Colofon
1
Colofon Titel: Xact groen Wiskunde deel 1 ISBN: 978 90 3720 835 1 NUR: 124 Trefwoord: Wiskunde groen Uitgeverij: Edu’Actief b.v. Meppel Auteurs: E. Benthem, J. Broekhuizen, H. La Poutré, J. Bruinsma, G. Schoemaker Redactie: Edu’Actief b.v. Inhoudelijke redactie: Edu’Actief b.v. Vormgeving: Edu’Actief b.v. Copyright © 2012
Edu'Actief b.v. Meppel Postbus 1056 7940 KB Meppel Tel.: 0522-235235 Fax: 0522-235222 E-mail: info@edu-actief.nl Internet: www.edu-actief.nl Eerste druk/eerste oplage Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt door middel van druk, microfilm, fotokopie of op welke andere wijze ook, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. No part of this book may be reproduced in any form, by print, photoprint, microfilm or any other means, without written permission from the publisher. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikelen 16h t/m 16m Auteurswet 1912 jo. Besluit van 27 november 2002, Stb. 575, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoeding te voldoen aan de Stichting Reprorecht te Hoofddorp (Postbus 3060, 2130 KB) of contact op te nemen met de uitgever voor het treffen van een rechtstreekse regeling in de zin van art. 16l, vijfde lid, Auteurswet 1912. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.
2
Colofon
Inhoudsopgave 1. Kijken en vergelijken
5
2. Centrummaten
13
3. Gegevens presenteren en ordenen
28
4. Normale verdeling
42
3
4
Kijken en vergelijken
1.
Kijken en vergelijken Om je bedrijf goed te kunnen vergelijken met een concurrent, kun je jouw verkopen vergelijken met deze concurrent of met landelijke gegevens. Je kunt de werkelijk verkochte aantallen vergelijken. Dit heet: absoluut vergelijken. Je kunt deze aantallen omrekenen naar procenten. Dit heet: relatief vergelijken.
Het aantal verkochte trekkers in Nederland en Europa Nederland
Europa
New Holland John Deere Fendt Massey Ferguson Rest
857 625 522 321 1.144
4.763 4.068 4.226 2.058 7.400
Totaal
3.469
22.515
De getallen in de vorige tabel zeggen eigenlijk niet zo veel. Het is logisch dat er in Europa meer trekkers worden verkocht dan in Nederland. Als je deze getallen echter omrekent naar percentages, kun je zien welk merk in Nederland beter (of slechter) verkoopt dan in Europa. Dit doe je als volgt: Percentages in Nederland, eerst New Holland: Percentages berekenen we met behulp van een zogenaamde verhoudingstabel: 3469
857
100 %
5
Zet het totaal aantal verkochte trekkers linksboven en vul daaronder 100% in. Vul rechtsboven het aantal in dat je wilt berekenen, hier dus 857. Zet nu tussen de 2 getallen boven in de tabel een 1. 3469
1
857
100%
Bepaal nu hoe je van 3469 naar 1 komt: delen door 3469. Daarna wil je van 1 naar 857: vermenigvuldigen met 857. Doe daarna in de onderste rij hetzelfde: 100% : 3469 * 857 = 24,7%
Opdracht 1: Percentages Bereken de andere percentages nu zelf.
Opdracht 2: Merk trekker Welk merk trekker verkoopt in Nederland beter dan in Europa? En welk merk slechter?
Opdracht 3: Vetpercentages In de volgende tabel kun je zien hoeveel gram vet in de genoemde hoeveelheden melk zit. Bereken het vetpercentage, rond af op hele procenten. Hoeveelheid melk (gram) Hoeveelheid vet (gram) 100
4,0
120
4,7
1.030
42
3.090
130
Vetpercentage
Opdracht 4: Stelling Met de stelling ‘Landbouwsubsidies moeten worden afgeschaft’ waren 264 stemmers het eens en 184 waren het ermee oneens. Bereken de percentages voor- en tegenstemmers. Rond af op 1 decimaal.
Opdracht 5: Bosperceel In een bosperceel staan 1250 naaldbomen en 600 loofbomen. 1. Bereken het percentage naald- en loofbomen. Staatsbosbeheer kapt de helft van het aantal naaldbomen om een voor Nederland natuurlijker bos te krijgen. 2. Bereken opnieuw het percentage naald- en loofbomen.
6
Kijken en vergelijken
Opdracht 6: Bloemen en planten De eigenaar van bloemenwinkel Bloemen van Jacques wil zijn omzet van week 34 vergelijken met de omzet van alle bloemenwinkels in Nederland.
Absoluut (€)
Relatief (%)
Nederland
Bl. van Jacques
Snijbloemen
20.185.500
6.768
Kamerplanten
13.958.000
2.921
Tuinplanten
17.215.000
491
Totaal
51.358.500
10.180
Nederland
Bl. van Jacques
1. Bereken het aandeel van de productgroepen in procenten. 2. Welke productgroep doet het bij Bloemen van Jacques duidelijk slechter dan landelijk?
Opdracht 7: Veilingprijs De veilingprijs van één roos steeg de afgelopen week van 23 naar 29 eurocent. De prijs van een tak salidago van 10 naar 13. Welke steeg in procenten het meest?
7
Hondenbeten
Uit onderzoek van de Stichting Consument en Veiligheid is gebleken dat jaarlijks ongeveer 17.000 mensen in Nederlandse ziekenhuizen worden behandeld voor hondenbeten. Slechts in tien procent van de geregistreerde gevallen blijken pitbullterriërs, waarvan er naar schatting 10.000 in ons land zijn, de ‘daders’. In de grote(re) steden is dit verhoudingsgewijs vaker het geval. Volgens een recent onderzoek zijn er in Nederland ongeveer 1,7 miljoen honden.
Opdracht 8: Hondenbeten 1. Lees het artikel over hondenbeten en vul de tabel hierna in. Aantal dieren
Aantal beten Absoluut
Relatief (%)
Pitbull Andere rassen Totaal
2. Wat vind je van de uitspraak: ‘Slechts in tien procent ...’?
Opdracht 9: Omzetstijging In de volgende tabel worden de omzetten van twee concurrerende tuincentra vergeleken:
8
Omzet in miljoenen
Stijging
2009
2010
Absoluut
Tuincentrum A
0,5
1
Tuincentrum B
2
3
In %
Kijken en vergelijken
1. 2. a. b.
Bereken de ontbrekende getallen. Welke van de volgende uitspraken is waar? De omzetstijging van tuincentrum B is twee keer zo groot als die van A. De omzetstijging van tuincentrum A is procentueel twee keer zo groot als die van B.
Theorie: Statistisch onderzoek Statistisch onderzoek doen betekent dat je aan de hand van getallen en het vergelijken van getallen onderzoek doet. Een voorbeeld van een statistisch onderzoek is het voorspellen van de verkiezingsuitslag. De groep die je onderzoekt, is de populatie. Als de populatie te groot is, neem je een steekproef of een monster. Je kiest bij een steekproef willekeurig een voldoende groot aantal uit het totaal (= de populatie) om toch een goed beeld te krijgen van het totaal. We noemen de steekproef representatief als het aantal mannen en vrouwen in verhouding hetzelfde is als deze verhouding in de bevolking. Het willekeurig kiezen noemen we aselect kiezen.
Voorbeeld steekproef Als je bijvoorbeeld uit een klas met 20 leerlingen er 3 willekeurig wilt kiezen, dan kun je dat op verschillende manieren doen: • Maak 20 briefjes met 1 t/m 20 erop, hussel deze in een bak en trek er 3 uit. • Geef elke leerling 3 dobbelstenen, laat ze gooien, de 3 die het hoogste aantal ogen gooien, kies je. Je moet ervoor zorgen dat iedereen uit de populatie een even grote kans heeft om gekozen te worden. De tweede voorwaarde waar een steekproef aan moet voldoen is dat hij ‘voldoende groot’ moet zijn. Er zijn twee regels, namelijk: 1. Hoe groter de steekproef, hoe betrouwbaarder het resultaat. 2. Als het verschijnsel dat je wilt onderzoeken niet vaak voorkomt, moet de steekproef groot zijn en omgekeerd.
9
Zelfs kijkgedrag van tv-lozen wordt meegenomen Elk jaar neemt Intomart een steekproef van tienduizend adressen uit het ‘brievenbusbestand’ van de post. Van deze groep zijn er rond de zesduizend bereid mee te werken aan een enquête. Vragen over onder meer opleiding, inkomen, tv-kijken, leeftijd en afkomst worden gebruikt om later de representativiteit te controleren, eventueel te corrigeren. Uit deze groep van ongeveer zesduizend worden de 1240 ‘kastjesgezinnen’ gerekruteerd. Zij krijgen een kijkmeter thuis. Een eeuwig probleem bij een steekproef is dat zij die weigeren mee te werken, anderen zijn dan de meewerkers. Als er maar één ‘neezegger’ in het gezin is (‘dat is altijd de zoon’), wordt het huishouden uit het panel gezet. Van Meurs: “Jazeggers zijn hoger geschoold, hebben een hoger inkomen, kijken meer tv en hebben vaker een computer. Maar voor die factoren corrigeren we de steekproef.” Absolute zekerheid dat er geen verschil overblijft, is er niet. “Jazeggers hebben waarschijnlijk relatief vaak een encyclopedie en kijken daarom waarschijnlijk relatief vaak naar twee voor twaalf.” Een veelgehoord kritiekpunt is dat Intomarts steekproef ‘te wit’ zou zijn. Van Meurs: “Dat was zo, maar dat is bijna opgelost. We zouden eigenlijk 40 allochtone huishoudens moeten hebben, we hebben er nu 38.” Sommige groepen komen in de steekproef niet voor: bejaardenhuizen, ziekenhuizen, gevangenissen en andere inrichtingen. Ook huishoudens waar onvoldoende Nederlands wordt gesproken, zijn uitgesloten, tenzij het Turkse, Marokkaanse, Antilliaanse of Surinaamse huishoudens betreft. Tv-loze huishoudens (1,4 procent) worden wel meegeteld; daarvoor zijn 20 ‘fictieve kastjes’ gereserveerd.
Opdracht 10: Steekproef Lees de voorgaande tekst. 1. Waarom is de steekproef van Intomart niet representatief? 2. Waarom is het aantal ‘kastjesgezinnen’ redelijk groot? 3. Hoe groot is het percentage allochtone gezinnen in Nederland? (20 is 1,4% van …)
Opdracht 11: Telefonische enquête In Amerika werd rond 1900 een telefonische enquête gehouden voor de presidentsverkiezingen. In alle kranten werd naar aanleiding van de uitslag de Republikeinse kandidaat als winnaar voorspeld. Toch won de Democratische kandidaat. (Republikeins kun je vergelijken met, in Nederlandse termen, conservatief, rechts. Democratisch kun je vergelijken met links.) Wat was er fout aan de steekproef?
Opdracht 12: Sportbeoefening De gemeente Heerenveen wil onderzoeken hoeveel procent van de volwassen mannen aan sport doet. De gemeente geeft een enquêtrice opdracht om vier avonden tussen 19.00 en 21.00 uur 150 met behulp van toevalsgetallen getrokken telefoonnummers
10
Kijken en vergelijken
van volwassen mannen te bellen. Als er niet wordt opgenomen, belt zij niet terug. Na vier dagen heeft zijn 72 bruikbare antwoorden, namelijk: 16 keer ja en 56 keer nee. Zij concludeert: 23,15% van de mannen in Heerenveen doet aan sport. Wat valt er aan te merken op deze conclusie?
Opdracht 13: Aantal kilometer
Een onderzoekster ondervraagt op een dinsdag alle bestuurders van personenauto’s die komen tanken bij een tankstation langs een druk bereden snelweg. Ze vraagt onder andere hoeveel km per jaar de bestuurders ongeveer in hun auto rijden. Ze krijgt 416 antwoorden met een gemiddelde van 17.518 km. Het totaal aantal auto’s in Nederland is 4.200.000. Zij concludeert dat de gemiddelde autobezitter in Nederland per dag 48 km rijdt. Geef commentaar op deze conclusie.
Opdracht 14: Opiniepeiling Er gaat bijna geen dag voorbij zonder een nieuwe opiniepeiling. Ze komen tot stand door gebruik te maken van een panel. Van de grootste drie lees je hierna hoe ze werken. Waarom is geen van de drie panels representatief voor alle Nederlanders?
Interview/NNS Interview/NNS gebruikt een online panel van ruim 50.000 Nederlanders. Elke week (van woensdagmiddag tot vrijdagochtend) worden 1000 mensen uit een online panel ondervraagd. Naast die 1000 internetpersonen worden elke week 100 willekeurige Nederlanders telefonisch ondervraagd om ook mensen die geen internet gebruiken in de peiling te betrekken.
11
TNS NIPO TNS NIPO heeft een zogeheten access panel van 200.00 mensen die thuis een computer hebben staan en maximaal twaalf keer per jaar voor een vergoeding (in punten, een soort Air Miles-systeem) meedoen aan allerlei onderzoeken. Bij de laatste politieke steekproef ondervroeg TNS NIPO 2500 mensen op deze manier.
Maurice de Hond Maurice de Hond beheert 25.000 e-mailadressen. De mensen zijn geselecteerd met een intakegesprek. Er wordt wel iedere keer naar de representativiteit gekeken. Uit de groep mensen kiest De Hond elke keer 2000 à 3000 mensen en wie hem een berichtje terugstuurt, wordt meegenomen in de peiling.
Opdracht 15: Dubbelblind onderzoek Een goed onderzoek naar bijvoorbeeld de werking van medicijnen moet een zogenaamd dubbelblind onderzoek zijn. Dit werkt als volgt:
Er wordt een onderzoeksgroep geformeerd. Deze groep wordt willekeurig in tweeën gedeeld. De ene helft krijgt het medicijn, de andere helft krijgt een neppil die er net zo uitziet als het echte medicijn. De onderzoekers en de onderzochten weten geen van beiden wie het echte medicijn krijgt en wie de neppil krijgt. 1. Waarom heet zo’n onderzoek dubbelblind? 2. Hoe heet zo’n neppil? 3. Hoe weet je na afloop of het medicijn werkzaam is?
12
Centrummaten
2.
Centrummaten Een teler verkoopt 1200 fruitbomen per jaar. Je kunt zeggen dat er dan gemiddeld 100 fruitbomen per maand worden verkocht. Op zich klopt dat, maar dat getal zegt niet zo veel. In de wintermaanden worden er namelijk geen fruitbomen verkocht. Belangrijk om te weten is hoe de verkopen over de maanden verspreid zijn. Om daarachter te komen kan de teler bijhouden hoeveel bomen hij verkoopt in een bepaalde maand. Zo weet de teler hoeveel bomen hij bijvoorbeeld in juli verkoopklaar moet hebben.
Theorie: gemiddelde, modus en mediaan Een reeks waarnemingsuitkomsten is kort samen te vatten door een getal. Enkele belangrijke getallen zijn: Het gemiddelde (of het rekenkundig gemiddelde) is de som van de getallen gedeeld dor het aantal getallen. De modus (ook het modale aantal genoemd) is de waarde die het vaakst voorkomt. De mediaan is de middelste waarde. Dit wordt ook wel centrummaat genoemd.
Voorbeeld: Centrummaten Een fokker van kooikerhondjes heeft de nestgrootte van zijn honden bijgehouden. Dit is de tabel met het aantal pups per nest: Aantal pups
3
4
5
6
7
Frequentie
1
3
4
2
1
Bereken a. Bereken de gemiddelde nestgrootte (rond af op 1 decimaal). b. Wat is de modale nestgrootte? c. Wat is de mediaan van de nestgrootte?
13
Uitwerking a. In totaal zijn er 11 nestjes (want 1 + 3 + 4 + 2 + 1 = 11). Verder zijn er in totaal 54 pups geboren (3 * 1 + 4 * 3 + 5 * 4 + 6 * 2 + 7 * 1 = 54). De gemiddelde nestgrootte is dan 54/11 = 4,9. b. De modus is 5. Dat is namelijk de nestgrootte die het vaakst voorkomt. c. De mediaan is 5. De mediaan is te vinden door de nestgroottes achter elkaar op volgorde te zetten van klein naar groot en dan het middelste getal te kiezen. Dus: 3 – 4 – 4 – 4 – 5 – 5 – 5 – 5 – 6 – 6 – 7.
Opdracht 16: Biggen Een varkenshouder heeft van twintig worpen het aantal biggen geteld. Aantal biggen 8
9
10
11
12
13
14
15
Frequentie
0
2
7
6
3
1
0
1. 2. 3. 4. 5.
1
Bereken de gemiddelde worpgrootte (rond af op 1 decimaal). Wat is de modale worpgrootte? Wat is de mediaan van de worpgrootte? Hoeveel worpen zijn groter dan gemiddeld? Hoeveel procent van de nesten is dat? Een nieuwe worp brengt het gemiddelde op 11,7. Hoeveel biggen bevat deze worp?
Opdracht 17: Getallen Gegeven zijn de getallen: 2–3–4–5–3–4–5–3–6–3 1. Bereken het gemiddelde. 2. Bepaal de modus. 3. Bepaal de mediaan.
14
Centrummaten
Opdracht 18: Proefwerkcijfers In de tabel staan de cijfers die bij een proefwerk zijn behaald. Cijfer
Aantal
3
1
4
1
5
3
6
7
7
6
8
4
9
2
1. Bereken het gemiddelde. 2. Bepaal de modus. 3. Bepaal de mediaan.
Opdracht 19: Sneeuwdagen In de tabel hieronder staat het aantal sneeuwdagen per jaar weergegeven, van 1980 t/m 2009. Jaar
Sneeuwdagen Jaar
Sneeuwdagen Jaar
Sneeuwdagen
1980
37
1990
15
2000
12
1981
46
1991
17
2001
32
1982
18
1992
9
2002
5
1983
26
1993
21
2003
20
1984
28
1994
12
2004
23
1985
51
1995
40
2005
34
1986
36
1996
32
2006
17
1987
31
1997
8
2007
8
1988
23
1998
20
2008
17
1989
12
1999
31
2009
28
15