Biuletyn Centrum Edukacji Nauczycieli w Gdańsku
Forum edukacyjne
Coś dla nauczycieli fizyki: ruch układu o zmiennej masie na przykładzie rakiety Tomasz Kacik, nauczyciel doradca metodyczny CEN ds. fizyki
W praktyce szkolnej bardzo rzadko porusza się problem ciał o zmiennej masie podczas ruchu. Jest wiele przykładów ruchu ciał, które spełniają to kryterium, np. taśmociąg transportujący sypki materiał, kropelki wody rzucone na gorącą powierzchnię czy bryła lodu pływająca w wodzie.
N
ajpopularniejszym przykładem omawianego zagadnienia jest rakieta poruszająca się w przestrzeni kosmicznej. Przyspiesza ona poprzez spalanie paliwa i wyrzucanie produktów spalania, w wyniku czego jej szybkość rośnie, a masa maleje. W związku z tym nasuwają się następujące pytania: • Jak zmienia się przyspieszenie rakiety? • Przy jakiej szybkości i masie rakieta osiągnie maksymalny pęd? • A przy jakiej szybkości i masie rakieta zdobędzie maksymalną energię kinetyczną? Odpowiedzi na te pytania udziela mechanika ciała o zmiennej masie.
Wyrażenie ng= dmg /dt to masa gazów spalanych/ wyrzucanych przez rakietę w jednostce czasu (równa szybkości utraty masy przez rakietę dm/dt). Jeżeli przyjmiemy, że przez cały czas lotu rakieta spala stałą ilość paliwa w jednostce czasu ng = const, to masę rakiety w funkcji czasu m(t) można wyrazić wzorem m(t) = mo – ngt, a zatem masa rakiety jest proporcjonalna do czasu spalania paliwa t. Załóżmy że, w wybranym przez nas układzie odniesienia rakieta początkowo pozostaje w spoczynku i posiada początkową masę mo. Scałkowanie równania [1] przy założeniu stałej szybkości u prowadzi do równania ruchu rakiety
Równanie ruchu rakiety Chcemy wyrazić szybkość rakiety V w funkcji jej masy m. Zaczynamy od zasady zachowania pędu środka masy rakiety względem nieruchomego układu odniesienia. Ruch rakiety odbywa się w wyniku wyrzucania nieskończenie małej (infinitezymalnej) ilości masy paliwa dmg (jest ona równa ubytkowi masy rakiety, ale wzięta z przeciwnym znakiem, czyli dmg= - dm) ze stałą szybkością u w kierunku przeciwnym (patrz rys. 1).
przedstawionego w funkcji malejącej masy rakiety m = m o -m g na rysunku 2. Równanie to jest znane jako wzór Ciołkowskiego. Jego cechą jest to, że rakieta osiąga taką samą szybkość V dla tej samej wykorzystanej masy paliwa mg = mo - m niezależnie od szybkości utraty masy, dm/dt < 0, która może być różna lub nawet wstrzymywana (jeżeli jest ona stała, to pozioma oś na rysunku 2 jest proporcjonalna do czasu).
Jest to równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, co umożliwia całkowanie niezależne lewej i prawej strony w granicach odpowiadających temu samemu przedziałowi czasu.
Rys. 1. Rakieta o masie m wyrzuca paliwo o masie dm do tyłu z szybkością u, co powoduje przyrost szybkości obiektu o dV Rys. 2. Szybkość rakiety V w funkcji malejącej masy rakiety – równanie [2]
18
