Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas by Editorial Graó

Uno

Revista de Didรกctica de las Matemรกticas

Número 63, Año XIX Julio 2013 Publicación trimestral La suscripción anual incluye: 3 revistas + 1 libro PVP suscripción: Consultar boletín en páginas interiores

Consejo de Dirección M.ª Luz Callejo de la Vega (Universidad de Alicante)

Redacción C/ Hurtado, 29 08022 Barcelona Tel.: 934 080 455 Fax: 933 524 337 editorial@grao.com

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Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas número 63 julio - agosto - septiembre - 2013 Monografía: Innovación en la universidad Innovación en la enseñanza de las matemáticas en la universidad ı M.ª Luz Callejo Reflexiones sobre la innovación docente universitaria en matemáticas ı Claudi Alsina Problemática del paso de la educación secundaria a la educación universitaria en la enseñanza de las matemáticas ı Manuel Delgado Una experiencia sobre los aprendizajes autónomos en el marco del Espacio Europeo de Educación Superior ı Rafael Pérez Gómez El uso de materiales manipulativos en la enseñanza universitaria ı Fernando Blasco La enseñanza de las matemáticas y el estímulo a la creatividad ı Uldarico Malaspina La resolución de problemas, tecnología y comprensión del concepto de integral definida Matías Camacho, Manuel Santos, Ramón Depool

5 9 15 23 33 41 50

Aula de didáctica Actividades de iniciación a la investigación en educación matemática ı Juan D. Godino, Teresa Neto

Investigación y opinión El diseño de una secuencia didáctica sobre límite ı Omar Amílcar Actitudes y estrategias en el aprendizaje de las matemáticas ı AA.VV.

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Desde y para el aula El teorema de Endika ı José Luis Requena

Informaciones Cine y matemáticas. Nuevas tecnologías. Reseñas. Encuentros

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Comunicación de Editorial Graó Una muerte anunciada. ¡No a la ley Wert! Lo que necesita el sistema educativo no son nuevas leyes que abanderan intenciones políticas concretas, sino un verdadero proyecto de Estado que clarifique y consensue finalidades de la educación y metas intocables a lo largo del camino. Los cambios en educación deben ser profundos y, como todo cambio cultural, necesitan tiempo, mucho tiempo para consolidarse, razón por la cual parece obvio y necesario disponer de un marco legal sólido con unos principios estables, que identifiquen claramente hacia dónde ir, y a su vez, que disponga de los medios adecuados para los retos que se proponen. Consenso, medios, tiempo, entusiasmo y compromiso. La ley Wert será otra más con fecha de caducidad, con lo cual vamos a continuar con este contrasentido de cambios constantes: no avanzamos para el mañana. La LOMCE es funesta, tanto en el fondo como en la forma en que ha sido elaborada. En el fondo, básicamente, por dos razones: es ideológicamente reaccionaria y técnicamente acientífica. Reaccionaria porque vulnera la igualdad de oportunidades; ignora y desatiende al alumnado con mayores dificultades de aprendizaje; desprecia la educación infantil; recorta en dos años el carácter comprensivo en la educación obligatoria; presenta un modelo de enseñanza no basado en la educación del alumnado, sino en su evaluación; está al servicio de los mercados y la Conferencia Episcopal, y no de las personas; permite o promueve la separación por sexos; suprime la democracia participativa; ignora las diferencias autonómicas y vulnera sus competencias, fomentando la recentralización del currículo y la homogeneización del sistema. En fin, el PP hará todo aquello que en anteriores legislaturas no ha podido hacer. Acientífica porque no parte de un diagnóstico serio de necesidades, ni recoge el conocimiento científico existente sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje. El denominado «fracaso escolar» o la «deserción de talentos» no se resuelven con fórmulas que se han demostrado ineficaces desde una perspectiva académica y humanamente repudiables. No contempla ni favorece el cambio metodológico necesario para dar respuesta a los distintos ritmos y estilos de aprendizaje, desatiende las recomendaciones extraídas de los estudios internacionales. La necesaria evaluación externa e interna de todos los componentes del sistema como medio para la mejora continua no se basa en el análisis de los procesos, sino en unos controles periódicos y reválidas en las que prima el resultado sobre unos contenidos estereotipados. Para elaborar la ley, el PP ha aplicado de manera prepotente el rodillo antidemocrático. No se han tenido en cuenta a los distintos agentes sociales, ni a los partidos políticos, ni a las comunidades autónomas. Esta prepotencia en las formas desautoriza socialmente su propuesta. La ley Wert no sólo no resuelve los problemas y los retos que actualmente tiene la educación, sino que, probablemente, complica la búsqueda de soluciones y respuestas pedagógicas. Por este motivo y por todo lo expuesto, el colectivo de personas que, desde hace 35 años, configuramos el equipo editorial de Graó manifiesta de forma contundente, a través de este comunicado, su oposición a la LOMCE.

Innovación en la universidad

Innovación en la enseñanza de las matemáticas en la universidad

Innovar es, según el diccionario de la Real Academia Española, «mudar o alterar algo, introduciendo novedades». En el contexto de la educación matemática nos preguntamos: ¿por qué y para qué introducir novedades en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas? ¿Qué mudar o alterar? ¿Cómo introducir novedades? En este monográfico de la revista abordamos algunas de estas cuestiones en el contexto universitario. Las razones para introducir novedades pueden ser diversas: unas pueden estar relacionadas con el contexto de enseñanza y los cambios sociales que se están produciendo, otras con los nuevos recursos de que se puede disponer, o también pueden tener su origen en los resultados de las investigaciones sobre la enseñanza de la matemática en el nivel universitario. En cuanto a las relacionadas con el contexto, en las últimas décadas ha mejorado el acceso a los estudios universitarios, las aulas están más masificadas y hay más diversidad de estudiantes; las universidades no son ya los centros de élite que fueron en el pasado y eso implica que es necesario adoptar una nueva manera de enfocar la enseñanza y de tender puentes entre los estudios de secundaria y los universitarios. Por otra parte, la adaptación al Espacio Europeo de Educación Superior (EEES) supone, al menos en teoría, un cambio importante en la estructura y el Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | pp. 5-10 | julio 2013

M.a Luz Callejo Consejo de dirección de UNO

funcionamiento de la universidad y en la formación del propio profesorado. Desde el EEES se propone una modificación de los procesos de enseñanza-aprendizaje: aplicar diferentes estrategias metodológicas, no solo clases magistrales; emplear diversos tipos de agrupamientos y actividades y dar más protagonismo a los estudiantes utilizando metodologías más activas (casos prácticos, trabajo en equipo, tutorías, seminarios, tecnologías multimedia, etc.). En este nuevo escenario se pretende que el alumnado aprenda y trabaje de manera más activa y autónoma, implicándose en las clases y llevando al día sus estudios; que busque información, la seleccione, trate de comprenderla, pregunte sus dudas, exponga sus conocimientos, debata y trabaje con sus compañeros. Esto implica necesariamente incrementar los recursos destinados a la educación universitaria y potenciar la formación del profesorado. Por otra parte, las nuevas herramientas tecnológicas (ordenadores, distintos tipos de software, proyector, pizarra digital, etc.) han puesto al alcance del profesorado instrumentos para crear nuevos entornos de aprendizaje ricos y estimulantes. Diversos trabajos han examinado el impacto de la tecnología en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas y han puesto en evidencia la importancia de la función que el profesorado dé a la tecnología y su interacción con ella; la posibilidad de reorganizar el currículo 5

Innovación en la universidad

gracias al uso de distintos tipos de software (por ejemplo, el análisis matemático con los programas de cálculo simbólico); y la naturaleza de las tareas que se propone a los estudiantes, que pueden centrarse más en el desarrollo de procesos matemáticos que desarrollan el pensamiento matemático (como la modelización) que en los algoritmos de cálculo (Heid y Blume, 2008). Por último, las investigaciones sobre el aprendizaje y la enseñanza de la matemática realizadas en el nivel universitario están ayudando a comprender mejor algunas de las dificultades de aprendizaje que tienen los estudiantes. y han constatado las limitaciones y disfunciones de algunas prácticas de enseñanza. Se ha prestado una especial atención a dominios como el análisis y el algebra lineal, a la resolución de problemas y al uso de las tecnologías. Algunas investigaciones han mostrado que algunos diseños de enseñanza son efectivos, al menos en contextos experimentales, pero que los cambios que se proponen no son fáciles de llevar a la práctica, pues van más allá de la reorganización de los contenidos, suponen nuevas formas de trabajo de los estudiantes, de interacción entre profesores y estudiantes y de evaluar, además de exigir más formación al profesorado para la práctica docente (Artigue, Batanero y Kent, 2007; Tall, Smith y Piez, 2008). Por ello, es importante prestar más atención a la formación didáctica del profesorado universitario así como favorecer el intercambio y la difusión de conocimientos y experiencias con otros colegas. ¿Qué mudar o alterar? Claudi Alsina (pp. 914), uno de los autores de este monográfico, de la Universidad Politécnica de Catalunya, con una conocida reputación en el ámbito de la docencia y la investigación matemática en la universidad, la innovación educativa y la divulgación, tanto en el ámbito nacional como en el internacional, empeñado en hacer las matemáticas más atracti6

vas, señala varios campos donde «mudar»: innovación curricular y tecnológica, en las formas de aprender y de enseñar, en la evaluación y, por último, pero no menos importante, innovación emocional, es decir, «compartir con los estudiantes un viaje emocionante y una exploración». También está siendo objeto de atención la forma de plantear los cursos iniciales de matemáticas, esto es, el paso de la enseñanza secundaria a la universitaria. Sabemos que la forma en que los estudiantes han aprendido matemáticas en secundaria y transfieren estos conocimientos al ámbito universitario incide en su éxito en la universidad. Y se da el caso de que algunos estudiantes con resultados brillantes en matemáticas fracasan luego en la universidad, sobre todo en las carreras técnicas. Para responder a esta problemática surgieron los «cursos puente», una iniciativa que en algunos países se remonta a los años cincuenta, con el propósito de facilitar el acceso a la universidad a grupos en situación de desventaja sociocultural (Wood, 2001). Los objetivos de estos cursos suelen ser: preparar a los estudiantes para el primer año universitario repasando hechos y destrezas y concentrando la atención en los temas más importantes según los estudios que vayan a seguir; desarrollar el lenguaje matemático con sus exigencias de rigor e introducirles en el pensamiento matemático avanzado, y desarrollar destrezas de cálculo con el apoyo de la tecnología, entre otros. Estos cursos se ofrecen con diferentes niveles de dificultad y centrados en diferentes tópicos. Como no suelen formar parte de los programas oficiales, se prestan a introducir innovaciones que luego se pueden trasladar a los cursos del programa oficial. En España surgieron diversas iniciativas que ahora, con la implantación de los grados, han mermado. Manuel Delgado (pp. 15-22), de la Universidad de Sevilla, expone en su artículo esta problemática y cómo se abordó hace algunos Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Innovación en la enseñanza de las matemáticas en la universidad

años en la facultad de matemáticas de su universidad con los Cursos 0. En cuanto a las formas de aprender y de enseñar, Rafael Pérez Gómez (pp. 23-32), de la Universidad de Granada, describe una experiencia para desarrollar los aprendizajes autónomos de los alumnos en el marco del EEES, lo que supone una manera diferente de organizar la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación. Este planteamiento pretende desarrollar diversas competencias como las comunicativas o el trabajo en grupo. El autor, convenido de las ventajas de esta forma de trabajar, concluye que «estamos muy lejos de lograr que nuestros estudiantes entiendan los beneficios que el trabajo autónomo, en general, aporta; estamos demasiado aislados en los departamentos quienes creemos que nuestra práctica docente debe mejorar si transitamos por el camino de guiar en lugar de solo enseñar; estamos muy lejos de que los equipos docentes sean una realidad». Fernando Blasco (pp. 33-40), de la Universidad Politécnica de Madrid, preocupado por hacer la matemática más asequible a los estudiantes y desarrollar la intuición, propone también en este monográfico un cambio en el modo de enseñar matemáticas a los futuros ingenieros gracias al uso de materiales manipulativos. Utiliza juegos de agujas, huevos, paraboloides, hiperboloides y naipes en las aulas, para presentar cuestiones teóricas de cálculo integral y como modelo para apelar a la intuición en probabilidad y estadística. Con ello, consigue mejorar la motivación y la participación de los estudiantes. Uldarico Malaspina (pp. 41-49), de la Pontificia Universidad Católica de Perú, propone una mirada de la matemática como ciencia con gran potencialidad para estimular la creatividad y sugiere estimular a los estudiantes a plantear y plantearse preguntas y a crear problemas. Ello implica cambiar el planteamiento de las claUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

ses expositivas tradicionales donde la invitación a hacer preguntas suele limitarse a las consabidas expresiones «¿alguna pregunta?» o «¿está claro?». Diversas innovaciones han surgido relacionadas con el uso de las tecnologías, que tienen una gran potencialidad para favorecer nuevas formas de aprender y de enseñar. Las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) posibilitan el acceso a la información y a distintas formas de representación, a la interactividad, al cálculo numérico o simbólico, a la visualización, a la comunicación y al trabajo en red. A estos entornos tecnológicos, donde se puede aprender matemáticas diferentes y aprenderlas también de forma diferente, nos acercan Matías Camacho (pp. 50-68), de la Universidad de la Laguna, Ramón Depool, de la Politécnica-Unexpo de Venezuela, y Manuel Santos del Cinvestav de México. Exponen una investigación con alumnos del primer curso de ingeniería trabajando el concepto de integral definida. Plantean las múltiples preguntas que surgen en este escenario y abordan algunas de ellas relacionadas con el uso de múltiples representaciones de un concepto, las dificultades, la comprensión y el razonamiento. Los autores del monográfico han realizado innovaciones en la enseñanza universitaria; estas innovaciones han sido para ellos una experiencia personal y emocional, como señala Claudi Alsina. Han compartido antes con sus alumnos y comparten ahora con los lectores de este monográfico «un viaje emocionante y una exploración. No apostar por la innovación es reducir el viaje a una visita turística programada».

Referencias bibliográficas ARTIGUE, M.; BATANERO, C.; KENT, P. (2007): «Mathematics thinking and learning at post-secondary level», en: LESTER, F.K. (ed.): Second handbook of research on mathematics

Innovación en la universidad

BLUME, G.W. (eds.): Research on technology and the teaching and learning mathematics. Vol. 1. Reston, VA / Charlotte, NC. NCTM/IAP, pp. 207-258. WOOD, L. (2001): «The secondary-tertiary interface». The teaching and learning of mathematics al university level. An ICMI study. Dordrecht. Kluwer.

teaching and learning. Reston, VA / Charlotte, NC. NCTM/IAP, pp. 1011-1049. HEID, M.K.; BLUME, G.W. (eds.): Research on technology and the teaching and learning mathematics. Vol. 1. Reston, VA / Charlotte, NC. NCTM/IAP. TALL, D.; SMITH, D.; PIEZ, C. (2008): «Technology and Calculus», en HEID, M.K.;

LA PRÁCTICA DEL TRABAJO EN EQUIPO DEL PROFESORADO 172

PÁGS.

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Joan Bonals No es gratuito que el autor considere este libro como la parte práctica y complementaria de su trabajo anterior El trabajo en equipo del profesorado, ya que el texto evidencia un esfuerzo para aproximarnos a la práctica del trabajo en equipo, seleccionando los temas más necesarios que se plantean en los centros. Para ellos se concretan secuencias de trabajo claras y precisas, que se pueden extrapolar a cualquier otro tema que requiera ser abordado en equipo. El libro va dirigido a todos los docentes de cualquier etapa educativa que pretendan mejorar su capacidad para trabajar en equipo y para mejorar su trabajo grupal. C/ Hurtado, 29 08022 Barcelona (España)

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Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Innovación en la universidad

Reflexiones sobre la innovación docente universitaria en matemáticas

En este artículo se aborda el tema de la innovación docente universitaria en el área de matemáticas, analizando las dificultades de todo tipo que influyen negativamente en su implementación. Se enumeran y comentan las características que debería tener un proceso global de innovación, desde acciones docentes hasta diseños curriculares renovados, sin olvidar el impacto positivo que las TIC pueden aportar. Some thoughts on innovative university mathematics teaching This paper examines the issue of innovative university teaching in the subject of mathematics and analyses the wide range of difficulties that can hamper it. It sets out and discusses the characteristics of a global innovation process, from teaching actions to revamped curriculums, without forgetting the positive impact that ICT can have.

Referirnos a la innovación en la enseñanza de las matemáticas en el nivel universitario general es un tema complicado, pues en el nivel terciario hay ofertas muy diferentes en distintos lugares del mundo e incluso en España se pueden diferenciar lo que son los grados de matemáticas, la enorme oferta de matemática de servicio que se imparte en todo tipo de grados y los casos de los departamentos de didáctica de las matemáticas hoy presentes en muchas facultades de educación. Pero en el mundo matemático universitario no partimos de cero. Contamos con grandes maestros cuyo interés docente innovador nos ha dejado un magnífico legado de libros y grandes ideas a seguir: Julio Rey Pastor, Lluis A. Santaló, Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | pp. 9-14 | julio 2013

Claudi Alsina Universidad Politécnica de Cataluña. Barcelona Tech

Palabras clave: enseñanza universitaria de matemáticas, problemas en innovación, dimensiones innovadoras.

Keywords: university mathematics teaching, problems in innovation, innovative dimensions, publication.

Pere Puig Adam, Pere Pi Calleja, George Pólya, Hans Freudenthal, Miguel de Guzmán…

Sobre algunos problemas que frenan la innovación docente Ya hace algunos años, en una conferencia plenaria impartida en el estudio que ICMI organizó en Singapur sobre el tema de la formación matemática universitaria, traté el tema de la innovación. Apunté entonces algunos problemas que, desafortunadamente, hoy siguen vigentes, con la desgracia de que además han aparecido algunos nuevos. Tan solo a título de breve resumen listaré aquí algunos de los temas que, según mi opinión, hacen a veces difícil la innovación real en nuestra enseñanza. 9

Innovación en la universidad

La labor docente no tiene suficiente valoración

En efecto, en la «carrera» de un universitario se prima especialmente en los años iniciales, su labor investigadora, los proyectos competitivos, las publicaciones en revistas de gran impacto internacional, etc. Sin embargo, la hipótesis de que los buenos investigadores serán necesariamente buenos profesores es falsa. Si bien en el nivel de másteres avanzados, el nivel del investigador es esencial para poder ofrecer unos contenidos del más alto nivel actual, este no es el caso en la mayoría de cursos normales de grado. Ya en el nivel de profesorado doctor estable, la calidad docente debería ser analizada con más profundidad y ser incentivada adecuadamente.

Los planes de estudio de los grados con cursos

de matemáticas no facilitan las innovaciones docentes

Ocurre a menudo que los planes de estudio con asignaturas de matemáticas responden más a intereses corporativos del profesorado o de los departamentos que a un análisis de lo que sería conveniente en cada grado. Los contenidos universales de matemáticas sin contexto tienen implicaciones especialmente graves en el caso de cursos de servicio a diferentes grados sin ejemplos motivadores específicos o aplicaciones relevantes. 4

Las clases magistrales siguen marcando

la docencia 2

No existe formación didáctica para

el profesorado universitario

Hay formación directa de maestros de infantil y primaria; existe el master para profesores de secundaria; pero no existe una formación didáctica específica para los actuales o futuros profesores de matemáticas universitarios. Sorprendente. Se confía la formación del profesorado a la propia experiencia, sin preparación específica y, en general, ni tan siquiera se da un apoyo, por parte de los profesores senior de los departamentos, hacia el profesorado de nueva incorporación. Para referencias críticas, que ya vienen de lejos, véase por ejemplo Livesey (1975), Lewis (1975), Duren (1970), Krantz (1993)…

En la «carrera» de un universitario se prima especialmente en los años iniciales, su labor investigadora, los proyectos competitivos, las publicaciones en revistas de gran impacto internacional

El paradigma de la clase magistral (ya sea en pizarra o con Power-Point) sigue marcando aún en muchos casos el quehacer docente basado en el desarrollo deductivo de los contenidos, expuestos linealmente, siguiendo la secuencia de definición-teorema-corolario, yendo de lo más general a lo particular. 5

La evaluación tradicional final sigue culminando

los cursos

La evaluación individual escrita (raramente de trabajos cooperativos o proyectos) sigue los cauces tradicionales de resolver problemas y explicar algunos contenidos de teoría, con tendencia a sobrevalorar los exámenes finales y con resultados a menudo catastróficos. 6

No se ha aprovechado bien el Plan de Bolonia

Con la introducción del Plan de Bolonia, las pautas del Espacio Europeo de Educación Superior han posibilitado en muchos países europeos una mayor movilidad, una profunda revisión de planes de estudio y una mayor sensibilidad por el éxito académico de los estudiantes. Sin embargo, en el caso español se ha hecho una aplicación Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Reflexiones sobre la innovación docente universitaria en matemáticas

Las pautas del Espacio Europeo de Educación Superior han posibilitado en muchos países europeos una mayor movilidad, una profunda revisión de planes de estudio y una mayor sensibilidad por el éxito académico de los estudiantes

equivocada del EEES, fijando un mínimo de cuatro años en todos los grados, procesos totalmente burocráticos para verificar planes que a la postre han resultado ser conservadores, desaparición de clases grandes (substrayendo lecciones magistrales de catedráticos ilustres) y una apuesta por clases pequeñas para grupos reducidos pero donde no siempre desaparece la forma tradicional de dar y recibir clase. Difícilmente se irá hacia Europa si se mantiene en las universidades un modelo funcionarial de profesorado, sin posibilidades de invitados, movilidad europea de profesores, nuevas figuras de asistentes y post-doctorales para las prácticas, etc.

La innovación educativa matemática en la universidad En este apartado queremos indicar en forma positiva cuáles podrían ser las claves para dar sentido a la innovación de la docencia matemática universitaria hoy, que no es cambiar por cambiar, sino cambiar para mejorar. Innovación en la formación didáctica de los matemáticos que deseen enseñar en la universidad

Esta es una gran utopía: innovación en la formación, como profesores universitarios, de los futuUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

ros graduados o doctores que deseen trabajar en este nivel terciario. Sorprendentemente, aún está por definir una carrera docente para ser profesor de matemáticas en la universidad, una carrera que conjugue la labor de investigación con el ejercicio de una acción educativa de calidad. En las universidades y centros de investigación tiene pleno sentido tener personal de primer nivel dedicado íntegramente a investigar. Pero lo que no es admisible es que las plazas de profesor para doctores no presten una especial atención a la labor docente. La propia investigación en educación matemática es una línea interesante que no debería estar radicada solo en facultades de educación. Innovación curricular

Se trata de renovar contenidos, actualizando los mismos y eliminando temas o técnicas obsoletas, lo cual exige tanto una mentalidad abierta del profesorado para renovar su repertorio docente, como formación continua para formarse en nuevos aspectos. A menudo el tema lleva a replantear de nuevo todo el plan de estudios cuando sería óptimo sacar el máximo provecho de las asignaturas ya existentes. La innovación curricular debe dar respuesta a las necesidades matemáticas que los futuros graduados van a tener previsiblemente. Los cursos de matemáticas «de servicio», que se incluyen en muchos grados, deberían estar comprometidos con conocimientos, técnicas, Renovar contenidos exige tanto una mentalidad abierta del profesorado para renovar su repertorio docente como formación continua para formarse en nuevos aspectos

Innovación en la universidad

Los estudiantes de los diferentes grados aprenden mejor las matemáticas si estas les son presentadas a través de ejemplos propios del grado correspondiente

principios y aplicaciones que fueran relevantes para las futuras profesiones. La previsión de muchas novedades matemáticas que podrán aparecer en el futuro de estos profesionales hace importante insistir en el formar para «aprender a aprender». Un conocido resultado de la investigación matemática educativa refuerza la idea de que los estudiantes de los diferentes grados aprenden mejor las matemáticas si estas les son presentadas a través de ejemplos propios del grado correspondiente; un resultado que deberíamos aprovechar. Innovaciones tecnológicas al servicio educativo

Nunca como ahora las TIC habían ofrecido a la educación tantas posibilidades para favorecer nuevas formas de enseñar y de aprender. Las TIC abren las puertas a la información, a la interactividad, a la representación, al cálculo numérico, simbólico, funcional, a la visualización estadística y a la comunicación en red. Lo que es importante es dar sentido formativo al uso de las TIC. Las nuevas aulas del siglo XXI tendrán pizarra electrónica, estarán conectadas en red y tendrán dos tipos de configuraciones. Unas aulas serán masivas para asistir a grandes clases magistrales, conferencias, etc. y otras aulas reducidas con mesas y geometría variable han de permitir trabajos en pequeños grupos, seminarios, actividades cooperativas, etc. Un tercer tipo de aulas será equipado para trabajar con ordenadores. 12

El tema de la formación a distancia en campus virtuales o el uso de estos campus de forma integrada en cursos presenciales merecen especial atención. Y cuando digo «campus virtual» me refiero a un verdadero campus, no a estos miserables programas como Moodle para colgar documentos. Recientemente (La Vanguardia, 17/08/2012), en una entrevista al profesor de robótica del MIT Woodie Flowers, este aportaba una interesante reflexión: La simple formación, la enseñanza de habilidades, se hará en línea y será gratis… así las universidades nos concentraremos en la educación, que es mucho más que la simple transmisión de conocimientos y habilidades… hemos de conseguir la adquisición de valores que fomenten actitudes que creen hábitos que formen personas valiosas y no solo profesionales. Le estoy hablando de un mundo mejor. El contenido no es lo importante, sino cómo enseñas a aprenderlo. El hecho de aprender a aprender se capta mejor a través de de la relación presencial con el tutor. Unas consideraciones que merecen reflexión profunda. Innovación en las formas de aprender

Hay muchas maneras de aprender y debemos aprovechar lo mejor de cada una. Aprender a través de clases magistrales es solo una forma de comunicar. Los trabajos cooperativos, los talleres, los seminarios, las sesiones de resolución de problemas, los foros de Internet, actividades de simulación o de modelización (Alsina, 1998; Blum y otros, 2007; Niss, 2001; Pollack, 1997), visualización de propiedades y de teoremas (Alsina y Nelsen, 2006 y 2010), desarrollar proUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Reflexiones sobre la innovación docente universitaria en matemáticas

yectos, experimentar, resolver problemas (Guzmán, 1991; Steen, 1994; Tanton, 2001), realizar pequeñas investigaciones sobre temas abiertos, hacer lecturas y exposiciones de artículos o capítulos de libros, impartir los propios estudiantes clases a los demás, hacer visitas a lugares ricos en contenido (de museos a fábricas)... Hay muchas maneras de aprender de forma diferente. Una renovada evaluación formativa debe valorar adecuadamente estas alternativas de aprendizaje. Innovación en las formas de enseñar

Nuevas metodologías docentes son necesarias para hacer posibles las innovaciones anteriores. Se trata de motivar, interesar, seducir y guiar. Como dijo George Pólya: «Enseñar matemáticas es hacer posible que los estudiantes las descubran por sí mismos.» La innovación ha de ser para el profesorado una forma de vivir la enseñanza, asegurando también un interés personal por la propia profesión y por la mejora del sistema universitario (Alsina, 2000, 2002 y 2007). Mayor colaboración entre asignaturas y cooperación entre el profesorado podría ofrecer una forma más interdisciplinaria de enseñar. La denominada práctica reflexiva permitiría investigar sobre la propia actuación docente. Una joya de Santaló nos resume este apartado: «Aprendí a aprender para poder enseñar y aprendí a enseñar para poder aprender.»

La innovación ha de ser para el profesorado una forma de vivir la enseñanza, asegurando también un interés personal por la propia profesión y por la mejora del sistema universitario

Innovación evaluadora

La evaluación debe ser formativa, encaminada a informar al propio estudiante de su nivel y debe plantearse de forma coherente con las formas de aprendizaje practicadas. Problemas abiertos, tests, trabajo cooperativo con exposición oral y escrita, lecturas críticas resumidas, proyectos aplicados, reflexiones sobre periodos de prácticas externas... La evaluación continua (que no debemos confundir con la continuada) demanda mayor labor docente pero permite superar la evaluación tradicional de diagnóstico final basada en unas preguntas de teoría y la resolución de unos problemas. Innovación emocional

La enseñanza de las matemáticas en el nivel universitario también es una experiencia personal y emocional interesante. Por este motivo,reducir la tutoría a la resolución de dudas técnicas es una lástima. Uno de los sentidos que tiene la innovación educativa matemática es poder compartir desde un punto de vista humano la formación de los estudiantes, motivar e interesar, para así poder apreciar sus progresos, guiar sus descubrimientos… trabajando temas nuevos y aplicando nuevas metodologías. Se trata de compartir un viaje emocionante y una exploración. No apostar por la innovación es reducir el viaje a una visita turística programada.

Referencias bibliográficas ALSINA, C. (1998): «Neither a microscope nor a telescope, just a mathscope», en GALBRAITH, P., y otros (eds.): Mathematical modelling, teaching and assessment in a technology-rich world.

Chichester. Ellis Horwood, pp. 3-10. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Innovación en la universidad

— (2000): «Gaudi’s ideas for your classroom: Geometry for three-dimensional citizens», en Proceedings of the Ninth International Congress on Mathematical Education. Boston. Kluwer. — (2002): «Too much is not enough. Teaching maths through useful applications with local and global perspectives». Educational Studies in Mathematics, núm. 50, pp. 239-250. — (2007): «Less chalk, less words, less symbols… More objects, more context, more actions», en BLUM, W., y otros (eds.) (2007): The 14th ICMI Study: Modelling and applications in mathematics education. Berlín. Springer, pp. 35-44. ALSINA, C.; NELSEN, R. (2006): Math Made Visual. Creating images for understanding mathematics. Washington. Mathematical Association of America. — (2010): Charming proofs. Washington. Mathematical Association of America. BLUM, W., y otros (eds.) (2007): The 14th ICMI Study: Modelling and applications in mathematics education, Berlín. Springer. DUREN, W.L. Jr. (1970): «Are there too many PhD’s in mathematics?». The American Mathematical Monthly, núm. 77, pp. 641-646. GUZMÁN, M. (1991): Para pensar mejor. Barcelona. Labor. KRANTZ, S.G. (1993): How to teach mathematics, a personal perspective. Nueva York. American Mathematical Society. LEWIS, L.S. (1975): Scaling the ivory tower. Baltimore. The Johns Hopkins University Press. LIVESEY, H. (1975): The professors. Nueva York. Charterhouse. NISS, M. (2001): «Issues and problems of research on the teaching and learning of applications and modelling», en MATOS, J.F., y otros (eds.): Modelling and mathematics education. Chichester. Ellis Horwood, pp. 72-88. POLLAK, H.O. (1997): «Solving problems in the real world», en STEEN, L.A. (ed.): Why numbers

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Referencias del autor Claudi Alsina Universidad Politécnica de Cataluña. Barcelona Tech claudio.alsina@upc.edu Líneas de trabajo: educación matemática, visualización, ecuaciones funcionales, geometría de Gaudí. Este artículo fue solicitado por UNO. REVISTA

DIDÁCTICA

DE LAS

MATEMÁTICAS en enero de 2013 y aceptado en mayo de 2013 para su publicación.

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Innovación en la universidad

Problemática del paso de la educación secundaria a la educación universitaria en la enseñanza de las matemáticas

Se hace un análisis de las principales dificultades que encuentra el alumnado que accede al primer curso de la universidad y se apuntan algunas líneas de trabajo para ayudar a superarlas. Se incluye alguna reflexión sobre los interrogantes que nos plantean las nuevas tecnologías y algún comentario sobre los problemas propuestos en algunas pruebas de excelencia. Problems moving from secondary education to university education in mathematics teaching This paper analyses the main difficulties students have when they attend their first year of university, and sets out some lines of work to help overcome them. It includes some thoughts on the questions raised by new technologies and gives some opinions on the problems included in some excellent tests.

Manuel Delgado Universidad de Sevilla

Palabras clave: curso-puente, nuevas herramientas tecnológicas, prueba acceso universidad, manipulación algebraica, ratio profesor-alumnos.

Keywords: bridge course, new technology tools, university entrance exams, algebraical manipulation, teacher-students ratio.

El problema de la transición entre la educación En 2004, quien suscribe publicó una nota en secundaria y la educación universitaria ha sido la que exponía los motivos que habían llevado identificado como un problema importante a la Facultad de Matemáticas de Sevilla a la desde hace tiempo: ya en 1998, M. de Guzmán y implantación de un «Curso 0», asignatura puente otros lo calificaban como «el mayor escollo de la destinada a ayudar a quienes se incorporaban a la enseñanza de las matemáticas» (Guzmán y otros, enseñanza universitaria en la facultad a superar 1998). Por ello, es importanlas dificultades que encontrate detenerse a reflexionar ban en primer curso En 2004, quien suscribe sobre la naturaleza de este (Delgado, 2004). En este anápublicó una nota en la que escollo y sobre las medidas lisis, muy centrado en el exponía los motivos que se pueden implementar alumnado que quería estupara ayudar a superarlo, diar matemáticas, resaltaba, que habían llevado a la teniendo en cuenta que se entre otros, los siguientes Facultad de Matemáticas trata de un problema dináaspectos: de Sevilla a la implantación mico que hay que revisar • La nula exigencia de rigor de un «Curso 0» cada cierto tiempo. matemático que tiene el Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | pp. 15-22 | julio 2013

Innovación en la universidad

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alumnado al acabar la educación secundaria: en muchas ocasiones, aprenden fórmulas para resolver problemas. El alumnado no entiende la necesidad de hacer razonamientos ni conoce las reglas para hacerlos correctamente. La preocupación por la superación de la Prueba de Acceso a la Universidad (PAU), hace que se olviden o no se impartan los temas del currículum que no están incluidas en la misma. El nulo entrenamiento en escribir matemáticas que tiene un alumnado que solo hace ejercicios o problemas y que acostumbra a preparar los exámenes de matemáticas repasando problemas tipo la víspera.

Aquel curso, que cumplió su función, fue también una llamada de atención al profesorado universitario para que reconociera que el cambio producido en el alumnado en los últimos años exigía una renovación en la metodología con la que se impartía la docencia. Diversas razones hicieron que desapareciera aquel curso al que podía darse entonces una valoración académica considerándola asignatura de libre configuración, lo que no es posible ya en los nuevos grados. Pretendemos ahora actualizar el análisis anterior, ampliarlo a alumnos que se incorporan a la universidad en general, y no necesariamente a estudiar matemáticas, y analizar algún aspecto de la evolución tecnológica que influye en lo anteExiste la posibilidad de elección de asignaturas en el currículo de secundaria. Ello puede permitir la presencia en las aulas de estudiantes que no han estudiado lo necesario para cursar la asignatura que pretenden

rior. También querríamos hacer alguna reflexión sobre lo que puede deducirse de las «pruebas de excelencia» que existen en este nivel, como son las Olimpiadas Matemáticas.

Una descripción de la situación actual La problemática que consideramos no depende solamente de las dificultades que tiene, en general, el paso de la enseñanza secundaria a la enseñanza universitaria en cualquier país que ya han sido estudiadas (Wood, 2001), y sobre las que nos extenderemos en la sección siguiente. Existen algunos otros aspectos que merecen comentarse. En algunos países, existe la posibilidad de elección de asignaturas en el currículo de secundaria. Ello puede permitir la presencia en las aulas universitarias de estudiantes que no han estudiado lo necesario para cursar la asignatura que pretenden, encontrando dificultades casi insuperables. Parece que algunas de las dificultades de la transición entre la educación secundaria y la educación superior que presenta el alumnado que no ha estudiado todas las asignaturas necesarias del nivel inferior antes de acceder al superior, podrían superarse si se exige haber cursado y aprobado ciertas asignaturas en secundaria para poder acceder al estudio de cada titulación. La implantación en muchos países europeos de los estudios de grado en la enseñanza universitaria y el modelo de enseñanza que diseña el Plan Bolonia influye también en la situación. El documento de competencias de cada grado explicita cuáles son las que deben adquirir quienes obtengan el título y suele destacarse en ellas la aplicación de las matemáticas a los contenidos específicos del grado, bien mediante el análisis de modelos, bien mediante herramientas de la estaUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Problemática del paso de la educación secundaria a la educación universitaria en la enseñanza de las matemáticas

El documento de competencias de cada grado explicita cuáles son las que deben adquirir quienes obtengan el título y suele destacarse en ellas la aplicación de las matemáticas a los contenidos específicos del grado, bien mediante el análisis de modelos, bien mediante herramientas de la estadística u otras técnicas

dística u otras técnicas. Ello lleva a diseñar asignaturas con un marcado carácter aplicado en las que se informa de mucha fundamentación teórica sin mayores justificaciones. Otro elemento que también merece ser considerado es el de las nuevas herramientas tecnológicas a disposición del alumnado. La existencia de calculadoras, o incluso teléfonos móviles, capaces de presentar, con la simple presión de una tecla, objetos matemáticos cuya determinación «manual» era objeto de largas horas de estudio y práctica (piénsese, por ejemplo, en la inversa de una matriz o en la gráfica de una función) plantea una serie de cuestiones en absoluto triviales en nuestra opinión. En efecto, en la enseñanza universitaria muchas asignaturas tienen horas de prácticas con ordenador y el alumnado debe aprender en ellas el manejo de programas informáticos usuales para resolver diversos problemas de matemáticas: problemas de programación lineal, de programación no lineal, de teoría de juegos, de estudios estadísticos de datos, de problemas de inferencia estadística, de cálculo numérico elemental o de análisis numérico avanzado y tantos otros, son resueltos con programas informáticos instalados en los ordenadores de las universidades en que el alumnado practica y se examiUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

na. Pero, en muchas ocasiones, hay además pruebas en las que se plantean problemas que deben ser resueltos a mano y donde suele ser habitual la autorización para llevar una calculadora para resolver cálculos, en muchas ocasiones, tediosos. ¿Debe dejarse libertad de elección de calculadora por parte del alumnado o se autorizan solamente las calculadoras que tengan ciertas prestaciones? En este caso, el trabajo en el aula durante el curso, ¿se lleva a cabo en las mismas condiciones del examen, es decir, solo con calculadoras de bajo nivel? ¿No es, por otra parte, la universidad el lugar adecuado para que el alumnado aprenda a manejar propiamente los recursos que la técnica pone a su disposición para resolver los problemas que puedan presentarse en su vida profesional? No es difícil percatarse de que las respuestas que se den a estas preguntas influyen en la enseñanza. Ante la expresión 10-0,25, ¿qué debe pretenderse? ¿que se sepa obtener la expresión aproximada que da la calculadora sin mayor detenimiento, o que se sepa que es un número positivo y se conozca la expresión equivalente con radicales, que permite determinar a mano un valor aproximado de la misma? ¿Debe ser más importante calcular la matriz inversa de una matriz dada o saber utilizarla una vez obtenida, aunque sea con la calculadora, incluso admitiendo que en este caso seguramente no se sabría determinar sin esa ayuda tecnológica? Y sería bueno que las respuestas que se den a estas preguntas sean similares en la enseñanza media, donde el alumnado aprende a utilizar la calculadora, y en la enseñanza universitaria.

Casi ha desaparecido de la enseñanza media en muchos países cualquier intento de justificar los resultados que se utilizan en matemáticas

Innovación en la universidad

Por último, como ya indicábamos en «El “Curso 0” en la Universidad de Sevilla» (Delgado, 2004), casi ha desaparecido de la enseñanza media en muchos países cualquier intento de justificar los resultados que se utilizan en matemáticas, y no es fácil encontrar entre el alumnado de primer curso quién sepa por qué la función derivada de la función y=ln x es y=1/x.

Algunas dificultades encontradas en el primer curso Recogiendo algunas de las dificultades anotadas por Wood (2001), a la vista del tiempo transcurrido y de nuestro entorno, podríamos citar las siguientes. Como lo esencial en la actividad docente es la interacción entre quien enseña y quien aprende, sin que esta asignación de papeles deje de recordar lo que se aprende enseñando, hay que comenzar citando la madurez media del alumnado que se incorpora a la universidad. La utilización, casi compulsiva en ocasiones, de los chats por parte del alumnado de primero, hace que haya que dedicar tiempo y esfuerzo para evitar el uso de los móviles en el aula para este menester. Y es que, además del respeto que merece el acto docente, es evidente que con la atención dispersa por la red, es difícil aprender matemáticas. Otras veces es una apatía o indolencia que paraliza la actividad de quien la padece e imposibilita el proceso docente. Entre los cambios pedagógicos que hay que inculcar al alumnado, destaca el persuadirlo de la necesidad de estudiar la asignatura con constancia, invirtiendo tiempo y esfuerzo en resolver problemas que no salen al principio como método de aprendizaje

Por otra parte, entre los cambios pedagógicos que hay que inculcar al alumnado, destaca el persuadirlo de la necesidad de estudiar la asignatura con constancia, invirtiendo tiempo y esfuerzo en resolver problemas que no salen al principio como método de aprendizaje; y esto en contraposición con la técnica que en muchas ocasiones ha utilizado, consistente en aprender a resolver algunos problemas modelo en la víspera del examen. Ya se han citado las dificultades inherentes a no haber cursado en la enseñanza media las asignaturas que requiere el grado que se escoge. Es proverbial citar en este contexto la habilidad en la manipulación algebraica como referente para medir la preparación del alumnado que accede a la universidad. La simplificación de expresiones algebraicas, la resolución de diversos tipos de ecuaciones, la resolución de sistemas lineales, etc. se convierten en herramientas a utilizar con frecuencia, y la incapacidad para manejarlas se convierte en una rémora importante, incluso para estudiantes que desean aprender. A este respecto, habría dos comentarios que hacer. El primero se refiere a la posible disminución del tiempo empleado en las manipulaciones algebraicas en la enseñanza secundaria y la influencia que pueda tener en la cuestión que comentamos: es más difícil adquirir ciertas rutinas en primer curso de grado si no se han adquirido antes. El segundo se refiere a que, por las razones comentadas en el apartado segundo, en muchos grados ha disminuido la cantidad de manipulación algebraica a realizar. El estudio de la teoría ha quedado notablemente reducido en gran cantidad de grados donde, como se indicó antes, se busca la aplicación de las matemáticas más que la fundamentación de las mismas. Así, un repaso de las preguntas de las pruebas que se proponen para superar las asignaturas muestra la ausencia total Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Problemática del paso de la educación secundaria a la educación universitaria en la enseñanza de las matemáticas

de preguntas teóricas en muchos de los grados, independientemente de lo que se explique en el aula. Eso supone no solo que el alumnado ignore, en general, los razonamientos que nos permiten dar respuesta a un problema y que constituyen un teorema, sino también las condiciones de aplicación de los resultados. Por citar dos ejemplos, está la aplicación rutinaria de la regla de l’Hôpital (no aplicable si no existe el límite del cociente de las derivadas) o el estudio de la derivabilidad de una función definida a trozos en un punto donde confluyen dos definiciones distintas a derecha e izquierda (la igualdad de los límites de las derivadas por la derecha y por la izquierda implica la derivabilidad, y la desigualdad de esos límites implica la no derivabilidad, pero la no existencia de esos límites no da respuesta a la cuestión: hay que acudir en este caso a la definición de derivada). Estos inconvenientes se superan no haciendo preguntas capciosas en los exámenes de matemáticas y confiando, seguramente con razón, que en el uso de las matemáticas que el alumnado vaya a llevar a cabo en otras asignaturas o en su vida profesional, no se va a encontrar con estos casos «raros». Este último aspecto tiene, en nuestra opinión, un planteamiento diferente para el caso del grado en matemáticas, donde es exigible el estudio teórico de las mismas. Nos extendimos sobre este aspecto (Delgado, 2004) abordando este tema con detalle. Y en prácticamente todos los apartados anteriores, hay que destacar la dificultad que supone el diferente nivel entre los alumnos de un mismo grupo.

Algunas notas del caso español Las consideraciones generales hechas antes son totalmente aplicables al caso español. Precisamos algunas características propias que nos parecen Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Ha podido darse una tendencia, propiciada en ocasiones por profesores u orientadores, a aconsejar que se escogiera en la PAU las asignaturas en las que fuera más fácil obtener una buena calificación, sin considerar demasiado la situación en que quedaba quien accedía a primer curso relevantes y quizá sean de aplicación en otros lugares. En España, el acceso a la universidad se hace de forma muy mayoritaria a través de la PAU, prueba única propuesta por la Administración, que sirve fundamentalmente para ordenar, con unos criterios de objetividad, al alumnado que solicita el acceso en titulaciones con una demanda superior a la oferta. Tiene además la característica de ser una prueba en la que quien se presenta elige de qué asignaturas se examina en una fase específica, y que versa sobre los contenidos que se imparten en el último curso de la enseñanza media. Es natural que las diversas asignaturas cursadas tengan diferentes parámetros de ponderación en cada titulación, por lo que la calificación obtenida en la PAU depende de la titulación a la que se opte. Respondiendo a la preocupación de obtener una buena calificación en la PAU, para poder escoger luego titulación a la que acceder, ha podido darse una tendencia, propiciada en ocasiones por profesores u orientadores, a aconsejar que se escogiera en la PAU las asignaturas en las que fuera más fácil obtener una buena calificación, sin considerar demasiado la situación en que quedaba quien, una vez superada la prueba, accedía a primer curso en el mes de septiembre. No es necesario extenderse mucho en las dificultades que esta situación ha propiciado, situación 19

Innovación en la universidad

mantener la igualdad de condiciones del alumnaque mejoró sensiblemente con la entrada en do en la prueba y que no es procedente autorizar vigor de la LOE, que modificó la no obligatorieel uso de calculadoras programables, porque ello dad del estudio de las asignaturas que permitía la incitaría al alumnado a adquirir un objeto cientíLOGSE, de modo que a partir del curso 2009fico prescindible en este nivel de enseñanza que 2010, las matemáticas son obligatorias para el puede resultar oneroso en muchos casos. Por alumnado de ciencias, lo que ha hecho que todos ello, en la PAU no se hacen preguntas dirigidas a los alumnos que se matriculan en una facultad de saber si quien se examina conoce el manejo de perfil científico o biosanitario, hayan debido curestos instrumentos y, consecuentemente, el sar las matemáticas de 2.º de bachillerato. alumnado suele desconocer el potencial de su Además, hay titulaciones para las que tienen propia calculadora. valor máximo los parámetros de ponderación de las dos asignaturas de matemáticas que se pueden cursar, «Matemáticas II» y «Matemáticas Los problemas de las pruebas de excelencia aplicadas a las ciencias sociales II», por ejemplo, todas las ligadas a la economía, y éste es un caso que merece un momento de reflexión. Es bien En la enseñanza media de muchos países, existen concursos con los que se pretende estimular la sabido que en los respectivos programas de afición por las matemáticas y detectar personas ambas asignaturas hay diferencias significativas: especialmente dotadas para su estudio. Uno de aquél insiste más en el estudio del cálculo, del los más tradicionales son las Olimpiadas álgebra lineal y la geometría, mientras que éste Matemáticas, que sirven de vía de acceso para la estudia de forma mucho más leve el álgebra lineparticipación en la Olimpiada Internacional. al y el cálculo, y dedica la mitad de su programa Un análisis de las preguntas realizadas en a estudiar cuestiones de probabilidad y de infeesta prueba a lo largo de los años puede dar indirencia estadística. Sería evidentemente deseable caciones sobre dónde se encuentran los nichos de que el alumnado interesado cursara de verdad, es buenos problemas capaces de seleccionar persodecir, se examinara en la PAU de ambas asignanas dotadas y, al mismo tiempo, sobre si la capaturas para estudiar un grado que tiene en primer curso una asignatura de estadística y otra de cidad de resolución de estos problemas asegura matemáticas en la que desarrolla un temario una buena base para abordar las dificultades que de álgebra lineal y cálculo; pero, en caso de estuplantea un primer curso en la universidad. diar una sola, ¿debe aconsejarse a quien desea Los problemas que suelen aparecer entran ingresar en una faculdentro de alguna de las tad de económicas que siguientes categorías: Las pruebas de excelencia entrenan se estudie una u otra teoría de números preferentemente la capacidad de indiferentemente? (divisibilidad, conraciocinio antes que la aplicación de Con respecto a gruencias), álgebra unas técnicas más o menos rutinarias, las nuevas tecnologí(polinomios, relaciones as, en Andalucía, el entre raíces), desigualque, en el fondo, constituyen en gran criterio seguido hasta dades, geometría, comparte el contenido de las asignaturas ahora ha sido afirmar binatoria, y problemas de primero de grado. que es prioritario de estrategia. Como se 20

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Problemática del paso de la educación secundaria a la educación universitaria en la enseñanza de las matemáticas

ve, buena parte de los conocimientos necesarios para la resolución de estas cuestiones queda fuera del currículo académico de la enseñanza media, mientras que los conocimientos de una buena parte de éste (de cálculo, de álgebra lineal o de geometría analítica), no son necesarios para la respuesta de las mismas. Diríamos que estas pruebas entrenan preferentemente la capacidad de raciocinio antes que la aplicación de unas técnicas más o menos rutinarias, que, en el fondo, constituyen en gran parte el contenido de las asignaturas de primero de grado. No obstante, resulta imprescindible el manejo de la herramienta, de modo que vuelve a aparecer la necesidad del dominio de las rutinas algebraicas, del manejo de las desigualdades y de cuestiones similares.

•

Conclusiones Se han descrito algunas dificultades que encuentra el alumnado de primer curso de grado. Son de naturaleza muy diferente y su superación exige diferentes medios: • Hay un problema de madurez personal del alumnado que es menester ayudar a superar. Hay que insistir en la seriedad del trabajo de estudiar y en la necesidad de estudiar y resolver problemas de forma regular y con constancia. Evidentemente, el método de evaluación continua, con pruebas y ejercicios de control frecuentes, ayuda a adquirir estos hábitos, pero es necesario recordar que, para poder llevarlo a cabo, la ratio profesor-alumno tiene que ser adecuada. • Hay un problema en los alumnos que no han cursado las asignaturas que debían al llegar al nivel universitario. Esa falta de base debe ser suplida, habitualmente, con un estudio suplementario por parte de quien se encuentra en esta situación y con ayuda Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

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buscada, por ejemplo, en otros estudiantes, en la atención tutorial, en la docencia extrauniversitaria, etc. Otra medida relacionada son los cursos-puente que, en el marco de los estudios de grado europeo, tienen la dificultad de su valoración académica para profesorado y alumnado. Hay un problema en quienes no han adquirido las habilidades mínimas en la manipulación algebraica en la enseñanza media. De nuevo, medidas como las del punto anterior pueden ayudar a paliar las dificultades que ello conlleva. Hay un problema en la utilización de la tecnología. Pensamos que es buena la incorporación a los programas de las asignaturas de enseñanza del manejo de software habitual en las aplicaciones de las matemáticas. No sabemos si está bien resuelta toda la problemática comentada antes relativa a las calculadoras de alto nivel, pero sería bueno arbitrar vías de comunicación entre el profesorado de secundaria y universitario para tratarlo. Hay un problema de concepción de las matemáticas por parte del alumnado, que desconoce las reglas de razonamiento o no distingue entre un teorema matemático y una ley de las ciencias físicas o naturales, por citar dos ejemplos. Tampoco es capaz en general de resolver un problema en el que tenga que escribir un argumento. Pensamos que esto exige un esfuerzo especial del profesorado con elaboración de actividades que trabajen esta problemática.

Desearíamos que ésta, junto con otras aportaciones de docentes de matemáticas y expertos en educación, pueda ayudar a encontrar una buena forma de superar el escollo del que hablaba el profesor Guzmán que encuentran muchos de quienes acceden a la universidad. 21

Innovación en la universidad

Referencias bibliográficas

Referencias del autor

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Manuel Delgado Delgado Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico. Universidad de Sevilla madelgado@us.es Líneas de trabajo: ecuaciones y sistemas en derivadas parciales, modelos matemáticos de biología y medicina, problemas de control asociados a los modelos anteriores.

124

PÁGS.

12,50 €

Este artículo fue solicitado por UNO. REVISTA

DIDÁCTICA

DE LAS

MATEMÁTICAS en enero de 2013 y aceptado en abril de 2013 para su publicación.

POR UNA PEDAGOGÍA DE AYUDA ENTRE IGUALES MARIBEL

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Este libro aborda la temática de la ayuda entre iguales, una propuesta en que los alumnos enseñan a los compañeros mediante una actividad planificada con una clara voluntad educativa. Esta práctica, de gran potencial educativo, permite trabajar sobre contenidos académicos y pone en juego un dinamismo pedagógico esencial para la vida y las relaciones afectivas entre personas. Obra esencial para maestros y maestras que quieran aplicar y conocer en profundidad esta clase de prácticas, sistematizando las cuestiones clave en relación con la forma así como la teoría que las sustenta, en una propuesta sencilla pero brillante, fácilmente extrapolable a diversidad de contextos. C/ Hurtado, 29 08022 Barcelona (España)

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Una experiencia sobre los aprendizajes autónomos en el marco del Espacio Europeo de Educación Superior

En el modelo universitario actual, conocido como Plan Bolonia, se establece el concepto de crédito como unidad de medida de la enseñanza y el aprendizaje. Basándose en la exigencia social del aprendizaje a lo largo de la vida, surge el concepto de aprender a aprender, que debe ser incorporado como estrategia docente al proceso de enseñanza-aprendizaje. Una de las acciones que debe ejecutarse para alcanzar dicho objetivo es la que se conoce como el desarrollo de los aprendizajes autónomos por parte del alumnado. A project on independent learning within the framework of the European Higher Education Area The current university model, known as the Bologna Process, includes the concept of the credit as the unit for measuring learning and teaching. The social demand for lifelong learning leads to the concept of learning how to learn, which should be included as a teaching strategy in the teaching-learning process. One of the actions to be carried out to achieve this objective is known as getting students to develop independent learning.

Rafael Pérez Gómez Universidad de Granada

Palabras clave: aprendizaje autónomo, crédito ECTS, Matemáticas I, ingeniería de edificación.

Keywords: independent learning, ECTS credits, mathematics I, architectural engineering.

El Real Decreto 1125/2003, que establece el sistePrimer hecho destacable: se establece la ma europeo de créditos y el sistema de calificanecesidad de que, por cada hora de docencia reciciones en las titulaciones universitarias de carácbida, cada estudiante realice durante dos horas y ter oficial y validez en todo el territorio español, media o tres, de forma individual o en grupo, un dice: «en esta unidad de medida se integran las trabajo de análisis sobre la información recibida, enseñanzas teóricas y prácticas, así como otras de comprensión y síntesis, y por último, de inteactividades académicas dirigigración de conocimientos. das, con inclusión de las horas Además de que el profesorado Todo aprendizaje de estudio y de trabajo que el aplique una serie de estrategias estudiante debe realizar para metodológicas que faciliten el necesita un esfuerzo alcanzar los objetivos formatirecorrido intermedio existente que se traduce en vos propios de cada una de las entre la docencia, ya sea teórica tiempo de trabajo materias del correspondiente o práctica, y el aprendizaje, individual o autónomo plan de estudios». surge el reconocimiento explíciUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | pp. 23-32 | julio 2013

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Para que se produzcan autoaprendizajes significativos es conveniente organizar actividades participativas para quienes deben aprender

to de que todo aprendizaje necesita un esfuerzo que se traduce en tiempo de trabajo individual o autónomo. En suma, se concede al estudio una gran importancia a la participación activa de cada estudiante en su aprendizaje, por lo que, lógicamente, se reduce su presencia diaria en clase. ¿En qué se basa la correspondencia horaria antes establecida? La traducción a horas que de esta medida de trabajo se ha hecho es bien conocida: un crédito ECTS equivale a entre 25 y 30 horas de estudio correspondientes a clases lectivas, teóricas o prácticas, dedicadas a la realización de seminarios, elaboración de trabajos, ya sean relativos a la ejecución de prácticas o al desarrollo de proyectos, y exigidas para la preparación y realización de los exámenes y pruebas de evaluación. Si se asignan seis créditos a cada materia, se estima que conllevará la realización de un trabajo, de forma individual o colectiva, que se llevará a cabo durante un tiempo comprendido entre 150 y 180 horas. ¿Cómo distribuir este tiempo? Lo que sigue es la exposición de mi experiencia sobre aprendizaje autónomo como profesor de Matemáticas I en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Edificación de la Universidad de Granada durante el curso 20112012, con un grupo de 60 estudiantes.1 Está basada en lo que he aprendido a lo largo de muchos años de docencia: quien más aprende es quien explica. La investigación de Lang y McBeath (2010) concluye que los porcentajes de retención de información dependen de la acción que realice quien la recibe. Solo se retiene el 5% de la infor24

mación recibida en clase, el 10% mediante la lectura, el 20% si tiene un soporte audiovisual, el 30% si es de carácter deductivo, el 50% si se obtiene en un grupo de discusión, el 75% del resultado de ejercicios prácticos y el 90% de la información utilizada para enseñar a otra persona. Es decir, se corrobora lo que he aprendido por experiencia. Por tanto, para que se produzcan autoaprendizajes significativos es conveniente organizar actividades participativas para quienes deben aprender. Esa fue la base de la organización de las enseñanzas correspondientes a la experiencia que aquí describiré. Según las fechas fijadas para la ordenación académica del curso, pude disponer de 16 semanas lectivas (entre los meses de septiembre y febrero, ambos incluidos) para organizar las enseñanzas y los aprendizajes que debían llevarse a cabo (cuadro 1). Actividad

N.o de horas

Clases teóricas

Clases prácticas

Clases prácticas con ordenador

Exposiciones y seminarios

Tutorías colectivas

Aprendizajes autónomos

Trabajo autónomo individual

50,5

Avance autónomo individual

Evaluación

7,5

Total

168

Cuadro 1. Distribución horaria de los 6 créditos

ECTS correspondientes a Matemáticas I, grupo C, ETS de Ingeniería de Edificación, Universidad de Granada, curso 2011-2012 Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Una experiencia sobre los aprendizajes autónomos en el marco del Espacio Europeo de Educación Superior

En el cuadro 1 figuran los términos «aprendizajes autónomos», «trabajo autónomo individual» y «avance autónomo individual» con la estimación del tiempo que hice para cada una de estas actividades durante el curso al que me refiero. ¿A qué obedece su inclusión? ¿Qué significado tiene cada uno de ellos? Para dar respuesta a las preguntas anteriores, considero necesario reflexionar sobre tres aspectos estrechamente relacionados con la enseñanza universitaria: 1. Las características de los estudios universitarios. Teniendo en cuenta que la finalidad última de la educación superior es la formación de profesionales de alto nivel que puedan incorporarse con dignidad a los diferentes sectores productivos de sociedad para poder realizar su proyecto de vida personal en ella, y sin perder de vista el binomio enseñanza-aprendizaje, es aconsejable que la docencia sea ejercida por un profesorado altamente cualificado en su rama de conocimiento, que sepa vincular sus avances en investigación a las enseñanzas que imparte, y que sea plenamente consciente del momento evolutivo del estudiante cuyo trabajo, en ese momento de su vida, consiste en aprender. Desde este punto de vista, cobra especial interés la acción tutorial, la enseñanza enfocada a facilitar el nivel de autonomía que cada estudiante debe alcanzar y el establecimiento de los puentes necesarios para que pueda conseguir las metas que se hayan trazado en su proyecto de vida. En suma, la acción docente debe estar enfocada a orientar más que a dirigir, a ayudar a crecer de forma autónoma a quienes estudian para que alcancen el mayor grado de libertad que su esfuerzo y capacidad les permita, de modo que puedan seguir aprendiendo de forma continua a lo largo de sus Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Resulta sumamente útil desarrollar como estrategia metodológica el estudio de casos y la resolución de problemas

vidas, y a que aprendan a tomar decisiones y a trabajar de forma independiente o en colaboración con otros profesionales. Las estrategias de aprendizaje. Kirk, Bélise y McAlphine (2003), en sus investigaciones sobre los estudiantes de la Universidad de McGill, en Montreal (Canadá), consideran que deben ser competentes en: • Escribir textos, informes y relatos. • Hacer presentaciones orales, con o sin apoyos de recursos técnicos. • Leer informes, materiales de otros estudiantes y artículos especializados. • Implicarse en actividades de investigación, y en la resolución de casos y problemas. • Vincularse a pequeños grupos de trabajo con iguales. Los tres primeros aspectos están directamente relacionados con la competencia comunicativa, es decir, saber leer, hablar y escribir, ya que la comunicación es parte esencial en el desarrollo social humano. Para desarrollar esta competencia hay que organizar las correspondientes actividades de seminario, desarrollo de proyectos y defensa de los resultados que se obtengan. Los dos últimos implican el aprendizaje necesario para la iniciación a la investigación, para lo que resulta sumamente útil desarrollar como estrategia metodológica el estudio de casos y la resolución de problemas. El aprendizaje en términos de competencias. No se trata solo de saber, sino de saber hacer, en contextos diferentes. Debe tenerse muy en cuenta que, si bien el sistema de cré25

Innovación en la universidad

ditos es una novedad introducida a causa de nuestra incorporación al Espacio Europeo de Educación Superior, no lo es menos el hecho de que al conceder una calificación de 5 o más puntos a un alumno, la universidad certifica que ha adquirido las competencias que se establecen en el plan de estudios verificado por la ANECA. En el caso del grado que nos ocupa, son las que se muestran en el cuadro 2 de la página siguiente.

A partir de estas consideraciones es cuando cobran sentido los términos «aprendizajes autónomos», «trabajo autónomo individual» y «avance autónomo individual». El trabajo autónomo no es sino el reconocimiento formal del esfuerzo individual que debe realizar cada estudiante para transformar en conocimiento la información recibida en forma presencial en las clases, seminarios y tutorías, y en forma no presencial a través de la documentación que se le suministre o pueda obte-

Competencias básicas B01. Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, lo que se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio. B02. Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos, y la resolución de problemas, dentro de su área de estudio. B03. Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética. B04. Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado. B05. Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.

Competencias genéricas (instrumentales, personales, transversales) G01. Capacidad de análisis y síntesis. G05. Conocimientos de informática relativos al ámbito de estudio. G07. Resolución de problemas. G16. Aprendizaje autónomo. G28. Comprensión numérica.

Competencias específicas (ECI/3856/2007) EN03. Conocimiento aplicado del álgebra lineal. Cuadro 2. Competencias básicas y específicas para Matemáticas I, Grado de Ingeniería de Edificación, Universidad de

Granada

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Una experiencia sobre los aprendizajes autónomos en el marco del Espacio Europeo de Educación Superior

El aprendizaje autónomo implica asumir individualmente el control del proceso individual de aprendizaje de forma que se incremente el grado de autonomía personal ner por sus propios medios. Como sobre cualquier materia hay una enorme cantidad de información escrita, debemos seleccionar aquella que sea relevante para la formación de los estudiantes que han de aprenderla y hacer que pueda ser enseñada y, sobre todo, aprendida en el tiempo establecido. De ahí la enorme importancia que tiene reconocer que debemos dedicar menos tiempo a enseñar, y facilitar más a quien debe aprender. Sabemos que pensar sin trabajar es inútil, pero que trabajar sin pensar es peligroso. De ahí que surja la necesidad del aprendizaje autónomo. No basta con trabajar de forma autónoma durante el tiempo establecido. Se hace necesario que cada estudiante sepa planificar su aprendizaje y llevar a cabo su evaluación. Es decir, implica asumir individualmente el control del proceso individual de aprendizaje de forma que se incremente el grado de autonomía personal, tanto en su formación actual como en la futura. Un indicador del progreso de los aprendizajes autónomos es el avance autónomo. Es decir, el índice de desarrollo de la competencia en investigación y en resolución de problemas por uno mismo a partir de lo ya aprendido y apoyándonos en el conocimiento existente.

Organización de la enseñanza y el aprendizaje de la materia Lobato Fraile (2006), afirma: La mayor relación de modalidad «estudio y trabajo autónomo» se establece con los métodos «contrato de aprendizaje» según Knowles Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

(1982), y «aprendizaje orientado a proyectos» según Kolmos (1996), mostrando también una importante relación con «lección magistral» y «estudio de casos» según Abad (1991). Al compartir plenamente este enfoque, decidí organizar las enseñanzas de la materia que nos ocupa siguiendo el procedimiento que marca. El primer paso consistió, pues, en el establecimiento de un contrato didáctico. El primer día de clase, los tres profesores que impartirían la docencia al grupo de estudiantes presentaron la organización previamente acordada entre ellos. Se les hizo saber que se utilizaría el Tablón de Docencia como recurso virtual que suministra la Universidad de Granada mediante acceso identificado, para establecer contacto, tanto con el grupo como con cada una de las personas matriculadas oficialmente en la materia. En él se harían públicos los documentos necesarios para llevar a cabo las acciones docentes, así como las convocatorias de exámenes y las posteriores calificaciones, las tutorías colectivas, las sesiones de seminarios, las de presentación de aprendizajes autónomos y cuantas adaptaciones se realizasen a lo largo del periodo de docencia. Los tres primeros documentos fueron: 1. La Guía Docente de Matemáticas I para el curso 2011-2012. 2. Un resumen de dicha guía, que incluyó el programa de Matemáticas I, la bibliografía, una propuesta de sistema de evaluación a discutir en la primera clase y los nombres, horarios de tutorías y ubicación de los despachos de los tres profesores de Matemáticas I que estábamos asignados para el grupo (uno para teoría, otro para problemas y un tercero para problemas con ordenador); el cronograma con la planificación de los tiempos que se dedicarían a lo largo del cur27

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so a cada acción de enseñanza y de aprendizaje (clases teóricas y prácticas con los temas que se abordarían, sesiones de seminarios y tutorías colectivas, y tiempos estimados para aprendizaje, trabajo y avance autónomo). Un fichero titulado ¿Qué son las Matemáticas? en el que se mostraba la utilidad que tendría su estudio y posterior aprendizaje.

A estos tres documentos les fueron siguiendo los que desarrollaban completamente cada tema del programa, que incluían los fundamentos teóricos, los ejercicios y problemas –que se harían tanto en la pizarra de clase como mediante ordenador utilizando el software libre Maxima– y unos apéndices con la información básica para desarrollar los aprendizajes autónomos correspondientes a cada tema, a los cuales me referiré en el epígrafe siguiente. Consideramos que, con esta documentación, cada estudiante podría avanzar de forma adecuada. Tras la presentación en la primera clase del curso de toda la programación descrita, se solicitó la opinión del alumnado asistente con objeto de establecer los criterios que se llevarían a cabo definitivamente. Llegados a este punto, hay que señalar que las acciones previstas estuvieron coordinadas con las programadas por el resto del grupos del primer curso del grado, que contaban con profesorado diferente, de forma que se garantizasen unos objetivos y procedimientos docentes míniSi esta forma de proceder se restringe al ámbito de la enseñanza de una materia o asignatura de un profesor en un grupo de estudiantes, solo será un hecho anecdótico en la formación de dichos estudiantes

mos en todos ellos sin olvidar que es todo el equipo docente de una escuela técnica o facultad el que, coordinado, puede alcanzar los objetivos de aprendizaje que vengo exponiendo. Si esta forma de proceder se restringe al ámbito de la enseñanza de una materia o asignatura de un profesor en un grupo de estudiantes, solo será un hecho anecdótico en la formación de dichos estudiantes.

Organización de los aprendizajes autónomos Una vez establecida la forma en la cual se llevó a cabo el contrato didáctico con el grupo de estudiantes, pasaré a describir el segundo paso que propone Lobato Fraile (2006). Consiste en organizar las acciones docentes orientadas a desarrollar los aprendizajes autónomos en lo que se refiere al aprendizaje orientado a proyectos en los cuales tuviesen cabida los estudios de casos, la investigación y la resolución de problemas. En el cuadro 1 figura que se estimaron 18 horas para el aprendizaje autónomo. Para cada tema del programa con el que se desarrolla la materia, se establecieron unos proyectos sobre los cuales deberían trabajar los estudiantes y se hizo entrega escrita, en soporte digital y formato pdf, de unos apéndices documentales con los que el alumnado podía abordarlos. Cada proyecto consistía en ampliar el aprendizaje de forma autónoma sobre una serie de aspectos complementarios a los desarrollados en la docencia ordinaria hecha en las clases de teoría y problemas, y seminarios. ¿Qué procedimiento se eligió para desarrollar la competencia de saber trabajar en grupo?

Los 60 estudiantes del grupo se dividieron, por sorteo aleatorio realizado en clase, en subgrupos Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

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formados por tres personas. En algunos casos hubo que cambiar a alguna persona de un subgrupo a otro por razones justificadas. Al existir un número de estudiantes que, aun estando matriculados oficialmente, no asistían a las clases, a la vista de lo sucedido tras la primera convocatoria para presentar los aprendizajes autónomos, se reorganizaron los 20 subgrupos iniciales que se vieron reducidos a 12. Cada subgrupo debía hacer tres exposiciones en seminario al resto del grupo, una por cada uno de sus integrantes. Se valoraba la participación activa de las personas asistentes a las exposiciones mediante las preguntas que hacían, de forma que, en función de su grado de acierto, se aumentaba la calificación que les correspondiese en el apartado de aprendizaje autónomo. La asignación del proyecto que cada subgrupo debía desarrollar y después exponer se hacía por sorteo público en clase. Para ello, se numeraban los temas elegidos para el aprendizaje autónomo y se introducían en una «urna» unos trozos de papel, todos iguales e igualmente doblados, en los que estaban escritos los dígitos correspondientes. Por turnos, un representante de cada subgrupo sacaba un papel y, por ende, el tema que le correspondía estudiar a su subgrupo. En el día que se fijaba después, sería expuesto públicamente por uno de sus miembros. En el Tablón de Docencia se daba publicidad a los días, horas y lugar para las exposiciones. Cada alumno o alumna que debía exponer elegía los recursos materiales que consideraba necesarios para realizar su presentación. Por último, cada subgrupo debía entregar un resumen de su presentación en el que se incluiría la bibliografía utilizada en formato APA. El procedimiento seguido para las exposiciones de los temas anteriores consistió en que cada subgrupo elegiría la primera vez a uno de sus miembros para hacer la exposición del tema que les había correspondido; la segunda presentación debía hacerla Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Con el procedimiento seguido se pretendía que cada alumno o alumna desarrollase su competencia lectora y comunicativa uno de los dos miembros que aún no habían expuesto; y la tercera y última presentación correspondía hacerla a quien en las dos anteriores no lo había hecho. La exposición se haría durante un máximo de 25 minutos. Como se hicieron tres convocatorias para realizar las exposiciones de los aprendizajes autónomos, intervinieron los tres miembros de cada subgrupo. En resumen, con el procedimiento seguido se pretendía que cada alumno o alumna desarrollase su competencia lectora (al analizar la documentación que se le suministró y la que cada cual encontró a partir de la dada inicialmente) y su competencia comunicativa (al exponer sus conocimientos públicamente, defenderlos ante las preguntas del resto de estudiantes del grupo y escribirlos para entregarlos al profesorado). A modo de ejemplo, se incluyen en el cuadro 3 de la página siguiente los temas elegidos para los proyectos que debían trabajar los estudiantes como aprendizajes autónomos correspondientes al primer tema de la materia. ¿Cómo se realizó la evaluación correspondiente de los diferentes aprendizajes autónomos?

En el sistema de evaluación que se llevó a cabo, y que fue fijado en el contrato didáctico antes mencionado, se concedió un peso equivalente al 20% de la calificación total de la asignatura. Así mismo, se evaluaría el aprendizaje autónomo del alumnado (20% de la calificación) en dos sesiones de seminario previstas en el cronograma aludido. 29

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Proyectos para el aprendizaje autónomo (I) Proyecto 1. Vectores de R3 en cajas plásticas. Dependencia e independencia lineal. Bases y cambios de base. Subespacios vectoriales. Proyecto 2. Dimensión fractal. Dimensión de un edifico. Dimensión del edifico de la escuela. Proyecto 3. Producto escalar y sus aplicaciones. Generalización a Rn. Proyecto 4. Cambio de una base local a otra global en R3 haciendo uso de los ángulos de Euler. Proyecto 5. Matrices de probabilidad. Iteraciones. Proyecto 6. Potencias de una matriz cuadrada. Matrices de Leslie. Proyecto 7. Paseos, matrices de vecindad y de conexiones. Proyecto 8. Paseos por los puentes de Königsberg. Paseos por las instalaciones provisionales de una obra de edificación. Proyecto 9. Conexiones entre ciudades. Conexiones entre las instalaciones provisionales de una obra de edificación. Proyecto 10. Matriz de rigidez de una viga. Matriz de elasticidad. Cuadro 3. Temas para los proyectos para aprendizajes autónomos correspondientes al primer tema de la materia (ETS

de Ingeniería de Edificación, Universidad de Granada, Matemáticas I, curso 2011-2012, grupo C)

Para superar la asignatura debían alcanzarse unas notas mínimas en cada una de las cuatro partes que componen la evaluación. Para que se sumaran dichas puntuaciones, cada estudiante debía ser calificado con, al menos, un 1 en cada una de las partes. Esto supone, como mínimo, tener que aprobar tanto la resolución de problemas con los ordenadores como los aprendizajes autónomos; mientras que, tanto en teoría como en problemas, se podía alcanzar una nota mínima del 20% de las notas. Quienes solo alcanzasen notas mínimas llegarían a sumar un 4 y estarían suspensos. En cambio, si solo alcanzaban los mínimos en teoría y problemas, les bastaría con sacar un 3 entre ordenadores y aprendizajes autónomos para aprobar. Si la evaluación de los aprendizajes autónomos hechos durante el curso resultaba positiva (es decir, si habían superado el mínimo exigido), 30

la puntuación correspondiente seguiría sumando en la nota de septiembre (después no, porque hay un nuevo curso de por medio y todo debía rehacerse). Si no fuese así, tendrían el verano para trabajar y volver a examinarse de los conocimientos correspondientes a los aprendizajes autónomos respondiendo por escrito a preguntas que se harían sobre ellos. Así, las puntuaciones y mínimos serían siempre los mismos. Si se compara esta puntuación (2 puntos sobre 10), en porcentaje un 20%, con el correspondiente al tiempo estimado para el aprendizaje autónomo por estudiante (18 horas) en comparación con el total de horas contempladas en la programación (168 horas), que es de un 10,7%, se deduce que está valorado casi al doble de la que pudiera corresponderle. ¿A qué obedece esta prima en la calificación? Obedece al hecho de que, con un aprobado, notable, sobresaliente o Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

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matrícula de honor, no se certifica solo el grado de conocimiento de la materia, sino que, además, quienes hayan obtenido una de dichas calificaciones en la asignatura, son competentes, al menos, en lo que se especifica en el cuadro 2. Por lo tanto, se hace necesario incorporar estrategias metodológicas con las que se facilite el desarrollo y adquisición, tanto de las competencias básicas como de las específicas. Obsérvese que las competencias relacionadas directamente con el aprendizaje autónomo son las que van desde la B01 a la B05 y la G16.

Conclusiones La evaluación final fue la siguiente: 28 no presentados, 17 suspensos y 15 aprobados. Al comienzo de este artículo, se reflejaban las características generales del grupo de estudiantes de las que se deduce que los resultados obtenidos eran previsibles. Resulta evidente que el enorme esfuerzo realizado por el profesorado del grupo no fue suficiente para que se produjesen aprendizajes significativos, ni en número ni en calidad suficiente. Sin embargo, la metodología seguida se corresponde con el principal de los objetivos que el Espacio Europeo de Educación Superior pretende: aprender a aprender. Dicho lo anterior, cabe destacar que se trataba de estudiantes de primer curso del grado, que se impartió en el primer semestre del curso, que no existía una gran motivación por la realización de los estudios en los que se habían matriculado, que existía un enorme vacío entre los conocimientos previos y los que debían ser objeto de aprendizaje, que no habían leído ni escrito nunca nada de contenido matemático y, menos aún lo habían defendido públicamente, que no habían sido protagonistas de su aprendizaje en su etapa preuniversitaria, y que en el resto de las asignaturas del primer curso del grado en Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

El enorme esfuerzo realizado por el profesorado del grupo no fue suficiente para que se produjesen aprendizajes significativos, ni en número ni en calidad suficiente

Ingeniería de Edificación no se abordaron los aprendizajes autónomos. A pesar de ello, siguiendo a Wrigley (2007), invité al grupo a «ir más allá de las prácticas cotidianas», «de lo realizado», «intentarlo», «romper esquemas», «hacer frente a lo desconocido». Solo un número muy reducido de estudiantes consiguió progresar en su aprendizaje autónomo: dos obtuvieron la calificación de 2 puntos (la máxima), otros cinco fueron calificados con 1,5 puntos y nueve más con 1 punto. El resto obtuvo calificaciones inferiores a 1, es decir, se dedicó a realizar la tarea enfocando su «esfuerzo» solo a aprobar y no a aprender. En suma, reconociendo que los resultados obtenidos fueron deficientes, mi conclusión es que estamos muy lejos de lograr que nuestros estudiantes entiendan los beneficios que el trabajo autónomo, en general, aporta; estamos demasiado aislados en los departamentos. Quienes creemos que nuestra práctica docente debe mejorar si transitamos por el camino de guiar en lugar de sólo enseñar estamos muy lejos de que los equipos docentes sean una realidad que vaya más allá de la elaboración de informes con los que cubrir el trámite de las exigencias que el seguimiento de las garantías de calidad exige.

Nota 1. La materia se distribuye en un programa clásico de álgebra lineal de primer curso de escuelas técnicas: matrices y sistemas, espacios vectoriales, diagonalización de matrices cuadradas, cóni-

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cas y cuádricas y estadística. La nota de corte con la que ingresaron en la escuela 350 nuevos estudiantes fue de 5 puntos sobre 14 posibles, lo que hizo posible que accediesen al grado alumnos y alumnas que lo habían solicitado como última opción. Como hechos singulares, deseo dejar constancia de dos que acaecieron en el grupo que yo impartí. El primero es que en él se encontraba una alumna procedente del bachillerato de arte; y el segundo, que en el mes de noviembre se incorporaron los dos últimos alumnos que habían decidido abandonar el grado en ingeniería informática en el que se habían matriculado al comenzar el curso e incorporarse al de ingeniería de edificación.

Alcalá. Alcalá de Henares. Universidad de Alcalá. «Real Decreto 1393/2007, de 29 de octubre, por el que se establece la ordenación de las enseñanzas universitarias oficiales». Boletín Oficial del Estado (30 de octubre). «Real Decreto 99/2011, de 28 de enero». Boletín Oficial del Estado (10 de febrero). «Real Decreto 861/2010, de 2 de julio». Boletín Oficial del Estado (3 de julio). RUÉ, J. (2009): El aprendizaje autónomo en educación superior. Madrid. Narcea. WRIGLEY, T. (2007): Escuelas para la esperanza. Una nueva agenda hacia la renovación. Madrid. Morata.

Referencias bibliográficas ABAD, D. (1991): El método de los casos. Bogotá. Interponed. KIRK, A.; BÉLISLE, M.; MCALPHINE, L. (2003): «Successful Strategies for Learning in Engineering». Results of Student Survey, marzo. KNOWLES, M.S. (1982). El estudio autodirigido. México. Alhambra. KOLMOS, A. (1996): «Reflections on project work and problem based learning». European Journal of Engineering Education, vol. 21(2), pp. 141-148. LANG, H.; MCBEATH, A. (2010): Fundamental principles and practices of teaching: A practical theory-based approach to planning and instruction. Fort Worth. HBJ-Holt. LOBATO FRAILE, C. (2006): «Estudio y trabajo autónomo del estudiante», en DE MIGUEL (dir.): Métodos y modalidades de enseñanza centradas en el desarrollo de competencias. Madrid. Alianza Universidad. MARGALEF, L. (2007): Estrategias de innovación docente para favorecer el aprendizaje autónomo de los estudiantes de la Universidad de

Referencias del autor Rafael Pérez Gómez Departamento de Matemática Aplicada. ETS de Arquitectura. Universidad de Granada rperez@ugr.es Líneas de trabajo: simetría del color, elección social, autoprotección del patrimonio histórico y educación matemática. Este artículo fue solicitado por UNO. REVISTA

DIDÁCTICA

DE LAS

MATEMÁTICAS en enero de 2013 y aceptado en abril de 2013 para su publicación.

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

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El uso de materiales manipulativos en la enseñanza universitaria

El uso de materiales manipulativos en la enseñanza universitaria no está extendido. En este artículo, exponemos nuestra experiencia al utilizar juegos de agujas, huevos y naipes en las aulas. Aun sin tener resultados concretos por el escaso número de alumnos con el que se ha llevado a cabo la experiencia, hemos detectado una mayor motivación en el seguimiento de la asignatura y un inicio de participación de los estudiantes. Los materiales se han utilizado para presentar cuestiones teóricas en cálculo integral y como modelo para apelar a la intuición en el caso de las asignaturas de probabilidad y estadística. The use of hands-on materials in university teaching Little use is made of hands-on materials in university teaching. In this paper we set out our experience of using games with needles, eggs and playing cards in class. Although the small number of students who carried out the experience makes it hard to present any detailed findings, we have seen greater student motivation and involvement. The materials were used to present theoretical questions in integral calculus and to serve as a model to encourage intuition in the case of the subjects of probability and statistics.

El uso de materiales en la enseñanza universitaria no está muy extendido. El temario va muy ajustado en tiempo y habitualmente no hay tradición en el uso y manipulación de materiales, con la excepción de la realización de prácticas con ordenador en aulas de informática (que no es manipulación de materiales en sentido propio). Parecía que la entrada en el Espacio Europeo de Educación Superior (en lo sucesivo, el EEES) iba a fomentar una enseñanza en grupos reducidos, más personalizada y en la que se sustituiría la lección magistral por una participación mucho más activa del propio estudiante. Por ese motivo, Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | pp. 33-40 | julio 2013

Fernando Blasco Universidad Politécnica de Madrid

Palabras clave: cálculo integral, juguetes, huevos, azar, naipes.

Keywords: integral calculus, toys, eggs, chance, playing cards.

pensamos en cómo emplear materiales complementarios en la exposición de los temas. Lamentablemente, la actual situación económica de España no ha permitido llevar a cabo el plan Bolonia de acuerdo con el modo en que originalmente se había concebido, y a eso debe sumarse la escasa preparación que tienen los estudiantes para trabajar de forma autónoma: se les ha dirigido en su estudio desde los primeros niveles educativos y cuando llegan a la universidad son muy dependientes de la labor del profesor. A pesar de todas estas limitaciones, hemos empezado a utilizar materiales en nuestras clases 33

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El objetivo fundamental de la utilización de materiales en las clases ha sido que, tocando los objetos que aparecen en exposiciones teóricas, diapositivas y ecuaciones, los alumnos puedan acercarse un poco más a los conceptos abstractos con el objetivo fundamental de que, tocando los objetos que aparecen en exposiciones teóricas, diapositivas y ecuaciones, puedan acercarse un poco más a los conceptos abstractos. La experiencia se ha llevado a cabo con un grupo «normal» de estudiantes de grado y un grupo reducido de estudiantes de máster (mucho más motivados que los estudiantes de grado). Es importante destacar que los materiales y métodos que se describen en este artículo se han utilizado en una clase a la que asisten regularmente unos 55 alumnos, matriculados en el Grado en Ingeniería Forestal de la Universidad Politécnica de Madrid. Estos estudiantes no han obtenido una nota de acceso elevada en las Pruebas de Acceso a la Universidad, ni están especialmente motivados por el aprendizaje de las matemáticas. Los alumnos de máster tienen una formación matemática básica (cálculo diferencial e integral en una y varias variables, álgebra lineal, ecuaciones diferenciales y estadística). En la asignatura en la que se han utilizado estos materiales, procurábamos enseñarles programación, orientada posteriormente al diseño y estudio de modelos matemáticos. Somos conscientes de que la muestra debe ser mejorada y que debe repetirse la experiencia para medir su efectividad; no obstante, creemos interesante difundir el uso de estos y otros materiales, con un universo mayor de estudiantes y en un más amplio espectro de titulaciones. 34

Ideas para introducir la integración múltiple Uno de los conceptos que aparecen en el programa de cualquier asignatura de cálculo (o análisis) de una carrera de ciencias o de ingeniería es el cálculo integral. Si bien el concepto de integral en una variable se asimila bien introduciéndolo como el área de la región limitada por una curva y el eje OX, cuesta un poco más interpretar qué es una integral de varias variables y los elementos que intervienen en su estudio: trabajamos con particiones, sumas superiores, sumas inferiores, supremos e ínfimos. En el caso de las carreras que necesitan una profunda formalización y análisis (matemáticas o física), es necesario llegar a explicar con detalle este concepto, pero en el caso de una carrera de ingeniería, a la que además han dejado muy pocas horas de clase de matemáticas, parece que es mucho más conveniente dar simplemente la idea de qué es la integral de Riemann, pero situarnos unos siglos antes y quedarnos con la idea de integral de Cauchy. Al final, las funciones que van a aparecer en las clases (en las de matemáticas y en las de otras asignaturas técnicas como física, mecánica, electrotecnia, hidráulica...) no van a ser funciones patológicas, con lo que para estos alumnos, calcular una integral será equivalente a encontrar una primitiva y evaluar posteriormente en los extremos del intervalo de integración, según la regla de Barrow. Además, dado que se trata de estudiantes de ingeniería, el cálculo numérico también es importante y debe ocupar un lugar destacado en la enseñanza de las matemáticas del siglo XXI. Aproximar funciones de una variable y hablar de los métodos clásicos de integración numérica (rectángulos, trapecios o Simpson) no se hace demasiado complicado, ya que podemos dibujar en una pizarra. En el fondo, la gráfica de las funciones con las que estemos trabajando se Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

puede representar en el plano de la pizarra. La complicación aparece al introducir la integral en varias variables, por lo que hemos empezado a utilizar objetos en las clases. Hemos complementado la utilización de materiales con las gráficas que aparecen en el texto de Rogawski (2012), que también ha sido la referencia utilizada para todo lo relacionado con el cálculo en varias variables que se menciona en este artículo. La aproximación de una función de dos variables (cuya gráfica es un subconjunto de R3) puede modelarse con un juego de agujas. Hay varias versiones de estos juegos pero todas ellas son estupendas para poder aproximar una función (imagen 1). Ahí vamos a ver la aproximación por rectángulos y, si podemos medir las alturas a las que quedan las agujas, podremos estimar el volumen de determinados objetos sin más que medir las alturas a las que sobresalen, multiplicar el área de cada uno de los cuadrados que conforman la partición y sumar. Obviamente, cuantas más agujas tenga nuestro juguete, mejor será la aproximación. De este modo podemos introducir las particiones del área de integración. Si trabajamos con una partición que es más fina, se obtendrán mejores resultados que cuando trabajamos con una partición menos fina.

Principio de Cavalieri y teorema de Fubini Utilizando el principio de Cavalieri se puede evaluar el volumen de un sólido con secciones cono-

La complicación aparece al introducir la integral en varias variables, por lo que hemos empezado a utilizar objetos en las clases

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El uso de materiales manipulativos en la enseñanza universitaria

Imagen 1. Juego de agujas

cidas. Esa es una de las primeras cuestiones que abordamos al introducir la integración múltiple. De hecho, los alumnos son capaces de aprender cómo se hace sin saber por qué es correcto. Para presentar esta cuestión, sugerimos ir a la charcutería. En efecto, pediremos que nos corten un trozo de salchichón en rodajas muy finas. Si reordenamos ese loncheado, obtendremos un cuerpo con el mismo volumen y distinta forma (imagen 2). Podemos añadir imaginación a nuestras ideas y diseñar formas que, aun teniendo el mismo volumen, no son propiamente cilindros. Sabemos que los volúmenes son iguales porque conocemos el proceso con el que se han construido. Además, como hemos comprado el salchichón al peso, sabemos que el volumen del cuerpo resultante tiene que ser el mismo (y si alguno se resiste a creerlo, puede volver a pesar el producto). 35

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Imagen 2. Salchichón loncheado

Imagen 3. Huevos cortados

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modo en que hemos introducido esta idea en el aula también involucra alimentos: hemos llevado al aula huevos duros y un «cortahuevos», un aparato con alambres que permite cortar los huevos en rodajas más o menos finas. En clase hemos tomado un huevo cocido y lo hemos colocado «a lo largo», lo que nos ha permitido cortarlo de forma que las secciones sean más o menos circulares. Posteriormente, hemos colocado otro huevo en el aparato, «a lo ancho», y al cortarlo nos han resultado secciones con forma de óvalo. No escapa a nadie que el volumen del huevo será el mismo, independientemente de que lo consideremos cortado en secciones circulares o en secciones ovaladas (esto es, resulta indiferente que cortemos en un sentido o en el otro). Si quisiéramos aproximar el volumen del huevo, únicamente tendríamos que sumar los volúmenes de las «rodajas cilíndricas» que resul-

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Esta idea abunda en el método de los indivisibles de Cavalieri. Calcular el volumen del salchichón es más monótono, pero estimar el volumen de un morcón, que tiene una forma mucho más irregular, o de una patata, puede ser mucho más interesante. El propio material que acabamos de utilizar nos sirve para volver a poner ejemplos de particiones y observar lo fina que puede ser una partición (a veces, sobre todo en las lonchas incluidas en los bocadillos comprados, encontramos ejemplos perfectos de la idea de diferencial, ya que las rodajas son prácticamente transparentes debido a su escaso grosor, por tanto escaso volumen y por ello una aproximación excelente a la idea de diferencial de volumen). Una generalización del Principio de Cavalieri es el Teorema de Fubini, fundamental en esa materia, puesto que es el que permite justificar el cambio de orden en la integración. El

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tan al cortar, y nos daría igual la orientación de los cortes. Análogamente, si en vez de calcular el volumen quisiésemos calcular la masa, nos daría igual hacerlo de una forma o de otra: simplemente sumaríamos la masa de cada una de las rodajas. Trabajar con la masa en vez del volumen es más interesante porque estamos ante un problema en el que «integramos» una función que no es constante, ya que la yema tiene densidad distinta de la de la clara. Esta idea acerca el concepto de integración tridimensional. Un ejercicio que se puede proponer es aproximar el volumen del huevo utilizando esos cortes.

Tetraedros, pirámides, caleidoscopios y cubos soma Hemos aprovechado la colección de puzles matemáticos que utilizamos durante la Semana de la Ciencia con estudiantes de secundaria y bachillerato para que los alumnos puedan manejar sólidos y hacerse una idea de cómo son sus secciones y cómo se pueden descomponer en otras figuras. También hemos utilizado puzles de disección en figuras planas. Todo ello con el objetivo de que aumente su motivación al mismo tiempo que practican cómo diseccionar figuras. Un mayor conocimiento geométrico les ayudará a ser capaces de parametrizar tanto curvas como figuras planas y tridimensionales. Estas ideas son fundamentales en el cálculo integral. Tenemos caleidoscopios que permiten ver los cinco poliedros regulares. Experimentando con ellos se acostumbra a explorar las simetrías de estas figuras, lo que hace que puedan simplificar el cálculo de una integral, reduciendo adecuadamente el dominio de integración. Al menos el día que llevamos los poliedros para su uso en clase desarrollan su intuición matemática. Lamentablemente, no hay tiempo en las nuevas asignaturas para profundizar en el uso de estos Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Experimentando con calidoscopios se acostumbra a explorar las simetrías de poliedros irregulares, lo que hace que puedan simplificar el cálculo de una integral

materiales, aunque estas figuras geométricas volverán a aparecer en problemas de mecánica o cálculo de estructuras.

Paraboloides e hiperboloides Los objetos que aparecen con más frecuencia en las actividades de cálculo integral son cuerpos relacionados con las superficies cuádricas. En nuestro caso, las cuádricas se estudiaban en la asignatura de álgebra lineal (fundamentalmente su clasificación, pero era la materia en la que se introducían y además estaba coordinado en el tiempo con el momento en que se tenían que utilizar en cálculo infinitesimal). La nueva situación ha hecho que nos replanteemos el momento en el que se introducen, ya que es conveniente que conozcan estas superficies, puesto que son frecuentemente utilizadas en el diseño de objetos cotidianos. Además, son los principales ejemplos de figuras sobre las que tendrán que integrar. Intentamos que los estudiantes puedan al menos ser capaces de reconocer estas superficies cuádricas. Hemos llevado al aula cilindros hechos con gomas elásticas, que mediante torsión se convierten en un hiperboloide y en los que se puede llegar a intuir que, si seguimos girando, podríamos llegar a obtener un cono. También hemos llevado una estructura zome preparada para obtener una superficie jabonosa con forma de paraboloide hiperbólico (no nos hemos atrevido a dejar a los estudiantes tocar el líquido en el aula) y hemos mostrado (y distribuido, para que lo toquen, 37

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Imagen 4. Paraboloide hiperbólico

vean y recuerden) un paraboloide hiperbólico hecho con gomas elásticas y un bastidor en forma de cuadrado, agujereado. Probablemente, el curso próximo nos atreveremos a que sean los estudiantes quienes tengan que construir estos objetos, en vez de que simplemente vean y manipulen cuerpos ya prefabricados. Una referencia fundamental en este sentido es el manual de Alsina (2004). Nos ha faltado llevar al aula elipsoides y paraboloides elípticos (imagen 4). Quizás son objetos más conocidos por los estudiantes y simplemente haciendo referencia a sus características y propiedades, junto con la mención de algunos objetos que poseen esa forma, hemos introducido este tema. Afortunadamente, casi todos los libros de cálculo con geometría analítica tienen bien cubierto este capítulo y los estudiantes pueden complementarlo por ellos mismos.

en un plano paralelo o cómo la transforma cuando el teléfono está oblicuo. Con esto hemos introducido las homotecias. La segunda parte del experimento consiste en cómo «enderezar» una imagen que ha sido tomada con un teléfono móvil sin estar paralelo al objeto que se pretendía fotografiar. Para ello hemos utilizado el programa de dominio público Gimp y las herramientas que permiten transformar rectángulos en trapecios o romboides y viceversa. La idea de qué representan los autovalores en una matriz bidimensional queda mucho más clara de este modo.

Más elementos utilizados: naipes, azar, probabilidad y torres de Hanoi Otro de los elementos que hemos utilizado con nuestros estudiantes es una baraja de cartas. Es muy fácil de conseguir e incluso muchos de ellos la llevan habitualmente a la universidad. Los naipes nos permiten construir modelos sencillos de combinatoria y probabilidad. Podemos comprobar experimentalmente algunos resultados. Como indicábamos en la introducción, estos temas se han trabajado con alumnos con un perfil diferente; son graduados y están cursando un máster en investigación forestal avan-

Esto ha sido una simple idea, puesto que en nuestro programa no aparece nada de geometría proyectiva, sino que nos quedamos en la geometría afín. Aun así, hemos utilizado teléfonos móviles, cuadrados y cuadrículas para estudiar los distintos sistemas de referencia (imagen 5): cómo la cámara detecta una cuadrícula siempre que esté 38

Fernando Blasco

Geometría y teléfonos móviles

Imagen 5. Cuadrado blanco en cuadrícula

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

El uso de materiales manipulativos en la enseñanza universitaria

zada. Nuestra asignatura de métodos matemáticos tiene un módulo dedicado a probabilidad. Aunque casi todo lo que se hace es computacional (los estudiantes aprenden a programar y utilizan el software estadístico R) detectamos que tienen carencias importantes en el cálculo básico de probabilidades. Como ejemplo importante (casi obligado en la cultura de una persona adulta) hemos trabajado la paradoja de Monty Hall (Rosenhouse, 2009). Aunque en los círculos matemáticos este resultado es bastante conocido, nuestros estudiantes no habían oído hablar de ella. Con la baraja simulamos el experimento: trabajábamos con dos ases y una figura. Mezclábamos las tres cartas, mirábamos para ver su situación (sin que los alumnos vieran la colocación) y finalmente les pedíamos que eligiesen una de las cartas. A continuación enseñábamos uno de los ases (por eso debemos saber cómo han quedado las cartas tras la mezcla) y preguntábamos si querían cambiar la elección original o no. Tras cada una de las repeticiones del experimento, apuntábamos qué ocurría si se elegía «cambiar» o si se elegía «no cambiar. Este procedimiento nos permitió generar un número suficiente de datos y fuimos capaces de estudiar la frecuencia relativa de éxito tanto cuando cambiábamos como cuando no cambiábamos. Así, nos aproximamos al resultado de que la probabilidad de acertar cuando se elige cambiar es el doble de la que tendríamos si no cambiásemos. Este ejemplo es muy bueno porque, en general, los adultos no tenemos una buena intuición probabilística. Los estudiantes pensaban que la probabilidad de acierto era independiente de cambiar o no cambiar y comprobaron experimentalmente que no era así. Posteriormente, les pedimos que programasen una simulación del experimento en R. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Los estudiantes entienden cómo funcionan las probabilidades en este caso de un modo mucho más sencillo que estudiando directamente el problema de Monty Hall Hay varias formas de explicar por qué ocurre ese resultado contrario a la intuición y quizá es más sencillo comprenderlo utilizando otra paradoja: la paradoja de las cajas de Bertrand. Podríamos haber presentado este problema usando cajas y bolas, como en el problema original, pero en clase lo hemos hecho utilizando unas cartas especiales, de forma similar a como propone Martin Gardner (1981): hemos utilizado una carta que es azul por las dos caras, otra que es roja por las dos caras y una tercera que es por un lado roja y por el otro lado azul. Las cartas se mezclan, se introducen en una bolsa y se pide al estudiante que saque una, con cuidado de que vea solo una de las caras. Se le pide que diga cuál es el color de la cara oculta. En realidad, este problema es equivalente, en algún sentido, al problema de Monty Hall, pero mucho menos conocido. Además es más sencillo comprender por qué el resultado es el que es (deliberadamente no queremos incluir aquí la solución, para que los lectores no habituados a este ejemplo puedan disfrutar con él). Los estudiantes entienden cómo funcionan las probabilidades en este caso de un modo mucho más sencillo que estudiando directamente el problema de Monty Hall. Como comentábamos, la misma asignatura tiene un módulo dedicado a la programación. Antes de comenzar con la idea de recursividad, dejamos a los estudiantes que se entretuvieran intentando resolver el problema de las Torres de Hanoi, a mano. Con eso se dieron cuenta de la 39

Innovación en la universidad

estrategia que debían seguir sus movimientos y también de que se puede llegar a la solución si se conoce la solución para el caso en el cual hay una pieza menos en la torre y cómo llegar a ese caso. Esto es, llegan por ellos mismos a la idea de recursividad. Programarlo en el ordenador es otro problema, pero la manipulación los ha ayudado a darse cuenta de cuáles son en realidad las variables que deben tener en cuenta y a formular el procedimiento.

Conclusiones Puede parecer infantil que los estudiantes universitarios utilicen estos materiales tan simples. El problema es que no los han utilizado en etapas anteriores y les ha sorprendido hacerlo. Si hubieran tenido experiencia previa en la manipulación de objetos probablemente habríamos podido utilizar elementos más complejos con ellos, lo que habría aumentado su aprendizaje. Como indicábamos en la introducción al artículo, todavía no ha pasado un gran número de cursos desde la adopción de estas prácticas, ni tampoco contamos con muchos estudiantes. Pero, en cualquier caso, nuestra percepción como expertos es positiva. Los alumnos entienden mejor los conceptos matemáticos cuando pueden asociarlos a algo manipulable y concreto. Sería deseable compartir experiencias similares entre profesores de matemáticas. Si bien es cierto que los estudiantes de ingeniería o arquitectura están acostumbrados a tocar materiales o realizar maquetas en cursos avanzados, la tradición y unos programas demasiado cargados impiden que se haga en los primeros cursos. Una de las desventajas principales es el tiempo de clase que se consume con la realización de actividades manipulativas, aunque al final hemos podido llegar a cumplir con el 40

mismo programa que el resto de grupos que no utilizaban esta metodología.

Referencias bibliográficas ALSINA, C. (2004): Manual de recursos didácticos de Geometría para colaboradores del Gabinet Gaudí [en línea]. Barcelona. La Pedrera. <www.lapedrera.com/lapedreraeducacio/cast/ge ometria_manual.pdf>. GARDNER, M. (1981): Inspiración. ¡Ajá! Barcelona. Labor. ROGAWSKI, J. (2012): Cálculo. Varias variables. Barcelona. Reverté. ROSENHOUSE, J. (2009): The Monty Hall Problem: The remarkable story of math's most contentious brain teaser. Nueva York. Oxford University Press.

Referencias del autor Fernando Blasco Departamento de Matemática Aplicada a los Recursos Naturales. ETS de Ingenieros de Montes. Universidad Politécnica de Madrid fernando.blasco@upm.es Líneas de trabajo: divulgación matemática, ciencia y sociedad. Este artículo fue solicitado por UNO. REVISTA

DIDÁCTICA

DE LAS

MATEMÁTICAS en enero de 2013 y aceptado en abril de 2013 para su publicación.

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Innovación en la universidad

La enseñanza de las matemáticas y el estímulo a la creatividad

En el presente artículo se reflexiona sobre la importancia de estimular la creatividad de los estudiantes en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, y se propone como medio para ello poner énfasis en el estímulo a plantear preguntas y a crear problemas. Son formas de aportar al aprendizaje y a la profundización de conceptos, de apreciar la belleza de las matemáticas y de sentir que es posible contribuir a su permanente expansión. Mathematics teaching and stimulating creativity This paper looks at the importance of stimulating students’ creativity when teaching and learning about mathematics and suggests putting the emphasis on the stimulus of asking questions and setting problems. These are ways of contributing to learning and understanding concepts more deeply, appreciating the beauty of mathematics and feeling that it is possible to help expand it constantly.

Los avances científicos y tecnológicos y los problemas que se van presentando en nuestras sociedades requieren que los ciudadanos en general y los profesionales en particular tengamos un rol más protagónico en la resolución de problemas y en la producción de conocimientos. Convertir la información en conocimientos requiere creatividad, razonamiento lógico, capacidad para identificar y resolver problemas, capacidad de autoaprendizaje y manejo de la información con criterios científicos. Una adecuada enseñanza de la matemática estimulará y desarrollará estas capacidades y es fundamental contar en nuestra sociedad con profesores que, además de conocimientos y habilidades matemáticas, tengan estas capacidades y sepan trasmitirlas vivencialmente a sus alumnos, Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | pp. 41-49 | julio 2013

Uldarico Malaspina Pontificia Universidad Católica del Perú

Palabras clave: creatividad, crear problemas, plantear preguntas.

Keywords: creativity, setting problems, asking questions.

usando métodos que vayan más allá de las clases meramente expositivas o de las tareas rutinarias.

Formación e investigación en la universidad Son universalmente conocidos, aceptados y promovidos los roles de formación (enseñanza) e investigación en la universidad. Lo que urge es

Convertir la información en conocimientos requiere creatividad, razonamiento lógico, capacidad para identificar y resolver problemas, capacidad de autoaprendizaje y manejo de la información con criterios científicos 41

Innovación en la universidad

establecer políticas eficientes de desarrollo interactivo de estos roles, de cara al nuevo tipo de sociedad que se va configurando. La investigación es esencial en la universidad. La producción de conocimientos es vital en la sociedad del conocimiento y la información y, por eso mismo, es sumamente importante que haya una interacción estrecha entre los roles de formación e investigación en la universidad: • Enseñar lo que se investiga. Son las maestrías y doctorados donde más se cumple o debe cumplirse, aunque sin carácter exclusivo. • Enseñar a investigar. Es una tarea inherente a la institución universitaria, aunque es propia de la educación en todos los niveles. Enseñar a investigar no debe restringirse a los cursos de métodos de investigación que se imparten en casi todas las especialidades, pues la investigación está estrechamente ligada con la curiosidad científica y con la creatividad, que deben ser estimuladas desde la educación infantil. Enseñaremos a investigar en la medida en que estimulemos en nuestros alumnos la capacidad de construir sus conocimientos, de plantearse y plantear preguntas adecuadas, de identificar problemas, de resolver problemas y de crear problemas. ¿Lo estamos haciendo en la universidad? ¿Es posible ha-

Enseñar a investigar no debe restringirse a los cursos de métodos de investigación que se imparten en casi todas las especialidades, pues la investigación está estrechamente ligada con la curiosidad científica y con la creatividad, que deben ser estimuladas desde la educación infantil

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cerlo si la forma predominante de enseñar es la clase magistral tradicional? Es fundamental profundizar investigaciones sobre la calidad de éstas, las formas de mejorarlas y las alternativas posibles. Weber (2004) considera que la clase magistral tradicional de matemáticas es orientada por contenidos de comunicación en un solo sentido, usando el formato definición-teorema-demostración (DTD). El gran número de alumnos en las aulas de pregrado contribuye a que sea la clase expositiva el modo de enseñanza que más se adopte, lo cual compromete a hacer mayores esfuerzos personales e institucionales para innovarla. Investigar qué y cómo se enseña. En las universidades en el campo de las matemáticas, investigar qué y cómo se enseña es de gran urgencia en el marco del creciente desarrollo científico tecnológico, pero es relativamente poco lo que se encuentra en la literatura, y es poco usual que esté considerado entre las investigaciones prioritarias en las universidades. Una muestra de ello es la predominancia de las clases expositivas y el poco cambio en los contenidos de matemáticas en los cursos. Evidentemente, hay temas matemáticos básicos infaltables en la formación de los profesionales y varían en cantidad y profundidad según las especialidades. Los contenidos son un factor muy importante en el diseño de los planes de estudio, pero generalmente resultan siendo el factor fundamental y se descuida la atención a cómo debe desarrollarse la enseñanzaaprendizaje, al estímulo a usar creativamente los contenidos y a cultivar los procesos de pensamiento matemático y de autoaprendizaje. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

La enseñanza de las matemáticas y el estímulo a la creatividad

Creatividad y pensamiento matemático En diversas ocasiones, antes de desarrollar un taller con profesores o de dar una conferencia sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, he pedido a los participantes que libremente y sin pensar demasiado, digan en voz alta palabras que se relacionen con matemáticas. La intención era auscultar someramente la concepción que tenían de las matemáticas. La palabra creatividad, cuando algunas veces fue dicha, no estuvo entre las primeras. Esto es consistente con lo que afirma Pehkonen (1997, p. 63): «Comúnmente, la gente piensa que creatividad y matemáticas no tienen nada que hacer una con otra». Al tratar con profesores el tema de creatividad, los estímulos para que los niños sean pensadores creativos parecen centrarse más en disciplinas que no están relacionadas con las matemáticas, como ser imaginativos en la redacción de ensayos, en obras de arte, en el diseño de páginas web, en proyectos de ciencias o ciencias sociales (Chan, 2008, p. 208). A los matemáticos educadores nos cuesta creer que no se relacione creatividad por lo menos con la resolución de problemas, que es sustancial en las clases de matemáticas; sin embargo parece coherente con una concepción de la matemática centrada en el pensamiento deductivo, en operaciones y algoritmos, y en la resolución de problemas reducida a problemas cerrados, con obtención de resultados predeterminados. Bishop (1981) sostiene que en matemáticas se necesitan dos modos de pensamiento muy diferentes y complementarios: el pensamiento creativo, para el cual la «intuición» es lo típico, y el analítico, para el cual la «lógica» es lo típico. La verbalidad, que es unidimensional, está relacionada a la lógica; y la visualidad, que usualmente Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Polya (1962) considera dos aspectos fundamentales en el conocimiento matemático: información y «saber cómo» (know-how), y le da especial importancia al segundo, precisando que con él se refiere a la habilidad para resolver problemas que requieren independencia, juicio, originalidad y creatividad

es bidimensional o tridimensional, está vinculada a la intuición. Este planteamiento nos da una pauta para examinar nuestras clases, pues estimularemos poco el pensamiento creativo si en las clases de matemáticas enfatizamos la verbalidad y no damos lugar a que el estudiante intuya resultados o demostraciones, a que verifique o rechace sus propias conjeturas, y a que construya formas de visualizar relaciones entre objetos matemáticos. En este sentido es esencial el equilibrio entre lógica y creatividad. Pehkonen (1997) sostiene que si se pone mucho énfasis en la deducción lógica, se reducirá la creatividad; que lo que se gana en lógica se perderá en creatividad y viceversa; y que para desarrollarse, la creatividad requiere de libertad. Polya (1962) considera dos aspectos fundamentales en el conocimiento matemático: información y «saber cómo» (know-how), y le da especial importancia al segundo, precisando que con él se refiere a la habilidad para resolver problemas que requieren independencia, juicio, originalidad y creatividad. Coincidimos con Eric Mann (2006), matemático y doctor en psicología educacional, que sostiene que la esencia de las matemáticas es la creatividad. En la misma línea, Ginsburg (1996) afirma que la esencia de las matemáticas es pensar creativamente, no simplemente llegar a la respuesta correcta. 43

Innovación en la universidad

Buscando definiciones

Ciertamente, es deseable manejar una definición de creatividad; sin embargo, no hay acuerdo entre los científicos y desde diversos campos se tienen diferentes versiones, aunque con ciertas similitudes. De la literatura revisada, coincidimos con Pehkonen (1997) y adoptamos la definición dada por el neurofisiólogo finlandés Matti Bergström (1984, p. 159): «Creatividad es el desempeño en el que el individuo está produciendo algo nuevo e impredecible». Por su parte, Pehkonen (1997, p. 65) afirma que el pensamiento creativo puede definirse como una combinación de pensamiento lógico y pensamiento divergente, que está basado en la intuición, pero que tiene un objetivo consciente. Este enfoque es consistente con el de Kiesswetter (1983), que sostiene que según su propia experiencia, el pensamiento flexible, que es un componente de la creatividad, es uno de las más importantes habilidades –quizás la más importante– que debería tenerse para resolver problemas exitosamente.

Resolución, identificación y creación de problemas Es clara la importancia de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas; sin embargo, usualmente las experiencias que viven los estudiantes universitarios en relación a la resolución de problemas, además de la experiencia individual y cargada de estrés en las evaluaciones, son reducidas a conocer cómo se resuelven los problemas seleccionados por el profesor para su clase; cómo se resuelven en algunos libros o folletos que ponen énfasis en los problemas resueltos; cómo los han resuelto estudiantes destacados; y, claro, a resolver por su propio esfuerzo diversos problemas propuestos. 44

Contra una enculturación preocupante

Según lo descrito, el alumno es siempre receptor de problemas propuestos por otras personas, generalmente problemas «cerrados», con resultados predeterminados, y comúnmente no contextualizados; así, está inmerso en un proceso de enculturación de aceptar los problemas que otros crean como aquellos que necesitan resolverse (Ellerton, 2013). Sin embargo, como manifiesta Malaspina (2012), en la vida diaria y profesional, los problemas no están escritos con los datos precisos, como en las clases, los textos o las evaluaciones, listos para ser resueltos. Son tareas fundamentales identificar problemas, plantearse las preguntas adecuadas, seleccionar convenientemente la información, hacer propuestas innovadoras y buscar soluciones óptimas. ¿Cómo estimulamos el desarrollo de estas capacidades a nuestros futuros profesionales? Para los alumnos, muchas veces la experiencia de resolver problemas se reduce al aprendizaje de técnicas o de modos de resolver determinados tipos de problemas. Para que los futuros profesionales tengan mayor capacidad de propuesta y de investigación, tenemos que ofrecer –y más sistemáticamente– otras formas de estimular su creatividad. La creatividad no podemos limitarla a ser «reactiva»; es decir, a actuar al tener que resolver un problema. Es importante que la creatividad

Son tareas fundamentales identificar problemas, plantearse las preguntas adecuadas, seleccionar convenientemente la información, hacer propuestas innovadoras y buscar soluciones óptimas

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

La enseñanza de las matemáticas y el estímulo a la creatividad

La creatividad no podemos limitarla a ser «reactiva»; es decir, a actuar al tener que resolver un problema. Es importante que la creatividad sea también «proactiva»; es decir, que lleve a plantear preguntas y a proponer problemas sea también «proactiva»; es decir, que lleve a plantear preguntas y a proponer problemas. La resolución de problemas está estrechamente ligada con la creación de problemas (Malaspina, 2011; Ellerton, 2013), ambas con la formulación de preguntas y las tres con la formación del pensamiento matemático y científico. En esta perspectiva, Malaspina (2011) manifiesta que se deben buscar variaciones a los problemas dados, casos particulares, generalizaciones, conexiones y contextualizaciones. Así se generará una dinámica provechosa en las clases, pues surgirán nuevas dificultades, creadas por los mismos estudiantes y favorables a la introducción de nuevos conceptos o técnicas, así como a la reflexión sobre las limitaciones de los recursos matemáticos disponibles y sobre la importancia de conocer nuevos campos de la matemática.

Estimular la capacidad de plantear preguntas Plantearse preguntas no es solo un primer paso para crear problemas; también es fundamental para resolver problemas y es parte del proceso de comprensión de conceptos, definiciones, teorías, demostraciones e interrelaciones, no solo en el campo de la matemática. Burger y Starbird (2012, p. 74) hacen la desafiante invitación «sé tu propio Sócrates» y nos dicen: Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Formular y plantear preguntas constantemente es un hábito de apertura mental que obliga a tener un compromiso más profundo con el mundo y una experiencia interior diferente. Hacerse uno mismo preguntas desafiantes puede ayudar a revelar supuestos ocultos, evitar sesgos, evidenciar vaguedades, identificar errores y considerar alternativas. La generación de preguntas puede ayudar a dirigir los siguientes pasos hacia una comprensión más profunda y a resolver problemas creativamente. Himanen (2001), tomando como ejemplo a Linus Torvalds, el creador del sistema operativo Linux, nos dice que el aprendizaje en la sociedad del conocimiento tiene que estar asociado con la pasión, con el interés por lo desconocido, por las preguntas más que por las respuestas, por la resolución de problemas de manera colaborativa. La formulación de un problema es a menudo más importante que su solución, que puede ser simplemente un asunto de habilidades matemáticas o experimentales. Formularse nuevas preguntas, nuevas posibilidades, considerar preguntas antiguas desde una perspectiva nueva, requiere imaginación creativa y marca un avance real en la ciencia (Einstein e Insfeld, 1938, p. 92). Así, es clara la importancia de habituarse a formular preguntas, pero también es claro que no estimulamos a nuestros alumnos a adquirir este hábito como parte de su formación científica. Las clases expositivas tradicionales no ofrecen las mejores condiciones y las invitaciones a hacer preguntas suelen reservarse para el final o limitarse a las consabidas expresiones «¿alguna pregunta?» o «¿está claro?», y algunas veces hasta hay reacciones poco amigables ante preguntas que se consideran no pertinentes por revelar poca comprensión de aspectos elemen45

Innovación en la universidad

tales. Ciertamente, esto no debe arraigarse. Debemos estimular a nuestros alumnos a plantear y plantearse preguntas, aun en las «clases magistrales», e ir más allá de complementar el formato DTD de Weber con ejemplos de aplicación. Siempre es posible hacer algo como profesores, en un esfuerzo por innovar nuestras clases para lograr mejores aprendizajes, prestando atención no solo a los contenidos, sino a los procesos de pensamiento propios de la matemática. A continuación algunas ideas, a partir de experiencias personales.

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Para iniciar un tema

que se intentó resolver, dando una idea general intuitiva antes de entrar a formalizaciones y estimulando la participación de los estudiantes con preguntas adecuadas. Aplicar el nuevo tema tratado para resolver el problema, con participación de los estudiantes, y examinar conjuntamente la posibilidad de resolver el problema de maneras diferentes y formas de modificar el problema para crear otros («¿qué pasaría si…?», pensar en generalizaciones, casos particulares) y las soluciones correspondientes. Para ayudar a plantear y plantearse preguntas

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Proponer un problema adecuadamente seleccionado o elaborado, inducir a que sea claramente comprendido por los estudiantes, mediante preguntas hacia ellos y de ellos (por ejemplo, un problema de optimización con tres variables, antes de tratar derivación de funciones de varias variables). Dejar un tiempo para que los alumnos, individual o grupalmente, traten de resolverlo con los conocimientos previos. Interactuar con ellos y hacer notar las limitaciones de tales conocimientos para resolver adecuadamente el problema. Para desarrollar el tema

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Presentarlo estableciendo relaciones con los conocimientos previos y con el problema

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Anunciar que, luego de tratar un tema, se pedirá a dos o tres estudiantes que formulen preguntas al respecto. En el momento oportuno, pedir que tales preguntas sean formuladas. Interactuar con los estudiantes para que quede claro lo que se pregunta y para llegar a respuestas adecuadas. Para revisar y mirar globalmente lo avanzado

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Tener sesiones interactivas de elaboración de preguntas-problema, preferentemente abiertas, a partir de una pregunta inicial o una situación propuesta, preparada por el profesor, que puede ser intramatemática o contextualizada. Es interesante que las preguntas en clase se elaboren en grupos.

Un ejemplo A continuación, detallo la pregunta inicial y las preguntas-problema que preparé en torno a ella, para una sesión del curso Análisis en la recta real, que imparto en la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas: «¿Qué preguntas podemos plantearnos, teniendo como única información de una función f, real de variable real, que “su derivada, para el valor 3 de su variable independiente, es 0,7”?»

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

La enseñanza de las matemáticas y el estímulo a la creatividad

1. ¿La función es creciente? 2. ¿El gráfico de la función puede pasar por el origen de coordenadas? ¿Por cualquier punto? 3. ¿La función puede ser cóncava en una vecindad de 3? 4. ¿La función puede ser convexa en una vecindad de 3? 5. Si se conoce f (3), ¿cómo es una posible gráfica de f en una vecindad de (3; f (3))? 6. ¿Cómo serían los gráficos «representativos» de la función, en una vecindad de (3; f (3))? 7. ¿Cómo se modifican las respuestas a las preguntas anteriores si se sabe, además, que f”(3) es 1?; ¿o que f”(3) es -1? 8. ¿Cuáles pueden ser algunas expresiones algebraicas de y = f (x)? 9. ¿Las respuestas a la pregunta anterior solo pueden ser expresiones polinómicas? 10. ¿Cómo se modifican las respuestas a las preguntas anteriores, salvo la 7, si en lugar de tener la información que f’(3) = 2 se tuviera que f”(3) = 2? No todas se llegaron a plantear en clase, pero se fue orientando hacia ellas. Como en otros casos similares, la formulación y el análisis de algunas preguntas dieron lugar a la formulación de otras.

Estimular la formulación de preguntas abiertas (las que no tienen una única respuesta o cuya respuesta requiere considerar varios casos posibles) es esencial para desarrollar la creatividad y la capacidad de investigación Las preguntas abiertas son poco usadas en clases y evaluaciones. Las respuestas no tienen que ser exhaustivas en la clase, pero sí conducir a análisis basados en el uso de los conceptos estudiados, en gráficas e intuiciones. La formalización puede hacerse después o iniciarla sin llegar hasta los detalles. Ciertamente, es muy importante estimular la intuición, sin descuidar el rigor. Un antecedente de esta sesión en la Maestría es una clase de pregrado de Matemática para Economistas. En el libro de Malaspina (1994), se muestra, además, una interpretación en el contexto de la teoría económica. La siguiente situación inicial da lugar a muchas preguntas abiertas, de gran riqueza para un curso de matemáticas básicas o de formación de profesores. ¿Qué preguntas de matemáticas podemos hacernos si disponemos de un alambre flexible de 36 cm de longitud? Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Más allá de las innovaciones individuales Es esencial la iniciativa y la creatividad del profesor para el desarrollo de sus clases, pero deben implementarse innovaciones institucionales que estimulen el cambio de las formas tradicionales de enseñar las matemáticas y acojan y potencien las iniciativas individuales. Algunas innovaciones institucionales

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Diseño de planes de estudios considerando el aprendizaje de las matemáticas más allá de los contenidos: procesos de pensamiento Estimular la formulación de preguntas abiertas (las que no tienen una única respuesta o cuya respuesta requiere considerar varios casos posibles) es esencial para desarrollar la creatividad y la capacidad de investigación 47

Innovación en la universidad

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matemático, creatividad, conexiones intramatemáticas e interdisciplinarias y contribución a la capacidad de autoaprendizaje. Establecimiento de políticas de estímulo a la investigación sobre lo que se enseña y cómo se enseña. Estímulo a la calidad de la docencia y a las iniciativas individuales. Creación o fortalecimiento de institutos de apoyo al desempeño eficaz de la docencia. Adecuación o construcción de una infraestructura que facilite el uso de las tecnologías de la información y la comunicación, y el trabajo de los alumnos en grupos (no basada únicamente en clases expositivas y con alumnado numeroso). Apoyo al uso de software matemático para la investigación y para la enseñanza. Construcción de laboratorios de experimentación matemática y de salas en las que se muestre la presencia de la matemática en la historia, interrelacionada con contextos sociales, ecológicos y científico-tecnológicos.

A manera de ejemplo, menciono algunas innovaciones institucionales vividas en mi experiencia docente en la Pontificia Universidad Católica del Perú. • La creación de un curso-actividad de Matemática recreativa en el plan de estudios de las carreras de ciencias e ingeniería, cuyo objetivo es: Al término del semestre, el estudiante será capaz de resolver problemas justificando sus afirmaciones, analizando casos particulares y examinando generalizaciones. Además, tendrá la motivación para buscar más de una forma de resolver problemas y para examinar nuevas dificultades, modificándolos o creando otros. También tendrá una visión 48

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más amplia de la matemática y reconocerá su presencia e importancia en la historia y en la realidad cotidiana. Entre mis experiencias como profesor en ese curso, están el descubrimiento que hicieron alumnos del segundo semestre de estudios de la estructura de espacio vectorial a partir de preguntas en torno a los cuadrados mágicos; y la resolución de problemas de optimización, considerando variaciones discretas y continuas, que dio lugar a una publicación en Educational Studies in Mathematics (Malaspina y Font, 2010). La implementación del curso Matemática, para alumnos de especialidades de humanidades que no usan intensivamente las matemáticas, basado en la resolución de problemas contextualizados, con trabajos en grupo en las clases, con talleres de resolución de problemas y evaluaciones formativas, con elaboración de trabajos grupales que muestren vinculaciones de matemáticas con la especialidad en la que están inscritos y con el apoyo de asistentes de docencia para las clases y los talleres. La inclusión de resolución de problemas en forma colaborativa, como una de las evaluaciones en el curso de matemáticas básicas, en el plan de estudios para las carreras de ciencias e ingeniería.

A modo de conclusión Las experiencias muestran que las innovaciones individuales e institucionales que favorecen el desarrollo de la creatividad de los alumnos mediante el estímulo de sus capacidades de plantear y plantearse preguntas, y de crear problemas, contribuye a reforzar e interrelacionar lo aprendido y a aplicarlo creativamente a situaciones concretas, con una perspectiva propia. Más aún, Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

La enseñanza de las matemáticas y el estímulo a la creatividad

ayuda a ir tomando conciencia de manera natural de que la matemática está en continua expansión, de que no todos los problemas están escritos, ni todos los problemas están resueltos. Crear problemas contribuirá a que el alumno sienta que es posible colaborar a esa continua expansión de la matemática. Crear y resolver problemas contribuirá también a percibir mejor la belleza de la matemática y su didáctica, y a sentir que es posible aportar a crear «obras de arte» en la matemática.

Referencias bibliográficas BERGSTRÖM, M. (1985): «Ihmisaivot ja matematiikka (Human brain and mathematics)». Matemaattisten Aineiden. Aikakauskirja, vol. 49(3), pp. 311-315. BISHOP, A. (1981): «Visuelle Mathematik», en STEINER, H.G.; WINKELMANN, B. (eds.): Fragen des Geometrieunterrichts. Köln: Aulis, pp. 166-184. BURGER, E.; STARBIRD, M. (2012): The 5 elements of effective thinking. Princeton. Princeton University Press. CHAN, C.M.E. (2008): «The use of mathematical modelling tasks to develop creativity», en Proceedings of the Discussion Group 9. Promoting creativity for all students in Math Education. Mexico. ICME 11, pp. 307-316. EINSTEIN, A.; INFELD, L. (1938): The evolution of physics. Nueva York. Simon and Schuster. ELLERTON, N. (2013): «Engaging pre-service middle-school teacher-education students in mathematical problem posing: development of an active learning framework». Educational Studies in Mathematics, vol. 83(1). GINSBURG, H.P. (1996): «Toby’s math», en STERNBERG, R.J.; BEN-ZEEV, T. (eds.): The nature of mathematical thinking. Mahwah, NJ. Lawrence Erlbaum, pp. 175-383. HIMANEN, P. (2001): The hacker ethic. Nueva York. Random House. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

KIESSWETTER, K. (1983): «Modellierung von Problemlöseprozessen». Mathematikunterricht, vol. 39(3), pp. 71-101. MALASPINA, U. (2011): Intuición y resolución de problemas de optimización: Un análisis ontosemiótico y propuestas para la educación básica. Saarbrücken. Editorial Académica Española. — (2012): «Enseñanza de las matemáticas: retos en un contexto global y aportes en una retrospectiva histórica». UNION. Revista Iberoamericana de Educación Matemática, núm. 32, pp. 9-27. MALASPINA, U.; FONT, V. (2010): «The role of intuition in the solving of optimization problems». Educational Studies in Mathematics, vol. 75(1), pp. 107-130. MANN, E. (2006): «Creativity: The Essence of Mathematics». Journal for the Education of the Gifted, vol. 30(3), pp. 336-360. PEHKONEN, E. (1997): «The state-of-the-art in mathematical creativity». ZDM, vol. 39(3), pp. 63-67. STERNBERG, R (ed.) (2004): Handbook of creativity. Cambridge. Cambridge University Press. WEBER, K. (2004): «Traditional instruction in advanced mathematics courses: a case study of one professor’s lectures and proofs in an introductory real analysis course». Journal of Mathematical Behavior, vol. 33(3), pp. 115-133.

Referencias del autor Uldarico Malaspina Jurado Pontificia Universidad Católica del Perú umalasp@gmail.com Líneas de trabajo: resolución y creación de problemas, formación de profesorado. Este artículo fue solicitado por UNO. REVISTA

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MATEMÁTICAS en enero de 2013 y aceptado en abril de 2013 para su publicación.

Innovación en la universidad

La resolución de problemas, tecnología y comprensión del concepto de integral definida

Politécnica-Unexpo (Venezuela)

En este estudio, se presentan las diferentes representaciones, recursos y soluciones que muestran estudiantes de un primer curso de ingeniería a un conjunto de problemas sobre el concepto de integral definida, para cuya resolución se utiliza el software Derive. Del análisis de los datos se identificaron tres perfiles asociados con la forma de utilizar y resolver los problemas: los estudiantes utilizaron el software como un medio de verificación o validación de lo que hicieron con lápiz y papel; los estudiantes emplearon la herramienta para representar gráficamente las funciones y, basándose en ellas, calcularon las aproximaciones de áreas; los estudiantes mostraron un uso combinado de la herramienta y un acercamiento con lápiz y papel. Además, en ocasiones, cometieron errores a la hora de conectar los conceptos que surgían en el estudio de la integral definida con algunas de ideas básicas (y procedimientos) previamente estudiados. Se puede afirmar que, en algunos casos, el uso del software Derive ayudó a los estudiantes a identificar y utilizar ideas que les permitieron ahondar en sus planteamientos iniciales para la resolución de los problemas. Problem solving for the learning about the concept of the definite integral using Derive software. First-year engineering students’ research The aim of this study is to analyse the different representations, resources and solutions shown by first-year engineering students working on a set of problems involving the concept of the definite integral using Derive Software. Three student profiles emerge from analysis of their problem-solving approaches: students who used the software as a means of validating and verifying their pen-and-paper work, students who used the tool to graphically represent the functions by using them to calculate the approximated areas, and students who combined both pen-and-paper and tool approaches to solve problems, but often made mistakes when connecting the concepts that arose in studying the definite integral with some of the previously studied basic ideas (and procedures). It can be concluded that, in some cases, the use of Derive Software helped students to identify and use ideas that are needed for a fuller understanding of their initial approaches to solving problems.

Manuel Santos Cinvestav (México)

Ramón Depool

Una investigación con estudiantes de ingeniería*

El uso generalizado de herramientas como Derive, Maple, MATHEMATICA, calculadoras simbólicas, etc. en la enseñanza universitaria y los últimos curso de la secundaria ha implicado un reconocimiento por parte de las instituciones

Matías Camacho Universidad de La Laguna (Tenerife)

Palabras clave: integral definida, software Derive, sistemas de representación, resolución de problemas, perfiles de estudiantes.

Keywords: definite integral, Derive software, representation systems, problem solving, student profiles.

de la importancia y necesidad de incorporarlas en las experiencias de aprendizaje de los estudiantes universitarios. Las TIC (tecnologías de la información y la vomunicación) empiezan, en los últimos años, a constituirse como recursos Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | pp. 50-68 | julio 2013

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didácticos que ayudan a modificar los métodos de enseñanza, principalmente en los primeros cursos de Universidad. El informe del ICMI (Holton, 2001) dedica una de sus secciones al uso de la tecnología, y King y otros autores destacan la importancia de la tecnología como un medio para facilitar el aprendizaje de los estudiantes, haciendo énfasis en algunas de las potencialidades de las TIC para promover un aprendizaje más activo, así como el trabajo cooperativo, motivar las explicaciones, indagar sobre los procesos de pensamiento de los estudiantes, etc. Chick y otros (2001) plantean una serie de interrogantes que pueden guiar una agenda de investigación sobre el uso de los CAS (Computer Algebra Systems). Se trata de preguntas como ¿para qué y cuándo utilizar tecnologías? ¿Cuándo se puede decidir que hay más ventajas e inconvenientes al utilizarlas? ¿Qué sentido simbólico determina el empleo de un CAS? ¿Pueden aparecer sobre utilizadas las capacidades multirepresentacionales? ¿Qué impacto tiene el hecho de poder pensar y resolver los problemas de forma distinta en la enseñanza y el aprendizaje? ¿Qué tipo de sistemas de representación favorecen distintos tipos de aprendizaje? ¿Pueden ser caracterizadas teóricamente estas diferencias? ¿Cómo debe ser el currículo de matemáticas? La investigación que se describe en este artículo se realizó con un grupo de estudiantes de un primer curso de ingeniería. El objetivo fue analizar, en términos de resolución de problemas, el trabajo desarrollado por ellos después de haber tomado un curso de cálculo en el que utilizaron sistemáticamente el software Derive para trabajar una serie de tareas que implicaban aproximaciones numéricas, gráficas y algebraicas al valor de la integral definida. Las actividades fueron diseñadas a partir del análisis de los resultados de varias investigaciones realizadas con anterioridad y reseñadas en la revisión de la literatura. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Durante las sesiones de resolución de problemas, los estudiantes utilizaron un programa de utilidades (PU), diseñado por el equipo investigador, para aproximar áreas limitadas por gráficas de funciones (con el uso de rectángulos, trapezoides, y trapecios parabólicos). En líneas generales, se pretendió analizar las estrategias usadas por los estudiantes para interpretar y resolver diversos tipos de problemas que involucraban el concepto de área de figuras planas e integral definida. Nos planteamos los siguientes interrogantes: ¿Hasta qué punto establecen los estudiantes las relaciones entre las diferentes representaciones numéricas, gráficas y algebraicas, para comprender y aplicar diferentes conceptos asociados con la integral definida cuando resuelven problemas? ¿Cuáles son las dificultades que surgen cuando los estudiantes utilizan Derive y el PU diseñando para resolver los problemas utilizados? ¿Hasta qué punto el empleo de Derive ayuda a los estudiantes a comprender los conceptos implicados en el estudio de la integral definida? ¿Qué tipo de razonamientos utilizan los estudiantes cuando aprenden el concepto de integral definida y actividades de resolución de problemas usando el software Derive?

Marco conceptual El uso de herramientas computacionales juega un papel importante en el desarrollo y comprensión de ideas matemáticas. Artigue (2002) señala que, para algunos matemáticos, el uso de estas

El objetivo de la investigación fue analizar, en términos de resolución de problemas, el trabajo desarrollado por ellos después de haber tomado un curso de cálculo en el que utilizaron sistemáticamente el software Derive 51

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herramientas ha cambiado no solamente los métodos que utilizan en su práctica matemática, sino incluso los temas y problemas de investigación. Para Heid (2002), cuando los estudiantes utilizan herramientas diferentes, son capaces de aprender matemáticas diferentes y aprenderlas también de forma diferente. Ahora bien, ¿cómo trabajan y utilizan los alumnos esas nuevas herramientas en un nuevo escenario de trabajo?¿Hasta qué punto el empleo de herramientas computacionales ayuda a los estudiantes a construir su conocimiento matemático y a la adquisición de estrategias de resolución de problemas? Qué características tiene el conocimiento matemático que adquieren los estudiantes como resultado de utilizar un CAS en su formación? ¿Cuáles son las características del razonamiento matemático que utilizan los estudiantes mientras resuelven problemas haciendo uso de herramientas computacionales? ¿Qué hacer para que los estudiantes transformen un artefacto concreto (Derive en este caso) en una herramienta o instrumento útil para la resolución de problemas? El análisis y discusión de todas estas preguntas proporcionó al equipo investigador una serie de elementos que permitió organizar y estructurar los componentes de un marco conceptual para sustentar el estudio. Un aspecto central para analizar el impacto del uso de los CAS en la construcción y desarrollo de la comprensión de las matemáticas por parte de los estudiantes requiere de una caracterización de lo que exige el proceso de comprensión de un concepto matemático.

Entender un concepto o resolver un problema de matemáticas implica reflexionar sobre el problema o el concepto en términos de preguntas

En este contexto, somos conscientes de la importancia que tiene el que los estudiantes conceptualicen las matemáticas como una serie de actividades de resolución de problemas, en las que se necesita constantemente plantear y responder preguntas. De esta forma, entender un concepto o resolver un problema de matemáticas implica reflexionar sobre dicho problema o concepto en términos de preguntas que necesitan ser examinadas desde diversas perspectivas. En este sentido, algunas de las preguntas esenciales asociadas a la comprensión del concepto de integral definida pueden ser algunas como las siguientes: ¿Cómo se relaciona el concepto del área bajo una curva con el concepto de la integral definida? ¿Qué significa que una función sea no negativa y continua en un intervalo dado? ¿Qué significa el límite de la suma de las áreas de rectángulos y trapecios cuadrando una región limitada por la representación gráfica de una función en un intervalo? ¿Cómo se concibe el concepto de la integral definida a partir del límite de las sumas de Riemann? ¿Cómo se concibe el proceso del límite representado geométricamente? En esta misma línea, Thurston (1994) señala que el concepto de derivada se puede interpretar desde diferentes perspectivas: 1. Infinitesimal: el cociente del cambio infinitesimal en el valor de una función al cambio infinitesimal en una función. 2. Simbólica: la derivada de xn es nxn-1, la derivada de sen x es cos x, la derivada de es , etc. 3. Lógica: f’(x)=d si, y solo si, para cada ε hay un δ tal que cuando ,

Geométrica: la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, si ésta tiene una tangente. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

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5. 6. 7.

Razón: la velocidad instantánea de f(t) cuando t es el tiempo. Aproximación: la derivada es la mejor aproximación lineal de la función en un punto. Microscópica: la derivada de una función es el límite de lo que se obtiene cuando se mira bajo un microscopio de más y más aumento.

De esta forma, Thurston reivindica la importancia de interpretar el aprendizaje de las matemáticas como un proceso de reflexión continuo en el cual los estudiantes necesitan representar y analizar los conceptos matemáticos desde diversos puntos de vista. En particular, aprender un concepto matemático requiere que los estudiantes construyan una red de relaciones y significados asociados a ese concepto. Thurston sugiere que, para comprender el concepto de derivada, los estudiantes deben ser capaces de relacionar y coordinar sus diferentes significados y representaciones, así como pasar de una a otra con suficiente destreza. De manera análoga, para que los estudiantes alcancen una comprensión clara de los conceptos de área e integral definida, es necesario que sean capaces de identificar, examinar, conectar y relacionar las diferentes representaciones del concepto de integral definida. La discusión de las diferentes representaciones puede permitir a los alumnos acceder y utilizar los conocimientos básicos que faciliten la comprensión de los diferentes significados asociados a este concepto. En este contexto, para comprender un concepto matemático es necesario que los estudiantes desarrollen una red de conexiones entre las distintas representaciones y operaciones asociadas al concepto o a la actividad de resolver problemas. En relación con el uso de CAS, Ruthven (2002) indica: Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

La disponibilidad de herramientas de cálculo facilita un tratamiento numérico de la derivada en términos del sentido de razón infinitesimal; así mismo, las herramientas de representación gráfica facilitan el trabajo con la recta tangente y el sentido lineal de aproximación. Igualmente, la nueva posibilidad de hacer un zoom para ampliar o reducir gráfica permite una operacionalización de sentido de imagen microscópica mediante tareas y técnicas focalizadas directamente en la pendiente local de la gráfica sin recurrir a las construcciones de la secante y la tangente. ¿Cómo son los aspectos de la práctica matemática que conllevan el uso de las técnicas o los algoritmos y los conceptos cuando se utiliza un CAS? Artigue (2002) argumenta que las «techniques» tienen también un valor epistémico, dado que contribuyen a la comprensión de los objetos que las configuran, y son una fuente de cuestiones sobre el conocimiento matemático involucrado. De esta manera, para que los estudiantes comprendan el significado de las operaciones y los conceptos, es importante que analicen y transformen los resultados producidos haciendo uso de los CAS. Es decir, la «técnica», mediada por la tecnología o no, satisface no solamente la función pragmática de resolver tareas matemáticas, sino también una función epistémica para la construcción de los conceptos matemáticos (Ruthven, 2002). Heid (2002) sugiere que los resultados obtenidos de estudios realizaPara comprender un concepto matemático es necesario que los estudiantes desarrollen una red de conexiones entre las distintas representaciones y operaciones asociadas al concepto o a la actividad de resolver problemas

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dos con CAS desafían la presunción de que «las capacidades de los estudiantes para realizar procedimientos deben preceder al desarrollo de la comprensión conceptual (…) [Las investigaciones hechas haciendo uso de CAS] han proporcionado evidencias de que, antes del desarrollo de rutinas manuales, los estudiantes pueden aprender con mayor profundidad en un plan de estudios tradicional la habilidad antes del concepto». Guin y Trouche (2002) utilizaron la idea de la «génesis instrumental» (Rabardel, 1995) para explicar el proceso de transformar un artefacto (un objeto material) en un instrumento (cuando los estudiantes lo utilizan como herramienta para resolver problemas). Este proceso es complejo y aparece condicionado tanto por las propias características del diseño de la herramienta como por los procesos cognitivos que surgen en la apropiación por parte de los estudiantes del instrumento para resolver problemas (lo que se denomina esquemas de instrumentación). Es decir, es fundamental analizar la forma en que los estudiantes desarrollan y utilizan un estilo de trabajo promovido por el uso de una nueva herramienta (Cuoco, 2002). En este contexto, es importante prestar atención a las limitaciones asociadas con el uso del software que pueden condicionar y limitar el uso que le den los estudiantes. Drijvers (2002) identifica obstáculos locales y globales que encuentran los estudiantes cuando trabajan en un ambiente mediado por un CAS. Consideraremos que esos obstáculos pueden ser tomados como oportunidades de aprendizaje más que como una barrera para comprender los conceptos matemáticos involucrados. En relación con esto, Artigue (2002, p. 250) señala: Para un individuo dado, el artefacto en principio no tiene un valor de instrumento. Se convierte en un instrumento mediante un proceso, llamado génesis instrumental, que 54

Es necesario analizar los recursos y estrategias básicas que los estudiantes utilizan cuando trabajan con una representación particular del problema

necesita de la construcción de esquemas personales o, más generalmente, la apropiación de esquemas sociales preexistentes. Esta génesis instrumental se puede explicar en términos de restricciones y de potencialidades del artefacto, y su relación con los esquemas cognitivos que los estudiantes desarrollan como resultado del uso de la herramienta para resolver problemas. Para entender y promover la génesis instrumental en los estudiantes, es necesario identificar las restricciones inducidas por el instrumento, las «restricciones de comando» y las «restricciones de organización». Es también necesario, por supuesto, identificar las nuevas potencialidades ofrecidas por el trabajo instrumental (Artigue, 2002). El proceso que muestran los estudiantes para transformar un artefacto –en este caso el software Derive– en un instrumento de resolución de problemas implica analizar no solo la forma de utilizar la herramienta, sino también el sentido y la conceptualización de las actividades realizadas en los procesos de resolución de problemas. Es decir, el uso de la herramienta influye directamente en la forma de abordar las actividades de aprendizaje de las matemáticas. El proceso de transformación señalado está relacionado con las características de la herramienta (las potencialidades y las restricciones) y con las actividades de aprendizaje específicas que realiza el estudiante (Trouche, 2005). Con el uso del CAS, los estudiantes construyen un Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

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sistema conceptual que dirige su comportamiento matemático. Ruthven (2002) puntualiza que «construir un sistema conceptual coherente y una idea global del concepto necesita de la coordinación progresiva de numerosos esquemas específicos». En el análisis de las actuaciones de los estudiantes es importante tomar en consideración el uso que hacen de las diferentes representaciones para construir los conceptos (Goldin, 1998). Por tanto, es necesario analizar los recursos y estrategias básicas que los estudiantes utilizan cuando trabajan con una representación particular del problema, y también el grado de éxito con el que pueden transitar, en términos del significado, de una representación a otra (gráfica, algebraica y numérica). Las ideas mostradas en este marco conceptual jugaron un papel importante, no solamente en el análisis del trabajo de los estudiantes, sino también en el diseño y la estructura del estudio. En concreto, el diseño del programa de utilidades estuvo basado en la idea que los estudiantes deberían utilizar el PU como una ayuda para calcular integrales definidas en las que la primitiva de la función pudiera o no expresarse como funciones elementales. De esta forma, el PU podía ayudar a que los estudiantes adquirieran una visión más amplia del proceso de integración y su relación con el concepto de área. Para Duval (1993), la compresión de un objeto o concepto matemático pasa por que los estudiantes sean capaces de distinguir entre el objeto matemático y su representación. En las actividades que utilizaron los estudiantes que participaron en este estudio, se consideró fundamental el uso de las diferentes representaciones semióticas del objeto integral definido y se potenció, en el proceso de resolución de las actividades, el trabajo en diferentes sistemas de representación, incluyendo el reconocimiento, tratamiento Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

y conversión de las diferentes representaciones (algebraicas, numéricas y gráficas). Como señala Santos (2000), un aspecto importante que favorece el proceso de conectar varias representaciones, tanto de los problemas como de los objetos matemáticos que intervienen en su resolución, es dar la oportunidad a los estudiantes de reflexionar sobre la información que cada representación suministra de cara a discutirla y relacionarla con otros sistemas de representación.

Metodología El estudio se llevó a cabo con un grupo de 31 estudiantes de un primer curso de cálculo de ingeniería, que participaron en un curso de cálculo de seis horas a la semana con dos sesiones de prácticas en un laboratorio ordenadores. La integral definida formaba parte del programa oficial de la materia que incluía también los temas básicos habituales (funciones, límites, continuidad y derivada). Como parte del curso, los estudiantes usaron el software Derive para complementar el trabajo del curso. En concreto, se diseñó un programa de utilidades1 (PU) con el que los estudiantes podían calcular diferentes aproximaciones para el cálculo de áreas (véase Camacho y Depool, 2003, para más detalles sobre el PU). El PU facilitaba varias sentencias con las que se podían hacer cálculos numéricos y representaciones gráficas fácilmente. Por ejemplo, dada la función f(x)=3x4-4x32 12x +5, utilizando las órdenes del PU se pueden representar los diversos rectángulos y trapecios para calcular valores aproximados de las áreas comprendidas entre la función y el eje OX (cuadros 1-5 de la página siguiente). También se pueden construir matrices con aproximaciones numéricas al valor de la integral. En los cuadros 6 y 7, la primera columna representa el número de rectángulos (o trapecios) y las 55

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Cuadro 1. Rectángulos

Cuadro 2. Rectángulos supe-

inferiores

riores

Cuadro 3. Rectángulos

Cuadro 4. Trapecios

restantes recogen en el mismo orden del cuadro anterior los valores de las aproximaciones. Con el uso de este PU se pretende que los estudiantes desarrollen una comprensión conceptual de los procesos de aproximación que intervienen como paso previo al concepto de integral definida. Se considera fundamental que, mediante el uso del PU, los estudiantes vayan descubriendo conceptos tales como partición, refinamiento, límite, aproximación o área. También era importante que los estudiantes reconocieran las conexiones entre las representaciones numéricas, algebraicas y gráficas asociadas al concepto de la integral definida. Para recolectar la información se aplicó un cuestionario al final del curso. Utilizando la información del cuestionario, se seleccionaron seis estudiantes para participar en una entrevista con el objetivo de que los estudiantes mostraran las diversas estrategias de resolución de problemas, representaciones y uso del software. El curso se orientó hacia la resolución de problemas, y se pidió continuamente a los estudiantes que respondieran y discutieran entre ellos las resoluciones de las tareas propuestas. El curso se desarrolló en tres fases:

punto medio

Cuadro 6. Matriz de aproximación en el intervalo [-1,

0.612574]

Cuadro 5. Trapecios parabólicos

Cuadro 7. Matriz de aproximación en el intervalo

[0.612574, 2.5] Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

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El profesor/investigador presentó con todo el grupo las ideas principales del tema de la integral definida. Los estudiantes trabajaron por parejas una serie de problemas para cuya resolución podían utilizar Derive. Estas clases se desarrollaron en un laboratorio de ordenadores y cada pareja entregó un informe escrito. El profesor/investigador revisó lo que presentaron los estudiantes y luego realizó una puesta en común en el aula con todos los alumnos.

Estas tres fases se siguieron durante el desarrollo de las sesiones a lo largo del curso. En las puestas en común realizadas en la clase, se discutieron conceptos fundamentales tales como el límite de las sumas (aproximación de Riemann), el área de regiones limitadas y su relación con el teorema fundamental del cálculo. En particular, los estudiantes analizaron la relación entre una función dada f(x) y su función primitiva F(x)(F’(x)=f(x)). También se utilizó el software Derive para representar gráficamente funciones y para obtener los cálculos directos que facilita el programa para la integral definida. Para analizar la comprensión de los estudiantes de las ideas fundamentales que configuran el concepto de integral definida, se aplicó un cuestionario al final del curso que constaba de nueve problemas no rutinarios. En general, los problemas fueron organizados en tres grupos de acuerdo con las siguientes características: • Problemas en los cuales había una representación geométrica. Se pedía a los estudiantes que determinasen, siempre que fuese posible, el área de algunas regiones (los estudiantes tenían que analizar las características del gráfico para identificar los correspondientes límites de integraUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

•

ción). Si no, los estudiantes tenían que proporcionar razones matemáticas para explicar por qué no era posible calcular el área (véase el cuadro 8, pp. 58-59). Problemas que involucraban una expresión algebraica. Se pidió a los estudiantes que calculasen la integral definida. En estos problemas era importante, por una parte, representar gráficamente la expresión dada para resolver el problema y, por otra, identificar la región (sobre o bajo el eje OX) y en algunos casos que reconociesen las discontinuidades de la función (véase el cuadro 9, p. 59). Problemas en los cuales había una proposición general. Se pedía a los estudiantes que discutiesen la veracidad o falsedad de la misma (véase el cuadro 10, p. 60).

Además de resolver los problemas con y sin el uso del software, se eligieron seis estudiantes que fueron posteriormente entrevistados. Se trabajó con los estudiantes en tres escenarios diferentes: 1. Los 31 estudiantes trabajaron individualmente los problemas en el cuestionario usando lápiz y papel solamente (P2-P6, P8 y P9), y después presentaron por escrito sus ideas o soluciones a los problemas. Lo denominamos Escenario 1. 2. El segundo escenario se corresponde al trabajo de laboratorio. Los estudiantes utilizan el software Derive para resolver los problemas. Solamente 26 estudiantes participaron en este escenario. El trabajo fue por parejas y los estudiantes entregaron una copia electrónica de su trabajo en la que se les pidió que incluyeran los comentarios que considerasen importantes. Lo hemos llamado Escenario 2 y los problemas planteados son los mismos que los que se utilizaron en el escenario anterior. 57

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Problema Escenarios: lápiz y papel (1), CAS (2), entrevista (3) P2. Dada la gráfica, calcular el área de la región rayada.

Escenarios: lápiz y papel (1), CAS (2) P8. Dada la gráfica de la función, si es posible, calcular el área de la región rayada. Si no es posible, justifica tu respuesta.

Escenarios: lápiz y papel (1), CAS (2) P9. Dada la función definida por

Descriptores • • • • • • • • • • • • • • • • •

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Objetivos

Se pide calcular el área. Se identifica gráficamente la región. No aparece la palabra integral. No se dan los intervalos aunque se identifica en la gráfica. Hay dos regiones (sobre y bajo). Hay una expresión algebraica asociada a la curva. No se pide aproximar. La función es continua.

Determinar si el estudiante comprende la forma de obtener en términos de la integral definida el área de regiones que se encuentran bajo el eje OX, así como las relaciones que establece con las regiones que están sobre el eje OX.

Se pide calcular el área. Se identifica gráficamente la región. No aparece la palabra integral. No se dan los intervalos aunque se identifica en la gráfica. Hay una expresión algebraica asociada a la curva. Hay una gráfica asociada. No se pide aproximar. Hay una región con una discontinuidad en medio. Si pide una justificación en caso de que no se puede calcular.

Analizar lo que responden los estudiantes cuando el área de la región que se demanda es infinita.

Se define el intervalo total. Se plantea con los dos registros algebraico y gráfico. Se pide calcular el área. La función tiene dos puntos de discontinuidad. No aparece la palabra integral definida. Hay una expresión algebraica asociada a la curva. Hay una gráfica asociada.

Determinar si el estudiante es capaz de aplicar aproximación o el teorema fundamental del cálculo a pesar de tipo de discontinuidad.

Calcular, en caso de que sea posible, el área de la región limitada por la curva en el intervalo [-2,3]. Si es posible, estimar el valor de la integral definida en el intervalo [2,3]. Si no es posible, explicar por qué. Si no es posible calcular toda el área, calcula la o las porciones que sean calculables en el intervalo [2,3]. En caso de que no sea posible calcular ninguna porción, explicar por qué. a

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

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Problema Escenarios: Entrevista (3)

P1. ¿Cómo le explicarías a alguien lo que significa ?

Descriptores • • • • • •

Objetivos

No aparece la palabra integral definida. No se da la expresión explícita de la función. No aparece el término área. No hay gráfica asociada. No se dan los valores de los límites de integración. Se menciona la expresión sin referencia directa a la integral definida y al área.

Investigar los elementos que utiliza el estudiante para traducir en su propio vocabulario lo que entiende por integral definida.

Cuadro 8. Grupo de preguntas por escenarios (1)

Problema Escenarios: lápiz y papel (1), CAS (2), entrevista (3)

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P3. Calcula, de la forma que consideres más sencilla la integral definida

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Escenarios: lápiz y papel (1), CAS (2)

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P4. Indicar si es verdadero o falso el siguiente desarrollo. Justifica tu respuesta.

•

Escenarios: entrevista (3)

• •

P7. Calcular el área que forma con el eje OX la función f(x)=2x4-2x3-14x2+2x+12

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Descriptores

Objetivos

Se presenta en el registro algebraico con mucha información implícita. No se menciona la palabra área. Se da el intervalo de integración. No hay una gráfica asociada. Es de gran interés que el cálculo se pueda resolver de una forma sencilla pues involucra el cálculo de área de triángulos rectángulos.

Analizar: • Si existe transferencia de los conocimientos antiguos a los nuevos. • Si el estudiante comprende el cálculo de la integral definida en términos de cálculo de área de figuras elementales. • Si conoce y trabaja correctamente con algunas propiedades de la integral definida.

Se presenta en el registro algebraico con información desarrollada (explícita). No aparece la palabra área en «calcular la integral». El software lo resuelve directamente (y mal). Se da el intervalo de integración. No hay una gráfica asociada. Se aplican directamente las técnicas de integración.

Determinar si el estudiante: • Es capaz de utilizar el registro gráfico para justificar la falsedad de la respuesta. • Interpreta coherentemente las hipótesis que deben cumplir las funciones para que la regla de Barrow pueda ser aplicada.

Se presenta en el registro algebraico. No se da el intervalo (polinomio de cuarto grado). No se menciona la palabra integral. Se pide calcular un área. No hay gráfica asociada.

•

Usa el software para graficar la función, o la gráfica mediante técnicas de papel y lápiz. Identifica las regiones donde debe integrar, mediante la intersección de la función con el eje OX. Plantea y calcula las integrales mediante la regla de Barrow. Es posible que el estudiante utilice el PU calculando las distintas aproximaciones.

Cuadro 9. Grupo de preguntas por escenarios (2) Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

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Problema Escenarios: lápiz y papel (1), CAS (2), entrevista (3) P5. Indicar si es verdadera o falsa la siguiente proposición. Justifica tu respuesta.

Descriptores • • • • • • •

Si f(x)≥g(x), entonces • •

• Escenarios: lápiz y papel (1), CAS (2), entrevista (3) P6. Indicar si es verdadera o falsa la siguiente proposición. Justificar respuesta.

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Si • entonces f(x)≥g(x para toda x que pertenece a [a,b]

• •

Objetivos

No se dan expresiones explícitas de las funciones que intervienen. No aparece el término área. No aparece la palabra integral. No hay gráficas asociadas. No se dan los valores de los límites de integración. No se menciona el intervalo de integración en la hipótesis. Se mencionan las expresiones sin referencia directa a la integral definida y al área. La forma de presentación es compleja: resulta una proposición que conecta dos situaciones. En general, la proposición es verdadera si se trata de integrales, y falsa si solo se considera como área.

Determinar si el estudiante es capaz de entender los términos generales que se presentan y si establece relaciones entre el área y la integral definida.

No se dan expresiones explícitas de las funciones que intervienen. No aparece el término área. No aparece la palabra integral. No hay gráficas asociadas. No se dan los valores de los límites de integración. No se menciona el intervalo de integración en la hipótesis. Se mencionan las expresiones sin referencia directa a la integral definida y al área. La forma de presentación es compleja: resulta una proposición que conecta dos situaciones. En general, la proposición es falsa tanto si se trata de integrales como si fuese área.

Determinar si el estudiante es capaz de entender los términos generales que se presentan y si establecen relaciones entre el área y la integral definida. También si utiliza contraejemplos en su justificación.

Cuadro 10. Grupo de preguntas por escenarios (3)

En el tercer escenario (Escenario 3), los seis estudiantes seleccionados participaron en una entrevista semiestructurada en la que se les preguntó directamente sobre su forma de resolver los problemas. Decidían libremente la forma de explicar la resolución de los problemas (pizarra, lápiz y papel, Derive). En este escenario se eliminaron algunas de las preguntas usadas en los primeros es-

cenarios, y también se agregaron otras. Concretamente, se utilizaron para la entrevista las preguntas P1-P3 y P5-P7 (véase anexo). Las respuestas de los estudiantes al cuestionario haciendo uso del software proporcionaron información sobre la forma en que los estudiantes lo utilizaron para representar y reflexionar Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

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sobre los problemas. Posteriormente, las entrevistas realizadas facilitaron algunos datos que permitieron analizar en detalle hasta qué punto fue empleado como una herramienta de resolución de problemas. De este modo, los tres escenarios en los cuales los estudiantes respondieron el cuestionario contribuyeron a determinar los elementos esenciales del análisis realizado. Conviene señalar que no fueron utilizados todos los problemas en los tres escenarios. Los problemas seleccionados para las entrevistas se eligieron en función de las respuestas suministradas por los estudiantes en los otros dos escenarios. En los cuadros 8, 9 y 10 se presentan, además del enunciado de los problemas, los aspectos matemáticos que intervienen, los escenarios donde fueron utilizados y los descriptores que determinan los objetivos con que fueron planteados. Todos estos componentes desempeñaron un papel importante para el análisis de las competencias de los estudiantes. La información recolectada en los escenarios 1 y 2, esto es, resolviendo los problemas con lápiz y papel y haciendo uso únicamente del software Derive, se utilizó para agrupar y categorizar el comportamiento de los estudiantes.2 Este análisis sirvió para seleccionar a los estudiantes que fueron entrevistados, así como para organizar y estructurar el protocolo de la entrevista. Los estudiantes elegidos fueron: Samuel, George, Blenda, Javier, María y Mirvic.3 El análisis realizado en esos dos primeros escenarios nos permitió, además, obtener una primera aproximación a los perfiles de actuación que se describirán y caracterizarán en el siguiente apartado.

Los perfiles de actuación de los estudiantes Tal y como se indicó, las características esenciales de los perfiles que se han identificado surgieUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Las respuestas de los estudiantes al cuestionario haciendo uso del software proporcionaron información sobre la forma en que los estudiantes lo utilizaron para representar y reflexionar sobre los problemas ron del análisis realizado en la resolución de los problemas en los escenarios 1 y 2. Se presenta a continuación una caracterización, basada en las evidencias que fueron observadas durante el comportamiento que mostraron los estudiantes en las entrevistas que se realizaron. Perfil 1

Los estudiantes que fueron agrupados en el primer perfil (George, Javier y Mirvic) mostraron una tendencia a utilizar el software Derive, exclusivamente como una herramienta para realizar las operaciones algebraicas de los problemas o para encontrar puntos de intersecciones de la curva con eje OX. Sin embargo, no se observan evidencias de que utilizaron el software como una herramienta útil para la resolución de los problemas puesto que, por ejemplo, se movieron con el curso sobre las curvas para encontrar el valor aproximado de las raíces en lugar de identificar y resolver las correspondientes ecuaciones. Es decir, su uso del software se centró principalmente en realizar los cálculos algebraicos o numéricos que aparecían en el problema sin presentar un acercamiento gráfico a su solución. En aquellos problemas en los que se precisaba una representación gráfica, estos estudiantes tuvieron dificultades para dar sentido a la situación y, en todos los casos, persistían en utilizar métodos algebraicos para su resolución. Sin embargo, es importante observar que este grupo de estudian61

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tes intentó validar las afirmaciones de los problemas del tercer grupo analizando gráficamente algunos casos particulares, lo que nos lleva a considerar que, para este grupo de estudiantes, la forma de presentación de los problemas influyó en el uso de la herramienta. Por otra parte, parece que estos estudiantes perciben el proceso de resolver integrales definidas como la aplicación de algunas reglas o procedimientos teniendo en cuenta el contexto del problema. Por ejemplo, cuando se pidió a George que explicase el significado de la integral definida (problema 1) contestó: GEORGE: Si yo tengo la integral entonces al integrar esto (señala el integrando)

me daría la antederivada, o sea me daría x3/3; lo que quiere decir que si tengo esta función (dibuja)

si yo integro esto (se refiere a la función de la izquierda) me da esto (se refiere a la función de la derecha), igualmente si yo derivo esto (se refiere a la función de la derecha) me da esta función (se refiere a la función de la izquierda). Si derivo esto (señala la expresión x3/3) me quedaría:

Los comentarios en esta pregunta giran en torno al uso del teorema fundamental del cálcu62

lo. No alude al uso de los métodos utilizados en las prácticas de laboratorio. Puede ocurrir que la formación recibida no influyera en la forma en la que el estudiante comprende la integral definida. Perfil 2

Un segundo grupo de estudiantes fue capaz de asimilar la importancia del uso de métodos de aproximación para hallar áreas limitadas por curvas. Interpretaban que el objetivo era conseguir cada vez mejores aproximaciones refinando la partición del intervalo. Sin embargo, no desarrollaron una comprensión clara de cómo seleccionar una partición particular para un intervalo sin el uso del software. También asocian la integral definida con unos procedimientos para el cálculo de un valor pero sin identificar las condiciones necesarias para calcular ese valor. Parece ser que los estudiantes consideraron el software como una herramienta que facilita las aproximaciones que son más complicadas con lápiz y papel. De hecho, el software lo utilizaron como un medio de apoyo de lo que hicieron con el papel y el lápiz. Otro resultado importante es que, cuando los estudiantes trabajaron los problemas en los que había explícitamente una gráfica, eran capaces de identificar los límites de integración y calcular las áreas de las regiones limitadas; sin embargo, cuando el problema aparecía expresado en forma algebraica, no se apoyaron en representaciones gráficas para resolverlo. Aquí el uso del software pareció ser suficiente para solucionarlo. En un problema en el que se pedía calcular el área de una región acotada por dos triángulos (calcular ), los estudiantes comenzaron inmediatamente a aplicar métodos de aproximación para calcular la integral definida, en lugar de hacer el cálculo con la fórmula elemental del área del triángulo. Durante la entrevista, una estudiante (María) indicó que, puesto que el tema era el de Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

La resolución de problemas, tecnología y comprensión del concepto de integral definida

Un segundo grupo de estudiantes fue capaz de asimilar la importancia del uso de métodos de aproximación para hallar áreas limitadas por curvas

integral definida, entonces tenía que resolverlo de esa manera, con aproximaciones. Perfil 3

El tercer perfil que hemos determinado, se identifica con los estudiantes que aplican correctamente la idea de la aproximación para determinar áreas de regiones acotadas. Estos estudiantes no solo mostraban fluidez en la elección de la partición del intervalo, sino también en el empleo de las herramientas algebraicas necesarias para llevar a cabo los procedimientos del cálculo de las áreas. Este grupo de estudiantes mostró una disposición clara de utilizar el PU para aproximar áreas. En líneas generales, se puede afirmar que los estudiantes fueron capaces de identificar y utilizar correctamente la información necesaria para relacionar las representaciones gráficas y algebraicas para obtener integrales definidas. Se puede afirmar que estos estudiantes comprenden la relación entre área e integral definida lo que es posible inducir del uso que hicieron del PU. Para ellos, el cálculo de integrales va más allá de la aplicación de un conjunto de fórmulas o utilizar un comando concreto del software y que es algo que puede visualizarse haciendo uso del PU. Sin embargo, cuando se les pidió que examinaran proposiciones generales sobre características de funciones y sus relaciones con la integral definida, no fueron capaces de proporcionar justificaciones coherentes para apoyar sus afirmaciones. Mostraron una carencia de estrategias de resolución de problemas (analizando casos particulares, Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

proporcionando contraejemplos, o con representaciones gráficas) que le facilitasen la interpretación de esta clase de situaciones problemáticas. En el cuadro 11 de la página siguiente se sintetizan las características principales que hemos asociado a estos patrones de comportamiento en la resolución de los problemas utilizados en este estudio. No podemos asegurar que existan relaciones entre los perfiles que hemos establecido y las tipologías del comportamiento que han definido Guin y Trouche (1999) durante el proceso de aprendizaje de los estudiantes. Podría ser factible comparar ambas clasificaciones en el futuro.

Discusión de los resultados Una idea global alrededor de la cual ha sido diseñado este estudio es que, para desarrollar la comprensión de los estudiantes, necesitan ellos mismos problematizar el concepto de integral definida a partir de plantearse y resolver preguntas esenciales asociadas con el concepto. Sin embargo, el proceso de formular cuestiones y buscar argumentos que validen o rechacen relaciones particulares necesita que los estudiantes desarrollen una predisposición matemática para acceder y examinar continuamente, y de una manera abierta, los conocimientos aprendidos con anterioridad. Se han encontrado elementos que nos permiten afirmar que el uso de la herramienta resultó ser importante para que los estudiantes identificaran y exploraran los conceptos básicos necesarios para el estudio de la integral definida. Por ejemplo, cuando los estudiantes utilizaban el PU, tuvieron la oportunidad de trabajar con varios ejemplos para calcular aproximadamente los valores del área de regiones acotadas. Se centraron también en algunos aspectos importantes como, por ejemplo, la relación entre el dominio de la función y las particiones adecuadas para calcular aproximaciones de áreas 63

Innovación en la universidad

Estudiantes Perfil 1 George – Javier – Mirvic

Características • • • •

Perfil 2 María

•

• • • Perfil 3 Blenda – Samuel

• • • • •

El software es una herramienta para cálculos algebraicos. Utilizan escasamente representaciones gráficas. Perciben el cálculo de la integral definida como la aplicación de un procedimiento algorítmico descontextualizado del problema. No siguen los métodos utilizados en las prácticas de laboratorio. Reconoce la importancia de encontrar áreas de curvas limitadas, a través de la idea de aproximación. Sin embargo, tiene problemas al tratar de refinar la partición de un intervalo para optimizar el cálculo. Asocia el concepto de integral definida con el proceso de calcular su valor, sin comprobar las condiciones para aplicar el procedimiento. El software es usado para apoyar los cálculos hechos con lápiz y papel. La representación gráfica se utiliza solo si se le proporciona. Se inclinan por el uso de Derive o el PU, en la resolución de los problemas. Aplican la idea de aproximación para determinar áreas de regiones. Utilizan las representaciones gráficas para resolver los problemas. Perciben que el cálculo de la integral definida no solo es la aplicación de una fórmula o el uso de un software o PU. Ante una proposición general no son capaces de dar un argumento coherente para apoyar sus respuestas.

Cuadro 11. Principales características de los perfiles de actuación de los estudiantes

correspondientes. Por otra parte, el uso del PU facilitó a los estudiantes algunos elementos básicos para visualizar e interpretar el concepto del límite que aparece asociado al cálculo de integrales definidas. Además, los estudiantes, en líneas generales, utilizaron el software Derive para representar gráficamente las funciones y para calcular las integrales. En este contexto, el software llegó a constituirse como una herramienta que facilitó a los estudiantes la identificación de las intersecciones de la gráfica de una función con el eje OX y la posición de la región (sobre o bajo el eje OX). En algunas ocasiones, los estudiantes utilizaron el software como medio de validación de los resultados que habían obtenido haciendo uso de papel y lápiz. El empleo de la herramienta ayudó a los estudiantes a identificar una serie de referentes básicos (dominio de la función, parti64

ción de un intervalo, representación gráfica de una función, etc.) que les sirvió para entender y resolver los problemas asociados con el concepto de la integral definida. El reconocimiento del estudiante de dichos referentes constituye un paso importante para reflexionar sobre las distintas maneras de discutir sus relaciones y usos en las actividades de resolución de problemas propuestas (Thurston, 1994). Es importante destacar que el tipo de problemas que se pidió que resolvieran los estudiantes requería que enfocaran su atención una sobre el significado de las ideas asociadas a los conceptos de integral definida y de área. De esta manera, los estudiantes necesitaron interpretar la representación gráfica de una función para poder identificar los límites de integración o las condiciones necesarias para poder calcular la integral correspondiente. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

La resolución de problemas, tecnología y comprensión del concepto de integral definida

En general, se observó que encontraron dificultades para darle sentido a algunos puntos concretos de las representaciones gráficas (función discontinua, P9) para identificar y calcular el área correspondiente. Guin y Trouche (2002) sugieren prestar atención al proceso por el cual los estudiantes transforman el artefacto en una herramienta para la resolución de problemas. En este caso, los estudiantes parecían inicialmente leer o interpretar de manera superficial la información suministrada por el software, sin considerar las ideas conceptuales subyacentes. Por ejemplo, algunos intentaron identificar las raíces de la gráfica de la función (proporcionado por el software) ubicándolas gráficamente de forma aproximada en el eje OX, en lugar de utilizar el software para resolver la ecuación correspondiente. De este modo, la transformación del artefacto en herramienta para la resolución de problemas necesita no solamente el uso del PU y los comandos de Derive, sino también considerar las diferentes restricciones que surgen a partir de su uso (Artigue, 2002). Otro aspecto que se puede concluir a partir del análisis del trabajo desarrollado por los estudiantes es que, para comprender y explorar las conexiones y relaciones entre los conceptos relacionados con el estudio de la integral definida, los estudiantes necesitan hacer la transición, en términos de significado, entre las distintas representaciones del concepto (Duval, 1993; Santos, 2000). Por ejemplo, cuando se trabaja con la representación gráfica de una función, es fundamental interpretar la relación entre el signo asociado y el valor de la integral, así como el proceso de aproximación al área mediante las aproximaciones numéricas (área de rectángulos pequeños). Además, los estudiantes necesitan desarrollar estrategias de resolución de problemas que les ayuden a pensar en casos que vayan más allá Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

de los que aparecen Los estudiantes necesien problemas concretos. En este sentan hacer la transición, tido, en los probleen términos de signifimas del grupo 3, cado, entre las distintas cuando se presenrepresentaciones del taron a los estuconcepto diantes los problemas con afirmaciones genéricas, experimentaron serias dificultades en construir ejemplos o contraejemplos que les pudiesen ayudar a entender y a explorar el tipo de situaciones generales que se plantearon. En relación con este aspecto creemos que es conveniente diseñar e implementar en las aulas actividades para las que se requiera el uso del software en contextos de resolución de problemas, de tal manera que los estudiantes tengan la oportunidad de desarrollar estrategias básicas de resolución de problemas (incluyendo las metacognitivas). Finalmente, en la implementación de actividades de aprendizaje con el uso de la tecnología deberían valorarse las maneras en las que los estudiantes presentan y comunican sus resultados. En este estudio, el uso de las entrevistas basadas en las tareas sirvió como un elemento útil para la reflexión, dado que los estudiantes tuvieron con ello la oportunidad de mostrar sus ideas, explicar y examinar detalladamente las conexiones entre las diversas representaciones de los problemas. En esta etapa, se observó que los estudiantes, a menudo, no pensaban en esas conexiones y las mismas preguntas hechas por el entrevistador (investigador) se convirtieron en una opción para que los estudiantes mejoraran su comprensión de concepto. Como consecuencia de esto, creemos que esimportante que se considere la clase en sí misma como comunidad que demande una continua reflexión de cada uno de sus miembros. 65

Innovación en la universidad

Conclusiones Aprender o desarrollar las ideas matemáticas es un proceso continuo en el que los estudiantes necesitan examinar y profundizar constantemente sus conocimientos anteriores, tanto para ampliar y aprender nuevos conocimientos como para resolver nuevos problemas de matemáticas. Los resultados de esta investigación indican que los estudiantes de primer año de ingeniería que participaron en este estudio experimentaron serias dificultades para acceder y coordinar de manera flexible algunos de los conocimientos básicos que supuestamente habían adquirido con anterioridad. Se pudo observar que esos conocimientos adquiridos se constituían como hechos aislados o resultados que no fueron capaces de utilizar de una manera flexible para moverse de un entorno de trabajo a otro. Las actividades de resolución de problemas realizadas por los estudiantes a lo largo del curso les ayudaron a comprender la importancia de compartir y discutir sus ideas con otros estudiantes, así como a explorar sus ideas desde diferentes perspectivas. En general, los estudiantes descubrieron el potencial del software Derive para la resolución de los problemas; también llegaron a ser conscientes del proceso de transformación de sus ideas para conseguir utilizar la herramienta de manera eficiente. Este proceso requirió que explicaran e interpretaran las diferentes formas de representación (utilizando diferentes recursos) y resultados obtenidos mediante el empleo de la herramienta. Aunque el uso del software puede proporcionar un medio interesante para que los estudiantes se liberen de memorizar fórmulas o procedimientos de cálculo, es también importante Los estudiantes necesitan tiempo para madurar y desarrollar una comprensión conceptual consistente de la integral definida 66

ser conscientes de que los estudiantes necesitan tiempo para madurar y desarrollar una comprensión conceptual consistente de la integral definida. En particular, se pudo observar que los estudiantes necesitan prestar atención al proceso de transformar y conectar las relaciones entre las diferentes representaciones gráficas, algebraicas y numéricas. Éste pareció ser un paso esencial de cara a que los estudiantes adquirieran una comprensión profunda del concepto de integral definida. Las dificultades iniciales que se observaron en los estudiantes durante la interacción con las tareas proporcionaron una información que sirvió para establecer y considerar una serie de cuestiones para que los estudiantes centraran sus reflexiones. El trabajo realizado en los tres escenarios (papel y lápiz, utilizando el software, y en las entrevistas) generó información útil para identificar no solo los aspectos conceptuales e ideas en las que los estudiantes tenían que profundizar, sino para verificar también lo importante que resulta que los estudiantes expresen sus ideas oralmente y por escrito. Además, los estudiantes necesitan desarrollar un conjunto de estrategias para la resolución de problemas que les ayuden a decidir cuándo utilizar y supervisar el trabajo hecho por el software. La información proporcionada por las entrevistas no sirvió únicamente para establecer la competencia de los alumnos, sino como una herramienta para la reflexión con la que los estudiantes tuvieran la oportunidad de ampliar sus conocimientos.

Notas * AGRADECIMIENTOS: Este trabajo ha sido financiado parcialmente por el Proyecto de Investigación del Plan Nacional I+D+I del MCIN con referencia EDU2011-29328 y por el Proyecto del Conacyt (México) con referencia 168543. 1. En Camacho y Depool (2003) se ejemplifican algunas de las actividades utilizadas. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

La resolución de problemas, tecnología y comprensión del concepto de integral definida

2. Véase Camacho, Depool Santos-Trigo (2010) para los detalles del análisis de ambos escenarios. 3. Utilizamos seudónimos para todos ellos.

Referencias bibliográficas ARTIGUE, M. (2002): «Learning mathematics in a CAS environment: The genesis of a reflection about instrumentation and de dialectics between technical and conceptual work». International Journal of Computers for Mathematical Learning, núm. 7(3), pp. 245-274. CAMACHO, M.; DEPOOL, R. (2003): «Un estudio gráfico y numérico del cálculo de la Integral Definida utilizando el Programa de Cálculo Simbólico (PCS) DERIVE». Educación Matemática, núm. 15(3), pp. 119-140. CAMACHO, M.; DEPOOL, R.; SANTOSTRIGO, L.M. (2010): «Students’ use of DERIVE software in comprehending and making sense of definite integral and area concepts», en HITT, F.; HOLTON, D.; THOMPSON, P.W. (eds.): Research in Collegiate Mathematics Education VII, CBMS series. Vol. 16. Providence. American Mathematical Society, pp. 29-61. CHICK, H., y otros (2001): Proceedings of the 12th ICMI study conference the future of the teaching and learning of algebra. Melbourne. The University of Melbourne CUOCO, A. (2002): «Thoughts on reading Artigue’s ‘Learning mathematics in a CAS environment’». International Journal of Computers for Mathematical Learning, núm. 7(3), pp. 293-299. DRIJVERS, P. (2002): «Learning mathematics in a computer algebra environment: Obstacles are opportunities». ZDM, núm. 34(5), pp. 221-228. DUVAL, R. (1993): «Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée». Annales de Didactique et de Science Cognitives, núm. 5, pp. 37-65. GOLDIN, G.A. (1998) : «Representations, learning, and problem solving in mathematics». Journal of Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Mathematical Behavior, núm. 17(2), pp. 137-165. GUIN, D.; TROUCHE, L. (1999): «The complex process of converting tools into mathematical instruments: the case of calculators». International Journal of Computers for Mathematical Learning, núm. 3(3), pp. 195-227. — (2002): «Mastering by the teacher of the instrumental genesis in CAS environments: Necessity of instrumental orchestrations». ZDM, núm. 34(5), pp. 204-211. HEID, K.M. (2002): «How theories about the learning and knowing of mathematics can inform the use of CAS in school mathematics: One perspective». The International Journal of Computer Algebra in Mathematics Education, núm. 9(2), pp. 95-112. HOLTON, D. (Ed.) (2001): The Teaching and Learning of Mathematics at University Level: An ICMI Study. Dordrecth. Kluwer. KING, K.; HILLEL, J.; ARTIGUE, M. (2001): «Technology. A working group report», en HOLTON, D. (ed.): The Teaching and Learning of Mathematics at University Level: An ICMI Study. Dordrecth. Kluwer, pp. 349-356. RABARDEL, P. (1995) : Les hommes et les technologies, approche cognitive des instruments contemporains. Oaris. Armand Colin. RUTHVEN, K. (2002): «Instrumenting mathematical activity: Reflections on key studies of the educational use of computer algebra systems». International Journal of Computers for Mathematical Learning, núm. 7(3), pp. 275-291. SANTOS, M. (2000): «The Use of representations as a Vehicle to Promote Students’ Mathematical Thinking in Problem Solving». The International Journal of Computer Algebra in Mathematics Education, núm. 7 (3), pp. 193-212. THOMPSON, P.W.; SALDANHA, L.A. (2003): «Fractions and multiplicative reasoning», en KILPATRICK, J.; MARTIN, W.G.; SCHIFTER, D. (eds.): A research companion to principle and

Innovación en la universidad

de profesorado de secundaria haciendo uso de herramientas digitales.

standards for school mathematics, Reston, VA. The Council, pp. 95-113. THURSTON, W.P. (1994): «On proof and progress in mathematics». Bulletin of the American Mathematical Society, núm. 30(2), pp. 161-177. TROUCHE, L. (2005): «An instrumental approach to mathematics learning in symbolic calculator environment», en GUIN, D.; RUTHVEN, K.; TROUCHE, L. (eds.): The didactical challenge of symbolic calculators. Turning a computational device into a mathematical instrument. Nueva York. Springer, pp. 137-162.

Ramón Depool Rivero Politécnica-Unexpo (Venezuela) rdepool@bqto.unexpo.edu.ve Líneas de trabajo: investigación en didáctica del análisis matemático. Manuel Santos Trigo Cinvestav (México) msantos@cinvestav.mx Líneas de trabajo: resolución de problemas y uso de herramientas digitales en la construcción del conocimiento matemático.

Referencias de los autores Matías Camacho Machín Universidad de La Laguna (Tenerife) mcamacho@ull.es Líneas de trabajo: investigación en didáctica del análisis matemático, resolución de problemas y formación

Este artículo fue solicitado por UNO. REVISTA

DIDÁCTICA

DE LAS

MATEMÁTICAS en enero de 2013 y aceptado en abril de 2013 para su publicación.

CARTA A UN JOVEN PROFESOR Por qué enseñar hoy Philippe Meirieu Para los jóvenes profesores y también para los demás... Para todos aquellos que están preocupados por el futuro de nuestra escuela. Para quienes no desean consumirse tratando de imponer disciplina, ni desmoronarse a causa de reformas ministeriales contradictorias y directrices oficiales esotéricas. Para quienes sienten el deseo de transmitir y la pasión de enseñar, para quienes se preguntan si no se han equivocado de profesión, o si no les engañaron cuando les hablaron de ella. 128 pág 15,10 € C/ Hurtado, 29 08022 Barcelona (España)

1.a edición, 8.a reimpresión

Tel.: (34) 934 080 464

www.grao.com graoeditorial@grao.com

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Aula de didáctica

Actividades de iniciación a la investigación en educación matemática*

Se presentan algunas actividades prácticas propuestas en un curso de innovación docente e iniciación a la investigación educativa en el marco de un máster de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria. Se incluyen, entre otros ejemplos, el análisis de un texto breve en el que se describe una clase ideal de matemáticas y el análisis de una sesión de clase grabada en vídeo sobre semejanza de triángulos. Estos ejemplos se introducen con el fin de reflexionar sobre algunos principios didáctico-matemáticos básicos, los cuales permiten introducir criterios de idoneidad didáctica en el estudio de las matemáticas, así como motivar la búsqueda de fuentes bibliográficas en la base de datos MathEduc. Introductory research activities in mathematics education This paper presents some practical activities carried out on a course teaching innovation and introducing educational research as part of a master’s degree for secondary mathematics teachers’ initial training. Among other examples we include the analysis of a short text describing an ideal mathematics classroom and the analysis of a video-recorded lesson on similar triangles. These activities serve to reflect on some basic mathematical didactic principles, to introduce educational suitability criteria in the study of mathematics and to motivate the review of literature on the MathEduc database.

En el diseño del Máster de Formación de Profesorado de Secundaria y Bachillerato se incluye el curso «Innovación docente e iniciación a la investigación educativa en matemáticas», en el cual se debe contemplar el desarrollo de la competencia específica, «conocer y aplicar metodologías y técnicas básicas de investigación y evaluación educativas y ser capaz de diseñar y desarrollar proyectos de investigación, innovación y evaluación». También se debe contemplar el desarrollo de la competencia general, «buscar, obtener, procesar y comunicar información (oral, impresa, audioviUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | pp. 69-76 | julio 2013

Juan D. Godino Universidad de Granada

Teresa Neto Universidad de Aveiro (Portugal)

Palabras clave: profesores, investigación, casos prácticos, idoneidad didáctica, MathEduc.

Keywords: teachers, research, practical cases, educational suitability, MathEduc.

sual, digital o multimedia), transformarla en conocimiento y aplicarla en los procesos de enseñanza y aprendizaje en las materias propias de la especialización cursada». En este trabajo presentamos algunas actividades prácticas orientadas al logro de tales competencias que hemos utilizado en la impartición de dicho curso. Mediante estas actividades se motivan y explican criterios de idoneidad didáctica de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, que están basados en un enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática (Godino, 2011-2012). 69

Aula de didáctica

Características de una clase ideal de matemáticas En la primera actividad práctica, se pide realizar un análisis de contenido de un texto breve, «una visión de las matemáticas escolares» (NCTM, 2000), que permite fijar la atención y promover la reflexión sobre las características ideales de una clase de matemáticas. Tras la lectura individual del texto, se propone a los estudiantes trabajar en parejas para elaborar una reflexión conjunta, que finalmente es presentada y discutida por el grupo de clase. Esta actividad sirve al formador para motivar la reflexión sobre algunos principios básicos a tener en cuenta en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas sobre los cuales existe un cierto grado de consenso en la comunidad de educadores matemáticos. En particular, permite discutir las ideas previas que tienen los profesores en formación sobre las matemáticas y su enseñanza y aprendizaje, y favorecer su evolución. Veamos el texto seleccionado: Imagine una clase, una escuela, o un distrito escolar donde todos los estudiantes tienen acceso a una instrucción matemática atractiva y de alta calidad. Se proponen unas expectativas ambiciosas para todos, con adaptación para aquellos que lo necesitan. Los profesores están bien formados, tienen recursos adecuados que apoyan su trabajo y están estimulados en su desarrollo profesional. El currículo es matemáticamente rico y ofrece oportunidades a los estudiantes de aprender conceptos y procedimientos matemáticos con comprensión. La tecnología es un componente esencial del entorno. Los estudiantes, de manera confiada, se comprometen con tareas matemáticas complejas elegidas cuidadosamente por los profesores. Se apoyan en conocimientos de una 70

amplia variedad de contenidos matemáticos, a veces enfocando el mismo problema desde diferentes perspectivas matemáticas o representando las matemáticas de maneras diferentes hasta que encuentran métodos que les permiten progresar. Los profesores ayudan a los estudiantes a hacer, refinar y explorar conjeturas sobre la base de la evidencia y usan una variedad de razonamientos y técnicas de prueba para confirmar o rechazar las conjeturas. Los estudiantes son resolutores flexibles de problemas y tienen recursos variados. Solos o en grupos, y con acceso a la tecnología, los estudiantes trabajan de manera productiva y reflexiva, con la guía experimentada de sus profesores. Los estudiantes son capaces de comunicar sus ideas y resultados oralmente o por escrito de manera efectiva. Valoran las matemáticas y se comprometen activamente en su aprendizaje. (NCTM, 2000) Las consignas que orientan el análisis y la discusión son las siguientes: 1. Lee el texto con atención. Subraya los puntos que consideres especialmente atractivos en la descripción. 2. Identifica los aspectos que, según este texto, caracterizan una enseñanza de las matemáticas de alta calidad, clasificándolos en las siguientes facetas: contenido matemático, aprendizaje, afectividad, modos de interacción en el aula, recursos tecnológicos, relación con el entorno. 3. ¿Cuáles son las características de las matemáticas que se consideran valiosas? ¿Por qué se consideran valiosas? ¿Qué otras maneras de entender las matemáticas pueden existir? 4. ¿Cuáles son las tareas, responsabilidades y funciones que se describen del profesor? ¿Y de los alumnos? ¿Por qué se consideran Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Actividades de iniciación a la investigación en educación matemática

valiosas? ¿Qué otras maneras de entender las relaciones profesor-alumnos existen? ¿Qué factores externos a la clase se mencionan como condicionantes de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas? El profesor que gestiona esta clase, y la comunidad educativa de la que forma parte, aplican conocimientos sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. ¿Qué disciplinas se ocupan de aportar dichos conocimientos?

Análisis didáctico de una clase grabada en vídeo El reconocimiento de la complejidad del trabajo del profesor requiere centrar la atención en la observación y el análisis de procesos de estudio matemático efectivamente implementados. Ante el desfase usual existente entre la impartición de este tipo de cursos y la actuación en los centros de enseñanza en la fase de prácticas, proponemos a los estudiantes el visionado de alguna clase grabada para su posterior análisis y discusión. En Internet es posible encontrar una variedad de clases de matemáticas grabadas que se pueden usar para plantear consignas de reflexión como las incluidas en el cuadro 3. En nuestro curso, hemos usado una clase sobre el cálculo de alturas inaccesibles usando la semejanza de triángulos, que está disponible en la siguiente dirección web: www.youtube.com/watch?v=60s_0Ya2-d8&noredirect=1 Después de visionado el vídeo, y trabajando en equipos, se pide elaborar un informe respondiendo a las cuestiones del cuadro 1 de la página siguiente.

Criterios de idoneidad didáctica Mediante la realización de las actividades anteriores, ponemos al estudiante ante el problema Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

El reconocimiento de la complejidad del trabajo del profesor requiere centrar la atención en la observación y el análisis de procesos de estudio matemático efectivamente implementados de sistematizar los criterios necesarios para el logro de una enseñanza y aprendizaje de las matemáticas de alta calidad, lo que en el marco del modelo teórico «enfoque ontosemiótico» (Godino, 2012; Font, Planas y Godino, 2010) se denomina idoneidad didáctica. En Font y Godino (2010) tales criterios de idoneidad se sintetizan de la siguiente manera: • Idoneidad epistémica. Requiere que las matemáticas enseñadas sean unas «buenas matemáticas». Se puede aumentar el grado de idoneidad presentando al alumnado una muestra representativa y articulada de problemas de diversos tipos (contextualizados, con diferentes niveles de dificultad, etc.). Se debe procurar el uso de diferentes modos de expresión (verbal, gráfico, simbólico...) y traducciones y conversiones entre los mismos; de modo que el nivel del lenguaje matemático utilizado sea adecuado y que las definiciones y procedimientos estén correctamente enunciados y adaptados al nivel educativo al que se dirigen. Hay que asegurar que se presentan los enunciados y procedimientos básicos del tema, adecuando así mismo las explicaciones, comprobaciones, demostraciones al nivel educativo al que se dirigen; estableciendo relaciones y conexiones significativas entre las definiciones, propiedades, problemas del tema estudiado, etc. • Idoneidad cognitiva. Expresa el grado en que los aprendizajes pretendidos o implementados están en la zona de desarrollo potencial 71

Aula de didáctica

Descripción • • • • • • •

¿Qué contenido matemático se estudia? ¿Cuál es el contexto y nivel educativo en que tiene lugar la clase? ¿Qué hace el profesor? ¿Qué hace el alumno? ¿Qué recursos se utilizan? ¿Qué conocimientos previos deben tener los alumnos para poder abordar la tarea? ¿Qué dificultades/conflictos de aprendizaje se manifiestan?

Explicación • • • •

¿Por qué se estudia ese contenido? ¿Por qué actúa el docente de la manera en que lo hace? ¿Por qué actúan los alumnos de la manera en que lo hacen? ¿Cuáles pueden ser las razones por las cuales se originan las dificultades/conflictos identificados?

Valoración • • • • •

¿Qué interés tiene este contenido para la formación del alumno? ¿Con qué otros contenidos matemáticos se relaciona? ¿Qué cambios deberían introducirse en el contenido para incrementar la «calidad» del proceso? ¿Aprenden los alumnos lo que se pretende? ¿Qué cambios se podrían introducir en los modos de interacción y gestión de la clase para mejorar los aprendizajes y la motivación de los estudiantes? ¿Qué cambios se podrían introducir en los recursos usados que podrían mejorar la enseñanza y el aprendizaje? Justificar las respuestas.

Recogida de información • •

¿Qué información adicional sería necesario tener para que el análisis realizado fuera más preciso y fundamentado? ¿Qué conocimientos didáctico-matemáticos debería tener en cuenta el profesor para la planificación y la gestión de la clase?

Cuadro 1. Análisis de una clase grabada en vídeo

de los alumnos, así como la proximidad de los aprendizajes logrados a los pretendidos o implementados. Se puede aumentar su grado asegurándonos, por una parte, que los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el estudio del tema y, por otra parte, que los contenidos que se pretende enseñar se pueden alcanzar (tienen una dificultad manejable). Esto implica incluir actividades de ampliación y de refuerzo, realizando una evaluación formativa durante el proceso de enseñanza-aprendizaje que 72

•

nos asegure que los alumnos se han apropiado de los contenidos enseñados. Idoneidad interaccional. Grado en que los modos de interacción permiten identificar y resolver conflictos de significado y favorecen la autonomía en el aprendizaje. Se puede aumentar su grado asegurándonos que el profesor hace una presentación adecuada del tema (presentación clara y bien organizada, haciendo un uso correcto de la pizarra, poniendo suficiente énfasis en los conceptos clave del tema, etc.). Se ha de proUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Actividades de iniciación a la investigación en educación matemática

•

curar reconocer y resolver los conflictos de significado de los alumnos; utilizando diversos recursos retóricos y argumentativos para captar, implicar, etc. a los alumnos. Hay que facilitar la inclusión de los alumnos en la dinámica de la clase y no la exclusión; favoreciendo el diálogo y comunicación entre los estudiantes; contemplando momentos en los que los estudiantes asumen la responsabilidad del estudio. Idoneidad mediacional. Grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje. Se puede aumentar su grado usando materiales manipulativos e informáticos; tratando de que las definiciones y propiedades sean contextualizadas y motivadas usando situaciones y modelos concretos y visualizaciones; invirtiendo el tiempo en los contenidos más importantes o nucleares del tema y en los contenidos que presentan más dificultad de comprensión. Idoneidad afectiva. Grado de implicación (interés, motivación) del alumnado en el proceso de estudio. Se puede aumentar su grado seleccionando tareas de interés para los alumnos, mostrando la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana y profesional; promoviendo la implicación en las actividades, la perseverancia, responsabilidad, etc.; favoreciendo la argumentación en situaciones de igualdad de manera que el argumento se valore en sí mismo y no por quien lo dice; promoviendo la autoestima evitando el rechazo, fobia o miedo a las matemáticas, etc. Idoneidad ecológica. Grado de adaptación del proceso de estudio al proyecto educativo del centro, las directrices curriculares, las condiciones del entorno social, etc. Se puede aumentar su grado asegurando que los

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

contenidos enseñados se corresponden con las directrices curriculares; asegurando que dichos contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los estudiantes; procurando que los contenidos que se enseñan se relacionen con otros contenidos matemáticos y de otras disciplinas, etc.

Búsqueda de fuentes documentales en educación matemática La aplicación de los criterios de idoneidad requiere la búsqueda sistemática de información sobre los distintos aspectos implicados en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Esta búsqueda sistemática de información motiva el diseño e implementación de una actividad práctica focalizada en el uso de una base de datos comprensiva de la bibliografía disponible sobre educación matemática, como es la base de datos MathEduc, complementada con la búsqueda de documentos en la web (particularmente con Google Académico). La educación matemática es un campo de investigación en el que existe una gran cantidad de resultados reflejados en multitud de publicaciones: manuales de investigación (handbooks), artículos de revistas, actas de congresos, recursos para la enseñanza, etc., los cuales son recopilados en bases de datos. Una de las bases de datos más completas es MathEduc (www.zentralblatt-math.org/matheduc/), por lo que conocer y practicar su consulta se considera importante para los futuros profesores. La aplicación de los criterios de idoneidad requiere la búsqueda sistemática de información sobre los distintos aspectos implicados en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas

Aula de didáctica

Veamos las consignas dadas a los estudiantes para la búsqueda de información en MathEduc: 1. Presentación de la base MathEduc. Clasificación de temas de educación matemática. Listado de revistas cuyas publicaciones se incluyen en la base. Modos de interrogar la base de datos. 2. Formulación de un tema de posible interés para desarrollar en la Tesis de Fin de Máster. Palabras y frases claves del tema. Autores que se sepa han innovado o investigado algún aspecto del tema. 3. Clasificación del tema entre las categorías listadas en la base de datos MathEduc. 4. Búsqueda de referencias pertinentes al tema elegido en la base MathEduc. 5. Obtención de un ejemplar de al menos una publicación relevante del tema en la biblioteca de recursos electrónicos de la universidad o mediante Google Académico. 6. Elaboración de un listado de referencias con las publicaciones relevantes encontradas sobre innovaciones e investigaciones del tema elegido.

Otros casos prácticos Otros casos prácticos que hemos experimentado en nuestro curso se centran en el análisis de unidades didácticas disponibles en Internet, en particular alguna de las ofrecidas por el Proyecto Descartes para los distintos niveles de secundaria y diferentes temas matemáticos. Una vez que los estudiantes están familiarizados con la noción de idoneidad didáctica, tienen para ellos sentido consignas como las siguientes: 1. Elaborar un juicio razonado sobre la idoneidad del contenido matemático implementado en dicha lección. ¿Qué cambios introducirías para mejorar la calidad de los aprendizajes pretendidos? 74

Valorar la idoneidad del modelo de enseñanza implementado. ¿Qué cambios introducirías para mejorar dicha idoneidad?

La reflexión sistemática sobre los procesos de interacción en el aula de matemáticas se ha promovido mediante las siguientes consignas aplicadas a la transcripción de las interacciones que tienen lugar en el trabajo cooperativo de un grupo de estudiantes resolviendo una tarea sobre proporcionalidad (Font, Planas y Godino, 2010): 1. ¿Qué conocimientos matemáticos pone en juego cada alumno? 2. ¿Qué conocimientos matemáticos son inducidos por el profesor? 3. ¿Cómo gestiona el profesor los conflictos de aprendizaje que se presentan? 4. ¿Qué normas condicionan y hacen posible el desarrollo del episodio? 5. ¿Cómo valorarías la idoneidad didáctica del episodio? La respuesta a estas cuestiones requiere aplicar la noción de idoneidad y otros niveles de análisis de la actividad matemática y didáctica desplegada por los estudiantes y el profesor, según se describe en Font y Godino (2006), Font, Planas y Godino (2010) y Giménez y otros (2012).

Trabajo fin de máster Las actividades descritas anteriormente las usamos como motivación y aplicación de los «criterios de idoneidad didáctica» de aspectos parciales de un proceso de enseñanza y aprendizaje matemático. Una vez que los estudiantes están familiarizados con esta herramienta es posible dar al trabajo de fin de máster (TFM) una orientación hacia la innovación fundamentada en la experiencia práctica y los resultados de la investigación, como también proponen Giménez y otros (2012). Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Actividades de iniciación a la investigación en educación matemática

En nuestro caso se trata de partir de la información y de la experiencia que los estudiantes del máster de secundaria adquieren en la fase de prácticas en los institutos, donde tienen ocasión de entrar en relación con la realidad educativa. En esta fase de su formación usualmente los estudiantes tienen ocasión de «enseñar un tema», bajo la dirección de un tutor y siguiendo la planificación usual de las clases, con frecuencia basada en el uso y seguimiento de un libro de texto. Esta experiencia se refleja en la correspondiente memoria de prácticas. La aplicación de los criterios de idoneidad didáctica permite proponer un esquema de trabajo de fin máster orientado hacia la reflexión sobre la experiencia vivida en la impartición de un tema matemático en las prácticas y la indagación sistemática de posibles cambios fundamentados que se podrían introducir en el diseño, implementación y evaluación de la experiencia. El cuadro 2 resume los puntos que proponemos

La aplicación de los criterios de idoneidad didáctica permite proponer un esquema de trabajo de fin máster orientado hacia la reflexión sobre la experiencia vivida en la impartición de un tema matemático en las prácticas para desarrollar el TFM con esta orientación investigativa, suponiendo que el estudiante ha tenido ocasión de impartir una lección sobre la ecuación de segundo grado en 3.º de ESO.

Reflexiones finales Los casos prácticos que hemos descrito están orientados a introducir progresivamente el uso de una herramienta de apoyo para el diseño, implementación y evaluación de la práctica docente. Se trata de la noción de idoneidad didáctica y el sistema de indicadores de idonei-

1. Introducción (motivación y síntesis del trabajo). 2. La enseñanza de la ecuación de segundo grado en secundaria. Aspectos curriculares. 3. Descripción de una experiencia de enseñanza en 3.º de ESO. Contexto, diseño, implementación, recogida de información y análisis de resultados. 4. Valoración de la idoneidad didáctica de la experiencia. • Marco teórico, problema y metodología (indicadores de idoneidad didáctica). • Selección y síntesis de investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de la ecuación cuadrática (reconstrucción de un significado de referencia didáctica): - Aspectos matemáticos (fenomenología, representaciones, procedimientos y argumentaciones). - Aspectos cognitivos y afectivos. - Aspectos instruccionales (interacción y discurso en el aula, recursos materiales y tecnológicos). • Propuestas de cambios en el diseño, implementación y evaluación de la experiencia, basadas en los criterios de idoneidad. - Aspectos matemáticos, cognitivos/afectivos, instruccionales 5. Síntesis y conclusiones. Referencias. Cuadro 2. Esquema de un TFM con orientación investigativa Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Aula de didáctica

dad, los cuales sintetizan principios didácticomatemáticos sobre los cuales hay un consenso en la comunidad de educadores matemáticos. La aplicación de estos criterios no evita que el profesor deba dominar con profundidad los conocimientos matemáticos cuya enseñanza se pretende, lo que supone un conocimiento especializado de dicho contenido (Godino, 2009). También es necesario conocer los aspectos cognitivos y afectivos implicados en el aprendizaje de los contenidos (dificultades, errores, niveles de desarrollo, instrumentos de evaluación), así como el uso de recursos tecnológicos, modos de interacción, etc. Sobre todos estos aspectos existen resultados de múltiples investigaciones, los cuales deben ser tenidos en cuenta cuando se desea que las innovaciones estén fundamentadas. Esta es la razón por la cual se propone la actividad práctica de búsqueda de información en la base de datos especializada MathEduc y en Internet.

Nota

GIMÉNEZ, J., y otros (2012): «El papel del trabajo final de máster en la formación del profesorado de matemáticas». Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, núm. 61, pp. 76-85. GODINO, J.D. (2009): «Categorías de análisis de los conocimientos del profesor de matemáticas». Unión. Revista Iberoamericana de Educación Matemática, núm. 20, pp. 13-31. — (2011): «Indicadores de la idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas», en XIII CIAEM-IACME [en línea]. Recife (Brasil). <wwwugr.es/local/jgodino/>. — (2012): «Origen y aportaciones de la perspectiva ontosemiótica de investigación en didáctica de la matemática», en ESTEPA, A., y otros (eds.): Investigación en Educación Matemática XVI. Jaén. SEIEM, pp. 49-68. NCTM (2000): Principles and standards for school mathematics. Reston, VA. NCTM. [Trad. al castellano: Principios y estándares para la educación matemática, Sevilla, SAEM Thales, 2003].

* AGRADECIMIENTOS: Trabajo realizado en el marco del proyecto EDU2012-31869, Ministerio de Economía y Competitividad (MEC).

Referencias de los autores Referencias bibliográficas FONT, V.; GODINO, J.D. (2006): «La noción de configuración epistémica como herramienta de análisis de textos matemáticos: su uso en la formación de profesores». Educaçao Matemática Pesquisa, núm. 8(1), pp. 67-98. FONT, V.; GODINO, J.D. (2010): «Inicio a la investigación en la enseñanza de las matemáticas en secundaria y bachillerato», en COLL, C. (ed.): Matemáticas: Investigación, innovación y buenas prácticas. Barcelona. Graó. FONT, V., PLANAS, N.; GODINO, J.D. (2010): «Modelo para el análisis didáctico en educación matemática». Infancia y Aprendizaje, núm. 33(2), pp. 89-105.

Juan D. Godino Universidad de Granada jgodino@ugr.es Líneas de trabajo: fundamentos teóricos de la investigación didáctica de la matemática, formación de profesorado de matemáticas. Teresa Neto Universidad de Aveiro (Portugal) teresaneto@ua.pt Líneas de trabajo: razonamiento geométrico, formación de profesorado de matemáticas. Este artículo fue solicitado por UNO. REVISTA

DIDÁCTICA

DE LAS

MATEMÁTICAS en enero de 2013 y aceptado en mayo de 2013 para su publicación.

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Investigación y opinión

El diseño de una secuencia didáctica sobre límite

Omar Amílcar Malet Dirección de Prospectiva e Investigación Educativa. La Plata (Argentina)

Un proceso de toma de decisiones

En este artículo se analizan algunas de las decisiones implicadas en el proceso de elaboración de una secuencia didáctica destinada al abordaje temprano de la noción de límite finito de una función real en un punto. Se trata de una secuencia en la que la noción en cuestión se presenta a partir de situaciones de contexto real modelables mediante funciones afines o afines por intervalos; en la secuencia que es objeto de estas reflexiones el límite funcional en un punto se define sobre la base de la igualdad de los respectivos límites laterales, y el tratamiento aritmético-algebraico de la noción se antepone a su tratamiento gráfico. Designing a teaching sequence on limits: a decision-making process This paper analyses some of the decisions involved in the process of preparing an early-stage teaching sequence aimed at introducing the notion of the finite limit of a real function at a point. In this sequence, the notion in question is presented through modelable real-life contexts using similar functions or functions that are similar within certain intervals. In this sequence, the functional limit at a point is defined on the basis of the equality of the respective side limits and the arithmeticalgebraic treatment of the notion comes before its graphical treatment.

Qué es una secuencia didáctica A los fines de este trabajo, llamaremos secuencia didáctica a una progresión o serie de situaciones de aprendizaje articuladas entre sí. Dos de las marcas de identidad de una secuencia didáctica son, pues, el orden en que se encadenan las situaciones que conforman dicha secuencia didáctica, y la relación entre cada situación, las que la preceden y las que la suceden. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | pp. 77-88 | julio 2013

Palabras clave: secuencia didáctica, análisis matemático, límite.

Keywords: teaching sequence, mathematical analysis, limit.

La toma de decisiones El proceso de elaboración de una secuencia didáctica puede ser leído en clave de proceso decisional, en la medida en que implica tomar decisiones respecto a qué situaciones diseñar o elegir, cómo formularlas (o reformularlas, si se las selecciona a partir de un material concebido con otros propósitos), cómo hilvanarlas, etc. Ahora bien: ¿qué es tomar una decisión? En principio, tomar una decisión es optar, es elegir, pre77

Investigación y opinión

• Llamaremos toma de decisiones al proceso por el cual el decisor elige entre opciones que se le presentan con valías o fuerzas similares, o que son controversiales

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supone la posibilidad de efectuar elecciones respecto de alguna cuestión. Sin embargo, evidentemente no produce conflicto alguno el tener que optar entre algo percibido como claramente positivo y deseable, y algo percibido como netamente negativo e indeseable. El problema se plantea cuando las opciones entre las cuales hay que optar tienen las mismas valías, o valías similares, la misma fuerza de atracción o rechazo, o fuerzas similares. También (y esto es frecuente en el campo educativo) cuando esas valías o esas fuerzas son discutibles, cuando no hay evidencias empíricas concluyentes en favor de una opción o de otra, o incluso cuando cada opción conlleva ciertas ventajas a la vez que plantea algunas dificultades que atender. En este trabajo, llamaremos toma de decisiones al proceso por el cual el decisor elige entre opciones que se le presentan con valías o fuerzas similares, o que son controversiales. En esa situación de tensión entre alternativas que en su complejidad se perciben ambivalentes, o ante las que cabe abrigar algún tipo de duda, son los marcos de referencia y significación personales y profesionales los que permiten inclinar la balanza hacia una u otra opción.

Sobre qué objetos se toman decisiones para construir una secuencia didáctica: una perspectiva ontológica Diversos objetos intervienen en las prácticas matemáticas, o emergen de ellas (Godino, 2002; Font, 2007): 78

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Situaciones (problemas más o menos abiertos, aplicaciones extramatemáticas o intramatemáticas, ejercicios); son las tareas que inducen la actividad matemática. Conceptos, dados mediante definiciones o descripciones. Propiedades o atributos de los objetos, que suelen expresarse como enunciados o proposiciones. Lenguaje (términos, expresiones, notaciones, gráficos). Además del registro escrito, propio de los textos, en el trabajo matemático pueden usarse otros registros (oral, gestual). Acciones del sujeto ante las tareas matemáticas (operaciones, algoritmos, técnicas de cálculo, procedimientos). Argumentaciones (sean deductivas o de otro tipo) que se usan para validar y explicar las proposiciones y las acciones.

Elaborar una secuencia didáctica supone interrogarse y tomar decisiones sobre cada uno de estos seis tipos de objetos, como ejemplificaremos a propósito de una secuencia didáctica sobre límite funcional finito.

Una secuencia didáctica para la presentación temprana de la noción de límite finito de una función en un punto A continuación, mostramos algunas de las situaciones que vertebran una secuencia didáctica destinada a la presentación temprana de la noción de límite funcional finito en un punto, y explicamos cuál es el sentido de cada una de esas situaciones en la secuencia. Es crucial que el lector no pierda de vista que no reproducimos aquí la totalidad de la secuencia: solo esbozamos algunos de sus tramos (los que Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

El diseño de una secuencia didáctica sobre límite

consideramos indispensables a los fines del análisis que proponemos). La secuencia y las situaciones que la conforman están basadas en el material de estudio de la cátedra Melguizo, de matemática, que funcionó en el ámbito del Ciclo Básico

Común de la Universidad de Buenos Aires entre 1986 y 1996, y de la cual formamos parte. En varias de las situaciones hacemos referencia a ciudades ficticias y a una moneda también ficticia, el dir.

Situación 1 Borja se fue a estudiar a Villa Las Acacias. Se las venía arreglando bastante bien con sus gastos, hasta que empezó a comprar algunos aparatos eléctricos para el apartamento que alquiló. Con cada aparato que incorporaba, aumentaba bastante su consumo mensual de energía eléctrica. «¡Adiós, presupuesto!», se dijo. Y, precavido, antes de que la sangre llegara al río, decidió empezar a controlar y a reducir los gastos de electricidad innecesarios e improductivos. Después de muchos cálculos y restricciones de uso, ha llegado a la conclusión de que mensualmente su consumo va a ascender, aproximadamente, a 100 kilovatios/hora (kWh) (kilovatio/hora más, kilovatio/hora menos). La compañía de electricidad de Villa Las Acacias cobra 0,625 dirs por kWh consumido. Aproximadamente, ¿cuánto pagará Borja por su consumo eléctrico mensual? Observación A esta situación le sigue una serie de preguntas orientadas a llamar la atención del alumno sobre lo que en términos formales podríamos expresar como: i(100) = 62,50; límc →100- i(c) = 62,50; límc →100+ i(c) = 62,50; límc →100 i(c) = 62,50, siendo i la función que expresa el importe a pagar en dirs por un consumo mensual de c kWh. En este caso, los límites laterales de la función por izquierda y por derecha en el punto considerado son iguales, por lo que existe el límite en ese punto (que, además, coincide con la imagen de la función en el punto).

Situación 2 Sara, una amiga de Borja, se ha mudado a vivir sola a Villa Los Álamos, hace poco. Por lo que le ha comentado Borja, está un poco preocupada por el tema del consumo eléctrico. La compañía de electricidad de Villa Los Álamos cobra sus servicios a razón de 0,625 dirs por kWh si el consumo es menor que 100 kWh mensuales, y de 0,875 dirs por kWh cuando se consumen 100 kWh mensuales, o más. Igual que su amigo Borja, al que ha consultado sobre el consumo de todos los aparatos que necesitará ir instalando en su casa, Sara ha llegado a la conclusión de que, aun consumiendo con sobriedad, su gasto mensual va a estar alrededor de los 100 kWh, poco más, poco menos. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Investigación y opinión

Si Sara no se equivoca en su pronóstico, ¿aproximadamente cuánto deberá pagar por su consumo eléctrico mensual? Observación A esta situación le sigue una serie de preguntas orientadas a llamar la atención del alumno sobre lo que en términos formales podríamos expresar como: i(100) = 87,50; lím c →100- i(c) = 62,50; lím c →100+ i(c) = 87,50; no existe lím c →100 i(c), siendo i la función que da el importe a pagar en dirs por un consumo mensual de c kWh. En este caso, los límites laterales de la función por izquierda y por derecha en el punto considerado son distintos, por lo que no existe el límite en ese punto (la imagen de la función en el punto coincide con el límite lateral por derecha en el mismo).

Situación 3 Sara contrató una empresa de transporte para trasladar algunos objetos personales desde la casa de sus padres hasta su nueva casa. La empresa cobra 3 dirs por kilo de objetos transportados. Para embalar los objetos, utiliza cajas que pueden soportar cargas de hasta 50 kilos. Como cobra el servicio por kilo y no por caja utilizada, le conviene que cada caja vaya cargada al máximo de su capacidad. Para promoverlo, anuncia a sus clientes que, cuando los bultos a embalar tengan un peso de 50 kilos, o de un múltiplo de 50, efectuará un descuento del 20% sobre el importe a abonar por el servicio. • • •

¿Cuánto cobrará la empresa por transportar 60 kilos de objetos? ¿Y por transportar 99,9 kilos? ¿Y por transportar 100 kilos? ¿Cuánto cobrará la empresa por transportar aproximadamente 100 kilos de objetos? ¿Y por transportar exactamente 100 kilos? Llamemos e a la función que define el importe a cobrar (en dirs) por los objetos transportados, en relación con su peso k (en kg). Calcule: - lím k→100- e(k) - lím k→100+ e(k) - lím k→100 e(k) - e(100)

Observación En esta situación, límk→100- e(k) = límk→100+ e(k) = límk→100 e(k) = 300, mientras que e (100) = 240. La situación intenta aportarle al estudiante una nueva oportunidad de diferenciar entre el límite de una función en un punto y la imagen de la función en ese punto.

Situación 4 En cada fila de la tabla que sigue damos algunos datos sobre una función f. Se pide determinar todos los que faltan.

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

El diseño de una secuencia didáctica sobre límite

En el caso de no poder determinar alguno de los datos faltantes, explique por qué: ¿El dato no existe? ¿Los datos con que se cuenta son insuficientes para determinarlo? Si lo prefiere, puede volver a las situaciones de las compañías de electricidad, o de la empresa de transporte, e inspirarse en ellas. Lím x→a- f(x)

Lím x→a+ f(x)

Lím x→a f(x)

f(a)

8 5

5 5

Observación Es esta una situación de síntesis, en la que el estudiante pone a prueba las ideas que ha construido al resolver las situaciones anteriores.

Situación 5 La gráfica siguiente corresponde a una función f en la que f(x) indica la cotización de una acción en dirs, x horas después de la apertura de la Bolsa en un día determinado. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

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Utilizando una regla, el borde de una hoja, un lápiz o algo similar que le permita guiarse en el gráfico, debe usted dar respuesta a las preguntas que siguen: 1. • ¿f(x) tiene límite en x = 2? En caso afirmativo, ¿cuánto vale ese límite? ¿Y f(2)? • ¿Cuánto valen lím x → 2 f(x) y lím x → 2+ f(x)? 2. • ¿f(x) tiene límite en x = 4? En caso afirmativo, ¿cuánto vale ese límite? ¿Y f(4)? • ¿Cuánto valen lím x → 4 f(x) y lím x → 4+ f(x)? 3. • f(x) tiene límite en x = 5? En caso afirmativo, ¿cuánto vale ese límite? ¿Y f(5)? • ¿Cuánto valen lím x → 5 f(x) y lím x → 5+ f(x)? 4. • ¿f(x) tiene límite en x = 6? En caso afirmativo, ¿cuánto vale ese límite? ¿Y f(6)? • ¿Cuánto valen lím x → 6 f(x) y lím x → 6+ f(x)? 5. • ¿f(x) tiene límite en x = 7? En caso afirmativo, ¿cuánto vale ese límite? ¿Y f(7)? • ¿Cuánto valen lím x → 7 f(x) y lím x → 7+ f(x)? 6. • ¿f(x) tiene límite en x = 8? En caso afirmativo, ¿cuánto vale ese límite? ¿Y f(8)? • ¿Cuánto valen lím x → 8 f(x) y lím x → 8+ f(x)? 7. • Exprese sus respuestas a las preguntas anteriores en términos de la situación real de cotización de la acción. -

Observación Esta situación plantea el tránsito de la estimación y evaluación de límites de funciones definidas mediante datos numéricos, que permitían «hacer cuentas», a la estimación y evaluación de límites de funciones definidas por medio de su gráfica. Es decir: ahora se desafía al alumno a reconocer límites a partir de su expresión en la representación de una función en una referencia cartesiana ortogonal.

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El diseño de una secuencia didáctica sobre límite

Qué decisiones le subyacen a la construcción de la secuencia didáctica sobre límite Para hacer explícitas las decisiones que orientaron la construcción de la secuencia didáctica que nos ocupa, utilizaremos, como mapa de ruta, la tipología de objetos matemáticos ya mencionada: situaciones, conceptos, propiedades, lenguaje, acciones, argumentaciones. Decisiones en torno a las situaciones

Como se advierte en la selección de situaciones con las que procuramos dar imagen de la secuencia didáctica que comentamos, la construcción de las nociones a las que se apunta es disparada mediante situaciones de contexto real. Font (2007) propone una clasificación de los problemas escolares en función del papel que juega en ellos el contexto y en función del momento en que les son presentados a los estudiantes. Siguiendo el primer criterio, podemos distinguir: • Problemas reales o de contexto real (los que se presentan en el entorno sociocultural en el que la práctica real de la matemática tiene lugar). • Problemas de contexto real simulado (el contexto de estos problemas es una representación del contexto real; esa representación reproduce una parte de las características del contexto real mediante una dramatización, un juego de roles, etc.). • Problemas de contexto real evocado (los que permiten imaginar un marco o situación en los que se da el hecho que el problema describe). • Problemas de contexto intramatemático (o descontextualizados). Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

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Y siguiendo el segundo criterio: Problemas introductorios (los que se proponen al inicio de un tema con el objetivo de facilitar la construcción de un concepto matemático nuevo por parte de los alumnos). Problemas de aplicación (los que se proponen a continuación de un proceso de instrucción para que los alumnos apliquen los conocimientos construidos en ese proceso). Problemas de consolidación (similares a los de aplicación, pero de resolución más compleja).

De acuerdo con la clasificación de Font, podemos observar que en la secuencia que nos ocupa predominan los problemas introductorios de contexto real evocado (como lo sugieren las situaciones 1, 2, 3 y 5). Estos problemas descansan en la función modelizadora de la matemática, es decir, desencadenan el proceso de modelización matemática. ¿Qué es la modelización matemática? Al menos en el ámbito escolar, es un proceso que supone: 1. A partir de una situación real, casi siempre compleja, «recortar» un problema. 2. Por un proceso de reducción o simplificación, seleccionar algunas variables de la situación vinculadas al problema (dejando de lado, simultáneamente, muchas otras). 3. Atendiendo a las variables priorizadas, construir (o elegir) un modelo matemático de la situación, es decir, un sistema matemático que en algún sentido la represente o simule, dando cuenta de los patrones, de las regularidades y de las relaciones que se detectan en ella. 4. Operando matemáticamente al interior del modelo, hacer las transformaciones necesarias para obtener la solución al problema de origen. 83

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Reinvertir el modelo en la toma de decisiones o la formulación de predicciones sobre la situación original, y así procurar resolver el problema de partida. Evaluar la solución matemática en términos de ajuste y pertinencia a la situación real. Cuando corresponda, estudiar el ente matemático descontextualizado, formal y abstracto del cual el modelo construido es un caso particular o un ejemplo.

Las actividades de modelización tienen un fuerte carácter de praxis, o de síntesis entre el saber y el saber hacer, porque ofrecen la posibilidad de actuar sobre la realidad a través de un aparato teórico y, a la vez, la de producir conocimiento sobre la realidad. Dos son las razones fundamentales por las que privilegiamos la inclusión, en la secuencia, de situaciones contextualizadas en la realidad. Por un lado, en las sociedades contemporáneas, los nuevos procesos de producción, los nuevos modos de organización laboral, las nuevas y más exigentes formas de participación ciudadana, desafían a los sistemas educativos en general, y a la educación matemática en particular, en la medida en que demandan mayores capacidades para obtener, procesar críticamente y transmitir información, para dar respuestas y definir demandas individuales y colectivas en entornos cambiantes, para resolver problemas y tomar decisiones creativamente, para seguir aprendiendo. Es difícil pensar que estas capacidades, que por definición son contextuales, puedan desarrollarse endógenamente, descontextualizadamente, en abstracto. Por otro lado, las situaciones de contexto real (aun cuando éste sea simulado o evocado) habilitan a los alumnos a poner en juego los saberes matemáticos espontáneos e informales que circulan socialmente, y que no por espontáneos e 84

informales dejan de tener estatus de saberes matemáticos. Por esto, al menos en principio, las situaciones reales, o realistas, se presentan como potencialmente más adecuadas para revertir la tendencia al rechazo hacia la matemática que para muchos estudiantes se transforma en desconfianza en las propias posibilidades de hacer matemática, en autodescalificación («la matemática no es para mí») y, finalmente, en fracaso escolar (y social, claro). Quizá estas actitudes y emociones sean las monedas con que los alumnos pagan (caro) el que sus docentes hayamos confundido los conceptos con su definición formal, hayamos olvidado que para comprender un concepto son necesarias situaciones de referencia que le den sentido, y los hayamos expuesto a la manipulación ciega de un simbolismo excesivo. Decisiones en torno a los conceptos y las propiedades

Son dos las decisiones que conciernen a los conceptos y las propiedades de los mismos, sobre las que vale la pena detenernos. En primer lugar, como indican las situaciones de muestra con las que ilustramos la secuencia, toda la secuencia está construida sobre la base de funciones afines o afines por intervalos (en rigor, sobre la base de restricciones de ese tipo de funciones a subconjuntos convenientes de lR; el conjunto de los números reales). Recordemos que una función afín es una función f: lR → lR tal que su fórmula es de la forma f(x) = ax + b, siendo a y b números reales. Y que una función afín por intervalos es una función f: lR → lR tal que existe una partición de lR en un número finito de intervalos sobre cada uno de los cuales f es la restricción de una función afín. Esta decisión hace posible presentar la noción de límite (y también las de derivada e integral) simultáneamente con el estudio de las funUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

El diseño de una secuencia didáctica sobre límite

Toda la secuencia está construida sobre la base de funciones afines o afines por intervalos, y la decisión que comentamos permite una presentación muy temprana de la noción de límite

ciones afines (probablemente, unas de las más simples), y sin esperar a que los alumnos se familiaricen con otros tipos de funciones de mayor complejidad. Es decir, la decisión que comentamos permite una presentación muy temprana de la noción de límite. En verdad, la secuencia fue pensada en el marco de un diseño curricular en el que el límite, la derivada y la integral se estudian en simultáneo con cada tipo de función. El orden que se sigue en el abordaje de las funciones y sus propiedades (entre éstas, las particularidades de sus límites, sus derivadas y sus integrales) es: funciones afines, funciones polinómicas, funciones racionales, funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. El estudio de las funciones afines incluye el estudio de límites, derivadas e integrales de ese tipo de funciones. El estudio de las funciones polinómicas (de las cuales las funciones afines son un caso particular) contempla también el cálculo de límites, derivadas e integrales de funciones polinómicas. El estudio de las funciones racionales (de las cuales las funciones polinómicas son un caso particular) involucra asimismo el análisis de sus límites, derivadas e integrales. Y lo mismo se puede decir de las funciones trascendentes (exponenciales, logarítmicas, trigonométricas). De esta manera, las nociones de límite, derivada e integral se van enriqueciendo progresiva y helicoidalmente al aplicarlas al análisis de funciones cada vez más sofisticadas (o, al menos, de funciones de características diferentes). Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

La otra decisión inherente a los conceptos y las propiedades que la secuencia pone en juego es la de introducir la noción de límite a partir de la igualdad de los límites laterales. Esto es: en la secuencia, los alumnos construyen primero las nociones de límite lateral finito en un punto, por izquierda y por derecha, y después, la noción de límite a secas o límite único, como un modo de describir lo que ocurre en los casos en que los límites laterales son iguales entre sí. La decisión se sostiene en la hipótesis de que como el camino elegido obliga a los alumnos a analizar lo que ocurre «a un lado y a otro» del punto en el cual se está estimando el límite, o sea, en un entorno del punto, puede exigir y posibilitar una consideración más minuciosa de la situación, y prevenir algunos errores (por ejemplo, los que derivan de adjudicarle a la expresión «x → a» el significado de «x toma valores cercanos a a, pero menores que a»). Decisiones en torno al lenguaje

Desde el punto de vista del lenguaje, la secuencia analizada se caracteriza por: • La formulación en código coloquial de las situaciones por medio de las cuales se introducen las nociones de límite lateral y límite. ¿A qué obedece la opción por esa formulación coloquial? A la voluntad de acercar el punto de partida de la construcción conceptual a los saberes espontáneos o previos de los alumnos o, en términos de Vigotski, a la voluntad de que las situaciones queden dentro de la zona de desarrollo próximo de los estudiantes, entendida ésta como la distancia entre el nivel de desarrollo real de un sujeto (aquello que es capaz de hacer por sí solo) y su nivel de desarrollo potencial (aquello que es capaz de hacer en interacción con un adulto, o con compañeros más capaces). 85

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La mirada aritmético-algebraica puede promover un refinamiento o una sutileza en el análisis de las situaciones que es más difícil de conseguir desde los gráficos

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La precedencia de la presentación aritmético-algebraica de la noción de límite respecto de la presentación gráfica.

En efecto, en el curso de la secuencia, primero los alumnos evalúan los límites por los que se les pregunta «haciendo cuentas», basadas de forma implícita o explícita en las fórmulas de las respectivas funciones, y después leen esos límites a partir de las representaciones gráficas de las funciones en una referencia cartesiana ortogonal. El ordenamiento obedece a la convicción de que la mirada aritmético-algebraica puede promover un refinamiento o una sutileza en el análisis de las situaciones que es más difícil de conseguir desde los gráficos, que favorecen, en cambio, aproximaciones más globales. Para no subestimar la importancia de la toma de decisiones respecto del lenguaje y los lenguajes en la definición de la secuencia, conviene recordar algunas de las ideas de Duval (Duval, 2007; Godino y otros, 2006): • No puede haber comprensión en matemática si no se distingue un objeto de su representación, ya que un mismo objeto matemático puede presentarse a través de representaciones diferentes, más o menos congruentes entre ellas. • Las representaciones semióticas son un medio del cual dispone el individuo para exteriorizar sus representaciones mentales, para hacerlas visibles o accesibles a los demás, para efectuar tratamientos (operaciones, 86

•

cálculos) sobre los objetos matemáticos. El progreso de los conocimientos matemáticos es solidario con la creación y el desarrollo de sistemas semióticos nuevos y específicos. La pluralidad de sistemas semióticos permite una diversificación tal de las representaciones de un mismo objeto que incrementa las capacidades cognitivas del sujeto y enriquece sus representaciones mentales en la medida en que coordine aquellos sistemas entre sí: no hay noesis (aprehensión conceptual de un objeto) sin semiosis (aprehensión o producción de una representación semiótica), ya que es esta la que determina las condiciones de posibilidad y ejercicio de aquella. La coordinación entre las representaciones que provienen de sistemas semióticos diferentes no es espontánea; la conversión de unos sistemas a otros requiere de un aprendizaje específico y, por tanto, debe ser objeto de enseñanza. La coordinación no es una consecuencia de la noesis, sino su condición de posibilidad. Decisiones en torno a las acciones y las argumentaciones

¿Qué acciones deben desplegar los alumnos para dar el valor de los límites por los que se les pregunta? ¿Mediante qué tipo de argumentos se espera que justifiquen sus respuestas (tanto cuando una consigna lo requiere taxativamente, como cuando la argumentación se vuelve necesaria en el curso de la interacción entre pares o con el profesor)? Como ya dijimos, la secuencia está destinada a la presentación temprana de la noción de límite finito de una función en un punto. La presentación es temprana en tres sentidos: lo es en el sentido más obvio de que acerca la noción a los alumnos por primera vez; lo es también en el sentido Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

El diseño de una secuencia didáctica sobre límite

de los saberes matemáticos de los que disponen los alumnos sobre las funciones (saberes que, como precisamos más arriba, se reducen a las funciones afines); y por último, es temprana en el sentido de la edad de los estudiantes a los que está destinada, que bien podría ser la que corresponde a los primeros años de la educación secundaria o, a lo sumo, a los años medios. Las acciones y los argumentos que las situaciones demandan a los estudiantes, las acciones y los argumentos que se pueden esperar de ellos y que se pueden considerar pertinentes y hasta deseables, son acordes a ese carácter de presentación temprana. No se requiere, por ejemplo, que los alumnos calculen límites implementando procedimientos de transformación algebraica de fórmulas para salvar indeterminaciones: solo se les pide que estimen y evalúen límites en situaciones en las que estos procedimientos más informales, menos algorítmicos, son suficientes. Del mismo modo, no se requiere que justifiquen sus «haceres» y sus «decires» mediante argumentos deductivos (del orden de la demostración matemática), sino que basta con que puedan dar cuenta de sus afirmaciones mediante argumentos que las expliquen, aunque esos argumentos sean inductivos, empíricos, comparativos o por ensayo y error. Una línea argumental posible es la de razonar sobre una situación puramente matemática (la situación 4, por ejemplo) asimilándola a una situación de contexto real (esto es, tratándola «como si» los datos y las incógnitas fueran importes a pagar, consumos eléctricos, pesos a transportar, etc.).

A modo de cierre El análisis retrospectivo de las decisiones involucradas en el proceso de elaboración de una secuencia didáctica puede operar como un recurso de Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

valor para la reflexión sobre la propia práctica y la mejora de los propios desempeños profesionales. En la vorágine de nuestro quehacer cotidiano, los profesores solemos tomar decisiones didáctico-pedagógicas casi «en piloto automático». El análisis que hemos propuesto puede permitir hacer conscientes esas decisiones, por la vía de explicitarlas ante nosotros mismos. Por otro lado, cada decisión es, en sí misma, una encrucijada; identificar las opciones en juego en una decisión conduce a darnos y dar razones en favor de unas u otras y, sobre todo, a percibir cursos de acción alternativos, desnaturalizando prácticas rutinarias que a fuerza de serlo se vuelven opacas a la crítica. Así mismo, la reconstrucción del proceso decisional nos reconecta con la complejidad de las prácticas educativas, para las que en general no hay opciones que salden a la vez todas las dificultades con las que esas prácticas nos desafían: cada opción puede ser pensada como una respuesta o una solución parcial, que permite sortear ciertos obstáculos al precio (inevitable) de instalar otros. Por ejemplo, y a propósito de la secuencia didáctica que comentamos: • En ella se privilegia el uso de situaciones problemáticas realistas, en la confianza de que son las más adecuadas para acercar la noción de límite a los alumnos; en esas situaciones intervienen magnitudes tales como el consumo eléctrico mensual, el importe a pagar por él, el peso de un conjunto de objetos, etc. Estas magnitudes son teóricamente continuas pero prácticamente discretas: los valores que se les asignan o que toman en situaciones reales son valores enteros o racionales cuyo desarrollo decimal se agota en una o dos cifras decimales. ¿Hasta qué punto esta restricción no condiciona la comprensión de la noción de límite que se pretende enseñar? 87

Investigación y opinión

•

En la secuencia, por la instancia temprana a la que está destinada, se propicia el recurso a los argumentos inductivos y por ensayo y error, y no el recurso a la demostración o prueba matemática deductiva; ahora bien: ¿qué rol juega la argumentación en el aprendizaje de la demostración, aprendizaje por el que tarde o temprano los alumnos deberán transitar? ¿Hay entre argumentación y demostración una relación compleja, productiva e inevitable (Boero, 1999) o, por el contrario, la argumentación puede ser un obstáculo epistemológico para el aprendizaje de la demostración (Balacheff, 1999)?

Como de decisiones hemos hablado, quizá no sea trivial cerrar este artículo con una polisémica frase de Plubio Terencio Afer: Mala cosa es tener un lobo cogido por las orejas, pues no sabes cómo soltarlo ni cómo continuar aguantándolo.

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DIDÁCTICA

DE LAS

MATEMÁTICAS en octubre de 2012 y aceptado en abril de 2013 para su publicación.

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Investigación y opinión

Actitudes y estrategias en el aprendizaje de las matemáticas*

AA.VV. Universidad de Valladolid

Es conocido que en el aprendizaje de las matemáticas interviene un conjunto complejo de variables relacionadas con aspectos afectivo-emocionales, tales como las actitudes hacia las matemáticas, o con el uso de competencias matemáticas, como puedan ser las estrategias de tipo metacognitivo. Utilizando dos escalas, una de actitudes y otra de estrategias metacognitivas, y una muestra de más de 4.807 estudiantes de primaria, secundaria y bachillerato, hemos realizado análisis descriptivos de ambas variables y análisis multivariantes para el estudio del influjo del nivel educativo sobre dichas variables. Attitudes and skills in the learning of mathematics It is known that learning mathematics involves a complex set of variables related to affective-emotional aspects such as attitudes toward math or using math skills as they can be strategies for study and, in particular resolution problems. Using two scales, one of attitudes and other metacognitive strategies, and a sample of more than 4807 students from primary and secondary education we performed descriptive analyzes of both variables and multivariate analysis to study the influence of educational level on these variables.

Querer y poder, actitud y capacidad, conforman un binomio que se hace imprescindible en la realización exitosa de cualquier actividad con la que nos comprometamos. En particular, este binomio se hace presente en los procesos de aprendizaje. El aprendiz debe adquirir competencias que aplique adecuadamente, pero a la par es necesario que quiera, con cierto ánimo y gusto, hacer los esfuerzos que se requieran para tal tarea. Entendemos por competencias, en sintonía con PISA, las habilidades y las aptitudes de los Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | pp. 89-97 | julio 2013

Palabras clave: actitudes, rendimiento, afectivoemocional, estrategias metacognitivas.

Keywords: attitudes, performance, affectiveemotional, metacognitive strategies.

estudiantes para analizar y resolver problemas, para manejar información y para enfrentar situaciones que se les presentarán en la vida adulta y que requerirán de tales pericias. En particular, el concepto general de competencia matemática se refiere a la capacidad del alumno para razonar, analizar y comunicar operaciones matemáticas. Es, por lo tanto, un concepto que excede al mero conocimiento de la terminología y las operaciones matemáticas, e implica la capacidad de utilizar el razonamiento matemático en la solución de pro89

Investigación y opinión

blemas de la vida cotidiana. Es decir, la capacidad de reproducción de los conocimientos adquiridos debe complementarse con las de conexión y reflexión. Para ello, hemos de lograr que, adicionalmente a lo cognitivo, el individuo vaya conociendo sus formas y maneras de pensar, fomentando así una cierta capacidad de organizar, revisar o modificar los procesos cognitivos en función de sus progresos en el aprendizaje. Hemos de utilizar los procesos metacognitivos como una herramienta que conduzca al conocimiento. Los currículos señalan que las competencias básicas debieran trabajar y evaluar aspectos relacionados tanto con el desarrollo del problema (comprensión y análisis del enunciado; diseño y aplicación de estrategias; hábitos de comprobación y coherencia con el contexto planteado y comunicación de proceso y resultados) como con el dominio afectivo y la educación emocional. Se valoran actitudes personales como la perseverancia en la búsqueda de soluciones, la confianza en la propia capacidad para lograrlo o la actitud positiva. En el campo de las matemáticas, las estrategias metacognitivas se han relacionado sobre todo con los procesos de resolución de problemas (Rodríguez-Quintana, 2006) y con el rendimiento académico (Miñano y Castejón, 2011; Zimmerman y Schunk, 2011), siendo escasos los intentos de establecer vínculos entre estas variables metacognitivas y aquellas de naturaleza afectivo-emocional. En el campo de las matemáticas, las estrategias metacognitivas se han relacionado sobre todo con los procesos de resolución de problemas y con el rendimiento académico, siendo escasos los intentos de establecer vínculos entre estas variables metacognitivas y aquellas de naturaleza afectivo-emocional

Los alumnos que comprenden las matemáticas y las manejan con cierta soltura afirman que las matemáticas son fáciles y divertidas. Para Hidalgo, Maroto y Palacios (2004) no habría una relación significativa entre la percepción de dificultad de los alumnos y el rechazo a las matemáticas. Miles, Blum, Staats y Dean (2003) desarrollan un cuestionario de estrategias metacognitivas (MSI- Metacognitive Skills Inventory) que correlacionan con los datos obtenidos en un test de ansiedad. Los resultados muestran una correlación elevada entre el uso de estrategias metacognitivas y la ansiedad matemática, menor cuanto mayor es la conciencia metacognitiva. Los trabajos de Sachin (2006) son más claros a la hora de establecer relaciones entre la metacognición y variables de tipo afectivo-emocional. En concreto, el autor concluye que los mejores predictores de la ansiedad matemática son el papel del profesor en las experiencias de aprendizaje, las estrategias de regulación y manejo de recursos, la autoeficacia percibida y las estrategias metacognitivas. Barbero y otros (2007), utilizando los datos del área de matemáticas de la muestra española que participó en la segunda Evaluación Internacional del Progreso Educativo realizada por el Educational Testing Service con objeto de identificar variables relacionadas con un rendimiento alto, estudian las diferencias de las actitudes hacia las matemáticas, sus hábitos de estudio y su rendimiento en los niños y niñas de 13 años; analizan la influencia de las actitudes y los hábitos de estudio sobre el rendimiento y proponen un modelo teórico mediante ecuaciones estructurales que explique las relaciones entre las variables propuestas. El esfuerzo, junto a otras variables como las creencias sobre la autoeficacia y variables motivacionales, son también para Chouinard, Karsenti y Roy (2007) factores que determinan en gran medida los procesos de aprendizaje matemático y, por tanto, del rendimiento escolar. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Actitudes y estrategias en el aprendizaje de las matemáticas

Los resultados muestran una correlación elevada entre el uso de estrategias metacognitivas y la ansiedad matemática, menor cuanto mayor es la conciencia metacognitiva

Trabajando con variables que, como las anteriores, pueden relacionarse con los hábitos de estudio y estrategias de afrontamiento de tareas matemáticas (estrategias metacognitivas, autocontrol, motivación intrínseca o autoeficiencia percibida), Metallidou y Vlachou (2007) encuentran que los alumnos de primaria con mejores estrategias y una motivación intrínseca alta obtienen mejores rendimientos explicados, en cierta medida, por la presencia en estos casos de actitudes más positivas hacia la materia (lengua y matemáticas, en esta investigación). Tárraga (2008) ha investigado la relación del rendimiento en solución de problemas matemáticos, con diferentes variables afectivo-motivacionales tales como las actitudes, la ansiedad hacia las matemáticas o las atribuciones de causalidad sobre el rendimiento matemático, en una muestra de estudiantes con y sin dificultades del aprendizaje. Sus resultados sugieren dos conclusiones fundamentales: tanto las actitudes como la ansiedad hacia las matemáticas están directamente relacionadas con el rendimiento en solución de problemas matemáticos, y esta relación se encuentra tanto en estudiantes con dificultades como en alumnos con rendimientos adecuados, sugiriendo que los aspectos afectivos y motivacionales, especialmente las actitudes y la ansiedad, deben ser contempladas en la educación matemática. Una línea de investigación común a otros campos de las matemáticas ha sido la posibilidad de realizar programas de entrenamiento metacognitivo como mejora directa de estas estrategias y, de Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

manera indirecta, para la disminución de la ansiedad matemática y el aumento de rendimiento académico. En este sentido, Otts (2010) busca relacionar las actitudes hacia las matemáticas y la ansiedad con el desarrollo de cursos sobre técnicas de autorregulación y metacognición y el rendimiento académico. Sus conclusiones indican que son estas dos variables las que determinan el correcto uso de las estrategias de autorregulación y que este correcto uso de la metacognición es el mejor predictor del aprovechamiento escolar. En este contexto, planteamos un estudio pormenorizado de las actitudes matemáticas y las estrategias metacognitivas de los estudiantes españoles desde primaria hasta bachillerato, con la intención de aportar una visión completa y actualizada de estas dos importantes variables (querer y poder) de los procesos de enseñanza-aprendizaje.

Metodología Características de la muestra

La selección de los colegios e institutos en los que se han pasado las escalas se realizó de manera aleatoria, balanceando entre colegios de zonas rurales y urbanas, así como entre colegios públicos y concertados o privados. En total una muestra de 4.807 alumnos de niveles de 6º de primaria hasta 2.º de bachillerato. Los datos fueron recopilados durante los cursos escolares 2007-2008, 20082009 y 2009-2010 en 14 colegios e institutos pertenecientes a las provincias de Valladolid, Soria, Burgos y Segovia. Predominan los hombres con un 53% frente al restante 47% de mujeres. Instrumentos de medida

Para la toma de datos se han utilizado dos escalas tipo Likert de cinco puntos, que pasamos a resumir en el cuadro 1. 91

Investigación y opinión

La escala metacognitiva matemática (EMET) consta de 41 ítems sobre distinescalas en: tos aspectos de las destrezas metacognitiConsulta las uno.grao.com vas en matemáticas. En cada uno de los ítems se responde según el grado de acuerdo con el enunciado en una escala de cinco puntos (valores de 0 a 4, correspondiendo 4 a la respuesta «acuerdo total», 3 a «bastante de acuerdo», 2 a «de acuerdo», 1 a «en desacuerdo», y 0 a «desacuerdo total»). Para su construcción se partió del modelo de resolución de problemas planteado por Polya (1985) y seguido por Guzmán (1991) entre otros. Se obtuvo una alfa de Cronbach de 0,87, valor que asegura la fiabilidad de nuestras medidas. Para la elaboración de la escala afectivoemocional hacia las matemáticas (EAEM), se partió de otros cuestionarios similares utilizados en investigaciones anteriores del equipo investigador (Hidalgo, Maroto y Palacios, 2000, 2004, 2005). Consta de 40 ítems, y en cada uno de ellos se responde, como en la anterior escala, según el grado de acuerdo con el enunciado en una escala de cinco puntos (valores de 0 a 4). Se obtuvo una alfa de Cronbach de 0,94, valor que asegura la fiabilidad de nuestras medidas. En ambas escalas, al realizar el sumatorio de los valores numéricos de cada pregunta, se invierte el valor en los ítems de enunciado negativo. (Ej.: en la pregunta: «Toca clase de matemáticas, ¡qué horror!», la respuesta de acuerdo total se

Nombre de escalas

contabiliza con 0, la de bastante de acuerdo con 1, la de acuerdo con 2, la de en desacuerdo con 3 y la de desacuerdo total con 4).

Resultados Estrategias metacognitivas

La distribución de frecuencias de la escala metacognitiva presenta una distribución normal con media de 4.48 en una escala de 0 a 10 unidades. Los hombres presentan valores medios mayores en la escala metacognitiva que las mujeres (F = 14,98, sig = 0,00), como se observa en el cuadro 2. No obstante, tras el ANOVA correspondiente realizado tomando como variable dependiente el rendimiento en esta escala metacognitiva y como variable independiente el curso escolar, encontramos diferencias significativas (F = 10,21; p = 0,00) en los valores medios asociados a cada curso escolar. Como podemos observar en el cuadro 3, estos valores disminuyen a medida que aumenta el nivel escolar hasta 2.º de bachillerato. En particular, resaltamos algunos resultados correspondientes a diferentes ítems de la escala: La memoria como estrategia metacognitiva La escala contempla tres ítems relacionadas con el uso de la memoria como estrategia de estudio en matemáticas. Solamente en una de ellas no

Objetivo

Escala metacognitiva matemática (EMET)

Conocer y medir diferentes aspectos relacionados con las destrezas metacognitivas de los alumnos cuando se enfrentan a tareas matemáticas.

Escala afectivo-emocional (EAEM)

Conocer y medir las actitudes de los alumnos hacia las matemáticas. Cuadro 2. Valores medios de la escala metacognitiva

Cuadro 1. Escalas y subescalas para la toma de datos

(por sexos) Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Actitudes y estrategias en el aprendizaje de las matemáticas

hay diferencias significativas en relación al nivel educativo y por un motivo cuando menos preocupante: los alumnos, independientemente de la edad, tienden a aprenderse de memoria los

Cuadro 3. Valores medios de la escala metacognitiva

(por niveles educativos)

problemas de matemáticas hechos en clase como estrategia metacognitiva. Las diferencias en las otras dos son evidentes y significativas estadísticamente. Cuando preguntamos si se utiliza la memoria cuando no se entiende un contenido matemático, la tendencia es clara: cuanto más elevado es el nivel educativo, más se aprende de manera mecánica los contenidos que no se entienden (cuadro 4). La solución y la comprobación Sorprende, así mismo, el alto porcentaje de alumnos que no comprueba la solución de los problemas antes de darlos por terminados. Como podemos apreciar, la media en una escala de 0 a 4 puntos de los alumnos de 6º de primaria está cercana a 2,5 puntos. Uno de cada dos alumnos de este nivel asegura comprobar los resultados. Esta misma media, desciende al 1,8 en los cursos de 3.º y 4.º de la ESO y 1.º de bachillerato (cuadro 5). Estrategias metacognitivas y horas de estudio Por último, en este breve repaso de algunas de las preguntas de la escala metacognitiva, es interesante resaltar que la tendencia que venimos analizando de valores menores en la percepción de competencia matemática, al avanzar el nivel educativo, no

Cuadro 4. En matemáticas, cuando no entiendo la lec-

ción, utilizo la memoria

Cuadro 5. Compruebo la solución de un problema de

Cuadro 6. Mi mayor problema en matemáticas es que

matemáticas antes de darlo por terminado

estudio poco

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Investigación y opinión

puede ser achacada a la disminución de las horas de estudio. La mayoría de los alumnos de final de primaria (65%) considera que la falta de estudio es el principal motivo de fracaso en la asignatura de matemáticas; al final de la ESO y comienzo de bachillerato, solo algo más del 45% considera esta falta de estudio como el principal motivo de fracaso (cuadro 6, en la página anterior).

Dimensión afectivo-emocional

La distribución de frecuencias de la Escala Afectivo-emocional Matemática (EAEM) presenta una distribución normal con media de 5,84 en una escala de 0 a 10 puntos. Como sucediera en la escala metacognitiva, los hombres presentan mejores actitudes hacia las matemáticas que las mujeres (F = 27,14; sig = 0,00) como se observa en el cuadro 7. Las diferencias en las medias de la escala en función del nivel educativo son estadísticamente significativas (F = 42,771; sig = 0,00) con valores decrecientes en los niveles obligatorios (hasta el final del segundo ciclo de la eso) y con una ligera subida al llegar al bachillerato (cuadro 8). En los ítems relativos al gusto hacia las matemáticas, al aburrimiento ante las tareas matemáticas, al nivel de ansiedad matemática y al sentimiento de indefensión ante las matemáticas, se mantiene en todas ellas la misma tendencia: mejores actitudes en los niveles educativos inferiores y actitudes más negativas a lo largo de la enseñanza secundaria. Por último, cabe destacar el aumento en la percepción de dificultad de las matemáticas al aumentar el nivel educativo. El 25% de alumnos de final de la educación primaria percibe alguna dificultad relacionada con las matemáticas. Este mismo porcentaje pasa a un 39% en 1.º de la ESO, 94

valor que se mantiene hasta el final de la etapa obligatoria, cuando el porcentaje aumenta hasta el 58% del alumnado. Con el ingreso en bachillerato, la percepción de dificultad disminuye. Correlaciones entre estrategias metacognitivas y actitudes

En otro orden de cosas, la correlación entre los valores de la escala metacognitiva y las actitudes escolares presenta un valor estadísticamente significativo (0,188). Tras segmentar por el nivel educativo del alumnado, la cuantía de la correlación disminuye de forma progresiva a la vez que aumenta el nivel educativo. De hecho, encontramos valores significativos en los niveles educativos obligatorios y no

Cuadro 7. Valores medios de la escala efectivo-emo-

cional (por sexos)

Cuadro 8. Valores medios de la escala de actitudes

hacia las matemáticas (por niveles educativos) Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Actitudes y estrategias en el aprendizaje de las matemáticas

significativos en bachillerato. Es decir, la mutua influencia que pudieran tener las actitudes hacia las matemáticas y la escala metacognitiva es mayor en 6º de primaria que en el resto de cursos. En este sentido, los alumnos de este curso que tienen actitudes positivas hacia las matemáticas tienden, de manera significativa, a percibirse como más capaces en competencias metacognitivas. Sin embargo, al final de la ESO, esta covariación de lo cognitivo y lo afectivo disminuye de manera ostensible. Cuando analizamos esta relación en el nivel de bachillerato, la covarianza es nula y no significativa estadísticamente. Al analizar de manera conjunta el percentil que cada alumno ocupa en la escala Metacognitiva (EMET) y en la escala Afectivo-emocional (EAEM), obtenemos que la tendencia general es que los alumnos que se encuentran en el primer cuartil de la escala metacognitiva sean, a la vez, los que se sitúan en el primer cuartil de la escala EAEM. Es decir, los alumnos con actitudes negativas hacia las matemáticas tienden a ser, además, alumnos con escasos recursos metacognitivos. En el otro sentido, los que se sitúan por encima del percentil 75 de la escala actitudinal son, en gran medida, los que se encuentran por encima de ser percentil en la escala metacognitiva.

Conclusiones En lo relativo a la dimensión afectivo-emocional, nuestros resultados parecen apoyar las investigaciones que han encontrado una disminución gradual de las actitudes positivas hacia las matemáticas, a la vez que aumenta el nivel educativo de los alumnos. Igualmente alarmante es la constatación de que el alumnado, a medida que aumenta su formación, aumenta la sensación de indefensión hacia las matemáticas: la sensación de que haga lo que haga siempre saco malas notas en matemáticas aumenta de forma clara en el paso por la ESO. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

Esta sensación de indefensión podría estar relacionada con la otra escala estudiada; es decir, con la presencia o ausencia de estrategias metacognitivas en el aprendizaje de los alumnos. Así, los resultados de los valores medios de esta escala son igualmente llamativos: descenso de los valores medios, descenso de las estrategias metacognitivas a medida que aumenta el nivel educativo. Esta relación inversa entre las estrategias de trabajo y resolución de problemas y el nivel educativo puede ser interpretada a partir de dos argumentos diferentes: • Podemos considerar que la escala metacognitiva mide, en realidad, la percepción de competencias que aprecian los estudiantes. En este sentido, las mejores percepciones se darían en los niveles en los que el alumnado es menos crítico y suele poseer un menor conocimiento de sus limitaciones, además de ser más optimista con respecto a sus posibilidades. Esta tendencia no es exclusiva de las matemáticas y se ha observado en otras materias, y puede ser solo el reflejo de un enfoque más crítico de muchos aspectos de la vida. • Pero esta relación inversa también puede mostrar un constante aumento de las demandas de las tareas y de los recursos que intervienen en el quehacer matemático. Es decir, los recursos necesarios para salir airosos en la clase de matemáticas al final de primaria han de ser menores que los requeridos en 4.º de la ESO, pongamos por caso. Además, los alumnos de primaria que podrían tener menos recursos metacognitivos que sus compañeros de la ESO, se percibirían como más competentes por esas menores demandas, que no necesitan poseer para salir exitosos de sus tareas matemáticas. Por el contrario, las demandas para un desempeño adecuado de las tareas matemáticas al final del segundo ciclo de secundaria podrían es95

Investigación y opinión

tar muy alejadas de las posibilidades percibidas; ello produciría en el alumno visiones más catastrofistas y pesimistas de sus posibilidades aunque, de hecho, puedan tener más competencias y mejores de las que tenía al final de primaria. En otras palabras, aumentarían más deprisa las demandas necesarias que los recursos reales disponibles con una disminución progresiva de la autopercepción de competencias matemáticas. Adicionalmente, no es fácil explicar que en nuestras aulas se siga utilizando la memoria no comprensiva, mecánica o «de papagayo» como estrategia de estudio en una materia en la que estas estrategias resultan tan poco útiles. Más llamativo todavía si consideramos que esta equivocación no disminuye con la experiencia, sino que más bien aumenta. No deja de ser sorprendente que los alumnos al final de su escolarización, incluso al final de bachillerato, sigan utilizando de manera generalizada la memoria como técnica de resolución de problemas matemáticos. Sorprende mucho que el alumnado, de manera generalizada, siga aprendiéndose de memoria los problemas hechos en clase como estrategia metacognitiva matemática. Por otra parte, a nivel de correlaciones, nuestros resultados confirman la idea de mutua dependencia de los afectos y la cognición: mejores actitudes hacia las matemáticas, mejores estrategias metacognitivas. No obstante, la complejidad de ambos factores hace que la parte que pueda ser explicada por alguna de ellas sobre la otra es pequeña (explicamos relativamente poco del rendimiento en la escala metacognitiva a partir de las actitudes hacia las matemáticas). Esta relación disminuye a la par que lo hace el nivel escolar: mayor dependencia de lo afectivo y lo competencial en los niveles obligatorios, escasa o nula relación en los niveles no obligatorios (en bachillerato). 96

No obstante, nuestro estudio no alcanza a establecer las relaciones de causalidad entre ambas variables, ¿qué es causa y cuál es el efecto? ¿Es la ausencia de estrategias metacognitivas el factor desencadenante de las bajas actitudes hacia las matemáticas o, por el contrario, son las actitudes matemáticas negativas lo que determina un uso inadecuado de estrategias de estudio y de resolución de problemas? Mediante la formulación de determinadas ecuaciones estructurales, estamos abordando posibles resultados que enriquecerán lo hasta aquí encontrado.

Nota * AGRADECIMIENTOS: Este artículo forma parte de la ejecución del proyecto de investigación titulado Diferencias y cambios evolutivos en el perfil emocional matemático de los estudiantes desde el instituto a la universidad. Su relación con el rendimiento académico, subvencionado por la Junta de Castilla y León, en la convocatoria pública para el desarrollo de proyectos de investigación a iniciar en el 2010.

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Referencias de los autores Santiago Hidalgo Ana Maroto Tomás Ortega Andrés Palacios Universidad de Valladolid shidalgo@am.uva.es amaroto@am.uva.es ortega@am.uva.es palacios@psi.uva.es Líneas de trabajo: las dificultades de aprendizaje, en general, y de las matemáticas, en particular. Este artículo fue recibido por UNO. REVISTA

DIDÁCTICA

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MATEMÁTICAS en marzo de 2012 y aceptado en abril de 2013 para su publicación.

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Desde y para el aula

José Luis Requena

El teorema de Endika

IES Sollana. Sollana (Valencia)

La imaginación de nuestros estudiantes es algo que no debemos dejar pasar por alto en nuestra profesión. La autoevaluación de nuestros recursos educativos y metodologías parece ser la clave para acercarse hasta ella. Como coautor del proyecto Matemáticas de cine, puedo decir que el uso de material audiovisual en el aula suele ser de gran ayuda para introducir conceptos o relacionar ideas con las que se vaya a trabajar. La siguiente experiencia surgió justo tras una clase con proyección. Endika’s theorem In our profession we should make the most of our students’ imagination. Assessing our educational and methodological resources appears to be key to this. As coauthor of the Mathematics in Film project, I can say that the use of audiovisual material in class can be a great help for introducing concepts or linking the ideas to be worked on. The following experience stems from a class with a screening.

El resultado que aquí se expone surgió en un aula de segundo de la ESO, a principios de diciembre de 2011, en concreto en el 2.º A del IES Sollana, de Sollana, provincia de Valencia. Nos encontrábamos llegando a la recta final del bloque de geometría, que habíamos comenzado al inicio de curso, y en un momento en que sin Thales y Pitágoras, era casi imposible avanzar. De hecho, en la mayoría de actividades, era imprescindible escribir aquello de «por el Teorema de Thales» o «por el Teorema de Pitágoras» para poder hallar los datos necesarios para poder calcular el perímetro o el área de alguna figura plana, o el área o Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | pp. 99-103 | julio 2013

Palabras clave: Pitágoras, Thales, semejanza, volumen, troncos de cono, troncos de pirámide, imaginación, matemáticas de cine.

Keywords: Pythagoras, Thales, similarity, volume, cone sections, pyramid sections, imagination, film mathematics.

el volumen de algún cuerpo geométrico. En las fichas de actividades entregadas a los alumnos se les ayudaba con iconos al lado de las figuras o cuerpos, como sugerencia, para que supiesen qué herramienta utilizar (imagen 1).

Teorema de Pitágoras

Teorema de Thales

Imagen 1. Iconos de los teoremas utilizados en las

fichas

Desde y para el aula

Llegó el día en que un nuevo resultado iba a salir a la luz. En la última sesión, habíamos deducido en el aula, de forma lógica, los volúmenes de un prisma y un cilindro, y practicado con varios ejemplos. Para esta nueva sesión, nos fuimos al aula multiusos donde pude proyectar unos vídeos de unos experimentos hechos con agua coloreada y cuerpos geométricos huecos, donde se observaba la relación entre el volumen de una pirámide y el de un prisma con la misma base y la misma altura; el volumen de un cono y el de un cilindro de la misma base y la misma altura; y el volumen de una esfera y el del cilindro circunscrito a ella. Con esta proyección, los alumnos visualizaron y dedujeron las relaciones de proporcionalidad existentes en casa caso. Finalmente, nos faltaba por conocer los volúmenes de un tronco de cono y de un tronco de pirámide. La actividad que les propuse para ello fue introducida más o menos así: Como habéis visto, hemos aprendido a deducir experimentalmente, volúmenes de cuerpos más complejos a partir de cuerpos geométricos sencillos cuyos volúmenes ya conocíamos. Ahora la pregunta es: ¿con qué cuerpo o cuerpos podríamos relacionar un tronco de cono para hallar su volumen y cómo lo hallaríamos? La respuesta fue casi inmediata y además la esperada: «completando el tronco de cono y hallando la diferencia de volúmenes de dos conos». Como sabemos, este procedimiento requiere el uso del Teorema de Thales, herramienta que ya se había trabajado largo y tendido, así que, sin más, los alumnos comenzaron a trabajar una serie de actividades propuestas. Una de ellas era la siguiente: 100

¿Qué vaso tiene mayor capacidad?

Un alumno mío, Endika Arabiourrutia Pedrero, al que había visto pensativo y sin escribir durante un rato, se me acercó y me dijo: —José Luis, me ha llamado la atención este ejercicio y creo que en los dos vasos cabe lo mismo. —¿Estás seguro? —Sí, porque mira, los dos tienen la misma altura, y si a la boca del segundo vaso le quito un centímetro y se lo doy a la base, se convierte en el primero. —Bueno, aparentemente sí. Pero las apariencias a veces engañan. Haz los cálculos con los procedimientos que hemos visto hoy y comprueba si es como tu intuición te dice —le respondí. Más tarde, Endika vino a buscarme en un cambio de clase y me dijo que los volúmenes no coincidían, como yo ya sabía. Le dije que hacer la técnica del promedio sí que funcionaba en figuras planas, como el trapecio, pero no en esta ocasión. Pero a continuación añadió: «El vaso en forma de tronco de cono tiene más volumen, pero su diferencia es poca. Ese poco, ¿podría ser el volumen de algún cuerpo conocido?» La pregunta me pareció muy adecuada y fiel a la metodología empleada: buscando relaciones Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

El teorema de Endika

entre objetos matemáticos y sacando conclusiones. Le contesté que no me sonaba ningún resultado que respondiese a su pregunta. Acto seguido comencé a pensar. Cogí lápiz y papel y me puse a trabajar. Así apareció este resultado que llamé el teorema de Endika.

Por tanto, la diferencia entre el volumen de este cuerpo y el del cilindro del enunciado es:

Teorema de Endika

El volumen de un tronco de cono, de radios R y r, es igual a la suma del volumen de un cilindro de la misma altura y de radio la semisuma de los radios

Realizando un simple cálculo obtenemos el resultado esperado:

, más el volumen de un cono de la misma altura y de radio la semidiferencia de dichos radios .

En efecto, llamemos H a la altura del tronco de cono. Sabemos que su volumen viene dado por la fórmula:

Una vez descubierto esto, que jamás me había planteado y que jamás había encontrado en los libros de texto o en otro lado, preparé una ficha donde se incluía el enunciado de este teorema acompañado del siguiente ejemplo, y la distribuí a mis alumnos al día siguiente.

Ejemplo para calcular el volumen del tronco de cono Calculemos: • Su altura: H = 10 cm. • La semisuma de sus radios: •

La semidiferencia de sus radios:

cm. cm.

El volumen de un cilindro de altura 10 y radio 7 es: ABH=π·72·10= 490πcm3. El volumen de un cono de altura 10 y radio 1 es: Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

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Desde y para el aula

Por tanto, por el teorema de Endika, el volumen del tronco de cono es la suma de los volúmenes anteriores:

La aceptación de sus compañeros fue muy buena, ya que era un método muy rápido y sencillo. Y si para mí fue todo un descubrimiento, para ellos fue algo mucho más grande, por el hecho de que un compañero tuviese su propio teorema. Para mi sorpresa, una gran ovación de aplausos resonó en el aula y fueron ellos los que propusieron que esto debía ser publicado, lo que me llevó a escribir este artículo. He de decir que, el día de la prueba escrita, donde en una de las preguntas había que calcular el volumen de la siguiente plomada:

De 44 alumnos, 43 calcularon la parte del tronco por el teorema de Endika y uno por el teorema de Thales.1 El icono del día fue .

bierto; en el departamento de ciencias tuvo muy buena aceptación y no se dudó en corresponder a Endika con un buen regalo navideño: un libro. Y, por parte del centro, se ha incluido su teorema en la revista anual del mismo.

Conclusión He aprendido que nuestros alumnos de secundaria tienen mucho que decir todavía, y nosotros mucho que aprender con ellos. Si bien corren malos tiempos, no hay que olvidar que a su edad siguen contando con algo muy valioso: la imaginación. Basta con hacer que se impliquen en lo que se les está contando, aunque cueste mucho, para que no dejen de sorprendernos. Al final, después de una década en esta profesión, pienso que todo este gran esfuerzo sigue mereciendo la pena. La experiencia demuestra que es posible investigar en las aulas de secundaria, que no todo está hecho y que es posible encontrar resultados nuevos, siempre que se anime a los alumnos y alumnas a plantearse caminos alternativos a los que se ven. Espero que el teorema de Endika, que nos simplifica mucho el trabajo, os sea de utilidad en el aula, y que pronto podamos compartir otra nueva experiencia juntos.

En el instituto, también resonó el teorema de Endika: alumnos de otros grupos hablaban de un alumno que había «descubierto un teorema»; en la sala de profesores, en secretaría, en conserjería y en dirección se preguntaban qué se había descu-

Notas

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Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

* AGRADECIMIENTOS: Gracias, Endika, por tu contribución a mis conocimientos, y gracias a

El teorema de Endika

todos sus compañeros de 2.º A y 2.º B por el apoyo y admiración que le habéis mostrado. 1. La versión del teorema de Endika para los troncos de pirámide es análoga, simplemente cambiando conos por pirámides y cilindros por prismas. Incluso se puede cambiar en el enunciado radios por aristas básicas, o apotemas, y el resultado no varía. Por semejanza, el resultado sigue siendo cierto incluso para troncos de pirámide no regulares.

Referencias del autor José Luis Requena Sala IES Sollana. Sollana (Valencia) jlrs73@hotmail.com Líneas de trabajo: creación y utilización de vídeos didácticos para el aula; matemáticas y cine. Este artículo fue recibido por UNO. REVISTA

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MATEMÁTICAS en mayo de 2012 y aceptado en abril de 2013 para su publicación.

Normas para la publicación de artículos Los trabajos pueden hacer referencia a cualquier tema relacionado con la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas y a cualquier nivel educativo (desde educación infantil hasta enseñanza universitaria). 1. Los artículos han de ser inéditos. Su extensión será de entre 8-10 páginas DIN-A4 escritas en tipografía Arial, cuerpo 12, interlineado 1,5. Deberán incluir un resumen de 7 u 8 líneas y un listado de 5 a 8 palabras clave. 2. Se deberán señalar en cada página dos frases o fragmentos significativos que refuercen el discurso del texto (utilizar la herramienta de texto resaltado). 3. Se harán constar los siguientes datos de los autores: nombre y apellidos, DNI, referencia profesional, dirección, teléfono, correo electrónico y líneas prioritarias de investigación.

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

4. Se pueden adjuntar, al final del texto, esquemas, tablas, gráficos, fotografías y grabaciones en vídeo o audio que hagan más comprensible el contenido del artículo, indicándose la ubicación exacta de éstos (para las especificaciones técnicas consúltense las normas de publicación en uno.grao.com). 5. Las notas y citas bibliográficas (según las normas ISO 690 o APA) han de ser las estrictamente necesarias. 6. Todos los artículos serán evaluados por tres expertos manteniendo el anonimato del autor. 7. El autor autoriza a la editorial para que pueda reproducir el artículo, total o parcialmente, en su página web. 8. ENVIAR LAS COLABORACIONES A: editorial@grao.com (Revista UNO) o bien por correo postal a: C/ Hurtado, 29. 08022 Barcelona (adjuntando el CD y el papel).

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Cine y matemáticas

Las películas que nunca veremos (I)

Después de algunas reseñas dedicadas a las matemáticas de los efectos especiales, iniciamos en este número un nuevo ciclo dedicado a aquellas producciones de algún interés matemático que no se han estrenado en nuestro país comercialmente (y previsiblemente nunca lo harán), aunque en muchos casos podemos contemplarlas a través de Internet. Evidentemente no es lo mismo, pero al menos podremos conocerlas y practicaremos idiomas, lo que tampoco viene nada mal. No nos olvidaremos de los efectos especiales, ni de aquellos posibles estrenos que traten de un modo significativo nuestra disciplina y que iremos intercalando con estas producciones inéditas. De este modo proporcionaremos más variedad a la sección. Curiosamente, gran parte de esas películas no estrenadas en España que contienen más de medio minuto de referencias matemáticas corresponden a biografías de matemáticos o científicos célebres. No tratan en general de exaltar o relatar cronológicamente su vida o méritos científicos, sino que suelen centrarse en algún aspecto concreto, o utilizarse como excusa para abordar algún tema de interés para el realizador o el productor. Es el caso de Breaking the Code (Herbert Wise, Reino Unido, 1996), telefilme producido por la BBC que denuncia la brutal condena y persecución ejercida sobre el matemático Alan Mathison Turing (1912-1954) por el hecho de ser homosexual, que le llevó al suicidio (al menos oficialmente), y todo a pesar de los muchos servicios que prestó a su país y a la sociedad en general. Aprovechamos la reciente celebración internacional del Año Turing para recordar las dos producciones realizadas por el momento sobre su persona. Basándose en la magnífica y muy documentada biografía Alan Turing: the Enigma, del también matemático Andrew Hodges, publicada en el año 1983 (con varias reediciones, ha sido traducida a varios idiomas, entre ellos, francés, alemán, italiano, polaco y chino; por aquí parece no haber suscitado demasiado interés), Hugh Whitemore hizo una adaptación teatral en 1986 sobre la que se realizó la versión para la televisión. La película comienza con la denuncia que Turing efectúa en una comisaría de Manchester, en 1952, tras haber sufrido un robo en su domicilio. El sargento detective que le toma declaración se muestra sorprendido, no solo por la escasa cuantía de lo sustraído, sino también por los mínimos datos que el denunciante aporta para la investigación del caso. Retrocedemos a continuación a Guildford, a 1929. La puesta en escena no es lineal en el tiempo, y en algún momento se hace necesario conocer o indagar alguna referencia o dato para comprender el porqué de algunos comentarios o actitudes de los protagonistas. Alan

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | pp. 105-118 | julio 2013

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Cine y matemáticas

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ha invitado a su compañero Christopher Morcom a tomar un té en su casa. Allí le presenta a su madre. Mediante la conversación entre los tres, conoceremos las inquietudes y el carácter de Alan, así como su interés no correspondido en la prestigiosa escuela privada de Sherborne por la ciencia y las matemáticas. Volvemos a continuación a Manchester, en 1954. Turing conoce a un joven a la salida del cine al que invitará el fin de semana a su casa a cenar. Del diálogo entre ambos averiguaremos sobre qué está investigando: la construcción de un cerebro electrónico capaz de pensar por sí mismo (inteligencia artificial). En la siguiente escena, ambos despiertan tras pasar la noche juntos. El joven se muestra interesado por conocer más detalles sobre el científico, pero a la vez distante ante sus explícitas muestras de afecto. De este modo sabremos de su afición por experimentar con productos químicos (que junto al desorden en que vive será a la postre letal para él), de su infancia, su concepción de la vida y el mundo, y que trabajó durante la II Guerra Mundial para el Gobierno. El encuentro acaba con una fuerte discusión después de que Turing eche en falta dinero de su cartera. Así van alternándose momentos de la vida del célebre matemático, creciendo la trama en intensidad dramática a medida que se avanza al fatídico desenlace. Es difícil destacar alguna escena sobre las demás, dado el excelente trabajo en la adaptación y los certeros y por momentos acerados diálogos, si bien las matemáticas llenan la pantalla en siete minutos de monólogo realmente sensacionales. Alan Turing es entrevistado en 1940 por Dilwyn Knox, criptoanalista a cargo de la secreta Estación X de descifrado en Bletchley Park. Knox quiere saber de manera sencilla qué significa el célebre artículo de Turing sobre los números computables como respuesta al problema de la decisión planteado por David Hilbert. Un inspirado Derek Jacobi (actor que encarnó prodigiosamente a Turing, tanto en teatro como en este telefilme) relata muy convincentemente los tres pilares en los que Bertrand Russell pretendió fundamentar toda la matemática a partir de la lógica: la consistencia, la completitud y la decidibilidad. Además de explicar muy bien en qué consiste cada uno de estos pilares (algo nada sencillo para un no matemático, incluso para uno que haya reflexionado medianamente sobre el tema), describe el teorema de incompletitud de Gödel, los objetivos de los trabajos al respecto de David Hilbert, y su propia aportación en la que se incluye la idea de la máquina universal de Turing. Nunca he visto en ninguna otra película explicar conceptos e ideas de semejante calibre sin apurar en tiempo de metraje y hacerlo sin una sola equivocación. Es realmente destacable. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 62 | abril 2013

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Cine y matemáticas

Posteriormente se describe el funcionamiento de las máquinas que cifraban con el código Enigma, dando una idea (explicitando el número de posibles combinaciones a que daban lugar las sucesivas mejoras de la máquina por parte de los alemanes) de la inmensa tarea que supuso su decodificación, y se menciona explícitamente la presencia de la sucesión de Fibonacci en las espirales de brácteas que conforman las piñas de los pinos. Un montón de referencias a los conceptos matemáticos en los que Turing trabajó. Además se describe con detalle el proceso que siguió la investigación del robo que Turing denunció y su posterior condena por conducta inmoral, con una gran sensibilidad a la hora de mostrar los sentimientos que el personaje experimentaba ante estas circunstancias. El elenco de actores es excepcional, la mayoría de ellos con una amplia experiencia en teatro y entre ellos todo un premio Nobel de literatura, Harold Pinter, en una breve pero intensa interpretación de un siniestro agente de los servicios de inteligencia británicos. El excelente guión palia la evidente estructura teatral y los escasos medios económicos de la puesta en escena. Puede disfrutarse íntegramente, en versión original en inglés, en el enlace www.youtube.com/watch?v=S23yie-779k El lector interesado puede asimismo ampliar datos sobre esta película en las reseñas 69 y 70 de la sección «Cine y Matemáticas» del portal DivulgaMAT. Recientemente se ha estrenado en Reino Unido un nuevo telefilme sobre la vida de Alan Turing, Britain's Greatest Codebreaker (Clare Beavan, Nic Stacey, Reino Unido, 2011), un documental de una hora de duración en el que se alternan imágenes reales y testimonios y opiniones de expertos con una recreación dramatizada de algunos momentos de la vida del genio. En concreto, a partir de las sesiones de Turing con el psiquiatra Franz Greenbaum, los dos únicos actores que aparecen, se repasan los instantes más controvertidos de su vida y pensamiento y se examinan las presiones que pudieron contribuir a su temprano fallecimiento. A pesar de su llamativo trailer (que no es tal sino los dos primeros minutos del documental; puede verse en YouTube), y la campaña de promoción aprovechando la celebración del Año Turing, lo cierto es que, al contrario del anterior, no engancha en ningún momento al espectador, especula continuamente a partir de los hechos conocidos y no ofrece prácticamente ninguna respuesta a las cuestiones sin resolver, y ni siquiera deja demasiado claro en qué consistió el legado de Turing. Alfonso Jesús Población Sáez

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 62 | abril 2013

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Nuevas tecnologías

Actualizaciones de El lenguaje de las funciones y las gráficas (Shell Centre)

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Cuando en 1990 llegó a nuestros centros la traducción de El lenguaje de las funciones y las gráficas (Shell Centre, 1985), muchos profesores encontramos nuevas formas de plantear los contenidos mediante conexiones con la realidad. Las propuestas didácticas estaban centradas en el estudiante: demostraban el conocimiento de sus dificultades para aprender, señalaban las experiencias previas necesarias para recibir nuevos conceptos y mostraban una gran experiencia en el diseño de las clases para saber elegir situaciones de aprendizaje que suponían un reto para los alumnos. Todo ello iba acompañado de comentarios, resultados de la puesta en práctica, ampliaciones para alumnos más aventajados y simplificaciones para los que tienen más dificultades. No solo presentaban una propuesta didáctica, sino que también mostraban la forma de llevarla a la práctica. Los objetivos de aprendizaje que inspiraban los materiales no han cambiado. Los alumnos de nuestras clases que aprenden matemáticas casi 30 años después son los ciudadanos que profundizarán en sus estudios y van a desarrollar su profesión las próximas décadas. Todos ellos necesitan ampliar la capacidad para interpretar y usar la información, así como dominar el lenguaje matemático de gráficas, tablas y funciones para comprender, describir y analizar situaciones. La previsión es que estas destrezas seguirán siendo de vital importancia en el futuro. Tanto los contenidos matemáticos como la propuesta didáctica siguen vigentes, los materiales y las sugerencias de trabajo intentan crear un ambiente de clase que anime a los estudiantes al debate en pequeños grupos y con toda la clase, con el fin de clarificar ideas y aprender a comunicar sus descubrimientos a los demás. Para completar el trabajo, sus autores no se contentaron con una secuencia de actividades atractivas que estuvieran conectadas con la vida cotidiana de alumnos y profesores. Recogieron, además, modelos de pruebas coherentes con el trabajo realizado, con pruebas de evaluación que iban acompañadas de criterios de corrección para convertirlo en un clásico del aprendizaje de las matemáticas. El libro digitalizado de la edición en castellano está completo en www.iesmarquesdesantillana.org/files/01065.pdf Si alguien prefiere la versión original en inglés con la guía del profesor y los materiales fotocopiables, podrá encontrarlo en www.mathshell.com/materials.php?item=lfg&series=tss Desde su publicación se han producido grandes cambios tecnológicos: ahora disponemos de calculadoras gráficas, ordenadores y software matemático, que lentamente se van incorporado a las clases de Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

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matemáticas. También la didáctica de las matemáticas ha avanzado: tenemos más información sobre cómo aprenden los estudiantes, lo que les resulta difícil y la forma de conseguir que el alumno pueda aprender mejor. La expansión de Internet y la introducción de applets interactivos completan un escenario en el que han surgido propuestas derivadas de aquel magnífico trabajo del Shell Centre, Funciones y gráficas. Veremos algunas de ellas. Funcions i gràfiques, de Bernat Ancochea, José Luis Cañadilla y Misericordia Nomen en MaTinTIC

Se organiza en dos módulos: uno para el primer ciclo de la ESO, que introduce al alumnado de forma visual al mundo de las gráficas para preparar el concepto de función; y otro para el segundo ciclo, que se dedica al estudio de las funciones usuales y profundiza en situaciones prácticas que se resuelven con el análisis de estos tipos de funciones, a la vez que entrenan a los estudiantes en la modelización de situaciones. El material, realizado en 2005, utiliza la calculadora WIRIS como herramienta para hacer las comprobaciones gráficas y para la representación de gráficas de funciones. Incluye numerosas situaciones extraídas de contextos reales en los que el hecho de representar gráficamente y utilizar los conceptos sobre funciones permite analizar situaciones, resolver problemas y extraer conclusiones. El trabajo del alumnado es muy completo; además de practicar con las propuestas presentadas ha de completar una colección de cuestionarios que los autores han preparado en un dossier donde deben recoger las ideas más importantes. Cada unidad dispone de una selección de actividades que permiten la evaluación en red e informa al estudiante de los resultados de su trabajo. www.edu365.cat/eso/muds/matematiques/UD_funcions_i_grafiques/mates/funcions/modul1/index1.htm Lléname, de Rafael Losada

Una de las actividades más emblemáticas de la forma de trabajar de Funciones y gráficas consistía en el llenado de botellas de distintas formas con un grifo que descarga agua a una velocidad constante. El trabajo inicial del alumno consiste en analizar el tipo de gráfica que determinará la altura del recipiente que se llena con el transcurso del tiempo. Rafa Losada utilizó la programación en Java para diseñar una colección de actividades centradas en este tipo de actividades de llenaUno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

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do de vasijas, que recibió el premio a los materiales educativos del Instituto de Tecnologías Educativas en 2006. El objetivo fundamental de la propuesta es que el estudiante mejore en la lectura e interpretación de gráficas a partir de su trabajo y la reflexión sobre los resultados de sus acciones. Las tareas se inician con la obtención de gráficas para recipientes con paredes verticales, más o menos anchas, que se convierten en rectas de distintas inclinaciones. Más adelante, se introducen paredes inclinadas, que se traducirán en curvas que crecen cada vez más rápidamente o más despacio. Las propuestas se complican con recipientes que tienen paredes curvas y también con recipientes diseñados al combinar varios tipos de paredes (combinaciones de paredes verticales, inclinadas y curvas). La interactividad de las propuestas de trabajo permite al estudiante disponer de la sección vertical de un recipiente a la izquierda de la pantalla y, a la derecha, unos ejes donde debe hacer su predicción en forma de gráfica, comprobar su solución y extraer conclusiones de los aciertos y los errores para la siguiente vasija. Más adelante, podrá abrir más o menos el grifo que llena el depósito y poner o quitar el tapón que lo vacía. La guía de trabajo se amplía al invertir la propuesta: se le presenta una gráfica y, como señala el autor, debe «descondensar» la información para diseñar la forma que tendrá el recipiente que la origine, con un lápiz que se desplaza por la pantalla con el ratón del ordenador. Para acabar, añade una colección de propuestas que incluye la presencia de recipientes con vasos comunicantes, compartimentos estancos e incluso sifones, que puede ser aprovechada para la observación de los principios básicos relacionados con el equilibrio de presiones entre líquidos y gases. La evaluación de las actividades se realiza, en una primera instancia, al comparar nuestra solución con la que ofrece la aplicación. Más adelante, Lléname incorpora pruebas tipo test que informan al estudiante de sus avances. En http://recursostic.educacion.es/apls/informacion_didactica/4 tenemos el acceso a la aplicación y podemos descargar las guías del profesor y el estudiante. Funciones en el proyecto Gauss, de Rafael Losada y José Luis Álvarez en el INTEF

Ya se ha incluido el proyecto Gauss en esta sección de NNTT, en el número 58, que se dedicó a los applets diseñados con GeoGebra, cuando 110

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estaba en plena fase de creación de materiales. Actualmente, las secciones de primaria y secundaria están completas —si es que un material de este tipo puede darse por completado—, mientras las de bachillerato han quedado solo en sus inicios. En estos momentos, el proyecto lleva un año paralizado. Esperemos que el INTEF, la institución que lo gestó, llegue a un acuerdo con los autores para completarlo en un futuro cercano, antes de que la tecnología haya dado paso a otras formas de trabajo. Por lo que respecta al tema que nos ocupa, Funciones y gráficas, los autores de Gauss consiguen actualizar las propuestas del Shell Centre a la tecnología actual. Las construcciones de GeoGebra se han convertido en applets manipulables por los estudiantes en Internet con la única ayuda de un navegador. Las actividades se organizan en «escenas»: una breve presentación de la situación, un applet interactivo y una secuencia de preguntas diseñadas para hacer que el alumno vaya al applet, observe, manipule, saque conclusiones, vuelva a repetir las acciones, y consiga dar respuesta a las preguntas planteadas y avanzar en la comprensión de los conceptos matemáticos. El apartado de Funciones en proyecto Gauss se inicia por una sección llamada «Representaciones diversas», en la que se buscan las relaciones entre las distintas posibilidades de representación funcional (verbal, gráfica, numérico-tabular y algebraica). A partir de un enunciado escrito, se propone realizar una gráfica desplazando puntos sobre el applet o se introducen los datos numéricos de una tabla de valores que automáticamente se trasladan a la gráfica. En otros casos, podemos analizar la forma de la gráfica de una función cuadrática modificando en el applet los coeficientes de la expresión algebraica. La segunda sección, «Características», proporciona herramientas a los estudiantes para adquirir destrezas a la hora de analizar una función, cuáles son los aspectos en los que hay que centrar la atención para extraer la información relevante: graduación de los ejes, relación entre las variables, crecimiento, periodicidad, simetría, etc. La última sección se dedica al estudio de «Funciones concretas», y presenta situaciones prácticas donde se analizan algunas de las funciones elementales que se estudian en este nivel: rectas, parábolas, hipérbolas o exponenciales. http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/es o/actividades/funciones_representaciones.htm Un paso más en la puesta en práctica de estos materiales en el aula lo ofrece Puerto Menéndez, la profesora del IES número 5 de Avilés,

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con un modelo de programación de aula en el que incluye actividades de Proyecto Gauss. http://recursostic.educacion.es/eda/web/ultraportatiles/materiales_piloto/menendez_puerto_p3/menendez_puerto_indice_unidad2_p3. pdf Rectas y curvas de colores, de José Antonio Mora

Esta web utiliza las herramientas del color dinámico en GeoGebra para indagar en las relaciones entre la expresión algebraica de las funciones elementales y la forma de su gráfica. Se inicia con la construcción de rectas y curvas dependientes de parámetros –deslizadores en GeoGebra–, que pueden variar de forma automática o manualmente. Además de la forma o la posición de la gráfica, las variaciones en los parámetros provocan una transformación adicional en su color, a la vez que van dejando rastro de su paso por la pantalla, de manera que se obtiene sensación de movimiento. Las formas generan ciertos patrones que nuestra mente es capaz de captar para darles cierto sentido, algo parecido a lo que ocurre en el arte óptico. La primera sección se dirige al estudiante. Una colección de applets con familias de funciones en las que coeficientes varían automáticamente entre ciertos valores. Pueden detenerlos uno a uno, o modificar la velocidad de cambio y también cambiar las fórmulas que determinan el color de las gráficas La segunda es para uso del profesorado, por si cree conveniente generar nuevos diseños o bien le interesa utilizar estas técnicas de color dinámico de GeoGebra para aplicarlas a otros temas. Por último, se incluye una colección de preguntas que, aunque puedan tener la apariencia de cuestiones para responder en forma de examen, se trata de una colección de investigaciones para que los alumnos se planteen preguntas que les obliguen a relacionar la expresión algebraica de una función con la forma de su gráfica. Son tareas que adquieren sentido en el debate en clase cuando los alumnos explican sus ideas a los demás. http://jmora7.com/Color/index.htm José Antonio Mora

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17 ecuaciones que cambiaron el mundo STEWART, I. Critica Barcelona, 2013

Hace ya once años, Michael Guillen, editor científico del programa Good Morning, America de la cadena de televisión estadounidense ABC, publicó un excelente libro titulado Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo. El poder y belleza de las matemáticas. Nos podemos imaginar la dificultad del proceso de selección para quedarse, únicamente, con cinco ecuaciones. En este libro, Ian Stewart se da un respiro en la selección y pasa a diecisiete ecuaciones, pero tiene que aplicarse en más explicaciones, ayudándonos más a conocer la aportación de las matemáticas a otras ciencias, al conocimiento e interpretación del mundo o, simplemente, a la vida normal. Por supuesto, en el presente libro, esas cinco anteriores ecuaciones aparecen recogidas. ¿Por qué ecuaciones? A este interrogante responde el autor al comienzo del libro: porque son el alma de las matemáticas, la ciencia y la tecnología, y sin ellas nuestro mundo no existiría en la forma actual. Hay ecuaciones tanto de matemática pura como de matemática aplicada que han servido de fuerza motriz a la civilización humana durante miles de años. El autor, el conocido matemático y prestigioso divulgador Ian Stewart, plantea un recorrido por 17 ecuaciones de las que unas revelan regularidades matemáticas y otras expresan leyes de la naturaleza. Recordamos algunos libros en su ya extenso currículum literario: ¿Es Dios un geómetra?, Locos por las matemáticas, ¿Juega Dios a los dados?, ¿Cómo cortar un pastel?, La cuadratura del cuadrado o el más reciente Las matemáticas de la vida. Con su impecable estilo divulgativo, claro y ameno, Ian Stewart nos invita aun recorrido por la historia de la ciencia y las matemáticas, recorrido que convierte en un auténtico homenaje a la matemática. Expresiones como «la matemática es la fuerza unificadora» o «el imprescindible valor de las matemáticas para representar la realidad» son una muestra de ello. Incluso en los casos más complicados, donde la dificultad conceptual es mayor, plantea claramente los objetivos y la evolución del proceso obviando las dificultades técnicas y primando el significado del resultado. Para cada ecuación se responde, antes de desarrollar el tema, a las preguntas: ¿Qué nos dice? ¿Por qué es importante? ¿Qué provocó? Por supuesto, cada capítulo, el análisis de cada ecuación, es independiente de los demás, pudiéndose realizar una lectura selectiva eligiendo aquellos temas que el lector considere de su interés. Es difícil hacer una selección sobre la selección realizada por Ian Stewart, de manera que citaremos brevemente las diecisiete ecuaciones elegidas:

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El teorema de Pitágoras. Resume su historia, destaca su utilidad para medir longitudes o distancias y lo enlaza con las geometrías no euclídeas. Logaritmos. Los define como un procedimiento eficaz para el cálculo de operaciones; explica su origen y propiedades. Incluso después de la aparición de los ordenadores, son útiles en el análisis de distintos fenómenos como, por ejemplo, la desintegración radiactiva. Cálculo. Bajo este título y la definición de derivada de una función, se nos presenta a Newton, Leibnitz y sus predecesores en el estudio del movimiento. Destaca que las leyes del movimiento de Newton no solo proporcionaron un modo de calcular cómo se mueven los cuerpos, sino que nos llevaron a principios físicos profundos y generales, como las leyes de conservación. Y resalta su influencia decisiva en el mundo moderno: «como el destornillador, el cálculo es una herramienta simple e indispensable en la caja de herramientas de ingenieros y científicos». La ley de gravitación universal. Esta ley demostraba el enorme poder de las matemáticas para encontrar patrones escondidos en la naturaleza. Aunque posteriormente fue superada por la teoría de la relatividad de Einstein, todavía es fundamental para casi todos los propósitos prácticos. Y el recorrido por la historia que nos desvela este capítulo pone de manifiesto el nivel extraordinario del logro conseguido por Newton. Raíz cuadrada de -1. La creación de los números complejos dotó de métodos más potentes para comprender ondas, calor, electricidad y magnetismo. La potencia de las matemáticas quedaba una vez más de manifiesto: números imaginarios que describen fenómenos reales. Nos muestra también el relato histórico de la aparición de este tipo de números y su posterior evolución. Fórmula de Euler para los poliedros. Nos presenta el inicio y desarrollo de una de las ramas de la matemática pura, la topología. Aunque afirma que la mayoría de las aplicaciones son indirectas, destaca que nos ayuda a comprender el funcionamiento del ADN. Distribución normal. Desde el inicio de los juegos de azar y el estudio de las probabilidades hasta la búsqueda de patrones estadísticos en los sucesos aleatorios. La campana de Gauss aparece en el análisis de muchas variables sociales o en teoría de errores. Los métodos estadísticos proporcionan herramientas para el análisis social, médico o de datos científicos, pero también nos alerta del peligro que encierra la aplicación inconsciente, sin tener en cuenta las suposiciones existentes tras estos métodos. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013

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La ecuación de onda. En el origen de la ecuación de onda está el estudio del sonido y en el de este, el sonido creado por la cuerda de un violín. Esto le sirve a Ian Stewart para defender el método matemático para abordar problemas reales: simplificar las condiciones para poder modelizar el problema de manera sencilla y transferir posteriormente la comprensión de esa situación a problemas más complejos. El recorrido abarca desde el análisis de los pitagóricos, pasando por Bernoulli y D’Alembert, hasta su aplicación en el estudio de las ondas sísmicas. La transformada de Fourier. Describe el recorrido a partir de la ecuación del calor y su método de resolución involucrando series trigonométricas, hasta llegar a la transformada de Fourier. Permite analizar y descomponer patrones complejos, y entre las distintas aplicaciones citadas el autor se centra en los métodos de compresión de datos usados en la fotografía digital. La ecuación de Navier-Stokes. Esta ecuación presenta un modelo para calcular cómo se mueven los fluidos. Es un modelo útil y, una vez que los ordenadores permitieron resolverla, ha demostrado su eficacia en el diseño de aviones de pasajeros, barcos o automóviles para mejorar su aerodinámica. Las ecuaciones de Maxwell. De forma breve y clara nos presenta el gran logro de Maxwell, apoyándose en los trabajos de Faraday. Conseguir la primera unificación importante de fuerzas físicas, mostrando que la electricidad y magnetismo están íntimamente interrelacionados. Las usó para predecir la existencia de ondas electromagnéticas de otras longitudes de onda y, a partir de aquí, comenzaron los experimentos en su búsqueda. Esto originó la radio, el radar, la televisión y la mayoría de las comunicaciones modernas. Termina el capítulo afirmando que «las ecuaciones de Maxwell no solo cambiaron el mundo, sino que establecieron uno nuevo». Segunda ley de la termodinámica. A partir de la importancia de la máquina de vapor en el desarrollo industrial, surge la necesidad de mejorar su rendimiento. Los conceptos de calor, temperatura, entropía, así como los protagonistas de esta historia, desfilan a lo largo de este capítulo para poner límites al trabajo útil que puede extraerse a partir del calor. La relatividad. A parir del experimento de Michelson y Morley, que probaba que la velocidad de la luz no respetaba las leyes de Newton al ser medida respecto a diferentes sistemas de referencia, Einstein establece su teoría de la relatividad. Nos detalla primero la relatividad especial, luego la general, explicando algunas de sus

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consecuencias y la interpretación del universo. También la relación entre masa y energía, y su influencia en la construcción de la bomba atómica. Ecuación de Schrödinger. La luz tenía comportamientos de onda y de materia. Pero no solamente la luz sino toda la materia. Esta ecuación modela la materia no como una partícula sino como una onda, y describe el modo de propagación de estas ondas. Es fundamental para la mecánica cuántica que rige el mundo de lo muy pequeño. Y se analizan conclusiones, muy difíciles de entender, que se deducen de esta ecuación. La teoría de la información. Esta ecuación obtenida por el ingeniero Claude Shannon define cuánta información contiene un mensaje, en términos de las probabilidades con las que los símbolos que lo componen tienen la posibilidad de darse. Según Stewart es la ecuación que dio comienzo a la edad de la información. Tiene que ver con la detección y corrección de errores en la codificación y aplicaciones en criptografía o en la obtención del significado de la secuencia de ADN. Teoría del caos. Con el subtítulo «El desequilibrio de la naturaleza», nos plantea el modelo logístico de crecimiento poblacional, que es una de las ecuaciones más simples que puede generar el caos determinista. La teoría del caos tiene innumerables aplicaciones: predicción del tiempo, dinámica de poblaciones o modelado de terremotos. La ecuación de Black-Scholes. Es un capítulo muy ilustrativo sobre el mundo financiero y en particular sobre los instrumentos conocidos como derivados y su comercialización. La ecuación fue concebida para dotar a los mercados de cierta racionalidad y fue muy usada y muy eficaz. A su aplicación, sin tener en cuenta las suposiciones subyacentes al modelo, se le achaca la crisis financiera y la actual depresión económica. E Ian Stewart nos avisa del riesgo de caer en los mismos errores al observar la valoración exagerada de las webs de redes sociales.

Como decíamos, en cada capítulo se abordan los trabajos previos a la ecuación tratada, los personajes que intervinieron en su elaboración, el problema que afrontaba y las consecuencias posteriores. Todo ello escrito de forma comprensible e interesante, sin excesivos formalismos y estableciendo con claridad los objetivos perseguidos y los pasos dados. A lo largo del libro queda patente la potencia del lenguaje matemático para modelizar fenómenos y situaciones muy diferentes y poder 116

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hacer predicciones sobre ellas. Y también la conveniencia de simplificar los problemas para obtener una mejor comprensión y no olvidar que los resultados serán válidos siempre que se cumplan las hipótesis iniciales. En resumen, un libro muy interesante y un elogio a la concisión y claridad que supone el simbolismo y la notación matemática. Fernando Fouz

Esta edición se celebra con el título de la «La didáctica de la matemática como interpretación de situaciones de aula». Encuentros

Información www.incontriconlamatematica.org XXVII Convención Nacional: Encuentros con las matemáticas Castel San Pietro Terme (Bolonia, Italia), 8-10 de noviembre de 2013

Fe de errores En el núm. 62 de UNO (abril-mayo-junio de 2013), en el arrtículo de Antoni Santisteban, «La alfabetización económica de la ciudadanía», se publicó por error en el último párrafo de la página 22 la siguiente frase: «En cambio, aparecen en los nuevos programas temas como la iniciativa económica o el espíritu emprendedor, que no son un complemento, sino que constituyen una perspectiva más justa y también más crtica», cuando el autor había escrito «que substituyen». Sirvan estas líneas de disculpa.

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Intervención comunitaria con adolescentes y familias en riesgo ANA

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Libro que ayuda a identificar y analizar buenas prácticas de intervención dirigidas a favorecer el bienestar y la inclusión social del colectivo de adolescentes basándose en el protagonismo y centralidad de la persona, en este caso el niño, la niña o el adolescente. Destacan la importancia de una intervención global e integral de diferentes profesionales y la evaluación de los resultados, el impacto de los programas y las posibilidades de transferibilidad. A tener en cuenta el modelo elaborado de indicadores de buenas prácticas de inclusión social y los instrumentos, muy útiles, tanto para diseñar políticas públicas como para guiar los propios procesos de intervención socioeducativa.

La cultura de participación en los centros de secundaria Un estudio de casos en la Agenda 21 escolar ANA MARÍA FORESTELLO Libro que analiza y desgrana el proceso de participación en los centros escolares, cuartea y desmenuza las partes, haciendo comprensibles sus elementos, características y mecanismos, donde la autora revela el proceso en todos sus componentes y cualidades, de modo que permite hacernos conscientes de su existencia, su calidad, sus requisitos, los caminos a tomar, los obstáculos y las posibilidades de mejora, ofreciendo una batería de instrumentos “buenos, bonitos y baratos” que facilita la valoración de la calidad de los procesos participativos. Se indaga, asimismo, sobre la participación en tanto que “práctica política” en el marco del programa Agenda 21 escolar de Barcelona. Haciendo evidente que “a participar se aprende participando” y que los centros escolares pueden contribuir a formar buenos ciudadanos que se ocupen por los intereses grupales, por el compromiso social y político. C/ Hurtado, 29 08022 Barcelona (España)

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