Libro de Matemáticas para estudiantes de 4to. grado de primaria by EducandoRD

Grado

Matemática Guía para Maestros y Maestras

Matemática

Guía uía para Maestros y Maest Maestras

Grado

Instituto Nacional y Capacitación

de del

Formación Magisterio

¡Me gusta Matemática! PROYECTO REGIONAL

JAPÓN

Asistencia oficial para el Desarrollo

Agencia de Cooperación Internacional del Japón

Autoridades Lic. Danilo Medina

Presidente de la República Dominicana Josefina Pimentel, M.A. Ministra de Educación

Licda. Minerva Vincent, M.A. Viceministra de Educación Encargada de Servicios Técnicos y Pedagógicos

Grupo Núcleo Responsable de Adecuación y Validación

Agencia de Cooperación Internacional del Japón JICA

Marcelina Piña Del Rosario M.A. Coordinadora de Proyectos (INAFOCAM) Coordinadora General del proyecto

Lic. Tadashi Ikeshiro Director de JICA- República Dominicana

Lic. Isidro Báez Coordinador de los Proyectos de Matemática para los Centros de Excelencia Dirección General de Educación Media Lic. Octavio Galán Encargado de Sección en el Área de Matemática Dirección General de Educación Media Lic. Dolores de la Rosa Coordinadora del Área de Matemática Dirección General de Currículo Lic. Geovanny Lachapell Técnico Nacional del Área de Matemática Dirección General de Currículo Lic. Santa Azor Técnica Nacional Dirección General de Educación Básica

Toshiya Wakabayashi M.A. Coordinador de Proyectos Oficina de JICA-República Dominicana Laura Mella M.A. Coordinadora de Proyectos Oficina de JICA-República Dominicana Toshio Murata M.A. Primer Asesor Lic. Shiori Abe Asesora Técnica Nobuaki Kiya M.A. Asesor de Programa de Educación Básica Lic. Eric Morel Diagramador

Genaro Viñas M.A. Docente Área de Matemática Distrito Educativo 08 - 05

Este material didáctico ha sido adaptado de la versión original elaborado por el Proyecto de Mejoramiento de la Enseñanza Técnica en el Área de Matemática (PROMETAM) integrado por la Secretaría de Educación y la Universidad Pedagógica Nacional Francisco Morazán de Honduras con asistencia técnica de la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA). Quinta Edición, Mayo 2013 ® Derechos Reservados ME-JICA PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL

PRESENTACIÓN El Ministerio de Educación, comprometido con elevar el nivel de la Calidad de la educación dominicana, pone a disposición de los y las docentes del Primer Ciclo del Nivel Básico la guía “Matemática, Guía para Maestros y Maestras” y su correspondiente “Libro de Estudiantes” para el estudiante, como una valiosa herramienta para mejorar la enseñanza y la práctica de esta área en el aula. Esta Guía fue elaborada en el marco del proyecto “Mejoramiento de la Calidad de la Enseñanza de la Matemática, 2005-2010”, realizado en la República Dominicana, con el apoyo de la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA). El documento constituye una adaptación a nuestro contexto de los materiales “guía para el docente” y “cuaderno de trabajo del estudiante”, elaborados en Honduras con la asesoría de expertos japoneses. Las unidades de esta guía fueron adecuadas por un equipo técnico que recibió capacitación Proyecto Regional “Me Gusta Matemática”, en Honduras y en la Universidad de Tsukuba, en Japón. En el diseño, la guía está organizada por unidades, las cuales están orientadas a partir de los contenidos curriculares y los componentes psicopedagógicos del Área de Matemática que se desarrollan en el Primer Ciclo del Nivel Básico. En el proceso de adecuación participaron en forma activa la Dirección General de Currículo, la Dirección General de Nivel Básico y el Instituto Nacional de Formación y Capacitación del Magisterio (INAFOCAM) que tuvo la función de coordinación. Para un óptimo aprovechamiento de este recurso didáctico, se recomienda utilizar el correspondiente cuaderno de trabajo dirigido a los niños y las niñas de este ciclo, de igual para mejorar el aprendizaje de la Matemática en la escuela dominicana.

Ministra de Educación

INTRODUCCIÓN El libro “Matemática, Guía para Maestros y Maestras” (GM), está compuesta por tres partes. La primera, se refiere a la estructura y aplicación de la Guía. La segunda, describe el desarrollo de las clases de cada unidad, con sus páginas modelos para recortar y un apéndice que ayuda a la diversidad en el aprendizaje de los los alumnos y las alumnas. La tercera, se dedica al espacio denominado “Columnas”, donde se explican algunas ideas para reforzar el tema que se desarrolla en una determinada clase o lección. En la primera parte, “estructura y aplicación de la guía”, se señalan con detalles los objetivos, estructura, instructivo, ejemplo del desarrollo de una clase y el programa anual. Como se puede apreciar, este apartado consta de cinco aspectos que son fundamentales dominar antes de trabajar con las unidades. La forma en que están distribuidas las lecciones, el sentido de cada apartado y de cada símbolo o palabra utilizados en el desarrollo de las unidades, son explicadas en esta sección, donde se incluyen modelos que permiten la reflexión de la práctica, un camino excelente para la autoformación del profesorado. En la segunda parte, se desglosa el “desarrollo de la clase de cada unidad”, tomando en cuenta los requisitos del grado en un año escolar y los requerimientos curriculares de nuestro Sistema Educativo Nacional. Se presentan 15 unidades desarrolladas en lecciones. Cada una de ellas contiene los objetivos, las expectativas de logro, las estrategias para el aprendizaje, las actividades y los recursos educativos a utilizar para orientar la clase de cada día. Se indican las “páginas para recortar” con plantillas que pueden ser usadas durante el desarrollo de la clase, por lo cual, resulta interesante recortarlas o fotocopiarlas para complementar la acción didáctica. Otra sección es “apéndice” allí se encuentran algunos ejercicios complementarios como ilustración para la elaboración de otros juegos o entretenimientos matemáticos. Son útiles para las situaciones en que un alumno o una alumna logra el objetivo de la clase más rápido que la mayoría. Crear nuevos desafíos puede ayudarles a mantener el interés por la clase, mientras el maestro o la maestra atiende otros alumnos y otras alumnas que aún no han logrado la comprensión del tema. En la tercera parte, “Columnas” de la Guía para Maestros y Maestras, explican detalles del contenido de algunas unidades. Conviene detenerse en la lectura de este apartado, para poseer más claridad del por qué de algunas ideas que se presentan durante el desarrollo de algunas unidades o lecciones.

Estructura y aplicación de la Guía 1. 2. 3. 4. 5.

Objetivo de la Guía Estructura de la Guía Instructivo para el uso de la Guía y del Libro de Estudiantes Ejemplo del desarrollo de una clase Programación anual

II II III VII XIV

Desarrollo de clases de cada unidad

Unidad 1: Números hasta 1,000,000 Unidad 2: Adición y sustracción Unidad 3: Líneas perpendiculares y paralelas Unidad 4: Multiplicación Unidad 5: División Unidad 6: Triángulos Unidad 7: Fracciones Unidad 8: Longitud Unidad 9: Área de rectángulos Unidad 10: Números decimales Unidad 11: Área de triángulos Unidad 12: Gráficas de barras Unidad 13: Peso Unidad 14: Círculos y esferas Unidad 15: Simetría Ejemplos de las páginas para recortar del Libro de Estudiantes Nos divertimos

2 16 22 30 46 66 74 88 98 112 130 138 152 158 168 176 186

Columnas Unidad Unidad Unidad Unidad Unidad Unidad Unidad Unidad Unidad Unidad

1: 3: 4: 5: 7: 9: 10: 12: 13: 15:

Principios del sistema de numeración romano Formas de dibujar líneas paralelas Números auxiliares del cálculo vertical Variación en los tipos de ejercicios Clasificación de los ejercicios Las cuatro etapas de la comparación del área Clasificación de los ejercicios Representaciones gráficas Construcción de una balanza Clasificación de la simetría

4 22 32 49 77 100 114 140 153 169

Esta Guía explica la programación anual y el desarrollo de las clases basados en el Currículo Nacional Básico (CNB). Si el maestro o la maestra aprovecha esta Guía, le ayudará a desarrollar sus clases de forma efectiva y eficiente para el mejoramiento del aprendizaje de los niños y las niñas.

2. Estructura de la Guía

Estructura global: Está formada por las siguientes partes “Estructura y aplicación de la Guía”, que explica cómo se utiliza la Guía; ”Desarrollo de clases de cada unidad”, que representa un ejemplo del plan de clase para desarrollar cada contenido usando el Libro de Estudiantes (LE). Estructura de la unidad: En cada unidad se desarrollan, paso a paso, los contenidos conceptuales y actitudinales tomados del CNB. Se incluyen pequeños artículos que explican de una manera comprensible las informaciones suplementarias. La estructura que contiene los propósitos y objetivos de cada unidad se explica detalladamente en el “Instructivo”.

Construyamos gráficas de barras

Desarrollo de clases

1. Conocer la gráfica de barras y su mecanismo. [A1] M: (Pegando en la pizarra la gráfica de barras de Betty, ya preparada). Esta gráfica se llama gráfica de barras. ¿Qué observan ustedes en esta gráfica? RP: Las barras que representan la cantidad de niños y niñas, hay líneas de división con números, etc. * Confirmar el mecanismo de la gráfica de barras. M: ¿Cuáles diferencias o semejanzas hay entre la gráfica de Betty y la de José? Que se den cuenta de los puntos importantes en las gráficas de barras: valor mínimo de las escalas, orden de los elementos (normalmente, se ordenan los datos de mayor a menor)…, para la lectura y construcción de las gráficas. * Preguntar por las ventajas de las gráficas al compararlas con las tablas, para que los niños y las niñas capten su utilidad. 2. Leer las gráficas de barras. [A2] M: Vamos a observar estas gráficas para ver cuáles informaciones nos representan. * Se pueden agregar preguntas a la parte para orientar la comparación. (véase Notas).

• Leer gráficas de barras con escala de 1:1 y 1:2. (M) Tabla y gráfic a (de Betty) para la pizarra como [A]

Para organizar los datos se utiliza la tabla o el cuadro. Las gráficas sirven para visualizar los resultados de la organización de los datos.

La fruta preferida Número de niños y niñas

Frutas

6 5 3 4

La fruta preferida

6 5 4 3 2 1 0

(1/7) Betty y José hicieron una investigación sobre sus amigos y la organizaron en una tabla. José

Betty

La profesión que quiere ser cuando sea grande Profesión

Número de niños y niñas

Doctor

Piloto

Policía

Bombero

Total

Profesión preferida cuando sea grande

9 8 7

Número de niños y niñas

Estructura y aplicación de la Guía

1. Objetivo de la Guía

6 5 4 3 2 1 0

Doctor

Piloto

Policía Bombero

8 6 4 2 0

Policía

Profesión

Doctor Bombero Piloto

Profesión

Este tipo de gráfica se llama gráfica de barras. En las gráficas de Betty y José, la escala de las cantidades se representa en el eje vertical; y el tipo de profesión se representa en el eje horizontal.

1 2

Compare las gráficas de barras de Betty y José, y escriba en su cuaderno Se omite la solución lo que encontró. Observe la gráfica de barras que hizo Betty, y conteste las preguntas en su cuaderno lo que encontró. 1 niño o niña (1) ¿Cuántos niños y niñas representa cada escala del eje vertical? (2) ¿Cuál es la ocupación más preferida por los niños y las niñas? (3) ¿Cuántos niños y niñas prefieren ser doctor?

Policía

5 niños y niñas

Que los niños y las niñas observen los valores de las cantidades mayor y menor, y la diferencia entre ellas. Al mismo tiempo, que comprendan que los otros números están entre el mayor y el menor. También, se debe orientar no sólo la lectura de la cantidad representada por cada barra, o la comparación entre las cantidades de dos categorías sino la lectura de la tendencia o particularidad de toda la información presentada.

142

3. Instructivo para el uso de la Guía para Maestros y Maestras, y del Libro de Estudiantes Esta Guía para Maestros y Maestras (GM) fue diseñada con el propósito de orientar el proceso para enseñar los contenidos de matemática indicados en el Currículo Nacional Básico (CNB). Su correcto uso permitirá utilizar eficientemente el Libro de Estudiantes (LE), que es un material de apoyo para su aprendizaje. Aunque se indica la manera de usar el LE, y otros materiales didácticos, no necesariamante se describe la forma más preferible para desarrollar la clase, porque se ha intentado que los docentes puedan dar la clase sin dedicar mucho tiempo a los preparativos. Para elaborar un mejor plan de estudio basado en la metodología desarrollada en esta GM, consúltese a «Ejemplo del desarrollo de una clase». La GM se divide en dos grandes secciones: Programación anual y Desarrollo de las clases de cada unidad.

Programación anual Es la lista de los contenidos del grado, indicados en el CNB. En esta Guía se presentan solamente las horas de las clases fundamentales o mínimas, por lo que el maestro o la maestra deberá agregar las horas necesarias para fovorecer el rendimiento y la práctica de los niños y las niñas, incluyendo las horas para las evaluaciones a fin de cumplir con las jornadas estableci das por el Ministerio de Educación. Si los niños y las niñas no manejan bien los contenidos de cada grado, tendrán problemas con el aprendizaje en los grados posteriores. Por ejemplo: el cálculo vertical de la división, que es un contenido de 3er grado, no se puede calcular si no se tienen memorizadas las tablas de multiplicar (2do grado) y la habilidad de la sustracción. Desarrollo de las clases de cada unidad Esta sección está dividida en cinco subsecciones: Espectativas de logro, Relación

y desarrollo, Plan de estudio, Puntos de lección y Desarrollo de clase.

1 Expectativas de logro Es el objetivo o propósito de cada unidad. En esta Guía las espectativas de logro están escritas en indicativo, sin embargo, los objetivos de cada lección están redactados en infinitivo. 2 Relación y desarrollo Se enumeran los contenidos de la unidad y su relación con otras unidades (ya sean de este grado, anteriores o posteriores). Las letras de color negro es el título que se le ha dado a la unidad. Se usa el cuadro de color verde para identificar la unidad ac tual de estudio. Los y las docentes deben diagnosticar si los niños y las niñas pueden manejar bien los contenidos relacionados de los grados anteriores (véase la parte de «Recordemos» en el LE). Si no, dependiendo del nivel de insuficiencia en el manejo, se puede hacer lo siguiente: (a) Si la mayoría de los niños y las niñas carecen de comprensión, de tal modo que no se puede enseñar el contenido del grado, se les da un repaso de dos o tres horas clase. Para el mejor manejo del contenido, es mejor darles tareas al mismo tiempo que la enseñanza del contenido del grado. (b) Si la mayoría entiende bien, se les puede dar una orientación individual a los demás niños y niñas. Los contenidos actitudinales que se orientan en el CNB para la adquisición y el desarrollo de competencias relacionadas con el quehacer matemático, en esta Guía no aparecen explícitamente definidos, sin embargo se aplican en las actividades del desarrollo de cada clase de forma que los niños y las niñas incrementen la actitud de curiosidad, resolución de problemas, ejercitación del hábito del trabajo individual y grupal, respeto a las opiniones ajenas, III

placer por los desafíos intelectuales, entre otros, de modo que la acción educativa integre los contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales indispensables para la formación de los educandos y que a la vez, estos aprendizajes significativos puedan ser utilizados en la vida cotidiana.

Es necesario saber usar los materiales (concretos, semiconcretos y abstractos), ya que la clase no es necesariamente mejor si se usan más materiales. Es importante usar aquellos que sean adecuados a la situación, considerando la etapa del desarrollo mental de los niños y las niñas.

3 Plan de estudio Se indica la distribución de las horas y el contenido. Como el tiempo total de la clase de matemáticas es limitado, no se recomienda utilizar todo el tiempo disponible para cubrir sólo unas cuantas unidades.

Proceso de enseñanza El proceso de enseñanza está numerado según el proceso del desarrollo de la clase. Las etapas principales del proceso son: 1. Introducción • Repaso • Presentación del problema (Levantamiento de la motivación) • Previsión de la resolución 2. Desarrollo • Resolución independiente (o grupal) • Presentación de ideas • Discusión y análisis • Introducción de la nueva regla 3. Conclusión • Demostración (confirmación) del uso de la nueva regla • Ejercicios (reforzamiento) • Resumen final • (Tarea) Este proceso es un patrón que responde a una clase de introducción, no obstante dependiendo del tipo de clase algunos de estos pasos se pueden omitir. En vez de realizar la clase de la misma forma, de principio a fin, es deseable distinguir las actividades de cada etapa destacando el objetivo específico, de modo que los niños y las niñas no se aburran. Además, para que los niños y las niñas tengan suficiente tiempo para pensar por sí mismos y resolver los ejercicios, los y las docentes tienen que darles una explicación de forma precisa y con pocas palabras tratando de no hablar mucho. A continuación se explica el significado de las dos letras utilizadas en el proceso de enseñanza.

4 Puntos de leccion Como cada unidad está dividida en lecciones, en esta parte se explican los principios de sus contenidos y los puntos en que se debe prestar atención durante el desarrollo de la clase. Los y las docentes deben entender la idea central por la cual se desarrolla el plan de clase. 5 Desarrollo de clase En este apartado se encuentra descrito el plan de cada clase usando las páginas del LE. Una hora clase equivale a 45 minutos. Como los niños y las niñas no pueden concentrarse por mucho tiempo, no es recomendable prolongar la hora de clase, salvo en el caso donde ellos hacen una tarea especial. Objetivo Representa el objetivo de la clase. Hay casos donde uno solo se aplica a dos o más clases seguidas. Es muy necesario tener un objetivo claro para cada clase. Materiales Se indican los materiales didácticos que se utilizan en la clase. Es recomendable verlos de antemano, porque hay materiales que necesitan tiempo para su preparación. Si se realiza la clase de otra forma a la explicada en la GM, puede ser que se necesite otro tipo de material que no esté indicado. Por ejemplo: una lámina de un dibujo del LE. IV

M: significa pregunta o indicación de los y las docentes a los niños y a las niñas. Es necesario hacer preguntas interesantes que despierten el interés de los alumnos y las alumnas, evitando por tanto aquellas para responder con palabras breves como «sí» y «no». Son muy importantes las preguntas que hacen pensar a los niños y a las niñas. RP: significa reacciones previsibles de los niños y las niñas. Hay que prever las reacciones de los niños y las niñas, incluyendo las respuestas equivocadas. Para corregir las respuestas equivocadas hay que pensar como piensan los niños y las niñas, por tanto debemos evitar decir solamente «está mala», y enseñar la respuesta correcta o hacer que contesten otros niños. Hay que dar tiempo para que piensen el por qué de su respuesta hasta descubrir que está equivocada. Al mismo tiempo, los y las docentes tienen que pensar por qué se han equivocado y reflexionar sobre su manera de enseñar y preguntar. Además, las respuestas de los niños y las niñas pueden ser indicadores para evaluar el nivel de entendimiento del contenido de la lección. En cuanto al significado de los demás símbolos, consulte a la “Estructura de la Guía”. Para ser más práctico el uso de esta GM en el aula, se da una descripción general, por lo tanto, no se les indica a los y las docentes todas las acciones, así que tienen que agregarlas según la necesidad, entre las cuales las siguientes se aplican en general: 1. La GM no dice nada sobre la evaluación de cada clase, porque ésta corresponde al objetivo y es fácil de encontrar. La evaluación debe hacerse durante la clase y al final de la misma según la necesidad. 2. En algunos casos, no está indicado el repaso de la clase anterior, lo que hay que hacer según la necesidad. 3. Cuando se les dan los problemas o ejercicios, los docentes tienen que recorrer el aula identificando los errores

de los niños y las niñas y ayudarles a descubrir el error. 4. Cuando la cantidad de ejercicios es grande, se hace la comprobación y corrección de errores cada 4 ó 5 ejercicios, para que los niños y las niñas no repitan el mismo tipo de equivocación. 5. Preparar tareas, como por ejemplo ejercicios suplementarios, para los niños y las niñas que terminan rápido. 6. La orientación individual no está indicada, sin embargo, es imprescindible. Los y las docentes pueden realizarla en las ocasiones siguientes: • Cuando recorren el aula después facilitar los ejercicios o problemas. • En el receso, después de la clase. • En la revisión del cuaderno (hay que tener cuidado de que los niños y las niñas no pierdan tiempo haciendo colas en filas para que el docente los corrija)

La manera de cómo trabajar con los problemas planteados (de aplicación) Hay 3 elementos fundamentales para resolver un problema. 1. Primero escribir el planteamiento de la operación (PO). Si no se sabe el resultado en ese momento, sólo escribir el lado izquierdo. 2. Luego efectuar el cálculo, según la necesidad. Escribir el resultado del cálculo en el lado derecho del PO y completarlo. 3. Escribir la respuesta (R) con la unidad necesaria. [Ejemplo] PO: 26+35=61 R: 61 mentas Primero se juzga que la respuesta se puede encontrar con la adición y escribir el lado izquierdo del PO: 26+35. Luego, si no se puede encontrar la respuesta con el cálculo mental, efectuar el cálculo, completar el PO agregando el resultado al lado derecho: 26+35=61. Al final, se escribe la R con la unidad: 61 mentas.

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Siempre se requiere PO y R y hay que evaluarlos por separado, es decir si está bien el PO y si está bien la R. Si algún niño o niña escribe bien el lado izquierdo del PO: 26+35, pero se equivoca en el cálculo y contesta así: PO:26+35=51 R: 51 mentas, debe darle 5 puntos si el total es 10.

La estructura del LE y su uso Cada unidad empieza con el repaso de lo aprendido, que tiene que ver con la unidad (Recordemos). Generalmente, esta parte no está incluida en las horas de clase y los docentes asignan el tiempo para trabajar con el mismo según su criterio. La unidad está dividida en lecciones, los ejemplos (A,B,C…) y los ejercicios ( 1 , 2 , 3 …) están numerados por lección. Los problemas principales (ejemplos) corresponden a los temas importantes de la lección y están ilustrados con dibujos o gráficas que ayudan a los niños y a las niñas a entender los ejercicios. En la orientación de estos ejemplos, lo importante es hacer que los niños y las niñas piensen por sí mismos; por lo tanto, para presentarlos, los docentes los dibujan en la pizarra para que los niños y las niñas no vean la respuesta antes de tratar de encontrarla, aun cuando la GM dice «Leer el problema…». Las respuestas de los ejemplos están marcados con el signo . La GM lleva la pauta de los ejercicios y problemas del LE en color rojo. Los docentes tienen que tomar en cuenta que pueden haber otras respuestas correctas.

Los puntos importantes del tema están marcados con el signo . Los ejercicios del cálculo están clasificados por criterios, los cuales pueden ser consultados en la GM. Un motivo de este LE es suministrar suficiente cantidad de ejercicios bien clasificados, por lo tanto, en el LE a veces hay más ejercicios que se pueden resolver en el aula. Los docentes tienen que elegir cierta cantidad de ejercicios de cada grupo clasificado de modo que los niños y las niñas puedan resolver todo tipo de ejercicios. Los demás, se pueden utilizar como tarea en casa, ejercicios suplementarios para los niños y las niñas que resuelven rápido o, en caso de la escuela multigrado, tarea mientras esperan la indicación del o la docente. Por ejemplo: Unidad 10: Números decimales Lección 2, la segunda clase. Según la Guía los niños y las niñas trabajan con los ejercicios 4 a 9 . Los docentes pueden hacer que resuelvan los primeros dos o tres ejercicios de cada grupo en el aula y los demás se pueden utilizar como tarea en casa. Al final de cada unidad hay «Ejercicios», el trabajo con los mismos está incluido en las horas de clase de la unidad. Algunas unidades tienen «Ejercicios suplementarios». Se pueden dar a los niños y a las niñas que trabajan rápido o dejarlos como tarea en casa.

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4. Ejemplo del desarrollo de una clase Vamos a desarrollar una clase, explicando dos casos típicos, es decir: la clase donde se introduce un nuevo concepto o conocimiento, y la otra donde se hacen ejercicios sobre el contenido aprendido para su fijación.

Debemos evitar dar a los niños y a las niñas los conceptos nuevos, las fórmulas del cálculo, etc., como cosas ya hechas y sólo para recordar, porque de esta manera no se puede crear en ellos la actitud de resolver problemas por su propia iniciativa.

Clase de introducción de un nuevo tema Para desarrollar una clase de introducción de un nuevo tema, además de las sugerencias que a continuación se presentan, se recomienda consultar las etapas que aparecen en “Proceso de enseñanza” de la pagina IV de esta GM porque tienen bastante similitud. 1. Preparar una pregunta (un problema) principal de conformidad con el objetivo de la clase. Ésta tiene que ser presentada con tal motivación que los niños y las niñas tengan ganas de resolverla. Como en el LE está la respuesta después de la pregunta, es preferible presentar la pregunta en la pizarra con los LE cerrados. 2. Ayudar a los niños y a las niñas a resolver el problema. Preparar los materiales didácticos que ayuden a los niños y a las niñas a resolver el problema. Dar suficiente tiempo para pensar. Los niños y las niñas pueden trabajar en forma individual o en grupo, según la situación. Dar sugerencias según la necesidad. 3. Los niños y las niñas presentan sus ideas. Hay que crear la actitud de no tener miedo a equivocarse, así como la de escuchar las ideas de sus compañeros. Buscar siempre otras ideas preguntando: «¿otra?». 4. Los niños y las niñas discuten sobre las ideas presentadas. 5. Concluir la discusión y presentar la manera de resolver el problema, aprovechando las ideas y palabras de los niños y de las niñas. 6. Evaluar el nivel de comprensión con algunos ejercicios, los que se pueden resolver aplicando la forma aprendida en clase.

Clase de fijación de lo aprendido re solviendo los ejercicios 1. Si los ejemplos contienen algo nuevo (la forma del cálculo, etc.), hacer que los niños y las niñas piensen en la forma de resolverlos con el LE cerrado, como en el caso de la clase de la introducción de un nuevo concepto. 2. Después de que los niños y las niñas entiendan la forma de resolver los ejercicios, hacerlos trabajar con los ejercicios de la siguiente manera: (a) Primero darles cierta cantidad de ejercicios a la vez y que los resuelvan individualmente. (b) Mientras tanto, recorrer el aula y detectar las deficiencias de los niños y las niñas. (c) Después de algún tiempo (cuando la mayoría ha terminado) mandar a algunos niños o niñas a la pizarra para que escriban las respuestas, todos a la vez (en vez de uno tras otro); incluyendo las respuestas equivocadas típicas. (d) Revisar las respuestas pidiendo las opiniones de los niños y de las niñas. No borrar las respuestas equivocadas, sino marcarlas con X y corregirlas, o escribir la respuesta correcta al lado. (e) Si hay muchos ejercicios, agruparlos en varios bloques y seguir el proceso anterior para que los niños y las niñas no repitan las mismas equivocaciones. Cuando se manda a un solo niño o niña a la pizarra, se atiende sólo a ese niño o niña, esto tiene como consecuencia que no se pueden dar suficientes ejercicios a los demás, que no están en la pizarra, no VII

pueden pensar bien; por lo tanto, no es recomendable realizar esta técnica si hay necesidad de darles muchos ejercicios. En ambos casos es muy importante garantizar, a los niños y a las niñas, suficiente tiempo para el aprendizaje activo: pensar,

presentar una idea, discutir y resolver los ejercicios. Para realizarlo, los docentes no tienen que hablar mucho, evitando dar la clase sólo con explicaciones o que contesten en coro las preguntas que pueden contestar con una palabra.

Ejemplos de una clase de introducción

Unidad 7 de 4to grado: Fracciones Lección 2: Sumemos y restemos fracciones de igual denominador

(a) Sin preparación

1ra clase

Actividad

Observaciones

M: Hoy vamos a aprender a sumar fracciones con igual denominador. Saquen el LE y abran la página 57. M: Lean el problema. Los niños y las niñas leen en coro el problema. M: ¿Cuál es la situación?

M introduce la clase directamente y no permite que los niños y las niñas piensen por sí mismos.

N: Que Juan bebió 27 l de leche en la mañana y 37 l de leche en la tarde. M: ¿Cuál es la pregunta? N: ¿Cuánta leche bebió en total? M: ¿Qué hay que hacer para saber la respuesta? Observen el PO. N: Hay que sumar 27 + 37 . M: Escríbanlo en sus cuadernos. M: Pongan atención, voy a explicar cómo se realiza la suma de fracciones. M: Primero se suman los numeradores, es decir, 2 + 3. M: ¿Cuánto es 2 + 3? N: Cinco. M: Luego escribimos el mismo denominador, es decir, 7. M: ¿Cuál es el resultado? N: Cinco séptimo.

VIII

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N contestan mecánicamente sin evidencias su nivel de comprensión. N no razonan, sólo repiten lo que está en el LE.

M tiene un papel protagónico.

N escuchan pasivamente explicación del docente.

M: ¿Cuál es la respuesta? N: 57 l. M: Escríbanlo en sus cuadernos. M: ¿Entendieron? N: Sí. M: Copien todo lo que está en [A1] y [A2]. M: ¿Terminaron? N: Sí. M: Ahora vamos a realizar los ejercicios de 1 . M: Cópienlo en sus cuadernos y calculen. N: Ya terminamos. M: Vayan a resolver en la pizzarra uno por uno. [Se omite lo demás]

M no propicia la construcción de conocimiento, sino el aprendizaje mecánico.

M no selecciona los puntos clave que deben copiar. N pierden mucho tiempo copiando todo en su cuaderno. M se centra sólo en los que van a la pizarra, los demás se distraen.

Nota: (M representa al maestro o la maestra) (N representa a los niños y las niñas)

(b) Con preparación Actividad

Observaciones

M: (Presenta la situación en la pizarra y pide a los niñosy a las niñas que no abran el LE hasta que se les indique). M: Lean en silencio el problema. M: ¿De qué se trata el problema? ¿Qué nos piden en el encontrar? Levante la mano el que quiera opinar. N: La cantidad total de leche que tomó Juan. M: ¡Excelente! Interesante su observación. M: Vamos a ayudar a Juan a encontrar la respuesta. M: Piensen individualmente cuál operación debemos plantear. M: Levante la mano el que tenga alguna idea. N: Como ya aprendimos antes, para resolver este tipo de problema debemos utilizar la suma. M: ¿Qué piensan los demás? N: Sí, estamos de acuerdo hay que sumar. M: Entonces, ¿cómo será el PO?

M siempre hay que tratar de crear un ambiente de confianza en que los niños y las niñas contesten sin temor a equivocarse. Además que aprendan a escuchar y respetar las opiniones de los demás. M estimula a los niños y a las niñas a que piensen y descubran la pregunta principal.

N: 27 + 37 . M: Resuelvan individualmente en sus cuadernos. M: (Recorre el aula y da las orientaciones necesarias a los niños y niñas que lo requieran). N: (Trabajan individualmente) Ya terminé. M: ¡Muy bien! Entonces vamos a presentar sus trabajos.

M da la oportunidad para que piensen en una estrategia de solución.

M garantiza el tiempo suficiente para que todos terminen. M permite que expresen sus ideas libremente y que sean los protagonistas.

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M: (Pide a algunos voluntarios que expliquen cómo lo resolvieron.) N: (A) Yo resolví utilizando gráficas.

2 l 7

Representé que tomó en la mañana con una gráfica y luego 37 l que tomó en la tarde. Como estoy sumando sólo tengo que agrupar. Observé que en 27 hay 2 veces 17 y en 3 hay 3 veces 17 . En total hay 2 + 3 = 5 7 veces 17 que es igual a 57 . M: ¿Qué opinan los demás, es correcto? N: Sí. M: ¡Muy bien! Veamos si alguien hizo de otra forma. N: Yo profe, pero no me dio el mismo resultado. M: De todas formas preséntenos su idea. N: (B) Yo sumé directamente los numeradores y los de5 nominadores. 27 + 37 = 27 ++ 37 = 14 . M: ¿Qué opinan los demás, es correcto? N: Este resultado es diferente, está equivocado. No debe sumar los denominadores. M: ¿Cuál debe ser el procedimiento para sumar las fracciones con igual denominador? N: Debemos sumar los numeradores y escribir el mismo denominador. M: ¡Excelente! Felicidades, han hecho un magnífico trabajo. M: Ahora abran su LE en la página 57 para que confirmemos lo que hemos hecho. M: Lean la parte de [A1] y [A2] y copien lo que está en el recuadro donde aparece el librito. N: Ya terminé. M: Ahora copien y resuelvan los ejercicios de 1 . [Se omite lo demás]

N se expresan con confianza porque saben que sus ideas serán respetadas y si comete algún error no será objeto de burlas.

M permite que ellos mismos descubran y corrijan sus errores.

N llegan por sí mismos a una conclusión con lo que se logra un aprendizaje significativo.

M pide que copien sólo lo necesario evitando que se cansen en tareas inútiles.

Ejemplos de una clase de fijación

Unidad 10: Números decimales Lección 2: Sumemos y restemos otros números decimales

Actividad M: Hoy vamos a seguir con la adición de los decimales. Primero vean la parte B de la página 90 del LE. (Escribe en la pizarra: )

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2da clase

Observaciones

Se borra este último cero, porque no es necesario. Vamos a resolver de la misma forma los ejercicios del número 1 .

(Escribe en la pizarra: 1 (1) ) En seguida asigna a un niño para que lo resuelva en la pizarra. N: (Escribe: )

M da la indicación sin pedir las ideas de los niños y las niñas.

N no da suficiente tiempo para trabajar individualmente. N se dirige a un sólo niño.

M: Está bien.

(Escribe en la pizarra: (2) a un niño.) N: (Escribe: )

M: No es correcto. (Lo borra y escribe:

y en seguida asigna

M tiene un papel protagónico.

N no corrige el error delante de todos, y borra el error.

)

Esta es la respuesta correcta. Seguidamente…[Se ha omitido lo demás]

(d) Con preparación Actividad

Observaciones

M: ¿Qué hemos visto la vez pasada? N: La adición de los números decimales. M: ¿Cuál es el punto importante? N: Colocar los números de modo que los puntos decimales estén en la misma columna y se suma desde la derecha. M: Sólo copien el siguiente cálculo en el cuaderno, todavía no lo resuelvan. (Dice «4.26 + 1.34».) (Recorre el aula y asigna a algunos niños para que lo escriban en la pizarra, uno lo ha puesto bien y los otros mal.) [Ejemplos de las respuestas]

(1)

(2)

Repaso. Aunque la Guía no dice nada, se da el repaso según la necesidad.

M trata de presentar las equivocaciones de los niños y las niñas.

(3) 4.26 + 1.34

M: ¿Cuáles son correctos? y ¿por qué? N: (1) es correcto. (2) carece del punto decimal. (3) no está en la forma vertical.

M corrija los errores pidiendo las opinones de los niños y las niñas.

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

M: Ahora van a trabajar en la forma del (1). (Recorre el aula y detecta varias formas de contestar incluyendo con errores. Asignar a algunos niños para que escriban en la pizarra sus respuestas, tantas como las variedades detectadas.) [Ejemplos de las respuestas]

(a)

(b)

(c)

M: ¿Qué piensan acerca de la forma (a)? N: Se olvidó de llevar a las décimas. M: Para no olvidarse, ¿qué hay que hacer? N: Poner el 1 que se llevó en las décimas. M: ¿Qué opinan sobre (b)? N: Está olvidado el punto decimal. M: ¿Y de (c)? N: Está correcto. M: Está bien el cálculo. Pero vamos a pensar en la forma de representar el resultado. ¿Está bien la forma «5.60»? N: ¿? M: ¿Hay otra forma para representar este número 5.60? N: ¿? M: Vamos a representar este número 5.60 con las tarjetas numéricas. ¿Dónde tenemos que colocarlas? N: En la tabla de valores. M: ¿Qué casillas se necesitan? N: Las unidades, las décimas y las centésimas. M: (Escribe la tabla de valores en la pizarra y hace que los niños pongan las tarjetas numéricas.)

M: ¿Qué hacemos con las centésimas? N: No se pone nada, porque es cero.

XII

M hace escribir también las equivocaciones.

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

M siempre pide las opiniones de los niños y las niñas.

Si no pueden contestar, se prepara otra pregunta. Si no entienden, se enseña con material semiconcreto.

M: Entonces, ¿se necesita la casilla de las centésimas para representar este número? N: No. M: (Borra la casilla de las centésimas.) ¿Qué número representa éste? N: 5.6 M: 5.60 es igual a 5.6 y no se necesita el último cero. Vamos a borrar los ceros innecesarios. (Corrige (c) como abajo y lo encierra con yeso rojo.)

M: Abran la página 90 del LE. El ejemplo B explica lo que hemos aprendido. Van a resolver los ejercicios del número 4 en el cuaderno. (Recorre el aula y encuentra las respuestas equivocadas. A los que terminan rápido, les indica que pasen a los ejercicios del número 5 . Cuando la mayoría termine con los del 4 , asigna a algunos y los manda a la pizarra. Incluye a las respuestas equivocadas típicas. Al terminar, las revisa delante de todos.) [Ejemplo de las la correción de los errores] (2) M: ¿Qué piensan sobre éste? N: Está equivocada. Se ha olvidado llevar a las unidades. M: Para evitar este tipo de equivocación, ¿cómo hacemos? N: Escribimos arriba el número que llevamos. M: (Corrija como lo siguiente)

Asignar a los que se han equivocado de la forma típica.

Corregir los errores delante de todos y de modo que esté clara la corrección.

[Se ha omitido lo demás]

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

XIII

(Total 133 horas) Unidad (Horas)

NOVIEMBRE

XIV

Expectativas de logro

Contenidos

Pág. de GM (Pág. de LE)

1. Números hasta 1,000,000 (10 horas)

• Identifican los números naturales hasta el millón. • Identifican el sistema de numeración romano.

• • • • • • • •

Concepto de decenas de mil Los números hasta 99,999 Concepto de centenas de mil Los números hasta 1,000,000 Forma desarrollada de los números Recta numérica Comparación de los números Redondeo de los números grandes a las unidades de mil, a las decenas de mil y a las centenas de mil • Los símbolos romanos hasta 20 • Principios de la composición de los números romanos hasta 20 • Construcción de los números romanos hasta 20

2 – 15 (2 – 11)

2. Adición y sustracción (5 horas)

• Suman y restan cantidades donde el total y minuendo sean menores o iguales que 1,000,000. • Resuelven problemas de la vida cotidiana que implican la suma y resta cuyo total y minuendo son menores o iguales que 1,000,000. • Aproximen sumas y restas cuyo total y minuendo son menores o iguales que 1,000,000.

• Suma y resta con números menores o iguales que 1,000,000 • Aproximación de suma y resta con números menores o iguales que 1,000,000

16 – 21 (12 – 15)

3. Líneas perpendiculares y paralelas (4 horas)

• Identifican el concepto de perpendicularidad y paralelismo.

• • • •

22 – 29 (16 – 19)

4. Multiplicación (15 horas)

• Calculan multiplicaciones por una, dos y tres cifras. • Resuelven problemas de la vida real que implican multiplicación de números naturales.

• • • • • • • • • •

Multiplicación por U sin reagrupar Multiplicación por U reagrupando Propiedad asociativa de la multiplicación Multiplicación 10 x U y 100 x U Multiplicación D0 x U y C00 x U Multiplicación DU x DU Multiplicación DU x CDU Forma abreviada de la multiplicación Multiplicación CDU x CDU Forma abreviada de la multiplicación (cuando hay 0 en el segundo factor) • Cambio de orden de los factores • Ejercicios

30 – 45 (20 – 31)

5. División (16 horas)

• Realizan cálculos de divisiones entre una y dos cifras. • Resuelven problemas de la vida real que implican la división de números naturales.

• La forma del cálculo vertical de la división entre U • La forma del cálculo vertical de la división entre D0 (sin residuo) • La forma del cálculo vertical de la división entre D0 (con residuo)

46 – 65 (32 – 47)

OCTUBRE

AGOSTO / SEPTIEMBRE

Mes

Concepto de perpendicularidad Forma de dibujar líneas perpendiculares Concepto de paralelismo Forma de dibujar líneas paralelas

Mes

Unidad (Horas)

Expectativas de logro

Contenidos

Pág. de GM (Pág. de LE)

• La forma del cálculo vertical de la división DU ÷ DU (sin corrección del número para probar) • La manera de corregir el número para probar • La forma del cálculo CDU ÷ DU • La forma de encontrar el número para probar redondeando el divisor a la decena próxima • La forma del cálculo vertical de CDU ÷ DU = DU • La forma del cálculo UM C D U ÷ CDU = CDU • La forma del cálculo UM C D U ÷ DU = DU • La forma abreviada de la división con cero en las posiciones inferiores del dividendo y del divisor • a ÷ b = (axm) ÷ (bxm) = (a ÷ n) ÷ (b ÷ n) • Ejercicios • Clasifican los triángulos por la longitud de sus lados en equiláteros, isósceles y escalenos. • Construyen triángulos equiláteros e isósceles. • Identifican el concepto de perímetro y calculan perímetro de triángulos y cuadriláteros.

• Clasificación de triángulos por la medida de sus ángulos • Características de los ángulos de los triángulos isósceles y equiláteros • Construcción del triángulo equiláteros usando el compás • Construcción del triángulo isósceles usando el compás • Concepto de perimétro • Forma de calcular el perímetro del triángulo y el cuarilátero

66 – 73 (48 – 53)

7. Fracciones (12 horas)

• Construyen fracciones equivalentes a una fracción dada. • Reducen fracciones a su mínima expresión. • Resuelven problemas que implican la adición y sustracción de fracciones que tienen el mismo denominador.

• • • • • •

Fracciones equivalentes Mínima expresión de una fracción Sentido de la adición de fracciones Fracción propia + fracción propia, suma < 1 Fracción propia + fracción propia, suma > 1 Número mixto + número mixto sin reagrupar unidades Número mixto + número mixto reagrupando unidades Sentido de la sustracción con fracciones Fracción propia - fracción propia Número mixto - número mixto, sin reagrupar Número mixto - fracción propia, reagrupando Número mixto - número mixto, reagrupando Ejercicios

74 – 87 (54 – 63)

• Operan con longitudes, usando las unidades oficiales de cm, m y km. • Resuelven situaciones problemáticas del entorno usando las unidades oficiales anteriores.

• Adición y sustracción con valores de longitud (m y cm) • Cálculo vertical con la notación decimal • Adición y sustracción con valores de longitud (km y m) • Unidades oficiales del sistema inglés “la pulgada”, “el pié” y “la yarda”, y sus relaciones • Construcción de la regla de pulgadas y la cinta de una yarda • Midamos con las unidades no oficiales del sistema inglés

88 – 97 (64 – 71)

ENERO

DICIEMBRE

6. Triángulos (6 horas)

8. Longitud (10 horas)

• • • • • • •

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

Unidad

Contenidos

9. Area de rectángulos (10 horas)

• Identifican el concepto de área y superficie. • Construyen las fórmulas para calcular el área del cuadrado y del rectángulo. • Resuelven problemas utilizando los conceptos de área de cuadrado y de rectángulo.

• Concepto de área • Comparación del área: forma directa, indirecta y con unidades arbitrarias • Comparación con una unidad oficial (cm2) • Fórmula del área de rectángulo • Fórmula del área de cuadrado • Área de cuadrados y rectángulos del entorno • Unidad oficial del área (m2) • Equivalencia entre m2 y cm2 • Ejercicios sobre toda la unidad

98 – 111 (72 – 81)

10. Números decimales (12 horas)

• Expresan en forma decimal la parte que no llega a la unidad. (centésima, milésima) • Leen y escriben números decimales hasta la milésima. • Comparan y ordenan números decimales. • Representan situaciones de la vida real usando números decimales. • Operan suma y resta con números decimales.

• Conocer 0.01 m • Conocer 0.001 m • Representación gráfica de los números decimales • Expresión tomando varias cantidades como la unidad • Comparación multiplicación por 10, división entre 10 • Adición hasta las décimas • Adición hasta las décimas (tratamiento de cero) • Sustracción hasta las décimas • Sustracción (donde el minuendo tiene más cifras de decimales) • Redondeo de los números decimales • Ejercicios

112 – 129 (82 – 95)

11. Area de triángulos (6 horas)

• Construyen las fórmulas para calcular el área de triángulos. • Resuelven problemas utilizando área de triángulos.

• Los elementos del triángulo (base y altura) • Forma de encontrar el área de triángulos rectángulos • Forma de encontrar el área de triángulos acutángulos • Fórmula para calcular el área de triángulos • Forma de encontrar el área de triángulos obtusángulos • Ejercicios sobre la unidad

130 – 137 (96 – 101)

12. Gráficas de barras (10 horas)

• Recolectan y clasifican datos estadísticos mediante encuestas sencillas. • Organizan y presentan información estadística en gráficas de barras. • Describen e interpretan información estadística organizada en gráficas de barras. • Leen y elaboran la tabla de dos dimensiones.

• Lectura y utilidad de las gráficas de barras sencillas. • Lectura de las gráficas de barras en las que la cantidad se indica en el eje horizontal. • Lectura de las gráficas de barras con diferentes escalas en el eje de valores. • Forma para elaborar las gráficas de barras. • Elaboración y aplicación de encuestas. • Organización de datos en la tabla. • Elaboración de la gráfica de barras. • Elaboración y lectura de la tabla de dos dimensiones. • Elaboración y lectura de la tabla de dos dimensiones (con los conceptos clasificados en cuatro tipos).

138 – 151 (102 – 111)

MARZO ABRIL

XVI

Pág. de GM

Expectativas de logro

(Horas)

FEBRERO

Mes

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

(Pág. de LE)

Unidad

Expectativas de logro

(Horas)

Pág. de GM

Contenidos

(Pág. de LE)

13. Peso (5 horas)

• Utiliza las unidades oficiales del peso: gramo y kilogramo. • Resuelven problemas que implican peso.

• • • • • • •

Unidad oficial “g”. Forma de leer la graducación de la balanza. Unidad oficial “Kg”. Relación de “1 Kg = 1,000 g”. Estimación de peso. Comparación de peso usando la balanza. Representación de peso en la tabla de unidades (Kg, g). • Conversión de las unidades usando la tabla.

152 – 157 (112 – 115)

14. Círculos y esferas (7 horas)

• Identifican la línea curva diferenciando las abiertas y las cerradas. • Identifican los conceptos de cirncunferencia, circulo y sus elementos (centro, radio y diámetro). • Dibujan círculos utilizando el compás. • Identifican el concepto de esfera y sus elementos (centro, radio y diámetro).

• • • • • •

Línea curva. (abierta y cerrada) Conceptos de circunferencia y círculo Centro y radio de un círculo Construcción de círculos usando el compás Diámetro del círculo y su relación con le radio Creación de diseños usando como base el círculo • Concepto de esfera • Centro, radio y diámetro de una esfera

158 – 167 (116 – 123)

15. Simetría (5 horas)

• Identifican líneas de simetría. • Completan figuras usando línea de simetría.

• Concepto de las figuras simétricas • Término; línea de simetría • Simetría en las figuras geométricas; triángulos, cuadrados, rectángulos y círculos • Características de figuras simétricas • Construcción de figuras simétricas • Ejercicios

168 – 175 (124 – 129)

MAYO

Mes

Distribución de horas en cada bloque Bloque

Unidades

Horas

1. Números y operaciones

1, 2, 4, 5, 7, 10

2. Geometría

3, 6, 14, 15

3. Medidas

8, 9, 11, 13

4. Estadística

10 total

133

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

XVII

Unidad

Números hasta 1,000,000

(10 horas)

Expectativas de logro

• Identifican los números naturales hasta el millón. • Identifican el sistema de numeración romano.

Relación y desarrollo

• Leer, escribir y construir el significado de los números del 1 al 9. • Concepto del cero (0). • Orden de números del cero al 9. • Composición y descomposición de números entre 1 y 9.

• Concepto de «unidad» y «decena». • Composición y descomposición del número 10. • Leer, escribir y construir el significado de los números hasta 19. • Representar números hasta 19 en la recta numérica.

• Números ordinales hasta 10º. • Orden y posición de números. • Concepto de número cardinal y ordinal.

• Leer, escribir y construir el significado de los números hasta 99. • Orden de números hasta 99. • Contar en grupo de 2, 5 y 10.

• Concepto de «centena». • Leer, escribir y construir el significado de los números hasta 999. • Composición y descomposición de números de tres dígitos. • Representar números de tres dígitos en la recta numérica. • Orden de números de tres dígitos. • Comparar números de tres dígitos.

• Números ordinales hasta 20º.

• Concepto de «unidad de mil». • Leer, escribir y construir el significado de los números hasta 9,999. • Composición y descomposición de números de cuatro dígitos. • Representar números de cuatro dígitos en la recta numérica. • Orden de números de cuatro dígitos. • Comparar números de cuatro dígitos.

• Concepto de «decena de mil», «centena de mil». • Leer, escribir y construir el significado de los números hasta 1,000,000. • Composición y descomposición de números hasta 1,000,000. • Representar números hasta 1,000,000 en la recta numérica. • Orden de números hasta 1,000,000. • Comparar números hasta 1,000,000. • Redondeo de números. • Numeración romana.

Plan de estudio

(10 horas)

1. Leamos y escribamos los números hasta 1,000,000 (2 horas)

1/2 2/2

2. Escribamos números en forma desarrollada (2 horas)

1/2~2/2

3. Ubiquemos números en la recta numérica (2 horas)

1/2

4. Redondeemos números (2 horas) 5. Conozcamos los números romanos (2 horas)

2/2 1/2~2/2 1/2~2/2

• Concepto de decenas de mil • Los números hasta 99,999 • Concepto de centenas de mil • Los números hasta 1,000,000 • Forma desarrollada de los números • Recta numérica • Comparación de los números • Redondeo de los números grandes a las unidades de mil, a las decenas de mil y a las centenas de mil • Los símbolos romanos hasta 20 • Principios de la composición de los números romanos hasta 20 • Construcción de los números romanos hasta 20

Puntos de lección • Lección 1: Leamos y escribamos los números hasta 1,000,000

Se introduce una decena de mil como diez grupos de unidades de mil y una centena de mil como diez grupos de decenas de mil, conforme al principio del sistema de numeración decimal. Así como en el caso de la enseñanza de los números hasta 10,000, a los niños y las niñas se les dificulta el aprendizaje con números que tienen 0; por lo tanto, hay que tratarlos con cuidado. En lo que se refiere a la escritura de los números de cuatro o más cifras, en esta GM se utilizará una coma (,) para separar grupos de tres cifras.

• Lección 2: Escribamos números en forma desarrollada

El motivo de expresar un número en forma desarrollada es para aclarar el valor posicional de cada cifra. Se trata la manera de expresar los números tomando 100, 1,000, etc. como unidad; por ejemplo: en 24,000 hay 24,000 de 1, hay 2,400 de 10, hay 240 de 100 y hay 24 de 1,000. El uso de varias unidades facilitará la composición de los números decimales. Por ejemplo: 2.3 es equivalente a 23 décimas o 230 centésimas.

• Lección 3: Ubiquemos números en la recta numérica

La recta numérica es muy útil para saber la relación entre los números. Cuando se tratan los números grandes en la recta numérica, es importante conocer qué cantidad representan las graduaciones.

• Lección 4: Redondeemos números

El redondeo de números es muy importante para brindar informaciones que no necesitan ser exactas. Por ejemplo, cuando nos preguntan por la cantidad de habitantes de República Dominicana decimos que son alrededor de 9,000,000 de habitantes y de Nicaragua que son alrededor de 6,000,000 de habitantes. Aquí usamos el redondeo porque nos facilita la respuesta. De igual manera ocurre con la cantidad de quintales de maíz, de arroz, de café, etc. cuando nos preguntan por la producción de tales granos. Hay que hacer notar a los niños y las niñas la utilidad del redondeo de números grandes, dando ejemplos adecuados.

• Lección 5: Conozcamos los números romanos Básicamente, la numeración romana consiste en el principio de la adición, es decir, se representan los números sumando el valor de cada símbolo. Pero, los romanos desarrollaron su sistema para abreviar la escritura de los sím-

bolos introduciendo otro principio: el de la sustracción. Por consiguiente, en esta unidad primero se trata el principio de la adición y sobre esta base se enseña el principio de la sustracción. Acerca de los principios de la numeración romana, véase Columnas «Principios del sistema de numeración romana».

Principios del sistema de numeración romano Los números romanos hasta 20 se representan combinando los siguientes símbolos: I, V, X, y tienen el valor de 1, 5, 10. Principalmente para escribir los números romanos se utiliza el principio de la adición. Este consiste en escribir un símbolo (por ejemplo: X) y si se quiere aumentar el valor del número se colocan a su derecha símbolos menores o iguales a él, lo que indica que deben sumarse (por ejemplo: XI = X + I = 10 + 1 = 11; X X = X + X = 10 + 10 = 20). Para indicar un valor según el principio de la adición, los símbolos I y X no deben colocarse más de tres veces seguidas (Ejemplo: I I I = I + I + I = 1 + 1 + 1 = 3, no se puede I I I I, es decir, no significa 4). El símbolo V solo puede aparecer una vez. También se utiliza el principio de la sustracción para representar números cercanos al símbolo mayor. Su fundamento consiste en colocar a la izquierda del símbolo mayor un símbolo menor que significa que debe restarse. Así, en el caso del 4 y el 9, el símbolo menor que está colocado a la izquierda del símbolo mayor debe restarse de este, esto es IV = V – I = 5 – 1 = 4 y IX = X – I = 10 – 1 = 9. Para aplicar el principio de la sustracción, el valor del símbolo mayor tiene que ser cinco o diez veces el valor del símbolo menor. En fin, con los tres símbolos explicados anteriormente se pueden representar, solamente los números hasta treinta. Sin embargo, recomendamos enseñar en este momento hasta 20 porque la vida cotidiana de los niños y de las niñas son los más usados. Los números romanos aparecieron hace unos dos mil años y todavía se utilizan para algunas situaciones como son: numerar los capítulos de un libro, los tomos de una enciclopedia, entre otros usos. La numeración romana tiene el inconveniente de no ser adecuada para realizar rápidamente cálculos escritos.

Números romanos del 1 al 20 1

XVI

VII

XII

XVII

III

VIII

XIII

XVIII

XIV

XIX

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

Leamos y escribamos los números hasta 1,000,000

Desarrollo de clases

• Leer y escribir números hasta 99,999.

1. Captar el tema. [A] 2. Concluir que hay 1,000 hojas de papel en cada caja. [A1] Que recuerden que 10 veces 10 es 100 y que 10 veces 100 es 1,000, notando que cada vez que agrupan 10 veces una cantidad, ésta aumenta un cero. 3. Pensar cómo escribir el número que es 10 veces 1,000. [A2] y [A3] * Presentar la situación de la cantidad total de hojas. M: ¿Cómo escribimos el número que es 10 veces 1,000? ¿Cómo se leerá? RP: Agregando a 1,000 un cero más, así: 10,000. * Hacer que concluyan que la cantidad de 10 grupos de 1,000 se llama diez mil y se escribe 10,000 y que conozcan la posición de las decenas de mil en la tabla de valores. 4. Pensar en la manera de representar la cantidad de hojas. [A4] y [A5] Que presenten sus ideas acerca de cómo representar, escribir y leer el número de la cantidad de hojas concluyendo que se escribe 23,254 y se lee “veintitrés mil doscientos cincuenta y cuatro”.

(M y N) tarjetas numéricas (2 de 10,000, 3 de 1,000, 2 de 100, 5 de 10 y 4 de 1)

1. Lea los números siguientes: 235;

3,521;

235 Doscientos treinta y cinco 3,521 Tres mil quinientos veintiuno 1,050 Mil cincuenta

1,050

2. ¿Qué números corresponden a los puntos señalados con las flechas? 0

1,000

2,000

400 3. Complete en el cuaderno la expresión usando uno de los símbolos <, > ó =:

3,000

1,800 2,100 >

5,021

2,987

(1/2) Un paquete contiene cien hojas de papel. Una caja contiene diez paquetes.

¿Cuántas hojas de papel contiene una caja?

Si hay 23 cajas, 2 paquetes y 54 hojas de papel, ¿cuántas hojas hay en total?

1 000

1,000

¿Cómo se escribe el número que es 10 veces 1,000? 10 veces 10 es 100, 10 veces 100 es 1,000. Entonces 10 veces 1,000 es 10,000. Dm Um

La cantidad que es 10 veces 1,000 se escribe 10,000 y se lee diez mil. Se abrevia DM 4

Represente la cantidad de hojas con tarjetas numéricas.

Diez de 1,000 hacen una de 10,000

10,000 10,000

1,000 1,000 1,000

100 100

10 10 10 10 10

1 1 1 1

Anote la cantidad total de hojas. La cantidad total de hojas de papel se escribe “23,254” y se lee “veintitrés mil doscientos cincuenta y cuatro”.

Leamos y escribamos los números hasta 1,000,000 • Leer y escribir números hasta 1,000,000. • Determinar el valor de posición de un dígito.

5. Resolver los ejercicios 1 y 2 . * Tener cuidado con los números que contienen 0. [Hasta aquí 1/2] [Desde aquí 2/2]

1 Escriba la forma en que se leen los números siguientes: (1) 32,514

Treinta y dos mil quinientos catorce

(2) 15,273

Quince mil doscientos setenta y tres

(3) 24,503

Veinticuatro mil quinientos tres

(4) 72,005

Setenta y dos mil cinco

(5) 60,340

Sesenta mil trescientos cuarenta

(6) 10,200

Diez mil doscientos

2 Escriba los siguientes números. (1) Cuarenta y cinco mil doscientos setenta y uno 45,271 (2) Doce mil trescientos cuarenta y cinco 12,345 (3) Treinta y cinco mil veinte (4) Once mil uno 11,001

35,020

(5) Cincuenta mil veinte 50,020 (6) Ochenta mil 80,000

¿Cómo se llama la cantidad que es diez veces diez mil y cómo se escribe? Se llama cien mil y se escribe 100,000. 10 veces 1,000 es 10,000, entonces 10 veces 10,000 es 100,000 que equivale a 100 veces 1,000.

¿Cómo se lee el siguiente número?

234,567 se lee “doscientos treinta y cuatro mil quinientos sesenta y siete”.

(2/2)

1. Pensar en la manera de expresar la cantidad formada por diez grupos de diez mil. [B] M: ¿A cuántos grupos de mil equivalen diez grupos de diez mil? * Si los niños y las niñas no pueden contestar, es conveniente preguntar «¿cuánto es diez grupos de diez?», «¿cuánto es diez grupos de cien?», «¿cuánto es diez grupos de mil?» Que concluyan que 10 veces 10,000 es 100,000 y que se lee “cien mil”. 2. Leer números de seis cifras. [B1] M: ¿Cómo se lee este número (234,567)? Que usen la tabla de valores y concluyan que se lee “doscientos treinta y cuatro mil quinientos sesenta y siete”.

3 Escriba la forma en que se leen los números siguientes: (1) 531,274

Quinientos treinta y un mil doscientos setenta y cuatro

(2) 124,023

Ciento veinticuatro mil veintitrés

(3) 205,301

Doscientos cinco mil trescientos uno

(4) 300,502

Trescientos mil quinientos dos

(5) 400,020

Cuatrocientos mil veinte

(6) 620,003

Seiscientos veinte mil tres

3. Resolver el ejercicio 3 .

Leamos y escribamos los números hasta 1,000,000

4. Resolver el ejercicio 4 . 5. Leer y escribir el número 1,000,000. [C] M: ¿Cómo se lee el número que es 10 veces 100,000? ¿Cómo se escribe? Que razonen de manera análoga a los casos anteriores. Que los niños y las niñas descubran cómo va cambiando el valor de posición según van aumentando las cifras de los números. Tales como: C

Cm Dm Um

CM DM UM Cm Dm Um

[Continuación]

4 Escriba los siguientes números. (1) Doscientos cincuenta y un mil trescientos setenta y cuatro (2) Cuatrocientos veintiún mil quinientos siete (3) Ciento dos mil cincuenta y cuatro (4) Quinientos mil veinte

102,054

500,020

(5) Trescientos un mil cuatro (6) Setecientos mil trescientos

251,374

421,507

301,004 700,300

¿Cómo se llama la cantidad que es diez veces cien mil y cómo se escribe? 10 veces 1,000 es 10,000, 10 veces 10,000 es 100,000, entonces 10 veces 100,000 es 1,000,000 y se lee “un millón”.

Escriba en su cuaderno la forma en que se leen los números siguientes:

(1) 1,372,847 Un millón trescientos setenta y dos mil ochocientos cuarenta y siete (2) 3,407,029 Tres millones cuatrocientos siete mil veintinueve (3) 7,000,509 Siete millones quinientos nueve Escriba los números en su cuaderno.

(1) Un millón novecientos ochenta y dos mil trescientos cuarenta y seis 1,982,346 (2) Un millón cuatrocientos dos mil trescientos ochenta 1,402,380 (3) Dos millones novecientos ochenta mil dos 2,980,002 (4) Ocho millones trescientos veinte 8,000,320

Escribamos números en forma desarrollada • Escribir números en forma desarrollada.

(1/2~2/2) Vamos a escribir los números 52,471 y 350,238 en forma desarrollada. Dm

Por lo tanto. 52,471 = 50,000 + 2,000 + 400 + 70 + 1 De la misma manera 350,238 = 300,000 + 50,000 + 200 + 30 + 8 1 Escriba en forma desarrollada los siguientes números: (1) 13,457 (2) 40,205 (3) 365,428 (4) 500,205 (1) 10,000 + 3,000 + 400 + 50 + 7 (2) 40,000 + 200 + 5 (3) 300,000 + 60,000 + 5,000 + 400 + 20 + 8 (4) 500,000 + 200 + 5 2 Escriba el número formado por: (1) 3Cm, 1Dm, 2Um, 4C, 6D y 5U (1) 312,465 (3) 1Cm y 2D (3) 100,020

(2) (2) (4) (4)

2. Resolver los ejercicios 1 y 2 . * Permitir el uso de la tabla de valores en caso de que los niños y las niñas tengan dificultades.

2Dm, 5C y 4U 20,504 4Cm, 5Um y 3U 405,003

[Hasta aquí 1/2]

En el número 534,218 ¿cuál es el valor de posición de la cifra 3?

[Desde aquí 2/2]

El valor de posición de la cifra 3 es 30,000, porque está en la posición de las decenas de mil. 3 ¿Cuál es el valor de posición de las siguientes cifras en el número 234,075? (1) 2

200,000

(2) 4

4,000

(3) 7

4 Complete la siguiente tabla:

Número 35,274 3,498 464,536 265,283 434,500 163,401 3,284

1. Pensar en la manera de escribir los números 52,471 y 350,238 en forma desarrollada. [A] * Presentar la forma desarrollada de 52,471. M: ¿Cómo creen que se puede escribir 52,471 en forma desarrollada? RP: Podemos ir observando cuánto vale cada cifra del número. Ya sé! Podemos usar la tabla de valores. * Pasar a un niño o a una niña a colocar el número en la tabla de valores y preguntar por el valor de cada cifra.

Descomposición Forma abreviada

Forma desarrollada

Valor de posición del 3

3Dm + 5Um + 2C + 7D + 4U

30,000+5,000+200+70+4

30,000

3Um+4C+9D+8U

3,000+400+90+8

3,000

4Cm+6Dm+4Um+5C+3D+6U

400,000+60,000+4,000+500+30+6

2Cm+6Dm+5Um+2C+8D+3U

200,000+60,000+5,000+200+80+3

4Cm+3Dm+4Um+5C

400,000+30,000+4,000+500

30,000

1Cm+6Dm+3Um+4C+1U

100,000+60,000+3,000+400+1

3,000

3Um+2C+8D+4U

3,000+200+80+4

3,000

3. Confirmar el concepto del valor de posición de las cifras de un número. [B] M: ¿En qué lugar de posición está la cifra 3 en el número 534,218? RP: En la decena de mil. M: ¿Que valor tiene? RP: Vale 30,000. M: A ese valor se le llama valor de posición del 3. ¿Cuál será el valor de posición del 4? RP: 4,000 4. Resolver los ejercicios 3 y 4 . * Explicar que no es necesario escribir cero en forma desarrollada. Ejemplo: 403 = 400 + 3. No se escribe 400 + 0 + 3

Ubiquemos números en la recta numérica

1. Ubicar el número que corresponde a un punto en la recta numérica. [A] Que primero encuentren el número que corresponde a cada marca (1,000 en el caso de A).

• Ubicar números en la recta numérica.

(M) recta numérica (Véase notas)

A Dm

(1/2) ¿Qué número corresponde al punto señalado con la flecha? 0

10,000

20,000

30,000

40,000

26,000

2. Resolver los ejercicios 1 y 2 . * El valor de la escala de cada recta:

(1) 100 (2) 10,000 (3) 1,000 (4) 10 (5) 100 (1) 1,000 (2) 10,000 (3) 1,000 (4) 10 (5) 100

En esta recta numérica cada espacio pequeño equivale a 1,000. La flecha indica el punto 26,000. De dos números, es mayor, el que está a la derecha en la recta numérica.

1 Escriba los números que corresponden a las letras:

(1)

1,000 a 400

(3)

b 900

c 1,500

d 1,800

30,000 l 34,000 299,000 s 298,900

m 41,000 300,000

t 299,200

u 299,900

100,000 f 40,000

d 2,200

40,000

k 29,000

(5)

(2)

2,000

(4)

g 90,000

49,900

n 49,890

200,000

h i j 150,000 180,000 220,000 50,000

o 49,940

50,100

p q 49,990 50,020

r 50,120

301,000 v 300,400

x 301,200

300,900

2 Indicar los números que corresponden a las letras marcadas con flechas: (1) 3,000 (2) 120,000 11,000 16,000 40,000 190,000 0 3,000 11,000 16,000

10,000 a ba c

(3) 58,000

72,000 60,000

58,000 64,000 72,000

g h i

0 40,000 120,000 190,000

100,000 d ed f

64,000

(4) 23,110

23,020

70,000

22,900

(5) 420,300 419,900 419,000

20,000

22,940 23,000 23,110

j k l

23,000 j

200,000 f

22,940 23,100 l

418,800 420,000 n

421,000 o

418,800 419,900 420,300

m n o

Es recomendable preparar en una tira de cartulina una recta numérica sin números para utilizarla en diferentes situaciones (se pega la lámina en la pizarra y se escriben los números y las flechas en la pizarra en vez de en la lámina).

Ubiquemos números en la recta numérica

Lección 3: (2/2)

Objetivo: • Comparar números usando los símbolos >, <, =. Materiales: (M) recta numérica

(2/2)

Compare los dos números y escriba uno de los signos <, > ó =. (1) 132,416

78,965

(3) 472,105

459,876

(2) 398,719

536,247

Comparación de dos números naturales: Primero comparar la cantidad de cifras. El que tenga más cifras es el mayor. Si los dos tienen la misma cantidad de cifras, comparar la primera cifra de la izquierda de cada número. El que tenga la cifra mayor es el mayor. Si las primeras cifras son iguales, comparar la segunda cifra de cada uno. El que tenga la mayor cifra es el mayor. Si las primeras dos cifras de ambos números son iguales, comparar la tercera cifra y así sucesivamente con el mismo procedimiento. Si al final todas las cifras son iguales, los dos números son iguales.

3 Compare los dos números y escriba uno de los signos <, > ó =: (1)

(2) 100,000

93,245

298,769

(4)

74,294

76,001

453,679

(6) 100,253

100,249

198,237

9,999

73,245

(3) 462,916

(5) 459,021 (7) 198,237

Recuerda ir comparando las cifras de izquierda a derecha.

, ,

1. Comparar números. [B] * Hacer que los niños y las niñas ubiquen los números en la recta numérica de la pizarra y que observen la relación de la posición (¿cuál queda más a la derecha?). * Modelo de cada ejercicio: (1) Los dos números tienen diferente cantidad de cifras. (2) Ambos números tienen la misma cantidad de cifras y las primeras de la izquierda son diferentes. (3) Tienen la misma cantidad de cifras, las primeras son iguales y las segundas son diferentes. * Se puede explicar la relación de mayor, menor e igual con la recta numérica (Véase Notas). * Este tema se puede reforzar desarrollando un juego en el que los niños y las niñas usan tarjetas de 0 a 9, que vayan sacando al azar y colocando en una tabla de valores en el lugar que crean conveniente para formar el número mayor. El que gane formando el número mayor debe explicar por qué es el mayor aplicando los criterios de comparación de 2. Resolver el ejercicio 3 .

siete

Una manera de entender la relación de mayor que, menor que, igual a, de los números, es recordar la estructura de la numeración decimal y la otra es ubicarlos en la recta numérica. Note que esta ubicación aproximada es de mucha ayuda. 80,000

78,965

100,000

130,000

132,416

0 100,000

400,000

398,719

536,244

450,000

459,878

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

500,000

472,105

1. Recordar cómo aproximar a las unidades de mil. M: ¿Cuál es el número que tiene la forma 000 y que queda más cerca del 3,470? Que se den cuenta que si la segunda cifra de la izquierda es menor que 5, se redondea cambiando todas las cifras a cero, salvo la primera; pero si no, aumentando la primera cifra por 1 y cambiando las demás a cero. Que usen la recta numérica para ver la proximidad.

Lección 4: (1/2~2/2)

Objetivo: • Redondear números menores que 1,000,000. Materiales:

Lección 4: Redondeemos números

(1/2~2/2)

En la tabla se muestra la población de provincias de la República Dominicana Población de Provincias de la República Dominicana

2. Captar el tema. [A] 3. Redondear 913,540 a las centenas de mil. [A1] M: ¿Cómo podemos redondear 913,540 a las centenas de mil? * Explicar el término “redondear”. * Confirmar el proceso de redondeo en el LE.

Redondeemos números

Provincias

Población

Santiago

908,250

La Vega

385,101

Puerto Plata

312,706

Mao Valverde

158,293

Distrito Nacional

913,540

Encontramos el número aproximado de la población del Distrito Nacional.

Aproximar un número al número más cercano según una posición indicada es el redondeo.

4. Redondear 385,101 a las unidades de mil. [A2] M: ¿Más o menos cuántas personas hay en La Vega? RP: “Más o menos 300,000 habitantes”. Que se den cuenta, que no es necesario decir el número exacto para dar una idea de población de estas regiones. Continúa en la siguiente página…

Proceso. (1) Determinar la posición a la que se quiere redondear. (2) Observar la cifra que está en la posición inmediatamente a la derecha de la posición de donde queremos redondear el número. (3) Si la cifra en esta posición es menor que 5, convertir todas las cifras de las anteriores en 0. (4) Si la cifra en la posición es mayor o igual a 5, suma 1 a la cifra que se va a redondear. Redondear a la centena el Distrito Nacional 913,540. Observe que el número inmediatamente a la derecha de las centenas de mil es 0 y es menor que 5, entonces, el redondeo será 900,000. 2

Redondeamos la población de La Vega a las centenas de mil.

Redondear a la centena La Vega 385,101. El número inmediatamente a la derecha es 8 y es mayor que 5, entonces, se le suma 1 a la posición indicada y los demás igual a ceros. El redondeo será 400,000.

ocho

Unidad 1 - Números hasta 1,000,000

Redondeemos números [Continuación]

5. Resolver el ejercicio 1 . Que se den cuenta que, es muy útil, redondear números grandes para dar una información aproximada. [Hasta aquí 1/2] [Desde aquí 2/2]

1 Redondee los siguientes números a la posición indicada. (1) 158,293 a las centenas más próximas 158,300

(2) 385,101 a las unidades de mil más próximas

6. Resolver los ejercicios del 2 al 4 .

385,000

(3) 908,250 a las unidades de mil más próximas 908,000 2 Redondee los siguientes números a las centenas más próximas. (1) 35,527

35,500

(3) 782,145 782,100

(2) 4,783

4,800

(4) 6,783

6,800

3 Redondee los siguientes números a las decenas de mil más próximas. (1) 154,319 150,000

(2) 612,387 610,000

(3) 16,307

(4) 8,764

20,000

10,000

4 Redondee los siguientes números a la posición indicada. (1) 968,756 a las decenas de mil más próximas 970,000 (3) 898,539 a las centenas de mil más próximas 900,000 (5) 908,240 a las centenas más próximas 908,200

(2) 999,889 a las centenas de mil más próximas 1,000,000 (4) 913,540 a las decenas de mil más próximas 910,000 (6) 312,706 a las decenas más próximas 312,710

Conozcamos los números romanos

1. Captar el tema. [A] * Preguntar a los niños y las niñas si han visto relojes como los de [A]. M: ¿En qué se diferencian estos relojes? RP: El de Juan tiene números, el de Lucía, letras. 2. Hacer corresponder la numeración romana de un reloj con la numeración arábiga de otro. [A1] M: ¿Qué hora es en el reloj de Juan? ¿Qué hora es en el reloj de Lucía? RP: ¡Ya sé!, Los números se corresponden, por ejemplo XII es 12 y VI es 6. Los relojes marcan la misma hora, porque las agujas están en la misma posición. III es 3 y VII es 7. Así la hora es 3:35. 3. Conocer el principio de la adición de formación de los números romanos. [A2] * Orientar que anoten y lean las reglas de formación del sistema de números romanos.

• Identificar los símbolos y las reglas de formación del sistema de los números romanos hasta XX. (M) dos relojes como los de [A] (Véase Notas)

(1/2~2/2) Leamos la hora en los relojes de Juan y Lucía.

Reloj de Juan 1

¿Cómo podemos leer el reloj de Lucía? ¿Qué hora es en ambos relojes?

Se lee de la misma manera que el de Juan. Los números I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII equivalen a los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 y se llaman números romanos. En ambos relojes son las 3:35. 2

Reconocemos los números romanos.

Los números romanos se escriben con letras mayúsculas que tienen los siguientes valores: I = 1, V = 5, X = 10. Estos números siguen las siguientes reglas: Las letras I, X se pueden repetir dos o tres veces seguidas: II = 2, XX = 20, XXX = 30. Si una letra se pone a la derecha de otra de mayor valor, se suman los valores: XV = 10 + 5 = 15, VII = 5 + 1 + 1 = 7. No se puede repetir más de tres veces las letras colocadas a la derecha.

4. Resolver los ejericios 1 y 2 . 1

Escriba los siguientes números con nuestro sistema de numeración: (1) VI

[Desde aquí 2/2]

(2) XII

(3) XVII 17

(4) XVIII 18

Escriba los siguientes números con números romanos: (1) 8

[Hasta aquí 1/2]

Reloj de Lucía

VIII

(2) 11

(3) 13

XIII

(4) 16

XVI

Si el maestro o la maestra no puede conseguir relojes como los de [A], entonces los puede dibujar.

Conozcamos los números romanos [Continuación]

Ayudamos a Juan a descifrar un número. Juan, leyendo su libro de Sociales, se encontró con la expresión “Siglo XIV”. En nuestro sistema de numeración decimal, ¿qué número es? Las letra I colocada a la izquierda de otra mayor, le resta su valor: IX = 10 - 1 = 9, IV = 5 - 1 = 4. Para esto sólo se puede colocar una vez Para aplicar la resta el valor del símbolo mayor tiene que ser 5 ó 10 veces el valor del símbolo menor. Por ejemplo no se puede representar 5 como VX. Como X = 10, V = 5. Además I está antes de V, así: IV, se resta 5 - 1 = 4 entonces IV = 4 y como IV está después de X, resulta XIV = 10 + 4 = 14. La expresión “Siglo XIV” es la misma que “Siglo 14”.

Escriba su edad, en números romanos. La solución depende de la edad de cada niño y niña

Lucía está leyendo un libro de Historia. Según la lámina, ¿en qué capítulo está? Capítulo 19

XXIV

5. Aplicar el principio de la sustracción de formación de los números romanos. [B] * Presentar a los niños y las niñas la situación de Juan. M: ¿A qué siglo se refiere la expresión “Siglo XIX”? RP: Al siglo 21. Al siglo 19 * Pedir a los niños y las niñas una justificación de su respuesta. Que concluyan que como Como X = 10, V = 5. Además I está antes de V, así: IV, se resta 5 - 1 = 4 entonces IV = 4 y como IV está después de X, resulta XIV = 10 + 4 = 14. 6. Resolver los ejercicios del 3 al 6 . * Pedir que los niños y las niñas justifiquen sus respuestas. En 6 , por ejemplo, se puede señalar el número IX y preguntar por qué está ubicado en el lugar donde es 9.

XXV

En la promoción de octavo grado de Dolores, se leía la expresión “IX PROMOCIÓN”. ¿Cuántas promociones habían pasado antes de la de Dolores? Habían pasado 17 promociones

Cuando es año bisiesto, febrero tiene 29 días. Complete en su cuaderno, los primeros 20 días de febrero usando números romanos:

FEBRERO 1 I 11 XI 21

2 II 12 XII 22

3 4 III IV 13 14 XIII XIV 23 24

5 6 7 8 9 10 V X VI VII VIII IX 15 16 17 18 19 20 XV XVI XVII XVIII XIX XX 25 26 27 28 29

Unidad

Adición y sustracción

(5 horas)

Expectativas de logro • Suman y restan cantidades donde el total y minuendo sean menores o iguales que 1,000,000. • Resuelven problemas de la vida cotidiana que implican la suma y resta cuyo total y minuendo son menores o iguales que 1,000,000. • Aproximen sumas y restas cuyo total y minuendo son menores o iguales que 1,000,000.

Relación y desarrollo

Adición cuyo total sea menor o igual que 9

Adición cuyos sumandos sean menor que 100

Adición con sumandos menores que 1,000

Sustracción cuyo minuendo sea menor o igual que 9 y mayor o igual al sustraendo

Sustracción cuyo minuendo sea menor que 100

Sustracción con minuendos menores que 1,000

• Suma con tres sumandos. • Resta con tres sustraendos. • Suma y resta combinadas.

• Orden de cálculo. • Uso de paréntesis. • Propiedad asociativa de la adición. • Propiedad asociativa de la multiplicación.

Adición cuyo total sea menor que 18

Sustracción cuyo minuendo sea menor o igual que 18 y mayor al sustraendo

Adición y sustracción con números menor o igual que 1,000,000 Aproximación de adición y sustracción

Plan de estudio

(5 horas)

1. Sumemos y restemos (2 horas)

1/2~2/2

• Suma y resta con números menores o iguales que 1,000,000

2. Estimemos sumas y restas (3 horas)

1/3~3/3

• Aproximación de suma y resta con números menores o iguales que 1,000,000

Puntos de lección • Lección 1: Sumemos y restemos

• Lección 2: Estimemos sumas y restas

Hasta 3er grado los niños y las niñas han aprendido todos los tipos de cálculo vertical de la suma y de la resta. Sin embargo, es posible que algunos de ellos y ellas presenten dificultades en los cálculos donde hay que reagrupar (llevar o tomar prestado) varias veces. Un caso muy especial es el de la resta cuando el minuendo tiene varios ceros, por ejemplo: 40,000 - 23,756. Aquí los docentes y las docentes tienen que prestar mucha atención para que puedan entender este proceso. Si es necesario, se puede utilizar las tarjetas numéricas. Además se pretende que los niños y las niñas afiancen sus habilidades para resolver problemas y sepan distinguir cuál operación utilizar al escribir el PO.

En muchos casos cuando hacemos cálculos no nos interesa saber la cantidad con exactitud, sino tener una aproximación o estimado. Por ejemplo, cuando hacemos un presupuesto obtenemos una cantidad aproximada (un más o menos) de lo que vamos a gastar. Las cantidades que se refieren a la población de un país, el presupuesto de ingresos y gastos, etc, son por lo general estimaciones. En esta lección vamos a aproximar sumas y restas aprovechando que los niños y las niñas ya aprendieron a redondear los números a un lugar de posición indicado.

Sumemos y restemos

Desarrollo de clases

• Sumar y restar cantidades menores o iguales que 1,000,000.

1. Comentar la situación del problema. [A] 2. Pensar con cuál operación se puede encontrar el resultado [A1]. M: ¿Cómo será el plantemiento de la operación? Escríbanlo en sus cuadernos. * Pedirles que resuelvan individualmente y luego presenten sus opiniones. Que se den cuenta que aplicando lo que aprendieron en 3er grado pueden resolver el problema aunque los números sean más grandes. Que recuerden que para resolver un problema deben siempre plantear la operación (PO), hacer los cálculos necesarios y escribir la respuesta con la unidad. 3. Pensar con cuál operación se puede encontrar el resultado [A2]. M: ¿Cómo será el planteamiento de la operación? Escríbanlo en sus cuadernos. * Pedirles que resuelvan individualmente y luego presenten sus opiniones. 4. Recordar el principio del cálculo vertical de la suma y la resta. Que recuerden que para el cálculo vertical de la suma y la resta es importante la forma de colocar los números (unidad debajo de unidad, decena debajo de decena, etc.) y que se debe comenzar por las unidades. 3. Resolver el ejercicio 1 . [Hasta aquí 1/2]

1. Calcule las siguientes operaciones. (1) 325 + 248 = 573

(2) 623 + 47 = 670

(3) 76 + 824 = 900

(5) 540 - 319 = 221

(6) 653 - 287 = 366 (7) 306 - 83 = 223

(4) 649 + 793 = 1,442 (8) 732 - 680 = 52

Se omite el proceso del cálculo vertical

(1/2~2/2)

A 1

¿Cuál es la población total de las dos provincias?

PO: 312,706 + 158,298 = 471,004 R: 471,004 habitantes 2

312,706 + 158,298 471,004

¿Cuántos habitantes más tiene la provincia de Puerto Plata que la de Valverde?

PO: 312,706 - 158,298 = 154,408 R: 154,408 habitantes

312,706 - 158,298 154,408

Cálculo vertical de suma y resta con números naturales: - Colocar los números ordenados de modo que las cifras del mismo valor posicional estén en línea vertical, es decir, unidad debajo de unidad, decena debajo de decena, etc. - Sumar o restar empezando por las unidades.

1 Calcule las siguientes operaciones en forma vertical. (1) 32,758 + 59,493 = 92,251

(2) 132,546 + 47,454 = 180,000 (3) 47,058 + 398,967 = 446,025

(4) 53,241 - 18,796 = 34,445

(5) 235,673 - 75,896 = 159,777 (6) 735,000 - 189,265 = 545,735 Se omite el proceso del cálculo vertical

Para afianzar el contenido del problema principal, se pueden realizar otros ejemplos del mismo tipo antes de resolver los ejercicios del LE.

Sumemos y restemos [Desde aquí 2/2] 4. Resolver los ejercicios del 2 al 4 . * Se debe prestar especial atención al caso de la resta donde hay que tomar prestado al cero.

[Continuación]

2 Sume las siguientes operaciones. (1) 345,672 + 86,325 = 432,003

(2) 40,305 + 50,897 = 91,202

(3) 35,247 + 884,694 = 919,941

(4) 472,036 + 7,964 = 480,000

(5) 487,687 + 17,930 = 505,617 (6) 28,607 + 493,895 = 522,502 Se omite el proceso del cálculo vertical

3 Reste las siguientes operaciones. (1) 501,243 - 235,678 = 265,565 (2) 153,482 - 68,986 = 84,496 (3) 63,500 - 21,263 = 42,237 (4) 120,403 - 57,831 = 62,572

(5) 50,000 - 24,217 = 25,783

(6) 42,000 - 32,789 = 9,211

Se omite el proceso del cálculo vertical

4 Resuelva los siguientes problemas. (1) José tenía 135,495 pesos depositados en el banco y luego depositó 32,745 pesos. ¿Cuántos pesos tiene José depositado en total? PO: ________________________________ 135,495 + 32,745 = 168,240

R: ____________________ 168,240 pesos

(2) Andrés quiere comprar una bicicleta que cuesta 3,000 pesos, pero él sólo tiene 1,730 pesos. ¿Cuántos pesos le faltan para poder comprar la bicicleta? 3,400 - 1,730 = 1,270 PO: ________________________________

1,270 pesos R: ____________________

(3) Juan Pablo Duarte nació en el año 1813 y murió en 1876. ¿Cuántos años vivió Duarte? 1,876 - 1,813 = 63 PO: ________________________________

63 años R: ____________________

(4) Luisa fue a la tienda y compró un pantalón por 875 pesos y una blusa por 350 pesos. ¿Cuántos pesos gastó Luisa en total? 875 + 350 = 1,225 PO: ________________________________

1,225 pesos R: ____________________

Si Luisa pagó con un billete de 2,000 pesos, ¿qué cantidad de dinero le tienen que devolver? 2,000 - 1,225 = 775 PO: ________________________________

R: ____________________ 775 pesos

Se omite el proceso del cálculo vertical

Estimemos sumas y restas

1. Comentar la situación del problema. [A] * Orientar para que piensen cómo se puede encontrar el resultado. 2. Obtener la aproximación de la cantidad de estudiantes de cada escuela. [A1] Que se den cuenta que para esto deben aplicar el redondeo que ya han aprendido. 3. Aproximar la cantidad total de estudiantes y la diferencia. [A2] y [A3] * Indicar que planteen cada operación utilizando los números redondeados en [A1]. * Pedirles que resuelvan individualmente y luego presenten sus opiniones. 4. Confirmar los pasos para aproximar la suma y la resta. Que se den cuenta que para aproximar una suma o una resta deben primero redondear los sumandos o el minuendo y sustraendo y luego calcular. * Resolver otros ejemplos para afianzar el conocimiento.

• Aproximar sumas y restas.

(1/3~3/3)

A 1

Vamos a obtener una aproximación o estimado de los estudiantes de cada escuela redondeando cada cantidad a la centena más cercana:

3,217 son aproximadamente 3,200 2,572 son aproximadamente 2,600 2

Estime la cantidad total de estudiantes de las dos escuelas.

PO: 3,200 + 2,600 = 5,800 R: 5,800 estudiantes 3

Estime la diferencia entre la cantidad de estudiantes de las dos escuelas.

PO: 3,200 - 2,600 = 600 R: 600 estudiantes

[Hasta aquí 1/3]

3,200 - 2,600 5,600

- Para estimar una suma redondeamos los sumandos al lugar posicional inidicado y luego calculamos. - Para estimar una resta redondeamos el minuendo y el sustraendo al lugar indicado y luego calculamos.

1 Aproxime las siguientes operaciones redondeando a la centena más cercana. (1) 47,138 + 25,273

5. Resolver el ejercicio 1 .

3,200 + 2,600 5,800

47,100 + 25,300 = 72,400 (4) 38,225 - 19,436 38,200 - 19,400 = 18,800

(2) 13,851 + 4,537 13,900 + 4,500 = 18,400 (5) 87,462 - 9,376 87,500 - 9,400 = 78,100

(3) 5,861 + 72,400 5,900 + 72,400 = 78,300 (6) 41,823 - 26,384 41,800 - 26,400 = 15,400

Estimemos sumas y restas [Desde aquí 2/3] 6. Resolver los ejercicios 2 y 3 .

[Continuación]

[Hasta aquí 2/3] [Desde aquí 3/3] 2 Estime las siguientes sumas redondeando los sumandos a la unidad de mil más cercana. (1) 63,172 + 17,815 63,000 + 18,000 = 81,000

(2) 147,610 + 23,354 (3) 51,987 + 4,875 148,000 + 23,000 = 171,000 52,000 + 5,000 = 57,000

(4) 166,021 + 83,124 (5) 986 + 53,231 166,000 + 83,000 = 249,000 1,000 + 53,000 = 54,000

7. Resolver los ejercicios del 4 al 6 .

(6) 24,143 + 9,892 24,000 + 10,000 = 34,000

Se omite el proceso del cálculo vertical

3 Estime las siguientes sumas redondeando los sumandos a la decena de mil más cercana. (1) 32,452 + 17,634 30,000 + 20,000 = 50,000

(2) 719,025 + 252,162 (3) 850,114 + 88,150 720,000 + 250,000 = 970,000 850,000 + 90,000 = 940,000

(4) 8,789 + 61,472 10,000 + 60,000 = 70,000

(5) 209,147 + 381,125 (6) 32,143 + 27,504 210,000 + 380,000 = 590,000 30,000 + 30,000 = 60,000

Se omite el proceso del cálculo vertical

4 Estime las siguientes restas redondeando a la centena más cercana. (1) 5,678 - 2,173 5,700 - 2,200 = 3,500

(2) 74,413 - 36,109 74,400 - 36,100 = 38,300

(3) 6,598 - 2,816 6,600 - 2,800 = 3,800

(4) 12,307 - 7,381 12,300 - 7,400 = 4,900

(5) 53,416 - 14,231 53,400 - 14,200 = 39,200

(6) 127,382 - 93,679 127,400 - 93,700 = 33,700

Se omite el proceso del cálculo vertical

5 Estime las siguientes restas redondeando a la unidad de mil más cercana. (1) 46,821 - 27,123 47,000 - 27,000 = 20,000

(2) 146,342 - 65,460 146,000 - 65,000 = 81,000

(3) 26,908 - 21,763 27,000 - 22,000 = 5,000

(4) 54,871 - 7,972 (5) 3,016 - 876 (6) 78,319 - 43,168 55,000 - 8,000 = 47,000 3,000 - 1,000 = 2,000 78,000 - 43,000 = 35,000 Se omite el proceso del cálculo vertical

6 Estime las siguientes operaciones redondeando a la unidad de mil más cercana y luego halle el valor exacto. Valor estimado

Valor exacto

37,246 + 52,821

Operación

90,000

90,067

349,103 + 91,654

441,000

440,757

86,301 - 35,146

51,000

51,155

67,934 - 23,148

45,000

44,786

Unidad

Líneas perpendiculares y paralelas

(4 horas)

Expectativas de logro • Identifican el concepto de perpendicularidad y paralelismo.

Relación y desarrollo

Formas de objetos • Clasificación de objetos por su forma. • Superficies planas y curvas. • Identificación de figuras planas. • Fundamentos de composición y descomposición de figuras planas.

Figuras geométricas • Línea recta. • Concepto de triángulo y cuadrilátero. • Construcción de triángulos y cuadriláteros.

Figuras geométricas • Elementos de triángulo y cuadrilátero: vértice y lado. • Ángulo recto. • Concepto de rectángulo y cuadrado. • Concepto de triángulo rectángulo. • Construcción de rectángulos, cuadrados y triángulos rectángulos. Simetría • Concepto de figuras simétricas. • Eje de simetría. • Características de figu ras simétricas. • Construcción de figuras simétricas.

Ángulos

Líneas perpendiculares y paralelas • Intersección de líneas. • Fundamento sobre el ángulo recto. • Líneas paralelas y perpendiculares. • Uso de regla, escuadra y transportador para dibujar líneas paralelas y perpendiculares. Triángulos

Círculos y esferas

Plan de estudio

1. Líneas perpendiculares y paralelas (4 horas)

(4 horas)

1/4 2/4

• Concepto de perpendicularidad • Forma de dibujar líneas perpendiculares

3/4 4/4

• Concepto de paralelismo • Forma de dibujar líneas paralelas

Unidad 3 - Líneas perpendiculares y paralelas

Puntos de lección • Lección 1: Líneas perpendiculares y paralelas El aprendizaje de las líneas paralelas y perpendiculares es muy importante ya que estos conocimientos serán un punto de vista indispensable para la definición y la investigación de las características de las figuras planas,

por lo tanto, es recomendable realizar las actividades de dibujar estas líneas o encontrarlas en el entorno para que los niños y las niñas puedan identificarlas intuitivamente. Se enseña como se usa la regla y la escuadra para que los niños y las niñas puedan dibujar las líneas paralelas y líneas perpendiculares.

Columnas 1

Formas de dibujar líneas paralelas A. Con una regla y una escuadra o cartabón [Instrucciones de cómo dibujar] 1. Agarrar bien la regla con la mano. 2. Colocar la escuadra y sujetarla fijamente con la mano. 3. Trazar la línea con el lápiz como el dibujo (1). 4. Mover la escuadra hacia abajo apoyando fijamente la regla con la mano. 5. Trazar la línea con el lápiz como el dibujo (2).

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

B. Con dos escuadras o cartabones [Instrucciones de cómo dibujar] 1. Agarrar bien la escuadra con la mano. 2. Colocar la otra escuadra y sujetarla fijamente con la mano. 3. Trazar línea con el lápiz como el dibujo (1). 4. Mover la escuadra hacia abajo apoyando fijamente la otra escuadra con la mano. 5. Trazar la línea con el lápiz como el dibujo (2).

La forma de dibujar las líneas paralelas en A y B es muy común y viene de la definición de que dos lí neas que son perpendiculares a otra línea son paralelas, por eso en esta guía se usa esta manera para introducir la forma de dibujar líneas paralelas. C. Otra manera de dibujar líneas paralelas con las escuadras o cartabones

Esta manera se presenta sólo para los maestros y las maestras como un conocimiento suplementario y no es necesario enseñárselos a los niños y a las niñas, pero si surge esta idea de parte de ellos y ellas se puede aceptar felicitándoles.

Forma de medir el ancho entre las líneas paralelas Para medir el ancho entre el par de líneas paralelas, se necesita dibujar una línea que esté perpendicular a ellas. Es recomendable que primero utilicen la escuadra para dibujar las líneas y que después las midan con la regla (o escuadra).

Desarrollo de clases

1. Captar el tema. [A] 2. Pensar en la mejor forma de escribir el signo “+”. [A1] M: ¿Quién lo escribió mejor? ¿Cómo se deben cortar las líneas para escribirlo mejor? Que se den cuenta que se ve mejor cuando las dos líneas se cortan formando los ángulos rectos. 3. Confirmar con la escuadra (transportador) el ángulo recto. [A2] M: ¿Cuál es la diferencia? RP: El dibujo de Diego todas las esquinas que se forman coinciden con el ángulo recto de la escuadra o con el transportador y el dibujo que hizo Ángela ninguna esquina que se forma coincide con el ángulo recto de la escuadra o con el transportador. M: ¿Cómo se llaman las líneas rectas que cuando se cruzan, las esquinas que forman coinciden con el ángulo recto? * Concluir que las líneas que se cruzan formando una esquina que coincide con el ángulo recto se llaman “líneas perpendiculares”. * Indicar que copien el concepto en su cuaderno. 4. Resolver los ejercicios 1 y 2 .

Líneas perpendiculares y paralelas

Lección 1: (1/4)

Objetivo: • Reconocer el concepto de perpendicularidad. Materiales:

(M) escuadra (N) escuadra

Unidad

3 Líneas perpendiculares

y paralelas

Lección 1: Líneas perpendiculares y paralelas

Diego Observe y conteste. (1) ¿Quién lo escribió mejor?

Ángela (2) ¿Cómo se deben cortar las líneas para escribirlo mejor?

Diego

(1/4)

Diego y Ángela escribieron el signo "+" en la pizarra en grande.

Formando ángulos rectos.

Confirme en los dibujos de Diego y Ángela los ángulos rectos con la escuadra o con el transportador. En el dibujo de Diego todas las esquinas forman un ángulo recto. En el dibujo de Ángela ninguna esquina forma el ángulo recto. Las líneas rectas que se cruzan o se unen, y forman una esquina que coincide con el ángulo recto, se llaman líneas perpendiculares.

Encuentre las líneas perpendiculares y escriba el número que corresponda en el paréntesis. (1)

(2)

(3)

Son líneas perpendiculares (

(4)

(5)

1, 3 y 5

Encuentre los pares de líneas perpendiculares usando la escuadra o el transportador y escriba en el paréntesis los números que corresponden. 3

( 1 ) y ( 3 ) son líneas perpendiculares. ( 1 ) y ( 5 ) son líneas perpendiculares.

16 deiciséis

ambas son líneas perpendiculares.

Este caso también se puede decir que son líneas perpendiculares. (Hay que pensar extendiendo las líneas).

Unidad 3 - Líneas perpendiculares y paralelas

Líneas perpendiculares y paralelas

Lección 1: (2/4)

Objetivo: • Dibujar líneas perpendiculares usando escuadras. Materiales: (M) escuadra (N) escuadra

2 8

Trazar una línea horizontal.

2 Con el ángulo recto de la escuadra trazar la línea perpendicular.

(2/4)

Vamos a hacer las líneas perpendiculares usando las escuadras.

Forme líneas perpendiculares en una hoja de papel. 1

1 Doblar por la mitad el papel. 2 Seguir doblando por la mitad. 3 Extender la hoja y observar los pliegues.

3 Dibuje una línea perpendicular a cada línea dada. (1)

(2)

(3)

1. Dibujar líneas perpendiculares. [B1] M: (Dibujando una línea en la pizarra en cualquier posición) Vamos a trazar una línea que sea perpendicular a ésta. ¿Cómo se puede hacer? RP: Usando las escuadras. Usando una regla y una escuadra, etc. * Explicar la manera correcta de dibujar las líneas perpendiculares. 2. Formar líneas perpendiculares en papel. [B2] * Indicar a los niños y a las niñas que saquen una hoja de papel y pedirles que la doblen una vez, luego que hagan otro doblez en sentido contrario, luego que la extiendan y que observen las líneas que se forman y que después confirmen con la escuadra o el transportador si lo que se formó son líneas perpendiculares. 3. Resolver el ejercicio 3 . (Véase Notas)

(4)

Tienes que ajustar bien las escuadras a la línea dada de modo que se forme la línea perpendicular.

(5)

0 1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15 16

diecisiete 17

Este ejercicio presenta un grado de dificultad para los niños y niñas, porque ya está trazada una línea en diferente posición a la cuál se le debe dibujar una línea perpendicular, por lo que es necesario ajustar muy bien la escuadra o la regla para trazarla, por eso se recomienda que el maestro o la maestra haga una demostración explicando como se debe resolver.

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

1. Captar el tema del dibujo. [C] * Indicar a los niños y niñas que clasifiquen los pares de líneas en los que se cruzan y los que no se cruzan. 2. Conocer el término de líneas paralelas. [C1] M: ¿Cuál es la diferencia entre este par de líneas? RP: Parece que el (A) tiene el mismo ancho y el (B) no. Parece que no se juntan. Yo las prolongué y el (A) no se juntan y el (B) si. M: Vamos a medir el ancho de cada extremo de A y B. ¿Cuál es el resultado? RP: El (A) tiene la misma medida en cada extremo, pero (B) tiene diferente medida. * Explicar la manera de medir la longitud de las líneas paralelas. (Véase Columnas) Que capten que para comprobar si las líneas se cruzan se deben extender o prolongar. * Concluir que cuando las líneas no se cruzan y guardan la misma distancia, aunque se prolonguen, se llaman líneas paralelas.

Líneas perpendiculares y paralelas

Lección 1: (3/4)

Objetivo: • Conocer el concepto de paralelismo. Materiales: (M) regla (N) regla

(1)

(2)

1 ¿Cuáles pares de líneas se cruzan?

(3)

2 ¿Cuáles pares de líneas no se cruzan? (4)

(5)

(6) 1, 3 y 5 se cruzan. 2, 4 y 6 no se cruzan.

Observe los siguientes pares de líneas. A

¿Qué sucede si prolongo las líneas A y B?...

2 cm

1 ¿Cuál es la diferencia? 2 ¿Cuánto mide de ancho de A y B en cada extremo?

3 ¿Cómo se llaman las líneas que no se cruzan y tienen el mismo ancho?

2 cm

Las líneas rectas que no se cruzan y siempre guardan la misma distancia se llaman líneas paralelas.

4 Encuentre las líneas paralelas y escriba el número que corresponda en el paréntesis. (1)

(2)

Son líneas paralelas (

3. Resolver los ejercicios del 4 al 6 . * Para los ejercicios 4 y 6 se recomienda que el maestro o la maestra presenten los ejercicios en la pizarra o en cartulina, ya que los niños y las niñas no tienen la práctica en la construcción de líneas paralelas. Luego de resuelto el ejercicio que intenten pasarlo a su cuaderno de tarea.

(3/4)

Clasifique los siguientes pares de líneas.

(3)

1, 4 y 5

(4)

(5)

5 Encuentre las líneas paralelas en el aula. Se omite la solución 6 Escriba el número que corresponde en cada cuadro para cada par de líneas paralelas. (1)

(2) 5 cm

5 cm

1 cm 1 cm

18 dieciocho

Para medir la distancia de las líneas paralelas, es recomendable que los niños y las niñas primero utilicen la escuadra para dibujar las líneas, luego que tracen una línea perpendicular entre ellas y que después midan con la regla. (Véase Columnas)

Unidad 3 - Líneas perpendiculares y paralelas

Líneas perpendiculares y paralelas

Lección 1: (4/4)

Objetivo: • Dibujar líneas paralelas usando regla y escuadra. Materiales: (M) regla, escuadra (N) regla, escuadra

(4/4)

Vamos a dibujar líneas paralelas usando las escuadras. 3

9 8 6

7 6 5 4 3

2 1 0

Correr hacia abajo la escuadra y trazar otra línea.

8 7 6 5 4 3 2 1 0

Trazar una línea horizontal.

14 12 11

14 13 12 11

Colocar las escuadras como en el dibujo 1.

16 15 14 13 12 11 10

1 16

2 16

1. Dibujar líneas paralelas usando regla y escuadra. [D] * Informar sobre el dibujo de las líneas paralelas usando una regla y una escuadra. (Véase Columnas). * Pedir a los niños y niñas que dibujen un segmento (línea) y luego que hagan otro segmento (línea) paralelo para confirmar el uso de la escuadra. Que los niños y niñas dibujen líneas paralelas en varias posiciones.

7 Dibuje líneas paralelas a cada una de ellas usando la escuadra (regla). (2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(1)

2. Resolver el ejercicio 7 . * En este ejercicio ya existen las líneas dadas. Es recomendable explicar la ubicación de las escuadras en ésta situación o que los niños y las niñas piensen cómo se deben colocar.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16

Tienes que colocar y sujetar bien la escuadra... 8

diecinueve 19

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

Unidad

Multiplicación

(15 horas)

Expectativas de logro • Calculan multiplicaciones por una, dos y tres cifras. • Resuelven problemas de la vida real que implican multiplicación de números naturales.

Relación y desarrollo

Multiplicación cuyos factores sean menores que 10 • Sentido de la multiplicación. • Tabla de multiplicación de 2 y 5. • Tabla de multiplicación de 3, 4, 6, 7, 8, 9. • Tabla de multiplicación de 1. • Propiedad conmutativa de la multiplicación.

Multiplicación cuyo producto sea menor que 10,000 • Tabla de multiplicación de 0. • U x D0, C00, sin reagrupar. • U x DU, sin reagrupar • U x DU, reagrupando una y dos veces, a la centena, a la decena y a ambas. • U x CDU, reagrupando una, dos y tres veces.

Multiplicación cuyo producto sea menor que 1,000,000 • U x UmCDU, sin reagrupar. • U x DmUmCDU, sin reagrupar y reagrupando (todos los casos). • DU x DU, sin reagrupar y reagrupando (todos los casos). • DU x CDU, UmCDU, sin reagrupar y reagrupando (todos los casos).

División cuyo dividendo sea menor que 10,000 y cuyo divisor sea de un dígito • Sentidos de la división “equivalente” e “incluida”. • DU ÷ U = U, sin y con residuo. • DU ÷ U = DU, sin y con residuo. • CDU ÷ U = CDU, DU, sin y con residuo. • UmCDU ÷ U = UmCDU, CDU, DU, sin y con residuo.

División cuyo dividendo sea menor que 10,000 • UmCDU ÷ U. • DmUmCDU ÷ U. • Formas de encontrar el número para probar. • DU ÷ DU, sin y con residuo. • UmCDU, CDU ÷ DU, sin y con residuo.

• Orden de cálculo. • Uso de paréntesis. • Propiedad asociativa de la adición. • Propiedad asociativa de la multiplicación.

Plan de estudio

(15 horas)

1. Multipliquemos por U (3 horas)

1/3

• Multiplicación por U sin reagrupar

2/3

• Multiplicación por U reagrupando

3/3

• Propiedad asociativa de la multiplicación

2. Multipliquemos por D0 y C00 (3 horas)

1/3~2/3

• Multiplicación 10 x U y 100 x U

3/3

• Multiplicación D0 x U y C00 x U

3. Multipliquemos por DU (5 horas)

1/5~2/5

• Multiplicación DU x DU

3/5~4/5

• Multiplicación DU x CDU

4. Multipliquemos por CDU (2 horas)

Ejercicios

5/5

• Forma abreviada de la multiplicación

1/2

• Multiplicación CDU x CDU

2/2

• Forma abreviada de la multiplicación (cuando hay 0 en el segundo factor) • Cambio de orden de los factores

1/2~2/2

• Ejercicios

Puntos de lección • Lección 1: Multipliquemos por U La ventaja del cálculo vertical es reducir los cálculos a los del tipo U x U; es decir, las tablas de multiplicación. En 3er grado, los niños y las niñas aprendieron los cálculos hasta U x CDU, y en esta lección, a medida que aumenta el conocimiento de los números, se tratan los cálculos con su segundo factor (multiplicando) mayor, pero siempre con el primer factor (multiplicador) menor que 10. Clasificación de los ejercicios: véase las columnas.

• Lección 2: Multipliquemos por D0 y C00 *Necesidad de tratar primero la multiplicación por D0. El principio del cálculo vertical de DU x DU es su descomposición en dos partes; es decir, D0 x DU y U x DU y luego se suman los dos productos (por ejemplo 21 x 13 = 20 x 13 + 1 x 13 = 263 + 13 = 276). Por lo tanto, antes de tratar el tipo general del cálculo vertical de la multiplicación por DU y CDU, hay que enseñar los casos con D0 y C00.

*Manera de explicar por qué termina en 0 si se multiplica por 10, 100, 1,000,... Si se multiplica por 10, se agrega 0 (ejemplo: 10 x 3 = 30). No hay que enseñarlo de tal modo que los niños y las niñas lo apliquen mecánicamente. Es necesario dar una explicación que aclare el mecanismo. Aquí utilizamos el siguiente: si hay 10 objetos en un grupo, podemos afirmar por la definición de las decenas, que hay una decena. Como hay 3 decenas son 30. En el caso de 100 x 3 podemos expresar 100 como 10 x 10 y luego utilizar la propiedad asociativa, por ejemplo: 100 x 3 = 10 x 10 x 3 = 10 x (10 x 3) = 10 x 30 = 300 De igual modo en el ejemplo 20 x 3 podemos decir: 20 x 3 = 10 x 2 x 3 = 10 x (2 x 3) = 10 x 6 = 60

• Lección 3: Multipliquemos por DU

DU. Hay más casos cuando se pueden omitir los ceros: multiplicación por C0U, CD0 y C00. 213 213 Ejemplo: x 302 x 300 426 6 3 ,9 0 0 63 9 6 4 ,3 2 6

Como está explicado arriba, calculamos DU x DU en la forma vertical descomponiéndolo en D0 x DU y U x DU. *Abreviación de los ceros Cuando las unidades del primer factor es cero, se pueden omitir los ceros. Ejemplo: 34 34 x 20 x 20 00 680 68 680

Además en esta lección se trata el cambio del orden de los factores. 4 (b) 78 Ejemplo: (a) x 78 x 4 32 312 28 312

Importante: No hay que exigir a los niños y las niñas omitir los ceros, sobre todo a los que están en proceso del dominio del procedimiento.

La ventaja de la manera (b) es que es breve y que sólo se utiliza la tabla del 4. La ventaja de la manera (a) es que no hay que hacer la adición 3 + 28 mentalmente. En esta parte no hay que exigir a los niños y a las niñas la manera (b) hasta que dominen bien el cálculo vertical.

• Lección 4: Multipliquemos por CDU A la multiplicación del tipo por CDU se aplica casi lo mismo que lo de la multiplicación por

Números auxiliares del cálculo vertical Cuando hacemos cálculos de multiplicación por 2 ó más cifras tenemos el inconveniente de dónde escribir el número que se lleva para que no se olvide. Existen varias opciones: A

Colocar arriba 1 2 3

2 4 6

1 3 4

2475 x 368 1 1 4 7 4 9 1

9 8 2 0,

800 50 5 800

Colocar en cada subproducto

Colocar en otro lugar e ir tachando

2475 x 368

19 800 2 4 3 148 50 1 2 1 742 5 9 1 0, 8 0 0

19 800 148 50 742 5 9 1 0, 8 0 0

4 6 3 3 4 2 1 2 1

En esta G.M. hemos adoptado la opción B por considerar que es la que se presta a menos confusiones para los niños y las niñas.

Clasificación de los ejercicios (a) Silueta En caso de DU x DU

etc. (b) Si, en el proceso de la aplicación de la tabla, el producto es de dos cifras, o no; ejemplo: 2 x 6 = 12 de dos cifras, 2 x 3 = 6 de una cifra. (c) Si se reagrupa al sumar un producto con el número que se reagrupó del producto anterior, o no; Ejemplo: 69 x 6 6 x 6 = 36 y con 5 que se reagrupó de 6 x 9 son 41 reagrupando al sumar. 23 x 6 6 x 2 = 12 y con 1 que se reagrupó de 6 x 3 son 13 sin reagrupar al sumar. (d) Si se reagrupa cuando se suman los producto parcial, o no; ejemplo: 13 x 32. Sumando los productos parciales 3 x 32 = 96 y 10 x 32 = 320 se reagrupa 31 x 32. Sumando los productos parciales 1 x 32 = 32 y 30 x 32 = 960 no se reagrupa. Al combinarlos obtenemos muchas clases más; aunque no es necesario enseñarlos todos, siempre hay que tocar los distintos tipos. Los tipos de ejercicios: En cuanto a los signos (a) a (d), véase la parte de Lec. 3 arriba. En los siguientes cuadros la primera fila representa la numeración de los ejercicios, la segunda en adelante representan el número de veces del proceso de reagrupar. Lec. 1 2

Lec. 1 3

Lec. 3 1 Sin reagrupar

Lec. 3 3 (a) todos

Lec. 3 2 (a) todos

(a) x

1 (b) 1 (c) 0 (d) 0

2 1 0 0

3 2 0 0

4 0 0 1

Lec. 3 4 (a) (1)~(4) (5)~(8)

1 (b) 2 (c) 0 (d) 0

2 3 0 0

3 3 0 0

4 4 0 1

5 4 1 0

8 2 0 1

9 2 1 1

6 4 1 0

7 4 2 0

8 3 0 1

9 4 0 2

10 11 4 4 0 1 2 1

1 2 3 (b) 1 1 1 (c) 0 0 1 (d) 0 0 0

4 3 0 1

5 1 0 0

6 2 0 0

7 2 1 0

Lec. 3 5 (a)

1 (b) 2 (c) 0 (d) 0

2 2 0 0

3 2 0 1

4 1 1 0

5 1 0 1

6 1 0 1

7 1 0 1

1 (b) 3 (c) 0 (d) 2

2 2 0 1

3 3 1 1

4 3 0 1

1 (b) 0 (c) 0 (d) 2

1 2 3 (b) 1 1 1 (c) 0 0 1 (d) 0 0 0

4 3 0 1

5 1 0 0

6 2 0 0

7 2 1 0

8 2 1 1

Lec. 4 2

Lec. 4 1

Lec. 3 8 (a) (1) (2); (3) (4)

Lec. 3 7 (a)

Lec. 3 6 (a) la misma que 5

Sin reagrupar (4)~(7) con cero

2 5 2 1

3 8 1 4

4 9 3 3

5 6 1 1

6 2 0 0

1 2 3 (b) 8 9 6 (c) 3 3 0 (d) 0 2 2

4 3 0 0

Ejercicios

1 2 3 (b) 4 4 4 (c) 1 0 0 (d) 0 1 1

4 4 0 1

5 2 0 0

6 2 0 0

7 1 0 0

8 2 1 1

9 3 0 0

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 6 6 5 4 6 4 6 4 1 1 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 3 3 2 1 1 0 0 1 0 0

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

8 2 1 1

Multipliquemos por U

Desarrollo de clases

1. Leer el problema, captar su sentido y escribir el planteamiento de la operación. [A1] * Como en otros casos semejantes, el PO está escrito en el LE, por lo tanto es necesario presentar este problema en la pizarra sin que los niños y las niñas consulten el LE. M: ¿Con qué operación podemos encontrar la respuesta?, ¿por qué?. RP: Con la multiplicación, porque siempre lleva la misma cantidad de personas. 2. Pensar en la manera de encontrar la respuesta, manipulando las tarjetas numéricas y aplicando lo aprendido acerca de la multiplicación del tipo CDU por U. [A2]

• Resolver el cálculo vertical del tipo U por UMCDU.

(M) tarjetas numéricas (de 1,000, de 100, de 10, de 1). (N) las mismas que M.

1. Calcule.

324 325 239 748 2 x 3 x 6 x 7 648 975 1,434 5,236 2. 2 x 3 y 3 x 2 son iguales porque ambos son 6. ¿Siempre da lo mismo cuando se cambia el orden de los dos factores en la multiplicación? ¿Por qué? Sí, da la misma respuesta cuando se cambia el orden de los factores en la (2 x 3) es igual a (3 x 2) multiplicación. Porque

(1/3) Hay un barco que lleva 1,324 personas en cada viaje. ¿Cuántas personas puede llevar en dos viajes?

Escriba el PO.

Vamos a pensar en la forma del cálculo vertical con las tarjetas numéricas.

4. Confirmar la manera del cálculo. * Explicar aprovechando las ideas de los niños y las niñas. Continúa en la siguiente página...

PO: 2 x 1,324

1,000

3. Presentar la idea. * Se espera que los niños y las niñas puedan razonar por analogía.

1,000

C 100 100 100 100 100 100

R: 2,648 personas

10 10

1 1 1 1

10 10

1 1 1 1

2 x 1,324

2 , 6

2x4= 8 2 x 20 = 40 2 x 300 = 600 2 x 1,000 = 2,000 2 x 1,324 = 2,648

La multiplicación de 2 x 1,324 se calcula así (como los casos U x DU y U x CDU): Hay que colocar los dos números de modo que las cifras del mismo valor posicional estén en línea vertical. Calcular las unidades: 2 x 4 = 8 y escribir el 8 en las unidades. Calcular las decenas: 2 x 2 = 4 y escribir el 4 en las decenas. Calcular las centenas: 2 x 3 = 6 y escribir el 6 en las centenas. Calcular las unidades de mil: 2 x 1 = 2 y escribir el 2 en las unidades de mil.

1 , 3

4 2 8

Multipliquemos por U

5. Resolver el ejercicio 1 . * Los ejercicios son del tipo UmCDU por U sin reagrupar.

[Continuación] • Resolver el cálculo vertical del tipo U por UmCDU y U por DmUmCDU donde hay proceso reagrupando.

(2)

4,213 2 8,426

2,132 3 6,396

(3)

2,121 4 8,484

Resuelva la siguiente situación. Sobre el mismo barco del problema A, ¿cuántas personas puede llevar en 3 viajes?

(2/3)

PO: 3 x 1,324

1,324 3 2

1,324 3 72

1,324 3 972

1,324 3 3,972

Calcular las unidades: 3 x 4 = 12 y escribir el 2 en las unidades; reagrupar 1 a las decenas (se puede escribir 1 en letra pequeña para ayudar a la memoria). Calcular las decenas: 3 x 2 = 6 y con el 1 que se lleva, 6 + 1 = 7 y escribir el 7 en las decenas. Calcular las centenas: 3 x 3 = 9 y escribir el 9 en las centenas. Calcular las unidades de mil: 3 x 1 = 3 y escribir el 3 en las unidades de mil. R: 3,972 personas

Calcule. 4,237 (1) x 2 8,474 (6)

4,543 6 27,258

(2)

(7)

2,152 3 6,456

(3)

1,246 7 8,722

(8)

1,412 4 5,648

(4)

2,642 8 21,136

(9)

6,234 2 12,468

2,234 9 20,106

(5)

2,143 4 8,572

Calcule. (1)

(6)

42,143 2 84,286

(2)

17,475 x 7 122,325

(7)

21,312 3 63,936

(3)

12,876 x 8 103,008

(8)

21,237 4 84,948

(4)

13,234 5 66,170

(5)

14,285 x 6 85,710

[Desde aquí 2/3] 1. Leer el problema, captar su sentido y escribir el PO. [B]

Calcule. (1)

[Hasta aquí 1/3]

2. Calcular verticalmente. * El procedimiento es el mismo que en la clase anterior. En el proceso sólo se reagrupa a las decenas, pero esto ya lo aprendieron en 3er grado con el segundo factor (multiplicando) de tres cifras. 3. Confirmar el procedimiento. * Para no olvidarse del número que se reagrupó, se puede escribir el número auxiliar, así como está indicado abajo:

4. Resolver los ejercicios 2 y 3 . (Véase los tipos de los ejercicios en «Columnas»)

23,323 x 9 209,907

1. Leer el problema, captar la situación y pensar con qué operación se puede encontrar la respuesta. [C] * Orientarlos para que, primero se encuentre la cantidad de agua que lleva cada camión y luego se calcule la cantidad total del agua en botellas y litros que llevan los dos camiones. Ahora orientarlos para que, primero se encuentre la cantidad total de tanques que llevan los dos camiones y luego la cantidad total de litros de agua. * El último resultado de las dos maneras representa la cantidad total del agua en litros. 2. Confirmar que se pueden unir dos procedimientos de la multiplicación en uno solo, y que se puede empezar por cualquiera de las dos multiplicaciones. 3. Conocer el uso de los paréntesis para indicar el orden del cálculo. * Se calcula primero lo que está entre paréntesis. 4. Resolver el ejercicio 4 .

Multipliquemos por U

Lección 1: (3/3)

Objetivo: • Utilizar la propiedad asociativa en la multiplicación (o por 100).

Materiales:

Van 2 camiones. Cada camión lleva 4 tanques de agua y cada tanque contiene (3/3) 37 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua hay en total? Resuelva de dos maneras. 37 l

37 l

Hay 2 x 4 tanques en total

Hay 4 x 37

litros de agua, hay 4 x 37 litros de agua

Hay 2 x 148 litros de agua en total PO: (1) 4 x 37 = 148, 2 x 148 = 296

Hay 8 x 37 litros de agua en total PO: (2) 2 x 4 = 8, 8 x 37 = 296

Las dos maneras se pueden expresar como lo siguiente: 2 x 4 x 37 = 296 R: 296 litros

En el caso de la multiplicación de tres factores, empezar por los dos primeros factores o por los dos últimos factores da lo mismo. Si se quiere indicar el orden del cálculo, se utilizan los paréntesis. Ejemplo: 2 x (4 x 37) es igual a (2 x 4) x 37 2 x 148 8 x 37

4 Calcule según el orden indicado por los paréntesis y compare los resultados. (1) (2 x 3) x 48, 2 x (3 x 48) = 6 x 48 = 2 x 144 = 288 = 288 (2 x 3) x 48 es igual a 2 x (3 x 48) (2) (3 x 3) x 253 3 x (3 x 253) = 9 x 253 = 3 x 759 = 2,277 = 2,277 (3 x 3) x 253 es igual a 3 x (3 x 253)

22 veintidós

La igualdad (2 x 4) x 37 = 2 x (4 x 37) es un ejemplo de la propiedad asociativa de la multiplicación, que es la igualdad (a x b) x c = a x (b x c) para cualesquier números a, b, c. No es necesario enseñar el nombre de esta propiedad a los niños y las niñas.

Unidad 4 - Multiplicación

Multipliquemos por D0 y C00

Lección 2: (1/3~2/3)

Objetivo: • Analizar lo que ocurre al multiplicar un número por 10 o por 100.

Materiales:

(M) tarjetas numéricas: 30 de 1, 20 de 10, 5 de 100, 2 de 1,000. (N) las mismas que M

Lección 2: Multipliquemos por D0 y C00

(1/3~2/3)

Se venden manzanas en fundas. Hay 3 manzanas en cada funda. Si hay 10 fundas, ¿cuántas manzanas hay en total? PO: 10 x 3 10 manzanas 10 manzanas

10 x

10 manzanas 30 manzanas

R: 30 manzanas

Se venden reglas a 23 pesos cada una. Si se compran 10 reglas, ¿cuántos pesos se necesitan? PO: 10 x 23 Vamos a encontrar la respuesta usando las tarjetas numéricas. 1 10 x 10 1 10 1

1 10 1 10 1

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

1 10 1 10 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

100

1 1

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

100

1 1

10 30

200 230

R: 230 pesos Si se multiplica por 10, el producto se obtiene agregando 0 al lado derecho del otro factor. x 10

x 10 C 100 100

D 10 10

U 10 10 10

1 1 1

2. Pensar la manera de encontrar la respuesta. M: Encuentren la respuesta por ustedes mismos. RP: 10x3=9x3+3=30, 10x3=3+3+3+3+3+3+3+3+3+3=30

Vamos a encontrar la respuesta consultando el dibujo siguiente.

1. Leer el problema, captar la situación y escribir el planteamiento de la operación. [A] * Hasta la actividad 3 de la GM, los niños y las niñas no utilizan el LE y leen el problema escrito en la pizarra.

10 x 23 = 230 se agrega 0

veintitrés 23

3. Confirmar que 10x3=30 observando el dibujo del LE( o las tarjetas en la pizarra). * El motivo de este dibujo es para explicar por qué 10 veces 3 es 3 decenas. * No hay que contar las manzanas de una en una hasta treinta. 4. Leer el problema, captar la situación y escribir el PO. [B] * Cerrar nuevamente el LE. 5. Encontrar la respuesta manipulando las tarjetas numéricas. * En este momento los niños y las niñas todavía no ven el dibujo del LE. * A los que no captan la idea, aconsejarles que coloquen las tarjetas como en el problema [A]. 6. Confirmar que 10x23=230, observando el dibujo del LE (o las tarjetas en la pizarra). * El principio es considerar 2 decenas y 3 unidades por separado. 7. Concluir el mecanismo de la multiplicación por 10.

Continúa en la siguiente página...

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

Multipliquemos por D0 y C00

8. Resolver el ejercicio 1 . * Aplicar la regla que dice «para multiplicar una cantidad por 10, se coloca la cantidad y se agrega 0». 9. Pensar en la manera de encontrar el resultado de 23x100. [C] M: Como 10x10=100, multiplicar por 100 y multiplicar por 10 dos veces dan lo mismo. Utilizando esto, vamos a encontrar la respuesta de 23x100 con las tarjetas numéricas. 10. Confirmar que multiplicar por 100 tiene el efecto de agregar «00».

[Continuación]

1 Calcule.

(1) 10 x 5 = 50

(2) 10 x 7 = 70

(3) 10 x 13 = 130

(4) 10 x 25 = 250

(5) 10 x 10 = 100

(6) 10 x 21 = 2,130

(7) 10 x 45 = 4,560

(8) 10 x 10 = 1,000

Descubra la manera de encontrar el resultado de 100 x 23. 100 es 10 veces 10, por lo tanto x10

x10 UM

11. Resolver el ejercicio 2 . * Que los niños y las niñas los resuelvan agregando simplemente «00».

100 100 100

1,000 1,000

[Hasta aquí 1/3]

2 3

2 3 0

x10

x10 D

100 x 23 = 2,300

10 10

1 1 1

se agrega 00

3 0 0

x10 x10

x100

Si se multiplica por 100, el producto se obtiene agregando 00 al lado derecho del otro factor.

2 Calcule. (1) 100 x 5 = 500

(2) 100 x 7 = 700

(5) 100 x 10 = 1,000 (6) 100 x 2 = 21,300

(3) 100 x 13 = 1,300

(4) 100 x 25 = 2,500

(7) 100 x 456 = 45,600

(8) 100 x 10 = 10,000

Multipliquemos por D0 y C00 [Desde aquí 2/3] • Analizar la manera de encontrar el resultado multiplicación por D0. (M) tarjetas numéricas: 60 de 1, 40 de 10. (N) las mismas que M (véase la nota)

Hay 3 manzanas en cada funda. Si hay 20 fundas, ¿cuántas manzanas hay en total?

2. Pensar en la manera de encontrar el resultado de 20x3 manipulando las tarjetas numéricas. * Colocar las tarjetas como lo hicieron en el caso de 10x3. Lo esencial es colocar los grupos de 3 en 2 filas de 10 grupos.

PO: 20 x 3 Vamos a encontrar la respuesta consultando el dibujo.

2x3=6

20 x 3 = 10 x 2 x 3 = 10 x (2 x 3) = 10 x 6 = 60 R: 60 manzanas

El cálculo de 20 x 3: primero 2 x 3 y agregar 0.

3 Calcule. (1) 20 x 4 = 80

(2) 30 x 2 = 60

(3) 40 x 3 = 120

1. Leer el problema, captar su sentido y escribir el planteamiento de la operación. [D] * Como siempre, hay que presentar el problema en la pizarra para que los niños y las niñas no vean el dibujo del LE antes de que piensen por sí mismos.

(4) 70 x 5 = 350

(5) 50 x 6 = 300

(3/3)

Si se compran 20 reglas que cuestan 23 pesos cada una, ¿cuántos pesos se pagan? PO: 20 x 23 Vamos a encontrar la respuesta consultando el dibujo siguiente.

3. Entender que para multiplicar por 20, primero hay que multiplicar por 2 y luego agregar 0. 4. Resolver el ejercicios 3 . * En cuanto al tipo de los ejercicios, véase «Columnas». [Hasta aquí 2/3] [Desde aquí 3/3]

2 x 23

20 x 23 = 10 x 2 x 23 = 10 x (2 x 23) = 10 x 46 = 460 R: 460 pesos

El cálculo de 20 x 23: primero 2 x 23 y agregar 0.

4 Calcule.

(1) 20 x 32 (2) 30 x 21 (3) 30 x 24 (4) 40 x 16 (5) 30 x 42 (6) 50 x 34 (7) 40 x 25 (8) 80 x 75 = 640 = 630 = 720 = 640 = 1,260 = 1,700 = 1,000 = 6,000

5 Calcule.

(1) 200 x 42 = 8,400

(2) 300 x 34 = 10,200

(3) 400 x 63 = 25,200

(4) 500 x 137 = 68,500

(5) 600 x 260 (6) 700 x 300 = 156,000 = 210,000

Si no hay suficiente cantidad de tarjetas numéricas, los niños y las niñas pueden trabajar en grupo.

5. Leer el problema, captar su sentido y escribir el PO. [E] 6. Pensar en la manera de encontrar el resultado de 20x23 manipulando las tarjetas numéricas. * Al colocar las tarjetas numéricas se puede observar que 20x23=10x2x23=10x(2x23= 10x46=460). 7. Confirmar la forma del cál culo de la multiplicación por D0. 8. Resolver los ejercicios 4 y 5 . * En cuanto al tipo de los ejercicios véase «Columnas».

Multipliquemos por DU

1. Leer el problema, captar la situación y escribir el PO. [A] 2. Pensar en la forma de calcular 21 x 13 observando el dibujo en la pizarra. * Pegar en la pizarra 21 tarjetas de 13, así como en el dibujo del LE (véase Notas). * Trabajo individual o en grupo, según la situación de los niños y las niñas. * Observar bien el trabajo de los niños y las niñas para conocer sus ideas.

• Calcular multiplicaciones del tipo DU x DU verticalmente. (M) tarjetas numerales: 21 de 13.

3. Presentar las ideas sobre la forma del cálculo. * Designar la participación de los niños y las niñas según sus ideas para que se presente la mejor variedad. 4. Discutir las ventajas y desventajas de cada idea. 5. Confirmar que 21 x 13 se calcula en dos partes, es decir 20 x 13 y 1 x 13. * Aprovechar las ideas de los niños y las niñas lo más posible. 6. Pensar en la forma del cálculo vertical de 21 x 13 aplicando la descomposición: 21 20 y 1. [B] 7. Presentar las ideas y discutir sobre éstas. 8. Confirmar la forma del cál culo vertical. * Hay que tener cuidado del valor posicional de los productos parciales. «26» quiere decir 260, una manera es primero colocar el cero y luego tacharlo diciendo «Vamos a tacharlo porque no es necesario».

(1/5~2/5) Se venden gomas de borrar a 13 pesos cada una. Una caja contiene 20 gomas de borrar. El profesor Rubén Darío compró una caja y una goma de borrar para sus 21 alumnos. ¿Cuánto pagó el profesor? PO: 21 x 13

20 x 13 21 x 13 1 x 13

Vamos a encontrar la respuesta consultando el dibujo. El precio de los que están en la caja El precio del que está fuera de la caja

20 x 13 = 260 1 x 13 = 13

R: 273 pesos

Total:

273

Vamos a calcular 21 x 13 en forma vertical. (1)

D 1 x2 1

U 3 1 3

(2)

D 1 x2 1 2 6

se calcula 1x3y1x1

D 1 x2 1 2 6 2 7

(3)

U 3 1 3

se calcula 2x3y2x1

1 Calcule. 32 (1) (2) 23 x 31 x 13 992 299 2 Calcule en la forma vertical. 13 21 (1) 14 x 13 (2) 17 x 21 x 17 x 14 = 182 = 357

23 (3) 17 x 23 x 17 = 391

3 Calcule en la forma vertical. 32 26 (1) 71 x 32 (2) 73 x 26 = 2,272 x 71 = 1,898 x 73

73 (3) 62 x 73 = 4,526 x 62

182

357

(3)

391

2,272

1,898

39 (5) 48 x 39 = 1,872 x 48

66 (6) 47 x 66 = 3,102 x 47

4 Calcule en la forma vertical. 24 17 (1) 32 x 24 (2) 23 x 17 x 23 x 32 = 768 = 391

26 (3) 27 x 28 x 27 = 702

768

1,872

391

se suman los productos parciales

(4)

42 x 21 882

63 (4) 54 x 63 = 3,402 x 54 3,402

U 3 1 3

30 x 23 690

(4) 34 x 21 = 714

21 x 34

(4) 31 x 41 = 1,271

41 x 31

391

4,526

3,102

702

1,271

9. Resolver el ejercicio 1 . [Hasta aquí 1/5] [Desde aquí 2/5] 1. Resolver los ejercicios del 2 al 4 . * En cuanto al tipo de los ejercicios véase «Columnas».

Si no hay suficiente cantidad de tarjetas numéricas, los niños y las niñas pueden trabajar en grupo.

Multipliquemos por DU • Analizar y realizar la forma del cálculo vertical de DU x CDU. [Continuación] • Multiplicar por D0 simplificando la forma del cálculo.

Vamos a pensar en la forma del cálculo 21 x 213 aplicando lo aprendido. 213 x 21 213

213 x 21 213 4 26

1 x 213 = 213

(3/5~4/5)

213 x 21 213 4 26 4,473

2 x 213 = 426

312 x 31 9,672

(2)

314 (3) 412 x 12 x 21 3,768 8,652

(4)

213 + 4,260 = 4,473

203 (5) 202 (6) 210 x 31 x 43 x 23 6,293 9,696 4,830

(7)

310 (8) 300 x 32 x 23 9,920 6,900

6 Calcule. (1) 123 x 71 8,733

(2)

(3)

106 x 45 4,770

(4)

142 x 34 4,828

113 x 82 9,266

(5) 243 x 13 3,159

(6)

(7)

124 x 23 2,852

114 x 25 2,850

(8)

118 x 27 3,186

(1) 621 x 32 = 19,872

(2) 352 x 34 = 11,968

(3) 334 x 53 = 17,702

(4) 734 x 53 = 38,902

(5) 563 x 72 = 40,536

(6) 804 x 23 = 18,492

(7) 706 x 27 = 19,062

(8) 930 x 34 = 31,620

(3) 327 x 42 = 13,734

(4) 406 x 72 = 29,232

8 Calcule en forma vertical.

(2) 403 x 27 = 10,881

(5/5)

Comparemos los dos cálculos. (a)

34 20 00 68 680

(b)

Calcular como se hizo anteriormente

34 20 680

Poner 0 en las unidades y empezar a calcular 2 x 34 a su izquierda

9 Calcule en la forma (b) si puede. Si tiene dificultad hágalo en la (a). (1) 26 x 30 = 780

(2) 86 x 40 = 3,440

(3) 362 x 20 = 7,240

(5) 406 x 30 = 12,180

(6) 730 x 60 = 43,800

(7) 800 x 70 = 56,000

4. Resolver el ejercicio 5 . [Hasta aquí 3/5] [Desde aquí 4/5]

(9)

123 x 26 3,198

7 Calcule en forma vertical.

(1) 324 x 26 = 8,424

2. Presentar las ideas y discutirlas. 3. Confirmar la forma del cál culo vertical de 21x213.

5 Calcule. (1)

1. Pensar en la forma de calcular verticalmente 21x213. [C] * En este momento los niños y las niñas piensan sin consultar al LE. * Se espera que la mayoría de los niños y las niñas puedan hallar la forma por sí mismos.

(4) 462 x 70 = 32,340

1. Resolver los ejercicios del 6 al 8 . * En cuanto al tipo de los ejercicios véase «Puntos de lección». [Hasta aquí 4/5] [Desde aquí 5/5] 1. Observar las dos formas y discutir sobre las ventajas y desventajas.[D] RP: (b) es más rápido. Prefiero (a), porque hay todo el proceso. * No hay que exigir la omisión del cero. 2. Resolver el ejercicio 9 .

1. Leer el problema, captar su sentido y escribir el PO. [A] 2. Pensar en la forma de calcular verticalmente. * Se espera que los niños y las niñas puedan hallar la forma sin ayuda. 3. Presentar las ideas y discutir sobre éstas. 4. Confirmar la forma todos juntos en la pizarra.

Multipliquemos por CDU

Lección 4: (1/2)

Objetivo: • Realiza multiplicaciones del tipo CDU x CDU verticalmente.

Materiales:

Lección 4: Multipliquemos por CDU

(1/2)

Se venden camisetas a 312 pesos cada una. Si cada uno de los 231 alumnos y alumnas de la escuela compra una camiseta, ¿cuántos pesos pagan en total? PO: 231 x 312

5. Resolver los ejercicios 1 y 2 . * En cuanto al tipo de los ejercicios véase «Columnas».

Vamos a pensar en la manera de calcular en la forma vertical. 312 x 231 312 9 360 62 400 72,072

1 x 312 30 x 312 200 x 312 312 + 9,360 + 62,400

= 312 = 9,360 = 62,400 = 72,072

al omitir los ceros

312 x 231 312 9 36 62 4 72,072

R: 72,072 pesos

1 Calcule en forma vertical. (1)

231 x 213 693 2 31 46 2 49,203

(2)

134 x 536 804 4 02 67 0 71,824

(3)

284 x 367 1 988 17 04 85 2 104,228

(4)

346 x 879 3 114 24 22 276 8 304,134

(5)

760 x 453 2 280 38 00 304 0 344,280

(6)

300 x 627 2 100 6 00 180 0 188,100

2 Calcule en forma vertical. (1) 936 x 438 = 409,968

(2) 574 x 479 = 274,946

(3) 978 x 204 = 199,512

(4) 428 x 600 = 256,800

438 x 936 2 628 13 14 394 2 409,968

479 x 574 1 916 33 53 239 5 274,946

204 x 978 1 632 14 28 183 6 199,512

600 x 428 4 800 12 00 240 0 256,800

28 veintiocho

Unidad 4 - Multiplicación

Lección 4: (2/2)

Multipliquemos por CDU

Objetivo: • Conocer la forma de omitir la multiplicación por cero en el cálculo vertical.

2. Presentar la idea.

Materiales:

(2/2)

Calcule 302 x 213 en forma vertical. 213 x 302 426 0 00 63 9 64,326

213 x 302 426 63 9 64,326

Se puede omitir la multiplicación por cero

3 Calcule. (Si no puede calcular omitiendo la multiplicación por cero, escríbala). (1)

132 x 203 396 26 4 26,796

(2)

468 x 703 1 404 327 6 329,004

(3)

207 x 604 828 124 2 125,028

(4)

340 x 709 3 060 238 0 241,060

(5)

354 x 860 21 240 283 2 304,440

245 x 900 220,500

(6)

4 Calcule en forma vertical.

(1) 708 x 327

(2) 604 x 702

(3) 409 x 670

(4) 508 x 300

327 x 708 2 616 228 9 231,516

702 x 604 2 808 421 2 424,008

670 x 409 6 030 268 0 274,030

300 x 508 2 400 150 0 152,400

Calcule 78x4 en forma vertical. Compare las dos formas. ¿Por qué se puede calcular de la forma (b)? (a)

4 x 78 32 28 312

(b)

78 4 312

5 Calcule en forma vertical. (1) 48 x 6

(2) 29 x 8

(3) 36 x 7

48 x 6 288

29 x 8 232

36 x 7 252

(5) 369 x 7 369 x 7 2,583

(6) 267 x 9 267 x 9 2,403

1. Pensar en la forma de calcular verticalmente 302 x 213. [B]

(7) 459 x 21 459 x 21 9,639

(4) 37 x 5

37 5 185

(8) 273 x 48 273 x 48 13,104 veintinueve 29

3. Comparar y discutir sobre las ventajas y desventajas de las formas de multiplicar. RP: Prefiero poner todo el proceso, porque no puedo alinear bien las cifras si omito una fila. Me gusta la forma breve. * La cifra 9 se coloca bajo el 3 del multiplicador, porque la cifra de la derecha del subproducto viene de la multiplicación de la cifra del multiplicador que está arriba de ella por la de las unidades del multiplicando; por lo tanto, tiene el mismo valor posicional que la cifra del multiplicador. * No hay que obligar a los niños y las niñas, a omitir los ceros. 4. Resolver los ejercicios 3 y 4 . 5. Comparar dos formas del cálculo vertical 78x4. [C] M: ¿Por qué los dos tienen la misma respuesta? RP: Porque en la multiplicación podemos cambiar el orden de los factores. M: ¿Cuál les gusta más? RP: (a), porque no hay necesidad de sumar 3 decenas y 28 decenas mentalmente. (b), porque sale más rápido. 6. Resolver el ejercicio 5 .

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

Sobre los tipos de los ejercicios véase «Columnas»

Tipo de cantidades y tipo de cálculo cd= cantidad discreta cc= cantidad continua cd x cd DU x DU

(1) (2)

cc x cc DU x DU, DU x DU x DU

(3)

cd x cc CDU x DU

(4)

cd x cc + cc DU x DU + UmCDU

Unidad 4: (1/2~2/2)

Ejercicios

Objetivo: • Confirmar lo que han aprendido resolviendo los ejercicios.

Materiales:

Ejercicios

(1/2~2/2)

1 Calcule en forma vertical (1) 37 x 48 48 x 37 336 1 44 1,776

(2) 63 x 54 54 x 63 162 3 24 3,402

(3) 48 x 93 93 x 48 744 3 72 4,464

(4) 40 x 87 87 x 40 3,480

(6) 13 x 365 365 x 13 1 095 3 65 4,745

(7) 30 x 607 607 x 30 18,210

(8) 452 x 237 237 x 452 474 11 85 94 8 107,124

(9) 379 x 407 407 x 379 3 663 28 49 122 1 154,253

(10) 706 x 304 304 x 706 1 824 212 8 214,624

(12) 590 x 226 (13) 360 x 480 480 226 x 360 x 590 20 340 28 800 113 0 144 0 133,340 172,800

(14) 400 x 520 520 x 400 208,000

(15) 800 x 700 700 x 800 560,000

(11) 248 x 790 790 x 248 6 320 31 60 158 0 195,920

(5) 60 x 70 70 x 60 4,200

2 Resuelva los siguientes problemas. Siempre hay que poner el planteamiento de la operación (PO) y la respuesta (R). En la respuesta se necesita la unidad. (1) Hay un autobús que lleva 89 pasajeros en un viaje. ¿Cuántos pasajeros lleva en 23 viajes? PO: 23 x 89 = 2,047 R: 2,047 pasajeros (2) ¿Cuántos minutos hay en un día?

PO: 24 x 60 = 1,440 ¿Cuántos segundos hay en un día?

R: 1,440 minutos

PO: 1,440 x 60 = 86,400 R: 86,400 segundos (3) Para elaborar una canasta de alambre, se utilizan 13 metros de alambre. ¿Cuántos metros de alambre se necesitan para elaborar 147 canastas? PO: 147 x 13 = 1,911 R: 1,911 metros (4) Hay un camión que pesa 2,350 kilogramos. Si este camión lleva 56 cajas de azúcar y cada una pesa 14 kilogramos, ¿cuántos kilogramos pesa en total el camión con las cajas? PO: 56 x 14 = 784 2,350 + 784 = 3,134 R: 3,134 kilogramos

30 treinta

Unidad 4 - Multiplicación

Ejercicios suplementarios de la unidad 4: (no hay distribución de horas)

Ejercicios suplementarios 1 Calcule en forma vertical. (1) 7 x 142,857 142,857 x 7 999,999

(2) 6 x 148,148 148,148 x 6 888,888

(3) 13 x 76,923 76,923 x 13 999,999

(4) 23 x 3,913 3,913 x 23 89,999

(5) 17 x 2,549 2,549 x 17 17 843 25 49 43,333

(6) 73 x 2,207 2,207 x 73 6 621 154 49 161,111

(7) 987 x 654 654 x 987 4 578 52 32 588 6 645,498

(8) 567 x 1,234 1,234 x 567 8 638 74 04 617 0 699,678

2 Resuelva los problemas siguientes.

(1) Hay un vehículo que consume 19 galones de gasolina por mes. ¿Cuántos galones de gasolina consume en un año? PO: 12 x 19 = 228 R: 228 galones (2) Se venden camisas de varios precios. Hay 72 de 243 pesos, 47 de 195 pesos y 65 de 160 pesos. ¿Cuánto será el total de la venta? PO: 72 x 243 + 47 x 195 + 65 x 160 = 37,061 R: 37,061 pesos 3 Encuentre los números adecuados para los cuadrados. 6 5 7 3 3 7 3 4 6 (1) (2) (3) 4 6 2 2 9 7 x x x 2 6,2 9 2 7 4 2 4 2 2 3 1 1 4 2 2 2 6 9 2 2,2 9 4 1 0 2,7 6 2

(4)

1 2 7 3 8 9 0 3 9,4 1

9 3 7 7

La cifra que está en el cuadrado situado más a la izquierda en cada fila no es cero. 4 Encuentre los números escondidos. En el mismo signo están los mismos números.

(1)

4 x 3 2 2 1 3 5 1 5 7

5 5 5 5

(2)

6 7 8 7 4 6 9

5 3 6 5,8 2 9 =7 =6

(3)

9 8 2 7

9 0 x 8 8 4, 4 3 0 =8 =9 treinta y uno 31

3 Ayuda: (1) Primero, encontrar el primer factor (multiplicador): ¿cuál es el número de una cifra que al multiplicarlo por 3 se obtiene 2 en las unidades del producto? (2) Primero, encontrar el primer producto parcial (el producto del segundo factor (multiplicando) por la cifra en las unidades del primer factor (multiplicador)). Luego encontrar el multiplicador. (3) Primero, hallar las unidades del primer producto parcial. Luego el segundo factor (multiplicando) y en el proceso, las centenas del primer producto parcial. Es fácil encontrar la cifra en las unidades del segundo producto parcial. Ahora hay dos posibilidades en las decenas y las centenas del segundo factor. Probarlas y decidir. (4) Primero, hallar las unidades y las decenas del primer producto parcial. Ahora hay 4 posibilidades en las unidades del segundo factor. Probarlas y decidir.

4 Ayuda: (2) Para encontrar el número que está en los triángulos, comparar la suma de dos productos parciales con el producto total. Para encontrar el número que está en los cuadritos, averiguar el segundo producto parcial. (3) Primero, encontrar las decenas del primer factor.

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

Unidad

División

(16 horas)

Expectativas de logro • Realizan cálculos de divisiones entre una y dos cifras. • Resuelven problemas de la vida real que implican la división de números naturales.

Relación y desarrollo

• Orden de cálculo. • Uso de paréntesis. • Propiedad asociativa de la adición. • Propiedad asociativa de la multiplicación.

Plan de estudio

(16 horas)

1. Dividamos entre un número de una cifra (1 hora)

1/1

• La forma del cálculo vertical de la división entre U

2. Dividamos entre un número de dos cifras (7 horas)

1/7

• La forma del cálculo vertical de la división entre D0 (sin residuo) • La forma del cálculo vertical de la división entre D0 (con residuo)

2/7 3/7~4/7

3. Sigamos dividiendo entre un número de dos cifras (3 horas) 4. Conozcamos algunas reglas de la división (2 horas) Ejercicios (3 horas)

• La forma del cálculo vertical de la división DU ÷ DU (sin corrección del número para probar)

5/7 6/7 7/7

• La manera de corregir el número para probar • La forma del cálculo CDU ÷ DU • La forma de encontrar el número para probar redondeando el divisor a la decena próxima

1/3 2/3 3/3 1/2

• La forma del cálculo vertical de CDU ÷ DU = DU • La forma del cálculo UmCDU ÷ CDU = CDU • La forma del cálculo UmCDU ÷ DU = DU • La forma abreviada de la división con cero en las posiciones inferiores del dividendo y del divisor

2/2 1/3~3/3

• a ÷ b = (axm) ÷ (bxm) = (a ÷ n) ÷ (b ÷ n) • Ejercicios

Puntos de lección • Lección 1: Dividamos entre un número de una cifra En 3er grado los niños y las niñas aprendieron la forma vertical de la división entre U, por lo tanto esta lección es para recordarla. Los puntos importantes de la enseñanza son: * Comprender por qué se empieza a dividir desde la posición superior, es decir, desde el lugar de posición mayor utilizando la situación de la división equivalente. * Hacer corresponder cada paso del cálculo (probar, multiplicar, restar, bajar) a la repartición de los materiales semiconcretos (tarjetas numéricas).

Aquí, se trata el caso del dividendo de 5 cifras, que no se enseñó en 3er grado, el mecanismo es igual y no hay nada nuevo. Sin embargo hay que tomar suficiente tiempo si los niños y las niñas no han dominado bien la forma, aunque esta guía asigna una sola clase para esta lección. En la forma vertical de la división debemos tener presente que el valor posicional del cociente no tiene relación con el valor posicional del divisor.

• Lección 2: Dividamos entre un número de dos cifras El punto más importante de esta lección es la forma de encontrar el número para probar. Hay dos maneras: (a) Cambiando las unidades del dividendo y del divisor por cero (equivale a fijarse sólo en las decenas) por ejemplo: 87 ÷ 21 80 ÷ 20 (b) Convirtiendo el divisor a la decena próxima por ejemplo: 81 ÷ 28 81 ÷ 30 Con la manera (a) siempre se obtiene un número mayor o igual que el cociente para probar. Cuando es mayor, no se puede restar el producto del número para probar por el divisor, por lo tanto los niños y las niñas fácilmente se dan cuenta que tienen que corregirlo. Pero está visto que a menudo ellos cometen el error de dejar «un residuo» mayor que el divisor, cuando el número que probaron es menor que el cociente verdadero, lo que es una buena manera para evitar este tipo de equivocación. Sin embargo, cuando el divisor es de 16 a 19, esta manera no da la estimación del cociente y hay que corregir el número para probar varias veces. Por consiguiente también se enseña la manera (b). Como se ha mencionado anteriormente, en la aplicación de esta manera hay que tener cuidado para no dejar el «residuo» mayor o igual que el divisor. Para introducir la manera (a) en la tercera clase de esta lección, se utiliza la situación de la división equivalente donde tanto los objetos que se reparten como quienes los reciben están en grupos de 10, para que surja la idea de aplicar el cálculo D0 ÷ D0 que han aprendido en la primera y la segunda clase de esta lección.

• Lección 3: Sigamos dividiendo entre un número de dos cifras Aquí se tratan los casos de la división entre DU cuando el cociente es mayor que 9. Primero se decide dónde poner el cociente, de la manera explicada en la Lección 2, y se repiten los cuatro pasos (probar, multiplicar, restar y bajar).

Unidad 5 - División

Cuando hay 0 en el cociente, se pueden omitir los pasos de multiplicar y restar. Se enseña esta forma abreviada después de que los niños y las niñas hayan dominado bien el procedimiento básico.

• Lección 4: Conozcamos algunas reglas de la división Si hay ceros en las últimas posiciones tanto del dividendo como del divisor, se puede calcular de una forma más rápida tachando la misma cantidad de ceros en ambos números. por ejemplo: 1,500 ÷ 40 150 ÷ 4 Cuando hay residuo, se debe tener cuidado con la estimación de su dimensión. Es necesario regresar al sentido de tachar los ceros. por ejemplo: 1,500 ÷ 40 tachando un cero en ambos términos 150 ÷ 4 = 37 residuo 2 Este cálculo quiere decir que cada una de 4 decena recibe 37 decenas y sobran 2 decenas, lo que equivale a que cada unidad recibe 37 unidades y sobran 20 unidades. En vez de formar grupos de decenas, centenas, etc., se pueden formar grupos de cualquier cantidad, de lo cual se puede inducir la propiedad siguiente: Si se multiplica o se divide, tanto el dividendo como el divisor por y entre el mismo número, el cociente no cambia. por ejemplo: 12 ÷ 6 = 2 multiplicar por 5 x5

÷3

60 ÷ 30 = 2 12 ÷ 6 = 2 ÷3

dividir entre 3

4÷2=2

Se aplica esta propiedad en la división de los decimales y las fracciones. por ejemplo: 14.8 ÷ 0.4 multiplicando por 10 148 ÷ 4 = 37

Variación en los tipos de ejercicios Los ejercicios que refuerzan los conocimientos no solamente son los que piden el resultado de un cálculo, si no que también los hay de otras formas, sobre todo en la etapa de la aplicación. Es mejor preparar varios tipos de ejercicios o juegos educativos (didácticos) para evitar que los niños y las niñas los resuelvan mecánicamente y se diviertan al pensar en cómo resolverlos. A continuación se presenta un tipo de ejercicios con los que los niños y las niñas puedan trabajar como si estuvieran jugando con un rompecabezas o crucigrama. El grado de dificultad puede ser un poco más alto, por lo que son adecuados como ejercicios suplementarios.

Encuentre los números adecuados para los cuadritos.

Ayuda

(1) Primero, encontrar el divisor utilizando la relación: 92 es el producto de 4 por 2 , o sea 4 x 2 = 92. (2) Primero, encontrar el divisor utilizando la relación: 6x = 84.

(3) Primero, encontrar el número que es el producto del divisor por el cociente, luego encontrar los números que pueden ser el cociente, fijándose en las unidades del producto. (4) Primero, encontrar el número que es el producto del divisor por el cociente. Luego, encontrar el número de una cifra que divide exactamente este producto y cuyo cociente es el número de dos cifras.

(5) Primero,encontrar la cifra de las unidades de los números que están en las filas a y b. Luego encontrar las unidades del cociente. Encontrar las decenas del número que está en la fila a.

Desarrollo de clases

Dividamos entre un número de una cifra

1. Leer el problema, captar su sentido y escribir el PO. [A1]

• Recordar el procedimiento del cálculo vertical de la división entre U.

2. Pensar en la manera de repartir los cuadernos. [A2]

(M) tarjetas numéricas (cuatro de 100, trece de 10, doce de 1) (N) las mismas que M

* Pegar las tarjetas numéricas como en el dibujo del LE. M: Vamos a encontrar el resultado distribuyendo las tarjetas en 3 grupos. ¿Cómo vamos a distribuirlas? RP: Una a una. Vamos a dar una centena y una decena a cada uno. Después distribuimos las que sobran. Empezamos por las centenas y luego distribuimos las decenas cambiando una centena que sobró a 10 decenas, y por último las unidades cambiando una decena que sobró a 10 unidades. 3. Presentar las ideas. * Que los niños y las niñas presenten su idea a sus compañeros manipulando las tarjetas numéricas. 4. Discutir sobre las ideas. * Que los niños y las niñas investiguen las ventajas y desventajas de cada idea. 5. Confirmar la manera de la repartición. * Primero se reparten las centenas. Como 4 ÷ 3 = 1 sobra 1, 1 centena a cada uno.

431 ÷ 3

1. Resuelva los siguientes problemas en su cuaderno. (1) Hay 24 mentas. Si se reparten entre 4 niños, ¿cuántos mentas le toca a cada uno? PO: 24 ÷ 4 = 6 R: 6 mentas (2) Hay 25 mentas. Si se dan 3 a cada niño, ¿entre cuántos niños se pueden repartir? y PO: 25 ÷ 3 = 8 sobra 1 R: 8 niños sobra 1 menta ¿cuántos sobran? 2. ¿Cómo se llama cada número en el siguiente PO? 17 ÷ 5 = 3 y sobran 2 17: dividendo; 5: divisor; 3: cociente; 2: residuo 3. Calcule. (1) 87 3 (2) 732 5 (3) 434 7 (4) 1,820 6 29 146 62 303 sobra 0 sobran 2 sobra 0 sobran 2

(1/1) Hay 4 cajas de diez decenas de cuadernos y fuera de las cajas hay 3 decenas y 1 cuaderno más, en total son 431 cuadernos. Si se reparten entre 3 escuelas, ¿cuántos cuadernos le tocan a cada escuela?

Escriba el PO. PO: 431 ÷ 3

Encuentre el resultado consultando el dibujo. 100 100 100 100 10

100 100 100 100

10 10 10

100

10 10 10

431 3

431 3 1

Probar 1 100

100

Se pueden repartir 4 (centenas).

431 3 3 1

Multiplicar 1 x 3 y poner el producto bajo el 4

431 3 -3 1 1

Restar 3 de 4

Si los niños y las niñas no tienen suficientes tarjetas numéricas, pueden trabajar en grupo.

Dividamos entre un número de una cifra [Continuación]

100

10 10 10 10 10

100

10 10 10

100

1 1 1 1 1

10 10 10 10

431 3 -3 14 13

10 10 10 10

1 1 1 1 1

100

10 10 10 10

Probar 4

100

1 1 1

1 10 10 10 10

100

10 10 10 10

431 3 -3 14 13 12

Multiplicar 4 x 3 y poner el producto bajo el 13

431 3 -3 14 13 -12 1

Restar 12 de 13

431 3 -3 14 13 -12 11

100

10 10 10 10

Bajar 1

1 1 10 10 10 10

Se cambia la centena que sobró en 10 decenas y con 3 que se tienen desde el principio hay 13 decenas. Como 13 ÷ 3 = 4 y sobra 1, se reparten 4 decenas a cada uno. Se cambia la decena que sobró en 10 unidades y con 1 que se tiene desde el principio hay 11 unidades. Como 11 ÷ 3 = 3 sobra 2, se reparten 3 unidades a cada uno y sobran 2 unidades.

Bajar 3

100

10 10 10 10

431 3 -3 1 13

1 1 1

100

10 10 10 10

1 1 1

431 3 -3 143 13 -12 11

431 3 -3 143 13 -12 11 9

431 3 -3 143 13 -12 11 - 9 2

Probar 3

Multiplicar 3 x 3 y poner el producto bajo el 11

Restar 9 de 11

R: A cada escuela le toca 143 cuadernos y sobran 2

Tener en cuenta que en 4 ÷ 3 = 1 si no escribimos lo que sobra, la expresión es incorrecta. Por lo tanto, la forma correcta es 4 ÷ 3 = 1 sobra 1.

Dividamos entre un número de una cifra

6. Confirmar la manera del cálculo vertical. [A3] * Corresponder los pasos a la distribución de las tarjetas. * Que los niños y las niñas se den cuenta de que se repiten los cuatro pasos: probar, multiplicar, restar y bajar. 7. Recordar los términos. * Señalar el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo. 8. Resolver el ejercicio 1 . * Clasificación de los ejercicios: (1) y (2): no hay cero en el cociente; (3): la posición de las centenas y el residuo es 0; (4) a (6): en el cociente hay cero; (6) a (8): se empieza a dividir en la segunda posición del dividendo. [Intentémoslo] Ejercicios suplementarios enfocando al residuo

[Continuación]

Se calcula la división empezando por la posición más a la izquierda y repitiendo los cuatro pasos: probar, multiplicar, restar y bajar. Dividendo

431 3 143 -3 13 -12 11 -9 2

Divisor Cociente

Residuo

Calcule. (1) 973 8 sobran 5 121

(2) 5,246 4 sobran 2 1,311

(3) 94,094 7 13,442

(4) 7,547 5 sobran 2 1,509

(5) 84,235 6 sobra 1 14,039

(6) 5,462 9 sobran 8 606

(7) 7,333 9 sobran 7 814

(8) 12,345 2 sobra 1 6,172

Hay 12 marcas. Una de ellas indica el lugar de un tesoro escondido. Para encontrar el tesoro une con una línea los puntos azules que representan las divisiones en el caso que los residuos sean iguales. La marca donde se intersectan las líneas es el lugar del tesoro ¿cuál será?. Resuelva en el cuaderno 133 7 19 sobra 0 99 5 19

2,353 4 2,353

sobran 4

sobran 3

143 6 23

9,701 8 1,212

sobran 5

sobran 5 237 9 26 sobran 3

Para este juego, el maestro o la maestra dibuja la situación en la pizarra o en cartulina y pone a los niños y las niñas en pequeños grupos de (3 ó 4) estudiantes a resolver las divisiones y el primero que termine va a trazar las líneas e indicar dónde está el tesoro.

Lección 2: (1/7)

Dividamos entre un número de dos cifras

Objetivo: • Calcular la división del tipo D0 ÷ D0 (sin residuo). Materiales: (M) 6 paquetes de 10 cuadernos (véase Notas) Lección 2: Dividamos entre un número de dos cifras

(1/7)

El profesor Rubén tiene 20 niños y niñas que forman 2 grupos de 10 y ambos grupos tienen un líder que ayuda al profesor. Hoy llegaron 6 paquetes, cada uno de los cuales contiene 10 cuadernos. El profesor quiere distribuirlos a sus niños y niñas.

Prometam

10 10 10 10 10

3. Se le presenta la idea a los compañeros y discuten.

R: 60 cuadernos

¿Cuántos cuadernos le tocan a cada uno? Escriba el PO. PO: 60 ÷ 20

¿Cuál es la manera más rápida de distribuirlos? Le basta al profesor Rubén entregar la misma cantidad de paquetes a los líderes para que los distribuyan a sus compañeros de grupo; un paquete equivale a un cuaderno para cada niño del grupo, porque la cantidad de los cuadernos en cada paquete es igual a la cantidad de niños y niñas en el grupo. Dicho de otra manera, que la cantidad de cuadernos que recibe cada niño o niña es igual a la de los paquetes que recibe cada grupo. Por lo tanto: La respuesta de 60 ÷ 20 es igual a la de 6 ÷ 2.

2. Pensar en la manera más rápida de repartir los cuadernos. * Formar dos grupos de 10 niños. M: (Mostrando los seis paquetes de 10 cuadernos) ¿Cuál es la manera más rápida de repartir estos cuadernos a estos 20 niños? RP: Desempaquetar los paquetes y distribuirlos uno tras uno. Dar 3 paquetes a cada grupo, y dentro del grupo distribuir 3 cuadernos a cada miembro. * Que los niños y las niñas se den cuenta de que dar un paquete a un grupo equivale a dar un cuaderno a cada uno de los miembros del grupo.

¿Cuántos cuadernos hay en total? PO: 6 x 10 = 60

1. Leer el problema, captar su sentido y escribir el PO. [A1] y [A2]

60 ÷ 20 = 3 6÷2 =3

Calcule mentalmente las respuestas. (1)

40 ÷ 20 = 2

(4) 120 ÷ 20 = 6

80 ÷ 20 = 4

(3) 100 ÷ 20 = 5

(5) 150 ÷ 30 = 5

(6) 200 ÷ 40 = 5

(2)

4. Confirmar la manera de repartir. * Como 6 ÷ 2 = 3, se reparten 3 paquetes a cada grupo. 5. Conocer que el resultado de D0 ÷ D0 es igual a la división de las cifras en las decenas. [A3] 6. Resolver el ejercicio 1 .

treinta y cinco 35

Los materiales pueden ser distintos. Lo importante es que sean 6 grupos de 10 objetos.

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

Dividamos entre un número de dos cifras

1. Leer el problema, captar su sentido y resolverlo. [B1] 2. Encontrar la cantidad de mangos que recibe cada niño y la que sobra, interpretando el resultado del problema anterior. [B2] * El residuo 1 de 7 ÷ 2 quiere decir que sobra una funda, que equivale a 10 mangos.

• Calcular la división del tipo D0 ÷ D0 (con residuo). (M) 7 fundas de 10 objetos

• Calcular la división del tipo DU ÷ DU en la forma vertical. (M) 6 fundas de 10 mentas y 5 mentas

(2/7)

Hoy el profesor Rubén tiene 7 fundas de 10 mangos para sus 20 niños y niñas.

3. Resolver el ejercicio 2 . [Hasta aquí 2/7] [Desde aquí 3/7~4/7] 1. Leer el problema , captar su sentido y escribir el PO. [C1] 2. Pensar en una manera rápida para distribuir las mentas. [C2] * Aconsejar a los niños y a las niñas que, sin tomar en cuenta a Luis y las 5 mentas, repartan las 6 fundas entre los 2 grupos de 10 niños.

¿Cuántas fundas le tocan a cada grupo? y ¿cuántas sobran?

¿Cuántos mangos le tocan a cada niño y niña? y ¿cuántos sobran? Como una funda para cada grupo quiere decir un mango para cada niño;

PO: 7÷ 2 = 3 sobra 1

R: 3 fundas y sobra 1 funda

PO: 70÷20 = 3 sobran 10 R: 3 mangos y sobran 10 mangos

Calcule mentalmente. (1) 50 ÷ 20

(2) 90 ÷ 20

(3) 110 ÷ 20

(4) 130 ÷ 20

(5) 70 ÷ 30

(6) 300 ÷ 40

2 sobran 10

4 sobran 10

5 sobran 10

6 sobran 10

2 sobran 10

7 sobran 20

Hoy llegó un niño que se llama Luis a la sección del profesor Rubén. (3/7~4/7) Como no hay asiento para él, el profesor le consiguió una mesa pequeña. El padre de Luis regaló 65 mentas (6 cajas de 10 mentas y 5 mentas más) para los niños. El profesor va a repartir 65 mentas entre 21 niños y niñas. ¿Cuántas mentas le toca a cada uno y una? y ¿cuántas sobran?

3. Confirmar la respuesta.

10 10 10 10 10

CO NF I TE

CO NF I TE S

CO NF I TE

CO NF I TE S

NF I TE S

NF I TE

NF I TE S

10 1

Escriba el PO. PO: 65 ÷ 21

¿Cuál es la manera rápida de repartirlas? Si se reparte una caja de mentas a cada grupo, cada miembro recibe una menta y no sobra nada. Si se reparten 6 cajas en 2 grupos, a cada grupo le tocan: 6 ÷ 2 = 3 cajas. De 5 mentas que estaban fuera de las cajas, a Luis se le dan 3. Ahora cada niño y niña recibe 3 mentas y sobran 2. PO: 65 ÷ 21 = 3 sobran 2 R: A cada uno le tocan 3 mentas y sobran 2

En la tercera clase es recomendable explicar la situación dibujando en la pizarra, de modo que los niños y las niñas no vean la explicación del LE antes de pensar por sí mismos.

Dividamos entre un número de dos cifras [Continuación]

Vamos a pensar en la forma del cálculo vertical de 65 ÷ 21. No se pueden repartir 6 (decenas) entre 21 DU x (porque 6 < 21) 65 2 1 Sí se puede repartir 65 entre 21 (porque 65 > 21), 65

21 3

Encontrar el número para probar Se divide 6 entre 2 Probar 3 y colocarlo debajo del divisor

65 63

21 3

Multiplicar 3 x 21

65 - 63 2

21 3

Restar 63 de 65

Vamos a comprobar la división. La cantidad repartida es 3 x 21, y con lo que sobra equivale a la cantidad total, por lo tanto: 3 x 21 + 2 = 65

cociente x divisor + residuo = dividendo

Calcule y compruebe el resultado: (1) 49 12 4 sobra 1 4 x 12 + 1 = 49

(2) 54 23 2 sobran 8 2 x 23 + 8 = 54

(3) 69 34 2 sobra 1 2 x 34 + 1 = 69

(4) 85 42 2 sobra 1 2 x 42 + 1 = 85

(5) 83 57 1 sobran 26 1 x 57 + 26 = 83

(6) 89 22 4 sobra 1 4 x 22 + 1 = 89

(7) 76 32 2 sobra 1 2 x 32 + 12 = 76

(8) 57 28 2 sobra 1 2 x 28 + 1 = 57

(3) 78 39 2 sobra 0 2 x 39 = 78

(4) 98 49 2 sobra 0 2 x 49 = 98

Calcule y compruebe el resultado: (1) 28 14 2 sobra 0 2 x 14 = 49

(2) 72 24 3 sobra 0 3 x 24 = 72

4. Pensar en la forma del cálculo vertical de 65 ÷ 21. [D] * Primero, pensar en la forma de colocar el dividendo y el divisor aplicando lo aprendido en la división entre U. Segundo, estimar el número para probar. * En esta etapa para la estimación del número para probar, se redondea el divisor convirtiendo las unidades a cero (21 20). Si se aplica esta manera, siempre se obtiene un número para probar mayor o igual que el cociente. 5. Confirmar la forma del cál culo. * En la etapa 5, para utilizar una sola tabla, se menciona primero el número para probar («cuatro por uno, cuatro por dos»). * Aunque el divisor es un número de dos cifras, el procedimiento del cálculo es el mismo que con el caso de la división entre U. [Hasta aquí 3/7] [Desde aquí 4/7] 6. Pensar en la manera de comprobar el resultado. [E] M: Representen la cantidad total de mentas con los datos 21, 3 y 2. 7. Confirmar la relación entre dividendo, divisor, cociente y residuo. “cociente x divisor + residuo = dividendo”. 8. Resolver los ejercicios 3 y 4 . * En estos ejercicios no hay necesidad de corregir el número encontrado para probar si se emplea la manera explicada arriba. * 3 con residuo 4 sin residuo

1. Calcular la división 71 ÷ 24 de la manera aprendida en la clase anterior. [F] * Los niños y las niñas se darán cuenta de que no se puede restar.

Lección 2: (5/7)

2. Pensar en la manera de vencer la dificultad. * Hay que reducir el número para probar.

Materiales:

Objetivo: • Conocer la manera de corregir el número que se probó en caso de DU ÷ DU.

5. Calcular la división 41 ÷ 14. [G] * Esta vez hay que corregir dos veces. * Que surja la idea de los niños y las niñas sin que se les enseñe. 6. Confirmar que hay que corregir repetidamente el número para probar, hasta que se pueda restar. 7. Resolver el ejercicio 6 . * El número de veces de la corrección del número para probar. (1) a (3): 2 veces; (4) y (5): 3 veces. * (2) y (5) no tienen residuo.

Unidad 5 - División

(5/7)

Vamos a pensar en la forma del cálculo de 71 ÷ 24. 7 ÷ 2 = 3 residuo 1, por lo tanto vamos a probar 3

3. Confirmar que cuando no se puede restar (o sea que el número para probar es mayor que el cociente), hay que disminuir 1 del número para probar. 4. Resolver el ejercicio 5 . * Todos los ejercicios necesitan corregir una vez el número para probar.

Dividamos entre un número de dos cifras

Probar 3 y multiplicar

Probar 2, multiplicar y restar Restar 1 del número para probar

71 24 72 3 No se puede restar

71 24 - 48 2 23

Si al multiplicar el número para probar por el divisor el resultado es mayor que el dividendo, es decir, no se puede restar, entonces se debe disminuir el número para probar.

Calcule: (1) 47 13 3 sobran 8

(2) 86 24 3 sobran 14

(3) 83 43 1 sobran 40

(4) 84 12 7 sobra 0

(5) 42 14 3 sobra 0

Vamos a pensar en la forma del cálculo de 41 ÷ 14. 41 14 56 4

Restar 1 del número para probar

4 ÷ 1= 4 probar 4 y multiplicar por 14 No se puede restar

41 14 42 3

41 14 - 28 2 13 Probar 2 y multiplicar Restar

Restar 1 del número para probar

Probar 3 y multiplicar Tampoco se puede restar.

Si al multiplicar el número para probar por el divisor el resultado sigue siendo mayor que el dividendo, hay que seguir disminuyéndolo hasta que se pueda restar.

Calcule: (1) 92 13 7 sobra 1

(2) 98 14 7 sobra 0

(4) 92 14 6 sobran 8

(5) 90 15 6 sobra 0

38 treinta y ocho

(3) 77 15 5 sobran 2

Lección 2: (6/7)

Dividamos entre un número de dos cifras

Objetivo: • Calcular la división del tipo CDU ÷ DU = U en la forma vertical.

Materiales:

1. Pensar en la forma del cálculo de 108 ÷ 21. [H] * Que los niños y las niñas traten de aplicar el método aprendido, es decir primero decidir dónde colocar el cociente y segundo estimar el número para probar. 2. Confirmar la forma.

(6/7)

Vamos a pensar en la forma del cálculo de 108 ÷ 21. 108

1 ÷ 21 no se puede, 10 ÷ 21 no se puede, 108 ÷ 21 sí se puede.

108 - 105 3

21 5

Encontrar el número para probar 10 ÷ 2 = 5 Probar 5, multiplicar por 21, restar 105 de 108.

Calcule: (1) 139 23 6 sobra 1

(2) 129 32 4 sobra 1

(3) 108 54 2 sobra 0

(4) 243 43 5 sobran 28

(6) 639 73 8 sobran 55

(7) 272 34 8 sobra 0

(8) 183 26 7 sobra 1

(9) 162 27 6 sobra 0

(5) 259 65 3 sobran 64 (10) 189 28 6 sobran 21

Vamos a pensar en la forma del cálculo de 901 ÷ 93. 901

9 ÷ 93 no se puede, 90 ÷ 93 no se puede, 901 ÷ 93 sí se puede.

901 - 837 64

93 9

Encontrar el número para probar 90 ÷ 9 = 10, pero no se pueden dos cifras a la vez probar 9

Cuando da un 10 como el número para probar, hay que probar con 9.

Calcule: (1) 413 42 9 sobran 35

(2) 627 63 9 sobran 60

(3) 501 54 9 sobran 15

(4) 207 23 9 sobra 0

(6) 205 23 8 sobran 21

(7) 104 13 8 sobra 0

(8) 105 14 7 sobran 7

(9) 100 14 7 sobran 2

(5) 300 34 8 sobran 28 (10) 101 15 6 sobran 11

3. Resolver el ejercicio 7 . * El número de veces de la corrección del número para probar. (1) a (3) 0, (4) a (7) 1, (8) y (9) 2, (10) 3 * (3), (7) y (9) no tienen residuo. 4. Pensar en la forma del cálculo 901 ÷ 93. [I] * La dificultad de este ejercicio consiste en que con la manera anterior el número para probar da 10, pero en las unidades no caben 10 unidades, y hay que probar con 9. 5. Confirmar que cuando se da el 10 como número para probar, hay que probar con 9. 6. Resolver el ejercicio 8 . * El número de veces de la corrección. (1) a (4): 0; (5) a (7): 1; (8) y (9): 2; (10): 3 * (4) y (7) no tienen residuo.

treinta y nueve 39

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

1. Comparar dos formas de redondear el divisor. [J] 2. Conocer que hay casos donde la manera de convertir el divisor a la decena próxima tiene menos veces de corrección del número para probar.

Objetivo: • Conocer la manera de buscar el número para probar convirtiendo el divisor a la decena próxima.

Materiales:

3. Resolver el ejercicio 9 . * No se necesita corrección si se utiliza la forma (b).

4. Pensar en la forma de calcular 78 ÷ 19. [K] * El método da 3 como el número para probar, pero 21 no puede ser el residuo, porque es mayor que el divisor. Con este método hay peligro de que los niños y las niñas no se den cuenta de esto.

81 28 112 4

a) 8 ÷ 2 = 4

Unidad 5 - División

probar 4

81 28 84 3

La decena próxima del 28 es 30, por lo tanto 8 ÷ 3 = 2 sobran 2 probar 2 81 28 - 56 2 25

81 28 - 56 2 25

Calcule las siguientes divisiones de la forma b): (1) 31 19 1 sobran 12

(2) 51 18 2 sobran 15

(3) 83 17 4 sobran 15

(4) 74 27 2 sobran 20

(5) 32 17 1 sobran 15

(6) 80 29 2 sobran 22

(7) 67 17 3 sobran 16

(8) 244 38 6 sobran 16

Vamos a pensar en la forma del cálculo de 78 ÷ 19. 78 19 - 57 3 21

Utilizar la manera b) para encontrar el número para probar la decena más próxima de 19 es 20. Entonces podemos pensar como 78 ÷ 20. 7 ÷ 2 = 3 sobra 1 probar 3 Probar 3, multiplicar por 19, restar 57 de 78 21 es mayor que 19, por lo tanto, 3 no puede ser el cociente

78 19 - 76 4 2

Aumentar el número para probar y probar con 4 Probar 4, multiplicar por 19, restar 76 de 78, La resta es 2, que es menor que el divisor, entonces ya está.

Si al restar el dividendo el resultado es mayor que divisor, hay que aumentar el número para probar.

Calcule las siguientes divisiones de la forma b): (1) 76 17 4 sobran 8

(2) 87 17 5 sobran 2

(3) 89 29 3 sobran 2

(4) 54 18 3 sobra 0

(5) 78 23 3 sobran 4

(6) 47 22 2 sobran 4

(7) 93 23 4 sobran 4

(8) 84 21 4 sobra 0

40 cuarenta

(7/7)

Vamos a comparar dos maneras de encontrar el número para probar en el cálculo de 81 ÷ 28.

5. Confirmar que si al restar el resultado es mayor que el divisor, se debe corregir el cociente aumentando el número para probar. 6. Resolver el ejercicio 10 . * El número de veces de la corrección en estos ejercicios cuando se aplica la forma (b) es 1. (4) y (8) no tienen residuo.

Dividamos entre un número de dos cifras

Lección 2: (7/7)

Lección 3: (1/3)

Sigamos dividiendo entre un número de dos cifras

Objetivo: • Calcular la división del tipo CDU ÷ DU = DU en la forma vertical.

Materiales: (M) lámina del dibujo del LE Lección 3: Sigamos dividiendo entre un número de dos cifras

Hoy, el profesor Rubén tiene hojas de papel en 3 cajas de 10 decenas, y además 2 decenas y una hoja más. Él quiere repartir estas 321 hojas de papel a sus 21 niños. ¿Cuántas hojas le tocan a cada uno?

100 100 100

(1/3)

10 10

Escribimos el PO. PO: 321 ÷ 21

Pensamos en una manera rápida para distribuirlas, aprovechando la ayuda de los líderes de grupo. A cada líder se le da 1 caja para que reparta 1 decena de hojas a cada miembro de su grupo, a Luis se le da directamente 1 decena. Ahora sobran 1 caja de 10 decenas, 1 decena y 1 hoja. Se desagrupan y se distribuyen 111 hojas entre 21 niños.

Vamos a calcular en la forma vertical.

1. Leer el problema, captar su sentido y escribir el PO. [A1] 2. Pensar en la forma de repartir las hojas. [A2] * Aplicando la idea de la clase anterior, que los niños y las niñas empiecen por repartir las decenas (los grupos de 10 hojas). 3. Pensar en la forma del cálculo. [A3] 4. Confirmar la forma del cálculo. * Es la combinación de dos divisiones 32 ÷ 21 y 111 ÷ 21. * Siempre se requieren los cuatro pasos: probar, multiplicar, restar y bajar como en el caso de la división entre U aprendido en 3er grado. 5. Resolver el ejercicio 1 .

321

3 ÷ 21 no se puede, 32 ÷ 21 sí se puede

321 - 21 111

21 1

Efectuar el cálculo 32 ÷ 21 Encontrar el número para probar 3 ÷ 2 = 1 sobra 1 probar 1 Probar 1, multiplicar por 21, restar 21 de 32, sobran 11, bajar 1.

321 - 21 111 - 105 6

21 15

Efectuar el cálculo 111 ÷ 21 Encontrar el número para probar 11 ÷ 2 = 5 sobra 1 probar 5 Probar 5, multiplicar por 21, restar 105 de 111, sobran 6. R: A cada uno le tocan 15 hojas y sobran 6

Calcule: (1) 684 32 21 sobran 12

(2) 896 64 (3) 500 21 14 23 sobra 0 sobran 17

(4) 864 27 32 sobra 0

(6) 870 13 66 sobran 12

(7) 952 14 (8) 777 17 68 45 sobra 0 sobran 12

(9) 913 16 (10) 911 19 57 47 sobra 1 sobran 18

(5) 902 26 34 sobran 18

cuarenta y uno 41

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

1. Pensar en la forma del cálculo vertical de 3,769 ÷ 12. [B] 2. Presentar las ideas y discutir sobre ellas. 3. Confirmar la forma. * Se repiten tres veces los cuatro pasos. 4. Resolver el ejercicio 2 . 5. Conocer la forma de abreviar la multiplicación por cero en 703 ÷ 34. [C(1)] M: (Mostrando la forma «a» en la pizarra) En este cálculo, ¿hay pasos que podemos abreviar? RP: No es necesario restar 0 de 23. * Mostrar la forma (b).

Sigamos dividiendo entre un número de dos cifras

Lección 3: (2/3)

Objetivo: • Calcular la división del tipo UMCDU ÷ DU = CDU en

Materiales: B

la forma vertical. • Conocer la forma de abreviar los pasos cuando hay 0 en el cociente.

3,769 12 -36 314 16 - 12 49 - 48 1

sobran 4 (5) 8,289 sobra 1

Repetir 3 veces los cuatro pasos (probar, multiplicar, restar, bajar)

63 157 14 592

(2) 5,895 sobran 3 (6) 6,296 sobran 8

12 491 16 393

(3) 5,200 sobran 16 (7) 8,444 sobran 14

27 192 15 562

(4) 5,294 sobran 3 (8) 9,329 sobra 0

37 143 19 491

Vamos a calcular 703 ÷ 34 y 9,713 ÷ 48. (1) a) 703 - 68 23 - 00 23

34 20

b) 703 - 68 23

34 20

(2) a) 9,713 -96 11 - 00 113 - 96 17

48 202

b) 9,713 -96 113 - 96 17

48 202

Cuando hay 0 en el cociente, se pueden abreviar los pasos de multiplicar y restar.

7. Resolver los ejercicios 3 y 4 . 3

Calcule: (1) 704 23

(2) 402 13

(3) 614 15

(4) 968 19

(5) 3,731 12

30 sobran 14

30 sobran 12

40 sobran 14

50 sobran 18

sobran 11

310

Calcule:

(1) 6,512 32 203 sobran 16

(2) 1,712 16 107 sobra 0

(3) 7,119 23 309 sobran 12

(4) 6,528 16 408 sobra 0

(5) 6,778 67 101 sobran 11

(6) 9,615 12 801 sobran 3

(7) 9,126 13 702 sobra 0

(8) 8,519 17 501 sobran 2

(9) 8,419 21 400 sobran 19

(10) 6,011 12 500 sobran 11

42 cuarenta y dos

Unidad 5 - División

3 ÷ 12 no se puede, 37 ÷ 12 sí se puede

Calcule: (1) 9,895

6. Abreviar la multiplicación por cero en 9,713 ÷ 48. [C(2)] M: Vamos a aplicar esta forma abreviada a 9,713 ÷ 48.

(2/3)

Vamos a pensar en la forma del cálculo vertical de 3,769 ÷ 12.

Sigamos dividiendo entre un número de dos cifras

Lección 3: (3/3)

Objetivo: • Calcular la división del tipo UMCDU ÷ DU = DU en la forma vertical.

2. Confirmar la forma de calcular.

Materiales: D

(3/3)

Vamos a pensar en la forma del cálculo vertical de 1,505 ÷ 42. 1,505 42 - 1 26 35 245 - 210 35

1 ÷ 42 no se puede, 15 ÷ 42 no se puede 150 ÷ 42 sí se puede

53 82

sobran 26 (5) 2,325

(2) 1,978

(3) 4,499

23 86

sobra 0 33 70

sobran 15

3. Resolver el ejercicio 5 . * De (5) a (8) hay cero en las unidades del cociente, y se puede omitir los pasos de multiplicar por cero y restar.

Repetir 2 veces los cuatro pasos (probar, multiplicar, restar, bajar)

Calcule: (1) 4,372

1. Pensar en la forma del cálculo vertical de 1,505 ÷ 42. [D] * Siempre se aplica la misma forma.

(4) 1,000

58 77

sobran 33

(6) 1,560

22 70

(7) 1,030

sobran 20

16 62

[Intentémoslo] Ejercicios suplemenatrios

sobran 8 17 60

(8) 4,770

sobran 10

53 90

sobra 0

Intentémoslo

!Agrupa las divisiones del mismo resultado! Hay algunas divisiones cuyo resultado es igual. Traza solamente 3 líneas rectas y agrupa el resultado. Tendrás 7 grupos de divisiones. 1,368 ÷ 72

1,264 ÷ 79

R: 19

R: 16 1,344 ÷ 84 R: 16

1,026 ÷ 54 R: 19 400 ÷ 20

1,536 ÷ 96 R: 16 1,261 ÷ 97 R: 13

1,292 ÷ 68 R: 19 1,326 ÷ 78 R: 17

R: 20

966 ÷ 69

1,157 ÷ 89 R: 13 1,027 ÷ 79

R: 14

R: 13

1,386 ÷ 99

1,232 ÷ 88

1,548 ÷ 86

R: 14

R: 18 cuarenta y tres 43

[Intentémoslo] En este juego se recomienda que el maestro o la maestra plantee la situación en la pizarra o en una cartulina y le pida a los niños y a las niñas (individual o en grupo) que desarrollen en su cuaderno y luego que intenten separar las divisiones solo con las tres líneas. Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

1. Calcular 14,000 ÷ 400. [A] 2. Presentar las impresiones. RP: Hay muchos ceros. Sólo me fijé en el 4. 3. Conocer la forma rápida. * En 14,000 hay 140 centenas y en 400 hay 4. Si se reparten 140 centenas a 4 grupos de centenas, cada grupo recibe 35 centenas, y cada miembro del grupo recibe 35 unidades.

Lección 4: (1/2)

Objetivo: • Conocer la forma abreviada de la división cuando el dividendo y el divisor tienen ceros en las posiciones inferiores.

Materiales: Lección 4: Conozcamos algunas reglas de la división

7. Confirmar la forma de encontrar el residuo. 8. Resolver el ejercicio 2 .

Unidad 5 - División

(1/2)

Vamos a calcular 14,000 ÷ 400. 14,000 400 - 12 35 20 -20 0

4. Resolver el ejercicio 1 . 5. Calcular 15,000 ÷ 400. [B] * Recorrer el aula y encontrar la equivocación de poner 2 en el residuo. 6. Presentar las ideas y discutir sobre ellas. * Incluir la equivocación mencionada en el inciso 5. RP: El residuo no puede ser 2, porque 400 x 37 + 2 = 14,802 y no es igual al dividendo, contrario a la relación «divisor x cociente + residuo = dividendo». * En 15,000 hay 150 centenas y en 400 hay 4. Si se reparten 150 centenas a 4 grupos de centenas, cada grupo recibe 37 centenas y sobran 2 centenas. Cada miembro de los grupos recibe 37 unidades, por lo tanto, el cociente es 37 y como no se pueden repartir 2 centenas entre 400, el residuo es 2 centenas, o sea 200.

Conozcamos algunas reglas de la división

En 14,000 hay 140 centenas y en 400 hay 4 centenas, por lo tanto, repartir 14,000 entre 400 quiere decir repartir 140 centenas entre 4 centenas y cada centena recibe 140 ÷ 4 = 35 centenas, lo que quiere decir que cada unidad recibe 35 unidades

En la división se puede quitar la misma cantidad de ceros de las posiciones de la derecha, tanto del dividendo como del divisor.

Calcule en su cuaderno: (1) 10,800 ÷ 600 18 sobra 0

(2) 3,000 ÷ 50 60 sobra 0

(3) 7,200 ÷ 300 24 sobra 0

(4) 9,200 ÷ 230 40 sobra 0

Vamos a calcular 15,000 ÷ 400. 15,000 400 - 12 37 30 -28 200

Cada centena recibe 37 centenas y sobran 2 centenas, por lo tanto cada unidad recibe 37 unidades y sobran 200.

Si se calcula la división quitando los ceros, se agrega la misma cantidad de ceros al residuo.

Calcule: (1) 11,000 ÷ 600 18 sobran 200

44 cuarenta y cuatro

(2) 3,020 ÷ 50 60 sobran 20

(3) 7,300 ÷ 300 24 sobran 100

(4) 9,300 ÷ 230 40 sobran 100

Conozcamos algunas reglas de la división

Lección 4: (2/2)

Objetivo: • Conocer la propiedad de la división (que al multiplicar, o dividir, por, o entre, el mismo número tanto el dividendo como el divisor al mismo tiempo, no cambia el resultado).

Materiales: C

(2/2)

Encuentre las parejas que dan el mismo resultado. (1) 630 ÷ 30

(2) 300 ÷ 15

630 ÷ 30 = 21 igual

÷ 10 ÷ 10 63 ÷

3 = 21

(3) 63 ÷ 3

(4) 60 ÷ 3

300 ÷ 15 = 20 x5

x5 60 ÷

igual 3 = 20

R: (1) y (3), (2) y (4). En la división si se multiplica o se divide por el mismo número tanto el dividendo como el divisor, el resultado no cambia.

1. Calcular las cuatro divisiones y hallar las parejas con el mismo cociente. [C] 2. Explicar porqué coincide el cociente. * En caso de 630 ÷ 30 y 63 ÷ 3, se consideran los grupos de 10. Repartir 630 dándole a cada uno 30, quiere decir: repartir 63 decenas dándole a cada grupo de 10, 3 decenas. * En caso de 300 ÷ 15 y 60 ÷ 3, se consideran los grupos de 5. Repartir 300 dándole a cada uno 15, quiere decir: repartir 60 grupos de 5 dándole a cada grupo de 5, 3 grupos de 5. 3. Resolver el ejercicio 3 .

Escriba el número que se corresponde a la casilla. (1) 810 ÷ 27 = 270 ÷ 9

(2) 390 ÷ 30 = 78 ÷ 6

(3) 300 ÷ 12 = 150 ÷

(4) 1,000 ÷ 20 = 250 ÷ 5

(5) 540 ÷ 15 = 180 ÷ 5

(6) 320 ÷ 16 = 80 ÷ 4

(7) 500 ÷ 50 = 100 ÷ 10

(8) 420 ÷ 14 = 60 ÷ 2

cuarenta y cinco 45

1) Con la actividad [C] se pretende que los niños y las niñas se den cuenta que al multiplicar o dividir por un mismo número (que no sea cero) tanto el dividendo como el divisor, el cociente no cambia. 2) Este tipo de conversión se necesitará cuando se trate la división de los números decimales y de las fracciones. Por ejemplo: 14 ÷ 0.4 (multiplicando por 10) 140 ÷ 4. Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

Los ejercicios tratan: 1 UmCDU ÷ D, DmUmCDU ÷ D

2 DU ÷ DU = U, U ÷ DU = U 3 CDU ÷ DU = U

Unidad 5: (1/2~2/2)

Ejercicios

Objetivo: • Confirmar lo aprendido resolviendo los ejercicios.

Materiales:

4 CDU ÷ DU = DU 5 UmCDU ÷ DU = CDU

Ejercicios 1

Calcule los siguientes ejercicios. (1) 6,473 ÷ 4

sobra 1

6 UmCDU ÷ DU = DU

Continúa en la siguiente página...

Calcule los siguientes ejercicios. (1) 85 ÷ 28

sobra 1

(1) 286 ÷ 85 (5) 958 ÷ 97

sobran 85

(1) 317 ÷ 26 (5) 224 ÷ 14

sobra 0

(6) 709 ÷ 12

sobra 1

(13) 704 ÷ 13

(14) 711 ÷ 14

sobra 0

(5) 6,381 ÷ 18

sobran 9

(3) 63,450 ÷ 8

sobran 2

(3) 73 ÷ 15

sobran 13

(3) 100 ÷ 27

sobran 19

(7) 208 ÷ 26

sobra 0

(3) 925 ÷ 48

sobran 13

(7) 806 ÷ 13

sobra 0

(11) 911 ÷ 17 sobran 10

(4) 45,243 ÷ 9

sobra 0

(4) 8 ÷ 59

sobran 8

(4) 273 ÷ 39

sobra 0

(8) 106 ÷ 18

sobran 16

(4) 900 ÷ 38

sobran 26

(8) 504 ÷ 14

sobra 0

(12) 913 ÷ 19 sobra 1

sobran 11

Calcule los siguientes ejercicios.

(1) 7,489 ÷ 53

sobran 16

(2) 1,912 ÷ 14

sobran 8

(6) 8,591 ÷ 19

sobran 3

(3) 5,895 ÷ 12

sobran 3

(7) 5,793 ÷ 34

sobran 13

(4) 5,294 ÷ 17

sobran 7

(8) 8,543 ÷ 14

sobran 3

(9) 4,908 ÷ 12

(10) 5,319 ÷ 13

(11) 8,500 ÷ 14

(12) 9,246 ÷ 23

(13) 6,019 ÷ 15

(14) 9,072 ÷ 18

(15) 9,625 ÷ 3

(16) 9,000 ÷ 18

sobra 0

sobran 4

sobran 2

sobra 0

Calcule los siguientes ejercicios.

(1) 2,222 ÷ 96

sobran 14

(5) 7,188 ÷ 79

sobran 78

46 cuarenta y seis

Unidad 5 - División

(2) 850 ÷ 32

sobran 18

(10) 784 ÷ 16

sobran 2

(6) 502 ÷ 56

sobran 54

(9) 540 ÷ 15

sobra 0

(2) 632 ÷ 79

sobra 0

Calcule los siguientes ejercicios. sobran 5

(2) 91 ÷ 13

sobra 0

Calcule los siguientes ejercicios. sobran 31

(2) 84,634 ÷ 7

sobran 4

(2) 2,837 ÷ 34

sobran 15

(6) 3,250 ÷ 46

sobran 30

sobran 2

sobra 1

(3) 1,993 ÷ 26

sobran 17

(7) 1,110 ÷ 37

sobra 0

(4) 2,700 ÷ 39

sobran 9

(8) 1,120 ÷ 16

sobra 0

Ejercicios

7 Problemas de aplicación.

[Continuación]

Resuelva los siguientes problemas. (1) Se compran 17 boletos por 765 pesos. ¿Cuánto cuesta cada boleto? PO: 765 ÷ 17 = 45 R: 45 pesos (2) Si un libro de texto cuesta 32 pesos y pagamos 1,216 pesos, ¿cuántos libros de texto se han comprado? PO: 1,216 ÷ 32 = 38 R: 38 libros de texto (3) 38 kg de hierro cuestan 9,880 pesos. ¿Cuánto cuesta un kilogramo de hierro? PO: 9,880 ÷ 38 = 260 R: 260 pesos (4) Hay 270 litros de aceite. Si se vacía esta cantidad en botellas de 18 litros de capacidad, ¿cuántas botellas se van a necesitar? PO: 270 ÷ 18 = 15 R: 15 botellas

8 Elaboración de problemas usando los datos dados.

(5) Si 125 m de alambre pesan 1,625 g, ¿cuánto pesa 1 m de alambre? PO: 1,625 ÷ 125 = 13 R: 13 g (6) Si hay 516 hojas de papel y se van a distribuir 12 hojas a cada persona, ¿cuántas personas reciben 12 hojas? PO: 516 ÷ 12 = 43 R: 43 personas (7) Si en 25 días se elaboraron 8,150 muñecas, ¿cuántas muñecas se elaboraron por día? PO: 8,150 ÷ 25 = 326 R: 326 muñecas (8) Se han pintado 38 m de línea central de una calle con 152 litros de pintura. ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintar un metro? PO: 152 ÷ 38 = 4 R: 4 litros de pintura (9) Hay 1,500 cm de alambre. Si se cortan en pedazos de 72 cm de longitud, ¿cuántos pedazos de 72 cm se obtendrán y cuántos centímetros sobrarán? PO: 1,500 ÷ 72 = 20 residuo 60 R: Se obtendrán 20 pedazos de 72 cm y sobrarán 60 cm (10) Hay cuatro paquetes de 1,000 hojas cada uno y un paquete de 300 hojas. Si se distribuyen equitativamente entre 42 personas, ¿cuántas hojas le tocan a cada persona y cuántas sobran? PO: 4,300 ÷ 42 = 102 residuo 16 R: A cada persona le tocan 102 hojas y sobran 16 hojas

Elabore problemas de división con los siguiente datos. (1) 324 hojas de papel, 36 personas Si hay 324 hojas de papel y se distribuyen equitativamente entre 36 personas, ¿cuántas hojas de papel le tocan a cada persona? PO: 324 ÷ 36 = 9 R: 9 hojas de papel (2) 120 gramos de alambre, pesa 15 gramos por metro Si hay 120 gramos de alambre y pesa 15 gramos por metro, ¿cuántos metros de alambre hay? PO: 120 ÷ 15 = 8 R: 8 metros (3) 3,450 pesos, 23 metros de alambre Si 23 metros de alambre cuestan 3,450 pesos, ¿cuánto cuesta 1 metro de alambre? PO: 3,450 ÷ 23 = 150 R: 150 pesos Si 27 metros de cinta pesan 486 gramos, (4) 486 gramos, 27 metros ¿cuánto pesa 1 metro de cinta? PO: 486 ÷ 27 = 18 R: 18 gramos

Unidad

Triángulos

(6 horas)

Expectativas de logro • Clasifican los triángulos por la longitud de sus lados en equiláteros, isósceles y escalenos • Construyen triángulos equiláteros e isósceles. • Identifican el concepto de perímetro y calculan perímetro de triángulos y cuadriláteros.

Relación y desarrollo

• Clasificación de objetos por su forma. • Superficies planas y curvas. • Identificación de figuras planas. • Fundamentos de composición y descomposición de figuras planas.

• Línea recta. • Concepto de triángulo y cuadrilátero. • Construcción de triángulos y cuadriláteros.

• Elementos de triángulo y cuadrilátero: vértice y lado. • Ángulo recto. • Concepto de rectángulo y cuadrado. • Concepto de triángulo rectángulo. • Construcción de rectángulos, cuadrados y triángulos rectángulos.

• Concepto de figuras simétricas. • Eje de simetría. • Características de figu ras simétricas. • Construcción de figuras simétricas.

• Clasificación de triángulos por medida de sus lados: triángulo equilátero, isósceles y escaleno. • Características de los ángulos de los triángulos equiláteros y isósceles. • Construcción de triángulos equiláteros y isósceles usando compás. • Concepto de perímetroForma de calcular perímetros de triángulos y cuadriláteros.

Plan de estudio

(6 horas)

1. Clasifiquemos triángulos (3 horas)

1/3~2/3 3/3

• Características de los ángulos de los triángulos isósceles y equiláteros

2. Construyamos triángulos (2 horas)

1/2

• Construcción del triángulo equiláteros usando el compás

2/2

• Construcción del triángulo isósceles usando el compás

3. Calculemos el perímetro (1 hora)

1/1

• Concepto de perimétro

Puntos de lección

• Lección 1: Clasifiquemos triángulos

• Forma de calcular el perímetro del triángulo y el cuarilátero

cruce con el primero, marcamos un punto en el lugar que se cruzan y por último trazamos las líneas rectas desde el punto hasta cada extremo de la primera línea dibujada.

2 0

1 2

En esta unidad, por primera vez los niños y las niñas se enfocan a un sólo tipo de figuras planas, que es el triángulo, y lo clasifican no intuitivamente sino con un cierto criterio matemático; por la longitud de los lados. Se debe dar la importancia tanto a la forma de clasificar como a los tipos clasificados del triángulo. Además que puedan darse cuenta de las características de los ángulos de los triángulos isósceles y equiláteros. El triángulo equilátero, además de tener sus tres lados de la misma medida, tiene sus tres ángulos de la misma medida. El isósceles, además de tener dos lados de la misma medida, tiene dos ángulos de la misma medida.

• Clasificación de triángulos por la medida de sus ángulos

3 5 6

Para construir los triángulos equiláteros e isósceles hay que garantizar que la longitud de sus lados cumpla con los requisitos necesarios. Para esto es conveniente el uso del compás. Pero manejar el compás es un poco difícil para los niños y las niñas, así que se les debe dar suficiente tiempo para que practiquen. Lo más recomendable es tener un compás de pizarra y hacer alguna demostración de como usarse. Para construir los triángulos utilizando el compás procedemos de la siguiente manera: Trazamos una línea recta con la longitud deseada, abrimos el compás con la misma longitud que la línea trazada si el triángulo es equilátero y de diferente longitud si es isósceles. Apoyando la punta metálica en un extremo de la línea trazada dibujamos un arco, luego apoyando en el otro extremos dibujamos otro arco que se

• Lección 2: Costruyamos triángulos

• Lección 3: Calculemos el perímetro En esta lección lo más importante es que los niñas y niñas entiendan bien el concepto de perímetro. Que capten que es la suma de la longitud de todos los lados. Si comprenden bien este concepto pueden aplicarlo a cualquier figura sin importar el número de lados, ya que esto es, más bien, una aplicación de la suma que ya han aprendido.

Desarrollo de clases

Clasifiquemos triángulos

* Recomendar que los niños y las niñas recorten los triángulos de la página para recortar anticipadamente (véase Notas).

• Clasificar los triángulos por la medida de sus lados en equiláteros, isósceles y escalenos. (M) modelos de triángulos como los de [A] para la pizarra (N) tijeras, reglas, pegamento

1. Captar el tema. [A] 2. Clasificar los triángulos con el criterio preferido. M: Vamos a clasificar los triángulos en grupos. * Dar el tiempo de la resolución independiente, pedir que expresen sus ideas en la pizarra. M: ¿Quién clasificó de la misma manera que Yessy? * Aprovechar las expresiones de los niños y las niñas, enfocar la forma de clasificar por la medida de los lados. 3. Conocer los triángulos equiláteros, isósceles y escalenos. [A1] M: ¿Cómo son los triángulos de cada grupo? Que se den cuenta que son los triángulos con los 3 lados iguales, 2 lados iguales y 3 lados diferentes. * Pedir que confirmen la medida de los lados (véase Notas de la siguiente página). * Explicar el nombre de los triángulos de cada grupo. Si los niños y niñas pueden hacerlo, es mejor que lo hagan, de lo contrario introducimos los nombres haciendo las aclaraciones necesarias

1. Escriba cuáles de estas figuras son triángulos rectángulos. ( A, D, E ) A

(1/3~2/3) Vamos a clasificar los triángulos en grupos.

Vanessa

Miguel

Yessy

Yessy clasificó observando la longitud de los lados. Piensa cómo son los triángulos de cada grupo. A

Los triángulos del grupo A que sus 3 lados son de igual medidase llama triángulo equilátero. Los triángulos del grupo B que sus 2 lados son de igual medidase llama triángulo isósceles. Los triángulos del grupo C que sus 3 lados son de diferente medidase llama triángulo escaleno.

Esta clase se desarrolla usando los triángulos dibujados considerando la dificultad de preparar los materiales. Pero para que los niños y las niñas se den cuenta la longitud de los lados, es útil usar las sorbetes o palitos de 4 tipos de longitud (unos 10 sorbetes de 6, 8, 10 y 12 cm, por ejemplo). Sería mejor que los sorbetes tuvieran diferentes colores dependiendo de la longitud. Cada niño o niña forma varios triángulos escogiendo 3 sorbetes y uniéndolos con cinta pegante o pasando un hilo dentro de ellas. El maestro o la maestra pueden usar los triángulos construidos por los niños y las niñas para la clasificación.

Clasifiquemos triángulos

4. Clasificar los triángulos por la medida de los lados. [A2] * Pedir que recalquen con el lápiz de color los lados iguales en un triángulo. * Pedir que los peguen en el cuaderno clasificándolos.

[Continuación]

Clasifique los triángulos recortados por la medida de los lados.

Encuentre en su entorno los triángulos equiláteros, isósceles y escalenos. 1

(

Escriba el nombre adecuado a cada triángulo.

)

triángulo escaleno

( triángulo equilátero

)

(

triángulo isósceles

)

Clasifique los siguientes triángulos. (Mida los lados según la necesidad) 2 cm 3 cm

3 cm A

2 cm

F 1 cm

4 cm

D 3 cm

1 cm 2 cm

3 cm

4 cm

2 cm

3 cm

1 cm I

G H

5 cm

N K O

(

Triángulos equiláteros ) B, F, G, J

(

Triángulos isósceles ) A, D, H, K, L, M

6. Resolver el ejercicio 1 . [Hasta aquí 1/3] [Desde aquí 2/3] 7. Resolver el ejercicio 2 . * Antes de resolver el ejercicio se debe repasar la clase anterior recordando la clasificación que hicieron y los criterios que tomaron en cuenta.

5. Buscar los 3 tipos del triángulo en el entorno. [A3] * Es probable que no se encuentren los triángulos en el aula, sobre todo los triángulos escalenos. En este caso, se puede ampliar la actividad no sólo en el aula sino también fuera del aula, en la casa o en la comunidad, como una tarea. Si los niños y las niñas no encuentran los triángulos escalenos, se darán cuenta que en el ambiente se utilizan más los triángulos equiláteros e isósceles como un diseño.

(

Triángulos escalenos ) C, E, I, N, O

En este caso, no es necesario saber cuánto mide cada lado sino saber si hay lado de la misma longitud. Por lo tanto se puede hacer la comparación indirecta usando un intermediario como puede ser una tira de papel, o un compás, etc. Pero como no se ha estudiado el uso del compás, aquí se usa la regla. Si los triángulos permiten doblarse, se puede comparar doblando de modo que se sobrepongan los lados.

1. Identificar un triángulo isósceles y equilátero. [B1] Que lo recuerden observando los triángulos. M: ¿Cuáles son las características de los lados de los triángulos isósceles y equiláteros? RP: En los triángulos isósceles hay dos lados iguales. En los triángulos equiláteros los tres lados son iguales. 3. Encontrar las características de los ángulos de los triángulos isósceles y equiláteros. [B2] * Orientar que lo piensen por ellos mismos utilizando los triángulos observados en la actividad 1. Se puede pedir que los recorten. M: Vamos a descubrir el secreto de los ángulos de los triángulos isósceles y equiláteros. ¿Cómo podemos descubrirlo? RP: a) Medir cada ángulo con el transportador. b) Comparar los ángulos sobreponiéndolos al doblar los vértices de los triángulos recortados. Que se den cuenta que los triángulos equiláteros tienen 3 ángulos de igual medida (60 grados) y los isósceles tienen 2 ángulos de igual medida. 3. Confirmar en el LE y concretar las características de los ángulos de los triángulos isósceles y equiláteros. 4. Resolver el ejercicio 3 .

Unidad 6 - Triángulos

Clasifiquemos triángulos

Lección 1: (3/3)

Objetivo: • Identificar algunas características de los ángulos de los triángulos equiláteros e isósceles.

Materiales:

(M) transportador (N) transportador

5 cm

B 5 cm

4 cm

El triángulo A es isósceles porque tiene dos lados con la misma medida.

(3/3)

Piense ¿cuál es el nombre de estos triángulos? y ¿por qué?.

El triángulo B es equilátero porque sus tres lados tienen la misma medida.

Vamos a ver las características de los triángulos isósceles y equiláteros. (1) ¿Cuáles son las medidas de los ángulos? Hay varias formas para encontrarlas, por ejemplo: medir con el transportador, sobreponer los ángulos doblando los vértices, etc., ¿verdad?

Las medidas de los ángulos del triángulo isósceles (A) son: 66°, 48° y 66° Las medidas de los ángulos del triángulo equilátero (B) son: 60°, 60° y 60°

En los triángulos isósceles, hay dos ángulos con la misma medida. En los triángulos equiláteros, los tres ángulos tienen la misma medida. También se puede confirmar doblando.

Triángulo isósceles

Triángulo equilátero

3 Halle la medida de los ángulos “a” y “b” de los dibujos siguientes. 5 cm

O a 60

50 cincuenta

5 cm 60O

5 cm

6 cm

6 cm 70 b O

4.1 cm

Construyamos triángulos

Lección 2: (1/2)

Objetivo: • Construir triángulos equiláteros usando el compás. Materiales: (M) regla, compás (N) regla, compás

Lección 2: Construyamos triángulos

(1/2)

Vamos a dibujar un triángulo equilátero cuyos lados son de 4 cm. Isabel trazó un lado de 4 cm como la base. ¿Cómo se puede encontrar el vértice A?

Se encuentra el vértice A, que se ubica a 4 cm del B y del C. Para encontrar un punto común desde dos puntos diferentes, se puede usar el compás.

4 cm 4 cm

4 cm

Isabel

Practique el uso del compás en el cuaderno.

El compás se usa para dibujar círculos, copiar y pasar la longitud. 1 Dibuje un círculo. 2 Trace una línea y la divide en 3 cm. 3 cm

3 cm

Dibujar dando la vuelta.

Abrir las patas.

Trazar las líneas curvas dividiendo en la misma longitud sin cambiar la apertura del compás.

Dibuje usando el compás un triángulo equilátero cuyos lados miden 4 cm. Dibujo 1 2 0

4 cm

10 11

Se omite la solución

1. Captar el tema. [A] * Pedir que los niños y las niñas intenten dibujar un triángulo equilátero en el cuaderno. Se puede aprovechar las ideas de ellos para conducir al contenido de la clase. 2. Pensar en la forma de encontrar el vértice A. [A1] Que se den cuenta que hay que buscar un punto que mide 4 cm desde dos puntos diferentes. * Explicar que para eso se puede usar el compás (véase Notas). 3. Practicar el uso del compás. [A2] * Dar el tiempo para que los niños y las niñas conozcan el uso básico del compás. Hay que garantizar el tiempo de la práctica en otra ocasión. 4. Dibujar los triángulos equiláteros con el compás. [A3] * Demostrar la forma de dibujar el triángulo equilátero, confirmar porqué con el compás se puede dibujar el triángulo equilátero. * Hacer que dibujen más triángulos equiláteros en el cuaderno. 5. Resolver el ejercicio 1 .

Dibuje los siguientes triángulos en el cuaderno de apuntes.

Se omite la solución

(2) Un triángulo equilátero cuyos 3 lados miden 5 cm

(1) 3 cm

3 cm

(3) Un triángulo equilátero que su lado mide 6 cm

cincuenta y uno 51

Con el compás podemos encontrar el punto que esté a 4 cm de los extremos del lado que ya se trazó. (Ver Puntos de lección) [Evaluación de la construcción de triángulos] Para evaluar las construcciones, es recomendable preparar un patrón de papel del triángulo, o un patrón del triángulo en papel transparente, para sobreponerla y compararla con el dibujo construido de los niños y las niñas.

Partes de un compás

Cabeza

Patas Mina (lápiz o barra de grafito)

Guía para maestros/as - Matemática 40 grado

Punta metálica

Construyamos triángulos

1. Captar el tema. [B] 2. Pensar con qué lado se empieza a dibujar. [B1] Que se den cuenta que es más fácil trazar primero un el lado cuya medida es diferente que los otros dos porque no es necesario cambiar la medida del compás. * Explicar que para eso se puede usar el compás como se hizo para construir el triángulo equilátero. 3. Dibujar los triángulos isósceles con el compás. [B2] * Pedir que dibujen más triángulos isósceles en el cuaderno

• Construir triángulos isósceles usando el compás. (M) regla, compás (N) regla, compás, tijeras

Vamos a dibujar un triángulo isósceles cuyos lados miden 4 cm, 5 cm y 5 cm.

Piense con qué lado es mejor empezar a dibujar. Con el lado de 4 cm como la base. Porque los otros dos tienen la misma medida y facilita el uso del compás.

5 cm

(2/2)

5 cm

4 cm

Dibuje el triángulo isósceles cuyos lados midan 4 cm, 5 cm, 5 cm. Dibujo

Se omite la solución

4. Resolver el ejercicio 2 . [Nos divertimos] Actividades de formar diseños ubicando los triángulos sin espacio * Esta actividad enriquece la percepción de observar las figuras geométricas y apoya a sentir su belleza. Dentro de los diseños, se pueden ver otros polígonos y sus características. No es necesario explicar pero si dentro de los niños y las niñas surgen estas observaciones, felicitarles mucho y animarles que sigan teniendo interés por descubrir en la matemática. * Se puede agregar 1 hora de clase para la actividad.

Dibuje los siguientes triángulos en el cuaderno de apuntes. Se omite la solución (1) (2) Un triángulo isósceles cuyos lados son de 4 cm, 6 cm y 6 cm 3 cm 3 cm 5 cm

(3) Un triángulo isósceles cuyos lados son de 5 cm, 6 cm y 5 cm

Vamos a hacer un bonito diseño (mosaico) con los triángulos equiláteros e isósceles. (Recorte las tarjetas que hay en las páginas para recortar)

1 Con los triángulos equiláteros.

2 Con los triángulos isósceles.

Hay otras formas para dibujar triángulos isósceles indicando las medidas de sus tres lados, por ejemplo;

Calculemos el perímetro

Lección 3: (1/1)

1. Captar la situación del problema. [A] 2. Pensar la forma de resolver el problema. [A1] M: ¿Qué hacemos para encontrar la longitud de la cuerda? Que se den cuenta que se puede encontrar sumando la longitud de todos los lados.

Objetivo: • Identificar el concepto de perímetro.

• Calcular el perímetro de triángulos y cuadriláteros.

Materiales: (M) regla, cinta métrica (N) regla, cinta métrica

Lección 3: Calculemos el perímetro

(1/1)

En el patio de la escuela de Diana hay un jardín de forma triangular, como se muestra en el dibujo. Se necesita poner una cuerda en todo el alrededor. ¿Cuál deberá ser la longitud de la cuerda?

6m ¿Cómo se puede encontrar la longitud de la cuerda?

Sumando las longitudes de los cuatro lados del jardín.

Escriba el planteamiento de la operación y encuentre la respuesta. PO: 6 + 5 + 5 = 16

Dos lados miden 5 m y un lado mide 6 m.

R: 16 m

La longitud del alrededor de una figura se llama perímetro. El perímetro se encuentra sumando la longitud de todos los lados.

1 Calcule el perímetro de estas figuras. (1)

(2)

5m 6m

(3)

15 cm

40 cm 36 cm

PO: 6 + 7 + 7 + 5 = 25 R: 25 m

PO: 15 + 36 + 40 = 91 R: 91 cm

(4)

18 cm

5m 5m

14 cm

PO: 18 + 14 + 18 = 50 R: 50 cm

PO: 5 + 5 + 5 + 5 = 20 R: 20 m

2 Juan tiene un solar con la forma como se muestra en el dibujo. El quiere rodearlo 5 veces con cuerdas de alambre de púas. ¿Cuántos metros de alambre necesita? 20 m

13 m

PO: 13 + 20 + 12 + 25 = 70 12 m

5 x 70 = 350 R: 350 m

25 m

cincuenta y tres 53

3. Escribir el PO y encontrar la respuesta. [A2] * Asignar a niños y niñas para que expresen su forma de resolver después de la resolución independiente. * Confirmar el PO y la respuesta. 4. Confirmar el concepto de perímetro. * Explicar que la longitud del alrededor o borde de una figura se llama perímetro Que se den cuenta que el perímetro de una figura se calcula sumando la longitud de todos sus lados. 5. Medir el perímetro de algún objeto del entorno. * Indicar que midan el perímetro de algunos objetos como la pizarra, una puerta, una hoja de papel, etc. 6. Resolver los ejercicios 1 y 2 . * En el caso del ejercicio 2 , es posible que los niños y niñas se confundan al dar la respuesta si no toman en cuenta que son 5 veces que hay que rodear la figura, por lo que deben multiplicar el perímetro por 5.

Guía para maestros/as - Matemática 40 grado

Unidad

Fracciones

(12 horas)

Expectativas de logro • Construyen fracciones equivalentes a una fracción dada. • Reducen fracciones a su mínima expresión. • Resuelven problemas que implican la adición y sustracción de fracciones que tienen el mismo denominador.

Relación y desarrollo

• Concepto de la fracción como parte de una unidad. • Lectura y escritura de fracciones. • Representación gráfica de fracciones. • Fracciones propias, fracciones impropias y números mixtos. • Conversión entre número mixto y fracción impropia. • Comparación de fracciones que tienen mismo denominador.

Plan de estudio

(12 horas)

1. Conozcamos las fracciones equivalentes (2 horas)

• Fracciones equivalentes. • Reducción de fracciones a su mínima expresión. • Adición y sustracción de fracciones que tienen mismo denominador.

1/2

• Fracciones equivalentes

2/2

• Mínima expresión de una fracción

2. Sumemos y restemos fracciones de igual denominador (9 horas)

1/9~2/9

• Sentido de la adición de fracciones • Fracción propia + fracción propia, suma < 1

3/9

• Fracción propia + fracción propia, suma > 1

4/9

• Número mixto + número mixto sin reagrupar unidades

5/9

• Número mixto + número mixto reagrupando unidades

6/9

• Sentido de la sustracción con fracciones • Fracción propia - fracción propia

3. Ejercicios

(1 hora)

7/9

• Número mixto - número mixto, sin reagrupar

8/9

• Número mixto - fracción propia, reagrupando

9/9

• Número mixto - número mixto, reagrupando

1/1

• Ejercicios

Puntos de lección • Lección 1: Conozcamos las fracciones equivalentes

Un asunto que hace difícil el aprendizaje de las fracciones es que éstas se pueden representar de varias formas: los números mixtos y las fracciones impropias son un ejemplo. Otro caso es que el denominador de una fracción se puede cambiar. Ejemplo: Estos son ejemplos de fracciones equivalentes. Las fracciones equivalentes se pueden obtener multiplicando tanto el numerador como el denominador por números naturales o al dividirlos entre números naturales que sean divisores comunes. Para facilitar la comprensión, por lo general, se representan las fracciones en su mínima expresión (en la forma reducida), o sea con el mínimo denominador posible. El proceso de reducir una fracción a su mínima expresión se llama simplificación. Para reducir una fracción a su mínima expresión se dividen el numerador y el denominador entre el mismo número. Sin embargo en la práctica basta seguir dividiendo ambas partes entre cualquier divisor común.

Ejemplo:

36 48

Por lo tanto

36 36 ÷ 12 3 = 5 = 5 48 48 ÷ 12 4

El máximo común divisor de 36 y 48 es 12.

Pero se puede calcular así:

3 9 18 36 3 = 5 5 4 48 24 12 4

El numerador y el denominador se dividen entre 2, 2 y 3. Las fracciones equivalentes sirven para la comparación y el cálculo de la adición y de la sustracción. Para la suma y resta de fracciones, los niños y las niñas deben tener bien claro el concepto de la equivalencia, tanto entre números mixtos y fracciones impropias como los demás casos. Deben tener suficiente experiencia para entender que una unidad es equivalente a

etc., que 2 unidades son y así sucesivamente.

• Lección 2: Sumemos y restemos fracciones de igual denominador Siguiendo siempre con la estrategia general, se introduce el concepto de la adición y de la sustracción con la situación concreta y después se enseñan los ejercicios, bien clasificados. Adición de las fracciones Si se considera la fracción como tantas veces una fracción con el mismo denominador y numerador 1, se puede reducir la adición de las fracciones con el mismo denominador a la adición de los números naturales. Ejemplo: 2 7

Si la suma de la parte fraccionaria es una fracción impropia, se convierte en una fracción mixta y se suma el 1 que se llevó a la suma de la parte entera. Se simplifica si se puede. Se puede cambiar el orden de y . Ejemplo: 1

8 12 4 = 3 +2 9 9 9

proceso

= 4

3 9

proceso

= 4

1 3

proceso

ó 3 7

8 13 26 4 = proceso +2 + 9 9 9 9

2 1 consiste en 2 veces , 7 7

39 9

proceso

3 1 consiste en 3 veces , 7 7

13 3

proceso

2 7

por lo tanto = 5 veces

1 7

3 7

consiste en (2 + 3)

que es igual a

5 . 7

El cálculo se vuelve un poco complicado cuando hay necesidad de simplificar y/o convertir en una fracción mixta (caso de reagrupando), aunque ambas son una aplicación de lo aprendido en las lecciones anteriores. Como en este material, las fracciones se representan en la forma de fracción mixta, el proceso de la adición es el siguiente: Se suman por separado la parte entera y la parte fraccionaria, o se convierten los dos sumandos en fracciones impropias y se suman (en este caso se omite el proceso 2).

Unidad 7 - Fracciones

12 3 =1 9 9

En esta GM hemos adoptado el primer procedimiento. Sustracción de las fracciones Como en el caso de la adición, la sustracción de las fracciones con el mismo denominador se reduce a la sustracción de los números naturales. Ejemplo: 6 7

2 7

6 1 consiste en 6 veces , 7 7 2 1 consiste en 2 veces , 7 7 6 7

por lo tanto = 4 veces

12 3 =1 9 9

1 7

2 7

consiste en (6 - 2)

que es igual a

4 . 7

Aquí también hay casos donde se simplifica y se convierte en una fracción impropia (caso de reagrupando). El proceso de la sustracción es el siguiente: Se restan por separado la parte entera y la parte fraccionaria, si se puede, o se convierten el minuendo y el sustrayendo en fracciones impropias y se restan (en este caso se omite el proceso del inciso ). Si no se puede restar la parte fraccionaria, se quita 1 de la parte entera del sustraendo y con la parte fraccionaria se forma una fracción mixta, que se convierte en una fracción impropia y se efectúa por separado la sustracción de la parte entera y la parte fraccionaria. Se simplifica si se puede.

Ejemplo: (1)

ó 4

(2)

5 1 4 - 1 = 3 6 6 6 2 = 3 3

proceso proceso

5 1 29 7 22 - 1 = = 6 6 6 6 6 11 = 3

proceso proceso

1 5 7 5 - 1 - 1 = 4 proceso 6 6 6 6 1 1 5 . Usar 1 de 5 (No se puede restar 6 6 6 7 1 para que pueda restar: 1 = ) 6 6 5

2 6 1 = 3 3 = 3

ó 5

proceso proceso

20 1 5 31 11 - 1 = = 6 6 6 6 6

proceso

10 3

proceso

La clasificación de los ejercicios La clasificación de los ejercicios y el orden de la enseñanza es como sigue: [f.p. = fracción propia, n.m. = número mixto, n.n. = número natural]

Adición Tipo f.p. + f.p. = f.p. f.p. + f.p. = f.p. f.p. + f.p. = n.m. f.p. + f.p. = n.m. n.m. + n.m. = n.m. (n.m. + f.p., f.p. + n.m.) (6) n.m. + n.m. = n.m. (n.m. + f.p., f.p. + n.m.) (7) n.m. + n.m. = n.m. (n.m. + f.p., f.p. + n.m.) (8) n.m. + n.m. = n.n. (n.m. + f.p., f.p. + n.m.) (1) (2) (3) (4) (5)

Sustracción Simplificación

Reagrupando

No Sí No Sí No

No No Sí Sí No

A B C D E

1 2 3 4 5

No No Sí Sí Sí Sí

Sí Sí Sí Sí Sí Sí

6 7 8 9 10

Numeración en el LE

Tipo (1) f.p. - f.p. = f.p. (2) f.p. - f.p. = f.p. (f.p. - f.p. = 0) (3) n.m. - n.m. = n.m. (4) n.m. - n.m. = n.m. (n.m. - f.p. = n.m.) (n.m. - n.m. = f.p.) (5) n.m. - f.p. = f.p. (6) n.m. - f.p. = f.p. (7) n.m. - n.m. = n.m. (n.m. - n.m. = f.p.) (8) n.m. - n.m. = n.m., f.p. (n.m. - f.p. = n.m.) (9) n.n. - n.m., n.n. - f.p.

Simplificación

Reagrupando

Numeración en el LE

No Sí Sí No Sí Sí, No Sí, No No Sí No No Sí No, Sí No

No No No No No No Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí

G 11 12 H 13 14 15 16 I 17 18 J 19 20 21 22 23

Conozcamos las fracciones equivalentes

Desarrollo de clases

1. Leer el problema, captar su sentido y expresar la medida con una fracción. [A1] Que exprese el área con la unidad de medida.

• Conocer las fracciones equivalentes a una fracción propia.

2. Comparar la cantidad. [A2] Que juzguen con la gráfica. 3. Conocer el término «fracciones equivalentes» y expresar la relación con el signo de igualdad « = ».

1. Escriba la fracción que representa la parte coloreada 1 1 1 1 (1) (2) 1 4

1 3

1 5 m ó m 2 2 2. Convierta las siguientes fracciones impropias a números mixtos 5 1 8 2 19 3 (1) (2) (3) 2 2 4 2 2 3 3 4 4 3. Convierta los siguientes números mixtos a fracciones impropias 1 1 13 5 13 7 (1) 2 (2) 3 (3) 1 3 4 8 3 4 8 (3)

(1/2)

Ana y Carlos tomaron jugo de naranja. 1

Ana

Carlos

¿Qué cantidad de jugo tomó cada uno de ellos?

Ana tomó 1 y Carlos tomó 2 2 4 ¿Quién tomó más jugo de naranja? 1

Ana

Echando el jugo de Ana en un recipiente como el de Carlos

Carlos

2 1 = 4 2 o sea, que los dos tomaron igual cantidad de jugo de naranja.

Las fracciones que representan la misma cantidad se llaman fracciones equivalentes. Se escribe esta relación con el signo de igualdad. Ejemplo: 1 y 2 son equivalentes y se escribe 1 = 2 . 4 2 2 4

Conozcamos las fracciones equivalentes [Continuación]

Vamos a encontrar las fracciones equivalentes a 1 . 2 1 2

0 1 3

1 5

Se multiplica por 2, 3, 4 y 5 2

¿Qué relación hay entre el denominador 2 y los denominadores de las fracciones equivalentes encontradas?

1 7

¿Qué relación hay entre el numerador 1 y los numeradores de las fracciones equivalentes encontradas?

1 6

1 4

Se multiplica por 2, 3, 4 y 5

1 8

1 9

1 10

1 2

2 4

3 6 x4

4 8

= x5

Se obtienen fracciones equivalentes si el numerador y el denominador se multiplican por un mismo número. 1 2

4. Encontrar las fracciones equivalentes a 12 . [B] * Orientar para captar que cada línea representa 1 unidad y se han dividido de diferente forma en partes iguales. Que se den cuenta que las fracciones que coinciden en la misma línea vertical son equivalentes. M: Cuáles fracciones son equivalentes a 12 . 5 RP: 24 , 36 , 48 y 10 . * Se puede nombrar otras fracciones ( 13 , 23 ,... etc.) para que encuentren las que sean equivalentes a esas.

5 10

Escriba cuatro fracciones equivalentes para cada una de las siguientes:

5 10

5. Analizar las relaciones entre las fracciones encontradas. [B1] y [B2] Que se den cuenta que en ambos casos basta con multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número. 6. Confirmar la manera de en contrar las fracciones equivalentes. 7. Resolver los ejercicios 1 y 2 .

Las respuestas pueden variar (1)

1 2, 3 3 6 9

(2)

4, 5 12 15 2

3 6, 9 4 8 12 12 , 15 16 20

(3)

2 4, 6 5 10 15 8 , 10 20 25

(4)

1 2, 3 2 4 6 4, 5 8 10

(5)

4 8 , 12 7 14 21 16 , 20 28 35

[Hasta aquí 1/2] [Desde aquí 2/2]

Escriba el número adecuado en la casilla. (1)

3 9 12 = = 20 5 15

(2)

9 6 3 = = 24 8 8

1. Pensar en la manera de encontrar la fracción más simple que es equivalente a 42 . 60 [C] * En la clase anterior se hallaron las fracciones equivalentes multiplicando tanto el denominador como el numerador por un mismo número. Como esto es el proceso inverso, se espera que los niños y las niñas encuentren la respuesta.

Conozcamos las fracciones equivalentes

Lección 1: (2/2)

Objetivo: • Simplificar fracciones a su mínima expresión. Materiales:

Vamos a encontrar la fracción equivalente más simple del tiempo 42 que estudió Luis. Luis dice: Anoche estudié hora. 60 Vamos a expresar esta fracción de la forma más simple, o sea con una fracción

2. Conocer los términos: irreducible y simplificación.

(2/2)

equivalente a 42 y que tiene el mínimo denominador posible. 60 42 21 El numerador y el denominador se dividen entre 2. = 60 30 Se pueden dividir aun más.

3. Resolver los ejercicios del 3 al 5 . * En 4 se efectúa la simplificación en la parte fraccionaria dejando intacta la parte entera.

7 10

El numerador y el denominador se dividen entre 3. 7 21 42 = 7 60 10 30 10

Se puede escribir así:

Se dice que una fracción es irreducible si tiene el mínimo denominador. También se dice que está en su mínima expresión. Para obtener la mínima expresión hay que seguir dividiendo tanto el numerador como el denominador entre el mismo número hasta que no se pueda, dividir más. Este proceso se llama simplificación. Desde ahora vamos a representar las fracciones en su mínima expresión. 3 15 3

Unidad 7 - Fracciones

÷3

1 5

Reduzca las siguientes fracciones a su mínima expresión. 6 3 9 3 18 3 8 2 (3) (4) (1) (2) 8 4 15 5 42 7 12 3 Reduzca las siguientes fracciones a su mínima expresión. 2 1 6 2 18 3 8 2 3 2 1 4 (3) 1 (4) 4 (1) 3 (2) 2 4 2 15 5 24 4 12 3 Reduzca las siguientes fracciones a su mínima expresión. 4 12 20 15 (3) (4) 2 4 5 3 (1) (2) 2 3 4 5

56 cincuenta y seis

÷3

(5)

30 2 45 3

(5) 3

50 5 3 60 6

Sumemos y restemos fracciones de igual denominador • Conocer el sentido de la adición de las fracciones. • Sumar las fracciones: fracción propia + fracción propia con resultado menor que la unidad.

Juan bebió 2 de leche en la mañana y 3 7 7 ¿Cuánta leche bebió en total?

Escriba el PO. PO: 2 + 3 7 7 Encuentre el resultado.

(1/9~2/9)

en la tarde.

En 3 hay 3 veces 1 . 7 7 En total hay 2 + 3 = 5 veces 1 , es decir, 5 . 7 7 3 5 5 2 PO: + = R: 7 7 7 7

4. Resolver el ejercicio 1 . [Hasta aquí 1/9]

En la adición de las fracciones con un mismo denominador, al contar cuántas fracciones hay con numerador 1, se puede calcular como en el caso de los números naturales.

[Desde aquí 2/9]

Para sumar fracciones con un mismo denominador, se suman los numeradores y se escribe el mismo denominador. (1)

2 4 6 1 2 3 (2) + = + = 7 7 7 7 7 7

(3)

1 2 3 = + 5 5 5

(4)

2 1 1 = + 3 3 3

(5)

8 3 5 + = 11 11 11

Sume

(1)

1 1 2 2 1 1 (2) + + = = 6 6 4 4 4 6 =

1 3

1 2

(3)

4 1 3 = + 8 8 8 =

1 2

(4)

6 2 4 = + 9 9 9 =

2 3

(5)

1 3 + . [B] 8 8 Que se acuerden que en la respuesta se utiliza la mínima expresión.

5. Calcular

1 3 . + 8 8 3 4 1 + = 8 8 8 1 = 2

2. Pensar en la manera de encontrar el resultado. [A2] Que consulten el dibujo del LE y que piensen cuántos de 1 hay en total. 7 3. Confirmar la manera del cálculo. Que se den cuenta que se pueden sumar las fracciones con el mismo denominador fijándose cuántas fracciones hay con numerador 1.

En 2 hay 2 veces 1 . 7 7

1. Leer el problema, captar su sentido y escribir el PO. [A1] Que entiendan que es el caso de «agregar».

3 1 4 + = 10 10 10 =

6. Resolver el ejercicio 2 . * Todos necesitan la simplifica ción.

2 5

Sumemos y restemos fracciones de igual denominador

3 4 1. Calcular + . [C] 5 5 * Se puede representar el resultado en la forma de número mixto o de fracción impropia.

• Sumar las fracciones: fracción propia + fracción propia con resultado mayor que la unidad.

2. Resolver el ejercicio 3 . 5 7 + . [D] 8 8 * Hay que simplificar. * Se puede simplificar antes o después de la conversión. En ambos casos se obtiene el mismo resultado.

• Sumar las fracciones: número mixto + número mixto (sin reagrupar unidades).

3. Calcular

Sume

[Hasta aquí 3/9]

3 5 4 5

1 4 7 3 + = 5 5 5

(1)

5 3 + 7 7 8 1 = =1 7 7

4 7 + 9 9 11 2 = =1 9 9

7 12 5 + = 8 8 8

(4) 5 + 8 11 11 13 2 = =1 11 11

(3)

(4/9) ó

5 7 12 + = 8 8 8

3 2 =1 1 2

2 2 + 3 3 4 1 = =1 3 3

(2)

Sume. 4 8 (1) (2) 7 + 9 + 9 10 10 9 4 8 1 3 = =1 = =1 3 5 3 5 Sume 2 1 + 1 3 . 5 5 1 2 5 3 1 5 4 3 5

=14 8 1 =1 2 (3)

7 11 + 12 12 3 1 = =1 2 2

(4) 1 + 5 6 6

(5) 3 + 5 8 8

3 1 4 = 3 + 1 5 5 5

Cuando se suman fracciones mixtas, se suman por separado la parte entera y la parte fraccionaria.

2 5

Sume 5 + 7 . 8 8

1 3 1. Calcular 2 + 1 . [E] 5 5 Que usen gráfica para encontrar el resultado. 2. Confirmar la forma de cal cular número mixto + número mixto sin reagrupar unidades.

(3/9)

7 5 2 1 5

4. Resolver el ejercicio 4 . * En (4) y (5) la respuesta es 1.

[Desde aquí 4/9]

4 3 + . 5 5

Sumemos y restemos fracciones de igual denominador [Continuación]

• Sumar las fracciones: número mixto + número mixto (reagrupando unidades).

2 4 + 3 7 6 7 =4 7 2 1 (5) 2 + 5 5 3 =2 5

(1) 1

Sume 2

[Hasta aquí 4/9] [Desde aquí 5/9] 3 4 + 1 . [F] 5 5 3 4 7 * Hay que cambiar + = 5 5 5 2 en 1 , para expresar el re5 sultado en la forma de número 1. Calcular 2

5 Sume.

3. Resolver el ejercicio 5 . * En (5) a (8) una de las fracciones es propia.

1 1 + 2 3 2 3 =6 3 4 2 + (6) 3 7 7 6 =3 7 (2) 4

(3) 1

(7)

2 5 + 4 9 7 9 =5 9 5 2 + 4 9 9 7 =4 9

(4) 2

(8)

5 3 + 1 11 8 11 =3 11 3 5 + 1 11 11 8 =1 11

4 3 . + 1 5 5

(5/9) 2

3 5

4 5

7 5

2 5

Calcule las siguientes operaciones. 4 2 2 2 6 (1) 1 + 3 + 1 (2) 2 5 5 3 3 1 1 =5 =4 3 5 4 4 3 5 7 (1) 2 + + (2) 1 5 7 5 7 2 2 =3 =2 5 7 5 7 4 8 8 (1) 2 + 3 (2) 1 + 2 8 8 9 9 1 1 =6 =4 2 3 3 7 7 7 9 (1) 2 + (2) 1 + 8 8 10 10 2 1 =3 =2 5 4 1 1 2 5 10 (1) 4 + 5 + 2 (2) 4 3 6 3 6 = 10 =7

(3) 1

6 7

+ 2 =4

(3)

4 9

+ 2 =3

(3) 3

5 6 5 9

2 9

+ 1 =5

(3)

2 7

2 3

+ 2

1 3 5 3 + (3) 2 8 8 =3 =3

3 5

+ 1

3 7 7 9 5 6 7 9

4 5

= 3

7 5

= 4

2 5

3 4 mixto. Entonces 2 +1 = 5 5 2 2 2+1+1 =4 . 5 5 2. Resolver los ejercicios del 6 al 10 . * En cuanto al tipo de ejercicios véase Columnas.

4 7 + 2 9 9 2 =8 9 5 7 + 3 (4) 11 11 1 =4 11 7 9 (4) 4 + 2 10 10 3 =7 5 5 11 (4) + 3 12 12 1 =4 3 3 7 + 4 (4) 10 10 =5 (4) 5

Sumemos y restemos fracciones de igual denominador

1. Leer el problema, captar su sentido y escribir el PO. [G1] * Este caso tiene el sentido de «quitar».

• Conocer el sentido de la sustracción de las fracciones. • Restar las fracciones: fracción propia – fracción propia. • Restar las fracciones: número mixto – número mixto (sin reagrupar unidades).

2. Pensar en la manera de encontrar el resultado. [G2] 3. Confirmar la manera del cálculo. Que se den cuenta que se pueden restar las fracciones con el mismo denominador fijándose cuántas fracciones hay con numerador 1.

G 1 2

4. Resolver los ejercicios 11 y 12 . * En 12 se necesita simplifica ción. * En 12 el resultado de (4) es 0.

(6/9)

Escriba el PO. 2 PO: 6 7 7 Encuentre el resultado. 2 7

PO: 6 7

2 7 María:

6 1 hay 6 veces , 7 7 de lo cual se quitan 2. En

4 2 = 7 7

Entonces 6 – 2 = 4 veces 1 . 7 4 R: 7

Para restar fracciones con un mismo denominador se restan los numeradores y se escribe el mismo denominador.

[Hasta aquí 6/9]

11 (1) 4 – 1 = 3

(2) 2 – 1 = 1 3 3 3

(3) 7 – 2 = 5 9 9 9

(4) 8 – 3 = 5 11 11 11

[Desde aquí 7/9]

12 (1) 5 – 1 = 2

(2) 3 – 1 = 1 2 4 4

(3) 5 – 3 = 1 8 8 4

(4) 5 – 5 = 0 6 6

4 1 1. Calcular 3 - 1 . [H] 5 5 Que piensen consultando la gráfica. 2. Confirmar la forma del cál culo. 3. Resolver los ejercicios del 13 al 16 . * En cuanto al tipo de ejercicios véase Columnas.

2 6 de leche y María se tomó . 7 7 ¿Cuánta leche quedó?

Había

5 6

5 3

Encuentre el resultado de 3 4 – 1 1 5 5

(7/9) 1 1 5

Calcule las siguientes operaciones. 3 2 2 2 5 4 13 (1) 3 –2 –1 =3 =1 (2) 4 7 9 9 7 7 9

1 3 4 – 1 = 2 5 5 5

(3) 5

1 1 2 –2 =3 3 3 3

(4) 6

4 1 5 –1 =5 11 11 11

14 (1) 6

1 3 1 –1 =5 4 4 2

(2) 3

5 1 2 –1 =2 6 6 3

(3) 4

7 3 1 –2 =2 8 8 2

(4) 5

7 4 1 –1 =4 9 9 3

15 (1) 3

2 8 – 9 9

(2) 2

7 2 1 – =2 3 15 15

(3) 1

5 1 2 – =1 6 6 3

(4) 4

5 1 1 – =4 8 8 2

16 (1) 3

1 4 3 –3 = 7 7 7

(2) 3

4 4 –1 =2 5 5

(3) 2

5 2 1 –2 = 9 9 3

(4) 4

7 3 1 –4 = 2 8 8

2 3

Sumemos y restemos fracciones de igual denominador

2. Confirmar la forma del cál culo.

• Restar las fracciones: número mixto – número mixto, (reagrupando unidades).

3. Resolver los ejercicios 17 y 18 . * En 18 hay que simplificar el resultado.

1 – 5

2 5

–

= =

2. 5

(8/9)

2 5

Reste en su cuaderno 17 (1) 1 1 – 2 = 2 3 3 3 1 3 1 – = 4 4 2

6 2 – 5 5 4 5

1 4 1. Calcular 3 - 1 . [J] 5 5 * Combinando la experiencia obtenida en la adición con la de [I], se espera que los niños y las niñas puedan resolverlo por sí mismos.

(2) 1

3 4 2 – = 5 5 5

(3) 1

5 6 4 – = 7 7 7

(4) 1

7 9 5 – = 11 11 11

(2) 1

1 5 1 – = 6 6 3

(3) 1

3 7 1 – = 8 8 2

(4) 1

5 8 2 – = 9 9 3

Encuentre el resultado de 3 1 – 1 4 5 5

4 1 –1 5 5

= =

[Hasta aquí 8/9] [Desde aquí 9/9]

Cuando no se puede restar el sustraendo de la parte fraccionaria, se cambia una de las unidades por una fracción con el mismo denominador.

1 2 - . [I] 5 5

• Restar las fracciones: número mixto – fracción propia, (reagrupando unidades).

Encuentre el resultado de 1 1 5

18 (1) 1

1. Calcular 1

6 5 2 1 5 2

– 1

(9/9)

4 5

2. Resolver los ejercicios del 19 al 23 . * En cuanto al tipo de ejercicios, véase Columnas.

4 5

Calcule las siguientes operaciones 19 (1) 7 2 – 3 4 = 3 3 5 5 5

(2) 4

1 2 2 –1 =2 3 3 3

(3) 5

2 5 4 –2 =2 7 7 7

(4) 6

7 7 5 –3 =2 9 9 9

20 (1) 3 1 – 2 4 = 2 5 5 5

(2) 2

2 1 2 –1 = 3 3 3

(3) 4

9 4 2 –3 = 11 11 11

(4) 5

7 2 8 – = 13 13 13

21 (1) 3 1 – 1 5 = 1 1 6 3 6

(2) 4

3 7 1 –2 =1 8 8 2

(3) 5

8 1 2 –3 =1 9 3 9

(4) 3

4 9 2 –2 = 15 15 3

22 (1) 2 1 – 3 = 1 1 4 2 4

(2) 3

2 5 2 – =2 9 9 3

(3) 2

9 4 7 – =1 5 10 10

(4) 4

5 7 5 – =3 6 12 12

23 (1) 5 – 2 3 = 2 1 4 4

(2) 3 – 2

4 = 1 5 5

(3) 3 –

1 5 =2 6 6

(4) 1 –

3 = 5 8 8

Los ejercicios tratan sobre:

1 Adición * Correspondencia con los problemas de la lección 3.

2 Sustracción * Correspondencia con los problemas de la Lección 3.

Objetivo: • Confirmar lo aprendido resolviendo los ejercicios.

Sume. (1) 2 7 (4)

(2) Adición del tipo F, 7 .

(3) Sustracción del tipo J, 22 .

(4) Sustracción del tipo 24 .

5 + 8

3 5 = 7 7

(2)

1 3 2 = + 10 10 5

1 7 =1 2 8

(5)

8 11

–

5 3 = 11 11

(2)

7 8

(4) 5 2 – 2 7 = 2 2 15 3 15

3 Problemas de aplicación (1) Sustracción del tipo 21 .

(3)

3 + 5

(3)

11 1 5 =6 + 3 12 3 12

–

3 1 = 8 2

1 – 9

(5) 3 – 1 3 = 1 1 4 4

Resuelva los siguientes problemas. 5 7 (1) Había 2 kg de azúcar. Se usó kg para hacer pasteles. 8 8 ¿Cuántos kilogramos quedaron? PO: 2

3 5 – 7 = 1 4 8 8

R: 1

3 kg 4

3 5 km y hoy 43 km. 7 7 ¿Cuántos kilómetros recorrió en los dos días?

(2) Un camión ayer recorrió 35

5 1 1 3 + R: 79 km 43 = 79 7 7 7 7 3 2 4 2 (3) Hay una pared de 20 m de área. Hoy Carlos pintó 12 m. 5 5 ¿Cuántos metros cuadrados le faltan por pintar? PO: 35

PO: 20

4 4 3 – 12 = 7 5 5 5

R: 7

4 2 m 5

1 3 cm de altura y Ana 138 cm. 4 4 ¿Quién es la más alta?

(4) María mide 132

¿Cuál es la diferencia? 3 1 1 – 132 = 5 4 2 4 R: Ana es la más alta. 1 5 cm 2

PO: 138

62 sesenta y dos

Unidad 7 - Fracciones

4 2 =1 5 5

Reste. (1)

Ejercicios

Unidad 7: (1/1)

7 1 = 9 3

Nos divertimos

Aquí se trata de medir la longitud del segmento (b) por medio de la longitud del segmento (a). Para medir la longitud (a) en (b), se utiliza el compás. Esta manera de seguir midiendo usando la parte que sobra corresponde al «algoritmo de Euclides»:

(No hay distribución de horas)

Si el segmento (a) mide 1 m, ¿cuánto mide el segmento (b)?

(a) (b) (1) En (b) hay 2 veces (a) y sobra la parte (c). (c) (a)

(a)

Este es el origen del uso de las fracciones para representar una medida.

(2) En (a) hay una vez (c) y sobra la parte (d). (a) (d) (c) (3) En (c) hay 2 veces (d) y no sobra nada. (c) (d)

(d)

(a) es 3 veces (d)

(b) es 8 veces (d).

1 8 2 m, (b) mide m, o sea 2 m. 3 3 3

Vamos a medir el segmento (b) aplicando el procedimiento anterior. (En cada pareja, el segmento (a) equivale a 1 m.) (1) (a) (b) (2) (a) (b)

(3) (a) (b)

1 4

2 5

( 125 ) m

( 54 ) m

5 m 7

Unidad

Longitud

(10 horas)

Expectativas de logro • Operan con longitudes, usando las unidades oficiales de cm, m y km. • Resuelven situaciones problemáticas del entorno usando las unidades oficiales anteriores.

Relación y desarrollo

• Comparación de longitudes en forma directa. • Comparación de longitudes en forma indirecta. • Comparación de longitudes utilizando unidades arbitrarias.

Plan de estudio

1. Midamos en kilómetros (5 horas)

• Unidades oficiales de longitud del sistema métrico: “m”, “dm” y “cm”. • Medición de longitudes usando unidades oficia les. • Relación entre las unidades oficiales de longitud: “m”, “dm” y “cm”. • Estimación de longitudes.

• Unidad oficial de longitud del sistema métrico: “mm”. • Medición de longitudes usando unidad oficial “mm”. • Relación entre las unidades oficiales de longitud: “m”, ”dm”, ”cm” y ”mm”.

• Unidad oficial del sistema métrico: “km”. • Medición de distancias usando unidad oficial “km”. • Relación entre las unidades oficiales de longitud: “km” y ”m”. • Forma de escribir longitud con notación decimal. • Adición y sustracción de valores de longitud. • Cálculo vertical de valores de longitud con notación decimal. • Unidades oficiales de longitud del sistema inglés: “pulgada”, ”pié” y ”yarda”. • Medición de longitudes usando unidades oficia les del sistema inglés.

(10 horas)

1/5~2/5

• Utilidad de la cinta métrica • Medición con la cinta métrica

3/5

• Unidad oficial del sistema métrico decimal “el kilómetro” • Relación entre las unidades oficiales (1 km = 1,000 m)

4/5

• Conversión de las unidades entre “km” y “m”

5/5

• Forma de escribir la longitud con notación decimal

2. Sumemos y restemos con la longitud (2 horas) 3. Midamos con las unidades del sistema inglés (3 horas)

1/2

• Adición y sustracción con valores de longitud (m y cm) • Cálculo vertical con la notación decimal

2/2

• Adición y sustracción con valores de longitud (km y m)

1/3

• Unidades oficiales del sistema inglés “la pulgada”, “el pié” y “la yarda”, y sus relaciones

2/3 ~ 3/3

• Construcción de la regla de pulgadas y la cinta de una yarda • Midamos con las unidades no oficiales del sistema inglés

Puntos de lección • Lección 1: Midamos en kilómetros Desarrollando lo aprendido, que los niños y las niñas se den cuenta de la utilidad de la cinta métrica a través de las actividades de medir la longitud larga y la del objeto redondo. Mostrando el mapa, se induce a los niños y a las niñas a que tengan conciencia de la necesidad de la unidad más larga que el “m”. Es recomendable realizar actividades como por ejemplo, caminar hasta un lugar donde queda 1 km lejos de la escuela para que los niños y las niñas tengan la percepción de la longitud de 1 km.

• Lección 2: Sumemos y restemos con la longitud Lo importante del cálculo con la longitud no es solamente encontrar la respuesta correcta sino también tener la percepción del cálculo. Es deseable que los niños y las niñas manifiesten la cantidad aproximada del cálculo según la necesidad. Se orienta esta lección imaginando diversas situaciones de la vida cotidiana de los niños y de las niñas.

• Lección 3: Midamos con las unidades del sistema inglés En la vida cotidiana de los niños y las niñas de la República Dominicana, además de las unidades de medida del sistema métrico, se usan con mucha frecuencia las unidades de un sistema que en un inicio fueron transmitidas através de los conquistadores, sobre todo de España, pero que actualmente su referencia estándar es del sistema inglés. A diferencia de los grados anteriores, que solamente han tratado el sistema métrico decimal, en esta lección se consideran simultáneamente dos sistemas de medidas, pero es importante manejar bien las unidades del sistema métrico decimal porque cada día es más frecuente encontrarlas en el entorno por el intercambio de las informaciones, los productos y las culturas entre los países. En esta lección se orienta la longitud, a los niños y las niñas, con las unidades del sistema inglés mediante la actividad de medición, ya que es frecuente encontrarnos con ellas en las construcciones de la casa, en la industria del mueble, en la compra y venta de madera, etc., por lo que se hace necesario que se familiaricen con ellas y conozcan las relaciones entre sus unidades.

Desarrollo de clases

Midamos en kilómetros

1. Captar el tema y realizar el juego. [A] M: Vamos a jugar lanzando la tapa. * Realizar el juego en el aula (véase Notas).

• Conocer el uso de la cinta métrica y utilizarla para la medición. (M) las cintas métricas. (N) tijera, pegamento.

2. Medir la distancia. * Explicar sobre la distancia e indicar que midan en equipo. Que midan usando la regla de un metro. 3. Expresar la forma de medir la distancia. M: ¿Hay algo que se dieron cuenta durante la medición? RP: Es difícil medir muchas veces con la regla corta. No se puede medir correctamente porque se separa o se dobla la línea que hay que medir, etc. Que sientan la inconveniencia de la regla corta y que intenten pensar alguna idea para medir la longitud larga. 4. Conocer la cinta métrica. * Mostrar las cintas métricas. M: ¿Cuáles ventajas hay si usamos las cintas? Que se den cuenta de las ventajas de las cintas. * Confirmar la forma de leer las cintas métricas.

1. Escriba la longitud que corresponde, indicada con la flecha. (a) 0

(b) 1

(a)

7 mm

(1) 3 m 26 cm =

3,026 mm

(b)

2 cm

(2) 7 dm 9 cm =

790 mm

(c)

2 cm 3 mm

(3) 6,240 mm =

m 24 cm

(1/5~2/5)

Vamos a jugar lanzando la tapa en el piso y medir la longitud hasta donde llegó la tapa.

La longitud que se mide en forma recta entre dos puntos se llama distancia. Para medir la longitud o la distancia más larga que 1 m, sirven las cintas métricas. Cinta métrica para las distancias cortas 0

Metro utilizado por el albañil

(b) 50

(d) 17 m

Metro utilizado por la costurera

Escriba la longitud que indica la flecha. (a)

5. Resolver el ejercicio 1 . [Hasta aquí 1/5]

2. Complete el número que corresponde.

(a)

7 m 15 cm

(b)

7 m 52 cm

(c)

16 m 91 cm

(d)

17 m 17 cm

Esta actividad se realiza para que los niños y las niñas tengan interés por la medición y que sientan la inconveniencia de medir la longitud larga con la regla corta. Entonces, no necesariamente tiene que ser esta actividad sino que puede ser otro tipo de actividad, como: la medición del aula, etc.

Midamos en kilómetros [Desde aquí 2/5] • Conocer la unidad de medida oficial “el kilómetro” y la relación de “1 km = 1,000 m”.

Vamos a medir en equipo la longitud o la distancia con la cinta métrica. (Se puede usar la cinta de 2 m de la página para recortar.)

(3/5)

Ejemplo:

La longitud del corredor de la escuela La longitud del contorno del árbol La distancia de la puerta del aula a la puerta de la siguiente aula

6. Medir en equipo la longitud o la distancia con la cinta métrica. [B] * Hacer que construyan la cinta de 2 m de la página para recortar y la usen para la medición. Se puede hacer que los niños y las niñas unan sus cintas con cinta pegante para que sea más larga. 7. Expresar el resultado. [Hasta aquí 2/5] [Desde aquí 3/5]

El siguiente mapa representa la comunidad de Teresa.

290 m

Parque

720 m

Escuela

Casa de Teresa 345 m

1. Captar el tema. [C] M: ¿Qué observan?

Comedor 530 m

480 m 545 m Colmado

Iglesia 300 m

530 m

Carnicería

¿Qué distancia de recorrido hay si se camina desde la iglesia al parque? PO: 345 + 290 = 635

Hospital 155 m

2. Encontrar la distancia por camino. [C1] y [C2] 3. Conocer la unidad oficial “el kilómetro” y la relación de “1 km = 1000 m”. 4. Resolver el ejercicio 2 .

R: 635m

¿Cuál es la distancia de recorrido de la iglesia a la escuela pasando por el colmado y el hospital? PO: 300 + 155 + 545 = 1,000

R: 1,000 m

La longitud de 1,000m se llama 1 kilómetro y se escribe 1km. 1 km = 1,000 m. El kilómetro es una unidad oficial para medir longitudes muy grandes.

2 Resuelva el siguiente problema. ¿Qué camino es más corto de la casa de Teresa a la escuela, pasando por el parque o pasando por la iglesia? 290 + 720 = 1,100 345 + 300 +155 + 545 = 1,345 PO: _____________________________________________ El camino pasando por el parque R: _____________________________________________

1. Leer el problema y captar su situación. [D] M: ¿Qué hay que encontrar? Que capten que hay que encontrar la distancia en km y m. 2. Encontrar la respuesta. * Indicar que resuelvan por sí mismo. Que se den cuenta que hay que convertir m a km. 3. Expresar la respuesta y la forma de encontrarla. M: ¿Cómo encontraron la respuesta? Que expresen la forma de encontrar la respuesta con sus propias palabras. 4. Conocer el uso de la tabla de unidades. * Explicar que se puede usar la tabla para facilitar la conversión.

Lección 1: Midamos en kilómetros (4/5) Objetivo: • Convertir las unidades entre “m” y “km”. Materiales:

La distancia de recorrido del parque a la escuela es 720 m, y la de la escuela (4/5) al comedor es 530 m. ¿Cuántos kilómetros y metros hay del parque al comedor? PO: 720 + 530 = 1,250

[Intentémoslo] La actividad suplementaria para desarrollar la percepción de la longitud (la distancia) de km

R: 1 km 250 m

3 Escriba en la línea el número que corresponde. (1) 1,340 m = ____ 1 km ____ 340 m

2 km ____ 900 m (2) 2,900 m = ____

4 km ____ 205 m (3) 4,205 m = ____

3 km ____ 716 m (4) 3,716 m = ____

7 km ____ 6 m (5) 7,006 m = ____

9 km ____ 12 m (6) 9,012 m = ____

1,234 m (7) 1 km 234 m = _______

5,980 m (8) 5 km 980 m = _______

8,600 m (9) 8 km 600 m = _______

(10)

6 km 70 m = _______ 6,070 m

2 km 85 m = _______ 2,085 m

(12)

7 km 1 m = _______ 7,001 m

(11)

4 Resuelva el siguiente problema. Desde la escuela al mercado hay 1 km 200 m. De la escuela a la farmacia que queda en el camino al mercado hay 800 m. ¿Cuántos metros hay desde la farmacia al mercado?

5. Resolver los ejercicios del 3 al 5 .

1,250 m = 1 km 250 m

1 km 200 m Escuela

800 m

Farmacia

Mercado

1 km 200 m = 1,200 m 1,200 - 800 = 400 PO: _____________________________________

400 m R: ______________

5 Invente los problemas sobre la distancia observando el mapa de la página anterior y resuélvalos. Se omite la solución

Intentémoslo

Vamos a encontrar un punto que queda más o menos a 1 km desde la escuela. ¿Cómo podríamos encontrar el punto? Yo camino 1 m en 2 pasos, entonces 10 m en 20 pasos, 100 m en 200 pasos. Entonces, para caminar 1 km...

66 sesenta y seis

Unidad 8 - Longitud

Escuela

Lección 1: Midamos en kilómetros (5/5)

1. Captar el tema. [E] M: Vamos a representar la longitud con el número decimal.

Objetivo: • Representar la longitud con la notación decimal. Materiales:

E 1

1 km 357 m Km

Cuando se usa solamente la unidad de kilómetros, la parte de metros es la cantidad que no alcanza a kilómetros. Poniendo el punto decimal, se puede representar con kilómetros. Se lee uno punto tres cinco siete kilometros.

1 3 5 7 R: 1.357 km

Represente las siguientes longitudes en kilómetros. 2 km 700 m 3 km 8 m 5 km 43 m km

2.7 km

(5/5)

Vamos a representar la longitud con el punto decimal. Represente 1 km 357 m en kilómetros.

Hay que tener cuidado con el 0.

5.043 km

8 3.008 km

Represente 3 m 45 cm en metros. 3 m 45 cm m

En caso de m y cm, la cantidad de las casillas es diferente que km y m. Porque 100 cm = 1 m.

3.45 km

6 Resuelva representando las siguientes longitudes en la tabla y con el punto decimal. (1) 1 km 126 m km 1

m 1

km 6

(5) 6 m 45 cm

6.45

m 2

5.206

m 5 m

7 1.7

(4) 8 km 9 m km

4 km

7.034

m 0 m

8.009

m 3

9.03

(8) 4 m 2 cm

(7) 9 m 3 cm

(3) 7 km 34 m

(6) 1 m 70 cm

cm 4

1.126

(2) 5 km 206 m

4 m

2 4.02

sesenta y siete 67

En el caso de 2 km 700 m, al expresarlo como decimal sería 2.700 km, pero se pueden tachar los ceros y escribir 2.7 km. En el caso de 5 km 43 m se debe tener cuidado de no escribir 5.43 km, sino completar un cero al espacio en blanco y escribir 5.043 km.

2. Pensar en la forma de representar 1 km 357 m en kilómetros. [E1] M: ¿Cómo se puede escribir 1 km 357 m con solamente la unidad de km? * Indicar que resuelvan por sí mismo. Que resuelvan aplicando lo aprendido en la unidad de los números decimales. 3. Expresar el resultado. * Aprovechando las expresiones, explicar la forma de representar la longitud con el número decimal. * Hay que tener cuidado con la lectura. 4. Representar otras longitudes que incluyen 0. [E2] * Aprovechando las expresiones, explicar la forma de representar la longitud con el número decimal poniendo atención en el manejo del 0. (Véase Notas) * Confirmar la forma de representar la longitud de km y m en km. 5. Pensar en la forma de representar 3 m 45 cm en metros. [E3] Que se den cuenta de la diferencia que existe en el número de cifras escritas en las posiciones que están a la derecha del punto decimal. * Aprovechando las expresiones, explicar la forma de representar la longitud con el número decimal. * Confirmar la forma de representar la longitud de m y cm en m. 6. Resolver el ejercicio 6 .

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

1. Leer el problema y captar su sentido. [A] * Presentar la situación dibujándola en la pizarra. 2. Escribir el PO. [A1] 3. Encontrar la respuesta. [A2] M: Vamos a encontrar la respuesta pensando en la forma de calcular. * Dar el tiempo para la resolución independiente. 4. Expresar la respuesta y la forma de encontrarla. M: ¿Cómo encontraron la respuesta? * Después de escuchar las ideas de los niños y de las niñas, explicar la forma de calcular verticalmente usando la tabla y usando el punto decimal. * Concluir que para calcular la longitud se operan los metros con los metros y los centímetros con los centímetros. 5. Leer el problema y captar su sentido. [B] * Presentar la situación dibujándola en la pizarra. 6. Escribir el PO. [B1] 7. Encontrar la respuesta. [B2] * Dar el tiempo para la resolución independiente. 8. Expresar la respuesta y la forma de encontrarla. * Después de escuchar las ideas de los niños y de las niñas, explicar la forma de calcular verticalmente usando la tabla y usando el punto decimal. 9. Resolver el ejercicio 1 .

Unidad 8 - Longitud

Lección 2: Sumemos y restemos con la longitud (1/2) Objetivo: • Sumar y restar con las medidas de longitud (metros, centímetros) usando la notación decimal.

Materiales:

Lección 2: Sumemos y restemos con la longitud

Hay una cinta de 4 m 35 cm y otra de 2 m 48 cm. ¿Cuánto mide la longitud total?

Escriba el PO.

Encuentre la respuesta pensando la forma del cálculo.

4 m 35 cm + 2 m 48 cm

Violeta m 4 2 6

(1/2) 2 m 48 cm

4 m 35 cm

Wilmer cm 35 48 83

Xiomara

4 m 35 cm = 4.35 m 2 m 48 cm = 2.48 m 4.35 + 2.48 = 6.83

R: 6 m 83 cm

4 m 35 cm = 435 cm 2 m 48 cm = 248 cm 435 + 248 = 683

R: 6.83 m

R: 683 cm

Se puede calcular la longitud usando el punto decimal, los metros con los metros, los centímetros con los centímetros.

A la cinta que medía 7 m 98 cm se le cortó 3 m 62 cm. ¿Cuánto mide la parte que sobró?

Escriba el PO.

Encuentre la respuesta usando la tabla y usando el punto decimal. m 7 3 4

7 m 98cm

cm 98 62 36

3 m 62 cm

7.98 3.62 4.36

R: 4 m 36 cm 1

7 m 98 cm

R: 4.36 m

Calcule con la tabla o con el punto decimal. (1) 7 m 41 cm + 2 m 29 cm = 9 m 70 cm (2) 2 m 70 cm - 1 m 45 cm = 1 m 25 cm

m 7 2 9

cm 41 29 70

(3) 5 m 19 cm + 3 m 8 cm = 8.27 m 5.19 + 3.08 8.27

68 sesenta y ocho

m 2 1 1

cm 70 45 25

(4) 6 m 40 cm - 4 m 9 cm = 2.31 m 6.40 - 4.09 2.31

Sumemos y restemos con la longitud

1. Leer el problema y captar su sentido. [C]

• Sumar y restar con las medidas de longitud (kilómetros, metros) usando la notación decimal.

2. Escribir el PO. [C1]

De la escuela al estadio hay 6 km 400 m y del estadio al parque 8 km 7 m. ¿Cuál es la distancia que hay desde la escuela al parque?

Escriba el PO.

Encuentre la respuesta usando la tabla y usando el punto decimal.

km m 6 400 8 7 14 407

6 km 400 m + 8 km 7 m

R: 14 km 407 m

6.400 8.007 14.407

De la casa a la iglesia hay 12 km 340 m y recorrí 6 km 75 m. ¿Cuánto falta para llegar a la iglesia?

Escriba el PO.

Encuentre la respuesta usando la tabla y con el punto decimal. km m 12 340 6 75 6 265

R: 14.407 km

12 km 340 m - 6 km 75 m

R: 6 km 265 m

12.340 6.075 6.265

R: 6.265 km

Calcule con la tabla o con el punto decimal. (1) 9 km 320 m + 8 km 48 m (2) 23 km 53 m - 15 km 9 m = 17 km 368 m = 8 km 44 m

km m 9 320 8 48 17 368

(3) 8 km 60 m + 3 km 8 m = 11.068 km -

8.060 3.008 11.068

(5) 31 km 400 m + 8 km 20 m = 23.380 km -

31.400 8.020 23.380

(2/2)

km 23 15 8

m 53 9 44

(4) 10 km 20 m - 8 km 7 m = 2.013 km -

10.020 8.007 2.013

(6) 54 km 70 m - 19 km 6 m = 35.064 km 54.070 - 19.006 35.064

3. Encontrar la respuesta. [C2] M: Vamos a encontrar la respuesta pensando en la forma de calcular. * Dar el tiempo para la resolución independiente. 4. Expresar la respuesta y la forma de encontrarla. M: ¿Cómo encontraron la respuesta? * Después de escuchar las ideas de los niños y de las niñas, explicar la forma de calcular verticalmente usando la tabla y usando el punto decimal. * Concluir que para calcular la longitud se operan los kilómetros con los kilómetros y los metros con los metros. 5. Leer el problema y captar su sentido. [D] 6. Escribir el PO. [D1] 7. Encontrar la respuesta. [D2] * Dar el tiempo para la resolución independiente. 8. Expresar la respuesta y la forma de encontrarla. * Después de escuchar las ideas de los niños y de las niñas, explicar la forma de calcular verticalmente usando la tabla y usando el punto decimal. 9. Resolver el ejercicio 2 .

1. Conocer sobre el sistema inglés. [A1] M: ¿Cuáles otras unidades de la longitud conocen? * Destacar que en República Dominicana actualmente se utiliza un sistema cuyos valores se toman de las unidades del sistema inglés. * «La pulgada», «el pie» y «la yarda» también se usan como unidades corporales; por eso, hay que explicar bien que cuando se usan como unidades del sistema inglés, las medidas no cambian ni dependen de las personas que las usan.

Lección 3: (1/3)

Objetivo: • Conocer las unidades no oficiales del sistema inglés:

Materiales:

4. Expresar la forma descubierta para convertir de pies a pulgadas. * Aprovechando las expresiones, concretar que los pies se pueden convertir a pulgadas multiplicando 12 por la cantidad de los pies y que los pies se pueden convertir a yardas dividiendo las cantidad de los pies entre 3.

Continúa en la siguiente página…

Unidad 8 - Longitud

«la pulgada», «el pie» y «la yarda», y sus relaciones. • Convertir entre las unidades no oficiales del sistema inglés.

Lección 3: Midamos con las unidades del sistema inglés

A 1

(1/3)

Vamos a conocer otro sistema de unidades oficiales de longitud. Diga cuáles otras unidades de medida de longitud conoce.

jeme

2. Conocer la relación entre las unidades oficiales del sistema inglés: «la pulgada», «el pie» y «la yarda». Que los niños y las niñas noten que la relación entre las unidades del sistema inglés no es igual que con las del sistema métrico decimal; es decir, que no tienen el mecanismo de la numeración decimal. 3. Pensar en la forma de convertir los pies a pulgadas y los pies a yardas. [A2] M: Vamos a convertir los pies a pulgadas. ¿Cómo lo hacemos? * Apoyar a los que tienen dificultades, recordando que 1 pie es igual a 12 pulgadas y 1 yarda es igual a 3 pies.

Midamos con las unidades del sistema inglés

cuarta

mano

pulgada

paso

brazada

pie

Hace mucho tiempo, nuestros antepasados usaban las partes de su cuerpo para medir longitudes, a esas unidades de medida les llamamos unidades corporales; y aunque podemos llevarlas a todas partes tienen el inconveniente que cuando varias personas miden de la misma manera el mismo objeto, se obtienen diferentes medidas, porque el tamaño del cuerpo de cada uno es diferente. Por lo tanto, para evitar mal entendidos, en cada país se decidió fabricar un solo patrón de cada unidad de medida, con las que todos estuvieran de acuerdo en copiar y utilizar, de tal manera que con las unidades pequeñas se midieran las longitudes pequeñas y con las unidades grandes se midieran las grandes; y así, las medidas serían las mismas. En República Dominicana, se utiliza un sistema de medidas que toma los patrones del sistema inglés, cuyas principales unidades de longitud son la pulgada, el pie y la yarda.

La longitud de esta cinta

es 1 pulgada.

La longitud que mide 12 pulgadas es 1 pie. 1 pie = 12 pulgadas La longitud que mide 3 pies es 1 yarda. 1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas 2

Exprese las siguientes longitudes en la unidad indicada entre paréntesis. (1) 3 pies 2 pulgadas (pulgadas) Procedimiento

(2) 16 pies (yardas, pies) Procedimiento

1 pie = 12 pulgadas. Como hay 3 pies, multiplicar la longitud de 12 pulgadas por 3. Y luego sumar 2, que son las pulgadas que se tenían.

1 yarda = 3 pies. Para saber cuántas veces cabe la longitud de 3 pies en los 16 pies, dividir 16 pies entre 3.

PO: 3 x 12 + 2 = 38 R: 38 pulgadas.

PO: 16 ÷ 3 = 5 residuo 1 R: 5 yardas 1 pie.

70 setenta

[Unidades de longitud del sistema inglés (americano)] Se pueden presentar a los niños y a las niñas dependiendo de la situación del dominio del contenido. 12 pulgadas = 1 pie 3 pies 16.5 pies 40 rodes 8 furlones

= = = =

1 yarda 1 rod 1 furlon = 660 pies 1 milla = 5,280 pies

Midamos con las unidades del sistema inglés

5. Resolver el ejercicio 1 . 6. Conocer la relación entre las unidades del sistema métrico decimal y las del sistema inglés. [A3]

[Continuación]

[Hasta aquí 1/3] 1

Exprese las siguientes longitudes en las unidades indicadas entre paréntesis. (1) 2 pies (pulgadas)

PO: 2 x 12 = 24

R: 24 pulgadas

(2) 5 pies 6 pulgadas (pulgadas)

PO: 5 x 12 + 6 = 66

R: 66 pulgadas

(3) 4 yardas (pies)

PO: 4 x 3 = 12

R: 12 pies

(4) 6 yardas 2 pies (pies)

PO: 6 x 3 + 2 = 20

R: 20 pies

(5) 36 pulgadas (pies)

PO: 36 ÷ 12 = 3

R: 3 pies

(6) 27 pulgadas (pies, pulgadas)

PO: 27 ÷ 12 = 2 residuo 3

R: 2 pies 3 pulgadas

(7) 24 pies (yardas)

PO: 24 ÷ 3 = 8

R: 8 yardas

(8) 19 pies (yardas, pies)

PO: 19 ÷ 3 = 6 residuo 1

R: 6 yardas 1 pie

Mida en centímetros la cinta de 1 pulgada dibujada en el recuadro de la página anterior. ¿Cuántos centímetros tiene 1 pulgada? Una pulgada equivale a 2.54 cm. 1 pulgada = 2.54 cm

1 pie = 30.48 cm

1 yarda = 91.44 cm

Vamos a medir en pareja las longitudes y distancias usando el sistema inglés.

(2/3~3/3)

Prepare la regla que tiene graduación en pulgadas y construya una regla de 1 pie y una cinta de 1 yarda.

Haga una tabla como la siguiente en el cuaderno.

[Desde aquí 2/3~3/3] 1. Captar el tema de la clase. [B] 2. Construir una regla de un pie (con la graduación de pulgadas) y la cinta de una yarda. [B1] M: ¿Qué necesitamos para medir? Que sientan la necesidad de varios tipos de instrumentos para utilizarlos de acuerdo a lo que se mide. M: Vamos a construir la regla de un pie y la cinta de una yarda. ¿Cómo lo hacemos? RP: Hagámoslos midiendo en un papel. Para la cinta, tal vez sirve un hilo. … * En caso de que haya dificul tad para preparar los materiales, se puede utilizar el patrón de la regla y de la cinta de las páginas para recortar del LE. 3. Hacer una tabla para registrar en el cuaderno. [B2]

Estime y mida las longitudes o las distancias con las unidades del sistema inglés y regístrelas en la tabla del cuaderno.

El valor de la pulgada y de la libra americana son los mismos que las británicas, así Valor en el sistema métrico como algunas 29.573 m relaciones entre 1 onza líquida americana 28.412 m las unidades, pero 1 onza líquida británica existen importantes 1 galón americano 3.785 diferencias, como: 1 galón británico imperial 4.546

4. Medir en parejas las longitudes y las distancias con las unidades del sistema inglés. [B3] 5. Expresar el resultado de la medición. Que sientan interés por la estimación y la medición. * Es mejor que ellos expresen no sólo el resultado sino también las impresiones de la actividad, comparando la medición con las unidades del sistema métrico decimal.

Unidad

Área de rectángulos

(10 horas)

Expectativas de logro • Identifican el concepto de área y superficie. • Construyen las fórmulas para calcular el área del cuadrado y del rectángulo. • Resuelven problemas utilizando los conceptos de área de cuadrado y de rectángulo.

Relación y desarrollo

• Concepto de área. • Unidades oficiales de área: cm2 y m2. • Equivalencia entre las unidades oficiales de área. • Fórmulas para calcular el área de cuadrado y rectángulo.

• Base y altura de triángulo. • Fórmulas para calcular el área de triángulo.

Plan de estudio

(10 horas)

1. Comparemos superficies (4 horas)

1/4~2/4

• Concepto de área

3/4~4/4

• Comparación del área: forma directa, indirecta y con unidades arbitrarias • Comparación con una unidad oficial (cm2)

2. Calculemos el área de cuadrados y rectángulos (3 horas)

1/3

• Fórmula del área de rectángulo

2/3

• Fórmula del área de cuadrado

3/3

• Área de cuadrados y rectángulos del entorno

3. Conozcamos las unidades del área (2 horas)

1/2

• Unidad oficial del área (m2)

2/2

• Equivalencia entre m2 y cm2

1/1

• Ejercicios sobre toda la unidad

Ejercicios

(1 hora)

Puntos de lección • Lección 1: Comparemos superficies En los grados anteriores, se ha aprendido el concepto y la comparación de magnitudes como longitud, peso, capacidad, tiempo, etc. En esta lección se introduce el concepto de área. Los niños y las niñas tienden a pensar que cuando el perímetro es grande, o las figuras son largas el área es mayor. Para que ellos capten fijamente el concepto de área y que descubran la forma de encontrar el área por su propio esfuerzo, es importante tomar las si-guientes cuatro etapas para la introducción: (1) comparación directa, (2) comparación indirecta, (3) comparación con las unidades arbitrarias, (4) comparación con las unidades oficiales.

• Lección 2: Calculemos el área de cuadrados y rectángulos

las actividades con «el centímetro cuadrado» de la lección 1. Es importante que el maestro o la maestra no obligue a los niños y a las niñas a que memoricen la fórmula mecánicamente, sino, que los apoye para que ellos mismos descubran la forma de calcular el área y que lleguen a la fórmula. En esta unidad solamente se trata el área de cuadrados y rectángulos como base del cálculo.

• Lección 3: Conozcamos las unidades del área Aquí se hace énfasis en las unidades oficiales del sistema métrico decimal. Es recomendable que planee la clase de modo que los niños y las niñas sientan la necesidad o la conveniencia de tener una unidad diferente y evite presentárselas como impuestas por usted.

En esta lección, la forma de encontrar el área se traslada del conteo al cálculo, basándose en

Las cuatro etapas de la comparación del área Comparar el área de la cara de un objeto sobreponiéndola con la cara de otro objeto. Si no se puede comparar directamente el área de dos caras, compararlas usando un tercer objeto como intermediario. Para comparar indirectamente el área de las figuras A y B, se prepara otra figura C (cuya área está entre A y B). Se comparan las figuras A y C, y las figuras B y C. Luego, A tiene menos área que C, y B tiene más área que C, se forma la relación «A tiene menos área que B». Comparar el área utilizando la diferencia de la cantidad de ladrillos o tarjetas, etc., como una unidad. La comparación indirecta no se puede hacer cuando el intermediario, la figura C, no satisface la condición de estar entre A y B o cuando se quiere saber la diferencia de la cantidad de área entre ellas. Para ello, se colocan los ladrillos o las tarjetas, llamadas unidades arbitrarias encima de cada figura y se compara el área de las figuras A y B con la cantidad de unidades arbitrarias. Comparar con las unidades que son comunes para todos, por ejemplo: centímetro cuadrado (cm2), metro cuadrado (m2), etc. Cuando se compara el área con las unidades arbitrarias, aunque sea la misma figura, surge la inconveniencia que las cantidades resultantes son diferentes, dependiendo de la persona. Por lo tanto, se utilizan las unidades universales, comunes para todos, y se compara de manera que se llegue a la misma medida. Este tipo de unidades se llaman unidades oficiales.

100

Tangrama

Con el tangrama se pueden formar varias figuras sin cambiar el área.

Gato

Conejo

Equitación

Fútbol

Carrera

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

101

Comparemos superficies

Desarrollo de clases

• Conocer el término «área» y su concepto mediante la comparación de la misma.

1. Captar el tema de la clase. [A] M: ¿Quién tiene la mano con la palma más extensa, usted o yo (comparar con la de un niño o una niña)? * A través de la actividad con esta pregunta, conducir hacia el tema sobre la comparación del área. 2. Realizar el juego. [A1] M: Vamos a hacer un juego y decidir quién gana más terreno. * Se puede demostrar el juego con algunos niños y niñas para explicarlo. * El juego se puede realizar hasta con cuatro niños y niñas por cada hoja. * Guardar los resultados del juego para la próxima clase.

(N) papel con dibujos de cuadriláteros, lápiz de color, tijeras, papeles, regla.

1. Exprese las siguientes longitudes en las unidades que se le pide. (1) 5 m (cm) (2) 8 cm (mm) (3) 7 km (m) (4) 2 dm (cm) PO: 5 x 100 = 500 PO: 8 x 10 = 80 PO: 7 x 1,000 = 7,000 PO: 2 x 10 = 20 R: = 500 cm. R: = 80 mm. R: = 7,000 m. R: = 20 cm. 2. Escriba las unidades de medida que aprendió en la longitud, el peso, Se omite la solución la capacidad, etc.?

(1/4~2/4)

A 1

Realice este juego con su compañero o compañera.

(1) Preparar una hoja de papel con los dibujos de cuadriláteros (se puede usar la página para recortar) y un lápiz de color diferente para cada jugador. (2) Cada uno escoge el cuadrilátero de una esquina como el punto de partida.

[Hasta aquí 1/4]

(3) Jugar “piedra, papel o tijera” y quien gane pinta ese cuadrilátero de la esquina. (4) Continuar jugando “piedra, papel o tijera” y el que gana pinta otro cuadrilátero contiguo a cualquiera de los que había pintado en su turno. (5) La persona que tiene el terreno más extenso gana. (Se pueden establecer otras reglas según la necesidad).

[Desde aquí 2/4] 3. Pensar la forma de comparar el terreno. [A2] M: ¿Cómo podemos comparar y saber quién ganó más terreno? Que expresen varias formas para comparar el terreno (véase Notas).

Diego y Josefa jugaron a “¡Gana el terreno!” y quieren saber quién ganó más terreno.

Piense cómo se pueden comparar los terrenos para saber cuál es el más extenso.

(4)

Los niños y las niñas notarán con facilidad que cada cuadrilátero del juego se puede dividir en pequeños cuadrados del mismo tamaño, y sólo necesitan comparar mediante el conteo de los cuadrados. En ese caso, dedicar un poco más de tiempo para la siguiente actividad de experimentar la comparación con otras formas. Es muy probable que se necesite cambiar la forma del terreno para comparar. Se puede dejar que los niños y las niñas lo hagan.

102

Comparemos superficies

4. Comparar el terreno. [A3] * Indicar que estimen quién ganó antes de hacer la comparación.

[Continuación]

Compare con su compañero o compañera los terrenos pintados en la forma preferida y confirme quién ganó. Si hay tiempo, compare en las otras formas también.

La dimensión de una superficie se llama área. El área se puede comparar de varias maneras, como la longitud, el peso, la capacidad, etc. Sobreponiendo

Usando algún objeto como intermediario

Usando algún objeto como una unidad de medida.

A A

¿Cuál rectángulo tiene mayor área? Investigue de la forma que prefiera, si se puede comparar el área al medir el perímetro de cada uno de los siguientes rectángulos. 6 cm

4 cm

2 cm

10 cm A

5. Conocer el término «área» y confirmar la forma de com pararlos. * Aprovechar las presentaciones de la comparación realizada por los niños y las niñas para confirmar tres tipos de comparación. El maestro o la maestra demostrará según la necesidad. 6. Investigar el área de rectángulos relacionando con el perímetro. [A4] * Apoyar a los niños y a las niñas que tienen dificultad diciendo que usen las formas aprendidas para comparar el área. * Concluir que el área no depende de la longitud del perímetro (véase Notas). 7. Resolver el ejercicio 1 .

No se puede comparar el área por la medida del perímetro, porque hay casos donde el rectángulo tiene más perímetro, pero menos área.

1 ¿Cuál tiene mayor área, A o B ? ¿Cuánto tiene más? (1)

Tiene un (2)

B > A más

B A = B Ambos tienen 50

Se puede explicar este contenido con los dibujos siguientes (o con una cuerda) para lograr una mejor comprensión. (El perímetro no cambia. Pero el área disminuye)

103

Comparemos superficies

1. Captar el tema de la clase. [B] * Confirmar la situación pegando el dibujo de los terrenos en la pizarra.

• Conocer una unidad oficial de área «el centímetro cuadrado» y representar el área con él.

2. Pensar en la inconveniencia de las unidades arbitrarias. [B1] 3. Conocer la unidad oficial de «el centímetro cuadrado». [B2] * Después de que los niños y las niñas sientan la necesidad de las unidades comunes introducir 1 cm2. * Preguntar con qué se parece el área de un centímetro cuadrado (véase Notas). 4. Comparar el área de los terrenos contando los centímetros cuadrados. [B3] * Es mejor agregar algunos ejercicios para encontrar el área de rectángulos y cuadrados mediante el conteo de los centímetros cuadrados. * Es muy útil el papel cuadriculado laminado para la pizarra para la representación de área, además es fácil de preparar. Se recomienda que lo prepare y utilice durante la unidad según la necesidad.

(M) dibujos de terreno de cuatro niños y niñas del LE para la pizarra, papel cuadriculado laminado para la pizarra, regla (N) papel cuadriculado, regla.

Ganador

[Desde aquí 4/4]

Ganadora

Diego 15 de

6 de

Joaquín 2 de

Josefa

4 de

Hortensia

El área del terreno de Diego es 15 cuadritos. El de Hortensia es 4 cuadritos. ¿Se puede decir que Diego ganó más área que Hortensia? ¿Por qué?

No. Porque los cuadritos no son del mismo tamaño. 2

¿Qué se necesita para comparar el área? Terreno de Diego

Terreno de Hortensia

1 cm

1 cm 1 cm2

Diego

Hortensia

Compararlo con la misma unidad. Al igual que en las unidades de otras magnitudes (la longitud, el peso, la capacidad, etc.), existen las unidades oficiales de área. El centímetro cuadrado es una unidad de área. Es un cuadrado que tiene 1 centímetro por lado y se escribe “cm2”. 3

[Hasta aquí 3/4]

(3/4~4/4) Diego y Josefa compararon el área de sus terrenos del juego con cuadritos. Joaquín y Hortensia también compararon sus terrenos con cuadritos. Los ganadores de cada pareja quieren saber quién ganó más área.

1 cm 1 cm 1 cm2

Calque en su cuaderno los terrenos de Diego y Hortensia representados arriba. Trace en los terrenos las líneas de modo que se dividan en 1 cm2.

(1) ¿Cuántos cuadrados de 1 cm2 caben en cada terreno? Terreno de Diego: Terreno de Hortensia: 15 cuadritos de 1 cm2 16 cuadritos de 1 cm2 (2) ¿Cuántos centímetros cuadrados mide el área de cada terreno? Terreno de Diego: 15 cm2 Terreno de Hortensia: 16 cm2 (3) ¿Quién obtuvo más terreno? ¿Cuánto más? Hortensia obtuvo más terreno 1 cm2 más que Diego

Para que los niños y las niñas tengan la percepción de un centímetro cuadrado, es eficaz que ellos busquen algunos objetos cuya área sea parecida a un centímetro cuadrado, como por ejemplo: la uña del dedo pulgar, un botón del uniforme, etc.

104

Comparemos superficies

5. Representar el área con centímetros cuadrados. [B4] * Hay figuras cuyas partes no son cuadradas. Animar a que piensen en la manera para encontrar el área (véase Notas).

[Continuación]

Encuentre el área de las siguientes figuras pintadas. 6 cm2 4 cm2 4 cm2

1 cm

1 cm2

1 cm

A 1 cm2 5 cm2

4 cm2

3 cm2

6 cm2

4 cm2

G H

Compare con su compañero o compañera el resultado y la forma de encontrarlo.

Con las figuras que no se pueden dividir en cuadrados completos, su área se puede encontrar transformando las partes necesarias en cuadrados. Existen y se pueden formar varias figuras con la misma área.

2 ¿Cuáles figuras tienen la misma área? A y D tienen 6 cm2

1 cm

A B y E tienen 8 cm2 D C y F tienen 9 cm2

6. Comparar el resultado. [B5] * Después que intercambiaron entre ellos el resultado y las ideas para encontrar el área, generalizarlo todos juntos. M: La figura D no es un cuadrado. ¿Cómo encontraron su área? M: ¿Cuál tiene la misma área que la figura D? * Aprovechando las expresiones, confirmar que se pueden transformar las figuras sin cambiar su área, es decir que hay varias figuras con la misma área. 7. Resolver los ejercicios 2 y 3 . * Hay cudernos con las páginas cuadriculadas. Se puede aprovecharlo indicando que utilicen imaginando que cada cuadrado es de 1 cm2 (aunque la medida no es así). En este caso, hay que tener cuidado para que no pierdan la percepción de área de 1cm2.

F E

3 Haga cuadrículas como la de arriba (puede usar la página para recortar). Dibuje varias figuras cuya área es de 6 cm2 y píntelas. Se omite la solución

La figura que no es cuadrada se puede transformar en un cuadrado a través de cortar y mover las partes necesarias. En [B4] sólo se tratan las figuras poligonales que tienen menos dificultad para la transformación. En 2 aparece una figura con líneas curvas. Si hay niños y niñas que tienen dificultad para la transformación, apoyarles presentando la parte con la línea curva y pensando juntos cómo se corta y se mueve para formar un cuadrado.

105

1. Captar el tema de la clase. [A] * Preparar anticipadamente varias plantillas de un rectángulo de 4 cm por 3 cm. * Pedir que dibujen el rectángulo utilizando las plantillas. * Pedir que hallen el área en cm2 del rectángulo dibujado. * Dar suficiente tiempo para que traten de resolver individualmente. M: ¿Cómo lo hicieron? RP: Medí la longitud de los lados y dividí en cuadritos de 1 cm2. Conté los cuadritos y me dió 12 cm2. * Si los niños y las niñas no llegan a este razonamiento, pasar al LE y seguir las actividades. 2. Pensar en la forma de encontrar el área del rectángulo mediante el cálculo. M: ¿Qué significa el 4 y el 3 en el PO? RP: El 4 significa la longitud de la base del rectángulo y el 3 la longitud de la altura. M: Entonces, ¿qué es lo que tenemos que hacer para hallar el área de un rectángulo? RP: Multiplicar la longitud de la base por la altura. 3. Presentar la fórmula. Que se den cuenta que con la fórmula pueden calcular el área de cualquier rectángulo si conocen su base y su altura. 4. Resolver el ejercicio 1 .

106

Calculemos el área de cuadrados y rectángulos • Calcular el área de rectángulos. (M) plantillas con recuadro 4 cm x 3 cm. (N) regla.

(1/3) Vamos a encontrar el área de este rectángulo.

Midamos la longitud de sus lados.

Tiene 4 cm de base y 3 cm de altura.

Midamos la longitud de sus lados.

(1) ¿Cuántos cuadritos de 1 cm2 hay en una fila? 4 cuadritos (2) ¿Cuántas filas hay? 3 filas (3) ¿Cuántos cuadritos de 1 cm2 hay en total? PO: 4 x 3 = 12 3

R: 12 cuadritos

¿Cuánto es el área de este rectángulo? El área de este rectángulo es: PO: 4 x 3 = 12 R: 12 cm2 Para calcular el área de un rectángulo se multiplica la longitud de la “base” por la longitud de la “altura”. área de un rectángulo = base x altura Este tipo de planteamiento de la operación que usa palabras se llama fórmula.

Calcule el área de los siguientes rectángulos. (1)

(2)

5 cm

2 cm

PO: 2 x 5 = 10

3 cm 1 cm

R: 10 cm2

(3) Un rectángulo cuyo largo mide 10 cm y el ancho mide 7 cm PO: 7 x 10 = 70 R: 70 cm2

PO: 1 x 3 = 3

R: 3 cm2

(4) Un rectángulo cuyo ancho y largo miden 8 cm y 15 cm respectivamente PO: 8 x 15 = 120 R: 120 cm2

Hay niños y niñas que pueden decir la forma para encontrar el área con «lado por lado», o sea que conocen la fórmula. Sin embargo la mayoría de ellos no pueden explicar por qué. Es muy importante que ellos razonen la fórmula. Al construir la fórmula, sería mejor presentar varios cuadrados y que lleguen a la conclusión en forma inductiva.

Calculemos el área de cuadrados y rectángulos

Lección 2: (2/3)

Objetivo: • Calcular el área de cuadrados. Materiales: (M) plantillas con recuadro 4 cm x 4 cm. (N) regla.

Vamos a encontrar el área de este cuadrado.

Encuentre el área de este cuadrado aplicando lo aprendido y explique cómo lo hizo.

(2/3)

Al igual que los rectángulos, el área de los cuadrados se encuentra pensando en cuántos cuadritos de 1 cm2 caben en la figura. El área de este cuadrado es: PO: 4 x 4 = 16 R: 16 cm2 Oh... la base y la altura en el cuadrado son iguales. Entonces puede ser lado x lado

1. Pensar y expresar la forma de encontrar el área de un cuadrado mediante el cálculo. [B1] M: Entonces, ¿cómo podemos encontrar el área del cuadrado? Que apliquen la forma utilizada en el caso del cuadrado. * Aplicando lo aprendido, se espera que los niños y las niñas resuelvan fácilmente y se darán cuenta que la base y altura tienen la misma longitud, por lo que se puede expresar con lado x lado. 2. Construir la fórmula. 3. Resolver el ejercicio 2 .

Para calcular el área de un cuadrado se multiplica lado por lado. área de un rectángulo = lado x lado.

Calcule el área de los siguientes cuadrados. 2 cm

(1)

(2)

4 cm

2 cm 4 cm

PO: 4 x 4 = 16

PO: 2 x 2 = 4 R: 4 cm2

R: 16 cm2

(3) Un cuadrado cuyo lado mide 15 cm PO: 15 x 15 = 225

R: 225 cm2

(4) Un cuadrado cuyo lado mide 20 cm PO: 20 x 20 = 400

R: 400 cm2 setenta y siete 77

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

107

1. Captar el tema y conocer el proceso de la actividad. [C] * Explicar la actividad dando unos ejemplos en cada instrucción según la necesidad.

Lección 2: (3/3)

2. Investigar el área de los objetos cuadrados y rectangulares. * Se puede permitir el uso de la calculadora.

Materiales:

Calculemos el área de cuadrados y rectángulos

Objetivo: • Calcular el área de cuadrados y rectángulos del entorno.

Vamos a investigar el área de los objetos cuadrados y rectangulares del aula de clases usando “cm2”.

Estime el área de los objetos antes de la medición.

3. Expresar el resultado y las impresiones de la actividad.

Si sale una longitud con milímetros, redondee la medida hasta centímetros. Si las esquinas del objeto son curvas, use la medida aproximada. Registre el resultado en el cuaderno. Se omite la solución

Nos divertimos ¿Cuál tiene mayor área, el gato o el conejo?

Gato

Conejo

La respuesta es que son iguales. Ambas figuras están hechas con un cuadrado dividido en varias partes, llamado tangrama. Con el tangrama se pueden formar varias figuras sin cambiar el área. Construyamos un tangrama y formemos varias figuras.

Tangrama

78 setenta y ocho

108

Unidad 9 - Área de rectángulos

(3/3)

equitación

fútbol

carrera

Conozcamos las unidades del área

Lección 3: (1/2)

Objetivo: • Conocer la unidad oficial del área «el metro cuadrado» y la equivalencia entre «cm2» y «m2».

Materiales: (M) regla, metros.

(N) regla, 6 hojas de periódicos, masking-tape, metros.

Lección 3: Conozcamos las unidades del área

A 1

Calcule el área convirtiendo los metros en centímetros. PO: 8 m = 800 cm, 6 m = 600 cm, 800 x 600 = 480,000 0 R: 480,000 cm2 0 0 0

(1/2)

La sala de la casa de Amadeo mide 8 m de largo y 6 m de ancho. ¿Cuánto mide el área?

Es muy grande el número de la respuesta. Hay muchos ceros.

8m 6m

¿Qué unidad de área imagina que se podría usar para que el cálculo sea más fácil? Para expresar la medida de una superficie amplia, como la de un cuarto, una aula o un jardín, etc., se usa como unidad oficial, el área de un cuadrado cuyo lado mide 1 m. Esta unidad de área se llama “metro cuadrado” y se escribe “m2”.

Calcule cuántos cuadrados de 1 m por lado caben en la sala de la casa de José. Represente la respuesta con la unidad de metros cuadrados en su cuaderno. PO: 6 x 8 = 48

1m 1m

R: 6 x 8 = 48 m2

Encuentre el área de los siguientes rectángulos y cuadrados en su cuaderno. (1) El área de una cancha de baloncesto cuyo largo mide 40 m y el ancho mide 20 m. PO: 20 x 40 = 800 R: 800 m2 (2) El área de un jardín en forma cuadrada lleno de flores cuyo lado mide 5 m. PO: 5 x 5 = 25 R: 25 m2

Vamos a construir un cuadrado de 1 m2 con 6 hojas de periódicos. (1) y (2)

(3) 2.5 cm 2.5 cm

2.5 cm 2.5 cm 16 cm

¿Cuántos pupitres cabrán en 1 m2?

1m 16 cm

(1) Pegue tres hojas de papel periódico con una pestaña de 2.5 cm. (2) Pegue otras tres de la misma manera. (3) Pegue las dos partes con una pestaña de 16 cm.

1. Leer el problema y captar el tema. [A] M: ¿Qué diferencia hay entre este problema y lo aprendido? Que noten que la unidad de medida es diferente. 2. Calcular el área con centímetros cuadrados. [A1] Que sientan la necesidad de usar otra unidad. 3. Conocer la unidad de «el metro cuadrado». [A2] M: ¿Qué unidad podrían imaginar para usar en este problema? RP: Metro cuadrado. * Explicar sobre el metro cuadrado. 4. Calcular el área con metros cuadrados. [A3] * Confirmar el significado del cálculo, después de la resolución independiente. 5. Resolver el ejercicio 1 . 6. Percibir el área de 1 m2. [B] * Garantizar el suficiente tiempo para la actividad. * Indicar que guarden el periódico de 1 m2 para la actividad en la clase 4/6 de esta lección.

¿Cuántos de 1 m2 cabrán en el piso del aula?

¿Cuántas personas cabrán en 1 m2?

Honduras

setenta y nueve 79

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

109

1. Investigar la equivalencia entre «cm2» y «m2». [C1], [C2] y [C3] * Confirmar que, 1 m2 = 10,000 cm2. * Realizar algunos ejercicios para confirmar la forma de convertir las unidades. * Cuando hay muchos ceros en un número, se facilita la lectura poniendo las comas entre las cifras. Puede aplicar su utilización según la necesidad. 2. Resolver el ejercicio 2 . 3. Investigar el área de los objetos o lugares cuadrados y rectangulares. [D] * Se puede permitir el uso de la calculadora. * Si no hay metros para medir, se puede hacer una cinta métrica con los periódicos u otros materiales. Pero es deseable que los niños y las niñas inventen por ellos mismos algunos instrumentos para medir o utilicen los objetos del entorno. 4. Expresar el resultado y las impresiones de la actividad.

110

Conozcamos las unidades del área [Continuación]

(2/2)

Vamos a investigar a cuántos centímetros cuadrados equivale 1 m2.

¿Cuántos cuadrados de 1 cm2 caben en una columna? 100 cuadrados

¿Cuántas columnas hay? 100 columnas

¿A cuántos centímetros cuadrados equivale 1 m ?

1 m (100 cm)

1m (100 cm)

1 m2

100 x 100 = 10,000

1 m2 = 10,000 cm2

2 Exprese en su cuaderno las siguientes áreas en las unidades que se le pide. Es recomendable que los niños y las niñas empiecen el PO con la relación entre unidades, en este caso es: 1 m2 = 10,000 cm2. (1) 2 m2 (cm2) (2) 5 m2 (cm2) (3) 10 m2 (cm2) PO: 5 x 10,000 = 50,000 PO: 10 x 10,000 = 100,000 PO: 2 x 10,000 = 20,000 R: 50,000 cm2 R: 100,000 cm2 R: 20,000 cm2 (4) 30,000 cm2 (m2) PO: 30,000 ÷ 10,000 = 3 R: 3 m2

(5) 90,000 cm2 (m2) PO: 90,000 ÷ 10,000 = 9 R: 9 m2

(6) 180,000 cm2 (m2) PO: 180,000 ÷ 10,000 = 18 R: 18 m2

Vamos a investigar en grupo el área de varios lugares rectangulares y cuadrados en la escuela. Estime el área de los lugares antes de la medición. Represente la longitud del largo y del ancho redondeando en metros la parte de centímetros, según la necesidad y encuentre el área. Mida en metros la longitud que necesite. Registre el resultado en el cuaderno. Se omite la solución.

Ejercicios

Unidad 9: (1/1)

Los ejercicios tratan sobre:

1 Representación del área con centímetros cuadrados

Objetivo: • Confirmar lo aprendido en la Unidad 12.

2 Cálculo del área de cuadrados y rectángulos usando las fórmulas

Materiales:

Ejercicios 1

(1/1)

Encuentre el área de las siguientes figuras pintadas. 1 cm 1 cm

6 cm2

7 cm2

8 cm2

6 cm2

2 cm2

4 cm2

3 Elección de las unidades adecuadas

4 cm2

4 Equivalencia entre las unidades

Calcule el área de los siguientes cuadriláteros, escriba la respuesta en su cuaderno. 6 cm 7 cm (1) (2) PO: 6 x 10 = 60 R: 60 cm2

10 cm

(3)

9 cm 3 cm

7 cm

(4)

PO: 3 x 9 = 27 R: 27 cm2

3 cm

PO: 7 x 7 = 49 R: 49 cm2

PO: 3 x 9 = 27 R: 27 cm2

3 cm

(5) Un cuadrado cuyo lado mide 12 cm PO: 12 x 12 = 144 R: 144 cm

(6) Un cuadrado cuyo lado mide 6 cm PO: 6 x 6 = 36 R: 36 cm2

(7) Un rectángulo cuyo largo mide 10 cm y su ancho mide 9 cm

(8) Un rectángulo cuyo ancho y largo miden 1 cm y 10 cm respectivamente

PO: 9 x 10 = 90 R: 90 cm2

PO: 1 x 10 = 10 R: 10 cm2

Escriba las unidades más adecuadas del sistema métrico para medir lo siguiente. (1) La extensión territorial de Baní km2 (2) El área de una estadio de Volibol (3) La superficie de su aula

(4) El espacio que ocupa un cuaderno sobre la mesa cm2

Exprese las siguientes áreas en las unidades indicadas entre paréntesis. (1) 4 m2 (cm2) 40,000 cm2

(2) 2300 mm2 (cm2) 23 cm2

(3) 12,000 dm2 (m2) 120 m2

(4) 2.6 km2 (m2) 2,600,000 m2

(5) 8,000 cm2 (m2) 0.8 m2

(6) 4.7 dm2 (cm2) 470 cm2

(7) 0.2 m2 (cm2) 20 cm2

(8) 5,900 cm2 (m2) 0.59 m2

ochenta y uno 81

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

111

Unidad

10 10 1

Expresan en forma decimal la parte que no llega a la unidad. (centésima, milésima) Leen y escriben números decimales hasta la milésima. Comparan y ordenan números decimales. Representan situaciones de la vida real usando números decimales. Operan suma y resta con números decimales.

Relación y desarrollo

Números decimales hasta désima • Concepto de 0.1 (una décima). • Expresión, construcción y comparación de números decimales que tienen décimas. • Adición y sustracción de números decimales que tienen décimas.

Plan de estudio

Números decimales hasta milésima • Concepto de 0.01 (centésima) y 0.001 (milésima). • Expresión, construcción y comparación de números decimales que tienen milésimas. • Adición y sustracción de números decimales que tienen milésimas.

(12 horas)

1. Conozcamos otros números decimales (5 horas)

112

(12 horas)

Expectativas de logro • • • • •

Números decimales

1/5

• Conocer 0.01 m

2/5

• Conocer 0.001 m

3/5

• Representación gráfica de los números decimales

4/5

• Expresión tomando varias cantidades como la unidad

5/5

• Comparación multiplicación por 10, división entre 10

Plan de estudio

(12 horas)

2. Sumemos y restemos otros números decimales (5 horas)

Ejercicios

(2 horas)

1/5

• Adición hasta las décimas

2/5

• Adición hasta las décimas (tratamiento de cero)

3/5

• Sustracción hasta las décimas

4/5

• Sustracción (donde el minuendo tiene más cifras de decimales)

5/5

• Redondeo de los números decimales

1/2~2/2

• Ejercicios

Puntos de lección • Lección 1: Conozcamos otros números decimales En 3er grado se introdujo el concepto de los números decimales hasta las décimas, para representar una medida que no es el múltiplo exacto de la unidad de medida como es el caso del decímetro que es 0.1 m. De la misma manera, en esta lección, se introduce el concepto de las centésimas y las milésimas. En cuanto a la lectura de los decimales, hay varias maneras; por ejemplo: 2.3

(a) (b) (c)

dos punto tres dos punto tres dos unidades, tres décimas

2.34

(a) (b) (c)

dos punto tres cuatro dos punto treinta y cuatro dos unidades, treinta y cuatro centésimas

(a) (b)

dos punto tres cuatro cinco dos punto trescientos cuarenta y cinco dos unidades, trescientos cua renta y cinco milésimas

2.345

(a) (b) (c) (d)

dos punto tres cuatro cinco seis dos punto tres mil cuatrocientos cincuenta y seis dos unidades, tres mil cuatro cientos cincuenta y seis diezmilésimas dos punto treinta y cuatro cincuenta y seis

En este material se utiliza la manera (b).

Cuando se leen las marcas de la recta numérica, primero hay que fijarse en las marcas que llevan un número y luego se cuenta en cuántas partes está dividido el intervalo; por ejemplo: 1.2

1.3

1.4

Esta parte equivale a 0.01

En esta lección no se tratan los decimales que tienen cero en la parte decimal; como por ejemplo: 1.03. En esta lección profundiza la formación decimal de los números decimales y lo más importante es conocer que las posiciones decimales se definen conforme al sistema numérico decimal de los números naturales. dividir en diez partes iguales y tomar una formar grupo de diez

Además se trata de representar los decimales como «tantas» décimas, «tantas» centésimas, etc. Por ejemplo: 2.48 equivale a 248 centésimas De esta manera se pueden reducir las operaciones de los decimales a las de los números naturales. Ejemplo: 2.48 + 0.24 248 centésimas + 24 centésimas

113

Para profundizar el entendimiento de la formación decimal se considera el cambio de la posición del punto decimal cuando se multiplica o se divide por 10. Para comparar los números decimales se utiliza la recta numérica. Habrá algunos niños o niñas que piensen que 0.1 es menor que 0. Por tanto, hay que tener cuidado en esta comparación.

• Lección 2: Sumemos y restemos otros números decimales Como siempre, se introduce el concepto de la adición y la sustracción con una situación concreta y luego se hace a los niños y a las niñas pensar en la forma del cálculo vertical con la manipulación de objetos semiconcretos. La forma que está explicada en el LE consiste en utilizar la tabla de valores y las tarjetas numéricas y efectuar el cálculo, reduciéndolo al cálculo de números de las tarjetas de cada valor que es un número natural.

La otra forma es convertir los valores posicionales y aplicar el cálculo de los números naturales. Ejemplo: 1.23 = 123 centésimas 2.14 = 214 centésimas. Al sumarlos se obtienen 337 centésimas, o sea 3.37. Después de enseñar la forma con los tipos generales de las operaciones, hay que tratar los tipos especiales donde se necesita el tratamiento del cero: (a) Hay que tachar los ceros innecesarios por ejemplo:

(b) Hay que agregar cero (mentalmente) por ejemplo:

Clasificación de los ejercicios

PO (horizontal) cálculo vertical número natural + decimal con milésimas El tipo 1 es el general. En el tipo 2, hay que poner el cero en las unidades y el punto decimal. En el tipo 3, se lleva a las unidades. En el tipo 4, el resultado de las centésimas es cero y hay que tacharlo, porque no vale nada. En el tipo 5, hay que tachar dos ceros. En el tipo 6, uno de los sumandos no tiene centésimas, por lo tanto en las centésimas sólo hay una cifra. El tipo 7 son los ejercicios para colocar verticalmente, y en el tipo 8, uno de los sumandos no tiene el punto decimal y hay que tener cuidado para colocar bien las cifras en su propia posición. El tipo 9 trata los ejercicios con milésimas.

114

Sustracción:

PO (horizontal) cálculo vertical número natural y decimal con milésimas El tipo 1 es el general. En el tipo 2, el resultado de las unidades es cero y no hay que olvidarse de ponerlo. En el tipo 3 en las décimas hay cero. En el tipo 4, no es necesario poner el cero en las centésimas. En el tipo 5, sólo queda la parte entera. En el tipo 6 el minuendo carece de centenas, y hay que completar (mentalmente) con cero. El tipo 7 son ejercicios para colocar verticalmente y en el tipo 8 el minuendo o el sustraendo es un número natural y hay que colocar bien las cifras y completar los ceros. El tipo 9 trata los ejercicios con milésimas.

Redondeo de los números decimales En la práctica a veces no es necesario presentar una cantidad tan detalladamente por lo que el número decimal se redondea. Por ejemplo:

2.347

redondear hasta las décimas

2.3

Redondear un número hasta las décimas quiere decir convertirlo al número más cercano que tiene sólo décimas como cifras decimales. En el caso del redondeo, se ponen ceros cuando sea necesario para aclarar hasta qué decimal está redondeado. Por ejemplo:

2.003

redondear hasta las centésimas

2.00

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

115

Conozcamos otros números decimales

Desarrollo de clases

• Conocer la medida de 0.01 metro.

1. Leer el problema, captar su sentido y contestar la primera pregunta. [A1] * Pegar la cinta A en la pizarra y arriba de ella la cinta C alineando los extremos de la izquierda; como en el dibujo del LE (en vez del palo, se utiliza la cinta C). 2. Pensar en la forma de expresar la altura de esta semana. [A2] * Despegar la cinta C y pegar la cinta D M: ¿De qué forma podemos expresar en metros la longitud de esta cinta? * Si no surge la idea de parte de los niños y las niñas, pedirles recordar lo que hicieron para expresar la longitud de la cinta C.

(M) Cintas como se muestran en el siguiente cuadro. cintas: A B C D

longitud 2m 10 cm 1 m 20 cm 1 m 23 cm

graduación cada 10 cm cada 1 cm sin graduación sin graduación

1. ¿Para qué sirven los números decimales? Para representar las medidas que no son múltiplos enteros de la unidad de medida. 2. Escriba los números adecuados en cada casilla. (1) Al dividir 1 m en 10 partes iguales cada parte mide 0.1 (2) 4 veces 0.1 m es (3)

0.4 m.

veces 0.1 m es 0.8 m.

(1/5) Ana plantó un árbol en el jardín y cada semana marca la altura en un palo para medirla. La semana pasada

3. Conocer las centésimas de metro (0.01 m) * Presentar la cinta B y explicar que está dividida con graduaciones en 10 partes iguales.

cantidad 1 1 1 1

Esta semana

¿Cuántos metros medía la semana pasada?

1.2 m

4. Medir utilizando centésimas de metro (0.01 m) y confirmar que la longitud de la cinta D es 1.2 m más 3 veces 0.01 m. * Pegar la cinta B encima de la cinta A, entre 1.2 m y 1.3 m. 5. Conocer que la longitud de la cinta D se escribe 1.23 m y se lee «uno punto veintitrés metros».

116

¿De qué forma podemos expresar la altura del árbol en esta semana en metros? Para medir la parte que no alcanza un 0.1 m, se divide el 0.1 m en diez partes iguales. Una de estas partes se escribe 0.01 m y se lee "cero punto cero un metro". Esta semana, el árbol mide un metro más 2 veces 0.1 m y 3 veces 0.01 m, por lo tanto mide 1.23 m (se lee "uno punto veintitrés metros").

Conozcamos otros números decimales [Continuación]

6. Resolver los ejercicios 1 y 2 . * Si los niños y las niñas no captan la idea de los dibujos (3) y (4) de 1 , se debe explicar que la parte donde está la lupa ha sido ampliado más abajo para tener mejor apreciación.

1 ¿Cuántos metros mide cada cinta? 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

(1)

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

1.64 m

(2)

2.38 m

(3)

0.87 m

(4)

0.80 m

0.85 m

0.04 m

0.90 m

0.05 m

0.1 m

0.03 m

0.05 m

2 Señale con una flecha las medidas indicadas. (1)

(a) 0.04 m (b) 0.17 m (c) 0.21 m 0m

0.1 m

0.2 m b

a (2)

(a) 1.29 m (b) 1.31 m (c) 1.44 m 1.2 m

1.3 m a

1.4 m

1.5 m c

117

1. Observar el dibujo del LE y representar la longitud de la cinta. [B] * Se espera que los niños y lasniñas conozcan la forma por analogía. 2. Confirmar que la longitud de la cinta mide 1.236 m. 3. Resolver los ejercicios del 3 al 5 .

Conozcamos otros números decimales

Lección 1: (2/5)

Objetivo: • Conocer la medida de 0.001 metro. Materiales:

(2/5)

¿Cuántos metros mide la cinta? 1.2 m

1.1 m

1.23 m

1.3 m

1.24 m

Al dividir un 0.01 m en diez partes iguales la medida de cada parte se escribe 0.001 m y se lee "cero punto cero cero un metro". La cinta mide 1 m más 0.23 m y 6 veces 0.001 m, en total 1.236 m (se lee "uno punto doscientos treinta y seis metros)

3 ¿Cuánto mide la cinta? (1)

1.6 m

1.7 m

1.64 m

(2) 1.65 m

2.3 m

2.4 m

2.35 m

2.36 m

1.643 m 0.8 m

(3)

2.351 m

0.9 m

0.87 m

(4) 0 m 0.88 m

0.1 m

0.2 m

0.04 m

0.05 m

0.875 m

0.042 m

4 ¿Qué medida señala cada flecha? Conteste la medida en metros. 3.45 m a

3.46 m b

c d e

(a) 3.451 m (b) 3.456 m (c) 3.459 m

3.47 m f

(d) 3.46 m (e) 3.461 m (f) 3.464 m (g) 3.468 m

5 Señale con una flecha la medida indicada.

84 ochenta y cuatro

(1) (a) 1.234 m (b) 1.245 m (c) 1.256 m

1.23 m

(2) (a) 2.349 m (b) 2.352 m (c) 2.346 m

2.34 m

(3) (a) 0.434 m (b) 0.445 m (c) 0.456 m

0.43 m

1.24 m a

1.25 m b

2.35 m c

2.36 m

0.44 m a

0.45 m b

Como no conviene presentar la medida de 0.001 m en la pizarra, se utiliza el dibujo del LE.

118

Unidad 10 - Números decimales

Conozcamos otros números decimales

Lección 1: (3/5)

Objetivo: • Representar los decimales con gráficas y su posición en la tabla de valores.

Materiales:

(M) azulejos y tarjetas: véase Notas (N) tarjetas numéricas las mismas que (M)

Si este azulejo representa a una unidad, ¿cuáles azulejos representan a 0.1, 0.01 y 0.001?

Dividir en 10 partes iguales y tomar una parte.

0.1

Dividir en 10 partes iguales y tomar una parte. 0.01

Dividir en 10 partes iguales y tomar una parte.

(3/5)

0.001

Siguiendo de la misma manera, se obtienen las casillas de 0.1, 0.01 y 0.001. Las unidades de cada casilla se llaman "décimas", "centésimas" y "milésimas" (se abrevian d, c y m). U

0.1

0.01

0.001

Escriba el número 2.345 colocando cada cifra en su respectivo valor de posición. El número 2.345 consiste en 5 milésimas.

2 unidades,

décimas,

centésimas y

Escriba los números adecuados en la casilla. (1) 1.523 consiste en 1 unidad, 5 décimas, 2 centésimas y 3 milésimas (2) 2.304 consiste en 2 unidades, 3 décimas, 0 centésimas y 4 milésimas (3) 0.023 consiste en 0 unidades, 0 décimas, 2 centésimas y 3 milésimas (4) 3.02 consiste en

3 unidades, 0 décimas, 2 centésimas y

0 milésimas

ochenta y cinco 85

Azulejos. Se pueden usar los mismos azulejos que se utilizan para repre- Azulejos A: 1 centena 1 unidad sentar las unidades, Azulejos B: 1 decena 1 décima = 0.1 las decenas y las centenas Azulejos C: 1 unidad 1 1 centésima = 0.01 Azulejos D: 1 milésima = 0.001 cambiando el valor.

1. Pensar en la forma de representar a 0.1, 0.01 y 0.001 con gráficas. [C] M: (Presentando el azulejo A) Si este cuadrado representa la cantidad de 1, ¿Cuál representa la cantidad de 0.1? RP: Representa una de las diez partes iguales al dividir la cantidad de 1. 2. Conocer la figura que representa a 0.1, 0.01 y 0.001. * Mostrar que si se colocan 10 azulejos se obtiene el mismo tamaño que el azulejo A. * Siguiendo así, enseñar que el azulejo C representa 0.01 y el azulejo D representa 0.001. 3. Pensar dónde se colocan 0.01 y 0.001 en la tabla de valores. M: (Mostrando el azulejo B) En 3er grado, ¿dónde pusimos esta décima en la tabla de valores? ¿Por qué? RP: En la casilla a la derecha de las unidades, porque una décima es una parte de una unidad dividida en diez partes iguales y la relación entre las unidades y las décimas es la misma que entre las decenas y las unidades. * Dibujar la tabla de valores desde las centenas hasta las décimas y explicar la relación entre las casillas; es decir: tomando una parte de una centena dividida en diez partes iguales se obtiene una decena, etc. * Poner los azulejos A y B en las unidades y en las décimas respectivamente. * Seguir el mismo procedimiento hasta las milésimas. 4. Conocer los términos centésimas y milésimas. Continúa en la siguiente página...

Tarjetas numércias. Con los números 100, 10, 1, 0.1, 0.01, 0.001 de cada tipo. Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

119

Conozcamos otros números decimales

5. Representar con las tarjetas numéricas. * Poner las tarjetas numéricas de 100, 10, 1, 0.1, 0.01 y 0.001 en la tabla de valores, tal como en el dibujo del LE. 6. Colocar el número decimal 2.345 en la tabla de valores y pensar en la formación del mismo. [D]

[Continuación] • Conocer la dimensión relativa de los números decimales. (véase Notas)

Escriba el número que consiste en: (1) 2 unidades, 4 décimas, 3 centésimas y 1 milésima

7. Resolver los ejercicios 6 y 7 . [Hasta aquí 3/5]

(2) 0 unidades, 5 décimas, 4 centésimas y 2 milésimas

0.542

(3) 2 unidades, 0 décimas, 2 centésimas y 3 milésimas

2.023

(4) 1 unidad, 0 décimas, 0 centésimas y 2 milésimas. (5) 3 unidades, 2 décimas, y 4 milésimas

[Desde aquí 4/5]

(7) 1 unidad, 2 décimas y 3 centésimas (8) 4 décimas y 2 milésimas

2.041 1.23

0.402

¿Cuántas centésimas hay en 0.1 y 1? ¿Cuántas centésimas hay en 2.34? En 0.1 hay 10 centésimas. En 1 hay 100 centésimas. 2.34 consiste en:

Cualquier parte de la tabla de valores tiene la estructura decimal, por lo tanto para saber cuántas centésimas hay, sólo se traslada el punto decimal. * Para comprobar la equivalencia de 0.1 = 10 veces 0.01, etc., se puede hacer demostración con los azulejos. 2. Resolver el ejercicio 8 . 3. Utilizar las milésimas para expresar medidas. [F]

120

2 unidades = 200 centésimas 3 décimas = 30 centésimas 4 centésimas = 4 centésimas Total 234 centésimas

1.002

3.204

(6) 2 unidades, 4 centésimas y 1 milésima

1. Utilizar las centésimas para expresar medidas. [E]

2.431

(1) ¿Cuántas centésimas hay en 1.53?

153

(2) ¿Cuántas centésimas hay en 0.28?

(3) ¿Cuántas centésimas hay en 3.05?

305

¿Cuántas milésimas hay en 0.01, 0.1 y 1? ¿Cuántas milésimas hay en 2.345 ? En 0.01, 0.1 y 1 hay 10, 100 y 1,000 milésimas. 2.345 consiste en: 2 unidades = 2,000 milésimas 3 décimas = 300 milésimas 4 centésimas = 40 milésimas 5 milésimas = 5 milésimas Total 2,345 milésimas

(4/5)

Conozcamos otros números decimales [Continuación] • Comparar la dimensión de los números decimales. • Multiplicar o dividir los decimales por 10. (M) recta numérica (véase Notas) (N) tarjetas numéricas: 1 de 10, 3 de 1, 5 de 0.1 y 3 de 0.01 9

Conteste las siguientes preguntas: (1) ¿Cuántas milésimas hay en 1.234?

1,234

(2) ¿Cuántas milésimas hay en 0.564?

564

(3) ¿Cuántas milésimas hay en 0.203?

203

10 Conteste cuál es el número que consiste en:

(1) ¿297 centésimas?

2.97

(2) ¿305 centésimas?

3.05

(3) ¿14 centésimas?

0.14

(4) ¿3724 milésimas?

3.724

(5) ¿1083 milésimas?

1.083

(6) ¿206 milésimas?

0.206

1.98

1.9

(2) 2.14 2.0

1.98

2.17

(5/5)

(3) 2.14

2.1

[Desde aquí 3/3] 1. Comparar la dimensión de los números decimales. [G(1)] * Pegar la recta numérica en la pizarra y pedir a los niños y las niñas que marquen los puntos que corresponden a 2.14 y 1.98. M: ¿Cuál es mayor, 2.14 ó 1.98? y ¿por qué? RP: 2.14 es mayor que 1.98, porque está más a la derecha. * Escribir la relación de la dimensión con el signo >.

2.2

3. Seguir con los ejercicios. [G(2)] y [G(3)] 4. Resolver el ejercicio 11 .

2.2 2.14 2.17 2.2

1.98

(1) 2.14

[Hasta aquí 2/3]

2. Confirmar que el número que está más a la derecha en la recta numérica es el mayor.

Escriba uno de los signos <, > ó = en la casilla. (1) 2.14

4. Resolver los ejercicios 9 y 10 .

(2) 2.14

2.17

(3) 2.14

2.2

Los números que están más a la derecha en recta numérica son mayores.

11 Escriba uno de los signos <, > ó = en la casilla. (1) 3.24 > (4) 0 <

2.93

0.001

(2) 4.25 > 4.13

(3) 1.04 < 1.07

(5) 2.45 > 2.339

(6) 0.01 >

0.009

Es recomendable preparar en una lámina la recta numérica sin números, para utilizarla en varias situaciones (la lámina se pega sobre la pizarra y se escriben los números y las flechas en la pizarra en el lugar de la lámina). Otra manera de comparación: 2.14=214 centésimas, 1.98=198 centésimas. Por lo tanto 2.14 > 1.98 2.14=214 centésimas, 2.20=220 centésimas. Por lo tanto 2.14 < 2.20

121

5. Encontrar el producto 10 x 1.23. [H] * Pedir a los niños y las niñas que coloquen tarjetas numéricas que corresponde al número 1.23. M: Si se multiplica 10 por 1.23, ¿cuánto es el producto? * Si no surge la idea, aconsejarles que consideren cada cifra por separado. RP: Es 12.3, porque:

Conozcamos otros números decimales [Continuación]

¿Cuánto es 10 veces 1.23? x10

x10

Es 12.3 porque 1.23 consiste en 123 de 0.01. Si se multiplica por 10, como aprendimos en el caso de los números naturales, se obtienen 1,230 de 0.01, que equivale a 12.3. 6. Confirmar que si se multi plica por 10, el punto decimal cambia de posición y se traslada una posición a la derecha. 7. Encontrar el cociente de 1.23 ÷ 10. [I] * Pensar manipulando las tarjetas numéricas como en el caso anterior. RP: El cociente es 0.123, porque dividir entre 10 quiere decir: repartir entre 10. Por defini ción; 1 equivale a 10 de 0.1, 0.1 equivale a 10 de 0.01, 0.01 equivale a 10 de 0.001, por lo tanto,

8. Confirmar que si se divide en tre 10, el punto decimal cambia de posición y se traslada una posición a la izquierda. 9. Resolver el ejercicio 12 .

122

d 0.1

1 10

x10

c 0.01

0.1

0.01

0.1

0.01

PO: 10 x 1.23 = 12.3 R: 10 veces 1.23 es 12.3

Si se multiplican los decimales por 10, el punto decimal cambia de posición a la derecha por una cifra; al igual que los números naturales, se aumenta el valor de cada cifra al valor inmediato superior.

¿Cuánto es 1.23 ÷ 10? ÷ 10

÷ 10

0.1

1 1 0

. .

2 1

÷ 10 c

m 0.01

0.001

0.1

0.01

0.001

0.1

0.01

0.001

3 2

PO: 1.23 ÷ 10 = 0.123 R: 0.123

Si se dividen los números decimales entre 10, el punto decimal cambia de posición a la izquierda por una cifra; al igual que los números naturales, se disminuye el valor de cada cifra al valor inmediato inferior.

12 Calcule. (1) 10 x 3.26 = 32.6

(2) 10 x 1.08 = 10.8

(3) 3.26 ÷10 = 0.326

(4) 3.2 ÷10 = 0.32

Lección 2: (1/5)

Sumemos y restemos otros números decimales

Objetivo: • Calcular la adición de los números decimales en la

R: 3.37 litros

2. Pensar en la manera de calcular 1.23 + 2.14. [A2] * Pegar las tarjetas numéricas en la tabla de valores, tal como en el dibujo del LE. M: ¿Cómo se calcula? RP: Como en el caso de los números naturales, comienza por la derecha, se suma la cantidad en cada posición, las centésimas con las centésimas, décimas con las décimas, y las unidades con las unidades. Al final, se pone el punto decimal en el resultado. En 1.23 hay 123 centésimas y en 2.14 hay 214 centésimas, por lo tanto el total es 123 + 214 = 337 centésimas, así que la suma es 3.37. En resumen, primero se suma como si fueran números naturales, sin hacer caso al punto decimal, y se pone el punto decimal en la misma posición de los dos sumandos.

La adición de los números decimales se calcula de la misma manera que los números naturales: solamente hay que poner el punto decimal.

3. Confirmar la forma del cálculo vertical.

forma vertical.

Materiales: (M) tarjetas numéricas: 3 de 1, 3 de 0.1, 7 de 0.01 (N) tarjetas numéricas: 3 de 1, 3 de 0.1, 7 de 0.01

Lección 2: Sumemos y restemos otros números decimales

(1/5)

Si en una olla se echan 1.23 litros de agua y luego 2.14 litros de agua, ¿cuántos litros de agua hay?

Escriba el PO.

PO: 1.23 + 2.14

Vamos a encontrar la forma de calcular. 1.23 + 2.14 7

1.23 + 2.14 Colocar los números de modo que los puntos decimales estén en una columna, uno debajo de otro.

1 Calcule. (1) 3.28 + 2.41 5.69 (7)

1. Leer el problema, captar su situación y escribir el PO. [A1]

2.68 + 3.04 5.72

1.23 + 2.14 3.37

1.23 + 2.14 3 37 Sumar las décimas y luego las unidades.

Empezar a calcular desde la derecha. Sumar las centésimas.

Poner el punto decimal en el resultado

(2) 1.23 + 4.56 5.79

(3)

3.26 + 1.37 4.63

(4)

1.48 + 2.53 4.01

(5)

4.02 + 1.57 5.59

(8) 2.93 + 1.08 4.01

(9)

3.28 + 0.71 3.99

(10)

0.46 + 1.55 2.01

(11)

2.47 + 0.05 2.52

(6)

3.05 + 2.98 6.03

(12) 0.04 + 2.98 3.02

4. Resolver el ejercicio 1 . * Clasificación de los ejercicios: 1 es del tipo 1 descrito en «Puntos de lección».

Continúa en la siguiente página...

ochenta y nueve 89

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

123

Sumemos y restemos otros números decimales

5. Resolver los ejercicios 2 y 3 . * Clasificación de los ejercicios: 2 y 3 son respectivamente de los tipos 2, 3 y 7 descritos en «Puntos de lección».

[Continuación]

• Conocer el proceso de tachar los ceros innecesarios en la suma de decimales. • Calcular la adición de los decimales con diferente número de cifras en la parte decimal en la forma vertical.

[Hasta aquí 1/5] [Desde aquí 2/5]

2 Calcule en forma vertical.

1. Calcular 4.26 + 1.34 en el cuaderno. [B]

(1) 0.24 + 0.32 = 0.56 0.24 + 0.32 0.56

(2) 0.37 + 0.25 = 0.62 0.37 + 0.25 0.62

(3) 0.03 + 0.29 = 0.32 0.03 + 0.29 0.32

2. Pensar en el tratamiento del cero. M: (Indicando el cero en las centésimas de la suma) ¿Es necesario poner el cero aquí? RP: No es necesario, porque no hay nada en las centésimas.

(4) 0.37 + 0.04 = 0.41 0.37 + 0.04 0.41

(5) 0.04 + 0.03 = 0.07 0.04 + 0.03 0.07

(6) 0.09 + 0.06 = 0.15 0.09 + 0.06 0.15

3 Calcule en forma vertical. (1) 0.34 + 0.92 = 1.26 0.34 + 0.92 1.26

(2) 0.54 + 0.68 = 1.22 0.54 + 0.68 1.22

(3) 0.73 + 0.28 = 1.01 0.73 + 0.28 1.01

3. Confirmar que se tachan los ceros innecesarios.

(4) 0.56 + 0.49 = 1.05 0.56 + 0.49 1.05

(5) 0.93 + 0.08 = 1.01 0.93 + 0.08 1.01

(6) 0.05 + 0.97 = 1.02 0.05 + 0.97 1.02

4. Resolver los ejercicios 4 y 5 . * Los tipos de los ejercicios corresponden al 4 y 5 de la clasificación en «Puntos de lección».

(2/5)

Vamos a calcular 4.26 + 1.34 en forma vertical. 4.26 + 1.34 5.60

Se tacha el último cero, porque no es necesario.

En el cálculo de los números decimales, podemos tachar los ceros innecesarios.

4 Calcule. (1)

5 Calcule. (1) 2.34 + 1.66 4.00

124

(2)

2.37 + 1.43 3.80

(2)

(3)

4.25 + 1.95 6.20

2.49 + 3.51 6.00

(3)

1.43 + 0.57 2.00

2.71 + 3.39 6.10

(4)

0.25 + 0.75 1.00

(4)

1.42 + 2.68 4.10

(5)

0.02 + 2.98 3.00

Sumemos y restemos otros números decimales [Continuación]

Vamos a calcular 2.3 + 4.16 en forma vertical. 2.3

+ 4.16 6.46 2.30

+ 4.16 6.46

Hay que alinear el punto decimal de modo que las cifras que tienen el mismo valor posicional estén en la misma columna.

5. Pensar en la manera del cálculo de 2.3 + 4.16. [C] * Hay que colocar los sumandos respetando su valor posicional. 6. Resolver los ejercicios del 6 al 9 . * Los tipos de los ejercicios corresponden al 6, 7, 8 y 9 de la clasificación en «Puntos de lección».

Se puede poner el cero de modo que cada número tenga la misma cantidad de cifras después del punto decimal.

6 Calcule. (1)

1.2 + 3.45 4.65

(2)

4.6 + 1.53 6.13

(3)

2.8 + 0.54 3.34

(4)

0.3 + 1.87 2.17

(5)

0.4 + 0.53 0.93

(7)

3.14 + 2.5 5.64

(8)

1.78 + 1.5 3.28

(9)

0.45 + 1.8 2.25

(10)

2.87 + 0.5 3.37

(11)

0.18 + 0.9 1.08

(6)

0.6 + 0.45 1.05

7 Calcule en forma vertical. (1) 26.53 + 3.1 = 29.63

(2) 72.5 + 5.29 = 77.79

(3) 82.1 + 0.04 = 82.14

(4) 3.46 + 57.3 = 60.76

(5) 1.08 + 27.5 = 28.58

(6) 0.07 + 21.3 = 21.37

(2) 3 + 0.25 = 3.25 (5) 0.59 + 7 = 7.59

(3) 36 + 0.38 = 36.38 (6) 0.21 + 73 = 73.21

8 Calcule en forma vertical. (1) 45 + 1.32 = 46.32 (4) 4.76 + 28 = 32.76

9 Calcule en forma vertical. (1) 1.234 + 5.623 = 6.857 (4) 3.248 + 1.753 = 5.001 (7) 0.532 + 0.641 = 1.173 (10) 0.316 + 0.684 =1 (13) 13 + 0.023 = 13.023

(2) 4.032 + 5.103 = 9.135 (5) 0.123 + 0.582 = 0.705 (8) 0.697 + 0.304 = 1.001 (11) 1.23 + 4.567 = 5.797 (14) 1.013 + 5 = 6.013

(3) 2.356 + 1.835 = 4.191 (6) 0.004 + 0.007 = 0.011 (9) 5.135 + 0.325 = 5.46 (12) 0.021 + 0.09 = 0.111

125

1. Leer el problema, captar su sentido y escribir el PO. [D1] 2. Pensar en la manera de encontrar la resta de 2.34 – 1.21. [D2] * Pegar las tarjetas numéricas en el lugar del minuendo (el sustraendo se presenta con las cifras) de la tabla de valores. M: ¿Cómo se resta? RP: Como en el caso de los números naturales, en cada posición restamos empezando por la derecha, y al llegar al punto decimal de los dos números que se restan, lo ponemos en el resultado. Escribiendo todo en centésimas, se convierte el cálculo al de los números naturales: 234 – 121 = 113, luego se pone el punto decimal.

Lección 2: (3/5)

Objetivo: • Calcular la sustracción de los decimales en la forma vertical.

Materiales: (M) tarjetas numéricas: 2 de 1, 3 de 0.1, 4 de 0.001 (N) las mismas que M

3. Confirmar la forma del cálculo vertical. 4. Resolver el ejercicio 10 . * Clasificación de los ejercicios:

Continúa en la siguiente página...

Escriba el PO.

PO: 2.34 - 1.21 2

Vamos a encontrar la manera de calcular.

2.34 - 1.21 3

2.34 - 1.21 Colocar los números de modo que los puntos decimales estén en una columna punto debajo de punto.

2.34 - 1.21 13

Empezar a calcular desde la derecha. Restar las centésimas.

2.34 - 1.21 1.13

Restar las décimas y las unidades.

Poner el punto decimal en el resultado.

R: 1.13 litros

La sustracción de los números decimales se calcula como los números naturales: solamente hay que poner el punto decimal.

10 Calcule.

(1)

4.57 - 2.13 2.44

(2)

2.53 - 1.26 1.27

(3)

3.24 - 1.59 1.65

(4)

6.07 - 2.43 3.64

(5)

4.05 - 2.46 1.59

(6)

3.04 - 0.29 2.75

(7)

4.01 - 0.07 3.94

(8)

3.48 - 1.3 2.18

(9)

5.21 - 2.6 2.61

(10)

2.13 - 0.8 1.33

92 noventa y dos

Unidad 10 - Números decimales

(3/5)

Hay 2.34 litros de agua. Si se beben 1.21 litros, ¿cuántos litros de agua quedan?

Numeración 10 de los ejercicios Tipos en «Puntos de lección» 7

126

Sumemos y restemos otros números decimales

Sumemos y restemos otros números decimales [Continuación]

• Calcular la sustracción en los casos donde la cantidad de las cifras decimales del sustraendo es menor que la del minuendo.

(1)

3.48 - 3.14 0.34

(2)

4.28 - 3.56 0.72

(3)

2.37 - 1.38 0.99

(4)

4.03 - 3.75 0.28

(5)

1.24 - 0.26 0.98

(6)

1.06 - 0.08 0.98

(7)

0.43 - 0.4 0.03

(8)

1.38 - 0.5 0.88

(2)

3.24 - 3.17 0.07

(3)

0.13 - 0.04 0.09

(4)

1.23 - 1.2 0.03

4.36 - 4.32 0.04

Calcule. 3.24 - 2.14 1.10

Calcule. (1) 2.34 - 1.34 1.00

(2)

3.43 - 1.53 1.90

(3)

2.18 - 1.38 0.80

(4)

4.05 - 0.35 3.70

(5)

2.17 - 0.47 1.70

(2)

4.78 - 1.78 3.00

(3)

3.05 - 1.05 2.00

(4)

2.48 - 0.48 2.00

(5)

1.09 - 0.09 1.00

(6)

5.3 - 2.16 3.14

Hay que alinear los puntos decimales de modo que las cifras que tienen el mismo valor posicional estén en la misma columna.

5.30 - 2.16 3.14

Se puede poner el cero de modo que cada número tenga la misma cantidad de cifras después del punto decimal.

Calcule. (1) 3.4 - 1.28 2.12

(2)

4.8 - 1.53 3.27

(3)

3.2 - 1.27 1.93

(5)

(6)

0.2 - 0.15 0.05

(7)

0.1 - 0.03 0.07

3.4 - 2.96 0.44

1.28 - 0.88 0.40

(4/5)

Vamos a calcular 5.3 - 2.16 en la forma vertical. 2

[Desde aquí 4/5]

Calcule.

(1)

Numeración 11 12 13 14 de los ejercicios Tipos en «Puntos de lección» 2 3 4 5

[Hasta aquí 3/5]

Calcule.

(1)

5. Resolver los ejercicios del 11 al 14 . * Clasificación de los ejercicios:

(4)

1.8 - 0.23 1.57

1. Pensar en la manera del cálculo vertical de 5.3 – 2.16. [E] M: Coloquen verticalmente la sustracción de 5.3 – 2.16 en el cuaderno. * Hay que dictar este ejercicio o escribirlo en la pizarra horizontalmente. * Colocar los números de modo que los puntos decimales estén en la misma columna. M: Arriba de la cifra 6 del sustraendo no hay nada. ¿Cómo se puede restar? RP: Cambiando una décima en 10 centésimas. * Se debe orientar para que agreguen ceros en el minuendo cuando sea necesario. 2. Confirmar la forma del cál culo. 3. Resolver el ejercicio 15 . * Clasificación de los ejercicios: Numeración 15 de los ejercicios Tipos en «Puntos de lección» 6

127

Sumemos y restemos otros números decimales

4. Resolver los ejercicios del 16 al 18 . * Clasificación de los ejercicios:

[Continuación]

• Redondear los números decimales.

Numeración 16 17 18 de los ejercicios Tipos en «Puntos de lección» 7 8 9

[Hasta aquí 4/5]

[Desde aquí 5/5] 1. Redondear el número 2.38 hasta las décimas. [F] * Dibujar una parte de la recta numérica que contiene los números 2.3 y 2.4. M: ¿Cuál es el número que está en la mitad de 2.3 y 2.4. RP: 2.35 M: ¿Cuál es el número que queda más cerca de 2.38, 2.3 ó 2.4? RP: 2.4 Que se den cuenta que a diferencia del redondeo de los números naturales, donde las cifras a la derecha del lugar a redondear se convierten en ceros, en este caso no hay que escribirlos 2. Confirmar la manera de re dondear los números hasta las décimas. * Confirmar hasta cuál posición se redondea y a cuál posición hay que observar (véase Notas). 3. Resolver los ejercicios 19 y 20 . * 20 trata sobre el redondeo hasta las centésimas, que no está explicado en el LE. Se espera que los niños y las niñas los resuelvan por analogía.

128

Calcule en forma vertical. (1) 3.45 - 1.9 1.55

(2) 2.37 - 1.5

0.87

(3) 3.4 - 2.78

0.62

(4) 24.3 - 5.61 18.69

(5) 4.8 - 0.85

3.95

(6) 0.2 - 0.15

0.05

0.41

Calcule en forma vertical. (1) 36 - 18.7

17.3

(2) 23 - 4.19

18.81

(3) 2 - 1.59

(4) 6 - 0.25

5.75

(5) 3.24 - 2

1.24

(6) 32.65 - 15 17.65

Calcule en forma vertical. (1) 2.345 - 1.123 1.222

(2) 3.243 - 1.129 2.114

(3) 1.025 - 0.138 0.887

(4) 2.302 - 2.293 0.009

(5) 2.532 - 1.672 0.86

(6) 3.125 - 1.125 2

(7) 5.4 - 1.235 4.165

(8) 7 - 5.123 1.877

Vamos a buscar el número de la forma

y que queda más cerca del

(5/5)

número 2.38 (redondear 2.38 hasta las décimas). 2.3

2.35

2.4 2.38

El número 2.35 queda en el medio de 2.3 y 2.4. El número 2.38 queda más cerca del número 2.4 que 2.35. Por lo tanto 2.4 queda más cerca del 2.38 que 2.3.

Para redondear los números decimales hasta las décimas más cercanas: Si la cifra de las centésimas es mayor o igual que 5, se aumenta en uno a las décimas, si es menor que 5 permanece igual. Ejemplo: 2.35 2.4 , 2.96 3.0 Si no, sólo se quitan las centésimas, las milésimas, etc... Ejemplo: 2.34 2.3 , 2.01 2.0 19

Redondee los siguientes números hasta las décimas.

(1) 5.38 5.4

(2) 7.269 7.3

(4) 0.32 0.3

(5) 0.96

1.0

(3) 21.945 21.9 (6) 0.49

0.5

Redondee los siguientes números hasta las centésimas.

(1) 5.283 5.28

(2) 1.897 1.90

(3) 38.894 38.89

(4) 56.006 56.01

Para redondear hasta las décimas hay que ver la cifra de las centésimas para saber si es menor que 5 ó no, o sea que no importa la cifra de las milésimas. Es importante generalizar que hay que observar solamente la cifra de una posicion inferior que la posición hasta donde redondear.

Unidad 10: (1/2~2/2)

Ejercicios

Los problemas tratan de: 1 Lectura de la recta numérica.

2 El valor posicional de los números decimales.

Objetivo: • Confirmar lo aprendido en esta unidad.

3 Comparación de los números decimales.

Materiales: Ejercicios 1

Escriba los números que corresponden a las flechas. (2) (1) 2.4 2.3 2.5 2.6 a

(1/2~2/2)

2.34 2.28 2.46 2.59 Conteste sobre el número 2.345.

2.388

2.4 f

2.396

5 Cálculo de la adición y la sus-

2.41 g

2.402

2.409

2.414

(1) ¿Qué valor tiene la cifra 4? 0.04 (cuatro centésimas) (3) ¿Cuántas milésimas en total tiene el número 2.345? 2345 (1) ¿Qué número consiste en 4 unidades, 0 décimas, 2 centésimas y 5 milésimas? 4.025 (2) ¿Cuál es el número que consiste en 14 milésimas? 0.014 (3) ¿Cuánto es 0.104 x 10? ¿Cuánto es 0.104 x 100? 1.04 (4) ¿Cuánto es 0.2 ÷ 10?

Ordene los siguientes números de menor a mayor.

Calcule y escriba.

0.01, 1.95, 0, 2, 1.89

10.4

0.02

tracción de los números decimales.

6 Problemas de aplicación.

(2) ¿Qué valor tiene la cifra 5? 0.005 (cinco milésimas)

4 Problemas de aplicación.

0, 0.01, 1.89, 1.95, 2

(1) 1.04 + 2.963 = 4.003

(2) 0.903 + 1.097 = 2

(3) 23.1 + 0.003 = 23.103

(4) 2.354 - 1.054 = 1.3

(5) 3.46 - 2.543 = 0.917

(6) 5 - 2.183 = 2.817

Numeración del problema

1 2 3 4 5 6

Operación

a s s a a s

Unidad de medida

km cm kg kg kg kg

a = adición

s = sustracción

Resuelva los siguientes problemas. (1) Un carro ayer recorrió 30.24 km y hoy 29.87 km. ¿Cuántos kilómetros recorrió en dos días? PO: 30.24 + 29.87 = 60.11 R: 60.11 km (2) El lápiz carbón de Carlos la semana pasada medía 18.3 cm y hoy 15.4 cm. ¿Cuántos centímetros se gastó? PO: 18.3 - 15.4 = 2.9 R: 2.9 cm (3) Habían 1.45 kg de azúcar. Hoy se usó 0.52 kg para hacer pasteles. ¿Cuántos kilogramos sobran? PO: 1.45 - 0.52 = 0.93 R: 0.93 kg (4) Se venden manzanas en caja. Todas las manzanas pesan 2.45 kg y la caja vacía 0.32 kg. ¿Cuántos kilogramos pesan en total? PO: 2.45 + 0.32 = 2.77 R: 2.77 kg (5) El médico le dijo a María que tenía que bajar de peso. Ella perdió 6.24 kg y ahora pesa 43.38 kg. ¿Cuántos kilogramos pesaba antes? PO: 43.38 + 6.24 = 49.62 R: 49.62 kg (6) Julia pesa 35.7 kg. Al pesarse cargando a su hermana en los brazos resultó 45.5 kg. ¿Cuántos kilogramos pesa la hermana? PO: 45.5 + 35.7 = 9.8 R: 9.8 kg noventa y cinco 95

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

129

Unidad

11 11

Área de triángulos

(6 horas)

Expectativas de logro • Construyen las fórmulas para calcular el área de triángulos. • Resuelven problemas utilizando área de triángulos.

Relación y desarrollo

• Concepto de área. • Unidades oficiales de área: cm2 y m2. • Equivalencia entre las unidades oficiales de área. • Fórmulas para calcular el área de cuadrado y rectángulo.

• Base y altura de triángulo. • Fórmulas para calcular el área de triángulo.

130

Plan de estudio

(6 horas)

1. Calculemos el área de triángulos (5 horas)

Ejercicios (1)

(1 hora)

1/5

• Los elementos del triángulo (base y altura)

2/5

• Forma de encontrar el área de triángulos rectángulos

3/5

• Forma de encontrar el área de triángulos acutángulos

4/5 5/5 1/1

• Fórmula para calcular el área de triángulos • Forma de encontrar el área de triángulos obtusángulos • Ejercicios sobre la unidad

Puntos de lección • Lección 1: Calculemos el área de triángulos A los niños y a las niñas les resulta difícil encontrar la altura relacionando con la base correspondiente. Es mejor realizar las actividades de trazar la altura de la base dada en los triángulos, ubicados en varias posiciones aplicando el estudio de la líneas perpendiculares.

Podemos considerar la importancia de este contenido, ya que el área de cualquier polígono se puede encontrar al dividirlo en triángulos, en esta guía se introduce antes del estudio del área de cuadriláteros. Durante esta unidad, las clases se planean de modo que los niños y las niñas piensen en la forma de encontrar el área aplicando la forma aprendida y que deduzcan las fórmulas por sí mismos.

131

Calculemos el área de triángulos

Desarrollo de clases

• Reconocer los elementos del triángulo (base y altura).

1. Captar el tema. [A] M: ¿Cuál triángulo será más alto? ¿Qué hacemos para saberlo? Que capten que se necesita medir la altura. 2. Pensar la forma de trazar el segmento de la altura. [A1] M: ¿Cómo se debe trazar el segmento de la altura? RP: Tiene que ser recto, Desde la cumbre hacia el pie verticalmente. Debe ser perpendicular, etc. M: Tracen las alturas en el triángulo A. M: ¿Cómo lo hicieron? Que apliquen la forma de trazar las líneas perpendiculares. * Concluir la forma de trazar la altura (véase Notas) y explicar el significado de “altura” y “base”. * Indicar que tracen la altura en otros triángulos. 3. Medir la altura y compararla. [A2] 4. Encontrar otras alturas en el triángulo A. [A3] M: (Indicando otro lado del triángulo A) ¿Cómo será la altura si tomamos este lado como la base? Que se den cuenta que la altura depende de la posición de la base. * Mostrar otra altura girando el triángulo A de la pizarra de modo que otro lado sea la base. 5. Trazar otras alturas en los triángulos. [A4] 6. Resolver los ejercicios 1 .

132

(M) modelo de los 3 triángulos de A para la pizarra, escuadras, regla. (N) regla, escuadras.

Encuentre el área de las siguientes figuras. Hacer el cálculo en su cuaderno. 3 cm

(1)

4m 2m

PO: 2 x 4 = 8 R: 8 m2

(1/5)

¿Cuál triángulo será más alto? A

(2)

PO: 3 x 3 = 9 R: 9 cm2

3 cm

Trace el segmento que representa la altura en cada triángulo. ¿Cómo se tiene que trazar? La altura de un triángulo, es el segmento perpendicular trazado de un vértice al lado opuesto. El lado opuesto que es perpendicular a la altura se llama base. Perpendicular

altura

base

Mida la altura de cada triángulo. Todos miden la altura de 3 cm. Tienen la misma altura.

Observe el triángulo A y piense si puede haber otra altura. La altura depende de cuál vértice o base se escoge para trazarla. A1

base

altura

base altura

A3 base altura

Trace otras alturas en los triángulos A ~ C . Se omite la solución

Dibuje varios triángulos en su cuaderno y trace su altura. Se omite la solución

[Forma de trazar la altura] Se traza un segmento perpendicular de forma que empiece en el vértice hacia su lado opuesto, como muestra el siguiente dibujo.

Calculemos el área de triángulos • Calcular el área de triángulos rectángulos. (M) figuras hechas en cartulinas con la forma de las jaulas, papel cuadriculado laminado para la pizarra, regla. (N) regla.

(2/5)

En el zoológico el piso de cada jaula tiene forma diferente. ¿Cuál es la jaula más extensa? Vamos a encontrar el área de varias figuras.

Es un rectángulo de 8 m de base y 6 m de altura. PO: 8 x 6 = 48

Entonces:

R: 48 m2

Encuentre el área del piso de la jaula de las ardillas.

(1) ¿Cómo se llama la forma del piso de esta jaula? 6m

4. Expresar las ideas.

Triángulo rectángulo. 8m

(2) Calcule el área de este triángulo rectángulo pensando en una forma para encontrarla.

5. Concretar la forma de encontrar el área del triángulo rectángulo. Que se den cuenta que el área de triángulo es la mitad de la del rectángulo. * Todavía no es necesario llegar a la fórmula.

Cuando se divide un rectángulo con una diagonal, se obtienen dos triángulos rectángulos iguales. Es decir que el área de ese triángulo rectángulo es la mitad del área de un rectángulo con 8 m de largo y 6 m de ancho. Entonces:

PO: 8 x 6 ÷ 2 = 24

R: 24 m2

Encuentre el área de los siguientes triángulos rectángulos. 4m

(1) 2m

PO: 4 x 2 ÷ 2 = 4 2 R: 4 m

(2)

40 cm

30 cm

PO: 40 x 30 ÷ 2 = 600 2 R: 60 cm

2. Encontrar el área del rectángulo. [B1] * Presentar la figura dibujada o pegando la figura preparada de papel en una lámina. * Esta presentación de la figura del tema se repetirá durante toda la unidad. 3. Pensar en la forma de encontrar el área del triángulo rectángulo. [B2] M: ¿Cómo podemos encontrar el área del piso de la jaula de las ardillas? * Indicar que escriban en el cuaderno la forma propia y el resultado.

Encuentre el área del piso de la jaula de las jirafas. 6m

1. Captar el tema de la clase. [B] * Sería mejor preparar las figu ras geométricas de las jaulas para presentarlas en la pizarra confirmando cómo se llama cada figura.

(3) 6 m

PO: 6 x 6 ÷ 2 = 18 2 R: 18 m

6. Resolver el ejercicio 2 .

133

Calculemos el área de triángulos

1. Captar el tema de la clase. [C] 2. Pensar en la forma de encontrar el área del triángulo acutángulo. [C1] y [C2] M: ¿Cómo podemos encontrar el área del piso de la jaula de los monos? * Indicar que escriban en el cuaderno la forma preferida y el resultado. Al terminar el trabajo, que intenten pensar en otra forma para resolverlo. 3. Expresar las ideas. * Hacer que busquen los puntos similares o diferentes entre las ideas (véase Notas).

• Calcular el área de triángulos acutángulos. (M) dibujo de [C] ampliado para la pizarra, regla. (N) regla.

El piso de la jaula de los monos tiene otra forma triangular. ¿Cuánto mide el área?

Piense en la forma para encontrar el área de este triángulo. 1m

Fátima

1m 1m

4. Resolver el ejercicio 3 . * Puede hacer que los niños y las niñas experimenten por lo menos las tres formas presentadas en el LE para encontrar el área.

(3/5)

1m 1m

Dividiendo en dos triángulos rectángulos...

PO: 4 x 4 ÷ 2 = 8 4x2÷2=4 8 + 4 = 12

Como el área del triángulo es la mitad del rectángulo grande...

Walter

Transformando el triángulo en un rectángulo de la misma área...

Viviana

PO: 6 x 4 ÷ 2 = 12

PO: 4 ÷ 2 = 2 6 x 2 = 12

R: 12 m2

Intente encontrar el área del triángulo anterior usando otras formas. Hacer el cálculo en su cuaderno. Se omite la solución

Encuentre el área de los siguientes triángulos. En este momento, los niños y las niñas no conocen la fórmula todavía. Se pueden usar las formas propias para resolver. (1)

(2)

(3)

1m 6m

12 m

10 m

PO: 10 x 6 ÷ 2 = 30 R: 30 m2

15 m

PO: 7 x 4 ÷ 2 = 14 R: 14 m2

PO: 15 x 12 ÷ 2 = 90 R: 90 m2

Pueden haber varias formas para encontrar el área, incluyendo las que dividen este triángulo en muchas figuras pequeñas. Hay que aceptar todas las ideas expresadas felicitando sus esfuerzos, pero, es importante que ellos se den cuenta de la forma más fácil (el proceso del pensamiento) o comprensible, rápida y con menos posibilidad de equivocarse, para que tengan un mejor entendimiento y desarrollo del pensamiento matemático. Por consiguiente, es indispensable observar y analizar las ideas expresadas.

134

Calculemos el área de triángulos

Lección 1: (4/5)

Objetivo: • Deducir la fórmula para calcular el área de triángulos. Materiales: (M) dibujo de [D] ampliado para la pizarra, regla. (N) regla.

D 1

Vamos a deducir la fórmula para encontrar el área de triángulos.

Para encontrar el área del triángulo ABC, usando el área del rectángulo grande, ¿qué longitudes se necesitan saber? Las longitudes de BC (base) y AD (altura)

(4/5)

2. Pensar en la forma de encontrar el área del triángulo mediante el cálculo. [D1] y [D2] M: ¿Qué longitudes necesitamos saber para encontrar el área del triángulo? M: ¿Cómo podemos encontrar el área mediante el cálculo? * Dar suficiente tiempo a la resolución independiente. 3. Expresar la forma para encontrar el área.

Encuentre el área del triángulo ABC mediante el cálculo.

El área del triángulo es la mitad del área del rectángulo grande. PO: 7 x 6 ÷ 2 = 21 R: 21 m2 A altura D

B 3

1. Captar el tema de la clase. [D]

base

Para encontrar el área del triángulo ABC, se usa la longitud de BC (7 m) y AD (6 m). BC es la base y AD es la altura del triángulo ABC. Entonces, la fórmula del área del triángulo es: área = base x altura ÷ 2

Encuentre el área del triángulo EFG mediante el cálculo y compruebe si es aplicable la fórmula. E altura P: 5 x 4 ÷ 2 = 10 R: 10 m2 4m

El 5 es la longitud de la base y el 4 es la altura del triángulo EFG. Entonces, es aplicable la fórmula para el área del triángulo rectángulo.

G base

4 Encuentre el área de los siguientes triángulos. PO: 10 x 7 ÷ 2 = 35 (1) (2)

5. Comprobar la fórmula con el triángulo rectángulo. [D3] Que sientan la ventaja de tener una fórmula. 6. Resolver el ejercicio 4 . (Véase Notas.)

PO: 4 x 9 ÷ 2 = 18

R: 35 cm

R: 18 cm2

7 cm

4. Construir la fórmula. * Conducir a la fórmula preguntando el significado de cada número que aparece en el PO.

10 cm

PO: 3 x 6 ÷ 2 = 9

(3)

R: 9 cm

6 cm

PO: 5 x 2 ÷ 2 = 5

(4) 2 cm

R: 5 cm2 5 cm

3 cm

noventa y nueve 99

[Datos dados en los ejercicios] En los ejercicios de esta clase, se dan solamente los datos necesarios, es decir la longitud de la base y la altura correspondientes, para que los niños y las niñas se acostumbren a la fórmula. En la siguiente clase, se les dan más datos para que ellos escojan los necesarios captando fijamente la relación entre la base y la altura. Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

135

1. Captar el tema de la clase. [E] 2. Pensar en la forma de encontrar el área del triángulo obtusángulo. [E1] M: ¿Cómo podemos encontrar el área del piso de la jaula de las aves? * Indicar que escriban en el cuaderno la forma preferida y el resultado. Al terminar el trabajo, que intenten pensar en otra forma para resolverlo.

Calculemos el área de triángulos

Lección 1: (5/5)

Objetivo: • Calcular el área de los triángulos obtusángulos. Materiales: (M) dibujo de [E1] ampliado para la pizarra, regla, escuadras (N) regla, escuadras.

E 1

(5/5)

Otra jaula con piso triangular es la de las aves. ¿Cuánto mide el área? Piense en la forma para encontrar el área de este triángulo. 1m

3. Expresar las ideas. B

4. Concretar la forma de encontrar el área del triángulo obtusángulo. * Confirmar que hay triángulos que su altura se encuentra fuera de la figura, pero siempre es aplicable la fórmula para encontrar el área.

Restando el área del triángulo ABC al área Adolfo del triángulo ABD

Cecilia

PO: 6 x 6 ÷ 2 = 18 2x6÷2=6 18 - 6 = 12

Cuando la base es CD, la altura es AB. Usando la fórmula del área... PO: 4 x 6 ÷ 2 = 12

R: 12 m2

En el triángulo ACD, cuando la base es CD, la altura es AB. En esta situación, también es aplicable la fórmula para el área de triángulos.

altura

C base

5. Resolver los ejercicios 5 y 6 . 5

Calque los siguientes triángulos y trace la altura correspondiente a la base indicada. (1)

(2)

(3) base

base

(4)

base

Encuentre el área de los siguientes triángulos. (1)

PO: 6 x 4 ÷ 2 = 12 R: 12 m2

100 cien

136

Unidad 11 - Área de triángulos

(3)

(2) 15 m

6 cm

4 cm

9 cm

PO: 4 x 9 ÷ 2 = 18 R: 18 cm2

13 cm

PO: 6 x 7 ÷ 2 = 21 R: 21 cm2

7 cm

Ejercicios

Unidad 11: (1/1)

Los ejercicios tratan sobre:

1 Cálculo del área de triángulos en cuadrículas

Objetivo: • Confirmar lo aprendido en la lección 1.

2 Concepto de la base y la altura de triángulos

Materiales:

3 Cálculo del área de triángulos Ejercicios

(1/1)

1 Encuentre el área de los siguientes triángulos. 1m 1m

D A

A) PO: 4 x 5 ÷ 2 = 10

R: 10 m2

B) PO: 7 x 4 ÷ 2 = 14

R: 14 m2

C) PO: 4 x 5 ÷ 2 = 10

R: 10 m2

D) PO: 3 x 4 ÷ 2 = 6

R: 6 m2

2 Escriba cuál es la base y la altura para cada triángulo. Base: GI (1) A Base: BC (2) G J Altura: AE

(3) Base: LM

Altura: NP

K L

3 Calcule el área de los siguientes triángulos. (2) (3) (1) 5m 20 m 29 m

13 m 21 m

PO: 21 x 20 ÷ 2 = 210 R: 210 m2

12 m

D B

Altura: HJ

Itentémoslo: * En este ejercicio los niños y las niñas deben pensar alguna opción de triángulo donde el producto de la base y altura sea 30 para que al dividir entre 2 de 15. Pueden haber varias respuestas.

(4) De un triángulo cuya base es 9 cm y su altura es 36 cm.

9 cm

13 m

PO: (5 + 5) x 12 ÷ 2 = 60 R: 60 m2

4 cm 8 cm

PO: 9 x 36 ÷ 2 = 162 R: 162 cm2

PO: (8 - 4) x 9 ÷ 2 = 18 R: 18 cm2

Intentémoslo Dibuje un triángulo que tenga 15 cm2 de área. Indique su base y su altura.

¿? 15 cm2

¿? ciento uno 101

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

137

Unidad

12 12

Recolectan y clasifican datos estadísticos mediante encuestas sencillas. Organizan y presentan información estadística en gráficas de barras. Describen e interpretan información estadística organizada en gráficas de barras. Leen y elaboran la tabla de dos dimensiones.

Relación y desarrollo

• Recolección, organización distribución e interpretación de datos en tablas. • Interpretación de pictograma.

Plan de estudio

1. Construyamos gráficas de barras (7 horas)

2. Organicemos los datos (3 horas)

138

(10 horas)

Expectativas de logro • • • •

Gráficas de barras

• Elaboración de pictograma. • Elaboración e interpretación de tabla de dos dimensiones.

• Construcción e interpretación de gráfica de barras. • Elaboración e interpretación de tabla de dos dimensiones.

(10 horas)

1/7

• Lectura y utilidad de las gráficas de barras sencillas

2/7

• Lectura de las gráficas de barras en las que la cantidad se indica en el eje horizontal

3/7

• Lectura de las gráficas de barras con diferentes escalas en el eje de valores

4/7~5/7

• Forma para elaborar las gráficas de barras

6/7~7/7

• Elaboración y aplicación de encuestas • Organización de datos en la tabla • Elaboración de la gráfica de barras

1/3~2/3

• Elaboración y lectura de la tabla de dos dimensiones

3/3

• Elaboración y lectura de la tabla de dos dimensiones (con los conceptos clasificados en cuatro tipos)

Puntos de lección • Lección 1: Construyamos gráficas de barras Hasta 3er grado, los niños y las niñas han aprendido las tablas de una y dos dimensiones y las gráficas sencillas (pictogramas). En este grado se orienta la lectura y elaboración de las gráficas de barras. Para su estudio, es necesario tomar en cuenta dos puntos muy importantes: el aspecto técnico de leer y elaborar la gráfica, y el aspecto de cultivar la capacidad de pensar estadísticamente. Para leer las gráficas de barras, primero se orienta la lectura básica, como por ejemplo: el sentido de los ejes, la cantidad que representa el valor mínimo de las escalas del eje (para los casos de 1 y 2), la forma de captar la cantidad representada en las barras; luego, gradualmente se desarrolla hacia los contenidos sobre la forma de ordenar los elementos, por ejemplo: si se puede cambiar el orden de los elementos según la cantidad, o no. Y los casos en que el valor mínimo de las escalas del eje es de 50, 20, 100, etc. El objetivo principal de la elaboración de las gráficas de barras en este grado es profundizar la comprensión de la estructura de las mismas; por lo tanto, no se tratan los casos complicados. Se planean dos horas de clase para la propia investigación en que se puede aplicar lo aprendido; aquí, los niños y las niñas trabajarán individualmente, dependiendo del tema que escojan. No obstante, pensando en la situación de la comprensión sobre los conteni-

dos vistos, se debe realizar el estudio en equipo para que no tengan muchas dificultades. Lo más importante es que los niños y las niñas tengan la capacidad de conseguir los datos necesarios y que sepan las formas de organizarlos y razonarlos estadísticamente. La computadora facilita el trabajo de organizar los datos y elaborar las gráficas; pero, vale más si se la utiliza después de haber tenido la experiencia de trabajar manualmente, aprendiendo bien el procedimiento de organizar los datos. A las escuelas que tienen computadoras, se les recomienda que las utilicen para elaborar gráficas, siempre después de terminar toda la base del contenido.

• Lección 2: Organicemos los datos En 3er grado, se orientó la selección de la clasificación de los conceptos desde un sencillo punto de vista y su representación en una tabla o gráfica; poniendo cuidado para que no hayan datos que falten ni que se repitan. También se trató la lectura de una tabla sencilla de dos dimensiones. En este grado, los niños y las niñas aprenderán a seleccionar los conceptos de clasificación desde dos puntos de vista y a representarlos en la tabla de dos dimensiones. Luego, se desarrollará la lectura y elaboración de la tabla de dos dimensiones con los dos conceptos opuestos y sus dos puntos de vista, o sea, la tabla con los artículos clasificados en cuatro tipos.

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

139

Representaciones gráficas

Las gráficas se usan para representar rápida y eficazmente los datos estadísticos. Existen varios tipos de gráficas, o representaciones gráficas, que se utilizan de acuerdo al objetivo que se persigue y al tipo de información presentada. A

Clasificación de las gráficas básicas

Pictograma

Muy utilizada en los medios masivos de comunicación para ilustrar los datos o resultados de alguna investigación. Por ejemplo: la cantidad de viviendas en algunos sectores de un municipio.

Utilizan dibujos para representar la información. El tamaño, o el número de estos dibujos, queda determinado por la frecuencia (cantidad) correspondiente. Su lectura e interpretación puede tener diferentes niveles de abstracción, dependiendo de la forma de uso del dibujo empleado, ya que a veces éste es deformado o se le corta una parte.

Gráfica de barras

Se utiliza cuando se compara la dimensión del mismo tipo de datos, relacionados por alguna característica común. Por ejemplo: al comparar la distancia entre la casa y la escuela de cada uno de los estudiantes.

El orden de los elementos del eje respectivo pueden estar en la posición más conveniente ya que generalmente no tienen la característica de orden; pueden cambiar de lugar. (Se recomienda ordenarlos de mayor a menor.)

Gráfica lineal

Se utiliza cuando se expresa el cambio de estado de algún dato. Por ejemplo: el cambio de temperatura.

Los elementos del eje horizontal siempre están ordenados pues tienen relación de orden.

Gráfica circular

Se utiliza cuando se expresa la proporción entre los datos. Por ejemplo: la composición étnica de la población.

La gráfica circular debe el nombre a su forma de círculo, y expresa la proporción de cada dato en relación al total de éstos, tomando como referencia el tamaño del ángulo central.

Histograma

Se utiliza cuando se investiga sobre cuántos datos existen en un intervalo específico (distribución de frecuencias). Por ejemplo: el peso de cada niño.

No compara elementos independientes, como la gráfica de barras. Expresa sólo un tipo de dato, dividido en intervalos, por eso no hay espacio entre las barras (como en la gráfica de barras). Los elementos del eje correspondiente son continuos.

140

Ejemplos de gráficas

Pictograma

Gráfica de barras

Cantidad de libros de la biblioteca de la escuela (Libros)

Lengua Esp.

800

Matemática

600

Ciencias Soc.

400

Ciencias Nat.

200

Lengua Ext. 1

Cada

6 7 8 9 (Cantidad de libros)

Diana

representa 5 libros

Miguel (Niños)

Daniel

Gráfica circular

Gráfica lineal (°C) 30

Distancia entre la casa y la escuela

(Metros) 1,000

Población de República Dominicana según sexo.

El cambio de temperatura

Censo de Población y Vivienda, 2002

25 20 Mujeres 50.2%

15 10

Hombres 49.8%

5 0 09:00

10:00

11:00 12:00 (Horas)

13:00

14:00

Histograma El peso de los niños

(Cantidad de niños)

12 10 8 6 4 2 0 35

45 50 55 (Peso en libras)

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

141

Construyamos gráficas de barras

Desarrollo de clases

2. Leer las gráficas de barras. [A2] M: Vamos a observar estas gráficas para ver cuáles informaciones nos representan. * Se pueden agregar preguntas a la parte para orientar la comparación. (véase Notas).

• Leer gráficas de barras con escala de 1:1 y 1:2. (M) Tabla y gráfica (de Betty) para la pizarra como [A]

Para organizar los datos se utiliza la tabla o el cuadro. Las gráficas sirven para visualizar los resultados de la organización de los datos.

La fruta preferida Número de niños y niñas

Frutas

6 5 3 4

La fruta preferida

6 5 4 3 2 1 0

(1/7) Betty y José hicieron una investigación sobre sus amigos y la organizaron en una tabla. José

Betty

La profesión que quiere ser cuando sea grande Profesión Doctor

Número de niños y niñas

Piloto

Policía

Bombero

Total

Profesión preferida cuando sea grande

9 8 7

Número de niños y niñas

1. Conocer la gráfica de ba rras y su mecanismo. [A1] M: (Pegando en la pizarra la gráfica de barras de Betty, ya preparada). Esta gráfica se llama gráfica de barras. ¿Qué observan ustedes en esta gráfica? RP: Las barras que representan la cantidad de niños y niñas, hay líneas de división con números, etc. * Confirmar el mecanismo de la gráfica de barras. M: ¿Cuáles diferencias o semejanzas hay entre la gráfica de Betty y la de José? Que se den cuenta de los puntos importantes en las gráficas de barras: valor mínimo de las escalas, orden de los elementos (normalmente, se ordenan los datos de mayor a menor)…, para la lectura y construcción de las gráficas. * Preguntar por las ventajas de las gráficas al compararlas con las tablas, para que los niños y las niñas capten su utilidad.

Número de niños y niñas

6 5 4 3 2 1 0

Doctor

Piloto

Policía Bombero

8 6 4 2 0

Policía

Profesión

Doctor Bombero Piloto

Profesión

1 2

Compare las gráficas de barras de Betty y José, y escriba en su cuaderno Se omite la solución lo que encontró. Observe la gráfica de barras que hizo Betty, y conteste las preguntas en su cuaderno lo que encontró. (1) ¿Cuántos niños y niñas representa cada escala del eje vertical? 1 niño o niña (2) ¿Cuál es la ocupación más preferida por los niños y las niñas? (3) ¿Cuántos niños y niñas prefieren ser doctor?

Policía

5 niños y niñas

142

Lección 1: (2/7)

Construyamos gráficas de barras

Objetivo: • Leer las gráficas de barras en las que la cantidad se indica en el eje horizontal con escala de 1:5.

Materiales: (M) tabla y gráfica para la pizarra como [B]

(2/7)

En la comunidad de Oscar cada domingo se realiza la actividad de limpieza.

1. Captar qué representa la gráfica de barras. [B] M: (Pegando en la pizarra la tablay la gráfica de barras preparada). ¿Qué representa esta tabla y gráfica de barras? * Es muy importante que tengan la costumbre de captar primero qué se representa en las gráficas o tablas al leerlas. * Pedir que observen el título de la gráfica.

Dominicana limpia

La tabla y la gráfica de barras siguientes representan la cantidad de niños y niñas que participaron en ella, el pasado sábado. Los niños y las niñas que participaron en la actividad de limpieza

1 grado o 2 grado o 3 grado o 4 grado o 5 grado o 6 grado Total

Número de niños y niñas

26 24 19 21 15 17 122

(Niños y niñas)

1 (Grado)

Grado

Los niños y las niñas que participaron en la actividad de limpieza 0 5 10 15 20 25 30

Conteste las siguientes preguntas. (1) ¿Cuántos niños y niñas representa cada escala del eje horizontal? 5 niños y niñas (2) ¿De qué grado participaron más niños y niñas en la actividad? o 1 grado

2. Pensar en las diferencias entre las gráficas de barras aprendidas y la de esta clase. M: ¿Qué diferencias hay entre esta gráfica y las aprendidas? Que se den cuenta que en esta gráfica representan los datos horizontalmente y la escala es 1:5. 3. Leer la gráfica de barras en la que la cantidad se indica en el eje horizontal. [B1] * Indicar que hagan la resolución independiente en el cuaderno. * Se pueden agregar más preguntas. (véase Notas). 4. Confirmar las respuestas.

(3) Comparando la tabla y la gráfica de barras, ¿con cuál de las dos se puede captar más fácilmente quién tiene mayor número de niños y niñas? La gráfica de barras (4) Escriba en el cuaderno otras informaciones que nos da la gráfica de barras. ¿Se podrá cambiar el orden Se omite la solución de los elementos, o no?

ciento tres 103

5. Considerar sobre el orden de los elementos. * Explicar que en este caso no se deben ordenar los elementos por la magnitud de la cantidad (de mayor a menor), porque ellos ya tienen sentido de orden (del 1er al 6to grado).

[Leer las barras desde los valores del eje] Es importante realizar actividades de lectura de las gráficas de barras, no sólo leyendo los valores de las líneas de división correspondientes a las barras sino también leyendo las barras correspondientes a los valores de las líneas de división; como por ejemplo: ¿De qué grado participaron 19 niños? ¿De qué grados participaron más de 20 niños?, …, para profundizar la comprensión de la lectura de las gráficas. Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

143

Objetivo: • Leer e interpretar las gráficas de barras con diferentes escaras.

Materiales: (M) gráficas para la pizarra como 1

2. Resolver el ejercicio 2 . * Después de la resolución independiente, dar suficiente tiempo para que los niños y las niñas discutan sobre el inciso (8), para profundizar la lectura de la gráfica. * Es importante que los niños y las niñas digan con sus propias palabras lo que encontraron sobre la gráfica. Es deseable que ellos desarrollen y amplíen sus pensamientos mediante la lectura de la gráfica; como por ejemplo: comparando su vida cotidiana, o sus conocimientos adquiridos, con el resultado de la gráfica presentada, suponiendo las razones o el fondo del resultado, teniendo interés por investigar más por sí mismos, etc.

144

Construyamos gráficas de barras

Lección 1: (3/7)

Unidad 12 - Gráficas de barras

Observe las gráficas de barras siguientes. Escriba qué cantidad representa cada (3/7) graduación del eje vertical en cada gráfica y qué cantidad representa cada barra.

Hay que hacer que los niños y las niñas se fijen qué cantidad representan los números

(2)

100

(Personas)

200

50 30

180 120

100 60

10 5

(3)

(Metros)

(1)

(RD$ pesos)

1. Resolver el ejercicio 1 . * Indicar que lean las gráficas de barras, cuyos valores de las escalas no son de uno en uno ni de dos en dos, poniendo atención a la cantidad representada en el valor mínimo. * Después de la resolución independiente, confirmar cómo se puede saber la cantidad representada en el valor mínimo de las escalas: observar el número indicado en el eje vertical y dividirlo entre la cantidad de escalas que hay entre dos números. Se puede utilizar la cuadrícula grande laminada para la pizarra para una mejor explicación. * Hay que tener cuidado en la lectura de las barras que no llegan hasta la escala que tiene escrito su valor.

0 10

0 20

La siguiente gráfica representa el tiempo que Miguel estudió en su casa la semana pasada. Obsérvela y conteste las preguntas en su cuaderno. El tiempo que estudió Miguel (minutos) 0

Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

100

(1) ¿Cuántos minutos representa cada graduación del eje horizontal? 10 minutos (2) ¿Qué día Miguel estudió más, y cuántos minutos fueron? Domingo, 90 minutos (3) ¿Qué día él estudió menos y cuántos minutos fueron? Lunes, 30 minutos (4) ¿Cuánto tiempo estudió el miércoles? 55 minutos (5) ¿Qué día él estudió 50 minutos? Martes (6) ¿Cuánto tiempo más estudió el martes que el lunes? 20 minutos (7) ¿Cuánto tiempo estudió durante la semana? 90+30+50+55+45+40+80=390 (390÷60=6 sobran 30) 390 minutos (6 horas 30 minutos) (8) Diga qué más pudo encontrar en esta gráfica. Se omite la solución

104 ciento cuatro

Construyamos gráficas de barras

Lección 1: (4/7~5/7)

Objetivo: • Elaborar las gráficas de barras.

Materiales: (M) cuadrícula grande laminada para la pizarra (N) regla, hoja de papel cuadriculado

Natalí hizo una encuesta a sus amigos y amigas sobre el color favorito y organizó los datos en una tabla. Vamos a presentar este resultado con la gráfica de barras en su cuaderno. El color favorito Color Número de niños y niñas

(Niños y niñas) 15

Rojo

Azul

Amarillo 11

Marrón

Otros

Total 46

El procedimiento 1 Escribir los elementos y el título del eje horizontal o vertical (se puede omitir el título de los elementos). 2 Decidir el valor que representa cada escala (el valor mínimo) de manera que se pueda representar la cantidad más grande de los datos. Es importante escribir el cero

3 Escribir en el otro eje el título (o la unidad) y los números de los valores que representan las escalas.

Número de niños y niñas

5 El color preferido

Se puede pasar para arriba

Verde

(4/7~5/7)

4 Dibujar las barras de tal manera que correspondan con la cantidad que representan. 5 Escribir el título de la gráfica. 5

2 0

Rojo

Azul Amarillo Verde Marrón Otros

1 Los colores

No siempre se necesita elaborar la gráfica siguiendo este procedimiento. Lo importante no es el procedimiento sino los contenidos que lleva la gráfica

Este título se puede omitir

ciento cinco 105

[El orden de los elementos] Se pueden poner los nombres de los elementos en el orden de la tabla o de mayor a menor, según el valor que representa cada barra. Sin embargo, siempre se escribe en el extremo derecho el elemento «otros», sin importar el valor que representa; esto es como una excepción porque «otros» es un grupo de varios elementos de poca cantidad.

1. Leer el problema y captar el tema. [C] 2. Pensar en los puntos necesarios e importantes para elaborar las gráficas de barras. M: ¿Qué cosas hay que escribir o hacer para elaborar la gráfica de barras? RP: Hay que hacer la cuadrícula y decidir qué cantidad representa una línea de división. Hay que escribir el título de la gráfica. Hay que decidir si se dibujan las barras horizontalmente o verticalmente, etc. * Ordenar los puntos expresados tomando en cuenta el procedimiento de la elaboración de la gráfica del LE. 3. Elaborar la gráfica de barras confirmando el procedimiento. * Es necesario preparar una hoja de papel cuadriculado cada niño y niña. O indicar que hagan una cuadrícula en el cuaderno, como la del LE. Es mejor usar la regla al trazar cualquier línea para elaborar la gráfica. * Indicar que elaboren la gráfica siguiendo el procedimiento. * Confirmar que hay que dejar espacio entre las barras para que no se peguen: las gráficas que tienen las barras pegadas se llaman histogramas, y tienen diferente sentido. 4. Expresar la impresión al elaborar la gráfica de barras. Que aprecien el sentimiento del logro y las ganas de seguir elaborando. * Se puede hacer que observen las gráficas de otros compañeros y compañeras y que busquen los puntos buenos de sus trabajos.

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Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

145

Construyamos gráficas de barras

5. Resolver el ejercicio 3 . * Lo difícil de este caso es ubicar las barras horizontalmente y decidir el valor de las líneas de división. Apoyar a los niños y a las niñas que tienen dificultades para elaborarla, recorriendo el aula.

[Continuación]

6. Resolver el ejercicio 4 . * Repartir el papel cuadriculado o indicar que hagan una cuadrícula en el cuaderno, consultando el LE, para realizar la actividad. * Se puede hacer que lean la gráfica elaborada para afir mar la lectura.

La tabla siguiente presenta el deporte favorito de los amigos y las amigas de Darwin. Represente los datos con la gráfica de barras horizontales. Deporte favorito

Deporte favorito

Baloncesto

7. Confirmar todos juntos el trabajo realizado. * Escuchando las expresiones de los niños y las niñas de cómo hicieron las gráficas de barras, confirmar si las elaboraron bien.

Número de amigos

Natación

Béisbol

Carrera

Volibol

Otros

Total

(Amigos)

Balonc.

Natación

RD$ Pesos

Deporte

Béisbol

Carrera

Volibol

Otros

Confirmar que el elemento “Otros” siempre se coloca de último

La tabla siguiente presenta la cantidad de los ahorros de los hermanos de Natasha durante tres meses. Represente los datos con la gráfica de barras. Cantidad de los ahorros

Cantidad de los ahorros

8. Tener interés por el tema de la próxima clase. * Avisar que elaborarán la gráfica de barras haciendo sus propias encuestas, y por eso, que piensen sobre qué tema quieren investigar. Si es necesario realizar las encuestas en la comunidad para investigar el tema escogido, se puede hacer que lo hagan como una tarea.

150

Nombre de RD$ Pesos los hermanos

Norma

Javier

110

Natasha

Gustavo

145

Total

475

100 RD$ Pesos

Andrés

0 Andrés

Norma

Javier

Natasha

Gustavo

(Nombre de los hermanos)

Represente en las gráficas de barras la información de las siguientes tablas. (1) El vegetal preferido Vegetal No. de niños y niñas

146

Berenjena 5

Zanahoria 7

Cebolla 2

Papa 9

Otros 4

(2) Número de personas que llegaron a ver el partido de béisbol los días de semana Día de la semana Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes No. de personas 80 120 95 185 210

Construyamos gráficas de barras • Recolectar y clasificar los datos mediante encuestas sencillas. • Organizar y representar los datos en las gráficas de barras. (M) papel grande para cada niño y niña o para cada grupo, marcadores (N) regla

D 1

Vamos a investigar y presentaremos los resultados con la gráfica de barras. Decidir el tema.

Realizar la investigación (encuesta).

Organizar los resultados en la tabla.

Representar los datos con una gráfica de barras.

Presentar el resultado a sus compañeros y compañeras. Compañeros

(6/7~7/7)

Qué juega los domingos.

10 5 0

Béisbol

Baloncesto

Karate

Juegos

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Tema de la investigación Motivo para haber escogido el tema Pronóstico y su razón Método (procedimiento) de la investigación Resultado de la investigación Observaciones y reflexiones (impresiones)

1. Decidir el tema de la investigación. [D1] * Se puede realizar la actividad en grupos. En este caso, sería mejor formarlos por tema de investigación. * Es recomendable que los niños y las niñas digan libremente sobre qué cosas tienen interés; y al clasificar los temas entre los que son adecuados para la estadística y los que no, se puede cultivar la forma para ver los asuntos estadísticamente. 2. Pensar en los puntos importantes de cada actividad. * Preguntar por los puntos importantes o por los que hay que tener cuidado al realizar cada actividad para prever lo que realizarán. 3. Realizar la encuesta o la investigación. [D2] * Si hay niños y niñas que quieren investigar los temas que necesitan mucho tiempo, orientarles para que lo continúen como un estudio avanzado a realizar en la casa, felicitándoles por su motivación. 4. Organizar el resultado en una tabla. [D3] * Es mejor hacer el cuadro para llenarlo directamente durante la encuesta. 5. Elaborar la gráfica de ba rras. [D4] * Sería mejor elaborarla en un papel grande para la presentación. 6. Presentar el resultado de la investigación. [D5] * Se puede hacer una breve demostración para que tengan una idea de cómo se hace la presentación. (véase Notas). * Lo importante es comunicar mediante información estadística. Entre más oportunidades de presentaciones tengan desarrollarán la habilidad de analizar estadísticamente la información de su entorno.

147

1. Organizar los datos en la tabla de una dimensión. [A1] y [A2] M: ¿Qué observan ustedes en estos datos que coleccionaron Ramón y Andrea? Que se den cuenta de que es un poco difícil analizarlo y por eso es mejor organizarlo en una tabla. * Indicar que, para organizar los datos, es importante apreciar el punto de vista de la clasificación, en este caso son: el motivo de la ausencia y los días de la ausencia. * Pedir que lo organicen en una tabla. Se puede hacer la tabla en el cuaderno. 2. Expresar sobre lo que interpretaron al observar las tablas elaboradas. [A3] * Se puede hacer que lo escriban en el cuaderno antes de que lo expresen. 3. Pensar en la forma de organizar los datos. M: ¿Se pueden representar el motivo y el día la ausencia en una sola tabla? y ¿cómo? Que recuerden el estudio sobre la tabla de dos dimensiones de 3er grado.

[Hasta aquí 1/3] [Desde aquí 2/3]

Organicemos los datos • Clasificar los datos desde dos puntos de vista y representar en la tabla de dos dimensiones. (N) regla

(1/3~2/3)

Ramón y Andrea hicieron una investigación sobre la ausencia de los alumnos y las alumnas de su escuela durante un mes. Vamos a organizar los datos según el propósito de cada uno. Grado

Nombre

Día

Número de ausentes

Motivo

Gripe

//// /

Fiebre

////

Dolor de estómago

//// ////

Dolor de cabeza Total

////

Juan

Lunes

Gripe

María

Lunes

Dolor de estómago

Juan

Martes

Gripe

Gabriel

Miércoles

Dolor de estómago

Día

Natalí

Jueves

Dolor de cabeza

Número de ausentes

Lunes

//// ////

Sariel

Viernes

Fiebre

Martes

////

Miércoles

///

Marta

Viernes

Dolor de cabeza

Jueves

///

Pedro

Lunes

Gripe

Viernes Total

//// /

Linda

Lunes

Dolor de estómago

Raúl

Jueves

Dolor de estómago

Karla

Viernes

Gripe

Carlos

Lunes

Dolor de cabeza

Diana

Lunes

Fiebre

Nora

Martes

Gripe

Javier

Martes

Dolor de estómago

Norma

Miércoles Gripe

Juan

Viernes

Fiebre

Ana

Lunes

Dolor de estómago

Pablo

Lunes

Dolor de cabeza

Carlos

Lunes

Dolor de estómago

Andrés

Martes

Fiebre

Sofía

Miércoles

Dolor de cabeza

Josefa

Jueves

Dolor de estómago

Gloria

Viernes

Fiebre

Alejandro Viernes

Avisar que no se olviden de escribir el total

5 25

Elabore una tabla para saber por cuál motivo hay más ausencias.

Elabore una tabla para saber qué día hay más ausencias.

Explique sobre lo que interpretó al observar las tablas. Se omite la solución

6 25

Dolor de estómago

1: Bajo un solo punto de vista contar los datos que corresponden a una misma casilla. 2: Colocar cada dato en la casilla correspondiente. Para los que les cuesta buscar la casilla correspondiente desde dos puntos de vista, es más fácil la primera forma. Al escribir los palitos en la tabla para contarlos después, se pueden organizar los datos sin que falten o se repitan.

148

Organicemos los datos

4. Organizar los datos en la tabla de dos dimensiones. [A4] * Hay posibilidad de que algunos se equivoquen con el número de la casilla (A): por sumar dos veces el total representado en la columna y en la fila. Explicar bien el sentido de la casilla (A).

[Continuación]

Organice los datos en una tabla como la siguiente en su cuaderno. Los motivos y días de la semana de ausencia Días

Motivos

Lunes

Martes

Miércoles

Gripe

Dolor de estómago

////

Dolor de cabeza

Fiebre

Total

Jueves

2 /

1 /

0 ///

¿Por cuál motivo y qué día hay más ausentes? Por dolor de estómago, el lunes

¿Qué representa el número de la casilla (A)? El total de los alumnos y alumnas ausentes

Diga sobre lo que interpretó al observar la tabla. Se omite la solución

Total

Viernes

0 /

5 (A)

Elabore otra tabla en su cuaderno según su propósito, utilizando los mismos datos. Ejemplo: Observando los grados y los motivos de las ausencias. Observando los grados y los días de las ausencias. Se omite la solución Organice en la tabla los datos del dibujo, observando la figura y el color y escríbalo en su cuaderno. Clasificación por la figura y el color Figura

Color

Azul

Rombo Romboide

Amarillo

Rosado

Total

Trapecio

Rectángulo

///

Otros

Total

5. Expresar sobre lo que interpretó al observar la tabla elaborada. [A5], [A6] y [A7] * Es mejor que los niños y las niñas digan no sólo los puntos en que se dieron cuenta, sino también las impresiones al leer la tabla de dos dimensiones, para que sientan la ventaja de la misma. 6. Organizar los mismos datos en la tabla de dos dimensiones con diferentes puntos de vista. [A8] * Explicar que pueden escoger los dos puntos de vista según lo que quieren investigar, y, luego, que hagan la tabla en el cuaderno para organizar los datos. 7. Resolver el ejercicio 1 .

149

1. Leer el problema y organizar los datos en la tabla de una dimensión. [B1] Que se den cuenta que no se puede leer, o captar, la relación entre dos términos de entrada. 2. Organizar los datos en la tabla de dos dimensiones con los conceptos clasificados en cuatro tipos. [B2] M: Vamos a pensar en la forma de representar los datos para saber cuántos tienen perros y gatos al mismo tiempo. * Para los niños y niñas que tienen dificultades, apoyarles diciendo que para saber la cantidad de las personas que tienen perros y gatos al mismo tiempo, hay que contar los lugares marcados con « y ».

Lección 2: (3/3)

Organicemos los datos

Objetivo: • Clasificar los datos desde dos puntos de vista con los conceptos clasificados en cuatro tipos y representar en la tabla de dos dimensiones.

Materiales: (N) regla

(3/3) María investigó entre sus compañeros y compañeras si tienen perros o gatos en la casa. Ella hizo la siguiente tabla para saber cuántos no tiene tiene compañeros y compañeras tienen perros y cuántos tienen gatos. Número Perros Gatos 1

1 2

Pero con esta tabla no se sabe cuántos tienen perros y gatos al mismo tiempo.

3 4 5

Perros

6 7

Gatos

8 9

10 11

3. Confirmar el significado de cada casilla. [B3]

12 14 15

Tienen

No tienen

Organice los datos para saber cuántos tienen perros y gatos al mismo tiempo.

Perros Tienen

17 18

Gatos

22 24 25

No tienen

Total

(A)

8 (B)

4 (C)

No tienen (D)

11 (E)

(F)

(G)

19 (H)

(I)

¿Qué representan los números de las casillas (A) ~ (I)? Para la solución véase Notas

Explique sobre lo que interpretó al observar Se omite la solución la tabla.

Tienen

Total

5. Resolver el ejercicio 2 .

Javier investigó con sus amigos y amigas adónde fueron en las vacaciones, al río o a la playa. Y después elaboró la tabla siguiente. Playa Fue Río

Fue No fue (B)

Total

No fue

(A)

(C)

(E)

110 ciento diez

Solución de B3 (A) Total de niños que tienen perros y gatos (B) Total de niños que no tienen perros y si tienen gatos (C) Total de niños que tienen gatos (D) Total de niños que tienen perros y no tienen gatos Unidad 12 - Gráficas de barras

No tienen

150

Tienen

Cuando hay “ ” y “ ” significa que tienen perros y gatos al mismo tiempo, ¿verdad?

4. Expresar sobre lo que interpretó al observar la tabla elaborada. [B4]

Organice los datos en la tabla.

22 (D)

8 30

(1) ¿Qué representan los números de las casillas (A) ~ (E)? (A) Niños que fueron al río pero no a la playa (B) Que fueron a la playa pero no al río (C) Que no fueron al río ni a la playa (D) Total de niños que no fueron al río (E) Total de niños que no fueron a la playa (2) Encuentre los números que van en las casillas (A) ~ (E).

(E) Total de niños que no tienen perros ni tienen gatos (F) Total de niños que no tienen gatos (G) Total de niños que tienen perros (H) Total de niños que no tienen perros (I) Total de niños que fueron encuestados

Unidad 12: Ejercicios suplementarios

Los ejercicios tratan sobre:

(No hay distribución de horas)

1 Construcción y lectura de la gráfica de barras 2 Representación de los datos en la tabla de dos dimensiones con los conceptos clasificados en cuatro tipos

Ejercicios suplementarios 1

La siguiente tabla representa los resultados de la investigación de Marcos sobre cuál es la fruta que les gusta más a sus amigos y amigas.

Fruta preferida

Naranja

Mango

Guineo

Uva

Manzana

Otros

Fruta preferida

Número de amigos y amigas

Fruta

3 Lectura de la tabla de dos dimensiones con los datos cuyos conceptos clasificados en cuatro tipos

0 Mango Guineo Naranja

Uva

Manzana

Otros

(1) Represente el resultado con la gráfica de barras. Mango

(2) ¿Cuál es la fruta más preferida por los amigos y amigas de Alejandro? (3) ¿Cuántas personas prefieren el guineo?

7 personas

(4) Explique lo que interpretó en la gráfica de barras.

La siguiente tabla representa los trabajos que hacen, en casa, los compañeros y compañeras de Natalia. (1) Represente el resultado en la tabla siguiente.

Trabajo en casa

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Se omite la solución

Trabajo

Cuándo Por la mañana

Tiempo

Limpieza Trabajo en campo Limpieza Cocinar Trabajo en campo Lavar Limpieza Limpieza Cocinar Lavar

Al mediodía

Trabajo

Por la mañana Por la tarde Por la mañana Por la tarde Por la tarde Por la mañana Por la tarde Por la mañana Al mediodía Por la tarde

Limpieza

///

Trabajo en campo

Lavar Total

Total

Cocinar

Por la tarde

(2) ¿Cuál y cuándo es el trabajo que más se hace? Limpieza en la mañana Observe la siguiente tabla y conteste las preguntas. ¿En su casa vive junto con su abuelo o su abuela? Si Abuela Total

Abuelo No

Total

(A)

(B)

(C)

7 25

3 12

(D)

10 37

(1) ¿Qué representa el número de la casilla (A)? El total de los que viven con su abuelo y abuela (2) ¿Cuáles son los números las casillas (B) ~ (D)? Para la solución véase la tabla de la izquierda (3) ¿Cuántas personas viven con su abuela pero no con su abuelo? 9 personas (4) ¿A cuántas personas les hicieron la encuesta? 37 personas

ciento once 111

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

151

Unidad

13 13 1

Peso

(5 horas)

Expectativas de logro • Utiliza las unidades oficiales del peso: gramo y kilogramo. • Resuelven problemas que implican peso.

Relación y desarrollo Peso • Comparación de pesos en forma directa usando balanza. • Comparación de pesos utilizando unidades arbitrarias.

Plan de estudio

(5 horas)

1. Determinemos pesos usando balanzas (5 horas)

152

Unidad 13 - Peso

Peso • Unidades oficiales de peso: “g” y ”kg”. • Relación entre las unidades oficiales de peso: “g” y ”kg”. • Forma de leer la graduación de balanza. • Estimación y comparación de pesos usando balanza.

1/5

• Unidad oficial “g”

2/5

• Forma de leer la graducación de la balanza

3/5

• Unidad oficial “Kg” • Relación de “1 Kg = 1,000 g”

4/5

• Estimación de peso • Comparación de peso usando la balanza

5/5

• Representación de peso en la tabla de unidades (Kg, g) • Conversión de las unidades usando la tabla

Puntos de lección • Lección 1: Determinemos pesos usando balanzas En la medición de peso, es importante que los niños y las niñas no solo aprendan la forma de leer la graduación de la balanza, sino también dominen la habilidad de escoger el tipo de ellas. Para eso, se garantiza realizar las actividades de estimar el peso sosteniendo los objetos y confirmarlo pesando con la ba lanza para que los niños y las niñas dominen la habilidad de percepción del peso.

En esta lección, se introduce la tabla de unidades del sistema métrico decimal en la conversión de las unidades de peso. Para la comparación del peso, se puede utilizar la balanza elaborada por los mismos niños y niñas. No obstante, en esta guía, se plantea la clase utilizando una balanza con graduación, para que los niños y las niñas repasen la lectura de la misma.

Construcción de una balanza Materiales: 1. 2. 3. 4.

Una regla de madera. Dos vasos plásticos o latas desechables con el mismo peso. Un rollito de hilo nylon o cáñamo. Clip grande que se pueda poner en forma de S.

Preparación • Hacer 3 orificios a la regla: Uno en el centro de la regla y los

otros dos, uno en cada extremo. • En cada extremo de la regla se colgarán los vasos plásticos o latas desechables con el hilo. En el orificio del centro se coloca el clip, que previamente se deforma como una S.

Uso de la Balanza • La balanza se sostiene por el centro para ponerla horizontal o sea en equilibrio. • Se colocan en la balanza los objetos cuyos pesos se desean comparar.} • Se observa la balanza, teniendo en cuenta que esta se inclinará hacia el lado del objeto con una ma-

yor cantidad de peso. • Si la balanza no se inclina, conservando el equilibrio, los objetos comparados tienen la misma cantidad de peso.

153

Desarrollo de clases

1. Captar el tema. [A] * Indicar que pesen el guineo usando como medida las monedas y las tapitas. 2. Comparar el peso de los objetos medidos con las unidades de medida arbitrarias. [A1] y [A2] M: El peso del guineo es igual a 8 monedas, ¿verdad? Entonces, si usamos las tapitas, ¿también el peso será igual a 8 tapitas? * En caso de estimar, puede darle a los niños y a las niñas insinuaciones para que comparen el peso de las monedas y de las tapitas sujetándolas en las manos. 3. Comprobar que el resultado cambia cuando las unidades arbitrarias son diferentes. [A3] M: ¿Por qué es diferente el número de monedas y de tapitas aunque pesemos el mismo guineo? * Confirmar que el peso de las unidades de medida arbitraria (monedas, tapitas) cambia dependiendo lo que se use y en el resultado aparecen diferentes números. Que sientan la necesidad de tener las unidades oficiales. 4. Conocer la unidad oficial del peso “el gramo”. * Explicar que existe una unidad oficial más pequeña del peso que se llama “gramo” y se representa por una “g”. * Informar que el peso de “1 g” es casi igual al peso de la moneda de 1 centavo o un clip grande de 5 cm.

154

Unidad 13 - Peso

Lección 1: (1/5)

Determinemos pesos usando balanzas

Objetivo: • Conocer la unidad oficial del peso “gramo”. Materiales:

(M) balanza, guineo, monedas, tapitas. (N) balanza, guineo, monedas, tapitas.

Unidad

Peso

Recordemos

¿Cuál pesó más, el guineo o la manzana?

El guineo

Lección 1: Determinemos pesos usando balanzas

Oscar y Paola pesaron el mismo guineo usando diferente medida.

Oscar

¿Cuántas monedas pesó el guineo?

Paola

¿Cuántas tapitas pesó el guineo?

8 monedas

(1/5)

13 tapitas

¿Por qué es diferente el número de monedas y de tapitas aunque pesemos el mismo guineo? Es necesario una unidad que dé el mismo resultado.

La moneda pesa más que la tapita. La medida más pequeña del peso es el “gramo”. El gramo es una medida oficial del peso y se escribe “g”.

112 ciento doce

Determinemos pesos usando balanzas

Lección 1: (2/5)

Objetivo: • Conocer la forma de leer la graduación de la balanza. Materiales:

(M) balanza real en gramos o el dibujo

(2/5)

Karina acompañó a su mamá al supermercado y observó que para pesar los productos usaron otro tipo de balanza. Ella pidió a su maestra que le enseñara este tipo de balanza.

La aguja gira siguiendo el movimiento de las agujas del reloj.

Es una balanza. Sirve para medir el peso. Esta balanza está graduada en gramos. La aguja sirve para marcar el peso.

10 9 8

11 12 1

2 3 4

6 5

Conoce la forma de leer las graduaciones de la balanza (en gramos). (1) Indique con la flecha la graduación de 100 g. 100 g (1)

(2) ¿Qué representa la graduación más pequeña? 10 g R: ____________________________ (3) ¿Cuántos gramos representa la aguja?

680 g (4)

310 g R: ____________________________ (4) Indique la graduación de 680 g con la flecha.

Escriba cuántos gramos indica la aguja de cada balanza.

III

IIIII IIIII I III

III

II II

III

II II

I IIIII II IIIIII

II II

I IIIII II IIIIII

I II

(

70 g

)

400 g

600 g

200 g

II II I II I II I III

II I II II I I III I I

1 kg

III

III II I III I IIII

I II I II I I II I III

III

II IIIIIIII IIII

III

800 g

950 g

)

(

400 g

600 g

)

(6)

200 g

1 kg

350 g

II I II I I II I IIII

750 g

III

800 g

I II I II I I II I III

I II I III I II I III

III

I II

I 400 g

(

600 g

(

(5)

200 g

)

1 kg

I II II I III I IIII

III

800 g

250 g I

(

)

(4)

200 g

(3)

(

(2)

(1) Ejemplo:

)

ciento trece 113

1. Captar el tema. [B] 2. Conocer la balanza graduada. * Preparar una balanza que tiene la graduación en “g” y “kg” para mostrar el movimiento de la aguja o preparar el dibujo con la graduación de la balanza y pegar en la pizarra. M: (Mostrando la balanza con la graduación) ¿Qué es esto? ¿Para qué sirve? RP: Es una balanza y sirve para medir el peso de los objetos. 3. Investigar el movimiento de la aguja. M: (Presionando el plato de la balanza o demostrando el movimiento de la aguja con el dibujo de la balanza de la pizarra), preguntar ¿Cómo se mueve la aguja? ¿Hacia dónde gira? Que se den cuenta que cuanto más pesa el objeto, gira más la aguja y señala el lugar que indica su peso. 4. Conocer la forma de leer la graduación de la balanza en gramos. [B1] M: ¿Qué observan en el dibujo? Que se den cuenta que hay graduaciones, números, aguja, etc. M: Marquen en el reloj la cantidad de 100g. * Confirmar con su pareja si la indicación es correcta. M: ¿Qué cantidad representa la graduación más pequeña? RP: 10 gramos. * Indicar que contesten las siguientes preguntas del LE. M: ¿Descubrieron algo a leer la balanza? RP: Es parecido cuando se lee la regla y la recta numérica. Se puede saber el peso sin contar los clips, etc. 5. Resolver el ejercicio 1 .

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

155

1. Captar el tema. [C] Que se den cuenta que necesitan otro tipo de balanza para medir las cosas más grande. 2. Conocer la unidad oficial del peso “el kilogramo”. M: ¿Qué observan en esta balanza? Que se den cuenta que en esta balanza aparece diferente unidad y las graduaciones son diferentes. * Concluir que para medir el peso de las cosas más pesadas se usa otra unidad que se llama “kilogramo” y se representa “kg”.

Determinemos pesos usando balanzas

Lección 1:

Objetivo (3/5): • Conocer la unidad oficial de peso “el kilogramo” y la relación de “1 kg = 1,000 g”.

(4/5): • Estimar peso comparando con el modelo de 1kg. Materiales:

(M) balanza con la graduación en kilogramos y gramos, modelo de peso de 1 kg (para cada pareja o grupo) (N) funda, botella plástica u otros recipientes para construir el modelo de peso de 1 kg

¿Cuánto pesa la mochila de Manuel?

(1) Indique la graduación de 100 g con la flecha.

(3/5)

(2) ¿Qué representa la graduación más pequeña? 100 g (1)

50 g R: ________________________ El kilogramo es la unidad oficial del peso. Se representa “kg”. 1 kilogramo = 1000 g.

3. Conocer la relación entre “kg” y “g”. M: ¿Cuántos gramos equivalen a 1kg? RP: Creo que 1 kg= 1000g, porque 1 km = 1000 m. Talvez cuando lleva “k” significa 1000 veces más, etc.

(3) ¿Cuántos kilogramos representa la aguja?

1 kg 100 g Creo que 1 kg = 1000 g, porque 1 km = 1000 m...

1 kg 100 g R: ________________________ (4) ¿Hasta cuántos kilogramos puede medir con esta balanza? 4 kg R: ________________________

2 Escriba cuántos kilogramos y gramos indica la aguja de cada balanza. (1) (2) (3)

4. Resolver el ejercicio 2 . [Hasta aquí 3/5] [Desde aquí 4/5]

( 1 kg 200 g )

3. Expresar el resultado y las impresiones de la actividad.

156

Unidad 13 - Peso

( 3 kg 700 g )

(4/5)

Vamos a comparar el peso de los objetos. (1) Construir el modelo de peso de 1 kg.

1. Construir un modelo de peso de 1 kg. [A] 2. Comparar el peso de los objetos. M: Vamos a encontrar los objetos que tienen un (1) kg. * Indicar que cada quien busque los objetos levantándolos para sentir su peso y que después confirmen con la balanza. * En caso de que no hayan objetos con peso de 1 kg, puede ampliar la actividad de modo que formen 1 kg con dos o más objetos. * Repasar la lectura de la graduación de la balanza de aguja, simultáneamente.

( 2 kg 400 g )

agua

arena

4 kg 500 g

1 kg

3 kg

2 kg

(2) Buscar los objetos que tengan un peso estimado de 1 kg.

1 kg

(3) Comprobar la estimación usando la balanza.

? 4 kg 500 g

1 kg

3 kg

1 kg

2 kg

114 ciento catorce

[¿Cómo decidieron que sería 1 kg?] 1 kg es el peso del patrón internacional de la unidad de medida del sistema métrico (desde 1889). Antes de que decidieran esta definición, se había usado otra, la cual era que 1 kg es el peso del agua destilada de 1 dm3 (1790 a 1889). Se puede informar a los niños y las niñas que 1 kg es aproximadamente el peso de 1l de agua.

Determinemos pesos usando balanzas

Lección 1: (5/5)

Objetivo: • Representar y leer el peso usando la tabla de las unidades y el punto decimal. • Convertir las unidades de peso usando la tabla de las unidades.

Materiales: E

(5/5)

Esteban determinó el peso de sus naranjas con una balanza. 1

Represente el peso de las naranjas. kg

4 kg 500 g

2 kg 105 g

¿Cuántos kilogramos y gramos de peso tienen las naranjas?

¿Cuántos gramos tienen las naranjas?

¿Cuántos kilogramos tienen las naranjas?

2 kg

Usando una tabla, se puede representar fácilmente el peso que tienen las naranjas.

2. 1

Sólo tienes que pensar la ubicación del punto decimal en la tabla, ¿verdad? ¡Qué fácil!

Peso de las naranjas El peso de las naranjas es de 2 kg 105 g (dos kilogramos ciento cinco gramos). Si se expresa en gramos se dice 2,105 g (dos mil ciento cinco gramos). Si se expresa en kilogramos se dice 2.105 kg (dos punto ciento cinco kilogramos).

Escriba las siguientes cantidades en las unidades indicadas. (1) 1 kg 547 g

(2) 17 kg 839 g

(3) 658 kg 213 g

1,547

= 17,839 g

= 658,213 g

1.547

= 17.839 kg

= 658.213 kg

(4) 36 kg 30 g

(5) 20 kg 500 g

(6) 7 kg 5 g

= 36,030 g

= 20,500 g

= 7,005

= 36.03

= 20.5

= 7.005

1. Captar el tema de la clase. [E] M: Hoy vamos a aprender cómo se representa y se lee el peso. 2. Leer la graduación de la balanza y representarla en la tabla. [E1] M: ¿Cuál es la diferencia entre las tablas aprendidas del sistema métrico decimal y ésta? Que se den cuenta que cada casilla de las unidades está dividida entre 3 partes. * Se puede mencionar sobre los múltiplos y submúltiplos del gramo. Pero, avisar que en esta clase se usarán solamente las tres unidades principales. (Véase Notas). 3. Representar el peso (kg y g) en la tabla. [E2], [E3] y [E4] * Después de dar un tiempo para que resuelvan independientemente, designar a algunos niños y niñas para que lo expresen. * Concretar la forma de representar el peso con diferentes unidades y su lectura aprovechando el estudio de los números decimales. 4. Resolver el ejercicio 3 .

ciento quince 115

[Las unidades del peso] Lo mismo que con las unidades de otras magnitudes, en las del peso también hay múltiplos y submúltiplos del gramo: kg, Hg, Dg, dg, cg y mg. (Pero hay que tener cuidado pues para el sistema métrico de unidades se decidió que la unidad base de el peso es el kilogramo). Sin embargo, la unidad más grande que el kilogramo no es el megagramo sino la tonelada. Por lo tanto, aquí se tratan solamente las dos unidades principales, dejando al margen la opción del maestro o de la maestra para comentar brevemente acerca de los múltiplos y submúltiplos del gramo. Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

157

Círculos y esferas

Unidad

14 14 1

Expectativas de logro • • • •

(7 horas)

Identifican la línea curva diferenciando las abiertas y las cerradas. Identifican los conceptos de cirncunferencia, circulo y sus elementos (centro, radio y diámetro). Dibujan círculos utilizando el compás. Identifican el concepto de esfera y sus elementos (centro, radio y diámetro).

Relación y desarrollo

Formas de objetos

Figuras geométricas

Ángulos

Simetría

Líneas perpendiculares y paralelas

Áreas de rectángulos • Concepto de área. • Unidades oficiales de área: cm2 y m2. • Equivalencia entre las unidades oficiales de área. • Fórmulas para calcular el área de cuadrado y rectángulo.

Triángulos

Áreas de triángulos • Base y altura de triángulo. • Fórmulas para calcular el área de triángulo.

Círculos y esferas

158

Unidad 14 - Círculos y esferas

Plan de estudio

(7 horas)

1. Conozcamos el círculo (5 horas)

1/5 2/5

• Línea curva. (abierta y cerrada) • Conceptos de circunferencia y círculo • Centro y radio de un círculo

2. Conozcamos la esfera (2 horas)

3/5

• Construcción de círculos usando el compás

4/5

• Diámetro del círculo y su relación con le radio

5/5

• Creación de diseños usando como base el círculo

1/2

• Concepto de esfera

2/2

• Centro, radio y diámetro de una esfera

Puntos de lección • Lección 1: Conozcamos el círculo

En el 1er grado los niños y las niñas aprendieron el nombre de la figura llamda círculo, pero fue de manera intuitiva, sin ninguna definición. Es posible que algunos piensen que figuras como esta son círculos.

En esta unidad se enseñan algunos conceptos no tan formales, matemáticamente hablando, como es el caso de curva, circunferencia, círculo y esfera, pero que sí están acorde con las experiencias de los niños y niñas. Además no entran en contradicción con las definicio nes matemáticas formales que requieren un nivel muy superior.

• Lección 2: Conozcamos la esfera

En esta lección, los niños y niñas aprenden un concepto muy intuitivo de esfera aprovechando el estudio del círculo. Una esfera es un cuerpo de revolución que se genera al hecer girar un semicírculo alrededor de su diámetro. Una defición como esta es muy compleja para este nivel. Por lo tanto, en este grado, se introduce la esfera relacionando con el círculo y se define que es un objeto que se parece a un círculo desde todas las direcciones. En la enseñanza es importante realizar actividades usando materiales concretos haciendo comparación entre círculos y esferas.

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

159

Desarrollo de clases

1. Captar el tema de la clase [A] * Presentar una cuerda y pedir a dos niños o niñas que la tomen por los extremos y la extiendan. M: ¿Qué forma tiene la cuerda? RP: Una línea recta * Usar otra cuerda para que dos niños o niñas la tomen pero sin que esté totalmente extendida. M: ¿Qué diferencia hay en la forma de las dos cuerdas? Que se den cuenta que la que está totalmente extendida parece una línea recta y la otra no.

Lección 1: Conozcamos el círculo (1/5) Objetivo: • Identificar una línea curva.

• Diferenciar una curva abierta de una cerrada.

Materiales:

2. Conocer la línea curva. [A1] M: ¿Qué hacen están haciendo las niñas? RP: Juegan a la cuica. * Indicarles que observen bien la forma de la cuerda y explicarles que las líneas que tienen esa forma se llaman líneas curvas. * Pedirles que mencionen algunas cosas que tengan forma de línea curva Que la puedan asociar a una curva de la carretera a los trazos de algunas letras, etc. 3. Diferenciar líneas curvas abiertas y cerradas. [A2] M: ¿Qué diferencia hay entre las líneas A y B? Que se den cuenta que en la A podemos saber donde comienza y donde termina y en la B no. * Explicar la diferencia entre abiertas y cerradas. 4. Resolver el ejercicio 1 .

160

Unidad 14 - Círculos y esferas

cuerdas.

Unidad

Círculos y esferas

Lección 1: Conozcamos el círculo

(1/5)

Las niñas juegan a la cuica.

Observe la forma de la cuerda que las niñas usan para jugar.

La forma que tiene la cuerda se llama línea curva.

¿Qué diferencia hay entre estas dos líneas curvas? A

La línea curva A podemos saber dónde inicia y dónde termina y en a B no. Las líneas curvas como A se llaman abiertas y las que son como B se llaman cerradas.

Elija varios de sus compañeros, tómense de las manos de forma que representen una línea curva cerrada.

Dibuje dos líneas curvas abiertas y dos cerradas. Se omite la solución

116 ciento dieciséis

Lección 1: Conozcamos el círculo (2/5)

1. Hacer juego. (véase notas)

Objetivo: •Definir los conceptos de circunferencia y círculo.

• Identificar los elementos del círculo (centro y radio)

Materiales: reglas.

(2/5)

Vamos a marcar muchos puntos que estén a 2 cm del punto A.

Observe que al trazar tantos puntos de forma que estén pegados uno de otro se ha formado una línea curva cerrada. En esta línea curva todos los puntos están a la misma distancia del punto A. La línea curva cerrada donde todos los puntos están a la misma distancia de un punto fijo se llama circunferencia.

Circunferencia

radio

El punto fijo se llama centro. La superficie encerrada dentro de la circunferencia se llama círculo.

centro

radio

La longitud desde el centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio.

1c 1 cm

1 cm

En un círculo podemos trazar muchos radios, pero todos tienen la misma longitud.

2 Escriba cuáles de estas figuras son círculos. (a)

(b)

5 cm

(c)

2 cm

3 cm

m 3 cm

(d)

(e)

5 cm

Círculos (

c, e

)

ciento diecisiete 117

2. Captar el tema. * Indicar que marquen un punto en su cuaderno y luego marquen muchos puntos que están a 2 cm del primer punto. Que sigan marcando tantos puntos de formaa que uno esté pegados de otro. M: ¿Qué se va formando a medida que se trazan más y más puntos? RP: Una línea curva 2. Conocer los nombres de circunferencia, círculo, centro y radio. * Indicar que comparen lo que hicieron con la idea del LE. [B] Que capten bien que los puntos marcados están todos a la misma distancia del punto A. * Explicar que esa línea curva cerrada que se forma con todos esos puntos que están a la misma distancia del punto A se llama circunferencia y que la superficie encerrada dentro de ella se llama círculo. * Se debe establecer bien la relación entre circunferencia y círculo. * Mostrar alguna figura cómo esta y determinar por qué no es un círculo. * Explicar lo que es el centro y el radio, dejando bien claro que en un círculo hay muchos radios, pero todos de la misma longitud. 3. Resolver el ejercicio 2 .

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

161

1. Dibujar y recortar un círculo. [C] * indicarles que utilcen algún objeto circular (lata, vaso, etc) dibujen un círculo en papel o cartulina y lo recorten.

Lección 1: Conozcamos el círculo (3/5)

2. Encontrar el centro del círculo recortado . [C1] M: ¿Cómo podemos determinar el lugar donde se ubica el centro de este círculo? Que se den cuentan que haciendo dobleces de forma que se divida el círculo en dos partes iguales podemos ubicar el centro.

Materiales: objetos circulares, tijeras.

Objetivo: • Identificar el diámetro de un círculo y su relación con el radio.

3. Conocer el nombre de diámetro. * Explicar que esa línea de doblez que se ha utilizado para ubicar el centro se llama diámetro, es decir, que el diámetro es la linea que une dos puntos de la circunferenci y pasa por el centro. Que se den cuenta que, al igual que pasa con el radio, en un círculo hay muchos diámetros. M: ¿Qué relación hay entre el diámetro y el radio? RP: E diámetro es el doble del radio. El radio es la mitad del diámetro.

Continúa en la siguiente página…

Vamos a dibujar un círculo usando un objeto redondo y luego recórtelo.

Investiguemos cómo podemos encontrar el centro de este círculo. Voy a doblar por la mitad

Doblamos en dos partes iguales quedando marcada la línea de doblez, volvemos y doblamos y donde se crucen las dos líneas de doblez, ahí se ubica el centro del círculo.

Las dos líneas de doblez dividen al círculo en dos partes iguales y además pasan por el centro.

Unidad 14 - Círculos y esferas

radio

118 ciento dieciocho

radio centro

diámetr

Una línea que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro se llama diámetro. Un diámetro equivale a dos radios.

162

(3/5)

Lección 1: Conozcamos el círculo (3/5)

...viene de la página anterior.

4. Resolver los ejercicios del 3 al 5 .

[Continuación]

Trace tres radios y tres diámetros. (1)

(2)

radios

diámetros

Se omite la solución

Escriba el nombre correspondiente en cada

Diámetro Circunferencia

Centro

Radio

Complete cada expresión. (1) La línea recta que va desde el centro del círculo a cualquier punto de la circunferencia se llama ____________________ radio (2) La línea recta que une dos punto de la circunferencia y pasa por el centro se llama ____________________ diámetro (3) La longitud del diámetro es ____________________ dos veces veces la del radio (4) Todos los puntos de la circunferencia están a la misma distancia del ____________________ centro

ciento diecinueve 119

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

163

1. Captar el tema. * Indicar que dibujen un círculo de 2 cm de radio. M: ¿Qué podemos hacer para dibujar un círculo que tenga 2 cm de radio? RP: Usar una regla, una cuerda, un compás. * Escuchar todas las opiniones y concluir que la mejor forma para dibujar el círculo es usando un compás.

Lección 1: Conozcamos el círculo (4/5) Objetivo: • Construir círculos utilizando el compás. Materiales: compás.

2. Usar el compás para dibujar los círculos [D1] * Explicar los pasos para dibujar un círculo usando el compás. * Hacer una demostración con un compás grande en la pizarra. * Indicar que dibujen varios círculos en sus cuadernos con la medida que ellos deseen.

Abra el compás con la longitud del radio del círculo que quiera dibujar.

Coloque la punta de metal en el centro del círculo.

Haga una vuelta para dibujar el círculo con la punta que tiene el lápiz.

Dibuje en su cuaderno círculos con las medidas indicadas. (1) 3 cm de radio.

3. Resolver los ejercicios 6 y 7 .

(2) 4 cm de radio.

Dibuje en su cuaderno varios círculos que tengan el mismo centro, pero que tengan 1 cm, 2 cm, 3 cm y 4 cm de radio respectivamente. Se omite la solución

120 ciento veinte

Unidad 14 - Círculos y esferas

(3) 5 cm de radio.

Se omite la solución

164

(4/5)

Vamos a dibujar círculos usando el compás.

Conozcamos el círculo • Crear diferentes diseños tomando como base el círculo. compás, lápices de colores.

Hagamos lindos diseños.

Use el compás para dibujar lindos diseños.

(5/5)

1. Captar el tema. * Indicar que observen los dibujos del LE. [E1] M: ¿Cuál es la figura utilizada para crear estos diseños? RP: El círculo. * Indicar que hagan dibujos similares a estos en sus cuadernos. Que se den cuenta de la disposición de los círculos o semi círculos en cada diseño.

Vamos a hacer el trompo más bonito.

165

Conozcamos la esfera

1. Captar el tema. [A] * Presentar una pelota grande y pedir que la observen desde diferentes posisciones M: ¿A que figura se parece la pelota mirándola dese varias posciones? RP: Parece un círculo. 2. Conocer el nombre de esfera. [A] * Explicar que un objeto que tiene forma de círculo desde todas las direcciones se llama esfera. * Pedirles que mencionen objetos que tienen forma de esfera. 3. Buscar objetos que tienen forma de esfera en el entorno. [A2] M: ¿Qué objetos tienen forma de esfera? M: ¿Por qué piensa así? RP: Porque rodea. Porque se ve como un círculo, etc. * Es muy importante que los niños y las niñas expresen la razón por la cual piensan que es un una esfera con sus propias palabras.

• Identificar la esfera

pelotas

(1/2) Observe y descriva la forma de la pelota.

Examine la forma de la pelota mirándola desde diferentes lados. ¿A qué se parece? Parece un círculo. Un objeto que parece un círculo desde todas las direcciones es llamado esfera.

Busque los objetos que tienen forma de esfera.

1 ¿Cuáles de estos objetos son esferas o tienen forma parecida a una esfera? (A)

(B)

(C)

(D)

(E)

(F)

(G)

(H)

4. Resolver el ejercicio 1 .

Tienen forma de esfera (

166

A, F, H

)

Lección 2: Conozcamos la esfera (2/2) Objetivo: •Identificar los elementos de la esfera (centro, radio y diámetro).

Materiales: reglas, pelotas masisas.

(2/2)

Observe los cortes que se le han dado a estas esferas. ¿Qué figura se observa en cada sección de corte?

Un círculo.

Vamos a hacer un corte de forma que hagamos dos secciones iguales, es decir, dividimos la esfera en dos partes iguales.

Cuando una esfera se corta en dos partes iguales, el centro, el radio, y el diámetro del círculo que se forma en la sección de corte son llamados centro, radio, y diámetro de la esfera.

diámetro radio

centro

Vamos a medir el diámetro de una pelota. ¿Cómo podemos hacerlo? Además de la regla, tenemos que auxiliarnos de otros objetos.

2 Mida el diámetro de una pelota de baloncesto y a una de béisbol. Se omite la solución ciento veintitrés 123

1. Captar el tema. [B1] * Pedirles que observen los cortes que se le han dado a las esferas dibujadas. M: ¿Qué figura se observa en cada sección de corte? RP: Un círculo. * De ser posible, se puede hacer la demostración utilicando pelotas masisas, haciendo los cortes, para que puedan apreciar los círculos. 2. Conocer los nombres de centro, radio y diámetro de una esfera. [B2] M: ¿Cómo debo cortar una esfera para obtener el círculo más grande posible? RP: Por la mitad. En dos partes iguales * Confirmar que cuando se corta la esfera en dos partes iguales el círculo que resulta en la sección de corte es el mas grande de todos. * Explicar que el centro, el radio y el diámetro de ese círculo se llaman centro, radio y diámetro de la esfera respectivamente 3. Medir el diámetro de una esfera. [B3] * Presentar una pelota y pedir que midan si diámetro sin hacer ningún corte. * Permitir que piensen en diferentes opciones. Que se den cuenta que utilizando la regla y otros objetos, dos cajas por ejemplo, pueden medir el diámetro. 4. Resolver el ejercicio 2 .

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

167

Unidad

15 15

Simetría

(5 horas)

Expectativas de logro

• Identifican líneas de simetría. • Completan figuras usando línea de simetría.

Relación y desarrollo

• Clasificación de objetos por su forma. • Superficies planas y curvas. • Identificación de figuras planas. • Fundamentos de composición y descomposición de figuras planas.

• Línea recta. • Concepto de triángulo y cuadrilátero. • Construcción de triángulos y cuadriláteros. • Elementos de triángulo y cuadrilátero: vértice y lado.

• • • •

Concepto de ángulo. Elementos de ángulo. Ángulo recto. Unidad oficial de medida de ángulo: el grado. • Clasificación de los ángulos: ángulo recto, agudo, llano y obtuso. • Forma de medir y dibujar ángulos usando transportador.

• Concepto de rectángulo y cuadrado. • Concepto de triángulo rectángulo. • Construcción de rectángulos, cuadrados y triángulos rectángulos.

Plan de estudio

(5 horas)

1. Figuras simétricas (2 horas)

1/2 2/2

2. Características de las figuras simétricas (2 horas) Ejercicios

168

• Concepto de figuras simétricas. • Eje de simetría. • Características de figu ras simétricas. • Construcción de figuras simétricas.

(1 hora)

• Concepto de las figuras simétricas • Término; línea de simetría • Simetría en las figuras geométricas; triángulos, cuadrados, rectángulos y círculos

1/2 2/2

• Características de figuras simétricas • Construcción de figuras simétricas

1/1

• Ejercicios

Puntos de lección • Lección 1: Figuras simétricas En el entorno de los niños y de las niñas hay muchas figuras y formas simétricas. Observan do estas figuras y formas que se den cuenta que tienen partes simétricas. En esta lección se tratan solamente las figuras simétricas sen cillas que tienen la línea de simetría dentro de sí mismos, porque para los niños y las niñas de 4to grado no es fácil orientar dos tipos de simetría al mismo tiempo y también, que uno de los objetivos importantes al estudiar la simetría es para que los niños y las niñas profundicen el entendimiento sobre las figuras planas básicas aprendidas a través de la observación con un punto de vista nuevo, como es el concepto de simetría.

• Lección 2: Características de figu ras simétricas Esta lección se desarrolla para que los niños y las niñas puedan indicar el vértice correspondiente a un vértice y el lado correspondiente a un lado en las figuras simétricas. A través de medir la longitud entre los puntos correspondientes y la línea de simetría y medir los ángulos donde hay intersecciones entre la línea de simetría y los segmentos perpendiculares a la línea de simetría, que los niños y las niñas puedan captar las características de las figuras simétricas.

Clasificación de la simetría

Los tipos de simetría son los siguientes: Tipo de simetría

Ejemplo de simetría

Acción que la produce

Esta figura es simétrica con respecto a una línea de simetría. Esta figura tiene simetría reflexiva .

Línea de simetría Simetría reflexiva (axial) Línea de simetría

Reflexión

Centro de simetría A

Estas figuras son simétricas entre sí con respecto a una línea de simetría. La figura A es simétrica a la figura B con respecto a una línea de simetría. Estas figuras tienen simetría reflexi va entre sí. Esta figura es simétrica con respecto a un centro de simetría. Esta figura tiene simetría rotacional.

Centro de simetría Simetría rotacional (central)

Descripción

Rotación

Estas figuras son simétricas entre sí con respecto a un punto. La figura A es simétrica a la figura B con respec to a un punto. Estas figuras tienen simetría rotacional entre sí.

169

Figuras simétricas

Desarrollo de clases

• Conocer el concepto de la figura simétrica.

1. Captar el tema. [A1] M: ¿Cómo son los dibujos? Que se den cuenta que las figuras tienen la parte izquierda y derecha iguales. * Si no surge la idea, se puede informar que en el entorno hay cosas que la parte izquierda es la misma forma que la derecha (véase Notas). 2. Construir la figura del cora zón. [A2] Que confirmen que la parte derecha e izquierda de la figura de corazón son iguales, porque se sobreponen exactamente. * Explicar los términos “figura simétrica” y “línea de simetría”. * Se puede hacer que copien algunas figuras de A y recorten y doblen para confirmar el concepto de la figura simétrica. 3. Hacer las figuras simétricas con papel. [A3] * Explicar que no tiene que ser una figura que se puede reconocer fácilmente (como ser una casa, un insecto, etc.) es válida cualquier figura. Lo importante es que confirmen la línea de simetría y la congruencia de la parte derecha y la izquierda. 4. Encontrar las figuras simé tricas en el entorno. [A4] 5. Resolver el ejercicio 1 .

(M) papeles, tijera (N) papeles, tijera

(1/2)

Observe las siguientes figuras.

Diga lo que observa en el dibujo.

Construya la figura del corazón con papel.

Doblar en dos.

Recortar en la hoja doblada.

Dibujar la mitad de la figura.

Figura simétrica

La figura que se sobrepone exactamente al doblar por una línea se llama figura simétrica. Esta línea que divide la figura en dos partes iguales se llama línea de simetría.

3 4

Abrir.

Línea de simetría

Haga las figuras simétricas con papel. Encuentre en el entorno las cosas que tienen la forma simétrica. 1 Observe la figura y conteste las preguntas. (1) Esta figura se divide en dos partes iguales por la línea . ¿Cómo se llama este tipo de figura? ( figura simétrica (2) ¿Cómo se llama la línea .

(

)

línea de simetría )

(3) Calque la figura en papel y dóblela por la línea para averiguar si la parte derecha e izquierda son iguales.

Se omite la solución

En el entorno existen varias figuras simétricas. Es importante tratar tanto la belleza bien ordenada de esta figura como su característica común, la cual es que su parte izquierda y la derecha tienen la misma forma, a través de las actividades de doblar y sobreponer ambas partes. Cuando la línea de simetría es vertical, la figura se divide entre la parte derecha y la izquierda. Pero cuando la línea es horizontal o inclinado, no se puede decir que se divide así. Sin embargo, como esta clase es la introducción, se explica de esta forma para que los niños y las niñas capten el concepto de la figura simétrica con facilidad, y luego se dan más ejemplos variando la posición de la línea de simetría.

170

Figuras simétricas • Identificar las figuras simétricas en las figuras geométricas; triángulos, cuadrados, rectángulos y círculos. (M) papeles (N) papeles, tijera, compás, regla, escuadra o transportador

triángulo equilátero

triángulo escaleno

rectángulo

triángulo isósceles

círculo

Piense en la forma de investigar.

Investigue y escriba un en la casilla de la tabla si es una figura simétrica.

(2/2)

Vamos a investigar si las figuras geométricas siguientes son simétricas.

cuadrado

Trace la línea de simetría encontrado en las figuras dibujadas arriba.

Construya en papel otro dibujo de cada tipo de figuras y confirme la simetría. 2 Escriba en el espacio la letra que corresponde a la figura simétrica.

C Figura simétrica

A, B, C, D, F

2. Investigar la simetría de cada figura geométrica. [ B2] M: ¿Cuáles figuras son simétricas? * Dar el tiempo de estimar antes de empezar la investigación. * Se puede agregar los cuadriláteros que no son cuadrados ni rectángulos para variar el tipo de figuras dependiendo de la situación de los niños y de las niñas. 3. Expresar el resultado. * Si hay niños y niñas que encontraron varias líneas de simetría en una figura felicitarlos y aprovechar este conocimiento en la siguiente actividad.

Hay figuras que tienen varias líneas de simetría.

1. Pensar la forma de averiguar si la figura es simétrica. [ B] y [B1] M: ¿Cómo podemos averiguar si cada figura es simétrica o no? * Se debe llevar figuras semejantes a [B] para que los niños y las niñas tengan la oportunidad de doblar y comprobar la simetría.

4. Trazar la línea de simetría en las figuras. [ B3] Que tracen las líneas de simetría observando la figura doblada que usaron en la actividad anterior. * En este momento no es necesario que la línea sea tan exacto. * Confirmar que hay figuras que tienen varias líneas de simetrías (véase Notas). 5. Dibujar otra figura de cada tipo y confirmar la simetría. [B4] * (Véase Notas.) 6. Resolver el ejercicio 2 .

Puede haber la etapa de trazar la línea de simetría sin recortar ni doblar la figura. Pero pensando que a los niños y a las niñas de 4to grado todavía les es difícil imaginar la línea sólo observando la figura, aquí no aplica. Los niños y las niñas investigaron solamente sobre una figura de cada tipo. Para decir que todos los triángulos isósceles son figuras simétricas se necesita investigar no sólo uno sino más casos. Por esta razón, se realiza esta actividad y que los niños y las niñas generalicen el resultado observando varias figuras construidas por ellos mismos.

171

1. Captar el tema. [A] 2. Investigar sobre los vértices y lados que se sobreponen. [A1] M: Vamos a pensar cuáles vértices (lados) se sobreponen al doblar la figura. * Después de dar el tiempo de pensar, pedir las opiniones de los niños y de las niñas. * Indicar que calquen y recorten la figura y averigüen cuáles vértices o lados se sobreponen. * Explicar los términos “vértices correspondientes” y “lados correspondientes”. 3. Investigar las características de la figura simétrica. [A2] * Indicar que investiguen según las indicaciones del LE. M: ¿Cómo es la longitud entre la línea de simetría y cada uno de los dos puntos correspondientes? Que se den cuenta que es igual. M: ¿Cómo son los ángulos formados por la línea de simetría y el segmento que une dos puntos correspondientes? Que se den cuenta que son ángulos rectos. * Concluir con las características de la figura simétrica.

Características de las figuras simétricas

Lección 2: (1/2)

Objetivo: • Conocer las características de la figura simétrica. Materiales: (M) papeles

(N) papeles, tijera, regla

Lección 2: Características de las figuras simétricas

Vamos a investigar las características de la figura simétrica. 1

El vértice B se sobrepone al vértice E. El vértice E es el vértice correspondiente al vértice B. El lado BC se sobrepone al lado GF. El lado GF es el lado correspondiente al lado BC.

2 A

(2) Compare la longitud de los segmentos CI y FI. (3) Investigue cómo son los ángulos marcados con

Los ángulos formados por líneas de simetría y el segmento que une dos puntos correspondientes son ángulos rectos.

E 1

Encuentre los vértices, lados y puntos correspondientes. G (1) El vértice C y ( E F A D

el vértice F

)

(2) El lado CD y (

el lado FE

)

(3) El punto B y

el punto G

)

(

B Escriba en el espacio la palabra o el número que corresponde.

ángulo recto

(

3 cm

5 cm 5 cm

126 ciento veintiséis

Unidad 15 - Simetría

La longitud entre la línea de simetría y cada uno de los dos puntos correspondientes es igual.

Investigue sobre el segmento que une los puntos correspondientes. (1) Compare la longitud de los segmentos BH y GH.

Piense en la situación donde se dobla la figura por la línea de simetría l. (1) ¿Cuál es el vértice que se sobrepone con el vértice B? (2) ¿Cuál es el lado que se sobrepone con el lado BC?

4. Resolver los ejercicios 1 y 2 .

172

(1/2)

)

(

ángulo recto 2 cm

cm (

ángulo recto

) 4 cm

4 cm

)

2 cm

Lección 2: (2/2)

Características de las figuras simétricas

2. Dibujar la figura simétrica en la cuadrícula. [B1] M: ¿Cómo podemos completar esta figura simétrica? Que piensen la forma de dibujar la figura simétrica aplicando las características aprendidas. * Indicar que completen la figura.

Objetivo: • Dibujar las figuras simétricas. Materiales: (M) regla, escuadra (N) regla, escuadra

B 1

(2/2)

Vamos a dibujar la figura simétrica. Dibuje la otra mitad y complete la figura simétrica.

Si se usan las cuadrículas ya no necesita trazar la línea perpendicular ¿verdad?

[La manera de completar la figura simétrica] 1 Trazar la línea perpendicular a la línea de simetría desde cada vértice. 2 Encontrar los vértices correspondientes de modo que la longitud desde la línea de simetría a cada uno de dos vértices correspondientes sea igual. 3 Unir cada vértice en orden.

1. Captar el tema. [B]

Dibuje la otra mitad y complete la figura simétrica.

ciento veintisiete 127

Para la mejor comprensión de la definición y las características de la figura simétrica, son muy importantes las actividades de recortar y doblar la figura por la línea de simetría para comparar dos partes divididas. Es recomendable que los niños y las niñas calquen en papel las figuras construidas incluyendo su línea de simetría, recorten y doblen para la confirmación si el tiempo lo permite.

3. Expresar la forma de dibujar la figura simétrica. M: ¿Cómo hicieron para completar esta figura? * Escuchando las expresiones de los niños y de las niñas, concluir con la forma de dibujar la figura simétrica. 4. Dibujar la figura simétrica en el espacio blanco. [B2] M: Aquí no hay cuadrículas. ¿Qué hay que hacer para encontrar los puntos correspondientes? Que capten que hay que trazar la línea perpendicular a la línea de simetría y medir la longitud entre la línea de simetría y cada uno de los puntos correspondientes. M: ¿Dónde está la línea de simetría del segundo dibujo? M: ¿Dónde aparece la otra mitad del dibujo en este caso? Que se den cuenta que cuando la línea de simetría es horizontal, el segmento que une dos puntos correspondientes sea vertical y la otra mitad del dibujo aparece no a la derecha (izquierda) sino abajo (arriba). * Después de la resolución individual del primer dibujo, dar el tiempo para confirmar el trabajo en pareja.

Continúa en la siguiente página…

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

173

Características de las figuras simétricas

5. Resolver lo ejercicios 3 y 4 .

[Continuación]

3 Dibuje la otra mitad y complete las figuras simétricas. (1)

(3)

4 Construya la figura simétrica preferida.

174

(2)

(4)

Se omite la solución

Unidad 15: Ejercicios (1/1)

Los ejercicios tratan sobre:

Objetivo: • Confirmar lo aprendido en la unidad. Materiales: (N) regla, escuadra o transportador

Identificación de las figuras simétricas

Características de las figuras simétricas

Ejercicios 1

(1/1)

Escriba en el espacio la letra que corresponde a la figura simétrica. A

Figura simétrica ( 2

A, C, D, E, F

)

Identificación de las partes correspondientes de la figura simétrica * En esta figura la línea de simetría está un poco inclinado. Hay que tomar en cuenta esta dificultad al desarrollar este ejercicio.

Escriba en el espacio la palabra que corresponde. (1) La figura simétrica se divide en dos partes iguales por el ( línea de simetría ). (2) La línea que une dos puntos correspondientes cruza con el ( línea de simetría ) formando los ángulos ( ). rectos

(3) La longitud entre cada uno de dos puntos correspondientes y el ( ) es igual. línea de simetría 3

I G

(2) El vértice F y el vértice ( (3) El punto G y el punto (

)

J I

)

F Observando la figura simétrica del ejercicio 3 conteste las preguntas. (1) El segmento KM mide 3cm. ¿Cuánto mide el segmento EM? (

3 cm

)

(2) El segmento LD mide 2cm. ¿Cuánto mide el segmento LN? (

1 cm

)

(3) ¿Cómo es el ángulo marcado con 5

Encuentre las partes correspondientes en la siguiente figura simétrica. A K (1) El lado LK y el lado ( DE ) L J B N D

ángulo recto

Aplicación de las características de las figuras simétricas

Construcción de las figuras simétricas * Al completar la figura, en el inciso (1) aparece la letra H y en el (2) aparece M. En las letras del alfabeto y en los números existen varias figuras simétricas. Se puede ampliar la actividad encontrando las letras o los números que son simétricos.

)

Dibuje la otra mitad y completa la figura simétrica.

ciento veintinueve 129

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

175

Unidad 1

Números hasta 1,000,000

Unidad 4

Multiplicación

Unidad 5

División

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

177

178

GuĂa para maestros/as- MatemĂĄtica 40 Grado

179

Unidad 8 Regla de “cm” (A)

180

Regla de “mm” (B)

Longitud

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

GuĂa para maestros/as- MatemĂĄtica 40 Grado

181

Unidad 9

Área de rectángulos

G A N A T E R R E

N O

182

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

Unidad 10

Números decimales

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

183

184

GuĂa para maestros/as- MatemĂĄtica 40 Grado

Unidad 12

Gráficas de barras

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

185

Nos divertimos

¿Agarra los hongos?

Calcula los incisos 1 ~ 10 y une con la línea los resultados según el orden de los incisos. Los hongos rodeados con la línea serán tuyos. ¿Cuántos hongos pueden agarrar? 20 hongos El punto que es el resultado de 2 incisos será el punto de partida y de llegada.

186

3.2 + 1.6 = 1.6

3.3 - 1.2 = 2.1

0.8 + 0.5 = 1.3

3.1 - 0.6 = 2.5

4.2 + 2.8 = 7

1.4 - 0.8 = 0.6

4.6 + 0.9 = 5.5

6.6 - 3.7 = 2.9

5.6 + 1.8 = 7.4

7.5 - 2.7 = 4.8

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

Nos divertimos ¿Cuántos cuadrados se pueden hacer por todo? En el dibujo de abajo se muestra un tablero que tiene 16 clavos. (geoplano 4 x 4) Usando el geoplano enganchamos las gomitas en los clavos para hacer cuadrados. Responde en el cuaderno. 18 cuadrados Podemos hacerlos grandes y también pequeños.

Explicación

...9

...1

...4 Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

...4 187

Nos divertimos

¿Qué dicen los peces?

Los peces están diciendo algo. Para saberlo hay que ordenar las letras de las burbujas de cada uno. Vamos a medir los ángulos de las bocas y los ordenamos de menor a mayor.

40O

100O 50O

80O

H 15O

¡Es hora de comer !

10O

10 9 8

20O

11 12 1

2 3 4

6 5

E 120O

E M

A 25O

90O 30 10

T E N E M O S

188

Guía para maestros/as- Matemática 40 Grado

54O

90 100 120 O

H A M B R E

AGRADECIMIENTO

El Instituto Nacional de Formación y Capacitación del Magisterio (INAFOCAM), como entidad responsable de dirigir y coordinar el proyecto “Mejoramiento de la Calidad de Enseñanza de la Matemática” 2005-2010, JICA-MINERD, quiere expresar su más sincero agradecimiento al gobierno del Japón, y de una manera muy particular, a la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA) y a la dirección del Proyecto Regional “Me Gusta Matemática”, por el apoyo para la elaboración e impresión del valioso material (Guía para maestros/as), como herramienta para orientar la mejora en el aprendizaje de la matemática de los niños/as del Primer Ciclo de Básica. Del mismo modo, agradecemos a nuestras autoridades y funcionarios del Sistema Educativo Nacional que pusieron su confianza y apoyo al plan de mejora desarrollado. A las Regionales 03 de Azua, 05 de San Pedro de Macorís, 08 de Santiago y 15 de Santo Domingo, así como a los Distritos 03-01, 05-02, 08-05 y 15-03 que facilitaron en su gestión la implementación, además de disponer de recursos humanos para el logro de los objetivos del mismo. De manera especial queremos agradecer al Grupo Núcleo, al Grupo Operativo de los distritos y regionales implicados, a los asesores nacionales e internacionales, a los voluntarios japoneses, a los directores y docentes de los veinte y un centros educativos involucrados, así como al equipo administrativo (secretarias, diagramadores, personal de apoyo, colaboradores) que hicieron posible la edición y validación de esta herramienta didáctica. Gracias a todos/as.

Grado

Matemática Guía para Maestros y Maestras

Matemática

Guía uía para Maestros y Maest Maestras

Grado

Instituto Nacional y Capacitación

de del

Formación Magisterio

¡Me gusta Matemática! PROYECTO REGIONAL

JAPÓN

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