Espacios matematicos

ESPACIOS Anibal Mu˜ noz Loaiza, Dumar A. Villa Zapata Julio C. Mosquera Mosquera Facultad de Ciencias B´asicas y Tecnolog´ıas Facultad de Educaci´on Grupo de Modelaci´on Matem´atica en Epidemiolog´ıa Universidad del Quind´ıo Armenia - Colombia.

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

Doctor, Anibal Mu˜ noz L. Magister, Dumar A. Villa Z. Doctor, Julio C. Mosquera M. ESPACIOS No est´a permitida la reproducci´on total o parcial de esta obra por cualquier medio o m´etodo sin autorizaci´on escrita de los autores.

Editado y publicado en los talleres de Editorial ELIZCOM, Armenia, Quind´ıo.

Derechos Reservados ©Armenia Quind´ıo Colombia 2008 ISBN: 978-958-44-4682-4

Primera edici´on, tiraje 200 ejemplares.

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

Dedicado con cari˜ no a nuestras familias Anibal Mu˜ noz L. Dumar A. Villa Z. Julio C. Mosquera M.

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Agradecimientos: A la Facultad de Ciencias B´ asicas y Tecnolog´ıas y a la Facultad de Educaci´ on, Universidad del Quind´ıo, Armenia - Quind´ıo - Colombia.

Anibal Mu˜ noz Loaiza Dumar A. Villa Z. Julio C. Mosquera M. Armenia - Quind´ıo, Colombia Noviembre del 2008

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´Indice general 1. La matem´ atica en el caf´ e escoc´ es

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2. Espacios Vectoriales

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3. Espacios Topol´ ogicos

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3.1. Conceptos Generales . . . . . . . . . . .

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3.2. Espacios Vectoriales de Funciones Complejas Continuas . . . . . . . . . . . . . .

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3.3. Espacios de Fr´echet . . . . . . . . . . . .

26

3.4. Espacios C ∞ (Ω) y Dk . . . . . . . . . . .

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3.5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Espacios M´ etricos

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4.0.1. Casos particulares del Espacio M´etrico (Rn , dp) . . . . . . . . . .

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4.1. Resultados en Espacios M´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

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5. Espacios Normados

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5.1. Resultados en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6. Espacios de Banach

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7. Espacios de Hilbert

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7.1. Conceptos Generales . . . . . . . . . . .

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7.2. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . .

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7.3. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . .

94

7.4. Operadores en Espacios de Hilbert . . . 105 7.5. Polinomios ortogonales . . . . . . . . . . 116 8. Espacios Medibles - Espacios de Funciones Integrables

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8.1. Fundamentos de Teor´ıa de la Medida . . 131 8.2. Espacios Lp (E) . . . . . . . . . . . . . . 139 9. Espacios de Sobolev

141

9.1. Espacios de Slobodetskii . . . . . . . . . 144 9.2. Espacios de SobolevSlobodetskii . . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.3. Espacios de Besov . . . . . . . . . . . . . 145 9.4. Espacios de Morrey . . . . . . . . . . . . 146

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´Indice de figuras Sonia Koval´evskaya (1850-1891) [27] . .

1

1.1. Caf´e escoc´es [20] [21] . . . . . . . . . .

6

1.2. Caf´e escoc´es de los a˜ nos setenta [20] [21]

7

1.3. Hugo Dyonizy Steinhans [20] [21] . . .

8

1.4. Stefan Banach [20] [21] . . . . . . . . .

8

1.5. Carta de Stefan Banach [20] [21] . . . .

9

1.6. Stanislaw Mazur (1905 - 1981) [20] [21]

9

1.7. S. M. Ulam (1909 - 1984) [20] [21] . . .

10

1.8. J. P. Schauder (1899 - 1943) [20] [21] .

11

1.9. Mark Kac (1914 - 1984) [20] [21] . . . .

11

1.10. Medalla Fielsd en matem´aticas [24] . . .

13

6.1. Stefan Banach (1892-1945) [26] . . . . .

75

7.1. David Hilbert (1862-1943) [25] . . . . .

83

7.2. Laurent Schwartz (1915-2002) [9] . . . .

88

7.3. J. B. Joseph Fourier (1768- 1830) [10] .

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7.4. Pit´agoras de Samos, a˜ no 569 a.c. [11] . .

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1.

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7.5. G. F. Bernhard Riemann (1826-1866) [13] 117 7.6. Karl Weierstrass (1815- 1897) [17] . . . 123 8.1. Henri L´eon Lebesgue (1875-1941) [28] . 129 9.1. Sergei L. Sobolev (1908-1989) [29] . . . 141

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Figura 1: Sonia Koval´evskaya (1850-1891) [27]

Sonia Koval´ evskaya fue una matem´ atica rusa del siglo XIX, que para poder estudiar en la universidad tuvo que salir fuera de Rusia, pedir permisos especiales para asistir a clase y solicitar clases particulares a ilustres matem´ aticos. Despu´ es de obtener el doctorado en Matem´ aticas, a pesar de que ninguna universidad en Europa admit´ıa a una mujer como profesora, consigui´ o serlo en la entonces reci´ en creada Universidad de Estocolmo. Sus investigaciones se centran en el An´ alisis Matem´ atico. Su nombre ha pasado a la historia por el Teorema de Cauchy-Kovaleskaya. Su esEspacios

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pecializaci´ on, por lo que en su ´ epoca fu´ e conocida en toda Europa, era la teor´ıa de funciones abelianas. Su trabajo sobre los anillos de Saturno representa su aportaci´ on a la matem´ atica aplicada. Su mayor ´ exito matem´ atico fue su investigaci´ on sobre la rotaci´ on de un s´ olido alrededor de un punto fijo por el que obtuvo el Premio Bordin de la Academia de Ciencias de Par´ıs. Su trabajo p´ ostumo, una simplificaci´ on de un Teorema de Bruns.

Lleg´ o a ser amiga y colega de los m´ as grandes matem´ aticos de la ´ epoca como Weierstrass, Poin car´ e, Chevichev, Hermite, Picard, Mittag-Leffler, etc., y de cient´ıficos y literatos como Darwin, Elliot, Ibsen, Mendeleyev, Dostoyesky, etc. Todo esto pod´ıa ser suficiente para interesarnos por su vida, pero, ante todo fu´ e una gran matem´ atica creativa, original e innovadora.

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Introducci´ on El libro Espacios, es un texto universitario, escrito con el prop´osito de contribuir en la formaci´on a nivel de pregrado y posgrado de los estudiantes que adelantan estudios en matem´aticas y programas afines.

El libro contiene nueve cap´ıtulos en los que se tratan los Espacios b´asicos en el estudio de las matem´aticas, en particular el An´alisis Funcional.

Se dedica el primer cap´ıtulo a una breve historia del Caf´ e Escoces y Caf´ e Roma, sitios de reuni´on de grandes matem´aticos que aportaron al desarrollo del An´alisis Funcional y otras ´areas de trascendencia en el desarrollo de las matem´aticas.

Los Autores

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Cap´ıtulo 1 La matem´ atica en el caf´ e escoc´ es En los a˜ nos comprendidos entre las dos guerras, Polonia demostr´o ser una potencia importante en matem´aticas.

La reuni´on de tanto matem´atico de altura ha sido calificada con frecuencia de sorprendente. En la ciudad de Lviv, la universidad de Lviv contaba con el departamento de matem´atica un foco de actividad. Conflu´ıan all´a los mejores; estamos hablando de Ulam, Banach, Sierpinski, Mazurkiewicz, Zygmund, Alfred Tarsky, Kuratowsky. El propio Von Neumann visit´o Lviv en 1.929.

La actividad era tan intensa que trascend´ıa los muros universitarios, y se volcaba en las tabernas. Muchos a˜ nos 5

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despu´es, Ulam escribir´ıa: Una sesi´ on en el Caf´ e Escoc´ es con Mazur y Banach que dur´ o 17 horas s´ olo interrumpidas por las comidas. Lo que m´ as me impresionaba era c´ omo se pod´ıa hablar de matem´ aticas, razonar y hallar demostraciones en estos debates.

Figura 1.1: Caf´e escoc´es [20] [21] El caf´e escoc´es se convirti´o en un centro regular de reuni´on de matem´aticos. Las mesas, seg´ un cuenta Ulam, eran de m´armol blanco, lo cual era una ventaja pues se pod´ıa escribir con l´apiz sobre ellas, borrar y volver a empezar. Banach decidi´o que aquello no pod´ıa ser y se compr´o un gran cuaderno en el que ir´ıan apuntando los Espacios

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teoremas y demostraciones que surgieran en el caf´e escoc´es.

Figura 1.2: Caf´e escoc´es de los a˜ nos setenta [20] [21] Los matem´aticos de Lvov hicieron mucha investigaci´on matem´atica en los caf´es de la ciudad. El Caf´ e Roma y el Caf´ e Escoc´ es fueron los m´as populares lugares de reuni´on de los m´as prominentes matem´aticos polacos de la ´epoca; en el u ´ltimo de ´estos fue donde surgi´o el famoso Libro Escoc´ es (Scottish Book), colecci´on informal de problemas de matem´aticas, abiertos y propues tos por matem´aticos que trabajaban distintas ´areas.

El u ´ltimo problema del Libro Escoc´es fue anotado por Steinhaus el 31 de mayo de 1941. En total fueron 193 los problemas registrados.

Banach anot´o 14 problemas ´el solo y otros 11 en colabo Espacios

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Figura 1.3: Hugo Dyonizy Steinhans [20] [21]

Figura 1.4: Stefan Banach [20] [21] raci´on con Mazur y Ulam.

Mazur anot´o 24 (19 en colaboraci´on).

Ulam, planteo 40 problemas matem´aticos (15 en colaboraci´on). Steinhaus 10 problemas y el resto fueron anotados por asistentes regulares como Auerbach o Schreier, o Espacios

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Figura 1.5: Carta de Stefan Banach [20] [21]

Figura 1.6: Stanislaw Mazur (1905 - 1981) [20] [21]

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Figura 1.7: S. M. Ulam (1909 - 1984) [20] [21] por visitantes distinguidos como Frechet, von Neumann y Sobolev. Entre los matem´aticos del caf´e escoc´es, encontramos tambi´en a Schauder y Mark Kac: Muchos problemas del libro jugaron un papel importante en el desarrollo del an´alisis funcional y otras ramas de las matem´aticas. El problema 153, anotado por Mazur el 6 de noviembre de 1936, acerca de existencia de bases de Schauder en espacios de Banach separables, permaneci´o como uno de los principales problemas abiertos del an´alisis funcional hasta que el matem´atico sueco Per Enflo encontr´o un contraejemplo en 1972. El premio - un ganso vivo - le fue entregado al a˜ no siguiente en Varsovia. Durante la d´ecada Espacios

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Figura 1.8: J. P. Schauder (1899 - 1943) [20] [21]

Figura 1.9: Mark Kac (1914 - 1984) [20] [21]

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de los noventas el matem´atico ingl´es William T. Gowers resolvi´o algunos de los problemas del Libro Escoc´es utilizando t´ecnicas de an´ alisis combinatorio. Por ´estas y otras contribuciones al an´ alisis funcional Gowers fue en 1998 con la medalla Fields, el premio m´as importante en Matem´aticas.

Los temas que se tratan en este libro son muy variados, y en ´el figuran ciento noventa y tres problemas, muchos de los cuales permanecen a´ un sin respuesta. Algunos tienen premios asignados para aquel que los resuelva, que van desde una botella de champagne, una botella de whisky, una cerveza, una taza de caf´e, cien gramos de caviar, tocino o un ganso vivo.

En ocasiones acud´ıan a Lvov matem´aticos de otras partes de Europa, los cuales eran invitados a las tertulias en el caf´e escoc´es. Uno de esos invitados fue el frances Henry Lebesgue.

Tras el estallido de la Segunda Guerra Mundial, la ciudad fue ocupada primero por los rusos y despu´es, en el verano de 1941, por las tropas alemanas. En ese momento cesaron las anotaciones quedando como u ´ltima fecha Espacios

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el 31 de mayo de 1941.

Figura 1.10: Medalla Fielsd en matem´aticas [24] Las Medallas Fields han sido definidas como el premio Nobel de Matem´aticas, adem´as de que entre ambos galardones hay ciertas coincidencias, tales como que los dos sirvan como reconocimiento a la labor cient´ıfica de calidad excepcional a nivel internacional, o que ambos premios deben su existencia al legado de las personas que se les da nombre. Las Medallas Fields deben su nombre a John Charles Fields, matem´atico canadiense nacido en Hamilton ( Ontario ) el 14 de Mayo de 1863.

Se licenci´o en matem´aticas en la Universidad de Toronto en 1884 y obtuvo el doctorado en la Universidad John Hopkins en 1887. Tras poco tiempo como profesor en el Allegheny College, viaj´o a Europa donde vivi´o cerca de diez a˜ nos, y en donde se relacion´o con matem´aticos de la talla de Frobenius y Schwarz. En 1902 regres´o a Toronto Espacios

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para impartir docencia como profesor en la Universidad de Toronto. Destac´o por sus trabajos sobre funciones de variable compleja. Muri´o el 9 de agosto de 1932 en la ciudad de Toronto. Fields recibi´o importantes honores a lo largo de su vida. Fue elegido miembro de la Royal Society of Canada en 1907, y en 1913 de la Royal Society of London. John Fields fue presidente del VII Congreso Internacional de Matem´aticas (s´eptimo ICM) que en 1924 se llev´o a cabo en Toronto. Al t´ermino de este congreso, el comit´e organizador vi´o que ten´ıa un super´avit, y Fields propuso dedicarlo para financiar un premio internacional de matem´aticas (dos medallas otorgadas en reconocimiento a la labor matem´atica). A su muerte, en el testamento de Fields estaba escrito que se legara su herencia para financiar este premio, tal y como ocurri´o con el dictado testamentario de Alfred Nobel.

Con motivo de la tragedia que supuso a nivel internacional la Primera Guerra Mundial, existieron ciertas divisiones entre la comunidad matem´atica, hasta el punto que, a los matem´aticos de los pa´ıses perdedores no se les permit´ıa formar parte de la International Mathematical Union creada en 1923 y por ello no pudieron asistir al Congreso de 1924 en Toronto, lo que dej´o ver, que no todas las decisiones eran tomadas simplemente bajo criterios cient´ıficos. Por ello Fields sugiri´o que los pre-

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mios deber´ıan otorgarse a nivel internacional y sin vincular este premio a ning´ un pa´ıs, persona o instituci´on, y aunque se conozcan como Medallas Fields, su nombre es el de Medalla Internacional para Descubrimientos Sobresalientes en Matem´aticas.

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Cap´ıtulo 2 Espacios Vectoriales Los espacios vectoriales son los conjuntos matem´aticos con la m´ınima estructura donde plantear muchos proble mas de inter´es.

Definici´ on 2.0.1. Sea V un conjunto en el que tenemos definida una suma + : V × V −→ V de manera que (V, +) es un grupo conmutativo, es decir, + verifica las siguientes propiedades: 1. Asociatividad: (∀x, y, z ∈ V )((x + y) + z = x + (y + z)) 17

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2. Conmutatividad: (∀x, y ∈ V )(x + y = y + x) 3. Existencia de Elemento Neutro: (∃0 ∈ V : ∀x ∈ V )(x + 0 = x) 4. Existencia de Elemento Sim´ etrico: (∀x ∈ V ∃ − x ∈ V )(x + (−x) = 0) Sea K = R o C el cuerpo de los escalares y supongamos que existe un producto · : K × V −→ V con las siguientes propiedades: 1. (∀α, β ∈ K ∧ ∀x ∈ V )((αβ).x = α.(β.x)) 2. (∀α, β ∈ K ∧ ∀x ∈ V )((α + β).x = α.x + β.x) 3. (∀x, y ∈ V ∧ ∀αK)(α.(x + y) = α.x + α.y) 4. (∀x ∈ V )(1.x = x) Luego V es un espacio vectorial sobre K. Espacios

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Veamos algunos ejemplos de espacios vectoriales: Ejemplo 2.0.1. El espacio de las funciones: V = R[0,1] f : [0, 1] −→ R consideramos en ´el, la suma y el producto puntuales, es decir, (f + g)(x) = f (x) + g(x) (αf )(x) = αf (x) Con dicha suma y producto, V = R[0,1] es un espacio vectorial.

Ejemplo 2.0.2. Espacio de funciones continuas V = C([0, 1]) : El conjunto de funciones, f : [0, 1] −→ R continuas, dotado de la suma y el producto puntuales es un espacio vectorial V = C([0, 1]).

Entonces C([0, 1]) es un subespacio vectorial de R[0,1] .

Ejemplo 2.0.3. Espacio de funciones con derivada continua V = C 1 ([0, 1]): Espacios

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An´alogamente, el conjunto de funciones, f : [0, 1] −→ R con derivada continua es un espacio vectorial C 1 ([0, 1]) y tambi´en es un subespacio vectorial de R[0,1] .

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Cap´ıtulo 3 Espacios Topol´ ogicos En ´este capitulo se dan algunas definiciones y resultados de los Espacios Topol´ ogicos:

3.1.

Conceptos Generales

Definici´ on 3.1.1. Un espacio topol´ ogico es un par (X, τ ) formado por un conjunto no vac´ıo X y una familia τ de subconjuntos de X tales que, i. ∅, X ∈ τ ii. Cualesquiera sea una colecci´ on (Aα )α∈I en τ , se cumple que ∪α∈I Aα ∈ τ . iii. Cualesquiera sea una colecci´ on finita (Ak )nk=1 en τ , se cumple que ∩nk=1 Ak ∈ τ .

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Bajo las condiciones de la definici´on anterior se dice que τ es una topolog´ıa sobre X y a los elementos de τ se les llaman conjuntos abiertos. Cuando no sea necesario destacar a la colecci´on τ , diremos simplemente que X es un espacio topol´ogico.

Los conjuntos cerrados son aquellos cuyo complemento es abierto. Una vecindad de un punto x ∈ X es cualquier subconjunto V de X tal que, existe un abierto W de forma que x ∈ W ⊂ V .

Definici´ on 3.1.2. El espacio topol´ ogico X se dice de Hausdorff si, cualesquiera sean x, y ∈ X distintos, exis ten vecindades de ´estos puntos que son disjuntos.

Definici´ on 3.1.3. Sea un espacio topol´ ogico X y Y subconjunto de X, se define la clausura de Y (en X) como la intersecci´on de todos los subconjuntos cerrados de X que contienen a Y y se denota por Y . El interior de Y se define como la uni´ on de todos los abiertos de X contenidos en Y y se denota por intY ´ o Y 0.

N´otese que seg´ un la definici´on, la clausura de un conjunto siempre es un cerrado y el interior de un conjunto es un abierto.

Definici´ on 3.1.4. Dado un espacio topol´ ogico X, se dice que Y ⊂ X es denso (en X) si su clausura coEspacios

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incide con X (Y = X). Se dir´ a que Y es nunca denso si la clausura de Y tiene interior vac´ıo Definici´ on 3.1.5. Si (X, τ ) y (Y, η) son espacios topol´ o gicos, una aplicaci´on f : X → Y se dice continua, si la preimagen bajo f de cada conjunto abierto en Y es un abierto en X. Esto es, si V ∈ η, entonces {x ∈ X : f (x) ∈ V } ∈ τ Un homeomorfismo topol´ ogico es una aplicaci´on continua que tiene inversa y la inversa es continua. Dos espacios topol´ogicos se dir´an topol´ ogicamente homeo morfos, si existe un homeomorfismo topol´ogico entre ellos.

Definici´ on 3.1.6. Si (X, τ ) es un espacio topol´ ogico y Y ⊂ X no vac´ıo, a la colecci´ on {A ∩ Y : A ∈ τ } se le denomina topolog´ıa inducida, por X sobre Y .

N´otese que la topolog´ıa inducida es una topolog´ıa.

Diremos que una cubierta es abierta si est´a compuesta por conjuntos abiertos.

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Definici´ on 3.1.7. Un espacio topol´ ogico X es compacto si toda cubierta abierta contiene una subcubierta finita. Un subconjunto K de X se dice compacto (relativamente compacto) si es compacto (si su clausura es compacta) con respecto a la topolog´ıa inducida por X sobre K (K).

Teorema 3.1.1 (Weierstrass). . Si X es un espacio compacto, toda funci´ on real y continua sobre X es acotada.

Demostraci´on. Sea f : X → R una funci´on continua y supongamos que f no es acotada. En tal caso existe una sucesi´on (xn ) de puntos de X tales que, |f (xn )| → ∞.

Sin perder generalidad, podemos suponer que para cada n, |f (xn+1 )| > |f (xn )|. Consideremos la colecci´on

A := {x ∈ X : |f (x)| < n} = f −1 (−n, n) Como para cada n, se tiene que |f (xn+1 )| ≥ n se tiene que la colecci´on (An )n∈N es una cubierta abierta de X que no contiene subcubiertas finitas, lo cual es una contradicci´on.

Nota 3.1.1. El rec´ıproco del teorema anterior es falso.

Esto es, existen espacios topol´ ogicos no compactos en Espacios

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MuË&#x153; noz A., Villa D., Mosquera J. C.

los cuales toda funci´ on continua est´ a acotada. Bajo las hip´otesis del teorema anterior se puede demostrar que existe un punto x0 â&#x2C6;&#x2C6; X tal que |f (x0 )| = supxâ&#x2C6;&#x2C6;X |f (x)|.

3.2.

Espacios Vectoriales de Funciones Complejas Continuas

Si â&#x201E;Ś es un conjunto abierto no vaci´o de un espacio eucl´Ĺdeo, entonces â&#x201E;Ś es la uni´on de una familia numerable de conjuntos compactos Kn 6= â&#x2C6;&#x2026; que pueden elegirse de modo que Kn est´e contenido en el interior de Kn + 1 ;

(n = 1, 2, 3, ...).

C(â&#x201E;Ś) es el espacio vectorial de todas las funciones continuas sobre â&#x201E;Ś, topoligizado por la familia de seminormas que separa puntos: Pn (f ) = sup{|f (x)| : x â&#x2C6;&#x2C6; Kn } Como p1 â&#x2030;¤ p2 ..., los conjuntos

1 Vn = f â&#x2C6;&#x2C6; C(â&#x201E;Ś) : Pn (f ) â&#x2030;¤ n

,

n = 1, 2, 3, ...

Forman una base local convexa para C(â&#x201E;Ś).

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La topolog´ıa de C(Ω) es compatible con la m´etrica: ∞ X 2−n Pn (f − g) d(f, g) = 1 + Pn (f − g) n=1

Si {fi } es una sucesi´on de Cauchy respecto a esta m´etrica, entonces Pn (fi − fj ) −→ 0 ∀ n,

i, j −→ ∞.

Luego, {fi } converge uniformemente sobre Kn a una funci´on f ∈ C(Ω). Se cumple que d(f, fi ) −→ 0. Por tanto, d es una m´etrica completa. As´ı queda demostrado que C(Ω) es un Espacio de Fr´echet.

3.3.

Espacios de Fr´ echet

Sea Ω un subconjunto abierto no vac´ıo del plano complejo y C(Ω) un espacio vectorial de funciones complejas continuas y sea H(Ω) el subconjunto de C(Ω) formado por las funciones holomorfas en Ω.

Como los l´ımites de sucesiones de funciones holomorfas que convergen uniformemente sobre conjuntos compactos son funciones holomorfas, H(Ω) es un subespacio cerrado de C(Ω). Por tanto, H(Ω) es un Espacio de Fr´echet.

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3.4.

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Espacios C ∞(Ω) y Dk

En funciones de varias variables, el t´ermino multi-´ındice denota una n-pla ordenada: β = (β1 , ..., βn ) de enteros no negativos βi .

A cada multi-´ındice β se le asocia el operador diferencial, β

D =

∂ ∂x1

β 1

...

∂ ∂xn

β n

cuyo orden es, |β| = β1 + β2 + ... + βn si |β| = 0 ,

D3 f = f .

Se dice que una funci´on compleja f definida en un conjunto abierto no vac´ıo Ω ⊂ Rn pertenece a C ∞ (Ω) si Dβ f ∈ C(Ω) ∀ multi-´ındice β .

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Definici´ on 3.4.1. (Soporte de una funci´ on compleja).

El soporte de una funci´ on compleja f sobre un espacio topol´ogico es la adherencia de {x : f (x) 6= 0}.

Si K es un conjunto compacto de Rn , entonces DK es el espacio de todas las f ∈ C ∞ (Rn ) cuyo soporte est´ a contenido en K1 .

Si K ⊂ Ω, entonces Dk puede identificarse con un subespacio de C ∞ (Ω).

3.5.

Espacios Vectoriales Topol´ ogicos

Sea τ una topolog´ıa sobre un espacio vectorial X tal que: Cada punto x es un conjunto cerrado, y Las operaciones de espacio vectorial son continuas respecto de τ .

Por tanto, τ es una topolog´ıa vectorial sobre X y (X, τ ) un espacio vectorial topol´ogico y se demuestra que todo espacio vectorial topol´ogico es un Espacio de Hausdorff.

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Cap´ıtulo 4 Espacios M´ etricos Un espacio m´etrico es un conjunto de puntos en los que est´a definido la noci´on de distancia entre puntos. Podemos usar la funci´on distancia o m´etrica para definir los conceptos fundamentales del an´alisis, tales como convergencia, continuidad y compacidad.

Definici´ on 4.0.1. Un espacio m´etrico es un par (X, d) donde X es un conjunto no vac´ıo y d es una funci´ on real d : X × X −→ R llamada distancia o m´etrica y que satisface las siguientes propiedades: 1. d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X,

d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y

2. d(x, y) = d(y, x) ≥ 0 ∀x, y ∈ X 29

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3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X Como se observa la distancia satisface la desigualdad triangular 3.: La longitud de un lado de un tri´angulo es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados.

Ejemplo 4.0.1. Espacio m´ etrico discreto (X, d).

En ´este caso la m´etrica discreta d en X 6= ∅, est´ a definida as´ı:

 1 si d(x, y) = 0 si

x 6= y x=y

Ejemplo 4.0.2. Espacio m´ etrico euclidiano (R, d).

Sobre X = R la m´etrica usual o Euclidiana es aquella que asocia a todo par de puntos el valor absoluto de su diferencia. Es decir, d(x, y) =| x − y |

∀x, y ∈ R

El conjunto de n´ umeros complejos C con la funci´on distancia d(z, w) =| z − w |

∀, z, w ∈ C, tambi´en es un

espacio m´etrico.

Ejemplo 4.0.3. Espacio m´ etrico Eucl´ıdeo (Rn , d).

Sea X = Rn , el conjunto de todas las n−uplas de n´ umeros reales. Si x = (x1 , x2 , ..., xn ) e y = (y1 , y2 , ..., yn ) son ele Espacios

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mentos de X, definimos la distancia: v u n uX d(x, y) = t (xi − yi )2 i=1

=

p

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + ... + (xn − yn )2

Puede verificarse f´acilmente que se cumplen los dos prime ros axiomas m´etricos. La desigualdad tri´angular la podemos escribir as´ı: v v v u n u n u n uX uX uX t | xk − yk |2 ≤ t | xk − zk |2 +t | zk − yk |2 k=1

k=1

k=1

Tomando en la desigualdad: xk −zk = ak y zk −yk = bk , por lo tanto, xk −yk = ak +bk obtenemos: v v v u n u n u n uX uX uX 2 t (ak + bk )2 ≤ t ak + t b2k k=1

k=1

k=1

La desigualdad triangular se deduce a partir de la desigualdad de Cauchy-Boniakovski-Schwartz (CBS): n X k=1

!2 ak b k

≤

n X

! a2k

k=1

Espacios

n X k=1

! b2k

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Usando la desigualdad CBS tenemos: n X

n X

(ak + bk )2 =

k=1

n X

a2k + 2

k=1

n X

ak b k +

k=1

n X

b2k ≤

k=1

v v v  u n u n u n n n X X X X X u u u b2k = t b2k + a2k a2k + t b2k  a2k +2t

k=1

k=1

k=1

k=1

k=1

k=1

Ejemplo 4.0.4. Espacio (Rn , dp ).

Definimos la distancia dp entre x e y mediante

dp (x, y) =

n X

! p1 | xk − yk |p

k=1

donde p ≥ 1.

Para verificar la desigualdad triangular hacemos la misma sustituci´on que en el caso anterior y se demuestra la desigualdad de Minkowski: n X k=1

! p1 | ak + bk |p

≤

n X

! p1 | ak |p

k=1

+

n X

! p1 | bk |p

k=1

Para p = 1 la desigualdad es trivial, para p > 1 su Espacios

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demostraci´on se basa en la desigualdad de Holder: n X k=1

| ak bk |≤

n X

! p1 | ak |p

n X

! 1q | bk |q

k=1

k=1

donde p > 1 y q > 1 cumplen la condici´on: 1 1 + =1 p q Para demostrar la desigualdad Holder, consideremos la funci´on y(u) = uα , α > 0. De donde y(u) = αuα−1 > 0 para u > 0, luego y(u) es una funci´on creciente para 1

u > 0 y la funci´on inversa u = y α est´a definida.

Eligiendo dos n´ umeros reales positivos a y b sobre la gr´afica de la funci´on y(u) y se˜ nalando los puntos corres pondientes en los ejes u y y, respectivamente y trazando las l´ıneas rectas paralelas a los ejes obtenemos dos tri´angulos limitados por las l´ıneas, los ejes y la curva y(u), cuyas ´areas son: aα+1 A= α+1

1

,

bα B= 1 +1 α

Adem´as se cumple que AB ≥ ab.

Espacios

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Sea α + 1 = p y

1 α

+ 1 = q entonces 1 1 + =1 p q

Por lo tanto, para cualesquiera a, b reales positivos y par conjugado p, q se cumple: ab ≤

ap b q + p q

Sustituyendo se obtiene:

| ak | a= P 1 n ( k=1 | ai |p ) p

,

| bk | b= P 1 n ( k=1 | bk |q ) q

Sumando sobre el ´ındice k obtenemos la desigualdad de Holder.

Para demostrar la desigualdad de Minkowski, conside remos la identidad: (| a | + | b |)p =

= (| a | + | b |)p−1 | a | +(| a | + | b |)p−1 | b | Tomando a = ak , b = bk y sumando sobre el ´ındice k: Espacios

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n X

p

(|ak | + |bk |) =

k=1

n X

(|ak | + |bk |)p−1 |ak |+

k=1

+

n X

(|ak | + |bk |)p−1 |bk |

k=1

Aplicando a cada una de las sumas de la derecha la desigualdad de Holder y como (p − 1)q = p, obtenemos: n X

(|ak | + |bk |)p

k=1

≤

n X

! 1q " (|ak | + |bk |)p

n X



# p1 |ak |p

" +

k=1

k=1

n X

# p1  |bk |p



k=1

Dividiendo por: n X

! 1q (|ak | + |bk |)p

k=1

Obtenemos,

n X k=1

! 1q (|ak | + |bk |)p

≤

n X

! p1 |ak |p

k=1

+

n X

! p1 |bk |p

k=1

De la cual se deduce la desigualdad de Minkowski.

Espacios

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4.0.1.

Casos particulares del Espacio M´ etrico (Rn , dp)

M´etrica de Manhattan para p = 1:

d1 (x, y) =

n X

|xk − yk |

k=1

Para p2 se recupera el espacio Euclidiano.

Si p −→ ∞, la m´etrica es

d∞ (x, y) = m´ax |xi − yi | 1≤i≤n

Ejemplo 4.0.5. Espacio M´ etrico de las sucesiones lp.

Sea X el conjunto de las sucesiones de n´ umeros reales {xn }n∈N que cumplen: ∞ X

|xn |p < ∞

n=1

Para p ≥ 1.

Sea x = {xn }n∈N

y

y = {yn }n∈N . Se define la disEspacios

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tancia entre x, y como: ∞ X

dp (x, y) =

! p1 |xn − yn |p

n=1

La desigualdad triangular se verifica utilizando la desigualdad de Minkowski ya que para n cualquiera se cumple:

n X

! p1 |xk − yk |p

n X

≤

k=1

! p1 |xk |p

+

n X

k=1

! p1 |yk |p

k=1

Por hip´otesis las series: ∞ X

p

|xk |

,

∞ X

|yk |p

k=1

k=1

Convergen. Por lo tanto, haciendo n −→ ∞, obtenemos:

∞ X k=1

! p1 |xk − yk |p

≤

∞ X

! p1 |xk |p

k=1

+

∞ X

! p1 |yk |p

<∞

k=1

Se verifica que dp (x, y) tiene sentido ∀ x, y ∈ lp , y se satisface la desigualdad triangular.

Para p = 2 se obtiene el Espacio M´etrico llamado EspaEspacios

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cio de Hilbert de las coordenadas, con M´etrica: ∞ X

d2 (x, y) =

! 12 |xn − yn |2

n=1

En el caso p < ∞ los elementos de lp son sucesiones que convergen a cero.

Si p = ∞ los elementos de l∞ s´olo necesitan estar acotados y: d∞ (x, y) = sup{|xn − yn |} n∈N

Ejemplo 4.0.6. Espacio de las funciones continuas: C ([a, b]).

En ´este espacio, X es el conjunto de las funciones continuas definidas en el intervalo [a, b] y la m´etrica en X es, d(f, g) = m´ax |f (x) − g(x)| x∈[a,b]

Otra m´etrica en C ([a, b]) es: s

Z

b

d2 (f, g) =

(f (x) − g(x))2 dx

a

Ejemplo 4.0.7. Espacio de las funciones de potencia p Integrales, Lp .

Espacios

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Sea

MuË&#x153; noz A., Villa D., Mosquera J. C.

P

un espacio positivo de una medida Âľ2 y conside

ramos el conjunto de todas las funciones de potencia p P Integrales (p â&#x2030;Ľ 1) en . Es decir, aquellas funciones que cumplen:

Z

|f |p dÂľ < â&#x2C6;&#x17E;

P

Y definimos en ´estos espacios la m´etrica: Z

p

p1

|f (x) â&#x2C6;&#x2019; g(x)| dx

d(f, g) = P

4.1.

Resultados en Espacios M´ etricos

Sea (X, d) un espacio m´etrico cualquiera y A un subconjunto de X. Definici´ on 4.1.1. (Bola abierta). Sea h â&#x2C6;&#x2C6; X y > 0.

Se llama bola abierta de centro h y radio al conjunto B(h; ) = {x â&#x2C6;&#x2C6; X : d(x, h) < } Definici´ on 4.1.2. (Bola cerrada). Sea h â&#x2C6;&#x2C6; X y > 0.

Se llama bola cerrada de centro h y radio al conjunto ÂŻ ) = {x â&#x2C6;&#x2C6; X : d(x, h) â&#x2030;¤ } B(h; Espacios

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MuË&#x153; noz A., Villa D., Mosquera J. C.

Definici´ on 4.1.3. (Punto interior). x â&#x2C6;&#x2C6; A es un punto interior de A si existe un numero real > 0 tal que B(x; r) â&#x160;&#x201A; A Definici´ on 4.1.4. (Interior de un conjunto). Al conjunto â&#x2014;Ś

A = {x â&#x2C6;&#x2C6; A : x

es interior de

A}

se llama interior del conjunto A. Adem´ as, como conseâ&#x2014;Ś

cuencia A â&#x160;&#x201A; A. â&#x2014;Ś

Observaci´ on: A puede ser vac´Ĺo sin que lo sea A. Definici´ on 4.1.5. (Conjunto abierto). A es un conjunto abierto, si todo punto de A es interior. Es decir, A es â&#x2014;Ś

abierto si A = A. Teorema 4.1.1. Toda bola abierta es un conjunto abierto.

Demostraci´on. Sea la bola abierta B(h; ) y x â&#x2C6;&#x2C6; B(h; ) un punto cualquiera de ella. Se trata de demostrar que x es interior a la bola.

Consideremos 1 â&#x2C6;&#x2C6; R tal que 1 = â&#x2C6;&#x2019; d(h, x) > 0 Espacios

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MuË&#x153; noz A., Villa D., Mosquera J. C.

y la bola abierta B(x; 1 ).

Se debe verificar que B(x; 1 ) â&#x160;&#x201A; B(h; ): â&#x2C6;&#x20AC;z â&#x2C6;&#x2C6; B(x; 1 ) : d(x; z) < 1 Es decir, d(x, z) < â&#x2C6;&#x2019; d(h, x) o bien d(x, z) + d(h, x) < pero d(a, z) â&#x2030;¤ d(x, z) + d(h, x) < de donde d(h, z) < Por lo tanto, z â&#x2C6;&#x2C6; B(h; ) As´Ĺ queda demostrado el teorema. â&#x2014;Ś

Teorema 4.1.2. â&#x2C6;&#x20AC;A â&#x2C6;&#x2C6; (X, d), A es un conjunto abierto, â&#x2014;Ś

â&#x2014;Ś

â&#x2014;Ś

es decir, A = A. â&#x2014;Ś

Demostraci´on. Si A = â&#x2C6;&#x2026; se cumple que es abierto. Supongâ&#x2014;Ś

â&#x2014;Ś

amos que A 6= â&#x2C6;&#x2026; y sea x â&#x2C6;&#x2C6; A.

Espacios

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MuË&#x153; noz A., Villa D., Mosquera J. C. â&#x2014;Ś

Demostremos que x es interior de A. â&#x2014;Ś

Si x â&#x2C6;&#x2C6; A entonces existe un > 0 tal que B(x; ) â&#x160;&#x201A; A Por el teorema (4.1.1), B(x; ) es un conjunto abierto, as´Ĺ tomando interiores en ambos t´erminos de la inclusion, tenemos: â&#x2014;Ś

B(x; ) â&#x160;&#x201A; A â&#x2014;Ś

Por lo tanto, x es un punto interior de A y ´este es un conjunto abierto.

Ahora supongamos que E â&#x160;&#x201A; A y E es abierto. Tomando interiores en ambos miembros de la inclusion tenemos: â&#x2014;Ś

â&#x2014;Ś

Eâ&#x160;&#x201A;A â&#x2014;Ś

pero E = E, luego,

â&#x2014;Ś

Eâ&#x160;&#x201A;A â&#x2014;Ś

Es decir, A es el m´aximo conjunto abierto contenido en A. Teorema 4.1.3. Si A y B son conjuntos cualesquiera Espacios

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

en un espacio m´etrico entonces, ◦

◦

◦

◦

\ A∪B ⊂A ∪B

◦

◦

\ A∩B =A ∩B

,

Demostraci´on. Sabemos que ◦

◦

A⊂A y B⊂B de donde ◦

◦

◦

A∪B ⊂A∪B ◦

◦

◦

◦

y A∩B ⊂A∩B

◦

Pero A ∪ B y A ∩ B son abiertos, ´esto implica: ◦

◦

◦

◦

\ A∪B ⊂A ∪B

,

◦

◦

\ A∩B ⊂A ∩B

Adem´as, A∩B ⊂A y A∩B ⊂B Tomando interiores, ◦

◦

◦

◦

\ \ A ∩B ⊂A y A ∩B ⊂B Luego, ◦

◦

◦

\ A ∩B ⊂A∩B Espacios

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MuË&#x153; noz A., Villa D., Mosquera J. C.

De las inclusiones anteriores obtenemos: â&#x2014;Ś

â&#x2014;Ś

â&#x2014;Ś

\ Aâ&#x2C6;ŠB =A â&#x2C6;ŠB quedando demostrado el teorema.

Sea (X, d) un espacio m´etrico cualquiera y x â&#x2C6;&#x2C6; X. Definici´ on 4.1.6. (Entorno). Se llama entorno del punto x a todo conjunto abierto que lo contenga.

En particular B(x; ) es un entorno de x. Adem´ as, todo entorno de x contiene una bola abierta de centro x, puesto que x pertenece al entorno y es por tanto, punto interior de ´este.

Observaciones: Un conjunto abierto es un entorno de cualquiera de sus puntos.

La uni´on en una familia cualquiera de entornos de un mismo punto es un entorno de ese punto.

La intersecci´on de un n´ umero finito de entornos de un mismo punto es tambi´en un entorno de ´este.

Sea A un conjunto en el espacio m´etrico (X, d) y x â&#x2C6;&#x2C6; X. Espacios

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Definici´ on 4.1.7. (Punto de acumulaci´ on). x es un punto de acumulaci´ on del conjunto A, si todo entorno de x contiene puntos de A distintos de x. Es decir, para todo entorno H de x se verifica: (H − {x}) ∩ A 6= ∅ Observaci´ on: Si x ∈ A pero no es punto de acumulaci´on de A, recibe el nombre de punto aislado de A. Definici´ on 4.1.8. (Conjunto cerrado). Sea un espacio m´etrico cualquiera (X, d) y A ⊂ X. Si A contiene todos sus puntos de acumulaci´ on, es decir, A0 ⊂ A, decimos que A es un conjunto cerrado.

Si A0 = ∅ (A no tiene puntos de acumulaci´ on), A es cerrado, puesto que siempre A0 ⊂ A. Observaciones: El conjunto vac´ıo ∅ y cualquier conjunto constituido por un n´ umero infinito de puntos son conjuntos cerrados.

El conjunto X es cerrado.

Tanto ∅ como X son conjuntos abiertos y cerrados a la vez.

Espacios

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Definici´ on 4.1.9. (Conjunto perfecto). Un conjunto cerrado A y con todos sus puntos de acumulaci´ on A0 = A, es un conjunto perfecto.

Definici´ on 4.1.10. (Clausura de A). Sea A un conjunto en el espacio m´etrico (X, d). Al conjunto uni´ on de A con todos sus puntos de acumulaci´ on, A¯ = A ∪ A0 se le llama clausura de A y sus elementos reciben el nombre de puntos de adherencia de A. Teorema 4.1.4. Sea (X, d) un espacio m´etrico cualquie ra y A ⊂ X. Para todo (X, d) se verifica: ¯ 0 = A0 (A) Demostraci´on. Sabemos que A ⊂ A¯ y adem´as: ¯0 A0 ⊂ (A) ¯ 0 6= ∅, ya que de lo contrario, la tesis Suponemos que (A) del teorema es cierta. ¯ 0 , x ∈ A0 .

Debemos probar que para cualquier x ∈ (A) ¯ Sea H un entorno de x. H contiene infinitos puntos de A, Espacios

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es decir, infinitos puntos de A∪A0 y por cada y ∈ H ∩A0 , H es tambi´en un entorno de y, pero y ∈ A0 , de modo que H contiene infinitos puntos de A0 .

Luego, H contiene infinitos puntos de A, lo cual implica que x ∈ A0 . por tanto, se ha demostrado que ¯ 0 ⊂ A0 (A) ¯ 0 se demuestra el teorema. y junto con A0 ⊂ (A)

Corolario 4.1.1. Para todo conjunto A, un espacio m´etrico, A0 y A¯ son conjunto cerrados.

Demostraci´on. Por el teorema, ¯ 0 = A0 ⊂ A¯ (A) o sea que A¯ es cerrado. ¯ tomando derivados, De la inclusi´on A0 ⊂ A, ¯0 (A0 )0 ⊂ (A) Espacios

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MuË&#x153; noz A., Villa D., Mosquera J. C.

y por el teorema, ÂŻ 0 = A0 (A0 )0 â&#x160;&#x201A; (A) por tanto A0 es cerrado.

Teorema 4.1.5. Un conjunto A en un espacio m´etrico (X, d) es cerrado, si y s´ olo si X â&#x2C6;&#x2019; A es abierto.

Demostraci´on. Supongamos que A es cerrado y probemos que X â&#x2C6;&#x2019; A es abierto.

Si X â&#x2C6;&#x2019; A = â&#x2C6;&#x2026; sabemos que es abierto.

Sea X â&#x2C6;&#x2019; A 6= â&#x2C6;&#x2026; y tomemos un x â&#x2C6;&#x2C6; X â&#x2C6;&#x2019; A. Como A contiene todos sus puntos de acumulaci´on por ser cerrado y x â&#x2C6;&#x2C6; / A, x no es punto de acumulaci´on de A. Luego, existe alg´ un > 0 tal que A â&#x2C6;Š B(x; ) = â&#x2C6;&#x2026; Implica que B(x; ) â&#x160;&#x201A; X â&#x2C6;&#x2019; A; o sea x es punto interior de x â&#x2C6;&#x2019; A y ´este es abierto.

Ahora, supongamos que X â&#x2C6;&#x2019; A es abierto y probemos que A es cerrado.

Espacios

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Si X â&#x2C6;&#x2019; A = â&#x2C6;&#x2026; resulta que X = A que es cerrado.

Sea X â&#x2C6;&#x2019; A 6= â&#x2C6;&#x2026; y tomemos un x â&#x2C6;&#x2C6; X â&#x2C6;&#x2019; A. â&#x2C6;&#x192; > 0 : B(x; ) â&#x160;&#x201A; X â&#x2C6;&#x2019; A implica que A â&#x2C6;Š B(X; ) = â&#x2C6;&#x2026;.

Es decir, si un punto no pertenece a A, entonces no es de acumulaci´on de A, o sea que A debe contener todos sus puntos de acumulaci´on (as´Ĺ no existan) y es cerrado.

Corolario 4.1.2. A es abierto si y s´ olo si x â&#x2C6;&#x2019; A es cerrado.

Demostraci´on. Si A es abierto y A = X â&#x2C6;&#x2019; (X â&#x2C6;&#x2019; A), entonces X â&#x2C6;&#x2019; A es cerrado por el teorema.

De forma rec´Ĺproca, si X â&#x2C6;&#x2019; A es cerrado por el teorema X â&#x2C6;&#x2019; (X â&#x2C6;&#x2019; A) = A Por lo tanto, A es abierto.

Definici´ on 4.1.11. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A â&#x160;&#x201A; X. Se llama frontera de A al conjunto ÂŻ Îą(A) = AÂŻ â&#x2C6;Š (X â&#x2C6;&#x2019; A) Espacios

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Propiedades: α(A) es un conjunto cerrado. α(A) = α(X − A).

Si α(A) 6= 0, las tres propiedades siguientes son equivalentes: • x ∈ α(A).

• d(x, A) = d(x, X − A) = 0.

• H ∩ A 6= ∅, H ∩ (X − A) 6= ∅, ∀ entorno H de x. ◦

α(A) = A¯ − A. A¯ = A ∪ α(A).

A cerrado si y s´olo si α(A) ⊂ A. A abierto si y s´olo si A ∩ α(A) = ∅.

Definici´ on 4.1.12. (Borde). Se llama borde de un conjunto A en el espacio m´etrico (X, d), a la parte de su frontera que le pertenece, es decir, al conjunto: β(A) = A ∩ α(A) Propiedades: Espacios

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A es cerrado si y solo si β(A) = α(A).

A es abierto si y solo si β(A) = ∅. ◦

β(A) = A − A. β(X − A) = α(A) − β(A).

Definici´ on 4.1.13. (Conjunto denso). El conjunto A en el espacio m´etrico (X, d) es denso si A¯ = X Las siguientes proposiciones son equivalentes: A es denso. ∀x ∈ X : d(X, A) = 0.

W ∩A 6= ∅, para todo conjunto abierto y no vaci´o W .

Definici´ on 4.1.14. (Conjunto fronterizo). El conjunto A del espacio m´etrico (X, d) es fronterizo, si su complemento X − A es denso.

Definici´ on 4.1.15. (Conjunto nada-denso). El conjunto A del espacio m´etrico (X, d) es nada-denso, si el complemento de su clausura X − A es denso.

Propiedades de los conjuntos fronterizos y nadadensos en un espacio cualquiera (X, d): Espacios

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∅ es fronterizo y nada-denso.

X no es fronterizo ni nada-denso.

A es nada-denso si y solo si A¯ es fronterizo.

Si A es cerrado y fronterizo entonces A es nadadenso.

Si A es nada-denso entonces A es fronterizo. ◦

A es fronterizo si y solo si A = ∅.

Si A es abierto y fronterizo entonces A = ∅. ◦

Si A es nada-denso entonces A¯ = ∅.

Si A ⊂ B y B es fronterizo o nada-denso, entonces A es fronterizo o nada-denso respectivamente.

Definici´ on 4.1.16. (Disconexion). Sea A un conjunto no vac´ıo en un espacio m´etrico (X, d), los conjuntos N y W son una disconexion de A si son no vac´ıos, disjuntos, abiertos en el sub espacio (A, d) y (A = N ∪ W ). Si tales conjuntos existen decimos que A admite una disconexion.

En general, si A admite una disconexion, esta puede no ser u ´nica.

Espacios

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Definici´ on 4.1.17. El conjunto A es disconexo si admite alguna disconexion.

Definici´ on 4.1.18. El conjunto A es conexo si no es disconexo.

Definici´ on 4.1.19. El espacio m´etrico (X, d) es conexo (disconexo), si el conjunto X es conexo (disconexo).

Ejemplo 4.1.1. Se cumple que: Un espacio m´etrico discreto de m´ as de un punto es siempre disconexo.

R y Rn son conexos.

Todo espacio normado son espacios conexos.

Resultado importante: Un espacio m´etrico es conexo si y solo si todo subconjunto propio tiene frontera no vac´ıa.

Definici´ on 4.1.20. (Conjunto acotado). Sea A un conjunto no vac´ıo en el espacio m´etrico (X, d). A es acotado, si existe alg´ un numero real σ > 0 tal que: ∀ x, y ∈ A : d(x, y) ≤ σ De esta definici´on se concluye que todo sub conjunto no vac´ıo de un conjunto acotado es acotado.

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Definici´ on 4.1.21. (Conjunto precompacto). Sea A un conjunto no vac´Ĺo en un espacio m´etrico (X, d). A es precompacto si a cualquier n´ umero real > 0 correspon de un conjunto finito de puntos x1 , x2 , ..., xn â&#x2C6;&#x2C6; A tales que: A â&#x160;&#x201A; â&#x2C6;Şni=1 N (Xi ; ) Si A es finito, entonces A es precompacto.

Teorema 4.1.6. En un espacio m´etrico cualquiera (X, d), todo conjunto precompacto es acotado.

Demostraci´on. Sea A un conjunto precompacto en un espacio (X, d). Para = 1, existe un conjunto finito de puntos x1 , x2 , ....xn â&#x2C6;&#x2C6; A tales que A â&#x160;&#x201A; â&#x2C6;Şni=1 N (xi ; 1)

(4.1)

Sea Ď el m´aximo de todas las distancias d(xi , xj ), para i = 1, ..., n, j = 1, ..., n.

Tomemos ahora x, y â&#x2C6;&#x2C6; A cualesquiera. Con base en (1): x â&#x2C6;&#x2C6; N (xi ; 1) ,

y â&#x2C6;&#x2C6; N (xj ; 1)

Luego, d(x, y) â&#x2030;¤ d(x, xi )+d(y, xi ) â&#x2030;¤ d(x, xi )+d(y, xj )+d(xi , xj ) Espacios

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es decir, d(x, y) < 2 + ρ y A es acotado.

Definici´ on 4.1.22. (Conjunto separable). Sea A un conjunto no vac´ıo en el espacio m´etrico (X, d). A es separable si existe un conjunto contable W con W ⊂ A tal ¯. que A ⊂ W Resultados: ¯.

A¯ = W El espacio (X, d) es separable, si el conjunto X es separable, es decir, existe un conjunto denso y contable.

Todo conjunto contable es separable.

Definici´ on 4.1.23. (Cobertura). Sea A un conjunto del espacio m´etrico (X, d). Una familia F de espacios (X, d) tal que A ⊂ B B∈F

se llama cobertura de A. Es decir, que F cubre a A. Definici´ on 4.1.24. (Subcobertura). Una subcobertura de F es una subfamilia de F que tambi´en cubre a A. Espacios

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Definici´ on 4.1.25. (Cobertura abierta). F es una cobertura abierta de A, si F cubre a A y todos los conjuntos de F son abiertos.

Definici´ on 4.1.26. Sea X un conjunto cualquiera no vac´ıo y N el conjunto de los n´ umeros naturales.

Una sucesi´on en X es una funci´ on: f:

N

−→ X

n ∈ N −→ f (n) ∈ X Se emplea la notaci´on: xn = f (n) Los elementos xn , llamados t´erminos de la sucesi´ on, suelen escribirse en forma de lista ordenada en sentido creciente del sub´ındice: {x0 , x1 , x2 , ..., xn , ...} se abrevia escribiendo {xn }.

En cualquier caso, el rango de una sucesi´on es un conjunto contable.

Una sucesi´on en un espacio m´etrico (X, d) es una sucesi´on en el conjunto X. Espacios

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Definici´ on 4.1.27. (L´ımite). Sea {xn } una sucesi´ on en el espacio m´etrico (X, d). Decimos que un punto x ∈ X es l´ımite de {xn }, si a cada entorno H de x corresponde un ν ∈ N tal que ∀ n ≥ ν : xn ∈ H. Se expresa diciendo que {xn } converge a x o que tiene limite x o que tiende a x.

Una sucesi´on que tiene l´ımite, se dice que es convergente. Se nota as´ı: l´ım xn = x

o

xn → x

Teorema 4.1.7. El l´ımite de una sucesi´ on convergente en un espacio m´etrico es u ´nico.

Demostraci´on. Supongamos que xn −→ x, xn −→ y, x 6= y; es decir, ambos puntos x, y satisfacen la definici´on de l´ımite de la sucesi´on {xn }.

Luego, existen entornos H, M de x, y respectivamente con H ∩ M = ∅.

Al entorno H corresponde ν ∈ N tal que ∀ n ≥ ν : xn ∈ H Espacios

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Al entorno M corresponde ω ∈ N tal que ∀ n ≥ ω : xn ∈ M Si tomamos un m ∈ N con m ≥ max{ν, ω}, es decir, no menor que ν ni ω, resulta que: xm ∈ H ∩ M lo cual contradice que H ∩ M = ∅.

Teorema 4.1.8. Si {xn } es una sucesi´ on convergente en un espacio m´etrico, entonces toda sucesi´ on parcial de ella converge al mismo l´ımite.

Demostraci´on. Sea x = l´ım xn e {yn } una sucesi´on parcial de {xn } bajo la aplicaci´on: g : N −→ N,

∀ n ∈ N : yn = xg(n)

Sea H un entorno o cualquiera de x. Luego, el conjunto: NH = {n ∈ N : xn ∈ / H} es finito, lo cual implica que el conjunto: {n ∈ N : yn ∈ / H} = {n ∈ N : xg(n) ∈ / H} = g −1 (NH ) Espacios

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es tambi´en finito, ya que por ser g inyectiva, contiene, a lo m´as, igual n´ umero de elementos que NH . Por lo tanto, yn â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; x.

Definici´ on 4.1.28. Sea {xn } una sucesi´ on en un espacio (X, d). {xn } es una sucesi´ on de Cauchy, si a cada n´ umero real > 0 corresponde un â&#x2C6;&#x2C6; N : â&#x2C6;&#x20AC; n, n0 â&#x2030;Ľ se verifica que: d(xn ; xn0 ) < Teorema 4.1.9. En un espacio m´etrico toda sucesi´ on convergente es de Cauchy.

Demostraci´on. Sea {xn } una sucesi´on en el espacio (X, d) con l´Ĺmite x â&#x2C6;&#x2C6; X. Sea > 0. Como xn â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; x, existe un ν â&#x2C6;&#x2C6; N tal que: â&#x2C6;&#x20AC; n â&#x2030;Ľ ν : d(xn , x) <

2

â&#x2C6;&#x20AC; n, n0 â&#x2030;Ľ ν, se tiene que, d(xn , xn0 ) â&#x2030;¤ d(xn , x) + d(xn0 , x) < Por tanto, {xn } es de Cauchy.

Resultados: Espacios

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Un espacio m´etrico es completo si toda sucesi´on de Cauchy en ´el es convergente.

Un espacio m´etrico es incompleto si no es completo.

Si (X, d) es un espacio m´etrico y E es un conjunto cualquiera no vaci´o en (X, d), entonces (E, d) es un espacio m´etrico, donde d es la m´etrica inducida, llamada subespacio de (X, d). Al respecto, Una sucesi´on de Cauchy en (X, d) que est´e en E, es una sucesi´on de Cauchy en (E, d).

Una sucesi´on de Cauchy en (E, d) tambi´en lo es en (X, d).

Una sucesi´on convergente en (E, d) tambi´en converge al m´ısmo l´ımite como sucesi´on de (X, d).

Una sucesi´on convergente en (X, d) que est´e en E, converge en (E, d) si y s´olo si su l´ımite pertenece a E. (E, d) es completo si y s´olo si toda sucesi´on de Cauchy en (X, d) que est´e en E, tiene l´ımite en E. Teorema 4.1.10. Si (X, d) es completo y E es cerrado, entonces (E, d) es completo.

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Demostraci´on. Sea {xn } una sucesi´on de Cauchy en E. Luego, {xn } es una sucesi´on de Cauchy en (X, d) y como ´este es completo, {xn } es convergente a un punto x ∈ X. ¯ o sea Pero {xn } est´a en E, lo cual implica que x ∈ E, que x ∈ E, ya que E es cerrado.

Es decir, {xn } tiene l´ımite en E, por tanto, es convergente en (E, d).

Definici´ on 4.1.29. (L´ımite funcional). Sean (X, d) y (E, d0 ) espacios m´etricos cualesquiera (iguales o distintos) y A ⊂ X. Consideremos una funci´ on: f : A ⊂ X −→ E y un punto α ∈ X de acumulaci´ on de A, es decir, α ∈ A0 .

Se dice que un punto b ∈ E es limite de f en α: l´ım f (x) = b

x→α

Si a todo entorno H de b corresponde un entorno S de α tal que: f [(S − {α}) ∩ A] ⊂ H Espacios

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es decir, ∀ x ∈ (S − {α}) ∩ A : f (x) ∈ H Definici´ on 4.1.30. (Continuidad en un punto). Sea f : A ⊂ X −→ E f es continua en el conjunto A s´ı f es continua en todo punto de A. Propiedades: Sea f : A ⊂ X −→ E. Las siguientes propiedades son equivalentes: f es continua en A. Si D es un conjunto abierto en (E, d0 ), entonces f −1 (D) es abierto en el subespacio (A, d).

Si D es un conjunto cerrado en (E, d0 ), entonces f −1 (D) es cerrado en el subespacio (A, d).

Para todo conjunto S con S ⊂ A se verifica: ¯ ⊂ f (S) f (A ∩ S) Teorema 4.1.11. (Weierstrass). Si f : A ⊂ X −→ R Espacios

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es continua en el conjunto compacto A, entonces f alcanza en A m´aximos y m´ınimos absolutos.

Demostraci´on. El conjunto f (A) en la recta real, es compacto y existen α = ´ınf f (A) ,

β = sup f (A) ,

α, β ∈ f (A)

Como α, β pertenecen al rango de f , deben existir puntos a, b ∈ A con f (a) = α, f (b) = β.

Adem´as, ∀ x ∈ A : f (x) ∈ f (A) de donde f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) Es decir, f alcanza en a un m´ınimo absoluto y en b un m´aximo absoluto.

A continuaci´on enunciamos resultados de continuidad en conjuntos conexos: Si f : A ⊂ X −→ R es continua en el conjunto conexo A, entonces f (A) es un intervalo.

Si f : I ⊂ R −→ R es continua en el intervalo I, entonces f (I) es un intervalo.

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Si f : A ⊂ X −→ R es continua en el conjunto conexo y compacto A, entonces f (A) es un intervalo cerrado y acotado.

Si f : [a, b] ⊂ R −→ R es continua en [a, b], su rango es un intervalo cerrado y acotado.

Sea f : A ⊂ X −→ R continua en el conjunto conexo A. Si para a, b ∈ A se tiene que: f (a) < f (b) y c0 es un n´ umero real con f (a) < c0 < f (b), entonces existe un c ∈ A tal que f (c) = c0 .

Si f : A ⊂ X −→ R es continua en el conjunto conexo A y, para un par de puntos a, b ∈ A, f (a) y f (b) tienen signos opuestos (o sea f (a)f (b) < 0), entonces existe un c ∈ A con f (c) = 0.

Un conjunto conexo A constituido por m´as de un punto, en un espacio (X, d), no es contable.

Un conjunto A, en un espacio (X, d) es conexo si y s´olo si el rango de toda funci´on f : A ⊂ X −→ R, continua en A, es un intervalo.

Si f : R −→ R es biyectiva y continua en R, entonces f −1 es tambi´en continua en R (f es un homeomorfismo).

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Definici´ on 4.1.31. (Arco). Un arco en un espacio m´etrico (X, d) es el rango de una funci´ on f : [0, 1] â&#x160;&#x201A; R â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; X continua en el intervalo [0, 1].

Definici´ on 4.1.32. (Arco conexo). Sea A 6= â&#x2C6;&#x2026; en un espacio (X, d). Si para todo par de puntos x, y â&#x2C6;&#x2C6; A, x, y est´an unidos por un arco contenido en A, A es un conjunto arco conexo.

Definici´ on 4.1.33. (Continuidad uniforme). La funci´on f : A â&#x160;&#x201A; X â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; E es uniformemente continua en el conjunto A si a cada > 0 corresponde un δ > 0 tal que â&#x2C6;&#x20AC; x, y â&#x2C6;&#x2C6; A con d(x, y) < δ : d0 (f (x), f (y)) < Si f es uniformemente continua en A, entonces f es continua en A. Definici´ on 4.1.34. (Condici´ on de Lipschitz). La funci´on f : A â&#x160;&#x201A; X â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; E satisface una condici´ on de Lipschitz en A si existe un n´ umero real k > 0 tal que: â&#x2C6;&#x20AC; x, y â&#x2C6;&#x2C6; A : d0 (f (x), f (y)) â&#x2030;¤ kd(x, y) Espacios

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Sea (X, d) un espacio m´etrico cualquiera. Se dice que el espacio (E, Ω) es una completaci´ on de (X, d) si satisface las siguientes condiciones: (E, Ω) es un espacio m´etrico completo.

Existe un conjunto denso E0 en (E, Ω) tal que (X, d) y el subespacio (E0 , Ω) son isom´etricos.

Definici´ on 4.1.35. (Punto fijo). Sea (X, d) un espacio m´etrico y una funci´ on f : X −→ X. Se dice que x ∈ X es un punto fijo de f si f (x) = x.

Definici´ on 4.1.36. (Contracci´ on). Sea una funci´ on f : X −→ X, donde (X, d) es un espacio m´etrico. f es una contracci´on ´ o funci´ on contr´ actil si existe un n´ umero real k, con 0 < k < 1, tal que: ∀ x, y ∈ X : d(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y) Una contracci´on f : X −→ X es uniformemente continua en X, ya que satisface una condici´ on de Lipschitz.

Teorema 4.1.12. (Banach). Si el espacio (x, d) es completo y f : X −→ X es una funci´ on contr´ actil, entonces f admite un punto fijo u ´nico.

Demostraci´on. Existe un n´ umero real k, con 0 < k < 1, Espacios

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tal que ∀ x, y ∈ X : d(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y) Construyamos una sucesi´on {x0 , x1 , ..., xn , ...} en X de la siguiente forma: Elegimos el punto x0 arbitrariamente y ∀ n ∈ N : xn+1 = f (xn ) Luego, x1 = f (x0 ) ,

x2 = f (x1 )...

Ahora demostremos que la sucesi´on {xn } es de cauchy.

Iniciamos afirmando que se cumple la propiedad: ∀ n ∈ N : d(xn , xn+1 ) ≤ k n d(x0 , x1 )

(4.2)

Aplicando el principio de Inducci´on, la desigualdad (4.2) es cierta para n = 0.

Supongamos que la desigualdad (4.2) se cumple para un n ∈ N. Con base en la definici´on de {xn } y que f es contr´actil, se obtiene: d(xn+1 , xn++2 ) = d(f (xn , f (xn+1 )) ≤ kd(xn , xn+1 ) ≤

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≤ k n+1 d(x0 , x1 ) o sea que la desigualdad es tambi´en cierta para n + 1 y concluimos que se verifica (4.2).

Ahora, mediante simple aplicaci´on reiterada de la desigualdad triangular de la m´etrica, obtenemos, para todo par n, p ∈ N, d(xn , xn+p ) ≤

p X

d(xn+i−1 , xn+i )

(4.3)

i=1

y usando (2.2) en cada uno de los sumandos de la desigualdad (4.3) tenemos: d(xn , xn+p ) ≤ d(x0 , x1 )

p X

k n+i−1

i=1

Como los t´erminos de la suma est´an en proyecci´on geo m´etrica: p X

k n+i−1 =

i=1

1 − kp n kn k < 1−k 1−k

y resulta finalmente, ∀ n, p ∈ N : d(xn , xn+p ) ≤

kn d(x0 , x1 ) 1−k

(4.4)

De k n −→ 0 y (4.4), la sucesi´on {xn } es de cauchy y,

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como (X, d) es completo, xn −→ x, para alg´ un punto x ∈ X. f es continua en x, luego: f (x) = l´ım f (xn ) = l´ım xn+1 = x Por tanto, x es el punto fijo buscado.

Para establecer su unicidad, supongamos que existe un y ∈ X con x ≥ y, f (y) = y, entonces d(x, y) > 0 y se verifica: d(x, y) = d(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y) de donde 1 ≤ k que es una contradicci´on. Por tanto, f admite un punto fijo u ´nico.

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Cap´ıtulo 5 Espacios Normados Definici´ on 5.0.37. Un espacio normado (E, || · ||) es un par formado por un espacio lineal E y una operaci´ on || · || : E × E → R+ tal que:

1. ||x|| = 0 si y s´ olo si x = 0.

2. Cualquiera sea el escalar λ y cualquiera sea el vector x ∈ E, ||λx|| = |λ|||x||.

3. Cualesquiera sean x, y ∈ E, ||x + y|| = ||x|| + ||y||.

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5.1.

Resultados en espacios normados

Para un espacio normado, cuando no sea necesario destacar la norma, escribiremos simplemente E en lugar de (E, || · ||). Es claro que si E es un espacio normado y F es un subespacio lineal de E, entonces F, con la norma inducida por E, es un espacio normado.

A todo espacio normado (E, || · ||) se asocia de manera natural un espacio m´etrico definiendo d(x, y) = ||x − y||.

Supondremos siempre que se tiene fija una m´etrica como ´esta en cada espacio normado.

Un espacio de Banach es un espacio normado y completo (con respecto a su m´etrica natural).

Si E es un espacio lineal y F es la colecci´on de todas las sucesiones en E podemos considerar a F una estructura lineal de la forma siguiente: dadas dos sucesiones arbitrarias {xn } y {yn } y un escalar α se define {xn } + {yn } := {xn + yn } y Espacios

α{xn } := {αxn }

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Dejamos al lector la tarea de verificar que F con las ope raciones anteriores es un espacio lineal.

Rn , con la m´etrica euclidiana, es un espacio de Banach.

La completitud del espacio se sigue de la construcci´on de los n´ umeros reales.

Teorema 5.1.1. Si (X, || · ||X ) es un espacio normado, existe un espacio de Banach (Y, || · ||Y ) y una isometr´ıa lineal L : X → Y tal que L(X) es denso en Y .

Demostraci´on. Para obtener este resultado s´olo necesitamos algunos peque˜ nos cambios en la prueba del teorema anterior. Utilizaremos aqu´ı las mismas notaciones que en dicha prueba.

Conocemos que Y es un espacio completo. Es f´acil veri ficar que si {an } y {bn } son sucesiones de Cauchy en X y α y β son escalares, entonces {αan + βbn } es una sucesi´on de Cauchy en X. Luego, podemos introducir una estructura lineal en Y , definiendo {an } + {an } := {an + bn } y

α{xn } := {αxn }

Ahora, si definimos en Y , ||{xn }||Y := r({xn , }0) = l´ım ||xn ||X n

Espacios

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se tiene que Y es un espacio de Banach.

Finalmente, si L es la isometr´ıa definida en la demostra ci´on del teorema anterior, se tiene que, para a, b ∈ X y α, β escalares (denotando an := a y bn := b para cada n ∈ N):

L(αa + βb) = {αan + βbn } = α{an } + β{bn } =

= αL(a) + βL(b) Lo cual dice que la funci´on L es lineal.

Definici´ on 5.1.1. Sean X, Y espacios normados y T : X −→ Y un operador. Decimos que T es una aplicaci´ on abierta cuando A abierto en X implica que T (A) es abierto en Y .

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Cap´ıtulo 6 Espacios de Banach

Figura 6.1: Stefan Banach (1892-1945) [26] Stefan Banach (Cracovia, 1892 - Lvov, Ucrania, 1945) Matem´atico polaco. Licenciado en el Instituto Tecnol´ogico de Lvov y en la Universidad de la misma ciudad ucraniana, fue el fundador del an´alisis funcional moderno y 75

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realiz´o importantes contribuciones a los espacios vectoriales topol´ogicos. En 1920 defini´o axiom´aticamente los espacios vectoriales reales o complejos normalizados que poseen la m´etrica d(x, y) = ||x − y||, llamados en la actualidad espacios de Banach. En 1927 ocup´o plaza de profesor de matem´aticas en la Universidad de Lvov. Su trabajo m´as importante recibe el t´ıtulo Th´ eorie des op´ erations lin´ eaires (1932). Falleci´o tras la Segunda Guerra Mundial de un c´ancer de pulm´on.

Definici´ on 6.0.2. Una norma en un espacio lineal (o vectorial) X es una funci´ on: k · k : X −→ R Con las siguientes propiedades: kxk ≥ 0, ∀x ∈ X (no negatividad). kλxk = |λ|kxk, ∀x ∈ X y λ ∈ R (homogeneidad). kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ X, (Desigualdad triangular). kxk = 0 implica x = 0, (Positividad estricta).

Definici´ on 6.0.3. Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado que es un espacio m´etrico completo respecto a la m´etrica derivada de su norma.

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Ejemplo 6.0.1. Para 1 ≤ p ≤ ∞, definimos la norma p en Rn mediante kxkp = (kx1 kp + kx2 kp + ... + kxn kp )1/p =

n X

!1/p |xi |p

i=1

donde x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn .

Para p = ∞ definimos la norma del m´ aximo mediante, kxk∞ = m ax|xi | 1≤i≤n

Rn con la norma p es un espacio de Banach de dimensi´on finita para 1 ≤ p ≤ ∞.

Ejemplo 6.0.2. El espacio C([a, b]) de funciones continuas reales (o complejas) definidas en [a, b] con la norma del supremo es un espacio de Banach.

Ejemplo 6.0.3. El espacio C(K) de funciones continuas en un espacio m´etrico compacto K con la norma del supremo es un espacio de Banach.

Ejemplo 6.0.4. Para 1 ≤ p ≤ ∞, el espacio de sucesiones, ( lp =

x = {xn }n∈N :

∞ X n=1

Espacios

) |xn |p < ∞

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con la norma p:

kxkp =

∞ X

!1/p p

|xn |

n=1

Ejemplo 6.0.5. Para p = ∞, el espacio de sucesiones acotadas, l∞ , con kxk∞ = sup|xn | n∈N

lp es un espacio de Banach de infinitas dimensiones para 1 ≤ p ≤ ∞.

Ejemplo 6.0.6. Los espacios funcionales Lp (X) son espacios de Banach.

Lema 6.0.1. Sean X, Y espacios de Banach, sea T ∈ L(X, Y ). Si T es sobreyectivo entonces existe r > 0 tal que B(0, r) ⊂ T (B(0, 1))

Demostraci´on. Sea Bn = (0, 21n ) entonces X=

∞ [

kB1

k=1

Espacios

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como T es sobreyectivo Y =

∞ [

kT (B1 )

k=1

Por corolario del Teorema de Categor´ıa de Baire, tenemos que T (B1 ) no es nunca denso. Es decir, int(T (B1 )) 6= ∅ Luego existen z ∈ Y , η > 0 tales que: ¯ 1) B(z, η) ⊂ T (B De donde ¯ 1) − z B(0, η) ⊂ T (B Luego, ¯ 1 ) − z ⊂ T (B ¯ 1 ) − T (B ¯ 1) = B(0, η) ⊂ T (B ¯ 1 ) = 2T (B ¯ 0) = 2T (B De donde B(0,

η ¯ n) ) ⊂ T (B 2n

Ahora se probara que η B(0, ) ⊂ T (B0 ) 2 Espacios

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Sea η y ∈ B(0, ) ⊂ T (B1 ) 2 entonces existe x1 ∈ B1 tal que ky − T (x1 )k <

η 22

Luego y − T (x1 ) ∈ B(0,

η ) ⊂ T (B2 ) 22

entonces existe x2 ∈ B2 tal que ky − T (x1 ) − T (x2 )k <

η 23

Luego y − T (x1 ) − T (x2 ) ∈ B(0,

η ) ⊂ T (B3 ) 23

y as´ı sucesivamente. De esta manera se construye una sucesi´on {xn }n≥1 de manera que xn ∈ Bn y

n

X η

y − T (x )

k < n+1

2 k=1 Por lo tanto y=

∞ X

T (xk )

k=1

Como xk ∈ Bk = B(0, 21k ), entonces kxk k < Espacios

1 .

2k

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De donde

P∞

k=1

xk converge. Sea x=

∞ X

xk

k=1

Entonces ∞ X

∞ X 1 =1 kxk ≤ kxk k < 2k k=1 k=1

Luego x ∈ B0 . Adem´as, T (x) =

∞ X

T (xk ) = y

k=1

Por lo tanto, y ∈ T (B0 ). As´ı queda demostrado el teorema.

Teorema 6.0.2. (Teorema de la aplicaci´ on abierta).

Sean X, Y espacios de Banach y T ∈ L(X, Y ). a) Si T es sobreyectivo entonces T es abierto. b) Si T es biyectivo entonces T −1 es continuo.

Demostraci´on. En la demostraci´on de a) consideremos A ⊂ X, A es abierto. Sean y ∈ T (A) entonces existe x ∈ A tal que y = T (x) Como A es abierto existe δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ A.

Espacios

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Por el lema anterior y la linealidad de T existe ρ > 0 que cumple: B(0, ρ) ⊂ T (B(0, δ)) Luego, B(y, ρ) = y + B(0, ρ) ⊂ T (x) + T (B(0, δ)) = T (x + B(0, δ)) = T (B(x, δ)) ⊂ T (A) Por lo tanto, T (A) es abierto. La parte b) del teorema es inmediata y as´ı queda demostrado.

Espacios

Cap´ıtulo 7 Espacios de Hilbert

Figura 7.1: David Hilbert (1862-1943) [25] David Hilbert (Wehlan, actual Alemania, 1862-Gotinga, 1943) Matem´atico alem´an. Su padre era juez, y fue destinado al poco de su nacimiento a K¨onigsberg, donde David recibi´o su educaci´on y en cuya universidad ini83

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ci´o los estudios de matem´aticas. Estudi´o tambi´en en las universidades de Heidelberg y de Berl´ın, asistiendo en esta u ´ltima a los cursos de Weierstrass, Kummer, Helmholtz y Kronecker.

A finales de 1884 se doctor´o en K¨onigsberg, poco antes de que hiciera lo propio su amigo Hermann Minkowski.

La tesis de Hilbert trataba de los invariantes algebraicos, un tema que le propuso su joven profesor F. Lindemann, quien dos a˜ nos antes hab´ıa demostrado que pi es un n´ umero trascendente.

Viaj´o despu´es a Leipzig, donde asisti´o a las clases de Felix Klein, y a Par´ıs, donde conoci´o a Henri Poincar´e, Camille Jordan y Charles Hermite. De regreso a K¨onigsberg, en 1886 inici´o all´ı su carrera acad´emica como privatdozent; siete a˜ nos m´as tarde, cuando Lindemann mar ch´o a Berl´ın, Hilbert accedi´o al cargo de profesor ordinario por recomendaci´on de Klein, por entonces profesor en Gotinga; a esta universidad se incorpor´o tambi´en Hilbert en 1895, de nuevo por intervenci´on de Klein, y en ella desarroll´o el resto de su carrera profesional.

En Gotinga, centr´o su atenci´on en la geometr´ıa, tratando de plasmar en ese nuevo inter´es una idea que ali-

Espacios

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mentaba desde mucho antes: lo importante no es la naturaleza de los objetos geom´etricos, sino la de sus interrelaciones. En su obra de 1899, dedicada a proporcionar a la geometr´ıa euclidiana una fundamentaci´on estrictamente axiom´atica y que ha ejercido una gran influencia sobre el desarrollo de la matem´atica en el siglo XX, realiz´o el primer esfuerzo sistem´atico y global para hacer extensivo a la geometr´ıa el car´acter puramente formal que ya hab´ıan adquirido la aritm´etica y el an´alisis matem´atico.

En el Congreso internacional de matem´aticas celebrado en Par´ıs en 1900, Hilbert present´o una lista de veintitr´es problemas que a la saz´on no hab´ıan sido resueltos todav´ıa; a su juicio, las probables l´ıneas de desarrollo que iba a seguir la matem´atica del siglo XX habr´ıan de estar en buena medida vinculadas a la resoluci´on de dichas cuestiones. Sus trabajos posteriores desembocaron en la concepci´on de los espacios de infinitas dimensiones llamados espacios de Hilbert, base del moderno an´alisis funcional.

A partir del a˜ no 1904, empez´o a desarrollar un programa para dotar de una base axiom´atica a la l´ogica, Espacios

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

la aritm´etica y la teor´ıa de conjuntos, con el objetivo u ´ltimo de axiomatizar toda la matem´atica. Aunque su prop´osito de demostrar la consistencia de la aritm´etica hab´ıa de verse frustrado por los resultados posteriores (1931) obtenidos por Kurt G¨odel, el programa de formalizaci´on de Hilbert contribuy´o al desarrollo de la llamada metamatem´atica, como m´etodo para establecer la consistencia de cualquier sistema formal [19].

7.1.

Conceptos Generales

Definici´ on 7.1.1. Un producto interior sobre un espacio lineal Γ es una aplicaci´ on h ,

i : Γ × Γ −→ K

donde K es el campo de los escalares, tal que, cualesquiera x, y, z ∈ Γ y α ∈ K: i) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi ii) hαx, yi = αhx, yi iii) hx, yi = hy,¯xi iv) hx, xi ≥ 0 v) hx, xi = 0 si y s´olo si x = 0 Cualquiera sea un subespacio lineal (no trivial) F de un espacio con producto interior Γ, podemos considerar Espacios

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

sobre F al producto interior inducido por Γ. En tal caso nos referiremos a F como un subespacio de Γ.

Teorema 7.1.1. Si Γ tiene un producto interior h ,

i.

Cualesquiera sean x, y ∈ Γ se cumple la desigualdad de Schwartz: |hx, yi| ≤

p

p hx, xi hy, yi

M´as a´ un, la expresi´on kxk :=

p

hx, xi

define una norma sobre Γ y se cumple la regla del para lelogramo: cualesquiera sean x, y ∈ Γ: kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ).

Demostraci´on. Para verificar la desigualdad podemos suponer que y 6= 0. Como, cualquiera sea α se tiene que 0 ≤ hx−αy, x−αyi = hx, xi−α ¯ hx, yi−αhy, xi+|α|2 hy, yi = hx, xi − 2Re(¯ αhx, yi) + |α|2 hy, yi tomando α =

hy,xi , hy,yi

0 ≤ hx, xi − 2

se obtiene que

|hx, yi|2 |hx, yi|2 |hx, yi|2 + = hx, xi − hy, yi hy, yi hy, yi Espacios

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

De aqu´ı se sigue la desigualdad deseada.

Para verificar que la expresi´on aludida define una norma sobre Γ basta observar que, seg´ un la desigualdad de Schwartz: kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + hx, yi + hy, xi + kyk2 . kxk2 + 2|hx, yi| + kyk2 ≤ (kxk + kyk)2 Finalmente la regla de paralelogramo se obtiene desarrollando cada una de las expresiones que intervienen en la igualdad.

Figura 7.2: Laurent Schwartz (1915-2002) [9] Schwartz, Laurent (1915-2002). Matem´atico franc´es. ProEspacios

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fesor de c´alculo diferencial integral de la facultad de ciencias de Par´ıs (1953), profesor de an´alisis de la Escuela Polit´ecnica (1959-1960 y a partir de 1963) y miembro de la Academia de Ciencias (1975). Cre´o la teor´ıa de distribuciones a finales de la d´ecada de 1940, poniendo as´ı sobre una base firme los c´alculos formales que hasta entonces se realizaban.

La Teor´ıa de distribuciones de Schwartz, que generaliza la noci´on de funci´on, responde tanto a las necesidades del an´alisis arm´onico y de la teor´ıa de ecuaciones en derivadas parciales, como a la de las matem´aticas aplicadas. Funciones de comportamiento matem´atico extra˜ no (como la funci´on delta de Dirac), y que hab´ıan resultado ser de gran utilidad en f´ısica, planteaban problemas de diferenciabilidad (dejaban de ser diferenciables), lo que supon´ıa una barrera infranqueable a la hora de resolver ecuaciones diferenciales. La resoluci´on de este tipo de ecuaciones resulta de crucial importancia, especialmente en los puntos singulares, porque es donde la f´ısica y las matem´aticas encuentran su s´ıntesis como ciencias aplicadas. La soluci´on a este tipo de problemas vino de la mano de Schwartz cuando introdujo un nuevo concepto de diferenciabilidad basado en la estructura de espacio vectorial y en un concepto muy general de Espacios

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

la distribuci´on lineal estoc´astica. Estos resultados, que constituyen una aportaci´on fundamental al an´alisis funcional, le valieron la medalla Fields (1950) [17].

Definici´ on 7.1.2. (Espacio de Hilbert). Un Espacio de Hilbert es un espacio con un producto interior que es completo con respecto a la norma asociada.

Un subespacio de un espacio de Hilbert no es necesaria mente un espacio de Hilbert.

Los ejemplos m´as simples de espacios de Hilbert son los espacios Rn con la norma asociada a la m´etrica de euclides. L2 es un espacio de Hilbert de dimensi´on infinita.

Teorema 7.1.2. (Continuidad del producto interior).

Si Γ es un espacio con producto interior y xn −→ x y yn −→ y, entonces hxn , yn i −→ hx, yi.

Demostraci´on. Basta observar el conjunto de relaciones |hxn , yn i−hx, yi| = |hxn , yn i−hxn , yi+hxn , yi−hx, yi| ≤ |hxn , yn −yi|+|hxn −x, yi| ≤ kxn kkyn −yk+kxn −xkkyk As´ı queda demostrado.

Definici´ on 7.1.3. Si Γ y F son espacios provistos con un producto interior sobre el mismo cuerpo, un isomorfismo (de espacios con producto interior) L : Γ −→ F Espacios

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

es un operador lineal y biyectivo que conserva el producto interior. Esto es, cualesquiera sean a, b ∈ Γ, hL(a), L(b)i = ha, bi

7.2.

Ortogonalidad

Definici´ on 7.2.1. Dado un espacio con un producto interior Γ, dos elementos del espacio a y b se dicen ortogonales si ha, bi = 0.

La ortogonalidad de a y b se representa mediante el s´ımbolo a⊥b. Si A, B ⊂ Γ, escribiremos A⊥B si, cualesquiera sean a ∈ A y b ∈ B se cumple que a⊥b. El complemento ortogonal de un conjunto A ⊂ Γ se define como: A⊥ := {b ∈ Γ : ∀a ∈ A, a⊥b} Un resultado interesante relacionado con subconjuntos completos de espacios con producto interior es el teorema de la norma m´ınima. En ´el, un problema de optimizaci´on se resuelve de modo simple en base a las relaciones de ortogonalidad.

Teorema 7.2.1. Sean Γ un espacio provisto de un producto interior y H un subconjunto de Γ convexo, no Espacios

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

vac´ıo y completo. Entonces, para cada x ∈ Γ, existe un y s´olo un elemento yx ∈ F en el cual se alcanza la distancia de x a F . Esto es kx − yx k = ´ınf{kx − yk, y ∈ F}

Demostraci´on. Verifiquemos inicialmente la existencia.

Sea δ := ´ınf{kx − yk, y ∈ F . Fijemos una sucesi´on {yn } en F de forma que δn := kx − yn k −→ δ Veamos que yn es una sucesi´on de Cauchy. En efecto, como F es convexo, cualesquiera que sean m y n, 1 2δ ≤ 2k (yn + ym ) − xk = k(yn + ym ) − 2xk.

2 Luego, aplicando la regla del paralelogramo, se obtiene que kyn −ym k2 = −kyn +ym −2xk2 +2(kyn −xk2 +kym −xk2 ) ≤ 2 ≤ −(2δ)2 + 2(δn2 + δm )

lo cual es suficiente para verificar que la sucesi´on {yn } es de Cauchy. Como F es completo, existe y ∈ F tal que Espacios

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

yn −→ y. Adem´as δ ≤ kx − yk ≤ kx − yn k + kyn − yk De aqu´ı se infiere que kx − yk = δ.

Verifiquemos la unicidad. Sean y, z ∈ F tales que kx − yk = kx − zk = δ. Aplicando nuevamente la regla del paralelogramo obtenemos que ky −zk2 = 2ky −xk2 +2kz −xk2 −k(y −x)+(z −x)k2 ) = 1 = 2δ 2 + 2δ 2 − 22 k (y + z) − xk2 2 Como F es convexo, (y + z)/2 ∈ F . Esto es, k(y + z)/2 − xk ≥ δ. Luego, ky − zk2 ≤ 0.

Teorema 7.2.2. (de la norma m´ınima). Sean Γ un espacio provisto de un producto interior y F un subespacio completo de Γ. Sea y el punto de F donde se alcanza la distancia de x a F . Entonces, x − y⊥F .

Demostraci´on. Si x − y no es ortogonal a F , existe un z ∈ F de modo que hx−y, zi = 6 0. Como z 6= 0, podemos definir un escalar mediante la regla α =

hx−y,zi hz,zi

y como

en la demostraci´on del teorema anterior, denotemos δ = kx − yk. Se tiene que: kx−y−αzk2 = kx−yk2 −¯ αhx−y, zi−αhz, x−yi+|α|2 kzk2 Espacios

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

= kx − yk2 − |α|2 kzk2 ≤ δ 2 Esta desigualdad contradice la definici´on del δ.

Definici´ on 7.2.2. Sea Γ un espacio lineal y F y G sub espacios de Γ. Se dice que Γ es suma directa de F y G, y se denota E = F ⊕ G, si, para cada x ∈ Γ existe una pareja u ´nica de puntos y ∈ F y z ∈ G de forma que x = y + z. En tal caso diremos que F (G) es el complemento algebraico de G(F ) o que estos subespacios son complementarios.

En los espacios de Hilbert es f´acil determinar el complemento algebraico de un subespacio cerrado.

7.3.

Series de Fourier

Las series de Fourier aparecieron para estudiar ciertos problemas f´ısicos como el de la vibraci´on de una cuerda y el de la conducci´on del calor.

Jean-Baptiste-Joseph Fourier (Auxerre, Francia, 1768Par´ıs, 1830) Ingeniero y matem´atico franc´es. Era hijo de un sastre, y fue educado por los benedictinos.

Los puestos en el cuerpo cient´ıfico del ej´ercito estaban reservados para familias de estatus reconocido, as´ı que Espacios

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

Figura 7.3: J. B. Joseph Fourier (1768- 1830) [10]

acept´o una c´atedra militar de matem´aticas. Tuvo un papel destacado durante la revoluci´on en su propio distrito, y fue recompensado con una candidatura para una ´ c´atedra en la Ecole Polytechnique. Fourier acompa˜ n´o a Napole´on en su expedici´on oriental de 1798, y fue nombrado gobernador del Bajo Egipto. Aislado de Francia por la flota brit´anica, organiz´o los talleres con los que el ej´ercito franc´es deb´ıa contar para sus suministros de munici´on. Tambi´en aport´o numerosos escritos sobre matem´aticas al Instituto Egipcio que Napole´on fund´o en El Cairo.

Tras las victorias brit´anicas y la capitulaci´on de los franceEspacios

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

ses al mando del general Menou en 1801, Fourier volvi´o a Francia, donde fue nombrado prefecto del departamento de Is`ere, y empez´o sus experimentos sobre la propagaci´on del calor. Se traslad´o a Par´ıs en 1816, y en 1822 public´o Teor´ıa anal´ıtica del calor, bas´andose en parte en la ley del enfriamiento de Newton.

A partir de esta teor´ıa desarroll´o la denominada serie de Fourier, de notable importancia en el posterior desarrollo del an´alisis matem´atico, y con interesantes aplicaciones a la resoluci´on de numerosos problemas de f´ısica (m´as tarde, Dirichlet consigui´o una demostraci´on rigurosa de diversos teoremas que Fourier dej´o planteados). Dej´o inacabado su trabajo sobre resoluci´on de ecuaciones, que se public´o en 1831 y que conten´ıa una demostraci´on de su teorema sobre el c´alculo de las ra´ıces de una ecuaci´on algebraica [19].

Nos limitaremos a los espacios de Hilbert separables. En particular, supondremos que hay una colecci´on {en }∞ n=0 de elementos en H que forman un conjunto ortonormal y que es total en H. Esto es, el subespacio generado por ellos es denso en H. La ventaja de la ortogonalidad es que la tarea de calcular los coeficientes de una determiEspacios

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

nada representaci´on se simplifica. Esto es, x =

P

ak ek ,

entonces ak = hx, ek i.

Definici´ on 7.3.1. Dada una sucesi´ on ortonormal {ek } y x ∈ Γ, a los numeros hx, ek i le llamaremos los coeficientes de Fourier de x con respecto al sistema prefijado.

Teorema 7.3.1. (desigualdad de Bessel). Sea {en } una sucesi´on ortogonal en el espacio con producto interior Γ.

Entonces, cualquiera sea x ∈ Γ se cumple que ∞ X

|hx, ek i|2 ≤ kxk2

n=0

Demostraci´on. Para verificar la desigualdad anterior basta demostrar que cada una de las sumas parciales de la serie esta acotada con kxk2 . Fijemos un entero no nega P tivo n y sea y = ∞ n=0 hx, ek iek . Veamos que x − y⊥y.

De hecho, * hx − y, yi =

x,

n X

+ hx, ek iek

− kyk2 =

k=0

=

n X k=0

hx, ek ihx, ek i −

n X k=0

Espacios

|hx, ek i|2 = 0

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

Ahora considerando la identidad de Pit´agoras, se tiene 2

2

2

2

kx − yk = kxk − kyk = kxk −

n X

|hx, ek i|2

k=0

Considerando que kx − yk ≥ 0 se tiene el resultado deseado.

Figura 7.4: Pit´agoras de Samos, a˜ no 569 a.c. [11] Pit´agoras (isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.).

Fil´osofo y matem´atico griego. Se tienen pocas noticias de la biograf´ıa de Pit´agoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condici´on de fundador de una secta religiosa propici´o la temprana aparici´on de una tradici´on Espacios

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

legendaria en torno a su persona.

Parece seguro que Pit´agoras fue hijo de Menesarco y que la primera parte de su vida la pas´o en Samos, la isla que probablemente abandon´o unos a˜ nos antes de la ejecuci´on de su tirano Pol´ıcrates, en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este u ´ltimo pa´ıs, cuna del conocimiento esot´erico, se le atribuye haber estudiado los misterios, as´ı como geometr´ıa y astronom´ıa.

Algunas fuentes dicen que Pit´agoras march´o despu´es a Babilonia con Cambises, para aprender los conocimientos aritm´eticos y musicales de los sacerdotes. Se habla tambi´en de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en Crotona, donde goz´o de considerable popularidad y poder. La comunidad liderada por Pit´agoras acab´o, plausiblemente, por convertirse en una fuerza pol´ıtica aristocratizante que despert´o la hostilidad del partido dem´ocrata, de lo que deriv´o una revuelta que oblig´o a Pit´agoras a pasar los u ´ltimos a˜ nos de su vida en Metaponto.

La comunidad pitag´orica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los disc´ıpulos deb´ıan esperar va-

Espacios

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

rios a˜ nos antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las ense˜ nanzas recibidas.

Las mujeres pod´ıan formar parte de la cofrad´ıa; la m´as famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quiz´a del propio Pit´agoras y madre de una hija y de dos hijos del fil´osofo. El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal asc´etico y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificaci´on ritual (catarsis) de sus miembros a trav´es del cultivo de un saber en el que la m´ usica y las matem´aticas desempe˜ naban un papel importante. El camino de ese saber era la filosof´ıa, t´ermino que, seg´ un la tradici´on, Pit´agoras fue el primero en emplear en su sentido literal de amor a la sabidur´ıa.

Tambi´en se atribuye a Pit´agoras haber transformado las matem´aticas en una ense˜ nanza liberal mediante la formulaci´on abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; ´este es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relaci´on entre los lados de un tri´angulo rect´angulo, una relaci´on de cuyo uso pr´actico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega [19].

Dada una sucesi´on ortogonal {en }, ¿ Para cu´ales suceEspacios

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siones {an } de escalares se cumple que existe x ∈ Γ de P forma que x = ak ek ?. Para responder esta pregunta debemos analizar problemas de convergencia.

Teorema 7.3.2. Sea H un espacio de Hilbert y {en } una sucesi´on ortonormal en H. P i) Una serie del tipo ak ek converge en la norma de P H si y s´olo si |ak |2 < ∞. ii) Si la serie dada en i) converge a un punto H. P iii) Para todo x ∈ H, la serie hx, ek i es convergente.

Demostraci´on. i) Considerando las relaciones de ortogo nalidad se tiene que, cualesquiera sean m y n, con n < m, 2

m m X

X

|ak |2 ak ek =

k=n+1 k=n+1 P De aqu´ı se infiere que la sucesi´on xn := nk=0 ak ek es de P Cauchy si y solo si lo es la sucesi´on nk=0 |ak |2 . Luego, la afirmaci´on se sigue de la completitud del espacio. ii) Supongamos que la sucesi´on {xn } definida m´as arriba converge a un punto x. Como el producto interior es continuo para cada j fijo y n ≥ j, hxn , ej i = aj → hx, ej i.

Esto es aj = hx, ej i. iii) Seg´ un la desigualdad de Bessel, la serie Espacios

P

|hx, ek i|2

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

es convergente. Luego el resultado se obtiene utilizando la parte i) de este teorema.

Resaltamos que en la parte (iii) del teorema anterior la suma de la serie puede no coincidir con x.

Caractericemos a las sucesiones ortonormales totales en un espacio de Hilbert. Si el sistema M que se considera en el teorema que sigue es no numerable, se entiende que la suma se considera sobre la colecci´ on F (x) de los coeficientes de Fourier de x que no son cero. Se puede probar que F (x) es, a lo sumo, numerable.

Teorema 7.3.3. Para un sistema ortonormal M en un espacio de Hilbert H, las afirmaciones son equivalentes: i) M es total. ii) Para cada x ∈ H se cumple la identidad de Parseval X

|hx, ek i|2 = kxk2 .

k

iii) Si x ∈ H y x ⊥ M , entonces x = 0.

Demostraci´on. Son equivalentes i) y iii). ii) ⇒ i) Si M no es total, existe x ∈ H tal que x 6= 0 y x ⊥ M . De la segunda propiedad de x se sigue que Espacios

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

todos los coeficientes de Fourier de x son todos nulos.

De la identidad de Parseval se infiere que x es el vector nulo. Esto u ´ltimo contradice la primera propiedad en la elecci´on de x. i) ⇒ ii) Supongamos que M es total. Sea x ∈ H y {ak } la colecci´on de los coeficientes no nulos de Fourier de x (arreglados en cualquier orden: ak := hx, ek i, con P ek ∈ M ). Como la serie ak ek es convergente, esta define un elemento de y ∈ H. Veamos que x − y ⊥ M .

En efecto, para cualquier j, hx − y, ej i = 0 y si v ∈ M y el coeficiente de Fourier de x correspondiente a v es cero, entonces hx − y, vi = hx, vi −

X

hx, ek i hek , vi = 0.

Como M es total y x − y ⊥ M se tiene que x = y.

Considerando la definici´on de y y las relaciones de ortogonalidad se obtiene que kxk2 =

DX

E X hx, ek i hx, ek i hx, ek i hx, em i em =

quedando demostrado el teorema.

Finalizamos esta secci´ on considerando la separabilidad de los espacios de Hilbert.

Espacios

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Teorema 7.3.4. Sea H un espacio de Hilbert. i) Si H es separable, todo sistema ortogonal en H es numerable. ii) Si H contiene un sistema ortogonal numerable total, entonces H es separable.

Demostraci´on. i) Supongamos que H es separable y fijemos un conjunto numerable N denso en H y un sistema ortonormal M . Si x, y ∈ M , entonces kx − yk = 2. Para cada z ∈ M , sea B(z) la bola con centro en z y radio T T 1 . Es claro que B(z) M = {z} y B(z) N 6= 0. De 2 aqu´ı se infiere que M es numerable. ii) Haremos la prueba para el caso real. La demostraci´on del caso complejo se obtiene de forma an´aloga. Fijemos un sistema ortonormal completo M := {ek } en H y sea G la colecci´on de todas las combinaciones lineales de elementos de M con coeficientes racionales. Es claro que G es numerable. Basta probar que este conjunto es denso en H. Pero G es denso en H si y solo si lo es el subespacio generado por M . Como por hip´otesis M es total, se tiene la prueba.

Demostraci´on. Como F es cerrado, F es completo. Seg´ un el teorema de la norma m´ınima, cualquiera sea x ∈ H, Espacios

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Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

existe y ∈ F de forma que x−y ∈ F ⊥ . Si denotamos z = x − y, obtenemos una de las representaciones deseadas.

Veamos la unicidad. Supongamos que x = y + z = a + b con a, y ∈ F y b, z ∈ F ⊥ . Como y − a = b − z, se tiene que, y − a ∈ F ∩ F ⊥ = {0}. Esto es y = a y z = b.

7.4.

Operadores en Espacios de Hilbert

Teorema 7.4.1. (de Helligner - Toeplitz). Sea H un espacio de Hilbert y T : H → H un operador lineal. Si para toda x, y ∈ H: (T x, y) = (x, T y)

(7.1)

entonces T es continuo.

Demostraci´on. Supongamos que T no es continuo. Entonces, existe una sucesi´on (xn ) en H de forma que kxn k = 1 y kT (xn )k → ∞. Consideremos en H las funcionales lineales definidas por fn (x) = hT x, xn i = hx, T (xn )i Seg´ un la desigualdad de Schwartz cada uno de los espacios funcionales es continuo. Adem´as, si fijamos x, Espacios

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la sucesi´ on (fn (x)) est´a acotada. En efecto, |fn (x)| ≤

un el principio de la acotaci´on T x kxn k = T x . Seg´ uniforme se concluye que la sucesi´on (kfn k) est´a acotada. Fijemos C tal que, para toda n, kfn k ≤ C. Ahora, kT (xn )k2 = hT (xn ) , T (xn )i = = |fn (T (xn ))| ≤ C kT (xn )k De donde se infiere que kT (xn )k ≤ C. Lo cual es una contradicci´on.

Seg´ un el teorema anterior si queremos considerar ope radores no acotados que satisfagan (7.1) debemos considerarlos en subespacios de H. para ello, utilizaremos adem´as una extensi´on de la noci´on de operador adjunto.

Definici´ on 7.4.1. Sea H un espacio de Hilbert, D (T ) un subespacio denso de H y T : D (T ) → H un operador lineal (no necesariamente continuo). Sea

D (T ∗ ) := {y ∈ H : ∃y ∗ ∈ H, ∀x ∈ D, hT x, yi = hx, y ∗ i} (7.2) Se define el operador adjunto de Hilbert D (T ∗ ) → H como T ∗ (y) = y ∗ , donde y ∗ est´ a asociado a y seg´ un la definici´on de D (T ∗ ).

Espacios

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Es f´acil de verificar que T ∗ esta bien definido y es un operador lineal. Utilizaremos la notaci´on T ∗∗ := (T ∗ )∗ .

Teorema 7.4.2. (del operador adjunto de Hilbert). Sea H un espacio de Hilbert, D (S) y D (T ) subespacios densos de H, T : D (T ) → H y S := D (S) → H operadores lineales. i) Si T es una extensi´ on de S, entonces S ∗ es una extensi´on de T ∗ . ii) Si D∗ (T ) es denso en H, entonces T ∗∗ es una extensi´on de T .

Demostraci´on. i) Como T es una extensi´on de S, cualesquiera sea x ∈ D (T ) , y ∈ D (T ∗ ) y z ∈ D (S)

hT x, yi = hx, T ∗ yi y hSz, yi = hx, T ∗ yi

(7.3)

En particular, si y ∈ D (S ∗ ) hSz, yi = hz, S ∗ yi

(7.4)

Note que, seg´ un (7.3), como D (S) ⊂ D (T ), D (T ∗ ) = = {y ∈ H : ∃y ∗ ∈ H, ∀z ∈ D (T ) , hT z, yi = hz, y ∗ i} Espacios

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Por otro lado, si y ∈ D (T ∗ ) , T ∗ (y) = S ∗ (y), pues cualquiera sea x ∈ D (T ) (seg´ un (7.3) y (7.4)) hT x, yi = hx, T ∗ yi = hSx, yi . ii) Considerando los conjugados complejos (en el caso complejo) en (7.3) se tiene que, cualesquiera sean x ∈ D (T ) y y ∈ D (T ∗ ) hT ∗ y, xi = hy, T xi .

(7.5)

Como, por hip´otesis, D (T ∗ ) es denso en H, el operador T ∗∗ est´a definido y, seg´ un su definici´on, para x ∈ D (T ∗∗ ) y y ∈ D (T ∗ ) hT ∗ y, xi = hy, T ∗∗ i .

Si consideramos los razonamientos de la parte i) de este teorema y (7.5) vemos que D (T ) ⊂ D (T ∗∗ ) y cualquiera sea x ∈ D (T ) , T ∗∗ (x). Esto es T ∗∗ es una extensi´on de T. Definici´ on 7.4.2. Sea H un espacio de Hilbert y D un subespacio lineal denso en H. Un operador lineal T : D → H se dice sim´etrico, si cualesquiera sean x, y ∈ D hT x, yi = hx, T yi .

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Veamos que los operadores sim´etricos se pueden interpretar en t´erminos de los adjuntos de Hilbert. Esta es la raz´on para considerar que el dominio del operador en la definici´on anterior se considere denso en el espacio.

Teorema 7.4.3. (del operador sim´etrico). Sea H un espacio de Hilbert, D (T ) un subespacio denso de H y T : D (T ) → H un operador lineal. Se cumple que T es sim´etrico si y s´olo si T ∗ es una extensi´ on de T .

Demostraci´on. Si T ∗ es una extensi´on de T , para toda y ∈ D (T ) , T ∗ (y) = T (y). Luego , seg´ un la definici´on de T ∗ , si x, y ∈ D (T ), hT x, yi = hx, T ∗ yi = hx, T yi , lo cual dice que T es sim´etrico.

Por otro lado, si T es sim´etrico cualesquiera sean x, y ∈ D (T ) hT x, yi = hx, T yi y hT x, yi = hx, T ∗ yi .

De aqu´ı se sigue que T ∗ es una extensi´on de T .

Definici´ on 7.4.3. Si D (T ) es un subespacio de un espacio de Hilbert H. Un operador lineal T := D (T ) → H se dice cerrado si el grafo de T es cerrado en H × H. Espacios

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El operador se dice cerrable si tiene una extensi´ on T lineal cerrada. Si la extensi´ on T es minimal (en el sentido siguiente: Si T1 es una extensi´ on lineal y cerrada de T , entonces T1 es una extensi´ on de T ) se dice que T es la clausura de T .

Teorema 7.4.4. (de la clausura). Sea H un espacio de Hilbert D (T ) un subespacio denso de H y T : D (T ) → H un operador lineal. Si T es sim´etrico, entonces su clausura T existe y es u ´nica.

Demostraci´on. Definamos previamente el dominio de

D T . De hecho sea M := = {x ∈ H : ∃ (xn ) ⊂ D (T ) , ∃y ∈ H, xn → x, T xn → y} Es f´acil verificar que M es un subespacio de H y D (T ) ⊂ M . Como T es lineal, para cada x ∈ M , el punto asociado en la definici´on de M es u ´nico. En efecto sean (xn ) y (yn ) dos sucesiones en D (T ) y z ∈ H tales que xn → x, yn → x, T xn → y y T yn → z. Como T es lineal y sim´etrico, cualquiera sea v ∈ D (T ) hv, T xn − T yn i = hv, T (xn − yn )i = hT v, xn − yn i .

Haciendo n tender a infinito y considerando la continuidad Espacios

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del producto interior (7.3) se obtiene que hv, y − zi = hT v, x − xi = 0.

Como D (T ) es denso en H, v = 0. Luego podemos definir la posible extensi´on de T como T := y. Estamos considerando a T : M → H. Verifiquemos las afirmaciones siguientes: (a) T es una extensi´on lineal y sim´etrica de T . (b) T es cerrado y es la clausura de T . (a) De la definici´on de T se infiere directamente que T es lineal y es una extensi´on de T (recuerde que D (T ) ⊂ D (T )). Veamos la simetr´ıa: Fijemos x, y ∈ M y sucesiones (xn ) y (yn ) en D (T ) tales que

xn → x, T xn → T x, yn → y, T yn → T y.

Como T es sim´etrico, hyn , T xn i = hT yn , xn i. Haciendo n tender a infinito en estas igualdades y considerando la continuidad del producto interior (7.3), obtenemos que

y, T x = T y, x . Esto prueba la simetr´ıa de T .

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(b) Aplicaremos el teorema del grado cerrado. Fijemos una sucesi´on (wn ) en M de forma que wn → x, y T wn → y.

(7.6)

A cada wn le podemos asociar una sucesi´on (xn,m ) en un D (T ) de forma que xn,m → wn y T xn,m → T wm seg´ m → ∞. Luego, para cada n podemos fijar vn ∈ D (T ) de forma que kwn − vn k L

1 1 y T wn − T vn < . n n

Seg´ un la definici´on de M y T se tiene que x ∈ M y T x = y. Esto es suficiente para mostrar que T es cerrado.

Finalmente del Teorema del grafo cerrado y de la definici´on de M , todo punto de M debe pertenecer al dominio de cualquier extensi´on lineal cerrada de T . Con esto llegamos a que T es la clausura de T y esta clausura es u ´nica.

Veamos algunos hechos relacionados con las propiedades espectrales de los operadores autoadjuntos en espacios de Hilbert.

Teorema 7.4.5. Sea H un espacio de Hilbert, D (T ) un subespacio denso de H y T : D (T ) → H un operador Espacios

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lineal y autoadjunto. Un n´ umero λ (real o complejo) est´a en la resolvente ρ (T ) de T si y solo si existe c > 0 tal que, cualquiera sea x ∈ D (T ) c kxk ≤ kTλ xk ,

(7.7)

donde Tλ := T − λI. Demostraci´on. Si λ ∈ ρ (T ), Tλ tiene inverso lineal y continuo. Sea Rλ el inverso de Tλ y k := kRλ k > 0.

Cualquiera sea x ∈ D (T ) kxk = kRλ Tλ xk ≤ k kTλ xk .

De aqu´ı se infiere (7.7).

Supongamos ahora que se cumple (7.7) y definamos Y : {y : ∃x ∈ D (T ) , y = Tλ x} Verifiquemos las propiedades siguientes: (a) Tλ : D (T ) → Y es biyectivo. (b) Y es denso en H. (c) Y es cerrado. (a) Fijemos x, y ∈ D (T ) tales que Tλ x = T + λy. De la linealidad y (7.7) se sigue que Espacios

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0 = kTλ (x − y)k ≥ c kx − yk .

Luego, se tiene la biyectividad del operador. (b) Fijemos z ∈ H tal que z ⊥ Y . Cualquiera sea y = Tλ x ∈ Y , 0 = hTλ x, zi = hT x, zi − λ hx, zi .

Esto es, cualquiera sea x ∈ D (T ) , hT x, zi = x, λz .

Considerando que el operador es autoadjunto, concluimos que z ∈ D (T ∗ ) y T ∗ z = λz. Como D (T ) = D (T ∗ ) y T = T ∗ , T z = λz.

Ahora si z 6= 0, entonces λ es un valor propio de Ty , por lo tanto λ es real. Esto dice Tλ z = 0 lo cual contradice (7.7). Hemos demostrado que Y ⊥ = {0}, lo cual es suficiente para demostrar que Y es denso en H. (b) Fijemos un punto y ∈ Y y una sucesi´on yn en Y de forma que yn → z. Existe xn ∈ D (T ) de forma que Tλ xn = yn . De (7) se infiere que (xn ) es una sucesi´on de Cauchy. En efecto

kxn − xm k ≤

1 1 kTλ (xn − xm )k = kyn − ym k . c c Espacios

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Fijemos x ∈ H tal que x → x. Como T es autoadjunto, T es cerrado. Esto dice que y ∈ D (T ) y Tλ x = y. Luego y ∈ Y . Los argumentos anteriores prueban que Y es cerrado.

Seg´ un (a) y (b) Y = H lo cual, junto con (a) dice que la resolvente Rλ existe y esta definida en todo H. Se sabe que Rλ es lineal. Finalmente, la acotaci´on de Rλ se deriva de (7). En efecto, si y ∈ H y x = Rλy , se tiene que y = Tλ x y 1

kRλ yk = x ≤ Tλx = c

1

y c

con lo cual queda demostrado el teorema.

Teorema 7.4.6. Sea H un espacio de Hilbert, D (T ) un subespacio denso de H y T : D (T ) → H un operador lineal y autoadjunto. Se tiene que el espectro σ (T ) de T es real y cerrado.

Demostraci´on. Veamos previamente que el espectro es real. Fijemos λ := a + ib ∈ ρ {T } y x ∈ D (T ) con x 6= 0.

Como hx, T xi es real se tiene que: −2iIm hTλ x, xi = hTλ x, xi − hTλ x, xi = 2

= λ − λ hx, xi = 2 − b x .

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Luego

2

2

b

x ≤ λ x ≤ |hTλ x, xi| ≤ kTλ xk x .

Esto es b x ≤ kTλ xk. Si b 6= 0, seg´ un el teorema anterior, λ ∈ ρ (T ) lo cual es una contradicci´on.

Para finalizar, verifiquemos que ρ (T ) es abierto. Fijemos λ ∈ ρ (T ) y c > 0 tal que, para x ∈ D (T )(ver teorema

anterior) c x ≤ T x − T λx . Si s − λ ≤ 2c y x ∈ D (T ), seg´ un la desigualdad triangular:

T x − sx ≥ T x − λx − s − λ x ≤ c x − c x .

2 Y, por el teorema anterior, s ∈ ρ (T ).

7.5.

Polinomios ortogonales

Los polinomios ortogonales tienen una larga historia. Su estudio comenz´o con el an´alisis de las fracciones conti nuas. La teor´ıa de los polinomios ortogonales tiene aplicaci´on en diferentes ramas del an´alisis como la Teor´ıa de la Aproximaci´on, la Teor´ıa de las Probabilidades, la Estad´ıstica, etc.

Sea α : [a, b] → R una funci´on no decreciente. Un punto x ∈ (a, b) se dice de crecimiento para α si Espacios

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limα (x − δ) < limα (x + δ) . δ→0

δ→0

En esta secci´on supondremos siempre que la funci´on α tiene infinitos puntos de crecimiento. Denotemos por Lα (a, b)2 a la clase de las funciones f de cuadrado integrable seg´ un Reimann - Stieltjes con respecto a α en [a, b].

Figura 7.5: G. F. Bernhard Riemann (1826-1866) [13] Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 de septiembre de 1826 - 20 de junio de 1866), fue un matem´atico alem´an que realiz´o contribuciones muy importantes en an´alisis y geometr´ıa diferencial, algunas de ellas allanaron Espacios

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el camino para el desarrollo m´as avanzado de la relatividad general. Su nombre est´a conectado con la funci´on zeta, la integral de Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la geometr´ıa de Riemann.

Naci´o en Breselenz, una aldea cercana a Dannenberg en el Reino de Han´over, actualmente parte de Alemania. Su padre Friedrich Bernhard Riemann era pastor luterano en Breselenz y hab´ıa luchado en las guerras napole´onicas. Bernhard era el segundo de seis ni˜ nos, su fr´agil salud y la temprana muerte de casi todos sus hermanos fueron debidos a la sub alimentaci´on en su juventud. Su madre tambi´en muri´o antes de que sus hijos crecieran.

En 1840 Bernhard fue a Han´over a vivir con su abuela y a visitar el Lyceum. Despu´es de la muerte de su abuela en 1842 entr´o al Johanneum L¨ uneburg. Desde peque˜ no demostr´o una fabulosa capacidad para el c´alculo unido a una timidez casi enfermiza. Durante sus estudios de secundaria aprend´ıa tan r´apido que en seguida adelantaba a todos sus profesores. En 1846, a la edad de 19, comenz´o a estudiar filolog´ıa y teolog´ıa en la Universidad de G¨ottingen, su idea era complacer a su padre y poder ayudar a su familia haci´endose pastor. Atendi´o a conferencias de Gauss sobre el M´etodo de m´ınimos cuadrados.

Espacios

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En 1847 su padre reuni´o el dinero suficiente para que comenzara a estudiar matem´aticas.

En 1847 se traslad´o a Berl´ın, donde ense˜ naban Jacobi, Dirichlet y Steiner. En 1848 estallaron manifestaciones y movimientos obreros por toda Alemania, Riemann fue reclutado por las milicias de estudiantes, incluso ayud´o a proteger al rey en su palacio de Berl´ın.

Permaneci´o all´ı por dos a˜ nos y volvi´o a G¨ottingen en 1849.

En 1859 formul´o por primera vez la hip´otesis de Riemann el cual es uno de los m´as famosos e importantes problemas sin resolver de las matem´aticas. Riemann dio sus primeras conferencias en 1854, en las cuales fund´o el campo de la geometr´ıa de Riemann. Lo promovieron a profesor extraordinario en la universidad de G¨ottingen en 1857 y se hizo profesor ordinario en 1859. En 1862 se cas´o con Elise Koch. Muri´o de tuberculosis en su tercer viaje a Italia en Selasca.

Entre sus obras principales est´an: Grundlagen f¨ ur eine allgemeine Theorie der Functionen einer ver¨ anderlichen complexen Gr¨ osse (1851). Publicado en Werke: Disertaci´on sobre la teor´ıa general de funciones de variable compleja, basada en las hoy llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann. En ella invent´o el instrumenEspacios

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to de la superficie de Riemann.

Ueber die Darstellbarkeit einer Function dur ch eine trigonometrische Reihe (1854). Publicado en Werke: Realizado para acceder a su cargo de Privadozent (Profesor auxiliar). En ´el analiza las condiciones de Dirichlet para el problema de representaci´on de funciones en serie de Fourier. Con este trabajo defini´o el concepto de integral de Riemann y cre´o una nueva rama de las matem´aticas: La teor´ıa de funciones de una variable real.

Ueber die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen (1854). Publicado en Werke: Transcripci´on de una clase magistral impartida por Riemann a petici´on de Gauss. Quiz´as se trate de la mayor lecci´on cient´ıfica individual presentada por el hombre. Versa sobre los fundamentos de la geometr´ıa. Se desarrolla como una generalizaci´on de los principios de la geometr´ıa euclidiana y la no eucl´ıdea. La unificaci´on de todas las geometr´ıas se conoce hoy en d´ıa como geometr´ıa de Riemann y es b´asica para la Teor´ıa de la Relatividad de Einstein.

Ueber die Anzahl der Primzahlem unter einEspacios

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ter gegebenen Gr¨ osse (1859). Publicado en Werke: El m´as c´elebre trabajo de Riemann. Su u ´nico ensayo sobre la teor´ıa de n´ umeros. La mayor parte del art´ıculo est´a dedicado a los n´ umeros primos. En ella introduce la funci´on zeta de Riemann. En nuestro idioma, existe una edici´on de escritos matem´aticos, f´ısicos y filos´oficos de Riemann: Riemanniana Selecta, editada por J. Ferreir´os (Madrid, CSIC, 2000; colecci´on Cl´asicos del Pensamiento). Se incluyen los tres u ´ltimos trabajos mencionados, adem´as de otros materiales, precedidos por un estudio introductorio de unas 150 p´aginas [18].

Esto es Zb

f (x) 2 dα (x) < ∞.

a

Para f, g ∈ L2α (a, b) consideremos el producto interior

Zb

f, g :=

f (x) g (x) dα (x) . a

Si admitimos que las funciones alcancen valores complejos, en la expresi´on anterior se cambia a g (x) por g (x).

Un caso particular de la anterior de la anterior se tiene Espacios

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al considerar expresiones del tipo Zb f (x) g (x) ω (x) dx, a

donde ω es tal que al menos todos los polinomios algebraicos son de cuadrado integrable. A las funciones ω que cumplen esta propiedad las llamaremos funciones peso. Un hecho fundamental en el estudio de los polinomios ortogonales es la posibilidad de aproximar funciones por polinomios.

Teorema 7.5.1. Para cada funci´ on creciente α : [a, b] → R la colecci´on de los polinomios algebraicos es densa en L2α (a, b).

Demostraci´on. Se conoce que las funciones continuas son densas en L2α (a, b). Luego el resultado se deduce del Teorema de Weierstrass sobre aproximaci´on por polinomios.

Karl Weierstrass (Ostenfelde, actual Alemania, 1815Berl´ın, 1897). Matem´atico alem´an. Hijo de un oficial a las ´ordenes de Napole´on, Karl era el mayor de cuatro hermanos. M´as tarde, su padre ingres´o en el servicio de recaudaci´on de impuestos en Prusia, lo que oblig´o a la familia a trasladarse constantemente. Con catorce a˜ nos, Espacios

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Figura 7.6: Karl Weierstrass (1815- 1897) [17] Karl fue aceptado en la escuela cat´olica de ense˜ nanza secundaria de Paderborn. Gan´o algunos premios antes de graduarse, y en 1834, siguiendo los deseos de su padre, ingres´o en la Universidad de Bonn para estudiar comercio y finanzas. Sin embargo, estas materias no le interesaban y pas´o la mayor parte del tiempo bebiendo, practicando esgrima y leyendo libros de matem´aticas.

En 1839 fue aceptado en la Academia de Teolog´ıa y Filosof´ıa de M¨ unster, donde encontr´o la inspiraci´on mate ´ m´atica de manos de Christof Guderman. Este le introdujo en la teor´ıa de las series de potencias, que m´as tarde ser´ıan la base de todo su trabajo. Su primer esEspacios

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crito importante, publicado en 1841, fue un ensayo sobre funciones el´ıpticas. Durante los quince a˜ nos siguientes se dedic´o a dar clase en una escuela de ense˜ nanza secundaria. En 1854 envi´o un trabajo sobre funciones abelianas a una publicaci´on matem´atica de prestigio, y sorprendi´o a la comunidad matem´atica con su genio. Por este trabajo recibi´o el doctorado honor´ıfico de la Universidad de K¨onigsberg y en 1856 fue aceptado como profesor asociado en la Universidad de Berl´ın.

Abrumado por las enormes responsabilidades de su nuevo cargo, sufri´o una crisis nerviosa en 1861, que le apart´o de las aulas dos a˜ nos. A pesar de ello, en 1864 fue ascendido a profesor, cargo que ostent´o el resto de su vida.

Desafortunadamente, tras los ataques p´ ublicos de Kronecker por su apoyo a las ideas de Cantor, y la muerte de su amiga Sonja Kovalevsky, se hundi´o mentalmente y pas´o el resto de su vida en una silla de ruedas hasta que muri´o v´ıctima de una neumon´ıa [19].

A cada funci´on α, como las consideradas anteriormente, se le puede asociar una colecci´on Pn,α de polinomios ortogonales.

Definici´ on 7.5.1. Sea α una funci´ on creciente en [a, b] con infinito puntos de crecimiento. para n = 0, 1, 2, . . . , Espacios

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se definen los momentos de α como: Zb cn := cn (α) :=

xn dα (x) .

a

En el teorema que sigue la hip´ otesis sobre los puntos de crecimiento de α es fuertemente utilizada. A los polinomios que se obtiene se les denomina polinomios ortogonales con respecto a α.

Teorema 7.5.2. Sea α una funci´ on creciente en [a, b] con infinitos puntos de crecimiento. Existe una u ´nica colecci´on de polinomios (Pn ) que satisface las condiciones siguientes: (i) Pn es un polinomio de grado exacto n en el cual el coeficiente de xn es positivo; (ii) Cualesquiera que sean m y n Zb Pn (x) Pm (x) dαx = δnm a

donde δnm

 1 si n = m := 0 si n 6= m

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Demostraci´on. Veamos que la familia (xn ) es linealmente independiente. En efecto, supongamos que para alg´ un n, Pn n+1 k x = k=o ax . Entonces

2 Zb

2 n n

X n+1 X

k n+1 k

0 = x − ak x = x − ak x dα (x) .

k=0

a

k=o

Pero esto puede ocurrir si y solo si la funci´on subintegrando se anula en los puntos de crecimiento de α.

Como el polinomio considerado tiene un n´ umero finito de ceros, se tiene una contradicci´on.

Conociendo que la familia anterior es linealmente independiente, basta aplicar a la colecci´on (xn )∞ n=0 el proceso de ortogonalidad de Gram - Schmidt.

Los polinomios ortogonales se pueden normalizar de diferentes maneras. Las m´as usuales son las de considerar los polinomios m´ onicos y los polinomios ortonormales.

En el primer caso se exige que el coeficiente principal (el coeficiente no nulo de la mayor potencia de x en el polinomio) sea uno. En el segundo caso se exige que el polinomio tenga norma uno. Antes de estudiar algunas propiedades relacionadas con los polinomios ortogonales veamos algunos ejemplos cl´asicos.

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Gran parte de los polinomios m´as estudiados en la literatura aparecen al considerar funciones del tipo: ωα,β (x) := (a + x)α (b − x)β para x ∈ (a, b), bajo la restricci´on α, β > −1. Esta restricci´on asegura la integrabilidad de los polinomios algebraicos en el caso de los intervalos finitos. Me diante transformaciones lineales se pueden considerar expresiones similares en cualquier intervalo finito del tipo (a, b).

Cuando a = −1, b = 1 y α, β > −1, a los polinomios ortogonales correspondientes a ωα,β se les denomina polinomios de Jacobi. El polinomio n-´esimo de Jacobi se denota por: Pn(α,β) (x) Este polinomio puede normalizarse considerando 

Pn(α,β)



n+    (1) =  α  . n

Cuando a = 0, b = +∞ y ω (x) := e−x xα (α > −1) se obtienen los llamados polinomios de Laguerre. El poliEspacios

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nomio n-´esimo de Laguerre se denota por L(α) n (x) .

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Cap´ıtulo 8 Espacios Medibles Espacios de Funciones Integrables

Figura 8.1: Henri L´eon Lebesgue (1875-1941) [28] 129

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Henri L´eon Lebesgue (1875 - 1941), matem´atico franc´es.

Naci´o en Beauvais, Oise, Picardie, Francia. Estudi´o en la Ecole Normale Sup´erieure y en el per´ıodo 1899 - 1902 imparti´o clases en el Liceo de Nancy.

Con base en el trabajo de otros matem´aticos, entre el´ los Emile Borel y Camille Jordan, Lebesgue formul´o la teor´ıa de la medida en 1901. Al a˜ no siguiente defini´o la integral de Lebesgue, la cual generaliza la noci´on de la integral de Riemann al extender el concepto de ´area bajo una curva para incluir funciones discontinuas. Este es uno de los logros del an´alisis moderno que expande el alcance del an´alisis de Fourier. Lebesgue dio a conocer este desarrollo en su disertaci´on Int´ egrale, longueur, aire (”Integral, longitud, ´area”) presentada en la Universidad de Nancy en 1902.

Adem´as de aproximadamente 50 art´ıculos, escribi´o dos libros: Le¸cons sur l´ınt´egration et la recherch´e des fonctions primitives (1904) y Le¸cons sur les s´eries trigonom´e triques (1906). A su vez, contribuy´o en otras ´areas de matem´aticas como topolog´ıa, teor´ıa del potencial y an´alisis de Fourier. En 1905 present´o una discusi´on sobre las condiciones que Lipschitz y Jordan hab´ıan utilizado para asegurar que f (x) es la suma de su serie de Fourier [19].

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8.1.

Fundamentos de Teor´ıa de la Medida

´ Definici´ on 8.1.1. (Algebra).

Una colecci´ on no vac´ıa Ω de subconjuntos de X es un ´ algebra si cumple: i) X ∈ Ω ii) Si A ∈ Ω entonces A¯ ∈ Ω S iii) Si A, B ∈ Ω entonces A B ∈ Ω Definici´ on 8.1.2. (σ− ´ algebra). Ω es un σ− ´ algebra si es un ´algebra cerrado respecto a las uniones numerables, S∞ es decir, si {Ai }∞ i=1 ⊂ Ω entonces i=1 Ai ∈ Ω. ´ Definici´ on 8.1.3. (Algebra de Borel). Se llama ´ algebra de Borel, B, al σ− ´ algebra generado por todos los subconjuntos abiertos de la recta real. Los elementos de B son llamados conjuntos de Borel de R. Algunos ejemplos simples de conjuntos de Borel son los siguientes: i) Los intervalos abiertos acotados (a, b) ii) Los semiabiertos (a, b] iii) Los cerrados [a, b] iv) Los puntos x ∈ R v) Los intervalos no acotados cerrados [a, ∞) o abiertos (a, ∞) Espacios

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vi) Los racionales Q vii) Los conjuntos de Cantor.

Definici´ on 8.1.4. (Medida). Sea X un conjunto y Ω un σ− ´algebra en X. Una funci´on µ : Ω −→ [0, ∞) se llamar´a medida si cumple: i) µ(A) ≥ 0∀A ∈ Ω y µµ(∅) = 0 (positividad) ii) Si {Ei }i∈N es una familia disjunta de conjuntos de Ω entonces µ

n [

!

Ei

=

i=1

∞ X

µ(Ei )

i=1

Teorema 8.1.1. Una medida µ satisface las siguientes propie dades: i) Si A, B ∈ Ω y B ⊂ A entonces µ(B) ≤ µ(A) (monotonocidad) ii) Si A, B ∈ Ω y B ⊂ A y µ(B) ≤ +∞ entonces se cumple la propiedad de sustractividad: µ(A − B) = µ(A) − µ(B) ii) Si {Ei }i∈N ⊂ Ω entonces se cumple la propiedad de subaditividad: µ

∞ [ i=1

!

Ei

≤

∞ X i=1

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µ(Ei )

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Demostraci´on. i) Sea A = (A − B)

S

B, siendo A − B

y B disjuntos, de lo cual, µ(A) = µ(A − B) + µ(B) por la propiedad de aditividad de µ.

Como µ(A − B) ≥ 0, resulta que µ(A) ≥ µ(B). ii) Si µ(B) < +∞ obtenemos de i): µ(A) − µ(B) = µ(A − B) iii) Demostremos primero que µ

n [

!

Ei

≤

i=1

n X

µ(Ei )

i=1

Los conjuntos B1 = E1 , Bk = Ek − S S disjuntos y ni=1 Bi = ni=1 Ei .

Sk−1 l=1

El , k ≥ 2 son

Adem´as, como Bi ⊂ Ei se cumple µ(Bi ) ≤ µ(Ei ). Entonces

n [

µ

!

Ei

=µ

i=1

=

n X

!

n [

Bi

=

i=1

µ(Bi ) ≤

i=1

n X

µ(Ei )

i=1

Finalizando la prueba.

Teorema 8.1.2. (Continuidad de la medida). Sea Ω un σ− ´algebra y {En }n∈N ⊂ Ω una sucesi´ on mon´ otona creEspacios

134

Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

ciente En ⊂ En+1 . Entonces µ

∞ [

!

Ei

= l´ım µ (En ) n−→∞

i=1

Demostraci´on. Si para alg´ un x0 µ(Ex0 ) = +∞ entonces S µ(En ) = +∞, ∀n ≥ x0 y µ ( ∞ i=1 Ei ) = +∞.

Sea µ(Ei ) < +∞ ∀i. Entonces ∞ [

µ

!

Ei

=

i=1

µ(E1 ∪ (E2 − E1 ) ∪ ... ∪ (En − En−1 ) ∪ ...) = µ(E1 ) + l´ım

n X

n−→∞

(µ(Ei ) − µ(Ei−1 ))

i=2

= l´ım µ(En ) n−→∞

Definici´ on 8.1.5. Sea A un conjunto arbitrario tal que A ⊂ X y Ω un σ− ´algebra.

A siempre puede cubrirse por conjuntos pertenecientes a Ω. Es decir, podemos siempre encontrar E1 , E2 , ..., ∈ Ω S tal que A ⊂ ∞ i=1 Ei .

La familia {Ei } se llama Ω− cubrimiento de A. Definici´ on 8.1.6. (Medida exterior). Sea A ⊂ X. La Espacios

135

MuË&#x153; noz A., Villa D., Mosquera J. C.

medida exterior de A est´ a definida as´Ĺ: â&#x2C6;&#x2014;

¾ (A) = ´Ĺnf

â&#x2C6;&#x17E; X

Âľ(Ei )

i=1

donde el ´Ĺnfimo se toma sobre todos los posibles â&#x201E;Śâ&#x2C6;&#x2019; cubrimientos del conjunto A, es decir, todas las coleS cciones {Ei } â&#x160;&#x201A; â&#x201E;Ś con A â&#x160;&#x201A; â&#x2C6;&#x17E; i=1 Ei .

Nota: La medida exterior siempre existe ya que: Âľ(E) â&#x2030;Ľ 0 para cada E â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;Ś.

Teorema 8.1.3. (Extensi´ on). Para A â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;Ś se cumple que Âľâ&#x2C6;&#x2014; (A) = Âľ(A), esto es, Âľâ&#x2C6;&#x2014; es una extensi´ on de Âľ.

Demostraci´on. A es su propio cubrimiento, lo que implica Âľâ&#x2C6;&#x2014; (A) â&#x2030;¤ Âľ(A). Por definici´on de ´Ĺnfimo, para cualquier > 0 existe un â&#x201E;Śâ&#x2C6;&#x2019;cubrimiento {Ei } de A tal que X

Âľ(Ei ) < Âľâ&#x2C6;&#x2014; (A) +

i

se nota que A = A â&#x2C6;Š (â&#x2C6;Şi Ei ) = â&#x2C6;Şi (A â&#x2C6;Š Ei ) Por las propiedades de Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019; aditividad y monotonocidad de Âľ obtenemos Âľ(A) â&#x2030;¤

X i

Âľ(A â&#x2C6;Š Ei ) â&#x2030;¤

X i

Espacios

Âľ(Ei ) < Âľâ&#x2C6;&#x2014; (A) +

136

MuË&#x153; noz A., Villa D., Mosquera J. C.

Como es arbitrario, se concluye que Âľâ&#x2C6;&#x2014; (A) = Âľ(A).

Definici´ on 8.1.7. (Conjunto medible). Sea â&#x201E;Ś un Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019; ´algebra de un subconjunto X, Âľ una medida en â&#x201E;Ś y Âľâ&#x2C6;&#x2014; una medida exterior.

A â&#x160;&#x201A; X es un conjunto medible si para cualquier E â&#x160;&#x201A; X se cumple que ÂŻ Âľâ&#x2C6;&#x2014; (E) = Âľâ&#x2C6;&#x2014; (E â&#x2C6;Š A) + Âľâ&#x2C6;&#x2014; (E â&#x2C6;Š A) Definici´ on 8.1.8. (Colecci´ on de medible). Se denota ÂŻ a la colecci´on de todos los conjuntos medibles. por â&#x201E;Ś Definici´ on 8.1.9. (Medida completa). Una medida Âľ en un Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019; ´algebra â&#x201E;Ś es completa si B â&#x160;&#x201A; A, A â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;Ś, Âľ(A) = 0 implica que B â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;Ś y Âľ(B) = 0.

Nota: Âľ ÂŻ es una medida completa.

Definici´ on 8.1.10. (Medida finita). Sea Âľ una medida en un Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019; ´algebra â&#x201E;Ś. Âľ se llama finita si Âľ(X) < +â&#x2C6;&#x17E;.

Definici´ on 8.1.11. (Medida Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019; finita). Âľ se llama Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019; finita si existe una sucesi´ on creciente {Gi } â&#x160;&#x201A; â&#x201E;Ś tal que Sâ&#x2C6;&#x17E; X = i=1 Gi y Âľ(Gi ) < +â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x20AC;i.

Definici´ on 8.1.12. (Medida de Lebesgue en R). Un conjunto A â&#x160;&#x201A; R es medible seg´ un Lebesgue si para cada Espacios

137

Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

entero positivo n el conjunto acotado A

T

[−n, n) es un

conjunto seg´ un Lebesgue. La medida de Lebesgue en R es m(A) = l´ım m(A ∩ [−n, n)) n−→∞

Definici´ on 8.1.13. (Funci´ on medible). Una funci´ on f : X −→ R∗ ≡ R ∪ {−∞, +∞} es Ω− medible si y s´ olo si f −1 (B) ∈ Ω para todo conjunto boreliano B. Es decir, f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} Teorema 8.1.4. (Funci´ on Ω− medible). La funci´ on f : X −→ R∗ es Ω− medible si y s´ olo si {x : f (x) > α} ∈ Ω, ∀α ∈ R Demostraci´on. Sea A la colecci´on de los intervalos semiabiertos (α, +∞] para todo α ∈ R. Usando la definici´on de Ω− medible tenemos f −1 (B) ⊂ Ω ⇐⇒ f −1 (Ω(A)) ⊂ Ω ⇐⇒ ⇐⇒ Ω(f −1 (A)) ⊂ Ω ⇐⇒ f −1 (A) ⊂ Ω ⇐⇒ ⇐⇒ f −1 ((α, +∞]) ⊂ Ω, ∀α ∈ R ⇐⇒ Espacios

138

Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

⇐⇒ {x : f (x) > α} ∈ Ω, ∀α ∈ R Finalizando la demostraci´on del teorema.

Propiedades: Sean f, g : X −→ R∗ , funciones Ω− medibles y α, β ∈ R, se cumple que i) αf es Ω− medible ii) {x ∈ X : f (x) > g(x)} ∈ Ω iii) {x ∈ X : f (x) = g(x)} ∈ Ω iv) (αf ± βg)(x) es Ω− medible v) f g es Ω− medible vi) En el conjunto de x donde est´a definida, f /g es Ω− medible vii) m´ax(f, g) y m´ın(f, g) son Ω− medible viii) |f | es Ω− medible Teorema 8.1.5. Sea fn una sucesi´ on de funciones Ω− medibles.

Las funciones sup fn e ´ınf fn son Ω− medibles.

Demostraci´on. Sea α ∈ R. Para cualquier sucesi´on de n´ umeros reales {xn } se cumple que sup(xn ) = ´ınf(−xn ) y sup(xn ) > α si y s´olo si existe i tal que xi > α. Por lo tanto, {x : sup fn (x) > α} = Espacios

139

Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

= {x : ∃ i para el cual fi (x) > α} = = ∪i≥1 {x : fi (x) > α}

∈

Ω

ya que cada fi es Ω− medible y Ω es cerrado respecto a uniones numerables. Por lo tanto, sup fn es Ω− medible.

Para el ´ınfimo se sabe que ´ınf fn = − sup(−fn ).

Definici´ on 8.1.14. (Funci´ on simple). Una funci´ on f : X −→ R es simple si y s´ olo si toma un n´ umero finito de valores diferentes.

Nota: Estos valores deben ser finitos.

8.2.

Espacios Lp(E)

Sea E un espacio provisto de una medida µ. Considere mos el conjunto de todas las funciones de potencia p integrables (p ≥ 1) en E, es decir, aquellas funciones que cumplen:

Z

|f |p dµ < ∞

E

Se nota este espacio como Lp (E), L por Lebesgue y se define en estos espacios la m´etrica: Z

p

|f (x) − g(x)| dx

d(f, g) = E

Espacios

p1

140

MuË&#x153; noz A., Villa D., Mosquera J. C.

Los elementos de los espacios Lp no son realmente funciones, sino clases de equivalencia de funciones.

Espacios

Cap´ıtulo 9 Espacios de Sobolev

Figura 9.1: Sergei L. Sobolev (1908-1989) [29]

Definici´ on 9.0.1. Sea Ω de Rn . El espacio de las funciones de L2 (Ω) cuyas derivadas parciales de primer or141

142

Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

den tambi´en pertenecen a L2 (Ω). Es decir, H 1 (Ω) = {f ∈ L2 (Ω) =

∂f ∈ L2 (Ω), i = 1, 2, ..., n} ∂xi

Las derivadas parciales no se entienden en el sentido cl´asico sino en el de las distribuciones de manera que ∂f es una distribuci´ on tal que: ∂xi ∂f < , ϕ >= − ∂xi

Z f Ω

∂ϕ dx; ∂xi

∀ϕ ∈ D(Ω)

donde, D(Ω) es el espacio de las funciones suaves C ∞ y de soporte compacto en Ω.

Con frecuencia, D(Ω) se denota tambi´en con el s´ımbolo Cc∞ (Ω).

Si se dota el espacio vectorial H 1 (Ω) de la norma can´ onica: Z ||f ||H 1 (Ω) = Ω

2 ! !1/2 n

X

∂f

|f (x)| + (x)

∂xi dx 2

i=1

se forma un espacio de Hilbert.

Definimos a H01 (Ω) como el subespacio cerrado de H 1 (Ω), clausura de D(Ω) en la norma de H 1 (Ω).

Espacios

143

Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

H01 (Ω) es el subespacio de H 1 (Ω) de las funciones que se anulan en el borde de Ω y ∂Ω.

La desigualdad de Poincar´e juega un papel esencial para comprender y utilizar el espacio H01 (Ω): Si Ω es un abierto acotado de Rn y, m´ as en general, si es un abierto acotado en una direcci´ on, existe una constante k = k(Ω) tal que: Z

2

Z

|∇f |2 dx,

f dx ≤ k Ω

∀f ∈ H01 (Ω)

Ω

En H01 (Ω), la norma inducida por la de H 1 (Ω) y la seminorma: Z

2

1/2

|∇f | dx

||f ||1 = Ω

definen normas equivalentes.

Muchos problemas relevantes de las Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP), se trabajan en espacios de funciones que en la mayor´ıa de los casos son los espacios de Sobolev.

Un ejemplo particular, es el problema de Dirichlet en Espacios

144

Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

un dominio acotado:     −∆u = f,

en Ω; (9.1)

   u| = 0, δΩ y su formulaci´on variacional:  1    u ∈ H0 (Ω),

(9.2)

   R ∇u · ∇ϕdx = R f ϕdx, ∀ϕ ∈ H 1 (Ω) 0 Ω Ω Suponiendo que Ω es un dominio acotado de Rn se comprueba que (9.1) tiene una u ´nica soluci´on d´ebil que satisface (9.2).

9.1.

Espacios de Slobodetskii

Sea G un conjunto abierto de Rn y 1 ≤ p ≤ +∞, r > 0, r = [r] + α, 0 < α < 1. (r)

El espacio de Slobodetskii Xp (G) consiste de todas las funciones f ∈ Lp (G) con la norma: ||f ||Wp(r) (G) ≤ ||f ||Lp (G) + ||f ||Wp(r) (G) < +∞ Espacios

145

Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

donde, kf kWp(r) (G) =

Z Z

X

l´ım

|v|=[r]

G

G

|f (v) (x) − f (v) (y)|p dxdy |x − y|n+αp

1/p

(r)

El funcional kf kWp (G) es una norma en los Espacios de (r)

Sobolev Wp (G).

9.2.

Espacios de SobolevSlobodetskii

Slobodetskii, probo que si Rn−1 es alg´ un hiperplano: (n − 1) - dimensional en Rn entonces Wp(l) (G) Wp(l−1/p) ,

l − 1/p > 0, (l)

Los espacios de Sobolev Wp (G),

1 ≤ p < +∞

l > 0 para l entero

coincide con los Espacios de Sobolev y si l no es entero se llaman Espacios de Sobolev-Slobodestskii.

9.3.

Espacios de Besov

Sea un abierto G ⊂ Rn y 1 ≤ p ≤ +∞, 1 ≤ q ≤ +∞, r = (r1 , r2 , ..., rn ) ∈ Rn , rj > 0, kj ∈ N, sj ∈ N0 , kj > rj − sj > 0, j = 1, ..., n, h = (h1 , h2 , ...hn ) ∈ Rn .

Espacios

146

Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

(r)

El espacio de Besov Bp,q (G) consiste de todas las funciones f tal que la norma:

kf kbrp,q (G) =

n X j=1



 Z

 

1

0

(k )

k∆hjj (G)f

 

(sj )

s xj j

|hj

kLp (G)

|rj −sj

q

1/q

 dhj    hj

donde 1 ≤ q ≤ +∞. kf kbrp,+∞ (G) = kf khrp (G) n X (s ) (k ) = sup |hj |sj −rj k∆hjj (G)f sjj kLp (G) xj

j=1 0≤|h|≤1

(k )

(k )

∆hjj (G)f (x) = ∆hjj f (x).

9.4.

Espacios de Morrey

Sea G un dominio en Rn , δ = dim G, Qr (x) = {y : σ(y, x) < r} ,

1 ≤ p < +∞,

Espacios

λ≥0

147

Mu˜ noz A., Villa D., Mosquera J. C.

El conjunto de todas las funciones f ∈ Lp (G) tales que

Mkukp,λ

def

  

1 λ  x∈G,r∈(0,δ) r

Z

sup

|f (y)|p dy

Qr (x)∩G

1/p  

< +∞

 

donde el funcional Mkukp,λ es una norma en LM p,λ (G), es un espacio completo, espacio de Banach, llamado Espacio de Morrey.

M El espacio LM p,0 (G) coincide con el espacio Lp (G) y Lp,n (G)

coincide con L+∞ (G).

Si 1 ≤ p ≤ q < +∞ y λ, v son n´ umeros tales que λ−n v−n ≤ p q entonces, M LM q,v (G) ,→ Lp,λ (G)

Espacios

148

MuË&#x153; noz A., Villa D., Mosquera J. C.

Espacios

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