Cuánto vale el cero Por Ariel Arbiser* El autor ofrece datos curiosos y prácticos para trabajar en el aula un número fundamental para nuestro sistema decimal.
Estamos tan acostumbrados a él, que creemos que no vale nada. Pero lo usamos en todo momento, para indicar la ausencia de algo. Los antiguos romanos –se los podría llamar sinceros– no lo usaban. Su sistema de numeración no es decimal como el que habitualmente usamos nosotros. Quizá el 0 recién haya comenzado a usarse en la India durante el siglo IX. Ahora, ¿qué quiere decir que nuestro sistema sea decimal? Que para representar números debemos basamos en una combinación de símbolos llamados dígitos, habiendo diez distintos (se escriben como sabemos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Con una secuencia adecuada de dígitos conseguiremos representar el número natural deseado. Así, el 7304 usa 7 para indicar los millares, 3 para los centenares, 0 para indicar la ausencia de decenas adicionales y 4 para las unidades. Con esos ingredientes (7 de 1000, 3 de 100, …) se forma el 7304 sin sobrar ni faltar nada. De no ser por el dígito 0 no podríamos representar valores de esta manera. Las posiciones de los dígitos son
importantes. Análogamente pasa con el sistema métrico: es decimal porque una unidad equivale a 10 veces otra, o a 100 veces otra, etc. (por ejemplo: 1 kilómetro = 1.000 metros). De hecho podríamos usar otra base en vez de 10. Así, base 7 requeriría usar sólo 7 dígitos distintos. Pero no lo hacemos porque no estamos acostumbrados. Base 2 (o binaria) usa sólo 0 y 1, y es la más adecuada para el funcionamiento interno de las computadoras (y dispositivos digitales), porque el 1 y el 0 pueden lograrse mediante presencia y ausencia de corriente eléctrica. La numeración romana en cambio no es con una base, no permite combinar dígitos libremente. Por ejemplo, VI es 6 porque suma I al V pero IV es 4 porque resta I de V (mientras que secuencias como VIVI, XD, XXXX, LL no son válidas). Las desventajas son varias: sumar, restar, multiplicar y dividir en romano sería un lío (no se puede aplicar el método/algoritmo de suma en columna visto en la escuela, ni ninguno práctico). El 0 restringe operaciones. Podemos sumar 0 (sin efecto, pero válido), también restar 0, y multiplicar por 0 (obteniendo 0, luego se dice que el 0 es absorbente). Podemos dividir al 0, pero no podemos dividir por 0. Así, 3/0 no tiene resultado satisfactorio, porque debería ser un valor tal que multiplicado por 0 (el divisor) dé como resultado 3 (el dividendo). Y eso no es posible porque todo número multiplicado por 0 da 0. La división por 0 está indefinida.
Atención al caso de 0/0. ¿Tendrá sentido? Porque por cierto existe un valor que multiplicado por 0 da 0 (y, de hecho, cualquiera lo cumple). Pero no, no está definido 0/0. El valor parece ser pequeño (por ser de numerador pequeño), pero por otro lado parece ser grande (por ser de denominador pequeño). Por eso es indefinido. Es claro. Un estudiante que rinde materias y debe determinar su promedio de calificaciones, sumará los totales obtenidos y a este resultado lo dividirá por el número de materias. El promedio sirve para dar una idea, en un único valor, de qué tan altas son las notas del alumno. Si tiene rendidas dos materias, dividirá su total por 2. ¿Y qué ocurre, cuál es su promedio, si tiene rendidas 0 materias, es decir aún no dio ninguna? Una respuesta rápida parece ser 0. ¡Pero no! 0/0 es, como dijimos, indefinido. Ni alto ni bajo. Su promedio aún no existe, y esto es razonable ya que no podemos saber cómo le está yendo hasta que rinda algún examen. En honor a la enseñanza, no subestimemos lo infinitamente pequeño. Sacar un 0 nunca es positivo. * MATEMÁTICO, DR. EN COMPUTACIÓN (UBA), DOCENTE EN UBA, UNSAM Y UNPA, DESARROLLADOR DE SOFTWARE.