Mi repaso cuaderno
de
MatemĂĄticas
2.Ëš Secundaria
Contenidos y actividades del grado anterior
Cómo usar Acrobat Reader en Mi cuaderno de repaso Para resolver las actividades del cuaderno de repaso escribe la respuesta, selecciona la opción correcta o utiliza la herramienta “Comentar”, que encontrarás en la barra derecha del programa... ... o en la pestaña Ver>Herramientas>Comentar.
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Mi repaso cuaderno
de
MatemĂĄticas
2.Ëš Secundaria
Contenidos y actividades del grado anterior
Mi cuaderno de repaso Matemáticas 2.o Secundaria fue elaborado por Educa Inventia S. A. de C. V. Participaron en esta edición: Dirección editorial: Norma Alejandra Becerra Castillo Coordinación editorial: Julián Alonso Reséndiz Lara Edición: Carlos Eduardo Serrano Maldonado Asistencia editorial: Roberto Rojas López Coordinación general de arte y diseño: Gustavo Rivas Romero Diseño de interiores: Judith Sánchez Durán y Mayra Servín Meza Diseño de cubierta: Sergio Salto Gutiérrez Diagramación y formación: Gonzalo Linares Arredondo Ilustración de portada: Israel Emilio Ramírez Sánchez Ilustraciones y fotografías: Getty images y archivo Norma
Mi cuaderno de repaso Matemáticas 2.o Secundaria D. R. © 2020, Educa Inventia, S. A. de C. V. Av. Río Mixcoac 274, piso 4, colonia Acacias, alcaldía de Benito Juárez, Ciudad de México, C. P. 03240. Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra sin permiso escrito de la editorial. * El sello editorial “Norma”, está licenciado por Carvajal, S. A. de C. V., a favor de Educa Inventia, S. A. de C. V. Primera edición: agosto de 2020 EAN: 7503030569927
Repaso Repaso
Presentación Querido estudiante:
Asumiendo un compromiso con tu desarrollo y aprendizaje, Ediciones Norma pone a tu disposición este material con el que podrás recuperar y reforzar los contenidos del grado escolar anterior. Mi cuaderno de repaso Matemáticas 2.o Secundaria consta de dos secciones. La Evaluación diagnóstica, en la que contestarás reactivos sobre contenidos relacionados con los aprendizajes esperados para que tu profesor identifique aquellos que has logrado satisfactoriamente y los que todavía puedes alcanzar con su apoyo y el de este material.
Trimestre 3 llamada Repaso, se revisan los contenidos fundamentales En la segunda parte, de algunos aprendizajes, con información conceptual y actividades que te ayudarán a lograr tus metas académicas en el ciclo escolar que estás por iniciar.
Trimestre 2
Te recomendamos que, cuando hayas terminado el Repaso, vuelvas a contestar la Evaluación diagnóstica para que así cuentes con una valoración actualizada de tus aprendizajes. Esperamos que este cuaderno sea una herramienta de apoyo para ti, tus compañeros y docente; y de esa forma, contribuya a tu desarrollo y bienestar.
Los editores
Trimestre 1
3
Índice Matemáticas
4
Presentación
3
Evaluación diagnóstica
6
Repaso
11
Trimestre 1 • Fracción decimal • Fracción no decimal • Fracciones equivalentes • Ubicación de números decimales en la recta numérica • Ubicación de números negativos en una recta numérica • Valor absoluto • Suma y resta de fracciones • Altura de un triángulo • Desigualdades del triángulo y del cuadrilátero • Polígonos equiláteros y regulares
11 11 12 12 12 13 13 14 14 14
Trimestre 2 • Multiplicación de fracciones • Multiplicación de números decimales • División con números decimales • Constante de proporcionalidad • Regla de tres • Razones y porcentajes • Álgebra • Ecuación • Solución de ecuaciones • Plano cartesiano • Funciones
15 15 15 16 16 17 18 18 18 19 19
Trimestre 3 • Jerarquía de las operaciones • Uso de paréntesis, corchetes y llaves • Término general de una sucesión • Sucesiones aritméticas • Gráfica circular • Media aritmética • Mediana • Moda • Rango • Fenómeno aleatorio • Probabilidad frecuencial
20 20 21 21 22 23 23 23 23 24 24
Evaluaciรณn diagnรณstica
Trimestre 1 Trimestre 2
Trimestre 3
Trimestre 1 Subraya la respuesta correcta o haz lo que se solicita. 41
1. Convierte la siguiente fracción decimal 1 000 a número decimal. a) b) c) d)
41 0.41 0.041 0.0041
a) b) c) d)
7
2. Convierte la fracción 20 a número decimal. a) b) c) d)
0.10 0.20 0.35 7.20
3. Es la opción con el orden ascendente de las 4 5 5 13 fracciones: 5 , 2 , 10 , 4 . a)
6
13 4
5
4
b) 5 < c)
5 10
5 d) 2
4
5 10
< 2 < 5 < 5 10
< 2 <
5
13 4
4
5
13 4
13 4
4 5
5 10
< 5 < 2 < <
<
<
Esteban Martín Jesús Marco
6. Arquímedes nació en el año 285 a. n. e. y Newton en 1642 de n. e. ¿Cuántos años pasaron desde el nacimiento de Arquímedes hasta el nacimiento de Newton? a) b) c) d)
1957 1927 1427 1469
7. La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es...
4. Juan horneó un pastel para el cumpleaños de su hermano; como eran 10 invitados, contando a los hermanos, Juan partió el pastel en 10 rebanadas iguales. Al final solo llegaron ocho invitados y sobró una fracción del pastel. Si Juan había comido su parte de pastel, pero al terminar la fiesta se comió lo que sobró, ¿qué fracción del pastel se comió en total? 1 a) 10
5. Unos amigos vieron en la calle un letrero que contenía varios números decimales. A uno de ellos se le ocurrió jugar a encontrar el número menor. Esteban escogió el 7.125; Martín, el 7.50; Jesús, el 7.2; y Marco, el 7.12. ¿Quién eligió el número menor?
a) b) c) d)
360o. 300o. 180o. 150o.
8. ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura?
66 cm cm
4 c) 10
3
5
b) 10
d) 10
• Expresa en número decimal la parte del pastel que se comió Juan. a) b) c) d)
0.3 0.03 0.003 0.0003
Evaluación diagnóstica Trimestre 1
a) b) c) d)
18.8496 18.9684 19.8496 19.9684
Matemáticas
Trimestre 2 9. Un maratonista corre en promedio 19.7 km en una hora, mientras que un aficionado, en el mismo intervalo de tiempo, corre 0.711 veces la distancia que hubiera corrido el maratonista. ¿Cuántos kilómetros recorre el aficionado en una hora? a) b) c) d)
10 km 12 km 14 km 19 km
10. ¿Cuántas barras de chocolate compró Erik si cada barra costaba $8.50 y en total pagó $93.50? a) 8 b) 9
c) 10 d) 11
11. Si para elaborar 15 panqués se necesitan 125 mL de leche entera, ¿cuánta leche se debería utilizar para preparar 30 panqués? a) 300 ml b) 250 ml
c) 200 ml d) 150 ml
12. En el grupo de Ana, cinco alumnos reprobaron la clase de inglés, mientras que en el grupo de Víctor nueve alumnos también reprobaron la asignatura. El grupo de Ana tiene 10 alumnos y el de Víctor, 40 alumnos.
13. De las siguientes opciones, ¿cuál emplea un lenguaje algebraico? a) b) c) d)
224 224 2 veces 3 3x 1
14. En una lejana galaxia existe una ley que dice: “Los hijos podrán conducir su primer platillo volador el día en que su madre tenga el doble de la edad de ellos”. Si Tani Tita tiene 6 años y su mamá, 424 años, ¿cuántos años tendrían que pasar para que Tani Tita pueda conducir su primer platillo volador? a) b) c) d)
412 años 12 años 424 años 848 años
15. La siguiente gráfica muestra el cambio en la presión que siente un buzo conforme varía la profundidad a la que se sumerge. Según reglamentos de diversas escuelas de buceo, la profundidad máxima a la que es seguro sumergirse está entre 40 m y 60 m. ¿Cuál es el tope de presión máxima que puede soportar el buzo antes de alcanzar los 60 m de profundidad? 11 10
A. Para este caso, subraya la afirmación correcta.
9 8
a) El grupo de Ana tuvo un mayor porcentaje de reprobación que el grupo de Víctor. b) El grupo de Víctor obtuvo un porcentaje mayor de reprobación que el de Ana. c) Ambos grupos tuvieron el mismo porcentaje de reprobación. d) No se puede saber qué grupo tuvo el mayor porcentaje de reprobación.
6 5 4 3
Presión (atm)
7
2 1
B. De acuerdo con la información anterior, ¿qué porcentaje de reprobación tuvo el grupo de Víctor? a) 20.5% b) 22.5%
c) 25.5% d) 30.5%
Matemáticas
—100 —90 —80 —70 —60 —50 —40 —30 —20 —10
0
Profundidad (m) a) Menos de 6 atm b) Menos de 7 atm
c) Menos de 8 atm d) Menos de 9 atm
TrimestreEvaluación 1 diagnóstica
7
Trimestre 3 16. Calcula el resultado de la siguiente operación de acuerdo con la jerarquía de las operaciones: 3 5 [15 5 ( 1)] 5 a) 34 b) 17
c) 20 d) 25
17. En el reactivo anterior, ¿cuáles operaciones tienen una mayor jerarquía? a) b) c) d)
La suma y la resta La suma y la división La multiplicación y la división La resta y la multiplicación
22. ¿Cuántos grados debe medir el sector de una gráfica circular que representa 25%? a) b) c) d)
45o 90o 180o 360o
23. Para elegir al grupo que dirigirá una liga de beisbol, se realizó una votación entre cuatro equipos representados por un color en la siguiente gráfica. ¿Qué equipo ganó la votación si cada segmento representa el porcentaje de votos obtenidos?
18. ¿Cuál de las siguientes expresiones se puede utilizar para describir la siguiente sucesión numérica? 1, 5, 9, 13, 17
8
a) b) c) d)
4(2n 3) 4n 3 n4 1 4n
19. ¿Qué sucesión numérica es representada por la expresión 10 7(n 1)? a) b) c) d)
10, 17, 24, 31, 38 7, 14, 21, 28, 35 17, 34, 51, 68, 85 10, 20, 30, 40, 50
20. De la siguiente expresión algebraica, calcula el término que está en el lugar 15. an 12 3 ( n 1) a) b) c) d)
30 54 12 15
aritméticas. geométricas. algebraicas. trigonométricas.
Evaluación diagnóstica Trimestre 1
Anaranjado Rojo Azul Verde
A. El porcentaje de votos obtenidos por cada equipo fue: equipo rojo, 30%; equipo verde, 20%; equipo anaranjado, 15%. ¿Cuál fue el porcentaje de votos obtenidos por el equipo azul? a) b) c) d)
21. Las sucesiones donde un término se obtiene tomando el anterior y sumándole una constante d, son sucesiones... a) b) c) d)
a) b) c) d)
30% 35% 40% 45%
B. ¿Cuántos grados debe medir el sector circular que representa al equipo azul? a) b) c) d)
35o 234o 30o 126o
Matemáticas
24. La siguiente gráfica representa el número de películas que se filmaron en México del año 2000 al 2014, separadas en periodos de tres años. Producción de películas mexicanas
2000-2002 2003-2005
26. Si el futbolista Lionel Messi tiene un promedio de 0.81 goles por partido y hasta ahora ha anotado 579 goles, ¿aproximadamente cuántos partidos ha jugado? a) b) c) d)
579 810 741 714
27. En un grupo de segundo año de secundaria se le preguntó la edad a cada alumno; el resultado se presenta a continuación:
2006-2008 2009-2011 2012-2014
13, 13, 14, 13, 13, 14, 13, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 13, 13, 13, 14, 13, 13, 13, 14, 14, 13, 13, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 13, 13, 12, 13, 14, 13, 13, 13, 14, 13, 13, 12
A. ¿En qué periodo hubo menor producción de películas?
• ¿Cuál es la mediana de los datos? a) 2000-2002 b) 2003-2005
c) 2006-2008 d) 2009-2011
B. ¿En qué periodo hubo mayor producción de películas? a) 2003-2005 b) 2006-2008
c) 2009-2011 d) 2012-2014
C. De acuerdo con la gráfica anterior, ¿cómo podemos saber el número de películas mexicanas que se produjeron entre los años 2012 y 2014? a) Se resta la medida del ángulo de ese periodo al del periodo anterior. b) Se debe medir el ángulo del sector que representa ese periodo. c) Se debe estimar el porcentaje para conocer el número de películas. d) No es posible saber el número de películas porque faltan datos en la gráfica. 25. En un grupo de trabajo hay cuatro alumnos de 11, 12, 13 y 14 años junto con el maestro de 50 años. ¿Qué medida de tendencia central es más adecuada para representar la edad del grupo? a) La media b) La mediana
c) La moda d) El rango
Matemáticas
a) b) c) d)
12 años 13 años 13.5 años 14 años
28. Si tiras un dado 300 veces, ¿cuántas veces caerá el número cinco en promedio? a) b) c) d)
5 50 150 200
29. Se preguntó a un grupo de 15 personas cuántos libros leyeron el año pasado; estos son los resultados: 3, 4, 0, 5, 2, 4, 3, 2, 10, 5, 3, 3, 1, 8 y 4. ¿Cuál es la media de los datos? a) b) c) d)
3 3.4 4 4.4
30. Si tiras una moneda 200 veces, ¿cuántas veces, aproximadamente, caerá águila? a) b) c) d)
50 75 100 150
TrimestreEvaluación 1 diagnóstica
9
Repaso
Trimestre 1 Trimestre 2
Trimestre 3
Fracción decimal. Se le llama así a una fracción cuyo denominador es 10, 100, 1 000, etcétera; es decir, cuando su denominador es un número formado por la cifra 1 seguida de un 0 o más. Las fracciones decimales pueden convertirse a un número decimal dividiendo el numerador entre el denominador, de manera que, al hacer la división para obtener el número decimal, después de cierto número de pasos se llega a un residuo 0.
1. Escribe como fracciones con denominador 10 los números 0.2, 120.3, 3 y 18.5.
10
10
2. Convierte las siguientes fracciones a números decimales y escríbelos en los recuadros de la derecha. 1 5
12 100
7 20
127 1 000
5 2
15 10
1 10
27 8
8 64
735 100
3 2
13 2
A. Completa las fracciones decimales para que se cumplan las igualdades:
•
•
Para expresar esto de modo abreviado se escribe una línea horizontal arriba del grupo de cifras que se repite infinitamente. En este caso: 1 3
10
10
•
Fracción no decimal. En este tipo de fracciones no es posible llegar a un residuo de 0 cuando se divide el numerador entre el denominador. Por 1 ejemplo, el número decimal 3 es un poco mayor que 0.3, pero menor que 0.4; mayor que 0.33, pero menor que 0.34; mayor que 0.333, pero menor que 0.334, etcétera. De hecho, el único número decimal que es igual a 1 es 0.333... con una 3 infinidad de cifras 3.
1 000 45
1 000
0.033 4.5
0.05
Matemáticas
= 0.3.
Aquí se dice que el número tiene una expresión decimal infinita periódica y se le llama periodo al grupo de cifras que se repite de forma infinita.
3. Anota una en aquellas fracciones que no son decimales: 1 7
1 547 6
32 5
781 13
10 3
51 3
14 5
17 9
37 9
87 7
100 27
16 4
4 5
151 3
A. Convierte las fracciones a su número decimal periódico. •
2 3
•
5 6
•
2 11
Trimestre 1
Repaso
11
Fracciones equivalentes. Algunos números como 1 y 2 , y 4 , 2 y 1, representan el mismo punto 2 4 4 2 en la recta numérica y por lo tanto son distintas formas de escribir el mismo número. Cuando dos fracciones expresan el mismo número, se dice que son fracciones equivalentes. Para encontrar una fracción equivalente se puede multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número. Otra forma es verificando si el numerador y el denominador son divisibles entre un mismo número; si es así, se obtiene una fracción equivalente, donde tanto el numerador como el denominador son números más pequeños que los originales.
Ubicación de números decimales en la recta numérica. Toma en cuenta lo que sabes de la notación posicional, por ejemplo, para localizar el número 95.125 en la recta, primero se debe ubicar el 95. Como el número que se quiere localizar es mayor a 95, la cifra que está en el primer lugar a la derecha del punto indica cuántos décimos de unidad se deben avanzar a la derecha después de 95, así se llegará a 95.1. Pero como el número es todavía un poco mayor; entonces, se deben avanzar 2 centésimos de unidad a la derecha para llegar al 95.12. Después se avanzan 5 milésimos de unidad para llegar al 95.125. De esta manera es posible localizar en la recta cualquier número decimal.
4. Relaciona con una línea las fracciones equivalentes.
12
6 12
6 9
30 45
8 11
22 6
21 15
27 12
2 4
7 5
9 4
32 44
11 3
5. En cada par de fracciones anota una en la fracción que sea mayor. 2 7
o
3 4
11 8
o
6 4
7 5
o
4 6
3 7
o
5 8
3 5
o
12 15
3 2
o
12 9
22 6
o
10 3
7 4
o
9 6
6. Localiza los siguientes números en la recta numérica. 5 3
0
5 , 10
Trimestre 1
2,
6 5 , , 1.25, 2 2 5 8 5 , 0.125, 3.2 2
,
1
Ubicación de números negativos en una recta numérica. Por convención, los números negativos se colocan en la recta numérica a la izquierda de 0, de manera que sean simétricos al número positivo correspondiente tomando como eje de simetría la línea perpendicular a la recta numérica que pasa por 0. Si se tienen dos números en la recta, el menor es el que está a la izquierda de cero.
7. Luisa y Federico localizaron algunos números en la recta que se presenta a continuación. Su maestra les dijo que habían ubicado mal dos de esos números. Rodéalos. 0 �2 �3
Repaso
4 , 5 13 , 4
, 0.75,
�5
Matemáticas
3
Valor absoluto. Se añaden los signos o a los números cuando se quiere indicar que se puede medir una misma magnitud pero en dos direcciones opuestas, y se le llama valor absoluto de un número a esta magnitud, sin importar su dirección. Por ejemplo, 100 puede representar una ciudad a una altitud de 100 m sobre el nivel medio del mar, y100 un submarino a una profundidad de 100 m bajo el nivel medio del mar. El valor absoluto de 100 y 100 es 100, que es la distancia, a la capa del nivel del mar. Para indicar el valor absoluto de un número se escribe entre dos barras horizontales: |100| = |100| = 100.
8. En la tabla se registraron las temperaturas máxima y mínima de cinco ciudades a lo largo de un día. Determina la diferencia de temperaturas para completar la tabla. Guíate con el ejemplo. Temperatura mínima
Temperatura máxima
Variación de temperatura
2oC
22oC
24oC
5oC
31oC
0oC
28oC
13oC
4oC
9. Lee las situaciones. Después, relaciona ambas columnas para encontrar la solución de cada una de ellas. A. Daniel va a salir de viaje. Del dinero que 1 3 tiene, destina 8 para alimentos, 16 para hospedaje y 1 para pasaje. ¿Qué parte 4 de su dinero le sobrará para gastar en su viaje? B. Francisco pidió prestado un coche y se fijó que tenía 3 del tanque de gasolina. 4 1 Cuando había consumido 6 pasó a la 1 gasolinera y le puso más. Después 3 de eso, consumió 0.5 de tanque, ¿qué fracción de la capacidad total del tanque debe agregar Francisco para devolver el coche con la misma cantidad de gasolina que tenía cuando se lo prestaron? C. Camilo tenía una bolsa de caramelos. Si a Yohali le regaló 1 parte y a Alejandro 3 1 parte, ¿con qué parte de los caramelos 4 se quedó Camilo? D. Todos los alumnos de 2° año de una escuela estudian al menos uno de los dos idiomas que se imparten. Si la mitad de ellos estudia inglés y 3 partes estudia 4 francés, ¿qué parte de los alumnos estudian ambos idiomas? Situación
Resultado
1 4
5 12
18oC
3oC
7 16
Suma y resta de fracciones. Para sumar o restar dos fracciones con el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Cuando se tiene distinto denominador, se buscan las fracciones equivalentes con común denominador y se suman o restan las fracciones resultantes.
Matemáticas
1 3
Trimestre 1
Repaso
13
Altura de un triángulo. Es la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice. Cada triángulo tiene tres alturas.
10. Usando regla sin graduar y compás, traza las tres alturas del siguiente triángulo. Luego, justifica por qué las rectas que trazaste son las alturas del triángulo. B
A
14
C
• ¿Quién de los dos tiene la razón? Elige a uno de ellos y completa el enunciado con la justificación de tu respuesta.
tiene la razón porque
Polígonos equiláteros y regulares. Los polígonos que tienen la misma longitud en todos sus lados se denominan polígonos equiláteros. Un polígono regular es un polígono equilátero en el que, además, los ángulos que se forman en sus vértices hacia el interior del polígono son iguales (ángulos interiores). Los polígonos regulares pueden inscribirse en una circunferencia, es decir, se puede trazar una circunferencia que pase por todos los vértices del polígono.
12. Anota en la tabla una fórmula para calcular el perímetro de cada uno de los polígonos regulares que se mencionan; toma en cuenta que la medida de un lado es a.
Desigualdades del triángulo y del cuadrilátero. La longitud de cualquier lado de un triángulo es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados; a esto se llama desigualdad del triángulo. De manera similar, la desigualdad del cuadrilátero consiste en que la longitud de cualquier lado de un cuadrilátero es menor que la suma de las longitudes de los otros tres lados.
Número de lados
Nombre
3
Triángulo
4
Cuadrado
5
Pentágono
6
Hexágono
8
Octágono
Fórmula para calcular el perímetro
13. Calcula el perímetro de la siguiente figura.
11. Lee el diálogo y contesta.
5 cm
FELIPE: ¿Cómo hiciste el triángulo de popotes que dejaron de tarea? JAIME: Corté un popote en dos partes iguales y formé el triángulo con un popote entero y los dos pedazos que corté. FELIPE: No creo que sea posible. ¿Los dos popotes eran de diferente tamaño? JAIME: No, eran del mismo tamaño y sí pude formar el triángulo.
3.6 cm
Perímetro:
Repaso
Trimestre 1
Matemáticas
Multiplicación de fracciones. El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.
15. Mide con una regla los lados del siguiente rectángulo y calcula su área.
9
14. Pablo mezcló en una jarra 8 de litro de jugo 15 de mandarina, 13 de litro de jugo de naranja 7 y de litro de jugo de limón para hacer su 40 famoso jugo de cítricos. Se tomó 2 partes 5 de la mezcla y el resto lo guardó. Después llegó su hermano Ernesto y se tomó 2 3 partes de lo que dejó Pablo. Completa la siguiente tabla con base en la información anterior. Pablo
Ernesto
Área: 16. Escribe el número que falta en las siguientes multiplicaciones. • 35.627
3 562.7
• 27.6
2.76
•
53.67 536.7
•
0.01 23.1
• 0.001 2.85
Cantidad de jugo de naranja que tomó
• 9.35
9 350
15 División con números decimales. Para hacer una división con números decimales:
Cantidad de jugo de mandarina que tomó
1. Cuenta las cifras que se encuentran a la derecha del punto en el dividendo y en el divisor. 2. Considera el mayor número de cifras decimales que contaste y multiplica tanto al dividendo como al divisor por 10 si el número de cifras es uno; por 100, si es dos; por 1 000, si es tres, etcétera , para convertir los números decimales en números enteros. 4. Haz la división entre los números que obtuviste. 5. El cociente entre estos es igual al cociente entre los decimales.
Cantidad de jugo de limón que tomó
Por ejemplo:
Multiplicación de números decimales. Al multiplicar dos números decimales, primero deben multiplicarse como si fueran números naturales. Después, se cuenta el número de cifras que hay a la derecha del punto en cada factor. Por último, el número de esas cifras se cuenta de derecha a izquierda en el resultado y ahí se coloca el punto decimal.
12.3 49.446
Multiplicar 1000 12300
49446
17. Una torre mide 54.56 m y es 31 veces más alta que el maestro de Matemáticas, ¿cuánto mide el maestro?
Matemáticas
Trimestre 2
Repaso
Constante de proporcionalidad. Cuando dos cantidades varían de manera que el cociente de una entre la otra se mantiene constante, se dice que varían proporcionalmente, y a este cociente se le llama la constante de proporcionalidad.
18. Completa las tablas en cada uno de los siguientes casos para determinar si el número de figura y la cantidad de círculos que la forman varían de manera proporcional. Después contesta lo que se solicita. A.
Figura 1 1 Figura
Figura 2 2 Figura
Figura 3 3 Figura
Figura 44 Figura
Número de figura (A)
Cantidad de círculos (B)
B A
1
1
1
16
2 3 4 ¿Son proporcionales? ¿Por qué?
Regla de tres. Cuando dos cantidades varían de manera proporcional entre sí, el cociente de una entre la otra se mantiene constante. Esto quiere decir que si x1 corresponde con y1, y x2 corresponde con y2, entonces: x1 x2 y1 y2 Si se conocen tres de esas cantidades, se puede encontrar la cuarta despejando la variable desconocida. A ese proceso se le conoce como regla de tres. Cuando se hace una reducción o una ampliación de un mapa o de cualquier otra imagen, se busca que la copia tenga las mismas proporciones que la original para que no pierda su escala. Esto significa que el cociente entre las longitudes correspondientes en el original y la copia es constante para cualquier parte de la imagen.
19. Roberto quiere pegar en su trabajo de historia una ilustración sobre la toma de la Bastilla. Como dispone de un espacio reducido para colocarla, piensa hacer una reducción de una imagen que encontró en un libro y que mide 20 cm de base por 12 cm de altura. Si la altura de la imagen que encontró excede por 3.5 cm la altura que tiene disponible, ¿cuánto debe medir la base de la ilustración reducida para que no pierda su proporción? Altura
B.
cm
Base
cm
A. ¿Y si la altura de la imagen excediera por 5 cm el espacio disponible? Figura 1 1 Figura
Figura 22 Figura
Figura 3 3 Figura
Número de figura (A)
Cantidad de círculos (B)
B A
1
3
3
2 3 ¿Son proporcionales? ¿Por qué?
Altura
Base
B. Cuánto debería medir la altura de la imagen si la base excede por 5 cm el ancho del espacio que tiene disponible Roberto? Completa la regla de tres para encontrar la medida. x 12 20
x
12 20
x
Repaso
Trimestre 2
Matemáticas
Razones y porcentajes. Una razón es la relación que existe entre dos cantidades. Una forma de representarlas es por medio de un cociente. Por ejemplo, si en una comunidad no hay electricidad en 200 casas por cada 1 000, la razón sería 200 y se lee 200 de 1 000 o 200 de cada 1 000. 1 000 Para facilitar la comparación entre dos razones, se escriben con el mismo denominador , que generalmente suele ser el número 100. A estas razones se les llama porcentajes y se representan con el símbolo %. Por ejemplo, 30% se lee 30 por ciento y significa 30 por cada 100 o 30 . 100
20. El primer par de fracciones representan el mismo porcentaje; encuentra para cada fracción una que exprese el mismo porcentaje y completa la tabla. Recuerda que en una fracción tanto el numerador como el denominador son números enteros y el denominador nunca puede ser 0.
21. Expresa las fracciones como porcentajes y ordénalas de menor a mayor. 3 8
2 5
18 30
3 6
6 11
38 25
22. Un producto de $45 tiene 30% de descuento. 30 30% quiere decir 100 , pero como solamente 30 se tienen $45, se calcula así: 100 45. De acuerdo con lo anterior, calcula los siguientes porcentajes. • 32% de 26 • 200% de 75
• 54% de 200
• 34% de 100 Fracción 1
Fracción 2
Porcentaje
1 4
25 100
25%
17
23. Néstor fue a la tienda a comprar un pantalón. El precio de la etiqueta es de $249.90, pero sobre este se aplica un descuento de 30%. A. ¿Cuánto dinero se descontará?
8 10
B. ¿Cuánto deberá pagar Néstor por su pantalón? 24. Don Esteban, el papá de Néstor, le dijo que para encontrar rápidamente un porcentaje, él encuentra primero el 1% del precio original y esa cantidad la multiplica por el porcentaje aplicado.
43 50
17 20
• ¿Esta estrategia sirve para calcular el porcentaje del precio del pantalón? Justifica tu respuesta.
7 70
9 40
Matemáticas
Trimestre 2
Repaso
Álgebra. Es la rama de las matemáticas que usa letras (a, x, y, etcétera) para representar números que se desconocen o que pueden variar.
26. Anota una en las ecuaciones en las que se muestre su solución correcta. a 2 es solución de a 3 10 a 10 es solución de a 3 7
25. Completa la siguiente tabla con expresiones en lenguaje algebraico o enunciados en lenguaje común, según corresponda. Lenguaje común
Lenguaje algebraico
Un número cualquiera 5x El antecesor de un número entero El doble de un número 3n 1
18
El siguiente de un entero
a 4 es solución de a 4 8
Solución de ecuaciones. Las ecuaciones son como una balanza con dos platillos en equilibrio. Si quitamos una parte del peso de uno de los platillos, debemos quitar esa misma parte del otro platillo para que la balanza siga en equilibrio. De la misma forma, si restamos, sumamos, multiplicamos o dividimos de un lado de la ecuación, debemos hacer lo mismo del otro lado para conservar la igualdad. Para encontrar la solución de una ecuación, se despeja la incógnita o valor desconocido. Por ejemplo: 2x 8 14 2x 14 8
Un número par
2x 6 4(y 1)
x
6 2
x3 Ecuación. Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas con uno o más valores desconocidos. Por ejemplo: � 3a 5 7a 2
27. Tomando en cuenta que 3 piezas de plastilina y 1 canica equilibran una balanza con 1 pieza de plastilina y 5 canicas, realiza lo que se pide. A. Anota una en la ecuación que modela la situación descrita.
�xz0 �z35
m 3 10
En estas ecuaciones, a, x y z son valores desconocidos a los que se les conoce como incógnitas. Encontrar la solución de una ecuación es encontrar un valor para cada variable, tal que, al sustituir cada valor en su variable correspondiente, haga verdadera la igualdad. Por ejemplo: x 5 es una solución para la ecuación x 3 8, porque al sustituir x por el valor de 5 en la ecuación, se obtiene 5 3 8, que hace verdadera la igualdad.
3m1m5
Repaso
Trimestre 2
3115 B. Despeja m para resolver la ecuación. ¿Cuál es su valor? C. ¿Cómo se interpreta dicho resultado?
Matemáticas
Plano cartesiano. Está formado por dos rectas numéricas: una horizontal (eje x) y otra vertical (eje y). El punto donde se cortan los ejes se denomina origen y tiene coordenadas (0, 0). Cada punto del plano se representa como un par ordenado de coordenadas, donde primero se pone el número que corresponde al eje x (abscisa) y después el correspondiente al eje y (ordenada), de la siguiente forma: (x, y). Al igual que en la recta numérica, en el plano también hay números negativos: a la izquierda de 0 en el eje x y hacia abajo en el eje y. De esta manera, el plano cartesiano queda dividido en cuatro cuadrantes.
28. Observa la figura del siguiente plano cartesiano y realiza lo que se solicita.
Funciones. Son reglas que relacionan cada elemento x del conjunto variable independiente, con solo un elemento y del conjunto variable dependiente. Por ejemplo la función lineal que a cada número le asigna su quíntuple, y 5x.
29. A partir de la función y 2x, donde la variable independiente x puede tomar valores negativos, positivos o 0, realiza lo que se te pide. A. Completa la tabla para encontrar los valores que satisfacen la función.
x
y 2x
3
6
Eje y
Cuadrante II
4
Cuadrante I
1 4
0
3 2
4
1 �4 �3
�2
0 1
�1
19
2
2
3
4
Eje x
�1
B. Localiza en el plano cartesiano los valores que encontraste y únelos. ¿Qué se forma?
�2 Eje y
�3 �4 Cuadrante III
6
Cuadrante IV
5 4
A. Localiza los puntos (-4, 4) y (4, -4), y traza la recta que pasa por ellos. B. Traza en el cuadrante III una figura como la del cuadrante I; las dos figuras deben ser simétricas respecto de la recta que trazaste.
3 2 1 �6 �5 �4 �3 �2 �1 0 1 �1
Matemáticas
2
3
4
�2
C. Escribe las coordenadas junto a cada punto de la figura que traces. D. ¿En qué cuadrante se localiza la figura simétrica?
Eje x
�3 �4 (3,6)
Trimestre 2
�5 �6
Repaso
5
6
Jerarquía de las operaciones. En el lenguaje matemático, como en muchos lenguajes escritos, hay algunos símbolos y convenciones que ayudan a evitar que una frase pueda tener más de una interpretación. Se ha llegado a la siguiente convención: si no hay ningún símbolo que indique lo contrario, resolver primero todas las multiplicaciones y divisiones. Después, las sumas y las restas. A este orden se le llama jerarquía de las operaciones. Con ella, la multiplicación y la división tienen mayor jerarquía que la suma y la resta. Si dos operaciones tienen la misma jerarquía, la convención es que se resuelvan de izquierda a derecha.
31. Agrega los paréntesis necesarios para que en las operaciones se obtengan los resultados indicados. Observa el ejemplo. • 9 25 (4 � 2) 2 2 1 60 • 25 5 4 2 5 140 • �2.4 3 1.25 0.75 • �6�1.4 8 0.6 1 • 2.25 2.25 2 0.5 32. Anota una en las operaciones que se hayan resuelto de manera correcta, de acuerdo con la jerarquía de las operaciones.
30. Calcula el resultado de las siguientes operaciones. Para ello, aplica lo que aprendiste sobre la jerarquía de las operaciones.
1 3
2
2 4
�2
1 4
7 6
• 9 25 4 � 2 2 2 1
20
3 5 [155 (�1)] 5 93.75
• 25 5 4 2 5 • �2.4 3 1.25
4
• �6 � 1.4 8 0.6
1 2
1 4
[5 (�2)] 4 1.68
• 2.25 2.25 2 7 [3�(�5)] 25 [4�(�3)]
• 10 � 3 8 6
1 2
• 112 7 2 � 10 8 3.4 (2.8 � 1.7) 4 0.935 Uso de paréntesis, corchetes y llaves. Como se mencionó la jerarquía de las operaciones propicia que solo haya una manera de interpretarlas. Para indicar que se resuelvan en un orden diferente al que señala la jerarquía, se agregan paréntesis ( ), corchetes [ ] o llaves { }.. De esta manera, la operación 4 2 2 significa que a cuatro se le resta el resultado de dividir dos entre dos, mientras que: (4 2) 2, significa que a cuatro se le resta dos y el resultado se divide entre dos, ya que los paréntesis indican que primero se tiene que calcular el resultado de la operación que está dentro de ellos.
Repaso
Trimestre 3
2 3
�
4 5
10 3
20
2.3 (4.2 5.1) 5.9 6.1 1.958
5 2 � 10 4 � 7.8 � (2�3) [�7 � (�2)] � 4.3
30 6 12 - (83) = 99.333
Matemáticas
Término general de una sucesión. A una lista de elementos ordenados en la que se establece cuál de sus elementos es el primero, cuál el segundo, y así sucesivamente, se le denomina sucesión. A cada uno de sus elementos se le conoce como término de la sucesión, y a la regla escrita en forma de operación, que indica cuál es el elemento de la sucesión que corresponde al lugar n, se le llama término general de la sucesión. Por ejemplo, los números pares son una sucesión: Término Lugar
2 4 6 8 10 ... 2n 1
33. Observa las tres figuras siguientes y dibuja la cuarta figura de la sucesión. Después, realiza lo que se solicita. Sucesión de figuras 1
2
3
de figuras? 34. Escribe los primeros cinco términos de las siguientes sucesiones si n = 1, 2, 3... • n�1 • 3n 1
Sucesiones aritméticas. Son aquellas en las que un término se obtiene tomando el anterior y sumándole una constante d. Esto significa que d an 1 an para cualquier n. Estas sucesiones se suelen representar con el término general an a1 (n �1) d, donde an es el número del término de la sucesión y n el lugar que ocupa cada término en la sucesión. Por ejemplo, en la sucesión aritmética: 3, 5, 7, 9....,
4 4
A. Escribe los siete primeros términos de la sucesión contando el número de círculos que tiene cada figura. Lugar que ocupan
C. ¿Cuál es el término general de la sucesión
• 3 (n � 1) 2
Se usan puntos suspensivos para indicar que la sucesión continúa.
Lugar que ocupan
obtener el siguiente?
• 3n 2
5 ... n
2 3 4
B. ¿Qué valor se suma a cada término para
Número de círculos
an representa los números 3, 5, 7 y 9, y n indica el lugar que ocupa cada uno de estos números en la sucesión: 1, 2, 3 y 4.
35. Anota una en las sucesiones aritméticas.
1
1, 4, 9, 16, 25, …
2
6, 1, -4, -9, -14, … 22.3, 21, 0.3, 1.6, 2.9, …
3
36. En una progresión aritmética el primer término es 4 y la suma de los primeros tres términos es 33.
4 5
A. ¿Cuánto vale la diferencia de esta
6
sucesión?
7
B. ¿Cuál es el término general?
Matemáticas
Trimestre 3
Repaso
21
Gráfica circular. Un ángulo central es aquel que tiene vértice en el centro del círculo y un arco es cualquier segmento de la circunferencia. Se le llama sector circular a la región delimitada por los dos lados de un ángulo central y el arco comprendido entre ellos. En una gráfica circular la información se representa en un círculo partido en sectores circulares. Cada sector representa una fracción del total que ocupa la información representada en cada región.
37. Completa la siguiente tabla de datos sobre la superficie (tierra firme) de la Tierra. Para ello, encuentra la superficie (en km2), la fracción que esa superficie representa del total de tierra firme y el decimal al que es aproximadamente igual dicha fracción. Superficie (km2)
22
Fracción de la superficie total
América
África
Número decimal
1
Oceanía
B. Usa la información de la tabla para construir la gráfica circular en el siguiente espacio. Escribe un título y el nombre del continente que representa cada sector.
30 200 000
105 1 376
9 000 000
Repaso
Ángulo del sector circular
Asia
433 1 376
Europa
Oceanía
Fracción decimal
44 600 000
América
África
Continente
Europa
Cantidad 137 600 000 de tierra 137 600 000 137 600 000 firme en el 1 planeta
Asia
A. Completa la siguiente tabla para conocer la medida del ángulo del sector circular que va a representar la fracción de la superficie total de tierra firme, por cada continente.
0.065406
Trimestre 3
Matemáticas
Media aritmética. Usualmente llamada media o promedio de un grupo de n datos, se obtiene sumando cada uno de los datos y dividiendo el resultado entre el número de datos (n). La media se representa con x. Por ejemplo, si se mide la estatura de cinco niños, las estaturas son los datos y n = 5, que es el número de datos del conjunto. Por lo tanto:
x
1.20 1.17 1.08 1.10 1.15 5
1.14
38. Analiza la siguiente tabla que indica el número de estudios genéticos que se han realizado en 15 especies vegetales. Especie
Número de estudios
Pináceas
26
Encinos
9
Epífitas
5
Burseras
2
Cactáceas
15
Agaves
20
Cícadas
7
Algodón
1
Chía
1
Frijoles
2
Maíz
1
Chiles
3
Calabacitas
3
Jocote
1
Aguacate
1
Mediana. Cuando se habla de encontrar el dato que está en medio de un grupo, se habla de la mediana y se representa como xm. Para calcular la mediana, lo primero que se hace es ordenar de menor a mayor el grupo de datos y se cuenta el número de estos. Si representamos con la literal n el número de datos, entonces: � Si n es un número par, se toman los dos que están en los lugares de en medio, es decir, los n n que están en 2 y 2 1, el promedio de esos datos es la mediana. Por ejemplo, la mediana de los datos 2, 3, 4 y 5 es el promedio de 3 y 4, es decir, 3.5 � Si n es un número impar, se toma el dato que está en el lugar de en medio, es decir en el n1 lugar 2 , y el dato que está en ese lugar es la mediana. Por ejemplo, la mediana de los datos 1, 2, 3, 4 y 5 es 3. 39. ¿Cuál es la mediana de los datos de la tabla del reactivo 38?
Moda. Es el dato que más veces se repite en un grupo de datos. Si hay dos datos que se repiten más veces, se dice que el grupo es bimodal, o multimodal si son tres o más los datos que se repiten con más frecuencia.
40. ¿Cuál es la moda de los datos de la tabla del reactivo 38?
Total • Anota en la tabla el total de estudios, luego calcula y escribe el promedio de los mismos en el siguiente espacio.
x
Matemáticas
Rango. En estadística, es la diferencia entre el dato de mayor valor y el de menor valor en un conjunto de datos numéricos.
41. ¿Cuál es el rango de los datos de la tabla del reactivo 38?
Trimestre 3
Repaso
23
Fenómeno aleatorio. Es una experiencia que tiene un conjunto conocido de resultados posibles, pero que, aun cuando se repita en las mismas condiciones, no puede anticiparse el resultado que se obtendrá. 42. Anota una en los fenómenos que sean aleatorios. Se meten en una caja 26 papelitos, cada uno con una letra distinta del alfabeto, y se saca uno sin ver.
A. ¿Cuántas veces es probable que la canica que salga sea blanca?
B. ¿Cuántas veces es probable que la canica sea negra?
44. Se realizó una encuesta vía telefónica en una región determinada del país, para conocer las preferencias de los consumidores respecto a dos productos similares; para ello, se eligieron al azar los teléfonos a los que se llamaría. Los resultados fueron:
Se saca una carta sin ver de una baraja completa.
Producto
Personas que manifestaron preferirlo
A
556
B
1 121
Cada 24 horas, la Tierra da un giro sobre su propio eje. Soltar una piedra desde un puente para ver su caída.
24
Lanzar una moneda para jugar volados. Lanzar dos dados y sumar el resultado de los puntos de las caras superiores.
A. Si la región donde se realizó la encuesta tiene una población total de 1 500 000 habitantes, ¿cuántas personas del total de la población consideras que preferirán el producto A?
B. ¿Cuántas preferirán el producto B?
Probabilidad frecuencial. Un experimento aleatorio consiste en repetir varias veces un fenómeno aleatorio. En este, a la cantidad de veces que se obtiene un resultado se le llama frecuencia absoluta, mientras que al cociente entre la frecuencia absoluta y el total de veces que se realizó el experimento, se le denomina frecuencia relativa del resultado: si se realiza el experimento muchas veces, se obtiene un estimado del total de veces que se presentará el resultado. Entre los resultados de un experimento aleatorio es posible que todos tengan la misma probabilidad de suceder; cuando es así se llaman resultados equiprobables.
43. En una bolsa hay 30 canicas blancas y 15 negras. Sin ver, se saca una canica de la bolsa durante 30 veces, se registra su color y se devuelve a la bolsa. Contesta.
Repaso
Trimestre 3
45. Para conocer la población de peces de una laguna, se sacó un pez al azar, se registró la especie a la que pertenece y se regresó al agua. Esto se repitió varias veces y los resultados se registraron en la tabla. ¿Qué parte de los peces de la laguna son de cada especie? Pez
Cantidad extraída
Bagre
120
Popocha
150
Blanco
90
Acúmara
60
Matemáticas
Parte del total de peces
E
diciones Norma pone a su disposición un material con el que los estudiantes podrán recuperar y reforzar los contenidos del grado escolar anterior.
Mi cuaderno de repaso. Matemáticas 2.° Secundaria consta de dos secciones: una evaluación diagnóstica con reactivos de contenidos relacionados con los aprendizajes esperados para que usted, como docente, identifique aquellos que los escolares han logrado dominar de manera satisfactoria, así como aquellos que todavía pueden alcanzar con su apoyo y el de este material. En la sección de repaso se revisan los contenidos más importantes de algunos aprendizajes, con información conceptual y actividades que ayudarán a lograr las metas académicas en el ciclo escolar que está por comenzar. Estamos seguros de que Mi cuaderno de repaso es una valiosa herramienta que coadyuva al desarrollo y bienestar de la infancia mexicana.