Fisica

I TITOLI

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97

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€ 9,90

M. Gatti - R. Pirovano Fisica

Fisica La nuova collana di Manuali operativi ISBN 978-88-468-3469-0 propone testi completi di trattazione teorica, semplice ed esaustiva, e una ricca Algebra e geometria 1 parte operativa. ISBN 978-88-468-3470-6 Il volume Fisica – Competenze di base Algebra e geometria 2 rappresenta un valido supporto per lo studio o il consolidamento di argomenti ISBN 978-88-468-3471-3 di fisica che spesso sono origine di difChimica ficoltà e incertezza. Grazie alla presenza ISBN 978-88-468-2810-1 di numerosi esercizi guidati o svolti è particolarmente adatto alle esigenze Grammatica 1 degli studenti con difficoltà di apprenISBN 978-88-468-3472-0 dimento (BES e DSA). Grammatica 2 Le unità che compongono il libro ISBN 978-88-468-3473-7 sono fra loro indipendenti e possono essere consultate in modo non sequenziale e anche senza l’aiuto dell’insegnante. Sono ricche di attività e quesiti per apprendere i concetti della fisica ed esercitarsi attraverso attività svolte, guidate in parte o totalmente, e sempre corredate di utili suggerimenti ed esempi.

MA NUA L I O PER AT IVI

M ANUA L I OP ER ATI VI

MANUALI OP ERATIVI

Mario Gatti - Roberta Pirovano

Fisica competenze di base

Mario Gatti - Roberta Pirovano

Fisica competenze di base

FISICA

COMPETENZE DI BASE di Mario Gatti e Roberta Pirovano

Responsabile editoriale Beatrice Loreti Art director Marco Mercatali Responsabile di produzione Francesco Capitano Progetto grafico e impaginazione Alberto Sangiorgi Copertina Curvilinee

© 2016 ELi - La Spiga Edizioni Via Brecce – Loreto Tel. 071750701 www.elilaspigaedizioni.it info@elilaspigaedizioni.it Stampato in Italia presso Tecnostampa - Pigini Group Printing Division Loreto - Trevi 16.83.171.0 ISBN 978-88-468-3469-0

Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzione totale o parziale così come la sua trasmissione sotto qualsiasi forma o con qualsiasi mezzo senza l’autorizzazione scritta della casa editrice.

Presentazione Fisica – Competenze di base è uno strumento essenziale da usare in maniera autonoma o in affiancamento al libro di testo durante tutti i momenti dell’anno scolastico. Il volume rappresenta un valido supporto operativo per il ripasso di argomenti di fisica che spesso sono origine di difficoltà e incertezza e, grazie alla presenza di numerosi esercizi guidati o svolti, è particolarmente adatto alle esigenze degli studenti con difficoltà di apprendimento (BES e DSA). Le unità che compongono il libro sono fra loro indipendenti e possono essere consultate in modo non sequenziale anche senza l’aiuto dell’insegnante. Sono ricche di attività e quesiti per apprendere i concetti della fisica ed esercitarsi attraverso attività svolte, guidate in parte o totalmente, e sempre corredate di utili suggerimenti ed esempi. Ciascuna unità è suddivisa nelle seguenti parti: Teoria Descrizione ed analisi degli argomenti dell’unità, accompagnate da figure ed esempi. I paragrafi sono strutturati mediante precise domande con le relative risposte che sviluppano l’argomento. Test Domande a risposta multipla con cui lo studente può verificare in maniera immediata la sua padronanza degli argomenti trattati nella teoria. Vero/Falso Affermazioni che comportano una riflessione sugli aspetti teorici e applicativi degli argomenti trattati nella teoria. Lo studente deve analizzare l’affermazione e dire se è vera o falsa. Quesiti Domande che comportano una risposta discorsiva e articolata sugli argomenti trattati nella teoria, al fine di abituare lo studente a esporre in modo corretto in preparazione di una eventuale prova orale, e come ulteriore verifica della sua preparazione. Esercizi Esercizi che richiedono una completa padronanza degli argomenti trattati nella teoria, in preparazione di eventuali verifiche scritte. Alcuni esercizi sono completamente svolti e sono utilizzabili come traccia per risolverne di simili; per altri esercizi si propongono solo suggerimenti. La presenza dell’icona

Lab

1

indica esercizi di taglio laboratoriale.

3

Indice Unità 1 Grandezze fisiche e misure Introduzione alla fisica........................................................................................................................................ 6 Grandezze fisiche e misure................................................................................................................................. 6 Errori di misura.................................................................................................................................................. 11 Test, quesiti, esercizi......................................................................................................................................... 15 Unità 2 Strumenti matematici Leggi fisiche come funzioni.............................................................................................................................. 21 Leggi fisiche come equazioni........................................................................................................................... 24 Goniometria........................................................................................................................................................ 25 Triangoli.............................................................................................................................................................. 28 Calcolo con potenze di 10 e calcolo percentuale.......................................................................................... 28 Test, quesiti, esercizi......................................................................................................................................... 30 Unità 3 Vettori e forze Scalari e vettori.................................................................................................................................................. 35 Somma e differenza tra vettori........................................................................................................................ 38 Prodotto scalare e vettoriale............................................................................................................................ 40 Scomposizione vettoriale................................................................................................................................. 42 Forze.................................................................................................................................................................... 44 Momento di una forza....................................................................................................................................... 46 Test, quesiti, esercizi......................................................................................................................................... 48 Unità 4 Equilibrio dei solidi Equilibrio del punto materiale......................................................................................................................... 55 Equilibrio del corpo rigido............................................................................................................................... 58 Macchine semplici............................................................................................................................................. 62 Test, quesiti, esercizi......................................................................................................................................... 63 Unità 5 Equilibrio dei fluidi Fluidi e pressione.............................................................................................................................................. 71 Le leggi di Pascal e di Stevino.......................................................................................................................... 73 La spinta di Archimede..................................................................................................................................... 75 Test, quesiti, esercizi......................................................................................................................................... 78 Unità 6 Moto e moti rettilinei Il moto in fisica.................................................................................................................................................. 83 Moto rettilineo uniforme.................................................................................................................................. 86 Moto rettilineo uniformemente accelerato.................................................................................................... 88 Caduta dei gravi................................................................................................................................................. 91 Test, quesiti, esercizi......................................................................................................................................... 93

4

Unità 7 Moti nel piano e moto armonico Il moto in due dimensioni............................................................................................................................... 102 Moto parabolico di un proiettile.................................................................................................................... 104 Composizione di moti..................................................................................................................................... 106 Moto circolare uniforme................................................................................................................................. 108 Moto armonico................................................................................................................................................. 109 Test, quesiti, esercizi....................................................................................................................................... 111 Unità 8 Principi della dinamica Principi della dinamica................................................................................................................................... 120 Applicazione dei principi della dinamica..................................................................................................... 122 Dinamica del moto sul piano inclinato......................................................................................................... 125 Dinamica del moto circolare.......................................................................................................................... 126 Dinamica del moto armonico......................................................................................................................... 126 Test, quesiti, esercizi....................................................................................................................................... 129 Unità 9 Lavoro, potenza ed energia Lavoro e potenza.............................................................................................................................................. 138 Energia meccanica e conservazione............................................................................................................. 139 Test, quesiti, esercizi....................................................................................................................................... 143 Unità 10 Temperatura e calore Temperatura..................................................................................................................................................... 148 Calore................................................................................................................................................................ 150 Propagazione del calore.................................................................................................................................. 153 Transizione di fase........................................................................................................................................... 154 Test, quesiti, esercizi....................................................................................................................................... 156 Unità 11 Ottica geometrica Propagazione della luce.................................................................................................................................. 163 Propagazione rettilinea della luce................................................................................................................. 164 Specchi.............................................................................................................................................................. 165 Lenti................................................................................................................................................................... 169 Test, quesiti, esercizi....................................................................................................................................... 172 Soluzioni............................................................................................................................................................ 179

5

UNITÁ

1

Grandezze fisiche e misure

TEORIA

Introduzione alla fisica Perché è importante la fisica? La fisica ha un duplice scopo: • osservare i fenomeni che avvengono nel mondo reale e tradurli in teorie e leggi fisiche; • prevedere l’evoluzione dei fenomeni se sottoposti a determinati stimoli. Traduzione e previsione sono svolte utilizzando le regole della matematica e della geometria. L’approccio razionale della fisica ha importanti ripercussioni su ricerca scientifica e tecnologia. 1

Come la fisica rappresenta il mondo reale? Nell’osservare un certo fenomeno, la fisica individua le grandezze fisiche, cioè quelle caratteristiche che è possibile misurare e quantificare. Dalle grandezze fisiche costruisce un modello matematico che simula il comportamento del fenomeno. Per verificare la bontà del modello si adotta il metodo sperimentale: si riproduce più volte il fenomeno con esperimenti e si controlla se i risultati ottenuti coincidono con quelli elaborati dal modello. 2

ESEMPIO

Esempi di grandezze fisiche sono la temperatura che misuriamo con un termometro, oppure la lunghezza che misuriamo con un metro.

Grandezze fisiche e misure Cosa occorre per definire una grandezza fisica? Ogni grandezza fisica è definita dalla descrizione della procedura e della strumentazione necessarie per misurarla. 3

ESEMPIO

La grandezza fisica massa è misurata ponendo in equilibrio i due piatti di una bilancia con opportuni pesi campione. Cosa significa misurare una grandezza fisica? Misurare una grandezza fisica significa stabilire una sua unità di misura e determinare quante volte l’unità di misura è contenuta nella grandezza fisica. 4

6

TEORIA

Grandezze fisiche e misure ESEMPIO

Affermare che un pezzo di stoffa è lungo 2 metri significa che l’unità di misura (il metro) è contenuta 2 volte nella grandezza fisica (la lunghezza della stoffa). Come si stabilisce un’unità di misura? L’unità di misura di una grandezza fisica è stabilita da un oggetto chiamato campione di misura che deve essere invariabile, preciso, riproducibile e universalmente riconosciuto. In passato i campioni di misura erano oggetti che fornivano direttamente l’unità di misura; attualmente sono estrapolati da fenomeni fisici. 5

ESEMPIO

L’unità di misura metro della grandezza fisica lunghezza è definita come la distanza percorsa nel vuoto 1 dalla luce in di secondo temporale. 299 792 458 Come si scrive la misura di una grandezza fisica? La scrittura è composta dal simbolo in corsivo della grandezza fisica, dal valore numerico della misura e dal simbolo dell’unità di misura adottata. 6

ESEMPIO

La lunghezza di tre metri è indicata con la scrittura l = 3 m, dove l è il simbolo della grandezza fisica, 3 è la misura e m è il simbolo dell’unità di misura metro. Quali sono le grandezze fisiche fondamentali? La comunità scientifica ha definito come fondamentali le sette grandezze fisiche elencate in Tabella 1.1, accompagnate dalle rispettive unità di misura e simboli. Sono dette fondamentali perché da esse si ricavano tutte le altre grandezze fisiche, chiamate grandezze fisiche derivate. 7

Grandezza fisica

Unità di misura

Simbolo

Lunghezza

metro

m

Tempo

secondo

s

Massa

kilogrammo

kg

Corrente elettrica

ampere

A

Temperatura

kelvin

K

Intensità luminosa

candela

cd

Quantità di sostanza

mole

mol

Tabella 1.1 L’insieme delle unità di misura delle grandezze fondamentali è definito Sistema Internazionale (SI). Il sottoinsieme composto dalle unità di misura metro, kilogrammo e secondo è chiamato sistema MKS; le unità di misura centimetro (simbolo cm), grammo (simbolo g) e secondo formano il sistema CGS. Cos’è la dimensione di una grandezza fisica? La dimensione di una grandezza fisica indica la tipologia della grandezza, indipendentemente dall’unità di misura adottata per misurarla. In Tabella 1.2 sono elencate le tre principali grandezze fisiche fondamentali con le relative dimensioni (già dichiarate dai loro stessi nomi). Per convenzione i simboli delle tre dimensioni hanno l’iniziale maiuscola della relativa grandezza fisica posta fra parentesi quadra. 8

7

TEORIA

unità 1 Grandezza fondamentale

Dimensione

Simbolo

lunghezza

lunghezza

[L]

tempo

tempo

[T]

massa

massa

[M]

Tabella 1.2 ESEMPIO

Lo spessore s di una lamina di metallo misurata in millimetri e l’altezza h di un palazzo misurata in metri hanno come medesima dimensione la lunghezza. Quindi in simboli: [s] = [L] e [h] = [L]. Attenzione: quando il simbolo di una grandezza fisica è posto fra parentesi quadre (come [s] e [h]) significa che si sta analizzando la sua dimensione. Quali sono le grandezze fisiche derivate? Ogni grandezza fisica definita tramite una formula composta da grandezze fisiche fondamentali è classificata come grandezza fisica derivata. Le unità di misura e le dimensioni di una grandezza derivata sono stabilite dalle unità di misura e dalle dimensioni delle grandezze fondamentali che la compongono. 9

ESEMPIO

La velocità è una grandezza fisica derivata perché è definita dalle grandezze fondamentali lunghezza s s m e tempo t secondo la formula v = . L’unità di misura di v è (metro su secondo) e la dimensione è t s [ ] [ ] ⎡ s⎤ L s [ v] = ⎢ ⎥ = = (lunghezza su tempo). ⎢⎣ t ⎥⎦ [ t ] [T ] 10 Perché è importante l’analisi dimensionale? L’analisi dimensionale è utile per verificare la correttezza di una formula fisica. Una formula è un’uguaglianza tra grandezze fisiche. Affinché una formula sia corretta, sostituendo ogni grandezza fisica con la rispettiva dimensione e svolgendo le operazioni algebriche contenute nella formula, deve apparire un’uguaglianza anche tra le dimensioni. ESEMPIO

v

L’accelerazione è una grandezza fisica derivata definita dalla formula corretta a = , ha dimensione t ⎡ L⎤ ⎢ ⎥ [ ] ⎡ v ⎤ [ v ] ⎢⎣ T ⎥⎦ L = = (lunghezza su tempo al quadrato). Se per esempio, si vuole verificare la for[a] = ⎢ ⎥ = ⎢⎣ t ⎥⎦ [ t ] [T ] [T ]2 ⎡ L⎤ mula a = vt , l’analisi dimensionale [ a ] = [ v t ] = [ v ][ t ] = ⎢ ⎥ [T ] = [ L ] ne prova l’inesattezza, perché l’accele⎢⎣ T ⎥⎦ razione non ha la dimensione di una lunghezza. Come si scrive il valore di una grandezza fisica in notazione scientifica? In Fisica è frequente incontrare misure di grandezze fisiche con valori numerici molto grandi o molto piccoli. La notazione scientifica consente di semplificare la scrittura di tali numeri: si esprime il valore della grandezza fisica come prodotto tra un numero N, con 1 ≤ N < 10, e una potenza di 10, cioè: 11

N · 10 ±n

(1.1)

con n ∈  ; il segno dell’esponente è positivo se il valore trasformato in notazione scientifica è maggiore di 1, negativo se è compreso tra 0 e 1. Per certi valori degli esponenti di 10 nella (1.1), si sono stabiliti dei prefissi letterali (Tabella 1.3) che si applicano alle unità di misura per esprimere i loro multipli e sottomultipli di 10.

8

TEORIA

Grandezze fisiche e misure Multipli

Sottomultipli

Potenza di 10

Prefisso

Simbolo

Prefisso

Simbolo

10

deca

da

2

10

deci

d

h

–2

10

etto

103

kilo

10

centi

c

k

10–3

milli

m

106 9

mega

M

10–6

micro

μ

10

giga

G

10–9

nano

12

n

1

Potenza di 10 –1

10

tera

T

10

1015

eta

P

10–15

18

10

exa

E

10

1021

zeta

Z

10–21

10

yotta

Y

10

yocto

y

24

–12

–18

–24

pico

p

femto

f

atto

a

zepto

z

Tabella 1.3 ESEMPIO

Il farad (F) è l’unità di misura della capacità elettrica. Il valore 0,000000002 F si semplifica: • utilizzando la notazione scientifica in 2 ⋅ 10−9 F ; • utilizzando i prefissi in tabella in 2 nanofarad o, in simboli, 2 nF. Come si determina l’ordine di grandezza di una grandezza fisica? A volte non è importante conoscere il valore esatto della misura di una grandezza fisica, ma è sufficiente sapere il suo ordine di grandezza, cioè se è un valore grande o piccolo, o estremamente grande o piccolo. L’ordine di grandezza approssima (simbolo ≈) a sola potenza di 10 il valore della grandezza fisica in notazione scientifica (1.1), cioè: 12

N ⋅ 10± n ≈ 10± k

(1.2)

dove k ed n assumono valori interi positivi (0, 1, 2, 3…). Inoltre: • se N ≥ 5, per k si aumenta di 1 l’esponente n; • se N < 5, k = n. ESEMPIO

La distanza Terra-Luna in notazione scientifica è 3,8 ∙ 108 km. Poiché N = 3,8 è minore di cinque, il relativo ordine di grandezza è 108 km. La massa della Terra è 5,98 ∙ 1024 kg. Poiché N = 5,98 è maggiore di cinque, il relativo ordine di grandezza è 1025 kg. Come si misura una grandezza fisica? Una grandezza fisica si può misurare nei seguenti tre modi. • Modo diretto: si confronta direttamente la grandezza fisica con il campione di misura. • Modo strumentale: si utilizza uno strumento di misura analogico o digitale. • Modo indiretto: si deduce dall’elaborazione di misure svolte su grandezze fisiche (generalmente fondamentali) legate con la grandezza fisica da misurare (generalmente derivata) tramite una formula. 13

ESEMPIO

Per determinare indirettamente la grandezza fisica velocità v di un oggetto, si misurano direttamente lo spazio percorso s e il tempo impiegato t. Quindi i due valori misurati direttamente vengono messi a raps porto secondo la formula v = . t

9

TEORIA

unità 1

Cosa sono le cifre significative di una misura? Le cifre significative con cui è espressa una misura sono le cifre certe più la prima cifra incerta. L’esempio seguente aiuta a capire la definizione. 14

ESEMPIO

L’altezza di una persona è 1,75 m; ciò significa che la misura è stata effettuata con un’approssimazione del centimetro. Quindi nel numero 1,75, le prime due cifre (1 e 7) sono certe; l’ultima cifra (il 5) è invece incerta. La misura 1,75 m è quindi espressa con tre cifre significative. Come si stabilisce il numero di cifre significative? Dato un valore misurato, il numero di cifre significative è uguale al numero di cifre che lo compongono contando anche eventuali zeri finali; sono esclusi dal conteggio eventuali zeri iniziali, poiché questi dipendono solo dall’unità di misura utilizzata. 15

ESEMPIO

valore misurato 17 37,2 8510 0,010 0,2

numero cifre significative 2 3 4 (si considera anche lo 0 finale) 2 (non si considerano i due 0 inziali) 1

Cosa significa troncare il numero di cifre che compone una misura e arrotondare? Il troncamento del numero di cifre di una misura consiste nel ridurre tali cifre al numero di cifre significative desiderato. Si stabilisce il numero di cifre significative e si osserva l’ultima cifra a destra della misura che non viene tolta; quindi: • si aumenta di 1 se l’ultima cifra è seguita a destra da una cifra superiore o uguale a 5 (arrotondamento per eccesso); • si lascia inalterata l’ultima cifra se è seguita a destra da una cifra inferiore a 5 (arrotondamento per difetto). 16

ESEMPIO

Si decide che la misura della statura di una persona (1,7269 m) deve avere tre cifre significative. L’ultima cifra da considerare è 2. A questo punto si osserva se la cifra a seguire a destra di 2 è maggiore o minore di 5. La cifra è 6 (e quindi maggiore di 5). Di conseguenza il 2, con arrotondamento per eccesso, si aumenta di una unità, ottenendo 1,73 m. Se invece si vuole esprimere la statura con due cifre significative, si arrotonda per difetto ottenendo 1,7 m. Infatti la cifra a seguire a destra di 7 è minore di 5 e, quindi, si lascia inalterata l’ultima cifra. Cosa significa aumentare il numero di cifre significative che compone una misura? Significa aumentare (per eccesso) tali cifre al numero di cifre significative desiderato, aggiungendo tanti 0 alla destra della misura quanti sono necessari per raggiungere il numero di cifre significative stabilito (gli 0 aggiunti devono essere preceduti da una virgola, se già non compare nella misura). 17

ESEMPIO

Si vuole esprimere la misura della massa di un bambino di 20 kg con tre cifre significative. Si aggiunge uno 0 alla destra della misura, preceduto da una virgola. La misura diventa 20,0 kg. Si vuole esprimere la misura di un tempo di 0,4 s con due cifre significative. Si aggiunge uno 0 alla destra della misura senza mettere la virgola perché già compare nella misura: la misura diventa 0,40 s.

10

Grandezze fisiche e misure

TEORIA

Come influiscono le cifre significative nella misura indiretta? Dipende dall’operazione aritmetica che definisce la grandezza derivata. • Moltiplicazione e divisione tra misura e numero: il risultato deve avere il numero di cifre significative della misura. • Moltiplicazione e divisione tra misure: il risultato deve avere il numero di cifre significative della misura con il numero di cifre significative minore. • Somma e sottrazione tra misure: si individua la misura con l’ultima cifra significativa a destra in posizione più alta e si uniformano le altre misure. 18

L’adattamento del risultato a un numero corretto di cifre significative si effettua tramite i processi di arrotondamento e di eccesso (punti 16 e 17). ESEMPIO

5,77 m ∙ 4 = 23,08 m (moltiplicazione tra misura e numero) Il risultato deve avere tre cifre significative (come 5,77 m). Quindi 23,08 m si arrotonda per eccesso a 23,1 m. 30 m : 5 = 6 m (divisione tra misura e numero) Il risultato deve avere due cifre significative (come 30 m). Quindi si aumenta per eccesso il numero di cifre significative e la misura diventa 6,0 m. 5,970 m ∙ 2,5 m = 14,925 m2 (moltiplicazione tra misure) Il risultato deve avere due cifre significative (come 2,5 m). Quindi 14,925 m2 si arrotonda per eccesso a 15 m2. 48,2 m : 3,7524 s = 12,8451125 m/s (divisione tra misure) Il risultato deve avere tre cifre significative (come 48,2 m). Quindi 12,8451125 m/s si arrotonda per difetto a 12,8 m/s. 31,9 m + 25 m – 4,2324 m (somma e sottrazione tra misure) La misura 25 m ha l’ultima cifra significativa a destra in posizione di unità, posizione più alta rispetto alle altre misure. Quindi 31,9 m si arrotonda per eccesso a 32 m e 4,2324 m si arrotonda per difetto a 4 m. L’operazione matematica diventa 32 m + 25 m – 4 m = 53 m.

Errori di misura Quali errori si commettono nel misurare una grandezza fisica? La misura di una grandezza fisica non può mai dare il valore reale della grandezza. Qualsiasi misura fornisce un valore in eccesso o in difetto a causa di inevitabili errori nell’atto stesso del misurare. Esistono le seguenti due tipologie di errori. • Errori sistematici: causano valori errati o solo in eccesso o solo in difetto; sono generalmente dovuti a strumenti di misura non perfettamente tarati. • Errori casuali: causano valori errati sia in eccesso sia in difetto con la medesima probabilità; sono dovuti al caso o all’errore umano. 19

Come si riducono gli errori? Gli errori sistematici si riducono misurando con estrema attenzione e con strumenti perfettamente tarati. Gli errori casuali si riducono ripetendo la misura un certo numero di volte e svolgendo sui valori misurati un’analisi statistica che tenga conto dei seguenti parametri: 20

• valore medio • errore assoluto • errore relativo • scarto quadratico medio

11

TEORIA

unità 1

Cos’è il valore medio? Il valore medio Xbest è il valore che meglio approssima il valore vero X di una grandezza fisica. Si determina eseguendo N misure ripetute della grandezza fisica e calcolando la media aritmetica degli N valori ottenuti X1, X2, … , XN, cioè 21

N

X best =

∑X i =1

N

i

=

X 1 + X 2 + X 3 + ... + X N N

(1.3)

dove la lettera greca maiuscola S è il simbolo di sommatoria. ESEMPIO

Si misura con un cronometro digitale il tempo di caduta di una pallina da tennis da una certa altezza, e si ripete la misura sei volte. I tempi cronometrati sono misura tempo di caduta (s) 1 0,53 2 0,58 3 0,56 4 0,50 5 0,62 6 0,63 Il valore medio del tempo di caduta della pallina da tennis (tbest) è tbest =

(0,53 + 0,58 + 0,56 + 0,50 + 0,62 + 0,63) s 6

= 0,57 s

Cos’è l’errore assoluto? L’errore assoluto ΔXass è la metà della differenza tra il massimo valore misurato Xmax e quello minimo Xmin, cioè 22

ΔX ass =

X max − X min 2

(1.4)

L’errore assoluto indica quanto i valori ottenuti da N misure ripetute sulla grandezza fisica sono prossimi al valore medio. Deve essere espresso nella stessa unità di misura in cui è espresso il valore medio della misura. La lettera greca maiuscola D in (1.4) è il simbolo di variazione. ESEMPIO

Dai tempi di caduta della pallina da tennis dell’esempio precedente l’errore assoluto è (0,63 − 0,50) s Δtass = = 0,065 s 2 Come si scrive una misura con errore assoluto? Il risultato finale X di una misura ripetuta N volte si scrive 23

X = X best ± ΔX ass

(1.5)

cioè, il valore medio Xbest approssima il valore reale X della grandezza fisica rimanendo in un intervallo di valori compreso tra Xbest – ΔXass e Xbest + ΔXass (Figura 1.1).

12

TEORIA

Grandezze fisiche e misure Xbest – DXass

Xbest + DXass Xbest Figura 1.1

Infine, occorre rispettare le seguenti due regole • in caso di notazione scientifica, la potenza di 10 deve essere comune a tutti e due i termini; • le cifre significative più a destra del valore medio e dell’errore assoluto devono occupare la stessa posizione. ESEMPIO

La carica elettrica dell’elettrone è q =(1,61 ± 0,05) ∙ 10–19 C, dove C è il simbolo dell’unità di misura della carica elettrica, il coulomb. Rispetto al valore medio e al valore assoluto, la potenza di 10 è in comune, e le cifre significative più a destra occupano entrambe la medesima posizione (dei centesimi). Perché l’errore assoluto non è sufficiente per valutare la precisione di una misura? La risposta è nel seguente esempio. 24

ESEMPIO

L’errore assoluto di 1 cm in una serie di misure con valore medio di 1 km indica un processo di misura particolarmente preciso; il medesimo errore assoluto in una serie di misure con valore medio di 10 cm indica un processo di misura particolarmente impreciso. Cos’è l’errore relativo? L’errore relativo ΔXrel è il rapporto tra l’errore assoluto e il valore medio, cioè 25

ΔX rel =

ΔX ass X best

(1.6)

Può essere espresso anche in forma percentuale, cioè ΔX rel ( % ) = ΔX rel ⋅100

(1.7)

A differenza dell’errore assoluto, l’errore relativo consente di valutare l’effettiva precisione di una misura: più è basso il valore, più la misura è precisa. ESEMPIO

L’altezza di un’antenna per telecomunicazioni misura h = (35,6 ± 0,1) m e la lunghezza di una cassapanca misura l = (90,3 ± 0,8) cm. L’errore assoluto commesso nell’insieme di misure dell’antenna è decisamente maggiore. Calcoliamo i rispettivi errori relativi 0,1 m per l’antenna Δhrel = = 0,0028 (0,28 %) 35,6 m 0,8 cm per la cassapanca Δlrel = = 0,0089 (0,89 %) 90,3 cm Quindi la misura dell’antenna risulta più precisa di quella della cassapanca, a differenza di quello che si poteva supporre dal confronto dei rispettivi errori assoluti.

13

TEORIA

unità 1

Cos’è lo scarto di una misura? Date N misure, lo scarto di una misura è la differenza tra un generico valore misurato Xi e il valore medio, cioè (1.8) X i − X best Quindi con N misure si hanno N scarti che possono essere sia positivi sia negativi. 26

Cos’è lo scarto quadratico medio? Date N misure, lo scarto quadratico medio sx è la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati degli N scarti, cioè 27

N

sX =

∑( X

2

i

− X best )

(1.9)

i =1

N

Lo scarto quadratico medio fornisce la medesima informazione dell’errore assoluto, ma con un grado di raffinatezza maggiore. Come si scrive una misura con scarto quadratico medio? Il risultato finale di una misura ripetuta N volte, dove si sono calcolati il valore medio e lo scarto quadratico medio, si scrive 28

X = X best ± s X (1.10) cioè, il valore medio Xbest approssima il valore reale X della grandezza fisica rimanendo in un intervallo di valori compreso tra Xbest – σX e Xbest + σX. Come si calcola il valore medio nella misura indiretta? Il valore medio di una grandezza ottenuta mediante una misura indiretta si calcola dai valori medi delle misure dirette che la compongono secondo le operazioni che la definiscono. 29

ESEMPIO

La grandezza fisica derivata velocità è definita dal rapporto tra la lunghezza percorsa s e il tempo t impiegato. Il valore medio della velocità vbest si determina ponendo a rapporto i valori medi della lunghezza sbest s e del tempo tbest dedotti da N misure ripetute, cioè vbest = best (per il calcolo dei valori medi, vedere la tbest 1.3). Come si calcolano gli errori nella misura indiretta? Gli errori nella misura indiretta di una grandezza si calcolano secondo le operazioni che la definiscono (propagazione degli errori). Se la grandezza è definita • come somma o sottrazione di misure dirette, l’errore assoluto della misura indiretta è dato dalla somma degli errori assoluti delle misure dirette; • come moltiplicazione o divisione di misure dirette, l’errore relativo della misura indiretta è dato dalla somma degli errori relativi delle misure dirette. 30

Nella somma e differenza è immediato il calcolo degli errori assoluti, mentre nella moltiplicazione e divisione si calcolano prima gli errori relativi e poi con la (1.6) l’errore assoluto finale. ESEMPIO

Caso con somma e sottrazione Una parete è divisa in due parti: la misura di un primo tratto di parete è l1 = (2,000 ± 0,001) m; la misura del secondo tratto è l2 = (4,000 ± 0,002) m.

14

TEORIA

Grandezze fisiche e misure

La misura totale della parete espressa secondo la (1.5) è la somma dei valori medi e la somma degli errori assoluti, quindi l = (6,000 ± 0,003) m. Caso con moltiplicazione e divisione Le dimensioni di un tavolo sono: larghezza = (80,2 ± 0,02) cm e lunghezza = (120,1 ± 0,02) cm. Si desidera determinare la misura dell’area espressa secondo la (1.5). Per determinare l’errore assoluto occorre prima calcolare gli errori relativi. Si calcolano e si sommano i due errori relativi: 0,02 0,02 + = 0,00042 (errore relativo dell’area) 80,2 120,1 Si calcola il valore medio dell’area: (80,2 cm)(120,1 cm) = 9632,02 cm2 Dalla (1.6) si calcola l’errore assoluto dell’area moltiplicando l’errore relativo per il valore medio: (0,00042)(9632,02 cm2 )= 4,045 cm2 La misura finale secondo la (1.5) è area = (9632 ± 4) cm2.

TEST 1

Una grandezza fisica è definita da a un numero b una formula c una misura d un numero e un’unità di misura

2

Le prime tre grandezze fisiche fondamentali sono a lunghezza, tempo, peso b metro, secondo, kilogrammo c lunghezza, tempo, massa d velocità, accelerazione, forza

3

Nel SI il volume si misura in a cm3 b l c m3 d ml

4

Come si esprime in notazione scientifica il numero 0,00306? a 3,06 · 10–5 b 3,06 · 10–4 c 3,06 · 103 d 3,06 · 10–3

5

Il raggio medio della Terra è 6380 km. Come si esprime in notazione scientifica? a 0,638 · 104 km b 63,8 · 102 km c 6,38 · 103 km d 638 · 10 km

6

Esprimi il raggio medio della Terra in metri utilizzando la notazione scientifica: a 6,38 · 106 m b 6,38 · 103 m c 638 · 106 m d 6,38 · 104 m

7

La densità d è una grandezza derivata ed è definita come il rapporto tra la massa m e il m volume V, cioè: d = . La sua unità di misura è V a kg · m3 b kg · m–3 c kg · m d kg · m–2

8

Usando i prefissi dati nella Tabella 1.2 come si scrive 4 · 10–9 s? a 4 ms b 4 μs c 4 ns d 4 ps

9

La massa della Luna è 7,35 · 1022 kg. L’ordine di grandezza della massa è a 1021 kg b 1022 kg c 1023 kg d 1024 kg

10

11

Il volume V ha dimensioni a [V] = [L] b [V] = [L]2 c [V] = [L]3 d [V] = [L]–3

Le dimensioni della grandezza densità definita nel test 7 sono a [M][L]3 b [M][T] c [L][T] d [M][L]–3

15

ESERCIZI

unità 1 12

13

14

15

Il numero 15,882 arrotondato a tre cifre significative si scrive a 15,8 b 16,0 c 15,9 d 15,0 Gli errori casuali a sono dovuti solo a disattenzione di chi esegue le misure b sono dovuti a strumenti di misura difettosi c influenzano le misure sempre in eccesso o sempre per difetto d influenzano le misure sia per eccesso sia per difetto Il valore medio di una serie di N misure è a la somma delle N misure divisa per due b la somma delle N misure divisa per N c la somma del valore massimo e del valore minimo delle N misure divisa per N d la somma del valore massimo e del valore minimo delle N misure divisa per 2 L’errore assoluto è a la differenza tra il massimo valore misurato e quello minimo divisa per 2 b la somma tra il massimo valore misurato e quello minimo divisa per 2 c la differenza tra il massimo valore misurato e quello minimo divisa per N d la somma tra il massimo valore misurato e quello minimo divisa per N

16

17

Quali tra le seguenti misure è la più precisa? a (250,7 ± 1,1) m b (0,078 ± 0,001) s c (315 ± 3) ∙ 10–2 kg d (706 ± 1) μm

18

16

Ho eseguito cinque misure della lunghezza del lato di un tappeto e ho trovato (1,7 ± 0,3) m. L’errore relativo percentuale della misura è a 6% b 10% c 12% d 18%

L’errore relativo del prodotto di due misure è a il prodotto degli errori relativi delle singole misure b la somma degli errori relativi delle singole misure c il prodotto degli errori assoluti delle singole misure d la somma degli errori assoluti delle singole misure

VERO/FALSO 19

Nel SI l’unità di misura della massa è il grammo. 20

V F

L’area è una grandezza fondamentale. V F

Una distanza di 560 m è espressa in notazione scientifica come 5,6 ∙ 102 m. V F 21

22

Un microsecondo equivale a 1 ∙ 10–9 s. V F

23

Un Megagrammo equivale a 1 ∙ 106 g.

V F

24

L’area ha dimensioni [L]2.

V F

25

Nel SI la velocità si misura in km/h.

V F

26

L’attuale definizione di metro si basa sulla distanza percorsa dalla luce in un determinato tempo.

V F

27

Quando si passa da metri a millimetri il numero che esprime la lunghezza aumenta. V F

28

Quando si passa da grammi a kilogrammi il numero che esprime la massa aumenta. V F

29

Se il cuore di un uomo batte 70 volte al minuto, l’ordine di grandezza del numero dei battiti in un giorno è 105. V F

30

L’ordine di grandezza del numero 830 è 102.

V F

Il risultato della somma 1,7 + 15 + 7,15 è 24. V F 31

32

L’errore assoluto sulla somma di due misure è uguale al prodotto degli errori assoluti sui singoli addendi. V F

33

L’errore relativo di un prodotto di due misure è uguale al prodotto degli errori relativi sui singoli fattori. V F

34

L’errore relativo di un quoziente di due misure è uguale al quoziente degli errori relativi sul dividendo e sul divisore. V F

35

La misura dei lati di un rettangolo ha fornito i valori (3,2 ± 0,1) cm e (1,3 ± 0,2) cm. Il perimetro del rettangolo è (9,0 ± 0,6) cm. V F

36

L’area del rettangolo del quesito precedente è (4,2 ± 0,3) cm2.

V F

ESERCIZI

Grandezze fisiche e misure 43

Nell’elenco che segue identifica le grandezze fisiche: volume, simpatia, temperatura, intelligenza, densità, bellezza, tempo, massa, velocità.

Le misure di lunghezza effettuate con un metro a nastro difettoso perché corto sono affette da errori sistematici o da errori casuali?

44

Definisci il valore medio di una serie di misure, l’errore assoluto e l’errore relativo.

Quali sono le caratteristiche comuni e le differenze tra i sistemi di misura MKS e CGS?

45

Il grado di precisione di una misura è espresso dall’errore assoluto o dall’errore relativo?

QUESITI 37

38

39

La velocità della luce nel vuoto è c = 2,9979 · 105 km/s. È corretto affermare che il suo ordine di grandezza è 105 m/s? 40 41

Qual è la dimensione di un’area?

Fornisci un esempio di grandezza fisica derivata. Indica la sua unità di misura nel SI e la sua dimensione.

42

La massa di un corpo è espressa con due cifre significative, mentre il suo volume con tre cifre significative. Con quante cifre significative devi esprimere la densità del corpo?

46 Qual è l’unità di misura dell’errore assoluto? E quella dell’errore relativo? 47

L’errore assoluto di una somma è uguale alla somma degli errori assoluti dei termini? E l’errore assoluto di una differenza? 48

L’errore relativo di un quoziente è uguale al quoziente tra gli errori relativi del dividendo e del divisore?

49

Definisci lo scarto quadratico medio. Qual è il suo significato?

ESERCIZI Guida per la risoluzione degli esercizi Desideriamo fornire alcuni utili e generali consigli per la risoluzione degli esercizi o problemi di fisica. Naturalmente la tecnica di risoluzione si affina con la pratica e l’esperienza. 1

Conoscere bene la teoria dell’argomento trattato dall’esercizio.

2

Leggere con attenzione il testo dell’esercizio: individuare i dati noti e le domande poste.

3

Quando è possibile, disegnare uno schema o un diagramma che rappresenti il fenomeno fisico descritto dall’esercizio, cercando di evidenziare i dati noti e le incognite.

4

Individuare una formula che metta in relazione i dati noti con una certa incognita.

5

Ricavare dalla formula (se necessario) un’espressione in cui l’incognita sia separata dai dati noti.

6

Verificare la coerenza dimensionale della formula.

7

Sostituire i dati noti con i valori numerici accompagnati dalle unità di misura e svolgere i calcoli.

8

Controllare se il risultato finale con la relativa unità di misura sono plausibili rispetto al fenomeno descritto dall’esercizio.

9

Se l’esercizio pone diverse domande rispondere nell’ordine in cui vengono presentate.

Gli esercizi più semplici sono quelli che si risolvono con una sola formula in cui si sostituiscono direttamente i valori dei dati al posto dei simboli. Più complessi sono gli esercizi in cui bisogna manipolare una o più formule in modo da ricavare l’incognita richiesta.

17

ESERCIZI

unità 1

Grandezze fisiche e misure 50

56

In fisica atomica si usa l’unità di misura di lunghezza angstrom. Sapendo che un angstrom equivale a 10–10 m, trova a quanti centimetri, a quanti millimetri e a quanti micrometri corrisponde un angstrom. Usa la notazione scientifica.

57

Un ragazzo misura la lunghezza e la larghezza della sua camera rettangolare e trova rispettivamente i valori 3,5 m e 4,2 m. Quanto misura l’area della camera in metri quadrati, in decimetri quadrati e in centimetri quadrati? Esprimi i risultati in notazione scientifica e con il corretto numero di cifre significative.

58

Una bottiglia contiene 2 l d’acqua. Qual è il volume in metri cubi? Esprimi il risultato in notazione scientifica.

Un ragazzo misura con un righello l’altezza del suo diario e trova 0,25 m. Esprimi l’altezza in decimetri, centimetri e millimetri. Se il diario è quadrato, calcola la sua area in cm2.

Svolgimento Poiché 1 m = 10 dm = 102 cm = 103 mm, l’altezza del quaderno misura 0,25 m = 2,5 dm = 25 cm = 250 mm L’area del diario è (0,25 m)2 = 0,252 m2 = 0,0625 ∙ (102 cm)2 = = 0,0625 ∙ 104 cm2 = 625 cm2 Eseguiamo lo stesso calcolo utilizzando la notazione scientifica (0,25 m)2 = (25 · 10–2)2 m2 = (625 · 10–4) (102 cm)2 = = 625 ∙ 10–4 ∙ 104 cm2 = 625 cm2

51

Completa le seguenti conversioni: a 125 cm = ......................... m b 621 g = ......................... kg c 0,12 kg = ......................... mg d 21 s = ......................... ms e 714 mg = ......................... g f 10 120 cm2 = ......................... m2 g 314 m2 = ......................... cm2 h 13 100 cm3 = ......................... m3 i 0,6 m3 = ......................... cm3

52

53

Esegui le seguenti equivalenze utilizzando la notazione scientifica. a 3400 cm (in metri) b 30 m2 (in centimetri quadrati) c 0,12 kg (in grammi) d 0,0012 kg (in grammi) Riscrivi i seguenti numeri in notazione scientifica. a 0,00001 d 2 000 000 b 20 000 e 3450 c 0,30 f 0,0015 in notazione scientifica i seguenti multipli e sottomultipli del metro; quindi scrivili con il prefisso adatto. a 1000 m b 0,001 m c 0,000001 m

18

Suggerimento 1 l = 1 dm3 59 Il contenuto di una bottiglia di olio è 1,5 · 10–3 m3. A quanti litri corrispondono? A quanti millilitri? 60 Una lattina contiene 330 ml di una bevanda. A quanti centimetri cubi corrispondono? 61

La massa di Marte è di 6,42 · 1023 kg e il suo raggio è di 3,39 · 106 m. Calcola l’area della superficie di Marte e la sua densità, considerandolo di forma sferica. Esprimi il risultato con il corretto numero di cifre significative.

Suggerimento La densità d è definita come il rapporto d = m/V tra massa e volume. 62

Un cubo di metallo ha il lato di 10 cm e una massa di 20 kg. Calcola la densità nel SI.

63 Un cilindro di massa 0,200 kg ha altezza 4,00 cm e diametro 2,00 cm. Calcola il volume in cm3 e in m3. Calcola la densità del cilindro.

54 Esprimi

64

55

65 Considerando la Terra una sfera di raggio 6,38 · 106 m, determina la misura della sua circonferenza massima in kilometri, della sua superficie in kilometri quadrati e del suo volume in kilometri cubi.

Esprimi nel SI la durata di un viaggio in automobile da Milano a Roma di 8 ore. Usa la notazione scientifica.

Un secchio di forma cilindrica e pieno di acqua ha un diametro di 20 cm e un’altezza di 40 cm. Calcola il volume e la massa dell’acqua nel secchio (la densità dell’acqua è 1,0 g/cm3).

ESERCIZI

Grandezze fisiche e misure 66 La massa di Marte è mM = 6,642 · 1023 kg. La massa dell’elettrone è me = 9,11 · 10–31 kg. Calcola l’ordine di grandezza del rapporto mM /me. 67

Calcola l’ordine di grandezza della tua età in secondi.

68

L’anno-luce è un’unità di misura di lunghezza ed è uguale alla distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un anno. A quanti metri corrisponde?

Suggerimento Considera come velocità della luce il valore v = 3,0 · 108 m/s e calcola quanti secondi ci sono in un anno.

73

Scrivi i seguenti numeri con due e tre cifre significative a 0,3271 b 3,093 c 0,826 d 2115 e 2,883 · 102 f 57,721

Lab

74

Devi calcolare l’area di un libro con i lati lunghi 32,3 cm e 54,2 cm. Come devi indicare l’area del foglio con il corretto numero di cifre significative?

Svolgimento Per determinare l’area del foglio dobbiamo moltiplicare i due lati Area = (32,3 cm)(54,2 cm) = 1750,66 cm2

69

La grandezza fisica derivata accelerazione è definita come rapporto tra velocità e tempo, a = v/t . Quali sono la sua unità di misura nel SI e la sua dimensione?

Poiché il numero di cifre significative con cui sono espresse le misure dei lati è tre, dobbiamo esprimere anche la misura dell’area con tre cifre significative. Quindi

Svolgimento Determiniamo la sua unità di misura nel SI, ricordando che la velocità è definita dal rapporto m/s m = 2. v = s/t: quindi l’accelerazione a = s s Determiniamo la sua dimensione:

75

[ L] ⎡ v ⎤ [ v ] [T ] [ L ] −2 [a] = ⎢ ⎥ = = = = [ L ][T ] ⎢⎣ t ⎥⎦ [ t ] [T ] [T ]2

Un tappeto rettangolare è lungo 1,6 m e largo 2,3 m. Esprimi l’area del tappeto con il corretto numero di cifre significative.

76

Un anello in argento di densità 10,5 · 103 kg/m3 ha volume 2,6 · 10–6 m3. Determina la massa dell’anello ed esprimila in notazione scientifica con il corretto numero di cifre significative. Esprimi quindi la massa dell’anello in grammi.

70

71

La grandezza fisica derivata forza è definita come il prodotto tra massa e accelerazione: F = ma. Quali sono la sua unità di misura nel SI e la sua dimensione?

La legge di gravitazione universale di Newton esprime la forza F che si esercita su due masse m ed M poste a una distanza r. Essa è data da mM F = G 2 , dove G è la costante di gravitazione r universale. Quali sono l’unità di misura nel SI e la dimensione di G?

72

Il periodo di un pendolo è il tempo necessario per compiere un’oscillazione completa. La legge che esprime il periodo di un pendolo di lunghezza l sottoposto all’accelerazione di l . Sulla base dell’analisi g dimensionale la precedente affermazione è corretta?

Area = 17,5 · 102 cm2

Errori di misura 77

Misurando la temperatura dell’acqua in un bicchiere si sono trovati i valori: 20,1 °C, 20,2 °C, 20,0°C, 20,3 °C, 20,1 °C, 20,2 °C, 20,3 °C, 20,1 °C. Qual è il valore medio della misura?

78

Misurando la massa di una pallina si trova (0,53 ± 0,01) kg. Trova l’errore relativo percentuale della misura.

79

Misurando la massa di un oggetto si è trovato il valore 2,50 kg con un errore del 2%. Calcola l’errore assoluto.

80

Le misure dell’altezza di due ragazze sono (1,65 ± 0,01) m e (1,72 ± 0,02) m. Qual è la misura più precisa?

gravità g è T = 2p

19

ESERCIZI

unità 1 81

Lab

82

Ripetendo cinque volte la misura del numero di battiti cardiaci in un minuto si è trovato: 74, 72, 74, 73, 76. Calcola il valore medio, l’errore assoluto, l’errore relativo percentuale e lo scarto quadratico medio.

Svolgimento Calcoliamo il valore medio della densità come il rapporto tra il valore medio della massa e il valore medio del volume 3,5 kg kg g = 3,5 · 10–3 = 3,5 1000 cm3 cm3 cm3

In una serie di misure della lunghezza di un tappeto sono stati trovati i seguenti valori: 1,5 m, 1,5 m, 1,4 m, 1,6 m, 1,5 m, 1,4 m. Determina il valore medio della lunghezza del tappeto e lo scarto quadratico medio.

Calcoliamo l’errore relativo sulla misura della massa

83

Si vuole incorniciare un quadro i cui lati misurano (50,1 ± 0,2) cm e (24,1 ± 0,1) cm. Trova la lunghezza della cornice con l’errore assoluto.

Calcoliamo l’errore relativo sulla misura del volume

84

Trova l’area (con l’errore assoluto) del vetro necessario a ricoprire il quadro dell’esercizio precedente.

Svolgimento Il valore medio dell’area è il prodotto dei valori medi delle misure dei lati del quadro (50,1 cm) (24,1 cm)= 1207,4 cm2

0,3 kg = 8,6 · 10–2 3,5 kg

10 kg = 1,0 · 10–2 1000 cm3 L’errore relativo sulla misura della densità è la somma degli errori relativi 9,6 · 10–2 Calcoliamo infine l’errore assoluto sulla misura della densità (9,6 ∙ 10–2)(3,5 g/cm3) = 0,3 g/cm3

L’errore relativo sulla misura del primo lato è 0,2 cm = 4 · 10–3 50,1 cm

Quindi la densità del corpo con il relativo errore assoluto si scrive

L’errore relativo sulla misura del secondo lato è 0,1 cm = 4 · 10–3 24,1 cm L’errore relativo sulla misura dell’area è la somma dei singoli errori relativi 4 · 10–3 + 4 · 10–3 = 8 · 10–3 L’errore assoluto sulla misura dell’area del quadro è quindi (1207,4 cm2)(8 ∙ 10–3) = 9,7 cm2 85

Calcola il valore della superficie e del volume di un cubo avente lo spigolo che misura l = (10 ± 1) cm e determina l’errore assoluto sui valori calcolati.

20

86

Le dimensioni di una scatola sono (3,2 ± 0,1) cm, (6,4 ± 0,1) cm e (1,5 ± 0,1) cm. Trova il volume con l’errore assoluto.

87

La massa di un corpo è (3,5 ± 0,3) kg e il suo volume (1000 ± 10) cm3. Qual è la densità del corpo? Qual è l’errore assoluto?

(3,5 ± 0,3) g/cm3 88 Sapendo che la massa di un corpo è (1,1 ± 0,1) g e il suo volume (500 ± 10) cm3, calcola la densità del corpo con l’errore assoluto. 89

Un tappeto misura 180,0 cm di lunghezza e 90,0 cm di larghezza, con un errore su entrambe le misure dell’1%. Calcola il perimetro e l’area del tappeto con gli errori assoluti.

2

TEORIA

Leggi fisiche come funzioni Quando una grandezza fisica è costante e quando è variabile? Le grandezze fisiche sono espresse da un valore numerico associato alla loro unità di misura. La grandezza fisica è definita costante se durante un fenomeno non cambia il valore numerico, altrimenti è definita variabile. 1

ESEMPIO

Sono grandezze costanti: il tempo impiegato dalla Terra per compiere un giro attorno al proprio asse, la distanza fra due punti fissi, la velocità della luce nel vuoto. Sono grandezze variabili: la temperatura ambientale nel corso di una giornata, la velocità di un corpo in caduta libera, la pressione di un gas riscaldato in un recipiente chiuso. Cos’è una legge fisica? Una legge fisica descrive, tramite linguaggio matematico, un determinato fenomeno fisico. In generale, la legge fisica pone una grandezza fisica variabile y in funzione di un’altra grandezza fisica variabile x. Questa affermazione è scritta in simbolismo matematico come 2

y = f(x)

(1.1)

dove la grandezza fisica x (posta a secondo membro) è definita grandezza fisica indipendente mentre y (posta a primo membro) grandezza fisica dipendente. A secondo membro della legge fisica possono comparire altre grandezze indipendenti e/o costanti. Attenzione: la forma (1.1) è del tutto generale e assume forme diverse a seconda della legge (vedere esempio); a volte la (1.1) si esprime in modo più conciso come y(x). ESEMPIO

Esempio di legge fisica: la distanza h percorsa da un corpo in caduta libera nel vuoto dipende dall’inter1 vallo di tempo t cronometrato secondo la legge fisica h = gt 2 , dove t è la grandezza indipendente, dato 2 che siamo noi a decidere per quanto tempo cronometrare la caduta, mentre la distanza h è la variabile dipendente, dato che il suo valore è funzione di t; g è una costante. Come si rappresenta una funzione? L’andamento della grandezza dipendente in funzione di quella indipendente può essere rappresentato in modo grafico con un sistema di due assi cartesiani, fra loro perpendicolari, chiamato piano 3

21

UNITÁ

Strumenti matematici

TEORIA

unità 2 cartesiano. Data una generica funzione y = f(x), si attribuisce un valore reale xp alla grandezza x; la funzione determina un valore reale yp della grandezza y, cioè yp = f(xp). La coppia di numeri reali (xp, yp) individua un punto P del piano cartesiano (Figura 1.1). L’insieme di tutti i punti del piano le cui coordinate soddisfano l’uguaglianza y = f(x) forma una curva, chiamata grafico della funzione.

y

Figura 1.1

curva di f(x) P

yp

•

O

xp

x

ESEMPIO

Il grafico di Figura 1.2 è l’andamento della temperatura di un ambiente nell’arco di 24 ore, misurata ogni ora. Sull’asse orizzontale è indicato il tempo t in ore (h) e sull’asse verticale la temperatura T in gradi centigradi (°C); la curva è il grafico della funzione T = f(t). Dal grafico si deducono facilmente utili osservazioni dell’andamento della temperatura in funzione del tempo. All’inizio della misura (h = 0) la temperatura è di 15°C, poi aumenta per le successive 10 h fino al valore di 25°C; quindi diminuisce di 20°C in 5h, per poi risalire di nuovo fino a 10°C alla ventesima ora, stabilizzandosi per le rimanenti cinque ore.

T (°C) 30 25 20 15 10 5 5 10 15 20 25 t (h)

O

Figura 1.2 Quando due grandezze fisiche sono direttamente proporzionali? Due grandezze fisiche y e x sono fra loro direttamente proporzionali se la funzione che li relaziona è del tipo 4

(1.2a)

y = kx o, in modo equivalente, se il rapporto fra y e x è costante, cioè y =k x

con k costante (positiva o negativa). Quindi, come si ricava dalle (1.2), quando la x raddoppia, raddoppia pure la y, quando la x triplica, triplica pure la y e così via. La rappresentazione grafica della proporzionalità diretta è una retta che passa per l’origine degli assi. All’aumentare del valore assoluto di k, la retta diventa sempre più ripida, avvicinandosi all’asse y. Se k = 1, la retta è la bisettrice del primo e terzo quadrante; se k = –1, la retta è la bisettrice del secondo e quarto quadrante (Figura 1.3).

Figura 1.3

22

(1.2b)

y = –x

y

O

y=x

x

TEORIA

Strumenti matematici ESEMPIO

La distanza s, percorsa a una velocità costante v, è direttamente proporzionale al tempo t impiegato a percorrerla, secondo la legge fisica s = vt. La forza F esercitata da una molla è direttamente proporzionale al suo allungamento (o accorciamento) s, secondo la legge fisica F = –ks, dove k è una costante. Quando due grandezze fisiche sono inversamente proporzionali? Due grandezze fisiche y e x sono fra loro inversamente proporzionali se la funzione che li relaziona è del tipo 5

y =k x

(1.3a)

o, in modo equivalente, quando il prodotto fra y e x è costante, cioè (1.3b)

yx = k con k costante (positiva o negativa). Quindi, come si ricava dalle (1.3), quando la x raddoppia, la y dimezza, quando la x 1 triplica, la y diventa , quando la x dimezza, la y raddoppia. 3 La rappresentazione grafica della proporzionalità inversa è una curva chiamata ramo di iperbole equilatera (Figura 1.4).

y

y=

Figura 1.4

k x

ESEMPIO

Il tempo t, impiegato a percorrere una distanza costante s, è inversamente proporzionale alla velocità v secondo la s legge fisica t = . v La pressione P, esercitata da un corpo di peso costante p, è inversamente proporzionale alla superficie di appoggio S p secondo la legge fisica P = . S

O

x

k>0

Quando due grandezze fisiche sono in proporzionalità lineare? Due grandezze fisiche y e x sono in proporzionalità lineare se la funzione che li relaziona è del tipo 6

(1.4)

y = kx + a con k e a costanti (positive o negative). La rappresentazione grafica della proporzionalità lineare è una retta che interseca l’asse verticale nel punto y = a, con inclinazione rispetto l’asse x decisa dal valore di k (Figura 1.5). Se a = 0, ci si riconduce al caso di proporzionalità diretta (vedere formula (1.2a)). Figura 1.5

y y =kx + a a•

O

x k > 0; a > 0

ESEMPIO

La distanza s, percorsa a una velocità costante v partendo da un punto s0 ≠ 0, è in proporzionalità lineare al tempo t impiegato a percorrerla, secondo la legge fisica s = vt + s0.

23

TEORIA

unità 2

Quando due grandezze fisiche sono in proporzionalità quadratica? Due grandezze fisiche y e x sono in proporzionalità quadratica se la funzione che li relaziona è del tipo 7

(1.5)

y = kx2 con k costante (positiva o negativa). La rappresentazione grafica della proporzionalità quadratica è una parabola che ha vertice V nell’origine degli assi (Figura 1.6).

y y = kx2, k > 0

Figura 1.6 ESEMPIO

V

La distanza s, percorsa con accelerazione costante a, è in proporzionalità quadratica con il tempo crono1 metrato secondo la legge fisica s = at2. 2

x

O

y = kx2, k < 0

Leggi fisiche come equazioni Qual è la grandezza fisica incognita in una legge fisica? Data una legge fisica, la grandezza fisica incognita è quella che il problema chiede di calcolare, noti i valori numerici assunti dalle altre grandezze fisiche contenute nella legge. 8

9 Quando una legge fisica è un’equazione di primo grado? Una legge fisica è un’equazione di primo grado quando la grandezza fisica incognita compare con esponente uno. ESEMPIO

1 2 at è di primo grado se l’incognita stabilita dal problema è l’accelerazione a. 2 Non è di primo grado se l’incognita è il tempo t.

La legge fisica s =

10 Come si trova il valore dell’incognita in una legge fisica? Si consideri una legge fisica dove la grandezza fisica x è l’incognita e le grandezze fisiche a e b sono note.

ax b si dividono entrambi i membri per a: = , si semplifica e a a b si trova il valore della grandezza fisica incognita x = a ax x • Se la legge fisica è nella forma = ab, si semplifica = b si moltiplicano entrambi i membri per a: a a e si trova il valore della grandezza fisica incognita x = ab

• Se la legge fisica è nella forma

ax = b

• Se la legge fisica è nella forma x + a = b o x – a = b si porta a secondo membro a, cambiando il suo segno algebrico, e si trova il valore della grandezza fisica incognita x = b – a o x = b + a ax 2 b • Se la legge fisica è nella forma ax2 = b si dividono entrambi i membri per a: = , si semplifica, a a b b 2 2 x = , si mettono sotto radice quadrata entrambi i membri x = ed elidendo l’esponente 2 con la a a b radice, si trova l’incognita x = ± a Il doppio segno davanti alla radice dipende dal fatto che la soluzione negativa può essere soluzione dell’equazione (solitamente nei problemi di fisica è però richiesta la soluzione positiva).

24

TEORIA

Strumenti matematici

Attenzione: a volte per trovare la grandezza fisica incognita in una legge fisica è necessario applicare tutti i procedimenti descritti (vedere esempio). ESEMPIO

• Si supponga che un problema richieda di trovare il valore della grandezza fisica F dalla legge fisica A + 2F = C – B dove i valori delle grandezze fisiche A, C e B sono noti. Come primo passaggio, si isola a primo membro il termine contenente l’incognita F portando la grandezza A, cambiata di segno, a secondo membro 2F = C – B – A Poi si dividono i termini a secondo membro per 2 F=

C−B− A 2

Per calcolare il valore numerico di F, si sostituiscono i valori numerici (forniti dal problema) di A, B e C. • Si supponga che un problema richieda di trovare il valore della lunghezza C dalla legge fisica S – B + 3C2 = H dove i valori delle grandezze fisiche S, B e H sono noti. I passaggi sono 3C2 = H – S + B C2 =

H −S+ B 3

C2 =

H −S+ B 3

C =±

H −S+ B 3

Essendo C una lunghezza, il suo valore deve essere positivo, dato che non hanno significato lunghezze negative.

Goniometria Come è definito un angolo? L’angolo è ciascuna delle due parti di un piano diviso da due semirette con medesimo punto di origine (Figura 1.7). Le semirette e l’origine O sono rispettivamente definiti i lati e il vertice dell’angolo. Solitamente gli angoli si indicano con lettere greche minuscole (a e b in figura). 11

a

O

b

Figura 1.7

25

TEORIA

unità 2

Quali sono le unità di misura adottate per misurare l’ampiezza di un angolo? • Grado sessagesimale (simbolo °): è definito come la P 360-esima parte di un angolo giro (360°). Ogni grado è diviso in 60 primi (simbolo ') e ogni primo in 60 secondi (simbolo "). 12

• Radiante (simbolo rad): è definito come il rapporto tra l’arco di circonferenza che lo sottende e la lunghezza del raggio (Figura 1.8). Di conseguenza, si ha un angolo di ampiezza di 1 rad quando l’arco che lo sottende ha lunghezza uguale al raggio. Figura 1.8

a O

A

In Tabella 1.1 sono elencati gli angoli più comuni misurati in gradi sessagesimali e la relativa misura in radianti. Nell’espressione in radianti appare il numero p (pi greco) con p ≅ 3,14. gradi (°)

0

30

45

60

90

180

270

360

radianti (rad)

0

p 6

p 4

p 3

p 2

p

3 p 2

2p

Tabella 1.1

Come si converte l’ampiezza di un angolo da gradi a radianti e viceversa? La formula che converte un angolo espresso in gradi (a°) nel relativo angolo a espresso in radianti (a rad) è 13

α rad =

2π α° 360°

(1.6a)

Viceversa, per passare da radianti a gradi, si usa la formula

α° =

360° α rad 2π

(1.6b)

ESEMPIO

• Si usa la (1.6a) per convertire l’angolo a = 120° in radianti: • Si usa la (1.6b) per convertire l’angolo a =

2p p 120° = 360° 3

7 360° 7 p in gradi: p = 630° 2 2p 2

Come è definito il cerchio goniometrico? Il cerchio goniometrico ha la circonferenza di raggio unitario con centro nell’origine di un piano cartesiano; ruotando il raggio in senso antiorario si formano angoli positivi rispetto all’asse orizzontale, e ruotando in senso orario angoli negativi (Figura 1.9). 14

y

1

90° 180° –1

0° 1 360° x

O 270°

Figura 1.9

–1

Quali sono le grandezze goniometriche? Dato un cerchio goniometrico e un generico angolo α, si definisce • seno di α (sen α) la coordinata yP del punto P sull’asse y (Figura 1.10a); • coseno di α (cos α) la coordinata xP del punto P sull’asse x (Figura 1.10b); • tangente di α (tg α) la coordinata yT del punto T sull’asse y (Figura 1.10c), dove il punto T è l’intersezione del prolungamento del raggio con la retta t, perpendicolare all’asse x e tangente alla circonferenza in x = 1. 15

26

TEORIA

Strumenti matematici

y

y 1

y 1

yP

•P

•

1 x

–1

O

•T

P

a

O

t

yT

•P

a –1

1

a xP 1 x

–1

O

1 x

–1

–1

–1

Figura 1.10a

Figura 1.10b

Figura 1.10c

Attenzione: applicando una grandezza goniometrica a un angolo si ottiene un numero puro, come si osserva in Tabella 1.2, dove sono elencati i valori del seno, coseno e tangente per gli angoli più comuni. gradi (°)

radianti (rad)

seno

coseno

tangente

0

0

0

1

0

30

p 6

1 2

3 2

3 3

45

p 4

2 2

2 2

1

60

p 3

3 2

1 2

3

90

p 2

1

0

±∞

180

p

0

1

0

270

3 p 2

–1

0

±∞

360

2p

0

1

0

Tabella 1.2

16 Quali sono le relazioni fondamentali della goniometria? Dato un cerchio goniometrico e un generico angolo α, sono valide le seguenti due relazioni fondamentali

• la somma dei quadrati del seno e del coseno dell’angolo α è uno, cioè sen 2a + cos 2 a = 1

(1.7a)

• il rapporto tra il seno e il coseno dell’angolo α è la tangente dell’angolo stesso, cioè

sena = tg a cos a

(1.7b)

27

TEORIA

unità 2

Triangoli Qual è la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo? La somma è di 180° (p). 17

Come si identificano i lati di un triangolo rettangolo? I lati che formano l’angolo di 90° sono chiamati cateti; il lato opposto all’angolo di 90° è l’ipotenusa (Figura 1.11).

B

18

Cosa afferma il primo teorema dei triangoli rettangoli? In un triangolo rettangolo (Figura 1.11) la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto al cateto; quindi

b

c

a

19

A

c = a seng

a

g b

C

Figura 1.11 (1.8a)

b = a senb

(1.8b)

Oppure la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell'ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente al cateto; quindi c = a cosb

(1.9a)

b = a cosg

(1.9b)

Cosa afferma il secondo teorema dei triangoli rettangoli? In un triangolo rettangolo (Figura 1.11) la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo cateto considerato; quindi

20

c = b tgg

(1.10a)

b = c tgb

(1.10b)

Cosa afferma il teorema di Pitagora? In un triangolo rettangolo (Figura 1.11) la misura dell’ipotenusa è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle misure dei cateti, cioè 21

(1.10c)

a = b2 + c 2

Calcolo con potenze di 10 e calcolo percentuale Cos’è una potenza di 10? La potenza 10N è l’operazione che moltiplica il numero 10, chiamato base, per un numero N di volte, con N chiamato esponente. Il risultato di una potenza di 10 contiene un numero di zeri uguale all’esponente. 22

ESEMPIO

• La potenza 103 è uguale al prodotto di 10 per 3 volte, cioè 10 3 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000 . • La potenza 104 ha quattro zeri, infatti 104 = 10 000.

28

TEORIA

Strumenti matematici

Come si calcola una potenza di 10 con esponente negativo? In caso di esponente negativo, la potenza è uguale al reciproco della stessa potenza con esponente positivo, cioè 1 (1.11) 10− N = N 10 23

In generale, è possibile portare una potenza da denominatore a numeratore, e viceversa, cambiando il segno algebrico dell’esponente. ESEMPIO

• La potenza 10–5 può essere scritta come

1 e viceversa. 105

• La potenza 10–3 ha tre zeri, infatti 10–3 = 0,001.

Come si eseguono le operazioni con potenze con base 10? • Il prodotto di due potenze con la medesima base 10 è uguale alla potenza che ha per base 10 e per esponente la somma degli esponenti, cioè 24

(1.12a)

10 N · 10 M = 10 N + M La regola si estende a un numero qualsiasi di potenze come fattori.

• Il quoziente di due potenze con la stessa base 10 è uguale alla potenza che ha per base 10 e per esponente la differenza degli esponenti, cioè (1.12b)

10 N : 10 M = 10 N – M

• La potenza di una potenza con base 10 è uguale alla potenza che ha per base 10 e per esponente il prodotto degli esponenti, cioè M

(10 N)

(1.12c)

= 10 N · M

ESEMPIO

• 10−5 ⋅ 10 8 = 10(−5+8) = 10 3 • 10 9 : 10 2 = 10(9−2) = 107 2

• (10 4 ) = 10(4 ⋅ 2) = 10 8 Qual è la potenza di 10 con esponente 0 e 1? • La base 10 elevata a 0 dà come risultato 1. • La base 10 elevata a 1 dà come risultato 10. 25

26 Cos’è la percentuale? La percentuale è un rapporto che ha per denominatore 100, indicata con il simbolo %. ESEMPIO

15 = 15% 100

29

TEORIA

unità 2

Come si calcola la percentuale di un numero? La percentuale A% di un numero B si calcola dividendo B per 100 e moltiplicando per A, cioè 27

A % di B =

B A 100

(1.13)

ESEMPIO

Con A = 20 e B = 1 000, il 20% di 1 000 è

1 000 20 = 200 . 100

Quanto vale in percentuale un numero rispetto a un altro? Per calcolare in che percentuale K % un numero M è rispetto a un numero N, si divide M per N e si moltiplica per 100, cioè 28

K% =

M 100 N

(1.14)

ESEMPIO

In una classe di N = 20 studenti, M = 12 ragazze rappresentano una percentuale del= K%

12 = 100 60% 20

TEST 1

Se due grandezze variabili x e y sono direttamente proporzionali, si ha che y =k a x b xy = k c d

2

c d

30

x+y=k y =k x2

Se due grandezze variabili x e y sono inversamente proporzionali, si ha che a x + y = k b

5

Il grafico di due grandezze direttamente proporzionali è a una retta b un’iperbole c una parabola d una retta passante per l’origine

4

Il grafico di due grandezze inversamente proporzionali è a una retta b un’iperbole c una parabola d una retta passante per l’origine

b

yx2 = k

c

y = kx2 x = k2 y

d 6

In quale delle seguenti coppie di grandezze riconosci una proporzionalità diretta? a densità e volume di sostanze con uguale massa b area e lato di un quadrato c area e raggio di un cerchio d perimetro e raggio di una circonferenza

7

In quale delle seguenti coppie di grandezze riconosci una proporzionalità inversa? a densità e volume di sostanze con uguale massa b area e lato di un quadrato c area e altezza di un rettangolo d area e raggio di un cerchio

8

In quale delle seguenti coppie di grandezze riconosci una proporzionalità quadratica? a area e altezza di un rettangolo b area e base di un triangolo c area e raggio di un cerchio d perimetro e raggio di una circonferenza

xy = k y =k x y = kx2

3

Se due grandezze variabili x e y sono in relazione quadratica, allora si ha che a y = kx

ESERCIZI

Strumenti matematici 9

Nel grafico seguente, la costante di proporzionalità tra y e x è 1 a 1 b c 2 d 3 2

12

Se E =

y 7 6 5 4 3 2 1

13

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

x

Nel grafico seguente, la costante di proporzionalità tra y e x è a 1 b –1 c 2 d –2 y 7 6 5 4 3 2 1

11

b

a = vt

d

a=v+t

v = 2 mE

c

v =

2m E

b

v=

E 2m

d

v=

2E m

a B

14

Il coseno dell’angolo α della figura precedente è CB CA CA AB c d a b CA AB CB CB

15

La tangente dell’angolo α della figura precedente è CB CA CA AB c d a b CA AB CB CB

O

Se v = at, allora v a a = t t c a = v

a

Il seno dell’angolo α in figura è CB C a CA CA b AB CA c CB AB A d CB

16

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x –1 –2 –3 –4

1 mv2, allora 2

17

Un triangolo rettangolo di angoli 30°, 60°, 90° e con ipotenusa di 2 cm ha cateti di lunghezza a 1 cm, 3 cm b 1 cm, 1 cm c 1 cm, 2 cm d 2 cm, 2 cm

Il risultato dell’espressione a

90

b

0,9

c

9

3 · 10–7 · 6 · 1011 è 2 · 104 d 900

18

Quale percentuale rappresentano 4 studenti su una classe di 20? a 40% b 30% c 20% d 10%

19

Qual è il 30% di 60? a 30 b 18

c

15

d

12

VERO/FALSO 20 21

Il perimetro di un quadrato è direttamente proporzionale al lato del quadrato.

L’area di un quadrato è direttamente proporzionale al lato del quadrato.

Due grandezze x e y sono legate dalla relazione y = 3x. a Le grandezze x e y sono inversamente proporzionali. b La costante di proporzionalità è 3. c Il grafico di y in funzione di x è un’iperbole. 2 23 Due grandezze x e y sono legate dalla relazione y = . x a Le grandezze x e y sono inversamente proporzionali. b La costante di proporzionalità è 2. c Il grafico di y in funzione di x è un’iperbole.

V F V F

22

V F V F V F

V F V F V F

31

ESERCIZI

unità 2 24

Due grandezze x e y sono legate dalla relazione y = –2x2. a Tra x e y c’è una proporzionalità quadratica. b La costante di proporzionalità è –2. c Il grafico di y in funzione di x è una retta.

V F V F V F

25

Un’auto accelera su un rettilineo. All’aumentare del tempo t, la velocità v dell’auto aumenta 1 secondo la relazione v = at, mentre lo spazio percorso s secondo s = at2. 2 a Le grandezze v e t sono inversamente proporzionali. V F b Tra s e t c’è una proporzionalità quadratica. V F 1 a. c La costante di proporzionalità quadratica è V F 2 F . m

26 Se

F = ma, allora a =

27 Se

v = v0 + at, allora v0 =

V F

v . at

Il perimetro 2P di un quadrato di lato 2P l è 2P = 4l. Il lato è l = . 4

V F

La tangente di α è definita come sen a tg a = . cos a 31

32 104

∙ 102 = 106

28

V F

29

Il perimetro 2P di un rettangolo di lato b e altezza h è 2P = 2(b + h). 2P – 2h La base è b = . V F 2

33 (104)2

V F V F

= 106

V F

34

Il 10% di 200 è 20.

V F

35

1 corrisponde al 50%. 2

V F

42

Come è definita la circonferenza goniometrica?

43

Come sono definiti il seno e il coseno di un angolo?

44

Come è definita la tangente di un angolo?

45

Vuoi scrivere il numero 100 000 come potenza di 10. L’esponente è positivo o negativo?

46

Vuoi scrivere il numero 0,00001 come potenza di 10. L’esponente è positivo o negativo?

47

N è il numero di studenti di una scuola. NF è il numero delle studentesse. Qual è la formula con cui puoi calcolare la percentuale delle studentesse iscritte a quella scuola?

48

Qual è la formula per calcolare la percentuale degli studenti maschi iscritti alla scuola del quesito precedente?

30 Il seno di α e il coseno di α sono legati dalla relazione sen2 α + cos2 α = 1. V F

QUESITI 36

Quando due grandezze x e y sono direttamente proporzionali? E quando sono inversamente proporzionali?

37

Sapendo che la densità d di un corpo è legata m alla massa m e al volume V dalla legge d = , V che tipo di relazione c’è tra la densità d e il volume V, mantenendo costante la massa? 38

Proponi un esempio di variabili legate da una relazione di proporzionalità diretta e uno di variabili inversamente proporzionali.

39

Scrivi la formula del perimetro di una circonferenza di raggio r. Qual è la formula che ti permette di calcolare il raggio?

40

Scrivi la formula dell’area di un cerchio di raggio r. Qual è la formula che ti permette di calcolare il raggio?

41

32

L’unità di misura del coseno, del seno e della tangente di un angolo è il metro?

ESERCIZI

Strumenti matematici

ESERCIZI Leggi fisiche come funzioni 49

50

Sapendo che le grandezze x e y sono direttamente proporzionali, completa la seguente tabella inserendo i valori mancanti: x

1

y

3

3 6

1

Leggi fisiche come equazioni 55

Sapendo che le grandezze x e y sono inversamente proporzionali, completa la seguente tabella inserendo i valori mancanti:

Sapendo che il peso P di un corpo di massa m sulla Terra è P = mg, dove g è l’accelerazione di gravità, scrivi la formula per ricavare m.

56

Considera la formula U = mgh e scrivi la formula per ricavare h.

x

1

y

12

3 6

1

51 La relazione tra due grandezze x e y è y = 3x + 1. Costruisci una tabella assegnando alla variabile x i valori 0, 1, 2, 3, 4. Rappresenta graficamente la tabella.

53

Una tariffa telefonica prevede un costo fisso mensile di € 5,0 e un costo di € 0,10 per ogni minuto di telefonata. Scrivi la relazione che lega il costo totale c ai minuti m delle telefonate in un mese. Se in un mese telefoni complessivamente per due ore, quanto paghi?

Qual è il valore della costante di proporzionalità? Qual è il grafico di y in funzione di x?

Qual è il valore della costante di proporzionalità? Qual è il grafico di y in funzione di x?

52

54

Un’automobile percorre un tratto rettilineo. Lo spazio s percorso è funzione del tempo 1 2 t secondo la formula: s = t . Costruisci 2 una tabella spazio-tempo e il relativo grafico. Quale tipo di relazione lega lo spazio e il tempo?

57 L’area

A di un cerchio è A = πr 2. Ricava la formula per calcolare il raggio.

58 Lo

spazio s percorso da un corpo in caduta libera si calcola con la formula 1 s = gt 2 con g accelerazione di gravità e t 2 tempo. Scrivi la formula per ricavare t.

59

1 Considera la formula U = kx 2. Scrivi le for2 mule per ricavare k e x.

Goniometria 60

Completa la seguente tabella angoli (°)

30°

45°

60°

90° 180° 270° 360°

angoli (rad)

Nel grafico è rappresentato il costo c in euro del pane in funzione della quantità m in kilogrammi. 61 c (e)

Esprimi in radianti i seguenti angoli: 18°, 135°, 210°, 330°.

62

Esprimi in gradi i seguenti angoli: 7 4 5 π, π, π. 4 3 3

8 6 4 2 O 0,5 1 1,5 2

63

m (kg)

Quanto costano 5 kg di pane? Qual è la costante di proporzionalità? Qual è la relazione matematica tra c e m?

Completa la seguente tabella angoli (rad)

5 π 4

5 π 6

2 π 3

p 15

angoli (°)

33

ESERCIZI

unità 2

Triangoli 64

Calcolo con potenze di 10

e calcolo percentuale

Considera il triangolo in figura. C

20 cm

Quanto vale cos β?

69

Riscrivi le seguenti potenze di 10 in numeri decimali: a 106 b 103 c 105 d 10–3 e 10–7

70

Riscrivi i seguenti numeri come potenze di 10: a 10 000 b 10 000 000 c 0,01 d 0,00001 e 0,000001

b 10 cm

A 65

B

71

Considera il triangolo in figura. C 40

30 cm

72 La velocità della luce è c = 300 000 km/s. Esprimi c come potenza di 10.

cm

Quanto vale sen β?

b

A 66

Calcola il risultato delle seguenti operazioni: 2 a 105 ∙ 102 b 105 ∙ 10–2 c (105) d 105 : 102 e 105 : 10–2

B

Considera il triangolo in figura.

73

Calcola il risultato dell’espressione: 3 20 · 104 + (0,2 · 102) 5 · 103 74

Una classe è composta da 13 ragazze e 15 ragazzi. Calcola la percentuale delle ragazze e quella dei ragazzi.

75

Una ricetta prevede che in 250 g di latte si sciolgano 100 g di zucchero. Calcola la percentuale di zucchero nel latte.

20 cm

C g

Quanto vale tg g?

76

A 10 cm B 67

Considera il triangolo in figura e calcola il cateto AC.

77

Il 10% degli iscritti a un club sportivo pratica il tennis. Sapendo che i tennisti sono 21, calcola quanti sono gli iscritti al club.

78

Il 34% degli studenti di una classe di 18 alunni ha un voto insufficiente in fisica. Calcola quanti sono gli studenti con l’insufficienza in fisica.

79

Un maglione costava € 50. In saldo, il maglione costa € 43. Calcola la percentuale dello sconto applicato.

80

I libri di testo sono aumentati del 5% rispetto all’anno scorso. Se l’anno scorso costavano € 300, calcola quanto spenderai quest’anno per acquistare i libri.

10

B

Determina le percentuali indicate: a il 15% di 140 b il 32% di 54 c il 2,5% di 10 d lo 0,4% di 2 000

60°

C 68

A

Considera il triangolo in figura e calcola l’ipotenusa BC. B 4 30°

C

34

A

3

TEORIA

Scalari e vettori Cosa caratterizza una grandezza fisica scalare? Una grandezza fisica scalare è completamente caratterizzata dal numero reale detto anche scalare, che esprime la sua misura accompagnato dall’unità di misura. Generalmente si indica con la lettera iniziale in corsivo della grandezza. 1

ESEMPIO

Alcune grandezze fisiche scalari sono: • la temperatura T (per esempio T = 25 °C) • il tempo t (per esempio t = 120 s) • la lunghezza l (per esempio l = 15 km) • la superficie S (per esempio S = 10 m2) • la massa m (per esempio m = 1 kg) Cosa caratterizza una grandezza fisica vettoriale? Una grandezza fisica vettoriale è completamente caratterizzata da tre parametri: modulo, direzione e verso. I tre parametri sono rappresentati in modo grafico da una freccia, chiamata vettore. 2

ESEMPIO

Alcune grandezze fisiche vettoriali sono: • la velocità • l’accelerazione • la forza • lo spostamento Come un vettore rappresenta il modulo, la direzione e il verso di una grandezza fisica vettoriale? Il vettore è una freccia (Figura 3.1) che rappresenta i tre parametri di una grandezza fisica vettoriale nel seguente modo: • il modulo o intensità è il numero reale che esprime la misura della grandezza fisica rispetto all’unità di misura fissata ed è rappresentato dalla lunghezza della freccia; • la direzione è rappresentata dall’orientamento nel piano del segmento che compone la freccia (in figura la direzione è evidenziata dalla retta tratteggiata su cui poggia il vettore); • il verso è rappresentato dalla punta della freccia. Il punto estremo opposto alla punta del vettore è definito coda. 3

35

UNITÁ

Vettori e forze

TEORIA

unità 3 modulo

coda

verso

punta

direzione

Figura 3.1 Come si rappresenta un vettore con direzione perpendicolare alla pagina? Se il vettore è perpendicolare si utilizza la grafica in Figura 3.2, a seconda se al lettore è rivolta la punta (vettore uscente) o la coda (vettore entrante). 4

  uscente

Figura 3.2

entrante

Quali simboli si adottano per un vettore? Generalmente si indica il vettore con una lettera in grassetto (per esempio A o b) e il relativo modulo con la medesima lettera in corsivo (per esempio il modulo di A è A, il modulo di b è b) (Figura 3.3 a). A volte il vettore ha i due punti estremi identificati da due lettere (per esempio O e P): in questo caso si indica il vettore sovrapponendo alle due lettere una freccia ( OP ) e il relativo modulo lo si pone tra due barre verticali(|OP|)(Figura 3.3 b). Il modulo di un vettore deve essere sempre accompagnato dall’unità di misura della relativa grandezza fisica vettoriale. P A OP A |OP| 5

O Figura 3.3 a

Figura 3.3 b

ESEMPIO

Il vettore accelerazione a ha modulo 30 m/s2 (m/s2 è l’unità di misura della grandezza fisica vettoriale accelerazione). Il vettore spostamento AK ha modulo 100 m; quindi scriviamo: |AK| = 100 m (m è l’unità di misura della grandezza fisica vettoriale spostamento). Qual è la relazione tra il modulo di un vettore e la sua lunghezza? La lunghezza di un vettore è proporzionale al suo modulo: maggiore (minore) è il modulo, più lungo (corto) è il vettore. 6

ESEMPIO

Il vettore forza F ha modulo 10 N (N sta per newton ed è l’unità di misura della forza nel SI): se si stabilisce che la lunghezza di 1 cm del vettore equivale a 2 N, il vettore F dovrà essere lungo 5 cm affinché rappresenti correttamente il modulo F = 10 N (Figura 3.4). 1 cm

5 cm Figura 3.4

2N

F = 10 N

Quando due vettori sono uguali? Due vettori sono tra loro uguali quando hanno uguali modulo, direzione e verso (Figura 3.5). 7

Figura 3.5

36

TEORIA

Vettori e forze

Quando due vettori sono opposti? Due vettori sono tra loro opposti quando hanno uguali modulo e direzione ma verso contrario (Figura 3.6). Il vettore opposto di un generico vettore A si indica come –A. 8

A Figura 3.6 –A Quando due vettori sono concordi? Due vettori sono tra loro concordi quando hanno uguali direzione e verso (non necessariamente devono essere uguali in modulo) (Figura 3.7). 9

Figura 3.7

10

Quando due vettori sono discordi? Due vettori sono tra loro discordi quando hanno uguale direzione, ma verso contrario (non necessariamente devono essere uguali in modulo) (Figura 3.8).

Figura 3.8

Quando un vettore è nullo? Un vettore A è nullo quando il suo modulo è 0 e si scrive A = 0. 11

Quando una uguaglianza con grandezze fisiche scalari e vettoriali è corretta? Una uguaglianza è corretta se è tra grandezze fisiche omogenee, cioè fra due grandezze fisiche scalari o fra due grandezze fisiche vettoriali. Un errore molto comune consiste nell’eguagliare un vettore al suo modulo. 12

ESEMPIO

L’uguaglianza A = T è formalmente sbagliata: vettore a primo membro e scalare a secondo (non omogenea). L’uguaglianza A = Q è formalmente corretta: vettori a entrambi i membri (omogenea). L’uguaglianza A = Q è formalmente corretta: scalari a entrambi i membri (omogenea). L’uguaglianza F = 10 N è formalmente sbagliata: vettore a primo membro e suo modulo (quindi uno scalare) a secondo membro (non omogenea). È possibile spostare a piacimento un vettore? Un vettore mantiene invariati modulo, direzione e verso se lo spostamento avviene lungo la retta su cui poggia o parallelamente alla retta che indica la direzione (Figura 3.9). Si definisce vettore applicato un vettore con la coda fissa in un punto dello spazio; il punto coincidente alla coda è detto punto di applicazione del vettore. 13

A

A A

A

Figura 3.9 A

37

TEORIA

unità 3 ESEMPIO

La proprietà d’invariabilità facilita la costruzione dei diagrammi vettoriali e l’esecuzione delle operazioni tra vettori. In Figura 3.10a un esempio di traslazione di due vettori in modo che le code coincidano in un punto O. In Figura 3.10b un esempio di spostamento e traslazione di un vettore in modo che la coda coincida con la punta P di un altro vettore.

P

B

A A

A O

B

Figura 3.10b

B

B B

Figura 3.10a

Come si proietta un vettore lungo una retta qualsiasi? La proiezione di un vettore A = OP lungo una generica retta r avviene nel seguente modo (Figura 3.11): si tracciano le perpendicolari dalla coda O e dalla punta P del vettore rispetto alla retta e si individuano i due punti di intersezione O' e P'; il segmento O'P' è la proiezione del vettore e la sua misura, definita componente scalare, è calcolata come 14

Acos a

(3.1)

L’angolo α è la misura dell’inclinazione del vettore rispetto alla retta. P A O r

α O'

Acos a

Figura 3.11

P'

La proiezione è massima quando il vettore è parallelo alla retta r (α = 0°, cos 0° = 1), ed è nulla quando è perpendicolare (α = 90°, cos 90° = 0).

Somma e differenza tra vettori Come si sommano due vettori concordi? Il vettore somma o vettore risultante (indicato con R) ha medesima direzione e verso dei due vettoriaddendi A e B, e modulo uguale alla somma dei due moduli (Figura 3.12). 15

A B R=A+B

Figura 3.12

R=A+B 16

Come si sommano due vettori discordi? Il vettore somma R ha la medesima direzione dei due vettori-addendi A e B, ha il verso del vettore addendo con modulo maggiore e modulo uguale alla differenza tra il modulo maggiore e quello minore (Figura 3.13). A B R=A+B

38

R=B–A

Figura 3.13

TEORIA

Vettori e forze

Come si somma con il metodo punta-coda? Per determinare la somma A + B = R, il metodo prevede i seguenti passaggi (Figura 3.14a): 1) si tracciano A e B in modo che la punta di A coincida con la coda di B (è valido anche il contrario); 2) si unisce la coda di A con la punta di B per ottenere il vettore risultante R. 17

È possibile iterare il metodo per un numero qualsiasi di vettori addendi (Figura 3.14b). Le punte e code dei vettori addendi si uniscono spostando i vettori in modo opportuno secondo le regole descritte nel punto 13.

R=A+B+C+D

A B

R=A+B

B

C

A

Figura 3.14a

R D

Figura 3.14b

18

Come si somma con il metodo del parallelogramma? Per determinare la somma A + B = R, il metodo prevede i seguenti passaggi (Figura 3.15): 1) si tracciano A e B in modo che le due code coincidano in un punto O; 2) da ciascuna punta si tratteggia la parallela all’altro vettore per ottenere un parallelogramma; 3) si individua il punto C di intersezione delle due parallele; 4) si uniscono i punti O e C per ottenere il vettore risultante R. È possibile applicare di nuovo il metodo se al vettore R si deve sommare un altro vettore. Le code dei due vettori addendi si uniscono spostando i vettori in modo opportuno secondo le regole descritte nel punto 13. C

A R=

A

O

+B

Figura 3.15

B

ESEMPIO

Per calcolare la somma A + B + C + D = R con il metodo del parallelogramma, si possono determinare, per esempio, prima A + C = K e B + D = T e poi ottenere il risultato finale con K + T = R.

R

K C A

D

R=A+B+C+D

T B

Figura 3.16

19

Quale metodo di somma è preferibile adottare? I metodi di somma sono fra loro equivalenti. Il metodo del parallelogramma è consigliabile in presenza di massimo 3 o 4 addendi; il metodo punta-coda è adatto per somme con numerosi addendi. In caso di vettori paralleli si procede con i metodi per vettori concordi o discordi.

39

TEORIA

unità 3 20

Come si calcola la differenza tra due vettori? Si calcola la differenza A − B = D eseguendo i passaggi (Figura 3.17): 1) si crea il vettore opposto del vettore B; 2) si somma il vettore A con –B per ottenere il vettore-differenza D. I passaggi sono validi perché A – B = A + (–B). La differenza non è commutativa, cioè A – B ≠ B – A. A

A B

D

Figura 3.17

D=A−B

–B

Esiste anche il seguente metodo di sottrazione tra vettori (Figura 3.18): per determinare la differenza X – Y = D, si pone la coda del vettore differenza (D) sulla punta del vettore sottraendo (Y) e la punta sulla punta del vettore minuendo (X); attenzione: per questo metodo non occorre fare l’opposto del vettore sottraendo.

D

X

Figura 3.18

Y

Prodotto scalare e vettoriale Come si esegue il prodotto vettore-scalare? Il prodotto tra uno scalare m e un vettore A fornisce come risultato un vettore 21

(3.2)

B = mA così definito

• modulo di B: è il prodotto del modulo di A per il valore assoluto di m, quindi B = |m|A; • direzione di B: uguale a quella di A; • verso di B: se m > 0, verso uguale a quello di A; se m < 0, verso contrario a quello di A; Con |m| > 1 il prodotto allunga A; con 0 < |m| < 1 il prodotto accorcia A. ESEMPIO

Il vettore V è moltiplicato per lo scalare –

V 1 : il modulo si dimezza a , dunque pure la sua lunghezza, 2 2

la direzione rimane invariata e il verso diventa contrario a causa del segno negativo dello scalare. V Figura 3.19

1 − V 2

40

TEORIA

Vettori e forze 22

Come si esegue il prodotto scalare? Il prodotto scalare tra due vettori A e B fornisce come risultato uno scalare. Il prodotto è indicato come A ∙ B, ed è definito A · B = AB cos α

(3.3)

dove a è l’angolo minore di 180° formato dalle direzioni di A e B. 23

Come interviene la proiezione di un vettore nel prodotto scalare? Il termine A cos α nella (3.3) è la misura della proiezione di A sulla retta su cui poggia B; ugualmente si può affermare che il termine B cos α è la misura della proiezione di B sulla retta su cui poggia A (Figura 3.20). Attenzione: il risultato non cambia se si inverte l’ordine dei vettori-fattori. In altri termini, il prodotto scalare è commutativo (A · B = B · A). A

A Figura 3.20

B cos α B

α

B

α

A cos α 24

Come si esegue il prodotto vettoriale? Il prodotto vettoriale tra due vettori A e B fornisce come risultato un vettore C. Il prodotto è indicato come A×B=C con • modulo di C:

(3.4a)

C = AB sen α

(3.4b)

dove α è l’angolo minore di 180° formato dalle direzioni di A e B; • direzione di C: perpendicolare al piano contenente A e B; • verso di C: segue la regola della mano destra. 25

Come si esegue la regola della mano destra? Per calcolare il verso del prodotto vettoriale A × B, si piegano le dita della mano destra nel senso di rotazione che porta il primo vettore A a sovrapporsi a B attraverso α: il pollice disteso indica il verso di C (Figura 3.21). Il prodotto vettoriale non è commutativo (A × B ≠ B × A). A×B

B B

A

α

A

α

Figura 3.21

B×A

26 Quando si annullano i prodotti scalare e vettoriale? • Quando almeno uno dei due vettori-fattori è nullo. • Per il prodotto scalare A · B, quando A e B sono fra loro perpendicolari. • Per il prodotto vettoriale A × B, quando A e B sono paralleli. 27

Quando sono massimi il prodotto scalare e il modulo del prodotto vettoriale? • Per il prodotto scalare A · B, quando A e B sono paralleli. • Per il prodotto vettoriale A × B, quando A e B sono fra loro perpendicolari.

41

sd asd

TEORIA

unità 3

Scomposizione vettoriale 28

Cos’è un versore? Il versore è un vettore di modulo unitario adimensionale e non rappresenta alcuna grandezza fisica vettoriale. Generalmente i versori si indicano con lettere minuscole, per esempio u, e i loro moduli non sono accompagnati da unità di misura (quindi il modulo di u è u = 1). 29

A cosa servono i versori? Con i versori si costruiscono i vettori. Dato un versore u che stabilisce una direzione, qualsiasi vettore A con direzione parallela può essere rappresentato come prodotto tra il suo modulo A e il versore u: se A e u hanno lo stesso verso, il prodotto si scrive come A = Au se hanno verso contrario, come

(3.5a)

A = –Au

(3.5b)

30

Come si rappresenta un vettore utilizzando un versore? Si fanno coincidere le code del versore u e del vettore A. • Nel caso di u e A concordi (3.5a), il versore si sovrappone al vettore (Figura 3.22a). • Nel caso di u e A discordi (3.5b), il vettore ha uguale direzione del versore, ma verso opposto (Figura 3.22b). u O

u A = –Au

A = Au Figura 3.22a

O

Figura 3.22b

Come sono indicati i versori associati agli assi cartesiani? All’asse x è associato il versore i, all’asse y il versore j. La coda del versore coincide con l’origine O dell’asse e il verso è uguale a quello del semiasse positivo (Figura 3.23). 31

O i

x

O j

y

Figura 3.23

Cosa significa scomporre un vettore? La scomposizione vettoriale di un vettore consiste nel determinare un insieme di vettori tali che la loro somma abbia come vettore risultante il vettore stesso. 32

Come si scompone un vettore nel piano cartesiano xy? Si scompone il vettore A = OP con i seguenti passaggi (Figura 3.24): 33

• si tracciano dalla punta del vettore le perpendicolari agli assi; • si determinano le componenti scalari di A, individuando il punto di ascissa Px e quello di ordinata Py che danno la misura delle proiezioni Ax = OPx e Ay = OPy ; • si determinano le componenti vettoriali di A moltiplicando ciascuna componente scalare per il relativo versore, ottenendo cioè i vettori Ax i e Ay j. Il vettore A è dunque scomposto come A = Ax i + Ay j

42

(3.6)

TEORIA

Vettori e forze La somma (3.6) è definita forma cartesiana di A. y P

Py A

Ay j

Figura 3.24

j O

i

Ax i

x

Px

ESEMPIO

Tutti i vettori W che giacciono sull’asse x (asse y) hanno la componente vettoriale rispetto a y (a x) nulla e, di conseguenza, forma cartesiana W = Wx i + 0 j = Wx i (W = 0 i + Wy j = Wy j). Come si determina il modulo del vettore espresso in forma cartesiana? Applicando il teorema di Pitagora alle componenti scalari: se il vettore A è espresso nella forma (3.6), il modulo A è 34

A = Ax2 + Ay2

(3.7)

Le componenti scalari possono assumere valori reali negativi? Sì: occorre osservare in quale quadrante del piano cartesiano il vettore è collocato. Ricordiamo che le componenti scalari di un vettore in un sistema di assi cartesiano con la coda applicata all’origine corrispondono alle coordinate della punta. 35

ESEMPIO

Se il vettore V si trova nel terzo quadrante del piano cartesiano xy, le due componenti scalari Vx e Vy sono negative. Come si determina la direzione del vettore espresso in forma cartesiana? Tramite l’angolo θ formato dal vettore A con il semiasse positivo delle x (Figura 3.25). Conoscendo l’angolo e il modulo A, si risale alle componenti scalari del vettore tramite le relazioni 36

Ax = Acos θ

Ay = Asen θ Ay = A x tg θ

(3.8a)

(3.8b)

(3.8c) Le relazioni (3.8) si ottengono applicando i teoremi dei triangoli rettangoli al piano xy con A (Figura 3.25). Conoscendo invece le componenti scalari e il modulo, si determina l’angolo mediante le relazioni

θ = arccos

θ = arcsen

θ = arctg

Ax A

(3.9a)

Ay A

(3.9b)

Ay Ax

(3.9c)

43

TEORIA

unità 3

Le relazioni (3.9) si ottengono tramite le (3.8) e utilizzando le funzioni goniometriche inverse. y

Ay = Asen θ

Figura 3.25

A

θ O

Ax = Acos θ

x

Forze Cos’è una forza? La forza F è una grandezza derivata vettoriale che, se applicata a un corpo di massa m, può provocare uno o entrambi i seguenti due effetti: • imprime al corpo un’accelerazione a data dalla formula 37

F m

(3.10) • deforma il corpo. L’unità di misura del modulo o intensità del vettore forza è il newton (N), e si ricava dalla (3.10) riscritta come F = ma; quindi a=

1 N = (1 kg)(1 m/s2) cioè 1 N è l’intensità che deve avere una forza per imprimere un’accelerazione di 1 m/s2 a un corpo di massa 1 kg. Cos’è la forza peso? La forza peso P è la forza che attrae un corpo di massa m verso il suolo a causa del campo gravitazionale della Terra. Ha come direzione la retta congiungente il corpo al centro della Terra e verso rivolto alla superficie terrestre. La (3.10) per la forza peso è 38

P = mg (3.11) dove g è l’accelerazione di gravità terrestre. Il suo modulo dipende dalla latitudine (aumenta avvicinandosi ai poli) e dall’altitudine (diminuisce allontanandosi dal suolo). A 45° di latitudine, vicino alla superficie terrestre, e si considera g = 9, 81 m/s 2 Cos’è la forza d’attrito? La forza d’attrito ha origine dal contatto tra le superfici di due corpi e si oppone sempre al loro reciproco movimento. Può essere: • radente, originata dallo strisciare di un corpo su una superficie piana; • volvente, originata dal rotolamento di un corpo su una superficie piana. 39

ESEMPIO

• Una palla che rotola su un pavimento senza ostacoli rallenta fino a fermarsi per l’attrito volvente nel contatto palla-pavimento. • Non si scivola mentre si cammina su un marciapiede per l’attrito radente nel contatto suola scarpamarciapiede.

44

TEORIA

Vettori e forze

Quali sono i tipi di forze d’attrito radente? La forza d’attrito radente ha direzione parallela alle superfici di contatto e verso opposto a quello del corpo in movimento. Il modulo della forza d’attrito radente è diverso a seconda se l’attrito è di tipo statico o dinamico. 40

Attrito radente statico Fs: si oppone alla messa in moto di un corpo in stato di riposo e ha modulo (3.12a) Fs = μs F⊥ dove F⊥ è il modulo della forza premente F⊥ che preme il corpo sulla superficie di contatto con direzione perpendicolare (vedere esempio seguente) e μs è il coefficiente di attrito statico, il cui valore adimensionale dipende dai materiali delle superfici di contatto. Per muovere un corpo dallo stato di riposo soggetto solo alla forza d’attrito Fs, occorre una forza discorde con modulo maggiore di Fs. Attrito radente dinamico Fd: si oppone al moto di un corpo e ha modulo (3.12b) Fd = μd F⊥ Si distingue dalla (3.12a) per il coefficiente di attrito dinamico μd il cui valore adimensionale dipende dai materiali delle superfici di contatto. Entrambe le forze di attrito non dipendono dall’area delle superfici di contatto; i valori dei coefficienti di attrito rispettano sempre la relazione 0 < μd < μs Una superficie che presenta attrito è definita superficie scabra. ESEMPIO

In Figura 3.26 due esempi di come determinare il vettore F⊥. In Figura 3.26a, la forza peso P preme il corpo ed è F⊥ = P: quindi F⊥= P = mg. Figura 3.26a

P = F⊥

In Figura 3.26b, la componente di P perpendicolare alla superficie è quella che preme il corpo: dunque F⊥ = P⊥ e F⊥ = P⊥ = mgcos α (si è applicato il teorema dei triangoli rettangoli).

α

Figura 3.26b

P⊥ = F⊥

P

α

Cosa sono un vincolo e una forza vincolare? Un vincolo limita o impedisce il movimento di un corpo. La forza vincolare è la forza che il vincolo esercita sul corpo ogni volta che il corpo esercita una forza sul vincolo. Le due forze hanno uguali modulo e direzione e verso contrario. 41

45

TEORIA

unità 3 ESEMPIO

Figura 3.27a

N

In Figura 3.27a il piano orizzontale si comporta da vincolo perché impedisce la caduta verso il basso del corpo. Il corpo agisce sul vincolo tramite la sua forza peso P e il vincolo a sua volta esercita sul corpo una forza vincolare N, definita reazione normale, uguale e opposta a P (N = –P). In Figura 3.27b il piano inclinato si comporta da vincolo perché limita il corpo a muoversi lungo la superficie del piano. Il corpo agisce sul vincolo tramite la componente P⊥ della forza peso perpendicolare al piano e il vincolo, a sua volta, esercita sul corpo una forza vincolare N uguale e opposta a P⊥ (N = –P⊥ ). In Figura 3.27c il filo si comporta da vincolo perché impedisce la caduta verso il basso del corpo. Il corpo agisce sul vincolo tramite la sua forza peso P e il vincolo a sua volta esercita sul corpo una forza vincolare T (definita tensione del filo) uguale e opposta a P (T = –P).

P

N

Figura 3.27b P⊥

Figura 3.27c

P

T

P Cos’è la forza elastica? In Figura 3.28a una molla ha un estremo fisso e l’altro è libero di muoversi su superficie orizzontale priva di attrito. L’origine dell’asse x coincide con la posizione dell’estremo libero della molla in condizione di riposo (Figura 3.28a). Ipotizziamo di allungare (Figura 3.28b) o comprimere (Figura 3.28c) la molla. Quindi lasciamo andare l’estremo libero, esso oscillerà da destra verso sinistra e viceversa soggetto a una forza elastica, definita dalla legge di Hooke 42

F = –ks

(3.13)

La forza F ha verso sempre contrario a quello del vettore spostamento s. La costante elastica della molla k dipende dalle caratteristiche della molla e si misura in N/m. s s F O

i

x

Figura 3.28a

O

i

Figura 3.28b

F x

O

i

x

Figura 3.28c

Momento di una forza Cos’è il momento di una forza? Il momento di una forza F rispetto a un punto O è il vettore M dato dal prodotto vettoriale 43

M=r×F

(3.14a)

dove r ha coda in O e punta coincidente alla coda di F (Figura 3.29). In base alla definizione di prodotto vettoriale, il modulo di M è

46

M = rFsen a

(3.14b)

TEORIA

Vettori e forze

L’unità di misura di M nel SI è newton per metro (N · m). Il termine r sen α è definito braccio b ed è la proiezione di r sulla retta passante per O e perpendicolare a quella su cui poggia F; quindi la (3.14b) può essere scritta anche M = Fb

(3.14c)

Il vettore M non dipende dalla collocazione di F lungo la retta su cui poggia; dipende invece dalla scelta del punto O. Infatti, dalla (3.14c), si ha M = 0 se O appartiene alla retta contenente F. M

F

O

r b

α

α

Figura 3.29 ESEMPIO

Il momento M si considera quando un corpo subisce una rotazione a causa di una forza, come quando si applica una forza al manico di una chiave inglese nel ruotare un bullone. Il modulo M può essere aumentato (diminuito) aumentando (diminuendo) il modulo della forza o il braccio. Se F non è sufficiente per fornire un momento M che ruoti il bullone, si allontana la presa sul manico della chiave inglese il più possibile dal bullone per aumentare b e di conseguenza M. Cosa s’intende per coppia di forze? Una coppia di forze consiste in due forze uguali in modulo, opposte in verso e con direzioni parallele. In Figura 3.30 le forze F e – F formano una coppia di forze e la distanza tra le rette su cui poggiano è definita braccio b della coppia. 44

–F b

F Figura 3.30 La presenza di una coppia di forze comporta la rotazione di un corpo, come succede con il manubrio della bicicletta quando si curva. Cos’è il momento di una coppia di forze? Il momento M di una coppia di forze F e –F è un vettore con (Figura 3.31): • direzione perpendicolare al piano contenente la coppia di forze; • verso indicato dal pollice della mano destra con le altre dita che si avvolgono nel verso di rotazione prodotto dalla coppia; • modulo 45

M = Fb

(3.15)

47

TEORIA

unità 3 dove F è il modulo di una delle due forze componenti la coppia e b è il braccio della coppia. M

F b

–F Figura 3.31

TEST 1

Quali tra le seguenti grandezze è uno scalare? a accelerazione c spostamento b velocità d lunghezza

2

Quali tra le seguenti grandezze è un vettore? a area c forza b temperatura d massa

3

4

5

6

48

Quale tra le seguenti affermazioni è falsa? a una grandezza scalare è definita da un numero e da un’unità di misura b una grandezza vettoriale è definita da un modulo, una direzione e un verso c uno scalare può essere positivo, negativo o nullo d il verso di un vettore è la sua direzione Il vettore A + B è uguale al vettore B + A? a sì, sempre b solo se i due vettori hanno lo stesso modulo c solo se i due vettori hanno lo stesso modulo, direzione e verso d no, mai In quale caso il modulo della somma di due vettori è uguale alla somma dei moduli dei due vettori? a se i vettori hanno uguale modulo b se i vettori hanno uguale direzione e verso c mai d sempre Un oggetto subisce due spostamenti consecutivi di 2 m ciascuno. Lo spostamento risultante è di 4 m. Quanto vale l’angolo formato dai due spostamenti? a 90° b 60° c 30° d 0°

7

Un oggetto subisce due spostamenti consecutivi di 5 m ciascuno. Lo spostamento risultante è anch’esso di 5 m. Quanto vale l’angolo formato dai due spostamenti? a 90° b 60° c 30° d 0°

8

Il vettore A – B è uguale al vettore B – A? a sì b solo se i due vettori hanno lo stesso modulo c solo se i due vettori hanno lo stesso modulo, direzione e verso d no

9

Un versore è a un vettore di modulo 0 adimensionale b un vettore di modulo 1 adimensionale c un vettore modulo 2 adimensionale d un vettore di modulo 2 adimensionale

10 Moltiplichi

un vettore assegnato per uno scalare. Il vettore risultante ha lo stesso verso del vettore di partenza? a sì, se lo scalare è positivo b sì, se lo scalare è negativo c sì, sempre d no, mai

11

Il prodotto scalare e il prodotto vettoriale tra due vettori danno rispettivamente a uno scalare e un vettore b un vettore e uno scalare c due vettori d due scalari

12

Il prodotto scalare tra due vettori è il prodotto a dei moduli dei due vettori b dei due vettori c dei moduli dei due vettori per il seno dell’angolo compreso tra i due vettori d dei moduli dei due vettori per il coseno dell’angolo compreso tra i due vettori

ESERCIZI

Vettori e forze 13

14

15

Il modulo del prodotto vettoriale tra due vettori è il prodotto a dei moduli dei due vettori per il seno dell’angolo compreso tra i due vettori b dei moduli dei due vettori per il coseno dell’angolo compreso tra i due vettori c dei moduli dei due vettori d dei due vettori Per determinare il verso di W = U × V devi a piegare le dita del palmo della mano destra nel senso di rotazione che porta il vettore U a sovrapporsi al vettore V; allora il verso di W è quello indicato dal pollice disteso b piegare le dita del palmo della mano destra nel senso di rotazione che porta il vettore V a sovrapporsi al vettore U; allora il verso di W è quello indicato dal pollice disteso c piegare le dita del palmo della mano destra nel senso di rotazione che porta il vettore W a sovrapporsi al vettore U; allora il verso di W è quello indicato dal pollice disteso d piegare le dita del palmo della mano destra nel senso di rotazione che porta il vettore W a sovrapporsi al vettore V; allora il verso di W è quello indicato dal pollice disteso U e V sono due vettori come in figura. Qual è l’orientamento di U × V?

V

puoi scrivere un vettore V attraverso le sue componenti nel piano cartesiano? a V = Vx i ∙ Vy j c V = Vx + Vy b V = Vx i + Vy j d V = Vx i × Vy j

18 Come

19 Un newton è l’intensità della forza che occorre

applicare a un corpo a di massa 1 kg affinché subisca un’accelerazione di 9,81 m/s2 b di massa 9,81 kg affinché subisca un’accelerazione di 1 m/s2 c di massa 1 kg affinché subisca un’accelerazione di 1 m/s2 d di massa 9,81 kg affinché subisca un’accelerazione di 9,81 m/s2 20 Le a b 21

dimensioni della grandezza forza sono [M][L][T]2 c [M][L]2[T] –2 [M][L][T] d [M][L]–2[T]

Un corpo pesa 50 N. Qual è la sua massa? a 50 kg b 9,8 kg c 5,1 kg d 1,0 kg

22 Quale

delle seguenti affermazioni è falsa? Il coefficiente di attrito statico a è un numero puro, quindi non ha dimensioni b è sempre maggiore di quello dinamico c è sempre maggiore di uno d è sempre minore di uno

23 Un

libro di massa m = 0,6 kg è appoggiato su un tavolo. La forza vincolare esercitata dal tavolo sul libro ha modulo a 0,6 N b 0N c 9,8 N d 5,9 N

24 Se

U a b c d

perpendicolare al piano del foglio, con verso entrante perpendicolare al piano del foglio, con verso uscente parallelo al piano del foglio, verso destra parallelo al piano del foglio, verso il basso

16 La

17

si appoggia una mano sul libro del test precedente e si spinge verso il basso con una forza di intensità 2,0 N, la forza vincolare esercitata dal tavolo sul libro ha modulo a 9,8 N b 7,9 N c 2,0 N d 2,6 N

25 Il momento di una forza rispetto ad un punto O

è un vettore con direzione a parallela alla direzione della forza b parallela alla direzione della retta che unisce il punto di applicazione del vettore forza e il punto O c perpendicolare al piano contenente il vettore forza e il punto O d perpendicolare alla direzione della forza

proiezione di un vettore dato lungo una retta r ha lunghezza nulla. L’angolo tra la direzione della retta r e il vettore è a 0° b 45° c 90° d 180°

26 Il braccio di una forza rispetto a un punto asse-

la componente scalare di un vettore rispetto alla direzione individuata dalla retta r è uguale al modulo del vettore stesso se a il vettore è perpendicolare a r b il vettore è parallelo a r c il vettore è nullo d il vettore forma un angolo di 45° rispetto a r

gnato è a la lunghezza del vettore forza b la distanza tra il punto assegnato e il punto di applicazione della forza c la distanza tra il punto assegnato e la retta su cui giace la forza d la distanza tra il punto assegnato e la punta del vettore forza

49

ESERCIZI

unità 3 27 In figura la forza F di modulo 2,0 N è applicata

in un punto P a distanza 4,0 m da O. Quanto vale il modulo del momento di F rispetto a O? a 2,0 Nm b 4,0 Nm c 6,9 Nm d 8,0 Nm F

b c d

41 La tensione di un filo è una forza vincolare.

P

coppia di forze è formata da due forze applicate nello stesso punto, con uguali modulo, direzione e verso due forze uguali in modulo, agenti nello stesso verso su due rette d’azione parallele due forze uguali in modulo, agenti in verso opposto su due rette d’azione parallele due forze con uguali modulo, direzione e punto di applicazione, ma verso opposto

43 La

costante di una molla si misura in N m.

momento di una forza è una grandezza vettoriale. V F

45 Il

momento di una forza si misura in N/m.

46 Qual

grandezza scalare è definita da un numero e da un’unità di misura. V F

31

Il vettore A + B è sempre uguale al vettore B + A.

V F

47 Il

prodotto scalare di due vettori è massimo quando i due vettori sono perpendicolari.

V F

34 Il

prodotto vettoriale di due vettori è un vettore.

regole di addizione dei vettori, risulta che solo in un caso la somma di due vettori non nulli ha modulo uguale a zero. Quando?

50 Il

modulo di un vettore è 2 unità e quello di un altro vettore è 5 unità. Qual è il massimo modulo che può avere il vettore risultante?

V F

53 Il

modulo di un vettore si può calcolare applicando il teorema di Pitagora alle sue componenti. V F

54 Il

prodotto vettoriale gode della proprietà commutativa.

37 i e j sono i versori degli assi x e y rispettivamente.

prodotto scalare di due vettori è una grandezza scalare o vettoriale? E il prodotto vettoriale? prodotto scalare gode della proprietà commutativa? E il prodotto vettoriale?

55 Quando

di misura della forza è il newton.

V F

56 A

forza peso P è uguale a g.

V F

39 La

50

uno scalare per un vettore si ottiene un vettore o uno scalare?

V F

38 L’unità

Quando è nulla la differenza tra due vettori?

52 Moltiplicando

36 Il

51

V F

35 Il

sono i metodi per sommare due vettori?

49 Dalle

33 Il

V F

modulo di un vettore può essere negativo?

48 Quali

32 Il

prodotto scalare di due vettori è una grandezza vettoriale.

è la differenza tra grandezza scalare e grandezza vettoriale?

V F

30 Una

V F

QUESITI

29 Una

V F

44 Il

VERO/FALSO grandezza vettoriale è definita da un modulo, una direzione e un verso.

V F

della forza elastica è il rapporto tra la costante della molla e lo spostamento rispetto alla posizione di equilibrio. V F

28 Una a

forza di attrito radente per un corpo che si trova su un piano orizzontale ha la stessa direzione della forza peso, ma verso opposto. V F

42 L’intensità

30°

O

40 La

il prodotto scalare tra due vettori è nullo? E quando è nullo il prodotto vettoriale? e B sono due vettori nel piano del foglio. Se A è diretto a nord e B è diretto a est, qual è l’orientamento di A × B? E quello di B × A?

ESERCIZI

Vettori e forze 57 Può

accadere che un vettore abbia componente scalare negativa rispetto all’ asse di un sistema cartesiano assegnato?

62 Quali

sono modulo, direzione e verso della forza di attrito?

63 Cosa si intende per attrito radente e per attrito 58 Quali

sono gli effetti di una forza su un corpo?

è la relazione tra la massa e il peso di un corpo?

volvente?

59 Qual

64 Quali

60 Quanto

65 Definisci

vale la tua massa sulla Terra? E il tuo peso?

61 Come

sono modulo, direzione e verso della forza vincolare? il momento di una forza. Qual è la sua unità di misura nel SI? Quali sono le sue dimensioni?

varia l’accelerazione di gravità sulla

Terra?

66 Quanto vale il momento di una forza rispetto a

un punto della sua retta di applicazione?

ESERCIZI Scalari e vettori 67 Quali

caratteristiche (modulo, direzione e verso) sono uguali nelle coppie di vettori in figura?

a

b

68 Vai a fare colazione in un bar distante 100 m da

c

un vettore V di modulo 5,0 m e una retta r. Calcola la componente scalare di V lungo r nei casi in cui l’inclinazione del vettore rispetto alla retta sia: a 0° b 30° c 45° d 60° e 90°

Suggerimento Per calcolare il coseno dell’angolo di inclinazione, puoi usare la calcolatrice scientifica

Somma e differenza tra vettori 71

Disegna due vettori a e b con moduli a = 4 da sinistra verso destra e b = 3,0 verticale verso il basso. Ricava graficamente il vettore c = a + b utilizzando la regola del parallelogramma e il metodo punta-coda.

e

graficamente il vettore somma di due vettori u e v con u = 10 unità (unità indica una generica unità di misura) e v = 5 unità nei casi in cui l’angolo tra i due vettori sia a 0° b 30° c 45° d 60° e 90° f 180°

69 Calcola

70 Considera

d

72 Ricava

casa tua, quindi torni verso casa percorrendo la stessa strada. Qual è il modulo del vettore spostamento totale? il modulo del vettore spostamento della Terra nel suo moto di rivoluzione attorno al Sole, durante un periodo di sei mesi. (Assumi per il raggio dell’orbita terrestre il valore costante R = 1,49 ∙ 1011 m).

73 Calcola

modulo, direzione e verso del vettore c dell’esercizio 71.

Svolgimento Nella figura sono rappresentati i due vettori a e b e il vettore risultante c determinato con la regola del parallelogramma.

a

φ b

c

Il modulo del vettore c è l’ipotenusa del triangolo rettangolo di cateti di lunghezza a = 4 e b = 3 e quindi utilizziamo il teorema di Pitagora per trovare c.

c = 4, 0 2 + 3, 0 2 = 16 + 9, 0 = 5, 0

51

ESERCIZI

unità 3 Per calcolare la direzione di c dobbiamo determinare l’angolo che il vettore c forma, ad esempio, con la direzione orizzontale. Questo angolo viene calcolato con la formula (3.9c) e utilizzando la calcolatrice

b 3 φ arctg = = arctg  37° a 4 graficamente la risultante di due vettori spostamento di modulo 12 m e 5,0 m nel caso in cui formino angoli di 0°, 90°, 180° e 270°. Calcolare inoltre il modulo della risultante nei diversi casi.

75 Trova la risultante (modulo, direzione e verso)

di due vettori di modulo 8,0 unità e 6,0 unità formanti un angolo di a 0° b 90° c 180° 76 Un’auto percorre 50,0 km verso nord e altri 50,0

km verso ovest. Qual è lo spostamento risultante? Qual è la distanza totale percorsa? 77 Il

vettore risultante di due vettori ad angolo retto ha modulo 10 m. Se uno dei due vettori componenti ha modulo 6 m, qual è il modulo dell’altro vettore?

78 Un

aereo fa rotta verso sud a una velocità di modulo Va =70,0 km/h. Da ovest soffia un vento che sposta verso est la direzione di volo dell’aereo di 30,0°. Qual è il modulo V della velocità risultante dell’aereo? Qual è il modulo Vv della velocità del vento?

Suggerimento Disegniamo i vettori come in figura. Risulta che

Va V= cos 30, 0°

quindi, se sostituiamo i dati

viaggia verso est per 50,0 km, poi verso sud per altri 20,0 km, infine piega a est percorrendo ancora 10,0 km. Disegna i vettori spostamento e determina il modulo e la direzione dello spostamento complessivo dell’auto.

Suggerimento

74 Ricava

1 Vv = V 2

81 Un’automobile

Vv Va

V 30,0°

V = 80,8 km/h e Vv = 40,4 km/h

79 Una

barca fa rotta verso nord con una velocità V di intensità 12,0 km/h. È presente una corrente trasversale VT di modulo 3,20 km/h proveniente da ovest. Quali sono il modulo, la direzione e il verso della velocità risultante della barca?

Costruisci dapprima il grafico dei vettori spostamento. Osserva quindi che il modulo dello spostamento risultante è l’ipotenusa del triangolo rettangolo di cateti.

il vettore A di modulo 80,0 N verso nord e il vettore B di modulo 60,0 N verso est, trova il modulo del vettore A – B.

82 Dato

Suggerimento Costruisci dapprima il vettore –B, quindi determina il vettore somma A+(–B).

83 Due

vettori A = 20,0 e B = 50,0 puntano rispettivamente verso nord e verso ovest. Rappresenta i vettori A – B e B – A e determina il loro modulo.

vettore spostamento A di modulo 20 m punta verso est, mentre il vettore B di modulo 30 m punta verso nord. Determina graficamente i vettori A + B, A – B e B – A. Determinare quindi il loro modulo, la direzione e il verso.

84 Il

i vettori spostamento A di modulo 10 m verso est, B di modulo 3 m verso nord e C ci modulo 2 m verso ovest, trova graficamente i vettori a A + B b A + B + C c A – B d –A + B e A + B – C f A – B – C

85 Dati

86 Disegna

tre vettori di modulo 30 N, 20 N, 5,0 N applicati ad un punto P e formanti ciascuno con il successivo un angolo di 90°. Disegna la risultante dei tre e calcola il suo modulo.

Prodotto scalare e vettoriale 87 Disegna un vettore V di modulo 10 diretto oriz-

80 Una

nave fa rotta verso nord con velocità di modulo 12 km/h, ma la corrente la trascina verso ovest a 5,0 km/h. Determina il modulo e la direzione della velocità risultante della nave.

52

zontalmente verso destra. Rappresenta grafiV camente i vettori 2V, –V, , –3V e trova i loro 2 moduli.

ESERCIZI

Vettori e forze vettore spostamento A ha modulo 3 m ed è inclinato sopra l’orizzontale di un angolo ampio 45°. Dopo aver disegnato il vettore A e il vettore B, con B = –2A, descrivere le proprietà di B.

88 Il

e v sono due vettori di modulo 10,0. Calcola u ∙ v nel caso in cui l’angolo tra i due vettori sia 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

89 u

vettori A e B hanno entrambi modulo di 10,0 cm, sono disposti nel piano del foglio e formano un angolo di 30°. Determina A ∙ B e il vettore C = A × B.

φ = 45°

F1 F Ricordiamo che i vettori componenti F1 e F2 devono essere tali che la loro somma abbia come vettore risultante proprio il vettore F

90 Due

F1 = F sen φ = (10 N)(sen 45°)= 7,1 N F2 = F1 = 7,1 N 93 Un

ragazzo tira una slitta con una corda, con una forza di modulo 10 N. La corda forma un angolo di 60° con il suolo. Calcola l’effettivo modulo della forza che tende a muovere la slitta lungo il terreno, e il modulo della forza che tende a sollevarla verticalmente.

Svolgimento Disegniamo i due vettori come in figura.

B

A

94 Trova

le componenti scalari Ax e Ay di un vettore spostamento A di modulo 50 m che forma un angolo di 30° con l’asse x.

Per il calcolo del prodotto scalare è sufficiente utilizzare la definizione (3.3), e quindi

Forze

A ∙ B = (10,0 cm)(10,0 cm)(cos30°) = 86,6 cm2 Calcoliamo ora il modulo del prodotto vettore secondo la definizione (3.4b)

95 Un

corpo pesa 22 N in un luogo dove l’accelerazione di gravità è 9,81 m/s2. Quali sono il suo peso e la sua massa in un altro luogo dove l’accelerazione di gravità è 4,91 m/s2? Quali sono il suo peso e la sua massa in un punto dello spazio dove l’accelerazione di gravità è zero?

C = (10,0 cm)(10,0 cm)(sen30°) = 50 cm2 La direzione di C è quella perpendicolare al piano del foglio. Per determinare il verso di C utilizziamo la regola della mano destra: posizioniamo le dita del palmo della mano in modo da far ruotare A su B; il verso di C risulta essere quello del pollice disteso, e quindi uscente dal foglio.

vettori A e B hanno entrambi modulo 5,2 e sono disposti nel piano del foglio come i vettori dell’esercizio precedente. L’angolo tra i due vettori è di 60°. Determina A ∙ B e i vettori A × B e B × A.

91 I

Scomposizione vettoriale un vettore forza F di modulo 10N in due componenti tra loro perpendicolari, sapendo che la direzione di una di esse forma un angolo di 45° con la direzione di F.

92 Scomponi

Svolgimento Disegniamo F e delle due componenti F1 e F2 come in figura.

F2

Lab

96 Il coefficiente di attrito statico tra una cassa di

legno di massa 36,0 kg e il pavimento è 0,360. Qual è il modulo della forza minima necessaria per muovere la cassapanca? Suggerimento La forza minima necessaria per muovere la cassa è uguale in modulo e direzione, ma opposta in verso, alla forza di attrito statico Fa che si oppone al moto. 97 Una cassa di massa 20,0 kg è trascinata sull’er-

ba. Il coefficiente di attrito statico è 0,610. Qual è la forza minima necessaria per muovere la cassa? Se alla cassa viene aggiunto un pacco, la forza richiesta per muoverla aumenta del 20%. Qual è la massa del pacco? 98 Tieni

schiacciato un libro di massa m = 300 g contro una parete verticale con la mano, esercitando una forza di intensità F = 5,0 N. Il coefficiente di attrito statico tra la parete e il libro è 0,7. Determina la forza di attrito Fa e la forza vincolare N esercitate dalla parete sul libro. Il libro scivola verso il basso lungo la parete?

53

ESERCIZI

unità 3 102 Per

svitare un bullone occorre applicare un momento di intensità 120 Nm. La persona che deve svitare il bullone può esercitare una forza di modulo 240 N all’estremità di una chiave inglese. Quanto deve essere lunga la chiave, in modo da ottenere il momento richiesto?

Momento di una forza e coppia di forze

99 Con

riferimento alla figura, quanto vale il momento M della forza F rispetto a P?

A

10 cm

P

F

Lab

103 Un’asta

30 N Svolgimento Il modulo di M è dato dall’ equazione (3.14). Il vettore posizione r ha modulo uguale alla distanza AP, direzione coincidente con quella della retta AP e verso da P ad A. Poiché è ortogonale al vettore F, il seno dell’angolo compreso è uno e quindi:

lunga 1,0 m è libera di ruotare attorno a un suo estremo (A). All’altro estremo è applicata una forza di valore 20 N. Calcola il momento della forza rispetto all’estremo A nei casi in cui la direzione della forza è rispetto all’asta: perpendicolare, forma un angolo di 30°, parallela.

104 Con

riferimento alla figura, quanto vale il momento della coppia di forze rispetto a P? 20 N

M = F AP = (30 N)(10cm ) = (30 N)(10 ⋅ 10−2 m ) = 3,0 Nm La direzione di M è perpendicolare al piano del foglio. Il verso è dato dalla seguente regola della mano destra. Disponiamo le dita del palmo nella direzione del vettore posizione r e le ruotiamo in modo da sovrapporre r a F: il pollice offre il verso di M, che risulta perciò uscente.

12 cm

100 Con

riferimento alla figura, calcola il modulo del momento della forza rispetto al punto P, sapendo che F = 100 N, α = 30° e d = 20 cm. F P

20 N 105 In

α d

101

L’asta rigida in figura è di massa trascurabile ed è imperniata in O. È sottoposta a una forza di intensità 100 N inclinata di 30,0°. Se la distanza AO misura 2,50 m, qual è il momento della forza rispetto a O? E se l’angolo è di 45,0°? O

60° 60°

A 30°

F

54

figura una coppia di forze è applicata agli estremi di un’asta lunga 40,0 cm e vincolata nel centro. Calcola il valore del momento della coppia di forze sapendo che hanno modulo 20,0 N. Qual è il verso di rotazione dell’asta?

4

TEORIA

Equilibrio del punto materiale 1 Cosa si intende per punto materiale? Un punto materiale è un modello di corpo le cui dimensioni sono nulle e la cui massa è concentrata in un punto. Il modello è applicabile se: • le dimensioni del corpo sono trascurabili rispetto all’ambiente e agli oggetti che lo circondano; • la riduzione a un punto non altera l’analisi del fenomeno fisico di cui il corpo è soggetto. ESEMPIO

Una boccia su un tavolo da biliardo non è un punto materiale, perché il suo raggio non è trascurabile rispetto alle dimensioni del tavolo. La boccia può però essere considerata un punto materiale se è collocata in un campo da calcio che ha lati molto più lunghi del raggio. Quando un punto materiale è in equilibrio? Un punto materiale è in equilibrio, cioè fermo, quando è nulla la somma vettoriale delle n ≥ 1 forze agenti su di esso, cioè 2

(4.1) F1 + F2 + ⋅⋅⋅+ Fn = 0 Per studiare l’equilibrio è utile collocare il punto materiale nell’origine di un piano cartesiano xy chiamato diagramma delle forze; gli assi cartesiani devono essere ruotati in modo che il maggiore numero di forze sia diretto secondo l’asse x e/o l’asse y. In questo modo la (4.1) si traduce nella più semplice somma delle componenti scalari rispetto agli assi, cioè

(4.2a)

F1x + F2x + ⋅⋅⋅+ Fnx = 0

(4.2b)

F1y + F2y + ⋅⋅⋅+ Fny = 0

ESEMPIO

Una lampada è tenuta sospesa da un’asta rigida con un’estremità fissa a un muro, mantenuta orizzontale da un cavo che forma con l’asta un angolo di 45°. Determiniamo le forze vincolari e calcoliamo il loro modulo, sapendo che sulla lampada agisce una forza peso P di modulo 100 N. I vincoli sono il cavo che impedisce alla lampada di cadere, e l’asta che impedisce alla lampada di avvicinarsi al muro. In Figura 4.1 tracciamo il diagramma delle forze: approssimiamo la lampada a un punto

55

UNITÁ

Equilibrio dei solidi

TEORIA

unità 4

materiale e rappresentiamo le forze agenti su di essa: la forza peso P sollecita la tensione T del cavo; a sua volta T sollecita la reazione normale N dell’asta (l’estremità dell’asta è come una piccola superficie). Fissiamo un sistema di assi cartesiani xy con origine sul punto materiale e gli assi coincidenti con la forza peso e la reazione normale. Siccome la lampada è ferma, la somma vettoriale delle tre forze deve essere nulla, e dunque P+T+N=0 Scomponiamo i vettori rispetto agli assi cartesiani − Pj + (Ty j − Tx i ) + Ni = 0 e sommiamo le componenti scalari relative al medesimo versore

( N − Tx ) i + (Ty − P ) j = 0 La relazione si verifica annullando le due componenti scalari, cioè N − Tx = 0 e Ty − P = 0 dove, dalla Figura 4.1, si ricava che Tx = Ty = T cos 45° = T N −T

2 ; quindi 2

2 2 =0 e T −P=0 2 2

Cavo

Dalle due equazioni ricaviamo i moduli delle due forze vincolari: dalla seconda ricaviamo il modulo della tensione del cavo T=P

y T

2 = P 2 = (100 N) 2 ≅ 141 N 2 Asta

e dalla prima ricaviamo il modulo della reazione normale N =T

Lampada

45°

2 (141 N) = ≅ 100 N 2 2

N x

O P

Figura 4.1

Cos’è la forza equilibrante? La forza equilibrante è la forza che occorre applicare a un punto materiale affinché rimanga fermo. 3

Qual è la forza equilibrante da applicare a un punto materiale su un piano inclinato? Consideriamo il punto materiale di massa m su un piano inclinato con angolo di inclinazione a (Figura 4.2). Il punto materiale è in equilibrio se le due componenti vettoriali della forza peso P = mg rispetto agli assi xy sono annullate con altrettante forze, in modo da verificare le condizioni di equilibrio espresse dalle (4.2). Rispetto all’asse y, la componente vettoriale della forza peso Py = −mg cos a j è annullata dalla forza vincolare N prodotta dal piano inclinato. Infatti, il punto materiale non sprofonda nel piano e non si stacca dal piano; quindi la condizione (4.2b) si traduce come 4

−mg cos a + N = 0 Rispetto all’asse x, la componente vettoriale Px = −mg sena i non è compensata da alcuna forza e il punto materiale scivola dunque verso il basso. Per l’equilibrio occorre una forza equilibrante Fe il cui modulo verifichi la (4.2a), cioè mg sena − Fe = 0 da cui

56

(4.3a)

Fe = mg sena

TEORIA

Equilibrio dei solidi

Si dimostra che il modulo di Fe necessario per l’equilibrio dipende dalla massa del punto materiale, e dall’altezza h e lunghezza l del piano inclinato, secondo la legge h l

Fe = mg

(4.3b)

y N

Fe

Px Py

α

x P

a

Figura 4.2 Fino a quanto può inclinarsi un piano con attrito per garantire l’equilibrio del punto materiale? In presenza di attrito tra la superficie del piano inclinato e il punto materiale (per esempio un piccolo blocco), la forza equilibrante può essere fornita dalla forza di attrito statico, cioè Fs = µ s F⊥ dove, in questo caso, la forza premente F⊥ è la componente scalare della forza peso rispetto all’asse y, e dunque 5

Fs = µ s mgcos α Vi è equilibrio se, fissata la massa m del punto materiale, la forza equilibrante non è superiore alla forza di attrito statico, cioè se l’angolo α (compreso tra 0° e 90°) è tale per cui Fe ≤ Fs. Quindi mg sen α ≤ µ s mgcos α e, dividendo entrambi i membri per mg cos a , (4.4) tg a ≤ ms Se sono noti l’altezza h e la lunghezza l del piano inclinato, per le (4.3) l’angolo α di inclinazione è dato da

a = arcsen

h l

(4.5)

Quando un punto materiale appeso a una molla è in equilibrio? Sul punto materiale di massa m agiscono la forza peso P = mg che provoca un allungamento s della molla verso il basso, e la forza elastica Fel = −ks della molla (Figura 4.3). La (4.1) diventa 6

P + Fel = 0 e se impostiamo il diagramma delle forze con l’asse y sovrapposto alle due forze e rivolto verso l’alto, otteniamo la forma cartesiana

y Fe

−mg j + ksj = 0

k

s

(−mg + ks) j = 0

P Annullando la componente scalare, cioè −mg + ks = 0, otteniamo la condizione di equilibrio

(4.6)

mg = ks

Figura 4.3

57

TEORIA

unità 4

Equilibrio del corpo rigido Cosa si intende per corpo rigido? Il corpo rigido è un modello di corpo con dimensioni non trascurabili rispetto all’ambiente e agli oggetti che lo circondano, e indeformabile se sottoposto a forze. 7

Qual è l’effetto di una forza su un corpo rigido? L’effetto di una forza su un corpo rigido dipende dal punto del corpo in cui il vettore forza viene applicato, definito punto di applicazione della forza. L’effetto può essere un moto di traslazione (Figura 4.4a), o un moto di rotazione (Figura 4.4b), o una combinazione dei due moti (rototraslazione). 8

F F

Figura 4.4a

Figura 4.4b

Quando un corpo rigido è in equilibrio? Un corpo rigido rimane in equilibrio quando è nulla la somma vettoriale delle n ≥ 1 forze agenti su di esso 9

(4.7a) F1 + F2 + ⋅⋅⋅+ Fn = 0 ed è nulla la somma vettoriale degli n momenti delle forze determinati rispetto a un punto fisso O (4.7b) M1 + M 2 + ⋅⋅⋅+ M n = 0 La (4.7a) garantisce l’equilibrio traslazionale e la (4.7b) l’equilibrio rotazionale. Se le forze agenti sul corpo rigido sono nello stesso piano, per la (4.7a) rimangono valide le considerazioni dell’esempio del punto 2. Per quanto riguarda la (4.7b), prendendo come punto O l’origine degli assi, i vettori momento appartengono all’asse z perpendicolare al piano cartesiano xy, e dunque la formula si traduce nella più semplice somma delle componenti scalari (4.8) M 1z + M 2z + ⋅⋅⋅+ M nz = 0 È possibile semplificare ulteriormente l’analisi, determinando i momenti rispetto a un punto dove passa il maggior numero di rette d’azione: in questo modo, poiché i bracci sono nulli, i relativi momenti si annullano riducendo, quindi, quelli da considerare. ESEMPIO

In Figura 4.5 un’asta lunga 1,25 m è sottoposta all’azione di tre forze parallele F1, F2 e F3 con intensità 1,0 N, 5,0 N e 4,0 N. Stabiliamo se l’asta è in equilibrio sapendo che AB = 1,0 m. La condizione di equilibrio traslazionale (4.7a) è soddisfatta. Infatti la somma vettoriale dei vettori concordi F1 e F3 ha modulo 5,0 N ed è discorde rispetto a F2 che è pure di 5,0 N, e dunque F1 + F2 + F3 = 0 Per quanto riguarda l’equilibrio rotazionale, le forze sull’asta sono nello stesso piano e quindi i momenti delle singole forze sono ortogonali al foglio e diretti lungo l’asse z (il verso positivo per l’asse z è quello uscente dal piano del foglio). Sommiamo le componenti scalari dei momenti, facendo attenzione ai segni: sono positivi i momenti uscenti dal foglio perché concordi con il verso di z, negativi quelli entran-

58

TEORIA

Equilibrio dei solidi

ti. Inoltre scegliamo come punto O per i momenti uno dei tre punti A, B e C, in modo da eliminare dal calcolo una delle tre forze. Se scegliamo in modo arbitrario il punto A, il momento prodotto da F2 e F3 è nullo, infatti F3

−F2 AB + F3 AC = (−5,0 N)(1,0 m ) + (4,0 N)(1,25 m ) = 0 Quindi la condizione (4.7b) è soddisfatta. Questo avviene indipendentemente dal punto dell’asta scelto per il calcolo dei momenti. Infatti si ottiene momento totale nullo anche rispetto al punto B

F1 B

−F1 AB + F3 AC = (−1,0 N)(1,0 m ) + (4,0 N)(0,25 m ) = 0

C

A

o rispetto al punto C −F1 AC + F2 BC = (−1,0 N)(1,25 m ) + (5,0 N)(0,25 m ) = 0

Figura 4.5

F2

Come si trova la forza equivalente di due o più forze che agiscono su un corpo rigido? Si possono presentare i seguenti tre casi. 10

Forze concorrenti (Figura 4.6a): due forze (F1 e F2), o più forze le cui rispettive rette d’azione si incontrano in un punto O, sono equivalenti al vettore risultante F della loro somma vettoriale applicato in un punto P qualsiasi del corpo appartenente alla sua retta d’azione passante per O. Due forze parallele e concordi (Figura 4.6b): sono equivalenti a una forza F con: • modulo uguale alla somma dei due moduli (F = F1 + F2); • verso e direzione uguali a quelli dei due vettori F1 e F2; • punto di applicazione interno alle due forze a una distanza d1 dalla forza F1 e d2 da F2 tale da verificare la seguente uguaglianza F1 d2 = (4.9) F2 d1 Due forze parallele discordi (Figura 4.6c): sono equivalenti a una forza F con: • modulo uguale alla differenza dei due moduli (F = F1 – F2); • direzione uguale a quella delle due forze; • verso uguale a quello della forza con modulo maggiore (F1); • punto di applicazione esterno alle due forze a una distanza d1 da F1 e d2 da F2 tale da verificare la (4.9). F2 •O F1

d2

F2

d1

F

d1 F2

d2

F2

P F F1

F1

Figura 4.6a

F

Figura 4.6b

F

F1

Figura 4.6c

59

TEORIA

unità 4

Qual è la forza elastica equivalente a una coppia di molle a cui è appeso un corpo rigido? Date due molle con costante elastica k1 e k2, si possono presentare i seguenti due casi. 11

Coppia di molle in serie (Figura 4.7a): equivalgono a una singola molla con costante elastica keq =

k1 k2 k1 + k2

(4.10a)

Coppia di molle in parallelo (Figura 4.7b): equivalgono a una singola molla con costante elastica keq = k1 + k2

(4.10b)

k1

k2

Figura 4.7a

k1

k2

Figura 4.7b

Cos’è il baricentro di un corpo rigido e come si determina? Il baricentro (o centro di gravità) G di un corpo rigido è il punto di applicazione della forza peso. Se un corpo ha densità omogenea e ha la forma di solido regolare (sfera, cubo, ecc.), il baricentro coincide con il centro di simmetria del solido. 12

ESEMPIO

Il baricentro non è necessariamente un punto appartenente al corpo rigido: si pensi a una sfera all’interno cava o a un pezzo di tubo cilindrico o a uno pneumatico (Figura 4.8). Figura 4.8 Quali sono i tipi di equilibrio per un corpo rigido? Esistono tre tipi di equilibrio, che si differenziano in base all’effetto determinato da un piccolo spostamento dall’equilibrio. 13

G

• Equilibrio stabile: dopo un piccolo spostamento dall’equilibrio, il corpo tende a ritornare nella posizione iniziale di equilibrio. Stabile è P l’equilibrio della pallina in fondo a una guida concava (Figura 4.9a). • Equilibrio instabile: dopo un piccolo spostamento dall’equilibrio, il corpo si allontana dalla posizione iniziale di equilibrio. Instabile è l’equilibrio della pallina alla sommità della guida convessa (Figura 4.9b). • Equilibrio indifferente: dopo un piccolo spostamento dall’equilibrio, il corpo resta nella nuova posizione raggiunta. Indifferente è l’equilibrio della pallina sulla guida orizzontale (Figura 4.9c).

60

TEORIA

Equilibrio dei solidi

O O O

Figura 4.9a

Figura 4.9b

Figura 4.9c

Quando un corpo rigido appeso è in equilibrio? Un corpo rigido appeso per un suo punto O è in equilibrio se il suo baricentro G si trova sulla retta verticale passante per O. L’equilibrio è: • stabile (Figura 4.10a) se O è sopra a G lungo la verticale (per esempio un quadro appeso); • instabile (Figura 4.10b) se O è sotto a G lungo la verticale; • indifferente (Figura 4.10c) se O coincide con G. 14

O G

G≡0

G

O

Figura 4.10a

Figura 4.10b

Figura 4.10c

15 Quando un corpo rigido appoggiato è in equilibrio? Un corpo rigido appoggiato su un piano orizzontale s è in equilibrio se la retta verticale passante per il suo baricentro G interseca la porzione di s su cui il corpo appoggia. L’equilibrio è: • stabile, se un piccolo spostamento dall’equilibrio aumenta la distanza di G da s, come per una semisfera con la calotta appoggiata al piano (Figura 4.11a) • instabile, se un piccolo spostamento dall’equilibrio riduce la distanza di G da s, come per un cono con la punta appoggiata al piano (Figura 4.11b) • indifferente, se un piccolo spostamento dall’equilibrio lascia G alla medesima distanza da s, come per una sfera appoggiata al piano (Figura 4.11c).

G

G

G

Figura 4.11a

Figura 4.11b

Figura 4.11c

61

TEORIA

unità 4

Macchine semplici Cosa si intende per macchina semplice? Una macchina semplice è un corpo rigido sul quale agiscono la forza applicata dall’operatore (forza motrice) e la forza applicata dalla macchina (forza resistente). Scopo di una macchina semplice è quello di amplificare o ridurre l’effetto della forza motrice. 16

Cos’è la leva? La leva è una macchina semplice costituita da un’asta rigida che può girare intorno a un punto fisso chiamato fulcro (Figura 4.12). Si indicano con: • FR la forza resistente • FM la forza motrice • bR il braccio resistente • bM il braccio motore La leva è in condizione di equilibrio quando il momento della forza resistente è uguale a quello della forza motrice, entrambi calcolati rispetto al fulcro; quindi, applicando la relazione M = Fb per il calcolo del momento, otteniamo l’uguaglianza 17

(4.11)

FR bR = FM bM

Fulcro

FM

bR bM FR Figura 4.12 Quando una leva è considerata vantaggiosa o svantaggiosa? Dalla (4.11) si ha b FM = FR R bM 18

(4.12)

Se bM > bR la leva è definita vantaggiosa perché, dalla (4.12), la forza resistente può essere equilibrata da una forza motrice di modulo minore. In caso contrario (bM < bR) la leva è definita svantaggiosa. ESEMPIO

La leva di Figura 4.12 riduce lo sforzo nel sollevare un corpo rigido. La forza peso agente sul corpo è la forza resistente. Aumentando bM (o, in modo equivalente, riducendo bR) si amplifica l’effetto di FM senza aumentare il suo modulo. In termini pratici, si solleva il corpo con uno sforzo minore di quello che sarebbe necessario senza leva. Come si classificano le leve? Le leve si distinguono in tre generi, a seconda delle posizioni reciproche del fulcro F e delle forze motrice FM e resistente FR (Tabella 4.1). Ogni genere consente una riduzione o un’amplificazione dell’effetto della forza motrice o resistente. Primo genere Secondo genere Terzo genere (Figura 4.13a) (Figura 4.13b) (Figura 4.13c) 19

Tabella 4.1

62

fulcro tra FR e FM

FR tra fulcro e FM

FM tra fulcro e FR

amplifica FM se bM > bR

amplifica FM

riduce FM

vantaggiosa se bM > bR

vantaggiosa

svantaggiosa

TEORIA

Equilibrio dei solidi FM

FM

F

FM

F

F

FR

FR

FR

Figura 4.13a

Figura 4.13b

Figura 4.13c

ESEMPIO

Esempio di leva di primo genere è il remo, di secondo genere la carriola, di terzo genere la pinzetta per francobolli. Le leve di terzo genere sembrerebbero senza senso, dato che riducono la forza motrice e sono dunque svantaggiose: in realtà consentono di controllare la forza, come infatti succede con la pinzetta per francobolli, in cui occorre dosare una eccessiva (data la delicatezza del francobollo) forza motrice impressa dalle dita.

TEST 1

Un lampadario di massa m è appeso al soffitto. La tensione del filo è a 2mg b mg c g d 0

2

Una cassa di massa m è in equilibrio su un piano inclinato liscio con angolo di inclinazione α. La forza vincolare del piano inclinato è a mg b mgsen α c mgcos α d 0

3

Una cassa di massa m è in equilibrio su un piano inclinato liscio con angolo di inclinazione α. La forza equilibrante è a mg b mgsen α c mgcos α d 0

4

Il termine k è la costante elastica di una molla a cui è appeso un corpo di massa m in equilibrio. La molla è allungata, rispetto alla sua posizione di riposo, di un tratto x uguale a k g kg mg a b c d mg mk m k

5

Se il corpo appeso in equilibrio alla molla avesse massa doppia, l’allungamento sarebbe a doppio b la metà c un quarto d quadruplo

7

Le forze F1 e F2, applicate in due punti diversi di un corpo rigido, sono parallele e concordi. Il punto in cui è applicata la risultante della somma vettoriale delle due forze è a interno alle forze F1 e F2, vicino alla forza maggiore b interno alle forze F1 e F2, vicino alla forza minore c esterno alle forze F1 e F2 d esterno o compreso tra le forze F1 e F2, a seconda del loro valore

8

Le forze F1 e F2, applicate in due punti diversi di un corpo rigido, sono parallele e discordi. Il punto in cui è applicata la risultante della somma vettoriale delle due forze è a interno alle forze F1 e F2 b esterno alle forze F1 e F2, dalla parte della forza maggiore c esterno alle forze F1 e F2, dalla parte della forza minore d esterno o compreso tra le forze F1 e F2, a seconda del loro valore

9

Se l’asta in figura è in equilibrio, quanto vale F2? 20 cm

6

Un corpo rigido è in equilibrio se a le risultanti delle forze e dei momenti delle forze agenti sul corpo sono nulle b la somma vettoriale dei momenti delle forze agenti sul corpo è nulla c la somma vettoriale delle forze agenti sul corpo è nulla d la somma vettoriale delle forze o dei momenti delle forze agenti sul corpo è nulla

30 cm

O

F2

F1

a

40 N

b

30 N

c

20 N

d

10 N

63

ESERCIZI

unità 4 10

L’asta in figura è in equilibrio. Se P è l’intensità del peso del corpo sul braccio più corto, quanto deve essere il peso sul braccio più lungo? P

O 2l a 11

2P

b

12

Nei punti A e B del corpo rigido in figura sono applicate due forze parallele di verso opposto. Sapendo che possono essere bilanciate con una forza applicata nel punto O, quanto vale la distanza OB?

l P

c

P 2

d

P 4

A

Nei punti A e B del corpo rigido in figura sono applicate due forze parallele con lo stesso verso. Sapendo che possono essere bilanciate con una forza applicata nel punto O, quanto vale l’intensità della forza applicata in B? 6 cm A

3 cm

3N

a

3 N

b

4 N

c

5 N

d

2 cm

b

3 cm

c

4 cm

d

5 cm

13

Un corpo rigido è vincolato in un punto P. Il baricentro è sulla retta verticale passante per P. Allora il corpo è a in equilibrio b in equilibrio instabile c in equilibrio stabile d in equilibrio indifferente

21

Due forze parallele e concordi, una di modulo F e l’altra 2F, sono applicate alle estremità di un’asta. Allora la risultante della somma vettoriale delle forze a ha modulo pari a 3F. V F b è applicata in un punto posto a metà dell’asta. V F c è applicata in un punto distante un terzo della lunghezza dell’asta dalla forza maggiore. V F d è applicata in un punto distante un terzo della lunghezza dell’asta dalla forza minore. V F

? a

O B

2N

B

• O

5N

6 cm

6N

VERO/FALSO 14 Un punto materiale è in equilibrio solo se su di esso non agisce nessuna forza. V F 15

Su un punto materiale agiscono due forze di uguale modulo e direzione, ma di verso opposto. Il punto materiale è in equilibrio, qualunque sia l’intensità delle due forze. V F

16 Per mantenere in equilibrio un corpo di peso P su un piano inclinato liscio di lunghezza l e altezza h si deve h applicare una forza equilibrante P . V F l 17 Se la somma vettoriale delle forze agenti su un punto materiale è nulla, il corpo non si muove.

22

Due forze parallele e concordi, entrambe di modulo 10 N, sono applicate perpendicolarmente agli estremi di un’asta. Allora la risultante della somma vettoriale delle due forze a ha modulo 20 N. V F b è applicata nel centro dell’asta. V F

23

Due forze parallele e discordi, una di modulo F e l’altra 2F, sono applicate alle estremità di un’asta. Allora la risultante della somma vettoriale delle due forze a ha modulo pari a F. V F b è applicata in un punto posto a metà dell’asta. V F

V F

18 Se la somma vettoriale delle forze agenti su un corpo rigido è nulla, il corpo non si muove. V F 19 Se la somma vettoriale delle forze agenti su un corpo rigido è nulla, il corpo non trasla, ma può ruotare. V F 20 Se la somma vettoriale dei momenti delle forze agenti su un corpo rigido è nulla, il corpo non si muove. V F

64

ESERCIZI

Equilibrio dei solidi è applicata in un punto esterno all’asta, distante un terzo della lunghezza dell’asta dalla forza maggiore. V F d La risultante delle forze è applicata in un punto esterno all’asta, distante un terzo della lunghezza dell’asta dalla forza minore. V F c

baricentro di una sfera omogenea coincide con il centro della sfera.

26 Una leva di primo genere è sempre vantaggiosa.

V F

27 Una leva di secondo genere è sempre vantaggiosa.

V F

28 Una leva di terzo genere è sempre vantaggiosa.

V F

29 Un uomo in piedi è in una condizione di equilibrio stabile.

V F

30 Un uomo sdraiato a terra è in una condizione di equilibrio stabile.

V F

24 Il

V F

25 Una

leva di primo genere ha il fulcro tra la forza resistente e la forza motrice. V F

QUESITI 31

Quando un punto materiale è in equilibrio?

36

Cosa si intende per baricentro di un corpo?

32

Quando un corpo rigido è in equilibrio?

37

Dove si trova il baricentro di un anello?

33

Un corpo di peso P è in equilibrio su un piano orizzontale. Quali sono le forze agenti sul corpo? Specifica modulo, direzione e verso.

38

Un lampadario è appeso per il suo baricentro a una corda vincolata al soffitto. Il corpo si trova in una posizione di equilibrio? Di che tipo?

34

Un corpo di peso P è in equilibrio su un piano inclinato di 30° e scabro. Quali sono le forze agenti sul corpo? Specifica modulo, direzione e verso.

39

Cos’è il fulcro di una leva?

40

Quando una leva è vantaggiosa?

41 35

Il baricentro di un corpo è necessariamente un punto del corpo? Fornisci un esempio.

Una molletta da bucato è una leva. Di che tipo? Disegnala schematicamente, indicando nel disegno la posizione del fulcro e i vettori della forza motrice e della forza resistente.

ESERCIZI Equilibrio del punto materiale 42

Un lampadario di massa 5,0 kg è appeso al soffitto. Disegna il diagramma delle forze agenti sul lampadario. Calcola il modulo delle forze disegnate.

43

Una lampada, del peso di 5,0 N, è appesa con due fili disposti come in figura. Ricava l’intensità delle due tensioni dei fili che sostengono la lampada.

Svolgimento Sulla lampada agiscono tre forze: la forza peso P diretta verticalmente verso il basso e le tensioni T1 e T2 dei due cavi di sostegno, dirette come i cavi e con i versi rivolti al muro. La condizione di equilibrio è P + T1 + T2 = 0

Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xy centrato nel punto di sospensione della lampada. Riscriviamo la precedente condizione di equilibrio esprimendo i tre vettori in forma cartesiana (utilizziamo i versori i e j degli assi x e y) −Pj + T1 y j + T2 y j − T1 x i + T2 x i = 0 da cui si ricava

(−T1 x + T2 x ) i + (T1 y + T2 y − P ) j = 0 La relazione si verifica annullando le due componenti scalari, cioè

−T1 x + T2 x = 0

T1 y + T2 y − P = 0

(1)

(2)

65

ESERCIZI

unità 4 T2= Tx . Dall’equazione (1) ricaviamo che T1= x x Dalla precedente uguaglianza e dalla simmetria della figura,ricaviamo che T1 e T2 hanno moduli uguali, e quindi anche le loro componenti lungo y sono uguali: T1= T2= Ty . y y Sostituendo la precedente uguaglianza nella (2),otteniamo 2Ty = P da cui P Ty = 2 Ma Ty è la componente scalare di T1 (o di T2) lungo l’asse y, quindi T1 =

Ty sen 45°

=

47

Il corpo di massa m2 = 5,0 kg in figura è in equilibrio. Calcola m1. Quanto vale la forza vincolare del piano inclinato? m2 m1 30° 48

Una cassa di peso 50 N è in equilibrio su un piano inclinato scabro che forma con l’orizzontale un angolo di 60°. Rappresenta il diagramma delle forze applicate alla cassa. Calcola il valore della forza di attrito necessaria a mantenere in equilibrio la cassa.

49

Una cassa di legno è appoggiata sopra un piano inclinato con attrito. La forza risultante agente su di essa è nulla. Sapendo che il coefficiente di attrito statico è 0,61, determina il massimo angolo di inclinazione del piano.

50

Un corpo è in equilibrio su un piano inclinato di 20° rispetto all’orizzontale. Qual è il minimo coefficiente di attrito statico che garantisce l’equilibrio?

2,5 N P/2 = = 3,5 N = T2 sen 45° sen 45° y

T1

90°

T2 x

P

Un corpo di massa 300 g è in equilibrio, appeso verticalmente a una molla appesa al soffitto. La molla è allungata di 5,0 cm rispetto alla sua lunghezza a riposo. Disegna il diagramma delle forze agenti sul corpo. Calcola il peso del corpo, la forza esercitata dalla molla e la costante elastica della molla. 51

44 Ripeti

il problema precedente supponendo l’angolo tra i due fili di 60°.

45

Un quadro è sospeso al soffitto mediante due fili come in figura. Le tensioni dei due fili hanno la stessa intensità di 50 N. Qual è il peso del quadro?

52

120°

Un corpo è appeso in equilibrio a una molla di costante elastica 100 N/m. Se l’allungamento della molla è di 16 cm, trova la massa del corpo.

Equilibrio del corpo rigido 46

La scatola in figura è in equilibrio. Quanto pesa la scatola? Quanto vale la forza vincolare? Quali sono direzione e verso della forza vincolare?

20 cm

6N

50

cm

53

Considera le quattro aste in figura. Quale delle quattro aste ruota in senso orario? Quale delle quattro aste è in equilibrio? 5 cm 5 cm 3N

8 cm 3N

66

• O

2N 2 cm • O

4N

ESERCIZI

Equilibrio dei solidi 7 cm • O

3N

4 cm 3N

3 cm

FA x − FC (l − x ) + FB ( d − x ) = 0 7N

6 cm • O

3N

54 La sbarra orizzontale AC in figura è lunga l = 1,0 m ed è sottoposta all’azione di tre forze. Trova la forza risultante FR agente sulla sbarra e il momento risultante MR rispetto ai punti A, B e C. Trova infine la forza equilibrante Fe del sistema di forze assegnato e il relativo punto di applicazione.

da cui

e dunque la risultante FR ha verso concorde all’asse y e di intensità 5,0 N. Le forze appartengono al piano xy del foglio e quindi i momenti delle singole forze sono ortogonali al foglio e diretti lungo l’asse z. Possiamo quindi sommare le componenti scalari dei momenti, facendo attenzione ai segni: sono positivi i momenti uscenti dal foglio perché concordi con il verso di z, negativi quelli entranti. Calcoliamo la risultante dei momenti rispetto al punto A FB d – FC l = (2,0 N)(0,60 m) – (4,0 N)(1,0 m) = –2,8 Nm la risultante dei momenti rispetto al punto B

55

Un bilanciere da palestra è costituito da un’asta di peso 100 N e di lunghezza l = 1,5 m. Alle estremità sono applicati due pesi di 150 N. Qual è l’intensità della forza che deve essere esercitata per bilanciare il peso complessivo del bilanciere quando è sollevato da terra? Dove deve essere impugnato il bilanciere?

56

Con riferimento al problema precedente, è aggiunto un terzo peso di 100 N a un’estremità. Calcola il valore della forza che deve essere esercitata perché il bilanciere risulti in equilibrio quando è sollevato da terra. Dove deve essere impugnato il bilanciere?

57

Un’asta uniforme lunga 8,0 m e del peso di 15 N è mantenuta orizzontale su di un fulcro da due pesi, posti alle sue estremità, rispettivamente di 20 N e 25 N. Calcola la posizione del fulcro.

58

Un bambino è seduto a uno dei due estremi di un’altalena di peso 200 N, a 1,80 m dal fulcro centrale. Il padre lo fa giocare premendo l’altro braccio dell’altalena a 1,35 m dal centro. Il peso del bambino è 150 N. Quale forza deve esercitare il padre, in direzione perpendicolare all’altalena, perché questa rimanga in posizione orizzontale e non ruoti? Come cambia la forza esercitata dal padre se il bambino si sposta e si siede nel punto medio tra la sua posizione di prima e il fulcro dell’altalena?

59

Due operai devono trasportare una cassa del peso di 600 N, appoggiata su un’asta lunga 2,00 m e di peso trascurabile. La cassa dista 60,0 cm da uno dei due operai. Quanto valgono le intensità delle forze che devono applicare gli operai per poterla sostenere? Quale dei due operai deve applicare la forza di intensità maggiore?

FAd – FC(l – d) = = (3,0 N)(0,60 m) – (4,0 N)(0,40 m) = 0,20 Nm e infine la risultante dei momenti rispetto al punto C FAl – FB(l – d) = = (3,0 N)(1,0 m) – (2,0 N)(0,40 m) = 2,2 Nm Ricordiamo che la forza equilibrante deve avere uguale intensità, ma verso opposto, della forza risultante e che il suo punto di applicazione deve essere tale da produrre un momento che annulli quello prodotto dalle altre forze. La Fe ha quindi modulo di 5,0 N ed è rivolta verso l’alto. Determiniamo il suo punto d’applicazione calcolando il momento risultante delle tre forze in un punto arbitrario P distante x dal punto A (vede­ re la figura) e, per la condizione di equilibrio, lo poniamo uguale a 0. Quindi

FC l − FB d FA + FC − FB

Sostituendo i dati dell’esercizio si ottiene x = 0,56 m. Concludendo, la forza equilibrante (cioè la forza richiesta per produrre equilibrio) è di 5,0 N verso l’alto e applicata a una distanza di 56 cm da A. 2,0 N d = 0,60 m B A C P x 3,0 N 4,0 N

Svolgimento Se consideriamo un asse y rivolto verso il basso, abbiamo FR = FA j + FC j – FB j = (FA + FC – FB)j = 5,0 Nj

x=

67

ESERCIZI

unità 4 60

Nell’esercizio precedente considera anche il peso dell’asta (di intensità 100 N). Come diventano le intensità delle forze dei due operai?

61

Un fardello pesante, sospeso a una pertica lunga 3 m, è portato da sei uomini. Due uomini sono a un estremo della pertica, quattro uomini all’altro estremo. In quale punto deve essere sospeso il fardello perché ogni uomo porti esattamente la stessa parte di peso? Si presuppone che ogni uomo applichi la forza.

62

Alle estremità di un’asta rigida lunga 150 cm sono applicate due forze parallele di intensità F1 = 2,0 N e F2 = 5,5 N. Calcola l’intensità della risultante delle due forze e il corrispondente punto di applicazione se le due forze sono concordi e se sono discordi.

63

Un corpo del peso di 40 N è appoggiato in equilibrio su quattro molle identiche ciascuna di costante elastica k = 100 N/m. Determina di quanto si comprimono le molle.

64

Un corpo di massa m = 1,00 kg è in equilibrio, appeso a due molle identiche, come in figura. Ciascuna molla è allungata di 10,0 cm rispetto alla sua posizione di riposo. Calcola la costante elastica del sistema delle due molle e la costante elastica di ciascuna molla.

m

66

Un peso P = 10,0 N è in equilibrio, appeso a tre molle identiche di costante elastica k = 100 N/m, come in figura. Qual è la costante elastica del sistema delle tre molle? Qual è l’allungamento totale?

k

k

P 67

La torre di Pisa è alta h = 55 m e ha diametro D = 15 m (vedi schema della torre in figura). Senza le opere di consolidamento e raddrizzamento eseguite in questi ultimi anni, si sarebbe inclinata rispetto all’asse verticale, fino ad arrivare al crollo. Se consideriamo la torre come un cilindro omogeneo, qual è l’angolo massimo che la torre avrebbe formato con la verticale prima di crollare?

Svolgimento Sappiamo che la torre è in equilibrio se la proiezione del suo baricentro G sul piano cade entro la base di appoggio. In figura è riportato lo schema della torre nella situazione limite di rischio crollo. L’angolo di inclinazione α è uguale all’angolo BÂC perché entrambi sono complementari dello stesso angolo CÂD. Per calcolare l’angolo α, applichiamo il secondo teorema dei triangoli rettangoli al triangolo rettangolo ABC, cioè CB = AB tg a. Quindi D abbiamo che D = h tg a, cioè tg a = . Ma allora h D α è l’angolo la cui tangente è ; in simboli h D 15 m a = arctg = arctg = 15° h 55 m

65

Un peso P = 10 N è in equilibrio, appeso a due molle identiche, come in figura. La costante elastica di ciascuna molla è k = 50 N/m. Qual è la costante elastica del sistema delle due molle? Qual è l’allungamento delle due molle?

C

D

G

h

a Da

k

B

A

Macchine semplici

k

68

P

68

k

La figura mostra due carrucole, di cui una mobile (C1) e una fissa (C2), sostenenti un corpo. Il peso della carrucola mobile è PC = 10 N e la forza equilibrante è Fe = 100 N. Qual è il peso P del corpo?

ESERCIZI

Equilibrio dei solidi Svolgimento

69

C2 T1

La figura mostra un sistema in equilibrio formato da un’asta e una carrucola fissa sostenente un peso P = 500 N. L’asta è lunga l = 1,80 m, ha il fulcro in O e la distanza OA misura 1,20 m. Quale forza, applicata in A, tiene in equilibrio il sistema?

T2

C1

PC

Fe

B

P Il sistema formato da una carrucola fissa e da una mobile si chiama paranco. Consideriamo le forze agenti sulla carrucola C1 (le forze non sono in scala): il peso del carico (corpo + carrucola stessa) applicato nel centro della carrucola e diretto verso il basso, e le forze di tensione T1 e T2 esercitate verso l’alto dalla fune passante intorno al bordo del disco. All’equilibrio la carrucola non ruota, e quindi il momento risultante delle forze rispetto al suo centro deve essere nullo. Il peso del carico ha braccio nullo, mentre le forze di tensione hanno braccio uguale al raggio r del disco. La condizione di equilibrio rotazionale diventa dunque T1 r = T2 r da cui

70

71

P + PC = T1 + T2 = 2T1 La carrucola C1 è quindi una macchina che consente di equilibrare il peso del carico con una forza uguale alla metà del peso stesso. Consideriamo ora la carrucola C2. Essa è in equilibrio e quindi

A

In una leva di primo genere i bracci della forza motrice e della forza resistente sono rispettivamente di 1,50 m e di 0,40 m. È applicata una forza motrice di 13 N. Qual è il modulo della forza resistente che è possibile equilibrare con questa leva? La leva è vantaggiosa?

In una leva di terzo genere, i due bracci misurano 50 mm e 23 mm. La leva è in equilibrio sotto l’azione di una forza resistente di 4,2 N. Qual è l’intensità della forza motrice?

72

A quale genere di leva appartengono i seguenti oggetti? a Forbice b Carrucola c Schiaccianoci d Avambraccio

73

L’apribottiglie in figura è utilizzato per togliere un tappo che oppone una forza resistente di 100 N. Di che tipo di leva si tratta? Qual è il modulo della forza motrice utile per equilibrare la forza resistente? La leva è vantaggiosa o svantaggiosa?

T1 = T2 Applichiamo ora la condizione di equilibrio traslazionale

•

O

m

65 m m

10 m

Fe= T2= T1 La carrucola C2 quindi trasmette la forza equilibrante variandone la direzione, ma non l’intensità. In conclusione P + PC Fe = 2 da cui P = 2 Fe − PC Sostituendo i dati del problema otteniamo 190 N.

74 Una scala di lunghezza l = 3,00 m e massa m = 15 kg è appoggiata a una parete verticale, in un punto ad altezza h = 2,00 m dal pavimento. Un uomo di massa M = 80 kg sale sulla scala fino a due terzi della lunghezza. La parete è liscia e il pavimento è scabro. Calcola le intensità delle forze esercitate sulla scala dal muro e dal suolo.

69

ESERCIZI

unità 4 Svolgimento

In figura sono rappresentate schematicamente (non in scala) tutte le forze agenti sulla scala. Il peso P della scala, applicato nel baricentro della stessa (coincidente con il centro geometrico). Il modulo di P è P = mg = 147 N. Il peso FP dell’uomo, applicato a due terzi della lunghezza della scala. Il modulo di FP è FP = Mg = 785 N. La forza Fs di attrito esercitata dal pavimento. È diretta verso sinistra, perché si oppone allo scivolamento della scala verso destra. La forza vincolare N1 esercitata dal pavimento. La forza vincolare N2 esercitata dal muro.

y

N2

FP

N1

P Fs

x

Imponiamo le condizioni di equilibrio (4.7a) e (4.7b) rispetto al sistema di riferimento cartesiano ortogonale in figura N 2 = Fs e N1 = P + FP = 932 N Calcoliamo il momento risultante delle forze rispetto al punto in cui la scala tocca il pavimento. La scelta di questo punto è conveniente perché rispetto a esso i momenti delle forze N1 e Fs sono nulli. Il momento della forza P è perpendicolare al foglio, con verso uscente e modulo 2

2

⎛ l ⎞ ⎛h⎞ P ⎜⎜ ⎟⎟⎟ −⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠

Anche il momento della forza FP è diretto verso l’esterno del foglio e il suo modulo è 2

2

⎛ l ⎞ ⎛h⎞ FP ⎜⎜ ⎟⎟⎟ −⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠

Il momento della forza N2 è perpendicolare al foglio con verso entrante. Il suo modulo è N2h. Imponiamo la condizione di equilibrio (4.8) per trovare il modulo di N2 2

2

⎛ l ⎞ ⎛h⎞ P ⎜⎜ ⎟⎟⎟ −⎜⎜ ⎟⎟⎟ + FP ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠

2

2

⎛ l ⎞⎟ ⎛ h ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ −⎜ ⎟ − N 2 h = 0 ⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

da cui P 2 2 l − h 2 + FP l 2 − h 2 − N 2 h = 0 2 3 e infine ⎡1 ⎤ 2 ⎛1 2 2 2 ⎞ (3,00) m 2 −(2,00) m 2 ⎢ (147 N) + (785 N)⎥ l 2 − h 2 ⎜⎜ P + Fp ⎟⎟⎟ ⎝2 ⎢⎣ 2 3 3 ⎠= ⎦⎥ = 667 N N2 = 2,00 m h

70

5

TEORIA

■ Fluidi e pressione Cosa sono i fluidi? Si definiscono fluidi le sostanze liquide e aeriformi; non hanno forma propria (come i solidi), ma assumono la forma del recipiente che li contiene. • I liquidi sono incomprimibili, cioè hanno un volume fissato, e la superficie che non aderisce alle pareti del contenitore è chiamata superficie libera (per esempio la superficie libera dell’acqua in un bicchiere o nel collo di una bottiglia). • Gli aeriformi (gas) sono comprimibili e occupano tutto il contenitore o si espandono nello spazio circostante. In questa unità si considerano principalmente i liquidi. 1

2 Di cosa si occupa la statica dei fluidi? La statica dei fluidi, o idrostatica, si occupa dei fluidi in stato di quiete, cioè liquidi o gas che rimangono fermi nel tempo.

Cos’è la densità di un fluido? La densità di un fluido ρ è una grandezza fisica scalare, definita dal rapporto tra la massa m del fluido e il suo volume V 3

ρ=

m V

(5.1)

Siccome il volume di un fluido è quello del recipiente contenitore, si sceglie come volume di riferimento il metro cubo. Quindi la densità di un fluido è la massa del fluido contenuto nell’unità di volume, il metro cubo. L’unità di misura è il kilogrammo su metro al cubo (simbolo kg/m3). A volte la densità è espressa come la massa in grammi su centimetro al cubo (simbolo g/cm3). ESEMPIO

• Un blocco di rame ha una massa m = 17,8 kg e occupa un volume V = 2,00 dm3. Determiniamo la densità del blocco. Convertiamo dapprima il volume in metri al cubo: V = 2,00 ∙ 10–3 m3 = 0,002 m3 e quindi calcoliamo la densità

ρ=

m 17,8 kg = = 8,89 ⋅ 10 3 kg/m 3 V 0,002 m 3

• La densità dell’acqua è 1 g/cm3 che, in unità del SI, corrisponde a 1000 kg/m3. Cos’è la pressione? La pressione P è una grandezza fisica scalare associata a una forza che agisce su una superficie. Generalmente si dice che sulla superficie si esercita una pressione. 4

71

UNITÁ

Equilibrio dei fluidi

TEORIA

unità 5

Il valore della pressione P è dato dal rapporto tra il modulo F⊥ della componente vettoriale perpendicolare alla superficie della forza premente F e l’area S della superficie su cui agisce (Figura 5.1)

P=

F⊥ S

(5.2) La pressione definisce l’intensità della forza su un fluido senza specificare l’area della superficie su cui agisce. Quindi ha senso parlare di pressione esercitata in un punto del fluido o, più semplicemente, di pressione in un punto del fluido. Attenzione: in figura la freccia che indica la pressione non è da confondere con le frecce che indicano i vettori.

F⊥

P

F

•

S Figura 5.1 ESEMPIO

Se con un dito si preme un palloncino gonfio si provoca solo una leggera deformazione. Ma se si preme, anche debolmente, con la punta di uno spillo il palloncino scoppia. Questo perché la forza esercitata dalla punta dello spillo agisce su una superficie molto piccola (molto inferiore a quella su cui poggia il dito) comportando una forte pressione sul palloncino, come evidenzia la (5.2) con S piccolo (quasi nullo). Quali sono le unità di misura della pressione? Esistono diverse unità di misura per la pressione: • il newton su metro quadrato (simbolo N/m2) come stabilito dalla (5.2); • il pascal (simbolo Pa, unità adottata nel SI); • l’atmosfera (simbolo atm); • il bar (simbolo bar) e il millibar (simbolo mbar); • il millimetro di mercurio (simbolo mmHg); • il torricelli (simbolo torr). 5

Tra le unità di misura esistono le seguenti relazioni: 1 Pa = 1 N/m2 1 atm = 1,013 · 105 Pa; 1 Pa = 1/1,013 · 105 atm 1 bar = 105 Pa; 1 mbar = 102 Pa 1 mmHg = 1/760 atm; 1 atm = 760 mmHg 1 torr = 1 mmHg ESEMPIO

Gli pneumatici di un’automobile sono gonfiati a una pressione di 2,4 bar. Qual è la pressione P in pascal, in atmosfere, in millimetri di mercurio e in torricelli? Considerando le relazioni tra le unità di misura, abbiamo P = 2,4 bar = 2,4 ∙ 105 Pa P = 2,4 bar = 2,4 ∙ 105

1 atm = 2,37 atm 1,013 ∙ 105

P = 2,37 atm = 2,37(760 mmHg) = 1800 mmHg P = 1800 mmHg = 1800 torr

72

TEORIA

Equilibrio dei fluidi

Cos’è la pressione idrostatica? La forza peso agente sulla massa di un fluido comporta una pressione definita idrostatica. Questa pressione si esercita sulle pareti del recipiente (Figura 5.2a) e su una qualsiasi superficie interna del liquido (Figura 5.2b). 6



P

P

P

P







Figura 5.2a

Figura 5.2b

Cos’è la pressione atmosferica? L’atmosfera è un insieme di strati sovrapposti di differenti gas che circonda la Terra. L’atmosfera possiede massa e dunque la forza peso agisce su di essa. Questo crea una pressione che si esercita sulla superficie terrestre. Tale pressione varia con l’altezza rispetto al suolo terrestre. Si è stabilito che la pressione atmosferica a livello del mare, indicata con P0, sia di 1 atmosfera, quindi 7

P0 = 1 atm = 1,013 · 105 Pa

■ Le leggi di Pascal e di Stevino Cosa afferma la legge di Pascal? La legge di Pascal afferma che una pressione esercitata su una qualsiasi superficie a contatto con un fluido si trasmette con uguale valore su ogni altra superficie a contatto con il medesimo fluido, indipendentemente dalla sua orientazione. 8

ESEMPIO

Vediamo due dimostrazioni sperimentali della legge. In Figura 5.3a lo schema dell’ampolla di Pascal: un recipiente forato contenente un fluido, chiuso da un pistoncino libero di scorrere. La pressione esercitata dal pistoncino provoca la fuoriuscita del fluido con uguale intensità da tutti i fori. In Figura 5.3b un palloncino gonfio è immerso in un fluido: la pressione esercitata dal pistone riduce uniformemente il palloncino mantenendo sempre la sua forma sferica.

Figura 5.3a

Figura 5.3b

Come il torchio idraulico sfrutta la legge di Pascal? La Figura 5.4 mostra la sezione del torchio idraulico, un recipiente chiuso da due pistoni di area diversa e contenente un liquido (solitamente olio). La pressione esercitata su un pistone si trasmette inalterata sull’altro, grazie alla legge di Pascal. Essendo però diverse le aree dei pistoni, le forze agenti su di essi sono diverse. Dimostriamo quanto affermato con un esempio. Sul primo pistone di area S1 = 0,001 m2 è applicata la forza F1 = 20 N e, tramite il liquido, sul secondo pistone di area S2 = 1 m2, agisce una forza incognita F2. Per la legge di Pascal, la pressione esercitata dal primo pistone F P= 1 S1 9

è la stessa esercitata sul secondo pistone

P=

F2 S2

73

TEORIA

unità 5

Confrontando le due formule, si ricava la forza incognita F2 agente sul secondo pistone, cioè F2 = PS2 =

F1 20 N S = 1 m2 = 2 ∙ 104 N S1 2 0,001 m3

Quindi con il torchio idraulico è possibile produrre forze di intensità elevate (nell’esempio 20 000 N) sollecitando il pistone di superficie minore con forze di intensità molto inferiore (nell’esempio 20 N).

F2

F1



S1



P

S2

P

Figura 5.4 Cosa afferma la legge di Stevino? Si consideri il liquido contenuto nel recipiente di Figura 5.5a. La legge di Stevino afferma che la pressione idrostatica P esercitata dal liquido sul fondo del recipiente è 10

(5.3a) P = ρgh dove g = 9,81 m/s2 è il modulo dell’accelerazione di gravità, ρ è la densità del fluido e h è la profondità, cioè la distanza tra la superficie libera e quella del fondo del recipiente su cui si valuta la pressione. Se si desidera calcolare la pressione totale Ptot esercitata sul fondo del recipiente (Figura 5.5b), occorre sommare alla (5.3a) la pressione atmosferica P0, cioè (5.3b) Ptot = P0 + ρgh Per determinare la pressione a una generica profondità hi dalla superficie libera, occorre sostituire nella (5.3a), o nella (5.3b), la distanza h con la distanza hi. P0 superficie libera

hi



hi h P



Figura 5.5a

h P

 Figura 5.5b

ESEMPIO

Sapendo che la densità dell’acqua salata è ρ = 1,024 ∙ 103 kg/m3, calcoliamo la pressione dell’oceano alla profondità h = 4000 m. Per la (5.3b), la pressione totale Ptot è la somma della pressione atmosferica e della pressione idrostatica, cioè Ptot = P0 + ρgh = 1,013 ∙105 Pa + (1,024 ∙ 103 kg/m3)(9,81 m/s2)(4 000 m) = 4,02 ∙ 107 Pa ≅ 400 P0 Quindi, con buona approssimazione, possiamo dire che la pressione aumenta di un’atmosfera ogni 10 m di profondità. Quale pressione misura l’esperimento di Torricelli? La misura della pressione atmosferica P0 si effettua con l’esperimento ideato da Evangelista Torricelli, e sfrutta le leggi di Pascal e di Stevino. In Figura 5.6 lo schema dell’esperimento: un tubo di vetro sottile alto 1 m, chiuso a un estremo, è riempito di mercurio e rovesciato dentro una bacinella piena dello stesso liquido. Si osserva che il tubo non si svuota completamente: all’interno rimane una colonna di mercurio di altezza h = 760 mm = 0,760 m 11

74

TEORIA

Equilibrio dei fluidi

L’esperienza è svolta a livello del mare. Per la legge di Pascal, la pressione atmosferica P0, che spinge verso il basso la superficie libera del mercurio nella bacinella, agisce verso l’alto sulla superficie M (estremità aperta del tubo immersa). Sempre sulla superficie M si esercita dall’alto la pressione idrostatica P, dovuta alla colonna di mercurio. Le due pressioni sono uguali, essendo il mercurio fermo in equilibrio. Quindi, per determinare P0, basta calcolare P con la legge di Stevino (5.3a), cioè P0 = P = ρHg gh = (1,36 ∙ 104 kg/m3)(9,81 m/s2)(0,760 m) = 1,01 ∙ 105 Pa dove ρHg = 13,6 · 103 kg/m3 è la densità del mercurio. Il risultato coincide con quello fornito nel punto 7. Attenzione: se lo stesso esperimento fosse svolto usando l’acqua al posto del mercurio, il tubo di vetro dovrebbe essere lungo circa 10 m. Questo perché la densità dell’acqua è minore di quella del mercurio, e perché, dalla legge di Stevino, densità e altezza sono inversamente proporzionali. Figura 5.6

h = 760 mm P0

P

  M P 0

Hg

Come si comporta un liquido contenuto in vasi comunicanti? I vasi comunicanti sono un insieme di due o più recipienti, solitamente di forma diversa, in comunicazione tra loro con un tubo posto in prossimità della loro base. Un liquido versato in un sistema di vasi comunicanti raggiunge la medesima altezza in tutti i recipienti (Figura 5.7). Per la dimostrazione di questo fenomeno rimandiamo al punto 13. 12

Figura 5.7 Come si comportano due liquidi non miscibili contenuti in due vasi comunicanti (tubo a U)? Due liquidi di densità ρ1 e ρ2 non miscibili rimangono separati ciascuno in un ramo del tubo a U (Figura 5.8). La superficie libera del singolo liquido raggiunge un’altezza inversamente proporzionale alla sua densità, cioè ρ ρ h1 = 2 h2 e h2 = 1 h1 ρ2 ρ1 13

Se il liquido è unico, quindi con un’unica densità, nelle precedenti formule si ottiene h1 = h2 e si è ricondotti al caso del punto 12.

ρ1

h1

ρ2

h2

Figura 5.8 ESEMPIO

Un tubo a U contiene olio (densità ρo = 800 kg/m3) e acqua (densità ρa = 1000 kg/m3). Se l’altezza della colonna di olio è 8,0 cm, l’altezza della colonna di acqua è ha =

800 kg/m3 ro ho = 8,0 cm = 6,4 cm 1000 kg/m3 ra

L’altezza della colonna di acqua è minore, perché è maggiore la sua densità.

■ La spinta di Archimede Cosa afferma la legge di Archimede? La legge di Archimede afferma che un corpo, immerso completamente o in parte in un liquido, subisce una spinta verso l’alto FA di intensità uguale a quella della forza peso P che agisce sulla massa ml del liquido spostato dal corpo, cioè P = ml g. Quindi, rispetto alla Figura 5.9, la forza FA, chiamata forza o spinta di Archimede, è il vettore 14

75

TEORIA

unità 5

(5.4a)

FA = ml g j

con intensità

(5.4b) FA = ml g La massa ml di liquido spostato dal corpo è data dal prodotto della densità del liquido ρl per la parte Vl di volume del corpo immerso nel liquido ml = rlVl y Se il corpo è completamente immerso nel liquido, Vl coincide con il volume V del corpo. Dalle (5.4) si osserva che la forma e la natura del corpo immerso nel liquido non influiscono sulla spinta di Archimede.

FA Vl

Figura 5.9

j ρl

ESEMPIO

Un corpo di ferro e uno di legno, di uguale volume V = 0,10 m3, sono immersi completamente in acqua (densità 1000 kg/m3). La spinta di Archimede che essi ricevono è la stessa (indipendentemente dal materiale e dalla forma) e la sua intensità è FA = ρlVg = (1000 kg/m3)(0,10 m3)(9,81 m/s2) = 981 N 15 Cosa può succedere a un corpo immerso in un liquido? Un corpo di massa m, volume V e densità ρ è immerso in un liquido di densità ρl. Sul corpo agiscono due forze fra loro discordi: la forza peso FP di intensità

(5.5a)

FP = mg = rVg che spinge il corpo verso il fondo, e la forza di Archimede FA di intensità

(5.5b) FA = rlVg che spinge il corpo verso l’alto. Con questa configurazione di forze, si possono presentare tre casi: • il corpo affonda se FP > FA o, in altri termini, se la densità del corpo è maggiore di quella del liquido (ρ > ρl) (Figura 5.10a); • il corpo galleggia nel liquido se FP = FA o, in altri termini, se le densità del corpo e del liquido sono uguali (ρ = ρl) (Figura 5.10b); • il corpo sale in superficie se FP < FA o, in altri termini, se la densità del corpo è minore di quella del liquido (ρ < ρl) (Figura 5.10c). Nel terzo caso, il corpo interrompe la salita quando la forza peso uguaglia la spinta di Archimede, cioè quando il corpo galleggia sulla superficie libera del liquido. In questa situazione, solo una parte del volume del corpo rimane immersa nel liquido e dunque nel calcolo della (5.5b) occorre ricordarsi di considerare solo la porzione di volume immersa. FA FA FA

FP

FP

FP

76

Figura 5.10a

Figura 5.10b

Figura 5.10c

TEORIA

Equilibrio dei fluidi ESEMPIO

Un iceberg galleggia sull’acqua. Determiniamo, in percentuale, il rapporto tra il volume immerso e il volume totale. (La densità del ghiaccio è ρg = 0,92 · 103 kg/m3 e quella dell’acqua salata è ρa = 1,025 · 103 kg/m3). Per semplificare il problema, supponiamo che l’iceberg sia un cubo di lato a; indichiamo con x la parte dell’altezza dell’iceberg immersa in acqua, come in Figura 5.11; il volume immerso Vi e quello che emerge Ve sono, rispettivamente, Vi = xa2 e Ve = (a – x) a2 Il rapporto richiesto è

Vi Vi xa 2 x = = 3 = Vtot Vi + Ve a a

Sull’iceberg agiscono la forza peso di intensità Fp = ρga3g e la spinta di Archimede di intensità FA = ρaa2xg (ricordiamo che la spinta di Archimede agisce solo sul volume immerso, al contrario della forza peso, che agisce sul volume totale del corpo). All’equilibrio le due forze hanno uguale intensità, e quindi

ρga3g = ρaa2xg

a–x

(1)

x

Semplifichiamo e ricaviamo il rapporto tra il volume immerso e quello totale x ρ g 0,92 ⋅ 10 3 kg/m 3 = = = 0,90 = 90% a ρa 1,025 ⋅ 10 3 kg/m 3

Figura 5.11

Come si evince dalla (1), la condizione di equilibrio tra la forza peso e la spinta di Archimede dipende solo dal confronto tra la densità del corpo e quella del liquido in cui il corpo è immerso. Quindi si comprende come corpi con massa enorme, come appunto gli iceberg, possano galleggiare sul mare come se fossero boe, e come chiodi di ferro con massa piccolissima affondino: il ghiaccio ha infatti densità minore dell’acqua, mentre il ferro ha densità maggiore. 16 In cosa consiste il problema di Archimede? Consiste nel verificare la reale composizione di un corpo tramite galleggiamento del corpo stesso. ESEMPIO

Dato un oggetto d’oro (ρAu = 19,30 g/cm3), occorre stabilire se contiene al suo interno del ferro (ρFe = 7,800 g/cm3). Si è rilevato che sull’oggetto agisce una forza peso di intensità 20,00 N; se però il corpo viene immerso in acqua, l’intensità diminuisce a 18,50 N. Se l’oggetto fosse interamente d’oro, l’intensità della forza peso sarebbe FP = rAuVg

(1)

dove V è il volume dell’oggetto. Il peso in acqua del corpo diminuisce per effetto della spinta di Archimede, la cui intensità è la differenza tra il peso in aria e il peso in acqua, quindi pari a 1,500 N. La spinta di Archimede sul corpo è perciò FA = ρaVg = 1,500 N

da cui

V=

FA ρa g

che sostituita nella (1) dà FP = ρ Au

FA 1,500 N = 19,30 g/cm 3 = 28,95 N ρa 1,000 g/cm 3

Se l’oggetto fosse interamente di oro, dovrebbe pesare 28,95 N. Tale valore risulta maggiore di quello reale (20,00 N): quindi l’oggetto contiene materiali più leggeri dell’oro.

77

ESERCIZI

unità 5

TEST 1

La densità di un corpo di massa m e volume V è m a mV b V V c d m+V M

2

Nel SI l’unità di misura della pressione è il pascal (Pa). Il valore di 1 Pa corrisponde a a 105 bar b 105 mbar 2 c 1 N/m d 1 atm

3

1 atm corrisponde a a 1,013 ∙ 105 bar b 1,013 ∙ 105 torr c 1,013 ∙ 105 Pa d 1,013 ∙ 105 mmHg

4

Il torchio idraulico è formato da due pistoni di dimensioni diverse. Le forze sui cilindri a sono direttamente proporzionali ai diametri di base dei cilindri b sono inversamente proporzionali ai diametri di base dei cilindri c sono direttamente proporzionali alle aree di base dei cilindri d sono inversamente proporzionali alle aree di base dei cilindri

5

6

7

78

Se P0 è la pressione atmosferica, la pressione alla profondità h in un liquido di densità ρ è data da a P0 + ρh b P0 + ρhg c P0 ρhg d P0 ρh Prendiamo due contenitori identici e li riempiamo uno con acqua e l’altro con olio. La densità dell’olio è minore di quella dell’acqua. La pressione idrostatica alla base dei due contenitori è a identica perché i contenitori hanno la stessa altezza b identica perché contengono la stessa quantità di liquido c maggiore nel caso dell’olio d maggiore nel caso dell’acqua Un subacqueo effettua un’immersione in mare (ρ = 1,024 · 103 kg/m3); ogni 5,0 m di profondità sente la pressione aumentare di a 5,0 · 103 Pa b 5,0 · 104 Pa c 5,0 · 105 Pa d 5,0 · 106 Pa

8

Versa un liquido in due vasi comunicanti. Il livello che il liquido raggiunge nei due vasi a è uguale b dipende dalla forma dei vasi c dipende dall’area di base dei vasi d dipende dall’altezza dei vasi

9

In due vasi comunicanti sono presenti due liquidi non miscibili di diversa densità. Allora a è maggiore l’altezza del liquido più denso b è maggiore l’altezza del liquido meno denso c l’altezza dei due liquidi è uguale d non è possibile dire nulla circa le altezze dei due liquidi perché non si conosce la forma dei due vasi comunicanti

10

Un corpo parzialmente immerso in un liquido è soggetto alla forza di Archimede. Essa dipende a dalla massa totale del corpo b dalla massa della parte immersa del corpo c dal volume totale del corpo d dal volume della parte immersa del corpo

11

Un pesce di volume 10 dm3 è soggetto in mare (ρ = 1,024 g/cm3) a una spinta di Archimede uguale a a 1,0 · 103 N b 1,0 · 104 N c 1,0 · 102 N d 1,0 · 10 N

12

Affinché un corpo completamente immerso in un liquido affondi, la densità del corpo deve essere a minore di quella del liquido b maggiore di quella del liquido c uguale a quella del liquido d qualunque

13

Se un corpo galleggia sull’acqua, allora a il corpo ha un peso minore di quello dell’acqua b il corpo ha un peso maggiore di quello dell’acqua c il corpo ha una densità minore di quella dell’acqua d il corpo ha una densità maggiore di quella dell’acqua

ESERCIZI

Equilibrio dei fluidi

VERO/FALSO 14

15

La densità di un corpo a aumenta all’aumentare della massa del corpo. b aumenta all’aumentare del volume del corpo. c è una grandezza scalare. d nel SI si misura in kg/m2. 1 bar corrisponde a 10–5 Pa.

V F V F V F V F

21 Le altezze delle colonne di due liquidi non miscibili di diversa densità, posti in due vasi comunicanti, sono inversamente proporzionali alle rispettive densità. V F 22

V F

16 Un corpo è appoggiato su una superficie orizzontale. La pressione del corpo sulla superficie è il peso del corpo diviso per la superficie di appoggio. V F

23 Due sfere di uguale raggio, ma di diverso materiale, immerse in acqua ricevono la stessa spinta. 24

In base al principio di Pascal, in un liquido si trasmette inalterata la forza. V F 17

18 La pressione esercitata da un liquido è direttamente proporzionale alla profondità del liquido.

V F

19 La pressione atmosferica diminuisce al crescere dell’altezza sul livello del mare.

V F

20 Se Torricelli avesse eseguito il suo esperimento in alta montagna, la colonna di acqua avrebbe raggiunto un’altezza maggiore di 760 mm. V F

La spinta che un corpo riceve in un liquido dipende a dal peso del liquido spostato. V F b dal peso del corpo. V F

La forza di Archimede a è direttamente proporzionale alla densità del corpo. b è direttamente proporzionale alla densità del liquido. c è direttamente proporzionale al volume del corpo. d si misura in N/m2.

25 Se un corpo è parzialmente immerso in un liquido, la forza di Archimede dipende dal volume della sola parte immersa del corpo.

V F

V F V F V F V F

V F

QUESITI 26

La pressione è una grandezza scalare o vettoriale?

32

Perché la pressione atmosferica che agisce sul vetro di una finestra non lo rompe?

27

Una persona ti schiaccia incidentalmente un piede. È maggiore la pressione se è un uomo di 100 kg che indossa doposci o se è una donna di 50 kg con tacchi a spillo?

33

Che valore ha la pressione atmosferica a livello del mare?

34

Come varia la pressione atmosferica con l’altitudine?

28

Cosa afferma la legge di Pascal?

29

La pressione esercitata da un liquido sul fondo di un recipiente dipende dalla sua forma?

30

Due vasi identici sono pieni uno di acqua (densità 1 000 kg/m3) e l’altro di olio (densità 920 kg/m3). In quale dei due vasi la pressione sul fondo è maggiore?

35 Da

quali grandezze dipende la forza di Archimede?

36

31

Il piombo ha una densità maggiore di quella del ferro, e ambedue sono più densi dell’acqua. La forza di Archimede agente su un oggetto di piombo è maggiore, minore o uguale alla forza di Archimede agente su un oggetto di ferro dello stesso volume?

Come funziona il torchio idraulico?

79

ESERCIZI

unità 5 37

La spinta di Archimede su un corpo dipende dalla forma del corpo?

39

Perché un corpo con densità maggiore di quella dell’acqua non può galleggiare in acqua?

38

La spinta di Archimede su un nuotatore è maggiore quando ha espirato o inspirato?

40

Perché in mare si galleggia più facilmente che in piscina?

ESERCIZI appoggiata sul pistone più grande ed esercita una forza peso di 1,5 ∙ 104 N. Calcola l’intensità della forza necessaria per sollevare l’auto.

Fluidi e pressione 41

Sapendo che la densità del rame è 8,9 g/cm3, convertila in unità del SI.

42

Un corpo ha una massa di 100 kg e un volume di 0,070 m3. Calcola la sua densità.

43

Un corpo ha volume 10 cm3 e la sua densità è 350 kg/m3. Calcola la massa del corpo.

44

Un vaso cilindrico e pieno d’acqua ha un diametro di 50 cm e un’altezza di 30 cm. Calcola la massa dell’acqua, sapendo che la sua densità è di 1 000 kg/m3.

52

In un torchio idraulico i due pistoni hanno aree A1 = 50 cm2 e A2 = 500 cm2. Un’automobile è appoggiata sul pistone più grande ed esercita una forza peso di 1,1 · 104 N. Per sollevare l’automobile, qual è il modulo della forza F1 che occorre applicare sul pistone più piccolo? Qual è lo spostamento del pistone grande, se quello piccolo si sposta di 70 cm?

F2

Lab

45

Calcola la densità di un corpo di forma cubica di massa 7,8 kg e di lato 20 cm.

46

La densità del ghiaccio è 920 kg/m3. Calcola il volume occupato da 10 kg di ghiaccio.

47

Una ragazza di 50 kg calza scarpe da ginnastica di area 150 cm2 ciascuna. Calcola la pressione esercitata dalla ragazza sul pavimento.

48

La ragazza del problema precedente si toglie le scarpe da tennis e indossa scarpe con i tacchi a spillo, ciascuno di area 1,5 cm2. Qual è la pressione esercitata sul pavimento, supponendo che il peso della ragazza gravi tutto sui tacchi?

49

La pressione media ammessa per uno sciatore sulla neve è di 2000 N/m2. Calcola la superficie degli sci capaci di sostenere un uomo di 72 kg.

50

Una massa di 15 kg è appoggiata su un pistone mobile di un cilindro pieno d’acqua di diametro 8,0 cm. Calcola la pressione esercitata sul liquido.

Le leggi di Pascal e di Stevino 51

80

In un torchio idraulico i due pistoni hanno superficie S1 = 60 cm2 e S2 = 700 cm2. Un’auto è

A1

A2

F1

Suggerimento Indichiamo con d1 e con d2 rispettivamente gli spostamenti del pistone piccolo e di quello grande. Poiché il fluido è incomprimibile, il volume A1d1 di cui si abbassa il pistone piccolo è uguale al volume A2d2 di cui si alza il pistone grande. 53

Due serbatoi di forma diversa sono riempiti di acqua (ρ = 1,00 · 103 kg/m3) per un’altezza di 2,50 m. Qual è la pressione totale sul fondo di ciascun serbatoio?

2,50 m

Suggerimento Ricorda che devi sommare anche la pressione atmosferica.

ESERCIZI

Equilibrio dei fluidi 54

Un tubo aperto di altezza 70,0 cm è riempito con olio (densità 800 kg/m3). Calcola la pressione totale sul fondo del tubo.

64

55 Sapendo che la densità dell’acqua di mare è ρ = 1,024 · 103 kg/m3, calcola la pressione totale alla profondità di 4 000 m e la forza agente sull’oblò di un sottomarino di forma circolare con diametro uguale a 30 cm. 56

Un serbatoio profondo 5,0 m è riempito con acqua (ρa = 1,0 · 103 kg/m3). Qual è la pressione in atmosfere sul fondo del serbatoio?

57

Un bicchiere pieno di glicerina (densità 1 260 kg/m3) è alto 10 cm. Calcola la pressione che la glicerina esercita sul fondo.

In una giornata autunnale la pressione atmosferica misurata è di 980 mbar. Quale sarebbe l’altezza raggiunta dalla colonna di mercurio (ρHg = 13,6 g/cm3) in un esperimento di Torricelli?

La spinta di Archimede 65

Si spinge sott’acqua (ρH2O = 1,00 · 103 kg/m3) un pallone di volume 5,4 l. Quanto vale il modulo della spinta di Archimede agente sul pallone?

66

Una pallina di volume 10 cm3 è completamente immersa in acqua (ρ = 1,0 · 103 kg/m3). Calcola quanto vale la spinta di Archimede sulla pallina.

67

Un blocchetto di rame (ρCu = 8,89 · 103 kg/m3) di 3,00 dm3 è immerso completamente nell’alcol etilico (ρalcol = 0,810 · 103 kg/m3). Qual è il modulo della forza di Archimede? Quanto pesa il blocchetto quando è completamente immerso nell’alcol?

68

Un oggetto di massa 10 kg pesa 50 N quando è immerso in acqua. Calcola la forza di Archimede che riceve in acqua.

69

Un oggetto pesa 10 N. Immerso in acqua il suo peso diminuisce di un quarto. Quanto vale la spinta di Archimede?

70

Un pezzo di metallo in aria pesa 8,0 N e immerso in olio (ρolio = 0,80 · 103 kg/m3) pesa 6,0 N. Quali sono il volume e la densità del metallo?

Lab

58

Un oggetto quadrato di lato 2,3 cm si trova sul fondo di una bacinella di altezza 30 cm riempita da un liquido. La forza esercitata sull’oggetto dal liquido è 1,5 N. Calcola la pressione sull’oggetto e la densità del liquido.

59

Il vaso in figura è riempito con acqua. Calcola la pressione dell’acqua alle profondità h1 e h2. Se il vaso contenesse olio (densità 920 kg/m3), le pressioni sarebbero maggiori o minori? h2 = 30 cm

60

61

62

h1 = 15 cm

Un orologio può sopportare una pressione massima di 5 atmosfere. A quale profondità può scendere nel mare senza rompersi? (la densità dell’acqua salata è 1 024 kg/m3). Un tubo a U con sezione costante contiene in un ramo mercurio (ρHg = 13,6 g/cm3) e nell’altro acqua (ρa = 1,00 g/cm3). La colonna d’acqua ha un’altezza di 38,0 cm. In condizioni di equilibrio, quale altezza raggiunge il mercurio? L’esperimento di Torricelli viene svolto in una località di montagna: si osserva che la colonna di mercurio (ρHg = 13,6 g/cm3) raggiunge un’altezza di 670 mm. Qual è il valore locale della pressione atmosferica in pascal e in millibar?

Lab

63 Se

si svolgesse l’esperimento di Torricelli usando acqua (ρa = 1,00 · 103 kg/m3) al posto del mercurio, calcola quanto sarebbe alta la colonna di acqua.

71

Un corpo in aria pesa 16 N. Quale volume dovrebbe avere perché, immerso in acqua, dimezzi il suo peso?

72

Un corpo pesa 5 N e ha un volume di 100 cm3. Stabilisci se il corpo galleggia o affonda in acqua. Perché?

73

Calcola il volume che deve avere una tavoletta salvagente di plastica (ρ = 0,5 · 103 kg/m3) per sostenere un bambino di massa 15 kg in un lago (ρacqua = 1 · 103 kg/m3).

74

Un oggetto di metallo pesa 1,668 N. Quando l’oggetto è completamente immerso in acqua il suo peso diventa 1,472 N. Qual è il modulo della spinta di Archimede? Quali sono il volume e la densità dell’oggetto?

81

ESERCIZI

unità 5 75

Un cubetto di ghiaccio (ρg = 0,92 · 103 kg/m3) galleggia sull’acqua (ρa = 1,0 · 103 kg/m3). Quale percentuale del volume del cubetto è immersa in acqua?

76

Un ragazzo fa il “morto” galleggiando sulla superficie del mare (ρmare = 1,024 · 103 kg/m3). Se la forza peso sul ragazzo è di 600 N, qual è il volume del suo corpo che resta immerso (esprimi il risultato in metri cubi e litri)?

77

Una pallina di piombo (ρPb = 11,3 · 103 kg/m3) è cava internamente: l’intensità della forza peso è FP = 6,00 N in aria, ed è F 'P = 4,00 N in acqua (ρa = 1,00 · 103 kg/m3). Qual è il volume della cavità interna della pallina?

Svolgimento La pallina ha un peso inferiore in acqua per effetto della forza di Archimede, la cui intensità è la differenza delle intensità delle forze peso date dall’esercizio FA = FP − FP' = 2,00 N Indichiamo con VT il volume totale della pallina e con VPb il volume della pallina costituito da piombo. L’intensità della forza peso è dunque FP = ρ PbVPb g

da cui VPb =

FP (1) ρ Pb g

e l’intensità della forza di Archimede è FA = ρa VT g da cui

VT =

FA (2) ρa g

Il volume VC della cavità è VC = VT − VPb (3) Sostituendo la (1) e la (2) nella (3), abbiamo VC =

=

FA F 1 FA FP − P = − = ρa g ρ Pb g g ρa ρ Pb

1 2,00 N 6,00 N − = 9,81 m/s 2 1,00 ⋅ 10 3 kg/m 3 11,3 ⋅ 10 3 kg/m 3 = 1,50 ⋅ 10 −4 m 3 = 150 cm 3

82

78

Una sfera di ferro (ρFe = 7,86 g/cm3) con il raggio r = 3,20 cm galleggia sul mercurio 1 (ρHg = 13,6 g/cm3) restando immersa per del 6 suo volume. Determina se la sfera è piena o cava e qual è il volume della eventuale cavità. 79

Un cilindro composto da una lega di oro (ρAu = 19,3 · 103 kg/m3) e argento (ρAg = 10,5 · 103 kg/ m3) pesa 15,0 N. Quando il cilindro è immerso in acqua (ρa = 1,00 · 103 kg/m3), il peso si riduce a 14,0 N. Quali sono i volumi di oro e argento contenuti nel cilindro?

6

TEORIA

■ Il moto in fisica Come la fisica interpreta il moto? In fisica un corpo è in moto se occupa diversi punti dello spazio in diversi istanti di tempo. La cinematica è l’area della fisica che descrive il moto di un corpo indipendentemente dalle cause che lo provocano. È valida, quando è ammessa, l’approssimazione del corpo a punto materiale. 1

2 Cos’è la traiettoria? La traiettoria è l’insieme dei punti dello spazio occupati dal corpo nel suo moto. La forma geometrica della traiettoria classifica il moto: per esempio rettilineo, circolare, ellittico, parabolico.

Cos’è la legge oraria e come si rappresenta? La legge oraria è una funzione matematica che indica le posizioni del corpo sulla traiettoria nei diversi istanti di tempo (Figura 6.1). Generalmente sulla traiettoria è posta una freccia che indica il verso del moto (ma non è indispensabile). La variabile indipendente della funzione è il tempo t e quella dipendente è la posizione s; quindi 3

s = f(t) o, in modo più sintetico

(6.1a) (6.1b)

s(t)

s0 = f(t0) O

s1 = f(t1)

s2 = f(t2)

s3 = f(t3)

si = f(ti)

Figura 6.1 La rappresentazione della legge oraria (6.1) può essere con tabella (Figura 6.2a) o con piano cartesiano (piano posizionetempo), dove la variabile tempo t è sull’asse delle ascisse e la variabile posizione s su quello delle ordinate (Figura 6.2b). Attenzione: non si deve confondere il grafico della legge oraria con la traiettoria; sono due curve completamente diverse, che solamente in alcuni moti possono avere la medesima forma (per esempio nel moto rettilineo uniforme).

t s t0 s0 t1 s1 t2 s2 . . . . . . ti si . . . . . . Figura 6.2a

s si

s3 s2 s1 O

t1

t2

t3

ti

t

Figura 6.2b

83

UNITÁ

Moto e moti rettilinei

TEORIA

unità 6 ESEMPIO

• L’elenco delle fermate compiute da un treno, con ora di arrivo e di partenza, è un esempio di rappresentazione della legge oraria tramite tabella (in questo caso la legge oraria è relativa al moto del treno). 1 2 • La funzione s(t ) = at è la legge oraria di un particolare moto la cui traiettoria è rettilinea, ma il grafico 2 della legge oraria nel piano posizione-tempo è una parabola. Cosa si intende per tempo e posizione iniziali? Il tempo iniziale t0 è l’istante in cui si inizia a studiare il moto. La posizione iniziale s0 è il punto della traiettoria occupato dal corpo nell’istante t0; si determina sostituendo t con t0 nella legge oraria (6.1), cioè 4

s0 = f(t0) (6.2) Attenzione: il moto del corpo sulla traiettoria di Figura 6.1 non necessariamente implica il suo progressivo allontanamento dalla posizione iniziale s0. Per esempio, il corpo potrebbe percorrere la distanza da s0 a s1 e poi tornare indietro a s0. In questo caso, la distanza, o lunghezza, D s percorsa è la somma delle lunghezze del tratto da s0 a s1, e di quello di ritorno da s1 a s0. Cos’è un sistema di riferimento? Un sistema di riferimento è un insieme di coordinate distribuite su uno o più assi perpendicolari fra loro. Il numero di assi necessari per individuare i punti della traiettoria (uno, due o tre assi) indica la dimensione del moto (una, due o tre dimensioni). 5

Come si costruisce il vettore posizione e qual è il suo compito? Il vettore posizione OP (t ) ha coda nell’origine O del sistema di riferimento; con la punta P tocca i punti della traiettoria occupati dal corpo. Essendo il corpo in moto, occupa punti diversi della traiettoria al variare del tempo, e dunque il vettore posizione dipende dal tempo. Le componenti scalari della sua forma cartesiana sono le coordinate dei punti della traiettoria (vedere il punto successivo). 6

Come la traiettoria influisce sul sistema di riferimento e sul vettore posizione? Nelle Figure 6.3a e 6.3b sono rappresentati i casi di nostro interesse, dove la traiettoria si estende su una retta e su un piano. Per entrambi i moti sono indicati il sistema di riferimento e la forma cartesiana del vettore posizione OP (t ), con esplicitate le componenti scalari x(t) e y(t); anche queste ultime sono, ovviamente, dipendenti dal tempo. 7

y y(t) OP

O i

x(t) traiettoria P

x

Figura6.3a

j O i

OP

P

traiettoria

x(t)

x

Figura6.3b

Qual è il significato delle componenti scalari del vettore posizione? Le componenti scalari x(t) nel caso del moto a una dimensione, e x(t) e y(t) per quello a due dimensioni, sono le leggi orarie del moto proiettato sugli assi. 8

Come è definito l’intervallo di tempo? Dati due istanti di tempo t1 e t2, con t2 successivo a t1, l’intervallo di tempo D t è la differenza 9

D t = t2 – t1 (6.3a) Per analizzare la cinematica di un corpo occorre sempre definire l’intervallo di tempo in cui avviene il moto.

84

TEORIA

Moto e moti rettilinei

Se Dt → 0, cioè se la durata dell’intervallo di tempo è piccolissima o, meglio, infinitesima, si sostituisce il simbolo di variazione D con la lettera minuscola d, cioè l’intervallo di tempo infinitesimo si indica con dt. Riassumendo dt = Dt → 0 (6.3b) Attenzione: le lettere D e d sono utilizzate per la variazione di qualsiasi grandezza fisica scalare o vettoriale. Cos’è il vettore spostamento? Il vettore spostamento DOP è il vettore differenza tra i vettori posizione OP 1 e OP 2 valutati nei diversi istanti di tempo t1 e t2. In Figura 6.4 il caso di moto in due dimensioni. 10

Figura 6.4 Cos’è la velocità? La grandezza vettoriale velocità v indica la variazione della posizione del corpo in moto in un certo intervallo di tempo. L’unità di misura del modulo v è, nel SI, metri su secondo (m/s); la direzione è sempre tangente alla traiettoria e il verso è quello del moto del corpo. In Figura 6.5 il vettore velocità nel caso di moto in due dimensioni.

y P1 OP1

DO P OP2

P2

O

x

11

Figura 6.5

y v verso del moto

v

O

v

x

ESEMPIO

Nel SI l’unità di misura della velocità è m/s, ma nella vita quotidiana si usa quasi sempre km/h. • Per passare da km/h a m/s, occorre dividere il valore della velocità per 3,6. Infatti, ad esempio 90

km 10 3 m 10 3 m 90 m m = 90 = 90 = = 25 3 h 3600 s 3,6 ⋅ 10 s 3,6 s s

• Per passare da m/s a km/h, occorre moltiplicare il valore della velocità per 3,6. Infatti, ad esempio 15

km km km km m 10 −3 km = 15 = 15 ⋅ 10 −3 ⋅ 3600 = 15 ⋅ 10 −3 ⋅ 3,6 ⋅ 10 3 = 15 ⋅ 3,6 = 54 1 h h h h s h 3600

Qual è la differenza tra i vettori velocità media e velocità istantanea? • Il vettore velocità media vm è il rapporto tra la variazione del vettore posizione, cioè il vettore spostamento DOP , e l’intervallo di tempo Dt in cui è valutato lo spostamento, cioè DOP (6.4a) vm = Dt Il modulo vm è definito velocità media scalare; dalla (6.4a) si deduce che direzione e verso coincidono con quello del vettore spostamento. A volte la specificazione “scalare” è omessa. 12

• Il vettore velocità istantanea v è il rapporto (6.4a) per un intervallo di tempo infinitesimo dt (dt = Δt → 0), che comporta dunque un vettore spostamento infinitesimo, cioè dOP (6.4b) v= dt

85

TEORIA

unità 6

Il modulo v è definito velocità scalare; la direzione è sempre tangente alla traiettoria, mentre il verso è quello del moto del corpo, come già definito nel punto 11. A volte le specificazioni “istantanea” e “scalare” sono omesse. Attenzione: per variare un qualsiasi vettore (in questo caso quello di posizione) è sufficiente variare o il modulo, o la direzione, o il verso. Cos’è l’accelerazione? La grandezza vettoriale accelerazione a indica la variazione della velocità in un certo intervallo di tempo. L’unità di misura del modulo a è, nel SI, metri su secondo al quadrato (m/s2 o ms–2). 13

Qual è la differenza tra i vettori accelerazione media e accelerazione istantanea? • Il vettore accelerazione media am è il rapporto tra la variazione del vettore velocità v e l’intervallo di tempo Dt in cui è valutata la variazione 14

am =

Dv Dt

(6.5a)

Il modulo am è definito accelerazione media scalare. A volte la specificazione “scalare” è omessa. • Il vettore accelerazione istantanea a è il rapporto (6.5a) per un intervallo di tempo infinitesimo dt (dt = Δt → 0), che comporta una variazione infinitesima del vettore velocità, cioè a=

dv dt

(6.5b)

Il modulo a è definito accelerazione scalare. A volte le specificazioni “istantanea” e “scalare” sono omesse.

■ Moto rettilineo uniforme Cosa caratterizza il moto rettilineo uniforme (RU)? Il termine “rettilineo” indica che la traiettoria è una retta; il termine “uniforme” indica che il corpo si muove a velocità costante, cioè il vettore velocità v non cambia in modulo, direzione e verso nel tempo. Poiché la traiettoria è rettilinea, è sufficiente un sistema di riferimento con un solo asse cartesiano (Figura 6.3a). Tutti i moti con traiettoria rettilinea sono in una dimensione. 15

Come si trasformano i vettori nel moto rettilineo in una dimensione? La direzione dei vettori è quella dell’asse del sistema di riferimento. Si può dunque abbandonare la notazione vettoriale considerando solo le componenti scalari dei vettori. Il loro valore assoluto è il modulo del vettore e il loro segno algebrico indica il verso: se il vettore è concorde (discorde) con il versore dell’asse, il valore assoluto della coordinata scalare è preceduto dal segno positivo (negativo). 16

ESEMPIO

In Figura 6.6, le informazioni nell’istante t offerte dal vettore posizione OP = x(t ) i = −10 m i sono mantenute anche se consideriamo solo la componente scalare della forma cartesiana x(t ) = −10 m dove il segno algebrico negativo indica il verso contrario a quello dell’asse x e il valore assoluto 10 indica il modulo. Figura 6.6

86

OP (t) x(t) = –10 m

O i

x(m)

TEORIA

Moto e moti rettilinei

Come si relaziona la velocità media vm con la velocità v nel moto RU? Il moto RU ha velocità v costante e dunque il corpo percorre lunghezze uguali in tempi uguali, indipendentemente dalla durata dell’intervallo di tempo in cui si misura la lunghezza percorsa. Quindi nel moto RU non esiste distinzione tra vm e v, cioè dalle (6.4) Dx dx =v = vm = dt Dt 17

ESEMPIO

Un automobilista percorre su un’autostrada una distanza x1 = 90 km nel tempo t1 = 1,0 h con velocità costante v1; successivamente una distanza x2 = 110 km in t2 = 1,5 h con velocità costante v2. Calcolare v1 e v2 e la velocità media vm sull’intero percorso. Determiniamo dapprima le velocità v1 e v2 in unità del SI v1 =

v2 =

x1 90 km 90 m m = = = 25 t1 1,0 h 3,6 s s

x2 110 km 110 m m = = = 30 1,5 h 1,5 ⋅ 3,6 s s t2

La distanza totale xtot = x1 + x2 = 200 km è percorsa nel tempo ttot = t1 + t2 = 2,5 h, quindi la velocità media vm è x 200 km 200 m m vm = tot = = = 22 ttot 2,5 h 2,5 ⋅ 3,6 s s

Quali sono le leggi per il moto RU? Nel moto RU la velocità v è costante e dunque 18

La legge oraria, con x al posto della s, è

(6.6)

v(t) = v

(6.7)

v(t) = vt + x0 dove x0 è la posizione iniziale. Se il corpo in t0 è nell’origine dell’asse x, si pone x0 = 0. 19 Quali sono i grafici per il moto RU? Il grafico nel piano velocità-tempo della funzione (6.6) è una retta orizzontale parallela all’asse delle ascisse (Figura 6.7).

v v

Figura 6.7

O

Il grafico nel piano posizione-tempo della legge oraria (6.7) è una retta con coefficiente angolare v (Figura 6.8) e intercetta x0.

x

v(t) = v

t

x(t) = vt + x0 x0 Figura 6.8

O

t

87

TEORIA

unità 6

Come si deduce la posizione x della traiettoria dal grafico velocità-tempo nel moto RU? Dalla (6.7), ipotizzando x0 = 0, la posizione x occupata dal corpo nell’istante di tempo generico ti è data dal prodotto x(ti ) = vti 20

equivalente all’area sottesa dalla retta orizzontale v(t) = v e compresa tra le ascisse t = 0 e t = ti (Figura 6.9).

v v area = x(ti)

Figura 6.9

O

ti

t

Come si deduce la velocità v dal grafico della legge oraria nel moto RU? La velocità v è il coefficiente angolare della retta di equazione (6.7), quindi dalla geometria analitica (Figura 6.10) x − x1 v= 2 t2 − t1 21

oppure v = tg a (u.d.m. della velocità) x

dove α è l’angolo che la retta forma con l’asse delle ascisse. Alla tangente di α si associano le unità di misura con cui sono costruiti gli assi cartesiani (per esempio m/s o km/h). Infine, maggiore (minore) è la pendenza della retta, maggiore (minore) è la velocità.

x2 x1 x0

Figura 6.10

O

2 1

t1

α

t2

t

■ Moto rettilineo uniformemente accelerato Cosa caratterizza il moto rettilineo uniformemente accelerato (RUA)? La specificazione “uniformemente accelerato” indica un moto con accelerazione costante, cioè il vettore accelerazione a non cambia in modulo, direzione e verso nel tempo. L’accelerazione comporta, ovviamente, che la velocità sia variabile nel tempo. 22

Come si relaziona l’accelerazione media am con l’accelerazione a nel moto RUA? Il moto RUA ha accelerazione a costante e dunque il corpo è soggetto a uguali variazioni di velocità in tempi uguali, indipendentemente dalla durata dell’intervallo di tempo in cui si misura la variazione di velocità. Quindi nel moto RUA non esiste distinzione tra am e a, cioè dalle (6.5) 23

am =

Dv dv =a = dt Dt

ESEMPIO

Consideriamo il pedale dell’acceleratore e la velocità indicata dal tachimetro di un’automobile in moto su strada rettilinea con verso di guida costante. L’accelerazione a costante può essere: • a = 0 quando si tiene il pedale al medesimo livello (velocità costante); • a > 0 quando si pigia ulteriormente il pedale (velocità in aumento); • a < 0 quando si alza il pedale (velocità in diminuzione).

88

TEORIA

Moto e moti rettilinei Quali sono le leggi per il moto RUA? Nel moto RUA l’accelerazione a è costante e dunque 24

La legge oraria, con x al posto della s, è

(6.8)

a(t) = a 1 x(t ) = at 2 + v0 t + x0 2

(6.9)

dove v0 è la velocità iniziale. Se il corpo in t0 ha velocità nulla, allora si pone v0 = 0. La velocità v è data dalla funzione (6.10) v(t) = at + v0 Esiste anche un’altra formula che, note le condizioni iniziali x0 e v0, mette in relazione velocità, accelerazione e posizione v 2 = 2a ( x − x0 ) + v02

(6.11)

Quali sono i grafici per il moto RUA? Il grafico nel piano accelerazione-tempo della funzione (6.8) è una retta orizzontale parallela all’asse delle ascisse (Figura 6.11). 25

Figura 6.11 Il grafico nel piano posizione-tempo della legge oraria (6.9) è una porzione di parabola. (Figura 6.12).

a a

O

Il grafico nel piano velocità-tempo della funzione (6.10) è una retta con coefficiente angolare a (Figura 6.13) e intercetta v0.

t

x

x0 Figura 6.12

a(t) = a

1 x(t ) = at 2 + v0 t + x0 2

O

t

v v(t) = at + v0 v0

Figura 6.13

O

t

Come si deduce la velocità v dal grafico accelerazione-tempo nel moto RUA? Dalla (6.10), ipotizzando v0 = 0, la velocità v nell’istante di tempo generico ti è data dal prodotto a 26

v(ti) = ati

a

equivalente all’area sottesa dalla retta orizzontale a(t) = a e compresa tra le ascisse t = 0 e t = ti (Figura 6.14). Figura 6.14

area = v(ti) O

ti

t

89

TEORIA

unità 6

Come si deduce la velocità media vm tra due istanti di tempo e la velocità iniziale v0 dal grafico della legge oraria nel moto RUA? Consideriamo la Figura 6.15. La velocità media vm è il coefficiente angolare della retta r che unisce i punti 1 e 2 del grafico con ascissa gli istanti di tempo t1 e t2. Dalla geometria analitica 27

vm =

x2 − x1 t2 − t1

oppure vm = tg a (u.d.m. della velocità) dove α è l’angolo che la retta r forma con l’asse delle ascisse. La velocità v0 è il coefficiente angolare della retta q tangente al grafico nel punto con ascissa t = 0, quindi

x x2

2

v0 = tg b (u.d.m. della velocità)

Figura 6.15

1 •

x1

dove β è l’angolo che la retta q forma con l’asse delle ascisse. Alle tangenti di α e β si associano le unità di misura con cui sono costruiti gli assi cartesiani.

x0

•

r

α

β

q t1

O

t2

t

Come si deduce la posizione x della traiettoria dal grafico velocità-tempo nel moto RUA? Consideriamo la Figura 6.16. La posizione x occupata dal corpo nell’istante di tempo generico ti è data dall’area sottesa dalla retta di equazione v(t) = at + v0 compresa tra v le ascisse t = 0 e t = t1. L’area è composta dall’area del rettangolo di altezza v0 (cioè v0ti) e da quella del triangolo di v0 + ati ⎛ 1 2 ⎞⎟ ⎜ altezza ati ⎜cioè ati ⎟⎟. Quindi ⎝ 2 ⎠ v0 area = x(ti) 1 x(ti ) = v0 ti + ati2 2 O Figura 6.16 ti t 28

Come si deduce l’accelerazione a dal grafico velocità-tempo nel moto RUA? L’accelerazione a è il coefficiente angolare della retta di equazione (6.10), quindi dalla geometria analitica (Figura 6.17) v −v a= 2 1 t2 − t1 29

oppure a = tg a (u.d.m. dell’accelerazione) dove α è l’angolo che la retta forma con l’asse delle ascisse. Alla tangente di α si associano le unità di misura con cui sono costruiti gli assi cartesiani. Infine, maggiore (minore) è la pendenza della retta, maggiore (minore) è l’accelerazione.

Figura 6.17

90

v v2 v1 v0

O

2 1

t1

α

t2

t

TEORIA

Moto e moti rettilinei

■ Caduta dei gravi Cosa si intende per caduta libera dei corpi? Un corpo è in caduta libera quando è sottoposto solo alla forza di gravità della Terra. Questa forza, perpendicolare al suolo e con verso rivolto verso il basso, sottopone il corpo a un vettore accelerazione costante g, chiamato accelerazione di gravità, di modulo 30

g = 9,81 m/s2 In realtà il valore di g non è costante, ma varia con la latitudine e diminuisce all’aumentare dell’altitudine. L’accelerazione di gravità è sempre uguale per qualsiasi corpo? L’accelerazione di gravità è indipendente dalla massa, dalle dimensioni e dal materiale del corpo. 31

A quale tipo di moto corrisponde la caduta libera dei corpi? La presenza dell’accelerazione costante di gravità e la traiettoria verticale di caduta classificano la caduta libera dei corpi come moto rettilineo uniformemente accelerato. 32

Quali sono le due possibili condizioni iniziali per la caduta libera dei corpi? • Il corpo è lasciato cadere. C O Si stabilisce come sistema di riferimento un asse carteg i siano x verticale orientato verso il basso con l’origine coincidente con il punto in cui si lascia cadere il corpo C (Figura 6.18). Il vettore accelerazione di gravità g è concorde con il versore dell’asse cartesiano (g = gi). 33

x

Figura 6.18

x0

suolo

La velocità iniziale è nulla (v0 = 0) e, considerando la posizione iniziale del corpo coincidente con l’origine del sistema di riferimento (x0 = 0), si ottiene dalla (6.9)

dalla (6.10)

x(t ) =

1 2 gt 2

(6.12b)

v(t) = gt

e dalla (6.11) dove si è posto a = g.

(6.12a)

(6.12c)

v = 2 gx

• Il corpo è lanciato in verticale con velocità v0. Si stabilisce come sistema di riferimento un asse cartesiano x verticale orientato verso l’alto con l’origine coincidente con il punto da cui si lancia il corpo C (Figura 6.19). Il vettore accelerazione di gravità g è discorde con il versore dell’asse cartesiano (g = –gi).

x xmax i O

v=0 v0 C g

x0

suolo

Figura 6.19

91

TEORIA

unità 6

La velocità iniziale v0 non è nulla ed è positiva se il lancio è verso l’alto, negativa se è verso il basso; considerando la posizione iniziale del corpo coincidente con l’origine del sistema di riferimento (x0 = 0), si ottiene dalla (6.9) dalla (6.10) e dalla (6.11)

1 x (t ) = − gt 2 ± v0 t 2

(6.13a) (6.13b)

v(t) = –gt ± v0

(6.13c) dove si è posto a = –g. Nel lancio verso il basso può essere utile prendere l’asse x rivolto verso il basso: in questo caso nelle (6.13) bisogna sostituire –g con g. v2 = –2gx + v 20

Qual è il tempo di caduta se il corpo è lasciato cadere? Conoscendo l’altezza x da cui il corpo è lasciato cadere, si ottiene dalla (6.12a) il tempo impiegato dal corpo a toccare il suolo 34

t=

2x g

(6.14)

ESEMPIO

Calcoliamo la durata della caduta di un sasso lasciato cadere dall’alto della Torre Eiffel (h = 3,0 ∙ 102 m). Consideriamo un asse di riferimento x con origine nel punto di caduta del sasso e diretto perpendicolarmente verso il suolo. Poiché il sasso parte da fermo, le condizioni iniziali sono x0 = 0 e v0 = 0. Il tempo di caduta è 2x 2(3,0 ⋅10 2 m ) t= = = 7,8 s g 9,81 m/s 2 Qual è la velocità finale se il corpo è lasciato cadere? Conoscendo l’altezza x da cui il corpo è lasciato cadere, la velocità con cui il corpo tocca il suolo si ottiene dalla (6.12c). 35

ESEMPIO

Dall’esempio precedente, calcoliamo la velocità con cui il sasso colpisce il suolo. Consideriamo il medesimo asse di riferimento e le medesime condizioni iniziali. La velocità di impatto è v = 2gx = 2(9,81 m/s 2 )(3,0 ⋅10 2 m ) = 77 m/s Quali sono il tempo di salita e la quota massima del corpo quando è lanciato in verticale verso l’alto? Quando il corpo è lanciato verso l’alto, la sua velocità diminuisce fino ad annullarsi all’apice xmax della salita (Figura 6.19), dove poniamo appunto v = 0. Se indichiamo con ts il tempo impiegato dal corpo per raggiungere xmax, dalla (6.13b) otteniamo v = 0 = –gts + v0, da cui 36

ts =

v0 g

(6.15)

La quota massima xmax si determina dalla (6.13c) ponendo v = 0, cioè xmax =

92

v02 2g

(6.16)

ESERCIZI

Moto e moti rettilinei

TEST 1

Un’auto copre la distanza di 10,0 km in 15,0 minuti. La sua velocità media è a 11,1 m/s b 12,0 m/s c 13,5 m/s d 14,1 m/s

2

La velocità media dell’auto del test precedente in km/h è a 10,0 km/h b 20,0 km/h c 30,0 km/h d 40,0 km/h

Tra i grafici in figura, quale rappresenta un moto rettilineo uniforme? x(m) x(m) 7

a

t(s)

x(m)

4

5

Per calcolare la distanza Δs percorsa da un corpo che si muove alla velocità media vm in un intervallo di tempo Δt si utilizza la formula vm a Δs = vmΔt b Δs = Dt Dt c Δs = d Δs = vm + Δt vm La rappresentazione grafica della legge oraria è un grafico nel piano a posizione-tempo b velocità media-tempo c velocità-tempo d accelerazione-tempo In figura la legge oraria del moto di un corpo. In quali degli istanti t1, t2, t3 e t4 la velocità v è nulla? a t1 e t3 b t4 e t5 c t4 d t2 e t4

8

t(s)

v(m/s)

c 3

b

t(s)

d

t(s)

Un corpo si muove con velocità costante 3,5 m/s e all’istante iniziale si trova a 15 m dall’origine. L’equazione del moto è a s = 15t + 3,5 b s = 3,5t + 15 c s = 15t d s = 3,5t

Tra i grafici in figura, quale rappresenta un moto rettilineo uniformemente accelerato? x(m) v(m/s) 9

a

t(s)

x(m)

b

t(s)

v(m/s)

c

t(s)

d

t(s)

x(m) 10 20 10 0

t1 1 t2 2 t3 3 t4 4 t5 5

t(s)

–10

6

Qual è la velocità vm sull’intero percorso del corpo il cui grafico posizione-tempo è quello della figura precedente? a –10 m/s b –2 m/s c 6 m/s d 20 m/s

Due ragazzi A e B percorrono una strada diritta. I loro moti sono rappresentati nel grafico posizione-tempo in figura. Quale affermazione è corretta? a A è più veloce di B b B è più veloce di A c Dopo 20 s, A e B hanno la stessa velocità d All’inizio del moto A e B occupano la stessa posizione x(m) B A

20 10 0

20

t(s)

93

ESERCIZI

unità 6 11

Il grafico velocità-tempo di un corpo in moto rettilineo uniforme è a una retta orizzontale b una retta verticale c una retta sempre passante per l’origine d una retta con pendenza tanto maggiore quanto maggiore è la velocità.

12

In figura, il grafico velocità-tempo di un corpo in moto lungo una linea retta. Qual è la distanza percorsa dal corpo in 5,0 s? a 25 m b 5,0 m c 50 m d 1,0 m

La moto 1 parte da ferma e viaggia su un rettilineo con accelerazione costante a. Raggiunge la velocità v nel tempo t. La moto 2 parte da ferma e viaggia sullo stesso a rettilineo con accelerazione costante . 2 La velocità della seconda moto all’istante t è v a b v 2 17

c

c

t(s)

13

Durante il moto di un corpo a se l’accelerazione è nulla anche la velocità è nulla b se la velocità è positiva anche l’accelerazione è positiva c se la velocità è costante l’accelerazione è nulla d se l’accelerazione è costante anche la velocità è costante

14

Una nave aumenta in 5,0 s la sua velocità da 10 km/h a 16 km/h. La sua accelerazione è 4,3 m/s2 b 1,2 m/s2 c 0,83 m/s2 d 0,33 m/s2

15

Un corpo, nell’istante iniziale fermo nell’origine, si muove con accelerazione costante 1 m/s2. L’equazione del moto è 1 1 2 t +1 a s = t2 + b s= 2 2 1 2 t c s = t2 d s= 2

16

Dal grafico velocità-tempo in figura si ricava lo distanza percorsa. Essa è a 30 m b 40 m c 50 m d 60 m v(m/s) 10,0 5,0 0

94

2,0 4,0 6,0 8,0

t(s)

0

s è la distanza percorsa dalla prima moto del test precedente all’istante t, la distanza percorsa dalla seconda moto nello stesso istante è s a b s 2

5,0

2,0 4,0 6,0 8,0

d

18 Se

v(m/s)

0

2v

2s

d

0

19

Due ciclisti sono fermi sulla linea di partenza. Quando lo starter spara iniziano contemporaneamente a pedalare, il primo con un’accelerazione costante di 1 m/s2, il secondo con un’accelerazione costante di 2 m/s2. Dopo un certo intervallo di tempo il secondo ciclista ha percorso una distanza a doppia rispetto al primo b uguale alla metà del primo c quadrupla rispetto al primo d uguale a un quarto del primo

20

L’accelerazione di un corpo in caduta verticale a dipende dalla massa del corpo b dipende dall’altezza da cui viene fatto cadere c dipende dalla forma del corpo d è costante

21

Il tempo di caduta di un corpo a dipende dalla massa del corpo b dipende dall’altezza da cui viene fatto cadere c dipende dalla forma del corpo d è costante

22

Alla stessa altezza dal suolo, il tempo di caduta a è inversamente proporzionale all’accelerazione di gravità b è direttamente proporzionale all’accelerazione di gravità c è maggiore sulla Terra che su Marte (l’accelerazione di gravità su Marte è 3,7 m/s2) d diminuisce dove l’accelerazione di gravità è maggiore

ESERCIZI

Moto e moti rettilinei

VERO/FALSO 23

Per conoscere la traiettoria di un punto materiale in movimento, basta indicare la posizione iniziale e finale del punto. V F

24

Il vettore spostamento è la differenza tra i vettori posizione in due istanti diversi. V F

25

La legge oraria è la funzione che dà la posizione occupata dal punto materiale nei diversi istanti di tempo. V F

37

Il grafico posizione-tempo di un moto uniformemente accelerato è una semiretta. V F

38

La legge della velocità in un moto uniformemente accelerato è v = 2,0t + 15, dove la velocità è in metri al secondo e il tempo in secondi. a Il grafico v – t è una semiretta orizzontale. V F b La velocità iniziale del corpo è 2,0 m/s. V F c L’accelerazione del corpo è 15 m/s2. V F d L’accelerazione del corpo è 2,0 m/s2. V F

39

Nel grafico v – t in figura, l’accelerazione è a nulla nel punto A. V F b positiva nel punto B. V F c positiva nel punto C. V F d negativa nel punto D. V F

26 Un

punto sul grafico posizione-tempo ha come ordinata l’istante di tempo considerato, e come ascissa la posizione occupata in quell’istante. V F

27

La velocità si misura nel SI in ms.

28

Impieghi 1 minuto a percorrere 120 m. La tua velocità media è di 2 m/s. V F

La velocità di 10 m/s corrisponde a 36 km/h.

V F

29

La velocità di 90 km/h corrisponde a 20 m/s.

v(m/s)

V F

30

V F

In un moto rettilineo uniforme, le variabili x e t sono linearmente dipendenti. V F

A•

31

In un moto rettilineo uniforme, la pendenza del grafico posizione-tempo è la velocità. V F

0

32

33

La legge oraria in un moto rettilineo uniforme è x = 2,5t + 10, dove la distanza è in metri e il tempo in secondi. a Il grafico x – t è una semiretta passante per l’origine. V F b La velocità del corpo è 2,5 m/s. V F c La velocità del corpo è 10 m/s. V F d All’istante iniziale t = 0, il corpo è a 10 m dall’origine. V F

L’accelerazione si misura nel SI in m/s2.

40

41

35

36

In un moto rettilineo uniformemente accelerato, le variabili v e t sono direttamente proporzionali se la velocità iniziale è nulla. V F

In un moto uniformemente accelerato, la pendenza del grafico velocità-tempo è la velocità. V F

t(s)

In un moto uniformemente decelerato, l’accelerazione ha verso opposto a quello della velocità. V F

Il moto di caduta libera nel vuoto è un moto rettilineo uniforme. V F

42

Un corpo cade da un’altezza h. La velocità con cui il corpo arriva a terra a è direttamente proporzionale all’altezza. V F b dipende dalla massa del corpo. V F c è 2 gh . V F

43

Un sasso e un foglio di carta cadono insieme nel vuoto dalla stessa altezza. a Il sasso raggiunge il suolo con velocità maggiore. V F b Sasso e foglio arrivano al suolo nello stesso istante. V F c L’accelerazione del sasso è maggiore di quella del foglio. V F

34

V F

C• • B •D

95

ESERCIZI

unità 6

QUESITI 54

Qual è la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato?

55

Qual è l’equazione che descrive l’andamento della velocità nel moto uniformemente accelerato?

Quando la velocità media e la velocità istantanea coincidono?

56

Se la velocità media di un corpo è nulla in un qualche intervallo di tempo, cosa si può dire della distanza percorsa dal corpo in quell’intervallo?

Si può ricavare la distanza percorsa da un punto materiale dal grafico v – t? Descrivi come.

57

Descrivi il grafico x – t di un moto uniformemente accelerato.

49

Cosa si intende per moto rettilineo uniforme?

58

Descrivi il grafico v – t di un moto uniformemente accelerato.

50

Qual è la legge oraria del moto rettilineo uniforme?

59

Quando si ha una decelerazione?

60

Un corpo è lanciato verticalmente verso l’alto. Quali sono i valori della velocità e dell’accelerazione quando raggiunge la massima altezza?

61

Qual è il valore dell’accelerazione del moto di caduta libera?

44

Cos’è la traiettoria di un punto materiale?

45

Cosa si intende per legge oraria del moto?

46

Cos’è il vettore posizione?

47

48

51

Descrivi il grafico x – t di un moto rettilineo uniforme.

52

Descrivi il grafico v – t di un moto rettilineo uniforme.

53

Cosa si intende per moto rettilineo uniformemente accelerato?

ESERCIZI Il moto in fisica 62

63

Una ragazza percorre 100 m con una velocità costante di 6,3 m/s. Quanto tempo impiega?

64

La distanza tra la Terra e il Sole è di 1,5 ∙ 108 km. Sapendo che la velocità della luce nel vuoto è di 3,0 ∙ 108 m/s, quanti minuti impiega la luce del Sole per arrivare sulla Terra?

65

66

96

Un corpo percorre un giro completo lungo una circonferenza di raggio 0,5 m in un tempo di 10 s. Qual è la velocità del corpo?

Un ragazzo percorre un tratto di strada rettilinea per 50 s con una velocità di 3,2 m/s. Qual è la lunghezza della strada? Con quale velocità media deve percorrere la strada per impiegare 80 s? Dal tuo balcone guardi i fuochi artificiali sparati nella piazza del paese. Se il rumore dei botti impiega 10 s a raggiungerti, quanto dista la casa dalla piazza? (La velocità del suono in aria è 3,4 ∙ 102 m/s.)

Lab

67

Sapendo che la velocità del suono è 340 m/s, calcola dopo quanto tempo un suono prodotto in A è percepito in B, se la distanza tra A e B è di 1,6 km.

68 Un’automobile

percorre per 10 minuti un tratto rettilineo alla velocità v1 = 50 km/h e successivamente, per 5 minuti, un altro tratto alla velocità v2 = 80 km/h. Calcola la velocità media dell’auto nei 15 minuti considerati.

Svolgimento Calcoliamo la distanza percorsa nel primo tratto 10 50 25 x1 = v1t1 = (50 km/h ) h = km = km 60 6 3 dove il tempo t1 = 10 minuti è stato convertito in ore. In maniera analoga, calcoliamo la distanza percorsa nel secondo tratto 5 40 20 h = km = km x2 = v2 t2 = ( 80 km/h ) 60 6 3 La velocità media nei 15 minuti considerati è quindi 45 km x1 + x2 vm = = 3 = 60 km/h 15 t1 + t2 h 60

ESERCIZI

Moto e moti rettilinei 69

Un treno viaggia la prima ora alla velocità di 90,0 km/h, nella successiva mezz’ora alla velocità di 100 km/h, e nei 90,0 minuti finali alla velocità di 80,0 km/h. Qual è la velocità media sull’intero percorso?

77

Un’auto che si muove su una strada rettilinea alla velocità di 90 km/h accelera e dopo 10 s raggiunge la velocità di 130 km/h. Determina l’accelerazione media dell’auto.

78

Fra le caratteristiche di un’automobile viene spesso indicato l’intervallo di tempo impiegato dall’auto per raggiungere con partenza da fermo la velocità di 100 km/h. Assumendo che tale intervallo di tempo sia 12 s, calcola l’accelerazione media dell’auto.

79

Un’auto su una strada rettilinea con velocità di 110 km/h, inizia a frenare e la sua decelerazione è di 1,5 m/s2. Qual è la velocità dell’auto dopo 10 s?

70

Percorri un tratto di strada rettilinea lunga 100 m in 10 s, poi un altro tratto lungo 160 m in 20 s. La velocità media è la media delle due velocità? Calcola la velocità media. 71

Anna cammina verso nord per 20 minuti a una velocità di 1,2 m/s. Quindi si ferma 10 minuti per pranzare. Finito il pasto, continua a camminare verso nord per 30 minuti a una velocità di 1,2 m/s. Calcola la velocità media di Anna nell’ora considerata.

72

Una moto percorre i primi 10,0 km del suo percorso alla velocità di 30,0 km/h e i successivi 10,0 km alla velocità di 50,0 km/h. Qual è la velocità media sull’intero percorso?

73

Un’auto è partita da Milano verso Modena. La sua tabella di marcia è la seguente ora

casello autostradale

km percorsi

8:00

Milano

0

9:00

Parma

110

9:30

Modena

157

Calcola la velocità nei tratti Milano-Parma e Parma-Modena. Calcola la velocità media sull’intero percorso. 74

Considera la seguente tabella relativa al moto di un’automobile: t (min)

10

20

30

s (km)

20

44

70

Riscrivi la tabella esprimendo il tempo e lo spazio in unità del SI. Calcola la velocità media sull’intero percorso. 75

Un’automobile si muove a velocità costante e percorre 500 m in 25 s. Che distanza percorre in 70 s?

76

Un’auto in moto con velocità media in modulo uguale a 80,0 km/h si dirige per 2,00 h da ovest verso est, poi per 1,00 h da nord verso sud e, infine, per 1,00 h da est verso ovest. Qual è la velocità media dell’auto?

Suggerimento Poiché si ha una decelerazione, devi considerare a = –1,5 m/s2.

Moto rettilineo uniforme 80

La legge oraria di un moto rettilineo uniforme è s = 10 + 20t, dove le grandezze s e t sono espresse in unità del SI. Cosa rappresentano i numeri 10 e 20? Dopo quanto tempo un corpo che si muove con questa legge del moto si trova a 200 m dall’origine?

81

La posizione nel tempo di un corpo è illustrata in figura. Trova la velocità media nei seguenti intervalli di tempo: a da 0 s a 2,0 s; b da 0 s a 4,0 s; c da 2,0 s a 4 s; d da 4,0 s a 7,0 s; e da 0 s a 8,0 s.

10 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0 –1,0 –2,0 –3,0 –4,0

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10

t(s)

97

ESERCIZI

unità 6 82

Due ciclisti A e B percorrono un tratto rettilineo di strada. Il grafico che descrive la loro posizione nel tempo è mostrato in figura. Indica a la posizione iniziale di A e B b la loro velocità x(km) c l’istante in cui occupano la stessa posizione A 30 d la posizione finale di ciascun ciclista 25 B

83

In figura il grafico posizione-tempo di un’auto che viaggia lungo una strada diritta. Calcola la velocità media sull’intero percorso e traccia il grafico della velocità.

20 15 10 5,0 0

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

t(h)

x(m) 1000 800 600 400 200 0

84

10 20 30 40 50

t(s)

Su un rettilineo dell’autostrada l’auto A viaggia a 110 km/h. La precede di 50,0 m l’auto B che viaggia a 60,0 km/h. Traccia i grafici posizione-tempo delle due auto e ricava dopo quanti secondi e quanti metri l’auto A supera l’auto B.

Svolgimento Possiamo risolvere l’esercizio in due modi. • Metodo grafico I moti delle due auto sono rettilinei uniformi. I grafici posizione-tempo sono quindi due semirette: per quanto riguarda l’auto A, la semiretta parte dall’origine degli assi, mentre per l’auto B la semiretta parte dal punto di ascissa x0 = 50,0 m. Inoltre, essendo la velocità di A maggiore di quella di B, la pendenza della semiretta A è maggiore di quella B.

Le velocità espresse in m/s sono 110 m/s = 30,6 m/s v A = 110 km/h = 3,6 vB = 60,0 km/h =

60,0 m/s = 16,7 m/s 3,6

Dopo 10,0 s l’auto A ha percorso una distanza di (30,6 m/s)(10,0 s) = 310 m, mentre l’auto B ha percorso una distanza di (167 + 50,0) m = 217 m. Possiamo quindi costruire il grafico di x(t) in figura.

x(m) 300

A 250

B 200 150 100 50,0 0

98

1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,0

t(s)

ESERCIZI

Moto e moti rettilinei Come si può vedere, l’auto A supera la B dopo 3,60 s alla distanza di 110 m.

87

In una gara podistica, i primi due atleti si trovano affiancati all’inizio della volata finale negli ultimi 50,0 m; al traguardo l’atleta vincitore precede il secondo arrivato di 2,00 m. La velocità del vincitore è di 20,0 km/h per tutta la volata. Qual è la velocità del secondo corridore?

88

Una gara di sci di fondo si svolge su una distanza di 15 km. Uno sciatore parte con una velocità costante di 24 km/h. Lo sciatore successivo parte con un ritardo di 30 s alla velocità di 24,3 km/h. Riuscirà il secondo sciatore a raggiungere il primo prima del traguardo?

• Metodo algebrico Scriviamo le leggi orarie del moto delle due auto xA = vAt xB = vB t + x0 con x0 = 50,0 m Il sorpasso tra le due auto avviene quando xA = xB, cioè quando vAt = vB t + x0, da cui si ricava t=

x0 50,0 m = = 3,60 s v A − vB ( 30,6 − 16,7 ) m/s

x A = x B = ( 30,6 m/s )( 3,60 s ) = 110 m 85

I ciclisti A e B partono contemporaneamente da due punti situati alla distanza reciproca di 5 km, muovendosi in versi opposti su una strada rettilinea. Il ciclista A viaggia alla velocità di 20 km/h, mentre il ciclista B viaggia a 30 km/h. Ricava dopo quanto tempo e in quale posizione A e B si incontrano. Traccia il grafico posizione-tempo che descrive il moto di A e B.

Suggerimento Considera come sistema di riferimento una retta con origine nella posizione occupata da A all’inizio del moto e con verso coincidente con quello della velocità di A. Le leggi orarie sono allora xA = vAt xB = vB t + x0 con x0 = 5 km Attento! La velocità di B ha verso discorde rispetto al sistema di riferimento scelto, quindi va inserita nelle equazioni con segno negativo: vB = –30 km/h. 86

Due camion partono da due stazioni di servizio dell’autostrada distanti tra loro 20 km, muovendosi l’uno verso l’altro. Il camion A viaggia a 50 km/h, mentre il camion B parte con un ritardo di 15 min e alla velocità di 65 km/h. Trova dopo quanto tempo e in quale posizione i due camion si incontrano.

Suggerimento Considera come istante iniziale del moto quello in cui parte il camion B e come sistema di riferimento una retta con origine nella posizione occupata da A all’istante iniziale. Nei 15 min precedenti il camion A ha percorso una certa distanza, e quindi si è avvicinato a B. In quello che abbiamo deciso di considerare come istante iniziale del moto i due camion non si trovano quindi alla distanza reciproca di 20 km: dove si trovano?

Moto rettilineo

uniformemente accelerato

89

Un’auto in moto con velocità v0 = 90 km/h si trova a 80 m da un semaforo nell’istante in cui scatta il rosso. Immediatamente il conducente frena. Calcola l’accelerazione necessaria affinché l’automobile si possa fermare al semaforo.

Suggerimento Usa la formula (6.11) che lega velocità, accelerazione e distanza percorsa, senza bisogno di informazioni sul tempo e ricava a=

v 2 − v02 2x

Naturalmente, poiché si parla di un’auto in frenata, l’accelerazione deve risultare negativa. 90

91

Avvistando una pattuglia della polizia stradale un’auto frena passando da 100 km/h a 80 km/h in una distanza di 88 m con accelerazione costante. Determina l’accelerazione e il tempo di frenata.

Un aereo per decollare deve raggiungere sulla pista la velocità di 360 km/h. Qual è la minima accelerazione costante necessaria per decollare da una pista di 1,8 km?

92 Un’automobile

parte da ferma con accelerazione costante uguale a 3,5 m/s2. Calcola la distanza percorsa dall’automobile quando raggiunge la velocità di 70 km/h.

93

In figura sono rappresentati i grafici velocitàtempo di due auto A e B. Sapendo che all’inizio del moto le auto A e B occupano la stessa posizione, determina, utilizzando il metodo delle aree, quale distanza separa A e B all’istante

99

ESERCIZI

unità 6 a b

t = 10,0 s t = 20,0 s.

xB =

v(m/s)

(10,0 s)( 40,0 m/s) 2

= 200 m

Perciò, dopo 10,0 s, A precede B di 100 m.

50,0 40,0

B

30,0

A

b

La distanza percorsa da A è l’area del rettangolo di base 20,0 s e altezza 30,0 m/s, quindi xA = (20,0 s)(30,0 m⁄s) = 600 m

20,0

La distanza percorsa da B è l’area del trapezio rettangolo ottenuto come somma dell’area del triangolo rettangolo di base 10,0 s e altezza 40,0 m/s e del rettangolo di base 10,0 s e altezza 40,0 m/s, quindi

10,0 0

5,00 10,0 15,0 20,0 25,0

t(s)

Svolgimento a La distanza percorsa da A è l’area del rettangolo di base 10,0 s e altezza 30,0 m/s, quindi xA = (10,0 s)(30,0 m⁄s) = 300 m

Perciò, dopo 20,0 s, le due auto hanno percorso la stessa distanza di 600 m e, quindi, B ha raggiunto A.

La distanza percorsa da B è l’area del triangolo rettangolo di base 10,0 s e altezza 40,0 m/s, quindi 94

Un treno viaggia a 90 km/h. Azionando i freni, il treno si ferma in 20 s. Qual è la decelerazione del treno? Qual è la velocità del treno dopo 10 s?

95

Un’automobile viaggia alla velocità costante di 90 km/h su una strada diritta. Il conducente vede un camion fermo che gli sbarra la strada e frena con accelerazione costante 3,5 m/s2 fino a fermarsi. Calcola il tempo necessario a fermarsi.

96

Una nave riduce la sua velocità da 16 km/h a 10 km/h. Qual è la sua decelerazione?

97

Un’automobile si muove su un rettilineo con velocità uguale a 144 km/h; quindi subisce una decelerazione di 1,5 m/s2. Calcola la velocità raggiunta dopo 20 s.

(10,0 s)( 40,0 m/s)

+ (10,0 s )( 40,0 m/s) = 2 = 200 m + 400 m = 600 m xB =

98

Il grafico in figura rappresenta la velocità di un’auto al variare del tempo. Dall’esame del grafico descrivi il moto dell’auto, ricava la sua accelerazione e ricava la distanza percorsa dall’auto 25 s dopo l’istante iniziale t = 0. v(m/s) 50 40 30 20 10

99

A un semaforo rosso sono ferme una moto A e un’automobile B. Quando appare il verde, i due veicoli partono contemporaneamente. Il grafico in figura rappresenta l’andamento delle velocità dei due veicoli nel tempo. a Ricava l’accelerazione iniziale di A e di B. b Dopo 12 s, quale dei due veicoli si trova davanti all’altro? Di quanti metri?

0

5,0 10 15 20 25

t(s)

v(m/s) 14 12 10 8,0 6,0 4,0 2,0

B A

0 2,0 4,0 6,0 8,0 10 12

100

t(s)

ESERCIZI

Moto e moti rettilinei

Caduta libera dei corpi 100

101

Da una nuvola a 2000 m dal suolo cadono gocce di pioggia. Se non fossero rallentate dalla resistenza dell’aria, a che velocità raggiungerebbero la superficie terrestre e quanto tempo impiegherebbero per toccare il suolo?

Una mela cade da un albero e giunge a terra con una velocità di 6,0 m/s. Quanto tempo impiega a cadere?

102

Un vaso cade da un davanzale e tocca il suolo dopo 1,10 s. A quale altezza si trova il davanzale? Con quale velocità arriva al suolo?

103

Un corpo in un tempo t ha fatto una caduta nel vuoto di 80,0 m. Di quanto cadrà in un tempo 2t?

104

I difensori di un castello lanciano verso il basso pietre da un muro alto 15 m. Se la velocità con cui sono gettate è di 10 m/s, qual è la velocità al suolo? In quanto tempo arrivano a terra?

105

Una pallottola è sparata verso l’alto con velocità iniziale di 98,1 m/s da un edificio alto 100 m. Trova la massima altezza rispetto al suolo raggiunta dalla pallottola e il tempo impiegato per raggiungerla (considera trascurabile la resistenza dell’aria).

109

Per sapere quanto è profondo un pozzo si lascia cadere un sasso nel pozzo e si aspetta di sentire il tonfo nell’acqua. Misurando il tempo trascorso fra l’istante del lancio e l’istante in cui si sente il rumore si può ricavare la distanza percorsa dal sasso. Se la caduta dura 1,0 s, quanto è profondo il pozzo? Con quale velocità il sasso tocca il fondo? Se lo stesso pozzo si trovasse su Marte, quanto tempo impiegherebbe il sasso per raggiungere il fondo? (L’accelerazione di gravità su Marte è uguale a 3,7 m/s2.)

Lab

106

Un sasso è lanciato verticalmente verso l’alto con una velocità iniziale di 10 m/s. A quale altezza massima arriva? Quanto tempo impiega per raggiungere l’altezza massima e quindi tornare al punto di partenza?

Lab

107

Un ragazzo lancia verso l’alto una palla. Se la palla raggiunge un’altezza massima di 1,5 m rispetto al punto di lancio, con quale velocità è stata lanciata? Quanto tempo ha impiegato per raggiungere tale altezza? Ricadendo giù, con quale velocità la palla torna nella mano del ragazzo e quanto tempo impiega a tornarvi?

108 Un

ragazzo lancia una palla verticalmente verso l’alto con una velocità iniziale di 18 km/h e la riprende quando cade. Se trascuri la resistenza dell’aria, determina la massima altezza a cui arriva la palla e il tempo impiegato per raggiungerla e quindi tornare al punto di partenza. Costruisci quindi il grafico velocità-tempo per tutta la durata del moto della palla.

101

UNITÁ

7 Moti nel piano e moto armonico TEORIA

■ Moto in due dimensioni Quale forma assume la traiettoria nel moto in due dimensioni (moto nel piano)? La traiettoria ha un andamento misto, con tratti rettilinei e curve (traiettoria curvilinea) e si sviluppa in un piano. I suoi punti sono individuati da un sistema di riferimento con assi x e y fra loro perpendicolari (Figura7.1). Per ogni curva si può costruire un cerchio, detto osculatore, il cui raggio R è il raggio di curvatura della curva. In questo modo la curva coincide con una porzione della circonferenza. Ogni punto P della curva è attraversato dalla retta tangente t e dalla retta normale n passante per il centro C del cerchio; tale costruzione è utile per scomporre il vettore accelerazione (punto 4). 1

n

y

P t C

Figura 7.1

R

x

O

Come si comportano i vettori velocità e accelerazione nel moto con traiettoria curvilinea? A La traiettoria curvilinea impone un cambio di direzione del vettore velocivA tà v. Esso, essendo sempre tangente alla traiettoria, è definito più propriamente vettore velocità tangenziale. L’eventuale variazione del modulo del vettore v, o l’obbligata variazione della sua direzione, implicano, per definizione, un vettore accelerazione a non nullo. In Figura 7.2 è tracciato il vettore differenza Δv tra le velocità tangenziali Dv vB vA e vB rilevate in due punti distinti della traiettoria, in un intervallo di tempo Δt (la differenza vettoriale è eseguita con il metodo punta-coda). –vA Il vettore accelerazione media è dato dal noto rapporto am = Δv/Δt e ha direzione e verso del vettore Δv; il vettore accelerazione a si ottiene considerando un intervallo Δt infinitesimo, cioè a = dv/dt. Figura 7.2 2

B vB

Come si scompone il vettore accelerazione nel moto con traiettoria curvilinea? La Figura 7.3 mostra il vettore accelerazione a di un corpo in un determinato istante di tempo. La circonferenza del cerchio osculatore comprende la coda P di a. Il vettore si scompone rispetto alla retta tangente t e alla retta normale n che attraversano il punto P. In questo modo a si esprime come la somma vettoriale 3

102

a = at + ac

(7.1)

TEORIA

Moti nel piano e moto armonico dove: • la componente vettoriale rispetto alla retta t è l’accelerazione tangenziale at , originata dall’eventuale variazione in modulo della velocità tangenziale; • la componente vettoriale rispetto alla retta n è l’accelerazione centripeta ac , originata dalla variazione della direzione della velocità tangenziale.

n

at P

a ac C

t Figura 7.3 ESEMPIO

A seconda di quale componente vettoriale della (7.1) si annulla, il moto con traiettoria curvilinea assume caratteristiche diverse. • Se at = 0 e ac = costante≠ 0, il moto diventa circolare uniforme (punto 20). • Se at ≠ 0 e ac = 0, il moto diventa rettilineo accelerato. • Se at = 0 e ac = 0, il moto diventa rettilineo uniforme. Cosa afferma il principio dei moti rettilinei componenti? Un moto a due dimensioni si può considerare come risultante di due moti rettilinei che si sviluppano, contemporaneamente e in modo indipendente, sugli assi x e y del sistema di riferimento. Conseguenza del principio è la possibilità di scomporre la legge oraria del moto nel piano in due leggi orarie di moto rettilineo x = f (t ) (7.2) y = g(t ) Le due leggi si riferiscono, rispettivamente, alle coordinate x e y della posizione occupata dal corpo sulla traiettoria curvilinea al variare del tempo. Attenzione: ciascuna legge considera solo le componenti scalari dei vettori relative al proprio asse. 4

ESEMPIO

In Figura 7.4a una tartaruga parte in t0 = 0 dall’origine O e si muove a velocità costante v0 = 0,26 m/s con direzione di 25° rispetto l’asse x. Quali sono le coordinate x e y della posizione della tartaruga dopo 5,0 s? y

y v0 = 0,26 m/s

Figura 7.4a

v0 O

θ = 25°

v0yt v0 sen θ x

O

Figura 7.4b

v0

θ v0 cos θ

v0xt

x

Anche se la traiettoria è una retta, rimane valido il principio dei moti rettilinei componenti definito per il moto curvilineo nel piano. I due moti componenti rettilinei sono uniformi, essendo la velocità costante. Le leggi orarie (7.2) sono dunque quelle del moto RU. La scomposizione della velocità v0 rispetto agli assi x e y (Figura 7.4b) forma le componenti vettoriali (in blu) che comportano le componenti scalari v0x = v0 cos 25° = 0,24 m/s v0y = v0 sen 25° = 0,11 m/s A questo punto, le coordinate della tartaruga all’istante di tempo di 5,0 s sono date dalle leggi orarie x = v0 x t = ( 0,24 m/s )(5,0 s ) = 1,2 m e

y = v0 y t = ( 0,11 m/s )(5,0 s ) = 0,55 m

103

TEORIA

unità 7

■ Moto parabolico di un proiettile Cosa s’intende per moto parabolico di un proiettile? Il moto parabolico di un proiettile avviene ogni volta che un qualsiasi corpo è lanciato con vettore velocità iniziale v0 ed è sottoposto, durante il volo, solo all’accelerazione di gravità g. Nell’analisi del moto si trascura la resistenza dell’aria. La traiettoria è sempre a forma di parabola. 5

ESEMPIO

Un qualsiasi proiettile sparato da una qualsiasi arma da fuoco compie in volo una traiettoria parabolica. Come si comportano i vettori posizione, velocità e accelerazione nel moto parabolico? La Figura 7.5 mostra i vettori applicati al corpo in un punto qualy siasi della traiettoria parabolica (nel caso in figura l’asse x coincide P con il profilo del suolo). I vettori posizione OP e velocità v variano nel tempo, mentre il v OP g vettore accelerazione è quello di gravità g, costante in modulo, direzione e verso. Attenzione: la velocità iniziale v0 (non mostrata in figura) è applix O cata al corpo solo nell’istante di lancio e non va confusa con la velocità del corpo durante il moto. Figura 7.5 6

Come sono i moti rettilinei componenti del moto parabolico? La tipologia dei due moti è determinata dall’orientazione verticale del vettore accelerazione g nel piano (assumiamo l’asse y parallelo alla direzione di g). • Rispetto all’asse x, il vettore g non ha componente vettoriale e dunque la coordinata x del corpo si muove di moto rettilineo uniforme. • Rispetto all’asse y, il vettore g è costante e dunque la coordinata y del corpo si muove di moto uniformemente accelerato. 7

Come si classificano i moti parabolici? Si hanno i seguenti due casi: • lancio orizzontale, quando il punto di lancio è a una certa altezza rispetto al suolo e v0 è parallelo all’asse x (punto 9); • lancio obliquo, quando il punto di lancio è al suolo e v0 è inclinato rispetto all’asse x (punto 12). 8

9 Quali sono le leggi orarie nel lancio orizzontale? Nella condizione di lancio orizzontale, si colloca l’oO rigine del sistema di riferimento nel punto di lancio, j con l’asse verticale y verso il basso (Figura 7.6). Il vettore velocità iniziale v0 risulta parallelo all’asse x, e dunque parallelo al suolo, con angolo di lancio nullo: si ha solo la componente scalare v0x = v0. Considerando la scomposizione vettoriale di v0 e g rispetto agli assi x e y, le leggi orarie (7.2) diventano

v0

x

OP P

(7.3a)

x = v0t

g

y=

1 2 gt 2

v

(7.3b)

Attenzione: nella (7.3b) la componente scalare dell’accelerazione g è positiva (+g) perché il vettore g ha lo stesso verso del versore j dell’asse y. Figura 7.6

104

i

y0 y

I xG

suolo

TEORIA

Moti nel piano e moto armonico Come si determina l’equazione della traiettoria nel lancio orizzontale? Ricavando il tempo dalla (7.3a) e sostituendo nella (7.3b), si ottiene l’equazione 10

y=

g 2 x 2 v02

(7.4)

che descrive la traiettoria parabolica per x ≥ 0 e y ≥ 0. In Figura 7.6, il punto di intersezione I tra la traiettoria e la linea del suolo y = y0 è il punto di impatto al suolo del proiettile. Come si calcolano il tempo di volo e la distanza orizzontale di caduta nel lancio orizzontale? In questo caso si considera il punto di lancio a una distanza y0 dal suolo (Figura 7.6). Il tempo di volo t è equivalente a quello impiegato dalla coordinata y a percorrere, in moto RUA, la distanza y0. Si calcola ponendo y = y0 nella (7.3b), e isolando la t, cioè 11

t=

2 y0 g

(7.5)

La distanza orizzontale di caduta xG è equivalente alla distanza percorsa dalla coordinata x, in moto RU, durante il tempo di volo. Si calcola sostituendo la (7.5) nella (7.3a), cioè xG = v0

2 y0 g

(7.6)

ESEMPIO

Un oggetto è lanciato orizzontalmente con una velocità v0 = 50,0 m/s da un’altezza h = 3,00 m. Quanto tempo impiega a cadere? Se l’oggetto fosse lasciato cadere verticalmente da fermo dalla stessa altezza, il tempo di volo sarebbe lo stesso? Il tempo di volo dell’oggetto è dato dalla (7.5) t=

2 ( 3,00 m ) 2h = = 0,782 s g 9,81 m/ s 2

Lungo la direzione verticale l’oggetto si comporta come un qualunque oggetto in caduta libera, cioè si muove di moto RUA con accelerazione g. Il tempo di volo sarebbe perciò lo stesso. Quali sono le leggi orarie nel lancio obliquo? Nella condizione di lancio obliquo, si colloca l’origine del sistema di riferimento nel punto di lancio con l’asse verticale y rivolto verso l’alto (Figura 7.7a). Il vettore velocità iniziale v0 è inclinato con un angolo di lancio θ e ha, quindi, entrambe le componenti scalari v0x e v0y (Figura 7.7b). Considerando la scomposizione vettoriale di v0 e g rispetto agli assi x e y, le leggi orarie (7.2) diventano 12

(7.7a)

x = v0xt 1 y = − gt 2 + v0 y t 2

(7.7b)

y y

M

v

v0 y = v0 sen θ

Attenzione: nella (7.7b) la componente scalare dell’accelerazione g è negativa (–g) perché il vettore g ha verso opposto a quello del versore j dell’asse y. Figura 7.7a

ymax

v0

j O

θ

OP

g

Figura 7.7b v0

θ j O i v0 x = v0 cos θ

P v

x

i G

I

x

105

TEORIA

unità 7 Come si determina l’equazione della traiettoria nel lancio obliquo? Ricavando il tempo dalla (7.7a) e sostituendo nella (7.7b), si ottiene l’equazione 13

y=−

v g x2 + 0y x 2 2 v0 x v0 x

(7.8)

che descrive la traiettoria parabolica per x ≥ 0 e y ≥ 0. In Figura 7.7a, il punto di intersezione I tra la traiettoria e l’asse x è il punto di impatto al suolo del proiettile. Come si calcolano il tempo di volo e la gittata nel lancio obliquo? In questo caso il punto di lancio è a livello del suolo (Figure 7.7a e 7.7b). Il tempo di volo t è equivalente a quello impiegato dalla coordinata y a raggiungere, in moto RUA, il punto di massima altezza della traiettoria e ritornare all’origine. Si calcola ponendo y = 0 e v0y = v0 sen θ nella (7.7b), e isolando la t, cioè 14

t=

2 v0 senθ g

(7.9)

La gittata G è equivalente alla distanza percorsa dalla coordinata x, in moto RU, durante il tempo di volo. Si calcola quindi ponendo v0x = v0 cos θ, sostituendo t con la (7.9) nella (7.7a) e poi isolando la x, cioè G=

2 v02 sen θ cos θ g

(7.10)

ESEMPIO

2 Se l’angolo di lancio è di 45°, si ottiene la massima gittata. In questo caso si ha che sen 45° = cos 45° = 2 2 2v 2 ⎛ 2 ⎞ v02 ⎟ = . e quindi G = 0 ⎜ g ⎝ 2 ⎠ g Come si calcolano la massima altezza raggiunta e il tempo impiegato per raggiungerla nel lancio obliquo? Dal moto RUA, la velocità della coordinata y è vy = –gt + v0y. Ma nel punto della traiettoria di massima altezza (punto M), il vettore velocità del proiettile è parallelo al suolo e quindi non ha componente verticale, cioè vy = 0 = –gt + v0y. Sostituendo v0y = v0 sen θ, si ha 0 = –gt + v0 sen θ, da cui si ottiene il tempo per raggiungere la massima altezza 15

tmax =

v0 senθ g

(7.11)

Si osserva che tmax è uguale a metà del tempo di volo, espresso dalla (7.9). La massima altezza ymax raggiunta dal proiettile si ottiene sostituendo la (7.11) nella (7.7b) e ponendo v0y = v0 sen θ, cioè ymax =

( v0

senθ ) 2g

2

(7.12)

■ Composizione di moti Cosa s’intende per composizione dei moti? Generalmente un corpo si muove rispetto a un sistema di riferimento fermo. Ma può succedere che il corpo si muova rispetto a un sistema di riferimento, a sua volta in moto, non necessariamente uguale a quello del corpo. Un osservatore fermo osserva il moto del corpo come composizione del moto del sistema di riferimento e del moto del corpo. 16

106

TEORIA

Moti nel piano e moto armonico ESEMPIO

Il moto di una biglia (il corpo) sul pavimento di un vagone in movimento (sistema di riferimento in moto) è osservato da un osservatore fermo come un moto composto. Come si effettua la composizione del vettore spostamento? Il vettore spostamento Ds del corpo rispetto a un osservatore fermo è dato dalla somma vettoriale tra il vettore spostamento Ds' del corpo rispetto al sistema di riferimento in moto e il vettore spostamento Dst del sistema di riferimento, cioè 17

(7.13) Ds = Ds' + Dst Solitamente i tre vettori spostamento giacciono su un piano, ed è per questo che la composizione dei moti è in due dimensioni. Come si effettua la composizione del vettore velocità? Il vettore velocità v del corpo rispetto a un osservatore fermo è dato dalla somma vettoriale tra il vettore velocità v' del corpo rispetto al sistema di riferimento in moto e il vettore velocità vt del sistema di riferimento, cioè 18

(7.14)

v = v' + vt La velocità vt è definita anche velocità di trascinamento.

ESEMPIO

Una barca viaggia verso Nord attraverso un fiume con una velocità di 12 km/h rispetto all’acqua. La corrente muove l’acqua con una velocità di 5,0 km/h verso Est.

vt

v'

a) Qual è il modulo della velocità della barca rispetto alla terraferma? b) Se si vuole che la barca attraversi il fiume mantenendo una direzione perpendicolare alle sponde, quale dovrebbe essere il modulo della sua velocità rispetto alla terraferma?

vt

v

Figura 7.8a

v'

v

Figura 7.8b

a) Il vettore velocità v della barca rispetto alla terraferma è la somma vettoriale della velocità v' della barca rispetto all’acqua e della velocità vt dell’acqua (Figura 7.8a). Calcoliamo il modulo del vettore v con il teorema di Pitagora 2 2 2 2 v = ( v ') + ( vt ) = (12 km/h ) + (5,0 km/h ) = 13 km/h

b) Ora il modulo di v è la lunghezza del cateto del triangolo rettangolo di cui v' è l’ipotenusa (Figura 7.8b); quindi 2 2 2 2 v = ( v ') − ( vt ) = (12 km/h ) − (5,0 km/h ) = 11 km/h

Come si effettua la composizione del vettore accelerazione? Il vettore accelerazione a del corpo rispetto a un osservatore fermo è uguale al vettore accelerazione a' del corpo rispetto al sistema di riferimento in moto, cioè 19

(7.15)

a = a'

107

TEORIA

unità 7

■ Moto circolare uniforme Come si esprime la posizione nel moto circolare? Nel moto circolare la traiettoria è una circonferenza di raggio R il cui centro è l’origine del sistema di riferimento (Figura 7.9). La posizione P del corpo sulla circonferenza, individuata dal vettore posizione OP di modulo R, può essere espressa nei seguenti due modi: • modo lineare, dove la posizione è la lunghezza dell’arco s(t) considerato prendendo come punto iniziale quello di intersezione tra la circonferenza e il semiasse positivo delle x; lo spostamento lineare in un intervallo di tempo è Ds o, se infinitesimo, ds. • modo angolare, dove la posizione è l’ampiezza dell’angolo θ(t) y formato dal vettore posizione con il semiasse positivo delle x; lo spostamento angolare in un intervallo di tempo è Dθ o, se P OP infinitesimo, dθ. R s(t) θ(t) La lunghezza dell’arco e l’ampiezza dell’angolo sono positivi x O (negativi) se il moto avviene in senso antiorario (orario). Se l’angolo θ(t) è in radianti, tra la lunghezza dell’arco e l’ampiezza dell’angolo esiste la relazione 20

s(t) = Rθ(t)

(7.16) Figura 7.9

Come è definito il vettore velocità nel moto circolare? Nel moto circolare, come in qualsiasi traiettoria curva, il vettore velocità è sempre tangente alla circonferenza (Figura 7.9) e, per questo, è definito vettore velocità tangenziale vt ; il verso è quello del moto ds (in figura antiorario), e il modulo è vt = . dt 21

Quando il moto circolare è uniforme? È uniforme quando il modulo del vettore velocità tangenziale è costante nel tempo, cioè quando il corpo percorre archi uguali in tempi uguali; in termini matematici 22

vt =

Δs ds = = costante Δt dt

(7.17)

Il moto circolare uniforme è periodico? Il moto circolare uniforme (CU) è periodico perché il corpo, a intervalli di tempo uguali, attraversa i medesimi punti della traiettoria. Il tempo impiegato a compiere un giro è definito periodo T. Il numero di giri compiuti in un secondo è definito frequenza f ed è il reciproco del periodo T 23

f=

1 T

(7.18)

L’unità di misura della frequenza è l’hertz (Hz) oppure 1/s. Un hertz è la frequenza di un corpo che, durante il moto CU, percorre un giro in un secondo. Come influisce la periodicità del moto CU sulla velocità tangenziale? La (7.17) dice che il modulo della velocità tangenziale è costante, indipendentemente dallo spostamento e dall’intervallo di tempo considerati. Si può quindi scegliere “più comodamente” come spostamento la circonferenza, e come intervallo di tempo il periodo T; la (7.17) diventa perciò 24

dove si è applicata anche la (7.18).

108

vt =

2π R = 2π R f T

(7.19)

TEORIA

Moti nel piano e moto armonico

Se si considera lo spostamento angolare, si definisce velocità angolare w il valore costante dato dal rapporto tra l’angolo giro espresso in radianti (2p) e il periodo T

ω=

2π = 2π f T

(7.20)

La velocità angolare si misura in radianti su secondo (rad/s). 2p con la (7.20), si ottiene la seguente relazione tra le due velocità Sostituendo nella (7.19) T (7.21)

vt = w R

ESEMPIO

In un lettore CD il disco compie 300 giri al minuto. La sua frequenza è: f= e la sua velocità angolare

300 giri 300 giri = = 5,00 Hz 1 minuto 60 s

ω = ( 2π rad ) (5,00 s−1 ) = 31,4 rad/s

Come sono le componenti vettoriali del vettore accelerazione nel moto CU? Nel moto circolare uniforme il modulo della velocità tangenziale è costante e di conseguenza il modulo dell’accelerazione tangenziale at è nullo (punto 3). L’accelerazione è dunque solo centripeta, che ricordiamo è associata alla variazione della direzione della velocità tangenziale. Il modulo di ac è costante, dato dalla formula v2 (7.22) ac = t R 25

Sostituendo vt con la (7.21), si ottiene anche la formula (7.23)

ac = w 2R

Quali sono i moti rettilinei componenti del moto CU? Le proiezioni sugli assi x e y del vettore posizione corrispondono a moti rettilinei componenti di tipo armonico (vedere punto 27). 26

■ Moto armonico Cosa caratterizza il moto armonico? Nel moto armonico il corpo è confinato a percorrere un segmento rettilineo: una volta raggiunto un estremo, ripercorre il segmento per raggiungere quello opposto. È dunque un moto in una dimensione oscillante, e il sistema di riferimento è dunque un singolo asse (Figura 7.10). I punti A e –A sono i punti di elongazione o di inversione del moto; il punto O, equidistante dai punti A e –A, è il centro di oscillazione, e la distanza tra O e un punto di inversione è l’ampiezza di valore OA. Il moto è non uniforme, dato che i vettori velocità e accelerazione variano sia in modulo sia in verso. 27

–A

O

A i

x

Figura 7.10 ESEMPIO

• Il movimento di un blocco M vincolato a una molla è armonico (Figura 7.11a): tirando la molla verso A o comprimendola verso –A, il blocco oscilla rispetto al centro di oscillazione O grazie alla forza elastica della molla.

109

TEORIA

unità 7

• Il moto CU di un corpo C lungo una circonferenza è armonico (Figura 7.11b): infatti la proiezione del corpo sul diametro della circonferenza (punto P) oscilla tra gli estremi del diametro A e –A. Il centro della circonferenza O coincide con il centro di oscillazione. C M

A

O i

–A

x

P

–A

A O i

x

P

Figura 7.11 a

Figura 7.11 b

Cosa s’intende per oscillazione completa in un moto armonico? Il corpo compie un’oscillazione completa quando, partendo da un qualsiasi punto, ritorna al medesimo punto dopo avere attraversato tutti i punti della traiettoria. 28

Il moto armonico è periodico? Il moto armonico è periodico perché il corpo, a intervalli di tempo uguali, attraversa i medesimi punti della traiettoria. In modo analogo al moto periodico CU (punto 23), il periodo T è il tempo impiegato dal 1 corpo a compiere un’oscillazione completa e la frequenza f = è il numero di oscillazioni complete comT 2p piute dal corpo in un secondo. Inoltre si definisce pulsazione il rapporto w = , uguale alla definizione T di velocità angolare per il moto CU (punto 24). Si ha tale corrispondenza perché, come già affermato, il moto CU genera un moto armonico sul suo diametro (punto 27). 29

Qual è la legge oraria del moto armonico? Essendo il moto armonico di tipo periodico, la legge oraria è descritta da una funzione periodica. Ipotizzando l’origine come posizione iniziale, la funzione periodica è di tipo sinusoidale 30

(7.24) x(t ) = A sen ω t Dove A e w indicano rispettivamente l’ampiezza e la pulsazione del moto armonico. La funzione seno si applica ad angoli, e quindi wt esprime angoli misurati in radianti, come si verifica facilmente sostituendo w e t con le rispettive unità di misura. In Figura 7.12a il grafico della legge oraria, dove sull’asse orizzontale vi sono i valori sia degli angoli wt che del tempo t. La Figura 7.12b mostra come il moto CU genera il grafico della legge oraria. x y A O

P π 2

π

3π 2

T 4

T 2

3 T 4

2π ωt T t

θ(t)

O

π

R x

0

T 2

–A

110

Figura 7.12a

Figura 7.12b

2π T

ωt t

TEORIA

Moti nel piano e moto armonico ESEMPIO

Confrontiamo il grafico della legge oraria del moto armonico (Figura 7.12a) con quello della proiezione del vettore posizione sull’asse durante un moto antiorario CU (Figura 7.12b). Per: t = 0, il corpo è nel centro di oscillazione O; il vettore OP giace sull’asse orizzontale T π è in un punto di elongazione; OP è a un quarto di giro ωt = = 90° 4 4 π T ritorna in O per raggiungere il punto di elongazione opposto; OP è a mezzo giro ωt = = 180° t= 2 2 3 3 T è nel punto di elongazione opposto; OP è a tre quarti di giro ωt = π = 270° t= 4 2 t = T è di nuovo in O, terminando un’oscillazione completa; OP ha compiuto un giro completo (wt = 2p = 360°)

(

t=

)

(

(

)

)

Come variano nel tempo la velocità e l’accelerazione scalari nel moto armonico? L’andamento di entrambe le grandezze fisiche mantiene la periodicità e la pulsazione della legge oraria; cambiano le ampiezze. La velocità scalare varia nel tempo secondo la funzione periodica coseno; l’ampiezza è Aω 31

v(t) = Aw cos wt L’accelerazione scalare varia nel tempo secondo la funzione periodica seno; l’ampiezza è Aω2

(7.25)

(7.26) L’accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento, ma ha segno opposto, perché è sempre diretta verso il centro di oscillazione. a (t ) = − Aω 2 sen ωt = −ω 2 x (t )

TEST 1

La traiettoria di una pallina lanciata con una velocità v0 e direzione obliqua rispetto alla direzione orizzontale è a una circonferenza b un’iperbole c un’ellisse d una parabola

2

Il moto parabolico è il moto risultante a di un moto rettilineo uniforme e di un moto uniformemente accelerato su assi ortogonali b di un moto rettilineo uniforme e di un moto uniformemente accelerato su assi paralleli c di due moti rettilinei uniformi su assi ortogonali d di due moti rettilinei uniformemente accelerati su assi ortogonali

3

Un proiettile lanciato da una certa altezza h con velocità orizzontale raggiunge il suolo dopo un certo tempo t. Se il modulo della velocità iniziale è raddoppiato e l’altezza di lancio è sempre h, dopo quanto tempo il proiettile raggiunge il suolo? t a 2t b 4t c d t 2

4

Un sasso è lanciato verso l’alto con un angolo di 45° rispetto all’orizzontale. La componente orizzontale dell’accelerazione a è costante b aumenta c diminuisce d è nulla

5

Nel moto parabolico a la componente verticale della velocità è massima nel punto più alto della traiettoria b la componente orizzontale della velocità è massima nel punto più alto della traiettoria c la componente verticale della velocità è nulla nel punto più alto della traiettoria d la componente orizzontale della velocità è nulla nel punto più alto della traiettoria

6

Un proiettile sparato da terra con velocità iniziale v0 ha gittata massima quando l’angolo che la direzione di v0 forma con l’orizzontale è a 0° b 30° c 45° d 60°

111

ESERCIZI

unità 7 7

Una freccia è scoccata con un angolo di 45,0° rispetto al suolo e con velocità iniziale di modulo 10,0 m/s. A quale distanza dal punto di lancio toccherà il suolo? a 10,2 m b 25,1 m c 40,0 m d 50,1 m

8

Il fucile A spara un proiettile con un angolo di 30°, mentre il fucile B spara un proiettile con un angolo di 60°. I moduli delle velocità iniziali di lancio sono uguali. a La gittata di A è maggiore di quella di B b La gittata di B è maggiore di quella di A c Le gittate dei due fucili sono uguali d Non si hanno informazioni sufficienti per confrontare le gittata

9

Una barca scende a valle lungo un fiume alla velocità di 5 m/s rispetto alla riva. La corrente si muove alla velocità di 2 m/s. La velocità della barca rispetto alla corrente è a 7 m/s b 5 m/s c 3 m/s d 1 m/s

10

11

Quanto vale il periodo in un moto circolare in cui la frequenza è 10 Hz? a 1,0 s b 0,5 s c 0,2 s d 0,1 s

12

Una ruota gira con un periodo di 2,0 s. La velocità angolare della ruota è a 0,50 rad/s b 2,0 rad/s c 3,1 rad/s d 6,3 rad/s

13

14

15

112

Una barca risale la corrente alla velocità di 5 m/s rispetto alla riva. La corrente si muove alla velocità di 2 m/s. La velocità della barca rispetto alla corrente è a 7 m/s b 3 m/s c 2 m/s d 1 m/s

Nel moto circolare uniforme, la relazione tra velocità angolare ω e frequenza f è 2π a ω = 2πf b ω= f f c ω = d ω = 2πf2 2π In un orologio la lancetta dei secondi compie un giro in un minuto. Qual è la sua frequenza di rotazione? 1 Hz a 1 Hz b 60 1 1 Hz Hz c d 360 3 600 Una ruota gira compiendo 120 giri al minuto. La frequenza della ruota è a 1 Hz b 2 Hz c 60 Hz d 120 Hz

16

Nel caso di moto circolare uniforme, quale tra le figure mostra correttamente i vettori velocità e accelerazione? v a v a v a a v

17

a

b

c

d

Un’automobile si muove di moto circolare uniforme. L’accelerazione dell’auto a ha modulo nullo b ha modulo costante c ha direzione costante d ha modulo 9,81 m/s2

18

Nel moto circolare uniforme lungo una circonferenza di raggio r, la relazione tra velocità v e frequenza f è fr 2pr a v = b v= 2p f c

v = 2πrf

d

v = 2πrf 2

19

La velocità angolare di una ruota è 100 rad/s. La velocità tangenziale di un punto che dista 10 cm dall’asse della ruota è a 100 km/h b 10 km/h c 18 km/h d 36 km/h

20

Un punto sul bordo di una ruota con il raggio di 2,0 m gira con una velocità tangenziale in modulo uguale a 10 m/s. La velocità angolare della ruota è a 1,0 rad/s b 2,0 rad/s c 5,0 rad/s d 10 rad/s

21

Qual è il modulo dell’accelerazione del punto sul bordo della ruota del test precedente? a 50 m/s2 b 25 m/s2 2 c 50 m/s d 75 m/s2

22

Un’automobile percorre una curva circolare con una velocità tangenziale di 10 m/s e un’accelerazione centripeta di 2,0 m/s2. Qual è il raggio della curva? a 50 m b 20 m c 10 m d 5,0 m

23

Un corpo si muove di moto circolare uniforme descrivendo una circonferenza di raggio 3,0 m. Se l’accelerazione centripeta è di 27 m/s2, qual è la velocità tangenziale del corpo? a 3,0 m/s b 9,0 m/s c 18 m/s d 81 m/s

ESERCIZI

Moti nel piano e moto armonico 24

Una ruota compie un giro in 0,1 s. Il punto A è a 5 cm dall’asse di rotazione e si muove con velocità angolare ωA, mentre il punto B è a 10 cm dall’asse e si muove con velocità angolare ωB. Allora 1 ω a ωA = b ωA = 2ωB 2 B 1 c ωA = ωB d ωA = ωB

31

Un proiettile è sparato con un angolo di 45° alla velocità di 100 m/s. La gittata è di 102 m. V F v è la velocità di un aereo visto da terra e vt è la velocità della corrente d’aria che soffia in quota, la velocità dell’aereo rispetto alla corrente è v – vt. V F

32 Se

33

Una palla è lanciata all’interno di un vagone ferroviario. Rispetto a terra la palla ha velocità di modulo 10 m/s, direzione e verso uguali alla velocità del treno, che ha modulo 15 m/s. La velocità della palla rispetto al treno è di 25 m/s. V F

34

La frequenza è direttamente proporzionale al periodo. V F

35

Il periodo è inversamente proporzionale alla frequenza. V F

36

La frequenza si misura in secondi.

37

Nel moto circolare uniforme a il vettore velocità tangenziale è costante. b l’accelerazione è centripeta. c velocità tangenziale e periodo sono inversamente proporzionali. d velocità tangenziale e raggio sono inversamente proporzionali. e accelerazione e raggio sono direttamente proporzionali. f i vettori velocità e accelerazione sono tra loro perpendicolari. g i vettori velocità e accelerazione sono entrambi diretti verso il centro della traiettoria.

25 Se

vA è la velocità del punto A del test precedente e vB è la velocità del punto B, allora 1 v a vA = b vA = 2vB 2 B 1 c vA = vB d vA = vB

26

Due bambini sono seduti, a distanze diverse dal centro, su una giostra che gira. Quale affermazione è errata? a il bambino più vicino al centro ha velocità tangenziale minore b il bambino più lontano dal centro ha accelerazione maggiore c i due bambini hanno uguale velocità angolare d i due bambini hanno uguale velocità tangenziale 27 Un corpo si muove di moto armonico con frequenza f. La pulsazione è 2p a 2πf b f f c d f 2p

28

Un punto materiale si muove di moto armonico con pulsazione 4π rad/s. La frequenza del moto è a 4 Hz b 2 Hz c 1 Hz d 0,5 Hz

VERO/FALSO 29

30

Nel moto parabolico a il moto orizzontale ha accelerazione nulla. V b il moto verticale ha accelerazione nulla. V c il moto orizzontale è uniformemente accelerato. V d il moto verticale è uniformemente accelerato. V e il moto risultante è la composizione dei moti orizzontale e verticale. V

F

F F

Un proiettile è sparato con velocità v0 e con un angolo q rispetto all’orizzontale. 2v20 sen q cos q. La gittata è V F g

V F V F V F V F V F V F

V F

38

Tutti i punti di una ruota che si muove di moto circolare uniforme hanno a la stessa velocità angolare. V F b la stessa velocità tangenziale. V F c la stessa accelerazione. V F

39

In un moto circolare uniforme di periodo 1,0 s, la velocità angolare vale 6,3 rad/s. V F

40

Una ruota gira attorno al proprio asse con moto circolare uniforme. Il punto A dista r dall’asse, mentre il punto B dista 2r. TB è uguale a Il rapporto tra i periodi TA a 1. V F b Il rapporto tra le velocità tangenziali vB è uguale a 1. V F vA aB c Il rapporto tra le accelerazioni aA è uguale a 2. V F

F F

V F

113

ESERCIZI

unità 7 41

Il moto armonico è un moto periodico. V F

42

43

In un moto armonico in cui la pulsazione è ω, w il periodo è . V F 2π Il moto armonico di un punto è descritto dall’equazione s = r sen(10t). a r è l’ampiezza del moto. V F b La pulsazione è 10 rad/s. V F c Il periodo è 10 s. V F

55

Qual è la relazione con cui si compongono due velocità?

56

Qual è la relazione con cui si compongono due accelerazioni?

57

Come si misura un angolo nel SI?

58

Cosa si intende per periodo in un moto circolare uniforme? E per velocità angolare?

59

Elenca le unità di misura, nel SI, delle seguenti grandezze fisiche: periodo, frequenza, velocità angolare.

60

Qual è la differenza tra velocità angolare e tangenziale?

61

Quale relazione lega la velocità tangenziale e la velocità angolare in un moto circolare uniforme?

62

Perché nel moto circolare uniforme l’accelerazione è diversa da zero?

63

Quali sono le direzioni dei vettori velocità e accelerazione nel moto circolare uniforme?

64

Quale relazione lega i moduli della velocità tangenziale e dell’accelerazione in un moto circolare uniforme?

65

Cosa si intende per ampiezza in un moto armonico?

66

Qual è l’unità di misura, nel SI, della pulsazione?

67

Descrivi il grafico spazio-tempo di un moto armonico.

QUESITI 44

Il moto parabolico è il risultante della composizione di due moti ortogonali. Descrivi quali.

45

Com’è la velocità orizzontale nel moto parabolico? E quella verticale?

46

Com’è la componente verticale della velocità di un proiettile al culmine della sua traiettoria? E il modulo della velocità?

47

Un oggetto lanciato orizzontalmente da una certa altezza arriva al suolo nello stesso istante in cui arriva al suolo un oggetto lasciato cadere dalla stessa altezza. Spiega perché.

48

49

50

51

114

Vuoi colpire con un proiettile un oggetto in caduta libera. Dovrai mirare l’oggetto o un punto poco sotto di esso? Un proiettile è sparato orizzontalmente dalla cima di un edificio alto 30 m. Qual è la componente verticale dell’accelerazione del corpo? Qual è la componente orizzontale? Due sassi sono lanciati con diverse velocità con direzione orizzontale dalla stessa altezza. Cosa puoi dire dei tempi di caduta dei due sassi?

Ricava l’equazione della traiettoria di un proiettile che è lanciato con un vettore velocità iniziale la cui direzione forma un angolo θ con il suolo.

52

Definisci la gittata in un moto parabolico. Qual è la sua unità di misura nel SI?

53

Quando la gittata di un proiettile sparato dal suolo con velocità v0 obliqua è massima?

54

Qual è la relazione con cui si compongono due spostamenti?

ESERCIZI

Moto parabolico

68

di un proiettile

Una palla di cannone è sparata orizzontalmente con velocità di 250 m/s dalla cima di un promontorio alto 100 m, a picco sul mare. Qual è il tempo di volo della palla? A quale distanza dai piedi del promontorio entra in acqua? Qual è il modulo della velocità nell’istante in cui entra in acqua?

ESERCIZI

Moti nel piano e moto armonico Svolgimento Consideriamo un sistema di riferimento con origine nel punto di lancio e asse y verso il basso, quindi concorde con g. O v0

xG

x

h vx vy

y

71

Un aereo in volo orizzontale a velocità costante di 300 km/h sgancia un pacco soccorso. Quali sono le componenti scalari verticale e orizzontale della velocità iniziale del pacco? Qual è la componente scalare orizzontale della sua velocità subito prima dell’impatto con il suolo? Se la velocità dell’aereo fosse stata di 400 km/h, il tempo di caduta sarebbe stato maggiore, minore o uguale?

72

Un aereo vola orizzontalmente con velocità di 400 km/h a una quota di 2000 m. Lancia un carico che deve toccare terra in un preciso punto. Trova a quale distanza orizzontale dal bersaglio l’aereo deve sganciare il carico. Quanto tempo prima di passare sulla verticale del bersaglio l’aereo deve effettuare il lancio? Qual è il modulo della velocità del carico al suolo?

73

Un fucile spara orizzontalmente un proiettile contro un bersaglio distante 31,7 m. Il modulo della velocità di lancio è 320 m/s. Quanto più alto del bersaglio deve essere puntata la canna del fucile per riuscire a colpire il bersaglio?

74

Un proiettile è sparato orizzontalmente dall’altezza di 57,0 m e tocca il suolo alla distanza orizzontale di 1700 m. Calcola la velocità con cui è stato sparato.

75

Una nave da guerra spara proiettili per colpire un bersaglio posto a 1,50 km. L’angolo di tiro è regolato per la massima gittata. Trascurando la resistenza dell’aria, calcola la velocità di sparo e la massima altezza raggiunta dai proiettili.

76

Un proiettile sparato verticalmente verso l’alto sale fino a 200 m di altezza prima di ricadere. Sparando con un angolo di 45,0° quale sarebbe la gittata?

v

Calcoliamo il tempo di volo della palla utilizzando la formula (7.5) t=

2h 2 (100 m ) = = 4,52 s m g 9,81 2 s

Ricordiamo che il moto orizzontale è rettilineo uniforme. Quindi la distanza percorsa è (1)

xG = v0xt = v0t

dove v0x è la componente scalare orizzontale della velocità iniziale della palla, uguale al modulo della velocità iniziale v0. Se sostituiamo i dati dell’esercizio nella (1), otteniamo la distanza orizzontale di caduta m xG = 250 (4,52 s) = 1,13 km s Nell’istante in cui entra in acqua, la velocità della palla ha componente scalare orizzontale vx = v0 x = 250

m s

e componente scalare verticale ⎛ m ⎞ m vy = 2gh = 2 ⎜ 9,81 2 ⎟(100 m) = 44,3 ⎝ s ⎠ s 77

Il modulo della velocità è quindi v = vx 2 + vy 2 = 254

m s

Lab

69

Una pallina cade dal bordo di un tavolo alto 55,0 cm e arriva a terra avendo percorso una distanza orizzontale di 75,3 cm. Determina il tempo di volo e la velocità iniziale della pallina.

70

Si scaglia una freccetta orizzontalmente con velocità iniziale di 10,0 m/s puntando al centro P di un bersaglio. Dopo 0,20 s la freccetta colpisce un punto Q del bersaglio. Determina la distanza PQ e la distanza dal bersaglio in cui si trova il lanciatore.

Un calciatore dista 20 m dalla porta. Calcia un pallone con un angolo di 30°. Con quale velocità deve colpire il pallone per farlo arrivare sulla linea della porta? 78 Un corpo è scagliato verso l’alto con un angolo di 30,0° rispetto all’orizzontale. Se la sua velocità iniziale è 144 km/h, trova il tempo di volo e a quale distanza dal punto di lancio il corpo cade al suolo. Con quale velocità v il corpo arriva al suolo? Svolgimento Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine nel punto di lancio e asse y verso l’alto.

115

ESERCIZI

unità 7 79

y v0 O

30°

G

–30°

v

x

Per calcolare il tempo di volo utilizziamo la formula (7.9) t=

2 v0 senθ 2 ( 40 m/s)( sen 30°) = = 4,08 s g 9,81 m/s 2

v0 25,0 m 80

vy = v0 senθ − g

2 v0 senθ = −v0 senθ g

81

Un osservatore fermo sulla riva di un fiume misura la velocità di una barca che sta passando e ottiene il valore di 26 km/h. La corrente ha una velocità di 2,0 m/s. Qual è il valore della velocità della barca rispetto alla corrente se a la barca viaggia nello stesso verso della corrente; b la barca viaggia in verso opposto a quello della corrente.

82

Una barca si muove verso Nord a 50 km/h rispetto all’acqua ferma. La corrente, che scorre a 15 km/h, la devia verso Est. Calcola la velocità della nave rispetto alla costa.

83

Un motoscafo, che si muove alla velocità di 36 km/h in acqua ferma, attraversa un fiume perpendicolarmente rispetto alla corrente. Se la corrente del fiume lo trascina a valle con velocità di 10 km/h, con quale velocità si muove il motoscafo rispetto alla riva? Se il fiume è largo 50 m, a quale distanza dal punto opposto a quello di partenza tocca terra il motoscafo?

84

Su un vagone ferroviario che viaggia alla velocità di 20 m/s è sparato un proiettile in direzione perpendicolare al moto del treno. La velocità del proiettile è 80 m/s. Qual è il modulo della velocità del proiettile rispetto al suolo?

85

Una palla è lanciata a 10 m/s dentro un vagone che si muove lungo i binari a 30 m/s. Calcola la velocità della palla rispetto a terra se è lanciata a in avanti b all’indietro c perpendicolarmente alla direzione di moto del treno.

(4)

La componente vy risulta essere negativa perché la relativa componente vettoriale ha verso opposto rispetto a quello scelto per l’asse y. A questo punto, calcoliamo il modulo della velocità all’atterraggio utilizzando i risultati (2) e (4) v = vx 2 + vy 2 = ( v0 cosθ )2 + (−v0 senθ )2 = = v02 (cos 2θ + sen 2θ ) = v0 Il modulo della velocità con cui il corpo arriva al suolo è quindi uguale a quello della velocità iniziale. Infine, l’angolo che il vettore velocità v forma con l’orizzontale è v −v0 sen θ α = artg y = artg = −θ = −30° vx v0 cos θ Quindi, l’angolo formato con l’orizzontale dal vettore velocità all’atterraggio è uguale, in valore assoluto, all’angolo di lancio.

116

Due proiettili sono sparati entrambi con una velocità di 120 m/s, ma il primo con direzione 30,0° rispetto all’orizzontale e il secondo 60,0°. Calcola l’altezza massima raggiunta e la gittata di entrambi i proiettili. Quale dei due proiettili arriverà prima al suolo?

Composizione del moto

Il moto della coordinata verticale del corpo è invece un moto RUA, quindi la componente scalare verticale di v è data dalla legge vy = v0 y − gt (3) Nell’istante dell’impatto al suolo occorre sostituire t nella (3) con la (1)

parete 30°

(1)

Per calcolare la gittata utilizziamo la formula (7.10) 2 m 40 sen (60°) 2 v0 sen(2θ ) s G= = = 141 m m g 9,81 2 s Il vettore v con cui il corpo arriva al suolo ha componente vettoriale orizzontale e verticale. Ricordiamo che la coordinata del corpo lungo l’asse orizzontale si muove di moto RU, quindi la componente scalare orizzontale di v è uguale a quella della velocità iniziale vx = v0 x = v0 cosθ (2)

In figura, una palla è lanciata contro un muro distante 25,0 m alla velocità iniziale di 22,0 m/s e con un angolo di 30,0° rispetto al suolo. Per quanto tempo rimane in aria prima di colpire la parete? Qual è il modulo della velocità nell’istante in cui colpisce la parete? In questo istante ha già superato il vertice della traiettoria?

ESERCIZI

Moti nel piano e moto armonico Lab

86

In una carrozza di un treno che viaggia alla velocità di 90 km/h cade da fermo un pacchetto dall’altezza di 2,0 m. Qual è la velocità del pacchetto al suolo rispetto alla carrozza? Qual è la velocità al suolo rispetto al terreno?

96

Un corpo si muove lungo una circonferenza di raggio 10 cm con frequenza 2,0 Hz. Qual è il modulo della velocità tangenziale? Quanti giri completi compie in 10 s?

97

Un corpo si muove lungo una circonferenza con il raggio di 10 cm e con frequenza 4,0 Hz. Calcola la sua velocità tangenziale e il numero di giri compiuti in 5,0 s.

Moto circolare uniforme 87

Qual è la velocità angolare in radianti al secondo di una ruota che gira a 180 giri/minuto?

Svolgimento Dobbiamo esprimere il numero di giri in radianti. Poiché un giro equivale a 2π radianti, abbiamo che 180 giri equivalgono a (180)(2π) radianti. La velocità angolare è quindi giri 2π rad rad ω = 180 = 180 = 6π minuto 60 s s 88

Calcola di quanti radianti si sposta in 12 h un punto posto sulla superficie terrestre per effetto della rotazione del pianeta attorno al suo asse. Qual è la velocità tangenziale di un punto all’equatore? (Il raggio della Terra è RT = 6 380 km.) 99

In un luna-park un bambino si trova a una distanza di 5,0 m dall’asse di rotazione di una giostra. In quel punto il modulo della velocità tangenziale della giostra è 18 km/h. Qual è l’accelerazione centripeta del bambino? Se il bambino si sposta a una distanza di 2,5 m dal centro della giostra, come varia la sua accelerazione centripeta?

100

Un trenino elettrico percorre una pista circolare di raggio 3,0 m in 15 s. Calcola la velocità e l’accelerazione del trenino.

101

Un corpo che si muove su una circonferenza ha una velocità tangenziale di 20 m/s e un’accelerazione centripeta di 5,0 m/s2. Calcola il raggio della circonferenza e il periodo del moto.

La velocità angolare di una ruota in movimento è 10,472 rad/s: quanti giri compie al minuto?

Suggerimento Per esprimere i radianti in numero di giri, è necessario dividere per 2π. 89

98

Un volano compie 200 giri/minuto. Trova la velocità angolare del volano in radianti al secondo e la velocità tangenziale di un punto del volano posto a 3,0 m dall’asse di rotazione.

90

Calcola la frequenza delle lancette dei secondi, dei minuti e delle ore di un orologio.

91

Determina la velocità angolare di un’auto che percorre una curva con il raggio di 10 m a una velocità tangenziale di 40 km/h.

92

Un’auto percorre una pista circolare di diametro 60 m alla velocità tangenziale di 18 km/h. Calcola il periodo.

93

Una ruota compie 800 giri al minuto. Calcola la frequenza e il periodo del moto.

102 Un

94

Un punto materiale si muove su una circonferenza con una frequenza di 10 Hz. Calcola periodo e velocità angolare.

95

Un atleta corre su una pista circolare a velocità in modulo costante e percorre 12 giri in 10 minuti. Calcola il periodo del moto e la velocità angolare. Perché non puoi calcolare la velocità tangenziale?

satellite artificiale è detto “geostazionario” quando è visto fisso nel cielo, cioè quando il suo periodo di rotazione coincide con quello della Terra. Il raggio dell’orbita del satellite è uguale a 6,6 volte il raggio terrestre. Determina la velocità angolare del satellite e calcola la velocità tangenziale con cui il satellite percorre l’orbita (il raggio della Terra è RT = 6,38 · 103 km).

103

Un satellite artificiale si muove di moto circolare uniforme a un’altezza H = 5000 km, compiendo un giro completo intorno alla Terra in 3,3 h. Il raggio della Terra è RT = 6,38 · 106 m. Quanto valgono la velocità tangenziale e l’accelerazione centripeta del satellite?

Svolgimento Il periodo di rotazione del satellite è T = 3,3 h = (3,3)(3 600) s e, quindi, la sua velocità angolare è

117

ESERCIZI

unità 7

ω=

2π 2π rad = T ( 3,3 ) ( 3 600 ) s

La velocità del satellite è 2π rad v = ω ( RT + H ) = (6,38 + 5) ⋅ 10 6 m = (3,3)(3600) s m = 6,0 ⋅ 10 6 s L’accelerazione centripeta è

Ogni punto della cinghia di trasmissione si muove alla stessa velocità, e quindi si muovono con uguale velocità i punti di contatto tra la cinghia e le due ruote. Ricordando la relazione v = wr, possiamo scrivere w1r1 = w2r2 e poiché ω =

2

⎛ m ⎞ m2 ⎜6,0 ⋅10 3 ⎟ (6,0 )2 ⋅10 6 2 v ⎝ s ⎠ = s = a= = RT + H 11,38 ⋅10 6 m 11,38 ⋅10 6 m 2

=

2 (6,0 ) m = 3,2 m 2 2

11,38 s

104

105

106

107

s

Un satellite viaggia su un’orbita circolare, alla quota di 600 km sopra la superficie terrestre, con un periodo di rivoluzione di 100 minuti. Calcola la velocità tangenziale e l’accelerazione del satellite (RT = 6,38 · 103 km). Un astronauta sta girando in una centrifuga su un raggio di 3,0 m ed è sottoposto a un’accelerazione di 3,0 g. Determina la velocità tangenziale dell’astronauta, la frequenza e il periodo di rotazione della centrifuga. Qual è l’accelerazione centripeta dovuta alla rotazione della Terra per un corpo collocato all’equatore? Quale dovrebbe essere il periodo di rotazione della Terra affinché questa accelerazione fosse uguale a g? (Il raggio della Terra è 6,38 · 103 km.) Due ruote, di raggio r1 = 6,0 cm ed r2 = 18 cm, sono collegate da una cinghia di trasmissione, come in figura, e la ruota più grande gira a 200 giri/minuto. Calcola la frequenza e la velocità angolare della ruota più piccola, la velocità della cinghia e l’accelerazione centripeta della parte più esterna di ciascuna ruota.

r1

r2

Svolgimento Iniziamo con il convertire la velocità angolare della ruota più grande in radianti al secondo giri 2π rad rad ω 2 = 200 = 200 = 21 minuto 60 s s

118

2π = 2π f , si ha T r1 f1 = r2 f2 (1)

La (1) afferma che la frequenza di ciascuna ruota è inversamente proporzionale al rispettivo raggio; in altri termini, la ruota più piccola gira più velocemente, mentre la più grande gira più lentamente. Dalla (1)isoliamo f1 rad 21 r2 ω 2 r2 s 0,18 m = 10 Hz f1 = f2 = = r1 2π r1 2π 0,06 m e quindi

ω1 = 2π f1 = (2π rad) (10 Hz) = 63

rad s

Come abbiamo già detto, le velocità delle due cinghie sono uguali, perciò rad m v1 = v2 = ω 2 r2 = 21 (0,18 m) = 3,8 s s Calcoliamo, infine, le accelerazioni centripete delle due ruote 2 m 3,8 2 v s = 2,4 ⋅ 10 2 m a1 = 1 = 0,06 m s2 r1 2

m v s = 80 m a2 = = 0,18 m s2 r2 2 2

3,8

108

Una cinghia di trasmissione collega due ruote con diametro 12 cm e 26 cm. Se la ruota più piccola compie 100 giri/minuto qual è la velocità angolare della ruota più grande? Qual è la velocità tangenziale dei punti di contatto con la cinghia delle due ruote? Qual è la loro accelerazione centripeta?

109

Una ruota gira di moto circolare uniforme attorno al proprio asse. Il punto A dista d dall’asse di rotazione della ruota, mentre il punto B dista 2d. Quanto vale il rapporto tra i periodi di rotazione di A e di B? Quanto vale il rapporto tra la velocità tangenziale di A e quella di B?

Suggerimento Tutti i punti sulla ruota girano con uguale velocità angolare.

ESERCIZI

Moti nel piano e moto armonico 110

Un corpo in moto circolare uniforme descrive una circonferenza di raggio r = 10 cm con una velocità angolare di 2,0 giri/s. Qual è la distanza percorsa in 15 minuti?

Suggerimento Ricordiamo che la distanza sulla circonferenza è rθ, dove θ è l’angolo spazzato in 15 minuti. 111

Una palla legata all’estremità di una fune è fatta roteare lungo una circonferenza di raggio 0,500 m disposta in un piano orizzontale a un’altezza di 1,30 m da terra. Improvvisamente la fune si rompe e la palla cade a una distanza di 2,50 m dal punto in cui si trovava nell’istante di rottura. Determina l’accelerazione centripeta della palla durante il suo moto circolare.

113

Quanto valgono il periodo e la pulsazione in un moto armonico in cui la frequenza è 10 Hz?

114

Quanto valgono la frequenza e la pulsazione in un moto armonico in cui il periodo è 10 s?

Lab

115

Un corpo in moto armonico impiega 8,0 s a compiere 10 oscillazioni complete. Determina il periodo e la pulsazione del moto.

116

Un corpo che si muove di moto armonico compie 3757 oscillazioni in 4,0 minuti e 49 s. Determina frequenza e periodo del moto. Qual è il tempo necessario per compiere 429 oscillazioni?

117

Il grafico in figura rappresenta l’andamento della posizione in funzione del tempo in un moto armonico. Determina l’ampiezza, il periodo e la frequenza del moto.

Suggerimento Il moto della palla legata alla fune è circolare uniforme. Nell’istante in cui la fune si rompe, il moto diventa parabolico con velocità iniziale orizzontale.

x(m) 3 2

Moto armonico 112

Un corpo oscilla 5 volte in 1 s con moto armonico tra due posizioni distanti 8 cm. Determina a la frequenza b il periodo c la pulsazione d l’ampiezza e la legge oraria del moto.

Svolgimento a La frequenza f è il numero di oscillazioni in un secondo, quindi f = 5 Hz b

Il periodo T è il reciproco della frequenza T=

c

1

1 1 = = 0,2 s f 5 Hz

0 –1 –2 –3

1 2 3 4 5 6 7 8

118 Considera un moto armonico di ampiezza 10 cm e periodo 2,0 s. a Scrivi la legge oraria del moto. b Calcola il valore della pulsazione. c Completa la seguente tabella:

t(s)

La pulsazione ω è L’ampiezza A, per definizione, è la metà della distanza tra i due punti di inversione del moto, e dunque è 8 cm A= = 4 cm 2

e

La legge oraria del moto armonico è x(t) = A sen(ωt). Sostituiamo i dati trovati per l’ampiezza e la pulsazione e troviamo

0

T 4

T 2

T

x(m)

ω = 2πf = (2π rad)(5 Hz) = 3 ∙ 10 rad/s d

t(s)

119

Un corpo oscilla tra due punti distanti 10 cm e con un periodo di 0,5 s. Qual è l’ampiezza del moto? Qual è la legge oraria che descrive il moto?

x(t) = (0,4 m)sen[(3 ∙ 10 rad/s) t]

119

UNITÁ

8 Principi della dinamica TEORIA

■ Principi della dinamica Di cosa si occupa la dinamica? La dinamica studia i moti dei corpi in relazione alle cause che li producono, cioè le forze. Si fonda sui seguenti tre principi enunciati da Isaac Newton: • primo principio o principio di inerzia; • secondo principio o principio fondamentale della dinamica; • terzo principio o principio di azione e reazione. 1

Cosa afferma il primo principio della dinamica? Un corpo non soggetto a forze mantiene il suo stato di riposo (v = 0) o il suo stato di moto rettilineo uniforme (v costante). 2

Il principio è valido se sul corpo non agisce alcuna forza o agiscono più forze la cui risultante è nulla: in queste condizioni il vettore accelerazione è nullo. Da queste considerazioni, il principio può essere enunciato anche nel seguente modo: ⎛ N ⎞ se su un corpo di massa m agiscono N ≥ 1 forze la cui risultante è nulla ⎜∑ Fi = 0 ⎟ , l’accelerazione del ⎝ i=1 ⎠ corpo è nulla (a = 0). Cos’è l’inerzia di un corpo? L’inerzia è la tendenza di un corpo a mantenere il suo stato di riposo o di moto rettilineo uniforme. In termini equivalenti, è la resistenza di un corpo a essere accelerato o decelerato. 3

ESEMPIO

L’inerzia spiega perché, in caso di brusca partenza da fermi in auto, il nostro corpo prema contro lo schienale del sedile: l’inerzia tende a mantenere lo stato di riposo del corpo prima della partenza o, in modo equivalente, a opporsi all’improvvisa accelerazione. Cosa sono i sistemi di riferimento inerziali e come si identificano? Un sistema di riferimento è definito inerziale se rispetto ad esso vale il primo principio della dinamica. Sono inerziali tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema inerziale. Il sistema di riferimento con origine nel centro del Sole e assi puntati verso le stelle fisse è con buona approssimazione un sistema di riferimento inerziale. 4

ESEMPIO

Un sistema di riferimento solidale con la Terra non è inerziale perché il pianeta non è in moto rettilineo uniforme rispetto al Sole ed è in rotazione su se stesso. Tuttavia le accelerazioni in gioco sono di intensità talmente bassa da poter essere trascurate. Si può quindi considerare inerziale un sistema di riferimento solidale alla Terra. Sistemi non inerziali rispetto alla Terra sono quelli in moto con accelerazione: per esempio i sistemi solidali a un’auto o a un ascensore in fase di partenza o di arresto, oppure il sistema solidale al seggiolino di una giostra mentre gira.

120

TEORIA

Principi della dinamica

Cosa afferma il secondo principio della dinamica? In un sistema di riferimento inerziale l’applicazione di N ≥ 1 forze su un corpo di massa m provoca un’accelerazione 5

N

∑F

i

a=

(8.1a)

i =1

m

La (8.1a) è chiamata legge del moto ed è generalmente espressa nel seguente modo N

∑F

i

= ma

(8.1b)

i =1

N

Il vettore accelerazione a e il vettore risultante delle forze

∑F

i

hanno medesima direzione e verso; il

i =1

modulo dell’accelerazione è direttamente proporzionale a quello della forza totale e inversamente proporzionale alla massa del corpo. Le (8.1) sono relazioni vettoriali che possono essere scomposte, rispetto a una coppia di assi cartesiani xy, in componenti vettoriali e quindi scalari; per esempio la (8.1b) è scomposta nelle due componenti scalari N

∑F

xi

N

= ma x

i =1

∑F

yi

= may

i =1

(8.2)

La scomposizione (8.2) è particolarmente utile nella risoluzione di problemi. Cos’è la massa inerziale di un corpo? La massa m nella legge del moto quantifica l’inerzia del corpo. Infatti, dal secondo principio della dinamica, a parità di forza che agisce su un corpo, maggiore (minore) è la sua massa, meno (più) intensa è l’accelerazione. Per questo motivo la massa m nelle (8.1) è definita massa inerziale. 6

ESEMPIO

Sul corpo A di massa mA = 1 250 kg agisce una forza F che provoca un’accelerazione di modulo aA = 0,600 m/s2. La medesima forza è esercitata sul corpo B di massa mB = 4 500 kg. Essendo la massa inerziale mB maggiore di mA, l’effetto-accelerazione su B dovrà avere modulo minore rispetto a quello subito da A. Dalla (8.1b) si determina il modulo di F agente su A F = m A a A = (1250 kg)(0,600 m/s 2 ) = 750 N e, tramite la (8.1a), si determina il modulo di aB aB =

F 750 N = = 0,167 m/s 2 mB 4500 kg

che è appunto minore di aA. Cosa afferma il terzo principio della dinamica? Ogni volta che un corpo A esercita una forza su un corpo B, anche B esercita una forza su A; le due forze hanno medesimo modulo e direzione, ma verso contrario. 7

Il principio è descritto in Figura 8.1 dove i corpi sono rappresentati da punti materiali: la forza FAsuB esercitata dal corpo A è applicata su B; la forza FBsuA esercitata dal corpo B è applicata su A. In termini vettoriali, il principio si esprime com FAsuB = – FBsuA (8.3)

121

TEORIA

unità 8

Attenzione: i vettori FAsuB e FBsuA agiscono sempre su corpi diversi e dunque non possono mai annullarsi a vicenda. Quando una coppia di corpi si trova nella situazione descritta dal terzo principio, si dice che i corpi sono tra loro in interazione. Perché ci sia interazione, non necessariamente deve esserci contatto. Le due forze in (8.3) sono anche definite forze di azione e reazione. A B FBsuA

FAsuB

Figura 8.1

Perché certi fenomeni sembrano non rispettare il terzo principio? Nel terzo principio la forza di azione e quella di reazione sono sempre applicate a corpi diversi. Questo comporta accelerazioni diverse e non sempre rilevabili. 8

ESEMPIO

Quando la Terra attira un sasso in caduta libera, per il terzo principio anche il sasso attira la Terra e, dunque, sasso e Terra dovrebbero reciprocamente avvicinarsi: invece solo il sasso si muove, perché la forza che esso esercita sulla Terra non è sufficiente ad accelerarne l’enorme massa inerziale. Quando una calamita attira un ago, per il terzo principio anche l’ago attira la calamita e, dunque, ago e calamita dovrebbero reciprocamente avvicinarsi: invece solo l’ago si muove, perché la forza che esso esercita non è sufficiente ad accelerare la massa della calamita e a vincere la forza di attrito tra la calamita e la superficie su cui poggia.

■ Applicazione dei principi della dinamica Come si studia la dinamica di un corpo? Studiare la dinamica di un corpo significa applicare i relativi principi e determinarne la legge del moto. Si procede nel seguente modo. 9

1) Si schematizzano i corpi come punti materiali (a patto che non vi siano moti di rotazione). 2) Per ogni corpo si traccia il relativo diagramma delle forze: si spostano le forze in modo che i rispettivi punti di applicazione coincidano con il punto materiale. 3) Si colloca un sistema di coordinate xy con un asse nella direzione e verso del moto del singolo corpo (se sono già noti); altrimenti il sistema è collocato in modo che più forze possibili siano parallele agli assi. 4) Si scrive la relazione vettoriale (8.1b) della legge del moto del corpo e si scompone secondo gli assi xy per ottenere le componenti vettoriali e quindi quelle scalari (8.2). Se le direzioni delle forze giacciono su un medesimo asse, si può scrivere direttamente l’equazione del moto in una delle forme (8.2). ESEMPIO

Determiniamo l’equazione del moto per un corpo di massa m su cui agiscono le forze F1 ed F2 di uguale modulo e che formano tra loro un angolo 2θ (Figura 8.2a). La superficie su cui poggia il corpo è priva di attrito. y m θ θ

N

F1

F1

F2

θ θ

m

F2 Figura 8.2a

Figura 8.2b

P

F1y F2y

x

F1x = F2x

Si schematizza il corpo come punto materiale (Figura 8.2b) e si traccia il diagramma delle forze: oltre alle forze F1 e F2, sono presenti anche la forza peso P e la reazione vincolare normale N.

122

TEORIA

Principi della dinamica

A causa della superficie che si comporta come vincolo e del verso delle forze, il moto può essere solo orizzontale da sinistra verso destra; di conseguenza si colloca il sistema di assi xy come in figura. Si scrive la relazione vettoriale della legge del moto del corpo secondo la (8.1b) N + P + F1 + F2 = ma Si scompone secondo gli assi xy nelle componenti vettoriali che considerano i versori degli assi (non mostrati in figura) N j − mg j + F1 y j − F2 y j = may j

(1)

F1 x i + F2 x i = ma x i (2) Le componenti vettoriali rispetto all’asse y delle forze si annullano, in quanto il moto avviene solo secondo l’asse x. L’espressione con componenti scalari della (2) è F1x + F2x = max Dalla figura F1x = F2x = F cos θ e dunque l’equazione del moto è 2F cos θ = max Come si comporta una fune con forze agli estremi? Una fune (o corda o filo) va in tensione se agli estremi agisce una coppia di forze discordi; in ogni punto interno della fune c’è tensione, rappresentata da una coppia di forze T discordi e di uguale modulo (Figura 8.3). La forza T è definita tensione e per una fune inestensibile e di massa trascurabile (fune ideale) è costante. 10

Forza

Fune

Forza Figura 8.3

T

T

ESEMPIO

Se una fune in tensione venisse tagliata, il vettore T sarebbe la forza necessaria da applicare a ciascun estremo tagliato per tenere unita la fune. 11 Come si studia la dinamica di due corpi collegati con una fune? In Figura 8.4a i corpi A e B, di massa mA ed mB, poggiano su una superficie priva di attrito (superficie liscia) e sono uniti da una fune ideale. Al corpo B è applicata una forza F che mette in tensione la fune e muove i due corpi alla medesima accelerazione (aA = aB = a). Lo studio della dinamica consiste nel determinare la legge del moto dei due corpi. Il diagramma delle forze per ciascuno dei due corpi considerato come un punto materiale è in Figura 8.4b. Essendo le direzioni delle forze parallele all’asse x, esprimiamo le equazioni direttamente nelle componenti scalari

corpo A: T = mAaA = mAa (1) corpo B: F – T = mB aB = mB a (2) Sostituendo T espresso dalla (1) nella (2), si ottiene l’equazione del moto del sistema a due corpi a=

F m A + mB

(3)

Il modulo della tensione della fune si può esprimere in funzione delle masse e della forza sostituendo l’accelerazione (3) nella (1). T = mAa =

mA F m A + mB

123

TEORIA

unità 8 mA T

T

mB

F

T mB

F

mA

Figura 8.4a

Figura 8.4b

T

x x Puleggia

Qual è la funzione di una puleggia? Una puleggia o carrucola priva di attriti e di massa trascurabile (puleggia o carrucola ideale) cambia la direzione della tensione T di una fune senza modificare il suo modulo (Figura 8.5). 12

Fune

T

T

Forza Figura 8.5

Forza

Qual è l’intensità dell’accelerazione e della tensione nella macchina di Atwood? La macchina di Atwood consiste in due corpi con massa m1 e m2 uniti da una fune che scorre in una carrucola, entrambe ideali (Figura 8.6a). Determiniamo il modulo delle accelerazioni dei due corpi e la tensione della fune. 13

y

T1 T2

m1 P1

y T1

T2

m1 P1

m2 P2

m2 P2

Figura 8.6a

Figura 8.6b

Dai diagrammi delle forze (Figura 8.6b), si vede che su m1 agiscono la forza peso P1 = m1 g e la tensione T1 della fune, e dunque m1a1 = m1 g + T1 e su m2 agiscono la forza peso P2 = m2 g e la tensione T2 , e dunque m2 a2 = m2 g + T1 Supponendo m2 > m1, il corpo di massa m2 scende, mentre quello di massa m1 sale, e dunque si sceglie per i due corpi l’orientazione degli assi y come in figura. Poiché la fune è ideale, si ha che T1 = T2 = T e che a1 = a2 = a. Quindi, rispetto alle componenti vettoriali, si ha m1aj = –m1 gj + Tj –m2aj = –m2 gj + Tj e rispetto alle componenti scalari m1a = –m1 g + T (1) –m2a = –m2g + T (2) La (1) e la (2) costituiscono un sistema di due equazioni nelle due incognite a e T: il sistema si risolve con il metodo di riduzione. Se si sottrae la (2) alla (1), si ottiene (m1 + m2)a = (m2 – m1)g

124

TEORIA

Principi della dinamica da cui a=

m2 − m1 g m1 + m2

(3)

Sostituendo l’espressione (3) nella (1) o, indifferentemente, nella (2) e, dopo qualche passaggio algebrico, si ottiene l’espressione del modulo della tensione T=

2 m1 m2 g (4) m1 + m2

Alcuni casi particolari per la (3): • se m1 = 0, a = g; • se m1 = m2 = m, a = 0 (sistema in equilibrio); • se m2 >> m1, a > g (il corpo di massa m2 è in caduta libera).

Dinamica del moto sul piano inclinato 14 Qual è la legge del moto su un piano inclinato liscio? In Figura 8.7 un corpo di massa m poggia su un piano inclinato liscio. Il diagramma delle forze è sovrapposto allo schema. L’equazione del moto è

N + P = ma dove P è la forza peso e N la reazione normale del piano. Rispetto all’asse y non si ha moto: il vettore N e la componente vettoriale P⊥ di P perpendicolare al piano si annullano. Rispetto all’asse x la componente vettoriale P// di P parallela al piano è responsabile dello scivolamento del corpo verso il basso, e dunque l’equazione del moto è mg sen α i = mai h e si è posto ax = a, essendo direzione l e verso dell’asse x coincidenti con quella del moto del

dove sen α =

y N

corpo. Considerando le componenti scalari

l

m

P//

h a = g sen α = g l

x

Si osserva che l’accelerazione è costante e non dipende dalla massa del corpo, ma solo dalla geometria del piano inclinato.

α

P⊥

h

P

α Figura 8.7

Qual è la legge del moto su un piano inclinato scabro? In questo caso compare la forza di attrito (Figura 8.8). L’equazione del moto è 15

N + P + Fs = ma dove Fs ha modulo Fs = µ s P⊥ = µ s mgcos α . Rispetto all’asse y non si ha moto: i vettori N e P⊥ si annullano e Fs non offre componenti. Rispetto all’asse x partecipano al moto la componente del peso P// parallela al piano e Fs P/ / = mg sen α i

Fs = −µ s mgcos α i

Il moto verso il basso avviene solo se P// > Fs, cioè mg sen α > µ s mgcos α Questo significa che l’angolo di inclinazione α del piano deve essere tale che tan α > µ s

125

TEORIA

unità 8 In questo caso il blocco si mette in moto e scende con un’accelerazione costante di modulo a=

P/ / − Fd m

y N

dove Fd è il modulo dell’attrito dinamico ( Fd = µ d mgcos α ) .

m Fs

P// x

α

P⊥

l

h

P

α

Figura 8.8

Dinamica del moto circolare Quale forza agisce nel moto circolare uniforme di un corpo di massa m? Un corpo di massa m, in moto su una circonferenza di raggio R, subisce l’accelerazione centripeta ac diretta verso il centro. Nel moto circolare uniforme, ac ha modulo 16

ac =

v2 = ω2 R R

Per il secondo principio della dinamica, la presenza dell’accelerazione centripeta ac è dovuta a una forza centripeta (8.4a) Fc = mac di modulo Fc = mac = m

v2 = mω 2 R R

(8.4b)

Quando una forza è definita centripeta? Una forza, o la risultante di più forze, applicata a un corpo di massa m è definita centripeta quando è causa di un moto circolare uniforme. La natura della forza centripeta può essere differente, come descritto nel seguente esempio. 17

ESEMPIO

Esempi di forze centripete sono: la tensione del filo mentre si fa ruotare in aria una palla attaccata a una sua estremità, la forza di gravità della Terra che mantiene in orbita un satellite. Cosa succede al corpo in rotazione nell’istante in cui la forza centripeta si annulla? Per il primo principio della dinamica il corpo, in assenza di forze, si muove di moto rettilineo uniforme con vettore velocità uguale a quello della velocità tangenziale posseduta nel momento in cui la forza centripeta si annulla. 18

Dinamica del moto armonico Qual è la legge del moto per la molla? In Figura 8.9a una molla ha un estremo fisso e l’altro è libero di muoversi orizzontalmente con un corpo di massa m su una superficie priva di attrito. L’origine O dell’asse x coincide con la posizione di riposo della molla; rispetto all’asse y la forza peso P e la reazione normale N del piano si annullano e non intervengono nel moto. Se si sposta il corpo rispetto a O in modo da allungare o comprimere la molla e quindi lo si lascia andare, il corpo oscilla da destra verso sinistra e viceversa, soggetto a una forza elastica definita dalla legge di Hooke 19

(8.5)

F = –ks

126

TEORIA

Principi della dinamica

La forza F ha verso sempre contrario a quello del vettore spostamento s (Figura 8.9b). La costante elastica della molla k è associata alle caratteristiche della molla e si misura in N/m. L’equazione del moto del corpo è dunque F = –ks = ma (8.6) Trasformata in componenti scalari e isolando a, si ottiene a =− Il termine

k s m

(8.7)

k ha le dimensioni di una pulsazione e quindi poniamo m k =ω m

(8.8)

ottenendo l’accelerazione caratteristica del moto armonico (8.9)

a = –ω 2 s

m

Figura 8.9a

x

O

m F

O

s

x F

O

s

Figura 8.9b

m x

Qual è la legge del moto per il pendolo? In Figura 8.10a è rappresentato un pendolo costituito da un corpo di massa m appeso a O tramite un filo ideale di lunghezza l. Il vincolo del filo comporta come traiettoria un arco di circonferenza. Se il corpo è lasciato nel punto A, il pendolo rimane fermo perché la forza peso P è equilibrata dalla tensione T del filo. Se il corpo è spostato rispetto alla verticale, la componente della forza peso Pt tangente alla traiettoria e con verso sempre rivolto al punto A, ne provoca l’oscillazione. Si dimostra che nel caso di piccole oscillazioni, cioè per piccoli spostamenti s sull’arco di circonferenza rispetto a l 20

Pt = −

mg s l

(8.10) dove s è il vettore spostamento con coda in A e punta sul corpo (Figura 8.10b). L’equazione del moto del corpo è dunque Pt = −

mg s = ma l

(8.11)

127

TEORIA

unità 8 Trasformata in componenti scalari e isolando a si ottiene g a =− s l

Il termine

(8.12)

g ha le dimensioni di una pulsazione e quindi poniamo l g =ω l ottenendo l’accelerazione caratteristica del moto armonico

(8.13)

a = −ω 2 s

(8.14)

O

O

l l T

T Pt

T

m

Pt

s P

A

A

P

P

Figura 8.10a

Figura 8.10b

Quali sono i periodi di oscillazione della molla e del pendolo? La molla e il pendolo si muovono di moto armonico e dunque con periodo 21

T=

2π ω

Per la molla la pulsazione è data dalla (8.8) e dunque T = 2π

m k

(8.15)

l g

(8.16)

dove si osserva che mantenendo costante k, il periodo aumenta con la massa. Per il pendolo, la pulsazione è data dalla (8.13) e dunque

T = 2π

dove si osserva che il periodo non dipende dall’ampiezza di oscillazione (sempre nelle condizioni di piccole oscillazioni.)

128

ESERCIZI

Principi della dinamica

TEST 1

Quando la forza risultante che agisce su un corpo è nulla significa che il corpo a è fermo b si muove con velocità costante c se inizialmente era fermo rimane fermo, se si stava muovendo continua a muoversi con velocità costante d si muove con accelerazione costante

2

Un’automobile con una massa di 1000 kg si muove con velocità costante di 70 km/h. Qual è la forza totale sull’automobile? a 20 N c 51 N b 9,8 · 103 N d 0N

3

L’accelerazione prodotta da una forza costante F su un corpo di massa m a è nulla b è costante e direttamente proporzionale a F c è costante e inversamente proporzionale a F d varia nel tempo

4

Se raddoppi l’intensità della forza applicata a un corpo a raddoppia la velocità del corpo b raddoppia l’accelerazione del corpo c dimezza la velocità del corpo d dimezza l’accelerazione del corpo

5

Se a due corpi di massa m1 e m2, con m1 = 2m2, è applicata una forza di uguale intensità F, i moduli delle accelerazioni a1 e a2 dei due corpi sono a a a2 = 2a1 c a2 = 1 2 b

5

6

a2 = a1

d

Se a due corpi di massa m1 e m2, con m1 = 2m2, è applicata una forza di uguale intensità F, i moduli delle accelerazioni a1 e a2 dei due corpi sono a a a2 = 2a1 c a2 = 1 2 a2 = a1

d

Un carrello scende lungo un piano inclinato privo di attrito. L’accelerazione del carrello dipende a solo dall’altezza h del piano inclinato b solo dalla lunghezza l del piano inclinato h tra altezza e lunghezza c dal rapporto l d dalla massa del carrello

7

La forza di reazione al peso di uno zaino appoggiato su un banco a è sempre nulla b dipende dall’attrito banco-zaino c è applicata al tavolo d è applicata allo zaino

8

Un libro è appoggiato su un tavolo. Un quaderno è appoggiato sul libro. Le forze che agiscono sul libro sono a il peso del libro e il peso del quaderno b il peso del libro, il peso del quaderno e la reazione normale del tavolo sul libro c il peso del libro, la reazione normale del quaderno sul libro e la reazione normale del tavolo sul libro d il peso del libro, il peso del quaderno, la reazione normale del quaderno sul libro e la reazione normale del tavolo sul libro

9

Un carrello scende lungo un piano inclinato privo di attrito. L’accelerazione del carrello dipende a solo dall’altezza h del piano inclinato b solo dalla lunghezza l del piano inclinato h tra altezza e lunghezza c dal rapporto l d dalla massa del carrello

a2 = 4a1

Due corpi di masse m1 e m2 (con m1 > m2) sono appoggiati su una superficie liscia. Una forza F è applicata al corpo 1 e gli imprime l’accelerazione a. Se la stessa forza è applicata al corpo 2, esso si muove a con accelerazione maggiore b con la stessa accelerazione c con accelerazione minore d con accelerazione pari alla metà

b

6

a2 = 4a1

10

11

Un’automobile, del peso di 2 000 N, scende in folle con velocità costante lungo una strada inclinata di 30°. La forza di attrito tra l’automobile e la strada ha intensità a 1 800 N c 1 500 N b 1 000 N d 2 000 N

Un corpo si muove di moto circolare uniforme, a una velocità di modulo v, perché è soggetto a una forza centripeta. Se la velocità v rimane costante e il raggio della circonferenza raddoppia, l’intensità della forza centripeta a raddoppia b rimane costante c dimezza d quadruplica

129

ESERCIZI

unità 8 12

13

Una massa m, sotto l’azione di una forza elastica di costante k, oscilla con frequenza f. Se si raddoppia l’ampiezza del moto, la frequenza è f a 2f c 2 f b f d 4 Una massa m, attaccata a una molla di costante elastica k, oscilla con periodo T. La stessa massa viene attaccata a una molla diversa che ha costante elastica 4k. Quanto vale il nuovo periodo di oscillazione? a T c 4T b

2T

d

T 2

14

Un pendolo oscilla con un periodo di 2,5 s. Con quale periodo oscilla un pendolo di lunghezza doppia? a 2,5 s c 1,3 s b

15

5,0 s

d

3,5 s

Un pendolo di lunghezza l “batte il secondo” (cioè ha periodo T = 2 s) sulla Terra. Quanto deve essere lungo sulla Luna per battere il secondo (l’accelerazione di gravità sulla Luna 1 è di quella sulla Terra)? 6 l a 6l c 3 l b 3l d 6

VERO/FALSO 16 Se

la forza totale che agisce su un corpo è nulla, il corpo non si muove. 17

24

V F

Se un corpo si muove con velocità costante, allora sul corpo. a non agisce nessuna forza. V F b agisce una sola forza. V F c agiscono forze con risultante nulla. V F

18

L’accelerazione di un corpo a è inversamente proporzionale alla forza che agisce su di esso. b ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza che agisce su di esso. c è direttamente proporzionale alla massa del corpo.

25

Un’auto percorre una curva sotto l’azione di una forza centripeta. Se si dimezza il raggio della curva, la forza centripeta raddoppia. V F 26

V F

V F

19

V F

20

Le forze di azione e reazione agiscono sempre sullo stesso corpo. V F 21

Se h è l’altezza e l la lunghezza di un piano inclinato liscio, l’accelerazione lungo il piano gh inclinato è . V F l

22 Se

α è l’angolo di inclinazione di un piano inclinato scabro con coefficiente di attrito µd, l’accelerazione lungo il piano inclinato è g sen α – µdg cosq. V F 23

130

Il periodo di una molla a è direttamente proporzionale alla del corpo attaccato alla molla. b non dipende dalla lunghezza della molla. c dipende dalla costante della molla.

massa V F V F V F

V F 27

Il peso di un corpo è direttamente proporzionale alla sua massa.

Una moto, che viaggia in curva con velocità di modulo costante, è soggetta a una forza centripeta. Se la moto raddoppia la velocità, anche la forza centripeta raddoppia. V F

Un punto materiale si muove di moto circolare uniforme. L’intensità della forza centripeta mv 2 che agisce su di esso è . V F r

Il periodo di un pendolo a è direttamente proporzionale alla lunghezza del filo. V F b non dipende dalla massa del corpo appeso. V F c dipende dall’accelerazione di gravità del luogo in cui il pendolo oscilla. V F

28

Un pendolo più lungo oscilla con periodo più lungo. V F 29

Sulla Luna l’accelerazione di gravità è quella terrestre.

1 di 6

Il periodo di oscillazione di un pendolo sulla 1 Luna è di quello sulla Terra. V F 6

ESERCIZI

Principi della dinamica

QUESITI 30 31

Cosa afferma il primo principio della dinamica?

38

Un’azione e una reazione sono due forze che si bilanciano?

39

Quando sei seduto su una sedia, la sedia esercita su di te una forza perpendicolare alla sua superficie. Questa forza è in modulo uguale al tuo peso e di verso opposto. È questa la forza di reazione al tuo peso del terzo principio della dinamica?

Cosa si intende per inerzia di un corpo?

32

È possibile che un corpo si muova se su di esso non agisce nessuna forza?

33

Supponi che un corpo acceleri sotto l’effetto di due forze. Puoi concludere che la somma delle due forze non può essere nulla?

40 L’accelerazione

Cosa afferma il secondo principio della dinamica?

41

34

35

Se definissi come fondamentali le grandezze forza, tempo e lunghezza, quali sarebbero le dimensioni della massa?

36

Cosa sono i sistemi di riferimento inerziali?

37

Cosa afferma il terzo principio della dinamica?

di un corpo che scivola lungo un piano inclinato è uguale a 9,81 m/s2?

Da cosa dipende l’accelerazione di un corpo che scende lungo un piano inclinato liscio?

42

Da cosa dipende la frequenza di oscillazione di un corpo fissato all’estremità libera di una molla?

43

Una molla e un pendolo oscillano sulla Terra con lo stesso periodo. Sulla Luna oscillerebbero con lo stesso periodo?

ESERCIZI Applicazione dei principi della

dinamica 44 Una

forza agisce su un corpo di massa m = 5 kg, aumentando la sua velocità da 3 m/s a 9 m/s in 3 s. Calcola il modulo della forza.

45 Su

un corpo di massa 2,0 kg, inizialmente fermo, è applicata una forza costante. Se il corpo si muove di 28 m in 2,0 s, qual è il modulo della forza?

46 Un’allieva

spinge il suo banco di massa 10 kg inizialmente fermo con una forza di modulo 20 N inclinata di θ = 60° rispetto al pavimento liscio. Qual è l’accelerazione del banco? Qual è la reazione vincolare che il pavimento esercita sul banco? Quanto tempo impiega la ragazza per spostare il banco di 5,0 m?

Svolgimento In figura sono tracciate le forze che agiscono sul banco (in questo e nei successivi diagrammi le forze non sono in scala): la forza peso mg, la reazione vincolare del pavimento N e la forza F applicata dalla ragazza, che scomponiamo nelle componenti scalari orizzontale F cos θ e verticale F sen θ. L’equazione del moto rispetto al sistema di riferimento xy in figura è F cos θ i − F sen θ j + N j − mg j = ma i L’accelerazione non ha componente vettoriale verticale, poiché il moto del banco avviene solo lungo la direzione x (notare il versore i che accompagna l’accelerazione a). Le equazioni per le componenti scalari sono F cos θ = ma (1) − F sen θ + N − mg = 0 (2) Dalla (1) otteniamo l’accelerazione a=

y

e dalla (2) la reazione vincolare

F

F sen θ 60°

F cos θ (20N)cos 60° = = 1,0 m/s 2 m 10 kg

N = mg + F sen θ = (10 kg ) ( 9,81 m/s 2 ) + (20 N)sen 60° =

N

= 1,2 ⋅ 10 2 N F cos θ

Il tempo t che la ragazza impiega per spostare il banco di d = 5,0 m è mg

x

t=

2d 2(5,0 m) = = 3,2 s a 1,0 m/s 2

131

ESERCIZI

unità 8 47 Un corpo sta viaggiando alla velocità di 12 m/s.

Se su di esso agiscono contemporaneamente tre forze di modulo F1 = F2 = F3 = 3 N disposte come in figura, il corpo continua a viaggiare con velocità costante? Perché?

La (1) e la (2) formano un sistema di due equazioni nelle due incognite a e C. Ricaviamo a dalla (2) e la sostituiamo nella (1). Dopo alcuni passaggi algebrici otteniamo C=

F2 F1

m2 1,5 kg F= (4,3 N ) = 1,6 N m1 + m2 2,5 kg+ 1,5 kg

a=

60°

F 4,3 N = = 1,1 m/s 2 m1 + m2 2,5 kg + 1,5 kg

60° 50

F3 48 Un corpo di massa 5,0 kg è sottoposto a un’ac-

celerazione di 3,0 m/s2. Qual è il modulo della forza risultante agente sul corpo? Se questa stessa forza è applicata a un corpo di massa 3,0 kg, quale accelerazione produce? 49 Due

blocchi sono a contatto su una superficie liscia. A uno dei blocchi è applicata una forza F orizzontale, come in Figura a. Se m1 = 2,5 kg, m2 = 1,5 kg e F = 4,3 N, trova la forza di contatto tra i due blocchi e la loro accelerazione. N1 m 1

N2

m2 F

F

C12 C21

P2 P1

Figura a

Figura b

Svolgimento Su entrambi i blocchi agiscono e si equilibrano le forze peso e le reazioni vincolari dei piani di appoggio (Figura b). Sul blocco di massa m1 agiscono la forza F e la forza di contatto C12 esercitata dal blocco di massa m2. Sul blocco di massa m2 agisce solo la forza di contatto C21 esercitata dal blocco di massa m1 (Figura b). Per il terzo principio C21 = −C12 = C. I due blocchi hanno la stessa accelerazione a, poiché si muovono rimanendo in contatto. Possiamo quindi scrivere le equazioni del moto per i due blocchi rispetto a un asse orizzontale x, orientato come in Figura b m1 a i = F i − C i

m2 a i = C i

Le equazioni per le componenti scalari sono: m1a = F − C (1)

132

m2 a = C (2)

51

Con riferimento all’esercizio precedente, come cambiano la forza di contatto e l’accelerazione dei due blocchi se si applica la stessa forza F (in verso contrario) a m2 invece che a m1?

Trova l’accelerazione e la tensione di una macchina di Atwood in cui m1 = 2,0 kg e m2 = 4,0 kg.

52 Un

secchio di massa 3,0 kg appeso a una fune scende in un pozzo con un’accelerazione di 1,5 m/s2. Determina la tensione T della fune.

53 Un

uomo di 70 kg viene calato con una fune verso il basso. Se la fune può sopportare al massimo una tensione di 350 N, qual è la minima accelerazione con cui l’uomo scivola? Se viene issato con la stessa accelerazione, a quale tensione sottopone la fune?

54 Calcola

la forza che un uomo di 80 kg esercita sul pavimento di un ascensore a seconda che quest’ultimo sia: a fermo b in salita con velocità costante c in discesa con velocità costante d in salita con un’accelerazione di 1,5 m/s2 e in discesa con un’accelerazione di 1,5 m/s2 f in caduta libera, perché si è spezzato il cavo.

Svolgimento Scegliamo come sistema di riferimento un asse y verticale e orientato verso l’alto. Le forze agenti sull’uomo sono due: la forza peso P di modulo mg diretta verticalmente verso il basso e la reazione vincolare N esercitata dal pavimento dell’ascensore, diretta verticalmente verso l’alto. Scriviamo il secondo principio di Newton N j − mg j = ±ma j

(1)

dove al secondo membro consideriamo il segno positivo se l’accelerazione della cabina dell’ascensore è concorde con il verso di y, altrimenti consideriamo il segno negativo. Dalla precedente formula si ricava che la forza esercitata dall’uomo sul pavimento dell’ascensore, il cui

ESERCIZI

Principi della dinamica modulo è proprio N, dipende dall’accelerazione verticale della cabina. Passiamo a esaminare le domande richieste. a) b) c) Se l’ascensore è fermo o si muove con velocità costante abbiamo a = 0 e dunque l’equazione (1) si riduce a ( N − mg ) j = 0

che è soddisfatta annullando la componente scalare N = mg = (80 kg)(9,81 m/s 2 ) = 7,8 ⋅ 10 2 N

d) Se l’ascensore ha un’accelerazione verso l’alto, nella (1) il secondo membro ha segno positivo N j − mg j = ma j

e quindi, per le componenti scalari

da cui

55 Una scatola di massa m = 2,50 kg è appoggiata

su un tavolo. Trova l’intensità della reazione normale esercitata dal tavolo sulla scatola nei seguenti tre casi: a scatola e tavolo si trovano in un ascensore che si muove verso l’alto con velocità costante b scatola e tavolo si trovano in un ascensore che si muove verso l’alto con accelerazione 2,00 m/s2 c scatola e tavolo si trovano in un ascensore che si muove verso il basso con accelerazione 2,00 m/s2. 56 Due

corpi, di massa m1 = 3,0 kg e m2 = 2,0 kg, posti su una superficie orizzontale liscia, sono uniti da una fune. Una forza di modulo F è esercitata su una delle due masse, come in figura. Trova l’accelerazione del sistema e l’intensità della tensione T della fune, se F è 10 N.

N – mg = ma

m1 2

m2

2

N = m( g + a ) = (80 kg)(9,81 m/s + 1,5 m/s ) = = 9,0 ⋅ 10 2 N

In questo caso la forza che l’uomo esercita sul pavimento dell’ascensore ha modulo maggiore del peso dell’uomo. Di conseguenza, se l’uomo fosse in piedi su una bilancia pesapersone, la lettura della bilancia sarebbe superiore al peso dell’uomo.

e) Se l’ascensore ha un’accelerazione verso il basso, la (1) diventa

F

57 Un

uomo spinge una cassa di massa m1 = 6,3 kg su un pavimento liscio con una forza orizzontale di modulo F = 5,0 N. Davanti alla prima cassa vi è una seconda cassa di massa m2 = 3,2 kg. Calcola l’accelerazione delle casse e la forza esercitata dalla prima cassa sulla seconda. m1 m2

N j − mg j = −ma j

e quindi, per le componenti scalari

da cui

F

N – mg = ma 58 Due

N = m( g − a ) = (80 kg)(9,81 m/s 2 − 1,5 m/s 2 ) = = 6,6 ⋅ 10 2 N

In questo caso la forza che l’uomo esercita sul pavimento dell’ascensore ha modulo minore del peso dell’uomo. Di conseguenza la lettura della bilancia sarebbe inferiore al peso dell’uomo.

f) Se l’ascensore precipita, il suo moto è accelerato verso il basso con accelerazione g. L’equazione (1) diventa

blocchi, di massa m1 e m2, sono collegati con un filo inestensibile di massa trascurabile. Uno di essi è appoggiato sopra un tavolo orizzontale e l’altro pende dal tavolo, come in figura. In assenza di attrito, se l’accelerazione del g sistema è uguale a , quanto vale il rapporto 4 m2 ? m1 m1

N j − mg j = −mg j

da cui si ricava che N = 0, cioè l’uomo risulta privo di peso.

m2

133

ESERCIZI

unità 8 59 Un

blocco di 5 kg è fermo su un pavimento orizzontale. È necessaria una forza orizzontale di 15 N per metterlo in moto; una volta in moto occorre una forza di modulo 10 N per mantenerlo in moto a velocità costante. Trova i coefficienti di attrito statico e dinamico. Qual è l’intensità della forza di attrito quando sul blocco agisce una forza orizzontale di 5 N?

F cosθ − µ (F sen θ + mg) = ma e ricaviamo il coefficiente di attrito:

µ=

Calcoliamo dapprima l’accelerazione e, quindi, il valore di μ

Lab

a=

60 Una

cassa di 2,0 kg è ferma su una superficie orizzontale scabra. Una forza di intensità costante F = 10 N è applicata con un angolo θ = 30° (Figura a) e imprime alla cassa una velocità orizzontale di 9,0 m/s in 3,0 s. Calcola il coefficiente di attrito.

µ= 61

y F

F sen θ 30°

F

F cos θ

N

θ = 30° Fa

x P

Figura a

Figura b

Svolgimento Le forze agenti sulla cassa sono: la forza peso P di modulo mg, la forza vincolare N, la forza di attrito Fa e la forza F. Consideriamo un sistema di riferimento xy come in Figura b e scriviamo l’equazione vettoriale per il moto della cassa F cos θ i − Fa i + N j − F sen θ j − mg j = ma i

N − F sen θ − mg = 0 (2) Dall’equazione (2) ricaviamo l’espressione della reazione vincolare N = F sen θ + mg Ricordiamo che la forza di attrito tra due superfici è il prodotto del coefficiente di attrito e della forza normale che preme le due superfici una sull’altra. Nel caso dell’esercizio questa forza normale è N. Quindi Fa = µ ( F sen θ + mg) Sostituiamo quest’ultima espressione nella (1)

134

v 9,0 m/s = = 3,0 m/s 2 t 3,0 s

(10N)cos 30° − (2,0 kg)(3,0 m/s 2 ) = 0,11 (10N)sen 30° + (2,0 kg)(9,81m/s 2 )

Un armadio di massa 65,0 kg, compresi cassetti e indumenti, è appoggiato sul pavimento. Se il coefficiente di attrito statico tra armadio e pavimento è 0,550, qual è il modulo della forza orizzontale che occorre per spostarlo? Se si tolgono i cassetti e gli indumenti per una massa di 20,0 kg, come diventa il modulo della forza per spostarlo?

Dinamica del piano inclinato Lab

62 Determina

il tempo t che impiega un corpo a scivolare giù per un piano inclinato liscio di altezza h e lunghezza l. Con quale velocità v il corpo arriva alla base del piano? Confronta i risultati con quelli che si otterrebbero se il corpo cadesse liberamente da fermo dalla stessa altezza h.

Svolgimento

Osserviamo che il moto della cassa è solo lungo x, quindi l’accelerazione rispetto all’asse y è nulla. Riscriviamo la precedente equazione per le componenti scalari lungo x e y F cos θ − Fa = ma (1)

F cosθ − ma F sen θ + mg

y

N mg

x mg

l

h

h l mg

d l

mg

d

Dalla figura, le forze che agiscono sul corpo sono: la forza peso mg e la reazione vincolare N. L’equazione del moto del corpo è: mg + N = ma Consideriamo un sistema di riferimento xy disposto come in figura. L’equazione del moto riferita agli assi xy è h d mg i − mg j + N j = ma i l l

ESERCIZI

Principi della dinamica da cui si ottengono le equazioni per le componenti scalari: h d mg = ma (1) mg = N (2) l l La (1) mostra che la componente della forza peso parallela al piano è responsabile del moto; invece la (2) indica che la componente della forza peso perpendicolare al piano è equilibrata dalla reazione vincolare. Dalla (1) ricaviamo l’espressione dell’accelerazione del corpo che scivola lungo il piano inclinato a=g

h l

L’accelerazione risulta quindi costante e il moto rettilineo uniformemente accelerato. Osserviamo, inoltre, che, essendo h < l, si ha che a < g e quindi il moto di discesa lungo il piano inclinato risulta essere più lento del moto di caduta libera. Dalla teoria sul moto uniformemente accelerato, il tempo impiegato da un corpo con accelerazione costante a nel percorrere un tratto di lunghezza l è t=

2l = a

2l 2 =l h gh g l

e la velocità con cui il corpo arriva alla fine del tratto è h v = 2al = 2 g l = 2 gh l Un corpo che cade liberamente da fermo da un’altezza h impiega per arrivare al suolo un tempo t' =

2h <t g

Quindi il piano inclinato rallenta la caduta del corpo. La velocità con cui il corpo in caduta libera arriva al suolo è v ' = 2 gh = v Quindi il piano inclinato non modifica la velocità al termine della discesa perché, rispetto alla caduta libera, il maggior tempo di caduta è compensato dalla maggiore distanza percorsa (l anziché h). 63 Una

cassa di massa m = 5,0 kg scivola giù per un piano inclinato liscio di altezza h = 1,0 m e lunghezza l = 2,0 m. Trova il tempo che la cassa impiega per arrivare alla base del piano e la velocità con cui arriva. Se la cassa cadesse dalla stessa altezza, in quanto tempo e con quale velocità arriverebbe a terra?

64 Un

blocco di massa 3,0 kg, inizialmente fermo, scivola lungo un piano liscio inclinato di 45° partendo da 2,0 m di altezza. Trova la forza che provoca il moto del blocco e la velocità al termine della discesa.

65

Un bambino scende lungo uno scivolo alto 1,8 m con un’accelerazione di 4,0 m/s2. Calcola la lunghezza dello scivolo.

66 Un

blocco di massa m = 18,0 kg è trattenuto da una fune su un piano inclinato di 27° privo di attrito. Calcola i valori della tensione della fune e della forza normale esercitata dal piano sul blocco in condizioni di equilibrio. Se la fune viene tagliata, qual è l’accelerazione del blocco?

67 Due

masse m1 = 4,5 kg e m2 = 3,5 kg sono collegate da una fune che scorre su una puleggia senza attrito. La massa m1 è sospesa, mentre m2 sta su un piano inclinato liscio che forma un angolo di 40° rispetto all’orizzontale. Calcola l’accelerazione delle masse e la tensione della fune.

68 Una

cassa viene appoggiata con velocità nulla su un piano inclinato di 45° rispetto all’orizzontale. Il coefficiente di attrito statico tra cassa e piano è 0,40. Dimostra che la cassa scivola lungo il piano inclinato. y N

θ

Fa mg cos θ

mg sen θ mg

x

θ

Svolgimento Le forze agenti sulla cassa sono la forza peso mg, la reazione vincolare N e la forza di attrito Fa. Consideriamo un sistema di riferimento xy come in figura e scriviamo l’equazione del moto della cassa in forma cartesiana: mg sen θ i + N j − Fa i − mg cos θ j = ma i Dalla precedente equazione otteniamo le equazioni per le componenti scalari: mg sen θ − Fa = ma (1)

N − mg cos θ = 0 (2)

Dalla (2) ricaviamo che N = mg cos θ e, ricordando che Fa = μsN, abbiamo che: Fa = µ s mgcosθ Sostituiamo l’espressione di Fa nella (1) e ricaviamo l’accelerazione a = g sen θ − µ s gcosθ

135

ESERCIZI

unità 8 La cassa scivola lungo il piano inclinato se a > 0, cioè se sen θ − µ s cosθ > 0 da cui ricaviamo la condizione:

µ s < tan θ La condizione è soddisfatta, poiché

μs = 0,4 < 1 = tan 45° quindi la cassa scivola lungo il piano inclinato. 69 Una

cassa scivola lungo un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale. Se l’accelerazione g della cassa ha modulo , determina il coeffi4 ciente di attrito dinamico tra la cassa e il piano.

70 Un

blocco scivola lungo un piano inclinato di 60° rispetto all’orizzontale. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico è 0,35, calcola l’accelerazione del blocco.

e la forza vincolare NA dirette entrambe verticalmente verso il basso. Consideriamo le equazioni del moto rispetto a una direzione coincidente con il raggio della circonferenza e orientata verso il suo centro. Nel punto più basso abbiamo: v2 m = N B − mg r da cui ⎛ v2 v 2 ⎞ N B = mg + m = m ⎜ g + ⎟ = r r ⎠ ⎝ ⎡ m (190 m/s)2 ⎤ = 70 kg ⎢9,81 2 + ⎥ = s 2,00 ⋅10 3 m ⎦ ⎣ = 1,95 ⋅10 3 N = 2,84 mg Nel punto più basso della traiettoria la forza esercitata dal sedile sul pilota è maggiore del peso del pilota di un fattore 2,84. Nel punto più alto abbiamo: m da cui

Un astronauta, di massa 70 kg, orbita intorno alla Terra a un’altezza h = 480 km dalla superficie terrestre, alla velocità v = 6,6 km/s. Qual è l’accelerazione dell’astronauta? Quale forza esercita la Terra sull’astronauta? (Il raggio terrestre è RT = 6,38 · 103 km.)

72 Un

corpo è legato all’estremità di una corda di lunghezza 1,5 m che gira su un piano orizzontale. La velocità del corpo è costante e pari a 1,6 m/s. La forza esercitata dalla corda sul corpo è 4,2 N. Calcola l’accelerazione e la massa del corpo. pilota di jet di massa m = 70,0 kg esegue il giro della morte. In questa acrobazia l’aereo percorre una circonferenza posta in verticale di raggio r = 2,00 km, alla velocità di modulo costante uguale a 190 m/s. Determina la forza del sedile sul pilota nel punto più basso e in quello più alto della traiettoria circolare.

Nel punto più alto della traiettoria la forza del sedile sul pilota è minore del peso del pilota. Il pilota si sentirà perciò più leggero. 74 Una pallina di massa 200 g ruota su una circon-

ferenza disposta in un piano verticale di raggio 35,0 cm, trattenuta da un filo teso durante la rotazione. Qual è la minima velocità che deve avere la pallina nel punto più alto della traiettoria perché il filo non si allenti? Se la pallina passa per il punto più alto con una velocità uguale al doppio del valore della velocità minima, qual è la tensione del filo?

73 Un

Svolgimento Come si vede dalla figura, nel punto più basso della traiettoria circolare le forze agenti sul pilota sono: la forza peso mg e la forza vincolare NB esercitata dal sedile. Nel punto più alto della traiettoria le forze agenti sul pilota sono: la forza peso mg

136

mg

NA NB

Dinamica del moto armonico Lab

75 Una

molla, disposta su un tavolo liscio, è stata compressa. Contro la molla è tenuto fermo un corpo di massa m = 300 g. La molla esercita sul corpo una forza orizzontale di 3,0 N. Con quale accelerazione inizia a muoversi il corpo sotto l’azione della molla, una volta lasciato libero? Con la stessa molla, compressa allo stesso modo, quale accelerazione agirebbe su un corpo di massa 2m?

76 A

mg

⎛ v 2 ⎞ v2 − mg = m ⎜ − g ⎟ = r ⎝ r ⎠ ⎡ (190 m/s)2 m ⎤ = 70 kg ⎢ − 9,81 2 ⎥ = 3 s ⎦ ⎣ 2,00 ⋅10 m = 5,77 ⋅10 2 N = 0,84 mg NA = m

Dinamica del moto circolare 71

v2 = N A + mg r

una molla di massa trascurabile, sospesa verticalmente, si appende una massa m, ottenendo un allungamento di 30 cm. Con quale periodo oscilla il sistema massa+molla?

ESERCIZI

Principi della dinamica 77

Quando una massa di 4,0 kg è appesa verticalmente a una molla di massa trascurabile, la molla si allunga di 20 cm. Se si toglie la massa di 4,0 kg, di quanto si allungherà la molla se si sospende ad essa una massa di 1,5 kg?

83 Un

pendolo semplice ha un periodo di 2,00 s. Quanto è lungo? Quale periodo avrebbe sulla Luna, dove l’accelerazione di gravità è 1,67 m/s2?

Lab

84 Una

pallina di 500 g è fissata a un estremo di un filo lungo 40,0 cm; l’altro estremo del filo è vincolato a un sostegno.

78 Un

pendolo oscilla con un periodo di 1,2 s. Quanto è lungo? Un pendolo lungo il doppio con quale periodo oscilla? pendolo ha lunghezza 75 cm. Calcola il periodo di oscillazione sulla Terra e sulla Luna. L’accelerazione di gravità sulla Luna è 1/6 di quella terrestre.

y 30°

T x

79 Un

volessi costruire un pendolo con un periodo pari a 5,0 s, quale dovrebbe essere la lunghezza del pendolo sulla Terra?

Su Marte un pendolo di lunghezza 95 cm oscillerebbe con un periodo di 3,2 s. Calcola l’accelerazione di gravità su Marte.

82 Un

orologio a pendolo anticipa 2,0 s ogni ora. Se il pendolo ha una lunghezza di 1,5 m, di quanto deve essere allungato (in millimetri) per misurare il tempo correttamente?

Svolgimento Il pendolo anticipa, cioè il suo periodo è troppo corto e, quindi, tenendo presente la (8.16), il pendolo stesso è troppo corto. Calcoliamo di quanto deve essere allungato il pendolo per correggere il periodo. Se il pendolo anticipa 2 s ogni ora, significa che quando segna 3600 s in realtà dovrebbe segnare 3598 s. Indichiamo con T' il periodo “anticipato” e con T il periodo corretto. Vale la seguente proporzione: T 3600 s = T ' 3598 s Nella precedente relazione sostituiamo le espressioni dei periodi date dalla (8.16). Indicando con l' la lunghezza del pendolo che anticipa e con l quella del pendolo corretto, si ha l g 3600 s = l ' 3598 s 2π g 2π

2 2 da cui ⎛ 3600 ⎞ ⎛ 3600 ⎞ l = l'⎜ ⎟ = (1,5 m) ⎜ ⎟ = 1,5017 m ⎝ 3598 ⎠ ⎝ 3598 ⎠

Quindi per segnare esattamente il tempo il pendolo deve essere lungo 1,5017 m, cioè deve essere allungato di 1,7 mm.

mg

Mentre la pallina ruota con moto circolare uniforme, il filo forma un angolo di 30,0° con la verticale come mostra la figura. Qual è la tensione del filo? Qual è la velocità tangenziale della pallina?

80 Se

81

30°

Svolgimento Il sistema prende il nome di pendolo conico. Sulla pallina agiscono due forze: la forza peso mg e la tensione T del filo. Consideriamo un sistema di assi xy come in figura, con l’origine nella posizione istantanea della pallina, l’asse x diretto verso il centro della traiettoria circolare e l’asse y verticale. Scriviamo l’equazione del moto della pallina ma x i = Tx i + Ty j − mg j Osserviamo che la componente lungo y dell’accelerazione della pallina è nulla, poiché non c’è moto lungo y, mentre la componente lungo x è l’accelerazione centripeta della pallina. La precedente equazione, riscritta per le componenti scalari, dà: v2 m = Tx (1) Ty − mg = 0 (2) r Sostituiamo Ty = T cos 30° nell’equazione (2) e ricaviamo mg T= cos 30° Sostituiamo Tx = T sen 30° nell’equazione (1) e ricaviamo la velocità della pallina v=

Tr sen 30° 1 mg = ( l sen 30°)sen 30° = m m cos 30° = gl sen 30° tan 30°

Se sostituiamo i dati numerici otteniamo: T=

(0,5 kg)(9,81 m/s 2 ) = 5,66 N cos 30°

v = (9,81 m/s 2 )(0,4 m)sen 30° tan 30° = 1,06 m/s 85 La

sfera di un pendolo conico si muove con velocità uguale a 1,5 m/s. Calcola la lunghezza del filo, sapendo che questo forma con la verticale un angolo di 30°.

137

UNITÁ

9 Lavoro, potenza ed energia TEORIA

Lavoro e potenza Che cosa è il lavoro? Il lavoro è una grandezza fisica scalare definita come prodotto scalare tra una forza F costante e lo spostamento s che subisce il suo punto di applicazione 1

(9.1) L = F ⋅ s = F s cos α dove α è l’angolo che il vettore forza forma con il vettore spostamento (Figura 9.1). Ogni volta che una forza agisce su un corpo in movimento si dice che la forza compie lavoro. L’unità di misura nel SI è il joule (J = Nm). Il lavoro di 1 joule è quello compiuto da una forza costante di intensità 1 N quando il suo punto di applicazione si sposta di 1 m in direzione della forza. Quando il lavoro è definito lavoro motore, resistente e nullo? Il lavoro compiuto da una forza può assumere valore positivo, negativo o nullo. • È positivo quando il vettore F// , proiezione di F lungo la direzione di s, ha medesimo verso di s: in questo caso si dice che la forza compie lavoro motore (Figura 9.1a con θ < 90°). • È negativo quando il vettore F// , proiezione di F lungo la direzione di s, ha verso opposto a s: in questo caso si dice che la forza compie lavoro resistente (Figura 9.1b con θ > 90°). • È nullo se i vettori F e s sono perpendicolari fra loro, cioè F// = 0 (Figura 9.1c con θ = 90°). 2

F

θ

θ

θ

s

F//

F

F s

F//

Figura 9.1a

s

F// = 0

Figura 9.1b

Figura 9.1c

ESEMPIO

Una cassa è tirata in salita di un tratto s lungo un piano inclinato scabro da una forza F. L’inclinazione del piano è α. Qual è il lavoro compiuto da ogni forza che agisce sulla cassa? Il diagramma delle forze è rappresentato in Figura 9.2. • La reazione N del piano inclinato non compie lavoro perché è perpendicolare allo spostamento. • La forza di traino F compie un lavoro motore, perché ha lo stesso verso dello spostamento, e quindi l’angolo compreso tra forza e spostamento è 0° LF = F s cos 0° = F s

138

Figura 9.2

N Fa

F

α

P

α

TEORIA

Lavoro, potenza ed energia

• La forza peso P compie un lavoro resistente, perché l’angolo compreso tra la forza e lo spostamento è ottuso e uguale ad α + 90° LP = Ps cos (90°+ α) • La forza di attrito Fa compie un lavoro resistente, perché l’angolo compreso tra la forza e lo spostamento è 180° LFa = Fa s cos (180°) = – Fa s 3 Come si determina il lavoro di una forza variabile in modulo? Quando la forza che compie lavoro non è costante, la (9.1) non è più valida. In tal caso, la determinazione del lavoro è di tipo grafico. Si utilizza un sistema di assi cartesiano, dove sull’asse delle ordinate è riportato il modulo della forza e sull’asse delle ascisse i valori dello spostamento. L’area compresa tra la curva che esprime l’andamento del modulo della forza e l’asse delle ascisse è uguale al lavoro compiuto dalla forza. ESEMPIO

F

La Figura 9.3 mostra l’andamento dell’intensità della forza elastica (F = ks) di una molla in funzione dello spostamento s che subisce il suo punto di applicazione. Calcoliamo il lavoro compiuto dalla molla quando passa dalla posizione di equilibrio al punto di coordinata s': in questo caso il lavoro è negativo, quindi di tipo resistente, perché forza e spostamento sono discordi. Il modulo del lavoro corrisponde all’area del triangolo rettangolo colorato L=−

ks'

base ⋅ altezza s ' ⋅ ks ' 1 =− = − ks ' 2 2 2 2

O

s

s' Figura 9.3

Che cos’è la potenza? La potenza indica la rapidità con cui una forza compie lavoro. La potenza è una grandezza fisica scalare definita come il rapporto tra il lavoro compiuto da una forza e il tempo impiegato per compierlo 4

P=

L Δt

(9.2a)

L’unità di misura nel SI è il watt (W). La potenza di 1 watt è quella prodotta da una forza che compie un lavoro di 1 joule in 1 secondo. Se la forza F è costante e parallela allo spostamento s, il lavoro compiuto è L = F∆s, dove ∆s è la distanza percorsa nell’intervallo di tempo ∆t. La (9.2a) si scrive dunque come P=

F Δs = Fv Δt

ESEMPIO

(9.2b)

Se un motore alza un corpo di massa m ad altezza h in 10 s o in 20 s, il lavoro compiuto è lo stesso. In entrambi i casi il motore, durante la salita, deve sviluppare una forza che si oppone alla forza peso agente sul corpo, e quindi il lavoro è mgh. Ciò che cambia è la rapidità con cui si esegue il lavoro, cioè la potenza sviluppata dal motore. Nel primo caso, il motore deve sviluppare una potenza maggiore, perché deve compiere lo stesso lavoro più velocemente.

Energia meccanica e conservazione 5 Che cos’è l’energia? L’energia è una grandezza fisica scalare che quantifica la capacità che possiede un corpo a compiere lavoro. La sua unità di misura nel SI è il joule (J).

139

TEORIA

unità 9

Che cos’è l’energia cinetica? L’energia cinetica è l’energia posseduta da un corpo quando è in movimento, ed è definita come 6

1 Ec = mv 2 2

(9.3)

dove m è la massa del corpo e v è la sua velocità scalare istantanea. L’unità di misura nel SI è il joule. Cosa afferma il teorema dell’energia cinetica (o teorema delle forze vive)? Una forza agente su un corpo di massa m in movimento compie un lavoro uguale alla variazione di energia cinetica che subisce il corpo, cioè 7

1 1 mv 2f − mvi2 = L 2 2

(9.4)

dove vi è la velocità scalare del corpo all’inizio dell’azione della forza e vf è quella al termine dell’azione della forza. La forza citata nel teorema può anche essere la risultante di più forze agenti sul corpo. Il lavoro L comprende anche quello di eventuali forze dissipative (punto 9)

ESEMPIO

Un corpo di massa m = 5,0 kg, inizialmente fermo, è tirato su una superficie orizzontale liscia da una forza costante orizzontale F = 10 N. Qual è la velocità v del corpo che si è spostato di un tratto s = 2,0 m? Sul corpo agiscono tre forze: la forza peso, la reazione vincolare e la forza di traino. Le prime due forze non compiono lavoro, perché sono perpendicolari allo spostamento; la forza F compie un lavoro: L = Fs cos 0° = (10 N)(2,0 m) = 20 J Poiché l’energia cinetica iniziale è nulla (il corpo parte da fermo), il teorema dell’energia cinetica diventa 1 L = mv 2, da cui si ricava la velocità finale del corpo 2 2L 2 ( 20 J ) m v= = = 2,8 m 5,0 kg s Quale effetto provoca una forza F sull’energia cinetica che possiede un corpo in moto a velocità v? • Se F e v sono paralleli, l’energia cinetica aumenta (se i due vettori sono concordi) o diminuisce (se i due vettori sono discordi). • Se F e v sono perpendicolari, la forza non influisce sull’energia cinetica. • Se F e v formano tra loro un angolo, il vettore proiezione di F rispetto alla direzione di v modifica l’energia cinetica. 8

Cosa s’intende con forza conservativa e forza dissipativa? Una forza si dice conservativa se il lavoro da essa compiuto, quando il suo punto di applicazione si sposta da un punto A a un punto B, è indipendente dal particolare cammino percorso e dipende solo dalle posizioni A e B (Figura 9.4). Una forza non conservativa è definita dissipativa. Il teorema dell’energia cinetica vale anche in presenza di forze dissipative. 9

ESEMPIO

La forza peso è una forza conservativa; la forza di attrito è una forza dissipativa. Che cos’è l’energia potenziale? A ogni forza conservativa è associata una grandezza fisica scalare, chiamata energia potenziale U, definita a meno di una costante arbitraria. Il lavoro compiuto da una forza conservativa, quando il suo punto di applicazione si sposta da una posizione A a una posizione B, è dato da 10

L = –[U(B) – U(A)] (9.5) dove U(A) e U(B) sono i valori assunti dall’energia potenziale rispettivamente in A e B. L’unità di misura dell’energia potenziale nel SI è il joule.

140

TEORIA

Lavoro, potenza ed energia

Qual è l’energia potenziale associata alla forza peso? L’energia potenziale U posseduta da un corpo di massa m collocato a un’altezza h dal suolo è definita energia potenziale gravitazionale o della forza peso ed è data dal seguente prodotto 11

U = mgh (9.6) dove g è il modulo dell’accelerazione di gravità. Il livello del suolo è definito livello minimo o livello zero (h0). La forza conservativa relativa all’energia potenziale gravitazionale è la forza peso. Dalla definizione di energia, la (9.6) esprime il lavoro che la forza peso compie sul corpo se cade da un altezza h L = mgh (9.7) Non necessariamente il livello minimo deve corrispondere al livello del suolo: può essere una qualsiasi altez za h0 ≠ 0 e, in tal caso, la (9.7) diventa L = mg(h – h0) (9.8) ESEMPIO

In Figura 9.4 sono mostrati due esempi in cui il lavoro compiuto dalla forza peso (conservativa) sul corpo di massa m è il medesimo, anche se lo spostamento è totalmente diverso. In Figura 9.4a lo spostamento è h e la forza peso P = mg compie sul corpo un lavoro L = mgh passando dal punto A al punto B. In Figura 9.4b il corpo è fatto scivolare dal punto A lungo il piano inclinato fino al punto C e poi spinto al punto B in assenza di attrito. Tra il punto A e C il lavoro compiuto dalla forza peso è L = P// l, dove P// è il modulo della componente vettoriale di P lungo la direzione del piano. Tra il punto C e B la forza P non compie lavoro in quanto è perpendicolare allo spostamento. Poiché la forza P che agisce sul corpo è conservativa, si può affermare che il lavoro nei due casi è il medesimo, cioè L = P// l = mgh

A P

Figura 9.4a h A

P//

B

P h

Figura 9.4b

l

B

C P

Qual è l’energia potenziale associata alla forza elastica? L’energia potenziale elastica U di una molla compressa o allungata di un tratto x dalla sua posizione di riposo è 1 U = kx 2 (9.9) 2 12

dove k è la costante elastica della molla. Si assume che sia nulla l’energia potenziale elastica della molla nella posizione di riposo. La forza conservativa relativa all’energia potenziale elastica è la forza elastica. ESEMPIO

U(J)

La Figura 9.5 mostra l’andamento dell’energia potenziale elastica di una molla in funzione dell’allungamento x. Qual è la costante elastica k della molla? Qual è l’energia potenziale della molla quando è allungata di 12 cm?

6,0 4,0

Dalla figura si osserva che, quando la molla è allungata di x = 10 cm = 0,10 m, l’energia potenziale immagazzinata è 1 U = 2,5 J. Poiché U = kx2, si ha che 2 2Ep 2(2,5 J) N k= 2 = = 5,0 ∙ 102 x (0,10 m)2 m

2,0 0

0,020

0,060

0,10

0,14

x(m)

Figura 9.5

In corrispondenza di un allungamento x' = 12 cm = 0,12 m, l’energia potenziale è 1 1 N 5,0 ∙ 102 (0,12 m)2 = 3,6 J U' = kx' 2 = 2 2 m

(

)

141

TEORIA

unità 9

Che cos’è l’energia meccanica? L’energia meccanica E di un corpo è la somma della sua energia cinetica Ec e potenziale U. 13

Cosa afferma il principio di conservazione dell’energia meccanica? Un corpo si muove sotto l’azione di forze conservative e con le forze dissipative che non compiono lavoro: in questo caso l’energia meccanica si mantiene costante 14

Ec + U = E = costante (9.10) Un diverso modo di esprimere il principio di conservazione dell’energia è il seguente: l’energia non può essere creata né distrutta, ma può solo essere trasformata da una forma all’altra. ESEMPI

In questo esempio si evidenzia come l’energia potenziale e l’energia cinetica si trasformino a vicenda in presenza di forze conservative. Per un corpo di massa m, sospeso ad altezza h0 e soggetto alla sola forza peso, l’energia meccanica è solo potenziale E = mgh0 Se lasciato cadere, il corpo acquista velocità e dunque l’energia cinetica aumenta a discapito dell’energia potenziale, rispettando in ogni punto della caduta la (9.10), cioè 1 E = mgh + mv 2 = costante 2 All’impatto con il suolo, l’energia potenziale iniziale si è trasformata tutta in energia cinetica. Viceversa, se il corpo viene lanciato in alto lungo la verticale con velocità iniziale v0, all’istante iniziale si ha solo energia cinetica 1 E = mv02 2 Mentre il corpo sale, la velocità diminuisce e l’energia cinetica si trasforma in energia potenziale, rispettando in ogni punto la (9.10); all’apice della salita, essendo la velocità nulla, tutta l’energia cinetica è convertita in energia potenziale. Come varia l'energia meccanica quando forze conservative compiono lavoro? Se le forze dissipative compiono lavoro, l’energia meccanica non si conserva e la sua variazione è 15

ΔE = L dove L è il lavoro compiuto dalle forze dissipative.

(9.11)

ESEMPI

Un corpo di massa m = 3,0 kg è lanciato su per un piano inclinato con velocità iniziale v0 = 7,5 m/s. A causa dell’attrito, il corpo perde una quantità di energia ΔE = 33 J. Fino a quale altezza il corpo sale su per il piano inclinato? Fissato come punto di energia potenziale zero quello di partenza, l’energia meccanica iniziale è solo cinetica: 1 E i = mv02 2 Quando il corpo giunge alla quota massima h (dove si ferma), il corpo ha solo energia potenziale. Quindi l’energia meccanica finale è E f = mgh . La perdita di energia meccanica è dovuta al lavoro compiuto dalla forza di attrito; tale lavoro è uguale a ΔE: 1 Δ E = E i − E f = mv02 − mgh 2 Dalla precedente relazione si ricava il valore di h 2

h=

142

v02 Δ E 33 J (7,5 m/s) − − = = 1,7 m 2g mg 2 ( 9,81 m/s 2 ) ( 3,0 kg ) ( 9,81 m/s 2 )

ESERCIZI

Lavoro, potenza ed energia

TEST 1

Una scatola di massa 3,0 kg viene spinta per un tratto orizzontale di 2,0 m. Il lavoro della forza peso sulla scatola è a 0 J, perché la forza peso è equilibrata dalla reazione del pavimento sulla scatola b 0 J, perché la forza peso è perpendicolare allo spostamento c 59 J d –59 J

2

Una forza costante agisce su un corpo in moto. Il lavoro della forza è massimo quando l’angolo tra la forza e lo spostamento del corpo è a 0° c 45° b 30° d 90°

3

Una forza costante agisce su un corpo in moto. Il lavoro della forza è minimo quando l’angolo tra la forza e lo spostamento del corpo è a 0° c 45° b 30° d 90°

4

Un corpo di massa 1,0 kg è lanciato verso l’alto lungo un piano inclinato scabro. La velocità iniziale di lancio è 10 m/s e l’inclinazione del piano è 30°. A causa dell’attrito, il corpo percorre 5,0 m e si ferma. Qual è il lavoro della forza di attrito? a 25 J c 50 J b –25 J d –50 J

7

La potenza è una grandezza a scalare uguale al rapporto tra il lavoro compiuto dal sistema e l’intervallo di tempo necessario per compierlo b vettoriale uguale al rapporto tra il lavoro compiuto dal sistema e l’intervallo di tempo necessario per compierlo c vettoriale uguale al rapporto tra la forza applicata e il tempo durante il quale essa ha agito d scalare uguale al rapporto tra la forza applicata e il tempo durante il quale essa ha agito

8

Se viene raddoppiata la velocità di un corpo, la sua energia cinetica a dimezza c raddoppia b non cambia d quadruplica

9

Una forza è conservativa se il lavoro da essa compiuto per spostare un corpo a è sempre nullo b dipende dal cammino percorso dal corpo c dipende solo dalla posizione finale del corpo d non dipende dal cammino percorso, ma solo dalle posizioni iniziale e finale del corpo

10

5

6

Sposti un carrello di una distanza di 10 m applicando una forza di 12 N che forma un angolo di 60° con la direzione dello spostamento. Il lavoro che compi è a –12 J c –60 J b 12 J d 60 J Per allungare una molla di un tratto x bisogna compiere un lavoro L. Il lavoro necessario per allungare la molla di un tratto 2x è a L c 4L b 2L L d 2

L’energia potenziale può essere definita a per tutte le forze b solo per la forza peso c per tutte le forze conservative d per tutte le forze dissipative

11

Un corpo di massa 2,5 kg è sollevato a un’altezza di 1,3 m dal suolo. Il corpo acquista l’energia potenziale di a –3,3 J b 3,3 J c –32 J d 32 J

12

L’energia meccanica di un corpo si conserva se a sul corpo agisce la forza di attrito b sul corpo agisce solo la forza peso c sul corpo agisce una forza non conservativa d la forza peso e la forza di attrito sono uguali

13

Un corpo, inizialmente in quiete, viene lasciato cadere nel vuoto sotto l’effetto della forza gravitazionale da una certa altezza rispetto al suolo. Quando il corpo arriva al suolo, l’energia cinetica è a maggiore dell’energia potenziale gravitazionale iniziale b minore dell’energia potenziale gravitazionale iniziale c uguale all’energia potenziale gravitazionale iniziale d uguale all’energia cinetica iniziale

143

ESERCIZI

unità 9 14

Un vaso di massa m cade da un davanzale ad altezza h rispetto al suolo. L’energia cinetica con cui arriva a terra è a 0 b mgh c 2mgh d –mgh

26

27

15

Un bambino si lascia cadere in piscina lungo uno scivolo acquatico avente la forma in figura, partendo dal punto A più in alto. Qual è il rapporto tra le energie cinetiche nei punti B e C? A 1 a 4 1 b B 2 h c

2

d

1

h 2

28

29

30

16

17

La forza di attrito compie sempre un lavoro resistente.

18

19

20

21

31

Dare due esempi in cui una forza agisce su un corpo senza compiere lavoro.

33

Quando il lavoro è resistente e quando è motore?

34

Perché il lavoro di una forza elastica per produrre un dato spostamento non può essere calcolato come prodotto dell’intensità della forza per il modulo dello spostamento?

35

Perché la forza centripeta non compie lavoro su un corpo che si muove di moto circolare uniforme?

36

Come è definita la potenza? Qual è la sua unità di misura nel SI?

37

Spiega perché il lavoro svolto dalla forza di attrito è sempre negativo quando un oggetto compie uno spostamento lungo una superficie scabra.

38

Un proiettile ha una massa doppia rispetto a un altro. Se entrambi sono sparati con la stessa velocità, quale dei due possiede energia cinetica maggiore?

39

Cosa afferma il teorema dell’energia cinetica?

40

Cosa puoi dire della velocità di un oggetto se il lavoro totale svolto su di esso è nullo?

V F

Il motore 1 solleva 10 kg in 10 s. Il motore 2 solleva 12 kg in 15 s alla stessa altezza. a Il motore 1 compie il lavoro maggiore. V F b Il motore 1 sviluppa la potenza maggiore. V F

L’energia meccanica è la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale. V F

32

V F

23

25

V F

V F

Un motore che ha potenza di 1,5 kW compie un lavoro di 1500 J in ogni secondo. V F

L’energia cinetica di un corpo può assumere valore negativo.

L’energia potenziale elastica di una molla compressa è direttamente proporzionale alla compressione.

V F

22

24

L’energia potenziale della forza peso è direttamente proporzionale alla massa del corpo. V F

Come è definito il lavoro di una forza? Qual è la sua unità di misura nel SI?

Un corpo viene spostato orizzontalmente di un tratto s. Il lavoro compiuto dalla forza peso è mgs. V F Nel moto circolare uniforme la forza centripeta non compie lavoro.

V F

QUESITI

Una palla viene lanciata verso l’alto. Durante la salita, la forza peso compie un lavoro positivo. V F

La potenza è la capacità di compiere lavoro nell’unità di tempo.

144

Il lavoro compiuto da una forza conservativa lungo una traiettoria chiusa è sempre nullo.

L’energia potenziale di un corpo può assumere valore negativo.

C

VERO/FALSO

Il teorema dell’energia cinetica vale solo in presenza di forze conservative. V F

V F

Se la velocità di un corpo raddoppia, anche la sua energia cinetica raddoppia. V F

ESERCIZI

Lavoro, potenza ed energia 41

Un gruppo di trasportatori vuole caricare un camion usando una rampa dal suolo fino al pianale posteriore del camion. Uno di essi afferma che si farebbe meno lavoro per caricare il camion se venisse aumentata la lunghezza della rampa, riducendo così l’angolo rispetto all’orizzontale. La sua affermazione è valida? Perché?

sce una potenza di 50 CV per 3,0 minuti? Se la 1 macchina fornisse della potenza preceden5 te, quanto tempo impiegherebbe a compiere lo stesso lavoro? 48 Un’auto

viaggia a 90 km/h. Il suo motore esercita una spinta di 1800 N. Quale potenza sviluppa il motore? Quanto lavoro compie in 10 minuti?

42 A

cosa è uguale la variazione dell’energia meccanica totale in presenza di forze conservative? E in presenza di forze dissipative?

Energia meccanica

ESERCIZI

e conservazione

49

Lavoro e potenza 43

Due forze di intensità 20,0 N ciascuna formano un angolo di 120° e sono applicate a un corpo (figura). Il corpo è trascinato per 10 m lungo la direzione orizzontale. F1 Quanto lavoro compiono com60° plessivamente 60° le due forze? F2 44 Una

donna spinge sul pavimento per 3,5 m a velocità costante con forza orizzontale un mobile di 12 kg. Il coefficiente di attrito fra mobile e pavimento è 0,30. Quanto lavoro compie la donna? Quanto lavoro compie la forza di attrito?

45 In

figura è rappresentato il grafico di una forza elastica in funzione dell’allungamento di una molla. Ricava dal grafico quanto lavoro è necessario per allungare la molla di 10 cm.

F(N) 1,6

0,8

0,1

0,2

s(m)

50 Un’auto

di massa 900 kg ha un’energia cinetica di 1,4 ∙ 105 J. Calcola la velocità dell’auto per avere un’energia cinetica quattro volte più grande?

51

Calcola il valore dell’energia cinetica della Terra associata al suo moto di rivoluzione intorno al Sole (MT = 5,98 · 1024 kg; distanza media Terra-Sole = 1,50 · 108 km).

52

53

Un corpo ha la massa di 10,0 kg ed è fermo. Quale lavoro occorre fare per fargli acquistare una velocità di 12,0 m/s?

54

Un’automobile di massa 1 500 kg parte da ferma e raggiunge su una strada piana in un tempo t = 30 s una velocità di 72 km/h. Calcola l’energia cinetica acquisita dall’auto e la potenza media erogata dal motore durante l’intervallo t. Assumendo che l’accelerazione sia costante, qual è la potenza istantanea al termine dell’intervallo?

55

Il motore di un ascensore di massa 700 kg sviluppa una potenza di 15 kW. Calcola il tempo impiegato dall’ascensore per raggiungere l’ultimo piano, situato a un’altezza di 30 m.

46 L’energia

elettrica è fatturata sulla bolletta in kWh: il kWh è la quantità di energia corrispondente al consumo di 1 kW di potenza per un’ora. A quanti joule è equivalente 1 kWh? cavallo-vapore (CV) è un’unità di misura della potenza introdotta da James Watt. Non fa parte del SI e vale 7,452 · 102 W. Quanto lavoro può compiere una macchina che forni-

Un’auto di massa 1 400 kg accelera passando da una velocità di 72 km/h a una velocità di 144 km/h. Qual è il lavoro necessario per accelerare l’auto?

Suggerimento Poiché conosciamo la variazione della velocità del corpo, possiamo applicare il teorema delle forze vive.

Per ottenere un allungamento doppio, bisogna compiere un lavoro doppio?

47 Il

Una pompa che ha la potenza di 0,80 kW solleva acqua a un’altezza di 10 m. Quale lavoro compie in un minuto? Quanta acqua solleva?

145

ESERCIZI

unità 9 56

Una ragazza di 57 kg sale al quarto piano di un condominio, a 24 m di altezza rispetto alla strada, impiegando 52 s. Quanta potenza sviluppa?

57

Una goccia di pioggia di 0,500 g cade verticalmente per 300 m con velocità costante. Quanto lavoro compie la forza peso durante la caduta? Quanto lavoro compie la resistenza dell’aria?

58

dell’energia meccanica: 1 mv 2 = mgl(1 − cos θ ) 2 da cui possiamo ricavare la velocità in B v = 2 gl(1 − cos θ ) = 2(9,81 m/s 2 )(1,0 m)(1 − cos 30°) = = 1,6 m/s

146

Un vaso di fiori di 3,5 kg cade da un balcone alto 10 m rispetto alla strada. Qual è l’energia potenziale del vaso prima di cadere, avendo scelto come livello di riferimento il suolo? Quali sono l’energia cinetica e la velocità del vaso all’arrivo al suolo? Trascura la resistenza dell’aria.

61

Un proiettile di massa 1,40 kg viene sparato verticalmente verso l’alto da una quota di 125 m sopra il suolo. La velocità iniziale del proiettile è di 120 m/s. Trascurando la resistenza dell’aria, calcola l’energia cinetica e potenziale iniziale del proiettile e la velocità del proiettile al suo impatto al suolo. Quali risposte dipendono dalla massa del proiettile? (Scegli il suolo come livello di riferimento dell’energia potenziale.)

62

Al luna-park sulle montagne russe un carrello di massa 100 kg scende partendo da fermo dal punto A fino a B e poi risale fino al punto C a 31,0 m da terra. Se la velocità del carrello in B è 40,0 m/s, quanta energia potenziale possiede il carrello in A e da quale altezza è partito? Quanta energia meccanica possiede il carrello in C? Quale velocità ha in C? (Scegli la posizione di B come livello di riferimento dell’energia potenziale.)

Un pendolo di lunghezza l = 1,0 m è abbandonato da fermo nel punto A quando la fune di collegamento forma un angolo θ = 30° con la verticale. Determina la velocità della massa m nel punto B.

Svolgimento Le forze agenti sulla massa m sono la tenO sione del filo e la forza peso. La tensione del θ filo è in ogni punto perpendicolare alla l traiettoria e quindi non compie lavoro, la sola forza che compie lavoro è la forza peso. A Essa è una forza conP m servativa, e quindi vale h il principio di conserB vazione dell’energia meccanica. Scegliamo come quota nulla quella della posizione B e indichiamo con h la quota di A. L’energia cinetica della massa in A è nulla, mentre la sua energia potenziale è U(A) = mgh. Poiché h = PB = OB − OP = l − l cos θ , l’energia potenziale diventa U(A) = mgl(1 – cos θ). Nel punto B l’energia 1 2 cinetica è EC ( B ) = mv , mentre l’energia poten2 ziale è nulla. Applichiamo la legge di conservazione

59

60

Un pendolo semplice lungo 1,0 m ha applicato all’estremità una massa di 12 kg. Se il pendolo cade da fermo dalla posizione orizzontale, quali saranno la velocità e l’energia cinetica acquistate dalla massa nel punto più basso della traiettoria?

A

C 31,0 m B 63

Due masse m1 = 4,00 kg e m2 = 6,00 kg sono collegate da una fune inestensibile che scorre senza attrito su una carrucola. Inizialmente la massa m1 è appoggiata a terra, mentre la massa m2 è sospesa all’altezza h = 3,50 m. Calcola la velocità della massa m1 nell’istante in cui m2 tocca il suolo.

Svolgimento In figura abbiamo un esempio della macchina di Atwood. Scegliamo come istante iniziale quello del rilascio di m2 e come istante finale quello in cui m2 tocca il suolo. Osserviamo che, grazie al ruolo svolto dalla fune, la velocità con cui sale m1 è uguale in modulo a quella

m2 m1

h

ESERCIZI

Lavoro, potenza ed energia con cui scende m2. Inoltre, la quota a cui sale m1 è uguale a quella da cui scende m2. L’energia cinetica iniziale dei due corpi è nulla, mentre l’energia potenziale iniziale è m2 gh (scegliamo come livello zero il suolo). Se v è la velocità dei due corpi nell’istante finale, 1 1 la loro energia cinetica è m1 v 2 + m2 v 2, mentre 2 2 l’energia potenziale finale è m1 gh. Applichiamo il principio di conservazione dell’energia meccanica: 1 1 m1 v 2 + m2 v 2 + m1 gh = m2 gh 2 2 da cui abbiamo 1 ( m1 + m2 )v 2 = ( m2 − m1 ) gh 2 Ricaviamo quindi l’espressione della velocità 2( m2 − m1 ) gh v= m1 + m2 Sostituiamo i dati dell’esercizio 2(6,0 kg − 4,0 kg)(9,81 m/s 2 )(3,5 m) = 3,71 m/s v= (6,0 + 4,0)kg Lab

64

Due masse m1 = 5,0 kg e m2 = 3,0 kg sono collegate da una fune che scorre su una carrucola senza attrito. La massa m2 è appoggiata sul pavimento, mentre la massa m1 viene lasciata cadere da ferma da un’altezza h = 4,0 m rispetto al suolo. Determina la velocità di m2 nell’istante in cui m1 tocca il suolo.

65 In

un fucile per la pesca subacquea la molla ha una costante elastica di 500 N/m. Comprimendola di 35,0 cm, quanta energia potenziale possiede? Nell’istante in cui viene lanciata, quanta energia cinetica e quale velocità ha la freccia di massa 100 g?

Svolgimento In assenza di attrito, le forze che agiscono sulla cassa sono la forza peso, la reazione vincolare e la forza F. Le prime due forze non compiono lavoro, perché sono perpendicolari alla direzione dello spostamento; il lavoro compiuto dalla forza F è Fd. Per il teore1 ma delle forze vive abbiamo che Fd = mv 2 , da cui 2 2(15,0 N)(5,00 m) 2 Fd = = 3,87 m/s v= 10,0 kg m Nel caso in cui la superficie sia scabra, dobbiamo considerare anche la forza di attrito Fa che compie un lavoro uguale a –Fad = –μmgd. Dal teorema delle forze vive 1 Fd − µ mgd = mv 2 2 da cui possiamo ricavare la velocità 2( F − mg )d = m

v= =

2 15,0N − (0,12)(10,0 kg)(9,81 m/s 2 ) (5,00 m) 10,0 kg

69

Una cassa di massa m = 40,0 kg, inizialmente ferma, è spinta per un tratto d = 5,00 m lungo un pavimento orizzontale scabro (μ = 0,300) con una forza costante orizzontale di modulo F = 130 N. Determina il lavoro della forza applicata, l’energia dissipata per attrito, la variazione di energia cinetica della cassa e la velocità finale della cassa.

70

Un corpo puntiforme di massa m = 300 g scivola sulla pista rappresentata in figura. Le due parti curve sono prive di attrito, mentre nella parte in piano il corpo perde per attrito 700 mJ di energia meccanica. Il corpo è lasciato libero in A, all’altezza h = 1,25 m rispetto al tratto piano. A quale altezza si ferma il corpo? A

Lab

66

67

68

Un corpo di 500 g cade dall’altezza di 60 cm sopra una molla di costante elastica 50 N/m. Di quanto si accorcia la molla? Sospendendo una massa di 60 g a una molla verticale essa si allunga di 20 cm. Qual è la costante elastica della molla? Quanta energia potenziale viene immagazzinata nella molla comprimendola di 10 cm? Un blocco di 10,0 kg è fermo su una superficie orizzontale liscia. Viene quindi tirato verso destra da una forza costante orizzontale di modulo F = 15,0 N. Trova la velocità del blocco dopo che si è spostato di 5,00 m. Ripeti l’esercizio nel caso in cui la superficie sia scabra con un coefficiente di attrito μ = 0,120.

= 1,80 m/s

h

71

Una palla di massa 500 g viene lasciata cadere da ferma dall’altezza di 1,5 m. Rimbalza al suolo e risale fino all’altezza di 1,0 m. Quanta energia si è persa per attrito con l’aria e nel rimbalzo?

Lab

72

Si lancia un corpo di massa 2,0 kg verso l’alto lungo un piano inclinato di 30°, con una velocità iniziale di 10 m/s. A causa dell’attrito, il corpo percorre 4,0 m e poi si ferma. Calcola l’energia dissipata a causa dell’attrito. Qual è l’intensità della forza di attrito?

147

UNITÁ

10 Temperatura e calore TEORIA

■ Temperatura Qual è la differenza tra grandezze fisiche microscopiche e macroscopiche? Le grandezze fisiche che si riferiscono alle proprietà di una particella o di una molecola sono dette microscopiche e sono analizzate da strumenti matematici statistici. Esempi sono la massa o la velocità o l’energia cinetica di una molecola di un corpo (solido, liquido o aeriforme). La grandezze fisiche che si riferiscono alle proprietà di un corpo nel suo complesso sono dette macroscopiche. Esempi sono la massa di un cubo di metallo, la pressione esercitata su un liquido, la temperatura. 1

2 Cos’è l’energia interna di un corpo? L’energia interna di un corpo è una grandezza fisica scalare definita dalla somma delle energie microscopiche potenziali e cinetiche delle sue molecole. La maggiore componente dell’energia interna è offerta dalle energie cinetiche associate al moto caotico delle molecole. Per questo motivo l’energia interna aumenta con l’aumento delle velocità delle molecole e viceversa.

Cos’è la temperatura? La temperatura è una grandezza fisica scalare che rappresenta a livello macroscopico l’energia interna di un corpo: elevata (bassa) energia interna significa elevata (bassa) temperatura. Per il punto 2, la temperatura è associata alla velocità con cui si agitano le molecole, e per questo il moto caotico delle molecole è detto anche agitazione termica. 3

Cosa significa in fisica riscaldare e raffreddare un corpo? In fisica riscaldare (raffreddare) un corpo significa aumentare (diminuire) la sua temperatura. 4

ESEMPIO

Non sempre un corpo posto su una fiamma diventa caldo come abitualmente si pensa: un cubetto di ghiaccio, anche se inizia a sciogliersi, offre al tatto la sensazione di freddo. In modo analogo, non sempre un corpo che si raffredda diventa freddo: l’acqua in una pentola, una volta interrotta la bollitura, inizia il raffreddamento, anche se al tatto è ancora calda. Quando due corpi sono in contatto termico e in equilibrio termico? Due corpi sono in contatto termico se fra essi è possibile uno scambio di energia interna; il contatto termico non prevede necessariamente un contatto fisico (punto 20). Il contatto termico tra due corpi a differente temperatura provoca un trasferimento di energia interna. L’energia trasferita è definita calore (punto 11). Il calore scorre dal corpo a temperatura maggiore a quello a temperatura minore. Due corpi in contatto termico sono in equilibrio termico quando le loro temperature si stabilizzano a un medesimo valore. 5

Cosa afferma il principio zero della termodinamica? Due corpi A e B, non in contatto termico, sono fra loro in equilibrio termico se esiste un corpo C per cui A e B, singolarmente in contatto termico con C, sono in equilibrio termico con C. 6

148

TEORIA

Temperatura e calore 7

Come si misura la temperatura?

La temperatura si misura con il comune e noto termometro (per esempio il termometro clinico al gallio). Il funzionamento del termometro sfrutta la caratteristica delle sostanze di variare il proprio volume in presenza di variazioni di temperatura (punto 10). La misura della temperatura di un corpo avviene in due fasi: 1) si pone il termometro in contatto termico con il corpo; 2) si attende che il termometro e il corpo raggiungano l’equilibrio termico (nel termometro clinico avviene quando il livello di gallio nel capillare si stabilizza). Se si vuole sapere se due corpi A e B sono in equilibrio termico, si applica il principio zero della termodinamica considerando come corpo C il termometro (punto 6). Quali sono le scale termometriche? • Scala centigrada o scala Celsius: l’unità di misura è il grado centigrado o grado Celsius (simbolo °C). La temperatura in questa scala si indica con la lettera t (per esempio t = 25 °C). • Scala assoluta o scala Kelvin: l’unità di misura nel SI è il kelvin (simbolo K). La temperatura in questa scala si indica con la lettera T (per esempio T = 50 K). • Scala Fahrenheit: l’unità di misura è il grado fahrenheit (simbolo °F). La temperatura in questa scala si indica con tF (per esempio tF = 212 °F). In Figura 10.1 sono messe a confronto le tre scale termometriche, con evidenziate le temperature a cui avvengono particolari fenomeni fisici; lo zero assoluto indica la temperatura minima ammessa in natura, che è possibile solo avvicinare ma non raggiungere. L’intervallo tra due gradi successivi nella scala centigrada è uguale a quello della scala assoluta, e dunque ∆t = ∆T. Per questo motivo, per indicare variazioni di temperatura nel SI, è comunemente utilizzato anche il grado centigrado. 8

Scala Fahrenheit (°F)

Scala Centigrada (°C)

Scala Assoluta (K)

212

100

373

punto di ebollizione dell’acqua

32

0

273

punto di congelamento dell’acqua

–109

–78

195

punto di congelamento del ghiaccio secco

–321

–196

77

–460

–273

0

Figura 10.1

punto di ebollizione dell’azoto zero assoluto

9 Come si convertono i valori di temperatura da una scala all’altra? • Conversione gradi centigradi in kelvin: si somma 273,15 alla temperatura in gradi centigradi

T = t + 273,15 • Conversione kelvin in gradi centigradi: si sottrae 273,15 alla temperatura in kelvin

(10.1a)

t = T − 273,15 • Conversione gradi centigradi in gradi fahrenheit: si applica la formula

(10.1b)

9 tF = t + 32 5

(10.2a)

• Conversione gradi fahrenheit in gradi centigradi: si applica la formula

t=

5 (tF − 32) 9

(10.2b)

ESEMPIO

La temperatura t = 13,0 °C corrisponde nella scala assoluta alla temperatura T = (t + 273,15)K = (13,0 + 273,15)K = 286 K

149

TEORIA

unità 10

Come una variazione di temperatura modifica la struttura dei corpi? Le dimensioni lunghezza L, superficie S, volume V di un generico corpo variano quando il corpo è sottoposto a una variazione di temperatura ∆T = T − T0, dove T0 è la temperatura iniziale e T è la temperatura alla quale si misura la dimensione L, S o V. • Dilatazione termica di lunghezza dei solidi: 10

L = L0 (1+ λΔT )

(10.3a)

dove L0 è la lunghezza a T0 e λ è il coefficiente di dilatazione lineare che esprime l’allungamento che subisce una barra sottile lunga 1 m a causa di un aumento ∆T = 1 K = 1 °C; l’unità di misura è 1/K o, indifferentemente, 1/°C. Il coefficiente λ dipende dal tipo di materiale e in generale dalla temperatura. • Dilatazione termica di superficie dei solidi: S = S0(1 + sDT)

(10.3b)

dove S0 è la superficie a T0 e σ è il coefficiente di dilatazione superficiale, il cui valore è σ = 2λ, dove λ è il coefficiente di dilatazione lineare. • Dilatazione termica di volume dei solidi: V = V0(1 + aDT)

(10.3c)

dove V0 è il volume a T0 e α è il coefficiente di dilatazione volumetrica, il cui valore è α = 3λ. • Dilatazione termica di volume dei liquidi: V = V0(1 + ηDT)

(10.4)

dove V0 è il volume a T0 ed η è coefficiente di dilatazione volumetrica che dipende dal liquido e, in modo lieve, dalla temperatura. Assume valori dell’ordine di grandezza di 10–3 e l’unità di misura è 1/K o 1/°C. L’acqua è un’eccezione tra i liquidi: infatti da 0 °C a 4 °C il suo volume, anziché aumentare, diminuisce. • Dilatazione termica di volume dei gas a pressione costante: V = V0(1 + gDT)

(10.5)

dove V0 è il volume che il gas occupa alla temperatura t0 = 0 °C. Il parametro γ è il coefficiente di dilatazione volumetrica per i gas: il valore, comune a tutti i gas, è di 1/273,15 K–1 (oppure °C–1). ESEMPIO

Un fenomeno interessante appare se si riscalda una lamina di metallo con un foro interno. A causa dell’espansione del metallo si potrebbe ipotizzare il restringimento del foro. Invece avviene il contrario: il foro si allarga. La dilatazione termica provoca un effetto simile a un ingrandimento fotografico. Una barra di alluminio (coefficiente di dilatazione λ = 24,0 ∙ 10–6 °C–1) è lunga l0 = 2,50 m alla temperatura ti = 150 °C. Di quanto si allunga la barra se la temperatura è portata a tf = 650 °C? Se l è la lunghezza della barra alla temperatura tf, l’allungamento è l – l0. Dalla (10.3a), si ha che da cui l’allungamento

l = l0 + λ l0(tf – ti)

l – l0 = λ l0(tf – ti) = (24,0 ∙ 10–6 °C–1)(2,50 m)(650 – 150) °C = 0,030 m = 3,0 cm

■ Calore Cos’è il calore? Il calore è l’energia interna trasferita spontaneamente tra due corpi a differente temperatura in contatto termico: il calore si trasferisce dal corpo a temperatura più alta a quello a temperatura più bassa. 11

150

TEORIA

Temperatura e calore Dato un corpo C1 a una data temperatura T1 , si definisce: • calore ceduto (Figura 10.2a) il calore fornito al corpo C2 a temperatura inferiore T2 (C2 si riscalda mentre C1 si raffredda); per convenzione il valore di Q ceduto da un corpo è preso con segno negativo.

C1

• calore assorbito (Figura 10.2b) il calore proveniente dal corpo C2 a temperatura superiore T2 (C2 si raffredda mentre C1 si riscalda); per convenzione il valore di Q assorbito da un corpo è preso con segno positivo.

C1

 Q<0

C2

Figura 10.2a

 Q>0

C2

Figura 10.2b

Avvenuto il trasferimento di calore, i corpi raggiungono l’equilibrio termico a una temperatura di equilibrio Te compresa tra le temperature iniziali T1 e T2 (punto 5 e punto 17). Come si misura il calore? La grandezza fisica scalare calore Q è un’energia e, dunque, l’unità di misura nel SI è il joule (simbolo J). Un’altra unità di misura molto usata è la caloria (simbolo cal): una caloria equivale alla quantità di calore che si cede a 1 g d’acqua per elevare la sua temperatura da 14,5 °C a 15,5 °C. Spesso è impiegata la kilocaloria (simbolo kcal) con 1 kcal = 1000 cal. La misura del calore si effettua con strumenti chiamati calorimetri. 12

In cosa consiste l’equivalenza meccanica della caloria? Il trasferimento di calore non avviene solo tra due corpi a differente temperatura, ma anche in presenza di lavoro compiuto da forze. Con il mulinello di Joule (Figura 10.3) è possibile riscaldare acqua (quindi cedere a essa calore) sfruttando il lavoro compiuto dalla forza di gravità che fa scendere i pesi e dunque ruotare le pale del mulinello. La rotazione agita l’acqua aumentando la sua energia interna e quindi la temperatura: l’acqua si riscalda. Con il mulinello di Joule si trova che per aumentare di 1 °C la temperatura di 1 g di acqua è necessario un lavoro L = 4,186 J. Dal punto 12, la medesima condizione avviene cedendo una caloria. Quindi la caloria equivale al lavoro meccanico secondo l’uguaglianza 13

(10.6)

1 cal = 4,186 J

Figura 10.3

Cos’è la capacità termica? La capacità termica C di un corpo è il rapporto tra il calore assorbito Q e il conseguente aumento di temperatura ∆T Q C= (10.7) ΔT 14

L’unità di misura nel SI è joule su kelvin (simbolo J/K). Se nella (10.7) si pone ∆T = 1 K = 1 °C, si ha C = Q, dunque la capacità termica equivale al calore che un determinato corpo deve assorbire per innalzare la sua temperatura di un kelvin o, indifferentemente, di un grado centigrado. ESEMPIO

La capacità termica dipende dal tipo di sostanza componente il corpo e dalla sua massa. In generale, dato un valore fissato di calore assorbito, più è alta (bassa) la variazione di temperatura del corpo, più è bassa (alta) la sua capacità termica. Quindi un corpo con bassa (alta) capacità termica necessita di poco (tanto) calore per aumentare la sua temperatura. Per esempio, consideriamo due oggetti di natura e massa diversi, un ago e l’acqua contenuta in una pentola. Cediamo calore tramite un accendino all’ago fino a farlo diventare incandescente. Con lo stesso accendino cediamo il medesimo calore alla pentola d’acqua. La variazione di temperatura subita dall’ago (diventato incandescente) è molto maggiore di quella (trascurabile) dell’acqua. Quindi l’ago ha una bassa capacità termica.

151

TEORIA

unità 10

Cos’è il calore specifico? Sia dato un corpo di massa m di cui si è misurata la capacità termica C: il calore specifico c del corpo è il rapporto C c= (10.8) m 15

L’unità di misura nel SI è joule su kilogrammo e kelvin (simbolo J/(kg K)); a volte è espresso anche in calorie su grammo e grado centigrado (simbolo cal/(g °C)). Q e, ponendo m = 1 kg e ∆T = 1 K, si ottiene c = Q: Se nella (10.8) si sostituisce C con la (10.7), si ha c = mΔT quindi il calore specifico equivale al calore che un determinato corpo con massa un kilogrammo deve assorbire per innalzare la sua temperatura di un kelvin o, indifferentemente, di un grado centigrado. Il calore specifico ha il vantaggio, rispetto alla capacità termica, di dipendere solo dalla sostanza che compone il corpo e non dalla massa. ESEMPI

L’acqua ha un calore specifico particolarmente elevato. Ricordando il concetto di capacità termica, ciò significa che può immagazzinare molto calore senza subire forti variazioni di temperatura. Questo comportamento si percepisce nei dintorni di mari o laghi dove, infatti, la temperatura circostante non subisce mai forti variazioni. Un corpo di massa m = 2,5 kg, dopo aver assorbito un calore Q = 500,0 cal, varia la temperatura di Δt = 10°C. Quali sono il calore specifico e la capacità termica del corpo? Il calore assorbito in joule è Q = 500,0 cal = (500,0)(4,186 J) = 2 093 J. Il calore specifico del corpo è c=

Q 2093 J J = = 84 mΔt ( 2,5 kg ) (10 °C) kg °C

La capacità termica è C = mc = ( 2,5 kg ) 84

J J = 2,1 ⋅ 10 2 kg °C °C

16 Cosa afferma la legge fondamentale della termologia? Il calore assorbito da (ceduto a) un corpo e la conseguente variazione di temperatura sono tra loro in relazione; sostituendo nella (10.8) la (10.7), si ottiene infatti la legge

(10.9) Q = mcΔT dove m è la massa del corpo, c il calore specifico e ∆T è la differenza tra la temperatura finale del corpo, dopo che ha assorbito o ceduto calore, e quella iniziale prima del trasferimento; il segno di ∆T implica quello di Q ed è positivo (negativo) se il calore è assorbito (ceduto) (punto 11). Come si determina l’equazione di equilibrio termico? L’equazione consente di calcolare la temperatura di equilibrio Te raggiunta da due corpi a differente temperatura in contatto termico. In assenza di dispersione, ipotizzando T1 > T2, il calore Q1 ceduto al corpo 2 inizialmente a temperatura T2 (in modulo, e quindi cambiato di segno) è uguale al calore Q2 assorbito dal corpo 1 inizialmente a temperatura T1; entrambi i corpi raggiungono la temperatura Te (con T1 > Te > T2). Esprimendo i due calori tramite la (10.9) e uguagliandoli, si ottiene 17

−m1 c1 (Te − T1 ) = m2 c2 (Te − T2 )

(10.10a)

Siccome Te < T1, quindi Te – T1 < 0, il membro in cui compare la differenza risulterebbe negativo. Per rendere concordi i segni dei due membri, si pone il segno meno a primo membro della (10.10a). Generalmente è richiesta la temperatura di equilibrio Te: si determina dalla (10.10a) isolando Te

152

Te =

m1 c1T1 + m2 c2T2 m1 c1 + m2 c2

(10.10b)

TEORIA

Temperatura e calore ESEMPIO

termometro Il calorimetro ad acqua (Figura 10.4) è un recipiente con pareti isolanti agitatore contenente acqua, utilizzato per eseguire esperienze sul calore. Dentro il recipiente sono immersi un termometro e un agitatore per mescolare l’acqua. Un calorimetro ad acqua contiene una massa ma = 300 g di acqua alla temperatura t1 = 15 °C. Inseriamo nel calorimetro un cucchiaino di argento di massa mc = 50 g alla temperatura t2 = 100 °C. Calcoliamo la temperatura di equilibrio te raggiunta dal sistema, sapendo che il calore specifico dell’acqua è ca = 4186 J/(kg K) e quello dell’argento strato è c = 240 J/(kg K). isolante Il cucchiaino nel calorimetro si raffredda, portandosi da t2 a te, in quanto cede calore all’acqua. Figura 10.4 Il calore ceduto dal cucchiaino è Qc = mc c(te − t2 ); poiché il cucchiaino si raffredda, si ha te < t2 e quindi Qc < 0. Il calore assorbito dall’acqua è Qa = ma ca (te − t1 ); poiché l’acqua si riscalda, si ha t1 < te e quindi Qa > 0. Siccome il calorimetro non permette scambi di calore con l’esterno, il calore ceduto dal cucchiaino è totalmente assorbito dall’acqua; dunque dalla (10.10a)

−mc c(te − t2 ) = ma ca (te − t1 ) dove il segno meno è posto per rendere concordi i due membri. Da questa equazione si ricava m c t + mc ct2 te = a a 1 ma ca + mc c e dunque te =

(300 ⋅ 10−3 kg) (4186 J/(kg °C)) (15 °C) + (50 ⋅ 10−3 kg) (240 J/(kg °C)) (100 °C) = 16 °C (300 ⋅ 10−3 kg) (4186 J/(kg °C)) + (50 ⋅ 10−3 kg) (240 J/(kg °C))

■ Propagazione del calore In cosa consiste la propagazione per conduzione? La propagazione del calore per conduzione interessa particolarmente i solidi. La Figura 10.5a mostra una lastra omogenea con facce piane parallele, ciascuna di area S, distanziate da uno spessore d. Tra le facce si rileva una differenza di temperatura ∆T. La rapidità con cui si propaga il calore Q dalla faccia Q a temperatura maggiore a quella a temperatura minore nell’intervallo di tempo ∆τ è data dal rapporto . Δτ Secondo la legge di Fourier si ha Q ΔT = kS (10.11) Δτ d 18

dove k è il coefficiente di conducibilità termica e ha come unità di misura nel SI il watt su metro e kelvin (simbolo W/(m K)), oppure kilocaloria su ora metro e grado centigrado (simbolo kcal/(hm °C)).

d

T1

T2 lastra



T2

Q

Figura 10.5a

Figura 10.5b

T2 > T1

 Q

aria

T1

T2 > T1

ESEMPIO

La (10.11) è valida anche per la conduzione di calore attraverso un qualsiasi materiale omogeneo, non necessariamente solido, mantenuto con le estremità a temperatura differente (Figura 10.5b). Si pensi ai doppi vetri delle finestre.

153

TEORIA

unità 10

In cosa consiste la propagazione per convezione? La propagazione del calore per convezione interessa i fluidi. Il calore si propaga a causa dello spostamento di fluido da zone a temperatura minore verso zone a temperatura maggiore e viceversa. Il fluido caldo, meno denso di quello freddo, tende a salire verso l’alto e a sua volta è rimpiazzato da quello più freddo. 19

ESEMPIO

Il riscaldamento dell’aria circostante un calorifero acceso avviene per convezione. In cosa consiste la propagazione per irraggiamento? La propagazione per irraggiamento avviene senza che vi sia contatto tra corpi. Un corpo di superficie S e temperatura assoluta T irradia nello spazio circostante calore Q. La rapidità con cui il calore si propaga nell’intervallo di tempo ∆τ è data dalla legge di Stefan 20

Q = eσ ST 4 Δτ

(10.12)

dove σ = 5,67 · 10–8 Wm–2K–4 è la costante di Stefan ed e è la costante di emissività, parametro adimensionale compreso tra 0 e 1 e dipendente dal materiale. ESEMPIO

L’argento ha un’emissività molto bassa (e = 0,05) e dunque irradia una piccola parte del calore assorbito. Il carbonio ha un’emissività molto alta (e = 0,92) e dunque irradia quasi tutto il calore assorbito. Se la costante di emissività di un corpo è uguale a 1, significa che il corpo è in grado di emettere tutto il calore assorbito. I corpi con e = 1 sono chiamati corpi neri e sono ideali.

■ Transizione di fase Cosa sono le fasi? Qualsiasi componente della materia, corpo o sostanza, è composto da molecole. A seconda della distribuzione delle molecole, della loro distanza reciproca e delle loro forze di attrazione, il corpo assume una determinata forma chiamata stato di aggregazione o fase. In natura esistono le seguenti fasi. • Fase solida: le molecole sono distribuite in modo ordinato molto vicine fra loro a causa di forze di attrazione elevate; i solidi hanno volume e forma propri e sono difficilmente comprimibili. • Fase liquida: le molecole sono mobili e distribuite in modo disordinato, abbastanza vicine fra loro a causa di forze di attrazione deboli; i liquidi hanno volume proprio, assumono la forma del recipiente che li contiene e sono difficilmente comprimibili. • Fase aeriforme: le molecole sono fra loro distanziate e si muovono liberamente a causa di forze di attrazione molto deboli; gli aeriformi non hanno volume e forma propri e sono facilmente comprimibili. 21

22 In cosa consiste una transizione di fase? Una transizione di fase è la trasformazione che subisce un corpo, o una sostanza, mentre passa da una fase all’altra. Le possibili transizioni tra le tre fasi sono indicate dalle frecce nello schema di Figura 10.6. Avvengono principalmente a causa di scambio di calore (ma anche variazione di pressione). Una transizione di fase avviene essenzialmente quando il corpo assorbe (cede) calore; questo processo aumenta (diminuisce) l’energia interna. Se l’energia interna aumenta (diminuisce), le forze di attrazione s’indeboliscono (si rafforzano), favorendo transizioni verso fasi caratterizzate da forze di attrazione più deboli (intense) a causa di distanze intermolecolari maggiori (minori) (punti 23, 24, 25).

154

Stato aeriforme condensazione brinamento

vaporizzazione

Stato liquido

solidificazione

sublimazione

fusione

Stato solido

Figura 10.6

TEORIA

Temperatura e calore

In cosa consistono la fusione e la solidificazione? La fusione è la transizione dalla fase solida a quella liquida, la solidificazione è la transizione inversa. Fusione e solidificazione sono caratterizzate dalle seguenti proprietà: • durante la transizione, in cui sono presenti entrambi gli stati, la temperatura rimane costante; • la temperatura a cui avviene la fusione (temperatura di fusione) è uguale a quella in cui avviene la solidificazione (temperatura di solidificazione); • il calore che il corpo assorbe nella fusione è in valore assoluto uguale al calore che il corpo cede nella solidificazione, ed è proporzionale alla massa m del corpo secondo la relazione 23

Q = m Lf

(10.13)

dove Lf è definito calore latente di fusione (o di solidificazione), si misura in joule su kilogrammo (simbolo J/kg) ed è il calore necessario per fondere (solidificare) a pressione costante un kilogrammo di sostanza allo stato solido (liquido). Il termine “latente” indica che il calore assorbito o ceduto durante una transizione non si manifesta a livello macroscopico in un aumento o diminuzione di temperatura, ma rimane “nascosto” per agire solo sul cambiamento della struttura del corpo, allontanando o ravvicinando le molecole. Quindi durante una transizione di fase non è valida la (10.9). ESEMPIO

Il calore che deve assorbire un blocco di argento di massa m per fondere è Q = mLf . Se la massa dell’argento è 300 g e il calore latente di fusione è 109 kJ/kg, il calore assorbito è Q = (300 ∙ 10–3 kg)(109 ∙ 103 J/kg) = 3,27 ∙ 103 J In cosa consistono la vaporizzazione e la condensazione? La vaporizzazione o ebollizione è la transizione dalla fase liquida a quella aeriforme, la condensazione è la transizione inversa. Vaporizzazione e condensazione sono caratterizzate dalle seguenti proprietà: • durante la transizione, in cui sono presenti entrambi gli stati, la temperatura rimane costante; • la temperatura a cui avviene la transizione da liquido ad aeriforme, chiamata temperatura di ebollizione, è uguale a quella in cui avviene la transizione inversa (temperatura di condensazione); • il calore che il corpo assorbe nella vaporizzazione è in valore assoluto uguale al calore che il corpo cede nella condensazione, ed è proporzionale alla massa m del corpo secondo la relazione 24

Q = m Lv

(10.14)

dove Lv è definito calore latente di vaporizzazione (o di condensazione), si misura in joule su kilogrammo (simbolo J/kg) ed è il calore necessario per vaporizzare (condensare) a pressione costante un kilogrammo di sostanza allo stato liquido (aeriforme). ESEMPIO

Alla pressione di un’atmosfera, il ghiaccio ha una temperatura di fusione di 0 °C e un calore latente di fusione di 3,34 · 105 J/kg; l’acqua ha una temperatura di ebollizione di 100 °C e un calore latente di vaporizzazione di 2,25 · 105 J/kg. Il fenomeno della condensazione è evidente sulla superficie di vetro di una bottiglia appena tolta dal frigorifero. Cos’è l’evaporazione? L’evaporazione è un particolare passaggio da liquido ad aeriforme, che avviene a qualsiasi temperatura e coinvolge solo le molecole in prossimità della superficie del liquido aventi un’energia cinetica sufficiente per vincere le forze di attrazione delle altre molecole, e quindi sfuggire dal liquido e passare allo stato aeriforme. Attenzione: durante l’evaporazione, a differenza dell’ebollizione, il liquido si raffredda perché perde le molecole con maggiore energia cinetica; diminuisce quindi l’energia interna e dunque pure la temperatura. 25

In cosa consistono la sublimazione e il brinamento? La sublimazione è la transizione diretta dalla fase solida a quella aeriforme, il brinamento è la transizione inversa. Sostanze soggette a sublimazione sono per esempio lo iodio e la canfora. Il brinamento è responsabile della formazione della brina. 26

155

ESERCIZI

unità 10

TEST 1

Lo zero assoluto corrisponde a 273,15 °C a 0 °C c 373,15 °C b –273,15 °C d

10

2

Una variazione di temperatura di 10 K, espressa in gradi centigradi corrisponde a a –263 °C b 283 °C c 263 °C d 10 °C

11

Una massa di acqua di 2 kg a 20 °C è aggiunta a 2 kg di acqua a 10 °C. La temperatura finale dell’acqua è a 30 °C b 10 °C c 20 °C d 15 °C

3

A quanti kelvin corrisponde una temperatura di 25 °C? a 298,15 K c 248,15 K b 25,15 K d 32,15 K

12

Si fornisce la stessa quantità di calore a due corpi di uguale massa di piombo e di rame. Sapendo che il calore specifico del rame è il triplo di quello del piombo, quale dei due corpi subisce la maggiore variazione di temperatura? a il piombo b il rame c la variazione di temperatura è la stessa per i due corpi d non si può rispondere perché non si conosce la massa dei due corpi

13

Quanti joule occorrono per riscaldare di 25°C una massa di acqua di 2,5 kg? Il calore specifico dell’acqua è 4 186 J/(kgK) a 1,0 ∙ 102 kJ b 2,6 ∙ 102 kJ c 50 kJ d 1,6 ∙ 102 kJ

14

Mettendo a contatto due corpi a temperatura diversa, dopo un certo tempo si raggiunge l’equilibrio termico. I due corpi hanno rispettivamente capacità termiche C1 e C2 e temperature iniziali t1 e t2. La temperatura te di equilibrio termico si calcola con la formula

4

A quanti gradi nella scala Celsius corrispondono 98,6 gradi nella scala Fahrenheit? a 22,0 °C b 27,0 °C c 32,0 °C d 37,0 °C

5

Due fili metallici A e B, con medesima lunghezza iniziale, sono sottoposti allo stesso aumento di temperatura. Se A si allunga il doppio di B, il coefficiente di dilatazione termica di A è a uguale a quello di B b la metà di quello di B c il doppio di quello di B d un quarto di quello di B

6

7

8

9

Quando la temperatura di un litro di acqua diminuisce da 4 °C a 1 °C a il volume dell’acqua rimane costante b il volume dell’acqua diminuisce c il volume dell’acqua aumenta d la massa dell’acqua diminuisce Il coefficiente di dilatazione volumetrica dei solidi è a il triplo di quello lineare b uguale a quello lineare c il cubo di quello lineare d un terzo di quello lineare La capacità termica di un corpo è il rapporto tra a la temperatura del corpo e il calore scambiato dal corpo b il calore scambiato dal corpo e la sua variazione di temperatura c la massa del corpo e il calore scambiato dal corpo d la massa del corpo e la sua temperatura Il calore specifico di un corpo di massa m che, per uno scambio di calore Q, subisce una variazione di temperatura ΔT è a

156

Q mΔT

b

QΔT m

c

mΔT Q

d

Qm ΔT

15

Il calore specifico dell’acqua è 4186 J/(kg K). Se lo esprimiamo in cal/(g K), risulta uguale a a 4,186 b 4186 c 1 d 0,24

a

te =

m1 c1t1 + m2 c2 t2 m1 c1 + m2 c2

c

te =

m1 c1t1 + m2 c2 t2 t1 + t2

b

te =

t1 + t2 m1 c1t1 + m2 c2 t2

d

te =

m1 c1t2 + m2 c2 t1 m1 c1 + m2 c2

La convezione è un meccanismo di trasporto del calore che avviene a nei solidi b senza movimento di materia c con movimento di materia d nel vuoto

16

Il termosifone riscalda l’ambiente di una stanza principalmente per a conduzione b convezione c irraggiamento d conduzione e convezione

ESERCIZI

Temperatura e calore 17

Nel fenomeno della conduzione si ha a trasporto di energia senza spostamento di materia b trasporto di materia e di energia c spostamento di materia da un’estremità all’altra del corpo d trasporto di materia e variazione di temperatura

18

19

È possibile la trasmissione di calore nel vuoto? a Sì, ma solo per conduzione b No, in nessun caso c Sì, per irraggiamento d Sì, ma solo per convezione Vuoi fondere un cubetto di ghiaccio e lo scaldi. Durante la fusione, la temperatura del ghiaccio a aumenta b diminuisce c rimane costante d dipende dalla massa del ghiaccio

27

28 Il calore emanato dal Sole giunge sulla Terra per conduzione.

V F

29 Il meccanismo di irraggiamento permette all’energia di propagarsi attraverso lo spazio vuoto.

V F

30 Un corpo di temperatura 200 °C emette per irraggiamento una quantità di energia doppia rispetto a un corpo che ha temperatura 100 °C. V F 31

Durante un qualsiasi cambiamento di stato, la temperatura della sostanza non varia. V F

32

Il calore latente di fusione di una sostanza è la quantità di calore che bisogna fornire, a pressione costante, a un kilogrammo della sostanza per portarlo dalla temperatura iniziale a quella di fusione. V F

33

Per fondere un cubetto di ghiaccio, occorre fornirgli calore. Durante la fusione, la temperatura del ghiaccio aumenta. V F

34

Per ogni sostanza a il calore latente di fusione è uguale a quello di solidificazione. V F b la temperatura di fusione è uguale a quella di solidificazione. V F

35

Una sostanza può passare dallo stato solido direttamente a quello gassoso. V F

VERO/FALSO La scala Celsius assume come temperatura di riferimento quella del ghiaccio fondente e quella dei vapori di acqua bollente, valutate entrambe alla pressione di un’atmosfera. V F

20

21

Tutti i liquidi aumentano il loro volume all’aumentare della temperatura, qualunque sia l’intervallo di temperatura considerato. V F

22

L’unità di misura del coefficiente di dilatazione termica nel SI è K–1 o, indifferentemente, °C–1. V F

23 Due tubi metallici, di lunghezza iniziale 2,0 m, sono rispettivamente di ferro (λFe = 12 · 10–6 °C–1) e di alluminio (λAl = 24 · 10–6 °C–1). Raffreddandoli entrambi di 30 °C, l’alluminio si accorcia la metà del ferro. V F 24 La capacità termica dipende dalla massa del corpo, mentre il calore specifico non dipende dalla massa. V F 25 La capacità termica di un corpo dipende dalla sua forma. V F 26 Una certa quantità di calore riscalda 1 g di sostanza A di 3 °C. La stessa quantità di calore riscalda 1 g di sostanza B di 4 °C. Il calore specifico di A è maggiore di quello di B.

V F

La temperatura di equilibrio termico raggiunta da due corpi a contatto, inizialmente uno a temperatura più alta e uno a temperatura più bassa, è sempre la media aritmetica tra le temperature iniziali dei due corpi. V F

QUESITI 36

Cos’è l’energia interna di un corpo e qual è il suo legame con la temperatura del corpo?

37

La temperatura è una grandezza fisica scalare o vettoriale?

38

Qual è l’unità di misura della grandezza temperatura nel SI?

39

La scala Kelvin prevede temperature negative?

40

Qual è la relazione tra l’unità di misura della temperatura nella scala assoluta (K) e quella nella scala Celsius (°C)?

157

ESERCIZI

unità 10 Il coefficiente di dilatazione termica per i liquidi e i solidi dipende dal tipo di sostanza? E per i gas?

42

Se metti una bottiglia di vetro piena di acqua in freezer, essa si rompe. Perché?

43

Se lasci un palloncino parzialmente gonfio al sole, esso si gonfia. Perché?

44

Perché quando il coperchio metallico di un vaso di vetro è troppo stretto, tenerlo sotto l’acqua calda per un po’ di tempo può facilitare la sua apertura?

45

51

Qual è l’unità di misura del coefficiente di conducibilità termica nel SI?

52

Il fenomeno della conduzione di calore può verificarsi anche tra corpi che non sono in contatto?

53

Cosa afferma la legge di Stefan?

54

Quali cambiamenti di stato si verificano quando si cede calore a una sostanza?

55

Osserva il grafico in figura e spiega a quale passaggio di stato si riferisce. temperatura

41

Qual è l’unità di misura della grandezza calore nel SI?

46 Definisci

le grandezze capacità termica e calore specifico e indica le loro unità di misura nel SI.

47

Mettendo in contatto termico due corpi, uno alla temperatura di 200 K, e l’altro alla temperatura di 300 K, che cosa accade?

48

Un kilogrammo di acqua, riscaldato di 1 K, assorbe una quantità di calore uguale a 4 186 J. Quanto calore assorbe se è riscaldato di 1°C?

49

50

L’alcool etilico ha un calore specifico di circa la metà di quello dell’acqua. Se si fornisce la stessa quantità di calore a masse uguali di alcool e di acqua, quale dei due liquidi subisce il maggior aumento di temperatura? Quale meccanismo di propagazione del calore è accompagnato da spostamento di materia?

liquido solido

solido + liquido tempo

56

Il calore latente di fusione è uguale a quello di solidificazione?

57

Qual è la differenza tra evaporazione ed ebollizione?

58

Come si chiama la transizione di fase attraverso cui un solido si trasforma direttamente in aeriforme?

59

Per raffreddare una tazza di the bollente conviene utilizzare un cubetto di ghiaccio di 20 g a 0°C, oppure 20 g di acqua a 0°C?

60

Qual è l’unità di misura del calore latente di fusione di una sostanza nel SI? E l’unità di misura del calore latente di solidificazione?

ESERCIZI Temperatura 61

Quando la temperatura raggiunge 59,0 °F, qual è la temperatura in gradi centigradi e in kelvin?

Svolgimento La temperatura t in gradi centigradi si ottiene dalla temperatura tF in gradi Fahrenheit dalla relazione 5 t = (tF − 32) 9 Sostituendo i dati dell’esercizio otteniamo 5 t = (59,0 − 32) °C = 15,0 °C . 9

158

La temperatura T in kelvin si ottiene dalla temperatura t in gradi centigradi dalla relazione T = t + 273,15 Sostituendo i dati dell’esercizio otteniamo T = (15,0 + 273,15)K = 288 K .

ESERCIZI

Temperatura e calore 62

Ti trovi negli Stati Uniti e ti senti poco bene. Vai in farmacia, compri un termometro e misuri la febbre. Il termometro segna 99 °F. Ti devi preoccupare, perché hai la febbre alta?

63

Una mattina in inverno il termometro posto all’esterno di una finestra indica –20,0 °C. Qual è la temperatura equivalente in °F e in K?

64

Quanto vale la temperatura dello zero assoluto nella scala Fahrenheit?

65

L’oro fonde a 1064 °C e bolle a 2660 °C (a pressione atmosferica). Esprimi queste temperature in kelvin. Calcola la differenza tra queste temperature in gradi centigradi e kelvin.

66

Un ponte in cemento armato è lungo 4,0 km in inverno, alla temperatura di –10 °C. Calcola di quanto si allunga il ponte in estate, alla temperatura di 35 °C (il coefficiente di dilatazione lineare del cemento è 12 · 10–6 °C–1).

67

Un orologio a pendolo di bronzo è lungo 1,0 m alla temperatura di 20 °C. Calcola di quanto varia la lunghezza del pendolo quando la temperatura raggiunge i 38 °C (il coefficiente di dilatazione lineare del bronzo è 1,9 · 10–5 °C–1).

68 Il

progetto per il ponte sullo Stretto di Messina ha un’unica campata di cemento armato (λ = 12 · 10–6 °C–1), lunga 3,0 km. Supponiamo che, tra inverno ed estate si registri una variazione di temperatura di 30 °C. Quale sarebbe la variazione di lunghezza del ponte nel corso dell’anno?

Lab

69

Quando la temperatura varia di 20 °C, di quanto varia un tratto di 20 cm di un metro fatto di alluminio (λ = 24 · 10–6 °C–1)?

70

Un foro di area 30 cm2 è eseguito su una lamina di alluminio a 20 °C. Calcola la variazione dell’area del foro se l’alluminio è riscaldato da 20 °C a 100 °C (il coefficiente di dilatazione lineare dell’alluminio è 23 · 10–6 °C–1).

Suggerimento Il coefficiente di dilatazione superficiale dell’alluminio è il doppio di quello di dilatazione lineare. 71

Un foro circolare in una lamina di rame ha diametro di 2,50 cm alla temperatura di 0,00 °C. Calcola il diametro quando la temperatura sale a 200 °C e la variazione dell’area del foro (il coefficiente di dilatazione lineare del rame è 17,0 · 10–6 °C–1).

72

Un bicchiere di vetro di volume V0 = 100 cm3 è riempito con glicerina alla temperatura t1 = 20 °C. Calcola quanta glicerina deborda se la temperatura aumenta a t2 = 30 °C (il coefficiente di dilatazione volumetrica della glicerina è η = 5,3 · 10–4 °C–1, il coefficiente di dilatazione lineare del vetro è λ = 9,0 · 10–6 °C–1).

Svolgimento La variazione di temperatura Δt = t2 – t1 determina un aumento del volume della glicerina ΔVg = V0η(t2 − t1 ) = = (100cm 3 )(5,3 ⋅10 −4 °C−1 )(30 − 20)°C = = 0,53cm 3 Anche il bicchiere di vetro, a causa dell’innalzamento di temperatura, aumenta il proprio volume. Se consideriamo che il coefficiente di dilatazione volumetrica del vetro è il triplo di quello di dilatazione lineare, la variazione del volume del bicchiere è ΔVb = V0 3 λ (t2 − t1 ) = = (100cm 3 )3(9,0 ⋅10 −6 °C−1 )(30 − 20)°C = = 0,027 cm 3 La quantità di glicerina che esce dal bicchiere è perciò ΔVg − ΔVb = 0,53cm 3 − 0,027 cm 3 = 0,50cm 3 Lab

73

Una bottiglia da 1,0 l è piena fino all’orlo di olio di oliva alla temperatura di 5,0 °C. Se la temperatura aumenta a 35 °C, calcola quanto olio esce dalla bottiglia trascurando la dilatazione del vetro della bottiglia (il coefficiente di dilatazione volumetrica dell’olio è 0,72 · 10–3 °C–1). 74

Il serbatoio di un’auto è riempito fino all’orlo con 50 l di benzina a 10 °C. L’auto viene parcheggiata al sole, dove la temperatura è di 40 °C. Calcola quanta benzina esce dal serbatoio trascurando la dilatazione del serbatoio (il coefficiente di dilatazione volumetrica della benzina è 1,0 · 10–3 °C–1).

75

Un cilindro di piombo (λ = 29 ∙ 10–6 °C–1) è lungo l = 20 cm e ha un diametro d = 1,5 cm. La temperatura del cilindro viene aumentata di Δt = 75 °C. Qual è la variazione del volume del cilindro?

159

ESERCIZI

unità 10 Svolgimento Il volume V0 del gas a 0,00 °C è

Svolgimento Il volume iniziale del cilindro è V0 = π

d2 (1,5 ⋅ 10 −2 m)2 ( l=π 20 ⋅ 10 −2 m ) = 3,5 ⋅ 10 −5 m 3 4 4

La variazione di volume del cilindro è

ΔV = V − V0 = αV0 Δt = 3 λV0 Δt = −6

−1

= 3(29 ⋅10 °C )(3,5 ⋅10 = 2,3 ⋅10

−7

m

−5

3

m )(75°C) =

3

76

In una calda giornata a Genova un’autocisterna adibita al trasporto del gasolio ha caricato 9 780 l di combustibile diesel. In seguito, giunta sulle Alpi, ha incontrato cattivo tempo e, a 2 000 m di quota con una temperatura di 25,00 K più bassa che a Genova, ha consegnato il suo carico. Trascurando la dilatazione del contenitore in acciaio, quanti litri di gasolio ha scaricato? Il coefficiente di dilatazione volumica del gasolio è di 9,500 · 10–4 °C–1. Calcola la variazione di volume subita da 10 kg di mercurio quando la temperatura passa da 0,00 °C a 70 °C. La densità del mercurio a 0,00 °C è 13,59 g/cm3 e il suo coefficiente di dilatazione volumica è 1,8 · 10–4 °C–1.

V0 =

V800 = 1+α t 1+

Quindi, il valore V100 è

⎡ ⎤ 1 V100 = V0 (1+ αΔt) = 6,4 dm 3 ⎢1+ −1 ⎥ = ⎣ 273,15°C (100 − 0,00)°C ⎦ = 8,7 dm 3 82

La densità dell’olio di oliva è 9,2 · 102 kg/m3 a 0,0 °C. Calcola la densità a 100 °C (il coefficiente di dilatazione volumetrica dell’olio di oliva è η = 0,72 · 10–3 °C–1).

Suggerimento m La densità a 0,0 °C è ρ0 = , mentre la densità a V0 100 °C diminuisce al valore

Un cilindro, chiuso superiormente da un pistone mobile, contiene 40 l di gas alla temperatura di 20 °C. Qual è il volume del gas se la temperatura viene portata a 100 °C a pressione costante?

Calore 83

Calcola quanti joule occorrono per riscaldare di 25 °C 2,5 kg di acqua (il calore specifico dell’acqua è 4 186 J/(kg K)).

84

Calcola la quantità di calore necessaria per aumentare la temperatura di 0,500 kg di oro da 270 K a 300 K, esprimendo il risultato in calorie (il calore specifico dell’oro è 129 J/(kg K)).

85

Con una quantità di calore di 1,95 · 106 J si riscalda una massa di acqua da 13 °C a 70 °C. Qual è la massa dell’acqua? Il calore specifico dell’acqua è 4186 J/(kg K).

86

Un corpo di massa 2,0 kg, dopo aver assorbito una quantità di calore di 100 cal, varia la sua temperatura di 10 °C. Calcola il calore specifico e la capacità termica del corpo.

77

78

25 dm 3 = 6,4 dm 3 1 273,15 °C−1 (800 − 0,00) °C

Lab

87

Un gas occupa il volume di 2,0 m3 alla temperatura di 0,00 °C. Calcola il volume del gas alla temperatura di 40 °C, sapendo che la pressione del gas è mantenuta costante.

Un calorimetro contiene un volume di acqua a 20 °C. Viene successivamente aggiunto un uguale volume di acqua a 10 °C. Qual è la temperatura finale del sistema?

88

Un gas, inizialmente alla temperatura di 0,000 °C, viene portato a pressione costante a una temperatura finale tale che il suo volume raddoppia. Calcola la temperatura finale del gas.

Preparando l’acqua per il bagno, si mettono nella vasca 20 l di acqua a 60 °C. Quanti litri di acqua a 10 °C devi aggiungere per ottenere una temperatura finale di 38 °C?

89

0,085 kg di metallo a 230 °C vengono messi in un calorimetro contenente 0,45 kg di acqua a 20 °C. La temperatura di equilibrio nel calorimetro è di 28 °C. Calcola il calore specifico del metallo.

ρ0V0 m m ρ= = = V V0 (1 + ηΔT ) V0 (1 + ηΔT ) 79

80

81

160

Un gas a temperatura di 800 °C occupa un volume V800 = 25 dm3. Qual è il volume V100 del gas quando la temperatura scende a 100 °C?

ESERCIZI

Temperatura e calore 90

Per determinare se un oggetto di massa m = 100 g è d’oro massiccio o di argento dorato, lo si riscalda alla temperatura di 100 °C e successivamente lo si immerge in un calorimetro contenente 0,25 l di acqua alla temperatura di 18 °C. Se la temperatura finale nel calorimetro è di 19 °C, determina di quale materiale è fatto l’oggetto. Trascura la massa equivalente del calorimetro (il calore specifico dell’oro è 129 J/(kg K), quello dell’argento è 240 J/(kg K), quello dell’acqua è 4 186 J/(kg K); la densità dell’acqua è 1,00 · 103 kg/m3).

93

Due pareti di mattoni e legno di superficie 10 m2 e spessori d1 = 10 cm e d2 = 12 cm sono poste a contatto, come in figura. Le temperature delle facciate esterne sono 18 °C e 5,0 °C. Trova la quantità di calore che attraversa le pareti in un’ora (il coefficiente di conducibilità della parete di mattoni è k1 = 0,70 W/(m K) e quello della parete di legno è k2 = 0,20 W/ (m K)). d1

18 °C

Propagazione del calore 91

d2

La parete che separa una stanza dall’esterno è di mattoni, è spessa 20 cm e ha l’area di 20 m2. Quanto calore passa in 24 ore dall’interno della stanza, a 20 °C, all’esterno, a –1,0 °C? Il coefficiente di conducibilità termica del muro di mattoni è 0,7 W/(m K).

5,0 °C

Lab

94

Una sfera di ferro di raggio 2,50 cm è riscaldata alla temperatura di 100 °C. Calcola la quantità di calore che la sfera irraggia in un minuto (il coefficiente di emissività del ferro è e = 0,400).

95

Calcola la quantità di calore che in un’ora esce da una finestra di superficie 2,0 m2 e spessore 3,0 mm, sapendo che la temperatura esterna è di 0,0 °C e quella interna è di 20 °C (il coefficiente di conducibilità termica del vetro è 0,93 W/(m K)).

92

Un muro esterno è largo 4,0 m e alto 3,0 m. Lo spessore del muro è 20 cm e la conducibilità termica è 0,50 W/(m K). Quanto calore attraversa il muro in un’ora se la temperatura esterna è –5,0 °C e quella interna 18 °C? Se la temperatura esterna è –10 °C, la quantità di calore è doppia di quella calcolata?

96

Per isolare la finestra dell’esercizio precedente vengono installati dei doppi vetri; ciascun vetro ha uno spessore d = 3,0 mm, uguale allo spessore dello strato d’aria tra i due vetri (vedi figura). Calcola quanto calore attraversa il doppio vetro in un’ora, sapendo che la temperatura dentro la stanza è ti = 20 °C e fuori è te = 0,0 °C (i coefficienti di conducibilità termica dell’aria e del vetro sono rispettivamente ka = 0,02 W/(m K) e kv = 0,93 W/(m K)).

Q=

kv S (ti − t1 ) τ (1) d

Q=

ka S (t1 − t2 ) τ d

(2)

Q=

kv S (t2 − te ) τ d

(3)

ottenendo così un sistema di tre equazioni nelle incognite t1, t2 e Q. Se uguagliamo la (1) e la (3) otteniamo t1 = te + ti − t2

d

vetro

d

d vetro

Svolgimento In figura, con t1 e t2 sono indicate le temperature che si stabiliscono alle due estremità dello spessore d’aria a contatto con i due vetri. L’ipotesi da cui partiamo è che, a regime, la quantità di calore che attraversa ciascuno dei tre strati è la stessa. Scriviamo quindi la legge (10.11) per ogni strato

t1 t2

ti

te

 Q

Q

Q

espressione che sostituita nella (2) dà Q=

ka S (te + ti − 2t2 ) τ d

Sostituiamo questa espressione di Q nella (3) per ricavare l’espressione di t2 t2 =

( ka + kv )te + ka ti 2 ka + kv

161

ESERCIZI

unità 10

che, infine, sostituiamo nella (3) per ricavare l’espressione del calore che attraversa il doppio vetro: k S ( ka ti − ka te ) Q= v τ (2 ka + kv )d Sostituiamo i dati dell’esercizio Q=

(0,93 W/(m °C))(2,0 m 2 ) [(0,02 W/(m °C))(20 °C) − (0,93 W/(m °C))(0,0 °C)]

[2(0,02 W/(m °C)) + 0,93 W/(m °C)] (3,0 ⋅ 10 −3 m)

(3600 s) = 9,2 ⋅ 10 5 J

Confrontando il risultato con quello dell’esercizio precedente, concludiamo che i doppi vetri riducono di circa cinquanta volte la quantità di calore disperso. 97

Una sfera nera di diametro 10 cm è alla temperatura di 50 °C. Calcola quanto calore disperde in un minuto.

100

Suggerimento Per un corpo nero l’emissività assume il valore massimo e = 1. 98

Sapendo che il calore irraggiato dal Sole in un secondo è 3,82 · 1026 J, calcola la temperatura sulla sua superficie. Considera il Sole come un corpo nero (il raggio del Sole è 6,96 · 108 m).

Transizione di fase 99

Si vuole fondere un lingotto d’oro di massa m = 200 g, inizialmente alla temperatura t1 = 20,0 °C. Calcola quanto calore bisogna fornirgli (la temperatura di fusione dell’oro a pressione atmosferica è t2 = 1 063 °C; il calore specifico dell’oro è c = 129 J/(kg K); il calore latente di fusione è Lf = 16,1 kcal/kg).

101

In una caraffa che contiene 1,0 kg di aranciata a 25 °C sono messi alcuni cubetti di ghiaccio a 0,0 °C. Raggiunto l’equilibrio termico, il ghiaccio non si è fuso completamente. Trascurando le dispersioni di calore, calcola la massa di ghiaccio fuso (considera il calore specifico dell’aranciata uguale a quello dell’acqua, cioè 4 186 J/(kg K); il calore latente di fusione del ghiaccio è 79,7 kcal/kg).

Suggerimento Poiché il ghiaccio non si è completamente fuso, la temperatura di equilibrio è 0,0 °C. 102

Un calorimetro contiene 1,00 kg di acqua a 23,0 °C. Si immerge un cubetto di ghiaccio di 100 g alla temperatura di 0,00 °C. Dopo un certo tempo il ghiaccio è completamente fuso. Trascurando tutte le eventuali dispersioni di calore, calcola la temperatura finale di equilibrio termico (il calore specifico dell’acqua è 4 186 J/(kg K); il calore latente di fusione del ghiaccio è 79,7 kcal/kg).

103

A un pezzo di rame di 10 kg a 20 °C è fornito calore pari a 5,0 · 106 J. Riesce a fondere completamente? Calcola il calore aggiuntivo necessario per farlo fondere (il calore specifico del rame è 387 J/(kg K); la temperatura di fusione del rame a pressione atmosferica è 1083 °C e il suo calore latente di fusione è 207 kJ/kg).

Svolgimento Il processo è suddiviso in due fasi. 1) L’oro è portato dalla temperatura iniziale t1 alla temperatura di fusione t2. La quantità di calore che l’oro deve assorbire è perciò Q1 = mc(t2 − t1 ) = = (200 ⋅ 10 −3 kg) (129 J/(kg K)) (1063 − 20,0)K = = 26,9 ⋅ 10 3 J 2) Per fondere l’oro serve una quantità di calore Q2 = mL f = (200 ⋅ 10 −3 kg)(16,1 ⋅ 10 3 cal/kg) = = 3220 cal = 13,5 ⋅ 10 3 J Osserviamo che nel calcolo di Q2 abbiamo utilizzato le equivalenze 1 kcal = 1 ⋅ 10 3 cal = 1 ⋅ 10 3 (4,186 J) = 4186 J Il calore totale è quindi Q1 + Q2 = 40,4 · 103 J.

162

Calcola quanto calore bisogna fornire a 1,0 kg di ghiaccio, inizialmente a −20 °C, per trasformarlo in vapore (il calore specifico dell’acqua è 4 186 J/(kg K), mentre quello del ghiaccio è 2 093 J/(kg K); i calori latenti di fusione e di vaporizzazione dell’acqua sono rispettivamente 334 · 103 J/kg e 2 253 · 103 J/kg).

UNITÁ

11

Ottica geometrica

TEORIA

■ Propagazione della luce Cos’è la luce? La luce è un fenomeno fisico che consente di vedere tutto quello che ci circonda. Una sorgente che genera luce è definita sorgente luminosa (per esempio una lampadina o un raggio laser). 1

2 Come la fisica descrive la luce? La fisica descrive la luce utilizzando come modello un raggio che si propaga in linea retta. Il raggio luminoso si propaga nel vuoto con una velocità c = 3 · 108 m/s. È fisicamente impossibile superare tale velocità. Il modello della propagazione rettilinea della luce è alla base dell’ottica geometrica (punto 6).

Come si comporta un raggio di luce quando interagisce con un mezzo di propagazione diverso dal vuoto? In Figura 11.1 è rappresentata graficamente l’interazione tra un raggio di luce e la superficie di un mezzo di propagazione diverso dal vuoto e con un certo spessore. Nel caso più generale, una parte del raggio incidente (I) è riflessa (R) dalla superficie, una parte (A) è assorbita e non attraversa il mezzo, una parte (T) è trasmessa oltre il mezzo. 3

R

mezzo di propagazione

T I

A Figura 11.1

Come si comportano i corpi quando interagiscono con un raggio di luce? • Corpo opaco: predomina la sua capacità di assorbire la luce; se interposto tra occhio e sorgente luminosa, la sorgente è oscurata. • Corpo trasparente: predomina la sua capacità di trasmettere la luce; se interposto tra occhio e sorgente luminosa, la sorgente è visibile. • Corpo riflettente: predomina la sua capacità di riflettere la luce. 4

ESEMPIO

Tra i mezzi trasparenti, solo il vuoto permette la trasmissione completa del raggio incidente. Mezzi di propagazione notoriamente trasparenti come l’acqua e il vetro assorbono parte del raggio luminoso e, se i loro spessori sono considerevoli, possono anche tramutarsi in mezzi opachi. Ottimo corpo riflettente è una superficie di metallo levigata e lucidata e il massimo potere riflettente si ottiene con il comune specchio (punto 12). Cos’è l’indice di rifrazione? L’indice di rifrazione n è una grandezza fisica scalare adimensionale riferita ai mezzi di propagazione trasparenti. È definita come rapporto tra la velocità c del raggio di luce nel vuoto e la sua velocità v quando il raggio attraversa il corpo trasparente c n= (11.1) v 5

163

TEORIA

unità 11

Il vuoto ha indice di rifrazione uguale a 1 essendo v = c. In un qualsiasi altro mezzo trasparente, essendo sempre v < c, si ha n > 1. ESEMPIO

L’indice di rifrazione quantifica quanto un materiale sia molto o poco trasparente. Più il mezzo è trasparente, minore è il suo indice di rifrazione: per esempio, nell’aria è n = 1,0003, valore praticamente uguale a quello del vuoto; nel vetro, invece, è n = 1,58.

■ Propagazione rettilinea della luce Quali sono le approssimazioni dell’ottica geometrica? L’ottica geometrica adotta il modello a raggio (punto 2) con le seguenti approssimazioni: • i raggi luminosi sono rette; • l’intersezione di due o più raggi luminosi non altera la propagazione rettilinea dei raggi stessi; • il verso di propagazione del raggio luminoso non influisce sul fenomeno ottico originato dal raggio stesso. In ottica geometrica, i fenomeni luminosi sono analizzati con il diagramma dei raggi, uno schema con le traiettorie rettilinee dei raggi luminosi. 6

In cosa consiste il fenomeno di riflessione? Da un raggio luminoso incidente su una superficie riflettente emerge un raggio luminoso riflesso. I due raggi soddisfano le seguenti due leggi (Figura 11.2): 1) i due raggi e la retta n normale alla superficie sono complanari; 2) l’angolo di incidenza θi e l’angolo di riflessione θr sono uguali. 7

raggio incidente

raggio riflesso

n

θi

θr

Figura 11.2 In cosa consiste il fenomeno di rifrazione? Un raggio luminoso si propaga in due mezzi di propagazione distinti (1 e 2) separati da una superficie: dal raggio incidente nel mezzo 1 si formano un raggio riflesso che si propaga nel mezzo 1 e uno rifratto che penetra nel mezzo 2. Il raggio incidente e quello rifratto soddisfano le seguenti due leggi (Figura 11.3): 1) i raggi e la retta n normale alla superficie giacciono sul medesimo piano; 2) il rapporto tra il seno dell’angolo di incidenza θi e quello dell’angolo di rifrazione θrf è uguale al rapporto tra le velocità di propagazione v1 del raggio incidente e v2 del raggio rifratto (legge di Snell). Siccome dalla c c (11.1) si ha che v2 = e v1 = , il rapporto tra i seni è anche uguale al rapporto tra l’indice di rifrazione n2 n2 n1 del mezzo penetrato dal raggio rifratto e l’indice di rifrazione n1 del mezzo attraversato dal raggio incidente

8

senθ i n2 = senθ rf n1

(11.2)

Dalla (11.2), quando un raggio di luce entra in un mezzo con indice di rifrazione maggiore (minore) rispetto a quello da cui proviene, si ha θrf < θi (θrf > θi). Figura 11.3

n θi

mezzo 1 indice di rifrazione n1

raggio incidente

raggio rifratto

mezzo 2 indice di rifrazione n2

θrf

Nella rifrazione quando si verifica la riflessione totale? Si ha riflessione totale quando il raggio incidente è convogliato completamente nel raggio riflesso, con la conseguente scomparsa del raggio rifratto. Questo avviene se: • il raggio luminoso incidente nel mezzo con indice di rifrazione n1 incontra un mezzo con indice di rifrazione n2 < n1; • l’angolo di incidenza è uguale o maggiore dell’angolo limite θL dato da 9

164

θ L = arcsen

n2 n1

(11.3)

TEORIA

Ottica geometrica ESEMPIO

Un raggio di luce che si propaga attraverso un pezzo di vetro (indice di rifrazione n1 = 1,52) colpisce la superficie interna del vetro ed è riflesso totalmente all’interno. Ciò significa che il raggio incide sulla superficie del vetro con un angolo θi maggiore o uguale dell’angolo limite θL dato da ⎛ n ⎞ θ L = arcsen ⎜ 2 ⎟ ⎝ n1 ⎠ con n2 indice di rifrazione dell’aria (n2 = 1,0). L’angolo limite è quindi ⎛ 1,0 ⎞ θ L = arcsen ⎜ ⎟ = 41° ⎝ 1,52 ⎠ Cosa subisce un raggio luminoso quando attraversa una lastra di vetro a facce parallele immersa nell’aria? In Figura 11.4 è rappresentato il diagramma dei raggi: il raggio luminoso incide sulla faccia superiore della lastra nel punto A ed θi aria emerge dalla faccia opposta nel punto B con un angolo rispetto na A alla normale chiamato angolo emergente θe. Poiché l’indice di nv rifrazione del vetro nv è maggiore di quello dell’aria na, per la (11.2) θrf θ il raggio luminoso nel punto A (B) subisce la prima (seconda) rifrarf zione con θrf < θi (θrf < θe). vetro nv L’effetto risultante della doppia rifrazione è uno spostamento laterale del raggio luminoso emergente rispetto a quello incidente, na B cioè θe = θi. θe Figura 11.4 10

■ Specchi Cosa sono gli specchi e come si classificano? Gli specchi sono oggetti con una superficie riflettente piana o curva. Se la superficie è una calotta sferica, lo specchio è detto sferico; se la superficie riflettente è interna (esterna) alla calotta, lo specchio sferico è detto concavo (convesso). 11

Come si costruisce l’immagine in uno specchio piano di un oggetto puntiforme? La Figura 11.5 rappresenta la costruzione tramite il diagramma dei raggi. Una sorgente luminosa puntiforme S, detta oggetto, emette raggi che si riflettono sullo specchio secondo le leggi della riflessione. I raggi riflessi, se prolungati dietro lo specchio S' • (linee tratteggiate), convergono in un punto indicato come S'. L’occhio dell’osservatore, indipendentemente dalla sua posizione, riceve i raggi riflessi e vede l’oggetto S con l’illusione che sia dietro lo specchio nel punto S'. L’oggetto S visto nel punto S' è definito immagine. Per costruzione, S e S' sono equidistanti dalla superficie dello specchio piano. Figura 11.5 12

Figura 11.6

•S

r

r

oggetto

immagine

13 Come si costruisce l’immagine in uno specchio piano di un oggetto esteso? Si immagina che ogni punto dell’oggetto (in Figura 11.6 rappresentato da una freccia) sia una sorgente luminosa e, quindi, per ogni punto si procede come descritto nel punto 12. Ogni punto dell’oggetto e la rispettiva immagine sono equidistanti dallo specchio.

r

165

TEORIA

unità 11 ESEMPIO

La Figura 11.7 rappresenta un esempio del comportamento dello specchio piano. Dato l’oggetto (la mano destra), si ottiene un’immagine con la stessa dimensione, simmetrica (la distanza immagine-specchio è uguale alla distanza oggetto-specchio), speculare (una mano sinistra), virtuale (punto 14). Figura 11.7

mano sinistra immagine

mano destra oggetto

Qual è la differenza tra immagine reale e virtuale? Si definisce immagine reale uno o più punti individuati dall’intersezione dei raggi riflessi (nei diagrammi dei raggi sono solitamente indicati con linee continue). Si definisce immagine virtuale uno o più punti individuati dall’intersezione dei prolungamenti dei raggi riflessi (nei diagrammi dei raggi sono solitamente indicati con linee tratteggiate). Caratteristica delle immagini virtuali è l’impossibilità di raccoglierle su uno schermo. 14

ESEMPIO

Nello specchio piano l’immagine è sempre virtuale. concavo Quali sono i parametri che caratterizzano lo specchio sferico? R In Figura 11.8 sono indicati i parametri per lo specchio sferico conC V• • cavo e convesso. asse ottico • Centro di curvatura C: centro della sfera a cui appartiene la superficie riflettente dello specchio. superficie riflettente • Raggio di curvatura: raggio della sfera a cui appartiene la superficie riflettente dello specchio; per convenzione R > 0 per lo specconvesso chio concavo e R < 0 per quello convesso. R • Asse ottico: asse di simmetria della superficie riflettente passante C V • • per C e per il vertice. asse ottico • Vertice V: punto di intersezione tra asse ottico e superficie riflettente. superficie riflettente • Angolo di apertura (AĈB): angolo formato dalle semirette che A congiungono il centro di curvatura con una coppia di punti del angolo di apertura bordo della superficie riflettente diametralmente opposti. Lo specchio concavo ha il centro di curvatura C dalla stessa parte C• della superficie riflettente, quello convesso in quella opposta. 15

Figura 11.8

B

Quali sono le approssimazioni adottate per l’analisi dello specchio sferico? Si applicano le seguenti approssimazioni (di Gauss): • piccolo angolo di apertura, in modo che la superficie riflettente sia piccola rispetto a quella della sfera a cui appartiene; • raggi luminosi incidenti sulla superficie riflettente poco inclinati, in modo che siano “quasi” paralleli all’asse ottico. 16

Come si determina il fuoco dello specchio sferico? Si invia un fascio di raggi luminosi paralleli all’asse ottico sulla superficie riflettente, quindi si tracciano le rette perpendicolari ai piani tangenti alla calotta nei punti di incidenza dei raggi e i raggi riflessi secondo le leggi della riflessione. Se lo specchio è concavo (Figura 11.9a), tutti i raggi riflessi convergono in un punto dell’asse ottico, detto fuoco F dello specchio. La lunghezza sull’asse ottico tra il vertice V e il fuoco F è chiamata distanza focale f. Se lo specchio è convesso (Figura 11.9b), tutti i raggi riflessi divergono, e i loro prolungamenti dietro lo specchio intersecano l’asse ottico in un punto detto fuoco virtuale F. 17

166

TEORIA

Ottica geometrica Per entrambi gli specchi, la distanza focale tra fuoco e vertice è f=

R 2

(11.4)

Dato che per lo specchio concavo (convesso) R > 0 (R < 0), si ha f > 0 (f < 0) (punto 15).

F

C•

Figura 11.9a

•

V

V

Figura 11.9b

F •

C •

Quali sono i raggi particolari per uno specchio sferico? Per la costruzione dell’immagine data da uno specchio sferico si utilizzano tre raggi incidenti sulla superficie riflettente provenienti da ogni punto dell’oggetto, chiamati raggi particolari. In Figura 11.10 sono tracciati senza indicare l’oggetto di provenienza. Per lo specchio concavo, i raggi sono (Figura 11.10a): • p: è parallelo all’asse ottico, il suo raggio riflesso passa per il fuoco; • f: passa per il fuoco, il suo raggio riflesso è parallelo all’asse ottico; • c: passa per il centro di curvatura, il suo raggio riflesso gli si sovrappone. Per lo specchio convesso, i raggi sono (Figura 11.10b): • p: è parallelo all’asse ottico, il prolungamento dietro lo specchio del suo raggio riflesso passa per il fuoco; • f: il suo prolungamento passa per il fuoco, il suo raggio riflesso è parallelo all’asse ottico; • c: il suo prolungamento passa per il centro di curvatura, il suo raggio riflesso gli si sovrappone. In genere è sufficiente solo una coppia di raggi per la costruzione dell’immagine (vedere punto 19). 18

concavo

convesso raggio p

raggio p raggio c

•

C

raggio f raggio c

•

F

•

F

raggio f

Figura 11.10a

C

•

Figura 11.10b

Come si costruisce l’immagine data da uno specchio sferico? In Figura 11.11 il diagramma dei raggi mostra la costruzione dell’immagine tramite i raggi particolari per lo specchio convesso. L’oggetto è rappresentato da una freccia. Scegliamo la punta della freccia come punto campione per la costruzione: da essa si fanno partire i tre raggi particolari. L’intersezione dei prolungamenti dei rispettivi raggi riflessi fornisce l’immagine virtuale della punta della freccia. Uguale costruzione per gli altri punti dell’immagine che, essendo virtuale, è rappresentata a tratto. 19

raggio c raggio p

convesso

raggio f oggetto

immagine

•

F

C

•

Figura 11.11

In modo analogo si ottiene la costruzione dell’immagine per lo specchio concavo. In questo caso si deve ipotizzare l’oggetto in tre posizioni diverse: esterno al centro di curvatura (Figura 11.12a), tra centro di curvatura e fuoco (Figura 11.12b), tra fuoco e vertice (Figura 11.12c). I punti immagine sono determinati dalle intersezioni dei raggi riflessi o dei loro prolungamenti. Le caratteristiche che assume l’immagine al variare della distanza tra specchio e oggetto sono elencate in Tabella 11.2 e Tabella 11.3.

167

TEORIA

unità 11 concavo

concavo raggio p

oggetto

C

immagine

•

raggio f

•

raggio p oggetto

V

•

F

immagine

C

Figura 11.12a

•

V

F raggio f

Figura 11.12b

concavo raggio f raggio c

•

C

•

F

V oggetto

immagine

raggio p

Figura 11.12c

Quali sono la distanza oggetto e la distanza immagine per lo specchio sferico e come si relazionano fra loro? Si definisce distanza oggetto p la distanza tra l’oggetto e il vertice dello specchio sferico rispetto all’asse ottico. Si definisce distanza immagine q la distanza tra l’immagine e il vertice dello specchio sferico rispetto all’asse ottico. Le distanze p e q e quella focale f sono fra loro in relazione secondo l’equazione degli specchi 20

1 1 1 + = p q f

(11.5)

valida sia per gli specchi concavi sia per quelli convessi. Si rispettano le seguenti convenzioni: • la distanza p è positiva (negativa) per gli oggetti reali (virtuali); • la distanza q è positiva (negativa) per le immagini reali (virtuali); • la distanza f è positiva (negativa) per lo specchio concavo (convesso). Ricordiamo che l’immagine è reale se ottenuta dall’intersezione dei raggi riflessi ed è virtuale se ottenuta dall’intersezione dei loro prolungamenti (vedere punto 14). Inoltre l’immagine reale (virtuale) si forma davanti (dietro) allo specchio. Cos’è e come si determina l’ingrandimento lineare dello specchio sferico? Si definisce ingrandimento lineare G il rapporto tra la misura di una dimensione dell’immagine e la corrispondente dimensione dell’oggetto (lunghezza con lunghezza, larghezza con larghezza, altezza con altezza). Il rapporto G è dato da 21

G=−

q p

(11.6)

dove i valori delle distanze q e p devono rispettare le condizioni di segno algebrico elencate nel punto 20. In Tabella 11.1 sono elencati i casi possibili di ingrandimento lineare e la conseguente forma che assume l’immagine rispetto all’oggetto. G |G| > 1

ingrandita

0 < |G| < 1

rimpicciolita

|G| = 1

identica

G<0

capovolta

G>0

diritta

Tabella 11.1

168

Immagine rispetto all’oggetto

TEORIA

Ottica geometrica

Quali sono le caratteristiche delle immagini prodotte da uno specchio sferico? In Tabella 11.2 e Tabella 11.3, per le più significative distanze oggetto p, sono elencate le caratteristiche della relativa immagine: le distanze q ricavate dalla (11.5), gli ingrandimenti G ricavati dalla (11.6), la tipologia determinata dalle Figure 11.11 e 11.12 e dalla Tabella 11.1. 22

Specchio concavo p

q

G

tipologia immagine

p > 2f

f < q < 2f

−1 < G < 0

reale, capovolta, rimpicciolita

p = 2f

q = 2f

G = −1

reale, capovolta, identica

f < p < 2f

q > 2f

G < −1

reale, capovolta, ingrandita

p<f

q < 0, |q| > p

G>1

virtuale, diritta, ingrandita

Tabella 11.2 Specchio convesso p

q

G

tipologia immagine

qualsiasi

q < 0, | q | < p, | q | < | f |

0<G<1

virtuale, diritta, rimpicciolita

Tabella 11.3

■ Lenti Cosa sono le lenti e come si classificano? Le lenti sono oggetti trasparenti limitati da due superfici, delle quali almeno una è sferica. Si classificano in: • lenti convergenti, con spessore maggiore al centro (in questa unità si tratta la lente convergente biconvessa, Figura 11.13a); • lenti divergenti, con spessore minore al centro (in questa unità si tratta la lente divergente biconcava, Figura 11.13b). Il motivo dell’uso dei termini convergente e divergente è dato nel punto 26. 23

Quali sono i parametri che caratterizzano una lente? In Figura 11.13 sono indicati i parametri per le lenti. • Centri di curvatura C1 e C2: centri delle sfere a cui appartengono le superfici esterne delle lenti. • Asse di simmetria verticale e asse ottico: linee che dividono la lente in parti uguali rispetto alla larghezza e all’altezza. • Piano di simmetria verticale (non indicato in figura): piano contenente l’asse di simmetria verticale e perpendicolare all’asse ottico. • Centro ottico O: punto di intersezione tra il piano di simmetria verticale e l’asse ottico, e che divide a metà lo spessore della lente lungo l’asse ottico. • Raggi di curvatura R1 e R2: raggi delle sfere con centro in C1 e C2. Le lenti biconcava e biconvessa hanno uguali raggi di curvatura: R1 = R2 = R. 24

divergente-biconcava

convergente-biconvessa

R2

R2 C1 asse ottico

O

•

•

•

R1 Figura 11.13a

C1

C2 asse ottico

•

O •

C2

•

R1 asse di simmetria verticale

Figura 11.13b

asse di simmetria verticale

169

TEORIA

unità 11

Quando una lente è approssimata a lente sottile e cosa comporta tale approssimazione? Una lente è considerata sottile quando il suo spessore misurato sull’asse ottico è trascurabile rispetto al raggio di curvatura. Con questa approssimazione è possibile ritenere che i raggi luminosi attraversanti la lente subiscano una sola rifrazione sul piano di simmetria verticale (Figura 11.14), anziché due rifrazioni consecutive sulle superfici esterne, come avviene realmente. 25

Come si determina il fuoco della lente sottile? Si invia un fascio di raggi paralleli all’asse ottico su una superficie della lente. Se la lente è biconvessa (Figura 11.14a), tutti i raggi rifratti sul piano di simmetria verticale convergono in un unico punto dell’asse ottico, detto fuoco F della lente. Da qui il motivo del termine convergente associato alla lente biconvessa. La distanza sull’asse ottico tra il centro ottico e il fuoco F è chiamata distanza focale f. 26

convergente-biconvessa

•

F

Figura 11.14a divergente-biconcava

Se la lente è biconcava (Figura 11.14b), tutti i raggi rifratti sul piano di simmetria divergono e i loro prolungamenti (linee tratteggiate) si intersecano sull’asse ottico in un punto detto fuoco virtuale. Da qui il motivo del termine divergente associato alla lente biconcava.

F•

Figura 11.14b

Quali sono i raggi particolari delle lenti convergente e divergente? Per la costruzione dell’immagine data da una lente sottile, si utilizzano tre raggi incidenti su una delle superfici della lente provenienti dall’oggetto, chiamati raggi particolari. In Figura 11.15a sono tracciati per la lente convergente: • p: è parallelo all’asse ottico, il suo raggio rifratto passa per il fuoco; • f: passa per il fuoco, il suo raggio rifratto è parallelo all’asse ottico; • m: passa per il centro ottico, il suo raggio rifratto non subisce deviazione. In Figura 11.15b sono tracciati per la lente divergente: • p: è parallelo all’asse ottico, il prolungamento del suo raggio rifratto passa per il fuoco; • f: il suo prolungamento oltre la lente passa per il fuoco, il suo raggio rifratto è parallelo all’asse ottico; • m: passa per il centro ottico, il suo raggio rifratto non subisce deviazione. In genere è sufficiente solo una coppia di raggi per la costruzione dell’immagine (vedere punto 28). 27

convergente-biconvessa

divergente-biconcava raggio p

raggio p raggio m

F

•

raggio f

•

•

raggio f raggio m

F

•

F Figura 11.15a

•

•

F Figura 11.15b

Come si costruisce l’immagine di una lente? Anche le lenti realizzano un’immagine che appare agli occhi: per esempio la lente di ingrandimento offre un’immagine (ingrandita) di un oggetto. In Figura 11.16 è rappresentato il diagramma dei raggi per la costruzione dell’immagine tramite i raggi particolari per la lente divergente. L’oggetto è rappresentato da una freccia. Scegliamo la punta della freccia come punto campione per la costruzione: da essa si fanno partire i tre raggi particolari. L’intersezione dei prolungamenti dei rispettivi raggi rifratti fornisce l’immagine virtuale della punta della freccia. Uguale costruzione per gli altri punti dell’immagine che, essendo virtuale, è rappresentata a tratto. 28

170

TEORIA

Ottica geometrica divergente-biconcava

raggio p raggio f

oggetto

•

F

immagine

•

Figura 11.16

•

O

F raggio m

In modo analogo si ottiene la costruzione dell’immagine per la lente convergente. In questo caso si deve ipotizzare l’oggetto in due posizioni diverse: esterno al fuoco (Figura 11.17a) e tra fuoco e centro ottico (Figura 11.17b). I punti immagine sono determinati dalle intersezioni dei raggi rifratti o dei loro prolungamenti. Le caratteristiche che assume l’immagine al variare delle distanze oggetto (tra cui quelle rappresentate nelle figure) sono elencate in Tabella 11.5 e Tabella 11.6. convergente-biconvessa

raggio p raggio m oggetto

F

•

raggio f

•

O

•

F

raggio p

F•

immagine

immagine

oggetto

•

O raggio m

Figura 11.17a

F

•

Figura 11.17b

Quali sono la distanza oggetto e la distanza immagine per le lenti e come si relazionano fra loro? Si definisce distanza oggetto p la distanza sull’asse ottico tra l’oggetto e il centro ottico. Si definisce distanza immagine q la distanza sull’asse ottico tra l’immagine e il centro ottico. Le distanze p e q e quella focale f sono fra loro in relazione secondo l’equazione delle lenti sottili 29

1 1 1 + = p q f

(11.7)

valida per lenti convergenti e divergenti. Si adottano le seguenti convenzioni: • la distanza p è sempre positiva; • la distanza q è positiva (negativa) per le immagini reali (virtuali); • la distanza f è positiva (negativa) per la lente convergente (divergente). Ricordiamo che l’immagine è reale se ottenuta dall’intersezione dei raggi rifratti ed è virtuale se ottenuta dall’intersezione dei loro prolungamenti. Inoltre l’immagine reale (virtuale) si forma dalla parte opposta (stessa parte) a quella da cui arrivano i raggi. Cos’è il potere diottrico di una lente? Si definisce potere diottrico D di una lente l’inverso della distanza focale 30

D=

1 f

(11.8)

Se la distanza focale è espressa in metri, il potere diottrico è espresso in diottrie. Il potere diottrico è positivo (negativo) se la lente è convergente (divergente). ESEMPIO

Il potere diottrico è anche chiamato potere convergente. Infatti il valore D quantifica la capacità di una lente nel convergere i raggi rifratti o i loro prolungamenti: tanto più è elevato D, tanto più vicino alla lente si forma l’immagine. Cos’è e come si determina l’ingrandimento lineare della lente? La definizione di ingrandimento lineare G per la lente è analoga a quella dello specchio (punto 21): 31

G=−

q p

(11.9)

171

TEORIA

unità 11

dove per le distanze q e p si devono rispettare le condizioni del punto 29. In Tabella 11.4 sono elencati i casi possibili di ingrandimento lineare e la conseguente forma che assume l’immagine rispetto all’oggetto. G

Immagine rispetto all’oggetto

|G| > 1

ingrandita

0 < |G| < 1

rimpicciolita

|G| = 1

identica

G<0

capovolta

G>0

diritta

Tabella 11.4

32 Quali sono le caratteristiche delle immagini prodotte da una lente? In Tabella 11.5 e 11.6, per le più significative distanze oggetto p, sono elencate le caratteristiche della relativa immagine: le distanze q ricavate dalla (11.7), gli ingrandimenti G ricavati dalla (11.9), la tipologia determinata dalle Figure 11.16 e 11.17 e dalla Tabella 11.4.

Lente convergente p

q

G

tipologia immagine

p > 2f

f < q < 2f

−1 < G < 0

reale, capovolta, rimpicciolita

p = 2f

q = 2f

G = −1

reale, capovolta, identica

f < p < 2f

q > 2f

G < −1

reale, capovolta, ingrandita

p<f

q < 0, | q | > p

G>1

virtuale, diritta, ingrandita

Tabella 11.5 Lente divergente p

q

G

tipologia immagine

qualsiasi

q < 0, |q| < p, |q| < | f |

0<G<1

virtuale, diritta, rimpicciolita

Tabella 11.6

TEST La velocità della luce nel vuoto è 3 · 108 m/s. In un mezzo la luce si propaga a con velocità maggiore b con velocità minore c alla stessa velocità d con velocità doppia 1

172

2

L’indice di rifrazione di un mezzo è una grandezza a adimensionale caratteristica del mezzo b che si misura in m/s2 c che si misura in m/s d che si misura in m

3

L’indice di rifrazione del vuoto è a maggiore di 1 c uguale a 1 b minore di 1 d maggiore o uguale a 1

4

Se l’indice di rifrazione di un mezzo è n, la velocità di un raggio luminoso nel mezzo è n c a nc b c d n2c c n

5

L’angolo di riflessione è quello che il raggio riflesso forma con a la superficie su cui il raggio si riflette b il raggio incidente c la normale alla superficie su cui il raggio si riflette d il raggio rifratto

6

Un raggio di luce incide su una superficie piana formando un angolo di 30° con la superficie. L’angolo di incidenza è a 15° b 30° c 45° d 60°

ESERCIZI

Ottica geometrica 7

Nel caso del raggio di luce del test precedente, l’angolo di riflessione è a 15° b 30° c 45° d 60°

8

Un raggio luminoso incide su una superficie piana lucida e si riflette: la retta normale alla superficie a è più vicina al raggio incidente b è più vicina al raggio riflesso c è la bisettrice dell’angolo che ha come lati i due raggi d è inclinata di 45°

9

L’angolo di incidenza di un raggio luminoso è di 30° su una lastra di plexiglas (n = 1,48). L’angolo di rifrazione è a 10,1° b 19,7° c 30,5° d 43,7°

10

Si ha riflessione totale se l’angolo incidente è a minore dell’angolo limite b minore dell’angolo riflesso c maggiore o uguale dell’angolo riflesso d maggiore o uguale dell’angolo limite

11

Le dimensioni dell’immagine data da uno specchio piano sono a uguali a quelle dell’oggetto b inferiori a quelle dell’oggetto c superiori a quelle dell’oggetto d inferiori o superiori a seconda della distanza dell’oggetto dallo specchio

12

Un oggetto è posto a 1 m da uno specchio piano. La sua immagine dista dall’oggetto a 1 m c 3m b 2 m d 4m

13

Il raggio di curvatura di uno specchio sferico è 40 cm. Qual è la distanza focale dello specchio? a 80 cm c 40 cm b 60 cm d 20 cm

14

Una sorgente luminosa è posta nel fuoco di uno specchio sferico. I raggi riflessi a passano per il centro dello specchio b tornano indietro seguendo il medesimo percorso c sono paralleli all’asse ottico d sono inclinati di 45° rispetto alla retta normale nel punto di incidenza

15

L’immagine fornita da uno specchio convesso è sempre a virtuale, capovolta e rimpicciolita b virtuale, diritta e rimpicciolita c reale, diritta e rimpicciolita d reale, capovolta e rimpicciolita

16

Per gli specchi sferici vale l’equazione degli specchi, in cui p è la distanza dell’oggetto dallo specchio, q la distanza dell’immagine e f la distanza focale. Qual è la formula corretta? 1 1 1 1 = p + q = + a c f f p q b

17

1 1 f = p + q

d

f=p+q

Sapendo che p è la distanza oggetto-specchio e che q è la distanza immagine-specchio, l’ingrandimento di uno specchio sferico è p q p q a − b − c d q p q p

18

Se utilizzi una lente divergente, l’immagine è sempre a reale, diritta e rimpicciolita b reale, diritta e ingrandita c virtuale, diritta e rimpicciolita d virtuale, diritta e ingrandita

19

Nell’equazione delle lenti sottili, q è negativa quando l’immagine si trova a dalla stessa parte da cui proviene la luce b dalla parte opposta a quella da cui proviene la luce c dalla stessa parte o dalla parte opposta a quella da cui proviene la luce, a seconda che la lente sia convergente o divergente d nel fuoco della lente

20

Con una lente convergente, ottieni un’immagine virtuale, diritta e ingrandita a se l’oggetto è esterno al fuoco b se l’oggetto è tra il fuoco e il centro ottico della lente c se l’oggetto è a una distanza dal centro ottico della lente uguale a due volte la distanza focale d mai

21

Una lente convergente ha distanza focale di 50 cm. Il potere diottrico della lente è a 0,5 diottrie c 5,0 diottrie b 2,5 diottrie d 2,0 diottrie

VERO/FALSO 22 Nel modello a raggio i raggi luminosi propagano in linea retta.

V F

23 Più un mezzo è trasparente, minore è il suo indice di rifrazione.

V F

24 L’angolo di incidenza è l’angolo tra il raggio incidente e la superficie su cui il raggio si riflette.

V F

173

ESERCIZI

unità 11 25

L’angolo di rifrazione è l’angolo che il raggio rifratto forma con la superficie di separazione dei due mezzi. V F

26 L’angolo di incidenza è sempre maggiore dell’angolo di rifrazione.

V F

27 Dati due mezzi trasparenti, il rapporto tra l’angolo di incidenza e l’angolo di rifrazione è costante. V F 28 L’indice di rifrazione di un mezzo è una costante che si misura in m/s. 29 Se la velocità di un raggio luminoso in un mezzo trasparente è v, l’indice di rifrazione del mezzo è c/v. 30 Stai guardando due lavelli affiancati: uno è pieno d’acqua e l’altro è vuoto. Quello vuoto appare più profondo. 31

V F

V F

V F

Se un raggio luminoso passa da un mezzo meno trasparente a uno più trasparente, si ha sempre riflessione totale. V F

32 Un’immagine virtuale non si può raccogliere su uno schermo. 33

34

V F

Una sorgente luminosa è posta nel centro di uno specchio sferico concavo. Il raggio riflesso passa per il fuoco dello specchio. V F

L’immagine fornita da uno specchio piano a è virtuale e capovolta V b è virtuale e diritta V c è reale e diritta V d è rimpicciolita V e ha le stesse dimensioni dell’oggetto V

F F F F F

35 Un oggetto è posto a 10 cm dal vertice di uno specchio concavo con distanza focale 12 cm. L’immagine è virtuale, diritta, ingrandita. V F 36 L’ingrandimento di uno specchio convesso è sempre minore di 1. V F 37 L’ingrandimento di una lente si misura in metri. V F 38 Un oggetto è posto a 40 cm da una lente convergente con distanza focale 12 cm. L’immagine è virtuale, diritta, ingrandita. V F 39 Un oggetto è posto nel centro di una lente convergente. L’immagine ha le stesse dimensioni dell’oggetto. V F 40 L’ingrandimento di una lente divergente è sempre minore di 1. V F 41

Una lente ha distanza focale pari a 0,5 m. Il suo potere diottrico è 2. V F

QUESITI 42

La velocità della luce nel vuoto è costante o dipende dalla velocità della sorgente luminosa?

43

Quali sono le caratteristiche dei mezzi opachi, trasparenti e riflettenti?

49

Un raggio di luce incide su una lastra di vetro a facce piane parallele. Quali caratteristiche ha il raggio uscente?

50

Quali sono le caratteristiche dell’immagine fornita da uno specchio piano?

44

Spiega in cosa consiste il modello a raggio.

45

Definisci l’angolo di rifrazione.

46

Quali sono le unità di misura dell’indice di rifrazione?

52

È possibile ottenere un’immagine reale con uno specchio piano?

47

Quando un raggio rifratto si avvicina alla retta normale alla superficie di separazione dei due mezzi trasparenti?

53

Cosa succede alla tua immagine riflessa in uno specchio piano, se ti avvicini allo specchio?

48

Un raggio luminoso entra in un mezzo con indice di rifrazione minore di quello del mezzo da cui proviene. Si verifica sempre riflessione totale?

54

L’immagine di un oggetto ottenuta da uno specchio sferico è virtuale, diritta e ingrandita. Lo specchio è concavo o convesso?

51

174

Qual è la definizione di immagine reale? E di immagine virtuale?

ESERCIZI

Ottica geometrica 55

Qual è il significato di un ingrandimento negativo?

58

È possibile raccogliere su uno schermo l’immagine prodotta da una lente divergente?

56

Quando una lente è considerata sottile?

59

57

Quali sono le caratteristiche che distinguono una lente convergente da una divergente?

Vuoi accendere un fuoco sfruttando i raggi del Sole. Usi una lente convergente o divergente?

ESERCIZI Propagazione della luce 60

61

La luce del Sole impiega 8,3 minuti per raggiungere la Terra. Calcola la distanza media TerraSole.

Rispetto a n' il raggio i forma un angolo di 45° + θ come pure il raggio riflesso r'. Quindi, poiché r forma con n' un angolo 45° – θ, il raggio riflesso r' forma con r un angolo (45° + θ) – (45° − θ) = 2θ. n

La velocità della luce nel vetro è 2,0 · 108 m/s. Qual è l’indice di rifrazione del vetro?

62

63

i

65

La velocità della luce nell’alcool è 2,2 · 108 m/s. Qual è l’indice di rifrazione dell’alcool?

66

Un raggio di luce passa attraverso un pezzo di quarzo (n = 1,54). Trova la velocità della luce nel quarzo.

Un raggio luminoso incide su una superficie riflettente con un angolo di incidenza di 45°. La superficie è poi ruotata di un angolo θ: di quale angolo ruota il raggio riflesso?

Svolgimento In figura sono mostrati la superficie S e la normale n nella posizione iniziale e dopo la loro rotazione di un angolo θ (indicati con S' ed n'). Rispetto a n il raggio incidente i forma un angolo di 45° come pure il raggio riflesso r.

45°

S' S

68

θ θ

In figura, due superfici riflettenti formano fra loro un angolo di 120°. Un raggio luminoso colpisce la prima superficie con un angolo di incidenza di 70°. Determina l’angolo di riflessione del raggio sulla seconda superficie.

70°

69

Propagazione rettilinea della

luce

r'

θ

L’anno-luce è la distanza che la luce percorre nel vuoto in un anno. È un’unità di misura di lunghezza utilizzata dagli astronomi. A quanti metri corrisponde? Durante la missione Apollo 11 del 1969, gli astronauti hanno deposto sulla Luna molti specchi, con lo scopo di misurare la distanza Terra-Luna. Sapendo che un raggio di luce inviato dalla Terra viene riflesso dagli specchi e torna indietro dopo 2,56 s, calcola questa distanza.

67

r

Un raggio di luce attraversa l’acqua (n = 1,33). Trova la velocità della luce nell’acqua.

64

n'

120°

Un raggio di luce nel vuoto incide su una lastra di plexiglas con un angolo di incidenza di 45°. L’angolo di rifrazione è di 30°. Calcola l’indice di rifrazione del plexiglas.

Lab

70

Un raggio luminoso si propaga in aria (naria = 1) e incide su una lastra di vetro (nvetro = 1,58) con un angolo di incidenza θi = 60,0°. Quanto vale l’angolo di rifrazione θrf ?

Svolgimento In figura sono mostrati il raggio incidente i e il raggio rifratto rf . Il raggio rifratto si avvicina alla normale n essendo l’indice di rifrazione del vetro maggiore di quello dell’aria.

n

i

θi

θrf

rf

175

ESERCIZI

unità 11 d = h2 + l2

Dalla legge di Snell: da cui

sen θ rf =

naria sen θ i nvetro

⎛ n ⎞ θ rf = arcsen ⎜ aria sen θ i ⎟ ⎝ nvetro ⎠

Il cateto h è dato. Per calcolare il cateto l, usa la relazione trigonometrica l = h tan θ rf . Infine per calcolare θrf applica la legge di Snell alla rifrazione del raggio sulla faccia superiore della lastra.

θi

Sostituiamo i dati dell’esercizio, e con l’aiuto della calcolatrice, otteniamo ⎛ 1 ⎞ θ rf = arcsen ⎜ sen 60° ⎟ = 33,2° 1,58 ⎝ ⎠ 71

Un raggio luminoso che sta viaggiando in un mezzo, passa in un altro mezzo. Supponi che sen i1 = 1,5 . Se i1 = 20°, quanto vale i2? E se sen i2 raddoppiamo i1, anche i2 raddoppia?

73

Alla profondità di 2 m sotto la superficie del mare si trova un sasso. Un ragazzo in barca, non situato sulla verticale che passa per il sasso, a quale profondità vede l’immagine del sasso? (L’indice di rifrazione dell’acqua salata è 1,42).

74

75

L’indice di rifrazione del diamante è 2,42. Un raggio di luce passa dal diamante all’aria. Calcola l’angolo limite. Un raggio luminoso attraversa le pareti in vetro (n1 = 1,6) di una vasca d’acqua salata (n2 = 1,55). Calcola l’angolo limite per il raggio luminoso che attraversa il vetro ed entra nell’acqua salata. Quanto vale l’angolo limite nel caso di raggio luminoso che esce dalla vasca?

76

L’indice di rifrazione del vetro è nvetro = 1,6. Un raggio di luce passa dal vetro all’aria (nvetro = 1). Calcola l’angolo limite. Un raggio luminoso colpisce con un angolo di incidenza θi = 30° una lastra di plexiglas con spessore h = 0,50 cm e indice di rifrazione n = 1,41. Calcola la lunghezza del tratto percorso all’interno della lastra.

Suggerimento Per determinare il tratto d che il raggio percorre nella lastra, devi applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo in figura:

176

θrf

d

l

Un raggio di luce si propaga in acqua (naria = 1,33), colpisce la superficie di un blocco di plexiglas (np = 1,41) e viene rifratto con un angolo di 35,0°. Qual è l’angolo di incidenza?

72

77

h

Specchi Lab

78

Un ragazzo alto 1,60 m si guarda in uno specchio piano. I suoi occhi sono a 1,50 m dal suolo. Determina l’altezza minima dello specchio e la distanza che il bordo inferiore deve avere dal suolo affinché il ragazzo possa vedere per intero la sua immagine riflessa nello specchio.

Svolgimento G D

A O E B

θr θi

A'

C F

B'

In figura, il ragazzo riesce a vedere tutta la sua immagine (virtuale) nello specchio se i raggi tracciati dalle estremità A e B, dopo la riflessione, arrivano fino all’occhio O. Tracciamo i raggi rispettando le leggi della riflessione: il raggio da B incide in C ed è riflesso in O, il raggio da A incide in D ed è riflesso in O. Poiché l’angolo di incidenza θi è uguale a quello di riflessione θr, i triangoli OCE e BCE sono uguaOB = 75 cm. Per lo stesso motivo li. Quindi CF = 2 AO DG = = 5 cm e dunque CD = 80 cm. 2 I risultati trovati hanno valenza generale: una persona si vede per intero se lo specchio ha un’altezza uguale alla metà della sua statura e se il bordo inferiore è collocato a una distanza dal suolo pari alla metà della distanza occhi-suolo. Osserviamo infine che i risultati ottenuti non dipendono dalla distanza tra la persona e lo specchio.

ESERCIZI

Ottica geometrica 79

80

Due specchi piani lunghi 50 cm sono posti uno di fronte all’altro a una distanza di 10 cm. Se un raggio di luce incide su un estremo di uno specchio con un angolo di 45°, quante volte il raggio luminoso è riflesso prima di uscire dalla coppia di specchi?

84 Uno

specchio da trucco è concavo. Una donna si trucca a 10 cm dal suo specchio che ha una distanza focale di 20 cm. Qual è l’ingrandimento dello specchio?

85

Traccia il diagramma dei raggi per un oggetto (una matita) che si trova a metà della distanza focale di uno specchio concavo. Quali sono le caratteristiche dell’immagine?

Un oggetto è posizionato a una distanza di 2,0 m davanti a uno specchio convesso che ha distanza focale di –50 m. Dopo aver costruito il diagramma dei raggi, determina la posizione dell’immagine. L’immagine è diritta o capovolta?

Lab

Suggerimento Traccia i due raggi principali, come in figura: quello parallelo all’asse ottico che si riflette nel fuoco e quello passante per il centro dello specchio che si riflette sovrapponendosi a se stesso. Ottieni l’immagine se intersechi i prolungamenti dei raggi riflessi.

86 Gli

specchietti retrovisori delle automobili sono convessi. Uno specchietto retrovisore ha distanza focale di –2,40 m. Dove si forma l’immagine di una bicicletta che si trova a 3,00 m dallo specchio?

Lenti 87

•

C

81

•

F

Traccia il diagramma dei raggi per un oggetto posto nel centro di uno specchio concavo e descrivi le caratteristiche dell’immagine.

82

Svolgimento

Un oggetto è posto a 60,0 cm dal vertice di uno specchio sferico concavo con distanza focale di 40 cm. Determina la posizione dell’immagine e l’ingrandimento dello specchio.

Svolgimento La distanza q dell’immagine dal vertice dello specchio si ricava dall’equazione degli specchi 1 1 1 + = da cui p q f fp (40,0 cm)(60,0 cm) q= = = 120 cm p − f (60,0 cm) − (40,0 cm) Poiché q risulta positivo, l’immagine è reale. A questo punto calcoliamo l’ingrandimento G=−

q 120 cm =− = −2,00 p 60,0 cm

Il modulo di G è maggiore di 1 e quindi l’immagine è ingrandita; il segno meno indica che l’immagine è capovolta. 83

Una lente convergente ha distanza focale di 5,0 cm. Un oggetto è disposto a 2,0 cm dal centro della lente. Costruisci l’immagine con il diagramma dei raggi, quindi determina la posizione dell’immagine e l’ingrandimento della lente.

Una matita è perpendicolare all’asse ottico di uno specchio concavo di raggio 100 cm. La sua immagine è virtuale ed è due volte più alta. Determina la distanza della matita e della sua immagine dallo specchio.

B'

B O

A' A

•

F

•

In figura è rappresentato il diagramma dei raggi in cui utilizziamo solo due raggi provenienti dall’oggetto AB: il raggio parallelo all’asse ottico e rifratto nel fuoco e il raggio passante per il centro ottico e che prosegue nella stessa direzione. L’immagine A'B' è ottenuta dall’intersezione dei prolungamenti dei raggi rifratti ed è quindi virtuale. La distanza q dell’immagine dalla lente si ricava dall’equazione delle lenti sottili 1 1 1 + = p q f da cui q=

fp (2,0 cm)(5,0 cm) = = −3,3 cm p − f (2,0 cm) − (5,0 cm)

Poiché q risulta negativa, l’immagine è virtuale.

177

ESERCIZI

unità 11 Calcoliamo ora l’ingrandimento G=−

q −3,3 cm =− = 1,7 p 2,0 cm

G è positivo e quindi l’immagine è diritta; inoltre G è maggiore di 1, quindi l’immagine è ingrandita. La lente analizzata nell’esempio è una lente di ingrandimento, una normale lente convergente, con piccola distanza focale, collocata in modo che l’oggetto sia tra il fuoco e la lente stessa. 88

Per osservare un francobollo si usa una lente di ingrandimento, con distanza focale 4,0 cm. Se si pone la lente a 3,5 cm dal francobollo, di quanto risulta ingrandito?

89

Un oggetto si trova a 1,5 m da una lente convergente che produce un’immagine reale delle stesse dimensioni. Determina la distanza dell’immagine dalla lente e la distanza focale. Traccia quindi il diagramma dei raggi.

90

Un oggetto è disposto a 8,0 cm da una lente divergente con distanza focale di –6,0 cm. Dopo aver costruito l’immagine con il diagramma dei raggi, determina la sua posizione e l’ingrandimento della lente.

Svolgimento B B' A

•

F

A'

•

O

In figura è mostrato il diagramma dei raggi in cui utilizziamo solo due raggi principali provenienti dall’oggetto AB: il raggio parallelo all’asse ottico, il cui raggio rifratto diverge in modo che il suo prolungamento passi per il fuoco, e il raggio passante per il centro ottico e il cui raggio rifratto prosegue nella stessa direzione. L’immagine A'B' è virtuale, perché ottenuta dall’intersezione dei prolungamenti dei raggi rifratti. La distanza q dell’immagine si ricava dall’equazione delle lenti sottili 1 1 1 + = p q f da cui q=

fp (8,0 cm)(−6,0 cm) = = −3,4 cm p − f (8,0 cm) − (−6,0 cm)

Calcoliamo ora l’ingrandimento

178

G=−

−3,4 cm = 0,43 8,0 cm

L’ingrandimento positivo indica che l’immagine è diritta. Inoltre, l’altezza dell’immagine è 0,43 volte l’altezza dell’oggetto, quindi rimpicciolita. Lab

91

Un oggetto è disposto a 15 cm da una lente divergente e la sua immagine virtuale si forma a 6,0 cm dalla lente. Calcola la distanza focale della lente e traccia il diagramma dei raggi.

92 Anna

è miope. La sua distanza della visione distinta è 15 cm. Per leggere un libro alla distanza di 25 cm deve usare lenti divergenti. Quale distanza focale hanno le sue lenti? Qual è il loro potere diottrico?

Suggerimento La lente è divergente, l’immagine è quindi virtuale e la sua distanza dalla lente è negativa. 93

Luca è ipermetrope, cioè non riesce a distinguere gli oggetti a meno di 1,00 m dai suoi occhi. Per leggere un libro alla distanza normale di 25,0 cm deve usare occhiali con lenti convergenti. Qual è la loro distanza focale? Qual è il loro potere diottrico?

Suggerimento La lente è convergente, ma l’immagine è virtuale: infatti, poiché l’immagine deve essere visibile attraverso la lente, si deve formare dalla stessa parte della lente in cui si trova l’oggetto. 94

Una lente divergente ha un ingrandimento di 0,25. Un oggetto è posto a 10 cm di distanza dalla lente. Qual è la distanza dell’immagine? Qual è il potere diottrico della lente?

SOLUZIONI Unità 1 Test 1

d

2

c

3

c

60

4

d

5

c

6

a

61

7

b

8

c

9

c

62

10 c

11

d

12

c

63 12,6

d

14

b

15

a

64

16 d

17

d

18 b

13

330 cm3

1,43 · 1014 m2; 3,93 · 103 kg/m3 2,0 ∙ 104 kg/m3 1,3 ∙ 104 cm3; 13 kg

65 4,0

67 108

V

9,5 · 1015 m kg m s–2; [L][T]–2[M]

20 F

22 F

23 V

24 V

70

28 F

26 V

27 V

71

29 V

30 F

68 8

32 F

33 F

73

V

34 F

35 V

21

1,25 m ;

d

21 000 ms;

g

3 140 000 cm2;

a

b

0,621 kg;

0,714 g;

e

c

120 000 mg;

0,013100 m3;

h

600 000 cm3

i

53

a e

54 55

a

1 · 10–5 ;

3,45 · 103 ; 1 km ;

b

2 · 104 ; f

c

3 · 10–1;

57 1,5

1 mm ;

c

1 μm

cm ; 10–7 mm ; 10–4 μm

· 10 m2; 1,5 · 103 dm2; 1,5 · 105 cm2

b

3,7 m

76

2,7 ∙ 10–2 kg; 27 g

c

0,83; 0,826;

2,9 ∙ 10 ; 2,88 ∙ 10 ; 2

e

75

3,1; 3,09;

2

f

58; 57,7

2

77 20,2°C

79

0,05 kg

80

la prima

81

74 ; 2,0 ; 2,7% ; 1,3

82

1,5 m ; 0,1 m

83

(148,4 ± 0,6)cm ± 120) cm2; (1000 ± 300) cm3

86

(30,7 ± 3,5) cm3

88

(2,2 ± 0,2) · 10–3 g/cm3 ± 5,4) cm; (16 200 ± 324) cm2

l; 1,5 · 103 ml

a

2

b

5

a

8

10 b

11

c

14

16 c

17

13

2,1 ∙ 10 ; 2,12 ∙ 10 ; 3

89 (540,0

Test

7

0,33; 0,327;

85 (600

Unità 2

4

2 · 106 ;

1,5 · 10–3

2 · 10–3 m3

59 1,5

1

d

2,88 · 104 s

56 10–8

58

b

a

78 1,9%

1,0120 m2;

f

m3 s–2 kg–1; [L]3[T]–2[M]–1

3

d

36 F

Esercizi 51

s

68

19 V

31

· 104 km; 5,1 · 108 km2; 1,09 · 1012 km3

66 1054

Vero/Falso

25 F

cm3; 12,6 ∙ 10–6 m3; 1,59 ∙ 104 kg/m3

23 a V

b

F

c V

24 a V

b V

c V

b V

c V

b

3

d

25 a F

c

6

d

26 V

c

9

b

a

12

d

15

c

18 c

28 V

29 V

30 V

d

32 V

33 F

34 V

b

35 V

27 F

31

V

Esercizi

19 b 49

Vero/Falso 20 V 22 a F

21

F

b V

c

F

3; una retta

x

1

3

2

1 3

y

3

9

6

1

179

SOLUZIONI

x

1

3

2

12

7 11 p 3 10 ; π; π; π 4 6 6 62 315°; 240°; 300°

y

12

4

6

1

63

50

51

12; un’iperbole

61

angoli (rad)

x

0

1

2

3

4

y

1

4

7

10

13

5 π 4

5 π 6

2 π 3

p 15

angoli 225° (°)

150°

120°

12°

1 000;

c

100 000;

1 2 3 65 4 1 66 2 64

52

t

0

1

2

3

4

5

s

0

1 2

2

9 2

8

25 2

53

€ 20; 4; c = 4m

67 5

54

c = 5,0 + 0,10 m; € 17

68 8

55

m=

P g

69

U 56 h = mg

70

a

104;

b

107;

c

10–2;

d

10–5;

a

107;

b

103;

c

1010;

d

103;

A π

72

57

r=

e

71

60

b

76

e e

10–6 107

3 ∙ 105 km/s 46%, 54%

p 4

p 3

p 2

a

21;

17;

b

c

0,25;

d

8

77 210

3p 2p 2

p

78 6 79 14% 80

Unità 3

€ 315

Vero/Falso

Test 1

d

2

c

3

d

29 V

30 V

31

4

a

5

b

6

d

32 F

33 F

34 V

7

b

8

d

9

b

35 F

36 V

37 V

10 a

11

a

12

d

38 V

39 F

40 F

a

14

a

15

b

41

V

42 V

43 F

16 c

17

b

18 b

19 c

20 b

21

22 c

23 d

24 b

25 c

26 c

27 b

28 c

0,001;

75 40%

angoli 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° (°)

13

d

0,0000001

74

2U 2U k= 2 ; x= x k

angoli p (rad) 6

1 000 000;

73 8 040

2s 58 t = g 59

a

44 V

c

45 F

V

Esercizi 67 d

a

direzione e verso;

modulo e direzione;

e

b

modulo;

c

modulo;

direzione

68 0 69 70

180

2,98 ∙ 1011 m a

5,0 m;

b

4,3 m;

c

3,5 m;

d

2,5 m;

e

0,0 m

SOLUZIONI 74

93

5,0 N, 8,7 N

94

Ax = 43 m; Ay = 25 m

10 unità, φ = 37°;

95

11 N, 2,2 kg; 0 N, 2,2 kg

2 unità con direzione parallela a quella dei vet-

96

127 N

tori componenti e verso coincidente con quello del

97

120 N; 4,00 kg

vettore di modulo maggiore

98

Fx = 3,5 N, parallela alla parete, verso l’al-

76

70,7 km; 100 km

to; perpendicolare alla parete, verso l’esterno del

77

8m

muro; no, perchè la forza peso ha modulo minore

79

12,4 km/h, 75,0°, verso nord-est

della forza di attrito

80

13 km/h, 67°, verso nord-ovest

75

17 m; 13 m; 7,0 m; 13 m 14 unità con direzione e verso uguale a

a

quelli dei vettori componenti; c

81

b

100

63,2 km, 18,4°, verso sud-est

10 Nm

125 Nm, perpendicolare al piano del foglio

101

82

100 N

83

53,9; 53,9

102

50,0 cm

84

36 m, 56°, verso nord-est;

103

20 Nm, perpendicolare al piano del foglio con

36 m, 56°, verso sud-est;

verso entrante (uscente) se la rotazione avviene in

36 m, 56°, verso nord-ovest

verso orario (antiorario); 10 Nm perpendicolare al

86

32 N

piano del foglio con verso entrante (uscente) se la

87

20; 10; 5,0; 30

rotazione avviene in verso orario (antiorario); 0 Nm

88

B = 6,0 m, inclinato di 45° sotto all’orizzontale

89

100; 86,6; 70,7; 50,0; 0

91

con verso entrante; 177 Nm

104

2,4 Nm, perpendicolare al piano del foglio,

con verso entrante

13,5; 23,4 perpendicolare al foglio e con verso

105

6,93 Nm; antiorario

uscente; 23,4 perpendicolare al foglio e con verso entrante Unità 4

Esercizi

Test 1

b

2

c

3

b

42

49 N

4

d

5

a

6

a

44

2,89 N

7

a

8

b

9

c

45

50 N

10 c

11

d

12

c

46

15 N; 14 N; perpendicolare al piano inclinato,

13

verso l’alto

a Vero/Falso

14

F

15

17

V

18 F

20 F

21

22 a V

V

a

V

b

F

24 V

25 V

26 F

27 V

29 F

30 F

2,5 kg; 42 N

48

43 N

16 V

49 31°

19 V

50 0,36

b

F

c V d

b V

23 a V

47

c V d

F

28 F

F

51

2,9 N; 2,9 N; 59 N/m

52

1,6 kg

53

La quarta; la terza

55

400 N; al centro

56

500 N; a 15 cm dal centro, dalla parte delle due

masse 57

a 4,3 m dal peso di 20 N

58

200 N; 100 N

59

420 N; 180 N; l’operaio più vicino alla cassa

181

SOLUZIONI 60 61

470 N; 230 N

a 1 m dall’estremo sorretto dai quattro uomini

62

concordi: 7,5 N tra le due forze a 40 cm da F2;

300 N/m; 3,33 cm

69

250 N, verso l’alto

70

49 N; sì

discordi: 3,5 N con verso uguale a quello di F2, all’e-

71

sterno delle due forze, a 80 cm da F2

72

63

10 cm

64

981 N/m; 491 N/m

65

25 N/m; 40 cm

9,1 N a

primo genere;

genere; 73

d

b

primo genere;

52

1,1 ∙ 103 N, 7,0 cm

Test

53

1,26 ∙ 105 Pa

b

2

c

3

c

54

1,07 ∙ 105 Pa

4

c

5

b

6

d

55

4,028 ∙ 107 Pa, 2,8 ∙ 106 N

7

b

8

a

9

b

56

1,5 atm

10 d

11

c

12

b

57

1,2 ∙ 103 Pa

58

2,8 ∙ 103 Pa, 9,6 ∙ 102 kg/m3

59

1,4 ∙ 103 Pa, 2,7 ∙ 103 Pa; minori

60

4 ∙ 10 m

F

61

2,79 cm

Vero/Falso a V 15 F

b

16 V

17

F

62

0,894 ∙ 105 Pa; 894 mbar

18 V

19 V

20 F

63

10,3 m

64

735 mm

65

53 N

66

9,8 ∙ 10–2 N

67

23,8 N; 238 N

68

48 N

14

21

V

F

c V

22

d

a V b

F

23 V 24 a F

b V

c V

25 V

Esercizi

d

F

secondo

primo genere; 15 N; vantaggiosa

Unità 5

c

c

terzo genere

1

13

69

2,5 N

3

70

2,5 ∙ 10–4 m3; 3,2 ∙ 103 kg/m3

42

1,4 ∙ 103 kg/m3

71

815 cm3

43

3,5 g

72

Affonda perché la forza di Archimede è minore

44

59 kg

45

975 kg/m

46

41

8,9 ∙ 10 kg/m 3

del peso 73

0,03 m3

1,1 ∙ 10–2 m3

74

0,1960 N; 2,00 ∙ 10–5 m3;

47

1,6 ∙ 104 Pa

48

1,6 ∙ 106 Pa

75

92%

49

0,35 m

76

5,97 · 10–2 m3; 59,7 l

50

2,9 ∙ 104 Pa

78

La sfera è cava; 97,7 cm3

79

5,21 · 10–5 m3; 4,98 · 10–5 m3

51

182

66

3

2

1,3 ∙ 103 N

8,51 ∙ 103 kg/m3

SOLUZIONI Unità 6 Test 1 4

a

2

a

5

d

3

d

6

a

75

1,4 km

b

76

28,3 km/h 1,1 m/s2

b

8

b

9

b

77

10 b

11

a

12

a

78

2,3 m/s2

c

14

d

15

d

79

56 km/h

a

18 a

80

10 è la distanza in metri al tempo t = 0 dall’o-

7

13

16 c

17

19 a

20 d

21

b

rigine, 20 è la velocità costante in metri al secondo; 9,5 s

22 d

Vero/Falso 23 F

24 V

25 V

26 F

27 F

28 V

29 V

30 F

31

81

d

–3,0 m/s;

82 d

a

a

5,0 m/s; e

b

1,25 m/s;

0 km, 25 km;

b

20 m/s

32 V

6 minuti, 2 km

33 a F

d V

86

3,9 minuti, 3,3 km

36 F

87

19,2 km/h

34 V

b V

c

35 V

F

5,0 km/h, –10 km/h;

c

1,7 h;

25 km, 0 km

85

–2,5 m/s;

0 m/s

83

V

c

88 no

37 F 38 a F

b

F

c

F

d V

89

–3,9 m/s2

39 a F

b

F

c V

d V

90

–1,6 m/s2; 3,5 s

41

F

b

F

b V

40 V

91

2,8 m/s2

c V

92

54 m

F

94

1,3 m/s2; 45 km/h

95

7,1 s

96

–1,2 m/s2

0,3 m/s

97

36 km/h

16 s

98

Moto uniformemente decelerato con a = –2,0

64

8,3 minuti

m⁄s ; x = 6,3 ∙ 102 m

65

160 m; 2,0 m/s

99

66

3,4 km

di 6,0 m

67

4,7 s

100

86,7 km/h

101

No; 8,7 m/s

102

5,94 m; 10,8 m/s

103

320 m

37,5 km/h

104

20 m/s; 1,0 s; 17 m/s

110 km/h; 94,0 km/h; 105 km/h

105

591 m; 10,0 s

32 m/s

106

5,1 m; 2,0 s

107

5,4 m/s; 0,55 s; 5,4 m/s; 0,55 s

108

1,3 m; 1,0 s

109

4,9 m; 9,8 m/s; 1,6 s

42 a F 43 a F

c

Esercizi 62 63

69 70 71

2

1,0 m/s

72 73 74

t(s) 6,0 ∙ 102 1,2 ∙ 103 1,8 ∙ 103 s(m) 2,0 ∙ 103 44 ∙ 103

70 ∙ 103

a

aA = 1,7 m/s2, aB = 1,2 m/s2;

b

A è davanti a B

713 km/h; 20,2 s

0,61 s

183

SOLUZIONI Unità 7 Test 1 4

d

2

d

5

a

7

8

10 a

11

a

13

14

a

3

c

6

d

79

12,4 km/h, 75,0°, verso nord-est

c

80

13 km/h, 67°, verso nord-ovest

c

81

c

82

100 N 53,9; 53,9

9

d

12

b

15

b

83

b

18 c

84

36 m, 56°, verso nord-est;

16 a

17

19 d

20 c

21

a

36 m, 56°, verso sud-est;

22 a

23 b

24 c

36 m, 56°, verso nord-ovest

26 d

27 a

85

32 N

86

20; 10; 5,0; 30

87

B = 6,0 m, inclinato di 45° sotto all’orizzontale

88

100; 86,6; 70,7; 50,0; 0

25 a 28 b

Vero/Falso 29 a V

F

b

F

c

89 13,5;

d V

30 V

31

33 F

34 F

36 F c V

V

37

d

F

e

38 a V 39 V

F

40 a V 42 F

43 a V

91

b V

93

b

a

f

V

c

F

95

11 N, 2,2 kg; 0 N, 2,2 kg

F

96

127 N

97

120 N; 4,00 kg

98

Fx = 3,5 N, parallela alla parete, verso l’al-

b

g

F

c V

b V

c

F

to; perpendicolare alla parete, verso l’esterno del muro; no, perchè la forza peso ha modulo minore della forza di attrito

direzione e verso;

modulo;

c

modulo;

d

modulo e direzione;

e

2,98 ∙ 1011 m

70 74 75

a

5,0 m;

b

4,3 m;

c

3,5 m;

2,5 m;

e

0,0 m

125 Nm, perpendicolare al piano del foglio

102

50,0 cm

103

20 Nm, perpendicolare al piano del foglio con

verso entrante (uscente) se la rotazione avviene in

14 unità con direzione e verso uguale a

verso orario (antiorario); 10 Nm perpendicolare al

10 unità, φ = 37°;

piano del foglio con verso entrante (uscente) se la

2 unità con direzione parallela a quella dei vet-

rotazione avviene in verso orario (antiorario); 0 Nm

quelli dei vettori componenti; c

d

17 m; 13 m; 7,0 m; 13 m a

10 Nm

con verso entrante; 177 Nm

0

69

100 101

direzione 68

Ax = 43 m; Ay = 25 m

94 3i+2j

Esercizi 67

5,0 N, 8,7 N

35 V

F

a

con verso entrante

32 V

F

b

V

41

C = 23,4 perpendicolare al foglio e con

verso uscente; D = 23,4 perpendicolare al foglio e

e V

b

tori componenti e verso coincidente con quello del vettore di modulo maggiore

184

63,2 km, 18,4°, verso sud-est

c

76

70,7 km; 100 km

77

8m

104

2,4 Nm, perpendicolare al piano del foglio, con

verso entrante 105

6,93 Nm; antiorario

SOLUZIONI Unità 8 Test 1 4

c

2

b

5

d

3

a

6

b

55

a

56

2,0 m/s ; 6,0 N

a

24,5 N;

b

29,5 N;

c

19,5 N

2

d

8

c

9

c

57

10 b

11

c

12

b

58

d

14

d

15

d

59

0,53 m/s2; 1,7 N 1 3 0,3; 0,2; 5 N

61

351 N; 243 N

63

0,90 s; 4,4 m/s; 0,45 s; 4,4 m/s

64

21 N; 6,3 m/s

65

4,4 m

66

80,2 N; 1,57 ∙ 102 N; 4,45 m/s2

67

2,76 m/s2; 31,7 N

7

13

Vero/Falso 16 F

17 a

18 a F

F

b V

F

b

c

c V

F

19 V

20 F

22 V

23

24 F

25 V

69

0,29 6,8 m/s2

21

V

23

V

F

26 a F

b V

c V

70

27 a F

b V

c V

71

6,4 m/s2; 4,5 ∙ 102 N

72

1,7 m/s2; 2,5 kg

74

1,85 m/s; 5,89 N

75

10 m/s2; 5,0 m/s2

10 N

76

1,1 s

28 N

77

7,5 cm

Sì, perché la risultante delle tre forze agenti

78

36 cm; 1,7 s

sul corpo è nulla

79

1,7 s; 4,3 s

48

15 N; 5,0 m/s2

80

6,2 m

C = 2,7 N; a = 1,1 m/s2

81

3,7 m/s2

83

99,4 cm; 4,85 s

85

80 cm

28 V

29 F

Esercizi 44 45 47

50 51

3,3 m/s2; 26 N

52 53

25 N 4,8 m/s2; 1,0 ∙ 103 N Unità 9

Esercizi

Test b

2

4

b

7

d

43

200 J 1,2 ∙ 102 J; –1,2 ∙ 102 J

a

3

5

d

6

c

44

a

8

d

9

d

45

4 ∙ 10–2 J; quadruplo

10 c

11

d

12

b

46

3,6 ∙ 106 J

c

14

b

15

b

47

6,7 ∙ 106 J; 15 minuti

48

45 kW; 2,7 ∙ 107 J

49

48 kJ; 4,9 ∙ 102 kg

50

18 m/s; 36 m/s

1

13

Vero/Falso 16 V 19 F

17

V

20 V

22 V

23

a

24 F

25

F

27 V

28

V

18 F 21

51

2,67 ∙ 1033 J

52

8,4 ∙ 105 J

F

53

720 J

F

54

3,0 ∙ 105 J; 10 kW; 20 kW

V

F b V 26 29

30 V

185

SOLUZIONI 55

14 s

64

4,4 m/s

56

2,6 ∙ 102 W

65

30,6 J; 30,6 J; 24,7 m/s

57

1,47 J; –1,47 J

66

34 cm

59

4,4 m/s; 1,2 ∙ 102 J

67

5,9 N/m; 2,9 ∙ 10–2 J

60

3,4 ∙ 102 J; 3,4 ∙ 102 J; 14 m/s

69

650 J; –589 J; 61,0 J; 1,75 m/s

61

10,1 kJ; 1,72 kJ; 130 m/s

70

1,01 m

62

8,00 ∙ 104 J; 81,5 m;

71

2,5 J

72

61 J; 15 N

8,00 ∙ 104 J; 31,5 m/s Unità 10 Test 1

b

2

d

3

a

73

2,2 ∙ 10–2 l

4

d

5

c

6

c

74

1,5 l

7

a

8

b

9

a

76

9548 l

10 c

11

d

12

a

77

858 kg/m3

b

14

a

15

c

78

8,6 ∙ 102 kg/m3

16 b

17

a

18 c

79

2,3 m3

80

273 °C

82

5,2 l

83

2,6 ∙ 102 kJ

13

19 c

Vero/Falso 20 V

21

F

22 V

84

462 cal

23 F

24 V

25 F

85

8,2 kg

26 V

27

F

28

F

86

21 J/(kg K); 42 J/kg

29 V

30

F

31

V

87

15 °C

32 F

33

F

88

16 l

89

8,8 ∙ 102 J /(kg °C)

90

oro

91

1,3 ∙ 108 J

34

a V

b

F

35 V

Esercizi

186

62

No, la temperatura è di 37 °C

92

2,5 ∙ 106 J; no

63

4,00 °F, 253 K

93

6,3 ∙ 105 J

64

–459,67 °F

94

207 J

65

1337 K; 2933 K; 1596 °C; 1596 K

95

4,5 ∙ 107 J

66

2,2 m

97

1,2 ∙ 103 J

67

0,34 mm

98

5,77 ∙ 103 K

68

1,1 m

100

3,0 ∙ 106 J

69

9,6 · 10–2 mm

101

0,31 kg

70

0,11 cm2

102

14,3 °C

71

2,51 cm; 0,0334 cm2

103

no; 1,2∙106 J

SOLUZIONI Unità 11

64

Test

65 1,4

3,84 · 105 km

1

b

2

a

3

c

66

4

c

5

c

6

d

68 50°

7

d

8

c

9

b

69 1,4

10 d

11

a

12

b

71

37,5°

d

14

c

15

b

72

13°; no

16 c

17

b

18 c

73

1,41 m

19 a

20 b

d

74

24,4°

75

75,6°; 38,7°

76

39°

13

21

Vero/Falso

1,95 · 108 m/s

22 V

23 V

24 F

77

0,53 cm 0,53 cm

25 F

26 F

27 F

79

6 volte

28 F

29

V

30

V

80

virtuale, diritta e ingrandita

F

32

V

33 F

81

reale, capovolta, di dimensione uguale

83

25 cm; –50 cm

31

34

a F

35

V

36

V

37 F

84

2,0

38

V

39

V

40 V

85

–1,9 m; diritta

86

–1,33 m

88

8 volte

Esercizi

89

1,5 m; 0,75 m

1,5 ∙ 1011 m

91

–10 cm

92

–38 cm; –2,7 diottrie

41

V

60 61

b V

1,5

c F

d F

e V

62

2,3 ∙ 108 m/s

93

33,3 cm; 3 diottrie

63

9,5 · 1015 m

94

–2,5 cm; -30 diottrie

187

APPUNTI

188

APPUNTI

189

APPUNTI

190

APPUNTI

191

APPUNTI

192