Prezenta lucrare a fost concepută în conformitate cu programa școlară în vigoare pentru examenul de Bacalaureat, proba Matematică M1, folosindu-se notații și for mulări adecvate.
Lucrarea se constituie într-un ghid de pregătire continuă de-a lungul anilor de liceu și este structurată astfel:
l Clasa a IX-a – Algebră/Geometrie
l Clasa a X-a – Algebră/Geometrie
l Clasa a XI-a – Algebră/Analiză matematică
l Clasa a XII-a – Algebră/Analiză matematică
Fiecare temă din programa pentru Bacalaureat debutează cu o secțiune teoretică cuprinzând noțiuni esențiale, fiind urmată de exerciții și probleme. Au fost introduse numeroase probleme de tip exemple – contraexemple, care solicită atât verificarea unei bune asimilări a teoriei, cât și cunoașterea unui număr important de probleme standard.
Parcurgerea acestui auxiliar în mod sistematic, cu seriozitate și perseverență, ga rantează o excelentă pregătire la disciplina Matematică, reușita la susținerea exame nului de Bacalaureat, proba M1, cât și la admiterea în facultăți și universități.
Testele propuse, elaborate după modelul subiectelor date la Bacalaureat con form specificațiilor și programei de examen în vigoare, permit verificarea stadiului pregătirii.
Ultima parte a lucrării oferă soluții la exercițiile propuse și indicații de rezolvare.
Lucrarea poate servi ca un instrument eficient în evaluarea la clasă, pe tot parcur sul anilor de liceu.
Autorii, profesori cunoscuți pentru bogata lor activitate și pentru rezultatele ex cepționale obținute de elevii pe care aceștia i-au pregătit, vă recomandă călduros acest auxiliar și vă urează mult succes!
Cuvânt-înainte
CLASA A IX-A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elemente de logică matematică 7 Elemente de teoria mulțimilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Mulțimi de numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Inducția matematică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Șiruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Progresii aritmetice Progresii geometrice 23
Funcții numerice Funcția de gradul întâi 26
Funcția de gradul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Vectori în plan . Paralelism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Aplicații ale calculului vectorial în geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Elemente de trigonometrie 52
CLASA A X-A
Funcții . Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Funcția putere, funcția radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Ecuații iraționale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Funcția exponențială . Funcția logaritmică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Numere complexe 83
Forma trigonometrică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Funcții trigonometrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Ecuații trigonometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Probleme de numărare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Formula binomului lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Matematici financiare Procente, dobânzi, T V A 103
Interpretarea datelor statistice prin parametrii de poziție: medii . . . . . . . . . . . . . 104
Elemente de teoria probabilităților . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Coordonate carteziene în plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Ecuația dreptei în plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
CLASA A XI-A
Noțiuni preliminare 115 Matrice 116
Permutări . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Determinanți . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Aplicații ale determinanților . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Rangul unei matrice . Matrice inversabilă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Sisteme liniare 140 Șiruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Limite de funcții . Funcții continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Funcții derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
CLASA A XII-A
Noțiuni preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Structuri pregrupale 170 Grupuri 175 Morfisme și izomorfisme de grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Inele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Inele de polinoame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Polinoame cu coeficienți complecși 199 Funcții care admit primitive Funcții integrabile 205
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
• Multe din axiomele, definițiile și teoremele din matematică utilizează cuantificatorii: existențial (∃) sau universal (∀).
• Sunt două modalități de a crea alte propoziții plecând de la cele date. 1) Transformând o propoziție p în negația sa ¬p (se citește non p); 2) Combinând mai multe propoziții prin utilizarea conectorilor logici: a) conjuncția (notată ∧, se citește și); b) disjuncția (notată ∨, se citește sau); c) implicația (notată →, se citește implică); d) echivalența (notată ↔, se citește echivalent). p q ¬p p ∨ q p ∧ q p → q p ↔ q 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1
1. Determinați valoarea de adevăr a următoarelor propoziții: a) ∃ x ∈ Z a.î. 2x + 7 = 0; b) ∃ y ∈ Q a.î. 2y + 7 = 0; c) ∀ x ∈ Z* , x2 ≥ 1;
d) ∀ x ∈ R, | x − 2 | + | x − 10 | ≥ 8; e) 1739 este număr prim; f) a = 0,(1) ∈ R \ Q.
2. Completați următoarele texte:
a) „Cornel susține că toate problemele propuse la extemporal au fost dificile. Andrei susține că Bogdan nu are dreptate, deoarece …” b) Negația enunțului „Există elevi ai clasei a IX-a B care iubesc muzica rock” este ... .
Prin negare, „orice” trece în „există”, „există” trece în „oricare” și ultima relație se neagă.
3. Negați următorul enunț, care îi este atribuit lui Arhimede: „∀ x, y ∈ ℝ, y > 0 ∃ n ∈ ℕ ∗ a î x < n ⋅ y ”
•
O propoziție compusă se numește tautologie dacă este adevărată indiferent de valorile de adevăr ale propozițiilor sale componente.
• O propoziție compusă se numește contradicție dacă este falsă, indiferent de valorile de adevăr ale propozițiilor sale componente.
• Două propoziții s1, s2 se numesc echivalente și scriem s1⇔ s2 dacă s1 este simultan falsă sau simultan adevărată cu s2.
• În general, o demonstrație este formată dintr-o listă de propoziții date, numite premise, și o propoziție numită concluzie Dacă premisele sunt p1, p2, ... , pn și q este concluzia, vom avea: p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn → q (în ipoteză avem conjuncția a n premise).
4. Dacă propozițiile p, q sunt primitive astfel încât implicația p → q este falsă, aflați valoarea de adevăr pentru: a) p ∧ q; b) ¬p ∨ q; c) q → p; d) ¬q → ¬p.
5. Notăm cu T0 tautologia și cu F0 propoziția contradictorie. Cu ajutorul tabelelor de adevăr, demonstrați următoarele proprietăți ale algebrei propozițiilor:
1) ¬ ¬p ⇔ p (legea dublei negații);
2) ¬ (p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q, ¬ (p ∨ q) ⇔ ¬p ∧¬q (legile lui De Morgan);
3) p ∨ q ⇔ q ∨ p, p ∧ q ⇔ q ∧ p (legile comutativității);
4) p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r, p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r (legile asociativității);
5) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (distributivitatea lui ∨ față de ∧); p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (distributivitatea lui ∧ față de ∨).
6) p ∨ p ⇔ p, p ∧ p ⇔ p (legile de idempotență).
7) p ∨ F0 ⇔ p, p ∧ T0 ⇔ p (legile elementelor neutre);
8) p ∨ (¬p) ⇔ T0, p ∧ (¬p) ⇔ F0 (legile inversării);
9) p ∨ T0 ⇔ T0, p ∧ F0 ⇔ F0;
10) p ∨ (p ∧ q) ⇔ p; p ∧ (p ∨ q) ⇔ p (legile de absorbție).
6. Stabiliți valorile de adevăr ale propozițiilor compuse: p → (p ∨ q); p ∧ (¬p ∧ q).
7. Demonstrați că are loc echivalența: p → q (¬p ∨ q).
8. Fie predicatul p(x, y): „x y = 10”, unde x, y sunt numere reale. Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției: (∀y)(∃x) p(x, y) → (∃x)(∀y) p(x, y)
9. Verificați dacă sunt echivalente propozițiile:
a) „Pământul are doi Poli.”
b) „Polul Nord este diferit de Polul Sud.”
• Întemeietorul teoriei mulțimilor este Georg Cantor (1845–1918). Vom adopta așa-zisa „teorie naivă” a mulțimilor, în care: „o colecție de obiecte bine de terminate, distincte, ale intuiției sau gândirii noastre, considerate ca un tot” reprezintă o mulțime. Obiectele considerate se numesc elemente ale mulțimii.
• Dacă X, Y sunt două mulțimi, se spune că X este o submulțime a lui Y și notăm X ⊆ Y, dacă oricare x ∈ X, atunci x ∈ Y Dacă X ≠ Y și X ⊂ Y, X este strict inclusă în Y și scriem X ⊂ Y • X ∪ Y = {x | x∈ X ∨ x∈Y} reuniunea mulțimilor X și Y. X Y = {x | x∈ X ∧ x∈Y} intersecția mulțimilor X și Y.
X \ Y = {x | x∈ X ∧ x ∉ Y} diferența mulțimilor X și Y.
X Y = (X \ Y) ∪ (Y \ X) diferența simetrică a mulțimilor X și Y.
• Dacă M este o mulțime, P(M) = {XX ⊆ M} mulțimea submulțimilor (părților) lui M.
• Dacă X ⊆ M, diferența M \ X se notează CMX și se numește complementara mulțimii X în raport cu M. Uneori, atunci când mulțimea M se subînțelege, notăm mai simplu CX
• Fiind date două obiecte x și y. Perechea ordonată a obiectelor x și y este mulțimea notată cu (x, y) ce este definită astfel: (x, y) = {{x}, {x, y}}. Se mai numește și cuplu.
• X × Y = {(x,y) | x ∈ X ∧ y ∈ Y} se numește produsul cartezian1 al mulțimilor X și Y.
• Dacă între două mulțimi X și Y există o corespondență bijectivă (unu la unu), spunem că au același cardinal și scriem X ∼ Y. Cardinalul mulțimii X se notează | X |.
• O mulțime A se numește finită dacă A = ∅ sau, dacă A ≠ ∅, atunci există n ∈ N* astfel încât A ∼ {1, 2, , n}. În caz contrar, se numește mulțime infinită
Un cuplu (x, y) se deosebește de mulțimea {x, y}, atât prin ordinea elemen telor, cât și prin natura lor.
Produsul cartezian a trei mulțimi X, Y, Z se definește
X × Y × Z = (X × Y) × Z
Oricare element al său ( (x, y), z) se va nota mai simplu (x, y, z). Analog se definește produsul cartezian a n mulțimi.
1 Cartesius era numele latinizat al matematicianul René Descartes (1596–1650). Descartes și Fermat au algebrizat geometria clasică, generând geometria analitică.
10.
a) Fie date două perechi ordonate (x, y), (u, v). Are loc echivalența: (x, y) = (u, v) dacă și numai dacă x = u și y = v.
b) Fie X, Y mulțimi. Are loc echivalența: X × Y ≠ ∅ dacă și numai dacă X ≠ ∅ și Y ≠ ∅.
c) Fie X, Y mulțimi. Are loc echivalența: X × Y = ∅ dacă și numai dacă X = ∅ sau Y = ∅.
d) Fie X, Y mulțimi nevide. Are loc echivalența: X × Y = Y × X dacă și numai dacă X = Y
e) Fie X, Y mulțimi finite, cu | X | = m, | Y | = n, m, n ∈ ℕ*. Determinați | X × Y |
11.
a) În plan, alegem un sistem de coordonate carteziene OXY
Pentru mulțimile A = [0, 1], B = [0, 2], C = {0, 1}, D = [0, +∞), reprezentați A × B, A × A, B × A, B × B, A × C, C × A, C × C, A × D, D × A, D × D.
b) În spațiu, alegem un sistem de coordonate carteziene OXYZ. R3 = R × R × R = {{a, b, c) | a ∈ R, b ∈ R, c ∈ R}, se descompune în 8 octante. Pentru mulțimile A = [0, 1], B = [0, 2], C = {1}, reprezentați A × A × A, A × A × B, A × B × B, B × B × B, A × A × C, A × C × C.
12. a) Se consideră mulțimile A = {1}, B = {1, 2}, C = {1, 2, 3}. Determinați mul țimile P(A), P(B), P(C).
b) Se consideră mulțimea A finită, având n elemente, n ∈ ℕ. Determinați: i) A × A; ii) | P(A)|; iii) dacă are loc incluziunea P(A) × P(A) ⊂ P(A × A), pentru n ≥ 2; iv) câte elemente poate avea o mulțime finită A dacă P(A) și A × A au același număr de elemente.
c) Fie A = {2, {4, 5}, 4}. Care dintre afirmații este incorectă și de ce? i) {4, 5} ⊂ A; ii) {4, 5} ∈ A; iii) {{4, 5}} ⊂ A
d) Dacă A = {3, {1, 4}}, determinați |P(A)|.
13. Pentru oricare mulțimi A, B, C, D au loc egalitățile:
a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C); b) (B ∪ C) × A = (B × A) ∪ (C × A); c) (A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (A × D) ∪ (B × C) ∪ (B × D). Generalizare.
14. Determinați cardinalul mulțimii A = { n 2 n + 4 n 2 + 1 | n ∈ ℕ, 1 ≤ n ≤ 100}.
15. Fie șirul de mulțimi (A n) n ∈ ℕ ∗. Definim șirul (B n) n ∈ ℕ ∗ astfel: B1 = A1, B2 = A1 c ∩ A2, ... , Bk = A1 c ∩ A2 c ∩ ... ∩ Ak 1 c ∩ Ak , ..., unde prin Akc am notat complementara mulțimii Ak. Arătați că mulțimile Bk sunt disjuncte două câte două și ∪ k≥1 Ak = ∪ k≥1 Bk • Se consideră două mulțimi nevide A și I. O funcție f : I → P(A), f(i) = Xi , X i ∈ P(A) se numește familie de submulțimi ale lui A și se notează (Xi) i ∈ I • Se definesc: ∩ i ∈ I X i = {x | x ∈ Xi , ∀ i ∈ I} ∪ i ∈ I X i = {x | ∃ i ∈ I , x ∈ Xi} intersecția familiei (Xi) i ∈ I reuniunea familiei (Xi) i ∈ I
16. Determinați: a) ∩ n ≥ 1(0 , 1 n ); b) ∩ n ≥ 1( 1 n , 1 n ); c) ∩ n ≥ 1[0 , 1 n ]; d) ∪ n ∈ ℕ [ n , n]; e) ∪ n ≥ 1[0 , 2n 1 n ].
17. Considerăm un cerc C(O, R) de centru O și rază R > 0. Definim M mulțimea tu turor suprafețelor triunghiulare echilaterale deschise (ABC) înscrise în C(O, R). Determinați: a) ∪ (ABC) ∈ M (ABC); b) ∩ (ABC) ∈ M (ABC); c) Analizați cazul când triunghiurile sunt oarecare. (Generalizare în spațiu.) • Fie M o mulțime nevidă și A ∈ P(M). Definim funcția φ A : M → {0, 1}, φ A(x) = {1, x ∈ A 0, x ∈ M \ A . φA se numește funcția caracteristică a mulțimii A
Remarcă
Pentru a reține definiția, ne putem imagina o placă reprezentată în plan de M și un creion electric care se aprinde când atingem suprafața A (punem 1) și care nu se aprinde când atingem suprafața M\A (punem 0). 18. Fiind dată o mulțime nevidă M, arătați că pentru oricare A, B ∈ P(M) au loc relațiile: a) A = B ⇔ φA = φB
Repere din istoria matematicii
Probabil, cel mai amplu subiect posibil este infinitul. Oamenii de știință și teologii au încercat să-l descrie. În Antichitate, filosoful Parmenide pretindea că Universul constă dintr-un singur lucru care este veșnic și imuabil, mișcarea fiind iluzia la suprafața lucrurilor. Discipolul său, Zenon din Eleea (490–430 î.Hr.) a găsit argumente prin care să susțină teoriile lui Parmenide. „Paradoxurile” sale nu au putut fi respinse în Antichitate. Primul său paradox arată că mișcarea e impo sibilă, deoarece dacă vrei să ajungi dintr-un punct în altul, trebuie să parcurgi mai întâi jumătate din distanță, apoi jumătate din distanța rămasă, apoi jumătate din rest etc. și nu vei ajunge niciodată la destinație. ( 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + ... + 1 2 n < 1, ∀ n ∈ ℕ ∗)
Aristotel (384–322 î.Hr.), fost elev al lui Platon și profesor al lui Alexandru Macedon, a considerat că „infinitul există în potențialitate… Nu există un infinit în act” (real sau actual).
Geniul lui Georg Cantor (1845–1918) ne-a arătat calea de urmat pentru a rezolva paradoxurile infinitului pe care Galilei le identificase cu 300 de ani înainte. Cantor introduce în matematică infinitul actual prin utilizarea noțiunii de funcție bijectivă.
Pentru a percepe mai ușor și captivant primele rezultate asupra mulțimilor nu mărabile, David Hilbert a creat „povestea hotelului infinit”.
Paradoxuri, precum cel al lui B. Russell, i-au obligat pe matematicieni și pe logicieni să creeze un sistem axiomatic al teoriei mulțimilor care să evite astfel de cazuri. Ipoteza continuului spune că nu există un număr cardinal cuprins între cardinalul numerelor raționale și cardinalul numerelor reale. Matematicianul Kurt Gödel a demonstrat că dacă axiomele obișnuite care stau la baza teoriei mulțimi lor sunt necontradictorii, atunci sistemul lărgit de axiome, obținut prin adăuga rea ipotezei continuului, este de asemenea necontradictoriu. (Ipoteza continuului poate fi asemănată cu axioma paralelelor în geometrie.)
• O funcție f : A → B este injectivă dacă: ∀ x1, x2 ∈ A, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).
Prin negare obținem: O funcție f : A → B nu este injectivă dacă ∃ x1 ∈ A, ∃ x2 ∈ A cu x1 ≠ x2 a.î. f(x1) = f(x2)
• Fiind dată o funcție f : A → B, au loc echivalențele: 1) f este injectivă; 2) dacă x1, x2 ∈ A cu f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2; 3) ∀ y ∈ B ecuația în f(x) = y are cel mult o soluție x ∈ A. (Dacă A, B ⊆ ℝ, atunci orice paralelă la axa OX prin punctele y ∈ B taie graficul Gf în cel mult un punct.)
• Dacă I1, I2 ⊆ ℝ, I1 ∩ I2 = ∅ și f : I1 ∪ I2 → ℝ este o funcție, atunci are loc echivalența: f este injectivă
• O funcție f : A → B se numește surjectivă dacă pentru oricare y ∈ B există x ∈ A pentru care y = f(x). Astfel, putem considera echivalența: f este surjectivă ⇔[∀ y ∈ B ecuația în f(x) = y are cel puțin o soluție x ∈ A]. Determinarea lui x se realizează efectiv sau prin utilizarea unei teoreme de tip existențial. (Dacă A, B ⊆ ℝ, atunci orice paralelă la axa OX prin punctele y ∈ B taie gra ficul Gf în cel puțin un punct.)
Remarcă
f : A → B este surjectivă ⇔ Im f = B. Amintim că „sur” în limba franceză se traduce prin „pe”. Din acest motiv, acum o jumătate de secol, o funcție surjec tivă se numea funcție definită pe A cu valori pe B.
• O funcție este bijectivă dacă și numai dacă este injectivă și surjectivă. Deci f : A → B este bijectivă ⇔ [∀ y ∈ B ∃! x ∈ A a.î. y = f(x)].
• O funcție f : A → B este inversabilă dacă există g : B → A a.î. g ∘ f = 1 A și f ∘ g = 1 B.
• O funcție cu proprietățile precedente, dacă există, este unică, se numește inversa funcției f și se notează g = f 1
• O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.
• Pentru funcțiile A f → B g → C și compusa A g ∘ f → C, au loc afirmațiile: a) Dacă f și g sunt injective, atunci g ∘ f este injectivă. b) Dacă f și g sunt surjective, atunci g ∘ f este surjectivă. c) Dacă f și g sunt bijective, atunci g ∘ f este bijectivă.
• Dacă f și g sunt bijective, are loc egalitatea: (g ∘ f ) 1 = f 1 ∘ g 1 .
• Fiind date două mulțimi A și B spunem că A este cardinal echivalentă cu B și notăm A ~ B dacă există o funcție f : A → B bijectivă.
• Pe clasa funcțiilor, relația de cardinal echivalență ~ este o relație de echivalență (reflexivă, simetrică și tranzitivă).
• O mulțime A este finită dacă A = ∅ sau, dacă A ≠ ∅, atunci există n ∈ N* a.î. A ~ {1, 2, …, n}. În caz contrar, A se numește infinită.
• Fiind dată o mulțime A, definim |A| = {B | B ~ A} cardinalul mulțimii A
• O mulțime B ~ se numește numărabilă.
• Pentru mulțimile finite, cardinalele lor sunt numere naturale. Pentru mulțimile infinite, cardinalele lor sunt numere transfinite.
• De exemplu: || = || = || = ℵ0 (alef 0) sunt numărabile, iar || = c, de puterea continuului. O mulțime finită sau numărabilă se numește cel mult numărabilă.
Remarcă
Meritul lui Georg Cantor este că s-a hazardat în domeniul mulțimilor infinite și a creat o nouă teorie matematică.
Se consideră două mulțimi A și B. Dacă fiecare dintre ele este cardinal echivalentă cu o submulțime a celeilalte, atunci mulțimile sunt cardinal echivalente.
Dacă A este o mulțime arbitrară, atunci nu există bijecție între A și mulțimea submulțimilor sale P(A).
1. Studiați injectivitatea funcțiilor:
a) f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3, ∀ x ∈ ℝ;
b) h : ℝ → ℝ, h(x) = ax + b, ∀ x ∈ ℝ, a, b ∈ ℝ; c) p : ℝ → ℝ, p(x) = ax 2 + bx + c, ∀ x ∈ ℝ, a, b, c ∈ ℝ; d) g : ℝ → ℝ, g(x) = x 5 4 x 3 + 7, ∀ x ∈ ℝ.
2.
a) Dacă A ⊆ ℝ, f : A → ℝ este strict monotonă, atunci f este injectivă. Reciproca este adevărată?
b) Studiați injectivitatea funcției f : ℝ → ℝ, f (x) = x5 + 4x3 + 1. c) Dacă f și g sunt funcții strict crescătoare (descrescătoare), atunci f + g este o funcție strict crescătoare (descrescătoare).
3. Studiați injectivitatea funcției: f : ℝ → ℝ, f (x) = { 2x + 1 , x ≤ 0 3x + a , x > 0 , unde a ∈ ℝ.
4. Se consideră funcțiile A f → B g → C și A g ∘ f → C.
a) Demonstrați că următoarele afirmații sunt adevărate. a1) Dacă f și g sunt injective, atunci g ∘ f este injectivă. a2) Dacă g ∘ f este injectivă, atunci f este injectivă. b) Este adevărată implicația: g ∘ f injectivă ⇒ f injectivă și g injectivă?
5. Fie f : A → B o funcție. Demonstrați că are loc echivalența: f este injectivă ⇔ ∃ r : B → A astfel încât r ∘ f = 1 A. r se numește retractă (inversă la stânga) a lui f; r nu este, în general, unică.
6. Fie f : A → B o funcție. Demonstrați că are loc echivalența: f este surjectivă ⇔ ∃ s : B → A astfel încât f ∘ s = 1 B. s se numește secțiune (inversă la dreapta) a lui f; s nu este, în general, unică.
7. Determinați a ∈ ℝ pentru care funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = { x 2 , x ≤ 0 2x + a, x > 0 este: a) surjectivă; b) bijectivă. În acest caz aflați inversa f –1
8. Se consideră mulțimile A = {1, 2, 3} și B = {4, 5}.
a) Se poate construi o funcție injectivă f : A → B? b) Se poate construi o funcție surjectivă g : B → A?
c) Câte funcții injective h : B → A există? d) Câte funcții surjective s : A → B există?
9. Fie f : ℝ → ℝ o funcție care verifică relația funcțională f (f (x)) = 5x + 1, ∀ x ∈ ℝ. Arătați că f este bijectivă.
10. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 2x + 1.
a) Arătați că f este injectivă.
b) Arătați că f este surjectivă. c) Arătați că f este inversabilă și calculați f –1
11. Arătați că funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x 2 + x + 1 nu este injectivă. Determinați o restricție injectivă a lui f.
12. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = {2x + 1, x ≤ 0 5 x 2 + 2, x > 0
Arătați că f este funcție injectivă și determinați o funcție r : ℝ → ℝ pentru care r ∘ f = 1 ℝ. Această funcție r nu este unică.
13. a) Stabiliți care dintre următoarele funcții sunt injective: a1) f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1; a2) f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, a, b ∈ ℝ; a3) f : ℝ → ℝ, f(x) = |x 2| + |4 x|. b) Pentru oricare a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = a x 2 + bx + c nu este injectivă. Dați exemple de restricții ale lui f ce sunt injective. Câte există?
14. Arătați:
a) Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 5 este surjectivă. Verificați că preimaginea elementului y este x = y 5 3 .
b) Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x 3 + 17x 5 este surjectivă. Preimaginea elemen tului y este asigurată de o teoremă cunoscută din cadrul polinoamelor ce au coeficienți reali, pe care se cere să o enunțați.
Remarcă
Determinarea preimaginii x a lui y se realizează: efectiv, adică prin determina rea sa, ca formulă, sau prin utilizarea unei teoreme de existență, care o asigură.
15. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f(x) =
{ 2x + 1 , x ≤ 0 5 x 2 2 , x > 0.
Arătați că f este funcție surjectivă și determinați o funcție s : ℝ → ℝ pentru care f ∘ s = 1 ℝ.
16. Construiți o funcție f : ℝ → ℝ pentru care f ≠ 1 ℝ, f ∘ f ≠ 1 ℝ, f ∘ f ∘ f = 1 ℝ.
17. Se consideră funcția f :[1, ∞) → B, f(x) = x + 1 x , ∀ x ≥ 1.
a) Arătați că f este injectivă pentru oricare B ⊇ [2, ∞).
b) Determinați B pentru care f este surjectivă. c) În cazul când f este inversabilă, determinați inversa f –1 .
18. Fie a, b, c, d ∈ ℝ, a < b, c < d. Construiți o funcție:
a) f : [a, b] → [c, d] bijectivă; b) g : [0, 1] → (0, 1] bijectivă.
19. Studiați surjectivitatea funcțiilor: a) f : ℕ × ℕ → ℕ, f(x, y) = 3x + y; b) g : ℤ × ℤ → ℤ, g(x, y) = 3x 7y.
20. Determinați (a, b) ∈ ℝ × ℝ astfel încât funcția f : [1, 3] → [2, 6], f(x) = ax + b să fie bijectivă.
21. Studiați bijectivitatea funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = x n + 2x + 3, n ∈ ℕ, n ≥ 2.
22. Fie f : X → Y o funcție. Demonstrați echivalența următoarelor afirmații: a) f este injectivă; b) ∀ A, B ∈ P(X), f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
23. Determinați o condiție necesară și suficientă pentru ca funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x 3 + a x 2 + bx + c, a, b, c ∈ ℝ, să fie bijectivă.
24. Fie A o mulțime finită cu n ≥ 2 elemente. Mulțimea P(A) înzestrată cu relația de incluziune ⊆ este o mulțime ordonată, astfel că perechile (P(A), ⊆), (ℕ, ≤) sunt mulțimi ordonate. Funcția f : P(A) → ℕ, f (B) = |B|, ∀ B ∈ P(A), este strict crescătoare, dar nu este injectivă. Care este explicația?
25. Dacă A, B ⊆ ℝ și funcția f : A → B este bijectivă și strict crescătoare (descres cătoare), atunci funcția inversă f 1 : B → A este bijectivă și strict crescătoare (descrescătoare).
26. Înzestrăm ℕ * cu relația de divizibilitate, |, și obținem mulțimea ordonată (ℕ * , |) Funcția identică 1 ℕ ∗ : (ℕ * , |) → (ℕ * , ≤), 1 ℕ ∗(n) = n, ∀ n ∈ ℕ * este strict crescătoare. Puteți explica de ce funcția f 1 nu este strict crescătoare?
27. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, (f ∘ f )(x) = 5x 1, ∀ x ∈ ℝ. Arătați că f este bijectivă.
28. Se consideră o mulțime finită A și f : A → A o funcție, atunci are loc echivalența: a) f este injectivă; b) f este surjectivă; c) f este bijectivă.
29. Se consideră funcția f : ℝ → ( 1, 1), f(x) = x 1 + |x| a) Trasați graficul funcției f. b) Demonstrați că f este bijectivă.
c) Determinați f 1, inversa funcției f.
d) Pentru oricare a, b ∈ ℝ demonstrați că are loc inegalitatea: |a + b| 1 + |a + b| ≤ |a| 1 + |a| + |b| 1 + |b| .
30. a) Fiind date mulțimile finite A, B cu |A| = n, |B| = p, n, p ∈ ℕ * , atunci |F(A, B)| = p n, unde F(A, B) = { f | f : A → B, funcție}.
b) Verificați formula de la a) pentru următoarele cazuri particulare: i) n = 3, p = 1 ii) n = 1, p = 3 iii) n = 2, p = 3 iv) n =3, p = 2.
31. Determinați n ∈ ℕ * pentru care mulțimea A × A, cu |A| = n are același număr de elemente cu mulțimea P(A), a submulțimilor lui A.
32. Se consideră mulțimile finite A, B, cu |A| = n, |B| = p, n, p ∈ ℕ * .
a) Pentru n ≤ p, determinați |Fi(A, B)|, unde am notat Fi(A, B) mulțimea funcțiilor injective definite pe A cu valori în B.
b) Pentru n ≥ p, determinați |F s(A, B)|, unde am notat F s(A, B) mulțimea funcții lor surjective definite pe A cu valori în B
c) În câte moduri se pot împărți 4 obiecte distincte la 3 persoane astfel ca fiecare persoană să primească cel puțin un obiect?
33. Pentru orice mulțime A nu există o bijecție f : A → P(A), unde P(A) = {B | B ⊆ A}.
34. Arătați că au loc următoarele afirmații:
a) Orice reuniune a unei familii de mulțimi numărabile este numărabilă.
b) Produsul cartezian al unei familii finite de mulțimi numărabile este o mul țime numărabilă.
c) Mulțimea polinoamelor cu coeficienți întregi este numărabilă.
d) Mulțimea numerelor algebrice este numărabilă. (Un număr real γ este algebric, dacă există un polinom nenul P ∈ ℤ[X] a.î P(γ) = 0.)
e) Mulțimea numerelor reale este nenumărabilă. (Orice interval de lungime po zitivă este cardinal echivalent cu ℝ.)
f) Mulțimea numerelor transcendente1 (reale nealgebrice) este nenumărabilă.
g) Mulțimea tuturor funcțiilor f : A → B, unde A este finită și B este numărabilă, este numărabilă.
h) Mulțimea tuturor șirurilor convergente de numere naturale este numărabilă.
i) Orice familie de intervale deschise și disjuncte ale lui ℝ formează o familie cel mult numărabilă (finită sau numărabilă).
j) Orice mulțime deschisă și nevidă a lui ℝ este reuniune cel mult numărabilă de intervale deschise și disjuncte două câte două.
1
Existența numerelor transcendente a fost dovedită inițial de Liouville, în anul 1844.
• Fie I, M două mulțimi, P(M) mulțimea părților lui M. O funcție f : I → P(M), f(i) = Xi, ∀ i ∈ I se numește familie de submulțimi (sau părți) ale lui M și se notează (Xi) i∈I . Se definesc: Xx Mi Ix X i iI i ∈ =∈ ∃∈ ∈ {} |cu , numită reuniunea familiei (Xi) i∈I și Xx Mi Ix X i iI i ∈ =∈ ∀∈ ∈ {} |cu , numită intersecția familiei (Xi) i∈I .
• Caz particular: I = {1, 2, …, n}, atunci ∪ i∈IXi = X1 ∪ X2 ∪ … ∪ X n reuniunea a n mulțimi și Xx Mi Ix X i iI i ∈ =∈ ∀∈ ∈ {} |cu = X1 ∩ X2 ∩ … ∩ X n intersecția a n mulțimi. Pentru familia finită (Xk) 1≤k≤n de mulțimi se definește: X1 × X2 × … × X n = ={(x1, x2, …, x n)| x1 ∈ X1, …, x n ∈ X n} produsul cartezian al mulțimilor X1, …, X n .
• Caz particular: X1 = X2 = … = X n = X; atunci X1 × X2 × … × X n se notează X n . Un triplet (A, B, R) în care A, B sunt mulțimi și R ⊆ A × B se numește relație binară. Pentru A = B se numește relație omogenă. (a, b) ∈ R ⇔ aRb se citește „a este în relația R cu b”.
• Fiind date două relații R1, R2 între A și B, se definesc relațiile: R1 = A × B\ R1, R1 ∪ R2, R1 ∩ R2, R1 \ R2, R1 Δ R2 ca operații cu mulțimi. (B, A, R 1), relația definită prin (b, a) ∈ R 1 ⇔ (a, b) ∈ R, este inversa lui R.
• Fiind date relațiile binare (A, B, R1), (C, D, R2), relația (A, D, R2 ∘ R1), definită prin R2 ∘ R1 = {(a, d) ∈ A × D| ∃ c ∈ B ∩ C, (a, c) ∈ R1, (c, d) ∈ R2}, se numește compunerea acestora.
O relație omogenă (A, A, R) este: – reflexivă dacă ∀ a ∈ A, aRa; – simetrică dacă din aRb ⇒ bRa; – tranzitivă dacă din aRb și bRc ⇒ aRc;
– antisimetrică dacă aRb și bRa ⇒ a = b.
O relație omogenă (A, A, R) este de echivalență dacă R este r, s, t (reflexivă, simetrică și tranzitivă); dacă R este r, a, t (reflexivă, antisimetrică și tranzitivă) atunci este de ordine.
O relație binară (A, B, R) se numește relație funcțională sau funcție dacă: 1. ∀ a ∈ A ∃ b ∈ B a.î. aRb (orice element din A are cel puțin o imagine în B).
2. aRb, aRb' ⇒ b = b' (imaginea oricărui element a este unică).
Fiind dată o relație (A, A, R) de echivalență, pentru a ∈ A se definește C a = {x ∈ A| xRa} numită clasa de echivalență a elementului a. Mulțimea {C a | a ∈ A} a claselor de echivalență se notează A ⁄ R fiind numită mulțime factor (sau mulțime cât). ∅ ≠ S ⊆ A se numește sistem complet și independent de reprezentanți (SCIR) dacă: i) ∀ i, j ∈ S, i ≠ j ⇒ i nu este echivalent cu j ii) ∀ a ∈ A ∃ i ∈ S a. î. a ∼ i. Deducem că: A = ∪ a∈S C a . Fiind dată o mulțime nevidă A, o partiție a lui A este o submulțime nevidă Ρ ⊆ P(A)\{∅} care are proprietățile: a) ∀ C, D ∈ Ρ, C ≠ D ⇒ C ∩ D = ∅. b) A = ∪ B∈Ρ B. Orice relație de echivalență pe A induce o partiție și reciproc. Prin aplicarea axiomei alegerii putem selecta câte un singur element din fie care clasă a partiției (mulțime selectivă).
Fie n ∈ ℕ fixat, x, y ∈ ℤ. Spunem că x este congruent cu y modulo n dacă n|(x y).
Vom nota x ≡ y(mod n) sau uneori mai simplu x ≡ y(n). Pentru n = 0, x ≡ y(mod 0) ⇔ 0|(x y), adică x = y. Astfel, relația de congruență modulo 0 se reduce la relația de egalitate pe ℤ. Pentru n ∈ ℕ ∗ are loc echivalența: x ≡ y (mod n) ⇔ x = n q1 + r, y = n q2 + r, q1, q2, r ∈ ℤ, 0 ≤ r ≤ n 1
Se verifică proprietăți ale congruenței modulo n:
1) x ≡ x(mod n) (reflexivitate);
2) x ≡ y(mod n) ⇒ y ≡ x(mod n) (simetrie);
3) x ≡ y(mod n) și y ≡ z(mod n) ⇒ x ≡ z(mod n) (tranzitivitate).
Deci relația introdusă este o relație de echivalență.
Clasa elementului x ∈ ℤ se notează x = {y ∈ ℤ| y ≡ x(mod n)} = x + nℤ. Mulțimea tuturor claselor de resturi modulo n se notează ℤ n = {0, 1, …, n 1 }, deoarece {0, 1, 2, , n 1} formează complet de resturi modulo n Alte proprietăți ale congruenței modulo n.
4) x ≡ y(mod n), x' ≡ y'(mod n) ⇒ x + x' ≡ y + y'(mod n), x ⋅ x' ≡ y ⋅ y'(mod n), x x' ≡ y y'(mod n)
5) x ≡ y(mod n), k ∈ ℕ ∗ ⇒ x k ≡ y k(mod n).
6) Dacă x ≡ y(mod n) și t ∈ ℤ ⇒ x ⋅ t ≡ y ⋅ t(mod n); dacă g ⋅ x ≡ g ⋅ y(mod n) și (g, n) = 1 ⇒ x ≡ y(mod n).
1. a) Determinați: P(∅), P({1}), P({1, 2}).
b) Pentru mulțimile A, B are loc echivalența: A ⊆ B ⇔ P(A) ⊆ P(B).
c) Dacă mulțimea A este finită, cu |A| = n, atunci |P(A)| = 2 n .
2. a) Determinați: 21
n AB n nn ≥≥
= =− .
111 0,, , nn
b) Scrieți ℝ\ℤ ca o reuniune de intervale deschise.
3. a) Fie A = {1, 2, 3, 4}. Stabiliți dacă R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}, R2 = {(x, y)| x ≤ y} sunt reflexive pe A.
b) Dacă |B| = n, n ∈ ℕ ∗, câte relații reflexive se pot defini pe B? c) Dacă |B| = n, n ∈ ℕ ∗, câte relații se pot defini pe B?
4.
a) Fie A = {1, 2, 3}. Stabiliți dacă R1 = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)}, R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 3)} sunt simetrice pe A
b) Dacă |B| = n, n ∈ ℕ ∗, câte relații simetrice se pot defini pe B?
c) Dacă |B| = n, n ∈ ℕ ∗, câte relații se pot defini care să fie atât reflexive, cât și simetrice?
5.
a) Relația de divizibilitate pe ℕ este tranzitivă? Dar reflexivă sau simetrică sau antisimetrică?
b) Pe mulțimea A = {1, 2, 3, 4} relația {(1, 1), (2, 3), (3, 4), (2, 4)} este tranzitivă?
c) Pe ℤ definim relația aRb ⇔ ab ≥ 0. Este tranzitivă?
6.
a) Fie M o mulțime nevidă. Pe mulțimea părților P(M) definim relația: (A, B) ∈ R ⇔ A ⊆ B Studiați proprietățile acestei relații.
b) Fie A = {1, 2, 3} și R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)}. Este R antisimetrică?
c) Dacă |B| = n, n ∈ ℕ ∗, câte relații se pot defini care să fie antisimetrice?
7. Fie A o mulțime finită cu n elemente. Care dintre afirmațiile următoare este adevărată?
a) Dacă R este o relație reflexivă pe A, atunci |R| ≥ n.
b) Dacă R este o relație pe A cu |R| ≥ n, atunci R este reflexivă.
c) Dacă R1 ⊆ R2 sunt relații omogene pe A și R1 este reflexivă (simetrică, an tisimetrică, tranzitivă), atunci R2 este reflexivă (simetrică, antisimetrică, tranzitivă).
d) Dacă R este o relație de echivalență pe A, atunci n ≤ |R| ≤ n 2
8. Pe mulțimea A = {1, 2, 3, 4} definim relația R = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 2)}
Calculați R n , n ≥ 1.
9. Fie o mulțime A ≠ ∅ și ∼ o relație de echivalență pe A. Pentru a ∈ A definim C a={x ∈ A| x ∼ a}. Atunci au loc afirmațiile:
a) ∅ ≠ C a ⊆ A. c) a ∼ b ⇔ C a = Cb.
b) ∀ a, b ∈ A ⇒ C a ∩ Cb = ∅ sau C a = Cb. d) a aA AC ∈
= .
10. Fie D = mulțimea dreptelor din plan. Pentru oricare două drepte d, l ∈ D definim relația: d ∼ l ⇔ [d = l sau d | | l].
a) Arătați că relația ∼ este o relație de echivalență pe D. b) Deteminați o mulțime selectivă S.
11. Toate sălile de clasă ale unui liceu sunt ocupate cu elevii care învață în schimbul de dimineață. Astfel s-a realizat o partiție a mulțimii A formate din acești elevi. a) Definiți o relație de echivalență pe A astfel încât clasele de echivalență să coincidă cu elementele partiției. b) Determinați o mulțime S selectivă.
12. a) În mulțimea ℂ a numerelor complexe, definim relația ∼ prin: z1 ∼ z2 ⇔ ⇔ |z1| = |z2|. Arătați că ∼ este o relație de echivalență și determinați mulțimea factor (cât) ℂ ⁄∼.
b) În mulțimea ℝ a numerelor reale, definim relația ∼ prin: x ∼ y ⇔ x y ∈ ℤ. Arătați că ∼ este o relație de echivalență și determinați mulțimea factor (cât) ℝ ⁄∼. c) În mulțimea ℝ a numerelor reale, definim relația ∼ prin: x ∼ y ⇔ ∃ k ∈ ℤ a. î. x y = 2kπ. Arătați că ∼ este o relație de echivalență și determinați mulțimea factor (cât) ℝ ⁄∼
13. a) Fie o mulțime A cu n elemente, 1 ≤ k ≤ n Arătați că S(n, k) = numărul de partiții a n elemente în k clase este: S(n, k) = { 1, k = 1 sau k = n S(n 1, k 1) + k ⋅ S(n 1, k) , 2 ≤ k ≤ n 1. (numerele lui Stirling1 de-al doilea tip)
b) Pentru 2 ≤ k ≤ n, S(n + 1, k) = ∑ i=1
n C n i ⋅ S(i, k 1)
c) Verificați tabelul următor (numit triunghiul lui Stirling). S(n, k) n = 1 2 3 4 5 6 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6
1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 3 1 0 0 0 1 7 6 1 0 0 1 15 25 10 1 0 1 31 90 65 5 1
a) o funcție f : ℤ → ℤ care este injectivă și nesurjectivă; b) o funcție g : ℤ → ℤ care este surjectivă și neinjectivă; c) o funcție h : ℚ → ℚ care este surjectivă și h(n) = 0, ∀ n ∈ ℕ. (Admitere Facultatea de Matematică, București, 1993)
1 James Stirling (1692–1770), matematician englez.
15. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, a, b ∈ ℝ, a ≠ 0. Pentru n ∈ ℕ ∗ , Calculați φ n = f ∘ f ∘ … ∘ f n ori și φ n 1 . (Admitere Facultatea de Management, București, 1995)
16. Deduceți criteriile de divizibilitate în ℕ cu 2, 3, 4, 5, 9, 11 17. Să considerăm șirul lui Fibonacci (F n) n≥0 definit inductiv astfel: F0 = 0, F1 = 1, F n = F n 1 + F n 2, ∀ n ≥ 2. Determinați toți termenii șirului care se divid prin 5.
• Fie M o mulțime nevidă. O funcție f : M × M → M, (x, y) → f(x, y) se numește lege de compoziție internă (sau operație algebrică). Elementul f(x, y) se numește compusul lui x cu y.
• Notații ale compusului: x ∗ y; x ∘ y; x + y; x y etc.
• Cuplul (M, ∗) se numește grupoid.
• În cazul unui grupoid finit, pentru vizualizarea operației ∗, se utilizează tabla lui Cayley: ∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗
a aa aa aa aa aa aa aa aa a
aa aa aa aa aa aa a aa aa aa aa a a
jn jn jn i
12 11 11 21 1 22 12 22 2
la intersecția liniei i cu coloana j se află ai ∗ aj, tabla operației de compunere pe M.
ii ij in nn nn jn n
12 12
∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗
• Fie (M, *) un grupoid și ∅ ≠ H ⊆ M este parte stabilă a lui M în raport cu operația * (sau subgrupoid) dacă: ∀ x, y ∈ H ⇒ x * y ∈ H. În acest caz, funcția * : H × H → H se numește operația indusă pe H de operația * de pe M. • Fie (M, *) un grupoid, n ∈ ℕ* , a1, a2, …, a n ∈ M. Atunci definim recurent compusul unei familii finite a1 ∗ a2 ∗ … ∗ a n = { a1 , n = 1 (a1 ∗ a2 ∗ ∗ a n 1) ∗ a n, n ≥ 2 Cazul a1 = … = a n = a, în notație aditivă este na și în notație multiplicativă este a n .
• O operație algebrică ∗ este asociativă pe M dacă ∀ x, y, z ∈ M ⇒ (x ∗ y) ∗ z = = x ∗ (y ∗ z).
Un grupoid (M, ∗) în care operația este asociativă se numește semigrup.
• Fie (M, ∗) un grupoid. Dacă există e s ∈ M a.î. e s ∗ x = x, ∀ x ∈ M, atunci e s este element neutru la stânga pentru operația algebrică ∗
Dacă există ed ∈ M a.î. x ∗ ed = x, ∀ x ∈ M, atunci ed este element neutru la dreapta pentru operația algebrică ∗ Dacă există e ∈ M a.î. e ∗ x = x ∗ e = x, ∀ x ∈ M, atunci e este element neutru pentru operația algebrică ∗ (e este element neutru la stânga și la dreapta).
Un semigrup (M, ∗) care admite element neutru se numește monoid.
• Fie (M, ∗) un grupoid care admite pe e ca element neutru. Un element x ∈ M posedă un element x' ∈ M ca simetric la stânga (dreapta), dacă x' ∗ x = e, respectiv x ∗ x' = e. Dacă ∗ este asociativă, adică (M, ∗) este un monoid, atunci dacă x posedă un element simetric la stânga și un element simetric la dreapta, acestea sunt egale, fiind numit simetricul lui x. În notație multiplicativă simetricul lui x este x 1, iar în notație aditivă este −x.
• Dacă într-un monoid (M, ∗) elementele a și b sunt simetrizabile, atunci a ∗ b este simetrizabil și (a ∗ b)′ = b′ ∗ a′ .
• Dacă într-un grupoid (M, ∗), a ∗ b = b ∗ a, ∀ a, b ∈ M spunem că el este comutativ.
18. a) Dacă |M| = 2, câte operații se pot defini pe mulțimea M? b) Dacă |M| = n, n ∈ ℕ ∗, câte operații se pot defini pe mulțimea M?
19. a) Fie f, g : ℝ → ℝ, f(x) = x, g(x) = x, ∀ x ∈ ℝ, M = {f, g}. Alcătuiți tabla ope rației de compunere pe M. b) Alcătuiți tablele operațiilor de ∪ și ∩ pe mulțimea P(A), unde A = {1, 2}
20. Stabiliți care sunt grupoizi dintre: a) (ℕ, +); b) (ℕ, ); c) (ℕ, ⋅); d) (ℤ, +)); e) (ℤ, ); f) (ℚ, +); g) (ℚ, ); h) (ℚ, ⋅);
i) (ℚ, : ); j) (ℚ ∗ , +); k) (ℚ ∗ , ⋅ ); l) (ℚ + ∗ , +); m) (ℚ + ∗ , ); n) (ℝ\ℚ, +); o) (ℝ\ℚ, ⋅); p) (ℝ, +);
q) (ℝ, ⋅); r) (ℝ ∗ , ⋅); s) (ℝ + ∗ , +); t) (ℤ ∗ , +); u) (ℂ, +); v) (ℂ ∗ , +); w) (ℂ ∗ , ⋅).
21. Pentru n ∈ ℕ, se notează nℤ = {nk| k ∈ ℤ}. Stabiliți care dintre următoarele afirmații sunt adevărate:
a) 2ℤ este parte stabilă a lui ℤ în raport cu +. b) 3ℤ este parte stabilă a lui ℤ în raport cu +. c) nℤ este parte stabilă a lui ℤ în raport cu +. d) H = {z ∈ ℂ| |z| = 1} este parte stabilă a lui ℂ în raport cu . Dar în raport cu +? e) H = { 1, 1} este parte stabilă a lui ℤ în raport cu ⋅ . f) 2ℤ + 1 = {2k + 1| k ∈ ℤ} este parte stabilă a lui ℤ în raport cu ⋅. Dar în raport cu +?
22. Fie n ∈ ℕ ∗ fixat și ℤ n = {ˆ0, ˆ 1, , ˆ n 1 } mulțimea claselor de resturi modulo n Arătați că operațiile sunt corect definite:
a) ∀ ˆ a , ˆ b ∈ ℤ n ⇒ ˆ a + ˆ b = ˆ a + b . b) ∀ ˆ a , ˆ b ∈ ℤ n ⇒ ˆ a ⋅ ˆ b = ˆ a ⋅ b .
23. Este H = {ˆ0, ˆ 1, ˆ 2} parte stabilă a lui ℤ 4 în raport cu +? Dar în raport cu ⋅?
24. a) Pentru orice a ∈ ℝ considerăm matricea A(a) = (1 + 5a 10a 2a 1 4a). Arătați că H = {A(a)| a ∈ ℝ} este parte stabilă a lui ℳ2(ℝ) în raport cu înmulțirea matricelor.
b) Fie mulțimea M = {(a 0 0 b)| a, b ∈ ℤ}. Arătați că M este o parte stabilă a lui ℳ2(ℤ) în raport cu operațiile de adunare și de înmulțire a matricelor.
c) Fie L = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
⎛ ⎜ ⎝
1 0 a a 1 a 2 2 0 0 1
⎞ ⎟ ⎠ | a ∈ ℝ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ . Arătați că L este o parte stabilă a lui ℳ3(ℝ) în raport cu înmulțirea matricelor.
25. Arătați că mulțimea M este parte stabilă în raport cu operația algebrică specificată:
a) M = [3, + ∞), x ∘ y = xy 3x 3y + 12; b) M = [4, 6], x ∘ y = xy 5x 5y + 30; c) M = [ 1, 1], x ∗ y = xy √ x 2 y 2 x 2 y 2 + 1
26. Fie H = {a + b 3 √ 2 + c 3 √ 4 | a, b, c ∈ ℚ, a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0}. Arătați că H este parte stabilă a lui ℝ în raport cu înmulțirea.
27. Fie ℤ[i] = {a + bi| a, b ∈ ℤ}, unde i 2 = 1. Dacă A ⊆ ℤ[i] este o parte stabilă în raport cu adunarea și { 1, 1, i, i} ⊂ A, atunci A = ℤ[i].
28. a) Fie H o parte stabilă a lui ℂ în raport cu adunarea. Dacă {z ∈ ℂ| |z| = 1} ⊂ H, atunci H = ℂ. b) Pentru n ∈ ℕ ∗, Arătați că U n = {z ∈ ℂ| z n = 1} este parte stabilă a lui ℂ în raport cu înmulțirea.
c) Determinați M, părțile finite ale lui ℂ, stabile în raport cu operația de înmulțire.
29. Fie n ∈ ℕ ∗ , U n = {z ∈ ℂ| z n = 1}.
a) Arătați că U n este parte stabilă a lui ℂ ∗ în raport cu înmulțirea numerelor complexe.
b) Reprezentați în planul complex U n pentru 1 ≤ n ≤ 10. c) Pentru ε 1 = cos 2π n + i sin 2π n ∈ U n, definim mulțimea ℤ[ε 1] = {a0 + a1 ⋅ ε 1 + a2 ⋅ · ε 1 2 + + a n 1 ⋅ ε 1 n 1 | ak ∈ ℤ, 0 ≤ k ≤ n 1}. Arătați că ℤ[ε 1] este parte stabilă a lui ℂ ∗ în raport cu operația de înmulțire.
30. a) Fie (M, ∗) un semigrup, m, n ∈ ℕ ∗ , a1, …, a n+m ∈ M. Atunci are loc egalitatea: a1 ∗ a2 ∗ … ∗ a n+m = (a1 ∗ a2 ∗ … ∗ a n) ∗ (a n+1 ∗ a n+2 ∗ … ∗ a n+m).
(Legea de asociativitate generalizată) b) Legea de asociativitate generalizată poate fi aplicată pentru un număr infinit de elemente ale unui semigrup?
31. a) Fie M = ( π 2 , π 2 ) și definim a ∗ b = arctg(tg a + tg b), ∀ a, b ∈ ( π 2 , π 2 ). Arătați că ∗ este asociativă. b) Pe ℝ definim operația algebrică a ∗ b = a ⋅ b + a + b. Arătați că ∗ este asoci ativă, apoi că G = ( 1, + ∞) este parte stabilă a lui ℝ în raport cu ∗.
32. Fie a, b, c ∈ ℤ, b ≠ 0. Se definește în ℤ operația algebrică x ∗ y = axy + b(x + y) + c. Arătați că ∗ este asociativă ⇔ b 2 b ac = 0
33. Fie (M, ∗) un grupoid ce admite e s, ed elemente neutre la stânga și la dreapta. Atunci e s = ed = e ∈ M este element neutru.
34. Demonstrați că, pentru n ∈ ℕ, n ≥ 2, (ℳ n (ℂ), ⋅) este monoid necomutativ.
35. Determinați elementele neutre (dacă există) din grupoizii: (ℕ, +); (ℕ ∗ , +); (ℤ, ⋅); (ℤ ∗ , ⋅); (ℤ, +); (ℂ, ⋅); (ℳ n (ℂ), +); (ℳ n (ℂ), ⋅).
36. Pe mulțimea ℚ a numerelor raționale este definită legea de compoziție internă x ∗ y = x + y + 3xy, ∀ x, y ∈ ℚ. Arătați că (ℚ, ∗) este un monoid comutativ.
37. Fie un monoid (M, ∗) cu e element neutru și H o parte stabilă a lui M în raport cu operația algebrică ∗ astfel încât dacă e ∈ H, atunci e este element neutru al lui H.
38. Fie H = {(a 5b b a )| a, b ∈ ℚ}. Arătați:
a) H este parte stabilă a lui ℳ2(ℚ) față de înmulțire. b) I2 ∈ H. c) I2 este element neutru al lui H.
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I 30 de puncte
5p 1. Se consideră numărul real s = 1 + 1 3 + 1 3 2 + . . . + 1 3 2022 . Calculați [s 1 2 ].
5p 2. Fie a ∈ ℤ, b, c ∈ ℝ și funcția f : ℝ → ℝ, f (x ) = ax 2 + bx + c. Știind că f (1) = 1, f (3) = 3 și ecuația f (x) = 0 nu are soluții reale, arătați că b, c ∈ ℤ, și f (2) = 1.
5p 3. Calculați tg x, știind că x ∈ ( 3π 4 , π) și sin 2x = 3 5 .
5p 4. Care este probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor de trei cifre, acesta să aibă cifrele pare și distincte?
5p 5. Fie punctele A(3, 5), B( 2, 5) și C(6, 3). Determinați ecuația medianei co respunzătoare laturii BC a triunghiului ABC.
5p 6. Dacă în triunghiul ABC are loc relația sin2A + sin2B = sin2C, atunci triunghiul este dreptunghic.
SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte
1. Fie m ∈ ℝ și A = ( 2 1 1 1 m 1 3m + 4 1 0 ) ∈ M3(ℝ).
5p a) Calculați det A. 5p b) Determinați m ∈ ℝ astfel încât matricea A să fie inversabilă. 5p c) Determinați m ∈ ℝ astfel încât A 1 = A ∗ . 2. Pentru a, b ∈ M = [0, +∞) se definește a ∗ b = ln(e a + e b 1) 5p a) Arătați că a ∗ b ∈ M, ∀ a, b ∈ M 5p b) Arătați că legea ∗ este asociativă. 5p c) Determinați a ∈ M astfel încât a ∗ a ∗ ∗ a de 2022 ori
= 2a
SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x ) = |x 1| e x . 5p a) Arătați că f nu este derivabilă în punctul x0 = 1. 5p b) Determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației f(x ) = 1 e 2 . 5p c) Calculați lim n→+∞(f (1 ) + f (2 ) + . . . + f (n)).
2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = cos x 1 + sin 2 x
5p a) Arătați că ∫ 0
p 2 f(x)dx = π 4 .
5p b) Arătați că orice primitivă a funcției f este mărginită.
5p c) Calculați ∫ 0
2p f(x)dx.
SUBIECTUL I 30 de puncte
5p 1. Calculați 4 + 3i 3 4i 2 + i 1 2i
5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 4 x 2 α ⋅ x + 1, α ∈ ℝ. Determinați α ∈ ℝ pentru care valoarea minimă a funcției este − 3
5p 3. Rezolvați ecuația logx+2 4 + log√ x+2 4 = 6.
5p 4. Care este probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor de trei cifre, acesta să aibă suma cifrelor un număr par și cifrele să fie distincte?
5p 5. În reperul XOY se consideră punctele A(2, 0), B(1, 6) și C(4, 2). Determinați coordonatele punctului D, știind că ⟶ AB + ⟶ AC = ⟶ AD 5p 6. Se consideră triunghiul ABC, astfel încât AB = 5, AC = √ 165 și cos A = 3 5 Determinați BC și raza cercului circumscris triunghiului ABC.
SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte
1. Fie A matricea coeficienților sistemului 20 3 0, 20
++= −+⋅=∈ −++= .
xyz xymzm xyz
5p a) Calculați det A 5p b) Determinați m ∈ ℝ astfel încât sistemul să admită soluții nenule. 5p c) Dacă m = 0, arătați că, pentru orice (x0 , y0 , z0) soluție nenulă a sistemului, expresia z0 2 + x0 2 + y0 2 z0 2 x0 2 y0 2 este constantă.
2. Pe mulțimea ℤ[i] = {a + ib | a, b ∈ ℤ} se definește legea z1 ∗ z2 = z1 ⋅ z2 + Im z1 ⋅ Im z2
5p a) Calculați − 2 ∗ i 5p b) Arătați că legea ∗ este asociativă. 5p c) Arătați că ecuația z1 ∗ z2 = 3, z1 , z2 ∈ ℤ[i] admite cel puțin 2022 de soluții.
SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x ) = x 2 + √ 2 ⋅ x + 5 √ x 2 + 1 .
5p a) Determinați f '(x).
5p b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției f 5p c) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției spre + ∞ 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x ) = − x 3 + 2 x 2 5x + 8 x 2 + 4 , ∀ x ∈ ℝ
5p a) Calculați: ∫ 0
5p b) Calculați ∫–2
1(f(x) + x x 2 + 4 )dx.
2 f(x)dx
5p c) Admițând că funcția f este bijectivă, calculați ∫ 2 4 5 f –1(x)dx
TESTUL 3
SUBIECTUL I 30 de puncte
5p 1. Fie x1, x2 soluțiile ecuației x 2 + a ⋅ x + 1 = 0 și y1 , y2 soluțiile ecuației y 2 + b ⋅ y + 1 = 0. Calculați (x1 y1)(x2 y1)(x1 + y2)(x2 + y2).
5p 2. Determinați a, b ∈ ℝ astfel încât a(1 + i) + b(3 + 2i) = 2(a 2i) + |√7 + 3i| = b ⋅ i.
5p 3. Rezolvați ecuația x log 3 2x+3log 3x = 3 8 3log √8 4 .
5p 4. Care este probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor de trei cifre, acesta să aibă cifra sutelor și cifra zecilor multiplu de 7?
5p 5. În reperul XOY se consideră dreapta d de ecuație y = 3x – 2 și punctul A(a, a), a ∈ ℝ. Determinați numărul real a, știind că simetricul punctului A față de axa Ox aparține dreptei d
5p 6. Calculați tg(arctg 2 + arcsin √ 2 3 ).
SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte
1. Fie A matricea coeficienților sistemului , unde a, b, c ∈ ℝ.
5p a) Arătați că det A = (a b)(b c)(c a).
5p b) Știind că a ≠ b ≠ c ≠ a, rezolvați sistemul.
5p c) Rezolvați sistemul, dacă a = b ≠ c
2. Se consideră matricea A = ( 2 2 1 1) și mulțimea M = {X(a) = I2 + a ⋅ A | a ∈ ℝ\{ 1}}
5p a) Arătați că mulțimea M este parte stabilă în raport cu înmulțirea matricelor pătratice de ordin 2
5p b) Determinați E ∈ M astfel încât E ⋅ X(a ) = X(a ) ⋅ E = X(a) , ∀ X(a) ∈ M.
5p c) Determinați a ∈ ℤ astfel încât inversa matricei X(a) ∈ M să aibă toate elementele numere întregi.
SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte
1. Se consideră funcția f : (0, + ∞) → ℝ, f(x) = (x + 1) 1 x
5p a) Determinați lim x→+∞ f (x).
5p b) Arătați că x (x + 1) ⋅ ln(x + 1) < 0, ∀ x > 0.
5p c) Arătați că f este strict descrescătoare.
2. Fie șirul (I n) n ∈ ℕ ∗ , I n (a) = ∫ 0
1 ln(x 2 + a) x + a dx, a ≥ 1
5p a) Calculați I1 (a) 5p b) Arătați că șirul (I n) n ∈ ℕ ∗ este strict descrescător. 5p c) Arătați că lim n→+∞ I n (1 ) = 0
SUBIECTUL I 30 de puncte
5p 1. Fie funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = x 2 2x + 3 și g(x) = x 2 + 4x + a, a ∈ ℝ. De terminați a ∈ ℝ astfel încât mulțimea {(x, f(x))| x ∈ ℝ} ∩ {(x, g(x))|x ∈ ℝ} să aibă exact un element. 5p 2. Fie z = x + i ⋅ y, x, y ∈ ℝ, x ≠ 0. Arătați că |z i ⋅ x| = |z + i ⋅ x| ⇔ Im z = 0. 5p 3. Rezolvați ecuația: 2 3x + 1 = 2 x + 4 x .
5p 4. Arătați că numărul 2022 ⋅ C 2021 240 este divizibil prin 241. 5p 5. Dacă punctele A(0, 0) și B(1, √ 3 ) sunt două dintre vârfurile triunghiului echi lateral ABC, determinați coordonatele vârfului C.
5p 6. Unul din unghiurile unui trapez isoscel este de 45°. Știind că înălțimea trapezului este √ 2 , determinați suma lungimilor laturilor neparalele.
SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte
1. Se consideră sistemul { x + y + z = 7 ⋅ 2a 2x + 3z = 2a+3 x + 2 a ⋅ y + 2 a ⋅ z = 2a + 6 , unde a ∈ ℝ.
5p a) Determinați a ∈ ℝ pentru care sistemul are soluție unică.
5p b) Dacă a ≠ 0, determinați soluțiile (x0 , y0 , z0) ale sistemului cu proprietatea că: x0 2 + y0 2 + z0 2 = 168.
5p c) Dacă a = 0, precizați natura sistemului.
2. Fie matricele A = (1 0 0 0) și B = (0 0 1 0) și mulțimea G = {I2 + a A + b B | a, b ∈ ℝ, a ≠ 1}.
5p a) Arătați că G este parte stabilă în raport cu înmulțirea matricelor pătratice de ordin 2.
5p b) Arătați că orice matrice din mulțimea G este inversabilă.
5p c) Arătați că ecuația: X 2 = I2 are o infinitate de soluții în G
SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte
1. Se consideră funcția f : (1, + ∞) → ℝ, f (x) = x n x 1 , unde n ∈ ℕ, n ≥ 3.
5p a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției f. 5p b) Dacă x n este punctul de extrem al funcției f, arătați că lim n→+∞
5p c) Demonstrați că 3f(7 ) < f(5 ) + 2f(8) pentru orice n ≥ 5.
f(x n) n 1 = e
2. Se consideră (I n) n∈ℕ ∗ , I n = ∫ 0
1 (1 x 2) n dx. 5p a) Calculați I2. 5p b) Arătați că: I n = 2n 2n + 1 I n 1, ∀ n ≥ 2. 5p c) Arătați că șirul (I n) n∈ℕ ∗ este convergent.
SUBIECTUL I 30 de puncte
5p 1. Rezolvați inecuația: x 1 x + 1 ≥ 3x x + 2 5p 2. Fie progresia aritmetică (a n ) n ∈ ℕ ∗ de rație r ∈ ℝ ∗. Arătați că S n = ∑ k=1
n ( 1) k C n k ak+1 nu depinde de n
5p 3. Fie ecuația x 6 x 3 + 1 = 0. Determinați rădăcinile ecuației cu proprietatea că argumentele acestor rădăcini se află în intervalul (270°, 360°).
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând o funcție f : {0, 1, 2, 3, 4} → {0, 1, 2}, aceasta să verifice că: f (0 ) + f (1 ) + f (2 ) + f (3 ) + f (4 ) = 2.
5p 5. Arătați că: 0 < sin 3 < 0,15.
5p 6. Fie G centrul de greutate și I centrul cercului înscris ale triunghiului ABC. Arătați că: → GI = 2b a c a + b + c ⟶ AB + 2c a b a + b + c ⟶ AC
SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte
1. Fie matricea A = (1 1 0 0 0 1 0 1 0) ∈ ℳ3 (ℝ).
5p a) Verificați relația: A 3 A 2 A + I3 = O3
5p b) Arătați că: A n A n 2 = A 2 I3 , ∀ n ≥ 3
5p c) Determinați n ∈ ℕ ∗ știind că suma elementelor matricei An este 2025.
2. Fie polinomul f = x 3 + x 2 + a ⋅ x + b, a, b ∈ ℝ.
5p a) Determinați a și b, știind că 1 i este rădăcină a polinomului f.
5p b) Determinați a și b, știind că polinomul f admite rădăcină triplă.
5p c) Știind că b = 1 și că rădăcinile x1 , x2 , x3 ∈ ℂ polinomului f au proprietatea: |x1| ≤ 1,|x2| ≤ 1 și |x3| ≤ 1, demonstrați că a = 1
SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte
1. Se consideră funcția f : ℝ\{ 1} → ℝ, f(x) = ln|x + 1| + (1 m) x 2 , m ∈ ℝ\{1}.
5p a) Arătați că dreapta x = 1 este asimptotă verticală la graficul funcției f.
5p b) Determinați f '(x).
5p c) Dacă graficul funcției f are două puncte de maxim de abscise x1 și x2, de terminați lim m→+∞ x1 ⋅ x2(f(x1) + f(x2))
2. Se consideră (I n) n∈ℕ ∗ , I n = ∫ 0
5p a) Calculați I2.
1 x n x 3 + 1 dx.
5p b) Arătați că: I n+3 + I n = 1 n + 1 , ∀ n ∈ ℕ ∗ .
5p c) Arătați că lim n→+∞ n I n = 1 2 .
SUBIECTUL I 30 de puncte
5p 1. Negați propoziția r: „Dacă plouă, atunci îmi iau umbrela”.
5p 2. Câte funcții injective f : A → B putem defini dacă |A| = 2023 şi |B| = 2022?
5p 3. Determinați valorile lui m ∈ ℝ care verifică inegalitatea x 2 + y 2 6x + 4y + m ≥ 0, ∀ x, y ∈ ℝ
5p 4. Determinați toate numerele complexe z ∈ ℂ pentru care z = − z .
5p 5. Alfabetul unei țări are 26 de litere. Câte plăcuțe de înmatriculare ale autotu rismelor există, dacă acestea sunt formate din 3 litere?
5p 6. Măsura în grade sexagesimale a unui unghi dintr-un poligon regulat este un număr natural. Câte astfel de poligoane există?
SUBIECTUL AL II-LEA 30 de puncte
1. Se consideră matricea A = ( 7 4 − 9 − 5 ) ∈ M2(ℝ).
5p a) Calculați: det(A), Tr(A).
5p b) Arătați că: A n = (1 + 6n 4n − 9n 1 6n) , ∀ n ∈ ℕ ∗
5p c) Se consideră sistemul de relații de recurență: 1 1
74 , 95 nnn nnn
xxy n yxy + +
=+ ∀∈ =−− , ∀ n ∈ ℕ Determinați x n , yn în funcție de x0 şi y0 2. Se consideră polinomul P = X 3 + pX + q, p, q ∈ ℝ
5p a) Arătați că P are trei rădăcini complexe, dintre care cel puțin una este reală.
5p b) Dacă α, β, γ ∈ ℂ sunt rădăcinile polinomului P, scrieți relațiile lui Viète.
5p c) Calculați: Δ = | α β γ β γ α γ α β |
SUBIECTUL AL III-LEA 30 de puncte
1. Se consideră șirul (x n) n≥1 , x n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n , ∀ n ≥ 1.
5p a) Arătați că (x n) n ≥ 1 este strict crescător.
5p b) Demonstrați că x2 n > n 2 , ∀ n ≥ 1.
5p c) Calculați lim n→+∞ x n .
2. Pentru n ∈ ℕ ∗, considerăm funcția fn(x) =
{ sin(2nx) sin x , x ∈ (0; π 2 ] 2n, x = 0 .
1. a) F; b) A; c) A; d) A; e) F, deoarece (37 · 47 = 1739); f) F; 10α = 1,(1); 9α = 1 ⇒ α = 1 9 ∈ ℚ. 2. a) „există probleme propuse la extemporal care nu au fost dificile.” b) „Oricare elev al clasei a IX-a B nu iubește muzica rock.” 3. „∃ x, y ∈ ℝ, y > 0, ∀ n ∈ ℕ ∗ x ≥ n ⋅ y ” .
Remarcă
Pentru x ≤ 0 afirmația este evidentă, luând n = 1. Pentru x > 0, afirmația devine interesantă.
Arhimede (287–212 î.Hr.), unul din cei trei mari matematicieni ai ,,secolului de aur” ai matematicii grecești, a enunțat afirmația geometric. Putem spune că „un ocean poate fi golit cu lingurița”, dacă x > 0 este cantitatea de apă din ocean și y este cantitatea de apă din linguriță. 4. Cum p este adevărată și q este falsă, deducem: a) 0; b) 0; c) 1; d) 0. 6.
10. a) Dacă x = u și y = v, atunci (x, y) = (u, v). Dacă (x, y) = (u, v), atunci din studiul celor patru posibilități ca {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}} deducem x = u și y = v; e) m · n.
11. a) A × B este suprafața dreptunghiulară OMNP, unde O(0, 0), M(1, 0), N(1, 2) P(0, 2).
A × A este suprafața pătrată OMTS, unde T(1, 1), S(0, 1).
B × A este suprafața dreptunghiulară OQRS, unde Q(2, 0), R(2, 1).
B × B este suprafața pătrată OQLP, unde L(2, 2).
A × C este reuniunea a două segmente închise [OM] ∪ [ST].
C × A este reuniunea segmentelor închise, verticale [OS] ∪ [MT].
C × C = {(0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0)} etc.
b) A × A × A este cubul de muchie 1 situat în primul octant cu O unul dintre vârfuri; A × A × B este un paralelipiped dreptunghic etc.
12. a) P(A) = {∅, {1}}, P(B) = {∅,{1}, {2}, {1, 2}}.
b) i) n2; ii) 2n; Asociem fiecărei submulțimi B ⊆ {a1, …, an} o secvență ordonată de lungime n formată cu 0 și 1 astfel: dacă a1 ∈ B scriem 1, în caz contrar scriem 0, analog pentru celelalte n – 1 elemente. Această asociere este o bijecție (cores pondență unu la unu) între P(A) și n-uplurile ordonate formate cu 0 sau 1. iii) Fie B ⊆ A, C ⊆ A, B × C ⊆ A × A; iv) 2 sau 4, deoarece pentru n ≥ 5, 2n > n2; d) P(A) = {A, {3}, {{1, 4}}, ∅}, deci |P(A)| = 4 = 2 2 .
13. a), b) Se demonstrează prin dublă incluziune. c) (A ∪ B) × (C ∪ D) = A × (C ∪ D) ∪ B × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (A × D) ∪ (B × C) ∪ ∪ (B × D) Generalizare: Dacă (Ai) i∈I ⊂ P(X), (B j) j∈J ⊂ P(X′), atunci: ( ∪ i∈IAi) × ( ∪ j∈J B j) = ∪ (i,j)∈I×J(Ai × B j) 14. | A | = 99. Se determină (m, n), 1 ≤ m ≤ 100, 1 ≤ n ≤ 100 a.î. m 2 m + 4 m 2 + 1 = n 2 n + 4 n 2 + 1 . 15. Fie h < k, Bh ∩ Bk = ∅. Fie A = ∪ n=1 ∞ A n , B = ∪ n=1 ∞ B n . Cum B n ⊂ A n, ∀ n ≥ 1 deducem B ⊂ A Reciproc, fie x ∈ A, atunci există n minim a.î. x ∈ A n deci x ∈ B n ⇒ A ⊂ B. Deducem A = B. 16. a) ∅; b) {0}; c) {0}; d) ℝ. 17. a) Int C(O, R); b) Int C(O, r), unde r = raza cercului înscris în DABC.
a) Dacă A = B atunci are loc egalitatea funcțiilor φ A = φ B. Reciproc, dacă φ A = φ B, atunci fie x ∈ A , φ A(x) = 1 = φ B(x), deci x ∈ B, deci A ⊆ B. Analog, B ⊆ A, de unde deducem A = B
Dacă x ∈ A ∩ B , φ A∩B(x) = 1 = φ A(x) ⋅ φ B(x). Dacă x ∉ A ∩ B , φ A∩B(x) = 0 = φ A(x) ⋅ φ B(x), deoarece x ∉ A sau x ∉ B. c) Dacă x ∈ A ∪ B , φ A∪B(x) = 1 și se analizează cazurile: x ∈ A și x ∈ B; x ∈ A și x ∉ B; x ∉ A și x ∈ B din care obținem φ A(x) + φ B(x) φ A(x) ⋅ φ B(x) = 1
19. a) Metoda 1. Se demonstrează prin dublă incluziune utilizând distributivitatea lui ∧ față de ∨. Metoda 2. Notăm membrii egalității cu E1 , E2. φ E1
= φ A φ B∪C = φ A(φ B + φ C φ B φ C); φ E2
= φ A∩B + φ A∩C φ A∩B ⋅ φ A∩C = φ A ⋅ φ B + φ A ⋅ φ C φ A ⋅ φ B ⋅ φ C . Cum φ E1
= φ E2 , deducem E1 = E2. b) Analog cu a).
c) Metoda 1. Fie x ∈ (A \ B) ∩ C, atunci (x ∈ A ˄ x ∉ B) ˄ x ∈ B, contradicție. Metoda 2. Notăm E = (A\B) ∩ B; φ E = φ A\B ⋅ φ B = φ A ⋅ (1 φ B) ⋅ φ B = 0, deci E = ∅.
d) Analog cu c).
e) Metoda 1. Se demonstrează prin dublă incluziune. Metoda 2. Notăm membrii egalității cu E1 , E2. φ E1
= 1 φ A∪B = 1 φ A φ B + φ A ⋅ φ B ; φ E2
= (1 φ A)(1 φ B) = φ E1 , de unde se obține E1 = E2. Analog a doua egalitate.
f) Analog cu e).
g) Dacă A ⊂ B, fie x ∈ CB, atunci x ∉ B, de unde x ∉ A, adică x ∈ CA. Prin trecere la complementară deducem implicația contrară.
Y)
(Y
A)
= φ E2 , deducem E1 = E2 b), c), d) , e) se verifică ușor. 21. a) i) AΔX = B sau AΔ(AΔX) = AΔB, deducem X = AΔB. ii) Trecem la complementară și utilizăm una dintre relațiile lui De Morgan. Obți nem: (Y ∩ A) ∪ (Y∩ = φ A(1 φ B∩C) = φ A(1 φ B φ C) = φ A φ A φ B φ C; φ E2
) sau (A = φ A\B + φ A\C φ A\B ⋅ φ A\C = φ A φ A ⋅ φ B ⋅ φ C = φ E1 ; deducem E1 = E2.
B
ii) φ E1
= φ A(1 φ B∪C) = φ A(1 φ B φ C + φ B φ C); φ E2
= φ A ⋅ (1 φ B) ⋅ φ A(1 φ C) = φ E1 . iii) φ E1
= φ A∪B(1 φ C) = (φ A + φ B φ A φ B)(1 φ C); φ A(1 φ C) + φ B(1 φ C) φ A ; φ B (1 φ C) 2 = φ E1 . iv) φ E1
= φ A φ B(1 φ C); φ E2
= φ A φ B (1 φ C) 2 = φ E1 . 22. A ∩ B = B, A ∪ B = A, A \ B = {2, 4}, B \ A = ∅, ADB = {2, 4}, CAB = {2, 4}. Nu are sens CBA deoarece A ⊄ B. 23. Notăm |A1| = m, |A2| = n, |A1 ∩ A2| = p Cum A1 ∪ A2 = (A1 \ A1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ A2) ∪ (A2 \ A1 ∩ A2). Şi cele trei mulțimi sunt disjuncte două câte două; rezultă: |A1 ∪ A2| = (m p) + + p + (n p) = m + n p = |A1| + |A2| |A1 ∩ A2|
24. a) α = 0,(3); 10α = 3,(3) ⇒ 10α α = 3, de unde α = 3 9 = 1 3 ; β = 0,(23); 100β = 23.(23) ⇒ 100β β = 23, β = 23 99 . γ = 0, 12(35); 100γ = 12,(35), 10 000γ = 1235,(35) ⇒ ⇒ 10 000γ 100γ = 1235 12, γ = 1235 12 9900 . b) 0,(142857). 25. b) 26. a) Falsă; b) ℚ. 27. Se explicitează modulul. 28. a) Notăm [x] = k și se consideră cazurile: k ≤ x < k + 1 2 , k + 1 2 ≤ x < k + 1. b) Se utilizează a). 30. a), b) Mai general, dacă n ∈ ℕ ∗, are loc echivalența √ n ∈ ℚ ⇔ n = k 2. Într-adevăr, dacă n = k 2, atunci √ n = | k |, deci este rațional. Dacă √ n ∈ ℚ, presupunem că n ≠ k 2, adică n ≥ 2 și n are în descompunerea în factori primi cel puțin un factor prim p la o putere impară 2t + 1. Din ipoteză, √ n = a b , a, b ∈ ℕ ∗ , (a, b) = 1, de unde prin ridicare la pătrat obținem a2 = nb2. Contradicția se obține prin identifica rea exponenților lui p în această ultimă egalitate (de parități diferite) și utilizarea unicității descompunerii numerelor naturale în factori primi (T.F.A.).
c) Presupunem că √ 2 + √ 3 = a ∈ ℚ, atunci a 2 = 5 + 2 √ 6 sau √ 6 = a 2 5 2 . Conform rezultatului precedent, cum 6 ≠ k 2, rezultă √ 6 ∉ ℚ, iar a 2 5 2 ∈ ℚ.
d) Presupunem că √ 2 + √ 3 + √ 5 = x ∈ ℚ sau echivalent √ 3 + √ 5 = x √ 2 . Prin ri dicare la pătrat obținem: √ 30 = x 4 20 x 2 24 8x , contradicție. (Membrul stâng este irațional, iar cel drept este rațional.)
31. a) Metoda 1. Ultima cifră a lui A este 5 deci A ⁝ 5. Metoda 2. 1121 + 1421 = (11 + 14)(1120 1119 14 + 1118 142 11 1419 + 1420), deci A ⁝ 5. Metoda 3. 11 ≡ 1(mod5), deci 1121 ≡ (mod5), apoi 14 ≡ –1(mod5), deci 1421 ≡ –1(mod5), de unde A ≡ 0(mod5) sau A ⁝ 5. b) A este număr impar, deci A nu se divide prin 2, așadar nici prin 10.
32. a) 0 ≤ 0, 2 < 1 ⇒ [0, 2] = 0, {0, 2} = 0, 2; b) 3 ≤ π < 4 ⇒ [π] = 3, {π} = π 3; c) 4 ≤ π < 3 ⇒ [ π] = 4, { π} = π + 4; d) 1 ≤ √ 2 < 2 ⇒ [1 + √ 2 ] = 2, {1 + √ 2 } = √ 2 1; e) 0,(9) = 9 9 = 1 ⇒ [0,(9)] = 1, {0,(9)} = 0.
33. a) 7 ≤ 5x 1 3 < 6 ⇔ x ∈ [ 4 3 , 17 15 ). b) Notăm [ x + 2 3 ] = x + 1 2 = k ∈ ℤ ⇔ x = 2k 1 , k ≤ x + 2 3 < k + 1 Vom obține echivalent: k ∈ { 1, 0, 1}, x = 2k 1, de unde x ∈ { 3, 1, 1}. Valorile obținute verifică ecuația dată.
34. Utilizăm triunghiul lui Pascal și obținem coeficienții binomiali. Vom deduce: a) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2b + 3ab 2 + b 3; (a + b) 4 = a 4 + 4 a 3b + 6 a 2b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5 a 4b + 10 a 3b 2 + 10 a 2b 3 + 5ab 4 + b 5 . b) (2x + 1) 3 = (2x) 3 + 3 (2x) 2 1 + 3 (2x) 1 2 + 1 3 = 8 x 3 + 12 x 2 + 6x + 1 (3x + 2) 4 = (3x) 4 + 4 ⋅ (3x) 3 ⋅ 2 + 6 ⋅ (3x) 2 ⋅ 2 2 + 4 ⋅ (3x) ⋅ 2 3 + 2 4 = = 81 x 4 + 216 x 3 + 216 x 2 + 96x + 16. (2x + 3) 5 = (2x) 5 + 5 ⋅ (2x) 4 ⋅ 3 + 10 ⋅ (2x) 3 ⋅ 3 2 + 10 ⋅ (2x) 2 ⋅ 3 3 + 5 ⋅ (2x) ⋅ 3 4 + 3 5 = = 32 x 5 + 240 x 4 + 720 x 3 + 1080 x 2 + 810x + 243. c) (a b) 3 = a 3 3 a 2b + 3ab 2 b 3; (a b) 4 = a 4 4 a 3b + 6 a 2b 2 4ab 3 + b 4 (a b) 5 = a 5 5 a 4 b + 10 a 3 b 10 a 2 b 3 + 5ab 4 b 5 .
d) (2x 1) 3 = (2x) 3 3 (2x) 2 1 + 3 (2x) 1 2 1 3 = 8 x 3 12 x 2 + 6x 1 (3x 2) 4 = (3x) 4 4 ⋅ (3x) 3 ⋅ 2 + 6 ⋅ (3x) 2 ⋅ 2 2 4 ⋅ (3x) ⋅ 2 3 + 2 4 = = 81 x 4 216 x 3 + 216 x 2 96x + 16. (2x 3) 5 = (2x) 5 5 ⋅ (2x) 4 ⋅ 3 + 10 ⋅ (2x) 3 ⋅ 3 2 10 ⋅ (2x) 2 ⋅ 3 3 + 5 ⋅ (2x) ⋅ 3 4 3 5 = = 32 x 5 240 x 4 + 720 x 3 1080 x 2 + 810x 243.
35. S0(n) = 1 0 + 2 0 + + n 0 = 1 + 1 + + 1 de n ori
= n; S1(n) = 1 + 2 + 3 + + n. Vom rescrie S1(n) = n + (n 1) + (n 2) + ... + 3 + 2 + 1, apoi prin adunare vom obține: 2 ⋅ S1(n) = n(n + 1), de unde rezultă: S1(n) = n(n + 1) 2 Încercarea de a aplica aceeași metodă pentru calculul sumei S2(n) eșuează. Vom aborda calculul sumei S2(n) prin următoarea metodă.
SUBIECTUL I 30 de puncte
1. Cum numerele 1, 1 3 , 1 3 2 , , 1 3 2022 sunt în progresie geometrică de rație 1 3 , atunci s = 1 1 ( 1 3 ) 2023 1 1 3 = 3 2 1 2 3 2022 . Deci [s 1 2 ] = [1 1 2 3 2022 ] = 0
2. Condițiile din ipoteză implică: { a + b + c = 1 9a + 3b + c = 3 Δ = b 2 4ac < 0 ⇒ { b = 1 4a c = 3a 4 a 2 8a + 1 < 0 . Astfel, se obține: b, c ∈ ℤ și a ∈ (1 √ 3 2 , 1 + √ 3 2 ) ⇒ a = 1, deoarece a ∈ ℤ.
3. Cum x ∈ ( 3π 4 , π) ⇒ tg x ∈ ( 1, 0) Știind că sin2x = 2tg x 1 + tg 2 x ⇒ 3 5 = 2tg x 1 + tg 2 x ⇒ 3tg 2 x + 10tg x + 3 = 0. Deci tg x = 1 3 .
4. Numărul de cazuri posibile este: 999 100 + 1 = 900 Numărul de cazuri favorabile este: A5 3 A4 2 = 48 Astfel, probabilitatea P = nr. cazuri favorabile nr. cazuri posibile = 48 900 = 4 75
5. M mijlocul segmentului BC ⇔ M( xB + xC 2 , yB + yC 2 ) = M(2, 1). Ecuația medianei AM: | x y 1 xA yA 1 xB yB 1| = 0 ⇔ 4x y 7 = 0 6. Utilizând teorema sinusurilor, avem că: sin 2A + sin 2B = sin 2C ⇔ a 2 4R 2 + b 2 4R 2 = c 2 4R 2 ; atunci, conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic. SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte
b) Legea ∗ este asociativă ⇔ (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ∀ a, b, c ∈ M. (a ∗ b) ∗ c = ln(e ln(e a+e b 1) + e c 1) = ln(e a + e b + e c 2). a ∗ (b ∗ c) = ln(e a + e ln(e b+e c 1) 1) = ln(e a + e b + e c 2)
c) Demonstrăm prin inducție matematică, că propoziția universală: p(n): a ∗ a ∗ . . . ∗ a de n ori
= ln(n ⋅ e a n + 1), ∀ n ∈ ℕ ∗ , n ≥ 2, ∀ a ≥ 0 este adevărată.
Etapa de verificare: p(2) : a ∗ a = ln(2 e a 1) ∀ a ≥ 0 este propoziție adevărată, conform ipotezei. Etapa de inducție propriu-zisă: Presupunem p(k): a ∗ a ∗ . . . ∗ a de k ori
= ln(k ⋅ e a k + 1) ∀ a ≥ 0 este propoziție adevă
rată, pentru k ∈ ℕ ∗ , k ≥ 2 fixat. Demonstrăm că: p(k + 1) : a ∗ a ∗ ∗ a de (k + 1) ori
= ln((k + 1) e a k) ∀ a ≥ 0 este propoziție adevărată.
Deci ( a ∗ a ∗ ∗ a de k ori ) ∗ a = ln(e ln(k e a k+1) + e a 1) = ln((k + 1 ) e a k) ∀ a ≥ 0
Astfel, ecuația: a ∗ a ∗ . . . ∗ a de 2022 ori
= 2a ⇔ e 2a 2022 e a + 2021 = 0. Notăm x = e a ≥ e 0 = 1 și ecuația devine: x 2 2022x + 2021 = 0, cu soluțiile: { x1 = 1 ≥ 1 ⇒ a = 0 x2 = 2021 ≥ 1 ⇒ a = ln 2021 .
SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte
1. Funcția f : ℝ → ℝ, f (x ) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
a) Calculăm fs ′ (1) = lim x→1 x<1
1 x e x , x ∈ ( ∞, 1) x 1 e x , x ∈ [1, +∞) .
f(x ) f(1) x 1 = lim x→1 x<1
1 x e x 0 x 1 = lim x→1 x<1
1 e x = 1 e fd ′ (1 ) = lim x→1 x>1
1 e x = 1 e . Deci f nu este derivabilă în punctul x0 = 1 (punct unghiular).
b) Pentru x < 1, f (x ) = 1 x e x care este obținută prin operații cu funcții elementare; atunci f este derivabilă pe ( ∞, 1). Pentru x > 1, f (x) = x 1 e x care este obținută prin operații cu funcții elementare; atunci f este derivabilă pe (1, +∞). Așadar, ∃ f ' : ℝ\{1} → ℝ, f '(x) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
x 2 e x , x ∈ ( ∞, 1) 2 x e x , x ∈ (1, +∞)
Tabelul de variație al funcției este: x ∞ 1 2 + ∞ f '(x) | + 0 f(x) + ∞ 0 1 e 2 0
Cum f este funcție continuă pe ℝ, f are proprietatea lui Darboux și conform ta belului de variație avem că ecuația f (x ) = 1 e 2 are două soluții: x1 ∈ ( ∞, 0) și x2 = 2.
c) Din identitatea 1 + 1 x + 1 x 2 + + 1 x n 1 = 1 1 x n 1 1 x , ∀ x ∈ ℝ ∗ \{1}, ∀ n ≥ 2, prin de rivare, obținem: 1 x 2 + 2 x 3 + . . . + n 1 x n = ( n 1 x n+2 n x n+1 ) ⋅ ( x x 1 ) 2 + 1 (x 1) 2 ∀ x ∈ ℝ ∗ \{1}; pentru x = e, obținem: ( n 1 e n+2 n e n+1 ) ( e e 1 ) 2 + 1 (e 1) 2 = = 1 e 2 + 2 e 3 + . . . + n 1 e n = f(1 ) + f(2 ) + . . . f(n). Deci, lim n→+∞(f (1) + f (2) + . . . + f (n)) = 1 (e 1) 2 , am ținut cont că lim n→+∞ n e n = 0.
2. a) Efectuând schimbarea de variabilă: sin x = t, obținem: ∫ 0
p 2 cos x 1 + sin 2 x dx = ∫ 0
1 1 1 + t 2 dt = arctg t | 0 1 = π 4 .
b) Se observă că: ∫ f(x )dx = arctg(sin x ) +ζ. Atunci: F(x) ∈∫ f(x)dx ⇒ F : ℝ → ℝ, F(x) = arctg(sin x) + c, c ∈ ℝ arctg x ∈ [ π 4 , π 4 ], ∀ x ∈ [ 1, 1] } ⇒ ⇒ F(x) ∈ [ π 4 + c, π 4 + c] ∀ x ∈ ℝ Atunci orice primitivă a funcției f este mărginită.
c) Efectuând schimbarea de variabilă: x = 2π t, obținem că: I = ∫ 0
2p x ⋅ cos x 1 + sin 2 x dx = ∫ 2p
0 (2π t)cos(2π t) 1 + sin 2(2π t) ( dt) = 2π ∫ 0
2p cos t 1 + sin 2 t dt I Deci I = π ∫ 0
2p cos t 1 + sin 2 t dt = π(arctg(sin 2π) arctg(sin 0)) = 0