Libro de Estudiante (Matematica) 4to Grado by EducandoRD

4 Grado to

Matemática Libro de Estudiantes

Matemática

Libro de Estudiantes

Grado

Instituto Nacional de Formación y Capacitación del Magisterio

¡Me gusta Matemática! PROYECTO REGIONAL

JAPÓN

Asistencia oficial para el Desarrollo

Agencia de Cooperación Internacional del Japón

Autoridades Lic. Danilo Medina

Presidente de la República Dominicana Josefina Pimentel, M.A. Ministra de Educación

Licda. Minerva Vincent, M.A. Viceministra de Educación Encargada de Servicios Técnicos y Pedagógicos

Grupo Núcleo Responsable de Adecuación y Validación

Agencia de Cooperación Internacional del Japón JICA

Marcelina Piña Del Rosario M.A. Coordinadora de Proyectos (INAFOCAM) Coordinadora General del proyecto

Lic. Tadashi Ikeshiro Director de JICA- República Dominicana

Lic. Isidro Báez Coordinador de los Proyectos de Matemática para los Centros de Excelencia Dirección General de Educación Media Lic. Octavio Galán Encargado de Sección en el Área de Matemática Dirección General de Educación Media Lic. Dolores de la Rosa Coordinadora del Área de Matemática Dirección General de Currículo Lic. Geovanny Lachapell Técnico Nacional del Área de Matemática Dirección General de Currículo Lic. Santa Azor Técnica Nacional Dirección General de Educación Básica

Toshiya Wakabayashi M.A. Coordinador de Proyectos Oficina de JICA-República Dominicana Laura Mella M.A. Coordinadora de Proyectos Oficina de JICA-República Dominicana Toshio Murata M.A. Primer Asesor Lic. Shiori Abe Asesora Técnica Nobuaki Kiya M.A. Asesor de Programa de Educación Básica Lic. Eric Morel Diagramador

Genaro Viñas M.A. Docente Área de Matemática Distrito Educativo 08 - 05

Este material didáctico ha sido adaptado de la versión original elaborado por el Proyecto de Mejoramiento de la Enseñanza Técnica en el Área de Matemática (PROMETAM) integrado por la Secretaría de Educación y la Universidad Pedagógica Nacional Francisco Morazán de Honduras con asistencia técnica de la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA). Quinta Edición, Mayo 2013 ® Derechos Reservados ME-JICA PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL

PRESENTACIÓN El Ministerio de Educación, comprometido con elevar el nivel de la Calidad de la educación dominicana, pone a disposición de los y las docentes del Primer Ciclo del Nivel Básico la guía “Matemática, Guía para Maestros y Maestras” y su correspondiente “Libro de Estudiantes” para el estudiante, como una valiosa herramienta para mejorar la enseñanza y la práctica de esta área en el aula. Esta Guía fue elaborada en el marco del proyecto “Mejoramiento de la Calidad de la Enseñanza de la Matemática, 2005-2010”, realizado en la República Dominicana, con el apoyo de la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA). El documento constituye una adaptación a nuestro contexto de los materiales “guía para el docente” y “cuaderno de trabajo del estudiante”, elaborados en Honduras con la asesoría de expertos japoneses. Las unidades de esta guía fueron adecuadas por un equipo técnico que recibió capacitación y asesoría técnica para tal fin, durante el desarrollo del Proyecto Regional “Me Gusta Matemática”, en Honduras y en la Universidad de Tsukuba, en Japón. En el diseño, la guía está organizada por unidades, las cuales están orientadas a partir de los contenidos curriculares y los componentes psicopedagógicos del Área de Matemática que se desarrollan en el Primer Ciclo del Nivel Básico. En el proceso de adecuación participaron en forma activa la Dirección General de Currículo, la Dirección General de Nivel Básico y el Instituto Nacional de Formación y Capacitación del Magisterio (INAFOCAM) que tuvo la función de coordinación. Para un óptimo aprovechamiento de este recurso didáctico, se recomienda utilizar el correspondiente cuaderno de trabajo dirigido a los niños y las niñas de este ciclo, de igual modo se espera que los Maestros y Maestras hagan un uso eficiente de estos materiales, para mejorar el aprendizaje de la Matemática en la escuela dominicana.

Josefina Pimentel, M.A. Ministra de Educación

Sugerencias para el uso del Libro de Estudiantes Queridos niños y niñas: este Libro de Estudiantes (LE) está diseñado para que lo utilicen bajo la dirección de su maestro o maestra. Contiene actividades que para resolverlas tienen que pensar junto a tus compañeros y compañeras y, en otros casos, los ejercicios los tienes que resolver de forma individual. Si no les permiten escribir directamente en este Libro de Estudiantes, les recomendamos escribir las respuestas en al cuaderno de apuntes. La misma sugerencia la hacemos para páginas a recortar, cópienlas en otra hoja. Esperamos que trabajen y aprendan mucho, con este libro. Los Autores

Indice Unidad 1

Números hasta 1,000,000

2 - 11

Lección 1 Leamos y escribamos los números hasta 1,000,000 Lección 2 Escribamos números en forma desarrollada Lección 3 Ubiquemos números en la recta numérica Lección 4 Redondeemos números Lección 5 Conozcamos los números romanos Unidad 2

Adición y sustracción

Líneas perpendiculares y paralelas

Multiplicación

6 8 10

12 14

16 - 19

20 - 31

Lección 1 Multipliquemos por U Lección 2 Multipliquemos por D0 y C00 Lección 3 Multipliquemos por DU Lección 4 Multipliquemos por CDU

División

32 - 47

Lección 1 Dividamos entre un número de una cifra Lección 2 Dividamos entre un número de dos cifras Lección 3 Sigamos dividiendo entre un número de dos sifras Lección 4 Conozcamos algunas reglas de la división Unidad 6

Triángulos

Fracciones

35 41 44

48 51 52 53

54 - 63

Lección 1 Conozcamos las fracciones equivalentes Lección 2 Sumemos y restemos fracciones de igual denominador Nos divertimos

Unidad 8

23 26 28

Lección 1 Midamos en kilómetros Lección 2 Sumemos y restemos con la longitud Lección 3 Midamos con las unidades del sistema inglés

Longitud

48 - 53

Lección 1 Clasifiquemos triángulos Lección 2 Construyamos triángulos Nos divertimos Lección 3 Calculemos el perímetro Unidad 7

Lección 1 Líneas perpendiculares y paralelas Unidad 4

12 - 15

Lección 1 Sumemos y restemos Lección 2 Estimemos sumas y restas Unidad 3

Unidad 5

54 57 63

64 - 71 64 68 70

Indice Unidad 9

Área de rectángulos

72 - 81

Lección 1 Comparemos superficies Lección 2 Calculemos el área de cuadrados y rectángulos Nos divertimos Lección 3 Conozcamos las unidades del área Unidad 10 Números decimales

Lección 1 Calculemos el área de triángulos Unidad 12 Gráficas de barras

76 78 79

82 - 95

Lección 1 Conozcamos otros números decimales Lección 2 Sumemos y restemos otros números decimales Unidad 11 Área de triángulos

Unidad 13 Peso Lección 1 Determinemos pesos usando balanzas Unidad 14 Círculos y esferas

Unidad 15 Simetría

Lección 1 Figuras simétricas Lección 2 Características de las figuras simétricas Páginas para recortar

96 102 - 111

Lección 1 Construyamos gráficas de barras 102 Lección 2 Organicemos los datos 108

112 116 - 123

Lección 1 Conozcamos el círculo Nos divertimos Lección 2 Conozcamos la esfera

96 - 101

112 - 115

Unidades 1, 4, 5 Unidad 8 Longitud Unidad 9 Área de rectángulos Unidad 10 Números decimales Unidad 12 Gráficas de barras Nos divertimos

116 121 122

124 - 129 124 126 130 - 153 131 137 141 143 147 149

Libro de Estudiantes

4 Grado

Unidad

Números hasta 1,000,000

Recordemos 1. Lea los números siguientes: 235;

3,521;

1,050

2. ¿Qué números corresponden a los puntos señalados con las flechas? 0

1,000

2,000

3. Complete en el cuaderno la expresión usando uno de los símbolos <, > ó =:

5,021

3,000

2,987

Lección 1: Leamos y escribamos los números hasta 1,000,000

Un paquete contiene cien hojas de papel. Una caja contiene diez paquetes.

¿Cuántas hojas de papel contiene una caja?

Si hay 23 cajas, 2 paquetes y 54 hojas de papel, ¿cuántas hojas hay en total?

1 000

¿Cómo se escribe el número que es 10 veces 1,000? 10 veces 10 es 100, 10 veces 100 es 1,000. Entonces 10 veces 1,000 es 10,000. Dm Um

La cantidad que es 10 veces 1,000 se escribe 10,000 y se lee diez mil. Se abrevia DM 4

Represente la cantidad de hojas con tarjetas numéricas.

Diez de 1,000 hacen una de 10,000

10,000 10,000

1,000 1,000 1,000

100 100

10 10 10 10 10

1 1 1 1

Anote la cantidad total de hojas.

2 dos

La cantidad total de hojas de papel se escribe “23,254” y se lee “veintitrés mil doscientos cincuenta y cuatro”.

1 Escriba la forma en que se leen los números siguientes: (1) 32,514 (2) 15,273 (3) 24,503 (4) 72,005 (5) 60,340 (6) 10,200 2 Escriba los siguientes números. (1) Cuarenta y cinco mil doscientos setenta y uno (2) Doce mil trescientos cuarenta y cinco (3) Treinta y cinco mil veinte (4) Once mil uno (5) Cincuenta mil veinte (6) Ochenta mil

¿Cómo se llama la cantidad que es diez veces diez mil y cómo se escribe? Se llama cien mil y se escribe 100,000. 10 veces 1,000 es 10,000, entonces 10 veces 10,000 es 100,000 que equivale a 100 veces 1,000.

¿Cómo se lee el siguiente número?

234,567 se lee “doscientos treinta y cuatro mil quinientos sesenta y siete”.

3 Escriba la forma en que se leen los números siguientes: (1) 531,274 (2) 124,023 (3) 205,301 (4) 300,502 (5) 400,020 (6) 620,003

tres

4 Escriba los siguientes números. (1) Doscientos cincuenta y un mil trescientos setenta y cuatro (2) Cuatrocientos veintiún mil quinientos siete (3) Ciento dos mil cincuenta y cuatro (4) Quinientos mil veinte (5) Trescientos un mil cuatro (6) Setecientos mil trescientos

¿Cómo se llama la cantidad que es diez veces cien mil y cómo se escribe? 10 veces 1,000 es 10,000, 10 veces 10,000 es 100,000, entonces 10 veces 100,000 es 1,000,000 y se lee “un millón”.

Intentémoslo Escriba en su cuaderno la forma en que se leen los números siguientes:

(1) 1,372,847 (2) 3,407,029 (3) 7,000,509

Escriba los números en su cuaderno.

(1) Un millón novecientos ochenta y dos mil trescientos cuarenta y seis (2) Un millón cuatrocientos dos mil trescientos ochenta (3) Dos millones novecientos ochenta mil dos (4) Ocho millones trescientos veinte

4 cuatro

Lección 2: Escribamos números en forma desarrollada

Vamos a escribir los números 52,471 y 350,238 en forma desarrollada. Dm

Por lo tanto. 52,471 = 50,000 + 2,000 + 400 + 70 + 1

Podemos usar la tabla de valores

De la misma manera 350,238 = 300,000 + 50,000 + 200 + 30 + 8 1 Escriba en forma desarrollada los siguientes números: (1) 13,457 (2) 40,205 (3) 365,428

2 Escriba el número formado por: (1) 3Cm, 1Dm, 2Um, 4C, 6D y 5U (3) 1Cm y 2D

(4) 500,205

(2) 2Dm, 5C y 4U (4) 4Cm, 5Um y 3U

En el número 534,218 ¿cuál es el valor de posición de la cifra 3? El valor de posición de la cifra 3 es 30,000, porque está en la posición de las decenas de mil. 3 ¿Cuál es el valor de posición de las siguientes cifras en el número 234,075? (1) 2

(2) 4

(3) 7

4 Complete la siguiente tabla:

Número 35,274 3,498 464,536 265,283 434,500 163,401 3,284

Descomposición Forma abreviada

Forma desarrollada

Valor de posición del 3

3Dm + 5Um + 2C + 7D + 4U

30,000+5,000+200+70+4

30,000

cinco

Lección 3: Ubiquemos números en la recta numérica

¿Qué número corresponde al punto señalado con la flecha? 0

10,000

20,000

30,000

40,000

En esta recta numérica cada espacio pequeño equivale a 1,000. La flecha indica el punto 26,000. De dos números, es mayor, el que está a la derecha en la recta numérica.

1 Escriba los números que corresponden a las letras:

(1)

1,000 a

(3)

30,000

(4)

299,000

300,000

200,000

49,900

100,000

40,000

(5)

(2)

2,000

50,000 o

50,100

301,000 v

2 Indicar los números que corresponden a las letras marcadas con flechas: 11,000 16,000 40,000 190,000 (1) 3,000 (2) 120,000 0

10,000 a

(3) 58,000

72,000 60,000 g

20,000

100,000 d

64,000

(4) 23,110

23,020

70,000

22,900

(5) 420,300 419,900

418,800

419,000

420,000

6 seis

421,000 o

200,000 f

22,940

23,000

23,100

Compare los dos números y escriba uno de los signos <, > ó =. (1) 132,416

78,965

(3) 472,105

459,876

(2) 398,719

536,247

Comparación de dos números naturales: Primero comparar la cantidad de cifras. El que tenga más cifras es el mayor. Si los dos tienen la misma cantidad de cifras, comparar la primera cifra de la izquierda de cada número. El que tenga la cifra mayor es el mayor. Si las primeras cifras son iguales, comparar la segunda cifra de cada uno. El que tenga la mayor cifra es el mayor. Si las primeras dos cifras de ambos números son iguales, comparar la tercera cifra y así sucesivamente con el mismo procedimiento. Si al final todas las cifras son iguales, los dos números son iguales.

3 Compare los dos números y escriba uno de los signos <, > ó =: (1)

9,999

73,245

(2) 100,000

93,245

(3) 462,916

298,769

(4)

74,294

76,001

(5) 459,021

453,679

(6) 100,253

100,249

(7) 198,237

198,237

Recuerda ir comparando las cifras de izquierda a derecha.

, ,

siete

Lección 4: Redondeemos números

En la tabla se muestra la población de provincias de la República Dominicana Población de Provincias de la República Dominicana

Provincias

Población

Santiago

908,250

La Vega

385,101

Puerto Plata

312,706

Mao Valverde

158,293

Distrito Nacional

913,540

Encontramos el número aproximado de la población del Distrito Nacional.

Aproximar un número al número más cercano según una posición indicada es el redondeo.

Proceso. (1) Determinar la posición a la que se quiere redondear. (2) Observar la cifra que está en la posición inmediatamente a la derecha de la posición de donde queremos redondear el número. (3) Si la cifra en esta posición es menor que 5, convertir todas las cifras de las anteriores en 0. (4) Si la cifra en la posición es mayor o igual a 5, suma 1 a la cifra que se va a redondear. Redondear a la centena el Distrito Nacional 913,540. Observe que el número inmediatamente a la derecha de las centenas de mil es 0 y es menor que 5, entonces, el redondeo será 900,000. 2

Redondeamos la población de La Vega a las centenas de mil.

Redondear a la centena La Vega 385,101. El número inmediatamente a la derecha es 8 y es mayor que 5, entonces, se le suma 1 a la posición indicada y los demás igual a ceros. El redondeo será 400,000.

ocho

1 Redondee los siguientes números a la posición indicada. (1) 158,293 a las centenas más próximas

(2) 385,101 a las unidades de mil más próximas

(3) 908,250 a las unidades de mil más próximas

2 Redondee los siguientes números a las centenas más próximas. (1) 35,527

(2) 4,783

(3) 782,145

(4) 6,783

3 Redondee los siguientes números a las decenas de mil más próximas. (1) 154,319

(2) 612,387

(3) 16,307

(4) 8,764

4 Redondee los siguientes números a la posición indicada. (1) 968,756 a las decenas de mil más próximas

(2) 999,889 a las centenas de mil más próximas

(3) 898,539 a las centenas de mil más próximas

(4) 913,540 a las decenas de mil más próximas

(5) 908,240 a las centenas más próximas

(6) 312,706 a las decenas más próximas

nueve

Lección 5: Conozcamos los números romanos

Leamos la hora en los relojes de Juan y Lucía. Se leen de la misma manera.

Reloj de Juan 1

Reloj de Lucía

¿Cómo podemos leer el reloj de Lucía? ¿Qué hora es en ambos relojes?

Se lee de la misma manera que el de Juan. Los números I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII equivalen a los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 y se llaman números romanos. En ambos relojes son las 3:35. 2

Reconocemos los números romanos.

Los números romanos se escriben con letras mayúsculas que tienen los siguientes valores: I = 1, V = 5, X = 10. Estos números siguen las siguientes reglas: Las letras I, X se pueden repetir dos o tres veces seguidas: II = 2, XX = 20, XXX = 30. Si una letra se pone a la derecha de otra de mayor valor, se suman los valores: XV = 10 + 5 = 15, VII = 5 + 1 + 1 = 7. No se puede repetir más de tres veces las letras colocadas a la derecha.

Escriba los siguientes números con nuestro sistema de numeración: (1) VI

(2) XII

(3) XVII

(4) XVIII

Escriba los siguientes números con números romanos: (1) 8

10 diez

(2) 11

(3) 13

(4) 16

Ayudamos a Juan a descifrar un número. Juan, leyendo su libro de Sociales, se encontró con la expresión “Siglo XIV”. En nuestro sistema de numeración decimal, ¿qué número es? Las letra I colocada a la izquierda de otra mayor, le resta su valor: IX = 10 - 1 = 9, IV = 5 - 1 = 4. Para esto sólo se puede colocar una vez Para aplicar la resta el valor del símbolo mayor tiene que ser 5 ó 10 veces el valor del símbolo menor. Por ejemplo no se puede representar 5 como VX. Como X = 10, V = 5. Además I está antes de V, así: IV, se resta 5 - 1 = 4 entonces IV = 4 y como IV está después de X, resulta XIV = 10 + 4 = 14. La expresión “Siglo XIV” es la misma que “Siglo 14”.

Escriba su edad, en números romanos.

Lucía está leyendo un libro de Historia. Según la lámina, ¿en qué capítulo está? ¿En qué libros has visto números romanos? V X

XXI

En la promoción de octavo grado de Dolores, se leía la expresión “IX PROMOCIÓN”. ¿Cuántas promociones habían pasado antes de la de Dolores?

Cuando es año bisiesto, febrero tiene 29 días. Complete en su cuaderno, los primeros 20 días de febrero usando números romanos:

FEBRERO 1 I 11

14 XIV 24

5 V 15

10 X 20

once

Unidad

Adición y sustracción

Recordemos 1. Calcule las siguientes operaciones. (1) 325 + 248

(2) 623 + 47

(3) 76 + 824

(4) 649 + 793

(5) 540 - 319

(6) 653 - 287

(7) 306 - 83

(8) 732 - 680

Lección 1: Sumemos y restemos

La provincia de Puerto Plata tiene una población aproximada de 312,706 habitantes, y la provincia de Valverde tiene 158,298.

¿Cuál es la población total de las dos provincias?

PO: 312,706 + 158,298 = 471,004 R: 471,004 habitantes 2

312,706 + 158,298 471,004

¿Cuántos habitantes más tiene la provincia de Puerto Plata que la de Valverde?

PO: 312,706 - 158,298 = 154,408 R: 154,408 habitantes

312,706 - 158,298 154,408

Cálculo vertical de suma y resta con números naturales: - Colocar los números ordenados de modo que las cifras del mismo valor posicional estén en línea vertical, es decir, unidad debajo de unidad, decena debajo de decena, etc. - Sumar o restar empezando por las unidades.

1 Calcule las siguientes operaciones en forma vertical. (1) 32,758 + 59,493

(2) 132,546 + 47,454

(3) 47,058 + 398,967

(4) 53,241 - 18,796

(5) 235,673 - 75,896

(6) 735,000 - 189,265

12 doce

2 Sume las siguientes operaciones. (1) 345,672 + 86,325

(2) 40,305 + 50,897

(3) 35,247 + 884,694

(4) 472,036 + 7,964

(5) 487,687 + 17,930

(6) 28,607 + 493,895

3 Reste las siguientes operaciones. (1) 501,243 - 235,678

(2) 153,482 - 68,986

(3) 63,500 - 21,263

(4) 120,403 - 57,831

(5) 50,000 - 24,217

(6) 42,000 - 32,789

4 Resuelva los siguientes problemas. (1) José tenía 135,495 pesos depositados en el banco y luego depositó 32,745 pesos. ¿Cuántos pesos tiene José depositado en total? PO: ________________________________

R: ____________________

(2) Andrés quiere comprar una bicicleta que cuesta 3,000 pesos, pero él sólo tiene 1,730 pesos. ¿Cuántos pesos le faltan para poder comprar la bicicleta? PO: ________________________________

R: ____________________

(3) Juan Pablo Duarte nació en el año 1813 y murió en 1876. ¿Cuántos años vivió Duarte? PO: ________________________________

R: ____________________

(4) Luisa fue a la tienda y compró un pantalón por 875 pesos y una blusa por 350 pesos. ¿Cuántos pesos gastó Luisa en total? PO: ________________________________

R: ____________________

Si Luisa pagó con un billete de 2,000 pesos, ¿qué cantidad de dinero le tienen que devolver? PO: ________________________________

R: ____________________

trece 13

Lección 2: Estimemos sumas y restas

Si la Escuela Juan Pablo Duarte tiene 3,217 estudiantes y la Escuela Salomé Ureña WLH Q H • & X £ Q W R V H V W X G L DQ W H V K D\ DSUR [ L P DG DP H Q W H H Q W UH O DV G R V H V F X H O DV "

Vamos a obtener una aproximación o estimado de los estudiantes de cada escuela redondeando cada cantidad a la centena más cercana:

3,217 son aproximadamente 3,200 2,572 son aproximadamente 2,600 2

Estime la cantidad total de estudiantes de las dos escuelas.

PO: 3,200 + 2,600 = 5,800 R: 5,800 estudiantes 3

En muchos casos es conveniente tener un valor aproximado del resultado de una operación.

3,200 + 2,600 5,800

Estime la diferencia entre la cantidad de estudiantes de las dos escuelas.

PO: 3,200 - 2,600 = 600 R: 600 estudiantes

3,200 - 2,600 5,600

- Para estimar una suma redondeamos los sumandos al lugar posicional inidicado y luego calculamos. - Para estimar una resta redondeamos el minuendo y el sustraendo al lugar indicado y luego calculamos.

1 Aproxime las siguientes operaciones redondeando a la centena más cercana. (1) 47,138 + 25,273

(2) 13,851 + 4,537

(3) 5,861 + 72,400

(4) 38,225 - 19,436

(5) 87,462 - 9,376

(6) 41,823 - 26,384

14 catorce

2 Estime las siguientes sumas redondeando los sumandos a la unidad de mil más cercana. (1) 63,172 + 17,815

(2) 147,610 + 23,354

(3) 51,987 + 4,875

(4) 166,021 + 83,124

(5) 986 + 53,231

(6) 24,143 + 9,892

3 Estime las siguientes sumas redondeando los sumandos a la decena de mil más cercana. (1) 32,452 + 17,634

(2) 719,025 + 252,162

(3) 850,114 + 88,150

(4) 8,789 + 61,472

(5) 209,147 + 381,125

(6) 32,143 + 27,504

4 Estime las siguientes restas redondeando a la centena más cercana. (1) 5,678 - 2,173

(2) 74,413 - 36,109

(3) 6,598 - 2,816

(4) 12,307 - 7,381

(5) 53,416 - 14,231

(6) 127,382 - 93,679

5 Estime las siguientes restas redondeando a la unidad de mil más cercana. (1) 46,821 - 27,123

(2) 146,342 - 65,460

(3) 26,908 - 21,763

(4) 54,871 - 7,972

(5) 3,016 - 876

(6) 78,319 - 43,168

6 Estime las siguientes operaciones redondeando a la unidad de mil más cercana y luego halle el valor exacto. Operación

Valor estimado

Valor exacto

37,246 + 52,821 349,103 + 91,654 86,301 - 35,146 67,934 - 23,148

quince 15

Unidad

3 Líneas perpendiculares

y paralelas

Lección 1: Líneas perpendiculares y paralelas

Diego y Ángela escribieron el signo "+" en la pizarra en grande.

Diego Observe y conteste. (1) ¿Quién lo escribió mejor?

Ángela (2) ¿Cómo se deben cortar las líneas para escribirlo mejor?

Diego

Formando ángulos rectos.

Confirme en los dibujos de Diego y Ángela los ángulos rectos con la escuadra o con el transportador. En el dibujo de Diego todas las esquinas forman un ángulo recto. En el dibujo de Ángela ninguna esquina forma el ángulo recto. Las líneas rectas que se cruzan o se unen, y forman una esquina que coincide con el ángulo recto, se llaman líneas perpendiculares.

Encuentre las líneas perpendiculares y escriba el número que corresponda en el paréntesis. (1)

(2)

(3)

Son líneas perpendiculares (

(4)

(5)

Encuentre los pares de líneas perpendiculares usando la escuadra o el transportador y escriba en el paréntesis los números que corresponden. 2 1

16 deiciséis

( ) y ( ) son líneas perpendiculares. ( ) y ( ) son líneas perpendiculares.

Vamos a hacer las líneas perpendiculares usando las escuadras. 1

2 8

Trazar una línea horizontal.

2 Con el ángulo recto de la escuadra trazar la línea perpendicular.

Forme líneas perpendiculares en una hoja de papel. 1

1 Doblar por la mitad el papel. 2 Seguir doblando por la mitad. 3 Extender la hoja y observar los pliegues.

3 Dibuje una línea perpendicular a cada línea dada. (1)

(4)

(2)

(3)

Tienes que ajustar bien las escuadras a la línea dada de modo que se forme la línea perpendicular.

(5)

0 1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15 16

diecisiete 17

Clasifique los siguientes pares de líneas. (1)

(2)

1 ¿Cuáles pares de líneas se cruzan?

(3)

2 ¿Cuáles pares de líneas no se cruzan? (4)

(5)

(6) 1, 3 y 5 se cruzan. 2, 4 y 6 no se cruzan.

Observe los siguientes pares de líneas. A

¿Qué sucede si prolongo las líneas A y B?...

2 cm

1 ¿Cuál es la diferencia? 2 ¿Cuánto mide de ancho de A y B en cada extremo?

3 ¿Cómo se llaman las líneas que no se cruzan y tienen el mismo ancho?

2 cm

Las líneas rectas que no se cruzan y siempre guardan la misma distancia se llaman líneas paralelas.

4 Encuentre las líneas paralelas y escriba el número que corresponda en el paréntesis. (1)

(2)

(3)

Son líneas paralelas (

(4)

(5)

5 Encuentre las líneas paralelas en el aula. 6 Escriba el número que corresponde en cada cuadro para cada par de líneas paralelas. (1)

(2) 5 cm

18 dieciocho

cm 1 cm

Vamos a dibujar líneas paralelas usando las escuadras. 3

9 8 6

7 6 5 4 3

2 1 0

Correr hacia abajo la escuadra y trazar otra línea.

8 7 6 5 4 3 2 1 0

Trazar una línea horizontal.

14 12 11

14 13 12 11

Colocar las escuadras como en el dibujo 1.

16 15 14 13 12 11 10

1 16

2 16

7 Dibuje líneas paralelas a cada una de ellas usando la escuadra (regla). (1)

(2)

(3)

(4)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15

(6)

(5)

Tienes que colocar y sujetar bien la escuadra... 8

diecinueve 19

Multiplicación

Unidad

Recordemos 1. Calcule.

324 2

325 3

239 6

748 7

2. 2 x 3 y 3 x 2 son iguales porque ambos son 6. ¿Siempre da lo mismo cuando se cambia el orden de los dos factores en la multiplicación? ¿Por qué?

Lección 1: Multipliquemos por U

Hay un barco que lleva 1,324 personas en cada viaje. ¿Cuántas personas puede llevar en dos viajes?

Escriba el PO.

Vamos a pensar en la forma del cálculo vertical con las tarjetas numéricas.

PO: 2 x 1,324

1,000

100 100 100

1,000

100 100 100

R: 2,648 personas

10 10

1 1 1 1

10 10

1 1 1 1

2 x 1,324

1 , 3

2 , 6

2x4= 8 2 x 20 = 40 2 x 300 = 600 2 x 1,000 = 2,000 2 x 1,324 = 2,648

La multiplicación de 2 x 1,324 se calcula así (como los casos U x DU y U x CDU): Hay que colocar los dos números de modo que las cifras del mismo valor posicional estén en línea vertical. Calcular las unidades: 2 x 4 = 8 y escribir el 8 en las unidades. Calcular las decenas: 2 x 2 = 4 y escribir el 4 en las decenas. Calcular las centenas: 2 x 3 = 6 y escribir el 6 en las centenas. Calcular las unidades de mil: 2 x 1 = 2 y escribir el 2 en las unidades de mil.

20 veinte

4 2 8

Calcule. (1)

2,132 x 3

(2)

4,213 x 2

(3)

2,121 x 4

Resuelva la siguiente situación. Sobre el mismo barco del problema A, ¿cuántas personas puede llevar en 3 viajes? PO: 3 x 1,324

1,324 x 3 2

1,324 x 3 72

1,324 x 3 972

1,324 x 3 3,972

Calcular las unidades: 3 x 4 = 12 y escribir el 2 en las unidades; reagrupar 1 a las decenas (se puede escribir 1 en letra pequeña para ayudar a la memoria). Calcular las decenas: 3 x 2 = 6 y con el 1 que se lleva, 6 + 1 = 7 y escribir el 7 en las decenas. Calcular las centenas: 3 x 3 = 9 y escribir el 9 en las centenas. Calcular las unidades de mil: 3 x 1 = 3 y escribir el 3 en las unidades de mil. R: 3,972 personas

Calcule. 4,237 (1) x 2

(6)

4,543 6

(2)

(7)

2,152 3

(3)

1,246 7

(8)

1,412 4

(4)

2,642 8

(9)

(4)

6,234 2

2,234 9

(5)

2,143 4

Calcule. (1)

42,143 x 2

(2)

21,312 x 3

(3)

21,237 x 4

(6)

17,475 x 7

(7)

12,876 x 8

(8)

23,323 x 9

13,234 x 5

(5)

14,285 x 6

veintiuno 21

Van 2 camiones. Cada camión lleva 4 tanques de agua y cada tanque contiene 37 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua hay en total? Resuelva de dos maneras. 37 l

37 l

Hay

litros de agua, hay

Hay

litros de agua en total

tanques en total

litros de agua

PO: (1) 4 x 37 = 148, 2 x 148 = 296

Hay

litros de agua en total

PO: (2) 2 x 4 = 8, 8 x 37 = 296

Las dos maneras se pueden expresar como lo siguiente: 2 x 4 x 37 = 296 R: 296 litros

En el caso de la multiplicación de tres factores, empezar por los dos primeros factores o por los dos últimos factores da lo mismo. Si se quiere indicar el orden del cálculo, se utilizan los paréntesis. Ejemplo: 2 x (4 x 37) es igual a (2 x 4) x 37 2 x 148 8 x 37

4 Calcule según el orden indicado por los paréntesis y compare los resultados. (1) (2 x 3) x 48,

2 x (3 x 48)

(2) (3 x 3) x 253

3 x (3 x 253)

22 veintidós

Lección 2: Multipliquemos por D0 y C00

Se venden manzanas en fundas. Hay 3 manzanas en cada funda. Si hay 10 fundas, ¿cuántas manzanas hay en total? PO: 10 x 3 Vamos a encontrar la respuesta consultando el dibujo siguiente.

10 manzanas 10 manzanas

10 x

10 manzanas

30 manzanas

R: 30 manzanas

Se venden reglas a 23 pesos cada una. Si se compran 10 reglas, ¿cuántos pesos se necesitan? PO: 10 x 23 Vamos a encontrar la respuesta usando las tarjetas numéricas. 1 10 x 10 1 10 1

1 10 1 10 1

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

1 10 1 10 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

100

1 1

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

100

1 1

10 30

200 230

R: 230 pesos Si se multiplica por 10, el producto se obtiene agregando 0 al lado derecho del otro factor. x 10

x 10 C 100 100

D 10 10

U 10 10 10

1 1 1

10 x 23 = 230 se agrega 0

veintitrés 23

1 Calcule.

(1) 10 x 5

(2) 10 x 7

(3) 10 x 13

(4) 10 x 25

(5) 10 x 10

(6) 10 x 21

(7) 10 x 45

(8) 10 x 10

Descubra la manera de encontrar el resultado de 100 x 23. 100 es 10 veces 10, por lo tanto x10

x10 UM

100 100 100

1,000 1,000

2 3

2 3 0

x10

x10 D

100 x 23 = 2,300

10 10

1 1 1

se agrega 00

3 0 0

x10 x10

x100

Si se multiplica por 100, el producto se obtiene agregando 00 al lado derecho del otro factor.

2 Calcule. (1) 100 x 5

(2) 100 x 7

(3) 100 x 13

(4) 100 x 25

(5) 100 x 10

(6) 100 x 2

(7) 100 x 456

(8) 100 x 10

24 veinticuatro

Hay 3 manzanas en cada funda. Si hay 20 fundas, ¿cuántas manzanas hay en total? PO: 20 x 3 Vamos a encontrar la respuesta consultando el dibujo.

2x3=6

20 x 3 = 10 x 2 x 3 = 10 x (2 x 3) = 10 x 6 = 60 R: 60 manzanas

El cálculo de 20 x 3: primero 2 x 3 y agregar 0.

3 Calcule. (1) 20 x 4

(2) 30 x 2

(3) 40 x 3

(4) 70 x 5

(5) 50 x 6

Si se compran 20 reglas que cuestan 23 pesos cada una, ¿cuántos pesos se pagan? PO: 20 x 23 Vamos a encontrar la respuesta consultando el dibujo siguiente.

2 x 23

20 x 23 = 10 x 2 x 23 = 10 x (2 x 23) = 10 x 46 = 460 R: 460 pesos

El cálculo de 20 x 23: primero 2 x 23 y agregar 0.

4 Calcule.

(1) 20 x 32 (2) 30 x 21 (3) 30 x 24 (4) 40 x 16 (5) 30 x 42 (6) 50 x 34 (7) 40 x 25 (8) 80 x 75

5 Calcule.

(1) 200 x 42

(2) 300 x 34

(3) 400 x 63

(4) 500 x 137

(5) 600 x 260 (6) 700 x 300

veinticinco 25

Lección 3: Multipliquemos por DU

Se venden gomas de borrar a 13 pesos cada una. Una caja contiene 20 gomas de borrar. El profesor Rubén Darío compró una caja y una goma de borrar para sus 21 alumnos. ¿Cuánto pagó el profesor? PO: 21 x 13

20 x 13 21 x 13 1 x 13

Vamos a encontrar la respuesta consultando el dibujo.

El precio de los que están en la caja El precio del que está fuera de la caja

20 x 13 = 260 1 x 13 = 13

R: 273 pesos

Total:

273

Vamos a calcular 21 x 13 en forma vertical. (1)

D U 1 3 x2 1 1 3

(3)

D U 1 3 x2 1 1 3 2 6

se calcula 1x3y1x1

1 Calcule. 32 (1) x 31

D U 1 3 x2 1 1 3 2 6 2 7 3

(2)

se calcula 2x3y2x1

(2)

23 13 x

(3)

42 x 21

2 Calcule en la forma vertical. (1) 14 x 13 (2) 17 x 21

(3) 17 x 23

3 Calcule en la forma vertical. (1) 71 x 32 (2) 73 x 26

(3) 62 x 73

(4) 54 x 63

(5) 48 x 39

(6) 47 x 66

4 Calcule en la forma vertical. (1) 32 x 24 (2) 23 x 17

(3) 27 x 28

26 veintiséis

se suman los productos parciales

(4)

30 x 23

(4) 34 x 21

(4) 31 x 41

Vamos a pensar en la forma del cálculo 21 x 213 aplicando lo aprendido. 213 x 21 213

213 x 21 213 4 26

213 x 21 213 4 26 4,473

1 x 213 = 213

2 x 213 = 426

213 + 4,260 = 4,473

5 Calcule. (2)

314 (3) 412 x 12 x 21

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

123 x 71

106 x 45

142 x 34

113 x 82

243 x 13

124 x 23

114 x 25

123 x 26

118 x 27

(1)

312 x 31

(4)

203 (5) 202 (6) 210 x 31 x 43 x 23

(7)

310 (8) 300 x 32 x 23

6 Calcule.

7 Calcule en forma vertical. (1) 621 x 32

(2) 352 x 34

(3) 334 x 53

(4) 734 x 53

(5) 563 x 72

(6) 804 x 23

(7) 706 x 27

(8) 930 x 34

(3) 327 x 42

(4) 406 x 72

8 Calcule en forma vertical. (1) 324 x 26

(2) 403 x 27

Comparemos los dos cálculos. (a)

34 20 00 68 680

(b)

Calcular como se hizo anteriormente

34 20 680

Poner 0 en las unidades y empezar a calcular 2 x 34 a su izquierda

9 Calcule en la forma (b) si puede. Si tiene dificultad hágalo en la (a). (1) 26 x 30

(2) 86 x 40

(3) 362 x 20

(5) 406 x 30

(6) 730 x 60

(7) 800 x 70

(4) 462 x 70

veintisiete 27

Lección 4: Multipliquemos por CDU

Se venden camisetas a 312 pesos cada una. Si cada uno de los 231 alumnos y alumnas de la escuela compra una camiseta, ¿cuántos pesos pagan en total? PO: 231 x 312 Vamos a pensar en la manera de calcular en la forma vertical. 312 x 231 312 9 360 62 400 72,072

1 x 312 = 312 30 x 312 = 9,360 200 x 312 = 62,400 312 + 9,360 + 62,400 = 72,072

al omitir los ceros

312 x 231 312 9 36 62 4 72,072

R: 72,072 pesos

1 Calcule en forma vertical. (1)

231 x 213

(2)

134 x 536

(3)

284 x 367

(4)

346 x 879

(5)

760 x 453

(6)

300 x 627

2 Calcule en forma vertical. (1) 936 x 438

28 veintiocho

(2) 574 x 479

(3) 978 x 204

(4) 428 x 600

Calcule 302 x 213 en forma vertical. 213 x 302 426 0 00 63 9 64,326

213 x 302 426 63 9 64,326

Se puede omitir la multiplicación por cero

3 Calcule. (Si no puede calcular omitiendo la multiplicación por cero, escríbala). (1)

132 x 203

(2)

468 x 703

(3)

207 x 604

(4)

340 x 709

(5)

354 x 860

(6)

245 x 900

4 Calcule en forma vertical. (1) 708 x 327

(2) 604 x 702

(3) 409 x 670

(4) 508 x 300

Calcule 78x4 en forma vertical. Compare las dos formas. ¿Por qué se puede calcular de la forma (b)? (a)

4 x 78 32 28 312

(b)

78 x 4 312

5 Calcule en forma vertical. (1) 48 x 6

(2) 29 x 8

(3) 36 x 7

(4) 37 x 5

(5) 369 x 7

(6) 267 x 9

(7) 459 x 21

(8) 273 x 48

veintinueve 29

Ejercicios 1 Calcule en forma vertical (1) 37 x 48

(2) 63 x 54

(3) 48 x 93

(4) 40 x 87

(5) 60 x 70

(6) 13 x 365

(7) 30 x 607

(8) 452 x 237

(9) 379 x 407

(10) 706 x 304

(11) 248 x 790

(12) 590 x 226 (13) 360 x 480

(14) 400 x 520

(15) 800 x 700

2 Resuelva los siguientes problemas. Siempre hay que poner el planteamiento de la operación (PO) y la respuesta (R). En la respuesta se necesita la unidad. (1) Hay un autobús que lleva 89 pasajeros en un viaje. ¿Cuántos pasajeros lleva en 23 viajes? (2) ¿Cuántos minutos hay en un día? ¿Cuántos segundos hay en un día? (3) Para elaborar una canasta de alambre, se utilizan 13 metros de alambre. ¿Cuántos metros de alambre se necesitan para elaborar 147 canastas? (4) Hay un camión que pesa 2,350 kilogramos. Si este camión lleva 56 cajas de azúcar y cada una pesa 14 kilogramos, ¿cuántos kilogramos pesa en total el camión con las cajas?

30 treinta

Ejercicios suplementarios 1 Calcule en forma vertical. (1) 7 x 142,857

(2) 6 x 148,148

(3) 13 x 76,923

(4) 23 x 3,913

(5) 17 x 2,549

(6) 73 x 2,207

(7) 987 x 654

(8) 567 x 1,234

2 Resuelva los problemas siguientes.

(1) Hay un vehículo que consume 19 galones de gasolina por mes. ¿Cuántos galones de gasolina consume en un año? (2) Se venden camisas de varios precios. Hay 72 de 243 pesos, 47 de 195 pesos y 65 de 160 pesos. ¿Cuánto será el total de la venta? 3 Encuentre los números adecuados para los cuadrados. 7 3 (3) (1) (2) 7 x x x 6,2 9 2 2 2 2 , 9 4 , 6 2

(4)

3 1 7

La cifra que está en el cuadrado situado más a la izquierda en cada fila no es cero. 4 Encuentre los números escondidos. En el mismo signo están los mismos números.

(1)

4 x 3 2 2 5 1 3 5 1 7

(2)

6 8

(3) 9

5 3 5,8 2 9

2 7 x

0 4, 4 3 0

treinta y uno 31

431 ÷ 3

Unidad

División

Recordemos 1. Resuelva los siguientes problemas en su cuaderno. (1) Hay 24 mentas. Si se reparten entre 4 niños, ¿cuántos mentas le toca a cada uno? (2) Hay 25 mentas. Si se dan 3 a cada niño, ¿entre cuántos niños se pueden repartir? y ¿cuántos sobran? 2. ¿Cómo se llama cada número en el siguiente PO? 17 ÷ 5 = 3 y sobran 2 3. Calcule.

(1) 87 3

(2) 732 5

(3) 434 7

(4) 1,820 6

Lección 1: Dividamos entre un número de una cifra

Hay 4 cajas de diez decenas de cuadernos y fuera de las cajas hay 3 decenas y 1 cuaderno más, en total son 431 cuadernos. Si se reparten entre 3 escuelas, ¿cuántos cuadernos le tocan a cada escuela?

Escriba el PO. PO: 431 ÷ 3

Encuentre el resultado consultando el dibujo. 100 100 100 100 10

100 100 100 100

10 10 10

100

10 10 10

431 3

431 3 1

Probar 1 100

32 treinta y dos

100

Se pueden repartir 4 (centenas).

431 3 3 1

Multiplicar 1 x 3 y poner el producto bajo el 4

431 3 -3 1 1

Restar 3 de 4

100

10 10 10 10 10

100

10 10 10

100

1 1 1 1 1

10 10 10 10

Bajar 3

100

10 10 10 10

431 3 -3 1 13

10 10 10 10

1 1 1 1 1

100

10 10 10 10

1 10 10 10 10

100

1 1 1

100

10 10 10 10

431 3 -3 14 13 12

431 3 -3 14 13 -12 1

Probar 4

Multiplicar 4 x 3 y poner el producto bajo el 13

Restar 12 de 13

431 3 -3 143 13 -12 11

431 3 -3 143 13 -12 11 9

431 3 -3 143 13 -12 11 - 9 2

Probar 3

Multiplicar 3 x 3 y poner el producto bajo el 11

Restar 9 de 11

431 3 -3 14 13 -12 11

100

10 10 10 10

Bajar 1

1 1 10 10 10 10

431 3 -3 14 13

1 1 1

100

10 10 10 10

1 1 1

R: A cada escuela le toca 143 cuadernos y sobran 2 treinta y tres 33

Se calcula la división empezando por la posición más a la izquierda y repitiendo los cuatro pasos: probar, multiplicar, restar y bajar. Dividendo

431 3 143 -3 13 -12 11 -9 2

Divisor Cociente

Residuo

Calcule. 973 8

(2)

5,246 4

(3) 94,094 7

(4)

(5) 84,235 6

(6)

5,462 9

(7)

(8) 12,345 2

(1)

7,333 9

7,547 5

Intentémoslo Hay 12 marcas. Una de ellas indica el lugar de un tesoro escondido. Para encontrar el tesoro une con una línea los puntos azules que representan las divisiones en el caso que los residuos sean iguales. La marca donde se intersectan las líneas es el lugar del tesoro ¿cuál será?. Resuelva en el cuaderno 133 7

99 5

2,353 4

143 6

9,701 8

237 9

34 treinta y cuatro

Lección 2: Dividamos entre un número de dos cifras

El profesor Rubén tiene 20 niños y niñas que forman 2 grupos de 10 y ambos grupos tienen un líder que ayuda al profesor. Hoy llegaron 6 paquetes, cada uno de los cuales contiene 10 cuadernos. El profesor quiere distribuirlos a sus niños y niñas.

Prometam

10 10 10 10 10

¿Cuántos cuadernos hay en total? PO: 6 x 10 = 60

R: 60 cuadernos

¿Cuántos cuadernos le tocan a cada uno? Escriba el PO. PO: 60 ÷ 20

¿Cuál es la manera más rápida de distribuirlos? Le basta al profesor Rubén entregar la misma cantidad de paquetes a los líderes para que los distribuyan a sus compañeros de grupo; un paquete equivale a un cuaderno para cada niño del grupo, porque la cantidad de los cuadernos en cada paquete es igual a la cantidad de niños y niñas en el grupo. Dicho de otra manera, que la cantidad de cuadernos que recibe cada niño o niña es igual a la de los paquetes que recibe cada grupo. Por lo tanto: La respuesta de 60 ÷ 20 es igual a la de 6 ÷ 2.

60 ÷ 20 = 3 6÷2 =3

Calcule mentalmente las respuestas. (1)

40 ÷ 20

(4) 120 ÷ 20

80 ÷ 20

(3) 100 ÷ 20

(5) 150 ÷ 30

(6) 200 ÷ 40

(2)

treinta y cinco 35

Hoy el profesor Rubén tiene 7 fundas de 10 mangos para sus 20 niños y niñas.

¿Cuántas fundas le tocan a cada grupo? y ¿cuántas sobran? PO: 7÷ 2 = 3 sobra 1

R: 3 fundas y sobra 1 funda

¿Cuántos mangos le tocan a cada niño y niña? y ¿cuántos sobran? Como una funda para cada grupo quiere decir un mango para cada niño; PO: 70÷20 = 3 sobran 10 R: 3 mangos y sobran 10 mangos

Calcule mentalmente. (1) 50 ÷ 20

(2) 90 ÷ 20

(3) 110 ÷ 20

(4) 130 ÷ 20

(5) 70 ÷ 30

(6) 300 ÷ 40

Hoy llegó un niño que se llama Luis a la sección del profesor Rubén. Como no hay asiento para él, el profesor le consiguió una mesa pequeña. El padre de Luis regaló 65 mentas (6 cajas de 10 mentas y 5 mentas más) para los niños. El profesor va a repartir 65 mentas entre 21 niños y niñas. ¿Cuántas mentas le toca a cada uno y una? y ¿cuántas sobran?

10 10 10 10 10

FRE SA CO NF I TE

FRE SA

CO NF I TE S

FRE SA

CO NF I TE S

FRE SA CO NF I TE

FRE SA

CO NF I TE S

FRE SA

NF I TE S

FRE SA CO

NF I TE

FRE SA CO

NF I TE

FRE SA

NF I TE S

10 1

Escriba el PO. PO: 65 ÷ 21

¿Cuál es la manera rápida de repartirlas? Si se reparte una caja de mentas a cada grupo, cada miembro recibe una menta y no sobra nada. Si se reparten 6 cajas en 2 grupos, a cada grupo le tocan: 6 ÷ 2 = 3 cajas. De 5 mentas que estaban fuera de las cajas, a Luis se le dan 3. Ahora cada niño y niña recibe 3 mentas y sobran 2. PO: 65 ÷ 21 = 3 sobran 2 R: A cada uno le tocan 3 mentas y sobran 2

36 treinta y seis

Vamos a pensar en la forma del cálculo vertical de 65 ÷ 21. No se pueden repartir 6 (decenas) entre 21 DU x (porque 6 < 21) 65 2 1 Sí se puede repartir 65 entre 21 (porque 65 > 21), 65

21 3

Encontrar el número para probar Se divide 6 entre 2 Probar 3 y colocarlo debajo del divisor

65 63

21 3

Multiplicar 3 x 21

65 - 63 2

21 3

Restar 63 de 65

Vamos a comprobar la división. La cantidad repartida es 3 x 21, y con lo que sobra equivale a la cantidad total, por lo tanto: 3 x 21 + 2 = 65

cociente x divisor + residuo = dividendo

Calcule y compruebe el resultado: (1) 49 12

(2) 54 23

(3) 69 34

(4) 85 42

(5) 83 57

(6) 89 22

(7) 76 32

(8) 57 28

(3) 78 39

(4) 98 49

Calcule y compruebe el resultado: (1) 28 14

(2) 72 24

treinta y siete 37

Vamos a pensar en la forma del cálculo de 71 ÷ 24. 7 ÷ 2 = 3 residuo 1, por lo tanto vamos a probar 3 Probar 3 y multiplicar

Probar 2, multiplicar y restar Restar 1 del número para probar

71 24 72 3 No se puede restar

71 24 - 48 2 23

Si al multiplicar el número para probar por el divisor el resultado es mayor que el dividendo, es decir, no se puede restar, entonces se debe disminuir el número para probar.

Calcule: (1) 47 13

(2) 86 24

(3) 83 43

(4) 84 12

(5) 42 14

Vamos a pensar en la forma del cálculo de 41 ÷ 14. 41 14 56 4

Restar 1 del número para probar

4 ÷ 1= 4 probar 4 y multiplicar por 14 No se puede restar

41 14 42 3

41 14 - 28 2 13 Probar 2 y multiplicar Restar

Restar 1 del número para probar

Probar 3 y multiplicar Tampoco se puede restar.

Si al multiplicar el número para probar por el divisor el resultado sigue siendo mayor que el dividendo, hay que seguir disminuyéndolo hasta que se pueda restar.

Calcule: (1) 92 13

(2) 98 14

(4) 92 14

(5) 90 15

38 treinta y ocho

(3) 77 15

Vamos a pensar en la forma del cálculo de 108 ÷ 21. 108

1 ÷ 21 no se puede, 10 ÷ 21 no se puede, 108 ÷ 21 sí se puede.

108 - 105 3

21 5

Encontrar el número para probar 10 ÷ 2 = 5 Probar 5, multiplicar por 21, restar 105 de 108.

Calcule: (1) 139 23

(2) 129 32

(3) 108 54

(4) 243 43

(5) 259 65

(6) 639 73

(7) 272 34

(8) 183 26

(9) 162 27

(10) 189 28

Vamos a pensar en la forma del cálculo de 901 ÷ 93. 901

9 ÷ 93 no se puede, 90 ÷ 93 no se puede, 901 ÷ 93 sí se puede.

901 - 837 64

93 9

Encontrar el número para probar 90 ÷ 9 = 10, pero no se pueden dos cifras a la vez probar 9

Cuando da un 10 como el número para probar, hay que probar con 9.

Calcule: (1) 413 42

(2) 627 63

(3) 501 54

(4) 207 23

(5) 300 34

(6) 205 23

(7) 104 13

(8) 105 14

(9) 100 14

(10) 101 15

treinta y nueve 39

Vamos a comparar dos maneras de encontrar el número para probar en el cálculo de 81 ÷ 28. a) 8 ÷ 2 = 4

81 28 112 4

probar 4

81 28 84 3

La decena próxima del 28 es 30, por lo tanto 8 ÷ 3 = 2 sobran 2 probar 2 81 28 - 56 2 25

81 28 - 56 2 25

Calcule las siguientes divisiones de la forma b): (1) 31 19

(2) 51 18

(3) 83 17

(4) 74 27

(5) 32 17

(6) 80 29

(7) 67 17

(8) 244 38

Vamos a pensar en la forma del cálculo de 78 ÷ 19. 78 19 - 57 3 21

Utilizar la manera b) para encontrar el número para probar la decena más próxima de 19 es 20. Entonces podemos pensar como 78 ÷ 20. 7 ÷ 2 = 3 sobra 1 probar 3 Probar 3, multiplicar por 19, restar 57 de 78 21 es mayor que 19, por lo tanto, 3 no puede ser el cociente

78 19 - 76 4 2

Aumentar el número para probar y probar con 4 Probar 4, multiplicar por 19, restar 76 de 78, La resta es 2, que es menor que el divisor, entonces ya está.

Si al restar el dividendo el resultado es mayor que divisor, hay que aumentar el número para probar.

Calcule las siguientes divisiones de la forma b): (1) 76 17

(2) 87 17

(3) 89 29

(4) 54 18

(5) 78 23

(6) 47 22

(7) 93 23

(8) 84 21

40 cuarenta

Lección 3: Sigamos dividiendo entre un número de dos cifras

Hoy, el profesor Rubén tiene hojas de papel en 3 cajas de 10 decenas, y además 2 decenas y una hoja más. Él quiere repartir estas 321 hojas de papel a sus 21 niños. ¿Cuántas hojas le tocan a cada uno?

100 100 100

10 10

Escribimos el PO. PO: 321 ÷ 21

Pensamos en una manera rápida para distribuirlas, aprovechando la ayuda de los líderes de grupo. A cada líder se le da 1 caja para que reparta 1 decena de hojas a cada miembro de su grupo, a Luis se le da directamente 1 decena. Ahora sobran 1 caja de 10 decenas, 1 decena y 1 hoja. Se desagrupan y se distribuyen 111 hojas entre 21 niños.

Vamos a calcular en la forma vertical. 321

3 ÷ 21 no se puede, 32 ÷ 21 sí se puede

321 - 21 111

21 1

Efectuar el cálculo 32 ÷ 21 Encontrar el número para probar 3 ÷ 2 = 1 sobra 1 probar 1 Probar 1, multiplicar por 21, restar 21 de 32, sobran 11, bajar 1.

321 - 21 111 - 105 6

21 15

Efectuar el cálculo 111 ÷ 21 Encontrar el número para probar 11 ÷ 2 = 5 sobra 1 probar 5 Probar 5, multiplicar por 21, restar 105 de 111, sobran 6. R: A cada uno le tocan 15 hojas y sobran 6

Calcule: (1) 684 32

(2) 896 64

(3) 500 21

(4) 864 27

(5) 902 26

(6) 870 13

(7) 952 14

(8) 777 17

(9) 913 16

(10) 911 19

cuarenta y uno 41

Vamos a pensar en la forma del cálculo vertical de 3,769 ÷ 12. 3,769 12 -36 314 16 - 12 49 - 48 1

3 ÷ 12 no se puede, 37 ÷ 12 sí se puede

Repetir 3 veces los cuatro pasos (probar, multiplicar, restar, bajar)

Calcule: (1) 9,895

(2) 5,895

(3) 5,200

(4) 5,294

(5) 8,289

(6) 6,296

(7) 8,444

(8) 9,329

b) 9,713 -96 113 - 96 17

48 202

Vamos a calcular 703 ÷ 34 y 9,713 ÷ 48. (1) a) 703 - 68 23 - 00 23

34 20

b) 703 - 68 23

34 20

(2) a) 9,713 -96 11 - 00 113 - 96 17

48 202

Cuando hay 0 en el cociente, se pueden abreviar los pasos de multiplicar y restar.

Calcule: (1) 704 23

(2) 402 13

(3) 614 15

(4) 968 19

(5) 3,731 12

(1) 6,512 32

(2) 1,712 16

(3) 7,119 23

(4) 6,528 16

(5) 6,778 67

(6) 9,615 12

(7) 9,126 13

(8) 8,519 17

(9) 8,419 21

(10) 6,011 12

Calcule:

42 cuarenta y dos

Vamos a pensar en la forma del cálculo vertical de 1,505 ÷ 42. 1,505 42 - 1 26 35 245 - 210 35

1 ÷ 42 no se puede, 15 ÷ 42 no se puede 150 ÷ 42 sí se puede Repetir 2 veces los cuatro pasos (probar, multiplicar, restar, bajar)

Calcule: (1) 4,372

(2) 1,978

(3) 4,499

(4) 1,000

(5) 2,325

(6) 1,560

(7) 1,030

(8) 4,770

Intentémoslo

!Agrupa las divisiones del mismo resultado! Hay algunas divisiones cuyo resultado es igual. Traza solamente 3 líneas rectas y agrupa el resultado. Tendrás 7 grupos de divisiones. 1,368 ÷ 72

1,264 ÷ 79

1,344 ÷ 84 1,026 ÷ 54

400 ÷ 20

1,386 ÷ 99

1,536 ÷ 96

1,261 ÷ 97

1,292 ÷ 68

1,326 ÷ 78

1,157 ÷ 89

966 ÷ 69

1,027 ÷ 79

1,232 ÷ 88

1,548 ÷ 86 cuarenta y tres 43

Lección 4: Conozcamos algunas reglas de la división

Vamos a calcular 14,000 ÷ 400. 14,000 400 - 12 35 20 -20 0

En 14,000 hay 140 centenas y en 400 hay 4 centenas, por lo tanto, repartir 14,000 entre 400 quiere decir repartir 140 centenas entre 4 centenas y cada centena recibe 140 ÷ 4 = 35 centenas, lo que quiere decir que cada unidad recibe 35 unidades

En la división se puede quitar la misma cantidad de ceros de las posiciones de la derecha, tanto del dividendo como del divisor.

Calcule en su cuaderno: (1) 10,800 ÷ 600

(2) 3,000 ÷ 50

(3) 7,200 ÷ 300

(4) 9,200 ÷ 230

Vamos a calcular 15,000 ÷ 400. 15,000 400 - 12 37 30 -28 200

Cada centena recibe 37 centenas y sobran 2 centenas, por lo tanto cada unidad recibe 37 unidades y sobran 200.

Si se calcula la división quitando los ceros, se agrega la misma cantidad de ceros al residuo.

Calcule: (1) 11,000 ÷ 600

44 cuarenta y cuatro

(2) 3,020 ÷ 50

(3) 7,300 ÷ 300

(4) 9,300 ÷ 230

Encuentre las parejas que dan el mismo resultado. (1) 630 ÷ 30

(2) 300 ÷ 15

630 ÷ 30 = 21 igual

÷ 10 ÷ 10 63 ÷

3 = 21

(3) 63 ÷ 3

(4) 60 ÷ 3

300 ÷ 15 = 20 x5

igual

x5 60 ÷

3 = 20

R: (1) y (3), (2) y (4). En la división si se multiplica o se divide por el mismo número tanto el dividendo como el divisor, el resultado no cambia.

Escriba el número que se corresponde a la casilla. (1) 810 ÷ 27 =

÷9

(2) 390 ÷

= 78 ÷ 6

(3) 300 ÷ 12 = 150 ÷

(4)

÷ 20 = 250 ÷ 5

(5) 540 ÷ 15 =

(6)

÷ 16 = 80 ÷ 4

÷5

(7) 500 ÷ 50 = 100 ÷

(8) 420 ÷

= 60 ÷ 2

cuarenta y cinco 45

Ejercicios 1

Calcule los siguientes ejercicios.

(1) 6,473 ÷ 4

(1) 85 ÷ 28

(2) 84,634 ÷ 7

(2) 91 ÷ 13

(3) 63,450 ÷ 8

(4) 45,243 ÷ 9

(3) 73 ÷ 15

(4) 8 ÷ 59

(1) 286 ÷ 85

(2) 632 ÷ 79

(3) 100 ÷ 27

(4) 273 ÷ 39

(5) 958 ÷ 97

(6) 502 ÷ 56

(7) 208 ÷ 26

(8) 106 ÷ 18

Calcule los siguientes ejercicios. (1) 317 ÷ 26

(2) 850 ÷ 32

(3) 925 ÷ 48

(4) 900 ÷ 38

(5) 224 ÷ 14

(6) 709 ÷ 12

(7) 806 ÷ 13

(8) 504 ÷ 14

(9) 540 ÷ 15

(10) 784 ÷ 16

(11) 911 ÷ 17

(12) 913 ÷ 19

(13) 704 ÷ 13

(14) 711 ÷ 14

Calcule los siguientes ejercicios.

(1) 7,489 ÷ 53

(2) 1,912 ÷ 14

(3) 5,895 ÷ 12

(4) 5,294 ÷ 17

(5) 6,381 ÷ 18

(6) 8,591 ÷ 19

(7) 5,793 ÷ 34

(8) 8,543 ÷ 14

(9) 4,908 ÷ 12

(10) 5,319 ÷ 13

(11) 8,500 ÷ 14

(12) 9,246 ÷ 23

(13) 6,019 ÷ 15

(14) 9,072 ÷ 18

(15) 9,625 ÷ 3

(16) 9,000 ÷ 18

Calcule los siguientes ejercicios.

(1) 2,222 ÷ 96

(2) 2,837 ÷ 34

(3) 1,993 ÷ 26

(4) 2,700 ÷ 39

(5) 7,188 ÷ 79

(6) 3,250 ÷ 46

(7) 1,110 ÷ 37

(8) 1,120 ÷ 16

46 cuarenta y seis

Resuelva los siguientes problemas. (1) Se compran 17 boletos por 765 pesos. ¿Cuánto cuesta cada boleto? (2) Si un libro de texto cuesta 32 pesos y pagamos 1,216 pesos, ¿cuántos libros de texto se han comprado? (3) 38 kg de hierro cuestan 9,880 pesos. ¿Cuánto cuesta un kilogramo de hierro? (4) Hay 270 litros de aceite. Si se vacía esta cantidad en botellas de 18 litros de capacidad, ¿cuántas botellas se van a necesitar? (5) Si 125 m de alambre pesan 1,625 g, ¿cuánto pesa 1 m de alambre? (6) Si hay 516 hojas de papel y se van a distribuir 12 hojas a cada persona, ¿cuántas personas reciben 12 hojas? (7) Si en 25 días se elaboraron 8,150 muñecas, ¿cuántas muñecas se elaboraron por día? (8) Se han pintado 38 m de línea central de una calle con 152 litros de pintura. ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintar un metro? (9) Hay 1,500 cm de alambre. Si se cortan en pedazos de 72 cm de longitud, ¿cuántos pedazos de 72 cm se obtendrán y cuántos centímetros sobrarán?

(10) Hay cuatro paquetes de 1,000 hojas cada uno y un paquete de 300 hojas. Si se distribuyen equitativamente entre 42 personas, ¿cuántas hojas le tocan a cada persona y cuántas sobran?

Elabore problemas de división con los siguiente datos. (1) 324 hojas de papel, 36 personas (2) 120 gramos de alambre, pesa 15 gramos por metro (3) 3,450 pesos, 23 metros de alambre (4) 486 gramos, 27 metros

cuarenta y siete 47

Unidad

Triángulos

Recordemos 1. Escriba cuáles de estas figuras son triángulos rectángulos. ( A

Lección 1: Clasifiquemos triángulos

Vamos a clasificar los triángulos en grupos.

Vanessa

Voy a clasificar por el tamaño.

Miguel

Puedes usar los triángulos que hay en la página para recortar.

Podría ser por el color.

Yessy

Yessy clasificó observando la longitud de los lados. Piensa cómo son los triángulos de cada grupo. A

Los triángulos del grupo A que sus 3 lados son de igual medidase llama triángulo equilátero. Los triángulos del grupo B que sus 2 lados son de igual medidase llama triángulo isósceles. Los triángulos del grupo C que sus 3 lados son de diferente medidase llama triángulo escaleno.

48 cuarenta y ocho

)

¿Que tal si observo la longitud de los lados?

Clasifique los triángulos recortados por la medida de los lados.

Encuentre en su entorno los triángulos equiláteros, isósceles y escalenos. 1

Escriba el nombre adecuado a cada triángulo. Mis lados son de diferentes medidas.

(

)

Dos de mis lados son de igual medida.

Mis lados son de igual medida.

(

)

(

)

Clasifique los siguientes triángulos. (Mida los lados según la necesidad) 2 cm 3 cm

3 cm A

2 cm

F 1 cm

4 cm

G H

Pinta con lápices de color los triángulos cambiando el color dependiendo del tipo.

L N K O

(

1 cm

5 cm

4 cm

3 cm

1 cm 2 cm

3 cm

4 cm

2 cm

3 cm

Triángulos equiláteros

)

(

Triángulos isósceles

)

(

Triángulos escalenos

)

cuarenta y nueve 49

Piense ¿cuál es el nombre de estos triángulos? y ¿por qué?. 5 cm

5 cm

4 cm

5 cm

El triángulo A es isósceles porque tiene dos lados con la misma medida.

El triángulo B es equilátero porque sus tres lados tienen la misma medida.

Vamos a ver las características de los triángulos isósceles y equiláteros. (1) ¿Cuáles son las medidas de los ángulos? Hay varias formas para encontrarlas, por ejemplo: medir con el transportador, sobreponer los ángulos doblando los vértices, etc., ¿verdad?

Las medidas de los ángulos del triángulo isósceles (A) son: 66°, 48° y 66° Las medidas de los ángulos del triángulo equilátero (B) son: 60°, 60° y 60°

En los triángulos isósceles, hay dos ángulos con la misma medida. En los triángulos equiláteros, los tres ángulos tienen la misma medida. También se puede confirmar doblando.

Triángulo isósceles

Triángulo equilátero

3 Halle la medida de los ángulos “a” y “b” de los dibujos siguientes. 5 cm

60O

50 cincuenta

5 cm

6 cm

4.1 cm

Lección 2: Construyamos triángulos

Vamos a dibujar un triángulo equilátero cuyos lados son de 4 cm. Isabel trazó un lado de 4 cm como la base. ¿Cómo se puede encontrar el vértice A?

Se encuentra el vértice A, que se ubica a 4 cm del B y del C. Para encontrar un punto común desde dos puntos diferentes, se puede usar el compás.

4 cm 4 cm

4 cm

Isabel

Practique el uso del compás en el cuaderno.

El compás se usa para dibujar círculos, copiar y pasar la longitud. 1 Dibuje un círculo. 2 Trace una línea y la divide en 3 cm. 3 cm

Dibujar dando la vuelta.

Abrir las patas.

3 cm

Trazar las líneas curvas dividiendo en la Abrir las patas. misma longitud sin cambiar la apertura del compás.

Dibuje usando el compás un triángulo equilátero cuyos lados miden 4 cm. Dibujo 1 2 0

4 cm

10 11

Dibuje los siguientes triángulos en el cuaderno de apuntes. (2) Un triángulo equilátero cuyos 3 lados miden 5 cm

(1) 3 cm

3 cm

(3) Un triángulo equilátero que su lado mide 6 cm

cincuenta y uno 51

Vamos a dibujar un triángulo isósceles cuyos lados miden 4 cm, 5 cm y 5 cm.

Piense con qué lado es mejor empezar a dibujar. Con el lado de 4 cm como la base. Porque los otros dos tienen la misma medida y facilita el uso del compás.

5 cm

4 cm

Dibuje el triángulo isósceles cuyos lados midan 4 cm, 5 cm, 5 cm. Dibujo Se puede dibujar en la misma manera que los triángulos equiláteros. Sólo tienes que decidir bien el lado con que empiezas a dibujar.

Dibuje los siguientes triángulos en el cuaderno de apuntes. (1) (2) Un triángulo isósceles cuyos lados son de 4 cm, 6 cm y 6 cm 3 cm 3 cm 5 cm

(3) Un triángulo isósceles cuyos lados son de 5 cm, 6 cm y 5 cm

Nos divertimos Vamos a hacer un bonito diseño (mosaico) con los triángulos equiláteros e isósceles. (Recorte las tarjetas que hay en las páginas para recortar) Hay que colocar sin que haya espacio. Puede haber varios.

1 Con los triángulos equiláteros.

2 Con los triángulos isósceles.

¿Puedes encontrar el diseño con los triángulos en tu alrededor?

52 cincuenta y dos

Lección 3: Calculemos el perímetro

En el patio de la escuela de Diana hay un jardín de forma triangular, como se muestra en el dibujo. Se necesita poner una cuerda en todo el alrededor. ¿Cuál deberá ser la longitud de la cuerda?

6m ¿Cómo se puede encontrar la longitud de la cuerda?

Sumando las longitudes de los cuatro lados del jardín.

Escriba el planteamiento de la operación y encuentre la respuesta. PO: 6 + 5 + 5 = 16

Dos lados miden 5 m y un lado mide 6 m.

R: 16 m

La longitud del alrededor de una figura se llama perímetro. El perímetro se encuentra sumando la longitud de todos los lados.

1 Calcule el perímetro de estas figuras. (1)

(2)

5m 6m

15 cm

(3) 40 cm 36 cm

(4)

18 cm

14 cm

5m 5m

2 Juan tiene un solar con la forma como se muestra en el dibujo. El quiere rodearlo 5 veces con cuerdas de alambre de púas. ¿Cuántos metros de alambre necesita? 20 m

13 m

12 m

25 m

cincuenta y tres 53

Fracciones

Unidad

Recordemos 1. Escriba la fracción que representa la parte coloreada 1l 1l 1l 1l (1) (2) (3)

2. Convierta las siguientes fracciones impropias a números mixtos 5 8 19 (1) (2) (3) 2 3 4 3. Convierta los siguientes números mixtos a fracciones impropias 1 1 5 (1) 2 (2) 3 (3) 1 3 4 8

Lección 1: Conozcamos las fracciones equivalentes

Ana y Carlos tomaron jugo de naranja. 1l

Ana

Carlos

¿Qué cantidad de jugo tomó cada uno de ellos?

Ana tomó 1 l y Carlos tomó 2 l 2 4 ¿Quién tomó más jugo de naranja? 1l

Ana

Echando el jugo de Ana en un recipiente como el de Carlos

Carlos

2 1 l = l 4 2 o sea, que los dos tomaron igual cantidad de jugo de naranja.

Las fracciones que representan la misma cantidad se llaman fracciones equivalentes. Se escribe esta relación con el signo de igualdad. Ejemplo: 1 y 2 son equivalentes y se escribe 1 = 2 . 4 2 2 4

54 cincuenta y cuatro

Vamos a encontrar las fracciones equivalentes a 1 . 2 1 2

1 3

1 5

Se multiplica por 2, 3, 4 y 5 2

¿Qué relación hay entre el denominador 2 y los denominadores de las fracciones equivalentes encontradas?

1 6

¿Qué relación hay entre el numerador 1 y los numeradores de las fracciones equivalentes encontradas?

1 4

1 7

1 8

1 9

1 10

Se multiplica por 2, 3, 4 y 5

1 2

2 4 x3

3 6

4 8

5 10

Se obtienen fracciones equivalentes si el numerador y el denominador se multiplican por un mismo número. 1 2

5 10

Escriba cuatro fracciones equivalentes para cada una de las siguientes:

(1)

1 3

(2)

3 4

(3)

2 5

(4)

1 2

(5)

4 7

Escriba el número adecuado en la casilla. (1)

3 9 = = 20 5

(2)

6 3 = = 24 8 cincuenta y cinco 55

Vamos a encontrar la fracción equivalente más simple del tiempo 42 que estudió Luis. Luis dice: Anoche estudié hora. 60 Vamos a expresar esta fracción de la forma más simple, o sea con una fracción equivalente a 42 y que tiene el mínimo denominador posible. 60 42 21 El numerador y el denominador se dividen entre 2. = 60 30 Se pueden dividir aun más. =

7 10

El numerador y el denominador se dividen entre 3. 7 21 42 = 7 60 10 30 10

Se puede escribir así:

Se dice que una fracción es irreducible si tiene el mínimo denominador. También se dice que está en su mínima expresión. Para obtener la mínima expresión hay que seguir dividiendo tanto el numerador como el denominador entre el mismo número hasta que no se pueda, dividir más. Este proceso se llama simplificación. Desde ahora vamos a representar las fracciones en su mínima expresión. 3 15 3

÷3

1 5

Reduzca las siguientes fracciones a su mínima expresión. 6 9 18 8 (3) (4) (1) (2) 8 15 42 12 Reduzca las siguientes fracciones a su mínima expresión. 2 6 18 8 (3) 1 (4) 4 (1) 3 (2) 2 4 15 24 12 Reduzca las siguientes fracciones a su mínima expresión. 4 12 20 15 (3) (4) (1) (2) 2 3 4 5

56 cincuenta y seis

(5)

30 45

(5) 3

50 60

Lección 2: Sumemos y restemos fracciones de igual denominador

Juan bebió 2 l de leche en la mañana y 3 l en la tarde. 7 7 ¿Cuánta leche bebió en total?

Escriba el PO. PO: 2 + 3 7 7 Encuentre el resultado.

En 2 hay 2 veces 1 . 7 7 En 3 hay 3 veces 1 . 7 7 En total hay 2 + 3 = 5 veces 1 , es decir, 5 . 7 7 3 5 5 2 l PO: + = R: 7 7 7 7 En la adición de las fracciones con un mismo denominador, al contar cuántas fracciones hay con numerador 1, se puede calcular como en el caso de los números naturales. Para sumar fracciones con un mismo denominador, se suman los numeradores y se escribe el mismo denominador. 1

(1)

2 4 + 7 7

(2)

1 2 + 7 7

(3)

1 3 . + 8 8 3 4 1 + = 8 8 8 1 = 2

1 2 + 5 5

(4)

1 1 + 3 3

(5)

3 5 + 11 11

Sume

(1)

1 1 + 6 6

(2)

Siempre escribamos el resultado con fracciones en su mínima expresión.

1 1 + 4 4

(3)

1 3 + 8 8

(4)

2 4 + 9 9

(5)

3 1 + 10 10

cincuenta y siete 57

Sume

4 3 + . 5 5

Tienes que representar la respuesta con un número mixto.

3 5 4 5

4 7 3 + = 5 5 5

7 5 2 1 5 3

(1)

5 3 + 7 7

(2)

4 7 + 9 9

2 5

(3)

2 2 + 3 3

2 5

(4) 5 + 8 11 11

Sume 5 + 7 . 8 8

7 12 5 + = 8 8 8

5 7 12 + = 8 8 8

3 2 =1 1 2

Sume. 4 8 (1) + 9 9

(2)

Siempre escribamos el resultado con fracciones en su mínima exprexión.

=14 8 =11 2

7 9 + 10 10

(3)

7 11 + 12 12

(4) 1 + 5 6 6

1 5 3 1 5 4 3 5

3 4 1 = 3 + 1 5 5 5

(5) 3 + 5 8 8

Sume 2 1 + 1 3 . 5 5

Cuando se suman fracciones mixtas, se suman por separado la parte entera y la parte fraccionaria.

58 cincuenta y ocho

5 Sume.

(1) 1

2 4 + 3 7 7

(2) 4

1 1 + 2 3 3

(3) 1

2 9

+ 4

5 9

(4) 2

5 3 + 1 11 11

(5) 2

2 1 + 5 5

(6) 3

4 2 + 7 7

(7)

2 9

+ 4

5 9

(8)

3 5 + 1 11 11

Sume 2

4 3 . + 1 5 5 2

3 5

4 5

7 5

2 5

Calcule las siguientes operaciones. 4 2 2 2 6 (1) 1 + 3 + 1 (2) 2 5 5 3 3

3 5

+ 1

4 5

= 3

7 5

= 4

2 5

7 5

La parte fraccionaria no se deja en la forma de número mixto.

(3) 1

6 7

+ 2

3 7

(4) 5

4 7 + 2 9 9

(1) 2

4 3 + 5 5

(2) 1

4 5 + 7 7

(3)

4 9

+ 2

7 9

(4)

5 7 + 3 11 11

(1) 2

5 7 + 3 8 8

(2) 1

4 8 + 2 9 9

(3) 3

5 6

+ 1

5 6

(4) 4

7 9 + 2 10 10

(1) 2

3 7 + 8 8

(2) 1

7 7 + 10 10

(3)

5 9

+ 2

7 9

(4)

5 11 + 3 12 12

(1) 4

1 2 + 5 3 3

(2) 4

1 5 + 2 6 6

(3) 2

5 3 + 8 8

(4)

3 7 + 4 10 10

cincuenta y nueve 59

2 6 l de leche y María se tomó l. 7 7 ¿Cuánta leche quedó?

Había

1 2

Escriba el PO. 2 PO: 6 7 7 Encuentre el resultado. 2 7

PO: 6 7

4 2 = 7 7

2 l 7 María:

6 1 hay 6 veces , 7 7 de lo cual se quitan 2.

Como en el caso de la adición, se cuenta cuántas fracciones hay con numerador 1.

Entonces 6 – 2 = 4 veces 1 . 7 R: 4 l 7

Para restar fracciones con un mismo denominador se restan los numeradores y se escribe el mismo denominador.

11 (1) 4 – 1

(2) 2 – 1 3 3

(3) 7 – 2 9 9

(4) 8 – 3 11 11

12 (1) 5 – 1

(2) 3 – 1 4 4

(3) 5 – 3 8 8

(4) 5 – 5 6 6

Encuentre el resultado de 3 4 – 1 1 5 5

Calculemos por separado la parte entera y la parte fraccionaria.

1 5

Calcule las siguientes operaciones. 2 2 5 4 13 (1) 3 –2 –1 (2) 4 7 9 7 9

1 3 4 – 1 = 2 5 5 5

(3) 5

1 2 –2 3 3

(4) 6

1 5 –1 11 11

14 (1) 6

1 3 –1 4 4

(2) 3

5 1 –1 6 6

(3) 4

7 3 –2 8 8

(4) 5

7 4 –1 9 9

15 (1) 3

2 8 – 9 9

(2) 2

7 2 – 15 15

(3) 1

5 1 – 6 6

(4) 4

5 1 – 8 8

16 (1) 3

1 4 –3 7 7

(2) 3

4 4 –1 5 5

(3) 2

5 2 –2 9 9

(4) 4

7 3 –4 8 8

60 sesenta

Encuentre el resultado de 1 1 5

1 – 5

2 5

–

2. 5

2 5

6 2 – 5 5 4 5

= =

Cuando no se puede restar el sustraendo de la parte fraccionaria, se cambia una de las unidades por una fracción con el mismo denominador. Reste en su cuaderno 17 (1) 1 1 – 2 3 3 18 (1) 1

1 3 – 4 4

(2) 1

4 2 – 5 5

(3) 1

6 4 – 7 7

(4) 1

9 5 – 11 11

(2) 1

1 5 – 6 6

(3) 1

3 7 – 8 8

(4) 1

5 8 – 9 9

Encuentre el resultado de 3 1 – 1 4 5 5

4 1 –1 5 5

= =

6 5 2 1 5 2

– 1

4 5

Calcule las siguientes operaciones 19 (1) 7 2 – 3 4 5 5

(2) 4

1 2 –1 3 3

(3) 5

2 5 –2 7 7

(4) 6

7 5 –3 9 9

20 (1) 3 1 – 2 4 5 5

(2) 2

1 2 –1 3 3

(3) 4

9 2 –3 11 11

(4) 5

2 8 – 13 13

21 (1) 3 1 – 1 5 6 6

(2) 4

3 7 –2 8 8

(3) 5

8 2 –3 9 9

(4) 3

4 9 –2 15 15

22 (1) 2 1 – 3 4 4

(2) 3

2 5 – 9 9

(3) 2

9 7 – 10 10

(4) 4

7 5 – 12 12

23 (1) 5 – 2 3 4

(2) 3 – 2

5 6

(4) 1 –

4 5

(3) 3 –

3 8

sesenta y uno 61

Sume. (1) 2 7 (4)

3 7

(2)

1 3 + 10 10

5 + 8

7 8

(5)

5 11

(2)

7 8

3 + 5

(3)

4 5

11 5 + 3 12 12

Reste. (1)

8 11

–

(4) 5 2 – 2 7 15 15 3

(3)

–

3 8

1 – 9

(5) 3 – 1 3 4

Resuelva los siguientes problemas. 5 7 (1) Había 2 kg de azúcar. Se usó kg para hacer pasteles. 8 8 ¿Cuántos kilogramos quedaron?

5 3 km y hoy 43 km. 7 7 ¿Cuántos kilómetros recorrió en los dos días?

(2) Un camión ayer recorrió 35

3 2 4 2 m de área. Hoy Carlos pintó 12 m. 5 5 ¿Cuántos metros cuadrados le faltan por pintar?

(3) Hay una pared de 20

1 3 cm de altura y Ana 138 cm. 4 4 ¿Quién es la más alta?

(4) María mide 132

¿Cuál es la diferencia?

62 sesenta y dos

7 9

Nos divertimos Si el segmento (a) mide 1 m, ¿cuánto mide el segmento (b)? Como (b) es menor que tres veces (a), necesitamos una fracción.

(a) (b) (1) En (b) hay 2 veces (a) y sobra la parte (c). (c) (a)

(a)

(2) En (a) hay una vez (c) y sobra la parte (d). (a) (d)

La idea es seguir midiendo, usando la parte que sobra.

(d)

(a) es 3 veces (d)

(b) es 8 veces (d).

1 8 2 m, (b) mide m, o sea 2 m. 3 3 3

Vamos a medir el segmento (b) aplicando el procedimiento anterior. (En cada pareja, el segmento (a) equivale a 1 m.) (1) (a)

Puedes usar el compás para verificar cuántas veces cabe.

(b) (2) (a) (b)

(3) (a) (b) sesenta y tres 63

Longitud

Unidad

Recordemos 1. Escriba la longitud que corresponde, indicada con la flecha. (a) 0

(b) 1

2. Complete el número que corresponde.

(a)

(1) 3 m 26 cm =

(b)

(2) 7 dm 9 cm =

(c)

(3) 6,240 mm =

Lección 1: Midamos en kilómetros

Vamos a jugar lanzando la tapa en el piso y medir la longitud hasta donde llegó la tapa.

La longitud que se mide en forma recta entre dos puntos se llama distancia. Para medir la longitud o la distancia más larga que 1 m, sirven las cintas métricas. Cinta métrica para las distancias cortas 0

Metro utilizado por el albañil

Metro utilizado por la costurera

Escriba la longitud que indica la flecha. (a) 70

64 sesenta y cuatro

(b) 50

(a) 60

(d) 17 m

(b) (c)

(d)

Vamos a medir en equipo la longitud o la distancia con la cinta métrica. (Se puede usar la cinta de 2 m de la página para recortar.) Estima la longitud antes de medir y registra el resultado en tu cuaderno. Lo que medimos

Ejemplo: La longitud del corredor de la escuela La longitud del contorno del árbol La distancia de la puerta del aula a la puerta de la siguiente aula

Estimación Resultado

El siguiente mapa representa la comunidad de Teresa.

290 m

Parque

720 m

Escuela

Casa de Teresa 345 m

Comedor 530 m

480 m 545 m Colmado

Iglesia 300 m

530 m

Carnicería

¿Qué distancia de recorrido hay si se camina desde la iglesia al parque? PO: 345 + 290 = 635

Hospital 155 m

R: 635m

¿Cuál es la distancia de recorrido de la iglesia a la escuela pasando por el colmado y el hospital? PO: 300 + 155 + 545 = 1,000

R: 1,000 m

La longitud de 1,000m se llama 1 kilómetro y se escribe 1km. 1 km = 1,000 m. El kilómetro es una unidad oficial para medir longitudes muy grandes.

2 Resuelva el siguiente problema. ¿Qué camino es más corto de la casa de Teresa a la escuela, pasando por el parque o pasando por la iglesia? PO: _____________________________________________ R: _____________________________________________

sesenta y cinco 65

La distancia de recorrido del parque a la escuela es 720 m, y la de la escuela al comedor es 530 m. ¿Cuántos kilómetros y metros hay del parque al comedor? PO: 720 + 530 = 1,250

1,250 m = 1 km 250 m

R: 1 km 250 m

3 Escriba en la línea el número que corresponde. (1) 1,340 m = ____ km ____ m

(2) 2,900 m = ____ km ____ m

(3) 4,205 m = ____ km ____ m

(4) 3,716 m = ____ km ____ m

(5) 7,006 m = ____ km ____ m

(6) 9,012 m = ____ km ____ m

(7) 1 km 234 m = _______ m

(8) 5 km 980 m = _______ m

(9) 8 km 600 m = _______ m

(10)

6 km 70 m = _______ m

2 km 85 m = _______ m

(12)

7 km 1 m = _______ m

(11)

4 Resuelva el siguiente problema. Desde la escuela al mercado hay 1 km 200 m. De la escuela a la farmacia que queda en el camino al mercado hay 800 m. ¿Cuántos metros hay desde la farmacia al mercado?

1 km 200 m Escuela

800 m

Farmacia

Mercado

PO: _____________________________________

R: ______________

5 Invente los problemas sobre la distancia observando el mapa de la página anterior y resuélvalos.

Intentémoslo

Vamos a encontrar un punto que queda más o menos a 1 km desde la escuela. ¿Cómo podríamos encontrar el punto? Yo camino 1 m en 2 pasos, entonces 10 m en 20 pasos, 100 m en 200 pasos. Entonces, para caminar 1 km...

66 sesenta y seis

Escuela

E 1

Vamos a representar la longitud con el punto decimal. Represente 1 km 357 m en kilómetros. 1 km 357 m Km

1 3 5 7 R: 1.357 km

Cuando se usa solamente la unidad de kilómetros, la parte de metros es la cantidad que no alcanza a kilómetros. Poniendo el punto decimal, se puede representar con kilómetros. Se lee uno punto tres cinco siete kilometros.

Represente las siguientes longitudes en kilómetros. 2 km 700 m 3 km 8 m 5 km 43 m km

2.7 km

Hay que tener cuidado con el 0.

5.043 km

8 3.008 km

Represente 3 m 45 cm en metros. 3 m 45 cm m

En caso de m y cm, la cantidad de las casillas es diferente que km y m. Porque 100 cm = 1 m.

3.45 km

6 Resuelva representando las siguientes longitudes en la tabla y con el punto decimal. (1) 1 km 126 m

(2) 5 km 206 m

(3) 7 km 34 m

(4) 8 km 9 m

(5) 6 m 45 cm

(6) 1 m 70 cm

(7) 9 m 3 cm

(8) 4 m 2 cm

m sesenta y siete 67

Lección 2: Sumemos y restemos con la longitud

Hay una cinta de 4 m 35 cm y otra de 2 m 48 cm. ¿Cuánto mide la longitud total?

Escriba el PO.

Encuentre la respuesta pensando la forma del cálculo.

2 m 48 cm

4 m 35 cm

4 m 35 cm + 2 m 48 cm

Violeta

Wilmer

m cm 4 35 2 48 6 83

Xiomara

4 m 35 cm = 4.35 m 2 m 48 cm = 2.48 m 4.35 + 2.48 = 6.83

4 m 35 cm = 435 cm 2 m 48 cm = 248 cm 435 + 248 = 683

R: 6.83 m

R: 683 cm

R: 6 m 83 cm

Se puede calcular la longitud usando el punto decimal, los metros con los metros, los centímetros con los centímetros.

A la cinta que medía 7 m 98 cm se le cortó 3 m 62 cm. ¿Cuánto mide la parte que sobró?

Escriba el PO.

Encuentre la respuesta usando la tabla y usando el punto decimal.

7 m 98cm

m cm 7 98 3 62 4 36

3 m 62 cm

7.98 3.62 4.36

R: 4 m 36 cm 1

7 m 98 cm

R: 4.36 m

Calcule con la tabla o con el punto decimal. (1) 7 m 41 cm + 2 m 29 cm (2) 2 m 70 cm - 1 m 45 cm m

+ (3) 5 m 19 cm + 3 m 8 cm

68 sesenta y ocho

(4) 6 m 40 cm - 4 m 9 cm

De la escuela al estadio hay 6 km 400 m y del estadio al parque 8 km 7 m. ¿Cuál es la distancia que hay desde la escuela al parque?

También puedes calcular convirtiendo km a m.

6 km 400 m + 8 km 7 m

Escriba el PO.

Encuentre la respuesta usando la tabla y usando el punto decimal.

km m 6 400 8 7 14 407

R: 14 km 407 m

6.400 8.007 14.407

De la casa a la iglesia hay 12 km 340 m y recorrí 6 km 75 m. ¿Cuánto falta para llegar a la iglesia?

Escriba el PO.

Encuentre la respuesta usando la tabla y con el punto decimal.

12 km 340 m - 6 km 75 m

km m 12 340 6 75 6 265

R: 14.407 km

12.340 - 6.075 6.265

R: 6 km 265 m

R: 6.265 km

Calcule con la tabla o con el punto decimal. (1) 9 km 320 m + 8 km 48 m (2) 23 km 53 m - 15 km 9 m km

(3) 8 km 60 m + 3 km 8 m

(4) 10 km 20 m - 8 km 7 m

(5) 31 km 400 m + 8 km 20 m

(6) 54 km 70 m - 19 km 6 m

sesenta y nueve 69

Lección 3: Midamos con las unidades del sistema inglés

Vamos a conocer otro sistema de unidades oficiales de longitud.

Diga cuáles otras unidades de medida de longitud conoce.

jeme

cuarta

mano

pulgada

brazada

paso

pie

Hace mucho tiempo, nuestros antepasados usaban las partes de su cuerpo para medir longitudes, a esas unidades de medida les llamamos unidades corporales; y aunque podemos llevarlas a todas partes tienen el inconveniente que cuando varias personas miden de la misma manera el mismo objeto, se obtienen diferentes medidas, porque el tamaño del cuerpo de cada uno es diferente. Por lo tanto, para evitar mal entendidos, en cada país se decidió fabricar un solo patrón de cada unidad de medida, con las que todos estuvieran de acuerdo en copiar y utilizar, de tal manera que con las unidades pequeñas se midieran las longitudes pequeñas y con las unidades grandes se midieran las grandes; y así, las medidas serían las mismas. En República Dominicana, se utiliza un sistema de medidas que toma los patrones del sistema inglés, cuyas principales unidades de longitud son la pulgada, el pie y la yarda.

La longitud de esta cinta

es 1 pulgada.

La longitud que mide 12 pulgadas es 1 pie. 1 pie = 12 pulgadas La longitud que mide 3 pies es 1 yarda. 1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas 2

Exprese las siguientes longitudes en la unidad indicada entre paréntesis. (1) 3 pies 2 pulgadas (pulgadas)

(2) 16 pies (yardas, pies)

Procedimiento

1 pie = 12 pulgadas. Como hay 3 pies, multiplicar la longitud de 12 pulgadas por 3. Y luego sumar 2, que son las pulgadas que se tenían.

1 yarda = 3 pies. Para saber cuántas veces cabe la longitud de 3 pies en los 16 pies, dividir 16 pies entre 3.

PO: 3 x 12 + 2 = 38 R: 38 pulgadas.

PO: 16 ÷ 3 = 5 residuo 1 R: 5 yardas 1 pie.

70 setenta

Exprese las siguientes longitudes en las unidades indicadas entre paréntesis. (1) 2 pies (pulgadas) (2) 5 pies 6 pulgadas (pulgadas) (3) 4 yardas (pies) (4) 6 yardas 2 pies (pies) (5) 36 pulgadas (pies) (6) 27 pulgadas (pies, pulgadas) (7) 24 pies (yardas) (8) 19 pies (yardas, pies)

Mida en centímetros la cinta de 1 pulgada dibujada en el recuadro de la página anterior. ¿Cuántos centímetros tiene 1 pulgada? Una pulgada equivale a 2.54 cm. 1 pulgada = 2.54 cm

1 pie = 30.48 cm

1 yarda = 91.44 cm

Vamos a medir en pareja las longitudes y distancias usando el sistema inglés.

Prepare la regla que tiene graduación en pulgadas y construya una regla de 1 pie y una cinta de 1 yarda.

Haga una tabla como la siguiente en el cuaderno. No. Los objetos o la distancia que quiere medir

Estimación

Resultado

1 2 3 3

Estime y mida las longitudes o las distancias con las unidades del sistema inglés y regístrelas en la tabla del cuaderno. setenta y uno 71

Unidad

Área de rectángulos

Recordemos 1. Exprese las siguientes longitudes en las unidades que se le pide. (1) 5 m (cm) (2) 8 cm (mm) (3) 7 km (m) (4) 2 dm (cm)

2. Escriba las unidades de medida que aprendió en la longitud, el peso, la capacidad, etc.?

Lección 1: Comparemos superficies

Diego y Josefa jugaron a “¡Gana el terreno!” y quieren saber quién ganó más terreno.

Realice este juego con su compañero o compañera.

(1) Preparar una hoja de papel con los dibujos de cuadriláteros (se puede usar la página para recortar) y un lápiz de color diferente para cada jugador.

¿Gana el terreno!

(2) Cada uno escoge el cuadrilátero de una esquina como el punto de partida. (3) Jugar “piedra, papel o tijera” y quien gane pinta ese cuadrilátero de la esquina. (4) Continuar jugando “piedra, papel o tijera” y el que gana pinta otro cuadrilátero contiguo a cualquiera de los que había pintado en su turno. (5) La persona que tiene el terreno más extenso gana. (Se pueden establecer otras reglas según la necesidad). 2

Piense cómo se pueden comparar los terrenos para saber cuál es el más extenso. Creo que se puede comparar sobreponiendo. Recortémoslos.

Yo quiero compararlos sin recortar. Voy a calcar uno y lo superpongo al otro.

Podemos comparar contando el número de cuadrados pequeños, ¿verdad?

¿Pero qué hago con las partes que sobraron?

(4)

72 setenta y dos

¿Qué tal si medimos el perímetro y lo comparamos? 0

Compare con su compañero o compañera los terrenos pintados en la forma preferida y confirme quién ganó. Si hay tiempo, compare en las otras formas también.

La dimensión de una superficie se llama área. El área se puede comparar de varias maneras, como la longitud, el peso, la capacidad, etc. Sobreponiendo

Usando algún objeto como intermediario

Usando algún objeto como una unidad de medida.

A A

¿Cuál rectángulo tiene mayor área? Investigue de la forma que prefiera, si se puede comparar el área al medir el perímetro de cada uno de los siguientes rectángulos. 6 cm

4 cm

2 cm

10 cm B

No se puede comparar el área por la medida del perímetro, porque hay casos donde el rectángulo tiene más perímetro, pero menos área.

1 ¿Cuál tiene mayor área, A o B ? ¿Cuánto tiene más? (1)

(2)

setenta y tres 73

Diego y Josefa compararon el área de sus terrenos del juego con cuadritos. Joaquín y Hortensia también compararon sus terrenos con cuadritos. Los ganadores de cada pareja quieren saber quién ganó más área. Ganador

Ganadora

Diego 15 de

6 de

Joaquín 2 de

Josefa

4 de

Hortensia

El área del terreno de Diego es 15 cuadritos. El de Hortensia es 4 cuadritos. ¿Se puede decir que Diego ganó más área que Hortensia? ¿Por qué?

No. Porque los cuadritos no son del mismo tamaño. 2

¿Qué se necesita para comparar el área? Terreno de Diego

Terreno de Hortensia

1 cm

1 cm 1 cm

1 cm 1 cm2

Diego

Hortensia

Compararlo con la misma unidad. Al igual que en las unidades de otras magnitudes (la longitud, el peso, la capacidad, etc.), existen las unidades oficiales de área. El centímetro cuadrado es una unidad de área. Es un cuadrado que tiene 1 centímetro por lado y se escribe “cm2”. 3

1 cm 1 cm 1 cm2

Calque en su cuaderno los terrenos de Diego y Hortensia representados arriba. Trace en los terrenos las líneas de modo que se dividan en 1 cm2.

(1) ¿Cuántos cuadrados de 1 cm2 caben en cada terreno?

(2) ¿Cuántos centímetros cuadrados mide el área de cada terreno? (3) ¿Quién obtuvo más terreno? ¿Cuánto más?

74 setenta y cuatro

Encuentre el área de las siguientes figuras pintadas. 1 cm

1 cm

G H

Compare con su compañero o compañera el resultado y la forma de encontrarlo.

Con las figuras que no se pueden dividir en cuadrados completos, su área se puede encontrar transformando las partes necesarias en cuadrados. Existen y se pueden formar varias figuras con la misma área.

2 ¿Cuáles figuras tienen la misma área? 1 cm 1 cm

D C

F E

3 Haga cuadrículas como la de arriba (puede usar la página para recortar). Dibuje varias figuras cuya área es de 6 cm2 y píntelas. setenta y cinco 75

Lección 2: Calculemos el área de cuadrados y rectángulos

Vamos a encontrar el área de este rectángulo.

Midamos la longitud de sus lados.

Tiene 4 cm de base y 3 cm de altura.

Midamos la longitud de sus lados.

(1) ¿Cuántos cuadritos de 1 cm2 hay en una fila? 4 cuadritos (2) ¿Cuántas filas hay? 3 filas (3) ¿Cuántos cuadritos de 1 cm2 hay en total? PO: 4 x 3 = 12 3

R: 12 cuadritos

¿Cuánto es el área de este rectángulo? El área de este rectángulo es: PO: 4 x 3 = 12 R: 12 cm2 Para calcular el área de un rectángulo se multiplica la longitud de la “base” por la longitud de la “altura”. área de un rectángulo = base x altura Este tipo de planteamiento de la operación que usa palabras se llama fórmula.

Con las fórmulas se puede recordar fácilmente cómo calcular ¿verdad?

Calcule el área de los siguientes rectángulos. (1)

5 cm

2 cm

(3) Un rectángulo cuyo largo mide 10 cm y el ancho mide 7 cm

76 setenta y seis

(2)

3 cm 1 cm

(4) Un rectángulo cuyo ancho y largo miden 8 cm y 15 cm respectivamente

Vamos a encontrar el área de este cuadrado.

Encuentre el área de este cuadrado aplicando lo aprendido y explique cómo lo hizo.

Al igual que los rectángulos, el área de los cuadrados se encuentra pensando en cuántos cuadritos de 1 cm2 caben en la figura. El área de este cuadrado es: PO: 4 x 4 = 16 R: 16 cm2 Oh... la base y la altura en el cuadrado son iguales. Entonces puede ser lado x lado

Para calcular el área de un cuadrado se multiplica lado por lado. área de un rectángulo = lado x lado.

Calcule el área de los siguientes cuadrados. (1)

2 cm

(2)

4 cm

2 cm 4 cm

(3) Un cuadrado cuyo lado mide 15 cm

(4) Un cuadrado cuyo lado mide 20 cm

setenta y siete 77

Vamos a investigar el área de los objetos cuadrados y rectangulares del aula de clases usando “cm2”. Estime el área de los objetos antes de la medición. 4B

Si sale una longitud con milímetros, redondee la medida hasta centímetros. Si las esquinas del objeto son curvas, use la medida aproximada. Registre el resultado en el cuaderno.

Nos divertimos ¿Cuál tiene mayor área, el gato o el conejo?

Gato

Conejo

La respuesta es que son iguales. Ambas figuras están hechas con un cuadrado dividido en varias partes, llamado tangrama. Con el tangrama se pueden formar varias figuras sin cambiar el área. Construyamos un tangrama y formemos varias figuras.

Tangrama

78 setenta y ocho

equitación

fútbol

carrera

Lección 3: Conozcamos las unidades del área

La sala de la casa de Amadeo mide 8 m de largo y 6 m de ancho. ¿Cuánto mide el área?

Calcule el área convirtiendo los metros en centímetros.

0 0

0 Es muy grande el número de la respuesta. Hay muchos ceros.

¿Qué unidad de área imagina que se podría usar para que el cálculo sea más fácil? Para expresar la medida de una superficie amplia, como la de un cuarto, una aula o un jardín, etc., se usa como unidad oficial, el área de un cuadrado cuyo lado mide 1 m. Esta unidad de área se llama “metro cuadrado” y se escribe “m2”.

Calcule cuántos cuadrados de 1 m por lado caben en la sala de la casa de José. Represente la respuesta con la unidad de metros cuadrados en su cuaderno. PO: 6 x 8 = 48

R: 6 x 8 = 48 m2

Encuentre el área de los siguientes rectángulos y cuadrados en su cuaderno. (1) El área de una cancha de baloncesto cuyo largo mide 40 m y el ancho mide 20 m. (2) El área de un jardín en forma cuadrada lleno de flores cuyo lado mide 5 m.

Vamos a construir un cuadrado de 1 m2 con 6 hojas de periódicos. (1) y (2)

(3) 2.5 cm 2.5 cm

2.5 cm 2.5 cm 16 cm

¿Cuántos pupitres cabrán en 1 m2?

1m 16 cm

(1) Pegue tres hojas de papel periódico con una pestaña de 2.5 cm. (2) Pegue otras tres de la misma manera. (3) Pegue las dos partes con una pestaña de 16 cm. ¿Cuántos de 1 m2 cabrán en el piso del aula?

¿Cuántas personas cabrán en 1 m2?

Honduras

setenta y nueve 79

Vamos a investigar a cuántos centímetros cuadrados equivale 1 m2.

¿Cuántos cuadrados de 1 cm2 caben en una columna?

¿Cuántas columnas hay?

¿A cuántos centímetros cuadrados equivale 1 m2? 100 x 100 = 10,000

1 m (100 cm)

1m (100 cm)

1 m2

1 m2 = 10,000 cm2

2 Exprese en su cuaderno las siguientes áreas en las unidades que se le pide.

(1) 2 m2 (cm2)

(2) 5 m2 (cm2)

(3) 10 m2 (cm2)

(4) 30,000 cm2 (m2)

(5) 90,000 cm2 (m2)

(6) 180,000 cm2 (m2)

Vamos a investigar en grupo el área de varios lugares rectangulares y cuadrados en la escuela. Estime el área de los lugares antes de la medición. Represente la longitud del largo y del ancho redondeando en metros la parte de centímetros, según la necesidad y encuentre el área. Mida en metros la longitud que necesite. Registre el resultado en el cuaderno. Para redondear tienes que ver la cifra de las decenas, Se omite la solución. o sea, la de 10 cm, ¿verdad?.

80 ochenta

Ejercicios 1

Encuentre el área de las siguientes figuras pintadas. 1 cm 1 cm

Calcule el área de los siguientes cuadriláteros, escriba la respuesta en su cuaderno. 6 cm 7 cm (1) (2) 10 cm

(3)

7 cm

(4) 3 cm

9 cm 3 cm

3 cm

(5) Un cuadrado cuyo lado mide 12 cm

(6) Un cuadrado cuyo lado mide 6 cm

(7) Un rectángulo cuyo largo mide 10 cm y su ancho mide 9 cm

(8) Un rectángulo cuyo ancho y largo miden 1 cm y 10 cm respectivamente

Escriba las unidades más adecuadas del sistema métrico para medir lo siguiente. (1) La extensión territorial de Baní

(2) El área de una estadio de Volibol

(3) La superficie de su aula

(4) El espacio que ocupa un cuaderno sobre la mesa

Exprese las siguientes áreas en las unidades indicadas entre paréntesis. (1) 4 m2 (cm2)

(2) 2300 mm2 (cm2)

(3) 12,000 dm2 (m2)

(4) 2.6 km2 (m2)

(5) 8,000 cm2 (m2)

(6) 4.7 dm2 (cm2)

(7) 0.2 m2 (cm2)

(8) 5,900 cm2 (m2)

ochenta y uno 81

Unidad

10 Números decimales

Recordemos 1. ¿Para qué sirven los números decimales? 2. Escriba los números adecuados en cada casilla. (1) Al dividir 1 m en 10 partes iguales cada parte mide (2) 4 veces 0.1 m es (3)

veces 0.1 m es 0.8 m.

Lección 1: Conozcamos otros números decimales

Ana plantó un árbol en el jardín y cada semana marca la altura en un palo para medirla. La semana pasada

Esta semana

¿Cuántos metros medía la semana pasada?

1.2 m 2

¿De qué forma podemos expresar la altura del árbol en esta semana en metros? Para medir la parte que no alcanza un 0.1 m, se divide el 0.1 m en diez partes iguales. Una de estas partes se escribe 0.01 m y se lee "cero punto cero un metro". Esta semana, el árbol mide un metro más 2 veces 0.1 m y 3 veces 0.01 m, por lo tanto mide 1.23 m (se lee "uno punto veintitrés metros").

82 ochenta y dos

1 ¿Cuántos metros mide cada cinta? 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

(1)

(2)

(3)

(4)

0.80 m

0.85 m

0.90 m

0.05 m

0.1 m

0.03 m

0.05 m

2 Señale con una flecha las medidas indicadas. (1)

(a) 0.04 m (b) 0.17 m (c) 0.21 m 0m

(2)

0.1 m

0.2 m

(a) 1.29 m (b) 1.31 m (c) 1.44 m 1.2 m

1.3 m

1.4 m

1.5 m

ochenta y tres 83

¿Cuántos metros mide la cinta? 1.2 m

1.1 m

1.23 m

1.3 m

1.24 m

Al dividir un 0.01 m en diez partes iguales la medida de cada parte se escribe 0.001 m y se lee "cero punto cero cero un metro". La cinta mide 1 m más 0.23 m y 6 veces 0.001 m, en total 1.236 m (se lee "uno punto doscientos treinta y seis metros)

3 ¿Cuánto mide la cinta? (1)

1.6 m

1.7 m

1.64 m

1.65 m

0.8 m

(3)

(2)

2.4 m

2.35 m

0.9 m

0.87 m

2.3 m

2.36 m

(4) 0 m 0.88 m

0.1 m

0.04 m

0.2 m 0.05 m

4 ¿Qué medida señala cada flecha? Conteste la medida en metros. 3.45 m a

3.46 m b

c d e

3.47 m f

5 Señale con una flecha la medida indicada.

84 ochenta y cuatro

(1) (a) 1.234 m (b) 1.245 m (c) 1.256 m

1.23 m

1.24 m

1.25 m

(2) (a) 2.349 m (b) 2.352 m (c) 2.346 m

2.34 m

2.35 m

2.36 m

(3) (a) 0.434 m (b) 0.445 m (c) 0.456 m

0.43 m

0.44 m

0.45 m

Si este azulejo representa a una unidad, ¿cuáles azulejos representan a 0.1, 0.01 y 0.001?

Dividir en 10 partes iguales y tomar una parte.

0.1

Dividir en 10 partes iguales y tomar una parte. 0.01

Dividir en 10 partes iguales y tomar una parte.

0.001

Siguiendo de la misma manera, se obtienen las casillas de 0.1, 0.01 y 0.001. Las unidades de cada casilla se llaman "décimas", "centésimas" y "milésimas" (se abrevian d, c y m). U

0.1

0.01

0.001

Escriba el número 2.345 colocando cada cifra en su respectivo valor de posición. El número 2.345 consiste en milésimas.

unidades,

décimas,

centésimas y

Escriba los números adecuados en la casilla. (1) 1.523 consiste en

unidad,

décimas,

centésimas y

milésimas

(2) 2.304 consiste en

unidades,

décimas,

centésimas y

milésimas

(3) 0.023 consiste en

unidades,

décimas,

centésimas y

milésimas

(4) 3.02 consiste en

unidades,

décimas,

centésimas y

milésimas

ochenta y cinco 85

Escriba el número que consiste en: (1) 2 unidades, 4 décimas, 3 centésimas y 1 milésima (2) 0 unidades, 5 décimas, 4 centésimas y 2 milésimas (3) 2 unidades, 0 décimas, 2 centésimas y 3 milésimas (4) 1 unidad, 0 décimas, 0 centésimas y 2 milésimas. (5) 3 unidades, 2 décimas, y 4 milésimas (6) 2 unidades, 4 centésimas y 1 milésima (7) 1 unidad, 2 décimas y 3 centésimas (8) 4 décimas y 2 milésimas

¿Cuántas centésimas hay en 0.1 y 1? ¿Cuántas centésimas hay en 2.34? En 0.1 hay 10 centésimas. En 1 hay 100 centésimas. 2.34 consiste en: 2 unidades = 200 centésimas 3 décimas = 30 centésimas 4 centésimas = 4 centésimas Total 234 centésimas

(1) ¿Cuántas centésimas hay en 1.53? (2) ¿Cuántas centésimas hay en 0.28? (3) ¿Cuántas centésimas hay en 3.05?

¿Cuántas milésimas hay en 0.01, 0.1 y 1? ¿Cuántas milésimas hay en 2.345 ? En 0.01, 0.1 y 1 hay 10, 100 y 1,000 milésimas. 2.345 consiste en: 2 unidades = 2,000 milésimas 3 décimas = 300 milésimas 4 centésimas = 40 milésimas 5 milésimas = 5 milésimas Total 2,345 milésimas

86 ochenta y seis

Conteste las siguientes preguntas: (1) ¿Cuántas milésimas hay en 1.234? (2) ¿Cuántas milésimas hay en 0.564? (3) ¿Cuántas milésimas hay en 0.203?

10 Conteste cuál es el número que consiste en: (1) ¿297 centésimas? (2) ¿305 centésimas? (3) ¿14 centésimas? (4) ¿3724 milésimas? (5) ¿1083 milésimas? (6) ¿206 milésimas?

Escriba uno de los signos <, > ó = en la casilla. (1) 2.14

1.98

1.9

(2) 2.14 2.0

1.98

(3) 2.14

2.1

2.2

2.2 2.14 2.17 2.2

1.98

(1) 2.14

2.17

(2) 2.14

2.17

(3) 2.14

2.2

Los números que están más a la derecha en recta numérica son mayores.

11 Escriba uno de los signos <, > ó = en la casilla. (1) 3.24 (4) 0

2.93

(2) 4.25

4.13

(3) 1.04

1.07

0.001

(5) 2.45

2.339

(6) 0.01

0.009

ochenta y siete 87

¿Cuánto es 10 veces 1.23? x10

x10

d 0.1

1 10

x10

c 0.01

0.1

0.01

0.1

0.01

PO: 10 x 1.23 = 12.3 R: 10 veces 1.23 es 12.3

Si se multiplican los decimales por 10, el punto decimal cambia de posición a la derecha por una cifra; al igual que los números naturales, se aumenta el valor de cada cifra al valor inmediato superior.

¿Cuánto es 1.23 ÷ 10? ÷ 10

÷ 10

0.1

1 1 0

. .

2 1

÷ 10 c

m 0.01

0.001

0.1

0.01

0.001

0.1

0.01

0.001

3 2

PO: 1.23 ÷ 10 = 0.123 R: 0.123

Si se dividen los números decimales entre 10, el punto decimal cambia de posición a la izquierda por una cifra; al igual que los números naturales, se disminuye el valor de cada cifra al valor inmediato inferior.

12 Calcule. (1) 10 x 3.26

88 ochenta y ocho

(2) 10 x 1.08

(3) 3.26 ÷10

(4) 3.2 ÷10

Lección 2: Sumemos y restemos otros números decimales

Si en una olla se echan 1.23 litros de agua y luego 2.14 litros de agua, ¿cuántos litros de agua hay?

Escriba el PO.

PO: 1.23 + 2.14

Vamos a encontrar la forma de calcular. 1.23 + 2.14 7

1.23 + 2.14 Colocar los números de modo que los puntos decimales estén en una columna, uno debajo de otro.

1.23 + 2.14 3.37

1.23 + 2.14 3 37 Sumar las décimas y luego las unidades.

Empezar a calcular desde la derecha. Sumar las centésimas.

Poner el punto decimal en el resultado

R: 3.37 litros

La adición de los números decimales se calcula de la misma manera que los números naturales: solamente hay que poner el punto decimal.

1 Calcule. (1) 3.28 + 2.41

(7)

2.68 + 3.04

(2) 1.23 + 4.56

(3)

3.26 + 1.37

(4)

1.48 + 2.53

(5)

4.02 + 1.57

(6)

(8) 2.93 + 1.08

(9)

3.28 + 0.71

(10)

0.46 + 1.55

(11)

2.47 + 0.05

(12) 0.04 + 2.98

3.05 + 2.98

ochenta y nueve 89

2 Calcule en forma vertical. (1) 0.24 + 0.32

(2) 0.37 + 0.25

(3) 0.03 + 0.29

(4) 0.37 + 0.04

(5) 0.04 + 0.03

(6) 0.09 + 0.06

(1) 0.34 + 0.92

(2) 0.54 + 0.68

(3) 0.73 + 0.28

(4) 0.56 + 0.49

(5) 0.93 + 0.08

(6) 0.05 + 0.97

3 Calcule en forma vertical.

Vamos a calcular 4.26 + 1.34 en forma vertical. 4.26 + 1.34 5.60

Se tacha el último cero, porque no es necesario.

En el cálculo de los números decimales, podemos tachar los ceros innecesarios.

4 Calcule. (1)

(2)

2.37 + 1.43

5 Calcule. (1) 2.34 + 1.66

90 noventa

(2)

(3)

4.25 + 1.95

2.49 + 3.51

(3)

1.43 + 0.57

2.71 + 3.39

(4)

0.25 + 0.75

(4)

1.42 + 2.68

(5)

0.02 + 2.98

Vamos a calcular 2.3 + 4.16 en forma vertical. 2.3 + 4.16 6.46

Hay que alinear el punto decimal de modo que las cifras que tienen el mismo valor posicional estén en la misma columna.

2.30 + 4.16 6.46

Se puede poner el cero de modo que cada número tenga la misma cantidad de cifras después del punto decimal. Si se te hace muy difícil puedes escribir el cero.

6 Calcule. (1)

1.2 + 3.45

(2)

4.6 + 1.53

(3)

2.8 + 0.54

(4)

0.3 + 1.87

(5)

0.4 + 0.53

(7)

3.14 + 2.5

(8)

1.78 + 1.5

(9)

0.45 + 1.8

(10)

2.87 + 0.5

(11)

0.18 + 0.9

(6)

0.6 + 0.45

7 Calcule en forma vertical. (1) 26.53 + 3.1

(2) 72.5 + 5.29

(3) 82.1 + 0.04

(4) 3.46 + 57.3

(5) 1.08 + 27.5

(6) 0.07 + 21.3

(1) 45 + 1.32

(2) 3 + 0.25

(3) 36 + 0.38

(4) 4.76 + 28

(5) 0.59 + 7

(6) 0.21 + 73

(1) 1.234 + 5.623

(2) 4.032 + 5.103

(3) 2.356 + 1.835

(4) 3.248 + 1.753

(5) 0.123 + 0.582

(6) 0.004 + 0.007

(7) 0.532 + 0.641

(8) 0.697 + 0.304

(9) 5.135 + 0.325

(10) 0.316 + 0.684

(11) 1.23 + 4.567

(12) 0.021 + 0.09

(13) 13 + 0.023

(14) 1.013 + 5

8 Calcule en forma vertical.

9 Calcule en forma vertical.

noventa y uno 91

Hay 2.34 litros de agua. Si se beben 1.21 litros, ¿cuántos litros de agua quedan?

Escriba el PO.

PO: 2.34 - 1.21 2

Vamos a encontrar la manera de calcular.

2.34 - 1.21 3

2.34 - 1.21 Colocar los números de modo que los puntos decimales estén en una columna punto debajo de punto.

Empezar a calcular desde la derecha. Restar las centésimas.

2.34 - 1.21 13

2.34 - 1.21 1.13

Restar las décimas y las unidades.

Poner el punto decimal en el resultado.

R: 1.13 litros

La sustracción de los números decimales se calcula como los números naturales: solamente hay que poner el punto decimal.

10 Calcule.

(1)

4.57 - 2.13

(2)

2.53 - 1.26

(3)

3.24 - 1.59

(4)

6.07 - 2.43

(5)

4.05 - 2.46

(6)

3.04 - 0.29

(7)

4.01 - 0.07

(8)

3.48 - 1.3

(9)

5.21 - 2.6

(10)

2.13 - 0.8

92 noventa y dos

Calcule. (1)

3.48 - 3.14

(2)

4.28 - 3.56

(3)

2.37 - 1.38

(4)

4.03 - 3.75

(5)

1.24 - 0.26

(6)

1.06 - 0.08

(7)

0.43 - 0.4

(8)

1.38 - 0.5

(2)

3.24 - 3.17

(3)

0.13 - 0.04

(4)

1.23 - 1.2

Calcule. (1)

4.36 - 4.32

3.24 - 2.14

Calcule. (1) 2.34 - 1.34

3.43 - 1.53

(3)

2.18 - 1.38

(4)

4.05 - 0.35

(5)

2.17 - 0.47

(2)

4.78 - 1.78

(3)

3.05 - 1.05

(4)

2.48 - 0.48

(5)

1.09 - 0.09

(6)

1.28 - 0.88

Vamos a calcular 5.3 - 2.16 en la forma vertical. 2

(2)

5.3 - 2.16 3.14

Hay que alinear los puntos decimales de modo que las cifras que tienen el mismo valor posicional estén en la misma columna.

5.30 - 2.16 3.14

Se puede poner el cero de modo que cada número tenga la misma cantidad de cifras después del punto decimal.

Calcule. (1) 3.4 - 1.28

(2)

4.8 - 1.53

(3)

3.2 - 1.27

(5)

(6)

0.2 - 0.15

(7)

0.1 - 0.03

3.4 - 2.96

(4)

1.8 - 0.23

noventa y tres 93

Calcule en forma vertical. (1) 3.45 - 1.9

(2) 2.37 - 1.5

(3) 3.4 - 2.78

(4) 24.3 - 5.61

(5) 4.8 - 0.85

(6) 0.2 - 0.15

(1) 36 - 18.7

(2) 23 - 4.19

(3) 2 - 1.59

(4) 6 - 0.25

(5) 3.24 - 2

(6) 32.65 - 15

Calcule en forma vertical.

Calcule en forma vertical. (1) 2.345 - 1.123

(2) 3.243 - 1.129

(3) 1.025 - 0.138

(4) 2.302 - 2.293

(5) 2.532 - 1.672

(6) 3.125 - 1.125

(7) 5.4 - 1.235

(8) 7 - 5.123

Vamos a buscar el número de la forma

y que queda más cerca del

número 2.38 (redondear 2.38 hasta las décimas). 2.3

2.35

2.4 2.38

El número 2.35 queda en el medio de 2.3 y 2.4. El número 2.38 queda más cerca del número 2.4 que 2.35. Por lo tanto 2.4 queda más cerca del 2.38 que 2.3.

Para redondear los números decimales hasta las décimas más cercanas: Si la cifra de las centésimas es mayor o igual que 5, se aumenta en uno a las décimas, si es menor que 5 permanece igual. Ejemplo: 2.35 2.4 , 2.96 3.0 Si no, sólo se quitan las centésimas, las milésimas, etc... Ejemplo: 2.34 2.3 , 2.01 2.0 19

Se pone 0 para aclarar que está redondeado hasta las décimas.

Redondee los siguientes números hasta las décimas.

(1) 5.38

(2) 7.269

(3) 21.945

(4) 0.32

(5) 0.96

(6) 0.49

Redondee los siguientes números hasta las centésimas.

(1) 5.283

94 noventa y cuatro

(2) 1.897

(3) 38.894

(4) 56.006

Ejercicios 1

Escriba los números que corresponden a las flechas. (2) (1) 2.4 2.3 2.5 2.6 a

2.4 f

2.41 g

Conteste sobre el número 2.345. (1) ¿Qué valor tiene la cifra 4? (2) ¿Qué valor tiene la cifra 5? (3) ¿Cuántas milésimas en total tiene el número 2.345?

(1) ¿Qué número consiste en 4 unidades, 0 décimas, 2 centésimas y 5 milésimas? (2) ¿Cuál es el número que consiste en 14 milésimas? (3) ¿Cuánto es 0.104 x 10? ¿Cuánto es 0.104 x 100? (4) ¿Cuánto es 0.2 ÷ 10?

Ordene los siguientes números de menor a mayor. 0.01, 1.95, 0, 2, 1.89

Calcule y escriba. (1) 1.04 + 2.963

(2) 0.903 + 1.097

(3) 23.1 + 0.003

(4) 2.354 - 1.054

(5) 3.46 - 2.543

(6) 5 - 2.183

Resuelva los siguientes problemas. (1) Un carro ayer recorrió 30.24 km y hoy 29.87 km. ¿Cuántos kilómetros recorrió en dos días? (2) El lápiz carbón de Carlos la semana pasada medía 18.3 cm y hoy 15.4 cm. ¿Cuántos centímetros se gastó? (3) Habían 1.45 kg de azúcar. Hoy se usó 0.52 kg para hacer pasteles. ¿Cuántos kilogramos sobran? (4) Se venden manzanas en caja. Todas las manzanas pesan 2.45 kg y la caja vacía 0.32 kg. ¿Cuántos kilogramos pesan en total? (5) El médico le dijo a María que tenía que bajar de peso. Ella perdió 6.24 kg y ahora pesa 43.38 kg. ¿Cuántos kilogramos pesaba antes? (6) Julia pesa 35.7 kg. Al pesarse cargando a su hermana en los brazos resultó 45.5 kg. ¿Cuántos kilogramos pesa la hermana? noventa y cinco 95

Unidad

Área de triángulos

Recordemos Encuentre el área de las siguientes figuras. Hacer el cálculo en su cuaderno. 3 cm

(1)

(2)

3 cm

Lección 1: Calculemos el área de triángulos

¿Cuál triángulo será más alto? A

Trace el segmento que representa la altura en cada triángulo. ¿Cómo se tiene que trazar? La altura de un triángulo, es el segmento perpendicular trazado de un vértice al lado opuesto. El lado opuesto que es perpendicular a la altura se llama base. Perpendicular

altura

base

Mida la altura de cada triángulo. Todos miden la altura de 3 cm. Tienen la misma altura.

Observe el triángulo A y piense si puede haber otra altura. La altura depende de cuál vértice o base se escoge para trazarla. A1

base

altura

base altura

A3 base altura

Trace otras alturas en los triángulos A ~ C .

Dibuje varios triángulos en su cuaderno y trace su altura.

96 noventa y seis

Puedo captar que la base y la altura son perpendiculares cuando giro el dibujo

En el zoológico el piso de cada jaula tiene forma diferente. ¿Cuál es la jaula más extensa? Vamos a encontrar el área de varias figuras.

Encuentre el área del piso de la jaula de las jirafas.

Es un rectángulo de 8 m de base y 6 m de altura. 6m

PO: 8 x 6 = 48

Entonces:

R: 48 m2

Encuentre el área del piso de la jaula de las ardillas.

(1) ¿Cómo se llama la forma del piso de esta jaula? 6m

Triángulo rectángulo. 8m

Parece que se puede usar la fórmula para el área de rectángulos que aprendimos.

(2) Calcule el área de este triángulo rectángulo pensando en una forma para encontrarla. Cuando se divide un rectángulo con una diagonal, se obtienen dos triángulos rectángulos iguales. Es decir que el área de ese triángulo rectángulo es la mitad del área de un rectángulo con 8 m de largo y 6 m de ancho. Entonces:

PO: 8 x 6 ÷ 2 = 24

R: 24 m2

Encuentre el área de los siguientes triángulos rectángulos. 4m

(1) 2m

(2)

40 cm

30 cm

(3) 6 m

noventa y siete 97

El piso de la jaula de los monos tiene otra forma triangular. ¿Cuánto mide el área?

Piense en la forma para encontrar el área de este triángulo.

1m 1m

Fátima

Dividiendo en dos triángulos rectángulos...

PO: 4 x 4 ÷ 2 = 8 4x2÷2=4 8 + 4 = 12 R: 12 m2

Como el área del triángulo es la mitad del rectángulo grande...

Walter

Transformando el triángulo en un rectángulo de la misma área...

Viviana

PO: 6 x 4 ÷ 2 = 12

PO: 4 ÷ 2 = 2 6 x 2 = 12

R: 12 m2

Hay puntos similares entre las tres formas, ¿verdad?

Intente encontrar el área del triángulo anterior usando otras formas. Hacer el cálculo en su cuaderno.

Encuentre el área de los siguientes triángulos.

(1) 1 m

(2)

(3)

12 m

15 m

98 noventa y ocho

Vamos a deducir la fórmula para encontrar el área de triángulos.

Para encontrar el área del triángulo ABC, usando el área del rectángulo grande, ¿qué longitudes se necesitan saber?

Encuentre el área del triángulo ABC mediante el cálculo.

El área del triángulo es la mitad del área del rectángulo grande. PO: 7 x 6 ÷ 2 = 21 R: 21 m2 A altura D

B 3

base

Para encontrar el área del triángulo ABC, se usa la longitud de BC (7 m) y AD (6 m). BC es la base y AD es la altura del triángulo ABC. Entonces, la fórmula del área del triángulo es: área = base x altura ÷ 2

Encuentre el área del triángulo EFG mediante el cálculo y compruebe si es aplicable la fórmula. E altura P: 5 x 4 ÷ 2 = 10 R: 10 m2 4m

G base

El 5 es la longitud de la base y el 4 es la altura del triángulo EFG. Entonces, es aplicable la fórmula para el área del triángulo rectángulo.

4 Encuentre el área de los siguientes triángulos. (1)

(2)

7 cm

10 cm

(3)

(4) 2 cm 6 cm 5 cm 3 cm

noventa y nueve 99

Otra jaula con piso triangular es la de las aves. ¿Cuánto mide el área?

Piense en la forma para encontrar el área de este triángulo. 1m

Restando el área del triángulo ABC al área Adolfo del triángulo ABD

Cecilia

PO: 6 x 6 ÷ 2 = 18 2x6÷2=6 18 - 6 = 12

Cuando la base es CD, la altura es AB. Usando la fórmula del área... PO: 4 x 6 ÷ 2 = 12

R: 12 m2

En el triángulo ACD, cuando la base es CD, la altura es AB. En esta situación, también es aplicable la fórmula para el área de triángulos.

altura

C base

Calque los siguientes triángulos y trace la altura correspondiente a la base indicada. (1)

(2)

(3) base

base

(4)

base

Encuentre el área de los siguientes triángulos. (1)

(3)

(2) 15 m 6m

100 cien

6 cm

4 cm

9 cm

13 cm

7 cm

Ejercicios 1 Encuentre el área de los siguientes triángulos. 1m 1m

D A

2 Escriba cuál es la base y la altura para cada triángulo. (1) A (2) G J

N O

(3)

K L

3 Calcule el área de los siguientes triángulos. (2) (3) (1) 5m 20 m 29 m

13 m 21 m

12 m

(4) De un triángulo cuya base es 9 cm y su altura es 36 cm.

9 cm

13 m 4 cm 8 cm

Intentémoslo Dibuje un triángulo que tenga 15 cm2 de área. Indique su base y su altura.

¿? 15 cm

¿? ciento uno 101

Unidad

Gráficas de barras

Recordemos Para organizar los datos se utiliza la tabla o el cuadro. Las gráficas sirven para visualizar los resultados de la organización de los datos.

La fruta preferida Número de Frutas niños y niñas 6 5 3 4

La fruta preferida

6 5 4 3 2 1 0

Lección 1: Construyamos gráficas de barras

Betty y José hicieron una investigación sobre sus amigos y la organizaron en una tabla. José

Betty

La profesión que quiere ser cuando sea grande Doctor

Piloto

Policía

Bombero

Total

Profesión preferida cuando sea grande

9 8 7

Número de niños y niñas

Profesión

Profesión preferida cuando sea grande

6 5 4 3 2 1 0

Doctor

Piloto

Policía Bombero

8 6 4 2 0

Profesión

Policía

Doctor Bombero Piloto

Profesión

Este tipo de gráfica se llama gráfica de barras. En las gráficas de Betty y José, la escala de las cantidades se representa en el eje vertical; y el tipo de profesión se representa en el eje horizontal.

1 2

Compare las gráficas de barras de Betty y José, y escriba en su cuaderno lo que encontró. Observe la gráfica de barras que hizo Betty, y conteste las preguntas en su cuaderno lo que encontró. (1) ¿Cuántos niños y niñas representa cada escala del eje vertical? (2) ¿Cuál es la ocupación más preferida por los niños y las niñas? (3) ¿Cuántos niños y niñas prefieren ser doctor?

102 ciento dos

En la comunidad de Oscar cada domingo se realiza la actividad de limpieza. Dominicana limpia

La tabla y la gráfica de barras siguientes representan la cantidad de niños y niñas que participaron en ella, el pasado sábado. Los niños y las niñas que participaron en la actividad de limpieza

1 grado o 2 grado o 3 grado o 4 grado o 5 grado o 6 grado Total

Número de niños y niñas

26 24 19 21 15 17 122

(Niños y niñas)

1 (Grado)

Grado

Los niños y las niñas que participaron en la actividad de limpieza 0 5 10 15 20 25 30

Conteste las siguientes preguntas. (1) ¿Cuántos niños y niñas representa cada escala del eje horizontal? (2) ¿De qué grado participaron más niños y niñas en la actividad? (3) Comparando la tabla y la gráfica de barras, ¿con cuál de las dos se puede captar más fácilmente quién tiene mayor número de niños y niñas? (4) Escriba en el cuaderno otras informaciones que nos da la gráfica de barras.

¿Se podrá cambiar el orden de los elementos, o no?

ciento tres 103

(2)

(3)

100

200

40 30 20

100

10 A

(Metros)

(1)

(Personas)

(RD$ pesos)

Observe las gráficas de barras siguientes. Escriba qué cantidad representa cada graduación del eje vertical en cada gráfica y qué cantidad representa cada barra.

La siguiente gráfica representa el tiempo que Miguel estudió en su casa la semana pasada. Obsérvela y conteste las preguntas en su cuaderno. El tiempo que estudió Miguel (minutos) 0

Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

100

(1) ¿Cuántos minutos representa cada graduación del eje horizontal? (2) ¿Qué día Miguel estudió más, y cuántos minutos fueron? (3) ¿Qué día él estudió menos y cuántos minutos fueron? (4) ¿Cuánto tiempo estudió el miércoles? (5) ¿Qué día él estudió 50 minutos? (6) ¿Cuánto tiempo más estudió el martes que el lunes? (7) ¿Cuánto tiempo estudió durante la semana?

(8) Diga qué más pudo encontrar en esta gráfica.

104 ciento cuatro

Natalí hizo una encuesta a sus amigos y amigas sobre el color favorito y organizó los datos en una tabla. Vamos a presentar este resultado con la gráfica de barras en su cuaderno. El color favorito Color

Rojo

Azul

Amarillo

Verde

Marrón

Otros

Total

Número de niños y niñas

El color preferido

El procedimiento 1 Escribir los elementos y el título del eje horizontal o vertical (se puede omitir el título de los elementos). 2 Decidir el valor que representa cada escala (el valor mínimo) de manera que se pueda representar la cantidad más grande de los datos.

Número de niños y niñas

3 Escribir en el otro eje el título (o la unidad) y los números de los valores que representan las escalas. 4 Dibujar las barras de tal manera que correspondan con la cantidad que representan. 5 Escribir el título de la gráfica. 5

Rojo

Azul

Los colores

ciento cinco 105

La tabla siguiente presenta el deporte favorito de los amigos y las amigas de Darwin. Represente los datos con la gráfica de barras horizontales. Deporte favorito

Deporte

Número de amigos

Baloncesto

Natación

Béisbol

Carrera

Volibol

Otros

Total

La tabla siguiente presenta la cantidad de los ahorros de los hermanos de Natasha durante tres meses. Represente los datos con la gráfica de barras. Cantidad de los ahorros Nombre de RD$ Pesos los hermanos

Andrés

Norma

Javier

110

Natasha

Gustavo

145

Total

475

106 ciento seis

Vamos a investigar y presentaremos los resultados con la gráfica de barras.

Decidir el tema. Voy a preguntar a mis compañeros y compañeras cuántos hermanos tienen.

Quiero saber a qué juegan los domingos mis compañeros y compañeras.

Realizar la investigación (encuesta).

A qué juega usted los domingos. Quiero saber cuál es la comida que les gusta a mis compañeros y compañeras.

Fútbol.

karate

Organizar los resultados en la tabla.

Tema:

Qué juega los domingos

Juego

Número

Béisbol

lll l lll l lll

Karate

lll l lll l

10 32

Total

l l l l l

Baloncesto

Es mejor hacer la encuesta anotando directamente en el cuaderno.

Número de compañeros

Representar los datos con una gráfica de barras.

Si se realiza la encuesta con una tabla en el cuaderno, ya no es necesario hacerla de nuevo, ¿verdad?

Presentar el resultado a sus compañeros y compañeras.

Tienes que describir bien la información, y sería bueno agregar tu opinión y recibir las preguntas de tus compañeros… ¡Qué divertida es la presentación!

Compañeros

Qué juega los domingos.

10 5 0

Béisbol

Baloncesto

Juegos

Karate

Piensa bien cómo es mejor elaborar la gráfica de barras para que tus compañeros y compañeras capten lo que tú investigaste.

ciento siete 107

Lección 2: Organicemos los datos

Ramón y Andrea hicieron una investigación sobre la ausencia de los alumnos y las alumnas de su escuela durante un mes. Vamos a organizar los datos según el propósito de cada uno. Grado

Nombre

Día

Juan

Lunes

Gripe

María

Lunes

Dolor de estómago

Juan

Martes

Gripe

Gabriel

Miércoles

Dolor de estómago

Natalí

Jueves

Dolor de cabeza

Sariel

Viernes

Fiebre

Marta

Viernes

Dolor de cabeza

Pedro

Lunes

Gripe

Linda

Lunes

Dolor de estómago

Raúl

Jueves

Dolor de estómago

Karla

Viernes

Gripe

Carlos

Lunes

Dolor de cabeza

Diana

Lunes

Fiebre

Nora

Martes

Gripe

Javier

Martes

Dolor de estómago

Norma

Miércoles Gripe

Juan

Viernes

Fiebre

Ana

Lunes

Dolor de estómago

Pablo

Lunes

Dolor de cabeza

Carlos

Lunes

Dolor de estómago

Andrés

Martes

Fiebre

Sofía

Miércoles

Dolor de cabeza

Josefa

Jueves

Dolor de estómago

Gloria

Viernes

Fiebre

Alejandro Viernes

108 ciento ocho

Quiero saber por cuál motivo hay más ausencias.

Motivo

Dolor de estómago

¿Qué día de la semana hay más ausencias?

Número de ausentes

Motivo

Día

Número de ausentes

Contando con palitos se pueden organizar los datos más fácilmente, ¿verdad?

Elabore una tabla para saber por cuál motivo hay más ausencias.

Elabore una tabla para saber qué día hay más ausencias.

Explique sobre lo que interpretó al observar las tablas.

Entonces, ¿cómo podemos organizar la tabla para saber qué día de la semana y por cuál motivo hay más ausencias al mismo tiempo?

¿Día y motivo?

Organice los datos en una tabla como la siguiente en su cuaderno. Los motivos y días de la semana de ausencia Días

Motivos

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Total

Gripe Dolor de estómago Dolor de cabeza

Fiebre (A)

Total

¿Por cuál motivo y qué día hay más ausentes?

¿Qué representa el número de la casilla (A)?

Diga sobre lo que interpretó al observar la tabla.

Elabore otra tabla en su cuaderno según su propósito, utilizando los mismos datos. Ejemplo: Observando los grados y los motivos de las ausencias. Observando los grados y los días de las ausencias.

Organice en la tabla los datos del dibujo, observando la figura y el color y escríbalo en su cuaderno. Clasificación por la figura y el color Figura

Color

Azul

Amarillo

Rosado

Total

Rombo Romboide Trapecio Rectángulo Otros Total

ciento nueve 109

María investigó entre sus compañeros y compañeras si tienen perros o gatos en la casa. Ella hizo la siguiente tabla para saber cuántos no tiene tiene compañeros y compañeras tienen perros y cuántos tienen gatos. Número Perros Gatos 1

1 2

Organice los datos en la tabla. Pero con esta tabla no se sabe cuántos tienen perros y gatos al mismo tiempo.

3 4 5

Perros

6 7

Gatos

8 9

10 11 12

Tienen No tienen Tienen No tienen

Organice los datos para saber cuántos tienen perros y gatos al mismo tiempo. Cuando hay “ ” y “ ” significa que tienen perros y gatos al mismo tiempo, ¿verdad?

13 14 15 16

Perros

Gatos

No tienen

(A)

(B)

(C)

No tienen (D)

(E)

(F)

(G)

(H)

(I)

21 22

¿Qué representan los números de las casillas (A) ~ (I)?

Explique sobre lo que interpretó al observar la tabla.

23 24 25

Tienen

Total

Tienen

Javier investigó con sus amigos y amigas adónde fueron en las vacaciones, al río o a la playa. Y después elaboró la tabla siguiente. Playa Fue Río

Fue

No fue (B)

Total

110 ciento diez

No fue

(A) (C)

Total

(E)

(1) ¿Qué representan los números de las casillas (A) ~ (E)?

22 (D) 30

(2) Encuentre los números que van en las casillas (A) ~ (E).

Ejercicios suplementarios 1

La siguiente tabla representa los resultados de la investigación de Marcos sobre cuál es la fruta que les gusta más a sus amigos y amigas.

Fruta preferida Fruta

Número de amigos y amigas

Naranja

Mango

Guineo

Uva

Manzana

Otros

(1) Represente el resultado con la gráfica de barras. (2) ¿Cuál es la fruta más preferida por los amigos y amigas de Alejandro? (3) ¿Cuántas personas prefieren el guineo? (4) Explique lo que interpretó en la gráfica de barras.

La siguiente tabla representa los trabajos que hacen, en casa, los compañeros y compañeras de Natalia. (1) Represente el resultado en la tabla siguiente.

Trabajo en casa

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Trabajo

Cuándo Por la mañana Trabajo

Tiempo

Limpieza Trabajo en campo Limpieza Cocinar Trabajo en campo Lavar Limpieza Limpieza Cocinar Lavar

Por la mañana Por la tarde Por la mañana Por la tarde Por la tarde Por la mañana Por la tarde Por la mañana Al mediodía Por la tarde

Al mediodía

Por la tarde

Total

Limpieza Trabajo en campo Cocinar Lavar Total

(2) ¿Cuál y cuándo es el trabajo que más se hace?

Observe la siguiente tabla y conteste las preguntas. ¿En su casa vive junto con su abuelo o su abuela? Si Abuela Total

Abuelo No

(A) 18

(C)

9 3 12

(1) ¿Qué representa el número de la casilla (A)?

Total (B)

10 (D)

(2) ¿Cuáles son los números las casillas (B) ~ (D)? (3) ¿Cuántas personas viven con su abuela pero no con su abuelo? (4) ¿A cuántas personas les hicieron la encuesta?

ciento once 111

Unidad

Peso

Recordemos

¿Cuál pesó más, el guineo o la manzana?

Lección 1: Determinemos pesos usando balanzas

Oscar y Paola pesaron el mismo guineo usando diferente medida.

Oscar

¿Cuántas monedas pesó el guineo?

Paola

¿Cuántas tapitas pesó el guineo?

8 monedas

13 tapitas

¿Por qué es diferente el número de monedas y de tapitas aunque pesemos el mismo guineo? Es necesario una unidad que dé el mismo resultado.

La moneda pesa más que la tapita. La medida más pequeña del peso es el “gramo”. El gramo es una medida oficial del peso y se escribe “g”.

112 ciento doce

Karina acompañó a su mamá al supermercado y observó que para pesar los productos usaron otro tipo de balanza. Ella pidió a su maestra que le enseñara este tipo de balanza.

La aguja gira siguiendo el movimiento de las agujas del reloj.

Es una balanza. Sirve para medir el peso. Esta balanza está graduada en gramos. La aguja sirve para marcar el peso.

10 9 8

11 12 1

2 3 4

6 5

Conoce la forma de leer las graduaciones de la balanza (en gramos). (1) Indique con la flecha la graduación de 100 g. (2) ¿Qué representa la graduación más pequeña? R: ____________________________ (3) ¿Cuántos gramos representa la aguja? R: ____________________________ (4) Indique la graduación de 680 g con la flecha.

Escriba cuántos gramos indica la aguja de cada balanza.

III

IIIII IIIII I III

III

II II

III

II II

I IIIII II IIIIII

II II

I IIIII II IIIIII

(

)

400 g

200 g

600 g

800 g

II II I II I II I III

II I II II I I III I I

1 kg

III

III II I III I IIII

I II I II I I II I III

III

II IIIIIIII IIII

III

(

400 g

600 g

200 g

800 g

)

(6)

1 kg

)

II I II I I II I IIII

400 g

III

I II I II I I II I III

I II I III I II I III

I 600 g

III

I II

200 g

800 g

(

(5)

(

1 kg

I II II I III I IIII

III

)

(

)

(4)

200 g

(3)

(

(2)

(1) Ejemplo:

) ciento trece 113

¿Cuánto pesa la mochila de Manuel?

(1) Indique la graduación de 100 g con la flecha. (2) ¿Qué representa la graduación más pequeña? R: ________________________ El kilogramo es la unidad oficial del peso. Se representa “kg”. 1 kilogramo = 1000 g. (3) ¿Cuántos kilogramos representa la aguja?

1 kg 100 g Creo que 1 kg = 1000 g, porque 1 km = 1000 m...

R: ________________________ (4) ¿Hasta cuántos kilogramos puede medir con esta balanza? R: ________________________

2 Escriba cuántos kilogramos y gramos indica la aguja de cada balanza. (3) (1) (2)

(

g )

(

g )

Vamos a comparar el peso de los objetos. (1) Construir el modelo de peso de 1 kg. agua

arena

4 kg 500 g

1 kg

3 kg

2 kg

(2) Buscar los objetos que tengan un peso estimado de 1 kg.

1 kg

(3) Comprobar la estimación usando la balanza.

? 4 kg 500 g

1 kg

3 kg

2 kg

114 ciento catorce

1 kg

(

g )

Esteban determinó el peso de sus naranjas con una balanza. 1

Represente el peso de las naranjas. kg

4 kg 500 g

2 kg 105 g

¿Cuántos kilogramos y gramos de peso tienen las naranjas?

¿Cuántos gramos tienen las naranjas?

¿Cuántos kilogramos tienen las naranjas?

2 kg

Usando una tabla, se puede representar fácilmente el peso que tienen las naranjas.

2. 1

Sólo tienes que pensar la ubicación del punto decimal en la tabla, ¿verdad? ¡Qué fácil!

Peso de las naranjas El peso de las naranjas es de 2 kg 105 g (dos kilogramos ciento cinco gramos). Si se expresa en gramos se dice 2,105 g (dos mil ciento cinco gramos). Si se expresa en kilogramos se dice 2.105 kg (dos punto ciento cinco kilogramos).

Escriba las siguientes cantidades en las unidades indicadas. (1) 1 kg 547 g

(2) 17 kg 839 g

(3) 658 kg 213 g

(4) 36 kg 30 g

(5) 20 kg 500 g

(6) 7 kg 5 g

kg ciento quince 115

Unidad

Círculos y esferas

Lección 1: Conozcamos el círculo

Las niñas juegan a la cuica.

Observe la forma de la cuerda que las niñas usan para jugar.

La forma que tiene la cuerda se llama línea curva.

¿Qué diferencia hay entre estas dos líneas curvas? A

La línea curva A podemos saber dónde inicia y dónde termina y en a B no. Las líneas curvas como A se llaman abiertas y las que son como B se llaman cerradas.

Elija varios de sus compañeros, tómense de las manos de forma que representen una línea curva cerrada.

Dibuje dos líneas curvas abiertas y dos cerradas.

116 ciento dieciséis

Vamos a marcar muchos puntos que estén a 2 cm del punto A.

Observe que al trazar tantos puntos de forma que estén pegados uno de otro se ha formado una línea curva cerrada. En esta línea curva todos los puntos están a la misma distancia del punto A. La línea curva cerrada donde todos los puntos están a la misma distancia de un punto fijo se llama circunferencia.

Circunferencia

radio

El punto fijo se llama centro. La superficie encerrada dentro de la circunferencia se llama círculo.

centro

radio

La longitud desde el centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio.

1c 1 cm

1 cm

En un círculo podemos trazar muchos radios, pero todos tienen la misma longitud.

2 Escriba cuáles de estas figuras son círculos. (a)

(b)

5 cm

(c)

2 cm

3 cm

(d)

(e)

5 cm

Círculos (

)

ciento diecisiete 117

Vamos a dibujar un círculo usando un objeto redondo y luego recórtelo.

Investiguemos cómo podemos encontrar el centro de este círculo. Voy a doblar por la mitad

Doblamos en dos partes iguales quedando marcada la línea de doblez, volvemos y doblamos y donde se crucen las dos líneas de doblez, ahí se ubica el centro del círculo.

Las dos líneas de doblez dividen al círculo en dos partes iguales y además pasan por el centro.

118 ciento dieciocho

centro

radio

Un diámetro equivale a dos radios.

radio

diámetr

Una línea que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro se llama diámetro.

Trace tres radios y tres diámetros. (1)

radios

(2)

Escriba el nombre correspondiente en cada

Complete cada expresión.

diámetros

(1) La línea recta que va desde el centro del círculo a cualquier punto de la circunferencia se llama ____________________ (2) La línea recta que une dos punto de la circunferencia y pasa por el centro se llama ____________________ (3) La longitud del diámetro es ____________________ veces la del radio (4) Todos los puntos de la circunferencia están a la misma distancia del ____________________

ciento diecinueve 119

Vamos a dibujar círculos usando el compás.

Abra el compás con la longitud del radio del círculo que quiera dibujar.

Coloque la punta de metal en el centro del círculo.

Haga una vuelta para dibujar el círculo con la punta que tiene el lápiz.

Dibuje en su cuaderno círculos con las medidas indicadas. (1) 3 cm de radio.

(2) 4 cm de radio.

(3) 5 cm de radio.

Dibuje en su cuaderno varios círculos que tengan el mismo centro, pero que tengan 1 cm, 2 cm, 3 cm y 4 cm de radio respectivamente.

120 ciento veinte

Hagamos lindos diseños.

Use el compás para dibujar lindos diseños. 1

¡Que bonito es el Oso!

Nos divertimos Vamos a hacer el trompo más bonito.

ciento veintiuno 121

Lección 2: Conozcamos la esfera

(1/2)

Observe y descriva la forma de la pelota.

Examine la forma de la pelota mirándola desde diferentes lados. ¿A qué se parece?

Ellos están jugando con la pelota.

Parece un círculo. Un objeto que parece un círculo desde todas las direcciones es llamado esfera.

Busque los objetos que tienen forma de esfera.

1 ¿Cuáles de estos objetos son esferas o tienen forma parecida a una esfera? (A)

(B)

(C)

(D)

(E)

(F)

(G)

(H)

Tienen forma de esfera (

122 ciento veintidós

A, F, H

)

Observe los cortes que se le han dado a estas esferas. ¿Qué figura se observa en cada sección de corte?

Un círculo.

Vamos a hacer un corte de forma que hagamos dos secciones iguales, es decir, dividimos la esfera en dos partes iguales.

Cuando una esfera se corta en dos partes iguales, el centro, el radio, y el diámetro del círculo que se forma en la sección de corte son llamados centro, radio, y diámetro de la esfera.

diámetro radio

centro

Vamos a medir el diámetro de una pelota. ¿Cómo podemos hacerlo? Además de la regla, tenemos que auxiliarnos de otros objetos.

2 Mida el diámetro de una pelota de baloncesto y a una de béisbol.

ciento veintitrés 123

15 Simetría

Unidad

Lección 1: Figuras simétricas

Observe las siguientes figuras.

Diga lo que observa en el dibujo.

Construya la figura del corazón con papel.

Doblar en dos.

Dibujar la mitad de la figura.

Recortar en la hoja doblada.

Figura simétrica

La figura que se sobrepone exactamente al doblar por una línea se llama figura simétrica. Esta línea que divide la figura en dos partes iguales se llama línea de simetría.

Haga las figuras simétricas con papel.

Encuentre en el entorno las cosas que tienen la forma simétrica. 1 Observe la figura y conteste las preguntas.

Abrir.

Línea de simetría

Dibuja la mitad de la figura. ¡Qué emocionante abrir el papel!

(1) Esta figura se divide en dos partes iguales por la línea . ¿Cómo se llama este tipo de figura? (

)

(2) ¿Cómo se llama la línea .

)

(

(3) Calque la figura en papel y dóblela por la línea para averiguar si la parte derecha e izquierda son iguales.

124 ciento veinticuatro

Vamos a investigar si las figuras geométricas siguientes son simétricas.

triángulo equilátero

triángulo escaleno

rectángulo

triángulo isósceles

círculo

cuadrado

Piense en la forma de investigar.

Investigue y escriba un en la casilla de la tabla si es una figura simétrica.

Trace la línea de simetría encontrado en las figuras dibujadas arriba.

Calquemos en papel y recortemos para doblar.

Hay figuras que tienen varias líneas de simetría. En caso del círculo, el número de la línea de simetría no termina.

Construya en papel otro dibujo de cada tipo de figuras y confirme la simetría. 2 Escriba en el espacio la letra que corresponde a la figura simétrica.

Figura simétrica ciento veinticinco 125

Lección 2: Características de las figuras simétricas

Vamos a investigar las características de la figura simétrica. 1

(1) ¿Cuál es el vértice que se sobrepone con el vértice B? (2) ¿Cuál es el lado que se sobrepone con el lado BC?

El vértice B se sobrepone al vértice E. El vértice E es el vértice correspondiente al vértice B. El lado BC se sobrepone al lado GF. El lado GF es el lado correspondiente al lado BC.

2 A

(2) Compare la longitud de los segmentos CI y FI. (3) Investigue cómo son los ángulos marcados con

Los ángulos formados por líneas de simetría y el segmento que une dos puntos correspondientes son ángulos rectos.

E 1

Encuentre los vértices, lados y puntos correspondientes. G (1) El vértice C y ( E F

)

(2) El lado CD y (

)

(3) El punto B y

)

A D

La longitud entre la línea de simetría y cada uno de los dos puntos correspondientes es igual.

Investigue sobre el segmento que une los puntos correspondientes. (1) Compare la longitud de los segmentos BH y GH.

Piense en la situación donde se dobla la figura por la línea de simetría l.

(

B Escriba en el espacio la palabra o el número que corresponde. (

(

cm 5 cm

) 4 cm

2 cm

3 cm

126 ciento veintiséis

)

(

) cm

B 1

Vamos a dibujar la figura simétrica. Dibuje la otra mitad y complete la figura simétrica.

Si se usan las cuadrículas ya no necesita trazar la línea perpendicular ¿verdad?

[La manera de completar la figura simétrica] 1 Trazar la línea perpendicular a la línea de simetría desde cada vértice. 2 Encontrar los vértices correspondientes de modo que la longitud desde la línea de simetría a cada uno de dos vértices correspondientes sea igual. 3 Unir cada vértice en orden.

Dibuje la otra mitad y complete la figura simétrica.

ciento veintisiete 127

3 Dibuje la otra mitad y complete las figuras simétricas. (1)

(2)

(3)

(4)

4 Construya la figura simétrica preferida.

128 ciento veintiocho

Ejercicios 1

Escriba en el espacio la letra que corresponde a la figura simétrica. A

Figura simétrica ( 2

)

Escriba en el espacio la palabra que corresponde. (1) La figura simétrica se divide en dos partes iguales por el (

(2) La línea que une dos puntos correspondientes cruza con el ( formando los ángulos ( ).

)

(3) La longitud entre cada uno de dos puntos correspondientes y el ( ) es igual. 3

Encuentre las partes correspondientes en la siguiente figura simétrica. A K (1) El lado LK y el lado ( ) L J B

N D E

(2) El vértice F y el vértice (

(3) El punto G y el punto (

)

F Observando la figura simétrica del ejercicio 3 conteste las preguntas. (1) El segmento KM mide 3cm. ¿Cuánto mide el segmento EM? (

)

(2) El segmento LD mide 2cm. ¿Cuánto mide el segmento LN? (

)

(3) ¿Cómo es el ángulo marcado con 5

)

Dibuje la otra mitad y completa la figura simétrica.

ciento veintinueve 129

Unidad 1

Números hasta 1,000,000

Unidad 4

Multiplicación

Unidad 5

División

131

133

135

Unidad 8 Regla de “cm” (A)

Regla de “mm” (B)

Longitud

137

139

Unidad 9

Área de rectángulos

G A N A T E R R E

N O

141

Unidad 10

Números decimales

143

145

Unidad 12

Gráficas de barras

147

Nos divertimos

¿Agarra los hongos?

Calcula los incisos 1 ~ 10 y une con la línea los resultados según el orden de los incisos. Los hongos rodeados con la línea serán tuyos. ¿Cuántos hongos pueden agarrar? El punto que es el resultado de 2 incisos será el punto de partida y de llegada.

3.2 + 1.6

3.3 - 1.2

0.8 + 0.5

3.1 - 0.6

4.2 + 2.8

1.4 - 0.8

4.6 + 0.9

6.6 - 3.7

5.6 + 1.8

7.5 - 2.7

149

Nos divertimos ¿Cuántos cuadrados se pueden hacer por todo? En el dibujo de abajo se muestra un tablero que tiene 16 clavos. (geoplano 4 x 4) Usando el geoplano enganchamos las gomitas en los clavos para hacer cuadrados. Responde en el cuaderno. Podemos hacerlos grandes y también pequeños.

151

Nos divertimos

¿Qué dicen los peces?

Los peces están diciendo algo. Para saberlo hay que ordenar las letras de las burbujas de cada uno. Vamos a medir los ángulos de las bocas y los ordenamos de menor a mayor.

¡Es hora de comer !

10 9 8

11 12 1

6 5

2 3 4

E E

153

AGRADECIMIENTO

El Instituto Nacional de Formación y Capacitación del Magisterio (INAFOCAM), como entidad responsable de dirigir y coordinar el proyecto “Mejoramiento de la Calidad de Enseñanza de la Matemática” 2005-2010, JICA-MINERD, quiere expresar su más sincero agradecimiento al gobierno del Japón, y de una manera muy particular, a la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA) y a la dirección del Proyecto Regional “Me Gusta Matemática”, por el apoyo para la elaboración e impresión del valioso material (Guía para maestros/as), como herramienta para orientar la mejora en el aprendizaje de la matemática de los niños/as del Primer Ciclo de Básica. Del mismo modo, agradecemos a nuestras autoridades y funcionarios del Sistema Educativo Nacional que pusieron su confianza y apoyo al plan de mejora desarrollado. A las Regionales 03 de Azua, 05 de San Pedro de Macorís, 08 de Santiago y 15 de Santo Domingo, así como a los Distritos 03-01, 05-02, 08-05 y 15-03 que facilitaron en su gestión la implementación, además de disponer de recursos humanos para el logro de los objetivos del mismo. De manera especial queremos agradecer al Grupo Núcleo, al Grupo Operativo de los distritos y regionales implicados, a los asesores nacionales e internacionales, a los voluntarios japoneses, a los directores y docentes de los veinte y un centros educativos involucrados, así como al equipo administrativo (secretarias, diagramadores, personal de apoyo, colaboradores) que hicieron posible la edición y validación de esta herramienta didáctica. Gracias a todos/as.

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