Algebra e Geometria 1 by ELI Publishing

La nuova collana di Manuali operativi propone testi completi di trattazione teorica, semplice ed esaustiva, e una ricca parte operativa.

Una chiara trattazione teorica, arricchita da esempi esplicativi, è seguita da un’ampia parte operativa: da esercizi guidati o svolti, particolarmente adatti alle esigenze degli studenti con difficoltà di apprendimento (BES e DSA) a esercizi Invalsi, fino a compiti di realtà e lavori di gruppo.

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Algebra e Geometria 2 ISBN 978-88-468-3471-3

Fisica ISBN 978-88-468-3469-0

Chimica ISBN 978-88-468-2810-1

Grammatica 1 ISBN 978-88-468-3472-0

Grammatica 2 ISBN 978-88-468-3473-7

Algebra e Geometria 1

www.elilaspigaedizioni.it

Algebra e Geometria 1 ISBN 978-88-468-3470-6

Barbara Moroni

Il volume rappresenta un valido supporto per lo studio o il consolidamento di argomenti di algebra, geometria, statistica e probabilità previsti dalle linee guida ministeriali.

I TITOLI

MA NUA L I O PER AT IVI

M ANUAL I OP ER ATI VI

MANUALI OP ERATIVI

Barbara Moroni

Algebra e Geometria competenze di base

Barbara Moroni

Algebra e Geometria competenze di base

Barbara Moroni Algebra e Geometria – Competenze di base Volume 1

Stampato in Italia presso Tecnostampa Pigini Group Printing Division Loreto – Trevi

Responsabile editoriale: Beatrice Loreti Redazione: Antonella Foschini Art Director: Marco Mercatali

16.83.172.0 ISBN 978-88-468-3470-6

Le fotocopie non autorizzate sono illegali. Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzione totale o parziale così come la sua trasmissione sotto qualsiasi forma o con qualunque mezzo senza previa autorizzazione scritta da parte dell’editore.

Il testo rappresenta una valido supporto didattico per il primo biennio di tutti gli indirizzi di studio della scuola secondaria di secondo grado. Nei due volumi in cui è articolato il progetto, sono sviluppati gli argomenti di algebra, geometria, statistica e probabilità indicati nelle linee guida predisposte dal ministero. Per ogni argomento è fornita una esaustiva spiegazione teorica seguita da una ricca parte operativa. La trattazione teorica si sviluppa in modo schematico ed è arricchita da esempi esplicativi e tabelle riassuntive. La presentazione grafica è volta a facilitare l’assimilazione degli argomenti agevolando l’estrapolazione dal testo dei concetti chiave. La parte operativa si articola in tre fasi con crescente livello di difficoltà volte a sviluppare progressivamente le conoscenze, le abilità e le competenze dello studente. Gli esercizi sono di differenti tipologie: • i primi, relativi alle Conoscenze, sono esercizi strutturati, a scelta multipla o a completamento. La maggior parte di essi può essere svolta direttamente sul libro; questo tipo di attività rappresenta un valido supporto per studenti che presentino Bisogni Educativi Speciali o con Disturbi Specifici dell’Apprendimento e un efficace strumento di verifica per il raggiungimento delle abilità essenziali relative all’argomento trattato. • La seconda tipologia, racchiusa sotto il nome Abilità, è costituita da attività di tipo operativo spesso precedute da esercizi guidati, in parte o totalmente. • Nella sezione intitolata Competenze sono presenti esercizi, tra cui lavori di gruppo e compiti di realtà, volti a stimolare lo studente ad utilizzare le conoscenze acquisite in situazioni problematiche della vita reale. • Infine sono presenti esercizi tratti dalle prove INVALSI degli ultimi anni. Arricchiscono la trattazione curiosità di storia della matematica.

Indice

ALGEBRA Sezione 1 • ELEMENTI DI LOGICA E ALGEBRA ASTRATTA 1.1 La logica ..................................................................................................................................................................................... 6 1.2 Teoria degli insiemi ................................................................................................................................................................... 9 1.3 Relazioni e funzioni ................................................................................................................................................................. 13 ESERCIZI Conoscenze ........................................................................................................................................................................... 16 Abilità ...................................................................................................................................................................................... 20 Competenze ............................................................................................................................................................................ 38

Sezione 2 • CALCOLO NUMERICO 2.1 Operazioni in N e Z e loro proprietà .................................................................................................................................... 39 2.2 Operazioni in Q e l’insieme R ................................................................................................................................................ 44 2.3 Rapporti e proporzioni, percentuali ...................................................................................................................................... 49 ESERCIZI Conoscenze ........................................................................................................................................................................... 51 Abilità ...................................................................................................................................................................................... 56 Competenze ............................................................................................................................................................................ 70

Sezione 3 • CALCOLO LETTERALE 3.1 Dal numero alle lettere ........................................................................................................................................................... 75 3.2 Monomi e operazioni con monomi ....................................................................................................................................... 75 3.3 Polinomi e operazioni con polinomi ..................................................................................................................................... 79 3.4 Scomposizione di polinomi in fattori .................................................................................................................................... 84 3.5 Frazioni algebriche .................................................................................................................................................................. 85 ESERCIZI Conoscenze ........................................................................................................................................................................... 87 Abilità ...................................................................................................................................................................................... 96 Competenze .......................................................................................................................................................................... 132

Sezione 4 • EQUAZIONI DI PRIMO GRADO 4.1 Equazioni di primo grado ..................................................................................................................................................... 135 4.2 Equazioni di primo grado frazionarie e letterali ............................................................................................................... 140 4.3 Problemi lineari ..................................................................................................................................................................... 142 ESERCIZI Conoscenze ......................................................................................................................................................................... 143 Abilità .................................................................................................................................................................................... 145 Competenze .......................................................................................................................................................................... 154

Sezione 5 • SISTEMI DI PRIMO GRADO 5.1 Sistemi di primo grado con due equazioni in due incognite ........................................................................................... 156 5.2 Sistemi fratti e letterali ......................................................................................................................................................... 160 5.3 Sistemi di primo grado con tre equazioni in tre incognite .............................................................................................. 162 5.4 Problemi risolvibili con sistemi di primo grado ................................................................................................................ 163 ESERCIZI Conoscenze ......................................................................................................................................................................... 164 Abilità .................................................................................................................................................................................... 167 Competenze .......................................................................................................................................................................... 176

Sezione 6 • DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO 6.1 Disequazioni di primo grado intere ..................................................................................................................................... 178 6.2 Disequazioni fratte ................................................................................................................................................................ 180 6.3 Sistemi di disequazioni ......................................................................................................................................................... 182 ESERCIZI Conoscenze ......................................................................................................................................................................... 183 Abilità .................................................................................................................................................................................... 186 Competenze .......................................................................................................................................................................... 194

GEOMETRIA Sezione 7 • IL PIANO NEL MODELLO DI EUCLIDE 7.1 Introduzione alla geometria razionale; elementi primitivi, definizioni, assiomi e teoremi ......................................... 196 7.2 Semirette, segmenti, poligonali ........................................................................................................................................... 198 7.3 Semipiani, angoli ....................................................................................................................................................................198 7.4 Poligoni e loro proprietà ...................................................................................................................................................... 200 7.5 Congruenza tra figure geometriche; confronto tra segmenti; confronto tra angoli ..................................................... 201 ESERCIZI Conoscenze ......................................................................................................................................................................... 205 Abilità .................................................................................................................................................................................... 212 Competenze .......................................................................................................................................................................... 220

Sezione 8 • I TRIANGOLI 8.1 Classificazione dei triangoli e definizioni .......................................................................................................................... 221 8.2 Criteri di congruenza dei triangoli ...................................................................................................................................... 222 8.3 Disuguaglianze nei triangoli ................................................................................................................................................. 227 ESERCIZI Conoscenze ......................................................................................................................................................................... 227 Abilità .................................................................................................................................................................................... 229 Competenze .......................................................................................................................................................................... 235

Sezione 9 • PARALLELISMO E PERPENDICOLARITÀ 9.1 Teoremi fondamentali sulle rette parallele ........................................................................................................................ 237 9.2 I quadrilateri ........................................................................................................................................................................... 242 ESERCIZI Conoscenze ......................................................................................................................................................................... 246 Abilità .................................................................................................................................................................................... 254 Competenze .......................................................................................................................................................................... 263

DATI E PREVISIONI Sezione 10 • STATISTICA 10.1 Concetti fondamentali di statistica ..................................................................................................................................... 264 10.2 Raccolta dei dati. Tabelle di frequenza ............................................................................................................................... 265 10.3 Rappresentazione grafica dei dati ....................................................................................................................................... 266 10.4 Indici di posizione e indici di variabilità ............................................................................................................................ 267 ESERCIZI Conoscenze ......................................................................................................................................................................... 269 Abilità .................................................................................................................................................................................... 272 Competenze .......................................................................................................................................................................... 281

SEZIONE

ALGEBRA

Elementi di logica e algebra astratta

1.1 LA LOGICA Enunciati e connettivi logici La logica studia il ragionamento; in particolare la logica matematica analizza i ragionamenti scritti in un linguaggio formale in cui non vi sono ambiguità di interpretazione. Si definisce proposizione logica o enunciato un’espressione linguistica di cui si può stabilire oggettivamente e univocamente se è vera (V) o falsa (F).

Non sono proposizioni logiche: 3 Il 24 è un numero grande. 4 Roma è una bella città.

Sono proposizioni logiche: 1 Il numero 3 è pari. 2 Roma è la capitale d’Italia.

Una proposizione logica è elementare o atomica se è formata da una sola forma verbale, cioè da un solo predicato (verbale o nominale).

Sono proposizioni logiche elementari: 1 Il 4 è un numero naturale. 2 Il gatto è un mammifero.

Non sono proposizioni logiche elementari: 3 Il 4 è un numero naturale ed è un numero pari. 4 Il gatto è un mammifero ed è anche un felino.

Si definisce proposizione composta una proposizione logica formata da due o più proposizioni elementari collegate tra loro da connettivi logici; se si compongono più di due proposizioni elementari si ottiene un enunciato più complesso detto anche formula proposizionale.

Sono proposizioni logiche composte: 1 Se piove prendo l’ombrello.

2 Il 35 è un numero dispari e non è divisibile per 3.

Tabella riassuntiva dei connettivi logici Indichiamo con p e q due proposizioni logiche. connettivo non e o, oppure (vel) o ... o ... (aut) se … allora ... se e solo se

simbolo –p p∧q p∨q . p∨q p→q p↔q

operazione corrispondente negazione: “non p” congiunzione: “p e q” disgiunzione inclusiva: “p o q” disgiunzione esclusiva: “o p o q” implicazione materiale: “se p allora q” doppia implicazione: “p se e solo se q”

Elementi di logica e algebra astratta

Tavole di verità Le tavole di verità sono delle tabelle in cui viene calcolato il valore di verità di proposizioni composte a partire dal valore di verità delle proposizioni elementari da cui sono formate. Vediamo le tavole di verità relative ai connettivi logici definiti. p

– p

V F

F V

p∧q

p∨q

V V F F

V F V F

V F F F

V V F F

V F V F

V V V F

. p∨q

p→q

p↔q

V V F F

V F V F

F V V F

V V F F

V F V F

V F V V

V V F F

V F V F

V F F V

p→q – → –q p

Implicazione diretta: Implicazione contraria:

Siano proposizioni logiche elementari p: 12 è un multiplo di 4 q: 4 è un numero pari p– : 12 non è un multiplo di 4 p ∧ q: 12 è un multiplo di 4 e 4 è un numero pari

q→p –q → p –

Implicazione inversa: Implicazione contronominale:

p ∨ q: 12 è un multiplo di 4 o 4 è un numero pari p ∨. q: o 12 è un multiplo di 4 o 4 è un numero pari p → q: se 12 è un multiplo di 4 allora 4 è un numero pari p ↔q: 12 è un multiplo di 4 se e solo se 4 è un numero pari

Nota bene: le proposizioni composte possono essere formate da due o più proposizioni elementari. Le possibili combinazioni nelle corrispondenti tavole di verità, cioè le righe delle tabelle, sono 2n, dove n è il numero di proposizioni elementari coinvolte.

2 proposizioni elementari: 22 = 4 combinazioni

V V F F

V F V F

3 proposizioni elementari: 23 = 8 combinazioni

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

Proprietà delle operazioni logiche commutativa

della congiunzione della disgiunzione

p∧q = q∧p p∨q = q∨p

associativa

della congiunzione della disgiunzione

( p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r) ( p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)

distributiva

della congiunzione rispetto alla disgiunzione della disgiunzione rispetto alla congiunzione

p ∧ (q ∨ r) = ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) = ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)

Leggi di De Morgan

––––– – ∨ –q p∧q = p ––––– – ∧ –q p∨q = p

Si dice tautologia una proposizione composta o formula proposizionale che risulta sempre vera, qualunque sia il valore di verità attribuito alle proposizioni semplici che la compongono.

sezione 1 Si dice contraddizione una proposizione composta o formula proposizionale che risulta sempre falsa, qualunque sia il valore di verità attribuito alle proposizioni semplici che la compongono. Due proposizioni logiche, entrambe composte dalle stesse proposizioni semplici, si dicono equivalenti se assumono valori di verità uguali in corrispondenza degli stessi valori di verità assegnati alle proposizioni semplici che le compongono.

Regole di deduzione Schema su cui dovrebbe essere basato un ragionamento: • si considerano delle affermazioni, dette premesse, assunte per vere; • da queste affermazioni si deduce la verità di un’altra affermazione detta conclusione. Le regole di deduzione permettono di dedurre la verità della conclusione a partire dalla veridicità delle premesse. Applicando queste regole si segue un ragionamento valido, cioè una deduzione logica. Alcune di queste regole di deduzione sono le seguenti • Modus Ponens: ( p → q) ∧ p → q Le premesse sono: p → q e p La conclusione è: q

– • Modus Tollens: ( p → q) ∧ –q → p – Le premesse sono: p → q e q – La conclusione è: p

Logica dei predicati Si definisce predicato o enunciato aperto un enunciato p(x) che contiene una o più variabili ciascuna definita in un insieme D detto dominio. L’insieme di verità P di un predicato p(x) è l’insieme di tutti i valori x, presi dal dominio D, che rendono il predicato una proposizione vera.

Predicato in una variabile: p(x ) p(x ) “x è un multiplo di 8” Dominio = N p(24) “24 è un multiplo di 8” è un enunciato vero p(30) “ 30 è un multiplo di 8” è un enunciato falso

Predicato in due variabili: p(x,y) p(x,y) “x + y è un numero pari” Dominio = N x N p(2,4) “2 + 4 è un numero pari” è un enunciato vero p(3,6) “3 + 6 è un numero pari” è un enunciato falso

Nota bene: fissando il valore della variabile (o delle variabili), un predicato diventa un enunciato vero o falso, pertanto si possono definire anche per i predicati le stesse operazioni logiche definite per le proposizioni. Un quantificatore è un simbolo che premesso ad un predicato lo rende un enunciato. quantificatore

simbolo

lettura

applicato al predicato

universale

∀

“per ogni”

∀ x : p(x)

esistenziale

∃

“esiste”

∃ x : p(x)

Sia x un numero naturale e sia p(x ) : x è un multiplo di 5 ∀x: p(x ) = Ogni x, con x numero naturale, è un multiplo di 5 ∃x: p(x ) = Esiste almeno un numero naturale x che è multiplo di 5

significato Il predicato è vero per ogni valore di x del dominio D Esiste almeno un valore x del dominio per cui il predicato è vero

Elementi di logica e algebra astratta

Implicazione ed Equivalenza logica Siano p(x) e q(x) due predicati i cui rispettivi insiemi di verità sono P e Q. La scrittura p(x) ⇒ q(x) si legge “p(x) implica q(x)” cioè indica che p(x) è condizione sufficiente per q(x), ovvero che q(x) è condizione necessaria per p(x). Ciò è verificato se per ogni valore di x per cui è vero p(x), è vero anche q(x); in tal caso risulta vero l’enunciato ∀x(p(x) ⇒ q(x)). La scrittura p(x) ⇔ q(x) si legge “p(x) è equivalente a q(x)” cioè indica che p(x) è condizione necessaria e sufficiente per q(x). Ciò è verificato se per ogni valore di x, p(x) e q(x) sono entrambi veri o entrambi falsi; in tal caso risulta vero l’enunciato ∀x(p(x) ⇔ q(x)).

1.2 TEORIA DEGLI INSIEMI Insiemi e loro rappresentazione Un insieme è un raggruppamento di elementi. Si parla di insieme in senso matematico quando esiste un criterio che permette di stabilire, in modo oggettivo ed univoco, se un elemento appartiene all’insieme o no. Generalmente gli insieme si indicano con le lettere maiuscole, A, B, C, ... X, ..., mentre gli elementi con lettere minuscole, a, b, c, ... x,...

Sono insiemi (in senso matematico): • Le capitali europee • I multipli di 5

Non sono insiemi: • Le città più belle d’Europa • I numeri grandi

Notazioni simboliche in simboli a ∈A a ∉A

si legge L’elemento a “appartiene” all’insieme A L’elemento a “non appartiene” all’insieme A

Un insieme si dice finito quando contiene una quantità finita di elementi, mentre è infinito quando contiene un numero illimitato di elementi, è vuoto se non contiene alcun elemento e si indica con le scritture ∅ oppure {}.

Insieme infinito

• I numeri naturali maggiori di 50

Insiemi finiti

• I divisori di 24 • Le vocali dell’alfabeto italiano

Insiemi vuoti

• I felini con le ali • I divisori del 12 maggiori di 20

sezione 1 Un insieme può essere rappresentato in tre modi differenti • Rappresentazione per elencazione: vengono elencati gli elementi dell’insieme, scritti senza ripetizioni, separati da una virgola o da un punto e virgola, all’interno di parentesi graffe. Se l’insieme è infinito, si possono scrivere alcuni elementi e poi farli seguire da puntini di sospensione, quando la successione di elementi è facilmente intuibile. • Rappresentazione per caratteristica: si indica la caratteristica o proprietà che accomuna gli elementi dell’insieme preceduta dalla scrittura a | a ... , che si legge “a tale che a”..., e “a” indica il generico elemento dell’insieme A, il tutto racchiuso da parentesi graffe. • Rappresentazione grafica con diagramma di Eulero-Venn: si scrivono gli elementi dell’insieme in una regione di piano delimitata da una linea chiusa.

Nota bene: le rappresentazioni per elencazione e con diagramma sono maggiormente indicate per insiemi che hanno un numero di elementi piccolo, mentre la rappresentazione per caratteristica è sempre utilizzabile.

Consideriamo l’insieme X delle vocali dell’alfabeto italiano. Rappresentazione per elencazione

X = {a, e, i, o, u}

Rappresentazione per caratteristica

X = {x | x è una vocale dell’alfabeto italiano}

Diagramma di Eulero-Venn

•a •i

•o

•e •u

Due insiemi uguali sono insiemi formati dagli stessi elementi. Due insiemi sono diversi se esiste almeno un elemento che appartiene ad uno dei due insiemi e non appartiene all’altro. Due insiemi sono disgiunti se non hanno alcun elemento in comune. Dati due insiemi A e B si dice che B è sottoinsieme di A se ogni elemento di B è anche elemento di A. In simboli si scrive B⊆A e si legge “B è contenuto (o incluso) in A o uguale ad A”. Se B è sottoinsieme di A, cioè se ogni elemento di B è anche elemento di A ed esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B, allora si dice che B è sottoinsieme proprio di A. In simboli si scrive B⊂A e si legge “B è strettamente contenuto in A”.

Sia A l’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano A

L’insieme B delle vocali è un sottoinsieme di A A = {x | x è una lettera dell’alfabeto italiano} B = {a, e, i, o, u} B⊂A

Graficamente risulta

Elementi di logica e algebra astratta Qualunque sia l’insieme A si ha sempre che A ⊆ A e ∅ ⊆ A, gli insiemi A e ∅ sono sottoinsiemi impropri di A. Con insieme universo, che generalmente si indica con U, si intende l’insieme che contiene la totalità degli elementi di un genere; è anche detto insieme ambiente.

• L’insieme dei numeri naturali

• L’insieme delle lettere dell’alfabeto

Dato un insieme A, si definisce insieme delle parti di A l’insieme formato da tutti i sottoinsiemi propri di A oltre ad A stesso e all’insieme vuoto ∅; si indica con P (A)

A = {a; b; c} P (A) = {∅; A; {a}; {b}; {c}; {a;b}; {a;c}; {b;c}}

Operazioni tra insiemi L’intersezione tra due insiemi A e B, si scrive A ∩ B, è l’insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad A che a B.

La differenza tra due insiemi A e B, si scrive A − B, è l’insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad A e non appartengono a B.

A ∩ B = {x | x ∈A e x ∈B}

A − B = {x | x ∈A e x ∉B}

ovvero

A ∩ B = {x | x ∈A ∧ x ∈B}

A − B = {x | x ∈A ∧ x ∉B}

A− B A

A∩ B

L’unione tra due insiemi A e B, si scrive A ∪ B, è l’insieme formato dagli elementi che appartengono ad A o a B o ad entrambi, presi una sola volta. A ∪ B = {x | x ∈A o x ∈B} A ∪ B = {x | x ∈A ∨ x ∈B} B

A∪ B

B− A

Se B è un sottoinsieme di A, cioè B ⊂ A, allora la differenza A − B = CA(B) si chiama complementare di B rispetto ad A.

ovvero

CA(B)

A B

Nota bene: Se si considera il complementare rispetto all’insieme universo U, si può omettere il pedice e si scrive C(B).

sezione 1

A ∪ B = {a; b; c; d } A ∪ D = {a; b; c; d; e; f } A − B = CA(B ) = {a}

Dati gli insiemi A = {a; b; c} B = {b; c; d} e C = {d; e; f } A ∩ B = {b; c } A ∩C = ∅

Proprietà delle operazioni tra insiemi commutativa

dell’intersezione dell’unione

associativa

dell’intersezione dell’unione

A∩ B = B∩A A∪ B = B∪A

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) C(A ∪ B) = C(A) ∩ C(B) C(A ∩ B) = C(A) ∪ C(B)

distributiva dell’unione rispetto all’intersezione dell’intersezione rispetto all’unione Leggi di De Morgan

Due o più sottoinsiemi di un insieme A formano una partizione di A se • ogni sottoinsieme è non vuoto • l’unione dei sottoinsiemi è uguale all’insieme A • i sottoinsiemi della partizione sono a due a due disgiunti

Nota bene: 1 Se B ⊆ A, 2 Se A e B sono DISGIUNTI, 3 Se B = ∅ 4 Se A e B sono DISGIUNTI,

allora allora allora allora

A∩ B = B A∩ B = ∅ A∩ ∅ = ∅ A− B = A

A∪ B = A

e e

A∪ ∅ = A B− A = B

Il prodotto cartesiano tra gli insiemi A e B, si scrive A × B, è l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (a; b) dove il primo elemento a appartiene ad A e il secondo elemento b a B. A × B = {(a; b) | a ∈A e b ∈B}

ovvero

A × B = {(a; b) | a ∈A ∧ b ∈B}

Proprietà del prodotto cartesiano A× B ≠ B× A A× ∅ = ∅× A = ∅ ∅× ∅ = ∅ Il prodotto cartesiano può essere rappresentato graficamente con un diagramma cartesiano o con una tabella a doppia entrata.

Sono dati gli insiemi A = {a; b; c} e B = {1; 2} A × B = {(a; 1), (a; 2), (b; 1), (b; 2), (c; 1), (c; 2)}

Diagramma cartesiano B

Tabella a doppia entrata B

(a; 1)

(a; 2)

(b; 1)

(b; 2)

(c; 1)

(c; 2)

(a; 2)

(b; 2)

(c; 2)

(a; 1)

(b; 1)

(c; 1)

Elementi di logica e algebra astratta

Tabella riepilogativa dei simboli simbolo

significato

∈

(l’elemento ...) appartiene (all’insieme ...)

∉

(l’elemento ...) non appartiene (all’insieme ...)

∅

insieme vuoto

⊆

(l’insieme ...) è incluso (nell’insieme ...)

⊂

(l’insieme ...) è incluso in senso stretto (nell’insieme ...)

⊄

(l’insieme ...) non è incluso (nell’insieme ...)

∪

unione

∩

intersezione

prodotto cartesiano

CA(B)

complementare di B rispetto ad A

∀

per ogni (elemento)

∃

esiste (almeno un elemento)

∃/

non esiste (alcun elemento)

1.3 RELAZIONI E FUNZIONI Relazioni: definizioni e proprietà Relazione binaria: dati due insiemi A e B non vuoti, si dice relazione binaria una legge che associa elementi di A con elementi di B; si scrive aRb con a ∈A e b ∈B e si legge “a è in relazione con b”. Una relazione corrisponde a un sottoinsieme di A × B: R = {(a, b) | a ∈A, b ∈B, aRb}. L’elemento b si dice immagine di a secondo la relazione R. L’elemento a si dice controimmagine di b secondo la relazione R. Una relazione binaria si può rappresentare graficamente con un diagramma a frecce, con un reticolo o con una tabella a doppia entrata. Dominio: è l’insieme degli elementi di A che hanno almeno un’immagine in B. Codominio: è l’insieme degli elementi di B che sono immagine di almeno un elemento di A. Relazione inversa di una relazione R tra A e B si indica con R−1 ed è la relazione tra B e A ottenuta invertendo le coppie ordinate di R. R A

B 1•

•a

2• •x

3•

D = {1, 2} C = {a, x} R = {(1, a), (1, x), (2, a), (2, x)} R−1 = {(a, 1), (x, 1), (a, 2), (x, 2)}

R−1

sezione 1

Proprietà delle relazioni Una relazione R definita in un insieme A può godere delle seguenti proprietà: riflessiva

∀ a ∈A

si ha

aRa

simmetrica

∀ a, b ∈A

si ha

aRb → bRa

transitiva

∀ a, b, c ∈A

si ha

aRb ∧ bRc → aRc

antisimmetrica

∀ a, b ∈A

si ha

aRb ∧ a ≠ b → bR /a

antiriflessiva

∀ a ∈A

si ha

aR /a

Osservando la rappresentazione grafica di una relazione si può verificare di quali proprietà gode. riflessiva

antiriflessiva

a C’è il cappio

La diagonale principale contiene tutti i punti

Non c’è il cappio

simmetrica

Sulla diagonale principale non ci sono punti

antisimmetrica b

a C’è freccia in entrambi i sensi

Ogni punto ha il suo simmetrico rispetto alla diagonale principale

La freccia è solo in un senso

I punti non hanno il simmetrico rispetto alla diagonale principale

transitiva b a

c R è una relazione di equivalenza se gode delle proprietà: riflessiva, simmetrica, transitiva. Data una relazione di equivalenza R, definita in un insieme non vuoto A, la classe di equivalenza di a ∈A è il sottoinsieme {x ∈A | xRa}; si dice insieme quoziente dell’insieme A rispetto alla relazione R l’insieme A/R i cui elementi sono tutte le classi di equivalenza in cui resta diviso A. R è una relazione di ordine largo se gode delle proprietà riflessiva, antisimmetrica, transitiva. R è una relazione di ordine stretto se gode delle proprietà antiriflessiva, antisimmetrica, transitiva.

Elementi di logica e algebra astratta

Funzioni: definizioni e proprietà Funzione: una relazione tra due insiemi A e B è una funzione se ogni elemento x di A è in relazione con un solo elemento y di B. Una funzione si indica con f : A → B oppure con y = f (x) dove x è la variabile indipendente e la y la variabile dipendente. A

B a• b•

•m •n

c•

È una funzione perché da ogni elemento di A parte una sola freccia A

A È una funzione perché su ogni verticale compare un solo elemento

B a• b•

•m •n

c•

Non è una funzione perché dall’elemento a non parte alcuna freccia C

D a•

•1 •2

b•

•3

Non è una funzione perché dall’elemento a partono due frecce

Non è una funzione perché su una verticale compaiono più elementi

Il dominio D (o campo di esistenza) di una funzione matematica è l’insieme dei valori reali per cui hanno significato le operazioni matematiche mediante cui è definita.

Proprietà delle funzioni iniettiva

suriettiva

biiettiva (o biunivoca)

a elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.

ogni elemento di B è immagine di qualche elemento di A.

ogni elemento di B è immagine di un solo elemento di A.

B •a

1• 2• 3•

•d •b •c

B a• b•

c• d•

•1

B a• b•

•2 •3

c•

•1 •2 •3

Funzione inversa: se una funzione f è biunivoca, esiste la funzione f −1, detta funzione inversa, che associa a ogni elemento del secondo insieme un solo elemento del primo insieme. Una funzione è invertibile se ammette l’inversa. Funzione composta: dati tre insiemi A, B, C e due funzioni f : A → B e g : B → C, si chiama funzione composta la funzione g ° f : x → g( f (x)). La scrittura g ° f si legge “g composta f ”.

sezione 1 3 Esprimi la negazione delle seguenti proposizioni logiche.

1.1 1

Stabilisci quali delle seguenti espressioni linguistiche sono proposizioni logiche. a b c d e f g h i l

Ancona è la capitale d’Italia. 19 è un numero dispari. 24 è un multiplo di 6. Roma è la città più bella d’Italia. La matematica è difficile. Serena è alta. Corrado è più alto di 140 cm. Il parallelogramma ha quattro lati. Gemma ha i capelli biondi. 15 è divisibile per 5.

Esempio Gemma è nata a marzo

SI NO

Gemma non è nata a marzo

SI NO SI NO SI NO

Il trapezio è un quadrilatero

Il Po è un lago

La Juventus ha vinto l’ultimo campionato di calcio

Parigi è una città spagnola

La somma degli angoli interni di un triangolo è 360°

Tutti i numeri primi sono divisibili per 3

Esiste almeno un pentagono con 6 lati

Tutti i multipli di 3 sono numeri pari

SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO

Indica se le seguenti proposizioni logiche sono elementari E o composte C . a b c d

e f g h i l

Il delfino è un pesce e un mammifero. La radio è accesa. Se c’è il sole allora vado al mare. Un poligono è un quadrilatero se e solo se ha quattro lati. Il 25 è un numero primo. Se giochi allora ti diverti. La x è una lettera dell’alfabeto italiano. La lettera d non è una vocale. Serena studia geometria. La televisione è accesa.

E C E C E C E C E C E C E C E C E C E C

4 Individua gli enunciati elementari che compongono le seguenti proposizioni composte e i connettivi logici che le legano.

proposizione logica composta Vado al cinema o in pizzeria. 24 è un numero pari e un multiplo di 3. Il Po non è un lago. Se piove allora prendo l’ombrello. Un numero è pari se e solo se è divisibile per 2. Se 24 e un numero pari allora è divisibile per 6. Corrado non ha studiato storia. Vado al mare solo se c’è il sole. Un poligono è regolare solo se ha tutti i lati congruenti. O prendo la macchina o prendo il treno.

proposizioni elementare

connettivi

Elementi di logica e algebra astratta 5

Completa la seguente tavola di verità relativa alla seguente formula proposizionale. p

p∨q

– q

– p→ q

Individua quali insiemi sono infiniti finiti F e quali vuoti V .

( p∨q)∧( p→ q–)

L’insieme dei fiumi d’Italia

F V

L’insieme dei numeri interi maggiori di 10 000

F V

L’insieme degli insegnanti della scuola

F V

L’insieme delle vocali

F V

L’insieme dei numeri interi maggiori di 29 e minori di 30

F V

L’insieme delle capitali d’Italia

F V

L’insieme degli alunni della tua classe che hanno più di 20 anni

F V

L’insieme delle città della Lombardia

F V

____

Determina nel dominio D dei numeri naturali l’insieme di verità P dei seguenti predicati. a

p(x): “x è un divisore di 18” P =_________________________________________

I , quali

p(x): “x è un numero primo minore di 30” P =_________________________________________

p(x): “x è un multiplo di 5 minori di 43”

P =_________________________________________ d

p(x): “x è un numero a due cifre”

Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi.

A = insieme delle vocali dell’alfabeto italiano

B = insieme delle lettere della parola “matematica”

C = insieme dei multipli di 6 minori di 50

D = insieme delle province dell’Abruzzo

E = insieme dei divisori del 10 maggiori di 20

P =_________________________________________

1.2 1

Stabilisci quali dei seguenti raggruppamenti sono insiemi in senso matematico. a b c d e f g h i l m n

Gli alunni della tua classe nati a gennaio Gli alunni alti della tua classe Le squadre di calcio del campionato di serie A Gli insegnanti simpatici del tuo istituto I numeri piccoli Le capitali europee Le belle città europee I quadrilateri con cinque lati I poligoni regolari Gli animali docili I numeri naturali minori di 12 I monumenti più famosi del mondo

SI NO SI NO SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI

NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO

Completa con i simboli di appartenenza ∈ o non appartenenza ∉.

Rappresenta per caratteristica i seguenti insiemi.

A = insieme delle consonanti dell’alfabeto italiano

B = insieme delle materie del tuo corso di studi

C = insieme dei numeri naturali maggiori di 32

D = insieme delle città toscane

E = insieme dei numeri primi divisibili per 3

a b c d e f g h

Il gatto __ all’insieme dei felini La palla __ all’insieme degli strumenti musicali Il Cervino __ all’insieme dei fiumi d’Italia La rosa __ all’insieme dei fiori Il Sole __ all’insieme delle stelle del sistema solare Il quadrato __ all’insieme dei quadrilateri Il Vesuvio __ all’insieme dei vulcani europei Ancona __ all’insieme delle capitali europee

sezione 1 6

Rappresenta graficamente i seguenti insiemi. A = insieme delle lettere della parola “computer”

B=insieme delle cifre dispari

C = insieme dei divisori di 8

D = insieme dei giorni della settimana che iniziano con la lettera r

Collega con una freccia ciascuna operazione tra insiemi qualsiasi A e B con la rispettiva definizione. A∩ B

Ogni elemento di B è anche elemento di A

A∪ B

Insieme privo di elementi

B⊂A

Insieme formato da elementi che appartengono sia ad A che aB

A = ∅Δ

Insieme formato da tutti gli elementi che appartengono a B e non appartengono ad A

CB A

Insieme formato da elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi considerati

Colora la parte corrispondente all’operazione tra gli insiemi A e B indicata a lato. A

A∩ B e

E = insieme note musicali

delle

A∪ B 7 Dato l’insieme A = {2; 4; 6; 8; 10; 12; ...; 98; 100}, stabilisci quali dei seguenti insiemi è sottoinsieme di A, segna con una X.

B = {x | x è un multiplo di 10}

B CB(A)

C = {x | x è un multiplo di 6 minore di 50} D = {x | x è un numero primo} E = {x | x è un divisore di 16 maggiore di 2} Dato l’insieme A = {m; a; r; e}, stabilisci quali dei seguenti insiemi sono uguali ad A, segna con una X.

A− B

B = {x | x è una vocale dell’alfabeto italiano} C = {x | x è una lettera della parola marea} D = {x | x è una lettera dell’alfabeto italiano} E = {x | x è una lettera della parola amare}

B− A

Elementi di logica e algebra astratta 11 a

Segna con una X la risposta esatta.

Un insieme si dice vuoto se:

appartengono solo ad uno di essi.

ha pochi elementi.

appartengono almeno ad uno di essi.

è privo di elementi.

appartengono sia all’uno che all’altro insieme.

ha un gran numero di elementi. l b

La scrittura A ⊂ B significa che:

Dati due insiemi A e B: il prodotto cartesiano A × B è l’insieme di tutte le coppie in cui un elemento appartiene ad A e un elemento appartiene a B.

A appartiene a B. A è un sottoinsieme proprio di B.

il prodotto cartesiano A × B è l’insieme di tutte le coppie ordinate, in cui il primo elemento appartiene ad A e il secondo elemento appartiene a B.

B è un sottoinsieme proprio di A. c

L’intersezione di due insiemi è l’insieme formato dagli elementi che:

Se gli insiemi A e B sono disgiunti, la loro intersezione è:

il prodotto cartesiano A × B è l’insieme di tutti gli elementi di A e di B presi a due a due.

l’insieme A. l’insieme B. l’insieme vuoto. d

Se gli insiemi A e B sono disgiunti, la differenza A − B è:

12 Considera gli insiemi A e B rappresentati con diagrammi di Eulero-Venn.

l’insieme A.

l’insieme B.

•1

l’insieme vuoto. e

•3 •4

Se B è un sottoinsieme di A, la loro unione è:

•5

l’insieme A. l’insieme B.

•2

un nuovo insieme diverso da A e da B che contiene gli elementi comuni ad A e a B.

•8

•6 •7

•9

Se B è un sottoinsieme di A, la loro intersezione è: l’insieme A. l’insieme B. un nuovo insieme diverso da A e da B che contiene gli elementi comuni ad A e a B.

La differenza tra l’insieme A e l’insieme B è l’insieme formato dagli elementi che: appartengono solo ad A.

6 ∈A

V F

5 ∉B

V F

A⊄B

V F

Se B ⊂ A, l’insieme complementare di B rispetto ad A è l’insieme i cui elementi:

A⊆B

V F

A∩ B = A

V F

appartengono a B.

A∩ B = B

V F

non appartengono a B ma appartengono ad A.

A∩ B = ∅

V F

appartengono all’intersezione di A e B.

A∪ B = A

V F

appartengono solo a B. non appartengono né ad A né a B. h

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere V o false F .

sezione 1

1.3 1

Vero o falso? Una relazione binaria si può rappresentare graficamente con un diagramma a freccia, con un reticolo o con una tabella a doppia entrata. A ogni relazione R tra A e B corrisponde un sottoinsieme di A × B. Una relazione R definita in un insieme A non vuoto è riflessiva se xRy per ogni x e y ∈ A. La scrittura ∀ x, y, z ∈ A xRy ∧ yRz → xRz rappresenta la proprietà transitiva. Se un elemento è in relazione con se stesso la relazione è simmetrica. La relazione “essere maggiore di” in N è una relazione di ordine stretto. La relazione “essere divisore di” in N non è una relazione d’ordine.

a b c d e f g 2

b c d e f g h

F F F F F F F

Vero o falso? Una relazione R è di equivalenza se è riflessiva, simmetrica, transitiva. Una relazione di equivalenza R è anche una relazione d’ordine. Si dice dominio di una relazione tra A e B l’insieme degli elementi di A che sono in relazione con almeno un elemento di B. Si dice codominio di una relazione tra A e B l’insieme degli elementi di B che sono in corrispondenza di almeno un elemento di A. Una funzione si può rappresentare solo con un diagramma a freccia. Data una relazione R tra A e B, la relazione inversa o reciproca si indica con R−1 ed è una relazione tra B e A. La scrittura f ° g indica una funzione composta. La composizione di funzioni gode della proprietà commutativa.

V V V V V V V

V F V F V F V F V F V F V F V F

1.1 1 Date le seguenti proposizioni composte, indica con una lettera ogni proposizione elementare che le compone e riscrivi la proposizione composta in forma simbolica.

“Lucia se non piove allora esce” “Un numero è pari solo se è divisibile per 2”

“Leggo un libro e non esco”

“Finirò i compiti e non andrò a giocare a tennis”

Esempio “Se studi matematica allora prenderai un bel voto” Proposizioni elementari: p: studi matematica q: prenderai un bel voto La proposizione composta si traduce in forma simbolica: p → q

Considera le seguenti proposizioni elementari: • p: 12 è un multiplo di 4 • q: 12 è divisibile per 3 Scrivi in linguaggio comune le proposizioni composte date in forma simbolica. Esempio p → q : se 12 è un multiplo di 4 allora è divisibile per 3

Esercizio guidato “Il delfino è un pesce ed un mammifero” Proposizioni elementari:

p ∧ q : ______________________________________

p ∨ q : ______________________________________

––––– p → q : _____________________________________

–q ↔ q : _____________________________________

p: _____________________________________________ q: _____________________________________________ La proposizione composta si traduce in forma simbolica: ______________________________________________

Elementi di logica e algebra astratta 3

Considera le seguenti proposizioni elementari: V • p: 72 è un multiplo di 8 F • q: 12 è un numero dispari F • r: 15 è un numero primo Determina il valore di verità delle seguenti proposizioni composte.

Utilizza le proposizioni semplici p: “5 è un numero primo”, q: “il trapezio ha tre lati”, r: “se 5 + x = 3, x ∈Z”, s: “7x = 4 ha soluzione in Z” per determinare il valore di verità delle seguenti proposizioni. a

p∧q =

p∧s =

p∨q =

. q∨ r =

q∨ r =

p→q =

q∨ s =

–s → p =

q↔r =

( ––––– p∧q )∨ q =

( p– ∨ –q) ∧ q =

r→p =

( p ∧ –q) → ( q ∧ p– ) =

– ∧ –r = p

( p ∨ r) ∧ ( p ∨. r) =

[aV

F c V d V e F]

V c F d V e F f V g V h F i V l F]

Costruisci le tavole di verità delle seguenti proposizioni.

Esempio

[

]

– ∨ q) → q ∨ ( p ∧ q –) Costruisci la tavola di verità della proposizione ( p . – – – ( p–∨q) p q p q p∧q

–) q∨( p∧q

( p–∨q)→[q∨( p∧q–)]

Esercizio guidato

( p ∧ q) ∨ ( p– ↔ q) p

p∧ q

– p

–↔q p

( p∧q)∨( p– ↔ q)

___

( p ∧ q) ∨ ( p– ∧ r) ∨ ( q ∧ r)

[V V F F V F V F]

( p ∨ q) ∧ –r

[V F V F V F V V]

–∧q p

[F F V F]

p ∨ –q

[V V F V]

( p–––– ∧ q ) → ( p ∨ q)

[V V V F]

– ∧ –q ∧ ( p → q) p

[F F F V] gie o contraddizioni.

( p ∨ q) ∧ ( p– ∨ q)

[V F V F]

– p∨p

[tautologia]

( p– ∨ q) ↔ p

[V F F F]

– p∧p

[contraddizione]

( p–––– ∧ q) ∨ (q ↔ p)

[tautologia]

( p ∨ q) ↔ (q ∨ p)

[tautologia]

( p– ∧ –q) → (q ↔ r)

[V V V V V V F V]

( p ∧ q) ↔ ( p– ∨ –q)

[contraddizione]

[V F F V V V V F]

( p ∧ q) → p ∨ q

[V F V V]

( p → q) ∧ ( p ∧ –q)

p → (–q ∨ r) ∧ q ∨ ( p ↔ –r )

– ∨q ( p–––– ∨ q) ∧ p

__________

Verifica se le seguenti proposizioni sono tautolo-

[tautologia] [contraddizione]

sezione 1 7

Verifica se le seguenti proposizioni sono/non sono logicamente equivalenti.

Esempio – e p –∧q p∨q Costruiamo la tabella di verità delle due proposizioni. p

– q

– p∨q

– p

–∧q p

Le due proposizioni non sono logicamente equivalenti perché non assumono gli stessi valori di verità al variare dei valori assunti dalle proposizioni semplici che le compongono.

Esercizio guidato –) e p ∧ ( p–––– p ∧ (p ∧ q ∧ q) . p q

– q

– p∧ q

–) p∧( p∧q

p∧q

–––– p∧q

p∧( –––– p∧q)

___

–––– p ∧ ( p ∧ –q) e p ∧ ( p ∧ q) – p∨q e p→q

a b

[sì] [no] [sì] [sì]

( p ∧ q) ∨ ( p– ∧ –q) e ( p ∨ –q) ∧ ( p– ∨ q) – ∧ –q ) ∨ ( r ∧ q) ( p–––– ∨ q) ∨ ( r ∧ q) e ( p

c d e

– ∧ q) ∧ r ∨ (––––– ( p– ∧ q) ∧ r ∨ (––––– p ∨ –q) ∨ r e ( p p ∨ –q) ∨ –r

[no]

– ∨ –q) ∨ –r ( p– ∧ q) ∧ r ∨ ( p– ∨ –q) ∨ –r e ( p–––– ∧ q) ∧ r ∨ ( p

[no]

Verifica che la formula enunciativa, detta Modus Tollendo Ponens, ( p ∨ q) ∧ –q → p, è una tautologia e componi un ragionamento che schematizza tale formula. 8

– , è una tautologia e comVerifica che la formula enunciativa, detta Modus Ponendo Tollens, ( –––– p ∧ q) ∧ q → p poni un ragionamento che schematizza tale formula. 9

Esempio

Sono dati, in N, i seguenti predicati: p(x ) : x è numero primo; q(x) : x è un numero maggiore di 11. Determina i valori di verità dei seguenti predicati composti per i valori di x assegnati. ________ ___ ___

___

( p(x) ∨ q(x)) ∧ q(x)

per x = 2

Determiniamo il valore di verità dei predicati semplici: p(2) è vero, q(2) è falso; determiniamo ora il valore di verità del predicato composto: ___ ( p(2) ∨ q(2)) ∧ q(2) = ( V ∨ F ) ∧ V = V ∧ V = V Il predicato dato è vero per x = 2.

b p(x) ∧ q(x)

per x = 13

p(13) è vero, q(13) è vero; determiniamo ora il valore di verità del predicato composto: __________ ____ ____ _____ __ p(13) ∧ q(13) = F ∧ F = F = V Il predicato dato è vero per x = 13.

Elementi di logica e algebra astratta 11

Sono dati, in N, i seguenti predicati:

Dati i seguenti predicati indica un valore di x e y che li renda veri.

p(x): x è multiplo di 2; q(x): x è minore di 14.

Determina il valore di verità dei seguenti predicati composti per i valori di x assegnati. –––– a p(x) ∧ q(x) per x = 3

x è numero primo minore di 11 x = ________ x è minore di y x = ________

x è maggiore di −2

–––– –––– p(x) ∨ p(x) ∨ q(x)

per x = 8

–––– –––– p(x) ∨ q(x) ∨ p(x)

per x = 10

__________ p(x) ∧ q(x) ∨ p(x)

________________________________ –––– p(x) ∨ q(x) ∧ p(x) ∨ q(x)

y = ________

x = ________ x e y hanno per MCD il numero 3

x = ________

per x = 14

y = ________

x è uguale a 16

x = ________ per x = 11

x è una città europea

x = ________ 12

x e y hanno per mcm 12

Sono dati, in N, i seguenti predicati:

x = ________

p(x): x è multiplo di 3; q(x): x è minore di 20.

Determina il valore di verità dei seguenti predicati composti per i valori di x assegnati. p(x) ∧ q(x)

per x = 1

p(x) ∨ q(x)

per x = 10

–––– –––– p(x) ∨ q(x)

per x = 18

__________ –––– –––– p(x) ∧ q(x)

per x = 9

_________ p(x) ∧ p(x) ∨ q(x)

per x = 19

a b

y = ________

Individua i valori di verità del seguente predicato definito per x, y ∈ Q. p(x, y): 2x − y = 1 a

per x = 1 e y = 1

per x = 2 e y = 3

per x = 3 e y = 2

per x = −

1 ey=0 2

18 Individua i valori di verità del seguente predicato definito per x, y ∈ Q.

p(x, y): x 2 − y = 3 Dato il predicato p(x): 6x − 18 = 0 definito in N, determina se le seguenti proposizioni sono vere o false. 13

p(4)

p(1)

p(3)

per x = 2 e y = 1

per x = 0 e y = −3

per x = 3 e y = 6

p(2) Dato il predicato p(x, y): x > y, indica quale delle seguenti coppie di valori lo rendono un enunciato vero e quali falso. 19

14 Dato il predicato p(x, y): 3x − y − 1 = 0 definito per x, y ∈ Q, determina se le seguenti proposizioni sono vere o false.

p(0, 0)

p(1, 3)

⎛ c p⎜ ⎝

1 , 3

⎞ 0⎟ ⎠

⎛ a ⎜ ⎝

Dato il predicato p(x): 2x − 8 = 0 definito in N, determina il suo insieme di verità. 15

1 3⎞ , 2 4 ⎟⎠

(1,6–, 1,3–)

⎛ g ⎜− ⎝

⎛ b ⎜ ⎝

2 ⎞ ,0 5 ⎟⎠

(−3, −7)

(−3, −1)

⎛ ⎜⎝

–⎞ 1 , 0,3⎟ ⎠ 3

1 5⎞ ,− ⎟ 2 6⎠

sezione 1 20

Indica se i seguenti enunciati sono veri o falsi.

∀x ∈ N : x < 0

V F

∀x ∈ Z : x + 9 = 0

V F

∃ x ∈ N : x < 10

V F

∃x ∈ Z : x < 0

V F

Traduci le seguenti proposizioni in linguaggio matematico utilizzando i quantificatori. a

Nessun numero naturale x è minore di 0.

Esiste un numero naturale x maggiore di 12.

Tra 4 e 5 è possibile trovare un numero reale.

15 non è il quadrato di un numero naturale.

e f

I numeri naturali sono sempre diversi dal loro doppio. Un numero naturale ha sempre il successivo.

I numeri naturali possono essere numeri primi.

Alcuni numeri razionali sono anche numeri interi.

Non ci sono numeri naturali divisibili per 0.

Determina il valore di verità delle seguenti proposizioni in Q. a

∀ x ∈ Q : | x| = x

∀ x ∈ Q : 3x 2 = 3x

∃ x ∈ Q : x2 = x

∃ x ∈ Q : 3x + 2 = 3x

∀x ∈ Q : x − 1 = 3 + x − 4

∃ x ∈ Q : 3x 2 + 1 = 0

1.2

Rappresenta graficamente i seguenti insiemi.

Esempio 1

X = {x ∈ N | x è un divisore di 12}

Scrivi per elencazione i seguenti insiemi.

Esempio

B = {x | x è una lettera della parola atollo} La rappresentazione tabulare è: B = {a, t, o, l}. Nella parola atollo le lettere t, o, l compaiono due volte, ma nella rappresentazione tabulare l’elemento che si ripete si mette una volta sola.

A = {x | x è una lettera della parola vuoto}

B = { nord; sud; est; ovest}

A = {x | x è una consonante della parola matematica}

B = {x | x è un multiplo di 9 minore di 40}

C = {x | x è un pianeta del sistema solare}

C = {x ∈ N | x è un numero a due cifre minore o uguale a 16}

4 Confronta le seguenti coppie di insiemi e verifica se il primo è o no sottoinsieme del secondo.

Esempi 1

Scrivi per caratteristica i seguenti insiemi.

•1 •2 •3 •4 •6 •12

A è l’insieme delle vocali della parola fiore, B è l’insieme delle vocali della parola bacio. A = {i, o, e}, B = {a, i, o} ⇒

A B

Esempio X = {do; re; mi; fa; sol; la; si} X = {x | x è una nota musicale} a

A = {lunedì; martedì; mercoledì; giovedì; venerdì; sabato; domenica}

B = {primavera; estate; autunno; inverno}

C = {r; o; m; a}

2 A è l’insieme dei divisori di 6, B è l’insieme dei

numeri compresi tra 1 e 10 (inclusi). A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⇒ A⊂B 3 A è l’insieme delle lettere della parola roma, B è

l’insieme delle lettere della parola ramo. A = {r, o, m, a}, B = {r, a, m, o} ⇒

A⊆ B

Elementi di logica e algebra astratta a

A è l’insieme degli abitanti di Milano, B è l’insieme degli abitanti di Venezia, Milano e Roma.

A è l’insieme delle vocali della parola odore, B è l’insieme delle vocali della parola desiderio.

A è l’insieme delle vocali della parola rito, B è l’insieme delle vocali della parola tiro.

A è l’insieme delle consonanti della parola torta, B è l’insieme delle consonanti della parola tortellini.

A è l’insieme delle vocali della parola irto, B è l’insieme delle vocali della parola bello.

A è l’insieme degli scolari della prima e terza classe di una scuola elementare, B è l’insieme di tutti gli scolari della stessa scuola.

Considera i seguenti insiemi:

A = {a | a è un quadrilatero} B = {b | b è un quadrato} C = {c | c è un rettangolo}

D = {d | d è un triangolo}

Rappresenta graficamente gli insiemi e stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere V e quali false F .

6 Dato l’insieme X = {a; e; i; o; u}, stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono corrette C o errate E e correggi quelle errate.

a ∉X

{e; i} ⊆ X {f} ∉X

A⊄B B⊂C

∅⊆ X

∅⊆ D C⊆ A D⊂ A C⊄ A

{u} ⊂ X

V V

e⊂ X

{a; e; c} ⊂ X {a; e; i; o; u} ⊂ X

Determina l’insieme delle parti degli insiemi dati.

Esempio Dato l’insieme A = {1, 2, 3} determina l’insieme delle parti P (A). Ricordando che l’insieme delle parti di un insieme dato A è l’insieme che ha come elementi tutti i sottoinsiemi di A, abbiamo: P (A) = {∅, A, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}

L’insieme è formato da 8 = 23 elementi.

Dato l’insieme A = {3, 5, 8} determina il suo insieme delle parti.

Dato l’insieme A = {m, n, o, p} determina il suo insieme delle parti.

Dato l’insieme A = {x ∈N | 1 ≤ x ≤ 24}, determina la rappresentazione tabulare dei seguenti sottoinsiemi.

Il sottoinsieme B dei numeri divisibili per 2.

Il sottoinsieme C dei numeri divisibili per 3.

Il sottoinsieme D dei numeri divisibili per 7.

Si può dire che questi sottoinsiemi costituiscono una partizione di A?

9 Dato l’insieme A = {12, 22, 30, 32, 50, 112, 310, 401} e i sottoinsiemi A = {12, 30}, A = {22, 112, 310}, 1 2 A3 = {32, 401, 50}, verifica che questi costituiscono una partizione di A.

sezione 1 10

Determina l’insieme risultato delle seguenti operazioni tra gli insiemi dati.

Esempi Dati gli insiemi A = {x ∈ R | 1 < x < 3} e B = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 5} determina gli insiemi A ∪ B e A ∩ B.

A ∪ B = {x ∈ R | 1 < x ≤ 5} A ∩ B = {x ∈ R | 2 ≤ x < 3} 2

Dati gli insiemi A = {2, 3, 5, 11, –1} e B = {7, 4, 2, 5, 11} determina l’insieme A – B. L’insieme A – B è formato dagli elementi di A che non appartengono anche a B. Quindi abbiamo: A – B = {3, –1}

3 Dati gli insiemi A = {x ∈ R | –1 < x < 7} e B = {x ∈ R | 0 < x < 3} determina l’insieme CA(B).

L’insieme B è sottoinsieme di A, quindi possiamo determinare il suo complementare, formato dagli elementi di A che non appartengono a B: CA(B) = {x ∈ R | –1 < x ≤ 0 ∨ 3 ≤ x < 7} a

A è l’insieme formato dalle lettere della parola desiderio e B è l’insieme formato dalle vocali della parola ridere. Trova l’intersezione tra i due insiemi.

A è l’insieme formato dalle vocali della parola dado e B è l’insieme formato dalle vocali della parola ridere. Trova l’intersezione tra i due insiemi.

Dati gli insiemi A = {1, 2, 4, 8} e B = {3, 4, 6, 7, 8}, trova la loro unione e la loro intersezione.

Dati gli insiemi A = {1, 2, 4, 8}, B = {3, 4, 6, 7, 8} e C = {1, 4, 6, 7}, trova: A ∩ B ∩ C e (A ∩ B) ∪ C.

A è l’insieme formato dalle lettere della parola scrivere e B è l’insieme formato dalle lettere della parola piovere. Trova la loro unione.

L’insieme A è formato dai mesi dell’anno il cui nome contiene la consonante r e l’insieme B è formato dai mesi dell’anno il cui nome contiene la vocale o. Trova l’unione e l’intersezione dei due insiemi.

L’insieme A è formato dalle lettere della parola matematica e l’insieme B è formato dalle lettere della parola aritmetica. Trova l’unione e l’intersezione dei due insiemi.

Determina la differenza A − B degli insiemi A = {a, u, v, q} e B = {v, a}.

Determina la differenza A − B degli insiemi A = {l, m, p, q, r} e B = {q}.

11 L’insieme A è formato dalle lettere della parola terra, l’insieme B è formato dalle lettere della parola madre e l’insieme C dalle vocali della parola giocare. Determina i seguenti insiemi. a d

A ∩ (B ∪ C) A ∪ (A ∩ A)

b e

( A ∩ C) ∪ B (A ∩ C) ∪ (B ∩ A)

c f

( A ∪ B) ∩ B (A ∪ B) ∩ (C ∩ A)

Dati gli insiemi A = {p, r, a, v, w}, B = {q, a, w, t} e C = {a, q, z}, verifica la proprietà associativa dell’unione: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 4, 5}, C = {6, 7, 8}, verifica che risulta A − B = (A ∪ C) − (B ∪ C).

14 Dati gli insiemi E = {3, 4, 5}, A = {3, 4}, B = {4, 5}, verifica che risulta: E − (A ∩ B) = (E − A) ∪ (E − B) e E − (A ∪ B) = (E − A) ∩ (E − B).

Elementi di logica e algebra astratta 15

Sono dati gli insiemi A = {a, b}, B = {c, d, e}, C = {c, e}; verifica che risulta: (A ∪ B) − C = A ∪ (B − C).

Sono dati gli insiemi A = {p, q, r, s}, B = {u, v, w}, C = {e, f, g, h}, A1 = {p, r}, B1 = {u}, C1 = { f, g, h}; verifica che risulta: (A ∪ B ∪ C) − (A1 ∪ B1 ∪ C1) = (A − A1) ∪ (B − B1) ∪ (C − C1). 16

Sono dati gli insiemi A = {a, b, c, d}, B = {a, b, d}, C = {b, c}; verifica le Leggi di De Morgan. CA(B ∩ C) = CA B ∪ CAC e CA(B ∪ C) = CA B ∩ CAC. 17

Considera i due insiemi A = {x | x è una lettera dell’alfabeto} e B = {x | x è una vocale}; determina gli insiemi: CA B; A ∩ CA B; B ∩ CA B. 18

Tratteggia l’insieme risultato dell’espressione indicata accanto a ogni figura.

(A ∩ B) ∪ C

(A ∪ B) ∩ C

A − (B ∩ C)

CU(A ∪ C)

20 Determina gli insiemi A e B sapendo che: A ∩ B = {6; 12; 18} A − B = {2; 4; 8; 10; 14; 20}

A ∪ B = {2; 3; 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21}

Rappresenta in tutti i modi possibili gli insiemi A × B e B × A.

Esempio Dati gli insiemi A = {1, 2, 3 } e B = {1, 5}, determina A × B e B × A e rappresenta con un grafico. A × B è uguale a B × A? A × B = {(1, 1), (1, 5), (2, 1), (2, 5), (3, 1), (3, 5)} B × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)} B

A ×B

B ×A

4 3

1 1

A × B ≠ B × A, quindi il prodotto cartesiano non gode della proprietà commutativa. a

A = {a, b, c}

B = {r, s}

A = {m, n}

B = {e}

A = {x, y, z, t}

B = {∅}

Individua A e B, sapendo che A × B = {(r, n), (r, e), (r, r), (r, o), (i, n), (i, e), (i, r), (i, o), (o, n), (o, e), (o, r), (o, o)}.

sezione 1 29

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {3, 4} determina la rappresentazione tabulare e cartesiana dell’insieme A × B. [A × B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}] 23

24 Dato l’insieme A = {1, 2, 3} determina la rappresentazione tabulare e cartesiana dell’insieme A × A. [A × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}]

Dato l’insieme A = {2, 3, 6}, rappresenta l’insieme A × A e, successivamente, il sottoinsieme R di A × A formato dalle coppie (x, y) per le quali x è divisore di y. [A × A = {(2, 3), (2, 2), (2, 6), (3, 3), (3, 2), (3, 6), (6, 3), (6, 2), (6, 6)}; R = {(2, 2), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (6, 6)}] 25

In una città 200 ragazzi hanno la moto, 80 la moto e la bicicletta, 120 la bicicletta, 95 non hanno né la moto né la bicicletta. Determina il numero dei ragazzi della città. [335] 30

In una società sportiva si sono iscritti 52 atleti, 40 non praticano né nuoto né tennis, 10 praticano tennis e 3 di questi fanno anche nuoto. Quanti atleti fanno nuoto? Quanti praticano nuoto, ma non tennis? Quanti atleti fanno solo tennis?

[5; 2; 7]

In un torneo di tennis i giocatori a e b, che costituiscono l’insieme A, devono incontrare singolarmente i giocatori c, d, e (insieme B). In quale modo i giocatori di A possono essere accoppiati con i giocatori di B? I due prodotti A × B e B × A hanno lo stesso significato? [sì] Dati i due insiemi A = {2, 4, 6} e B = {1, 3, 5}, determina il prodotto A × B e determina il sottoinsieme R delle coppie (x, y) per le quali x è minore di y. [A × B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (6, 1), (6, 3), (6, 5)}; R = {(2, 3), (2, 5), (4, 5)}] 27

28 Sia A un insieme di ragazzi, B l’insieme di ragazzi che giocano a basket, C l’insieme di ragazzi che giocano a calcio. Per ogni rappresentazione grafica indica quale insieme rappresenta la parte colorata. A A C C B B

In una scuola si decide di organizzare attività sportive per gli studenti. Per questo vengono allestiti corsi di nuoto, di tennis e di atletica. • 205 studenti si iscrivono al corso di nuoto; • 145 studenti si iscrivono al corso di tennis; • 265 studenti si iscrivono al corso di atletica. Da una analisi delle iscrizioni si rileva che: • 15 studenti si sono iscritti a tutti e tre i corsi; • 30 studenti si sono iscritti ai corsi di atletica e di tennis, ma non a quello di nuoto; • 35 studenti si sono iscritti almeno a nuoto e a tennis; • nessuno studente si è iscritto solo a nuoto e ad atletica. Se gli studenti della scuola sono 568: quanti studenti non si sono iscritti a nessun corso? quanti studenti si sono iscritti ad un solo corso? quanti sono gli studenti che praticano solo nuoto? quanti studenti praticano sia nuoto che tennis, ma non fanno atletica?

[33; 470; 170; 20]

A B

32 Ad un esame di matematica partecipano 70 studenti, vengono assegnate tre prove. • 5 studenti hanno eseguito in modo esatto tutte e tre le prove. • Tutti quelli che hanno superato la terza prova hanno superato anche le altre due. • 20 studenti hanno superato solo le prime due prove e 8 non hanno superato nessuna prova; 50 studenti hanno superato la prima prova.

Quanti studenti hanno superato solo la prima prova? Quanti studenti hanno superato solo la seconda prova?

[25;12]

Elementi di logica e algebra astratta 2

1.3 Esempio Dati gli insiemi A = {0, 1, 2} e B = {0, 2, 4} rappresenta con un diagramma cartesiano la relazione tra A e B così definita: xRy ⇔ x è divisore di y.

Nella figura sono date le rappresentazioni cartesiane di due relazioni tra gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c}; in ciascun caso fai la rappresentazione tabulare delle coppie che si corrispondono nella relazione. a

R = {(1, 0), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 1), (2, 4)} B 4

0 0

[ a R = {(1, a), (2, b), (2, c), (3, b), (4, a), (4, c)} b R = {(1, a), (1, c), (2, b), (3, a), (3, c), (4, b)}]

Dati gli insiemi A = {0, 1, 2} e B = {0, 2, 4}, scrivi e rappresenta graficamente mediante un diagramma sagittale o un diagramma cartesiano l’insieme delle coppie (x, y), con x ∈ A e y ∈ B, determinate dalle seguenti relazioni tra A e B. 1

a b c d

[{(0, 0), (2, 2)}] x+y=4 [{(0, 4), (2, 2)}] x + y = numero pari [{(0, 0), (0, 2), (0, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4)}] x + y = numero dispari [{(1, 0), (1, 2), (1, 4)}]

R1 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x > y}

R2 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x è doppio di y}

R3 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x è multiplo di y}

R4 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x è divisore di y}

x=y

x e y sono entrambi dispari

[∅]

x+y=7

[∅]

y = 2x

Dati gli insiemi A = {3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 3}, rappresenta le seguenti relazioni in forma tabulare e cartesiana, determinandone dominio e codominio. 3

[{(0, 0), (1, 2), (2, 4)}]

D1 = {3, 4, 5, 6}, C1 = {1, 2, 3}} b D2 = {4, 6}, C2 = {2, 3} c

]

D3 = {3, 4, 6}, C3 = {1, 2, 3} e D4 = {3}, C4 = {3}

Determina la rappresentazione sagittale e tabulare di ciascuna delle seguenti relazioni.

xRy ⇔ x è nato prima di y nell’insieme A = {Pitagora, Cartesio, Giulio Cesare}. [R = {(Pitagora, Cartesio), (Pitagora, Giulio Cesare), (Giulio Cesare, Cartesio)}]

xRy ⇔ x è più veloce di y nell’insieme A = {ghepardo, tartaruga, cane}. [R = {( ghepardo, tartaruga), ( ghepardo, cane), (cane, tartaruga)}]

5 Per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di N disegna il diagramma cartesiano e determina la rappresentazione tabulare della relazione xRy ⇔ x è multiplo di y. a

A = {2, 8, 24, 3, 12}

B = {10, 90, 27, 4, 9}

C = {26, 4, 78, 3, 24}

[R = {(2, 2), (3, 3), (8, 2), (8, 8), (12, 2), (12, 3), (12, 12), (24, 2), (24, 3), (24, 8), (24, 12), (24, 24)}] [R = {(4, 4), (9, 9), (10, 10), (27, 9), (27, 27), (90, 9), (90, 10), (90, 90)}] [R = {(3, 3), (4, 4), (24, 3), (24, 4), (24, 24), (26, 26), (78, 3), (78, 26), (78, 78)}] A

6 Per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di N disegna il diagramma cartesiano e determina la rappresentazione tabulare della relazione xRy ⇔ x è divisore di y. a

A = {4, 12, 18, 36}

B = {7, 3, 84, 168}

C = {24, 26, 2, 4, 13}

[R = {(4, 4), (4, 12), (4, 36), (12, 12), (12, 36), (18, 18), (18, 36), (36, 36)}] [R = {(3, 3), (3, 84), (3, 168), (7, 7), (7, 84), (7, 168), (84, 84), (84, 168), (168, 168)}] [R = {(2, 2), (2, 4), (2, 24), (2, 26), (4, 4), (4, 24), (13, 13), (13, 26), (24, 24), (26, 26)}] A

sezione 1 Dati gli insiemi A = {x ∈ N | x è divisore di 12} e B = {y ∈ N | 3 ≤ y < 10} determina la rappresentazione cartesiana e tabulare delle seguenti relazioni. 7

R1 = {(x, y) ∈ A × B | x + y è pari}

R2 = {(x, y) ∈ A × B | y è multiplo di x}

R3 = {(x, y) ∈ A × B | y supera x di 2} b

[ a R1 = {(1,3), (1,5), (1,7), (1,9), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,5), (3,7), (3,9), (4,4), (4,6), (4,8), (6,4), (6,6), (6,8), (12,4), (12,6), (12,8)} R2 = {(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6), (3,9), (4,4), (4,8), (6,6)} c R3 = {(1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (6,8)}]

8 Sono dati gli insiemi A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 6, 9} e B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e le seguenti relazioni tra A e B: a

aRb ⇔ b è la metà di a

Determina per ciascuna di esse: • la rappresentazione sagittale, tabulare, cartesiana;

aRb ⇔ b è il successivo di a. • il dominio e il codominio;

[

• la relazione inversa.

D = {− 2, 0, 2, 6}, C = {−1, 0, 1, 3}, bR−1 a ⇔ a è il doppio di b

D = {− 3, − 2, − 1, 0, 1, 2}, C = {− 2, − 1, 0, 1, 2, 3}, bR−1 a ⇔ a è il precedente di b]

Dati gli insiemi A = {2, 3, 4, 5} e B = {4, 12, 16, 20, 25} e la relazione R così definita: aRb ⇔ b è il quadrato di a, determina: 9

la rappresentazione sagittale di R;

dominio e codominio di R;

la rappresentazione inversa R e la sua rappresentazione grafica.

[D = {2, 4, 5}, C = {4, 16, 25}] [R = {(4, 2), (16, 4), (25, 5)}]

−1

Data la relazione R = { ( 0, 0 ) , ( 1, 1 ) , ( 2, 8 ) , ( 3, 27 ) } sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B con A = {a ∈ N | 0 ≤ a ≤ 5} e B = {b ∈ N | 0 ≤ b ≤ 30}, determina: 10

il suo dominio e il suo codominio;

il suo diagramma cartesiano;

la sua rappresentazione per caratteristica.

[D = {0, 1, 2, 3}, C = {0, 1, 8, 27}] [R = {(x, y) ∈ A × B | y = x }] 3

⎧1 ⎫ È data la relazione R: aRb ⇔ a . b = 20; sapendo che il dominio di R è D = ⎨ , 1, 2, 3, 4, 5 ⎬ determina il suo 2 ⎩ ⎭ codominio. 11

⎧

C = ⎨ 40, 20, 10, ⎩

⎫ 20 , 5, 4 ⎬ 3 ⎭

Sia R ⊆ Z × Z la relazione così definita: xRy ⇔ x 2 + y 2 = 25; scrivi la sua rappresentazione tabulare, quindi determina: 12

il suo dominio e il suo codominio;

il suo diagramma cartesiano;

[D = {5, 4, 3, 0, − 3, − 4, − 5}, C = {5, 4, 3, 0, − 3, − 4, − 5}]

Considera la relazione R ⊆ A × B con A = {7, 8, 21, 26} e B = {9, 13, 38} così definita: aRb ⇔ esiste un divisore di a diverso da 1 che è anche divisore di b; determina: 13

la rappresentazione tabulare di R;

dominio e codominio di R.

[D = {8, 21, 26}, C = {38, 9, 13}]

14 Dato l’insieme A = {2, 3, 4, 5, 11, 18}, determina le rappresentazioni tabulari delle relazioni R e R così 1 2 definite: xR1 y ⇔ y supera x di 2

xR2 y ⇔ 2x + y = 10 Le due relazioni sono uguali?

[R = {(2, 4), (3, 5)}; R = {(3, 4), (4, 2)}; no] 1

Elementi di logica e algebra astratta 15

Di quali proprietà godono le seguenti relazioni?

Esempi 1

a •

a • d•

d•

•b

c•

• c 1

• c

La relazione gode della proprietà riflessiva perché gli elementi a, b, c hanno tutti il cappio; gode della proprietà antisimmetrica perché tra gli elementi c’è solo la freccia in un senso ma non nell’altro.

2 La relazione gode della proprietà antiriflessiva perché nessun elemento è in relazione con se stesso; gode della

proprietà simmetrica perché le frecce sono sempre in entrambi i sensi; non gode però della proprietà transitiva: ad esempio, considerando gli elementi a e b, abbiamo a R b ∧ b R a ma aRa.

3 La relazione gode della proprietà riflessiva perché ogni elemento ha il cappio; gode anche della proprietà tran-

sitiva, infatti ogni elemento è in relazione solo con se stesso e vale ovviamente xRx ∧ xRx ⇒ xRx. a

•

a •

b •

•b • a

• a

a •

•

a •

e•

•

•b

c•

• c

•c

b a •

b •

e•

• d

•c

• d

e •

a •

•b

c•

•c

b •

•c

a•

•c

b • •c

•b • c

• f

a•

•c

• a

•d

• a

sezione 1 o

b •

b • •c • a

a •

c •

•b

•c

• a

a •

• c

•e • b

• d

b •

•c

•c • a

• a

aRb ⇔ a è il doppio di b, definita in N.

aRb ⇔ a divide b, definita in N.

26 Quali delle seguenti relazioni, definite nell’insieme delle rette del piano, sono simmetriche? Quali riflessive? a

rRs ⇔ r è perpendicolare a s

aRb ⇔ a è padre di b, definita nell’insieme delle persone.

rRs ⇔ r e s hanno almeno un punto in comune

a R b ⇔ a è fratello di b, definita nell’insieme delle persone.

xRy ⇔ x è diverso da y, definita in N.

Nell’insieme dei numeri razionali: a è in relazione con b se e solo se a è il triplo di b.

28 Nell’insieme dei numeri naturali: a è in relazione con b se e solo se a è divisore di b.

x Ry ⇔ x e y hanno prodotto positivo o nullo, definita nell’insieme A = {−2, −1, 0, 1, 2}. 21

xRy ⇔ x è minore di y, definita in N.

23 La relazione di inclusione A ⊂ B è riflessiva? È simmetrica? E la relazione A ⊆ B è transitiva?

29 Nell’insieme dei numeri naturali: a è in relazione con b se e solo se a è il quadrato di b.

Nell’insieme dei numeri razionali: a è in relazione con b se e solo se a è diverso da b.

La relazione di parallelismo fra rette di un piano è riflessiva? È simmetrica? È transitiva? 25

Indica se la seguente relazione:

31 Nell’insieme dei numeri razionali positivi: a è in relazione con b se e solo se il loro prodotto è minore di 1.

R = {(a, a), (a, b), (b, a), (c, b), (b, c)} definita in A = {a, b, c} è simmetrica. Quali coppie le mancano per essere riflessiva?

32 Nell’insieme N = N − {0} la relazione x Ry ⇔ x è 0 multiplo di y.

Elementi di logica e algebra astratta 33

Studia le proprietà delle seguenti relazioni.

Esempio Verifica che nell’insieme di tutte le circonferenze di un piano, la relazione “circonferenze concentriche” è una relazione di equivalenza.

• La relazione gode della proprietà riflessiva: ogni circonferenza è concentrica a se stessa. c2

•

c1 • La relazione gode della proprietà simmetrica: se c1 è concentrica a c2, anche c2 è concentrica a c1.

• La relazione gode della proprietà transitiva: se c1 è concentrica a c2 e c2 è concentrica a c3, allora c1 è concentrica a c3. La relazione data è una relazione di equivalenza.

Nell’insieme I delle rette di un piano la relazione “r ha punti in comune con s” è una relazione d’equivalenza? a

Considera la relazione R nell’insieme A la cui rappresentazione sagittale è la seguente: b •

a •

b Nell’insieme N la relazione “x e y sono primi tra loro” è una relazione d’equivalenza?

Verifica che nell’insieme T di tutti i triangoli di un piano la relazione “x e y hanno ugual perimetro” è una relazione di equivalenza. c

c • Verifica se R è relazione di equivalenza e determina poi l’eventuale insieme quoziente A /R.

Verifica che la relazione “a − b è multiplo di 3”, con a, b ∈ Z è una relazione di equivalenza. d

Sia A un insieme di persone. La relazione “a e b sono nate nello stesso anno” è una relazione di equivalenza? Qual è l’insieme quoziente?

La relazione di parallelismo definita nell’insieme A delle rette di un piano è una relazione di equivalenza?

La relazione “a divide b” definita nell’insieme N dei numeri naturali è una relazione di equivalenza?

La relazione “a ha gli stessi genitori di b” è una relazione di equivalenza?

Considera la relazione R nell’insieme A la cui rappresentazione sagittale è la seguente:

Considera la relazione R nell’insieme A la cui rappresentazione sagittale è la seguente: •3

1 • 2 •

Verifica se R è una relazione di equivalenza e determina l’eventuale insieme quoziente A /R.

Considera la relazione R nell’insieme A la cui rappresentazione sagittale è la seguente:

4 •

1 •

•c

b •

•2 • 3

• 5

Dopo aver verificato che R è una relazione di equivalenza, determina l’insieme quoziente A /R.

• a Verifica se R è una relazione di equivalenza e, in caso affermativo, determina l’insieme quoziente A /R.

sezione 1 Considera la relazione R nell’insieme A la cui rappresentazione con tabella a doppia entrata è la seguente: 34

R a b c d e

× × ×

Indica se le seguenti relazioni sono funzioni.

Esempi

•l

a•

•m b•

× ×

a•

•m

b•

Nell’insieme Z0 = Z − {0} considera la relazione xRy ⇔ xy > 0. Dopo aver verificato che R è una relazione di equivalenza, determina l’insieme quoziente Z0 /R. [Z0 /R = {Z−, Z+}]

•s A

La relazione è una funzione perché da ogni elemento dell’insieme A parte una sola freccia.

•n

c•

Stabilisci di quali proprietà gode la relazione R, verifica che R sia una relazione di equivalenza e determina poi l’insieme quoziente A /R. [A /R = {{a, b, c}, {d, e}}]

La relazione non è una funzione perché dall’elemento a partono due frecce che vanno in due elementi diversi.

•s

c•

A a

Nell’insieme N considera la seguente relazione: xRy ⇔ x + y = numero pari. Dopo aver verificato che R è una relazione di equivalenza, determina l’insieme quoziente. [N /R = {P, D}]

•m

a•

•r

b•

c•

Considera l’insieme A = {1, 2, 3, 4} e la relazione R la cui rappresentazione con tabella a doppia entrata è la seguente:

•r

•p

d•

c• B

R 1 2 3 4

× ×

Stabilisci se la relazione “precedere in ordine alfabetico”, definita nell’insieme dei nomi italiani dei primi cento numeri naturali, è un ordinamento totale.

•s d•

•m

e• A

•x

a•

b•

•x

•y c•

A g

b•

•z

d•

Nell’insieme N: “avere un numero minore di cifre”.

d Nell’insieme delle frazioni: “essere maggiore o uguale”.

•r

c•

•r

d•

Verifica se le seguenti sono relazioni d’ordine.

c Nell’insieme degli ufficiali di una caserma: “essere di grado superiore”.

a•

c•

a Nell’insieme delle automobili: “avere un motore non meno potente”. b

b• •s

× ×

Determina le proprietà della relazione R, verifica che R sia una relazione di equivalenza e determina l’insieme quoziente A /R. [A /R = {{a, b}, {c, d}}] 38

•p

a•

b•

× ×

•p

b•

A h

x a

Elementi di logica e algebra astratta 40 a

Delle seguenti funzioni, definite nell’insieme Q+ dei numeri razionali positivi, zero incluso, determina il dominio D e il codominio C.

Osserva i grafici e individua le funzioni. b

y=x−3

[ a D = {x ∈Q

2 x

| x ≥ 3}; C = Q+ b D = Q+ − {0} = C]

Delle seguenti funzioni, definite nell’insieme Z dei numeri interi relativi, determina il dominio D e il codominio C. 43

y = x2

2 x

[ a D = Z; C = {0, 1, 4, 9, ...} x

Stabilisci se le seguenti relazioni sono funzioni e, in tal caso, se sono iniettive suriettive o biiettive.

]

Delle seguenti funzioni, definite nell’insieme N dei numeri naturali, determina il dominio D e il codominio C. 41

Esempi

x•

•m y•

•n

Esempio Poiché y ∈ N, il dominio, cioè i valori che possiamo attribuire alla variabile x, sono tutti i numeri naturali esclusi i valori 0, 1, 2 perché per tali valori la y assume i valori –3, –2, –1 che sono interi negativi; perciò:

z•

D = N – {0, 1, 2} = {3, 4, 5, ...}. Al variare di x = 3, 4, 5, ... y assume i valori 0, 1, 2, ..., cioè tutti i numeri naturali; perciò

•p

c•

C = N.

y = 2x − 1

[D = N = N − {0}; C = {naturali dispari}] 0

b•

•r •s

a•

•m B

A b

y = 2x + 1

y = 2x

2 x

]

b D = {−2, −1, 1, 2} = C

[D = N; C = {naturali dispari}] [D = N; C = {naturali pari, zero incluso}] [D = {1, 2} = C]

•x

a•

•y

b•

•z

c• e

4 x

[D = {1, 2, 4} = C]

y=2−x 1−x

[D = {0}; C = {2}]

La relazione è una funzione perché da ogni elemento dell’insieme A parte una sola freccia. La funzione è suriettiva perché ogni elemento dell’insieme B è immagine di un elemento dell’insieme A, non è iniettiva perché y e z hanno la stessa immagine. La relazione è una funzione perché da ogni elemento dell’insieme A parte una sola freccia. La funzione è iniettiva perché a ogni elemento dell’insieme B arriva al più una freccia. La relazione è una funzione perché da ogni elemento dell’insieme A parte una sola freccia. La funzione è biiettiva perché ogni elemento dell’insieme B è immagine di un solo elemento dell’insieme A.

sezione 1 a

•

• •

Dati gli insiemi A = {−4, −2, 2, 4} e B = {4, 16}, stabilisci se la relazione tra A e B x Ry ⇔ x 2 = y è una funzione e, in caso affermativo, classifica la funzione. 47

•

• •

•

• •

• A

•

Sia data la funzione f : x → 3x + 2 , definita in Q 2 e a valori in Q. 48

•

• •

•

• • A

B f

•

• •

•

• •

Dimostra che se x1 ≠ x2, allora risulta f (x1) ≠ f (x2).

La funzione è suriettiva?

⎛ 2⎞ Determina f (0), f (−1), f (1), f ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

Sono dati i due insiemi A = { 0, 1, 5, 6, 7 } e B = {1, −1, 5, 2, 6, 8} e la funzione f da A in B, così definita: f (0) = 1; f (1) = −1; f (5) = 5; f (6) = 2; f (7) = 8. Indica se: 49

• •

• A

•

• •

Sia f la funzione da Z in N, definita da f (x) = x . Se A = {−3, −2, −1, 0, 2} e B = {−2, 0, 1, 2, 4}, elenca gli elementi degli insiemi:

f è iniettiva

f è suriettiva

f è biiettiva

f (A)

f (B)

f (A ∪ B)

f (A ∩ B)

f (A) ∪ f (B)

f (A) ∩ f (B)

[ a f (A) = {9, 4, 1, 0}

c e

f (B) = {4, 0, 1, 16}

Sia data la funzione f : x → x + 2 definita in N e a valori in N. 50

Determina f (N); coincide con N?

Indica se la funzione è suriettiva.

Indica se la funzione è iniettiva.

Indica se la funzione è biiettiva.

f (A ∪ B) = {9, 4, 1,0, 16} d f (A ∩ B) = {0, 4}

f (A) ∪ f (B) = {9, 4, 1, 0, 16} f f (A) ∩ f (B) = {4, 1, 0}]

La funzione f : x → x + 2 definita in N e a valori in N − {0, 1} è biiettiva? 51

Date le seguenti funzioni verifica se sono iniettive I , suriettive S o biiettive B : a

R→R

x → 3x − 2

S B

R→R

x → 2x − 1 3

S B

Z→Z

x → x2

S B

Z→Z

x → 3x + 1

S B

R→R

x → 2x 2

S B

R→R

x → 1 − 3x

S B

R→R

x → x2 + 1

N→N

x → x + x2

N→N

x → x2 + x + 1

Data la funzione f : x → 2x + 5 definita in R, de⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ termina f (5), f (−1), f (0), f ⎜ ⎟ , f ⎜ − ⎟ . ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ Esistono degli x tali che f (x) = 0? La funzione data è biiettiva? 52

Tra le seguenti funzioni stabilisci quelle che sono invertibili. a

f:N→N

y = 3x

f:Z→Z

y = −x

S B

f:R→R

y = x2

S B

f:R→R

y = 3x 4 y= x 3

S B

Elementi di logica e algebra astratta Esempio Sono date le funzioni f : x → 2x + 3 e g : x → x2 + 4x; determina f ° g e g ° f. Vale la proprietà commutativa? Determiniamo la funzione composta f ° g applicando prima la funzione g e poi la funzione f : x __g_→ x2 + 4x ___f→ 2(x 2 + 4x) + 3 = 2x2 + 8x + 3 Determiniamo la funzione composta g ° f applicando prima la funzione f e poi la funzione g : 2 x ___f→ 2x + 3 __g_→ (2x + 3) + 4(2x + 3) = 4x2 + 9 + 12x + 8x + 12 = 4x2 + 20x + 21 f ° g = 2x 2 + 8x + 3 2

g ° f = 4x + 20x + 21

⎫ ⎬ ⎭

quindi non vale la proprietà commutativa.

Date le funzioni f : x → x + 1 e g : x → 2x − 1 determina f ° g = g ° f. [2x; 2x + 1]

Date le funzioni y = f(x) = x + 3 e z = g(y) = y + 1 deter[ x + 4] mina la funzione g ° f.

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c, d} e le funzioni f : A → B e g : B → A così definite:

Date le funzioni f e g, determina f ° g e g ° f e verifica se f ° g = g ° f. a

f:R→R g:R→R

con y = 3x con y = x 2

f : R* → R con y =

1 x

g:R→R

con y = 2x + 3

f:R→R g:R→R

con y = 4x con y = −2x

f : f (1) = a

g : g(a) = 2

f (2) = b g(b) = 4

f (3) = c g(c) = 3

f (4) = d g(d) = 1

determina: a

f –1 e g –1

g°f e

( g ° f )–1 –1 confronta ( g ° f )

e f –1 ° g –1

le immagini degli elementi a, b, c, d nella funzione f –1 sono 1, 2, 3, 4; le immagini degli elementi 1, 2, 3, 4 nella funzione g –1 sono d, a, c, b; b ... c sono uguali]

sezione 1

1 Lavoro di gruppo Ad ogni gruppo viene assegnata una proprietà delle operazioni logiche. Cercare delle proposizioni logiche scritte nel linguaggio comune che soddisfino la proprietà assegnata, costruire la relativa tavola di verità e verificare l’uguaglianza della proprietà. Nota: questo lavoro può essere fatto anche con gli insiemi.

Esercizio n. D19 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2013/2014 Su 100 alunni di una scuola, 82 alunni si interessano di calcio, 26 si interessano di basket, 10 non si interessano né di calcio, né di basket. Scrivi nella opportuna zona del seguente diagramma il numero di studenti che si interessano sia di calcio sia di basket.

4 Aiutandoti con gli insiemi e la loro rappresentazione grafica, verifica l’esattezza o meno dei seguenti ragionamenti.

• “Nessuna persona gentile è maleducata, ogni artista è gentile, quindi nessun artista è maleducato”. •“Tutti gli alunni della tua classe sono intelligenti, alcuni alunni della tua classe sono simpatici, quindi alcuni alunni simpatici della tua classe sono intelligenti”. 5

“COSA È UN SILLOGISMO?” Considera i seguenti sillogismi e rifletti. • “Ogni animale vola, l’asino è un animale, quindi l’asino vola”. • “Gli dei sono immortali, gli uomini non sono dei, quindi gli uomini non sono immortali”. 6

Basket Calcio

Spunto di ricerca

MATEMATICA NELLA REALTÀ

Si devono sistemare dei libri sui quattro ripiani (A, B, C e D) di una libreria: alcuni sono di narrativa classica, alcuni sono gialli altri sono romanzi d’amore. • Nel primo ripiano (A) sono stati messi il 30% dei libri presenti di narrativa classica. • Nel secondo ripiano (B) sono stati messi libri di narrativa classica e gialli. • Nel terzo ripiano (C) sono sistemati il 25% dei libri, alcuni sono gialli altri sono romanzi d’amore.

Esercizio n. 9 tratto dagli allenamenti per i giochi d’autunno delle Olimpiadi della matematica organizzati dall’Università Bocconi “IL NUMERO MISTERIOSO” Matilde ha scritto quattro operazioni:

• Nel quarto ripiano (D) sono stati sistemati i gialli che rappresentano il 20% di tutti i libri da sistemare. • I romanzi d’amore rappresentano il 15% di tutti i libri e i libri di narrativa classica il 45%.

?+2; ?+11; ?+18: ?+23. Poi precisa a Mattia:

Quanti sono i libri gialli che dovevano essere sistemati?

Quanti di questi libri sono stati messi nel ripiano B?

che il punto interrogativo rappresenta sempre lo stesso numero; II) che i quattro risultati di queste addizioni si scrivono usando cifre fra loro tutte diverse. Mattia ha trovato il numero rappresentato dal punto interrogativo. Fate lo stesso anche voi. (Quante soluzioni ammette?)

SEZIONE

ALGEBRA

Calcolo numerico

2.1 OPERAZIONI IN N E Z E LORO PROPRIETÀ Insieme dei numeri naturali L’insieme dei numeri naturali (i numeri che usiamo per contare) si indica con il simbolo N, mentre con N0 si indica l’insieme di numeri naturali escluso lo 0. N = {0, 1, 2, 3, 4, …} N0 = {1, 2, 3, 4, …} I numeri naturali sono ordinati e si possono rappresentare su una semiretta. • 0

•

L’insieme N soddisfa le seguenti proprietà 1 è un insieme infinito, infatti:

• N ha un elemento minimo che è lo zero, ma non ha un elemento massimo. 2 è un insieme ordinato, infatti:

• ogni numero naturale ha un successivo (es. il successivo di 4 è 5); • ogni numero naturale, eccetto lo zero, ha un precedente (es. il precedente di 5 è 4). Per indicare che due numeri sono uguali si usa il simbolo di uguaglianza = a=b Per indicare che due numeri sono diversi si usa il simbolo ≠ a≠b

3 = 3 ovvero 3 = 2 + 1

≠ 6 ovvero 3 + 2 ≠ 3 . 2

Per rappresentare l’ordinamento dei numeri naturali si utilizzano i simboli <, ≤, >, ≥. In particolare: • per indicare che a è un valore più piccolo di b, ovvero che b è più grande di a, si scrive a < b si legge “a è minore di b” • per indicare che a è un valore più piccolo di b o uguale a b, ovvero che b è più grande di a o uguale ad a, si scrive a ≤ b si legge “a è minore o uguale a b” • per indicare che a è un valore più grande di b, ovvero che b è più piccolo di a, si scrive a > b si legge “a è maggiore di b” • per indicare che a è un valore più grande di b o uguale a b, ovvero che b è più piccolo di a o uguale ad a, si scrive a ≥ b si legge “a è maggiore o uguale a b”

sezione 2

Le quattro operazioni e le loro proprietà Le quattro operazioni aritmetiche in N e le loro proprietà sono riassunte nella seguente tabella. operazione addizione a+b=c sottrazione a−b=c (con a > b)

nome dei termini e del risultato

proprietà

(a + b) + c = a + (b + c)

a minuendo b sottraendo c differenza

{

invariantiva:

commutativa: associativa: moltiplicazione a.b=c

divisione a:b=c (con b ≠ 0) a è multiplo di b b è divisore di a

a+b=b+a

a primo addendo commutativa: b secondo addendo associativa: c somma elemento neutro:

a primo fattore b secondo fattore c prodotto

a − b = (a + c) – (b + c) a − b = (a − c) − (b − c)

a.b = b.a (a . b) . c = a . (b . c) a . (b + c) = (b + c) . a = a . b + a . c a . (b − c) = (b − c) . a = a . b − a . c

{

distributiva: elemento neutro: elemento annullatore:

a.1 = 1.a = a a.0 = 0.a = 0 a : b = (a . c) : (b . c) a : b = (a : c) : (b : c)

{ { ((

invariantiva:

a dividendo b divisore c quoziente

a+0=0+a=a

distributiva:

b + c) : a = b : a + c : a b − c) : a = b : a − c : a

Altre proprietà della moltiplicazione e della divisione. • divisione di un prodotto per un numero (a . b . c) : d = a . (b : d) . c

• divisione di un numero per un prodotto a : (b . c) = (a : b) : c

• moltiplicazione di un numero per un quoziente a . (b : c) = (a . b) : c a . (b : c) = (a : c) . b

• divisione di un numero per un quoziente a : (b : c) = (a : b) . c a : (b : c) = (a . c) : b

Divisione con resto se a:b=c

con resto r

allora

a=b.c+r

Legge di annullamento del prodotto. Se il prodotto di due o più fattori è zero, allora almeno uno dei fattori è zero. a.b.c=0 → a=0 oppure b = 0 oppure c = 0

Potenze in N e loro proprietà La potenza di un numero si ottiene moltiplicando il numero, detto base della potenza, per se stesso tante volte quanto indicato dall’esponente. In simboli an = a . a . ... . a (n volte) a = base della potenza n = esponente an = potenza

Potenze particolari:

Proprietà delle potenze

a0 = 1

1 am . an = am + n

a1 = a

2 am : an = am − n

00 = non ha significato

3 (am) = am . n

1n = 1

4 an . bn = (a . b)

0n = 0

5 an : bn = (a : b)

Calcolo numerico

Espressioni con i numeri naturali Una espressione è una sequenza di operazioni da eseguire seguendo il grado di priorità. Il grado di priorità delle operazioni è l’ordine di precedenza tra le operazioni. In una espressione contenente numeri naturali si rispetta il seguente ordine: • prima si calcolano le potenze, applicando le proprietà se possibile • poi si eseguono le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui sono scritte da sinistra verso destra • infine si eseguono le addizioni e le sottrazioni nell’ordine in cui sono scritte da sinistra verso destra. In presenza di parentesi si eseguono prima i calcoli contenuti tra le parentesi tonde, poi quelli tra le quadre, infine i calcoli tra parentesi graffe.

Divisibilità e numeri primi Se a : b = c , con b ≠ 0 e il resto è 0, allora si dice che • a è multiplo di b, a è divisibile per b • b è un divisore di a • anche c è un divisore di a Ogni numero è divisibile per 1, mentre nessun numero è divisibile per 0. Un numero si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso. Due numeri sono primi tra loro se non hanno divisori comuni oltre all’1.

Criteri di divisibilità • un numero è divisibile per 2 se la cifra delle unità è pari, cioè finisce per 0, 2, 4, 6, 8 • un numero è divisibile per 3 se la somma delle cifre è 3 o un suo multiplo • un numero è divisibile per 4 se la cifra delle decine e quella delle unità sono 00 o formano un multiplo di 4 • un numero è divisibile per 5 se la cifra delle unità è 0 o 5 • un numero è divisibile per 6 se è divisibile sia per 2 che per 3 • un numero è divisibile per 9 se la somma delle cifre è 9 o un suo multiplo • un numero è divisibile per 10 se la cifra delle unità è 0 • un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari (contandole da destra verso sinistra), eventualmente aumentata di 11 e la somma di quelle di posto pari è un multiplo di 11 • un numero è divisibile per 25 se la cifra delle decine e quella delle unità sono 00 o formano un multiplo di 25, cioè se il numero termina per 00, 25, 50 o 75. Vale inoltre il seguente criterio generale di divisibilità: se un numero è divisibile per due o più numeri, allora è divisibile per il loro prodotto e viceversa. Scomporre un numero in fattori primi significa scrivere il numero come prodotto di potenze di fattori primi. Il Massimo Comune Divisore (MCD) di due o più numeri, scomposti in fattori primi, è dato dal prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta, con il minimo esponente. Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più numeri, scomposti in fattori primi, è dato dal prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente.

sezione 2

Dati i numeri 45 e 150 si determini il MCD e il mcm. Se si scompongono i due numeri in fattori primi si ottiene: 45 = 32 . 5 150 = 2 . 3 . 52

MCD (45, 150) = 3 . 5 = 15 mcm (45, 150) = 2 . 32 . 52 = 450

Nota bene: 1 Se due numeri sono uno il multiplo dell’altro allora: • il MCD è il minore dei due • il mcm è il maggiore dei due

2 Se due numeri sono primi tra loro allora

• il MCD è 1 • il mcm è il loro prodotto

Insieme dei numeri relativi L’insieme dei numeri interi preceduti dal segno + o − è l’insieme dei numeri interi relativi, che si indica con Z. Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …} I numeri preceduti dal segno − sono i numeri negativi, quelli preceduti dal + sono i numeri positivi, il segno + può essere omesso. Il valore assoluto di un numero n è il numero stesso, privato del segno, si indica con | n |.

|+ 3| = 3

|–5| = 5

Due numeri relativi sono concordi se hanno lo stesso segno, mentre si dicono discordi quando hanno segni diversi. Due numeri relativi sono opposti se hanno lo stesso valore assoluto e segni diversi. L’opposto di un numero n è −n. I numeri interi relativi sono ordinati e si possono rappresentare su una retta orientata. •

−2

•

−1

• 0

•

L’ordinamento dei numeri relativi segue le seguenti regole: • lo 0 è sempre maggiore di un qualsiasi numero negativo e minore di un qualsiasi numero positivo; • tra due numeri discordi il numero negativo è sempre minore del numero positivo; • tra due numeri concordi positivi è maggiore il numero con valore assoluto maggiore; • tra due numeri concordi negativi è maggiore il numero con valore assoluto minore.

Operazioni e potenze in Z Addizione La somma di due numeri relativi concordi è un numero che ha per segno lo stesso segno degli addendi e per valore assoluto la somma dei valori assoluti degli addendi. La somma di due numeri relativi discordi è un numero che ha per segno il segno dell’addendo con valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza tra i valori assoluti degli addendi. La somma di due numeri opposti è 0.

Calcolo numerico

(–6) + (–2) = –8 (+5) + (+4) = +9 (–8) + (+3) = –5

(–1) + (+7) = + 6 (–3) + (+3) = 0

Sottrazione La differenza tra due numeri relativi è la somma del minuendo con l’opposto del sottraendo.

(–6) – (–2) = (−6) + (+2) = −4

(–9) – (+2) = (–9) + (–2) = –11

Tra i numeri relativi non è più necessario distinguere addizione e sottrazione, ma si può parlare di somma algebrica. Si eliminano le parentesi lasciando il segno del numero relativo se le parentesi sono precedute dal segno +, si tolgono le parentesi scrivendo il numero relativo opposto, se le parentesi sono precedute dal segno −.

(–6) – (–2) + (–7) + (+2) – (+4) = –6 + 2 – 7 + 2 – 4 = –13

La somma algebrica verifica la proprietà commutativa: ogni termine viene spostato mantenendo il proprio segno.

–6 + 1 – 8 + 3 – 5 = + 3 + 1 – 8 – 5 – 6 = –15

Moltiplicazione Il prodotto di due numeri relativi è dato dal prodotto dei due valori assoluti ed ha segno + se i due fattori sono concordi, ha segno − se i fattori sono discordi. (+ ) . (+ ) = +

(− ) . (− ) = + (+ ) . (− ) = − (− ) . (+ ) = − (+4) . (+6) = +24 (–3) . (–5) = +15

(+2) . (–7) = –14 (–1) . (+8) = –8

Divisione Il quoziente di due numeri relativi è dato dal quoziente dei due valori assoluti, con il divisore diverso da 0, ed ha segno + se i due fattori sono concordi, ha segno − se i fattori sono discordi.

(+12) : (+4) = +3 (–20) : (–5) = +4

(+32) : (–2) = –16 (–24) : (+8) = –3

sezione 2

Potenza di un numero relativo Se la base è positiva, la potenza è sempre positiva. Se la base è negativa, la potenza è positiva se l’esponente è pari, mentre rimane negativa se l’esponente è dispari.

(+2)3 = +8 (+2)4 = +16

(–2)4 = +16 (–2)3 = –8

Nota bene: Se non ci sono le parentesi, si calcola la potenza sul numero e non sul segno.

–24 = –16

2.2 OPERAZIONI IN Q E L'INSIEME R Le frazioni e l'insieme dei numeri razionali Una frazione è il quoziente tra due numeri a e b, con b ≠ 0 e si scrive a b dove i termini della frazione si chiamano: a è il numeratore b è il denominatore Il denominatore indica il numero di parti uguali in cui viene diviso l’intero, il numeratore indica quante di tali parti se ne considerano. Si dice unità frazionaria la frazione che ha il numeratore uguale a 1 1 cioè: rappresenta una delle n parti uguali in cui viene diviso l’intero. n Due frazioni sono equivalenti se rappresentano la stessa quantità. a c è equivalente a se e solo se a . d = b . c b d

Classificazione delle frazioni Una frazione

a si dice : b

• propria se a < b

ESEMPIO:

3 7

• impropria se a > b

ESEMPIO:

7 3

• apparente se a è un multiplo di b, cioè a = m . b

ESEMPIO:

14 7

Una frazione è una divisione “non calcolata”, pertanto è verificata la proprietà invariantiva della divisione.

Calcolo numerico Moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero k, diverso da 0, si ottiene una frazione equivalente a quella data. a a.k a:k = = con k ≠ 0 b b.k b:k

12 12 . 3 36 = = 15 15 . 3 45

12 12 : 3 4 = = 15 15 : 3 5

Semplificare una frazione significa dividere numeratore e denominatore per un loro divisore comune. Una frazione è ridotta ai minimi termini quando numeratore e denominatore sono primi tra loro. Ridurre una frazione ai minimi termini significa semplificarla dividendo numeratore e denominatore per il loro MCD.

1 24 = 24 : 2 = 12 18 18 : 2 9

2 24 = 24 : 6 = 4 18 18 : 6 3

3 11 16

→ la frazione è stata semplificata, ma non è ridotta ai minimi termini perché 12 e 9 non sono primi tra loro, ma hanno 3 come divisore comune oltre all’1.

→ la frazione è ridotta ai minimi termini, 24 e 18 sono stati divisi per il loro MCD che è 6; i termini della frazione ottenuta, 4 e 3, sono primi tra loro.

→ la frazione è già ridotta ai minimi termini, 11 e 16 sono primi tra loro.

Per ridurre due o più frazioni allo stesso denominatore: • si calcola il mcm tra i denominatori, • si divide li mcm per ciascun denominatore e si moltiplica il risultato ottenuto per il numeratore corrispondente.

4 9

8 15

• mcm (9, 15) = 45 • 45 : 9 = 5

→ 5 . 4 = 20

• 45 : 15 = 3

→ 3 . 8 = 24

4 20 è equivalente a 9 45 8 24 → la frazione è equivalente a 15 45 → la frazione

Confronto tra frazioni a c > se e solo se a . d > c . b b d a c < se e solo se a . d < c . b b d

Nota bene: 1 un frazione propria è sempre minore di una frazione impropria o apparente; 2 se due frazioni hanno lo stesso denominatore, è minore la frazione con numeratore minore, cioè:

a c < se e solo se a < c; d d 3 se due frazioni hanno lo stesso numeratore, è minore la frazione con denominatore maggiore, cioè:

n n < se e solo se b > d. b d

sezione 2

4 3 < infatti 4 . 5 < 7 . 3 7 5 4 8 infatti la prima è una frazione propria mentre < 7 5 la seconda è impropria

4 6 < infatti hanno lo stesso denominatore e 4 < 6 7 7 4 4 < infatti hanno lo stesso numeratore e 7 > 5 7 5

Un numero razionale è l’insieme di tutte le frazioni equivalenti ad una frazione data.

3 6 15 , , , ... rappresentano lo stesso numero razionale. 5 10 25

L’insieme dei numeri razionali si indica con Q In particolare si usano i seguenti simboli: Qa = insieme dei numeri razionali assoluti Q+ = insieme dei numeri razionali positivi Q_ = insieme dei numeri razionali negativi

Operazioni e potenze in Q Addizione La somma di due frazioni che hanno lo stesso denominatore è una frazione che ha per denominatore il denominatore comune e per numeratore la somma dei numeratori. a b a+b + = d d d Se le frazioni da sommare non hanno lo stesso denominatore devono essere ridotte allo stesso denominatore a b mcm (c, d) : c . a + mcm (c, d) : d . b + = c d mcm (c, d)

Sottrazione La differenza di due frazioni che hanno lo stesso denominatore è una frazione che ha per denominatore il denominatore comune e per numeratore la differenza dei numeratori. a b a−b − = d d d Se le frazioni da sottrarre non hanno lo stesso denominatore devono essere ridotte allo stesso denominatore a b mcm (c, d) : c . a − mcm (c, d) : d . b − = c d mcm (c, d)

2 1 3 30 : 5 . 2 + 30 : 15 . 1 − 30 : 10 . 3 12 + 2 − 9 5 5:5 1 + – = = = = = 5 15 10 mcm (5, 15, 10) = 30 30 30 30 : 5 6

Moltiplicazione Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

Calcolo numerico È possibile ridurre ai minimi termini le frazioni della moltiplicazione eseguendo le semplificazioni a croce, cioè dividendo il numeratore di una frazione e il denominatore dell’altra per il loro MCD (qualora fosse diverso da 1).

10 . 27 18 = 3 25 5

3. 3 2= 4 2

Frazione inversa, numeri razionali reciproci Due frazioni sono una l’inversa dell’altra, ovvero due numeri razionali sono reciproci, se il loro prodotto è 1. a . b =1 b a 1 Il reciproco di a, con a ≠ 0, è . Non esiste il reciproco di 0. a

Il reciproco di

3 5 è 5 3

Il reciproco di −

2 7 è− 7 2

Il reciproco di 4 è

1 4

Il reciproco di

1 è3 3

Divisione Dividere due numeri razionali equivale a moltiplicare il primo per l’inverso del secondo.

4 8 4 .9 3 : = = 15 9 15 8 10

7 7 . 1 1 : 21 = = 10 10 21 30

12 1 12 . 36 : = 15 = 25 15 25 5

Potenza in Q ⎛ ⎜⎝

an a⎞ ⎟⎠ = n b b

⎛ ⎜⎝

1⎞ 1 = n a ⎟⎠ a

Potenza con esponente negativo ⎛ ⎜⎝

a⎞ b ⎟⎠

−n

⎛ ⎜⎝

b⎞ a ⎟⎠

⎛ ⎜⎝

1⎞ a ⎟⎠

−n

⎛ ⎞ (a)−n = ⎜ 1 ⎟ = 1n

= an

⎝

a⎠

Nota bene: La potenza di un numero razionale relativo rispetta le stesse regole della potenza di numeri relativi: • se la base è positiva, la potenza è sempre positiva; • se la base è negativa, la potenza è positiva se l’esponente è pari, mentre rimane negativa se l’esponente è dispari. • se l’esponente è negativo non modifica il segno della base.

⎛ 3⎞ 34 81 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = 24 = 16 2

⎛ 1⎞ 1 1 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ = 42 = 16 ⎛ 4⎞ ⎜⎝ 5 ⎟⎠

-2

⎛ 5 ⎞ 52 25 = ⎜ ⎟ = 2 = ⎝ 4⎠ 4 16

⎛ 1⎞ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

-5

= 25 = 32

⎛ 2⎞ 16 ⎜⎝ − 3 ⎟⎠ = + 81

⎛ 2⎞ ⎜⎝ − 3 ⎟⎠

-3

⎛ 2⎞ 8 ⎜⎝ − 3 ⎟⎠ = − 27

⎛ 2⎞ ⎜⎝ − 3 ⎟⎠

-4

⎛ 1⎞ 1 1 (2)-4 = ⎜ ⎟ = 4 = ⎝ 2⎠ 2 16 3

⎛ 3⎞ 27 = ⎜− ⎟ = − ⎝ 2⎠ 8 ⎛ 3⎞ 81 = ⎜− ⎟ = + ⎝ 2⎠ 16

sezione 2

Numeri decimali e frazioni Una frazione che ha per denominatore 10 o una sua potenza si dice frazione decimale. Le frazioni che non hanno per denominatore il 10 o le sue potenze si dicono frazioni ordinarie. Un numero decimale è del tipo 123,456

• 123 rappresenta la parte intera, • 456 rappresenta la parte decimale.

Un numero decimale è limitato se ha un numero finito di cifre decimali. Un numero decimale è illimitato se ha un numero infinito di cifre decimali; tra i numeri decimali illimitati si distinguono i numeri periodici e non periodici. Un numero decimale è periodico semplice se ha una o più cifre decimali che si ripetono all’infinito. – 12,3 = 12,333333 ... • 12 è la parte intera, • 3 è il periodo, cioè è la cifra che si ripete. Un numero decimale è periodico misto se ha la prima o le prime cifre decimali che non si ripetono, seguite da una o più cifre che si ripetono. –– 12,345 =12,34545454545 ... • 12 è la parte intera • 3 è l’antiperiodo • 45 è il periodo

Sono numeri decimali limitati 40,23 0,08 1,654

Sono numeri decimali periodici semplici –– 5,12 = 5,12121212 ... ––– 0,015 = 0,015015015015 ...

Sono numeri decimali periodici misti –– 4,3712 = 4,371212121212 ... – 10,071 = 10,07111111111 ...

Una frazione si trasforma in numero decimale calcolando la divisione tra numeratore e denominatore. • Se il denominatore, scomposto in fattori primi, ha come fattori solo potenze del 2 e del 5, allora si ottiene un numero decimale limitato. • Se il denominatore, scomposto in fattori primi, ha fattori diversi da potenze del 2 e del 5, allora si ottiene un numero periodico semplice. • Se il denominatore, scomposto in fattori primi, ha almeno un altro fattore oltre alla potenza del 2 e/o del 5, allora si ottiene un numero periodico semplice.

3 = 0,06 è un numero decimale limitato, infatti 50 = 2 . 52 50 – 14 = 1,5 è un numero decimale periodico semplice, infatti 9 = 32 9 – 7 = 0,38 è un numero decimale periodico misto, infatti 18 = 32 . 2 18

Frazione generatrice di un numero decimale Frazione generatrice di un numero decimale limitato: • il numeratore è un numero formato da tutte le cifre, scritte senza la virgola; • il denominatore è una potenza del 10, cioè si scrive 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre decimali.

Calcolo numerico

1,23 =

123 100

0,02 =

2 100

Frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice: • il numeratore è la differenza tra il numero intero formato da tutte le cifre del numero dato, senza la virgola, e il numero intero formato dalle cifre che precedono il periodo; • il denominatore è formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo.

–– 312 − 3 309 3,12 = = 99 99

Frazione generatrice di un numero decimale misto semplice: • il numeratore è la differenza tra il numero intero formato da tutte le cifre del numero dato, senza la virgola, e il numero intero formato dalle cifre che precedono il periodo; • il denominatore è formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo.

–– 3412 − 34 3378 3,412 = = 990 990

Numeri irrazionali e l'insieme dei numeri reali Un numero decimale illimitato non periodico non è esprimibile mediante una frazione; l’insieme dei numeri decimali illimitati non periodici formano l’insieme dei numeri irrazionali che si indica con la I. ESEMPIO:

2 ,

2 , π, ...

L’unione dell’insieme dei numeri razionali Q con l’insieme dei numeri irrazionali I, genera l’insieme dei numeri reali che si indica con R. R=Q∪I

2.3 RAPPORTI E PROPORZIONI, PERCENTUALI Rapporti e proporzioni Il rapporto tra due numeri, di cui il secondo è diverso da zero, è il quoziente della divisione del primo per il secondo. Una proporzione è una uguaglianza di due rapporti a:b=c:d si legge: “a sta a b come c sta a d”. • a, b, c, d sono i termini della proporzione, • i termini a e c sono detti antecedenti, • i termini b e d sono detti conseguenti, • i termini a e d sono gli estremi, • i termini b e c sono i medi.

sezione 2 Una proporzione si definisce continua se i termini medi sono uguali; in tal caso il termine medio prende il nome di medio proporzionale.

Proprietà delle proporzioni proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi proprietà del permutare i medi proprietà del permutare gli estremi

proprietà dell’invertire b : a = d : c

b.c=a.d

(a + b) : a = (c + d) : c (a + b) : b = (c + d) : d (a − b) : a = (c − d) : c (a − b) : b = (c − d) : d

proprietà del comporre

a:c=b:d

proprietà dello scomporre

d:b=c:a

Dati i due seguenti insiemi di numeri, stabilire quale dei due costituisce una proporzione vera. 1 4, 6, 20, 30

2 2, 3, 5, 7

4 : 6 = 20 : 30 Verifico la proprietà fondamentale 6 . 20 = 120, 4 . 30 = 120 → è verificata! 4 : 6 = 20 : 30 è una proporzione vera.

2:3 = 5:7 Verifico la proprietà fondamentale 3 . 5 = 15, 2 . 7 = 14 → non è verificata! 2 : 3 = 5 : 7 non è una proporzione vera.

Calcolo del termine incognito di una proporzione x:b = c:d→x =

b.c d

a:x = c:d→x =

a.d c

a:b = x:d→x =

a.d b

a:b = c:x→x =

b.c a

La percentuale La percentuale rappresenta una frazione che ha 100 al denominatore: n = n% 100 La proporzione parte : totale = tasso percentuale : 100 permette di calcolare il valore percentuale che rappresenta una quantità rispetto al totale. Calcolo della parte, noti il totale e il tasso percentuale: parte =

Il 24% di 150 è?

x : 150 = 24 : 100

totale . tasso percentuale 100

150 . 24 = 36 (parte) 100

Calcolo del tasso percentuale, noti il totale e la parte: tasso percentuale =

Che percentuale rappresenta 32 rispetto a 820?

32 : 820 = x : 100

Calcolo del totale, noti la parte e il tasso percentuale: totale =

45 è il 30% di?

45 : x = 30 : 100

parte . 100 totale

32 . 100 = 4% (tasso percentuale) 820

parte . 100 tasso percentuale

45 . 100 = 150 (totale) 30

Calcolo numerico

2.1 1

Inserisci al posto dei puntini il simbolo corretto tra <, > o = 3 ... 5

9 ... 4

12 ... 12

1001 ... 101

123 ... 213

54 ... 54

Disponi sulla retta orientata i numeri dati, dopo aver fissato una unità di misura adeguata. 2 , 5 , 6 , 10 , 11 , 18. •

Completa.

Il successivo di 8 è ____________________

12 è il ___________________________ di 13

15 è ____________________________ di 20

6 è _______________________________ di 1

______________ è l’elemento minimo di N

Traduci dal linguaggio comune al linguaggio simbolico.

a è maggiore di 2

______________

b è minore di 15

______________

a e minore o uguale a 9

______________

7 maggiore o uguale a x

______________

x è compreso tra 2 e 6

______________

12 è diverso da x

______________

b non è maggiore di 4

______________

x non è minore o uguale a 2

______________

a non è uguale a b

______________

x è minore di 6 o maggiore di 10 _____________

Traduci dal linguaggio simbolico al linguaggio comune.

x<4

_____________________________________________________________________________

a≥6

_____________________________________________________________________________

x≠0

_____________________________________________________________________________

1<x<9

_____________________________________________________________________________

8≤b

_____________________________________________________________________________

a < 8 ∨ a > 10

_____________________________________________________________________________

x > 5 ∧ x ≠ 18

_____________________________________________________________________________

9≤a

_____________________________________________________________________________

1≤a≤9

_____________________________________________________________________________

x ≤ 10 ∨ x ≥ 20 _____________________________________________________________________________

Indica con una X a quale delle proprietà delle operazioni si riferiscono i seguenti enunciati. commutativa

associativa

invariantiva

distributiva

La somma di tre addendi non cambia se a due di essi si sostituisce la loro somma Aggiungendo o sottraendo uno stesso numero a entrambi i termini di una sottrazione, la differenza non cambia Il prodotto di due o più fattori non cambia cambiando l’ordine dei fattori Il prodotto di un numero per una addizione è uguale alla somma dei prodotti del numero per ciascuno degli addendi Moltiplicando o dividendo per uno stesso numero, diverso da zero, dividendo e divisore, il quoziente non cambia

sezione 2 7

Completa applicando le proprietà delle potenze.

36 : 3_ = 32

(5 ) = 5 _

6_ : 2_ = 32

9_ = 0

(5_)3 = 512

__7 . __3 = 610

8 a b c d e f g h 9 a b c d e f g h i l 12

2 4

Cerchia il termine corretto. 24 è multiplo/divisore di 12 50 è multiplo/divisore di 100 7 è multiplo/divisore di 42 27 è multiplo/divisore di 81 54 è multiplo/divisore di 9 45 è multiplo/divisore di 5 14 è multiplo/divisore di 42 312 è multiplo/divisore di 4 Vero o Falso? Segna con una X la risposta esatta. 45 è divisibile per 6 72 è divisibile per 18 348 è divisibile per 3 4326 è divisibile per 9 120 è divisibile per 4 3725 è divisibile per 25 430 è divisibile per 100 555 è divisibile per 25 1562 è divisibile per 11 333 è divisibile per 11

V F V F

Vero o Falso? Segna con una X la risposta esatta. Se l’uguaglianza è falsa scrivi il risultato corretto. a

MDC (12, 18) = 6

V F

________________

mcm (12, 18) = 6

V F

________________

mcm (4, 5) = 4

V F

________________

MCD (23, 12) = 1

V F

________________

MCD (6, 24) = 12

V F

________________

mcm (6, 24) = 24

V F

________________

MCD (1, 8) = 8

V F

________________

mcm (7, 21) = 21

V F

________________

mcm (12, 24) = 12

V F

________________

MCD (3, 15) = 15

V F

________________

Completa con i termini corretti. I numeri relativi −9 e −2 sono _________________

e _________________.

V F V F

I numeri relativi +9 e −9 sono _________________

V F

e _________________.

V F V F

| −5 | = 5 è il ________________________ di −5.

I numeri relativi − 7 e + 7 hanno lo stesso

V F V F

________________________.

V F

Inserisci al posto dei puntini il simbolo corretto tra <, > o =

−3 ...... −5

+9 ...... +4

−12 ...... +12

−1 ...... 0

+8 ...... 0

−5 ...... +4

+5 ...... −4

−6 ...... +6

| −3 | ...... 3

| −5 | ...... 7

| −12 | ...... | +12 |

| +6 | ...... | −6 |

13 Disponi sulla retta orientata i numeri dati, dopo aver fissato una unità di misura adeguata. −2 , +5 , +6 , −10 , −9 , +8 , +2 , −1.

• 0 14

Calcola le seguenti operazioni tra numeri interi relativi. a b c d e f g h i l

(−13) + (+15) = (−7) + (−8) = (+11) + (+19) = (+26) + (−32) = (−6) − (−4) = (+3) − (+9) = (−12) − (+2) = (+21) − (−6) = (+5) . (+8) = (+11) . (−4) =

(−7) . (−6) = (+45) : (+9) = (+32) : (−8) = (−26) : (−13) =

m n

_____________________________

_____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________

_____________________________ _____________________________

Calcola le seguenti potenze di numeri interi rela-

tivi. a

_____________________________

(−4)2 = ____________ (+6)2 = ___________ (−84)0 =___________ (+3)3 = ___________ (−18)1 = ___________

b d f

(−2)3 = _____________ (−1)42 = ____________ (−1)75 = ____________

−52 = _____________

(−10)4 = ___________

Calcolo numerico

2.2 1

Completa le seguenti affermazioni con i termini corretti.

Il termine sopra la linea di frazione si chiama ___________________________________________________

La frazione del tipo 1 è detta _________________________________________________________________

Una frazione è propria se il numeratore è ______________________________________ del denominatore.

Una frazione impropria è _________________________________________________________________ di 1.

Una frazione è apparente se il numeratore è __________________o__________________ al denominatore.

Due frazioni sono una l’inversa dell’altra se il loro prodotto è _____________________________________ .

2 a b c d e f g h i l

Vero o Falso? Segna con una X la risposta esatta? Il termine sotto la linea di frazione si chiama denominatore. Una frazione propria può essere maggiore dell’unità. Una frazione impropria è sempre maggiore di una frazione apparente. Una frazione impropria è sempre maggiore di una frazione propria. Una frazione apparente è equivalente ad un numero intero. Una frazione ha infinite frazioni equivalenti. Una frazione propria può essere equivalente ad una impropria. Una frazione è ridotta ai minimi termini se numeratore e denominatore sono primi tra loro. Una frazione è ridotta ai minimi termini se numeratore e denominatore sono diversi tra loro. Sottraendo al numeratore e al denominatore di una frazione uno stesso numero, si ottiene una equazione equivalente.

V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F

Completa inserendo il simbolo <, > o =

5 5 … 9 12

2 3 … 14 14

12 5 … 27 3

1 3 … 3 9

2 4 … 5 5

21 21 … 34 37

6 18 … 3 9

2 …1 3

5 …1 3

2…

8 16 … 3 6

8 3

7 2 … 4 5

Disponi sulla retta orientata i numeri dati, dopo aver fissato una unità di misura adeguata. 1 5 6 1 9 7 3 1, , , , , , , . 2 2 3 4 4 2 2

• 0 5

Determina il valore della x nelle seguenti uguaglianze.

7 x = 8 32

x=…

1 x = 2 6

x=…

7 x = 8 56

x=…

3 x = 4 24

x=…

5 x = 24 72

x=…

5 x = 9 27

x=…

[ a x = 28

x 3 = 12 6 5 x = 9 36

x=…

x = 3 c x = 49 d x = 6 e x = 18 f x = 15 g x = 15 h x = 20]

sezione 2 6

Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni.

4 12 7 ; ; 8 24 21

3 22 16 ; ; 9 33 56

12 42 50 ; ; 18 70 75

12 27 48 ; ; 60 45 64

7 21 36 ; ; 42 49 72

64 38 7 ; ; 80 70 77

91 42 75 ; ; 156 147 135

44 143 120 ; ; 198 253 160

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni tra numeri razionali.

9 a

1 1 : = 4 8

4 16 : 5 5

21 24

7 28 : 6 36

4 12 : 35 7

2 4 : 5 15

2 1 : 9 3

1 5 : 8 4

1 5 : 5 6

8 1 : 25 5

40 7 : 35 80

5 2 : 18 9

Esercizio guidato 4 12 7 + – +3= 15 30 3 Si semplificano le frazioni riducibili 4 .......... 7 = + – +3= 15 .......... 3 Si determina il mcm tra i denominatori: mcm (15, 5, 3) = (..... : 15 . 4) + (..... : ..... . .....) – (..... : 3 . 7) + ..... . 3 = ...... = = .......... =

...... + ...... – ...... + ...... .......... ...... = = .......... .......... ......

3 1 7 + + 4 2 8

8 5 1 + + 9 18 2

7 9 11 + + 15 10 20

Semplifica le seguenti frazioni frazionarie. 1 2 3

1 +7 3

⎛ ⎜⎝ −

3⎞ = 2 ⎟⎠

21 4 − 36 9

8 24 − 5 35

⎛ b ⎜− ⎝

1⎞ = 5 ⎟⎠

7 5 − 8 12

6 3 12 + − 5 10 18

⎛ ⎜⎝ −

2⎞ = 7 ⎟⎠

6−2 =

⎛ ⎜⎝ −

1⎞ = 2 ⎟⎠

⎛ ⎜⎝ −

3⎞ = 5 ⎟⎠

⎛ ⎜⎝ −

5⎞ = 8 ⎟⎠

(−5)−3 =

Esegui le seguenti moltiplicazioni tra numeri razionali. a

13 . 20 . 11 4 11 26

22 . 17 . 6 3 55 34

27 . 6 42 9

4 5 1 5

−9 4

+9 4

+9 2

− 1 15

1 15

− 1 125

− 0 49

+ 1 49

−36

+ 1 36

− 1 36

−8

−1 8

+ 25 9

− 25 9

− 9 25

−5 8

−8 5

8 5

(+5)3

⎜− 5 ⎟ ⎝ 1⎠

2 . 15 30 8

3 8 9 40

Indica la risposta corretta.

1 5 8

3 4 11

4 5

Esegui le seguenti divisioni tra numeri razionali.

7 . . 5 2 20 21

3 . 12 . 28 14 27

44 . 25 50 77

11 . 4 12 33

55 . 50 . 3 40 33 2

−3

−2

−1

⎛

⎞

⎜− 1 ⎟ ⎝ 5⎠

⎛

⎞

Calcolo numerico 12

Date le seguenti frazioni indica a quale tipo di numero decimale corrispondono, senza calcolare la divisione: Decimale Limitato (DL), Decimale Periodico Semplice (PS), Decimale Periodico Misto (PM).

Trasforma i seguenti numeri decimali in frazione.

3,4

5,73

0,005

18,18

13,27

0,3

810,3

800,27

2,5

–– 0,246

–– 1,28

0,037

– 1,2

––– 0,00351

1,3

0,061

–– 0,026

–––– 1,2345

0,57

– 2,037

Esempi 7 → 45 = 32 . 5 → PM 45 25 5 = → 9 = 32 → PS 45 9

23 32

13 60

12 21

15 77

DL PS PM

38 24

DL PS PM

14 35

DL PS PM

2.3 1

Completa la seguente tabella. proporzione

antecedenti

conseguenti

medi

estremi

32 : 45 = 64 : 90

32 e 64

..... e .....

..... : ..... = ..... : .....

12 e 15

16 e 20

..... e .....

..... : ..... = ..... : .....

..... e .....

7 e 20

5 e 28

..... : ..... = ..... : .....

8 e 24

9 e 27

..... e .....

..... : ..... = ..... : .....

..... e .....

77 e 5

11 e 35

4 : 9 = 20 : 45

..... e .....

Completa la seguente tabella.

proporzione

proprietà fondamentale

proprietà dell’invertire

proprietà del permutare i medi

proprietà del permutare gli estremi

12 : 14 = 6 : 7

14 . 6 = 12 . 7 = 84

14 : 12 = 7 : 6

12 : 6 = 14 : 7

7 : 14 = 6 : 12

5 : 7 = 10 : 14 9 : 12 = 15 : 20 36 : 18 = 46 : 23 7 : 21 = 12 : 36 5 . 8 = 4 . 10 = 40

sezione 2 3

Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni. 5 : x = 15 : 21

35 : 45 = x : 18

Calcola la parte (p) noti il totale (T) e il tasso percentuale (r). Il 32% di 125 cm è ? Il 46% di 1250 € è ? Il 70% di 620 litri è? Il 12% di 12 350 € è?

a b

x : 26 = 17 : 34

x: 4:

16 : 18 = 40 : x

4 16 2 = : 10 6 5

7 42 42 :x= : 3 18 45

7 7 =x: 9 6

6:7=

3 :x 14

c d

6 Calcola il tasso percentuale noti la parte e il totale.

A che percentuale corrisponde 432 di 900? [48%] A che percentuale corrisponde 800 di 1250? [64%] A che percentuale corrisponde 1,7 di 8,5? [20%] A che percentuale corrisponde 0,212 di 0,848? [25%]

a b

Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni. a

9 : x = x : 16

64 : x = x : 9

4 3 :x=x: 3 25

1 16 :x=x: 3 3

1 1 :x=x: 9 4

3 1 :x=x: 4 3

[40 cm] [575 €] [434 litri] [1482 €]

c d

7 Calcola il totale noti la parte e il tasso percentuale.

144 è il 18% di? 1125 è il 75% di? 288 è il 40% di? 3450 è il 60% di?

a b c d

[800] [1500] [720] [5750]

2.1 1

Ordina i seguenti numeri naturali in senso decrescente. 34 , 110 , 101 , 4 , 23 , 1001 , 35 , 1100 , 99 , 109

Scrivi sotto a ciascun passaggio la proprietà applicata. Esempio

______________________________________________ 2 Determinare i numeri naturali che appartengono all’insieme dato.

3 + 6 + 12 = 3 + 18 proprietà associativa dell'addizione a

4 . (5 + 6) = 4 . 5 + 4 . 6 ___________________________________________

Esempio X = {n ∈N | n < 5} = {0, 1, 2, 3, 4}

24 : 12 = 48 : 24 ___________________________________________

A = {n ∈N | n ≤ 12}

= ___________________

B = {n ∈N | 6 ≤ n ≤ 10}

= ___________________

C = {n ∈N | n > 125}

= ___________________

___________________________________________ d

D = {n ∈N | n < 6 e n ≠ 4}

= ___________________

E = {n ∈N | n ≥ 24 e n ≠ 28} = ___________________ F = {n ∈N | n < 5 o n ≥ 12}

= ___________________

G = {n ∈N | 7 < n ≤ 9}

= ___________________

H = {n ∈N | n ≤ 3 o n > 3}

= ___________________

5 + 14 + 26 = 26 + 5 + 14

(18 − 6) : 3 = 18 : 3 − 6 : 3 ___________________________________________ 3 . 5 . 2 = 23 . 10 ___________________________________________

146 − 18 = 138 − 10 ___________________________________________ (13 − 3) . 2 = 26 − 6 ___________________________________________ 16 . 7 . 5 = 5 . 16 . 7 ___________________________________________

Calcolo numerico 4

Calcola le seguenti potenze applicando le proprietà dove possibile.

(54)3 : (52)5 − 5 =

[20]

(104 : 54)2 : (143 : 73)2 =

(45 : 25)3 . 515 : 1015 =

[1]

53 . 54 : 56 + 52 : 5 =

[10]

[20 . 24 : 23 + 2]2 : 22 =

[4]

(2 + 22 + 23)2 : 72 =

[4]

(163 : 26) − (24)4 : 27 : 27 =

[60]

(155 : 55)3 . 34 : (126 : 46)3 =

[3]

[4]

Calcola il valore delle seguenti espressioni in N.

Esempio

(12 . 6) : 8 + 6 . 4 . (20 – 5 – 12) – (2 . 5 + 4 + 3) . 3 : 4 . 9 – (41 – 5) + 30 : 2 + 7 = Eseguiamo i calcoli contenuti prima nelle parentesi tonde e poi nelle quadre, dando la precedenza alle moltiplicazioni e alle divisioni secondo l’ordine in cui si trovano: = 72 : 8 + 6 . 4 . 3 – (10 + 4 + 3) . 3 : 4 . 9 – 36 + 30 : 2 + 7 = = 72 : 8 + 6 . 4 . 3 – 17 . 3 : 36 – 36 + 15 + 7 = 9 + 72 - 51 : 15 + 7 = 30 : 15 + 7 = 2 + 7 = 9

(4 . 7 . 0 : 12) . (18 : 18) . 2 . (9 − 2) . 3 − 50 : 2 + 4 − 1 =

[3]

(2 . 3 + 6 − 5) . (9 . 2 − 16) + 3 + (44 : 11 + 17 . 2 + 4) : (2 . 5 − 3) =

{5 . 60 . 4 − 14 − 4 . (23 − 6 . 2) − 5 . 3 . 4 − 2 . 16 . 25} : (7 . 9 − 13) = {15 . 3 + 4 . 9 . (3 . 7 − 15) . 9 – 2 . (18 − 2 . 8) . (4 . 3 − 10) − 36 . 4} : (13 . 3) = (2 . 3 − 2 . 17) : {2 − 5 . 2 − (2 + 2 ) + 7 . 2 + 2 . 3 } = 2 . { 2 . 9 − (3 − 2 . 3) . 2 : (5 − 2 − 3) + 7} : (2 − 2 ) =

c d

3 2

(2 . 7 + 2)3 : (2 . 3 + 2)3 + 5 . 6 − (52 − 32) + 1 : (57 : 54) =

{ (8 : 8 + 5 : 5 − 3 ) : 4 + 5 7

− 2 . 22 : 32 . 2 − (22)

2 2

[23] [1] [2] [4] [6] [35]

}

− 24 : 32 =

[36]

Traduci in espressioni aritmetiche le seguenti frasi, poi esegui i calcoli.

Esempi Somma a 27 il prodotto tra 12 e 5 27 + 12 . 5 = 27 + 60 = 87 a b c d e f g h i l m n

Moltiplica la somma tra 24 e 12 per la differenza tra 18 e 13. Dividi la differenza tra 57 e 9 per la somma tra 5 e 7. Addiziona il quoziente tra 72 e 18 al prodotto tra 18 e 2. Sottrai alla somma tra 45 e 12 il prodotto tra 3 e 9. Dividi la somma di 9 e 15 per la differenza tra 13 e 9, poi aggiungi 7. Aggiungi al quoziente tra 65 e 13 il quoziente tra 18 e 6. Dividi la differenza tra 28 e il quoziente tra 52 e 4 per la differenza tra 37 e 22. Sottrai a 28 il quoziente fra la differenza di 54 e 4 e la differenza fra 37 e 12. Aggiungi a 35 il quoziente tra la differenza tra 15 e 5 e il prodotto di 5 e 2. Sottrai al prodotto tra 3 , 5 e 2 il quoziente fra 72 e 8. Aggiungi al quadrato della differenza tra 23 e 19 il cubo di 2. Sottrai al cubo della differenza tra 32 e 28 il quadrato della differenza tra 8 e 6.

[180] [4] [40] [30] [13] [8] [1] [26] [36] [21] [24] [60]

sezione 2 7

Scrivi l’insieme dei divisori dei numeri dati

Esempio Div (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Div(17)

= _______________________________

Div(14)

= _______________________________

Div(20)

= _______________________________

Div(22)

= _______________________________

Div(32)

= _______________________________

Div(10)

= _______________________________

Div(18)

= _______________________________

Div(30)

= _______________________________

Calcola il MCD dei seguenti gruppi di numeri

Calcola il mcm dei seguenti gruppi di numeri

Esempio

84; 72 MCD (84, 72) = ?

84 2

72 2

84 2

72 2

42 2

36 2

42 2

36 2

21 3

18 2

21 3

18 2

84 = 22 . 3 . 7 72 = 23 . 32 MCD (84, 72) = 22 . 3 = 12

84 = 22 . 3 . 7 72 = 23 . 32 mcm (84, 72) = 23 . 32 . 7 = 504

182, 120

40, 44

340, 128

70, 15

220, 432

18, 56

432, 270

294, 35

336, 420

540, 288

512, 328

325, 175

640, 592

168, 160

4320, 2520

350, 250

2700, 1728, 756

210, 280

216, 360, 288

216, 396, 264

Risolvi i seguenti problemi sul MCD o mcm Esempio Due libri, uno di 224 pagine e uno di 352, vengono rilegati a fascicoli tutti dello stesso numero di pagine. Qual è il minor numero possibile di fascicoli che si possono ottenere da ciascun libro? Volendo il minor numero possibile di fascicoli, sarà necessario che ciascun fascicolo abbia il maggior numero possibile di pagine; dato che non devono avanzare pagine, dobbiamo calcolare il MCD dei numeri delle pagine. MCD (224, 352) = 32 ⇒ numero di pagine di ciascun fascicolo; le pagine del primo libro saranno riunite in 224 : 32 = 7 fascicoli; le pagine del secondo libro saranno riunite in 352 : 32 = 11 fascicoli.

Calcolo numerico Esercizio guidato Una cometa appare ogni 24 anni, un'altra appare ogni 32 e una terza ogni 36 anni. Se le tre comete sono apparse tutte insieme nel 1737, quando si ripresenteranno contemporaneamente? 1a cometa → 1737 → 1737 + 24 → 1737 + 48 → 1737 + 72 ... 2a cometa → 1737 → 1737 + 32 → 1737 + 64 → 1737 + 96 ... 3a cometa → 1737 → 1737 + 36 → 1737 + 72 → 1737 + 108 ... Le tre comete si ripresenteranno contemporaneamente dopo un numero di anni che sia _______________________ di 24, di 32 e di 36. Quindi si deve calcolare il ________ (24, 32, 36). 24 2

32 2

36 2

.... ....

....

.... ....

....

24 = ____________ 32 = ____________ 35 = ____________

.... ________ (24, 32, 36) = ________ = numero di anni che deve trascorrere prima che le comete passino nuovamente tutte e tre contemporaneamente. L'anno del passaggio sarà __________

10 Tre bastoncini di legno lunghi rispettivamente 18 cm, 24 cm e 30 cm devono essere suddivisi in parti uguali e della massima lunghezza. Quale sarà tale lunghezza e quanti saranno i pezzi? [6 cm; 12] 11 Tre pezze di stoffa sono lunghe rispettivamente 9,6 m, 12 m e 16,8 m; si vogliono tagliare in modo da ottenere parti tutte uguali e della maggior lunghezza possibile. Quanti pezzi si otterranno? [16] 12

Paolo mangia il risotto un giorno sì e uno no, mangia il pollo ogni 3 giorni e il gelato ogni 5. Se Paolo ha mangiato questi tre cibi il 24 febbraio 2008, in quale data li ha mangiati di nuovo nello stesso pasto? [23 marzo 2008] 13

Tre pendoli compiono rispettivamente 60, 72 e 96 oscillazioni al minuto; se in un certo istante si trovano contemporaneamente all’inizio delle oscillazioni, dopo quanto tempo si ritroveranno nella stessa posizione? [24 ore] 14 I tre lati di un triangolo misurano 140 cm, 126 cm e 105 cm. Li si vuole dividere in segmenti uguali della massima lunghezza possibile. Calcola la misura di ciascun segmento e il numero di parti in cui ciascun lato [7 cm; 20; 18; 15] rimane diviso. 15

Un’automobile deve cambiare l’olio ogni 5000 km, il filtro ogni 10 000 km e le gomme ogni 16 000 km. Quanti chilometri deve percorrere l’auto prima che tutti e tre i cambi avvengano nel medesimo momento? [80 000 km] 16

Con 120 palline rosse e 96 verdi si vogliono confezionare dei sacchetti uguali contenenti il massimo numero di palline rosse e nere. Calcola quanti sacchetti si possono confezionare e quante palline di ciascun colore sono contenute in ciascun sacchetto. [24 sacchetti; 5 rosse; 4 nere] 17 Un rappresentante di commercio visita un cliente ogni 15 giorni, un secondo rappresentante ogni 20 e un terzo ogni 25. Sapendo che oggi i tre rappresentanti si sono trovati contemporaneamente da quel cliente, tra quanti giorni si rincontreranno? [300] 18

Tre linee tranviarie partono dallo stesso capolinea: la prima compie il percorso di andata e ritorno in 45 minuti, la seconda in 60 minuti e la terza in 90 minuti. Se le tre vetture partono contemporaneamente alle tre del pomeriggio, quando si ritroveranno insieme al capolinea? [alle 18]

sezione 2 19

Ordina i seguenti numeri naturali in senso decrescente. −24 , −10 , 11 , 4 , −23 , 101 , −35 , 15 , 99 , −109 ______________________________________________________________________________________________ 20

Completa in modo da rendere vere le seguenti affermazioni.

..... < −5

| −3 | ..... +3

..... > +10

−8 < .....

− | −1 | ..... −7

il successivo di −10 è .....

| +6 | ..... −6

il precedente di −1 è .....

Completa la seguente tabella. a

−2

−3

−4 +10

a+b

−1

−5

−8

a−b+c

| a | − (b + c) −| a + b| − c

a−c

−12

−6 0 −15

Completa la seguente tabella. a . (b + c)

−7

−3

−5

−1

−6

+10

−2

(a − b) : c

(a + b) . (a − c) 2 . (−a) . (b − c)

−21 +2

+3 +1

Calcola il valore delle seguenti espressioni in Z.

Esempio

(–3) . (–4) : (+6) – (–20) : (+5) + (–2) . (+15) : (–5) = Eseguiamo nell’ordine moltiplicazioni e divisioni: = +12 : (+6) – (–4) + (–30) : (–5) = +2 + 4 + 6 = +12 a

(32 − 17 + 18) : (29 − 10 − 8) − (50 − 25 − 5) : (22 − 12 − 6) =

[− 2]

(45 − 34 + 14) : (12 + 8 − 11 − 4) . (−14 + 8 + 4) + 7 =

[− 3]

(10 : 5 − 6) . (5 − 3) + (4 − 2) . (−5) + 20 + (−7 + 8) . 8 =

[10]

Individua eventuali errori e correggili.

53 . 52 . 55 . 5 . 54 = 514 22 . 32 . 52 . 42 = 1202

6 . 42 . 22 . 52 = 172

3 :3 = 3

V F

________

V F

________

32 . 3 . 36 . 33 . 38 . 34 = 324 22 . 12 . 42 . 32 = 248

V F

________

7 :7 = 7

6 :6 = 6

V F

________

15 4

V F

______________

V F

________

V F

________

V F

______________

Calcolo numerico i

1812 : 183 = 184

V F

________

363 : 43 = 93

V F

________

754 : 154 = 50

V F

________

285 : 145 = 21

V F

________

V F

________

V F

________

2 4 3

(5 )

= 59

{ (7 ) } = 7 0 4 3 5

{ (2 ) } = 2 { (5 : 5) } = 5

________

V F

[ a F 515 25

________

V F

5 2 2 3

3 4 2

V c V d F 242 e F 2402 f F 712 g V h V i F 189 l V m F 54 n F 25 o F 524 p V q F 70 r V]

Applicando le proprietà delle potenze, trasforma in un’unica potenza.

35 . 33 =

413 . 44 =

107 . 103 =

55 . 57 =

(−1)3 . (−1)5 =

(−5)3 . (−5)4 =

73 . 72 =

93 . 95 =

(−3)8 . (−3)5 =

(−2)2 . (−2)2 . (−2)2 =

107 : 105 =

156 : 154 =

[ a 38 26

8 7 13 6 2 417 c 1010 d 512 e (−1) = 1 f (− 5) g 75 h 98 i (− 3) l (− 2) = (− 8) m 102 n 152]

Completa la seguente tabella. a

−3

−2

−6

−1

−5

−1

−( a3)

−a2

(−a)2

a4 : b4

a3 . b3

(a3 . a4) : a5

Calcola il valore delle seguenti espressioni in Z, applicando, dove possibile, le proprietà delle potenze.

Esempio

{ (–5) . (+5) . (– 5) 2

3 3

}{

3 8 9 3 9 : (– 5) . (+5) . (– 5) : (– 53) . (– 53)

Ricordiamo le proprietà delle potenze: • prodotto di potenze di ugual base • quoziente di potenze di ugual base • potenza di potenza • prodotto di potenze di ugual esponente • quoziente di potenze di ugual esponente

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

: (+53)

8 3

am . an = am + n am : a n = a m - n ( a m ) n = am . n n an . b n = ( a . b ) an : b n = ( a : b )

Nella seconda parentesi quadra compare un prodotto di potenze che apparentemente non hanno la stessa base in quanto il secondo fattore ha base uguale a +5 mentre gli altri fattori hanno base uguale a –5, ma essen8 8 do (+ 5) = (– 5) possiamo considerare quel prodotto come un prodotto di tre potenze con base uguale a –5 e quindi possiamo applicare la relativa proprietà: =

{ (– 5)

= {(– 5)

2+2+3 3

7.3

: (– 5)

3+8+9

: (– 5) } : {(– 53)

12 . 2

} : { (– 53) : (– 53)

3+9 2

: (– 53)

} = { (– 5)

8.3

7 3

: (– 5)

} : { (– 53)

12 2

: (– 53)

} = {(– 5)21 : (– 5)20} : {(– 53)24 : (– 53)24} = {(– 5)21 - 20} : {(– 53)24 - 24} =

= (– 5) : (– 53) = Ricorda che a0 = 1 per qualsiasi a ≠ 0; quindi: = –5 : 1 = –5

sezione 2 a

{ −18 . (+18) . (+18) : (−18) } : { (+9) . (−9) : (−9) } = 10 + { 6 . 6 . 6 : (6 ) : (6 . 6) : 6 } : (3 ) − 3 = (10 ) : { 2 + (5 : 5 + 5) : 26 : 3 + (18 : 6 ) − 2 } =

[− 8]

(24)4 : (22)4 : (23)2 + (520)5 : (510)10 . (18 − 2 . 32) + 3 . 38 : (32)4 =

[7]

{ (3 − 5 . 2 + 5) . 2 − 2 + (3 . 5 ) − (2 . 3 ) : 17 + 3} : 8 = 4 − 2 : {(4 − 3 ) . (2 ) : (1 + 3 : 3 ) + 1 − 12 : 2 } =

[2]

2 3

c d

6 4

5 2 5

11 3

2 2

2 9

[35]

2 3

[8]

3 2

7 2

[8]

(3 + 32 + 33) : (32 . 5 − 23 . 22) + 32 : (24 + 55 : 54 − 310 : 39) =

(43 . 33) : 33 + 22 : 17 + (34 − 32) : 32 + (22 + 3) : 3 − (36 : 35) =

72 . 22 − (3 . 24 + 107 : 105 + 23 . 3) : 23 − 26 : 43 + 70 =

{

[8]

}

[20] [3]

{ 1 + 2 + 3 . 3 + 2 − (2 + 3 + 4 + 3 ) : 2 + 3} : (2 . 3) + (5 + 2 + 3) : (5 : 5 ) = { (5 − 4 ) : (4 − 3) + 3} . (50 : 5) − 2 + 5 . (3 − 2 ) − 3 . (2 : 2 ) = 2

[17]

[40]

2.2 Completa inserendo il simbolo <, > o =

1 a

45 6 … 15 18

24 50 … 12 25

32 22 … 48 66

34 26 … 18 24

72 84 … 45 64

28 45 … 9 12

38 46 … 28 42

153 72 … 117 65

Disponi in ordine crescente i seguenti numeri razionali. 3 5 4 2 1 +2 , −7 , + , −1 , − , + , +4 , −3 , − , − 4 3 7 5 6 ______________________________________________________________________________________________ 3

Calcola il valore delle seguenti espressioni in Qa.

Esempio ⎡ ⎛ 7⎞ ⎛ 11⎞ ⎤ 3 ⎛ 49 ⎞ ⎡ ⎛ 2 3 3 ⎞ ⎤ 4 ⎢ 5 − ⎜ 3 + ⎟ : ⎜ 7 − ⎟ ⎥ : − ⎜ : 2⎟ + ⎢ ⎜ + : ⎟ ⎥ ⋅ = 5⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦ 2 ⎝ 9 ⎠ ⎢⎣⎝ 3 4 2 ⎠ ⎦⎥ 7 ⎢⎣ ⎝ ⎡ ⎣

⎛ 15 + 7 ⎞ ⎛ 35 − 11⎞ ⎤ 3 ⎛ 49 1 ⎞ ⎡⎛ 2 3 2 ⎞ ⎤ 4 : ⋅ +⎢ + ⋅ ⎥: − ⎥⋅ = ⎝ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎦ 2 ⎜⎝ 9 2 ⎟⎠ ⎣⎜⎝ 3 4 3 ⎟⎠ ⎦ 7

⎡

⎣

= ⎢5 − ⎜

= ⎢5 −

⋅

5 ⎤ 2 49 ⎡ ⎛ 4 + 3 ⎞ ⎤ 4 +⎢ ⎥⋅ = ⎥⋅ − 24 ⎦ 3 18 ⎣ ⎜⎝ 6 ⎟⎠ ⎦ 7

⎡ 22 24 ⎤ 3 49 ⎡⎛ 2 1⎞ ⎤ 4 + ⎢ + ⎥⋅ = : ⎢5 − ⎥: − 5 5 ⎦ 2 18 ⎢⎣⎜⎝ 3 2 ⎟⎠ ⎥⎦ 7 ⎣

⎡ 11 ⎤ 2 49 7 4 + ⋅ = ⎢5 − ⎥ ⋅ − 12 ⎣ ⎦ 3 18 6 7

⎡ 60 − 11⎤ 2 49 2 + = ⎢ ⎥⋅ − ⎣ 12 ⎦ 3 18 3

Calcolo numerico

49 2 49 2 ⋅ − + = 12 3 18 3

49 18

−

49 18

2 3

⎡⎛ 1 7 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎧⎪ ⎡⎛ 3 3⎞ 1 3 ⎤ 49 ⎫⎪ 3 ⎢⎜ : + ⎟ : ⎜ + 1⎟ ⎥ : ⎨ ⎢⎜ 1 + − ⎟ : + 1 − ⎥ : ⎬ − = 4 2⎠ 4 4 ⎦ 12 ⎭⎪ 5 ⎣⎝ 4 12 7 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎦ ⎩⎪ ⎣⎝

[1]

⎡⎛ 1 1 4 ⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎤ 8 ⎢⎜ + − ⎟ + ⎜ 1 − + ⎟ ⎥ + 1 − 2 3 5 3 6 15 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 ⎣ ⎦ + = ⎡ 8 ⎛5 ⎞⎤ ⎡ 2 ⎛ 8 4 3⎞ ⎤ ⎢1 + − ⎜ + 2⎟ ⎥ + ⎢5 − − ⎜ 2 − ⎟ ⎥ + 3 − 3 2⎠ ⎦ ⎣ 3 ⎝6 ⎠⎦ ⎣ 3 ⎝

19 20

⎛ 2 1⎞ 3 1 3 9 ⎜⎝ 3 − 4 ⎟⎠ ⋅ 5 : 4 + 4 : 4 ⎛1 ⎞ − +1 = ⎛1 ⎞ 8 ⎛ 3 ⎞ 1 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 + 1⎟⎠ : 21 − ⎜⎝ 8 + 5 ⎟⎠ ⋅ 4

[0]

Calcola il valore delle seguenti espressioni in Qa. ⎡

⎛ ⎣ 2 ⎝3

⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 5⎠ 5 ⎦ ⎝ 3⎠ ⎝

⎞ 9⎠

( −4 ) ⋅ ⎢ − 1 + ⎜ 1 + 2 ⎟ : 11 ⎥ + ⎜ − 7 ⎟ : ⎜ − 144 ⎟ =

⎡⎛ 7 2 ⎞ 2 ⎛ 1 6 ⎞ ⎛ 13 ⎞ ⎤ ⎛ 7 ⎞ ⎢⎜ − ⎟ : + ⎜ − ⎟ : ⎜ − ⎟ ⎥ : ⎜ − ⎟ = ⎣⎝ 10 3 ⎠ 15 ⎝ 3 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎦ ⎝ 3 ⎠

⎡⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 2 11 ⎞ ⎛ 5 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎤ ⎛ 1 ⎞ 1 + ⎢⎜ − ⎟ : ⎜ + − ⎟ + ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ ⎥ : ⎜ 1 + ⎟ = ⎣⎝ 15 ⎠ ⎝ 4 5 20 ⎠ ⎝ 6 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎦ ⎝ 7 ⎠

5 ⎛ 1 ⎞ ⎪⎧ 3 ⎡ 1 ⎛ 3 1 ⎞ ⎤ 5 ⎫⎪ 1 + 1 + ⎟ : ⎨ : ⎢− − ⎜ − ⎟ ⎥ + ⎬ + = 2 ⎜⎝ 4 ⎠ ⎩⎪ 5 ⎣ 2 ⎝ 10 2 ⎠ ⎦ 3 ⎭⎪ 4

⎛ 1 5 ⎞ ⎡⎛ 13 ⎞ ⎛ 1 7 ⎞ 5 ⎤ ⎜⎝ − 6 + 3 ⎟⎠ ⋅ ⎢⎜⎝ − 6 ⎟⎠ : ⎜⎝ 8 − 4 ⎟⎠ − 6 ⎥ ⎦ ⎣

⎛ 7 2 ⎞ 2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 13 ⎞ ⎜⎝ 10 − 3 ⎟⎠ : 15 + ⎜⎝ 3 − 5 − 1⎟⎠ : ⎜⎝ − 5 ⎟⎠

5 1⎞ 5 1⎞ ⎛ ⎛ − − ⎜ 1 4 + 2⎟ ⎜ 8 4⎟ ⎜− + ⎟ :⎜ 1 − ⎟= 5 ⎜ 2 1− 5 ⎟ ⎜ 1− ⎟ ⎝ 8⎠ ⎝ 8 ⎠

13 6

−

1 4

5 12

[− 1]

9 7

5 4

sezione 2 5

Applicando le proprietà delle potenze, trasforma in un’unica potenza. −1

−2

−3

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ : ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ =

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ : ⎜⎝ 3 ⎟⎠ =

( −5 )

2−7 : 2−4 =

15−6 : 15−4 =

⎛ 3⎞ ⎜⎝ − 4 ⎟⎠

{ (−5) }

{ (−3) }

(a−x)−y =

⎛ 7 ⎞ ⎜⎝ 25 ⎟⎠

⎛ 2⎞ ⎛ 9⎞ ⎜⎝ − 3 ⎟⎠ : ⎜⎝ 8 ⎟⎠ =

⎡⎛ 7 ⎞ 3 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 4 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎥ = ⎣⎝ 5 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎦

−3 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎡ ⎜⎝ − 3 ⎟⎠ : ⎣( −3 ) ⎤⎦ ⋅ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ =

−2 2 2

−10

(10−10)−1

⎛ 8 ⎞ ⎛ 25 ⎞ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ 16 ⎟⎠

⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ −3 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = ⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦

( −7 2 ) : 7 −3 ⋅ ⎛⎜ − 1 ⎞⎟

(52 : 5−3)−2 . 58 =

(8−2 . 25)−3 =

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 30 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 34 : ⎜ ⎟ = ⎝ 9⎠ ⎝ 3⎠

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ : ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ =

⎡⎛ 6 ⎞ −3 ⎛ 36 ⎞ −2 ⎤ ⎛ 5 ⎞ −3 ⎢⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎣⎝ 5 ⎠ ⎝ 25 ⎠ ⎦ ⎝ 6 ⎠

⎡⎛ 11 ⎞ 5 ⎛ 11 ⎞ −3 ⎤ ⎛ 11 ⎞ −3 ⎢⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ ⎥ : ⎜ − ⎟ = ⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎝ 2 ⎠

−3

−4

−3

⎝ 7⎠

⎛ 1⎞ :⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

−7

⎛ 3⎞ :⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

−3 −1 −2

−5

−2

⎛ 5⎞ :⎜ − ⎟ = ⎝ 14 ⎠

−3

−5

−3

−2

−5

Determina il valore di x affinché le seguenti uguaglianze risultino vere. x

(−3)x = 1

⎛ 1⎞ − ⎜ − ⎟ = −16 ⎝ 4⎠

⎛ 1⎞ − ⎜ − ⎟ = +2 ⎝ 2⎠

x −5 = −1

x −3 = −1

−x −2 = −4

Calcolo numerico Calcola il valore delle seguenti espressioni in Q contenenti potenze.

Esempio 3 4 8 8 5 ⎧⎡ ⎫ ⎛ 1⎞ ⎤ ⎪ ⎪ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎤ ⎡ 5 ⎨ ⎢⎜ − ⎟ : ⎜ − ⎟ ⎥ : ⎢( +15) ⋅ ⎜ − ⎟ ⎥ ⎬ ⎝ 5⎠ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎣⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎦ ⎭ ⎩

3 8 8 ⎧ ⎫ 4⎪ ⎪ ⎡⎛ 12 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎤ 5 ⎨ ⎢⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ ⎥ : ⎡⎣( −3) ⎤⎦ ⎬ ⎪ ⎢⎣⎝ 5 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎥⎦ ⎪ ⎩ ⎭

⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤ ⋅ ⎢⎜ + ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦

{

⎛ 1⎞ ⋅⎜+ ⎟ = ⎝ 3⎠

{

24 - 20

⎡⎣( +3) ⎤⎦ : ( −3) 8

}

⎛ 1⎞ ⋅⎜+ ⎟ = ⎝ 3⎠

{(+3)

: ( −3)

}

⎛ 1⎞ ⋅⎜+ ⎟ = ⎝ 3⎠

Osserviamo che vale (–3) = (+3) perché l’esponente della potenza è pari; quindi:

{

= (+ 3) : (+ 3)

} . (+ 3)

-12

= (+ 3)

⎛ 1⎞ ⎜⎝ − 3 ⎟⎠

⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎥⎦

⎡ 3 ⎛ 5⎞ ⎤ ⎢ − ⋅ ⎜ −1 + ⎟ ⎥ 3⎠ ⎦ ⎣ 4 ⎝

⎛ 5⎞ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

-12

{

= (+ 3)

} . (+ 3)

-12

12 -12 12 -12 = (+ 3) . (+ 3) = (+ 39) = 30 = 1

2 2 ⎤ 2 ⎞ ⎡ ⎛1 3 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 1⎞ ⋅ ⎜ + − 2⎟ ⋅ ⎢( −3 ) + ⎜ − 1⎟ : ⎜ − ⎟ − 6 ⎥ = ⎝ 2 10 ⎠ ⎢ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎥⎦ ⎣

} . (+ 3)

⎛ 1⎞ ⋅⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠

⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ ⋅⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 2⎠

⎛ 1⎞ ⎜⎝ 1 − 3 ⎟⎠

13 30

⎧⎪ ⎡ ⎛ 1 2 ⎞ ⎤ 3 ⎫⎪ : ⎨1 − ⎢1 − ⎜ + ⎟ ⎥ − ⎬ = ⎩⎪ ⎣ ⎝ 2 3 ⎠ ⎦ 2 ⎭⎪

1 3

2 3 2 ⎛ 1 ⎞ ⎡⎛ 1 ⎞ ( −5 ) ⎤ ⎥ = : ⎜ − ⎟ + ⎢⎜ − ⎟ ⋅ 2 ⎥⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎢⎣⎝ 5 ⎠

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⋅⎜1 − ⎟ − ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝ 2⎠ ⎝

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ :⎜ − ⎟ + ⎜1 − ⎟ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝

−

⎛ 1⎞ :⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

⎛ 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1⎞ : ⎜ 1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ ⋅ 52 ⋅ ⎜ 1 + ⎟ = 4⎠ ⎝ 5 6⎠ ⎝ ⎝ 5⎠

5 16

13 12

3 3

⎛ 4⎞ : − ⎟ = 2 3 2 3 5 ⎜ ⎡ ⎛ 1⎞ ⎤ ⎡ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎤ ⎝ 3⎠ ⎢1 − ⎜ − ⎟ ⎥ : ⎢ 2 − ⎜ − ⎟ : ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦

[− 10]

−8 −8 −3 5 4⎫ −2 −6 ⎧ ⎡⎛ ⎪ 12 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎤ ⎡ 5 ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎪ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎨ ⎢⎜ − ⎟ : ⎜ − ⎟ ⎥ : ⎢15 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎥ ⎬ ⋅ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦ ⎪ ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦ ⎪⎩ ⎢⎣⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎭

3 3 3 3 ⎡ 3 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1⎞ ⎤ ⎛ 1⎞ ( ) − 2 : − 2 + − : − − : − : − ⎢ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 22 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ = 4 2 3 2 ⎫ ⎧⎡ ⎤ ⎛ ⎪ 1 ⎛ 1⎞ 1⎞ ⎪ ⎛ 1⎞ ⎨⎢− 2 : ⎜ − ⎟ − 2⎥ : ⎜ 2 − ⎟ ⎬ : ⎜ − ⎟ 3⎠ ⎪ ⎝ 5⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎪⎩ ⎢⎣ 3 ⎝ 3 ⎠ ⎭

[1]

[+1]

sezione 2

−2 −1 ⎡ −1 −4 ⎛ ⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ ⎤ 2 ⎞ 13 ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ − ( −2 ) ⋅ ⎢ −2 − ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ ⎥ − ( −2 ) ⋅ ⎜⎝ 6 + 5 ⎟⎠ − 5 ⎢⎣ ⎥⎦ −1

−2

⎛ 4⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ : ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ − 2 ⎟⎠

⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ : ⎜⎝ 3 ⎟⎠

( −3 ) l

⎛ 1⎞ + ⎜1 + ⎟ ⎝ 6⎠

−2

2 9

−5 ( −15 )

−1

−5

⎛ 1⎞ −⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

−

⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 4 ⎞ −⎜− + ⎟⎜ + ⎟⎜− ⎟ ⎝ 5 3 ⎠ ⎝ 5 3 ⎠ ⎝ 15 ⎠ 2

⎛ 1 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ − ⎜ − − 1⎟ − ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

3 5

−4

[6]

1 3 −1 − −2 2 4 ⎛ 3⎞ ⎡ + ( −1 + 2−1 ) ⋅ + ⎜ − ⎟ ⎣ −1 + ( −2 ) ⎤⎦ = 2 1 ⎝ 4⎠ − 3 6

(2−3 − 2−2 )( −2)

−3 ⎡ ⎛ 1⎞ ⎤ ⎢ 3 −2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥ ⎢⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎥ : ⎢⎜ + ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ − = −2 3 ⎥ ⎡⎛ 11 ⎞ 3 ⎤ ⎛ 7 ⎞ 5 9 ⎢⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎥ : ⎜ − ⎟ − ⎢ ⎥ ⎦ ⎢⎣⎝ 7 ⎠ ⎥⎦ ⎝ 11 ⎠ 11 ⎣ −5

−3

9 4

−2

−1

[0]

⎛ 1⎞ 1 −1 − ⎜ − ⎟ 1+ ⎝ 2⎠ 2 − −2 1 1 − ( −2 ) − 1+ 1 1 − 2−1 −1 + 2

⎛ 1 ⎞ : ⎜ −1 − −1 −1 ⎟ = ⎝ 1 +2 ⎠

−

4 3

−1

−1 −2 2 ⎡ 2 ⎛ 1 ⎞ −1 ⎤ 3 ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ 1 ⎞ −1 ⎛ ⎢− ⋅ ⎜ − ⎟ ⎥ + 4 4 8 1 − ⋅ ⋅ − − − ⋅ − ⋅ − ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 4 ⎟⎠ 1 ⎢⎣ 3 ⎝ 4 ⎠ ⎥⎦ : + = −1 −2 70 4 ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ − ⎜ − ⎟ ⋅⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 8⎠

−1

1 + ( −2 )

−1

⎛ 1⎞ ⎜⎝ −2 + 2 ⎟⎠

[3]

−1

1 − ( −2 ) : = −1 −1 −1 ⎛ 1⎞ ( −2 ) + 1−1 ( −2 ) + ⎜ ⎟ ( −2 ) − 1 ⎝ 2⎠

3 −1 ⎤ 2 ⎡ −2 3+ 3( −2 + 3 0 ) ⎣⎢( −2 ) − ( −1) ⎦⎥ −2 3+ − = 3 −2 ( −2 )

18 7

[0]

Calcolo numerico −1

⎛ 3 1⎞ ⎛ 3 1⎞ ⎜⎝ − 4 − 2 ⎟⎠ − ⎜⎝ − 4 + 2 ⎟⎠ 2

⎛ 2⎞ ⎛ 5⎞ ⎜⎝ − 3 ⎟⎠ − ⎜⎝ − 4 ⎟⎠

−1 −1

⎛ 2⎞ 2 −⎜− ⎟ − = 53 ⎝ 3⎠

−2

−1

⎛ 2⎞ 4 ⎜⎝ − 3 ⎟⎠ − 5

−

1 10

−1

⎛ 3⎞ 4 + 2⎜ − ⎟ − 5 ⎝ 2⎠

⎧ ⎡ ⎤⎫ ⎪ ⎢ ⎥⎪ −2 ⎞ ⎥⎪ ⎛ 1 ⎞ 1 1⎛ 1 ⎪ ⎢ − : 1 − − ⎨1 + ⎬ ⎟ = ⎜ −1 ⎢ ⎜ −1 ⎟ ⎥ ⎪ ⎛ 4 ⎞ ⎟ ⎥⎪ ⎝ 8 ⎠ ⎛ 4⎞ ⎢3 ⎜ ⎪ 1 + ⎜⎝ − 3 ⎟⎠ ⎢ ⎜⎝ 1 + ⎜⎝ − 3 ⎟⎠ ⎠⎟ ⎥ ⎪ ⎣ ⎦⎭ ⎩

( 2−3 − 2−2 )( −2)3 − ⎛⎜ − 1 + 1 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 + 1 ⎞⎟ ⎛⎜ − ⎝ 5

3⎠ ⎝ 5

4⎞ ⎟ 3 ⎠ ⎝ 15 ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ − ⎜ − − 1⎟ − ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

[− 55]

−2

−1

[0]

−1

⎡⎛ 1 ⎞ 3 ⎛ 2 ⎞ −2 ⎛ 3 ⎞ 5 ⎤ ⎡ 1 ⎛ 3 ⎞ −1 ⎤ ⎢⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ : ⎜ − ⎟ ⎥ ⋅ ⎢ − − ⎜ − ⎟ ⎥ = ⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎣ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎦

37 36

Calcola il valore delle seguenti espressioni contenenti numeri decimali.

(

): ⎛⎜⎝ 154 − 52 ⎞⎟⎠ ⎤⎥⎦ : ⎛⎜⎝ − 136 ⎞⎟⎠ =

⎡⎛ ⎞ ⎛ 1 5⎞ ⎢⎜ 0, 25 − + 1, 6 ⎟ : ⎜ 0,16 − ⎟ − 0, 4 − 0, 3 12 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎣

⎡⎛ 1 2 ⎞ ⎛ ⎤ ⎛ 1⎞ ⎛ 2 3⎞ ⎛ 2 4⎞ 8⎞ ⎢ ⎜ − ⎟ : ⎜ 0, 4 − ⎟ − ⎜ − ⎟ : ⎜ − ⎟ − 0, 3 ⎥ : ⎜ 1 − ⎟ = 2 5 4 3 5 15 5 15 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

[2]

2 ⎡⎛ 1 3⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎤ ⎡3 1 ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎤ 1 3 ⎢⎜ + 1, 3 − ⎟ ⋅ ⎜ 1 − ⎟ − ⎜ − ⎟ : ⎜ 1 − ⎟ ⎥ : ⎢ − ⋅ ⎜ 0, 42 − ⎟ ⎥ − : = 3⎠ ⎝ 7⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎝ 6⎠ ⎥ ⎣4 2 ⎝ 9 ⎠ ⎦ 13 ( −5 )2 ⎢⎣⎝ 2 ⎦

1 3

⎛ 1 2 ⎞ 11 6 ⎛ 7 3⎞ ⋅ ⎜ − ⎟ : ( 2, 5 − 1) − ⎜ + ⎟ : 5 ⎝ 4 2⎠ ⎝ 3 5 ⎠ 15 1, 4 − 0,1 − = ⎛ 3 3⎞ ⎛ 4 ⎞ 2 − 0, 3 − ⋅ 1 + 0, 3 ⋅ ⎜ 2 − ⎟ : ⎜ + 1⎟ 4 7⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝

[0]

1 −1 2 1+ 2 1 3 1 ⎛ ⎞ − − 0, 5 1+ ⎜ 3 7 3 4 ⎟ 2 17 + = − ⎜− + ⎟: 1 5 ⎜ 5 2 − 1 0,75 + 1 ⎟ 1+ ⎝ 2 2 ⎠ 1− 7 1 −1 2

(

)

1 3

[− 1]

sezione 2

2.3 1

Applicando le proprietà delle proporzioni, calcola il termine incognito.

Esempio ⎛7 ⎞ 41 14 + x⎟ : = x: ⎝⎜ 4 ⎠ 8 6

applico la proprietà del permutare i medi

⎛7 ⎞ 41 14 ⎜⎝ 4 + x⎟⎠ : x = 8 : 6

applico la proprietà dello scomporre

⎛7 ⎞ ⎛ 41 14 ⎞ 14 ⎜⎝ 4 + x – x⎟⎠ : x = ⎜⎝ 8 – 6 ⎟⎠ : 6

noto che: +x – x = 0

calcolo ora il termine incognito x=

7 . 14 17 : 4 6 24

7 . 14 . 24 98 = 4 6 17 17

⎛ ⎜⎝

⎛ d ⎜ ⎝

⎞ 1 25 5 + x⎟ : x = : ⎠ 5 16 16

⎛ b ⎜ ⎝

⎞ 4 2 1 − x⎟ : = x : ⎠ 3 5 2

⎞ 3 5 ⎛4 : x = : ⎜ + x⎟ ⎝ ⎠ 10 8 9

⎞ 3 ⎛ 14 ⎞ 4 − x⎟ : = x: ⎜ − 1⎟ ⎠ 10 ⎝ 5 ⎠ 3

1 b 6 c 16 20 55 39

8 7

Determina i valori delle incognite x e y applicando opportunamente le proprietà del comporre e dello scomporre. Esempio x : y = 24 : 5 sapendo che x + y = 232 Applico la proprietà del comporre (x + y) : x = (24 + 5) : 24 Sostituisco i valori noti ed eseguo i calcoli 232 : x = 29 : 24 Calcolo il valore del termine incognito 232 . 24 x= x= = 192 29 Se x + y = 232, allora y = 232 – x y = 232 – 192 = 40

x : y = 25 : 20

sapendo che x + y = 135

[x = 75, y = 20]

x : y = 34 : 26

sapendo che x − y = 16

[x = 68, y = 52]

x : 40 = y : 12

sapendo che x + y = 208

[x = 160, y = 48]

x : 21 = y : 15

sapendo che x − y = 42

[x = 147, y = 105]

Determina due numeri proporzionali a 7 e 5 sapendo che la loro somma è 432.

[x = 252, y = 180]

Determina due numeri proporzionali a 13 e 5 sapendo che la loro differenza è 288.

[x = 468, y = 180]

Calcolo numerico Risolvi i seguenti problemi. 3

Con 32 € si acquistano 4 metri di seta, quanti metri si possono comprare con 144 €?

[18 metri]

Per depurare l’acqua di una piscina di 2000 m3 di acqua sono necessari 12 litri di cloro, quanto cloro occorre per una piscina di 1200 m3 ? [7,2 litri] 4

Per completare un lavoro di ristrutturazione di un appartamento di 120 m2 occorrono 72 ore di lavoro. Se il costo del lavoro è di 25 € l’ora, quanto si verrebbe a spendere per ristrutturare un appartamento di 150m2 ? 5

[2250 €]

6 Se con 20 kg di caffè crudo si ottengono 16 kg di caffè tostato, quanto caffè crudo è stato usato per ottenere 72 kg di caffè tostato? [90 kg]

Risolvi i seguenti problemi contenenti la percentuale. 7

Se compro un PC scontato del 35% e lo pago 520 €, quanto l’avrei pagato a prezzo intero?

[800 €]

8 Il biglietto del treno Roma-Milano costa 120 euro, Barbara ha uno sconto del 10%, inoltre ha diritto ad un ulteriore sconto del 15% perché acquista il biglietto on line. Quanto paga il biglietto Barbara? [91,8 €] 9 In un analisi dell’andamento della produttività risulta che nel 2013 la produzione ha avuto un calo del 20%, mentre nel 2014 c’è stata una ripresa e si è registrato un aumento del 20%. Analizzando il bimestre 2014-2015 la produzione è aumentata o diminuita? Di quanti punti percentuali? [diminuzione del 4%] 10 Secondo studi recenti l’essere umano ricorda il 20% di ciò che ascolta e il 70% di ciò di cui ha discusso con altri, ma dopo 5 giorni l’80% delle informazioni apprese svanisce. Se uno studente ha solamente ascoltato una lezione, senza prendere appunti né discuterne con i compagni né con l’insegnante, quanto ricorderà della lezione dopo 7 giorni? Quanto ne ricorderebbe invece se ne avesse discusso con i compagni e con l’insegnante? [4%, 14%]

sezione 2

Un quadrato magico di ordine n è un quadrato formato da n righe e n colonne, ha quindi n . n caselle che contengono numeri diversi tra loro e tali che la loro somma di ogni riga, di ogni colonna e delle due diagonali è uguale ad uno stesso numero, differente per ogni quadrato magico, che si dice costante magica. Un quadrato in cui i numeri nelle caselle non sono tutti diversi tra loro è detto quasi magico.

Completa la seguente tabella che indica le kcal consumate da Paola al variare dei chilometri percorsi.

Completa i seguenti quadrati magici per ciascuno dei quali è data la costante.

chilometri percorsi (n)

kcal consumate (k)

_____

Esercizio n. D1 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe terza della scuola secondaria di I grado, anno scolastico 2014/2015. Paola, quando corre, consuma 60 kcal per ogni chilometro percorso. a

7 4

Costante magica = 12

Costante magica = 15

b Se n indica il numero di chilometri che Paola percorre, quale delle seguenti formule permette di calcolare quante kcal (k) consuma Paola correndo? A. k = 60 . n

B. k = 60 : n C. k = n : 60 1

12 10

Esercizio n. D4 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe terza della scuola secondaria di I grado, anno scolastico 2014/2015.

11 9

3 Costante magica = 34

D. k = n + 60 + 60

Sulla seguente retta dei numeri sono ordinate due potenze di un numero razionale n.

Costante magica = 34

Curiosità: accanto ad una delle porte di ingresso della Sagrada Familia di Barcellona c'è una pietra su cui è inciso un quadrato quasi magico, ne è riportato di seguito una copia non completa, completa le caselle mancanti. La costante magica è 33. 1

•

Indica con una crocetta se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera V o falsa F .

Il valore di n può essere +

1 2

Il valore di n può essere −

1 2

Il valore di n può essere +

3 2

Il valore di n può essere −

3 2

7 8 13

Calcolo numerico 4

Esercizio n. D7 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe terza della scuola secondaria di I grado, anno scolastico 2014/2015. a è un numero dispari maggiore di 3. Quale delle seguenti espressioni rappresenta il numero dispari successivo ad a? A. a + 1

B. 2a + 1

C. 2a − 1

D. a + 2

5 Esercizio n. D16 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe terza della scuola secondaria di I grado, anno scolastico 2014/2015.

Talete e Pitagora sono due matematici dell’antichità. Talete nacque nel 625 a.C. e visse 85 anni. Con una freccia indica sulla linea del tempo l’anno di morte di Talete.

700 a.C.

5 anni

Linea del tempo 625 a.C.

Quando nacque Pitagora, Talete aveva 50 anni. In che anno è nato Pitagora?

Risposta: ___________________ a.C. 6

Esercizio n. D1 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe terza della scuola secondaria di I grado, anno scolastico 2013/2014. Quattro amiche devono eseguire la seguente moltiplicazione: 25 . (−30) Per trovare il risultato ognuna svolge il calcolo in modo diverso. Amina

Beatrice

Carla

Denise

25 . (−3) . 10

25 . 3 . (−10)

25 . (−3) + 25 . 10

20 . (−30) + 5 . (−30)

Chi ha svolto il calcolo in modo NON corretto? A. Amina

B. Beatrice

C. Carla

D. Denise

Esercizio n. D23 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe terza della scuola secondaria di I grado, anno scolastico 2013/2014. a e b sono due numeri naturali. Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera V o falsa F . a.

Se a è un multiplo di 6 e b è un multiplo di 4, allora a . b è un multiplo di 8

Se a è un multiplo di 5 e b è un multiplo di 10, allora a . b è divisibile per 25

Se a + b è pari, allora almeno uno dei due addendi, a oppure b, è pari

Se a è divisibile per 10, allora a + 1 è divisibile per 11

sezione 2 8

Esercizio n. D1 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2013/2014.

Esercizio n. D20 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2013/2014.

Se k è un numero intero negativo, qual è il maggiore tra i seguenti numeri?

Da un controllo di qualità è emerso che una macchina ha prodotto 14 pezzi difettosi su una produzione di 1200 pezzi. Che stima è ragionevole fare del numero di pezzi difettosi su una produzione di 2150 pezzi?

A. 5 + k B. 5 . k

Scrivi i calcoli che hai fatto per trovare la risposta e poi riporta il risultato approssimandolo all’unità.

C. 5 − k D. 5k

______________________________________________ 9

Esercizio n. D6 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2013/2014. Marco afferma che, per ogni numero naturale n maggiore di 0, n2 + n + 1 è un numero primo. Marco ha ragione? Scegli una delle due risposte e completa la frase.

______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ Risultato (approssimato all’unità): _______________

Marco ha ragione, perché ____________________ 11

______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ Marco non ha ragione, perché ________________ ______________________________________________

Esercizio n. D7 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2014/2015. Arturo vuole misurare l’altezza di un obelisco che si trova al centro della piazza principale della sua città. A una certa ora di un giorno di sole, l’obelisco proietta un’ombra di circa 6,4 metri, e un palo alto 2,5 metri, che si trova nella stessa piazza, proietta un’ombra di circa 0,8 metri.

______________________________________________

Qual è l’altezza dell’obelisco? (Supponi che la piazza sia orizzontale e che l’obelisco e il palo siano verticali)

______________________________________________

Risposta: circa ______________ m

12 Esercizio n. D9 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2014/2015.

Nella seguente tabella, d rappresenta la distanza in metri fra l’abitazione e la scuola di ciascuno degli alunni di una classe. a

Quanti sono gli alunni che abitano a meno di 1 km dalla scuola? Distanza in metri dalla scuola

100 ≤ d < 500

Numero di alunni

500 ≤ d < 1000 1000 ≤ d < 1500 1500 ≤ d < 2000 2000 ≤ d < 2500 8

Risposta: ______________ . b

Qual è la percentuale di alunni che abitano a meno di 1,5 km dalla scuola?

A. 15%

B. 20%

C. 40%

D. 60%

Calcolo numerico 13

Esercizio n. D18 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2012/2013. In un quartiere di una città, il calendario della raccolta differenziata (carta, vetro e plastica) prevede che la raccolta della carta avvenga ogni 28 giorni, quella del vetro ogni 21 giorni e quella della plastica ogni 14 giorni. Oggi sono state effettuate le raccolte di carta, vetro e plastica. La prossima volta in cui la raccolta di carta, vetro e plastica verrà fatta contemporaneamente sarà tra ______________ giorni. 14

Esercizio n. D22 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2012/2013. L’ISTAT, nelle “Previsioni della popolazione italiana per l’Anno 2020”, prevede che in quell’anno i quindicenni italiani saranno circa 592 000, cioè lo 0,95% della popolazione italiana del 2020. Calcola qual è, secondo l’ISTAT, il numero stimato di italiani nel 2020. Esprimi il risultato con un numero intero. Risposta: ______________ . 15

Esercizio n. D28 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2012/2013. Un gruppo di biologi, per stimare quante trote ci sono in un lago, ne pesca 200 e, dopo averle marcate, le rigetta nel lago. Dopo qualche giorno, utilizzando la stessa rete, vengono pescate 720 trote e solo 12 di esse sono marcate. In base a queste informazioni, quante trote possiamo pensare che ci siano all’incirca nel lago? A. 2000

Offerta A: prezzo di 2500 euro e il 10% di sconto se consegna al rivenditore il vecchio motorino. Offerta B: prezzo di 2950 euro, sul quale è praticato uno sconto del 20%. Che cosa conviene fare a Marco? Scegli una delle risposte e scrivi i calcoli che hai fatto per trovare la risposta corretta. A Marco conviene accettare l'offerta A consegnando al rivenditore il vecchio motorino. ______________________________________________ ______________________________________________ A Marco conviene accettare l'offerta B e vendere il vecchio motorino all’amico. ______________________________________________ ______________________________________________ 17

Esercizio n. D1 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2011/2012. La tabella seguente riporta alcune informazioni nutrizionali stampate su tre confezioni di cereali per la prima colazione: confezione 1

grammi di cereali

100

200

percentuale di zucchero

20%

10%

20%

Sulla base dei dati in tabella, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera V o falsa F .

B. 9000 C. 12 000

La quantità di zucchero contenuta nella confezione 2 è uguale alla quantità di zucchero contenuta nella confezione 3.

La quantità di zucchero contenuta nella confezione 1 è maggiore della quantità di zucchero contenuta nella confezione 2.

La quantità di zucchero contenuta nella confezione 1 è maggiore della quantità di zucchero contenuta nella confezione 3.

D. 144 000 16

Esercizio n. D30 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2012/2013. Marco vuole acquistare un nuovo motorino e un amico gli offre 400 euro per il vecchio. Due rivenditori gli fanno le seguenti offerte per lo stesso modello di motorino:

sezione 2 Esercizio n. D7 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2011/2012.

Continua tu! Osserva le seguenti sequenze di numeri, prova a continuarle cercando di capire la legge che le regola.

Una compagnia telefonica propone quattro tariffe K, X, Y e Z, tra le quali i clienti possono scegliere. Le tariffe sono descritte nella seguente tabella:

A. 1, 2, 4, 7, 11, 16, ...

tariffa

costo costo alla costo per minuto di per ogni risposta SMS conversazione (in centesimi) (in centesimi) (in centesimi)

a Giulia ha scelto la tariffa Y. Quanti centesimi di euro deve pagare per una telefonata della durata di 3 minuti?

B. 1, 1, 2, 5, 8, 13, ... 1 1 1 C. − , , − , ... 2 4 8 D. 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, ...

Curiosità: Una di queste successioni numeriche è famosa, è stata citata anche in un film, “Il Codice Da Vinci” del 2006. Qual è questa successione e come si chiama?

Considera le seguenti sequenze di numeri

A. 14

2, 5, 8, 11, 14, ...

B. 18

4, 11, 18, 25, ...

C. 24 D. 26

Nella prima sequenza la differenza tra un numero e il precedente è 3, nella seconda la differenza è 7. Il numero 11 compare in entrambe.

b Marta vuole scegliere la tariffa per lei più conveniente. Di solito ogni giorno invia 25 SMS e fa 20 telefonate, ciascuna delle quali dura in media 1 minuto.

Continuando le due sequenze, quale sarà il prossimo numero in comune ? .

Sulla base delle precedenti informazioni, quale fra le quattro tariffe è la più vantaggiosa per Marta?

Risposta: ______________ .

A. La tariffa K

Giustifica la risposta.

B. La tariffa X

______________________________________________

C. La tariffa Y D. La tariffa Z

______________________________________________ ______________________________________________

Esercizio n. D15 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2011/2012. Nelle ultime elezioni svoltesi in un paese europeo è andato a votare il 70% degli aventi diritto al voto. Di questi il 20% ha votato per il partito A. Quale percentuale di aventi diritto al voto ha votato per il partito A? A. 60% B. 50% C. 20% D. 14%

______________________________________________

SEZIONE

ALGEBRA

Calcolo letterale

3.1 DAL NUMERO ALLE LETTERE Un’espressione letterale, o algebrica, è una sequenza di operazioni da eseguire su numeri e lettere. Alle lettere possono essere attribuiti valori numerici. Il valore numerico di una espressione letterale è il numero che si ottiene svolgendo le operazioni indicate dall’espressione dopo aver sostituito valori numerici alle lettere. Il valore numerico varia al variare dei valori che si sostituiscono alle lettere.

2 . a – 3 . b + a2 Valore numerico per a = 4 e b = 2 2 . 4 – 3 . 2 + 42 = 8 – 6 + 16 = 18

Valore numerico per a = 3 e b = 5 2 . 3 – 3 . 5 + 32 = 6 – 15 + 9 = 0

Un’espressione letterale è intera se le lettere che compaiono non sono né divisori in una divisione, né basi di potenze con esponente negativo. Se compaiono lettere che sono divisori in una divisione o basi di potenze con esponente negativo, l’espressione si dice frazionaria.

Espressioni letterali intere

Espressioni letterali frazionarie

1 2 x + a2 – 3

1 1 – 2b a

2 3ab +

3 x – a4 5

3 a + 4b 3

2 4 a + x –3 3 3 2a – b a+5

Una espressione letterale frazionaria perde di significato quando si attribuiscono alle lettere valori numerici che rendono nullo il denominatore. Determinare i valori numerici per i quali ha significato una espressione letterale significa determinarne il Campo di Esistenza (CE).

3.2 MONOMI E OPERAZIONI CON MONOMI Monomi Un monomio è una espressione letterale in cui non compaiono operazioni di addizione e sottrazione.

sezione 3 Un monomio è intero se non compaiono lettere come divisori o basi di potenze con esponente negativo. In caso contrario il monomio è frazionario.

Nota bene: senza ulteriori specificazioni, con monomio si intende monomio intero.

Monomi interi

Monomi frazionari

1 –2ab3

–3a 4 x b

⎛ 1⎞ 2 2 ab(4a)c3 ⎜ – ⎟ ⎝ 6⎠ 5

ab3 2 a 3c

3 –

3a (–2b) 7

3 3 – x –2ab 4

Un monomio è ridotto a forma normale se si presenta come prodotto tra un unico fattore numerico e potenze con basi letterali diverse. Per ridurre a forma normale un monomio non ridotto si applicano le proprietà della moltiplicazione e della potenza, cioè si moltiplicano tra loro i fattori numerici e si moltiplicano tra loro le potenze con basi uguali sommandone gli esponenti.

Sono monomi ridotti a forma normale

Sono monomi non ridotti a forma normale

2 1 – ab3 x 4 5

4 1 – xy 3 (5x) 3 x 3 3 8

2 +ab2

⎛ 1⎞ 2 4 a b(4a)b5c3 ⎜ – ⎟ 5 ⎝ 6⎠

4 3 5 Il monomio non ridotto – xy 3 (5x) x 3 è equivalente al monomio ridotto – x 5y 3 3 8 2

In un monomio ridotto il fattore numerico si dice coefficiente numerico, mentre le potenze con basi letterali formano la parte letterale. 5 − x 5y 3 2 coefficiente numerico

parte letterale

Il monomio nullo è il monomio con coefficiente numerico uguale a 0.

Nota bene: il coefficiente 1 non si scrive.

–ab3, +x 2

Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale.

–3ab3 e +5ab3 sono monomi simili. –2ab e –ab3 non sono monomi simili perché hanno le stesse lettere, ma non con gli esponenti corrispondenti uguali, quindi le parti letterali sono diverse. +4axy 3 +4ab3 non sono simili, hanno diverse parti letterali.

Calcolo letterale Due monomi si dicono opposti se sono simili, quindi hanno la stessa parte letterale, e coefficienti numerici opposti.

–3ab3 e +3ab3 sono monomi opposti.

Due monomi sono uguali se hanno stesso coefficiente numerico e stessa parte letterale. Il grado complessivo di un monomio, o semplicemente grado, è la somma degli esponenti delle sue lettere. Il grado relativo di un monomio, rispetto ad una lettera, è l’esponente della lettera indicata.

Nota bene: 1 Se la lettera rispetto alla quale si vuole determinare il grado non compare nella parte letterale del monomio, la si considera come base di una potenza con esponente 0 (ricorda: a0 = 1). 2 Se la lettera rispetto alla quale si vuole determinare il grado compare priva di esponente, il grado è 1. 3 Un numero, diverso da zero, può essere considerato come monomio di grado 0.

–4a2bc4 grado relativo alla lettera a = 2 grado relativo alla lettera c = 4 grado complessivo: 2 + 1 + 4 = 7

grado relativo alla lettera b = 1 grado relativo alla lettera x = 0

Operazioni con monomi Somma algebrica È possibile addizionare o sottrarre due monomi ottenendo il monomio somma o differenza, solo se sono simili. La somma di due monomi simili è un monomio che ha per coefficiente numerico la somma dei coefficienti e per parte letterale la parte letterale comune ai monomi.

Differenza La differenza tra due monomi simili è la somma del primo monomio con il monomio opposto del secondo Come nel calcolo numerico, anche nel calcolo letterale si può parlare di somma algebrica, per cui la somma algebrica di monomi simili è un monomio simile ai monomi dati e ha per coefficiente numerico la somma algebrica dei coefficienti.

Nota bene: la somma di monomi opposti è il monomio nullo.

(+3ab) + (–5ab) = 3ab – 5ab = –2ab (+3ab) – (–5ab) = 3ab + 5ab = +8ab (–2a2b) + (+6a2b) + (–3a2b) – (–a2b) = –2a2b + 6a2b – 3a2b + a2b = 2a2b 3ab + 2a2 → non sono sommabili perché non sono simili, la somma che rimane così scritta prende il nome di polinomio.

sezione 3

Moltiplicazione Il prodotto di monomi è un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle parti letterali. Per calcolare il prodotto delle parti letterali si applicano le proprietà delle potenze.

(+3a2b3) . (–5ac3) = –15a3b3c3

⎛ 2 4⎞ ⎜⎝ – 3 x ⎟⎠

. ⎛⎜ + 9 x 2y⎞⎟ = – 6 x 6y 5 ⎝ 5 ⎠

Potenza La potenza n-sima di un monomio è un monomio che ha per coefficiente la potenza n-sima del coefficiente e per parte letterale la potenza n-sima della parte letterale. Anche per calcolare la potenza n-sima della parte letterale si applicano le proprietà delle potenze. 3

⎛ 4 5 2⎞ 64 3 15 6 ⎜⎝ – 3 ab c ⎟⎠ = – 27 a b c

Divisione e Divisibilità Il quoziente tra due monomi è un monomio che ha per coefficiente il quoziente dei coefficienti e per parte letterale il quoziente delle parti letterali. Per calcolare il quoziente delle parti letterali si applicano le proprietà delle potenze. Il monomio A è divisibile per il monomio, non nullo, B se il monomio quoziente della divisione tra A e B è un monomio intero.

(+18a4b3c) : (–6a3c) = –3ab3 (–15ab5) : (–8ab) = 15 b4 8

5 (12a6b3) : (+4ab5) = 3a5b–2 = 3a2

b Quest’ultimo monomio quoziente è frazionario, cioè la parte letterale ha un esponente negativo, ovvero c’è una lettera al denominatore, quindi +4ab5 non è un divisore di +12a6b3.

MCD e mcm tra monomi Il MCD tra due o più monomi è un monomio che ha per coefficiente il MCD dei coefficienti e per parte letterale il prodotto di tutte le lettere comuni ai monomi dati, prese ciascuna una sola volta, con il minimo esponente. Il mcm tra due o più monomi è un monomio che ha per coefficiente il mcm dei coefficienti e per parte letterale il prodotto di tutte le lettere, comuni e non comuni, prese ciascuna una sola volta, con il massimo esponente.

Dati i monomi +9a2b3c

–12a5b2

+18a3c2

MCD (+9a2b3c, –12a5b2, +18a3c2) = 3a2 mcm (+9a2b3c, –12a5b2, +18a3c2) = 36a5b3c2

Calcolo letterale

3.3 POLINOMI E OPERAZIONI CON POLINOMI Polinomi Un polinomio è una somma algebrica di monomi. I monomi che formano il polinomio si chiamano termini del polinomio. Un polinomio si dice ridotto a forma normale se tra i suoi termini non vi sono monomi simili.

3ab + 4a2 – 5a2b3 + 5ab – 2a2 8ab + 2a2 – 5a2b3

polinomio riducibile polinomio ridotto

Il termine di grado 0 di un polinomio ridotto a forma normale è detto termine noto. Binomio = polinomio formato da due termini. Trinomio = polinomio formato da tre termini. Quadrinomio = polinomio formato da quattro termini. Un polinomio di cinque o più termini non ha un particolare nome.

Nota bene: un polinomio può essere considerato come funzione, le lettere da cui dipende il polinomio si dicono variabili indipendenti e il valore del polinomio varia in funzione di esse. La scritta P(x, y) indica che il polinomio dipende dalle variabili x e y, mentre con P(x) si intende che il polinomio è in funzione della sola variabile x.

P(x) = x 4 – 6x + 1

P(x, y) = 2x + 3y2 – 1

Calcolare il valore di un polinomio per un assegnato valore della variabile, significa sostituire il valore numerico dato alla lettera e svolgere i calcoli.

P(x) = x 4 – 6x + 1

per x = 3

P(3) = 3 – 6 . 3 + 1 = 81 – 18 + 1 = 64 4

P(x, y) = 2x + 3y2 – 1

per x = –1 e y = 2

P(–1, 2) = 2 . (–1) + 3 . 22 – 1 = –2 + 12 – 1 = 9

Due polinomi sono identicamente uguali se, ridotti a forma normale, sono formati da monomi rispettivamente uguali, quindi devono avere stessi coefficienti numerici e stessa parte letterale. Due polinomi sono opposti se, ridotti a forma normale, sono formati da monomi rispettivamente opposti.

8ab + 2a2 – 5a2b3

→

polinomio opposto –8ab – 2a2 + 5a2b3

Il grado complessivo di un polinomio, ridotto a forma normale, è il maggiore tra i gradi complessivi dei monomi che lo formano. Il grado di un polinomio relativo ad una lettera è l’esponente maggiore con cui la lettera indicata compare nel polinomio.

sezione 3

8ab + 2a2 – 5a2b3 I gradi dei monomi che formano il polinomio dato sono rispettivamente 2, 2 e 5. Il grado complessivo del polinomio è 5. Il grado relativo alla lettera a è 2. Il grado relativo alla lettera b è 3. Il grado relativo alla lettera x è 0.

Un polinomio si dice omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado. Un polinomio è ordinato in senso crescente (decrescente) rispetto ad una lettera se i monomi che lo formano sono disposti in modo che i gradi della lettera siano in ordine crescente (decrescente), cioè il polinomio è ordinato secondo le potenze crescenti (decrescenti) della lettera indicata. Un polinomio è completo rispetto ad una lettera se compaiono tutte le potenze della lettera indicata, da quella di grado maggiore a quella di grado zero.

3a3b2 + 2a2b3 + ab4 – b5 Il polinomio è omogeneo di grado 5. Rispetto alla lettera a: è ordinato in senso decrescente ed è completo. Rispetto alla lettera b: è ordinato in senso crescente, ma non è completo, mancano i gradi 0 e 1.

Operazioni con polinomi Somma algebrica La somma di due polinomi è un polinomio formato da tutti i termini dei polinomi addendi. La differenza tra due polinomi è uguale alla somma del primo polinomio con l’opposto del secondo. In generale: • la somma di polinomi è rappresentata dai polinomi racchiusi tra parentesi e separati dal segno +. • la differenza tra polinomi è rappresentata dai polinomi racchiusi tra parentesi e separati dal segno −. Una volta indicata la somma o la differenza tra polinomi è possibile semplificarla applicando le seguenti regole per eliminare le parentesi: • se una parentesi è preceduta dal segno + si tolgono le parentesi e si scrivono i termini racchiusi con i rispettivi segni; • se una parentesi è preceduta dal segno − si tolgono le parentesi e si scrivono i termini racchiusi con il segno cambiato. Si ottiene così un polinomio che può essere ridotto a forma normale qualora siano presenti monomi simili.

(3ab + 2b2 – 5) + (8ab – b) = 3ab + 2b2 – 5 + 8ab – b = 11ab + 2b2 – 5 – b (3ab + 2b2 – 5) – (8ab – b) = 3ab + 2b2 – 5 – 8ab + b = –5ab + 2b2 – 5 + b

Prodotto Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio i cui termini sono dati dal prodotto del monomio per ciascun termine del polinomio.

Calcolo letterale

–2ax 2 . (3ab + x 3 – 5y) = –6a2bx 2 – 2ax 5 + 10ax 2y

Il prodotto tra due polinomi è un polinomio formato dal prodotto di ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo. Si riducono poi i monomi simili se presenti.

Nota bene: prima della riduzione a forma normale, il polinomio prodotto è formato da un numero di termini pari al prodotto del numero di termini del primo polinomio per il numero di termini del secondo, cioè un binomio per un trinomio genera un polinomio prodotto formato da 2 . 3 = 6 termini.

(xy – 2ax 2) . (3ab + x 3 – 5y) = = 3abxy + x 4y – 5xy 2 – 6a2bx 2 – 2ax 5 + 10ax 2y

Prodotti notevoli Quadrato di un binomio Il quadrato di un binomio è un trinomio formato dalla somma del quadrato del primo termine con il doppio prodotto del primo per il secondo e con il quadrato del secondo termine.

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 Prodotto di una somma di monomi per la loro differenza Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è la differenza dei quadrati dei due termini.

(A + B)(A − B) = A2 − B2 Quadrato di un trinomio Il quadrato di un trinomio è un polinomio formato dalla somma dei quadrati dei tre termini a cui si aggiungono i doppi prodotti di ogni termine per ciascuno degli altri due.

(A + B + C)2 = A2 + B2 + C 2 + 2AB + 2AC + 2BC Cubo di un binomio Il cubo di un binomio è un quadrinomio formato dalla somma tra il cubo del primo termine con il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, con il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo e con il cubo del secondo termine.

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB 2 + B 3 Divisione con polinomi Il quoziente di un polinomio per un monomio è un polinomio formato dai quozienti della divisione di ciascun termine del polinomio con il monomio divisore.

sezione 3 Si dice che un polinomio è divisibile per un monomio se il polinomio quoziente è formato da tutti monomi interi. Regola generale per determinare quoziente e resto di una divisione tra due polinomi, rispetto ad una lettera: 1 si ordinano i due polinomi in senso decrescente rispetto alla lettera; se il dividendo non è completo

rispetto alla lettera di riferimento, si completa con termini a coefficiente nullo; 2 si divide il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore ottenendo il primo termine

del quoziente; 3 si sottrae al dividendo il prodotto tra il divisore e il primo termine del quoziente, si ottiene così il

primo resto parziale; 4 si ripetono i passaggi 2 e 3 finché il resto che si ottiene è 0 o è un polinomio di grado minore del

polinomio divisore.

6x 3 + 5x 2 – x + 2

2x 2 + x – 1

Si ottiene il primo resto parziale: +2x 2 + 2x + 2 Si divide ora il primo termine del primo resto parziale per il primo termine del divisore. 2x 2 : 2x 2 = 1

I polinomi dividendo e divisore sono ordinati e completi rispetto alla lettera x. Si divide il primo termine del polinomio dividendo per il primo termine del polinomio divisore.

6x 3 + 5x 2 – x + 2 –6x 3 – 3x 2 + 3x // + 2x 2 + 2x + 2

2x 2 + x – 1 3x + 1

6x 3 : 2x 2 = 3x 6x 3 + 5x 2 – x + 2

2x 2 + x – 1 3x

Si moltiplica il secondo termine del quoziente per il polinomio divisore e si scrive il polinomio opposto del polinomio prodotto sotto il primo resto parziale.

(2x 2 + x – 1) . 1 = 2x 2 + x – 1 polinomio opposto –2x 2 – x + 1

Ora si moltiplica il primo termine del quoziente per il polinomio divisore e si scrive il polinomio opposto del polinomio prodotto sotto il dividendo.

6x 3 + 5x 2 –6x 3 – 3x 2 // + 2x 2 – 2x 2 //

– + + – +

x 3x 2x x x

+ 2

2x 2 + x – 1

+ 2 + 1 + 3

3x + 1

(2x 2 + x – 1) . (3x) = 6x 3 + 3x 2 – 3x polinomio opposto: –6x 3 – 3x 2 + 3x Il secondo resto parziale è x + 3. 6x 3 + 5x 2 – x + 2 –6x 3 – 3x 2 + 3x // + 2x 2 + 2x + 2

2x 2 + x – 1 3x

Questo resto ha grado 1, cioè minore del grado 2 del polinomio divisore, quindi non si può andare avanti con la divisione. (6x 3 + 5x 2 – x + 2) : (2x 2 + x – 1) = 3x + 1 con resto x + 3.

Un polinomio P(x) è divisibile per un polinomio D(x) se il resto della divisione è 0.

Calcolo letterale

Regola di Ruffini La regola di Ruffini per determinare il quoziente della divisione tra due polinomi è possibile solo se il polinomio divisore è un binomio di grado 1 rispetto alla lettera di riferimento per la divisione e coefficiente del termine di primo grado uguale a 1, cioè è un binomio del tipo (x ± a). Vediamo come applicare la regola di Ruffini con un esempio.

Polinomio dividendo: P(x) = 2x 3 – 4x 3 + 7x + 5 Polinomio divisore: D(x) = x – 3

Si moltiplica nuovamente il termine noto cambiato di segno del binomio divisore (+3) per il coefficiente del polinomio quoziente (+ 2).

Si predispone uno schema come il seguente:

3.2 = 6

coefficienti di P(x) 2 –4 7 5

termine noto del binomio divisore cambiato di segno

Si scrive il prodotto ottenuto sotto il terzo coefficiente di P(x) e si abbassa la somma tra i due numeri. 2

+3 +3

Si abbassa il coefficiente del primo termine di P(x), si ottiene così il primo coefficiente del polinomio quoziente, cioè il coefficiente del termine di grado massimo. 2

–4

Infine si moltiplica quest’ultima somma per +3, si scrive il prodotto sotto il termine noto di P(x) e sommando i due numeri si ottiene il resto della divisione.

3.2 = 6

Si scrive il prodotto ottenuto sotto il secondo coefficiente di P(x) e si abbassa la somma tra i due numeri.

La somma trovata, +13, è il termine noto del polinomio quoziente.

Ora si moltiplica il termine noto cambiato di segno del binomio divisore (+3) per il coefficiente abbassato.

13 . 3 = 39

–4

Si ottiene così il secondo coefficiente del polinomio quoziente, +2.

–4

I numeri 2, 2 e 13 sono i coefficienti del quoziente della divisione. Se P(x) è di terzo grado e il divisore D(x) è di primo grado, il polinomio quoziente è necessariamente di secondo grado (3 – 1 = 2). Concludendo il quoziente della divisione risulta essere il polinomio Q(x) = 2x 2 + 2x + 13 con resto R = 44.

Teorema del Resto Il resto della divisione tra un polinomio P(x) e un binomio di primo grado D(x) del tipo (x ± a) è dato dal valore che il polinomio P(x) assume quando alla x si sostituisce il valore ∓a, quindi R = P(∓a). Condizione necessaria e sufficiente affinché P(x) sia divisibile per (x ± a) è che R = 0 ovvero che P(∓a)= 0.

sezione 3

3.4 SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI IN FATTORI Scomporre un polinomio in fattori significa trasformarlo nel prodotto di due o più polinomi di grado inferiore al grado del polinomio dato.

Polinomi riducibili e irriducibili Un polinomio che può essere scomposto in fattori si dice riducibile, in caso contrario il polinomio è irriducibile. Un polinomio è scomposto in fattori primi quando i fattori sono monomi o polinomi irriducibili. Per scomporre un polinomio in fattori primi non ci sono regole fisse, ma si può procedere seguendo lo schema proposto qui di seguito.

Raccoglimento a fattore comune Si determina il MCD tra i termini del polinomio. La scomposizione del polinomio è data dal prodotto tra il MCD dei termini del polinomio dato con il polinomio formato dai quozienti delle divisioni di ciascun termine del polinomio dato con il MCD AB + AC + AD = A . (B + C + D) Il fattore A rappresenta il MCD, viene messo in evidenza.

Raccoglimento parziale a fattore comune Si effettuano dei raccoglimenti parziali tra gruppi di termini del polinomio dato, in modo tale che successivamente sia possibile mettere in evidenza un fattore comune. AX + AY + BX + BY = A . (X + Y) + B . (X + Y) = (X + Y) . (A + B)

Scomposizione a partire dal numero di termini del polinomio dato numero di termini del polinomio da scomporre

BINOMIO

polinomio da scomporre

polinomio scomposto

Differenza di quadrati Somma di quadrati Differenza di cubi Somma di cubi

A2 − B 2 A2 + B 2 A3 − B 3 A3 + B 3

(A − B ) . (A + B ) non si scompone (A − B ) . (A2 + 2AB + B 2) (A + B ) . (A2 − 2AB + B 2)

Trinomio scomponibile nel quadrato di un binomio

A2 + 2AB + B 2

(A + B ) 2

TRINOMIO Trinomio notevole

QUADRINOMIO

POLINOMIO CON 6 TERMINI

(x + a) . (x + b) x 2 + sx + p tali che dove s sta per somma e p sta per prodotto dove a e b sono due numeri a + b = s e a.b = p

Quadrinomio riconducibile al cubo di un binomio

A3 + 3A2B + 3AB 2 + B 3

(A + B ) 3

Quadrinomio riconducibile alla differenza di quadrati dei quali uno è un binomio

A2 + 2AB + B 2 − C 2

(A + B )2 − C 2 = (A + B + C) . (A + B − C)

Polinomio riconducibile al quadrato di un trinomio

A2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2AC + 2BC

(A + B + C)2

Calcolo letterale

Scomposizione mediante la regola di Ruffini Si vuole scomporre il polinomio P(x). Applicare la regola di Ruffini significa cercare un binomio di primo grado D(x) del tipo (x ± a) che sia divisore di P(x). Per fare ciò si ricerca la a nell’insieme dei divisori del termine noto di P (x); l’insieme dove ricercare a può essere allargato anche ai numeri che si ottengono dal rapporto di ciascun termine noto con i coefficienti del termine di grado massimo di P(x). Si applica il teorema del resto calcolando P(A) fino a trovare resto 0. Si esegue quindi la divisione determinando il polinomio quoziente Q(x). A questo punto P(x) può essere scomposto come prodotto tra divisore e quoziente. P(x) = (x − a) . Q(x)

P(x) = x 3 + 2x 2 + 9

Si calcola ora il quoziente.

Divisori di 9 = Div(9) = {±1; ±3; ±9}

–3

–9

–1

Teorema del Resto P(1) = (1)3 + 2(1)2 + 9 = 1+ 2 + 9 = 12 ≠ 0

–3

P(–1) = (–1) + 2(–1) + 9 = –1+ 2 + 9 = 10 ≠ 0 3

P(3) = (3)3 + 2(3)2 + 9 = 27 + 18 + 9 = 54 ≠ 0

Q(x)= x2 – x + 3

P(–3) = (–3)3 + 2(–3)2 + 9 = –27 + 18 + 9 = 0

Per cui il polinomio P(x) dato si scompone x3 + 2x2 + 9 = (x + 3) (x2 – x + 3)

Il polinomio P(x) è divisibile per (x + 3)

MCD e mcm tra polinomi Il MCD tra polinomi, scomposti in fattori irriducibili, è dato dal prodotto dei fattori comuni a tutti i polinomi, presi una sola volta, con il minore esponente. Il mcm tra polinomi, scomposti in fattori irriducibili, è dato dal prodotto dei fattori, comuni e non comuni, presi una sola volta, con l’esponente maggiore.

3.5 FRAZIONI ALGEBRICHE Una frazione algebrica è un rapporto tra due polinomi, cioè è una espressione letterale della forma A B dove A e B sono due polinomi, in particolare B ≠ 0. Una frazione algebrica è ben definita per ogni valore numerico che, assegnato alle lettere che figurano nell’espressione, non rende nullo il denominatore. L’insieme dei valori che rende una frazione algebrica ben definita, cioè l’insieme dei valori che non annullano il denominatore, si chiama Campo di Esistenza (CE).

La frazione algebrica

2xy 2 + 3x2 x–4

è ben definita per ogni valore numerico che si voglia attribuire a x ad eccezione di 4, infatti per x = 4 il denominatore è nullo.

sezione 3 Due frazioni algebriche sono equivalenti se assumono lo stesso valore numerico per ogni valore attribuito alle variabili letterali, ad esclusione dei valori che rendono nullo il denominatore. A C = ⇔ A.D = B.C B D Una frazione algebrica verifica la proprietà invariantiva della divisione: moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso polinomio (non nullo), si ottiene una frazione equivalente a quella data. Semplificare una frazione algebrica significa ridurla ai minimi termini dividendo numeratore e denominatore, scomposti in fattori primi, per il loro MCD.

Data la seguente frazione algebrica

Il MCD tra numeratore e denominatore è (x – 2)

x3 – 4x x2 – 3x + 2

Si dividono numeratore e denominatore per (x – 2) Si ottiene la seguente frazione equivalente a quella data

Si scompongono numeratore e denominatore in fattori primi x . (x – 2)(x + 2) (x – 1)(x – 2)

x . (x + 2) (x – 1) ridotta ai minimi termini.

Somma algebrica Sommare algebricamente due o più frazioni algebriche significa sommare frazioni equivalenti a quelle date, ma aventi tutte lo stesso denominatore. La somma è una frazione con denominatore uguale al mcm dei denominatori e numeratore pari alla somma dei numeratori. A C E (mcm: B . A) + (mcm: D . C) − (mcm: F . E) + − = B D F mcm (B, D, F)

Moltiplicazione Il prodotto di due frazioni algebriche è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Si possono moltiplicare due o più frazioni anche scomponendo i numeratori e i denominatori in fattori primi e semplificando a croce. A.C A.C = . B D B D

Frazione inversa (o reciproca) Due frazioni algebriche sono una l’inversa dell’altra se il loro prodotto è 1.

Divisione Il quoziente di due frazioni algebriche è uguale al prodotto del primo fattore per l’inverso del secondo. A.D A C A.D : = = . con B, C e D ≠ 0 B C B D B C

Potenza La potenza di una frazione algebrica è una frazione che ha per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del denominatore. ⎛ A⎞ ⎜⎝ ⎟⎠

An Bn

Calcolo letterale

3.1

1 Determina il valore numerico delle seguenti espressioni letterali assegnando alle lettere il valore indicato a fianco. a

4a − a2 + 1

per a = 3

___________________________________________ b

(2a − 3b)2 + 1

per a = 5 e b = 4

3 a

−x + x 2 − xy

per x = −1 e y = 2

___________________________________________ d

x 2 + 2y + 3 per x = −2 e y = 3 x 2 + y2 ___________________________________________

[a4 2 a

5 c 4 d 1]

Scegli l’espressione letterale esatta. È il prodotto del doppio di a per la somma del quadrato di a con il triplo di b. 2a . a2 + b 2a . (a2 + b3)

2a . (a2 + 3b)

È il quadrato della differenza tra il doppio di a e b. (a2 − b)2

2a − b2

(2a − b)2 d

L’area del trapezio è data dalla metà del prodotto dell’altezza h con la somma della base maggiore B e la base minore b. 1 h . (B + b) 2

1 h.B + b 2

h +B +b 2

1 h.B.b 2

x +y 2

2x + 3y

⎛ ⎜⎝

⎞ 1 x + y 3⎟ ⎠ 2

Scegli l’espressione linguistica esatta.

(x + y)3 + 3 È il cubo della somma di x con y e con 3. È il triplo della somma tra x e y aumentata di 3. È il cubo della somma di x con y aumentato di 3. È la somma del cubo di x e di y con 3.

1 (3x − y)2 2 È la differenza tra il triplo di x con y al quadrato. È la metà del quadrato della differenza del triplo di x con y. È la metà della differenza tra il triplo di x e il quadrato di y. È il doppio del quadrato del triplo di x e y. 2ab + (a + b)

È la somma del doppio prodotto di a e b con il quadrato della somma tra a e b. È la somma del doppio di a con il quadrato di b. È la somma del prodotto di a e b con il quadrato di a e il quadrato di b. È il quadrato della somma del doppio di a con b.

2a + a2 + 3b

2a2 − b

1 x2 + y3 2

___________________________________________ c

È la somma della metà del quadrato di x con il cubo di y.

2(x 3 + y2) È la somma del cubo di x con il quadrato di y. È la somma tra il doppio del cubo di x con il quadrato di y. È il doppio del cubo di x sommato al doppio di y. È il doppio della somma del cubo di x con il quadrato di y.

3.2 1

Stabilisci quali delle seguenti scritture rappresentano monomi.

(−2)a2x 4b(+3)

SI NO

(−3)(−2) x 2 y 6

SI NO

72abx 5

3xy2 − (−2)

SI NO

2 − ab5c 3

SI NO

⎛ ⎜⎝ −

SI NO

1 ⎞ ⎛ 6 5⎞ − xy ⎟ + a4b5 SI NO ⎠ 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 5

sezione 3 2

Indica quali tra i seguenti monomi sono interi I o frazionari F .

2ab c

3xy 5

2x 3y2

9x 2yc 4ab

3 abx 4 8

3 −3 ab 5

3 a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v

Vero o falso? Un monomio è un’espressione letterale in cui sono presenti solo le operazioni di moltiplicazione e divisione. Una qualsiasi espressione letterale costituisce un monomio. Un monomio è un’espressione letterale in cui sono presenti solo le operazioni di elevamento a potenza, moltiplicazione e divisione. Un monomio è frazionario se vi compaiono frazioni. Un monomio in cui compaiono frazioni può essere intero. Un monomio in cui compaiono frazioni può essere frazionario. In un monomio ridotto a forma normale ciascuna lettera compare al massimo una volta. Il grado complessivo di un monomio è dato dall’esponente più alto che compare nel monomio stesso. Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale. Due monomi opposti hanno la parte letterale con gli stessi esponenti ma con segni opposti. Il grado di un monomio è il maggiore degli esponenti delle sue lettere. Il grado di un monomio è il prodotto degli esponenti delle sue lettere. Il grado di un monomio è la somma degli esponenti delle sue lettere. Non esistono monomi di grado 0. Non esistono monomi di grado 1. Due monomi sono simili se in essi figurano le stesse lettere. Il grado di un monomio rispetto a una lettera è l’esponente di quella lettera. Due monomi simili hanno lo stesso grado. Due monomi con lo stesso grado sono simili. Se due polinomi hanno lo stesso grado, allora sono uguali e viceversa.

V V V V V V V V V V V V V V V V V V

Completa la seguente tabella.

monomio

−2x 3y

3ab(2a)b3 x 4(−y)xy 3 − a2b 4 1 3 2⎛ 3 ⎞ 5 x y ⎜ ⎟x ⎝ 2⎠ 6

V F V F

monomio ridotto (solo se il monomio dato non è già ridotto a forma normale)

monomio simile

monomio opposto

F F F F F F F F F F F F F F F F F F

Calcolo letterale 5

Completa la seguente tabella. monomio

grado rispetto alla lettera

coefficiente x

grado complessivo

4x 2yzt3

−3x 3y2t 3 − __ x 3t5 8 4 + __ xz 4t2 3

6 a b c d e f g h i l m n o p q r 7 a b c d e f g h i l m

Vero o falso? La somma di due o più monomi è sempre un monomio. La somma di due o più monomi può essere un monomio. La somma di due o più monomi non è mai un monomio. La somma di due o più monomi simili è un monomio simile ai dati. La differenza tra due monomi simili è un monomio di grado 0. La moltiplicazione tra monomi è sempre possibile. Il prodotto di due monomi di terzo grado è un monomio di terzo grado. Il prodotto di due monomi di terzo grado è un monomio di nono grado. Il prodotto di due monomi di terzo grado è un monomio di sesto grado. Per elevare a potenza un monomio si moltiplicano per l’esponente della potenza sia gli esponenti della parte letterale, sia il coefficiente. Il cubo di un monomio di quarto grado è un monomio di settimo grado. La potenza con esponente positivo di un monomio intero è ancora un monomio intero. La potenza con esponente negativo di un monomio intero è un monomio frazionario. La potenza con esponente positivo di un monomio frazionario è ancora un monomio frazionario. La potenza con esponente negativo di un monomio frazionario è ancora un monomio frazionario. La potenza con esponente negativo di un monomio frazionario è un monomio intero.

V V V V V V V V V

F F F F F F F F F

V V V V V V V

F F F F F F F

V V V V V V V

F F F F F F F

Vero o falso? Il quoziente tra due monomi interi è ancora un monomio intero se gli esponenti delle lettere del divisore sono minori o uguali agli esponenti delle lettere del dividendo. Il grado del quoziente di due monomi è uguale alla differenza fra i gradi dei due monomi dati. Il quoziente tra un monomio di sesto grado e uno di secondo grado è un monomio di terzo grado. Il quoziente tra due monomi interi è ancora un monomio intero. Il quoziente tra due monomi simili è un monomio di grado 0. Il quoziente tra due monomi simili è un monomio nullo. Il MCD di due o più monomi è un monomio che ha sempre coefficiente 1. Il MCD di due o più monomi è un monomio che ha per coefficiente il MCD dei coefficienti dei monomi e per parte letterale tutte le lettere che compaiono nei monomi con il minor esponente. Il mcm di due o più monomi è il monomio che ha per coefficiente il mcm dei coefficienti dei monomi e per parte letterale tutte le lettere che compaiono nei monomi con l’esponente maggiore. Il MCD dei monomi 5a2, 15ab3 e 20a2b4 è 5a. Il mcm dei monomi 5a2, 15ab3 e 20a2b4 è 20a2b4.

V F V F V F V F

sezione 3 8

Calcola le seguenti somme e differenze di monomi.

Completa le seguenti potenze di monomi.

(−3x 3y 2) + (−5x 3y 2) = _________________________

(−2x 3y 2)4

= ...x ...y 8

(+2a4bc3) − (+a4bc3) = _________________________

(+2a...bc3)3

= +8a12b...c...

(−4x 2y 2) − (−x 2y 2) = _________________________

((−xy ) )

= (−xy 2) = ...x ...y ...

5 2 3

⎛ d ⎜+ ⎝

3 4⎞ ⎛ 5 4⎞ a − − a = _________________________ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

⎛ d ⎜+ ⎝

⎛ ⎜⎝ −

5 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ab + + ab = _________________________ 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 9 ⎟⎠

Completa i seguenti prodotti di monomi.

⎛ ⎜⎝ −

3 ...⎞ a 2 ⎟⎠

...

⎞ 1 ...b...⎟ ⎠ 4

= ...

... 14 a ...

= ...

... 3 6 ab ...

Completa i seguenti quozienti di monomi.

(−3x 3y 2z) . (−5x 4z 2) = ...x ...y 2z...

(−30x 5y 4) : (5x 3y 2) = ...x 2y ...

(−a...c3) . (+a...bc...) = −a5b2c7

(+2a4bc3) : (−a3b) = −2...c ...

(+4x 7y 2) . (−...x − 5y − 2) = −8x ...y ...

(−4x ...y ...) : (+3xy) = − ... xy

⎛ d ⎜+ ⎝

⎛ ⎜⎝ −

...

3 ... ⎞ . ⎛ ... 4⎞ 5 a ... ⎟ ⎜ − b ⎟ = − a4b5 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 2

⎛ d ⎜+ ⎝

5 3 ⎞ . ⎛ 4 ... ⎞ ... a b... ⎟ ⎜ + a b⎟ = − a2c 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠ 6 ...

3 7⎞ ⎛ 15 4⎞ ... a : − a = − a... 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 4 ⎠⎟ ...

⎛ ... ⎞ ⎜⎝ − ab⎟⎠

⎛ 1 ⎞ 15 : ⎜ + ... ... ⎟ = − ⎝ 9 ⎠ 2

3.3 1

Vero o falso?

Il grado complessivo di un polinomio è dato dal maggiore dei gradi dei termini del polinomio.

Il grado del polinomio rispetto a una lettera è la somma degli esponenti con cui la lettera compare.. V F

Un polinomio è omogeneo se tutti i termini presentano la stessa lettera.

V F

Un polinomio si dice completo rispetto a una lettera quando quella lettera compare con tutte le potenze dal grado massimo al grado 0 (o dal grado 0 al grado massimo).

V F

Un polinomio si dice ordinato rispetto a una lettera quando le potenze di quella lettera sono ordinate in senso crescente.

V F

Un polinomio si dice ordinato rispetto a una lettera quando le potenze di quella lettera sono ordinate in senso crescente o decrescente.

V F

Un polinomio non completo può sempre essere reso completo.

V F

Un polinomio non ordinato può sempre essere reso ordinato.

V F

Se due polinomi hanno lo stesso grado, allora sono uguali e viceversa.

V F

Non esistono polinomi di grado 0 rispetto a una lettera.

V F

Il grado di un polinomio è il più alto grado dei monomi che lo compongono.

V F

Il grado di un polinomio è il più alto esponente che figura nelle sue lettere.

V F

Un polinomio privo di termine noto è omogeneo.

V F

Calcolo letterale 2

Completa la seguente tabella. grado rispetto alla lettera

polinomio a

grado complessivo

−x 5y 4 + 2ab3 − 4abx 6 + 3y5 7ab5x 4y 2 + 2a7 − 5abxy + x 8 2 7 1 a4y 2 + __ a 4ab6x 5 − __ 5 7 2 a4 − __ 1 x 5y 5 − __ 3 b13 __ 3 8 2

Completa la seguente tabella. gradi mancanti ordinato rispetto completo rispetto per essere alla lettera x alla lettera x completo rispetto (sì/no, (sì/no) alla lettera x se sì crescente (nessuno, 0, 1, ...) o decrescente)

polinomio

omogeneo (sì/no)

−x 3 + 3x − 1 2x 2y + y 3 − 5xy 2 7 − 2x + x 2 − 4x 3 x2 + y2 a2x − ax 2 + x 3 2x 3 − 2x 2 + 2x + 2 3x + 9 ax 2b + 5axb2 − a3b

Calcola il valore dei seguenti polinomi assegnando alla variabile il valore indicato a fianco.

Esempio

⎛ 2⎞ Dato il polinomio P(x) = x3 + x2 – 4x + 2, calcola: P(1); P ⎜ – ⎟ ; P(0); P (0,4). ⎝ 3⎠

La scrittura P (1) significa trovare il valore che assume il polinomio se alla variabile sostituiamo il valore 1. 3 2 P (1) = (1) + (1) – 4(1) + 2 = 1 + 1 – 4 + 2 = 0 Procedendo in maniera analoga: 3

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ –8 + 12 + 72 + 54 27 4 8 130 + + +2= = P ⎜– ⎟ = ⎜– ⎟ + ⎜– ⎟ – 4 ⎜– ⎟ + 2 = – 27 8 9 3 27 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 3

P (0) = (0) + (0) – 4(0) + 2 = 2 3

P (0,4) = (0,4) + (0,4) – 4(0,4) + 2 = 0,064 + 0,16 – 1,6 + 2 = 0,624

sezione 3

Per calcolare P(0,4) possiamo anche osservare che 0,4 = 3

4 2 = , quindi: 10 5

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ 8 + 20 – 200 + 250 8 4 8 78 P⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ – 4⎜ ⎟ + 2 = + + +2= = 125 125 25 5 125 ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠

1 2 1 x=− 3

P(x) = x 2 − 4 x 4 + 2x − 5

P(x) = 3x 3 +

P(x) = x 4 − 2ax 3 + a2x 2 − 3a3x − 5a4

[−4]

2 1 − 6x 2 + x 3 3

−

2 9

[2a4]

x = −a

Trova per quali valori di a, b, e c i seguenti polinomi sono identicamente uguali.

Esempio P(x) = ax3 + bx2 + 3x + c

Q(x) = 2x3 –

1 2 x + 3x – 4 2

Due polinomi sono identicamente uguali se sono formati dagli stessi monomi, quindi devono avere stessi coefficienti numerici e stessa parte letterale. Nel nostro caso abbiamo: a=2

b=–

1 2

c = -4

P(x) = ax 4 + bx 3 + cx − 5

Q(x) = 2x 3 + 3x − 5

[a = 0; b = 2; c = 3]

P(x) = ax 2 − (b − 1)x + c − 3

Q(x) = x 2 − 1

[a = 1; b = 1; c = 2]

P(x) = (a − 1)x 3 − 3x 2 + c − 4

Q(x) = 2x 2 − (b − 1)x 2 − 4

[a = 3; b = 4; c = 0]

Vero o falso? La somma di due o più monomi è sempre un polinomio. La somma di un binomio e di un trinomio è sempre un polinomio con cinque termini. La somma di un binomio e di un trinomio può essere un binomio. La somma di un binomio e di un trinomio può essere un trinomio. La somma di due polinomi è sempre un polinomio. L’addizione tra due polinomi è un’operazione sempre possibile. Il prodotto di due binomi è sempre un quadrinomio. Il prodotto di un binomio per un trinomio può essere un polinomio con sei termini. Per moltiplicare due polinomi è sufficiente moltiplicare i coefficienti dei loro termini. La regola del resto consente di determinare il resto senza risolvere la divisione tra due polinomi. La regola di Ruffini si può applicare solo se il divisore, nella divisione tra due polinomi, è un binomio di primo grado. Se il polinomio P(x) si annulla per x = −1, allora P(x) è divisibile per il binomio (x − 1). Per la divisione tra due polinomi non vale la proprietà invariantiva. La regola di Ruffini può essere applicata solo se la divisione è esatta. La regola di Ruffini permette di determinare il quoziente tra un polinomio e un binomio di primo grado e anche l’eventuale resto.

a b c d e f g h i l m n o p q

Completa le seguenti somme e differenze di polinomi, riducendo i termini simili.

Esempio

(x2 + 3x2y2 – 2y2) + (–4x2y2 + x2 – 3x) – (+6x2y2 – y2 – 3x) = = x2 + 3x2y2 – 2y2 – 4x2y2 + x2 – 3x – 6x2y2 + y2 + 3x = 2x2 – 7x2y2 – y2

V V V V V V V V V V

F F F F F F F F F F

V V V V

F F F F

V F

Calcolo letterale a b c d e

(3a − 2b) + (−a + b) − 2a = 3a − 2b ... a ... b − 2a = ... a ... b (3a + 4b) + (2a + 5b) − (−2a + 3b) = 3a + 4b ... 2a ... 5b ... 2a − 3b = ... a ... b (x − 3y) − (2x − y) + (2x + y) = x − 3y − 2x ... y ... 2x ... y = ... x ... y (4a + 2b) − (3a − 2b) − (2a + 3b) = 4a ... 2b ... 3a + 2b ... 2a ... 3b = ... a ... b (2x − 6y) − (3x − 5y) + (12x + 2y) − (11x − 4y) = 2x ... 6y ... 3x ... 5y + 12x ... 2y − 11x ... 4y = ... x ... y

Completa i seguenti prodotti di un monomio per un polinomio.

−2a2(ab + 5a3 − 6) = ...a...b − 10a... + ...

x 2y(−3x 4 + 2x 3y − 6xy 3 − 4x) = ...x ...y ... x ...y 2 − 6x ...y ... − 4x ...y

−x 3y 2(−x ...y 4 + 2x 2y 2 − 5xy ... + 7y ...) = +x 8y 6 ... x ...y ... + 5x 4y 5 − 7x 3y 6

4abc 3(−3ab5 + ac 2 − 2ab3c 2 + 7) = −12a...b6c ... + 4a...b...c 5 − ...a2b...c 5 ... abc ..

−2abx 2(2a − 3b4x 3 + 5abx) = ...a...bx ... + 6ab...x ... ... a2b...x ...

Completa i seguenti quadrati di binomi. 2 Ricorda: (A + B) = A2 + 2AB + B2

(3x + 4y)2 = ...x ... + 12xy + ...y ...

(2x y + 3) = 4x y + ...x y + 9

(ab − 5b ) = a b − 10ab + ...b

11 a b c d e 12 a

...

2 2

⎛ d ⎜ ⎝

⎛ ⎜⎝

2 ...

...

Completa i seguenti prodotti della somma di due monomi per la loro differenza. Ricorda: (A + B)(A − B) = A2 − B2 a

(5ab + 2a3)(5ab − 2a3) = 25a...b2 − ...a...

(a3b2c 5 − 1)(a3b2c 5 + 1) = a...b...c 10 − ...

(−3ab − 2)(−3ab + 2) = ...a2b2 − ...

...

⎞ 3 ... xy + 1⎟ = x 2y ... + ...xy + ... ⎠ 2 ...

⎛ d ⎜ ⎝

⎞ 1 2 1 ... ... 2 ... 2 ... a bc − 3b⎟ = a b c ... a b c + 9b... ⎠ 4 ... 16

⎛ ⎜⎝

⎞⎛1 ⎞ 1 4 ... x + 3xy⎟ ⎜ x 4 − 3xy⎟ = x ... − ...x ...y ... ⎠⎝2 ⎠ 2 ... ⎞⎛3 ⎞ 3 ... − xy 3⎟ ⎜ − xy 3⎟ = − x ...y ... ⎠⎝5 ⎠ 5 ...

Completa i seguenti quadrati di trinomi. Ricorda: (A + B + C) = A2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2AC + 2BC2 2

(2x + y + 3)2 = 4x 2 + ... + 9 + 4xy + 12... + 6... (x 2 + xy − 2y)2 = x ... + x ...y 2 + 4y ... + 2x ...y − 4x 2... − 4xy ... (2ab − b2 + a3)2 = 4a2b... + b... + a... − 4ab... + ...a4b − ...a...b2 (x − 2y − 3z)2 = x 2 + 4y ... + ...z2 − 4...y − 6... ... + ...yz (a2 + a3 + a4)2 = a... + a6 + a... + 2a5 + 2a6 + 2a... Completa i seguenti cubi di binomi. Ricorda: (A + B) = A3 + 3A2B + 3AB 2 + B 3 3

(2a + 4b)3 = (2a)3 + 3(2a)2(+4b) + 3(2a)(+4b)2 + (+4b)3 = ____________________________________________________________________________________________

(xy + 2)3 = (xy)3 + 3(xy)2(+2) + 3( xy)(+2)2 + (+2)3 = ____________________________________________________________________________________________

(x 2y 3 + 3x)3 = (x 2y 3)3 + 3(x 2y 3)2(+3x) + 3(x 2y 3)(+3x)2 + (+3x)3 = ____________________________________________________________________________________________

(ab − 2c)3 = (ab)3 + 3(ab)2(−2c) + 3(ab)(−2c)2 + (−2c)3 = ____________________________________________________________________________________________

(x 2y 5 − xy 4)3 = (x 2y 5)3 + 3(x 2y 5)2(−xy 4) + 3(x 2y 5)(−xy 4)2 + (−xy 4)3 = ____________________________________________________________________________________________

sezione 3 13

Completa le seguenti divisioni di un polinomio per un monomio.

(12x 4y 3 − 20x 3y 2z + 8x 2y 4) : (−4x 2y) = −3x 2y ... + ...xyz − 2... 3

(36a2b2 − 12a3b3 + 18a2b2c) : (6a2b2) = ...... − 2...... + 3abc

(x 4 − 3x 3 + 5x 2 − x) : (−x ) = − x ... + 3x ... − 5 ... + ...

(4a6b3 − 3a3b5) : (−3a3b3) = − ... a3 + ... 2

... (10xy + 7x y − xy ) : (xy) = 10... + 7 ... − ... 2

3.4 1 a b c d e f g h

2 a

Vero o falso? Scomporre un polinomio P(x) in fattori significa trasformare il polinomio in un prodotto. In un polinomio P(x) il raccoglimento a fattore comune è sempre possibile. La somma di due quadrati non è scomponibile. La regola del resto serve per scomporre un polinomio P(x) in fattori. Un trinomio è sempre lo sviluppo del quadrato di un binomio. Una radice di un polinomio è uno dei termini che lo compongono. Un polinomio ammette sempre una radice. Un polinomio di primo grado è sempre irriducibile.

F F F F F F F F

Scrivere a fianco di ogni passaggio la regola di scomposizione che è stata applicata. 12x 4y 2 − 27x 2y 4 = 3x y (4x − 9y

= __________________________________________________________________

) = 3x y (2x − 3y )(2x + 3y ) b

V V V V V V V V

= __________________________________________________________________ = __________________________________________________________________

ab3 − b3 + 8a − 8 = = b3(a − 1) + 8(a − 1)

= __________________________________________________________________

= (a − 1)(b + 8)

= __________________________________________________________________

= (a − 1)(b + 2)(b − 2b + 4) = __________________________________________________________________ 2

5x 2y − 35xy + 60y

= __________________________________________________________________

= 5y(x − 7x + 12)

= __________________________________________________________________

= 5y (x − 3)(x − 4)

= __________________________________________________________________

3 a

Calcola il MCD e il mcm tra i seguenti gruppi di polinomi già scomposti in fattori irriducibili. P1: 4xy 2(x + y ) P2: 2x (x + y )

P3: 6x 3(x − 1)

P1: (x − 1)(x + 2) P2: 2x (x − y ) P3: 4x (x − 1)

M.C.D. = ___________________________________

m.c.m. = ___________________________________

P1: y (x − 1)(x + 2) P2: 2x (x − 1)

P3: 4(x − 1)

P1: (a + 2b) P2: (a + 2b)

P3: (a + 2b)

M.C.D. = ___________________________________

m.c.m. = ___________________________________

Calcolo letterale

3.5 1

Vero o falso? a La scrittura rappresenta una frazione algebrica solo se b ≠ 0. b Una frazione algebrica con denominatore uguale a 1 è un polinomio.

a b

V F V F

L’espressione 2−1a(x 2 + 1) è una frazione algebrica. Il CE della frazione algebrica x −21 è x ≠ 0. x La frazione algebrica a + 2 perde significato se a = −2. a−2 1 La frazione algebrica 2x − 1 si annulla se x = . 2 3x

c d e f

V F V F V F V F

Determinare il Campo di Esistenza (CE) delle seguenti frazioni algebriche.

Esercizio guidato x–1 x–2

→

x–2≠0

→

x ≠ ......

2ab − a2 ab

→ a ≠ ... e b ≠ ...

3x b (a − 1 )

→ __________________________________________________________________________

x2 − y2 a2

→ __________________________________________________________________________

x −2

(x + 1)(y − 3)

(a + b )

2ab

→ __________________________________________________________________________ → __________________________________________________________________________

Verifica che le seguenti coppie di frazioni algebriche siano equivalenti.

Esempio Le frazioni algebriche

24x2y 4xy e sono equivalenti? 6x(x + y) x + y A C e sono equivalenti se AD = BC. Nel nostro caso abbiamo: B D ⇒ AD = 24x 2y . (x + y) = 24x 3y + 24x 2y 2

Sappiamo che due frazioni A = 24x 2y, D = x + y

B = 6x (x + y), C = 4xy ⇒ BC = 4xy . 6x(x + y) = 24x 3y + 24x 2y 2 La condizione AD = BC è soddisfatta, quindi le due frazioni algebriche sono equivalenti

2a − 2b ; a − b 4ab 2ab

a2 + 1 ; 1 a2b2 + b b

x2 − 3x + 2 ; x − 2 x 2 − 2x + 1 x − 1

10x2 − 15x ; 5x 2x + 3 4x 2 − 9

2(x − 2) 2 2; x ( x − 2) x(x − 2)

2(x − y) 2 ; x x(x + y)

sezione 3

3.1 1

Traduci in espressione linguistica le seguenti espressioni letterali.

a +b a2

a2b + (a + b)

(x + y )2 + (x − y )3

a2 + 2ab + b2

x3 − y3 (x + y)2

2 1 3 x + (x − y ) 2

Traduci in espressione letterale le seguenti frasi scritte in linguaggio comune. Il quadrato della somma del cubo di x con il triplo di y. La somma del prodotto tra a e il quadrato di b con il triplo del quadrato della differenza tra a e b. Il rapporto tra il quadrato della somma tra x e y e il doppio della loro differenza. La somma tra la terza parte del prodotto tra a e b con il quadrato della differenza tra a e il reciproco di b. Il rapporto tra il cubo della somma tra x e y e la differenza tra il cubo di x con il cubo di y. La differenza tra il cubo della somma di a con il reciproco di b e il triplo del quadrato di a.

a b c d e f

3.2 1

Riduci a forma normale i seguenti monomi.

Esempio

(–3)(–ab5)ax4(–5b2x2y) Si tratta di un prodotto di più fattori; applichiamo la proprietà commutativa e otteniamo:

(–3) . (–1) . (–5) . a . a . b5 . b2 . x 4 . x 2 . y Applichiamo la proprietà associativa e la proprietà delle potenze relativa al prodotto di potenze con la stessa base, così otteniamo: –15a2b7x6y, che rappresenta il nostro monomio scritto in forma normale.

⎛ 3 ⎞ xy 2 . (−4) . (−x 2y 3) . ⎜ − x 4⎟ = ⎝ 7 ⎠

⎛ 5 ⎞ xy2z 3 . (−5x) . ⎜ − xy 4⎟ . (+z 2y3) = ⎝ 2 ⎠

⎛ ⎞ (−2xy) . 3x 4 . ⎜ − 3 xy 2⎟ . xy6 =

(−mn3) . m2 . ⎜ − 1 m 2⎟ · m2n4 · (−4m5) =

⎝

⎛ ⎝

⎞ ⎠

Completa la seguente tabella. monomio

⎠

grado rispetto alla lettera

coefficiente

grado complessivo

−5

−3

4 __ 7

Calcolo letterale 3

Scrivi i monomi corrispondenti alle caratteristiche indicate.

Scrivi un monomio di quinto grado avente coefficiente +4, di secondo grado rispetto alla lettera x e di terzo grado rispetto alla lettera y.

Scrivi un monomio di quarto grado contenente le lettere x, y, z, e t e avente coefficiente −3.

Monomio con coefficiente numerico −1, di grado complessivo 3, contenente le lettere a e b, di primo grado rispetto alla lettera b. Monomio con coefficiente numerico − 1 , di grado complessivo 4, contenente le lettere x, y e z, di primo 7 grado rispetto alla lettera x e di secondo grado rispetto alla lettera z.

Calcola le seguenti somme algebriche di monomi.

Esempi 1

3ab2 – 5ab2 + ab2 – 8ab2 Essendo monomi tutti simili tra loro, la somma è un monomio simile a quelli dati e avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti; perciò: (3 – 5 + 1 – 8)ab2 = –9ab2.

2 2x + 5xy – x2y – 4xy – 7x + 3x2y – 3x – 9xy.

Evidenziamo in modo uguale i monomi simili tra loro: 2x + 5xy – x2y – 4xy – 7x + 3x2y – 3x – 9xy. Eseguiamo la somma algebrica dei monomi simili e otteniamo: (2 – 7 – 3) x + (5 – 4 + 9) xy + (–1 + 3) x 2y = –8x + 10xy + 2x2y Il risultato è un polinomio.

2 1 3 5 ax − ax + ax − ax = 3 2 4 6

⎛ b ⎜− ⎝

(3az 2) − (−az 2) + (−az 2) =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ (−ab2y) + (−ab2y) + ⎜ − 1 ab2y⎟ + ⎜ + 5 ab2y⎟ =

5 2 9 7 x y − 2x 2y − x 2y + x 2y = 2 2 4

1 2 3 3 10 2 3 a bx y − a 2bx 3y − 2a 2bx 3y + a bx y = 2 4 3

2x − (−3y 2) − (−3x) − 5y 2 − 8x − (−y 2) =

2xy 2 + (−3xy 2) − ⎜ +

3 3 ⎛ 1 3⎞ ⎛ 3 2 2⎞ ⎛ 7 2 2⎞ ⎛ 3 3⎞ xy − ⎜ − xy ⎟ − ⎜ − x y ⎟ + ⎜ − x y ⎟ + ⎜ − xy ⎟ = ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 2

3 2 3 ⎛ 1 2 3⎞ x y − ⎜ − x y ⎟ − (−5x 2y 3) + (−2x 2y 3) = ⎝ 2 ⎠ 4

⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 − ab − (−2x) + ⎜ − ab⎟ − ⎜ − x⎟ + (+4ab) = ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 5

x 3 − (−x 2) + 4x 3 + (−2x 3) − ⎜ +

− ⎜+

2a2b − (−3a) + (−2b) + b − (+3a) − 2a2b =

⎛ ⎝

⎝

3 3⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎛ 2 2⎞ xy ⎟ − ⎜ − xy ⎟ + ⎜ − xy ⎟ = ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 4

⎛

⎞ 1 2 ⎞ ⎛ 3 2 x y⎟ + ⎜ + x y − x 2y⎟ = ⎠ ⎝ 4 ⎠ 2

1 2⎞ ⎛ 1 2⎞ x − − x = 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⎟⎠

⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 3 1 ⎞ lm 2⎟ − ⎜ + l⎟ + ⎜ − l⎟ + ⎜ + lm 2 + l⎟ = ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 2 2 ⎠

⎠

⎝

⎠

9 13 2 3 − x 2y f a bx y 4 12

[−3x − y 2] 7 5 − xy 2 + xy 3 5 4

[−2x 2y 2 + xy 3] 17 2 3 xy 4 3ab +

3x 3 +

5 x 2

3 2 x 4

[−b] [0]

sezione 3 5

Calcola i seguenti prodotti di monomi. g

(+5x 5) . (+3y 3) . (+x 4y) . (−3x 3) =

(−4ab) . (−a2b3c) . (+3a2bc 4) . (−2c 3) =

⎛ ⎜⎝ +

2 2⎞ . ⎛ 15 2⎞ . ⎛ 14 7 ⎞ y − x + x y⎟ = ⎠ 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 9

⎛ ⎜⎝ +

1 2⎞ . ⎛ 3 2⎞ . ⎛ 6 3 3⎞ a − ab ⎟ ⎜ − a b ⎟ = ⎠ ⎝ 5 ⎠ 9 ⎟⎠ ⎜⎝ 4

14 1+5+2 2+3+1 14 8 6 x y =– xy. 3 3

⎛ m ⎜− ⎝

1 2⎞ . ⎛ 8 5 ⎞ . ⎛ 21 4 ⎞ x − x y⎟ ⎜ + x y⎟ = ⎠ ⎝ 6 ⎠ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 3

⎛ ⎜⎝ −

⎛ ⎜⎝ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ (−2xy) . ⎜ − 3 x 3⎟ . ⎜ − 2 x 2y⎟ =

Esempio ⎛ ⎞ (–3xy2) . (+2x5) . (–4x2y 3) . ⎜ – 7 y⎟ ⎝ 36 ⎠

Applichiamo la proprietà commutativa e otteniamo: ⎛ ⎞ (–3) . (+2) . (–4) . ⎜ – 7 ⎟ . (x . x5 . x2) . (y2 . y3 . y) ⎝ 36 ⎠

Eseguiamo il prodotto dei coefficienti e applichiamo la proprietà delle potenze; otteniamo così: –

⎛ b ⎜− ⎝

1 3 3⎞ . x y ⎟ (−9x 2yz) = ⎠ 3 2 2 ⎞. a b⎟ (+1,4ab2) = ⎠ 7

(−4x 2) . (−3x 5) . (−2x 4) =

(3x 2y) . (−2xy 2) . (+5xy) =

(−x 2) . (+4x) . (−3y 4) =

(−2a2) . (+5xy 3) . (+a4y) . (−ax 3) =

⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 22 ⎞ 3 aby 2⎟ . ⎜ − ab4x 2⎟ . ⎜ + a3y⎟ = ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 11 6 5

⎝

⎠

⎝

⎠

⎛ p ⎜+ ⎝

2 3⎞ . ⎛ 15 2 ⎞ . ⎛ 7 5 2⎞ xy ⎟ ⎜ − x y⎟ ⎜ + x y ⎟ = ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 5

⎛ q ⎜− ⎝

3 2 ⎞ . ⎛ 2 ⎞ . ⎛ 3 2⎞ k x⎟ ⎜ − kx⎟ ⎜ + x ⎟ = ⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 2

⎛ ⎜⎝ +

1 2⎞ . ⎛ 1 2⎞ . ⎛ 14 4 3⎞ y + x + xy⎟ = ⎠ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 3

Calcola i seguenti prodotti di monomi e riduci i termini simili.

a2 − 2a(−2a) − 2a(+3x 2y) − a(−15a) + 2x 2(+3ay) =

3xy3(−2xy3) + 2xy4(−2xy2) + x 2y . 3x 3y2 − x4y(−2xy2) + 10x 2y6 =

−2x 3 − 9x 2 − 9(+5x)(−x 2) + 9x 2(−3x) − 4x(−5x) + 5x(−3x 2) − 10x 2 =

−11x (−x 2y) − 20(−x 2)(−xy) − 4xy(−3xy) + 16xy3 − 8x(−x 2y) + 4y(−4xy2) − 12x 2y2 =

[20a2] [5x 5y6] [x 3 + x 2 ] [−x 3y]

⎛ 1 ⎞ 3 2 a b(−2ac 3) ⎜ b 5c⎟ + 2ab 3(−3a 2bc 3)(−b 2c) − 5a 3b6 c 4 = ⎝ 3 ⎠ 2

⎛ 1 ⎞ ⎞ 1 ⎛ 15 3a2 ⎜ − ab2⎟ + a ⎜ − a 2b 2⎟ = ⎝ 2 ⎠ ⎠ 3 ⎝ 2

[−4a3b2]

2 2⎛ 1 ⎞ 1 xy ⎜ − x⎟ − 2x 2(−5y2) + x (−xy 2) = ⎝ 4 ⎠ 3 3

57 2 2 xy 6

⎛ 3 ⎞ 5 2⎛ 6 ⎞ ab ⎜ − ab⎟ + 2ab ⎜ − ab2⎟ − 6a 2b2 = ⎝ 5 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 3

[−4a3b2]

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2xy ⎜ − x 2yz 2⎟ (−5xy2) − 3xyz ⎜ − xz⎟ (x 2 y3) = ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠

1 1 3 − x 2y7 + x 2y 4(x 3 y2)(−y) + x 3y 4(x 2 y3) = 2 4 4

[0]

[+6x 4y4z 2] [0]

Calcolo letterale m

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 7 1 2x 2 + 3y ⎜ − z 2⎟ + yz ⎜ − z⎟ + 2x(−x) − z 2(−y) − yz 2 = ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 4 2

⎛ 5 ⎞ 1 1 − x 4y(−x y3) + 2x 2 ⎜ − x 3y 4⎟ − x (2xy3)(−3x 3 y) − (−x 5 y4) = ⎝ 3 ⎠ 3 3

−5x 3 . (−2y 2 z) .

⎛ 1 ⎞ 3 5 − x (8x 3 y) − xy (−1,2x 3) − x 3 ⎜ − xy⎟ = ⎝ 2 ⎠ 4 6

⎛ 3 ⎜⎝ −a +

⎛ ⎜⎝

⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ xy + (+3x 2 yz) . (−2x) . ⎜ xy 2⎟ = ⎝ 2 ⎠ 10 ⎟⎠

⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 3 a − 2a 3⎟ (−a−2 + 2a−2) + 2a2b ⎜ − a−1b−1⎟ = ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2

Calcola le seguenti potenze di monomi.

Esempio

(–3ab5c3)2; (2x3y)5; (–x2y 4)3; (–8a3b2)2 (–3ab5c3)2 = (–3)2 . (a)2 . (b5)2 . (c3)2 = +9a1.2b5.2c3.2 = +9a2b10c6 (2x 3y)5 = 25x15y 5 = 32x15y 5 (–x2y4)3 = –x6y12 (–8a3b2)2 = +64a6b4 a

(−2a2b 3)2 =

(2ab2)2 =

(−ab2c)3 =

(−0,1ax 2)2 =

(0,2ab3c)4 =

(−0,3a3x 2)2 =

(2x 3yz 5)5 =

(−x 3y5z 7t)4 =

(−17x 7z 4t9)0 =

(x ny3z)n =

(xy3t6)m =

⎛ ⎜⎝ −

1 2⎞ xy ⎟ = ⎠ 2

⎛ ⎜⎝ −

⎞ 3 abc⎟ = ⎠ 4

⎛ ⎜⎝ −

⎞ 1 abx⎟ = ⎠ 4

⎛ ⎜⎝ −

⎞ 2 abx 2⎟ = ⎠ 5

⎛ ⎜⎝

2 5 2 ⎞ a b c⎟ = ⎠ 7

⎛ ⎜⎝ −

⎛ ⎜⎝

5 2 ⎞ xy z⎟ = ⎠ 2

(−xy2)3 = 4

1 2 ⎞ a bc⎟ = ⎠ 3 3

2 2 ⎞ ab c⎟ = ⎠ 3 3

(−0,1a3b)3 =

⎛ ⎜⎝ −

⎧ ⎪ ⎛ ⎨ ⎜− ⎪ ⎝ ⎩

{− −(−xy) } =

{− −(−2xyz ) } =

Calcola le seguenti potenze di monomi.

{ (−0,1ax ) } = 3 2 2 2

⎛ ⎜⎝

⎞ 1 abc2⎟ ⎠ 2

⎛ ⎜⎝ −

1 2 ⎞ a bc⎟ ⎠ 2

⎛ ⎜⎝ −

2 2 ⎞ a x⎟ ⎠ 5

− (−2ab)

4 2

= 2 2 2⎫

⎧ ⎪ ⎛ ⎨ ⎜− ⎪ ⎝ ⎩

{− −(−mn ) } =

1 2 ⎞ ab c⎟ ⎠ 3

⎪ ⎬ ⎪ ⎭

3 4 3 2

3 2

3 4

{− −(−m n) } = 2

4 2 0

2 2 2⎞ ab⎟ ⎠ 3

4 3

1 3 ⎞ a b⎟ ⎠ 2

= 3 2 2⎫

⎪ ⎬ ⎪ ⎭

3 2 3

3 2 2 2

sezione 3 9

Determina i monomi che elevati al quadrato corrispondono ai monomi dati.

Esempio 16a2b2c4 24 è il quadrato di 22

a6 è il quadrato di a3

b2 è il quadrato di b

c4 è il quadrato di c2

Inoltre ricordiamo che due numeri relativi opposti elevati al quadrato danno lo stesso risultato, quindi: 16a2b2c4 = (±4a3bc2)

9a 2b 6

4 8 10 xb 49 25 4 4 16 acm 36

d g

x 2y 2

4a 4x 6

0,16x 2t 12z 14

169x 2t 6z 8

0,01a 2b 6x 6

1 2 4 60 ayt 16

1 10 6 p q 64

0,25a 4b 2c 6

0,01h 2z 8

a−2b6

a2mb2n

a−4mb−6n

x −2b−8

x −6c 2

a−8x −14

4 −2 −4 −8 x y z 25

1 −4 −2 6 x z t 16

9 −20 −4 −6 a b c 64

Determina i monomi che elevati al quadrato corrispondono ai monomi dati.

Esempio –8x6y9c18. 3

(–2) è il cubo di –2

x6 è il cubo di x2

Quindi: –8x 6y 9c 18 = (–2x2y3c6)

y9 è il cubo di y3

c18 è il cubo di c6

8a3b6

x 3y 9z 3

−27a6b12

−27x 9t12z15

64m24n 6

729b12n 27

−0,001y 3z9

64b39c 6x 12

−0,008a3x 51z 9

0,008x 3y6

125a6b3c15

−216x 6y9z21

−

27 18 15 3 x y z 125

1 3 3 3 abc 27

−

1 3 6 9 xyz 8

8 3 3 6 xyz 125

1 33 27 51 x y z 343

Calcola le seguenti divisioni tra monomi.

Esempi 1

(4a3b6c) : (–2ab2) (4a3b6c) : (–2ab2) = 4 : (–2) . (a3 : a) . (b6 : b2) . (c1 : c 0) = –2a3-1b6-2c1-0 = –2a2b4c

100

1 3 9 6 xyz 64

Calcolo letterale

(15a2b3c 4) : (–5ab2c)

Ricordando le proprietà delle potenze otteniamo: (15a2b3c 4) : (–5ab2c) = –3abc ⎛ 1 2 ⎞ – a b⎟ ⎝⎜ 2 ⎠

⎛1 ⎞ : ⎜ ab2⎟ ⎝4 ⎠

In ogni espressione aritmetica o algebrica l’elevamento a potenza ha la precedenza su tutte le altre operazioni: ⎛ 1 2 ⎞ ⎜⎝ – 2 a b⎟⎠

⎛1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ 1 1 3 6 : ⎜ ab2⎟ = ⎜ – a2b⎟ : ⎜ ab2⎟ = + a12b6 : a b = a9 64 64 ⎝4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝4 ⎠

(−15a3b) : (+5ab) =

(−10a2 ) : (−2) =

(+21a3) : (−7a) =

(−3x) : (+x) =

(−4x 3y5) : (+2x 2y3) =

(−5xy) : (−5xy) =

(−a3) : (−a3) =

(−14a3b2c) : (+7a3b2c) =

−2a3bc 2 :

4 2 a bc = 9

⎛ 4 ⎞ −8a4bc 3 : ⎜ − a2bc 2⎟ = ⎝ 3 ⎠

−2a3bc 2 :

4 2 a bc = 9

⎛ 4 ⎞ −8a4bc 3 : ⎜ − a2bc 2⎟ = ⎝ 3 ⎠

⎛ 1 ⎞ 5 ax : ⎜ − ax⎟ = ⎝ 6 ⎠ 3

5 − a3b2c 2 : (−2a2b) = 3

⎛ ⎜⎝ −

⎛ 21 5 7⎞ ab⎟ ⎜⎝ + ⎠

⎛ 18 4 7⎞ xy⎟ ⎜⎝ − ⎠

8 3 2⎞ ⎛ 4 3 2⎞ x yz ⎟ : ⎜ + x z ⎟ = ⎠ ⎝ 5 ⎠ 15 16

⎛ 7 ⎞ : ⎜ − a5b 2⎟ = ⎝ 8 ⎠

3 2 2⎞ ⎛ 1 2 ⎞ a b ⎟ : ⎜ − a b⎟ = ⎠ ⎝ 14 ⎠ 7 25

⎛

: ⎜− ⎝

9 2 5⎞ xy⎟= ⎠ 10

Semplifica le seguenti espressioni.

(x 3 + 3x 2y − xy 2 + y 3) − (x 3 − 3x 2y + xy 2 − y 3) − (2y 3 + 6x 2y) =

m2 − 2m2 − (m2 + 2n2 − 2mn) + 2n2 + mn =

⎛ c ⎜ ⎝

3 2 1 ⎞ 1 2 ⎛ 1 ⎞ 1 m − mn + n2⎟ − m − ⎜ mn − n2⎟ + m2 = ⎠ ⎝ 4 2 4 3 ⎠ 2

5a(−3ab) − 2a2(−3b) + 5b(4a2) =

(−3x)(+2xy) + (−4x2)(−3y) − 5x2y =

(−a3b4 + 6a3b4 + 3a3b4) : (−4a2b2) =

(4x 2 + 2x 2) : (−3x) − (2x 3y − 8x 3y) : (−3xy) =

(−2a3b + 5a3b) : (−3a3b) + (ab + ab) : (−2ab) =

⎛ ⎜⎝

1 2 1 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛3 5 ⎞ x − 2xy + y 2⎟ − ⎜ −x2 − xy + y 2⎟ − ⎜ x2 − xy⎟ = 2 3 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝2 3 ⎠

101

sezione 3 l

⎛ 3 ⎜⎝ 4a

⎛ − ⎝⎜

1⎞ ⎛ 3 1 2 4 ⎞ ⎛ 3 1 2 1 1⎞ − 3a + a − a⎟ + ⎜ −a + a − a + ⎟ = 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 5 ⎠ ⎝ 4 5 2⎠

−

3 2 2 2⎞ ab ⎟ (−3a3) : (−6a10b4) = ⎠ 3

3 2 (−5a2bc) : 3a2 + 5 (−a) + 1 a2 =

⎛ 2x ⎜ y ⎝

⎛ 5 ⎞ 1 ⎞ − y ⎟ + 2xy : ⎜ − xy⎟ = ⎝ 3 ⎠ 3 ⎠

⎛ 1 ⎞ 5 4 2 ⎛ 1 2⎞ 1 5 x y : ⎜ − x ⎟ + y (−x 4) : (−x 2y 3) − x 2y 3: ⎜ − y⎟ = ⎝ 2 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 4 3

⎛ 1 ⎞ 2 −15a3b : (−3ab) . ⎜ − a⎟ − 3(−2a3) + (−5x 2a) : (−x 2a2) = ⎝ 5 ⎠

(−m2) + (−m3) + ⎜ 1 m4n⎟ ⎜ 2 m3n2⎟ : (−4mn3) =

(−2hk)(−5k) − (−2h2k 4) : ⎜ 1 hk 2⎟ ⎜ − 1 k⎟ =

⎛

⎞⎛

⎝

⎠⎝

⎠

⎛ ⎝

2 2

⎞

⎞ ⎛

⎠ ⎝

⎞

⎠

⎛ 1 ⎞ 2 − x 2 : ⎜ − x⎟ ⎝ 3 ⎠ 9

(−ab)2

Calcola il MCD e il mcm dei seguenti gruppi di monomi.

−2

. (−y)3 + − 1 y 2(−5x 3)2 : (−5x 2)3 (−5)2y = 10

−1

: (a2b3) +

1 2 −3 −4 −1 (a ) (a b) − a−2b−1 = 2

9ax 2

−6a2xy

18a3xy

[MCD = 3ax; mcm = 18a3x2y]

5a3bc 2

25a2b2

15ab3c

[MCD = 5ab; mcm = 75a3b3c2]

3abx

2a2by

15ab2xy 2

[MCD = 30ab; mcm = 30a3b2xy2]

15x 2yz 2

75xy 2z 3

60x 3y 3z

[MCD = 15xyz; mcm = 300x3y3z3]

−12a3b2c4

15a2bc 3

4abcd

[MCD = abc; mcm = 60a3b2c4d]

30a2b

45a2b3c 4

50ab3c 2

[MCD = 5ab; mcm = 450a2b3c4]

4a2b2

−12ab2c3

20a2c4

36x 2yz

24xy 2z

48xyz 2

0,2m2n

0,3mnp2

0,06m2p3

[MCD = mn; mcm = m2np3]

3 3 2 xy 4

5 2 3 x yz 6

0,2yzd3

[MCD = y; mcm = x3y2z3d3]

102

[MCD = 4a; mcm = 60a2b2c4] [MCD = 12xyz; mcm = 144x2y2z2]

Calcolo letterale

3.3 1

Scrivi i polinomi corrispondenti alle caratteristiche indicate. Scrivi un polinomio di quarto grado complessivo: di terzo grado rispetto alla lettera a, di secondo grado

rispetto alla lettera b e di quarto grado rispetto alla lettera c. Scrivi un polinomio di quinto grado complessivo: di quarto grado rispetto alla lettera x e di terzo grado

rispetto alla lettera y. c

Scrivi un polinomio, completo e ordinato, di quinto grado rispetto alla lettera y.

Scrivi un polinomio omogeneo di quarto grado nelle lettere x e y.

Calcola le seguenti somme algebriche di polinomi.

Esempio ⎛1 ⎞ ⎛3 ⎛ ⎛1 1 ⎞ 1⎞ 1 ⎞ xy2 + ⎜ + 2x2 + y⎟ – ⎜ xy2 – y⎟ – – ⎜ –2x2 + ⎟ + ⎜ xy2 – y⎟ = 3 ⎠ 2⎠ 6 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝5 ⎝ ⎝3

Eliminiamo le parentesi ricordando che il segno meno che precede una parentesi fa cambiare i segni del suo contenuto, mentre il segno più li lascia inalterati; quindi abbiamo: xy2 +

1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 + 2x2 + y – xy2 + y – +2x2 – + xy2 – y = xy2 + + 2x2 + y – xy2 + y – 2x2 + – xy2 + y = 4 5 3 2 3 6 4 5 3 2 3 6

Sommiamo i termini simili e otteniamo:

1 2 3 3 xy + y + . 15 2 4

2y2 − 1 − (y2 − 2y + 3) − (y2 + y − 4) =

1 − 2x 2 − (x + 2) − 1 − (3x 2 − 2x + 2) =

1 + (2x − 1) − 3x + 2 − 4x − (x + 1) =

[4x − 1]

− (3x 2 − 4y3) − 2x 2 − y3 − (x 2 − 5y3) =

[−4a2]

2a2b − a2 − 5a2b − 3a2 − (6a2b + 2b) =

[3a2b + 2a2 + 2b]

(3a − 2b) + (−a + b) − 2a =

(3a + 4b) + (2a + b) − (−a + 3b) =

(x − 2y) − (2x − y) + (x + y) =

6x + 3y − (5x − 2y) + 2x − 5y =

[3x]

(5a + 2b) − (3a − b) − (2a + 3b) =

[0]

(2a − 3b) − (a + 5b) − −2b − (3a − b) =

2(x − 3y) − (3x − 5y) + (12x + 2y) − (11x − 4y) =

[14y]

−7a − (2 − 4a) − (7 − 3a) + 5 =

[−6a]

−3 − (3x − 7) − 6x − (4x − 2) − (5x − 1) =

−5a − 3 − −2a − (1 − 3a) − (6a − 2) − 4 =

{

[y] [x 2 − 3x]

}

[−b] [6a + 2b] [0]

[4a − 7b]

}

[1] [2]

103

sezione 3 ⎧

⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 1 ⎪ − ⎜ − a2b2 + ab⎟ − ⎨− − ⎜ 2a2b2 + ab⎟ − xy ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 4 ⎪

⎩

⎛ 2 ⎜⎝ x

1−y+

a2 −

⎛ 4 2 1 2 1 2 3 1 1 ⎞ a − ax + x 2 − a + ax − x 2 − ⎜ a2 + ax − x 2⎟ = ⎝ 9 3 9 2 4 12 6 ⎠

⎛ z ⎜− ⎝ 3

⎞ ⎛1 2 2 1 3 ⎞ y + z 3⎟ − + ⎜ x 2 − y 2 + z 3⎟ − ⎠ ⎝3 3 3 4 ⎠

⎛ ⎜⎝

⎫ ⎪ ⎬= ⎪ ⎭

1 2 1 2 1 3⎞ x + y − z⎟ = 6 2 4 ⎠

5 2 3 2 x + y 6 2

⎛1 5 2 1 7 5 ⎞ y + y − y 2 + 1 − ⎜ y − 1 + y 2⎟ = ⎝ 3 2 4 3 6 ⎠

3−

⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ 1 a − a3⎟ − a2 − ⎜ a + a3⎟ − ⎜ a + a2 − a3⎟ = ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ 2

⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛1 2 2 1 1 1 ⎞ x y + xy 2 + y 3⎟ + ⎜ − x 3 + x 2y − 2y 3⎟ − ⎜ xy 2 + y 3 − x 3⎟ = ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝2 3 4 6 5 ⎠

Calcola i seguenti prodotti di un monomio con un polinomio.

Esempio –2abx2 . (2a – 3b4x3 + 5abx) Applichiamo la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma e otteniamo: + (–2abx 2) . (+ 2a) + (–2abx 2) . (–3b4x 3) + (–2abx 2) . (+5abx) = Calcoliamo i tre prodotti di monomi e otteniamo: –4a2bx2 + 6ab5x5 – 10a2b2x3 a

−3xyz(2xz 4 + xy2z 2 − 4x2y2z 2 − 6y2z 5 + z 2) =

⎞ 1 2 3⎛ 2 6 x y ⎜ − xy − x 3y2 + 2x⎟ = ⎝ 5 ⎠ 4 7

⎛ 15 ⎞ 6 7 xy4 ⎜ x 4y − x 3y − 14y⎟ = ⎝ 2 ⎠ 35 6

−

⎛1 ⎞ 3 2 1 3ab ⎜ a3 − a2b + ab2 − 2b3⎟ ab2 = ⎝4 ⎠ 2 3 6

⎛8 3 12 4 5 16 2 2 4⎞ − a2b3 ⎜ ab − ab + ab− ab = ⎝ 4 3 7 9 15 ⎠⎟

⎛ 3 ⎜⎝ 3a

0,2xy ⎜ 2x 2 −

104

1 ab − 4a2b2 2

3 3 2 ⎛ 22 2 33 5 55 2 3⎞ xy ⎜ xy− xy + xy⎟ = ⎝ 9 ⎠ 11 5 27

− ⎛ ⎝

⎞ 3 4 2 1 a b + ab2 + b3⎟ . ab2 = ⎠ 2 3 6 ⎞ 5 xy + y2 − xy2 + 5x 2y⎟ = ⎠ 2

5 11 y − y2 6 12

a3 + a2 +

−

1 a 2

19 2 19 a − ax + x 2 18 18

1 1 − x 2y − xy 2 2 4

Calcolo letterale 4

Calcola i seguenti prodotti di polinomi.

Esempio

(2a + 3b) . (5a – 4b + 1) Moltiplichiamo ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo polinomio:

(2a) . (5a – 4b + 1) + 3b . (5a – 4b + 1) e otteniamo: 10a2 – 8ab + 2a + 15ab – 12b2 + 3b Sommiamo i termini simili e otteniamo: 10a2 – 12b2 + 7ab + 2a + 3b

(x − 1)(x + 2) =

(2x + y)(x − 3y) =

[2x 2 − 5xy − 3y2]

(−3x − 2y 2)(−y 2 − x) =

[3x 2 + 5xy2 + 4y4]

(x − 5)(x − y + 1) =

(y 2 − 1)(y 2 + 2y + 1) =

[y4 + 2y3 − 2y − 1]

(x − y)(x + y + 2) =

[x 2 − y2 + 2x − 2y]

(y + 5)(x 2 − 3x − 5) =

[x 3 + 2x 2 − 20x − 25]

(x + y)(2x + 3y + 10)

[2x 2 + 5xy + 3y2 + 10x + 10y]

(3x 2 − 2x + 3)(2x − 1) =

(3y 2 + 2x 2 − 4xy)(−3y + 5x) =

[10x 3 − 9y3 − 26x 2y + 27xy2]

(2x − 3y + 4z)(x − 2y − 2z) =

[2x 2 + 6y2 − 8z 2 − 7xy − 2yz]

⎛ n ⎜ ⎝

⎞ ⎛1 ⎞ 1 x − 3y⎟ ⎜ x + 2y⎟ = ⎠ ⎝3 ⎠ 2

⎛ o ⎜ ⎝

2 1 ⎞⎛ 5 ⎞ x − y⎟ ⎜ 3x − y⎟ = ⎠ ⎝ 3 5 2 ⎠

⎛ p ⎜ ⎝

⎞ 2 1 ⎞⎛7 3 a − b⎟ ⎜ a − b + 6⎟ = ⎠ 7 3 ⎠⎝3 2

⎛ q ⎜3 − ⎝

[x 2 + x − 2]

[x 2 − 4x − xy + 5y − 5]

[6x 3 − 7x 2 + 8x − 3]

1 2 x − 6y 2 6

2x 2 −

2 2 76 1 12 a − ab + b2 + a − 2b 3 63 2 7

⎞ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛1 x 1 − x⎟ ⎜ x − 2⎟ = ⎠ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎠⎝4

⎛ ⎜⎝

⎛1 ⎞⎛ 1 1 ⎞ −3(x + 2y) ⎜ y − x⎟ ⎜ x 2 + y 2 − xy⎟ = ⎝3 ⎠⎝ 2 2 ⎠

34 1 xy + y 2 15 2

1 3 17 2 15 x − x + x−6 24 24 4

⎞ ⎛ 1 1⎞ x − 1⎟ (3x − 1) ⎜ 2x − ⎟ = ⎠ ⎝ 2 3⎠

3x 3 −

3x 4 +

15 2 19 1 x + x− 2 6 3

7 3 7 x y − 3x 2y 2 + xy 3 − y 4 2 2

105

sezione 3 5

Semplifica le seguenti espressioni.

(x + y)(x2 + 2xy + y2) − (x + y)(x2 − xy + y2) − 3xy(x + y) =

x(x + y)(2x − y) − (2x + y)(x2 − y) − y(xy + y) =

−9xy − 3(x + 2y)(−x − y) (x − y) + 2xy(x − y) =

(x − 1)(x 2 + x + 1) − (x + 1)(−x 2 + x + 1) − 2(x − 1) = 2xy(x − 3y) − (x + y)(4x 2 − 2xy + y 2) + 5x(y2 + 2x 2) (x 3 + y 3) =

[0] [2xy − 2xy2] [3x 3 − x 2y + 4xy4 − 6y3] [2x 3 − 4x] [6x 6 + 5x 3y 3 − y 6]

(x + y + z)(x 2 + y2 + z 2) − 3(x 3 + y3 + z 3) − (y − x)(x 2 − y2) + (y − z)(y2 − z 2) + (x − z)(x 2 − z 2) =

(x 3 − 2x 2 + 3x − 1)(2 − x) − (x 2 − 3x − 1)(−x 2 + x − 1) − (x 2 + 2x + 1)(2x 2 − 4x − 3) =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ (2x + 1) ⎜ 2x 2 − x + 1 ⎟ − (2x2 − 1) ⎜ 2x 2 + x + 1 ⎟ =

x(x − 1) − 2(x − a)(x − a − 1) + (x − 2a)(x − 2a − 1) =

[2a2]

(2a − b)(b + 2a) + (−4a)(a − b − 1) − 4a(b + 1) =

[−b2]

(x − 1)(x + 3) − (−2x)(x + 3) + x(1 − 3x) + 3(1 − 3x) =

⎝

2⎠

⎝

2⎠

[0] [−2x 4 + 5x 2 + 15x] [1]

[0]

Traduci in linguaggio simbolico.

Si è divisa una certa somma A fra tre persone: la prima ha avuto a euro, la seconda b euro in più del doppio di quanto ha avuto la prima e la terza ha avuto il doppio di quanto hanno avuto insieme le prime due. Esprimi la somma A suddivisa. [A = 9a + 3b]

Si è divisa una certa somma A fra tre persone: la prima ha avuto a euro, la seconda b euro in più della prima, la terza ha avuto c euro in meno della seconda. Esprimi la somma A suddivisa. [A = 3a + 2b − c]

L’età di un padre è b anni; il figlio ha c anni di meno e il nonno ha d anni più del padre. Quale sarà la somma delle età di queste tre persone fra n anni? Quale sarà stata n anni fa? E qual è la differenza fra queste due somme? [3b + 3n + d − c; 3b + d − c − 3n; 6n]

I lati di un triangolo misurano rispettivamente a, b, c; se si aumenta il primo lato di d, il secondo lato di 1 3 11 d e si diminuisce il terzo lato di d, qual è la differenza dei due perimetri? d 15 3 5

I lati di un quadrilatero misurano rispettivamente a, b, c, d; si aumenta il primo lato di e e il secondo lato di 1 1 3 e mentre si diminuiscono il terzo e il quarto lato rispettivamente di e e di e. Qual è la differenza dei 2 3 5 17 perimetri dei due quadrilateri? e 30

3 Un rettangolo ha la base lunga a e l’altezza che supera di b i della base; esprimi il perimetro e l’area del 5 del rettangolo. ⎛8 ⎞ ⎛3 ⎞ 2 ⎜ a + b⎟ ; a ⎜ a + b⎟ ⎝5 ⎠ ⎝5 ⎠

106

Calcolo letterale 7

Calcola i seguenti quadrati di binomi.

Esempi

(2a + b)2

(–2a + b)2

(2a – b)2

Per calcolare il quadrato di un binomio (a + b) è sufficiente moltiplicare la base per se stessa. Per accelerare i calcoli si possono applicare le formule dei prodotti notevoli. Allora le potenze proposte diventano: 1

(2a + b)2 = (2a)2 + 2(2a)(b) + (b)2 = 4a2 + 4ab + b2

(–2a + b)2 = (–2a)2 + 2(–2a)(b) + (b)2 = 4a2 – 4ab + b2

(2a – b)2 = (2a)2 + 2(2a)(–b) + (–b)2 = 4a2 – 4ab + b2

(3a − 2b)2

(x + 2)2

(2x − 1)2

(4a3 + 1)2

(0,1a2 + 2)2

(2x 2 − 0,01)2

(0,2x 2 + 3)2

(0,3a2 − 0,2b2)2

(2ab − 3bc)2

(b3 − 3a)2

(4 − 5x)2

(−5x 2 − 6x)2

⎛ 3 ⎜⎝ −m +

⎛ ⎜⎝

3 2 2 ⎞ a − bx⎟ 2 5 ⎠

⎛ ⎜⎝

2 2 7 ⎞ c y − xy⎟ 7 2 ⎠

⎛ ⎜⎝ −

⎛ m ⎜ ⎝

3 3 2 ⎞ x y + yx⎟ 2 3 ⎠ 2

1 2⎞ m 2 ⎟⎠

⎛ ⎜⎝ 3ab +

⎛ ⎜⎝

4 2 ⎞ axy − y⎟ 3 5 ⎠

⎛ ⎜⎝

⎞ 5 xy − 2x 2y 2⎟ ⎠ 4

(a2bm − anb2)2

⎛ m n ⎜⎝ 2x y +

(ax − bx)2

(2axy + 3)2

(ax−1 − ax+1)2

⎛ ⎜⎝

1 2⎞ b 2 ⎟⎠

⎞ 3 2 1 a bx − a2x⎟ ⎠ 5 6

⎞ 3 − x 2n⎟ ⎠ 4

1 n m⎞ x y ⎟ ⎠ 4

Calcola i seguenti quadrati di trinomi.

Esempio

(2a + 3b – c)2 (2a + 3b – c)2 = (2a)2 + (3b)2 + (– c)2 + 2(2a)(3b) + 2(2a)(– c) + 2(3b)(–c) = 4a2 + 9b2 + c2 + 12ab – 4ac – 6bc

107

sezione 3 a

(2a + b + c)2

(2m + 3n)(2m − 3n) =

(a − 2b + c)2

(0,2x + 3y)(0,2x − 3y) =

(3a − 2b − c)2

(a + 3b)(a − 3b) =

(a2 − 2a + 1)2

(−3xy − 1)(−3xy + 1) =

(2x 2 − 3 − x3)2

(5a2 + 1)(5a2 − 1) =

(x 2 − 3x + 1)2

(−3x + y3)(−3x − y3) =

(3a + 2b − 2c)2

(−4x3 + 2y3)(4x3 + 2y3) =

(a2 − a + 4)2

(3abc + 2d)(3abc − 2d) =

⎛ ⎜⎝

(2a2 − 3ab)(2a2 +3ab) =

(2x5yz + 2x)(−2x5yz + 2x) =

1 3 2 2 3 ⎞ a − a − a⎟ 2 3 4 ⎠

⎛ ⎜⎝ m +

⎛ m ⎜ ⎝

⎞ 1 n + 2q⎟ ⎠ 4

⎛ 3 ⎜⎝ 2a −

⎛ 2 ⎜⎝ x +

⎛ o ⎜ ⎝

⎞ 1 2 2 a + a − 5⎟ ⎠ 3 5

⎛ 2 ⎜⎝ a − 3a +

5⎞ 6 ⎟⎠

2 3 ⎞⎛2 3 ⎞ a + b⎟ ⎜ a − b⎟ ⎠⎝3 ⎠ 3

⎛ ⎜⎝ −2x +

⎛ 2 ⎜⎝ −5x −

⎛ ⎜⎝

⎛ ⎜⎝ 1 +

⎛ ⎜⎝

1 ⎞⎛ 1 ⎞ y −2x − y⎟ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎠

⎞ 1 2 a + 3a⎟ ⎠ 2

2 1⎞ x− ⎟ 3 2⎠

1 ⎞⎛ 1 ⎞ xy −5x2 + xy⎟ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎠

3 3 1 2⎞ ⎛ 3 3 1 2⎞ x + x⎟⎜ x − x⎟ 4 2 ⎠⎝4 2 ⎠

Calcola i seguenti prodotti della somma di due monomi per la loro differenza, o ad essi riconducibili. Esempio

2 ⎞⎛ 2 ⎞ xy 1 − xy⎟ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎠

⎞⎛2 ⎞ 2 2 ab + 3a2b⎟ ⎜ ab2 − 3a2b⎟ ⎠⎝3 ⎠ 3

2 2 −a2 + (a − b) . −a2 − (a − b) =

Eseguendo la moltiplicazione tra i due binomi otteniamo:

a − (b − c) . −a − (b − c) =

(2a – b)(2a + b) = 4a2 + 2ab – 2ab – b2 = 4a2 – b2

(x + y)(x − y)(x2 + y2) =

Il risultato è dato dalla differenza tra il quadrato del primo termine e il quadrato del secondo termine.

(x + 1)(x − 1)(x2 + 1)(x4 + 1) = (2a−3b)(2a+3b)(4a2 +9b2)(16a4 +81b4) =

(2a – b)(2a + b)

(3x + 2)(3x − 2) =

a b

(3a + b)(3a − b) =

10 Calcola

108

i seguenti prodotti della somma di due monomi per la loro differenza, o ad essi riconducibili.

⎛

⎞

⎛

⎠

⎝

⎞

(a + b) − ⎜ 1 x + y⎟ (a + b) + ⎜ 1 x + y⎟ = ⎝

ab − (a2 + b2) . (a2 + b2 + ab) =

⎠

⎞2

⎛

(a + b)2 − ⎜⎝ 1 x + y⎟⎠ 2

Calcolo letterale b

⎛ ⎜⎝

⎞ ⎛ 4 ⎞ 1 ab + 2b2⎟ + ⎜ − a + 5b2⎟ ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3

⎛ ⎜⎝

⎞ ⎛ 4 ⎞ 1 ab + 2b2⎟ − ⎜ − a + 5b2⎟ = ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3

(a + b) − x (a + b) + x =

(2a + b) − ab (2a + b) + ab =

x − (x 2 + y) x + (x 2 + y) =

(2x 2 − y 3) + (x 3 − 2y 2) (2x 2 − y 3) − (x 3 − 2y 2) =

⎛1 ⎜⎝

[(a + b) − x ] 2

[x [(2x

(a + b + c)(a + b − c) =

(2a + b + x + 3y)(2a + b − x − 3y) =

(a − b − ab + c)(a + b + ab + c) =

(x 3 − 2)3 . (x 3 + 2)3 =

(a3 + 1)(a3 − 1) =

⎛ ⎜⎝ x

(2a − 1)(2a + 1) =

(x + 3y )(x − 3y ) =

Calcola i seguenti cubi di binomi.

[(2a + b) − a b ]

⎞2 ⎛ 4 ⎞2 ab + 2b2⎟ − ⎜− a + 5b2⎟ ⎠ ⎝ 3 ⎠

[ g (a + b) − c 2

[

− (x 2 + y)

]

− y 3) − (x 3 − 2y 2)

]

(2a + b)2 − (x + 3y)2]

[ m (4a − 1) 2

2 ⎞⎛ 2 ⎞ + y⎟ ⎜ x − y⎟ 3 ⎠⎝ 3 ⎠

(a + c)2 − (b + ab)2

2 2

(x 6 − 4)3]

(a6 − 1)2]

(x 4 − 9y 4)2

⎛ 4 p ⎜x 2 − − ⎝ 9

⎞2

y2 ⎟ ⎠

Esempi

(2x + 3y)3

(2x – 3y)3 3

Per calcolare il cubo di un binomio (a + b) è sufficiente moltiplicare la base per se stessa. Per accelerare i calcoli si possono applicare le formule dei prodotti notevoli. Allora le potenze proposte diventano:

(2x + 3y)3 = (2x)3 +3(2x)2(+3y) + 3(2x)(+3y)2 + (+3y)3 = 8x3 + 12x2y + 18xy2 + 27y3

(2x – 3y)3 = (2x)3 +3(2x)2(–3y) + 3(2x)(–3y)2 + (–3y)3 = 8x3 – 12x2y + 18xy2 – 27y3.

(2x − 3y)3

(2x + y 2)3

(4a − 1)

(−2x + 4y)3

⎛ ⎜⎝ 2 −

3 ⎞ xy 4 ⎟⎠

⎛ ⎜⎝ 1 +

3 ⎞ m 4 ⎟⎠

⎛ ⎜⎝ −

(3xy − 3)3

(2a3 + 1)3

(am + bm)3

(b3 − a2)3

(1 − x 2m)3

⎛ 2− ⎝⎜

(x n − y n)3

⎛ ⎜⎝

1 2 ⎞ xy + x 2⎟ 2 3 ⎠

⎛ ⎜⎝

⎞ 2 xy + 5x 2⎟ ⎠ 5

1 ⎞ a 3 ⎠⎟

1 n n⎞ x −y ⎟ ⎠ 2

109

sezione 3 12

Aggiungi un terzo termine ai seguenti binomi in modo da ottenere trinomi che siano quadrati di un binomio.

x 2 − 4bx + ..........

4c 2 + 9x 2 + ..........

25 − 20y + .........

a2b4 + ab2 + .........

a6 + a2 + ..........

m2 − m

+ ........

4x 2 + 9 + ..........

a+1

+ .......

Calcola le seguenti divisioni di un polinomio per un monomio.

Esempio Polinomio (25a2x 3 – 15a2x 2 – 25x 4y 2) e monomio (–5x 2) Per calcolare il quoziente applichiamo la proprietà distributiva rispetto alla somma e alla sottrazione: 25a2x 3 : (–5x 2) – 15a2x 2 : (–5x 2) – 25x 4y2 : (–5x 2) = Nell’eseguire la divisione tra i singoli monomi applichiamo la proprietà delle potenze relativa al quoziente di potenze di base uguale e ricordiamo che una lettera non presente in un monomio corrisponde a un esponente uguale a 0: –5a2-0 x 3-2 + 3a2-0 x 2-2 + 5x 4-2y 2-0 = –5a2x + 3a2 + 5x 2y 2 a

(3x 4 + 6x 3 − 24x 2 + 6x + 15) : (−3) =

(8x 3y 2 − 4x 2y 3 + 12xy 4) : (4xy 2) =

⎛ ⎜⎝

⎛ ⎜⎝ −

⎛ ⎜⎝

⎛ 69 5 2 ab ⎜⎝

⎛ ⎜⎝

⎛ ⎜⎝ −

⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 2 3 1 a b − 3a3b4 − a2b5⎟ : ⎜ + ab4⎟ = ⎠ ⎝ 3 ⎠ 4 2 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 3 4 5 4 x y + 8x 2y 2 − xy 4⎟ : ⎜ − xy 2⎟ = ⎠ ⎝ 3 ⎠ 4 3

3 2 3 2 7 2 3 1 5 4 4⎞ ⎛ 4 2 2⎞ a b c − ab c + a b c ⎟ : ⎜ + ab c ⎟ = ⎠ ⎝ 3 ⎠ 4 2 4

⎞

− 4,6a4b 3 + 9,2a3b 4 − 11,5a2b 5⎟ : (−2,3a2b2) = ⎠

⎞ 5 5 2 3 1 4 4 2 1 abc + a b c − 0,25a2b 3c 2 + a4b3c 3⎟ : (−0,6b2c 2) = ⎠ 3 10 3

– ⎞ ⎛ 1 ⎞ 3 4 3 2 1 3 3 2 x y z + x y z − 4x 2y 2z 4 − 0,3 x 6y 4z 2 + 0,5x 5y 3z2⎟ : ⎜ − x 2yz⎟ = ⎠ ⎝ 3 ⎠ 4 2

Semplifica le seguenti espressioni.

(x + y)2 − (x − y)2 + x(x − 4y) =

[x ]

(a + b2)2(a − b2)2 − (a2 − b4)2 =

[0]

(3a + 2b)2 − (3a + 2b)(3a − 2b) − 2b(a + 4b) =

(x + 3y)(x − 3y) − (x + 3y)2 − 9(x2 − y2) =

110

[10ab]

[−9x

]

− 6xy − 9y 2

Calcolo letterale

[−3ab ]

(3ab + b)(3ab − b) + (b − 3ab)2 − 3ab2(6a − 1) =

(a + b − 2)(a + b + 2) − (a + b)2 + 4 =

(x 2 + y2)(x 2 − y2) − (x 2 + y2)2+ 2x 2 (x 2 + y2) =

(a + b − x)(a + b + x) − (a + b)2 + x2 =

2a(a + b) − 2b(a − b) − 2a(a + b)(a − b) =

(x 2 + 2)(x 2 − 2)(x 4 + 4) − (x 4 + 4)2 + 8(x 4 + 4) =

(a2 − 3b2)2 − (3b2 + a2)(3b2 − a2) + 2a2(3b2 + a2) =

(a + b)(a + b)2 − (a + b)(a2 − ab + b2) − 3ab(a + b) =

(a + b)(a − b) − a(a − 2b) =

(a + 1)(a − 1)(a2 + 1) − a3(a − 1) =

(x + y)(x − y)(x 2 + y2)(x 4 + y 4) + y 8 =

⎛ ⎜⎝ 2a

( p2 + 1)( p + 1)(p − 1) − p3( p − 1) + (1 − p)( p2 + p + 1) =

(2x + 1)2 + (3x − 1)2 − (x + 2)(x − 2) − 2(3 − x) =

{ (a − b)(a + ab + b ) + (a + b) + 2a b − a(2a + 3b) . (a + b)

[0]

[2x

[0]

[2a b + 8ab − 2b ]

[4a ] 4

[0]

[2ab − b ] 2

[a − 1] 3

[0]

[x ] 8

1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ b 2a − b⎟ − ⎜ 2a − b⎟ (2a + b) = 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠

]

+ 2y 4

−

16 ab 9

[0]

[12x ] 2

}

− 1 + (a2 + 1) =

⎞⎛1 ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ 1 2 1 1 xy − 2x 2y⎟ ⎜ y + 2x⎟ (−xy) − ⎜ 2x 2y + xy 2⎟ ⎜ 2x 2y − xy 2⎟ ⎠⎝3 ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 3 3 3

⎛ ⎜⎝

⎛1 ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ 3 ⎞ ab − ⎜ a + b⎟ + ⎜ b + a⎟ ⎜ b − a⎟ . a + ⎜ b + a⎟ − b2 ⎜ b + a⎟ = ⎝4 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 2 4 ⎠⎝ 4 ⎠ 2 ⎠ 2 ⎠

Semplifica le seguenti espressioni.

y + 3 + (x − 1)(2x + y +3) + x(x + 2y − 1) y − (x + y) + x 3 + y 3 =

[0]

3 2 ab 4

[0]

[48x y ]

(x − 2y)3(x + 2y)3 − (x − 2y)(x + 2y)(x 4 + 4x 2y 2 + 16y4) + 12x 4y 2 =

{(bx + b x )(b x + bx ) − b

(x − y)3 + 3(x − y) (x − y)(x + y) + (x + y)2 + (x − y)3 =

(7k − 9)2 + (4k − 8)(4k + 8) − (17 − 12k)(1 − 5k) =

(x + 2a)2(x − 2a)2 − (2x − 2)2(2x + a)2 − 15(a2 − x 2)(a2 + x 2) =

[0]

2(5p − q) − 3(2p − 3q) + (4p − 5q) − 6p(9p − 4q) =

[0]

}

(x + x 2)2 − 2x3 − x 3 (b + b2)2 − 2b3 =

2 4

[impossibile]

[8x ] 3

[5k

]

− 29k

111

sezione 3

[− 5xy]

(2x − y)2 − (3x − y)(2x + y) + 2(x + y)(x − y) =

(x + y + 3z)2 − 2(x + y − 3z)(x + y + 3z) + (x − y + 3z)2 =

[36z

]

− 4xy + 12xz

[a ]

2a2 − (a + b + 1)(a − b − 1) a2 − (b + 1) + (b + 1) =

(x 3y 3 − a3)2 − (xy − a)2(x 2y 2 + axy + a2)2 − (2a + 3b)4 − 164 =

[impossibile]

{ (a + b + c)(a + b − c) − 2ab (a − b + c ) − 2b c + c }(a + b ) =

[a − b ]

(3a2 + 2ab)2 − 5(−ab)2 + 9a2 ⎜ 1 b − a⎟ ⎜ 1 b +a⎟ =

⎛1 ⎞ 2 2 8x 2y 2(8x 2 − 4y 2) − (3x + y ) (−2xy ) + 4 ⎜ x 2y + 3xy2⎟ = ⎝2 ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ (x 2 + x − 1)2 − (x + 1)3 + 5x ⎜ 1 + 1 x⎟ − x 2 ⎜ x + 1 ⎟ =

⎧ ⎪ ⎛ 3 2 ⎨ ⎜ x − 2xy + ⎪ ⎝ ⎩

⎛ ⎝

2 2

⎞⎛ ⎠⎝

⎞

[12a b] 3

⎠

⎝

⎠

⎝

[29x y 4

2⎠

⎫

⎛ 4⎪ ⎛ 1 ⎞ 5 2 ⎞ 5 ⎞ x y⎟ : (−x ) + ⎜ y − x⎟ (−y ) − (−y ) ⎬ : ⎜ − x⎟ = ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎪ ⎝ 2 ⎠

]

− 12x 3y 3

x4 −

13 2 x 4

[4x

− 8y 2

]

⎭

⎛ 2 x ⎝⎜

⎛ ⎜⎝

Calcola le seguenti divisioni tra polinomi applicando la regola generale.

−

1 2⎞ 1 y + (−2x 2)(x − y )(x + y ) − y 4 : (−2x 2) = 2 ⎠⎟ 4

1 2 1 2 x − y 2 2

⎛5 ⎛1 ⎞ 2 2 3 ⎞ 1 ⎞ 4 a − ab⎟ − ⎜ a2 − ab⎟ (b 2 − ab) − a4 : ⎜ ab⎟ = ⎝2 ⎝2 ⎠ 3 2 ⎠ 2 ⎠ 9

3 − ab + a2 + b2 2

Esempio

(9b4 – 19b2 + 44b – 30) : (3b2 – 4b + 5) Tutte le divisioni tra polinomi si possono eseguire con la seguente regola, dopo aver ordinato, se necessario, i due polinomi secondo le potenze decrescenti di una lettera. D(x)

→

–d(x) . 3b2

→

// +12b3 – 34b2 + 44b – 30

–d(x) . 4b

→

– 12b3 + 16b2 – 20b

→

–d(x) . (–6)

→

9b4 – 0b3 – 19b2 + 44b – 30 –9b4 +12b3 – 15b2

3b2 – 4b + 5

⇐

d(x)

3b2 + 4b –6

⇐

Q(x)

– 18b2 + 24b – 30 + 18b2 – 24b + 30 //

Il quoziente è Q(x) = 3b2 + 4b – 6, il resto è zero, quindi la divisione è esatta o, meglio, il primo polinomio è divisibile esattamente per il secondo. a

(14x 4 − x 3 − 14x 2 − 3x + 1) : (2x + 1) =

(4x 3 + 4x 2 − 11x + 4) : (2x − 1) =

112

[7x

]

− 4x 2 − 5x + 1

[2x

]

+ 3x − 4

Calcolo letterale

[Q = x

]

(x 5 − x 4 − 4x 3 + 2x 2 + 3x − 2) : (x 2 + 2x + 1) =

(8x 3 + 6x 2 − 29x + 15) : (4x − 3) =

(6a3 − 34a2 + 14a − 10) : (3a − 2) =

(9y 4 − 19y 2 + 44y − 30) : (3y 2 + 4y − 6) =

(4a4 + 31a2 − 2) : (2a + 1) =

[Q = 2a − a + 16a − 8; R = 6]

(4y 4 − 11y 2 + 30y − 28) : (2y 2 + 3y − 5) =

[Q = 2y − 3y + 4; R = 3y − 8]

(x 5 + x 2 − x + 7) : (x 3 − 2x + 1) =

⎛ ⎜⎝ −

⎛ 3 ⎜⎝ 5x +

(9x 3 − 3x 2y − 8xy 2 + 4y 3) : (3x − 2y) =

[3x

(8a3 − 14a2b + b3) : (4a + b) =

[2a − 4ab + b ]

(a2 + 4ax + 3x 2) : (a + 3x) =

[a + x]

(a2 − 3ax + 2x 2) : (a − 2x) =

[a − x]

(6x 4 − 5x 3y − 12x 2y 2 + 7xy3 + 3y 4) : (2x − 3y) =

(6x 4 + ax 2 − 15a2) : (2x 2 − 3a) =

(4x 4 − x 2 + 4x − 4) : (2x 2 + x − 2) =

(x7 − 3x 6 + x 5 − 4x 2 + 12x − 4) : (x 2 − 3x + 1) =

(2a5 − 3a4b + 8a3b2 − 6a2b3 + 7ab4 − 2b5) : (a2 − ab + 2b2) =

(3a4 + 5a3b − 3a2b2 + 5ab3 − 2b4) : (a2 + 2ab − b2) =

(15x 4 + 10x 3y − 9x 2y 2 + 4y 4) : (5x 3 − 3xy 2 + 2y 3) =

(2a3 − 5a2b + 4ab2 − b3) : (a2 − 2ab + b2) =

(−6a3 + 11a2b − 18ab2 + 7b3) : (3a2 − 4ab + 7b2) =

(2a4 − 13a3b + 31a2b2 − 38ab3 + 24b4) : (2a2 − 3ab + 4b2) =

⎞ ⎛ 1 ⎞ 5 3 23 2 25 x + x − x − 8⎟ : ⎜ − x + 2⎟ = ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 2 4

− 3x 2 + x + 3; R = −4x − 5

[2x

]

+ 3x − 5

[Q = 2a − 10a − 2; R = −14] 2

[3y + 4y − 6] 2

[Q = x

]

+ 2; R = 3x + 5

1 Q = 5x 2 − 3x + ; R = −9 2

1 2 13 1⎞ ⎛ 1⎞ x + x + ⎟ : ⎜ 2x + ⎟ = 4 12 3⎠ ⎝ 2⎠

5 2 1 2 x − x+ 2 2 3 2

]

+ xy − 2y2

[3x

]

+ 2x 2y − 3xy2 − y3

[3x [2x

]

+ 5a

]

−x+2

]

−4

[2a − a b + 3ab − b ] 3

[3a − ab + 2b ] 2

[3x + 2y] [2a − b] [−2a + b]

[a − 5ab + 6b ] 2

Esegui le seguenti divisioni tra un polinomio e un binomio applicando la regola di Ruffini.

Esempio Esegui la seguente divisione tra un polinomio e un binomio di primo grado: (x 3 + 2x + 5) : (x – 1). Possiamo eseguire questa divisione con la regola di Ruffini perché il divisore è un binomio di primo grado.

113

sezione 3 Disponiamo opportunamente nella seguente tabella i coefficienti del dividendo (+1x 3 + 0x 2 + 2x + 5) e l’opposto del termine noto del binomio divisore (x – 1).

+1 +1

0 +1 +1

b Ora moltiplichiamo il coefficiente riportato per

l’opposto del termine noto e posizioniamo il risultato sotto il secondo coefficiente del dividendo.

c Sommiamo algebricamente i termini in colon-

na e otteniamo il secondo coefficiente del quoziente.

a Riportiamo, come primo coefficiente del quo-

ziente, lo stesso primo coefficiente del dividendo.

Nota bene! Se il polinomio dividendo non è completo, i coefficienti dei termini mancanti (in questo caso x 2) valgono 0.

Ripetiamo i passaggi b e c per le due colonne successive.

I valori +1, +1, +3 sono i coefficienti del quoziente di secondo grado Q(x) = x 2 + x + 3, il valore +8 è il resto della divisione R = +8. a

(x 2 − 7x + 12) : (x − 4) =

(3x 4 − 4x 3 − x 2 − 2x − 8) : (x − 2) =

(3x 4 − 5x 3 + 2x 2 − 3x + 3) : (x − 1) =

(2x 3 − 4x 2 + 7x + 5) : (x + 1) =

(2x 4 − 3x 2 + 4x + 2) : (x + 3) =

(4x 4 − 3x 2 + 5x − 6) : (x − 1) =

(3x 4 − 2x 3 − x 2 + x − 3) : (x + 1) =

(x 4 − 7x 3 + 4x 2 − x + 1) : (x + 2) =

(a4 + a3b + 3ab3 + 3b4) : (a + b) =

[a + 3b ]

(a3 − a2y + 2ay 2 − 2y 3) : (a − y) =

[a + 2y ]

114

[x − 3]

[3x

]

+ 2x 2 + 3x + 4

[3x [Q = 2x [Q = 2x

]

− 2x 2 − 3

− 6x + 13; R = −8

] ]

− 6x 2 + 15x − 41; R = 125

[4x [3x [Q = x

]

+ 4x 2 + x + 6

]

− 5x 2 + 4x − 3

]

− 9x 2 + 22x − 45; R = 91 3

Calcolo letterale m

(x 3 − 5ax 2 + 7a2x − 2a3) : (x − 2a) =

(3x 4 − 17ax 3 + 27a2x 2 − 31a3x + 12a4) : (x − a) =

(x 4 − 3bx 3 − 9b2x 2 + b3x − 2b4) : (x + 2b) =

(x 4 − 3ax 3 + 8a2x 2 + a3x − 6a4) : (x + 2a) =

(a4 + 2a3b − 3a2b2 + 2ab3 + 6b4) : (a + b) =

⎛ ⎞ (2x 4 − 5x 3 + 8x 2 − 5x + 1) : ⎜ x − 1 ⎟ =

⎛ 3 x − ⎝⎜

⎛ ⎜⎝

⎞ ⎛ 1 3 1 2 1⎞ x − x − 2x + 1⎟ : ⎜ x − ⎟ = ⎠ ⎝ 2 4 2⎠

⎛ ⎜⎝

⎞ ⎛ 1 4 1 2 3 5 1 ⎞ ax + a x + a + 3a4x⎟ : ⎜ x + a⎟ = ⎠ ⎝ 2 6 3 ⎠

⎛ 4 3 ⎜⎝ x − x −

⎝

⎛ w ⎜ ⎝ x

[Q = 3x

9 1⎞ ⎛ 3⎞ x − ⎟ : ⎜x − ⎟ = 8 4⎠ ⎝ 2⎠

]

− 3ax + a2

− 14x 2a + 13xa2 − 18a3; R = − 6a4

[x [Q = x

]

− 5bx 2 + b2x − b3

]

− 5ax 2 + 18a2x − 35a3; R = 64a4

]

[a + a b − 4ab + 6b ] 3

[2x

1 2 3⎞ x + x − ⎟ : (x − 1) = 2 2⎠

⎞ 1 4 1 3 11 2 3 x + x − x − x − 6⎟ : (x + 3) = ⎠ 3 3 2 6

⎛ 4 ⎜⎝ x −

2⎠

]

− 4x 2 + 6x − 2 1 3 x2 + x + 2 2 1 2 x −2 2 1 3 ax + 3a4 2

1 3 1 Q = x 3 + x 2 + x; R = − 2 4 4 1 3 3 2 1 x − x + x−2 3 2 6

1 3 1⎞ ⎛ 1⎞ x − x + ⎟ : ⎜x − ⎟ = 3 3⎠ ⎝ 3⎠

]

−1

Esegui le seguenti divisioni tra un polinomio e un binomio applicando la regola di Ruffini.

⎛ 3 x − ⎝⎜

⎞ 3 2 7 x − x + 4⎟ : (x − 1) = ⎠ 2 2

⎛ 4 x + ⎝⎜

1 3 7 1⎞ x − 2x 2 + x − ⎟ : (x + 2) = 2 4 2⎠

⎛ ⎜⎝

⎛ 2x 4 − ⎝⎜

3 3 7 2 47 2⎞ ⎛ 2⎞ y − y − y − ⎟ : ⎜y − ⎟ = ⎠ ⎝ 4 6 5 3⎠ 45 9 3 1⎞ ⎛ 3⎞ x + 3x − ⎟ : ⎜ x − ⎟ = ⎠ ⎝ 2 2 2⎠

1 x2 − x − 4 2 3 1 x3 − x2 + x − 2 4 3 2 2 3 y − y+ 4 3 5 3 9 3 17 Q = 2x 3 − x 2 − x − ; R = − 2 4 8 8

x 3 − 2x 2 − (a2 + 2a − 2)x − 2(a + 2) : x − (a + 2) =

+ ax + 2

x 3 − x 2 − (a2 − a − 2)x + 2(a − 1) : x + (a − 1) =

− ax + 2

x 3 − (a + 1)x 2 + (2a + 1)x − 3(a − 1) : x − (a − 1) =

− 2x + 3

x 3 − 3x 2 − (a2 − 3a + 1)x + 3 − a : x + (a − 3) =

− ax − 1

x 3 − (a − 2)x 2 − ax + a(a − 2) : (x − a + 2) =

x 3 + 2x 2 − (a + 1) x − (a + 2) : (x + a + 2) = 2

] ] ] ]

[x [x

]

−a

]

− ax − 1

115

sezione 3 m

(4x 3 − 4x 2 − 19x + 10) : (2x − 5) =

(4y 3 + 3y 2 − 3y − 6) : (3y − 9) =

⎛ o ⎜x 3 − ⎝

[2x

]

+ 3x − 2

4 Q = y 2 + 5y + 14; R = 120 3

1 2 5 1⎞ x − x − ⎟ : (2x + 1) = 2 8 16 ⎠

1 2 1 1 x − x− 2 2 16

⎛ 3 2 ⎜⎝ 6x + 9x −

⎞ ⎛ 1⎞ 50 x − 3⎟ : ⎜ 2x + ⎟ = ⎠ ⎝ 3⎠ 3

(6x 3 + ax 2 + 7a2x + 6a3) : (3x + 2a)=

[2x

(4y 4 − 6ay 3 − 4a2y 2 − 6a3y + 12a4) : (2y − 4a) =

[2y + ay − 3a ]

[3x

Determina, senza risolverle, il resto delle seguenti divisioni. Esempio

⎛ 3 ⎜⎝ 3b −

⎛ 4 3 ⎜⎝ z − 3z +

⎛ ⎞ (2m4 − 5m2 + 3m + 6) : ⎜ m − 1 ⎟ =

(m6 − 4m4 + 3m2 − 1) : (m − 1) =

(k7 + 3k6 − 4k5 + k4 − k3 + k2 − k + 1) : (k − 2) =

(−6x 5 + 10x 4 + 3x 3 − x 2 + 2x − 9) : (x + 3) =

⎛ 3 ⎜⎝ x +

(x 3 – 5x 2 – 9x + 10) : (x + 2). La regola del resto afferma che il resto della divisione di un polinomio P(x) per un binomio di primo grado (x + a) è uguale a P(-a). Nel nostro caso: P(x) = x 3 – 5x 2 – 9x + 10 x + a = x + 2 da cui a = –2.

1 2 2⎞ 4⎞ ⎛ b − b − ⎟ : ⎜b − ⎟ = 3 3⎠ 27 ⎠ ⎝ 1⎞ 1⎞ ⎛ : z+ ⎟ = 2⎠ 16 ⎟⎠ ⎜⎝

⎝

4⎠

Applichiamo la regola del resto: 3 2 P(–2) = (–2) – 5(–2) – 9(–2) + 10 = –8 – 20 + 18 + 10 = 0

Poiché il resto è zero il polinomio P(x) dato è divisibile esattamente per il binomio (x + 2).

3 2 1 1⎞ ⎛ 1⎞ x − x + ⎟ : ⎜x + ⎟ = 5 3 2⎠ ⎝ 3⎠

(7x 4 − 5x 3 + 8x 2 + 6x − 2) : (x − 1) =

(15x + 7x − 4x + 5x − 6) : (x + 1) =

(y 5 + 2y 4 − 3y 2 + 5y) : (y + 2) =

(a2 − 3ab + 2b2) : (a − 2b) =

(3z 4 + 7z 3 − 11z 2 + 16z + 10) : (z + 2) =

(2a3 + a2b − 4ab2 + 5b3) : (a + 2b) =

⎛ 3 ⎜⎝ 3a −

⎛ 5 2 3 4 ⎜⎝ x − 3x y + xy +

⎛ o ⎜ ⎝

⎞ ⎛ 3 2 1⎞ a + 2a − 1⎟ : ⎜ a − ⎟ = ⎠ ⎝ 2 2⎠

2 4 4 3 3⎞ 57 ⎞ ⎛ x − x + x 2 − x⎟ : ⎜ x + ⎟ = 3 9 2⎠ 8 ⎠ ⎝

1 5⎞ y : (x − y) = 2 ⎟⎠

Verifica se i seguenti polinomi sono divisibili esattamente per i binomi indicati a fianco.

x3 − 8

per (x + 2)

SI NO

per (x − 2)

SI NO

x 4 − a4

per (x − a)

SI NO

per (x + a)

SI NO

8y 3 − 27

per (2y − 3)

SI NO

per (2y + 3)

SI NO

1 2 a + 16 9

per

SI NO

per

116

⎛ ⎜⎝

⎞ 1 a + 4⎟ ⎠ 3

⎛ ⎜⎝

⎞ 1 a − 4⎟ ⎠ 3

SI NO

]

+ 4x − 9

− ax + 3a2 2

]

Calcolo letterale 21

Determina il valore del parametro k in modo che le seguenti divisioni siano esatte.

⎛ 4 ⎜⎝ 2x −

⎛ 4 3 ⎜⎝ x − 2x +

⎛ ⎜⎝

(3kx 2 + kx − 6) : (x + 3)

(2x 4 − ka2x 2 − 3a3x + a4) : (x − a)

[k = 0]

Esempio

(3x 3 + kx + k) : (x – 2).

1 3 1⎞ 1 ⎞ ⎛ x − 2x + k⎟ : ⎜ x − ⎟ 2 2⎠ 16 ⎠ ⎝ 4 2 10 1 ⎞ ⎛ 1⎞ x − x + k⎟ : ⎜ x − ⎟ 3 3 ⎠ ⎝ 3⎠ 27

[k = 15]

1 9

Applichiamo la regola del resto: 3

P(+2) = 3(+2) + k(+2) + k = 24 + 2k + k = 3k + 24 P(+2) = 0 se e solo se 3k + 24 = 0 ⇒ k = –8 a

(3y3 − 2ay2 − 5a2y − ka3) : (y − 2a)

[k = 6]

(z 3 + 2az 2 − 3a2z + ka3) : (z + 3a)

[k = 0]

⎛ ⎜⎝ −

⎛ ⎜⎝

⎞ 2 2 1 x + x + k⎟ : (x − 1) ⎠ 3 3

5 2 1 ⎞ x + 3x + k⎟ : (x + 1) 3 3 ⎠

1 3

[k = 4]

⎞ 1 5 2 3 x − x + x + k − 1⎟ : (x − 3) ⎠ 9 81

[k = 1] 1 4

(k − 2)y 3 + (k − 1)y 2 − (k + 4)y + 4 : (y − 2)

(k − 4)y 3 + (k − 1)y 2 − (3 − k)y − 15 : (y + 3)

[k = 5]

12 5

3.4 1

Scomponi i seguenti polinomi mediante raccoglimento a fattore comune.

Esempi 1

3x 3y + 4x 2y – 2xy

2 20a3b –15a2b2 – 30ab3

Osservando il polinomio dato, possiamo vedere che tutti i termini contengono i fattori x e y. Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione possiamo scrivere:

Se osserviamo i coefficienti numerici dei termini del polinomio, possiamo osservare che tutti sono divisibili per 5, mentre hanno a e b come lettere comuni. Allora possiamo raccogliere a fattore comune 5ab:

3x3y + 4x2y – 2xy = xy(3x2 + 4x – 2)

20a3b – 15a2b2 – 30ab3 = = 5ab(4a2 – 3ab – 6b2)

3 3a(x2 + y)- 3a2(x2 + y) + 3ab(x2 + y)

Osservando i tre termini del polinomio possiamo vedere che tutti contengono il 3, la a e il binomio (x2 + y). Allora possiamo raccogliere il fattore comune 3a(x2 + y): 3a(x2 + y) – 3a2(x2 + y) + 3ab(x2 + y) = = 3a(x2 + y)(1 – a + b)

a2 − a

2x − 3xy

ab − a

a − ab

x 3 − 2x 2

xy − 7y

ab3 − a2b

2xy − x 2y

3x 4 − 9x 3

4x 5y + 2xy 2

4ab3 + 12a2b2

3a2n − an

ax n − bx n

a3 − 3a2b

x − xy

4a2x − 4a2

x 2 + 3x

6x 2y 3 + 8x 2y

3x 2n − 12x 5n

x m + x m+2

ab2p − ab2p−1c

x ny 5n − ab4n

2x n+1 − x n

117

sezione 3 2

Scomponi i seguenti polinomi mediante raccoglimento a fattore comune.

2ax py q + 4ax py q+1

(a + b)2 − (a + b)

6x m+1 + 8x m+3

2(x + y) − a(x + y) + b2(x + y)

x n+4 + x 6y2

a(x + y) + b(x + y) + 3(x + y)

5x n+2 + 3x 2

(a + b)x − (a + b)y2 + (a + b)z 3

8y 2n+1 − 16y n

(x − y)2 − x + y

x 3y 3n+1 − 5xy 2n+1

(a − b)3 − (a − b)2

mx p − nx p

5(x 2 − 1) − 25(x + 1)

Scomponi i seguenti polinomi nel prodotto di polinomi mediante raccoglimento parziale.

Esempio 3a + 2b – 12a2 – 8b Osservando il polinomio possiamo vedere che non c’è un fattore comune ai quattro termini, ma il primo e il terzo termine hanno 3a in comune mentre gli altri due hanno 2b in comune. Allora eseguiamo il raccoglimento: 3a + 2b – 12a2 – 8b = 3a(1 – 4a) + 2b(1 – 4a) Ora possiamo raccogliere a fattore comune il termine (1 - 4a): 3a + 2b – 12a2 – 8b = (1 – 4a)(3a + 2b) Questa operazione si chiama raccoglimento parziale a fattore comune.

[(x 2 + 1)(4x + 3y − 2z)]

4x 3 + 3x 2y + 3y + 4x − 2z − 2x 2z =

4x 3 − 8x 2 + 6x 2y + 5xy 2 − 12xy − 10y 2 =

6a2 − 9ab − 12ac − 2a + 3b + 4c =

[(3a − 1)(2a − 3b − 4c)]

−a3 + 2a2 − 5a2b + 10ab − 9ab2 + 18b2 =

[(2 − a)(a2 + 5ab + 9b2)]

ax − ay + bx − by + cx − cy + dx − dy =

[(x − y)(a + b + c + d)]

x 2 − x 3 + 2 − 2x

xy − y + 3x − 3

[ f (1 − x)(x 2 + 2)

(x − 1)(y + 3)]

a3b − a2b + ax2 − x 2

ax − bx + a − b

[ h (a − 1)(a2b + x 2)

(a − b)(x + 1)]

[ l (x − y)(a − 1)

x(a − 1)(5a − 9)]

[(x − 2)(4x 2 + 6xy + 5y2)]

ax − ay − x + y

5x(a − 1) − 4ax + 4x

m2 + 4m2x − mx − 4m3

ax + by + 5a + 5b

x3 + x2 + x + 1

a3 + a2 − ab − b

[ p (x + 1)(x 2 + 1) q (a + 1)(a2 − b)]

ab − b2 − am + bm

a2b2 + 1 + a2 + b2

[ r (a − b)(b − m) s (a2 + 1)(b2 + 1)]

y 3 − 2y 2 + 4y − 8

3a2 + 5ab2 − 6a − 10b2

2x +2y + ax + ay

3ax + 3bx + ax + by

[ n m(m − x)(1 − 4m) o (a + b)(y + 5)]

[ t (y − 2)(y2 + 4) u (a − 2)(3a + 5b2)] [ v (x + y)(2 + a) z (a + b)(3x + y)]

Scomponi i seguenti polinomi nel prodotto di polinomi.

7ax − 7bx + 2ay − 2by

ac − bc + ad − bd

[ a (a − b)(7x + 2y)

(a − b)(c + d)]

y 2 + ay − by − ab

35 + ab + 5a + 7b

[ c (a + y)(y − b)

(a + 7)(b + 5)]

3ap + 4bp + 3aq

6ab2 + 5a + 6b2 + 5

[ e (p + q)(3a + 4b)

(a + 1)(6b2 + 5)]

a2b − ab2 + ac − bc

x 2y + y 3 − x 3 − xy 2

[ g (a − b)(ab + c)

(x 2 + y2)(y − x)]

118

Calcolo letterale

[ i (3 − x 2)(x − 1)

(2x + y)(m − 1)]

3x − x 3 + x2 − 3

2mx + my − y − 2x

8x 3 − 12x 2 + 2x − 3

4x 2 − 20xy + 3x − 15y

8am − bm + 8an − bn

56x 2 − 40xy + 63xz − 45yz

90x2 − 25xz − 288xy + 80yz

98x2 − 112xy + 7xz − 8yz

[ q (18x − 5z)(8x + 9z) r (7x − 8y)(14x + z)]

(x 2 − x)2 − 5x2 + 5x

x(2xy − y) − (2x 2 − x)

[ s x(x − 1)(x 2 − x − 5)

a3 + a2b − a2c − abc − b2c − bc2

5bq − b − 2bp + a − 5aq + 2ap

ax − bx + ay − x 2 − xy − by + (x + y) =

(2a + b) − (x + y)(2a + b) + 2ax + bx − 2a2 − ab =

6x − 2y − 2(3x − y) − 3xy + y2 + 3ax − ay + (4 − a − y)(3x − y) =

[ m (2x − 3)(4x 2 + 1) n (x − 5y)(4x + 3)] [ o (8a − b)(m + n) p (7x − 5y)(8x + 9z)]

x(2x − 1) (y2 − x)] 2

[ u (a + b + c)(a2 − bc) v (a − b)(2p − 5q + 1)] [(x + y)(a − b + y)]

[(2a + b)(a + b − y)]

[6(3x − y)(1 − x)]

Scomponi i seguenti polinomi ricordando che: a2 − b2 = (a − b)(a + b); a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2).

Esempi 1

a2 –

1 2 y 4

x 2 – (y + 1)2

a2 –

⎛1 ⎞ ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2 y = (a2) – ⎜ y⎟ = ⎜ a2 + y⎟ . ⎜ a2 - y⎟ 4 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝

x 2 – (y + 1)2 = x + (y + 1) x – (y + 1) = (x + y + 1)(x – y – 1)

x2 − 1 =

x 2 − y2 = x2 − 4 =

m2 − n4 =

x 2 − 16y 2 =

x 2k − y 2 =

4x 2 − 1 =

a4k − b2x =

4x 2 − 9y 2 =

a4k − a2 =

a2b2 − 1 =

16x 4 − 64y 2 =

49a4− 9 =

2a4 − 18b6 =

81a6− 16 =

(2a − b)2 − b4 =

9a2− 25 =

x 2a − y 4b =

x y − 36 =

(a − b)2 − (a + b)2 =

16a2 − 9b2 =

1 9 a − 64 = 8

25y 2 − 4z 2 =

−49y 2 + (5y − 2) =

36a2b4 − 1 =

8x 3y 3 − 32xy7 =

121x 2 − 49y 8 =

a3 − ab2 =

49a10 − 9 =

2x 3y − 8xy =

81y 6 − 64z 4 =

5k4 − 20k2 =

a2b2 − 1 =

2m4 − 8n4 =

x 4 − y2

a2 − (b + c) =

36a4y 4 − 16a2y 2 =

c2 − (b + a) =

Scomponi i seguenti polinomi ricordando che: a2 − b2 = (a − b)(a + b); a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2).

2 2

119

sezione 3 7

Scomponi i seguenti polinomi ricordando che: a − b2 = (a − b)(a + b); a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2). 2

(a − 1)2 − b2 =

(ab − 1) − 9 =

16 − (b − 1) =

(2a + 1)2 − (a − 1)2 =

(3a − 1)2 − (2 − a)2 =

(3a + b)2 − (2a − 3b)2 =

(x + 3y)2 − (3x + y)2 =

(x + y)2 − (x − y)2 =

(x − y)2 − (x + y)2 =

4(x + y) − 9(x − y) =

a3 + 8b3 =

x3 − 1 =

8a3 − 27b3 =

Scomponi i seguenti polinomi ricordando che: a − b2 = (a − b)(a + b); a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2). 2

1 3 a + 27b6 = 27

125a3 +

125 6 3 x −y = 27

8 12 9 x +b = 125

(2a + b)3 − 8a6 =

(a − 2b)3 − (2a + b)3 =

(2x + 3y)3 − (2x − 3y)3 =

⎛ ⎜⎝ a

8x 6 − 1 =

27x 3 − (a + b) =

a3 − 27b6 =

(x − 1)3 + (x + 2)3 =

a6 − b6 =

a2 + 4ab + 4b2 − c 2 =

x12 − 1 =

x 2 + y 2 − z 2 + 2xy =

64x 9 − 8y 3 =

z 2 − x 2 + 4x − 4 =

1 a − = 8

a2 − 9b2 − 1 + 6b =

2bx − b2 − x 2 + a4 =

8a3 −

1 3 b = 27

1 9 x = 27

1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ b − a − b⎟ = 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎠ 3

Scomponi i seguenti polinomi ricordando che: a2 + b2 ± 2ab = (a ± b) ; a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c) . 2

Esempi 1

x 2 + 10xy + 25y 2 = Il polinomio è un trinomio in cui sono presenti due termini al quadrato e un terzo termine che è esattamente il loro doppio prodotto; poiché questo prodotto è positivo, i due termini sono concordi, perciò abbiamo: (x)2 + 2(x)(5y) + (5y)2 = (x + 5y)2 oppure (–x)2 + 2(–x)(-5y) + (–5y)2 = (–x – 5y)2

4a2 – 12ab + 9b2 = Il polinomio è un trinomio in cui sono presenti due termini al quadrato e un terzo termine che è esattamente il loro doppio prodotto; poiché questo prodotto è negativo, i due termini sono discordi, perciò abbiamo: (2a)2 + 2(2a)(–3b)+ (–3b)2 = (2a – 3b)2 oppure (2a)2 + 2(–2a)(3b) + (–3b)2 = (–2a + 3b)2

120

Calcolo letterale 3 x6 – 2x4y2 – 2x3y2 + x2y 4 + y4 + 2xy4 =

Nel polinomio si possono riconoscere 3 termini al quadrato e 3 doppi prodotti: : +x2y 4 è il quadrato di xy2 +y 4 è il quadrato di y2 x6 è il quadrato di x3 –2x4y2 è il doppio prodotto di x3 e xy2 e i due termini sono discordi –2x3y2 è il doppio prodotto di x3 e y2 e i due termini sono discordi +2xy4 è il doppio prodotto di xy2 e y2 e i due termini sono concordi Perciò possiamo scrivere: x6 – 2x4y2 – 2x3y2 + x2y4 + y 4 + 2xy 4 = (x3 – xy2 – y 2)

−9x 2y 2 + 6xy − 1 =

3 3 9 6 a + a +1 = 2 16

25 4 9 x − 3x 3y + x 2y 2 = 4 25

9 3 3 3 9 2 4 2 9 4 2 4 abc + abc + abc = 4 4 16

x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz =

x 2 + 4y 2 + 9z 2 + 4xy − 6xz − 12yz =

x 2 + y 2 + 1 − 2xy − 2x + 2y =

4a2 + 9b2 + 16c2 − 12ab − 16ac + 24bc =

9 2 x + 4y 2 + z 2 + 6xy − 3xz − 4yz = 4

16 + 9x 2 + 24x =

0,25a2 − 2ab + 4b2 =

a3 − 6a2b + 9ab2 =

a3x −

1 a x + abx + b2x = 4

49 + 16x 2y 2 + 56xy =

9 4 2 4 2 4 a3b3 + ab + ab = 16 9

9a2 − 3ab +

1 4x 4 + x 2y + y 2 = 16

ax 2 + 2axy + ay 2 =

6a3b2 +

3 4 a + 12a2b4 = 4

a2 + 4b2 + c2 − 4ab + 2ac − 4bc =

5x 3y + 10x 2y 2 + 5xy 2 =

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc =

16 4 4 3 1 2 a + a + a = 25 5 4

x 4 + y 2 + z 2 +2x 2y + 2xz + 2yz =

a4 + 2a2b − 2a2c + b2 + c2 − 2bc =

−2xy + 2x + x 2 − 2y + y 2 + 1 =

4b8 + b6 +

1 2 1 a xy + axy 2 = 3 36

1 2 b = 4

1 2 2 ab = 4

4a2 − 2a3b +

25a6y 2 + 49a2y 6 − 70a4y 4 =

Riconosci tra i seguenti polinomi i quadrati di trinomi.

1 2 b − 4b7 + b5 − b4 = 4

Scomponi in fattori i seguenti polinomi ricordando che: a3 +b3 +3a2b+3ab2 = (a+b) ;a3 −b3 +3a2b−3ab2 = (a−b) . 3

Esempio 8a3 – 36a2b + 54ab2 – 27b3 = Il polinomio è un quadrinomio di terzo grado: 8a3 è il cubo di (2a) –27b3 è il cubo di (-3b)

-36a2b è il triplo prodotto del quadrato di (2a) per (–3b) +54ab2 è il triplo prodotto del quadrato di (–3b) per (2a)

quindi: 3 2 2 3 3 8a3 – 36a2b + 54ab2 – 27b3 = (2a) + 3(2a) . (–3b) + 3(–3b) . 2a + (–3b) = (2a – 3b)

121

sezione 3 a

27x 3 + 27x 2 + 9x + 1 =

a2 − 5a + 6

−8y 3 + 12y 2 − 6y + 1 =

a2 − 10a + 16

8x 3 − 36x 2y + 54xy 2 − 27y 3 =

a2 + 2a − 3

x 6 − 3x 4y + 3x 2y 2 − y 3 =

a2 − 7a + 10

8x 3y 3 − 1 − 12x 2y 2 + 6xy =

m2 + 8m + 12

x 9 − 6x 6y 2 + 12x 3y 4 − 8y 6 =

m2 + 4m − 32

a6 − 3a4b4 + 3a2b8 − b12 =

x 2 + 8x + 15

a3k − 1 − 3a2k + 3ak =

x 2 − 7x + 6

8x 3 − 12x 2 + 6x − 1 =

a2 − 2a − 35

125x 6 + 75x 4y + 15x 2y 2 + y 3 =

a2 − a − 6

a3x − 3a2x + 3ax − x =

x2 + x − 6

54ax 3 + 54ax 2 + 18ax + 2a =

a2 − 15a + 56

a4 − 6a3 + 12a2 − 8a =

x 2 − 3x − 88

a3b3 − 3a2b2 + 3ab − 1 =

x 2 − 6x − 16

26x 6y 9 − 6x 4y 6 + 6x 2y 3 − 2 =

x2 + x − 2

3x 4y − 18x 3y 3 + 36x 2y 5 − 24xy7 =

a2 − 5a − 36

3x 7y 2 + 18x 5y 3 + 36x 3y 4 + 24xy 5 =

y 2 − 10y + 21

y 2 − 9y − 36

m2 − 11mn − 60n2

m2 − 7mn + 10n2

x 2 − 8xy + 15y 2

Scomponi i seguenti trinomi.

Esempi 1

Dato il trinomio x2 – 9x – 10, scomponilo nel prodotto di due binomi. Il trinomio dato può essere scritto come: x 2 – 9x – 10 = x2 – 10x + x – 10

Eseguendo un raccoglimento parziale otteniamo:

a2 − 11ab − 26b2

a2 − 11ax − 60x 2

a2 − 2ab − 3b2

x 2 − xy − 6y 2

m2 − 11mn + 18n2

x 2 − 5xy + 4y 2

x 2 + 8xy − 20y 2

x 2 − (a + b)x + ab

x 2 − (y + 2)x + y + 1

x 2 − (a + 2)x + a + 1

x 4 − 5x 2 + 4

x 4 + 4x 2 − 32

a6 − 9a3 + 8

x(x + 1) - 10(x + 1) = (x + 1)(x - 10) Un trinomio di questo tipo è detto trinomio notevole; osserviamo che: • il coefficiente del termine di secondo grado è uguale a 1; • il coefficiente del termine di primo grado è -9 ed è la somma di 1 e -10, mentre il termine noto -10 è il prodotto di 1 e -10. Quindi in generale si può affermare che: x 2 + (a + b)x + a . b = (x + a)(x + b) 2 Applicando la formula del trinomio notevole scom-

poni il trinomio x 2 – 6x + 5. Osserviamo che il coefficiente del termine di primo grado è –6 = –5 – 1 e che il termine noto è +5 = (–5)(-1): allora possiamo applicare la formula del trinomio notevole con a = –5 e b = –1, quindi: x 2 – 6x + 5 = (x – 5)(x – 1)

122

Scomponi i seguenti trinomi.

Calcolo letterale 14

Scomponi i seguenti polinomi applicando la regola di Ruffini.

Esempio Scomponi nel prodotto di un polinomio per un binomio il polinomio: x 3 – 5x 2 – 4x + 20. Dobbiamo trovare un binomio (x + a) tale che P (x) = (x + a)Q (x), da cui segue P (–a) = 0; dobbiamo quindi determinare un valore che annulli il polinomio e applicare la regola di Ruffini. I valori che annullano il polinomio vanno cercati nei divisori del termine noto (+20), che nel nostro caso sono: ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20. 3

P(+1) = (+1) – 5(+1) – 4(+1) + 20 = 1 – 5 – 4 + 20 = 12 ≠ 0 3

P(–1) = (–1) – 5(–1) – 4(–1) + 20 = –1 + 5 + 4 + 20 = 28 ≠ 0 3

P(+2) = (+2) – 5(+2) – 4(+2) + 20 = +8 – 20 – 8 + 20 = 0 Il polinomio dato è quindi divisibile per il binomio (x – 2); possiamo così determinare il quoziente applicando la regola di Ruffini: 1 +2 1

–5

–4

+20

–6

–20

–3

–10

Q(x) = x 2 – 3x – 10

R=0

P(x) = x 3 – 5x 2 – 4x + 20 = (x 2 – 3x – 10)(x – 2) Abbiamo così trasformato il polinomio dato in un prodotto di due polinomi, cioè, come si suol dire, abbiamo fattorizzato o scomposto il polinomio in fattori. Il polinomio x 2 – 3x + 10 è di secondo grado, quindi potrebbe essere ancora scomponibile in binomi di primo grado. Vediamo se ciò è possibile applicando lo stesso procedimento eseguito per la prima fattorizzazione. I valori che annullano il termine noto (+10) sono: ±1, ±2, ±5, ±10. I valori ±1 vanno scartati perché, se non annullavano il polinomio iniziale P(x), non possono annullare nemmeno il polinomio Q(x) = x 2 – 3x +10 che è un suo fattore. 2

Q(+2) = (+2) – 3(+2) – 10 = 4 – 6 – 10 = –12 ≠ 0 2

Q(–2) = (–2) – 3(–2) – 10 = 4 + 6 – 10 = 0 Il polinomio Q(x) = x2 – 3x +10 è divisibile per il binomio (x + 2); possiamo determinare il quoziente con la regola di Ruffini: 1 -2 1

–3

–10

–2

+10

–5

P(x) = x 3 – 5x 2 – 4x + 20 = (x – 2)(x + 2)(x – 5)

x 2 − 5x + 6

x 4 − 2x 3 − 7x 2 + 20x − 12

x 3 − 3x 2 + 5x − 3

x 3 − 2x 2 − x + 2

x 3 + 10x 2 + 10x + 1

x 4 − 5x 2 + 4

2x 2 − 5x + 3

x4 + x2 − 2

4x 3 − 7x + 3

x 4 + 4x 3 + 3x 2 − 4x − 4

2x 4 − 3x 3 + 5x 2 − 10

x 4 + x 3 − 3x 2 − 4x − 4

x 3 + 2x 2 + 9

x 3 − x 2 − 3x + 3

123

sezione 3 q

x 4 − x 3 − 2x − 4

x 4 − 10x 3 + 37x 2 − 60x + 36

s t

Esercizi di ricapitolazione sulla scomposizione in fattori.

[(x2 + y2 + xy)(x − y + 1)]

x − 4x − 5x + 20x + 4x − 16

x 2 + xy + y 2 + x 3 − y 3 =

a5 − a4 − a2 + 1 =

[(a − 1)(a4 − a − 1)]

x 6 − 10x 5 + 36x 4 − 50x 3 − x 2 + 60x − 36

a + b − a2 + b2 =

[(a + b)(1 − a + b)]

a5 − 2a2 − a + 2 =

[(a − 1)(a + 1)(a3 + a − 2)]

x 5 − 2x 4 − x + 2 =

[(x − 2)(x2 + 1)(x − 1)(x + 1)]

x 8 − 2x 4 + 1 =

Esercizi di ricapitolazione sulla scomposizione in fattori.

[(x2 + 1)2(x − 1)2(x + 1)2]

x 2 + 16y2 + 8xy =

[(x + 4y) ]

[a(x − 1)2(x2 + 1 + x)2]

a4 + 1 + 2a2 =

[(a2 + 1) ]

ax 6 − 2ax 3 + a =

[(x − 1 − a)(x2 + x + 1)]

x 2 − 2ax + a2

[(x − a) ]

x 3 − 1 − ax 2 − ax − a =

a5 − a3 − 7a2 + 7 =

[(a − 1)(a + 1)(a3 − 7)]

1 2 x + 4 + 2x = 4

⎛1 ⎞2 ⎜⎝ x + 2⎟⎠

a2 − am + 3m − 9 =

a + 8a + 16a =

[a(a + 4) ]

x 4 − y4 + 3(x 2 + y 2) =

x2 − b + bx − 1 =

x 6 − x 4 − 9x 2 + 9 =

(x − 1)2 − x3 + 1 =

a3 − x 3 + a(a2 − x 2) + x(a − x) = [(a − x)(2a2 + x2 + 2ax + 2x)]

x 4 − a4 + 2ax(x 2 − a2) =

x 4 − 81y 4 + 6xy(x 2 − 9y 2) =

5 3 5 2 5 x + x + x= 4 3 9

⎛1 1⎞ 5x ⎜ x + ⎟ ⎝2 3⎠

⎛2 5 ⎞2 a2 ⎜ x 3 − y 2⎟ ⎝5 3 ⎠

[(a − 3)(a + 3 − m)] [(x2 + y2)(x2 − y2 + 3)] [(x − 1)(x + 1 + b)] [(x − 1)(x + 1)(x2 − 3)(x2 + 3)] [(x − 1)(−x2 − 2)]

4 2 6 25 2 4 4 2 3 2 ax + ay − axy = 25 9 3

(x + 2)2 + 2(x + 2) + 1 =

(2a −3)2 + 2(2a − 3)(a + 1) + (a + 1)2 =

3(2a + 1) − 6(2a + 1) + 3 =

(x + y) − 2(x + y) + x + y =

[(x + y)(x + y − 1) ]

10xy(5x − 2y) + 125x3 − 8y3 =

a2xy − abxy + a2y − aby =

[ay(x + 1)(a − b)]

a6 − 1 − 3a2(a3 − 1) + 3a(a3 − 1) = [(a3 − 1)(a3 + 1 − 3a2 + 3a)]

(2a + b)3 − 1 =

[(2a + b − 1)(4a2 + b2 + 4ab + 1 + 2a + b)]

x 2 − ax − 6a2 =

(x − 2y)3 + 1 =

[(x − 2y + 1)(x 2 + 4y 2 − 2xy + 1 − x + 2y)]

8 − (2a − 1) =

27 + (3a − 2) =

(a + 2b)3 + (a − 2b)3 =

(x − 2a) − x 3 =

[(x + 3)2]

[12a2]

[(3a − 2)2] 2

[(x − 3y)(x + 3y)3]

a8 − b8 − a4 + b4 + a2 − b2 = [(a2 − b2) (a2 + b2)(a4 + b4) − a2 − b2 + 1

]

[(5x − 2y)(5x + 2y)2] [(x − 3a)(x + 2a)]

Esercizi di ricapitolazione sulla scomposizione in

[(1 − 2a)(4a2 + 3)] fattori. [(3a + 1)(9a2 − 21a + 19)] a a2 − 5ab + 6b2 =

[(x − a)(x + a)3]

[(a − 3b)(a − 2b)]

[2a(a2 + 12b2)]

a2 − 2ab − 3b2 =

[(a − 3b)(a + b)]

[−2a(3x2 − 6ax + 4a2)]

x 3 + 3x 2 − 18x =

[x(x + 6)(x − 3)]

(2x + 1) − (2x − 1) =

[2(12x2 + 1)]

a2m + 2am2 − 8m3 =

(a − 2b) − (a + 2b) =

[−16ab(a2 + 4b2)]

x 2 − 4x + 3 − a(x − 3) =

[(x − 3)(x − 1 − a)]

a2 − 1 − ab − b =

[(a − 1)(a + 1 − b)]

a2 − 3a + 2 + x(a − 2) =

[(a − 2)(a − 1 − x)]

1 − a2 − b2 + a2b2 =

[(1 − a)(1 + a)(1 − b)(1 + b)]

x 2 − 2ax − 3a2 + mx + am =

[(x + a)(x − 3a + m)]

ax − bx + a3 − b3 =

[(a − b)(x + a2 + b2 + ab)]

x 3 + 3x 2 − 6x − 8 =

[(x + 1)(x + 4)(x − 2)]

a6 − b6 + a3 + b3 =

[(a + b)(a2 + b2 − ab)(a3 − b3 + 1)]

k3 + 6k2 + 11k + 6 =

[(k + 1)(k + 3)(k + 2)]

a3 − b3 + 3a2 + 3ab + 3b2 =

[(a2 + b2 + ab)(a − b + 3)]

x 4 + 5x 3 − 7x 2 − 29x + 30 =

124

3 4

[m(a + 4m)(a − 2m)]

[(x − 1)(x3 + 6x2 − x − 30)]

Calcolo letterale e

x 2 + 2xy + y 2 + 4x 3 + 4y 3 = [(x + y)(x + 4 + 4x2 + 4y2 − 4xy)]

x 2 − 4y 2 + x 3 − 8y 3 =

a3 + a2 + 4ab + 4b2 + 8b3 =

]

4y 2 − x 2 − 2x − 1 =

x 6 − 14x 4 + 49x 2 − 36 = [(x − 1)(x5 + x4 − 13x3 − 13x2 + 36x + 36)]

2a + 5a − 5a − 5a + 3 =

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 − x3 + 3x2 − 3x + 1 = [(a + b − x + 1) (a + b)2 + (x − 1)2 + (a + b)(x − 1)

[(a − 1)(2a

+ 7a + 2a − 3)] 2

[(x − 2y)(x + 2y + x2 + 4y2 + 2xy)] [(a + 2b)(a2 − a + 4 + 2b)] [(2y − x − 1)(2y + x + 1)] [−(3xy − 2ab)2]

a3 + b3 − 2a(a2 − ab + b2) =

[(a2 − ab + b2)(b − a)]

−9x 2y 2 + 12abxy − 4a2b2 =

8a3 − b3 + 3x(4a2 + 2ab + b2) = [(4a2 + b2 + 2ab)(2a − b + 3x)]

x 9 − x − ax 8 + a =

x 3 + x 2 + x − 5mx 2 − 5mx − 5m =

[(x2 + x + 1)(x − 5m)]

x 7 − 9x 4 + 8x =

(a − 2)3 + 3(a − 2)2 + 3(a − 2) + 1 =

[(a − 1)3]

2a3 + 6a2b + 4ab2 =

(a − 2b)2 − 2m(a − 2b) + m2 =

[(a − 2b − m)2]

9(3a2 − b2) − 16a4 =

a3 − b3 + a2 − b2 + a − b =

[(a − b)(a2 + b2 + ab + a + b + 1)]

(a − 3)2 + (a2 − 3a)2 + (2a − 6)2 =

[(a − 3)2(a2 + 5)]

x 3 − a3 − 3a2 − 3a − 1 = [(x − a − 1)(x 2 + a2 + 1 + 2a + ax + x)]

a4 − a2b2 + 2a3 − 2ab2 + a2 − b2 =

[(a − b)(a + b)(a + 1)2]

a2x − ax + x + a3 + 1 =

[(a2 − a + 1)(x + a + 1)]

y 4 + 7xy 3 + 14x 2y 2 + 8x 3y =

a2 − 4a + 4 + ax − 2x =

[(a − 2)(a − 2 − x)]

x 2m + 2x my 2 + y 4 − ax m − ay 2 =

(a − 3)3 − a2 + 6a − 9 =

[(a − 3)3(a − 4)]

1 10 1 5 1 a − a + = 2 2 8 b8 − y 8 − 2b6y 2 + 2b2y 6 =

[(a − 2b)(a + 2b)(a2 + 4b2 − 3)]

[(x4 + 1)(x2 + 1)(x − 1)(x + 1)(x − a)] [x(x − 2)(x2 + 2x + 4)(x − 1)(x2 + x + 1)] [2a(a + 2b)(a + b)] [(5a2 − 3b2)(13a2 − 3b2)]

[y(y + x)(y + 2x)(y + 4x)] [(xm + y2)(xm + y2 − a)] 1 ⎛ 5 1 ⎞2 a − ⎟ 2 ⎜⎝ 2⎠

a4 − 16b4 − 3a2 + 12b2 =

(x 3 − y 3)(x + y) + (x 3 + y 3)(x − y) = [2(x − y)(x + y)(x2 + y2)]

x 8 − y 8 − 2x 2y 2(x 4 − y 4) =

[(x − y)3(x + y)3(x2 + y2)]

Esercizi di ricapitolazione sulla scomposizione in fattori.

m5 + 6m4 − 15m3 − 116m2 + 48m + 576 = [(m + 4)3(m − 3)2]

[(x − 3)(x + 3)(x2 − 9 + a)]

x 4 + x 3 − 3x 2 − 4x − 4 =

[(x − y)(x − y + 1)]

b4 − 25b2c 2 + 144c 4 =

[(x − y)(3 + 5x − 5y)]

3x 7y 2 + 18x 5y 3 + 36x 3y 4 + 24xy 5 =

[(a − b)(a2 + b2 + ab + 2)]

x 4 + y 4 − 7x 2y 2 =

x 4 − 18x 2 + 81 + ax 2 − 9a =

x 2 − 2xy + y 2 + x − y =

3x − 3y + 5x 2 − 10xy + 5y 2 =

a3 − b3 + 2a − 2b =

[(b − y)3(b + y)3(b2 + y2)]

4x 2y 2 − (x 2 + y 2 − 4) = [(x + y + 2)(x + y − 2)(x − y + 2)(−x + y + 2)] 2

[(x − 2)(x + 2)(x2 + x + 1)] [(b2 − 12c2 − bc)(b2 − 12c2 + bc)] [3xy2(x2 + 2y)3]

[(x2 + y2 + 3xy)(x2 + y2 − 3xy)]

Calcola il MCD e il mcm dei seguenti gruppi di polinomi.

Esempio 4a2 – 9x 2 – 6x – 1;

4a2 + 9x 2 + 1 + 12ax + 4a + 6x;

6ab + 9bx + 3b.

Scomponiamo in fattori i polinomi: 2

4a2 – 9x 2 – 6x – 1 = 4a2 – (9x 2 + 6x + 1) = 4a2 – (3x + 1) = (2a – 3x – 1)(2a + 3x + 1) 4a2 + 9x 2 + 1 + 12ax + 4a + 6x = (2a + 3x + 1)

6ab + 9bx + 3b = 3b(2a + 3x + 1) Il MCD cercato è: (2a + 3x + 1) 2

Il mcm è: (2a + 3x + 1) (2a – 3x – 1) a

9a2 − 1

9a2 − 6a +1

3a2 − a

[MCD = (3a − 1); mcm = a(3a − 1)2(3a + 1)]

a3 + 2a2b + ab2

a4 − a2b2

a4b − b5

[MCD = (a + b); mcm = a2b(a + b)2(a − b)(a2 + b2)]

125

sezione 3

[MCD = 1; mcm = x(x − y)(x2 + xy + y2)]

x 3 + x 2y + xy 2

x3 − y3

x 2 − xy

ab + bc − am − cm

ac + c2 + am + mc

a2 + 2ac + c2

a3 − 27b3

a3 − 6a2b + 9ab2

a2 − 9b2

x 2 − 6x + 9

x 2 − 8x + 15

x 2 − 4x + 3

k2 − 6k + 5

k2 + k − 2

k2 + 2k − 3

a4 − a3 + 5a2 − 5

a3 + 5a + 5

a2 − 1

[MCD = 1; mcm = (a − 1)(a + 1)(a3 + 5a + 5)]

m4 − 2m2 + 1

m3 + m2 − m − 1

m2 − 1

[MCD = (m − 1)2; mcm = (m − 1)2(m + 1)2]

1 − 3x + 3x 2 − x 3

a + b − ax − bx

a − ax

[MCD = (1 − x); mcm = a(1 − x)3(a + b)]

x 2 − 4y2

2x 3 − 4x 2y

x 2 + 4y 2 − 4xy

b3 − 8

b2 − 4

b3 + 2b2 − 4b − 8

ax − 4a

ax 2 − 3ax − 4a

2a2x − 8a2

x 4 − 8x 2 + 16

x 3 − 2x 2 − 4x + 8

x 3 + 2x 2 − 4x − 8

[MCD = (x − 2)(x + 2); mcm = (x − 2)2(x + 2)2]

(x 2 − 7x + 10)

(3x 2 − 30x + 75)

(x 4 − 8x 3 + 17x 2 − 10x)

[MCD = (x − 5); mcm = 3x(x − 1)(x − 2)(x − 5)2]

3a9 − 27a6 + 81a3 − 81a3 − 4a2 + 3a − 12

ax + ay + bx + by

(x + y − 2)2 − 4

4x 2 − 9y2 − 6y − 1

4x 2 + 9y2 + 1 + 12xy + 4x + 6y

[MCD = (a + c); mcm = (a + c)2(b − m)(c + m)] [MCD = (a−3b); mcm = a(a−3b)2(a+3b)(a2 +9b2 +3ab)] [MCD = (x − 3); mcm = (x − 3)2(x − 5)(x − 1)] [MCD = (k − 1); mcm = (k − 1)(k + 3)(k + 2)(k − 5)]

[MCD = x − 2y; mcm = 2x2(x − 2y)2(x + 2y)] [MCD = b − 2; mcm = (b − 2)(b + 2)2(b2 + 2b + 4)] [MCD = a(x − 4); mcm = 2a2(x − 4)(x + 1)]

[MCD = 1; mcm = 3(a − 4)(a2 + 3)(a3 − 3)3] [MCD = x + y; mcm = (x + y)(a + b)(x + y − 4)] [MCD = 2x + 3y + 1; mcm = (2x + 3y + 1)2(2x − 3y − 1)]

3.5 1

Semplifica le seguenti frazioni algebriche.

Esempi 28a2bx 7a3x 2y

x2 – y2 x3 – y3

28a2bx 4b 28a2 bx = ⁄ ⁄3⁄ 2⁄ ⁄ = 7a3x 2y axy 7⁄ a x y 4

(x + y)(x – y) x2 – y2 x+y = = x3 – y3 (x – y)(x2 + xy + y2) x2 + xy – y2

6x 2y 4 = 2xy 3 15x 4by 2 = 25x 3b4

−a2b3 = ab2

24a3b4 = 32a2bc2

2x 4y 3z = xy 2

3a2b = 2a2b

−

a 4b2 = a4b3

an = a b

−3x m+n = 15x my n

b2 − b = ab − a

a3 − a2 = 2a2

x m+1 − x m = x 2m

ax+2 − a2 = a4 − a3

4a2 − 8a + 4 = 6a2 − 6

x 3 − xy 2 = x + 2xy − y 2

4a3 − 12a2b = a2 − 9b2

ab − 2a − 3b + 6 = a2 − 9

126

n+1

x k+2y h = x 2y

3ab3 3xy b −ab c 4c2

−

3 3xy2 e 2x 3yz f 2 5b3

1 h 1 i k h−1 xy b ab

−x n m b n a − 1 a 2 5y n

x − 1 p ax − 1 q 2(a − 1) xm a(a − 1) 3(a + 1)

x(x − y) 4a2 t b − 2 s x+y a + 3b a + 3

Calcolo letterale 2

a a a + − = 2x 3x 6x

y − ax + ay 5

x x x + − = 2a 3a a

a−1 a+1

3x + y x − y + = 3x y

x+3+

1 3 + = x + 1 2x + 2

5 3(x + 1)

1 1 + = a2 + a a + 1

1 a

x−1+

3x + 6 = x+2

[ x + 2]

4 a+1 a−1 − + = a − 1 a + 1 a2 − 1

4 a−1

a2 − ab + b2 a+b

4x x2 + 1 x+1 x−1 − + 2 + 2 = 2x − 2 2x + 2 x − 1 x − 1

x−1 x+1

a − 5b a+b

1 2b 1 + + = a2 + ab a3 − ab2 ab − b2

a+b ab(a − b)

1 x−2 x−3 + + = x 2 − x 3x x 2 − 1

x+7 3x(x + 1)

4a a+1 1−a + + = 1 − a2 1 − a 1 + a

2(1 + a) 1−a

20 1 + 5x 1 − 5x − − = 1 − 5x 1 + 5x 1 − 25x 2

2(1 − 5x) 1 + 5x

a2 + 11 a + 1 a−1 + − = 6a2 − 6 3a − 3 2 + 2a

5 3(a − 1)

3x − 6y 5x − 6y 4x − 5y 7x − 8y − − + = x+y x−y x+y x−y

Semplifica le seguenti frazioni algebriche.

xy + y 2 − ax 2 + ay 2 = 5x + 5y

a3 − a2 + 3a − 3 = a3 + a2 + 3a + 3

ax + ay − mx − my = a2 − 2am + m 2

x3 − x2 + x − 1 = x4 − 1

8x − 27y = 4x 2 − 12xy + 9y 2 3

(3a + b) − (2a − b)

1 x+1 4x + 6xy + 9y 2x − 3y

a3 + 4a2b + 4ab2

(a − b)2 − (a3 + b3) = 2 a(a2 − b2)

a2 − 4ab − 5b2 = a2 + 2ab + b2

x 2 + 3x − 18 = x 2 − 8x + 15

a5 − 32 = 4 3 a + 2a + 4a2 + 8a + 16

x+y a−m

5 a + 2b

x+6 x−5

[ a − 2]

x 2 − 2xy − 15y 2 = x 2 − 6xy + 5y 2

x + 3y x−y

x 2 − 3x + 2 = x − x 2 − 4x + 4

1 x+2

1 = x−3

2a 3x −

x 6a

3x 2 + y 2 3xy x2 − 8 x−3

[ 1]

1 − a2 = (1 + b)2 − (a + b)2

1+a 1 + a + 2b

x 2y y2 x 4x − 5y x 3 + y 3 − 3 3− 2 − − 3 3 =[ 0] 2 x −y x − y x − y x + 2xy + y x+y

x 3 + 1 + ax 2 − ax + a = x 2 + 2ax + a2 − 1

x2 − x + 1 x+a+1

3 2 4 x + 16 + − − = [ 0] x 3 + x 2 − 4x − 4 x 3 + 3x + 2 x 2 − x − 2 x 2 − 4

x (x + 2) x x2 x4 − x + 2 − 4 − 2 = x − 1 x − 1 x − 1 (x + 1)(x − 1)

1 2a 2 − 3a + 1 3 + − = a −a+1 a3 + 1 2 + 2a

a 2a 2 − 3a + 1 1 − − = a − 3a2 + 3a − 1 a2 − 2a + 1 a − 1

[ 0]

1 2a 4a + 1 3 + − − = a2 − a a3 − 1 a3 + a + 1 a4 − a

[ 0]

4 a2b − 2ab2 + b3 a − 2b + − = 3a + 3b 3a2 − 3ab + 3b3 a4 + ab3

1 a

[ 0]

Calcola le seguenti somme di frazioni algebriche.

Esempio a b a + 4b + – 3a – 3b 2a – 2b 6a – 6b a b a + 4b + – = 3a – 3b 2a – 2b 6a – 6b

x2 x2 + 1 1 2(a + 1)

a b a + 4b + – = 3(a – b) 2(a – b) 6(a – b)

1 2 3a − 4 − − = a2 − 3a + 2 a − 1 a − 2

2a + 3b – a – 4b a–b 1 = = 6(a – b) 6(a – b) 6

2b (1 − a) a−b a+b − + = [ 0] a − 2 + 2b − ab a − 2 − 2b + ab (a − 2)(1 − b2)

127

sezione 3 4

Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni tra frazioni algebriche.

Esempio 25x + 25y . 3y 12xy x2 + 2xy + y2

25(x + y) 3⁄ y⁄ 25 25x + 25y . 3y = = 2⁄ 4x(x + y) 12xy x2 + 2xy + y2 1⁄2xy⁄ ( x + y ) 4 1

2 2a + 1 4a + 2 : : a2 + a a 2 – a a2 – 1 2 2a + 1 2(2a + 1) 2a + 1 . a⁄ (a – 1) . (a + 1)(a – 1) 2 2a + 1 4a + 2 ( a – 1) : : = : : = = a(a + 1) a(a – 1) (a + 1)(a – 1) a⁄ (a + 1) 2(2a + 1) a2 + a a 2 – a a2 – 1 2 2

x(2a − b) a(x + 2)

3+ x x2 − 6x + 9 9 − x2 ⋅ = : 3x − 6 x − 5x + 6 x2 − 4

3 4 − x2

a2 − ab . x 2 − y 2 = x 2 + xy a2 − b2

a(x − y) x(a + b)

⎛ 8 x 3 − 1 2 x − 1 ⎞ 12 x 2 + 6 x + 3 : = ⎟: ⎜⎝ 2 3 x − 6 x 9x ⎠ x 2 − 3 x + 2

[ x − 1]

a + 3b . a2 − ab = a − b a2 − 9b2

a a − 3b

a 2 + b2 + 2ab − c 2 a 2 + ab − ac : = a 2 − b2 − 2ac + c 2 ac − c 2 − bc

a2 + ab . x 2 − 4y 2 = 3x + 6y 3a + 3b

a(x − 2y) 9

x 2 − 4 x + 4 − y 2 xy − 2 y + y 2 : = 3 x 2 + 6 xy x 2 − 4y2

x 2 − 6x + 9 . x 2 + x = 3x 15x − 45

x 2 − 5 xy + 4 y 2 x + 4y x 2 − 16 y 2 1 : 2 ⋅ 2 = 3x 2 2 3 x − 6 xy x − 2 xy + y x − 3 xy + 2 y 2

a − 3 . x2 − 4 = x − 2 a2 − 5a + 6

x 2 − ( m + n ) x + mn x 2 − ( m − 3 ) x − 3 m : 2 = x 2 − 9 x + 18 x + ( n − 6) x − 6n

ab + ac − mb − mc . x + y = ax + ay − bx − by 3b + 3c

x 3 − 3x 2 − x + 3 . x 2 − 16 . 3 = 3 3x + 12 x − x 2 − 9x + 9 x − 4

x 2 + 2x . 4a2 − b2 = 2a2 + ab x2 + 4x + 4

x 3 + 5x 2 − 4x − 20 . x + 3 . 2x − 10 = x 3 + 2x 2 − 9x − 18 x 2 − 25 3x − 6

⎛a−x a3 + a2x ⎞ a2 − x2 2a ⎜⎝ x + a − x + a 2 x − x 3 ⎟⎠ ⋅ 2a 2 + x 2 =

⎛ 1 1 2a + 2b ⎞ a 3 − ab2 = + − ⎜⎝ a − b a + b a 2 + ab ⎟⎠ ⋅ ab

x + 8 : x − 2x + 4 = x + 2x + 4 x3 − 8

⎛ ay + ax − y − x 3 a 2 − 3 ⎞ a 2 + 2a + 1 = : 2 ⎜⎝ ⎟⋅ x+y a2 − a − 2 a −4 ⎠

a 2 + 2a + 1 a 3 + 3a 2 + 3a + 1 3 ⋅ : = 9a − 6 2a + 2 9a 2 − 4

128

(x − 3)(x + 1) 45 x−2 a−2 a−m 3(a − b) x+1 x+3

c(a + b+ c) a(a − c + b)

(x − 2 − y)(x − 2y) 3xy

x2 − n2 x2 − 9

Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni tra frazioni algebriche. a

⎡⎛ a − b⎞ ⎛ a + b a − b⎞ ⎤ b ⎢⎜⎝ 1 − a + b ⎟⎠ : ⎜⎝ a − b + a + b ⎟⎠ ⎥ : a 2 + b2 = ⎦ ⎣

⎡ 2ab ⎛ a + b a − b ⎞ ⎛ a + b a − b ⎞ ⎤ 1 ⎢ a 4 − b4 ⎜⎝ a − b + a + b ⎟⎠ : ⎝⎜ a − b − a + b ⎟⎠ ⎥ : 2 2 = [1] −b a ⎣ ⎦

⎛ 2 ⎞ 4 1 1 :⎜ + + ⎟ = x2 − x − 2 ⎝ x2 − 1 x2 − 3x + 2 x2 − x − 2⎠

[1]

⎡ ( x + y )2 − 4 a 2 x + y − 2a ⎤ x 2 + xy + 2ax ⎢ ⎥: : = x − y ⎥⎦ x 2 − y2 x 2 + xy ⎢⎣

[1]

a+2 3

⎛ a + b a − b⎞ ⎛ a − b a + b⎞ + − ⎜⎝ ⎟ :⎜ ⎟ = a − b a + b⎠ ⎝ a + b a − b⎠

3a + 2 3

⎛ a−b a+b 4 ab ⎞ a 2 + 5 = − − ⎟: ⎜⎝ a + b a − b b2 − a 2 ⎠ 10

2 3(x − 3) x+a x 2b a

[x 2 − 4]

[ a − b]

−

a2 + b2 2ab

[0]

Calcolo letterale

⎛ x 3 + xy 2 2 x 2 − 2y 2 ⎞ 2 x 2 + 2y 2 ⎜⎝ x 2 − 2 xy + y 2 ⋅ ⎟⎠ : x − y = 3x

2m 2 − 3 m + 1 ⎞ m +1 ⎛ m m :⎜ = − 2 + 2 m − 2 ⎝ m − 1 m − 2 m + 1 m 3 − 3 m 2 + 3 m − 1 ⎟⎠

x+y 3 1 2

Calcola le seguenti potenze di frazioni algebriche.

Esempio ⎛ a2 + 2ab + b2 ⎞ ⎜⎝ 3a + 3b ⎟⎠

⎛ a2 + 2ab + b2 ⎞ = ⎜⎝ 3a + 3b ⎟⎠

(a + b)2 3(a + b)

⎛ a + b⎞ a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = 27 ⎝ 3 ⎟⎠

=⎜

⎛ −2 x 2 y 2 ⎞ ⎜⎝ ⎟ = 5z ⎠

⎛ −3 a 3 b2 ⎞ ⎜⎝ ⎟ = 4c ⎠

⎛ −3 ab2 ⎞ ⎜⎝ ⎟ = 2x ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎜⎝ 3 2 ⎟⎠ a x

⎛ 1⎞ ⎜⎝ a + ⎟⎠ a

⎛ 1 1 ⎞ ⎛ y⎞ ⎜⎝ x + y + x − y ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ 1 + x ⎟⎠ =

⎛ x−5 1 2 ⎞ ⎛ x 2 + 10 x + 25 ⎞ − 1⎟ = + − ⎟ ⋅⎜ ⎜⎝ 2 ⎠ 20 x x + 5x 5 x + 5 ⎠ ⎝

⎛ x +1 1 ⎞ ⎛ x −1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ − − ⎟ :⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ = ⎜⎝ 2 x − 2x x − 2 ⎠ ⎝ x 2 + 2x x + 2 ⎠ ⎝ x 2 − 4 ⎠

⎛ x y ⎞ 2y 2 ⎜⎝ x − y + x 2 − y 2 + x + y ⎟⎠

⎛ 1 1 ⎞ + ⎜ x + y x − y ⎟ ⎛ y⎞3 ⎜ ⎟ :⎜ − ⎟ = ⎜ 1 − 1 ⎟ ⎝ x⎠ ⎜⎝ x + y x − y ⎟⎠

−2

⎛ −a 2 x ⎞ ⎛ − y3 ⎞ ⋅⎜ 2 ⎟ ⋅⎜ ⎟ = ⎝ y ⎠ ⎝ a ⎠ 2

⎛ 1 ⎞ 2a 2 = ⋅⎜ a − ⎟ ⋅ 4 ⎝ a ⎠ a −1

2(a4 − 1) 2(x + y) f a2 x(x − y)

−2

16 5x(x − 5) 2

1 x4

⎛ x + y⎞ = :⎜ ⎝ x − y ⎟⎠

x−y x+y

−3

[1]

Risolvi le seguenti espressioni.

⎛ x2 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ 1 − ⋅ 1− ⋅⎜1 + = 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ x + y x − y ⎟⎠ y ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎛ 1 1 ⎞ ⎛ b⎞ ⎜⎝ a + b + a − b ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ 1 + a ⎟⎠ =

⎛ z+2 2 ⎞ z2 − 1 ⎜⎝ z − z 2 + z ⎟⎠ ⋅ z 2 − 9 =

⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎝ a + b ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ a 2 − b2 ⎟⎠ =

ab + a + 2b + 2 ⎛ b2 x − x ab − a + b − 1 ⎞ ⋅ :⎜ ⎟⎠ = ⎝ 4a − 8 x a2 − 4

⎛ 1 + a2 2 + a 1 ⎞ ⎛ 1⎞ + 2 − ⎟ :⎜1 − 2 ⎟ = ⎜⎝ 2 a⎠ ⎝ a +1 a a ⎠

(b − 1) (a + 1) 2

y − 2x b 2 a−b y

z − 1 d ab b−a z−3

a3 + 3a2 + 2 a4 − 1

129

sezione 3

a 2 + 2a ⎛ 2 a ⎞ = ⋅⎜ − 2 a + 4 ⎝ a + 2 a − 2 ⎟⎠

⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 x ⎞ 1 + x2 ⎜⎝ x + 1 + x − 1 ⎟⎠ : ⎜⎝ x + 1 + 1 − x ⎟⎠ ⋅ 2 =

x −1 a 2 − b2

x 2 + 2 xy + y 2 ⎛ x 2 − xy + y 2 x 3 + y 3 ⎞ ⎜ x 2 − y2 − x 3 − y3 ⎟ = x 3 + y3 ⎠ ⎝

( a 2 − b2 ) ⎛⎜

[a + b]

⎞ ⎛ z 4z ⎞ 3 ⎛ z−2 y −1 ⎜⎝ z 3 + 8 − z 2 y − 2 zy + 4 y ⎟⎠ : ⎜⎝ y − z + 2 ⎟⎠ ( z + 8 ) =

z+2 z

64 a 6 − 1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 64 a 6 − 1 − = − ⎟⎠ − ⎜⎝ 3 ⎟ ⎜⎝ 3 2 2a − a 8 a + 1 2a + 1 8 a − 1 2a − 1 ⎠ 2a 2 + a

2 1 ⎞ ⎡ x 3 − 1 ( x + 1) − x 1− x ⎤ ⎛ − : ⎥= ⎜⎝ x − ⎟⎠ : ⎢ 3 2 − x ⎢ x − 8 ( x + 2 )2 − 2 x x 2 − 4 x + 4 ⎥ ⎣ ⎦

1 3 10 + 5 a − 7 a 2 ⎞ ⎞ ⎛ a ⎛ a : − − + ⎟ ⎜ ⎜⎝ 3 ⎟ = 8 a − 8 4 − 4 a 2 2a 2 + 2a + 2 ⎠ ⎝ a − 1 8a 2 − 8 ⎠

⎛ b3 − bc 2 bc − c 2 ⎞ a 2 b − 2ab + b = ⋅ :⎜1 + 2 ab − ac + c − b ⎝ b − bc + c 2 ⎟⎠ b4 + bc 3

⎛ x3 ⎞⎛ 2x 2 + y2 ⎞ y⎞ ⎛ x 2 − xy + y 2 ⎞ ⎛ − − 1 1 − 1 1 − = : ⎟ ⎜ ⎜⎝ y 3 ⎟⎠ ⎝ x ⎠ ⎜⎝ x 2 − xy ⎟⎠ x 2 − 2 xy + y 2 ⎟⎠ ⎜⎝

2 2 2 2 ⎡⎛ x + 4 ⎞ ⎛ x + 2 ⎞ ⎤⎛ x − 1⎞ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎤ ⎡⎛ : x x + : − 1 + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎜ x + 1 + ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x − 1⎠ ⎝ x + 1 ⎠ ⎦ ⎣⎝ x + 3 ⎠ ⎝ x + 3 ⎠ ⎦⎝ x + 1⎠ ⎣⎝

x 2 − xy 2 xy 2x + y − 2 − 2 2 3 x y − xy x y−y xy + y 2 = x y 2y 3 + − x 2 − y2 x 2 + y2 y4 − x 4

1 2(a − bx)

xy y3 − x3

1 1 1 ⎞ a 3 − b3 + + 2⎟: 2 2 = 2 ⎝ b ab a ⎠ a b

1+b 1+b 1+ 2 2 b2 ⋅ b + b :1− b = b b b+1 b2 −1 1− b+1 b−1

130

[−x]

⎛ x 2 − 1 x 2 − 2x + 1 ⎞ = :⎜ + b − a ⎟⎠ ⎝ a+b

a 2−a

[4]

[x − 2]

1 a2 + a + 1

a−1 b 2

x(y − x) x2 + xy + y2

[x + 3]

−

x y

[0]

Calcolo letterale

⎛ 1 ⎛ 1 1⎞ 1 ⎞ x 4 y4 ⎜⎝ y 6 − x 6 ⎟⎠ x 4 + x 2 y 2 + y 4 − ⎜⎝ x + y ⎟⎠ y⎞ x 2 − x 2 y 2 + y 2 − 2 xy ⎛ ⎜⎝ 1 + ⎟⎠ : y xy x

⎡⎛ 2 1 ⎞ 1 − 2 ⎟: ⎢⎜ 1 2 a − 1 ⎢⎜ a + ⎟ 1+ ⎢⎜ a +1 a −1 ⎟ 1+ 1+ ⎟⎠ ⎢⎜⎝ 2−a 3−a ⎣ ⎡ ⎢⎛ 2 2a ( a + 3 ) + ⎢⎜ 2 4 ⎢⎜ 1 − 1+ ⎢⎜ 2−a 2−a 1− 1+ ⎢⎜⎝ 2+a 2+a ⎣ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 x − y + xy

⎤ 1− a = ⎥⋅ 2 3 a 16 a + 16 − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 a+1

1 ⎤ ⎞ a + a − 1 ⎥ a3 + 1 = ⎥: ⎟⋅ 1 ⎥ a2 − 4 ⎟ a− a −1 ⎥ ⎟ ⎥ ⎟⎠ ⎦

a(a + 2) a+1

2x ⎞ ⎟ x +1 ⎟ 2x ⎟ x− x − 1 + x − 1⎟ : 4x = x 2 + 2x − 3 x + 1 ⎟ x 2 − 1 ⎟ ⎠ x 2 − 2x − 3 x+

x−1 2

Verifica le seguenti uguaglianze. ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 1 1 1 ⎜⎝ y 2 − x 2 − 1 + 2 x − y 2 − x 2 − 1 − 2 x ⎟⎠ : ⎜⎝ y + x − 1 − y + x + 1 ⎟⎠ =

−2 x

(y − x)

a 2 x 2 − 2x 2 + 1 −1 x2 x2 1 ⋅ = − + a 2 x − ax + a − 1 a 2 x + ax − a − 1 ax + 1 ax − 1 a 2 − 1

a2 2 2 ⎛ 3a 2 a 2 ⎞ x 2 + 2ax + a 2 ( x − 2a ) ⋅ x 2 = ⎜ x + + : ⎟ a x x − 2a x + 2a 4a ⎟ 1− 1 − 2 ⎜⎝ 1 − ⎠ x+a x+a x

−1

1−

⎛ ⎛ 1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1⎞ x− ⎟ x+ ⎟⎜ x+ ⎟ ⎜ x − ⎟ ( 2 )2 ⎜ ⎜ x + 2 1 x x −1 − x : 1− x = ⎜1 + ⎜⎝ 1 + ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ x ⎠ x ⎠⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ 1 − 2x 2 ⎝ 12 xy x + 3y x − 3y + − x − 3 y x + 3 y x 2 − 9y 2 2−

x 2 + 9 xy x 2 + 3 xy

2 1 − = x x +1 x+2 2x 2 + 2x

⎛ a2 ⎞ 2a 2 ⎞ ⎛ ⎜⎝ a − 2 + ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − a + ⎟ 1 a −1 a + 1⎠ = a −1 a +1 10 2a + +2 − 2 a +1 a −1 3 − 3 3a 2 − 3a + 2

131

sezione 3

Segna la risposta esatta. Il prodotto di tre numeri naturali consecutivi è sicuramente divisibile per A. cinque B. quattro

Completa la tabella inserendo al posto dei puntini la cifra delle unità di 27 e la cifra delle unità di 28. a

b Immagina di continuare la tabella fino a n = 20. Qual è la cifra delle unità di 220?

A. 2

C. otto

B. 4

D. sei

C. 6

Motiva la risposta.

D. 8

Trova un’altra affermazione che lega numeri naturali, ad esempio: la somma di tre numeri dispari è .... 2

Segna la risposta esatta. Quale delle seguenti espressioni è equivalente a una delle seguenti. A. 9 B. 4x + 5y

6 Esercizio n. D28 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe terza della scuola secondaria di I grado, anno scolastico 2014/2015.

Il volume del parallelepipedo rettangolo si trova con la seguente formula: V = a.b.c dove a, b e c sono le misure degli spigoli. Lo spigolo c di un parallelepipedo rettangolo misura 5 cm e il volume è 45 cm3.

C. 9xy D. 2x + 3y Motiva la risposta.

Quale delle seguenti formule esprime la relazione tra le misure degli spigoli a e b del parallelepipedo?

Un lato di un rettangolo misura il doppio dell'altro, indica con a il lato più corto ed esprimi il perimetro e l'area del rettangolo in funzione di a. 4 Esercizio n. D23 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe terza della scuola secondaria di I grado, anno scolastico 2014/2015.

Considera due numeri naturali qualsiasi s e t. Se a = 3s e b = 3t, allora a + b è sempre divisibile per 3 perché... A. a + b = 3s + 3t = 3 . (s + t) B. a + b = 3

A. a + b = 9 B. a . b = 9 C. a + 9 = b D. a . 9 = b 7 Esercizio n. D6 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe terza della scuola secondaria di I grado, anno scolastico 2013/2014.

Considera il numero 15. Raddoppialo, poi raddoppia il risultato, poi continua a raddoppiare. In questo modo arrivi a trovare tutti i multipli di 15?

C. a + b = 6 + 9 = 15

Scegli la risposta e completa la frase.

D. a + b = 3s + 3t = 3 . s + t

Sì, perché __________________________________

Esercizio n. D25 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe terza della scuola secondaria di I grado, anno scolastico 2014/2015. Osserva la seguente tabella.

1 2 3 4 5 6 7 8

2n Cifra delle unità di 2n

21 22 23 24 25 26 27 28

132

2 4 8 6 2 4 ... ...

______________________________________________ ______________________________________________ No, perché _________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________

Calcolo letterale 8

Esercizio n. D5 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe terza della scuola secondaria di I grado, anno scolastico 2013/2014.

Esercizio n. D24 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe terza della scuola secondaria di I grado, anno scolastico 2013/2014.

Due candele di cera, alte entrambe 30 cm, vengono messe in un portacandela in posizione verticale e accese.

Osserva la figura.

⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩

La candela A si accorcia di 0,5 cm ogni 3 minuti mentre la candela B si accorcia di 0,5 cm ogni minuto.

La lunghezza della colonna del liquido contenuto nella siringa è indicata con h. Il volume del liquido è V. Scrivi la formula che ti permette di calcolare l’area A della sezione della siringa conoscendo h e V.

Dopo 10 minuti di quanto si saranno accorciate le due candele?

Risposta: A = ___________________

A. Candela A: circa 1,6 cm; candela B: 5 cm

Lo stesso volume V di liquido viene messo in una seconda siringa e la lunghezza della colonna di liquido diventa il doppio. L’area della sezione di questa siringa rispetto alla prima è

B. Candela A: circa 3 cm; candela B: 1 cm C. Candela A: circa 15 cm; candela B: 10 cm D. Candela A: circa 9 cm; candela B: 10 cm Quale delle seguenti formule esprime l’altezza L (in centimetri) della candela B al variare del numero n di minuti? A. L = 30 − 3 . n b

A. il doppio B. un quarto C. la metà D. il quadruplo

B. L = 30 − 1,5 . n C. L = 30 − n D. L = 30 − 0,5 . n 9

Esercizio n. D14 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe terza della scuola secondaria di I grado, anno scolastico 2013/2014. La somma di due numeri naturali a e b è pari. Se aggiungo 1 a entrambi i numeri, come sarà ora la somma? Scegli una delle due risposte e completa la frase. La somma sarà pari perché ___________________ ______________________________________________ ______________________________________________ La somma sarà dispari perché ________________ ______________________________________________ ______________________________________________

11 Esercizio n. D7 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2012/2013.

Considera un quadrato di lato a. a Se si aumenta il lato a del 20%, si ottiene un nuovo quadrato di lato b. Quale delle seguenti espressioni rappresenta la misura di b?

A. 20 a B. 1,20 a C. a + 20 D. a + 0,20 b Di quanto aumenta in percentuale l’area del quadrato di lato b rispetto all’area del quadrato di lato a?

A. Del 20% B. Del 40% C. Del 44% D. Del 120%

133

sezione 3 12

Esercizio n. D11 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2011/2012. a

Osserva e completa la seguente tabella. n

(n−− 1) n (n++ 1)

1×2×3

2×3×4

__________

Giulia afferma: “Per ogni numero naturale n maggiore di 1, (n−1) n(n+1) è divisibile per 6”. Spiega perché Giulia ha ragione. b

_______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ c

Francesco afferma: “n3 −n è uguale a (n−1) n(n+1)”. Dimostra che Francesco ha ragione.

134

SEZIONE

ALGEBRA

Equazioni di primo grado

4.1 EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Concetti fondamentali Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni delle quali almeno una letterale. L’espressione che compare alla sinistra dell’uguale è il primo membro dell’equazione, mentre l’espressione alla destra dell’uguale è il secondo membro. Le lettere che compaiono in una equazione possono essere: • incognite, se rappresentano valori numerici da determinare perché siano verificate le equazioni; • parametri, se rappresentano numeri il cui valore numerico non deve essere specificato, ma si ricerca la soluzione (o le soluzioni) dell’equazione in funzione dei parametri.

Nota bene: solitamente per le incognite si usano le lettere x, y, z, mentre per indicare i parametri in matematica si usano le lettere a, b, k, m ... Nelle applicazioni tecniche o scientifiche si usano le iniziali dei nomi delle grandezze che le lettere rappresentano. Una equazione si dice in una incognita quando è solo una la lettera relativamente alla quale si ricerca il valore, o i valori, che rendono vera l’uguaglianza.

3x2 – 2a = x + b – 1 La lettera x indica l’incognita, le lettere a e b rappresentano i parametri.

Una identità è una particolare equazione che risulta vera qualunque valore numerico si attribuisca a ciascuna lettera (ad eccezione di quei valori che fanno perdere di significato una o entrambe le espressioni letterali).

Sono identità le seguenti uguaglianze: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2x + 1 = x + x + 1

Classificazione di equazioni in una incognita Equazione intera: le espressioni che definiscono l’equazione sono espressioni letterali intere rispetto all’incognita, cioè l’incognita non compare mai al denominatore.

3x – 4 = x + 1

2x –

1 1 x+5=x– 3 2

135

sezione 4 Equazione frazionaria o fratta: se in almeno uno dei due membri dell’equazione compare una espressione letterale frazionaria rispetto all’incognita, quindi l’incognita è al denominatore.

1 3 + =4 x–2 x

2 x–2 (x – 1) = 5 x+2

Equazione numerica: l’equazione non contiene parametri, ovvero non contiene altre lettere oltre all’incognita.

2 1 x + 2x – 1 = 6x – – 3 2

3 1 = +7 2x + 1 2

Equazione letterale: oltre all’incognita l’equazione contiene almeno un parametro.

2kx – 3 = k + x

(a + 1)x – 2b = x + 3

La radice o soluzione di una equazione è ogni valore, numerico o letterale, che sostituito all’incognita rende il primo membro uguale al secondo, ovvero rende l’equazione una uguaglianza vera.

L’equazione 2x – 4 = x + 1 ha come soluzione x = 5. Infatti 2 . 5 – 4 = 5 + 1 → 6 = 6

Risolvere una equazione significa determinare l’insieme delle sue soluzioni; tale insieme si indica con S. Il dominio di una equazione in una incognita è l’insieme dei numeri reali che sostituiti all’incognita rende le espressioni che costituiscono l’equazione ben definite. Il dominio si indica con D. S⊆D⊆R Rispetto all’insieme delle sue soluzioni una equazione può essere classificata come segue. • Equazione determinata: l’insieme delle soluzioni è un insieme finito, cioè l’equazione ammette un numero finito di soluzioni. x2 = 9 → le soluzioni possibili sono due +3 e –3 → S = {–3; +3} l’equazione ha un numero finito di soluzioni quindi è determinata.

• Equazione indeterminata: l’insieme delle soluzioni è infinito, cioè l’equazione è verificata per qualsiasi valore si attribuisce all’incognita. 1 2x + 1 = x + x + 1 → l’equazione è verificata per qualsiasi valore si sostituisca alla x → S = R l’equazione è indeterminata. 2

1 1 = → è una equazione fratta; il dominio di tale equazione è D = R – {0} , infatti per x = 0 si avrebx+x 2x be 1/0 che è una espressione priva di significato l’equazione è verificata per qualsiasi valore si assegni alla x ad eccezione di zero → l’equazione è indeterminata e il suo insieme delle soluzioni è S = D = R – {0}

136

Equazioni di primo grado

Nota bene: una identità è una equazione indeterminata, cioè sempre verificata nel suo dominio; per cui risulta S = D. • Equazione impossibile: l’insieme delle soluzioni è vuoto, cioè non esiste nessun valore numerico reale che sostituito all’incognita rende vera l’equazione. x = x + 1 → non esiste nessun valore che sostituito alla x renda vera l’equazione → S = ∅ l’equazione è impossibile.

Il grado di una equazione (intera) è il massimo valore che compare come esponente dell’incognita. In particolare per una equazione scritta in forma canonica P(x) = 0, il grado dell’equazione è il grado del polinomio P(x) rispetto all’incognita x. Una equazione in cui la x compare con esponente massimo uguale a 1 è detta di primo grado o lineare; mentre, se compare con esponente massimo 2, è detta di secondo grado.

2x – 3 = 0

→

equazione di I grado, o lineare, nell’incognita x

3x2 + 2x – 1 = 0

→

equazione di II grado nell’incognita x

→

equazione di III grado nell’incognita x

–5x + x + 9x – 4 = 0

Equazioni equivalenti e principi di equivalenza Equazioni equivalenti sono equazioni che hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Primo Principio di Equivalenza Sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione una stessa espressione algebrica (sempre definita nel dominio D dell’equazione), si ottiene una equazione equivalente a quella data.

2x + 4 = 3x – 1 è una equazione verificata per x = 5 se si aggiunge +2 ad entrambi i membri si ottiene 2x + 4 + 2 = 3x – 1 + 2 e sommando i termini simili si arriva all’equazione 2x + 6 = 3x + 1 che è anch’essa verificata per x = 5, cioè le due equazioni sono equivalenti.

Applicazioni del Primo Principio di Equivalenza • Legge del Trasporto: si può spostare un qualsiasi termine dell’equazione da un membro all’altro cambiandogli il segno.

Data l’equazione 3x – 4 = 2x + 5 si può spostare il 2x dal secondo membro al primo cambiandogli il segno 3x – 4 – 2x = +5, infatti ciò equivale a sottrarre 2x da entrambi i membri 3x – 4 – 2x = 2x + 5 – 2x analogamente si può spostare il –4 dal primo membro al secondo cambiandogli il segno 3x – 2x = +5 + 4, infatti ciò equivale ad aggiungere +4 ad entrambi i membri 3x – 4 – 2x + 4 = +5 + 4 Se si sommano i termini simili si ottiene la seguente equazione equivalente a quella data x=9

Nota bene: la Legge del Trasporto può essere applicata a più termini contemporaneamente.

137

sezione 4 • Regola di cancellazione: se uno stesso numero o termine compare come addendo in entrambi i membri di una equazione, può essere eliminato da entrambe le parti. 4x + 2x2 – 3 = 2x2 + 6x + 1 → 4x – 3 = 6x + 1 Equivale a sottrarre 2x2 ad entrambi i membri dell’equazione.

Secondo Principio di Equivalenza Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione algebrica (sempre definita e sempre diversa da zero nel dominio D dell’equazione), si ottiene una equazione equivalente a quella data.

1 Data l’equazione 5x = 35 dividendo entrambi i membri per 5 si ottiene l’equazione equivalente 35 357 5x 5x = → = → x =7 5 5 5 5 1 x=5 3 moltiplicando entrambi i membri per 3 si ottiene l’equazione equivalente 1 . 1 x 3 = 5 . 3 → x . 3 = 15 → x = 15 3 3

2 Data l’equazione

Applicazioni del Secondo Principio di Equivalenza • Regola di semplificazione per un fattore comune: se entrambi i membri dell’equazione sono polinomi e tutti i coefficienti sono divisibili per uno stesso numero (diverso da 1), si possono dividere tutti i coefficienti per tale numero ottenendo una equazione equivalente a quella data. Data l’equazione → 12x – 8 = 4x – 16 i coefficienti di entrambi i polinomi membri dell’equazione sono tutti divisibili per 4. Si applica quindi il secondo principio di equivalenza dividendo per 4 entrambi i membri dell’equazione (12x – 8) : 4 = (4x – 16) : 4 Per la proprietà distributiva della divisione rispetto alla sottrazione si ottiene 12x : 4 – 8 : 4 = 4x : 4 – 16 : 4 cioè 3x – 2 = x – 4 Nella risoluzione di una equazione si può procedere dividendo direttamente tutti i coefficienti per il divisore comune 123x – 82 = 41x – 164

• Regola di eliminazione dei denominatori: in una equazione intera in cui sono presenti frazioni o coefficienti razionali, si riducono entrambi i membri dell’equazione allo stesso denominatore; quindi si elimina il denominatore comune moltiplicando entrambi i membri per tale numero.

Data l’equazione

3 1 3 x+1= x+ 4 6 2

si riducono entrambi i membri allo stesso denominatore

9x + 12 2x + 18 = 12 12

si moltiplicano entrambi i membri per il denominatore comune

9x + 12 . 2x + 18 . 12 = 12 12 12

si ottiene una equazione con coefficienti numerici interi 9x + 12 = 2x + 18

138

Equazioni di primo grado • Regola del cambio di segno: se si cambia di segno ogni termine di entrambi i membri di una equazione data, se ne ottiene una equivalente; infatti ciò equivale a moltiplicare entrambi i membri per −1. Data l’equazione –3x + x2 – 4 = 5x – 6 se si moltiplicano entrambi i membri per (–1) e si applica la proprietà distributiva si ottiene una equazione equivalente a quella data ma con tutti i termini opposti. (–3x + x2 – 4)(–1) = (5x – 6)(–1) +3x – x2 + 4 = –5x + 6

Procedimento risolutivo di una equazione intera di primo grado Una equazione di primo grado è ridotta a forma normale se è scritta nella forma ax = b dove a e b sono coefficienti numerici. Per risolvere una equazione di primo grado in una incognita si applicano i principi di equivalenza per ridurre l’equazione data in forma normale ax = b. Si trasportano tutti i termini contenenti l’incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo membro, si riducono poi i termini simili. Si distinguono i seguenti casi. • Se a = 0 e b = 0 • Se a = 0 e b ≠ 0 • Se a ≠ 0

→ 0x = 0 → 0 = 0 → l’equazione è indeterminata → S=D → 0x = b → 0 = b → l’equazione è impossibile →S=∅ → si dividono entrambi i membri per a (per il secondo principio di equivalenza) a b b → x= → x= a a a → l’equazione è determinata

Data l’equazione 5x –

→ S = {b/a}

3 1 x+1= x–2 4 2

si riducono entrambi i membri allo stesso denominatore e si elimina il denominatore comune 20x – 3x + 4 2x – 8 = 4 4 si ottiene l’equazione 20x – 3x + 4 = 2x – 8 si spostano i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo 20x – 3x – 2x = –8 – 4 si riducono i termini simili 15x = –12 si dividono entrambi i membri per il coefficiente della x, cioè per 15 15 124 x=– 5 15 15 x =–

4 5

Per verificare la soluzione di una equazione si sostituisce il valore trovato al posto dell’incognita sia nel primo membro che nel secondo dell’equazione data. Se il valore assunto dal primo membro è uguale al valore assunto dal secondo, cioè se si ottiene una identità, allora il valore trovato è la soluzione esatta dell’equazione.

139

sezione 4

Si verifica la soluzione dell'equazione dell'esempio precedente 5x –

3 1 x+1= x–2 4 2

4 Si sostituisce la soluzione trovata, x = – , all'incognita nella equazione data 5 ⎛ 4⎞ 3 ⎛ 4⎞ 1 ⎛ 42 ⎞ 3 2 → –4 + + 1 = – – 2 5 . ⎜– ⎟ – . ⎜– ⎟ + 1 = . ⎜– ⎟ – 2 4 ⎝ 5⎠ 2 ⎝ 5 ⎠ 5 5 ⎝ 5⎠ Si calcolano i valori numerici di entrambi i membri –20 + 3 + 5 –2 – 10 = 5 5

→

–

12 12 = – 5 5

La soluzione trovata è corretta.

4.2 EQUAZIONI DI PRIMO GRADO FRAZIONARIE E LETTERALI Equazioni frazionarie Il dominio D nelle equazioni frazionarie prende anche il nome di Condizioni di Accettabilità (CA) della soluzione, tali condizioni definiscono un insieme di valori che rendono nullo il denominatore, o i denominatori, e che quindi non appartengono al dominio. 2 1 + 3x = x–1 x+2 I denominatori sono x – 1 e x + 2 e devono essere posti entrambi diversi da zero. Condizioni di Accettabilità x–1 ≠0 → x≠1 x + 2 ≠ 0 → x ≠ –2 Il dominio dell’equazione è D = R – {1, –2}

Procedimento risolutivo di una equazione frazionaria 1 Si scompongono i denominatori in fattori, se possibile, ed eventualmente si semplificano le frazioni

algebriche. 2 Si determinano le Condizioni di Accettabilità, ovvero si definisce il dominio D dell’equazione. 3 Si riducono entrambi i membri dell’equazione allo stesso denominatore. 4 Si eliminano i denominatori comuni per il secondo principio di equivalenza. 5 Si risolve l’equazione intera ottenuta. 6 Si confrontano le soluzioni ottenute con le Condizioni di Accettabilità, si accettano le soluzioni che

verificano tali condizioni, ovvero che appartengono al dominio. 2 1 = x2 – 1 x +1 Si scompongono i denominatori e, se possibile, si semplificano le frazioni algebriche. In questo caso si può scomporre solo il denominatore della frazione al primo termine. 2 1 = (x – 1)(x + 1) x +1 Si determina il m.c.m. tra tutti i denominatori. m.c.m. ((x – 1)(x + 1), (x + 1)) = (x – 1)(x + 1)

140

Equazioni di primo grado

Si sommano le frazioni 2 x –1 = (x – 1)(x + 1) (x – 1)(x + 1) Si elimina il denominatore comune per il secondo principio di equivalenza. Per eliminare il denominatore si impongono le Condizioni di Accettabilità. Condizioni di Accettabilità x–1 ≠0 → x≠1 x + 1 ≠ 0 → x ≠ –1 Si ha così una equazione lineare il cui dominio è D = R – {1, –1} 2=x–1 Si risolve l’equazione portandola a forma normale. –x = –2 – 1 → –x = –3 → x = 3 La soluzione è accettabile perché 3 appartiene al dominio D.

Nota bene: le CA si possono imporre all’inizio, ma si rischia di ripetere più volte le stesse condizioni se un fattore si ripete in più denominatori; è più conveniente determinare le CA una volta calcolato il mcm tra i denominatori così da non rischiare ripetizioni.

Equazioni letterali Procedimento risolutivo di una equazione letterale intera Si applicano i principi di equivalenza in modo da ridurre l’equazione nella forma Ax = B dove A e B sono coefficienti contenenti uno o più parametri. Si cercano i valori dei parametri per i quali A = 0. Per tali valori si procede alla discussione dell’equazione.

Se A = 0 → l’equazione ha la forma 0x = B Si sostituiscono i valori che rendono A = 0 al posto dei parametri nell’equazione Ax = B. Si stabilisce se in corrispondenza di tali valori risulta B=0

l’equazione è indeterminata

B≠0

l’equazione è impossibile

Se A ≠ 0 → l’equazione è determinata, cioè l’equazione è determinata per i valori dei parametri per B cui A è diverso da zero → la sua soluzione è x = A

1 (a – 2)x = a + 1 Se a – 2 ≠ 0 → ovvero a ≠ 2 → l’equazione è determinata → la soluzione è x =

a+1 a–2

Se a – 2 = 0 → ovvero a = 2 → si sostituisce 2 al parametro a nell’equazione → → (2 – 2)x = 2 + 1 → → 0x = 3 → → 0 = 3 → l’equazione è impossibile 2 (a + 3)x = (a – 1)(b – 2) Se a + 3 ≠ 0 → ovvero a ≠ –3 → l’equazione è determinata → la soluzione è x =

(a – 1)(b – 2) a+3

141

sezione 4

Se a + 3 = 0 → ovvero a = –3 → si sostituisce –3 al parametro a nell’equazione → → (–3 + 3)x = (–3 – 1)(b – 2) → → 0x = –4(b – 2) se b – 2 = 0 cioè b = 2

0 = 0 equazione indeterminata

se b – 2 ≠ 0 cioè b ≠ 2

0 = –4(b – 2) equazione impossibile

si discute il parametro b Riepilogando: • se a ≠ –3 → equazione determinata → soluzione x = • se a = –3 e b = 2 → equazione indeterminata

(a – 1)(b – 2) a+3

• se a = –3 e b ≠ 2 → equazione impossibile

In una equazione letterale fratta si devono imporre le seguenti condizioni: • condizioni di esistenza relative ai parametri; • condizioni di accettabilità relative all’incognita.

4.3 PROBLEMI LINEARI Procedimento risolutivo di un problema risolvibile con una equazione di I grado 1 La grandezza da determinare è l’incognita dell’equazione. 2 Si pongono le Condizioni di Accettabilità (CA) della soluzione, ovvero si individuano le limitazioni ai

valori che può assumere l’incognita affinché la soluzione trovata abbia significato. (Es: se l’incognita individua un numero di persone, la soluzione sarà accettabile solo se è un numero naturale; il dominio dell’equazione sarà quindi D = N). 3 Si scrive l’equazione che esprime le relazioni tra l’incognita e le altre grandezze note. 4 Si risolve l’equazione trovata. 5 Si confrontano le soluzioni ottenute con le Condizioni di Accettabilità e si accettano le soluzioni che

verificano tali condizioni, ovvero che appartengono al dominio.

Il percorso di una gara podistica viene diviso in tre tappe. La prima tappa è 1 4

3 8

dell’intero percorso, la seconda è

del percorso. Se la tappa finale è di 9 km, quanto è lungo l’intero percorso?

Si individua l’incognita → x = lunghezza dell’intero percorso Condizioni di Accettabilità → la soluzione deve essere un numero razionale positivo → D = Q+. L’equazione che risolve il problema è la seguente. La prima tappa è

3 8

La seconda tappa è

del percorso → 1 4

3 x 8

del percorso →

1 x 4

La terza tappa è 9 km, cioè non dipende da x La somma delle tre tappe è x x=

3 1 x+ x+9 8 4

Si risolve l’equazione. 8 3x + 2x + 72 x= 8 8

→ 8x = 3x + 2x + 72 → 8x – 3x – 2x = 72 → 3x = 72 →

Il percorso totale è di 24 km, la soluzione ottenuta è accettabile.

142

3 7224 x= 3 3

→ x = 24

Equazioni di primo grado

4.1

d e f g h i l m

equazione

V V V V V V V V V V V

F F F F F F F F F F F

Segna con una X la corrispondenza esatta.

Descrivi i principi applicati nei passaggi per la risoluzione delle seguenti equazioni. letterale fratta

Due equazioni sono equivalenti se si possono scrivere nello stesso modo. Due equazioni che hanno le stesse radici sono equivalenti. Se un’equazione contiene termini con denominatori, questi si possono eliminare. In un’equazione si può cambiare il segno a un solo membro. In un’equazione si può dividere ogni termine per uno stesso valore (purché diverso da 0). Se nei due membri di un’equazione compaiono due termini uguali, questi si possono eliminare. Se i due membri di un’equazione sono uguali essa è un’identità. Un’equazione non può avere come radice il numero 0. Le soluzioni di un’equazione si chiamano radici. Se l’insieme delle soluzioni di un’equazione è l’insieme vuoto, l’equazione è indeterminata. Un’equazione di primo grado in un’incognita, se è determinata, ammette una e una sola soluzione.

letterale intera

Vero o falso?

numerica fratta

numerica intera

3 a +1 + 3x = x + 4a 4 2 1 x −1 +x= x 3 2x 2 x +4 x+3= 5 2

9x − 6k + 3 = 0

(2a − 1)x + 3 = 1 x + a 3

x +2 =a+3 x −1 c

1 1 + 3x = 2x + x −a a 2x − 3(x + 1) = x + 1 3

Verifica se le seguenti equazioni sono verificate per il valore dell’incognita indicato a fianco. a

2(x − 3) + 4 = x + 1

x=1

[ no]

5x + 3 = 2(x + 1) + 7

x=2

[ sì]

2x − 1 = 3x − 5 3

x=2

3x − 5 = 4(x + 1)

1 x +9 x+4= 3 2

2x − 8 + x = x + 7 − 3x 2x + 3x = 8 + 7 5x = 15 5 153 x= 5 5

_______________________ _______________________ _______________________ _______________________

x=3

_______________________

x +1 1 = x−1 3 2

_______________________

3(x + 1) 2x − 6 = 6 6

_______________________

3x + 3 = 2x − 6 3x − 2x = −3 − 6 x = −9

_______________________ _______________________ _______________________

2x + 3(x − 1) = 6x + 7 2x + 3x − 3 = 8x + 7 2x + 3x − 8x = 7 + 3 −3x = 10

_______________________ _______________________ _______________________ _______________________

−x =

10 3

_______________________

x=−

10 3

_______________________

1 3x + 5 + =x 2 4

_______________________

[ sì]

3x + 5 + 2 4x = 4 4

_______________________

x=1

[ no]

x=3

[ sì]

3x − 4x = −5 − 2 −x = −7 x=7

_______________________ _______________________ _______________________

143

sezione 4

4.2 1

Determina le Condizioni di Accettabilità delle seguenti equazioni. a

1 2 = x+1 x+4 3

3 x = x−1 x+2

1 3 + =0 2x x − 6

1 3 + =0 x−1 x+1

2x 1 x + = 3x − 2 3x x − 3

2 Determina due numeri pari consecutivi tali che la loro somma sia 50. Se n1 = 2x è un numero pari, il numero pari consecutivo è n2 = ______

• Individua l’incognita → x = ____________________ • Condizioni di Accettabilità → x ∈ _______________ • Traduci il testo del problema in equazione → ____ ____________________________________________ • Risolvi l’equazione → _________________________ ____________________________________________ L’equazione dà come risultato la x, il problema chiede di determinare n1 e n2. n1 = _________________ n2 = ___________________ • Si verifica l’accettabilità della soluzione → ______ ____________________________________________ 3 Determina il numero che sommando 15 al suo doppio, si ottengono i 7 del numero stesso.

4.3

Risolvi i seguenti problemi seguendo i passaggi guidati.

• Individua l’incognita → x = ____________________ • Condizioni di Accettabilità → x ∈ _______________ • Traduci il testo del problema in equazione → ____

Esempio Determina il numero naturale tale che aumentato del suo triplo si ottenga 20. • Individua l’incognita → x = numero naturale • Condizioni di Accettabilità → x ∈N • Traduci il testo del problema in equazione → → x + 3x = 20 4 20 • Risolvi l’equazione → 4x = 20 → x = →x=5 4 4 • Si verifica l’accettabilità della soluzione → 5 ∈N → → La soluzione è accettabile.

1 Determina il numero razionale che si deve aggiungere a 2 per ottenere 9 .

____________________________________________ • Risolvi l’equazione → _________________________ ____________________________________________ • Si verifica l’accettabilità della soluzione → ______ ____________________________________________ 4 Determina due numeri razionali positivi sapendo che la loro differenza è 12 e che sommando il minore al doppio del maggiore si ottiene 39.

• Individua l’incognita → x = n1 numero maggiore Sapendo che la loro differenza è 12, cioè n1 − n2 = 12, il numero minore sarà: n2=_____________________

• Individua l’incognita → x = ____________________

• Condizioni di Accettabilità → x ∈ _______________

• Traduci il testo del problema in equazione → ____

____________________________________________

• Risolvi l’equazione → _________________________

____________________________________________

n1 = _________________ n2 = ___________________

• Si verifica l’accettabilità della soluzione → ______

____________________________________________

144

Equazioni di primo grado j

6(x − 1) − 2(x − 3) = 42x − 21(2x − 4)

4(x + 1) + 12(x − 1) − 3(2x + 7) = 3(2x − 3)

[5]

4(2x − 1) + 2(3x − 2) = 8 − (5x − 4) − (7x − 6)

[1]

4(x − 2) + 3(x − 1) = 2(3x − 4) − 5(x − 1)

4 3

(x − 3)(x + 2) + (x − 1)(x + 5) = 2(x − 2)(x + 1)

7 5

(5 − x)(x + 2) + (2x + 1)2 = 3 − (3x + 1)(1 − x)

[−1]

____________________________________________

(x + 1)(x − 2) + 2x = (x − 3)(x + 2)

[−2]

Le auto sono __________ Le moto sono __________

(x + 1)(x + 2) + 2x = (x − 3)(x − 4) + 10

[2]

• Si verifica l’accettabilità della soluzione → ______

4(x − 2) − (2x + 1) = −12x − 15

15 4

(x + 2)2 − (x − 1)2 = 3(x − 1) + 2x

[−6]

(3x + 1)2 − 5x(x + 6) = 4x(x − 2)

1 16

4(x2 − 49) + 61 = (2x − 5)

[8]

(10x + 1)2 − 4(4x + 1)2 = (6x + 1)2

(x + 2)2 − 11 = (x + 3)(x − 1)

x x – =2 3 4

(3x + 1)2 − 1 = (3x + 2)(3x − 2)

−

Calcoliamo il mcm dei denominatori: mcm (3, 4) = 12. Riduciamo quindi a denominatore comune: 4x – 3x 14 = 12 12

3 − 2x 2+x x−1 +x = + 5 3 6

[−1]

5⎛ 1 ⎞ 7 ⎛ x 1 ⎞ 44 x− ⎟ + ⎜ − ⎟ = 6 ⎜⎝ 3⎠ 6 ⎝ 5 7⎠ 9

5 In un parcheggio ci sono 78 veicoli tra auto e moto. Le ruote in totale sono 248, quante sono le auto e quante le moto?

• Individua l’incognita → x = numero di auto Se x sono le auto, le moto saranno 78 ____________ • Condizioni di Accettabilità → x ∈ _______________ • Traduci il testo del problema in equazione → ____ ____________________________________________ • Risolvi l’equazione → _________________________

____________________________________________

4.1 1

Risolvi le seguenti equazioni numeriche intere.

Esempio

Applichiamo il secondo principio per eliminare i denominatori: 4x – 3x = 24 x = 24 ⇒ è la soluzione cercata.

x − 3(x − 2) + 8 = 2(1 − 2x) + 3

2(x − 3) − 4(1 − 2x) = 3(x − 1)

5(x − 2) − 2(x − 5) = 2x − (10 + 3x)

[1] −

5 2

2 + 2(x − 3) − x = 3x − 4(x − 1)

−2x + 3(2 − x) + 4(x + 1) = 5(1 − 2x) + 2

−

1 3

1 − 2(x − 7) − 3(2x + 1) = 2x − 4(x − 5)

−

4 3

(2x + 1) 3 − (4 − 5) = 2x − 1 − 3(x + 1)

−

2 3

3x − 2 − 3(x + 5) − 4(2x + 3) = 9(x − 4) + 4

3x − 3(x + 1) = 4(x + 1) − 2x + 8

[4]

[3] −

15 2

−

1 6

[2] 2 3

[5]

Risolvi le seguenti equazioni numeriche intere.

3x x + 3 1 − = 2 3 6

x−1 x−5 +2 = 3 2

[25]

3x − 1 12 + x 1 = − x 2 3 6

27 8

5x + 3 2 + x 1 − = 10 5 2

[2]

1 x + 4 3x − 1 1 − = + 6 3 3 2

5x + 2 1 + 3x 5 − = 7 2 14

x + 3 x − 2 6x − 1 2 − = + 2 3 6 3

9 − 2

[21]

[1]

−

3 7

8 11

[2]

145

sezione 4 h

5 x+2 3−x + = − (x − 2) 3 2 6

2 x−3 5−x − = 3 5 15

[1]

x − 2 x − 7 25 − = 7 2 14

[4]

x+2 − 5

(2x + 3)2 − (2x − 3)2 = x(x + 3) − (x2 + 1)

⎞ + x + 1⎟ ⎠

⎛ ⎜⎝

1 1 − 3 2

x + 2⎞ ⎟⎠ 3

19 2

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1⎞ 1 x + ⎟ − x ⎜ x + ⎟ = (x − 2 ) ⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3⎠ 6⎠ 3

(x + 1)2 − (x + 2)(x − 3) + 5 x − 9 x = 25

x −1 x − 3 2 + 2 = 2 ( x + 1) 3 3 2

3⎞ 3 ⎛ − 2x x+ ⎜ x +1 2⎟ 2 :⎜1 − = ⎟ 1 1 1 x− ⎜ x− ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2

−

19 2

−

1 21 10 9

1 6

[− 4]

x +1 x −1 − 5 2 − 2 1 + 5 2

1 1 − x 1 3 4 = 2 1 11 + 3 4

16 3

x −1 x − 2 − 2 3 − 1 1 + 3 2

1 1 − x 13 3 2 =− 3 1 10 − 4 3

−

2x − s

⎛ o ⎜x − ⎝

⎛x−1 ⎜⎝

1 3

3 x+ 5 4 = + 6 1 1 − 3 2

12 11

1 −2 3

−

x+ 1 4

1 2

[3] 2 1 x+ 1 3 2− =x− 1 2 1 6 − − 4 3 4

x+ 19 − 3

[1]

1 1 1 1 − 2x 2x + − 3x 33 3 2 2−3 = − + 4 5 5 40 4

3x + z

−

49 18

[3]

Risolvi le seguenti equazioni di grado superiore al primo applicando la legge di annullamento del prodotto. Esempio x2 – 3x + 1 = 2x – 5 Si trasportano tutti i termini dell’equazione al primo membro e si sommano i termini simili in modo da ottenere un’espressione polinomiale in funzione dell’incognita. x2 – 3x + 1 – 2x + 5 = 0 x2 – 5x + 6 = 0 Si vede che è una equazione di secondo grado. Si scompone l’espressione polinomiale (è un trinomio tipico). (x – 2)(x – 3) = 0 Si applica le Legge di Annullamento del Prodotto. x–2=0 → x=2 x–3=0 → x=3 Si hanno pertanto due soluzioni: S = {2, 3}

(2x − 1)(x + 3)(4 − x) = 0

4x 2 − 18x = 0

x 3 − 3x 2 − 4x + 12 = 0

x 3 − 4x = 0

x 3 − x 2 − 12x = 0

x 2 + 3x − 15 = 3x + 1

146

Equazioni di primo grado

4.2

1 1 3 + = 2x − 1 2x + 4 (2x − 1)(x + 2)

1 8

Risolvi le seguenti equazioni numeriche fraziona-

x − 1 x − 3 2x − 6 = + x − 5 x − 5 x2 − 1

[2]

x+1 2x 1 − = 3x + 1 2x − 1 6

4 2x − 3 1 2 − = + x + 3 3x + 9 x − 3 x 2 − 9

rie. Esempio x–2 x+2 2x – 6 = + 2 x+3 x–3 x –9 Riduciamo a denominatore comune, che è (x – 3)(x + 3): (x – 2)(x – 3) (x + 2)(x + 3) + 2x – 6 = (x + 3)(x – 3) (x + 3)(x – 3) Moltiplichiamo i due membri per (x + 3)(x – 3), con la condizione x + 3 ≠ 0 e x – 3 ≠ 0; quindi x ≠ –3 e x ≠ +3 è il campo di esistenza o dominio delle soluzioni e otteniamo: (x – 2)(x – 3) = (x + 2)(x + 3) + 2x – 6

Svolgendo i calcoli otteniamo: x2 – 3x – 2x + 6 = x2 + 3x + 2x + 6 + 2x – 6

che è soluzione accettabile, perché appartiene al dominio delle soluzioni. r a

3x − 16 5 = x 3

[12]

x−1 2x + =2 2x + 1 x + 1

−

2x − 5 x−4 6x − 25 −3+ =− 2 x−3 x+4 x + x − 12

3 5

[19]

x+1 x−1 1⎛ x+1 ⎞ − = ⎜1 − x−1 x+1 2⎝ x − 1 ⎟⎠

−

1 3 2 − = x2 − 1 1 − x x + 1

[− 6]

5 3 2 − = x+1 x−1 x

6 13 2 3

[3]

(1 + x )2 2

x 1+ x

−

1 4 = 1 − x x2 − 1

[2]

x−3 x−3 − 1 2 4 = 1 11 x− 3x − 1 3− x +1

[4]

1 + x2 1+x 1−x 4x + + + =1 x 2 − 1 2 − 2x x 2 − 1 2x + 2

[impossibile]

x+2 79x − 18 2 x−3 − + = x 3x − 1 18x 2 − 6x 3

[impossibile]

x−1 1+x 1 + x2 x2 − 1 4x + + 2 + 2 = 2 2x + 2 2 − 2x x − 1 x − 1 x − 2x + 1

[impossibile]

9 10 1 4 + = + x−1 2 x−1 9

1 1 = x 2 − 4 x 2 − 4x − 4

1 7

1 –12x = –6 → x = 2

−

2 1 − 3x − 6 x 1 = 1 x 2− x−2 1−

Applichiamo la regola del trasporto: x2 – 3x – 2x – x2 – 3x – 2x – 2x = –6 + 6 – 6 →

(x + 2)2

−

[identità, esclusi i valori...]

1 5 v

3 − 3x 4x 2 x x 4x 2 2x 2 − + 4 − 2 = − 2 4 x+1 1−x x −1 x −1 x +1

[impossibile]

1 4

x2 + 1 1 − x2 − 2x = x+2 x−2

1 1 3 + − =1 x − 2 3x − 6 2x − 4

11 6

10 2 3 − = 3x − 1 x − 1 4x − 4

29 7

1 1 x = − 2 2 x 3x − 3 6 − 3x 1− x + 4

2 13

2 1 + x − 3 x −1 =2 3 1 − x −1 x − 3

[11]

1 2

x−

147

sezione 4 x+2 2 x+ 9 2 = x−2 5 x+ 2 x+ 2 x+

1 1 x+ x+ x x 1− 1+ x x x = −1 + ⋅ 1 1 1 − 2x 2 x− x− x 1+ x 1− x x

[a = − 2: indeterminata; a ≠ −2: impossibile]

[1] d

2(x − 1) 2 + x x(a + 2) 1 − ax + = + a a2 a a a = 0: perde significato a ≠ 0 ∧ a ≠ +2: x =

[2] e

⎛ ⎝

Riduciamo allo stesso denominatore: (a – 1)(a + 1) x(a – 1) + (x – 1)(a + 1) = (a + 1)(a – 1) (a + 1)(a – 1) Con la condizione a ≠ –1 e a ≠ +1 l’equazione diventa: ax – x + ax + x – a – 1 = a2 – 1

ax − ax − 2 = 1 a−2 a+2

a ≠ 2 ∧ a ≠ −2 ∧ a ≠ 0: x =

a−2 4

kx − k(2x − 1) = (1 + k)x + 3k + 1 1 1 k ≠ − : x = −1; k = − : indeterminata 2 2

mx + n(m − 1) = n(n − 1 + x)

[m = n: indeterminata; m ≠ n: x = −n] i

Risolvi la seguente equazione letterale intera: x x–1 + =1 1+a a–1

k ; k = 0: indeterminata 16

a = 0: impossibile

• a = b = 0: l’equazione è indeterminata. 2

⎠

a = 2 ∨ a = −2: perde significato

Risolvi la seguente equazione letterale intera: 3(ax + b) – ax = 5b.

Discussione: b • a ≠ 0: l’equazione è determinata con soluzione x = ; a • a = 0 e b ≠ 0: l’equazione è impossibile;

k ≠ 0: x = −

Applichiamo la regola del trasporto: 3ax – ax = 5b – 3b 2ax = 2b

⎞

(k − x)2 + 3x2 = k2 + ⎜ 1 k + 2x⎟

Risolvi le seguenti equazioni letterali intere.

1 a(2 − a)

a = 2: impossibile

Esempi

(m − n)x − 2m + (m + n)x = 0 [m ≠ 0: x = 1; m = 0: indeterminata] (k + 4) (k + 3)x − 3 = (k + 2)2 − 4 [k = −4 ∨ k = −3: indeterminata; k ≠ −4 ∧ k ≠ −3: x = 1] (x + b)2 − (a + x)2 = a2 − b2 [a = b: indeterminata; a ≠ b: x = − (a + b)] (x + m)2 + (x + n)2 = 2(m − x)(n − x) (m − n) 4(m + n) 2

Eseguiamo i calcoli: 2ax = a2 + a 2ax = a(a + 1)

m ≠ −n ≠ 0: x = −

L’equazione dipende dal parametro, quindi è necessaria la discussione: • a = 1 ∨ a = –1: perde significato;

m = n = 0: indeterminata

• a = 0: l’equazione diventa 0x = 0, indeterminata; • a ≠ 0 ∧ a ≠ 1 ∧ a ≠ –1: l’equazione è determinata a+1 e ha soluzione x = . 2

3x − a = a (x − 3) + 6 [a ≠ 3: x = 2; a = 3: indeterminata]

bx − b(2b − 1) + (b + 1)x = 4(b + 2) − 2(3b + 5) 1 1 b ≠ − : x = b − 2; b = − : indeterminata 2 2

148

a(bx − 2x + 1) = abx − 2(ax + 1)

m = −n ∧ n ≠ 0: impossibile

(2b + 1)x − (a − 1)2 − 2bx = x − 1 − a2 + 2a [indeterminata] (x + k)3 + (x + t)3 = x 2 2x + 3(k + t) k ≠ 0 ∨ t ≠ 0: x = −

k3 + t3 3(k2 + t2)

k = t = 0: indeterminata q

(ax + mn)2 + (mx − an)2 = (x 2 + n2)(a2 + m 2) [indeterminata]

Equazioni di primo grado

(3bx + c)2 − 5bx(2bx − 3c) = 7bcx − (bx − c)2

ax − 1 = a a(1 − x) + 2

a ≠ 0 ∧ a ≠ −1: x =

b = 0 ∧ c ≠ 0: impossibile

a = 0: impossibile

c = 0: indeterminata b ≠ 0 ∧ c ≠ 0: x = −

a = −1: indeterminata

c 6b w

(k + 1)x − a = x + x(k − 1)

[x = a]

3(a + 1)x − a(7 + x) = 2(a − 1)x − 2x

[x = a]

a2(x + 1) + x − b2(2 − x) = (a2 + b 2)x + a(a + 2) − 3b 2

3x − a = a(x − 3) + 6

[a ≠ 3: x = 2; a = 3: indeterminata]

(a + b)x = 4b − (b − a)x [b ≠ 0: x = 2; b = 0: indeterminata] (2 − a + b)x = b(x − 2) + 2(x + b + 3) 6 a ≠ 0: x = ; a = 0: impossibile a

[x = 2a − b2] 3

a+1 a

Risolvi le seguenti equazioni letterali frazionarie.

Esempi 1

Risolvi la seguente equazione letterale frazionaria:

x – 2a x + 2a 12a + = 2 6–x 6+x x – 36

Riduciamo allo stesso denominatore e svolgiamo i calcoli:

–(x – 2a)(x + 6) + (x + 2a)(x – 6) 12a = (x – 6)(x + 6) (x – 6)(x + 6)

Il dominio è x – 6 ≠ 0 e x + 6 ≠ 0, cioè x ≠ 6 e x ≠ –6. Eliminiamo i denominatori: –x2 – 6x + 2ax + 12a + x2 – 6x + 2ax – 12a = 12a ⇒ –12x + 4ax = 12a ⇒ 4x(a – 3) = 12a L’equazione dipende dal parametro a, quindi è necessaria la discussione: • se a = 3

l’equazione è impossibile;

• se a ≠ 3

l’equazione è determinata con soluzione x =

12a 3a = . 4(a – 3) a – 3

Ricordiamo però le condizioni sul dominio, per cui deve essere:

3a 3a ≠6 e ≠ –6. a –3 a –3

Per determinare i valori di a che rendono non accettabile la soluzione trovata procediamo nella soluzione del3a l’equazione: = 6 ⇒ 3a = 6(a – 3) ⇒ 3a – 6a = –18 ⇒ –3a = –18 ⇒ a = 6 a –3 3a Procedendo in modo analogo otteniamo: = –6 ⇒ 3a = –6(a – 3) ⇒ 3a + 6a = +18 ⇒ +9a = +18 ⇒ a = 2 a –3 Quindi anche per a = 2 e a = 6 l’equazione risulta impossibile. 2 Risolvi la seguente equazione letterale frazionaria: 1 –

Riduciamo allo stesso denominatore:

1 x = x–a x+a

(x – a)(x + a) – (x + a) x(x – a) = (x – a)(x + a) (x – a)(x + a)

Il dominio è x ≠ a ∧ x ≠ –a; eliminiamo i denominatori e svolgiamo i calcoli: x 2 – a2 – x – a = x 2 – ax ⇒ ax – x = a2 + a ⇒ x(a – 1) = a(a + 1) L’equazione dipende dal parametro, quindi è necessaria la discussione: • a = 1:

l’equazione diventa 0x = 2, impossibile;

• a ≠ 1:

l’equazione è determinata con soluzione x =

a(a + 1) . a –1

Dobbiamo però verificare se la soluzione appartiene al dominio: a(a + 1) ≠ ±a a –1

⇒

a(a + 1) ≠ ±a(a – 1)

⇒

a(a + 1) ± a(1 - a) ≠ 0

⇒

2a ≠ 0 2a2 ≠ 0

Quindi per a = 0 la soluzione trovata non è accettabile e l’equazione è impossibile.

149

sezione 4 1 1 2b + 1 + = x − 1 b bx − b

b = 0: perde significato

b = − 1: impossibile

x x x − 3b + = x − 2b 4b − x (x − 2b)(x − 4b)

b ≠ 0 ∧ b ≠ −1: x = b + 2

1 =1 x−a

1 1 ∧b≠− ∧b≠0∧b≠ 2 8 1 1 b=− ∨b=− ∨b=0∨b= 2 8 b≠−

[∀ x ∈ R: x = 1 + a] h

1 −1 = 1 x − a x x 2 − a2

1 a2 ∧ a ≠ 1: x = 2 1−a 1 a = 0 ∨ a = ∨ a = 1: impossibile 2

a≠0∧a≠

x + 2a x − 2a 4x(2a − 1) + 3 3 3 − = a≠± :x 8 4 x 2 − 4a2 x − 2a x + 2a

1 1 b + = b − 1 x − b bx − x − b2 + b

2 5 1 = − a + 2 x x(a + 2) a = −2: perde significato a = 3 ∨ a = 0: impossibile a ≠ −2 ∧ a ≠ 3 ∧ a ≠ 0: x =

a a−3

4 Determina il valore del parametro k affinché l’equazione data ammetta la soluzione indicata a fianco.

3 a = ± : impossibile 8

b+2 1 = +1 x−b x−b

1−

3b 1 :x= 4 2b + 1 1 : impossibile 4

2k(x − 2) = −x − 1

x=1

[ k = 1]

kx − 2(x + 1) = 2k + x

x = −2

[ k = 1]

x (2k − 3) + 1 = x + 3k − 5

x=0

[ k = 2]

1 x (k + 5) + x = 2kx 3

x=3

(x + 2)(k − 1) = 2x − 3

x = −1

b = − 1: impossibile b ≠ − 1: x = 2b + 1

b = 1: perde significato b ≠ 1: x = 1 + b

8 5

[ k = −4]

Date le seguenti formule scientifiche e tecniche, ricavare la grandezza indicata.

Esempio Formula del volume della sfera → V =

4 3 πr → r 3 = ? 3

4 3 πr 3 Si porta al primo membro il termine contenente la grandezza da ricavare e al secondo i termini che non la conten4 gono: – πr 3 = –V 3 4 Si cambia il segno ad entrambi i membri: + πr 3 = +V 3 3 3.4 3 3. 3 Si applica il secondo principio di equivalenza e si moltiplicano entrambi i membri per : πr = V → πr 3 = . V 4 4 3 4 4

Si parte dalla formula data V =

Si dividono ora entrambi i membri per π, sempre per il secondo principio di equivalenza: r 3 = Volendo ricavare r basta fare la radice cubica per entrambi i membri: r =

Legge di Ohm

→

Formula dell’energia cinetica

→

Legge del moto uniformemente accelerato

→

Area del trapezio

→

Area del trapezio

→

150

V = R.I 1 E = mv 2 2 1 s = v 0t + at2 2 1 A = h(B + b) 2 1 A = h(B + b) 2

3V 4π

3V 4π → R=? e I=? → m=? → a=? → B=? → h=?

Equazioni di primo grado

4.3 1

Risolvi i seguenti problemi di primo grado.

Esempio Trova quel numero tale che la sua metà aumentata dei suoi tre quinti e diminuita poi di 10 dia 144. Indichiamo con l’incognita il numero da trovare e poi traduciamo il testo del problema in equazione: Numero = x Equazione risolvente:

1 3 x + x – 10 = 144 2 5

Risolviamo l’equazione: 11x = 1440 + 100

⇒

5x + 6x – 100 1440 = 10 10 11x = 1540

⇒

1540 11

⇒

x = 140

Il numero cercato è 140. Verifichiamo:

140 3 . + 140 – 10 = 144 2 5

⇒

70 + 84 – 10 = 144

⇒

144 = 144

Trova un numero che sommato alla sua metà e alla sua terza parte dia 55. [30]

Trova due numeri consecutivi, sapendo che la loro somma è 21. [10; 11]

Il quadruplo di un numero è uguale al suo triplo aumentato di 5. Trova il numero. [5]

La differenza tra il triplo di un numero e i suoi 2 è 38. Trova il numero. [14]

Un numero aumentato di 3 dà il suo doppio diminuito di 15. Trova il numero. [18]

Se al doppio di un numero si sottrae 10 e si divide la differenza per 4, si ottengono i 2 del numero 5 stesso. Qual è il numero? [25]

Il triplo di un numero diminuito di 5 dà il suo doppio aumentato di 7. Trova il numero. [12]

La somma di tre numeri dispari consecutivi è 45. Trova i tre numeri. [13; 15; 17]

Trova il numero tale che, aggiungendo 30 ai suoi 2 , 5 dia per somma il doppio del suo antecedente. [20] r

La somma di due numeri consecutivi è 37. Trova i [18; 19] due numeri.

Dividi il numero 52 in due parti, sapendo che la prima supera di 8 i 3 della seconda. Trova le due 8 parti. [20; 32]

Trova due numeri consecutivi, sapendo che la somma della quarta parte del minore e della settima [20; 21] parte del maggiore è 8.

Trova due numeri consecutivi, sapendo che la differenza fra il triplo dal maggiore e la sesta parte del minore è 54. [19; 18]

La somma di due numeri è 40 e uno è uguale ai 2 dell’altro. Trova i due numeri. [16; 24] 3

La differenza di due numeri è 14 e uno è uguale ai 3 dell’altro. Trova i due numeri. [21; 35]

Un numero è i 3 di un altro e la loro somma dimi7 nuita di 3 è uguale a 37. Trova i due numeri.[12; 28] Dividi il numero 60 in tre parti, tali che la seconda sia un terzo della prima aumentato di 8 e la terza parte sia i 2 della seconda. [30; 18; 12] 3

Trova un numero, sapendo che la somma dei suoi 2 con il numero 4 è uguale ai 5 del numero stes3 6 so. [24]

Si toglie 20 da un numero e alla metà della differenza si aggiunge la quarta parte del numero: si ottiene così il numero stesso diminuito di 30. Qual è il numero? [80]

La differenza tra i 4 e i 2 di un numero è uguale alla 5 3 sua terza parte diminuita di 6. Trova il numero. [20]

151

sezione 4 2

Risolvi i seguenti problemi di primo grado di geometria piana.

Esempio Il perimetro di un triangolo isoscele è di 85 cm e uno dei lati supera la base di 5 cm. Determina la lunghezza dei lati. C

Si indica con x la base AB Il dominio dell’equazione legato al problema è D = R+ L’incognita x rappresenta la lunghezza di un segmento, quindi non può essere un valore negativo. AB = x AC = BC = x + 5 L'equazione è data dal perimetro del triangolo: x + x + 5 + x + 5 = 85 Si risolve ora l'equazione. x + x + x = 85 – 5 – 5 → 3x = 75 →

3x 7525 = 3 3

AB = x = 25 AC = BC = x + 5 = 25 + 5 = 30 cm La soluzione è accettabile perché 30 ∈R+. a

La base di un rettangolo è uguale al doppio dell’altezza diminuito di 4 cm. Sapendo che il perimetro è di 100 cm, calcola la lunghezza delle due dimensioni. [32 cm; 18 cm]

In un triangolo isoscele la base supera il lato di 2 m e il perimetro è di 32 m. Determina le lunghezze dei lati e delle altezze. [12 m; 10 m; 10 m; 8 m; 9,6 m; 9,6 m]

Il perimetro di un rettangolo è di 60 cm e la base è doppia dell’altezza. Determina l’area del rettangolo. [200 m2]

In un trapezio rettangolo il lato obliquo supera di 1 cm l’altezza e la loro somma è di 25 cm. Sapendo che la base minore è lunga 20 cm, calcola l’area e il perimetro del trapezio. [270 cm2; 70 cm]

La somma della base e di uno dei lati di un triangolo isoscele è di 39 m; la somma dei 6 della base 7 con i 2 del lato è di 22 m. Determina l’area del 5 triangolo. [168 m2]

In un triangolo rettangolo la somma dei cateti è di 70 dm e i 3 del cateto maggiore sono uguali alla 8 metà del minore. Determina la lunghezza dell’ipotenusa del triangolo. [50 dm]

L’ipotenusa di un triangolo rettangolo supera di 2 m un cateto e l’altro cateto è lungo 4 m. Determina il perimetro del triangolo. [12 m]

Dei tre angoli di un triangolo, il secondo supera il primo di 30° e il terzo supera il secondo ancora di 30°. Trova l’ampiezza dei tre angoli. [30°; 60°; 90°]

c In un triangolo un angolo è 1 del secondo e il terzo 3 angolo è 1 della somma dei primi due. Trova l’am2 piezza dei tre angoli. [30°; 90°; 60°] d

In un triangolo isoscele ciascuno degli angoli alla base è 2 dell’angolo al vertice. Calcola l’ampiezza 5 di ciascuno degli angoli. [40°; 100°]

Le misure, in cm, dei lati di un triangolo sono tre numeri consecutivi e il perimetro è di 42 cm. Calcola la misura dell’altezza relativa al lato maggiore. [11,2 cm]

152

In un trapezio isoscele la base minore è 8 della 15 maggiore e questa è 6 del lato obliquo. Sapendo 5 che il perimetro è di 192 cm, calcola l’area del trapezio. [2208 cm2] In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è di 25 cm e una delle proiezioni dei cateti su di essa è tale che il suo doppio diminuito di 2 cm è uguale all’altra proiezione. Calcola l’area e il perimetro del triangolo. [150 cm2; 60 cm]

In un trapezio isoscele il lato obliquo è 25 dell’al24 tezza, la base minore è 30 cm e la somma dei 3 del 5 lato con i 5 dell’altezza è uguale alla base minore. 8 Determina il perimetro e l’area del trapezio.

[124 cm; 888 cm2]

Equazioni di primo grado o

In un triangolo isoscele di perimetro 36 cm, l’altezza relativa alla base è 6 cm. Calcola l’area del triangolo. [48 cm2]

In una circonferenza la lunghezza del raggio supera di 2 m la lunghezza della metà di una corda; la distanza dal centro di tale corda è di 6 m. Determina l’area del triangolo isoscele avente il vertice nel centro della circonferenza e per base la corda stessa. [48 m2]

Determina la lunghezza delle basi di un trapezio, di area 1950 cm2 e di altezza 30 cm, sapendo che la base minore è i 4 della maggiore. Determina inol9 tre il suo perimetro, sapendo che le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono una i 2 del3 l’altra. [40 m; 90m] Del rettangolo ABCD si sa: 1 AB + 2BC = 42 cm e 2 AB = 5 BC. Dopo aver calcolato le misure dei la4 ti, determina su AB un punto P in modo che sia 3 AP + 5 PB = 26 cm. Calcola perimetro e area del 4 3 triangolo PBC e la distanza del punto C da PD.

Nel trapezio isoscele ABCD la base minore CD è doppia di ciascuno dei lati obliqui BC e AD; la somma delle lunghezze delle basi supera di 32 cm la somma delle lunghezze dei lati obliqui. Determina l’area del trapezio, sapendo che il perimetro è di 72 cm. [208 cm2]

In un triangolo isoscele la base è uguale all’altezza a essa relativa; si sa che sottraendo 2a alla base e aggiungendo a all’altezza, l’area del triangolo diminuisce di 5a2. Determina il diametro della circonferenza circoscritta al triangolo. [10a]

In un triangolo rettangolo la differenza tra l’ipotenusa e un cateto è di 2 cm e la prima è 13 del 12 secondo. Calcola il perimetro e l’area del triango[60 cm; 120 cm2] lo.

Il perimetro di un trapezio isoscele è lungo 224 cm; ciascuno dei lati obliqui è lungo 61 cm e la base minore è 20 della maggiore. Calcola l’a31 rea del trapezio. [3060 cm2]

[AP = 8 cm] s

In una circonferenza di centro O e di diametro AB = 52 cm è inscritto il quadrilatero ACBD avente le diagonali perpendicolari. Detto E il punto di intersezione delle diagonali, si sa che 3 AE − 1 EB = 6 cm; 4 6 determina l’area del quadrilatero. [1248 cm2]

In un rombo la diagonale maggiore supera la minore di 6 cm e il doppio della minore supera di 12 cm la maggiore. Calcola l’area e il perimetro del trapezio. [216 cm2; 60 cm]

Il perimetro di un triangolo isoscele è di 52 m; determina le lunghezze della base e dei lati, sapendo che la base è i 3 del lato. [12 cm; 20 cm; 20 cm]

In un rettangolo la base supera l’altezza di 12 cm ed è 8 dell’altezza stessa. Determina l’area del ret5 tangolo. [640 m2]

153

sezione 4

Esercizio n. D12 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2011/2012. È data l’equazione (3k − 6)x − 5k + 2 = 0, in cui x è l’incognita e k è un numero reale. La soluzione dell’equazione è 0 per k = ____________ 2 Esercizio n. D28 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2011/2012.

L’equazione x(x − 1) = 6 ha fra le sue soluzioni 1 A. 6 B. 3 C. 6 D. 7 3 Esercizio n. D2 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2012/2013.

La stampante laser L in un minuto stampa il triplo delle pagine della stampante deskjet D. Quando L e D lavorano contemporaneamente stampano in tutto 24 pagine al minuto. Se D viene sostituita con una stampante laser identica a L, quante pagine potranno essere stampate complessivamente in un minuto?

______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ Risultato: _____________ alunni 5 Esercizio n. D17 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2013/2014.

È data l’equazione (2k − 3)x + 1 − k = 0, in cui x è l’incognita e k è un numero reale. La soluzione dell’equazione è 1 per k = ____________ 6 Esercizio n. D4 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2014/2015.

Una sorgente di montagna alimenta continuativamente un serbatoio con 5 m3 di acqua ogni settimana. Oggi il serbatoio contiene 100 m3 di acqua e un villaggio inizia a prelevare 7 m3 di acqua alla settimana. Completa la seguente tabella relativa al numero n di m3 di acqua contenuti nel serbatoio in funzione del numero t di settimane a partire da oggi: a

t (settimane)

n (m3)

100

C. 36

_____

D. 48

_____

A. 24 B. 30

4 Esercizio n. D9 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2013/2014.

A una corsa campestre partecipa il 60% degli alunni di una scuola. Dopo i primi 3 km il 30% degli alunni partecipanti si ritira e, dopo altri 5 km, si ritira il 40% dei restanti. Tutti gli altri arrivano al traguardo. Se gli alunni della scuola sono 1000, quanti arrivano al traguardo?

b Scrivi un’espressione che rappresenti il numero n di m3 di acqua contenuti nel serbatoio in funzione del numero t di settimane.

Risposta: n = ___________________ c

Dopo quante settimane il serbatoio sarà vuoto?

A. 20 settimane

Scrivi i calcoli che hai fatto per trovare la risposta e poi riporta il risultato.

B. 50 settimane

______________________________________________

D. 102 settimane

154

C. 98 settimane

Equazioni di primo grado 7

Esercizio n. D13 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2014/2015.

Esercizio n. D28 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2014/2015.

Un palo verticale è piantato in uno stagno. Un quinto del palo è interrato nel fondale, un sesto è immerso in acqua e la parte del palo che esce dall’acqua è lunga 8,9 metri.

Su un vasetto di yogurt alla vaniglia da 125 g, sono indicati gli ingredienti. In particolare, si legge: “preparazione dolciaria alla vaniglia: 11%”.

Quale delle seguenti equazioni consente di determinare la lunghezza totale x del palo? a

1 1 A. + + 8,9 = x 5 6 1 1 B. x + x = x + 8,9 5 6 1 1 C. x + x + x = 8,9 5 6 1 1 D. x + x + 8,9 = x 5 6

a Quanti grammi di preparazione dolciaria alla vaniglia sono presenti, all’incirca, nel vasetto?

A. 13,8 B. 1,3 C. 11,0 D. 11,4 Sulla confezione dello yogurt è riportata anche la seguente tabella dei valori medi nutrizionali: b

Per 100 g di yogurt alla vaniglia:

b Qual è la lunghezza totale x del palo? Scrivi i calcoli che fai per trovare la risposta e poi riporta il risultato. ______________________________________________

proteine

2,8 g

carboidrati

16,3 g

grassi

3,2 g

______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ Risultato: _____________ m

Quanti grammi di carboidrati, all’incirca, sono presenti in un vasetto di yogurt alla vaniglia da 125 g? A. 20,4 B. 13,0 C. 16,3 D. 7,7

Esercizio n. D17 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2014/2015. Una lavanderia a gettoni lavora con orario continuato dalle 9 alle 18. Ogni lavatrice effettua cicli di lavaggio della durata di 33 minuti, ai quali si devono aggiungere 10 minuti per l’operazione di carico e 5 per lo svuotamento. Quanti lavaggi completi, comprensivi di carico e svuotamento, può effettuare al massimo una lavatrice nell’arco della giornata? Risultato: __________________ lavaggi completi

Considera le seguenti equazioni nell’incognita x.

⎛ ⎞ (a + 2)(x − 2) − (2a − 1)2x = (a + 1)(−4ax − 1) + 6x ⎜ a − 4 ⎟ ⎝

3⎠

2a a = x−1 a−x Determina i valori del parametro a in corrispondenza dei quali le equazioni date sono determinate e: • ammettono soluzioni reciproche • ammettono soluzioni opposte • la somma dei reciproci delle soluzioni è 3 • la somma dei reciproci delle soluzioni è 2

[a = 4] [a = −1] [∃/ a] [a = −2]

155

SEZIONE

ALGEBRA

Sistemi di primo grado

5.1 SISTEMI DI PRIMO GRADO CON DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE Sistemi lineari, concetti fondamentali Un sistema di equazioni è l’insieme di due o più equazioni, in due o più incognite, che devono essere verificate contemporaneamente da una stessa soluzione. La soluzione del sistema è una serie ordinata di valori, tanti quante sono le incognite, (x, y, ...), che sostituiti alle incognite verificano tutte le equazioni del sistema. Un sistema di equazioni può essere • determinato, se è possibile determinarne la soluzione o le soluzioni, ma se le soluzioni sono più di una sono un numero finito; • indeterminato, se ammette infinite soluzioni; • impossibile, se non esiste nessuna soluzione che verifica tutte le equazioni. Ricordiamo che il grado di una equazione intera in due o più incognite, scritta in forma polinomiale P(x, y, ...) = 0 è il grado del polinomio P. Il grado di un sistema di equazioni è dato dal prodotto dei gradi delle singole equazioni che lo compongono.

⎧ x2 + 2x – y = 0 ⎨ ⎩ x + y – y3 = 0

→

equazione di grado 2

→

equazione di grado 3

Il sistema ha grado 3 . 2 = 6

Un sistema è di I grado, o lineare, se è formato da equazioni di I grado. Un sistema è ridotto a forma normale se lo sono le equazioni che lo compongono, ovvero se è formato da equazioni scritte in forma di polinomi ridotti uguagliati al termine noto P(x, y, ...) = k. In particolare in questa sezione tratteremo sistemi lineari di due equazioni in due incognite e sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite, cioè sistemi che ridotti a forma normale sono come i seguenti.

156

Sistema di I grado di due equazioni in due incognite

⎧ a1x + b1y = c1 ⎨ ⎩ a2x + b2y = c2

Sistema di I grado di tre equazioni in tre incognite

⎧ a1x + b1y + c1z = d1 ⎪a x+b y+c z = d ⎨ 2 2 2 2 ⎪a x+b y+c z = d 3 3 3 ⎩ 3

Sistemi di primo grado

Soluzioni di un sistema di equazioni di due equazioni in due incognite Un sistema lineare di due equazioni in due incognite è determinato se ammette una sola soluzione; questa è una coppia ordinata di valori (x, y) che rendono vere entrambe le equazioni del sistema. Il sistema è impossibile se non esiste nessuna coppia di valori (x, y) che verificano entrambe le equazioni del sistema; mentre il sistema è indeterminato se esistono infinite coppie (x, y) che verificano le due equazioni. È possibile stabilire se un sistema è determinato, indeterminato o impossibile a partire dallo studio dei coefficienti delle equazioni che lo formano. Si consideri il sistema ridotto in forma normale ⎧ a1x + b1y = c1 ⎨ ⎩ a2x + b2y = c2

con a2, b2, c2 ≠ 0

a1 b ≠ 1 a2 b2

→

il sistema è determinato

a1 b c = 1 ≠ 1 a2 b2 c2

→

il sistema è impossibile

a1 b c = 1 = 1 a2 b2 c2

→

il sistema è indeterminato

Metodi risolutivi di un sistema di due equazioni in due incognite Per risolvere un sistema lineare per prima cosa bisogna portarlo in forma normale. Poi si applica uno dei procedimenti risolutivi di seguito illustrati. Un sistema può essere risolto con uno qualsiasi dei metodi risolutivi.

Metodo di sostituzione Si risolve una delle due equazioni rispetto ad una delle due incognite. Si sostituisce l’espressione ottenuta nell’altra equazione. Quindi si risolve l’equazione così ottenuta nell’altra incognita, determinato il valore di una delle due incognite. Infine si determina il valore dell’altra incognita sostituendo il valore trovato nella prima espressione che esprime una incognita in funzione dell’altra.

⎧ 4x + y = 2 ⎨ ⎩ 2x + 3y = –4 Si ricava la y dalla prima equazione.

Nota

bene: è conveniente ricavare l’incognita con coefficiente 1 o –1 se c’è perché così si evita di avere espressioni con coefficienti frazionari. È comunque possibile applicare il metodo di sostituzione anche se non ci sono coefficienti uguali a 1 o –1.

⎧ y = –4x + 2 ⎨ ⎩ 2x + 3y = –4

Si sostituisce l’espressione ottenuta nell’altra equazione.

⎧ y = –4x + 2 ⎨ ⎩ 2x + 3(–4x + 2) = –4 Si risolve ora la seconda equazione che è diventata una equazione lineare in x.

⎧ y = –4x + 2 ⎨ ⎩ 2x – 12x + 6 = –4 ⎧ y = –4x + 2 ⎨ ⎩ –10x = –6 – 4

157

sezione 5

⎧ y = –4x + 2 ⎨ ⎩ –10x = –10 ⎧ y = –4x + 2 ⎪ ⎨ –10 ⎪x = –10 ⎩

⎧ y = –4x + 2 ⎨ ⎩x = 1

Si sostituisce il valore della x trovato nella prima equazione e si calcola la y.

⎧ y = –4 . 1 + 2 ⎨ ⎩x = 1 ⎧x = 1 ⎨ ⎩ y = –2 La soluzione del sistema è (1, –2).

Metodo del confronto Si risolvono entrambe le equazioni rispetto alla stessa incognita. Si uguagliano poi le espressioni ottenute, si risolve quindi l’equazione risultante determinato il valore di una delle due incognite. Infine si determina il valore dell’altra incognita sostituendo il valore trovato nella prima espressione che esprime una incognita in funzione dell’altra.

⎧ 2x – 3y = 0 ⎨ ⎩ x – 2y = 2 Si ricava la x da entrambe le equazioni. ⎧ 3 ⎪x = y 2 ⎨ ⎪ x = 2y + 2 ⎩

Si uguagliano le espressioni che rappresentano la x e si riscrive come seconda equazione del sistema una qualsiasi delle due equazioni date, ad esempio riscriviamo la seconda. ⎧ 3 ⎪ 2y + 2 = y 2 ⎨ ⎪ x = 2y + 2 ⎩

Si risolve la prima equazione che è una equazione lineare in y.

⎧ 4y + 4 3y = ⎪ 2 2 ⎨ ⎪ x = 2y + 2 ⎩

⎧ 4y – 3y = –4 ⎨ ⎩ x = 2y + 2 ⎧ y = –4 ⎨ ⎩ x = 2y + 2 Si sostituisce il valore dell’incognita y ottenuto nella seconda equazione.

⎧ y = –4 ⎨ ⎩ x = 2 . (–4) + 2

⇒

⎧ x = –6 ⎨ ⎩ y = –4

La soluzione del sistema è (–6, –4).

Metodo di riduzione Si moltiplica ogni termine di entrambe le equazioni per un numero, in modo che i coefficienti della x siano opposti. Quindi si sommano le due equazioni, cioè si sommano tra loro i termini in x, i termini in y e i termini noti, ottenendo una equazione nell’incognita y. Si determina il valore della y. Per determinare il valore della x si può procedere in due modi. 1 Si procede per sostituzione, cioè si sostituisce il valore della y in una delle due equazioni del sistema

ottenendo un’equazione in x. 2 Si riapplica il metodo di riduzione moltiplicando le due equazioni in modo che le y abbiano lo stesso

coefficiente, si procede poi a sommare le due equazioni ottenendo un’equazione in x.

158

Sistemi di primo grado ⎧ 102 ⎪x = ⎨ 51 ⎪y=3 ⎩

⎧ 5x + 4y = 22 ⎨ ⎩ 3x – 7y = –15

⎧ 5x = 10 ⎨ ⎩y = 3

Si determina il mcm tra i coefficienti della x → mcm (5, 3) = 15.

La soluzione del sistema è (2, 3).

15 e –15 saranno i due coefficienti delle x.

⇒

⎧x = 2

⇒ ⎨

⎩y = 3

Metodo 2 Si applica di nuovo il metodo di riduzione alla y.

Si moltiplicano quindi tutti i termini della prima equazione per 3 e tutti i termini della seconda equazione per –5, in modo che i coefficienti siano opposti.

28 e –28 saranno i due coefficienti delle y.

3 .⎧ 5x + 4y = 22

⎨

–5 .⎩ 3x – 7y = –15

Si moltiplicano quindi tutti i termini della prima equazione per 2 e tutti i termini della seconda equazione per 1.

⎧ 15x + 12y = 66 ⎨ ⎩ –15x + 35y = 75

7 .⎧ 5x + 4y = 22

⎨

Si sommano ora i coefficienti dei termini corrispondenti.

⎧ 15x + 12y = 66 ⎨ ⎩ –15x + 35y = 75

Metodo 1 Si sostituisce il valore dell'incognita trovata in una delle due equazioni, ad esempio la prima. ⇒

4 .⎩ 3x – 7y = –15

⎧ 35x + 28y = 154 ⎨ ⎩ 12x – 28y = –60 Si sommano ora i coefficienti dei termini corrispondenti.

// + 47y = +141 y=3

⎧ 5x + 4 . 3 = 22 ⎨ ⎩y = 3

Si determina il mcm tra i coefficienti della y

→ mcm (4, 7) = 28.

⎧ 5x = +22 – 12 ⎨ ⎩y = 3

⇒

⎧ 35x + 28y = 154 ⎨ ⎩ 12x – 28y = –60 +47x x=2

// = 94

La soluzione del sistema è (2, 3).

Regola di Cramer Dato il sistema ⎧ a1x + b1y = c1 ⎨ ⎩ a2x + b2y = c2 si calcolano i determinanti delle matrici seguenti dei coefficienti. Δ=

a1 a2

b1 = a1b2 − b1a2 b2

Δx =

c1 c2

b1 = c1b2 − b1c2 b2

Δy =

a1 a2

c1 = a1c2 − c1a2 c2

Se Δ = 0 e Δx ≠ 0 oppure Δy ≠ 0

→ sistema impossibile

Se Δ = 0 e Δx = 0 oppure Δy = 0

→ sistema indeterminato

Se Δ ≠ 0

→ sistema determinato e le soluzioni sono: x =

Δx Δ e y= y Δ Δ

159

sezione 5

⎧ 10x – 3y = 6 ⎨ ⎩ 2x + y = 4

10 2

Δy =

si calcolano i determinanti delle matrici seguenti dei coefficienti.

6 = 10 . 4 – 6 . 2 = 40 – 12 = 28 4

se Δ ≠ 0 → sistema determinato Le soluzioni sono:

10 Δ= 2

–3 = 10 . 1 – 2 . (–3) = 10 + 6 = 16 1

6 4

–3 = 6 . 1 – (–3) . 4 = 6 + 12 = 18 1

Δx =

Δx 189 = Δ 168

e y=

Δy 287 = Δ 164

⎛ 9 7⎞ cioè ⎜ , ⎟ ⎝ 8 4⎠

5.2 SISTEMI FRATTI E LETTERALI Sistemi fratti Un sistema è fratto se almeno una delle equazioni che lo compongono è una equazione fratta. In questo caso bisogna imporre le Condizioni di Esistenza delle frazioni algebriche presenti. Al termine della risoluzione del sistema si verifica se la soluzione trovata è accettabile.

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

y–3 =2 x–1 x+y =2 y–x

Determino i valori delle incognite che annullano i denominatori. x–1 ≠0 → x≠1 y–x ≠0 → y≠x Condizioni di Accettabilità (CA): x ≠0 e y≠x

Si vede che i coefficienti della y sono opposti, possiamo quindi risolvere il sistema, determinando il valore della x, con il metodo di riduzione.

⎧ –2x + y = 1 ⎨ ⎩ 3x – y = 0 x + // = 1 x=1

Si riduce ora il sistema in forma normale.

Si sostituisce il valore di x trovato nella prima equazione.

⎧ y – 3 = 2(x – 1) ⎨ ⎩ x + y = 2(y – x)

⎧x = 1 ⎨ ⎩ –2 . 1 + y = 1

⎧ –2x + y = 1 ⎨ ⎩ 3x – y = 0

La soluzione non è accettabile perché le CA imponevano x ≠ 1

⇒

⎧x = 1 ⎨ ⎩y = 3

Sistemi letterali Un sistema letterale è un sistema di equazioni letterali, cioè oltre alle incognite compaiono altre lettere. Se le equazioni letterali sono intere, non compaiono incognite al denominatore, il sistema è letterale intero, altrimenti è letterale fratto. Il procedimento risolutivo è lo stesso indicato per i sistemi numerici, è però necessario seguire i seguenti passaggi: • se le lettere compaiono al denominatore bisogna discutere i valori delle lettere che rendono le equazioni del sistema prive di significato, ovvero i denominatori nulli;

160

Sistemi di primo grado • bisogna inoltre determinare se esistono valori delle lettere che rendono il sistema indeterminato o impossibile.

Esempio di sistema letterale intero

⎧ x + ay = 3a ⎨ ⎩ 2x – 3ay = a Si studiano i rapporti tra i coefficienti per stabilire se il sistema è determinato, indeterminato o impossibile. a1 1 = ; 2 a2 b1 1 a =– =– 3 3a b2

Si risolve il sistema considerando a ≠ 0 con il metodo di sostituzione. Si ricava la x dalla prima equazione e la si sostituisce nella seconda equazione.

⎧ x = –ay + 3a ⎨ ⎩ 2(–ay + 3a) – 3ay = a ⎧ x = –ay + 3a ⎨ ⎩ –2ay + 6a – 3ay = a

per a ≠ 0

⎧ x = –ay + 3a ⎨ ⎩ –5ay = –5a

c1 3a =– = 3 per a ≠ 0; a c2 Quindi per a ≠ 0 →

1 1 ≠ – → sistema determinato 2 3

⎧x = 0

per a = 0 → ⎨

⎩ 2x = 0

→ sistema indeterminato

⎧ x = –ay + 3a ⎪ ⎨ –5a1 ⎪y = –5a ⎩

⎧ x = –a + 3a ⎨ ⎩y = 1

per a ≠ 0

⇒

⎧ x = 2a ⎨ ⎩y = 1

Esempio di sistema letterale fratto

⎧ x – a =0 ⎪y+1 a–2 ⎨ x a+2 – =2 ⎪ a ⎩y–1 Si discutono i denominatori determinando le Condizioni di Esistenza sulle lettere e di Accettabilità sulle incognite. a–2 ≠0 → a≠2 a ≠0 y + 1 ≠ 0 → y ≠ –1 y–1 ≠0 → y≠1 Si determina il mcm tra i denominatori e si riduce il sistema in sistema di equazioni intere. . ⎧ x (a – 2) – a(y + 1) = 0 (y + 1)(a – 2) ⎪ ⎨ ax – (a + 2)(y – 1) =0 ⎪ a .( y – 1) ⎩

⇒

⎧ ax – 2x – ay – a = 0 ⎨ ⎩ ax – ay + a – 2y + 2 = 0

Si riduce il sistema in forma normale.

⎧ (a – 2)x – ay = a ⎨ ⎩ ax – (a + 2)y = –a – 2 Si risolve il sistema con il metodo di Cramer. Δ=

a– 2 a

–a = (a – 2)(–a – 2) – a . (–a ) = –a2 + 4 + a2 = 4 –a – 2

Δx =

a –a = a(–a – 2) – (–a )(–a – 2) = –a2 – 2a – a2 – 2a = –2a2 – 4a = –2a(a + 2) –a – 2 –a – 2

161

sezione 5

Δy =

a– 2 a

a = (a – 2)(–a – 2) – a . a = –a2 + 4 – a2 = 4 – 2a2 = 2(2 – a2) –a – 2

Si ha Δ = 4, cioè Δ ≠ 0 → sistema determinato e le soluzioni sono: x=

Δx –2a(a + 2) –a(a + 2) = = 4 2 Δ

Δy 2(2 – a2) (2 – a2) = = 4 2 Δ

Si discute ora l’accettabilità delle soluzioni. y + 1 ≠ 0 → y ≠ –1 → y–1 ≠0

→ y≠1 →

(2 – a2) ≠ –1 → 2 – a2 ≠ –2 → –a2 ≠ –4 → a2 ≠ 4 → a ≠ ±2 2 (2 – a2) ≠ 1 → 2 – a2 ≠ 2 → –a2 ≠ 0 → a2 ≠ 0 → a ≠ 0 2

Riassumendo: • se a = 2 o a = 0 → il sistema perde di significato • se a = –2 → il sistema è impossibile, perché la soluzione non è accettabile Δx –a(a + 2) • se a ≠ ±2 e a ≠ 0 → il sistema è determinato e le soluzioni sono x = = 2 Δ

e y=

Δy (2 – a2) = 2 Δ

5.3 SISTEMI DI PRIMO GRADO CON TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE Un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite ridotto in forma normale ha la seguente forma

⎧ a1x + b1y + c1z = d1 ⎪a x+b y+c z = d ⎨ 2 2 2 2 ⎪a x+b y+c z = d 3 3 3 ⎩ 3 La soluzione è una terna ordinata di valori (x, y, z). Per risolvere un sistema di tre equazioni in tre incognite si possono applicare i metodi visti per la risoluzione di un sistema di due equazioni in due incognite. Se si utilizza il metodo di Cramer, per il calcolo del determinante delle matrici dei coefficienti è necessario applicare la Regola di Sarrus qui di seguito illustrata. a1 Δ = a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

Si riscrivono le prima due colonne a fianco della matrice. a1 Δ = a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

Si sottrae alla somma dei prodotti dei coefficienti delle tre diagonali principali la somma dei prodotti dei coefficienti delle tre diagonali secondarie. = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 − (b1a2c3 + a1c2b3 + c1b2a3) Si procede in modo analogo per gli altri tre determinanti. d1 Δx = d2 d3

162

b1 b2 b3

c1 c2 c3

d1 d2 d3

b1 b2 = d1b2c3 + b1c2d3 + c1d2b3 − (b1d2c3 + d1c2b3 + c1b2d3) b3

Sistemi di primo grado a1 Δy = a2 a3

d1 d2 d3

c1 c2 c3

a1 a2 a3

d1 d2 = a1d2c3 + d1c2a3 + c1a2d3 − (d1a2c3 + a1c2d3 + c1d2a3) d3

a1 Δz = a2 a3

b1 b2 b3

d1 d2 d3

a1 a2 a3

b1 b2 = a1b2d3 + b1d2a3 + d1a2b3 − (b1a2d3 + a1d2b3 + d1b2a3) b3

Se Δ ≠ 0 → il sistema è determinato e la soluzione è: (x, y, z) =

⎛ ⎜⎝

Δx Δy Δz ⎞ , , Δ Δ Δ ⎟⎠

Se Δ = 0 e Δx = 0 e Δy = 0 e Δz = 0 → il sistema è indeterminato. Se Δ = 0 e Δx ≠ 0 o Δy ≠ 0 o Δz ≠ 0 → il sistema è impossibile.

5.4 PROBLEMI RISOLVIBILI CON SISTEMI DI PRIMO GRADO Un problema si risolve con un sistema di equazioni quando è necessario impostare il ragionamento con due (o più) incognite. In questo caso occorre avere due (o più) relazioni che legano le incognite fra loro o con i dati del problema.

In un rettangolo la somma della base e dell’altezza misura 24 cm. La base supera l’altezza di 4 cm. Calcola l’area del rettangolo. D C Si pone x = AB = base y = BC = altezza 1a relazione → x + y = 24 2a relazione → x – y = 4

Il sistema risultante è il seguente.

⎧ x + y = 24 ⎨ ⎩x – y = 4

Si risolve con il metodo di sostituzione.

⎧ x = 24 – y ⎨ ⎩ 24 – y – y = 4 ⎧ x = 24 – y ⎨ ⎩ –2y = –20 ⎧ x = 24 – y ⎨ ⎩ y = 10 ⎧ x = 24 – 10 ⎨ ⎩ y = 10 ⎧ x = 14 ⎨ ⎩ y = 10 La base è AB = 14 cm e l’altezza è BC = 10 cm. Area = AB . BC= 14 . 10 = 140 cm2.

163

sezione 5

5.1 1

Vero o falso? Il grado di un sistema è la somma dei gradi delle singole equazioni. Un sistema lineare in due incognite ammette 2 soluzioni. Un sistema è impossibile se non ammette soluzioni. Se un sistema di primo grado in due incognite è determinato, esiste una sola coppia di valori (x, y) che verifica il sistema. Se un sistema è determinato, l’insieme S delle soluzioni è un insieme finito. Se un sistema in due incognite è impossibile, l’insieme delle soluzioni è vuoto.

a b c d e f

3 ⎧ x + 2x − y = 0 Il sistema ⎨ ha grado 3. 2 ⎩ x + 4y − y = 0 Se un sistema di due equazioni in due incognite ridotto in forma normale ha i coefficienti tali che a1 b ≠ 1 , allora è determinato. a2 b2

g h

Verifica, senza risolverli, se i seguenti sistemi sono determinati, indeterminati o impossibili.

Esempi 1

⎧ 2x – 3y = 1 ⎨ ⎩ 4x – 7y = 5 a1 = 2, b1 = –3, c1 = 1 a2 = 4, b2 = –7, c2 = 5 Poiché

⇒

a1 1 = ; 2 a2

b1 3 = ; b2 7

c1 1 = c2 5

a1 b1 c1 ≠ ≠ il sistema è determinato. a2 b2 c2

⎧ 2x + 2y + 5 = y – 3x – 4y ⎨ ⎩x + y + 1 = 0 Riduciamo il sistema a forma normale:

⎧ 5x + 5y = –5 ⎨ ⎩ x + y = –1 Poiché

a1 = 5, b1 = 5, c1 = –5 a2 = 1, b2 = 1, c2 = –1

a1 = 5; a2

⇒

b1 = 5; b2

c1 =5 c2

a1 b1 c1 = = il sistema è indeterminato. a2 b2 c2

⎧ –10x – 5 – 10y = 10 – 3x – 18y ⎨ ⎩ 5x + 5y = 12x – 3y + 12 Riduciamo il sistema a forma normale:

⎧ 7x – 8y = –15 ⎨ ⎩ 7x – 8y = –12 Poiché

164

a1 = 7, b1 = –8, c1 = –15 a2 = 7, b2 = –8, c2 = –12

a1 b1 c1 ≠ = il sistema è impossibile. a2 b2 c2

⇒

a1 = 1; a2

b1 = 1; b2

c1 15 5 = = 12 4 c2

V F V F V F V F V F V F V F

V F

Sistemi di primo grado a

⎧ 2x − y = 4 ⎨ ⎩ x + 3y = 9

⎧ 3x − 2y = 10 ⎨ ⎩ 15x − 10y = 50

⎧ 8x − 5y = −8 ⎨ ⎩ 4x − 5y = 6

⎧ 9x + 12y = 21 ⎨ ⎩ 3x + 4y = −8

[determinato] [indeterminato] [determinato]

⎧ x = ............... ⎨ ⎩ y = 12 ⎧x = 6 ⎨ ⎩ y = 12 La soluzione del sistema è (6, 12).

[impossibile]

Risolvi il seguente sistema con il metodo del confronto. Esercizio guidato

⎧ 8x − 10y = 6 ⎨ ⎩ 4x − 5y = 3

[indeterminato]

⎧ −2x + y = 3 ⎨ 2 2 ⎩ x + 3y = (3 + x)

[indeterminato]

⎧ 2 x − 1 y = 4 −x ⎪3 6 4 ⎨ ⎪ 2x + 1 = y ⎩

[determinato]

Risolvi il seguente sistema con il metodo di sostituzione.

⎧ 3x + 2y = 3 ⎨ ⎩ 3x – 2y = 1 Ricava la x da entrambe le equazioni.

⎧ x = ........................... ⎨ ⎩ x = ........................... Uguaglia le espressioni che rappresentano la x e riscrivi come seconda equazione del sistema ad esempio la prima di quelle date. ⎧ ... ... ... ⎪ .................. = ... ⎨ ⎪ x + 2y = 3 ⎩

Risolvi la prima equazione, è una equazione lineare in y.

Esercizio guidato ⎧ x – 5y = 54 ⎨ ⎩ 11x + 2y = 90 Si ricava la x dalla prima equazione e si sostituisce l’espressione ottenuta nell’altra equazione.

⎧ x = ............... ⎨ ⎩ 11(...............) + 2y = 90 Si risolve la seconda equazione nell’incognita y.

⎧ x = ............... ⎨ ⎩ .............................................

⎧ ... ... ... ... ... ... = ⎪ ... ... ⎨ ⎪ x + 2y = 3 ⎩ ⎧ ⎪ .................. = .................. ⎨ ⎪ x + 2y = 3 ⎩ ⎧ ⎪ .................. = .................. ⎨ ⎪ x + 2y = 3 ⎩

⎧ y = ............... ⎨ ⎩ x + 2y = 3

⎧ x = ............... ⎨ ⎩ .............................................

Sostituisci il valore dell’incognita y ottenuto nella seconda equazione.

⎧ x = ............... ⎨ ⎩ .............................................

⎧ y = ............... ⎨ ⎩ x + 2(...............) = 3

⎧ x = ............... ⎨ ⎩ y = 12

Calcola infine il valore della x.

Si sostituisce il valore della y trovato nella prima equazione e si calcola la x.

⎧ y = ............... ⎨ ⎩ x = ............... La soluzione del sistema è (1, 1).

165

sezione 5 5

Risolvi il seguente sistema con il metodo di riduzione.

Si sommano ora i coefficienti dei termini corrispondenti.

⎧ .....x + .....y = ..... ⎨ ⎩ .....x + .....y = .....

Esercizio guidato ⎧ 2x + 3y = 2 ⎨ ⎩ 6x – 12y = –1

.....x + // = ..... 1 2

x= Il mcm tra i coefficienti della x è mcm (2, 6) = 6. Si moltiplica la prima equazione per 3 e la seconda per –1.

La soluzione del sistema è (....., .....).

3 .⎧ 2x + 3y = 2

⎨

–1 .⎩ 6x – 12y = –1

⎧ .....x + .....y = ..... ⎨ ⎩ .....x + .....y = .....

Esercizio guidato

Si sommano ora i coefficienti dei termini corrispondenti.

⎧ .....x + .....y = ..... ⎨ ⎩ .....x + .....y = .....

⎧ 3x – 2y = 6 ⎨ ⎩ 3x + y = 15 Si calcolano i determinanti delle matrici seguenti dei coefficienti.

// + .....y = ..... y=

Risolvi il seguente sistema con il metodo di Cramer.

Δ=

..... .....

Δx =

6 15

Δy =

3 3

1 3

Si applica di nuovo il metodo di riduzione alla y. Si determina il mcm tra i coefficienti della y → mcm (3, 12) = ..... Si moltiplica la prima equazione per ..... e la seconda per .....

–2 = ..... . 1 – 2 . (.....) = ............... = ..... 1 ..... = 6 . ..... – (.....) . 15 = ............... = ..... ..... ..... = 3 . ..... – 3 . ..... = ............... = ..... .....

se Δ ≠ 0 → sistema determinato

..... .⎧ 2x + 3y = 2

⎨

..... .⎩ 6x – 12y = –1

Le soluzioni sono:

⎧ .....x + .....y = ..... ⎨ ⎩ .....x + .....y = .....

Δx ..... = Δ .....

e y=

Δy ..... = Δ .....

cioè (4, 3).

5.2 1

166

Determina le Condizioni di Esistenza e di Accettabilità dei seguenti sistemi fratti.

⎧ 1 − 2 =0 ⎪x+2 y−1 ⎨ ⎪ x+y + 3 = 0 ⎩ y

⎧ x + 2 =0 ⎪x−3 y ⎨ ⎪ 2x − y = 7 ⎩

⎧ x−y + 3 = 0 ⎪ 2x x − 1 ⎨ ⎪ 2 x = x−5 2y ⎩3

Determina le Condizioni di Esistenza e di Accettabilità dei seguenti sistemi letterali.

⎧ y−1 − 2 = 0 ⎪ x−2 a−6 ⎨ ⎪ x+y + 3 = 0 2a ⎩ y

⎧ x + 2a − 3 = 0 y ⎪x−3 ⎨ ⎪ 2x − y = 1 ⎩ a−2 b+1

⎧ ax − y + a − 1 = 0 ⎪ 2a + 4 x + 3 ⎨ ⎪ ax = a − 2y 2y ⎩ y

Sistemi di primo grado

5.3 1

Risolvi il seguente sistema lineare.

Esercizio guidato In un triangolo isoscele la base supera il lato di 3 cm e il perimetro è 48 cm. Calcola le misure dei lati e della base del triangolo. C

Poni base = AB = x base = AC = BC = y 1a relazione → ...................... 2a relazione → x + 2y = 48

⎧ ........................

Ottieni il sistema ⎨

⎩ x + 2y = 48

Risolvi il sistema con il metodo che ritieni più opportuno.

⎧ ............................................. ⎨ ⎩ ............................................. ⎧ ............................................. ⎨ ⎩ ............................................. ⎧ ............................................. ⎨ ⎩ ............................................. ⎧ ............................................. ⎨ ⎩ ............................................. ⎧ x = ........ ⎨ ⎩ y = ........

5.1 1

Determinare per quale valore del parametro k e h i seguenti sistemi sono determinati, indeterminati o impossibili. a

⎧ kx + 3y = 3 ⎨ ⎩ 3x − y = 4

[k = −9 → impossibile; k ≠ −9 → determinato]

⎧ 2x − 4y = k ⎨ ⎩ x − 2y = 1

[k = 2 → indeterminato; k ≠ 2 → impossibile]

⎧ 2x − ky = 2 ⎨ ⎩ 6x − 2y = k

⎧ kx + 2y = h − 2 ⎨ ⎩ (k − 1 )x + y = 3

2 2 → impossibile; k ≠ → determinato 3 3

[k ≠ 2 → determinato; k = 2 e h = 8 → indeterminato; k = 2 e h ≠ 8 → impossibile]

167

sezione 5 2

Risolvi i seguenti sistemi utilizzando ciascuno dei metodi risolutivi trattati.

Esempio c Metodo di riduzione o somma e sottrazione

⎧ x+y + y–x =9 2 ⎪ 3 ⎨x x+y =5 ⎪ + 9 ⎩2

Moltiplichiamo per 11 la prima equazione, quindi sommiamo membro a membro le due equazioni ottenute:

Prima riduciamo il sistema a forma normale:

⎧ 2x + 2y + 3y – 3x = 54 6 6 ⎪ ⇒ ⎨ 9x + 2x + 2y 90 = ⎪ 18 18 ⎩

⎧ –x + 5y = 54 ⎨ ⎩ 11x + 2y = 90

Ricaviamo la x dalla prima equazione (l’incognita più facile dall’equazione più semplice) e sostituiamo l’espressione ottenuta nella seconda equazione:

⎧ x = 5y – 54 ⎧ x = 5y – 54 ⇒ ⎨ ⇒ ⎨ ⎩ 11(5y – 54) + 2y = 90 ⎩ 55y – 594 + 2y = 90 ⎧ x = 5y – 54 ⎩ 57y = 684

⎧ x = 5(12) – 54

⇒ ⎨

⎩ y = 12

57y = 684

⇒

y = 12

Riprendiamo il sistema di partenza e moltiplichiamo per 2 la prima equazione e per 5 la seconda, quindi sottraiamo membro a membro le due equazioni ottenute:

a Metodo di sostituzione

⇒ ⎨

⎧ –11x + 55y = 594 ⎨ ⎩ 11x + 2y = 90

⎧ –2x + 10y = 108 ⎨ ⎩ 55x + 10y = 450 57x

= 342

⇒

x=6

⎧x = 6

La soluzione del sistema è quindi ⎨

⎩ y = 12

⇒ d Regola di Cramer

⎧ x = 60 – 54

⇒ ⎨

⎩ y = 12

⎧x = 6

⇒ ⎨

Riprendiamo il sistema:

⎩ y = 12

⎧ –x + 5y = 54 ⎨ ⎩ 11x + 2y = 90

b Metodo del confronto

⎧ x = 5y – 54 ⎪ ⎨ 90 – 2y ⎪x = 11 ⎩

Δ=

–1 11

Δx =

54 90

⇒

Δy =

–1 11

⇒

Risolviamo questa equazione: 55y – 594 = 90 – 2y ⇒

⇒

57y = 684

⇒

y = 12

⎧ y = 12 ⎧ y = 12 ⎧x = 6 ⇒ ⎨ ⇒ ⎨ ⎨ ⎩ x = 5(12) – 54 ⎩ x = 60 – 54 ⎩ y = 12

168

a2 = 11, b2 = 2, c2 = 90

5 = –1 . 2 – 5 . 11 = –2 – 55 = –57 ≠ 0 2

Quindi il sistema è determinato. Possiamo allora calcolare i determinanti delle incognite:

90 – 2y 5y – 54 = 11

684 57

a1 = –1, b1 = 5, c1 = 54

Calcoliamo il determinante del sistema:

Ricaviamo la x nelle due equazioni, quindi uguagliamo i secondi membri:

⇒ y=

dove

5 = 54 . 2 – 5 . 90 = 108 – 450 = –342 2 Δx –342 = =6 –57 Δ 54 = –90 – 11 . 54 = –90 – 594 = –684 90 Δy –684 = = 12 –57 Δ

⎧x = 6

La soluzione del sistema è ⎨

⎩ y = 12

Sistemi di primo grado

⎧ 7x − 5y = 2 ⎨ ⎩ 8x − 3y = 5

⎧x = 1 ⎨ ⎩y = 1

⎧ 7x + 5y = 33 ⎪ 2 ⎨ ⎪ 3x = 6 ⎩

⎧x = 2 ⎨ y = 1− ⎩ 2

⎧ 21x − 6y = 11 ⎨ ⎩ 14x − 4y = 3

⎧ 5x + 4y = 22 ⎨ ⎩ 3x − 7y = −15

⎧x = 2 ⎨ ⎩y = 3

⎧ x − 3y = 1 ⎪ ⎨3 ⎪ x−y=2 ⎩4

⎧x = 4 ⎨ ⎩y = 1

⎧ 2x + ⎪ ⎨ ⎪ 4y + ⎩

y − 2 = 21 5 x − 4 = 29 6

⎧ x+y + x−y = 3 2 ⎪ 4 ⎨ 12x − 7y =3 ⎪ ⎩ 13 ⎧x + y = 1 ⎪ ⎨3 ⎛ 5⎞ ⎪ (x + y) = 2 ⎜ x − ⎟ + 2y ⎝ 4 6⎠ ⎩

⎧ x+y = x−y 3 ⎪ 5 ⎨x ⎪2 =y+2 ⎩ ⎧ 2x + 3y = 2x − 3y + 5 3 2 ⎪ 6 ⎨ 4x − 3y 3 = 6y − 2x + ⎪ 4 ⎩ 4 ⎧ x + 2 + y − x = 2x − 8 4 ⎪ 7 ⎨ 2y − 3x + 2y = 3x + 4 ⎪ ⎩ 3

⎧ 2x − 5 + 4y = − 11 5 5 ⎪ 3 ⎨x 1⎛6 ⎞ 4 ⎪ 2 + 2 ⎜⎝ 5 y − 3⎟⎠ = − 5 ⎩

⎧ 5 x − 7 y = 20 2 ⎪3 ⎨ 10 7 ⎪ 3 x + 5 y = −2 ⎩

⎧ x = 3− ⎨ 2 ⎩ y = −5

⎧ 3x− y = 0 2 ⎪4 ⎨x 77 ⎪ 2 + 2y = 2 ⎩

⎧ x = 11 ⎨ y = 33 ⎩ −− 2

⎧ x − 3y + 1 − 2x = −2 3 ⎪ ⎨ 3x − y y − x 5 + = ⎪ 2 3 ⎩ 2

⎧x = 2 ⎨ ⎩ y = −1

⎧ 3(x + y) − 2 ⎛ x − 5 ⎞ = 2y ⎜⎝ ⎪ 6 ⎟⎠ 4 ⎨ ⎪x = 1 − y ⎩

⎧ 2 x + 1 + y = 5y − 2x 2 3 ⎪3 ⎨ 4x + 1 2y − 1 1 − = ⎪ 2 2 ⎩ 3

2 2 ⎧ (x + 1) − (x + y)(x − y) = (2 + y) + 2(x − 2y + 1) ⎨ ⎩ 3(x + y + 1) = 2(x + y)

[impossibile]

⎧ x = 10 ⎨ ⎩y = 7

⎧x = 5 ⎨ ⎩y = 3

[impossibile]

[indeterminato]

[impossibile]

⎧ x = 1− ⎨ 2 ⎩y = 1

[impossibile]

⎧x = 8 ⎨ ⎩y = 2 u

⎧⎛ y − 3 2 x − 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ − : ⎜ − ⎟ = 5(3y − 2x ) ⎪⎜ 1 ⎟ ⎝ 2 3⎠ ⎪⎪⎜ 2 1− ⎟ 3 ⎠ ⎨⎝ ⎪2 ⎪ ( x + y ) − 2 x − 3 y = y ⎛⎜ 1 + 1 ⎞⎟ [indeterminato] ⎝ 6⎠ 4 ⎩⎪ 3

⎧1 ⎛ y − 3 ⎞ 3 ⎛ 3x − 1 y − 5 ⎞ 25 =− − − ⎪ ⎜⎝ 2 x + 4 ⎟⎠ 2 ⎜⎝ 3 6 ⎟⎠ 12 ⎪3 ⎨ ⎪ 2 ⎛ 3 x − y − 1 ⎞ + 1 ⎛ 4 x − y − 1 ⎞ = 77 ⎪⎩ 5 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2 ⎜⎝ 6 2 ⎟⎠ 60

−− ⎧ x = 17 2 ⎨ 11 ⎩ y = −−3

⎧x = 5 ⎨ ⎩y = 9

⎧ x = 1− ⎨ 2 ⎩ y = −2

169

sezione 5

⎧ y +1 ⎪2 − x −1 2 + =0 ⎪ ⎪1 + y − 1 3 ⎪⎪ x −1 ⎨ ⎪1 + x + 3 y+2 1 ⎪ + =0 ⎪ x−3 4 ⎪2 − y+2 ⎪⎩

⎧ 4x − y 1 + x =1 ⎪ 4 ⎨ 6 ⎪ x + 2 y = 12 ⎩

⎧x = 2 ⎨ ⎩y = 5

⎧2 1 1 ⎪ x− y= 3 2 6 ⎨ ⎪3 y − 2 x = 0 ⎩

⎧ x = 1−2 ⎨ 1 ⎩ y = −3

⎧1 ⎛ ⎞ 1+ y⎞ 1 ⎛ 1+ x 5 ⎪ 3 ⎜⎝ x − 2 ⎟⎠ − 2 ⎜⎝ 3 − y ⎟⎠ = − 4 ⎪ ⎨ ⎪ 1 ⎡ x − 2 ⎛ y − 2 + 1⎞ ⎤ = 2 x − 1 ⎟⎠ ⎥ ⎜⎝ 3 ⎪⎩ 2 ⎢⎣ 12 ⎦

Risolvi i seguenti sistemi utilizzando ciascuno dei metodi risolutivi trattati.

⎧ x + 3y x + y 2x + 5y ⎪⎪ 11 + 2 = y − 7 ⎨ ⎪5 ( x + y − 8 ) = 6 x + y + y − x ⎪⎩ 6 4

⎧ x = −8 ⎨ y = 72 ⎩ −− 5

⎧ 7 6 x + 3 y 12 x − 7 ⎪⎪ 10 + 10 = 2 ⎨ ⎪ 2x + y − y + x = 4 ⎪⎩ 3 2 9

⎧ x = 2− ⎨ 3 ⎩ y = −2

⎧ 2 5x − y + 2 y − 4x 4 = − ⎪⎪ 15 − 15 3 5 ⎨ ⎪ x + 35 = 2 x + y − x ⎪⎩ 12 4 6

⎧x = 8 ⎨ ⎩ y = 33

⎧ 4 x + 5 y 2 x − y − 10 1 − + =0 ⎪⎪ 3 5 5 ⎨ ⎪ 6 x − 16 y + 4 x + 5 y = 4 + 29 x ⎪⎩ 15 3 3 15

[impossibile]

⎧ x = 1 non ⎨ ⎩ y = −5 accettabile

⎧ x = 1− ⎨ 2 ⎩ y = −3

5.2 1

Risolvi e, se necessario discuti, i seguenti sistemi letterali.

Esempio ⎧ x = 3a – 2y ⎪ ⎨ x 2a y = 2 + ⎪ a –1 a+1 ⎩a– 1

Osserviamo che per a = ±1 il sistema perde significato. Poniamo a ≠ ±1 e riduciamo il sistema a forma normale: ⎧ x = 3a – 2y ⎪ ⎨ x(a + 1) 2a + y(a – 1) = ⎪ (a + 1)(a – 1) ⎩ (a + 1)(a – 1)

⇒

⎧ x = 3a – 2y ⎨ ⎩ (a + 1)x – (a – 1)y = 2a

Risolviamo applicando la regola di Cramer e discutiamo le soluzioni al variare del parametro a. Δ=

1 a+1

2 = –a + 1 – 2(a + 1) = –3a – 1 –(a–1)

Quindi per a ≠ – Δx =

170

3a 2a

1 il sistema è determinato: 3

2 = –3a(a – 1) – 4a = –3a2 – a ⇒ –(a–1)

Δx –3a2 – a a(–3a – 1) = = =a –3a – 1 –3a – 1 Δ

Sistemi di primo grado

Δy =

1 a+1

Per a = –

3a = 2a – 3a(a + 1) = –3a2 – a ⇒ 2a

⎧ x = –1 – 2y 1 il sistema diventa ⎪⎨ 3 3 3 3 + y ⎪– x= 4 2 ⎩ 4

Δy –3a2 – a a(–3a – 1) = = =a –3a – 1 –3a – 1 Δ

ed è indeterminato.

⎧x = a 1 1 Quindi: a = ±1: perde significato; a = – : indeterminato; a ≠ – ∧ a ≠ ±1: ⎨ 3 3 ⎩y = a

⎧ bx + (b + 1)y = 2 ⎨ 2 2 ⎩ (b + b)x − (b + b)y = 1

⎧ (a + c)x − by = bc ⎨ ⎩x + y = a + b

⎧x + y =2 ⎪a b ⎨ ⎪ay = bx ⎩

⎧x + y = a + b ⎨ ⎩ bx + ay = 2ab

⎧x −a y−b ⎪⎪ b + a = 0 ⎨ ⎪x + y − y−a = b + a ⎪⎩ a b a b

⎧ (a + b)x − (a − b)y = 4ab ⎨ 2 2 ⎩ (a − b)x + (a + b)y = 2a − 2b

⎧x + y =2 ⎪a b ⎨ ⎪2bx − ay = ab ⎩

⎧ bx + ay = − ⎪ a+b b a ⎨ ⎪x + y = b − a ⎩

1 ⎧ b ≠ 0 ∧ b ≠ −1 ∧ b ≠ − : ⎨ 2

1 x=− b 1

⎩ y = −−−− b+1

⎧x = b b ≠ −a − c: ⎨ ; b = −a − c: indeterminato ⎩y = a

⎧x = a a = 0 ∨ b = 0: perde significato; a ≠ 0 ∧ b ≠ 0: ⎨ ⎩y = b

⎧x = a a ≠ b: ⎨ ; a = b: indeterminato ⎩y = b

⎧x = a a = 0 ∨ b = 0: perde significato; a ≠ 0 ∧ b ≠ 0: ⎨ ⎩y = b

⎧x = a+b a ≠ 0 ∧ b ≠ 0: ⎨ ; a = b = 0: indeterminato ⎩y = a−b

⎧x = a a = 0 ∨ b = 0: perde significato; a ≠ 0 ∧ b ≠ 0: ⎨ ⎩y = b

⎧x = b a = −b: perde significato; a = b ≠ 0: indeterminato; a ≠ ±b: ⎨ ⎩ y = −a

171

sezione 5 2

Risolvi i seguenti sistemi frazionari numerici e letterali.

Esempio ⎧ (a + 1)(a + 2) = x + y ⎪ ⎨a– 1 1 – =0 ⎪ a–2 ⎩ x– y

Per a = 2 il sistema perde significato; inoltre deve essere x ≠ y. Riduciamo il sistema a forma normale: ⎧ x + y = a2 + 3a + 2 ⎪ ⎨ (a – 1)(a – 2) – x + y =0 ⎪ (x – y)(a – 2) ⎩

⇒

⎧ x + y = a2 + 3a + 2 ⎨ ⎩ x – y = a2 – 3a + 2

Risolviamo con il metodo di Cramer: Δ=

1 1

1 = –1 – 1 = –2 –1

Il sistema è determinato. Δx =

1 a2 +3a+2 = –a2 – 3a – 2 – a2 + 3a – 2 = –2a2 – 4 ⇒ 2 a – 3a+2 –1

Δy =

1 1

a2 +3a+2 = a2 – 3a + 2 – a2 – 3a – 2 = –6a ⇒ a2 – 3a+2

Deve però essere x ≠ y

⇒

a2 + 2 ≠ 3a

⇒

a2 – 3a + 2 ≠ 0

Δx –2a2 – 4 = = a2 + 2 –2 Δ

Δy –6a = = 3a –2 Δ ⇒

(a – 1)(a – 2) ≠ 0, quindi per

a = 1 ∨ a = 2 la soluzione non è accettabile.

⎧ x = a2 + 2

Quindi: a = 2: perde significato; a = 1: impossibile; a ≠ 1 ∧ a ≠ 2: ⎨

⎩ y = 3a

⎧x + y ⎪ x − y = −11 ⎪ ⎨ ⎪ xy − 20 = x − 5 ⎪⎩ y − 3 3

⎧7 x − 9 ⎪⎪ x + 3 = 1 ⎨ ⎪ 2x + 5y = 5 ⎩⎪ y + 12 3

⎧ 3 x + 2y 5 ⎪⎪ 2 x − 3 = 4 ⎨ ⎪ 4x − 3 + 1 = 0 ⎩⎪ 2 x − 5 y 11

⎧ 5 ⎪⎪2 x − 3 y = 14 ⎨ ⎪2 − x − 4 = − 5 3 y ⎩⎪ y

172

⎧x = 5 ⎨ ⎩y = 6

⎧x = 2

⎨ y = 24 ⎩ −− 5

⎧ x = 1− ⎨ 2 ⎩ y = −2

la soluzione non è accettabile: perché?

⎧ 2 3 ⎪ x − y + 3 = 2x − y + 1 ⎪ ⎨ 3 1 ⎪ =− ⎪⎩ 3 x + y − 5 x+y−3

⎧ 2x − 3y 5 ⎪ 5x + y = 4 ⎪ ⎨ ⎪ x−y =2 ⎪⎩ 2 x + y

⎧ 1 15 ⎪ x − y + 2 = 3x + y + 6 ⎪ ⎨ 1 5 ⎪ =− 2x + 3y − 3 ⎪⎩ 3 x − 5 y + 1

⎧ x = 62 ⎨ ⎩ y = 48

⎧ 35 37 − 2 =0 ⎪ 2 2 2 ⎪ x − 2 xy + y y − x ⎨ −1 ⎪ 1 ⎛ 1⎞ 3 6 1 x + y + = ⎪⎩ 4 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4

1 −− ⎧ x = 16 ⎨ 9 ⎩ y = −4

⎧ x = −7 ⎨ ⎩ y = 14

[indeterminato]

Sistemi di primo grado ⎧ 2 + xy 3 ⎪ x −1 = x −1 + y ⎪ ⎨ 1 1 x−y ⎪ − = ⎪⎩ x + y − 1 x − y + 1 x 2 − y 2 − 1 + 2 y

⎧x + y = a + b ⎪ ⎨x +a a ⎪ y+b = b ⎩

⎧x =− b ⎪y a ⎪ ⎨ ⎪⎛ 1 + a ⎞ x + y = b ⎪⎩⎜⎝ b ⎟⎠

⎧ x a ⎪y +1 − a − 2 = 0 ⎪ ⎨ ⎪ x − a+2=0 ⎪⎩ y − 1 a

⎧ x 1 ⎪x + y = a ⎪ ⎨ ⎪ y =a ⎪⎩ x − y

⎧a −1 1 ⎪⎪ 2 + y = x − a ⎨ ⎪ x − ax − 2 = y − a ⎪⎩ a + 1 a − 1 a − 1

⎧ 3 2 + xy ⎪y + x − 1 + 1 − x = 0 ⎪ ⎨ x−y 1 1 ⎪ − = 2 2 ⎩⎪ x + y − 1 x − y + 1 x − y − 1 + 2 y

la soluzione non è accettabile: perché?

⎧x = a b = 0: perde significato; a = −b: indeterminato; a ≠ −b: ⎨ ⎩y = b

⎧x = b a = 0 ∨ b = 0: perde significato; a ≠ 0 ∧ b ≠ 0: ⎨ ⎩ y = −a

a2 + 2a

⎧x=− 2 a = 0 ∨ a = 2: perde significato; a = −2: impossibile; a ≠ 0 ∧ a ≠ 2 ∧ a ≠ −2: ⎨ 2−a ⎩ y= 2

[a = 0: perde significato; a ≠ 0: impossibile]

a2 + 1

⎧x = a − 1 a = +1 ∨ a = −1: perde significato; a = 0: indeterminato; a ≠ 0 ∧ a ≠ +1 ∧ a ≠ −1: ⎨ ⎩y = a − 1

⎧x = 1 impossibile, la soluzione ⎨ non è accettabile ⎩y = 1

5.3 1

Risolvi i seguenti sistemi di tre equazioni in tre incognite.

Esempio ⎧ 2x – y + 3z = 10 ⎪ ⎨ x + 2y – z = –5 ⎪ 5x + 4y – 5z = –1 ⎩

173

sezione 5

Risolviamo il sistema con il metodo di sostituzione; ricaviamo, ad esempio, la y dalla prima equazione e andiamo a sostituire l’espressione ottenuta nelle altre due equazioni:

⎧ y = 2x + 3z – 10 ⎪ ⎨ x + 2(2x + 3z – 10) – z = –5 ⎪ 5x + 4(2x + 3z – 10) – 5z = –1 ⎩

⎧ y = 2x + 3z – 10 ⎧ y = 2x + 3z – 10 ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ x + 4x + 6z – 20 – z = –5 ⇒ ⎨ 5x + 5z = 15 ⎪ 5x + 8x + 12z – 40 – 5z = –1 ⎪ 13x + 7z = 39 ⎩ ⎩

⎧ y = 2x + 3z – 10 ⎪ ⇒ ⎨x + z = 3 ⎪ 13x + 7z = 39 ⎩

applichiamo il metodo di sostituzione alla seconda ⇒ e terza equazione nelle incognite x e z

⎧ y = 2x + 3z – 10 ⎪ ⇒ ⎨x = 3 – z ⎪ 13(3 – z) + 7z = 39 ⎩

⎧ y = 2x + 3z – 10 ⎧ y = 2x + 3z - 10 ⎪ ⎪ ⇒ ⎨x = 3 – z ⇒ ⎨x = 3 - z ⎪ 39 – 13z + 7z = 39 ⎪ 6z = 0 ⎩ ⎩

⎧ y = 2x + 3 . 0 – 10 ⎪ ⇒ ⎨x = 3 – 0 ⎪z = 0 ⎩

⎧ y = 2 . 3 – 10 ⎪ ⇒ ⎨x = 3 ⎪z = 0 ⎩

⎧ y = –4 ⎪ ⇒ ⎨x = 3 ⎪z = 0 ⎩

⎧x = 3 ⎪ ⇒ ⎨ y = –4 ⎪z = 0 ⎩

Risolviamo lo stesso sistema con la regola di Cramer. Applichiamo la regola di Sarrus per il calcolo dei determinanti: –1 2 4

3 –1 –5

⇒

2 1 5

1 2 4

3 –1 –5

2 1 5

–1 2 4

⇒

Δ = –20 + 5 + 12 – (5 – 8 + 30) = –3 – 27 = –30

10 –1 2 –1 4

3 –1 –5

⇒

10 –1 –5 2 –1 4

3 –1 –5

10 5 –1

–1 2 4

⇒

Δx = –100 – 1 – 60 – (–25 – 40 – 6) = –161 + 71 = –90

Δy =

2 1 5

10 –5 –1

3 –1 –5

⇒

2 1 5

10 –5 –1

3 –1 –5

2 1 5

10 –5 –1

⇒

Δy = 50 – 50 – 3 – (–50 + 2 – 75) = –3 + 123 = 120

Δz =

2 1 5

–1 2 4

10 –5 –1

⇒

2 1 5

–1 2 4

10 –5 –1

2 1 5

–1 2 4

⇒

Δz = –4 + 25 + 40 – (–1 – 40 + 100) = 61 – 61 = 0

Δ =

2 1 5

Δx = –5

Δx –90 = =3 –30 Δ

Δy 120 = = –4 –30 Δ

⎧ 3x − y − z = 8 ⎪ ⎨x+y = 1 ⎪ 2x − z = −1 ⎩

⎧x = 2 ⎨ y = −1 ⎩ z = −1

⎧ x + 2y + z = 3 ⎪ ⎨ 2x − y + 2z = 1 ⎪y+z−4 = 0 ⎩

⎧ x = −2 ⎨y = 1 ⎩z = 3

⎧ 3x + 4y − 22 = 0 ⎪ ⎨ 5x − 3z − 19 = 0 ⎪ 2y + z − 5 = 0 ⎩

⎧x = 2 ⎨y = 4 ⎩ z = −3

174

Δz 0 = =0 –30 Δ

⎧ 2x + y − z = 0 ⎪ ⎨ x − y + 2z = 7 ⎪ 3x + 2y − 2z = −1 ⎩

⎧x = 1 ⎨y = 2 ⎩z = 4

⎧ 3x − y − z = 8 ⎪ ⎨ 2y − z = −1 ⎪x+y = 1 ⎩

⎧x = 2 ⎨ y = −1 ⎩ z = −1

⎧ 2x + y + z = 6 ⎪ ⎨ x + 3y + 2z = 5 ⎪ x − 2y − z = 1 ⎩

[indeterminato]

Sistemi di primo grado

⎧ x − y − z = −2 ⎪ ⎪1 ⎨ x+y− z=2 ⎪2 ⎪⎩ x + 2 y + 6 z = 0

⎧ x = − 2−3 ⎪ y = 11 ⎨ −−6 ⎪ z = − 1− 2 ⎩

⎧x − y − z = 0 ⎪ ⎪ ⎪ 3x − z + 2 y = 11 ⎨ ⎪ 2 ⎪y − x x−z ⎪⎩ 3 − z = 2 + 2

⎧x = 1 ⎨y = 4 ⎩ z = −3

5.4 1

Risolvi i seguenti problemi con sistemi di due equazioni in due incognite. a

La somma di due numeri è 72; dividendo il maggiore per il minore si ottiene 4 e il resto è 2. Determina i due numeri. [58; 14]

Determina due numeri tali che aggiungendo 7 al primo si ottenga il secondo, mentre aggiungendo 9 al secondo si ottenga il triplo del primo. [8; 15]

Risolvi i seguenti problemi di geometria con sistemi di due equazioni in due incognite. a

In un triangolo isoscele la somma della base e del lato è 33 cm; il perimetro è uguale ai 3 della base 4 aumentati di 38 cm. Calcola la misura del lato e l’area del triangolo. [17 cm; 120 cm2]

Calcola la misura della base e dell’altezza di un rettangolo sapendo che se la base diminuisce di 3 m e l’altezza aumenta di 2 m, la superficie aumenta di 14 m2, se la base diminuisce di 7 m e l’altezza aumenta di 4 m, la superficie aumenta di 8 m2.

I 2 della somma di due numeri sono uguali alla 3 metà del primo aumentata dei 4 del secondo e i 5 3 2

del primo sono uguali a 15 diminuito dei 5 del secondo. Determina i due numeri. [12; 15] 4

Trova due numeri tali che la somma della terza parte del primo col quinto del secondo sia uguale a 20 e la differenza tra 2 del primo e 2 del secondo 3 5 sia uguale a 8. [36; 40]

La cifra delle unità di un numero di due cifre è doppia di quella delle decine; permutando le due cifre si ottiene un numero che è i 7 del primo. 4 Determina il numero. [48]

La somma delle due cifre di un numero è 10, ma se si scambia la cifra delle decine con quella delle unità, il nuovo numero supera il primo di 18. Determina il numero. [46]

[16 m; 4 m] c

Una frazione equivale a 5 . La somma del doppio 3 del numeratore e del triplo del denominatore è 133. Trova la frazione. 35 Una frazione diventa uguale a 3 se togliamo 3 al 2 numeratore e 9 al denominatore, diventa invece uguale a 1 se aggiungiamo 2 al numeratore e 1 al denominatore. Qual è la frazione? 18 19

In un rettangolo la somma di 2 della base con 1 3 4 dell’altezza è uguale a 45 cm e la differenza fra 5 della base e 3 dell’altezza è uguale a 18 cm. 6 4 Calcola il perimetro e l’area del rettangolo.

[180 cm; 1944 cm2]

21 h

Due tubi, tenuti aperti il 1° per 20 minuti e il 2° per 24 minuti, versano 1160 litri di acqua; tenuto aperto il 1° per 15 minuti e il 2° per 10, versano 670 litri di acqua. Trova quanta acqua versa ciascun tubo ogni minuto. [28 litri; 25 litri]

Se in un trapezio rettangolo si aggiunge alla base maggiore l’altezza si ottiene un segmento lungo 20 cm; se invece si sottrae dai 3 della stessa base 4 la metà dell’altezza, si ottiene un segmento lungo 1,25 cm. Calcola l’area del trapezio e il perimetro sapendo che la base minore è metà della maggiore. [74,25 cm2; ...] In un triangolo isoscele l’altezza è 3 della base, men4 tre la base diminuita di 12 cm è uguale a metà dell’altezza. Calcola la misura della base, dell’altezza e l’area del triangolo. [19,2 cm; 14,4 cm; 138,24 cm2]

175

sezione 5 f

In un rombo la somma di 2 della diagonale mino3 re con 3 della maggiore misura 136 cm, mentre la 4 differenza fra 5 della diagonale maggiore e 6 della 3 7 minore misura 204 cm. Calcola il perimetro del rombo. [300 cm]

In un triangolo isoscele il lato supera di 2a la metà della base e il perimetro misura 16a. Calcola i lati e l’area del triangolo.

3 Risolvi i seguenti problemi con sistemi di tre equazioni in tre incognite. a

La somma delle tre cifre di un numero è uguale a 14, la cifra delle centinaia è uguale alla somma delle altre due cifre; scrivendo il numero in ordine inverso, il numero diminuisce di 198. Determina il numero. [725]

In un cortile ci sono galline, oche e conigli, per un totale di 75 teste e 190 zampe. Il numero delle oche aumentato di 1 del numero dei conigli supe2 ra di 15 il numero delle galline. Quante sono le galline, le oche e quanti i conigli? [25; 30; 20]

Calcola la misura dei tre lati di un triangolo sapendo che il perimetro è 7 di un lato, mentre è i 3 di 2 2 un altro lato aumentati di 27 cm, e il terzo lato è uguale alla semisomma degli altri due.

[base = 6a; lato = 5a; Area = 12a2]

La somma dei cateti di un triangolo rettangolo è 2k; se si diminuisce di 1 k il cateto maggiore e si 2 aumenta di 3 k il cateto minore, l’area del triango2 21 lo aumenta di k2. Calcola la lunghezza dei due 40 cateti. 3 7 5

[18 cm, 24 cm, 21 cm]

k; k 5

In un triangolo rettangolo la somma dei cateti è 11,5k e il loro rapporto è 8 . Calcola il perimetro e 15 l’area del triangolo. [20k; 15k2]

Scegli la risposta esatta, dando la motivazione.

⎧ ax + 3y = 3 Il sistema ⎨ risulta impossibile per: ⎩ 3x − y = 4 A. a = −1 B. a = −9 C. a = +9 a

d Se il determinante di un sistema di tre equazioni in tre incognite è Δ = 0 allora il sistema è:

A. impossibile B. indeterminato. C. è necessario conoscere anche Δx e Δy.

e b

⎧ 2x − 4y = b Il sistema ⎨ risulta indeterminato per: ⎩ x − 2y = 1

A. b = 1 B. b = −1 C. b = 2 c

Un sistema è impossibile se:

A. i coefficienti e i termini noti sono uguali. B. una delle equazioni è indeterminata. C. una delle equazioni è impossibile.

176

In un trapezio isoscele il perimetro misura 170 cm, la somma di 2 della base maggiore con 1 della 5 4 minore è di 42 cm mentre la differenza fra la base maggiore e i 4 del lato obliquo misura 60 cm. 5 Calcola l’area del trapezio. [900 cm2]

Dato il sistema

⎧ a1x + b1y = c1 , ⎨ ⎩ a2x + b2y = c2 c1 c2

b1 b2

rappresenta il determinante:

A. Δx della variabile x. B. Δy della variabile y. C. Δ del sistema.

Sistemi di primo grado 2

Risolvi i seguenti sistemi di tre equazioni in tre incognite letterali e fratti e sistemi di quattro equazioni in quattro incognite.

⎧ x + y + t = −5 ⎪ ⎪x + y + z = 2 ⎨ ⎪ y + z + t = −3 ⎪⎩ x + z + t = 0

⎧2 x + 2 y + 2t = −2 ⎪ ⎪x + y + t = 2 ⎨ ⎪6 x − 2 y + 3t + 3 z = 18 ⎪⎩ x − y − z − 2t + 7 = 0

⎧ abx − aby + (a − b)z = 0 ⎪ ⎨ ax + az = a + 1 ⎪ ⎩ ax + by = 2z

⎧ 9y + z ⎪ x+2 =6 ⎪ ⎪ 2y + z 1 = ⎨ ⎪ 3x + 1 2 ⎪x − z ⎪ y + 3 =1 ⎩

⎧ t − 2y − 1 1 = ⎪ 3 x ⎪ ⎪ t − 3y =2 ⎨ ⎪ x +1 ⎪ 1− x ⎪ 2t − 3 y = 1 ⎩

⎧ x + y − 2z = a + b ⎪ ⎨ z − x + y = 2b ⎪x+y+z = a+b ⎩

⎧ y + 8z = 5 ⎪ ⎨ x + y = 21 ⎪x+z = 7 ⎩

⎧x − y + 2z = a ⎪ ⎪4 x − 3 y + 2t = − a − b ⎨ ⎪ x − 2 y + z − 2t = b − 3 a ⎪⎩2 z + y − t = 2a a + 2b

⎧x = 1 ⎪ y = −2 ⎨z = 3 ⎪ ⎩ t = −4

[impossibile]

⎧ x = 1−a ⎪ y = 1− ⎨ b ⎪z = 1 ⎩

Esercizio n. D20 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2011/2012. Luigi e Paolo investono la stessa somma di denaro. Dopo il primo anno, la somma investita da Luigi è aumentata del 10% e quella investita da Paolo è diminuita del 5%. Luigi e Paolo decidono di reinvestire per un altro anno ancora le somme ottenute dopo il primo anno. Nel secondo anno Luigi perde il 5%, mentre Paolo guadagna il 10%. Se Luigi e Paolo hanno investito inizialmente una somma di 1000 euro ciascuno, quanto avrà ciascuno dei due alla fine del secondo anno? Scrivi i calcoli che fai per trovare la risposta e infine riporta i risultati. ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________

⎧ x = 13 ⎨ y = 10 ⎩z = 0

______________________________________________ Luigi: _____________ euro Paolo: _____________ euro

[indeterminato]

⎧ x = a−b ⎪ a +2 3b ⎨y= 2 ⎪ ⎩z=0 ⎧x = 8 ⎨ y = 13 ⎩ z = −1 ⎧x = b ⎪y = a + b ⎨z = a ⎪ ⎩t = a − b

177

SEZIONE

ALGEBRA

Disequazioni di primo grado

6.1 DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO INTERE Concetti fondamentali Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni, di cui almeno una letterale. Una disequazione è ad una incognita quando è una sola la lettera rispetto alla quale si risolve la disequazione; se compaiono altre lettere, queste sono dette parametri. Una disequazione ad una incognita può essere: • intera, se l’incognita compare solo al numeratore; • fratta, se l’incognita compare in almeno un denominatore; • numerica, se non compaiono altre lettere oltre all’incognita; • letterale, se compare almeno un’altra lettera (parametro) oltre all’incognita. Le soluzioni di una disequazione sono tutti quei valori reali che sostituiti all’incognita trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera. Le soluzioni di una disequazione si possono rappresentare graficamente su una retta sotto forma di intervalli. insieme dei valori

scrittura simbolica

L’insieme dei numeri maggiori di un valore a

{x ∈R | x > a}

L’insieme dei numeri maggiori o uguali ad a

{x ∈R | x ≥ a}

L’insieme dei numeri minori di a

{x ∈R | x < a}

L’insieme dei numeri minori o uguali ad a

{x ∈R | x ≤ a}

L’insieme dei numeri compresi tra a e b, esclusi sia a che b

{x ∈R | a < x < b}

L’insieme dei numeri compresi tra a e b, compreso a ed escluso b

{x ∈R | a ≤ x < b}

L’insieme dei numeri compresi tra a e b, compreso b ed escluso a

{x ∈R | a < x ≤ b}

L’insieme dei numeri compresi tra a e b, compresi sia a che b

{x ∈R | a ≤ x ≤ b}

Insieme di tutti i valori reali

rappresentazione grafica

x>a

x≥a

x<a

x≤a

a<x<b

a≤x<b

a<x≤b

a≤x≤b

Due disequazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

178

Disequazioni di primo grado

Procedimento risolutivo e rappresentazione grafica delle soluzioni Le disequazioni soddisfano due principi di equivalenza.

Primo Principio di Equivalenza Sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una disequazione una stessa espressione algebrica, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

Secondo Principio di Equivalenza Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero positivo o per una stessa espressione algebrica positiva, si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero negativo o per una stessa espressione algebrica negativa, si ottiene una disequazione equivalente a quella data, ma con il verso del simbolo di disuguaglianza cambiato. Per risolvere una disequazione intera è necessario trasformarla in forma canonica, o forma normale, cioè si trasportano tutti i termini al primo membro e si riducono i termini simili; il secondo membro è zero. Una disequazione intera è in forma canonica se è del tipo: P(x) > 0 oppure P(x) ≥ 0 oppure P(x) < 0 oppure P(x) ≤ 0 Il grado di una disequazione intera è il grado del polinomio P(x) che rappresenta il primo membro della disequazione scritta in forma canonica. Per risolvere una disequazione lineare si applicano i principi di equivalenza in modo da trasformare la disequazione nella forma seguente: ax > b

oppure ax ≥ b

oppure ax < b

oppure ax ≤ b

Se a > 0, si dividono entrambi i membri per a

Se a < 0, si dividono entrambi i membri per a e si cambia il verso del simbolo di disuguaglianza

b a b ax ≥ b → x ≥ a b ax < b → x < a b ax ≤ b → x ≤ a

ax > b → x <

ax > b → x >

b a b ax ≥ b → x ≤ a b ax a b ax ≤ b → x ≥ a

Se a = 0 la disequazione o è indeterminata, cioè verificata per ogni valore reale, S = R oppure è impossibile, cioè non esiste alcun valore reale che verifica la disuguaglianza, S = ∅. Risolvere una disequazione letterale necessita la discussione dei parametri. In particolare si devono seguire le seguenti procedure. • si determinano i valori dei parametri che fanno perdere significato a eventuali denominatori; • si procede con la risoluzione come per le disequazioni numeriche; • se si applica il secondo principio di equivalenza, ovvero se si moltiplica o divide per un coefficiente letterale, si devono distinguere i casi in cui tale coefficiente è positivo o negativo; • si discute la posizione reciproca degli estremi degli intervalli al variare dei parametri.

179

sezione 6

6.2 DISEQUAZIONI FRATTE Una disequazione fratta in forma canonica è rappresentata da un rapporto tra due polinomi al primo membro e il secondo membro è zero. A(x) 0 B(x) con B(x) ≠ 0.

Procedimento risolutivo e studio del segno Si considera il caso in cui A(x) e B(x) sono due binomi di primo grado. L’equazione fratta in forma canonica è ax + b 0 cx + d Il rapporto tra due espressioni è positivo se le espressioni sono concordi, cioè se sono entrambe positive o entrambe negative, mentre il rapporto è negativo se una espressione è positiva e l’altra è negativa. Pertanto si studiano separatamente gli intervalli di positività del numeratore e del denominatore. Si riuniscono poi le soluzioni in uno schema grafico che rappresenta il segno delle espressioni che definiscono il rapporto, si applica infine la regola dei segni in ciascun intervallo. Si procede studiando la positività sia del numeratore che del denominatore.

Numeratore > 0

→ A(x) > 0

→ ax + b > 0

→ x>−

b a

Denominatore > 0

→ B(x) > 0

→ cx + d > 0

→ x>−

d c

Nota bene: se la disequazione prevede anche l’uguale, cioè è ≥ o ≤ allora anche e solo il numeratore viene posto ≥ a 0, non il denominatore che non può essere nullo altrimenti il rapporto perderebbe di significato. Si rappresentano le soluzioni in uno schema che rappresenta il segno del numeratore e del denominatore in funzione della x. − Numeratore

b a

−

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Denominatore

+++++++++++++++++++++++

180

d c

−

ax + b >0 cx + d

→

la soluzione è data dagli intervalli positivi → x < −

ax + b <0 cx + d

→

la soluzione è data dagli intervalli negativi → −

b d ∨ x>− a c

b d <x<− a c

Disequazioni di primo grado

2x + 8 ≤0 x–2 N ≥ 0 → 2x + 8 ≥ 0 → x ≥ –4 D>0 → x–2>0 → x>2 –4

N≥0

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

D>0

+++++++++++++++++++++++

−

S = {x ∈ R | –4 ≤ x ≤ 2}

Si considerano disequazioni di grado superiore al primo scomponibili in fattori di primo grado che in forma canonica sono del tipo A(x)B(x)... 0 e disequazioni fratte in cui il numeratore e/o il denominatore sono di grado superiore al primo e scomponibile in fattori di primo grado che ridotte hanno la forma seguente A(x)B(x) 0 C(x)D(x) Si risolvono studiando il segno di ciascun fattore e riportando poi i risultati ottenuti in uno schema simile a quello per determinare le soluzioni di una equazione fratta.

1 x3 – 5x2 + 6x ≤ 0 Si scompone l’espressione polinomiale x(x2 – 5x + 6) ≤ 0 x(x – 2)(x – 3) ≤ 0 Si pone ciascun fattore maggiore o uguale a zero e si riporta la soluzione nello schema per lo studio del segno. 0 x≥0

→

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

x–2≥0→x≥2 →

++++++++++++++++++++++++++++++++

x–3≥0→x≥3 →

+++++++++++++++++++++++

−

S = {x ∈ R | x ≤ 0 ∨ 2 ≤ x ≤ 3} 2

x2 – 4 ≥0 1–x Si scompone il numeratore; il denominatore è un binomio di primo grado, quindi già ridotto.

181

sezione 6

(x – 2)(x + 2) ≥0 1–x Si pone ciascun fattore del numeratore maggiore o uguale a zero e il denominatore solo maggiore di zero; poi si riporta la soluzione nello schema per lo studio del segno. –2 x–2≥0→x≥2

→

++++++++++++++

x + 2 ≥ 0 → x ≥ –2 →

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1–x>0→x<1

→

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

−

S = {x ∈ R | x ≤ –2 ∨ 1 < x ≤ 2}

6.3 SISTEMI DI DISEQUAZIONI Un sistema di disequazioni è un insieme di due o più disequazioni (in una variabile) che devono essere verificate tutte contemporaneamente. Per risolvere un sistema di disequazioni si risolvono singolarmente le disequazioni, l’insieme delle soluzioni del sistema è dato dall’intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni. Un sistema è impossibile se l’insieme delle soluzioni è vuoto, S = ∅, cioè non esiste nessun valore reale che verifica contemporaneamente tutte le disequazioni del sistema.

⎧ 2x – 3 < x + 1 ⎨ ⎩ x – 5 ≤ 3x + 1 Si risolvono singolarmente le disequazioni del sistema.

⎧ 2x – x < 3 + 1 ⎨ ⎩ x – 3x ≤ 5 + 1

⇒

⎧x < 4 ⎨ ⎩ –2x ≤ 6

⇒

⎧x < 4 ⎨ ⎩ x ≥ –3

Si rappresentano graficamente le soluzioni ottenute in modo che i punti di riferimento numerici siano disposti in ordine crescente. 4 –3 Dal grafico si vede che le disequazioni sono entrambe verificate nell'intervallo che va da –3 a 4, con il –3 incluso. S = {x ∈ R | –3 ≤ x < 4}

182

Disequazioni di primo grado

6.1 1 a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v z

Vero o falso? Una disequazione è sempre verificata. Se a > b allora b < a. Se a −b. Se a 0. Se a < b e c < d allora a + c < b + d. Se a < b e c < d allora ac < bd. Le soluzioni di una disequazione sono costituite da un intervallo di valori. Il verso di una disequazione non cambia se si aggiunge lo stesso numero ai due membri. Una disequazione cambia il verso se si cambia il segno a tutti i suoi termini. Due disequazioni con lo stesso verso sono equivalenti. Due disequazioni equivalenti hanno lo stesso insieme di soluzioni. 1 1 Se a e b sono numeri concordi e a > b, allora < . a b Se a e b sono numeri positivi, n ∈ N e a < b, allora an > bn. Una disequazione di primo grado ammette sempre soluzioni. Due disequazioni con lo stesso verso sono equivalenti. Due disequazioni equivalenti hanno lo stesso insieme di soluzioni. Se a > b allora −a < −b. Se a > b allora m + a > m + b. ax < a con a < 0 è verificata per x > −1. ax < a con a = −2 è verificata per x > 1. ax < a è verificata per x < 1 solo se a = 1.

V V V V V V V V V V V

F F F F F F F F F F F

V F V V V V V V V V V

F F F F F F F F F

Completa la seguente tabella. insieme dei valori

scrittura simbolica

L’insieme dei numeri maggiori di 3

...........................

L’insieme dei numeri maggiori o uguali ad a

...........................

L’insieme dei numeri .........................................................................

x < −2

L’insieme dei numeri .........................................................................

...........................

L’insieme dei numeri compresi tra ...... e ......, esclusi sia ...... che ......

...........................

......................................................................... .........................................................................

...........................

......................................................................... .........................................................................

−1 < x ≤ 4

......................................................................... .........................................................................

1≤x≤7

L’insieme dei numeri compresi tra −3 e 4

...........................

rappresentazione grafica ...

4 −1

...

183

sezione 6 3

Scegli la risposta esatta. La disequazione 2x > −5 è verificata per:

x < −5 2

x > −5 2

x>2 ogni valore di x nessun valore di x

x > −2 5

La disequazione x 2 − 4 ≥ 0 è verificata per:

x < −2 ∨ x > 2

La disequazione 7x + 5 > 5x + 13 ha per soluzione: x≥4 x<4 x>4

−2 ≤ x ≤ 2 x ≤ −2 ∨ x ≥ 2 f

La disequazione x 2 > 16 è verificata per:

La disequazione x 2 + 4 > 0 è verificata per:

x>4

La disequazione

x−3 è verificata se: x+1

x < −1 ∨ x ≥ 3 x ≤ −1 ∨ x > 3 x ≤ −1 ∨ x ≥ 3

x > 4 ∨ x > −4 x < −4 ∨ x > 4

6.2 1

Completa la seguente risoluzione di una disequazione fratta.

Esercizio guidato 2x – 6 ≤0 3x + 12 N≥0

→

____________ ≥ 0 →

____________ ≥ ____________

D>0

→

____________ > 0 →

____________ > ____________

.....

..... ++++++++++++++++++++++++

+++++++++++++++++++++

+++++++++++++++++++++++

−

S = {x ∈ R | .........................} 2

Risolvi la seguente disequazione fratta seguendo la guida.

Esercizio guidato 2x – 1 >0 x+3 Studia il segno del numeratore e del denominatore. ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________

184

Disequazioni di primo grado

Riporta sul grafico lo studio del segno. .....

.....

................................................................................. ...................................................................................... .....

.....

Scrivi la soluzione della disequazione. S = {x ∈ R | .........................}

6.3 1 a b c d e f

Vero o falso? Un sistema di disequazioni in un’incognita può essere formato da un numero qualunque di disequazioni. La soluzione di un sistema di disequazioni in un’incognita è data dall’unione di tutte le soluzioni che soddisfano ciascuna disequazione. La soluzione di un sistema di disequazioni in un’incognita è data dall’insieme di tutte le soluzioni che soddisfano contemporaneamente tutte le disequazioni. Un sistema di disequazioni in un’incognita non ha soluzioni solo se nessuna delle disequazioni ammette soluzioni. Un sistema di disequazioni in un’incognita può non avere soluzioni anche se ciascuna disequazione ammette soluzioni. Un sistema di disequazioni in un’incognita sicuramente non ammette soluzioni se almeno una disequazione non ammette soluzioni.

V F V F V F V F V F V F

Scegli la risposta esatta.

⎧x > 7 ⎪ Il sistema: ⎨ x < 5 : ⎪x ≥ 0 ⎩

⎧2 x − 10 ≤ 0 ⎪ Il sistema: ⎨ x + 3 : ⎪x−2 >0 ⎩

ha soluzione 0 ≤ x < 5. non ha soluzioni. è verificato ∀ x ∈R.

ha soluzione x < −3 e 2 < x < 5. ha soluzione x < −3 e 2 < x ≤ 5. non ha soluzioni.

⎧ −x < −3 ⎪ Il sistema: ⎨ x − 2 > 0 : ⎪9 − x ≤ 0 ⎩

⎧x2 − 3x + 2 > 0 ⎪ Il sistema ⎨ 2 x + 1 : ⎪ x − 3 ≤1 ⎩

non ha soluzioni. ha soluzione x > 9. ha soluzione x ≥ 9.

ha soluzione −4 < x < 3. ha soluzione 1 < x < 2. ha soluzione −4 ≤ x < 1 e 2 < x < 3.

185

sezione 6 ⎧x < 5 Il sistema: ⎨ è verificato per: ⎩x ≥ 2

x>4 x < 10 x>3

x≤2 e x>5 −2 ≤ x < 5 −2 < x < 5

⎧x > 2 ⎪ Il sistema: ⎨ x < −2 è verificato per: ⎪x ≥ 0 ⎩

⎧x + 7 > 0 Il sistema: ⎨ è verificato per: ⎩x − 3 > 0

⎧x − 4 > 0 Il sistema: ⎨ è: ⎩x + 5 < 0 indeterminato impossibile verificato per x < −5 e x > 4

x>0 x>2 nessun valore di x

6.1 1

Risolvi le seguenti disequazioni intere.

Esempio Risolvi la seguente disequazione intera: 3(x – 2) < x + 3. 3x – 6 < x + 3

⇒

3x – x < 6 + 3

2x < 9

⇒

9 2

L’insieme delle soluzioni è l’intervallo x <

7x + 5 > 5x + 13

3x − 9 > 7x + 5

⎛ 9 9⎞ . Possiamo anche scrivere S = ⎜−∞, ⎟ . ⎝ 2 2⎠

[ x > 4]

(6x + 1)2 + 4(4x + 1)2 > (10x + 1)2

x>−

1 6

x<−

5 3

x<−

7 2

(x + 1)2 − 2 < (x + 2)(x − 3)

2(x − 1) < 1

3 2

(2x − 5)2 > 4(x − 7)(x + 7) + 61

3(x − 5) + 8 > 17

[ x > 8]

⎛ ⎞ (x 2 − 4) − 1 (x − 1) ≥ ⎜ x + 1 ⎟

2x − 3 3 − x 5x − 1 3 + x 1 − > − − 6 4 6 6 24

17 − x 8 − 3x 25 ≥ + − 2x 3 6 3

9(23 − 5x) > 8(5x − 6)

[x < 3]

8(5 − x) > 3(x − 5)

[x < 5]

(x + 3)(x + 5) > (x + 1)(x + 9)

[x < 3]

186

9 2

⎝

[x < 8]

2⎠

x≤−

5 2

x<−

19 3

x≥

49 17

Disequazioni di primo grado

1 (x + 5)(1 − 5x) − 3 < 3 x − (x + 5)2 5 5

[x < − 5 ]

⎧ 1 ⎞ ⎡ 1 ⎤⎫ 1 ⎛1 5 x + x ⎜ − x ⎟ ≤ 2 − ⎨2 − x + ⎢ 2 − x ( 3 − x ) ⎥ ⎬ ⎝ ⎠ 3 2 ⎣ 3 ⎦⎭ ⎩ 3

x≤−

2x x x x − 1 17 + ≥ − + 3 2 5 10 2

x≤

3 2

⎛ 1⎞ 7x − 1 2x − 3 + ≥ 10x ⎜x − ⎟ − 10x 2 + 3 ⎝ 5⎠ 4 2

g r

(2x + 3)2 − 1 − x > 4(x − 1)2

⎛ 3(7x − 3) 1 1⎞ ⎛ 1⎞ − > (x + 2) ⎜ x − ⎟ − ⎜ x − ⎟ ⎝ 4 3⎠ ⎝ 3⎠ 8

⎛ 4 5 25 1⎞ 4 ⎛ 9 ⎞ x − x− ≤ − ⎜ x − ⎟ − x ⎜ 1 − x⎟ ⎝ 9 3 9 3⎠ 9 ⎝ 4 ⎠

12 23

[x ≥ 1]

14 61

43 21

x≥−

24 13

3 ( x − 1) 2 ⎛ 4 1⎞ 1 ⎛ 1⎞ − ( x + 2)⎜ x − ⎟ > − ⎜ x − ⎟ ⎝ 3⎠ 4 ⎝ 3⎠ 1 1− 3

43 21

x+ i

2 3

−

x−

1 2

x − 8 15 5 + 12 x − x+ 6 8 6

[x < 8]

⎛ ⎜⎝ x −

1⎞ 1 ⎛ 1⎞ 3 9 > ⎜x − ⎟ (x + 2) − x − (x − 1) x > 43 ⎟⎠ − 21 3 4 ⎝ 3⎠ 2 8

2x − v

1 2

Risolvi le seguenti disequazioni letterali.

Esempio

2 x − 3 37 + ≤ 6 1 2

37 x≤ 14

a(x – a) < 3(x – 3) Eseguiamo i calcoli: ax – a2 < 3x – 9

2 2x − 3 3x − 1 1 3x − 1 − + − 2x ≥ − x − 2 6 3 9

x≤

(a – 3)x < (a – 3)(a + 3)

1 3

Dobbiamo discutere l’equazione al variare del parametro a: • se a – 3 > 0 ⇒ a > 3 ⇒ x < a + 3 • se a – 3 < 0 ⇒ a < 3 ⇒ x > a + 3 • se a – 3 = 0 ⇒ a = 3 ⇒ 0 < 0 ⇒ impossibile

Risolvi le seguenti disequazioni intere.

(x + 1)2 3

⎛ b ⎜ ⎝

(x + 1)(x − 1)

− 3x ≥

2 3 (x + 1)2 − 2x − 11 3 2

[x ≤ −1]

⎞ ⎛1 ⎞ 2 1 34 1 x + 1⎟ − 3 ⎜ x + 1⎟ + x − 5 ≥ − + x 2 [x ≤ − 2] ⎠ ⎝2 ⎠ 5 2 5 4

⎞ 3(x + 4) 1 1 7 x + 1⎟ − x(x + 4) + x 2 ≤ +7 ⎠ 4 2 16 2

(a − 1)x > a2 − 1 [a > 1: x > a + 1;

a < 1: x < a + 1; a = 1: impossibile]

⎛ ⎜⎝

3 − 2

ax – 3x < a2 – 9

x−

x2 +

1 2

x− 8 3

( 2 x − 1 )2 ≤ 4 ⎛ x 2 − 1 ⎞ + 3 + 3

4 3

3 ⎜⎝

4 ⎟⎠

1 4 ⎛ 4⎞ ⎛ 1⎞ 5 + ≤⎜ x − ⎟ ⎜ x + ⎟ + x ⎝ ⎠ ⎝ 3 2⎠ 6 1 − 2 x+

[x ≥ − 4 ]

1 x≥ 2

[a > 2: x > a + 2; a < 2: x < a + 2; a = 2: impossibile]

3b(x − b) − 6b2 ≤ a(x − a)

con a > 0, b > 0

[a < 3b: x ≤ 3b + a; a > 3b: x ≥ 3b + a; a = 3b: ∀x]

x + 2 1 3x − 1 + ≥ 2 b 2b

[b = 0: perde significato; b > 0: x ≤ b + 5; b < 0: x ≥ b + 5]

8 x≥− 39

a(x − a) > 2(x − 2)

3 x+1 +x−2 < b b

[b = 0: perde significato; b > 0: x < 2; b < −1: x < 2; −1 2; b = −1: impossibile]

187

sezione 6

6.2 1

Risolvi le seguenti disequazioni fratte.

Esempio 3x >0 x–1 Studiamo il segno del numeratore e del denominatore: N>0

⇒

3x > 0

⇒

x>0

D>0

⇒

x–1 > 0

⇒

x>1

Rappresentiamo graficamente: 0

N>0 D>0

–

La disequazione è soddisfatta se il numeratore e il denominatore sono concordi. Le soluzioni sono date dagli intervalli x < 0 ∨ x > 1. Possiamo anche scrivere: S = (–∞, 0) ∪ (1, +∞).

2x − 3 ≥0 x+1

x <0 3−x

3x ≥8 x−6

6<x≤

[x < 0 ∨ x > 3]

2x + 5 >4 3x − 1

1 9 <x< 3 10

x−1 >0 x+2

[x < −2 ∨ x > 1]

x−5 +1 > 0 1−x

x−5 >0 x−7

[x < 5 ∨ x > 7]

3 1+x > 4 2−x

2x + 5 ≥0 2x + 1

x ≤ −1 ∨ x ≥

x≤−

3 2

5 1 ∨ x≥− 2 2 p

x−4 >1 x−7

7 8 > x−2 x−5

x >5 x−2

x+4 <2 3+x

188

[x > 7] [x < −19 ∨ 2 < x < 5]

2<x<

[x < 1]

10 <0 1 2− x 3

2 ∨x>2 7

[x > 6]

1 ( x − 1) 2 >0 2 x− 3

x x−1 −2 < −3 x+1 1+x

[−2 < x < −1]

5 2

[x < 3 ∨ x > −2]

48 5

2 ∨x>1 3

Disequazioni di primo grado 2

Risolvi le seguenti disequazioni di grado superiore al primo, scomposte o scomponibili in fattori di primo grado. Esempio x 3 – 2x 2 – 3x ≥ 0 Scomponiamo il polinomio al primo membro: x(x 2 – 2x – 3) ≥ 0

⇒

x(x – 3)(x + 1) ≥ 0

Studiamo il segno dei fattori: 1° fattore: x ≥ 0

⇒

x≥0

2° fattore: x – 3 ≥ 0

⇒

x ≥ +3

3° fattore: x + 1 ≥ 0

⇒

x ≥ –1

Rappresentiamo graficamente i tre intervalli e determiniamo il segno del prodotto: –1

1° fattore 2° fattore 3° fattore

–

Le soluzioni sono date dagli intervalli –1 ≤ x ≤ 0 ∨ x ≥ 3. Possiamo anche scrivere: S = [–1, 0] ∪ [3, +∞).

(x 2 − 9) ≥ 0

[ x ≤ −3 ∨ x ≥ 3]

(x − 2)(x + 5) > 0

[x < −5 ∨ x > 2]

(2x − 1)(x + 5) > 0

1 x < −5 ∨ x > 2

(1 − 2x)(x + 2)(x − 3) ≥ 0

(x 2 − 4)(x 2 − 9)(1 − 2x) ≥ 0

(2x − 1)(x − 3)(7x − 14) < 0

x 2 + 2x − 3 > 0

(x − 1)(2x 2 − x − 6) ≤ 0

2x 3 − 6 − 13x ≤ x 2

2x −

−

1 x ≤ −3 ∨ −2 ≤ x ≤ ∨ 2 ≤ x ≤ 3 2

x 4 + x 3 − 7x 2 − x + 6 > 0

1 ∨2<x<3 2

(3x − 1)2 − (2 − x)2 < 0

[x < −3 ∨ x > 1]

x 4 − 4x 3 − x 2 + 16x − 12 ≤ 0

(x2 − 4)(x2 − 9x + 8) ≥ 0

1 x ≤ −2 ∨ ≤ x ≤ 3 2

3 x≤− ∨1≤x≤2 2

x 2 − 7 4x − 1 ≥ 4 2

1 2 x + 27 ≤ 0 3

1 x ≤ −2 ∨ − ≤ x ≤ 3 2

[−3 ≤ x ≤ 3] [x ≤ −9 ∨ x ≥ 9] [x < −3 ∨ −1 < x < 1 ∨ x > 2] 1 3 − <x< 2 4

[−2 ≤ x ≤ 1 ∨ 2 ≤ x ≤ 3] [x ≤ −2 ∨ 1 ≤ x ≤ 2 ∨ x ≥ 8]

Risolvi e discuti le seguenti disequazioni letterali frazionarie.

Esempio a 1+x > a+1 x Osserviamo che per a = –1 la disequazione perde significato. Eseguiamo i calcoli: ax – (a + 1)(1 + x) >0 x(a + 1)

⇒

ax – a – ax – 1 – x >0 x(a + 1)

⇒

–x – 1 – a >0 x(a + 1)

189

sezione 6

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore: N>0

⇒

–x – 1 – a > 0

⇒

x+a+1 < 0

⇒

x < –a – 1

D>0

⇒

x(a + 1) > 0

⇒

⎧ se a > –1 ⎨ ⎩ se a < –1

⇒

x>0

⇒

x<0

a > –1

a < –1 –a – 1

N>0

–a – 1

N>0

D>0

–

Riassumendo: • a = –1: perde significato • a > –1: –a – 1 < x < 0 • a < –1: x < 0 ∨ x > –a – 1

2x + a +1 > 0 ax

1+x 1 > a 2x

a−x <1 2x − a

1 +1 > 0 x−b 3

(b − 1)x + 2

a = 0: perde significato; a = −2: impossibile; a < −2 ∨ a > 0: x <

a = 0: perde significato; a < 0 ∨ a > 2: x <

[x b]

b > 1: x >

Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni.

Esempio ⎧3 x − 1 < 4 + 2 x ⎪ ⎪ ⎨x − 2 ≥ 2x − 7 ⎪ 1 1 ⎪2 − x > x 5 3 ⎩ Eseguiamo i calcoli:

⎧x < 5 ⎪ ⎨ –x ≥ –5 ⎪ 30 – 3x > 5x ⎩

190

a a ∨ x > 0; 0 < a < 2: 0 < x < ; a = 2: x > 0 2−a 2−a

a 2 2 a a > 0: x < ∨ x > a; a < 0: x < a ∨ x > ; a = 0: ∀x 2 3 3 2

6.3 1

−a −a ∨ x > 0; −2 < a < 0: 0 < x < a+2 a+2

⎧x < 5 ⎪ ⇒ ⎨x ≤ 5 ⎪ –8x > –30 ⎩

⎧x < 5 ⎪ ⎪ ⇒ ⎨x ≤ 5 ⎪ x < 15 ⎪⎩ 4

2 2 ; b < 1: x < ; b = 1: ∀x 1−b 1−b

Disequazioni di primo grado

Rappresentiamo graficamente i tre intervalli: 15 4

1a disequazione 2a disequazione 3a disequazione

L’insieme delle soluzioni per il sistema dato è x <

⎧ 2(x − 1) > 0 ⎨ ⎩ 2(x − 1) − 5 > 0

⎧ 3x − 5 > 0 ⎨ ⎩ 4x + 9 < 0

⎧ 3x − 1 < 4 + x ⎪ ⎨x−2 > 0 ⎪ 2x − 1 < x + 3 ⎩

⎧ 1 ⎪5 x + 2 x > 0 ⎪ ⎪ 1 ⎨x > 4 ⎪ ⎪ 1 ⎪4 x + 4 x + 1 < 7 ⎩

⎧2 − x x −1 x +1 ⎪ 3 − 6 > 4 ⎪ ⎪ 2x + 1 x − 1 x − 2 + < ⎨ 2 6 ⎪ 3 ⎪x −4 x 5− x ⎪ 5 − 20 < 4 ⎩

x<−

⎧ x ( x + 1 ) ( 2 x − 1 )2 3x + 1 1 ⎪ − < − 2 8 4 8 ⎨ ⎪ 2 ⎩( x − 4 ) > ( x − 1)( x + 1) + 25

[x < −1]

⎧ 3x + 1 x + 5 x − 1 ⎪ 2 − 6 > 3 ⎪ ⎪1 − 3 x x + 1 1− x − <− ⎨ 4 3 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪( x + 1) − ( x − 4 )( x + 4 ) − x > 3 − 3 ( x − 2 ) ⎩

⎧ 1 ⎪5 x + 2 < 0 ⎪ ⎪ 3 1 ⎨2 x − > x − 4 2 ⎪ ⎪ 1 ⎪5 x − 7 + 4 x < x − 1 ⎩

⎧ 3(x + 4) > 2 + 3(2x − 1) ⎨ ⎩ 2(x + 1) < 7 − x

7 2

[impossibile]

2<x<

⎧ 7 − 2x > 3x − 1 ⎪ ⎨x+9 < 0 ⎪ 4(x + 1) + 3 > x − 1 ⎩

⎧ 3x + 1 < 7 − 2x ⎪ ⎨ 2x + 5 < x − 4 ⎪ 4x + 7 > x − 1 ⎩

⎧ (x + 1) − (x − 1) + 1 < 0 ⎨ 2 ⎩ x + x < x(x + 2) − 1

⎧1 1 ⎪⎪ 3 x + 5 x > 8 ⎨ ⎪1 x − 4 x > 5 ⎪⎩ 2 9

⎧1 4 ⎪⎪ 2 x + 9 x < 5 ⎨ ⎪1 x + 1 x < 8 ⎪⎩ 3 5

⎧1 7 1− x ⎪⎪ 2 x + 2 > − 3 ⎨ ⎪1 x < − 4 ⎪⎩ 5 5

15 . 4

5 2

[impossibile]

[x > 90]

[x > 15]

[−23 < x < −4]

1 24 <x< 4 17

1 6

[x > 0]

[impossibile]

5 3

191

sezione 6 2

⎧ 6 x − 2x x 3 < − ⎪⎪ 3 2 4 ⎨ ⎪ 1 x − 1 > 2x − 1 ⎪⎩ 4 2 4

⎧ 3x − 4 1 6x + 7 x + 1 ⎪⎪ 5 + 8 < 8 − 2 ⎨ ⎪2 x + 2 + 3 x − 1 < 10 x + 1 ⎪⎩ 5 3

⎧ 2x − 5 x + 1 − >0 ⎪ 1 1 2− ⎪ 2+ 3 3 ⎨ ⎪1 1 1 ⎪ x −2< x − 3 2 ⎩4

⎧x −2 x −3 2x − 1 ⎪⎪ 4 − 2 < 3 − 6 ⎨ ⎪ 4 x − 1 + 2 x > 13 − x + 1 ⎪⎩ 6 4

⎧x +8 3 x+3 ⎪⎪ x + 5 + 2 < 1 − 2 x + 10 ⎨ ⎪ x +1 > 0 ⎪⎩ x − 2

⎧ 7 8 ⎪x −2 < x −5 ⎪ ⎨ 10 <0 ⎪ 1 ⎪2 − x 3 ⎩

⎧x −4 3 1 ⎪⎪ 3 − x − 4 > 3 x ⎨ ⎪ 1 > 1 ⎪⎩ x + 3 x − 3

⎧ 2x − 3 ⎪⎪ x − 5 > 2 ⎨ ⎪ (1 − x )( 2 x − 1) > 0 ⎪⎩ x ( 3 x − 1)

192

⎧ 2 ⎪x − 2x ≥ 0 ⎪ ⎨10 − x ≥ 0 ⎪ x >1 ⎪ ⎩2 − x

⎧x −2 ⎪⎪ 3 < 1 − x ⎨ ⎪ 1 x + 1 > 2x − 3 ⎪⎩ 2 4

⎧ 3x − 2 x + 4 1 2x − 1 ⎪⎪ 5 − 2 − 4 > − 10 ⎨ ⎪ 2 ⎛ x − 1 ⎞ + 7 ⎛ 1 x + 1 ⎞ < 23 ⎟ ⎟ ⎜ ⎪⎩ 3 ⎜⎝ 2⎠ 4 ⎝ 3 2⎠ 4

[impossibile]

⎧1 1+ x ⎪⎪ 2 x − 3 ( 2 − x ) > 4 ⎨ ⎪1 + 3 x < 1 − 2 x − 1 ⎪⎩ 4 3

[impossibile]

⎧5 1 x 8− x ⎪⎪ 3 + 2 ( x + 6 ) < 3 + 6 ⎨ ⎪2 + x − 4 > 4 + x − 3 x − 1 ⎪⎩ 5 3 15

[impossibile]

⎧4 (1 − x ) + 3 ( x − 2 ) < 9 x ⎪ ⎪⎪3 ⎛ x − 1 ⎞ + 5 ⎛ x − 1 ⎞ < x ⎟ ⎟ ⎜⎝ ⎨ ⎜⎝ 3⎠ 4⎠ ⎪ ⎪ x +1 − x − 2 <1 ⎪⎩ 4 3

1 29 − <x< 5 84

⎧ ( 2 x + 1)( 3 x − 1) 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ − <⎜ x + ⎟ ⎜ x − ⎟ −⎜ x + ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 6 9 3 3 6⎠ ⎪ ⎪ 1 1 1 ⎨2 − x x −1 x− 2x + 3 4 ⎪ 3 −2 > − ⎪ 1 1 1 1 1 3 6 + 3+ − ⎪ x<− 2 2 3 2 8 ⎩ 2 5

⎧ 3 3 ⎛ 1 ⎞ 2 + 3x + ⎜ − 1⎟ > ⎪⎪1 − x 2x 4 ⎝ x ⎠ ⎨ ⎪1 x − 1 > x − 1 + x − 1 ⎪⎩ 6 x−6 x−6 6

Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni.

[impossibile]

[2 < x < 3]

32 3

31 < x < 26 7

[−6 < x < −5]

[x > 6]

7 <x<3 4

[impossibile]

5 4

[−1 < x < 0]

Disequazioni di primo grado

⎧x + 6 x +1 1 9− x ⎪⎪ 4 − 2 < 6 + 3 ⎨ ⎪ 8 x + 3 − 13 > 1 − 12 x − 1 x 6 4 ⎩⎪ 12

31 < x < 26 7

⎧ ⎪−5 x ≤ 0 ⎪ ⎪3 1 ⎨ x−x>x+ 2 ⎪4 ⎪ x−2 ⎪⎩1 − x > 3

0≤x<

⎧ ⎪18 x + 5 > 3 ( 4 − x ) ⎪ ⎪ 2x x ⎨ − > 23 − x ⎪ 5 4 ⎪ 10 5 x + 30 ⎪⎩5 + 9 x < 3

⎧ −8 (16 x 4 + 1) ⎪ ≤0 x−3 ⎨ ⎪x − 4 ≥ 0 ⎩

⎧ x ⎪3 x + 5 < 2 ⎪ ⎪x +1 1 < ( x − 1) ⎨ 3 ⎪ 2 ⎪1 1 ⎪ 3 ( x − 1) > 5 x ⎩

[impossibile]

⎧ 3x − 2 ⎪⎪ x ≥ 4 ⎨ ⎪ 2x − 9 ≥ 7 ⎪⎩ 3 − x

[impossibile]

⎧ 5 2 ⎪⎪ 3 x − 3 ≥ 5 x − 5 ⎨ 2 ⎪ x − 8x ≥ 0 ⎪⎩ x − 7

⎧x −3 ≤0 ⎪7 − x ⎨ ⎪( 2 − 5 x )( x − 7 ) > 0 ⎩

1 8

[x > 20]

[x ≥ 4]

[1 < x < 7 ∨ x ≥ 8]

2 <x≤3 5

Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni letterali.

Esempio ⎧ x+1 ≥2 ⎪ b ⎨ ⎪ b(x + 3) ≤ 2b(1 + b) ⎩

Osserviamo che per b = 0 il sistema perde significato. se b > 0

• prima disequazione:

x+1 ≥2 b

⇒

x + 1 ≥ 2b

• seconda disequazione: bx + 3b ≤ 2b + 2b2 ⇒

⇒

x ≥ 2b – 1

bx ≤ 2b2 – b

⇒

x ≤ 2b – 1

2b – 1

1a disequazione 2a disequazione La soluzione del sistema è x = 2b – 1. se b < 0

• prima disequazione:

x+1 ≥2 b

⇒

x + 1 ≤ 2b

• seconda disequazione: bx + 3b ≤ 2b + 2b2 ⇒

⇒

x ≤ 2b – 1

bx ≤ 2b2 – b

2b – 1

⇒

x ≥ 2b – 1 x

1a disequazione 2a disequazione La soluzione del sistema è x = 2b – 1. Riassumendo: per b = 0: perde significato; per b ≠ 0: x = 2b – 1.

193

sezione 6

⎧2 ( x − a ) + x < x ( a + 3 ) ⎪ ⎨ 2 − 3a 2a + 2 + 5 x ⎪ x ( a + 1) + 5 < a + 5 ⎩

[a > 0: −2 < x < 2; a ≤ 0: impossibile]

⎧ 2x − 5a ≥ −2a − x ⎨ 2 ⎩ x + (a + 1)(a − 1) > 2a − 1

[a ≤ 0 ∨ a ≥ 1: x > a2; 0 < a < 1: x ≥ a]

⎧ b(bx − 1) + x 2 ≥ (x + 1) − 2(x + 1) + 1 ⎨ ⎩ b(x + 3) < 3(b + 1)

⎧ x(x + 1) ≥ 1 + x 2 − a ⎨ ⎩ a(x + 2a) − (x + 1) + 2a < 2a(a + 1)

⎧ bx − 4 ⎪⎪ b < x ⎨ ⎪ 2x − 1 > b ⎪⎩ b

⎧ 3x > b ⎨ ⎩ 4(2x − b) < x + b

b = 0: ∀x; b > 0:

a < 1: x ≥ 1 − a; a > 1: 1 − a ≤ x <

1 3 1 ≤ x < ; b < 0: x ≥ b b b

1 ; a = 1: impossibile a−1

b = 0: perde significato; b < 0: impossibile; b > 0: x >

b ≤ 0: impossibile; b > 0:

b2 + 1 2

1 5 b<x< b 3 7

Esercizio n. D19 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2012/2013.

Esercizio n. D20 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2014/2015.

Nell’insieme dei numeri reali, la disequazione x 2 > 0 è verificata

Lorenza afferma: 1 “La disequazione x < x è soddisfatta per ogni nume2 ro reale x”. Lorenza ha ragione? Scegli la risposta corretta e completa la frase.

A. per ogni x ≠ 0 B. per ogni x C. solo per ogni x < 0

Lorenza ha ragione perché ____________________

D. solo per ogni x > 0 ______________________________________________ 2 Esercizio n. D2 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2014/2015.

Nell’insieme dei numeri reali la disequazione x + 1 ≥ 0 è verificata

______________________________________________ ______________________________________________

A. solo per x ≥ 0 B. solo per x ≥ −1

Lorenza non ha ragione perché ________________ ______________________________________________

C. per ogni x

______________________________________________

D. per nessun x

______________________________________________

194

Disequazioni di primo grado 4

Esercizio n. D5 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2013/2014. Le persone, durante le attività sportive, non dovrebbero superare una determinata frequenza del battito cardiaco, frequenza che varia in funzione dell’età. Il numero massimo di battiti al minuto che non dovrebbe essere superato (frequenza cardiaca massima consigliata) si può calcolare sottraendo a 220 l’età x del soggetto. Inoltre, affinché un allenamento in palestra sia efficace, il numero dei battiti y dovrebbe essere mantenuto in un intervallo compreso tra il 70% e il 90% della frequenza cardiaca massima consigliata. Quale delle seguenti disuguaglianze esprime il numero di battiti da mantenere in un allenamento efficace? A. 70 . (220 − x) ≤ y ≤ 90 . (220 − x) B. 0,7 . (220 − x) ≤ y ≤ 0,9 . (220 − x) a

C. 220 − 0,9 . x ≤ y ≤ 220 − 0,7 . x D. 0,9 . 220 − x ≤ y ≤ 0,7 . 220 − x b Sul seguente diagramma cartesiano sono rappresentate, in funzione dell’età (x), le frequenze cardiache (F) massima e minima entro le quali si ha un allenamento efficace per soggetti che hanno un’età compresa tra 20 e 70 anni.

F 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

frequenza massima frequenza minima

70 x

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera V o falsa F . a. b. c.

La differenza fra la frequenza massima e la frequenza minima a 70 anni è maggiore di quella a 20 anni. A vent’anni un allenamento è efficace quando la frequenza cardiaca si mantiene all’incirca tra 140 e 180 battiti al minuto. Perché un allenamento sia efficace, chi ha 70 anni non deve superare la frequenza cardiaca di circa 120 battiti al minuto.

Decidi di iscriverti in palestra, ti vengono proposte due possibili forme di pagamento:

Determina il valore del parametro in modo da soddisfare le indicazioni date.

• proposta A → quota annua di 400 euro + 2 euro per ogni ingresso.

a Determina i valori del parametro k tali per cui l’equazione

• proposta B → quota annua di 20 euro + 6 euro per ogni ingresso. Determina il numero minimo di ingressi in palestra che rendono l’offerta A più vantaggiosa dell’offerta B. ______________________________________________ ______________________________________________

(1 − 2k) x + k = 2 ha per soluzione un valore x che risulti x ≤ −1 ∨ x > 2. b Determina i valori del parametro k tali per cui la disequazione

kx − k − 2x > 0 ha come insieme delle soluzioni S ⊆ {x ∈R | x > 3} a

Risposta: __________________

2 1 b <k<1 e k ≠ 2 <k ≤3 5 2

195

SEZIONE

GEOMETRIA

Il piano nel modello di Euclide

7.1 INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA RAZIONALE; ELEMENTI PRIMITIVI, DEFINIZIONI, ASSIOMI E TEOREMI La geometria euclidea prende il suo nome da Euclide, matematico greco (367 a.C.- 283 a.C.). Euclide ha raccolto nella sua opera più importante, gli Elementi, tutti i risultati che la scienza matematica aveva raggiunto fino a quel momento. La struttura della geometria euclidea è fondata su concetti ed enti primitivi, definizioni, postulati e teoremi. I concetti e gli enti primitivi della geometria nascono dall’evidenza, dall’astrazione di ciò che viene osservato, pertanto non viene data una definizione rigorosa. Sono concetti primitivi il concetto di movimento rigido e i concetti di insieme e di appartenenza; mentre sono enti primitivi gli enti fondamentali della geometria: il punto, la retta, il piano e lo spazio. Si pensa al punto come al segno lasciato da una matita su un foglio, privo di estensione; un punto viene indicato con una lettera maiuscola: P, A, B, ... . Le rette, invece, vengono indicate con lettere minuscole: r, s, t, ... . Il piano viene indicato con lettere minuscole dell’alfabeto greco: α, β, δ, ... . Anche lo spazio non ha una sua definizione, ma lo si percepisce come l’ambiente che ci circonda. Una definizione è una affermazione che associa ad un termine il suo significato; si basa su concetti o enti primitivi o su concetti già definiti. Un esempio di definizione è una definizione basilare nella geometria.

Si definisce figura geometrica un insieme, non vuoto, di punti.

Il postulato, o assioma, è una affermazione che esprime una proprietà evidente, quindi non necessita di dimostrazione; la geometria euclidea è anche detta geometria assiomatica perché basata sul metodo assiomatico. In particolare Euclide distingueva le nozioni comuni o assiomi, ovvero le affermazioni di carattere generale che non riguardavano specificatamente la geometria, dai postulati, che invece riguardavano enti geometrici. Un teorema è un enunciato che deve essere dimostrato. L’enunciato è una implicazione tra una (o più) ipotesi, che viene assunta per vera, e una tesi la cui verità deve essere dimostrata; la dimostrazione è un procedimento logico deduttivo. Il procedimento deduttivo su cui si basa la dimostrazione di un teorema è basata sul ragionamento, da ciò la geometria euclidea è anche detta geometria razionale.

196

Il piano nel modello di Euclide

Postulati fondamentali Postulati di appartenenza 1

Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette, infiniti piani. Un piano contiene infiniti punti, infinite rette. Una retta contiene infiniti punti.

Per due punti distinti passa una ed una sola retta.

Per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano.

Se due punti appartengono ad un piano, allora tutta la retta per i due punti giace sul piano.

Quinto postulato di Euclide Per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola retta parallela alla retta data.

Postulati di ordinamento della retta 6

È possibile stabilire una relazione d’ordine tra i punti di una retta, ovvero i punti di una retta possono essere ordinati in modo tale che valgano le seguenti affermazioni. • Dati due punti distinti A e B su una retta, A precede B (A < B), oppure B precede A (B < A). • Dati tre punti A, B e C, se A precede B e B precede C, allora A precede C. L’orientamento che viene fissato su una retta ne definisce il verso, la retta si dice retta orientata.

Data una retta orientata, per ogni punto ne esiste almeno uno che lo precede e uno che lo segue.

Tra due punti di una retta è compreso almeno un terzo punto.

Postulato di partizione del piano 9

Una retta r di un piano, divide l’insieme dei punti del piano, esclusi quelli della retta stessa, in due parti, non vuote, tali che: • se i punti A e B appartengono alla stessa parte, allora il segmento AB è contenuto in questa parte; • se i punti C e D appartengono a parti diverse, allora il segmento CD ha un punto in comune con la retta r. Punti e rette si dicono complanari se appartengono allo stesso piano. Tre o più punti sono allineati se appartengono alla stessa retta.

Nota bene: due punti sono sempre allineati per il secondo postulato. Due rette che hanno un solo punto in comune si dicono incidenti e tale punto comune è detto di intersezione.

s P •

P=r∩s

Due rette che non hanno punti in comune si dicono parallele se sono complanari, sghembe se appartengono a piani differenti. Il simbolo che indica parallelismo è //, cioè nel linguaggio simbolico per indicare che la retta r è parallela alla retta s si scrive r // s Si definisce fascio proprio di rette l’insieme di tutte le rette del piano passanti per un punto comune P detto centro del fascio.

P •

Si definisce fascio improprio di rette l’insieme delle rette del piano parallele ad una retta.

197

sezione 7

7.2 SEMIRETTE, SEGMENTI, POLIGONALI Una semiretta è ciascuna delle due parti in cui una retta viene divisa da un suo punto P, detto origine della semiretta. Ovvero, dato un punto P su una retta orientata, una semiretta è il sottoinsieme contenente P e tutti i punti della retta che lo precedono, o il sottoinsieme contenente P e tutti i punti della retta che seguono P. Un punto su una retta orientata dà origine a due semirette opposte. Presi due punti A e B su una retta orientata, il segmento AB è il sottoinsieme dei punti della retta costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta compresi tra A e B. I punti A e B sono detti estremi del segmento. Due segmenti sono consecutivi se hanno in comune solo un estremo. Due segmenti sono adiacenti se hanno solo un estremo in comune e tutti i punti giacciono sulla stessa retta. Ovvero due segmenti sono adiacenti se sono consecutivi e giacciono sulla stessa retta. •C • • A B Segmenti consecutivi

• • • A B C Segmenti adiacenti

Si definisce poligonale, o spezzata, la figura geometrica formata da una successione di due o più segmenti consecutivi e segmenti non successivi non hanno estremi in comune. I segmenti sono i lati della poligonale, mentre gli estremi dei segmenti sono i vertici. Una poligonale è chiusa se il primo estremo del primo segmento coincide con il secondo estremo dell’ultimo segmento, altrimenti si dice aperta. Una poligonale si dice intrecciata se due lati non consecutivi hanno un punto in comune, altrimenti la poligonale è non intrecciata.

Poligonale aperta e non intrecciata

Poligonale chiusa e non intrecciata

Poligonale aperta e intrecciata

Poligonale chiusa e intrecciata

Si definisce linea curva una linea geometrica che non è né una retta o un suo sottoinsieme (semiretta o segmento) né una poligonale.

linea curva chiusa

linea curva aperta

7.3 SEMIPIANI, ANGOLI Un semipiano è ciascuna delle due parti in cui una retta r, appartenente al piano, divide il piano e la retta stessa; se la retta è esclusa dal semipiano, il semipiano si dice aperto. La retta che genera i due semipiani è detta origine del semipiano. Una retta su un semipiano individua due semipiani opposti aventi la retta di origine in comune.

198

Il piano nel modello di Euclide Una figura geometrica si dice convessa se, per ogni coppia di punti qualsiasi appartenenti alla figura, anche il segmento che ha i due punti come estremi appartiene alla figura. Se almeno un punto del segmento che congiunge gli estremi non appartiene alla figura, la figura si dice concava. Esempi di figure convesse sono i piani, le rette e i segmenti. Si definisce angolo ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette a e b distinte che hanno l’origine O in comune. Le semirette sono i lati dell’angolo, l’origine delle semirette è il vertice dell’angolo.

α è convesso β è concavo

∧

β = aO b

α = aO b

Un angolo si definisce convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati, mentre si dice concavo se li contiene.

Due angoli sono consecutivi se hanno in comune il vertice e un lato e nessun altro punto. Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni giacciono sulla stessa retta. α

β O angoli consecutivi

β O angoli adiacenti

Classificazione degli angoli Angolo nullo → angolo convesso i cui lati coincidono, ha ampiezza 0°. a b

Angolo giro → angolo concavo i cui lati coincidono, ha ampiezza 360°. a b

Angolo piatto → angolo i cui lati sono uno il prolungamento dell’altro, ovvero i lati giacciono sulla stessa retta, ha ampiezza 180°. b

a O

Angolo retto → angolo pari alla metà di un angolo piatto, ha ampiezza 90°. a O

Angolo acuto → angolo di ampiezza minore di un angolo retto.

a O

Angolo ottuso → angolo di ampiezza maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto. a b

Sono angoli opposti al vertice angoli per i quali i lati di uno sono il prolungamento dei lati dell’altro. β α

α' β'

Sono coppie di angoli opposti al vertice α con α' e β con β'.

Teorema: due angoli opposti al vertice sono congruenti. ovvero Ipotesi: α con α' sono angoli opposti al vertice Tesi: α ≅ α' Dimostrazione: Sia β l’angolo adiacente ad α → α e β formano un angolo piatto → α + β = 180° L’angolo β è adiacente anche a α' → α' + β = 180° Per la proprietà transitiva si ha che α + β = α' + β → α ≅ α' (c.v.d.)

199

sezione 7

7.4 POLIGONI E LORO PROPRIETÀ Si definisce poligono la figura formata da una poligonale chiusa non intrecciata e da tutti i suoi punti interni. Vertici consecutivi di un poligono sono gli estremi di uno stesso lato. Due lati consecutivi hanno un estremo in comune. Angolo interno di un poligono è l’angolo che ha per vertice un vertice del poligono e per lati le semirette che contengono i lati del poligono e che hanno origine nel vertice. Angolo esterno di un poligono è l’angolo che ha per vertice un vertice del poligono e per lati le semirette che hanno origine nel vertice e una contiene uno dei lati, l’altra è la semiretta opposta a quella che contiene l’altro lato. Angoli consecutivi sono angoli che hanno un lato in comune. La somma degli angoli interni di un poligono, Si, dipende dal numero di lati. Se n è il numero dei lati del poligono, la somma dei suoi angoli interni è Si = (n − 2)180°

poligono di tre lati → n = 3 → (3 – 2) . 180° = 180° poligono di sei lati → n = 6 → (6 – 2) . 180° = 4 . 180° = 720°

La somma degli angoli esterni di un poligono, Se, è sempre 360°. Diagonale di un poligono è un segmento che ha per estremi due vertici non consecutivi del poligono. Il numero delle diagonali di un poligono dipende dal numero dei suoi lati; se un poligono ha n lati allora il numero delle diagonali è Nd =

n(n − 3) 2 C

Vertici: A, B, C, D, E

Lati: AB, BC, CD, DE, EA Diagonali: BD, ... → il poligono ABCDE ha 5 lati, 5(5 – 3) =5 le diagonali sono Nd = 2 Angoli interni: α, β, ... Angoli esterni: β' è l’angolo esterno di β

β' α E A

Un poligono è convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati, ovvero per ogni coppia di punti qualsiasi appartenenti al poligono, anche il segmento che ha i due punti come estremi appartiene al poligono. Un poligono è concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati.

Poligono convesso

200

Poligono concavo

Il piano nel modello di Euclide I poligoni si classificano in base al numero dei lati: triangolo → poligono con 3 lati pentagono → poligono con 5 lati ettagono → poligono con 7 lati ennagono → poligono con 9 lati endecagono → poligono con 11 lati

quadrilatero → poligono con 4 lati esagono → poligono con 6 lati ottagono → poligono con 8 lati decagono → poligono con 10 lati dodecagono → poligono con 12 lati.

Un poligono si definisce equilatero quando ha i lati congruenti tra loro. Un poligono si definisce equiangolo quando ha gli angoli congruenti tra loro. Un poligono è regolare quando è equilatero e equiangolo.

7.5 CONGRUENZA TRA FIGURE GEOMETRICHE; CONFRONTO TRA SEGMENTI; CONFRONTO TRA ANGOLI Si ricorda il concetto primitivo di movimento rigido per il quale una figura geometrica modifica la sua posizione senza però deformarsi. Due figure geometriche sono congruenti se sovrapponendole attraverso un movimento rigido esse coincidono. In particolare si ha una congruenza diretta se il movimento rigido avviene nel piano, mentre si ha una congruenza inversa se avviene nello spazio. Il simbolo di congruenza è ≅ ,cioè per indicare che due figure geometriche F1 e F2 sono congruenti si scrive: F1 ≅ F2

Confronto e operazioni tra segmenti Postulato del trasporto dei segmenti: dati un segmento AB e una semiretta di origine O, allora esiste uno ed un solo segmento OP congruente al segmento AB. A B AB ≅ OP O

Si acquisisce attraverso questo postulato il concetto di segmenti congruenti. A B AB < CD C

Somma di segmenti Dati due segmenti adiacenti AB e BC (se non fossero adiacenti li si renderebbe tali sfruttando il postulato del trasporto, ovvero con un movimento rigido) la loro somma è il semento AC A

AC = AB + BC

Differenza di segmenti Dati due segmenti, vengono disposti in modo tale che abbiano un estremo coincidente e che appartengano alla stessa semiretta di origine l’estremo comune. La differenza tra il segmento maggiore e quello minore è il segmento che ha per estremi gli estremi non comuni dei segmenti dati. A B CD − AB = BD C D O r

201

sezione 7 Multiplo di un segmento secondo n Il segmento AB è multiplo del segmento PQ secondo il numero naturale n se AB è congruente alla somma di n segmenti congruenti a PQ. Si scrive AB ≅ n PQ e si dice che AB è un multiplo di PQ, mentre PQ è un sottomultiplo di AB. P

Punto medio di un segmento Il punto medio di un segmento AB è un punto del segmento stesso che lo divide in due segmenti tra loro congruenti. A

AM ≅ MB

M è il punto medio del segmento AB

Confronto e operazioni tra angoli Postulato del trasporto degli angoli: dati in un piano una semiretta r di origine O e un angolo α, esiste uno ed un solo angolo β, congruente ad α, tale che uno dei lati di β coincide con la semiretta r, il vertice coincide con O e giace da una parte prefissata rispetto ad r.

α≅β

Si acquisisce attraverso questo postulato il concetto di angoli congruenti. d b ∧

∧

aO b ≅/ cO'd

O≡O'

a≡c

Somma di angoli Dati due angoli disposti in modo da essere consecutivi, la loro somma è l’angolo avente per vertice il vertice comune degli angoli dati e per lati i lati non comuni di quelli dati.

∧

d b≡c β δ α

O≡O'

α = aO b ∧ β = cO'd ∧ δ = aO d δ=a+β

Differenza di angoli La differenza tra due angoli si ottiene disponendoli in modo che presentino un lato e il vertice in comune mentre il secondo lato dell’angolo minore cade internamente a quello maggiore. La differenza tra l’angolo maggiore e il minore è l’angolo individuato dai lati non comuni.

∧

b d δ α β O≡O'

a≡c

α = aO b ∧ β = cO'd ∧ δ = dO b δ=a−β

Multiplo di un angolo L’angolo α è multiplo dell’angolo β secondo il numero naturale n se α è congruente alla somma di n angoli congruenti a β. Si scrive α ≅ n β e si dice che α è un multiplo di β, mentre β è un sottomultiplo di α.

202

α≅nβ

β • •

•

• •

α β β

Il piano nel modello di Euclide a

Bisettrice di un angolo Bisettrice di un angolo è la semiretta interna all’angolo, che ha origine nel vertice dell’angolo e che lo divide in due angoli congruenti.

= α = β

r b

Angoli complementari, supplementari, esplementari Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto. Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto. Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro. b

b α

β α O

angoli complementari a + β = angolo retto

a c

β a

angoli supplementari a + β = angolo piatto

Rette perpendicolari

angoli esplementari a + β = angolo giro s

Due rette sono perpendicolari se sono incidenti e formano quattro angoli retti. Il simbolo che indica perpendicolarità è ⊥, cioè nel linguaggio simbolico per indicare che la retta r è perpendicolare alla retta s si scrive

r⊥s Asse di un segmento L’asse di un segmento AB è una retta perpendicolare al segmento che interseca AB nel suo punto medio M.

asse del segmento AB A

Lunghezza di un segmento, ampiezza di un angolo e area di una superficie Lunghezza di un segmento La lunghezza di un segmento è la sua estensione lineare, più precisamente è la classe di equivalenza di tutti i segmenti congruenti tra loro e al segmento dato. La lunghezza è una grandezza, cioè è una proprietà misurabile e rappresentabile attraverso una quantità numerica. Per misurare una qualsiasi grandezza è necessaria una unità di misura; in particolare si definisce misura a della grandezza A rispetto ad una fissata unità di misura u, il numero reale che esprime il rapporto tra A e u: A a= u –– La misura di un segmento AB viene solitamente indicata con AB . Nel sistema metrico decimale e nel Sistema Internazionale (SI) l’unità di misura fondamentale della lunghezza è il metro, con i suoi multipli e sottomultipli. Si definisce distanza tra due punti la lunghezza del segmento che ha per estremi tali punti. Si definisce distanza di un punto P da una retta r la lunghezza del segmento perpendicolare alla retta e di estremi il punto P e il punto H di intersezione del segmento con la retta stessa.

203

sezione 7 r

P –– d(P, r) = PH .

Perimetro di un poligono Si definisce perimetro di un poligono la poligonale, o spezzata chiusa, che delimita il poligono. In generale con il termine perimetro si intende la lunghezza della poligonale che delimita tale poligono, ovvero la somma delle lunghezze dei suoi lati. Due poligoni si dicono isoperimetrici se hanno lo stesso perimetro.

Nota bene: se due figure sono congruenti, allora sono anche isoperimetriche. Ma due figure isoperimetriche non necessariamente sono congruenti. Ampiezza di un angolo Si definisce ampiezza di un angolo a la sua estensione nel piano, più precisamente è la classe di equivalenza di tutti gli angoli congruenti tra loro e a quello dato. Misura dell’ampiezza di un angolo Nel sistema sessagesimale l’angolo giro è suddiviso in 360 parti, equivalenti all’unità di misura convenzionale denominata grado sessagesimale, indicata con il simbolo α°. Tale nome deriva dal fatto che i sottomultipli del grado, il minuto ed il secondo, sono divisi in sessantesimi; quindi ogni grado è diviso in 60 minuti ('), e ogni minuto è diviso in 60 secondi (''), ulteriori suddivisioni di questo seguono invece il comune sistema decimale. .

Curiosità e approfondimento La ragione della divisione in 360 parti dell’angolo giro è riconducibile all’uso astronomico che i babilonesi facevano di questa misura: dato che il sole compie un giro completo sulla volta celeste nell’arco di un anno che a quel tempo era stimato di circa 360 giorni. Nel Sistema Internazionale l’ampiezza di un angolo è misurata in radianti, si indica con αrad. Il radiante viene definito come il rapporto tra un arco di circonferenza corrispondente all’angolo e il raggio. In tal modo un angolo giro misura 2π, cioè il rapporto tra una circonferenza e il suo raggio, e l’angolo piatto è π. Per convertire la misura di un angolo da gradi in radianti, o viceversa, è sufficiente applicare la seguente proporzione: α° : 180° = αrad : π.

Area di una superficie Si definisce area di una superficie la sua estensione nel piano. Due figure sono equiestese, o equivalenti, se hanno la stessa area. Si può facilmente verificare che l’equiestensione è una relazione di equivalenza. Pertanto si può definire più rigorosamente l’area di una superficie come la classe di equivalenza a cui appartiene la superficie data. Il simbolo di equivalenza tra figure geometriche è =. .

Per indicare che le figure F e G sono equivalenti si scrive: F =. G.

Nota bene: se due figure sono congruenti, allora sono anche equiestese, o equivalenti. Ma due figure equiestese non necessariamente sono congruenti. Due figure geometriche, in particolare due poligoni, sono equiscomponibili, o equicomposti, se possono essere suddivisi in parti rispettivamente congruenti.

204

Nota bene: due figure equivalenti sono anche equicomposte, ma non è necessariamente vero il contrario. Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della superficie è il metro quadrato, in simboli si scrive m2, con i suoi multipli e sottomultipli.

Il piano titolo nel modello sezionedi Euclide

7.1 1 a b c d e

2 a b c d e f g h i l m n

Vero o falso? Un postulato è una proposizione che esprime una proprietà evidente e dimostrabile. Non è possibile dare la definizione di retta. Ipotesi e tesi sono elementi fondamentali della struttura di un teorema. Una definizione è una affermazione da dimostrare. La geometria euclidea è anche detta geometria razionale perché è basata su teoremi che devono essere dimostrati attraverso un procedimento deduttivo.

V V V V

F F F F

V F

Vero o falso? Per due punti passano infinite rette. Due punti sono sempre allineati. Due rette sono sempre complanari. Per un punto del piano passa una sola retta. Allo spazio appartengono infinite rette. Due rette parallele non hanno punti in comune. Una retta è un insieme finito di punti. Per tre punti allineati passano infiniti piani. Tra due punti presi su una retta orientata, ne esistono infiniti. Le rette di un fascio improprio sono tra loro complanari. Da un punto P esterno ad una retta r esistono infinite rette passanti per P e parallele a r. Da un punto P esterno ad una retta r esistono infinite rette passanti per P e incidenti a r.

F F F F F F F F F F F F

Considera il seguente disegno.

Nei seguenti disegni è rappresentata una retta sulla quale sono stati fissati alcuni punti. Osserva bene l’orientamento della retta e completa con le parole “precede”, “segue” oppure “coincide con”.

t a

V V V V V V V V V V V V

D C r

π A

B ≡C •

A •

D •

E •

A ____________________ B B ____________________ C A ____________________ C E ____________________ C

Le rette r, s e t sono ____________________ e appartengono _______________________________

B ____________________ E E ____________________ A

Le rette s e t sono _________________

Le rette s e r sono _________________

Le rette r e t si intersecano nel punto _____

I punti C, D e E giacciono sulla retta _______ ,

A ____________________ B

quindi sono _________________

B ____________________ C

Il punto A ______________________ alla retta r,

A ____________________ C

ma _________________ al piano π

E ____________________ C

Il punto B ______________________ alla retta t, ma

B ____________________ E

_________________ alla retta s

E ____________________ A

A •

B •

C •

D ≡E •

205

sezione 7

7.2 1

Vero o falso? Due semirette opposte hanno l’origine in comune. Due semirette che hanno origine in comune sono opposte. Segmenti consecutivi sono anche adiacenti. Segmenti adiacenti sono anche consecutivi. Una semiretta è illimitata in un solo verso. Se da una poligonale chiusa si toglie un lato se ne ottiene una aperta.

a b c d e f 2

V V V V V V

F F F F F F

V V V V V V

F F F F F F

Considera il seguente disegno. B • • C

• A

• D

• E

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono Vere o False. a b c d e f 3 a

I segmenti AB e BC sono adiacenti ma non consecutivi. I segmenti AB e BC sono consecutivi ma non adiacenti. I segmenti CD e DE sono adiacenti ma non consecutivi. I segmenti CD e DE sono consecutivi ma non adiacenti. I segmenti BC e CD non sono né consecutivi né adiacenti. I segmenti BC e DE non sono né consecutivi né adiacenti. Indica con C i segmenti solo consecutivi e con A quelli che sono anche adiacenti. C A

• A

• B

• C

C A

A •

C •

•P

• B

C A

A•

•B

C A

• A

• B

• C

• D

A•

• S 4

N• •P

B•

M •

C A

Osserva la figura e rispondi alle seguenti domande. A •

B•

C• a b c d e f g h

206

M •

N •

O •

I segmenti AB e BC appartengono alla stessa retta? _______________________________________________ I segmenti MN e NO appartengono alla stessa retta? ______________________________________________ Quale estremo hanno in comune i segmenti AB e BC ? ____________________________________________ I segmenti MN e NO hanno un estremo in comune? ___________ Se sì, quale? ________________________ I segmenti AB e BC sono consecutivi? ___________ Perché? _______________________________________ I segmenti MN e NO sono consecutivi? ___________ Perché? ______________________________________ AB e BC sono adiacenti? ___________ Perché? __________________________________________________ MN e NO sono adiacenti? ___________ Perché? __________________________________________________

Il piano nel modello di Euclide 5

Osserva la figura e completa le seguenti frasi. B •

C •

D •

E •

• A a b c d e f 6

I segmenti AB e BC non appartengono __________________ e hanno l’estremo B ______________________ I segmenti AB e BC sono ______________________________________________________________________ I segmenti BC, CD e DE appartengono _________________________________________________________ I segmenti BC e CD hanno __________________ e i segmenti CD e DE hanno ________________________ I segmenti BC e CD sono __________________ come i segmenti CD e _______________________________ I segmenti BC e DE non sono adiacenti perché ___________________________________________________ Considera il seguente disegno. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono Vere o False.

E B C

La figura è una poligonale intrecciata chiusa.

V F

La figura è una poligonale intrecciata aperta.

V F

A, B, C, D, E, F sono i lati della poligonale.

V F

AB, BC, CD, DE, EF sono i lati della poligonale.

V F

Se dalla poligonale del disegno si toglie il segmento DE diventa una poligonale aperta non intrecciata. V F

I segmenti BC e DE sono consecutivi.

F A D 7

V F

Osserva il disegno e rispondi alle domande. C •

A •

D •

•B a

Quante semirette hanno origine nel punto A? ____________________________________________________

Quante semirette potrebbero avere in comune i punti A e B? _______________________________________

Come si definiscono le semirette AD e AC? ______________________________________________________

È corretto affermare che sono una il prolungamento dell’altra? _____________________________________

Osserva la figura e rispondi alle seguenti domande. m •A B •

•

D •

l n

Le rette l e m sono incidenti? __________________________________________________________________

Su quale retta giace il segmento AB? ___________________________________________________________

Su quale retta giace il segmento AC? ___________________________________________________________

Con quale lettera è indicato il punto di intersezione delle rette l e n? ________________________________

Tale punto è un estremo di qualche segmento? ___________________________________________________

207

sezione 7

7.3 1 a b c d e f g h i l 2

Vero o falso? Due semipiani con origine in comune sono opposti. Due semipiani opposti hanno origine in comune. Una figura geometrica può essere contemporaneamente sia concava che convessa. Ogni retta divide un piano in due semipiani. Un angolo può essere o concavo o convesso. Un angolo è convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati. Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice in comune. Due angoli adiacenti sono anche consecutivi. Un angolo retto è anche convesso. Un angolo acuto è concavo.

V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F

Considera il seguente disegno. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono Vere o False. a

b c

e f

Gli angoli segnati sono tutti acuti. L’angolo α è acuto. Gli angoli α e β sono consecutivi. Gli angoli α e δ sono adiacenti. Gli angoli α, β e δ hanno il vertice in comune. Gli angoli α e β hanno un lato in comune.

V F V F V F V F V F V F

7.4 1

Vero o falso?

Un poligono è la parte di piano delimitata da una spezzata chiusa.

V F

La lunghezza del contorno di un poligono si chiama perimetro. In un poligono il numero dei lati può essere uguale a quello degli angoli. Una diagonale di un poligono è un segmento che unisce due suoi vertici qualsiasi. In qualunque poligono è possibile tracciare delle diagonali. Un poligono equilatero è regolare.

V F

Un poligono equiangolo è regolare. Un poligono regolare è equilatero ed equiangolo. Un poligono può essere concavo o convesso. La somma degli angoli interni di un poligono è uguale a tanti angoli piatti quanti sono i lati. Maggiore è il numero dei lati di un poligono, minore è la somma dei suoi angoli esterni.

V F

c d e f g h i l m 2

208

V F V F V F V F V F V F V F V F

Riconosci quali dei seguenti poligoni sono convessi.

Il piano nel modello di Euclide 3

Osserva la figura e completa le seguenti frasi. A

F E

C 4

Le lettere A, B, C, D, E, F indicano i ______________ del poligono.

I vertici C e D e i vertici A e B sono _____________________________

AB, BC, CD, DE, EF, FA sono i __________________ del poligono.

I lati AB e BC e i lati DE e EF sono ______________________________

Il segmento AD, che unisce due vertici non consecutivi del poligono, è detto ________________________________________________________

La somma delle lunghezze dei lati di un poligono è detta ________ ______________________ e si indica con _________________________

Osserva la figura e rispondi alle seguenti domande. A

Quanti sono gli angoli interni del poligono ABCDE? __________ Con quale colore sono indicati? ___________________________

Quanti sono gli angoli esterni del poligono ABCDE? _________ Con quale colore sono indicati? ___________________________

È vero che ogni angolo interno è supplementare dell’angolo esterno avente lo stesso vertice?__________________________ Perché? ________________________________________________

Quanti angoli piatti sono indicati in figura? _________________

B D C

Osserva le figure e rispondi alle seguenti domande. E

La somma degli angoli esterni di un poligono dipende dal numero dei suoi lati? _________

La somma degli angoli esterni del triangolo ABC è minore di quella degli angoli esterni del pentagono DEFGH? _________

È vero che la somma degli angoli esterni di un triangolo è uguale a due angoli piatti? _________

Qual è la somma degli angoli esterni di un poligono avente 18 lati? _________

6 a

Individua la risposta corretta. Il numero delle diagonali di un triangolo è: 3 1 0

Il numero delle diagonali di un quadrilatero è: 4 2 0

Il numero delle diagonali di un pentagono è: 5 3 2

Il numero delle diagonali di un esagono è: 9 6 3

Un angolo esterno di un poligono è: l’angolo formato da due lati consecutivi. l’angolo formato dalla semiretta sostegno di un lato e dal prolungamento di quello consecutivo. l’angolo formato dal prolungamento di due lati.

209

sezione 7 7

Completa le seguenti frasi.

Un poligono è una figura piana formata da una spezzata _______________ e dalla parte di _____________ da essa delimitata.

Ogni angolo esterno di un poligono è supplementare dell’angolo interno _______________________________

Un poligono regolare è ___________________________________ e __________________________________

La somma degli angoli __________________________________ di un poligono è uguale a due angoli piatti.

Il numero delle diagonali di un poligono dipende dal numero dei suoi _______________________________

7.5 1

Esprimi in simboli.

Il segmento GH è sottomultiplo di IL secondo il numero 8

GH = ________________________

Il segmento VZ è multiplo di MN secondo il numero 7

VZ = _________________________

Il segmento PQ è sottomultiplo di RS secondo il numero 5

PQ = _________________________

Il segmento CD è il triplo del segmento MN

CD = _________________________

Il segmento AB è la sesta parte del segmento CD

AB = _________________________

Il segmento EF è il quintuplo del segmento GH

EF = _________________________

Osserva le seguenti coppie di segmenti. 1

• • • • • M N

• • • • • • • • • O P

• • • • M N

• • • • • • • • • • • • • O P

• • • M N

• • • • • • • • • • • O P

Indica a quale coppia di segmenti si riferisce ciascuna delle seguenti uguaglianze. a

1 2 3

OP = 4MN

1 2 3

MN =

1 OP 5

CD =

1 AB 8

GH =

1( AB − EF) 2

5 a

210

1 2 3

MN =

1 2 3

OP = 2MN

1 2 3

OP = 5MN

1 2 3

MN =

1 OP 4

Dato il segmento AB lungo 16 cm, determina la lunghezza dei seguenti segmenti.

1 OP 2

⇒

CD = ______ ⇒

EF =

1( AB + CD) 3

⇒

EF = ______

GH =

1( CD + EF) 5

GH = ______

Dato il segmento A • • • • •B, disegna i seguenti segmenti. CD =

1 AB 2

EF = (AB + CD) : 2

Dato il segmento M • • • • • • •N, disegna i seguenti segmenti. PQ =

1 MN 3

RS =

1( MN + PQ) 2

TV = 4(MN − RS)

Il piano nel modello di Euclide 6 a b c d e f g h i l m n o p

Vero o falso? Due angoli la cui somma sia un angolo giro si dicono supplementari. Due angoli adiacenti non sempre sono supplementari. Due angoli supplementari sono adiacenti. Due angoli la cui somma sia un angolo giro si dicono esplementari. Angoli supplementari di uno stesso angolo non sempre sono congruenti. Angoli complementari di uno stesso angolo sono congruenti. La bisettrice di un angolo divide l’angolo stesso in due parti congruenti. Un angolo retto è la metà di un angolo giro. Un angolo ottuso è maggiore di un angolo acuto. Ogni angolo ha due bisettrici. Sommando due angoli acuti è possibile ottenere un angolo piatto. La somma di due angoli acuti non può mai superare un angolo retto. Due angoli complementari sono uno acuto e l’altro ottuso. Due angoli diversi con gli stessi lati sono esplementari.

Addiziona i seguenti angoli; che tipo di angolo è l’angolo somma? a b c d

V V V V V V V V V V V V V V

F F F F F F F F F F F F F F

Osserva le seguenti figure.

Un angolo retto e un angolo acuto. Due angoli retti. Un angolo retto e un angolo nullo. Un angolo piatto e due angoli retti.

Trova la differenza tra i seguenti angoli; che tipo di angolo è l’angolo differenza? a b c d

Un angolo giro e un angolo nullo. Due angoli giro. Un angolo piatto e un angolo retto. Un angolo giro e un angolo piatto.

Quali delle seguenti frasi sono errate? Spiega il perché. a b c d e f

10 a

Un angolo retto è la metà di un angolo giro. Un angolo ottuso è maggiore di un angolo acuto. Due angoli che hanno il vertice in comune sono consecutivi. Ogni angolo ha due bisettrici. Sommando due angoli acuti è possibile ottenere un angolo piatto. La somma di due angoli acuti non può mai superare un angolo retto. Vero o falso? Se A, A' e B, B' sono due coppie di poligoni congruenti, allora anche A + B e A' + B' V F sono congruenti. Se A, A' e B, B' sono due coppie di poligoni congruenti, allora A + B e A' + B' sono V F equivalenti. Se A, A' e B, B' sono due coppie di poligoni equivalenti, allora anche A + B e A' + B' V F sono equivalenti.

Scrivi la lunghezza del perimetro di ciascuna di esse rispetto all’unità di misura fissata. p1 = ________ p2 = ________ p3 = ________

Scrivi l’area di ciascuna figura rispetto all’unità di misura fissata. A1 = ________ A2 = ________ A3 = ________

Hanno lo stesso perimetro? ___________________

Hanno la stessa area? ________________________

Sono congruenti? ___________________________

Come si definiscono due figure geometriche aventi lo stesso perimetro? _______________________

Come si definiscono due figure geometriche aventi la stessa area? ____________________________

Due figure isoperimetriche sono sempre equivalenti? ______________________________________

211

sezione 7 12

Osserva le seguenti figure. a

Scrivi la lunghezza del perimetro di ciascuna di esse rispetto all’unità di misura fissata. p1 = ________ p2 = ________ p3 = ________

Scrivi l’area di ciascuna figura rispetto all’unità di misura fissata. A1 = ________ A2 = ________ A3 = ________

Hanno lo stesso perimetro? ___________________

Hanno la stessa area? ________________________

Sono congruenti? ___________________________

A1 A2

A3 u

7.1 1

Le seguenti affermazioni sono enunciati di teoremi, riscrivi l’enunciato evidenziando l’implicazione e individua ipotesi e tesi. Esempio C

Un triangolo che ha due lati congruenti ha anche due angoli congruenti. Se un triangolo ha due lati congruenti, allora ha due angoli congruenti. Ipotesi: AC ≅ BC

α β

Tesi: α ≅ β a

Un quadrilatero con i lati congruenti tra loro ha le diagonali perpendicolari.

Un triangolo che ha due angoli congruenti, ha due lati congruenti.

Un quadrilatero con quattro angoli retti ha le diagonali perpendicolari.

Due rette perpendicolari ad una retta data, sono tra loro parallele.

In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due.

Rappresenta graficamente i seguenti postulati.

Esempio Per due punti distinti passa una sola retta. A

•

Per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano.

Per un punto passano infinite rette.

Per un punto esterno ad una retta passa una e una sola retta parallela alla retta data.

Dato un punto P su una retta orientata r, esiste almeno un punto A che lo precede e un punto B che lo segue.

Data una retta orientata r e due punti su di essa, A e B (con A che precede B), esiste almeno un terzo punto P, compreso tra A e B.

212

Il piano nel modello di Euclide

7.2 1

Disegna quanto indicato e rispondi alle domande.

Su una retta orientata r segna tre punti distinti A, B e C. Quali e quante figure geometriche si possono individuare?

Dati tre punti non allineati A, B e C, disegna tutti i segmenti che hanno questi punti come estremi. Quanti segmenti risultano? Quali sono tra loro consecutivi? Ce ne sono di adiacenti?

Due semirette a e b hanno l’origine O in comune, traccia una retta r che interseca le due semirette a in P e b in Q. Quali e quante figure geometriche si possono individuare?

ABCDE è una poligonale intrecciata aperta, i lati che si intersecano sono BC con DE. Potrebbero intersecarsi i lati CD e DE ? Giustifica la risposta.

Traduci in linguaggio simbolico le proprietà delle figure geometriche di seguito descritte e rappresenta graficamente la figura. Esempio Data una retta orientata r e dati tre punti A, B e C tali che A e B appartengono ad r, mentre C non appartiene. A ∈ r, B ∈ r, C ∉ r

Due rette r e s si intersecano in un punto A; una terza retta t interseca r in B e s in C. Quanti segmenti si vengono a formare? Quante semirette? Su una retta orientata r disegna quattro punti A, B, C e D in modo tale che: • A precede B, • C precede B, ma non A, • D segue A, ma non C. Qual è l’ordine dei punti? Su una retta orientata r disegna quattro punti A, B, C e D in modo tale che: • C precede gli altri tre punti, • A segue B, • D è compreso tra C e A e segue B. Che relazione d’ordine c’è tra A e C ? E tra C e B ?

•

• •C

Date due rette r e s incidenti, sia P il loro punto di intersezione.

Siano r, s e t tre rette tali che r e s sono parallele e t interseca r in A e s in B.

Due semirette a e b hanno l’origine O in comune; siano A e B sono due punti presi rispettivamente A sulla semiretta a e B sulla semiretta b.

Data una retta r e due punti A e B esterni ad essa, il segmento AB è parallelo a r.

7.3 1

Disegna quanto indicato e rispondi alle domande.

Due rette r e s sono non parallele e giacciono su uno stesso piano π, indica con P il punto di intersezione. Quali e quante figure geometriche si possono individuare? In quante regioni è diviso il piano?

Due semirette a e b hanno l’origine O in comune. Indica con α l’angolo concavo individuato dalle due semirette e con β l’angolo convesso. Come devono essere le due semirette per formare due angoli piatti?

Tre semirette a, b e c hanno l’origine O in comune. Indica tutti gli angoli che si formano. In quante regioni viene diviso il piano?

Tra angoli sono consecutivi la loro unione genera un angolo giro. Gli angoli possono essere tutti e tre convessi?

Due angoli sono adiacenti. Se i due angoli non sono retti, sono entrambi acuti? Sono entrambi convessi?

ABCDE è una poligonale chiusa non intrecciata e concava.

ABCD è una poligonale chiusa convessa tale che l’angolo formato dai lati AB e BC sia retto e sia retto anche l’angolo formato dai lati BC e CD. Gli altri due angoli possono essere entrambi ottusi?

213

sezione 7 2

Osserva le seguenti figure e determina l’ampiezza degli angoli mancanti.

47°

125°

θ 235°

308°

150° e

90° γ

γ 40°

•

60°

20°

7.4 1

Disegna quanto indicato. 2

ABCDE è un pentagono convesso. Indica sulla figura con α, β, χ, δ e γ gli angoli interni corrispondenti rispettivamente ai vertici A, B, C, D e E. Indica inoltre con α', β', χ', δ' e γ' i relativi angoli esterni.

Somma angoli interni = 900° (n – 2) . 180° = 900° n-2 =

ABCD è un quadrilatero concavo. Indica sulla figura con α, β, δ e γ gli angoli interni corrispondenti rispettivamente ai vertici A, B, C e D. Indica inoltre con α', β', δ' e γ' i relativi angoli esterni.

ABCDEF è un esagono equilatero ma non equiangolo.

Il pentagono ABCDE è formato da un triangolo regolare e da un quadrilatero equiangolo ma non equilatero.

Esempi 1

Calcola l’ampiezza della somma degli angoli interni di un poligono di 10 lati. La somma degli angli interni di un poligono di n lati si calcola con la formula Si = (n – 2) . 180°. Per n = 10, abbiamo: Si = (10 – 2) . 180° = 1440°

214

900° 180°

n–2 = 5 7 lati. 3

⇒

n = 5+2 = 7

⇒

il poligono ha

Quali delle seguenti terne possono rappresentare le ampiezze degli angoli interni di un triangolo? a 36° - 102° - 51° b 42° - 100° - 38° c 100° - 58° - 39°

ABCDE è un pentagono che ha due angoli retti, due angoli ottusi e un angolo acuto. Indica con α l’angolo interno all’angolo acuto, con α' l’angolo esterno e con α'' l’angolo opposto al vertice di α.

L’ampiezza della somma degli angoli interni di un poligono è 900°. Quanti lati ha il poligono?

La somma degli angoli interni di un triangolo è ampia 180°: a 36° + 102° + 51° = 189°

⇒

b 42° + 100° + 38° = 180°

⇒

sì

c 100° + 58° + 39° = 197°

⇒

Completa i calcoli per conoscere la somma Si delle ampiezze degli angoli interni dei poligoni indicati. a

Poligono di 8 lati: Si = (8 − ........) · 180° = ...........

Poligono di 11 lati: Si = (........ − ........) · 180° = ...........

Poligono di 14 lati: Si = (........ − ........) · 180° = ...........

Poligono di 20 lati: Si = (........ − ........) · 180° = ...........

Il piano nel modello di Euclide 3

Quali delle seguenti terne possono rappresentare le ampiezze degli angoli interni di un triangolo? a

74° ; 58° ; 48°

100° ; 45° ; 35°

70° ; 80° ; 40°

63° ; 87° ; 20°

170° ; 2° ; 8°

[a ;

b; e

Quali delle seguenti quaterne possono rappresentare le ampiezze degli angoli interni di un quadrilatero? 49° ; 73° ; 94° ; 150°

15° ; 102° ; 59° ; 184°

110° ; 92° ; 27° ; 131°

88° ; 70° ; 50° ; 142°

100° ; 100° ; 130° ; 30°

[b ;

c; e

Risolvi seguenti problemi.

Determina l’ampiezza di un angolo esterno di un poligono regolare avente 18 lati. [20°]

In un esagono un angolo interno è ampio 100° e gli altri angoli sono tra loro congruenti. Determina l’ampiezza di ciascuno di essi. [124°]

In un quadrilatero gli angoli interni sono proporzionali ai numeri 1, 2, 3, 4. Determina l’ampiezza dei quattro angoli. [36°, 72°, 108°, 144°]

In un pentagono tre angoli sono ampi rispettivamente 98°, 102° e 130°. Determina le ampiezze degli altri due angoli sapendo che sono uno il doppio dell’altro. [70°; 140°]

Un esagono ha due angoli congruenti e ampi 95° e altri due ampi rispettivamente 120° e 170°. Determina le ampiezze dei rimanenti angoli sapen[60°, 180°] do che sono uno il triplo dell’altro.

Dividi l’esagono convesso ABCDEF in quattro triangoli mediante le diagonali BD, BE, BF. Quanto vale la somma degli angoli interni di ciascun triangolo? Puoi ricavare la somma degli angoli interni dell’esagono senza ricorrere alla formula? [180°, sì]

È possibile che in un esagono ci siano quattro angoli interni ampi ciascuno 150° e due angoli retti? Giustifica la risposta. [no]

Nel pentagono ABCDE tre angoli esterni sono retti e gli altri due sono congruenti. Determina le ampiezze dei rispettivi angoli interni. [90°, 90°, 90°, 135°, 135°]

In un pentagono due angoli interni sono ampi rispettivamente 75° e 105°; altri due sono congruenti al doppio del primo. Calcola l’ampiezza del quinto angolo. [60°]

In un esagono tre angoli interni sono ampi rispettivamente 136°, 98°, 120°. Sapendo che gli altri tre sono tra loro congruenti, quanto è ampio ciascuno di essi? [122°] ∧ ∧ Nel pentagono ABCDE gli angoli interni A e C sono ∧ ampi ciascuno 114°, mentre i due angoli esterni D ∧ e B sono ampi rispettivamente 62° e 73°. Calcola l’ampiezza dell’angolo interno di vertice E. [87°]

]

Esempio Degli angoli esterni di un esagono convesso si sa che la somma delle ampiezze di tre angoli è 96°, che il quarto angolo è il doppio del quinto e il triplo del sesto. Calcola l’ampiezza del quarto, quinto e sesto angolo interno. E ε • D

•

•C

γ α

•

β •B

La somma delle ampiezze degli angoli α, β, γ è 96°; la somma degli angoli esterni di un poligono è sempre 360°, quindi: 360° – 96° = 264° ⇒ angoli esterni ε, δ, ϕ.

somma delle ampiezze degli

Per gli angoli esterni si sa che: δ = 2ε

δ = 3ϕ

Poniamo δ = x, da cui ε =

δ + ε + ϕ = 264° x x e ϕ= . 2 3

1 1 11 264° . 6 x + x + x = 264° ⇒ x = 264° ⇒ x = = 144° 2 3 6 11 δ = 144°

ε=

1. 144° = 72° 2

ϕ=

1. 144° = 48° 3

Ogni angolo esterno è il supplementare del suo interno, quindi: ∧

D = 180° – 144° = 36° ∧ E = 180° – 72° = 108° ∧ F = 180° – 48° = 132° Non è possibile determinare, con i dati in possesso, le ∧ ∧ ∧ ampiezze degli angoli A , B , C .

∧

Nel pentagono ABCDE gli angoli interni A ed E ∧ ∧ sono congruenti, gli angoli D e B sono retti e l’an∧ golo C è ampio 100°. Determina le ampiezze degli ∧ ∧ angoli A ed E . [130°, 130°]

215

sezione 7 8 La differenza tra due segmenti è lunga 18 cm e uno è quadruplo dell’altro. Calcola la lunghezza dei due segmenti. [6 cm; 24 cm]

7.5

Esempio La differenza tra due segmenti è lunga 18 cm e uno è triplo dell’altro. Calcola la lunghezza dei due segmenti. Indicando i due segmenti con AB e CD, abbiamo:

•

CD – AB = •

•

10 La somma di due segmenti è lunga 96 cm e uno è i 3 dell’altro. Trova la lunghezza di ciascun seg5 mento. [60 cm; 36 cm] 11

La somma di due segmenti è lunga 20 cm e il maggiore supera di 2 cm il quintuplo del minore. Calcola la lunghezza dei due segmenti. [3 cm; 17 cm]

•

CD – AB = 18 cm (18 : 2) = 9 cm •

La somma di due segmenti è lunga 16 cm e la differenza 4 cm. Calcola la lunghezza di ciascun segmento. [6 cm; 10 cm]

12 La somma di tre segmenti è lunga 20 cm. Sapendo che il secondo supera il primo di 3 cm e il terzo supera il primo di 2 cm, determina la lunghezza di ciascuno dei tre segmenti. [5 cm; 8 cm; 7 cm]

•

AB = 9 cm 9 cm . 3 = 27 cm ⇒ CD = 27 cm 1

Due segmenti AB e CD sono lunghi rispettivamente 27 cm e 31 cm. Quanto misura il multiplo del segmento somma di AB e CD secondo il numero 5?

[290 cm]

Esempio Su una retta sono dati i punti A, B, C, D tali che AB ≅ CD. Dimostra che AC ≅ BD e che il punto medio di AD è anche punto medio di BC.

•

Due segmenti AB e CD sono lunghi rispettivamente 8 cm e 15 cm. Calcola la lunghezza del segmento ottenuto sommando il multiplo del segmento AB secondo il numero 4 e il multiplo del segmento CD secondo il numero 3. [77 cm] 3

Tre segmenti AB, CD, EF sono lunghi rispettivamente 8 cm, 11 cm, 14 cm. Calcola la lunghezza del segmento ottenuto sommando il multiplo di AB secondo il numero 7 con il multiplo di CD secondo il numero 2 e il multiplo di EF secondo il numero 3. [120 cm] 4

La somma di due segmenti è lunga 44 cm e uno è il triplo dell’altro. Quanto è lungo ciascun segmento?

[11 cm; 33 cm]

Tre segmenti sono tali che il primo è doppio del secondo e il secondo è doppio del terzo. Calcola la lunghezza di ciascun segmento sapendo che la loro somma è lunga 84 cm. [48 cm; 24 cm; 12 cm]

A Hp:

•

AB ≅ CD AM ≅ MD

•

Th:

AC ≅ BD BM ≅ MC

AC ≅ AB + BC BD ≅ CD + BC Ma AB ≅ CD per ipotesi, quindi: AC ≅ AB + BC ⇒ AC ≅ BD BD ≅ AB + BC Detto M il punto medio di AD abbiamo AM ≅ MD, ma: AM ≅ AB + BM e MD ≅ CD + MC Quindi: AB + BM ≅ CD + MC Ma AB ≅ CD per ipotesi, quindi: AB + BM ≅ AB + MC ⇒ BM ≅ MC quindi M è anche punto medio del segmento BC. c.v.d.

13 Sono assegnati tre segmenti AB, CD, EF con AB > CD, CD > EF. Dimostra che AB − EF > CD − EF.

Due segmenti AB e CD sono lunghi rispettivamente 18 cm e 22 cm. Calcola la lunghezza del sottomultiplo del segmento somma di AB e CD secondo il numero 2. [20 cm]

Dati due segmenti adiacenti e uguali, AB = BC, siano M e N i rispettivi punti medi. Dimostra che AC è il doppio di MN.

7 Sul segmento AB, lungo 10 cm, prendi un punto C tale che AC = 1 BC e trova la distanza di C dal punto 4 medio di AB. [3 cm]

15 Su una retta r sono dati due segmenti congruenti ma non adiacenti AB e CD. Dimostra che i segmenti AD e BC hanno lo stesso punto medio.

216

Il piano nel modello di Euclide 16

I punti A, B, C si succedono, nell’ordine scritto, sulla stessa retta e M è il punto medio di BC. Dimostra che il segmento AM è la semisomma dei segmenti AB e AC.

Sono date quattro semirette OA, OB, OC, OD che si susseguono nell’ordine in senso antiorario e tali ∧ ∧ ∧ ∧ che AO B ≅ CO D. Dimostra che AOC ≅ BO D. B

Fissati su una retta i punti A, B, C, D tali che AB ≅ CD e AB ∩ CD = ∅, dimostra che AC ≅ BD. 18

Siano M e N i punti medi dei due segmenti adiacenti AB e BC. Dimostra che se BC = 3AB, allora MN = 2AB.

19 I segmenti AD e BC giacciono sulla stessa retta e hanno lo stesso punto medio M. Dimostra che AB ≅ CD e AC ≅ BD. 20

D O ∧

∧

Hp: AO B ≅ CO D ∧ ∧ Th: AOC ≅ BO D

Sia AB un segmento, M il suo punto medio e P un

punto del suo prolungamento dalla parte di A. PA + PB Dimostra che PM = . 2

∧

L’angolo AOC è la somma di AO B e BO C. ∧ ∧ ∧ L’angolo BO D è la somma di CO D e BO C. ∧ ∧ Per ipotesi AO B ≅ CO D, quindi: ∧

∧

AOC ≅ BO D perché somma di angoli congruenti. c.v.d.

Esempi 1

∧

La somma di tre angoli è un angolo piatto; sapendo che il secondo angolo supera il primo di 36° e il terzo supera il secondo di 42°, trova le tre ampiezze.

∧

Due angoli AO B e BO C sono consecutivi e ∧ ∧ ∧ ∧ AO B ≅ 3BOC. Dimostra che AOC ≅ 4BOC. A

O ∧

Tre angoli α, β, γ sommati formano un angolo giro; sapendo che il secondo e il terzo angolo superano il primo rispettivamente di 36° e 48°, trova le tre ampiezze. 23

∧

Hp: AO B ≅ 3BOC ∧ ∧ Th: AOC ≅ 4BOC ∧

∧

Per ipotesi AO B è triplo di BO C, quindi BO C è ∧ contenuto esattamente 3 volte in AO B. ∧ Poniamo BO C = α : A

22 La somma di due angoli è ampia 146° e la loro differenza 24°. Calcola l’ampiezza di ciascuno dei due angoli.

Tre angoli hanno per somma un angolo ampio 246°. Il secondo angolo è quadruplo del primo e il terzo è 1 del secondo. Calcola le ampiezze dei tre 4 angoli. La differenza di due angoli è ampia 15° e uno è 4 5 dell’altro. Calcola l’ampiezza di ciascun angolo e la loro somma. 25

C α

O Osservando il disegno possiamo affermare che ∧ AOC è formato da quattro angoli congruenti α, ∧ ∧ quindi AOC ≅ 4BOC. c.v.d.

26 Di due angoli supplementari uno è ampio 68°. Calcola: a

l’ampiezza dell’altro angolo;

la differenza dei due angoli;

l’ampiezza di un angolo che è i 3 del maggiore. 2

217

sezione 7 ∧

∧

Tre angoli consecutivi AO B, BO C, CO D, sono ∧ ampi 44°, 30°, 60°. Traccia la bisettrice OM di AO D e ∧ ∧ trova le ampiezze di BO M e MO C. Due angoli complementari sono uno i 2 dell’al3 tro. Calcola le loro ampiezze e quelle dei loro supplementari. Verifica infine che la somma di tali angoli supplementari sia il triplo di un angolo retto. 28

Un angolo ampio 150° è diviso in tre parti. La prima è 4 della seconda e questa è 5 della terza. 5 6 Calcola: a

l’ampiezza di ciascun angolo;

l’ampiezza del complementare dell’angolo maggiore;

l’ampiezza del supplementare dell’angolo minore.

Disegna un angolo ampio 64° e un angolo a esso adiacente. Calcola l’ampiezza dell’angolo adiacente e poi disegna la bisettrice dei due angoli. Determina l’ampiezza dell’angolo formato dalle due bisettrici. 30

Esempi 1

Dimostra che le bisettrici di due angoli adiacenti formano un angolo ampio 90°. M

La differenza di due angoli è ampia 15° e uno è i

4 dell’altro. Calcola l’ampiezza di ciascun angolo e 5

l’ampiezza del supplementare della loro somma.

Un angolo convesso è 1 del suo esplementare. 11 Calcola l’ampiezza di ciascun angolo. 31

• •

A 32

Un angolo concavo è ampio 248°. Calcola:

∧

l’ampiezza dell’angolo convesso corrispondente;

il supplementare dell’angolo convesso;

l’ampiezza dei due angoli in cui l’angolo dato resta diviso dalla bisettrice.

Th: MO ⊥ ON ∧ ∧ ∧ 1 ∧ Se AO B + BOC = 180°, allora (AO B + BOC)= 2 90°, quindi:

Dati due angoli complementari, uno supera l’altro di 20°. Trova le due ampiezze. ∧

∧

∧ ∧ 1 ∧ 1 ∧ AO B + BOC = AO M + BON = 90° 2 2

∧

Siano dati tre angoli consecutivi AO B, BO C, ∧ CO D che hanno per somma un angolo piatto. ∧ Sapendo che BO C è i 2 di un angolo piatto, determi3 na l’ampiezza dell’angolo formato dalle bisettrici dei ∧ ∧ due angoli AO B e CO D. Siano dati due angoli non adiacenti AO B e ∧ ∧ AO C; sapendo che AO C = 4AO B e che la differenza ∧ ∧ AO C − AO B è uguale a un angolo retto, determina l’ampiezza dei due angoli. ∧

∧

Hp: AO B + BOC = 180° ∧ ∧ AO M ≅ BOM ∧ ∧ BON ≅ NOC

Dimostra che l’angolo formato dalle bisettrici di ∧ ∧ due angoli consecutivi e congruenti AO B e BOC ∧ è congruente all’angolo AO B. M

B N •

•

∧

Un angolo AO B ampio 220° è diviso in tre parti. La prima è 3 della seconda e questa è uguale alla 4 terza. Calcola l’ampiezza dei tre angoli e l’ampiezza ∧ dell’angolo esplementare di AO B.

O C ∧

Tre angoli α, β, γ sommati formano un angolo piatto. Sapendo che α è ampio 40° e che gli altri due sono uno i 3 dell’altro, calcola le ampiezze di β e γ. 4 Determina poi l’angolo esplementare relativo alla loro somma. 37

218

c.v.d.

∧

Hp: AO B ≅ BOC ∧ ∧ AO M ≅ MO B ∧ ∧ BON ≅ NOC ∧

∧

Th: MO N ≅ AO B

Il piano nel modello di Euclide ∧

∧

Se AO B ≅ BOC per ipotesi, possiamo dire che ∧ ∧ ∧ ∧ AO M ≅ MO B ≅ BON ≅ NOC. ∧

∧

Quindi MO N ≅ MO B + BON; ma BON ≅ AO M, ∧ ∧ ∧ ∧ perciò MO N ≅ MO B + AO M ≅ AO B. c.v.d.

∧

Sia AO B un angolo, OC la sua bisettrice e OD ∧ una semiretta interna all’angolo BO C. Dimostra che ∧ ∧ ∧ AO D − BO D CO D = . 2 43 Dimostra che se le bisettrici di due angoli consecutivi formano un angolo ampio 90°, i due angoli sono adiacenti.

3 Per il vertice di un angolo convesso si conduco-

no due semirette che formano un angolo retto rispettivamente con i lati dell’angolo, ciascuna nel semipiano opposto a quello che contiene l’altro lato. Dimostra che l’angolo formato da queste due semirette è supplementare di quello dato. A

∧

Sia AO B un angolo, OM la sua bisettrice e OM' il prolungamento di OM. Dimostra che se C è interno al semipiano individuato dalla retta MM' e conte∧ ∧ nente B, allora si ha BO C < AO C (distingui i due casi ∧ in cui C è interno ed esterno a MO B). 46 Date due semirette opposte OA e OB, considera nel medesimo semipiano individuato dalla retta ∧ ∧ AB due angoli ottusi uguali AO C = BO D. Dimostra ∧ che la bisettrice dell’angolo CO D forma con OA un angolo retto. 47

Dimostra che, se due angoli hanno gli angoli supplementari congruenti, sono congruenti anche i loro complementari.

∧

Hp: AO B angolo convesso OR ⊥ OB OS ⊥ AO ∧

Tre semirette uscenti da uno stesso punto dividono il piano in tre angoli congruenti. Dimostra che il prolungamento di ciascuna di esse è la bisettrice dell’angolo convesso formato dalle altre due.

∧

Th: RO S + AO B = 180° Osserviamo che: ∧

44 Dimostra che angoli complementari di due angoli disuguali sono disuguali in senso opposto.

∧

AO B + BO R + RO S + SO A = ∧ ∧ = AO B + 90° + RO S + 90° = 360° Quindi AO B + RO S = 360° – 90° – 90° = 180° ∧

Cioè RO S è il supplementare dell’angolo dato ∧ AO B. c.v.d.

49 Se da un punto C appartenente al segmento AB si tracciano le semirette CD e CE da parti opposte ∧ ∧ rispetto alla retta AB e tali che AC E ≅ BC D, dimostra che le semirette CD e CE sono una il prolungamento dell’altra.

Su una retta orientata sono dati i punti A, O, D con D ≤ O ≤ A. Considera i punti B e C esterni alla retta, ∧ tali che BO C sia un angolo retto e verifica che gli ∧ ∧ angoli AO B e CO D siano complementari. ∧

∧

Dato un angolo retto PO Q, siano AO B un ango∧ lo che ha come bisettrice OP e CO D un angolo che ∧ ha come bisettrice OQ. Dimostra che gli angoli AO C ∧ e BO D sono supplementari. 41

∧

Sia AB C un angolo, BD la sua bisettrice e BE una semiretta esterna all’angolo. Dimostra che l’angolo ∧ EB D è congruente alla semisomma dei due angoli ∧ ∧ EB A ed EB C.

219

sezione 7

Considera il quinto postulato di Euclide nella sua definizione originale: “Se una retta, venendo a cadere su due rette, forma gli angoli interni da una stessa parte minori di due angoli retti, le due rette, prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte in cui sono i due angoli minori di due angoli retti”. Confronta la definizione originale con la definizione moderna semplificata, aiutati con una rappresentazione grafica.

Esercizio n. D21 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2013/2014. Si è costruita la figura che vedi inserendo nel quadrato più grande un secondo quadrato i cui vertici sono i punti medi dei lati del primo. Si è ripetuta la stessa procedura, inserendo altri due quadrati. Se la superficie del quadrato più grande misura 64 cm2, quanto misura il lato del quadrato più piccolo?

Dimostra che la relazione di congruenza tra figure piane è una relazione di equivalenza. 3

Spunti per approfondimenti

• “Grandezze commensurabili o incommensurabili” • “I pitagorici e il problema dell'incommensurabilità” 4 Esercizio n. D11 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2013/2014.

PQRS è un parallelogramma e T è il punto medio di SR.

B. 2 2 cm C. 4 cm

A. 2 cm

D. 4 2 cm 6

Esercizio n. D31 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2014/2015.

Qual è il rapporto tra l’area del triangolo QST e l’area del parallelogramma?

Osserva la seguente figura piana: ABCD è un quadrato e ABE è un triangolo equilatero. D

Scrivi come hai fatto per trovare la risposta e poi riporta il risultato. ______________________________________________ ______________________________________________ A

______________________________________________ ______________________________________________

Quali segmenti hanno la stessa lunghezza del segmento AB?

Risultato: __________________

Risposta: __________________

220

SEZIONE

GEOMETRIA

I triangoli

8.1 CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI E DEFINIZIONI Classificazione Un triangolo è un poligono con tre lati. C β'

β A

β è l’angolo interno relativo al vertice B β' è l’angolo esterno corrispondente

Un triangolo può essere classificato rispetto ai lati o rispetto agli angoli.

Classificazione rispetto ai lati • Un triangolo è scaleno se ha tutti i lati diversi tra loro. • Un triangolo è isoscele se ha due lati congruenti. • Un triangolo è equilatero se ha tutti i lati tra loro congruenti. C

triangolo scaleno AB ≠ BC ≠ AC

triangolo isoscele AC ≅ BC ≠ AB B

triangolo equilatero AB ≅ BA ≅ AC B

Classificazione rispetto agli angoli • Un triangolo è acutangolo se ha tutti gli angoli interni acuti. • Un triangolo è ottusangolo se ha uno degli angoli interni ottuso • Un triangolo è rettangolo se ha un angolo interno retto. In un triangolo rettangolo il lato opposto all’angolo retto si chiama ipotenusa, mentre i lati adiacenti all’angolo retto si dicono cateti. • Un triangolo è equiangolo se gli angoli interni sono congruenti C

γ β A

triangolo acutangolo

B triangolo ottusangolo β → angolo ottuso

α A

triangolo rettangolo AC → ipotenusa AB e BC → cateti

β B

triangolo equiangolo α≅β≅γ

Nota bene: la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, quindi in un triangolo equiangolo ogni angolo misura 60°.

221

sezione 8

Punti notevoli di un triangolo La mediana è un segmento che ha per estremi un vertice del triangolo e il punto medio del lato opposto. Ogni triangolo ammette tre mediane che si intersecano in un punto detto baricentro, G.

L’altezza è il segmento di perpendicolare condotto da un vertice del triangolo opposto al lato sulla retta a cui appartiene il lato stesso. Ogni triangolo ammette tre altezze che si intersecano in un punto detto ortocentro, O. C•

C•

−

• O

−

C•

• H1

A•

L’asse è la retta perpendicolare ad un lato del triangolo e passante per il suo punto medio. Ogni triangolo ha tre assi che si intersecano in un punto detto circocentro, K. C r • t

− −

N •

I •

− • •

•B

A•

K • • M

P • =

≡

•B

La bisettrice è una semiretta che ha origine in un vertice del triangolo e che divide l’angolo interno in due parti uguali. Ogni triangolo ammette tre bisettrici che si intersecano in un punto detto incentro, I.

= A• =

• H2

•

≡

• P

G •

≡ A•

H3 M •

−

≡ N•

•B

Nota bene: 1 Le tre mediane sono sempre interne al triangolo, quindi il baricentro è anch’esso sempre interno. 2 Le tre bisettrici sono sempre interne al triangolo, quindi l’incentro è anch’esso sempre interno. 3 Le tre altezze possono essere esterne al triangolo se il triangolo è ottusangolo, in tal caso l’ortocen-

tro cade esternamente al triangolo; mentre se il triangolo è rettangolo due delle tre altezze coincidono con i cateti e l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto. 4 Il circocentro cade esternamente al triangolo nel caso di un triangolo ottusangolo, mentre se il trian-

golo è rettangolo il circocentro coincide con il punto medio dell’ipotenusa.

8.2 CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI Prima di enunciare i teoremi relativi alla congruenza tra triangoli, vediamo nel dettaglio le fasi della dimostrazione di un teorema. • Si individuano le ipotesi e la tesi del teorema. • Si costruisce la figura geometrica corrispondente, indicando gli eventuali elementi congruenti.

Nota bene: nella rappresentazione grafica è bene evitare di rappresentare casi particolari se non

espressamente indicati dalle ipotesi: ad esempio se nel testo si parla di un triangolo, si disegna un triangolo acutangolo scaleno, non un triangolo isoscele o rettangolo, oppure se l’enunciato indica un punto in un segmento, non lo si prende nel mezzo!

• Si procede alla dimostrazione della tesi.

222

I triangoli • La dimostrazione può essere diretta, cioè partendo dalle ipotesi si procede con una sequenza di passaggi giustificati (da definizioni, assiomi o postulati, teoremi precedentemente dimostrati) che permettono di affermare la tesi. • La dimostrazione può essere per assurdo, cioè si assumono per vere le ipotesi e la negazione della tesi, se da questi assunti e procedendo con il ragionamento deduttivo si arriva ad una contraddizione, allora si può concludere che la tesi non può essere negata. Un esempio di dimostrazione per assurdo si vedrà nel secondo criterio di congruenza dei triangoli.

Primo e secondo criterio di congruenza dei triangoli Due triangoli sono congruenti se sovrapposti con un movimento rigido coincidono; ovvero se hanno ordinatamente congruenti i lati e gli angoli.

Primo criterio di congruenza

−

Teorema – Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso. C C' Ipotesi: Tesi: AB ≅ A'B' ABC ≅ A'B'C' AC ≅ A'C' α' α A B A' B' α ≅ α' Dimostrazione: la dimostrazione del primo criterio di congruenza proposta da Euclide non è un vero e proprio ragionamento deduttivo, ma è basata sulla sovrapposizione dei due triangoli attraverso un movimento rigido, cioè si assume per vero l’assioma 4 di Euclide, che stabilisce la congruenza per sovrapposizione delle figure geometriche.

Nota bene: l’assioma 4 di Euclide viene qui solo accennato, è stato enunciato nella sezione 7.5. Si rimanda ad una ricerca individuale per un eventuale approfondimento.

Secondo criterio di congruenza

−

Teorema – Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato tra essi compreso. C C' Ipotesi: Tesi: AB ≅ A'B' ABC ≅ A'B'C' α ≅ α' α α' β β' β ≅ β' A B A' B' Dimostrazione: si procede per assurdo, cioè si nega la congruenza dei triangoli, in particolare si nega la congruenza tra AC e A'C'. Si suppone AC > A'C'.

−

Per il postulato del trasporto dei segmenti, esiste un punto D, appartenente al lato AC, tale che AD ≅ A'C'. C C' Si considerano ora i triangoli ABD e A'B'C', essi hanno: D • α ≅ α' per ipotesi • AB ≅ A'B' per ipotesi α α' β β' A B A' B' • AD ≅ A'C' per costruzione Sono quindi verificate le ipotesi del primo criterio di congruenza ⇒ ABD ≅ A'B'C' ∧

In particolare sono congruenti gli angoli AB D ≅ β', perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti. ∧ ∧ Ma per ipotesi si aveva che AB C ≅ A'B 'C'. ∧ ∧ Per la proprietà transitiva è AB D ≅ AB C. ∧ ∧ ∧ Ciò è assurdo essendo, per costruzione, il lato BD interno all’angolo AB C, per cui dovrebbe essere ABD < ABC. Si è quindi giunti ad una contraddizione, all’assurdo si è giunti negando la tesi, quindi la tesi è vera.

223

sezione 8

Secondo criterio di congruenza generalizzato Teorema – Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due angoli e un lato. Ipotesi: AB ≅ A'B' ∧ ∧ BAC ≅ B'A'C' ∧ ∧ AC B ≅ A'C 'B'

Tesi: ABC ≅ A'B'C'

•

B' ∧

∧

Dimostrazione: la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, per cui si ha che AB C ≅ A'B 'C'per differenza di angoli corrispondenti congruenti. Si ha che ABC ≅ A'B'C' perché sono verificate le ipotesi del secondo criterio di congruenza. Si vedranno di seguito delle applicazioni dei primi due criteri di congruenza dei triangoli, ovvero dei teoremi la cui dimostrazione è fondata sull’assumere veri tali criteri. Teoremi che sono la diretta conseguenza di altri vengono detti corollari.

Triangoli isosceli e loro proprietà • C

Corollario 8.1 – Un triangolo isoscele ha gli angoli alla base congruenti. Ipotesi: AC ≅ BC

• •

−

Tesi: ∧ ∧ BAC ≅ CB A

• E

A•

•B

∧

Dimostrazione: si tracci la bisettrice r dell’angolo AC B che interseca il lato AB nel punto E. Si considerino i triangoli ACE e ECB, essi hanno: • AC ≅ BC per ipotesi • CE lato in comune

∧

• AC E ≅ EC B per costruzione

→ ACE ≅ ECB per il primo criterio di congruenza. ∧

∧

In particolare si ha che BAC ≅ CB A perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti. Corollario 8.2 – Un triangolo che ha due angoli congruenti è isoscele.

• C

Ipotesi: ∧ ∧ BAC ≅ CB A Tesi: AC ≅ BC

A• •

•

•B

Nota bene: i due teoremi appena enunciati si possono riassumere nel seguente enunciato. Corollario 8.3 – Un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti. Corollario 8.4 – Se ABC è un triangolo isoscele, allora bisettrice, mediana e altezza coincidono. • Ovvero, facendo riferimento alla figura a destra, dato il C triangolo isoscele ABC valgono le seguenti implicazioni.

La dimostrazione viene lasciata per esercizio.

224

−

Corollario 8.5 – Un triangolo è equilatero se e solo è equiangolo

• •

−

1 CE bisettrice ⇔ CE mediana 2 CE bisettrice ⇔ CE altezza 3 CE altezza ⇔ CE mediana

A•

• E

•B

I triangoli

Applicazione ai triangoli rettangoli Condizioni per la congruenza di triangoli rettangoli. Corollario 8.6 – Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno i cateti ordinatamente congruenti.

−

Tesi: ABC ≅ A'B'C'

−

Ipotesi: AB ⊥ BC A'B' ⊥ B'C' AB ≅ A'B' BC ≅ B'C'

Dimostrazione: è un’applicazione del primo criterio di congruenza. Corollario 8.7 – Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti uno dei lati e uno degli angoli non retti.

•

= •

−

Tesi: ABC ≅ A'B'C'

−

Ipotesi: AB ⊥ BC A'B' ⊥ B'C' ∧ ∧ BAC ≅ B'A'C' BC ≅ B'C'

Dimostrazione: è un’applicazione del secondo criterio di congruenza generalizzato.

Terzo criterio di congruenza Teorema – Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti i tre lati. C

−

α A

= α' B

−

Tesi: ABC ≅ A'B'C'

Ipotesi: AB ≅ A'B' AC ≅ A'C' BC ≅ B'C'

Dimostrazione: si considera il triangolo A'B'C' e si costruisce la semiretta r di origine A', appartenente al semipiano originato dalla retta per A'B' e non contenente C', tale che ∧ ∧ B'A'r ≅ CAB. C' α'

−

Si considerano i triangoli ABC e A'B'C'', essi hanno: • AB ≅ A'B' per ipotesi • AC ≅ A'C'' per costruzione ∧ ∧ • CAB ≅ B'A'C' per costruzione

Si prende poi un punto C'' sulla semiretta r in modo tale che A'C'' ≅ AC.

C''

Si ha quindi che ABC ≅ A'B'C'' per il primo criterio di congruenza. r In particolare valgono le seguenti relazioni: • BC ≅ B'C'' perché lati corrispondenti in triangoli congruenti → B'C' ≅ B'C'' per proprietà transitiva, • A'C'' ≅ A'C' per proprietà transitiva. Si congiunge C' a C'', sia D il punto di intersezione del segmento C'C'' con la retta contenente il lato A'B'. Si possono presentare tre casi:

Si procede nella dimostrazione facendo riferimento al caso 1; la trattazione negli altri due casi è simile e viene lasciata per esercizio.

= A'

α'

1 D è interno al lato A'B', 2 D è esterno al lato A'B', 3 D coincide con uno dei vertici, con A' o con B'.

C''

225

sezione 8 Si considera il triangolo A'C''C', è un triangolo isoscele perché ha due lati congruenti, ovvero A'C'' ≅ AC'. ∧ ∧ Quindi si ha che A'C 'C'' ≅ C'C ''A' perché angoli alla base di un triangolo isoscele.

∧

Si considera ora il triangolo B'C''C', è un triangolo isoscele perché ha due lati congruenti, ovvero B'C'' ≅ BC'. ∧ ∧ Quindi si ha che B'C 'C'' ≅ C'C ''B' perché angoli alla base di un triangolo isoscele.

α'

C''

∧

Si ha quindi A'C 'B' ≅ A'C ''B' perché somma di angoli congruenti. ∧ ∧ Inoltre vale la relazione A'C ''B' ≅ AC B perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti, per dimostra∧ ∧ zione precedente. Per cui A'C 'B' ≅ AC B per la proprietà transitiva. Si possono ora considerare i triangoli ABC e A'B'C', essi hanno: • AC ≅ A'C' per ipotesi • BC ≅ B'C' per ipotesi ∧ ∧ • A'C 'B' ≅ AC B per dimostrazione precedente Quindi si ha ABC ≅ A'B'C' per il primo criterio di congruenza. Applicazione del terzo criterio di congruenza ai triangoli rettangoli. Teorema 8.8 – Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno l’ipotenusa e un cateto rispettivamente congruenti. Tesi: ABC ≅ A'B'C'

Dimostrazione: si prolunga AB dalla parte di A di un segmento DA ≅ A'B'. A B D Si osserva che anche il triangolo ADC è rettangolo, retto in A, perché angolo adiacente ad un angolo retto. Quindi i triangoli ADC e A'B'C' sono congruenti per il primo criterio di congruenza. In particolare DC ≅ B'C', perché lati corrispondenti in triangoli congruenti.

Ipotesi: ∧ ∧ CAB e C'A'B' angoli retti AC ≅ A'C' BC ≅ B'C'

Ma per ipotesi BC ≅ B'C', quindi, per la proprietà transitiva risulta BC ≅ DC, cioè il triangolo DBC è isoscele sulla base DB, e il segmento CA è l’altezza relativa alla base. Per la proprietà dei triangoli isosceli l’altezza coincide con la mediana, da ciò si deduce che DA ≅ AB. Per la proprietà transitiva AB ≅ A'B'. Si possono ora considerare i due triangoli ABC e A'B'C', essi hanno i lati ordinatamente congruenti, quindi sono congruenti per il terzo criterio di congruenza.

Triangoli equivalenti Teorema 8.9 – Due triangoli sono equivalenti se hanno basi e altezze ad esse relative ordinatamente congruenti. C C' Ipotesi: Tesi: AB ≅ A'B' AreaABC ≅ AreaA'B'C' CH ⊥ AB C'H' ⊥ A'B' CH ≅ C'H' H H' A B A' B' Dimostrazione: la dimostrazione viene omessa perché subordinata alla trattazione di argomenti relativi al secondo anno di corso.

226

I triangoli

8.3 DISUGUAGLIANZE NEI TRIANGOLI Primo teorema dell’angolo esterno Un angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad esso C

Ipotesi: ∧ ∧ CB r angolo esterno dell’angolo AB C Tesi: ∧ ∧ ∧ ∧ CB r > BAC e AC B > AB C

r A

Teorema – Se due lati di un triangolo sono disuguali, anche gli angoli ad essi opposti sono disuguali. In particolare al lato maggiore corrisponde l’angolo opposto maggiore. Teorema (inverso del teorema precedente) – Se due angoli di un triangolo sono disuguali, anche i lati ad essi opposti sono disuguali. In particolare all’angolo maggiore corrisponde il lato opposto maggiore. Teorema – In un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.

8.1 1 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

Vero o falso? Un triangolo è ottusangolo se i suoi angoli sono ottusi. Un triangolo è equiangolo se i suoi angoli sono congruenti. Un triangolo è acutangolo se ha un angolo acuto. Ogni triangolo equilatero è isoscele. Ogni triangolo acutangolo è scaleno. Ogni triangolo rettangolo è scaleno. Ogni triangolo scaleno è acutangolo. ∧ ∧ Se in un triangolo ABC si ha AB ≅ BC e A ≅ B , allora il triangolo ABC è equilatero. Un triangolo con due angoli disuguali non può essere isoscele. Due triangoli isosceli con uguale base e uguale perimetro sono congruenti. Due triangoli che hanno i tre angoli rispettivamente congruenti sono congruenti. Un triangolo può avere due angoli retti e uno acuto. In un triangolo il lato maggiore è opposto all’angolo minore. La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto. Un triangolo scaleno può avere due angoli uguali. Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono supplementari. Un triangolo equilatero può essere rettangolo. Il lato più lungo di un triangolo rettangolo si chiama cateto. Tutte le altezze di un triangolo equilatero sono uguali. Tutte le altezze di un triangolo isoscele sono uguali. I cateti sono base e altezza di un triangolo rettangolo. L’ortocentro di un triangolo rettangolo è interno a esso. Il punto di intersezione delle tre altezze di un triangolo si chiama baricentro. Una mediana divide un triangolo qualsiasi in due triangoli uguali. Un triangolo rettangolo con due angoli acuti uguali è anche isoscele. In un triangolo isoscele la base è sempre maggiore della differenza dei lati.

V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V

F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F

227

sezione 8 2

Traccia le altezze dei seguenti triangoli.

A 3

Traccia le mediane dei seguenti triangoli.

A 4

Traccia gli assi dei seguenti triangoli.

8.2 1

Individua nei seguenti enunciati le ipotesi e la tesi. Rappresenta poi la figura corrispondente.

Dato il triangolo isoscele ABC di base AB, sia CD la mediana relativa al lato AB, con D punto medio di AB, allora CD è altezza relativa alla base AB.

Dati i triangoli ABC e A'B'C', siano AC ≅ A'C', AC B ≅ A'C 'B', CB ≅ C'B'. Siano CM e C'M' le mediane relative rispettivamente ai lati AB e A'B'. Dimostra che tali mediane sono congruenti.

Dato il triangolo isoscele ABC sulla base AB, costruisci esternamente al triangolo due triangoli equilateri BCD e ACE. Dimostra che i triangoli ABD e BAE sono congruenti.

Dato il triangolo isoscele ABC di base AB, sia D il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli alla base. Dimostra che il triangolo ABD è isoscele di base AB.

∧

8.3 1 a b c d e f g h i

Vero o falso? In un triangolo l’angolo opposto al lato minore è acuto. In un triangolo l’angolo opposto al lato maggiore è ottuso. In un triangolo ogni angolo interno è minore del corrispondente angolo esterno. In un triangolo all’angolo maggiore corrisponde il lato opposto minore. In un triangolo al lato minore corrisponde l’angolo opposto minore. In un triangolo acutangolo ogni angolo esterno è ottuso. Il lato maggiore di un triangolo è maggiore della somma degli altri due. In un triangolo possono esserci un angolo retto e uno ottuso. In un triangolo rettangolo i due angoli non retti sono entrambi acuti.

V V V V V V V V V

F F F F F F F F F

Fissata un’unità di misura, stabilisci quale delle seguenti terne di numeri possono rappresentare le lunghezze dei lati di un triangolo. a d

228

3-4-5 9 - 9 - 20

SI NO SI NO

b e

3-4-7 6-3-2

SI NO SI NO

c f

6 - 6 - 10 12 - 4 - 10

SI NO SI NO

I triangoli

Risolvi i seguenti problemi relativi ai triangoli.

∧

Esempi

B = 90°

Il triangolo ABC isoscele sulla base AB ha l’angolo esterno all’angolo al vertice ampio 144°. Determina l’ampiezza degli angoli interni del triangolo.

AB = 40 cm

Essendo l’angolo esterno ampio 144°, quello interno, a esso adiacente e quindi supplementare, è ampio 36°; la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°, quindi ciascuno degli angoli alla base è ampio (180° – 36°) : 2 = 72°.

MN = 15 cm

144°

BC = 9 cm AABC = ALMN

M H

LH = ?

L’altezza richiesta può essere calcolata con la formula inversa dell’area, perciò: AABC = LH =

AB . BC 40 . 9 = cm2 = 180 cm2 ⇒ AABC = ALMN 2 2

ALMN . 2 180 . 2 = cm 15 MN

⇒

LH = 24 cm

2 Il lato di un triangolo equilatero è lungo 18 cm; cal-

cola la lunghezza della base e dei lati di un triangolo isoscele che ha il perimetro uguale a quello del triangolo dato, sapendo che il lato obliquo è il doppio della base.

1 In un triangolo un lato è lungo 24 cm e gli altri due ne sono rispettivamente i 2 e i 3 . Trova il perime3 4 tro del triangolo e le tre altezze, sapendo che l’area è 44 cm2. 11 183 122

2p = 58 cm;

A R

cm;

In un triangolo isoscele la base è 1 del lato obli3 quo. Sapendo che la loro somma è lunga 92 cm, trova il perimetro del triangolo. [161 cm] 2

3 In un triangolo la somma di base e altezza è lunga 35 cm e l’altezza è 2 della base. Trova l’area del trian3 golo. [147 cm2]

ST = TR = RS = 18 cm 2pRST = 2pABC AB = AC = 2BC BC = ? Calcoliamo il perimetro del triangolo RST: (18 . 3) cm = 54 cm

⇒

2pRST = 2pABC

Il perimetro del triangolo ABC è costituito da cinque parti tra loro congruenti, perciò: (54 : 5) cm =

54 cm = 10,8 cm ⇒ BC = 10,8 cm 5

(10,8 . 2) cm =

108 cm ⇒ AB = AC = 21,6 cm 5

3 I cateti di un triangolo rettangolo sono lunghi

rispettivamente 9 cm e 40 cm; calcola l’altezza di un triangolo che ha la stessa area di quello dato, sapendo che la base è lunga 15 cm.

4 Il lato obliquo di un triangolo isoscele è il doppio della base e il perimetro è 50 cm. Trova la lunghezza dei lati e l’area, sapendo che l’altezza relativa alla base è 9 della base stessa. [10 cm; 20 cm; A = 90 cm2]

5 La base AB e l’altezza CH di un triangolo ABC sono lunghe rispettivamente 24 cm e 18 cm. Traccia la mediana CM e trova l’area dei due triangoli AMC e BMC. Perché tali aree sono uguali? [108 cm2] 6

In un triangolo isoscele il perimetro è 240 cm, la base è 2 del lato obliquo e l’altezza è uguale alla base. 5 Trova: a

il lato obliquo e la base;

l’ampiezza degli angoli alla base sapendo che l’angolo al vertice è ampio 70°.

[ a 100 cm; 40 cm

55°]

229

sezione 8 Esegui le seguenti dimostrazioni. 2

Esempi Sui lati di un angolo di vertice O prendi due segmenti congruenti OM e ON e altri due segmenti congruenti MC e ND e sia P il punto di intersezione dei segmenti MD e NC. Dimostra che PM e PN sono congruenti, come pure PC e PD, e che il punto P appartiene alla bisettrice dell’angolo dato.

−

• Hp: CD ≅ DB AD ≅ DE

•

CD ≅ DB AD ≅ DE ∧ ∧ CDA ≅ EDB

−

Th: PM ≅ NP PC ≅ PD ∧ ∧ PO M ≅ PO N

∧

OCN ≅ MDO. Consideriamo i due triangoli MCP e NPD, che hanno: MC ≅ ND per ipotesi ∧ ∧ MPC ≅ NPD perché angoli opposti al vertice ∧ ∧ MCP ≅ PDN perché dimostrato precedentemente ∧

per ipotesi per ipotesi perché angoli opposti al vertice

I triangoli CDA e EDB sono quindi congruenti per il I criterio di congruenza; in particolare hanno AC ≅ BE, perché basi corrispondenti in triangoli congruenti. c.v.d.

OC ≅ OD perché somma di segmenti congruenti ON ≅ OM per ipotesi ∧ CO D in comune Quindi i due triangoli sono congruenti per il I criterio di congruenza. In particolare hanno:

Th: AC ≅ BE

Congiungiamo B con E e consideriamo i due triangoli CDA e EDB che hanno:

D•

Consideriamo i triangoli MOD e CON, che hanno:

Dimostra che una mediana di un triangolo lo divide in due triangoli equivalenti. Consideriamo il triangolo acutangolo ABC e la mediana relativa a un lato. Ricordiamo che la mediana divide il lato su cui cade in due parti congruenti. A

∧

Quindi possiamo dire che PMC ≅ PND perché la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°. I due triangoli MCP e NDP sono quindi congruenti per il II criterio di congruenza. In particolare hanno MP ≅ PN e PC ≅ PD. Congiungiamo ora P con O e consideriamo i triangoli COP e POD, che hanno: PC ≅ PD perché dimostrato precedentemente OC ≅ OD perché somma di segmenti congruenti ∧ ∧ OCP ≅ PDN perché dimostrato precedentemente I due triangoli sono quindi congruenti per il I criterio di congruenza. ∧ ∧ In particolare hanno CO P ≅ PO D e quindi OP è ∧ bisettrice dell’angolo MO N. c.v.d.

230

= B

•P N•

∧

•

O•

Hp: OM ≅ ON MC ≅ ND

•

−

A•

−

C•

Nel triangolo ABC conduci la mediana AD relativa al lato BC e prolungala di un segmento DE ≅ AD. Dimostra che AC è congruente a BE.

Hp: BM ≅ MC

Th: AMB =. AMC

La mediana AM divide il triangolo dato in due triangoli BMA e MCA: il primo ottusangolo, il secondo acutangolo. Tracciamo da A la perpendicolare AH alla retta sostegno del lato BC e osserviamo che AH è altezza sia di BMA sia di AMC. I due triangoli AMB e AMC hanno perciò la stessa altezza AH e basi congruenti per ipotesi, quindi i triangoli sono equivalenti. c.v.d.

I triangoli

Dimostrazioni guidate 1

Hp: AB ≅ _________

∧

Dimostra che in un triangolo isoscele le mediane relative ai lati congruenti sono congruenti. A

ABC ≅ ________ AE ≅ _________ D

Hp: AB ≅ AC

Th: DB ≅ _________

∧

ABC ≅ ________

AD ≅ _________ Th:

______________

Consideriamo i due triangoli EBC e DBC che hanno: BC EB ≅ ______

in comune _________________

EBC ≅ ____

per ipotesi

∧

I due triangoli _________________ sono quindi congruenti per il _____ criterio di congruenza dei triangoli. In particolare EC ≅ ___________________ c.v.d. 2 Sia ABC un triangolo scaleno e AM la bisettrice ∧

dell’angolo A. Prendi, su quest’ultima, due segmenti AE ≅ AB e AF ≅ AC. Dimostra che BF è congruente a CE. E

QD ≅ _________

A C

Consideriamo i due triangoli DAB e EAC che hanno: BA ≅ AC DA ≅ ______ ∧ ∧ DAB ≅ EAC

per _________________ per ipotesi perché _________________

I due triangoli sono quindi congruenti per il ______ criterio di congruenza. ∧ In particolare BD ≅ _____ e DBA ≅ _____ . Consideriamo ora il triangolo BCQ: esso è isoscele perché ha gli angoli ___________________ congruenti perché sono somma di angoli __________________ . Allora BQ ≅ QC e ne segue che DQ ≅ _____ perché differenza di segmenti __________________ . c.v.d.

•

C• F

•

4 Dimostra che due triangoli, aventi ordinatamente

•

congruenti un lato e gli angoli esterni relativi al lato stesso, sono congruenti. B

•

A•

C Hp: AE ≅ AB AF ≅ AC ∧ CAE ≅ ______

Th: BF __________

Consideriamo i triangoli AEC e ABF che hanno: AB ≅ AE AF ≅ ______ ∧ CAE ≅ ______

per _________________ per _________________ per _________________

Quindi i due triangoli ___________________ sono congruenti per il _____ criterio di congruenza. In particolare è ___________________ c.v.d.

β B

Hp: AB ≅ A'B' α ≅ ______ β ≅ ______ ∧

α'

β' B'

Th: ABC ≅ _______

∧

Gli angoli CAB e C'A'B' sono congruenti perché ___________________ di angoli congruenti. ∧

∧

3 È dato il triangolo ABC isoscele sulla base BC.

Gli angoli CBA e C'B'A' sono __________________ perché supplementari di due angoli congruenti.

Prolunga, oltre il vertice, i due lati obliqui di due segmenti AE ≅ AD e unisci B con D e C con E. Detto Q il punto dove si intersecano i prolungamenti di BD e CE, dimostra che BD ≅ CE e QD ≅ QE.

I due triangoli ABC e A'B'C' sono quindi congruenti per il _____ criterio di congruenza. c.v.d.

231

sezione 8

5 Dimostra che le bisettrici degli angoli alla base di

un triangolo isoscele si intersecano in un punto che appartiene alla bisettrice dell’angolo al vertice. A

•

Hp: AB ≅ _________ ∧

ABC ≅ ________ ACO ≅ ________

CAD ≅ ____

per ________________

∧

O B•

•C

Consideriamo il triangolo BOC che ha: ∧

Consideriamo i triangoli CDA e DEA che hanno:

ABO ≅ OBC

Th: OAB ≅ OAC

•

Th: DE ≅ DC AE ≅ AC AD è asse di EC

in _________________ per ________________

∧

•E

∧

DA ∧ ∧ CDA ≅ EDA

∧

D•

∧

Hp: BAD ≅ CAD ∧ ∧ ADE ≅ ADC

∧

I due triangoli sono quindi congruenti per il ___________________ di congruenza. In particolare: DE ≅ ______ AE ≅ ______ Consideriamo ora il triangolo DCE che è isoscele perché abbiamo dimostrato che CD ≅ ______

∧

OBC ≅ OCB

∧

Quindi il triangolo è ___________________ In particolare sarà BO ≅ _____ Consideriamo ora i triangoli AOB e AOC che hanno: AB ≅ ______ per ipotesi ∧ ∧ ABO ≅ ACO per _________________ BO ≅ ______ perché dimostrato precedentemente

∧

Inoltre CDA ≅ ADE per _________________ quindi il segmento DA è una _________________ . In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche _____________________ e _____________________ per cui AD è _____________________ del segmento EC. c.v.d. 7 Sia ABC un triangolo isoscele sulla base BC e H il

I due triangoli AOB e ______ sono quindi congruenti per il ___________________ di congruenza ∧ dei triangoli. In particolare OAB ≅ ______ . c.v.d. 6 Nel triangolo ABC (con AB > AC) traccia la biset∧

trice AD dell’angolo A e da D traccia la semiretta DX che taglia il triangolo e forma con AD l’angolo ∧ ∧ ADX ≅ ADC. Detto E il punto di intersezione tra DX e AB, dimostra che: a DE ≅ DC

piede dell’altezza. Siano M e N i piedi delle perpendicolari condotte da H ai lati AB e AC. Dimostra che: a ANH e AMH sono triangoli rettangoli con-

gruenti b HN ≅ HM

Hp: AB ≅ ______

•

∧

______ ≅ ACB

e AE ≅ AC

______ ⊥ BC

b AD è asse del segmento EC.

MH ⊥ ______

B•

NH ⊥ AC X

•

M•

B•

• D•

•

C•

•A

232

•C

•

∧

•N

Th: ANH ≅ AMH HN ≅ HM

∧

I due angoli BMH e HNC sono _________________ ∧ ∧ per costruzione, inoltre NC H ≅ MB H per ∧ ∧ _________________, quindi NHC ≅ MHB perché angoli _________________ di angoli congruenti; BH ≅ ______ perché in un triangolo isoscele l’altezza relativa alla _________________ è anche _________________ e _________________ .

I triangoli 4

I due triangoli BMH e HCN sono congruenti per il _____ criterio di congruenza dei triangoli; in particolare NC ≅ ______ e ______ ≅ HM.

Nel triangolo isoscele ABC considera due punti D ed E interni alla base AB in modo che sia AD ≅ BE. Dimostra che CD ≅ CE. 5

I due triangoli ANH e AHM hanno: AH in comune AM ≅ ______ perché differenza di ___________ _________________ congruenti MH ≅ ______ perché dimostrato. I due triangoli ANH e AHM sono perciò congruenti per il __________________________ dei triangoli. c.v.d.

Considera il triangolo ABC isoscele sulla base BC e un punto P della bisettrice dell’angolo al vertice. Le rette PB e CP intersecano rispettivamente in B' e C' le rette sostegno dei lati AC e AB. Dimostra che BB' ≅ CC' e AC' ≅ AB'. 6

Prolunga, nello stesso verso, i lati di un triangolo equilatero di segmenti congruenti fra loro. Dimostra che il triangolo ottenuto congiungendo gli estremi dei tre segmenti è anch’esso equilatero.

8 Dimostra che la bisettrice AD di un angolo del

triangolo ABC divide il lato opposto BC in due parti ciascuna minore del corrispondente lato consecutivo. A•

7 Considera il segmento AB e il suo punto M tale che AM ≅ MB. Sulla retta m, passante per M, segna i due punti C e D, da parti opposte rispetto a M, in modo ∧ ∧ che sia CB M ≅ MA D. Dimostra che il triangolo CBM è congruente al triangolo MAD.

• •

•

8 Dato il triangolo ABC isoscele sulla base AB prendi su AC e BC rispettivamente due segmenti congruenti AD e BE. Dimostra che il punto medio M di AB è equidistante da D ed E.

C 9

∧

Hp: BAD ≅ DAC

Th: BD < AB DC < AC ∧

Nel triangolo ABD, l’angolo BDA è maggiore del∧ l’angolo DAC perché __________________; ma ∧ ∧ ∧ DAC ≅ ______ per ipotesi, quindi BDA > BAD, allora AB ______ BD. ∧

Analogamente nel triangolo ADC, ADC > ______, ∧ ∧ ma BAD ≅ ______ per ipotesi, quindi ADC > _____ . Segue che DC ______ AC. c.v.d.

1 Nel triangolo ABC conduci la mediana AM e unisci un punto P qualunque di AM con i vertici B e C. Dimostra che il triangolo risulta scomposto in quattro parti ABP, BPM, MPC e CPA equivalenti a due a due.

È dato il triangolo ABC isoscele sulla base BC. Dimostra che le bisettrici BM e CN, relative agli angoli alla base, sono congruenti. 10 È dato il segmento AB; prendi sullo stesso semipiano determinato dalla retta sostegno di AB due punti C e D tali che AC ≅ BD e BC ≅ AD. Dimostra che AP ≅ BP, essendo P il punto di intersezione di AC e BD. 11

Prendi sui lati AB e AC del triangolo ABC, isoscele sulla base BC, due segmenti congruenti AE e AF e congiungi il punto medio H di BC con E e F. ∧

∧

Dimostra che AH E ≅ AH F.

Dimostra che il triangolo EHF è isoscele.

12 Sui lati di un angolo segna i due punti A e B equidistanti dal vertice e congiungili con un punto P della bisettrice dell’angolo. Dimostra che AP ≅ BP.

Prolungata la base AB di un triangolo isoscele ABC di due segmenti congruenti AD e BE, dimostra che il triangolo CDE è isoscele.

Dimostra che se nel triangolo ABC, isoscele sulla base BC, si congiungono i punti medi M e N dei lati AB e AC, si ottiene un nuovo triangolo isoscele AMN.

È dato il triangolo ABC isoscele sulla base AC. Prolungati i lati AB e BC, oltre B, di due segmenti congruenti BM e BN, e congiunti N e M con A e C, dimostra che AN ≅ MC.

Dimostra che in un triangolo isoscele le bisettrici degli angoli alla base intersecano i lati opposti in punti equidistanti dal vertice.

233

sezione 8 15

Se in un triangolo ABC una mediana CM è maggiore della metà del lato cui è condotta, dimostra che l’angolo opposto a questo lato è minore della somma degli altri due.

È dato il triangolo ABC rettangolo in A; la bisettrice dell’angolo B interseca AC in M. Per M conduci la perpendicolare ad AC che interseca BC in N; dimostra che BN ≅ MN. Dimostra che, se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati e la mediana relativa a uno di essi, sono congruenti.

Considera il triangolo ABC isoscele sulla base BC e un punto P di AC. Dimostra che BP > PC. 30

È dato il triangolo ABC rettangolo in A; prolunga BA di un segmento AD ≅ AC e CA di un segmento AE ≅ AB. Dimostra che l’altezza AH, relativa all’ipotenusa BC, è mediana relativa a ED nel triangolo ADE. 18 Dato un triangolo OAB, isoscele sulla base AB, prolunga i lati, dalla parte della base, di due segmenti congruenti AC e BD. Dimostra che il punto E di intersezione dei segmenti BC e AD, appartiene alla ∧ bisettrice dell’angolo O .

Dimostra che il segmento che unisce il vertice di un triangolo isoscele con un punto del prolungamento della base è maggiore di ciascuno dei lati congruenti. 31

Se r è la perpendicolare in A alla bisettrice del∧ l’angolo A di un triangolo ABC e P un qualunque punto di r, dimostra che il perimetro del triangolo PBC è maggiore del perimetro di ABC. 32

Dimostra che, in un triangolo qualsiasi, ciascuna altezza è minore della semisomma dei lati che escono dallo stesso vertice dell’altezza.

Nel triangolo equilatero ABC prolunga AB di un segmento BD. Dimostra che AD > CD. ∧

∧

In un triangolo ABC si ha: BC > AC e AC B > BA C. ∧ ∧ Dimostra che AC B > AB C. 20

21 Sul cateto minore AC del triangolo rettangolo ABC prendi un punto P; sia Q il punto di AB tale che BQ ≅ QP. Dimostra che AQ < BQ. 22 Sul prolungamento della base AB del triangolo isoscele ABC prendi un punto D tale che BD ≅ BC e ∧ congiungi C con D. Dimostra che l’angolo CDB è metà ∧ dell’angolo CA B. 23 Nel triangolo ABC isoscele sulla base AB, dimostra che la bisettrice AD > BD. 24 Nel triangolo ABC isoscele sulla base AB, prolunga AC, dalla parte di C, di un segmento CP. Dimostra che AP > PB. 25 Dimostra che la bisettrice AD di un angolo del triangolo ABC divide il lato opposto BC in due parti ciascuna minore del corrispondente lato consecutivo. 26 Dimostra che se due lati di un triangolo non sono congruenti, la mediana condotta dal vertice comune forma con il lato maggiore l’angolo minore. 27 Dimostra che nel triangolo isoscele ABC il segmento CD, che unisce il vertice con un punto della base AB, è minore di ciascuno dei lati.

234

Disegna i segmenti consecutivi e congruenti AB e BC. Detti M il punto medio di AB e N il punto medio di BC, unisci A con N e C con M e dimostra che i triangoli ANB e CMB sono congruenti. 34 È dato il triangolo ABC; prolunga il lato AB di un segmento BA' ≅ AB e il lato CB di un segmento BC' ≅ CB. Dimostra che i punti medi M e M' dei segmenti AC e A'C ' sono allineati con B. 35 È dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC e ∧ ∧ ∧ tale che B ≅ 2A . Conduci la bisettrice BM dell’angolo B . Dimostra che il triangolo AMB è isoscele. 36 Nel triangolo equilatero ABC prolunga la base AB di un segmento BD congruente al lato. Dimostra che il triangolo ACD è rettangolo. 37 Considera il punto medio M di un segmento AB e prendi sull’asse di AB due punti P e Q tali che PM ≅ MQ. Dimostra che ABP ≅ ABQ. 38 È dato il triangolo ABC, isoscele sulla base AB. Preso un punto P qualunque della bisettrice dell’angolo al vertice di ABC, dimostra che il triangolo APB è isoscele. 39

Per un punto P dell’ipotenusa AB del triangolo rettangolo isoscele ABC conduci la perpendicolare ad AB e siano Q e R i suoi punti di intersezione rispettivamente con le rette sostegno di AC e BC. Dimostra che CQR è isoscele.

I triangoli 40

Dato un triangolo ABC, sul prolungamento del lato AB, dalla parte di A, costruisci un segmento AH ≅ AB, e sul prolungamento del lato AC, dalla parte di A, costruisci un segmento AK ≅ AC. Dimostra che il triangolo ABC è congruente al triangolo AHK (sfrutta il primo criterio di congruenza).

Siano OM e ON le bisettrici dei due angoli con∧ ∧ secutivi e congruenti AO B e BO C. Sulle semirette OA, OM, OB, ON e OC prendi rispettivamente i segmenti congruenti OP, OQ, OR, OS, OT. Dimostra che PQ ≅ QR ≅ RS ≅ ST e che PS ≅ QT.

BE ≅ CD;

43 È dato un triangolo ABC. Sul prolungamento del lato AB, dalla parte di A, costruisci un segmento AH ≅ AB, e sul prolungamento del lato AC, dalla parte di A, costruisci un segmento AK ≅ AC. Dimostra che il triangolo ABC è congruente al triangolo AHK.

CD e BE si intersecano in un punto appartenente all’altezza AH;

È dato un triangolo ABC isoscele sulla base BC e di altezza AH. Sui due lati congruenti costruisci due triangoli ABD e ACE tra loro congruenti e isosceli rispettivamente sulle basi AB e AC. Dimostra che:

il triangolo HDE è isoscele;

posto M = AB ∩ HD e N = AC ∩ HE, il triangolo HMN è isoscele;

DE ⊥ AH.

Per un punto M della bisettrice AM di un angolo A conduci due rette formanti angoli congruenti con AM: una di queste rette taglia i lati dell’angolo ∧ A rispettivamente in B e C; l’altra taglia i medesimi lati rispettivamente in D ed E. Dimostra che si ha ME ≅ MB, MC ≅ MD, ED ≅ BC. ∧

Con del filo ed un pesetto si può determinare l’ortocentro di un triangolo. Descrizione dell’esperienza: • disegnare su un cartoncino e ritagliare un triangolo; • prendere un filo resistente (ad esempio uno spago o un filo da pesca) poco più lungo dell'altezza massima del triangolo e legare un pesetto ad una delle estremità; • attaccare (ad esempio con lo scotch) l’estremità libera del filo ad uno dei vertici del triangolo ritagliato; • appoggiare la base del triangolo opposta al vertice a cui è attaccato il filo sul bordo di una superficie orizzontale, in modo che il filo penda liberamente; • tracciare la linea indicata dal filo; • ripetere l’operazione per gli altri due vertici. 2

Completare la dimostrazione del terzo criterio di congruenza dei triangoli nei due casi non trattati nel testo nella sezione di teoria (lezione 8.2 pag. 223). 3

Esercizio n. D3 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2011/2012. ABC è uno degli infiniti triangoli aventi la base AB sulla retta r e il terzo vertice in un punto qualunque della retta s parallela a r e passante per C.

C' •

C •

• A

• B

Fra gli infiniti triangoli descritti sopra, quali hanno la stessa area di ABC? A. Soltanto il triangolo ABC', simmetrico di ABC rispetto all’asse di AB B. Soltanto il triangolo isoscele di base AB C. Soltanto il triangolo rettangolo in A e il triangolo rettangolo in B D. Tutti gli infiniti triangoli di base AB

235

sezione 8 4

Esercizio n. D8 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2011/2012. La seguente figura rappresenta in prospettiva un cubo che è stato sezionato con il piano passante per i vertici B, D, E. E

A. la distanza di C da AB è la stessa nei due triangoli e AH = HB B. la mediana CH divide il triangolo in due triangoli congruenti C. hanno come altezza comune CH e le relative basi sono della stessa lunghezza

I triangoli AHC e HBC hanno la stessa area perché:

D. i triangoli CHA e CHB sono tutti e due triangoli isosceli A 6

Esercizio n. D23 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2013/2014.

D B C Marina afferma: “Il triangolo BDE è un triangolo equilatero”. Marina ha ragione? Scegli una delle due risposte e completa la frase.

Il triangolo ABC è isoscele sulla base AB. L’angolo in C è la metà dell’angolo in B e AD è la bisettrice del∧ l’angolo BAC. C •

Sì perché ___________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________

•D

______________________________________________ No perché __________________________________ A•

______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________

Esercizio n. D5 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2012/2013. H è il punto medio del lato AB del triangolo ABC. C •

• A

236

• H

• B

•B

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera V o falsa F .

AD è anche l’altezza relativa al lato BC

L’angolo in B misura 72°

L’area del triangolo ADC è il doppio dell’area del triangolo ABD

AD : AC = BD : AB

SEZIONE

GEOMETRIA

Parallelismo e perpendicolarità

9.1 TEOREMI FONDAMENTALI SULLE RETTE PARALLELE Ricordiamo • Due rette complanari sono parallele se non hanno punti in comune. In simboli: r // s • Due rette sono perpendicolari (o ortogonali) se intersecandosi formano quattro angoli retti. In simboli: r⊥s Teorema (9.1) Dato un punto P e una retta r, esiste una ed una sola retta passante per P e perpendicolare ad r. Ipotesi: P ∉ r

⇒

Tesi: ∃! s, tale che P ∈ s e s ⊥ r

La dimostrazione viene lasciata per esercizio.

Nota bene: nella tesi è stato usato un simbolo composto da due elementi ∃ e !, dove ∃ è il quantificatore universale che significa “esiste”, ! abbinato a ∃ indica l’unicità. Quindi “∃!” si legge “esiste ed è unico”. Dato un punto P e una retta r, la distanza di P dalla retta r è rappresentata dal segmento di perpendicolare condotto da P ad r. La proiezione di un punto P su una retta r è il piede della perpendicolare condotta da P ad r.

PH = distanza di P da r H = proiezione di P su r

r H

La proiezione di un segmento su una retta è il segmento compreso fra le proiezioni sulla retta degli estremi del segmento dato. A •

D •

C •

•B • C'

• A'

• D'

E •

F •

• E'

• F'

H • • G' G•

• H'

Angoli formati da due rette tagliate da una retta trasversale • 3 e 5, 4 e 6 sono, a coppie, alterni interni

t 2 3 6 7

• 1 e 7, 2 e 8 sono, a coppie, alterni esterni r

• 2 e 6, 3 e 7; 1 e 5; 4 e 8 sono, a coppie, corrispondenti • 3 e 6, 4 e 5 sono, a coppie, coniugati interni

• 2 e 7, 1 e 8 sono, a coppie, coniugati esterni

237

sezione 9 Teorema (9.2) Date due rette tagliate da una trasversale, le seguenti condizioni sono equivalenti, ovvero se si verifica una di esse si verificano tutte le altre. a

gli angoli alterni interni sono congruenti

gli angoli alterni esterni sono congruenti

gli angoli corrispondenti sono congruenti

gli angoli coniugati interni sono supplementari

gli angoli coniugati esterni sono supplementari

Dimostrazione:

⇒

∧

Per ipotesi sono 3 ≅ 5 e 4 ≅ 6. Inoltre 1 ≅ 3, 2 ≅ 4, 5 ≅ 7, 6 ≅ 8 perché angoli opposti al vertice. Quindi 1 ≅ 7 e 2 ≅ 8 per la proprietà transitiva, ovvero sono congruenti gli angoli alterni esterni, cioè è verificata la condizione b . Sempre per la proprietà transitiva valgono le seguenti uguaglianze: 1 ≅ 5, 2 ≅ 6, 3 ≅ 7, 4 ≅ 8, ovvero sono congruenti gli angoli corrispondenti, cioè è verificata la condizione c . Gli angoli 1 e 4 sono adiacenti, quindi supplementari, inoltre 1 ≅ 5 per dimostrazione precedente, si può quindi affermare che gli angoli 4 e 5, coniugati interni, sono supplementari. Analogamente si conclude per le altre coppie di angoli coniugati interni ed esterni, cioè si dimostrano le condizioni d ed e . Seguendo lo stesso schema di ragionamento si dimostrano le altre implicazioni. Teorema fondamentale sulle rette parallele (9.3) Condizione necessaria e sufficiente perché due rette r e s siano parallele è che formino con una trasversale angoli alterni interni congruenti o angoli alterni esterni congruenti o angoli corrispondenti congruenti o coniugati supplementari. Ovvero ∨ ⎧ angoli alterni esterni congruenti ∨ ⎪ ⇔ angoli corrispondenti congruenti ⎨ ∨ ⎪ coniugati interni∨supplementari ⎩ coniugati interni supplementari angoli alterni interni congruenti

r // s

β γ β'

α' • •

γ'

• •

δ s

δ'

Per il teorema precedente è sufficiente dimostrare l’implicazione con una sola delle condizioni relative agli angoli, essendo tali condizioni equivalenti tra loro. Si dimostra l’implicazione seguente γ ≅ β' ⇒ r // s Dimostrazione: si suppone per assurdo che le rette r ed s non siano parallele. Esiste quindi un punto P di intersezione. Siano R e S i punti di intersezione della retta t rispettivamente con le rette r e s. Si consideri il triangolo PRS, si ha che γ rappresenta ∧ l’angolo esterno dell’angolo PRS e β' è l’angolo inter∧ no RSP. Per ipotesi tali angoli risultano congruenti, ma ciò è assurdo per il primo teorema dell’angolo esterno. Quindi la tesi è verificata, r // s.

238

t r s

γ • S

R • β'

• P

Parallelismo e perpendicolarità Viene ora dimostrata l’implicazione inversa. r // s ⇒ α' ≅ δ e γ ≅ β' Dimostrazione: sia, per assurdo, γ ≅/ β', in particolare sia γ < β'. Allora esiste una retta z passante per R (punto di intersezione delle rette r e t) non coincidente con r, ∧ tale che l’angolo MRS sia congruente con β'. Per l’implicazione precedentemente dimostrata risulta che z è parallela a s. Ma per ipotesi anche r è parallela a s. Quindi esisterebbero due rette passanti per R ed entrambe parallele ad s, ma ciò contraddice il quinto postulato di Euclide, secondo il quale esiste una unica retta parallela ad una retta data e passante per un punto esterno a quest’ultima.

M • γ • S

R •

β' s

Pertanto la tesi viene confermata.

Parallelismo come relazione di equivalenza Proprietà riflessiva: ogni retta è parallela a se stessa r // r Proprietà simmetrica: se la retta r è parallela ad una retta s, allora anche s è parallela a r. r // s ⇒ s // r Teorema (9.4) – proprietà transitiva Se una retta r è parallela ad una retta s ed s è parallela a t, allora r è parallela a t. r // s ∧ s // t ⇒ r // t Dimostrazione: se, per assurdo, r e t non sono parallele, allora si intersecano in un punto P. Ciò significa che per P passano due rette distinte s e t entrambe parallele ad una stessa retta r, ma questo contraddice il quinto postulato di Euclide. Pertanto la tesi è confermata. La relazione di parallelismo è una relazione di equivalenza perché verifica le tre proprietà, cioè è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Proprietà del parallelismo Teorema (9.5) Se due rette complanari sono perpendicolari ad una stessa retta, allora sono tra loro parallele. Ipotesi: r⊥t ∧ s⊥t

⇒

Tesi: r // s

t r

Dimostrazione: siano per assurdo r e s non parallele, sia P il loro punto di intersezione. Si indicano con S e R i punti di intersezione della retta t rispettivamente con le rette s e r. Si considera il triangolo PRS, essendo per ipotesi t ∧ ∧ perpendicolare sia a s che a r, gli angoli PSR e SRP sono entrambi retti. Ma ciò è in contraddizione con la proprietà dei triangoli per cui un triangolo non può avere due angoli retti. Quindi r e s sono parallele.

t r s

• •

• P

239

sezione 9 Teorema (9.6) Se due rette r e s sono tra loro parallele, ogni perpendicolare ad una delle due rette è perpendicolare anche all’altra. Ipotesi: r // s ∧ t ⊥ r

Tesi: t⊥s

⇒

t r

Dimostrazione: la tesi è diretta conseguenza del teorema relativo a due rette parallele tagliate da una trasversale.

I passaggi dettagliati della dimostrazione vengono lasciati per esercizio. Teorema (9.7) Angoli con lati a due a due paralleli e concordi (equiversi) o discordi (opposti) sono congruenti. Angoli con lati a due a due paralleli , con una coppia di lati concordi e l’altra di lati discordi nel verso, sono supplementari. • Ipotesi 1: α e β hanno lati paralleli e concordi

• Ipotesi 2: α e β hanno lati paralleli e discordi

• Tesi 1: α ≅ β

• Tesi 2: α ≅ β

• Tesi 3: α e β sono supplementari

a O'

a' α

• Ipotesi 3: α e β hanno due lati paralleli e concordi e due lati paralleli e discordi

b β

a O'

Dimostrazione Tesi 1: si considerano i due angoli dati e si prolunga uno dei lati di β fino ad intersecare il lato di α. Sia C il punto di intersezione del prolungamento del lato a' su b. Si ha che • β ≅ β' perché angoli corrispondenti delle rette b e b', parallele per ipotesi, rispetto alla trasversale a', • α ≅ β' perché angoli corrispondenti delle rette a e a', parallele per ipotesi, rispetto alla trasversale b.

a' a

β'

α O

Per la proprietà transitiva si può affermare che α ≅ β.

Le dimostrazioni delle altre due tesi vengono lasciate per esercizio.

Distanza tra due rette parallele Si definisce distanza tra due rette parallele la distanza di un punto qualsiasi di una di esse dall’altra, ovvero il segmento intercettato dalle rette su una qualunque retta ad esse perpendicolare. Teorema (9.8) Segmenti paralleli con estremi su rette parallele sono tra loro congruenti. Ipotesi: r // s AB // CD

⇒

Tesi: AB ≅ CD

Dimostrazione: Si tracci il segmento che unisce A con D. Si considerano i triangoli ABD e ADC, essi hanno: • AD lato in comune;

240

Parallelismo e perpendicolarità ∧

∧

• BAD ≅ AD C perché angoli alterni interni di segmenti AB e CD, paralleli per ipotesi, rispetto alla trasversale AD; ∧

•

∧

• BD A ≅ DAC perché angoli alterni interni di rette r e s, parallele per ipotesi, rispetto alla trasversale AD.

•

⇒ I triangoli ABD e ADC sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli. In particolare AB ≅ CD perché lati corrispondenti in triangoli congruenti. Teorema (9.9) Punti su una retta hanno tutti la stessa distanza da una retta parallela alla retta data. Ipotesi: r // s A, C ∈ r B, D ∈ s AB ⊥ r CD ⊥ r

Tesi:

⇒

AB ≅ CD

Dimostrazione: i segmenti AB e CD sono entrambi per ipotesi perpendicolari alla retta r, pertanto, per il teorema 9.5, AB // CD. Sono quindi verificate le ipotesi del teorema precedente (9.8), quindi AB ≅ CD.

Applicazioni delle proprietà del parallelismo ai triangoli Secondo teorema dell’angolo esterno (9.10) Ogni angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma degli angoli interni ad esso non adiacenti. ∧

• Ipotesi: CB D è l’angolo esterno adiacente all’an∧ golo interno AB C del triangolo ABC ∧

∧

• Tesi: CB D = CAB + AC B A B Dimostrazione: sia BE parallelo ad AC. Per il teorema fondamentale sulle rette parallele tagliate da una trasversale, si può affermare che: ∧

∧

• CAB ≅ EB D perché angoli corrispondenti di segmenti paralleli per costruzione AC // BE, rispetto alla trasversale AD; E ∧ ∧ C • AC B ≅ EB C perché angoli alterni interni di segmenti paralleli per costruzione AC // BE, rispetto alla trasversale CB. ∧

∧

Si ha che CB D ≅ EB C + EB D ≅ AC B + CAB

•

Sfruttando il teorema appena dimostrato si può giustificare il seguente corollario che è una proprietà già vista dei triangoli. Corollario – La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.

Proprietà dei triangoli rettangoli Teorema (9.11) B

AC ⊥ AB ⇔ AM ≅ 1 BC 2

La dimostrazione viene lasciata per esercizio.

Un triangolo è rettangolo se e solo se la mediana relativa ad un lato è congruente alla metà del lato stesso, in tal caso il lato è l’ipotenusa. Ovvero, dato il triangolo ABC, sia M il punto medio del lato BC, si ha che C

M A

241

sezione 9

Fascio di rette parallele tagliate da due trasversali: corrispondenza di Talete Un fascio improprio di rette, cioè un fascio di rette parallele, viene tagliato da due trasversali r e s. I punti di intersezione di ciascuna retta con le trasversali sono detti corrispondenti (A e A', B e B', ...), tale corrispondenza viene detta corrispondenza di Talete.

a B'

b C'

La corrispondenza viene estesa ai segmenti intercettati dalle rette parallele sulle trasversali (AB e A'B', ...).

c D'

D r

d s

Applicazione ai triangoli Corollario (9.12)

Corollario (9.13)

Se dal punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela ad un secondo lato, essa interseca il terzo lato nel suo punto medio.

Il segmento che ha per estremi i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato. Ipotesi: AM ≅ MC CN ≅ NB

Tesi: CN ≅ NB

Tesi: MN // AB

− N

−

Ipotesi: AM ≅ MC MN // AB

9.2 I QUADRILATERI Un quadrilatero è un poligono avente quattro lati.

Parallelogrammi Si definisce parallelogramma un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli. AB // CD AD // BC DH altezza relativa al lato AB AK altezza relativa al lato BC.

D A

Proprietà dei parallelogrammi Teorema (9.14) Sia ABCD un parallelogramma, allora risultano verificate le seguenti condizioni: 1 i lati opposti sono congruenti, cioè AB ≅ CD e AD ≅ BC; ∧

∧

2 gli angoli opposti sono congruenti, cioè DAB ≅ BC D e AD C ≅ AB C; 3 gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari, cioè ∧

∧

DAB + AB C = 180°, AB C + BC D = 180°, BC D + CD A = 180°, CD A + DAB = 180°; 4 le diagonali si intersecano nel loro punto medio, cioè AC ∩ BD = M, con M punto medio di AC e BD.

Dimostrazione Tesi 1: si considerano i triangoli ABD e CBD, essi hanno: ∧

∧

• ADB ≅ CB D perché angoli alterni interni di segmenti • AD // BC per ipotesi, rispetto alla diagonale BD

242

Parallelismo e perpendicolarità ∧

∧

• AB D ≅ BDC perché angoli alterni interni di segmenti • CD // AB per ipotesi, rispetto alla diagonale BD • BD lato in comune.

Si ha quindi che ABD ≅ BCD per il secondo criterio di congruenza dei triangoli. In particolare risultano verificate le congruenze AD ≅ BC e AB ≅ CD perché lati corrispondenti in triangoli congruenti.

•

Dimostrazione Tesi 2: dalla dimostrazione precedente si può dedurre che: ∧

∧

•

• DAB ≅ BC D perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti • AD B ≅ CBD perché somma di angoli rispettivamente congruenti.

•

Dimostrazione Tesi 3: si può dedurre che: ∧

∧

• BAD + AB C = 180° perché angoli coniugati interni di segmenti paralleli per ipotesi, AD // BC, rispetto alla diagonale AB, quindi supplementari, ∧

∧

• BC D + CD A = 180° perché angoli coniugati interni di segmenti paralleli per ipotesi, AD // BC, rispetto alla diagonale AB, quindi supplementari.

Con analoghe considerazioni si arriva alle stesse conclusioni per le altre coppie di angoli. Dimostrazione Tesi 4: si tracciano le diagonali AC e BD, M = AC ∩ BD. Si considerano i triangoli ABM e CDM, essi hanno: ∧

∧

• AB ≅ CD per dimostrazione precedente (tesi 1).

• MAB ≅ MC D perché angoli alterni interni di segmenti AB // CD, per ipotesi, rispetto alla trasversale AC, ∧ ∧ • AB M ≅ CDM perché angoli alterni interni di segmenti AB // CD, per ipotesi, rispetto alla trasversale DB, •

Si deduce quindi la congruenza dei triangoli considerati, ovvero ABM ≅ CDM. In particolare risultano verificate le congruenze AM ≅ MC e BM ≅ MD perché lati corrispondenti in triangoli congruenti.

•

Risulta pertanto verificata la tesi, M è punto medio delle diagonali del parallelogramma. Teoremi inversi (9.15) Si considera il quadrilatero ABCD. 1 Teorema – Ipotesi: AB ≅ CD e AD ≅ BC ⇒ Tesi: AB // CD e AD // BC ∧

∧

3 Teorema – Ipotesi: DAB ≅ BC D e AD C ≅ AB C ⇒ Tesi: AB // CD e AD // BC ∧

∧

3 Teorema – Ipotesi: DAB + AB C = 180°, AB C + BC D = 180°, BC D + CD A = 180°, CD A + DAB = 180°

⇒ Tesi: AB // CD e AD // BC 4 Teorema – Ipotesi: AC ∩ BD = M, con M punto medio di AC e di BD ⇒ Tesi: AB // CD e AD // BC

Le dimostrazioni dei teoremi inversi 1, 2 e 3 vengono lasciate per esercizio. Si dimostra ora il teorema inverso 4. Dimostrazione tesi inversa 4: si considerano i triangoli ABM e CDM, essi hanno:

∧

= A

−

• AM ≅ MC per ipotesi, • BM ≅ MD per ipotesi,

−

• AMB ≅ CMD perché angoli opposti al vertice. Sono verificate le ipotesi del primo criterio di congruenza dei triangoli, per cui si può affermare che ∧ ∧ ∧ ∧ MAB ≅ MC D (o AB M ≅ MD C) perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti.

243

sezione 9 Dal teorema fondamentale sulle rette parallele si può dedurre che AB // CD perché formano angoli alterni interni congruenti con la diagonale AC (o BD). Procedendo in modo analogo ma considerando i triangoli AMD e BMC si dimostra che AD // BC. I criteri che caratterizzano un parallelogramma possono essere schematizzati come segue. Sia ABCD un quadrilatero

⎧ i lati opposti sono congruenti,∨AB ≅ CD e BC ≅ AD A≅C eB ≅D ABCD è parallelogramma ⎪ gli angoli opposti sono congruenti, ∨ ovvero ⇔ gli angoli adiacenti sono supplementari, ⎨ // s ⇔ AB // CD e BC // AD ⎪ DAB + ABC = 180°, ABC + BCD∨= 180°, BCD + CD A = 180°, CD A + DAB = 180 ⎩ le diagonali si incontrano nel loro punto medio, AM ≅ MC e BM ≅ MD ∧

∧

Il rettangolo Si definisce rettangolo un parallelogramma con tutti gli angoli retti.

Nota bene: in un rettangolo le altezze coincidono con i lati. Teorema (9.16)

Un parallelogramma ABCD è un rettangolo se e solo se ha le diagonali congruenti. Ovvero: ABCD rettangolo ⇔ AC ≅ BD Dimostrazione ⇒: si considerano i triangoli, rettangoli per ipotesi, ABC e ABD, essi hanno: • AB lato comune,

• AD ≅ BC perché lati opposti di un triangolo, ∧

∧

• DAC ≅ AB C perché entrambi retti per ipotesi. I due triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza, in particolare si ha che AC ≅ BD perché lati corrispondenti in triangoli congruenti.

Dimostrazione ⇐: si considerano ancora i triangoli ABC e ABD, essi hanno: • AB lato comune: • AD ≅ BC perché lati opposti di un parallelogramma,: • AC ≅ BD per ipotesi. Quindi ABC ≅ ABD per il terzo criterio di congruenza dei triangoli. In particolare risultano congruenti gli ∧ ∧ angoli DAB ≅ AB C perché corrispondenti in triangoli congruenti. ∧ ∧ Ma DAB e AB C sono angoli adiacenti al lato AB del parallelogramma ABCD. Quindi, essendo congruenti e supplementari, sono entrambi retti. Per le proprietà del parallelogramma per cui gli angoli opposti sono congruenti, tutti gli angoli di ABCD risultano retti, ovvero è un rettangolo.

Il rombo Si definisce rombo un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti.

AH è l’altezza relativa al lato CD AC e BD sono le diagonali. D

La dimostrazione viene lasciata per esercizio.

244

Un parallelogramma che ha due lati consecutivi congruenti è un rombo.

Teorema (9.17)

H C

Parallelismo e perpendicolarità Teorema (9.18) Un parallelogramma ABCD è un rombo se e solo se è verificata una delle seguenti condizioni: le diagonali sono tra loro perpendicolari, oppure le diagonali sono bisettrici degli angoli. Schematizzando: ABCD è un rombo ovvero AB ≅ BC ≅ CD ≅ AD

⇔

⎧ AC ⊥ BD ⎪ ∨ ⎨ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ⎩ AD B ≅ BD C, DC A ≅ AC B, CBD ≅ DBA, BAC ≅ CAD

Dimostrazione ⇒: si considerano i triangoli ACD e ABC e sia O il punto di intersezione delle diagonali. ACD e ABC sono triangoli isosceli e AO ≅ OC essendo ABCD parallelogramma, quindi OD e OB sono mediane dei triangoli isosceli, ovvero sono bisettrici per la relativa proprietà dei triangoli isosceli. Inoltre in un triangolo isoscele le altezze relative alla base coincidono con le bisettrici, quindi BO ⊥ AC e DO ⊥ AC, cioè AC ⊥ BD.

Con un ragionamento analogo considerando i triangoli isosceli ABD e BCD ∧ ∧ sulla base BD si deduce che AC è bisettrice degli angoli BAD e BC D.

Dimostrazione ⇐: si dimostra ora l’implicazione: ABCD parallelogramma e AC ⊥ BD ⇒ ABCD è un rombo. Si considerano i triangoli ABO, ADO, CBO e CDO, sono triangoli rettangoli dall’ipotesi di perpendicolarità di AC e BD. Inoltre hanno i cateti corrispondenti congruenti essendo il quadrilatero un parallelogramma per cui il punto di intersezione delle diagonali è il loro punto medio. Quindi i quattro triangoli sono tra loro congruenti per il primo criterio di congruenza. Si deduce pertanto che AB ≅ BC ≅ CD ≅ DA perché lati corrispondenti in triangoli congruenti. Si dimostra ora l’implicazione: ABCD parallelogramma e AC e BD bisettrici ⇒ ABCD è un rombo.

∧

• •

∧

Il parallelogramma ABCD ha gli angoli opposti paralleli, quindi AD B ≅ DB C ∧ ∧ perché angoli alterni interni rispetto alla trasversale BD. Inoltre AD B ≅ BD C per ipotesi. ∧ ∧ Per la proprietà transitiva risulta BD C ≅ CB D, ciò equivale a dire che CBD è un triangolo isoscele, sulla base BD, pertanto BC ≅ CD.

• •

Il parallelogramma ha due lati consecutivi congruenti, quindi è un rombo per il teorema 9.17.

Nota bene: un quadrilatero con le diagonali perpendicolari non è necessariamente un rombo.

Il quadrato Si definisce quadrato un parallelogramma avente tutti i lati congruenti e tutti gli angoli retti. Il quadrato è un poligono equilatero e equiangolo, quindi è un quadrilatero regolare. Il quadrato verifica tutte le proprietà del rettangolo e del rombo.

Il trapezio Il trapezio è un quadrilatero avente due lati opposti paralleli e gli altri due non paralleli. DH e CK sono le altezze AD e CB sono i lati obliqui CD è la base minore AB è la base maggiore AH e KB sono le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore.

245

sezione 9 Un trapezio si dice isoscele se ha i lati obliqui congruenti.

trapezio isoscele

Un trapezio si dice rettangolo se uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi.

trapezio rettangolo

Teorema (9.19) Gli angoli adiacenti a ciascuno dei lati obliqui di un trapezio sono supplementari. Ipotesi: AB // CD

Tesi: ∧ ∧ ∧ ∧ DAB + AD C = 180°, AB C + BC D = 180°

⇒ ∧

∧

Dimostrazione: DAB e AD C sono angoli coniugati interni di segmenti paralleli per ipotesi, AB // CD, rispetto alla trasversale AD, quindi sono supplementari per la proprietà fondamentale del parallelismo (teorema 9.3). ∧ ∧ Analogamente AB C e BC D sono angoli coniugati interni dei segmenti paralleli per ipotesi AB e CD rispetto alla trasversale BC, quindi sono anch’essi supplementari.

9.1 1 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x

246

Vero o falso? Due rette incidenti formano quattro angoli ottusi. Due rette incidenti formano quattro angoli acuti a due a due congruenti. Due rette incidenti sono perpendicolari se almeno uno degli angoli da esse formato è retto. Se due rette incidenti non sono perpendicolari allora due degli angoli da esse formati sono acuti e gli altri due sono ottusi. Se due rette sono ortogonali si dice pure che sono perpendicolari. Per un punto si possono condurre una o due rette perpendicolari a una retta data. Si può dimostrare l’esistenza e l’unicità della retta perpendicolare, a una retta data e passante per un punto del piano. La relazione di parallelismo tra rette del piano gode delle proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva. L’angolo al vertice di un triangolo isoscele è supplementare alla somma degli altri due. Due rette perpendicolari formano due angoli retti e due acuti. Per un punto esterno a una retta data si possono tracciare due rette a essa perpendicolari. Il segmento di perpendicolare condotto da un punto P a una retta è maggiore di ogni altro segmento condotto da P alla retta. Due rette di un piano o sono incidenti o sono parallele. La distanza tra due rette parallele è il segmento che congiunge un punto di una retta con un punto qualsiasi dell’altra. Se una retta r è incidente a una retta s e questa è incidente a una terza retta t, allora r è incidente a t. L’intersezione di due rette complanari non può essere vuota. Date tre rette distinte r, s e t, se r // s e r ∩ t = {P}, allora s ∩ t = ∅. In un triangolo la somma degli angoli interni è sempre 180°. In un triangolo la somma degli angoli esterni è sempre 360°. Due o più rette parallele a una retta data sono tra loro perpendicolari. Due o più rette perpendicolari a una retta data sono tra loro parallele. Un insieme di rette parallele è detto fascio improprio. Per un punto non appartenente a una retta si possono condurre infinite rette parallele a essa. Per un punto non appartenente a una retta si può condurre una e una sola retta parallela a essa.

V F V F V F V F V F V F V V V V V

F F F F F

V F V F V F V V V V V V V V V V

F F F F F F F F F F

Parallelismo e perpendicolarità 2

Osserva la figura e completa le seguenti frasi.

5 a b

Le rette a e b sono _________________ alla retta t.

La retta a è _______________________ alla retta b.

In simboli si scrive a _____ t , b _____ t , a _____ b.

Osserva la figura e rispondi alle domande. r δ

s θ

ε ω

Come viene detta la retta t che interseca le rette r e s? _________________

Quanti angoli formano le rette r e s tagliate dalla retta t? _____

Gli angoli coniugati esterni sono: congruenti supplementari

Gli angoli corrispondenti sono: congruenti supplementari

Gli angoli alterni esterni sono: congruenti supplementari

Gli angoli coniugati interni sono: congruenti supplementari

7 Date due rette parallele r e s, determina l’ampiezza dell’angolo α, in ognuno dei seguenti casi. b

Quali sono gli angoli interni alle rette r e s? _________________ Come vengono detti gli angoli α e ω? E gli angoli β e θ? _________________

120°

r s

Osserva le seguenti coppie di rette parallele tagliate da una trasversale, scrivi i nomi degli angoli segnati. 1

60°

V F

Indica il completamento corretto.

V F

Gli angoli alterni interni sono: congruenti supplementari

V F

t α

Gli angoli coniugati sono soltanto interni. Gli angoli coniugati sono di due tipi: interni ed esterni. Gli angoli corrispondenti sono di due tipi: interni ed esterni.

Vero o falso?

60°

120°

Date due rette parallele r e s, determina l’ampiezza degli angoli α e β, in ognuno dei seguenti casi. b

35° β

50°

r s

t c

r d

r s

95° β

β s

105° t

247

sezione 9 9

Date due rette parallele r e s, determina l’ampiezza degli angoli mancanti, in ognuno dei seguenti casi.

106° 120° 15°

Osserva le seguenti coppie di rette e verifica, motivando la tua risposta, quali sono parallele.

18°

120°

100° 75°

18°

100° 80°

Date tre rette r, s, t, indica la risposta corretta.

Se r // s e s ⊥ t , allora :

r // t

r⊥t

Se r ⊥ s e s ⊥ t , allora :

r // t

r⊥t

Se r // s e s // t , allora :

r // t

r⊥t

Esegui le seguenti dimostrazioni guidate.

Dimostrazioni guidate 1

È dato il triangolo ABC isoscele sulla base BC. Dai punti B e C traccia le perpendicolari ai lati AB e AC che si intersecano nel punto D. Dimostra che AD è asse della base BC.

Con riferimento alla figura, rispondi alle seguenti domande.

• B

β'

BC // B'C'

A•

•

γ'

•

• C

Perché gli angoli β e β' sono congruenti?

È vero anche per gli angoli γ e γ'? _____

Gli angoli dei triangoli ABC e AB'C' sono con-

gruenti? _____ I due triangoli ABC e AB'C' sono congruenti?

_____ Perché? _________________________________ ______________________________________________

248

•

______________________________________________

• D

∧

Hp: ABD ≅ _____ ≅ _____ AB ≅ _____ ∧ ABC ≅ _____

Th: AD _____ BC BO ≅ _____

Consideriamo il triangolo BDC: è _______________ ∧ ∧ sulla base BC infatti OB D ≅ OC D perché __________________ di angoli congruenti, da ciò segue BD ≅ DC. Consideriamo i triangoli ABD e ADC; essi sono congruenti per il _____ criterio di congruenza dei triangoli perché hanno AB ≅ _____ per ipotesi, BD ≅ _____ perché dimostrato e AD in comune. ∧ In particolare i triangoli hanno BAO ≅ _____ e ∧ BDA ≅ _____

Parallelismo e perpendicolarità ∧

AO è bisettrice dell’angolo BAC, quindi anche mediana e _______________ relativa a BC nel triangolo isoscele ABC; OD è bisettrice dell’ango∧ lo BDC e quindi anche _______________ e altezza relativa a _____ nel triangolo isoscele BDC. Il segmento AD è perciò asse della base BC. c.v.d. ∧

2 È dato l’angolo AO B; per un punto C del lato OA

Il triangolo EDB ha due angoli alla base _______________ quindi è un triangolo _______________ In particolare BD ≅ _____

4 Nel triangolo ABC congiungi i due vertici B e C con

un punto interno qualunque O. Dimostra che l’an∧ ∧ golo BO C è maggiore dell’angolo BAC. A

conduci la parallela a OB e su di essa prendi un punto D tale che CD ≅ OC. Dimostra che OD è la ∧ bisettrice dell’angolo AO B dato.

∧

• C

CD // _________ ∧

•

∧

Th: CO D ≅ DO B

∧

A•

•B

Il triangolo OCD è isoscele per ipotesi perché ∧ OC ≅ _____ quindi gli angoli CO D e _____ sono __________________ perché angoli alla __________ del triangolo isoscele. Consideriamo le due rette parallele CD e _____ tagliate dalla trasversale OD che formano angoli ∧ ∧ alterni __________________ CDO ≅ DO B. Quindi per la proprietà __________________ abbiamo ∧ CO D ≅ _____ c.v.d.

∧

Sommiamo membro a membro le due disuguaglianze e otteniamo: ∧ ∧ ∧ KO C + KO B > _____ + OAB ∧

∧

Quindi BO C > BAC.

c.v.d. ∧

5 Traccia la bisettrice AP dell’angolo A del triangolo

ABC; per un punto N del lato AC conduci la parallela ad AP che interseca il prolungamento di BA in M. Dimostra che il triangolo MAN è isoscele. ∧

Hp: BAP ≅ _________

•M

AP // __________

3 È dato il triangolo ABC; conduci la bisettrice BE ∧

dell’angolo B e traccia dal punto E la parallela al lato BC. Dimostra che il triangolo DBE è isoscele sulla base BE.

Th: AMN è un triangolo isoscele

A•

•B

•N P

B•

D• E

∧

Hp: ABE ≅ EBC BC _____ DE

Th: BD ≅ _____

Consideriamo le rette parallele AP e MN tagliate dalle trasversali AN e AM. Esse formano: ∧

∧

MNA ≅ PAN ∧ BAP ≅ _____

Consideriamo le due rette _______________ DE e BC tagliate dalla trasversale BE. Esse formano ∧ EBC ≅ _____ perché _______________ ∧

•C

•

•C

• ∧

∧

Consideriamo il triangolo AOC che ha KO C > OAC perché angolo esterno Consideriamo il triangolo BOA che ha KOB > _____ perché _______________

•D

A•

∧

Th: BO C > BAC

Hp: OC ≅ DC

Hp: ABC triangolo

•O

c.v.d.

∧

Per ipotesi DBE ≅ EBC quindi per la proprietà tran∧ sitiva anche DBE ≅ _____

perché perché ∧

Per la proprietà transitiva AMN ≅ _____ e il triangolo AMN è __________________ perché ha due angoli __________________ c.v.d.

249

sezione 9

9.2 1 a b c d e f g h i l m n o

Vero o falso? Un parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli. Un parallelogramma è un trapezio. Le diagonali di un rombo sono congruenti. Il rombo ha gli angoli congruenti. Il quadrato è un particolare rettangolo. Il quadrato è un particolare trapezio. Il rettangolo è un particolare trapezio. Il trapezio è un particolare rettangolo. Le diagonali di un trapezio isoscele sono congruenti. Le diagonali di un trapezio rettangolo sono congruenti. Le diagonali di un parallelogramma sono congruenti. Un rettangolo è un particolare parallelogramma. Un quadrilatero equiangolo è un rettangolo.

Individua le risposte esatte V V V V V V V V

F F F F F F F F

Quali proprietà hanno in comune un quadrato e un rombo? a b c d e f

V F V F V F V F V F

Quali proprietà hanno in comune un quadrato e un rettangolo? a b c d

2 a b c d e f

3 a b c d e f g h i l

250

Vero o falso? Un parallelogramma è un particolare rombo. V Un rombo è un quadrilatero equiangolo ed V equilatero. V Un quadrato è un particolare rombo. Le diagonali di un quadrato sono congruenV ti e perpendicolari. Un quadrilatero equilatero è un quadrato. V Un rombo con le diagonali congruenti è un V quadrato.

La congruenza delle diagonali. La congruenza dei lati. La perpendicolarità delle diagonali. La formula per calcolare il perimetro. La formula per calcolare l’area.

F F F

6 Quali proprietà hanno in comune un quadrato e un rettangolo? a

F F

b c d

Angoli retti Lati congruenti Diagonali congruenti Diagonali perpendicolari

SI NO SI NO SI NO SI NO

Quali proprietà hanno in comune un quadrato e un rombo?

Vero o falso? Un parallelogramma con le diagonali conV gruenti è un quadrato. Un quadrilatero può avere due angoli concavi. V Un quadrilatero può avere quattro angoli V acuti. Un parallelogramma è un particolare retV tangolo. Un rombo è un particolare parallelogramma. V In un trapezio gli angoli adiacenti a ciaV scun lato obliquo sono supplementari. In un trapezio isoscele due angoli oppoV sti sono supplementari. Due quadrati sono equivalenti se e solo se V hanno i lati congruenti. Due rettangoli sono equivalenti se e solo se V hanno le diagonali congruenti. La congiungente i punti medi delle basi di un trapezio lo divide in due parti equivalenti. V

La congruenza dei lati. La congruenza degli angoli. La formula per calcolare il perimetro. La formula per calcolare l’area. Il parallelismo dei lati. La congruenza delle diagonali.

F F

a b c

F F F

d e f

La congruenza dei lati La congruenza degli angoli La formula per calcolare il perimetro La formula per calcolare l’area Il parallelismo dei lati La congruenza delle diagonali

SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO

F 8

Quali proprietà hanno in comune un rombo e un parallelogramma? a

F F

b c d

La congruenza delle diagonali La perpendicolarità delle diagonali La congruenza degli angoli La formula per calcolare il perimetro La formula per calcolare l’area

SI NO SI NO SI NO SI NO SI NO

Parallelismo e perpendicolarità 9

Individua le affermazioni esatte. A

d g

B 10

a d

a b c

d e f

b CD ⊥ DA AB // CD e AO ≅ OC AC ≅ BD h BC ≠ DA BC ⊥ AB ∧ ∧ ∧ ∧ A ≅ B ≅ C ≅ D ≅ 90°

h m

f i n

BC ≅ DA ∧ ∧ B≅C AB ≅ CD ∧ ∧ B≅D

f i

AB ≅ CD BC // DA BO = 2OD

Quali sono le diagonali? _____________________________________________ Sono congruenti? ___________________________________________________ Si dimezzano scambievolmente? ______________________________________ Sono perpendicolari? _______________________________________________ Sono bisettrici degli angoli? __________________________________________ ∧ ∧ Quanto sono ampi rispettivamente gli angoli OAB e BOA? __________________ _____________________________________________________________________

Individua le affermazioni esatte. A

∧

DA // BC

AB // CD

A + B = 90°

AH ⊥ BC

DK ⊥ BC

C + D = 180°

Completa. A

a b c

Completa. A

BC // DA BO ≅ OD AC ⊥ BD ∧ ∧ A≅C

Individua le affermazioni esatte.

AB ⊥ BC BD ≅ AC AB // CD AO ≅ OC

La base del triangolo ABC è anche base del parallelogramma ABCD? ____ Cosa rappresenta AH per i due poligoni? ______________________________ Il lato CA del triangolo è la diagonale del parallelogramma? ______________ Il parallelogramma è formato da due triangoli congruenti? _______________ Il triangolo è equivalente a metà del parallelogramma? __________________

14 Sapendo che nel seguente diagramma di Eulero-Venn le lettere Q, T, T , T , T indicano rispettivamente s r i l’insieme dei quadrilateri, dei trapezi, dei trapezi scaleni, di quelli rettangoli e di quelli isosceli, individua le affermazioni esatte.

T Tr

T⊂Q

Tr ⊂ Ts

Ts ∩ Ti = ∅

Q⊄T

Ts ∪ Ti = T

Tr ∪ Ti = T

251

sezione 9 15

Esegui le seguenti dimostrazioni guidate. Consideriamo i due triangoli SDO e OCB, che hanno:

Dimostrazioni guidate 1

Dimostra che il quadrilatero che ha per vertici i punti medi dei lati di un quadrilatero convesso è un parallelogramma.

per _________________________ perché ______________________ perché angoli ________________

Allora i due triangoli sono congruenti per il _____ criterio di congruenza.

A E

In particolare SO ≅ _____

B G

D H C

Hp: AE ≅ _____ AF ≅ _____ BG ≅ _____ CH ≅ _____

Th: EF // GH EG __________

Analogamente per il triangolo BDC si ha __________________ perché __________________ sono punti __________________ Possiamo affermare che EF // GH perché entrambi __________________ a BD. Ripetiamo la stessa dimostrazione per i triangoli ABC e CAD, quindi avremo __________________ . Allora il quadrilatero EFHG è un parallelogramma perché ha i __________________ a due a due __________________ c.v.d.

2 È dato il parallelogramma ABCD. Prolunga il lato

AD di un segmento DS ≅ AD e unisci S con B. Dimostra che SB viene diviso da DC in due parti congruenti.

Hp: AD // _____ DC // _____ DA ≅ _____

gonale AC sono congruenti. Unisci A con M, punto medio di BC, e prolunga AM di un segmento ME ≅ AM. Dimostra che il quadrilatero ABEC è un rombo.

D Hp: AB ≅ _____ AB // _____ AD // _____ AM ≅ _____ BM ≅ _____

=M = C

E Th: AB ≅ BE ≅ ____ ≅ ____ BC ⊥ _____

Il triangolo ABC è isoscele perché ∧ __________________ quindi gli angoli ACB e _____ sono congruenti e la mediana AM è anche la __________________ e l’__________________ Quindi BC ⊥ AE. Consideriamo i triangoli ABM e MCE che hanno: AM ≅ ME per _________________ BM ≅ _____ per ipotesi ∧ BMA ≅ _____ perché opposti al vertice. Quindi i due triangoli ABM e MCE sono congruenti per il primo criterio di congruenza. In particolare AB ≅ CE.

c.v.d.

3 In un parallelogramma ABCD il lato AB e la dia-

Uniamo i punti B e D; il triangolo BDA ha EF // BD perché E e F sono punti __________________ .

252

SD ≅ ______ ∧ SDO ≅ ______ ∧ DSO ≅ ______

C B Th: SO ≅ _____

Consideriamo i triangoli BME e AMC: con un ragionamento analogo al precedente si dimostra che i due triangoli sono congruenti, quindi AC ≅ _____ . Allora il quadrilatero ABCE è un parallelogramma perché ha i lati opposti __________________ ed è un rombo perché ha le diagonali __________________ c.v.d.

Parallelismo e perpendicolarità

4 In un parallelogramma ABCD il lato AB è il doppio

del lato BC. Congiungi il punto medio M di AB con gli estremi C e D del lato opposto e dimostra che il triangolo MDC è rettangolo. M

∧

Th: DMC = 90°

Consideriamo le due rette parallele AB e DC ∧ tagliate dalla trasversale DM: gli angoli AMD e _____ sono congruenti perché ________________ . Consideriamo le due rette parallele AB e _____ tagliate dalla trasversale _____ e vediamo che ∧ CMB ≅ _____ . ∧

∧

AD ≅ AM per ipotesi

⇒

ADM ≅ AMD ≅ MDC

MB ≅ BC per ipotesi

⇒

BMC ≅ BCM ≅ MCD

∧

ADC + BCD = 180° perché coniugati interni rispetto alle rette parallele AD e BC tagliate dalla trasversale DC ∧ ∧ ∧ ⇒ MDC + MCD = 90° ⇒ DMC = 90°. c.v.d.

5 Un trapezio isoscele ha il lato obliquo congruente

alla base minore. Dimostra che la diagonale è bisettrice dell’angolo alla base maggiore. D

A Hp: AD ≅ DC ≅ CB DC // AB

∧

CL sono le bisettrici degli angoli B e C. Dimostra che il quadrilatero BCML è un trapezio isoscele avente la base minore congruente a uno dei suoi lati obliqui.

∧

Hp: AB ≅ DC AB // DC AD ≅ BD AD _____ BC AB ≅ 2BC MA ≅ _____

∧

6 In un triangolo ABC isoscele sulla base BC, BM e

∧

Quindi se DAC ≅ _____ e CAB ≅ _____ per la proprietà transitiva si ha __________________ . c.v.d.

•

• •

•

Hp: AB ≅ _____ ∧ ABC ≅ _____ ∧ ∧ MBC ≅ _____ e LBC ≅ _____ Th: LM // BC BL ≅ _____ Consideriamo i triangoli BMC e LBC che hanno: BC in comune ∧ LBC ≅ _____ per ___________________ ∧ ∧ MBC ≅ LCB perché ________________ Quindi i due triangoli BMC e LBC sono congruenti per il _____ criterio di congruenza. In particolare BL ≅ _____; allora anche AL ≅ _____ perché differenza di segmenti _________________ .

B ∧

Th: DAC ≅ _____

Il triangolo ALM è allora __________________ e ha ∧ ∧ gli angoli ALM e AML __________________, inoltre ALM e ABC hanno lo stesso angolo al vertice, ∧ ∧ ∧ quindi ALM ≅ ABC ≅ AML ≅ _____

Consideriamo il triangolo ADC che è isoscele per ipotesi avendo AD ≅ _____ quindi gli angoli _____ e _____ sono __________________ .

Se ALM ≅ ABC, allora LM _____ BC. Quindi il quadrilatero BCML è un trapezio isoscele.

Consideriamo le rette parallele DC e AB tagliate ∧ dalla trasversale AC. Esse formano CAB ≅ _____ perché angoli __________________ .

Poiché LMB ≅ MBC ≅ MBL il triangolo BLM è __________________ e BL ≅ _____ . c.v.d.

∧

253

sezione 9

9.1

Esempi 1

Data una retta PQ e un suo punto O, conduci da una stessa parte rispetto a PQ due semirette OA e ∧ OB tali che la bisettrice dell’angolo AOB sia perpendicolare a PQ e che le bisettrici degli angoli ∧ ∧ 4 acuti PO A e QO B formino un angolo pari a 3 di un angolo retto. Determina le ampiezze degli angoli ∧ ∧ ∧ PO A, AOB e BO Q. P

•

Consideriamo le due rette parallele OB e O'Q tagliate dalla trasversale MR. Esse formano ∧ ∧ RO 'Q ≅ RMB perché angoli corrispondenti; ma ∧ ∧ RO 'Q ≅ SO B perché dimostrato precedentemente, ∧ ∧ quindi RMB ≅ SO B. Questi angoli sono angoli corrispondenti rispetto alle rette MR e OS tagliate dalla trasversale OB, quindi le due rette OS e MR, bisettrici degli angoli dati, sono parallele. SECONDO CASO I due angoli hanno i lati paralleli ma entrambi di verso opposto.

•

•R

∧

L’angolo SOM è uguale ∧

•

4 4 di 90°, cioè 90° . = 120°. 3 3

∧

Ma POS + QOM = POQ – SOM = 180° – 120° = 60°. ∧

∧

Allora PO S ≅ QO M = 30° da cui si ottiene: ∧ ∧ ∧ PO A = 60°, BO Q = 60°, AOB = 60°. 2 Se due angoli hanno i lati paralleli, come sono le

loro bisettrici? PRIMO CASO

I due angoli hanno i lati paralleli

•

∧

Gli angoli PO A e BO Q sono complementari di ∧ ∧ angoli congruenti perciò PO A ≅ BO Q e di conse∧ ∧ guenza PO S ≅ QO M.

•

• ∧

Tracciamo la bisettrice OR di AO B e la bisettrice ∧ O'S di PO 'Q; esse determinano quattro angoli tra ∧ ∧ ∧ ∧ loro congruenti: PO 'S ≅ SO 'Q ≅ AO M ≅ MO B. Le due rette parallele O'Q e AO, tagliate dalla tra∧ ∧ sversale OM, determinano gli angoli OMQ ≅ MO A ∧ ∧ perché alterni interni; ma AOM ≅ SO'Q perché ∧ ∧ dimostrato precedentemente, quindi OMQ ≅ SO'Q; ma questi sono angoli corrispondenti nelle due rette O'S e OM tagliate dalla trasversale O'Q, le rette bisettrici O'S e OM sono parallele.

ed equiversi. S

•

I due angoli hanno due lati paralleli ed equiversi e due lati paralleli ma di verso opposto. S • P

•

O' O

TERZO CASO

•

•B

•

∧

Tracciamo la bisettrice OS dell’angolo AOB e la ∧ bisettrice O'R dell’angolo PO'Q. ∧

∧

Gli angoli AOB e PO'Q sono congruenti perché hanno i lati paralleli ed equiversi. ∧

∧

•

• O'

•B

•

∧

Quindi AOS ≅ SOB ≅ PO'R ≅ RO'Q perché metà di angoli congruenti.

254

∧

I due angoli AO B e QO'P sono supplementari.

Parallelismo e perpendicolarità Esegui le seguenti dimostrazioni. Esempi Sono date due rette r e s parallele, un punto A sulla retta r e un punto B sulla retta s. Prendi, nello stesso verso, su r e s due segmenti congruenti AC e BD e dimostra che i triangoli ABC e DCB sono congruenti. r

•

Tracciamo le loro bisettrici OR e O'S; abbiamo ∧ ∧ ∧ ∧ AO R ≅ RO B e QO 'S ≅ SO 'P. ∧ ∧ Sappiamo che AO B + QO 'P = 180°, ∧ ∧ ∧ ∧ quindi RO B + QO 'S = 90°; ma RO B ≅ RMO' perché angoli corrispondenti rispetto alle due rette parallele QO' e OB tagliate dalla trasversale OR. ∧ ∧ Dalla relazione RMO' + QO 'S = 90°, segue che ∧ MS O' è un angolo retto. Le due bisettrici OR e O'S sono perciò perpendicolari.

Due rette parallele tagliate da una trasversale formano un coppia di angoli coniugati interni, uno dei quali è ampio 66°. Determina l’ampiezza dell’altro. 2

Disegna due segmenti adiacenti, uno triplo dell’altro; costruisci i loro assi e dimostra che sono tra loro paralleli e che la loro distanza è il doppio della lunghezza del segmento minore. 3

∧

È dato l’angolo AO B e la sua bisettrice OC. Traccia per un punto P della semiretta OB la semiretta PE parallela a OC ed equiversa. Sapendo che l’an∧ golo CP E è ampio 140°, calcola l’ampiezza dell’ango∧ lo AO B. 4

∧

Disegna un angolo AO B e per un punto P interno a esso traccia due rette a e b parallele rispettivamente ai due lati dell’angolo. Cosa puoi dire dell’angolo formato dalle due rette a e b?

•

D Th: ABC ≅ DCB

Hp: r // s AC ≅ BD

Consideriamo i due triangoli ACB e BDC, che hanno: AC ≅ BD per ipotesi CB in comune ∧ ∧ ACB ≅ CBD perché angoli alterni interni rispetto alle due rette parallele r e s tagliate dalla trasversale BC Quindi i due triangoli sono congruenti per il I criterio di congruenza. c.v.d.

2 Nel triangolo ABC, prolunga il lato AC di un seg-

mento AE congruente ad AB. Dimostra che la retta ∧ EB è parallela alla bisettrice dell’angolo BAC.

5 La differenza tra due angoli coniugati interni formati da due rette parallele tagliate da una trasversale è ampia 22°. Determina l’ampiezza di tutti gli angoli.

B M

Date due rette parallele tagliate da una trasversale, trova l’ampiezza del coniugato esterno di 87°. 7

Due rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli coniugati esterni che sono uno 1 dell’al4 tro. Trova le rispettive ampiezze. 8 Due rette parallele tagliate da una trasversale formano otto angoli, uno dei quali è 3 di un angolo 5 retto. Determina l’ampiezza degli altri angoli.

9 Due rette parallele tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli coniugati interni che sono uno i 5 dell’altro. Determina l’ampiezza di tutti gli 3 angoli.

Hp: AE ≅ AB ∧ ∧ BAM ≅ MAC

E Th: EB // MA

Consideriamo il triangolo AEB e osserviamo che è isoscele perché AE ≅ AB per ipotesi, quindi gli ∧ ∧ angoli alla base AEB e ABE sono congruenti. ∧

L’angolo CAB, esterno al triangolo ABE, è uguale alla ∧ ∧ ∧ ∧ somma di ABE e AEB, quindi poiché BAM ≅ MAC ∧ ∧ possiamo dire che ABE ≅ BAM. Poiché questi sono angoli alterni interni rispetto alle rette BE e AM tagliate dalla trasversale BA, allora AM è parallela a BE. c.v.d.

255

sezione 9 15

∧

3 Nel triangolo ABC l’angolo B è la terza parte di un

angolo piatto. Conduci la mediana AM relativa al lato BC e da M traccia la perpendicolare MN al lato AB. Dimostra che il segmento NB è la quarta parte del lato BC. B

•

•C ∧

1 Hp: ABC = . 180° = 60° 3 BM ≅ MC MN ⊥ AB

18 Dato il triangolo ABC prolunga AC di un segmento CP ≅ AC e BC di un segmento CQ ≅ BC. Dimostra che le rette sostegno di AB e PQ sono parallele.

1 Th: BN ≅ BC 4

Il triangolo BMN è rettangolo con gli angoli acuti ampi 60° e 30°, quindi è la metà di un triangolo 1 equilatero, allora possiamo dire che BN ≅ BM. 2 Essendo BM ≅ MC per ipotesi, abbiamo

1 1 BC e quindi BN ≅ BC. 2 4

c.v.d.

∧

Sono dati tre angoli consecutivi AO B, BO C, CO D ∧ ∧ ∧ ∧ con AO B ≅ CO D. Dimostra che, se AO B e BO C sono complementari, OB è perpendicolare a OD. 12

Dimostra che la bisettrice dell’angolo esterno adiacente all’angolo al vertice di un triangolo isoscele è parallela alla base. ∧

Dato un angolo convesso AO B, sia r la sua bisettrice. Segna su OA e su OB due punti P e Q tali che OP ≅ OQ. Dimostra che PQ ⊥ r. 14

Dagli estremi di un segmento AB conduci due rette parallele e su di esse stacca i segmenti AE e BF congruenti fra loro e situati da parti opposte rispetto ad AB. Dimostra che EF interseca il segmento AB nel suo punto medio.

256

19 Nel triangolo PQR prolunga RP di un segmento PS ≅ PR. Detto T il punto in cui la parallela a QR condotta per S interseca la retta sostegno di PQ, dimostra che i triangoli PQR e PTS sono congruenti. 20 È dato il triangolo ABC isoscele sulla base BC; dimostra che la perpendicolare condotta da B al lato AC forma con BC un angolo congruente alla metà dell’angolo al vertice. 21

∧

Dato un angolo convesso AO B, conduci la semiretta OA' perpendicolare a OA e dalla parte opposta di OA rispetto a OB e, dalla stessa parte di OB rispetto a OA, la semiretta OB' perpendicolare a OB. ∧ ∧ Dimostra che gli angoli AO B e A'O B' sono congruenti e che le loro bisettrici sono perpendicolari.

Dato il triangolo ABC prolunga la mediana AM di un segmento MD ≅ AM. Dimostra che BD è parallelo ad AC. Nel triangolo ABC il punto D è l’intersezione della retta parallela ad AC condotta per B e della retta parallela ad AB condotta per C. Dimostra che il triangolo ABC è congruente al triangolo BCD.

BM ≅

•

A•

Per il vertice di un triangolo isoscele conduci la parallela alla base; dimostra che essa è bisettrice dell’angolo esterno adiacente all’angolo al vertice del triangolo.

È dato il triangolo ABC isoscele sulla base BC; conduci per A la retta r parallela a BC e dimostra che ∧ ∧ le bisettrici di B e C intersecano r in due punti aventi la stessa distanza da A. 22

Considera le due rette parallele r e s e il punto A ∈ r, origine di una semiretta che interseca s in B. Siano P e Q i punti di intersezione con s delle bisettri∧ ∧ ci degli angoli adiacenti rAB e BAr. Dimostra che i triangoli ABP e ABQ sono isosceli. Di che natura è il triangolo PAQ? 23

È dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC. Prolunga i lati BA e CA di due segmenti AE e AD tra loro congruenti. Dimostra che i triangoli ECA e DBA sono congruenti. Prendi su AB e AC due punti B' e C' tali che AB' ≅ AC' e sia O l’intersezione di BC' con CB'. Dimostra che la retta sostegno di AO è asse di BC. 24 È dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC. Da B e C conduci le perpendicolari b e c alla base e conduci per A una retta r che intersechi b e c rispettivamente in D ed E. Dimostra che A è il punto medio del segmento DE. Dimostra inoltre che (BD + CE) è congruente al doppio dell’altezza condotta dal vertice A.

Parallelismo e perpendicolarità 25

Considera il triangolo ABC isoscele sulla base BC. L’asse di AC interseca la retta sostegno di BC in D. Congiunto D con A, prolunga tale segmento del segmento AE ≅ BD. Dimostra che il triangolo DAC è isoscele. Dimostra che anche il triangolo CDE è isoscele. 26

Dato il triangolo ABC rettangolo in A, conduci la ∧ bisettrice dell’angolo A che interseca BC in P. La perpendicolare per B a tale bisettrice interseca la retta sostegno di AC in E. Dimostra che PE ≅ BP. 27 È dato il triangolo ABC isoscele sulla base BC. Per A conduci la parallela a BC. Dimostra che la biset∧ trice di B interseca tale parallela in un punto P tale che AP ≅ AC. 28 Considera il triangolo ABC e il punto medio M di BC. Sulla semiretta sostegno di AM, prendi un punto D tale che MD ≅ AM. Condotto il segmento AH perpendicolare a BC, prendi sulla sua semiretta sostegno un punto E tale che HE ≅ AH. Studia BAE e confronta il triangolo AMB con il triangolo CMD. Detta S l’intersezione delle rette sostegno di BE e DC, che cosa è SM nel triangolo BSC?

Prendi sui lati AB e AC nel triangolo ABC, isoscele sulla base BC, due segmenti congruenti AE e AF e congiungi il punto medio H di BC con E e F. Dimostra ∧ ∧ che AH E ≅ AH F e che il triangolo EHF è isoscele. 30

Sui lati congruenti AB e AC del triangolo isoscele ABC, ed esternamente a tale triangolo, si costruiscono i triangoli equilateri ABD e ACE. Dimostra che la retta sostegno dell’altezza AH del triangolo ABC è asse del segmento DE. 31 È dato il triangolo ABC rettangolo in A; per C conduci la perpendicolare a CA; su di essa porta, dalla banda di B, il segmento CP ≅ CA; dimostra ∧ che AP è bisettrice dell’angolo A.

32 In un triangolo isoscele ABC, prolunga la base BC di un segmento CD ≅ CA e considera il segmento AP ∧ ∧ prolungamento del lato DA. Dimostra che BAP ≅ 3 · BDA (traccia la parallela a BC passante per A).

33 Nel triangolo ABC conduci per B la parallela ∧ alla bisettrice dell’angolo A, fino a incontrare nel punto E il prolungamento del lato CA. Dimostra che il triangolo BAE è isoscele.

9.2 Risolvi i seguenti problemi. Esempi 1

L’area di un parallelogramma è 980 cm2. Sapendo che le due altezze del quadrilatero sono lunghe rispettivamente 35 cm e 20 cm, determina il perimetro del parallelogramma. D

AABCD = 980 cm2 DH = 20 cm DK = 35 cm 2pABCD = ?

H K

L’altezza relativa al lato AB è DH, quindi:

AB =

AABCD 980 = cm = 49 cm 20 DH

L’altezza relativa al lato BC è DK, quindi:

BC =

AABCD 980 = cm = 28 cm 35 DK

2pABCD = (28 + 28 + 49 + 49) cm = 154 cm

257

sezione 9

1 4

2 In un trapezio rettangolo l’angolo acuto è

dell’angolo ottuso. Determina le ampiezze degli angoli del trapezio.

AABCD =

1890 cm2 .

(AB + CD) . CH 90 . 42 = cm2 = 1890 cm2 2 2 5 = 225 cm2 ⇒ ARSTU 42

225 cm = 15 cm ⇒ RS = ST = TU = UR A ∧

4 Una parallela alla base BC di un triangolo isoscele

ABC taglia i due lati obliqui nei punti M e N. Determina le ampiezze degli angoli del quadrilatero MNBC sapendo che l’angolo al vertice del triangolo è ampio 42°.

1∧ C 4

∧

A=?

∧

B=?

∧

C=?

D=? ∧

∧

B + C = 180° ,

∧

ma B =

1∧ C 4

AB ≅ AC

Essendo il trapezio rettangolo, abbiamo A = D = 90°. Le rette sostegno dei lati DC e AB sono parallele e quindi, tagliate dalla trasversale BC, formano angoli coniugati interni supplementari, cioè:

∧

BAC = 42° N

MN // BC ∧

∧

NMC = ? NMB = ?

quindi:

∧

(180° : 5) = 36° ⇒ B

ABC = ?

∧

ACB = ?

∧

(36° . 4) = 144° ⇒ C

La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°, quindi:

3 In un trapezio isoscele la somma delle basi è lunga

∧

AB + CD = 90 cm

2 AB 3

CD = ?

CH ≅

7 AB 9

AABCD = ?

5 A 42 ABCD

⎛3 2⎞ 5 ⎜⎝ 3 + 3 ⎟⎠ = 3

∧

258

∧

1 AB 3

La somma di due lati consecutivi congruenti di un quadrilatero è lunga 18 cm, gli altri due lati sono uno il doppio dell’altro e il perimetro è 30 cm. Determina la lunghezza dei lati del quadrilatero. 2

In un quadrilatero, con il perimetro lungo 29 cm, la somma di due lati è 15 cm e uno è i 2 dell’al3 tro. Sapendo che gli altri due lati sono uno i 3 del4 l’altro, trova le lunghezze dei lati.

18 cm . 3 = 54 cm ⇒ AB 7 54 cm . = 42 cm ⇒ CH 9

∧

⇒ rapporto tra AB + CD e AB

18 cm . 2 = 36 cm ⇒ CD

∧

AMN = ACB = 69°

MNB + NBC = 180° ∧ da cui MNB = 180° – 69° = 111° ∧ e similmente NMC = 111°.

RS = ST = TU = UR = ?

90 cm : 5 = 18 cm ⇒ lunghezza di

Esse formano inoltre angoli coniugati interni supplementari, quindi:

AB = ?

DC ≅

ARSTU =

∧

ANM = ABC = 69°

180° – 42° = 69° 2

Ma MN e BC sono parallele e quindi, tagliate dalla trasversale AB, formano angoli corrispondenti congruenti, perciò: ∧

∧

ANM = AMN =

90 cm e una è 3 dell’altra; sapendo che l’altezza è 7 della base maggiore, calcola la lunghezza delle 9 basi, l’area del trapezio e il lato del quadrato equi5 valente ai 42 del trapezio.

∧

In un quadrilatero ABCD l’angolo A è ampio 54°, ∧ ∧ B è il suo doppio e C è 7 di A. Determina l’ampiezza 9 ∧ dell’angolo D. ∧

Parallelismo e perpendicolarità 4

Disegna un triangolo isoscele ABC e poi costruisci una parallela alla base AB che tagli i lati obliqui in due punti D ed E. Sapendo che l’angolo al vertice è ampio 40°, calcola le ampiezze degli angoli interni del quadrilatero ABDE. ∧

Esegui le seguenti dimostrazioni. Esempi 1

Dimostra che due vertici opposti B e D di un parallelogramma ABCD sono equidistanti dalla diagonale che congiunge gli altri due vertici A e C.

∧

In un trapezio ABCD due angoli opposti A e C sono ampi rispettivamente 102° e 48°. Prolunga i lati obliqui, indica con H il loro punto di intersezione e calcola l’ampiezza degli angoli del triangolo AHB. 6

In un trapezio la base maggiore è lunga 12 cm, la minore 8 cm e l’altezza è 4 della somma delle basi; cal5 cola l’area del trapezio.

Un parallelogramma ha i due lati consecutivi lunghi rispettivamente 24 cm e 12 cm ed è equivalente a un rombo. Sapendo che le diagonali del rombo sono una il triplo dell’altra e che la loro somma è lunga 64 cm, calcola le altezze del parallelogramma. 9

Un trapezio è equivalente a un rombo che ha le diagonali lunghe rispettivamente 55 cm e 88 cm. Calcola l’altezza del trapezio, sapendo che la base maggiore è lunga 70 cm e che la minore è i 5 della dia11 gonale maggiore del rombo. Un trapezio è equivalente a 2 di un quadrato con 3 il perimetro lungo 96 cm; l’altezza del trapezio è 16 cm, mentre la base maggiore supera la minore di 12 cm. Calcola la lunghezza di ciascuna base del trapezio e il perimetro di un rettangolo equivalente al trapezio, sapendo che la sua altezza è 3 della base.

Hp: DC ≅ AB e DC // AB AD ≅ BC e AD // BC ∧ ∧ DAB ≅ BCD ∧ ∧ ABC ≅ CDA BH ⊥ AC; DK ⊥ AC

7 La somma delle diagonali di un rombo è lunga 80 cm e una è 9 dell’altra. Calcola l’area del rombo.

∧

Th: BH ≅ DK

∧

Gli angoli ACB e CAD sono congruenti perché alterni interni rispetto alle rette parallele DA e CB tagliate dalla trasversale AC. Consideriamo ora i triangoli BCH e DKA che hanno: BC ≅ AD

perché i lati opposti di un parallelogramma sono congruenti ∧ ∧ ACB ≅ CAD per la dimostrazione precedente ∧ ∧ CHB ≅ DKA retti per ipotesi ∧ ∧ CBH ≅ ADK perché complementari di angoli congruenti Quindi i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli; in particolare BH ≅ DK. c.v.d.

2 Dato un triangolo ABC, conduci la mediana BD

relativa al lato AC e prolungala di un segmento DE ≅ BD. Dimostra che il quadrilatero ABCE è un parallelogramma. A

E •

In un rombo la somma delle diagonali è lunga 100 cm e una è 1 dell’altra. Calcola la lunghezza del lato di 4 un quadrato equivalente al rombo e l’area di un rettangolo avente il perimetro uguale alla somma delle diagonali del rombo e la base uguale a 2 dell’altezza.

•

B 12 Il perimetro di un rettangolo è lungo 34 cm e una delle dimensioni è 5 dell’altra. Calcola l’area del 12 rombo che si ottiene congiungendo i punti medi dei lati del rettangolo. Quali considerazioni puoi fare?

Hp: AD ≅ DC DE ≅ BD

C Th: AE // BC; AE ≅ BC AB // CE; AB ≅ CE ∧ ∧ ∧ ∧ AEC ≅ CBA; BAE ≅ BCE

259

sezione 9

Consideriamo i due triangoli ABD e DEC che hanno: AD ≅ DC BD ≅ DE ∧ ∧ ADB ≅ EDC

4 Dimostra che in ogni triangolo rettangolo la media-

na relativa all’ipotenusa è congruente a metà ipotenusa.

per ipotesi per ipotesi perché angoli opposti al vertice

Quindi i due triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza. In particolare: ∧

∧

AB ≅ CE; BAC ≅ ACE; ACB ≅ CAE

A Hp: CM ≅ MB

N M

C B

Consideriamo le due rette parallele DC e AB tagliate prima dalla trasversale DA e poi dalla trasversale BC: ∧

∧

DAB ≅ PDC ∧ ∧ CBA ≅ PCD

perché angoli corrispondenti perché angoli corrispondenti

Ma il trapezio è isoscele e quindi i suoi angoli ∧ ∧ alla base sono congruenti: DAB ≅ CBA e quindi ∧ ∧ ∧ ∧ DAB ≅ CBA ≅ PCD ≅ PDC. Il triangolo DCP è isoscele perché ha gli angoli alla base congruenti e quindi la mediana PN è anche altezza: PN ⊥ DC. Poiché inoltre DC // AB abbiamo anche PN ⊥ AB. Anche il triangolo ABP è isoscele, quindi la mediana PM è anche altezza: PM ⊥ AB. Poiché la retta perpendicolare ad AB passante per P è unica, allora PN e PM giacciono sulla stessa retta e quindi P, M, N appartengono alla stessa retta perpendicolare alle basi. c.v.d.

260

C Th: AM ≅ CM ≅ MB

Per il caso particolare del teorema di Talete si ha BS ≅ SA. La retta b, essendo parallela al cateto AC, è perpendicolare al cateto AB; considerando quindi il triangolo AMB, possiamo affermare che esso è isoscele sulla base AB perché MS è altezza relativa ad AB e sua mediana, perciò abbiamo MB ≅ AM. c.v.d.

delle basi e il punto di intersezione dei prolungamenti dei suoi lati obliqui appartengono a una stessa retta perpendicolare alle basi.

Tracciamo dal punto M e dal vertice B due rette parallele al cateto AC.

3 Dimostra che in un trapezio isoscele i punti medi

Hp: DC // AB DN ≅ NC AM ≅ MB DA ≅ CB Th: MP ⊥ AB NP ⊥ DC

Ragionando in maniera analoga sui triangoli ADE ∧ ∧ e BCD si dimostra che: AE ≅ BC; DAE ≅ DCB; ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ AE D ≅ DBC. Perciò BAE ≅ ECB e ABC ≅ AE C perché somma di angoli congruenti. Quindi ABCE ha gli angoli opposti congruenti ed è quindi un parallelogramma per il teorema 1. c.v.d.

•

13 Dato un rombo ABCD, prolunga il lato DA di un segmento AE ≅ AD. Dimostra che il quadrilatero AEBC è un parallelogramma e che la retta sostegno di EB è perpendicolare alla diagonale BD del rombo.

Sulla diagonale AC del parallelogramma ABCD stacca, internamente a essa, i due segmenti congruenti AM e CN e traccia i segmenti MB e ND. Dimostra che BMDN è un parallelogramma. 15 Dato il trapezio isoscele ABCD, con AB > CD, sia CQ la distanza del vertice C dalla retta sostegno di ∧ AD. Sapendo che l’angolo BC A è retto, dimostra che ∧ CD è la bisettrice dell’angolo AC Q.

Dato un trapezio ABCD, le bisettrici degli angoli adiacenti alla base minore CD si intersecano in un punto F di AB. Dimostra che AB = AD + BC. 17

Dal vertice A del parallelogramma ABCD conduci una retta r che non incontri i lati. Dimostra che la distanza del vertice C da r è la somma delle distanze dei vertici B e D da r.

Parallelismo e perpendicolarità 18

È dato il trapezio ABCD, isoscele sulla base DC. ∧ ∧ Le bisettrici degli angoli DAB e DB A si intersecano in ∧ ∧ F, quelle di CB A e CAB in H. Dimostra che FH è parallelo ad AB. 19

Prolunga i lati BA e CA di un triangolo ABC dei segmenti AD ≅ AB e AE ≅ AC. Dimostra che il quadrilatero BCDE è un parallelogramma. 20

Il trapezio ABCD, rettangolo in A e in D, è tale che il lato AD, perpendicolare alle basi, è congruente alla base minore CD e tale che questa è la metà della base maggiore. Sia CH la perpendicolare condotta da C alla base AB. Dimostra che: a

BD e CH si tagliano scambievolmente a metà nel punto K;

DH e AC si tagliano reciprocamente a metà nel punto O;

OK è parallelo a DC e ne è la metà.

In un rombo ABCD, la parallela alla diagonale maggiore AC condotta per il vertice D interseca la retta BC nel punto M mentre la parallela ad AB condotta per M interseca il prolungamento di AC nel punto N. Dimostra che ADMC e CDMN sono parallelogrammi congruenti e che AM ≅ BN. 22

In un trapezio ABCD, il lato BC è congruente alla base CD. Dimostra che la semiretta BD biseca l’ango∧ lo AB C. 23

Nel parallelogramma ABCD conduci la bisettrice ∧ dell’angolo A che interseca il lato DC nel punto M e la ∧ bisettrice dell’angolo C che interseca il lato AB nel punto N. Dimostra che il quadrilatero AMCN è un parallelogramma, che BD e MN si dimezzano e quindi che B, M, D, N sono vertici di un altro parallelogramma. 28

Da un generico punto D del lato BC del triangolo ABC conduci le parallele ai lati AB e AC; esse intersecano rispettivamente in E e F la parallela a BC condotta da A. a

Dimostra che i triangoli ABC e DEF sono congruenti.

Dimostra che CE ≅ BF.

Nel parallelogramma ABCD la diagonale AC è congruente al lato AB. Congiungi A con il punto medio P del lato BC, e prolunga AP di un segmento PE ≅ AP. Dimostra che: a

AP è perpendicolare a BC;

E, C, D sono allineati;

C è il punto medio di ED;

ABEC è un rombo.

30 Il triangolo ABC è rettangolo in A. Dal piede H dell’altezza AH conduci HE e HD perpendicolari ad AC e AB. Dimostra che: a

AH ≅ DE

la mediana relativa al lato BC è perpendicolare a DE.

∧

È dato l’angolo AB C; sui lati BA e BC fissa rispettivamente due punti P e Q, tali che BP ≅ BQ. Da P e Q conduci le perpendicolari ai lati; esse si intersecano in M e N. Dimostra che MPNQ è un rombo.

In un trapezio ABCD, rettangolo in A e in D, la base maggiore AB è congruente al lato BC ed è il doppio del lato minore CD. Dimostra che il triangolo ABC è equilatero.

Dato un quadrato ABCD, costruisci sopra i suoi lati i triangoli equilateri ABL, BCM, CDN e ADP tutti esterni al quadrato. Dimostra che LMNP è un quadrato.

32 Dimostra che il triangolo che si ottiene congiungendo un punto qualsiasi P di un lato di un parallelogramma con gli estremi del lato opposto è equivalente alla metà del parallelogramma.

Per il vertice A del quadrato ABCD conduci due rette fra loro perpendicolari. Una interseca il lato BC in P e la retta DC in Q; l’altra interseca la retta DC in S e la CB in R. Dimostra che i triangoli AQR e APS sono isosceli.

Conduci per il punto medio M del lato obliquo AD di un trapezio la parallela all’altro lato BC fino a incontrare la base maggiore AB in S e il prolungamento della base minore DC in T. Dimostra che SBCT è un parallelogramma equivalente al trapezio.

Per un punto A della bisettrice di un angolo MO N conduci le rette parallele ai lati e indica con B e C i punti in cui esse intersecano rispettivamente i lati ON e OM. Dimostra che il quadrilatero ABOC è un rombo. ∧

Unisci il punto medio M di un lato obliquo AD di un trapezio con gli estremi B e C del lato opposto. Dimostra che si ottiene un triangolo equivalente alla metà del trapezio.

261

sezione 9 35

Se ABCD e ABEF sono due parallelogrammi che giacciono da parti opposte rispetto al lato comune AB, dimostra che il parallelogramma DCEF ha l’area uguale alla somma delle aree dei due parallelogrammi dati. 36

Un trapezio rimane scomposto dalle sue diagonali in quattro triangoli. Dimostra che i due triangoli che hanno come lati i lati non paralleli del trapezio sono equivalenti. 37 Dimostra che congiungendo un punto di un lato di un triangolo con i punti medi degli altri due si forma un quadrilatero equivalente a metà triangolo.

∧

È dato il parallelogramma ABCD nel quale A è ∧ ampio 120°. La bisettrice dell’angolo D passa per il punto medio P di AB. Dimostra che: a

AB ≅ 2AD;

DP è doppio della distanza AN di A da CD;

l’angolo DAC è retto.

∧

Sia M il punto medio dell’ipotenusa BC del triangolo rettangolo ABC. L’asse del segmento AM interseca le rette AB e AC in P e Q. ∧

Dimostra che PMQ è retto.

Le parallele condotte da M ai cateti AC e AB intersecano rispettivamente la retta PQ in H e K. Dimostra che le rette MP e MQ sono rispettivamente perpendicolari ad AH e AK.

38 Dimostra che in un triangolo il segmento che congiunge i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà. 44

Dimostra che in un triangolo ABC il baricentro G divide ciascuna mediana in due parti di cui quella contenente il vertice è doppia dell’altra.

Dimostra che, congiungendo il punto medio della diagonale di un trapezio con i vertici che non stanno su di essa, il trapezio resta diviso in quattro triangoli a due a due equivalenti.

40 Dimostra che congiungendo i punti medi dei due lati di un triangolo equilatero si ottengono quattro triangoli congruenti.

41 Considera una retta r e un segmento AB avente M come punto medio. Traccia tre rette parallele passanti per A, B, M e che intersecano la retta r in A', B', M'. Dimostra che M' è punto medio del segmento A'B'.

262

Dati un parallelogramma ABCD e un segmento EF, parallelo e congruente ad AD, interno alla striscia limitata dalle rette parallele AD e BC, costruisci i due parallelogrammi AEFD, BEFC. Dimostra che il parallelogramma dato è equivalente alla somma dei due costruiti (dallo stesso pentagono togli triangoli uguali).

Parallelismo e perpendicolarità

Dimostra che Q(a + b) =. Q(a) + Q(b) + 2R(a, b), dove Q indica il quadrato che ha per lato il segmento indicato in parentesi e R indica il rettangolo che ha per dimensioni i segmenti indicati in parentesi. 1

Dimostra che Q(a − b) =. Q(a) + Q(b) − 2R(a, b) dove Q indica il quadrato che ha per lato il segmento indicato in parentesi e R indica il rettangolo che ha per dimensioni i segmenti indicati in parentesi. 2

Dimostra che Q(a + b + c) =. Q(a) + Q(b) + Q(c) + 2R(a, b) + 2R(b, c) + 2R(c, a) dove Q indica il quadrato che ha per lato il segmento indicato in parentesi e R indica il rettangolo che ha per dimensioni i segmenti indicati in parentesi. 3

Esercizio n. D17 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2012/2013.

Esercizio n. D27 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2012/2013.

Considera il quadrato ABCD il cui lato misura 6 cm. AE e FC misurano ciascuno 2 cm.

ABCD è un quadrato, il segmento EC è lungo 2 dm e il segmento EB è lungo 1 dm.

Quanto misura la superficie del quadrilatero AECF?

La superficie del quadrato ABCD misura A. 3 dm2

Risposta: __________________ cm

B. 4 dm2

Esercizio n. D3 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2014/2015. Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera V o falsa F .

Condizione necessaria affinché un quadrilatero abbia le diagonali uguali è che sia un rettangolo.

Condizione sufficiente affinché un quadrilatero abbia le diagonali uguali è che sia un rettangolo.

Condizione necessaria e sufficiente affinché un rombo sia un quadrato è che abbia le diagonali uguali.

C. 5 dm2 D. 4 3 dm2 7 Descrivi attraverso una rappresentazione insiemistica, sia con diagrammi di Eulero Venn che per caratteristica, le relazioni che ci sono tra i vari tipi di quadrilateri e parallelogrammi notevoli.

263

SEZIONE

DATI E PREVISIONI

Statistica

10.1 CONCETTI FONDAMENTALI DI STATISTICA La statistica studia fenomeni collettivi, ovvero che riguardano una pluralità di soggetti; una indagine statistica consiste nel raccogliere, organizzare e analizzare informazioni riguardo a come un insieme di elementi si distribuisce rispetto ad una sua caratteristica. La popolazione statistica è l’insieme dei soggetti su cui si concentra l’indagine statistica. La variabile statistica, o carattere, è la caratteristica della popolazione statistica oggetto di analisi. Il carattere può essere di tipo quantitativo se espresso in valori numerici, o qualitativo se non espresso in numeri. Le modalità sono i diversi modi in cui si può presentare la variabile statistica. Una indagine statistica può essere completa se la raccolta delle modalità coinvolge direttamente tutta la popolazione statistica, o per campione se l’indagine coinvolge solo una parte opportunamente selezionata della popolazione statistica.

Una società sportiva di una cittadina del centro Italia si vuole organizzare per il prossimo anno sportivo, cercano di prevedere il numero di iscrizioni ai vari corsi che propone che sono: calcio, atletica, tennis, pallavolo, scherma. Decide di intervistare i giovani che risiedono in città di età compresa tra 6 e 18 anni. • Popolazione statistica • Carattere • Modalità • Indagine completa • Indagine per campione

giovani della città tra 6 e 18 anni tipo di sport (è di tipo qualitativo) calcio, atletica, tennis, pallavolo, scherma, nessuno tra questi se si intervistano tutti i giovani della città se si decide di intervistare solo una parte della popolazione, ad esempio, 100 bambini tra i 6 e gli 8 anni, 100 tra i 9 e gli 11 anni ecc.

Fasi di una indagine statistica 1 Raccolta dei dati 2 Organizzazione dei dati in tabelle 3 Rappresentazione grafica dei dati 4 Elaborazione dei dati e analisi dei risultati. La statistica descrittiva elabora e analizza i dati su una intera popolazione statistica sintetizzandoli attraverso rappresentazioni grafiche e valori indice. La statistica inferenziale studia come estendere all’intera popolazione statistica le conclusioni raggiunte attraverso una indagine per campione, quando non è possibile una raccolta dei dati completa. Si riesce così a stabilire il grado di attendibilità dei risultati ottenuti.

264

Statistica

10.2 RACCOLTA DEI DATI. TABELLE DI FREQUENZA I dati, oggetto di analisi in una indagine statistica, possono essere raccolti in vari modi: questionario, intervista, consultazione di archivi, ecc. Tali informazioni vengono poi organizzate in tabelle, che possono essere: • semplici se formate da due colonne • composte se formate da tre o più colonne • a doppia entrata se possono essere lette sia seguendo le righe che seguendo le colonne. La frequenza assoluta (Fa) di una modalità è il numero di volte con cui la modalità viene rilevata. La frequenza relativa (Fr) di una modalità è il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero totale (N) di soggetti della popolazione statistica. Fa Fr = N La frequenza percentuale (Fp) di una modalità è la frequenza relativa moltiplicata per 100. Fp = Fr . 100%

Tabella delle reti segnate negli incontri di calcio del campionato di serie A 2014/2015. Il carattere è dato dal numero di reti segnate in ogni incontro e le relative modalità sono i numeri 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Il numero totale di incontri del campionato è 380 (N).

carattere

freq. assoluta

frequenza relativa 29 380 62 380 97 380 82 380 63 380 24 380 14 380 7 380 1 380 1 380

frequenza percentuale

= 0,076

0,076 . 100 = 7,6%

= 0,163

0,163 . 100 = 16,3%

= 0,255

0,255 . 100 = 25,5%

= 0,216

0,216 . 100 = 21,6%

= 0,166

0,166 . 100 = 16,6%

= 0,063

0,063 . 100 = 6,3%

= 0,037

0,037 . 100 = 3,7%

= 0,018

0,018 . 100 = 1,8%

= 0,003

0,003 . 100 = 0,3%

= 0,003

0,003 . 100 = 0,3%

Le classi di frequenza sono intervalli di uguale ampiezza in cui viene suddiviso il campo di variazione delle modalità, nel caso di carattere di tipo quantitativo e con modalità numerose e campo di variabilità ampio.

Una indagine statistica vuole studiare l’altezza dei 360 alunni di una scuola primaria; si raccolgono dati che variano da 125 cm a 160 cm, il campo di variabilità è di 35 cm; si può dividere tale campo in intervalli ampi 5 cm.

carattere

frequenza assoluta

da 125 a 129,9 cm

da 130 a 134,9 cm

da 135 a 139,9 cm

da 140 a 144,9 cm

da 145 a 149,9 cm

da 150 a 154,9 cm

da 155 a 160 cm

265

sezione 10 La distribuzione di frequenza è la funzione che associa ad ogni modalità di un carattere la sua frequenza

10.3 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEI DATI Istrogramma o ortogramma: le distribuzioni di frequenza vengono rappresentate con rettangoli di uguale larghezza e di altezza proporzionale alla frequenza della modalità corrispondente. I rettangoli sono accostati nell’istogramma, mentre sono separati nell’ortogramma. Aerogramma: le distribuzioni di frequenza vengono rappresentate con aree di estensione proporzionale alla frequenza della modalità corrispondente. L’aerogramma più usato è quello circolare (grafico a torta), un cerchio diviso in settori la cui ampiezza rappresenta la frequenza della modalità corrispondente. L’ampiezza dell’angolo del settore circolare è proporzionale alla frequenza della modalità corrispondente: α : 360° = Fa : tot , α : 360° = Fp : 100 Ideogrammi: sono rappresentazioni grafiche che utilizzano immagini che richiamano il soggetto dell’indagine. Diagrammi cartesiani: sono piani cartesiani in cui sull’asse delle ascisse vengono riportate le modalità del carattere analizzato e sull’asse delle ordinate vengono riportate le frequenze. Un punto del piano avrà pertanto come coordinate la coppia (modalità; frequenza corrispondente).

La seguente tabella di frequenza riporta i dati relativi al numero di ore di studio pomeridiano di un campione di 300 studenti di un liceo. carattere (n° di ore di studio) meno di 1 1 2 3 4 più di 4

frequenza assoluta 12 18 60 96 75 39

frequenza relativa 0,04 0,06 0,2 0,32 0,25 0,13

frequenza percentuale 4% 6% 20% 32% 25% 13%

I dati della tabella sono ora rappresentati nei seguenti grafici. 120

120

100

40 meno di 1

di pi ù

o en

1 di

di pi ù

più di 4

266

2 m

Statistica

10.4 INDICI DI POSIZIONE E INDICI DI VARIABILITÀ Indici di posizione Gli indici di posizione sintetizzano in un numero alcune informazioni di una distribuzione statistica in modo da evidenziare aspetti rilevanti del fenomeno che si sta studiando. La media aritmetica di N numeri x1, x2, ..., xN è il quoziente tra la loro somma e il loro numero. M=

x1 + x2 + ... + xN N

La media aritmetica ponderata (o media pesata) di N numeri x1, x2, ..., xN ai quali vengono assegnati i pesi p1, p2, ..., pN è il quoziente tra la somma dei prodotti di ciascun numero per il peso ad esso associato e la somma dei pesi. x p + x2 p2 + ... + xN pN Mp = 1 1 p1 + p2 + ... + pN La moda di un insieme di dati è il dato che si presenta con maggiore frequenza. In una distribuzione di frequenze la moda è la modalità che ha la frequenza maggiore. La mediana di un insieme di dati numerici, disposti in ordine crescente o decrescente, è: • il valore che si trova nella posizione centrale, se il numero di dati è dispari • la media aritmetica dei due valori che si trovano nella posizione centrale, se il numero di dati è pari.

Nota bene: la moda è sempre determinabile indipendentemente dal tipo di carattere in analisi, mentre le medie e la mediana si possono calcolare solo per i dati numerici, cioè su caratteri di tipo quantitativo.

1 La seguente tabella riporta i voti ottenuti da 100 studenti che hanno superato l’esame di analisi 1 all’università. carattere (voto in trentesimi) 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

frequenza assoluta 1 2 4 3 6 4 12 18 15 8 12 10 5

Calcoliamo ora media aritmetica, moda e mediana. Media: 18.1 + 19.2 + 20.4 + 21.3 + 22.6 + 23.4 + 24.12 + 25.18 + 26.15 + 27.8 + 28.12 + 29.10 + 30.5 M= = 25,43 100 Moda: = 25 Mediana: in totale i valori sono 100, quindi in numero pari, la mediana si ottiene dalla media tra i valori che si trovano nelle posizioni 50 e 51, cioè 25 e 26. 25 + 26 Mediana = = 25,5 2

267

sezione 10

2 Nella seguente tabella vengono riportati i risultati degli esami che uno studente universitario ha ottenuto nel corso di studi, con i relativi crediti: esame esame 1 esame 2 esame 3 esame 4 esame 5 esame 6 esame 7 esame 8

voto 18 20 25 21 26 30 24 22

crediti 6 4 12 4 6 8 5 5

Totale dei crediti: 50 Per ottenere il voto di ammissione alla laurea la media ponderata deve essere riportata in centodecesimi nel seguente modo: (media ponderata × 11): 3 NOTA: L’eventuale arrotondamento per eccesso può essere preso in considerazione solo se la parte decimale è maggiore di 5 (esempio: 81,51). Ciò comunque è sempre e solo a discrezione della commissione di tesi in relazione anche alla carriera dello studente (eventuale presenza di lodi) e al valore della prova finale. Con quale punteggio verrà ammesso all’esame questo studente? Mp =

18.6 + 20.4 + 25.12 + 21.4 + 26.6 + 30.8 + 24.5 + 22.5 1198 = = 23,96 50 50

Voto di ammissione = (23,96 × 11) : 3 = 87,85 ≅ 88

Indici di variabilità Gli indici di variabilità danno indicazioni sul modo di variare dei dati. Il campo di variabilità di una serie di dati numerici è la differenza tra il valore maggiore e quello minore. CdiV = xmax − xmin Lo scarto assoluto dalla media è la differenza, in valore assoluto, fra un dato e la media aritmetica dei dati. sa,i = | xi − M | Lo scarto medio è la media aritmetica degli scarti assoluti. s=

− M | + | x2 − M | + ... + | xN − M | N

La varianza di N numeri x1, x2, ..., xN è media aritmetica dei quadrati dei loro scarti dalla media. 2

σ =

(x1 − M )2 + (x2 − M )2 + ... + (xN − M )2 N

Lo scarto quadratico medio, o deviazione standard, di N numeri x1, x2, ..., xN è la radice quadrata della varianza. σ=

268

( x1 − M )2 + ( x2 − M )2 + ... + ( x N − M )2 N

Statistica

La seguente tabella riporta i voti ottenuti da Barbara nelle verifiche di inglese dello scorso anno scolastico: verifiche verifica 1 verifica 2 verifica 3 verifica 4 verifica 5 verifica 6 verifica 7 verifica 8

voto 7 6,5 8,5 7 4,5 5 6,5 7

Campo di variabilità = 8,5 – 4,5 = 4 Media aritmetica dei voti = Scarto medio = 2

Varianza = σ =

7 + 6,5 + 8,5 + 7 + 4,5 + 5 + 6,5 + 7 52 = = 6,5 8 8

|7 – 6,5| + |6,5 – 6,5| + |8,5 – 6,5| + |7 – 6,5| + |4,5 – 6,5| + |5 – 6,5| + |6,5 – 6,5| + |7 – 6,5| 7 = = 0,875 8 8 (7 – 6,5)2 + (6,5 – 6,5)2 + (8,5 – 6,5)2 + (7 – 6,5)2 + (4,5 – 6,5)2 + (5 – 6,5)2 + (6,5 – 6,5)2 + (7 – 6,5)2 11 = 8 8 11

Scarto quadratico medio (Deviazione standard) = σ =

= 1,17

10.1 Vero o falso?

Completa

1 Si svolge una indagine statistica sui generi di film più amati dai ragazzi italiani tra i 14 e i 18 anni, si analizza un campione di 1000 giovani. a b c d e

l’indagine statistica è per campione la popolazione statistica è l’insieme dei film italiani il carattere è di tipo quantitativo il carattere statistico è il genere di film il film d’azione è una delle modalità del carattere

3 Nelle seguenti indagini statistiche individua la popolazione e il carattere, specificando se è di tipo qualitativo o quantitativo.

V F ere a

V F ere V F ere V F ere

Popolazione statistica = ______________________ Carattere = _________________________________

V F ere b

L’università di Camerino svolge una indagine sul voto ottenuto all’esame di maturità dagli studenti iscritti al primo anno. a b c d e

l’indagine statistica è per campione la popolazione statistica è l’insieme degli studenti iscritti al primo anno il carattere è di tipo quantitativo il carattere esaminato è il tipo di diploma degli studenti iscritti al primo anno il carattere esaminato è il voto di diploma ottenuto dagli studenti iscritti al primo anno

Una palestra vuole analizzare l’età degli iscritti.

Popolazione statistica = ______________________

V F ere V F ere V F ere V F ere V F ere

Una scuola primaria vuole svolgere una indagine sugli sport praticati dagli studenti.

Carattere = _________________________________

Si svolge una indagine sul numero di figli delle famiglie italiane. Popolazione statistica = ______________________ Carattere = _________________________________

269

sezione 10

10.2 Vero o falso? 1

La seguente tabella è relativa al numero di mezzi di trasporto (auto, scooter, moto) posseduti dalle famiglie italiane, su un campione di famiglie. numero di mezzi di trasporto

frequenza assoluta

184

468

654

380

164

il campione è formato da 2000 famiglie

V F ere

164 famiglie hanno 4 mezzi di trasporto

V F ere

la frequenza relativa al numero di famiglie che ha 2 mezzi di trasporto è data dal rapporto 468 = 0,23

V F ere

la distribuzione di frequenza associa alla modalità 3 la frequenza 654

V F ere

2000

la frequenza percentuale del numero di famiglie che ha V F 2 mezzi di trasporto è data dal rapporto 468 = 0,234 ere 2000

Completa In una indagine statistica svolta da una agenzia di viaggi su un campione di 30 famiglie sulle mete preferite per le vacanze, sono stati raccolti i seguenti dati. 2

mare montagna montagna montagna città d’arte mare crociera crociera crociera montagna

mare agriturismo montagna città d’arte mare montagna crociera mare città d’arte montagna

città d’arte agriturismo agriturismo città d’arte mare montagna mare mare crociera agriturismo

Completa la relativa tabella di frequenza.

carattere

freq. assoluta

mare montagna città d’arte crociera agriturismo

freq. relativa

freq. percentuale

. 100 =

Da una indagine statistica su un campione di 48 ragazzi riguardo alla loro altezza si sono ottenuti i seguenti risultati, espressi in centimetri. 3

165 175 168 162 155 173 160 153 167 173 178 183

170 150 174 150 169 170 154 152 166 165 179 182

158 154 180 168 170 167 155 178 153 164 180 179

162 162 178 153 168 168 176 177 152 152 150 165

Costruisci al tabella di frequenza per classi di frequenza di intervallo ampio 5 cm.

270

carattere da 150 a 154 cm da 155 a 159 cm da 160 a 164 cm da 165 a 169 cm da 170 a 174 cm da 175 a 179 cm da 180 a 184 cm

freq. assoluta

freq. relativa

freq. percentuale

. 100 =

Statistica

10.3 Vero o falso?

mneessu zzo n

bic icl ett a

sco ote r

co rri era

140 120 100 80 60 40 20 0

ma cch ina

1 Il seguente grafico corrisponde ad una indagine statistica riguardante i mezzi di trasporto usati dai ragazzi di un liceo per andare a scuola. a

V F la maggior parte dei ragazzi va a scuola in macchina ere

ci sono ragazzi che vanno a scuola in metropolitana

V F pochi sono i ragazzi che vanno a scuola in bicicletta ere

i ragazzi che vanno a scuola in macchina sono 64

V F i ragazzi che vanno a scuola in scooter sono più di 40 ere

i ragazzi che vanno a scuola in macchina sono meno V F di 100 ere

V F ere

Completa Dato il seguente aerogramma, completare la corrispondente tabella di frequenza

carattere

freq. assoluta

freq. relativa

freq. percentuale

angolo settore

126

32 64 corriera macchina scooter bicicletta

nessun mezzo

10.4 Vero o falso? 1

Segna la risposta esatta.

La media aritmetica è sempre un valore compreso tra il valore massimo e il valore minimo dei vaV F lori analizzati

È sempre possibile calcolare la media aritmetica di caratteri statistici

V F ere

È sempre possibile calcolare la moda di caratteri statistici

V F ere

La media aritmetica del seguente insieme di numeri 4 - 6 - 2 - 10 - 4 - 8 - 3 - 11 è 8

V F ere

Il campo di variabilità del seguente insieme di numeri 13 - 17 - 7 - 3 - 5 - 19 - 11 è 16

V F ere

271

sezione 10 Completa Nella seguente tabella è riportato il numero di errori fatti da 30 alunni nel test di inglese.

numero di errori 0 1 2 3 4 5 6

frequenza assoluta 1 3 7 10 5 3 1

Media aritmetica degli errori = ______________________________________________________ Moda = _______________________________________ ________ Mediana = _____________________________________ ________

Dato il seguente insieme di numeri calcola gli indici di posizione e gli indici di variabilità corrispondenti: 153 - 161 - 135 - 150 - 128 - 144 - 129 - 148 Media aritmetica =

____________________________________________________________________________

Scarto medio = ________________________________________________________________________________ Varianza =

____________________________________________________________________________________

Deviazione standard = __________________________________________________________________________

10.1-10.2

Esercizio guidato Viene svolta una indagine statistica da una casa automobilistica sul modello di automobili vendute nell’ultimo anno. Vengono intervistati 50 automobilisti che hanno acquistato una nuova auto nell’ultimo anno, si sono raccolti i seguenti risultati: Suv Monovolume Monovolume Utilitaria Cabriolet Berlina Cabriolet Monovolume Station wagon Suv

Monovolume Station wagon Monovolume Station wagon Monovolume Monovolume Station wagon Utilitaria Berlina Monovolume

Utilitaria Suv Utilitaria Suv Station wagon Monovolume Monovolume Berlina Suv Monovolume

Berlina Station wagon Utilitaria Monovolume Utilitaria Suv Utilitaria Monovolume Suv Station wagon

Cabriolet Suv Utilitaria Berlina Berlina Suv Suv Cabriolet Suv Utilitaria

a La popolazione statistica è composta da _____________________________________________________________ b Il carattere è _______________________________________________________________________________________

ed è di tipo (qualitativo/quantitativo) __________________________________________________________________ c Le modalità che può assumere il carattere statistico sono: ____________

____________

272

____________

Statistica

d L’indagine è (completa/per campione)

_______________________________________________________________

e Il numero totale dei soggetti dell’indagine è

__________________________________________________________

f Ordina i dati in una tabella di frequenza.

carattere: modello di automobile

freq. assoluta

Utilitaria

Berlina

freq. relativa 9 = 0,18 50 6 = 50

freq. percentuale 0,18 . 100 = 18 % 0,18 . 100 = 18 %

Una casa discografica svolge una indagine statistica a campione su un gruppo di 70 ragazzi tra i 14 e i 18 anni, in merito ai loro gusti musicali. Sono state raccolte le seguenti informazioni: Pop Rock Rap Techno Metal Pop Rap Rock Pop Pop

Metal Pop Metal Metal Pop Rap Metal Pop Pop Pop

Pop Pop Metal Pop Techno Metal Pop Pop Rap Pop

Pop Rock Pop Rock Techno Metal Pop Rock Techno Rock

Rock Rock Pop Rock Rock Rock Techno Techno Metal Metal

Metal Rap Pop Pop Pop Metal Metal Metal Rock Techno

Techno Rap Rock Pop Rap Pop Rock Rock Pop Rap

Rispondi alle seguenti domande. a

Qual è la popolazione statistica?

Qual è il carattere statistico? È di tipo qualitativo o quantitativo?

Organizza i dati raccolti in una tabella di frequenza contenente oltre alla frequenza assoluta, anche la frequenza relativa e la frequenza percentuale. 2 Nelle seguenti indagini statistiche individua la popolazione e il carattere analizzato specificando se è di tipo quantitativo o qualitativo. a

In una scuola si svolge una indagine sul numero di ore di studio pomeridiano degli studenti.

Un’agenzia di viaggi effettua una ricerca sul tipo di vacanza preferita dagli italiani.

Una casa editrice svolge una indagine sul numero di libri letti in un anno dai ragazzi di età compresa tra i 14 e i 18 anni.

In Italia si svolge una indagine sul titolo di studio degli italiani che hanno più di 40 anni.

273

sezione 10 3

La scuola deve organizzare una vacanza studio all’estero. Si deve scegliere una tra le seguenti mete: Londra, Cambridge, Oxford, Liverpool, Edimburgo. Viene svolta una indagine tra i 48 ragazzi interessati al viaggio, sono state raccolte le seguenti preferenze: Londra Oxford Edimburgo Londra Oxford Liverpool Edimburgo Cambridge Liverpool Edimburgo Liverpool Cambridge Liverpool Oxford Liverpool Liverpool

Londra Cambridge Liverpool Cambridge Edimburgo Liverpool Londra Oxford Liverpool Cambridge Liverpool Liverpool Londra Edimburgo Cambridge Londra

Liverpool Londra Londra Edimburgo Liverpool Liverpool Oxford Liverpool Liverpool Liverpool Oxford Edimburgo Cambridge Liverpool Oxford Liverpool

Organizza una tabella di frequenza

Dove andranno in vacanza i ragazzi?

carattere biondi castani mori rossi bianchi

Qual è la probabile popolazione statistica?

Quanti sono i soggetti intervistati?

Qual è il carattere? È di tipo quantitativo o qualitativo?

Completa la tabella con le frequenze relative e le frequenze percentuali.

6 Un ristorante deve fare il bilancio di fine mese, deve cioè analizzare l’incasso giornaliero. I dati raccolti sono riportati nella seguente tabella.

carattere: incasso giornaliero meno di 500 euro da 500 a 1000 euro da 1000 a 1500 euro da 1500 a 2000 euro da 2000 a 2500 euro

È stata registrata la situazione meteorologica di Madonna di Campiglio del mese di gennaio, i dati rilevati sono stati organizzati nella seguente tabella. frequenza assoluta 12 6 0 10 1

Qual è la percentuale di giorni con sole?

Qual è la percentuale di giorni di neve?

frequenza assoluta 6 15 4 1 0

Rispondi alle seguenti domande.

situazione meteo di gennaio sole nuvole pioggia neve nebbia

Considera la seguente tabella di frequenza.

frequenza assoluta 3 4 15 5 3

Rispondi alle seguenti domande. a

In questa indagine qual è il carattere statistico?

Cosa significa che le modalità sono state suddivise in classi di frequenza?

Che ampiezza hanno gli intervalli di frequenza?

Completa la tabella con le frequenze relative e le frequenze percentuali.

Completa la seguente tabella relativa ad una indagine statistica svolta da un cinema multisala, per avere informazioni in merito all’età dagli spettatori dell’ultimo mese. carattere: età meno di 18 anni dai 18 ai 24 anni dai 25 ai 31 anni dai 32 ai 38 anni dai 39 ai 45 anni più di 45 anni

frequenza assoluta 360

frequenza relativa

24 % 426 148 302 264 tot = 1

274

frequenza percentuale

tot = 100%

Statistica 8

In una classe di primo liceo si svolge una indagine circa l’altezza degli alunni. Sono state rilevate le seguenti misure (in centimetri). 158 173

164 162

162 164

174 170

170 168

178 166

160 165

158 175

159 171

168 167

164 166

165 172

167 158

169 160

171 163

I dati vengono organizzati in una tabella di frequenza con modalità divise in classi di frequenza di ampiezza 5 cm a partire da 155 cm. Completa la tabella. carattere: altezza (cm)

frequenza assoluta

frequenza relativa

frequenza percentuale

da 155 a 159 cm da 160 a 164 cm da 165 a 169 cm da 170 a 174 cm da 175 a 180 cm

9 Il responsabile tecnico di una squadra di pallavolo maschile svolge una indagine sulle stature degli atleti. Raccoglie e organizza in una tabella i dati relativi. Completa la tabella.

carattere: altezza (cm) 160 – 169 170 – 179 180 – 189 190 – 199 200 – 210

frequenza assoluta 2 6

frequenza relativa

frequenza percentuale

40 % 30 % 5 tot = 1

tot = 100%

10.3

Esercizi guidati 1

Nella seguente tabella sono registrate le vendite dell’anno 2014 di una libreria divise per generi letterari.

genere letterario

frequenza assoluta

narrativa

380

classici

260

gialli

650

per ragazzi

460

avventura

420

romanzi d’amore

530

frequenza relativa

frequenza percentuale

Il totale di libri venduti è ___________ Completa la tabella con le frequenze relative e quelle percentuali. Completa l’istogramma seguente dove sono stati rappresentati i dati della tabella.

275

sezione 10

700 600 500 400 300 200 100 0

Considera la tabella dell’esercizio precedente. Riporta i dati in un areogramma circolare. Per calcolare l’ampiezza α del settore relativo ad ogni genere letterario si deve risolvere la proporzione α : 360° = freq. assoluta : tot oppure α : 360° = freq. percentuale : 100 α narrativa → α : 360° = 380 : 2700 α classici → α : 360° = 260 : 2700 α gialli → α : 360° = 650 : 2700 α per ragazzi → α : 360° = 460 : 2700 α avventura → α : 360° = 420 : 2700 α romanzi → α : 360° = 530 : 2700

→ → → → → →

α α α α α α

= = = = = =

380 . 360 260 . 360 650 . 360 460 . 360 420 . 360 530 . 360

/ / / / / /

2700 2700 2700 2700 2700 2700

= 50,7° ≈ 50 ° = ° = ° = ° = ° = °

Completa il grafico.

narrativa

per ragazzi

classici

avventura

gialli

romanzi d’amore

Nella seguente tabella è riportata la popolazione, in migliaia di abitanti, residente in Italia negli anni dal 2005 al 2010 (fonte ISTAT).

276

anno

popolazione (× 1000)

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

57 567 58 140 58 431 58 811 59 298 59 724 60 340

Riporta i dati della tabella in un istogramma. a

In quale anno si è registrato un maggiore incremento della popolazione?

Dal 2004 al 2010 di quanto è aumentata la popolazione in totale?

Statistica 2

Il seguente grafico cartesiano rappresenta l’andamento dell’indice dei prezzi al consumo in Italia dal 2007 al 2012.

indice dei prezzi al consumo 150 145 140 135 130 125 120 115

2007

2008

2009

2010

2011

2012

Rispondi alle seguenti domande. a

In quale anno c’è stato il maggiore incremento dell’indice dei prezzi?

Qual è l’indice dei prezzi nel 2010?

In quale anno c’è stato il minore incremento dell’indice dei prezzi?

Qual è l’incremento totale dal 2007 al 2012?

L’areogramma riportato di seguito rappresenta i dati raccolti in un istituto scolastico in merito agli sport praticati dagli studenti della scuola.

nuoto

calcio 18 pallavolo 22 basket tennis

48 147 16

danza scherma

altro sport 63

nessuno sport

Qual è il numero totale degli studenti della scuola?

Calcola l’ampiezza dei settori circolari relativi al calcio e alla danza.

Riporta i dati dal grafico in una tabella di frequenza.

277

sezione 10 4

Da una indagine dell’ISTAT sono stati rilevati i dati riportati in tabella in merito al numero di matrimoni celebrati nel 2011 nelle diverse zone d’Italia.

zona d’Italia

numero matrimoni

nord-ovest

47 227

nord-est

35 230

centro

38 780

sud

57 195

isole

26 339

Rappresenta i dati in un istogramma. 5

Considera la tabella dell’esercizio precedente, rappresenta i dati in un areogramma circolare.

10.4

Esercizio guidato Un negozio di calzature da donna deve fare l’inventario di fine mese e compila una tabella delle scarpe vendute in base al numero. numero di scarpa

frequenza

104

Calcola la media, la moda e la mediana. In totale le scarpe vendute nel mese preso in esame sono ________________ La media è M =

35.18 + 36.25 + 37.104 + ____________ + ____________ + ____________ + ____________ + ____________

Moda = ________________ ( frequenza ________________) Mediana: si considera il numero di scarpa che si trova nella posizione centrale (posizione 188-esima). Mediana = ________________

278

Statistica 1

Da una indagine svolta da una palestra sul numero di giorni alla settimana che gli iscritti frequentano si sono rilevati i seguenti dati. numero giorni

frequenza

1 2 3 4 5 6

18 30 20 12 8 6

Calcola media, moda e mediana. 2 La seguente tabella raccoglie dati in merito al numero di spettatori di un cinema nei vari giorni della settimana.

giorni della settimana

numero spettatori

lunedì martedì mercoledì giovedì venerdì sabato domenica

278 204 188 678 864 1024 432

È possibile calcolare media e mediana del carattere dell’indagine statistica? Motiva la risposta.

Determina la moda.

Calcola la media giornaliera del numero degli spettatori.

Riporta i dati su un grafico cartesiano.

Che conclusioni si possono trarre dalle informazioni raccolte?

Considera il seguente istogramma relativo al numero di libri letti in un anno dagli studenti di un liceo.

110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

Calcola media, moda e mediana.

279

sezione 10 4

Sono state rilevate le età delle ragazze che frequentano un corso di Zumba:

18 28

22 23

20 21

24 24

22 23

26 22

25 26

26 20

21 21

20 22

28 27

30 28

Calcola la media delle età, indica la moda e la mediana. Quale dei tre indici è più significativo? 5

In una classe sono stati registrati le altezze e i pesi dei 20 alunni, sono stati rilevati i seguenti dati:

h (cm) 164 162 165 168 172 156 160 168 174 168 165 162 170 165 162 170 164 165 168 175 P (kg) 54

Calcola la media delle altezze e la media dei pesi. Determina moda e mediana delle altezze e moda e mediana dei pesi. Organizza i dati in due tabelle di frequenza, una relativa alle altezze e l’altra relativa ai pesi. Rappresenta graficamente i dati.

a b d e

Esercizio guidato La seguente tabella riporta le temperature misurate nell’arco di una giornata di maggio a Roma. ora

temperatura

0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00

+14° +11° +15° +19° +23° +24° +22° +20°

Campo di variabilità = 24 – 11 = ________________ Media aritmetica delle temperature =

Scarto medio = 2

Varianza = σ =

|14 – ___ | +

14 + 11 + ______ + ______ + ______ + ______ + ______ + ______ = 8 ________________

__________________________ ___________________________

8 (14 – ___ )2 +

__________________________ ___________________________

__________________________________________

_________________________________________

Scarto quadratico medio (Deviazione standard) = σ = ___________ 6

Considera i tuoi voti di matematica, determina il campo di variabilità, la varianza e la deviazione standard.

Rileva le altezze dei tuoi compagni di classe, organizza i dati in una tabella di frequenza e rappresenta poi graficamente le informazioni. Calcola il campo di variabilità, la varianza e la deviazione standard. 8 Nel laboratorio di fisica l’insegnante chiede di misurare il tempo di caduta di una pallina lungo un piano inclinato. Si effettuano 10 misurazioni con il cronometro e vengono registrati i seguenti tempi:

2,42 sec

2,38 sec

2,41 sec

2,40 sec

2,41 sec

2,43 sec

Calcola il campo di variabilità, la varianza e la deviazione standard.

280

2,43 sec

Statistica

Esercizio n. D20 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2010/2011. Il grafico rappresenta l’andamento del cambio euro-dollaro nel periodo 3 settembre 2009 – 3 marzo 2010.

La frenata dell’euro (confronto con il dollaro) 1,51

1,50

1,45 1,42

1,42 1,38

1,37 1,34

03 sett. 2009

21 ott. 2009

25 nov. 2009

21 dic. 2009

11 gen. 2010

28 gen. 2010

18 feb. 2010

03 mar. 2010

In base al grafico in quale periodo mi sarebbe convenuto cambiare i miei euro in dollari per andare negli Stati Uniti? a

A. Dal 3 settembre al 21 ottobre 2009 B. Dal 21 ottobre al 25 novembre del 2009 C. Dall’11 gennaio al 28 gennaio 2010 D. Dal 18 febbraio al 3 marzo 2010 b

Giustifica la tua risposta.

Se Maria il 18 febbraio 2010 cambia 1000 euro in dollari, quanti dollari riceve in cambio?

Risposta: ___________________ dollari d

Sempre lo stesso giorno (18 febbraio), quanti euro deve cambiare Maria per avere 1000 dollari?

Risposta: ___________________ euro

281

sezione 10 2

Esercizio n. D1 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2010/2011. Nella tabella che vedi sono riportati i dati relativi alla distribuzione di alunni e insegnanti nella scuola secondaria di primo grado in Italia. alunni (compresi i ripetenti) maschi e femmine femmine

aree geografiche

scuole

ITALIA

7939

82 446

1 727 339

nord

3381

33 131

centro

1358

sud

3200

classi

ripetenti insegnanti

maschi e femmine

femmine

826 869

51 407

16 199

212 041

711 292

339 508

19 615

5679

86 312

14 656

312 700

150 098

8066

2508

36 570

34 659

703 347

337 263

23 726

8012

89 159

Sulla base dei dati in tabella, indica se le seguenti affermazioni sono vere V o false F . a.

Nel Nord gli alunni maschi sono meno delle femmine

In Italia il rapporto insegnanti/classi è inferiore a 3

Nel Sud ci sono mediamente più di 10 classi per scuola

Esercizio n. D4 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2011/2012. Un gruppo di boyscout è formato da ragazzi di età compresa tra i 10 e i 14 anni. La distribuzione delle frequenze percentuali delle età è riportata nel diagramma seguente: Ragazzi per età (in percentuale) 50% 40% 30% 20% 10% 0% 10

Sulla base dei dati riportati nel diagramma, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera V o falsa F . a.

Più dell’80% dei ragazzi ha meno di 13 anni.

Meno del 70% dei ragazzi ha più di 11 anni.

La percentuale di ragazzi che hanno 12 o 14 anni è uguale alla percentuale di ragazzi che hanno 10 o 11 o 13 anni.

282

Statistica 4

Esercizio n. D14 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2011/2012. La seguente tabella riporta il numero di occupati, in migliaia, in Italia in ciascuno degli anni dal 1995 al 2005.

anni

occupati (in migliaia)

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

20 240 20 326 20 384 20 591 20 847 21 210 21 604 21 913 22 241 22 404 22 563

a Quale tra le seguenti espressioni dà come risultato l’aumento percentuale del numero di occupati nel 2001 rispetto al numero di occupati nel 2000?

21 604 A. × 100 21 210 B.

394 × 100 21 210

21 210 C. × 100 21 604 D.

394 × 100 21 604

Di quanto sono aumentati gli occupati dal 1995 al 2005?

Risposta: ___________________ migliaia c

Qual è stato l’aumento medio annuo del numero di occupati nei dieci anni dal 1995 al 2005?

Risposta: ___________________ migliaia 5

Esercizio n. D16 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2011/2012. La professoressa Rossi vuole verificare il livello delle conoscenze in scienze nelle classi 1A e 1B. Decide di somministrare lo stesso test nelle due classi. Elaborando i punteggi del test ottiene i seguenti risultati:

classe 1A

classe 1B

media aritmetica

6,5

scarto quadratico medio (o deviazione standard)

1,1

2,3

La professoressa chiede a Martina, una sua alunna di 1B, di commentare i risultati ottenuti dagli alunni delle due classi. Martina afferma che i risultati indicano che gli alunni delle due classi hanno lo stesso livello medio di conoscenze, ma gli studenti della classe 1A hanno ottenuto complessivamente punteggi più vicini alla media. Martina ha ragione? Scegli una delle due risposte e completa la frase. Sì, perché ___________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ No, perché __________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________

283

sezione 10 6

Esercizio n. D4 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2012/2013. Nel seguente grafico sono riportate le distribuzioni delle altezze di 1000 individui di una popolazione A e di 1200 individui di una popolazione B.

in d ivid 100 0

200 100 0

130

140

numero di individui

ne z io ola Pop

300

150

ui Popola ivid zio nd ne i B 00 12

160

170

180

190

200

altezza in cm Sulla base delle informazioni fornite dal grafico, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni vera V o falsa F .

Gli individui della popolazione A sono mediamente più alti degli individui della popolazione B

Ogni individuo della popolazione A è più alto di ogni individuo della popolazione B

Più della metà degli individui della popolazione A ha un’altezza minore di 155 cm

Gli individui più alti della popolazione B sono più bassi degli individui più alti della popolazione A

7 Esercizio n. D12 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2012/2013.

In una scuola frequentata da 800 studenti si sceglie un campione di 300 studenti per un sondaggio sulla materia preferita. I risultati del sondaggio sono rappresentati nel seguente diagramma. francese 7% scienze 3%

matematica 20%

a Qual è il numero di studenti del campione che non hanno indicato come materia preferita la matematica?

Risposta: ___________________ italiano 27%

b Qual è la probabilità che uno studente, scelto a caso dal campione, abbia indicato come materia preferita la matematica?

1 A. 20

ed. fisica 23%

1 B. 15 storia 7%

inglese 13%

1 C. 7 1 D. 5

284

Statistica 9

Esercizio n. D20 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2012/2013. La seguente tabella riporta il numero di vittime per incidenti stradali dal 2001 al 2007 in una regione italiana. anno numero di vittime

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

792

776

700

681

635

539

531

(FONTE: Eurostat, Regional Transport Statistics) a In quale dei seguenti periodi si è avuta la diminuzione più consistente del numero di vittime per incidenti stradali?

A. tra il 2001 e il 2002 B. tra il 2002 e il 2003 C. tra il 2003 e il 2004 D. tra il 2004 e il 2005 Di quale percentuale è diminuito il numero di vittime per incidenti stradali dal 2001 al 2007? Scrivi i calcoli che fai per trovare la risposta e infine riporta il risultato. b

Esercizio n. D10 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2013/2014. Osserva la seguente tabella, che riporta la distribuzione di frequenza degli stipendi mensili dei dipendenti di un’azienda. stipendio (in €)

n° dipendenti

1000

1300

145

1800

3500

5000

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera V o falsa F .

La moda della distribuzione è 145

La mediana della distribuzione è 1300 euro

La media aritmetica della distribuzione è minore di 1800 euro

285

sezione 10 10

Esercizio n. D12 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2013/2014. È stato effettuato un sondaggio su un campione di 1500 donne di età compresa tra i 25 e i 55 anni per conoscere la loro opinione su una rivista mensile dedicata alla salute. Si sono ottenuti i seguenti risultati: occupate

disoccupate

giudizio positivo

450

276

giudizio negativo

367

407

Quante sono le donne che hanno espresso un giudizio positivo?

Risposta: ___________________ Quante sono le donne disoccupate intervistate?

Risposta: ___________________ Scegliendo a caso una delle donne intervistate, qual è la probabilità che abbia espresso un giudizio negativo?

Risposta: ___________________ d Scegliendo a caso una delle donne intervistate tra quelle che hanno espresso un giudizio positivo, qual è la probabilità che sia una donna occupata?

Risposta: ___________________

Esercizio n. D12 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2014/2015. Una stazione meteorologica nelle Alpi ha misurato le temperature, in gradi centigradi (°C), durante un giorno di dicembre. I dati raccolti sono riportati nella seguente tabella. ora

temperatura

−8

−10

−3

−1

−3

−6

a Qual è l’escursione termica, cioè la differenza tra la temperatura massima e la temperatura minima, nel giorno considerato?

Risposta: ___________________ °C b

Qual è la temperatura media TM relativa alle misure riportate in tabella?

Risposta: TM = ___________________ °C

286

Statistica 12

Esercizio n. D1 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2014/2015. Il seguente grafico rappresenta la popolazione straniera residente in Italia, suddivisa per sesso, negli anni dal 2002 al 2009 (fonte ISTAT). 2 200 000 2 100 000 2 000 000 1 900 000 1 800 000 1 700 000 1 600 000 1 500 000 1 400 000 1 300 000 1 200 000 1 100 000 1 000 000 900 000 800 000 700 000 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera V o falsa F . a.

Fra il 2002 e il 2005 i maschi erano più numerosi delle femmine

Nel 2009 la differenza tra numero di femmine e numero di maschi era massima

Nel 2008 il numero delle femmine ha superato per la prima volta il numero dei maschi

Dal 2002 al 2007 i maschi sono più che raddoppiati

Esercizio n. D23 dalla Prova INVALSI di matematica per la classe seconda della scuola secondaria di II grado, anno scolastico 2014/2015. Lo stesso test di matematica è stato proposto a due diversi gruppi di studenti. Il primo gruppo, composto da 20 studenti, ha ottenuto un punteggio medio di 85 e il secondo, composto da 80 studenti, ha ottenuto un punteggio medio di 65. Qual è il punteggio medio ottenuto dai 100 studenti dei due gruppi? Scrivi i calcoli che fai per trovare la risposta e infine riporta il risultato. _______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ Risultato: ___________________

287

sezione 10 14

Pagina da sito dell’ISTAT

Questa pagina presa dal sito dell’ISTAT mostra alcuni dei risultati ottenuti attraverso una indagine statistica. Prendi in considerazione uno dei grafici e riporta i dati in una tabella di frequenza. 15 Lavoro di gruppo I rappresentanti di istituto degli studenti devono organizzare la prossima assemblea di istituto. Si deve decidere quale film proiettare. Come si potrebbe procedere volendo accontentare il maggior numero di studenti della scuola ? Organizza una indagine statistica che possa risolvere il problema.

16 Un veicolo viaggia per un tempo t (= 1,5h) alla velocità v (= 70 km/h) e per un tempo t (= 0,5h) alla velo1 1 2 cità v2(= 80 km/h). Dimostrare che la velocità media del veicolo è la media aritmetica ponderata delle velocità v1 e v2 con i pesi t1 e t2. (La dimostrazione può essere fatta anche senza utilizzare i valori numerici dati).

288