UNIVERSIDAD DE MENDOZA FACULTAD DE INGENIERÍA - CÁTEDRA: CALCULO I
CÁLCULO I UNIDAD II: LÍMITE FUNCIONAL EN UN PUNTO Hemos visto que graficar funciones no siempre es fácil. Con tomar una tabla de valores, a veces no es suficiente, por que hay que tener cuidado al unir los puntos. Por esta razón a veces es necesario estudiar cómo se comporta la función alrededor de un punto determinado. Veamos los siguientes ejemplos:
a)
Supongamos que queremos graficar la función
y=
x3 − 1 x− 1
Lo primero que debemos hacer es hallar su dominio: D = R - 1 Luego tomamos una tabla de valores para obtener algunos puntos. x
0 2
-0.5 -1 -2 -3
y
1 7
3/4
1
3
7 8 6 4 2 0 -4
-2
0
2
4
El problema es ahora cómo unir los puntos, para ello es importante saber cómo se comporta la función en un entorno reducido del punto 1. Podemos tomar otra tabla de valores, con valores muy próximos al 1, por derecha y por izquierda, y ver qué pasa con sus imágenes. 1 x
0.5
0.75
y
1.75 2.313
0.9
0.99
0.999
1.001
1.01
1.25
1.5
2.710 2.97
2.997
3.003
3.310
3.813
4.7
3 1
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Vemos que cuando x se acerca al 1 por la derecha y por la izquierda sus imágenes se acercan al n°3. Esto se expresa diciendo que cuando x tiende al n° l, la función tiende al n°3. O bien que 3 es el límite de la función cuando x tiende al n° 1. En símbolos: lim f(x) = 3 x→ 1 Ahora si podemos unir los puntos:
14 12 10 8 6 4 2 0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Vemos que obtenemos una parábola lo que es lógico, por que al dividir un polinomio de grado 3 con un polinomio de grado 1, se obtiene un polinomio de grado 2. Aunque la función no está definida en x=1, si tiene límite en x=1, esto produce una laguna en el punto (1,3). Esto ocurre muy a menudo y es muy importante darse cuenta que aunque el punto x=1 no tiene imagen lo mismo puede tener límite
y=
b) Grafiquemos ahora la siguiente función :
1
( x − 2) 2
Buscamos su dominio: D = R - 2 Tomemos una tabla de valores: x
-1
-0.5
0
0.5
1
3 3.5 4
y 1/9 4/25 1/4 4/9
1
1 4/9
1.2 1
¼
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -2
-1
0
1
2
3
4
5
Cómo unimos los puntos? Qué pasa con la función entre 1 y 3 ?. 2
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Tomemos otra tabla con valores cercanos al 2. 2 x
1.9
1.99
y 100
1.999
2.001
10000 1000000
2.01
1000000 10000
2.1 100
∞ Observamos que cuando x tiende al 2, tanto por derecha como por izquierda, la función toma valores cada vez más grandes, por lo tanto en este caso la función no tiende a un número, sino que aumenta infinitamente. En este caso decimos que no hay límite en x = 2 por que la función tiende a infinito cuando x tiende a 2.. En símbolos lim f(x) = ∞ . x→ 2 30 25 20 15 10 5 0 0
1
2
3
4
5
En este gráfico la recta de ecuación x = 2 es asíntota vertical al gráfico de la función. b) Grafiquemos ahora la función y = 2 1/x El dominio es : D= R* = R - 0 Tomemos una tabla de valores x
-3
-2
-1
1
y
0.79
0.7
0.5
2
2
2.5 2 1.5 1 0.5 0
3
1.41 1.2 -4
-2
0
2
4
x
Cómo unimos los puntos? Analicemos cerca del 0 qué pasa. 0 x
-0.5
-0.1
-0.01
y
0.25
0.0009
7 10-31
0.01 1.2 1030
0.1 1024
∞ 3
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Vemos que cuando x se acerca a cero por la izquierda la función tiende a cero. Pero si la x se acerca a cero por la derecha la función tiende a ∞. En este caso la función no tiene límite por que tiene LÍMITES LATERALES DISTINTOS ya que se comporta de diferente modo por derecha que por izquierda. En símbolos:
lim x→ 0−
f(x) = 0
lim f(x) = ∞ x→ 0+
y
Ahora unimos los puntos: 5 4 3 2 1 0 -4
-2
0
2
4
6
Aquí la recta x = 0 es asíntota vertical por derecha c) Grafiquemos ahora la función y = sen ( 1/x )
D = R*
Tomemos una tabla de valores x
2/π
2/3π
2/5π
2/7π
y
1
-1
1
-1
Vemos que cuando x tiende a cero los valores de la función OSCILAN entre 1 y – 1, por lo tanto no tiene límite para x tendiendo a 0
1
f( x )
2
0
2
1 x
4
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Con estos ejemplos hemos resumido algunas situaciones que se pueden presentar cuando se estudia el comportamiento de una función en un entorno reducido de un punto x = a. El punto a donde se calcula el límite debe ser punto de acumulación del dominio de la función, ya que es necesario que alrededor del punto a hayan elementos del dominio de la función para poder calcular su imagen. Resumiendo todo lo visto, podemos decir que: La función y = f (x) tiene límite L en el punto x = a, si al tomar valores de x cada vez más próximos al punto a , los valores de la función se acercan, tanto como se quiera al número L. Pero a veces determinar el límite por tabla de valores, como en los ejemplos anteriores puede llevarnos a conclusiones erróneas, por ello es conveniente encontrar alguna forma para determinar si ese valor hallado es realmente el límite. Veamos el siguiente caso : Hallar el valor del límite para x tendiendo a 1 para la siguiente función y = 2x+1 Tomando una tabla de valores x 0,6 0,9 0,99 0,999 1,5 1,1 1,01 1,001
y 2,2 2,8 2,98 2,998 4 3,2 3,02 3,002
Vemos que al tender x a 1 , los valores de la función tienden a 3. Cómo podemos verificar que 3 sí es el límite para x tendiendo a 1? Si es cierto que los valores de la función se acercan a 3 cada vez más, cuando las x se acercan al 1, significa que cualquiera sea el entorno que se tome con centro en 3, por pequeño que sea, siempre va a ser posible encontrar valores de x muy próximos a 1, cuyas imágenes estén dentro de ese entorno. En el ejemplo: tomemos un entorno con centro en 3 y amplitud ε = 0.5 en el eje de ordenadas
5
UNIVERSIDAD DE MENDOZA FACULTAD DE INGENIERÍA - CÁTEDRA: CALCULO I 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
Para hallar los valores de x , cuya imagen está dentro del entorno con centro en 3, vamos a proyectar los extremos de dicho entorno sobre el eje de las x. 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
Para conocer los valores hallados sobre el eje de abscisas, hacemos el siguiente cálculo: 3+0.5= 3.5 = f(x)
cuál será el valor de x?
2x+1 = 3.5 x = 1.25
3-0.5 = 2.5 = f(x)
cuál será el valor de x?
2x+1 = 2.5 x= 0.75
Es decir que para los valores de x comprendidos entre 0.75 y 1.25 , sus imágenes están dentro del entorno con centro en 3. En símbolos:
f(x) ∈ E ( 3 , 0.5 )
siempre que 0.75 < x < 1.25
A*
Estos valores de x se pueden expresar como un entorno con centro en 1 y amplitud 0.25, a la cual la indicaremos con la letra δ. Pero como al calcular un límite , no interesa lo que pasa con la función 6
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justo en el punto x = 1 , sino alrededor de él, este entorno se toma reducido. Por lo tanto la expresión A* se puede escribir de la siguiente manera: f(x) ∈ E ( 3 , 0.5 )
siempre que x ∈ E * ( 1 , 0.25 )
∧ x ∈ D ( f)
usando notación de entorno sería: | f(x) – 3| < 0.5 siempre que | x – 1 | < 0.25
∧ x ∈ D ( f)
Si le damos a ε otro valor distinto, el valor de δ cambia, por lo que decimos que δ depende de ε , y lo indicamos δ ( ε). Si queremos encontrar que relación hay entre ε y δ, podemos hacerlo usando la notación de entorno con valor absoluto, y dando a ε un valor genérico: Partimos del dato, es decir:
f(x) ∈ E ( 3 , ε )
Reemplazando:
| (2x+1) – 3| < ε
Nos queda:
2x - 2< ε
o
| f(x) – 3| < ε
Como queremos encontrar el entorno reducido con centro en 1 , debemos llevar la expresión anterior a la forma | x – 1 | < δ Sacamos 2 factor común 2.(x-1)< ε 2.(x-1)< ε x−1 <
ε este es el entorno reducido con centro en 1 y cuya amplitud 2
δ=
ε 2
Quiere decir que cualquiera sea el ε que tomemos, siempre es posible encontrar un δ tal que | f(x) – 3| < ε siempre que | x – 1 | < δ
∧ x ∈ D ( f)
por lo tanto, 3 si es el límite de la función para x tendiendo a 1, en símbolos: lim ( 2x + 1) = 3 x→ 1 Esta propiedad nos permite dar la definición formal de límite finito en un punto. Definición formal de límite: Sea a un punto de acumulación del dominio de la función y = f(x), y L un número real. El número L es el límite de la función cuando x tiende al número a si y sólo si para todo número ε >0 (pequeño), se encuentra un ∂ > 0 (que depende de ε ) tal que:
7
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Las f(x) pertenecen al entorno con centro en L siempre que las x pertenezcan al dominio de la función y al entorno reducido con centro en a y amplitud δ, Simbólicamente: ∀ε >0, ∃∂ >0 : f (x) ∈ E (L , ε )
siempre que x ∈ E * (a , ∂) ∀x, x ∈ Df
También se puede expresar usando valor absoluto: f(x) – L < ε siempre que 0 < x – a < ∂ Si una función tiene límite L en x = a, éste límite es único. Gráficamente:
L+ ε f (x)
L L+ ε
( a-δ
o
)
a x a+δ
Puede ocurrir que al proyectar se obtengan deltas distintos, en ese caso se toma el menor. Gráficamente vemos que todas las x que pertenecen al E’(a,∂) tienen su imagen dentro del E(L, ε ). Si hubiéramos tomado otro valor para ε , hubiéramos obtenido otro valor para ∂. CÁLCULO PRÁCTICO DE LÍMITE Por lo visto anteriormente vemos que si la función no tiene lagunas, ni asíntotas, ni saltos en el punto x = a , el valor del límite en a coincide con la imagen de a, es decir f(a). Por lo tanto en estos casos, para calcular el límite basta con reemplazar en la fórmula de la función, a la x por a. (Esto se llama sustitución directa). Estas funciones que no presentan lagunas, asíntotas o saltos en un punto x = a se dice que son continuas en dicho punto ( este concepto será tratado con profundidad más adelante) De acuerdo a lo dicho anteriormente podemos garantizar que: Si b y c son n° reales y n un n° entero (positivo si c= 0), entonces se cumple: a)
lim b = b (el límite de una constante es la misma constante)
x→ c
b) lim x = c x→ c 8
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c)
lim x n = c n
x→ c
d) sea f(x) una función trigonométrica y c un elemento del dominio entonces:
lim f (x) = f (c)
x→ c
Por ejemplo: 1.
lim 8 = 8 x→ 3
2.
lim x 3 = 8 x→ 2
3.
lim cos x = − 1 x→ π
Veremos ahora algunas propiedades de límite (límite finito) Propiedades de los límites Si c es un n° real y n un n° entero positivo y f, g funciones que tienen límites L1 y L2 respectivamente cuando x tiende a c, entonces son ciertas las siguientes propiedades:
a)
lim ( f(x) + g(x) ) = lim f(x) + lim g(x) = L + L 1 2 x→ c x→ c x→ c
b)
lim ( f(x) . g(x) ) = lim f(x) . lim g(x) = L . L 1 2 x→ c x→ c x→ c
lim f ( x ) f (x) x→ c = = c) lim lim g ( x ) x → c g(x) x→ c
L1 L2
si
L2 ≠ 0
d)
lim ( f(x) ) n = ( lim f(x) ) n = ( L) n x→ c x→ c
e)
lim n f ( x ) = n lim f ( x ) = n L x→ c x→ c
Si n es par entonces L debe ser mayor a 0
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De estas propiedades no se exige demostración, pero sí que el alumno las interprete y verifique con ejemplos. Veremos ahora algunos ejemplos de aplicación de estas propiedades: 1.
lim ( x 2 + 1) = lim x 2 + lim 1 = 1 + 1 = 2 x→ 1 x→ 1 x→ 1
fc. polinómica
2.
lim 3x 3 = lim 3. lim x 3 = 3.8 = 24 x→ 2 x→ 2 x→ 2
fc. polinómica
3.
lim x − 1 = x → 10
lim x − lim 1 = x → 10 x → 10
10 − 1 = 3
lim 2 2 x→ 4 2 1 = = 4. lim = lim x 4 2 x→ 4 x x→ 4 lim ( 2 x − 1) 2x − 1 x lim = → 2 = 5. x → 2 2 2 x −1 lim x − 1 x→ 2 6.
fc. Irracional
fc. Racional lim ( 2 x − 1) 3 x→ 2 = = 3 2 lim x − 1 x → 2
3
x3 − 8 lim x→ 2 x − 2
Aquí no podemos aplicar la propiedad distributiva respecto del cociente, por que el denominador tiende a cero en x=2. Si usáramos la sustitución directa esto nos llevaría a la forma indeterminada 0 / 0 , ya que el numerador también es cero en x= 2. Para poder resolver este caso veremos un teorema que debemos aplicar en este ejercicio: TEOREMA: Funciones que coinciden en todos sus puntos excepto en uno. Sea c un número real y f(x) = g(x) para todo x≠c en un intervalo abierto que contiene al c . si existe el límite de g(x) para x tendiendo a c , entonces el límite de f(x) también existe y es:
En el ejemplo anterior, debemos buscar una función cuya gráfica coincida con la función dada, excepto en x= 2. Para ello, se puede factorizar para simplificar el factor que anula numerador y denominador.
10
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x3 − 8 = x− 2
( x − 2). x 2 +
x− 2
2x + 4 = x 2 + 2x + 4
Luego aplicando el teorema anterior: x3 − 8 lim = lim x 2 + 2x + 4 = 12 x → 2 x − 2 x → 2 Gráficamente esto significa que la fc. tiene una laguna en el punto de coordenadas (2 , 12)
-4
-2
y=
x3 − 8 x− 2
30
30
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
0
0 0
2
4
6
-4
-2
0
2
4
6
y = x 2 + 2x + 4
Otro ejemplo: lim x→ 0
x+ 1− 1 = x
en este caso también numerador y denominador tienden a 0, por lo tanto el límite conduce a la forma indeterminada
0 0
Para buscar una función que tenga la misma gráfica excepto en x= 0 se puede racionalizar el numerador :
(
)
2 x + 1 − 1 x + 1 + 1 x+ 1− 1 x + 1 − 1 x 1 lim = lim . = lim = lim = x x x + 1 + 1 x → 0 .x. x + 1 + 1 x → 0 .x. x + 1 + 1 2 x→ 0 x → 0
(
)
(
)
entonces hay laguna en el punto ( 0, 1/2 ) CASOS DE NO EXISTENCIA DE LÍMITE I) LÍMITES LATERALES Supongamos la siguiente función y = [ x ] (parte entera de x ) 11
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2 1
0
1
2
3
4
Es evidente que en este caso el límite no existe en los puntos donde la función tiene un salto, por ejemplo en x = 2, ya que la función se comporta de distinta manera según se tomen valores de x cerca de 2 por la izquierda o por la derecha del 2. Para estas funciones se debe estudiar el límite unilateral, es decir por derecha y por izquierda. En el ejemplo: lim f ( x ) = 2 x → 2+
lim f ( x ) = 1 x → 2−
y
Límite por derecha: lim f ( x ) = Ld x→ a +
Decir que el
significa que cuando x se acerca al punto a pero por la derecha,
entonces los valores f(x) se acercan a L d En símbolos: ∀ε > 0 , ∃∂ >0 :
f (x) ∈ E (L , ε )
siempre que
a< x < a + δ
∀x, x ∈ Df
L+ ε f(x) Ld L-ε
o ) a x a+δ
Límite por izquierda:
Decir que
lim f ( x ) = Li x→ a −
significa que cuando x se acerca al punto a pero por la izquierda,
entonces f(x) se acerca a L i 12
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En símbolos: ∀ε > 0 , ∃∂ >0 :
f (x) ∈ E (L , ε ) )
L+ε
siempre que a - δ < x < a ∀x, x ∈ Df
o
Li f(x)
L -ε a-δ
( x
o a
Si los límites laterales son distintos, entonces no existe el límite de la función en a. Propiedad: El límite L existe si y solo si los límites laterales son iguales. lim f ( x ) = L ⇔ lim f ( x ) = L ∧ lim f ( x ) = L En símbolos: x → a x→ a + x→ a − Ejemplo 1:
8 7 6 5 4 3 2 1 0
si x ≥ 1
2x +1 f(x) = 4
si x < 1 -4
lim f ( x ) = 3 x → 1+
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
lim f ( x ) = 4 x → 1−
y
Por lo tanto no existe el límite en x = 1 Ejemplo 2 : Calcular los límites laterales para la función signo f(x) = x lim = x + x→ 0
si x > 0 x = x
x lim = x − x→ 0
si x < 0 x = - x
x
en el punto x = 0
x
luego nos queda
x lim = lim 1 = 1 x x→ 0 + x→ 0
luego nos queda
− x lim = lim − 1 = − 1 x + x→ 0 x→ 0
1,5
Como los límites laterales1 son distintos, aseguramos que no existe límite en x = 0 0,5 0 -10
-5
-0,5 0 -1 -1,5
5
10
13
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II) LÍMITE INFINITO EN UN PUNTO Veamos la siguiente función
10
1 y= x− 2
5 0 -2
0
2
4
6
-5 -10 x
En este caso vemos que el límite para x tendiendo a 2 no existe por que al acercarse la x al punto 2 los valores de la función en valor absoluto crecen infinitamente. Decimos que el límite de la función en 2 no existe porque la función tiende a infinito. En símbolos lo indicamos: lim f ( x ) = ∞ x → 2+
lim f ( x ) = − ∞ x → 2−
Definición: La expresión
lim f ( x ) = ∞ x→ a
significa que para todo n° M > 0 (grande) , existe un delta ( δ )
que depende de M, tal que: f(x) > M siempre que x ∈ E*(a,δ) es decir
f(x) > M siempre que 0 < |x - a| < δ
y
x Є Df y
x Є Df
14
a-δ
a
a+δ
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f(x)
M
x
a-δ La recta de ecuación x = a es asíntota vertical al gráfico de la función La expresión
lim f ( x ) = − ∞ x→ a
significa que para todo n° N < 0 (grande) , existe un delta ( δ )
que depende de M, tal que:
es decir
f(x) < N siempre que x ∈ E*(a,δ)
y
x Є Df
f(x) < N siempre que 0 < |x - a| < δ
y
x Є Df
Gráficamente: a-δ
a
x
a+δ
N
f(x)
En el siguiente caso debemos expresarlo por separado: lim f ( x ) = − ∞ x→ a −
lim f ( x ) = ∞ , y x→ a +
ya que se comporta de distinta manera por derecha que por izquierda
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-5
0
5
10
Veremos ahora un ejemplo práctico: Ejemplo: x+ 1 lim x→ 2 x 2 − 4 Si sustituimos en la fórmula a la x por 2, el denominador tiende a cero, pero el numerador no; por lo tanto no es una indeterminación. Pero cómo interpretamos que nos dé un n° sobre cero?. Si en una división el denominador tiende a cero, es decir es cada vez más pequeño, el cociente es cada vez más grande o sea tiende a infinito. Es decir: x+ 1 lim = ∞ x→ 2 x 2 − 4 Si queremos especificar el signo del infinito debemos tomar límites laterales: si x → 2 + luego
x2 - 4 > 0
x+ 1 lim = +∞ 2 + x→ 2 x − 4
si x → 2 luego
entonces x > 2 y
entonces x < 2 y
x+ 1 lim = −∞ 2− 4 − x x→ 2
x2 - 4 < 0
10
Gráficamente:
5 0 -2
0
2
4
6
-5 -10
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En este caso la recta de ecuación
x = 2 es asíntota vertical al gráfico de la función. Esto sucede
siempre que el límite tiende a ∞ en un punto. Propiedades de los límites infinitos Si a y L son nª reales y f , g son funciones tales que: lim f ( x ) = ∞ x→ a
y
lim g( x ) = L x→ a
entonces las siguientes propiedades son válidas: a)
lim ( f ( x ) + g ( x ) ) = ∞ x→ a
lim ( f ( x ).g( x ) ) b) Si L ≠ 0 entonces: x → a = ∞ Si L=0 entonces nos daría una forma de indeterminación ( 0.∞) la cual resolveremos más adelante
( f ( x ) / g( x ) ) = ∞ y lim ( g( x ) / f ( x ) ) = 0 c) xlim → a x→ a Ejemplos: a)
1 1 = lim 1 + lim lim 1 + = ∞ x → 0 x 2 x→ 0 x→ 0 x 2
b)
2x = 0 lim x → π cot gx
Estas propiedades son válidas para los límites laterales y para las funciones cuyo límite es - ∞ Veremos ahora algunos teoremas sobre límite finito en un punto, pero antes necesitamos tratar el tema de infinitésimos. INFINITÉSIMO EN UN PUNTO Definición: La función f es un infinitésimo en x = a si y sólo si Ej:
lim f(x) = 0 x→ a
f(x) = x – 1 es un infinitésimo en x = 1 ya que lim f(x) = 0 x→ 1
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Observe que decir que f es un infinitésimo en x = 1 significa que para valores de x muy próximos a 1, la función toma valores muy pequeños ( cercanos a cero). Generalmente para distinguirla de las otras funciones se designa un infinitésimo con un letra griega, como por ejemplo ϕ, φ , o χ . Álgebra de infinitésimos Sean f y g dos infinitésimos en x = a a) (f + g)(x) también es un infinitésimo en x = a ( demostrar aplicando límite de la suma) b) (f . g) (x) también es un infinitésimo en x = a (demostrar aplicando límite del producto) c) El cociente de dos infinitésimos en x = a NO siempre es otro infinitésimo. Esto depende del orden del infinitésimo. El orden del infinitésimo es la rapidez con la que tiende al cero. Si el infinitésimo del numerador tiende más rápidamente a cero entonces el cociente SI es un infinitésimo. Si el denominador tiende más rápidamente a cero entonces el límite del cociente da infinito. Si el numerador y el denominador tienden con la misma rapidez a cero, entonces el límite del cociente da un número distinto de cero
( si ese número es 1 se llaman infinitésimos
equivalentes). Ejemplos: f(x) = x 2
es un infinitésimo en x = 0
g(x) = x 4
es un infinitésimo en x = 0
a)
lim ( x 2 + x 4 ) = 0 + 0 = 0 x→ 0
b)
lim ( x 2 .x 4 ) = 0.0 = 0 x→ 0
c)
1 x2 = ∞ por que x lim ( ) = lim x→ 0 x 4 x → 0 x 2
4
tiende más rápidamente a cero y está en el
denominador, es decir es de mayor orden. d)
x4 lim ( ) = lim x 2 = 0 x→ 0 x 2 x→ 0 TEOREMAS BÁSICOS SOBRE LÍMITES
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1) TEOREMA DEL ENCAJE ( o del emparedado) 2)
Supongamos tres funciones
f, g
y
h
que cumplen las siguientes
condiciones: f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) Si
∀ x ∈ E* ( a, ∂)
lim f(x) = lim h(x) = L x→ a x→ a
entonces
lim g(x) = L x→ a
Es decir que toda función que esté comprendida entre otras dos que tienen el mismo límite L en x = a, tiene también límite L en dicho punto . Gráficamente:
L
7 6 5 4 3 2 1 0
h(x)
g(x) f(x) 0
2
a
4
6
8
Este teorema tiene mucha aplicación en ejercicios donde no es posible factorizar para salvar la indeterminación. Veremos ahora un ejemplo que se resuelve aplicando este teorema: Calcular el siguiente límite :
senx lim x→ 0 x
este límite nos lleva la forma indeterminada
0 0
Vemos que no es posible salvar la indeterminación mediante factoreo, por lo tanto trataremos de encontrar otras dos funciones de igual límite entre las que esté comprendida. Para ello recurrimos a las líneas trigonométricas en una circunferencia de radio 1. Aclaremos que x representa un ángulo medido en radianes tal que: 0 < x < π/2, por lo tanto x es la medida del arco PR Med PQ = sen x
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Med TR = tg x Observando las líneas trigonométricas nos queda:
P
T
sen x < x < tg x dividiendo miembro a miembro por sen x nos queda 1<
Q
R
x
x 1 < senx cos x
invirtiendo miembro a miembro senx > cos x x
1>
Pero como 1 y cos x son funciones que tienen límite 1 para x tendiendo a cero, por el teorema del encaje, la función Luego :
senx también tiene límite 1 en x = 0. x
senx lim = 1 x→ 0 x
Según lo visto en infinitésimos, la función y = sen x y la función y = x son infinitésimos equivalentes, ya que su cociente tiende a 1. Esto quiere decir que para valores de x muy pero muy próximos a cero, ambas funciones
y = sen x e
De igual forma se puede demostrar que
y = x toman valores prácticamente iguales.
x tgx x , , senx x tgx
también tienden a 1 cuando x tiende a
cero, es decir que son infinitésimos equivalentes. Estos límites se llaman también límites notables. 3)
Teorema del signo del límite
Sea f una función que tiene límite L en un punto x = a de acumulación del dominio:
Si L > 0 entonces ∃ E*(a,∂) : ∀x ∈ E* (a,∂) , f(x) > 0
Si L < 0 entonces ∃ E*(a,∂) : ∀x ∈ E* (a,∂) , f(x) < 0
Esta propiedad asegura que la fc. y = f (x) tiene el mismo signo que su límite al menos muy cerca del punto. 20
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4)
Teorema fundamental de límite Si una función tiene límite L en un punto a de acumulación de su dominio entonces existe un entorno reducido del punto donde la función es igual a su límite más un infinitésimo.
Demostración: Por definición de límite: lim f ( x ) = L ⇔ lim ( f ( x ) − L ) = 0 x→ a x→ a pero entonces (f(x) – L ) es un infinitésimo al que llamaremos ϕ (x), por lo tanto f(x) – L = ϕ (x) f(x) = L + ϕ (x)
despejando
∀x ∈ E*(a,δ)
Este teorema significa que muy cerca del punto x = a el valor f(x) puede ser reemplazado por el valor de su límite más un infinitésimo.
f(x) ϕ (x)
L
a
x
Hemos visto que no siempre existe el límite de una función en un punto x = a. Ahora daremos la definición formal de los casos en los que el límite en x = a no existe: límites laterales y límites infinitos CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Una función es continua en un punto a de su dominio si y solo si se cumplen las siguientes condiciones: 1. Existe la imagen de la función en x=a: ∃f(a) 2. Existe el límite de la fc. en el punto x=a : lim a f(x) = L 3. El valor del límite coincide con la imagen : L = f(a)
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Deben cumplirse las tres condiciones para que sea continua en x=a Ejemplos:
L a a es continua en x = a
no es continua en x=a
Cuando una de las tres condiciones no se cumplen, se dice que es discontinua. Las discontinuidades se clasifican en dos : evitable y esencial a) Evitable: tiene una discontinuidad evitable en x=a si es discontinua en x=a, y si existe el límite (finito y único) en x=a. Ejemplo:
f(a) L L a
a
b) Esencial: tiene discontinuidad esencial en x=a si es discontinua en dicho punto , y no existe el límite en x=a y
a
x
a
a
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Ejemplo: Hallar los puntos de discontinuidad de la siguiente función y clasificarla: y=
x− 3 x2 − 9
Para hallar los puntos de discontinuidad se analizan los valores de x donde el denominador se anula. En el ejemplo:
x2-9=0 ⇒ x1 =3
y
x2=-3
Analizamos ahora que tipo de discontinuidad tienen en cada punto: En x= 3 1) f(3) = no existe imagen
por que no pertenece al dominio
Ya sabemos que no es continua, pero para clasificarla debemos ver si existe límite 2)
x− 3 x− 3 1 1 lim = lim = lim = x → 3 x 2 − 9 x → 3 ( x − 3).( x + 3) x → 3 x + 3 6
Luego sí existe el límite, por lo tanto la discontinuidad es evitable en x = 3 En x = - 3 1) f(-3) = no existe imagen por que no pertenece al dominio Ya sabemos que no es continua, pero para clasificarla debemos ver si existe límite
2)
x− 3 lim = ∞ x→ − 3 x 2 − 9
Luego no existe límite, por lo tanto la discontinuidad es esencial en x = - 3 Decir que la función tiene una discontinuidad evitable en x = a , significa que se puede transformar en continua. Esto se logra redefiniendo la fc. y asignándole en el punto x=a el valor del límite en a. En el ejemplo anterior: x–3
si x ≠ 3
x2 -9 f(x) = 1/6
si x = 3
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12 9 6 3 0 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-3 0
1
2
3
4
5
-6 -9 -12
Continuidad en un intervalo La función y = f(x) es continua en el intervalo ] a , b [ si y sólo si es continua en todos los puntos del intervalo. La función y = f(x) es continua en el intervalo [a , b] si y sólo si es continua en ] a , b [ lim f ( x ) = f (a ) x→ a +
lim f ( x ) = f (b) x → b−
y
a
y
b
es continua en [a , b]
a
b
es continua en ]a , b[
Propiedades de las funciones continuas 1) Sean f y g funciones continuas en x=a, entonces las funciones: (k. f) (x) ; ( f + g ) (x) ; (f - g) (x) ; (f . g) (x) ; (f / g) (x) también lo son en x = a ( el alumno debe saber demostrar estas propiedades usando propiedad de límite) 2) Si lim f ( x ) = L y si g es continua en x = a entonces: x→ a lim g(f ( x )) = g lim f ( x ) = g (L) x→ a x→ a 24
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En particular si f es continua en a y g es continua en f(a), entonces la composición también es continua en a. Esta última propiedad es muy importante ya que permite justificar las siguientes proposiciones: lim ln(f ( x )) = ln( lim f ( x )) α) x → a x→ a β)
si
lim f ( x ) > 0 x→ a
lim sen (f ( x )) = sen ( lim f ( x )) x→ a x→ a
Ejemplos: •
lim ln(3x 2 − 10) = ln( lim (3x 2 − 10)) = ln 2 x→ 2 x→ a
•
π π lim sen ( − x ) = sen ( lim ( − x )) = sen ( -π/2) = - sen (π/2) = - 1 2 x→ π x→ π 2
Teorema del valor intermedio
Si f es continua en [ a , b ] y k es cualquier n° entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un n° c entre a y b tal que f(c) = k.
Este teorema afirma que si x toma todos los valores entre a y b, la función continua debe tomar todos los valores entre f(a) y f(b). f(a) f(c) f(b) a
c
b
Cualquiera sea el n° k que se tome entre f(a) y f(b) seguro existe algún punto c interior al intervalo tal que f(c) = k. Si la función no fuera continua no se cumple la propiedad para cualquier k. Por ejemplo:
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y
k x a
b
Vemos que no hay ningún n° c cuya imagen sea k Aplicación: a) Demuestre que la ecuación
cos x – x = 0
tiene al menos una raíz entre 0 y 1.
Solución: Tomamos la función f(x) = cos x – x Por ser resta de dos funciones continuas sabemos que es continua para todo x, en particular en el intervalo [0 ,1 ]. Analicemos ahora el valor que la función toma en los extremos del intervalo: f(0) = 1 – 0 = 1 > 0
f(1) = cos 1 – 1 < 0
por lo tanto, por el teorema del valor intermedio existe un número c entre 0 y 1 , tal que f( c) = 0 χ)
demuestra que existe un número real positivo c tal que c 2 = 2 ( Con esto se prueba la existencia de
2)
Solución: Tomamos la función y = x 2 Esta función por ser polinómica es continua para todo número real, en particular en el intervalo [1 , 2 ] f(1) = 1
y
f (2) = 4
como 2 está entre 1 y 4 el teorema del valor intermedio asegura que existe un número c entre 1 y 2 , tal que c 2 = 2.
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