Uno 71 by Editorial Graó

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COLECCIÓN FORMACIÓN DEL PROFESORADO. EDUCACIÓN SECUNDARIA ORIENTACIÓN EDUCATIVA Modelos y estrategias de intervención Elena Martín, Isabel Solé (coords.)

201 pág. • 15,70 €

Ebook: 11,00 €

El volumen pretende caracterizar el modelo educativo, perspectiva que ha sido adoptada por las sucesivas leyes educativas Así, el lector encontrará en él los supuestos básicos de dicho modelo junto con los aspectos constitutivos de la tarea asesora, entre los que cabe mencionar: la colaboración orientador/docentes, sus dificultades y formas de abordarlas, la dimensión institucional de la orientación, el asesoramiento a las familias, las estrategias de evaluación psicopedagógica, la función del orientador, la intervención en momentos de transición entre etapas, etc.

ORIENTACIÓN EDUCATIVA Atención a la diversidad y educación inclusiva Elena Martín, Teresa Mauri (coords.)

190 pág. • 15,60 €

Ebook: 10,90 €

En este libro se analizan los principios de la educación inclusiva y las características de los centros que contribuyen a ella, fundamentando esta perspectiva como eje nuclear de la calidad de la educación y profundizando en aspectos de la diversidad que pueden llegar a convertirse en barreras para la inclusión. Se analizan las dificultades de aprendizaje en la lectura, la escritura y las matemáticas del alumnado en desventaja cultural. Además, se revisa el concepto de necesidades educativas especiales y la forma en la que se viene dando respuesta a este colectivo, incluyendo capítulos específicos para los problemas de comportamiento y para los de salud mental.

ORIENTACIÓN EDUCATIVA Procesos de innovación y mejora de la enseñanza Elena Martín, Javier Onrubia (coords.)

165 pág. • 14,90 €

Ebook: 10,50 €

Como asesores psicopedagógicos, los orientadores ejercen un importante papel en los procesos de innovación educativa y de mejora en los centros. Mejoras entre las cuales se encuentran el desarrollo de una enseñanza funcional y orientada a la adquisición de competencias, la mejora de la convivencia y el clima escolar, la utilización educativa de las tecnologías digitales, la transformación de las aulas en espacios de aprendizaje cooperativo, el trabajo conjunto del profesorado en procesos de docencia compartida, o la puesta en marcha de procesos de reflexión y mejora a partir de la evaluación de la calidad de la enseñanza en los centros.

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Revista de Didรกctica de las Matemรกticas

Número 71, Año XV Segunda época Enero 2016 Publicación trimestral La suscripción anual incluye: 4 revistas (en papel y en digital) + acceso al fondo histórico PVP suscripción: Consultar boletín en páginas interiores Redacción C/ Hurtado, 29 08022 Barcelona Tel.: 934 080 455 Fax: 933 524 337 editorial@grao.com Dirección editorial Laura Cuadros Secretaria de Redacción Sara Cardona Gestión editorial Anna Coll-Vinent, Mireia Domènech Maquetista Vinyet Ramírez

Consejo de Dirección Edelmira Badillo (Universidad Autónoma de Barcelona) M.ª Luz Callejo (Universidad de Alicante) Fernando Corbalán (Universidad de Zaragoza) Joaquim Giménez Rodríguez (Universidad de Barcelona) Jesús M.ª Goñi (Universidad del País Vasco) Luz Marlene Mendoza (Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco. Perú) José Ángel Murcia (Universidad Complutense de Madrid) José Muñoz Santonja (IES Macarena. Sevilla) Tomás Queralt (Universidad de Valencia) Francisco Rojas (Pontificia Universidad Católica de Chile)

Consejo Asesor Nacional Claudi Alsina (Universidad Politécnica de Cataluña) Miguel Barrera (Universidad de Zaragoza) Janet Cárdenas (Universidad de Extremadura) Santiago Fernández Fernández (Berritzagune Abando. Bilbao) Fernando Fouz (Berritzegune de Donostia) Constantino de la Fuente (IES Cardenal López de Mendoza. Burgos) Esther Lorenzo (Universidad de Oviedo) Rafael Pérez Gómez (Universidad de Granada) Alfonso J. Población (Universidad de Valladolid) José Antonio Prado (Universidad de Sevilla) Pilar Royo (IES Sant Feliu de Guixols. Girona) Manuel Sada (IES Zizur BHI. Navarra) Montserrat Torra (CEIP Remaoxensa, Manresa. Barcelona) Fidela Velázquez (Escuela de Arte Fernando Estévez, Sta. Cruz de Tenerife)

Consejo Editorial Laura Morera (Universidad Autónoma de Barcelona) Mariano Real (Centro del Profesorado de Sevilla) Norma Violeta Rubio (Pontificia Universidad Católica del Perú) Daniel Ruiz (Universidad de las Islas Baleares)

Consejo Asesor Internacional Susana Carreira (Universidad del Algarve. Portugal) Antonio José Lopes (Centro de Estudos da Metrópole. Brasil) Orlando Lurduy (Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá. Colombia) Álvaro Poblete (Universidad de Los Lagos. Chile)

Coordinadora de Producción Maria Tortajada Edita Editorial Graó, de IRIF, S.L. Presidente Antoni Zabala Director general Mario Juárez Director financiero Julià Jené Directora de Ediciones Cinta Vidal Directora del Área de Revistas Glòria Puig

Diseño: Maria Tortajada Impresión: Publidisa D.L.: B13374/94 ISSN edición impresa: 1133-9853 ISSN edición en línea (Internet): 2014-4784 Impreso en España

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Número 71, enero • febrero • marzo • 2016

Monografía: Uso de Geogebra para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas

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Uso de Geogebra para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas

Actualización y reflexión

GeoGebra: un extraño en el aula

Geogebra en el aula, un descubrimiento gradual Geometria con GeoGebra3D

Tomás Queralt, Jesús Mari Goñi

Fabian Vitabar Rafael Losada

Andreas Lindner, Markus Hohenwarter

GeoGebra: ¿un juguete para el profesorado o una herramienta para su alumnado? Carlos Giménez Esteban Los primeros pasos en geometría dinámica Prever y predecir en geometría

Nacho Miguel

José Antonio Mora

La probabilidad en educación primaria

Ángel Alsina, Claudia Vásquez

Intercambio

53 61 67

¿Qué hacer antes de llevar un problema al aula? Aromates

Laura Morera, Blanca Souto, Pedro Arteaga

Jordi Coll

Concentración y disfrute de estudiantes de secundaria realizando tareas abiertas

Elisa Berenguel,

Francisco Gil, M.ª Francisca Moreno, Ana Belén Montoro

Análisis de tareas que pueden promover el desarrollo de la comprensión de la derivada

Claudio Fuente,

Gloria Sánchez-Matamoros, Edelmira Badillo

Ideas prácticas

En contexto Actividades de razonamiento lógico

Materiales a examen DreamCalc

Constantino de la Fuente

Juan Carlos Gil

Recursos para el aula Desmos

Jorge F. Las Heras

Informaciones

85 86

Reseña: 100 escenas de cine y televisión para la clase de matemáticas Encuentros

José Muñoz Santonja

USO DE GEOGEBRA PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

Uso de Geogebra para la enseñanza y el aprendizajes de las matemáticas Tomás Queralt Jesús Mari Goñi Consejo de Dirección de UNO

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Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • pp. 4-6 • enero 2016

Uso de Geogebra para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas

l impacto que la extensión del uso de las tecnologías de la información está suponiendo para el conjunto de la vida social y económica es, sin duda, uno de los acontecimientos más relevantes de la actualidad. La vida escolar y, dentro de ella, el aprendizaje de las matemáticas, no es ajena a esta realidad y esta situación nos obliga a reflexionar y reformular tanto lo que conviene aprender como el modo de hacerlo. Resulta ya clásico distinguir dentro del conocimiento escolar dos apartados fundamentales: el relativo a los conceptos y el que denominamos propio de los procedimientos. También es casi un tópico, aunque siga siendo una cuestión a resolver, que en el caso de la enseñanza de las matemáticas, el peso relativo dado a la enseñanza de los procedimientos, especialmente los algoritmos, ha resultado desproporcionadamente alto si se lo compara con el destinado al aprendizaje conceptual. El resultado de esta desproporción es una escasa comprensión de los conceptos matemáticos. Las tecnologías de la información, como todo tipo de tecnología, inciden mucho más directamente en cómo se hacen las cosas que en lo que estas son. Y esta situación que comentamos no es nueva ni en la historia de las matemáticas ni en la de su enseñanza. Bastaría recordar cómo la extensión del cálculo escrito unido a la tecnología del «lápiz y papel» y la invención del sistema numérico posicional desterraron al cálculo basado en el ábaco, y cómo el llamado Liber Abaci (1202) de Fibonacci, en el que paradójicamente se desarrolla el cálculo aritmético que desterrará el uso de ábaco, supuso el fin de una era y el principio de otra en la forma de calcular en matemáticas. Pero esta revolución no alcanzó a la geometría, ya que la tecnología para construir elementos geométricos (el compás, la regla…)

no se vio alterada. Por otra parte, los conceptos relativos a los números y operaciones permanecieron inalterables. De todas maneras, en el caso de Geogebra y de otros programas o aplicaciones que permiten la construcción de elementos geométricos, la ventaja no reside únicamente en su mayor eficiencia, es decir, en poder hacer los dibujos constructivos de manera más rápida y precisa, sino que además, y esto es muy relevante, suponen la posibilidad de dinamizar la geometría dando el protagonismo a lo que realmente es constitutivo de los procedimientos geométricos: los movimientos. La tecnología predigital, que ha tenido como soporte el papel o la pizarra, condiciona la enseñanza de la geometría al priorizar el estatismo de las figuras frente a la dinámica de sus movimientos. Representar un movimiento, piénsese por ejemplo en un giro o una traslación, resulta complicado en la pizarra o el papel, por no decir irrealizable; la imaginación debe suplir lo que la tecnología no muestra. La pantalla, debido a la posibilidad que tiene de representar el movimiento, hace natural y sencillo mostrarlos. Es como si pasáramos de la época de la fotografía a la del cinematógrafo. Y todo esto sin referirnos a las posibilidades que se abren para representar cuerpos de tres dimensiones, algo que nadie creería posible hace solo unas pocas décadas. Volviendo al lugar del que hemos partido, conviene señalar así mismo que el uso de las tecnologías de la información supone que el tiempo a dedicar para construir las figuras o realizar los movimientos se reduce de manera drástica, y que esta ventaja debiera aprovecharse para trabajar con mayor intensidad la parte comprensiva que trata de dotar de significatividad a los elementos que usamos en la geometría. De esta manera,

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Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

USO DE GEOGEBRA PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

podremos detenernos con mayor tranquilidad en las propiedades geométricas ganando los aprendizajes en significatividad. No son desdeñables, ni mucho menos, las puertas que estas herramientas abren a la creatividad y a la multiplicación casi exponencial de modelos y diseños geométricos. No creemos que pueda dudarse de que nos encontramos ante el inicio de una forma de usar y enseñar la geometría que significará un antes y un después en el uso de la tecnología digital. El artículo de Fabián Vitabar (pp. 7-12) presenta GeoGebra y pretende quitar el miedo a los docentes sobre lo que supone trabajar en el aula con un recurso que le puede ser desconocido, al tiempo que proporciona ideas y experiencias sobre cómo utilizarlo en el aula. Rafael Losada (pp. 13-19) nos muestra unos cuantos ejemplos de cómo utilizar y sacar provecho al uso de GeoGebra en la clase para aprender matemáticas y, en particular, geometría. En su artículo se centra en el proceso de elaboración de las construcciones geométricas y en cómo su dinamismo favorece el análisis de las diversas propuestas de resolución. El artículo de Markus Hohenwarter, creador de Geogebra, compartido con Andreas Lindner (pp. 20-25), nos presenta las nuevas prestaciones grá-

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ficas de GeoGebra en 3D y nos muestra algunos ejemplos y propuestas para usar en la clase de matemáticas de secundaria. En su artículo, Carlos Giménez (pp. 26-32) hace un profundo análisis del uso de GeoGebra como instrumento tecnológico esencial para evolucionar en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Nacho Miguel (pp. 33-38) nos presenta su propuesta para trabajar con GeoGebra en el aula de primaria, con un par de proposiciones didácticas y reflexiones que ayudan al maestro a llevarlas a cabo. En el artículo final del monográfico, José Antonio Mora (pp. 39-45) nos muestra su experiencia con unos alumnos de 1º de ESO mediante el trabajo con unas propuestas de tareas de construcción con GeoGebra, donde vemos cómo los alumnos pueden discutir sus ideas previas a la construcción, y cómo se genera el debate a partir de sus predicciones. Esperamos que el contenido de los artículos del presente número ayude a los profesionales de la educación matemática a crecer y a mejorar en su práctica. Pensamos que el uso de GeoGebra supone incorporar a la práctica cotidiana una herramienta de plena actualidad y que responde a la realidad tecnológica en la que nuestra sociedad está inmersa actualmente y que no podemos ignorar. ◀

USO DE GEOGEBRA PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

GeoGebra: un extraño en el aula Fabián Vitabar Joannes Kepler Universität Linz (Austria) Consejo de Formación en Educación (Uruguay)

De un tiempo a esta parte, parece ser indiscutible que el uso de programas de geometría dinámica y cálculo simbólico debería ser práctica corriente en las aulas de matemática. En particular, GeoGebra se ha constituido como el preferido de muchos docentes por sus múltiples y PALABRAS CLAVE crecientes beneficios. • GEOGEBRA En este artículo se presentan las ventajas de GeoGebra para • LENGUAJE MATEMÁTICO estudiantes y docentes, y se exponen varias ideas para • ACTIVIDADES trabajar con esta herramienta en el aula.

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Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • pp. 7-12 • enero 2016

USO DE GEOGEBRA PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

os docentes estamos de acuerdo en que GeoGebra tiene mucho para aportarnos. Pero al imaginarnos el nuevo escenario, surge la pregunta: ¿no estaremos abriéndole la puerta del aula a un ilustre desconocido? ¿Qué seguridad tenemos de que resultará beneficioso para los estudiantes?

GeoGebra habilita el acceso a una faceta de la matemática que no es accesible desde el aula tradicional

La mayoría de los profesores hemos incursionado en algún experimento de usar GeoGebra, pero no nos resulta sencillo decidir si esto implicó una mejoría en los aprendizajes, que es lo que importa. Hay veces en que la satisfacción personal provocada por haber vencido los obstáculos y logrado la incorporación de las tecnologías se nos confunde con la autopercepción de haber mejorado nuestra propuesta didáctica.

Si bien los objetos matemáticos tratados en el aula son –en tanto entes abstractos– los mismos que maneja GeoGebra, varía sensiblemente la forma en que se presentan, se manipulan, se opera con ellos. Esto genera un conjunto de significados asociado con cada objeto matemático que lo caracteriza de un modo particular. Casi podríamos decir que GeoGebra habilita el acceso a una faceta de la matemática que no es accesible desde el aula tradicional. El estudiante se expone a una matemática diferente.

Intentaremos desentramar algunas de las múltiples ideas que surgen al pensar en los aspectos didácticos ligados al uso de GeoGebra. Ojalá sirva también para conocerlo más de cerca y, entonces, recibirlo en el aula con confianza.

UN NUEVO MUNDO

Para el estudiante

Claramente, no es lo mismo que un estudiante de matemáticas cuente o no con GeoGebra. Pensemos en algunos fenómenos que se dan en el estudiante que tiene GeoGebra al alcance de la mano (en su teléfono móvil, por ejemplo). GeoGebra puede ser considerado como un ayudante cualificado. Puede resolver casi en el acto muchas de las tareas escolares. Desde el gráfico de una función a la solución de una ecuación diferencial, por ejemplo.

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GeoGebra se comunica con el usuario a través de un lenguaje matemático. Los menús, los cuadros de diálogo, la ayuda… todo habla en el idioma de la matemática. El alumno se ve inmerso en un mundo que lo acerca a la lógica matemática. Una de las mayores fortalezas didácticas de GeoGebra radica en la posibilidad de generar varias representaciones simultáneas de un mismo objeto en forma dinámica. Las implicaciones didácticas de esta característica son ampliamente beneficiosas para el alumno, especialmente si es estimulado a reparar en ellas y analizarlas.

Para el docente Al igual que sucede con los estudiantes, el docente que usa GeoGebra en forma personal también accede a facetas del contenido matemático que

GeoGebra: un extraño en el aula

no son evidentes a través de las representaciones tradicionales, a las que está acostumbrado. Su dominio previo del concepto facilita que cada nueva faceta se enlace con sus demás representaciones, enriqueciendo así la conceptualización. Este proceso instantáneo de conectar las visualizaciones que ofrece GeoGebra con las que el docente trae consigo es capaz de provocar un deslumbramiento: de pronto todo es más claro, se comprende mejor, las piezas encajan y lo borroso se torna nítido. Es como un «amor a primera vista», que solo se explica porque la nueva representación encontró un terreno fértil en alguien con fuertes conocimientos previos. Naturalmente, este enamoramiento no se puede replicar en los estudiantes, puesto que no poseen el mismo bagaje conceptual. A menudo deseamos honestamente que nuestros alumnos puedan vivenciar el mismo deslumbramiento y la misma conexión conceptual que nosotros experimentamos. El problema es que, a veces, este entusiasmo nos puede hacer perder de vista que estas vivencias son intransferibles, porque dependen de los saberes previos. Si queremos que el alumno viva algo parecido tendremos que acompañarlo a recorrer un camino similar al nuestro, y no solamente someterlo al mismo estímulo.

LA DECISIÓN ESTÁ TOMADA

Habiendo reconocido algunas características sobresalientes de lo que sucede cuando alumnos y profesores se enfrentan al uso de GeoGebra, nos decidimos explícitamente a abrir la puerta del aula al extraño. Como hemos señalado, hay razones suficientes para reconocer en esta aventura una valiosísima

oportunidad de enriquecimiento conceptual que debemos liderar de forma cuidadosa y decidida. Cuidado, porque no es oro todo lo que reluce. La mera incorporación de GeoGebra en nuestras clases no es garantía de mejores aprendizajes. La satisfacción generada en el docente por haber vencido los obstáculos propios de este proceso o el agrado que siente el alumno por la originalidad de una propuesta didáctica que le resulta entretenida son alicientes efímeros, que no deben confundirse con aprendizajes significativos o con motivación genuina. De los múltiples factores que intervienen en este fenómeno hay algunos que son responsabilidad ineludible del docente. Solo el profesor puede velar por la organización didáctica de una propuesta y cuidar el proceso de enriquecimiento conceptual que va viviendo el alumno. No es necesario que el docente sepa, por ejemplo, todas las formas en que puede trazar una recta tangente a una curva con GeoGebra. Seguramente los estudiantes encontrarán alternativas originales y el aporte del docente conducirá a la reflexión que profundice en la comprensión del concepto y a los fundamentos, y no a la operación del programa. El docente debe estar pendiente de que, en el aula, se den oportunidades valiosas de construcción del conocimiento matemático. Lo demás puede esperar. O mejor aún: lo demás irá siendo

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La mera incorporación de GeoGebra en nuestras clases no es garantía de mejores aprendizajes Uno

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devuelto a los mismos estudiantes para que ellos, colaborativamente, busquen soluciones.

EXPERIENCIAS E IDEAS ALENTADORAS

Son muchas las ideas que podemos compartir que tienen en consideración lo planteado. He aquí algunas de ellas, que solo pretenden ser inspiradoras de la creatividad profesional de cada docente.

Sazonar una tarea

En un contexto tradicional

Puede ser interesante encontrar los extremos relativos en el gráfico de una función polinómica de tercer grado, aunque con GeoGebra no tiene mucha gracia, es inmediato. Pero si en la misma función sustituimos un coeficiente por un parámetro variable, el estudio de los extremos se torna más interesante, y se nos habilita a hacer preguntas más complejas.

Una forma sencilla de comenzar con GeoGebra en el aula es proponer a los alumnos que realicen con el programa una actividad que ya realizaron sin él. Puede ser con un proyector, o con un alumno hábil manejando el ordenador, mientras el docente conduce la discusión colectiva para que la justificación se centre en los contenidos y no en la operación del programa. Conviene tener en la manga algunas variantes de la tarea original que renueven el problema. Por ejemplo, si se propuso a los estudiantes trazar la recta tangente al gráfico de una función cuadrática en uno de sus puntos, resulta sencillísimo resolverlo con GeoGebra utilizando la herramienta Tangente. ¿Qué tal si devolvemos el desafío pero inhabilitando el uso de esa herramienta? El mismo problema toma un nuevo sentido, se renueva y provoca un ámbito de discusión en el aula.

Dejar la puerta abierta Sin modificar esencialmente los planes de clase, podemos permitir que los estudiantes utilicen GeoGebra cuando lo estimen conveniente. Algunos preferirán no utilizarlo, otros lo harán inapropiadamente, y otros lo usarán tan hábil-

mente que las tareas parecerán ridículas. Nos surgirá la pregunta: ¿cómo dar una vuelta de tuerca para agregar valor al desafío? Veamos.

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Cualquier tarea tradicional se puede condimentar cuando se resuelve con GeoGebra. Los cálculos tediosos y el manejo de grandes números no son un problema, de modo que podemos ser creativos.

Rescatar la oralidad En estas modalidades, la evidencia del trabajo realizado no puede ser simplemente un resultado, porque no es un indicador fiel de la producción intelectual del alumno. Es conveniente valorizar la oralidad: el explicar, el dar cuenta, el describir un proceso, el fundamentar una opción, el convencer a los demás con argumentos sólidos.

GeoGebra: un extraño en el aula

Crear un applet

Un gran aliado: GeoGebraTube

A veces nos planteamos promover cierto tipo específico de modo de razonar. Para ayudar a los alumnos a que se concentren podemos recurrir a un archivo manipulable (un applet). Se tratan de pequeñas (a veces no tanto) construcciones que sirven de estímulo para responder a ciertas preguntas.

GeoGebraTube (tube.geogebra.org) es, por excelencia, el gran repositorio de materiales creados con GeoGebra. Allí podemos encontrar miles de recursos compartidos por docentes y alumnos de todo el mundo, así como poner los nuestros al servicio de los demás.

Por ejemplo, imaginemos un simple deslizador que haga variar un número entero entre 1 y 10 y que, a su vez, otro número varíe misteriosamente (pongamos que es el cuadrado del anterior, pero esto es un secreto). Podemos preguntar: si habilitamos al deslizador a que llegue al 12, ¿qué valor tomará el segundo número? El trabajo de argumentación oral para que cada equipo explique cómo llega a una conclusión puede ser muy valioso. Incluso puede ser que cada equipo tenga diferentes archivos y deba exponer su conjetura públicamente, antes de que el profesor lo chequee modificando el archivo (sin anunciar si es correcto o no).

Hoja blanca, pero no tan blanca En lugar de proponer la resolución de un problema directamente con GeoGebra, podemos preparar una construcción en blanco para que se trabaje sobre ella. ¿Cuál es la ventaja? Que podemos seleccionar las herramientas que ponemos a disposición y, de ese modo, promover la aplicación de ciertos contenidos para que el estudiante se familiarice con sus beneficios. Al variar levemente las reglas de juego, resignificamos un mismo problema una y otra vez.

Una búsqueda rápida nos puede llevar a interesantísimas construcciones (algunas realmente complejas) que, con alguna adaptación y un buen plan de clase, pueden resultar muy beneficiosas. No es necesario saber preparar esos archivos complicados, ya que afortunadamente alguien más lo ha hecho y lo ha compartido con la comunidad. Además, las recientes funciones incorporadas a GeoGebraTube que lo asemejan a una red social con beneficios de plataforma de aprendizaje virtual lo han transformado en una tremenda oportunidad para la imaginación del docente.

Desafiar la creatividad El tipo de tareas que podemos proponer no tiene límite. Una vez que entramos en confianza y permitimos que GeoGebra entre al aula, y que además logramos identificar el valor didáctico de cada actividad, entonces podemos comenzar a darnos el lujo de ser más flexibles. Los estudiantes disfrutan con tareas desafiantes asociadas a sus intereses. Por ejemplo: ¿se podrá simular un videojuego en GeoGebra? ¿Escribir el propio nombre con figuras geométricas? ¿Y con gráficos de funciones? ¿Dibujar un logotipo conocido? ¿Con algún toque dinámico, quizás? Por supuesto, no hace falta que el profesor sepa cómo hacerlo, sino que basta con ayudar al alum-

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no a desentrañar la matemática escondida detrás del desafío y luego buscar, en equipo, cómo traducirlo al lenguaje de GeoGebra.

LA ÚNICA FÓRMULA INFALIBLE

De entre todas las inseguridades enunciadas, afortunadamente, surge una certeza de la cual podemos sujetarnos con confianza. El arrojo y la creatividad del docente hallan su punto de anclaje en el trabajo colaborativo con sus pares, que sustenta y potencia el crecimiento profesional.

ideas, al plantear discrepancias, al visitarnos mutuamente en el aula. GeoGebra no va a provocar ninguna mejoría mágica en nuestro quehacer, pero si lo combinamos con un verdadero trabajo en equipo, el resultado puede llegar a ser milagroso. ◀

Dirección de contacto Fabián Vitabar Joannes Kepler Universität Linz (Austria) Consejo de Formación en Educación (Uruguay) fabian@community.geogebra.org

Hemos planteado algunas sugerencias para recibir a GeoGebra en nuestras clases, pero el verdadero desarrollo profesional se capitaliza al compartir experiencias con colegas, al confrontar

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didáctica

su publicación.

Te desea un feliz año 2016 Et desitja un bon any 2016

Deséxache un feliz ano 2016

Zorionak 2016 eta urte berri on 12

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de las

MateMáticas en junio de 2015 y aceptado en octubre de 2015 para

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GeoGebra en el aula, un descubrimiento gradual Rafael Losada Liste IES de Pravia

Se presentan diversos ejemplos de cómo aprovechar GeoGebra en el aprendizaje y enseñanza de las matemáticas en general y de la geometría elemental en particular. Se destaca el protagonismo que adquiere el proceso realizado al idear una construcción, así como la importante ayuda que supone para el debate la comprobación de las diferentes estrategias en un escenario visual, dinámico e interactivo.

PALABRAS CLAVE

• GEOGEBRA • NUEVAS TECNOLOGÍAS • ACTIVIDADES • ESO

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Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • pp. 13-19 • enero 2016

USO DE GEOGEBRA PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

uenta una leyenda que, cierta noche, Arquímedes soñó que algunos rayos de luz de la luna llena descendían a su jardín. Una vez en él, se transformaban en luminosas figuras geométricas bailando a su alrededor. Para su asombro, estos seres geométricos de luz cambiaban de tamaño y forma en su frenética danza, estirándose y encogiéndose a su antojo. Tras un giro vertiginoso, un ligero saliente de una de las figuras quedó enganchado entre los dedos de la mano derecha de Arquímedes. Instintivamente, Arquímedes movió su mano. La figura no solo no se desprendió, sino que adaptó su forma para no perder el contacto. Arquímedes se dio cuenta de que, moviendo sus dedos, podía modelar la figura a su antojo. En ese momento, Arquímedes se despertó y salió corriendo de su casa al grito de ¡GeoGebra, GeoGebra…!

USOS DE GEOGEBRA

Vale, esta leyenda es completamente falsa. No obstante, no sería extraño que, en algún momento, el propio Arquímedes animase «mentalmente» las figuras y cuerpos geométricos objeto de su estudio.

Las imágenes pueden usarse como puente entre la percepción visual y el mundo abstracto matemático

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GeoGebra es un programa que usa internamente ciertos objetos matemáticos para permitir al usuario crear y manipular otros objetos matemáticos de modo visual, dinámico e interactivo. Por ejemplo, realiza (internamente) operaciones propias de la geometría analítica para permitir (externamente) trazar y manipular un triángulo. GeoGebra también permite trabajar con imágenes y textos. Las imágenes pueden usarse como puente entre la percepción visual y el mundo abstracto matemático. Antes de ejemplificar el uso del programa para el que ha sido diseñado, es decir, como creador de construcciones, veamos algunos modos de aprovechar las imágenes en las actividades.

Actividades con imágenes •

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Tengo una construcción que simula el lanzamiento de una bala de cañón, con la que quiero facilitar la visualización y comprensión del movimiento parabólico. Puedo entonces introducir un paisaje como imagen de fondo. Esto supone un embellecimiento gráfico cuyo exclusivo interés didáctico radica en un posible aumento del atractivo de la construcción (https://www.youtube.com/watch?v=J8BfE11t2sg) Coloco distintas imágenes, desde el átomo (Ø 10-10 m) al sol (Ø 1,4x109 m), y las visualizo según el orden de magnitud de lo que representan, al estilo del conocido cortometraje Powers of ten. En este caso, las imágenes enfatizan visualmente los textos asociados. Es una buena plataforma para proponer actividades sobre cambios de escala y potencias de diez. Por ejemplo, ¿cuántas monedas de 1€ harían falta para cubrir el diámetro del sol? (http://geogebra.es/gradual/magnitud.ggb)

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GeoGebra en el aula, un descubrimiento gradual

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Tengo la foto (o realizo mi propio diseño con GeoGebra) de un azulejo patrón que sirva como material para construir teselados (http://geogebra.es/gradual/azulejos.ggb) Recorto de forma irregular un trozo de papel, coloco una moneda de 1€ al lado y tomo una foto frontal del conjunto. Coloco esta imagen en la pantalla y pregunto cuánto mide el área del papel. De esta forma, la propia imagen plantea el problema. La presencia de la moneda de 1€ sirve de escala (para obtener su diámetro real de 23,25 mm basta con consultar Wikipedia). Una buena estrategia consiste en crear un polígono de muchos lados que aproximen el perímetro irregular del papel y comparar su área con el área de la moneda. Esta estrategia permite, además, realizar un control del máximo error cometido. Evidentemente, lo de menos es encontrar una buena solución al problema concreto planteado. Lo importante es observar la estrategia empleada y adueñarse de ella como procedimiento para su usar cuando convenga (http://geogebra.es/gradual/ area.ggb) Cada alumno se hace un selfi, introduce la imagen en la pantalla y la somete a transformaciones geométricas, isométricas o no (http://geogebra.es/gradual/transformaciones.ggb). Así podemos usar nuestra propia imagen como elemento familiar para distinguir rápidamente los efectos provocados por una transformación geométrica, lo que facilita su distinción y estudio.

GEOGEBRA COMO CREADOR DE CONSTRUCCIONES

No hace falta proponer complejas construcciones para sacarle todo el partido a GeoGebra. Como veremos, construcciones muy simples pueden ofrecer un campo más que abonado para el debate matemático. Pero, ¿qué es una construcción? Esta pregunta es la que más desconcierto suele provocar entre los alumnos, quienes, a priori, tienden a identificar construcción con dibujo. Por ello, al introducir GeoGebra en el aula, hay que hacerlo de manera muy gradual, siendo preciso dedicar todo el tiempo necesario para dilucidar la diferencia entre dibujo y construcción. Es necesario dedicar todo el tiempo necesario para dilucidar la diferencia entre dibujo y construcción

Veamos una propuesta de actividad con ese objetivo principal. Pedimos construir un rectángulo de dimensiones 4x3 a un grupo de alumnos de 2º de ESO. Lo ideal es que cada alumno cuente con su ordenador y el profesor disponga de pizarra digital. Es probable que los alumnos hagan uso de la cuadrícula para situar en sus intersecciones cuatro puntos A, B, C y D en formación rectangular, para, a continuación, crear con la herramienta Polígono (http://geogebra.es/gradual/dibujo.ggb) el

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Es necesario dedicar todo el tiempo necesario para dilucidar la diferencia entre dibujo y construcción Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

USO DE GEOGEBRA PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

rectángulo que tiene esos puntos como vértices (o usar directamente esa herramienta creando de paso los vértices). Es obvio que han dibujado un rectángulo, pero… ¿lo han construido? Las relaciones que caracterizan a una construcción deben permanecer invariantes al mover sus elementos. En este caso, al mover cualquiera de los cuatro puntos dibujados en la cuadrícula, observamos que la figura creada deja de ser rectangular y también deja de poseer las dimensiones solicitadas. Entonces, ¿cómo se construye un rectángulo 4x3? No es tan fácil como pudiera parecer. Ni tampoco hay una única manera de idear el proceso de construcción (más adelante presentamos

varias). En todo caso, es primordial evitar premiar la rapidez en la concepción de un método constructivo. El proceso reflexivo es lo esencial, no lo primero que a uno se le ocurre. Por ello, al debatir cada construcción con los alumnos, resulta conveniente insistir en que lo fundamental no es el objetivo de la construcción sino observar la estrategia seguida para alcanzarlo. Debemos ofrecer todo el tiempo que haga falta: recordemos que el tempo lo marca el alumno, no el profesor. Como estimación, podremos necesitar entre dos y cuatro sesiones de trabajo en el aula, ya que no solo pretendemos alcanzar nuestro objetivo principal (distinguir entre dibujo y construcción) sino aprovechar las distintas ideas matemáticas que surgirán (ya sea de forma espontánea o dirigida).

Construcción de un rectángulo 4x3 Realizamos el mismo proceso ya descrito de los cuatro puntos sobre la cuadrícula, pero usando ahora la herramienta Polígono rígido (http://geogebra.es/gradual/cA.ggb) A. Para crear el rectángulo. Construimos doce (4x3) cuadrados adosados usando la herramienta Polígono regular (http://geogebra.es/ gradual/cB.ggb) B. Creamos un segmento de longitud 4 (http://geogebra.es/gradual/cC.ggb) C. Trazamos perpendiculares en sus extremos, colocamos un punto en una de ellas a 3 unidades de distancia (circunferencia de radio 3) y completamos la construcción usando otra perpendicular o una paralela. Fijamos dos puntos (http://geogebra.es/gradual/cD.ggb) D. En (0,0) y (4,3). Obtenemos los otros dos puntos trazando por él paralelas o perpendiculares a los ejes de coordenadas. A partir de dos puntos A y B, creamos una semicircunferencia. El punto C será la intersección de ella con la circunferencia de radio 3 (o 4) centrada en su extremo. Obtenemos el cuarto vértice reflejando ese punto (http://geogebra.es/gradual/cE.ggb) E. En el centro de la semicircunferencia. Creamos una circunferencia y colocamos un punto en ella. El segundo punto lo obtenemos como intersección con la circunferencia de radio 3 (o 4) centrada en el primer punto. Obtenemos los otros dos vértices del rectángulo reflejando esos dos puntos (http://geogebra.es/gradual/cF.ggb) F. En el centro de la primera circunferencia.

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GeoGebra en el aula, un descubrimiento gradual

Las relaciones que caracterizan a una construcción deben permanecer invariantes al mover sus elementos

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Lo primero que podemos preguntar es si en cada caso realmente obtendremos siempre un rectángulo, y por qué. Al analizarlos, nos encontraremos por el camino con diversos e importantes resultados geométricos básicos. También podemos preguntar si todas las construcciones permiten trasladar y girar el rectángulo obtenido. La construcción D quedaría eliminada bajo esta premisa. Sin embargo, se convierte en una construcción realmente interesante (en un nivel superior) si nos preguntamos para qué puntos del plano los rectángulos obtenidos tienen la misma área (http://geogebra.es/ gradual/cDbis.ggb). He aquí un sencillo ejemplo de cómo construcciones similares pueden servir a propósitos muy diferentes. A los defensores de los procedimientos E y F les costará construir de ese modo el rectángulo 4x3, pues deberán prever que el diámetro de la circunferencia (o semicircunferencia) de partida debe medir exactamente 5 unidades. Y les costará bastante más construir un rectángulo 4x6, pues en tal caso el radio de la circunferencia debe medir √13. Por su parte, los defensores del procedimiento B se resistirán a pensar que existan rectángulos que no se puedan dividir exactamente en cuadrados, ya que al ensayar con dimensiones como 4,4x2,9 o 4,42x2,93 argumentarán que basta elegir un

cuadrado suficientemente pequeño (de lado 0,1 o 0,01, respectivamente) y tener bastante paciencia. Dependiendo del nivel, no resultará nada sencillo convencerlos de que no es solo cuestión de paciencia. Por ejemplo, es imposible construir de este modo un rectángulo cuyo ancho y largo midan, respectivamente, el lado y la diagonal de un cuadrado cualquiera, digamos de lado 5 (http://geogebra.es/gradual/imposible.ggb).

Demostración: si llamamos x al lado de cada baldosa cuadrada con el que pretendemos cubrir ese rectángulo, tendremos que tanto 5√2 como 5 serían ciertos múltiplos de x: 5√2 = n x, 5 = m x. De donde obtendríamos el absurdo √2 = n/m.

Como vemos, merece la pena plantear construcciones elementales como esta e investigar diferentes procedimientos. La verdadera riqueza pedagógica aparecerá de forma natural cuando comparemos las diversas estrategias empleadas.

EL PROCESO INTERNO DE GEOGEBRA COMO FUENTE DE ACTIVIDADES MATEMÁTICAS

Para acabar, debemos mencionar que el propio comportamiento de GeoGebra nos permite plantear multitud de actividades interesantes. Veamos

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un ejemplo. Todas las preguntas siguientes giran alrededor de la misma idea. Podemos observar

que son abordables en un bachillerato científico, si bien registran diferentes niveles de dificultad.

Actividades con Geogebra por niveles Nivel básico Trazamos un segmento y colocamos un punto en él. Ahora animamos el punto (http://geogebra.es/gradual/ tiempo.ggb). • ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer completamente el segmento? • ¿El tiempo que tarda un punto en recorrer un segmento es proporcional a su longitud? • ¿Y si es una circunferencia? • ¿Y si es una semirrecta? ¿Y si es una recta? ¿Es constante la velocidad? • ¿Y si es una línea poligonal? ¿Y si es una cónica cualquiera? ¿Y si es la gráfica de una función? ¿Y si es una lista de recorridos?

Nivel medio •

La siguiente imagen corresponde a una construcción que muestra dinámicamente el concepto de radián. Un punto sale del centro de la circunferencia y recorre un radio al tiempo que otro punto recorre un arco. Cuando el primer punto completa su recorrido, el segundo se detiene. ¿Cómo se ha hecho esta construcción? (http://geogebra.es/gradual/radian.ggb).

Nivel avanzado •

• •

GeoGebra dibuja cualquier recorrido (desde un segmento a una función) usando un parámetro que toma valores entre 0 y 1. Así, si colocamos un punto C en el segmento AB, el valor del parámetro correspondiente a la posición de C es la razón simple r = |C-A|:|B-A|. Usa los comandos RazónSimple y ParámetroRecorrido para comprobarlo. (Nota: |B-A| es el módulo del vector AB, la distancia entre A y B). Si definimos f(x) = x / (1+|x|), los valores paramétricos correspondientes a una semirrecta y a una recta son, respectivamente, f(r) y (1+f(r))/2. ¿Por qué? Si α (entre -π y π) define la posición (R cos α, R senα) de un punto sobre una circunferencia de radio R, el valor paramétrico correspondiente es (1+α/π) / 2. Averigua el valor paramétrico de la posición correspondiente a un punto sobre una elipse.

Nivel experto Si tenemos un deslizador k y definimos el punto (k, 3k+4), al activar su rastro y variar el valor de k, el punto dibujará un segmento en vez de la recta y = 3x+4, pues los valores de k están acotados en el deslizador. Sin embargo, partiendo de un deslizador k acotado entre 0 y 1, si definimos f(x) = (2x-1) / (1-|2x-1|), podemos ahora definir el punto (f(k), 3f(k)+4) cuyo rastro dibujará toda la recta. ¿Por qué? (http://geogebra.es/gradual/recta.ggb).

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GeoGebra en el aula, un descubrimiento gradual

CONCLUSIÓN

En general, encontrar un procedimiento que conduzca a la obtención de una construcción geométrica determinada requiere bastante entrenamiento. Es preciso deconstruir antes de construir, desintegrar primero el objeto deseado en partes simples y observar la interrelación entre ellas para luego hacer uso de estas relaciones en el proceso constructivo. Exige, pues, una mirada más abstracta, más profunda sobre el objeto, de lo que la vista percibe en primera instancia (una cosa es percibir y otra analizar). Justamente en esta diferencia reside el contenido matemático que subyace bajo la construcción.

un excelente recurso para entrar veloz y profundamente en la esencia de la relación. La comprensión que se alcanza mediante esta interacción con las figuras no solo es mucho más rápida que mediante otros métodos sino que, además, es más permanente y sólida, a la vez que abre, de forma natural, innumerables puertas a difíciles cuestiones profundas cuyo mero planteamiento resultaría, para la mayoría, prácticamente inabordable sin su ayuda. ◀

Dirección de contacto Rafael Losada Liste IES de Pravia (Asturias)

La rapidez con la que, gracias a GeoGebra, podemos verificar las variaciones y los invariantes de las figuras al arrastrar los puntos o modificar los elementos que las componen, hace de GeoGebra

rafaelll@educastur.princast.es Este artículo fue solicitado por Uno: Revista de didáctica de las MateMáticas en junio de 2015 y aceptado en octubre de 2015 para su publicación.

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Geometría con GeoGebra3D Andreas Lindner, Markus Hohenwarter Center for Mathematics Education. Linz (Austria)

En este artículo se presenta una breve introducción a la nueva vista gráfica 3D de GeoGebra y se muestran varios ejemplos de posibles aplicaciones para la enseñanza secundaria de geometría.

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Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • pp. 20-25 • enero 2016

PALABRAS CLAVE

• GEOMETRÍA • GEOGEBRA • 3D

Geometría con GeoGebra3D

nicialmente, el software de matemáticas GeoGebra era un programa concebido para establecer un enlace dinámico entre geometría y álgebra, pero con el tiempo se han añadido otros módulos con funcionalidades de hoja de cálculo y sistema algebraico computacional (CAS). En septiembre de 2014 se publicó el nuevo módulo 3D de GeoGebra, que permite la representación de objetos 3D en una vista independiente, conectada dinámicamente con las otras vistas de GeoGebra, como la vista gráfica bidimensional. En este artículo se presentan varios ejemplos de geometría espacial, analítica y descriptiva. El objetivo es exponer un panorama general de las posibilidades que ofrece la vista 3D de GeoGebra. Por lo tanto, no se incluye un análisis detallado sobre cómo se han creado dichos ejemplos.

debería facilitar el trabajo con el módulo 3D de GeoGebra. Se puede mostrar un objeto de cuatro modos diferentes cambiando el tipo de proyección (imágenes de 1 a 4). Para el modo anaglifo (véase imagen 3) se necesitan gafas 3D rojo-cian.

Imagen 1. Proyección paralela

INTRODUCCIÓN A LA VISTA 3D DE GEOGEBRA

La interfaz del programa aparece cuando se abre por primera vez GeoGebra 5.0 del modo habitual con la vista algebraica y la vista gráfica. Se puede acceder a la vista 3D seleccionando la opción de Vista gráfica 3D en el menú de Vistas. Esta función abre una vista adicional con un sistema de coordenadas tridimensionales, que permite trabajar con GeoGebra del modo habitual, pero ahora en un sistema de coordenadas espaciales (véase la imagen que encabeza este artículo). Es posible rotar el sistema de coordenadas en la Vista gráfica 3D con el botón derecho del ratón. Las herramientas que existían anteriormente, como la línea, el segmento, el polígono, etc., están también disponibles en la vista gráfica 3D del mismo modo. Este comportamiento intuitivo

Imagen 2. Proyección en perspectiva

Imagen 3. Proyección para gafas rojo-cian

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tantes de apoyo al proceso de aprendizaje que pueden mejorar gracias al uso del software de geometría educativa son las siguientes: • Visualización. • Experimentación y exploración. • Modelización. • Conceptualización.

Imagen 4. Proyección oblicua

La representación algebraica de los objetos geométricos tridimensionales es una continuación del procedimiento seguido en la función bidimensional de GeoGebra. Las líneas se representan en forma de parámetros, como por ejemplo g: X = (1,2,3) + λ (2, -1,1), los planos como ε: 3x + y - 2z = 1 y las esferas como s: (x - 1) ² + (y - 2) ² + (z + 1) ² = 9. Esta representación también permite realizar cálculos en la vista CAS de GeoGebra. Se trata de una herramienta útil, sobre todo para la geometría analítica, y permite interactuar con las investigaciones computacionales y geométricas durante la resolución de un problema. A continuación se presentan algunos ejemplos del uso potencial de GeoGebra3D en la clase de matemáticas mediante hojas de ejercicios interactivos. Los ejemplos provienen del GeoGebraBook Geometry with GeoGebra3D, que se puede consultar en línea en http://ggbtu.be/bwYQ2KrR0.

No siempre es posible, y ni siquiera necesario, separar cada una de las aplicaciones. Los siguientes ejemplos se aportan a modo de sugerencia, como posibles utilidades del programa en el aula.

Geometría espacial GeoGebra3D es un programa muy apropiado para la construcción de cuerpos geométricos que deben cambiar dinámicamente de tamaño o forma. Existen herramientas especialmente diseñadas para la creación de pirámides, prismas, conos, esferas y cilindros. También es posible generar automáticamente la red de un poliedro. Un ejemplo es una red de un dodecaedro que se dobla con un deslizador (véase la imagen 5). La generación automática de la red de un cuerpo geométrico no es una actividad idéntica a la de dibujar la red a mano. Tiene un carácter muy distinto. Evidentemente, requiere mucha más prepa-

EJEMPLOS DE ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

Las aplicaciones de GeoGebra se subdividen según diversos aspectos que también caracterizan el uso de la tecnología en la enseñanza de las matemáticas en general. Las funciones impor-

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Imagen 5. Dodecaedro con su red

Geometría con GeoGebra3D

ración y planificación construir una red con papel y lápiz, sobre todo en lo que respecta a la adecuada disposición de las superficies de las caras. No obstante, el uso de GeoGebra 3D contribuye al aprendizaje de exploración y descubrimiento y estimula la actividad del alumno. Con estructuras 3D muy extensas y detalladas, la cantidad de tiempo necesario para crear tales construcciones puede llegar a plantear un problema para la programación docente. En este caso, creemos que una solución factible es el uso de applets preconfiguradas, junto con tareas específicas para los alumnos. Pensemos, por ejemplo, en la intersección de un cono con un plano. Con la prueba de Dandelin, los alumnos pueden entender que la curva de intersección es, en realidad, una línea de sección cónica (elipse, hipérbola o parábola). En la imagen 2 se muestra la construcción con dos esferas inscritas en el cono. En GeoGebra se puede crear una vista independiente de cada plano en una construcción 3D (véase el lado derecho de la imagen 6). Esas vistas adicionales están conectadas dinámicamente con todas las demás vistas, incluso con la vista gráfica 3D.

Imagen 6. Secciones cónicas de Dandelin

fesor puede exponerlos (https://en.wikipedia.org/ wiki/Dandelin_spheres).

Geometría analítica En la geometría analítica el tratamiento computacional de un problema está estrechamente ligado a su interpretación geométrica. En GeoGebra podemos utilizar las vistas CAS y 3D simultáneamente para resolver problemas con procedimientos geométricos y computacionales. En la imagen 7 se muestran las soluciones constructivas y computacionales para la intersección de una línea recta g con el plano ε.

En la applet facilitada, los alumnos pueden cambiar la posición del plano y la forma del cono para observar los efectos producidos en la curva de intersección. Pueden explorar también las condiciones en las que la curva de intersección es abierta o cerrada. El profesor puede proponer a los alumnos, por ejemplo, que describan sus observaciones del modo más preciso posible con sus propias palabras. Los detalles de la prueba de Dandelin no se incluyen en nuestro ejemplo interactivo, pero el pro-

Imagen 7. Intersección de una línea con un plano

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Como ocurre en todos los casos, la vista CAS está conectada con la vista gráfica y viceversa. Esto

Imagen 8. Coordenadas esféricas

Imagen 9. Proyección central de un cubo

significa que cualquier cambio introducido en la especificación de la línea o el plano actualizará automáticamente las coordenadas del punto de intersección. Si se explica a los alumnos un nuevo concepto como las coordenadas esféricas para especificar un punto en el espacio, un diagrama resulta muy útil. Dicha conceptualización se transmite aún mejor a través de construcciones dinámicas con las que los alumnos pueden experimentar por sí mismos, modificando, por ejemplo, el ángulo en las coordenadas esféricas. El diagrama de la imagen 8 ilustra las coordenadas esféricas que ayudan a la conceptualización centrada en el alumno. Dado que las coordenadas esféricas a veces se definen de maneras ligeramente diferentes –por ejemplo, el ángulo polar a veces se mide también en el plano xy y en el intervalo [-90°; 90°]–, cualquiera puede adaptar una hoja de ejercicios como la publicada en GeoGebraTube (http://tube.geogebra.org): basta con copiarla y adaptarla a las necesidades específicas de cada caso.

Geometría descriptiva

Imagen 10. Proyección central de una esfera

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GeoGebra también se puede utilizar en el campo de la geometría descriptiva. En muchos libros de geometría, el concepto básico de proyección central se explica mediante diagramas estáticos de las construcciones estudiadas. Una vez más, la ventaja de las hojas de ejercicios dinámicos es evidente, puesto que se puede modificar el escenario de forma interactiva: En las imágenes 9 y 10 las imágenes resultantes de un cubo y una esfera se muestran en su proyección central.

Geometría con GeoGebra3D

El valor añadido de las construcciones 3D radica en que los alumnos pueden cambiar activamente la posición del centro de proyección, la posición del plano de proyección o la posición del objeto en sí, para investigar por su cuenta diversas situaciones y casos especiales. ◀

Wikipedia (2015): Dandelin spheres. Artículo enciclopédico publicado en «https://en.wikipedia.org/wiki/ Dandelin_spheres»

Dirección de contacto Andreas Lindner Markus Hohenwarter Center for Mathematics Education. Linaz (Austria) markus@geogebra.org

Referencias bibliográficas LINDNER, A. (2015): Geometry with GeoGebra3D.

Este artículo fue solicitado por Uno: Revista

didáctica

de las

GeoGebraBook interactivo en «http://ggbtu.be/

MateMáticas en junio de 2015 y aceptado en octubre de 2015 para

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su publicación.

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GeoGebra: ¿un juguete para el profesorado o una herramienta para su alumnado? Carlos Giménez Esteban Col·legi Sant Gabriel. Viladecans (Barcelona).

PALABRAS CLAVE

• GEOGEBRA • MOTIVACIÓN • TPACK

En el presente artículo se pretende justificar la elección de GeoGebra como herramienta tecnológica esencial en el aula de matemáticas a partir de las posibilidades que ofrece, tanto al personal docente como a su alumnado, de vivir una experiencia diferente, con especial incidencia en la motivación y en su capacidad para recuperar la esencia misma de las matemáticas que, en palabras de Cantor, es la libertad. 26

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Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • pp. 26-32 • enero 2016

GeoGebra: ¿un juguete para el profesorado o una herramienta para su alumnado?

LA (R)EVOLUCIÓN INDISPENSABLE

Si somos capaces de admitir que el aprendizaje de las matemáticas por parte de muchos de nuestros alumnos y alumnas no es todo lo satisfactorio que nos gustaría como docentes, parece lógico deducir que es necesario introducir en nuestras aulas cambios notables que intenten dar respuesta a esta situación. Partiremos de una serie de conjeturas sobre las cuales existe un amplio acuerdo: • Muchos de nuestros alumnos y alumnas acaban su periodo formativo sin un conocimiento sólido y razonado de matemáticas, más allá de su mayor o menor habilidad operativa personal. • Los docentes tenemos habitualmente dificultades para conseguir motivar a un número elevado de alumnos y alumnas (especialmente en la ESO) en el aprendizaje de las matemáticas. • Nuestra profesión tiene que hacer un sobreesfuerzo decidido por adaptarse al contexto en el que se ejerce en la actualidad. En particular, debemos aprender a interpretar nuestro nuevo rol como facilitadores del conocimiento y no tanto como instructores. • La omnipresencia de la tecnología en nuestra sociedad, y muy especialmente entre nuestro alumnado, debe ser vista como una oportunidad y no como una amenaza. Si estamos de acuerdo con los puntos expuestos hasta ahora, parece evidente que todo el profesorado de matemáticas de diferentes niveles debe imponerse un código de conducta profesional que intente dar la mejor respuesta posible a los retos planteados. Esta necesaria (nueva) actitud de los docentes puede producirse en algunos casos mediante una

suave evolución a partir de una práctica profesional previa de tipo reflexivo, pero en otros casos implica necesariamente una revolución absoluta de la forma de plantear el día a día en el aula.

EL MODELO TPACK

Incluso para el profesorado más activo, motivado y convencido de la necesidad de cambio, puede resultar muy complicado tener la certeza de estar planificando las materias que imparte de forma adecuada para conseguir el aprendizaje más significativo posible por parte de su alumnado. En este sentido, contar con algún tipo de orientación, modelo o framework teórico puede ayudar mucho al profesorado a mejorar su sensación de que está eligiendo el camino correcto. El modelo TPACK (Technological Pedagogical Content Knowledge), puede ser un buen referente a la hora de entender cuál debe ser el sentido último de la presencia de la tecnología en el aprendizaje de los estudiantes. De acuerdo con este modelo, la selección e incorporación de cualquier herramienta tecnológica en el ámbito docente debe hacerse siempre en base a dos premisas: • La herramienta tecnológica concreta que pretendamos incorporar debe cubrir algún

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La omnipresencia de la tecnología en nuestra sociedad debe ser vista como una oportunidad y no como una amenaza Uno

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aspecto de nuestra actividad en el aula de forma (más) eficiente que la alternativa tradicional utilizada hasta ese momento. • La herramienta nunca debe ser una finalidad en sí misma, sino un medio que permita una mejor transmisión de contenidos matemáticos concretos, de forma que el aprendizaje que realice el alumnado resulte más significativo por su parte. Una buena concreción del modelo TPACK (imagen 1) en el área de matemáticas1 establece una clasificación de las actividades de aprendizaje en siete tipos, que exigen un grado de madurez creciente por parte de los alumnos: actividades para considerar, para practicar, para interpretar, para producir, para aplicar, para evaluar y para crear.

Siguiendo este planteamiento, la incorporación de una herramienta tecnológica tendría que dar a los docentes la capacidad de plantear y trabajar con su alumnado el máximo posible esos tipos de actividades. Es más: asegurarnos de que ofrecemos en cada momento a nuestros alumnos los mejores recursos a nuestro alcance debería ser una parte relevante de nuestra actividad como docentes.

GEOGEBRA: ¿EL MEJOR CANDIDATO?

Desde el primer momento de la popularización de los ordenadores personales, allá por los años noventa, el software específico de matemáticas ha estado siempre bien representado, de forma que el profesorado de esta área ha tenido a su disposición desde hace ya mucho tiempo diversas propuestas, entre las cuales podemos considerar (citadas por orden alfabético) las siguientes: Cabri, Cinderella, Derive, Desmos, Google Calculator, Maple, Mathematica, Mathics, Maxima, Microsoft Mathematics, R, Sage, Sketchpad, TI-Nspire, Wiris o Wolfram Alpha. En este listado, no exhaustivo, podemos encontrar algunos ejemplos de soluciones «antiguas» y que han sido discontinuadas por sus creadores, como Derive, o de aparición muy reciente, como Wolfram Alpha; aplicaciones muy específicas, como R, o de tipo generalista, como Wiris, y programas comerciales, como Mathematica, o de código abierto, como Maxima.

Imagen 1. Representación gráfica del modelo TPACK (fuente: http://canaltic.com, adaptado de http://tpack.org)

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Así pues, si la oferta en este campo es y ha sido tan amplia desde hace tanto tiempo, ¿cuáles son las claves que explican el innegable cambio cualitativo y cuantitativo que está suponiendo GeoGebra respecto de la presencia de software de matemáticas en el aula?

GeoGebra: ¿un juguete para el profesorado o una herramienta para su alumnado?

GeoGebra ha sabido combinar de forma magistral la sencillez de uso con la potencia de cálculo

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Algunas ideas que nos pueden ayudar a entender esta situación podrían ser: • Desde su creación en el año 2001 por Markus Hohenwarter, GeoGebra ha sabido combinar de forma magistral la sencillez de uso con la potencia de cálculo y la creciente diversidad de ámbitos de las matemáticas en los que es competente. • GeoGebra es una solución de código abierto y por lo tanto gratuito, de forma que no existe ningún problema económico para su incorporación masiva en cualquier centro educativo. • La disponibilidad en las aulas de ordenadores, proyectores y PDI (pizarras digitales interactivas) ha experimentado un crecimiento exponencial en la última década, facilitando enormemente el uso habitual de recursos informáticos en la práctica docente. • El advenimiento de la web 2.0, o web social, a partir del año 2003 ha modificado de forma definitiva el concepto de trabajo colaborativo, en red o conectivismo. GeoGebra no solo se ha aprovechado de esta situación, sino que impulsa de forma decisiva la colaboración entre alumnado y docentes con iniciativas como los Institutos GeoGebra, el espacio de intercambio de materiales GeoGebraTube, la integración en Moodle y, más recientemente, con la herramienta de gestión GeoGebraGroups. • Los nuevos soportes tecnológicos como tablets y smartphones están sustituyendo en

algunos contextos el uso de ordenadores convencionales, especialmente entre el alumnado más jóvenes. GeoGebra está atento a esta evolución de las diversas plataformas de trabajo y actúa de forma decidida para desarrollar versiones específicas para estos entornos.

HAY MUCHOS GEOGEBRAS DENTRO DE GEOGEBRA

Es evidente que GeoGebra ha experimentado desde su aparición hasta el día de hoy una constante y planificada serie de cambios sustanciales por la vía de la adición de funcionalidades. Basta considerar lo que nos delata su nombre, contracción de los términos geometría y álgebra, para darnos cuenta de que en la actualidad disponemos de muchísimas más posibilidades. Así, las sucesivas versiones del programa han ido incorporando todo un universo de capacidades: análisis, cálculo simbólico, combinatoria, probabilidad, estadística, geometría en tres dimensiones, hoja de cálculo, capacidad para probar propiedades y un largo etcétera. Este hecho, paradójicamente, es quizás la peor amenaza latente a la cual GeoGebra debe dar una respuesta adecuada: evitar que la acumulación de nuevas funcionalidades desvirtúe la clave de su éxito, basada en la sencillez de uso, y suponga una barrera que espante a nuevos usuarios (tanto profesorado como alumnado). Por otra parte, también hay muchas maneras diferentes de enfocar el uso de GeoGebra en el aula2, entre las cuales podríamos situar dos, en extremos opuestos: • Dinámicas donde la presencia de GeoGebra en el aula se limita a un uso anecdótico a par-

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tir de construcciones más o menos complejas que manipula únicamente el profesor o la profesora (GeoGebra como un juguete para el profesorado). • Coexistencia habitual con el programa, donde se plantea a los estudiantes la indagación de algún principio o propiedad a partir de construcciones mínimas que deben realizar y manipular ellos mismos (GeoGebra como una herramienta para alumnos y alumnas). Obviamente, existen todas las situaciones intermedias y, en cada momento, será más adecuado un tipo de dinámica u otro a criterio del docente. Pero no debemos olvidar que, si no damos ningún espacio a los estudiantes para que descubran por ellos mismos, y todas las actividades son guiadas en exceso, estaremos perdiendo una de las virtudes que hacen tan especial a GeoGebra como herramienta de motivación3.

CONDICIONES NECESARIAS Y CONDICIONES SUFICIENTES

A partir de todo lo expuesto hasta el momento, parece obvio asumir que GeoGebra se encuentra en una situación inmejorable para ser el software preferido y convertirse así en el contexto natural en el que «ocurran» las matemáticas en el aula, ya que cumple con soltura las condiciones necesarias para ello: es gratuito, sencillo pero potente, e interconectado. Ahora bien, existe toda una serie de condiciones necesarias para poder afirmar que la (r)evolución es un hecho consolidado, algunas de las cuales no se están dando de forma suficientemente efectiva, y que suponen sin duda el núcleo de los retos que deberemos abordar con ahínco en los próximos años.

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En primer lugar, debemos asegurar que los tres actores implicados asumen su parte de responsabilidad en este cambio metodológico de forma activa y convencida: • La administración educativa: más allá de algunas tímidas referencias al uso de software de matemáticas dinámicas en los currículos de los diferentes niveles académicos, que han ido apareciendo en las sucesivas reformas de la ley educativa, es imprescindible que la administración entienda que GeoGebra, especialmente, debe ser el marco donde se desarrolle el trabajo en el ámbito de matemáticas, tanto en el aula como fuera de ella. Aunque no deba ser el objetivo central de la acción educativa ni mucho menos, no debemos engañarnos, y mientras no aparezca de forma explícita la palabra mágica «evaluación» asociada con la habilidad para desarrollar conceptos matemáticos, y realizar y verificar conjeturas en un soporte tecnológico, desgraciadamente muchos docentes no se darán por aludidos. También es responsabilidad de la administración la inclusión decidida de GeoGebra tanto en el currículo del grado de Magisterio en Educación Primaria como en el programa oficial del Máster Universitario en Formación del Profesorado de Secundaria, de forma que se garantice que los futuros profesionales del sector conozcan las posibilidades didácticas de GeoGebra antes incluso de su incorporación a las aulas. • El colectivo docente de los diferentes niveles educativos: como responsables de la gestión del aula, es fundamental que sea activo y entusiasta a la hora de estructurar el trabajo propio y de su alumnado en un contexto tecnológico como GeoGebra, dentro de las posibilidades materiales de su entorno de trabajo.

GeoGebra: ¿un juguete para el profesorado o una herramienta para su alumnado?

Para poder asegurar el éxito de este planteamiento, es imprescindible que el profesorado sea competente en el uso didáctico de esta herramienta, para lo cual resulta necesario: - Formarse de forma específica, no solo en los aspectos técnicos de GeoGebra sino, muy especialmente, en las ventajas didácticas de su uso. En relación con la formación en GeoGebra existe en la actualidad una variada oferta, tanto de tipo presencial como telemático, a la cual puede accederse con facilidad. - Colaborar con otros docentes a través de los diferentes canales existentes: consulta y publicación de materiales en GeoGebraTube (en el momento de cerrar este artículo, cuenta con 243.496 materiales disponibles), implicación a diferentes niveles con algún Instituto de GeoGebra, asistencia y presentación de experiencias en jornadas y encuentros de profesorado de matemáticas, implementación de GeoGebraGroups como entorno de intercambio con sus alumnos y alumnas, etc. (imagen 2). Obviamente, no podemos pretender que todo el profesorado se implique al mismo nivel y, aunque esta aceptación desigual de la herramienta pueda generar disfunciones en el departamento de matemáticas de muchos centros, la acumulación de evidencias prácticas del valor añadido del uso de GeoGebra4 en el aula debe actuar como motivación para los indecisos y desarmar la argumentación de los contrarios a su uso. • El alumnado: obviamente, de nada servirán nuestros esfuerzos si no somos capaces de hacer sentir a nuestros alumnos y alumnas las ventajas que tiene para ellos del trabajo habitual con GeoGebra como herramienta

Imagen 2. Espacio para compartir materiales GeoGebraTube (fuente: http://tube.geogebra.org)

que les puede permitir mejorar su rendimiento académico y abordar un aspecto clave para aumentar su motivación y que, de alguna manera, suele estarles vedado: la posibilidad de conjeturar, descubrir, comprobar propiedades, en definitiva, de pensar matemáticamente. Los alumnos y alumnas son particularmente sensibles a los estímulos que les transmitimos a diario, de manera que solo se sentirán inclinados a aprovechar el valor añadido de GeoGebra si nuestra actitud en el aula así lo promueve.

CONCLUSIÓN

En resumen, si creemos en la necesidad del cambio en el aula de matemáticas, en estos momentos la herramienta tecnológica que puede ayudarnos a transmitir de forma más efectiva los conceptos

■

La acumulación de evidencias del valor añadido del uso de GeoGebra debe actuar como motivación para los indecisos Uno

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USO DE GEOGEBRA PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

que estemos trabajando en cada momento es, a mi juicio, GeoGebra.

3. GIMÉNEZ, C. (2015): «Concurs de resolució gràfica

Una herramienta gratuita, sencilla y cooperativa que supone un auténtico entorno nuevo y completo donde pueden ocurrir hechos a veces impensables, como que los alumnos y alumnas experimenten (y algunos docentes recuperen) la capacidad de sorprenderse y de disfrutar con las matemáticas. ◀

4. HOHENWARTER, J.; HOHENWARTER, M.; LAVICZA,

de Sangakus amb el GeoGebra». Noubiaix, núm. 36, pp.100-108. Z. (2010): «Evaluating Difficulty Levels of Dynamic Mathematics Software Tools to Enhance Teachers’ Professional Development with Dynamic Mathematics Software». International Journal for Technology in Mathematics Education, vol. 17(3), pp. 127-134.

Notas

Dirección de contacto Carlos Giménez Esteban

1. GRANDGENETT, N.; HARRIS, J.; HOFER, M. (2011): Mathematics learning activity types [en

Col·legi Sant Gabriel. Viladecans (Barcelona).

línea]. <http://activitytypes.wmwikis.net/file/view/

carlos.gimenez@gmail.com

MathLearningATs-Feb2011.pdf>. 2. ARRANZ, J.M.; LOSADA, R.; MORA, J.A.; SADA, M. (2011): «Realidades de GeoGebra». Suma, núm. 67,

Este artículo fue solicitado por Uno: Revista

32-2 ideas clave

A. IC007 1-2_A. Eval copren 1/2h 25/01/16 11:25 Página 1 pp. 7-20.

didáctica

de las

MateMáticas en junio de 2015 y aceptado en octubre de 2015 para su publicación.

1. edición, 2. reimpresión a

El desarrollo de la competencia matemática JESÚS M.ª GOÑI ZABALA

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Reflexión oportuna sobre dos maneras de enfocar la enseñanza de las matemáticas: como área de conocimiento del currículo de la educación y/o como competencia básica para el aprendizaje. Se dan pistas para entender qué se pretende con la aplicación de la nueva propuesta de la Unión Europea del año 2006 que propone la competencia matemática como una de las ocho competencias clave para el aprendizaje a lo largo de toda la vida y, a la vez, nos muestra por qué debe centrarse la enseñanza de las matemáticas en el desarrollo de la competencia matemática, qué debemos entender por competencia matemática y el cambio metodológico para lograrla. C/ Hurtado, 29 08022 Barcelona

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Tel.: (34) 934 080 464

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Los primeros pasos en geometría dinámica Nacho Miguel CP Llorén. Gijón

En este artículo plantearemos algunas sencillas estrategias didácticas que tratan de aportar otro enfoque en algunas situaciones problemáticas de geometría en la educación primaria.

PALABRAS CLAVE

• CONSTRUCTIVISMO • CONDUCTISMO • GEOMETRÍA DINÁMICA • GEOGEBRA

n el área de matemáticas, concretamente en el bloque de geometría, se tiende a utilizar como estrategia didáctica, de forma bastante generalizada, el aprendizaje memorístico de ciertas definiciones o conceptos geométricos (radio, cuerda, A=πr2, etc.), apoyados en una imagen que trata de aclarar dicho concepto. Situación: clase de matemáticas. Sexto de educación primaria. Bloque de geometría: MaestRo: Bien, ahora vamos a calcular el área de este trapecio. alUMno: No recuerdo la fórmula...

Esta podría ser una situación bastante familiar. Algo así como si una persona no pudiera decirnos lo que desayunó ayer porque no recuerda el tiempo verbal que ha de utilizar: ¿usaré el condicional compuesto? ¿El pretérito perfecto simple?

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Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • pp. 33-38 • enero 2016

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La repetición de esta estrategia hace que al menos parte del alumnado sea capaz de repetirla posteriormente y de aplicarla en situaciones concretas, para lo cual plantearemos posteriormente ejercicios relacionados con ese concepto. Hasta aquí todo parece correcto, pero, ¿qué ocurre si en esos ejercicios hacemos algunos cambios en las imágenes o en el tipo de datos que damos para resolver esa situación problemática? Es decir, ¿qué puede hacer nuestro alumnado ante un problema que no repite el mismo patrón utilizado con anterioridad en la clase? A menudo, no nos paramos a reflexionar sobre este aspecto, ya que suele ser la misma persona la que utiliza esa estrategia didáctica para la explicación en clase y también la que propone ejercicios similares para evaluar los aprendizajes del alumnado, pero vamos a cambiar por un momento esta situación y ver algunos ejemplos que nos pueden ayudar en esta reflexión. De forma paralela, vamos a proponer otras alternativas didácticas, en este caso utilizando el programa Geogebra, que nos pueden ayudar en este cometido.

SOBRE LA UTILIZACIÓN DE LAS IMÁGENES ESTÁTICAS Y LA IMPORTANCIA DE LA GEOMETRÍA DINÁMICA

Posiblemente, en estos momentos, muchas personas de las que estén leyendo este artículo también están pensando en el error que puede cometer el alumnado. ¿Puede ser que el error se deba a que no conocen realmente las características de las diferentes figuras geométricas? Seguro que ese no es el problema, pues si, a renglón seguido, preguntamos sobre los elementos notables tanto del cuadrado como del rombo, indudablemente habrá una parte del alumnado que las recuerda, pero aun así, la figura les ha parecido un rombo. Eso teniendo en cuenta que la imagen está sobre un fondo cuadriculado que, sin duda alguna, facilita su identificación.

Si no utilizamos ningún programa de geometría dinámica en nuestras clases, lo más frecuente es apoyar nuestras explicaciones en imágenes estáticas, es decir, las que tenemos en el libro de texto, fotocopias, etc. Pero, ¿qué ocurre si posteriormente cambiamos esas imágenes?

Podemos hacer ya una primera reflexión: la repercusión que tendrá en los aprendizajes del alumnado la utilización de imágenes estáticas (libro de texto, dibujos en la pizarra, fotocopias, etc.), o bien el uso de Geogebra para construir dichas imágenes, que tanto nosotros como nuestro alumnado podemos trasladar, girar, modificar, investigar, etc.

Ejemplo 1 ¿Qué diría nuestro alumnado si le preguntamos qué figura tenemos en la imagen?

En el ejemplo anterior, para identificar la figura el alumnado no utiliza sus elementos notables, sino la «fotografía» de la figura que ha visto con ante-

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Los primeros pasos en geometría dinámica

rioridad sobre papel, lo que conduce a cometer el error. La utilización de la geometría dinámica puede ayudarnos a evitar esos errores. Es evidente que, si tenemos dificultades en la clasificación de una figura, más dificultades tendremos si además hay que realizar cálculos sobre la misma. En este caso, sin duda, ya es un avance la utilización de Geogebra por parte del profesorado para generar figuras dinámicas que podrá mover bien desde el ordenador, bien directamente en la pizarra digital, utilizando ese potente recurso como soporte a sus explicaciones. Pero el verdadero avance está en que sea el alumnado quien construya esas figuras, ya que para ello ha de utilizar los conceptos matemáticos estudiados previamente y, al moverlas, comprobará si esos elementos permanecen o no inalterables. El alumno que es capaz de realizar el dibujo de una figura geométrica con el programa Geogebra, y posteriormente moverla mediante giros y traslaciones, sin duda alguna va a reconocer esa figura independientemente de la forma y posición que esta adopte, a la par que será conocedor de las propiedades de sus diferentes elementos notables. Esto supondrá un progreso importante en la competencia matemática de nuestro alumnado. Además, estos recursos planteados por el profesorado van a ser acordes a las necesidades y particularidades de su alumnado, al tiempo que podrán atender y sincronizarse con su evolución en los aprendizajes matemáticos. Antes de sugerir ninguna propuesta didáctica concreta, veamos otro ejemplo. Ejemplo 2 Vamos a proponer a nuestros alumnos que calculen el área de un cuadrado a partir de los datos que vamos a proporcionarles. Hasta ahí todo parece

bastante normal, pero, ¿qué pasaría si, en lugar de darles la medida del lado del cuadrado, les damos lo que mide su diagonal? Es fácil que tengan bastantes dificultades. ¿Nos hemos preguntado alguna vez la razón por la que siempre utilizamos el lado del cuadrado para calcular su área y, por el contrario, usamos las diagonales para calcular la del rombo? ¿Tiene un rombo base y altura? ¿Aparecen en los libros de texto?

La capacidad de nuestro alumnado para utilizar en situaciones nuevas los conceptos que previamente hemos trabajado en nuestras clases nos da una idea de su competencia matemática. Si la estrategia que utilizamos es exclusivamente conductista (ante un determinado estímulo, todos han de emitir una respuesta), al cambiar de forma sustancial el estímulo, el alumnado puede tener muchas dificultades para encontrar la respuesta. De todas formas, no siempre conocemos las estrategias adecuadas o los recursos idóneos para ayudarnos en esta tarea. El objetivo de este artículo es proporcionar algunas sencillas ideas al respecto, tanto para utilizar directamente esas estrategias y recursos propuestos como para intentar despertar en el profesorado esa inquietud;

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y que elabore materiales propios, que inciten al alumnado a investigar y reflexionar; en definitiva, a participar en un proceso constructivista para mejorar su competencia matemática, en este caso concreto, en el bloque de geometría.

PROPUESTA DIDÁCTICA 1: LOS COMIENZOS CON GEOGEBRA

El objetivo es que el alumnado construya figuras dinámicas y, para ello, el programa Geogebra es un magnífico aliado en la educación primaria. Bastará con proporcionar a los alumnos un modelo o una composición que ellos habrán de imitar, lo cual, además de motivador, hará que vayan conociendo el programa y se vayan fijando en las peculiaridades de las figuras que están dibujando. Los pasos que personalmente utilizo en clase para esta iniciación en la utilización de Geogebra, en esencia, siguen la siguiente secuencia: 1. Instalamos Geogebra en los ordenadores que va a utilizar el alumnado. Las conexiones con Internet en nuestros centros educativos no siempre funcionan adecuadamente, y de esta forma evitamos contratiempos innecesarios. La versión portable también puede sernos de gran utilidad. 2. Hacemos una breve descripción de algunas de las funciones del programa: Abrir y cerrar el programa, hacer puntos, rectas, segmentos… colorearlos, moverlos, cambiar de aspecto, etc. y construir algunas figuras geométricas: polígonos y figuras circulares. Importante: no es necesario explicar pormenorizadamente cada uno de los comandos del programa, ya que, lejos de mejorar la comprensión de su funcionamiento, eso le va a restar la parte de descubrimiento personal tan importante en esta etapa educativa y que, sin duda alguna, es la que más nos puede ayudar en nuestro trabajo. Lo que

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atrae al alumnado del programa es su inmediatez, su interactividad, que sus órdenes son ejecutadas y ven los resultados al instante, que pueden colorear fácilmente cualquier elemento, que lo pueden mover, pueden rellenar figuras, etc. Ese es el verdadero valor añadido del programa: la interactividad. 3. Después de realizar un determinado modelo, ya podemos proponer a los alumnos algunas creaciones libres, lo cual les permitirá interactuar con los diferentes comandos del programa y comprobar que el resultado no siempre coincide con el que ellos habían previsto, por lo que habrán de revisar los procedimientos utilizados. En definitiva, hemos cambiado la estrategia de dar una respuesta a un estímulo concreto (conductismo) por una estrategia constructivista, puesto que ellos van construyendo sus propias figuras basándose en los elementos notables que las componen. Posteriormente, las pueden trasladar, girar, colorear, y hacer diferentes cálculos e investigaciones sobre ellas. En mi caso, el modelo propuesto es un simpático robot al que venimos llamando Geotico (por eso de Geogebra). Véase la imagen de apertura del artículo. Está compuesto de cuadriláteros, algunos puntos con forma especial y algunos segmentos. Se trata de que ellos hagan una figura similar. En realidad, en nuestro trabajo hemos ido un poco más allá, pues les envío a través de una plataforma online un fichero con Geotico al lado de un espejo. El alumnado ha de construir la imagen reflejada en dicho espejo, es decir, su simétrico. Aunque ellos están haciendo «dibujos», al tratarse de un programa matemático muy riguroso, en realidad lo que están utilizando son dife-

Los primeros pasos en geometría dinámica

rentes elementos geométricos para hacer una composición determinada. Eso les pone en contacto con el programa y hace que se interesen por las propiedades del mismo, al tiempo que nos da pie para hablarles sobre las diferentes propiedades de los elementos que están utilizando. Más adelante, introduciremos figuras circulares, otros polígonos irregulares, animación, rastro de figuras en rotaciones y traslaciones, etc. 4. Se les propone realizar construcciones libres para la familia de Geotico: Geotica, hijos, etc. Eso motivará la realización de figuras triangulares, circulares... Por supuesto, se les darán las ayudas necesarias siempre que las soliciten, aunque no suelen hacerlo, o la posibilidad de consultar a otros compañeros cuyos trabajos son más esmerados, por lo que es fácil reconducir la actividad y transformarla en trabajo colaborativo. 5. Estos curiosos personajes vienen a visitarnos desde un lejano planeta. Podemos dibujar diferentes órbitas espaciales (objetos circulares) y colocar sobre ellas algunos planetas (puntos en movimiento sobre las circunferencias). En cada uno de los personajes podemos estudiar las figuras que lo componen, los elementos notables como lados, ángulos, paralelas, perpendiculares, perímetros, superficies, etc. Para estos dos últimos, utilizaremos como medida el lado de cuadrícula igual a uno.

Con esa parcela vamos a trabajar el concepto de superficie y también algunas estrategias para realizar su cálculo, ya que la forma de la parcela no nos va a permitir utilizar «fórmulas» para calcular su área. Para la medida de esa superficie, vamos a utilizar como patrón la cuadrícula y, como estrategia básica, el alumnado habrá de construir diferentes cuadrados y rectángulos auxiliares que le permitirán calcular el área de una forma fácil, amena y, sobre todo, elaborando los propios materiales a utilizar, en este caso los cuadriláteros auxiliares. Los pasos que seguimos son los siguientes: 1. Proporcionamos a nuestros alumnos «el dibujo de la parcela» que, en realidad, se trata de un polígono irregular del que tenemos que calcular su superficie, es decir, cuántos cuadritos tiene. El número de cuadrículas que tiene una determinada figura geométrica ya lo hemos trabajado anteriormente con las figuras que componen nuestro robot (cuadrados y rectángulos), aunque ahora vamos a tener un problema añadido, pues hay cuadrículas enteras pero también tenemos muchísimos trozos de cuadrícula: unas están por la mitad, otras tienen solamente un trocito, etc., y hemos de utilizar alguna estrategia para calcular el área de estos trocitos, pues también forman parte de la parcela.

PROPUESTA DIDÁCTICA 2: CONCEPTO Y MEDIDA DE SUPERFICIES

No nos hemos olvidado de Geotico, ni muchísimo menos. Ahora vamos a trabajar con una parcela de terreno, propiedad de nuestro visitante allá en su planeta de origen.

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2. Antes de explicarles la estrategia para realizar

el cálculo, podemos hacer un turno de estimaciones. Para ello, se pueden ayudar con las cuadrículas que tienen enteras, contarlas directamente y «estimar» lo que sumarían el resto de trozos. Estos datos los podemos recoger en una tabla para discutir posteriormente el grado de acierto de cada alumno. 3. Para calcular la superficie de los trozos que no tienen cuadrículas enteras, podemos dibujar paralelogramos auxiliares (cuadrados y rectángulos) de forma que el lado de la parcela coincida con la diagonal de estos polígonos auxiliares, por lo que esos trozos de parcela serían «la mitad de ese cuadrado o de ese rectángulo...» y, por tanto, muy fáciles de medir.

En la imagen de la izquierda podemos ver la parcela y los cuadriláteros auxiliares que hemos construido para calcular su superficie. En la imagen de la derecha podemos ver los cuadriláteros colocados sobre la parcela y ya podemos proceder al recuento de cuadrículas: Comenzando por la parte superior y siguiendo el sentido de las agujas del reloj, tenemos la mitad de cuatro (2), la mitad de dos (1), la mitad de seis (3), la mitad de 3 (1,5), la mitad de cuatro (2) y la mitad de tres (1,5); y luego tenemos 17 enteras. En total, tenemos 28 cuadrículas. Los alumnos pueden comprobar fácilmente si su cálculo ha sido

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correcto, sin más que utilizar el comando Área de Geogebra, que les da inmediatamente la superficie del polígono, también medida en cuadrículas. Este resultado se puede comparar con las estimaciones previamente realizadas. Si hacen el ejercicio con Geogebra, podemos darles nosotros la parcela y que ellos construyan los cuadriláteros auxiliares, colorearlos, etc. Si lo hacen utilizando el comando Polígono rígido, pueden moverlos fácilmente y colocarlos sobre la parcela para realizar los cálculos. El ejercicio de construcción de los polígonos auxiliares ya exige un cierto avance en el trabajo sobre superficies, que se ve culminado con la medición del área de la parcela. Lo que hacemos en clase va un poco más allá, pues una vez que les he enviado el archivo con s a alguno la parcela, los alumnos han de Conesujemlt plos en o.com realizar todo el ejercicio y luego Http://uno.gra colocarlo en su blog personal de clase. Evidentemente, esta es una motivación «extra», pues en su blog pueden mover las figuras auxiliares, colocarlas sobre la parcela, utilizarlas para explicar en clase en una PDI el trabajo realizado, mostrar el trabajo a otros compañeros, etc. ◀

Dirección de contacto Nacho Miguel CP Lloréu. Gijón nacho.miguel@gmail.com

Este artículo fue solicitado por Uno: Revista

didáctica

de las

MateMáticas en junio de 2015 y aceptado en octubre de 2015 para su publicación.

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Prever y predecir en geometría José Antonio Mora IES Sant Blai. Alicante

En este artículo se relata la experiencia realizada en un PALABRAS CLAVE • PREDICCIÓN curso de 1º de ESO del IES Sant Blai de Alicante con el • HIPÓTESIS software matemático GeoGebra. Se presenta a los alumnos • GEOMETRÍA la secuencia de instrucciones de una construcción geométrica • GEOGEBRA y, en un momento determinado, se les pide que prevean qué trayectoria describirá uno de los elementos de la construcción si movemos alguno de los puntos iniciales. Con ello se pretende provocar la discusión entre los alumnos que trabajan por parejas y también el debate con todo el grupo cuando han de explicar a sus compañeros los motivos que los llevan a pensar por qué predicen la aparición una figura determinada en la pantalla.

PRIMERA CLASE: PUNTO MEDIO

as actividades que se exponen a continuación conforman una secuencia de trabajo dirigida: cada nuevo elemento se construye en base a relaciones con los anteriores. En un momento determinado se detiene la construcción para pedirles que predigan qué es lo que va a pasar con algunas de las figuras construidas al variar ciertas condiciones. Se los anima a que emitan hipótesis y las contrasten después con la ayuda de Geogebra, especialmente el movimiento y la posibilidad de que ciertos elementos dejen rastro de su paso por la pantalla.

Realiza una construcción geométrica siguiendo los pasos siguientes: 1. Dibuja una circunferencia (Centro, radio) con centro en A y radio 2. 2. Marca un punto B que quede situado sobre la circunferencia 3. Sitúa un punto C en el exterior de la circunferencia. 4. Dibuja el punto medio D de los puntos B y C. Utiliza el botón derecho / Propiedades para que D sea de color rojo.

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Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • pp. 39-45 • enero 2016

USO DE GEOGEBRA PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

Muchos de los alumnos descubren pronto que el punto D describe una circunferencia y, desde el principio, afirman que será más pequeña que la original. Cuando C está sobre la circunferencia se dan cuenta de que su diámetro es exactamente la mitad porque pasa por el centro de la grande y la toca tangencialmente por el interior. Además, terminan de confirmarlo cuando C está sobre A, porque comprueban que las dos circunferencias son concéntricas, en el centro de la primera circunferencia. Las imágenes que encuentran al dejar el rastro son:

Responde las preguntas de los siguientes apartados pero, antes de dar cada respuesta, intenta prever qué es lo que ocurrirá en la construcción geométrica. Descríbelo con una frase con ayuda de tu compañero, discutidlo y argumentad vuestras ideas. Solo cuando hayáis formulado vuestra predicción debéis realizar el movimiento que se propone para comprobar si la conjetura era correcta. • ¿Qué trayectoria describirá el punto medio (D) si hacemos que el punto B recorra la circunferencia? Mueve el punto B y observa la trayectoria de D. ¿Era correcto lo que pensabas? Activa el rastro del punto D y mueve B alrededor de la circunferencia. Comprueba si se ha confirmado tu conjetura. Desactiva el rastro para la siguiente pregunta y limpia los rastros de la pantalla. • Ahora desplaza el punto C para colocarlo sobre la circunferencia. Si hacemos que B gire sobre la circunferencia como antes, ¿qué puedes decir de la figura que describirá el punto medio D? • ¿Qué ocurrirá si el punto C está en el interior de la circunferencia? ¿Y si está justo en su centro (sobre el punto A)?

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Prever y predecir en geometría

Aún se puede hacer alguna pregunta más del tipo: si haces que C se aleje progresivamente de la circunferencia inicial ¿cómo crees que variará el tamaño de la circunferencia roja? Con ello podremos comprobar si las experiencias han sido suficientes para asentar la idea de que todas las circunferencias tendrán por radio la mitad de la inicial.

SEGUNDA CLASE: DOS CIRCUNFERENCIAS

Dos circunferencias 1

1. Dibuja una circunferencia (Centro, radio)

con centro en A y radio 3.

2. Marca un punto B sobre la circunferencia.

Asegúrate de que está sobre ella: intenta desplazarlo y comprueba que siempre está sobre la circunferencia. 3. Dibuja una circunferencia con centro en B y radio 1. Modifica sus propiedades para que sea de color verde.

¿Qué ocurrirá con el rastro de las circunferencias cuando B gire alrededor de A sobre la circunferencia? (Primero piensa sin mover el punto y describe con palabras la forma de la mancha que

dejarán, después mueve el punto B para comprobar tu conjetura. Más adelante, cuando creas que tienes claro lo que va a ocurrir, activa el trazo de la circunferencia para ver la mancha verde que dejan cuando B gire alrededor de A). Las respuestas varían desde algunas menos precisas como «habrá muchas circunferencias», otros afinan algo más diciendo «muchas circunferencias, como un muelle»; otros «un tubo circular» (puede que quieran hablar del toro), «un círculo con un agujero en el medio». Solo después de dejar el rastro y conseguir dar suficientes vueltas al punto B, unos pocos recuerdan términos geométricos de la geometría de primaria y hablan de la corona circular. Solo uno de los grupos afirmó que obtendría una corona de 2 centímetros de grosor, un centímetro por fuera y otro por dentro de la original. Esa pregunta no estaba incluida en el formulario y habría sido interesante para que todos pensaran sobre las relaciones entre los radios.

Dos circunferencias 2 1. Dibuja una circunferencia con centro en A y

radio 3.

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2. Marca un punto B exterior a la circunferencia

y otro C sobre ella. 3. Dibuja una segunda circunferencia, esta vez con la opción (Centro, punto) con centro en B y, cuando vayas a marcar el punto que determinará el radio, hazlo sobre el punto C.

¿Cómo será el trazo que dejan las circunferencias cuando C gire alrededor de A sobre la circunferencia? ¿Cuál es la mayor circunferencia? ¿Y la menor? Primero piensa sin mover el punto, después mueve el punto para comprobar tu conjetura. Uno de los equipos dejó un relato por escrito de sus progresos: Antes de mover: suponemos que el radio de la circunferencia aumenta y disminuye según la lejanía de C al punto B. Después de mover: nos percatamos de que, si llevamos C hasta la zona más lejana de B, la circunferencia será mucho más grande y «se la comerá». Posteriormente les pregunté por lo que querían decir y comprobé que se referían a que la mancha verde ocultará completamente a la circunferencia inicial. Después de dejar rastro: la circunferencia más grande se da cuando A está en el segmento

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que une B y C. A estos alumnos les faltó muy poco para completar el razonamiento y añadir que la circunferencia más pequeña se obtiene cuando C está sobre el segmento que une A con B.

Dos circunferencias 3 1. Dibuja una circunferencia con centro en A y

radio 3.

2. Coloca dos nuevos puntos B y C sobre la cir-

cunferencia anterior. Asegúrate de que están sobre la circunferencia. 3. Dibuja la circunferencia (Centro, radio) que tiene centro en B y pasa por C. Haz que sea de color morado.

Prever y predecir en geometría

Responde a las siguientes preguntas intentando hacer primero una predicción del resultado que obtendrás al realizar el movimiento que se pide: • ¿Qué ocurrirá con la segunda circunferencia verde cuando C gire alrededor de A sobre la circunferencia, y B quede fijo? El trabajo realizado con la corona circular hace que esta pregunta no sea complicada, aunque pocos llegan a predecir que «no tendrá agujero», es decir, que las circunferencias rellenarán un círculo completo. Ningún grupo llegó a plantear que el círculo tendría por radio el diámetro de la original. • ¿Ocurrirá igual si es B el que gira alrededor de A mientras C es el que permanece fijo? Esta última pregunta es muy difícil para alumnos de estas edades, aunque a veces algunos nos sorprenden. Uno de los grupos afirmaba que cuando C esté sobre B (en realidad lo expresan como «C pase por B»), la circunferencia será un punto, y cuando esté en el punto opuesto a B, será la más grande posible. El objetivo principal de esta última pregunta era captar el interés de los alumnos hacia las formas geométricas y la belleza que esconden con la cardioide que aparece escondida detrás de una sencilla construcción.

El trabajo con los alumnos no fue nada sencillo. Es muy difícil pedir a los alumnos que se detengan a pensar qué va a ocurrir en una situación determinada cuando saben que la solución está a un clic de distancia con su ratón, y más cuando un compañero en un ordenador cercano puede tener el diseño a la vista. Hay que dedicar mucho esfuerzo al trabajo previo con la clase para convencerlos de que se trata de respetar las reglas de juego. Se trata de un reto a sus capacidades que, si es aceptado como un desafío, provoca satisfacción tanto si se tenía razón (entusiasmo por haberlo conseguido) como si se estaba equivocado (aprendizaje al indagar sobre el origen del error). Lo importante es el proceso completo de prever la solución y convertir en palabras la forma en la que está pensando: predecir. Hemos diseñado unos materiales de enseñanza y los alumnos no siempre seguirán el camino que se esperaba de ellos. A veces se hacen preguntas distintas a las nuestras. En Rompiendo las cadenas de Euclides, Fielker pide al profesor de matemáticas que mantenga una actitud abierta para recoger esas iniciativas para que los estudiantes sean protagonistas de su aprendizaje. Es más, nos anima a que utilicemos deliberadamente

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enunciados poco precisos e incluso ambiguos que den oportunidades a los alumnos para salir de las pautas marcadas con una metodología que promueva la investigación en clase.

Ampliación: mediatriz y cónicas En la primera de las actividades propuestas, nos podemos preguntar qué ocurriría si, en lugar de colocar el punto medio de B y C, pedimos a GeoGebra que trace la mediatriz de esos puntos y que después deje el trazo de las mediatrices cuando B recorre la circunferencia. Obtendremos una mancha provocada por las rectas a su paso. Predecir la forma de esas manchas va a ser mucho más complicado, y nos encontramos ante un problema que se podrá plantear varios cursos después, en bachillerato. Realiza la siguiente construcción: 1. Dibuja una circunferencia con centro en A y radio 2. 2. Marca un punto B que quede situado sobre la circunferencia 3. Sitúa un punto C en el exterior de la circunferencia. 4. Traza la mediatriz de los puntos B y C. Utiliza el botón derecho/Propiedades para que la recta adquiera color rojo.

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Cuando hagas girar el punto B sobre la circunferencia alrededor de A, la recta mediatriz se moverá y, como ocurría con el punto o las circunferencias anteriores, ahora la recta dejará una región manchada con su rastro sobre la pantalla del ordenador. Intenta predecir qué formas aparecerán. Considera tres casos distintos: • El punto C es exterior a la circunferencia. • C está situado exactamente sobre la circunferencia • C es interior a la circunferencia. Un caso particular será cuando C coincida con A, el centro de la circunferencia. Aquí están algunos de los diseños con el punto exterior dependiendo de que esté más o menos cerca de la circunferencia. El contorno de la región sombreada será la envolvente de todas estas rectas (la curva tangente a todas ellas) y describirá una hipérbola más o menos cerrada dependiendo de la distancia de C a la circunferencia.

Prever y predecir en geometría

Para puntos en el interior, la curva envolvente será una elipse. Si C coincide con A se convierte en una circunferencia. Para un estudio de las cónicas como envolventes, los alumnos pueden visitar la página web de Manuel Sada o los materiales interactivos de 1º de bachillerato del proyecto Savia Digital de la editorial SM. Para terminar, si colocamos C sobre la circunferencia, la mancha ocupará toda la pantalla.

Referencias bibliográficas FIELKER, D. (1983): Removing the Shackles of Euclid (A.T.M. Readings in mathematical education). [Trad. al castellano: Rompiendo las cadenas de Euclides, Madrid, MEC, 1987] MORA, J.A. (2012): Geometría Interactiva en matemáticas [en línea]. <http://jmora7.com/>. N.C.T.M. (2000): Principios y Estándares para la Educación Matemática. Granada. Proyecto Sur. [Trad. S.A.E.M. Thales] PÉREZ, A. y otros (2015): Programa de actividades interactivas con GeoGebra [en línea]. Madrid. Editorial S.M. <www.smsaviadigital.com>. SADA, M. (2010): Ejemplos diversos de webs interactivas de matemáticas [en línea]. <http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/>.

Dirección de contacto José Antonio Mora IES Sant Blai. Alicante jmora7@gmail.com

Este artículo fue solicitado por Uno: Revista

didáctica

de las

MateMáticas en junio de 2015 y aceptado en octubre de 2015 para su publicación.

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

ACTUALIZACIÓN Y REFLEXIÓN

La probabilidad en educación primaria

De lo que debería enseñarse a lo que se enseña Ángel Alsina Universidad de Girona

Claudia Vásquez Pontificia Universidad Católica de Chile

En este artículo se revisan en primer lugar los conocimientos probabilísticos que deberían enseñarse en educación primaria a partir de las orientaciones curriculares del National Council of Teachers of Mathematics, y los currículos español y chileno; y en segundo lugar se analizan los conocimientos que se trabajan en dos colecciones de libros de texto, al ser considerados el recurso mayoritario para enseñar matemáticas. Se concluye que el trato que se da a la probabilidad en los libros PALABRAS CLAVE de texto no está siempre en concordancia con las • PROBABILIDAD • CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS directrices curriculares, por lo que se hace necesario • LIBRO DE TEXTO un replanteamiento riguroso para que los alumnos • EDUCACIÓN PRIMARIA aprendan lo que deberían aprender. 46

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • pp. 46-52 • enero 2016

La probabilidad en educación primaria

a probabilidad se ha incorporado en los currículos de educación primaria con el objeto de promover el aprendizaje de conocimientos que sirvan de base para la recogida, descripción e interpretación de datos, junto con la toma de decisiones en situaciones de incertidumbre. En este sentido, el National Council of Teachers of Mathematics incluyó Datos y Azar como área temática en Curriculum and Evaluation Standard for School Mathematics, reforzando esta iniciativa en Principles and Standards for School Mathematics, los cuales proponen que los alumnos deberían aprender conocimientos relacionados con el análisis de datos y la probabilidad a partir de los tres años. Esta tendencia se ha reflejado en los currículos de matemáticas de muchos países, como por ejemplo España y Chile, que incorporan el estudio de la probabilidad desde las primeras edades para proporcionar una experiencia estocástica a los alumnos. Desde un punto de vista histórico-epistemológico, coexisten diversos significados relevantes de la probabilidad en el contexto de la matemática escolar (imagen 1). Estos significados fundamentan la teoría de la probabilidad, y otorgan mode-

Imagen 1. Significados de la probabilidad en el contexto de la matemática escolar

los para fenómenos donde la falta de certeza en los resultados es notable. Batanero, Henry y Parzysz (2005) indican que, para una enseñanza idónea de la probabilidad, es fundamental adoptar una perspectiva de modelización en la que estos significados se complementen, lo que requiere profesorado con una base sólida de conocimientos didácticos y disciplinares. Sin embargo, muchos maestros de educación primaria no han recibido formación al respecto (Vásquez y Alsina, 2014), por lo que se apoyan en los libros de texto ya que permiten interpretar el currículo y seleccionar tareas matemáticas. Desde este prisma, se revisan las orientaciones curriculares sobre la probabilidad en educación primaria del NCTM (2000) y los currículos español (MECD, 2014) y chileno (MINEDUC, 2012) para luego analizar qué conocimientos sobre probabilidad se acaban enseñando, considerando a los libros de texto como principal recurso.

LOS DISTINTOS SIGNIFICADOS DE LA PROBABILIDAD Y SU PRESENCIA EN EL CURRÍCULO DE EDUCACIÓN PRIMARIA

En el contexto de la matemática escolar, coexisten distintos significados de la probabilidad: • Significado intuitivo: utiliza términos de uso común para referirse a la incertidumbre y expresar el grado de creencia en relación a sucesos inciertos. • Significado laplaciano: considera la probabilidad de un suceso como la proporción del número de casos favorables al número de casos posibles, siempre que todos los resultados sean igualmente probables.

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

ACTUALIZACIÓN Y REFLEXIÓN

En el contexto de la matemática escolar, coexisten distintos significados de la probabilidad

■

• Significado frecuencial: plantea la asignación de probabilidades de un suceso a partir de la frecuencia relativa observada en un gran número de repeticiones, permitiendo estimar la probabilidad del suceso. • Significado subjetivo: se fundamenta en la confianza que una persona deposita sobre la verdad de una determinada proposición, por lo que no está unívocamente determinada. La probabilidad depende del observador y de lo que éste conoce del suceso en estudio. • Significado axiomático: concibe la probabilidad como un tipo especial de medida, vinculándola con la teoría de la medida. Este enfoque establece axiomas a satisfacer y, por la rigurosidad matemática que conlleva, se desaconseja su estudio en educación primaria. Respecto a las orientaciones curriculares, el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) propone iniciar el estudio de la probabilidad desde educación infantil hasta bachillerato. En relación con la educación primaria, el desarrollo de los conocimientos de probabilidad pasa por diferentes fases: • Actividades informales, centradas en juicios que emiten los alumnos con base en sus propias experiencias empleando términos como «seguro», «probable» o «imposible». • Experimentos aleatorios con material concreto para comenzar a cuantificar la posibilidad de ocurrencia de un determinado suceso. • Cálculo de probabilidad de sucesos compues-

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

tos sencillos, dejando para la siguiente etapa el cálculo de probabilidad de sucesos dependientes e independientes, así como conceptos de mayor complejidad. En relación con el currículo español (MECD, 2014), el NCTM considera los siguientes contenidos: • Recogida y clasificación de datos cualitativos y cuantitativos. • Construcción de tablas de frecuencias absolutas y relativas. • Realización e interpretación de gráficos sencillos: diagramas de barras, poligonales y sectoriales. • Análisis crítico de las informaciones que se presentan mediante gráficos estadísticos. • Carácter aleatorio de algunas experiencias. • Iniciación intuitiva al cálculo de la probabilidad de un suceso. A grandes rasgos, los conocimientos probabilísticos en el currículo español mantienen un paralelismo con el currículo americano, y se refieren básicamente a los significados intuitivo, laplaciano y frecuencial de la probabilidad, con algunos matices vinculados al significado subjetivo. Respecto al currículo chileno (Mineduc, 2012), se recogen los siguientes objetivos de aprendizaje para el eje de datos y probabilidades: • Recolectar y registrar datos para responder preguntas estadísticas sobre él mismo y el entorno, usando bloques, tablas de conteo y pictogramas. • Recolectar y registrar datos para responder preguntas estadísticas sobre juegos con monedas y dados, usando bloques y tablas de conteo y pictogramas. • Registrar en tablas y gráficos de barra simple, resultados de juegos aleatorios con dados y monedas.

La probabilidad en educación primaria

• Registrar y ordenar datos obtenidos de juegos aleatorios con dados y monedas, encontrando el menor y el mayor, y estimando el punto medio entre ambos. • Realizar experimentos aleatorios lúdicos y cotidianos, y tabular y representar mediante gráficos de manera manual o con software educativo. • Describir la posibilidad de ocurrencia de un evento en base a un experimento aleatorio, empleando los términos «seguro», «posible», «poco posible», «imposible». • Comparar probabilidades de distintos eventos sin calcularlas. • Conjeturar acerca de la tendencia de resultados obtenidos en repeticiones de un mismo experimento con dados, monedas u otros, de manera manual o usando software educativo.

LA PROBABILIDAD EN LOS LIBROS DE TEXTO DE EDUCACIÓN PRIMARIA

Se han examinado dos colecciones de libros de texto, española y chilena respectivamente: la primera formada por 18 cuadernos (tres por nivel) concebidos como material de apoyo para mejorar y evaluar la competencia matemática (Alsina, 2015); y la segunda formada por seis libros (uno por nivel), que el Ministerio de Educación chileno distribuye gratuitamente para la asignatura de matemáticas (Rocamora y otros, 2013; Rodríguez y Carreño, 2013). Para evaluar ambas colecciones se han seguido algunos pasos de la metodología de Cobo (2003), como la selección de capítulos que abordan la probabilidad y la clasificación de definiciones, propiedades, representaciones y justificaciones prototípicas para determinar los elementos de significado con base en los objetos matemáticos de las orientaciones curriculares. En la colección española (imagen 2), la probabilidad se trata en todos los niveles (cuadro 1, pp. 50-51) y a partir de actividades competenciales contextualizadas.

Como puede apreciarse, se distinguen también tres fases: 1. Plantear distintos tipos de situaciones y preguntas, en un contexto familiar y de interés para los alumnos, que permita distinguir los datos que son pertinentes para responder. 2. Organizar y analizar datos a través de distintos registros que permitan realizar inferencias para responder a las situaciones y preguntas. 3. Adquirir nociones básicas de probabilidad para su aplicación en situaciones de la vida diaria y para su estudio con mayor profundidad en etapas posteriores. Así, pues, se aborda la probabilidad desde un punto de vista intuitivo y más bien ligado a una visión Imagen 2. Adquisición de lenguaje probabilístico (C4 A6) frecuentista.

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

ACTUALIZACIÓN Y REFLEXIÓN

Curso

Cuaderno (C)/ Actividad competencial (A)

1.º

C1 A6/A11

Organización de datos en una tabla. Diagrama de barras.

C2 A6/A11

Organización de datos en una tabla. Diagrama de barras. Hechos posibles e imposibles.

C3 A6/A11

Hechos seguros, probables e improbables.

C4 A6/A11

Juegos aleatorios con dados, monedas y fichas. Resolver problemas extrayendo datos de un gráfico.

C5 A6/A11

Recogida de datos, organización en tablas, representación e interpretación. Gráfico de barras. Hechos imposibles, probables y seguros.

C6 A6/A11

Recogida de datos, organización en tablas, representación e interpretación. Gráficos de barras dobles. Pictogramas.

C7 A6/A11

Recoger datos utilizando técnicas de recuento, ordenando los datos atendiendo a criterios de clasificación y expresando el resultado en forma de tabla o gráfico.

C8 A6/A11

Construir, leer e interpretar pictogramas y gráficos de barra simple con escala, de acuerdo a información recolectada o dada. Experimentos justos e injustos (igual y diferente probabilidad de sucesos).

C9 A6/A11

Representar datos usando diagramas de puntos. Gráficos lineales. Sucesos numéricos y no numéricos: imposibles, probables, seguros.

C10 A6/A11

Realizar encuestas, analizar los datos y comparar con los resultados de muestras aleatorias, usando tablas y gráficos. Recoger datos utilizando técnicas de recuento. Lectura de información explícita o implícita. Recoger datos utilizando técnicas de recuento.

C11 A6/A11

Gráficos de barras dobles/de dos características. Resolución de problemas en los cuales es necesario extraer información de tablas o gráficos.

C12 A6/A11

Introducción a la cuantificación de la probabilidad de un hecho.

C13 A6/A12

Análisis de las convenciones para la construcción de gráficos de barras.

C14 A6/A12

Introducción al cálculo de probabilidades.

C15 A6/A12

Gráficos lineales de dos características. Combinatoria.

2.º

3.º

4.º

5.º

Uno

Contenidos

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

Páginas 12-13 22-23

12-13 24-25

La probabilidad en educación primaria

Curso

Cuaderno (C)/ Actividad competencial (A)

6.º

C16 A6/A12

Lectura de datos para responder preguntas. Tablas y gráficos: lineales de tres características; de tallo y hojas.

C17 A6/A12

Variables estadísticas: frecuencia relativa y absoluta, desviación y mediana. Cálculo de probabilidades. Introducción (implícita) a la regla de Laplace. Error aleatorio.

C18 A6/A12

Contenidos

Páginas

Gráfico de sectores. Variables estadísticas: frecuencia absoluta y relativa, media y moda. Razonamiento estadístico.

Cuadro 1. Presencia de la probabilidad en los libros de texto españoles

Respecto a la colección chilena (imagen 3), en algunos libros los contenidos se presentan de forma explícita en unidades y lecciones completas (2.º, 4.º y 5.º). En cambio, en otros, se presenta de manera implícita, como en el texto de 3.º, que aborda la probabilidad a través de problemas vinculados a otras unidades. Cabe señalar que los libros de texto de 1.º y 6.º no presentan contenidos de probabilidad, en disonancia con el currículo (cuadro 2, en la página siguiente).

el uso de un lenguaje probabilístico que permita alcanzar un aprendizaje en profundidad. Por ello, es necesario que los libros presenten situaciones-problema adecuadas para el desarrollo del pensamiento probabilístico, que permitan a los alumnos adquirir los conceptos y propiedades claves asociadas a un estudio integral de la probabilidad sin dejar de lado sus significados, aspecto que se da de forma desigual en las dos colecciones analizadas.

Una vez analizada la presencia de la probabilidad, se realizó un análisis de los distintos objetos matemáticos presentes en los libros, del cual se infiere que la probabilidad es abordada principalmente desde un enfoque intuitivo, para luego incluir de manera progresiva los significados frecuencial y laplaciano, identificándose, en algunos casos, un leve acercamiento a la interpretación subjetiva de la probabilidad.

En síntesis, pues, aún sin haber analizado otras colecciones de libros de texto, puede concluirse que, en términos generales, el trato que dan a la probabilidad no está siempre en absoluta concordancia con las directrices curriculares. Por tanto, es necesario un replanteamiento riguroso sobre el

CONCLUSIONES

La enseñanza de la probabilidad en los libros de texto es abordada desde una perspectiva más bien intuitiva, fundamentada en el uso de lenguaje coloquial. Este enfoque favorece el desarrollo del pensamiento probabilístico, sobre todo en las primeras edades, pero progresivamente debería avanzar hacia

Imagen 3. Definición asociada al concepto de sucesos seguro, probable e imposible (2.º)

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

ACTUALIZACIÓN Y REFLEXIÓN

Curso

La probabilidad en educación primaria

Unidad

Páginas

Lecciones

1.º

No presenta contenidos.

2.º

U10: Gráficos y probabilidad.

L10.6: eventos probables y poco probables. L10.7: Seguro, probable e imposible.

236-243

3.º

U7: Medición. U8: Fracciones. U9: Datos y gráficas.

L7.1: Hora, media hora y cuarto de hora. L8.6: Hacer una tabla y buscar patrón. L9.8: Usar tablas y gráficos para sacar conclusiones.

172-173 204-205 226-227

4.º

U11: Gráficos y probabilidad.

L11.6: Resultados y experimentos.

256-275

5.º

U15: Probabilidad.

L1: Resultados posibles. L3: Hacer predicciones. L4: Probabilidad como fracción. L5: Probabilidad experimental.

364-388

6.º

No presenta contenidos.

Cuadro 2. Presencia de la probabilidad en los libros de texto chilenos

trato de los contenidos matemáticos en general, y los de probabilidad en particular, para que los alumnos aprendan lo que deberían aprender, sobre todo considerando que el libro de texto sigue siendo el recurso mayoritario para enseñar matemáticas en educación primaria. ◀

Boletín Oficial del Estado, núm. 52, pp. 19349-19420. ROCAMORA, P.; RIQUELME, M.; AINARDI, V.; LDUNATE, V.; FALCONI, P.; CHALA, J. (2013): Matemática 5.º y 6.º básico. Santiago de Chile. Galileo. RODRÍGUEZ, M.; CARREÑO, X. (2013): Matemática 1.º, 2.º, 3.º y 4.º básico. Santiago de Chile. Pearson Educación de Chile.

Referencias bibliográficas ALSINA, Á. (2015): Matepractic. Desarrolla y evalúa tu competencia matemática. Barcelona. Casals. BATANERO, C.; HENRY, M.; PARZYSZ, B. (2005): «The

VÁSQUEZ, C.; ALSINA, Á. (2014): «Enseñanza de la probabilidad en Educación Primaria. Un desafío para la formación inicial y continua del profesorado». Números, núm. 85, pp. 5-23.

nature of chance and probability», en JONES, G.: Exploring probability in school: Challenges for teaching and learning. Nueva York. Springer, pp. 15-37.

Dirección de contacto Ángel Alsina

COBO, B. (2003): Significado de las medidas de posición

Universidad de Girona

central para los estudiantes de secundaria. Tesis doc-

angel.alsina@udg.edu

toral. Granada. Universidad de Granada.

Claudia Vásquez

MINISTERIO DE EDUCACIÓN (2012): Bases Curriculares 2012: Educación Básica Matemática. Santiago de

Pontificia Universidad Católica de Chile cavasque@uc.cl

Chile. Unidad de Currículum y Evaluación. «Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el que se establece el currículo básico de la Educación Primaria».

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

Este artículo fue recibido en Uno: Revista de didáctica de las MateMáticas en marzo de 2015 y aceptado en octubre de 2015 para su publicación.

INTERCAMBIO

¿Qué hacer antes de llevar un problema al aula? Laura Morera Universidad Autónoma de Barcelona

Blanca Souto Universidad Complutense de Madrid

Pedro Arteaga Universidad de Granada

En este artículo presentamos algunas reflexiones en torno a cómo trabajar con problemas matemáticos antes de llevarlos al aula. Las formas de trabajo y, en particular, la herramienta de árboles completos de problemas pueden ser útiles y se pueden aplicar en muchas situaciones diferentes. Se analizan dos ejemplos PALABRAS CLAVE de problemas con características diversas y • RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS planteadas a diferentes niveles educativos con el • ÁRBOLES COMPLETOS DE PROBLEMAS • TRANSFORMACIONES EN EL PLANO objetivo de que este análisis sirva a profesores de • DESIGUALDADES ALGEBRAICAS matemáticas en la preparación de sus clases. Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • pp. 53-60 • enero 2016

INTERCAMBIO

INTRODUCCIÓN: UNA DISCUSIÓN SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Este trabajo lo introducimos con una conversación entre nosotros sobre cómo llevar los problemas al aula: —He encontrado un problema que me gustaría hacer con mis alumnos pero no sé muy bien cómo planteárselo. —Dependerá de cuál sea tu objetivo para proponerlo. —A mí lo que me gustaría es que aprendan las matemáticas que hay detrás, no que lo resuelvan mecánicamente. Que lo descubran ellos, no que les dé yo la solución. Que vean distintas formas de resolverlo, que se hagan preguntas sobre la generalización de esa solución, que reflexionen sobre qué pasos han sido importantes para llegar a la conclusión. —Uy, qué de cosas. Yo creo que lo primero es conocer bien ese problema. —Yo lo he resuelto a mi manera, pero igual se lo podría pasar a más gente. ¿Por qué no intentáis resolverlo ahora? —Va, sí, y así entre los tres construimos el árbol completo del problema. —¿Y eso qué es? —Es una herramienta muy útil para trabajar problemas en clase, que incluye tanto las posibles respues-

Uno

tas de los alumnos como una guía de actuaciones para el profesor. También puede servir, si el problema se trabaja en casa, para gestionar la puesta en común o incluso para la corrección. ¿Os enseño un ejemplo? —¿Y se puede construir para cualquier problema? —Por lo que yo he entendido, debería poderse hacer; si no, querría decir que estamos tratando con un problema trivial que todos los alumnos saben resolver. —¿Lo intentamos con diferentes tipos de problemas?

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

Trabajar la resolución de problemas en clase suele ser un reto complicado, sobre todo si se pretende conseguir que los alumnos desarrollen el pensamiento matemático llegando al máximo de sus posibilidades. El planteamiento inicial de este trabajo fue encon-

■

Los árboles de problemas son diagramas de árbol con todas las posibles rutas que pueden seguir los alumnos para intentar resolver el problema

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

trar alguna herramienta metodológica, los árboles de problemas, que organizara el trabajo del profesor previo a realizar antes de llevar un problema al aula, y que englobara no solo su resolución matemática sino también las decisiones relativas a su gestión. Los árboles completos de problema (Morera, 2010) están inspirados en el trabajo de Cobo y Fortuny (2005) donde se define el espacio básico de un problema y su espacio básico de acción tutorial humana. Son diagramas de árbol con todas las posibles rutas que pueden seguir los alumnos para intentar resolver el problema. Por lo tanto, se tienen en cuenta todos los posibles caminos de resolución: los que conducen a la solución y los que no. Además, aparecen posibles mensajes que el profesor puede utilizar para hacer avanzar a los alumnos. Cabe destacar que los árboles de los problemas son creados por resolutores expertos, pero luego siguen un proceso de refinamiento para mejorarlos. Confiamos en que esta es una herramienta útil para la comunidad de profesores de matemáticas. Para ilustrar cómo sería el trabajo con ellos, hemos escogido dos problemas concretos de características diversas. Así, mostramos la viabilidad para trabajar con los árboles en distintos tipos de contextos.

¿Qué hacer antes de llevar un problema al aula?

Presentamos de forma esquemática el mismo método de trabajo en los dos problemas: análisis sobre

el planteamiento del problema y la forma del enunciado, discusión sobre el árbol de problema

asociado, resultados de la experimentación en clase y posibles modificaciones.

Problema 1 Está pensado para trabajar con alumnos de 3.º de ESO en el tema de transformaciones en el plano. Este problema se puede encontrar en Morera, Fortuny y Planas (2012) y en GeoGebraTube.1 Imaginad que nos contratan en una fábrica para ayudar a resolver un problema:

Tenían una máquina que nos giraba las piezas de un sitio a otro, como se muestra en la animación anterior, pero la llevaron a arreglar y, ahora que ya funciona perfectamente, no saben dónde tienen que colocarla para que siga transportando las piezas como lo hacía antes. Ayudad a los técnicos a colocar la máquina de giro en su sitio. Escribid argumentos para convencer a los técnicos de vuestra solución. Tenéis la ventana del GeoGebra para ayudaros a resolver la situación.

Con este problema se plantea como objetivo motivar a los alumnos a trabajar de forma dinámica y a avanzar en su capacidad argu-

mentativa y de generalización. El enunciado combina el lenguaje natural y gráfico. Lo planteamos de forma abierta con la inten-

Uno

ción de que los alumnos puedan explotar el problema estudiando diversos casos particulares y de forma dinámica.

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

INTERCAMBIO

Con este problema se plantea como objetivo motivar a los alumnos a trabajar de forma dinámica y a avanzar en su capacidad argumentativa y de generalización

■

En la web de Graó se puede descargar del el árbol el árbol completo Consulta a 1 en problem o.com .gra o n del problema, que /u :/ p Htt tiene por objetivo formalizar las propiedades de un giro y, concretamente, encontrar su centro dadas las figuras homólogas. Tratamos el posible bloqueo inicial de los alumnos, proponiéndoles pensar en una simplificación del problema, que sería reducirlo a querer girar solo un punto. Dentro de la ruta en la que sí encuentren el centro de giro, consideramos las diferentes tipologías de la resolución de problemas con software de geometría dinámica, impulsando a los que lo han resuelto mediante dibujos a realizar construcciones generales en forma de figuras,2 para acercarlos al paso cualitativo de considerar diferentes casos particulares en que la conjetura inicial puede fallar. Primero, hay que motivar a los estudiantes a que se fijen en la doble 56

Uno

solución del problema por el hecho de que los segmentos iniciales no están orientados en el enunciado y, seguidamente, a plantearse si la conjetura de que el centro de giro esté donde se corten las mediatrices funcionará para todas las posiciones de los segmentos. Planteándoles el caso de que existe la posibilidad de no encontrar un punto de corte entre las mediatrices, motivamos a dar el paso a la generalización: esto es, primero preguntarse qué posición deben tener los segmentos homólogos para que las mediatrices estén en las diferentes posiciones relativas posibles, y, después, cómo podemos aplicar la conjetura en cada uno de los casos. Una vez realizado dicho árbol se llevó al aula, y la metodología de

Conjetura inicial de los alumnos donde suponen que se puede poner el centro de giro en cualquier punto de los que se «cortan» las mediatrices.

implementación consistió en el trabajo por parejas con acceso al software de geometría dinámica. Mientras, el profesor atiende a la diversidad de la clase siguiendo las indicaciones especificadas en el árbol. Posteriormente, contemplamos una puesta en común orquestada por el profesor con el objetivo de llegar entre todos a las consideraciones de ampliación del problema. Después de la experiencia de clase, hemos observado que uno de los puntos críticos del problema es el de tener que añadir a la conjetura la condición de que los ángulos de giro deben ser iguales, que se descubre al plantearse qué sucede si las mediatrices son coincidentes (cuadro 1).

Incorporación a la conjetura de la necesidad de la igualdad de ángulos de giro, llegando a la necesidad de prolongar los segmentos.

Cuadro 1. Consideración de mediatrices coincidentes

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

¿Qué hacer antes de llevar un problema al aula?

Problema 2 Ahora pasamos a analizar un problema cuyo enunciado se muestra tal y como aparece en el libro de Guzmán (1996). Lo hemos planteado para nivel universitario, pensando en una asignatura de cálculo en varias variables. La metodología de aula prevista es trabajo individual complementado con una puesta en común final, en la que se incitará a la reflexión crítica sobre diferentes puntos de vista. Demuestra que para todo

se verifica que

Este problema está planteado en un contexto matemático abstracto. Es del tipo «demuestra que…», por lo que más que buscar que los alumnos formulen conjeturas o se convenzan sobre la veracidad del enunciado, lo que se pide es buscarle una argumentación matemática. Se trata de un problema no rutinario porque no funcionan los métodos habituales de resolución de este tipo de problemas (desigualdad algebraica, demostración por inducción para todo ). Una solución razonable implica un cambio de punto de vista que involucra a la función f(x) = xn y a la interpretación de la semisuma de dos valores reales como su valor medio. La desigualdad entonces se convierte en la comparación de dos valores: la imagen por f del punto medio de x e y, con el valor medio de las imágenes, f(x) y f(y) (cuadro 2). Sin embargo, el problema está planteado en un registro algebraico. Por lo tanto, para llegar a la solución discutida es aconsejable hacer una conversión del registro algebraico al gráfico, lo que en general es difícil para los estudiantes (Souto, 2009). Así, uno de los objetivos para plantear este problema puede ser desarrollar la flexibilidad de pensamiento y provocar una reflexión sobre su importancia. Este objetivo se refleja en el árbol del problema en el juego realizado entre los modos de pensamiento visual y algebraico. Cuadro 2. Representación gráfica del problema 2 Interesa que, independientemente del modo natural del de pensamiento del alumno, este pase por los dos modos de pensamiento. Este árbol que el árbol Consulta a 2 en m le prob m o se presenta está en una fase inicial, a falta de refinarlo con la experimentación en el aula. o.c /uno.gra Http:/

Como en el caso anterior, empezamos considerando un posible bloqueo de los estudiantes del que los invitamos a salir probando casos más concretos que les permitan familiarizarse con la situación del problema. Así, esperamos que avancen hacia alguna de las otras ramas; por ejemplo, a resolver casos particulares algebraicamente (para n = 1 y n = 2 se prueba bien)

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

INTERCAMBIO

o a intentar razonamientos generales, como inducción, y trabajar analíticamente con la función H, camino que en casos parecidos podría llevar a una demostración, pero no aquí. Llegado este punto, la misión del profesor es motivarle para que piense en otras estrategias menos comunes y, si fuera necesario, incluso sugerirle representar gráficamente.

Cuadro 3. Representaciones gráficas de funciones en dos variables en el primer cuadrante

Se puede observar que la gráfica de

Se puede observar que la función es positiva.

siempre

Si el estudiante escoge el camino de representar gráficamente las funciones F y G o H (cuadro 3), se está trabajando a un nivel concreto que contribuye a generar una intuición del problema, e incluso a convencerse de la veracidad del resultado, pero que no lleva a la demostración general pedida. Por tanto, el profesor debe incentivar a que se trabaje en el caso general. Para el razonamiento algebraico, aconsejamos preguntar directamente al alumno. Para el razonamiento gráfico, interesa que continúe en ese registro, pero cambiando el punto de vista. Por lo tanto, preguntamos qué otra función involucrada podría representar y, si es necesario, podemos ayudarle sugiriendo que piense en f(x)=xn. Finalmente, para los estudiantes que lleguen a este punto, podrían plantearse preguntas de ampliación que llevasen a generalizar el resultado, e incluso a enunciar la desigualdad de Jensen (Guzmán, 1996); por ejemplo: ¿podrías escribir una expresión similar? ¿Es el punto medio del intervalo [x,y] el único en el que la desigualdad es cierta o hay más?

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

¿Qué hacer antes de llevar un problema al aula?

Contexto: nivel, parte del temario

Problema

Metodología de aula

Objetivo

Conjeturar, abstraer, 3.º ESO argumentar, generalizar, Transformaciones en el plano. Cuadro 1. Registro de las emocionessentimientos y su vivencia corporal tratamiento de representaciones.

Universidad. Análisis, desigualdades.

Demostrar, cambiar punto de vista, visualizar.

Trabajo en parejas con GeoGebra + puesta en común.

Trabajo individual + puesta en común.

Cuadro 4. Tabla esquemática de las características de los problemas

PARA CONCLUIR

Hemos querido mostrar una forma de trabajar los problemas antes de llevarlos al aula. Esta forma de trabajo incluye el uso de los árboles completos de los problemas, que nos parece muy útil e interesante, ya que incluye todas las posibles rutas de resolución que pueden seguir los estudiantes, así como posibles indicaciones del profesor para ayudar a avanzar al estudiante por sus ramas.

variedad de problemas, independientemente del nivel educativo, el tema matemático, el objetivo que se persiga o la metodología de aula (cuadro 4). Entendemos que este método de trabajo requiere una dedica-

ción minuciosa, pero animamos a hacer el esfuerzo de conocer a fondo algún problema de cada unidad didáctica. Para facilitar esta tarea a otros compañeros, damos, para terminar, unas indicaciones del guión de trabajo que nosotros hemos seguido (cuadro

Resolutor experto: • Uno mismo • Colegas

Nuestra experiencia nos ha demostrado que es válida para una

■

Los árboles completos de los problemas son aplicables a todos los niveles, temas objetivos y metodologías de aula

Reflexión

Pensar posibles modificaciones enunciado

Experimentación en el aula con alumnos

Propuesta árbol problema

Cuadro 5. Pasos en la elaboración del árbol del problema

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

INTERCAMBIO

5). Así también resultará más fácil poder compartir los esfuerzos realizados en algún tipo de plataforma, objetivo que nos gustaría alcanzar en el futuro: • Plantearse el objetivo y el nivel al cual se quiere trabajar. • Elegir un problema que pueda satisfacer los objetivos. • Resolverlo desde el punto de vista de un resolutor experto (pensando en todas las formas posibles). • Definir la metodología de trabajo en el aula (individual, en pareja, grupo, examen, para casa, con puesta en común). • Hacer el árbol completo del problema. • Refinar el árbol realizado mostrándolo a colegas del ámbito. • Revisar la manera concreta de plantear el enunciado e introducir modificaciones en el enunciado si es necesario. • Experimentarlo en el aula • Reflexionar sobre la experimentación y hacer una segunda fase de refinamiento. • Repetir el punto anterior hasta estar satisfecho con el árbol completo del problema. ◀

objetos, mientras que en la figura

primer curso de Matemáticas.

sí la hay. De este modo, cuando los

Trabajo de máster. Madrid.

objetos independientes de la figura

Universidad Complutense de

se manipulan, los objetos depen-

Madrid.

dientes permanecen relacionados mediante las propiedades de la construcción.

Dirección de contacto Laura Morera Universidad Autónoma de Barcelona

Referencias bibliográficas

laura.morera@uab.cat

COBO, P.; FORTUNY, J.M. (2005): «El sistema tutorial AgentGeom y su contribución a la mejora de las competencias de los alumnos en la resolución de problemas de matemáticas», en MAZ, A.; GÓMEZ, B.; TORRALBO, M. (eds.): Actas del 9º Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, pp. 55-70. GUZMÁN, M. de (1996): El rincón de la pizarra. Ensayos de visualización en análisis matemático. Madrid. Pirámide. MORERA, L. (2010): Momentos clave en el aprendizaje matemático en un contexto de trabajo de las isometrías usando un entorno tecnológico. Trabajo de máster. Barcelona. Universitat Autònoma de Barcelona. MORERA, L.; FORTUNY, J.M.; PLANAS, N. (2012): «Momentos clave en el aprendizaje de isometrías en un

Notas 1. https://tube.geogebra.org/material/ show/id/1361933 2. Consideramos dibujo a aquella

entorno colaborativo y tecnológico». Enseñanza de las ciencias, vol. 30(1), pp. 143-154 SOUTO, B. (2009): Visualización

Este artículo fue recibido en Uno: Revista

representación gráfica en la que

en matemáticas. Un estudio

didáctica

no hay dependencia entre los

exploratorio con estudiantes del

aceptado en junio de 2015 para su publicación.

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

de las

MateMáticas en mayo de 2015 y

INTERCAMBIO

Aromates

Una experiencia lúdico-matemática entre la escuela primaria y el instituto Jordi Coll Instituto Ridaura. Castell-Platja d’Aro. Girona

Presentamos la primera edición de Aromates, una experiencia matemática realizada el pasado 20 de abril de 2015 y llevada a cabo por alumnos que están cursando sexto curso de primaria junto con los alumnos que están en primero de la ESO de la zona de excelencia educativa de la Vall d’Aro (Comarca del Baix Empordà, Girona). Los alumnos participan, por grupos PALABRAS CLAVE • MATEMÁTICAS heterogéneos y de manera cooperativa, en una prueba • ACTIVIDADES LÚDICAS matinal de matemática al aire libre que trascurre por los • APRENDIZAJE COOPERATIVO alrededores de la localidad donde está ubicado el instituto. Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • pp. 61-66 • enero 2016

INTERCAMBIO

sta experiencia consiste en utilizar las matemáticas como instrumento pedagógico para potenciar la conexión escuela-instituto, y también para fortalecer las sinergias positivas entre los dos niveles de educación, tanto a nivel de alumnos como de profesorado. De la misma forma, sirve para contribuir a que los alumnos de primaria conozcan el instituto y a sus futuros compañeros, muchos de los cuales ya han compartido escuela y en breve volverán a compartir centro, pudiendo pasar estos últimos a ser los potenciales futuros guías para los alumnos de sexto curso, futuros nuevos estudiantes del instituto. La actividad está dinamizada por el profesorado de matemáticas del instituto y cuenta con la colaboración, la implicación

y toda la ayuda necesaria del profesorado de los centros de primaria.

del equipo de trabajo, las probabilidades de éxito aumentan exponencialmente.

Cada grupo cuenta también con un alumno de bachillerato que actúa como orientador.

Si compartimos recursos y buenas practicas, o si contribuimos a fomentar el buen clima escolar, o si facilitamos la transición entre diferentes niveles educativos, o si fomentamos la eficiencia educativa, ¡todos ganamos!

¿POR QUÉ HEMOS CREADO EL AROMATES?

Una estrategia de marketing muy conocida es la de Win-Win («todos ganan»). Cierto, no es nada nuevo pero, como dice P. Kotler, «lo bueno funciona». Este es el principio que persigue la experiencia que presentamos y a la que hemos llamado Aromates (debe su nombre al juego de palabras Vall d’Aro y matemáticas). Si a ello le añadimos como ingredientes las ventajas del trabajo docente en red y la buena sintonía

Por otra parte, inquieta y preocupa el tema de las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas (DAM). Es por todos conocida la dificultad en aprender matemáticas que tienen muchas personas, ya sea por dificultades de abstracción, cognitivas o del tipo que sea, provocadas por la propia naturaleza matemática, por circunstancias tales como el profesorado, metodología u organización, o todas aquellas producidas por dificultades del propio alumno. Realmente, hay un amplio abanico de dificultades; desde los trastornos como la discalculia, pasando por dificultades de comprensión lectora a la hora de resolver problemas, hasta llegar a la ansiedad hacia las matemáticas que tienen muchos estudiantes. Todo ello les obstaculiza en el camino de su aprendizaje, ocasionando lagunas en etapas tempranas y conduciéndolos a una disminución de la autoconfianza en la capacidad de resolución mate-

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

Aromates

mática e, incluso, a tirar la toalla y abandonar las matemáticas. Si a lo dicho anteriormente le añadimos la necesidad imperiosa de conseguir una buena reputación de esta ciencia en la sociedad, así como la necesidad de crear una actitud positiva hacia la matemática, de desmitificar las matemáticas de ciertos tabúes, de mostrar que las matemáticas están por todos lados, de que siempre que sea posible hay que llevarlas a la práctica y, sobre todo, como dice el profesor A. Aubanell, de «enamorarse de las matemáticas», ya tenemos la suma de factores que nos han conducido a esta, para nosotros, innovadora experiencia educativa.

¿QUÉ PRETENDEMOS CONSEGUIR CON AROMATES?

Consideramos un cambio de etapa como una oportunidad de aprendizaje y crecimiento. La capacidad de adaptación del alumno también es un valor educativo, de ahí que sea importante afrontar las transiciones o cambios de etapa desde una perspectiva positiva y constructiva. Dentro del programa de excelencia educativa al cual pertenecen los centros participantes, Aromates ha sido concebido con un triple desafío:

Pretende despertar de manera lúdica pero con rigor el gusto por las matemáticas

■

• En primer lugar, contribuir a suavizar la transición del cambio de etapa. Es una herramienta para la mejora educativa en la etapa de transición de la educación primaria a la secundaria. • Seguidamente, contribuir a la adquisición de capacidades y competencias así como a fomentar múltiples valores educacionales transversales necesarios para el correcto crecimiento intelectual del alumnado. • En tercer lugar, por supuesto, pretende despertar de manera lúdica pero con rigor el gusto por las matemáticas. Paralelamente a esto, es muy significativo destacar lo mucho que puede llegar a mejorar la relación entre el profesorado de primaria y el de secundaria con una actividad como esta. Acciones así contribuyen positivamente a intensificar la colaboración y la coordinación entre ambos colectivos, así como a mejorar la continuidad curricular del alumnado.

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LA TRANSICIÓN DE PRIMARIA A SECUNDARIA

La transición entre estas dos etapas educativas supone para muchos estudiantes un cambio significativo en su vida, dado que se encuentran inmersos en procesos de cambio y adaptación, tanto en relación con el sistema educativo como por el hecho vital de su entrada a la etapa de la adolescencia. Tampoco hay que dejar de lado el hecho de que tendrán que adaptarse a un nuevo entorno social, un nuevo contexto educativo y un nuevo rol como estudiantes. ¡Pasarán a ser los pequeños de la casa! Así pues, por un lado, a los alumnos de sexto curso de primaria se les brinda la oportunidad de familiarizarse con el instituto, de reducir algún que otro miedo y de conocer cómo les va a algunos de sus antiguos compañeros de escuela y futuros compañeros de centro. Por otro lado, a los alumnos participantes de primero de ESO (que no dejan de ser actualmente los pequeños de la casa en el instituto), se les brinda la posibilidad de volver a ser los mayores por un día, de ejercer el papel de estudiantes guía, y de simpatizar y sentirse útiles ayudando a los demás.

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

INTERCAMBIO

¿EN QUÉ CONSISTE Y DONDE TRANSCURRE EL AROMATES?

Aromates es una yincana matemática internivel realizada en un grupo de cinco o seis alumnos mezclados de todos los centros educativos participantes y con un alumno de bachillerato como dinamizador de grupo. Una prueba donde los participantes por grupo tienen que pasar una serie de pruebas antes de llegar a la meta. Durante el transcurso de la prueba, hicieron acto de presencia las respectivas direcciones de cada uno de los centros educativos, quedando positivamente sorprendidos del alto grado de aceptación y motivación de los más de 150 participantes repartidos en unos 26 grupos. Han valorado de manera unánime el Aromates como una actividad muy reco-

mendable para fomentar la conexión, la futura convivencia y el traspaso en general de la educación primaria a la secundaria, adquiriendo el compromiso de seguir contribuyendo a la realización de nuevas ediciones. En cada grupo ha habido representación de alumnos del centro de educación primaria Els Estanys de Platja d’Aro, de L’Escola Pedralta de Santa Cristina d’Aro, de L’Escola Vall d’Aro y del Instituto de Secundaria Ridaura de Castell d’Aro.

EL PAPEL DEL DINAMIZADOR DE GRUPO

Cada uno de los grupos ha contado con un dinamizador-orientador. Esta persona es nada más y nada menos que un estudiante de primero de bachillerato. Un

Cada uno de los grupos ha contado con un dinamizadororientador, que es un estudiante de primero de bachillerato

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estudiante que también tiene el rol de pequeño de la casa, por lo que al bachillerato respecta, claro está. Con ello, logramos un nuevo objetivo que no es otro que el de dotar de responsabilidad a los estudiantes que recientemente han terminado su etapa de la ESO y empiezan los estudios postobligatorios. Cada uno de los grupos ha contado con un dinamizador-orientador, que es un estudiante de primero de bachillerato Dado que los grupos de yincana están compuestos por alumnos que apenas se conocen entre ellos y que han sido agrupados al azar (excepto aquellos que presentan necesidades educativas especiales, los cuales se han ubicado cuidadosamente), es aquí donde juega un papel importante el alumno de primero de bachillerato que los acompaña. A él le corresponde la función de orientar, dinamizar y contribuir a la participación activa de todos los miembros del grupo.

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

Aromates

Previamente a la jornada, se les ha realizado una sesión de tutoría explicando el Aromates y dando algunos consejos prácticos sobre cómo orientar y dinamizar grupos de trabajo. Es relevante destacar lo bien que lo han hecho todos, la motivación, la madurez y la empatía con la que han participado. Realmente les ha supuesto una experiencia personal muy positiva y una inyección enorme de responsabilidad.

¿CÓMO SE HAN DESARROLLADO LAS PRUEBAS DURANTE LA YINCANA?

La yincana ha transcurrido en un contexto real, exento de tráfico, situado a cinco minutos a pie por los alrededores de la localidad donde está ubicado el instituto. Este entorno contiene suficientes elementos y espacios donde aplicar las matemáticas.

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La yincana ha transcurrido en un contexto cercano y real con elementos y espacios donde aplicar las matemáticas

La yincana ha transcurrido en un contexto cercano y real con elementos y espacios donde aplicar las matemáticas. La yincana ha contado con la colaboración de Protección Civil y la Policía local, que ha facilitado el control y el acceso por la vía pública en algunos puntos de especial interés. Es importante destacar que los profesores acompañantes solo tenían la función de observadores de la prueba, sin posibilidad de ayuda o supervisión de sus respectivos alumnos. Una vez concentrados en el patio, se los ha ubicado en grupos previamente confeccionados con la premisa de que en cada grupo hubiera representación de cada uno de los cuatro centros participantes. Los alumnos orientadores han ayudado en esta tarea. A continuación, se les ha explicado conjuntamente en qué consistiría la prueba y cómo se iba a desarrollar. Se ha facilitado a cada grupo el material necesario: dossier de la prueba con el cuadro de resultados a completar, mapa de localización, cinta métrica de papel y bolígrafo. Los alumnos han completado toda una serie de pruebas lúdicomatemáticas al aire libre, muchas

Uno

de las cuales se tenían que localizar mediante pistas, durante un período de tiempo no superior a las dos horas, con inicio y final en el patio del instituto para un mejor control de la prueba y contribuyendo a que los futuros alumnos conocieran mejor las instalaciones del instituto. Por lo que respeta a la yincana, los alumnos han tenido que geolocalizar las pruebas mediante un plano. Una vez halladas, han tenido que tomar determinadas medidas con cinta métrica, aplicar conocimientos matemáticos básicos teóricamente ya aprendidos (cálculo y álgebra básicos, geometría elemental…), realizar cálculos con la ayuda de una calculadora o del móvil, aplicar la lógica y el ingenio para resolver problemas y enigmas… y anotarlo todo en el cuaderno de respuestas que se

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

INTERCAMBIO

Un aspecto básico de Aromates es que no pretende ser una competición entre grupos: el carácter lúdico prevalece

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les ha facilitado, para entregarlo al finalizar la prueba para su posterior revisión. Un aspecto básico de Aromates es que no pretende ser una competición entre grupos: en absoluto, es lo último que debería ser. El carácter lúdico prevalece. Así lo entendemos todos los profesores que hemos trabajado en su realización. Más bien se ha pretendido trabajar valores como la cooperación entre alumnos, el trabajo en equipo como clave del éxito, el conocimiento entre alumnos de diferentes centros educativos, el fomento del buen clima escolar como clave para facilitar la convivencia y la reducción de conflictos y, por supuesto, la forma de encontrar y aplicar matemáticas en la vida real, sin olvidar nunca la diversión a través de las matemáticas. El conjunto de 10 pruebas lógico-matemáticas que han debido superar ha sido preparado por el mismo profesorado. Se trata

Uno

de pruebas adecuadas a la edad y siempre utilizando el máximo posible de recursos reales, con la intención de que cada miembro del grupo participe activamente en la consecución del resultado. El contenido de la prueba se puede consultar en la web del instituto Ridaura (http://agora.xtec. cat/iesridaura/intranet/).

COMENTARIOS, VALORACIONES Y REFLEXIONES FINALES

Una vez finalizada la experiencia y pasados unos días, la idea del grupo impulsor es comentar y valorar los resultados con los profesores y con cada uno de los grupos clase participantes. Con ello, se recogen comentarios, valoraciones, nuevas ideas e impresiones de primera mano, muy útiles para mejorar en futuras ediciones. Un nuevo aspecto a reflexionar que ha surgido de estas interesantes conversaciones a nivel docente es la posibilidad de analizar la repercusión, tanto cualitativa como cuantitativa, que pueden tener estas experiencias en los alumnos en sus posteriores resultados académicos. Para ello, es interesante conocer la situación y evolución personal del alumno antes y después de este punto trascendental de cambio y transición educativa.

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

La valoración final, por parte de alumnos y profesores, es que se trata de una experiencia muy positiva y motivadora. Los alumnos comentan haberse divertido aprendiendo y usando las matemáticas en un contexto real, mientras que los profesores coinciden en ello e insisten en la necesidad de repetir en un futuro esta experiencia. Coinciden en que el desafío ha valido la pena y se han conseguido los objetivos propuestos. Aun así, como todo aquello que se realiza por primera vez, sin duda siempre hay algún aspecto a mejorar y nuevos retos que perseguir. ◀

Dirección de contacto Jordi Coll Campos Instituto Ridaura. Castell-Platja d’Aro (Girona) Jcoll228@xtec.cat

Este artículo fue recibido en Uno: Revista Didáctica

de las

Matemáticas en mayo de 2015

y aceptado en noviembre de 2015 para su publicación.

INTERCAMBIO

Concentración y disfrute de estudiantes de secundaria realizando tareas abiertas Elisa Berenguel, Francisco Gil, M.ª Francisca Moreno, Ana Belén Montoro Universidad de Almería

Con la pretensión de implementar en el aula tareas innovadoras y obtener información sobre la motivación que estas despiertan en el alumnado de secundaria, en este trabajo se presenta una experiencia llevada a cabo con 25 estudiantes de 3º de ESO, durante un periodo de PALABRAS CLAVE dos semanas, en el que realizaron una tarea abierta, una tarea • TAREA ABIERTA • TAREA DE CONTEXTO de contexto y tres tareas rutinarias. Según nuestros resultados, • MOTIVACIÓN INTRÍNSECA los estudiantes estuvieron más concentrados y disfrutaron más • EXPERIENCIAS DE FLUJO con la tarea abierta. Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • pp. 67-71 • enero 2016

INTERCAMBIO

l interés de este trabajo surge de la preocupación por mejorar el rendimiento académico en matemáticas del alumnado de educación secundaria obligatoria, considerando fundamental el papel de las tareas en el aprendizaje de las matemáticas. Algunas de las características de las tareas que Sullivan, Clarke y Clarke (2013) recomiendan son que las matemáticas motiven a los estudiantes, fomentando la comprensión y la conexión entre sus diferentes aspectos; que sean desafiantes para la mayoría de la clase, de modo que el camino para llegar a la solución no sea obvio; que requieran pensar, tomar decisiones y comunicarse unos con otros; y que usen contextos o situaciones que sean familiares para los estudiantes, de forma que vean la utilidad o la conexión de las matemáticas con sus vidas. Si una tarea tiene más de una respuesta posible, estos autores la llaman «tarea abierta», y señalan que una de las ventajas de este tipo de tarea es que permite a los estudiantes abordarla de diferentes formas y desde distintos niveles. En este trabajo, distinguimos tres tipos de tareas matemáticas: tareas de contexto, tareas abiertas y tareas rutinarias, entendiendo estas últimas como aquellas que corresponden a un ejercicio repetitivo o a un ejercicio del libro 68

Uno

de texto, si resulta familiar a los alumnos o si es de tal forma que que el docente da una explicación previa del proceso que se debe seguir para realizarla. Además, las reacciones de los estudiantes en la resolución de tareas matemáticas no se pueden explicar solo desde lo cognitivo (Gómez-Chacón, 2010), sino que es necesario atender a aspectos afectivos y motivacionales, los cuales juegan un papel importante en el rendimiento académico de los estudiantes (Pekrun, Elliot y Maier, 2009). La motivación intrínseca, relacionada con emociones y actitudes positivas, es la más intensa y duradera, y aparece cuando se lleva a cabo una actividad por el placer que produce realizarla. La teoría de flujo, introducida por Csikszentmihalyi en 1975, analiza las condiciones en las que surgen las experiencias de flujo, es decir, estados de alta concentración y disfrute con la tarea que se está realizando (Montoro, 2015). Las

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Si una tarea tiene más de una respuesta posible, permite abordarla de diferentes formas y desde distintos niveles

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

experiencias de flujo influyen en la motivación intrínseca y en el rendimiento académico (Whalen, 1998) y, por ello, nuestro trabajo pretende indagar sobre el grado de concentración y disfrute experimentado por los estudiantes al trabajar determinado tipo de tareas, con la intención de conseguir, en un futuro, una mejora de su rendimiento académico en matemáticas.

OBJETIVOS

Concretamente, pretendemos: • Diseñar y desarrollar en el aula una tarea matemática de contexto y una tarea matemática abierta. • Obtener información sobre el grado de flujo experimentado por los estudiantes al ejecutar la tarea de contexto, la tarea abierta y otras tareas rutinarias (corrección de un ejercicio, explicación, ejercicio del libro de texto).

METODOLOGÍA

Para dar respuesta a estos objetivos, se realizó un estudio descriptivo de tipo exploratorio e interpretativo. Por razones de disponibilidad, este estudio se llevó a cabo en el IES Sierra Nevada de Fiñana (Almería), durante el curso 2013-2014, con un grupo del tercer curso de secundaria, formado por 25 estudiantes con

Concentración y disfrute de estudiantes de secundaria realizando tareas abiertas

habilidades matemáticas en torno a la media. La profesora de este grupo decidió que el diseño de las tareas se efectuase teniendo en cuenta los contenidos mínimos del bloque de geometría, propuestos en el Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria, por cuestiones de temporalización. Por otro lado, la profesora sugirió que los estudiantes realizasen las tareas agrupados por parejas, de modo que pudiesen ayudarse mutuamente durante su ejecución, con el objetivo de lograr una resolución más rica. A partir de la selección de contenidos planteada por la profesora, se diseñaron dos tareas que cumpliesen las características de tarea de contexto y de tarea abierta, respectivamente. Previamente, se buscaron tareas en diferentes revistas de educación matemática, así como en la página del proyecto NRICH.1 Las tareas diseñadas se implementaron en dos sesiones de clase distintas. Las tareas rutinarias consistieron en la corrección de un ejercicio, una explicación de la profesora, y la realización de un ejercicio del libro de texto. Al finalizar cada tarea, se aplicó a los estudiantes un cuestionario cerrado, diseñado y validado (Montoro, 2015) para medir el grado de flujo, en con-

creto, el grado de concentración y disfrute. Además, se realizaron observaciones de aula en torno al comportamiento y actitud del alumnado por parte de la investigadora principal.

TAREA DE CONTEXTO

Esta tarea es de diseño propio, tomando ideas de las distintas búsquedas, y se centra en el trabajo con mosaicos regulares y semirregulares. Los mosaicos están presentes en el entorno que nos rodea, en cualquier situación de recubrimiento del plano, desde la pavimentación hasta el arte y la decoración. Los objetivos de esta tarea son: • Identificar los tres únicos polígonos regulares que recubren el plano. • Reconocer determinadas propiedades de los polígonos regulares. • Explicar qué polígonos regulares pueden formar mosaicos. • Comparar el área de distintos polígonos regulares con el mismo perímetro. • Identificar los ocho únicos mosaicos semirregulares (ampliación). Para realizar esta tarea, la profesora dispuso a los estudiantes por parejas homogéneas en cuanto a Uno

habilidad en matemáticas, considerando que esta tarea no generaría grandes dificultades a los estudiantes. Además, los alumnos utilizaron polígonos regulares representados en piezas de plástico como material de apoyo.

TAREA ABIERTA

Los contenidos que se trabajan en la tarea abierta planteada, modificada ligeramente de una del proyecto NRICH, son perímetro y área. A veces, los alumnos confunden el área y el perímetro, y en este problema los estudiantes consideran la relación entre las magnitudes superficie y longitud. Los objetivos de esta tarea son: • Hallar rectángulos con unos valores determinados para el área y el perímetro. • Explicar qué sucede con la forma de los rectángulos de perímetro fijo (respectivamente, área fija) cuando el área (respectivamente, perímetro) aumenta. • Encontrar un rectángulo que tenga el mismo valor numérico para el área y para el perímetro. • Proporcionar un método para encontrar rectángulos con el mismo valor numérico para el área y para el perímetro (ampliación). • Comprobar si un triángulo es o no rectángulo (ampliación).

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

INTERCAMBIO

• Encontrar un triángulo que tenga el mismo valor numérico para el área y para el perímetro (ampliación). Para hacer esta tarea, la profesora organizó a los alumnos por parejas heterogéneas en función de su aptitud en la asignatura, con el objetivo de que las parejas estuvieran más equilibradas, argumentando que esta tarea supondría mayores dificultades a los estudiantes con menos capacidad en matemáticas. Debido a ello, la reacción del alumnado fue de disconformidad ante la nueva formación de parejas. Se observó una apatía generalizada en un primer momento, así como una escasa colaboración entre los miembros de cada pareja. Sin embargo, transcurridos unos minutos, la

implicación con la tarea comenzó a incrementarse, hasta el punto de que solo una pareja consideró que había concluido, tras hacer la ampliación. El resto de parejas, de las cuales dos intentaron la ampliación, perseveró en la resolución hasta que se dio por finalizada la clase. Además, se percibió una mayor concentración que en la tarea de contexto, lo cual se corroboró con el posterior análisis de los cuestionarios.

RESULTADOS

Se observó que, en general, los estudiantes mostraron interés por las tareas diseñadas, levantando la mano para formular preguntas y esperando a que la profesora se acercara a su sitio para aclarar sus dudas. Además, el nivel de ruido

Si una tarea tiene más de una respuesta posible, permite abordarla de diferentes formas y desde distintos niveles

■

en el aula era bajo, a pesar de trabajar agrupados en parejas. Resaltamos los siguientes comentarios de un alumno al finalizar la tarea de contexto: Alumno: Ven todos los días. Investigadora:¿Por qué? Alumno: Porque así no damos matemáticas. Investigadora:¿Es que esto no son matemáticas también? Alumno: Sí, pero me refiero a matemáticas de la clase.

El alumnado completó un cuestionario de flujo.

Imagen 1. Tarea original propuesta en el proyecto NRICH

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

Las experiencias de flujo se definen como estados de alta concentración y disfrute. Por ello, tras recodificar las valoraciones de los ítems negativos, se calcularon las puntuaciones medias de cada sujeto en ambas variables. El grado de flujo se determinó como la media geométrica de la concentración y el disfrute, considerando que un individuo ha experimentado flujo si su puntua-

Concentración y disfrute de estudiantes de secundaria realizando tareas abiertas

Tarea Experiencias de flujo

Tarea de contexto

Tarea abierta

Corrección de un ejercicio

Explicación

Ejercicio del libro de texto

30%

42%

17%

26%

20%

Cuadro 1. Porcentaje de estudiantes que experimentaron flujo en cada tarea

ción en esta variable es superior o igual a 4 (Montoro, 2015). La información referente al porcentaje de estudiantes que experimentaron flujo en cada una de las tareas se resume en el cuadro 1. Además, solo un estudiante experimentó flujo con las cinco tareas propuestas. Es decir, en este estudio, tanto la tarea abierta como la de contexto provocaron más experiencias de flujo que las tareas rutinarias. Así mismo, la tarea abierta dio lugar a más experiencias de flujo que la de contexto. Estos resultados parecen indicar que los estudiantes se concentran y disfrutan más realizando tareas abiertas, de forma que puedan abordar desde distintos niveles y cuya resolución no sea inmediata.

LIMITACIONES Y POSIBLES VÍAS DE CONTINUACIÓN

Esta investigación no es objetiva ni concluyente, puesto que el estudio se ha realizado con un número muy reducido de sujetos. En futuras investigaciones se podría

extender a más estudiantes, a la vez que sería razonable realizar el estudio en los distintos cursos de secundaria. También habría sido interesante continuar el análisis con los mismos estudiantes durante un periodo de tiempo mayor, con objeto de ver si la motivación producida por la tarea abierta, así como por la de contexto, se mantenía o si, por el contrario, se puede deber más a su carácter novedoso y no tanto al resto de sus características. Además, habría que estudiar la posible influencia del uso de materiales, y también del tipo de agrupamientos a la hora de efectuar las tareas, esto es, parejas homogéneas o heterogéneas en función de la habilidad en matemáticas. ◀

tica XIV. Lleida. SEIEM, pp. 121-140. MONTORO, A.B. (2015): Motivación y matemáticas: Experiencias de flujo en estudiantes de Maestro de Educación Primaria. Tesis doctoral. Universidad de Almería. PEKRUN, R.; ELLIOT, A.J.; MAIER, M.A. (2009): «Achievement Goals and Achievement Emotions: Testing a Model of Their Joint Relations with Academic Performance». Journal of Educational Psychology, vol. 101(1), pp. 115-135. SULLIVAN, P.; CLARKE, D.; CLARKE, B. (2013): Teaching with Tasks for Effective Mathematics Learning. Nueva York. Springer. WHALEN, S.P. (1998): «Flow and the engagement of talent: Implications for secondary schooling». NASSP Bulletin, núm. 82, pp. 22-37.

Direcciones de contacto

Nota

tareas ricas y abiertas de primaria y

Elisa Berenguel López Francisco Gil Cuadra M.ª Francisca Moreno Carretero Ana Belén Montoro Medina

secundaria.

Universidad de Almería

1. Proyecto que ofrece acceso libre en http://nrich.maths.org/frontpage a

elisaberenguel@gmail.com

Referencias bibliográficas GÓMEZ-CHACÓN, I.M. (2010): «Tendencias actuales en investi-

fgil@ual.es mfmoreno@ual.es amontoro@ual.es

gación en matemáticas y afecto», en MORENO, M.M.; ESTRADA, A.;

Este artículo fue recibido en Uno: Revista de Didáctica

CARRILLO, J.; SIERRA, T.A. (eds.):

de las

Investigación en educación matemá-

do en octubre de 2015 para su publicación.

Uno

Matemáticas en septiembre de 2015 y acepta-

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

INTERCAMBIO

Análisis de tareas que pueden promover el desarrollo de la comprensión de la derivada* Claudio Fuentealba Universidad Austral de Chile

Gloria Sánchez-Matamoros Universidad de Sevilla

Edelmira Badillo Universidad Autónoma de Barcelona

PALABRAS CLAVE

• • • •

COMPRENSIÓN DERIVADA MODOS DE REPRESENTACIÓN BACHILLERATO

Uno de los tópicos del análisis matemático que más dificultades muestran a los estudiantes de bachillerato y primeros cursos universitarios es el concepto de derivada. En este trabajo, se presenta una tarea analizada desde las características propias de este concepto matemático, con el propósito de ayudar al profesor a centrar su atención en los aspectos matemáticos relevantes para que el estudiante alcance niveles altos de comprensión de dicho concepto. 72

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 70 • pp. 72-77 • octubre 2015

Análisis de tareas que pueden promover el desarrollo de la comprensión de la derivada

l concepto de derivada, es sin lugar a dudas, una de las nociones fundamentales de cualquier curso de análisis matemático. Su importancia se ve reflejada en su inclusión en el currículo de bachillerato de diferentes especialidades y en los primeros cursos de carreras universitarias. Artigue (1995) plantea que la enseñanza tradicional de los conceptos relevantes de análisis matemático se centra, mayoritariamente, en una práctica procedimental, basada en la resolución de problemas con cálculos algorítmicos. Este hecho ha tenido y tiene graves consecuencias en la comprensión del concepto de derivada por parte de los estudiantes. Las dificultades y carencias constatadas en la comprensión este concepto se hacen más evidentes cuando la resolución de problemas requiere el uso del significado de la derivada, ya sea a través de su expresión analítica, como límite del cociente incremental, o de su interpretación geométrica, como pendiente de la recta tangente. Los resultados de investigaciones sobre el aprendizaje y la enseñanza de la derivada revelan que, para favorecer niveles altos de comprensión del concepto, es fundamental que el diseño de enseñanza esté basado en la resolución de tareas que requieran del uso del significado de la derivada en distintos modos de

representación y las conversiones entre ellos (García, Llinares y Sánchez-Matamoros, 2011; Badillo, Azcárate y Font, 2011).

UNA APROXIMACIÓN A LA COMPRENSIÓN DEL CONCEPTO DE DERIVADA DESDE LA TEORÍA APOE

Debido a la importancia del concepto de derivada y a las dificultades presentes en su comprensión, se han realizado numerosas investigaciones que abordan la problemática desde diversos enfoques teóricos. Uno de ellos es la teoría APOE (Arnon y otros, 2014). Tomando en consideración las ideas de APOE se asume que la comprensión de un concepto matemático por parte de un estudiante se desarrolla a través de un esquema. Un esquema es considerado como una estructura matemática formada por los elementos matemáticos y las relaciones que se establecen entre ellos, y puede ser evocado en la resolución de un problema (García, Llinares y Sánchez-Matamoros, 2011)

■

La comprensión de un concepto matemático por parte de un estudiante se desarrolla a través de un esquema Uno

En relación al esquema de la derivada, la teoría APOE plantea que el esquema crece y se desarrolla pasando por tres niveles de comprensión, intra-inter-trans, que se suceden según un orden fijo y se caracterizan por el grado de construcción de relaciones entre los elementos matemáticos constitutivos del concepto de derivada. Los elementos matemáticos, según García, Llinares y Sánchez-Matamoros (2011), son de distinta naturaleza y se configuran atendiendo tanto a los modos de representación (analítico y gráfico) como al carácter de dichos elementos (puntual y global). Los elementos matemáticos puntuales son los que hacen referencia a una propiedad específica en un punto. Los elementos matemáticos globales corresponden a una propiedad en un intervalo. Así, para caracterizar el esquema de la derivada es necesario considerar los elementos matemáticos, los modos de representación y las relaciones entre dichos elementos. Trigueros (2005) considera que niveles altos de comprensión están asociados a la coherencia del estudiante en el uso del esquema cuando resuelven problemas. En este sentido, considera que el estudiante muestra coherencia del esquema cuando es capaz de decidir qué problemas pueden resolverse utilizando el esquema y cuáles no. Los profesores, en ocasiones, tienen la idea de que la construcción

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

INTERCAMBIO

de las relaciones entre los elementos matemáticos que conforman el concepto de derivada emerge de manera espontánea; es decir, sin que se promueva explícitamente la reflexión por parte del profesor. Sin embargo, los resultados de investigaciones sobre la comprensión de dicho concepto muestran su complejidad y la necesidad de crear situaciones de enseñanza donde se promueva la construcción de estas relaciones (García, Llinares y Sánchez-Matamoros, 2011). Atendiendo al desarrollo de niveles altos de comprensión de la derivada, la tarea que analizamos a continuación forma parte de una secuencia de enseñanza, basada en investigaciones previas (García, Llinares y Sánchez-Matamoros, 2011), que requieren el uso coherente de las relaciones entre los elementos matemáticos en distintos modos de representación y las conversiones entre ellos. Los elementos matemáticos presentes en los procesos de resolución de dichas tareas se esbozan en el cuadro 1.

1. Si f’(a)=0 , entonces en x=a existe un máximo, un mínimo o un punto de inflexión de f 2. Si f’ es continua en x=a, y f tiene un cambio de curvatura en x=a entonces en (a (a, f (a)) existe un punto de inflexión 3. Si f’>0 en un intervalo I, entonces f es estrictamente creciente en I 4. Si f’<0 en un intervalo I, entonces f es estrictamente decreciente en I 5. Si f’>0 en un intervalo I, entonces f es convexa en I 6. Si f’’<0 un intervalo en I, entonces f es cóncava en I Cuadro 1. Elementos matemáticos puntuales y globales

punto anguloso. El objetivo de la tarea es que se establezcan relaciones entre elementos matemáticos que vinculan los ceros y valores extremos de f’ con los valores extremos y puntos de inflexión de f (1 y 2, cuadro 1); el signo de con la monotonía de f (3 y 4, cuadro 1); y el crecimiento de f’ con la convexidad de f (5 y 6, cuadro 1).

Una posible resolución de la tarea usando relaciones entre f y f’ Para esbozar la gráfica de la función f, un estudiante de bachillerato puede empezar realizando

ANÁLISIS DE UNA TAREA

La tarea que se muestra a continuación con enunciado en modo gráfico (cuadro 2), consiste en construir la gráfica de f a partir de la gráfica de f’. La gráfica de f’ contempla varios cambios de signo, crecimiento, ceros, puntos de tangencia horizontal y un 74

Uno

Cuadro 2. Enunciado de la tarea

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

un cambio de modo de representación (de gráfico a analítico) para obtener información sobre la función. Considerar la posición relativa de la gráfica de f’ con respecto al eje X permite obtener información global referente a la monotonía de f; es decir, los intervalos en los que f’ queda por encima del eje X se corresponden con los intervalos donde f es estrictamente creciente, y viceversa (3 y 4, cuadro 1). En la gráfica de la tarea, la información obtenida a partir de estos elementos es: • f’ es positiva (f’>0) en los intervalos (-∞, 1), (3,4) y (4, + ∞) , por lo tanto f es estrictamente creciente en dichos intervalos.

Análisis de tareas que pueden promover el desarrollo de la comprensión de la derivada

• f’ es negativa (f’<0) en los intervalos (1,2) y (2,3), por lo tanto f es estrictamente decreciente en dichos intervalos. El analizar los ceros de f’ permite obtener información puntual sobre los posibles valores extremos o puntos de inflexión de f (1, cuadro 1). En la gráfica de la tarea, la información obtenida a partir de este elemento es: • f’ tiene ceros en los puntos de abscisa x=1, x=2, x=3 y x=4, por lo tanto es probable que f tenga un valor extremo o punto de inflexión en dichos puntos. El establecimiento de relaciones entre los elementos matemáticos anteriores (1, 3 y 4, cuadro 1) permite al estudiante considerar que si f’ tiene signos distintos a la izquierda y a la derecha del punto de abscisa x=a, entonces en x=a existe un valor extremo de f, así

como asegurar que, en nuestro caso, f tiene un máximo local en x=1 y un mínimo local en x=3. Con la información proporcionada por los elementos matemáticos 1, 3 y 4 (cuadro 1), el estudiante esbozará la gráfica del cuadro 3 como una posible gráfica de f. En general, un estudiante de bachillerato considerará que la gráfica realizada es correcta, aunque no lo es, ya que no toma en consideración el estudio de la curvatura de f (vinculado a ) en los distintos intervalos de su dominio.

Una posible resolución de la tarea usando relaciones entre f, f’ y f’’ Para realizar el esbozo correcto de la gráfica de f que pide la tarea, el estudiante deberá inferir el comportamiento de f’’ a partir

de la gráfica de f’ de la tarea. Los elementos matemáticos que dan información sobre la curvatura de f son aquellos que los vinculan con el signo de f’’; es decir: en aquellos intervalos en los que f’’ es positiva, la función es convexa y viceversa (5 y 6, cuadro 1). Si el estudiante quiere obtener información sobre la curvatura de f, tendrá que usar la información proporcionada por la gráfica de f’. Esto implica considerar f’’ como la derivada de f’ y establecer relaciones entre ellas; es decir, en aquellos intervalos en los que f’ es creciente se debe considerar que f’’>0 y, por tanto, se corresponde con intervalos en los que f es convexa y, viceversa. En la gráfica de la tarea, la información obtenida a partir de estos elementos es: • f’ es estrictamente decreciente en los intervalos

luego f’’<0, por lo tanto f es cóncava en dichos intervalos. • f’ es estrictamente creciente en los intervalos

y (4,+∞), luego f’’>0, por lo tanto f es convexa en dichos intervalos.

De la información obtenida se desprende que en los puntos de abscisas Cuadro 3. Esbozo de la gráfica de f considerando las relaciones entre

f’ y f’’

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

INTERCAMBIO

Cuadro 4. Esbozo de la gráfica de f considerando las relaciones entre f,

y x=4, hay cambios de curvatura en la función f (2, cuadro 1), de lo que se puede deducir: • f posee puntos de inflexión en

, y (4,f(4)).

De esta forma, y considerando en conjunto la información proporcionada por las relaciones entre los distintos elementos matemáticos f, f’ y f’’ podemos establecer el siguiente esbozo de la gráfica de f que se muestra en el cuadro 4. Lo que permite al estudiante llegar al esbozo correcto de la gráfica de f (cuadro 4) no es solo el establecimiento de relaciones entre f y f’, sino que también es fundamental coordinar dicha

Uno

f’ y f’’

información con el establecimiento de relaciones entre f’ y f’’. En esta tarea es fundamental que los estudiantes observen que para poder relacionar f’ con f, debe analizarse necesariamente qué sucede con la relación entre f’ y f’’. Por lo tanto, debe considerarse a f’ como una función y a f’’ como su derivada. Es justamente en la comprensión de estas últimas relaciones en las que el profesor debe focalizar la atención de los estudiantes.

A MANERA DE CONCLUSIÓN

El análisis de esta tarea nos permite inferir la importancia de la gestión del profesor durante la resolución de tareas. El establecimiento de relaciones entre los distintos elementos mate-

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

máticos relacionados con f, f’ y f’’ contribuye a que el estudiante consiga una comprensión mayor del concepto de derivada. Consideramos que es en la comprensión de las relaciones entre f’ y f’’ donde el profesor debe focalizar la atención de los estudiantes, ya que el comportamiento habitual del estudiante se relaciona con la obtención de la mayor cantidad de información de f a partir de f’; lo cual provoca que las interpretaciones de las implicaciones gráficas y analíticas con f’’ no sean comprendidas o tenidas en cuenta en la resolución de tareas por parte de los estudiantes. Esto se constata como un obstáculo para la comprensión del concepto de derivada en niveles superiores de enseñanza. La resolución de este tipo de tareas en el aula, gestionadas por el profesor, contribuye a que se alcancen unos niveles altos de comprensión del concepto de derivada. Algunas preguntas complementarias al enunciado durante la resolución de la tarea en el aula, como por ejemplo: a partir de la gráfica de f’, ¿podrías obtener alguna información adicional sobre el comportamiento de f’’ ? se podrían plantear para que el estudiante pudiera ver la necesidad de considerar las relaciones entre f ‘ y f’’. ◀

Análisis de tareas que pueden promover el desarrollo de la comprensión de la derivada

Nota * Agradecimientos: Este trabajo se enmarca en la agenda científica del Grupo de Investigación en Práctica

Ingeniería didáctica en educación

rior». Educación Matemática, núm.

matemática. México. Grupo Editorial

17(1), pp. 5-31.

Iberoamericano, pp.97-140. BADILLO, E.; AZCÁRATE, C.; FONT, V.

Direcciones de contacto

Educativa y Actividad Matemática

(2011): «Análisis de los niveles de

Claudio Fuentealba

(GIPEAM); en particular, dentro del

comprensión de los objetos f’(a) y

Universidad Austral de Chile

Proyecto EDU2012-31464.

f’(x) en profesores de matemáti-

cfuentealba@uach.cr

cas». Enseñanza de Las Ciencias,

Gloria Sánchez-Matamoros

núm. 29(2), pp.191-206.

Universidad de Sevilla

Referencias bibliográficas ARNON, I.; COTTRILL, J.; DUBINSKY,

gsanchezmatamoros@us.es

GARCÍA, M.; LLINARES, S.;

E.; OKTAÇ, A.; FUENTES, S. R.;

SÁNCHEZ-MATAMOROS, G.

Edelmira Badillo

TRIGUEROS, M.;WELLER, K. (2014):

(2011): «Characterizing thema-

Universidad Autónoma de Barcelona

APOS theory: A framework for

tized derivative schema by the

edelmira.badillo@uab.cat

research and curriculum develop-

underlying emergent structures».

ment in mathematics education.

International Journal of Science

Nueva York. Springer.

and Mathematics Education,

ARTIGUE, M. (1995): «La enseñanza de los principios del cálculo: pro-

núm. 9(5), pp.1023-1045. TRIGUEROS, M. (2005): «La noción de

Este artículo fue recibido en Uno: Revista Didáctica

de las

Matemáticas en septiembre de

blemas epistemológicos, cognitivos

esquema en la investigación en

2015 y aceptado en octubre de 2015 para su

y didácticos», en GÓMEZ, P. (ed.):

matemática educativa a nivel supe-

publicación.

Normas para la publicación de artículos 1. Los artículos pueden narrar cuatro tipos de experiencias de aula de educación reglada: • De la didáctica específica. • De trabajo interdisciplinar. • De trabajo integrado de contenidos de área y lenguas extranjeras (AICLE). • De metodología general: relaciones interactivas, dinámica de grupos, organización de contenidos (proyectos globalizados), uso del tiempo y del espacio, etc. 2. Los artículos deben ser inéditos. Su extensión total será de 13.000 caracteres, incluidos los espacios (tablas y gráficos también incluidos), y deberán aportar: un resumen de 450 caracteres (incluidos los espacios), de 3 a 5 palabras clave y 2 o 3 fotografías ilustrativas (600 DPI de resolución). 3. Los artículos se centrarán en casos concretos de aula que deberán abarcar, a título orientativo, los siguientes aspectos: definición del problema, alternativas consideradas, decisiones y acciones que se tomaron, y resultados obtenidos. 4. Se deberá señalar, en cada página, 1 frase significativa

que refuerce el discurso del texto (utilizar la herramienta de texto resaltado). 5. En la primera página, se harán constar los datos siguientes: nombre y apellidos, DNI, referencia profesional, dirección particular y profesional, teléfono de contacto, correo electrónico y líneas prioritarias de trabajo. 6. Se recomienda reseñar enlaces web relacionados con la experiencia, así como adjuntar vídeos, si los hubiere. 7. El autor autoriza a Editorial Graó a reproducir el artículo, total o parcialmente, en su página web y redes sociales de su propiedad. 8. ENVIAR LAS COLABORACIONES A: editorial@grao.com (revista Uno). Para una información más detallada de las normas de publicación, consultar (uno.grao.com). También se pueden enviar colaboraciones para las secciones breves de Ideas prácticas: En contexto, Materiales a examen y Recursos para el aula. Descargar las normas de publicación en www.grao.com/newsletter/Ideas practicas castellano.pdf

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

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los

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Formación política en la escuela

Formación ciudadana en los textos escolares de historia de Chile Cristina Elorza

¿Por qué hablar de igualdad en la escuela infantil? Cristina Elorza, Xabier Iturbe, Luisa M.a Puertas

Las relaciones entre hombres y mujeres han sido un tema de constante debate y vindicación desde la Revolución francesa. El siglo de la igualdad está por llegar y la actual sociedad del coEl corpus lingüístico nocimiento nos plantea nuevos retos. Desde esta perspectiva, hablar de igualdad es referirse a todos aquellos aspectos que hoy condicionan nuestra convivencia y nos hacen revisar nuestro papel en la escuela y en la sociedad. PALABRAS CLAVE: igualdad, género, coeducación, sexismo, convivencia.

El uso de corpus lingüísticos como herramienta pedagógica

La escuela infantil es una primera nismos de exclusión y dominio que oportunidad para que niñas y niños pueden producirse entre niñas y pueden aprender a expresarse libreniños. Un espacio clave para erramente, a elaborar sentimientos posidicar cualquier manifestación de tivos hacia las compañeras y los maltrato mediante la imposición de líAula 232 | Junio 2014 | pp. 12-17 compañeros, a disfrutar, a relaciomites infranqueables a quienes colingüística deacorpus es un enfoque paralos el estudio de las lenguas. narse de forma La igualitaria, tratar artan metodológico la libertad de demás. AULA DE... Por medio de la compilación y el procesamiento de corpus lingüísticos ofrece la posibien y a exigir que les traten bien, a Niñas y niños: bilidad de trabajar con datos reales y exhaustivos queiguales permiten acercarse lo más ayudar y dejarseposible ayudar. Enusan definidiferentes a cómo su lengua oysus lenguas los hablantes. Veremos las principales tiva, es un lugar características privilegiadodepara el lingüísticos, algunos de los recursos informáticos orienlos corpus tados a su procesamiento directas e indirectas en que pueden ser utiejercicio de la convivencia positiva. y las maneras Las identidades de los niños y las lizados en el trabajo didáctico en la enseñanza de lenguas primeras y segundas. niñas se configuran sobre las interTambién es un lugar idóneo para la acciones y los diálogos que estableThe use of language corpora as a teaching tool prevención de los múltiples cen en los contextos sociales Language corporamecaoffer a methodological focus for studying languages.en Bylos compi-

Liliana Tolchinsky Universidad de Barcelona

Este artículo se enmarca en un proyecto de investigación acerca de la formación ciudadana en los textos escolares de historia de Chile. El objetivo del estudio es analizar la formación ciudadana a partir de los textos utilizados en la enseñanza media. Como referencia teórica se distinguen tres niveles en la formación ciudadana. Según Kymlicka (1994) son: conocimiento, práctica y compromiso ciudadano. Se sostiene, como hipótesis de trabajo, que el contenido de la formación ciudadana no se refleja en profundidad en los textos. Se realizó un análisis hermenéutico a un corpus de 12 textos escolares de historia de Chile. Ellos dan cuenta de un abordaje tangencial de la formación ciudadana, ya que temas posibles de trabajar desde esta perspectiva se desarrollan privilegiando el contenido histórico por encima del de ciudadanía. Citizenship education in school textbooks on the history of Chile This paper is part of a current research project on citizenship education in school textbooks on the history of Chile. The purpose of the study is to analyse citizenship education by considering secondary textbooks. Three levels can be distinguished as a theoretical reference: knowledge, practice and citizen commitment (Kymlicka, 1994). The stated hypothesis is that the content of citizen education is not presented with sufficient depth in textbooks. Hermeneutical analysis was carried out on twelve school textbooks on the history of Chile. These textbooks have a tangential approach to citizenship education, since subjects that can be worked on from this perspective are in fact covered by prioritising history content over citizenship content.

ORIENT ACIÓN

Género y educaci ón Keywords: school textbooks, citizenship education, hidden curriculum, democratic practice, civic commitment.

S B CF

Marian que viven, y es un proceso que se Blanco desarrolla durante toda la vida. Desde edades tempranas niñas y Las red niños comienzan a ser tratados de El concepto de ciudadanía se comprende, en térejercicio que realizan las sociedades por educar es cionarse sociales for forma diferente en función de lo que minos generales, como la relación de los ciudaen los contenidos, las competencias y las virtudes man pa con su amor rte de grupo Estado, nuestra sociedad considera aderomán danos definiendo de este modo un necesarias para que los sujetos puedan convivir la ma tico jus con elde pares. nera qu amor. Palabras clave: lingüística corpus, A travésy derechos tifica e que Es cuado para ser niña odeniño: ellengua nom-oral, conjunto de me responsabilidades los ad en dichas sociedades. de su canism olesce de ello ta confusión lengua escrita, usos pedagógicos de corpus. us ntes tie os de . esta pertenencia La educación en bre, las ropas, los juguetes, las puede implicontrol o podemos ne derivar comprob n de ciudadanía de la interactu representa la ca para los respectivos en el expectativas, las conductas… Todos pareja PALABR ar y rel mer est en ciudadanía Lapri educación AS CLA y es co ar cómo aactores sociales. La intención de las sociedaestos hechos y gestos van configuad VE: este el discu io del nside reotipos rso de la ma , gén representa la intención de ltra las to sin radodes educación en un por transmitir ero,ciudadal rando unos rasgos característicos amor rom que se a muestra de nía, desde Durkheimántico, mito concepción sea co ciudadana a sociedades por transmitir la que hacen más deseables unas for- Quedan con sus s, rede ns nte s sociales amigos aliz an , control, a las personas hasta las personas.ciePara este los trab y la actualidad, se mas de masculinidad y feminidad concepción ciudadana adolesc ajo s del amigas, redes car encia. comprende como el propósito, diversos autogan de ins que otras. language Se habla de oral «identidad groom titu to, mú sic Keywords: corpora, language, You ing written language, educational use of corpora.inte

Aula de Infantil | núm. 75 | pp. 11-13 | mayo 2014 | 11

Por esta razón,

analiza [2] ¿Pero no cree [que las frases [que dice de la su uso r la influ en la per encia petuac gente [que usted conoce] son más fáciles cur de so del am ión del or rom disde los ántico entender]? (But don’t you find [that sentences conten va más ido allá [that people [you know] produce] are easierpar totir: estamos s que puedan comviendo gun os cómo, cas os, understand]?). en los pro pueden pio s me alfacilitar dio s o incr sib ilid

César Coll

Blanco

La intervención de la alumna conteníamo suce- ade s de est ementar las poabl ece s de r me can sivos anidamientos, pero era perfectamentesufr com- control hac isir cibe ia la par eja , de prensible y la había producido espontáneamente. racoso, cas os de sexting Esta intervención llevó a Sampson a buscar en o diferentes tipos de corpus frases con múltiples anidamientos y descubrió que eran muy natura9

Aula de

Secundar ia | núm.

Marian

Textos de Didáctica de la Lengua y de la Literatura | núm. 65 | pp. 9-17 | enero 2014

FMRP

TUTORÍ AY

El am o desig r 2.0 y las u entre aldades d e adole scent género es

El sentido del aprendizaje hoy: un reto para la innovación educativa

[1] ¿Que no sabes que la llave que perdimos de la puerta verde de la casa de Blanes no la encontraremos jamás?

Palabras clave: textos escolares, formación ciudadana, currículo oculto, convivencia democrática, compromiso ciudadano.

se a, ven . En el tube, leen por las terreno la informa víd eos en redes, del aco res a… la edad difi cul ta ción que Íber Didáctica de lasso Ciencias Sociales, Geografía e Historia | núm. 75 | pp. 18-24 | octubre 2013 Las red 18 de las Ins titu tan to par te de les víctima es soc to Na la den detecc la vida s iale s son cio nal unc ia ión. De (INE), adolesc está tota de Est com o y, según las 29. ente y sufrier lmente la adí stic 146 mu su uso on ma el info (2011) integra a día. Tam jeres que rme de los trat sobre do en tenían bién por os en violenc ANAR su día 67% de menos arrollan 2012, ia de gén las red a de 18 las me 545 sus prim es ero, el años, nores guran pareja: eras rela se dessegún atendid que quedan el ciones as ase trata de no supieron , hablan ran te detecta horas, o chatea de los llam rlo. Se inte ado n nos , durca mb s microm esc achisMientras Sampson estaba explicando y amor… ribe n dec ian emoticolara y dando ejemplos, una de las estudiantes presenteslo com lo más importa cio nes de par ten nte: tod . o esto hizo la siguiente intervención:

ling and processing language corpora, we can real work with exhaustive, real-life data that brings us as close as possible to speakers of the language. In this paper we look at some the main characteristics of language corpora, some of the computing resources aimed at processing them and the direct and indirect means of using them in teaching first and second languages.

La posibilidad de trabajar con datos reales y exhaustivos que permitan acercarse lo más posible a cómo usan su lengua los hablantes ha provocado algunas sorpresas tanto a lingüistas como a profesores de lengua. Es muy conocida la experiencia que tuvo Geoffrey Sampson, un famoso lingüista inglés, mientras explicaba en una clase que hay ciertas frases que son imposibles para los hablantes. Según Sampson (2001), frases como la del ejemplo [1], en la cual hay sucesivos anidamientos, eran rechazadas por los hablantes:

Andrea Minte Cristian Orellana Daniel Tello

Universidad del Bío Bío. Chillán (Chile)

8 | pp.

11-14 |

mayo 2014

| 11

AULA de Infantil · AULA de Innovación Educativa · AULA DE SECUNDARIA. Didáctica, tutoría, gestión, orientación · ALAMBIQUE. Didáctica de las Ciencias Experimentales · EUFONÍA. Didáctica de la Música · ÍBER. Didáctica de las Ciencias Sociales, Geografía e Historia · TÁNDEM. Didáctica de la Educación Física · TEXTOS. Didáctica de la Lengua y de la Literatura · UNO. Didáctica de las Matemáticas C/ Hurtado, 29 08022 Barcelona (España)

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IDEAS PRÁCTICAS

MATERIALES A EXAMEN EN CONTEXTO INFORMACIONES

Actividades de razonamiento lógico Presentamos una tarea larga, con la posibilidad de elegir algunos apartados, sobre el contenido «resolución de situaciones reales haciendo uso del lenguaje algebraico, o de cualquier otro tipo de razonamiento lógico». También se presenta una actividad de evaluación sobre los mismos contenidos.

Una fiesta de chicos y chicas Marta quiere asistir a una fiesta que han organizado unos amigos suyos, pero no ha conseguido invitación, por lo que acude al lugar sin entrada, a ver si consigue entrar. En la puerta del local están Luís y Ana, controlando la entrada. Ellos son conocidos de Marta, sobre todo por los buenos ratos que se pasan proponiéndose unos a otros juegos y pasatiempos de lógica e ingenio. Cuando Marta les habla de su interés por entrar, aunque no tiene invitación, ellos le dicen que la dejarán pasar si averigua cuántos chicos y cuántas chicas hay en la fiesta a partir de los datos que ellos le faciliten, de uno en uno. Ella, que siempre se lo ha pasado muy bien en este tipo de situaciones, acepta gustosa. Vamos a suponer que tú eres Marta; debes ir resolviendo las tareas que te proponga cada uno: lUis: Marta, te puedo decir que, en total, hay 200 manos. ¿Cuántos chicos y chicas podría haber? ……………………………………….…… (La línea de puntos simboliza el tiempo empleado por Marta para dar contestación a la cuestión planteada) ana: Yo creo que Luís te ha dado unos datos poco eficaces para conseguir la meta. Te voy a cambiar el segundo dato por otro. Sé fehacientemente que hay más chicos que chicas. ¿Cuántos puede haber de cada sexo? …………………………………………… lUis: Parece que las posibilidades son muchas… Marta, si los juntásemos en grupos de tres personas, sobraría una. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas puede haber? …………………………………………… ana: Ya que Luís quiere «marear la perdiz”» yo te planteo un entretenimiento. Cogemos los 100 asistentes y hacemos grupos con todos ellos; todos los grupos con el mismo número de personas. ¿Cuántas personas puede haber en cada grupo y cuántos grupos resultarán con ese número de personas? …………………………………………… lUis: El dato de Ana tampoco es muy resolutivo que digamos. Hay cinco chicos más que chicas. Averigua cuántos chicos y cuántas chicas hay. …………………………………………… ana: ¡Ja, ja! Desde luego el dato de Luís ha sido muy «resolutivo». Yo te propongo que, a la vista de lo ocurrido en el último dato de Luís, suponiendo que hay más chicos que chicas, nos digas cuántos chicos más que chicas puede haber. ……………………………………………..... lUÍs: Mira Marta, vamos a cambiar de enfoque. Te vuelvo a cambiar el segundo dato. Cada chica que ha entrado, ha venido acompañada de dos chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay dentro? …………………………………………… ana: Desde luego, Marta, ya ves que Luís es muy resolutivo con sus datos… Te vuelvo a proponer que, para que no ocurra como en el último caso planteado por Luís, nos digas con cuántos chicos podría venir acompañada cada chica. …………………………………………… lUis: Marta, ya va siendo hora de facilitarte la tarea. Te voy a dar una información que podría ser definitiva. El verdadero segundo dato está entre uno de estos dos: en la reunión, por cada dos chicas hay tres chicos o por cada tres chicas hay cuatro chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay? …………………………………………… Uno

Revista Uno de Didáctica Revista de de deDidáctica Didáctica las Matemáticas de las las Matemáticas Matemáticas • núm. 71 ••• núm. núm. pp. 79-80 70 •• •octubre octubre enero 2015 2015 2016 Revista de 70

IDEAS PRÁCTICAS INFORMACIONES

EN CONTEXTO MATERIALES A EXAMEN

La tienda de juguetes Imagina que eres el dueño de una tienda de juguetes en la que vendes bicicletas y coches para niños y niñas. Un día decides hacer un recuento real de las existencias que hay en la tienda, a ver si los datos de tus ordenadores coinciden con la realidad. Óscar, el empleado más simpático e ingenioso de tu tienda, ha contado el número de vehículos de cada clase y te lleva los resultados, produciéndose el siguiente diálogo entre vosotros (entre paréntesis aparecen las tareas de evaluación que debes resolver): tÚ: ¿Cuántos vehículos hay? ÓscaR: En total hay 57 vehículos. tÚ: Vale, Óscar, pero vayamos al grano, ¿cuántos de cada clase? ÓscaR: He hecho la tarea de otra forma, jefe. He contado el número de ruedas y son, en total, salvo error u omisión, 191. tÚ: ¿Cómo? ¿191? Espera un momento que hago unos cálculos… Eso es imposible. (Tarea 1. Debes explicar por qué esto es cierto.) ÓscaR: Anda, pues es verdad, me he equivocado al leer mis datos, son en realidad… 230 ruedas. tÚ: ¿230…? Un momento…Eso también es imposible. (Tarea 2. Debes explicar por qué esto tampoco puede ser.) ÓscaR: Tiene razón, jefe, discúlpeme, con este último dato he querido ponerlo a prueba… ¡ja, ja! El verdadero número de ruedas es 192. tÚ: Con ese dato sí que puedo saber cuántos hay de cada clase. (Tarea 3. Explica razonadamente, sin resolver el problema, por qué ese dato sí te permite averiguar el número exacto de bicicletas y coches. Después calcúlalos.) ÓscaR: Escuche jefe, qué curioso. En el último pedido que hicimos a la fábrica de los juguetes, solicitamos 570 entre bicis y coches (10 veces los que tenemos ahora) y, cuando los recibimos, había en total 1920 ruedas (exactamente 10 veces las que tenemos ahora). Me asalta una duda inmediata: ¿también el número de vehículos de cada clase que recibimos sería 10 veces el que tenemos ahora? tÚ: Espera, que lo averiguo. (Tarea 4. Averigua razonadamente si ocurre lo que se pregunta Óscar.)

Constantino de la Fuente Martínez consdelafu@gmail.com

80 80

Uno Revista Revista de de Didáctica Didáctica de las las Matemáticas Matemáticas núm. núm. 70• ••enero 71 octubre octubre enero 2016 2015 2015 Tándem Didáctica de la de Educación Física • ••núm. 4770 2015

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2015

IDEAS PRÁCTICAS

MATERIALES A EXAMEN INFORMACIONES

DreamCalc La calculadora es imprescindible en el aula. Todo ordenador posee programas que simulan serlo y lo que hacen es sorprendente. En la red hay páginas que permiten descargar o usar en línea estos simuladores. Analicemos uno de ellos: DreamCalc.

Destinatarios: Al tratarse de una calculadora científica, puede usarse a partir del segundo ciclo de secundaria. Duración de su aplicación: Su uso ha de ser continuado, a lo largo del curso, como herramienta de apoyo. Recursos necesarios: Ordenador y proyector, además del propio software. Pueden descargarse tres modelos diferentes, calculadora profesional, gráfica o científica, así como sus versiones anteriores, de la web www.dreamcalc. com/download.html Breve descripción Software de prueba que emula una calculadora científica de mano.

Objetivos didácticos • Mostrar o profundizar en el uso correcto de la calculadora. • Ampliar el conocimiento de posibilidades que ofrece. • Conocer nuevas estrategias de cálculo.

Contenidos didácticos Aritmética (incluidos números complejos), polinomios, estadística (cálculos y gráficos, regresión…), cálculo financiero, funciones (trigonométricas, lógicas…), gráficas (de funciones, de datos), resolución de ecuaciones, representación gráfica de funciones y de datos…

Valoración Los estudiantes son ciudadanos de una aldea global, donde datos, estadísticas, números, estimaciones, el álgebra y el razonamiento lógico son esenciales. Sentirse a gusto con el uso de herramientas tecnológicas y tener la

Uno

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • pp. 81-82

• enero 2016

IDEAS PRÁCTICAS INFORMACIONES

MATERIALES A EXAMEN

capacidad de mantener el paso ante el rápido ritmo del cambio tecnológico es una habilidad esencial en esta sociedad. Se debe capacitar al alumno para el uso de la calculadora con otros fines que puramente la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Aunque sigue abierto el debate sobre el rol de las calculadoras en la enseñanza, hace ya muchos años que han pasado a ser una herramienta fundamental, imprescindible, de la clase de matemáticas. No es ahora el momento de discutir sobre ello, sino de ofrecer una herramienta común —muchas veces el problema es que los alumnos tienen diferentes modelos de calculadora y su manejo no es idéntico— que puede proyectarse en el aula. En ocasiones caemos en el error de pensar que los alumnos ya saben utilizarla. El hecho de poder proyectar una calculadora y mostrar cómo se usa facilita el aprendizaje. La calculadora puede facilitar la adquisición y consolidación de conceptos, es motivadora, permite un mejor tratamiento de la diversidad, puede usarse para trabajar en grupo, pueden plantearse juegos… Es importante que el profesorado valore la conveniencia de utilizar la calculadora. Por ejemplo, su uso para operar con fracciones y números enteros debe ser evitado —puede usarse para comprobar—, mientras que en el cálculo de áreas y volúmenes sí es conveniente.

Aspectos destacables de DreamCalc La calculadora puede trabajar en tres modos: • Prefix Algebraic, como en la mayoría de calculadoras algebraicas. En él, para obtener la raíz cuadrada de 25 hemos de teclear [raíz] 25 [ENTER]; o [sin] 45 [ENTER] para el seno de 45º. • Postfix Algebraic, como las calculadoras «viejas»: 25[raíz] [ENTER]; 45 [sin] [ENTER]. • Reverse Polish Notation, donde no hay jerarquía en las operaciones. Aquí [ENTER] no funciona como en los modos anteriores, como un «igual», sino que simplemente introduce un dato y al pulsar una operación opera los datos anteriores. Ejemplo: 5 [ENTER] 3 [+] muestra: 8. Y 3 [ENTER] 5 [+] [ENTER] 2 [ENTER] 4 [+] [x] calcula (3+5) x (2+4). Tiene almacenadas constantes matemáticas y físicas. Permite la conversión de unidades; operar con fracciones, decimales y números mixtos; grados, minutos y segundos; complejos; resuelve ecuaciones polinómicas (de grado entre dos y veinte, aunque hay ocasiones —cuando hay raíces complejas— en que falla); o dibuja gráficas de funciones y de datos estadísticos. Además, hace cálculos estadísticos, con fechas y financieros.

Para saber más… Puede echar un vistazo a www.dreamcalc.com/user_guide/contents.html

Juan Carlos Gil Mongío jcgilm@educa.aragon.es

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Uno Revista Revista de de Didáctica Didáctica de las las Matemáticas Matemáticas núm. núm. 70• ••enero octubre octubre 2015 Tándem Didáctica de la de Educación Física • ••núm. 4770 20152015

IDEAS PRÁCTICAS

RECURSOS PARA INFORMACIONES EL AULA

Desmos Desmos es una calculadora gráfica. Su interfaz es muy sencilla y accesible, semejante al de la aplicación web de Geogebra.

Tipo de recurso: Aplicación web para móvil, tablet y PC. Destinatarios: Alumnos de ESO y bachillerato. Duración de su utilización: La aplicación es una herramienta de uso puntual y complementario. No supone el desarrollo de una unidad específica ni requiere la dedicación de un tiempo específico para su aprendizaje. Breve descripción • Consta de dos ventanas, algebraica y gráfica, y de un teclado desplegable específico con una biblioteca considerable de funciones elementales incluyendo derivadas y series. • Si bien la aplicación para móvil puede mostrarse lenta o pesada en ocasiones, en tablet y explorador web su comportamiento es muy ágil. • Permite la representación de funciones a través de expresiones tanto explícitas como implícitas o paramétricas, admitiendo la utilización de parámetros con deslizadores que facilitan el estudio del comportamiento de las funciones mediante animaciones. También se pueden introducir tablas de valores o generar la tabla, modificable, de una función dada. • Es muy flexible en la representación mediante la utilización de zoom, cambio de escala, incluso de sistema cartesiano o polar. Los dominios de las funciones se definen con facilidad. Además, permite la inclusión de anotaciones y crear carpetas que organicen las distintas componentes de la representación. • Las representaciones creadas se pueden guardar y compartir, disponiendo de recursos ya elaborados por otros usuarios. El enlace a partir del cual acceder a ella es www.desmos.com

¿Qué aprenderán? Todos los contenidos específicos curriculares de secundaria en el ámbito de las funciones: • Identificación de tipos de funciones. • Elaboración de tablas de valores. • Construcción de gráficas. • Estudio de características de las funciones. Competencias generales implicadas: • Promueve la utilización de calculadora gráfica. • Favorece la autonomía e iniciativa en el estudio de funciones. Uno

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IDEAS PRÁCTICAS INFORMACIONES

RECURSOS PARA EL AULA

• Facilita la experimentación con las transformaciones de una función elemental. • Muestra las características invariantes en cada tipo de función. • Permite comprobar los errores cometidos en la representación de funciones.

¿Cómo utilizarlo en el aula? • La calculadora Desmos puede ser utilizada tanto individualmente por el alumno como por el profesor en el desarrollo de la clase. • Su uso abarca desde la herramienta complementaria clásica que facilita cálculos y representaciones al alumno hasta el propio desarrollo de competencias generales como la competencia digital, autonomía e iniciativa, aprender a aprender. • En clase se puede utilizar como calculadora, resolviendo ejercicios clásicos de representación, interpretación y estudio de funciones. • Favorece la interacción proponiendo funciones definidas a través de parámetros con deslizadores que permiten la animación de funciones. • Se pueden proponer proyectos de investigación para que indaguen las características invariantes de un tipo de funciones. Abre la puerta a la creatividad con propuestas de diseños definidos por funciones a trozos. Ejemplos simples de actividades en distintos niveles: • Escribir la ecuación de una recta concreta, y = -3x + 2, por ejemplo. Destacar los puntos de corte y observar su inclinación. Sustituir los coeficientes por parámetros m y n, desplegar los deslizadores y animarlos por separado: comprobar las variaciones que se producen en términos de ordenada en el origen y pendiente [1.º y 2.º de ESO]. • Definir una función definida a trozos en tres intervalos definidos. Representarla. Estudiar su continuidad. Sustituir los coeficientes de uno de los trozos por parámetros que permitan modificar la función para conseguir su continuidad [4.º de ESO]. • Definir dos funciones elementales como la exponencial y una trigonométrica. Componer estas funciones, f con g, y g con f. Calcular la derivada de cada una de ellas. Estudiar la relación entre la monotonía y el signo de la derivada. Localizar puntos de inflexión [1.º de bachillerato].

Las actividades deberán estar guiadas inicialmente desde el propio uso de la aplicación, proponiendo recursos ya elaborados por el profesor para su manejo por el alumno. Posteriormente se pedirá al alumno que genere su propio material.

Jorge F. Las Heras Gonzalo jlashera@gmail.com

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INFORMACIONES

Reseñas 100 escenas de cine y televisión para la clase de matemáticas SORANDO MUZÁS, J.M. Badajoz. FESPM, 2015 183 páginas

Un lugar preponderante en el amplio catálogo de recursos para el aula de matemáticas lo ocupan el cine y la televisión. Aunque existen interesantes experiencias realizadas desde mediados del siglo pasado, la utilización del cine, primero como divulgación y posteriormente como recurso didáctico, se potenció a raíz del año 2000, Año Mundial de las Matemáticas. En ese año proliferaron las sesiones de cine y matemáticas, con el fin de que la gente se diera cuenta de que las matemáticas, que son parte sustancial del mundo en el que vivimos,

también podían formar parte del séptimo arte. Desde entonces, muchos profesores han utilizado los audiovisuales como recurso educativo en el aula de matemáticas y, en muchas publicaciones, hay apartados dedicados a la relación entre el cine y las matemáticas, como por ejemplo, en la revista Uno. La FESPM (Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas) acaba de editar un interesante manual preparado para trabajar directamente en el aula. Su autor es el profesor aragonés José María Sirando Muzás, catedrático de matemáticas en el IES Elaios de Zaragoza y autor de una página de matemáticas de las más completas e interesantes que conocemos. En su página Matemáticas en tu mundo (http://catedu.es/ matematicas_mundo/>) pueden encontrarse referencias divulgativas a las matemáticas y al arte, humor, fotografías, poesías, juegos… y, por supuesto, cine. Desde hace muchos años ha incorporado referencias constantes a las nuevas películas que aparecían y a muchas otras clásicas, donde aparece la oportuna referencia matemática. En concreto, lleva publicando en la revista Suma de la FESPM una sección sobre cine y matemáticas desde el año 2004. Cuando explica, en la introducción del libro, los motivos de la publi-

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cación de esta relación, nos dice el autor: En el propósito de lograr unas matemáticas que sean sugerentes y vitales, podemos utilizar el cine y las series de televisión. Podemos aprovechar su prestigio entre los alumnos, transformado en credibilidad. Paradójicamente, una ficción puede dar a las matemáticas relevancia y realidad en su mundo, hacerlas interesantes por ellas mismas y no solo por sus consecuencias académicas. El profesor Sorando ha agrupado muchas de las referencias que ha acumulado en su página en el libro que reseñamos, incluyendo con cada escena un grupo de actividades para realizar en el aula. Las actividades comprenden desde el último ciclo de primaria hasta bachillerato y, al final del libro, se incluye un provechoso esquema donde se señala en qué nivel se puede utilizar cada una de ellas. En la página de Divulgamat (http:// bit.ly/1N99D4k) puede verse una completa reseña del libro donde se incluye una escena de ejemplo y una entrevista con el autor. Las escenas están tomadas de películas muy conocidas como Una mente maravillosa, La habitación de Fermat, Cube, El apartamento, 21 Blackjack, Ágora, La ecuación preferida del profesor, La jungla de cristal

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • pp. 85-86 • enero 2016

INFORMACIONES

3 y muchas más. Además, se han incluido series de televisión como: Los Simpson, Futurama, Numbers, Friends, Mr. Bean… El Incluso se ha recuperado una serie de programas que pudimos utilizar en la década de los años 80 en nuestro país, y que se comercializaron con el título del Ojo Matemático. Todas las actividades, junto con sus escenas, están agrupadas por temáticas, de forma que podemos trabajar las siguientes cuestiones: números naturales, divisibilidad, fracciones, decimales, medida, potencias y raíces, proporcionalidad y porcentajes, sucesiones, álgebra, funciones, figuras planas, simetría, geometría 3D, combinatoria, probabilidad, estadística, resolución de problemas y educación en valores. El libro está preparado para llevarlo directamente a clase, solo hay que tener las partes del vídeo necesarias, pero esa labor también la ha facilitado el autor, que coloca en su página un enlace a todas las escenas que se citan en el libro. Es, por lo tanto, un material muy interesante para el aula y, como sabemos todos los que hemos trabajado ese medio en clase, un recurso muy atractivo y potente para captar la atención del alumnado de esos niveles educativos. José Muñoz Santonja josemunozsantonja@gmail.com

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Encuentros Conferencia Internacional Integración de la Tecnología en la Educación Matemática México, 29 de junio - 2 de julio de 2016

Conferencia que comprende dos eventos: la 14.ª edición del ACDCA (Austrian Center for Didactics of Computer Algebra) Summer Academy, que se centra en las cuestiones didácticas del uso de la tecnología para enseñar y aprender, y la 12.ª edición del CAS in Education & Research, que gira alrededor de la aplicación de los sistemas de álgebra por ordenador para enseñar en escuelas y universidades. Además, en esta edición se añade la III SUMEM Meeting, que se dedicará a la puesta en común de propuestas de mejora de la educación matemática.

XIII Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME-13) Hamburgo, 24-31 de julio de 2016 La Sociedad de Didáctica de la Matemática (Gesellschaft für Didaktik der Mathematik, GDM) tiene el placer de ser la anfitriona del ICME-13 en 2016 en Alemania. El congreso –que se realiza bajo el auspicio de la Comisión Internacional de Instrucción Matemática (International Commission on Mathematical Instruction, ICMI)– tendrá lugar en la Universidad de Hamburgo y en el Centro de Congresos de Hamburgo, un centro internacional de convenciones ubicado frente a la universidad. Los participantes en el congreso podrán vivenciar las particulares características de la tradición alemana en didáctica de la matemática, que se remonta a Felix Klein, el primer presidente de ICMI, y que está estrechamente vinculada a las tradiciones europeas de la didáctica de la matemática. Continuando con esta tradición en investigación podrán participar en discusiones sobre argumentación y prueba, enseñanza y aprendizaje de aplicaciones y modelización, formación de profesorado, relación entre teoría y práctica, importancia de la visualización y los modelos matemáticos y muchos temas más.

http://time2016.fciencias.unam.mx/

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 71 • enero 2016

www.icme13.org

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Los proyectos de trabajo en el aula Reflexiones y experiencias prácticas AA. VV.

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