Individua fra i seguenti i numeri che non appartengono all’insieme dei numeri naturali.

2. Con i simboli < e > indichiamo se un numero è maggiore o minore di un altro. Individua le disuguaglianze errate.

3. Trova i numeri che corrispondono alle posizioni sulla semiretta orientata.

(Suggerimento : Per risolvere questo esercizio, aiutati con i quadretti: se guardi con attenzione puoi notare che a ogni numero naturale corrisponde un quadretto.)

I dieci simboli che usiamo per scrivere

OBIETTIVO 2 Utilizzare il sistema di numerazione decimale

4. Il nostro sistema di numerazione è posizionale; indica con una crocetta la cifra che corrisponde alla posizione scritta tra parentesi.

3 8 9 2 (decine)

1 2 0 6 7 (centinaia)

9 0 0 4 5 (decine di migliaia)

2 1 6 7 (migliaia)

3 0 5 4 8 0 (centinaia di migliaia)

9 0 1 2 3 4 7 (milioni)

OBIETTIVO 3 Operare con i numeri decimali

intera parte decimale

5. Trova i numeri che corrispondono alle posizioni indicate sulla semiretta orientata.

6. Scrivi in cifre il numero decimale, come nell’esempio: 28 centesimi = 0,28. (Suggerimento : Decimi, centesimi, millesimi e così via corrispondono a una, due, tre cifre e così via dopo la virgola.)

392 millesimi = 0,392

7 decimi = 0,7

47 millesimi = 0,047

5 centesimi = 0,05

50 millesimi = 0,050

102 centesimi = 1,02

Se hai dubbi, rivedi la teoria a pagina 64.

OBIETTIVO 4 Operare con la notazione polinomiale

5,247 = 5 × 1 + 2 × 0,1 + 4 × 0,01 + 7 × 0,001 4236 = 4 × 1000 + 2 × 100 + 3 × 10 + 6 × 1

7. Riscrivi i seguenti numeri naturali con la notazione polinomiale. 957 = 9 ×   100   + 5 ×   10     + 7 ×   1

=   1      × 1000 +   3     × 100 +   2     × 10 +   9     × 1 1020 = 1 × 1000 + 0 × 100 + 2 × 10 + 0 × 1

8. Riscrivi i seguenti numeri decimali con la notazione polinomiale.

2,089 = 2 ×   1       + 0 ×   0,1       + 8 ×   0,01      + 9 ×   0,001

54,298 =   5         × 10 +   4         × 1 +   2         × 0,1 +   9         × 0,01 +   8         × 0,001

OBIETTIVO 5 Riconoscere i numeri romani

5 10 50 100 500 1000

9. Converti nel nostro sistema di numerazione i seguenti numeri romani.

Se hai dubbi, rivedi la teoria a pagina 65.

Se hai dubbi, rivedi la teoria a pagina 66.

XVII =   17        CDXXII =   422     XXXIV =   34       MMXCIV =   2094

10. Scrivi i seguenti numeri in notazione romana. 27 =   XXVII    492 =   CDXCII  382 =  CCCLXXXII  3512 =   MMMDXII

SBAGLIANDO S’IMPARA  Scopri l’errore commesso nella colonna di sinistra scegliendo l’alternativa corretta fra quelle proposte nella colonna di destra.

SCRITTURA ERRATA

2 decine 3 migliaia 4 unità = 234

QUALE ERRORE È STATO COMMESSO?

A  È stato dimenticato uno zero.

B  Si è sbagliato l’ordine delle cifre.

C  Si è sbagliato l’ordine delle cifre e si è dimenticato uno zero.

A  Il numero 6 deve essere spostato a destra di un quadretto.

B  Il numero 6 deve essere spostato a destra di due quadretti.

C Il numero 6 deve essere spostato a sinistra di 2 quadretti.

A  C’è uno zero di troppo dopo la virgola.

5 millesimi = 0,0005

B  Ci sono due zeri di troppo dopo la virgola.

C Manca uno zero dopo la virgola.

A  I simboli I vanno scritti dopo la X.

B  Il numero romano IIX indica il numero 20.

C  Il numero romano è sbagliato e non ha significato.

Attività di fine unità

La taratura del termometro

Compiti di realtà

Durante la lezione di scienze l’insegnante propone la taratura di un termometro. Il termometro è fatto con un tubicino sottile che contiene un liquido colorato sensibile alla temperatura. All’aumentare della temperatura il liquido si espande riempiendo via via il tubicino ed è quindi un indicatore della temperatura che c’è nell’ambiente in cui si trova. Nel termometro da tarare non sono presenti riferimenti, non ci sono quindi tacche che indichino dei valori: bisogna costruirle. Per farlo servono due riferimenti: un minimo e un massimo, che saranno poi gli estremi dell’intervallo di misure che si potranno ottenere.

L’insegnante sceglie come minimo la temperatura del ghiaccio e come massimo quella dell’acqua bollente. Posiziona quindi il termometro nel ghiaccio a 0 °C e poi segna una tacca scrivendo 0 nel punto in cui arriva il liquido colorato.

Successivamente inserisce il termometro nell’acqua bollente (100 °C), segnando il nuovo livello raggiunto dal liquido colorato.

Il seguente disegno rappresenta il termometro con i due riferimenti individuati dall’insegnante.

LIVELLO INIZIALE

1. La temperatura all’interno del laboratorio di scienze è 23,5 °C. Rappresenta sul disegno del termometro qui sopra il livello raggiunto dal liquido colorato.

LIVELLO INTERMEDIO

Supponendo che la distanza fra lo 0 e il 100 sia di 100 cm, calcola a quale distanza dal riferimento dello zero andrebbe segnato il livello raggiunto dal liquido colorato con:

2. una temperatura di 20,0 °C 20 cm

3. una temperatura di 23,5 °C 23,5 cm

LIVELLO AVANZATO

4. L’insegnante chiede di individuare sul disegno, con l’aiuto di un righello, la posizione del liquido colorato corrispondente alla temperatura di 12,5 °C. Stabilisci se è possibile.

Sì    No

Se hai risposto sì, descrivi il procedimento da seguire, se hai risposto no motiva la tua risposta. Risposta libera

5. Confronta la tua risposta con quella di una tua compagna o compagno e cercate insieme una soluzione comune.

6. Tara le tue mani come strumento di misura. Avrai sentito dire che una spanna (cioè la distanza tra la punta del pollice e la punta del mignolo di una mano aperta) è di circa 20 centimetri. Ma è proprio così nel tuo caso? Misura la spanna della tua mano e utilizzala come strumento per misurare una lunghezza in spanne invece che in centimetri.

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Playlist: Gli angoli

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Gli angoli e le parti di piano

Houston, abbiamo un problema!

L’angolo di impatto di un sasso gettato in un laghetto è importante per la sua traiettoria: se l’angolo è molto piccolo il sasso può rimbalzare sulla superficie dell’acqua, invece di sprofondare.

Quando la navicella spaziale della missione Apollo 13 tornò sulla Terra, per gli astronauti a bordo l’angolo di ingresso in atmosfera fu una questione di vita o di morte: se fosse stato troppo piccolo, la navicella sarebbe rimbalzata perdendosi nello spazio; se fosse stato troppo grande si sarebbe incendiata, vaporizzando l’equipaggio, come succede alle meteore che chiamiamo stelle cadenti. Andò tutto bene perché gli astronauti seppero calcolare l’angolo giusto. Alcuni corpi celesti possono arrivare al suolo come meteoriti. Se si tratta di asteroidi, il loro impatto può mettere a rischio la vita sulla Terra.

Esiste però un sistema di controllo, come puoi scoprire nell’attività di fine unità «Una guardia spaziale contro gli asteroidi vicini» a pagina 103.

1 Gli angoli

Se viaggiamo in automobile sotto la pioggia, il tergicristallo pulisce il vetro dall’acqua permettendoci di vedere attraverso il parabrezza. Con il procedere del movimento del tergicristallo, aumenta la superficie di parabrezza ripulito. Se immaginiamo di sostituire il tergicristallo con una semiretta, la parte del piano dove passa la semiretta durante il suo movimento si chiama angolo.

Un angolo è la parte di piano descritta da una semiretta che ruota intorno alla sua origine O

Un angolo può anche essere definito a partire da due semirette aventi la stessa origine.

Un angolo è ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette che hanno l’origine in comune.

Le due semirette che delimitano l’angolo si chiamano lati dell’angolo, mentre l’origine si chiama vertice dell’angolo Se i lati dell’angolo non sono semirette opposte, il piano risulta diviso in un angolo convesso e in un angolo concavo.

Approccio LAB

I prolungamenti dei lati sono contenuti nell’angolo concavo.

O angolo convesso angolo concavo lati degli angoli vertice

Attenzione: nel linguaggio comune, con la parola «angolo» intendiamo quella piccola parte di spazio che si trova in prossimità del suo vertice. Diciamo, per esempio: «Mi sento stretto in un angolo». Invece, in geometria, con angolo si intende una parte infinita di piano: allontanandoci dal vertice troviamo tutto lo spazio che vogliamo per non stare stretti!

Un piccolo gioco per comprendere quali punti appartengono a un angolo e quali no: scelti tre alunni a caso, il posto del primo rappresenta il vertice e gli altri due i punti sui lati di un immaginario angolo all’interno dell’aula; tutti gli alunni che appartengono all’angolo si devono alzare.

Con GeoGebra Angoli

Come si indicano gli angoli

Un angolo può essere indicato in diversi modi: possiamo utilizzare il nome del vertice e delle semirette dei suoi lati oppure del vertice e di un punto su ciascuno dei lati. Se non c’è rischio di confusione possiamo indicare l’angolo anche solo con il nome del vertice, per esempio se il vertice dell’angolo è il punto O possiamo indicare l’angolo con ˆ O. Poiché l’angolo è una superficie possiamo indicarlo anche con una lettera dell’alfabeto greco (α, β...).

L’angolo r ˆ O s è l’angolo con vertice nel punto O e lati r e s .

La bisettrice di un angolo

B

L’angolo A ˆ O B è l’angolo con vertice nel punto O e con lati le semirette OA e OB .

Si dice bisettrice di un angolo la semiretta , con origine nel vertice dell’angolo, che lo divide in due angoli congruenti .

Con GeoGebra Costruzione della bisettrice con riga e compasso

L’angolo ˆ A è diviso in due angoli congruenti dalla bisettrice.

L’angolo giro e l’angolo nullo

Se le due semirette che individuano l’angolo sono coincidenti, gli angoli formati sono due: l’angolo giro e l’angolo nullo.

Si chiama angolo giro l’angolo formato da due semirette coincidenti e che comprende tutti i punti del piano

Si chiama angolo nullo l’angolo formato da due semirette coincidenti e che non comprende nessun altro punto del piano, oltre a quelli della semiretta.

L’angolo giro ricopre tutto il piano.

L’angolo nullo si riduce a una sola semiretta.

L’angolo piatto e l’angolo retto

Si dice angolo piatto un angolo formato da due semirette opposte.

Si dice angolo retto ciascuno dei due angoli in cui un angolo piatto è diviso dalla sua bisettrice.

angolo piatto

angolo nullo

bisettrice dell’angolo piatto

angolo retto

A

angolo piatto

semirette opposte A

Per indicare l’angolo retto usiamo due segmenti al posto dell’archetto.

angolo piatto

L’angolo retto è quindi individuato da un quarto di angolo giro; l’angolo piatto da mezzo angolo giro.

SCOPRO PERCHÉ

L’angolo piatto

e l’angolo giro sono convessi

I prolungamenti dei lati sono contenuti sia nell’angolo piatto sia nell’angolo giro. A prima vista sarebbe corretto definire entrambi come angoli concavi.

La distinzione fra figure geometriche concave e convesse non vale però solo per gli angoli.

Una figura è convessa se, scelta una qualsiasi coppia di due suoi punti, il segmento che li congiunge è completamente contenuto in essa; in caso contrario è concava.

Figura convessa

Figura concava

L’angolo piatto e l’angolo giro, pertanto, sono convessi, pur contenendo i prolungamenti dei loro lati.

IMPARO APPLICANDO

1. Disegna sul quaderno due semirette non opposte con l’origine in comune. Colora con tinte differenti l’angolo concavo e l’angolo convesso che si sono formati.

2.  NELLA REALTÀ  Pac Man è il personaggio di un famoso gioco elettronico: la sua testa gialla ti ricorda un angolo concavo o convesso? Concavo

E la sua bocca che tipo di angolo è?

Convesso

3. Quale scrittura è corretta per nominare l’angolo in figura?

D  Angolo di AB

4.  NELLA REALTÀ  Antonio punta il telescopio per osservare gli anelli di Saturno. Disegna la bisettrice dell’angolo formato dal telescopio con la linea orizzontale e valuta se il pianeta Saturno si trova più in alto o più in basso rispetto alla bisettrice. Saturno si trova più in alto rispetto alla bisettrice.

5. Osserva la foto.

1. Che cosa potrebbe rappresentare la freccia pronta a scoccare?

A  Il vertice di un angolo C  Il lato di un angolo

B  La bisettrice di un angolo D  L’arco di un angolo

2. Quale mano si trova sul punto che rappresenta il vertice dell’angolo?

La mano destra    La mano sinistra

6. Quale angolo ti fa venire in mente la fetta di arancia in figura?

A  Un angolo nullo

B  Un angolo giro

C  Un angolo piatto

D  Un angolo retto

7. Associa la risposta a ogni fumetto riportando il numero nel quadratino.

3

Quale angolo si ottiene dividendo in quattro parti uguali un angolo giro?

Angolo piatto 2

Quale angolo è ampio il doppio dell’angolo retto?

Quale angolo coincide con una semiretta?

4

Quale angolo ricopre l’intero piano?

Angolo giro 4 Angolo retto 1 Angolo nullo

8. Solitamente, per raffigurare un angolo disegniamo un piccolo arco ( AB, in figura). Spiega perché l’arco e l’angolo sono due cose diverse, completando la frase.

L’angolo è una parte infinita di piano, l’arco è un tratto di circonferenza . Fissato un angolo, l’arco dipende dalla circonferenza che si disegna: più questa è grande e più diventa grande anche l’arco AB. L’angolo, invece, non cambia

2 Posizioni reciproche e confronto di angoli

Gli angoli consecutivi e gli angoli adiacenti

Immaginiamo che durante un’ora di lezione l’insegnante decida di dedicare 20 minuti alla spiegazione e, subito dopo, 15 minuti alle interrogazioni.

Gli angoli descritti dalla lancetta dei minuti durante queste due attività hanno in comune il vertice e un lato; si dà un nome particolare a coppie di angoli che hanno questa proprietà.

Due angoli sono consecutivi se hanno in comune il vertice, un lato e nessun altro punto.

Quando i lati non comuni di due angoli consecutivi sono semirette opposte, gli angoli sono detti adiacenti .

Gli angoli A ˆ O B e B ˆ O C sono consecutivi : hanno lo stesso vertice O, il lato OB in comune e nessun altro punto in comune.

Gli angoli A ˆ O B e B ˆ O C sono adiacenti : i lati OA e OC sono semirette opposte.

Gli angoli sovrapposti

Se due angoli hanno il vertice e un lato in comune, ma tutti i punti di uno dei due sono contenuti nell’altro angolo, diciamo che i due angoli sono sovrapposti .

Gli angoli A ˆ O B e A ˆ O C sono sovrapposti e l’angolo A ˆ O C è contenuto nell’angolo A ˆ O B .

Con GeoGebra Angoli consecutivi e angoli adiacenti

Angoli

Gli angoli e le parti di piano

Parte di piano ricoperta da una semiretta che ruota

Angolo giro (360°) e angolo nullo (0°)

Angoli formati da semirette coincidenti

O angolo convesso

vertice

angolo concavo lati degli angoli

Bisettrice A

Gradi

Semiretta che divide l’angolo a metà

bisettrice

Dividiamo l’angolo giro in 360 parti uguali

r A angolo giro

Angolo piatto (180°)

r A angolo nullo

r A angolo nullo

Angolo formato da semirette opposte

angolo piatto angolo piatto semirette opposte

A

Angolo retto (90°) A

angolo piatto

Dividiamo a metà un angolo piatto

bisettrice dell’angolo piatto

angolo retto

Angoli consecutivi, adiacenti, sovrapposti e opposti al vertice

Consecutivi

Angoli complementari, supplementari, esplementari

Classifichiamo due angoli in base alla loro somma

α

Complementari: la somma è un angolo retto.

Angoli acuti e ottusi

Supplementari: la somma è un angolo piatto.

Esplementari: la somma è un angolo giro.

Confrontiamo un angolo con l’angolo retto

Studia ed esercitati con le playlist

Gli angoli e le parti di piano

Puoi studiare ed esercitarti sugli argomenti di questa unità anche con la playlist

Gli angoli disponibile su Deaflix : guarda i video con le spiegazioni e gli esercizi e mettiti alla prova con i test autocorrettivi!

SEGNA LE TAPPE DEL TUO PERCORSO

INTRODUZIONE AGLI ANGOLI

1. Angoli: introduzione

2. Esercizio introduttivo sugli angoli

3. Classificazione degli angoli

4. Esercizio sulla classificazione degli angoli

5. Mettiti alla prova

ANGOLI CONSECUTIVI, ADIACENTI E OPPOSTI AL VERTICE

6. Angoli consecutivi, adiacenti e opposti al vertice

7. Esercizio sugli angoli consecutivi, adiacenti e opposti al vertice

8. Mettiti alla prova

OPERAZIONI CON GLI ANGOLI

9. Confronto tra angoli

10. Somma di angoli

11. Esercizio sulla somma di angoli

12. Differenza di angoli

13. Esercizio sulla differenza di angoli ANGOLI NOTEVOLI E BISETTRICE

14. Angoli complementari, supplementari ed esplementari

15. Esercizio su angoli complementari, supplementari ed esplementari

16. Bisettrice di un angolo

17. Esercizio sulla bisettrice di un angolo

18. Mettiti alla prova CONCLUSIONE

19. Videomappa

20. Verifica finale

Esercizi di RINFORZO con svolgimento a fine volume, da pag. 359

1 Gli angoli

CONOSCO I CONTENUTI

1. Completa le frasi con i termini corretti.

In VeriMat PLUS altri esercizi per le tue attività in classe

Esercizi interattivi

1. Un angolo è la parte di piano      descritta da una semiretta che ruota      intorno alla propria origine.

2. Si dice angolo ciascuna delle due parti in cui il piano      è diviso da due semirette aventi l’origine    in comune.

2. Indica se le seguenti affermazioni sono vere (V) o false (F).

1. Un lato di un angolo può essere un segmento

2. I punti del lato di un angolo appartengono all’angolo

3. Il vertice non appartiene all’angolo

4. Non esistono due angoli diversi che hanno gli stessi lati

3. Completa il disegno con i termini corretti.

lato

4. Spiega la differenza fra un angolo concavo e un angolo convesso.

5. Indica se le seguenti affermazioni sono vere (V) o false (F).

1. Due semirette con l’origine in comune formano sempre due angoli convessi

2. Un angolo concavo e un angolo convesso possono avere gli stessi lati

3. Un angolo concavo e un angolo convesso possono avere la stessa origine

4. Un angolo convesso contiene le semirette opposte ai suoi lati

6. Spiega che cos’è un angolo giro.

7. Spiega che cos’è un angolo nullo.

8. Indica se le seguenti affermazioni sono vere (V) o false (F).

1. I lati di un angolo giro sono semirette distinte

2. L’angolo giro e l’angolo concavo possono avere gli stessi lati

F

F

F

3. All’angolo giro appartengono tutti i punti del piano V F

4. All’angolo nullo non appartiene nessun punto del piano V F

9. Scrivi la definizione di angolo piatto.

Si dice angolo piatto l’angolo formato da due semirette opposte.

10. Completa la frase con i termini corretti.

L’angolo retto è ciascuna delle due parti   in cui un angolo piatto   è diviso dalla sua bisettrice

APPLICO CIÒ CHE HO STUDIATO

11. Cerchia i punti che appartengono all’angolo.

12.  AL VOLO  Cerchia i punti che appartengono all’angolo convesso

13.  AL VOLO  Individua l’angolo o gli angoli concavi.

14. Scrivi se ciascun angolo rappresentato è convesso oppure concavo.

15. Disegna una semiretta s che ha l’origine nel punto O e che non sia opposta alla semiretta r. Individua l’angolo concavo e l’angolo convesso che formano le due semirette.

Per esempio: convesso concavo

16. Disegna un angolo concavo che ha il vertice nel punto O e nessun altro punto in comune con l’angolo A ˆ O B

Per esempio:

17.   RINFORZO  Disegna l’angolo convesso A ˆ B C. Il punto D vi appartiene? Sí [Svolgimento a pag. 363]

18. Disegna l’angolo convesso A ˆ B C e l’angolo concavo A ˇ B C. Il punto D a quale dei due angoli appartiene? Il punto D appartiene all’angolo concavo.

19. Disegna l’angolo convesso A ˆ B C e l’angolo concavo A ˇ B C. Il punto D a quale dei due angoli appartiene?

D A B concavo

convesso C

A All’angolo concavo.

B All’angolo convesso.

COME SI FA?

C A entrambi.

D A nessuno dei due.

20. Con l’aiuto di un compasso, disegniamo la bisettrice dell’angolo.

Con GeoGebra

Costruzione della bisettrice con riga, compasso e GeoGebra

Puntiamo il compasso nel punto O e tracciamo una circonferenza che incontra i lati dell’angolo nei punti C e D.

Puntiamo il compasso nel punto C e nel punto D e tracciamo, con la stessa apertura del compasso, due circonferenze.

La semiretta con origine in O e che passa per l’intersezione E delle due circonferenze è la bisettrice.

Con l’aiuto di un compasso, disegna la bisettrice degli angoli.

Per esempio:

Per esempio:

25.  RINFORZO  Disegna la bisettrice dell’angolo α. Per quali punti passa?

,

26. Traccia la bisettrice dei seguenti angoli.

27. Disegna un angolo giro ˆ O .

28. Disegna un angolo piatto con l’origine in O.