Elementi di Matematica by ELI Publishing

Quaderno operativo

Per la serie completa di quaderni operativi sulle principali discipline della Scuola Secondaria di 1° grado consulta il sito

www.laspigaedizioni.it

Elementi di Matematica

• L'obiettivo del volume Elementi di Matematica è accompagnare lo studente all'ingresso della Scuola Secondaria di 2° grado, fornendo un rapido ripasso delle regole e proprietà della matematica appresa durante la Scuola Secondaria di 1° grado. • Gli argomenti trattati sono accostati a esempi applicativi che preparano alla risposta di quesiti e alla risoluzione di esercizi, collocati al termine di ogni unità. • Vengono inoltre proposti numerosi test d'ingresso, che consentiranno agli studenti di affrontare serenamente una delle prime prove della Scuola Secondaria di 2° grado.

Mario Gatti | Patrizia Manera

Elementi di Matematica

126% 45875 +Elementi 92= di Matematica Mario Gatti | Patrizia Manera

Quaderno operativo

per il passaggio alla Scuola Secondaria di 2° grado • Ripasso di regole e proprietà • Esempi svolti • Quesiti ed esercizi • Test d'ingresso

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Mario Gatti | Patrizia Manera

I Presentazione La biologia studia le piante, la zoologia gli animali, l’astrofisica il moto dei corpi celesti: a ogni disciplina scientifica è immediato associare la sua area d’interesse. Questo non succede se ci poniamo la domanda su cosa studia la matematica. Un tentativo di risposta potrebbe essere che la matematica studia strutture in astratto senza preoccuparsi di cosa siano in realtà queste strutture. La matematica non si preoccupa, ad esempio, di conoscere il contenuto di un insieme (se studenti di una classe o se punti di una retta), il significato dei termini numerici delle quattro operazioni (se si tratti di ciliegie o di litri d’acqua), i valori numerici che assumono le lettere di un monomio (se numeri naturali o irrazionali), il modello reale di un triangolo rettangolo (un pavimento o una parte di alettone di formula 1). La matematica ha come unico obiettivo mettere a disposizione strutture astratte e universali che consentono di descrivere ed elaborare in modo razionale qualsiasi fenomeno reale, dando vita a un linguaggio composto da numeri e teoremi, quello che in un “normale” linguaggio sono le lettere dell’alfabeto e le regole della grammatica.

In questo testo presentiamo una breve ma esaustiva panoramica delle quattro strutture fondamentali della matematica, corrispondenti alle quattro parti in cui esso è suddiviso:

A B C D

insiemistica aritmetica algebra geometria

L’ordine di presentazione è vincolato dalla regola che ogni parte è “strutturata” su quella precedente, partendo dai concetti “primitivi” di insiemi. La finalità del quaderno operativo è da un lato offrire un ripasso della teoria e dall’altro l’opportunità di esercitarsi tramite i numerosi esercizi e test d’ingresso proposti, in modo da iniziare il secondo ciclo della scuola secondaria con maggior sicurezza nei confronti di questa disciplina.

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I Indice Unità 1 Insiemi Nozioni fondamentali.....................................................3 Rappresentazione degli insiemi...................................5 Confronto tra insiemi ....................................................7 Cardinalità di un insieme ..............................................9 Quesiti - Esercizi ..........................................................10 Parte A Unità 2 Operazioni con insiemi I Intersezione, unione, differenza .................................13 I Partizione e complementarietà ..................................17 I Prodotto cartesiano .....................................................19 I Quesiti - Esercizi ..........................................................21 I Test d’ingresso .............................................................23 Parte A Unità 3 Logica proposizionale I Logica proposizionale .................................................24 I Proposizioni ..................................................................25 I Operazioni logiche .......................................................27 I Proposizioni indeterminate.........................................30 I Quesiti - Esercizi..........................................................33 Parte A Unità 4 Relazioni e funzioni I Relazioni tra due insiemi............................................36 I Relazioni interne in un insieme.................................39 I Funzioni..........................................................................42 I Quesiti - Esercizi .........................................................44 Parte B Unità 1 Numeri naturali e operazioni I Numeri naturali..............................................................47 I Addizione.......................................................................48 I Sottrazione....................................................................49 I Moltiplicazione ..............................................................50 I Divisione.........................................................................52 I Espressioni aritmetiche...............................................54 I Quesiti ............................................................................55 I Esercizi...........................................................................56 I Test d’ingresso .............................................................58 Parte B Unità 2 Potenze I Elevazione a potenza..................................................60 I Proprietà delle potenze...............................................61 I Notazione esponenziale .............................................64 I Quesiti - Esercizi..........................................................65 I Test d’ingresso .............................................................68 Parte B Unità 3 Divisibilità (MCD e mcm) I Criteri di divisibilità ......................................................70 I Scomposizione in fattori primi .................................72 I Massimo Comune Divisore (MCD)............................73 I Minimo comune multiplo (mcm)................................74 I Quesiti - Esercizi..........................................................75 I Test d’ingresso .............................................................76 Parte B Unità 4 Numeri razionali e frazioni I Numeri razionali............................................................78 I Classificazione delle frazioni.....................................80 I Confronto tra frazioni .................................................80 I Operazioni tra frazioni.................................................81 I Quesiti - Esercizi..........................................................82 I Test d’ingresso .............................................................84 Parte A

I I I I I

Elementi di Matematica Quaderno operativo per il passaggio alla scuola secondaria di II grado Di Mario Gatti e Patrizia Manera

Coordinamento redazionale Beatrice Loreti Art director Marco Mercatali Responsabile di produzione Francesco Capitano Progetto grafico-impaginazione Alberto Sangiorgi Copertina Curvilinee

Unità 5 Numeri irrazionali e radici Numeri irrazionali..........................................................87 Estrazione di radice.....................................................87 Proprietà della radice quadrata.................................89 Quesiti - Esercizi..........................................................90 Parte B Unità 6 Proporzioni I Rapporti e proporzioni................................................93 I Proporzioni con incognita ..........................................94 I Proprietà delle proporzioni ........................................95 I Percentuale....................................................................96 I Quesiti - Esercizi..........................................................97 I Test d’ingresso .............................................................98 Parte C Unità 1 Numeri relativi e operazioni I Numeri relativi .............................................................100 I Addizione e sottrazione ............................................101 I Moltiplicazione e divisione........................................102 I Potenza.........................................................................103 I Quesiti - Esercizi ........................................................103 I Test d’ingresso............................................................104 Parte C Unità 2 I monomi I Espressioni algebriche letterali ................................106 I Caratterizzazione dei monomi .................................107 I Operazioni con monomi ............................................110 I Quesiti - Esercizi .........................................................111 I Test d’ingresso ............................................................113 Parte C Unità 3 Polinomi I Caratteristiche dei polinomi ......................................114 I Operazioni con polinomi............................................116 I Prodotti notevoli..........................................................117 I Quesiti - Esercizi.........................................................118 Parte C Unità 4 Equazioni I Caratteristiche delle equazioni .................................121 I Principi di equivalenza ...............................................122 I Risoluzioni di un’equazione di primo grado .........124 I Quesiti - Esercizi ........................................................125 I Test d’ingresso............................................................127 Parte D Unità 1 Elementi di geometria I Punti e linee ................................................................128 I Angoli ............................................................................129 I Parallelismo e perpendicolarità ................................131 I Classificazione della geometria ...............................132 I Quesiti...........................................................................132 I Test d’ingresso............................................................132 Parte D Unità 2 Geometria piana I Poligoni.........................................................................134 I Triangoli ........................................................................134 I Quadrilateri...................................................................136 I Circonferenza...............................................................137 I Quesiti...........................................................................138 I Test d’ingresso............................................................138 Soluzioni ......................................................................140 Parte B

I I I I

Stampato in Italia presso Grafiche Flaminia Foligno 12.83.076.0 ISBN 978-88-468-3052-4 Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzione totale o parziale così come la sua trasmissione sotto qualsiasi forma o con qualsiasi mezzo senza l’autorizzazione scritta della casa editrice.

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PARTE A UNITÀ

Insiemi

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Nozioni fondamentali Rappresentazione degli insiemi Confronto tra insiemi Cardinalità di un insieme

La teoria degli insiemi stabilisce le regole per gestire gli astratti numeri come se fossero oggetti concreti, creando la struttura “grammaticale” del linguaggio matematico.

I Nozioni fondamentali 1 Che cosa è un insieme? Il concetto di insieme è primitivo e come tale non può essere definito tramite altri concetti. Per farlo si ricorre a sinonimi intuitivi e di uso comune quali: collezione, classe, famiglia, raccolta, gruppo, ecc. Gli insiemi sono generalmente indicati con lettere maiuscole. Esempio • L’insieme A delle vocali. • L’insieme Q dei numeri minori di 10.

2 Che cosa è un elemento di un insieme? Un qualsiasi oggetto che appartiene a un insieme è definito elemento. Frasi equivalenti a “che appartiene a un insieme” sono per esempio “che compone un insieme” oppure “che è contenuto in un insieme”. Esempio • Le lettere a, o, ed i sono elementi che appartengono all’insieme delle vocali. • Marco e Francesca sono elementi che compongono l’insieme degli alunni di una classe. • I numeri 3 e 7 sono elementi contenuti nell’insieme dei numeri minori di 10.

3 Come si indica l’appartenenza (o meno) di un elemento a un insieme? Per indicare che un elemento appartiene a un insieme si usa il simbolo di appartenenza “∈”. Se un elemento non appartiene a un insieme si usa il simbolo di non appartenenza “∉”. Esempio • L’affermazione “la lettera z appartiene all’insieme A delle lettere dell’alfabeto” si indica come z∈A

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Parte A

• L’affermazione “la lettera a non appartiene all’insieme C delle consonanti” si indica come a∉C

4 A che cosa servono i simboli quantificatori? Il simbolo quantificatore riassume una determinata affermazione riferita a un elemento di un insieme. Può essere di due tipi: • simbolo quantificatore universale “∀”: si legge “per ogni”; • simbolo quantificatore esistenziale “∃”: si legge “esiste almeno un”. Esempio • La notazione ∀y∈E si legge “per ogni elemento y appartenente all’insieme E”. • La notazione ∃u∈Z si legge “esiste almeno un elemento u appartenente all’insieme Z”.

5 Quali condizioni devono soddisfare gli elementi di un insieme? Gli elementi di un insieme devono rispettare le seguenti due condizioni di appartenenza: • condizione di individuabilità: stabilire con certezza se un determinato elemento appartiene o meno a un insieme; • condizione di distinguibilità: assenza di due o più elementi uguali. Esempio • Gli elementi dell’insieme dei “compositori tedeschi” soddisfano le due condizioni di appartenenza. È infatti possibile definire con certezza se un compositore è di cittadinanza tedesca e non è possibile, o meglio è privo di senso, che compaia più volte come elemento. • Gli elementi dell’insieme dei “compositori tedeschi più bravi” non soddisfano la condizione di appartenenza: un compositore può essere bravo solo per alcuni, e dunque gli elementi sono identificati da una valutazione soggettiva.

6 Tra gli elementi di un insieme deve esistere necessariamente un legame? Le due condizioni del punto 5 non implicano la necessità che gli elementi di un insieme siano fra loro collegati da una comune caratteristica, oppure che esista una qualsiasi reciproca relazione. Esempio Un insieme contiene i seguenti elementi: matita, il numero 100, il pianeta Giove, la città di Venezia. I quattro elementi rispettano le due condizioni di appartenenza: sono individuabili senza ambiguità e sono fra loro distinguibili.

7 Che cosa caratterizza gli elementi appartenenti a un insieme numerico? Gli elementi di un insieme numerico sono (ovviamente) numeri con cui è possibile svolgere determinate operazioni. Di conseguenza l’insieme numerico A si distingue dall’insieme numerico B per la tipologia di operazioni che i numeri di A svolgono a differenza dei numeri di B. 4

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Unità 1

Gli insiemi numerici • insieme dei numeri • insieme dei numeri • insieme dei numeri • insieme dei numeri • insieme dei numeri

sono: naturali indicati con il simbolo N interi indicati con il simbolo Z razionali indicati con il simbolo Q reali indicati con il simbolo R complessi indicati con il simbolo C

I Rappresentazione degli insiemi 8 Come si rappresenta un insieme tramite elencazione? Si elencano in qualsiasi ordine tutti gli elementi dell’insieme all’interno di una coppia di parentesi graffe {}, preceduta dalla lettera che identifica l’insieme e dal simbolo di uguale. Esempio • Gli elementi appartenenti all’insieme Q sono i satelliti naturali di Marte, Fobos e Deimos: la rappresentazione di Q in modalità elencazione è Q = {Fobos, Deimos}

9 Come si rappresenta un insieme tramite caratteristica? Si specifica la caratteristica che permette di affermare senza ambiguità se un elemento appartiene o non appartiene all’insieme e si colloca all’interno di una coppia di parentesi graffe {}, preceduta dalla lettera che identifica l’insieme e dal simbolo di uguale. In alternativa, all’interno delle parentesi si scrive l’elemento generico dell’insieme seguito dal simbolo “ | ” che significa “tale che”. L’elemento generico è solitamente rappresentato dalla versione minuscola della lettera che identifica l’insieme. Esempio • Gli elementi dell’insieme F sono i numeri naturali compresi tra 3 e 5. La rappresentazione in modalità caratteristica è F = {numeri naturali compresi tra 3 e 5} oppure con l’opzione “tale che” F = {f f ∈ » e 3 < f < 5} che si legge “l’insieme F è composto dagli elementi f tale che f è un numero naturale compreso tra i numeri naturali 3 e 5”.

10 Come si rappresenta un insieme tramite diagramma di Eulero-Venn? Si collocano tutti gli elementi all’interno di una linea chiusa e il singolo elemento è rappresentato da un punto accompagnato dal suo nome. Se un elemento non appartiene a un insieme, il punto relativo all’elemento è esterno alla linea chiusa.

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Esempio • Data l’affermazione “gli elementi dell’insieme S sono i giorni della settimana”, la rappresentazione in modalità grafica di S è

• martedì

• sabato • domenica

• giovedì S

• mercoledì • lunedì • venerdì

• Data l’affermazione “gli elementi lettere dell’alfabeto k e p non appartengono all’insieme T composto dalle lettere della parola tavolo”, la rappresentazione in modalità grafica è

•a •l T

•k

•t •v

•o

•p

11 Quale rappresentazione di insieme è preferibile adottare? Le tre rappresentazioni sono fra loro equivalenti. Se il numero degli elementi è elevato, è preferibile la rappresentazione con caratteristica. Il diagramma di Eulero-Venn è ideale per le operazioni tra insiemi e per alcune definizioni fondamentali (vedi punti 15 e 16). 12 Quale rappresentazione è più idonea per gli insiemi numerici? Gli elementi di un insieme numerico sono numeri caratterizzati dalla capacità di svolgere determinate operazioni (vedi punto 7). Affinché i numeri di un insieme siano idonei a compiere ulteriori operazioni occorre ampliare l’insieme con altri numeri. Quanto affermato trova nel seguente diagramma di Eulero-Venn la rappresentazione ideale perché evidenzia il caratteristico progressivo ampliamento degli insiemi numerici. C Complessi R Reali Q Razionali Z Interi N Naturali

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Unità 1

I Confronto tra insiemi 13 Quando due insiemi sono uguali e quando sono diversi? Due insiemi sono uguali quando contengono i medesimi elementi; per indicare l’uguaglianza si impiega il simbolo di uguale “ = ” tra le lettere dei due insiemi. Due insiemi sono diversi quando esiste almeno un elemento non contenuto in entrambi gli insiemi; per indicare la disuguaglianza si impiega il simbolo “ ≠ ”. Esempio • Gli elementi dell’insieme A sono le lettere della parola rami, cioè A = {a, i, m, r} e gli elementi dell’insieme B sono le lettere della parola armi, cioè B = {r, a, i, m} Gli insiemi A e B contengono i medesimi elementi e perciò sono uguali, quindi A=B • Gli elementi dell’insieme P sono A = {2, 4, 7, d} e gli elementi dell’insieme B sono B = {2, 4, p, 7} Gli insiemi A e B non contengono i medesimi elementi e perciò sono diversi, quindi A≠B

14 Quando un insieme è vuoto e come si indica? Un insieme è vuoto quando non contiene elementi. Si indica con il simbolo “ ∅ ”. Esempio L’insieme R ha come elementi le regioni d’Italia che iniziano con la lettera g; l’insieme R è un insieme vuoto, e quindi R=∅

15 Quando due insiemi sono disgiunti? Due insiemi sono disgiunti quando non hanno elementi in comune. In altri termini, la caratteristica di un elemento di appartenere a un insieme esclude l’appartenenza all’altro insieme disgiunto. La definizione di insiemi disgiunti è immediata con il diagramma di Eulero-Venn: infatti i rispettivi insiemi risultano completamente separati fra loro.

16 Che cosa è un sottoinsieme e come si indica? Un insieme A è definito sottoinsieme di un insieme B se ogni elemento dell’insieme A appartiene anche all’insieme B. La condizione di sottoinsieme è indicata con il simbolo “⊂”. 7

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Parte A

Per esempio, le affermazioni equivalenti “l’insieme A è sottoinsieme dell’insieme B” (1) “l’insieme A è incluso nell’insieme B” (2) sono indicate simbolicamente come A⊂B La definizione di sottoinsieme è immediata con il diagramma di Eulero-Venn. Esempio L’insieme X = {3, 4, 9} è sottoinsieme dell’insieme Y = {1, 2, 3, 4, 9, 8} cioè X ⊂ Y (3) La figura mostra l’espressione (3) tradotta in diagramma di Eulero-Venn. •2 •8

•1 Y

•3 X •4 •9

17 Qual è la differenza tra inclusione stretta e inclusione larga? L’affermazione di inclusione (2) del punto 16 può essere distinta nelle seguenti ulteriori definizioni: • inclusione stretta (simbolo ⊂): esistono elementi di B che non appartengono al suo sottoinsieme A; in simboli A⊂B • inclusione larga (simbolo ⊆): gli elementi del sottoinsieme A possono comprendere tutti gli elementi dell’insieme B; in altri termini, A potrebbe essere uguale a B. In simboli A⊆B Esempio • L’insieme SM delle sinfonie di Mozart è un sottoinsieme con inclusione stretta dell’insieme di tutte le sinfonie S: infatti esistono elementi di S che non sono stati scritti da Mozart. Quindi SM ⊂ S • L’insieme SM delle sinfonie di Mozart è un sottoinsieme con inclusione larga dell’insieme delle 8

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composizioni C: infatti gli elementi di C sono caratterizzati da essere composizioni senza ulteriore specificazione, e dunque potrebbero anche essere solo le sinfonie di Mozart. Quindi SM ⊆ C

18 Che cosa contiene l’insieme delle parti di un insieme? Dato un insieme A, si definisce insieme delle parti di A, in simboli P(A), l’insieme che ha come elementi tutti i possibili sottoinsiemi dell’insieme A. Nell’insieme delle parti di un insieme A sono inclusi anche l’elemento insieme vuoto e l’insieme stesso A. Esempio Dato l’insieme Z = {a, b, c} il relativo insieme delle parti è P(Z) = {a}, {b}, {c}, {ab}, {ac}, {bc}, {abc}, {∅}

19 Qual è l’insieme universo? L’insieme universo è un qualsiasi insieme da cui si estraggono elementi al fine di creare un nuovo insieme. Solitamente è indicato dalla lettera U e rappresentato con un quadrato. Esempio • Si consideri l’insieme Q = {figure piane quadrilatere} Gli elementi di Q sono estratti dall’insieme universo U = {figure piane} • Nella seguente figura, l’insieme dei numeri complessi C è l’insieme universo dei numeri naturali N. C

I Cardinalità di un insieme 20 Quando un insieme è finito e quando è infinito? Un insieme è finito quando è composto da un numero finito (o limitato) di elementi. Un insieme è infinito quando è composto da un numero non finito di elementi. 9

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Parte A

Esempio • L’insieme dei mesi dell’anno è un insieme finito. • L’insieme dei numeri naturali N è un insieme infinito.

21 Che cosa s’intende per cardinalità di un insieme? La cardinalità di un insieme è il numero di elementi che lo compone. L’insieme vuoto ha cardinalità 0. Esempio L’insieme Z del punto 18 ha cardinalità 3; il relativo insieme delle parti P(Z) ha cardinalità 8.

QUESITI a Come può essere definito un insieme? b Quali condizioni deve soddisfare un qualsiasi oggetto per essere promosso a elemento di un insieme? c Commentare l’insieme con elementi “le più belle città italiane” e confrontarlo con l’insieme con elementi “le città italiane capoluogo di provincia”.

d L’uguaglianza tra insiemi è come quella tra numeri? e Qual è la differenza tra un sottoinsieme indicato con la locuzione “inclusione stretta” e un altro indicato con la locuzione “inclusione larga”? f Come si costruisce l’insieme delle parti di un insieme?

ESERCIZI I Nozioni fondamentali

Quali delle seguenti definizioni costituiscono un insieme? a) Le province del Piemonte. b) Le città più belle d’Italia. c) I numeri grandi. d) I numeri pari. e) Le vocali. f) Gli studenti più volenterosi di una classe.

Gli elementi “gatto”, “margherita”, “diamante” e “insegnante” possono formare un insieme?

Il numero 6 appartiene all’insieme dei numeri naturali compresi tra 3 e 9?

Rispetto al diagramma di Eulero-Venn in figura, quale delle seguenti relazioni di appartenenza è vera? a) a ∉ A •a •c •f •b b) b ∉ A •d c) c ∉ A •e A

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Unità 1

Sapendo che a ∉ A, b ∈ A, c ∈ A e d ∉ A, rappresenta l’insieme A con un diagramma di Eulero-Venn.

I Rappresentazione degli insiemi 6

Rappresenta tramite elencazione l’insieme G dei giorni della settimana che iniziano con la lettera m.

Rappresenta tramite elencazione l’insieme P dei numeri primi minori di 20.

Rappresenta tramite elencazione l’insieme C delle cifre che formano il numero 43146.

Riscrivi correttamente l’elencazione dell’insieme A = {t, a, p, p, o}.

10 Descrivi a parole i seguenti insiemi: a) A = {x x ∈ » e 0 < x < 7} b) B = {x x ∈ » d e 5 ≤ x ≤ 11} (Nd indica l’insieme dei numeri naturali dispari) c) C = {x x ∈ » p e x < 10} (Np indica l’insieme dei numeri naturali pari)

Scrivi gli insiemi dell’esercizio 10 tramite elencazione.

Scrivi la proprietà caratteristica dei seguenti insiemi: a) A = {primavera, estate, autunno, inverno} b) B = {2, 4, 6, 8}

13 Rappresenta con i diagrammi di Eulero-Venn i seguenti insiemi: a) A = {2, 4, 6, 8, 10} c) C = {a, b, c, d, e}

{

1 1 1 1 b) B = 1, , , , 3 9 27 81

}

d) D = {lunedì, martedì, mercoledì}

14 Rappresenta per caratteristica gli insiemi A, B, C e D dell’esercizio 13 . 15 Rappresenta tramite elencazione i seguenti insiemi: a) A = {x x ∈ » p e x ≤ 12} (Np indica l’insieme dei numeri naturali pari) b) B = {x x ∈ » d e 7 < x ≤ 21} (Nd indica l’insieme dei numeri naturali dispari) c) C = {x x ∈ » 0 e x < 6} (N0 indica l’insieme dei numeri naturali escluso 0)

I Confronto tra insiemi 16 Delle seguenti uguaglianze tra insiemi, indica quali sono vere e quali sono false. a) {Asti, Torino} = {Torino, Asti} b) {a, e, i, o, u} = {a, e, i, o, v} c) {p, a, n, e} = {p, e, n, a} d) {insieme delle cifre del numero 2367} = {insieme delle cifre del numero 7261} 11

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Parte A

17 Dati i seguenti insiemi, individua quelli vuoti. a) L’insieme dei mesi il cui nome inizia per b b) L’insieme delle note musicali c) L’insieme dei poligoni di due lati d) L’insieme dei giorni della settimana il cui nome inizia per v 18 Indica tra le seguenti coppie di insiemi quelli disgiunti. a) A = {lettere della parola casa}, B = {lettere della parola tetto} b) C = {1, 2, 4, 5, 7, 8}, D = {1, 3, 6, 9, 12} c) E = {x x ∈ » e x ≤ 10} , F = {x x ∈ » e x ≥ 12} 19 Dato l’insieme universo U = {t, a, v, o, l, i} quale dei seguenti insiemi è un suo sottoinsieme? a) A = {t, v, l} b) B = {t, i, o} c) C = {a, o, i, e} 20 Dati i tre insiemi, A = {a, l, b, e, r, t, o}, B = {a, l, b, e, r, o} e C = {p, o, r, t, a}, indica se le seguenti inclusioni sono vere o false. a) A ⊂ B b) C ⊂ A c) B ⊂ A d) C ⊂ B 21

Dato l’insieme A = {4, 6, 8, 10}, individua il sottoinsieme B dei numeri primi e rappresentalo per elencazione.

22 Rappresenta con i diagrammi di Eulero-Venn l’insieme universo U dei triangoli, e i sottoinsiemi S dei triangoli scaleni, I dei triangoli isosceli ed E dei triangoli equilateri. 23 Rappresenta mediante un diagramma di Eulero-Venn la seguente affermazione: l’insieme Q dei quadrati è un sottoinsieme di quello R dei rombi, che a sua volta è sottoinsieme dell’insieme dei parallelogrammi P (indicare in modo opportuno l’insieme universo). 24 Considera gli insiemi A = {x x ∈ » e 8 < x < 24} e B = {x x ∈ » p e 10 ≤ x ≤ 22} . L’insieme B è sottoinsieme di A? 25 Scrivi l’insieme delle parti dell’insieme A = {x, y}. 26 Rappresenta tramite elencazione l’insieme A, il cui insieme delle parti è P ( A ) = {∅,{m} ,{a} ,{m,a}} .

I Cardinalità di un insieme

27 Indica quali dei seguenti insiemi sono finiti: a) L’insieme delle capitali europee. b) L’insieme dei numeri naturali.

c) L’insieme dei multipli di 3. d) L’insieme dei numeri pari minori di 100.

28 Definisci la cardinalità dei seguenti insiemi: a) A = {i punti cardinali} b) B = {i giorni della settimana}

c) C = {le stagioni} d) D = {x|x è divisore sia di 8 che di 9}

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PARTE A UNITÀ

Operazioni con insiemi

I Intersezione, unione, differenza I Partizione e complementarietà I Prodotto cartesiano La potenzialità della rappresentazione grafica proposta dallo svizzero Leonhard Euler (più noto come Eulero) e dall’inglese John Venn si apprezza svolgendo le operazioni tra insiemi.

I Intersezione, unione, differenza 1 In che cosa consiste l’operazione di intersezione tra due insiemi? Dati gli insiemi A e B, l’operazione di intersezione consiste nella ricerca degli elementi comuni degli insiemi. Il risultato dell’operazione è l’insieme intersezione, in simboli A∩B e si legge “A intersezione B”. Esempio Siano dati gli insiemi rappresentati per elencazione A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7, 9} L’insieme intersezione deve contenere gli elementi presenti contemporaneamente sia in A che in B, e dunque A ∩ B = {1, 3, 5}

2 Come si rappresenta l’insieme intersezione? L’insieme intersezione si rappresenta tramite: • caratteristica

A ∩ B = {x x ∈ A e B}

dove la congiunzione “e” enfatizza la condizione che gli elementi dell’insieme intersezione devono appartenere a entrambi gli insiemi A e B; • diagrammi di Eulero-Venn A∩B A

dove la parte oscurata contiene solo gli elementi comuni degli insiemi A e B. L’insieme intersezione di due insiemi disgiunti è un insieme vuoto. 13

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Parte A

Esempio In riferimento all’esempio del punto 1, il relativo diagramma di Eulero-Venn è •2 •5 •4

•7

•3

•1

•9

3 In cosa consiste l’operazione di unione tra due insiemi? Dati gli insiemi A e B, l’operazione di unione consiste nella ricerca di tutti gli elementi degli insiemi. Il risultato dell’operazione è l’insieme unione, in simboli: A∪B e si legge “A unione B”. Esempio Siano dati gli insiemi rappresentati per elencazione A = {a, b, c} e B = {c, d, e} L’insieme unione deve contenere tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B, e dunque A ∪ B = {a, b, c, d, e}

4 Come si rappresenta l’insieme unione? L’insieme unione si rappresenta tramite: • caratteristica A ∪ B = {x x ∈ A o B} dove la congiunzione “o” enfatizza la condizione che gli elementi dell’insieme unione devono appartenere almeno a uno degli insiemi A e B; • diagrammi di Eulero-Venn

A∪B

dove la parte oscurata contiene tutti gli elementi degli insiemi. Esempio In riferimento all’esempio del punto 3, il relativo diagramma di Eulero-Venn è •a A

•b

A∪B •c

•d •e

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Unità 2

5 È possibile estendere le operazioni di intersezione e unione a più di due insiemi? Dati N insiemi (A, B, C, … ) l’insieme intersezione è composto dagli elementi comuni di tutti gli N insiemi, cioè A ∩ B ∩ C…∩… = {x x ∈ A e B e C … e …} e l’insieme unione è composto da tutti gli elementi degli N insiemi, cioè A ∪ B ∪ C…∪… = {x x ∈ A o B o C … o …}

6 Le operazioni di intersezione e unione sono commutative? L’insieme intersezione non è influenzato dalla posizione degli insiemi coinvolti nella relativa operazione. Quindi A ∩ B = B ∩ A (1.a) (vedi figura punto 2) In modo analogo per l’insieme unione, quindi A∪B=B∪A (vedi figura punto 4) Le (1) mostrano la proprietà commutativa.

(1.b)

7 Le operazioni di intersezione e unione sono associative? Eseguire prima l’intersezione tra A e B e poi l’intersezione con C è uguale a eseguire prima l’intersezione tra B e C e poi l’intersezione con A, cioè (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

(1.a)

Eseguire prima l’unione tra A e B e poi l’unione con C è uguale a eseguire prima l’unione tra B e C e poi l’unione con A, cioè (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(1.b)

Le (1) mostrano la proprietà associativa: le operazioni tra parentesi sono quelle che si è deciso di eseguire per prime.

8 Le operazioni di intersezione e di unione sono distributive? Dati gli insiemi A, B e C è valida la seguente uguaglianza chiamata proprietà distributiva dell’intersezione rispetto l’unione A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

(1.a)

che si legge: l’intersezione tra A e l’unione tra B e C è uguale all’unione tra l’intersezione tra A e B e l’intersezione tra A e C. Dati gli insiemi A, B e C è valida la seguente uguaglianza chiamata proprietà distributiva dell’unione rispetto l’intersezione A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

(1.b)

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Parte A

che si legge: l’unione tra A e l’intersezione tra B e C è uguale all’intersezione tra l’unione tra A e B e l’unione tra A e C. Osservare la simmetria tra la (1.a) e la (1.b): dove in una compare il simbolo di unione nell’altra compare il simbolo di intersezione e viceversa.

9 Quali sono gli insiemi intersezione e unione fra due insiemi uguali? L’operazione di intersezione tra due insiemi uguali (A = A) è l’insieme stesso; quindi A∩A=A Infatti gli elementi comuni tra A e A sono, ovviamente, gli elementi stessi dell’insieme. L’operazione di unione tra due insiemi uguali (A = A) è l’insieme stesso, cioè A∪A=A Infatti gli elementi di A e gli elementi di A sono sempre quelli di A.

10 Quali sono gli insiemi intersezione e unione fra due insiemi di cui uno è vuoto? L’operazione di intersezione tra un generico insieme A e l’insieme vuoto è l’insieme vuoto, cioè A∩∅=∅ Essendo l’insieme vuoto “privo di elementi” è ovvio che l’intersezione, che prevede gli elementi comuni dei due insiemi, sia un insieme “privo di elementi”. L’operazione di unione tra un generico insieme A e l’insieme vuoto è l’insieme A, cioè A∪∅=A

11 In cosa consiste l’operazione differenza? Dati gli insiemi A e B, l’operazione differenza consiste nella ricerca degli elementi di A che non appartengono a B. Il risultato dell’operazione è l’insieme differenza, in simboli A–B e si legge “A non appartiene a B”. L’operazione differenza non è commutativa; l’insieme differenza dipende dall’ordine in cui i due insiemi sono scritti: primo insieme (A) meno secondo insieme (B). Esempio Siano dati gli insiemi A = {a, b, c, d, e} e B = {b, d, f} L’insieme differenza deve contenere tutti gli elementi di A che non appartengono a B, e dunque A – B = {a, c, e}

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Unità 2

12 Come si rappresenta l’insieme differenza? L’insieme differenza si rappresenta tramite: • caratteristica A − B = {x x ∈ A e x ∉ B} dove i simboli ∈ e ∉ enfatizzano che l’elemento dell’insieme differenza deve appartenere al primo insieme e non al secondo. • diagrammi di Eulero-Venn A–B A

dove la parte oscurata contiene gli elementi di A non compresi in B. Esempio In riferimento all’esempio del punto 11, il relativo diagramma di Eulero-Venn è A−B

•a •b •d

•c A

•e

•f B

I Partizione e complementarietà 13 Come si esegue la partizione di un insieme? La partizione di un insieme A si esegue creando N suoi sottoinsiemi che siano a due a due disgiunti e tali che il loro insieme unione sia uguale all’insieme A. Quindi, dati l’insieme A e tre suoi sottoinsiemi X ⊂ A, Y ⊂ A e Z ⊂ A si afferma che i sottoinsiemi X, Y e Z formano una partizione di A se sono disgiunti, cioè X∩Y∩Z=∅ e se il loro insieme unione coincide con A, cioè X∪Y∪Z=A come mostrato dal diagramma in figura. X Y A

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Parte A

Esempio Sia dato l’insieme A che contiene tutte le lettere dell’alfabeto. Una possibile partizione è composta dai seguenti suoi due sottoinsiemi: il sottoinsieme V che contiene le vocali, e il sottoinsieme C che contiene le consonanti. Infatti V∩C=∅ dato che una qualsiasi lettera non può essere contemporaneamente vocale e consonante. Inoltre V∪C=A dato che le lettere dell’alfabeto possono essere o vocali o consonanti.

14 Cosa è l’insieme complementare? Dato un generico insieme A, si consideri un suo sottoinsieme B. Si definisce insieme complementare di B rispetto all’insieme A, l’insieme composto dagli elementi di A che non appartengono a B. L’insieme complementare è indicato con la notazione CA(B) (1) dove la lettera C è l’iniziale di complementare, la lettera tra parentesi indica il sottoinsieme e la lettera a pedice l’insieme che contiene il sottoinsieme. L’insieme complementare di B indicato dalla (1) si può anche esprimere con la seguente comune notazione soprassegnata, cioè – B La condizione di B ⊂ A comporta che l’insieme complementare di B coincida con l’insieme differenza A e B, cioè CA(B) = A – B Esempio Siano dati gli insiemi A = {2, 3, 4, 6, 7, 8} e B = {3, 6, 8} L’insieme B è sottoinsieme di A perché tutti i suoi elementi appartengono anche all’insieme A. L’insieme complementare di B rispetto all’insieme A comprende tutti gli elementi di A che non sono contenuti in B, quindi CA(B) = {2, 4, 7}

15 Come si rappresenta l’insieme complementare? L’insieme complementare si rappresenta tramite: • caratteristica C A (B) = {x x ∈ A e x ∉ B} • diagrammi di Eulero-Venn – B A

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Unità 2

dove la parte oscurata contiene gli elementi di A non compresi nel sottoinsieme B. Se l’insieme K è sottoinsieme dell’insieme universo, l’insieme complementare CU(K) si rappresenta come – U K

K Esempio In riferimento all’esempio del punto 14, il relativo diagramma di Eulero-Venn è – B B A

•3 •6 •8

•7 •2 •4

I Prodotto cartesiano 16 Cosa è una coppia ordinata di elementi? Siano dati due insiemi A e B, con A indicato come primo insieme e B come secondo insieme. Si definisce coppia ordinata di elementi, la coppia formata da un qualsiasi elemento di A e da un qualsiasi elemento di B, indicata come (a, b) dove, alla sinistra della virgola si colloca l’elemento del primo insieme, alla destra l’elemento del secondo insieme. Attenzione a non cambiare le posizioni degli elementi di una coppia ordinata, perché si ottiene una diversa coppia, cioè (a, b) ≠ (b, a)

17 Come si forma il prodotto cartesiano tra due insiemi? Siano dati due insiemi non vuoti A e B, con A indicato come primo insieme e B come secondo insieme. Il prodotto cartesiano di A e B, indicato come A×B è l’insieme che ha per elementi tutte le possibili coppie ordinate estratte da A e B. Ovviamente, nelle coppie ordinate, i due elementi devono essere collocati rispettando l’ordine degli insiemi del prodotto cartesiano: a sinistra della virgola l’elemento del primo insieme, a destra della virgola l’elemento del secondo insieme. Il prodotto cartesiano è generato da coppie ordinate e, siccome (a, b) ≠ (b, a), l’operazione non rispetta la proprietà commutativa, cioè A×B≠B×A 19

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Parte A

Esempio Siano dati i due insiemi A = {x, y} e B = {m, n} Il prodotto cartesiano A × B è l’insieme composto da tutte le possibili coppie con a sinistra della virgola un elemento di A e alla destra della virgola un elemento di B; quindi A × B = {( x, m ) , ( x, n ) , ( y, m ) , ( y, n )} Per il prodotto cartesiano B × A si procede in modo analogo, facendo sempre attenzione all’ordine degli elementi nella coppia; quindi B × A = {( m, x ) , ( n, x ) , ( m, y ) , ( n, y )}

18 Come si rappresenta un prodotto cartesiano? L’insieme prodotto cartesiano A × B si rappresenta con un grafico nel seguente modo: 1) si tracciano due rette tra loro perpendicolari; 2) si associano gli elementi di A ai punti sull’asse orizzontale e quelli di B ai punti sull’asse verticale; 3) per i punti-elementi di ogni retta si tracciano le parallele all’altra retta. Si ottiene quindi un reticolato i cui nodi rappresentano gli elementi del prodotto cartesiano. Esempio Siano dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {1, 2} Il prodotto cartesiano A × B è composto dalle seguenti coppie ordinate A × B = {(1, 1) , ( 2, 1) , ( 3, 1) , (1, 2 ) , ( 2, 2 ) , ( 3, 2 )} ed è rappresentato dal seguente reticolato

B 2

•

(1, 2)

(1, 1)

•

(2, 2)

(2, 1)

•

(3, 2)

(3, 1)

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Unità 2

QUESITI a Perché è utile la rappresentazione di Eulero-Venn nelle operazioni tra insiemi?

f Cosa distingue l’insieme differenza da quello complementare?

b In cosa si differenziano le operazioni di unione e intersezione?

g Ogni insieme ha un suo insieme complementare?

c In cosa consiste applicare la proprietà commutativa nelle operazioni tra insiemi?

h Da cosa sono caratterizzati i sottoinsiemi generati da una partizione?

d In cosa consiste applicare la proprietà associativa nelle operazioni tra insiemi?

i Cosa occorre per definire un prodotto cartesiano?

e Come si comporta l’insieme vuoto nelle operazioni di intersezione e unione?

l Cosa occorre per rappresentare un prodotto cartesiano?

ESERCIZI I Intersezione, unione, differenza 1

Dati gli insiemi A = {lettere della parola albergo} e B = {lettere della parola barolo} rappresenta per elencazione e con i diagrammi di Eulero-Venn l’insieme A ∩ B.

Dati gli insiemi A = 2,

Dati gli insiemi A = {i divisori di 12} e B = {i divisori di 15} rappresenta per elencazione e con i diagrammi di Eulero-Venn gli insiemi A ∩ B e A ∪ B.

Dati gli insiemi A = {a, b, c}, B = {c, d, e} e C = {a, c, d} rappresenta per elencazione e con i diagrammi di Eulero-Venn gli insiemi A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C, A ∩ B ∩ C.

Dato l’insieme A non vuoto, quali delle seguenti operazioni sono corrette? a) A ∩ A = A b) A ∩ ∅ = A c) A ∪ A = A d) A ∪ ∅ = ∅

Dati due insiemi A e B con B ⊂ A, quale delle seguenti operazioni è corretta? a) A ∩ B = B b) A ∪ B = A c) A ∩ ∅ = B d) B ∩ ∅ = A

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 5} rappresenta con i diagrammi di Eulero-Venn A ∩ B e A ∪ B.

Dati gli insiemi A = {2, 4, 6} e B = {3, 6, 9} rappresenta per elencazione A ∩ B e B ∩ A.

Dati gli insiemi A = {a, b, c} e B = {c, d, e} rappresenta per elencazione A ∪ B e B ∪ A.

{

}

{

}

3 1 1 3 e B = 5, , 1, rappresenta per elencazione e con i , 5, 5 5 3 5 diagrammi di Eulero-Venn gli insiemi A ∩ B e A ∪ B.

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Parte A

10 Dati gli insiemi A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {c, d, e} rappresenta per elencazione A ∩ B, B ∩ C, (A ∩ B) ∩ C, e A ∩ (B ∩ C). 11

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3}, B = {1, 4, 5} e C = {2, 4, 6} rappresenta per elencazione A ∪ B, B ∪ C, (A ∪ B) ∪ C, e A ∪ (B ∪ C).

Dati gli insiemi A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f} e C = {d, e, f, g} rappresenta per elencazione B ∪ C, A ∩ B, A ∩ C, A ∩ (B ∪ C), e (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

13 Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4}, B = {0, 4, 5, 6} e C = {5, 6, 7, 8} rappresenta per elencazione B ∩ C, A ∪ B, A ∪ C, A ∪ (B ∩ C), e (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 14 Su 24 famiglie, 9 possiedono una casa al mare, 6 in montagna e 3 sia al mare che in montagna. Rappresenta con i diagrammi di Eulero-Venn la situazione descritta e indica quante famiglie non possiedono né una casa al mare, né una casa in montagna. 15 Su 20 ragazzi, 8 praticano calcio, 6 praticano pallacanestro e 5 praticano nuoto; 2 praticano sia calcio che pallacanestro, 3 praticano sia calcio che nuoto, 2 sia pallacanestro che nuoto; un ragazzo pratica tutti e tre gli sport. Rappresenta con i diagrammi di Eulero-Venn la situazione descritta. 16 Dati gli insiemi A = {a, e, i, o, u} e B = {a, b, c, d, e} rappresenta per elencazione l’insieme A – B. 17 Dati gli insiemi A = {do, re, mi} e B = {do, re, mi, fa, sol, la} rappresenta per elencazione e con i diagrammi di Eulero-Venn l’insieme B – A.

I Partizione e complementarietà 18 Dati gli insiemi A = {a, b, c, d, e} e B = {d, a, b} rappresenta per elencazione l’insieme complementare di B rispetto all’insieme A. 19 Dati gli insiemi A = {5, 10, 15, 20, 25, 30} e B = {10, 20, 30} rappresenta per elencazione e con i diagrammi di Eulero-Venn l’insieme complementare di B rispetto all’insieme A. 20 Dati gli insiemi A = {x|x è un nome che inizia con la lettera p} e B = {x |x è un nome di persona} rappresenta per caratteristica l’insieme complementare di B rispetto all’insieme A.

I Prodotto cartesiano 21

Dati gli insiemi A = {3, 6, 9} e B = {a, b} rappresenta per elencazione l’insieme A × B.

22 Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {3, 4} rappresenta per elencazione gli insiemi A × B e B × A. 23 Dato l’insieme A × B = {( a, b ) , ( c, d ) , ( e, b ) , ( c, b ) , ( e, b ) , ( a, d )} rappresenta per elencazione gli elementi dell’insieme A e quelli dell’insieme B. 22

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Unità 2

TEST D’INGRESSO 24 In figura sono rappresentati i seguenti insiemi: P = {ragazzi che praticano pallavolo} C = {ragazzi che praticano ciclismo} T = {ragazzi che praticano tennis} Quale delle seguenti proposizioni è vera? a) A Luca piacciono pallavolo, ciclismo e tennis b) A Luca piace ciclismo ma non pallavolo c) A Luca piace ciclismo ma non tennis d) A Luca piace tennis ma non ciclismo

• Luca

25 Dati i diagrammi in figura, quale delle seguenti proposizioni è vera? a) L’unione tra l’insieme A e l’insieme B b) L’intersezione tra l’insieme A e l’insieme B c) La differenza tra A e B d) Il complementare dell’insieme A rispetto all’insieme U

U B

26 In figura, l’insieme universo U contiene tutti i U parallelogrammi. L’insieme A contiene i rettanA goli e l’insieme B i rombi. Quale tipo di parallelogramma è associato all’elemento p? a) Un trapezio scaleno b) Un triangolo c) Un quadrilatero con tre lati congruenti e uno diverso d) Un quadrato

B •p

27 In quale dei diagrammi di Eulero-Venn rappresentati in figura la parte colorata è l’insieme degli elementi di A che non appartengono né a B né a C? A

B A C a)

B A C

28 In figura sono rappresentati gli insiemi A = {studenti della scuola} B = {ragazzi che giocano a basket} C = {ragazzi alti 1,90 m} Individua l’affermazione corretta.

A studenti della scuola • •

•

B ragazzi che giocano a basket

• • •

•

• •

• • •

•

C ragazzi alti 1,90 cm a) Alcuni ragazzi della scuola sono alti 1,90 m e non giocano a basket b) Tutti i ragazzi della scuola sono alti 1,90 m e giocano a basket c) Alcuni ragazzi della scuola sono alti 1,90 m; tutti i ragazzi alti 1,90 m sono giocatori di basket d) Tutti i ragazzi della scuola che giocano a basket sono alti 1,90 m

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PARTE A UNITÀ

1 3

I I I I

Logica proposizionale

Logica proposizionale Proposizioni Operazioni logiche Proposizioni indeterminate

Per soddisfare la necessità di rappresentare i ragionamenti in simboli, è stata definita la logica, un linguaggio universalmente accettato.

I Logica proposizionale 1 Che cosa è la logica proposizionale? La logica proposizionale rappresenta il ragionamento tramite frasi, chiamate proposizioni, a cui è possibile attribuire un valore di verità vero o falso. 2 Come si rappresentano le proposizioni? La proposizione si rappresenta nelle seguenti tre possibili forme: • forma scritta: la proposizione è scritta per intero in corsivo. • forma scritta con lettera: la proposizione, scritta per intero in corsivo, è preceduta da una lettera maiuscola e dai due punti. • forma simbolica: la proposizione è indicata con la lettera maiuscola associata alla forma scritta. Esempio La frase “Londra è la capitale dell’Inghilterra” è una proposizione perché si può attribuire alla frase il valore di verità vero. La proposizione è dunque rappresentata in forma scritta

Londra è la capitale dell’Inghilterra

forma scritta con lettera

A: Londra è la capitale dell’Inghilterra

forma simbolica

3 Come si rappresentano i valori di verità? Il valore di verità vero si indica con il termine vero/a o con la lettera maiuscola V. Il valore di verità falso si indica con il termine falso/a o con la lettera maiuscola F.

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Unità 3

Esempio La proposizione

la rosa è un fiore

ha valore di verità vero (o valore di verità V). La proposizione

il gatto ha le pinne

ha valore di verità falso (o valore di verità F).

4 A che cosa servono i connettivi logici? I connettivi logici trasformano il valore di verità di una proposizione o mettono in relazione due proposizioni. Sono parole e frasi che si adottano nel linguaggio comune per esprimere un ragionamento, come per esempio non, e, o, allora, quindi, se e solo se, … Per indicare i connettivi logici si adottano anche simboli (vedere par. Operazioni logiche). Esempio Nelle seguenti proposizioni sono evidenziati alcuni esempi di connettivi logici Non è il fiume Po quello più lungo d’Europa Torino è in Piemonte e Milano è in Friuli Due rette parallele sono anche due rette equidistanti

5 Perché si affronta la logica proposizionale nell’ambito della teoria degli insiemi? Esiste analogia fra le operazioni fondamentali della logica proposizionale e quelle fondamentali tra insiemi (vedere par. Proposizioni indeterminate).

I Proposizioni 6 Che cosa è una proposizione? Una proposizione è una qualsiasi frase o affermazione a cui è possibile associare uno, e uno solo, valore di verità. Quindi o è vera o è falsa. Esempio La frase

il Tevere è un monte

è una proposizione perché si può affermare con certezza che la frase è falsa. La frase

Marco è un alunno simpatico

non è una proposizione perché non si può affermare con certezza che Marco sia effettivamente simpatico, quindi frase vera, o antipatico, quindi frase falsa. Simpatia e antipatia implicano affermazioni soggettive.

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Parte A

7 Che cosa è una proposizione composta? Una proposizione composta contiene due proposizioni, chiamate proposizioni componenti, che sono fra loro in relazione tramite un connettivo logico. Il valore di verità di una proposizione composta dipende dai valori di verità delle proposizioni componenti e dal tipo di connettivo logico. Esempio La frase

Torino è capoluogo di regione e Berna è una capitale europea

è una proposizione composta dalla proposizione Torino è capoluogo di regione e dalla proposizione Berna è una capitale europea; la congiunzione “e” è il connettivo logico che relaziona le due proposizioni.

8 Che cosa contiene la tabella di verità? La tabella (o tavola) di verità contiene i valori di verità che assume una proposizione composta a seconda delle possibili combinazioni di valori di verità che assumono le proposizioni componenti. La tabella di verità è la trasposizione a livello grafico del comportamento di una proposizione composta.

9 Come si costruisce la tabella di verità? Si consideri la proposizione composta A ∗ B (1) dove A e B sono le proposizioni semplici e “∗” è il simbolo di un generico connettivo logico. La proposizione composta (1) può essere rappresentata dalle seguenti due versioni di tabella tra loro equivalenti. A

A∗B

La versione rappresentata nella tabella a fianco è composta da tre colonne: nelle prime due sono elencate tutte le possibili combinazioni di valori di verità di A e B; nella terza colonna sono elencati i valori di verità che assume la proposizione composta, in funzione dei valori di verità di A e B.

Per esempio, la terza riga ha il seguente significato: quando A è falsa (F) e B è vera (V), la funzione composta A ∗ B è vera (V). ∗

vero

falso

vero

falso

Nella prima colonna (riga) della tabella a fianco si collocano i due possibili valori di verità di A (di B); nelle caselle di incrocio, i valori di verità di A ∗ B.

Per esempio, la casella di incrocio evidenziata con valore di verità falso (F) ha il seguente significato: quando A è falsa e B è falsa la funzione composta A ∗ B è falsa.

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Unità 3

I Operazioni logiche 10 Che cosa è un’operazione logica? Un’operazione logica è l’azione di un connettivo logico che coinvolge una o due proposizioni. Il connettivo logico identifica il tipo di operazione logica (come, per esempio, il simbolo + identifica l’addizione tra due numeri). Un’operazione logica è completamente descritta da una tabella di verità.

11 In che cosa consiste l’operazione logica di negazione? La negazione premette alla proposizione in forma scritta il connettivo logico non. La proposizione negata in forma simbolica è – A e si legge negazione di A. La negazione inverte il valore di verità di A; la tabella di verità è dunque A V

– A F

Esempio Data la proposizione

D: Gennaio è l’ultimo mese dell’anno

la negazione di D è

– D: Gennaio non è l’ultimo mese dell’anno

– La D è per forza vera dato che D è evidentemente falsa.

12 In che cosa consiste l’operazione logica di congiunzione? La congiunzione colloca tra le due proposizioni in forma scritta il connettivo logico e. La proposizione composta creata dalla congiunzione in forma simbolica è A∧B e si legge A congiunto B. La proposizione composta ha valore vero quando A e B sono entrambi veri; le due versioni di tabella di verità sono A

A∧B

∧

vero

falso

vero

falso

Esempio Date le proposizioni F: Franco prende l’automobile G: Franco va al cinema la proposizione composta F congiunto G è

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Parte A

F ∧ G: Franco prende l’automobile e va al cinema La F ∧ G è vera se Franco realmente compie entrambe le azioni. La F ∧ G è falsa se Franco in realtà non compie almeno una delle due azioni.

13 In che cosa consiste l’operazione logica di disgiunzione? La disgiunzione colloca tra le due proposizioni in forma scritta il connettivo logico o. La proposizione composta creata dalla disgiunzione in forma simbolica è A∨B e si legge A disgiunto B. La proposizione composta ha valore vero quando almeno uno, tra A o B, è vero; le due versioni di tabella di verità sono A

A∨B

∨

vero

falso

vero

falso

Esempio Date le proposizioni

S: Luigi indossa il cappotto T: Luigi indossa il maglione

la proposizione composta S disgiunto T è S ∨ T: Luigi indossa il cappotto o il maglione La S ∨ G è vera se Luigi realmente indossa almeno uno dei due indumenti. La S ∨ G è falsa se Luigi in realtà non indossa nessuno dei due indumenti.

14 In che cosa consiste l’operazione logica di disgiunzione esclusiva? La disgiunzione esclusiva premette a ciascuna proposizione in forma scritta il connettivo logico o. La proposizione composta creata dalla disgiunzione esclusiva in forma simbolica è . A ∨B e si legge o A o B. La proposizione composta ha valore vero quando A e B hanno valore di verità diverso; le due versioni di tabella di verità sono

. A ∨B

. ∨

vero

falso

vero

falso

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Unità 3

Esempio Date le proposizioni

P: Mario va a Milano in treno Q: Mario va a Milano in auto

la proposizione composta o P o Q è . P ∨ Q: Mario va a Milano o in treno o in auto . La P ∨ Q è vera se Mario realmente va a Milano con uno solo dei due mezzi. . La P ∨ Q è falsa se Mario in realtà va a Milano con entrambi i mezzi o non ci va con quei mezzi.

15 In cosa consiste l’operazione logica di implicazione? L’implicazione premette alla prima proposizione il connettivo logico se e colloca tra le due proposizioni il connettivo logico allora. La proposizione composta creata dall’implicazione in forma simbolica è A⇒B e si legge se A … allora B è … . La proposizione composta ha valore falso quando A è vera e B è falsa; le due versioni di tabella di verità sono A

A⇒B

⇒

vero

falso

vero

falso

Esempio Date le proposizioni

U: a e b sono due rette parallele Z: le rette a e b sono complanari

la proposizione composta se U … allora Z è … U ⇒ Z: se a e b sono due rette parallele allora sono complanari La U ⇒ Z è falsa se si afferma che due rette parallele (U vera) non sono complanari (Z falsa). La U ⇒ Z è vera se, per esempio, si afferma che due rette non parallele (U falsa) possono essere complanari (Z vera).

16 In che cosa consiste l’operazione logica di equivalenza? L’equivalenza colloca tra le due proposizioni in forma scritta il connettivo logico se e solo se. La proposizione composta creata dall’equivalenza in forma simbolica è A⇔B e si legge A se e solo se B.

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Parte A

La proposizione composta ha valore vero quando A e B sono entrambi veri o entrambi falsi; le due versioni di tabella di verità sono A

A⇔B

⇔

vero

falso

vero

falso

Esempio Date le proposizioni

M: Alessio va al cinema N: Barbara va al cinema

la proposizione composta M se e solo se N è M ⇔ N: Alessio va al cinema se e solo se Barbara va al cinema La M ⇔ N è vera se, per esempio, Alessio e Barbara in realtà non vanno al cinema (M ed N falsi); infatti è una conferma che ciascuno va al cinema solo se l’altro ci va. La M ⇔ N è falsa se, per esempio, Alessio realmente va al cinema (M vero) e Barbara in realtà non ci va (N falsa).

I Proposizioni indeterminate 17 Che cosa è il soggetto di una proposizione? Il soggetto di una proposizione è il personaggio o l’oggetto di cui si afferma una caratteristica o una azione. Esempio Nelle seguenti proposizioni il termine evidenziato è il relativo soggetto: Simona è una ragazza italiana Il campione del mondo partecipa alla tappa

18 Che cosa è una proposizione indeterminata? Una proposizione indeterminata è una proposizione in cui il soggetto non è dichiarato, e dunque per la proposizione non può essere definito un valore di verità. Il soggetto mancante è solitamente sostituito nella proposizione indeterminata con una lettera minuscola. Esempio Data la proposizione Parigi è una città francese la sua versione indeterminata è x è una città francese

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Unità 3

19 Che cosa è l’insieme verità di una proposizione indeterminata? Sia X una proposizione indeterminata. Il suo insieme verità, indicato con X', contiene tutti i soggetti che rendono vera la proposizione indeterminata. Esempio Sia data la proposizione indeterminata X: x è divisore di 12 In questo caso il soggetto mancante è un numero. L’insieme verità X' contiene tutti i numeri che sono divisori di 12; quindi per elencazione è l’insieme X' = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

20 Le operazioni logiche sono valide anche per le proposizioni indeterminate? Le operazioni di congiunzione, disgiunzione e negazione si applicano anche alle proposizioni indeterminate. Attenzione: per l’intrinseca indeterminazione delle proposizioni che compongono l’operazione logica, non è possibile costruire la relativa tabella di verità, ma solo il relativo insieme verità. 21 Come si determina l’insieme verità della congiunzione tra due proposizioni indeterminate? Siano X e Y due proposizioni indeterminate. La loro congiunzione è X∧Y L’insieme verità di X ∧ Y contiene i soggetti di X e di Y che rendono vera la congiunzione ed è l’insieme intersezione tra l’insieme verità X' e l’insieme verità Y', cioè X' ∩ Y' X'

Y' X' ∩ Y'

Esempio Siano date le proposizioni indeterminate X: x è divisore di 12 e Y: y è divisore di 20 L’insieme verità di X contiene tutti i numeri che sono divisori di 12 X' = {1, 2, 3, 4, 6, 12} L’insieme verità di Y contiene tutti i numeri che sono divisori di 20 Y' = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

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Parte A

La congiunzione tra X e Y è la proposizione composta X ∧ Y: q è divisore di 12 e di 20 e ha come insieme verità X' ∩ Y' = {1, 2, 4} i cui elementi sono i numeri, che sostituiti a q, rendono vera X ∧ Y.

22 Come si determina l’insieme verità della disgiunzione tra due proposizioni indeterminate? Siano X e Y due proposizioni indeterminate. La loro disgiunzione è X∨Y L’insieme verità di X ∨ Y contiene i soggetti di X e Y che rendono vera la disgiunzione ed è l’insieme unione tra l’insieme verità X' e l’insieme verità Y', cioè X' ∪ Y' X'

Y' X' ∪ Y'

Esempio Siano date le proposizioni indeterminate dell’esempio del punto 21. La disgiunzione tra X e Y è la proposizione composta X ∨ Y: q è divisore di 12 o di 20 e ha come insieme verità X' ∪ Y' = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 20} i cui elementi sono i numeri, che sostituiti a q, rendono vera X ∨ Y.

23 Come si determina l’insieme verità della negazione di una proposizione indeterminata? Sia X una proposizione indeterminata. La sua negazione è – X – L’insieme verità di X contiene i soggetti di X che rendono vera la negazione ed è l’insieme complementare dell’insieme verità X', cioè – X'

– X'

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Unità 3

Esempio Sia data la proposizione indeterminata X: x è giorno della settimana che ha come iniziale “m” La negazione di X è – X : q è giorno della settimana che non ha come iniziale “m” e ha come insieme verità – X' = {lunedì, giovedì, venerdì, sabato, domenica}

QUESITI a In che cosa consiste la logica proposizionale?

f Qual è la differenza tra il circuito con lampadina che simula la congiunzione e quello che simula la disgiunzione?

b Quando una frase diventa proposizione? c Perché è importante la tabella della verità? d Qual è la differenza tra proposizione composta e operazione logica? e Qual è la traduzione in linguaggio parlato dei connettivi logici?

g In cosa si distingue una proposizione indeterminata? h Che cosa contiene l’insieme verità? i Come la teoria degli insiemi viene in aiuto per le operazioni logiche tra proposizioni indeterminate?

ESERCIZI I Logica e proposizioni 1

Tra le seguenti frasi indica quelle che possono essere considerate proposizioni: a) Il quadrato ha quattro lati congruenti c) 10 è un numero primo b) Dove andiamo? d) Lo zaino è pesante

Tra le seguenti frasi indica quelle che non possono essere considerate proposizioni: a) Vuoi prendermi quel libro? c) Roma è bagnata dal fiume Po b) Ho dimenticato il quaderno d) 11 è un numero primo

Attribuisci un valore di verità alle seguenti proposizioni: a) Roma è in Lombardia b) Il numero 4 è maggiore del numero 2 c) Il numero 6 è un numero dispari d) Il coccodrillo è un mammifero

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Parte A

Data la proposizione “il quadrato è un poligono regolare”, e la proposizione “l’esagono ha cinque lati”, crea le proposizioni composte con il connettivo “e” e con il connettivo “o”.

Quale delle seguenti proposizioni è falsa? a) L’Italia è una penisola o la Sicilia è un’isola b) L’Italia è una penisola e la Sicilia è un’isola c) L’Italia è un’isola o la Sicilia è un’isola d) L’Italia è un’isola e la Sicilia è un’isola

Interpreta il significato della proposizione “Aldo non è più alto di Mario”. a) Aldo è più basso di Mario b) Mario è più basso di Aldo c) Aldo è alto come Mario oppure più basso d) Mario è alto come Aldo oppure più basso

I Operazioni logiche 7

Scrivi la negazione delle proposizioni dell’esercizio

Attribuisci un valore di verità alla proposizione “il rombo ha le diagonali perpendicolari”.

Scrivi la negazione della proposizione dell’esercizio

e attribuisci il valore di verità.

10 Data la proposizione “il triangolo isoscele ha due lati uguali”, individua la sua negazione. a) il triangolo isoscele ha due lati diversi b) il triangolo isoscele non ha tre lati uguali c) il triangolo isoscele non ha due lati uguali d) non esistono triangoli isosceli 11

Date le proposizioni A: Marte è un satellite di Giove, B: la Luna è il satellite della Terra, scrivi la forma scritta della proposizione composta A ∧ B e attribuisci il relativo valore di verità.

Siano date le proposizioni A: 20 è multiplo di 3, B: Manzoni ha scritto I Promessi Sposi, C: Leonardo ha dipinto la Gioconda. Evidenzia in forma scritta le operazioni logiche A ∧ B, A ∧ C, B ∧ C e attribuisci il relativo valore di verità.

13 Date le proposizioni dell’esercizio 12 evidenzia in forma scritta le operazioni logiche A ∨ B, A ∨ C, B ∨ C e attribuisci il relativo valore di verità. 14 Siano date le proposizioni A: 10 è un numero dispari, B: Manzoni ha scritto La Divina Commedia, C: Asti è in Piemonte. Evidenzia in forma scritta le operazioni logiche A ∧ B, A ∨ B, A ∨ C e attribuisci il valore di verità. 15 Quale delle seguenti implicazioni è vera? a) Se un angolo è maggiore di 90° allora è acuto b) Se un angolo è minore di 90° allora è acuto c) Se un angolo è ottuso allora è concavo d) Se un angolo è ottuso allora è convesso 34

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Unità 3

16 Quale delle seguenti proposizioni composte è una doppia implicazione? a) Se un numero è maggiore di 3 allora è maggiore di 6 b) Un numero è pari se e solo se è divisibile per 2 c) O una figura è un quadrato o ha quattro lati d) Un numero è divisibile per 4 o è divisibile per 2

I Proposizioni indeterminate 17 Data la proposizione indeterminata X: x è un divisore di 6, rappresenta per elencazione l’insieme verità X'. 18 Data la proposizione indeterminata X: x è una lettera-vocale della parola frase, rappresen– ta per caratteristica e per elencazione l’insieme complementare dell’insieme verità X', X'. 19 Date le proposizioni indeterminate X: x è un divisore di 4, Y:y è un divisore di 6, rappresenta per elencazione l’insieme verità della congiunzione logica X ∧ Y. 20 Date le proposizioni indeterminate K: k è un divisore di 6, J: j è un divisore di 8, rappresenta con il diagramma di Eulero-Venn l’insieme verità della congiunzione logica K ∧ J. 21

Date le proposizioni indeterminate X: x è un divisore di 6, Y: y è un divisore di 9, rappresenta per elencazione l’insieme verità della disgiunzione logica X ∨ Y.

22 Date le proposizioni indeterminate K: k è un divisore di 4, J: j è un divisore di 6, rappresenta con il diagramma di Eulero-Venn l’insieme verità della disgiunzione logica K ∨ J.

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PARTE A UNITÀ

1 4

Relazioni e funzioni

I Relazioni tra due insiemi I Relazioni interne a un insieme I Funzioni Il linguaggio con cui le scienze applicate “parlano” è fondato sul concetto di funzione tra insiemi.

I Relazioni tra due insiemi 1 Quando esiste una relazione tra due insiemi? Tra due insiemi esiste una relazione R quando è definita un’affermazione che (appunto) relaziona un elemento a del primo insieme A, con un elemento b del secondo insieme B. La relazione R si scrive per esteso secondo la notazione R = “…affermazione…” o in forma simbolica aRb tenendo presente cha a sinistra della R si colloca l’elemento del primo insieme e a destra l’elemento del secondo insieme. L’inversione della posizione degli elementi a lato di R comporta una relazione diversa. Esempio Dati gli insiemi A = {10, 11, 13, 14, 16} e B = {4, 5, 7, 8} esiste tra loro la relazione R = “…è doppio di…” che relaziona gli elementi 10, 14 e 16 di A, rispettivamente con gli elementi 5, 7 e 8 di B.

2 Come si rappresenta una relazione tramite elencazione? La relazione tra gli insiemi A e B, a R b, forma coppie ordinate di elementi rappresentate come (a, b) con l’elemento a appartenente al primo insieme A, e l’elemento b appartenente al secondo insieme B. La rappresentazione per elencazione di R consiste in un insieme rappresentato per elenca36

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Unità 4

zione che contiene tutte le coppie ordinate create dalla relazione, cioè nella forma più generale R = {(a, b), (e, g), …, (s, u), …} (1) Esempio La rappresentazione per elencazione della relazione dell’esempio del punto 1 è secondo la (1) R = {(10, 5), (14, 7), (16, 8)}

3 Quale insieme individua la relazione tra due insiemi? Le coppie ordinate create da una relazione tra due insiemi formano un sottoinsieme del prodotto cartesiano della medesima coppia di insiemi. 4 Come si rappresenta una relazione tramite grafo? I due insiemi sono rappresentati dai rispettivi diagrammi di Eulero-Venn. Gli elementi che compongono le coppie ordinate imposte dalla relazione sono collegati da frecce con coda sull’elemento del primo insieme e punta su quello del secondo insieme. Il verso delle frecce associate alla relazione individua il primo insieme come insieme di partenza e il secondo come insieme di arrivo. La definizione di relazione consente che da un elemento del primo insieme parta più di una freccia e che a un elemento del secondo insieme arrivi più di una freccia. Esempio Tra gli insiemi P = {Mario, Antonio, Anna, Luca, Simone} e F = {Patrizia, Paola, Marco, Stefano, Mauro} esiste la relazione R = “…è parente di…” che comporta il seguente grafo P

F Luca •

Mario • Antonio • Anna • Simone •

• Patrizia • Marco • Paola • Stefano • Mauro

Come si osserva, una relazione non necessariamente coinvolge tutti gli elementi degli insiemi; inoltre da un elemento possono partire più frecce e a un elemento possono arrivare più frecce.

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Parte A

5 Come si realizza il grafico cartesiano di una relazione? Si parte dal reticolato del prodotto cartesiano tra gli insiemi A e B coinvolti dalla relazione: sull’asse orizzontale gli elementi del primo insieme e sull’asse verticale quelli del secondo insieme. Quindi si evidenziano i nodi del reticolato che hanno come coordinate le coppie ordinate create dalla relazione. Esempio La relazione dell’esempio del punto 4 ha come grafico cartesiano F Patrizia

•

Marco

•

Paola Stefano Mauro

• •

•

Simone Anna Antonio Mario

Luca

I nodi del reticolo evidenziati hanno come coordinate le coppie di elementi collegati dalle frecce del relativo grafo.

6 Come si rappresenta una relazione tramite caratteristica? Si scrive in modalità caratteristica l’insieme che ha come elementi le coppie create dalla relazione o, in altri termini, si scrive la caratteristica dell’insieme (1) del punto 2. Esempio Tra gli insiemi C e D esiste la relazione R = “…è il triplo di…” rappresentata per caratteristica come R = {( c, d ) | c ∈ C, d ∈ D, c = 3d} che si legge: le coppie composte da elementi di C e D tale che l’elemento di C è il triplo dell’elemento di D.

7 Come si ottiene la relazione inversa da una relazione tra due insiemi? Sia la relazione R tra l’insieme di partenza A e l’insieme di arrivo B a R b (1) Si definisce relazione inversa di R, la relazione R–1 in cui l’ordine degli elementi nella (1) è scambiato, cioè b R–1 a Quindi, in R–1, B diventa l’insieme di partenza e A l’insieme di arrivo. 38

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Unità 4

Esempio La relazione inversa della relazione dell’esempio del punto 6 è R–1 = “…è la terza parte di…” rappresentata per caratteristica come

{

R −1 = ( d, c ) | d ∈ D, c ∈ C, d =

c 3

}

Si osserva l’inversione di ordine degli insiemi rispetto alla relazione R: l’insieme D è diventato quello di partenza e l’insieme C quello di arrivo.

I Relazioni interne a un insieme 8 Che cosa s’intende per relazione interna a un insieme? Una relazione interna a un insieme A è una qualsiasi affermazione che relaziona tra loro una coppia di elementi di A (gli elementi della coppia possono anche coincidere in un unico elemento). Esempio La relazione R = “…abita nella stessa città…” è una relazione interna nell’insieme A = {alunni di una classe} Per ogni coppia di alunni si verifica se abitano nella stessa città: in caso affermativo la relazione interna crea una coppia di elementi.

9 Quali caratteristiche assume un grafo di una relazione interna? La natura della relazione interna comporta (ovviamente) la presenza di un solo diagramma di Eulero-Venn in cui le frecce partono e finiscono all’interno dell’insieme. Se la relazione interna prevede che un elemento sia in relazione con se stesso, la freccia ha coda e punta coincidenti sull’elemento (freccia a forma di cappio). Esempio Nell’insieme A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} esiste la relazione interna R = “…è quadrato di…” che comporta il seguente grafo

A •7 1

2•

5• 6•

•4

3•

•9

•8

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Parte A

10 Quando una relazione interna è riflessiva? Una relazione R interna in A è riflessiva se ogni elemento di A è in relazione con se stesso. Il grafo ha frecce a cappio e il grafico cartesiano ha i nodi lungo la bisettrice del reticolo. Esempio Nell’insieme K = {Mario, Antonio, Anna, Luca} la relazione interna R = “…ha la stessa iniziale di…” è riflessiva. Infatti ogni componente dell’insieme K ha la medesima iniziale di se stesso. In figura sono mostrati il grafo e il grafico cartesiano della relazione interna R. K

Mario

•

Antonio

Luca Antonio

•

Anna

Mario

•

Luca

Anna

• Luca

Anna Antonio Mario

11 Quando una relazione interna è simmetrica? Una relazione R interna in A è simmetrica se è ancora verificata invertendo la posizione degli elementi della coppia ordinata creata da R. Il grafo ha frecce a doppia punta e nel grafico cartesiano i nodi sono simmetrici rispetto alla bisettrice del reticolo. Esempio Nell’insieme T = {1, 2, 3, 4} la relazione interna R = {( a, b ) | a, b ∈ A, a + b = 5} è simmetrica. Infatti la R è valida anche se si scambiano gli ordini degli elementi, cioè se a + b = 5 anche b + a = 5. In figura sono mostrati il grafo e il grafico cartesiano della relazione interna R. T

1• 2•

•

4•

•

3• 1

12 Quando una relazione interna è antisimmetrica? Una relazione R interna in A è antisimmetrica se la relazione diventa simmetrica solo quando relaziona un elemento con se stesso. 40

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Unità 4

Esempio Nell’insieme N = {numeri naturali} la relazione interna R = “…è maggiore o uguale a…” è antisimmetrica. Infatti, se il generico numero N1 è maggiore o uguale a un generico numero N2, N2 può essere maggiore o uguale di N1 se e solo se N1 = N2.

13 Quando una relazione interna è transitiva? Una relazione R interna in A è transitiva se, create le coppie ordinate (a, b) e (b, c), la R pone in relazione l’elemento “a” con l’elemento “c”, cioè crea la coppia ordinata (a, c). Esempio Nell’insieme F = {fratelli di una famiglia} la relazione interna R = “…è fratello di…” è transitiva. Infatti, se per esempio Enrico è fratello di Nicola e Nicola è fratello di Emanuele allora anche Enrico è fratello di Emanuele.

14 Quando una relazione interna è definita equivalente? Una relazione interna è definita equivalente se è riflessiva, simmetrica e transitiva. Esempio La relazione dell’esempio del punto 13 è una relazione di equivalenza. Infatti • è riflessiva perché ogni elemento è fratello di se stesso; • è simmetrica perché se Enrico è fratello di Emanuele, Emanuele è fratello di Enrico; • è transitiva, come già dimostrato.

15 Che cosa comporta una relazione di equivalenza? Una relazione di equivalenza nell’insieme A comporta una sua partizione, i cui sottoinsiemi sono definiti classi di equivalenza. 16 Quando una relazione interna è definita d’ordine? Una relazione interna è definita d’ordine se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Una relazione d’ordine indica, tra due elementi, qual è quello maggiore, quello minore, o eventualmente se i due elementi sono uguali. Esempio La relazione dell’esempio del punto 12 è una relazione d’ordine. Infatti: • è riflessiva perché ogni numero è uguale a se stesso; • è transitiva perché se N1 è maggiore di N2 ed N2 è maggiore di N3, N1 è pure maggiore di N3; • è antisimmetrica come già dimostrato. 41

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Parte A

I Funzioni 17 Che cosa è una funzione? La funzione è una particolare relazione tra due insiemi X e Y che collega a ogni elemento di X uno e uno solo elemento di Y. La funzione è indicata con la lettera in corsivo f e la sua applicazione tra gli insiemi X e Y tramite la notazione f:X→Y Sia x l’elemento dell’insieme di partenza X e y l’elemento dell’insieme di arrivo Y, legati fra loro dalla funzione f. La notazione (1) del punto 1 per la funzione assume la forma y = f(x) che si legge: y in funzione di x. L’elemento y è definito immagine dell’elemento x. Nel grafo di una funzione da ogni elemento dell’insieme di partenza parte una sola freccia. Esempio Il grafo di Figura 17a non appartiene a una funzione perché dall’elemento x4 non partono frecce e dall’elemento x2 partono due frecce. X

Y • y1

x1 • x2 •

• y2 • y3

x4 • x3 •

• y4

Figura 17a

Il grafo di Figura 17b appartiene a una funzione: infatti da ogni singolo elemento di X parte una sola freccia (non importa se esistono elementi di Y a cui non arrivano o arrivano più frecce). X

Y • y4

x1 • x2 •

• y3 • y1

x3 •

• y2

Figura 17b

18 Che cosa sono il dominio e il codominio di una funzione? Data la funzione f : X → Y si definisce dominio della funzione l’insieme che contiene gli elementi di X coinvolti dalla funzione. Si definisce codominio della funzione l’insieme che contiene gli elementi immagine di Y. Nel grafo gli elementi del dominio sono individuati dalle code delle frecce e gli elementi del codominio dalle punte. 42

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Unità 4

19 Quando una funzione è suriettiva? La funzione f : X → Y è suriettiva se ogni elemento di Y è immagine di almeno un elemento di X. Le punte delle frecce del grafo di una funzione suriettiva toccano tutti gli elementi di Y. Esempio Il grafo di Figura 17b non è di una funzione suriettiva perché esistono elementi di Y a cui non arrivano frecce (elementi y2 e y3). Il grafo di Figura 19 è di una funzione suriettiva perché a tutti gli elementi di Y arriva almeno una freccia. X

Y • y3

x1 • x3 •

• y2

x2 •

• y1

x4 •

Figura 19 20 Quando una funzione è iniettiva? La funzione f : X → Y è iniettiva se ogni elemento di X ha solo un’immagine in Y. Ogni coda delle frecce del grafo di una funzione iniettiva tocca solo un elemento di X. Esempio Il grafo di Figura 19 non è di una funzione iniettiva perché esistono elementi di X che hanno un elemento immagine in comune (elemento y2). Il grafo in figura è una funzione iniettiva perché gli elementi di X non condividono elementi immagine. X x1 •

• y2 • y3

x2 •

• y1

x4 •

• y4

21 Quando una funzione è biunivoca? La funzione f : X → Y è biunivoca se è contemporaneamente suriettiva e iniettiva. Esempio Il grafo in figura è una funzione biunivoca perché è suriettiva (a tutti gli elementi Y arriva una freccia) ed è iniettiva (perché gli elementi di X non condividono elementi immagine). X x2 •

• y2

x3 • x4 • x1 •

• y1 • y4 • y3

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Parte A

22 Che cosa comporta una funzione biunivoca? Se la funzione f : X → Y è biunivoca allora è possibile costruire una funzione inversa di f, indicata come f –1 tale che f –1 : Y → X e di conseguenza x = f –1(y)

QUESITI a Qual è la differenza tra relazione e relazione interna? b Tra le rappresentazioni di una relazione qual è la più immediata? c A quali proprietà deve obbedire una relazione interna affinché diventi di equivalenza? d A quali proprietà deve obbedire una relazione interna affinché diventi una relazione d’ordine?

e Qual è la differenza tra relazione e funzione? f Quali caratteristiche assume il grafo di una funzione suriettiva? g Quali caratteristiche assume il grafo di una funzione iniettiva? h Quali caratteristiche possiede una funzione biunivoca?

ESERCIZI I Relazioni tra due insiemi 1

Rappresenta per elencazione la relazione R = “…è maggiore di…” tra gli insiemi A = {2, 5, 8} e B = {3, 4}.

Rappresenta con un grafico cartesiano la relazione dell’esercizio

Dati gli insiemi A = {12, 15, 18, 21} e B = {3, 4, 5, 6} rappresenta per elencazione la relazione R = {( a, b ) | a ∈ A, b ∈ B, a = 3b} .

Rappresenta con un grafo la relazione dell’esercizio

Dati gli insiemi A = {2, 5, 7, 8, 10} e B = {4, 10, 20} rappresenta per elencazione la relazione

{

1 .

3 .

}

1 R = ( a,b ) | a ∈ A, b ∈ B, a = b . 2

Rappresenta per elencazione la relazione inversa R–1 dell’esercizio

5 .

Dati gli insiemi A = {5, 10} e B = {1, 2, 10, 20} rappresenta per caratteristica la relazione inversa di R = {( a, b ) | a ∈ A, b ∈ B, a = 5b} .

I Relazioni interne a un insieme 8

Rappresenta per elencazione la relazione R = “…inizia con la stessa lettera di…” interna all’insieme A = {Italia, Cina, Canada, India, Giappone}.

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Unità 4

Rappresenta per elencazione la relazione A: R = “…è minore di…” interna all’insieme

{

A = 1, 3,

}

3 . 2

10 Rappresenta con un grafo la relazione dell’esercizio 11

Ricava la rappresentazione per elencazione della relazione interna che ha il grafico cartesiano a fianco.

9 .

Piero

•

Mario

•

Luca

Mario Piero

Dato l’insieme A = {alunni di una classe}, quale delle seguenti relazioni interne gode della proprietà riflessiva? a) R = “… abita nella stessa via di …” b) R = “… pesa meno di …” c) R = “… è più alto di …”

13 Dato l’insieme A = {alunni di una classe}, quali delle seguenti relazioni interne godono della proprietà simmetrica? a) R = “… è il gemello di …” b) R = “… ha gli occhi dello stesso colore di …” c) R = “… è meno alto di …” 14 Dato l’insieme A = {alunni di una classe}, quali delle seguenti relazioni interne godono della proprietà transitiva? a) R = “… è nato nello stesso mese di …” b) R = “… pesa più di …” c) R = “… è cugino di …” 15 L’insieme A = {mano, tavolo, matita, magia, tabella, tagliere} ha relazione interna R = “… ha lo stesso numero di sillabe di …”; di quali delle seguenti proprietà gode la relazione? a) Riflessiva. b) Simmetrica. c) Transitiva. d) Antisimmetrica. 16 Rappresenta con un grafo la relazione dell’esercizio 15 . 17 Dato l’insieme A = {cattedra, lavagna, laboratorio, banco, bandiera, banda}, la relazione interna R = “… inizia con la stessa sillaba di …” è di equivalenza? 18 Rappresenta con un diagramma cartesiano la relazione dell’esercizio 17 .

I Funzioni 19 Dati gli insiemi X = {4, 8, 12} e Y = {1, 2, 4, 6}, quali delle seguenti relazioni sono funzioni? a) R = “… è maggiore di …” b) R = “… è quadruplo di …” c) R = “… è il doppio di …” 45

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Parte A

20 Dato l’insieme X che ha per dominio A = {1, 2, 3}, indica quale delle seguenti relazioni rappresentate per elencazione individua una funzione. a) R = {(1, 0), (1, 2), (1, 4)} b) R = {(1, 2), (2, 4), (3, 2)} c) R = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 2)} 21

Il seguente grafo rappresenta una funzione? X

Y a•

•1

c•

•2 b•

•3

22 Il seguente grafo rappresenta una funzione? X

Y a•

•1

c•

•2 b•

•3

23 Il seguente grafo rappresenta una funzione? X

Y a•

•1

c•

•2 b•

•3

24 Tra gli insiemi X = {Asti, Torino, Milano} e Y = {Piemonte, Lombardia} esiste la relazione R = “… è una città della regione …”; disegna il grafo della funzione. 25 Tra gli insiemi X = {Roma, Parigi, Londra} e Y = {Gran Bretagna, Francia, Italia, Germania} esiste la relazione R = “… è la capitale della nazione…”; disegna il grafo della funzione. 26 Tra gli insiemi X = {2, 3} e Y = {4, 9} esiste la relazione R = “… ha per quadrato …”; è possibile affermare che la relazione è una funzione biunivoca? 27 La relazione R = “…è nel continente…” tra gli insiemi X = {Canada, Italia, Congo} e Y = {America, Europa, Africa} è una funzione biunivoca? 28 Rappresenta con un grafo la relazione dell’esercizio 27 .

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PARTE B UNITÀ

Numeri naturali e operazioni

I I I I I I

Numeri naturali Addizione Sottrazione Moltiplicazione Divisione Espressioni aritmetiche

Da reperti archeologici si ipotizza che i numeri e il contare risalgano a 70 000 anni fa. Ma solo con il matematico italiano Giuseppe Peano (1858-1932) si ha una definizione precisa di cosa significa contare.

I Numeri naturali 1 Che cosa contiene l’insieme dei numeri naturali? L’insieme dei numeri naturali, indicato con il simbolo N, contiene infiniti numeri composti dalle dieci cifre del sistema numerico decimale (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9). In rappresentazione per elencazione l’insieme è » = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …, ni , …, ∞} (1) Il simbolo ∞ indica numero infinito.

2 Come si rappresenta in modo grafico l’insieme dei numeri naturali? In riferimento alla figura, si colloca su una semiretta orientata il punto di origine O. Quindi si definisce un segmento u che stabilisce una serie di punti equidistanti tra loro. Infine a ogni punto si assegna un numero naturale, partendo dall’origine O che corrisponde al numero zero, per poi proseguire con il punto subito a destra che corrisponde al numero 1 e così via, rispettando l’ordine indicato nella (1).

3 Come si esegue il confronto tra numeri naturali? Si consideri una coppia di numeri naturali indicati come a e b posizionati sulla semiretta orientata. Il numero a è maggiore di b, cioè a>b se è posizionato alla destra di b (a segue b). Il numero a è minore di b, cioè a<b 47

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Parte B

se è posizionato alla sinistra di b (a precede b). Il numero a è uguale a b, cioè a=b se a coincide con b. Il numero a è diverso da b, cioè a≠b se è posizionato in un punto diverso da quello di b.

4 Che cosa è un’operazione e quando è interna in un insieme numerico? Un’operazione (∗) è una qualsiasi elaborazione tra numeri di un insieme numerico che produce un unico numero chiamato risultato. Se l’operazione produce come risultato un numero che appartiene all’insieme numerico si dice che l’operazione ∗ è interna all’insieme. Esempio Sia S l’insieme dei segmenti; l’operazione ∗ unisce due segmenti. L’operazione ∗ è interna a S: infatti il risultato di ∗ sarà sempre un segmento. In modo equivalente, l’insieme S è chiuso rispetto l’operazione ∗. Sia T l’insieme dei triangoli; l’operazione ∗ unisce due triangoli. L’operazione ∗ non è interna a T: infatti il risultato di ∗ non sarà mai un triangolo. In modo equivalente, l’insieme T non è chiuso rispetto l’operazione ∗.

I Addizione 5 In cosa consiste l’operazione di addizione tra numeri naturali? L’addizione è l’operazione mediante la quale, dati due o più numeri naturali chiamati addendi, si calcola un terzo numero naturale chiamato somma, contando di seguito al primo addendo tante unità quante sono le unità del secondo addendo e così via. Il simbolo dell’addizione è + (si legge “più”). Nell’addizione a+b=c i termini a e b sono gli addendi e c è la somma. Esempio 7 + 6 + 4 = 17 Al primo addendo 7 si aggiungono le 6 unità del secondo, ottenendo una parziale somma di 13 unità; quindi si aggiungono le 4 unità del terzo addendo per ottenere la somma 17.

6 L’operazione di addizione è commutativa? La somma non cambia se si commuta l’ordine degli addendi; per esempio nel caso di due addendi a+b=b+a Esempio 2+5+8+4=4+5+2+8 dove entrambe le addizioni danno la medesima somma di 19. 48

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Unità 1

7 L’operazione di addizione è associativa? La somma non cambia se si sostituiscono due o più addendi con la loro somma; per esempio nel caso di tre addendi a+b+c=a+d dove b + c = d Esempio 2 + 8 + 6 + 9 = 10 + 15 dove gli addendi 2 e 8 sono stati sostituiti dalla loro somma 10 e gli addendi 6 e 9 dalla loro somma 15.

8 L’operazione di addizione è dissociativa? La somma non cambia se un addendo è dissociato in addendi la cui somma è uguale all’addendo dissociato; per esempio nel caso di due addendi a+b=a+c+d dove b = c + d Esempio 22 + 35 = 22 + 30 + 5 dove l’addendo 35 è stato dissociato negli addendi 30 e 5 in modo che la loro somma sia 35.

9 Qual è l’elemento neutro dell’addizione? L’elemento neutro dell’addizione è il numero naturale 0. Ciò è vero poiché l’addizione gode della proprietà commutativa e la somma non cambia se si aggiunge uno zero agli addendi; cioè a+0=0+a=a Esempio 21 + 0 = 0 + 21 = 21 dove l’elemento neutro 0 non influisce sulla somma.

10 L’addizione è un’operazione interna nell’insieme dei numeri naturali? L’addizione tra numeri naturali è un’operazione interna perché comporta sempre come somma un numero naturale. In termini equivalenti, l’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto l’operazione di addizione.

I Sottrazione 11 In cosa consiste l’operazione di sottrazione tra numeri naturali? La sottrazione è l’operazione mediante la quale, dati due numeri naturali, si calcola un terzo numero naturale chiamato differenza, che addizionato al numero minore dei due, chiamato sottraendo, dà il maggiore chiamato minuendo. Il simbolo dell’addizione è – (si legge “meno”). 49

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Parte B

Nella sottrazione a–b=c il termine a è il minuendo, il termine b è il sottraendo e c è la differenza. Esempio 57 – 7 = 50 dove l’addizione tra la differenza 50 e il sottraendo 7 dà come somma il minuendo 57.

12 L’operazione di sottrazione è invariantiva? La differenza tra due numeri non cambia se a entrambi si addiziona o si sottrae uno stesso numero, cioè a − b = ( a + c ) − (b + c ) oppure

a − b = ( a − c ) − (b − c )

Esempio 56 − 34 = ( 56 + 6 ) − ( 34 + 6 ) dove l’addizione al minuendo 56 e al sottraendo 34 del medesimo addendo 6 non cambia la differenza di 22. 25 − 10 = ( 25 − 5 ) − (10 − 5 ) dove la sottrazione al minuendo 25 e al sottraendo 10 del medesimo sottraendo 5 non cambia la differenza di 15.

I Moltiplicazione 13 In cosa consiste l’operazione di moltiplicazione tra numeri naturali? La moltiplicazione è l’operazione mediante la quale, dati due numeri naturali chiamati fattori si calcola un terzo numero naturale chiamato prodotto, ottenuto addizionando tanti addendi uguali al primo fattore quanti ne indica il secondo fattore. Il simbolo della moltiplicazione è · (si legge “per”). Nella moltiplicazione a·b=c i termini a e b sono i fattori e il termine c è il prodotto. Esempio 3 · 7 = 21 Il prodotto 21 è ottenuto tramite l’addizione in cui il fattore 3 è ripetuto come addendo 7 volte, cioè 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21.

14 L’operazione di moltiplicazione è commutativa? Il prodotto non cambia se si commuta l’ordine dei fattori; per esempio nel caso di due fattori a·b=b·a 50

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Unità 1

Esempio 2·8=8·2 dove entrambe le moltiplicazioni danno il medesimo prodotto di 16.

15 L’operazione di moltiplicazione è associativa? Il prodotto non cambia se si sostituiscono due o più fattori con il loro prodotto; per esempio nel caso di tre fattori a·b·c=a·d dove b · c = d Esempio 3 · 2 · 5 = 3 · 10 dove i fattori 2 e 5 sono stati sostituiti dal loro prodotto 10.

16 L’operazione di moltiplicazione è dissociativa? Il prodotto non cambia se un fattore è sostituito con fattori il cui prodotto è uguale al fattore sostituito; per esempio a·b=a·c·d dove b = c · d Esempio 2 · 30 = 2 · 10 · 3 dove il fattore 30 è stato dissociato nei fattori 10 e 3 in modo che il loro prodotto sia 30.

17 L’operazione di moltiplicazione è distributiva? La moltiplicazione di un numero per un’ addizione è uguale alla somma delle moltiplicazioni che hanno come fattori il numero e il singolo addendo; per esempio nel caso di due addendi a ⋅ (b + c ) = ( a ⋅ b) + ( a ⋅ c ) La moltiplicazione di un numero per una sottrazione è uguale alla differenza delle moltiplicazioni che hanno come fattori il numero e il minuendo e il numero e il sottraendo, cioè a ⋅ (b − c ) = ( a ⋅ b) − ( a ⋅ c ) Esempio 4 ⋅ (10 + 2 ) = ( 4 ⋅ 10 ) + ( 4 ⋅ 2 ) dove la distribuzione del fattore 4 per gli addendi 10 e 2 non comporta variazione del risultato dell’operazione composta da una moltiplicazione e un’addizione (proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto l’addizione). 6 ⋅ (14 − 4 ) = ( 6 ⋅ 14 ) − ( 6 ⋅ 4 ) dove la distribuzione del fattore 6 per il minuendo 14 e il sottraendo 4 non comporta variazione del risultato dell’operazione composta da una moltiplicazione e una sottrazione (proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto la sottrazione). 51

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Parte B

18 Qual è l’elemento neutro della moltiplicazione? L’elemento neutro della moltiplicazione è il numero naturale 1. Ciò è vero poiché la moltiplicazione gode della proprietà commutativa e il prodotto non cambia se compare un uno tra i fattori; cioè a·1=1·a=a Esempio 19 · 1 = 1 · 19 = 19 dove l’elemento neutro 1 non influisce sul prodotto.

19 Qual è l’elemento assorbente della moltiplicazione? L’elemento assorbente per la moltiplicazione è il numero naturale 0. Infatti una qualsiasi moltiplicazione in cui compare come fattore lo 0 dà sempre come prodotto 0, cioè a·0=0 Esempio 99 · 0 = 0 dove il fattore 0 annulla il prodotto (legge dell’annullamento del prodotto).

I Divisione 20 In cosa consiste l’operazione di divisione tra due numeri naturali? La divisione è l’operazione mediante la quale, dati due numeri naturali chiamati dividendo e divisore, si calcola un terzo numero naturale chiamato quoziente, che moltiplicato per il divisore dà come risultato il dividendo. Il simbolo della divisione è : (si legge “diviso”). Nella divisione a:b=c il termine a è il dividendo, e il termine b è il divisore; il termine c è il quoziente. Il dividendo uguale a zero e il divisore diverso da zero comportano sempre un quoziente nullo. Esempio 15 : 3 = 5 Il dividendo 15 è ottenuto tramite la moltiplicazione del quoziente 5 per il divisore 3.

21 Il divisore può assumere valore zero? La divisione non ammette il numero naturale 0 come divisore. La generica divisione a:0 si dice essere priva di significato (o impossibile). Esempio 6:0 non ha significato, perché non esiste un numero che moltiplicato per 0 dia 6. 52

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Unità 1

22 Che cosa comporta avere dividendo e divisore uguali a zero? La divisione 0:0 comporta un quoziente indeterminato, cioè un qualsiasi numero può essere moltiplicato per 0 e dare come prodotto 0.

23 L’operazione di divisione è invariantiva? La divisione tra due numeri non cambia se il dividendo e il divisore si dividono o si moltiplicano per un medesimo numero, cioè a : b = ( a : c ) : (b : c ) oppure a : b = ( a ⋅ c ) : (b ⋅ c ) Esempio 20 : 4 = ( 20 : 2 ) : ( 4 : 2 ) dove dividendo per 2 sia il dividendo 20 che il divisore 4 la divisione non cambia il quoziente 5. 32 : 4 = ( 32 ⋅ 2 ) : ( 4 ⋅ 2 ) dove moltiplicando per 2 sia il dividendo 32 che il divisore 4 non cambia il quoziente 8.

24 L’operazione di divisione è distributiva? La divisione di una addizione per un numero è uguale alla somma delle divisioni che hanno come divisore il numero e come dividendo il singolo addendo; per esempio nel caso di due addendi

( a + b) : c = ( a : c ) + (b : c ) La divisione di una sottrazione per un numero è uguale alla differenza delle divisioni che hanno come divisore il numero e come dividendo il minuendo e il sottraendo; cioè

( a − b) : c = ( a : c ) − (b : c ) Esempio

( 30 + 8 ) : 2 = ( 30 : 2 ) + ( 8 : 2 ) dove la distribuzione del divisore 2 per gli addendi 30 e 8 non comporta variazione del risultato dell’operazione composta da una addizione e una divisione (proprietà distributiva della divisione rispetto l’addizione).

(10 − 2 ) : 2 = (10 : 2 ) − ( 2 : 2 ) dove la distribuzione del divisore 2 per il minuendo 10 e il sottraendo 2 non comporta variazione del risultato dell’operazione composta da una sottrazione e una divisione (proprietà distributiva della divisione rispetto la sottrazione).

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Parte B

25 La divisione è un’operazione interna nell’insieme dei numeri naturali? La divisione non è un’operazione interna all’insieme dei numeri naturali. Infatti nel caso di dividendo non multiplo del divisore si ottiene un quoziente che non appartiene ai numeri naturali. Esempio 6 : 4 = 1,5 Il dividendo 6 non è multiplo del divisore 4 e il quoziente 1,5 non appartiene all’insieme dei numeri naturali.

I Espressioni aritmetiche 26 Che cosa è un’espressione aritmetica? Una espressione aritmetica è un insieme di due o più numeri separati da simboli di operazione ed eventualmente racchiusi tra parentesi. Le parentesi possono essere graffe, quadre o tonde e devono sempre essere in coppia, cioè se si apre una parentesi deve poi essere chiusa. Esempio La seguente espressione aritmetica

{2 ⋅ [ 3 + (15 − 27 : 9)] − 2} : 7 contiene sette numeri naturali, sei operazioni, una coppia di parentesi tonde, una di parentesi quadre e una di parentesi graffe.

27 Come si risolve un’espressione aritmetica senza parentesi? La risoluzione di un’espressione aritmetica consiste nello svolgere tutte le operazioni indicate secondo un ordine prestabilito per ottenere un unico numero chiamato risultato dell’espressione. Si eseguono prima le moltiplicazioni e le divisioni, una dopo l’altra nell’ordine in cui sono scritte. Si eseguono poi le addizioni e le sottrazioni, una dopo l’altra nell’ordine in cui sono scritte. Esempio 25 + 12 : 4 – 3 · 5 Per prime si risolvono le moltiplicazioni e le divisioni, quindi 25 + 3 – 15 Poi si procede nel calcolo nell’ordine con cui sono scritte le varie operazioni: in questo caso prima l’addizione 28 – 15 e poi la sottrazione 28 – 15 = 13 Il risultato dell’espressione è 13.

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Unità 1

28 Come si risolve un’espressione aritmetica con parentesi? Si eseguono prima le operazioni in parentesi tonda, rispettando le regole per le espressioni senza parentesi. Poi le operazioni in parentesi quadra, rispettando le regole per le espressioni senza parentesi. Infine le operazioni in parentesi graffa, rispettando le regole per le espressioni senza parentesi. Una volta eseguite tutte le operazioni all’interno di una parentesi questa si deve eliminare. Esempio

{(10 − 25 : 5 ) ⋅ 6 − [6 + (18 − 14 ) : 2] + 8} : 10

(1)

Per prime si risolvono le parentesi tonde, dando la precedenza a moltiplicazioni e divisioni, quindi {(10 − 5 ) ⋅ 6 − [6 + 4 : 2] + 8} : 10 e poi

{5 ⋅ 6 − [6 + 4 : 2] + 8} : 10

(2)

A questo punto si risolve la parentesi quadra, dando la precedenza a moltiplicazioni e divisioni

{5 ⋅ 6 − [6 + 2] + 8} : 10 e poi

{5 ⋅ 6 − 8 + 8} : 10 (3) Infine si risolve la parentesi graffa, dando la precedenza a moltiplicazioni e divisioni

{30 − 8 + 8} : 10 poi

{22 + 8} : 10 Da ultimo 30 : 10 = 3 Il risultato dell’espressione è 3.

QUESITI a È possibile una definizione generale di elemento neutro? b Perché è importante distinguere le operazioni interne? c Cosa succede se il divisore è uguale a zero?

d Con quale precedenza si devono svolgere le quattro operazioni nella risoluzione di un’espressione aritmetica? e Con quale precedenza si devono aprire, e dunque risolvere, le parentesi di una espressione aritmetica?

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Parte B

ESERCIZI I Addizione e sottrazione 1

Calcola la seguente operazione e determina la proprietà applicata. 96 + 38 = 38 + 96

Calcola la seguente operazione e determina la proprietà applicata. 2 + 3 + 8 + 7 = ( 2 + 8 ) + ( 3 + 7 ) = 10 + 10

Calcola la seguente operazione e determina la proprietà applicata. 5 + 12 + 8 = 5 + 10 + 2 + 8

Calcola la seguente operazione e determina la proprietà applicata. 28 − 12 = ( 28 + 2 ) − (12 + 2 ) = 30 − 14

Applica la proprietà associativa alla seguente addizione: 12 + 34 + 8 + 6

Applica la proprietà dissociativa alla seguente addizione: 127 + 1

Applica la proprietà invariantiva alla seguente sottrazione: 87 – 24

Quale delle seguenti operazioni non ha risultato nell’insieme dei numeri naturali? a) 12 + 34 b) 35 – 53 c) 27 – 25 d) 67 + 14

Completa le seguenti operazioni: a) 34 + … = 75 b) … + 41 = 83

c) 25 – … = 12

d) … – 51 = 38

10 Se aggiungo 44 a un numero n ottengo 65. Qual è il numero n? 11

Se tolgo 35 da un numero n ottengo 12. Qual è il numero n?

Quale numero devo aggiungere a 47 per ottenere 78?

13 Quale numero devo togliere da 98 per ottenere 34? 14 Inserisci i simboli di maggiore, minore e uguale: a) 358 + 795 … 358 + 794 c) 489 + 323 … 488 + 322 b) 267 + 1278 … 266 + 1279 d) 458 + 200 … 459 + 199 15 Inserisci i simboli di maggiore, minore e uguale: a) 345 – 224 … 345 – 223 c) 890 – 363 … 898 – 367 b) 344 – 167 … 345 – 168 d) 522 – 487 … 520 – 485

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Unità 1

I Moltiplicazione e divisione 16 Calcola la seguente operazione e determina la proprietà applicata. 11 ⋅ 3 ⋅ 7 = 3 ⋅ 11 ⋅ 7 17 Calcola la seguente operazione e determina la proprietà applicata. 7 ⋅ 5 ⋅ 2 = 7 ⋅ ( 5 ⋅ 2 ) = 7 ⋅ 10 18 Calcola la seguente operazione e determina la proprietà applicata. 7 ⋅ 12 ⋅ 5 = 7 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 19 Quale proprietà è applicata alla seguente operazione? 22 ⋅ 5 = ( 20 + 2 ) ⋅ 5 = 20 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5 = 100 + 10 = 110 20 Quale proprietà è applicata alla seguente operazione? 12 : 4 = (12 ⋅ 2 ) : ( 4 ⋅ 2 ) = 24 : 6 = 4 21

Applica la proprietà associativa alla seguente moltiplicazione: 2 · 32 · 5

22 Applica la proprietà dissociativa alla seguente moltiplicazione: 25 · 12 23 Applica la proprietà distributiva alla seguente moltiplicazione: 15 · 12 24 Applica la proprietà invariantiva alla seguente divisione: 120 : 40 25 Calcola le seguenti operazioni: a) 235 · 0 b) 75 : 0

c) 0 : 0

d) 0 : 57

26 Calcola le seguenti operazioni: a) 457 : 1 b) 35 : 35

c) 0 · 389

d) 230 · 1

27 Calcola le seguenti operazioni: a) 12 · 100 b) 340 : 10

c) 560 · 10

d) 7800 : 100

28 Quale delle seguenti operazioni non ha il risultato nell’insieme dei numeri naturali? a) 32 · 134 b) 25 : 5 c) 7 · 81 d) 62 : 3 29 Completa le seguenti uguaglianze: a) 25 · … = 75 b) … · 31 = 713

c) 225 : … = 15

d) … : 51 = 24

30 Se moltiplico 14 per un numero ottengo 126. Qual è quel numero? 31 Quale numero devo moltiplicare per 35 per ottenere 1645?

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Parte B

32 Se divido 391 per un numero ottengo 23. Qual è il numero? 33 Se divido un numero per 84 ottengo 15. Qual è il numero?

I Espressioni aritmetiche 34

25 + (18 − 6 + 1) − (13 + 9 − 5 )

20 + 2 − [10 + 9 − (14 − 2 + 6 − 9 ) + 4 − 6 + 7 ] + 13 − 2

(13 ⋅ 3 + 45 ) : 21 + (12 − 16 : 4 ) : 2 + 7

54 − [ 5 + 2 ⋅ ( 3 + 6 ⋅ 2 ) + 7 ] : 6 + 42 : 7 − 23

3 ⋅ 5 ⋅ 7 : [ (16 − 2 ⋅ 3 ) : 5 + ( 5 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 ) : 9] − 5 ⋅ 4

{16 ⋅ 2 − [7 ⋅ 3 + 9 − (18 − 10 ) ⋅ (64 : 8 − 6 )] + ( 32 − 6 ⋅ 4 ) : 4} : 5

{[(6 ⋅ 4 + 1) : 5 + 3 ⋅ 2] ⋅ 12 + 64 : 8} : {7 ⋅ [ 35 − 3 ⋅ (15 ⋅ 2 − 19)]}

{[( 27 : 3 ⋅ 8 + 10 ) − ( 35 : 7 + 12)] ⋅ (56 : 7 − 4 )} − 8 − (50 ⋅ 4 + 8 )

{[( 27 ⋅ 4 + 20 − 1 − 90 : 9) : 3 + 7 ] ⋅ 5 + 2} : 8 + ( 2 ⋅ 49 − 21 ⋅ 4 ) − 2 ⋅ 20

43 Usando nell’ordine dato e una sola volta i numeri 48, 10 e 3 costruisci l’espressione che dia come risultato 18. 44 Usando nell’ordine dato e una sola volta i numeri 20, 13 e 2 costruisci l’espressione che dia come risultato 14. 45 Usando nell’ordine dato e una sola volta i numeri 10, 14 e 4 costruisci l’espressione che dia come risultato 6. 46 Nelle seguenti successioni di numeri individua la regola e completa. a) 3, 5, 8, 12, … . b) 3, 6, 18, 72, … . c) 3, 5, 9, 17, … . d) 1, 4, 13, 40, … .

TEST D’INGRESSO 47 Un’operazione si dice aperta rispetto a un insieme numerico quando: a) L’operazione si può eseguire solo tra gli elementi dell’insieme b) L’operazione non si può eseguire tra gli elementi dell’insieme c) I risultati delle operazioni sugli elementi dell’insieme appartengono all’insieme d) I risultati delle operazioni sugli elementi dell’insieme non appartengono all’insieme 48 Quale proprietà è stata applicata? 8 ⋅ 2 ⋅ 7 = 16 ⋅ 7 58

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Unità 1

49 Quale proprietà è stata applicata? 8 ⋅ ( 3 + 2) = ( 8 ⋅ 3 ) + ( 8 ⋅ 2)

50 Quale proprietà è stata applicata? 10 : 4 = (10 ⋅ 2 ) : ( 4 ⋅ 2 )

51 Quale proprietà è stata applicata? 8 + 11 + 5 = 8 + 10 + 1 + 5 52 Quale proprietà è stata applicata? 16 – 9 = (16 – 5) – (9 – 5) 53 L’elemento neutro della moltiplicazione è: a) 0 b) 1 c) 10

d) non esiste

54 Quale delle seguenti uguaglianze è vera? a) 2 + 3 · 7 = 5 · 7 c) 24 + 8 : 2 = 24 + 4 b) 16 · 4 + 2 = 16 + 8 d) (5 + 4) · 3 = 5 + 4 · 3 55 Quale delle seguenti uguaglianze è vera? a) 8 + 4 · 4 = 64 c) 8 + 4 · 4 = 48 b) 8 + 4 · 4 = 24 d) 8 + 4 · 4 = 16 56 Quale delle seguenti espressioni ha come risultato 1? a) 5 · 0 + 4 c) 8 – 14 : 2 b) 6 · 2 – 8 : 4 d) 5 + 16 : 8 57 Al numero 1 si applica per tre volte questo ciclo di operazioni: si triplica e si sottrae 1. Quale numero risulterà alla fine? a) 42 b) 41 c) 40 d) 44 58 Nell’insieme dei numeri naturali la sequenza numerica 3, 10, 16, 21, 25 si può continuare con: a) nessun numero b) 28 c) 27 d) 29 59 Nell’insieme dei numeri naturali la sequenza numerica 7, 6, 4, 1 si può continuare con: a) nessun numero b) 0 c) 3 d) 4 60 Nell’insieme dei numeri naturali la sequenza numerica 120, 115, 105, 90, 70, 45 si può continuare con: a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 61 Quale delle seguenti relazioni risulta sempre falsa per una qualunque coppia di numeri a e b appartenenti all’insieme N? a) a + b > 0 b) a : b > 0 c) a – b < 0 d) ab < 0

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PARTE B UNITÀ

1 2

Potenze

I Elevazione a potenza I Proprietà delle potenze I Notazione esponenziale A volte non è importante conoscere il valore numerico esatto che assume una certa quantità, ma è sufficiente sapere se è un valore grande o piccolo o se, addirittura, è un valore estremamente grande o estremamente piccolo.

I Elevazione a potenza 1 Che cosa è la potenza di un numero? La potenza P del numero naturale B è il prodotto della moltiplicazione che ha come fattori solo B. Il numero B si chiama base della potenza; il numero E, che indica quante volte occorre moltiplicare per se stessa la base, è definito esponente (o grado) della potenza. Quindi

{

B·B· …·B E volte Esempio

Data la base B = 2 e l’esponente E = 5, la potenza P è il prodotto della moltiplicazione 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 Quindi P = 32. 2 Come si indica la potenza di un numero? Data la base B e l’esponente E, la potenza P si indica come P = BE e si legge come B elevato a E. La potenza è una moltiplicazione ripetuta che consente una notazione “abbreviata”. Esempio

Data la base B = 3 e l’esponente E = 4, la potenza P è il prodotto della moltiplicazione 3 · 3 · 3 · 3 = 81 Secondo la notazione delle potenze diventa 34 = 81 e si legge 3 elevato a 4 o anche tre alla quarta. 60

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Unità 2

3 In cosa consiste l’operazione di elevazione a potenza? L’elevazione a potenza (o elevamento a potenza) è l’operazione con la quale si calcola il valore della potenza di un numero. Si effettua in due passaggi: prima si sviluppa la potenza nella moltiplicazione ripetuta e poi si calcola il prodotto. Esempio

Calcolare il valore della seguente potenza 104 Lo sviluppo in moltiplicazione ripetuta è 10 · 10 · 10 · 10 e quindi il prodotto è 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 4 Come si può trasformare una potenza con esponente negativo? In caso di esponente negativo, è valida la seguente uguaglianza che sfrutta la notazione di frazione. B−E =

1 BE

Le potenze con esponente negativo sono il reciproco della stessa potenza con esponente positivo. Esempio

Il numero 5 elevato a –2 può essere scritto in uno dei seguenti modi equivalenti 5 −2 =

1 52

I Proprietà delle potenze 5 Come si calcola il prodotto di potenze con la stessa base? Il prodotto di due potenze con la stessa base a è uguale alla potenza che ha per base a e per esponente la somma degli esponenti, cioè a m ⋅ a n = a ( m+n )

La regola si estende a un numero qualsiasi di potenze come fattori. Esempio

Il prodotto

123 ⋅ 122 = 12( 3+2) = 125

Infatti, le potenze-fattori hanno la medesima base 12.

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Parte B

6 Come si calcola il quoziente di potenze con la stessa base? Il quoziente di due potenze con la stessa base a è uguale alla potenza che ha per base a e per esponente la differenza degli esponenti; cioè a m : a n = a ( m−n )

Se l’esponente della potenza-dividendo è minore di quello della potenza-divisore, la potenza-quoziente ha esponente negativo (punto 4). Se l’esponente della potenza-dividendo è uguale a quello della potenza-divisore, la potenzaquoziente ha esponente zero (punto 11). Esempio

Caso con m > n

8 7 : 8 5 = 8 ( 7 −5 ) = 8 2

Caso con n > m

5 3 : 57 = 5 ( 3−7 ) = 5 −4

Caso con m = n

6 5 : 6 5 = 6 ( 5 −5 ) = 6 0

7 Come si calcola il prodotto di potenze con lo stesso esponente? Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente m è uguale alla potenza con esponente m e per base il prodotto delle basi, cioè a m ⋅ b m = ( a ⋅ b) m

La regola si estende a un numero qualsiasi di potenze come fattori. È possibile “rovesciare” la definizione: la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei fattori. Esempio

Il prodotto 25 ⋅ 3 5 = ( 2 ⋅ 3 ) = 6 5 5

Infatti le potenze-fattori hanno il medesimo esponente 5. 8 Come si calcola il quoziente di potenze con lo stesso esponente? Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente m è uguale alla potenza che ha per esponente m e per basi il quoziente delle basi, cioè a m : b m = ( a : b) m

È possibile “rovesciare” la definizione: la potenza di un quoziente è uguale al quoziente delle potenze del dividendo e del divisore. Esempio

Il quoziente 15 3 : 5 3 = (15 : 5 ) = 3 3 3

Infatti la potenza-dividendo e la potenza-divisore hanno il medesimo esponente 3.

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Unità 2

9 Come si calcola la potenza di una potenza? La potenza di una potenza è uguale alla potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti, cioè

(a )

m n

= a ( m⋅n )

Esempio

La potenza di potenza

(9 )

3 5

= 9( 3 ⋅ 5 ) = 915

Infatti il prodotto tra i due esponenti è uguale a 15. 10 Qual è la potenza di un numero con esponente uguale a 1? Un qualsiasi numero a elevato a 1 dà come risultato il numero stesso, cioè a1 = a Esempio

61 = 6 11 Qual è la potenza di un numero con esponente uguale a 0? Un qualsiasi numero a diverso da zero, elevato a 0 dà come risultato uno, cioè a0 = 1 Esempio

40 = 1 12 Qual è la potenza quando la base è uguale a 1? Un qualsiasi numero m, messo a esponente di 1, dà come risultato uno, cioè 1m = 1 Esempio

13 = 1 13 Qual è la potenza quando la base è uguale a 0? Un qualsiasi numero m diverso da zero, messo a esponente di 0, dà come risultato zero, cioè 0m = 0 Esempio

07 = 0 14 Qual è la potenza quando base ed esponente sono entrambi uguali a 0? Non è possibile determinare il risultato della potenza 00 e dunque tale potenza non ha significato. 63

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Parte B

I Notazione esponenziale

{

15 Come si calcolano (rapidamente) le potenze con base 10? Per calcolare il valore delle potenze con base 10 ed esponente m si fa seguire al numero 1 un numero m di zeri, cioè 100 … 0 m volte Esempio

La potenza di base 10 104 = 10 000 Infatti, avendo esponente 4, il numero 1 è seguito da quattro zeri. 16 In cosa consiste la notazione esponenziale in base 10? Esistono numeri che possono essere rappresentati come prodotti tra un numero e una potenza di base 10. In questi casi si sfrutta la notazione esponenziale. La notazione esponenziale in base 10 consiste nel prodotto tra un numero a chiamato mantissa, e una potenza di base 10, il cui esponente m è chiamato caratteristica, cioè a · 10m Esempio

Il numero 200 000, che si può esprimere come moltiplicazione 2 ∙ 100 000, può essere rappresentato con la seguente notazione esponenziale 200 000 = 2 · 105 dove 2 è la mantissa e 5 è la caratteristica. 17 In cosa consiste la notazione standard? La notazione standard (o notazione scientifica) sfrutta la notazione esponenziale. Consiste nel prodotto di una potenza di 10 per un numero decimale in cui la parte intera è costituita da una sola cifra diversa da zero (per la definizione di numero decimale vedere unità 4 parte B). Esempio

Il numero 23 500, che si può esprimere come la moltiplicazione 2,35 ∙ 10 000, può essere rappresentato con la seguente notazione standard 23 500 = 2,35 · 104 dove 2,35 è la mantissa (decimale) e 4 è la caratteristica. 18 Perché è utile la notazione standard? La notazione standard consente di rappresentare valori molto grandi e molto piccoli che si incontrano nello studio delle scienze.

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Unità 2

Esempio

La massa della Terra è di mT = 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg

un numero di addirittura 25 cifre; in notazione scientifica il valore si esprime più “comodamente” come mT = 5, 98 ⋅ 10 24 kg

La lunghezza di un cloroplasto è di circa lC = 0, 000005 m

quindi un numero di parecchie cifre decimali; in notazione scientifica il valore diventa lC = 5 ⋅ 10 −6 m

19 Che cosa è l’ordine di grandezza? L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 il cui valore si avvicina maggiormente al numero stesso. Esempio

Il numero 78 000 è compreso tra 10 000 = 104 e 100 000 = 105 ma avvicinandosi di più a 105 si sceglie tale potenza come ordine di grandezza del numero 78 000.

QUESITI a Su quale operazione fondamentale si struttura l’elevazione a potenza?

d Quali sono le basi che comportano potenze particolari?

b È possibile eliminare l’esponente negativo di una potenza?

e Perché è importante la potenza con base 10?

c Quali sono gli esponenti che comportano potenze particolari?

f Come è possibile gestire valori numerici con parecchie cifre?

ESERCIZI I Elevazione a potenza 1

Scrivi in forma di potenza le seguenti moltiplicazioni: a) 9 · 9 b) 4 · 4 · 4 c) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

d) 3 · 3 · 3 · 3 · 3

Calcola le seguenti potenze: b) 53 a) 72

d) 34

c) 25

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Parte B

Calcola le seguenti potenze particolari: b) 00 c) 50 a) 15

d) 05

e) 51

Sostituisci all’esponente x il valore che rende vere le seguenti uguaglianze: b) 11x = 121 c) 5x = 1 d) 7x = 7 a) 3x = 27

Sostituisci alla base x il valore che rende vere le seguenti uguaglianze: b) x4 = 16 c) x7 = 0 d) x1 = 12 a) x2 = 81

Quale delle seguenti uguaglianze è vera? 1 1 1 a) a − n = n b) a − n = − c) a − n = − n a a a

La potenza 4–2 equivale a: 1 1 a) b) 8 16

1 4

Calcola le seguenti potenze con esponente negativo: b) 5–3 c) 2–4 a) 3–2

d) a − n = −

1 an

1 4 −2

d) 10–2

Calcola le seguenti espressioni aritmetiche con potenze: a) 5 2 + 6 2 : 18 − 3 3 + 4 2 b) ( 3 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 5 + 25 − 4 2 ) : 6 c) ⎡⎣(7 ⋅ 22 + 3 4 − 4 3 ) : 3 2 − 4 ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣( 25 − 29 ) ⋅ 7 − 3 2 ⋅ 2 ⎤⎦

{

}

d) ⎡⎣( 25 − 3 3 ) : 5 + 8 2 ⎤⎦ : 5 + 3 3 : 23

I Proprietà delle potenze 10 Calcola la soluzione corretta della moltiplicazione 114 · 112. b) 1216 c) 116 a) 112 11

Calcola la soluzione corretta della moltiplicazione 154 · 24. b) 174 c) 158 a) 308

d) 304

Calcola la soluzione corretta della divisione 813 : 810. b) 13 c) 83 a) 823

d) 123

13 Calcola la soluzione corretta della divisione 124 : 44. b) 484 c) 30 a) 31

d) 34

14 Calcola applicando le proprietà delle potenze. b) 285 : 145 c) 22 · 24 a) 34 : 33

d) 52 · 32

15 Calcola le seguenti divisioni tra potenze. b) 103 : 106 c) 5 : 52 a) 24 : 26

d) 257 : 259

d) 118

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Unità 2

16 Scrivi il risultato in forma di potenza. a) ( 3 2 )

5 b) ⎡( 5 3 ) ⎤ ⎣ ⎦

{

3 c) ⎡⎣(7 ) ⎤⎦

{

}

3 5

2 d) ⎡( 25 ) ⎤ ⎣ ⎦

}

3 3

17 Calcola le seguenti espressioni: a) 4 2 ⋅ 4 2 : 4 + 25 : 22 − 8 5 : 8 3 b) ( 3 2 ⋅ 3 ) : ( 37 : 3 4 ) : 3 4 5

c) ( 27 ⋅ 37 : 6 5 ) : 3 2 − ( 8 3 : 23 ) : 4 2 d) ⎡⎣( 3 5 : 3 2 + 13 ) : ( 27 : 24 ) + 3 2 ⎤⎦ : 7 + ⎡⎣( 3 8 : 3 5 − 2 ) ⋅ 22 − 23 ⎤⎦ : 23 18 Calcola le seguenti espressioni: 2 5 4 2 a) ⎡( 92 ⋅ 92 ) ⋅ ( 92 ) ⎤ : ⎡( 94 ) : ( 93 ) ⎤ : 96 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2

6 4 b) ⎡( 312 ⋅ 7 12 ⋅ 212 ) : ( 6 2 ⋅ 7 2 ) ⎤ : ⎡(125 : 124 ⋅ 7 : 22 ) ⎤ : (1810 : 910 ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2

{

}

2 c) 3 2 ⋅ 5 + 22 ⋅ 3 2 ⋅ ( 5 ⋅ 3 − 3 2 ) ⋅ ⎡3 2 − 2 ⋅ ( 2 ⋅ 3 2 − 24 ) ⎤ − 4 2 ⋅ 3 2 : ( 6 2 + 3 ) ⎣ ⎦

{

}

2 3 8 5 d) ⎡( 4 5 ⋅ 4 2 ) : 412 ⎤ : ⎡( 4 4 ⋅ 4 8 : 4 6 ) : ( 4 2 ) ⎤ + ⎡⎣( 3 ) ⎤⎦ ⋅ 210 : ( 210 ⋅ 310 ) ⋅ ⎡⎣( 23 + 5 2 ) : 11⎤⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2

I Notazione esponenziale 19 Scegli il valore corretto della potenza 104. a) 1000

b) 10 000

1 10 000

20 Scegli il valore corretto della potenza 10–3. a) 0,001 b) 0,0001 c) 30 21

Scrivi l’ordine di grandezza dei seguenti numeri: a) 300 b) 12 000 c) 7 978 000

d) 40

d) 1000

d) 6600

22 Scrivi l’ordine di grandezza dei seguenti numeri: a) 0,02 b) 0,0008 c) 0,000004

d) 0,00000009

23 Scrivi in forma esponenziale i numeri dati. a) 20 000 b) 4500 c) 8 700 000

d) 700 000

24 Scrivi in forma standard i numeri dati. a) 2100 b) 68 500 c) 9 500 000

d) 400 000

25 Esegui i seguenti calcoli: b) 2 · 102 a) 3 · 104

d) 4 · 10–6

c) 5 · 10–3

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Parte B

26 Inserisci in modo opportuno i segni > o < tra i seguenti numeri scritti in forma standard: c) 0,2 · 103 … 2,7 · 10–5 a) 2,3 · 104 … 3,2 · 105 b) 5,43 · 10–4 … 6,21 · 103 d) 6,9 · 10–3 … 4,9 · 10–6

TEST D’INGRESSO 27 Considera la potenza 53 e indica il suo valore. a) 15 b) 125 c) 8 28 Considera la potenza 15 e indica il suo valore. a) 5 b) 6 c) 1 29 Considera la potenza 80 e indica il suo valore. a) 1 b) 0 c) 8 30 Qual è il valore da assegnare alla x nelle seguenti potenze? x

a) 2x = 16

b) 7x = 49

31 Il valore dell’espressione 32 + 52 è: b) 152 a) 82

c) 10x = 1000

1 1 d) ⎛⎜ ⎞⎟ = 2 ⎝2⎠

c) 84

d) 34

32 Il valore dell’espressione ( 23 − 2 ) ⋅ 3 0 è: a) 6 b) 18 c) 0

d) 1

33 Calcola il valore dell’espressione:

+ 24 ) : 23 ⋅ 22

34 Risolvi la seguente espressione: 100 − 2 ⋅ (7 2 − 5 ⋅ 9 ) − ( 22 ⋅ 7 − 25 ) ⋅ 5 − 24 2

35 Considera il prodotto 65 · 62 e indica la potenza corrispondente. b) 63 c) 610 a) 67 36 Considera il prodotto 83 · 73 e indica la potenza corrispondente. b) 563 c) 566 a) 569 37 Considera il quoziente 712 : 79 e indica la potenza corrispondente. b) 73 c) 13 a) 721 38 Considera il quoziente 844 : 74 e indica la potenza corrispondente. b) 12 c) 1216 a) 124 39 Quale delle seguenti uguaglianze è vera? b) 37 · 34 = 911 c) 37 · 34 = 928 a) 37 · 34 = 311

d) 37 · 34 = 328

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Unità 2

40 Quale delle seguenti uguaglianze è vera? b) 28 : 24 = 22 c) 28 : 24 = 212 a) 28 : 24 = 14

d) 28 : 24 = 24

41 L’espressione 37 · 34 : 3 ha come risultato: b) 311 c) 310 a) 327

d) 326

42 Calcola il valore delle seguenti espressioni: c) ⎡⎣(122 − 8 2 ) : 2 ⎤⎦

a) 122 − 8 2 : 23 b) (122 − 8 2 ) : 23

d) ⎡(12 − 8 )2 : 2 ⎤ ⎣ ⎦

43 Nelle seguenti uguaglianze introduci nella prima espressione le parentesi necessarie affinché ognuna di esse risulti uguale alla seconda. a) 100 : 2 + 3 2 − 6 ⋅ 22 = 50 + 3 ⋅ 4 b) 100 : 2 + 3 2 − 6 ⋅ 22 = 100 : 5 ⋅ 4 c) 100 : 2 + 3 2 − 6 ⋅ 22 = 100 : 20 44 Risolvi la seguente espressione: ⎡⎣( 66 2 : 112 + 22 ) : ( 20 ⋅ 5 ) ⎤⎦ : 22 − ( 5 3 + 5 2 ) : ( 3 ⋅ 5 2 ) + 4 0 45 Risolvi la seguente espressione:

{

2 20 + 13 + 23 − ⎡( 23 ) : ( 64 : 4 : 4 2 ) ⎤ ⎣ ⎦

}

2 : ⎡315 : ( 37 ) ⎤ + ( 5 2 + 25 + 3 ) : ( 5 ⋅ 3 ) − 115 ⎣ ⎦

46 Quale dei seguenti numeri è compreso tra 103 e 104? a) 999 b) 9999 c) 99

d) 99999

47 Qual è il risultato del calcolo 10–3? a) 0,001

1 3

c) 1000

48 Il numero 3500 può essere scritto come: b) 3 · 103 + 5 · 102 c) 3,5 · 102 a) 3,5100

1 30

d) 3 · 103 · 5 · 102

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PARTE B UNITÀ

1 3

I I I I

Divisibilità (MCD e mcm)

Criteri di divisibilità Scomposizione in fattori primi Massimo Comune Divisore (MCD) Minimo comune multiplo (mcm)

La successione dei numeri primi rappresenta, fin dall’antica Grecia, uno dei misteri più affascinanti della scienza: c’è un ordine prevedibile nella serie dei numeri primi? Nel 1859, il matematico tedesco Bernhard Riemann presentò una sua ipotesi, che sembrava rivelare una magica armonia tra i numeri primi e gli altri numeri.

I Criteri di divisibilità 1 Che cosa è un multiplo? Il multiplo q di un generico numero naturale n è quel numero che si ottiene moltiplicando n per un qualsiasi numero naturale m (compreso n stesso), cioè q=n·m e si legge q è multiplo di n. Esempio Il numero q = 35 è un esempio di multiplo del numero n = 7: in questo caso il numero moltiplicativo è m = 5, cioè 35 = 7 · 5

2 Quali sono le caratteristiche dei multipli? Ogni numero possiede un numero infinito di multipli. Il numero 0 è multiplo di qualsiasi numero. Ogni numero è multiplo di se stesso. 3 Che cosa è un sottomultiplo o divisore? Il sottomultiplo o divisore s di un generico numero naturale p è quel numero che, se messo a divisore di p, nella divisione ottenuta dà come quoziente un numero naturale t senza resto, cioè p : s = t (senza resto) e si legge in uno dei seguenti modi tra loro equivalenti: s è sottomultiplo di p o s è divisore di p. Comunque la lettura più comune è p è divisibile per s

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Esempio La divisione

35 : 7 = 5

indica che il numero p = 35 è divisibile per il numero s = 7 perché il quoziente t = 5 è senza resto. In modo equivalente si afferma che 7 è divisore di 35.

4 Quali sono le caratteristiche dei divisori? I divisori di un numero sono in numero finito. Il numero zero ammette come divisore qualunque numero naturale diverso da zero. Ogni numero naturale è divisore di se stesso. Ogni numero naturale ha come divisore il numero 1. 5 Che cosa s’intende per divisibilità? La divisibilità consiste nel verificare se un numero possiede divisori e, in caso affermativo, nel conoscere quali e quanti sono. Esistono regole applicative chiamate criteri di divisibilità che studiano la divisibilità di un numero in modo rapido (vedere punti seguenti). Esempio I divisori di 12 sono i seguenti sei numeri: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

6 Quando un numero è divisibile per 2? Un numero n è divisibile per 2 se è pari o, in modo equivalente, se l’ultima cifra è 0, 2, 4, 6, 8. Esempio Il numero 1256 è divisibile per 2 poiché è un numero pari o, in modo equivalente, perché l’ultima cifra è 6.

7 Quando un numero è divisibile per 3? Un numero n è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3. Esempio Il numero 4503 è divisibile per 3 poiché la somma delle sue cifre è 12, che è divisibile per 3.

8 Quando un numero è divisibile per 4? Un numero n è divisibile per 4 se le ultime due sue cifre a destra formano un numero divisibile per 4. Esempio Il numero 5116 è divisibile per 4 poiché termina con 16, che è divisibile per 4.

9 Quando un numero è divisibile per 5? Un numero n è divisibile per 5 se termina con la cifra 0 o 5. Esempio Il numero 3465 è divisibile per 5 poiché l’ultima sua cifra è 5. 71

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Parte B

10 Quando un numero è divisibile per 9? Un numero n è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9. Esempio Il numero 7263 è divisibile per 9 poiché la somma delle sue cifre è 18, che è divisibile per 9.

11 Quando un numero è divisibile per 10 o per una potenza di 10? Un numero n è divisibile per 10 o per una potenza di 10 se termina con almeno tanti zeri quanti sono contenuti nel divisore. Esempio Il numero 120 è divisibile per 10 poiché termina con uno zero; il numero 4500 è divisibile per 10 e per 100 poiché termina con due zeri.

12 Quando un numero è divisibile per 11? Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre in posizione pari e di quelle in posizione dispari (o viceversa) è un multiplo di 11. La posizione dell’unità è dispari, quindi quella delle decine è pari e così via. Esempio Il numero 7843 è divisibile per 11 poiché la differenza della somma delle cifre in posizione pari, cioè (4 + 7) e quelle in posizione dispari, cioè (3 + 8) è zero che è un multiplo di 11.

13 Qual è la differenza tra numero primo e numero composto? Un numero n è primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso. Un numero n è composto se è divisibile per un altro numero oltre a esserlo per 1 e per se stesso. Esistono infiniti numeri primi. Esempio Il numero 17 è un numero primo perché è divisibile per 1 e per se stesso. Il numero 15 è numero composto perché, oltre a essere divisibile per 1 e per se stesso, è anche divisibile per 3 e per 5.

I Scomposizione in fattori primi 14 Che cosa sono i fattori primi? I fattori primi di un numero n sono i numeri primi il cui prodotto è uguale a n. Esempio I fattori primi di 6 sono 2 e 3 infatti 6=2·3

15 In cosa consiste la scomposizione in fattori primi? La scomposizione in fattori primi (o fattorizzazione) trasforma un numero composto m in una moltiplicazione che ha come fattori solo numeri primi. 72

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Se un fattore primo si ripete, si scrive come potenza mettendo a esponente il numero di volte che si ripete. Esempio La scomposizione in fattori primi di 12 è 12 = 22 · 3

16 Come la scomposizione in fattori primi individua la divisibilità tra due numeri? Un numero n è divisibile per il numero m secondo il seguente criterio generale di divisibilità: il numero n è divisibile per m se tutti i fattori primi di m lo sono anche di n e se gli esponenti dei fattori primi di m sono minori o uguali a quelli di n. Esempio Siano dati i seguenti numeri scomposti in fattori primi 1176 = 23 · 3 · 72

84 = 22 · 3 · 7

Il numero n=1176 è divisibile per m = 84 perché tutti i fattori primi di 84 sono presenti nella fattorizzazione di 1176 con esponente minore o uguale.

17 Come la scomposizione in fattori primi consente di dividere rapidamente due numeri fra loro divisibili? Il quoziente di due numeri divisibili tra loro, n ed m, è il prodotto dei fattori primi di n, ciascuno con esponente dato dalla differenza degli esponenti di n ed m. Gli eventuali fattori primi di n che non compaiono tra quelli di m, nel prodotto mantengono il loro esponente. Esempio Sia data la divisione 1176 : 84 Si scompongono in fattori primi n = 1176 ed m = 84 e si verifica che siamo divisibili fra loro (vedere punto 16) ( 23 ⋅ 3 ⋅ 7 2 ) : ( 22 ⋅ 3 ⋅ 7 ) Infine, per il calcolo del quoziente della divisione data, si prendono i fattori primi di 1176 con esponente dato dalla differenza degli esponenti di 1176 e 84 cioè

2( 3−2) ⋅ 3 (1−1) ⋅ 7 ( 2−1) = 2 ⋅ 7

I Massimo Comune Divisore (MCD) 18 Che cosa è il Massimo Comune Divisore? Il Massimo Comune Divisore (MCD) tra due o più numeri è il massimo tra i loro divisori comuni. 19 Come si calcola il Massimo Comune Divisore per elencazione? Dati due o più numeri si determinano i divisori comuni dei numeri e tra questi si considera quello con valore massimo. Se due numeri non hanno divisori in comune oltre al numero 1, si definiscono primi tra loro. 73

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Esempio Siano dati i numeri 16 e 40. I divisori del numero 16 sono: 1, 2, 4, 8, 16 I divisori del numero 40 sono: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 Tra i divisori comuni (1, 2, 4, 8) il maggiore è il MCD, che è 8.

20 Come si calcola il Massimo Comune Divisore per scomposizione in fattori primi? Dati due o più numeri, si scompongono in fattori primi e si calcola il prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta con esponente minore. Esempio Calcolare il massimo comune divisore tra 2695 e 825. Si scompongono in fattori primi i due numeri: 2695 = 5 · 72 · 11 825 = 3 · 52 · 11 Quindi si moltiplicano i fattori comuni con esponente minore, cioè MCD = 5 · 11 = 55

I Minimo comune multiplo (mcm) 21 Che cosa è il minimo comune multiplo? Il minimo comune multiplo (mcm) tra due o più numeri è il minimo tra i loro multipli comuni. 22 Come si calcola il minimo comune multiplo per elencazione? Dati due o più numeri, si determinano i multipli del numero maggiore e, per ciascun multiplo, si valuta se è anche multiplo degli altri numeri. Il più piccolo dei multipli ottenuti è il minimo comune multiplo. Esempio Siano dati i numeri 8 e 6. I multipli del numero 8 sono: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, … . I multipli del numero 6 sono: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, … . Il minore tra i multipli in comune, è il mcm, che è 24.

23 Come si calcola il minimo comune multiplo per scomposizione in fattori primi? Dati due o più numeri, si scompongono in fattori primi e si calcola il prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta con esponente maggiore. Esempio Calcolare il minimo comune multiplo tra 360 e 588. Si scompongono in fattori primi i due numeri: 360 = 23 · 32 · 5

588 = 22 · 3 · 72

Quindi si moltiplicano i fattori comuni e non comuni con esponente maggiore, cioè mcm = 23 · 32 · 5 · 72 = 17 640 74

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Unità 3

QUESITI a Qual è la differenza tra un multiplo e un sottomultiplo?

d In cosa è sfruttata la scomposizione in fattori primi?

b Come è possibile individuare la divisibilità di un numero?

e Cosa significa l’acronimo MCD?

c Qual è la caratteristica dei numeri primi?

f Cosa significa l’acronimo mcm? g Qual è la differenza tra MCD ed mcm?

ESERCIZI I Criteri di divisibilità 1

Scrivi i multipli di 8 minori di 40.

Scrivi i multipli di 6 minori di 30.

Scrivi i sottomultipli o divisori di 15.

Scrivi i sottomultipli o divisori di 45.

Individua tra le seguenti affermazioni quella vera. a) 27 è sottomultiplo di 9 c) 5 è sottomultiplo di 70 b) 12 è multiplo di 36 d) 11 è multiplo di 55

Individua tra le seguenti affermazioni quella vera. a) 45 è divisibile per 8 c) 72 è divisibile per 7 b) 3 è divisore di 32 d) 8 è divisore di 96

Dato l’insieme A = {5, 12, 20, 24, 36, 45} determina il sottoinsieme B dei numeri divisibili per 2.

Dato l’insieme A = {5, 12, 20, 24, 36, 45} determina il sottoinsieme B dei numeri divisibili per 3.

Dato l’insieme A = {5, 12, 20, 24, 36, 45} determina per elencazione il sottoinsieme B dei numeri divisibili per 5.

10 Dato l’insieme A = {10, 15, 20, 32, 36, 40} determina il sottoinsieme B dei numeri divisibili per 2 e per 5. 11

Dato l’insieme A = {2, 4, 5, 7, 9, 10, 13, 15} determina il sottoinsieme P dei numeri primi.

Dato l’insieme A = {2, 3, 5, 6, 9, 10, 13, 14} determina il sottoinsieme C dei numeri composti.

I Scomposizione in fattori primi 13 Individua la corretta scomposizione in fattori primi del numero 30. a) 10 · 3 b) 2 · 32 c) 2 · 3 · 5 d) 5 · 6 75

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Parte B

14 Individua la corretta scomposizione in fattori primi del numero 84. a) 4 · 3 · 7 b) 22 · 3 · 7 c) 2 · 32 · 7 d) 2 · 3 · 21 15 Scomponi in fattori primi i seguenti numeri: a) 126 b) 504 c) 1350

d) 3224

16 Stabilisci con il criterio generale di divisibilità se 6912 è divisibile per 72. 17 Stabilisci con il criterio generale di divisibilità se 2352 è divisibile per 22.

I Massimo Comune Divisore (MCD) 18 Calcola il MCD dei numeri 36 e 90. 19 Calcola il MCD dei numeri 144, 166 e 96. 20 Un fiorista ha a disposizione 84 rose e 60 fresie e vuole preparare dei mazzi misti in modo che ognuno abbia lo stesso numero di fiori. Quanti mazzi riuscirà a confezionare? Quante rose ci saranno in ciascun mazzo? 21

In una merceria ci sono tre pezze di stoffa lunghe 12, 18 e 30 metri. Il negoziante le deve dividere in parti tutte uguali: quale sarà la lunghezza massima di ogni parte?

I Minimo comune multiplo (mcm) 22 Calcola il mcm dei numeri 18 e 20. 23 Calcola il mcm dei numeri 27, 36 e 30. 24 Calcola il mcm dei numeri 636, 530 e 477. 25 Due stelle comete orbitano intorno al Sole: una impiega 42 anni a compiere l’orbita, l’altra 56 anni. Se si osservano contemporaneamente nell’anno corrente, fra quanti anni accadrà ancora?

TEST D’INGRESSO 26 Indica le domande con risposta affermativa. a) Tutti i numeri divisibili per 3 sono dispari? b) Tutti i numeri divisibili per 6 sono pari? c) Tutti i numeri sono divisibili per 1? d) Tutti i numeri dispari sono divisibili per 3? 27 Indica le domande con risposta negativa. a) Il numero 3 è un numero composto? b) Il numero 2 è un numero primo? c) Tutti i numeri sono divisibili per se stessi? d) Il numero 1 è multiplo di ogni numero? 76

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28 Indica le domande con risposta affermativa. a) Tutti i numeri dispari sono primi? c) Tutti i multipli di 4 sono anche multipli di 2? b) Tutti i numeri primi sono dispari? d) I numeri composti hanno solo due divisori? 29 Scrivi i divisori di 18. 30 I multipli di 12 sono multipli anche di 6? 31 I divisori di 8 sono anche divisori di 16? 32 Nella frase “12 è divisibile per 3”, l’espressione “è divisibile per” può essere sostituita, senza che il significato cambi, dall’espressione: a) “è multiplo di” b) “è fattore di” c) “è sottomultiplo di” d) “è divisore di” 33 Se un numero naturale n è divisibile per i numeri x e y, allora: a) è sicuramente divisibile per il prodotto xy b) non è divisibile per il prodotto xy c) è divisibile per il prodotto xy solo se sono numeri primi d) è divisibile per il prodotto xy solo se sono primi tra loro 34 I numeri primi terminano con una delle seguenti cifre: a) 1, 2, 3, 5 b) 1, 3, 7, 9 c) 1, 3, 5, 7

d) 2, 4, 6, 8

35 Quale, tra le seguenti coppie di numeri, è formata da numeri primi tra loro? a) 32, 27 b) 12, 9 c) 14, 28 d) 5, 15 36 Tra i seguenti numeri 12, 51, 32, 17, 15, 34, 16, 8, 102 individua: a) i numeri primi c) i numeri divisibili sia per 17 che per 3 b) i numeri multipli sia di 3 che di 2 d) i numeri multipli sia di 2 che di 16 37 Qual è la corretta scomposizione in fattori primi del numero 36? c) 32 · 4 d) 22 · 32 a) 3 · (5 + 7) b) 62 38 Qual è la corretta scomposizione in fattori primi del numero 2940? a) 2 · 3 · 5 · 72 b) 22 · 3 · 5 · 72 c) 2 · 32 · 5 · 72 d) 22 · 3 · 55 · 7 39 Scomponi in fattori primi il numero 8580. 40 Se un numero è multiplo di un altro il loro mcm è: a) l’unità b) il minore dei due c) il loro prodotto

d) il maggiore dei due

41 Calcola il MCD e il mcm tra i seguenti numeri: a) (18, 25) b) (18, 12, 32) c) (4, 10, 12, 6)

d) (35, 490, 210)

42 Il MCD e il mcm tra i numeri 34, 36 e 42 sono: a) 6 e 53 b) 3 e 84 c) 3 e 126

d) 2 e 4284

43 Due navi partono dal porto di Savona; una nave parte ogni 18 giorni e l’altra ogni 12. Se il 15 settembre sono partite insieme, in che giorno ripartiranno insieme? 77

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PARTE B UNITÀ

1 4

I I I I

Numeri razionali e frazioni

Numeri razionali Classificazione delle frazioni Confronto tra frazioni Operazioni tra frazioni

Il termine razionale deriva dal latino ratio, che significa rapporto.

I Numeri razionali 1 Che cosa contiene l’insieme dei numeri razionali? L’insieme dei numeri razionali, indicato con il simbolo Q, è un ampliamento dell’insieme dei numeri naturali e contiene sia numeri naturali sia numeri decimali. 2 Perché occorre ampliare l’insieme dei numeri naturali a quello dei razionali? La divisione tra due numeri naturali dove il dividendo non è multiplo del divisore non è una operazione interna all’insieme dei numeri naturali, perché il quoziente non è un numero naturale. Occorre quindi ampliare l’insieme N aggiungendo i numeri decimali. 3 Che cosa è un numero decimale? Il numero decimale è un numero in cui compare una virgola che separa la parte detta intera del numero (a sinistra della virgola) dalla parte detta decimale del numero (a destra della virgola). Esempio Il numero decimale 5,81 ha come parte intera 5 e come parte decimale 81.

4 Che cosa è un numero periodico? Un numero periodico è un numero decimale in cui una o più cifre decimali si ripetono all’infinito. L’insieme delle cifre decimali ripetute è definito periodo; l’insieme delle cifre decimali non ripetute è definito antiperiodo. Esempio – Il numero decimale 0,4 ha come periodo 4. — Il numero decimale 1,845 ha come periodo 45 e antiperiodo 8.

5 Che cosa è una frazione? n La frazione è una possibile rappresentazione di un numero razionale che assume la forma m 78

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dove n è chiamato numeratore ed m è chiamato denominatore; la linea che separa i due numeri è chiamata linea di frazione. Attenzione: una frazione ha senso solo se il denominatore è diverso da zero. Una frazione con numeratore e denominatore uguali a zero è detta indeterminata. Una frazione che ha come denominatore una potenza di 10 è detta frazione decimale. Un qualsiasi numero naturale è una frazione che ha come denominatore 1.

6 Come si passa da un numero decimale alla frazione decimale e viceversa? Dato un numero decimale, il numeratore della frazione decimale è il numero decimale senza virgola e il denominatore è un numero composto da 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali. Data una frazione decimale, si scrive il numeratore e si mette la virgola in modo da avere tante cifre decimali quanti sono gli zeri del denominatore. Esempio Da numero decimale a frazione decimale: 4, 27 =

427 100

Da frazione decimale a numero decimale: 47 = 0, 047 1000

7 Come si passa da un numero periodico alla relativa frazione? Al numeratore, si pone la differenza tra il numero periodico scritto senza la virgola e il numero composto da tutte le cifre che precedono il periodo. Al denominatore, si pongono tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo. Esempio – Il numero periodico 0,34 ha come frazione 0, 34 =

34 − 3 31 = 90 90

8 Come la frazione si comporta da operatore? n La frazione che precede un numero naturale k assume la funzione di operatore; l’applicam zione della frazione-operatore è rappresentato nei seguenti due modi equivalenti n n di k oppure (k) m m e comporta come risultato un numero che si ottiene dividendo k per m, e quindi, moltiplicando il quoziente ottenuto per n. Esempio 3 al numero naturale 35. Si divide 35 per m = 5 e si moltiplica il 5 quoziente ottenuto per il numeratore n = 3; quindi Applicare l’operatore-frazione

(35 : 5) · 3 = 21

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Parte B

I Classificazione delle frazioni 9 Quando una frazione è propria, impropria e apparente? Una frazione propria ha numeratore minore del denominatore. Una frazione impropria ha numeratore maggiore o uguale al denominatore. Una frazione apparente ha numeratore multiplo del denominatore. 10 Quando due o più frazioni sono equivalenti? Due o più frazioni sono equivalenti se, applicandole come operatori allo stesso numero, danno lo stesso risultato. Due frazioni sono equivalenti se, dividendo il loro numeratore per il rispettivo denominatore, si ottiene il medesimo risultato. Esempio 2 , l’applicazione (per esempio) al numero 100, comporta 5 2 (100) = 40 5 4 2 4 Verifichiamo che la frazione è equivalente a . L’applicazione della frazione-operatore 10 5 10 al numero 100, comporta 4 (100) = 40 10 4 2 Le frazione è dunque equivalente alla frazione . 10 5 Data la frazione-operatore

11 Come si crea una frazione equivalente a una data? Si moltiplicano o si dividono numeratore e denominatore della frazione data per uno stesso numero diverso da zero. Esempio 8 si sceglie di dividere numeratore e denominatore per 2. 18 8:2 4 4 8 Quindi: = . La frazione è equivalente a . 18 : 2 9 9 18 Data la frazione

I Confronto tra frazioni 12 Che cosa significa ridurre ai minimi termini una frazione? Significa trasformarla in un’altra frazione equivalente con termini primi tra loro. Numeratore e denominatore di una frazione ridotta ai minimi termini non hanno divisori in comune.

13 Come si riduce ai minimi termini una frazione? Occorre dividere numeratore e denominatore per uno stesso comune divisore. Se esiste un divisore comune, la frazione è riducibile ai minimi termini.

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Esempio La frazione

26 è riducibile poiché sia numeratore che denominatore sono divisibili per il numero 39

13; quindi

26 : 13 2 = 39 : 13 3

2 è la frazione ridotta ai minimi termini. 3

14 In che cosa consiste la riduzione a minimo comune denominatore (mcd) di due o più frazioni? Ridurre a minimo comune denominatore (mcd) due o più frazioni significa determinare frazioni tra loro equivalenti che abbiano come unico denominatore il più piccolo dei multipli dei denominatori. 15 Come si esegue la riduzione a mcd di due o più frazioni? Date due o più frazioni si procede nel seguente modo: dapprima si riducono le frazioni ai minimi termini, quindi si determina il mcd tra i denominatori. Dopodiché per ogni frazione si divide il mcd per il denominatore della frazione e il risultato si moltiplica per il numeratore della frazione. Esempio Ridurre a mcd le frazioni

5 3 e . 6 8

1) Le frazioni sono ai minimi termini. 2) Il mcd tra i denominatori 6 e 8, è 24. 3) Si divide 24 per il denominatore 6, e il quoziente si moltiplica per 5: si ottiene 20. 4) Si divide 24 per il denominatore 8, e il quoziente si moltiplica per 3: si ottiene 9. 20 9 Le frazioni ridotte a mcd sono dunque: e 24 24

16 Come si stabilisce se una frazione è maggiore di un altra? Se una frazione è propria e l’altra impropria, è maggiore quella impropria. Se due frazioni hanno denominatori uguali, è maggiore quella che ha numeratore maggiore. Se due frazioni hanno numeratori uguali, è maggiore quella che ha denominatore minore. Se due frazioni hanno numeratori e denominatori diversi, si riducono al mcd e quindi si confrontano le frazioni equivalenti ottenute.

I Operazioni tra frazioni 17 Come si esegue l’addizione tra due frazioni? Si riducono le frazioni a mcd e si scrive la frazione in cui il denominatore è il mcd e il numeratore è la somma dei rispettivi numeratori. Esempio 3 1 9 + 7 16 + = = 7 3 21 21

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Parte B

18 Come si esegue la sottrazione tra due frazioni? Si riducono le frazioni a mcd e si scrive la frazione in cui il denominatore è il mcd e il numeratore è la differenza dei rispettivi numeratori. Esempio 5 1 15 − 2 13 − = = 4 6 12 12

19 Come si esegue la moltiplicazione tra due frazioni? La frazione prodotto si ottiene moltiplicando fra loro i due numeratori e i due denominatori. Una frazione è detta inversa di un’altra frazione se il loro prodotto è uguale a 1. Esempio 3 7 3 ⋅ 7 21 ⋅ = = 5 4 5 ⋅ 4 20

20 Come si esegue la divisione tra due frazioni? La frazione quoziente si ottiene moltiplicando la prima frazione per l’inversa della seconda. Esempio 12 7 12 3 36 : = ⋅ = 5 3 5 7 35

21 Come si esegue l’elevamento a potenza di una frazione? La potenza di una frazione è la frazione delle potenze del numeratore e denominatore. Esempio 2

2 4 ⎛2⎞ 2 ⎜ ⎟ = 2= 81 ⎝9⎠ 9

QUESITI a Perché s’inventa il numero razionale?

d A cosa serve il mcd?

b Qual è la differenza tra numero decimale e numero periodico?

e È possibile affermare che una frazione è maggiore o minore di un’altra?

c Come la frazione svolge l’applicazione di operatore?

f Quale condizione fondamentale deve soddisfare il denominatore di frazione?

ESERCIZI I Numeri razionali 1

Trasforma le seguenti frazioni decimali in numeri decimali. 7 3 121 a) b) c) 10 100 1000 Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni decimali. a) 0,34 b) 1,6 c) 2,578

289 100

d) 0,0031

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Unità 4

Trasforma i seguenti numeri decimali illimitati periodici in frazioni. – – – — a) 1,2 b) 0,14 c) 8,001 d) 0,143

I Classificazione delle frazioni

{

}

3 1 5 2 8 9 12 7 14 1 Dato l’insieme di frazioni F = , , , , , , , , , individua il sottoinsieme 0 5 6 3 7 2 9 5 13 7 10 P delle frazioni proprie.

Dato l’insieme F dell’esercizio precedente individua il sottoinsieme I delle frazioni improprie.

Dato l’insieme F dell’esercizio

Individua le frazioni equivalenti a a)

4 10

individua il sottoinsieme A delle frazioni apparenti 2 : 5

8 10

20 50

6 30

Completa le seguenti frazioni in modo che le uguaglianze siano tra frazioni equivalenti. a) 5 = 15 7 ...

b) 6 = ... 13 39

c) 12 = ... 5 25

d) 9 = 45 8 ...

I Confronto tra frazioni 9

Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni: 28 126 2310 a) b) c) 36 144 420

10 Riduci allo stesso denominatore (mcd) le seguenti frazioni: 5 7 3 5 3 5 7 a) , b) , c) , , 6 4 10 14 4 6 8 11

Confronta le seguenti frazioni inserendo il simbolo >, < o =. 3 5 4 4 3 9 a) … b) … c) … 8 8 5 7 7 2 Confronta le seguenti frazioni inserendo il simbolo >, < o =. 4 5 7 5 8 13 a) … b) … c) … 5 6 12 8 15 25

4680 3900

11 7 1 , , 20 30 60

9 18 … 4 8

11 7 … 16 12

48 9 : 8 2

I Operazioni tra frazioni 13 Calcola: 4 1 a) + 15 5

3 2 – 4 5

12 21 · 7 36

14 Calcola: ⎛2⎞ a) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

1 1 b) ⎛⎜ ⎞⎟ : ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠

⎛ 3 ⎞ ⎛ 10 ⎞ c) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝ 3 ⎠

⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤ d) ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦

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Parte B

15 Calcola: a)

5 ⎛ 1 25 8 ⎞ ⋅⎜ + − ⎟ 8 ⎝3 5 5⎠

⎛ 17 3 ⎞ ⎡ 1 1 1 5 ⎛ 3 8 3 ⎞ 2 ⎤ b) ⎜ − ⎟ ⋅ ⎢ + : : − ⎜ − ⋅ ⎟ + ⎥ ⎝ 8 2 ⎠ ⎣ 5 4 8 3 ⎝ 5 15 4 ⎠ 5 ⎦ c)

7 ⎛4 9 1 8 5 ⎞ :⎜ ⋅ − + ⋅ ⎟ 5 ⎝ 3 20 6 5 16 ⎠

⎧2 7 2 45 1 5 ⎫ 24 5 7 2 d) ⎨ + ⋅ + ⎡⎢⎛⎜ 1 − ⋅ ⎞⎟ : ⎤⎥ ⎬ : ⎡⎢ + ⎛⎜ + − 1 ⎞⎟ ⋅ − 5 ⎤⎥ 4 15 ⎠ 2 ⎦ ⎭ ⎣ 5 ⎝ 4 8 ⎠ 3 ⎦ ⎩ 3 6 7 ⎣⎝

16 Calcola: 2 4 ⎧⎪ ⎡ 10 5 1 2 7 ⎞ ⎤ ⎡⎛ 2 ⎞ a) ⎛⎜ ⎞⎟ : ⎨ ⎢⎛⎜ − ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ + : ⎟ ⎢⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎪⎩ ⎣⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 3 30 ⎠⎥⎦ ⎣⎝ 3 ⎠

⎧ 1 3 b) ⎨⎛⎜ ⎞⎟ ⎩⎝ 2 ⎠

⎡ 11 1 9 ⎤ ⎫ : ⎢⎛⎜ − ⎞⎟ ⋅ ⎥ ⎬ ⎣⎝ 12 2 ⎠ 10 ⎦ ⎭

⎧⎪ ⎡⎛ 2 ⎞2 ⎤ 3 ⎫⎪ c) ⎨ ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎬ 3 ⎩⎪ ⎣⎝ ⎠ ⎦ ⎭⎪

8 : ⎛⎜ − 1 ⎞⎟ ⎝3 ⎠

⎡ 3 8 3 4 ⋅ ⎢⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

⎡ 2 3⎤ ⎡ 2 7⎤ ⋅ ⎢⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ : ⎢⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ ⎣⎝ 3 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 3 ⎠ ⎦

⎤ ⎫⎪ ⎛ 5 ⎞2 ⎥⎬ ⋅ ⎜ ⎟ ⎦ ⎪⎭ ⎝ 2 ⎠

11 3 ⎤ : ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ ⎝2⎠ ⎦

9 3 ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ : ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝8⎠ ⎝4⎠

4 ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝3⎠

4 6 3 5 ⎡⎛ 3 ⎞2 ⎛ 3 ⎞3 ⎤ ⎡⎛ 3 ⎞3 ⎤ ⎧⎪ ⎡ 3 ⎛ 3 ⎞4 ⎛ 3 ⎞2 ⎤ ⎡⎛ 3 ⎞7 ⎛ 3 ⎞3 ⎤ ⎫⎪ 5 d) ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ : ⎢⎜ ⎟ ⎥ : ⎨ ⎢ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ : ⎢⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎥ ⎬ − ⎣⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 4 ⎠ ⎦ ⎪⎩ ⎣ 5 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎦ ⎭⎪ 8

TEST D’INGRESSO 17 Un oggetto A pesa 2000 g e un oggetto B pesa 350 g; qual è il rapporto tra i pesi di A e di B? 20 35 40 7 a) b) c) d) 35 200 7 40 18 Tra le seguenti coppie quali rappresentano lo stesso numero? 1 3 7 a) e 1,2 b) e 0,20 c) e 0,7 2 5 10

— 3 e 0,27 11

19 Scrivi 1,3 sotto forma di frazione con denominatore uguale a 40. 20 Scrivi 2,5 sotto forma di frazione con numeratore uguale a 15. 21

A quale numero decimale corrisponde la frazione a) 2,5

b) 0,25

2 ? 5

c) 0,4

22 Tra quali interi è compresa la frazione 9 ? 4 a) tra 9 e 10 b) tra 2 e 3 c) tra 0 e 1

d) 0,5

d) tra 4 e 9

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Unità 4

23 Tra le seguenti frazioni, quale si scrive in forma decimale 0,32? 32 3 32 32 a) b) c) d) 10 2 1000 100 24 Qual è la frazione di 2,3– ? 23 2 23 7 a) b) c) d) 9 3 90 3 25 Calcola la frazione dei seguenti numeri periodici: – — — a) 3,6 b) 0,243 c) 2,13

— d) 0,2034

26 Qual è il risultato di 5 : 0,2? a) 2,5 b) 25

d) 10

c) 4

27 Scrivi tutte le frazioni equivalenti a 3 con denominatore compreso tra 50 e 60. 5 28 Completa le seguenti uguaglianze in modo che siano vere. a)

3 15 = 2 ...

b) 0 = ... 2 30

c) 1 =

... 27

d) 21 = 3 35 ...

29 Riduci le seguenti frazioni ai minimi termini. 84 2145 225 a) b) c) 70 165 810

182 546

30 Quale tra le seguenti espressioni è vera? 3 4 a) 5 + = 5,003 c) è compreso tra 4 e 5 10 5 1 1 b) 0,060 è maggiore di 0,06 d) il doppio di è 6 3 31 Qual è la maggiore tra le seguenti frazioni? 3 4 11 a) b) c) 4 3 12

5 3

32 Tra le seguenti quaterne di numeri, quale è formata da numeri disposti in ordine crescente? 1 4 a) c) 1 0,31 0,3 4 0, 31 0, 3 5 5 5 5 b) 0,31 0,3

1 5

4 5

33 La terza parte di 9 è: 12 3 1 a) b) 4 4

d) 1 5

0,3 0,31

1 3

34 Quale delle seguenti uguaglianze è vera? 3 5 3 5 8 a) b) 7 + 1 = 9 c) + = +2 = 4 4 5 9 14 8 4 8

4 5

1 12

d) 5 + 3 = 1 10 6 2 85

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Parte B

35 Qual è l’operazione errata tra le seguenti? 4 1 1 1 a) b) 16 : 4 = 5 c) : 3 = :8 = 3 6 3 9 25 5 4 36 Il risultato dell’espressione 11 – 2 : 8 – 5 è: 31 23 a) b) 3 c) 3 4 0

37 Calcola ⎛⎜ 5 ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ 7 ⎞⎟ ⎝2⎠ ⎝6⎠ 38 Calcola ⎛⎜ 5 ⎞⎟ ⎝3⎠

d) 3 : 1 = 9 3

31 8

2 9

5 5 : ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ 3 ⎝ ⎠ ⎝3⎠

39 Il risultato dell’espressione 1 : ⎛⎜ 1 + 1 ⎞⎟ : 10 è 3 ⎝4 5⎠ 3 200 1 a) b) 10 c) 81 9 1 3 1 6 40 Calcola il risultato dell’espressione ⎛⎜ 2 − ⎞⎟ : ⎛⎜ − ⎞⎟ ⋅ 3⎠ ⎝4 3⎠ 5 ⎝

41 Calcola il risultato dell’espressione ⎧⎨ 5 − ⎡⎛⎜ 2 − 9 ⋅ 4 + 5 ⎞⎟ − ⎛⎜ 2 + 8 ⋅ 3 − 5 ⎞⎟ − ⎢ 16 3 2 ⎠ ⎝ 9 2 2⎠ ⎩ 3 ⎣⎝

3 ⎤⎫ 1 ⎬⋅ 2 ⎥⎦ ⎭ 4

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PARTE B UNITÀ

Numeri irrazionali e radici

I Numeri irrazionali I Estrazione di radice I Proprietà della radice quadrata La leggenda narra che il greco Ippaso di Metaponto (periodo 500 a.c.) fu condannato a morire annegato per essere stato artefice della scoperta che la radice quadrata di 2 non si può rappresentare con una frazione.

I Numeri irrazionali 1 Che cosa contiene l’insieme dei numeri irrazionali? L’insieme dei numeri irrazionali contiene numeri decimali illimitati non periodici. Esempio Il numero 1,414213562373095048... contiene un numero illimitato di cifre dopo la virgola ed è quindi irrazionale; nella fattispecie si tratta della radice quadrata di 2, indicata con il simbolo 2 (vedere punto 4).

2 Perché occorre ampliare l’insieme dei numeri razionali a quello degli irrazionali? L’estrazione di radice di numeri che non sono quadrati perfetti (vedere punto 8) non produce frazioni e quindi numeri razionali. Occorre quindi ampliare l’insieme Q aggiungendo i numeri decimali illimitati non periodici. L’unione tra l’insieme dei numeri razionali e quello degli irrazionali forma l’insieme dei numeri reali R.

I Estrazione di radice 3 Che cosa è la radice di un numero? Dati i numeri positivi m ed n, esiste un numero positivo x la cui potenza con esponente n è uguale a m, cioè xn = m (1) Il numero x si chiama radice n-esima di m.

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Parte B

Esempio L’uguaglianza 42 = 16 indica che il numero positivo x = 4 è la radice 2-esima di m = 16.

4 Come si indica la radice di un numero? Rispetto all’uguaglianza (1), il numero x, cioè la radice n-esima del numero m, si indica come x=

dove è il simbolo di radice. Il numero x è definito radicale, il numero m radicando e il numero n indice della radice. Se nel simbolo di radice è assente l’indice n, è sottointeso che sia n = 2; in questo caso la radice è definita quadrata. Se n = 3 la radice è definita cubica. Esempio Nell’uguaglianza 9 = 81 9 è il radicale, 81 è il radicando; l’assenza di n significa che n = 2 e dunque la radice è quadrata. Nell’uguaglianza 3 = 3 27 il numero n = 3 è l’indice della radice e, per questo, è una radice cubica.

5 In che cosa consiste l’operazione di estrazione di radice? L’estrazione di radice è l’operazione con la quale si calcola il valore della radice di un numero, cioè il valore che elevato all’indice della radice dà il radicando. L’estrazione di una radice quadrata consiste nel trovare quel numero che, elevato alla seconda, dà come risultato il radicando.

6 Che cosa è un quadrato perfetto? Un numero è un quadrato perfetto se è il risultato di una potenza con esponente 2 di un numero intero. Esempio Il numero quattro è un quadrato perfetto perché è il risultato dell’elevamento a due del numero intero due, cioè 22 = 4

7 Come si riconosce un quadrato perfetto? Si consideri un numero n e la sua scomposizione in fattori primi: se gli esponenti che appaiono nella scomposizione sono tutti numeri pari, allora il numero n è un quadrato perfetto. Esempio Si consideri il numero 1936: la sua scomposizione in fattori primi è 88

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Unità 5

24 · 112 Avendo tutti i fattori con esponente pari, 1936 è un quadrato perfetto.

8 Come si calcola la radice quadrata di un quadrato perfetto? Si scompone in fattori primi il radicando, si divide per due ogni singolo esponente eliminando la radice e si procede al prodotto se compaiono più fattori. Esempio Data la radice quadrata 144 si scompone in fattori primi il radicando 144, cioè 24 ⋅ 3 2 si dividono per due gli esponenti quattro e due eliminando la radice e ottenendo 22 · 3 infine si esegue il prodotto 12 Il numero 12 è la radice quadrata del numero 144.

I Proprietà della radice quadrata 9 Come si esegue la radice quadrata di un prodotto? Si estraggono le radici quadrate dei singoli fattori e quindi si esegue il prodotto. Esempio La radice quadrata 100 ⋅ 36 ha come radicando un prodotto. Le radici quadrate dei singoli fattori sono 100 = 10 e 36 = 6 Quindi la radice quadrata del prodotto 100 · 36 è 10 · 6 = 60

10 Come si esegue la radice quadrata di un quoziente? Si estraggono le radici quadrate del dividendo e del divisore e quindi si esegue la divisione. In modo analogo si procede se la divisione è in forma di frazione, estraendo le radici quadrate del numeratore e del denominatore e svolgendo la divisione.

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Parte B

Esempio La radice quadrata 225 : 9 ha come radicando una divisione. La radice quadrata del dividendo è 225 = 15 e quella del divisore è 9=3 Quindi la radice quadrata della divisione 225 : 9 è 15 : 3 = 5

QUESITI a Perché s’inventa il numero irrazionale?

c Quale caratteristica possiede un quadrato perfetto?

b In cosa consiste l’estrazione di radice di un numero?

d Che cosa è la radice quadrata di un numero?

ESERCIZI I Numeri irrazionali 1

Individua tra i seguenti numeri, qual è quello irrazionale. 3 a) b) 0,245 c) 2 5

– d) 0,47

Individua tra le seguenti affermazioni quella errata. 2 a) 25 è un numero intero c) è un numero razionale 3 – b) 0,3 è un numero irrazionale d) 10 è un numero naturale

Individua tra le seguenti affermazioni quella errata. a) 7 , 5 ∈ »

50 ∈ »

81 ∈ »

90 ∈ »

I Estrazione di radice 4

Individua tra le seguenti affermazioni quella errata. a)

4 = 2 perché 2 · 2 = 4

4 = 2 perché 2 + 2 = 4

Calcola le seguenti radici quadrate: a)

2 4 = 2 perché 2 = 4

100

121

256

Tramite i quadrati perfetti determina tra quali coppie di valori è compreso il valore di a) 1 e 2 b) 2 e 3 c) 3 e 4 d) 4 e 5

15 .

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Unità 5

Individua tra i seguenti numeri quello che è un quadrato perfetto. a) 66 b) 80 c) 225 d) 125

Individua tra le seguenti scomposizioni in fattori primi quella associata al numero che non è un quadrato perfetto. a) 26 · 32 · 54 b) 24 · 76 c) 22 · 53 · 114 d) 52 · 72

Sapendo che 784 = 24 · 72 la sua radice quadrata è: a) 22 · 7 b) 2 · 72 c) 2 · 7

d) 22 · 72

10 Estrai le seguenti radici quadrate scomponendo in fattori primi il radicando. a)

400

1204

125

Qual è il valore della radice 7 2 ? a) 7 c) 49 b) non esiste d) nessuno dei precedenti valori

Quale delle seguenti uguaglianze è corretta? a)

1016 = 10 4

1016 = 10 8

1016 = 1014

1000

1016 = 10 −4

I Proprietà della radice quadrata 13 Calcolare

36 ⋅ 25 .

14 Calcolare

144 : 36 .

15 Il risultato della radice quadrata a) impossibile b) 2

4 2 + 3 2 è: c) 5

d) 7

16 L’uguaglianza 122 ⋅ 5 2 = 60 è: a) vera b) falsa perché il risultato è 30

c) impossibile d) falsa perché il risultato è 3600

17 L’uguaglianza 5 2 − 3 2 = 5 − 3 è: a) vera b) falsa perché il risultato è 16

c) falsa perché il risultato è 4 d) falsa perché non si può calcolare

18 L’uguaglianza

25 25 è: = 9 9

a) vera

b) falsa

19 Indica tra le seguenti uguaglianze quella corretta. a)

25 ⋅ 36 = 5 ⋅ 6

25 ⋅ 36 = 25 + 36

25 ⋅ 36 = 5 ⋅ 6

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Parte B

20 Indica tra le seguenti uguaglianze quella corretta.

121 : 49 = 11 ⋅ 7

121 : 49 =

11 7

121 : 49 =

11 7 11 7

Indica tra le seguenti uguaglianze quella corretta. a)

49 − 25 = 7 − 5

64 + 81 = 8 + 9

36 ⋅ 16 = 6 ⋅ 4

54 5 = 54 3

22 Aggiungi 8 al prodotto di 6 e 9 e sottrai 13. Estrai infine la radice quadrata. Cosa ottieni? a) 2 b) 4 c) 7 d) 8

I Espressioni con radici quadrate Nota: le espressioni con radici si risolvono secondo le regole generali delle espressioni aritmetiche; occorre solo fare attenzione ad applicare al momento opportuno le proprietà delle radici quadrate.

23 Risolvi le seguenti espressioni: a)

2 ⋅ 44 − ( 25 ⋅ 2 + 13 )

20 + 21 : ( 24 ⋅ 2 − 41) + 35 : 7 ⋅ 3 + 11

{

: 22 ⋅ 5 + 37 : 3 5 ⋅ 5 ) ⋅ 2 − ( 54 + 8 2 + 4 ) − 3 2 : 3 ⋅ 22 2

}

⎡5 8 : 57 + 23 − (16 6 ⋅ 16 3 )2 : 1617 : 4 ⎤ − ( 22 ⋅ 23 − 1 − 28 : 24 ) ⋅ 3 : 6 2 ⎣ ⎦

24 Risolvi le seguenti espressioni:

3 2 ⎡⎛ 5 ⎞ ⋅ ⎛ 10 − 1 ⎞ + ⎛ 5 − 1 ⎞ ⋅ 4 ⎤ ⋅ ⎛ 2 ⎞ 2 − ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎢⎜ ⎠ ⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 4 2 ⎠ 3⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎣⎝ 2

2 2 2 3 ⎛ 1 ⎞ ⋅ ⎛ 1 ⎞ : ⎧⎪ ⎡⎛ 17 − 2 ⎞ ⋅ 9 ⎤ : ⎡⎛ 2 ⎞ : ⎛ 5 − 13 ⎞ ⎤ ⎫⎪ ⋅ 6 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎨ ⎢⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥⎬ 3 ⎠ ⎦ ⎭⎪ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎩⎪ ⎣⎝ 6 ⎠ 10 ⎥⎦ ⎣⎝ 3 ⎠ ⎝

6 5 ⎡⎛ 25 7 ⎞2 2 ⎤ ⎧⎪ ⎡ 5 ⎛ 13 ⎞⎤ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎫⎪ ⎢⎜ − ⎟ ⋅ ⎥ : ⎨ ⎢ − ⎜ − 1 ⎟ ⎥ ⋅ ⎢⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎥ ⎬ ⎠⎦ ⎣⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎦ ⎪⎭ ⎣⎝ 6 2 ⎠ 3 ⎦ ⎪⎩ ⎣ 4 ⎝ 12

2 4 3 ⎤ 1 ⎧⎪ 39 ⎡ 343 7 2 5 ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎤ ⎫⎪ 1 ⎡⎛ 3 ⎞ ⎛ 5 ⋅⎨ − ⎢ : : 2 ⋅ ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎥ ⎬ + ⋅ ⎢⎜ + 1 ⎟ − ⎜ 2 + 1 ⎞⎟⎥ 21 ⎪⎩ 7 ⎣ 216 15 6 ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎦ ⎪⎭ 6 ⎣⎝ 7 ⎠⎦ ⎠ ⎝7

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PARTE B UNITÀ

Proporzioni

I I I I

Rapporti e proporzioni Proporzioni con incognita Proprietà delle proporzioni Percentuale

Il concetto di proporzionalità è un punto di svolta per l’antica matematica greca che ha anche influenzato altri campi come l’arte che utilizza la proporzionalità per giungere a immagini armoniose.

I Rapporti e proporzioni 1 Che cosa è il rapporto tra due numeri? Il rapporto tra due numeri a e b (con b ≠ 0) è il quoziente tra il primo numero chiamato termine antecedente e il secondo chiamato termine conseguente. Si rappresenta con una delle seguenti notazioni già viste a a:b o b Dato un rapporto, si deduce il suo rapporto inverso scambiando l’antecedente con il conseguente. Esempio 21 Il rapporto tra i numeri 21 e 28 si rappresenta come 21 : 28 oppure ; 21 è il termine antece28 dente, e 28 è il termine conseguente.

2 In cosa consiste la proprietà invariantiva per il rapporto? Moltiplicando o dividendo i due termini di un rapporto per un medesimo numero, diverso da zero, si ottiene un rapporto equivalente (cioè con quoziente uguale). Esempio Dato il rapporto 21 , se si decide di dividere antecedente e conseguente per 7 si ottiene 28 21 : 7 3 = 28 : 7 4 dove il rapporto 3 è equivalente al rapporto 21 ; infatti 21 = 3 = 0,75 4 28 28 4

3 Che cosa è una proporzione? Una proporzione è l’uguaglianza tra due rapporti; quindi a c a:b=c:d o = b d 93

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Parte B

dove i termini a e d sono chiamati estremi della proporzione e i termini b e c medi della proporzione. • Una proporzione con i termini medi o estremi uguali è definita proporzione continua. • Si ottiene una proporzione diversa scambiando tra loro i medi o gli estremi, o entrambi (proprietà del permutare). • Si ottiene una proporzione diversa scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente (proprietà dell’invertire). Esempio Data la proporzione 2 : 3 = 4 : 6 si ottiene una proporzione diversa permutando (per esempio) i medi, cioè 2 : 4 = 3 : 6 o invertendo l’antecedente con il relativo conseguente, cioè 3 : 2 = 6 : 4.

4 Come si forma una proporzione? Due rapporti posti a uguaglianza formano una proporzione quando il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi (proprietà fondamentale). Quindi, l’uguaglianza a:b=c:d forma una proporzione se b·c=a·d Esempio L’uguaglianza 10 : 6 = 20 : 12 forma una proporzione poiché il prodotto dei medi (6 · 20 = 120) è uguale al prodotto degli estremi (10 · 12 = 120).

5 Quando due grandezze variabili sono direttamente proporzionali? Quando il rapporto tra un valore qualsiasi a che assume la grandezza variabile A e un valore qualsiasi b che assume la grandezza variabile B ha sempre il medesimo quoziente, cioè a = costante b

6 Quando due grandezze variabili sono inversamente proporzionali? Quando la moltiplicazione tra un valore qualsiasi a che assume la grandezza variabile A e un valore qualsiasi b che assume la grandezza variabile B ha sempre il medesimo prodotto, cioè a · b = costante

I Proporzioni con incognita 7 Che cosa significa risolvere una proporzione? Risolvere una proporzione significa determinare il valore di un suo termine incognito (indicato con x), conoscendo gli altri termini. 8 Come si risolve una proporzione quando l’incognita è un estremo o un medio? Per determinare l’incognita che occupa un estremo, si moltiplicano tra loro i medi e si divide il prodotto per l’altro estremo. 94

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Unità 6

Per determinare l’incognita che occupa un medio, si moltiplicano tra loro gli estremi e si divide il prodotto per l’altro medio. Esempio La proporzione 12 : 15 = 16 : x ha incognita nella posizione di estremo; quindi x=

15 · 16 = 20 12

9 Come si risolve una proporzione continua? Per determinare l’incognita che occupa entrambi i medi o entrambi gli estremi, si moltiplicano tra loro i due termini noti e si estrae la radice quadrata del prodotto ottenuto. Esempio La proporzione 2:x=x:8 è continua perché i medi sono uguali; inoltre essi sono occupati dall’incognita x. La moltiplicazione degli estremi noti è 2 · 8 = 16 e l’incognita è la radice del prodotto x = 16 = 4

I Proprietà delle proporzioni 10 Qual è la proprietà del comporre? Data la proporzione a:b=c:d la proprietà consente le seguenti uguaglianze

( a + b) : a = ( c + d ) : c e ( a + b) : b = ( c + d ) : d 11 Qual è la proprietà dello scomporre? Data la proporzione a:b=c:d con a > b e c > d, la proprietà consente le seguenti uguaglianze

( a − b) : a = ( c − d ) : c e ( a − b) : b = ( c − d ) : d 12 Qual è la proprietà della somma degli antecedenti e dei conseguenti? Data la proporzione a:b=c:d 95

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Parte B

la proprietà consente le seguenti uguaglianze (a + c) a c = = (b + d ) b d

13 Qual è la proprietà della differenza degli antecedenti e dei conseguenti? Data la proporzione a:b=c:d con a > b e c > d, la proprietà consente la seguente uguaglianza (a − c) a c = = (b − d ) b d

I Percentuale 14 Che cosa è la percentuale? La percentuale è un rapporto che ha come termine conseguente il numero 100; tale rapporto si indica con il simbolo %. Quindi dato il numero a, la percentuale si rappresenta come a o a% 100

15 Che cosa è la parte percentuale? La parte percentuale è il risultato dell’applicazione della percentuale a un numero chiamato totale; si scrive [ percentuale %] di [totale] = [parte percentuale] Esempio Il 20% di 25 è 5, dove 20% è la percentuale, 25 è il totale e 5 è la parte percentuale.

16 Come si relazionano percentuale, parte percentuale e totale? Percentuale, parte percentuale e totale si relazionano tramite la proporzione [ percentuale] : 100 = [parte percentuale] : [totale] Esempio Il 15% di 180 si calcola dalla seguente proporzione 15 : 100 = x : 180 che comporta x=

15 180 = 27 100

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Unità 6

QUESITI a Come si rappresenta il rapporto tra due numeri?

d La risoluzione di una proporzione dipende dalla posizione dell’incognita?

b Come sono denominati i numeri che appartengono a una proporzione?

e Come si descrive a parole la percentuale di una grandezza?

c Quale caratteristica possiede una proporzione continua?

f Che legame esiste tra proporzioni e percentuale?

ESERCIZI I Rapporti e proporzioni 1

Calcola il rapporto tra 32 e 12.

Dato il rapporto x = 6, calcola l’antecedente. 4 Dato il rapporto 27 = 3, calcola il conseguente. x

3 4

Se 8 e 4 si impongono essere estremi e 6 e 3 si impongono essere medi, possono formare una proporzione?

Dati i numeri dell’esercizio precedente, quali sono i medi e quali gli estremi affinché formino una proporzione?

Quali delle seguenti proporzioni sono continue? a) 14 : 3 = 28 : 6 b) 8 : 4 = 4 : 2 c) 9 : 12 = 3 : 4

d) 9 : 27 = 3 : 9

Per costruire un muretto 4 muratori impiegano 8 giorni; quanti giorni occorrono per realizzare il muretto con soli 2 muratori?

Se 0,6 Kg di ciliegie costano € 1,80, con € 6 quanti kilogrammi compri?

Un’auto percorre 12,4 Km in 20 minuti. Andando alla medesima velocità, quanto tempo impiegherebbe a percorrere 37,2 Km?

I Proporzioni con incognita 10 Calcola l’incognita in 15 : 3 = 55 : x 11

Calcola l’incognita in x :

Calcola l’incognita in

3 10 8 = : 5 9 9

14 96 : = x : 48 35 25

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Parte B

13 Calcola l’incognita in

18 63 :x=x: 7 2

23 11 7 14 Calcola l’incognita in ⎛⎜ − 1 ⎞⎟ : ⎛⎜ 3 − ⎞⎟ = x : ⎛⎜ + 2 ⎞⎟ 7 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝

I Proprietà delle proporzioni Nota: i seguenti esercizi si risolvono applicando in modo opportuno le proprietà elencate nel paragrafo della parte di Teoria.

15 Calcola l’incognita in ( 42 − x ) : x = 4 : 3 16 Calcola l’incognita in ( 21 + x ) : x = 19 : 5 17 Calcola x e y conoscendo il loro rapporto x : y = 8 : 7 e la loro somma, x + y = 30 18 Calcola x e y conoscendo il loro rapporto x : y = 18 : 12 e la loro somma, x – y = 4 19 Calcola le incognite in x : 7 = y : 12 conoscendo la loro somma x + y = 38

I Percentuale 20 Il prezzo di un netbook, scontato del 25%, è di € 225. Qual era il prezzo in origine? 21

Devo acquistare libri per un valore di € 85 in un negozio che applica uno sconto del 12%. Quanto dovrò effettivamente pagare?

22 La somma di € 6050 è il costo comprensivo del 21% di IVA di una certa merce. Qual è il prezzo della merce senza IVA?

TEST D’INGRESSO 23 Il rapporto tra A e C è uguale al rapporto tra B e D. Quale proporzione esprime questa uguaglianza? a) A : B = C : D b) A : C = B : D c) A : D = C : B d) D : B = A : C 24 Il termine incognito della proporzione 8 : 6 = x : 24 è 32? 25 Calcola il termine incognito della proporzione 12 : 5 = x : 15. 26 Risolvi le seguenti proporzioni: a) 8 : x = 2 : y con x + y = 25 b) x : 18 = y : 12 con x + y = 10 c) x : y = 18 : 8 con x – y = 20

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Unità 6

27 Una sola tra le seguenti relazioni indica una proporzionalità diretta, quale? a) Numero ore di studio – voto del compito b) Prezzo di un’auto – velocità massima c) Numero di banconote da € 10 – potere d’acquisto delle banconote d) L’età di una persona – il suo peso 28 Quale delle seguenti relazioni indica una proporzionalità diretta? a) Numero di persone rispetto al loro peso complessivo b) Numero di persone rispetto al costo complessivo del biglietto del pullman c) Altezza di una persona rispetto all’età d) Altezza di una persona rispetto al peso 29 La relazione y = 4x + 1 tra le grandezze x e y esprime: a) una proporzionalità diretta tra x e y b) una proporzionalità inversa tra x e y c) non esprime una proporzionalità d) una proporzionalità diretta tra y e x 30 Dati dei triangoli di base 8 cm, l’area e l’altezza sono grandezze: a) direttamente proporzionali c) non sono proporzionali b) inversamente proporzionali d) non si può dire 31 Per ottenere una tinta azzurra occorre mescolare 2 barattoli di vernice blu con 5 barattoli di vernice bianca. Quanti barattoli di vernice bianca servono per 11 barattoli di vernice blu? a) 27,5 b) 22 c) 55 d) 28,5 32 0,7 kg di merce costano € 0,35. Quanti € costano 0,1 Kg della stessa merce? a) € 0,5 b) € 0,05 c) € 2,45 d) € 0,245 33 0,7 kg di merce costano € 0,35. Quanti Kg della stessa merce si possono comprare con € 1? a) 2 Kg b) 7 Kg c) 24,5 Kg d) 2,45 Kg 34 La spesa di costruzione di un centro sportivo è ripartita tra tre comuni in parti inversamente proporzionali alla loro distanza dal centro che è rispettivamente 5 Km, 10 Km e 15 Km. Quanto paga il singolo comune se il centro sportivo costa € 840 000? 35 In una classe di 30 alunni ne sono stati promossi 21. Qual è la percentuale dei promossi? 36 In una classe di 30 alunni il 20% ha il debito in matematica. Quanti sono gli alunni con debito in matematica? 37 In una classe di 30 alunni il 40% è composto da ragazze. Un terzo dei ragazzi ha il debito in matematica. Quanti sono i ragazzi con debito in matematica? a) 6 b) 8 c) 12 d) 9 38 Una camicia, acquistata con il 20% di sconto, è stata pagata € 60. Qual era il suo prezzo originale?

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PARTE C UNITÀ

1 I I I I

Numeri relativi e operazioni

Numeri relativi Addizione e sottrazione Moltiplicazione e divisione Potenza

La ricerca di un problema di matematica è simile alla soluzione di un enigma. L’algebra viene in soccorso del “detective” incaricato di risolvere l’enigma introducendo lettere “tra l‘aritmetica”.

I Numeri relativi 1 Che cosa contiene l’insieme dei numeri relativi? L’insieme dei numeri relativi, indicato con il simbolo Z, contiene numeri preceduti dal segno algebrico positivo (+) o negativo (–). Si definisce valore assoluto di un numero relativo il numero privato del segno algebrico. Il segno algebrico si applica ai numeri naturali, razionali e irrazionali. Esempio Il numero relativo –5 ha segno algebrico negativo e come valore assoluto il numero naturale 5. Il numero 2 ha segno algebrico positivo e come valore assoluto il numero razionale 2 . 3 3

2 Perché occorrono i numeri relativi? Si consideri l’insieme dei numeri naturali. La sottrazione tra due numeri naturali dove il sottraendo è maggiore del minuendo non è una operazione interna a N perché la differenza è un numero negativo. Occorre quindi ampliare N aggiungendo numeri con segno algebrico negativo, quindi numeri relativi. 3 Come si rappresenta in modo grafico l’insieme dei numeri relativi? In riferimento alla figura, i numeri relativi positivi sono alla destra dello zero e quelli negativi alla sinistra (in figura non sono mostrati i punti associati ai numeri razionali e irrazionali). –5

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–4

–3

–2

–1

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Unità 1

Ogni numero positivo è maggiore di ogni numero negativo. Lo zero è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni numero positivo. Tra i numeri positivi, è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore. Tra i numeri negativi, è maggiore quello che ha valore assoluto minore.

4 Quando due numeri relativi sono tra loro concordi, discordi e opposti? Due numeri relativi sono concordi se hanno stesso segno algebrico, discordi se hanno segno algebrico opposto, opposti se hanno segno algebrico opposto e medesimo valore assoluto. Esempio I numeri relativi –3 e – 5 sono concordi. I numeri relativi − 2 e +7 sono discordi. 2 I numeri relativi – 1 e + 1 sono opposti. 2 2 Nota: nel prosieguo dell’unità, per numero relativo intenderemo un qualsiasi numero naturale, razionale o irrazionale dotato di segno algebrico.

I Addizione e sottrazione 5 Come si esegue l’addizione tra due numeri relativi concordi? La somma di due numeri relativi concordi è un numero che ha il medesimo segno algebrico degli addendi e come valore assoluto la somma dei due valori assoluti. Esempio Addizione tra due numeri concordi

( −3 ) + ( −7 ) = − ( 3 + 7 ) = −10 6 Come si esegue l’addizione tra due numeri relativi discordi? La somma di due numeri relativi discordi è un numero che ha come segno algebrico il segno dell’addendo che ha valore assoluto maggiore e come valore assoluto la differenza dei due valori assoluti. Esempio Addizione tra due numeri discordi

( −12 ) + ( +19 ) = + (19 − 12 ) = +7 7 Come si esegue la sottrazione tra due numeri relativi? La differenza tra due numeri relativi è la somma tra il minuendo e l’opposto del sottraendo. La sottrazione tra due numeri relativi riconduce all’operazione di addizione.

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Parte C

Esempio Sottrazione tra due numeri relativi

( +6 ) − ( −5 ) = ( +6 ) + ( +5 ) = +11

8 Che cosa è e come si esegue un’addizione algebrica? L’addizione algebrica è una sequenza di addizioni e sottrazioni di numeri relativi, dove le sottrazioni sono ricondotte ad addizioni secondo la regola del punto 7. Esempio Addizione algebrica

( −4 ) − ( +8 ) + ( +2 ) − ( −9 ) = –4 – 8 +2 + 9 = –1

I Moltiplicazione e divisione 9 Come si esegue la moltiplicazione tra due numeri relativi? Il prodotto tra due numeri relativi è un numero che ha segno algebrico positivo se i fattori sono concordi e segno negativo se sono discordi; il valore assoluto è il prodotto dei valori assoluti dei due fattori. Esempio Moltiplicazione tra due numeri relativi 7⎞ 7 ⎛ 7⎞ = −⎜ 4⋅ ⎟ = − ⎟ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ 3

( −4 ) ⋅ ⎛⎜ +

10 Come si esegue la divisione tra due numeri relativi? Il quoziente tra due numeri relativi è un numero che ha segno algebrico positivo se dividendo e divisore sono concordi e segno negativo se sono discordi; il valore assoluto è il quoziente dei valori assoluti del dividendo e del divisore. Esempio Divisione tra due numeri relativi ⎛ 4⎞ ⎜⎝ + ⎟⎠ 9

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2 ⎛ 2⎞ ⎛ 4 3⎞ : ⎜ − ⎟ = −⎜ ⋅ ⎟ = − ⎝ 3⎠ ⎝ 9 2⎠ 3

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Unità 1

I Potenza 11 Qual è la potenza di un numero relativo con esponente positivo? È un numero che ha segno negativo solo se la base ha segno negativo e l’esponente è dispari e che ha come valore assoluto la potenza del valore assoluto della base. Esempio Elevazione a potenza dei seguenti numeri negativi

( −3 )2 = +9 3

1 ⎛ 1⎞ ⎜⎝ − ⎟⎠ = − 2 8

12 Qual è la potenza di un numero relativo con esponente negativo? È la potenza che ha come base il reciproco del numero relativo ed esponente l’opposto di quello negativo; quindi sono valide le seguenti uguaglianze n

⎛ 1⎞ ⎛ a⎞ a − n = ⎜ ⎟ oppure ⎜ ⎟ ⎝ a⎠ ⎝ b⎠

−n

⎛ b⎞ =⎜ ⎟ ⎝ a⎠

Esempio Elevazione a potenza dei seguenti numeri con esponente negativo 2 1 1 ( −5 )−2 = ⎛⎜ − ⎞⎟ = +

⎝ 5⎠

⎛ 3⎞ ⎜⎝ + ⎟⎠ 2

−3

8 ⎛ 2⎞ = ⎜+ ⎟ = + ⎝ 3⎠ 27

QUESITI a Che cosa comporta l’introduzione dei segni algebrici?

c Il segno algebrico compare solo davanti a numeri naturali?

b Che cosa è il valore assoluto?

d Quali regole di confronto comporta la presenza di segni algebrici?

ESERCIZI 1

Posiziona in ordine crescente i seguenti numeri relativi: –8, +5, –12, – 1 , + 5 , +2 2 2

Calcola le seguenti operazioni algebriche: a) (–2) + (–7) b) (+6) – (–5)

c) (–8) · (+5)

d) (–24) : (–8)

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Parte C

Calcola le seguenti operazioni algebriche con frazioni: 1 1 a) ⎛⎜ − ⎞⎟ + ⎛⎜ − ⎞⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠

3 5 1 b) ⎛⎜ − ⎞⎟ − ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎝ 7 ⎠ ⎝ 14 ⎠ 2

3 21 2 c) ⎛⎜ − ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ − ⎞⎟ ⎝ 14 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 7 ⎠

26 13 d) ⎛⎜ − ⎞⎟ : ⎛⎜ − ⎞⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 15 ⎠

Calcola le seguenti operazioni algebriche con potenze: 3 b) ⎛⎜ − ⎞⎟ ⎝ 2⎠

a) ( −3 )

1 1 1 c) ⎛⎜ − ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ − ⎞⎟ : ⎛⎜ − ⎞⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠

⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤ d) ⎢⎜⎝ − ⎟⎠ ⎥ ⎣ 2 ⎦

I Espressioni algebriche Nota: le espressioni algebriche si risolvono secondo le regole generali delle espressioni aritmetiche; si procede quindi rispettando la seguente gerarchia: risoluzione parentesi tonde, quadre, graffe, calcolando prima le potenze e le radici, poi moltiplicazioni e divisioni e infine le addizioni algebriche.

Risolvi le seguenti espressioni: a) 2 − 6 + ( −3 + 8 ) − ( −4 − 12 )

b) 9 ⋅ 3 − (12 − 7 ⋅ 3 ) + 45 : ( −15 )

2 2 5 2 c) ⎡⎣ − ( −3 ) + ( 5 − 8 ) − 22 ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣( 4 − 7 + 3 ) − ( −2 ) ⎤⎦

d) ⎡⎣( −1)7 ⎤⎦ − 3 ⋅ ( −4 ) − ( −15 )8 : ( −15 )7 + ( −3 )15 : ( −3 )12 + 4 ⋅ ( −4 )2 + ( −7 ) ⋅ ( −3 )2 4

Risolvi le seguenti espressioni con frazioni: 2 1 1 4 1 1 5 a) ⎡⎛⎜ 1 + ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ − ⎞⎟ ⋅ + 7 ⋅ ⎛⎜ − ⎞⎟ ⎤ : ⎛⎜ 1 − − ⎞⎟ + 7 ⎢⎝ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 7 2 3 2 ⎦ 5 3⎠ ⎣ 2 2 ⎧⎪ ⎡⎛ 1 ⎞ 2 1 ⎤ 1 ⎫⎪ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1⎞ 2 8 − ⋅ − ⋅ − − 2 − − ( 7 ) ⋅ : − − ( ) b) ⎨ ⎢⎜⎝ ⎬ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎟⎠ + ( −1) ⎥ 6⎦ 2 35 ⎪⎭ 2 6 ⎪⎩ ⎣ 2 2 6 2 6 5 4 ⎞ ⎡⎛ 2 ⎞ ⎤ ⎧⎪ ⎡⎛ 7 ⎞ ⎛ c) − ⎜ 1 − − ⎟ ⋅ ⎢⎜ − ⎟ ⎥ : ⎨ ⎢⎜ ⎟ ⎝ 9 3 ⎠ ⎣⎝ 11 ⎠ ⎦ ⎪ ⎣⎝ 11 ⎠ ⎩

5 25 ⎛ 6 3 ⎞ ⎤ ⎛7⎞ : ⎜ ⎟ − ⋅⎜ − + ⎟ ⎥ ⎝ 11 ⎠ 11 ⎝ 15 5 ⎠ ⎦

⎫⎪ 3 ⎬ +1 ⎪⎭

−2 −1 −1 2 −2 −2 5 ⎪⎫ ⎧⎪ ⎡ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 1 ⎤ 1 ⎪⎫ ⎛ 1 ⎞ ⎪⎧ ⎡⎛ 7 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎤ ⎛ 2⎞ d) ⎨ ⎢⎜ − 2⎟ − ⎜ − ⎟ ⎥ ⋅ ⎜ − ⎟ − 2 ⎬ : ⎨ ⎢ 3 ⋅ ⎜ − ⎟ : ⎜ ⎟ − 1 − ⎥ − ⎬ + ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 5⎠ ⎦ ⎝ 3⎠ 2 ⎭⎪ ⎩⎪ ⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠ 4 ⎦ 2 ⎭⎪ ⎝ 2 ⎠ ⎩⎪ ⎣ 4 Test

TEST D’INGRESSO

104

Due liquidi hanno inizialmente le temperature di +13°C e +11°C. Vengono raffreddati e diminuiscono entrambi di 14°C; quali sono le rispettive temperature finali?

Tiberio fu imperatore romano dal 14 d.C. al 37 d.C., anno in cui morì all’età di 79 anni. In quale anno era nato?

Disponi in ordine crescente i seguenti numeri: 3, –2, 0, –5

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Unità 1

10 Quale dei seguenti numeri non è compreso tra – 2 e 7 ? 5 4 a) – 4 b) 3 c) 4 5 2 7 11

Inserisci il simbolo di maggiore, minore o uguale. a) −

d) – 2 9

7 3 …− 5 4

b) −

7 28 … 9 36

c) −

8 8 …− 9 27

d) −

Calcola il valore delle seguenti operazioni: a) –24

b) (–1)4

2 5 …− 3 6 8

c) − ⎡( −3 )2 ⎤ ⎣ ⎦

⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ d) ⎜⎝ − ⎟⎠ : ⎜⎝ ⎟⎠ 2 3

13 Calcola il valore delle seguenti espressioni: a) −2 + 3 − ( −5 − 7 )

b) 2 − ( −2 )2 − ( −2 )3

c) ( −3 ) : 3 3 : ( −3 ) 7

d) 5 5 ⋅ 5 −3 : 5 −6 ⋅ 5

14 Calcola il valore delle seguenti espressioni: a) ( −2 + 8 − 6 ) : ( −7 − 2 ) − ( −8 + 12 ) : 4 − 2 ⎛8 4 ⎞ b) ⎜ − ⋅ 20 ⎟ ⎝3 5 ⎠

⎛ 2⎞ c) ⎜ − ⎟ ⎝ 3⎠

⎛ 2⎞ :⎜− ⎟ ⎝ 3⎠

⎛ 1 13 3 1 ⎞ 3 d) ⎜ ⋅ − − : ⎝ 2 10 28 5 ⎟⎠ 70

15 Calcola il valore dell’espressione: 2 ⋅ ⎛⎜ − 7 + 2⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ −5 + 9 ⎞⎟ : ⎡ 1 − 2 + 2 − 1 ⎤ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎢⎣ 2 3 6 ⎥⎦ 3 ⎧ 4 49 ⎫ 3 1 13 3 3 16 Calcola il valore dell’espressione: ⎨ ⎡⎢ ⋅ + ⎛⎜ 1 + − ⎞⎟ : ⎤⎥ ⋅ ⎛⎜ − ⎞⎟ − ⎛⎜ − 14 ⎞⎟ ⎬ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 3 3⎦ 2 2 ⎪⎩ ⎣ 7 8 ⎪⎭

17 Trova l’espressione numerica che traduce la seguente frase: “Dividi la somma tra 10 e l’opposto di 2 per la differenza tra il prodotto di 5 e 3 e il quoziente tra 12 e 4”. 18 Due numeri a e b hanno la somma negativa e il prodotto positivo. I due numeri sono: a) entrambi negativi b) entrambi positivi c) uno negativo e l’altro positivo d) non è possibile stabilire il segno dei due numeri 19 Se si divide un numero relativo positivo n per il suo quadrato n2, si ottiene un numero: a) sicuramente minore di 1 b) sicuramente minore di n c) sicuramente maggiore di n d) un numero minore, uguale o maggiore di 1, a seconda di n 20 Se da un numero relativo n diverso da zero si sottrae il suo triplo, si ottiene: a) un numero sicuramente negativo b) un numero sicuramente minore di n c) un numero sicuramente discorde da n d) il doppio di n 105

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PARTE A C UNITÀ

3 2

I monomi

I Espressioni algebriche letterali I Caratterizzazione dei monomi I Operazioni con monomi Il calcolo letterale è un importante strumento che, con operazioni algebriche e l’impiego “inedito” di lettere, risolve numerosi problemi di ordine pratico.

I Espressioni algebriche letterali 1 Cosa è un’espressione algebrica letterale? Un’espressione algebrica letterale è un insieme di operazioni aritmetiche che coinvolgono numeri relativi e lettere. Esempio Sono espressioni algebriche letterali 5a 2 − 7b + c 3 x 2 − 2y x+y Le lettere senza esponente sono da considerare con esponente 1.

2 Che cos’è e come si determina il valore numerico di un’espressione algebrica letterale? Data un’espressione algebrica letterale, attribuiamo a ciascuna lettera un determinato numero relativo. Il valore numerico dell’espressione è il numero relativo ottenuto dapprima sostituendo a ciascuna lettera il valore attribuito, quindi eseguendo le operazioni indicate nell’espressione. 3 Come si classificano le espressioni algebriche letterali? Le espressioni possono essere • razionali: non contengono lettere sotto radice • irrazionali: contengono lettere sotto radice • intere: non contengono lettere al denominatore • fratte: contengono lettere al denominatore È importante distinguere le espressioni per selezionare i valori dei numeri relativi da sostituire alle lettere (vedere punto 4). Attenzione: esistono espressioni che sono sia irrazionali che fratte.

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Unità 2

4 Cosa è il campo di esistenza di un’espressione letterale? Il campo di esistenza (indicato con l’acronimo C.E.) è l’insieme dei numeri relativi ammessi a sostituire le lettere che compaiono nell’espressione letterale affinché non perda di significato. 5 Da cosa dipende il campo di esistenza di un’espressione letterale? Il campo di esistenza dipende dal tipo di espressione, cioè se è razionale, irrazionale, intera o fratta: • se è razionale o intera, non esiste numero relativo che faccia perdere di significato l’espressione, quindi il campo di esistenza coincide con l’insieme Z; • se è irrazionale, occorre che il radicando di ogni radice sia maggiore o uguale a 0; • se è fratta, occorre che il denominatore di ogni frazione sia diverso da zero. Attenzione: se l’espressione è sia irrazionale che fratta occorre valutare la condizione di esistenza sia per il radicando che per il denominatore. Esempio L’espressione letterale

7a2 3d

ha come campo di esistenza per la lettera d l’insieme dei numeri relativi escluso lo 0 (d ≠ 0). L’espressione letterale

3 x 2 5e

ha come campo di esistenza l’insieme dei numeri relativi maggiori o uguali a zero per la lettera x (x ≥ 0), l’insieme dei numeri relativi escluso lo 0 per la lettera e (e ≠ 0).

6 In cosa consiste la potenzialità del calcolo letterale? Il calcolo letterale consente di risolvere problemi di tipo pratico, sostituendo di volta in volta opportuni dati a uno o più parametri indicati con lettera, senza ripetere il ragionamento per la risoluzione.

I Caratterizzazione dei monomi 7 Cos’è un monomio? Un monomio è una espressione algebrica letterale in cui compaiono solo moltiplicazioni tra numeri relativi e lettere che si esprimono anche sottoforma di potenze. Esempio L’espressione algebrica ⎛ 3⎞ 2 4 a 2 b ⋅ 3b 4 ⋅ ⎜ − ⎟ c ⋅ a 2 ⎝ 8⎠ 5 è un monomio. Invece

3 4 a 2 ( b + 3 ) ⋅ b3 ⋅ c 2 8

non è un monomio: infatti appare un’addizione algebrica tra una lettera e un numero. 107

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Parte C

8 Quando un monomio è ridotto in forma normale? La forma normale è raggiunta quando il monomio appare come prodotto tra due fattori così definiti: • fattore composto da un solo numero relativo definito coefficiente del monomio; • fattore composto da potenze con basi letterali diverse definito parte letterale del monomio. Esempio Il monomio −2a 2b3 c è ridotto in forma normale, invece

1 xy ⋅ 2 y 4

non è ridotto in forma normale: infatti appaiono due coefficienti e due lettere y.

9 Come si riduce un monomio in forma normale? Eseguendo i seguenti passaggi: • moltiplicando tutti i numeri relativi; • scrivendo ogni lettera una sola volta e mettendo per esponente la somma degli esponenti con cui la lettera compare. Esempio Ridurre in forma normale il seguente monomio ⎛ 3⎞ 2 4 a 2 b ⋅ 3b 3 ⋅ ⎜ − ⎟ c ⋅ a 2 = ⎝ 8⎠ 5 ⎛ 3⎞ 2 = 4 ⋅ 3 ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ a 2+2b1+3 c = ⎝ 8⎠ 5 9 = − a 4 b4 c 5

10 Quando un monomio è nullo e quando è unitario? Un monomio (in forma normale) è nullo se il coefficiente è 0, è unitario se il coefficiente è 1; in questo ultimo caso si omette il coefficiente e si lascia la parte letterale. 11 Quando un monomio è definito intero? Un monomio (in forma normale) è intero se la parte letterale contiene solo lettere con esponente positivo. Esempio Il monomio –4x3y4 è intero: infatti gli esponenti 3 e 4 sono positivi. Il monomio

1 − a 3b 3 è intero: infatti gli esponenti 3 e 1 sono positivi. 108

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Unità 2

12 Quando un monomio è definito frazionario? Un monomio (in forma normale) è frazionario se la parte letterale contiene almeno una lettera con esponente negativo, oppure almeno una lettera a denominatore. Esempio I seguenti monomi

2a b2

3 y5 x2 sono frazionari, perché possiedono lettere a denominatore. 3 x −2 y 5 =

13 Qual è il grado rispetto a una lettera e qual è il grado complessivo di un monomio intero? Il grado rispetto a una lettera è il numero a esponente della relativa lettera. Se la lettera indicata non compare nella parte letterale si considera, rispetto a questa lettera, di grado 0. Il grado complessivo è la somma di tutti i numeri a esponente delle lettere che compaiono nella parte letterale. Esempio Il monomio

2 − a 4 b2 c 5

è di quarto grado rispetto alla lettera a, secondo grado rispetto alla lettera b, primo grado rispetto alla lettera c. Dato il monomio

2 − a 4 b2 c 5

sommando tutti gli esponenti della parte letterale si ottiene 4+2+1=7 per cui è di settimo grado complessivo.

14 Quando due monomi sono uguali, simili e opposti? Due monomi (in forma normale) sono uguali quando hanno i medesimi coefficienti e le medesime parti letterali. Due monomi (in forma normale) sono simili se hanno (solo) la medesima parte letterale. Due monomi (in forma normale) sono opposti se sono simili e hanno i coefficienti opposti. Per medesima parte letterale s’intende medesime lettere con medesimo relativo esponente. Esempio Il monomio 5a2b3c è simile a 1 − a 2b3 c 2

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Parte C

Il monomio

5 2 xy 6

è opposto al monomio

5 − xy 2 6

I Operazioni con monomi 15 Come si esegue l’addizione algebrica tra monomi? Se i monomi-addendi sono simili, il monomio-somma è un monomio simile che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti dei monomi-addendi. Se i monomi-addendi non sono simili, l’addizione algebrica si lascia indicata senza eseguire alcuna addizione. Esempio Monomio simile 2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ −2 + 12 ⎞ 2 10 2 − ab2 + 4 ab2 = ⎜ − + 4 ⎟ ab2 = ⎜ ab = ab ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ 3 3 3 Monomio non simile −3 ab + 2a 2b

16 Come si esegue la moltiplicazione tra monomi? Dati monomi-fattori, il monomio-prodotto ha come: • coefficiente, il prodotto dei coefficienti dei monomi-fattori; • parte letterale, tutte le lettere che compaiono nei monomi-fattori, ciascuna con esponente la somma degli esponenti che possiede nei monomi fattori. Ovviamente se una determinata lettera compare solo in un monomio-fattore la si riporta nel monomio-prodotto senza eseguire alcuna somma fra esponenti. Esempio 5 2 3 ⎛ 8 ⎞ 5 ⎛ 8⎞ a b c ⋅ ⎜ − abc 3 ⎟ = ⋅ ⎜ − ⎟ a 2+1b3 +1 c1+ 3 = −2a 3 b4 c 4 ⎝ 5 ⎠ 4 ⎝ 5⎠ 4

17 Come si esegue l’elevamento a potenza di un monomio? La potenza di un monomio è un monomio che risulta dall’elevamento a potenza sia del coefficiente che della parte letterale, dove ciascuna lettera ha esponente uguale al prodotto tra il proprio esponente e quello della potenza. Esempio 2

1 2 8 ⎛ 1⎞ ⎛ 1 4⎞ 1⋅2 4⋅2 ⎜⎝ − xy ⎟⎠ = ⎜⎝ − ⎟⎠ ⋅ x y = x y 2 2 4

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Unità 2

18 Come si esegue la divisione tra due monomi? Il quoziente di due monomi ha come: • coefficiente, il quoziente dei coefficienti; • parte letterale, le lettere del primo monomio e quelle del secondo, con esponente la differenza tra gli esponenti delle lettere uguali. Esempio 9 3 10 2 2b 3 − a 2b3 : a 4 b2 c = − ⋅ a 2− 4 b3 − 2 c 0 −1 = − a −2bc −1 = − 2 10 5 9 3 3a c 5

QUESITI a Perché è importante il calcolo letterale? b Perché è importante il campo di esistenza in una espressione algebrica letterale? c Cosa comporta ridurre un monomio in forma normale?

e In cosa consiste la differenza tra il sommare algebricamente due monomi e due numeri? f In cosa consiste la differenza tra elevare a potenza un monomio ed elevare a potenza un numero?

d Cosa è richiesto a una coppia di monomi per essere definiti uguali, simili e opposti?

ESERCIZI I Espressioni algebriche letterali 1

Esprimi con il linguaggio del calcolo letterale le seguenti affermazioni: a) Un terzo di x più il quadrato di y. b) La metà di x meno un terzo del quadrato di y. c) Un quarto del quadrato di m meno la somma tra m e n. d) Il quoziente tra i due quinti di x e la differenza dei quadrati fra x e y.

Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni algebriche letterali: 1 a) c (1 + a ) + b ( a + b ) per a = −2, b = − , c = −2 2 b)

3 a − 4b per a = 3, b = 2 b+a

2a a+b a−b 1 3 − + per a = − , b = a+b b b 2 4

1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 d) ⎛⎜ :⎜ + per x = −3 + − ⎟ ⎝ x + 1 x − 1 ⎠ ⎝ x − 1 x + 1 ⎟⎠ x

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Parte C

Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni algebriche letterali: a)

b2 − 1 b−a 2 1 − per a = , b = − 2 2 a + b + 2ab a + b 3 2

a−2 3 ⎛ 2a − 1 3 a + 1 ⎞ − per a = − b) ⎜ ⎟⎠ ⋅ 2 ⎝ a −1 a − 2 a + 3a − 3 4

a 2 − b2 ⎛ a 2 − ab + b2 a 2 + ab + b2 ⎞ 1 ⋅⎜ + per a = −1, b = 2 ⎟ ⎝ a a−b a+b ⎠ 3

2ab +a−b ( a + b )2 a−b : 2 per a = −1, b = 3 2 d) −2ab + a + b a − b a+b

Indica quale valore della lettera a rende prive di significato le seguenti espressioni letterali: a)

5 ab a−3

6a + b 8 + a3

Indica quali valori, delle lettere a e b, rendono prive di significato le seguenti espressioni letterali: a)

4a + ab

−b + a 2

I Caratterizzazione dei monomi 6

Riduci in forma normale i seguenti monomi: 2 3 a) ⎛⎜ − ⎞⎟ xy 2 ⎛⎜ ⎞⎟ x 2 yz ( −4 ) ⎝ 3⎠ ⎝ 8⎠

⎛ 3⎞ b) ( −2 ) xy ( −16 ) yz 2 ⎜ ⎟ xy ⎝ 8⎠

Indica il grado complessivo e il grado rispetto a ciascuna delle lettere del monomio 8x4yz3:

I Operazioni con monomi 8

Calcola le seguenti operazioni tra monomi: a) 2 xy 2 − 7 xy 2 − 5 xy 2 − 2 xy 2

4 d) ⎛⎜ − a 2b3 ⎞⎟ ⎝ 5 ⎠

3 1 b) x 2 y 2 − ⎛⎜ x 2 y 2 − x 2 y 2 ⎞⎟ ⎝5 ⎠ 10

e) ⎛⎜ − 1 xy 2 ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

2 4 21 c) ⎛⎜ x 2 y ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ xy 2 ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ − xy 2 ⎞⎟ ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝7

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⎛5 ⎞ : ⎜ ab3 ⎟ ⎝8 ⎠

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Unità Unità x2

Calcola il valore delle seguenti espressioni: a)

( 3 x yz )( 4 x y ) − 3 x y z + ( 2 x y )( −7 xy z ) + 2 x y z 3

1 1 3 b) ⎛⎜ − xy 2 z 3 ⎞⎟ : ⎛⎜ − x 2 y 4 z 2 ⎞⎟ + ⎜⎛ x 4 y 2 z 4 ⎞⎟ ⎠ ⎝ 16 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

3 ⎛ 1 ⎞ : ⎜ − x 2 y + x 2 y⎟ ⎝ 2 ⎠ 4

2 2 ⎡ ⎤ c) 3 x ⋅ ⎢⎛⎜ 1 xy 2 z 3 ⎞⎟ : ⎛⎜ − 2 xy 2 z 4 ⎞⎟ ⎥ − x 2 y 2 z 2 + ⎛⎜ − 1 xyz ⎞⎟ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎣⎝ 2 3

1 2 ⎞ 3 9 ⎡ ⎤ ⎛ 3 ⎛ ⎞ d) xyz 3 + ⎢ xyz ⎜ z + z ⎟ − x 2 y 2 z 3 : xyz ⎥ : ⎜ − x 2 y 2 z 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 3 3 4 8 ⎣ ⎦ 2 2 2 ⎡ ⎤ ⎡ 3 ⎤ 1 1 1 2 2 e) ⎢ − ⎛⎜ − ab2 c ⎞⎟ ⎥ : ⎛⎜ − a 2b4 ⎞⎟ + ⎢ − a 2 c 2 ⋅ ⎛⎜ − abc ⎞⎟ ⎥ : ⎛⎜ a 2bc − a 2bc ⎞⎟ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎝2 ⎠ ⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎣ 4 4 ⎣ ⎝ 3

TEST D’INGRESSO 10 Traduci i seguenti enunciati in linguaggio algebrico. a) La somma del triplo di un numero x con 18. b) Il quadrato della somma di x con y. c) La somma di un numero x con il suo successivo. d) La differenza tra il cubo di x e la metà del quadrato di x. 11

Se a = –3, b = –7, c = 4, quanto vale l’espressione a – b – c?

Qual è il valore assunto dall’espressione 5 xy − x 2 +

1 − 2 x con x = – 2 e y = 3 ? 3 5 y

13 Se a rappresenta un numero intero, il prodotto 2a · (a – 1) è uguale a zero: a) solo se a = 0 c) solo se a = 0 e a = –1 b) solo se a = –2 oppure a = –1 d) solo se a = 0 oppure a = 1 14 La frazione algebrica a + b è uguale a zero quando: a a) a = –b

b) mai

c) a = b e b = 0

d) a = 0

15 Quale dei seguenti monomi è il doppio del prodotto dei due monomi 3a2 e –2b3? a) –12a2b3 b) –12a4b6 c) –6a4b6 d) –6a2b3 16 Il monomio (2b)5 è uguale a: a) 2bbbbb b) 2b + 2b + 2b + 2b + 2b

c) 2b · 5 d) 2b · 2b · 2b · 2b · 2b

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PARTE C UNITÀ

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Polinomi

I Caratteristiche dei polinomi I Operazioni con polinomi I Prodotti notevoli Con i polinomi l’algebra assume la struttura di vera e propria lingua, permettendo alla matematica di essere compresa universalmente.

I Caratteristiche dei polinomi 1 Che cosa è un polinomio? Un polinomio è una qualsiasi addizione algebrica tra monomi. Quindi il polinomio è una struttura composta da due o più monomi. Un polinomio composto da due monomi è definito binomio, da tre monomi trinomio e così via… Esempio L’addizione algebrica 1 2ab − 7 ab3 + a 2 − 3 2 è un polinomio composto da quattro monomi.

2 Quando un polinomio è ridotto a forma normale? Un polinomio è ridotto a forma normale quando non contiene monomi simili. Esempio Il polinomio

3 a + 2b − a − 4b2

non è ridotto a forma normale perché contiene due monomi simili; viene ridotto a forma normale se i due monomi simili si sommano, ottenendo 2a + 2b − 4b2

3 Quando due polinomi sono opposti? Due polinomi sono opposti se ogni monomio di un polinomio è presente nell’altro con segno opposto.

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Unità 3

Esempio Il polinomio x – 3y + 2 è opposto del polinomio –x + 3y – 2

4 Che cosa è il grado di un polinomio? Per un polinomio esistono due tipi di grado: il grado complessivo e il grado relativo. Il grado complessivo è il massimo grado tra i monomi contenuti; quello relativo rispetto a una lettera è il massimo esponente con cui la lettera appare tra i monomi contenuti. Esempio Il polinomio

3 3 a 4 b5 − 2ab3 + a 5 b2 5

è di 9° grado complessivo e di 5° grado relativo rispetto alla lettera a.

5 Quando un polinomio è omogeneo? Un polinomio è omogeneo quando i monomi contenuti hanno il medesimo grado complessivo. Esempio I monomi che compongono il polinomio 2 3 x 2 y3 − x 4 y − 4 y5 3 sono tutti di 5° grado complessivo e dunque è omogeneo.

6 Quando un polinomio è ordinato? Un polinomio è ordinato secondo una determinata lettera se i monomi contenuti sono disposti in modo che gli esponenti della lettera siano in ordine decrescente o crescente. Esempio Il polinomio

4 3 a 4 − 2a 2b + ab3 − 5 7

è ordinato secondo la lettera a: infatti i monomi sono posizionati con l’esponente di a che decresce da 4 a 0.

7 Quando un polinomio è completo? Un polinomio è completo rispetto a una lettera se tutti i suoi monomi contengono la lettera dal grado massimo al grado zero, passando per tutti i gradi intermedi. Esempio Il polinomio

x 4 y + 4 x 3 − 5 x 2y3 + x − 1

è completo rispetto alla lettera x poiché i monomi che contengono tale lettera compaiono con tutti i gradi compresi tra il grado massimo (4°) e il grado zero. 115

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Parte C

I Operazioni con polinomi 8 Come si esegue l’addizione algebrica tra polinomi? Si scrive il primo polinomio seguito dai monomi degli altri polinomi, con lo stesso segno se si esegue un’ addizione, con segno opposto se si esegue una sottrazione. Eseguita la scrittura dei monomi con i segni algebrici opportuni, il polinomio ottenuto si riduce a forma normale (punto 2). Esempio L’addizione algebrica

( −3a

comporta i seguenti passaggi

b − 2ab + ab2 ) + ( a 2b − ab2 )

−3 a 2b − 2ab + ab2 + a 2b − ab2 –2a2b – 2ab

9 Come si esegue la moltiplicazione tra un polinomio e un monomio? Il prodotto di un monomio per un polinomio è la somma algebrica dei prodotti del monomio per tutti i monomi che compongono il polinomio. Esempio La moltiplicazione tra il polinomio e il monomio

( 2a b − 3ab ) ⋅ ( +2b) 2

comporta il seguente passaggio 4 a 2b2 − 6 ab3 −2a 3 b + 7 a 2b2 − 6 ab3

10 Come si esegue la moltiplicazione tra due polinomi? Il prodotto di due polinomi è la somma algebrica dei prodotti di ciascuno monomio del primo polinomio per ciascuno monomio del secondo polinomio. Esempio La moltiplicazione tra i due polinomi

(5 xy comporta l’espressione

− 2x 2 + 3) ⋅ ( x + y)

5 x 2 y 2 + 5 xy 3 − 2 x 3 − 2 x 2 y + 3 x + 3 y

11 Come si esegue la divisione tra un polinomio e un monomio? Il quoziente tra un polinomio e un monomio è la somma algebrica dei quozienti tra ogni monomio del polinomio e il monomio divisore. Esempio La divisione tra i due polinomi

(5a b

4 2

comporta l’espressione

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− a 2 b 2 + 2a 5 b 4 ) : ( − a 2 b 2 ) −5 a 2 + 1 − 2a 3 b2

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Unità 3

12 Come si esegue l’elevazione a potenza di un polinomio? Si considera il polinomio come un fattore e lo si moltiplica per se stesso un numero di volte uguale al numero ad esponente. Esempio La potenza al quadrato del polinomio comporta i seguenti passaggi

( x + 3 y )2 ( x + 3y) ⋅ ( x + 3y) x 2 + 6 xy + 9 y 2

I Prodotti notevoli 13 Che cosa sono i prodotti notevoli? I prodotti notevoli sono particolari prodotti tra binomi che si presentano frequentemente, sottoforma anche di potenza, nel calcolo letterale. È opportuno conoscere il risultato finale senza ogni volta svolgere i rispettivi prodotti. Le formule dei seguenti punti sono naturalmente verificate eseguendo il calcolo letterale. 14 A che cosa è uguale la differenza tra due quadrati? Un binomio composto dalla differenza di due monomi, ciascuno elevato al quadrato (a2 – b2), è il prodotto tra la somma dei monomi e loro la differenza, cioè a 2 − b2 = ( a + b ) ( a − b ) Esempio La differenza di due quadrati, 9x4y2 – 4x2y4, si sviluppa con il seguente prodotto notevole 9 x 4 y 2 − 4 x 2 y 4 = ( 3 x 2 y + 2 xy 2 ) ⋅ ( 3 x 2 y − 2 xy 2 )

15 A che cosa è uguale il quadrato di un binomio? Il quadrato di un binomio (a + b)2 è uguale alla somma algebrica tra il quadrato del primo monomio, il quadrato del secondo monomio e il doppio prodotto del primo monomio per il secondo, cioè ( a + b )2 = ( a 2 + b2 + 2ab ) Se il quadrato di un binomio è una differenza, si ha

( a − b )2 = ( a 2 + b2 − 2ab ) Esempio I quadrati di binomio (2x + 3y)2 e (2x – 3y)2 si sviluppano con i seguenti prodotti notevoli

( 2 x + 3 y )2 = 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 ( 2 x − 3 y )2 = 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2

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Parte C

16 A che cosa è uguale il cubo di un binomio? Il cubo di un binomio (a + b)3, è uguale alla somma algebrica tra il cubo del primo monomio, il cubo del secondo monomio, il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo, il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo, cioè

( a + b )3 = ( a 3 + b3 + 3 a 2b + 3 ab2 ) Se il cubo di un binomio è una differenza si ha

( a − b )3 = ( a 3 − b3 − 3 a 2b + 3 ab2 ) Esempio I cubi di binomio (1 + 2x)3 e (1 – 2x)3 si sviluppano con i seguenti prodotti notevoli

(1 + 2 x )3 = 1 + 6 x + 12 x 2 + 8 x 3 (1 − 2 x )3 = 1 − 6 x + 12 x 2 − 8 x 3

QUESITI a Quali segni algebrici sono ammessi per “legare” i monomi di un polinomio?

c Quali regole occorre rispettare per svolgere le operazioni tra polinomi?

b Quanti e quali sono i gradi di un polinomio?

d Quale particolarità hanno i prodotti notevoli?

ESERCIZI I Caratteristiche dei polinomi 1

Riduci a forma normale il polinomio 2a − 5b2 − 7 a + 4 ab + 6b2

Scrivi l’opposto del polinomio 3 xy − 4 x 2 + 8 y 3

3 Determina il grado complessivo del polinomio − x 5 + x 3 y 3 − 5 xy 2 4

Determina il grado rispetto alla lettera x del polinomio dell’esercizio precedente.

Quale dei seguenti polinomi è omogeneo, completo e ordinato? a) − x + 5 − 3 x 3 + 2 x 2 1 b) 8 m 4 + m 3 − m 5 3 c) a 3 b + 2ab3 − a 4 + a 2b2 5

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Unità 3

I Operazioni con polinomi 6

Calcola le seguenti addizioni algebriche tra polinomi: a) ( 2a − 3b + 2a 3 b2 ) + (7 b − 2a 3 b2 − 6 a ) 1 3 b) ⎛⎜ 1 + x 2 ⎞⎟ − ⎛⎜ 3 xy − 5 + x 2 ⎞⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ c) ( 3 a 2 + 7 ab2 − 5 ab ) − ( 4 ab2 + b2 ) + ( ab − 5 ab2 − 3 a 2 + b2 ) 1 3 3 1 1 1 d) ⎛⎜ x − y − x ⎞⎟ − ⎛⎜ − x ⎞⎟ − ⎛⎜ x − y − x ⎞⎟ 4 2 2 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝4

Calcola le seguenti moltiplicazioni: a) ( x 2 − 3 y + 4 xy ) ⋅ ( −5 xy )

c) ( 6 x − 5 y ) ⋅ ( x + 2 y )

1 b) 2a 2 ⋅ ⎛⎜ a − 4b + 2ab3 − 1 ⎞⎟ ⎝2 ⎠

d) ( x 2 + 1) ⋅ ( x 6 + x 4 − x 2 − 1)

Calcola le seguenti divisioni tra un polinomio e un monomio: a) ( 9a 5 b4 − 12a 4 b3 + 6 a 2b2 ) : ( −3 ab2 ) 4 8 6 2 b) ⎛⎜ x 3 y 3 + x 4 y 2 − x 3 y 4 ⎞⎟ : ⎛⎜ − x 3 y 2 ⎞⎟ 5 5 ⎝ 15 ⎠ ⎝ 5 ⎠

Calcola le seguenti potenze di polinomi: a) ( a − 2b )2

b) ( x + 1)3

I Prodotti notevoli 10 Sviluppa i seguenti prodotti notevoli:

a) ( 2a − 3b ) ⋅ ( 2a + 3b )

c) ( x 3 y 2 − 3 x 2 y 3 ) ⋅ ( x 3 y 2 + 3 x 2 y 3 )

5 5 b) ⎛⎜ x 2 + 1 ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ x 2 − 1 ⎞⎟ ⎝7 ⎠ ⎝7 ⎠

2 2 d) ⎛⎜ a 2b3 c + 5 a 3 bc 4 ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ a 2b3 c − 5 a 3 bc 4 ⎞⎟ ⎝9 ⎠ ⎝9 ⎠

Sviluppa i seguenti prodotti notevoli: ⎛1 ⎞ a) ⎜ a + 2b2 ⎟ ⎝5 ⎠

2 b) ⎛⎜ 3 x 3 − y ⎞⎟ 3 ⎠ ⎝

c) ( a + 2b )3 1 d) ⎛⎜ x − y 2 ⎞⎟ ⎝3 ⎠

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Parte C

I Espressioni polinomiali Nota: le espressioni polinomiali si risolvono applicando le regole delle quattro operazioni e dell’elevamento a potenza valide per i polinomi; attenzione a ridurre sempre i polinomi a forma normale e a sviluppare eventuali prodotti notevoli. Risolvi le seguenti espressioni polinomiali

( x + 3 y ) ⋅ ( x − 3 y ) − ( 2y + 3 x ) ⋅ ( 2y − 3 x ) − 2 ⋅ ( 4 x 2 − 7 y 2 )

2 2ab − ( b − a ) ⋅ ( a − b ) + ⎡⎣2ab + a 2 + b2 − ( a + b ) ⎤⎦

{[(2a − b) ⋅ (2a + b)] − (4a

⎛ a − 1 ⎞ ⋅ ⎛ 2 + a ⎞ − ⎛ 1 + a ⎞ ⋅ a − 2 − 5a − 1 − 1 ⋅ ⎛ 1 + 2 a ⎞ ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 15 3 ⎝ 3 5 ⎠ 3⎠ ⎝3 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝5

1 ⎞ ⎛4 2 1 2 1 ⎞ ⎛2 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛2 ⎛ 2 ⎜ a + b ⎟ − ⎜ a + b − ab ⎟ ⋅ ⎜ a + b ⎟ − 5 ab ⋅ ⎜ a − b ⎟ 2 ⎠ ⎝9 4 3 ⎠ ⎝3 2 ⎠ 10 ⎠ ⎝3 ⎝ 15

2 2 ⎤ 2 2 ⎡⎛ 1 1 1 1 1 x − ⎢⎜ 1 + x ⎞⎟ − ⋅ ( 2 x − 3 ) ⎥ + 18 + ⎛⎜ x + 4 ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ x − 4 ⎞⎟ − ⎛⎜ − x ⎞⎟ 9 3 ⎠ 3 ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎣⎝ ⎦

4 ⎞ ⎛2 ⎛2 ⎛2 ⎞ ⎛2 ⎞ ⎞ 2b ⋅ ⎜ b + a ⎟ + ⎜ a − b ⎟ − ( 2a + b ) ⋅ ( 2a − b ) − ⎜ b − a ⎟ − 2 ⋅ ⎜ a + b ⎟ 3 ⎠ ⎝3 ⎝9 ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎠

+ b2 )

} : (−2ab)

+ 3 x 2 + 2 x ) ⋅ ( x 2 − 3 x ) + 3 ⋅ ( x 2 − 2 ) + x 2 ⋅ (7 x + 6 − x 3 ) + 6

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PARTE C UNITÀ

Equazioni

I Caratteristiche delle equazioni I Principi di equivalenza I Risoluzioni di un’equazione di primo grado Nel ‘500, per indicare un valore sconosciuto, al posto della lettera x si usavano termini quali “cosa” e “tanto”.

I Caratteristiche delle equazioni 1 Che cosa è un’uguaglianza? L’uguaglianza è un’espressione matematica che contiene il simbolo di uguale (=). La parte dell’espressione a sinistra dell’uguale è definito primo membro dell’equazione, la parte a destra, secondo membro. Se i membri dell’uguaglianza contengono monomi, l’uguaglianza è letterale. Un’uguaglianza è verificata se il valore numerico al primo membro è uguale a quello del secondo membro. Esempio L’espressione matematica a − 7 + 2a = 2 + 3 a − 9 è un’uguaglianza letterale, per la presenza del simbolo di uguale e dei monomi con a come parte letterale.

2 Che cosa è un’identità? Un’identità è un’uguaglianza letterale verificata per qualsiasi valore attribuito alle lettere. Esempio L’uguaglianza −2a − 4 + 5 a = 2 + 3 a − 6 è una identità perché è verificata per qualsiasi valore attribuito alla lettera a.

3 Che cosa è un’equazione? Un’equazione è un’uguaglianza letterale verificata per alcuni valori attribuiti a certe lettere chiamate incognite. Solitamente le equazioni di nostro interesse hanno un’unica incognita indicata con la lettera x.

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Parte C

Esempio L’uguaglianza x − 5 = 2 − 3x + 1 è una equazione perché è verificata attribuendo il solo valore 2 all’incognita x.

4 Che cosa significa risolvere un’equazione? Risolvere un’equazione rispetto all’incognita x significa trovare il valore da attribuire a x affinché l’equazione risulti verificata. Il valore risolutivo da sostituire all’incognita x è chiamato soluzione o radice dell’equazione. Esempio La soluzione dell’equazione 3x – 1 = x + 7 è x = 4. Infatti, sostituendo, si ha 3·4–1=4+7 ottenendo l’uguaglianza 11 = 11

5 Qual è il grado di un’equazione? Il grado di un’equazione è indicato dall’esponente dell’incognita. Se è 1, l’equazione è di primo grado, se è 2 è di secondo grado e così via.

I Principi di equivalenza 6 Quando due equazioni sono equivalenti? Due equazioni sono equivalenti quando hanno la stessa soluzione, cioè sono entrambe verificate sostituendo le rispettive incognite con il medesimo valore. L’equivalenza tra equazioni permette di trovare la soluzione di un’equazione complessa attraverso la risoluzione di un’equazione ad essa equivalente più semplice.

7 Cosa afferma il primo principio di equivalenza? Addizionando o sottraendo ai due membri di un’equazione lo stesso numero o la stessa espressione algebrica si ottiene un’equazione equivalente. Esempio L’equazione x = 3 – 2x ha soluzione x = 1. Addizionando 2x al primo e al secondo membro si ottiene l’equazione equivalente x + 2x = 3 – 2x + 2x che comporta come soluzione ancora x = 1.

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Unità 4

8 Quali opportunità operative comporta il primo principio di equivalenza? Un qualsiasi termine di un’equazione può essere spostato da un membro all’altro cambiando il segno algebrico senza alterare l’equazione (regola del trasporto). Se in entrambi i membri di un’equazione esistono due termini uguali, possono essere eliminati senza alterare l’equazione (regola della soppressione dei termini uguali). Esempio Nell’equazione

1 1 x = 10 − 2 x + x 3 3

1 x presenti al primo e al secondo membro, e spostare il 3 monomio –2x dal secondo al primo membro cambiando il suo segno algebrico. Si ottiene quindi l’equazione equivalente più semplice è possibile eliminare i due monomi

2x = 10

9 Cosa afferma il secondo principio di equivalenza? Moltiplicando o dividendo i due membri di un’equazione per uno stesso numero (diverso da zero) si ottiene un’equazione equivalente. Esempio L’equazione 12x – 4 = 16 + 8x ha soluzione x = 5. Dividendo il primo e il secondo membro per 4 si ottiene l’equazione equivalente 3x – 1 = 4 + 2x che comporta come soluzione ancora x = 5.

10 Quali opportunità operative comporta il secondo principio di equivalenza? A tutti i termini di un’equazione è possibile cambiare il relativo segno algebrico senza alterare l’equazione. Si possono dividere entrambi i membri di un’equazione per il coefficiente dell’incognita senza alterare l’equazione. Data un’equazione con frazioni è possibile moltiplicare entrambi i membri per il loro mcd eliminando dunque i denominatori. Esempio Data l’equazione

2 1 x +1 = − x 3 6

si moltiplicano entrambi i membri per il mcd dei denominatori 3 e 6, cioè 1 ⎛2 ⎞ 6 ⎜ x + 1 ⎟ = 6 ⎛⎜ − x ⎞⎟ ⎝6 ⎠ ⎝3 ⎠ Moltiplicando e semplificando, si ottiene quindi l’equazione equivalente più semplice 4x + 6 = 1 – 6x 123

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Parte C

11 Come si determina il grado di un’equazione? Applicando in modo opportuno i principi di equivalenza, si trasforma l’equazione in una equivalente in cui il secondo membro è uguale a zero e il primo membro contiene solo monomi ridotti a forma normale. L’esponente con cui compare l’incognita x coincide con il grado di un’equazione. Un’equazione in cui l’incognita ha esponente 1 è un’equazione di primo grado.

12 Come si rappresenta un’equazione di primo grado in forma normale? Applicando in modo opportuno i principi di equivalenza è possibile trasformare un’equazione di primo grado nella seguente forma normale ax = b dove a è il coefficiente dell’incognita e b è chiamato termine noto.

I Risoluzioni di un’equazione di primo grado 13 Quando un’equazione è determinata, indeterminata, impossibile? Un’equazione di primo grado è determinata se possiede una sola soluzione, indeterminata se possiede infinite soluzioni e impossibile se non ammette soluzioni. 14 Come si risolve un’equazione di primo grado ridotta in forma normale? Dato un’equazione di primo grado in forma normale ax = b si hanno i seguenti tre casi: 1) se a ≠ 0 si ha x=

b a

e l’equazione è determinata; 2) se a = b = 0, l’equazione è indeterminata; 3) se a = 0 e b ≠ 0, l’equazione è impossibile.

15 Come si risolve un’equazione di primo grado? Per la risoluzione di un’equazione di primo grado, prima si applicano in modo opportuno i principi di equivalenza e le regole del calcolo letterale per giungere alla sua forma normale; dopodiché si valutano i casi elencati nel punto 14. Una linea generale per la risoluzione prevede i seguenti passaggi, secondo l’ordine in cui sono elencati. 1) Si eseguono i calcoli interni a eventuali parentesi. 2) Si calcola il mcd di eventuali addizioni con frazioni. 3) Si moltiplicano i membri dell’equazione per il mcd. 4) Si isolano a primo membro tutti i monomi che contengono l’incognita nella parte letterale. 5) Si porta l’equazione in forma normale. 6) Si determina il tipo di soluzione (determinata, indeterminata, impossibile).

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Unità 4

Esempio Data l’equazione di primo grado x−4 1⎛ 1 1 1 − ⎜ x − ⎞⎟ = − ⎛⎜ x − ⎞⎟ 2 3⎝ 2⎠ 2⎝ 3⎠ si risolvono le parentesi tonde

x−4 1 1 1 1 − x+ =− x+ 2 3 6 2 6

si calcola il mcd

3 x − 12 − 2 3x =− 6 6

si moltiplicano i membri per il mcd 6⋅

3 x − 12 − 2 3x =− ⋅6 6 6 3x – 12 – 2 = –3x

si isolano a primo membro i monomi con l’incognita 3x + 3x = 12 + 2 si porta l’equazione in forma normale 6x = 14 da cui la soluzione dell’equazione x=

7 3

QUESITI a Qual è la differenza tra una uguaglianza e una equazione?

c Che cosa comportano i principi di equivalenza?

b Che cosa è l’incognita di un’equazione?

d Che cosa significa risolvere un’equazione di primo grado?

ESERCIZI I Caratteristiche delle equazioni 1

Tra le seguenti uguaglianze indica le identità. a) x 3 ⋅ x 2 = x 5

b) 2x – 3 = x + 1

x4 + 4 = 3 + x2 + 1 x2

d) 5 x −

L’uguaglianza 2 ⋅ ( 3 x − 1)2 = 10 x 2 − 12 x + 2 + 8 x 2 è un’identità o un’equazione?

Quale tra le seguenti uguaglianze è un’equazione?

3 5 = −x 5 3

a) 2 x − x ⋅ ( x − 1) + 4 = 3 x − ( x − 2 ) ⋅ ( x + 2 ) b) 2 ⋅ ( x − 1) + 3 x = 1 − 4 ⋅ ( x − 3 )

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Parte C

I Principi di equivalenza 4

Le equazioni 2x = 6 e 4x + 1 = 3x + 4 sono equivalenti?

Riduci in forma normale le seguenti equazioni a) 5x – 3 = 4 + x b) 8 + 3x – 2x = 5 – 4x

Riduci in forma normale le seguenti equazioni: a)

2 4 x= 3 3

1 3 b) 2 x + x = 5 5

I Risoluzioni di un’equazione di primo grado 7

Definisci il tipo di soluzione delle seguenti equazioni di primo grado: a) 4 x − 2 x + 3 = 2 x + 3 b) 2 x + 8 + 3 x = −2 + 5 x c) 6 x + 2 x − 4 = 4 ⋅ ( 2 x + 4 ) d) 25 + 2 ⋅ ( 6 x + 1) = 6 ⋅ ( 2 x + 7 ) − 15

Risolvi le seguenti equazioni di primo grado:

126

5 1 7 x − + x =1+ x 3 2 6

2 x − 2 2 1 3 ⋅ ( x − 2) 2 ⋅ ( x − 4 ) ⋅ + = − 5 3 15 5 3

−

2 ⎞⎤ 12 ⎛ 21 7⎞ 1 1 1 3 ⎛ 8 ⎞ ⎡ ⎛5 −5 x + ⎛⎜ − x ⎞⎟ ⋅ ⋅ 20 x − x ⋅ ⎜ 2 − x ⎟ = − ⎢− ( −9 ) ⋅ ⎜ x − ⎟⎥ − ⋅ ⎜ x − ⎟ 3 ⎠⎦ 7 ⎝ 2 6⎠ 4 ⎝ 3 ⎠ ⎝2 5 ⎠ 2 ⎝6 ⎣

3 ⋅ ( 2 x + 3 ) ( x + 1) ⋅ ( x − 2 ) x ⋅ ( x − 4 ) 3 4 x ⋅ ⎛⎜ x + ⎞⎟ + = − 2 10 ⎝ 3⎠ 2 5

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Unità 4

TEST D’INGRESSO Nota: i seguenti test sono problemi che si risolvono traducendo il testo in un’equazione di primo grado; occorre individuare nel testo l’incognita e i dati noti, assemblarli con i segni delle quattro operazioni a seconda di come il problema descrive i reciproci legami, e infine risolvere l’equazione ottenuta.

Risolvi l’equazione −3 x + 7 = 2 ⋅ ( x − 1) + 9

13 Se x + 2 = 5, quanto vale il triplo di x? 14 Sottraendo 5 ai 2 di un numero naturale si ottiene 1 del suo valore. 3 4 Di quale numero si tratta?

15 La somma di due segmenti misura 95 cm e uno è inferiore all’altro di 25 cm. Quanto misurano i due segmenti? 16 Dividi il numero 76 in due parti in modo che una sia 1 dell’altra. Quale delle seguenti 3 equazioni risolve il problema? a)

1 x = 76 + x 3

1 76 x= 3 2

1 x + 76 = x 3

d) 76 – x =

1 x 3

17 Il doppio dell’opposto del numero x è uguale ai 4 di 15 . Quanto vale x? 5 8 18 Un remo è lungo 2,5 m ed è immerso nell’acqua per i 3 della sua lunghezza. Quale delle 7 seguenti equazioni permette di trovare la lunghezza l della parte emergente? a) 2, 5 =

3 2, 5 + l 7

b) 2, 5 =

3 +l 7

c) 2, 5 + l =

3 7

3 d) 2, 5 + l = l 7

19 Traduci in equazione di primo grado la seguente affermazione: “la differenza tra il cubo di x e la metà del quadrato di x”. 20 Il numero x, tale che i suoi 2 superano di 10 la sua metà, si può determinare risolvendo 3 l’equazione: a)

2 1 x = 10 + x 3 2

2 1 x = 10 + x 3 3

1 c) x = 10 + x 2

1 d) x = 10 + x 2

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PARTE D UNITÀ

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I I I I

Elementi di geometria

Punti e linee Angoli Parallelismo e perpendicolarità Classificazione della geometria

Il fondatore della geometria greca fu Talete (600 a.c). Tre secoli dopo Euclide raccolse in un opera dal titolo “Elementi” tutte le conoscenze geometriche fino ad allora note. È su questa opera che si fonda la geometria euclidea.

I Punti e linee 1 Che cosa è un punto? Il punto è l’elemento-cellula della geometria ed è impossibile definirlo in modo formale. Generalmente i punti si indicano con una lettera maiuscola (A, B, C, … ). Disegnare un punto è l’unico modo per definirlo.

2 Che cosa è una linea? La linea è un insieme infinito di punti tra loro adiacenti che può assumere una qualsiasi forma. Può essere aperta se gli estremi non si toccano (fig. a) o chiusa se coincidono (fig. b). La misura di una linea si chiama lunghezza. Una linea può anche intersecarsi.

•

3 Che cosa è una retta? La retta è una linea infinita, con i punti che la compongono allineati. Generalmente le rette si indicano con lettere minuscole (a, b, c, … ). a

La lunghezza di una retta è un valore numerico infinito; in altri termini non esiste un punto di inizio e un punto di fine.

4 Quando due rette sono incidenti? Due rette (a e b) sono incidenti quando s’intersecano in un punto (P).

a b

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•

•A

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Unità 1

5 Che cosa è una semiretta? La semiretta (q) è una linea infinita, con i punti che la compongono allineati che inizia in un punto chiamato origine (O).

• q

La semiretta è ciascuna delle due parti di una retta che un punto separa.

6 Che cosa è un segmento? Un segmento è una porzione di retta (a) delimitata da due punti chiamati estremi (A e B). Generalmente i segmenti si indicano con le lettere degli estremi avvicinati (AB).

A •

B •

Un segmento appartiene sempre a una retta e la sua lunghezza è un valore numerico finito.

7 Quando due segmenti sono consecutivi? Due segmenti di lunghezza qualsiasi (AB e BC) sono consecutivi quando hanno un estremo (B) in comune.

A •

C •

B •

Due segmenti consecutivi appartengono a rette incidenti.

8 Quando due segmenti sono adiacenti? Due segmenti di lunghezza qualsiasi (AB e BC) sono adiacenti quando sono consecutivi e appartengono a un’unica retta (k).

A •

B •

9 Qual è la distanza tra un punto esterno e la retta? È la lunghezza del segmento che ha per estremi il punto esterno (P) e il punto di intersezione con la retta (K). Il segmento (PK) appartiene alla retta (s) perpendicolare alla retta (t) (punto 19).

C •

•P PK t •

I Angoli 10 Che cosa è un angolo? Un angolo è ciascuna delle due parti illimitate di piano, comprese tra due semirette (a e b) con le origini in comune in un punto (O). La misura in gradi (simbolo °) di un angolo è chiamata ampiezza. Generalmente un angolo si indica con una lettera minuscola greca (α, β, γ, … ). Le semirette sono chiamate lati dell’angolo, il punto in comune vertice.

a β O•

α b

Due semirette con origini in comune formano sempre due angoli le cui ampiezze sommate, danno un angolo di 360°.

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Parte D

11 Qual è la differenza tra angolo concavo e angolo convesso? Un angolo concavo (α) contiene il prolungamento dei lati (prolungamento in rosso delle semirette a e b). Un angolo convesso (β) non contiene il prolungamento dei lati.

a O •

12 Quando due angoli sono consecutivi? Due angoli consecutivi (α e β) hanno il vertice (O) e un lato (k) in comune; i due lati non in comune (a e b) sono opposti al lato comune.

a α

O •

13 Quando due angoli consecutivi sono adiacenti? Due angoli consecutivi (α e β) sono adiacenti quando i due lati non comuni (a e b) appartengono alla medesima retta (t).

α • O

β b

14 Come si classificano gli angoli rispetto alla loro ampiezza? Un angolo con ampiezza di 90° è chiamato angolo retto (fig. a), con ampiezza di 180° è chiamato angolo piatto (fig. b), con ampiezza di 360° è chiamato angolo giro (fig. c). a

180° 90°

360°

• O

O•

15 Come si classificano gli angoli rispetto alla somma delle loro ampiezze? Due angoli con la somma delle loro ampiezze di 90° sono fra loro complementari (fig. a), con la somma delle loro ampiezze di 180° sono fra loro supplementari (fig. b), con la somma di 360° sono fra loro esplementari (fig. c). a

b α + β = 90° α O•

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c α + β = 180° α

α + β = 360° α

β • O

• O

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Unità 1

16 Qual è la differenza tra un angolo acuto e un angolo ottuso? Un angolo acuto ha ampiezza minore di 90° (fig. a), un angolo ottuso ha ampiezza maggiore di 90° (fig. b).

b α < 90°

α > 90° α

17 Che cosa è la bisettrice di un angolo? La bisettrice di un angolo (α) è la semiretta (b) che ha origine nel vertice (O) e divide l’ampiezza in due parti uguali.

• O

α 2 α 2

I due angoli che forma una bisettrice hanno come ampiezza la metà dell’angolo che dividono.

I Parallelismo e perpendicolarità s

18 Quando due rette sono fra loro parallele? Due rette (s e t) sono parallele quando non sono mai tra loro incidenti.

I punti di una retta sono equidistanti dai punti di una retta ad essa parallela.

19 Quando due rette sono fra loro perpendicolari? Due rette (q e p) che si intersecano in un punto (P) sono fra loro perpendicolari quando formano quattro angoli retti.

90°

90° • P

90°

q 90°

20 Che cosa è l’asse di un segmento? L’asse di un segmento (AB) è la retta perpendicolare (p) passante per il punto medio (M) del segmento, cioè per il punto del segmento equidistante dai due estremi.

• A

•

• B

21 Quali angoli formano due rette intersecate da una retta incidente? Rispetto alla figura, sono: 1 2 - angoli corrispondenti, le coppie 1 e 5, 2 e 6, 4 e 8, 3 e 7; 4 3 - angoli coniugati interni, le coppie 4 e 5, 3 e 6; - angoli coniugati esterni, le coppie 1 e 8, 2 e 7; 5 6 - angoli alterni interni, le coppie 4 e 6, 3 e 5; 8 7 - angoli alterni esterni, le coppie 1 e 7, 2 e 8; Congruenti sono le coppie di angoli corrispondenti e le coppie di angoli alterni. Supplementari sono le coppie di angoli coniugati.

a b

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Parte D

I Classificazione della geometria 22 In cosa consiste la geometria euclidea? La geometria euclidea è la geometria che si basa sui cinque postulati di Euclide e in particolar modo sul postulato delle rette parallele. Si suddivide in geometria piana e solida. Le geometrie che si basano su postulati diversi da quelli enunciati da Euclide sono dette geometrie non euclidee. 23 Qual è la differenza tra geometria piana e solida? La geometria piana si occupa di figure geometriche i cui punti sono compresi in un unico piano (figure bidimensionali come, per esempio, triangoli e quadrati). La geometria solida si occupa di figure geometriche i cui punti sono compresi in uno spazio (figure tridimensionali come, per esempio, cubi e sfere).

QUESITI a Quali difficoltà si incontrano a definire un punto? b Qual è la definizione di retta?

e Quali sono le ampiezze standard degli angoli?

c Qual è la definizione di segmento?

f Quali angoli forma un asse di un segmento rispetto al segmento stesso?

d Quando due segmenti sono paralleli e quando sono perpendicolari?

g Qual è la differenza tra un angolo acuto, ottuso e retto? h Cosa comporta la bisettrice di un angolo?

TEST D’INGRESSO I Punti e linee 1

In figura è rappresentata: a) la retta AB c) la semiretta AB b) il segmento AB d) solo i punti AB

A •

B •

L’insieme dei punti di un segmento è un sottoinsieme della retta cui appartiene?

In figura la somma delle lunghezze dei due segmenti adiacenti è: a) 2 AC c) AC A b) –AC d) lunghezza nulla •

Due rette sono incidenti quando: a) non hanno punti in comune b) hanno tutti i punti in comune

B •

C •

c) hanno un punto in comune d) hanno una coppia di punti in comune

I Angoli 5

I due angoli in figura sono consecutivi? α

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Unità 1

I due angoli in figura sono: a) opposti al vertice b) adiacenti c) consecutivi d) uno doppio dell’altro

Data una retta r e un punto P esterno ad essa, quante rette parallele ad r passano per P ? a) infinite b) una c) nessuna d) due

In figura, le rette r ed s sono tagliate dalla retta t. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? a) gli angoli α e δ sono supplementari b) gli angoli β e γ sono supplementari c) gli angoli α e γ sono supplementari d) gli angoli β e δ sono congruenti

I due angoli in figura sono adiacenti o opposti al vertice? α

Dati i due angoli in figura la somma delle loro ampiezze comporta un angolo: a) giro c) retto b) di 45° d) piatto

13 In figura, la distanza del punto A dalla retta r è il segmento: a) AC b) AB c) AD d) CD A •

• α

Che cosa s’intende per bisettrice? a) una retta che divide in due un segmento b) una figura geometrica con due lati c) una retta che separa in parti uguali il lato di un triangolo d) una semiretta che separa in due parti uguali un angolo

•

• B

14 In figura, la retta r è perpendicolare al segmento AB ed M è il punto medio. L’asse del segmento AB è: a) AP b) BP c) la retta r d) la retta s

•P

I Parallelismo e perpendicolarità 10 Se due rette sono parallele, allora a) non hanno punti in comune b) hanno tutti i punti in comune c) hanno un punto in comune d) hanno una coppia di punti in comune

•

s B

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PARTE D UNITÀ

1 2

I I I I

Geometria piana

Poligoni Triangoli Quadrilateri Circonferenza

Alla geometria piana appartiene uno tra i più famosi teoremi della matematica: il teorema di Pitagora.

I Poligoni

1 Che cosa è un poligono? Un poligono è una parte di piano delimitata da un insieme di segmenti consecutivi che formano una linea chiusa chiamata poligonale. I segmenti sono chiamati lati e hanno come estremi due vertici consecutivi.

A d

G h

g f

I poligoni prendono il nome dal numero di lati che li compongono (triangolo, tre lati; quadrilatero, quattro lati; pentagono, cinque lati e così via).

2 Che cosa sono il perimetro e l’area di un poligono? Il perimetro P di un poligono è la somma delle lunghezze dei suoi lati. L’area A è la misura della superficie del piano racchiuso dalla poligonale. A

3 Che cosa è la diagonale di un poligono? La diagonale di un poligono è un segmento (AD) che unisce una qualsiasi coppia di vertici non consecutivi.

4 Come si classificano i triangoli rispetto ai lati? Un triangolo con i tre lati di luna ghezza diversa è chiamato scaleno (fig. a), con due lati uguali è chiamato isoscele (fig. b), con tre lati b a uguali è chiamato equilatero (fig. c). c 134

I Triangoli

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Unità 2

5 Come si classificano i triangoli rispetto agli angoli? Un triangolo con i tre angoli interni a acuti è chiamato acutangolo (fig. a), con un angolo interno ottuso è chiaβ mato ottusangolo (fig. b), con un angolo interno retto è chiamato retγ α tangolo (fig. c).

c a α

i α b

I lati dell’angolo retto di un triangolo rettangolo sono chiamati cateti e il lato opposto all’angolo retto è chiamato ipotenusa.

6 Che cosa afferma il teorema di Pitagora? Dato un triangolo rettangolo, la lunghezza i dell’ipotenusa è data dalla radice i = a 2 + b2 dove a e b sono le misure dei due cateti (fig. 5c).

7 Qual è la somma degli angoli interni di un triangolo? La somma delle ampiezze degli angoli interni di un qualsiasi triangolo è di 180°. 8 Che cosa sono l’altezza e l’ortocentro di un triangolo? L’altezza è il segmento che congiunge un vertice con un punto del lato opposto in modo che la retta a cui appartiene il segmento sia perpendicolare al lato; l’ortocentro è il punto di incontro delle tre altezze. L’ortocentro può essere un punto esterno al triangolo.

9 Che cosa sono la mediana e il baricentro di un triangolo? Le mediana è il segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto; il baricentro è il punto di incontro delle tre mediane. Il baricentro può essere solo un punto interno al triangolo.

10 Che cosa sono la bisettrice e l’incentro di un triangolo? La bisettrice taglia l’angolo di un triangolo a metà; l’incentro è il punto di incontro delle tre bisettrici. L’incentro può essere solo un punto interno al triangolo.

11 Che cosa sono l’asse e il circocentro di un triangolo? L’asse rispetto a un lato è la retta incidente, perpendicolare al lato, che passa per il suo punto medio; il circocentro è punto di incontro dei tre assi. Il circocentro può essere un punto esterno al triangolo.

12 Qual è l’area di un triangolo? L’area A di un triangolo è base per altezza diviso due, cioè b·h A= 2

h b 135

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Parte D

I Quadrilateri 13 Quando un quadrilatero è considerato un trapezio e qual è la sua area? Un trapezio è un quadrilatero con due lati opposti paralleli (fig. a). Un trapezio è isoscele quando i due lati non paralleli e le diagonali sono fra loro uguali (fig. b). Un trapezio è rettangolo quando due suoi angoli sono retti (fig. c). L’area A di un trapezio è uguale alla somma delle basi per l’altezza diviso due, cioè A=

(b1 + b2 )h 2 b1

b1 h

h b2

La diagonale di un quadrilatero è il segmento che unisce i vertici di due angoli opposti; un quadrilatero ha sempre due diagonali che si incrociano in un punto interno alla figura piana.

14 Quando un quadrilatero è considerato un parallelogramma e qual è la sua area? Un parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli e uguali, gli angoli opposti uguali, e le diagonali incidenti nel loro punto medio. L’area A di un parallelogramma è il prodotto tra la base e l’altezza, cioè A=b·h

h b

15 Quando un quadrilatero è considerato un rombo e qual è la sua area? Un rombo è un parallelogramma con tutti i lati uguali e le diagonali perpendicolari nel loro punto medio. L’area A di un rombo è il prodotto tra il lato e l’altezza, cioè

h d d2 1

A=l·h

oppure il prodotto tra le due diagonali diviso due, cioè A=

d1 · d2 2

16 Quando un quadrilatero è considerato un rettangolo e qual è la sua area? Un rettangolo è un parallelogramma con angoli tutti retti e diagonali tra loro uguali. L’area A di un rettangolo è il prodotto tra la base e l’altezza, cioè A=b·h 136

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Unità 2

17 Quando un quadrilatero è considerato un quadrato? Un quadrato è un parallelogramma con lati, angoli e diagonali uguali tra loro. L’area A di un quadrato è il quadrato del lato, cioè A = l2 l

I Circonferenza 18 Che cosa è una circonferenza? La circonferenza è una linea chiusa composta da punti che sono tutti alla medesima distanza da un punto detto centro (O). Il segmento che unisce il centro con un qualsiasi punto della circonferenza è chiamato raggio (r). Il segmento di lunghezza doppia del raggio è chiamato diametro.

r O

19 Che cosa è un cerchio? Il cerchio è l’unione dell’insieme dei punti che compongono la circonferenza e dell’insieme dei punti del piano racchiuso dalla circonferenza.

20 Che cosa è un arco di circonferenza? È la porzione di circonferenza delimitata da una qualsiasi coppia di suoi punti (A e B).

21 Che cosa è una corda? È il segmento (AB) che unisce una qualsiasi coppia di punti di una circonferenza. La corda con lunghezza massima coincide con il diametro.

22 Quali sono le possibili posizioni di una retta rispetto a una circonferenza? Una retta (r), rispetto a una circonferenza, è esterna quando non esistono punti in comune (fig. a); tangente, quando esiste un punto (P) in comune (fig. b); secante, quando esistono due punti (A e B) in comune (fig. c).

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Parte D

c B

La retta tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio che unisce il centro con il punto di tangenza.

QUESITI a Quanti lati può avere un poligono? b Come si individuano le altezze di un triangolo? c Come si individuano le mediane di un triangolo? d Come si individuano le bisettrici di un triangolo?

e Qual è l’enunciato del teorema di Pitagora? f Qual è la differenza tra un rombo e un quadrato? g Qual è la differenza tra la circonferenza e il cerchio? h A quale poligono appartiene il circocentro?

TEST D’INGRESSO I Triangoli

138

Se b e h sono le lunghezze della base e dell’altezza di un triangolo, la sua area è uguale a: b·h b+h h a) A = b · h b) A = c) A = d) A = b 2 2 2

L’altezza di un triangolo rettangolo può coincidere con un cateto?

Il teorema di Pitagora afferma che in un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sul’ipotenusa è uguale: a) alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti b) alla differenza delle aree dei quadrati costruiti sui cateti c) all’area del rettangolo formato con i due cateti

Se la somma degli angoli interni α, β, e γ di un triangolo vale 180° ciò significa che: a) α = 90°, β = 30°, γ = 60° b) α = 60°, β = 60°, γ = 60° c) la somma dei tre angoli è un angolo piatto

Quali delle seguenti affermazioni sono corrette: a) in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono ottusi b) in un triangolo rettangolo un angolo acuto è sempre di 30° c) in un triangolo equilatero ogni angolo è di 30°

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Unità 2

I Quadrilateri 6

In un trapezio isoscele le diagonali sono: a) diverse tra loro b) perpendicolari c) uguali d) parallele

Da quale delle seguenti formule è data l’area del quadrato? a) A = 4l b) A = l4 c) A = l

d) A = l2

Dato un rombo, quali delle seguenti affermazioni sono corrette? a) le diagonali si intersecano nel loro punto medio b) le diagonali sono tra loro perpendicolari c) le diagonali sono uguali d) le diagonali sono bisettrici degli angoli interni

Dato un rettangolo, quale delle seguenti affermazioni è corretta? a) tutti gli angoli sono retti e le diagonali sono tra loro perpendicolari b) le diagonali si intersecano nel loro punto medio e i lati sono uguali c) gli angoli e le diagonali sono uguali d) la base è doppia dell’altezza

10 Se il lato di un quadrato raddoppia come aumenta la sua area?

I Circonferenza 11

Esiste differenza tra i termini “circonferenza” e “cerchio”? a) sono termini con il medesimo significato b) la circonferenza è la parte interna e il cerchio è a parte esterna c) il cerchio è la parte di piano interna alla linea chiusa (compresa) e la circonferenza è a linea chiusa d) la circonferenza è la parte di piano interna alla linea chiusa e il cerchio è la linea chiusa

Il rapporto tra le lunghezze di due circonferenze è 2. Il rapporto tra i raggi è: a) 0 b) 2 c) 4 d) 6

13 Che cosa s’intende per corda di un cerchio? a) il segmento che unisce due punti della circonferenza b) una parte di cerchio racchiusa fra due rette parallele c) una parte di circonferenza d) il segmento che unisce un punto della circonferenza con il centro 14 La retta t è tangente nel punto A alla circonferenza di centro O. Il raggio OA è perpendicolare alla retta?

t A

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Soluzioni

SOLUZIONI Parte A

Unità 1

a) d) e)

•a

sì

G = {martedì, mercoledì} 7 P = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} 8 C = {4, 3, 1, 6} 9 A = {t, a, p, o} 10 a) L’insieme A è composto dagli elementi x tali che x è un numero naturale compreso tra zero e sette. b) L’insieme B è composto dagli elementi x tali che x è un numero dispari compreso tra cinque e undici, estremi compresi. c) L’insieme C è composto dagli elementi x tali che x è un numero pari minore di dieci. 11 a) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) B = {5, 7, 9, 11} c) C = {0, 2, 4, 6, 8} 12 a) A = {le stagioni} b) B = {x|x ∈ » p e x ≤ 8} 13 a) A 1 1 B •6 • 1 •3 • 9 • 10 •8 1 1 • • •2 •4 27 81 • a

•c •d

•d

5 7

•a •c

•e

B ∩ C = {c, d} •c •d

•d

A ∩ B ∩ C = {c} A

C •e

•b

B •b

•a

6 a) a) c) A∩B •3 B A •1 •4 •2 •5

•e •a •c •d C

A∪B

•3 B A •1 •4 •2 •5

A ∩ B = {6}

B ∩ A = {6}

A ∪ B = {a, b, c, d, e}

B ∪ A = {a, b, c, d, e}

A ∩ B = {b, c}

B ∩ C = {c, d}

( A ∩ B ) ∩ C = {c}

A ∩ ( B ∩ C ) = {c}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

B ∪ C = {1, 2, 4, 5, 6}

( A ∪ B ) ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A ∪ ( B ∪ C ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

U I

A ∩ B = {b, a, r, o, l}

•e

•b •a •r •o •l

A ∩ ( B ∪ C ) = {c, d}

B ∩ C = {5, 6}

A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

24 sì 25 {∅, {x}, {y}, {x, y}} 26 A = {m, a} 27 a) d) 28 a) 4 b) 7 c) 4 d) ∅

A ∩ C = {d}

A ∪ ( B ∩ C ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P Q

Unità 2

A ∩ B = {c, d}

A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

B ∪ C = {c, d, e, f, g}

( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) = {c, d}

•c

b) B = {le prime cinque potenze di 1/3} c) C = {le prime cinque lettere dell’alfabeto} d) D = {i primi tre giorni della settimana} 15 a) A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12} b) B = {9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} c) C = {1, 2, 3, 4, 5} 16 a) V b) F c) V d) F 17 a) c) 18 a) c) 19 a) b) 20 a) F b) F c) V d) F 21 B = {∅}

Parte A

•a •b

14 a) A = {i numeri pari minori di 11}

A ∩ C = {a, c}

A ∩ B = {c}

• lunedì • martedì • mercoledì

•b •e

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15} B A B •2 •1 •5 •5 •4 •6 • 15 • 3 • 15 • 12

•2 •1 • 6 •4 •3 • 12

A ∩ B = {1, 3}

•d

•b

•c

mare ••• •••

montagna • • • • • •

calcio • • • • • •

pallacanestro • • • • ••

• nuoto

A 16 A – B = {i, o, u}

• sol 2

{ }

3 A ∩B = , 5 5

{

1 3 •1 1 • •2 5 •5 • 5 • 3

}

3 1 1 A ∪ B = 2, , 5, , , 1 5 5 3

140

1 3 •1 1 •2 5 •5 • 5 • 3 •

17 B – A = {fa, sol, la} 18

B = {c, e}

B = {5, 15, 25}

• fa • la •5 • 15 • 25

• do • re • mi

A B

• 10 • 20 B A • 30

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Soluzioni – 20 B = {x|x è un nome che inizia con la lettera p e non è un nome di persona} 21

A × B = {( 3, a ) , ( 3, b ) , ( 6, a ) , ( 6, b ) , ( 9, a ) , ( 9, b )}

A × B = {(1, 3 ) , (1, 4 ) , ( 2, 3 ) , ( 2, 4 ) , ( 3, 3 ) , ( 3, 4 )}

Parte A 1 2

A = {a, c, e}

• •

4 3

B × A = {( 3, 1) , ( 3, 2 ) , ( 3, 3 ) , ( 4, 1) , ( 4, 2 ) , ( 4, 3 )} 23

Unità 4

R = {(5, 3), (5, 4), (8, 3), (8, 4)}

• •

2 1

B = {b, d}

Test d’ingresso 3 4 1 4

5 7

8 9 11 12

15 18 19 20

2 a) b) 3 a) F b) V c) F d) F a) c) Il quadrato è un poligono regolare e l’esagono ha cinque lati. Il quadrato è un poligono regolare o l’esagono ha cinque lati 6 c) d) – A:Roma non è in Lombardia (V) – B:Il numero 4 non è maggiore del numero 2 (F) – C :6 non è un numero dispari (V) – D:Il coccodrillo non è un mammifero (V) V – A:il rombo non ha le diagonali perpendicolari (F) 10 c) A ∧ B: Marte è un satellite di Giove e la Luna è il satellite della Terra (V) A ∧ B: 20 è multiplo di 3 e Manzoni ha scritto I Promessi Sposi (F) A ∧ C: 20 è multiplo di 3 e Leonardo ha dipinto la Gioconda (F) B ∧ C: Manzoni ha scritto I Promessi Sposi e Leonardo ha dipinto la Gioconda (V) A ∧ B: 20 è multiplo di 3 o Manzoni ha scritto I Promessi Sposi (V) A ∧ C: 20 è multiplo di 3 o Leonardo ha dipinto la Gioconda (V) B ∧ C: Manzoni ha scritto I Promessi Sposi o Leonardo ha dipinto la Gioconda (V) A ∧ B:10 è un numero dispari e Manzoni ha scritto La Divina Commedia (F) A ∨ B:10 è un numero dispari o Manzoni ha scritto La Divina Commedia (F) A ∨ C:10 è un numero dispari o Asti è in Piemonte (V) b) 16 b) 17 X' = {1, 2, 3, 6} — X' = {non è una lettera-vocale della parola frase} — X' = {f, r, s} X' ∩ Y' = {1, 2} K' • 3 J' •1 •4 •6 •2 •8

21 X' ∪ Y' = {1, 2, 3, 6, 9} 22 K'

•4

Unità 3

•1 •3 •2 •6

5 6 7 8

9 10

12 • 21 • 15 • 18 •

•4 •5

•3 •6

R = {(2, 4), (5, 10), (10, 20)} R −1 = {( b, a ) | a ∈ A, b ∈ B, b = 2a}

{

}

1 R −1 = ( b, a ) | a ∈ A, b ∈ B, b = a 5 R = {(Italia, India), (India, Italia), (Cina, Canada), (Canada, Cina)} 3 3 ⎫ ⎧ R = ⎨⎛⎜ 1, ⎞⎟ , (1, 3 ) , ⎛⎜ , 3 ⎞⎟⎬ ⎝ 2 ⎠⎭ ⎩⎝ 2 ⎠ A

•3

1•

3 • 2

11 R = {(Luca, Piero), (Luca, Mario), (Piero, Mario)} 12 a) 13 a) b) 14 a) b) 15 a) b) c) 16

K tavolo

mano magia

tabella matita

17 sì 18

• • • • • • • • •

banda bandiera banco

• • • •

laboratorio lavagna

•

cattedra

Parte A

R = {(12, 4), (15, 5), (18, 6)}

19 b) c)

20 b)

21 no

banda

28 c)

banco

27 c)

bandiera

26 d)

lavagna

25 b)

laboratorio

24 b)

22 no

23 si

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Soluzioni

X Asti • Torino • Milano • X

Roma • Parigi • Londra •

26 sì 27 sì X 28

Canada • Italia • Congo •

Y • Piemonte • Lombardia Y • Italia • Germania • Francia • Gran Bretagna

• America • Europa • Africa

Parte B

Unità 2

a) 92 b) 43 c) 26 d) 35 2 a) 49 b) 125 c) 32 d) 81 3 a) 1 b) priva di significato c) 1 d) 0 e) 5 4 a) 3 b) 2 c) 0 d) 1 5 a) 9 b) 2 c) 0 d) 12 6 a) 7 b) 8 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 9 125 16 100 1

a) 16 b) 10 c) 3 d) 5 10 c) 11 d) 13 d) 14 a) 1 b) 32 c) 64 d) 225 15 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 4 1000 5 625

12 c)

16 a) 36 b) 530 c) 745 d) 290 17 a) 8 b) 9 c) 0 d) 6 18 a) 1 b) 4 c) 3 d) 12

Parte B

Unità 1

2 20; associativa 134; commutativa 3 25; dissociativa 4 16; invariantiva della sot5 (12 + 8) + (34 + 6) = 20 + 40 = 60 (p) trazione 6 120 + 7 + 3 + 10 = 140 (p) 7 (87 – 4) – (24 – 4) = 83 – 20 = 63 (p) 8 b) 9 a) 41 b) 42 c) 13 d) 89 10 21 11 47 12 31 13 64 14 a) > b) = c) > d) = 15 a) > b) = c) < d) = 16 231; commutativa 17 70; associativa 18 420; dissociativa 19 distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione 20 invariantiva della divisione 21 (2 · 5) · 32 = 10 · 32 = 320 (p) 22 25 · 4 · 3 = 100 · 3 = 300 (p) 23 15 · (10 + 2) = 15 · 10 + 15 · 2 = 150 + 30 = 180 (p) 24 (120 : 10) : (40 : 10) = (12 : 4) = 3 (p) 25 a) 0 b) impossibile c) indeterminata d) 0 26 a) 457 b) 1 c) 0 d) 230 27 a) 1200 b) 34 c) 5600 d) 78 28 d) 29 a) 3 b) 23 c) 15 d) 1224 30 9 31 47 32 17 33 1260 34 21 35 18 36 15 37 30 38 1 39 4 40 10 41 44 42 3 43 48 – 10 · 3 44 (20 – 13) · 2 45 (10 + 14) : 4 46 a) si passa da un numero all’altro aggiungendo 2, poi 3, poi 4; 17 b) si passa da un numero all’altro facendo prima il doppio, poi il triplo, il quadruplo; 360. c) si passa da un numero all’altro raddoppiando e togliendo 1; 33. d) si passa da un numero all’altro triplicando e aggiungendo 1; 121. Test d’ingresso 47 c)

48 associativa della moltiplicazione distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione 50 Invariantiva della divisione rispetto alla moltiplicazione 51 dissociativa dell’addizione 52 Invariantiva della sottrazione 53 b) 54 c) 55 b) 56 c) 57 b) 58 b) 59 a) 60 a) 61 d) 49

142

19 b) 20 a) 21 a) 102 b) 104 c) 107 d) 104 22 a) 10–2 b) 10–3 c) 10–6 d) 10–7 23 a) 2 · 104 b) 45 · 102 c) 87 · 105 d) 7 · 105 24 a) 2,1 · 103 b) 6,85 · 104 c) 9,5 · 106 d) 4 · 105 25 a) 30000 b) 200 c) 0,005 d) 0,000004 26 a) < b) < c) > d) > Test d’ingresso 27 b)

28 c)

29 a)

30 a) 4 b) 2 c) 3 d) 1 31 d) 32 a) 33 12 34 7 35 a) 36 b) 37 b) 38 a) 39 a) 40 d) 41 c) 42 a) 136 b) 10 c) 64000 d) 512 43 a) 100 : 2 + (32 – 6) · 22 b) 100 : (2 + 32 – 6) · 22

c) 100 : [(2 + 32 – 6) · 4] 47 a) 48 b) Parte B

44 1

45 6

46 b)

Unità 3

2 0, 6, 12, 18, 24 0, 8, 16, 24, 32, 36 3 1, 3, 5, 15 4 1, 3, 5, 9, 15, 45 5 c) 6 d) 7 B = {12, 20, 24, 36} 8 B = {12, 24, 36, 45} 9 B = {5, 20, 45} 10 B = {10, 20, 40} 11 P = {2, 5, 7, 13} 12 C = {6, 9, 10, 14} 13 c) 14 b) 15 a) 2 · 32 · 7 b) 23 · 32 · 7 c) 2 · 34 · 5 d) 23 · 13 · 31 16 sì 17 no 18 18 19 24 20 12; 7 21 6 22 180 23 540 24 9540 25 168 Test d’ingresso 26 b) c) 27 a) d) 28 c) d) 29 1, 2, 3, 6, 9, 18 30 sì 31 sì 32 a) 33 a) 34 c) 35 a) 36 a) 17 b) 12; 102 c) 51; 102 d) 16; 32 37 d) 38 b) 39 22 · 3 · 5 · 11 · 13 40 d) 42 d)

41 a) 1; 450 b) 6; 288 c) 2; 60 d) 35; 1470 43 21 ottobre

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Soluzioni

Parte B

Unità 4

Parte B

a) 0,7 b) 0,03 c) 0,121 d) 2,89 2 a) 34 b) 16 c) 2578 d) 31 100 10 1000 10 000 3

a) 11 b) 13 c) 7201 d) 143 9 90 900 999

{ { {

} }

3 1 2 7 1 , , , , 5 6 7 13 10

5 8 9 12 14 , , , , 3 2 9 5 7

8 9 14 A= , , 2 9 7 8

}

a) c)

a) 7 b) 7 c) 11 d) 6 9 8 2 5

3 4

12 5

9 8

13 9

No 9

8, 6, 4, 3 10 11

60 minuti

14 6

15 18

15 2

Test d’ingresso 24 Sì 25 36 26 a) 20; 5 b) 6; 4 c) 36; 16 28 b) 29 c) 30 a) 31 a) 32 b) 34 140000 €, 280000 €, 420000 € 35 70%

33 a) 36 6 37 a)

24 24 24

11 a) < b) > c) < d) =

Parte C

70 70

60 60 60

12 a) < b) < c) > d) >

38 75 €

Unità 1

1 5 −12, −8, − , +2, + , +5 2 a) –9 b) +11 c) –40 2 2 7 3 d) +3 a) – b) – 2 c) + 9 d) +6 4 a) +9 12 7 28 1

b) – 27 c) – 1 d) + 1 8 5 64

13 a) 7 b) 7 c) 1 d) 5

b; d

23 b) 27 c)

10 a) 10 , 21 b) 21 , 25 c) 18 , 20 , 21 d) 33 , 14 , 1

Unità 6

17 x = 16; y = 14 18 x = 12; y = 8 19 x = 14; y = 24 20 300 € 21 74,80 € 22 5000 €

a) 21 b) 18c) 60 d) 40

12 12

8 3

4 6

14 a) 8 b) 1 c) 4 d) 1 27 4 64

a) 17 b) +33 c) +16 d) +2

a) + 5 b) – 13 c) + 17 d) 0 13 80 81

Test d’ingresso 15 a) 7 b) 3 c) 1 d) 2

7 –1°C e –3°C

16 a) 1 b) 1 c) 1 d) 15

11 a) < b) < c) < d) >

8 42 a.C.

9 –5, –2, 0, 3

10 a) 11

12 a) –16 b) 1 c) –36 d) − ⎛⎜ 3 ⎞⎟ 9

13 a) +13 b) 14 c) –1 d) 5

Test d’ingresso 17 c)

15 – 3

18 c) d)

52 40

20 15

21 c)

22 b)

23 d)

25 a) 11 b) 241 c) 211 d) 1007

26 b)

990

27 30 , 33 , 36

50 55 60

4950

33 b)

34 b)

39 d)

40 12

Parte B 1

35 b) 41

30 d)

36 c)

31 d)

37 46

32 c)

38 40

1 16

Unità 5

c) 2 b) 3 d) 4 c) 5 a) 7 b) 10 c) 11 d) 16 6 c) 7 c) 8 c) 9 a) 10 a) 20 b) 32 c) 5 d) 10 11 a) 12 b) 13 30 14 2 15 c) 16 a) 17 c) 18 a) 19 a) 20 c) 21 c) 22 c) 23 a) 5 b) 7 c) 6 d) 1 24 a) 2 b) 1 c) 4 d) 4 3 2 3 7

[10 + ( −2)] : (5 ⋅ 3 − 12 : 4 )

18 a) 19 d) 20 c) Parte C

28 a) 10 b) 0 c) 27 d) 5

29 a) 6 b) 13 c) 5 d) 1

24 d)

16 –1

⎝2⎠ 3 14 a) –3 b) 1 c) – d) 8 2

Unità 2

1 x 1 2 1 1 a) x + y 2 b) − y c) m 2 − ( m − n ) 3 2 3 4 2 13 2 2 2 a) d) x : ( x − y ) b) 1 c) –6 d) – 10 4 5 3 5 3 a) –20 b) 4 c) –2 d) 1 4 a) a = 3 b) a = –2 7 5 6 7 8 9

a) a = –4, b = 2 b) a = 2, b = 6 a) x3y3z b) 12x2y3z2 8° complessivo; 4°(x) 1°(y) 3°(z) 1 1 1 a) –12xy2 b) x 2 y 2 c) –x4y5 d) − a e) − x 3 y 6 2 2 8 5 7 15 a) –3x5y3z b) z 4 c) – x2y2z2 d) –xyz e) − c 2 8 2 3

Test d’ingresso 2 10 a) 3x + 18 b) (x + y)2 c) x + (x + 1) d) x 3 − x

11 0

5 9

13 d)

14 a) 15 a)

16 d)

143

Q.O. 3ª media 195x280 ridotto:195x280

21-11-2011

12:15

Pagina 144

Soluzioni

Parte C

Unità 3

Parte C

–5a + 4ab + b2 2 –3xy + 4x2 – 8y3 3 6° 4 5° 5 a) completo b) ordinato c) omogeneo 6 a) 4b – 4a b) 6 – 3xy – x2 c) –2ab2 – 4ab 1 1 7 a) −5 x 3 y + 15 xy 2 − 20 x 2 y 2 d) x − y 3 4 b) a 3 − 8 a 2b + 4 a 3b3 − 2a 2 c) 6 x 2 + 7 xy − 10 y 2 1

d) x 8 + 2 x 6 − 2 x 2 − 1 8 a) −3 a 4b2 + 4 a 3b − 2a 2 b) − y − 4 x + 3 y 2 9 a) a2 – 4ab +4b2 3 25 4 x −1 b) x3 + 3x2 + 3x + 1 10 a) 4a2 – 9b2 b) 49 4 a 4b6 c 2 − 25 a 6b2 c 8 c) x6y4 – 9x4y6 d) 81 4 1 2 4 2 a + ab + 4b4 b) 9 x 6 − 4 x 3 y + y 2 9 25 5 1 3 1 2 2 3 2 2 3 x − x y + xy 4 − y 6 c) a + 6 a b + 12ab + 8b d) 27 3 12 2x2 + y2 13 a2 + b2 14 –4 15 3x2 16 –3a 11 a)

17 ab2

1 2 x 9

−

49 2 a 9

a) c) 2 identità 3 b) 4 si 5 a) 4x = 7 b) 5x = –3 6 a) 2x = 4 b) 11x = 3 7 a)indeterminata b) impossibile c) impossibile d) indeterminata 8 x = 1 9 x = 5 49 1 10 x = − 11 x = 8 3 Test d’ingresso 12 0 17

13 9

x=−

14 12

3 4

Parte D

18 a)

15 60 e 35 19

1 x3 − x2 2

16 d) 20 a)

Unità 1

Test d’ingresso 1

b) 2 si 3 c) 4 c) 5 no 6 a) adiacenti 8 d) 9 d) 10 a) 11 b) 12 c) 13 a) 14 c) 7

Parte D

Unità 2

Test d’ingresso 1

7 d) 12 b)

144

Unità 4

4 c) 5 nessuna 10 quadruplica

8 a) b) d) 9 c) 13 a) 14 si

6 c) 11 c)