MATEMÀ -TIQUES
4
GUIA D’AULA ESO
Programa
Mary Somerville
Aquest projecte editorial de l’àmbit matemàtic ha estat elaborat d’acord amb les dimensions competencials i els continguts descrits en el decret d’ordenació curricular publicat pel Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya l’any 2015; aquest decret es fonamenta en la Llei d’educació de Catalunya i en les directrius de la Unió Europea, i respon al marc normatiu i a la legalitat vigent.
Equip editorial: Cap del projecte editorial: Montse Ballaró Coordinació editorial: Mario Suárez Edició: Rosario Martínez Romera Correcció: Immaculada Riera Coordinació artística i disseny: Laura R. Dengra Coordinació tècnica: Mercedes F. Bravo Maquetació: Servei Gràfic NJR, SLU Aquesta guia d'aula correspon als continguts del llibre de Matemàtiques 4 (Programa Mary Somerville), de José Colera Jiménez, Ignacio Gaztelu Albero, Mª José Oliveira González, Ramón Colera Cañas i Rosario García Pérez. © 2021 d’aquesta edició: Editorial Barcanova, SA Rosa Sensat, 9-11, 4a planta. 08005 Barcelona Telèfon 932 172 054 barcanova@barcanova.cat www.barcanova.cat Primera edició: juliol de 2021 ISBN: 978-84-489-5330-0 DL B. 12458-2021 Printed in Spain
Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó i multes, a més de les indemnitzacions corresponents per danys i perjudicis, per a aquells que reproduïssin, plagiessin o comuniquessin públicament, totalment o parcialment, una obra literària, artística o científica, o la seva transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà, sense l’autorització preceptiva.
» ÍNDEX » EL PROJECTE DE MATEMÀTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Presentació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
» UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Les competències, les rúbriques i les dianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Competències de l’àmbit matemàtic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Els objectius de desenvolupament sostenible (ODS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
» DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Índex de Matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Temporització orientativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Desenvolupament de les unitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Unitat 1. Nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Unitat 2. Polinomis i fraccions algebraiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Unitat 3. Equacions, inequacions i sistemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Unitat 4. Funcions. Característiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Repte 1. Visita al museu de la ciència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Unitat 5. Funcions elementals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Unitat 6. Semblança. Aplicacions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Unitat 7. Trigonometria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Unitat 8. Geometria analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Repte 2. Preparació d’una missió espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Unitat 9. Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Unitat 10. Distribucions bidimensionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Unitat 11. Combinatòria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Unitat 12. Càlcul de probabilitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Repte 3. Organització de la setmana cultural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Resolució de problemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
EL PROJECTE DE MATEMÀTIQUES
» PRESENTACIÓ
EL PROJECTE DE MATEMÀTIQUES
» PRESENTACIÓ El nou projecte per a l’Educació Secundària Obligatòria permet avançar des del marc de l’escola curricular fins a l’escola competencial, responent a la demanda de noves eines que aquest nou model necessita. Es tracta de formar alumnes competents a l’hora de connectar els continguts amb la informació que requereixen en cada moment per interactuar amb l’entorn, per donar-los un sentit d’utilitat transversal que els ajudi a resoldre els problemes i reptes que els planteja el seu procés d’aprenentatge i la societat en què vivim. Per facilitar el procés d’aprenentatge competencial proposem un material educatiu amb un contingut teòric com a font d’informació de tot allò que estableix el currículum per a la matèria i el curs corresponent, i unes activitats perquè l’alumne aprengui a gestionar la informació i adquireixi la competència d’aprendre a aprendre. A més a més, el docent disposa d’un llibre digital descarregable, multisuport, multidispositiu i multiplataforma, que conté recursos exclusius, com ara suggeriments didàctics, vídeos i enllaços d’interès per ajudar a dinamitzar l’aula i motivar l’alumnat. Aquesta Guia d’aula per a l’àmbit matemàtic, de Matemàtiques, forma part del projecte competencial elaborat per l’editorial seguint el currículum del Departament d’Ensenyament. Cobreix totes les necessitats del docent per afrontar el currículum competencial enfocat a treballar les competències pròpies de l’àmbit, agrupades per dimensions.
MATEMÀTIQUES
MATEMÀ-TIQUES 4 ESO
MATEMÀ-TIQUES 4
ITAL
ESO
DIG
LLIC IN ÈNC CLOU IA D IGIT AL
ESO
Programa
Mary Somerville
7
EL PROJECTE DE MATEMÀTIQUES El contingut de la guia està pensat per facilitar la tasca del professorat a l’aula: per això es presenta la reproducció de les pàgines del llibre amb la informació necessària per ser utilitzada en cada moment: • La temporització orientativa del contingut del llibre. • Una proposta de programació didàctica de cada unitat. • Els continguts clau de cada unitat. • Les solucions de totes les activitats. • La indicació de les activitats proposades per avaluar per dimensions i competències amb l’aplicació AvaluApp ( ). • La indicació de les activitats relacionades amb els objectius de desenvolupament sostenible (ODS, ). • La indicació de les pàgines on es poden treballar activitats amb GeoGebra ( DESENVOLUPAMENT DEL PROJEC TE
» TEMPORITZACIÓ ORIENTATIV A El currículum estab leix 140 hores per a la matèria de establir una temp Matemàtiques de orització que sigui 4t d’ESO. Es fa aplicable a tots solen ser diversos. difícil els grups, perqu D’altra banda, pot è els ritmes d’apr haver-hi alguna terístiques, no treba enentatge part de l’alumnat lli tots els conti que, per les seves nguts porització que oferim i activitats que caracpresentem. És per aquí només és orien això que la temtativa. Els tres reptes trimestrals que es presenten estan casa; tanmateix, pensats perquè en aquesta temp els alumnes els orització els destin comú a l’aula. L’apa facin a em 2 hores per rtat «Resolució a una posterior de problemes» ra autònoma, aquí posada en també està pensa destinem 4 hores t perquè el facin a la posada en comú de mane. UNITAT 1 Presentació. Resol 1. Nombres irracio nals 2. Nombres reals: la recta real 3. Trams de la recta real: intervals i semirectes 4. Arrels i radica ls 5. Nombres aproxi mats. Errors 6. Nombres en notaci ó científica. Contro de l’error l 7. Logaritmes Matemàtiques en context Taller de matem àtiques. Posa’t a prova
UNITAT 2 Presentació. Resol
1. Polinomis. Opera cions 2. Regla de Ruffini
3. Arrel d’un polino mi. Cerca d’arrel s 4. Factorització de polinomis 5. Divisibilitat de polinomis 6. Fraccions algebr aiques 7. Descompond re una fracció algebr aica en fraccions elemen tals Matemàtiques en context Taller de matem àtiques. Posa’t a prova
24
8
HORES LECTIVES 1h 1h 1h 2h 1h 1h 1h 1h 1h
HORES LECTIVES 1h 1h 1h 1h 1h 1h 2h 1h 1h
UNITAT 3 Presentació. Resol 1. Equacions 2. Sistemes d’equa cions 3. Inequacions amb una incògnita Matemàtiques en context Taller de matem àtiques. Posa’t a prova
UNITAT 4 Presentació. Resol
1. Conceptes bàsics 2. Com es presen ten les funcions 3. Domini de definic ió 4. Funcions contín ues. Discontinuïta ts 5. Creixement, màxim s i mínims 6. Tendència i period icitat Matemàtiques en context Taller de matem àtiques. Posa’t a prova Repte 1r trimestre: Visita al museu de la ciència
HORES LECTIVES 3h 3h 3h 1h 1h
HORES LECTIVES 1h 2h 1h 1h 2h 2h 1h 1h 2h
).
Per tal de completar les eines per al professorat, el docent pot comptar amb material complementari preparat per ser fotocopiat. Aquest material el podrà descarregar des de l’espai personal del web www.barcanova.cat: • Avaluacions curriculars: tres propostes en tres nivells de dificultat. • Avaluacions competencials: seguint el model de les proves PISA. • Activitats de reforç. • Rúbriques i dianes d’avaluació.
MATEMÀ-TIQUES 4 GUIA D’AULA ESO
ESPAI PERSONAL
Programa
Mary Somerville
MATEMÀTIQUES
• 4t ESO • AVA
LUACIÓ CURRICU LAR
Nom:
Grup:
Avaluació:
Data:
QUALIFICACIÓ UNITAT 1 • NOM
BRES REALS
OPCIÓ A
Activitat 1 - Dime
nsió raonament
i prova i dimensió Classifica els nombr connexions es següents en racion als o irracionals. gran. Després, ordena’ls de a) 3π
∙ b) 8,56
d) √25 3
més petit a més
c) – 5 2
e) √80
∙ f ) –6,35
g) 12
Activitat 2 - Dime
nsió connexion s i dimensióETE IAL NC nicació i repre dels intervals següen COMP comu sentació ts amb la seva repres • AVALUACIÓ entació a la recta 4tb)ESO real: [–5, :
Relaciona cada un a) ES [–5,2]• MATEMÀTIQU I)
Nom: Avaluació:
@)
–5
II)
–5
III) IV)
Data:
–3
–2
–1
0
1
2
–4
–3
–2
IÓ QUALIFICAC
–1
0
1
2
–6
–5
–4
–3 S –2 RE–1 MB NO
–5
–4
–3
–2
UNITAT 1 •
itat ura de l’electric
La fact
A la factura
Grup d) (–5,2)
c) [– @, 2)
–4
els
de la llum tenim
–1
REALS
0
0
1
1
2
2
Càlcul
h 0,151425 €/kW 315 kWh × €/kW dia dies × 0,135713 contractada) 3,3 kW × nre. um + potència de (cost de cons 5,112696 % 6721 €/dia Nre. dies × 0,02 rior l’ante suma de tot 21 % sobre la
Concepte Consum
actada Potència contr l’electricitat Impost sobre ips de mesura Lloguer d’equ IVA
nitat 1 UES • U
name ensió rao ió es, dim entac problem ació i repres ció de nic ió resolu ensió comu Dimens ions i dim connex itat 1
RÚBRIQ
, Activ
36 Pàgina
1. L’última factura
sió a, dimen nt i prov
ssoliment Nivell d’a Aprenent Avançat 2 (50 %) s r allò mé 3 (75 %)
Novell 1 (25 %)
Expert ) 4 (100 %
1
ent i prova, problemes, dimensió raonam ntació i represe dimensió comunicació
3
Gairebé sempre
2
De vegades
1
Mai
IVA
iva xifra significat (pren com a ació de l’IVA s en l’aproxim 4t ESO absolut comè • AC
QUES •
2. Calcula l’error
TIVITATS
tèsima):
L’error absolut Interpreto la informació continguda en l’enunciat del problema.
és <
ITA és <T 1 • NO
3
CORDA
Transformo expressions aritmètiques en altres d’equivalents més senzilles i en calculo el resultat.
RÇ
Grup:
relatiu L’errorRE
la cen-
DE REFO :
l’IVA ació de Data:
s en l’aproxim
relatiu comè
ula l’error 3. CalcUN
2
o: a cèntims d’eur
Total
MATEMÀ TI
Nom:
4
s, aproximant
ula’n els total
61 dies. Calc
1
actada Potència contr l’electricitat Impost sobre ips de mesura Lloguer d’equ
4 Sempre
DIANES • Unitat 1
iat l’enunc Dimensió resolució de Entenc blema d’un pro dimensió connexions i Sé tria cultats. es de nt de amb difi les dad importa d’un Sé triar d’un iat 25 % es Pàgina 36, activitat 2 iat l’enunc faig les dad n l’enunc ma i em entenc Extrec d’u proble de què blema i i què unciat pro tació i l’en a rpre de ide ana 1. Inte ma i faig què dem resoldre’l. una ana i de què ió de la proble ntació per dem identificac de fer rese cal ció per una rep dibuix, cal fer informa del uema, ’l. iat (esq ldre unc de reso l’en partir ma. etc.) a proble iat. el l’enunc Afronto , penso ma el proble es Estudio i penso nes ide ma en algu el proble ldre’l i Estudio , sèrie per reso ma en una el 25 % proble pla per un provo de par-les Estudio , ixo d’idees i provo olu ma estable ió ’l ’l i el desenv proble resoldre olupar2. Aplicac es resoldre un pla cultats. o difi per b eny env ègi am po. de des d’estrat per diss resoldre’l, el envolu àtiques b des per Represento am les. po matem olu el desenv cop resoldre . nombres grans i tat i, un ure ma seg o el proble repass petits en notació b resolt, per iment am cultats proced científica. Tinc difi mar detall. sfor nes tran Faig algu ions macions express rmo es i transfor Transfo ressions s. aritmètiqu 15 % amb exp es i a resultat algunes nsformo arribar ions ns Tra aritmètiqu ltats ions express pressio es en express bo a resu zills. en tiqu arri es 3. Ús d’ex es. mè arit sen aritmètiqu en casos aritmètiqu es altres les altr uivalents i les lents i d’eq d’equiva b ulo am tat. calc tament. calculo i segure correc agilitat n cas En algu cessos pro aç de aplico ent per Soc cap raonam ir int constru acions o de struir les itzo sov con 15 % prar Util cessos de nions. argument s a Efectuo xo a em pro ves opi ent per me Tendei nam ent rao sos de raonam la ent de la operacions proces r partir de que 4. Seguim de ent per analitza ció sos raonam una ció i informa proces amb fraccions informa ves litzar ent per rebo. raonam opinions. ana ació, extreure’n formar les me en situacions ir situ ció i constru nions. rma opi info la properes. les meves formar opinions.
ors Descript
correspon a
Concepte Consum
Pes
3
ents: conceptes segü
MBRES
EL QUE
1
REALS
ÉS ESSE
NCIAL
NOMBRE
S REALS
NOMBRE
S RACIONA Són els que LS es poden expr .................. .................. essar com a ...... ... .................. .............. : 0,125 = 12,333… =
exemples
1
NOM
SIÓ
Raono les meves opinions i els procediments que utilitzo.
S IRRACION
INTERVA
EXPRES
(a, b)
NOMBRE
L’expressió ALS decimal d’un .................. nombre irrac .................. ional és .................. : z3 = ...... .............. .................. .................. .....
exemple
LS I SEM IREC
TES
NOMBRE
S QUE COM PRÈ
N
REPRES
ENTACIÓ
EXEMPL
E
[a, b] (a, b] [a, b) (– @, b) (– @, b] (a, + @) [a, + @)
Faig servir argumentacions per justificar les meves afirmacions.
1
1
9
UN CURRÍCULUM
M T E CO P ENCIAL
» LES COMPETÈNCIES, LES RÚBRIQUES I LES DIANES » COMPETÈNCIES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC » ELS OBJECTIUS DE DESENVOLUPAMENT SOSTENIBLE (ODS)
UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL
» LES COMPETÈNCIES, LES RÚBRIQUES I LES DIANES Les competències Una competència és el resultat d’integrar coneixements, habilitats i actituds d’una manera pràctica i saber-les aplicar a contextos diversos, siguin de l’àmbit acadèmic o de l’àmbit no acadèmic. Les competències són, per tant, combinacions de coneixements, habilitats i actituds adquirides que interactuen per donar una resposta eficient al treball o a l’activitat que es duu a terme. L’objectiu principal de l’aprenentatge és el desenvolupament de les competències. La nomenclatura de les competències que utilitzem en aquesta Guia d’aula és la que estableix el Departament d’Ensenyament en el document Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic. Les competències s’han de considerar totalment integrades amb els continguts del currículum. Per a l’adquisició de cada competència són necessaris continguts molt diversos que s’hauran d’anar assolint progressivament al llarg dels cursos. Les competències de cada àmbit de coneixement s’estableixen per a tota l’etapa educativa; per tant, la seva adquisició s’haurà d’anar consolidant amb els aprenentatges que es vagin aconseguint en els diversos cursos de l’ESO. Cal assenyalar que no totes les activitats que requereix un alumne per assolir plenament els continguts tenen un caràcter competencial. També són necessàries les activitats d’aplicació directa dels continguts. En l’apartat d’aquesta guia «Programació competencial d’aula i concreció de les dimensions» trobareu una relació de les activitats proposades en el llibre agrupades per dimensions. Sovint les activitats proposades es relacionen amb més d’una dimensió i posen en joc diverses competències, però en aquesta programació s’ha volgut indicar la dimensió que té més rellevància en cada activitat. En el cas de les activitats que pertanyen a la secció «Matemàtiques en context», excepcionalment indiquem totes les dimensions que hi intervenen, ja que proposem aquestes activitats per avaluar per dimensions mitjançant l’aplicació AvaluApp.
COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ
DIMENSIÓ
RAONAMENT RESOLUCIÓ I PROVA DE PROBLEMES
CONNEXIONS
13
UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL
Les rúbriques Les rúbriques són eines d’autoavaluació dels alumnes que serveixen perquè siguin conscients del seu nivell d’aprenentatge, però també són una eina excel·lent per al docent per copsar la percepció que cada alumne té d’aquest aprenentatge i, si cal, establir estratègies perquè millorin. Es poden fer servir en l’avaluació de determinades activitats i descriuen les característiques específiques d’aquella activitat en diversos nivells de rendiment, per tal d’aclarir allò que s’espera del treball de l’alumne, valorar-ne l’execució i facilitar el feedback (retroalimentació). Així, doncs, la rúbrica és un instrument d’avaluació que no solament serveix per al docent, que la utilitza per mostrar a l’alumnat, d’una manera clara, el que es valorarà d’aquella tasca i com hi poden arribar, sinó també per a l’alumne, ja que facilita l’autoreflexió i la seva implicació activa i, per tant, és una eina per guiar-ne l’aprenentatge. A més, la rúbrica pot ser motivadora si orienta l’alumnat sobre com pot millorar. Si es vol que sigui una eina potent per a l’aprenentatge de l’alumnat, cal involucrar-lo en la seva elaboració, posada en pràctica i revisió. En aquest programa de Matemàtiques posem a l’abast del docent diferents rúbriques perquè les pugueu fotocopiar, comentar i lliurar a cada un dels vostres alumnes abans de fer l’activitat a què es refereix i, si ho creieu convenient, modificar-la conjuntament, de manera que sigui una mena de contracte entre docent i alumnat. Per a cada descriptor s’estableix una gradació en quatre nivells, cada un amb un valor: expert (4), avançat (3), aprenent (2) i novell (1), i s’estableix un percentatge per a cada ítem, de manera que, tots sumats, arribin a 100. Si d’una competència indiquem que té un percentatge del 5 %, l’alumne que marqui l’opció expert obtindrà el 100 % del percentatge de la nota, és a dir, un 5 %; el que hagi marcat l’opció avançat obtindrà un 75 % del 5 %, és a dir, un 3,75 ; l’aprenent, un 50 % del 5 %, és a dir, un 2,5 %, i el novell, un 25 % del 5 %, és a dir, un 1,25 %. Sumats els valors obtinguts per a cada ítem, tindrà el valor global d’assoliment d’aquella activitat i el percentatge corresponent a cada competència. Tant els descriptors de les competències —o ítems— com RÚBRIQUES • Unitat 1 els percentatges que hem atorgat a cada un els podeu modificar segons el vostre criteri. El que cal és que, repartits els percentatges, el total faci 100. També, a partir d’aquests models, vosaltres mateixos podeu elaborar rúbriques per a altres activitats o treballs del vostre alumnat. Dimensió resolució de problem es, dimensió raonament i prova, dimensió connexions i dimensió comunic ació i representació
Pàgina 36, Activitat 1
Descriptors
1. Interpretació i identificació de la informació de l’enunciat del problema.
2. Aplicació d’estratègies matemàtiques per resoldre el problema.
Expert 4 (100 %)
Extrec les dades de l’enunciat d’un problema i faig
una representació (esquema, dibuix, etc.) a partir de l’enunciat.
Estudio el problema, dissenyo un pla per resoldre’l, el desenvolupo amb seguretat i, un cop resolt, repasso el procediment amb detall.
Nivell d’assoliment Avançat Aprenent 3 (75 %) 2 (50 %)
Sé triar les dades de l’enunciat d’un problema i entenc què demana i què cal fer per resoldre’l.
Estudio el problema, estableixo un pla per resoldre’l i el desenvolupo.
3. Ús d’expressions Transformo Transformo aritmètiques. expressions algunes aritmètiques en expressions altres aritmètiques en d’equivalents i les altres calculo amb d’equivalents i les agilitat i seguretat. calculo correctament.
4. Seguiment de processos de raonament per construir opinions.
Tendeixo a emprar processos de raonament per analitzar una situació, extreure’n la informació i formar les meves opinions.
Utilitzo sovint processos de raonament per analitzar la informació i formar les meves opinions.
Novell 1 (25 %)
Sé triar allò més Entenc l’enunciat important de d’un problema l’enunciat d’un amb dificultats. problema i em faig una idea de què demana i de què cal fer per resoldre’l.
Estudio el problema i penso en una sèrie d’idees per resoldre’l i provo de desenvoluparles.
Faig algunes transformacions amb expressions aritmètiques i arribo a resultats en casos senzills.
Soc capaç de construir argumentacions o raonaments a partir de la informació que rebo.
Afronto el problema, penso en algunes idees per resoldre’l i provo de desenvolupar-les amb dificultats.
Tinc dificultats per transformar expressions aritmètiques i arribar a resultats.
En algun cas aplico processos de raonament per construir les meves opinions.
Pes
25 %
25 %
15 %
15 %
1
14
Les dianes La diana d’autoavaluació és una altra eina que ens permet avaluar les competències d’una activitat que considerem rellevant, d’una manera ràpida i àgil, a partir de la percepció que l’alumne té del seu aprenentatge. És una eina més senzilla que la rúbrica però, de vegades, és suficient. La representació de la diana presenta quatre cercles concèntrics, que determinen el grau d’assoliment de les competències que es volen avaluar, amb una numeració de l’1 al 4: al cercle més intern li correspon l’1 i al més extern, el 4. Vindrien a ser els graus d’assoliment de les rúbriques (expert, avançat, aprenent i novell). Aquesta diana es divideix en tants sectors com descriptors de les competències o ítems es vulguin avaluar. Cada línia que separa els sectors representa un dels ítems. De vegades es posa el descriptor de la competència a la part externa del cercle o, si no hi ha espai, un número i la llegenda corresponent a cada un dels ítems al costat de la diana. Per fer l’autoavaluació, l’alumne ha de valorar si l’ítem corresponent l’ha assolit de manera excel·lent (Sempre), bé (Gairebé sempre), suficient (De vegades) o cal que s’ho revisi (Mai) segons el que indiqui la llegenda de la diana, i marcar un punt en la intersecció entre la línia de l’ítem i el cercle de la numeració corresponent. Quan l’alumne ha valorat tots els ítems, ha de traçar una línia per unir tots els punts i pintar l’àrea del polígon resultant. Com més gran sigui l’àrea, més assoliment hi ha de les competències de l’activitat que s’avalua. Finalment, els alumnes poden comparar el dibuix resultant de la seva diana amb el de la resta dels companys i companyes.
pre 4 Sem
ireb é 3 Ga
tat 1 ES • Uni
i prova, nament ensió rao entació DIAN lemes, dimnicació i repres de prob mu resolució s i dimensió co ió ns ion Dime connex dimensió Pàgin
ivitat a 36, act
2 1
DIANES
sem pre
De veg ade
• Unita t1
Dimens ió reso luc dimens ió conn ió de problem exions Pàgina i dimens es, dimensió 37, activ raonam ió comu itat 4 ent nicació i repres i prova, entació
s
Ma i
2
ació o la inform Interpret unciat da en l’en contingu ma. del proble
4 to Represen grans i nombres notació petits en . científica
3 2
o Transform ns expressio ques en aritmèti altres s lents mé d’equiva i en senzilles at. el result calculo
DIANES • Unitat 1
Ga ireb é sem pre De veg ade s
Ma i
4 Sempre
Dimensió resolució de problem es, dimensió raonament i prova, dimensió connexions i dimensió comunicació i representació
Pàgina 37, activitat 3
3
Gairebé sempre
2
De vegades
1
Mai
Opero amb nombres expressa ts en notació científic a en situa cions properes .
4 3 2 1
Interpreto la informació continguda en l’enunciat del problema. meves Raono les i els opinions ents procedim o. que utilitz
1
Tradueix o un pro blema a llengu atge matem àtic.
1
Efectuo ns operacio ccions amb fra ons en situaci . properes
4 Sem pre 3 2
Resolc probleme s utilitzan t els nombres racionals i les operacio ns matem àtiques.
Expresso verbalment i per escrit, amb precisió, els meus resultats i conclusions.
4 3
Calculo el resultat d’una expressió aritmètica.
2 vir Faig ser per tacions argumen les meves justificar ons. afirmaci
1
1
Efectuo càlculs de capacitat en situacions properes.
Explico , d’una manera entened ora, els conc eptes matem àtics i els procedim ents qu e faig ser vir.
Argume nto les meves afirmac ions i n’aporto exemples .
Faig servir el coneixement matemàtic per construir els meus raonaments. Realitzo conjectures, les comprovo i les justifico.
3
2
15
COMPETÈNCIES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC » MATEMÀTIQUES
C1
Competència 1. Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats.
C2
Competència 2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.
C3 C2
Competència 3. Mantenir una actitud de recerca davant d’un problema assajant estratègies diverses.
C4
Competència 4. Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes.
C5
Competència 5. Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.
C6
Competència 6. Emprar el raonament matemàtic en entorns no matemàtics.
C7
Competència 7. Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar.
C8
Competència 8. Identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes.
C9
Competència 9. Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic.
C10
Competència 10. Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres.
C11
Competència 11. Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu per compartir i construir coneixement a partir d’idees matemàtiques.
C12
Competència 12. Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.
DIMENSIONS
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES
RAONAMENT I PROVA
CONNEXIONS
COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ
16
UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL
» ELS OBJECTIUS DE DESENVOLUPAMENT SOSTENIBLE (ODS) Els objectius de desenvolupament sostenible (ODS) són una crida universal per a l’acció per posar fi a la pobresa, protegir el planeta i garantir que totes les persones tinguin accés a l’educació, la igualtat, l’aigua, l’energia neta, la pau i la prosperitat. Es tracta d’un pla de mesures amb 17 objectius i 169 metes per aconseguir un món més igualitari i habitable i que s’haurien de complir abans de 2030. Aquests objectius porten implícit un esperit de col·laboració i pragmatisme amb la finalitat de millorar la vida, de manera sostenible, de les generacions futures. A més, en si mateixos són una agenda inclusiva en tant que tracten les causes fonamentals de la pobresa i uneixen tots els estats que hi participen per aconseguir així un canvi positiu en benefici de les persones i del planeta. La lluita contra el canvi climàtic és un element transversal i decisiu que influeix en tots els aspectes del desenvolupament sostenible i l’Agenda 2030. Fer conscient l’alumnat dels reptes imminents plantejats en els objectius de desenvolupament sostenible en aquest programa pedagògic proporciona un marc de treball a partir del qual articular aprenentatges competencials que activin l’alumne, no tan sols quant al saber sinó també pel que fa al saber fer i al saber ser, i reforcin la seva preparació com a futurs ciutadans compromesos amb la realitat del seu temps. La primera forma de contribuir a la consecució d’aquests ODS és contribuir a augmentar la consciència pública d’aquests en tots els àmbits, i l’aula és un espai fonamental d’aprenentatge de la convivència de les generacions futures. L’Agenda Educativa 2030, sorgida del Fòrum Educatiu Mundial celebrat a Inch’ŏn, República de Corea (UNESCO, 2015; Nacions Unides, 2015), va situar l’educació com una de les eines fonamentals per forjar un desenvolupament que sigui a la vegada sostenible, inclusiu, just, pacífic i cohesiu.
17
UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL
Els 17 objectius de desenvolupament sostenible
18
U S V DE EN OL PAMENT
O DEL PR JECTE
» ÍNDEX DE MATEMÀTIQUES » TEMPORITZACIÓ ORIENTATIVA » DESENVOLUPAMENT DE LES UNITATS
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
» ÍNDEX DE MATEMÀTIQUES BLOC I. NUMERACIÓ I CÀLCUL
1
NOMBRES REALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1. Nombres irracionals*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Nombres reals: la recta real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. Trams de la recta real: intervals i semirectes . . . . . . . . . . . . 16 4. Arrels i radicals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5. Nombres aproximats. Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6. Nombres en notació científica. Control de l’error . . . . . . . . 24 7. Logaritmes*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Matemàtiques en context. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
BLOC II. CANVI I RELACIONS
2 3 20
POLINOMIS I FRACCIONS ALGEBRAIQUES . . . . . . 40 1. Polinomis. Operacions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2. Regla de Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3. Arrel d’un polinomi. Cerca d’arrels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4. Factorització de polinomis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5. Divisibilitat de polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6. Fraccions algebraiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 7. Descompondre una fracció algebraica en fraccions elementals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Matemàtiques en context. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
EQUACIONS, INEQUACIONS I SISTEMES . . . . . . . . . 68 1. Equacions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2. Sistemes d’equacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3. Inequacions amb una incògnita* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Matemàtiques en context. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4
FUNCIONS. CARACTERÍSTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5
FUNCIONS ELEMENTALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1. Conceptes bàsics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2. Com es presenten les funcions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3. Domini de definició. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4. Funcions contínues. Discontinuïtats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5. Creixement, màxims i mínims. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6. Tendència i periodicitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Matemàtiques en context. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
» REPTE 1r TRIMESTRE: Visita al museu de la ciència. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 1. Funcions lineals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2. La paràbola: una corba molt interessant. . . . . . . . . . . . . . . . 123 3. Funcions quadràtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4. Funcions amb valor absolut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5. Funcions radicals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6. Funcions de proporcionalitat inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7. Funcions exponencials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 8. Funcions logarítmiques*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Matemàtiques en context. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
BLOC III. ESPAI, FORMA I MESURA
6
SEMBLANÇA. APLICACIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 1. Semblança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 2. Homotècia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3. Rectangles de dimensions interessants . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4. Semblança de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5. La semblança en els triangles rectangles. . . . . . . . . . . . . . . . 158 6. Semblança de triangles rectangles en cossos geomètrics. 160 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Matemàtiques en context. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
21
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
7
TRIGONOMETRIA* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 1. Raons trigonomètriques d’un angle agut. . . . . . . . . . . . . . . . 174 2. Relacions trigonomètriques fonamentals. . . . . . . . . . . . . . . . 176 3. Utilització de la calculadora en trigonometria . . . . . . . . . . . 178 4. Resolució de triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5. Resolució de triangles no rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6. Raons trigonomètriques de 0° a 360°. . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7. Angles de mesures qualssevol. Raons trigonomètriques. . 185 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Matemàtiques en context. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
GEOMETRIA ANALÍTICA* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8
1. Vectors en el pla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 2. Operacions amb vectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 3. V ectors que representen punts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 4. Punt mitjà d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 5. Comprovació que tres punts estan alineats. . . . . . . . . . . . . 203 6. Equacions de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7. Rectes. Paral·lelisme i perpendicularitat . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8. Rectes paral·leles als eixos de coordenades. . . . . . . . . . . . 208 9. Posicions relatives de dues rectes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 10. Distància entre dos punts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 11. Equació d’una circumferència. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 1 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Matemàtiques en context. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
» REPTE 2n TRIMESTRE: Preparació d’una missió espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
BLOC IV. ESTADÍSTICA I ATZAR
9 22
ESTADÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 1. L’estadística i els seus mètodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 2. Taules de freqüències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 3. Paràmetres estadístics: x– i σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 4. Paràmetres de posició per a dades aïllades. . . . . . . . . . . . . 234 5. Paràmetres de posició per a dades agrupades . . . . . . . . . . 236 6. Diagrames de caixa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7. Estadística inferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 8. Estadística en els mitjans de comunicació. . . . . . . . . . . . . . . 2 43 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 47 Matemàtiques en context. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10 11 12
DISTRIBUCIONS BIDIMENSIONALS . . . . . . . . . . . . . . . 256 1. Distribucions bidimensionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 2. El valor de la correlació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 3. La recta de regressió per fer estimacions. . . . . . . . . . . . . . . 264 4. Reflexionem: la correlació significa causa-efecte?. . . . . . . . 266 5. Distribucions bidimensionals amb calculadora. . . . . . . . . . . 267 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 69 Matemàtiques en context. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
COMBINATÒRIA* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 1. Estratègies basades en el producte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 2. Variacions i permutacions (importa l’ordre) . . . . . . . . . . . . . 284 3. Quan no hi influeix l’ordre. Combinacions. . . . . . . . . . . . . . . 286 4. Un triangle numèric interessant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Observa, raona i resol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Matemàtiques en context. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
CÀLCUL DE PROBABILITATS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 1. Esdeveniments aleatoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 2. Probabilitats dels esdeveniments. Propietats . . . . . . . . . . . 302 3. Probabilitats en experiències simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 4. Probabilitats en experiències compostes . . . . . . . . . . . . . . . 306 5. Composició d’experiències independents . . . . . . . . . . . . . . . 307 6. Composició d’experiències dependents* . . . . . . . . . . . . . . . 308 7. Taules de contingència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Observa, raona i resol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Exercita les teves competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 4 Matemàtiques en context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 8 Taller de matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Posa’t a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 1
» REPTE 3r TRIMESTRE: Organització de la setmana cultural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 » RESOLUCIÓ DE PROBLEMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
*NOTA: Les unitats o apartats assenyalats amb un asteric (*) són específics dels ensenyaments acadèmics.
23
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
» TEMPORITZACIÓ ORIENTATIVA El currículum estableix 140 hores per a la matèria de Matemàtiques de 4t d’ESO. Es fa difícil establir una temporització que sigui aplicable a tots els grups, perquè els ritmes d’aprenentatge solen ser diversos. D’altra banda, pot haver-hi alguna part de l’alumnat que, per les seves característiques, no treballi tots els continguts i activitats que presentem. És per això que la temporització que oferim aquí només és orientativa. Els tres reptes trimestrals que es presenten estan pensats perquè els alumnes els facin a casa; tanmateix, en aquesta temporització els destinem 2 hores per a una posterior posada en comú a l’aula. L’apartat «Resolució de problemes» també està pensat perquè el facin de manera autònoma, aquí destinem 4 hores a la posada en comú.
UNITAT 1 Presentació. Resol 1. Nombres irracionals
1h
UNITAT 3 Presentació. Resol 1. Equacions
HORES LECTIVES 3h
2. Nombres reals: la recta real
1h
3. T rams de la recta real: intervals i semirectes
1h
4. Arrels i radicals
2h
5. Nombres aproximats. Errors
1h
6. N ombres en notació científica. Control de l’error
1h
7. Logaritmes
1h
Presentació. Resol
Matemàtiques en context
1h
1. Conceptes bàsics
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
2. Com es presenten les funcions
2h
3. Domini de definició
1h
UNITAT 2 Presentació. Resol 1. Polinomis. Operacions
24
HORES LECTIVES
HORES LECTIVES 1h
2. Regla de Ruffini
1h
3. Arrel d’un polinomi. Cerca d’arrels
1h
4. Factorització de polinomis
1h
5. Divisibilitat de polinomis
1h
6. Fraccions algebraiques
1h
7. Descompondre una fracció algebraica en fraccions elementals
2h
Matemàtiques en context
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
2. Sistemes d’equacions
3h
3. Inequacions amb una incògnita
3h
Matemàtiques en context
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
UNITAT 4
HORES LECTIVES 1h
4. Funcions contínues. Discontinuïtats
1h
5. Creixement, màxims i mínims
2h
6. Tendència i periodicitat
2h
Matemàtiques en context
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
Repte 1r trimestre: Visita al museu de la ciència
2h
UNITAT 5 Presentació. Resol 1. Funcions lineals
HORES LECTIVES 2h
UNITAT 7 Presentació. Resol 1. Raons trigonomètriques d’un angle agut
HORES LECTIVES 2h
2. La paràbola: una corba molt interessant
1h
2. Relacions trigonomètriques fonamentals
1h
3. Funcions quadràtiques
2h
4. Funcions amb valor absolut
1h
3. Utilització de la calculadora en trigonometria
1h
5. Funcions radicals
1h
4. Resolució de triangles rectangles
1h
6. Funcions de proporcionalitat inversa
1h
5. Resolució de triangles no rectangles
1h
7. Funcions exponencials
1h
6. Raons trigonomètriques de 0° a 360°
2h
8. Funcions logarítmiques
1h
Matemàtiques en context
1h
7. Angles de mesures qualssevol. Raons trigonomètriques
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
Matemàtiques en context
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
UNITAT 6 Presentació. Resol 1. Semblança
HORES LECTIVES 1h
UNITAT 8 Presentació. Resol
HORES LECTIVES 1h
2. Homotècia
1h
1. Vectors en el pla
3. Rectangles de dimensions interessants
1h
2. Operacions amb vectors
1h
4. Semblança de triangles
2h
3. Vectors que representen punts
1h
5. La semblança en els triangles rectangles
2h
4. Punt mitjà d’un segment
1h
6. S emblança de triangles rectangles en cossos geomètrics
2h
5. Comprovació que tres punts estan alineats
1h
Matemàtiques en context
1h
6. Equacions de la recta
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
7. Rectes. Paral·lelisme i perpendicularitat
1h
8. R ectes paral·leles als eixos de coordenades
1h
9. Posicions relatives de dues rectes
1h
10. Distància entre dos punts
1h
11. Equació d’una circumferència
1h
Matemàtiques en context
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
Repte 2n trimestre: Preparació d’una missió espacial
2h
25
UNITAT 9 Presentació. Resol 1. L’estadística i els seus mètodes
1h
2. Taules de freqüències
1h
3. Paràmetres estadístics: x̄ i σ
1h
4. P aràmetres de posició per a dades aïllades
2h
UNITAT 11 Presentació. Resol 1. Estratègies basades en el producte
HORES LECTIVES 3h
2. V ariacions i permutacions (importa l’ordre)
2h
3. Quan no hi influeix l’ordre. Combinacions
2h
4. Un triangle numèric interessant
1h
Matemàtiques en context
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
5. P aràmetres de posició per a dades agrupades
2h
6. Diagrames de caixa
1h
7. Estadística inferencial
1h
8. E stadística en els mitjans de comunicació
1h
Presentació. Resol
Matemàtiques en context
1h
1. Esdeveniments aleatoris
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
2. P robabilitats dels esdeveniments. Propietats
1h
3. Probabilitats en experiències simples
1h
4. Probabilitats en experiències compostes
1h
2h
5. Composició d’experiències independents
1h
2. El valor de la correlació
2h
6. Composició d’experiències dependents
1h
3. L a recta de regressió per fer estimacions
7. Taules de contingència
1h
2h
Matemàtiques en context
1h
4. R eflexionem: la correlació significa causa-efecte?
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
1h
5. D istribucions bidimensionals amb calculadora
2h
1h
Repte 3r trimestre: Organització de la setmana cultural
Matemàtiques en context
1h
Resolució de problemes
4h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
UNITAT 10 Presentació. Resol 1. Distribucions bidimensionals
26
HORES LECTIVES
HORES LECTIVES
UNITAT 12
HORES LECTIVES 1h
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
» DESENVOLUPAMENT DE LES UNITATS » UNITAT 1. NOMBRES REALS Programació competencial d’aula i concreció de les dimensions Dimensió resolució de problemes COMPETÈNCIES
CRITERIS
C1. Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats.
1. L’alumne ha de ser capaç de resoldre problemes de la vida quotidiana, d’altres matèries i de les mateixes matemàtiques utilitzant diferents tipus de nombres (racionals i irracionals), símbols i mètodes algebraics, i avaluar altres mètodes de resolució possibles, com, per exemple, l’assaig error o bé el càlcul numèric amb mitjans tecnològics.
C2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes. C4. Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes.
INDICADORS
CONTINGUTS
1.1. Tradueix un - Nombres racionals i problema a irracionals. El llenguatge matemàtic nombre 2 . El utilitzant gràfics, nombre auri. El expressions nombre r. aritmètiques o - Arrels i radicals. expressions Forma exponencial. algebraiques Potències. senzilles. 1.2. Empra conceptes, - Propietats dels radicals. Operacions eines i estratègies amb radicals. matemàtiques per Racionalització de resoldre problemes, denominadors. explicant el procés i comprovant la raonabilitat de la solució.
1.3. Genera preguntes o problemes que impliquin connexions i que siguin coherents amb el context en què es planteja.
- Nombres aproximats. Error absolut i error relatiu.
ACTIVITATS Resol: 1, 2 Aplica el que has après: 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 25, 26 Observa, raona i resol: 1, 3 Exercita les teves competències: 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 Matemàtiques en context: 1, 2, 3, 4 Posa’t a prova: 1, 4, 5
- Logaritmes. Propietats dels logaritmes.
27
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 Dimensió raonament i prova COMPETÈNCIES
CRITERIS
C5. Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.
7. L’alumne ha de ser capaç de planificar i utilitzar processos de raonament i estratègies de resolució de problemes, com la realització de conjectures, la seva justificació i generalització, així com la comprovació, el tempteig i el contrast amb diverses formes de raonament al llarg de la història de les matemàtiques.
INDICADORS 7.1. Empra processos de raonament i estratègies de resolució de problemes per construir argumentacions matemàtiques, les expressa amb precisió i les contrasta amb les dels altres.
CONTINGUTS - Tipus de nombres. Significat dels nombres reals. - Significat de les potències i de les arrels.
ACTIVITATS Aplica el que has après: 1, 2, 3, 4, 20 Exercita les teves competències: 1, 2, 3, 4, 11, 41, 44, 45, 46, 47, 55, 56, 57, 58, 59, 60 Taller de matemàtiques: Llegeix i comprèn. Descobreix
7.2. Fa generalitzacions o concrecions tot realitzant conjectures, comprovant-les i justificant-les.
Posa’t a prova: 7
7.3. Identifica exemples o contraexemples per justificar o rebutjar afirmacions matemàtiques. C6. Emprar el raonament matemàtic en entorns no matemàtics.
8. L’alumne ha de ser capaç d’analitzar i avaluar les estratègies i el pensament matemàtic dels altres, a través del treball per parelles o en grup o bé la posada en comú amb tota la classe.
8.1. Expressa amb precisió les seves argumentacions matemàtiques emprant els recursos adients. 8.2. Contrasta les argumentacions pròpies amb les dels altres. 8.3. Avalua les estratègies pròpies i dels altres i les incorpora al seu aprenentatge.
28
- Plantejament de problemes en situacions de la vida quotidiana. - Ús de potències, arrels i notació científica en situacions de la vida quotidiana.
Aplica el que has après: 21, 24 Matemàtiques en context: 1, 2, 4
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE Dimensió connexions COMPETÈNCIES
CRITERIS
C7. Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar.
9. L’alumne ha de ser capaç d’usar les relacions entre les diverses parts de les matemàtiques (nombres i geometria), que afavoreixin l’anàlisi de situacions i el raonament.
C8. Identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes.
10. L’alumne ha de ser capaç de reconèixer models numèrics (racionals i irracionals) en contextos no necessàriament matemàtics o en d’altres matèries i utilitzar les seves característiques i propietats per resoldre situacions que apareixen en treballs per projectes realitzats des de la pròpia àrea o de manera interdisciplinària.
INDICADORS
CONTINGUTS
ACTIVITATS
9.1. Usa les relacions - Relació entre els entre les diverses diferents tipus de parts de les nombres i les matemàtiques per maneres analitzar situacions i d’expressar-los. construir raonaments. - Càlcul manual i 9.2. Empra el mental. llenguatge matemàtic, així com els conceptes i els procediments transversals, per analitzar situacions i construir raonaments.
Aplica el que has après: 10, 12
10.1. Reconeix models o estructures matemàtiques (especialment models numèrics) en contextos diaris, de l’entorn o d’altres disciplines.
Aplica el que has après: 22
10.2. Empra els coneixements, les eines i la forma de treballar de les matemàtiques per analitzar situacions quotidianes o relacionades amb altres matèries.
- Models numèrics.
Observa, raona i resol: 2 Exercita les teves competències: 14, 15, 39, 50, 51, 52, 53, 54 Matemàtiques en context: 1, 2, 4 Posa’t a prova: 8
- Processos de treball propis de les Exercita les teves matemàtiques. competències: 48, 49 - Aplicació de les matemàtiques a situacions reals.
Matemàtiques en context: 2, 4 Taller de matemàtiques: Entrena’t resolent altres problemes
29
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 Dimensió comunicació i representació COMPETÈNCIES
CRITERIS
C10. Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres.
11. L’alumne ha de ser capaç d’expressar verbalment i per escrit, amb precisió, raonaments, relacions quantitatives i informacions que incorporin elements matemàtics, simbòlics o gràfics, valorant la utilitat del llenguatge matemàtic i la seva evolució al llarg de la història.
11.1. Expressa, verbalment i per escrit, conceptes i relacions matemàtiques fent servir el llenguatge matemàtic amb precisió.
12. L’alumne ha de ser capaç de seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.
12.1. Valora el potencial i les limitacions de diverses tecnologies per cercar, recollir, tractar i mostrar informació.
C12. Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.
30
INDICADORS
11.2. Interpreta les representacions matemàtiques dels altres i les contrasta amb les seves pròpies.
12.2. Selecciona tecnologies diverses amb criteris d’idoneïtat i les fa servir per gestionar i visualitzar la informació. En particular, utilitza de manera adequada la calculadora, així com programari lliure de geometria dinàmica.
CONTINGUTS - Representació de nombres racionals i irracionals, així com d’intervals i semirectes, en la recta real.
ACTIVITATS Aplica el que has après: 5, 6, 7, 8, 9 Exercita les teves competències: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 40, 42, 43
- Expressió oral i Matemàtiques en escrita dels context: 1, 4 conceptes associats a les operacions Posa’t a prova: 2 aritmètiques.
- Coneixement de l’ús de la calculadora en mode notació científica. - Coneixement de l’ús de les tecles de la calculadora per calcular logaritmes. - Ús d’eines digitals (cercadors d’internet i programari lliure de geometria dinàmica: GeoGebra).
Aplica el que has après: 23, 27, 28 Exercita les teves competències: 38, 61 Posa’t a prova: 3, 6
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
Amb aquesta unitat es pretenen consolidar molts dels coneixements sobre nombres, els seus usos i la manera d’operar-hi. La comprensió dels diferents tipus de nombres (N, Z, , Q Á) es referma amb la classificació d’un munt de nombres expressats de forma variada. L’estudi dels nombres irracionals té interès teòric i és fonamental per a la totalitat dels estudiants. El mateix passa amb la recta real com a àmbit numèric, que conté la totalitat dels números que s’utilitzen. El maneig dels radicals, manualment i amb calculadora, és bàsic per a l’alumnat d’aquest curs. No obstant això, creiem que hi pot haver diversos nivells de destresa segons les aptituds i la projecció acadèmica dels diferents estudiants. Els nombres reals, malgrat el seu nom, tenen un paper més teòric que pràctic. En les aplicacions dels nombres a la realitat, basta utilitzar unes quantes xifres decimals. La idea d’aproximació i error, com també la valoració d’aquest, es pot treballar en un context històric a partir de les estimacions que s’han fet de π en alguns moments històrics. A més de les definicions habituals, es relaciona l’error (absolut o relatiu) amb les xifres significatives que s’utilitzen. L’estudi de la notació científica completa la visió de l’apartat anterior. S’ofereix un primer contacte amb els logaritmes: la seva definició, algunes propietats per comprendre l’ús que se’n fa i la seva presència en les calculadores.
CO NTI NGUTS CLAU DE LE S CO M P E TÈ NCIES CC1. Sentit del nombre i de les operacions. CC3. Càlcul (mental, estimatiu, algorísmic, amb calculadora).
Resol 1. a) Per exemple:
Naturals: 2, 3, 4 Enters no naturals: -1, -7, -3 b) Per exemple: 3 1 -2 Racionals no enters: , , 4 2 3 No racionals: π; c)
3 — 1 — 4 2 –2 — 3
2; 0,1010010001… –1 2 3
–7 4
–3
2. Aproximacions del nombre π: Antics egipcis: Error < 0,02 Antics babilonis: Error < 0,02 Arquimedes: Error < 0,001 Ptolemeu: Error < 0,0001 Liu Hui: Error < 0,0000003
31
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1
2.
Orientacions metodològiques Plantegem aquí la demostració que 2 és irracional emprant el mètode de reducció a l’absurd; és la professora o el professor el qui ha de decidir sobre la conveniència o no d’explicar aquest mètode. No obstant això, sí que convindria insistir en el fet que un nombre decimal amb infinites xifres no periò diques és irracional, fins i tot en el cas que la seva expressió decimal presenti certes regularitats com és el cas de 7,1010010001... o 7,01234567891011... El nombre auri –com a primer nombre no racional conegut–, el nombre π –que els estudiants utilitzen ben sovint–, i el nombre e –fonamental en les matemàtiques de nivell superior–, són especialment motivadors per proposar petits «treballs d’investigació» als alumnes. Les referències i recursos a internet sobre aquests nombres són molt nombrosos.
a =
a b
1/2
F a b = 1 b
1/2
1 2 5 2
5 1 Φ = a + b =— 1 + 2 √5 2 b
1 — 2
F
— 2
1
a — 1 √5 b— — 2 2 1 — 2
F
Φ=a+b=
1
a 1 — 2
5 1 + 2 2
3. Si F fos racional, aleshores
Solucionari
2F - 1 seria racional. 2F - 1 = 5 , que és irracional. Contradicció.
Aplica el que has après
4.
a a2 → 3 = 2 → 3b2 = a2 b b Arribem a una contradicció: 3b2 conté el factor 3 un nombre imparell de vegades, fet que contradiu que a2 el contingui un nombre parell de vegades. b) i c) Són el resultat d’operar racionals amb un irracional i, per tant, són nombres irracionals.
1. a) Si
32
F
3 és racional,
3=
De l’esquema obtenim la proporció: 1 x = x –1 1 D’aquí obtenim l’equació: x x 2 - x - 1 = 0 x – 1 l’única solució positiva de la qual és Φ. 1
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
6. El nombre assenyalat amb una fletxa és el 1,732.
Solucionari
La representació de 2,716 es la següent:
Aplica el que has après
0
1
2
5. a)
2,7 x
0
2,71
2
— √27
1 — √40
0
1
21
2,8
2,716
2,72
Notes
— — √27 = √62 – 32
— √27
— √62 – 32
4
— √21 5
1
Aplicant el teorema de Pitàgores: 52 = x 2 + 22 → x = b)
0
3
6
— √40
0
1
2 — √40 7
2 — √40 7
GeoGebra. Representació de nombres en la recta real. Trobareu aquesta activitat en el web www.espaibarcanova.cat.
33
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1
Solucionari
Notes
Aplica el que has après 7. a) [5, 6]
5
b) (7, +∞)
7
c) (- ∞, -5]
8. a) [3, 5) b) [0, +∞) c) (-3, -1)
6
–5 3
5
0 –3
d) (- ∞, 8)
0
1
8
9. a) {x / -1 < x ≤ 4} –1
4
b) {x / 0 ≤ x ≤ 6} 0
6
c) {x / x < - 4} d) {x / x ≥ 9}
34
–4 9
GeoGebra. Intervals en la recta real. Trobareu aquesta activitat en el web www.espaibarcanova.cat.
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
Solucionari
Notes
Càlcul mental 1. a) k = 8 2. a) -2 d) 0
b) k = 5
c) k = 16/81
b) 2 e) 3
d) k = 10
c) -2 f ) 5
Aplica el que has après 10. a) x
b) x 10/3 c) a 2/5 d) a 7/2 e) x 1/6 f ) x 24/5 1/5
11. a) 2 d) 4
12. a) 9 c) e)
6
b) 5 e) 32
c) 5 f ) 216
x 7 b)
3
(m $ n)5
a $ 3 b d)
5 3
x5
3
f )
x2 =
15
x2
y6 z4
35
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1
Solucionari
Notes
Aplica el que has après 13. a) 4 d)
x 3 b)
3
x2
c) y 2
2 e)
3
4
f )
14. a) 4 15. a) 15
31 > 3 13 28
16. a) 2x 3 17. a) 3
4x
19. a)
51 > 9 132.650
10 6
5
a2 b3
3
c) 2 5 2
23
c)
b) 3ab 3b 2 c
3 2 b)
2
3
3 $ 3 2 c)
b)
d) a 4 e)
18. a) 5
b)
3
x 11
1 c
4
a bc
f ) 2
b) 7 3
5 2 b) 2
5$ 7 7
c)
3
4 2
5
2 33 d) e) 4 _ 3 – 2 i 3
36
f ) 6 + 3 3
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
Solucionari
Notes
Aplica el que has après 20. a) F d) V
b) V e) F
c) V f ) V
21.
ODS (2) És impossible aconseguir tanta precisió en els mesuraments. Expressió més adequada: 12 milions. Error absolut < 500.000 Error relativu < 4,2 %
22. Error absolut < 0,00005 Error relatiu < 0,002 %
37
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1
Solucionari
Aplica el que has après 23. a) 3,328
c) 4,372 ⋅ 107
b) 6,3 ⋅ 109 d) 7,3773 ⋅ 1012
24. a) d
= 1,49 ⋅ 108 km; dTL = 3,844 ⋅ 105 km b) dTS = 1,5 ⋅ 1013 cm; dTL = 3,8 ⋅ 1010 cm c) dTS = 1,490 ⋅ 1013 cm; dTL = 3,844 ⋅ 1010 cm d) TS
Distància Terra-Sol
38
Distància Terra-Lluna
Error absolut
Error relatiu
Error absolut
Error relatiu
Apartat a)
E.a. < 5 · 105 km
E.r. < 3,36 ⋅ 10-3
E.a. < 50 km
E.r. < 1,31 ⋅ 10-4
Apartat b)
E.a. < 5 · 1011 cm
E.r. < 3,36 ⋅ 10-2
E.a. < 5 · 108 cm
E.r. < 1,31 ⋅ 10-2
Apartat c)
E.a. < 5 · 109 cm
E.r. < 3,36 ⋅ 10-4
E.a. < 5 · 106 cm
E.r. < 1,31 ⋅ 10-4
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
Solucionari
Notes
Aplica el que has après 25. a) 3 f ) - 4
b) -2 c) 7 g) -1/2 h) -1
26. a) 100 b) 6 27. log 7 = 0,84509804
c)
d) - 4 i) 2/5 5
e) 0 d) 9
10
log10 70 = 1,84509804 Tenen la mateixa part decimal perquè log10 70 = log10 7 + 1.
39
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1
Solucionari
Notes
Aplica el que has après 28. a) log2 740 → j 2 ”740 = 9.531381461 log2 740 = ln 740 → l 740 )/l 2 = 9.531381461 ln 2 b) log3 100 → j 3 ”100 = 4.191806549 log3 100 = ln 100 → l 100 )/l 3 = 4.191806549 ln 3 c) log5 0,533 → j 5 ”0.533 = -0.390964976 ln 0, 533 log5 0,533 = → l 0.533 )/l 5 = -0.390964976 ln 5 d) log8 0,004 → j 8 ”0.004 = -2.655261428 ln 0, 004 → l 0.004 )/l 8 = -2.655261428 ln 8 350 → jí3 ””350 = 10.66424109
log8 0,004 = e) log
3
log 3 350 = ln 350 → l 350 )/lí3 = 10.66424109 ln 3
Observa, raona i resol 2 b) 1. a) 2 – 11 2 2. 2,394 ⋅10 iens 3. a) 3 b) 15 7
40
2 1 3– 6 3 3
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
Solucionari
4.
1
√
) 7, 23 3,5
11 — 9
1. a) Són racionals els nombres següents:
! 38 ! 17 169 –4 –2 = ; 1, 7 = ; 4, 2 = ; –3, 75 = – 2 10 9 45
b) Són irracionals: 3; 3π; -2 5 ; 5e. D’aquests nombres, només 3 i -2 5 es poden representar en la recta real de forma exacta.
!
2. a) Racionals: 0, 87; – Irracionals:
4; –
7 3
π — 4 — √6
— 1 – √2
5. a) A =
2; B=
3; C=
5; D=
3 1 e ; ; 2π; 2 3 2
c) Tots ells són reals.
! 13 ; 2, 7 ∈ Q 6 1+ 3 5 ; π; ;e∈Á 2
6
b)
! e 3 7 1 b) – < – 4 < < < 0, 87 < < 2π 3 2 3 2
3. - 4 ∈ Z
— 1 — 4
–104
— √8
0
1
— √11
— — √8 = √22 + 22 2
2
— √2 — √8 3
6. a) A = 5 ; B = 6 ; 7. a) (2, 7) b) [-1, 3]
4
0
C=
3
1 — 1 √2
7; D=
c) [5, +∞)
2
— 3 √11
4
11 d) (- ∞, 10)
152 ∈ N
41
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1
10. a) [-1, 3]
Solucionari
8. A B
4
-2 0
0 1 6
C D -7 -3 0
0 5
E F 0 1
9. a) -3 ≤ x ≤ 2 –3
0
b) 5 < x (5, +∞)
2
0
5
2 0 -2 ≤ x < 3 5 <–2, 3 m c)–3x ≥ -2 0[-2, +∞) d) 22 2 –2 0 –2 0 –3 –3 –2
0
0 –2 –2
0 0
0 0
4
2 2
0 0 –2
0
5
–2 –2
0 0
e)0 4 < x < 4,1 4 (4; 5 4,1) 4
0 0 –3
0
4 4 4
4 4
4,1 5 5 4,1
4,2
4,3
4,2
4,3
4,1 4,1
4,2 4,2
4,3 4,3
f )–3-3 ≤ x 0[-3, +∞) –3 –3
42
0 0
b) (1, 5] 1 < x ≤ 5
c) [-2, +∞) d) (- ∞, 4) x ≥ -2 x<4
11. a) Tots excepte - 4.
b) (5, 7) c) A ∪ B = [-3, +∞) = { x / -3 ≤ x} A ∩ B = (5, 7) = { x / 5 < x < 7}
12. a) (- 4, 2) b) [3, 11] c) [5, 7) d) (3, 5] 13. a) (- 4, -2] ∪ (- 1, 0] b) (- ∞, 1) ∪ (2, 3]
-1 0
[-3, 2]
-1 ≤ x ≤ 3
3 = 1,55 — 5 22 3 = 1,5 — 2 22 3 = 1,5 — 23 = 1,5 — 2
c) (4, 5] ∪ [6, +∞))
Notes
d) (- ∞, 0) ∪ (1, 2) ∪ [3, 4)
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
25. a)
Solucionari
14. a) x
2/5
e) (-3)3/5
15. a) d)
4
b) 21/2 f ) a 1/4
5 b)
3
a 3 e)
3
16. a) 2
d) 201/2 h) a 1/3 3 4 (–3) 2 c) 3 a
f )
b) 3 e) 22/3
7/6
d) 5
1/4
d)
c) 102 g) x -6/5
5
9/10
1/4
c) 35/3 f ) 51/6
1/6
d)
-3/4
4
ab 2 e)
7 6
20. a) 6 21. a) 2a 3 d)
2 a
3
a2
f ) a 2b 3
12
3
b) a 2
a c)
4
b) 3a ab 3 9 2 3 e) 5 3 a 2
24.a) 2
7 b)
5
3
3
c)
9
3
2
52
5
e)
5/3
3
14 2 3
d) 338
3
2 d) 5
6
2 3
3
51 7 56
d) 338
⋅ a1/12 10 + 20 10 25 3 f ) 3 1/6
-4/3
6 4
3 _1 – 3 i a– a b) -3 + 2 2 c) 2 a –1 2
4
2 3 ab 2 b
30. a) 2 3 3 b) 5 4 2 c) 31. a) E.A. < 500 €; E.R. < 0,0039
–2
d)
3
5/6
d) –11 (2 2 – 3) e)
c) 2a2 2 2a 1 f ) 5 9 2
22. 6 81 < 4 40 < 7 < 3 30 23. a) 10 8.748 b) 6 2 c) 12 5
a
2
29. a) –
3
d)
4
3
26. a) -7 b) 23 - 4 15 c) 4 2 27. a) 2 ⋅ 3 b) 2 ⋅ a c) 2 6 28. a) 3 b) 3 c) 2
a –3
17. a) a b) x c) a 18. a) x = -7 b) x = - 8 c) x = 19. a) 3 b) 33 a 2 c) a
15 b) 2 c) 20 e) 3 f ) 3
f ) 4 3
15
d) 2 + a
b) E.A. < 500.000 €; E.R. < 0,02 c) E.A. < 50 €; E.R. < 0,000077 d) E.A. < 500 €; E.R. < 0,0156 e) E.A. < 0,5 €; E.R. < 7,7 ⋅ 10-7 f ) E.A. < 0,5 €; E.R. < 1,56 ⋅ 10-5
32. a) 5 ⋅ 10
b) 5 ⋅ 103 c) 5 ⋅ 10-6 d) 5 ⋅ 10-6 e) 5 ⋅ 10-8 f ) 1,25 ⋅ 10-3 El menor error relatiu correspon a c), i el més gran a a ). 4
43
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1
41. a) x ∈ [7, +∞) b) x ∈ (- ∞, 5]
Solucionari
33. a) 3 ⋅ 10 34. a) 1,4 ⋅ 10
b) 1,5 ⋅ 10-5
12
16
d) 3,6 ⋅ 10-13 g) - 4,4 ⋅ 10-8
35. a) 6
c) 2 ⋅ 105 d) 2 ⋅ 104
b) 1,25 ⋅ 10-2 e) 5 ⋅ 1012 h) 1,572 ⋅ 1010
c) 2,4 ⋅ 1012 f ) 3,82 ⋅ 10-5
b) 4
c) -2
1 d) e) 5 f ) -3 2 2 g) h) -3 i) -1 3
36. a) 100 37. 56 38. a) 4,548 d) 1,694
b) 5
c) 4
b) 5,732 e) 1,495
39. Perímetre de ABC = 5 + 3
d) 8
c) -1,748 f ) - 0,402 5 u
Perímetre de DEF = 6 + 4 2 u Perímetre de GHI = 4 5 + 2 2 u
40. a) (-3, 3)
b) [- 4, 6] c) (-7, 1) Les desigualtats contràries a les anteriors són: a) (- ∞, -3] ∪ [3, +∞) b) (- ∞, - 4) ∪ (6, +∞) c) (- ∞, -7] ∪ [1, +∞)
44
c) x ∈ (- ∞, 0]
d) x ∈ (- ∞, +∞)
42. a) (-1, 1) d) (-3,5; -0,5) g) (-5,5, 5,1)
b) (-3, 3) e) (-3,3; -2,7)
c) (-2, 8) f ) (-0,9; 5,1)
43. a) E(0, 3)
b) E (3, 1) e) E (-0,5; 2,5) h) E (2,95, 1,75)
c) E (3, 3) f ) E (3,75; 3,75)
d) E (1,5; 2,5) g) E (-3,6, 1,4)
44. 3 + 2 és solució de l’equació. 45. a) 2,1 b) 1,7 c) -1,8 d) 0,25 46. a) 1 + log x + 3 log y b) 3 log z + log y - 2 log x 1 1 c) 2 log x + log y + log z 2 2
47. a) x (x - 3) 2
48.
b)
3 (x + 1) y
ODS (3)
Surten del rang de valors de referència els leucòcits i la creatinina.
49. Tardarà, aproximadament, 5 ⋅ 10 completament. Error absolut < 5 ⋅ 1010
11
segons a desaparèixer
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
59. a) F 60. a) F 61. 1,25 ⋅ 10
Solucionari
50. 8 3 6 cm 51. 4 3 cm 52. 2 5 cm 53. a) R = 2
b) F
c) V
d) V
b) V
c) V
d) F
128
3
Notes
m; r = 2 - 2 cm r b) = 2 -1 R c) P = 4π m; A = 8 - 8π + 4π 2
54. a)
1,544 · 1017 km b) La nau espacial tardaria 7,72 · 1013 segons a travessar la galàxia, o 2,45 mil·lenis. c) Aproximadament 1,2 · 1035 electrons.
55. a) F e) V
b) V f ) F
c) V g) V
d) V h) V
56. Resposta oberta. Per exemple: a) B = (- 2, 0] i C = (0, 7] b) B = (- ∞, 0] i C = (- 1,+∞)
57. El procediment es basa en la representació gràfica del teorema de Pitàgores. A representa el nombre 4.
58. En (-1, 7). 45
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1
Solucionari
2.
Matemàtiques en context
b) 12 km/h ·
1.
a) 241,5 kg / 5,75 kg/lot = 42 lots.
b) Elisenda: x lots; Toni: x + 3 lots; Bernat: x + 5 lots; Carla: x + 6 lots. Total lots: 4 x + 14 4 x + 14 = 42; x = 7 lots Elisenda: 7 lots; Toni: 10 lots; Bernat: 12 lots; Carla: 13 lots. c) Preu lot = Preu cost + marge de guany Preu lot = 20 + 2 = 22 €/lot. Elisenda: 7 · 22 = 154 € Toni: 10 · 22 = 220 € Bernat: 12 · 22 = 264 € Carla: 13 · 22 = 286 € Total: 924 € d) 241,5 · 5 = 1.207,5 € Guany = cobrat per lots − cost dels lots = 1.207 − (20 · 42) = = 367,5 € de guany e) Una altra pregunta podria ser: Quin benefici obtenien quan el marge de guany era de 2 € per lot? Fes-ho per dos procediments diferents. Procediment 1: 42 · 2 = 84 € de benefici. Procediment 2: benefici = cobrat per lots − cost dels lots Benefici = 924 − (42 · 20) = 924 − 840 = 84 € de benefici.
46
a) L = 2 · π · 27 = 169,6 m ≈ 170 m
1.000 m 1h · = 3, 33 m/s s 3 600 . 1 km 170 m e t= = = 51 s v 3, 33 m/s
3.
a) Base = 5 m = 2,24 m; E.A. < 0,004; E.R. < 0,002 Altura: ( 5 + 1) m = 3,24 m; E.A. < 0,004; E.R. < 0,002 Àrea: ( 5 + 5) m2 = 7,24 m2; E.A. < 0,004; E.R. < 0,0006 b) Volum P2: ( 5 + 5) · 3 5 = (15 5 + 15) m3 = 48,54 m3 c) Volum P1: 2 · 1 · ( 5 + 1) = 2( 5 + 1) m3 Comparació dels volums: 3 15 _ 5 + 1i m 3 15 V1 15 5 + 15 m = = = 7, 5 = 2 V2 2 _ 5 + 1i m 3 2 _ 5 + 1i m 3 4.
a) h =
^4 2 - 2 2h =
12 m
c = _6 2 + ^ 12h i = 48 m PerímetreAFC = 48 + 4 + 4 = ( 48 + 8) m b) Com ja hem calculat, h = 12 m SAFC = (b · h)/2=(4 · 12 )/2 = 2 12 m2 c) Superfície secció túnel = 1/2 πr2 =1/2 · 3,14 · 42 = 25,12 m2 Comparació de les superfícies: S 1 25, 12 m 2 25, 12 m 2 = = = 3, 63 S 2 2 12 m 2 6, 93 m 2 2
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
• 2,0333… ⇒ Racional
Solucionari
Llegeix i comprèn
2 _ 5 – 1i 2 =1+ = 4 5 +1
1 U +1 =1+ =1+ U U 1+ 5 = =Φ 2 La succesió de coeficients en la sèrie dels radis de l’espiral coincideix amb la successió de Fibonacci: 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - …
Entrena’t resolent altres problemes 63 63 • K = 4+ + 4– =3 2 2 • 899 < 1675 < 32120 < 25150 < 7300 < 2900 5 •m= és irracional. 2 3 n= és racional. 2
Posa’t a prova 1. a) i b) 6
–4
81 = 9 ⇒ Natural
•
• 3 ⇒ Real (irracional) • 2π ⇒ Real (irracional)
3
4 ⇒ Real (irracional) 5 • ⇒ Real (irracional) 3 13 • – ⇒ Racional 9 • - 8 ⇒ Enter •
c) –8 < – 13 < 6 3 –4 < 9
# 5 3 < 4 < 2, 0333… < 3, 47 < 2r < 81 3
2. a) i) [-2, 7) –2 –2 –2
0 0 0
7 7 7
ii) (-1, +∞) –1 0 –1 0 –1 0
iii) (2, 4) 0 0 0
2 2 2
4 4 4
b) A = {x / -3 ≤ x < 4}
B = {x / x <
3}
c) A ∪ B = (-∞, 4) = { x / x < 4}
A ∩ B = [-3, 3 ) = { x / -3 ≤ x <
3}
log 2 0, 5 ⇒ No existeix # • 3, 47 ⇒ Racional •
47
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1
Solucionari
Notes
3. 3,35 ⋅ 10
15
E.A. < 0,005 ⋅ 1015 E.R. < 0,0015
4.
3b 2z
3
3a 2 b 2 2z
5. a) 7 + 2
6
b) 6 6
c) 0
d) 2 3 +
6. a) – 23
b) 2-3/4
7.
2
5 3 ⋅ log 2 ⋅ log 3 2 2
8. a) c = 10 (
2 - 1) cm
b) A = 200 ( 2 - 1) cm2 c) L’apotema de l’octàgon fa 5 cm i el radi (distància del centre al vèrtex) fa 5,4 cm.
48
