Unidad 7 • La Prehistoria
1
índice
8
Unidad 1 / Numeración
26
Unidad 2 / Múltiplos y divisores
44
Unidad 3 / Fracciones
62
Unidad 4 / Números decimales
76
Unidad 5 / Proporcionalidad y porcentaje
94
Unidad 6 / Potencias y raíces
108
Unidad 7 / Sistema sexagesimal
126
Unidad 8 / Cuerpos geométricos
146
Unidad 9 / Longitud, capacidad, masa y superficie
162
Unidad 10 / Probabilidad y estadística
Con este libro podrás... Observar, reflexionar y hablar
Curiosidades y preguntas para reconocer y activar los conocimientos previos sobre el tema.
Presentación de lo que vas a descubrir en la unidad.
Una imagen motivadora y un comentario al comienzo de cada unidad para situarnos en el tema y ref lexionar sobre lo que vamos a aprender.
Conocer las Matemáticas
Contenidos básicos, contextualizados a través de imágenes y explicados de una forma muy sencilla. Actividades en cada página para facilitar una comprensión progresiva. Propuestas de tipología diversa para atender y estimular diferentes capacidades.
Sintetizar y repasar
Actividades de repaso para ayudarte a organizar y asimilar los conceptos aprendidos.
Aplicar lo aprendido
Actividades para aplicar lo aprendido a situaciones diversas y cercanas desarrollando las competencias clave.
Matemáticas NIVEL 3 ESO
1
Numeración
Los números que todos usamos (1, 2, 3, 4…) se llaman números arábigos. Para distinguirlos de los números romanos (I, II, III, IV…), los árabes popularizaron estos números, aunque realmente su origen se remonta a los comerciantes fenicios. Éstos los usaban para contar y llevar la contabilidad de sus negocios.
Antes de empezar... ¿Has pensado alguna vez por qué “1” significa “uno”, “2” significa “dos”…? Pues por sus ángulos. Fíjate que el número 0 no tiene ángulos, el 1 tiene uno, el número 2 tiene dos y así sucesivamente.
En esta unidad conocerás... 1 Los millones 2 Lectura de los millones 3 Descomposición de los millones 4 Comparación de los números millonarios 5 Aproximación a las unidades millonarias 6 Los números ordinales 7 Los números romanos
Unidad 1 • Numeración
9
1 Los millones En nuestro sistema de numeración realmente solo utilizamos 10 cifras distintas, del 0 al 9, y con la combinación de éstas podemos escribir cualquier número. Según el lugar o posición que ocupe cada cifra, tiene un valor distinto. Cada posición tiene un nombre.
Si el número solo tiene una cifra
unidades (U)
Si tiene dos, la segunda
decenas (D)
Si tiene tres, la tercera
centenas (C)
Los millares aparecen a partir de tres.
Si tiene cuatro cifras
Unidades de millar (Um)
Si tiene cinco
Decenas de millar (Dm)
Si tiene seis
Centenas de millar (Cm)
A partir de seis, aparecen los millones.
Si tiene siete cifras
Unidades de millón (UM)
Si tiene ocho
Decenas de millón (DM)
Si tiene nueve
Centenas de millón (CM)
10
Unidad 1 • Numeración
1
O bserva esta tabla. Número
CM
DM
UM
Cm
Dm
Um
C
D
6
6
28
2
8
1
3
4
2
0
0
8
5
0
8
7
6
3
5
7
1
2
6
1
9
5
3
4
7
8
2
3
5
6
8
9
7
8
8
3
1
2
9
0
4
5
Cm
Dm
Um
C
D
U
134 2.008 50.876 357.126 1.953.478 23.568.978 783.129.045
U
7
– Ahora completa tú esta otra. Número
CM
DM
UM
12.593.590 333.666.991 6.789.902 96.335.007 2.132.564 91.065.852 6.165.897 87.951.216
Unidad 1 • Numeración
11
2 Lectura de los millones Como habrás observado, cada tres cifras, aparece un punto. Tras el punto, se repite de nuevo las unidades, decenas y centenas, pero acompañadas de millar, millón… 804.357.126 Leemos el número tal y como sabemos, separados cada tres cifras por un punto. Leemos millón al llegar al primer punto y mil al llegar al último. En el caso de haber tres cifras de nuevo se pondría otro punto que se volvería a leer mil. 804.357.126 → Ochocientos cuatro millones trescientos cincuenta y siete mil ciento veintiséis. 12.978.345.069 → Doce mil novecientos setenta y ocho millones trescientos cuarenta y cinco mil sesenta y nueve.
2
E scribe cómo se leen estos números.
• 6 .789.501: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................................
• 567.905.231: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................................
• 98.132.564: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................................
• 65.897.362: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................................
• 81.951.047: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................................
• 54.135.684: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................................
12
Unidad No fotocopies. 1 • Numeración No incumplas la ley.
3
Escribe estos números.
• Tres millones doscientos mil quinientos doce: ..............................................................................................................
•Q uinientos sesenta y dos mil trescientos diez: ..............................................................................................................
•D iez millones sesenta y dos mil trescientos diez: ..............................................................................................................
•C atorce millones setecientos tres mil cuatrocientos: ..............................................................................................................
•C iento ocho millones ochenta y seis mil ciento nueve: ..............................................................................................................
•D os mil millones cinco mil novecientos ochenta y siete: ..............................................................................................................
•C iento dos millones noventa y dos mil tres: ..............................................................................................................
•S eis millones nueve mil novecientos noventa y ocho: ..............................................................................................................
•C uatro millones cuarenta y siete mil setenta y cuatro: ..............................................................................................................
•U n millón doscientos veinte mil sesenta y cinco: ..............................................................................................................
•D os millones ciento treinta mil doce: ..............................................................................................................
Unidad 1 • Numeración
13
3 Descomposición de los millones La descomposición de un número consiste en decir cifra a cifra la posición de cada una de ellas. Número
CM
DM
UM
Cm
Dm
Um
C
D
U
804.357.126
8
0
4
3
5
7
1
2
6
Hay varias formas de descomponer un número: a) Descomposición por unidades:
• Forma normal: 804.357.126 → 8 centenas de millón, 4 unidades de millón, 3 centenas de millar, 5 decenas de millar, 7 unidades de millar, 1 centena, 2 decenas y 6 unidades.
• Forma reducida: 804.357.126 → 8 CM, 4 CM, 3 Cm, 5 Dm, 7 Um, 1 C, 2 D y 6 U.
b) Descomposición por la unidad seguida de ceros: 804.357.126 → 800.000.000 + 4.000.000 + 300.000 + 50.000 + 7.000 + 100 + 20 + 6.
4
E scribe cómo se descomponen los siguientes números por unidades mediante la forma que prefieras.
• 6.789.325: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
• 57.368.901: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
• 681.132.564: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
14
Unidad 1 • Numeración
5
E scribe cómo se descomponen los siguientes números por la unidad seguida de ceros.
• 2.016.789: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
• 68.573.901: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
• 75.132.564: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
• 645.897.212: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
• 25.871.951: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
• 35.684.068: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
• 82.644.925: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
• 290.167.384: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
• 1.203.498: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
• 84.297.234: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
Unidad 1 • Numeración
15
4 Comparación de los números millonarios Para comparar dos números se utilizan los siguientes signos:
> → mayor que = → igual que < → menor que Para recordar el valor de estos signos, ten en cuenta: La parte más pequeña (cerrada) del signo, junto al número más pequeño.
65.456.320
<
Número más pequeño
66.557.591
Número más grande
La parte más grande (abierta) del signo, junto al número más grande.
• Siempre empezamos a comparar por la unidad mayor. • Si las centenas de millón son iguales en los dos números, seguimos por la siguiente unidad.
• Si uno de los dos números no tiene centenas de millón, es como si tuviera 0, así que automáticamente sabemos que es menor.
Coloca el signo correspondiente en el recuadro.
6
1.256.129
3.254.500
49.213.364
22.915.301
16.098.230
16.198.230
24.123.432
24.239.635
213.637.480
211.598.178
79.911.567
97.899.657
29.202.345
25.563.641
26.122.987
29.101.345
968.239.654
16
250.168.168
Unidad No fotocopies. 1 • Numeración No incumplas la ley.
4.320.003
4.230.005
7
O rdena de mayor a menor estos números. No olvides usar el signo < o >. 1.249.306
1.309.411
1.592.879
................................................................................................................
El más grande
8
El más pequeño
O rdena de menor a mayor estos números. No olvides usar el signo < o >. 456.002.356
465.120.888
461.963.234
................................................................................................................
El más pequeño
El más grande
5 Aproximación de los millares Para aproximar un número indicamos qué número está más cerca de él, redondeando a la unidad a la que queramos aproximar.
Observa cómo se aproxima el número 56.156.789.
Número 56.156.789
Aproximación a: UM
DM
CM
56.157.000
56.160.000
56.200.000
Al pasarse de 56.156.500 se aproxima a la unidad superior: 56.157.000
Al pasarse de 56.155.000 se aproxima a la unidad superior: 56.160.000.
Al pasarse de 56.150.000 se aproxima a la unidad superior: 56.200.000
Unidad 1 • Numeración
17
9
Completa. — El número 156.789.345…
• está entre 155.000.000 y 157.000.000, pero más cerca del: ..............................................................................................................
• está entre 150.000.000 y 160.000.000, pero más cerca del: ..............................................................................................................
• está entre 100.000.000 y 200.000.000, pero más cerca del: ..............................................................................................................
10 Completa la tabla.
Número 1.312.596 2.276.682 21.552.999 79.913.561 673.843.009 123.572.900 98.199.110 10.455.555 85.199.110 35.455.555
18
Unidad 1 • Numeración
Aproximación a: UM
DM
CM
6 Los números ordinales Los números ordinales son números que sirven para denotar la posición en una sucesión ordenada: primero, segundo, tercero, etc. Su utilización es poco frecuente, pero debes conocerla. Algunos ordinales son: 20° vigésimo
200° ducentésimo
30° trigésimo
300° tricentésimo
40° cuadragésimo
400° cuadringentésimo
50° quincuagésimo
500° quingentésimo
60° sexagésimo
600° sexcentésimo
70° septuagésimo
700° septingentésimo
80° octogésimo
800° octingentésimo
90° nonagésimo
900° noningentésimo
100° centésimo
1000° milésimo
11 E scribe el ordinal correspondiente.
• Quingentésimo:
500º
• Milésimo:
............
•S eptuagésimo:
. . . . . . . . . . . .
• Sexagésimo:
............
• Noningentésimo:
. . . . . . . . . . . .
• Nonagésimo:
............
12 E scribe cómo se leen los siguientes números ordinales.
• 8 0°: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 5 6°: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 1 00°: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 2 00°: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 6 8°: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 4 00°: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unidad 1 • Numeración
19
13 Escribe y completa.
• El anterior al octogésimo quinto es el: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • El siguiente al cuadragésimo noveno es el: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Entre el vigésimo y el trigésimo hay: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Entre el noningentésimo y el milésimo hay: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Los números romanos Las reglas para escribir los números romanos son:
• Tener en cuenta el valor de los siguientes símbolos: I=1
V=5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1.000
• Esos símbolos suman su valor si se encuentran juntos. II = 1 + 1 = 2
VI = 5 + 1 = 6
XVI = 10 + 5 + 1 = 16
• Un símbolo no se puede repetir más de tres veces seguidas. IIII = 4
• Si un símbolo de valor inferior va delante de otro de valor superior, el primer símbolo resta su valor al valor del símbolo de la derecha. IV = 5 – 1 = 4
XC = 100 – 10 = 90
• Una raya colocada encima de una letra multiplica por 1.000. Aquí tienes algunos números romanos: I=1
II = 2
III = 3
IV = 4
V=5
VI = 6
VII = 7
VIII = 8
IX = 9
X = 10
XX = 20
XXX = 30
XL = 40
L = 50
C = 100
CCC = 300
D = 500
M = 1.000
20
Unidad 1 • Numeración
14 R elaciona los números. DXXIII
1518
MDXVIII
19
DCCIV
XIX
523
704
15 Escribe en números romanos.
• 2 0: . . . . . . . . . . . . • 1 40:
............
• 1 00:
. . . . . . . . . . . .
• 6 0:
............
• 4 0:
. . . . . . . . . . . .
• 1 50:
............
• 1 20:
. . . . . . . . . . . .
• 9 0:
............
• 5 0:
. . . . . . . . . . . .
• 1 90:
............
16 E scribe a qué número corresponden estos números romanos.
• M CI:
• CMXVII:
............
• DXI: . . . . . . . . . . . . • D CXXII:
............
• M DCIII: . . . . . . . . . . . . • C DXVI:
............
• D XCIII:
. . . . . . . . . . . .
•M MVIII:
............
• V III:
. . . . . . . . . . . .
•D CCXX:
............
. . . . . . . . . . . .
17 Escribe en números romanos.
• 3 .115: . . . . . . . . . . . . • 510:
............
• 2.027:
. . . . . . . . . . . .
• 580:
............
• 209:
. . . . . . . . . . . .
• 910:
............
Unidad 1 • Numeración
21
Actividades para repasar 1
Une con f lechas el orden de unidades que ocupa la cifra 8 en cada uno de estos números. 812.436.017
Um
2
3
38.170.111
Dm
Cm
382.617.741
UM
12.438.167
DM
485.176
CM
¿Cuántas unidades vale la cifra 1 en cada uno de estos números?
• 8 10.283.675: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
unidades.
• 1 5.703.829: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
unidades.
• 1 58.228.456: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
unidades.
• 2 14.280.003: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
unidades.
• 2 48.125.692: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
unidades.
• 1 0.048.039: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
unidades.
Completa.
•E l número 92.428.345 se lee: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
• El número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
se lee: ciento veintitrés millo-
nes ochenta mil dieciocho.
4
Completa las series.
• X, XX, XXX, XL, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , C. •V ,
22
X, XV, XX,
........................................................................,
Unidad No fotocopies. 1 • Numeración No incumplas la ley.
L.
5
O bserva y completa las igualdades siguientes.
• 6.132.715 =
.........................................................................................
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 4 5.709.234 =
......................................................................................
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
= 5 dM + 3 um + 3 d + 3 u.
= 9 cM + 6 dm + 1 c + 4 d + 8 u.
C ompleta la tabla. Número
Se lee…
Descomposición
156.321.000 Doce millones diez mil seiscientos siete 7 dM, 2 um, 5 d, 2 u
7
O rdena estos números de menor a mayor. 20.014.290
20.921.921
20.912.029
21.492.032
..............................................................................................................
8
R edondea y une con f lechas las siguientes aproximaciones.
18.194.996 • 15.471.368 •
23.902.038 •
75.649.658 • 38.001.391 •
9
• 2 3.900.000 • 1 8.200.000 • 7 5.650.000 • 3 8.000.000 • 1 5.470.000
E scribe los correspondientes números romanos y sus ordinales.
•S exagésimo tercero: . . . . . . . . . . . . •M ilésimo sexto: ............
•N onagésimo noveno: . . . . . . . . . . . . •Q uingentésimo: ............ Unidad 1 • Numeración 23
Aplica lo que has aprendido 1
U na pareja compra una casa por 120.389.729 €. Luego la venden por 130.082.720 €. ¿Cuánto han ganado con la venta?
2
E n una fábrica hacen 75 millones de caramelos al día. Venden 69.855.314 todos los días. ¿Cuántos caramelos se quedan sin vender al final de la semana?
3
Un pastor tiene 56.970.000 ovejas. Vende la mitad y del resto se mueren doce unidades de millón. ¿Cuántas le quedan?
4
En una carrera han salido treinta y cinco corredores. El último que llega a la meta entra en decimosexto lugar. ¿Cuántos corredores se han retirado?
5
Ordena de menor a mayor. CI, CV, MII, MIX, DX, DVII, MVIII, DIII, CIV, LVI
......................................................................................................................
24
Unidad 1 • Numeración
6
En la liga de fútbol juegan 20 equipos. Al final de la liga, el Málaga ha quedado en octavo lugar. ¿Cuántos equipos han quedado en mejor lugar que él? ¿Cuántos peor?
7
En una tienda hay 3 centenas de millón de juguetes. La mitad de ellos son pelotas. ¿Cuántas pelotas hay en total?
8
E n una feria han comprado 5 cintas de colores de 4 km cada una. Quieren hacer confeti de 1 mm cada uno. ¿Cuánto confeti obtendrán? Recuerda de 1 km = 1.000 m y/o 1 m = 100 mm
9
A mi primo le han tocado 3.456.819 € en la lotería y los quiere repartir entre sus tres hermanos. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
10 E scribe con números romanos tu fecha de nacimiento. ......................................................................................................................
Unidad 1 • Numeración 25
2
Múltiplos y divisores
Ya sabes multiplicar y dividir, pues ahora vamos a ir un poquito más allá, vamos a ver las características y la relación que existe entre los miembros de dichas operaciones, muy útiles para nuestra vida diaria.