Analisi Matematica

Cop_Manuale Matematica:Layout 1 11/12/12 11:26 Pagina 1

analisi matematica

i manUali Mario Gatti | Roberta Pirovano

• Il volume offre l’opportunità di un ripasso rapido di regole e proprietà del programma di Matematica appreso durante gli ultimi tre anni della scuola secondaria di II grado, con particolare attenzione al programma del quinto anno e alla preparazione dello scritto di Matematica dell’esame di Stato.

• Per la completezza della trattazione, il testo può risultare utile anche come supporto durante l’intero anno scolastico.

• Qualora lo svolgimento di un passaggio di un problema richieda richiami di teoria su argomenti non trattati nel testo, essi sono inseriti in finestre denominate “RICORDA” collocate vicino al passaggio in esame, e quindi immediatamente consultabili. Se invece eventuali passaggi richiedono richiami di teoria trattati nel testo in altri capitoli, finestre identificate da una rosa dei venti indicano la pagina in cui poter leggere il relativo richiamo.

analisi matematica

i manUali

{

Mario Gatti Roberta Pirovano

analisi matematica studio efficace e completo per la prova d’esame

ISBN 978-88-468-3146-0

ISBN 978-88-468-3147-7

ISBN 978-88-468-3050-0

ISBN 978-88-468-3049-4

o at on M nz A .A. pu - C I.V na te IO a ag en G d p m G nte cco na SA e a tu i Es di or a d ). llo ). pp pi ta o .6 (o co ta b n e i i e da 4, nt ars a v te rt. fro er it n a a id nd se 7, o s e E 2 in on (v ). . 6 nc c i o . d , n a lo da erc lett 78 al l t ) è mm 2, .19 a tic 4 de ato co rt. 10 ig ma 48to n i a 6. i s eg or 3, .

Sp te 1 vv ss fu 63 .R a Ma 8-3 ro tra O, n. .P L sp on IT 2, ( D i 6 ro i c TU 97 to is -4 lib nt A .1 en al 88 o e R 0 m st rim G 6.1 An 78ue l t E 2 Q o a ION .R. 9 P .P (D

www.laspigaedizioni.it

€ 15,50

{

I MANUALI

Mario Gatti Roberta Pirovano

ANALISI MATEMATICA Studio efficace e completo per la prova d’esame

PRESENTAZIONE Analisi Matematica fa parte della nuova collana di Manuali di studio efficace e completo per la prova d’esame.

Il volume è destinato principalmente agli studenti del quinto anno della scuola secondaria di secondo grado in preparazione allo scritto di Matematica per l’esame di Stato; può comunque essere utile anche come supporto al libro di testo per lo studio durante tutto l’anno scolastico.

Il volume è suddiviso nelle seguenti tre parti: Parte A Analisi Funzionale Parte B Studio di Funzione Parte C Probabilità e Statistica che comprendono la maggior parte dei contenuti dei temi d’esame proposti negli ultimi 20 anni all’esame di Stato.

Ogni parte è suddivisa in capitoli a loro volta suddivisi in due sezioni. Nella prima sono esposti i contenuti teorici utili per lo svolgimento dei problemi, accompagnati da significativi esempi e spiegazioni finalizzate esclusivamente a guidare lo studente nella soluzione. Nella seconda sono risolti e commentati alcuni problemi proposti nei temi d’esame, scelti in modo da offrire, per ogni argomento, un’ampia varietà di tipologie di richieste di soluzione.

Dove lo svolgimento di un passaggio di un problema richieda richiami di teoria su argomenti non trattati nel testo, essi sono inseriti in finestre denominate “RICORDA”, collocate vicino al passaggio in esame, e quindi immediatamente consultabili. Se invece eventuali passaggi richiedono richiami di teoria trattati nel testo in altri capitoli, finestre identificate da una rosa dei venti indicano la pagina in cui poter leggere il relativo richiamo.

Problemi svolti

Teoria

Finestre Rosa dei Venti

Finestre Ricorda

3

INDICE Parte A - Analisi Funzionale A1 - Forme indeterminate nei limiti

A7 - INTEGRALI DEFINITI

teoria 1.1 Forme indeterminate.................................................................................................... 5 1.2 Risoluzione della forma indeterminata ......................................... 5 1.3 Zero su zero 0 .................................................................................................................. 8 0 1.4 Infinito su infinito ∞ ................................................................................................ 9 ∞ 1.5 Zero per infinito [0 ∞] ............................................................................................... 10 1.6 Infinito meno infinito [+∞ –∞] .................................................................... 11

[]

[]

problemi svolti .............................................................................................................................................. 12 A2 - CONTINUITÀ teoria 2.1 Verifica continuità ............................................................................................................. 19 2.2 Punti di discontinuità ................................................................................................. 20 2.3 Implicazioni della continuità su un intervallo

chiuso e limitato ................................................................................................................ 22 problemi svolti .............................................................................................................................................. 24 A3 - DERIVABILITÀ teoria 3.1 Verifica derivabilità ..........................................................................................................

3.2 Significato geometrico della derivabilità ......................................

3.3 Monotonia e derivabilità .....................................................................................

3.4 Derivabilità e continuità .........................................................................................

3.5 Punti di non derivabilità ..........................................................................................

32 34 34 35 35

problemi svolti .............................................................................................................................................. 37

49 50 51 52 54

problemi svolti .............................................................................................................................................. 55 A5 - MASSIMI, MINIMI, FLESSI teoria 5.1 Estremanti e flessi ........................................................................................................... 58 5.2 Ricerca di massimi, minimi e flessi orizzontali .................. 59 5.3 Ricerca flessi (non orizzontali) .................................................................... 61 problemi svolti .............................................................................................................................................. 64 A6 - INTEGRALI INDEFINITI teoria 6.1 Primitiva di una funzione ..................................................................................... 79 6.2 Insieme delle primitive di una funzione ...................................... 79 6.3 Metodi di integrazione .............................................................................................. 80 problemi svolti .............................................................................................................................................. 84

4

93 94 96 97 97

problemi svolti .............................................................................................................................................. 99 Parte B - Studio di Funzione B1 - Studio di Funzioni algebriche teoria 1.1 Determinazione della curva di una funzione

qualsiasi ........................................................................................................................................... 109 1.2 Classificazione delle funzioni ......................................................................... 112 problemi svolti .............................................................................................................................................. 113 B2 - STUDIO DI FUNZIONI TRASCENDENTI teoria ..................................................................................................................................................................... 123 problemi svolti .............................................................................................................................................. 124 Parte C - PROBABILITÀ E STATISTICA C1 - CALCOLO COMBINATORIO teoria 1.1 Formazione di gruppi ................................................................................................. 136 1.2 Disposizioni ................................................................................................................................ 136 1.3 Permutazioni ............................................................................................................................ 137 1.4 Combinazioni .......................................................................................................................... 138 1.5 Sviluppo della potenza di un binomio ........................................... 140 problemi svolti .............................................................................................................................................. 142

A4 - TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE teoria 4.1 Teorema di Rolle ..............................................................................................................

4.2 Teorema di Lagrange (o del valore medio) ............................

4.3 Teorema di Cauchy ........................................................................................................

4.4 Teoremi di De L’Hospital .......................................................................................

4.5 Teorema di De L’Hospital per la forma

di indeterminazione 0 ∞ .......................................................................................

teoria 7.1 Integrale definito ...............................................................................................................

7.2 Calcolo dell’integrale definito .......................................................................

7.3 Calcolo di aree di superfici piane ...........................................................

7.4 Calcolo di volumi di solidi ..................................................................................

7.5 Calcolo di volumi di solidi di rotazione .........................................

C2 - STATISTICA DESCRITTIVA teoria 2.1 Acquisizione dati ............................................................................................................... 149 2.2 Rappresentazione dati .............................................................................................. 149 2.3 Indici statistici di posizione ............................................................................... 151 2.4 Indici statistici di dispersione ........................................................................ 152 problemi svolti .............................................................................................................................................. 154 C3 - Calcolo delle probabilità teoria 3.1 Misura della probabilità di un evento casuale ................... 159 3.2 Definizione di probabilità .................................................................................... 159 3.3 Eventi incompatibili e compatibili ......................................................... 161 3.4 Evento condizionato .................................................................................................... 162 problemi svolti .............................................................................................................................................. 170 formule e grafici ......................................................................................................................................... 183

Parte A - Analisi Funzionale

A1 - Forme indeterminate nei limiti

Teoria

1.1 Forme indeterminate Le forme indeterminate, dette anche di indecisione, sono rapporti, moltiplicazioni o somme algebriche con infinitesimi e/o infiniti che, a volte, appaiono durante il calcolo di un limite.

Ipotizziamo il limite lim f ( x ) (1) x→c

con c di valore finito o infinito. Se il suo calcolo comporta uno dei seguenti risultati  0   ∞  0 ∞ [ +∞ − ∞ ] ]; (2)  0  ;  ∞  ; [ si afferma che il limite (1) presenta una forma indeterminata. Solo la preliminare risoluzione o eliminazione della forma indeterminata consentirà di ottenere il risultato finale, finito o infinito, del limite. Solitamente, le forme indeterminate si evidenziano con una coppia di parentesi quadre come in (2).

1.2 Risoluzione della forma indeterminata Per risolvere o eliminare una forma indeterminata si applicano, a seconda del tipo di indeterminazione, uno o più dei seguenti metodi: • confronto tra infiniti • confronto tra infinitesimi • limiti notevoli • teorema di De L’Hospital.

Attenzione: a volte occorrono opportuni passaggi matematici o l’applicazione di determinati teoremi per trasformare la funzione, in modo che assuma una struttura idonea a essere trattata con uno dei metodi elencati. Per esempio, (1) può apparire come limite notevole solo dopo avere semplificato o sviluppato un prodotto notevole. Oppure in (1) è possibile un confronto tra infiniti dopo avere operato un cambio di variabili, o applicato una opportuna relazione trigonometrica, o una qualche proprietà dei logaritmi. Particolarmente utili sono anche i teoremi di calcolo dei limiti (somma, prodotto, quoziente, elevamento a potenza), a condizione che la loro applicazione non comporti ulteriori forme indeterminate.

Confronto tra infiniti Nel confronto tra infiniti si valuta l’ordine di infinito di una funzione rispetto a un’altra, cioè quale tra le due va a infinito più velocemente per x tendente a infinito. La notazione

( log a x )α < x β < x γ < b x

(3)

5

A1 · Forme indeterminate nei limiti con α , β, γ ∈ R + , a , b > 1, β < γ classifica le funzioni elementari rispetto alla loro velocità di andare a infinito: da sinistra verso destra l’ordine di infinito della funzione cresce. Quindi, per esempio, la funzione esponenziale ha ordine di infinito maggiore della funzione logaritmica, per x tendente a infinito. A livello applicativo, la (3) individua quale infinito vince su un altro infinito in un rapporto e in una somma; l’infinito che perde è sostituito, rispettivamente, con 1 o con 0, trasformando la struttura del limite al fine di eliminare l’eventuale forma di indeterminazione.

Esempio 1 Nel limite lim

x→+∞

log x x3

x3 ha ordine di infinito superiore a log x. Quindi, siccome log x non influisce nel rapporto per x tendente a infinito, lo si pone uguale a 1, trasformando la struttura del limite in lim

x→+∞

Esempio 2 Nel limite

1 x3

ex x→+∞ x 2 lim

ex ha ordine di infinito superiore a x2. Quindi, siccome x2 non influisce nel rapporto per x tendente a infinito, lo si pone uguale a 1, trasformando la struttura del limite in lim e x

x→+∞

Esempio 3 Nel limite

x 2 + log x x→+∞ 3x lim

il primo confronto è nella somma, dove log x ha ordine di infinito inferiore a x2, e dunque possiamo trascurarlo ponendolo uguale a 0. Il limite trasformato x2 x→+∞ 3 x lim

ci porta al secondo confronto, con 3x di ordine di infinito superiore a x2. Ponendo quindi x2 uguale a 1, il limite si trasforma ulteriormente in 1 lim x→+∞ 3 x Confronto tra infinitesimi Nel confronto tra infinitesimi si valuta l’ordine di infinitesimo di una funzione rispetto a un’altra, cioè si valuta quale tra le due va a zero più velocemente per x tendente zero. La notazione x β > x γ (4)

6

A1 · Teoria con β, γ ∈ R + , β < γ classifica le funzioni a potenza rispetto alla loro velocità di andare a zero: da sinistra verso destra l’ordine di infinitesimo della funzione cresce. A livello applicativo, la (4) individua quale infinitesimo vince su un altro infinitesimo in una somma; l’infinitesimo che vince è sostituito con uno 0, trasformando la struttura del limite al fine di eliminare l’eventuale forma di indeterminazione.

Esempio 4 Nel limite lim x→0

x 4 + x 10 2x5

x10 ha ordine di infinitesimo superiore rispetto a x4 e, dunque, sostituendolo con uno 0, trasformiamo il limite come 1 x4 lim 5 = lim x→0 2 x x→0 2 x Esempio 5 Nel limite

5 x7 + x 9 x→0 x3

lim

9 7 x ha ordine di infinitesimo superiore rispetto a x e, dunque, sostituendolo con uno 0, trasformiamo il limite come 5 x7 lim 3 = lim 5 x 4 x→0 x x→0

Esempio 6 Nel limite lim x→0

x7 + 3 x6 x6

7 6 x ha ordine di infinitesimo superiore rispetto a x e, dunque, sostituendolo con uno 0, trasformiamo il limite come 3x6 lim 6 = lim 3 x→0 x x→0

Limiti notevoli Diamo l’elenco di alcuni limiti notevoli: sen x =1 x→0 x

L5) lim

1 − cos x =0 x→0 x

L6) lim

1 − cos x 1 = x→0 x2 2

L7) lim

log a (1 + x ) = log a e x

L8) lim

ln(1 + x ) =1 x

L1) lim L2) lim L3) lim

ax − 1 = ln a x→0 x ex − 1 =1 x→0 x x→0

x

1  L4) lim  1 +  = e x→∞  x

x→0

7

A1 · Forme indeterminate nei limiti Attenzione: i limiti notevoli rimangono validi se al posto della variabile x compare una generica sen x 2 = 1 ha la medesima struttura del limite notevole L1 e dunque funzione g(x). Per esempio, lim x→0 x2 ha come risultato 1.

ò

Teorema di De L’Hospital

1.3 Zero su zero

[] 0 0

Vedere A4 paragrafo 4.4 a pag. 52.

Esempi sulla eliminazione della forma indeterminata zero su zero.

Esempio 7 Il limite lim x→2

x2 − 4x + 4 x−2

0 presenta la forma indeterminata   : procediamo dunque alla sua eliminazione. 0 Utilizzando i metodi dell’algebra, scomponiamo il numeratore della frazione e semplifichiamo ( x − 2 )2 = lim( x − 2) x→2 x→2 x−2

lim

Il limite non presenta più la forma indeterminata: procediamo quindi al suo calcolo lim( x − 2) = 0 x→2

Esempio 8 Il limite

cos ( 2 x ) 3 x→ π x− π 4 4 0 presenta la forma indeterminata   : procediamo dunque alla sua eliminazione. 0 3 Siccome numeratore e denominatore sono derivabili in x = π , possiamo applicare il teorema di 4 De L’Hospital d [cos ( 2 x )] −2 sen ( 2x ) dx lim = lim = lim [ −2 sen ( 2x )] 3 3 3 3  x→ π 1 x→ π d  x→ π 4 4 4 − π x dx  4  Osserviamo che l’applicazione del teorema ha portato ad una trasformazione del limite: la frazione è scomparsa, sostituita da una singola funzione trigonometrica, comportando la risoluzione della forma indeterminata. Procediamo quindi al calcolo del limite lim 3

3 3 lim [ −2 sen ( 2 x )] = −2 sen  2  4 π   = −2 sen  2 π  = 2 3 x→ π 4

8

A1 · Teoria Esempio 9 Il limite lim

x→−1

x + 2x + 3 x +1

0 presenta la forma indeterminata   : procediamo dunque alla sua eliminazione. 0 Utilizzando i metodi dell’algebra, moltiplichiamo numeratore e denominatore per x − 2 x + 3 , svolgiamo i prodotti e semplifichiamo x + 2x + 3 x − 2x + 3 x 2 − 2x − 3 x−3 ( x + 1)( x − 3 ) = lim = lim = lim x→−1 x →− 1 x →− 1 x →− 1 x +1 ( x + 1)( x − 2 x + 3 ) x − 2x + 3 x − 2x + 3 ( x + 1)( x − 2 x + 3 ) lim

Il limite non presenta più la forma indeterminata: procediamo quindi al calcolo, applicando il teorema del limite della radice di una funzione x−3 −4 =2 = x→−1 x − 2 x + 3 −2 lim

1.4 Infinito su infinito

[ ] ∞ ∞

Esempi sulla eliminazione della forma indeterminata infinto su infinito.

Esempio 10 Il limite

x 4 + 2x2 + 3 x→∞ 3x4 + x3

lim

∞ presenta la forma di indecisione   : procediamo dunque alla sua eliminazione. ∞ Raccogliamo a fattor comune x4 a numeratore e 3x4 a denominatore: otteniamo 2 3  x4 1 + 2 + 4   x x  (1) lim x→∞ 1  3x4 1 +  3x  1 tende a zero per x che tende a infinito, i termini tra parentesi in (1) diventano xn unitari. La forma di indecisione quindi scompare e il calcolo del limite diventa immediato, cioè Considerando che

1 x4 = (2) 4 x→∞ 3 x 3

lim

Lo stesso limite poteva essere risolto eseguendo il confronto tra infiniti: a numeratore x4 è infinito di ordine superiore rispetto agli altri termini della somma; analogamente, a denominatore 3x4 è infinito di ordine superiore rispetto all’altro termine. Trascurando e annullando i termini infiniti di ordine inferiore, sia a numeratore che a denominatore, otteniamo la forma (2) del limite.

9

A1 · Forme indeterminate nei limiti Esempio 11 Il limite

3x3 + 4x2 + x − 1 x→∞ x4

lim

∞ presenta la forma di indecisione   : procediamo dunque alla sua eliminazione. ∞ Eseguendo il confronto tra infiniti, a numeratore osserviamo che x3 è infinito di ordine superiore rispetto agli altri termini della somma. Dunque possiamo trascurare questi ultimi annullandoli e ottenere la seguente forma non indeterminata, che conduce al calcolo immediato 3x3 1 = 3 lim = 0 4 x→∞ x x→∞ x

lim Esempio 12 Il limite

(x lim

3

x→∞

+ ln x ) ex

∞ presenta la forma di indecisione   : procediamo dunque alla sua eliminazione. ∞ Eseguendo il confronto tra infiniti, a numeratore osserviamo che ln x è infinito di ordine inferiore rispetto a x3 e, dunque, annullandolo otteniamo il nuovo rapporto x3 x→∞ e x

lim

Di nuovo, eseguendo il confronto tra infiniti, osserviamo che ex è di ordine superiore rispetto a x3, ottenendo quindi la seguente forma non indeterminata, che conduce al calcolo immediato 1 =0 x→∞ e x

lim

1.5 Zero per infinito [0 ∞] L’eliminazione della forma indeterminata zero per infinito si riconduce ai casi di zero su zero e di infinito su infinito. Infatti se: lim f ( x ) g( x ) = [0 ∞] x→c

possiamo ricondurci alla forma indeterminata lim x→c

dato che

1 tende a zero per g(x) che tende a infinito, oppure alla forma indeterminata g( x) lim x→c

dato che

10

f (x)  0  =  1 0 g( x )

g( x )  ∞  =  1 ∞ f (x)

1 tende a infinito per f(x) che tende a zero. f (x)

A1 · Teoria 1.6 Infinito meno infinito [+∞ -∞] Esempi sulla eliminazione della forma indeterminata infinito meno infinito.

Esempio 13 Il limite

lim ( 2 x 3 − x 2 )

x→+∞

presenta la forma di indecisione [ +∞ − ∞ ] : procediamo dunque alla sua eliminazione.

Raccogliamo a fattor comune 2x3: otteniamo 1    lim  2 x 3  1 −   2 x   

x→+∞

1 tende a zero per x tendente a infinito, il termine tra parentesi tonda diventa 2x unitario, la forma di indecisione scompare e il calcolo del limite diventa immediato, cioè Considerando che

lim 2 x 3 = +∞ (1)

x→+∞

Il limite poteva essere risolto eseguendo il confronto tra infiniti: 2x3 è infinito di ordine superiore rispetto a x2. Trascurando e annullando il termine infinito di ordine inferiore, otteniamo il limite (1).

Esempio 14 Il limite lim

x→+∞

(

x 2 + 4 x − 5 − 2x 2 − x + 4

)

presenta la forma di indecisione [ +∞ − ∞ ] : procediamo dunque alla sua eliminazione.

Utilizzando i metodi dell’algebra, moltiplichiamo e dividiamo per x 2 + 4 x − 5 + 2x 2 − x + 4 e otteniamo

( lim

x 2 + 4 x − 5 − 2x 2 − x + 4

)(

x 2 + 4 x − 5 + 2x 2 − x + 4

)

x + 4 x − 5 + 2x − x + 4 2

x→+∞

2

Svolgiamo il prodotto a numeratore e arriviamo alla forma lim

x→+∞

−x2 + 5x − 9 x 2 + 4 x − 5 + 2x 2 − x + 4

Eseguendo il confronto tra infiniti a numeratore e a denominatore, il limite si trasforma in lim

x→+∞

−x2 x 2 + 2x 2

da cui otteniamo il risultato del limite, cioè lim

x→+∞

−x2 −x2 −x = −∞ = lim = lim x + 2 x x→+∞ (1 + 2 ) x x→+∞ 1 + 2

11

A1 - Forme indeterminate nei limiti Problemi svolti Problema 1 1  Calcolare il lim  4 x sen  x→∞  x Soluzione Il limite presenta la forma indeterminata [∞ 0] : andiamo quindi a eliminarla. 0 Riscriviamo il limite in modo che la forma indeterminata [∞ 0] si trasformi in   , cioè 0 1  sen 1  sen   x = 4 lim x lim  4 1  1 (1) x→∞ x→∞   x  x dove, oltre ad avere spostato il fattore x, abbiamo portato il numero costante 4 fuori dal limite.

Operiamo il cambio di variabile 1 t = (2) x 1 Secondo la (2), siccome nel limite abbiamo x → ∞ , si ha di conseguenza t = → 0 e, dunque, il x limite (1) è uguale a sen t ( 3) 4 lim t→0 t Il cambio di variabile (2) porta ad avere il limite notevole L1, e dunque (3) diventa 4 lim t→0

sen t = 4(1) = 4 t

che comporta il risultato finale del limite 1  lim  4 x sen  = 4 x→∞  x

Problema 2 Calcolare il lim x→a

tg x − tg a x−a

Soluzione 0 Il limite presenta la forma indeterminata   : andiamo 0 quindi a eliminarla.

Utilizziamo la formula per il calcolo della tangente della differenza di due angoli, applicandola agli angoli x e a del limite, cioè tg x − tg a (1) tg ( x − a ) = 1 + tg x tg a Isoliamo nella (1) il numeratore tg x − tg a = tg ( x − a ) (1 + tg x tg a )

12

ricorda

Tangente della differenza di due angoli Dati gli angoli a e b si ha tg( α − β ) =

tg α − tg β 1 + tg α tg β

A1 · Problemi svolti e lo sostituiamo al numeratore del limite, cioè lim x→a

tg ( x − a ) (1 + tg x tg a ) (2) x−a

Operiamo il cambio di variabile y = x − a (3) Secondo la (3), siccome nel limite abbiamo x → a , si ha di conseguenza y → 0 , e dunque il limite (2) è uguale a tg y (4) lim 1 + tg ( y + a ) tg a  y→ 0 y Per il teorema del limite del prodotto di funzioni, riscriviamo (4) come il prodotto tra i seguenti due limiti lim 1 + tg ( y + a ) tg a  (5a)

ricorda

Teorema del limite del prodotto di funzioni Il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei rispettivi limiti, cioè

y→ 0

tg y (5b) lim y→0 y

lim f ( x ) g( x ) = lim f ( x ) lim g( x )

Il calcolo del limite (5a) è immediato

x→c

x→c

x→c

lim 1 + tg ( y + a ) tg a  = 1 + tg 2 a (6a) y→ 0

0 Il limite (5b) presenta la forma indeterminata   : andiamo quindi a eliminarla. Per la seconda 0 relazione fondamentale della trigonometria, ricorda (5b) diventa Seconda relazione fondamentale della trigonometria

1 tg y sen y 1 sen y lim = lim = lim = 1 (6b) lim y→ 0 y y→0 cos y y y→0 cos y y→0 y dove abbiamo utilizzato il teorema del limite del prodotto di funzioni e il limite notevole L1.

Quindi, dal prodotto di (6a) e di (6b), otteniamo il risultato finale del limite tg x − tg a lim = 1 + tg 2 a x→a x−a

Dato l’angolo a, si ha sen α tg α = cos α

Problema 3 3

ex − 1 Calcolare il lim x→0 x sen 2 x Soluzione 0 Il limite presenta la forma indeterminata   : andiamo quindi a eliminarla. 0 Riscriviamo con passaggi algebrici il limite nella forma 3

3

2

ex − 1 x2 ex − 1  x  = lim 3 lim   (1) x→0 sen 2 x x→0 x 3  sen x  x

13

A1 · Forme indeterminate nei limiti dove dapprima abbiamo moltiplicato il numeratore e il denominatore della frazione per x2 e poi abbiamo raccolto il quadrato del secondo fattore.

Per il teorema del limite del prodotto di funzioni, riscriviamo (1) come il prodotto tra i seguenti due limiti 3 ex − 1 (2a) lim 3 x→0 x 2

 x  (2b) lim   x→0  sen x  Nel limite (2a) operiamo il cambio di variabile x3 = t per poi applicare il limite notevole L6 3

ex − 1 et − 1 = 1 (3a) lim 3 = lim x→0 t→0 x t Nel limite (2b) applichiamo il teorema del limite della potenza di funzione, RICORDA ricorda per poi applicare il limite notevole L1, cioè 2

Teorema del limite della potenza di funzione

2

x   x   2 lim   =  lim  = 1 = 1 (3b) x→0  sen x  x→0 sen x  Quindi, dal prodotto di (3a) e di (3b), otteniamo il risultato finale 3 ex − 1 =1 lim x→0 x sen 2 x

Il limite della potenza di una funzione è uguale alla potenza del limite, cioè lim [ f ( x )] =  lim f ( x )  x→c  x→c  n

n

Problema 4 33 x − a x Data la funzione f ( x ) = x con a reale e positivo, determinare il valore di a affinché sia 6 − 5x lim f ( x ) = 2 x→0

Soluzione Innanzitutto verifichiamo che il limite

33 x − a x (1) x→0 6 x − 5 x

lim

0 presenta la forma indeterminata   : andiamo quindi a eliminarla. 0 Riscriviamo con passaggi algebrici il limite (1) nella forma    33 x − 1 x  a x x a    lim  x a x lim =  x→0   x→0 5 6  5  −1     5x

x   27    − 1  a  (2) x   6   − 1  5 

dove dapprima abbiamo raccolto il termine ax a numeratore e il termine 5x a denominatore e poi abbiamo riscritto i termini come potenze di x.

14

A1 · Problemi svolti Per il teorema del limite del prodotto di funzioni riscriviamo la (2) come il prodotto tra i seguenti due limiti x  a lim   (3a) x→0  5  x

 27    − 1 a lim (3b) x x→0  6   − 1 5 Il calcolo del limite (3a) è immediato

x

 a lim   = 1 (4a) x→0  5  0 Il limite (3b) presenta la forma indeterminata   : andiamo quindi a eliminarla. Riscriviamo (3b) 0 nella forma x  27    − 1 27 a ln x a (4b) lim = x 6 x→0  6 ln   − 1 5 5 x

dove, con passaggio algebrico, abbiamo prima diviso numeratore e denominatore per il termine x e quindi applicato il limite notevole L5.

Il risultato finale del limite (1) è dunque 27 ln 33 x − a x a (5) lim x = 6 x→0 6 − 5 x ln 5 A questo punto poniamo (5) uguale a 2, come richiesto dal problema, ottenendo l’equazione logaritmica nell’incognita a 27 ln a =2 6 ln 5 o meglio ln

27 6 = 2 ln (6) a 5

Applicando alla (6) le proprietà dei logaritmi, otteniamo

cioè

27  6 ln = ln    5 a 27 36 = a 25

da cui otteniamo il risultato richiesto a=

75 4

2

ricorda

Proprietà dei logaritmi Logaritmo della potenza c log a b = log a (b)c Uguaglianza degli argomenti log a b = log a c ⇔ b = c

15

A1 · Forme indeterminate nei limiti Problema 5 Calcolare il lim+ x→0

23 x − 3 4 x x2

Soluzione 0 Il limite presenta la forma di indecisione   : andiamo quindi a eliminarla. 0 Riscriviamo con passaggi algebrici il limite nella forma x x       23 x  8  8 1 − 1 − − 1     4 x     4x    811  3  81    (1)  lim+  3 4 x 3 2  = lim+  3 4 x lim = + x→0 x  x→0  x2 x   x→0  x       

dove abbiamo prima raccolto il termine 34x e poi scomposto in fattori il termine x2.

Per il teorema del limite del prodotto di funzioni riscriviamo (1) come il prodotto tra i seguenti due limiti 34 x (2a) lim+ x→0 x x

Il calcolo del limite (2a) è immediato

 8   − 1 81 lim+ (2b) x→0 x lim+

x→0

34 x = +∞ (3a) x

0 Il limite (2b) presenta la forma indeterminata   : andiamo quindi a eliminarla. Applichiamo il 0 limite notevole L5 x  8   − 1 8 81 81 (3b) lim = ln = − ln x→0 + x 81 8 Quindi, dal prodotto di (3a) e di (3b), otteniamo il risultato finale lim+

x→0

23 x − 3 4 x = −∞ x2

Problema 6 Calcolare il lim x→0

ln(1 + x ) + ln(1 − x ) cos x − 1

Soluzione 0 Il limite presenta la forma indeterminata   : andiamo 0 quindi a eliminarla.

Applichiamo al limite la proprietà dei logaritmi, cioè RICORDA ln(1 − x 2 ) (1) lim x→0 cos x − 1

16

ricorda

Proprietà dei logaritmi Somma di logaritmi log a b + log a c = log a (bc )

A1 · Problemi svolti Riscriviamo con passaggio algebrico il limite (1) nella forma lim x→0

x2 ln(1 − x 2 ) (2) x2 cos x − 1

dove abbiamo moltiplicato numeratore e denominatore per il temine x2.

Per il teorema del limite del prodotto di funzioni riscriviamo (2) come il prodotto tra i seguenti due limiti ln(1 − x 2 ) (3a) lim x→0 x2 x2 (3b) x→0 cos x − 1

lim

0 Entrambi presentano la forma indeterminata   : andiamo quindi a eliminarle. 0 Operiamo nel limite (3a) il cambio di variabile −x2 = t e applichiamo il limite notevole L8 lim x→0

ln(1 − x 2 ) ln(1 + t ) ln(1 + t ) = lim = −1 (4a) = − lim t→0 t→0 −t x2 t

Applichiamo in (3b) il limite notevole L3 x2 x2 = − lim = −2 (4b) x→0 cos x − 1 x→0 1 − cos x

lim

Quindi, dal prodotto di (4a) e di (4b), otteniamo il risultato finale lim x→0

ln(1 + x ) + ln(1 − x ) = −1( −2) = 2 cos x − 1

Problema 7 Data la funzione f ( x ) = e x − sen x − 3 x , calcolare 1) lim f ( x ) e 2) lim f ( x ) x→+∞

Soluzione In generale, il limite per x → ∞ della funzione sen x non esiste. Ma, essendo comunque il seno sempre compreso tra –1 e 1, cioè −1 ≤ sen x ≤ 1 la f ( x ) assume valore minimo quando sen x = 1 : quindi possiamo considerare sempre valida la seguente disuguaglianza e x − sen x − 3 x ≥ e x − 1 − 3 x (1) Grazie al teorema del confronto, se il membro a destra della (1) va a infinito, quello a sinistra andrà sicuramente a infinito, essendo sempre maggiore.

x→−∞

ricorda

Teorema del confronto per i limiti Le funzioni f(x) e g(x) siano definite nel medesimo intervallo, tranne al più un punto c dell’intervallo; inoltre f ( x ) ≤ g( x ) e lim f ( x ) = +∞ x→c

Allora anche lim g( x ) = +∞ x→c

( f ( x ) ≥ g( x ))

( lim f ( x) = −∞)

( lim g( x) = −∞)

x→c

x→c

17

A1 · Forme indeterminate nei limiti Quindi calcoleremo i due limiti richiesti partendo dalla funzione “più semplice” g( x ) = e x − 1 − 3 x 1) Il limite lim ( e x − 1 − 3 x ) (2)

x→+∞

presenta la forma di indecisione [+∞ − ∞] : andiamo quindi a eliminarla.

Eseguendo il confronto tra infiniti nella somma, osserviamo che ex è infinito di ordine superiore rispetto agli altri due termini, che possiamo quindi annullare ottenendo lim e x = +∞

x→+∞

Poiché vale la disuguaglianza (1), possiamo applicare il teorema del confronto e sostituire in (2) g(x) con f(x), per ottenere il risultato del limite, cioè lim ( e x − sen x − 3 x ) = +∞

x→+∞

2) Il limite lim ( e x − 1 − 3 x )

x→−∞

non presenta forme di indecisione e vale lim ( e x − 1 − 3 x ) = +∞

x→−∞

e dunque per la (1) e per il teorema del confronto, il risultato del limite è lim ( e x − sen x − 3 x ) = +∞

x→−∞

Problema 8 Calcolare il lim

x→−∞

x2 + 1 x

Soluzione ∞ Il limite presenta la forma di indecisione   : andiamo quindi a eliminarla. ∞ Eseguendo il confronto tra infiniti, a numeratore osserviamo che x2 è infinito di ordine superiore rispetto al termine 1, che possiamo quindi annullare ottenendo x2 x −x = lim = lim = −1 x→−∞ x x→−∞ x x→−∞ x dove abbiamo utilizzato la definizione di valore assoluto. lim

RICORDA

ricorda

Definizione di valore assoluto  x se x ≥ 0 x = − x se x < 0

18

Parte A - Analisi Funzionale

A2 - Continuità

Teoria

2.1 Verifica continuità Intuitivamente una funzione è continua quando possiamo disegnarla senza staccare la penna dal foglio. Utilizzando il concetto di limite, diamo una definizione operativa che verifica la continuità in un punto. Se tale “controllo” è svolto su tutti i punti di un intervallo, è verificata la continuità sull’intervallo stesso.

Definizione di continuità in un punto Una funzione f(x) è definita continua in un punto x0 se: • esiste finito il suo limite sinistro, cioè lim f ( x ) ≠ ±∞ (1)

x → x0 −

• esiste finito il suo limite destro, cioè lim f ( x ) ≠ ±∞ (2)

x → x0 +

• entrambi i limiti (1) e (2) sono uguali al valore della funzione nel punto x0, cioè f (x0); quindi lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( x0 ) (3)

x → x0 −

x → x0

Esempio 1 Verificare la continuità nel punto x = 2 della funzione f ( x) = e x + 2x 3 − 1 Calcoliamo il limite sinistro −

lim( e x + 2 x 3 − 1) = e ( 2 ) + 2( 2− )3 − 1 = e 2 + 15 −

e il limite destro

x→2

+

lim( e x + 2 x 3 − 1) = e ( 2 ) + 2( 2+ )3 − 1 = e 2 + 15 +

x→2

Il valore della funzione nel punto richiesto è f ( 2) = e ( 2 ) + 2( 2)2 − 1 = e 2 + 15 La funzione è dunque continua, essendo i due limiti finiti e uguali a f(2).

Esempio 2 Verificare la continuità nel punto x = 1 della funzione 1 f ( x) = ln x Calcoliamo il limite sinistro lim−

x→1

1 1 1 1 = = − = + = +∞ − ln x 0 ln(1 ) 0

Il valore infinito del limite è sufficiente per concludere che la funzione non è continua nel punto indicato.

19

A2 · Continuità Esempio 3 Verificare per quali valori di k la funzione x2 + 3x + k  f ( x) =  5  ln x + 2 

è continua in x = 0.

x<0 x≥0

Per calcolare il limite sinistro, dobbiamo considerare la funzione per x < 0, cioè lim( x 2 + 3 x + k ) = ( 0 − )2 + 3( 0 − ) + k = k

x→0 −

e per il limite destro la funzione per x ≥ 0, cioè 5  5 5 = ln + = ln lim+  ln  x→0  (0 ) + 2 x + 2 2 La funzione logaritmica è ovviamente quella che consente di determinare il valore dalla f (x) nel punto richiesto, cioè 5 5 f ( 0 ) = ln = ln 0+2 2 Quindi, affinché la f(x) sia continua nel punto x = 0, occorre che i due limiti siano uguali a f (0), cioè 5 ln = k 2 uguaglianza che determina il valore di k richiesto.

2.2 Punti di discontinuità Definiamo e classifichiamo i punti in cui la funzione non è continua.

Definizione di discontinuità in un punto Una funzione è definita discontinua in un punto se non è continua.

Discontinuità di prima specie Una funzione f (x) ha discontinuità di prima specie in un punto x0 se esistono finiti il limite destro e sinistro in x0 , ma sono diversi.

Esempio 4 La funzione f (x) =

x x

ha una discontinuità di prima specie in x = 0. Infatti il limite sinistro lim

x→0 −

e il limite destro

x x 1 = lim− = lim− = −1 x → 0 x → 0 −x −1 x

lim+

x→0

20

x x 1 = lim+ = lim+ = 1 x x→0 x x→0 1

A2 · Teoria y

sono entrambi finiti, ma diversi. In figura A2.1 la curva della funzione: nel punto x = 0 essa assume il tipico salto che caratterizza la discontinuità di prima specie.

1

Discontinuità di seconda specie Una funzione f(x) ha discontinuità di seconda specie in un punto x0 se il limite destro e/o il limite sinistro non esistono o sono infiniti in x0 .

0

x

–1

Esempio 5 La funzione f ( x) =

figura A2.1

x2 + 3 x2 − 1

ha discontinuità di seconda specie in x1 = –1 e in x2 = 1 (fig. A2.2). Infatti per x1 = –1 il limite sinistro x 2 + 3 ( −1− )2 + 3 4 = = lim− + = +∞ 2 − 2 x→−1 x − 1 ( −1 ) − 1 x→−1 0 e il limite destro x 2 + 3 ( −1+ )2 + 3 4 lim+ 2 = = lim+ − = −∞ + 2 →− 1 x→−1 x − 1 x 0 ( −1 ) − 1 lim−

y

0

sono entrambi infiniti.

Per x2 = 1 il limite sinistro lim−

x→1

–1

1

x

x 2 + 3 (1− )2 + 3 4 = − 2 = lim− − = −∞ 2 → 1 x x − 1 (1 ) − 1 0

e il limite destro lim+

x→1

x 2 + 3 (1+ )2 + 3 4 = + 2 = lim+ + = +∞ 2 → 1 x x − 1 (1 ) − 1 0

figura A2.2

sono entrambi infiniti.

Discontinuità di terza specie Una funzione f(x) ha discontinuità di terza specie in un punto x0 se i limiti destro e sinistro sono finiti e uguali in x0 , ma il loro valore l non coincide con quello della funzione in x0 , perché diverso o perché non esiste. Attenzione perché il punto di discontinuità può anche essere un estremo del dominio della funzione: in tale caso si valuta solo il limite destro o sinistro, a seconda della collocazione dell’estremo.

La discontinuità di terza specie si dice anche eliminabile, perché è possibile eliminare la discontinuità ridefinendo la funzione in x0 in modo che si abbia f(x0) = l, ripristinando dunque la continuità.

Esempio 6 La funzione

x + 1 f ( x) =  1

x≠2 x=2

21

A2 · Continuità ha discontinuità di terza specie in x = 2 (fig. A2.3). Per dimostrarlo dobbiamo considerare il limite sinistro e destro di x + 1: il limite sinistro y

lim x + 1 = ( 2− ) + 1 = 3

x→ 2−

e il limite destro lim+ x + 1 = ( 2+ ) + 1 = 3 x→2

sono entrambi finiti e uguali a 3, ma diversi da f(2) = 1. La discontinuità si può eventualmente eliminare ridefinendo la f(x) nel seguente modo x + 1 f ( x) =  3

1

x≠2

0

x=2

x

2

o scrivendo più semplicemente figura A2.3

f(x) = x + 1

2.3 Implicazioni della continuità su un intervallo chiuso e limitato Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato possiede tre proprietà, rappresentate dall’esempio di funzione in figura A2.4 e descritte da altrettanti teoremi.

Teorema di Weierstrass Ipotesi Sia f (x) una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b].

Tesi Esistono un punto di massimo assoluto xM e un punto di minimo assoluto xm in [a, b].

ò

Per la definizione di massimo e minimo assoluto vedere A5 paragrafo 5.2 a pag. 59

y f(xM)

c xM

a

xm b x

f(xm)

figura A2.4

Teorema di Darboux (o dei valori intermedi) Ipotesi Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b].

Tesi La funzione assume tutti i valori compresi tra l’ordinata del punto di massimo assoluto (f(xM)) e l’ordinata del punto di minimo assoluto (f(xm)).

22

A2 · Teoria Teorema degli zeri Ipotesi Sia f (x) una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b]; inoltre le ordinate f (a) ed f (b) abbiano segno algebrico opposto.

Tesi Esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo aperto (a, b) in cui la funzione si annulla, cioè f (c) = 0.

Commento Le ipotesi di continuità, di intervallo chiuso e di intervallo limitato sono necessarie per i tre teoremi sopra citati. Vediamo tre esempi dove singolarmente manca una delle tre ipotesi.

Esempio 7 Consideriamo la funzione

figura A2.5

1 f ( x) = x −1

y

nell’intervallo chiuso e limitato [0, 2]. La relativa curva in figura A2.5 mostra una discontinuità nel punto x = 1 dell’intervallo [0, 2]. La funzione non continua non verifica i tre teoremi, come mostra la figura. y

Esempio 8 Consideriamo la funzione

4

f (x) =

3

1

2b x

1 1 − x2

nell’intervallo limitato (–1, 1). La relativa curva in figura A2.6 mostra la continuità nell’intervallo (–1, 1).

Non essendo però l’intervallo chiuso, la funzione non verifica i tre teoremi, come mostra la figura.

2 1

–1

a0

Esempio 9 Consideriamo la funzione 0

1 x

f ( x) =

1 x

figura A2.7

figura A2.6 y

nell’intervallo [1, +∞ ) . La relativa curva in figura A2.7 mostra la continuità nell’intervallo [1, +∞ ) . Non essendo però l’intervallo né chiuso e né limitato, la funzione non verifica i tre teoremi, come mostra la figura.

0

1

x

23

A2 - continuità Problemi svolti Problema 1 Determinare per quale o quali valori di k la funzione 3 x 2 − 11 x − 4 f ( x) =  2  kx − 2 x − 1

è continua in x = 4.

x≤4 x>4

Soluzione Applichiamo la definizione di continuità in un punto. Per verificare l’esistenza e il valore finito del limite sinistro della f(x), dobbiamo considerare la parte definita in x ≤ 4, quindi lim( 3 x 2 − 11 x − 4 ) = 3( 4 − )2 − 11( 4 − ) − 4 = 0 (1)

x→4 −

Per il limite destro dobbiamo invece considerare la parte definita in x > 4 lim f ( x ) = k( 4 + )2 − 2( 4 + ) − 1 = 16 k − 9 (2)

x→4 +

Affinché esista continuità, i limiti finiti (1) e (2) devono essere anche uguali al valore dalla funzione nel punto richiesto. Per determinarlo, dobbiamo considerare la parte di f (x) che contiene nel suo dominio x = 4 e dunque la parte definita per x ≤ 4: abbiamo f ( 4 ) = 3( 4 )2 − 11( 4 ) − 4 = 0 (3) L’uguaglianza tra la (1), la (2) e la (3) comporta l’equazione 16k – 9 = 0 da cui il valore di k richiesto k=

9 16

Problema 2 Determinare il tipo di discontinuità della funzione f (x) = in x = 0.

(e

1 1 x

− 1)

2

Soluzione Per analizzare la discontinuità in x = 0, determiniamo i relativi limiti destro e sinistro di f (x).

Calcoliamo il limite sinistro lim−

x→0

e il limite destro

24

(e

1 1 x

−1

=

) (e 2

1 1 0−

−1

)

2

=

(e

1 −∞

− 1)

2

=

(0

1 +

− 1)

2

=1

A2 · Problemi svolti lim+

x→0

(e

1 1 x

−1

=

) (e 2

1 1 0+

−1

)

2

=

(e

1 +∞

− 1)

2

=

1 = 0+ +∞

Poiché i limiti sono finiti ma diversi tra loro, la funzione presenta in x = 0 un punto di discontinuità di prima specie con un salto uguale a lim f ( x ) − lim+ f ( x ) = 1 − 0 = 1

x→0 −

x→0

Problema 3 Affermare che una funzione reale di variabile reale f(x) abbia lim f ( x ) = l , x→a

con a, l ∈ R, è sufficiente per concludere che f(a) = l ?

Soluzione Il problema chiede se l’esistenza di un limite finito per una funzione in un punto è sufficiente per garantire la sua continuità nel punto. Dimostriamo che l’affermazione non è valida.

Per garantire la continuità della f(x) in x = a occorre che siano verificate la seguenti uguaglianze lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( a ) = l (1)

x→a −

x→a

cioè limite sinistro e destro finiti e uguali al valore della funzione nel punto a.

Consideriamo per esempio la funzione  x2 − 1  f (x) =  x + 1  0

x ≠ −1 x = −1

dove in questo caso a = –1 ed f(a) = 0.

Il limite sinistro è x2 − 1 ( x − 1)( x + 1) lim− = lim− = lim− ( x − 1) = −2 x→−1 x + 1 x→−1 x→−1 x +1 come pure il limite destro lim+

x→−1

x2 − 1 = −2 x +1

I due limiti sono finiti e uguali a –2, ma diversi da f(–1) = 0.

La funzione f(x) presenta infatti in x = –1 una discontinuità di terza specie.

Problema 4 Una funzione g(x) non costante è tale che lim g( x ) = 3 e g(2) = 4. Trovare un’espressione di x→2 g(x).

Soluzione Il problema richiede che la funzione abbia un punto di discontinuità di terza specie in x = 2:

25