UNO. Didáctica de las Matemáticas by Editorial Graó

INMIGRACIÓN E INTERCULTURALIDAD EN LA CIUDAD Principios, ámbitos y condiciones para una acción comunitaria intercultural en perspectiva europea MIQUEL ÀNGEL ESSOMBA

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Este libro trata sobre la gestión de la diversidad cultural, y pretende provocar un debate sobre cómo conjugar de forma válida y coherente la acción comunitaria desde un modelo intercultural en el ámbito local. Pretende también un segundo objetivo de naturaleza política que tiene mucho que ver con la situación social actual y con el compromiso para transformarla hacia escenarios de convivencia donde se respeten los derechos humanos. Señala el libro la época presente como un potente caldo de cultivo de lo que podríamos llamar neototalitarismo, promoviendo, de fondo, un repliegue identitario, una negación de la diversidad como riqueza y una imposición de estándares sociales que rompen y fragmentan los frágiles hilos de la convivencia.

INNOVACIÓN EN LA UNIVERSIDAD Prácticas, políticas y retóricas JUAN BAUTISTA MARTÍNEZ (COORD.) Pocos libros se ocupan de abordar las deficiencias y desentrañar el sentido o significado de las actuales propuestas «reformistas» sugeridas al amparo del «proceso de Bolonia». Por ello, los autores han considerado necesario analizar la envergadura de la realidad que se dice querer cambiar frente a la simplificación y la ingenuidad de las prácticas reformadas: abordando, pues, los procesos de elaboración de los planes de estudios, la implantación de los sistemas de evaluación de la calidad y acreditación, las propuestas de formación del profesorado y sus proyectos de innovación. Quienes escriben en los diferentes capítulos exponen el resultado de sus investigaciones sobre esta reforma que ha implantado en la universidad un lenguaje de inapropiadas ortodoxias y «doctrinas» difundidas machaconamente, que constituyen todo un sistema práctico de intervención.

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Uno

Revista de Didรกctica de las Matemรกticas

Número 61, Año XVIII Octubre 2012 Publicación trimestral La suscripción anual incluye: 3 revistas + 1 libro PVP suscripción: Consultar boletín en páginas interiores Redacción C/ Hurtado, 29 08022 Barcelona Tel.: 934 080 455 Fax: 933 524 337 editorial@grao.com Dirección editorial Maruja Caruncho Secretaria de Redacción Sara Cardona Gestión editorial Anna Coll-Vinent, Marta Díaz Maquetista Vinyet Ramírez Secretaria de Producción Àngels Giráldez Coordinadora de Producción Maria Tortajada

Edita Editorial Graó, de IRIF, S.L. Consejero delegado Antoni Zabala Gerente Julià Jené Director comercial Antoni Garcia Porta Directora de Ediciones Cinta Vidal Director de Producción José Manuel Moral Ferrer Dirección del Área de Revistas Miquel Àngel Alabart, Glòria Puig

Consejo de Dirección M.ª Luz Callejo de la Vega (Universidad de Alicante) Fernando Corbalán Yuste (Centro de Adultos Juan José Lorente. Zaragoza) Joaquim Giménez Rodríguez (Universitat de Barcelona) Jesús M.ª Goñi Zabala (Euskal Herriko Unibertsitatea. Donostia) José Muñoz Santonja (IES Macarena. Sevilla) Coordinación secciones «Agenda» y «Reseñas» Constantino de la Fuente (IES Cardenal López de Mendoza, Burgos) resenas.uno@gmail.com Fernando Fouz (Berritzegune de Donostia, San Sebastián) mateferf@gmail.com Coordinación sección «Nuevas tecnologías» J. Antonio Mora (IEP San Blas, Alicante) jmora7@gmail.com Coordinación sección «Cine y matemáticas» Alfonso J. Población (Universidad de Valladolid) alfonso@mat.uva.es Consejo Asesor Claudi Alsina (Universidad Politécnica de Cataluña) Abraham Arcavi (Instituto Weizmann. Israel)

Diseño: Aguiló Gràfic, S.L. Impresión: Liberdúplex D.L.: B-13.374/94 ISSN edición impresa: 1133-9853 ISSN edición electrónica: 2014-4784 Impreso en España

Rómulo Campos (Universidad Federal de Río Grande. Brasil) Bruno d’Amore (Universidad de Bolonia. Italia) Santiago Fernández Fernández (Berritzegune Abando, Bilbao) Josep M. Fortuny (Universidad Autónoma de Barcelona) Constantino de la Fuente (IES Cardenal López de Mendoza, Burgos) M.ª Victoria García Armendáriz (Dpto. de Educación, Navarra) Claude Gaulin (Universidad Laval, Quevec. Canadá) Uwe Gellert (Universidad Libre de Berlín. RFA) Antonio González García (IES N. 5 de Avilés. Asturias) Salvador Guerrero (IES Vicente Espinel, Málaga) Jeremy Kilpatrick (Universidad de Georgia. EE.UU.) Martin Kindt (Universidad de Utrech. Holanda) M.ª Jesús Luelmo (Centro de Apoyo al Profesorado de Ciudad Lineal, Madrid) Ricardo Luengo (Universidad de Extremadura) Uldarico Malaspina (Pontificia Universidad Católica del Perú) Rafael Pérez Gómez (Universidad de Granada) Álvaro Poblete (Universidad de Los Lagos. Chile) Leonor Santos (Universidad de Lisboa. Portugal) Lluís Segarra (Quinzet, Barcelona) Montserrat Torra (CEIP Renaixensa, Manresa. Barcelona) Fidela Velázquez (Escuela de Arte Fernando Estévez, Sta. Cruz de Tenerife)

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Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas número 61 octubre - noviembre - diciembre - 2012 Monografía: La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas ı Miguel Barreras, Jesús M.ª Goñi Utilización de la hoja de cálculo en primaria ı Fultxo Crespo El método Lekuona ı Goyo Lekuona Aplicaciones de la hoja de cálculo en el tratamiento y enseñanza de la estadística en ESO ı Margarita Pastor El concepto de esperanza matemática ı Juan Carlos Gil Resolución de problemas con Excel ı Miguel Barreras La hoja de cálculo de GeoGebra ı José Luis Álvarez García, Rafael Losada

5 9 15 24 35 45 55

Aula de didáctica Desarrollo de competencias profesionales con problemas de generalización de patrones ı M.ª Luz Callejo El papel del trabajo final de máster en la formación del profesorado de matemáticas AA.VV.

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Investigación y opinión El uso del contexto en problemas de optimización ı Celia Giné, Jordi Deulofeu

Desde y para el aula Cómo enseñar matemáticas en las primeras edades a partir de contextos de vida cotidiana ı AA.VV.

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La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

En este número de UNO el tópico elegido para el desarrollo del monográfico es el uso de las hojas de cálculo (HC) en la enseñanza de las matemáticas en sus diferentes niveles educativos. La enseñanza de las matemáticas se ha planteado una y otra vez la cuestión de la relevancia del cálculo aritmético. Es un tema recurrente. El cálculo aritmético ha estado históricamente ligado, por una parte, a un conjunto de prácticas sociales: tratos comerciales, cálculo de áreas y distancias, impuestos y tasas y un largo etcétera de gran relevancia que se recogen en forma de problemas en la enseñanza de las matemáticas. Por otra parte, también ha sido defendido como un entrenamiento mental de alto valor cognitivo. No pensamos que sea necesario ahondar acerca de la importancia que ha tenido, tiene y tendrá el cálculo aritmético en la enseñanza de las matemáticas. Tradicionalmente nos hemos habituado a distinguir entre cálculo mental y cálculo escrito. El cálculo mental se hace, en principio, sin la ayuda de ningún instrumento; el cálculo escrito, como su propio nombre sugiere, se hace sobre un papel usando un lápiz o similar. Pero si dejamos de lado el cálculo mental, hay que reconocer que el cálculo aritmético siempre ha estado condicionado por la tecnología de uso habitual en el medio social correspondiente. No vendría mal recordar aquí que la propia palabra cálculo se deriva del calculus latino, que significa «piedra Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | pp. 5-8 | octubre 2012

Miguel Barreras IES Matarraña. Valderrobles (Teruel)

Jesús M.ª Goñi Consejo de Dirección de UNO

pequeña» o «guijarro». Precisamente, los cálculos se hacían con los calculus en las mesas de cálculo. Abreviando, en todas las épocas históricas se ha usado el cálculo mental para buscar el valor del resultado de las operaciones si los números eran «pequeños» o «redondos» y se ha utilizado la tecnología si los números eran «grandes», o «antipáticos». También se ha usado el cálculo mental para lo estimativo, y el cálculo «con máquinas» para los cálculos largos y exactos. Hace ya años, más de 30, que la tecnología electrónica sustituyó a la mecánica como tecnología de uso social en el cálculo comercial e industrial. Sin embargo, todavía hoy no está nada claro qué uso de la tecnología electrónica hay que hacer en la enseñanza del cálculo escolar. Lo más grave es que las «nuevas» tecnologías se vuelven obsoletas antes incluso de que sepamos qué hacer con ellas en este campo. Las calculadoras no programables son ya ineficientes frente a las hojas de cálculo y, sin embargo, todavía andamos a vueltas sobre qué hacer con su uso escolar. Casi estamos llegando a una situación que de forma un tanto caricaturesca podemos describir de la siguiente manera: Profesor o profesora dirigiéndose a sus estudiantes: «Venga, dejad el Twiter de una vez, que todavía no habéis acabado las divisiones con tres decimales».

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

Este número ha sido coordinado por Miguel Barreras y Jesús María Goñi a cuatro manos, como si fuera una pieza musical. Tal vez impelidos por este ambiente, decidimos escribir esta introducción como si fuéramos un par de bardos jugando a que cada uno da pie a la improvisación del otro. No diremos quién es el bardo 1 ni quién el bardo 2, porque esto añade un punto de misterio al asunto. BARDO 1: El profesor Abelló dijo hace unos días en San Sebastián que las TTI (Tecnologías de la información) no son una herramienta sino un nuevo contexto como tradicionalmente han sido considerados el personal, social, profesional, etc. BARDO 2: Tradicionalmente, las TTI han sido consideradas como instrumento que agiliza y mejora la labor. La cosechadora es un magnífico instrumento, pero no cambia la cuestión: se debe hacer la siega y recogerla. Sin embargo, la enseñanza y aprendizaje de la geografía cambia (o debería cambiar) con la aparición de Google Earth. No es lo mismo aprenderse de memoria las capitales del mundo que poder sobrevolar desde tu casa lagos, cordilleras y ciudades. Del mismo modo, tras el invento de la pascalina, el padre de Pascal mejoró las condiciones de su trabajo, pero no lo cambió. Sin embargo, la utilización de la hoja de cálculo en clase no solo abrevia el cálculo y lo libera de algoritmos engorrosos, sino que puede transformar radicalmente la metodología en el aprendizaje, permite evitar gran parte del currículo y abre posibilidades a nuevos contenidos y estrategias. En ese sentido, las TTI deben considerarse como un nuevo contexto. BARDO 1: Parece ser que Laplace afirmó que Napier, con la invención de los logaritmos, había duplicado la vida de los astrónomos. 6

Actualmente, con el uso de la hoja de cálculo, podría quintuplicarse el nivel científico de nuestros alumnos. ¿Es posible? Si lo es, ¿por qué no se hace? ¿Será por inercia (enseñamos las mismas cosas que nos enseñaron, y de la misma manera)? ¿Será por comodidad? BARDO 2: Siempre la misma maldita pregunta. ¿Por qué no se produce el cambio cuando todas las razones plausibles lo justifican y casi exigen? Yo no sé la respuesta, o tal vez la única que se me ocurre me duele. Por eso recurro a lo que dicen otros para situarme a su sombra. Habermas y Nietzsche podrían servir de cobijo en esta cuestión. El primero defiende que en la comunicación humana el mejor argumento, el más sólido, debe prevalecer entre hablantes comprometidos sinceramente en el diálogo. Nietzsche dice, en cambio, que son las relaciones de poder las que se imponen a la hora de tomar decisiones. Los que amamos las matemáticas tendemos a pensar que Habermas tiene razón, pero sin duda pecamos de racionalismo y confundimos la pretensión de verdad matemática con la pretensión de verdad social. La enseñanza de las matemáticas es una cuestión social y, en este caso, se imponen las relaciones de poder. Duele mucho decirlo, pero la mayoría de los que pueden no quieren y la expresión «armarse de razón» es una contradicción. BARDO 1: ¿Se puede ser competente sin ser eficiente? Es decir, ¿se puede ser competente en matemáticas sin saber usar la tecnología de uso social habitual? ¿Podemos afirmar que las hojas de cálculo son hoy en día la herramienta más utilizada a nivel social general para realizar cálculos aritméticos? Si las respuestas son afirmativas, ¿qué corolario se deduce de estos principios? BARDO 2: Sin duda, se es más competente en matemáticas si se es eficiente en TTI. Las Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

TTI son convenientes, aunque no necesarias, como se comprueba día a día (la mayoría de los profesores no las utilizan en clase). Fuera del aula, la mayoría de la gente no utiliza las matemáticas (Las Matemáticas de los no matemáticos, Fernando Corbalán). Aunque las necesite, no las utiliza. Hay biólogos que presentan su tesis sobre longitud y grosor de espárragos sin aprehender el concepto de media ponderada. Economistas que no saben o no pueden calcular el punto de equilibrio entre las curvas oferta y demanda. Profesores de secundaria que siempre ponen sus exámenes sobre 10. Paleontólogos que ni siquiera han oído el término interpolación. Médicos que no saben calcular un porcentaje inverso. Muy poca gente utiliza la HC, solo la calculadora básica. Y no utilizan la HC porque no saben matemáticas: no saben modelizar las matemáticas porque cuando pasaron por el instituto, por la universidad, se perdieron intentando calcular la derivada de xx. La HC sirve para aprender matemáticas. BARDO 1: Las matemáticas en secundaria son, actualmente, solo instrumentales. Se desprecia por completo el carácter formal. No existen demostraciones. Los alumnos no saben escribir matemáticas ni distinguir demostración de comprobación. Sin embargo, una comprobación repetida muchas veces, aunque no es una demostración, se parece en el sentido de que conduce al convencimiento. Esto se logra con una HC. No tiene el formalismo ni la elegancia de una demostración, pero sí refina la intuición de lo verdadero. Paradójicamente, por otra parte, con la HC se recupera parte del aspecto formal de las matemáticas, hoy olvidado en las aulas de secundaria: la necesidad de la sintaxis correcta; las funciones lógicas; Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

la referencia entre celdas, etc. La HC nada tiene que ver con el formalismo de la demostración, pero lo necesita para llegar a resultados robustos. En cualquier caso, ¿deben ser las matemáticas en secundaria y, sobre todo, en bachillerato solamente instrumentales? En caso afirmativo, ¿puede la HC suplir, levemente, el perdido formalismo matemático? BARDO 2: En mi opinión, no. Las matemáticas son, creo yo, fundamentalmente instrumentales y complementariamente formalistas. Es decir, que para la mayoría de las personas son un instrumento para el logro de otros fines, y solo para algunos puede ser una forma de acceso a una forma especial de pensar y de sentir. Dudo que sea legítimo, y estoy casi seguro que es inviable, pretender que la mayoría de la población comparta el sueño pitagórico-platónico de llegar a la Verdad (es decir, a Dios) a través de la verdad matemática. La demostración es el camino para llegar a enunciar un tipo de verdad acontextual y atemporal que supera en certeza a todo tipo de verdad racional a la que podemos acceder, de ahí el éxtasis de los que acceden a este tipo de belleza. Desde este punto de vista, las matemáticas son necesaria e irreductiblemente elitistas. Las hojas de cálculo son un estupendo instrumento y de ahí la necesidad de su uso. Nos obligan, por otra parte, a comunicarnos con la máquina que no «nos entiende» y que solamente obedece si usamos una sintaxis correcta. Es una disciplina mental interesante sobre todo para aquellos que esperan que los demás los comprendan, incluso en lo que no dicen. BARDO 1: Para terminar esta sonata a cuatro manos, una última cuestión. Aristóteles dice que el objetivo de la acción humana es la 7

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

búsqueda de la felicidad. Entonces, ¿qué mensaje de ánimo podemos mandar a nuestros colegas enseñantes? ¿Es cierto que utilizar las HC en sus clases hará que su trabajo sea más llevadero? ¿Hará más felices a sus estudiantes y a ellos mismos? BARDO 2: Ayer fue la despedida de los de 2.º de bachillerato. Charla del director, powerpoint-recordatorio necesario de los alumnos, algún discurso «alumnil» (emotivo), entrega de orlas (bien), vino confraternizador (muy bien) y cena. En la cena, me senté entre dos alumnos. A Raúl le he dado clase los cuatro últimos cursos. A Enrique (que es un crac en matemáticas), tres. Por cierto, a Enrique le encantó la demostración de que hay tiras de números tan largas como se quiera en las que no pervive ningún número primo (lo comento por tu último bardo acerca de las matemáticas elitistas). «Me parece, Miguel, que en cuatro años juntos, se te han acabado las historias», dice Raúl. Intento una nueva. Vuelve Raúl: «Pero de lo que no me voy a olvidar es del método Tobeñas». Enrique asiente. El método Tobeñas surge del problema real de medir un campo cuadrangular irregular in situ. Nos dio mucho juego. Lo analizamos, lo resolvimos con una HC, calculando errores, imaginando nuevos métodos. A Raúl (el chico normal) no se le olvida. A Enrique (el chico crac) tampoco. Ellos se sienten más competentes en matemáticas. Y yo, más feliz. En este número de UNO, Fultxo Crespo («Utilización de la hoja de cálculo en primaria», pp. 9-14) cuenta su experiencia en la escuela proponiendo a los alumnos la hoja de cálculo en el

tercer ciclo de primaria para la resolución de problemas. Explica cómo la lleva a cabo, valora la actividad como muy positiva y se lamenta de que tan pocos docentes se decidan a incorporarla en sus clases de matemáticas. Goyo Lekuona («El método Leukona», pp. 15-23) hace lo propio en el nivel de la ESO, reivindicando la hoja de cálculo como un interlocutor válido y necesario para la modelización y resolución de problemas de matemáticas. Margarita Pastor («Aplicaciones de la hoja de cálculo en el tratamiento y enseñanza de la Estadística en la ESO», pp. 24-34) muestra un repertorio extenso del tratamiento de la estadística a través de la hoja de cálculo Calc, de acceso libre. Presenta todas sus actividades desde la perspectiva de datos reales, contextualizados, lo que hace su propuesta de trabajo muy atractiva. Más específico resulta el trabajo de Juan Carlos Gil («El concepto de esperanza matemática: Introducción a través de la hoja de cálculo», pp. 35-44) en el que, partiendo de la noción poco trabajada en ESO y bachillerato de media ponderada, se recrea con varios ejemplos interesantes para profundizar en el conocimiento del concepto esperanza matemática a través del tratamiento de la hoja de cálculo. En «Resolución de problemas con Excel» (pp. 45-54) se aboga por un cambio tanto en la metodología como en los contenidos de ESO y bachillerato (e incluso universidad). La aplicación de Excel en clase favorecería la supresión del esfuerzo en el aprendizaje de algoritmos obsoletos, pudiendo así abrir el campo de trabajo a la resolución de problemas verdaderos, hoy todavía fuera de mira en los currículos por las dificultades de cálculo que comportan. José Luis Álvarez y Rafael Losada (pp. 55-66) nos dan una razón más para acercarnos al maravilloso programa de geometría dinámica: en Geogebra también existe una hoja de cálculo.

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

Utilización de la hoja de cálculo en primaria

En este artículo se relata y se valora una experiencia realizada, con alumnado perteneciente al 3.r ciclo de la enseñanza primaria, para analizar y valorar la conveniencia de utilizar la hoja de cálculo como recurso para el desarrollo de la competencia matemática. Para ello se han construido una serie de hojas que contenían problemas aritméticos con una plantilla semiestructurada y se han estudiado los resultados didácticos que su utilización ha tenido. Las conclusiones indican que el alumnado utiliza este tipo de herramientas con facilidad y naturalidad y que la utilización es a la vez posible y productiva en cuanto permite trabajar más intensamente la estructura de los problemas eliminando tiempo para los cálculos. Use of spreadsheets at primary level This paper explores and assesses an experience carried out with students in the third stage of primary school to analyse and assess the value of using spreadsheets as a resource for helping develop mathematics competence. A series of sheets were prepared containing arithmetic problems with a semi-structured template, and the findings of its use were studied. The conclusions suggest that students find it easy and straightforward to use this kind of tool in a productive fashion and it lets them work more intensively on the structure of problems and saves time for problems.

La experiencia de utilización de la hoja de cálculo que presentamos aquí se ha realizado en la Ikastola Erentzun de Viana (Navarra). Este es un centro de ámbito rural, de infantil y primaria, con un total de 130 alumnos que ha tenido, desde sus inicios, la preocupación de integrar de manera sistemática y armónica las TIC en el currículo. La Ikastola fue seleccionada hace ya tres años para tomar parte en el proyecto Integratic, que equivaldría, en el ámbito de la Comunidad Foral de Navarra, al Escuela 2.0 desarrollado en el resto del Estado, y a principios del Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | pp. 9-14 | octubre 2012

Fultxo Crespo Ikastola Erentzun. Viana (Navarra)

Palabras clave: tecnologías de la información, web 2.0, formación del profesorado, asesoramiento.

Keywords: information technologies, Web 2.0, teacher training, advice.

curso 2011-2012 recibió el Sello de Calidad Escuela 2.0 del Ministerio de Educación y Cultura y Deporte por la labor desarrollada en el ámbito de las TIC.

Objetivos de la experiencia El objetivo de la experiencia es analizar las posibilidades que ofrece la utilización de una hoja de cálculo a la hora de mejorar la competencia matemática de un grupo de alumnos de 3.r ciclo de educación primaria. 9

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

El objetivo de la experiencia es analizar las posibilidades que ofrece la utilización de una hoja de cálculo a la hora de mejorar la competencia matemática de un grupo de alumnos de 3.r ciclo de educación primaria Partimos de la siguiente definición de competencia: Entendemos competencia como la capacidad de utilizar el conocimiento del que disponemos de manera eficiente y responsable para hacer frente a las situaciones que plantea la vida. (Goñi, 2008) Como puede verse, la definición de competencia que manejamos implica la eficiencia en el uso del conocimiento como condición necesaria. Esto supone,, según nuestro punto de vista, que no puede hablarse de competencia matemática en sentido estricto si no somos capaces primero de discernir el uso para luego usar, en cada caso, aquella herramienta tecnológica que haga más eficiente la acción implicada en la competencia. Estimamos que de todas las herramientas de las que disponemos, y están a disposición del alumnado de manera natural, la hoja de cálculo es la más eficiente (eficaz en función de los recursos disponibles) y, por esta razón, consideramos interesante estudiar las ventajas y posibles inconvenientes que su uso puede acarrear.

Descripción de la experiencia La experiencia se realizó en un aula unitaria de 5.º y 6.º curso de primaria con un total de 15 alumnos, chicos y chicas. Tal como hemos comentado anteriormente, el objetivo principal era ver cómo se desenvolvían a la hora de realizar problemas con la hoja de cálculo y, por otra parte, 10

descubrir si el uso de la hoja de cálculo a la hora de hacer problemas tenía alguna influencia en la forma tradicional, lápiz y papel, de resolverlos. Es importante subrayar que no se les dio formación previa sobre el uso o manejo de la hoja de cálculo en sí misma. En primer lugar, pasamos un problema sin dificultad matemática especial para la edad del alumnado, que debía solucionase en una hoja en blanco. Concretamente, un problema aritmético (con las cuatro operaciones básicas) de dos pasos. A continuación, en diferentes sesiones, el alumnado tenía que resolver una serie de problemas que se le proponía utilizando una hoja de cálculo.1 Estos problemas estaban contenidos en hojas de cálculo semi-estructuradas, es decir, que marcaban una serie de pasos a seguir en la resolución de los problemas. Finalmente, en una sesión diferente, volvimos a realizar el mismo problema en papel con la intención de comprobar variaciones en el planteamiento y desarrollo del problema. Cuando fuimos a preparar las hojas que contenían los problemas, tuvimos que elegir entre indicar solamente el enunciado y dejar que los alumnos utilizaran la hoja de la manera que consideraran mejor, o bien organizar la hoja de tal forma que la resolución fuese guiada. Optamos por la segunda de las opciones por las siguientes razones: • Era la primera vez que usaban una hoja de cálculo con este fin y pensamos que una hoja sin indicación alguna podría desorientarles con facilidad. • El alumnado no era muy ducho en el uso de la propia herramienta y el darles una hoja

La experiencia se realizó en un aula unitaria de 5.º y 6.º curso de primaria con un total de 15 alumnos, chicos y chicas

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Utilización de la hoja de cálculo en primaria

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semiestructurada facilitaba que disminuyeran los errores de uso que tanto disturban en las clases al no permitir la autonomía del alumnado en esta cuestión. Nos permitía enseñar a distinguir las diferentes fases a seguir en los procedimientos heurísticos de resolución de problemas: lectura del texto, identificación de datos, puesta en marcha de un plan, evaluación de los resultados…

Éramos conscientes de los siguientes puntos débiles en el planteamiento y los asumimos como límites a la hora de extraer conclusiones. • Limitábamos la autonomía del alumnado y sería conveniente en una segunda fase trabajar con elementos menos estructurados. • Cerrábamos los posibles caminos de solución a aquellos que se adaptan a la plantilla creada, eliminado otros posibles a priori. Los libros que preparamos contenían grupos de 10 hojas. Cinco de ellas contenían los problemas a resolver siguiendo los pasos más arriba indicados y la otras cinco indicaban las soluciones. Los libros fueron diseñados utilizando Microsoft Excel, pero fueron exportados a Calc de Open-office y utilizados por el alumnado en este formato. La batería de problemas estaba compuesta por tres archivos, los hemos denominado libros, con cinco problemas cada uno. Cada problema aparecía es una hoja diferente de la hoja de cálculo y tenía anexa su solución para poder ser consultada. En los problemas aparecían bien definidas las partes del mismo: • Enunciado. • Datos. • Cálculo de la solución. • Respuesta final. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Además, algunos problemas incluían gráficas de las cuales se debían obtener los datos. El procedimiento a seguir por el alumnado era el siguiente: • Identificación de los datos: la hoja de cálculo indica si el dato es correcto o no. • Deducción de la formula: la hoja indica si la fórmula es correcta y da el valor correspondiente de las operaciones. Si la fórmula no lo es, se propone al alumno que la compruebe. • Escritura de la respuesta junto con la unidad: la respuesta se escribe en la celda correspondiente y la hoja indica si la respuesta es correcta. Si no lo es, propone al alumno que verifique el número y si falta o no la unidad. Antes de utilizar las hojas de cálculo, realizamos una breve introducción a la misma: celdas, filas, columnas, sintaxis de las fórmulas. No fue necesario ningún material extra. Utilizamos uno de los problemas como ejemplo, que valió, además, para interiorizar la dinámica de resolución de los problemas. Para desarrollar esta fase introductoria bastan unos 20-30 minutos. Cabe añadir, por otra parte, que es conveniente dejar claro a los alumnos que uno de los objetivos de esta actividad es aprender a ser autónomos. Por lo tanto, deben estar atentos a los mensajes que reciben de la hoja de cálculo para

Es conveniente dejar claro a los alumnos que uno de los objetivos de esta actividad es aprender a ser autónomos. Por lo tanto, deben estar atentos a los mensajes que reciben de la hoja de cálculo para así corregir los posibles errores que cometan, sin necesidad de acudir al profesor

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

así corregir los posibles errores que cometan, sin necesidad de acudir al profesor. No solo eso: también creemos que en cualquier actividad con las TIC, y por lo tanto en esta también, es importante regular las peticiones de ayuda, muy frecuentes al utilizar estas herramientas, que suelen generar a los docentes nerviosismo, estrés y desánimo. Una estrategia acertada es promover la ayuda entre compañeros en el caso de que el docente esté ocupado atendiendo dudas o percances técnicos. Una vez finalizada la fase introductoria, se fueron realizando los libros de problemas, siguiendo cada alumno su ritmo y pudiendo realizar tantos problemas como quisiera en cada una de las sesiones, que en total fueron tres con una duración de 50 minutos. Todos los participantes fueron capaces de terminar los 15 problemas en tres sesiones y algunos de ellos en dos, ya que el procedimiento se adquiere con facilidad y la mayor parte de los problemas surgidos, textos o datos erróneos, fueron producto del diseño de la propuesta que en ese momento estaba en fase beta. Durante la resolución de los problemas, cabe destacar que los alumnos estuvieron, como en la mayoría de las actividades TIC, motivados y muy centrados en la tarea. Las dificultades a las que tuvieron que hacer frente fue-

Una vez los alumnos adquieren confianza con la herramienta, tienden a completar los apartados del problema antes de leer el enunciado. Así pues, es conveniente subrayarles la importancia de la lectura atenta del mismo tantas veces sea necesaria, como primer paso de la resolución de cualquier problema, en cualquier formato

ron, además de los errores de diseño citados anteriormente: • Lectura incorrecta del enunciado. • No comprensión del mismo. • Errores al copiar datos o escribir la fórmula. • Errores en la elección de la operación matemática. • Omisión de la unidad al escribir la respuesta. Estos errores, comunes en la resolución de problemas en formato tradicional, aparecen principalmente en la primera sesión y hay que destacar que van reduciéndose notablemente en las sesiones posteriores, cosa que no siempre sucede en las sesiones que se hacen con papel y lápiz. Nuestra hipótesis es que la rapidez con la que reciben la información evaluativa hace que con la misma rapidez asocien el mensaje de error que reciben a la acción que acaban de poner en práctica, siendo de esta manera más sencillo para ellos ajustar progresivamente sus acciones. Lo que no sabemos es si esta facilidad en ajustarse a este modelo tiene una perdurabilidad en su manera de actuar ni si será transferible cuando utilicen otros recursos tecnológicos. También es importante señalar que, una vez los alumnos adquieren confianza con la herramienta, tienden a completar los apartados del problema antes de leer el enunciado. Así pues, es conveniente subrayarles la importancia de la lectura atenta del mismo, tantas veces sea necesaria, como primer paso de la resolución de cualquier problema, en cualquier formato. También es una lección importante a la hora de diseñar los enunciados de los problemas ya que estos deberían estar escritos de manera que se dificultara, de manera natural, esta lectura en diagonal que solo busca los datos a introducir. Existen actualmente bastantes técnicas, como dar los datos en tablas o gráficos junto con otros irrelevantes, que lo permiten, y convendría que las usáramos. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Utilización de la hoja de cálculo en primaria

Este apartado finalizaque otras aplicaciones? En ría añadiendo que el dominuestra opinión, se debe Nos gustaría destacar la natunio de la herramienta en sí, la principalmente a la falta de ralidad con la que aceptaron hoja de cálculo, no fue un formación del profesorado el uso de esta herramienta obstáculo en la realización de en hojas de cálculo, al desy la facilidad que mostraron los problemas. Creemos que conocimiento de sus posien asimilar y poner en prácticas una formación mínima, bilidades, y a la en parte junto con algo de deducción errónea percepción de que sus reglas de uso derivada de la experiencia de se trata de una herramienta los participantes, profesor compleja y engorrosa. incluido, es suficiente para llevar a cabo esta activiPor otra parte, según hemos podido obserdad. Nos gustaría destacar la naturalidad con la que var, el uso de la hoja de cálculo ha beneficiado a aceptaron el uso de esta herramienta y la facilidad nuestro alumnado en el desarrollo de la compeque mostraron en asimilar y poner en prácticas sus tencia matemática de la manera que enumeramos reglas de uso. En esta parte de la experiencia las difia continuación. Conviene que estas afirmaciones cultades fueron mínimas, por no decir que no exisse entiendan en el contexto del trabajo realizado tieron. Esperamos que estas reflexiones sirvan de en nuestro centro y en las circunstancias ya desacicate para aquellos compañeros que dudan en usar critas; posibles generalizaciones de las mismas estas herramientas pensando que el trabajo derivado exigirían, seguramente, realizar pruebas más de las dificultades de su manejo por parte del alumextensas y en otros contextos: nado puede agotarle solamente en la fase previa al • Ayudándolos a organizar y disponer la inicio del trabajo en competencia matemática. información de una manera más clara que Por último, se pasó al alumnado una en el cuaderno. encuesta de satisfacción para medir el grado de • Fomentando su autonomía por medio de la dificultad de la tarea, así como recibir feedback evaluación automática y la autoevaluación. sobre la percepción que tienen de la utilidad de la • Evitando al alumno engorrosos cálculos que hoja de cálculo. en la vida real no se hacen a papel y lápiz.

Conclusiones La primera y más reseñable es que es posible el uso de la hoja de cálculo en educación primaria para trabajar procedimientos de resolución de problemas. Técnicamente no supone una dificultad insalvable para nuestros alumnos, aunque ellos mismos reconocen que al principio se encuentran un poco perdidos y el uso de fórmulas se les hace algo engorroso; pero casi todos destacan que al final se encuentran muy a gusto con la herramienta. Entonces, ¿por qué no se ha contemplado su uso en educación primaria con el mismo énfasis Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Este último punto es uno de los que más destacan los participantes en la experiencia, expresándolo de esta manera: «Con la hoja de cálculo, ahorro tiempo». Sabemos que este punto de vista puede generar polémica en algunos docentes que dan gran importancia al cálculo manual en la enseñanza de las matemáticas. Sin embargo, si somos partidarios de la enseñanza de la tecnología para un uso de la misma en aras de la eficiencia, no podemos más que estar de acuerdo con los alumnos que destacan esa virtud de la hoja de cálculo. Una de las hipótesis que barajábamos al plantear el uso de la hoja de cálculo en educación prima13

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

ria era que su uso podía tener una influencia positiva en el momento de estructurar los problemas cuando los realizan con papel y lápiz, así como que a la hora de escribir correctamente el resultado no olvidarían, como hacen muchas veces, citar las unidades correspondientes. Con este grupo no hemos podido constatar que se dé esa influencia positiva de manera significativa, ya que los problemas realizados en papel, tanto al principio como al final de la actividad, no han sufrido grandes variaciones. Estos alumnos han sido entrenados en el uso de protocolos escritos a la hora de hacer problemas con papel y lápiz, y el margen de mejora en esta cuestión era bajo. En todos los trabajos recogidos aparecían claramente diferenciados los datos, el cálculo y la respuesta, junto con la unidad correspondiente en sus producciones escritas iniciales (problema propuesto antes de realizar la experiencia con la hoja de cálculo). Sin embargo, hemos observado que, durante el desarrollo de la actividad en formato digital, algunos alumnos olvidaban indicar la unidad y, a medida que realizaban más problemas, estos errores desaparecían. Un alumno así lo ha señalado en su evaluación. En consecuencia, seguimos creyendo, que el uso de la hoja de cálculo puede reforzar los pasos del procedimiento de resolución de problemas y no sería descabellado su uso en alumnos de 3.º o 4.º curso de primaria con este fin. Para terminar, no está de más añadir una constante en todas las conclusiones de experiencias TIC y en esta también: el alto grado de motivación que despiertan en el alumnado participante. Aunque sea algo previsible, es una realidad que la mayoría de los participantes ha destacado casi sin excepción: que a pesar del trabajo inicial de adaptarse a la herramienta, han disfrutado mucho resolviendo los problemas. Han descubierto su utilidad y que son capaces de conseguir con ellas logros que consideraban fuera de su alcance, o bien que conseguían por sí mismos pero, esta vez, invirtiendo menos tiempo. ¡Quién lo diría, las hojas de cálculo son útiles y hasta divertidas! 14

Está claro que la pelota está ahora en nuestro tejado. Si somos capaces de diseñar una serie de propuestas didácticas integradas en la programación, adecuadas a los diferentes cursos de primaria, con una dificultad progresiva y que supongan retos para los alumnos, podremos aprovechar el impulso de esta motivación y las posibilidades de esta sencilla, sí, sencilla, herramienta para aprender matemáticas.

Nota 1. Estos problemas fueron realizados en euskera. Existe una versión en castellano en la página web: http://goo.gl/e9JjR. Así mismo, existe una versión en castellano de los problemas aquí utilizados junto a otros materiales en la página web: https://sites.google.com/ site/webescolareustatep5/home/5o-curso-de-ensenanza-primaria/5o-curso-de-ensenanza-primaria-1

Referencias bibliográficas BARRERAS M. (2010): Matemáticas con Microsoft Excel. RA-MA. — (2007): Actividades de Matemáticas para Secundaria con Excel. Proyecto Sur. GOÑI ZABALA J.M. (2008): 32-2 ideas clave para el desarrollo de la competencia matemática. Barcelona. Graó. STÖSTRAND D. (1997): Matemáticas con Excel. Madrid. UPCo.

Referencias del autor Fultxo Crespo Ikastola Erentzun. Viana (Navarra) fultxo@gmail.com Línea de trabajo: aplicación de las TIC a la organización del centro y a la enseñanza. Este artículo fue solicitado por UNO: REVISTA

DIDÁCTICA

DE LAS

MATEMÁTICAS en febrero de 2012 y aceptado en julio de 2012 para su publicación.

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

El método Leukona

Bajo este título tan ostentoso únicamente pretendo exponer cómo imparto mis clases de matemáticas con los alumnos de la ESO. Mi principal pretensión es enseñarles las herramientas que tienen a su disposición, principalmente las hojas de cálculo, para ayudarlos en la ardua tarea de aprender matemáticas. Y así, de esta manera, creo que logro dos objetivos importantes: enseñarles matemáticas y a que sean competentes en el uso de las nuevas tecnologías. The Lekuona method Under this ostentatious heading my aim is simply to show how I teach my mathematics classes to secondary students. My chief goal is to equip students with the tools available, mainly spreadsheets, to help them with the difficult task of learning mathematics. I think I achieve two key objectives: teach them mathematics and make them competent in using new technologies.

Goyo Lekuona Colegio La Salle-Legazpi. Zumárraga (Guipúzcoa)

Palabras clave: Excel, resumen dinámico, herramienta auxiliar, autoayuda, uso activo.

Keywords: Excel, dynamic summary, auxiliary tool, self-help, active use.

El nombre de método Lekuona se lo pusieron mis ella, de manera que mis clases dieron un gran giro compañeros a la forma diferente de impartir clahacia el uso de las calculadoras (otra gran herrases de matemáticas que empecé a emplear hace ya mienta infrautilizada que puede dar mucho juego unos años con mis alumnos de la ESO utilizando y mucha ayuda a los alumnos). Y este último año, ordenadores. Como todo en esta vida, ha ido con el proyecto de Eskola 2.0 y el poder disponer pasando por diferentes fases o versiones, ya que de ordenadores para todos los alumnos, creo que al igual que la utilización de los ordenadores en la se puede dar otro gran impulso a esta forma de educación, mi forma de dar las clases ha ido evotrabajar. lucionando. Ha tenido fases de gran brillo, como Su aplicación es difícil de concretar, pues al principio, ya que el aula de informática práctiviene a ser la suma de muchas experiencias; de camente la utilizaba yo solo. pequeños ejemplos, en un Otras fases han sido más flojas, principio, a prácticas mucho Se trata de una forma como en los últimos años, ya más globales posteriormente, y diferente de impartir que el aula de informática estala constante evolución de las clases de matemáticas ba prácticamente ocupada a clases y de los recursos dispotodas horas y me resultaba casi nibles. De esta manera va utilizando ordenadores imposible poder dar clase en mejorando, o eso espero, año Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | pp. 15-23 | octubre 2012

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

El objetivo del presente trabajo es fomentar el uso de la hoja de cálculo entre los estudiantes, haciéndoles ver que el aprendizaje de las hojas de cálculo les puede facilitar mucho su labor

tras año. Pero se puede afirmar que, de momento, el curso pasado fue en el que mejores resultados se obtuvieron. Pues como decía, el «método» nunca se puede dar por concluido, aunque sí sus líneas maestras, y siempre hay que ir limando sus puntos débiles. De tal manera, se convierte en un proceso de mejora constante, en el que hay que adaptarse tanto a los alumnos a los que va dirigido, como a las tecnologías que nos podamos encontrar. La idea surgió de la siguiente reflexión: Si los niños actualmente viven rodeados de las nuevas tecnologías ¿por qué no las utilizan en beneficio propio a la hora de estudiar? Aunque para jugar, comunicarse, recabar información etc. hacen uso activo de la tecnología, siguen estudiando igual que hace 100 años. Este trabajo está basado en lo observado y probado durante estos últimos años en mis clases de matemáticas. No es una unidad propiamente dicha; más bien trata de cómo podemos trabajar las distintas unidades; un nuevo enfoque más acorde con los tiempos actuales en los que vivimos, rodeados de nuevas tecnologías, sobre cómo se pueden valer los alumnos de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC), en concreto del ordenador, para el aprendizaje. Pues aunque ellos ya tienen asumido y se desenvuelven perfectamente en el mundo de las TIC, no las han incorporado a su proceso de estudio. Por ejemplo, el uso del procesador de textos sí está muy extendido entre los alumnos, en su faceta activa, pues ahí encuentran un gran aliado a la 16

hora de tener que hacer correcciones en un texto: ¡ya no tienen que volver a escribirlo todo! El objetivo del presente trabajo es fomentar el uso de la hoja de cálculo entre los estudiantes, principalmente de matemáticas de la ESO, pudiendo adaptarse fácilmente al resto de niveles y asignaturas tecnológicas. Intento hacerles ver que, como en el procesador de textos, el aprendizaje de las hojas de cálculo les puede facilitar mucho su labor. Actualmente utilizan las TIC para recibir información, esto es, cada vez se les da más material en estos nuevos formatos para facilitarles la asimilación de conceptos, pero ellos no hacen uso activo de dichas tecnologías. Únicamente realizan una utilización pasiva. Debido a mi experiencia anterior como profesor de informática en diversas academias, veía que con las hojas de cálculo los alumnos tenían una muy buena herramienta para trabajar y entender las matemáticas. Con el paso de los cursos, he ido introduciendo en mi metodología dicha forma de trabajo y he podido constatar que funciona: los alumnos llegan a conseguir objetivos que no veíamos en años anteriores, ya que al liberarles del tedioso trabajo de realizar los cálculos, tienen más tiempo para pensar y reflexionar sobre lo que están haciendo y lo que pueden hacer. Es más, en ocasiones llegan a plantearme dudas que no se corresponden con lo que deben estudiar en su nivel. Varios de mis compañeros también han empezado a realizar propuestas de trabajo con el ordenador como herramienta de estudio.

Cómo son mis clases En principio, como comentaba anteriormente, la introducción de las nuevas herramientas en mis clases era algo puntual, las utilizábamos para casos muy concretos, los típicos de soluciones de la ecuación de segundo grado, potenciación… Mi interés por las nuevas tecnologías me llevó a fijarUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

El método Leukona

Cuando los alumnos, tras aprender las operaciome en el tipo de utilización que los alumnos les nes básicas, ya pueden entrar en otro estadio, daban, por lo cual impartía clases sobre la utilizapueden solucionar problemas donde las operación de las calculadoras o les enseñaba los nuevos ciones no están tan claras. Si después de enseñarmodelos, de manera que podríamos decir que en les las operaciones básicas, les pongo cientos de mis clases, desde un comienzo, utilizábamos las problemas del tipo «si X unidades cuestan Y, nuevas tecnologías. cuánto deberé pagar por Z unidades», ellos, al Pero claro, la forma de utilizar las nuevas tecaprender la forma de resolverlos, podrían ensenologías es muy distinta ahora a la realizada en un ñársela a un esclavo que hiciese lo que ellos le comienzo. Al principio, era mucho más de mosordenasen, pero teniendo en cuenta que el esclatrarles las herramientas, una especie de escaparavo no sabe solucionar el problema, aunque, eso sí, te, para que conociesen lo que había, pero ahora es muy habilidoso en el cálculo. De esta forma, el lo oriento mucho más a enseñarles a utilizar esas alumno aprende los pasos a realizar y se los expliherramientas, o al menos algunas de ellas. ca al esclavo, es decir, si el alumno sabe plantear, Después de haber visto y probado con los tal vez el esclavo lo resuelva, pero el esclavo, la alumnos en alguna clase las fabulosas nuevas calhoja de cálculo, nunca interpretará el resultado, culadoras, se podía comprobar su entusiasmo eso correrá por cuenta del alumno. Y eso es lo ante dichas herramientas. que se hace con la hoja de cálculo. Además, reviPero había un problema: la accesibilidad a sando el trabajo, ellos pueden repasar el proceso. esas nuevas tecnologías. Ellos disponían de calUn ejemplo más concreto del aula sería, por culadoras, pero claro, muy diferentes a las que ejemplo, la resolución de ecuaciones de segundo probábamos. A ellos les gustaba lo que hacíamos grado. Una vez que ellos han aprendido la fórmucon las calculadoras, pero lo tenían complicado la, y han realizado a mano unos cuantos ejercipara poder llevarlo luego a la práctica. En camcios, les enseño cómo la calculadora, o la hoja de bio, donde sí veía que podían sacar provecho a lo cálculo, son sus aliados a la hora de resolver que hacíamos era con las hojas de cálculo. Y dichos problemas. Su labor ahora únicamente cuando digo «sacar provecho» quiero decir poder consiste en encontrar los valores de A, B y C y utilizarlo luego ellos fuera de clase, ya que las calluego su «ayudante» hará los cálculos como ellos culadoras no se las podían llevar a casa, pero disle han enseñado, y les dará la respuesta, que es lo ponían, la mayoría al menos, de hojas de cálculo que nos interesa en este momento. en casa. Ese sería un ejemplo básico de utilización. De manera que de unos pocos ejemplos Nosotros en clase realizamos ejemplos más comprácticos fuimos pasando a la posible utilización plicados, como una hoja de cálpor parte de los alumnos y, culo que sirve para resolver finalmente, acabamos incorpocualquier sistema de ecuaciorándolas a la clase de matemátiLes enseño cómo la nes, que luego podemos utilizar cas. Pues si podía ser beneficiocalculadora, o la hoja para encontrar las coordenadas so para el alumno en su estudio, de cálculo, son sus del vértice de un triángulo a ¿por qué no introducirlo aliados a la hora de partir de las ecuaciones de los entonces en nuestras clases? resolver problemas lados, etc. Pero la forma de traEn este punto, siempre suelo

poner

ejemplo.

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

bajarlo en clase sería básica17

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

mente la misma. Impartimos proceso de realización de las Las matemáticas nos la teoría como siempre y, tras operaciones. O, como suelo realizar en papel los primeros comentarles a mis alumnos, ayudan a decidir ejercicios, pasamos a preparar que vean que las matemáticas cuál es la operación la hoja de cálculo que nos perno consisten en hacer operaque debemos realizar mita resolver ese tipo de ejerciciones. Las matemáticas nos para llegar a la solución cios, para lo que el alumno ayudan a decidir cuál es la opedebe interiorizar el proceso ración que debemos realizar general que ha realizado en los casos precedentes. para llegar a la solución. Y que vean, como realY una vez que ha preparado su herramienta, mente aprecian al comentar cómo van resolvienpuede aprovecharla para los próximos ejercicios. do, que la solución sí es única, pero los caminos Y esa es básicamente la idea principal de un son múltiples, y generalmente no hay un camino «método» por el que el alumno, en función de los bueno y el resto es malo, sino que el mejor camiconocimientos que va adquiriendo, se va prepano, al menos en principio, es el que cada uno ve… rando las herramientas que le ayudarán en las al menos hasta que otro nos cuenta cómo lo ha posteriores fases, ya que es estas están basadas en resuelto o planteado él. Ese proceso nos retroalilos temas precedentes, y de esta manera se quitamenta, y nos puede proporcionar nuevas ideas y rá de encima la parte más pesada del proceso: el caminos para seguir modificando nuestra herrarealizar los cálculos. Su trabajo ahora es únicamienta y conseguir hacerla más eficiente, ya que, mente entender lo que se debe hacer. como solemos comentar, nadie sabe tanto como todos juntos. Unas consideraciones prácticas Para terminar estas consideraciones, algo que me parece una gran verdad: un alumno Antes de comentar unos cuantos ejemplos práctirealmente ha aprendido algo cuando es capaz cos, me gustaría aclarar varios puntos. El trabajar de explicárselo a alguien, y en este caso, ese así tiene ventajas sobre todo para los alumnos. alguien es la hoja de cálculo. Y además, recibe Tranquilos, también para el profesor, al menos una gran compensación, ya que una vez que le para mí, ya que los alumnos llegan a plantear preha «explicado» cómo se consigue lo que quiere, guntas que antes ni se me hubiesen pasado por la la hoja de cálculo le dará la respuesta. Pero para ello, él debe primeramente aprender el cabeza. camino. Desde el punto de vista del profesor, tamAhora ya estamos en disposición de ir vienbién trae como parte negativa, aunque a mí no do unos ejemplos prácticos trabajados en el aula me lo parece, el tener que preparar sus propias en distintos niveles de la ESO. hojas de cálculo, ya que los alumnos necesitan comprobar los trabajos que realizan. Y una de las principales ventajas, además de Unos ejemplos prácticos la obvia de aprender a sacar provecho de las nuevas tecnologías, es la de ofrecer un punto de vista Yo creo que, en este punto, sería muy clarificador más amplio sobre lo que van estudiando, esto es, ilustrar con algunos ejemplos lo que hago con los alumnos. Podemos probarlo en las tres áreas que ellos puedan entender lo que están haciendo. principales: geometría, álgebra y aritmética. Que suban un peldaño más arriba que el simple 18

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

El método Leukona

Actividad 1: Crear una hoja de cálculo para resolver problemas con triángulos rectángulos Primero, y a modo de ejercicio para los lectores, propongo crear una hoja de cálculo que nos ayude en los ejercicios de semejanza sobre trabajo con los triángulos rectángulos. Aquí está claro que el primer trabajo de los alumnos es estudiar cuáles son todos los tipos de ejercicios con los que nos podemos encontrar. Y para cada caso, ir hallando el proceso a seguir para dar con la solución. Como indicaba anteriormente, mientras los alumnos preparan sus propuestas, yo voy trabajando en la mía, para mostrársela a ellos, con el fin de que puedan ir comprobando sus resultados. Lógicamente, las casillas donde hago los cálculos están ocultas para que ellos no vean cómo resolverlo.

El aspecto es totalmente personal. Ellos habitualmente resuelven cada tipo en una hoja aparte.

Actividad 2: Herramientas para el estudio de la parábola Bueno, y ahora un ejemplo de proceso paso a paso. Vamos a estudiar la parábola. Como el estudio lo vamos a realizar desde distintos frentes, puede que no tengamos suficiente con las hojas de cálculo. Aunque Excel nos puede dibujar las parábolas sin mucho esfuerzo, dándole la ecuación de segundo grado y creando una tabla de puntos que podemos añadir como un gráfico de dispersión (lógicamente, tras haber dibujado varias a mano), pero no podemos por ejemplo dibujarlas a partir de un foco y una directriz, nos puede ser de mucha utilidad disponer de GeoGebra (el programa GeoGebra ya dispone de ventana de hoja de cálculo). Pero como vengo señalando Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

desde el comienzo de este artículo, los alumnos primero deben realizar el trabajo a mano, en este caso dibujar varias parábolas, para entender los secretos del proceso, y luego ya pasarán a ayudarse de las nuevas herramientas para centrar su atención en otros aspectos del estudio. Como acabo de indicar, el primer trabajo de esta unidad será hacer una hoja de cálculo que me permita dibujar parábolas rápidamente, y con solo aplicar la fórmula, me pueda calcular los puntos de corte con el eje X. Al terminar este apartado, los alumnos deberían haber interiorizado los diferentes conceptos y, aunque no lo hagan exactamente, tendrían que ser capaces de valorar si la solución que se les propone es adecuada para los datos que se les dan. Dicho de otra forma, que el alumno sea capaz de intuir cómo ha de ser la representación de la parábola en base a los datos que se le proponen, o en el caso contrario, más o menos cuál ha de ser la ecuación de la parábola en virtud de la representación que se les presenta. Y para ello, deben saber calcular y entender los distintos elementos notables de este apartado. Como todos están relacionados entre ellos, el estudio de cada uno aisladamente es harto difícil, con lo que hay que lograr que los alumnos adquieran una visión global de la parábola en sí. En este punto, es muy de agradecer el que los alumnos hayan trabajado anteriormente la función de primer grado. El orden establecido en esta explicación es meramente testimonial. En la práctica, debería seguirse el orden que surja de los propios alumnos. Lo que debe intentarse es, además de que interioricen los conceptos trabajados, que encuentren la forma de automatizar el cálculo de dichos elementos para indicárselo a la hoja de cálculo. Al final deben llegar al cálculo de los distintos elementos de forma general cuando la parábola tiene por ecuación Y=ax2 +bX +C o cuando conocemos los puntos de corte con el eje X, en cuyo caso la ecuación será Y= a ( X – x ) * ( X – x ), o cuando conocemos dónde está el vértice (la ecuación entonces será Y = a ( X – vx )2 + vy cuando el foco está en (fx, fy ) y la directriz es Y=r). En este punto, ellos deben ir mejorando su hoja de cálculo para que les permita pasar de una de las posibilidades a todas las demás. Esto es, si por ejemplo les doy la parábola Y=X2-4x-5, deben saber explicitarla en las otras tres formas. 1

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El método Leukona

Se supone que los alumnos ahora ya pueden dedicarse al estudio de los distintos aspectos de la parábola, tales como dominio, recorrido, máximo, etc., y esto trae una nueva ampliación de la hoja. Utilizando el conocimiento que han ido adquiriendo sobre las hojas de cálculo, deben explicar cómo se consigue encontrar dicha información a partir de la ecuación. Y de esta manera tenemos un fichero que nos será de gran utilidad cuando una parábola se vuelva a cruzar en nuestro camino. Aquí quisiera recalcar de nuevo que el aspecto de los ficheros debe ser el que cada uno le quiera dar. Lo que deben hacer todos es ayudarnos en el estudio de la parábola, teniendo en cuenta que, en algunos casos, deberemos escribir más, y en otros únicamente los coeficientes. De esta forma, ellos mismos se van dando cuenta de que cuanto más aprendan, menos trabajo tendrán que hacer luego. Yo aquí les muestro nuevamente mi propuesta y vamos utilizando las distintas herramientas que tenemos a nuestro alrededor para este estudio, tales como GeoGebra, como ya indicaba anteriormente, las calculadoras, y por qué no, aplicaciones (apps) que tienen disponibles en sus dispositivos. En el estudio de cualquier función (la parábola, por su ecuación sencilla y «distinta» da mucho juego), Excel ofrece la posibilidad de generar movimiento, lo que supone un manjar para combinar la intuición geométrica con el valor de los parámetros. Respecto al estudio de los diferentes aspectos, siempre me suelo llevar sorpresas con lo que ellos proponen. En el fichero adjunto se puede ver que hay una hoja preparada para ¡generar ejercicios! Un año, un alumno nos propuso calcular la pendiente de la tangente a la parábola. Y lógicamente, todos realizamos nuestros ficheros para ayudarnos en dicho estudio, y tengo que reconocer que me llevé grandes sorpresas, una de ellas, que los alumnos entraron fácilmente en el juego, pues uno era el que había propuesto el ejercicio y no el profe, y luego ante algunos de los resultados. Me gustaría proponeros aquí también este ejercicio. Tened en cuenta que los alumnos de la ESO no han visto la derivada. Un nuevo ejemplo del análisis de todos los datos lo tenemos en la siguiente imagen:

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La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

Aquí depende de cada profesor y del grupo de alumnos hasta qué nivel queremos profundizar en dicho estudio, ya que algunos años no hemos estudiado la ecuación con respecto al foco y la directriz, y solo un año entramos al análisis de la pendiente. Como digo, depende de muchos factores, y no hay dos años que sea igual. Es el alumnado el que guía un poco la práctica, pero lo que sí puedo asegurar es que los alumnos trabajan mucho, cada uno a su ritmo, y al final todos tienen una herramienta que los ayuda.

Actividad 3: Pasar una fracción a notación decimal Para acabar, un tercer ejemplo que dejaré apuntado para que podáis ir creando vosotros vuestra propia herramienta. Lógicamente, dentro de la aritmética no vamos a preparar una hoja para hacer sumas, restas u otras operaciones (aunque ahí tenemos otra bonita actividad, crear una hoja de cálculo que nos permita comprobar las multiplicaciones que hacen los alumnos en su cuaderno con todos los resultado intermedios igual que en el cuaderno). El ejemplo que os propongo es pasar una fracción a notación decimal identificando el período en caso de tratarse de un número periódico. Con los alumnos de primero de la ESO lo trabajamos únicamente mediante la observación de los decimales generados. El problema es que Excel únicamente nos permite calcular los primeros 15 decimales del resultado, pero si sabemos cómo se calculan, y se lo enseñamos a Excel, él nos conseguirá todos los decimales que queramos. Como los alumnos sí saben dividir, ya tenemos medio problema resuelto, y así podemos centrarnos en enseñarles las órdenes básicas de Excel, de cara a que luego les sean de utilidad en futuros trabajos. Realmente, y esto los alumnos lo entienden enseguida, solo necesitan las funciones entero y residuo. Lógicamente, hay que explicarles qué «significan» matemáticamente conceptos que se les han enseñado a la hora de hacer las divisiones como «bajar el cero». Y con esas breves explicaciones y el fabuloso cuadrito de rellenar, no nos cuesta ningún trabajo calcular los primeros 800 decimales de cualquier división. Luego, según el nivel de los alumnos, o con alumnos de otro curso superior, se puede atacar el problema desde el análisis de los restos que van apareciendo en la división. Aquí podemos introducirles en el utilísimo mundo del formato condicional, o los filtros. Y en cuanto a las matemáticas, podemos aprovechar para estudiar los divisores, los factores primos en los que se puede descomponer un número, y así tener «pistas» para abordar el problema de forma más eficiente, de manera que, cuanto más aprendamos, mejor y más fácil podremos hacer el trabajo, hasta llegar a ejemplos como los mostrados por las nuevas calculadoras Casio que nos permiten tener en pantalla ejemplos como el siguiente, en el que se aprecia claramente cómo en la pantalla de la calculadora podemos observar el anteperiodo y el periodo correspondientes a la representación decimal de la fracción 26/28.

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El método Leukona

O con Excel:

Debemos formar a los alumnos en el manejo de las nuevas herramientas que tienen a su disposición

nos a utilizar las hojas de cálculo, y así en las próximas clases podremos centrarnos más en el estudio de la autentica matemática. Y ellos, además, habrán aprendido a utilizar alguna de las herramientas que más adelante les serán de gran ayuda, incluso fuera de las aulas.

Conclusión A modo de conclusión, creo que podemos afirmar que debemos formar a los alumnos en el manejo de las nuevas herramientas que tienen a su disposición, sin olvidar, claro, el objetivo principal, que en mi caso es enseñarles matemáticas. Y en esta ardua labor, pienso que quedará medianamente claro que en las hojas de cálculo tienen los alumnos y los profesores un gran aliado, que hará de su arduo trabajo una labor más llevadera. Por todo lo anterior, únicamente quiero decir para terminar: enseñemos a nuestros alumUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Referencias del autor Goyo Lekuona Muxika Colegio La Salle-Legazpi. Zumárraga (Guipúzcoa) Goyolm@lasalle.es Línea de trabajo: nuevas tecnologías aplicadas a la enseñanza de las matemáticas. Este artículo fue solicitado por UNO: REVISTA

DIDÁCTICA

DE LAS

MATEMÁTICAS en febrero de 2012 y aceptado en julio de 2012 para su publicación.

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

Aplicaciones de la hoja de cálculo en el tratamiento y enseñanza de la estadística en la ESO

Presentamos una propuesta de hojas de cálculo de temas básicos del currículo de estadística, para llevar a la clase de secundaria, sencillas de hacer y usar. Algunas, una vez creadas, pueden servir de plantilla para resolver problemas similares. De esta forma, centramos el trabajo en torno a la interpretación de resultados estadísticos y no en la realización de operatoria mecánica. Una aportación de estas hojas de cálculo es la utilización de datos reales descargados de distintos servidores, esto nos lleva a contextualizar el problema, sacar conclusiones generales y no solo de índole matemático. Applications of spreadsheets in approaching and teaching statistics at secondary level We present an exercise for using simple-to-make and easy-to-use spreadsheets with basic notions of statistics to use in secondary classes. Once created, some can be used as a template to solve similar problems, and we centre our work on interpreting statistical results rather than carrying out mechanical operations. One contribution of these spreadsheets is the use of real data downloaded from different servers, which helps contextualise the problem and obtain general conclusions above and beyond the sphere of mathematics.

En la actualidad, la estadística se reconoce como una de las partes más importantes del currículo de matemáticas de cualquier nivel, por su utilidad en la vida diaria, en el trabajo profesional y en la investigación, debido a la abundancia de información a la que el ciudadano, el técnico y el científico deben enfrentarse en su trabajo diario. La estadística como ciencia atraviesa un período de notable expansión y cambio, siendo cada vez más numerosos los procedimientos disponibles, alejándose más de la matemática pura y convirtiéndose en una «ciencia de los datos». Hoy es imprescindible incorporar las calculadoras gráficas o el ordenador en la clase de estadística para 24

Margarita Pastor Gil IES Pedro de Ursúa. Pamplona

Palabras clave: hoja de cálculo, servidores estadísticos, datos, azar, estadística, software libre, gráficos, simulación.

Keywords: spreadsheets, statistical servers, data, chance, statistics, free software, graphics, simulation.

que la enseñanza llegue a ser realmente efectiva. Puesto que estamos en presencia de una ciencia que cambia rápidamente, lo más importante no serán los contenidos específicos, sino el tratar de desarrollar en nuestros alumnos una actitud favorable, unas formas de razonamiento y un interés por completar posteriormente su aprendizaje. Existen buenas herramientas de software específicas para el tratamiento de datos como Rproject (código abierto), pero para el nivel de ESO y bachillerato apostamos por la hoja de cálculo Calc, del paquete OpenOffice (la versión libre de Excel). Además, la hoja de cálculo es un contenido del currículo de secundaria desde el Real Decreto 1631/2006:

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | pp. 24-34 | octubre 2012

Aplicaciones de la hoja de cálculo en el tratamiento y enseñanza de la estadística en la ESO

La utilización de las hojas de cálculo facilita el proceso de organizar la información, posibilita el uso de gráficos sencillos, el tratamiento de grandes cantidades de datos, y libera tiempo y esfuerzos de cálculo para dedicarlo a la formulación de preguntas, compresión de ideas y redacción de informes.

Características de Calc/Excel La hoja de cálculo Calc/Excel es un software considerado como estándar en todos los entornos (educativo, profesional, familiar, etc.), que posee la virtud de presentar una interfaz agradable, una facilidad de uso digna de elogio y permite realizar análisis estadísticos simples o más complejos y avanzados: • En estadística descriptiva representa todos los tipos de gráficos y calcula la media, moda, mediana, cuartiles, recorrido, varianza y desviación típica. • En estadística bidimensional representa la nube de puntos y la recta de regresión. Calcula el centro de gravedad, las desviaciones típicas marginales, la covarianza, el coeficiente de correlación, la recta de regresión, errores y busca objetivos. • En la distribución binomial, calcula cualquier probabilidad, la media, varianza y desviación típica. • En la distribución normal, calcula cualquier probabilidad en la normal estándar N (0, 1) y en cualquier N(μ,σ) y genera la tabla N (0, 1) • En inferencia estadística calcula los intervalos de confianza, el tamaño de la muestra y se puede aplicar al contraste de hipótesis, tanto en el bilateral como en el unilateral. • En probabilidad simula todo tipo de lanzamientos y experimentos. Para desarrollar análisis estadísticos complejos, se puede ahorrar pasos y tiempo si se utiliza el comUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

plemento de Excel Análisis de Datos; en Calc hay una macro que se llama OOoStat Statistics que hace algo parecido. A partir de los datos, la herramienta utilizará las funciones macro-estadísticas correspondientes para realizar los cálculos y mostrar los resultados en una tabla, y en algunos casos también genera gráficos. De todas formas, aunque me parece una buena herramienta es mejor para el aprendizaje de la estadística en estos niveles que se hagan los cálculos con Calc, pero tal y como se hacen a mano, siguiendo las fórmulas, y detallando todo el proceso. Además se pierde una de las grandes ventajas de una hoja de cálculo: si cambias los datos, las medidas estadísticas y gráficos no se recalculan. Con Calc/Excel se pueden crear simulaciones y sus macros permiten trabajar en contextos de problemas interesantes, dando la posibilidad al alumno de generar procesos de reflexión, razonamiento, planteamiento, solución de problemas y toma de decisiones que le den sentido a los conceptos aprendidos. La incorporación de una hoja de cálculo y herramientas de estadística y probabilidad al programa GeoGebra han permitido una evolución muy interesante de estas simulaciones. Como buenos ejemplos tenemos los applets del bloque de estadística del proyecto Gauss1 y los del profesor Manuel Sada,2 de los que los propios autores ya trataron en anteriores artículos de esta revista.3 La gran ventaja que tiene la hoja de cálculo de GeoGebra frente a una convencional es que, al estar escrita en Java, se puede integrar en páginas web y en múltiples plataformas como Moodle.

Características de mi propuesta de hojas de cálculo En el cuadro 1 (página siguiente) se presenta una colección de hojas de cálculo para ser utilizadas en las clases de secundaria, con las siguientes características: 25

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

Nombre actividad

Objetivos

Las estadísticas no engañan

Análisis crítico de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación.

•

Análisis y crítica de nuestro sistema electoral.

•

Sistema electoral D Hondt

Contenidos estadísticos

•

Metodología

Nivel

Tablas y gráficas estadísticas. Los cambios de escalas.

•

Construcción.

Primaria ESO

Tablas y gráfica estadísticas. Repartos proporcionales.

• •

Construcción. Plantilla.

ESO

Tablas y gráficos estadísticos Parámetros estadísticos.

• •

Construcción. Plantilla.

ESO

• • •

Construcción. Elaborada. Plantilla.

ESO

Distribuciones unidimensionales con datos reales

Estudio de la estadística descriptiva unidimensionales con datos reales.

•

Experimentos aleatorios. Ley de los grandes números. Loterías

Enfoque frecuencial de la probabilidad. Introducción a la simulación.

• • •

Experimento aleatorio. Frecuencia. Ley de los grandes números. Probabilidad.

Ley de Benford

Estudiar el comportamiento aleatorio de grandes cantidades de datos.

• • •

Azar. Tablas de frecuencias, Gráficos estadísticos.

• • •

Construcción. Elaborada. Plantilla.

3.º,4.º ESO

Paradoja del Cumpleaños

Introducción al cálculo de probabilidad y combinatoria. Mejorar la intuición probabilística.

• •

Probabilidad. Combinatoria.

• •

Construcción. Elaborada.

3.º,4.º ESO

Problema de Monty Hall

Introducción al cálculo de probabilidad condicionada. Mejorar la intuición probabilística.

•

Probabilidad condicionada.

• •

Construcción. Elaborada.

3.º,4.º ESO

Diagrama de Caja y Bigote

Estudio y comparación de varias distribuciones.

• • •

Cuartiles. Gráficos. Simetría.

• •

Elaborada. Plantilla.

3.º,4.º ESO

•

Todas están desarrolladas en la web www.estadisticaparatodos.es/HC; cada hoja de cálculo tiene una portada que explica de qué trata, lo que se pretende conseguir y las formulas que se utilizan. Además de tratar

contenidos del currículo de matemáticas, la realización de estas hojas de cálculo hace que el alumno se desenvuelva en diferentes contextos y trabaje la mayoría de las competencias básicas. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Aplicaciones de la hoja de cálculo en el tratamiento y enseñanza de la estadística en la ESO

Nombre actividad Correlación con datos reales

Calculadora Estadística

Objetivos

Contenidos estadísticos

Introducción al estudio de las distribuciones bidimensionales.

•

Repasar la sintaxis de las formulas estadísticas.

•

• •

•

Metodología

Nivel

Estadística bidimensional. Correlación. Recta de regresión.

• •

Construcción. Plantilla.

4.º ESO Bachillerato

Combinatoria. Distribución binomial y normal. Inferencia

• •

Construcción. Plantilla.

3.º,4.º ESO Bachillerato

Construcción = Son los alumnos quienes la tienen que construir. Plantilla = Una vez creada, puede servir de plantilla para resolver otros problemas similares. Elaborada = Se entrega ya elaborada. Cuadro 1. Hojas de cálculo para utilizar en las clases

•

Se ha pretendido que sean sencillas de realizar, para que sean los alumnos quienes las elaboren. Así, entre otros logros, conseguimos un trabajo más atractivo para ellos, donde pueden poner su creatividad, en la forma de presentar los datos y gráficos. En determinados casos, ya sea por su complejidad o porque no queremos o no podemos perder tiempo en su elaboración, las llevamos ya preparadas y en otros casos se pueden utilizar a través de una pizarra digital o de un cañón, como complemento a una clase teórica. Casi todas, una vez creadas, pueden servir de plantilla para resolver otros problemas/ ejercicios similares. De esta forma centramos el trabajo en torno a la comprensión e interpretación de situaciones, tablas, gráficos y resultados estadísticos, y no en la realización de operatoria mecánica. El punto de comienzo de la estadística debería ser el encuentro de los alumnos con sistemas de datos reales del mundo biológico, físico, social y político; esto nos lleva a contextualizar el problema, y sacar conclusiones

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

generales y no solo de índole matemático. Por eso en algunas de estas hojas de cálculo se ha utilizado el recurso de Internet para que los alumnos puedan emplearse en la búsqueda de información del proyecto que se está tratando y consultar datos de las oficinas de estadística de las instituciones nacionales e internacionales, y de otras bases y fuentes de la red, que ponen al alcance de todos los usuarios grandes volúmenes de datos, permanentemente actualizados, a los que es posible acceder y descargar en formato para hojas de cálculo. De la lista de servidores estadístico de la red destacamos el INEbase,4 que es el sistema que utiliza el INE para el almacenamiento de la información estadística en Internet. Merece la pena nombrar algunos más que pueden revolucionar la enseñanza de la estadística o ciencia de datos del siglo XXI: • Oficinas estadísticas de las instituciones nacionales e internacionales.5 • CULTURAbase.6 Sistema de difusión de estadísticas culturales con el mismo sistema de INEbase. 27

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

•

• • •

AEMET.7 La Agencia Española de Meteorología facilita datos sobre temperatura, viento, precipitación, radiación y ozono. EUROSTAT.8 Recopila los datos de los diferentes institutos de estadística, los procesa y ofrece cifras comparables y armonizadas. OECD.9 Datos en OECD.Stat Extracts. Worldbank.10 Banco de datos mundial para ayudar a reducir la pobreza. Gapminder.11 Software para la visualización interactiva de datos, favoreciendo fundamentalmente la visualización de los indicadores

•

relacionados con los Objetivos de Desarrollo del Milenio de Naciones Unidas, cuyo autor defiende a la estadística como una herramienta para echar abajo muchos prejuicios. WorldMapper Project.12 Combina estadística, geografía y geometría esférica para ilustrar la distribución de distintas variables de interés estadístico sobre la superficie terrestre.

En el fichero www.estadisticaparatodos.es/ HC/datos.ods mostramos ejemplos de datos descargados de estos servidores.

Actividad 1: Las estadísticas no engañan www.estadisticaparatodos.es/HC/graficos.ods La función de los gráficos es presentar visualmente unos datos, pero puede ocurrir que al mirar el gráfico la información resulte confusa o distorsionada, ya sea por error o por intereses particulares. Con una hoja de cálculo se puede cambiar de una representación gráfica a otra de manera rápida, e incluso manipular los datos, variar los ejes y las escalas a efecto de enriquecer así la discusión de resultados. La hoja de cálculo muestra ejemplos reales de gráficos erróneos o imprecisos y la labor del alumno es analizarlos y arreglarlos.

Paro europeo 25 20 15 10 5 0

España

Zona Euro

U.E.

Currículo de matemáticas ESO: Debido a su presencia en los medios de comunicación y el uso que de ella hacen las diferentes materias, la estadística tiene en la actualidad una gran importancia y su estudio ha de capacitar a los estudiantes para analizar de forma crítica las presentaciones falaces, interpretaciones sesgadas y abusos que a veces contiene la información de naturaleza estadística. Y para 4o ESO: Análisis crítico de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación. Detección de falacias.

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Actividad 2: Sistema electoral D Hondt www.estadisticaparatodos.es/HC/hondt.ods Esta hoja de cálculo está preparada para que se realice después de unas elecciones electorales en cualquier curso de la ESO. Su construcción es muy sencilla, solo hace falta utilizar una fórmula. A parte de la simple construcción de la hoja de cálculo, dependiendo del nivel de los alumnos, se puede comparar con gráficos el porcentaje de votos con el de representantes y abrir un debate sobre el sistema electoral español.

Actividad 3: Distribuciones unidimensionales con datos reales www.estadisticaparatodos.es/HC/unidimensional.ods Utilizando datos reales de los diversos servidores que permiten descargas en formato para hojas de cálculo, se pueden hacer estudios estadísticos como el que planteamos en esta hoja de cálculo sobre la diferencia de climas de dos ciudades del territorio español. El alumno elige dos ciudades, halla los parámetros unidimensionales, un gráfico adecuado y llega a unas conclusiones. Esta primera hoja le sirve de plantilla para estudiar otro par de ciudades. Los datos se han obtenido en INEbase / Entorno físico y medio ambiente / Entorno físico/Climatología con las variables de estudio: temperatura, horas de sol y precipitaciones.

El estudio se completa construyendo climogramas de cada ciudad, a partir de una plantilla. Las posibilidades de hacer pequeños proyectos con datos reales son infinitas

Actividad 4: Experimentos aleatorios. Ley de los grandes números. Loterías www.estadisticaparatodos.es/HC/aleatorio.ods Para introducir el concepto de probabilidad desde un enfoque frecuencial, se propone realizar la clásica, pero eficaz, simulación del experimento aleatorio de lanzar N veces un dado para comprobar la ley de los grandes números. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

La hoja de cálculo agrupará los lanzamientos de 10 en 10, para ir calculando automáticamente las veces que se obtiene un determinado resultado y su frecuencia relativa. Finalmente, se generará una gráfica que mostrará cómo, cuando aumenta el número de lanzamientos, las frecuencias relativas de los seis posibles resultados tienden a estabilizarse y se aproximan al valor de la probabilidad.

Como complemento al estudio del azar, se han añadido otras simulaciones como la suma o resta de dos dados y simulaciones de las loterías y apuestas del estado, con sus respectivas frecuencias sacadas de la web oficial.13

Actividad 5. Ley de Benford «Los números suelen comenzar más frecuentemente por «1» que por cualquier otro dígito» www.estadisticaparatodos.es/HC/benford.ods Una sorprendente teoría matemática llamada ley de Benford predice que un conjunto determinado de números, aquellos cuyo primer dígito es 1, aparecerá de forma más frecuente que los números que empiezan por otros dígitos. La frecuencia esperada para números que empiezan por 1 es casi del 30%, para el 2 es un poco más del 17%, para el 3 algo más del 12% y para el resto disminuye. La ley de Benford necesita datos que no sean totalmente aleatorios ni muy condicionados, sino que estén más o menos en medio. Proponemos el reto de buscar muestras en Internet, u otros medios, extraídas de fenómenos naturales, sociales y económicos, llevarlos a la hoja de cálculo (la podemos dar ya hecha o la pueden hacer los alumnos) y comprobamos si cumplen esta curiosa ley. Ejemplos válidos son el número de habitantes de los pueblos de Navarra, España y los números primos.

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Actividad 6: Paradoja del cumpleaños www.estadisticaparatodos.es/HC/cumpleanos.ods Las coincidencias son algunos de los hechos que más suelen llamar nuestra atención, sobre todo por la sorpresa que nos causa descubrir conexiones inesperadas entre grupos de personas o cosas. Uno de los ejemplos más famosos y trascendentes es conocido como la paradoja del cumpleaños: ¿Cuál es el tamaño mínimo que debería tener un grupo para que sea más probable que improbable que dos personas compartan el día del cumpleaños? Podemos experimentar si hay coincidencias de cumpleaños en la clase, o utilizando Internet, probar con otros grupos de personas, por ejemplo, con las fechas de cumpleaños de los 23 primeros jugadores de los equipos de fútbol. Pero siempre nos queda hacer una simulación con una hoja de cálculo y experimentar las coincidencias en grupos de tamaños diferentes para llegar a conclusiones. Y por último, calculamos las probabilidades de que en un grupo de 2, 3, 4, 5, 6… tengan coincidencias en el cumpleaños y, con estos datos, hacemos una gráfica que muestre la relación entre el número de personas del grupo y la probabilidad de que ocurran coincidencias de cumpleaños.

Actividad 7: El problema de Monty Hall www.estadisticaparatodos.es/HC/montyhall.ods En ocasiones, la intuición puede hacer que nos equivoquemos en el momento de tomar una decisión. Podríamos elegir de forma incorrecta una opción entre varias, simplemente porque parece que es la más probable. Pero solo aparentemente. Un problema que refleja este juego de probabilidades es el de Monty Hall, inspirado en un concurso televisivo, cuya resolución abrió un curioso debate en la sociedad estadounidense en 1990 y que continua atrayendo gran interés en la actualidad con apariciones en libros, web, series y películas. En España se utilizó el mismo esquema en el concurso Un, dos, tres, responda otra vez y recientemente una variante, más compleja, en el concurso Allá tú. El concursante escoge una puerta entre tres. Una de ellas oculta un coche, y tras las otras dos hay una cabra. Sin embargo, antes de abrirla, el presentador, que sabe dónde está el premio, abre una de las otras dos puertas y muestra que detrás de ella hay una cabra. Ahora tiene el Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

concursante una última oportunidad de cambiar la puerta escogida. ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia? Para este problema con historia, planteamos una hoja de cálculo con dos simulaciones, una suponiendo que el concursante mantiene la puerta elegida, otra en la que el concursante siempre cambia de puerta, y aún podemos hacer una tercera simulación, suponiendo que el concursante elige al azar si cambia o no la puerta.

Actividad 8: Diagrama de caja y bigotes www.estadisticaparatodos.es/HC/caja.ods Tukey (1915-2000) ha sido uno de los grandes talentos estadísticos del siglo XX y está detrás de nuevas y sencillas formas de tener en cuenta las magnitudes estadísticas. Entre ellas destacan los gráficos «Diagrama de caja y bigotes» y «Diagrama de tallo y hojas». Fundó el análisis exploratorio de datos, o EDA, una filosofía básicamente gráfica de exploración de datos estadísticos. El diagrama de caja y bigotes es un resumen gráfico que permite visualizar, para un conjunto de datos, la tendencia central, la dispersión y la presencia posible de datos atípicos. Para realizarlo se necesitan los cuartiles de los datos. Y es de gran utilidad para comparar dos o más conjuntos de datos. A los alumnos se les da ya hecha la hoja de cálculo, que contiene plantillas que realizan diagramas de caja para una, dos o tres variables, y se pueden introducir hasta 1000 datos de cada variable. Con esta herramienta pueden hacer pequeños proyectos como: • Comparación de diferencias significativas entre la tasa de alfabetización de la población adulta por país y año entre hombres y mujeres. • Comparación de la clasificación final de cualquier competición deportiva; por ejemplo, de las dos últimas ligas BBVA o de la liga de futbol española, inglesa y alemana.

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Actividad 9: Correlación con datos reales www.estadisticaparatodos.es/HC/bidimensional.ods Aunque no está incluido en el currículo de secundaria, creo que 4.º de ESO es el mejor momento para introducir las distribuciones bidimensionales, y más teniendo en cuenta que algunos alumnos no van a tener ya oportunidad de estudiarlas. En la portada de la hoja de cálculo se explica detalladamente cómo calcular la recta de regresión de una serie de datos de tres formas diferentes: solución gráfica, mediante las formulas o con la fórmula matricial Estimacion. Lineal (). La más rápida y sencilla de usar es la gráfica, y es muy útil por la importancia de mirar gráficamente un conjunto de datos antes de analizarlos. Como ejemplo, y con muy poco esfuerzo, se pueden representar los cuatro conjuntos de datos del «Cuarteto de Anscombe» (1973) que tienen las mismas propiedades estadísticas, pero que evidentemente son distintos al ver sus gráficos respectivos. Al igual que se planteaba en la hoja de cálculo unidimensional, se pueden hacer interesantes proyectos de estadística bidimensional con datos reales.

Actividad 10: Calculadora estadística www.estadisticaparatodos.es/HC/calculadora.ods La última de esta lista de hojas de cálculo contiene una serie de calculadoras estadísticas de combinatoria, distribución binomial, distribución normal e intervalos de confianza. Su principal objetivo es calcular y repasar las tediosas fórmulas estadísticas, utilizando la sintaxis de la funciones de Calc/Excel.

Esta colección de hojas de cálculo se puede completar con ejemplos para bachillerato como: • Distribución binomial y juegos de azar. • Distribución normal con datos reales. • Intervalos de confianza y test de hipótesis con datos reales. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Conclusión Es evidente que el empleo de las herramientas tecnológicas no es un fin mismo en la enseñanza de la estadística, sino un medio que facilita la construcción de los significados de conceptos 33

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

básicos y el manejo de grandes bases de datos, facilitando su representación, permitiendo efectuar acciones, que a través del «arrastre del lápiz» difícilmente se podrían lograr dentro de la clase, evitando la distracción y desgaste en el manejo de fórmulas complejas.

7. www.aemet.es/es/servidor-datos/accesodatos/listado-contenidos 8. http://epp.eurostat.ec.europa.eu/portal/page/ portal/statistics/themes 9. http://stats.oecd.org/ 10.http://datos.bancomundial.org/ 13.www.gapminder.org/ 14.www.worldmapper.org/ 15.www.loteriasyapuestas.es

Notas 1. http://recursostic.educacion.es/gauss/web/ 2. http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/ geogebra/azar.htm 3. J.L. ÁLVAREZ GARCÍA, R. LOSADA (2012), «Estadística y probabilidad en el proyecto Gauss», UNO, núm. 59, pp. 26-39; SADA (2011), «Los applets para la enseñanza de la estadística y probabilidad», UNO, núm. 58, pp. 38-48. 4. www.ine.es/inebmenu/indice.htm 5. www.ine.es/serv/estadist.htm 6. www.mcu.es/estadisticas/CulturaBase.html

Referencias de la autora Margarita Pastor Gil IES Pedro de Ursúa. Pamplona mpastorg@educacion.navarra.es Línea de trabajo: autora de la web estadísticapara todos.es Este artículo fue solicitado por UNO: REVISTA

DIDÁCTICA

DE LAS

MATEMÁTICAS en febrero de 2012 y aceptado en julio de 2012 para su publicación.

CUANDO LA ESCUELA PRETENDE PREPARAR PARA LA VIDA ¿Desarrollar competencias o enseñar otros saberes? Philippe Perrenoud Libro esencial que plantea las verdaderas preguntas que debemos hacernos: ¿Son los saberes que se enseñan en la escuela los más pertinentes para entender el mundo y actuar? ¿Preparan para los estudios superiores o para la vida? ¿Qué debemos pensar de la ausencia de conocimientos como el derecho, la economía, las ciencias políticas o la psicología en los programas escolares? ¿En un momento en que la esperanza de vida se alarga, nuestras vivencias se diversifican y la sociedad cambia rápidamente, podemos identificar un número limitado de competencias útiles para todos? ¿No será más adecuado transmitir saberes y desarrollar actitudes que permitan a cada uno construir las competencias que llegue a necesitar? ¿Estarán condenadas las sociedades democráticas a mantener el mismo currículo, producto de una doble negociación entre las expectativas de los consumidores de escuela y entre las disciplinas largamente arraigadas? Ninguna de estas preguntas tiene una respuesta sencilla, y menos aún consensuada, pero la sociología del currículo permite plantearlas y, tal vez, inducirnos a un debate serio. C/ Hurtado, 29 08022 Barcelona (España)

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Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

El concepto de esperanza matemática

Juan Carlos Gil Mongío IES Gallicum. Zuera (Zaragoza)

Introducción a través de la hoja de cálculo

En este artículo se muestran varias situaciones que intentan introducir de forma progresiva el concepto de valor esperado. Es este un concepto que no aparece, al menos explícitamente, en el currículo de educación secundaria, pero al que se suele recurrir aunque sea sólo de forma intuitiva. Aquí se sugiere una forma de presentarlo al alumnado mediante el uso de la hoja de cálculo, aprovechando la posibilidad de estimular la intuición y la capacidad de análisis sin tener la necesidad de «distraerse» haciendo las cuentas. The concept of mathematical expectation. Introduction through spreadsheets This paper looks at several situations that gradually try to introduce the concept of expected value. This is a concept that does not appear explicitly in the secondary curriculum, but which is often used intuitively. Here we suggest a way of presenting it to students using spreadsheets, making the most of the opportunity to stimulate students’ intuition and capacity for analysis without the need to get distracted by the calculations.

—Una vez, uno de mis maestros me dijo que había siete palabras que hacían que una mujer te amara. —¿Por eso hablas y hablas sin parar? ¿Confías en dar con ellas por casualidad? (Patrick Rothfuss, El nombre del viento) El concepto de esperanza matemática no aparece en los libros de texto de secundaria, a pesar de ser esta una noción importante en la vida cotidiana, no solo en matemáticas. Cuando aparece ya en la enseñanza superior, lo hace de forma poco intuitiva, rodeado de sumatorios y subíndices. Así pues, una exposición más atractiva de la esperanza matemática previa a la analítica

Palabras clave: aritmética y media ponderada, azar, valor esperado, juego justo, simulación.

Keywords: arithmetic and weighted means, chance, expected value, fair game, simulation.

podría, tal vez, facilitar al alumnado su interiorización y asimilación. En este artículo, se presentan ejemplos de cómo hacerlo, contando con la hoja de cálculo como herramienta. Dependiendo del nivel en que se haga uso de El concepto de espeellos, se puede plantear ranza matemática no al alumno el problema aparece en los libros y proponerle que lo de texto de secunresuelva ante el ordedaria, a pesar de ser nador construyendo él esta una noción la simulación. Si no, se le presentará la hoja ya importante en la hecha, de modo que vida cotidiana mediante las preguntas

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | pp. 35-44 | octubre 2012

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

convenientes y diversas repeticiones de la simulación el alumno pueda alcanzar una comprensión del concepto de esperanza matemática acorde a su nivel y madurez. Según parece (Franco, Olmedo y Valderas, 2011), el primer estudio sistemático del valor esperado aparece en la obra de 1657 Libellus de Ratiotiniis in Ludo Aleae de Christiaan Huygens (1629-1695), donde calcula la ganancia esperada en una serie de juegos. En él establece: Si se pueden ganar dos cantidades a o b, con igual probabilidad, entonces la expectativa vale (a+b)/2. Generalizando a n posibles resultados a1 …an, teniendo todos la misma probabilidad, la ganancia esperada será: (a1 + …+ an)/n. Más adelante, considera el caso en que las posibles ganancias sean a y b, pero con probabilidades distintas: p oportunidades de ganar la cantidad a, y q de ganar b. Considerando equiproba-

bles cada uno de los p+q resultados, la ganancia esperada será:

Jacob Bernoulli hizo un razonamiento similar basado en las frecuencias para la ganancia esperada en un juego: Ganancia · (razón de veces que gana) – pérdida · (razón de veces que pierde)

Veamos a continuación los ejercicios que plantear a los alumnos para, de manera sencilla, ir introduciendo el concepto de esperanza matemática. En la dirección http://catedu.es/calendas/ introespmat.rar el lector puede descargar todas las hojas de cálculo (HDC) referenciadas en este artículo.

Ejercicio inicial Comenzaremos con un ejercicio que afiance un concepto no siempre comprendido, el de media ponderada. En él, aprovechando la HDC incluida en el archivo antes mencionado, presentaremos una situación en la que la calificación media de una persona depende de dos notas de diferente ponderación. Jugando con las notas, sus ponderaciones y la media ponderada introduciremos al alumnado en el manejo básico de la HDC y en los conceptos de media aritmética y media ponderada pidiéndole que modifique determinadas casillas –notas y porcentajes– con el propósito de alcanzar un determinado valor de la media.

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

El concepto de esperanza matemática

En el archivo Excel ej0.media_ponderada puede encontrarse esta simulación.

Primer ejercicio Pedro y Ana son dos hermanos que apuestan un euro cada uno al resultado obtenido al lanzar un dado equilibrado. Si sale «uno» o «dos», Pedro se llevará los dos euros de la apuesta, si sale otro número se los llevará Ana. Este ejercicio solo pretende establecer una base común sobre la que comenzar. Puede parecer prescindible, pero es nuestra «primera piedra». Si optamos por que sea el alumno quien construya la simulación con la HDC, este es un buen ejemplo para explicar o analizar algunas funciones lógicas –explicadas en bachillerato por nuestros colegas de filosofía, pero mayoritariamente ignoradas por nosotros–, la generación de números aleatorios y otras como «sumar», «aleatorio» o «contar». Podemos comenzar con preguntas del tipo: «si se hacen 600 lanzamientos, ¿cuántos esperas que gane cada hermano? ¿Será ese el resultado que realmente obtengan?». Evidentemente, todos los alumnos verán que Ana sale favorecida, que se espera que gane dos de cada tres partidas. Pero tal vez no esté tan claro para ellos que, a la larga, no sólo recuperará lo apostado sino que ganará 1/3 de esa cantidad, porque pierde un euro un tercio de las veces y gana un euro dos tercios de ellas. Tal vez sea bueno hacer ver al alumnado que no es de media de lo que estamos hablando. Nuestra propuesta es construir una HDC que simule 600 lanzamientos y obtener la ganancia total de cada hermano. Se puede analizar el hecho de que las ganancias de Ana y Pedro son enteros opuestos y ver cómo varía el resultado respecto al esperado. En este momento, podemos introducir ya el concepto de juego justo. En la pestaña «dos cuatro» del archivo Excel ej1. pedro_ana se puede encontrar esta actividad. El gráfico recoge una simulación con Excel para n=1000 jugadas. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

Segundo ejercicio Evidentemente, en el juego anterior nadie aceptaría las condiciones impuestas a Pedro, por eso Ana le propone un cambio de reglas: Pedro sigue apostando a «uno» y «dos»; si gana recibirá los dos euros, pero si pierde, él recibirá 50 céntimos y Ana los otros 1,50 €. ¿Por quién tomarías parte ahora? Esta reformulación del ejercicio deja de tener una resolución intuitiva acertada para la mayoría de nosotros. Tanto si el alumno ha creado la HDC correspondiente al primer ejercicio, como si se la presentamos ya confeccionada, la modificación o la comprensión de la modificada, de cara a estudiar este segundo, caso no tendrá dificultad. El juego ahora es más ventajoso que antes para Pedro; veamos cuánto ahora que mantiene la ganancia por partida pero su pérdida es sólo de 0,50 € por partida: 1· 2/6 – 0’50 · 4/6 = 0. A la larga, es de esperar que ni gane ni pierda, por tanto, el juego es justo. En la pestaña «Doble» del archivo Excel ej1. pedro_ana se puede encontrar esta actividad. La figura recoge una simulación con Excel para n=1000 jugadas. En la pestaña «Trucado» del archivo Excel ej1. pedro_ana se puede encontrar una nueva modificación cuya utilización en el aula puede considerar el profesor. En ella se usa un dado trucado.

Tercer ejercicio Ahora juegas contra la banca tirando un dado: El sistema de pérdidas y ganancias se describe en la tabla. Es decir, si sale par, la banca te da tres euros, si sale uno, tú le pagas un euro. Si sale tres, pagas tres euros y si sale cinco, pagas cinco euros. ¿Jugarías? ¿Cuántas partidas estarías dispuesto a jugar?

Sale par

Ganas 3€

Sale 1

Pagas 1€

Sale 3

Pagas 3€

Sale 5

Pagas 5€

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

El concepto de esperanza matemática

Se trata de un juego justo. Con la simulación, el alumno no tardará en verlo. Es un buen momento para comentar que nada puede asegurarnos que tras un número determinado de partidas, cinco, por ejemplo, nuestro saldo total sea cero. Podemos cambiar la tabla anterior en la HDC (o pedir al alumno que lo haga) de modo que sea un juego favorable al jugador (por ejemplo, haciendo que si sale «1» ni se gane ni se pierda dinero). Trabajando con pocas partidas, seguro que en unas pocas iteraciones alguna de ellas hará perder dinero al jugador, aunque el juego le sea favorable. De esta manera se presenta, y se puede recalcar, la influencia del azar: una cosa es el valor esperado y otra el valor obtenido.

Cuarto ejercicio Ahora sigues jugando contra la banca, pero lo harás con esta ruleta. Imaginemos que haces girar la flecha y consideras el color en el que caiga, ganarás o pagarás un dinero según aparece en la figura. Es decir, en cada partida puedes quedarte como estabas (si sale azul), ganar dos euros (si sale rojo) o perder uno (si sale blanco). Evidentemente, es un juego que te favorece, debe de ser tu día de suerte. Pero, ¿puedes predecir cuánta ganancia obtendrás por partida si giras la flecha muchas veces? En la pestaña «Ejercicio4» del archivo Excel ej4.ruleta se puede encontrar esta simulación. Sale rojo

Ganas 2€

Sale azul

0€

Sale blanco

Pierdes 1€

-1

Este ejercicio pretende mostrar una propiedad que, si bien para la media aritmética no es llamativa, sí puede parecerlo para el valor esperado. Se trata de que dicho valor no tiene por qué coincidir con un valor posible. Todos entendemos la frase «el número hijos de las familias de una localidad es, en media, 2,3». Pero en un juego donde ganamos o perdemos euros enteros, parece extraño que nuestras expectativas no lo sean.

Quinto ejercicio Considera que ahora te hacen la siguiente oferta: jugaremos con la ruleta de antes, pero puedes elegir entre cuatro opciones: A, B, C y D, según aparece en la figura. Elige una y explica por qué lo haces.

Opción

Sale rojo

+4€

+6€

+8€

+5€

Sale azul

+1€

-1€

+1€

Sale blanco

+2€

+1,5€

-1€

+1€

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

En la pestaña «A jugar» del archivo Excel ej4.ruleta se puede encontrar esta simulación. Antes de hacerla (bien por parte de los alumnos o presentada por el profesor) puede ser conveniente iniciar un debate. Las esperanzas de ganancia por partida en cada opción son: E[A]= 2’75 €, E[B]= 3’125 €, E[C]= 3’5 € y E[D]= 3 €. La más ventajosa es la C, a la larga, si el número de partidas es alto. Porque si solo jugamos una vez, la opción C puede hacernos perder. En cambio con la A y la D, esto nunca ocurrirá. Este ejercicio pretende dos cosas: dirigir al alumno hacia una expresión analítica de la esperanza matemática, que el profesor valorará si presentar o no, y el hecho de que el valor esperado, como la media aritmética, puede no ser un de los valores posibles. Aprovechamos para mencionar la posibilidad de entender la HDC como una herramienta en la toma de decisiones. A continuación se plantea un ejercicio que aparece mal resuelto en algunas ocasiones. Puede enunciarse así: Un jugador comienza con cierta cantidad de dinero, 100 euros, por ejemplo. En cada momento, apuesta contra la banca la mitad de lo que tiene a cara o cruz. Si gana, recupera su apuesta y recibe de la banca otro tanto. Si pierde, no recupera lo apostado (en el primer lanzamiento de la moneda apuesta 50€, si gana recupera lo apostado y recibe otros 50€, por lo tanto tiene 150€ y la siguiente apuesta será de 75€. Si en el primer lanzamiento pierde, solo le quedan 50€ y la siguiente apuesta será de 25€). Erróneamente, hay quien piensa que este es un juego desfavorable para el jugador porque cada vez que se gana, su dinero se multiplica por 1,5 y cada vez que se pierde, se multiplica por 0,5. Así, ganando una y perdiendo otra el dinero inicial queda multiplicado por 1,5 · 0,5 = 0,75. Es decir, se pierde la cuarta parte del dinero. También se dice que para no perder en 10 lanzamientos se ha de ganar al menos 7 veces. Esto parece ser un juego injusto, pero no lo es. En realidad, este razonamiento solo dice que, si a una cantidad se le aplica un aumento de un 50% y después una disminución del 50% –o al revés–, no queda lo mismo, y que eso es injusto. Bien, para que un juego sea justo ha de ocurrir que la esperanza matemática de la variable aleatoria «ganancia» sea nula, y en este caso lo es. Estamos seguros de que el lector no tardará en crear una simulación que lo apoye y una demostración que lo pruebe.

Sexto ejercicio Ahora es Pedro quien propone un nuevo juego, le dice lo siguiente a Ana: «Tú apuestas la cantidad que quieras a ‘uno’ o ‘dos’ en el lanzamiento de un dado, si pierdes, yo me quedo tu apuesta y si ganas, te devuelvo el doble». Este ejercicio supone ya un salto cuantitativo importante respecto a su dificultad; en nuestra opinión su mayor aprovechamiento se extraerá dirigiendo a alumnos de bachillerato para que realicen

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El concepto de esperanza matemática

ellos la HDC que permita la simulación. Por tanto, nuestro planteamiento aquí pasa a ser ya un poco más «académico», en el sentido de que no dejamos al alumno solo ante el problema. Valiéndose de la fórmula de Bernoulli, Ana piensa que si apuesta a euros, gana 2·a con probabilidad 1/3 y pierde a con probabilidad 2/3, por tanto el valor esperado para su ganancia será 0. En este punto, podemos pedir al alumnado que construya la HDC que simule la situación anterior. Como a la larga no va a ganar nada, Ana no acepta y propone otro juego: Esta vez vamos a apostar en serio, no vamos a jugar dinero sino quién friega los platos. Lo haremos de manera alternativa: uno siempre fregará dos semanas y el otro una cantidad de días que dependerá de su suerte. Para ello, lanzará una moneda las veces necesarias hasta que salga ‘cara’, si sale cara al lanzamiento número n el segundo fregará los platos 2n-1 días. ¿Cuál te pides?

(Esta es una versión de la paradoja de San Petersburgo propuesta por Antonio Vaamonde Liste, profesor de la Universidad de Vigo). Pedro piensa un rato: Si elijo ser yo quien lanza y sale cara a la primera, fregaré solo un día y luego Ana 14. Si sale a la segunda, fregaré dos días, si sale a la tercera, cuatro días, si sale a la cuarta, ocho. Solo si tarda en salir cara cinco lanzamientos o más saldré perdiendo. Como la probabilidad de cara es ½, me parece muy ventajoso ser el segundo. Es muy fácil sacar ‘cara’ en los cuatro primeros lanzamientos. En la pestaña «Pedro» del archivo Excel ej6.sp1 se puede encontrar la simulación de cuántos días habrá de fregar Pedro cuando le toque lanzar. Obsérvese que muy pocas veces supera los 14 días de Ana. Pero Pedro desconfía, esto es demasiado ventajoso, así que hace unos cálculos: sea X=número de lanzamientos sucesivos hasta obtener la primera «cara», incluido este lanzamiento. Evidentemente X toma los valores 1, 2, 3… n… con probabilidades ½, ¼, 1/8, … (1/2)n. Sea Y=número de días trabajados, esta variable toma los valores 1, 2, 4, 8, 16 … 2n-1… con probabilidades ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32… (1/2)n. Por tanto, basándose en que:

obtiene:

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La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

¡El valor esperado es de infinitos días en cada intento a cambio de los catorce su hermana! Pedro, creyéndose más listo que Ana elige fregar 14 días él y dejar los lanzamientos para su hermana. Ante la sugerencia de ella de que lo vuelva a pensar y la nueva negativa de Pedro, Ana hace este razonamiento: En realidad no vamos a vivir juntos infinitamente, pongamos que seguiremos juntos unos cinco años, esto son unos 1.825 días (según los bisiestos). A continuación escribió la tabla de la figura siguiente: Número de lanzamientos hasta obtener la primera cara

Días de trabajo

Probabilidad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048

½ ¼ 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/1024 1/2048 1/4096

Y dijo: Así que el tiempo máximo que me puede corresponder es 2.048 días, y ni siquiera llegaré a cumplirlos, con lo que, en realidad si me salen 11 cruces no seguiremos lanzando, y como la probabilidad de que eso ocurra es (1/2)11= 1/2048, en realidad mi situación es otra. Y escribió la tabla de la figura siguiente:

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El concepto de esperanza matemática

Número de lanzamientos hasta obtener la primera cara

Días de trabajo

Probabilidad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 o más

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 <2048

½ ¼ 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/1024 1/2048 1/2048

Por lo tanto,

Es decir:

Cabe esperar que yo friegue cada vez menos de 6,5 días a cambio de los 14 que fregarás tú. Por cierto, ¿cuándo empiezas? Las pestañas «1tanda» y «10tandas» del archivo Excel ej6.sp1 simulan, respectivamente, cuántos días habrá de fregar Pedro cuando le toque lanzar y la media de 10 veces.

Conclusión A modo de conclusión, cabría decir que se han presentado en este artículo varios ejemplos con los que introducir el concepto de esperanza matemática, y el nivel de dificultad ha ido aumentando paulatinamente de modo que cada profesor debe decidir hasta dónde llegar ante su alumnado, así como la metodología a aplicar. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Además se trabaja el manejo de la hoja de cálculo y se puede desarrollar cierta intuición ante los sucesos aleatorios.

Referencias bibliográficas FRANCO, L.; OLMEDO, E.; VALDEROS, J.M. (2011): Introducción al concepto de valor esperado [en línea]. Sevilla. Universidad de Sevilla. <http://personal.us.es/valderas/INTRODUC-

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CION%20AL%20CONCEPTO%20DE%20VAL OR%20ESPERADO.pdf>. MARQUES DE SÁ, J.P. (2007): Chance: The Life of Games & the Game of Life. Berlín/Heidelberg. Springer-Verlag. OLOFSSON, P. (2007): ProbabiIities. The Little Numbers that Rule Our Lives. Hoboken (N.J.). John Wiley & Sons. SCHWARZ, W. (2008): 40 Puzzles and Problems in Probability and Mathematical Statistics. Nueva York. Springer Science.

Referencias del autor Juan Carlos Gil Mongío IES Gallicum. Zuera (Zaragoza) jcgilm@educa.aragon.es Línea de trabajo: enseñanza de matemáticas.

Este artículo fue solicitado por UNO: REVISTA

DIDÁCTICA

DE LAS

MATEMÁTICAS en febrero de 2012 y aceptado en julio de 2012 para su publicación.

32-2 ideas clave

1. edición, 2. reimpresión

El desarrollo de la competencia matemática JESÚS M.ª GOÑI ZABALA

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Reflexión oportuna sobre dos maneras de enfocar la enseñanza de las matemáticas: como área de conocimiento del currículo de la educación y/o como competencia básica para el aprendizaje. Se dan pistas para entender qué se pretende con la aplicación de la nueva propuesta de la Unión Europea del año 2006 que propone la competencia matemática como una de las ocho competencias clave para el aprendizaje a lo largo de toda la vida y, a la vez, nos muestra por qué debe centrarse la enseñanza de las matemáticas en el desarrollo de la competencia matemática, qué debemos entender por competencia matemática y el cambio metodológico para lograrla. C/ Hurtado, 29 08022 Barcelona (España)

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La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

Resolución de problemas con Excel

La hoja de cálculo es una herramienta muy potente para acceder a problemas interesantes que, normalmente, se evitan en secundaria y bachillerato porque no se dispone del suficiente conocimiento matemático para abordarlos con lápiz y papel. Se presentan aquí diez problemas, algunos complicados, y todos susceptibles de ser tratados con una hoja de cálculo (Excel, en este caso). La idea es: si se sabe plantear el problema, se puede resolver. Problem solving with Excel Spreadsheets are very powerful tools for tackling interesting problems that are normally avoided at secondary and baccalaureate level because students do not have enough mathematics knowledge to solve them with pen and pencil. This paper presents ten problems, some complicated and all able to be tackled with a spreadsheet (in this case, Excel). The idea is that once students know how to approach the problem, they can solve it.

Miguel Barreras IES Matarraña. Valderrobres (Teruel)

Palabras clave: resolución de problemas, hoja de cálculo, contextos, innovación, modelización matemática.

Keywords: problem solving, spreadsheet, contexts, innovation, mathematical modelling.

Los libros de texto de matemáticas están llenos de problemas «verdaderos». En la mayoría de los proproblemas. Bueno, no. De problemas, no. De blemas «verdaderos», la solución suele ser un ejercicios. Y también de algunos problemas. Casi número «raro». ¿Por qué no se proponen en los todos ellos son del tipo «nunca te encontrarás libros de texto, en la clase de matemáticas, en con esta situación en tu vida» (ni aunque seas general, problemas «verdaderos»? matemático). Están preparados. Todos están preFácil. Porque, en muchos casos, no sabemos parados, de tal forma que, si en algún caso remoresolverlos. Nos faltan matemáticas para ello. O los to, no hay solución, o hay varias, o hay solución cálculos se complican demasiado. Así que, habitualdependiendo de algo que no mente, nos dedicamos a resolestá escrito en el enunciado, o ver problemas (relativamente ¿Por qué no se proponen cuando la solución es un sencillos) por pura gimnasia en los libros de texto, en número «raro» (no entero, mental (lo cual, por otra parte, la clase de matemáticas, racional con muchas cifras, está muy bien), pero que no en general, problemas etc.) la chica o el chico que nos sirven para nada (salvo, en creen haber resuelto el proalgunos casos, para pensar «verdaderos»? blema se mosquean. No son mejor, lo cual no está nada mal, Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | pp. 45-54 | octubre 2012

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

por cierto). Lo curioso es que muchos problemas «verdaderos» sí sabemos plantearlos, pero nos falta la maquinaria adecuada para hacernos con la solución. Bien, pero… hoy, siglo XXI, la maquinaria existe, está a nuestro alcance y es gratis. Es la hoja de cálculo (HC). No se debe creer que la HC va a resolver los problemas «verdaderos» de matemáticas inmediatamente. Habrá que entender el problema y traducírselo a ella (traducir lo real a lenguaje matemático –modelizar el problema– es «hacer matemáticas de alto nivel»). Y con los resultados que la HC devuelva, ya se verá. Se deberán interpretar (inter-

pretar los resultados matemáticos obtenidos es, también, «hacer matemáticas de alto nivel»). Vamos a enfrentarnos a algunos problemas «verdaderos». Algunos pueden resolverse sabiendo pocas matemáticas, con lápiz y papel. Pero el cálculo resulta engorroso. A veces, el bosque (la complejidad en los cálculos) no nos deja ver los árboles (los resultados que buscamos). Para otros, hace falta dominar las matemáticas de cierto nivel. Por fin, para resolver algunos, se necesitan muchas matemáticas. Pero, con la ayuda de la HC, si sabemos plantearlos, sabremos resolverlos.1

La factura del agua http://catedu.es/calendas/unohc/agua.xls2 Enunciado: Elaborar una HC que genere facturas del recibo del agua. Esta HC es de iniciación. Además del cálculo rápido que realiza, al construirla se trabaja y refuerza la necesidad en la corrección de la sintaxis matemática. Por otra parte, en ella subyace la diferencia entre texto, dato (las lecturas anterior y actual), fórmula (el producto del consumo por el precio del m3), parámetro (el precio del m3, el IVA) y variable. Así mismo, en esta HC básica, se anuncia la potencialidad de la HC presentando la herramienta «Buscar objetivo».3 Por ejemplo: ¿cuánto debería costar el m3 para que en las mismas condiciones, el coste final fuera de 15 euros? Obsérvese que, entre otras utilidades de la herramienta «Buscar objetivo» está la de resolver cualquier tipo de ecuación, lo que supone poder plantearnos problemas «veradaderos», no preparados. Y sacar del currículo algoritmos trasnochados.

Medir un campo http://catedu.es/calendas/unohc/medidacampo.xls Enunciado: Medir un campo cuadrilátero irregular in situ. En esta HC se proponen cuatro tipos distintos de medición: con la fórmula tradicional, (bxh)2, imposible de aplicar, porque en este supuesto real no se puede calcular la altura; con la fórmula de Herón; con su «generalización» (fórmula de Brahmagupta); con el método que utilizaban en Mesopotamia (intentando «rectangularizar» el cuadrilátero).

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Resolución de problemas con Excel

Esta HC no es necesaria en el sentido de que los problemas que se plantean pueden resolverse con lápiz y papel. Pero resulta muy conveniente para confrontar resultados entre métodos distintos, estudiar cuáles son correctos, calcular los errores cometidos, animar a la invención de nuevos métodos, etc.

Hay otros problemas cuyo planteamiento requiere solo conocimientos básicos de matemáticas, pero su resolución exige matemáticas de nivel o, incluso, matemáticas de muy alto nivel. Esto no sig-

nifica que no se puedan abordar, plantear, resolver, analizar e intentar generalizar con la herramienta de una HC. La hoja de cálculo resuelve problemas de fácil planteamiento, pero de difícil solución.

La chapa http://catedu.es/calendas/unohc/chapa.xls Enunciado: Partiendo de una chapa cuadrada de lado dado, se cortan en los vértices cuatro cuadraditos iguales para, doblando las solapas resultantes, conseguir una caja sin tapa. Calcular el lado del cuadrado que debe cortarse para conseguir una caja: a de volumen dado; b de volumen máximo.

Este problema admite varias aproximaciones: • Construir la gráfica (que no es sencilla sin la herramienta del cálculo diferencial), pero sí con Excel. A partir de la tabla y/o la gráfica, observar dónde se alcanza el máximo. • Hallar el corte adecuado para obtener el volumen fijado pasa por resolver una ecuación de tercer grado «no preparada». Esto implica una tarea «imposible» para un problema «posible», real e interesante. La herramienta de Excel «Buscar objetivo» resuelve el problema. • El cálculo del corte en la chapa para obtener el volumen máximo, sin embargo, aparentemente más complicado que el anterior, puede abordarse con conocimientos básicos de cálculo diferencial. De todas formas, hay una herramienta en Excel, «Solver», que resuelve el problema si se plantea bien. Y no solo eso. Cambiando las condiciones iniciales (el lado del cuadrado) nos permite generalizar y reSolver qué fracción de lado hemos de cortar en cualquier caso. Incluso, partiendo no de un cuadrado, sino de un rectángulo. No se puede uno imaginar la cantidad de problemas que estas dos herramientas, «Buscar objetivo» y «Solver», son capaces de resolver.

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La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

Vamos más allá. Para los todavía fieles sin reservas al lápiz y papel, se propone ahora

el siguiente problema, real, verdadero, interesante:

La distribuidora http://catedu.es/calendas/unohc/distribuidora.xls Enunciado: Se tienen cuatro naves y se desea ubicar una distribuidora de tal manera que la suma de distancias de esta a las naves sea la mínima posible. El planteamiento del problema requiere solo matemáticas elementales (el teorema de Pitágoras para medir la distancia entre dos puntos en el plano) pero… es imposible de abordar con lápiz y papel. Recurrimos a una hoja de cálculo Excel que transforma el problema en accesible y susceptible de interesantes investigaciones. ¿Tiene algo que ver con las diagonales del cuadrilátero? ¿Es el centro de masas de los cuatro puntos? ¿Es algún punto interesante? ¿Y con tres naves? ¿Es el baricentro del triángulo? ¿Y con cinco naves? Etc.

La herramienta «Solver» allana muchos problemas «de verdad», problemas que se evitan en las aulas, todavía hoy, incluso en niveles universitarios. Simplifica la resolución de problemas, pero no evita las matemáticas, porque el planteamiento, el resultado, y el posterior análisis,

requieren «arquitectura matemática» que la máquina no puede hacer por nosotros. Volvamos a un problema que sí puede abordarse con lápiz y papel: con cálculo diferencial. Hay otra opción: plantearlo para «Solver».

La lata de Coca-Cola http://catedu.es/calendas/unohc/cocacola.xls Enunciado: Calcular las dimensiones de una lata cilíndrica de un volumen dado (pongamos 1/3 de litro) para que el coste de la chapa utilizada sea mínimo. Planteando bien el problema (modelizándolo), «Solver» nos llevará a la solución, salvando el bosque de las cuentas.

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Resolución de problemas con Excel

Los alumnos suelen acabar el bachillerato con la sensación de que en las matemáticas predominan las ecuaciones, esto es, las igualdades. Sin embargo, en muchos problemas «verdaderos» aparecen restricciones en forma de desigualda-

des. Son los problemas llamados de programación lineal. En estos casos, acudiendo a la herramienta «Solver», plantear el problema es sinónimo de reSolverlo. Veamos algunos ejemplos.

Beneficios en el campo (propuesto en la Selectividad de Aragón) http://catedu.es/calendas/unohc/PL3.xls Enunciado: Un agricultor dispone de 9 hectáreas para sembrar dos productos A y B. Para el producto A desea destinar como mucho 8 hectáreas. Por cada hectárea sembrada con A y B se obtiene respectivamente un beneficio de 150 y 100 euros. a. Si se quiere que la superficie correspondiente a B no sea mayor que la mitad que ocupará A, plantee y resuelva un problema de programación lineal que permita averiguar el número de hectáreas que se han de dedicar a cada producto para maximizar el beneficio total. b. ¿Cuál es la solución si el beneficio por hectárea es de 125 euros, independientemente de que esté sembrada con A o con B y no se tiene en cuenta la restricción del apartado a? Escribir cualquier par de números (de tanteo ciego) en las celdas correspondientes a los productos A y B.Escribir la función beneficio. Reservar 6 celdas para las condiciones (los signos <= son solo etiquetas).

Seleccionar la celda para maximizar. «Solver». Completar como en el gráfico, y el problema está resuelto. Lo bueno del asunto es lo siguiente: esta HC es una plantilla que sirve para resolver cualquier problema de programación lineal planteado en los libros de texto de bachillerato de ciencias sociales. Basta con modificar la HC discretamente. Y también problemas de programación lineal de más de dos variables. Incluso problemas de programación «no lineales», es decir, aquellos en los que las condiciones no sean ecuaciones lineales.

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Hay problemas que, aparentemente distintos, son los mismos o similares.

Se trata de problemas isomorfos, aunque no lo parezcan.

De billares y camellos http://catedu.es/calendas/unohc/billargeo.xls Enunciado: Una mesa de billar. Una bola roja, otra azul. La roja rebota en la azul con un toque a una banda. ¿Cuál es el punto de «rebote»? Las matemáticas «cartesianas», «algebristas», tal vez despisten en la resolución del problema. Si se acude a la simetría, el problema es elemental. Abrir la pestaña inferior donde pone solución y mover los deslizadores. Con Visual Basic anexionado a Excel, se puede programar. Esto permite infinidad de posibilidades ya no solo de cálculo, sino también gráficas. El caso más sencillo es el deslizador, una especie de scroll, que, al cambiar automáticamente parámetros iniciales, dota a la HC de movimiento y permite llegar a diferentes generalizaciones. (Cuando se utiliza Visual Basic, se debe bajar el nivel de seguridad a «Bajo». Cerrar y abrir de nuevo). Conservemos el tapete de la mesa de billar, pero cambiemos de escenario. http://catedu.es/calendas/unohc/billaropt.xls http://catedu.es/calendas/unohc/camello.xls Enunciado: Un tuareg regresa a su haima. Debe pasar por un canal de agua para que beba su camello. ¿Cuál es el camino óptimo para el regreso? No es difícil imaginar problemas similares más cercanos a nuestro mundo occidental. ¿Y si el camello, ahíto de agua, anda más despacio (a la mitad de velocidad, por ejemplo, cuando ha cargado su estómago de agua)? ¿Cuál debe ser ahora el «punto de toma» Qué curioso. Quién diría que un billar y un tuareg en el desierto tienen algo que ver. En principio, no; matemáticamente, sí. Este problema es muy interesante. Relaciona la física (el ángulo de incidencia debe ser igual al reflejado); la geometría (los triángulos construidos por simetría deben ser equivalentes); el cálculo diferencial (hay que minimizar la suma de distancias, la de impacto y la de rebote) y la logística (hay que minimizar recorridos para maximizar beneficios).

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Resolución de problemas con Excel

Estamos acostumbrados a observar situaciones que admiten una interpretación gráfica sencilla. Son funciones lineales, cuadráticas (pocas veces), o exponenciales (bastantes veces). Con pocos recursos matemáticos, llegamos a modelizar la situación y, por tanto, nos vemos capaces de realizar análisis e, incluso, aventurar previsiones o pronósticos. Pero a veces las curvas que nos deben iluminar se presentan demasiado complejas y es difícil llegar a ellas. Si se deja caer una piedra desde el tejado y se mide el espacio que recorre en función del tiempo saldrá una cuádrica (Galileo dixit). Pero, ¿cómo evoluciona la gripe en los ancianos en un invierno en Zaragoza? ¿Cómo lo hace la población de roedores en un aeropuerto sin aviones? ¿Y cómo lo hace esa misma población de roedores si en el aeropuerto hay hurones? ¿Cómo decrece la masa forestal en España en el siglo XIX?

La curva Hay programas que ajusque relaciona tan curvas de manera estos fenómenos inmediata. Pero lo que dispersos es la curva logística. aquí interesa es el proceUna curva que se dimiento constructivo evita en bachilleque Excel exige al alumno rato (incluso en para encontrar la solución la universidad) porque conlleva un cálculo complicado. Pero, con un poco de Excel… ¡cálculos a mí! Con Excel se puede realizar el ajuste de cualquier curva sabiendo tantos puntos como el número de parámetros que deben determinarse. Hay programas que ajustan curvas de manera inmediata. Pero lo que aquí interesa es el procedimiento constructivo que Excel exige al alumno para encontrar la solución:

Ajuste de curvas http://catedu.es/calendas/unohc/ajuste.xls Enunciado: Encontrar la ecuación de una curva logística, sabiendo que pasa por cuatro puntos. El procedimiento es sencillo. Pongamos que se quiere ajustar una curva del tipo

sabiendo que pasa por 4 puntos (A, B, C y D).

Escribimos un tanteo cualquiera para los parámetros. Escribimos las condiciones (si pasa por el punto A(x0, y0), deberá ser y(x0) – y0 = 0):

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La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

• • • •

inicial = (a/(1+EXP(b+c_*F8))+d-G8) C1 = (a/(1+EXP(b+c_*F9))+d-G9) C2 = (a/(1+EXP(b+c_*F10))+d-G10) C3 = (a/(1+EXP(b+c_*F11))+d-G11)

y aplicamos «Solver».

Una de las excelencias de la HC es la simulación de problemas de probabilidad y estadística. Muchos de ellos solo requieren conocimientos

básicos de Excel. En el ejemplo que sigue, se trata de utilizar adecuadamente la función que genera números aleatorios [ALEATORIO()]:

Problemas del caballero de Meré http://catedu.es/calendas/unohc/mere.xls Enunciado: ¿Qué resulta más rentable: sacar un 6 tirando un dado 4 veces, o sacar doble 6, tirando dos dados 24 veces?

Aunque el análisis del problema histórico del caballero de Meré no es difícil hacerlo con lápiz y papel, la simulación a gran escala reafirma la teoría y la matiza (no siempre gana el que apuesta a sacar un 6 en 4 tiradas).

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Resolución de problemas con Excel

Ya se ha escrito más arriba que la incorporación de Visual Basic a la HC Excel ampliaba extraordinariamente sus posibilidades. Además de generar movimiento, los objetos (como, en el

ejemplo que sigue, los botones), combinados con el uso adecuado del código de programación, convierten a las HC de Excel en auténticos programas.

El tran tran http://catedu.es/calendas/unohc/trantran.xls Enunciado: Se dispone de 4 dados como los de la figura. El feriante espera que alguien quiera jugar. Aparece un jugador que elige el dado que quiera. Luego, el feriante elige otro. Los lanzan. Gana el que saca mayor puntuación. Analiza el juego.

Es interesante estudiar el juego con lápiz y papel y contrastarlo con los resultados que la simulación nos ofrece.

Conclusión La utilización de la hoja de cálculo en la clase de matemáticas modifica sustancialmente los dos pilares base del proceso de aprendizaje: los contenidos y la metodología. El mero hecho de que un ordenador devuelva respuestas inmediatas a preguntas de cálculo complejo ya conlleva un cambio en la metodología. Pero pensemos, Excel no es Derive. Excel no es Mathematica. Excel exige la construcción del resultado mientras que el uso de otros programas la suprime. La HC es didáctica; otros programas, no. Muchos problemas matemáticos contextuales, interesantes, no están al alcance de un estudiante medio de secundaria o bachillerato, sea porque implican cálculos muy complicados o, simplemente, porque no se manejan los conociUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

mientos matemáticos suficientes para resolverlos. Utilizando la HC podría simplificarse el currículo del estudiante y tal vez ampliar el recetario de problemas tipo a la resolución de problemas «verdaderos», cercanos a la realidad. La utilización de la hoja de cálculo puede ser un puente entre realidad y competencia matemática. El sistema de enseñanza actual pide a gritos una fuerte poda de contenidos, de la que podrían surgir ramas nuevas

La utilización de la hoja de cálculo en la clase de matemáticas modifica sustancialmente los dos pilares base del proceso de aprendizaje: los contenidos y la metodología

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

que estarían al alcance de la ciudadanía, siempre que esta estuviera dispuesta a alargar el brazo.

Notas 1. En la página http://catedu.es/calendas/ catexcel/ catexcel.htm hay un catálogo de libros Excel ordenados por bloques (aritmética, álgebra, funciones, etc.). De la misma página pueden descargarse los libros de Barreras citados en la bibliografía. 2. Las HC que van apareciendo pueden descargarse según los distintos enlaces, y todos juntos en un archivo comprimido en http://catedu.es/ calendas/unohc/mb.rar 3. Algunas de las HC tienen un enlace donde se explica su elaboración.

220

— (2007): Actividades de matemáticas para secundaria con Excel. Granada. Proyecto Sur. — (2010): Matemáticas con Excel 2007. Madrid. Ra-Ma. SJÖSTRAND, D. (1997): Matemáticas con Excel. Madrid. UPCo.

Referencias del autor Miguel Barreras Alconchel IES Matarraña. Valderrobles (Teruel) pelanium@yahoo.es Línea de trabajo: matemáticas desde los contextos; matemáticas con Excel.

Bibliografía

Este artículo fue solicitado por UNO: REVISTA

BARRERAS, M. (2005): Matemáticas con Excel. Madrid. Ra-Ma.

MATEMÁTICAS en febrero de 2012 y aceptado en julio de 2012 para su

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La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

José Luis Álvarez García

La hoja de cálculo de GeoGebra

IES Número 5. Avilés (Asturias)

Rafael Losada IES de Pravia. Pravia (Asturias)

La «Vista de hoja de cálculo» fue una de las grandes sorpresas que incorporó GeoGebra en su versión 3.2, hace ya algunos años. La hoja de cálculo de GeoGebra supuso un cambio conceptual muy importante: no solamente se pueden manejar datos numéricos o alfanuméricos, sino que el contenido de las celdas de la hoja de cálculo de GeoGebra puede ser cualquiera de los objetos creados con el programa. Además, los objetos creados en la hoja de cálculo se integran perfectamente con las otras vistas del programa: la algebraica y la gráfica. La versión 4 de GeoGebra, de reciente aparición, añade nuevas funcionalidades, como una barra de herramientas y una barra de estilo propias, y también nuevas y potentes herramientas, especialmente en el campo de la estadística y la probabilidad. En este trabajo presentaremos algunas aplicaciones. GeoGebra spreadsheet The «Spreadsheet view» is one of the major surprises that GeoGebra included in its Version 3.2 some years ago. The GeoGebra spreadsheet represented a very important conceptual change: not only could it handle numerical or alphanumerical data, but the content of the GeoGebra spreadsheet cells could be any of the objects created with the program. In addition, the objects created with the spreadsheet fit perfectly with the program’s other views: algebraic and graphical. The new Version 4 of GeoGebra adds new functionalities, such as its own toolbar and style bar, as well as powerful new tools, especially in the field of statistics and probability. In this paper we present some applications.

La vista de hoja de cálculo de GeoGebra En junio de 2009 se lanza oficialmente la versión 3.2 de GeoGebra. Una de las grandes novedades de esa versión es la incorporación de una nueva opción en el menú «Vista»: la «Vista de hoja de cálculo». Como su propio nombre dejaba entrever, se trata de una nueva forma de visualizar los

Palabras clave: GeoGebra, hoja de cálculo, estadística, probabilidad, TIC, proyecto Gauss.

Keywords: GeoGebra, spreadsheet, statistics, probability, ICT, Gauss project.

objetos de GeoGebra, que se integraba con las demás vistas: la «Vista Gráfica» y la «Vista Algebraica». Esa plena integración con las otras vistas del programa supone un cambio conceptual muy importante con respecto a las hojas de cálculo usuales. Estas se caracterizan por permitir realizar cálculos diversos con expresiones numéricas y alfanuméricas, lo que les da una importante uti-

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La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

lidad en diferentes campos, entre los que se incluyen, como no podía ser de otro modo, las matemáticas. En otros artículos de este monográfico se pueden ver algunos ejemplos de esos usos. En GeoGebra se va más allá: el contenido de las celdas de su hoja de cálculo puede ser cualquiera de los objetos que se pueden crear con el programa. Eso quiere decir que en una celda podemos introducir un número o una fórmula, como en una hoja de cálculo convencional, pero también, por ejemplo, un punto o un polígono o una lista de objetos. Así, basta con introducir en la «Barra de Entrada» la expresión: A1=Polígono [A,B,5] para que el contenido de la celda A1 de la hoja de cálculo sea un pentágono regular cuyo lado queda determinado por dos puntos A y B definidos previamente. Y ese pentágono regular aparecerá inmediatamente representado en la «Vista Gráfica» y también lo podremos ver en la «Vista Algebraica» (imagen 1). Esta posibilidad

El contenido de las celdas de la hoja de cálculo de GeoGebra puede ser cualquiera de los objetos que se pueden crear con el programa

Imagen 1. Vista algebraica, gráfica y de la hoja de cálculo de

un pentágono regular

de trabajar desde la hoja de cálculo con cualquiera de los objetos que se manejan en GeoGebra es la que marca claramente las diferencias con respecto a las hojas de cálculo convencionales. Cuando se trata de hacer únicamente cálculos numéricos y representaciones estadísticas sencillas, las hojas de cálculo usuales posiblemente resultarán más avanzadas que la de GeoGebra 3.2. Sin embargo, esta, al permitir manejar objetos de muy diversa naturaleza y estar integrada con las otras vistas del programa, ofrece un campo mucho más amplio de posibilidades. Hace algunos meses que se ha publicado la versión 4 de GeoGebra. Muchas de las novedades que incorpora tienen que ver con la hoja de cálculo, que mejora notablemente, al ofrecer un gran número de nuevas herramientas y comandos. En los apartados que siguen trataremos de mostrar algunas de las aplicaciones de la hoja de cálculo de GeoGebra.

Aproximación de pi GeoGebra cuenta con una potente herramienta para crear muchos objetos que siguen un patrón regular: el comando «Secuencia». La aplicación de este comando crea una lista que es tratada por el programa como un único objeto. Sin embargo, en algunas ocasiones se hace necesario establecer propiedades diferenciadas para los elementos de dicha lista, es decir, necesitamos que todos sus elementos, o algunos de ellos, sean objetos independientes, a los que podamos aplicar diferentes propiedades o acciones. La hoja de cálculo es una herramienta auxiliar extraordinaria para resolver este tipo de situaciones, como vamos a comprobar en la siguiente construcción. La relación entre el área de un círculo y la del cuadrado en el que se inscribe nos ofrece un punto de partida para obtener experimentalmente un valor aproximado de pi: Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

La hoja de cálculo de GeoGebra

Área circulo πr2 π ---------------------------- = -------- = ----Área cuadrado 4r2 4

Si creamos aleatoriamente puntos dentro de un cuadrado, cuando el número de puntos es significativamente alto, la proporción entre los puntos que se sitúan dentro del círculo inscrito y el total de puntos generados permite obtener un valor aproximado de pi. Es de esperar, lógicamente, que cuanto mayor sea el número de puntos generado, más se acercará el resultado al valor esperado de pi: Área circulo Nº de puntos en el circulo π=4 · ---------------------------- ≈ 4 · ------------------------------------------------Área cuadrado Nº total de puntos

Ese es nuestro objetivo: generar aleatoriamente puntos en un cuadrado, contar el número de puntos que caen dentro de su círculo inscrito y, a partir de estos dos datos, obtener un valor aproximado de pi. En concreto, crearemos 200 puntos en un cuadrado de lado 4, centrado en el origen de coordenadas (con lados horizontales y verticales), y contaremos cuántos de esos puntos se sitúan dentro de un círculo de radio 2 y centro el origen de coordenadas. Utilizando el comando «Secuencia», al que hemos aludido anteriormente, podemos crear rápidamente esa lista de 200 puntos: bastaría con escribir en la «Barra de Entrada»: Secuencia[(4 random()-2, 4 random()-2),s,1,200] Sin embargo, en nuestro caso vamos a utilizar la hoja de cálculo, dado que queremos representar esos puntos y que el color de cada uno de ellos cambie según esté situado dentro del círculo o fuera de él: en color verde los puntos del círculo y en color rojo los exteriores. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

La relación entre el área de un círculo y la del cuadrado en el que se inscribe nos ofrece un punto de partida para obtener experimentalmente un valor aproximado de pi

De modo que nos interesa que los puntos sean objetos independientes, por lo que los generaremos con la hoja de cálculo. Como siempre al trabajar con GeoGebra, es muy aconsejable comenzar adaptando la interfaz del programa al uso que le vamos a dar. En este caso, en el menú «Vista» activamos «Vista de hoja de cálculo» y desactivamos «Vista Algebraica». También es mejor ocultar los ejes de coordenadas. Utilizaremos la función «Random()», que genera un número aleatorio entre 0 y 1. De modo que para generar aleatoriamente un punto en el cuadrado de vértices (-2,- 2), (2, -2), (2, 2), (-2, 2) introducimos a través de la «Barra de entrada» la expresión: A1= (4 random() – 2, 4 random() -2) En la celda A1 se mostrarán las coordenadas del punto, que también se representará en la «Vista Gráfica». Pulsando las teclas Ctrl + R se regeneran los valores aleatorios. En las celdas B1 y C1 introduciremos sendas funciones que nos permitan posteriormente obtener el número de puntos que se sitúan dentro de un círculo de radio 2 o fuera de él. Para ello introducimos las expresiones: B1= Si[x(A1)^2+y(A1)^2>4,0,1] C1= 1 - B1 De este modo, cuando el punto está dentro del círculo, B1=1 y C1=0. En caso contrario, 57

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

B1=0 y C1=1. Utilizaremos estos valores más adelante para dotar de un color dinámico al punto. Todas las expresiones que hemos introducido hasta ahora, a través de la «Barra de Entrada», crean inmediatamente los objetos correspondientes en la hoja de cálculo, pero también podríamos haber escrito las fórmulas y comandos directamente en las celdas correspondientes. Creamos ahora una circunferencia de radio 2 con centro en el origen de coordenadas, así como el cuadrado de vértices (-2,-2), (2,-2), (2,2), (-2,2). Circunferencia[(0,0),2] Polígono[(-2,-2),(2,-2),4] Una vez creados, cambiamos sus propiedades para que el color del cuadrado sea rojo y el de la circunferencia verde, con un sombreado del 25% en ambos casos. También modificamos las propiedades del punto A1. En la pestaña «Básico» desactivamos la opción «Muestra rótulo» y activamos «Activa rastro». En la pestaña «Estilo» reducimos su tamaño a 1. Seleccionamos ahora la pestaña «Avanzado». En la casilla de color dinámico «Rojo» escribimos C1. En la casilla de color dinámico «Verde» escribimos B1. En la casilla color dinámico «Azul» dejamos el valor 0. Copiamos ahora el contenido de la celda A1 en el rango A1:A200, del mismo modo que se copian en las hojas de cálculo convencionales (situamos el puntero en la celda A1, hacemos clic sobre el cuadrado azul situado en la esquina inferior derecha y, sin dejar de pulsar el botón del ratón, arrastramos la celda hacia abajo hasta la celda A200). Una vez copiados los puntos, nos aseguramos de que no se muestren los rótulos (sin soltar la selección, en «Propiedades de objeto» activamos y, a continuación, desactivamos la 58

opción «Muestra rótulo»). Utilizamos el mismo procedimiento para copiar el contenido de las celdas B1 y C1 hasta las celdas B200 y C200, respectivamente. Tras ello veremos representados en la «Vista Gráfica» los 200 puntos que hemos creado, en color verde los que se sitúan dentro del círculo y en color rojo los que están fuera de él. Ahora nos queda hacer el recuento de los puntos que están situados sobre el círculo, que tienen color verde, y los que están fuera de él, que tienen color rojo. Escribimos, en la «Barra de Entrada»: B201=Suma[B1:B200] C201=Suma[C1:C200] Con los valores obtenidos ya podríamos calcular el valor aproximado de pi: bastaría con definir la variable: valor=4 B201/(B201+C201) Sin embargo, vamos a completar la construcción con algunos elementos más, aprovechando para ello algunas de las nuevas herramientas de GeoGebra 4. De ese modo, podremos observar más claramente cómo el valor obtenido experimentalmente se va aproximando al valor esperado para pi a medida que aumentamos el número de puntos que generamos. Vamos a crear dos botones, uno para ir acumulando los resultados y el otro para poner a cero el recuento y empezar un nuevo experimento. Antes de crear los botones definimos dos variables, una para ir contabilizando el número de series (cada serie genera 200 puntos) y otra para ir acumulando el número de puntos que se sitúan dentro del círculo: tirada=1 verdes=0 Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

La hoja de cálculo de GeoGebra

Elegimos la herramienta «Inserta Botón», hacemos clic sobre un punto de la «Vista Gráfica» y, cumplimentamos la ventana emergente que se abre. En el primer botón escribimos «Otra serie» como subtítulo y en el «Guión de GeoGebra», que es el conjunto de acciones que se ejecutarán al hacer clic sobre el mismo, escribiremos: ActualizaConstrucción[] Valor[tirada, tirada+1] Valor[verdes, verdes+B201] En el otro botón ponemos como subtítulo «Iniciar» y como «Guión de GeoGebra»: ZoomAcerca[1] Valor[tirada, 1] Valor[verdes, B201] Solamente nos quedaría crear los textos que nos muestren en la «Vista Gráfica» los resultados de la experimentación. Se pueden introducir también desde la «Barra de Entrada», pero es más aconsejable utilizar la herramienta «Inserta Texto», que también ha mejorado mucho en la última versión del programa, permitiendo ahora escribir fórmulas complejas de una manera muy sencilla. Finalmente, la construcción tendrá un aspecto similar al que se muestra en la imagen 2.

Tabla de valores de una función Con GeoGebra resulta muy sencillo pasar a la hoja de cálculo un conjunto de puntos de una función y obtener, de ese modo, una tabla de valores de la misma. Y también resulta sencillo el proceso inverso, es decir, partir de una tabla de valores, elaborada en la hoja de cálculo, y buscar una función que se ajuste a los puntos correspondientes. Veremos ambos procesos en la construcción que presentaremos a continuación. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Imagen 2. Vista gráfica y hoja de cálculo con los resultados

obtenidos

En esta aplicación vamos a utilizar GeoGebra 4.2, accesible desde hace meses pero todavía en versión beta. La mayor novedad de esta versión va a ser la incorporación del cálculo simbólico, pero esa no es, ni mucho menos, la única mejora. Se han añadido nuevas funcionalidades, como la posibilidad de colocar la barra de herramientas en un lateral, por ejemplo, y también se han creado nuevas herramientas. En esta construcción vamos a emplear una de ellas: la «Función a mano alzada». Cuando en clase hablamos de una función en general, sin referirnos a un modelo concreto, normalmente hacemos un dibujo sobre la pizarra sin demasiado detalle, y sobre la silueta que Con GeoGebra resulta muy sencillo pasar a la hoja de cálculo un conjunto de puntos de una función y obtener, de ese modo, una tabla de valores de la misma

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

hemos dibujado centramos los detalles de nuestra exposición. Parece que los desarrolladores de GeoGebra han decidido facilitarnos esa labor y nos han creado esta herramienta que resulta particularmente útil para ese tipo de situaciones cuando utilizamos GeoGebra sobre la pizarra digital interactiva. Seleccionamos la herramienta «Función a mano alzada» y dibujamos la silueta de una función. En cuanto completamos el dibujo de la gráfica, observamos como GeoGebra ha tomado la gráfica como base para definir la función f(x)=Freehand(x) (imagen 3). Si observamos un poco más detenidamente lo que el programa ha generado (por ejemplo seleccionando la función en la «Vista Algebraica» y pulsando la tecla F3, para mostrarla en la «Barra de Entrada») veremos que se ha creado una lista, en la cual los dos primeros elementos son los extremos inferior y superior, respectivamente, del «dominio» de la función que hemos dibujado, y los elementos restantes son las ordenadas de los puntos que se han creado. De modo que si introducimos, a través de la «Barra de Entrada»:

Imagen 3. Gráfico realizado a mano alzada sobre la pizarra

digital interactiva

f=Función[{0, 5, 1, 1.1, 1.12, 1.14, 1.2, 1.7, 1.9, 2, 2.01, 2.02, 2.04}] creamos una función, en el intervalo [0,5], definida por 11 puntos, cuyas ordenadas son los elementos de la lista, a partir del tercero, y cuyas abscisas son, respectivamente, 0, 0.5, 1, 1.5…, 5 (la lista está formada por 11 puntos, con lo que las abscisas de los puntos distan entre ellas 5/10). La gráfica que obtendríamos, en este caso, estaría formada por la línea poligonal que determinan los 11 puntos de la lista. Pero volvamos a la función que hemos generado más arriba. Una vez creado el gráfico de la función, vamos a recoger en la hoja de cálculo las coordenadas de algunos de los puntos y trataremos de analizar la correspondiente tabla de valores para ver qué modelo sigue (si es que sigue alguno). Para ello, situaremos un punto sobre el gráfico de la función y utilizaremos la propiedad «Registro en Hoja de Cálculo» para crear la tabla de valores. Con el objeto de controlar mejor el punto sobre la gráfica, antes crearemos un deslizador, con el cual determinaremos la abscisa del punto que situaremos sobre la gráfica. A la vista del gráfico que hemos dibujado a mano alzada, decidimos que el deslizador a tome valores enteros entre 0 y 10. Creamos a continuación el punto P=(a, f(a)). Seleccionamos el punto recién creado y, haciendo clic en botón derecho del ratón, activamos «Registro en Hoja de Cálculo» y aceptamos las opciones que se ofrecen. En el menú «Vista» activamos la «Hoja de cálculo». Ahora movemos suavemente el deslizador hasta que toma el valor máximo. Observaremos que en la columna A de la hoja de cálculo se han registrado los valores de las abscisas del punto P, y en la columna B han quedado registradas las ordenadas. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

La hoja de cálculo de GeoGebra

A la vista de la gráfica que hemos dibujado podríamos pensar que se trata de una parábola. Pero, ¿será realmente la gráfica de una función cuadrática? Un análisis en la tabla de valores nos puede ayudar a determinarlo. Si fuera una función cuadrática, deberían ser iguales las segundas diferencias entre las ordenadas, en el supuesto de que las diferencias entre las abscisas sean iguales, que en nuestro caso lo son. Con ayuda de la hoja de cálculo hallamos las primeras diferencias en la columna B y las segundas diferencias en la C. Los resultados son los que se muestran en la imagen 4.

Las diferencias entre los resultados que obtenemos en la columna C no son muy grandes, pero sí apreciables. Por ello vamos a tratar de buscar una función polinómica que se ajuste mejor a los puntos de la tabla. En la columna E creamos la lista de los puntos que hemos creado y que tratamos de ajustar. Para ello basta definir E2=(A2,B2) y copiar la fórmula en las celdas situadas en el rango E2:E11) (imagen 5). Vamos a crear además un segundo deslizador n, que toma valores enteros entre 1 y 10, con incremento 1, para controlar el grado de la función polinómica de ajuste. Una vez creado, escribimos, en la «Barra de Entrada»: g=AjustePolinómico[E2:E11,n]

Imagen 4. Estudio de las diferencias con la hoja de

cálculo

Para mejorar la visualización, seleccionamos un color rojo y un grosor superior al estándar para la función que acabamos de crear. Moviendo el deslizador n podemos observar el ajuste en cada uno de los casos y ver cómo el grado el ajuste es cada vez más perfecto a medida que el valor de n es mayor (imagen 6). El estudio puede completarse con un análisis de la bondad del ajuste, en cada caso, utilizando también la hoja de cálculo. Así, en la columna

Imagen 5. Creación de puntos de la función con la

hoja de cálculo Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Imagen 6. Función polinómica de ajuste con n = 2

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

Imagen 8. Barra de herramientas y barra de estilos de la hoja de cálculo

• Imagen 7. Análisis de la bondad del ajuste

F calculamos los valores absolutos de las diferencias entre los valores reales, que tenemos en la columna B, y los valores calculados mediante la función g. En la columna G podemos mostrar los cuadrados de tales diferencias. Cuando el grado del polinomio de ajuste es 2, es decir, cuando se ajustan los datos a una función cuadrática, los resultados son los que se muestran en el cuadro de la imagen 7.

La barra de herramientas de la hoja de cálculo La funcionalidad de la hoja de cálculo de GeoGebra ha mejorado mucho en la versión 4 con la incorporación de una barra de herramientas propia. Gracias a la barra de estilos propia también podemos mejorar mucho la presentación de los resultados en la hoja de cálculo (imagen 8). Las nuevas herramientas de GeoGebra facilitan especialmente el uso de la hoja de cálculo en estadística y probabilidad. Están dispuestas en tres grupos:

•

En el primer grupo se incluyen: «Análisis Una Variable» (que ofrece los parámetros habituales y diferentes tipos de gráficos), «Análisis Regresión Dos Variables» (que permite elegir entre 7 modelos distintos de regresión), «Análisis Multivariable» (con diferentes modelos de test y para la estimación) y «Cálculo de Probabilidades» (que permite el estudio de 14 modelos diferentes de distribuciones de probabilidad). El segundo grupo incluye herramientas para crear listas, listas de puntos, matrices y poligonales. En un tercer grupo se incluye un conjunto de herramientas especialmente útiles cuando hacemos el recuento de datos en la hoja de cálculo, que generalmente están presentes también en las hojas de cálculo convencionales: «Suma», «Promedio», «Cuenta», «Máximo» y «Mínimo»:

Realizar un análisis estadístico con ayuda de estas herramientas resulta sencillo: una vez seleccionado el rango de datos en la hoja de cálculo, se elige la herramienta correspondiente. Veamos su uso para resolver el siguiente problema:

Problema 1 La siguiente tabla recoge las puntuaciones obtenidas en una prueba sobre visión espacial (P) y las calificaciones en la asignatura de dibujo (D):

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

La hoja de cálculo de GeoGebra

Visión espacial (P)

Dibujo (D)

• •

Representa la nube de puntos. Calcula el coeficiente de correlación lineal y analiza, razonadamente, la relación de dependencia estadística entre las dos variables. Halla la ecuación de la recta de regresión Y sobre X. ¿Qué calificación cabe esperar que alcance en Dibujo un estudiante que ha sacado 55 puntos en la prueba sobre visión espacial? ¿Es fiable dicha estimación? ¿Por qué?

Introducimos los datos en la hoja de cálculo y seleccionamos la herramienta «Análisis Regresión Dos Variables». En la ventana emergente que se abre elegimos las opciones necesarias para resolver el problema planteado: en «Opciones» activamos «Muestra Estadísticas», en «Modelo de Regresión» seleccionamos «Lineal», en la casilla «Evalúa x=» introducimos el valor 55. Con ello disponemos de todos los datos para responder a las preguntas que se plantean en el problema:

Análisis de la regresión lineal utilizando la herramienta de GeoGebra

Evidentemente, las opciones que nos ofrecen los asistentes estadísticos que encontramos en la barra de herramientas de la hoja de cálculo de GeoGebra son numerosas, pero son limitadas. En esos casos podemos crear nuestros propios gráficos o elaborar nuestros propios análisis utilizando los muchos comandos que nos ofrece el programa y sus posibilidades gráficas. La versión 4 de GeoGebra ofrece la posibilidad de presentar simultáneamente dos vistas gráficas. De ese modo, podemos aprovechar esa posibilidad junto Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

a la hoja de cálculo para generar aplicaciones específicas. Es lo que se ha hecho en algunas de las actividades que se ofrecen en el Proyecto Gauss:1 • En la actividad Las estadísticas del baloncesto (en la sección «Distribuciones», del bloque de estadística y probabilidad de bachillerato) se plantea un problema relativo a la distribución binomial. En la hoja de cálculo se utilizan los comandos de GeoGebra para hallar los parámetros de la distribución y los 63

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

•

cálculos de probabilidades, en una de las vistas gráficas se muestra la gráfica de la distribución y en la otra se plantean los cálculos de probabilidades (imagen 9). En la actividad Medida de la correlación (en la sección «Regresión», del bloque de estadística y probabilidad de bachillerato) también se integra la hoja de cálculo, en la que se recogen los datos de partida y se hacen los cálculos de los parámetros estadísticos, una ventana gráfica en la que se seleccionan las diferentes escenas que se abordan en la actividad y los resultados de algunos cálculos, y una segunda ventana gráfica en

la que se representan los datos y algunos elementos más que son necesarios para resolver las cuestiones que se proponen (imagen 10).

Escáner: a la caza de lugares geométricos En GeoGebra podemos definir el color de un objeto en función de determinadas circunstancias, como pueden ser, por ejemplo, su posición con respecto a otros objetos. Esta característica del color dinámico es particularmente interesante para explorar lugares geométricos. Con una buena elección de colores y de la función que establece la dependencia se pueden lograr resultados que, además, desde el punto de vista estético resultan de gran belleza. Veamos el proceso de construcción que ha dado lugar a la imagen 11. Se trata de una construcción cuyo objetivo es aproximarnos al lugar geométrico que determinan los puntos que están a la misma distancia de un punto y de una recta dados. Desde el punto de vista didáctico, puede ser una actividad idónea para ir descubriendo las características de la curva que estamos buscando.

Imagen 9. Las estadísticas del baloncesto (Proyecto Gauss)

Imagen 11. El escáner revela la silueta del lugar geoImagen 10. Medida de la correlación (Proyecto Gauss)

métrico Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

La hoja de cálculo de GeoGebra

Creamos un punto F, al que damos un color anaranjado y un tamaño algo mayor que el estándar. Creamos además una recta d a partir de dos puntos, a la que también damos un grosor algo superior al estándar y un color claro. Estos elementos serán, respectivamente, el foco y la directriz de la parábola a la que nos aproximaremos. También creamos un punto A(-3,5) y el segmento a=[A, A+(12,0)], que servirá de anclaje de nuestro escáner. Estos dos elementos quedarán ocultos. En la hoja de cálculo creamos el punto A1, definido como punto sobre el segmento a que acabamos de construir: A1=Punto[a] En las celdas B1, C1 y D1 introduciremos las tres funciones de las que van a depender los valores de rojo, verde y azul, respectivamente, del punto A1. Esas funciones son las siguientes: B1=e^(-abs(Distancia[A1,F] (Distancia[A1,F]/Distancia[A1,d] -1))) C1=e^(-abs(Distancia[A1,F] – Distancia[A1,d])) D1=e^(-abs(Distancia[A1,d] (Distancia[A1,d]/Distancia[A1,F] -1))) Como se puede apreciar, la variación del color no va a ser lineal. Al utilizar las funciones exponenciales, lo que pretendemos es intensificar la variación del color en las proximidades del lugar geométrico, con lo que se aumenta el contraste y se facilita su visualización. Seleccionamos ahora el punto A1 y modificamos sus propiedades. En la pestaña «Básico» desactivamos la opción «Muestra Rótulo» y activamos «Muestra Rastro». En la pestaña «Estilo» disminuimos el tamaño del punto hasta el valor mínimo. En la pestaña «Álgebra» modificamos el Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

incremento para que sea de 0.01. Por último, en la pestaña «Avanzado» escribimos B1 en la casilla de «Rojo», C1 en la casilla de «Verde» y D1 en la casilla de «Azul». Ahora creamos el punto A2 a partir del A1: A2=A1+(0,-1/30) Copiamos ahora el contenido de las celdas B1, C1 y D1, respectivamente, en B2, C2 y D2 y, a continuación, cambiamos las propiedades del punto A2, eligiendo los mismos valores que hemos dado al A1, excepto en el color dinámico que vendrá determinado ahora por las celdas B2, C2 y D2, respectivamente. Copiamos ahora el contenido de la celda A2 en el rango A2:A250. Antes de salir de la selección del rango es importante asegurarse de que hemos desactivado la opción «Muestra Rótulo» de los puntos del rango. Copiamos también el contenido de las celdas B2, C2 y D2 hasta abarcar los rangos B2:B250, C2:C250 y D2:D250, respectivamente. Ahora podemos mover despacio el punto A1, que se puede desplazar a través del segmento a que tenemos oculto, y observamos el resultado. Por último, para facilitar el manejo de nuestro escáner, vamos a resaltar el punto que nos permite su desplazamiento. Para ello creamos un punto P=A1, al que damos un color que destaque (por ejemplo rojo) y, si lo deseamos, un tamaño algo mayor que el estándar. ¿Qué es lo que hemos conseguido finalmente con los puntos definidos en el rango A1:A250? ¿Qué es, en definitiva, el escáner? Se trata de un segmento vertical, que se mueve con el punto M. Pero no es un segmento cualquiera: el color de cada uno de sus puntos (separados entre ellos 1/30 para lograr una buena resolución) va a depender de su posición con respecto al punto F (Foco) y a la recta d (directriz). Se aproximarán al 65

La hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas

color blanco a medida que las distancias al Foco y a la directriz se van igualando y tomarán valores oscuros a medida que la diferencia entre dichas distancias aumenta. De ese modo, al ir moviendo despacio el punto P (lo más aconsejable es seleccionarlo con el ratón y, a continuación, moverlo utilizando las flechas de cursor) vamos descubriendo el lugar geométrico. El resultado es el que refleja la imagen 11.

LOSADA, R (2007): «GeoGebra: La eficiencia de la intuición». Gaceta de la RSME, vol. 10(2), pp. 223-239.

Referencias de los autores José Luis Álvarez García IES Número 5. Avilés (Asturias) jluisag@educastur.princast.es Rafael Losada IES de Pravia. Pravia (Asturias) rafaelll@educastur.princast.es

Nota 1. http://recursostic.educacion.es/gauss/web/

Bibliografía

Líneas de trabajo: creación de recursos educativos digitales de apoyo a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

ALVAREZ, J.L.; LOSADA, R. (2011): «El Proyecto Gauss». Suma, núm. 68, pp. 17-25. — (2012): «Estadística y probabilidad en el Proyecto Gauss». Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas, núm. 59, pp. 26-39.

Este artículo fue solicitado por UNO: REVISTA

DIDÁCTICA

DE LAS

MATEMÁTICAS en febrero de 2012 y aceptado en julio de 2012 para su publicación.

PENSANDO EN EL FUTURO DE LA EDUCACIÓN Una nueva escuela para el siglo XXII Beatriz Jarauta, Francesc Imbernon (coords.)

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Aula de didáctica

Desarrollo de competencias profesionales con problemas de generalización de patrones En este artículo, se presenta una propuesta de actividades para trabajar le proceso de generalización de patrones con futuros profesores de matemáticas de secundaria. Se particulariza con problemas en los que se proporcionan los primeros términos de una sucesión, y se pide obtener otros términos y el término general. El objetivo es desarrollar competencias profesionales como el análisis de tareas y la interpretación, y la valoración de las producciones de los estudiantes. Developing professional competences with problems generalising patterns This paper presents a suggestion for activities for working on the process of generalising patterns with future mathematics teachers at secondary level. Specifically, it looks at problems containing the first few terms of a series and asks students to find other terms and the general term. The aim is to develop professional competences such as task analysis and interpreting and assessing students’ production.

Entre las actividades profesionales del profesorado de matemáticas figura la planificación y organización del contenido matemático a enseñar, la interpretación y valoración de las producciones de los estudiantes, y la gestión de la clase (Llinares, 2009). Por ello, es importante que en la formación inicial se proporcione a los futuros profesores información relevante, tanto para seleccionar, adaptar o diseñar tareas adecuadas, como para identificar las estrategias, bloqueos y dificultades más frecuentes de los estudiantes en el marco de contenidos y procesos matemáticos específicos. El diseño de un módulo para trabajar el proceso de generalización con estudiantes para

M.ª Luz Callejo Universidad de Alicante

Palabras clave: problemas de generalización, identificación de patrones, generalización cercana y lejana, estrategias recursivas y funcionales.

Keywords: generalisation problems, identifying patterns, near and far generalisation, recursive and functional strategies.

profesor de matemáticas de secundaria, desde el contexto de la resolución de problemas, implica proponer un marco sobre el proceso de generalización, mostrar la potencialidad de algunos problemas para desarrollar este proceso, y ejercitar a los futuros profesores en la resolución y análisis de tareas y en la interpretación y valoración de las producciones de los estudiantes desde el marco de referencia que se ofrece. A continuación, presentamos cómo se trabaja el proceso de generalización dentro de la asignatura: aproximación didáctica a la resolución de problemas de matemáticas, de la especialidad de matemáticas del Máster de Profesorado

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | pp. 67-75 | octubre 2012

Aula de didáctica

de Educación Secundaria en la Universidad de Alicante. Se utiliza como referencia el capítulo «Procesos matemáticos en la educación secundaria» del libro Matemáticas. Complementos de formación disciplinar de Torregrosa y Callejo (2011).

El proceso de generalización A juicio de algunos autores, la generalización «constituye el verdadero nervio de la matemática» (Mason, Burton y Stacey, 1992, p. 21). Este proceso, que se inicia en educación infantil con actividades como las seriaciones en las que es preciso identificar un patrón o regla de formación para continuar una secuencia, se trabaja con más profundidad en la etapa de educación secundaria obligatoria (12-16 años), introduciendo la idea de variabilidad a través de las funciones y sus distintas formas de representación y el lenguaje algebraico que permite expresar propiedades de manera general. Para Polya (1965), la generalización «consiste en pasar del examen de un objeto al examen de un conjunto de objetos, entre los cuales figura el primero; o pasar del examen de un conjunto limitado de objetos al de un conjunto más extenso que incluya al conjunto limitado» (Polya, 1965, p. 97). En esta descripción, Polya pone el acento en una cualidad del proceso de generalización: extender a un conjunto más amplio de objetos. Pero esto no es más que la punta del iceberg o la culminación del proceso, pues la generalización, desde el punto de vista de la actividad cognitiva del sujeto, es algo complejo que implica una serie de acciones que conducen A juicio de algunos precisamente a autores, la generalización extender, gene«constituye el verdadero rando algún nervio de la matemática» resultado nuevo. 68

Ellis (2007) ha descrito estas acciones de generalización que se infieren a partir de lo que el sujeto hace, dice o escribe. Identifica tres tipos: relacionar, buscar y extender: • Relacionar es establecer asociaciones entre situaciones u objetos. Se puede relacionar una situación con otra ya conocida, o generar una nueva situación a partir de otra. O también relacionar objetos, ya sea en el mismo o en distinto sistema de representación. Por ejemplo, se puede relacionar el número de diagonales de un polígono y el número de posibles parejas que puede formar un grupo de personas. • Buscar es repetir acciones para identificar algún elemento de semejanza. Por ejemplo, se puede hacer una tabla de valores relacionando dos o más variables para saber si una relación como la de proporcionalidad entre dos o más variables permanece estable. • Extender es centrar la atención en la generalidad de una idea más allá de una situación particular, problema o situación, o caso original. Es ampliar un modelo o relación a una estructura más general. A través de esta acción se puede generar algo nuevo: dominio de validez, objetos de una clase, relación, estructura, descripción o fenómeno general. Por su parte, Radford (2006) considera que hablar de generalización en situaciones en las que se pide continuar una sucesión e identificar el patrón de la misma implica tener en cuenta dos aspectos: aquello que se generaliza (el objeto de generalización) y el objeto generalizado. El proceso que va de uno a otro incluye dos componentes interrelacionados: primero, advertir lo que tienen en común algunos casos particulares, y segundo, construir un concepto general por generalización de lo que se ha identificado que tienen en común todos los términos de la suceUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Desarrollo de competencias profesionales con problemas de generalización de patrones

sión. Para este autor, la generalización algebraica tiene un tercer componente: el objeto generalizado cristaliza en un esquema, en este caso, en una expresión algebraica de una regla que permite obtener cualquier término de la secuencia; las generalizaciones aritméticas son aquellas que no tienen este tercer componente. Dörfler (1991) considera que para construir una generalización es necesario el establecimiento de un invariante; la relación invariante se suele identificar en casos sencillos para valores pequeños y se extiende a valores más grandes.

Análisis de tareas de generalización de patrones Los problemas con patrones han sido objeto de diversas publicaciones e investigaciones por su relación con el desarrollo de habilidades propias de la resolución de problemas que conducen a la generalización (particularizar, organizar sistemáticamente la información y conjeturar; Cañadas, Castro y Castro, 2008; Castro, 1995; García Cruz, 1999; Mason, Burton y Stacey, 1992; Shell Centre, 1993; Stacey y Groves, 2001; Zapatera y Callejo, 2011) y del pensamiento algebraico (Radford, 2006). En estos problemas se proporcionan los primeros términos de una sucesión, frecuentemente con un dibujo, y se pide calcular el valor del enésimo término para un valor de n pequeño y para un valor de n grande. En algunos casos, se pide también formular una regla general. Un problema de este tipo es «Triángulos en línea»:

Figura 1

Figura 2

c) ¿Cuántos segmentos forman la figura 24? d) Busca una regla general para calcular el número de segmentos necesarios para construir la figura n. Justifica la respuesta. En este problema los datos se dan con una representación gráfica que puede servir de apoyo para responder a las cuestiones que se plantean. Las cuestiones a y b relativas a las figuras 5 y 8 son de generalización cercana y sirven de introducción a las siguientes cuestiones. La cuestión c es de generalización lejana pues pide el número de segmentos para un valor «grande» de n. La cuestión d pide expresar la regla general, ya sea en forma verbal o algebraica. Se puede resolver usando estrategias recursivas y funcionales. Si se emplea una estrategia recursiva, se cuenta el número de segmentos apoyándose en la figura anterior y se obtiene la sucesión: 3, 3+4=7, 7+4=11, 11+4=15, 15+4=19, 19+4=23, 23+4=27… En esta sucesión numérica se puede observar que los números 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27… siguen un patrón de crecimiento aditivo (sumar 4); este número es un invariante. Otro invariante es el número de segmentos de la figura inicial, que es 3. Cuando se emplea una estrategia funcional se establece una relación entre el número de segmentos de una figura y el número de la figura. Para ello, se pueden considerar distintas configuraciones de una de las figuras. Por ejemplo, la figura 7 se puede formar con los 3 segmentos de la figura 1 a los que se le añade 4 segmentos 6 veces:

Figura 3

a) Continúa dibujando hasta la figura 5. b) ¿Cuántos segmentos forman la figura 8? Justifica la respuesta. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

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Posición

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Figura 6

Nº segmentos

Relación

3+4x1

3+4x2

3+4x3

3+4x4

3+4x5

Cuadro 1. Esquema numérico y espacial

También se puede contar el número de triángulos más los segmentos superiores:

centran en la cantidad que hay que añadir a términos anteriores de la sucesión: 3

O los segmentos que hay en cada una de las tres direcciones: 6+7 horizontales, 7 oblicuos en una dirección y 7 oblicuos en otra dirección: (6 + 7) + 7 + 7 Las tres expresiones numéricas obtenidas son equivalentes. La diferencia entre las estrategias recursivas y las funcionales es la siguiente: las primeras se

3+4= 7

4+7=11

11+4=15

15+4=19

19+4=23

Sin embargo, las estrategias funcionales implican la coordinación de dos esquemas: el esquema numérico de la sucesión y el espacial de la posición que ocupa cada figura (cuadro 1). Esta relación se puede expresar de más de una forma, como se ha indicado anteriormente. La regla general para la figura n se puede expresar en distintos lenguajes y de distintas maneras: • En forma verbal: «3 mas 4 veces la posición que ocupa la figura menos 1» o «3 veces la posición que ocupa la figura mas una unidad menos de dicha posición».

Modo de representación del enunciado.

Si hay un dibujo, detectar en una figura distintos modos de agrupamiento de sus elementos o subconfiguraciones.

Identificar invariantes.

Tipo de preguntas en relación a la generalización que se pide.

Resolución utilizando estrategias recursivas y funcionales.

Diferentes formas de establecer la relación entre la posición de una figura y el número de elementos.

Dificultades que pueden encontrar los alumnos.

Cuadro 2. Esquema de análisis de un problema

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Desarrollo de competencias profesionales con problemas de generalización de patrones

•

En forma algebraica: 3 + 4 x (n-1) o 3 x n + (n-1)

En la resolución de este problema y otros semejantes en que la relación entre los elementos es una función afín, un error común de los estudiantes es considerar que hay una relación de proporcionalidad (Stacey, 1989), es decir, pensar que

si la figura 2 tiene 7 segmentos, la figura 8 tendrá 4 veces más segmentos, o sea 28 segmentos, lo cual es falso. Tras analizar y resolver de manera pormenorizada varios problemas, proponemos a los estudiantes del Máster que analicen y resuelvan nuevos problemas siguiendo el esquema del cuadro 2. En la actividad 1 se muestra un ejemplo.

Actividad 1 Analizar el problema «Torre de triángulos» utilizando el esquema del cuadro 1. Se han hecho estos diseños utilizando segmentos:

• • •

¿Cuántos segmentos serán necesarios para tener un diseño de 5 niveles? ¿Y para un diseño con 50 niveles? Justifica tu respuesta. ¿Sabrías decir cómo encontrar el número de segmentos de un diseño de cualquier número de niveles?

Interpretación y valoración de respuestas de estudiantes de secundaria En las investigaciones acerca de la resolución de este tipo de problemas, encontramos abundante información acerca de las respuestas más comunes de los estudiantes de secundaria: estrategias, bloqueos, dificultades, etc. Aquí destacamos de forma resumida los resultados más relevantes. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

En cuanto a los tipos de comportamientos de los estudiantes de educación secundaria resolviendo problemas de identificación de patrones, Roig y Llinares (2008) han identificado los siguientes: construir diferentes términos de la sucesión sin que se produzca la abstracción del patrón, y abstraer el patrón y usarlo para anticipar el valor de nuevos términos de la sucesión. El paso del primero al segundo implica un salto cualitativo y la trasposición a un nivel superior. 71

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Por su parte, Stacey (1989) ha descrito tres tipos de estrategias que emplean estudiantes de 11 a 15 años en problemas donde el patrón es una función afín como «Triángulos en línea»: recursivas, funcionales y razonamiento proporcional. Cuando usan estrategias recursivas, los estudiantes suelen emplear un método de conteo más o menos sofisticado, por ejemplo, dibujan la figura correspondiente al término pedido y cuentan el número de elementos, ya sea uno a uno o agru-

pándolos, o utilizan la diferencia entre los términos de la sucesión, que responde al patrón f(n) = f(1)+d+d+d…, o hacen una tabla calculando un término a partir del anterior f(n+1)=f(n)+d. La elaboración de una tabla es un indicio de organización de la información procedente de los casos particulares, pero a veces no es suficiente para abstraer el patrón. Se ha observado que, a veces, los alumnos que comienzan un problema contestando correctamente las cuestiones más sencillas adoptan frecuentemente un método incorrecto pero más simple al pasar a las cuestiones más complejas (Orton y Orton, 1994; Stacey, 1989); por ejemplo, la asociación de la multiplicación con la suma repetida les conduce frecuentemente a transformar una suma repetida donde el primer término es diferente en una multiplicación, ignorando la particularidad del primer término. Si no, usan un método erróneo de proporcionalidad directa expresando el enésimo término como el producto de n por la diferencia. En este sentido, la fijación de enfoques recursivos relacionando un término de la sucesión con el anterior es un obstáculo para avanzar hacia la regla general, así como el uso de estrategias inadecuadas como la proporcionalidad directa. Estos resultados de las investigaciones se ilustran con respuestas de estudiantes de secundaria. En la imagen 1 presentamos un ejemplo. El alumno del ejemplo, Sacha, ha sido capaz de identificar el patrón en las cuestiones que plantea el problema, pues ha respondido correcimagen 1. Resolución de Sacha del problema de la torre (2.º de ESO) tamente a los tres primeros aparta72

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dos usando una estrategia recursiva. En el apartado 1 comenzó contando a partir del primer piso y se apoyó en un dibujo donde representó los bloques de los pisos 5.º a 8.º mediante puntos, respetando la estructura espacial de la torre, y trasladó a una suma en columna el número de bloques de cada piso. Para sumar estos números, agrupó los que sumaban 10, que unió mediante un arco, lo que es un indicio de querer simplificar los cálculos. En el recuento del apartado 2, partió directamente de la torre de 8 pisos; y en el del apartado 3, de la torre de 12 pisos. En estos apartados no hizo ningún dibujo. En el apartado 2 no agrupó términos de la suma, pero sí en el apartado 3 donde agrupó los que suman 30. Parece entonces que la agrupación de términos obedece a la sim-

plificación de cálculos, pero no a la búsqueda de un patrón. Por tanto, Sacha fue capaz de hacer generalizaciones cercanas y lejanas apoyándose en métodos recursivos. La respuesta a la cuestión 5 indica que puede imaginar otra configuración ligeramente diferente en la figura («sumando en diagonal»), pero esta no le ayudará a encontrar la forma de sumar números consecutivos sin necesidad de hacer la suma, de haberse planteado esa cuestión. Tras analizar diversas respuestas de estudiantes de secundaria que muestren las diferentes estrategias, dificultades y bloqueos, en la actividad 2 proponemos a los estudiantes del Máster que analicen problemas de generalización de patrones y respuestas de alumnos.

Actividad 2 Analizar las respuestas de dos alumnos de 2.º de ESO (véanse anexos 1 y 2) a los problemas propuestos utilizando el siguiente esquema: 1

Corrección de las respuestas.

Estrategia(s) utilizada(s).

Modos de representación en los que se apoya.

Dificultades y bloqueos.

Nivel de generalización mostrado.

El trabajo del módulo culmina discutiendo con los futuros profesores dos preguntas: 1. ¿Qué tipo de intervención didáctica sería adecuada para aquellos estudiantes que son capaces de construir diferentes términos de la sucesión pero no son capaces de abstraer el patrón? Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

¿Cuál es la potencialidad de este tipo de tareas para desarrollar el pensamiento algebraico y para vincular distintos modos de representación como el analítico (numérico y algebraico) y el geométrico? Estas preguntas enlazan con otros contenidos de esta o de otras asignaturas. 73

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Referencias bibliográficas CAÑADAS, M.C.; CASTRO, E.; CASTRO, E. (2008): «Patrones, generalización y estrategias inductivas de estudiantes de 3.º y 4.º de la ESO en el problema de las baldosas». Pensamiento Numérico Avanzado, núm. 2(3), pp. 137-151. CASTRO, e. (1995): Exploración de patrones numéricos mediante configuraciones puntuales. Granada. Comares. DÖRFLER, W. (1991): «Forms and means of generalization in mathematics», en BISHOP, A.; MELLIN-OLSEN, S.; DORMOLEN, J.V (eds.): Mathematical knowledge: Its growth through teaching. Dordrecht. Kluwer, pp. 63-85. ELLIS, A. (2007): «A Taxonomy for categorizing generalizations: Generalizing actions and reflection generalizations». The Journal of the Learning Sciences, núm. 16(2), pp. 221-262. GARCIA CRUZ, J.A. (1999). «Estrategia visual en la generalización de pautas lineales». Enseñanza de las Ciencias, núm. 17(1), pp. 31-43. LLINARES, S. (2009): «Competencias docentes del maestro en la docencia en matemáticas y el diseño de programas de formación». Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas, núm. 51, pp. 92-101 MASON, J.; BURTON, L.; STACEY, K. (1992): Pensar matemáticamente. Barcelona. MEC/ Labor, 1982. ORTON, A.; ORTON, J. (1994): «Students’ perception and use pattern and generalization», en DA PONTE, J.P.; MATOS, J.F. (eds.): Proceedings of the 18th International Conference for the Psychology of Mathematics Education, núm. 3, pp. 407-414. Lisboa. University of Lisbon.

POLYA, G. (1965): Cómo plantear y resolver problemas. México. Trillas, 1945. RADFORD, L. (2006): «Algebraic thinking and the generalization of patterns: A semiotic perspective», en ALATORRE, S.; CORTINA, J.L.; SÁIZ, M.; MÉNDEZ, A. (eds.): Proceedings of the 28th annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, núm. 1, pp. 2-21. Mérida (México). Universidad Pedagógica Nacional. ROIG, A.I.; LLINARES, S. (2008): «Fases en la abstracción de patrones lineales», en LUEGO, R., y otros (eds.): Investigación en educación matemática XII. Badajoz. SEIEM, pp. 195-204. SHELL CENTRE FOR MATHEMATICS EDUCATION (1993): Problemas con pautas y números. Bilbao. Universidad del País Vasco, 1984. STACEY, K. (1989): «Finding and using patterns in linear generalizing problems» Educational Studies in Mathematics, núm. 20(2), pp. 147-164. STACEY, K.; GROVES, S. (2001): Resolver problemas: Estrategias. Unidades para desarrollar el pensamiento matemático. Madrid. Narcea, 1985. TORREGROSA, G.; CALLEJO, M.L. (2011): «Procesos matemáticos en la educación secundaria», en GOÑI, J.M. (coord.): Matemáticas. Complementos de formación disciplinar. Barcelona. Graó, pp. 29-56. ZAPATERA, A.; CALLEJO, M.L. (2011): «Nivel de éxito y flexibilidad en el uso de estrategias resolviendo problemas de generalización de pautas lineales», en MARIN, M., y otros (eds.): Investigación en educación matemática XV. Ciudad Real. SEIEM, pp. 599-609.

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títol article

Annexos Anexo 1

Anexo 2

Referencias de la autora M.ª Luz Callejo Universidad de Alicante luz.callejo@ua.es Línea de trabajo: resolución de problemas, formación del profesorado, uso de las TIC en la enseñanza de las matemáticas. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Este artículo fue solicitado por UNO: REVISTA

DIDÁCTICA

DE LAS

MATEMÁTICAS en febrero de 2012 y aceptado en julio de 2012 para su publicación.

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El papel del trabajo final de máster en la formación del profesorado de matemáticas*

AA.VV. Universidad de Barcelona

En este artículo se describe el avance en la competencia de análisis didáctico que muestran los futuros profesores en el trabajo final del Máster de Secundaria en Matemáticas de la Universidad de Barcelona (España). Los avances se producen como resultado de la reflexión sobre su propia práctica. The role of the final project in the master’s in training mathematics teachers This paper looks at the improvements in didactical analysis competence shown by future teachers in their final project for the master’s in secondary mathematics at the University of Barcelona in Spain. The improvements appear when the teachers reflect on their own practice.

En trabajos recientes, hemos caracterizado las competencias profesionales que debemos desarrollar en la formación de futuros docentes de matemáticas en la educación secundaria en España (Font y otros, 2009, 2011), así como los ciclos formativos que posibilitan su desarrollo (Larios y otros, 2011). En este artículo, explicamos como el trabajo final de máster (TFM) se ha convertido en una práctica «final» en la que los futuros docentes analizan su propia práctica (realizada previamente en un centro escolar durante su segundo periodo de prácticas) y proponen desarrollos de mejora para la misma. Analizamos el desarrollo de un ciclo formativo, en el que se puede constatar cómo los futuros docentes incorporan y desarrollan una «pauta de análisis y valoración de la idoneidad/o calidad didáctica» 76

Palabras clave: desarrollo profesional, educación matemática, educación secundaria, análisis didáctico.

Keywords: professional development, mathematics education, secondary school, didactical analysis.

(Godino y otros, 2007). Mostramos este desarrollo a partir de algunos ejemplos de tareas y reflexiones de los estudiantes.

El análisis didáctico en el trabajo final de máster En las orientaciones generales del trabajo final de máster que se dan a los alumnos, en el caso del Máster de Formación de Profesorado de Secundaria en Matemáticas de la Universidad de Barcelona, se dice que debe ser un trabajo original, autónomo e individual que permita al estudiante mostrar de forma integrada los contenidos formativos recibidos y las competencias generales asociadas al título de Máster en Formación del Profesorado.

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | pp. 76-85 | octubre 2012

El papel del trabajo final de máster en la formación del profesorado de matemáticas

Añadimos que, en nuestro caso, debe contribuir a reflexionar y profundizar en el análisis de su propia práctica, posibilitando proponer elementos de mejora. Dicha mejora debe justificarse a partir de la reflexión de la comunidad de investigación en educación matemática sobre el tema que se ha desarrollado en las prácticas de clase. Esta manera de entender el trabajo final de máster está en la línea de otras propuestas que coinciden en considerar el TFM como una «tarea profesional» que se convierte en uno de los organizadores/sintetizadores de los programas de formación matemática y didáctica del futuro docente (Llinares, 2009). Un elemento clave del TFM es que se relaciona directamente con la experiencia escolar realizada previamente. Otra de las características importantes de nuestra propuesta es que se asigna un mismo tutor al segundo periodo de prácticas y al trabajo final de máster, para facilitar la continuidad de las prácticas y el proceso de reflexión sobre ellas, y poder reconocer los progresos alcanzados. Durante este proceso, se realizan, como mínimo, cuatro reuniones, entre el estudiante y su tutor. Dos de ellas durante su práctica escolar, y al menos dos encuentros tutoriales durante la realización del TFM. Interpretamos el TFM en la perspectiva sociocultural, en la que el aprendizaje y desarrollo profesional del profesor se interpreta como el proceso de evolución y cambios que se generan cuando se analiza cómo participar en las prácticas matemáticas que se producen en el aula, y cómo dicha práctica es comprendida por el profesor (Llinares, 2007). Para conseguir este desarrollo, diseñamos e implementamos ciclos formativos o experimentos de enseñanza (Callejo, Valls y Llinares, 2007), en las que se proponen tareas profesionales (Azcarate, Rodríguez y Rivero, 2009). En particular, en nuestra propuesta, implementamos un ciclo de formación, denominado de Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

«Análisis didáctico», que se estructura a lo largo de tres materias del máster: didáctica de las matemáticas, innovación e investigación y prácticum 2. El desarrollo del ciclo se ha basado fundamentalmente en seis tipos de tareas: • Análisis de prácticas, objetos y procesos matemáticos. • Análisis de configuraciones, interacciones didácticas, conflictos, normas. • Valoración de tareas y episodios de aula usando criterios de idoneidad/calidad. • Planificación de una unidad didáctica en el segundo periodo de prácticas. • Análisis y valoración de la idoneidad de la unidad didáctica implementada. • Propuesta de mejora justificada de su unidad didáctica. En las dos primeras tareas, se presentan y discuten herramientas para un análisis descriptivo y explicativo que sirva para responder la pregunta «¿qué ha ocurrido en la clase y por qué?» (Font, Planas y Godino, 2010). En las siguientes tareas, se presentan herramientas para un análisis valorativo que sirven para responder «¿qué se podría mejorar?». Entendemos que el estudio de aspectos descriptivos y explicativos de una situación didáctica es necesario para poder argumentar valoraciones fundamentadas (Ramos y Font, 2008). En la parte final de este ciclo, sugerimos a los futuros docentes que en su análisis consideren responder a preguntas como las siguientes:

El trabajo final de máster se ha convertido en una práctica «final» en la que los futuros docentes analizan su propia práctica y proponen desarrollos de mejora para la misma 77

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• ¿He enseñado unas matemáticas de calidad? ¿Se puede mejorar esta calidad? ¿Cómo? • Los alumnos podían aprender con las actividades propuestas? ¿Han aprendido? ¿Por qué no? • ¿Se podría mejorar la gestión de la clase? • ¿Usé los recursos adecuados? ¿El tiempo estuvo bien gestionado? • ¿Cómo se ha considerado una perspectiva ecológica en las condiciones generales del trabajo? Para responder a estas preguntas en las diferentes asignaturas que intervienen en el ciclo, se presentan elementos de valoración de la calidad de los procesos de estudio, en concreto los criterios de idoneidad didáctica propuestos por el enfoque ontosemiótico (Godino, Batanero y Font, 2007), así como la pauta de de análisis de valoración que permite aplicarlos. Durante los tres años que llevamos de implementación del máster, hemos evolucionado en la organización del TFM. En el primer año, no se pidió a los estudiantes explícitamente que usaran los criterios de idoneidad para reflexionar sobre su práctica, y apenas dos tutores influenciaron en su inclusión. En el segundo año de implementación, todos los tutores introdujeron la idea con sus estudiantes, aunque no todos los alumnos los incorporaron. En el tercer año, se acordó incluir el uso de criterios de calidad/idoneidad en el guión organizativo del trabajo. En este último curso hemos podido observar que incluso se han planteado propuestas espontáneas de desarrollo y mejora de los criterios de calidad por parte de los estudiantes. Por otra parte, estamos interesados en investigar el desarrollo de la competencia en análisis didáctico de los futuros profesores de matemáticas y, por ello, asumimos el TFM como un esce78

nario clave para el inicio a la formación en la investigación. Nuestra idea es que la investigación repercuta y promueva mejoras en la formación del propio máster. Por ello, todos los escritos de los estudiantes se sistematizan a través de la plataforma moodle. Se contrastan los resultados de las diversas tareas del ciclo formativo; se observan las prácticas de algunos estudiantes y se toman notas de campo de las discusiones posteriores. La evaluación final del TFM se realiza a partir de la presentación de un documento escrito y de su defensa oral. En esta defensa, los estudiantes presentan su reflexión ante un tribunal (formado por el tutor en didáctica, un profesor de matemáticas, y uno de los especialistas en el ámbito psicosociopedagógico). Al tratarse de un acto público, se invita a los compañeros. El tribunal asigna una valoración competencial y formal al trabajo escrito, a la presentación oral, y al seguimiento tutorial. Entre los elementos formales, consideramos: • Corrección en la redacción, organización y presentación del trabajo. • Claridad, precisión, corrección y coherencia en la determinación de los objetivos. • Adecuación de la metodología utilizada. • Profundidad y dominio de los temas y contenidos que se tratan. En cuanto los elementos didácticos profesionales, reconocemos: Estamos interesados en investigar el desarrollo de la competencia en análisis didáctico de los futuros profesores de matemáticas y, por ello, asumimos el TFM como un escenario clave para el inicio a la formación en la investigación

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

El papel del trabajo final de máster en la formación del profesorado de matemáticas

• •

• • •

• •

El grado de originalidad y aportaciones personales. Conocimiento y correcta utilización de la bibliografía pertinente para justificar las propuestas de reflexión e innovación. Incorporación de elementos de análisis didáctico. Evaluación y gestión, así como la discusión competencial y curricular. Profundidad y originalidad en el autoanálisis de la práctica, incorporando técnicas que han desarrollado en el máster. Para la evaluación comunicativa, valoramos: La fluidez, concreción, claridad expositiva y expresiva Una buena integración de las TIC en la defensa oral ante la Comisión Evaluadora.

Reflexiones del alumnado Para valorar su periodo de prácticas, tal como se ha dicho, se propusieron a los alumnos criterios de idoneidad didáctica. Diceos criterios son: • Idoneidad epistémica. Se refiere a que las matemáticas enseñadas sean unas «buenas matemáticas». Para ello, además de tomar como referencia el currículo prescrito, se trata de tomar como referencia a las matemáticas institucionales que se han transpuesto en el currículo. • Idoneidad cognitiva, que expresa el grado en que los aprendizajes pretendidos/ implementados están en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de los aprendizajes logrados a los pretendidos/implementados. • Idoneidad interaccional. Grado en que los modos de interacción permiten identificar y resolver conflictos de significado y favorecen la autonomía en el aprendizaje. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

•

Idoneidad mediacional. Grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje. Idoneidad afectiva. Grado de implicación (interés, motivación) del alumnado en el proceso de estudio. Idoneidad ecológica. Grado de adaptación del proceso de estudio al proyecto educativo del centro, las directrices curriculares, las condiciones del entorno social, etc.

A continuación se comentan algunas de las reflexiones/valoraciones de los futuros docentes respecto cada una de las idoneidades. 1

Uno de los problemas que presenta el criterio de idoneidad epistémica es que precisa de una caracterización de un significado de referencia, que dé cuenta de la complejidad del objeto matemático que se está tratando (representaciones diferentes, propiedades, representaciones equivalentes, definiciones, argumentos, propiedades, tipos de problemas, etc.). En muchos casos, esta complejidad del objeto matemático no se tuvo en cuenta. Aunque en algún caso particular, como el siguiente alumno, se da cuenta de que la idea de variable estadística es más compleja de lo que se había previsto: El tema tratado era próximo para ellos, así a nivel personal el artículo que usé contenía numerosas referencias al fenómeno de la inmigración, como para poder haber conseguido la conexión con otras materias. Además, no se requerían conocimientos previos en estadística. Aún así, hubo una gran confusión por dos motivos: los alumnos propusieron correctamente muchas más variables de las que yo había previsto, y existían conceptos que yo no consideré como variables estadísticas y los 79

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alumnos sí. Por otro lado, cuando de hecho sí lo eran según el contexto (por ejemplo, el número de hijos por mujer es una variable estadística, pero la media también es propiamente una variable estadística si tenemos en cuenta las diferentes medias en las comunidades autónomas o en países de la Unión Europea). (Estudiante A1)

Creo que debería haber intentado aumentar más la interacción y diálogo con los alumnos (que ha sido limitada) ya que es cuando muestran más interés, en contraposición a cuando sencillamente son receptores de información. Aun así, la dinámica del grupo clase era muy buena… mostraban interés y motivación para intentar resolver los ejercicios (no tanto por el contenido de la asignatura en sí mismo sino por su interés en aprobar). Por tanto, sí había cierta motivación en el aula aunque, desgraciadamente, no conseguí que fuera hacia la asignatura o para aprender (motivación intrínseca) sino por el resultado (motivación extrínseca). (Estudiante A3)

En la mayoría de los casos, se constata que consideran una buena calidad epistémica cuando presentan una muestra de problemas de contexto extramatemático representativa. 2

El análisis detallado de la idoneidad cognitiva les resulta difícil, porque los futuros docentes no han recogido información suficiente y pormenorizada de lo realizado por su alumnado, tanto antes del proceso de instrucción como durante el mismo. Sobre este aspecto, uno de los futuros profesores dice:

Se trata de una creencia de autoculpabilización de los estudiantes. Esperamos que esta creencia se supere con el tiempo. 4

Se trata de uno de los elementos flojos del análisis. Para que el aprendizaje sea significativo, en primer lugar hemos de asegurarnos, por un lado, de que los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el estudio del tema y, por otro lado, de que los contenidos que se pretende enseñar se pueden alcanzar. Además, se debe realizar una evaluación formativa para asegurarnos de que los alumnos se han apropiado de los contenidos enseñados… de forma que, una vez se comprobó que se dominaba la función de primer grado, podíamos pasar a explicar las funciones cuadráticas. (Estudiante A2) 3

Respecto a la idoneidad interaccional, se valora muchas veces como débil, y se alude en general a su falta de experiencia en la gestión de procesos de instrucción: 80

A muchos estudiantes del máster les parece que su propuesta de mejora pasa por enfrentar más y mejor la idoneidad emocional. Un estudiante explicita en su valoración los intereses y las motivaciones, así como las actitudes y las emociones: Intereses y necesidades Para involucrar y motivar a los alumnos, se han contextualizado los ejemplos amoldándolos a ámbitos por ellos conocidos y familiares. Especialmente provechosa ha sido la referencia a la línea del metro (tipos de representación, orden secuencial de paradas, etc.) sobre todo por haber ido con ellos de excursión la semana anterior al comienzo del Prácticum y haber podido empezar a llamar subliminalmente su atención sobre aspectos que ya tenía intención de retomar en la unidad didáctica. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

El papel del trabajo final de máster en la formación del profesorado de matemáticas

Actitudes Desde la primera intervención en clase, se ha remarcado la importancia de ser constantes en el estudio, de la redacción de los deberes y la recopilación del temario en el cuaderno personal. En tres ocasiones he querido asignar, fuera del horario de clase, tareas de responsabilidad a alumnos que se me habían presentado como más pasivos (se trataba de repartir material extra o de hacer llegar unos mensajes de mi parte a los compañeros). En todos los casos me he quedado agradablemente sorprendida por la demostración de responsabilidad y decisión de no defraudar mi confianza. Emociones Se ha aprovechado toda ocasión para promover la autoestima de cada estudiante, remarcando los logros por pequeños que fuesen y no remarcando las lagunas. En ningún momento se ha metido a los alumnos en situaciones embarazosas por haber puesto preguntas o expresado dudas. (Estudiante A4) 5

Sobre la idoneidad mediacional, muchos estudiantes la valoran débilmente, porque no tuvieron oportunidades de un mejor desarrollo, debido a la influencia de las condiciones materiales del centro o decisiones del Departamento de Matemáticas en el centro. Es el caso de otro estudiante: Este es, con total seguridad, uno de los puntos en donde mi propia práctica docente fue más débil. Utilicé únicamente los recursos propios del aula del instituto y de los alumnos: pizarra, libro de texto y calculadora. No utilicé recursos manipulativos ni recursos tecnológicos TIC. El hecho de no utilizar recursos manipulativos fue decisión propia y debida exclusivamente a que no los creí necesarios, ya que los conteniUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

dos de la unidad podían adquirirse de manera óptima sin necesidad de estos. La no inclusión de recursos TIC como por ejemplo, el Geogebra, fue debido a que el aula no disponía ni de ordenador ni de proyector, debido a los recursos del centro. Además, no se planteó la posibilidad de usar las aulas de informática del centro debido a su alto grado de ocupación. (Estudiante A5) 6

Sobre la idoneidad ecológica, consideramos que representa el grado de adaptación del proceso de estudio al proyecto educativo del centro, las directrices curriculares, las condiciones del entorno social, etc. (cuadro 1). Con referencia al primer componente de adaptación curricular, señala que en su propuesta ha considerado las diferentes competencias básicas del Currículo de la Generalitat de Catalunya: En este sentido, los objetivos y contenidos de la unidad didáctica han tenido en cuenta el desarrollo integral de todas las competencias básicas. En particular, las competencias básicas desarrolladas en esta unidad didáctica han sido: Componentes

Descriptores

Adaptación del currículo.

Los significados, su implementación y evaluación se corresponden con directrices curriculares.

Apertura hacia la innovación didáctica.

Innovación basada en la investigación como práctica reflexiva. Integración de tecnologías en el proyecto educativo.

Adaptación socioprofesional y cultural.

Los significados contribuyen a la formación socioprofesional de los estudiantes.

Cuadro 1. Elementos de la idoneidad ecológica vistos

por un estudiante en el TFM

Aula de didáctica

• Competencia matemática: representar y analizar relaciones funcionales sencillas (función lineal, parábola y función racional), utilizando las técnicas de lápiz y papel, o la calculadora o el ordenador. Utilizar el lenguaje algebraico para expresar situaciones problemáticas, y relacionar esta forma expresiva con otras: tabular, gráfica, descriptiva. • Competencia de aprender a aprender: conocer, valorar y utilizar de forma sistemática conductas asociadas a la actividad matemática, tales como el orden, el contraste, la precisión y la revisión sistemática y crítica de los resultados. • Competencia digital a partir de la utilización en clase del programa Geogebra. • Competencia social y ciudadana: a través del análisis funcional, aportar criterios para predecir y tomar decisiones, enfocar los errores cometidos en los procesos de resolución de problemas con espíritu constructivo y permitir valorar los puntos de vista de los demás en igualdad con los propios. (Estudiante A6)

Para representar la valoración global que hacen de su práctica, usan a menudo un esquema en forma de hexágono que se ha propuesto y discutido con ellos a lo largo del ciclo formativo. En el cuadro 2 podemos observar la representación de la valoración de una estudiante. En el esquema, se supone que todas las idoneidades parciales tienen un mismo valor representado por el segmento que une el centro con el vértice. A partir de ello, se construye el polígono irregular que representa las idoneidades parciales que el alumno considera que ha conseguido. En este caso, la estudiante 7 muestra no haber incidido bastante en lo cognitivo, lo interaccional, lo emocional y lo ecológico. Queremos resaltar que si bien la mayoría usó el esquema del cuadro 2, hay aportaciones creativas. Por ejemplo, un alumno (A8) se da cuenta de que se trata de un proceso evolutivo, y muestra tablas o gráficas para indicar cómo cambiaron las idoneidades a lo largo del tiempo (cuadro 3). Al desarrollar la propuesta de mejora en el TFM, los comentarios se dirigen más hacia un resumen de los artículos leídos, que propiamente a una redefinición de la unidad planteada. Así,

Cuadro 2. Hexágono explicado y mapa de idoneidad de una estudiante en el TFM

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

El papel del trabajo final de máster en la formación del profesorado de matemáticas

Sesión

Idoneidad

Epistémica

Baixa

Alta

Baixa

Alta

Cognitiva

Alta

Mitja

Alta

Mediacional

Alta

Mitja

Alta

Mitja

Baixa

Mitja

Baixa

Mitja

Emocional

Alta

Mitja

Alta

Mitja

Alta

Baixa

Mitja

Interaccional

Mitja

Alta

Baixa

Ecológica

Alta

Mitja

Alta

Mitja

Cuadro 3. Valoración final de un estudiante en las diversas idoneidades en las diferentes tareas de su secuencia

didáctica.

por ejemplo, el estudiante A9 muestra haber comprendido el mensaje de las lecturas realizadas, pero no usa ese conocimiento para establecer la propuesta de mejora. Así, dice: Las fuentes bibliográficas 1 y 2 contienen estudios realizados sobre las dificultades en la resolución de problemas algebraicos (a diferencia de otros estudios que se centran en los errores de manipulación del lenguaje algebraico y dejan de lado la resolución de problemas). En concreto, el artículo 2 contiene un estudio que tiene como objetivo ver las dificultades de los alumnos en la resolución de problemas y clasificar los errores más comunes en la traducción del lenguaje verbal al lenguaje algebraico. (Estudiante A9) En general, se dan cuenta de que es más difícil de lo que parecía hacer las cosas bien. En cuanto lo mediacional, se echan las culpas al tutor de la escuela que en muchos casos no ha dado oportunidades para un trabajo manipulativo o con las TIC. En cambio, solo en algún caso, las propuestas de mejora son concretísimas, en el sentido de comparar la propuesta anterior con la nueva de forma explícita. Asume además contenidos trabajados en Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

la asignatura de competencias y evaluación. Así, el alumno EP plantea que propuso una situación y la cambiaría: Calcula el área y el perímetro de un triangulo rectángulo que tiene hipotenusa de 5 cm y uno de los catetos mide 4 cm. En su análisis indica: Este ejercicio es reproductivo. En él, los alumnos tienen todos los datos en el enunciado y se pide calcular un valor de forma cerrada. La actividad no tiene un contexto determinado. Lo planteé así de simple para que todos lo pudieran hacer, ya que en cursos anteriores los ejercicios que realizaban eran de este estilo. Ahora pienso que debo hacer una mejora basada en contextualizarlo manteniendo la demanda de reproductividad. (Estudiante A10) En algún caso, hay alumnos que manifiestan cómo el TFM ha desarrollado su competencia de análisis didáctico. Es el caso del cuadro 4, donde el estudiante explicita su mejora en el análisis de secuencias. 83

Aula de didáctica

Competencia Análisis de secuencias

Estado actual N1: conozco el currículum de matemáticas. Aplico herramientas para describir las prácticas y procesos. Conozco criterios de calidad.

Mejora debida al Máster Les diversas asignaturas del bloque específico han sido esenciales para la correcta planificación de las secuencias didácticas.

Perspectivas de futuro Existen numerosas publicaciones en esta temática a les que tengo previsto acceder.

Cuadro 4. Extracto de análisis de competencias profesionales del estudiante A8

Conclusiones El trabajo final de máster ha permitido reconocer los avances en la competencia de análisis didáctico y se ha convertido en elemento organizador y sintetizador de trabajos, reflexiones y prácticas escolares realizadas. Reconocemos también el trabajo final de máster como el inicio del desarrollo de la competencia investigadora de los futuros docentes, en tanto ha posibilitado que los estudiantes aprendan a reconocer problemas de su contexto profesional. Les ha generado la necesidad de búsqueda de información sobre trabajos realizados en la comunidad de investigación en educación matemática. También ha permitido que hagan nuevas propuestas y rediseños sobre sus planeaciones iniciales, y que consideren aspectos nuevos en sus futuras implementaciones. Es importante resaltar que la presentación pública del trabajo permite evidenciar la finura

El trabajo final de máster ha permitido reconocer los avances en la competencia de análisis didáctico y se ha convertido en elemento organizador y sintetizador de trabajos, reflexiones y prácticas escolares realizadas

de los análisis de algunas personas, que no es debido a dominio de técnicas comunicativas, sino a la profundidad en los propios planteamientos y el avance de la competencia de análisis didáctico conseguido por ellos. Por último, la reflexión realizada por los formadores como investigación sobre la formación inicial de profesores ha servido de ayuda a la replaneación del propio programa de formación del Máster.

Nota * AGRADECIMIENTO: Este trabajo ha sido realizado en el marco de los Proyectos I+D+I EDU200908120, del Ministerio de Ciencia e Innovación de España (REDICE 2010-1010-13), y ayuda del grupo GREAV 2011 (Agaur, Generalitat de Catalunya).

Referencias bibliográficas AZCARATE, P.; RODRÍGUEZ, A.; RIVERO, A. (2007): «Los profesores noveles de matemáticas ante el análisis de su práctica». Investigación en la Escuela, núm. 61, pp. 37-51. CALLEJO, M.L.; VALLS, J.; LLINARES, S. (2007): «Interacción y análisis de la enseñanza. Aspectos claves en la construcción del conocimiento profesional». Investigación en la Escuela, núm. 61, pp. 5-21. FONT MOLL, V. y otros (2009): «Competencias profesionales en el Máster de Profesorado de Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

El papel del trabajo final de máster en la formación del profesorado de matemáticas

Secundaria». Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas, núm. 51, pp. 9-18. FONT, V., y otros (2011): «Competencias profesionales de los futuros profesores de matemáticas de secundaria», en MORENO, M.; CLIMENT, N. (eds.): Investigación en Educación Matemática. Comunicaciones de los Grupos de Investigación de la SEIEM. XIV Simposio de la SEIEM. Lleida. Universitat de Lleida / Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM), pp. 333-342. FONT, V.; PLANAS, N.; GODINO, J.D. (2010): «Modelo para el análisis didáctico en educación matemática». Infancia y Aprendizaje, núm. 33(2), pp. 89-105. GODINO, J.D.; BATANERO, C.; FONT, V. (2007): «The onto-semiotic approach to research in mathematics education». ZDM. The International Journal on Mathematics Education, vol. 39 (1-2), pp. 127-135. GODINO, J.D., y otros (2007): «Análisis y valoración de la idoneidad didáctica de procesos de estudio de las matemáticas». Paradigma, vol. 27(2), pp. 221-252. LARIOS, V., y otros (2011): «Teaching practices research as a source to develop training programs for mathematics teachers», en GIMÉNEZ, J., y otros (eds.): Proceedings of 63 Conference of The Commission for the Study and Improvement of Mathematics Teaching. Barcelona. LLINARES, S. (2007): «Formación de profesores de matemáticas. Desarrollando entornos de aprendizaje para relacionar la formación inicial y el desarrollo profesional», en XIII Jornadas de Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas JAEM. Granada. — (2009): «Competencias docentes del maestro en la docencia en matemáticas y el diseño de programas de formación». Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas, núm. 51, pp. 92-101. RAMOS, A.B.; FONT, V. (2008): «Criterios de Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

idoneidad y valoración de cambios en el proceso de instrucción matemática». Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática, núm. 11(2), pp. 233-265.

Referencias de los autores Joaquim Giménez Rodriguez Universidad de Barcelona quimgimenez@ub.edu Línea de trabajo: evaluación, formación de profesores de matemática. Vicenç Font Moll Universidad de Barcelona vfont@ub.edu Línea de trabajo: análisis didáctico, educación matemática. Yuly Marsela Vanegas Muñoz Universidad de Barcelona ymvanegas@ub.edu Línea de trabajo: formación de profesores, evaluación y educación matemática. Susanna Ferreres Valls Universidad de Barcelona sferreres@ub.edu Línea de trabajo: formación de profesores de matemáticas.

Este artículo fue solicitado por UNO: REVISTA

DIDÁCTICA

DE LAS

MATEMÁTICAS en febrero de 2012 y aceptado en julio de 2012 para su publicación.

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Investigación y opinión

El uso del contexto en problemas de optimización

Universidad Autónoma de Barcelona

Una investigación con alumnos de bachillerato*

El currículo de matemáticas de bachillerato da especial énfasis al carácter transversal de la resolución de problemas, lo cual significa que el profesor no debe impartir únicamente información, sino intentar también desarrollar la habilidad de los alumnos para utilizarla. Contradictoriamente, muchos alumnos tienen serias dificultades para modelizar situaciones reales, aprendizaje básico en relación con sus necesidades futuras. Este artículo constituye el resumen de una investigación sobre la resolución de problemas contextualizados de extremos en 2.º de bachillerato, cuya finalidad es conocer el uso que hacen los alumnos del contexto. Para lograr tal objetivo, se analizan las fases de abordaje e interpretación de la resolución del problema, así como su relación con el método estándar de resolución mediante derivadas practicado en el aula. The use of context in optimisation problems: research with baccalaureate students The baccalaureate mathematics curriculum places particular emphasis on the crosscutting nature of problem solving, which means teachers shouldn’t only provide information, but also try to develop students’ ability to use it. Paradoxically, many students have serious difficulties in modelling real-life situations, which is basic learning with regard to their future needs. This paper summarises the research carried out on contextualised problem solving at second-year baccalaureate level designed to find out what use students make of context. To achieve this goal, we analyse the phases to approach and interpret problem solving, as well as its relationship to the standard method of problem solving taught in class.

Introducción y problema de investigación Según Polya (1962), la principal finalidad de las matemáticas del currículo de secundaria es enseñar a los alumnos a pensar. Este «pensar» lo identificamos, al menos en una primera aproximación, con «la resolución de problemas», considerada de suma importancia en el currículo de

Celia Giné Jordi Deulofeu

Palabras clave: resolución de problemas, problemas de extremos, contextualización, métodos estándar.

Keywords: problem solving, problems of extremes, contextualisation, standard methods.

matemáticas de nuestro país (Departament d’Educació, 2008). Además de una herramienta para aprender a «pensar matemáticamente», la resolución de problemas la consideramos, en sí misma, como un método de enseñanza: es la interacción con situaciones problemáticas la que hace que los alumnos construyan activamente su conocimiento (Vila y Callejo, 2004; Onrubia y otros, 2001).

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | pp. 87-96 | octubre 2012

Investigación y opinión

Desgraciadamente, a menudo, como concluyen Guzman y Cuevas (2004), el día a día del aula no siempre funciona así, y las matemáticas tienden a ejercerse de una forma rutinaria y descontextualizada. Esto hace que cuando a los estudiantes se les propone resolver un problema no rutinario, o la solución del cual no obedece al esquema en el cual ha sido enseñado, apliquen los algoritmos de manera mecánica, llegando a soluciones inverosímiles y siendo incapaces de ver el error. Fue objetivo de nuestro estudio comprobar si esto pasaba con estudiantes de bachillerato de nuestro país, pero centrándonos en un tipo de problemas concreto: los problemas contextualizados de extremos. Estos problemas pertenecen a los que Blanco (1993) denomina problemas sobre situaciones reales: problemas que plantean actividades lo más cercanas posible a situaciones reales que requieren el uso de habilidades, conceptos y procesos matemáticos. El método de aproximación a este tipo de problemas supone tres fases principales: la creación de un modelo matemático de la situación, la aplicación de técnicas matemáticas a este modelo y la traducción a la situación real para analizar su validez. Adaptándolas al esquema utilizado para la resolución de problemas contextualizados de extremos en bachillerato (Blanco y otros, 1999), este método se concreta de la siguiente manera: • Creación de un modelo matemático de la situación - Seleccionamos y damos nombre a las variables. - Obtenemos la expresión de la función que queremos que alcance un valor extremo.

Es la interacción con situaciones problemáticas la que hace que los alumnos construyan activamente su conocimiento

•

Si la función anterior se expresa con más de una variable, buscamos relaciones entre estas variables para poder expresar la función con una única variable. Aplicación de técnicas matemáticas al modelo - Calculamos la derivada y obtenemos los valores que la anulan. Traducción a la situación real para analizar su validez - Teniendo en cuenta el dominio de la función y los valores obtenidos en el paso anterior, determinamos los extremos absolutos ayudándonos, si hace falta, del signo de la segunda derivada.

Nuestro interés se centra en la primera y la última fase de las tres consideradas por Blanco, ya que, al ver qué hace el alumno en estas fases, podremos analizar si realmente «piensa» cuando resuelve un problema o si, por el contrario, solo aplica algoritmos de manera mecánica. Con este propósito, nos planteamos la siguiente pregunta de investigación: Cuando proponemos un problema contextualizado de extremos a un estudiante de bachillerato que ya tiene conocimientos sobre las derivadas y sus aplicaciones, ¿cómo intenta resolverlo? Concretamente: • ¿Cómo crea un modelo matemático de la situación (abordaje)? • ¿Cómo traduce a la situación real la solución del problema para analizar su validez (interpretación)?

Metodología Para responder a estas preguntas, se realizó un estudio exploratorio con 40 estudiantes de 2.º de bachillerato científico y tecnológico de un mismo instituto de Tarragona. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

El uso del contexto en problemas de optimización

Los instrumentos para la obtención de datos fueron un protocolo de cinco problemas y un cuestionario, que describimos en los siguientes apartados.

Resultará interesante ver la interpretación que hacen los alumnos del problema y si son creativos y utilizan otros métodos para encontrar la solución

Protocolo de problemas

La primera tarea consistió en diseñar problemas, con el fin de poder responder a nuestras dos preguntas de investigación. Se decidió nombrar problemas de tipo 1 a los que tienen por objetivo explicar cómo los alumnos interpretan las soluciones obtenidas, y de tipo 2 a los orientados a explicar cómo abordan el problema. Todos ellos se eligieron con una serie de características comunes: • Problemas sobre situaciones reales (Blanco, 1993). • No necesariamente fáciles de plantear e interpretar, pero con funciones fáciles de derivar (no nos interesa que se encallen en esta fase). • Con un nivel de dificultad similar al que poseen los problemas típicos de extremos que presentan los textos de bachillerato y que se proponen en las PAU (pruebas de acceso a la universidad). • No necesariamente tendría que funcionar el método estándar de la derivada para resolverlos (resultará interesante ver la interpretación que hacen los alumnos del problema y si son capaces de ser creativos y utilizar otros métodos para encontrar la solución).

•

Adicionalmente, cada tipo de problemas cumplían los siguientes requisitos:

A continuación, exponemos el protocolo de problemas.

•

Los problemas de tipo 1 tenían que ser fáciles de plantear (por lo que les marcamos los pasos a seguir), pero la interpretación de los resultados debía ser vital para obtener la solución correcta. El primer problema (1.1) se creó a partir de textos de bachillerato, con la particularidad de que la solución debía ser un número natural (mientras que el máximo de la función a optimizar es un número decimal). El segundo problema (1.2) se logró localizar en la literatura existente (Guzmán y Cuevas, 2004), y tiene la particularidad de que el máximo de la función se ubica en un extremo de su dominio de definición, dónde el método de la derivada no funciona. El hecho de coger el mismo problema que un artículo con fines similares a los nuestros (aunque no iguales) nos permitirá comparar los resultados. En los problemas de tipo 2 la dificultad debía radicar en el planteamiento del problema, donde la comprensión del contexto es imprescindible. Uno de los problemas (2.1) se creó a partir de textos de bachillerato, y los otros dos (2.2, 2.3) se extrajeron de pruebas de acceso a la universidad (PAU) de años anteriores.

Problema 1.1 En una casa de payés alquilan las habitaciones a 100€ la noche. Con este precio, en una noche tienen 15 clientes. Los propietarios se han fijado en que, por cada 5€ que rebajan el precio por noche, tienen un cliente más. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Investigación y opinión

• • • •

¿Cuánto ganan por una noche cuando aún no han rebajado el precio? ¿Y cuando han hecho la rebaja de 5€ una vez? ¿Y cuando la han hecho dos veces? Escribe la expresión que da los ingresos por noche I(x) en función del número de veces x que se rebaja 5€ el precio. Elabora el gráfico de la función de ingresos I(x). Acaba el problema de manera que puedas determinar qué condiciones deben darse para obtener unos ingresos máximos.

Problema 1.2 Queremos construir una caja de base cuadrada sin tapa con una lámina cuadrada de 12 cm de lado, donde la base se encuentre en una esquina de la lámina como en la siguiente figura:

• • • •

Escribe la expresión que da el volumen V(x) en función del lado de la base x. ¿Qué valores puede tomar la base x? Elabora el gráfico de la función volumen. Determina el volumen máximo que se puede obtener.

Problema 2.1 Un «perrito hambriento» (M) se encuentra a un lado de un río de 3 metros de anchura, y ve un trozo de longaniza al otro lado (N). La situación es la siguiente:

La velocidad del perro por el agua (M-P) es de 4 m/s, y por tierra (P-N) de 5 m/s. ¿Cuántos metros debe recorrer el perro por cada medio para que el tiempo en llegar a la longaniza sea mínimo?

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

El uso del contexto en problemas de optimización

Problema 2.2 Un campo tiene forma de trapecio rectángulo, de bases 240 m y 400 m, y el lado perpendicular a las bases también es de 400 m. Se quiere partir tal como indica la figura para hacer dos campos rectangulares C1 y C2. Llamamos x e y a los catetos de uno de los triángulos rectángulos que se forman.

• • •

Comprobad que Utilizando la igualdad anterior, escribid la suma de las áreas de los dos campos en función de x. El campo C1 se quiere sembrar con maíz y el campo C2 con trigo. Con el maíz se obtiene un beneficio de 0,12 € por m2 y con el trigo un beneficio de 0,10 € por m2. Determinad las medidas de cada campo para obtener el beneficio máximo.

Problema 2.3 Una fábrica de cerveza quiere construir latas cilíndricas de 300 cm3 de capacidad. El material de la superficie lateral cuesta 0,004 €/cm2 y el de las tapas 0,005 €/cm2. Además, el tirador de la lata tiene un coste de 0,001 €. ¿Qué dimensiones (radio y altura) debe tener la lata para que el coste del material necesario para construirla sea el mínimo posible?

Cuestionario

Después de los problemas se pasó un cuestionario a los estudiantes con el fin de poder obtener mayor información sobre algunos aspectos, como el reconocimiento del tipo de problemas o de los métodos utilizados que con la resolución de los problemas podían pasar desapercibidos. Las preguntas del cuestionario fueron las siguientes: Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Se pasó un cuestionario a los estudiantes con el fin de poder obtener mayor información sobre algunos aspectos, como el reconocimiento del tipo de problemas o de los métodos utilizados

Investigación y opinión

•

¿Crees que todos los problemas que has resuelto podrían estar en un mismo tema del libro de texto? ¿Qué título pondrías a este tema? ¿Has resuelto todos los problemas de la misma manera? ¿Por qué? Explica, en general, el método (o métodos) de resolución que has utilizado. Justifica este método (o métodos).

• • •

En el cuadro 2 mostramos los resultados obtenidos mediante el cuestionario, donde A, B, C y D significan: A: Identifica los problemas de extremos. B: Conoce el método estándar de resolución. C: Justifica el método estándar de resolución. D: Explicita otros métodos/heurísticas para resolver problemas.

Resultados

Análisis cualitativo de datos: tipologías de alumnos

En un primer análisis, el tratamiento de los datos fue cuantitativo y descriptivo: mediante un vaciado de los datos analizamos los aspectos que más nos interesaban de cada problema y del cuestionario. En el cuadro 1 mostramos un resumen de los resultados más significativos de los problemas, donde A, B y C significan: A: Obtienen correctamente la función a optimizar. B: El método prevale a la interpretación según el contexto. C: Usan el método estándar.

El análisis cuantitativo expuesto en el apartado anterior de resultados nos dio un estado general en relación con las respuestas de los alumnos, que nos llevó a hacer un estudio cualitativo más en profundidad, en el cual determinamos 8 tipologías diferentes de alumnos cruzando las variables siguientes: 1. Saben usar el método estándar (Sí: 1, No: 0). 2. Plantean correctamente los problemas (tienen una base matemática aceptable) (Sí: 1, No: 0).

Problemas

Total

Con respuesta

Correctos

1.1

1.2

2.1

2.2

2.3

Cuadro 1. Resultados, en términos absolutos, del análisis cuantitativo de los problemas del protocolo

Total alumnos

Cuadro 2. Resultados, en términos absolutos, del análisis cuantitativo del cuestionario

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

El uso del contexto en problemas de optimización

Interpretan las soluciones (usan razonamientos para contextualizarlas) (Sí: 1, No: 0).

haría una prueba sobre problemas de extremos. El caso de la tipología F es de naturaleza distinta: resulta extraño encontrarse a alumnos con una buena base matemática que desconozcan las técnicas enseñadas en clase y no apliquen razonamientos lógicos para interpretar los problemas. También encontramos interesante analizar cuantitativamente cada una de las variables por separado, con lo que obtuvimos los siguientes resultados: • Saben usar el método estándar –tipologías A, B, C, D–: 40% de los alumnos. • Plantean correctamente los problemas (tienen una base matemática aceptable) –tipologías A, B, E, F–: 30% de los alumnos. • Interpretan las soluciones (usan razonamientos para contextualizarlas) –tipologías A, C, E, G–: 42,5 % de los alumnos.

Estas tipologías nos han permitido categorizar a los alumnos, así como analizar el papel que juegan las variables anteriores en las resoluciones y las relaciones entre ellas. En el cuadro 3 presentamos las tipologías obtenidas, donde se ha añadido el número de alumnos identificados en cada una. En el cuadro 3 podemos observar que todas las categorías, definidas a priori al cruzar las tres variables consideradas, tienen por lo menos un alumno y que, además, la mayoría están equilibradas, exceptuando la H –que con el 37,5% de los alumnos, es con diferencia la más significativa–, y la F –que tiene solamente uno–. El hecho de que haya tantos alumnos que no se sepan el método, y no sepan plantear ni interpretar los problemas (tipología H), puede resultar a primera vista preocupante, pero debe tenerse en cuenta que en el momento de recogida de datos no estaban estudiando este temario, y que no sabían que se les

Conclusiones Las conclusiones más significativas de nuestro trabajo se refieren: una, al abordaje de los proble-

Tipología

Método

Planteamiento

Interpretación

Alumnos

Cuadro 3. Tipologías de alumnos Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Investigación y opinión

El método estándar no tiene una influencia significativa sobre el abordaje de los problemas de tipo 1. Sí la tiene, en cambio, en el abordaje de los de tipo 2

mas, y la otra a su interpretación, y las hemos obtenido cruzando los resultados cuantitativos obtenidos para las tres variables analizadas. Respecto al abordaje, los problemas de tipo 1 son planteados en un 40% mediante el método estándar, aunque sólo el 30% de los abordajes correctos lo usan. Constatamos pues que el método estándar no tiene una influencia significativa sobre el abordaje de los problemas de tipo 1. Sí la tiene, en cambio, en el abordaje de los de tipo 2, ya que en estos, el 60% de los alumnos que los abordan usa el método estándar, y los plantean correctamente solo alumnos que han utilizado dicho método. Los cuadros 4 y 5 muestran de una manera más clara esta tendencia.

Cuadro 4. Método en el abordaje de los alumnos según el tipo de problemas

Respecto a la interpretación de las soluciones, basándonos solo en los resultados obtenidos en los dos problemas de tipo 1 (donde era más fácil analizar la comprensión del contexto) y las tipologías con las que hemos categorizado cada alumno, obtenemos el cuadro 6. Recordemos las variables que nos definen las tipologías: • M: Saben usar el método estándar. • P: Plantean correctamente los problemas (tienen una base matemática aceptable). • I: Interpretan las soluciones (usan razonamientos para contextualizarlas). Como podemos observar en el gráfico, el hecho de haber solucionado los problemas de tipo 1 correctamente –para los que, obligatoriamente, han debido interpretar su solución–, es independiente de la base matemática de los alumnos o del conocimiento que tengan del método estándar. Esta afirmación cuestiona la conclusión de Guzmán y Cuevas (2004), según la cual debido a

Cuadro 5. Método en el abordaje correcto de los

alumnos según el tipo de problemas Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

El uso del contexto en problemas de optimización

que los estudiantes están entrenados para desarrollar procesos algorítmicos, cuando se les propone un problema no rutinario donde el algoritmo no da directamente la solución, no saben interpretarlo. De acuerdo con nuestros datos, esto solo es válido para las tipologías de alumnos B y D (que no son mayoritarias). Las conclusiones de nuestro trabajo nos llevan a reflexionar sobre algunas carencias de la educación matemática actual y, en particular, sobre cómo se podría mejorar la acción docente para obtener mejores resultados. Además de estar al alcance de muchos más alumnos a la hora de abordarlos, los problemas de tipo 1 han dado más juego en cuanto a diferentes formas de resolverlos, ya que no es imprescindible el método estándar para encontrar la solución correcta (aunque sí una buena comprensión del problema en su contexto). Estos problemas son justamente los que no hemos obtenido de las PAU (prueba de acceso a la universidad), y tampoco abundan en los libros de texto. Tal hecho pone de manifiesto que los problemas de extremos de esta prueba mayoritariamente pueden resolverse sólo con el método estándar, y que éste da siempre la respuesta correcta; es decir, no es necesario interpretar la solución en el marco del contexto. En consecuencia, la mayoría de profesores enseñan en clase problemas con estas características. A pesar de ello, los alumnos tampoco escogen estos problemas en las PAU (Miralles y Deulofeu, 2009). Por otro lado, el hecho de haber encontrado El hecho de haber solucionado los problemas de tipo 1 correctamente es independiente de la base matemática de los alumnos o del conocimiento que tengan del método estándar

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Cuadro 6. Resultados, en términos absolutos, de los problemas

de tipo 1 para cada tipología de alumno

muchos alumnos con capacidad para interpretar los problemas, pero que no tenían una base matemática suficiente o no conocían el método estándar –a pesar de haberlo trabajado en clase–, nos lleva a formularnos algunas preguntas con respecto a nuestra práctica docente diaria: ¿no deberíamos aprovechar mejor estas capacidades? Entendemos que se debería introducir la resolución de problemas no rutinarios en clase de matemáticas, de manera que permitieran desarrollar el ingenio de los alumnos y despertar su curiosidad por las matemáticas. Teniendo en cuenta la situación en la que se encuentran los profesores de 2.º de bachillerato –además de enseñar matemáticas a sus alumnos deben prepararlos para las pruebas de acceso a la universidad (PAU)–, quizá la única forma que tenemos de construir la casa es empezando por el tejado, y si la prueba de matemáticas de las PAU diese menos importancia a los procesos algorítmicos y más a la resolución de problemas –en los términos expresados en la introducción de este artículo–, las matemáticas podrían ser enseñadas de una forma diferente.

Nota * AGRADECIMIENTO: Este trabajo de investigación se ha llevado a cabo en el contexto del proyecto EDU2009-07298.

Investigación y opinión

Referencias bibliográficas BLANCO, J.I., y otros (1999): Matemàtiques 2 : batxillerat : modalitat ciències de la naturalesa i de la salut / tecnologia. Barcelona. Barcanova. BLANCO, L. (1993): «Una clasificación de problemas matemáticos». Epsilon, núm. 25, pp. 49-60. DEPARTAMENT D’EDUCACIÓ (2008): «Currículum de Matemàtiques de Batxillerat». Diari Oficial de la Generalitat, núm. 5183. GUZMÁN, S.M.; CUEVAS, C.A. (2004): «Interpretaciones erróneas sobre los conceptos de máximos y mínimos en el cálculo diferencial». Educación Matemática, núm. 16 (002), pp. 93-104. MIRALLES, J.; DEULOFEU, J. (2009): Dificultad subjetiva de la prueba de Matemáticas de las PAU; ¿Qué eligen los alumnos? El ejemplo de Catalunya 2007. Girona. XIV JAEM. ONRUBIA, J.; ROCHERA, M.; BARBERÀ, E. (2001): «La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas: una perspectiva psicológica», en

COLL, C. PALACIOS, J.; MARCHESI, A. (eds.): Dessarrollo psicológico y educación 2. Madrid. Alianza, pp. 487-508. POLYA, G. (1962): Mathematical Discovery. Nueva York. John Wiley and Sons. VILA, A.; CALLEJO, M.L. (2004): Matemáticas para aprender a pensar. Madrid. Narcea.

Referencias de los autores Celia Giné Jordi Deulofeu Universidad Autónoma de Barcelona celiagine@gmail.com jordi.deulofeu@uab.cat Líneas de trabajo: resolución de problemas, competencia matemática, estudio de las transiciones. Este artículo fue solicitado por UNO: REVISTA

DIDÁCTICA

DE LAS

MATEMÁTICAS en enero de 2011 y aceptado en marzo de 2011 para su publicación.

Normas para la publicación de artículos Los trabajos pueden hacer referencia a cualquier tema relacionado con la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas y a cualquier nivel educativo (desde educación infantil hasta enseñanza universitaria). 1. Los artículos han de ser inéditos. Su extensión será de entre 8-10 páginas DIN-A4 escritas en tipografía Arial, cuerpo 12, interlineado 1,5. Deberán incluir un resumen de 7 u 8 líneas y un listado de 5 a 8 palabras clave. 2. Se deberán señalar en cada página dos frases o fragmentos significativos que refuercen el discurso del texto (utilizar la herramienta de texto resaltado). 3. Se harán constar los siguientes datos de los autores: nombre y apellidos, DNI, referencia profesional, dirección, teléfono, correo electrónico y líneas prioritarias de investigación.

4. Se pueden adjuntar, al final del texto, esquemas, tablas, gráficos, fotografías y grabaciones en vídeo o audio que hagan más comprensible el contenido del artículo, indicándose la ubicación exacta de éstos (para las especificaciones técnicas consúltense las normas de publicación en uno.grao.com). 5. Las notas y citas bibliográficas (según las normas ISO 690 o APA) han de ser las estrictamente necesarias. 6. Todos los artículos serán evaluados por tres expertos manteniendo el anonimato del autor. 7. El autor autoriza a la editorial para que pueda reproducir el artículo, total o parcialmente, en su página web. 8. ENVIAR LAS COLABORACIONES A: editorial@grao.com (Revista UNO) o bien por correo postal a: C/ Hurtado, 29. 08022 Barcelona (adjuntando el CD y el papel).

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Desde y para el aula

Cómo enseñar matemáticas en las primeras edades a partir de contextos de vida cotidiana

En este artículo se defiende la importancia de desarrollar el pensamiento matemático de niños y niñas de las primeras edades a partir de contextos de vida cotidiana, al tratarse de situaciones de aprendizaje significativas que parten de un enfoque interdisciplinar y globalizado. En la primera parte, se presenta el marco de referencia que permite fundamentar teóricamente este tipo de prácticas educativas. En la segunda parte, se ofrecen orientaciones didácticas para trabajar a partir de contextos de vida cotidiana, y el artículo concluye con la presentación de la actividad «¡Nos vamos al cine a aprender matemáticas!». How to teach mathematics to young students based on everyday contexts This paper stresses the importance of developing mathematical thought in young children based on everyday contexts, since these are meaningful learning situations with an interdisciplinary, globalised focus. The first part sets out the framework of reference that lays the theoretical foundations for these kinds of educational practices. The second part gives some teaching orientations for work based on everyday contexts. It concludes with the presentation of the activity «We’re off to the cinema to learn mathematics!»

En España, las instrucciones curriculares que establecen el currículo y regulan la ordenación de la educación infantil (Orden ECI/3960/2007, de 19 de diciembre) abogan por trabajar con los niños y niñas de las primeras edades desde un enfoque interdisciplinar y globalizado: El currículo se estructura en tres áreas diferenciadas, describiendo para cada una de ellas los objetivos y criterios de evaluación para el conjunto de la etapa y los contenidos para cada uno de los dos ciclos; no obstante, buena parte de los contenidos de un área adquieren senti-

Xxxxx Xxxxxx Xxxxxxxxxxxxxxxxxxx AA.VV.

Palabras clave: enseñanza, currículo, objetivos, contenidos.

Keywords: mathematics literacy, mathematics practice, globalised focus, learning contexts, professional teacher development.

do desde la perspectiva de las otras dos, con las que están en estrecha relación, dado el carácter globalizador de la etapa. (Orden ECI/3960/2007, p. 1.016) Se trata, como indica Fourez (2008), de partir de un enfoque interdisciplinar que permita construir saberes adecuados para una situación, utilizar diferentes disciplinas con esta finalidad y que no implique la desvalorización de conocimientos de las disciplinas usadas ni de las personas que los aplican.

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | pp. 97-106 | octubre 2012

Desde y para el aula

En estas mismas instrucciones se ofrecen pautas metodológicas para que los profesionales de esta etapa educativa planifiquen su actividad docente en base a las necesidades de los niños y niñas: Los métodos de trabajo en ambos ciclos se basarán en las experiencias, en la actividad infantil y en el juego, y se aplicarán en un ambiente de seguridad, afecto y confianza para potenciar la autoestima y la integración social […] Los contenidos de la educación infantil se abordarán por medio de propuestas integradas que tengan interés y sean significativas. (Orden ECI/3960/2007, p. 1.017) Se defiende, pues, la implementación de prácticas que consideren las formas de adquisición de conocimiento de los niños y niñas de las primeras edades –situaciones de aprendizaje significativas centradas en la acción– con el siguiente propósito: Favorecer en niños y niñas el proceso de descubrimiento y representación de los diferentes contextos que componen el entorno infantil, así como facilitar progresivamente su inserción y participación en ellos. (Orden ECI/3960/2007, p. 1.023) Desde este marco curricular, se aprecia que la finalidad de la educación infantil es favorecer el desarrollo integral y armónico de niños y niñas para

Las instrucciones curriculares que establecen el currículo y regulan la ordenación de la educación infantil abogan por trabajar con los niños y niñas de las primeras edades desde un enfoque interdisciplinar y globalizado

que, progresivamente, adquieran las competencias necesarias que les permitan desenvolverse mejor en su contexto inmediato, entendiendo por contexto «la realidad en la que se aprende y sobre la que se aprende» (Orden ECI/3960/2007, p. 1023). En este artículo, se defiende la importancia de desarrollar el pensamiento matemático de los niños y niñas de las primeras edades a partir de contextos de vida cotidiana, al tratarse de situaciones de aprendizaje significativas que, como veremos, parten de un enfoque interdisciplinar y globalizado. Desde esta perspectiva, en la primera parte del artículo se presenta el marco de referencia que permite fundamentar teóricamente este tipo de prácticas educativas. En la segunda parte, se ofrecen algunas orientaciones didácticas para trabajar a partir de contextos de vida cotidiana, y el artículo concluye con la presentación de la actividad «¡Nos vamos al cine a aprender matemáticas!», implementada en el segundo nivel de educación infantil (4-5 años) del CEIP Santo Domingo de Silos, de Bormujos (Sevilla).

¿Qué es un contexto? ¿Para qué sirve? Una primera aproximación a la idea de contexto permite distinguir en él un complejo nudo de interacciones entre el entorno físico y el entorno sociocultural, dimensiones múltiples que se enlazan pero que resultan difíciles de analizar conjuntamente (Lacasa y Herranz, 1989). Desde el ámbito de la educación matemática, un contexto es una situación más o menos problemática que puede ser objeto de estudio y que genera preguntas o problemas que necesitan las matemáticas para contestarlas o resolverlas (Alsina, 2011). Desde esta perspectiva, en matemáticas un contexto no debería entenderse solo como el contexto del aula; el contexto social o familiar de la escuela o del alumno; o el contexto históUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Cómo enseñar matemáticas en las primeras edades a partir de contextos de vida cotidiana

Desde el ámbito de la educación matemática, un contexto es una situación más o menos problemática que puede ser objeto de estudio y que genera preguntas o problemas que necesitan las matemáticas para contestarlas o resolverlas rico, sino que es un término mucho más general que engloba todas aquellas situaciones y actividades que tienen sentido para el alumno y fomentan su pensamiento matemático crítico (Niss, 1995). En este artículo, como se ha indicado en la introducción, se hace especial hincapié en los contextos de aprendizaje que se encuentran en la base de la pirámide de la educación matemática (Alsina, 2010), es decir, en aquellos contextos que deberíamos usar más a menudo para desarrollar el pensamiento matemático de los niños y las niñas de las primeras edades: las situaciones de la vida cotidiana, el entorno inmediato, etc. El enfoque de la educación matemática realista (EMR) encabezado por Freudenthal (1991) ha impulsado este tipo de contextos de aprendizaje. Reeuwijk (1997), investigador y educador del Instituto Freudenthal de la Universidad de Utrecht (Holanda), expone cinco motivos para utilizar contextos de vida cotidiana: 1. Pueden motivar a los alumnos. Así mismo, pueden ayudarlos a comprender por qué las matemáticas son útiles y necesarias. Pueden aclarar por qué ciertos ámbitos de las matemáticas revisten importancia, y pueden contribuir a que los alumnos entiendan el modo en que se emplean las matemáticas en la sociedad y en la vida cotidiana. 2. El uso de contextos puede favorecer que los propios alumnos aprendan a usar las mateUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

máticas en la sociedad, además de descubrir qué matemáticas son relevantes para su educación y profesión posteriores. Los contextos pueden incrementar el interés de los alumnos por las matemáticas y la ciencia en general. Los contextos pueden despertar la creatividad de los alumnos, impulsarlos a utilizar estrategias informales y de sentido común al afrontar, por ejemplo, la resolución de una situación problemática o de un juego. Un buen contexto puede actuar como mediador entre la situación concreta y las matemáticas abstractas.

Así, el uso de contextos de vida cotidiana para enseñar matemáticas puede contribuir a facilitar el aprendizaje de esta disciplina pero, sobre todo, a comprender su sentido. Desde esta perspectiva, las matemáticas tienen tres funciones: formativa, teniendo en cuenta que los contextos permiten pasar progresivamente de situaciones concretas o situaciones abstractas (matematización progresiva); instrumental, al considerar que los contextos son, en realidad, herramientas que favorecen la motivación, el interés o el significado de las matemáticas; y aplicada, al fomentar el uso de las matemáticas en contextos no exclusivamente escolares y, por lo tanto, contribuir a la formación de personas matemáticamente más competentes.

¿Cómo enseñar matemáticas en las primeras edades a partir de un contexto de vida cotidiana? Este tipo de prácticas matemáticas debería sistematizarse desde dos puntos de vista: • En la planificación general, en el sentido que debería realizarse a lo largo del curso escolar con una periodicidad previamente establecida. 99

Desde y para el aula

Fase 1: matematización del contexto

Fase 2: trabajo previo en el aula

• •

En esta fase todavía no intervienen los alumnos. Consiste en: analizar todos los contenidos matemáticos (de numeración y cálculo, geometría, álgebra, medida y análisis de datos y probabilidad) que pueden trabajarse en el contexto de aprendizaje elegido; planificar a través de qué procesos matemáticos1 (resolución de problemas, comunicación, argumentación y prueba, representación y conexiones) pueden trabajarse los contenidos.

•

Se presenta el contexto de aprendizaje: el patio de la escuela; la plaza del pueblo; una excursión al cine; etc. Se inicia un diálogo con los alumnos para recoger sus conocimientos previos y experiencias a través de preguntas como: ¿qué matemáticas hay en...? Entre todos se decide el material necesario para documentar el trabajo en contexto: una cámara digital, una libreta para anotar los descubrimientos o para dibujar, una cinta métrica, etc.

• •

•

Fase 3: trabajo en contexto

• •

•

Fase 4: trabajo posterior en el aula

• •

Los alumnos descubren las matemáticas que hay en el contexto de aprendizaje elegido. Documentan lo que van descubriendo a través de fotografías, dibujos, anotaciones en la libreta, etc. El docente interviene haciendo preguntas, sobre todo, más que dando explicaciones.

Se establece un diálogo con los alumnos para que comuniquen lo que han descubierto, procurando que utilicen un lenguaje matemático adecuado. Se usan las imágenes y otros recursos como base para trabajar aspectos matemáticos diversos. Se representa gráficamente el trabajo realizado en contexto a través de dibujos, gráficos, un póster, etc.

Cuadro 1. Fases para aprender a enseñar matemáticas a partir de contextos de vida cotidiana

•

En la planificación del trabajo a realizar a partir de cada contexto de vida cotidiana seleccionado.

En este sentido, es necesario considerar diversas fases: matematización del contexto, trabajo previo en el aula, trabajo en contexto y trabajo posterior en el aula (Alsina, 2011) (cuadro 1). Siguiendo estas fases, a continuación se presenta la actividad «¡Nos vamos al cine a aprender matemáticas!», implementada en el segundo nivel de educación infantil (4-5 años) del CEIP Santo Domingo de Silos, de Bormujos (Sevilla). 100

Fase 1. Matematización del contexto

En esta primera fase, las maestras responsables de la implementación de la actividad se reúnen en ciclo con el propósito de analizar las posibilidades que ofrece una excursión al cine para trabajar conocimientos matemáticos. Para llevar a cabo la matematización del contexto elegido se elabora un cuadro de doble entrada (cuadro 2), en el que se recogen los contenidos y los procesos matemáticos, de acuerdo con las orientaciones recibidas en una actividad de formación permanente llevada a cabo por el primer autor de Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Cómo enseñar matemáticas en las primeras edades a partir de contextos de vida cotidiana

Resolución de problemas

Argumentación y prueba

Comunicación y representación

Numeración y cálculo

¿Cuántos niños van? ¿Cuántos no van? ¿Cuántos maestros van? ¿Cuántos familiares van? ¿Cuántos días faltan? ¿Cuántos autobuses necesitamos? ¿Cuántas butacas hay? ¿Cuántos tickets necesitamos? ¿Cuánto cuesta el ticket, el total de las entradas, los autobuses, la excursión en total?

Argumentar la cantidad de tickets que se necesita en función de la lista numerada de los niños que van a la excursión y los que no van. Argumentar lo que hay que llevar: agua, desayuno, muda, etc. Estimar los días que faltan y comprobarlo en el calendario.

Escribir listas de los niños que van a la excursión, y lista de los adultos que van. Representación de un ticket con su valor.

Conocimiento del medio: lugares en los que se puede ver una película. Lenguaje: escritura de los nombres de los niños (para hacer una lista).

Geometría

¿A qué figura geométrica se parecen las butacas, la pantalla, las escaleras, las puertas, los tickets, las monedas...? ¿Qué camino recorrió el autobús el día de la excursión?

Explicar por qué se hizo un determinado itinerario. Explicar por qué el cine tiene una estructura determinada (pantalla grande, disposición de las butacas, etc.).

Planos e itinerarios.

Conocimiento del medio: interpretación de los planos y de los itinerarios. Forma que tienen los recipientes de la comida y bebida del cine.

Medida

¿Cuántos días faltan? ¿Quedan muchos días, quedan pocos días? ¿Cuál es el recorrido más largo /corto? ¿Qué hacemos antes, durante y después de la salida?

Justificar por qué debe haber una distancia entre las butacas y la pantalla. Explicar las diferentes medidas de los autobuses (autobús, microbús) y comprobarlo. Argumentar la cantidad adecuada de lo que tenemos que llevar.

Itinerarios: medir las distintas alternativas de itinerarios con el autobús (en tiempodistancia) y medirlo en el papel con lanas, metros… (longitud). Hacer un diagrama de barras con los niños que van al cine y los que no van.

Conocimiento del medio: medidas temporales y espaciales en otros contextos distintos del cine. Cantidad adecuada de la comida típica del cine (palomitas).

Análisis de datos y probabilidad

¿Cuántos niños van al cine y cuántos no? ¿Qué desayuno llevamos para ir al cine?

Explicar los resultados obtenidos a partir del análisis realizado. Argumentar la

Hacer un diagrama de barras con el tipo de desayuno. Verbalizar la

Conocimiento de uno mismo: análisis de los niños que no han venido por estar enfermos.

Contexto

Conexiones

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Desde y para el aula

Contexto

Resolución de problemas

Argumentación y prueba

Comunicación y representación

¿Qué tiempo meteorológico hará el día de la excursión? ¿Cuál es el camino más corto según el itinerario elegido?

probabilidad de lluvia, de sol, de viento…

probabilidad de lluvia, de sol, de viento… Probabilidad de llegar antes o después según el recorrido elegido.

Conexiones

Cuadro 2. Matematización del contexto de aprendizaje

este artículo. Al combinarse los contenidos con los procesos, se generan nuevas miradas que acentúan las relaciones que establecen entre ellos, fomentando así un enfoque interdisciplinar y globalizado. Fase 2. Trabajo previo en el aula

Para la obtención de los conocimientos previos, se realiza una asamblea a través de la cual los alumnos deciden por iniciativa propia qué materiales necesitan para recoger información durante la excursión, qué retos van a superar y qué actividades van a llevar a cabo para dar solución a dichos retos en el contexto elegido. La relación de materiales que el alumnado ha elegido es la siguiente: cámara de fotos, cámara de vídeo, grabadora de voz, folios y lápices, Internet, fotografías y libros de consulta. Por otro lado, algunos de los retos planteados en la asamblea por parte de los alumnos son los siguientes: ¿qué haremos para ir al cine?; ¿qué camino seguirá el autobús?; ¿cabemos todos en el cine?; ¿qué matemáticas hay

Para llevar a cabo la matematización del contexto elegido se elabora un cuadro de doble entrada, en el que se recogen los contenidos y los procesos matemáticos 102

en el cine?; etc. Las actividades que plantean son preparar las mochilas y bocadillos en casa, preparar la fila, decidir cuántos autobuses necesitamos y cuánto dinero hay que pagar, buscar en el calendario qué día vamos a ir, votar la película. La primera actividad realizada consiste en recoger los conocimientos previos. Para ello, se formula la pregunta «¿Qué matemáticas podemos encontrar en el cine?». Algunas de sus respuestas son las siguientes: • Los números: en las escaleras, en las butacas, en los títulos de las películas (Planet 51), en la entrada del cine, en la entrada de las salas. • Las cantidades y operaciones: hay muchas luces que podemos sumar, hay muchas personas que se pueden sumar, las sillas tienen muchas patas que podemos sumar, los carteles que hay en el cine de las diferentes películas se pueden sumar, la cantidad de puertas que hay en el cine… • Las figuras geométricas: en la pantalla hay un rectángulo; en los escalones hay rectángulos, cuadrados y círculos, las paredes son rectángulos, las sillas son cuadrados y las puertas del cine son un rectángulo. Además de esta actividad inicial, se realizan otras actividades previas a la salida para que los alumnos puedan organizar su propia excursión y, a la vez, trabajar diversos contenidos matemáticos: Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Cómo enseñar matemáticas en las primeras edades a partir de contextos de vida cotidiana

¿Qué película queremos ver? Los alumnos decidieron que la única solución ante las diversas opiniones era realizar una votación. La votación se realizó poniendo una pegatina encima de cada imagen de la cartelera. Una vez finalizada la votación se analizó el resultado y se representó mediante un diagrama de barras (imagen 1).

¿Cuál es la temática de las películas y a qué publico se dirigen? Esta actividad surgió de forma espontánea durante la realización de una lista de películas que queríamos ver en el cine. Fue una oportunidad que aprovechamos para realizar diversas clasificaciones y trabajar el tema de la coeducación. La mayoría pensaba en películas de niños o niñas, de adultos o de niños. Después de una reflexión, el abanico de posibilidades se abrió.

¿Cuántos días faltan para la excursión? Todos los días al llegar a clase por la mañana recordábamos el día de la excursión y contábamos cuántos días faltaban. En realidad, era una cuenta atrás, es decir, una resta que realizábamos todos los días con nuestro alumnado de una manera muy amena (imagen 2).

¿Cuántos alumnos van? Esta actividad hizo que fuéramos sumando cada día con diferentes ordinales. Al final, realizamos una lista y trabajamos la numeración. También hicimos lista sobre el alumnado que pagaba y el que faltaba por pagar, y lista de los adultos que iban a asistir a la excursión (maestras y familiares).

¿Cuántas personas caben en el cine? Para dicha actividad, pedimos a los alumnos que dibujarán el cine y las butacas que necesitábamos para sentarnos. En las representaciones previas a la salida al cine no se reflejaba ningún número y ningún orden. En cambio, en las representaciones posteriores a la salida al cine ya había butacas numeradas y seguían cierto orden.

Imagen 1. Antes de la excursión, votamos en clase qué

película queremos ver y hacemos un recuento Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Imagen 2. Contamos los días que faltan para ir al cine

103

Desde y para el aula

Fase 3: trabajo en contexto

Durante la excursión los alumnos realizan diversas actividades: la primera consiste en observar atentamente el recorrido del autobús (se documenta con fotografías y grabación en vídeo), y en la segunda tarea deben descubrir las matemáticas que hay en el cine y documentarlo con fotografías.

Fase 4: trabajo posterior en el aula

Después de la salida los alumnos han realizado otras actividades en el aula con el objeto de favorecer la interiorización de los conocimientos de matemáticas adquiridos durante la excursión al cine. Veamos cuáles son esas actividades:

¿Qué camino siguió el autobús? Utilizamos las fotografías para ordenar el recorrido que siguió el autobús para ir al cine. Después representamos el recorrido del autobús con distintos materiales (plastilina y piezas de construcciones), y finalmente se midió el recorrido sobre el papel a través de unidades convencionales y no convencionales (imagen 3).

¿Cuánto ha costado la entrada? Se dio una cantidad de dinero igual a cada grupo, pero con billetes y monedas diferentes para trabajar la composición y descomposición de cantidades. Al final se hizo una representación del trabajo realizado (imagen 4).

¿Qué objetos hay en la clase y en el cine que se parezcan a las figuras geométricas? Con las fotografías recogidas durante la salida al cine, hicimos una presentación en el ordenador para localizar formas geométricas. Después dividimos la clase por grupos: a cada grupo le entregamos una foto y un folio en el cual tenían que realizar una lista de las formas que iban descubriendo.

¿Cómo es el cine? Realizaron un dibujo del cine antes y después de la salida. En las representaciones posteriores ya había butacas numeradas y seguían cierto orden, lo cual se acercaba más a la realidad (imagen 5).

Imagen 3. Después de la excursión, en clase, representamos el itinerario con plastilina

104

Imagen 4. Con diferentes monedas

componemos el valor de la entrada Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Cómo enseñar matemáticas en las primeras edades a partir de contextos de vida cotidiana

Algunas conclusiones La realización de actividades a partir de contextos de vida cotidiana puede ser muy adecuada para una educación matemática de calidad al incidir en aspectos clave, como por ejemplo el uso de situaciones de aprendizaje significativas, el paso de lo concreto a lo abstracto (matematización progresiva), la interacción para fomentar el andamiaje colectivo, o bien las conexiones, tanto entre los diferentes bloques de contenido matemático como con otras disciplinas y con el entorno. Sin embargo, es preciso destacar que el uso de contextos de vida cotidiana para aprender matemáticas –o cualquier otro tipo de contexto de aprendizaje– no contribuye por sí mismo al desarrollo de la alfabetización matemática, sino que ello depende de cómo se plantean y gestionan las actividades. En este sentido, la actividad descrita en este artículo es un ejemplo de buena práctica que ha permitido a los alumnos ser conscientes de que previamente sabían muchas cosas sobre las matemáticas que había en el cine, comparar los conocimientos previos con los nuevos conocimientos después de la realización de las actividades, darse cuenta de los aciertos y de los errores, autoevaluarse y coevaluarse. Por lo que respecta a las maestras, esta actividad les ha permitido ser conscientes que las matemáticas están presentes en la vida cotidiana y hay que estar atentos para descubrirlas, que todos los El uso de contextos de vida cotidiana para aprender matemáticas no contribuye por sí mismo al desarrollo de la alfabetización matemática, sino que ello depende de cómo se plantean y gestionan las actividades

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

Imagen 5. Al final dibujamos el cine

conocimientos matemáticos (contenidos y procesos) están relacionados cuando se llevan a la práctica, necesitándose unos a otros, que hay que realizar más actividades prácticas y vivenciadas y menos en papel, y que el trabajo a partir de contextos de vida cotidiana debe ser un trabajo programado e integrado en la práctica docente, para temporalizar adecuadamente.

Nota 1. Para profundizar en los procesos matemáticos se recomienda consultar NCTM (2003): Principios y estándares para la educación matemática. Sevilla. Thales.

Referencias bibliográficas ALSINA, A. (2011): Educación matemática en contexto de 3 a 6 años. Barcelona. ICE-Horsori. ALSINA, A. (2010): «La pirámide de la educación matemática, una herramienta para ayudar a desarrollar la competencia matemàtica». Aula de Innovación Educativa, núm. 189, pp. 12-16.

105

Desde y para el aula

ALSINA, A. (2009): «El aprendizaje realista: una contribución de la investigación en Educación Matemática a la formación del profesorado», en GONZÁLEZ, M.J.; GONZÁLEZ, M.T.; MURILLO, J. (eds.): Investigación en Educación Matemática XIII. Santander. SEIEM, pp. 119-127. FOUREZ, G. (2008): Cómo se elabora el conocimiento: la epistemología desde un enfoque socioconstructivista. Madrid. Narcea. LACASA, P.; HERRANZ, P. (1989): «Contexto y aprendizaje: el papel de la interacción en diferentes tipos de tareas». Infancia y Aprendizaje, núm. 45, pp. 49-70. NISS, M. (1995): Las matemáticas en la sociedad. Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas, núm. 6, pp. 45-58. REEUVIJK, M.V. (1997): «Las matemáticas en la vida cotidiana y la vida cotidiana en las mate-

máticas». Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas, núm. 12, pp. 9-16.

Referencias de los autores Àngel Alsina Universidad de Girona angel.alsina@udg.edu Líneas de trabajo: educación matemática en las primeras edades; formación inicial y permanente del profesorado de matemáticas. Inés M. Jiménez, Juliana Melo, Juani Moreno, Olga M. Pastelero, Almudena Sánchez, Esmeralda Silva CEIP Santo Domingo de Silos. Bormujos (Sevilla) jjuanii.moreno@gmail.com Líneas de trabajo: buenas prácticas en educación infantil. Este artículo fue solicitado por UNO: REVISTA DE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS en marzo de 2011 y aceptado en febrero de 2012 para su publicación

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Matemáticas y efectos especiales (II)

A lo largo de estas reseñas irá surgiendo una serie de términos con los que debemos familiarizarnos siquiera mínimamente, al ser empleados con relativa frecuencia. En muchos casos son acrónimos cuyo empleo permite acortar sustancialmente la longitud de los textos en los que aparecen, haciendo más cómoda la lectura conceptualmente. Uno de ellos es CGI (computer generated images), imágenes generadas por ordenador, que se ha convertido en uno de los conceptos clave en el desarrollo actual de los efectos especiales, no solo en películas, sino en todas las tecnologías digitales que podamos manejar en móviles, juegos, Internet, etc. Básicamente existen dos formas de crear un CGI: a partir de una imagen real escaneada o digitalizada que luego será manipulada en el ordenador, o diseñarla desde un principio en el ordenador mediante alguna herramienta de dibujo gráfico. En el primer caso, el procedimiento a seguir varía si lo que se desea es un objeto bidimensional (2D) o tridimensional (3D). Uno de los objetivos del cine, al menos del cine comercial, desde su aparición es, sin lugar a dudas, sorprender al espectador. Una de las formas de lograrlo es mediante imágenes espectaculares, no habituales, incluso en situaciones imposibles de llevarse a cabo si es necesario. Entre tales situaciones se encuentran las derivadas de agentes de la naturaleza como el agua (inundaciones, vadeo de ríos, salto de cascadas, naufragios, etc.), el fuego (incendios, personas abrasándose), el aire (el vaho en lugares muy fríos), el viento (huracanes), etc. Tradicionalmente, el rodaje de estas escenas se realizaba mediante el diseño y la construcción de maquetas en las que se recreaba la situación, unas veces a escala diferente (que posteriormente se magnificaba o reducía, dependiendo de la situación), otras veces a escala real. En cualquier caso, el coste de producción de estas simulaciones es alto, y en determinados casos (los primeros mencionados sobre todo) el truco puede notarse en la visualización, lo que perjudica al resultado final. En la actualidad, este tipo de efectos son realizados con realismo y con un menor gasto gracias a la digitalización, proceso posible en muchos casos gracias a las matemáticas. Los fluidos y los gases, debido a su impredecible movimiento y evolución, son difíciles de reproducir de manera verosímil en un ordenador. Una de las soluciones se encontró en el diseño de una película de animación, HormigaZ (AntZ, Eric Darnell y Tim Johnson, EE.UU., 1998). Esta producción totalmente realizada con CGI por DreamWorks Animation (la primera de esta productora con estas características y la segunda en la historia del cine: la primera había sido Toy Story, de

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Disney-Pixar en 1995) se planteó dos retos que nunca se habían llevado a cabo anteriormente: recrear una escena con más de 10.000 caracteres animados individualmente en varias escenas de multitudes, y simular las propiedades del agua; crear por tanto un agua digital, en una inundación. Este segundo desafío se consiguió recurriendo a las ecuaciones de Navier-Stokes, formuladas independientemente por Claude-Louis Navier en 1822 y George Gabriel Stokes en 1842. Estas ecuaciones modelizan el movimiento de los fluidos incompresibles (aquellos cuya densidad permanece constante con el tiempo y se oponen a la compresión, es decir, ni la masa ni el volumen pueden modificarse. Aunque todos los fluidos son compresibles en mayor o menor medida, para simplificar las ecuaciones se suele considerar que todos los líquidos son incompresibles). Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido, resultando un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas, el flujo alrededor de vehículos, aeronaves o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos. El problema es que no se conoce una solución general para este conjunto de ecuaciones y, salvo para ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, no es posible hallar una solución analítica. Por ello en muchas ocasiones hay que recurrir al análisis numérico para determinar una solución aproximada, o sencillamente, como realizó Nick Foster, ingeniero de software de AntZ, obviar algunos de los sumandos que aparecen en el sistema de ecuaciones, ya que el espectador no va a percibir la diferencia visualmente. No es exactamente agua, pero se le parece mucho:

Sin embargo, esta simplificación no puede hacerse al azar, ya que las características básicas del fluido deben ponerse de manifiesto. En el caso del agua, uno de los elementos visuales clave que debía permanecer era el de la rotación, o como se conoce en términos de la mecánica de fluidos, la vorticidad. Esta magnitud trata precisamente de cuantificar el grado de rotación de un fluido. En una corriente, bien sea de un líquido o de un gas, la vorticidad aparece siempre que el vector veloci108

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dad no sea constante a lo largo del recorrido, tanto por cambios en su módulo como en la dirección que sigue. Matemáticamente para modelizar ese giro dentro de un campo vectorial, se utiliza un operador clásico: el rotacional. El rotacional suele manejarse como el producto vectorial del gradiente por el campo (en el caso de fluidos, la vorticidad se designa por tanto por la expresión , donde es el campo vectorial que designa el movimiento). La ecuación que permite estudiar las variaciones de la vorticidad se obtiene aplicando el rotacional en las ecuaciones de Navier-Stokes. Todas estas consideraciones y conceptos físico-matemáticos, en absoluto elementales, fueron utilizados en el ordenador para diseñar la inundación de AntZ. El resultado es realmente creíble: lo que vemos parece agua. Recordemos otra célebre inundación cinematográfica, casualmente también con hormigas de protagonistas: Cuando ruge la marabunta (The Naked Jungle, Byron Haskin, EE.UU., 1954). En su realización se utilizaron miniaturas a las que en este caso se aplicaba agua real. Pero uno de los momentos más espectaculares, en los que el protagonista huye del torrente que finalmente lo arrolla, se filmó mediante una técnica denominada rotoscopia, inventada y patentada en 1915 por Max Fleischer. Mediante la rotoscopia, se aísla un objeto que previamente se ha filmado, marcando su contorno para crear una silueta. Esta silueta, que cambia de forma y posición en cada fotograma al ir avanzando la escena, puede ser reemplazada en la post-producción por otra imagen o simplemente eliminada. El animador se coloca en una habitación oscura frente a un caballete sobre el que se ha montado una cámara de rotoscopia capaz de proyectar imágenes en movimiento o dejarlas fijas. La imagen de Charlton Heston corriendo se proyecta sobre un panel de vidrio esmerilado que soporta el caballete, y en el que el dibujante perfila al actor para «borrarlo» cuando aparece lateralmente la imagen con el torrente de agua rodado en una maqueta y que parece engullirlo. Una técnica artesanal que precisa de cierta pericia del dibujante para que no se note el truco, hoy realizada con mayor precisión por un ordenador. En ambos casos, el resultado final es sorprendente; sin embargo, la implementación de las matemáticas ha permitido que el rodaje actual de este tipo de escenas sea más rápido (por supuesto en el caso de AntZ hubo muchos intentos hasta perfeccionar el modelo), más eficiente (no hace falta ser un excelente y paciente dibujante), más económico, y con una imagen final más nítida y realista.

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• • •

Algunas simulaciones de agua mediante CGI: http://tutorials.downloadroute.com/video-172353.html http://vimeo.com/22629712 www.youtube.com/watch?v=VB0Z9LWDxyU&feature=related

Alfonso Jesús Población Sáez

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Juegos matemáticos en dispositivos móviles

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No se puede decir que la introducción de los ordenadores en la escuela sea una realidad. Todavía queda mucho por hacer, aunque haya dejado de considerarse un reto para haberse convertido en una obligación. Los materiales didácticos en la red mejoran cada día y ya no se ve tan lejos el momento en que ganarán la partida al libro de texto. El software matemático, la geometría dinámica y la síntesis de ambos, GeoGebra, favorecen el aprendizaje de las matemáticas, sin olvidar que los estudiantes actuales, como profesionales del futuro, tienen la exigencia de adquirir ciertas habilidades (competencias, destrezas) en tareas de búsqueda, selección, elaboración y presentación de la información. Actualmente, el avance tecnológico se hace más patente en la reducción del tamaño de los dispositivos: las tabletas y los móviles son capaces de realizar acciones complejas con gran rapidez y hacen funcionar programas que hace solo unos años estaban reservados a los ordenadores. En este número, analizaremos algunos juegos para móviles bastante conocidos por nuestro alumnado y los presentaremos desde la perspectiva del profesor de matemáticas: qué aportan al desarrollo de su pensamiento. Estos juegos tienen en común la exigencia de elaborar estrategias de resolución de problemas: dadas unas condiciones iniciales y unas herramientas, se pretende la consecución de un objetivo. Y eso es el centro de la actividad matemática: hay que comprender la situación, elaborar un plan y echar mano de los heurísticos: resolver un caso más sencillo, ir hacia atrás en la solución, generalizar, particularizar, etc. para avanzar en el aprendizaje. Nuestros alumnos son diestros jugadores en cualquier tipo de plataforma y el éxito que obtienen les proporciona modelos de pensamiento y habilidades que pueden transferir a otros órdenes de la vida, confianza en sus posibilidades y diversión, ingredientes esenciales para la superación de los retos matemáticos. Los juegos que se reseñan son gratuitos en alguna de las plataformas Android (Play Store) o IOS (App Store). Algunos están disponibles además para jugar en línea con un navegador. Los comentarios siguientes han sido realmente difíciles de escribir, no por la dificultad del contenido, sino porque había que revisar las Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

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notas que tomé previamente en las primeras impresiones del juego, me vi obligado a realizar nuevas partidas y, una vez enfrentado a un reto, es muy difícil dejarlo para seguir con la escritura. Slice it!

El objetivo consiste en dividir una figura geométrica formada por uno o varios polígonos y hacerlo exactamente en n partes de la misma superficie utilizando m cortes rectos. Si la cantidad de piezas resultante no es la indicada, o bien son demasiado diferentes en cuanto a tamaño (la forma es irrelevante), la solución no es válida. Hay que retroceder los pasos que se han dado o empezar de nuevo. Hay que poner en marcha habilidades de estimación de superficies de igual o distinta forma y también estrategias para combinar los cortes. Este juego pone de manifiesto que la geometría básica no es tan sencilla como creemos los profesores, especialmente cuando nos enfrentamos a figuras que impiden realizar ciertos cortes que consideramos sencillos, o combinaciones aparentemente imposibles por el número de cortes a realizar. Hay un forum de Internet para solicitar y proporcionar ayudas y proponer nuevos problemas: http://global.com2us.com/forum/ Cut the rope

Un caramelo cuelga de una cuerda y queremos hacerlo llegar hasta la boca del pequeño monstruito Om Nom que lo está esperando. Contamos con la ayuda (que a veces se convierte en obstáculo) de una colección de elementos como: • Las cuerdas pueden estar sujetas a puntos fijos, móviles o a ventosas que se pueden despegar y volver a pegar. • Cuando cortamos una cuerda, cae por la acción de la gravedad. • Si el caramelo entra en una burbuja, se eleva hasta que la explotamos y vuelve a caer. • Sopladores que hacen oscilar un caramelo que cuelga o cambian la trayectoria de una burbuja. • Barras puntiagudas que destrozan el caramelo. • Muelles en los que rebota. • Cohetes que lo hacen salir disparado en dirección fija o modificada previamente por el jugador. • A partir de un determinado nivel, pasamos de un medio aéreo a otro acuático en el que el caramelo flota. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

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Combinamos estos elementos para modificar trayectorias que hagan pasar el caramelo por la zona deseada, recoger las estrellas que permitirán más adelante abrir nuevas fases del juego, y llevarlo hasta la boca del simpático Om Nom. Con eso pasamos a la siguiente pantalla y, sobre todo, evitamos su cara de frustración cuando no lo conseguimos. Angry Birds

Como proyectiles disponemos de unos pájaros con características especiales que lanzamos contra unos animales que han robado sus huevos y se han escondido. Disponemos de un gran tirachinas en el que podemos modificar la inclinación o la tensión del lanzador. El pájaro seguirá una trayectoria parabólica para impactar contra la casa de los ladrones. Hay una versión del juego que se realiza en el espacio con planetas que disponen de gravedad. En este caso las trayectorias son rectilíneas en el espacio exterior, y una mezcla de parábolas y elipses cuando caen bajo la atracción de un planeta. Move the box

Es un rompecabezas de observación del tipo Tetris. Presenta una escena sencilla en un puerto en el que se acumulan cajas de varios colores en el muelle. El jugador debe acomodar las cajas lo más rápido posible para que quede vacío. Cuando quedan alineadas horizontal o verticalmente tres o más del mismo color, desaparecen. Podemos mover las cajas en dos direcciones o intercambiar dos cajas que están una al lado o encima de otra. Las reglas son simples, pero las limitaciones en el número de movimientos y los retos pueden llegar a alcanzar altos grados de dificultad. Trainyard Express

Es un juego de lógica que consiste en hacer llegar trenecitos de colores a su destino, dibujando el recorrido entre las estaciones con vías férreas sobre una cuadrícula. En los primeros niveles el problema es simple: trazar las vías correctamente, pero pronto aparecen obstáculos y limitaciones respecto a los colores de los trenes; hay que unirlos, crear nuevas vías de forma sincronizada, organizar conexiones y cruces de vías, solapar las pistas y llevar a cabo operaciones a cual más complicada. Los niveles de dificultad y los retos propuestos están bien graduados, de forma que mantienen el interés del jugador. 112

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Mouse Trap

Tenemos un ratón atrapado en distintos escenarios: un laboratorio, una cueva o una biblioteca. Nuestra tarea consiste en desplazar bloques de un lado a otro hasta que el ratoncillo encuentre la salida. Es un juego de rompecabezas, en el que es importante liberar al ratoncito en el menor tiempo posible y con el mínimo número de movimientos. Estos dos factores nos proporcionan una puntuación que servirá para abrir los siguientes niveles. Hay versiones en el contexto de la circulación, como una llamada Acces Trafic en la que hay que sacar un coche de un atasco. También hay un juego de mesa llamado Rush Hour (hora punta) de la compañía Think Fun. Hungry sloth

Los perezosos están hambrientos. La escena transcurre en un entramado de cuerdas por las que uno o varios de estos animales se desplazan para acceder y comerse los huevos de los pájaros. Nuestra defensa consiste en una colección de cerillas que utilizaremos para quemar las conexiones y así impedirles conseguir su propósito. Los perezosos esperan a que hagamos nuestra jugada (quemar una conexión) para desplazarse al siguiente enlace. Cuando llegan a una situación en la que ya no tienen oportunidad de acceder a ellos, caen de los árboles mientras los huevos se convierten en pájaros y salen volando. Conéctalos (Connect’Em all!)

Es un juego tipo puzzle en el que hay que conectar cada gota con las situadas a los lados, arriba y abajo. Cada una tiene una cantidad exacta de conexiones disponibles, por lo hay que buscar la forma adecuada de hacerlo. Los clásicos

Hay juegos más o menos modernos, como Sudoku para números, Tetris para formas y Torres de Hanoi para la creación de algoritmos. También podemos encontrar el Ken ken, un rompecabezas numérico que en móviles se llama Mathdocu; o el juego de apagar las luces con varios nombres, como LightsOut o LightsOff y multitud de versiones del clásico Tangram. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

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Los juegos de mesa más antiguos también tienen sus versiones para móvil: Mancala y Reversi; solitarios como Peg Master y Poliminós; juegos de estrategia como el ajedrez y las damas y, si queremos añadir elementos de probabilidad, el parchís y la oca. Después de tantos juegos, algunos no podemos olvidar nuestras partidas de estudiantes al cinco en raya (en móviles, Gomoku), nos bastaba con papel cuadriculado, bolígrafo y el compañero del pupitre contiguo. J. Antonio Mora

Reseñas

Las matemáticas de la vida STEWART, I. Crítica Barcelona, 2011 432 páginas

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Ian Stewart es un prolífico escritor y divulgador de las matemáticas del que ya hemos presentado varios libros, especialmente de historia de las matemáticas y de sus matemáticos. Este último libro presenta una relación nueva de las matemáticas: la biología. No es que, hasta hora, los biólogos no hayan oído hablar de las matemáticas pues, por ejemplo, los análisis estadísticos y probabilísticos son básicos en muchos de los trabajos, no olvidemos a Mendel. Sin embargo, Stewart va más allá y se atreve a postular que «en el siglo XXI, la biología será el gran campo que las matemáticas abordarán». Para ello, a lo largo de los capítulos del libro, irá señalando qué elementos podrán ser estudiados con la ayuda de contenidos matemáticos. La biología, a grandes trazos y como señala Stewart en el inicio del libro, ha tenido un trayecto que inicia con el primer conocimiento de la vida por parte de los humanos: el mundo macroscópico de animales y plantas, que, con la ayuda del microscopio, nos lleva a las células y sus partes, luego, da el salto a las moléculas y, desde ahí, pasamos al ADN y la explicación de la vida. Plantas y animales pueblan la tierra desde hace millones de años, pero el estudio científico de todos ellos es de apenas dos siglos, es como una ciencia tardía, y no ha necesitado mucha matemática. Sin embargo, en el momento actual las cosas han cambiado y se precisan nuevos aportes matemáticos como probabilidad, fractales, redes, caos, dinámica, elasticidad, etc. Esto no son fantasías; por ejemplo, cuando un virus inyecta cadenas de ADN en una bacteria para reproducirse, lo hace mediante un motor molecular, y del que podemos medir la fuerza elástica que realiza para poder inyectar esa hélice de ADN. En el primer capítulo describe lo que, a su entender, han sido los cinco momentos más revolucionarios en la biología porque los descubrimientos logrados han generado una ampliación de los campos de conocimiento en ella: el microscopio (Hooke, 1665), la clasificación de los seres vivos (Linneo, 1735), la evolución (Darwin, 1859), la genética (Mendel, 1865) y la estructura del ADN (Watson y Crick, 1953). Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 61 | octubre 2012

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Después de esto, la sexta revolución, que ya está en camino, es «aplicar el modo de percibir las matemáticas a los procesos de biología». Este va a ser el fin de este libro a lo largo de los dieciocho siguientes capítulos, en los que explicará distintos nexos entre las dos ciencias. En los siguientes capítulos, va señalando las relaciones que han existido en esas cinco revoluciones. Así, por ejemplo, uno de los nexos del que nos habla, es el que hay entre la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…) y su aparición cuando contamos descendientes a partir de una pareja, pétalos de distintas flores, semillas de flores del girasol, posicionamientos de las hojas de un árbol, concha del Nautilus, etc. Son ejemplos conocidos que, muchas veces, explicamos a los alumnos. El capítulo 8 desarrolla algo que ya hemos visto crearse y desarrollarse: el genoma humano. Lo anterior lo hemos estudiado, pero de esta parte hemos sido testigos, al menos parcialmente. Desde este conocimiento se pueden estudiar las derivaciones de especies (ramas del árbol de la vida). A continuación, en el análisis de virus y neuronas, vuelven a aparecer contenidos matemáticos como los poliedros o las ecuaciones aplicadas a circuitos eléctricos. La topología va a ayudar en los plegamientos de moléculas de ADN y, si queremos estudiar las apariencias externas (rayas, lunares, mosaicos, etc.) de diversos animales, la simetría va a jugar un papel importante. Siguiendo con los contenidos podemos imaginar que, cuando hablemos de redes neuronales, va a aparecer la teoría de grafos. El cálculo matricial nos va a servir para estudiar la coexistencia de especies, es decir, analizar el caso de especies que, compartiendo un mismo lecho de vida, tienen que competir para mantener su existencia. Sus planteamientos los construye a partir de la paradoja del plancton. «¿Qué es la vida?» y la posible «Vida extraterrestre» dan paso al breve último capítulo, «La sexta revolución», a modo de reflexión final. Lo inicia citando las famosas palabras de Galileo: «La filosofía está escrita….» y pienso que es interesante resaltar su afirmación de que «aun sin alcanzar [las matemáticas] el papel dominante que tienen en la física, su papel dentro de la biología será esencial». En este libro, los matemáticos descubrirán la biología, y los biólogos descubrirán unas potencialidades que quizás no habrían sospechado nunca, especialmente aquellos que, habiendo estudiado biología hace años, no han vuelto a entrar en el mundo de las matemáticas. Resumiendo, este libro es sin duda el más especial que he podido leer de este autor, pero su interés y calidad está al nivel de los anteriores. La diferencia, puede estar en que le haya resultado más difícil escribirlo. Fernando Fouz Rodríguez

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Los asesinos matemáticos atacan de nuevo. Una nueva selección de errores matemáticos de los cuales somos víctimas o autores. ALSINA, C. Ariel Barcelona, 2012 252 páginas

Para disfrutar de esta propuesta, proponemos al lector que se olvide, por un rato, de las matemáticas serias, aunque… ¡nada haya más serio que un juego…! Dejemos a un lado los problemas de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, recordemos las últimas incongruencias de nuestros alumnos y alumnas en los exámenes de este curso y comparémoslas con las que nos ofrece el profesor Claudi Alsina en Los asesinos matemáticos atacan de nuevo. Seguro que nuestros estudiantes resultan ser sabios matemáticos griegos (perdón, de la Grecia Clásica, no de la actualidad, ¡que con todo lo que está cayendo en el país heleno, alguien puede imaginar que hacemos juegos de palabras con dos (o más) sentidos!). La obra, que recopila una inmensa colección de asesinatos matemáticos, se desarrolla en cinco contextos de nuestra vida cotidiana: • «Disparates matemáticos y sociedad. Buscar tres pies al gato». • «Disparates matemáticos y publicidad. No siempre 6 más 4 son 5 más 5». • «Disparates matemáticos y turismo. El aeropuerto de Niza es el segundo después de Orly y Charles De Gaulle». • «Disparates matemáticos e Internet. ‘You have won a million dollars’». • «Disparates matemáticos del hogar. ¿Cuánto pesa la barra de kilo de pan?». • «Disparates matemáticos y la futurología. Cuatro grados más en el 2100». Y aquí está nuestro propio asesinato matemático: seguro que el lector habrá contabilizado seis contextos. Nada mejor que acudir a las palabras de la contraportada del libro para explicar nuestro error: Aunque a muchas personas los números les dan tranquilidad y confianza, en realidad los errores matemáticos están a la orden del día. Tras el éxito de Asesinatos matemáticos, Claudi Alsina vuelve con una nueva selección de errores y horrores matemáticos de toda índole. Nadie está a salvo, porque en esta obra incorpora multitud de asesinatos cotidianos, que realizamos desde el momento en que suena el despertador. Volviendo al hilo conductor de la obra, y a título de ejemplo, no nos resistimos a exponer uno de los párrafos que sirven de presentación al capítulo «Disparates matemáticos del hogar. ¿Cuánto pesa la barra de kilo de pan?»: Las parejas jóvenes que hayan decidido dar un paso al frente y lanzarse a la intrépida aventura de formar un hogar no deben alarmarse ante el panorama que este apartado les permitirá descubrir. Si su amor es

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verdadero, no debe tambalearse ante la ingente cantidad de problemas matemáticos que tendrán que resolver, ante el desbordante número de piezas de las vajillas y de las cuberterías o ante las cuantiosas facturas y números que rodearán, muy pronto, su nido de amor. Realmente es Claudi Alsina en estado puro, describiéndonos un detalle de uno de sus mundos fantásticos, utilizando para ello pequeñas dosis de realidad y el adorno inestimable de su fino y personal humor. Sin ánimo de ser exhaustivo, porque es imposible, presentamos algunos títulos sugerentes de las casos analizados: «El infinito se politiza»; «Las matemáticas de Rajoy»; «Los números de Dios»; «Ahorro del 150%»; «Los zapatos no son para pies tridimensionales»; «El tapón de corcho del cava»; «La fórmula de propagación de rumores en Cuba»; «Los siete principios del decálogo»; «Comensales diestros, zurdos y americanos»; «Decimales de meses»… Y muchos más, que nos pueden hacer pasar unos ratos de entretenimiento, para olvidarnos unas veces y recordarnos otras, la compleja realidad matemática del mundo y del aula. En fin, Los asesinos matemáticos atacan de nuevo, es otra brillante muestra de la capacidad de Alsina para escudriñar la realidad con ojos matemáticos, otra manera didáctica de mostrarnos las matemáticas equivocadas, algunas divertidas y otras muy tristes, que se pregonan continuamente en nuestro alrededor. Y si no, cómo podemos calificar esta frase del que fuera presidente de USA, George W. Bush: «Se trata de no dudar de un presupuesto. Hay un montón de números ahí». Constantino de la Fuente

Fe de erratas En el núm. 60 de UNO, en la página 98, se publicó incorrectamente el siguiente recuadro:

En realidad debería decir: la expresión

debe ser «lògica»

Sirvan estas líneas de disculpa.

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