Pre inflacao cosmica 15

PRÉ-INFLAÇÃO

CÓSMICA Germano Amaral Monerat Eduardo Vasquez Corrêa Silva Luiz Gonzaga Ferreira Filho

São Paulo 2016

Copyright © 2016 by Editora Baraúna SE Ltda

Emília Adamo

Capa

Diagramação Editora Baraúna Revisão

Andrea Bassoto

CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ ________________________________________________________________ M75p Monerat, Germano Amaral Pré-inflação cósmica / Germano Amaral Monerat, Eduardo Vasquez Corrêa Silva, Luiz Gonzaga Ferreira Filho. - 1. ed. - São Paulo : Baraúna, 2016. il.

ISBN 978-85-437-0713-6 1. Ciência. 2. Física. I. Silva, Eduardo Vasquez Corrêa. II. Ferreira Filho, Luiz Gonzaga .

III. Título.

16-37349

CDD: 500 CDU: 50

________________________________________________________________ 25/10/2016 31/10/2016 Impresso no Brasil Printed in Brazil

DIREITOS CEDIDOS PARA ESTA EDIÇÃO À EDITORA BARAÚNA www.EditoraBarauna.com.br

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DedicatĂłria

Para JĂşlia, Laura, Ana Helena e Ana Catharyna por enriquecerem nossas vidas!

Prefácio

Neste livro apresentamos um estudo sobre a fase intermediária às eras de Planck e Inflacionária de nosso Universo, dita Pré-Inflacionária.

No capítulo 1, apresentamos um breve panorama da literatura sobre o Comportamento Caótico no Universo na fase que antecede a fase inflacionária. No capítulo 2, apresentamos a construção de um modelo relativístico, e descrevemos a dinâmica da fase pre-inflacionária de nosso universo e suas saídas para a inflação. Essa fase é modelada por cosmologias de Friedmann-Robertson-Walker, em que o conteúdo material é constitudo por um fluido perfeito e um campo escalar não minimamente acoplado ao campo gravitacional. A constante cosmológica está presente, tendo um valor diferente de zero segundo as últimas observações. As equações de campo são transformadas em um sistema hamiltoniano de dois graus de liberdade. No capítulo 3, um estudo analítico sobre a dinâmica do modelo e a estrutura topológica do espaço de fase é obtida fazendo-se uso de um conjunto de ferramentas matemáticas da Teoria de Sistemas Dinâmicos. O estudo inicia-se através da busca de pontos de equilíbrio no espaço de fase do modelo e a determinação da natureza de cada um destes. Os casos de pontos ditos degenerados são analisados no capítulo seguinte. No capítulo 4, analisamos a natureza de pontos de equilíbrio degenerados. A análise é feita usando-se o método da explosão, o qual é apresentado em detalhes. No capítulo 5, experimentos numéricos foram construídos para confirmar os resultados analíticos e mostram que a dinâmica nessa fase pré-infla-

cionária é muito rica e complexa devido à presença de pontos críticos do tipo pura sela e centro-sela. Enfatizamos os casos de centro-sela. Mas pontos críticos de outras naturezas também são observados, tais como: puro-centro, foco generalizados e até mesmo pontos degenerados são encontrados. Também discutimos a origem do comportamento caótico e as várias saídas para a inflação. Finalmente, no capítulo 6 apresentamos uma série de comentários finais sobre os resultados obtidos.

Notação e Convenções

• Os índices gregos variam de 0 a 3 e os latinos de 1 a 3.

Nota¸ c˜ ao e Conven¸ c˜ oes Na presença de matéria, o espaço-tempo será Riemanniano com métrica g (x), possuindo assinatura (+, {, {, {,).

Nota¸ c˜ ao e Conven¸ c˜ oes ¹º

• Os ´ındices gregos variam de 0 a 3 e os latinos de 1 a 3.

• O tensor energia-momento total será representado por T¹º,

• Na presen¸ ca de mat´ o espa¸ co-tempo ser´a Riemanniano enquanto queeria, o tensor energia-momento do fluido com perfeito m´etrica gµν (x), possuindo assinatura (+, − , − , − , ).

• Os ´ındices gregos variam de 0 a 3 e os latinos de 1 a 3. e do campo escalar serão representados respectivamente por • O tensor energia-momento ser´ a representado por Tµν , en(') T (fp) T¹ºmat´ .eria, o total • Na presen¸ cae de espa¸co-tempo ser´a Riemanniano com quanto ¹º que o tensor energia-momento do fluido perfeito e do m´etrica gµν (x), possuindo assinatura (+, − , − , − , ). (f p) campo escalar ser˜ ao representados respectivamente por Tµν (ϕ) • µν O. campo de velocidades do por fluido en• eOT tensor energia-momento total das ser´ a partículas representado Tµν ,perfeito quanto que o tensor energia-momento do fluido perfeito e do U¹(x) é definido como: (x)(f´ep) • Ocampo campo de velocidades das part´ıculas do fluido perfeito escalar ser˜ ao representados respectivamente porUTµµν definido como: e Tµν (ϕ) . dxµ , Uµ = ds • O campo de velocidades das part´ıculas do fluido perfeito Uµ (x) ´e definido em que dscomo: ´e o elemento de linha. µ em que ds é o elemento linha. µ dedx , = U • A derivada covariante de um campo ds vetorial indicada por ponto e v´ırgula, ser´ a dada por: em que ds ´e o elemento de linha.

• A derivada covariante de um campo vetorial indicada por

µ µ Aµcampo + Γνα Aα indicada por ponto ;ν = ,νpor: • A derivada de um vetorial ponto covariante e vírgula,A será dada e v´ırgula, ser´ a dada por: em que a v´ırgula indica deriva¸c˜ ao ordin´aria em rela¸c˜ao a xβ . E µ µcomo: α os s´ımbolos de Christoffel a=o A definidos Aµ ;νs˜ ,ν + Γνα A

1 ησ η g (g Γαβ =indica gα em . c˜ao a xβ . E em que a v´ırgula deriva¸ aogσordin´ ˜ aria σ α ,βc+ β ,α − β , σ )rela¸ 2 em quedea Christoffel vírgula indica derivaçãocomo: ordinária em relação a xº. os s´ımbolos s˜ ao definidos η Γαβ =

1 ησ g (gσ α ,β + gσ β ,α − gα β , σ ) .

2

vii

• A derivada covariante de um campo vetorial indicada por ponto e v´ırgula, ser´ a dada por: µ Aµ ;ν = Aµ ,ν + Γνα Aα

em E que v´ırgula indica deriva¸c˜ ao são ordin´ aria em rela¸ c˜ao a xβ . E osasímbolos de Christoffel definidos como: os s´ımbolos de Christoffel s˜ ao definidos como: η Γαβ =

1 ησ g (gσ α ,β + gσ β ,α − gα β , σ ) .

2

• O sistema de unidades a ser utilizado será tal que a velocidade da luz c será igualviià unidade e 8¼G= 1, em que G é a constante de gravitação newtoniana.

• O sistema de unidades a ser utilizado ser´a tal que a velocidade da luz c ser´ a igual a unidade e 8πG = 1, em que G ´e a constante de gravita¸c˜ ao newtoniana.

• As componentes covariantes do tensor de Ricci, do escalar de

• As componentes covariantes do tensor de Ricci, do escalar de Riccipor: Ricci e do tensor de Einstein são definidas, respectivamente, e do tensor de Einstein s˜ ao definidas, respectivamente, por: η η η µ µ η Rαβ = Γαβ , η − Γαη, β + ΓαβΓβµ− ΓαηΓβµ; α ; R = Rα

1 Gαβ = Rαβ − gαβ R. 2

SUMÁRIO

1 Um breve panorama sobre cosmologia, caos e pré-inflação . . . . 13 2 O cenário cosmológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1 Pontos críticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 O caso de curvatura positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 O caso de curvatura negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 A natureza dos pontos críticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 A Variedade invariante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 Equivalência entre as equações de Hamilton e de Einstein. 41 2.5 O Tensor energia-momento para o campo escalar com acoplamento não mínimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 Topologia na vizinhança dos pontos críticos . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1 Topologia próxima ao centro-sela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Topologia próxima ao pura sela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3 Topologia próxima ao puro centro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4 O ponto crítico foco generalizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5 A extensão do movimento de rotação do centro-sela . . . . . 60

4 O caso de pontos críticos degenerados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.1 O método da explosão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2 A natureza do ponto degenerado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5 Experimentos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.2 Modelos com seção fechada (k = 1): saída caótica para a inflação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.2.1 O Caso » > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.3 Determinação numérica de ±E? no caso de acoplamento mínimo (» = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.3.1 O caso » < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.4 Modelos com seção aberta (k = –1): o espaço de fase compacto. 93 6 Alguns comentários finais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Bibliografia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Sobre os Autores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Capítulo 1

Um breve panorama sobre cosmologia, caos e pré-inflação

A cosmologia, na sua busca da explicação da totalidade que chamamos Universo, já deixou de ser uma atividade altamente especulativa, pois conta atualmente com uma quantidade considerável de dados observacionais. Mais precisamente, a partir do surgimento dos telescópios espaciais, começando pelo telescópio espacial Hubble lançado em 1990, destinado a observar principalmente a luz visível e a luz ultravioleta. O telescópio Hubble é talvez responsável pela obtenção das mais belas imagens feitas de objetos no espaço.

Algumas destas imagens revelam galáxias a bilhões de anos-luz de distância. As observações obtidas através do Hubble foram de grande importância, permitindo refinar as estimativas da idade do universo, e obter estimativas da constante de Hubble com uma precisão de 10% [1]. Antes, esse erro era de aproximadamente 50%. Esses resultados e outros aqui não mencionados permitiram o aparecimento de uma grande quantidade de trabalhos científicos. Em 1991, a NASA lançou o telescópio espacial Compton, também chamado de Observatório de Raios Gama Compton (ORGC), destinado a 13

estudar as radiações gama dos corpos celestes. Dentre as descobertas feitas pelo telescópio Compton, destacam-se emanações de raios gama de buracos negros e até mesmo do nosso Sol [2]. Em 1999, o telescópio espacial Chandra foi o terceiro telescópio espacial [3].

O Observatório de Raios-X Chandra tinha como objetivo observar principalmente os buracos negros, quasares e gases em alta temperatura. Uma das grandes contribuições do Telescópio Chandra foi a vericação de fortes evidências da existência da energia escura [4].

Em 2003 foi lançado o Telescópio Espacial Splitzer, cujo objetivo era analisar preferencialmente a radiação infravermelha [5].

Uma das melhores descrições teóricas até agora propostas para a evolução do universo é conhecida como modelo padrão [6], cuja aceitação é quase unânime entre a comunidade científica. Segundo o modelo padrão, o universo encontrava-se inicialmente muito quente, possuindo uma enorme densidade de matéria, de modo que seu início, teria ocorrido num tempo t = 0 a partir de uma grande explosão (“Big Bang”). O modelo padrão descreve dois períodos distintos da evolução do universo: o primeiro, conhecido como era da radiação, tem início após a explosão inicial e nele o universo é dominado pela radiação. Ao final dessa fase, com a queda da temperatura, os elementos leves serão formados. O segundo período é dominado pela matéria e, portanto, de menor taxa de expansão, oferecendo condições favoráveis (densidade, temperatura, pressão) para a formação de condensações que dão origem às galáxias. A importância do modelo do Big Bang está no fato de obtermos a confirmação (por meio de observações) de algumas de suas previsões: a lei de Hubble, a formação de núcleos atômicos leves a partir de prótons e nêutrons poucos minutos após a grande explosão inicial, a existência de uma radiação cósmica de fundo e a homogeneidade e isotropia em larga escala do universo.

Apesar de o modelo apresentar vários sucessos na descrição, existem problemas, tais como o problema do horizonte e o problema da planura [6], e outros que surgem quando tentamos retroceder no tempo em direção ao instante inicial t = 0. Em 1981, A. H. Guth [7] propõe 14

o chamado universo inflacionário1 para solucionar esses problemas. A hipótese básica do cenário inflacionário proposta por Guth é a existência de uma fase no universo primordial, surgida após a era de Planck (~10–43s ), durante a qual o universo teve uma expansão muito mais acentuada que a do modelo padrão. Em outras palavras, o comportamento do fator de escala nos modelos inflacionários toma uma configuração de de Sitter, que constitui a principal característica dessa fase. Tal comportamento do fator de escala é devido a existência de um campo escalar que conduz a expansão do universo através de um termo do tipo constante cosmológica, termo este que corresponde à densidade de energia do vácuo do campo escalar. Segundo Guth [10], durante a fase inflacionária, a densidade de energia do vácuo do campo escalar domina sobre qualquer outra forma de energia. Wald [11] mostrou que todos os modelos cosmológicos de Bianchi (modelos homogêneos), à exceção dos modelos de Bianchi IX com constante cosmológica positiva e inicialmente em expansão, evoluem para uma configuração de de Sitter.

Os modelos cosmológicos anisotrópicos de Bianchi IX foram intensamente estudados ainda numa época em que o conceito de inflação não existia. A motivação foi a tentativa de Belinski e colaboradores [12] de entender a natureza das singularidades cosmológicas que surgem das equações de Einstein, assim como a tentativa de Misner [13] para resolver o problema do horizonte. A presença da matéria seria irrelevante nesses casos, pois a gravitação dominaria sobre qualquer forma de matéria próximo à singularidade. O resultado foi que a dinâmica dos modelos de Bianchi IX pode ser associada a mapas discretos [14], cujo comportamento seria caótico a partir dos primeiros cálculos dos expoentes de Lyapunov [15, 16]. Portanto, no final dos anos 70, o modelo anisotrópico de Bianchi IX foi considerado o primeiro exemplo Em 2014, pesquisadores do BICEP2 encontraram pela primeira vez, evidências diretas da Inflação Cósmica [8]. Os dados obtidos através das observações feitas pelo telescópio BICEP2 [9] da radiação cósmica de fundo representam as primeiras imagens de ondas gravitacionais, ou ondulações no espaço-tempo. Estas ondas têm sido descritas como os “primeiros tremores do Big Bang” 1

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